גאומטריה אלגברית

גאומטריה אלגברית היא ענף במתמטיקה המשלב אלגברה מופשטת (בעיקר אלגברה קומוטטיבית) עם גאומטריה. כפי שמרמז שמה, הגאומטריה האלגברית עוסקת בעקומות או משטחים (או הכללות שלהם) שניתן לראותם הן כאובייקטים גאומטריים והן כפתרונות של משוואות אלגבריות (פולינומיות). היא התפתחה כתת-התחום של גאומטריה אנליטית בו חוקרים מערכות של משוואות פולינומיליות (בניגוד למשוואות כלליות). בגאומטריה אלגברית לרוב חוקרים מערכות משוואות שיש להן אינסוף פתרונות ומנסים להבין את מכלול הפתרונות ולא למצוא פתרון מסוים. למטרה זו זווית הראיה הגאומטרית שימושית מאוד. המבנים המתמטים המרכזיים בגאומטריה אלגברית הם יריעות אלגבריות (algebraic varieties) והכללות שלהן, סכמות (schemes). בגאומטריה אלגברית קלאסית, האובייקטים המרכזיים שנחקרים הם קבוצות ההתאפסות של אוסף של פולינומים. לדוגמה, הספירה הדו-ממדית במישור האוקלידי התלת-ממדי R 3 {\displaystyle \,\mathbb {R} ^{3}} ניתנת להגדרה כאוסף הנקודות ( x , y , z ) ∈ R 3 {\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}} המקיימות: x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 {\displaystyle \,x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0} . דוגמה נוספת היא קבוצת הפתרונות המשותפת של שני הפולינומים x − y = 0 {\displaystyle \,x-y=0} ו- x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} . קבוצה זו היא אוסף הנקודות מהצורה { ( x , x , z ) ∈ R 3 : 2 x 2 + z 2 = 1 } {\displaystyle \{(x,x,z)\in \mathbb {R} ^{3}:2x^{2}+z^{2}=1\}} . ערך מורחב – יריעה אפינית נניח כי k הוא שדה. בגאומטריה אלגברית קלאסית הניחו כי השדה הוא C {\displaystyle \mathbb {C} } – שדה המספרים המרוכבים, אך רוב התוצאות נשארות נכונות גם אם k הוא שדה סגור אלגברית כלשהו. נסמן ב A n ( k ) {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}(k)} (או בקיצור A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} אם ברור מיהו k) את הקבוצה k n {\displaystyle \,k^{n}} , ונקרא לה המרחב האפיני ה-n ממדי מעל k. המטרה של ההגדרה ה"לכאורה מלאכותית" הזאת היא להדגיש את העובדה ש- A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} הוא בסך הכול אוסף נקודות, ושאנו "שוכחים" מהמבנה של k n {\displaystyle \,k^{n}} כמרחב וקטורי. פונקציה f : A n → A 1 {\displaystyle \,f:\mathbf {A} ^{n}\rightarrow \mathbf {A} ^{1}} נקראת רגולרית אם היא ניתנת לכתיבה בתור פולינום. כלומר, אם קיים פולינום p ∈ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,p\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]} כך שלכל נקודה ( t 1 , … , t n ) ∈ A n {\displaystyle \,(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbf {A} ^{n}} מתקיים f ( t 1 , … , t n ) = p ( t 1 , … , t n ) {\displaystyle \,f(t_{1},\dots ,t_{n})=p(t_{1},\dots ,t_{n})} . פונקציות רגולריות על המרחב האפיני ה-n ממדי הן, אם כן, בדיוק פולינומים ב-n משתנים מעל k. את אוסף הפונקציות הרגולריות על A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} נסמן ב- k [ A n ] {\displaystyle \,k[\mathbf {A} ^{n}]} . נניח כי S היא קבוצה של פולינומים ב- k [ A n ] {\displaystyle \,k[\mathbf {A} ^{n}]} . קבוצת ההתאפסות של S, המסומנת ב-(V(S (ישנם ספרים בהם קיים גם הסימון (Z(S), מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות במרחב האפיני שבהן כל הפולינומים ב-S מתאפסים. במילים אחרות, V ( S ) = { ( t 1 , … , t n ) ∈ A n : ∀ p ∈ S , p ( t 1 , … , t n ) = 0 } {\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbf {A} ^{n}:\forall p\in S,p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}} . תת קבוצה A ⊆ A n {\displaystyle \,A\subseteq \mathbf {A} ^{n}} נקראת קבוצה אלגברית אם קיימת קבוצה S ⊆ k [ A n ] {\displaystyle S\subseteq k[\mathbf {A} ^{n}]} כך ש- A = V ( S ) {\displaystyle \,A=V(S)} . שאלה טבעית לשאול בשלב זה היא השאלה הבאה: בהינתן תת-קבוצה U ⊆ A n {\displaystyle \,U\subseteq \mathbf {A} ^{n}} , האם ניתן לשחזר את קבוצת הפולינומים המתאפסים על U? אם U היא תת-קבוצה כלשהי של A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} , נגדיר את I ( U ) {\displaystyle \,I(U)} להיות אוסף כל הפונקציות הרגולריות המתאפסות על כל U. במילים אחרות, I ( U ) = { p ∈ k [ A n ] : ∀ ( t 1 , … , t n ) ∈ U , p ( t 1 , … , t n ) = 0 } {\displaystyle \,I(U)=\{p\in k[\mathbf {A} ^{n}]:\forall (t_{1},\dots ,t_{n})\in U,p(t_{1},\dots ,t_{n})=0\}} . נשים לב כי אם f ו-g מתאפסות בכל נקודה ב-U אז כך גם f+g, וכן אם f מתאפסת בכל נקודה ב-U ואם h היא פונקציה רגולרית כלשהי, אז גם h ⋅ f {\displaystyle h\cdot f} מתאפסת בכל נקודה ב-U. לפיכך, לכל תת-קבוצה U של A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} , הקבוצה I ( U ) {\displaystyle \,I(U)} היא אידיאל בחוג k [ A n ] {\displaystyle \,k[\mathbf {A} ^{n}]} . כעת עולות שתי שאלות טבעיות: בהינתן תת-קבוצה U של A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} , האם מתקיים U = V ( I ( U ) ) {\displaystyle \,U=V(I(U))} ? בהינתן קבוצת פולינומים S, האם מתקיים S = I ( V ( S ) ) {\displaystyle \,S=I(V(S))} ? על מנת להשיב על השאלה הראשונה מגדירים את טופולוגית זריצקי (על שם אוסקר זריצקי). זוהי טופולוגיה על A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} המשקפת ישירות את המבנה האלגברי של k [ A n ] {\displaystyle \,k[\mathbf {A} ^{n}]} . ההגדרה של טופולוגית זריצקי היא שתת-קבוצה A ⊆ A n {\displaystyle A\subseteq \mathbf {A} ^{n}} היא קבוצה סגורה אם ורק אם A היא קבוצה אלגברית. ניתן להראות ש- U = V ( I ( U ) ) {\displaystyle \,U=V(I(U))} אם רק אם U היא סגורה בטופולוגית זריצקי. התשובה לשאלה השנייה ניתנת על ידי משפט האפסים של הילברט. אחת הדרכים לנסח את משפט האפסים היא ש I ( V ( S ) ) {\displaystyle \,I(V(S))} שווה לרדיקל האידיאל הנוצר על ידי S. הרדיקל של אידיאל I (מסומן ב- I {\displaystyle \,{\sqrt {I}}} ) מוגדר להיות אוסף כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם נמצאת ב-I, כלומר I = { f ∈ k [ A n ] : ∃ m ∈ N , f m ∈ I } {\displaystyle \,{\sqrt {I}}=\{f\in k[\mathbf {A} ^{n}]:\exists m\in \mathbb {N} ,f^{m}\in I\}} . האינטואיציה ללקיחת הרדיקל של האידיאל היא כדי לבודד את הגורמים המאפסים את הקבוצה האלגברית בכפליות של 1, כי אם פולינום בחזקה כלשהי מתאפס על קבוצה של ערכים אז גם הפולינום עצמו יתאפס על אותה הקבוצה. לעיתים נוח יותר לעבוד עם תתי קבוצות של האידיאל היוצר את U, ועל פי משפט הבסיס של הילברט כל אידיאל ב k [ A n ] {\displaystyle \,k[\mathbf {A} ^{n}]} הוא נוצר סופית. קבוצה סגורה במרחב טופולוגי נקראת אי פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי תתי קבוצות סגורות המוכלות בה ממש. קבוצה אלגברית אי פריקה נקראת יריעה אלגברית. ניתן להראות שקבוצה אלגברית היא יריעה אלגברית אם ורק אם קבוצת הפולינומים שמאפסים אותה היא אידיאל ראשוני. בדומה לכך שההעתקות הטבעיות על מרחבים טופולוגיים הן פונקציות רציפות, והעתקות הטבעיות על יריעות חלקות הן פונקציות חלקות, ישנה קבוצה של העתקות טבעיות על קבוצות אלגבריות, הנקראות פונקציות רגולריות. פונקציה רגולרית על תת-קבוצה אלגברית V של A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} מוגדרת להיות צמצום של פונקציה רגולרית על A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} במובן שהוגדר לעיל (כלומר צמצום של פולינום). ייתכן שתחילה הדרישה שכל פונקציה רגולרית תהיה ניתנת להרחבה על המרחב כולו נראית לא טבעית, אך למעשה המצב דומה מאוד למרחבים טופולוגים נורמלים, שם משפט ההרחבה של טיצה מבטיח שפונקציה רציפה על קבוצה סגורה ניתנת להרחבה לפונקציה רציפה על המרחב כולו. בדומה לכך שאוסף הפונקציות הרגולריות על A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} יוצרות חוג חילופי, כך גם אוסף הפונקציות הרגולריות על קבוצה אלגברית V כלשהי. חוג זה מסומן ב- k [ V ] {\displaystyle \,k[V]} , ונקרא חוג הקואורדינטות של V. מכיוון שפונקציות רגולריות על V הן צמצומים של פונקציות רגולריות על המרחב כולו, הרי שקיים קשר בין חוגי הקואורדינטות שלהם. באופן מפורש, שתי פונקציות רגולריות f ו-g על V הן שוות אם הן מזדהות על V. כלומר, f=g אם לכל נקודה x ∈ V {\displaystyle \,x\in V} מתקיים f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \,f(x)=g(x)} , או   f ( x ) − g ( x ) = 0 {\displaystyle \ f(x)-g(x)=0} . לכן,   f = g {\displaystyle \ f=g} אם ורק אם f − g ∈ I ( V ) {\displaystyle f-g\in I(V)} ולפיכך ניתן לזהות את חוג הקואורדינטות על V עם חוג המנה k [ A n ] / I ( V ) {\displaystyle \,k[\mathbf {A} ^{n}]/I(V)} . בעזרת פונקציות רגולריות מיריעות אפיניות ל A 1 {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{1}} נוכל להגדיר פונקציות רגולריות בין שתי יריעות אפיניות. תחילה נגדיר פונקציות רגולריות מיריעה אפינית למרחב האפיני: נניח כי V היא יריעה אפינית ב A n {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{n}} . נבחר m פונקציות רגולריות על V ונסמנן ב- f 1 , … f m {\displaystyle \,f_{1},\dots f_{m}} . נאמר שפונקציה f מ-V ל- A m {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{m}} היא פונקציה רגולרית אם לכל ( t 1 , … , t n ) ∈ V {\displaystyle \,(t_{1},\dots ,t_{n})\in V} מתקיים f ( t 1 , … , t n ) = ( f 1 ( t 1 , … , t n ) , … , f m ( t 1 , … , t n ) ) {\displaystyle \,f(t_{1},\dots ,t_{n})=(f_{1}(t_{1},\dots ,t_{n}),\dots ,f_{m}(t_{1},\dots ,t_{n}))} . אם W היא יריעה אפינית ב A m {\displaystyle \,\mathbf {A} ^{m}} , נאמר ש-f היא פונקציה רגולרית מ-V ל-W אם התמונה של f מוכלת ב-W. הקטגוריה של יריעות אפיניות מוגדרת להיות הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם יריעות אפיניות והמורפיזמים הם פונקציות רגולריות. המשפט הבא מאפיין את הקטגוריה של יריעות אפיניות: הקטגוריה של יריעות אפיניות היא הקטגוריה ההפוכה (כלומר אותם אובייקטים ומורפיזמים הפוכים) לקטגוריה של k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות. ערכים מורחבים – גאומטריה פרויקטיבית, יריעה אלגברית פרויקטיבית נתבונן ביריעה V ( y − x 2 ) {\displaystyle \,V(y-x^{2})} . אם נצייר אותה נקבל פרבולה. כאשר המשתנה x גדל, שיפועו של הישר העובר דרך הראשית ודרך הנקודה ( x , x 2 ) {\displaystyle \,(x,x^{2})} הולך וגדל. לעומת זאת, כאשר x קטן, שיפועו של הישר הזה הולך וקטן. אם נשווה זאת ליריעה V ( y − x 3 ) {\displaystyle \,V(y-x^{3})} , נראה שכאשר x גדל השיפוע גדל כמקודם, אך כאשר x קטן, השיפוע שוב גדל. לפיכך ההתנהגות "באינסוף" של V ( y − x 2 ) {\displaystyle \,V(y-x^{2})} שונה מההתנהגות "באינסוף" של V ( y − x 3 ) {\displaystyle \,V(y-x^{3})} . ישנו קושי להגדיר את המושג "התנהגות באינסוף" במרחב האפיני. הפתרון לבעיה זו הוא הצגת המרחב הפרויקטיבי. המרחב הפרויקטיבי מתקבל מהמרחב האפיני על ידי הוספה של "נקודות באינסוף". המרחב הפרויקטיבי הוא האנלוג של הגאומטריה האלגברית למרחבים שהם האוסדורף קומפקטים. באמצעות הוספה של נקודות באינסוף למרחב, נוספות נקודות באינסוף גם ליריעות האפיניות, ומתקבלות יריעות פרויקטיביות. הנקודות באינסוף מאפשרות לקבל מידע נוסף על היריעה. מבחינה אלגברית, על מנת לטפל ביריעות פרויקטיביות מגדירים את המושג של קואורדינטות הומוגניות, המאפשרות להשתמש בטכניקות אלגבריות בגאומטריה פרויקטיבית. הצגתו של המרחב הפרויקטיבי גרמה לכך שטענות רבות בגאומטריה אלגברית הפכו פשוטות יותר. לדוגמה, משפט בזו קובע שמספר נקודות החיתוך של שתי יריעות פרויקטיביות שווה בדיוק למכפלת הממדים של היריעות. למשפט זה אין אנלוג כה מוצלח במרחב האפיני. לפיכך, למרחב הפרויקטיבי חשיבות רבה בגאומטריה האלגברית. הגישה המודרנית לגאומטריה האלגברית מגדירה מחדש את האובייקטים הבסיסיים בתחום. יריעות (אפיניות או פרויקטיביות) מהוות מקרה פרטי של מושג הסכמה שהומצא על ידי אלכסנדר גרותנדיק. תורת הסכמות מתחילה בהבחנה שאם k-אלגבראות נוצרות סופית שהן תחומי שלמות מהוות אובייקטים גאומטריים, אז אולי ניתן לראות בחוגים קומוטטיביים כלשהם מבנים גאומטריים. בכך מהוות סכמות מבנים גאומטרו-אלגבריים כלליים יותר, ודרך נוחה לעבודה עם חוגים קומוטטיביים. שפת הסכמות הוכחה כשפה יעילה מאוד לעבודה עם אובייקטים גאומטריים והפכה לאבן פינה בגאומטריה האלגברית המודרנית. המתמטיקאי הפרסי עומר ח'יאם (נולד ב־1048) המציא שיטות כללית לפתרון משוואות ממעלה שלישית על ידי חיתוך של פרבולה ומעגל. עומר ח'יאם אף שילב את השימוש בטריגונומטריה ותורת הקירובים על מנת למצוא פתרונות למשוואות אלגבריות באמצעות כלים גאומטריים. העיסוק המודרני בגאומטריה אלגברית החל באמצע המאה ה-19, עם תוצאות של יוליוס פלוקר (אנ') ואחרים. פלוקר הוכיח (ב-1839) שלכל עקום ב-   C P 2 {\displaystyle \ \mathbb {CP} ^{2}} המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה רביעית, כדוגמת עקום פרמה   x 1 4 + x 2 4 + x 3 4 = 0 {\displaystyle \ x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}=0} , יש בדיוק 28 ישרים המשיקים אליו פעמיים. תוצאה דומה מאותו זמן: לכל עקום ב-   C P 2 {\displaystyle \ \mathbb {CP} ^{2}} המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית, יש בדיוק תשעה ישרים המשיקים לו השקה משולשת (ישר משיק השקה משולשת למשטח, אם לצמצום של משוואת המשטח אל הישר יש שורש משולש). ארתור קיילי הראה ב-1849 שכל משטח חלק ב-   C P 3 {\displaystyle \ \mathbb {CP} ^{3}} המוגדר על ידי פולינום הומוגני ממעלה שלישית (כגון   x 1 3 + x 2 3 + x 3 3 + x 4 3 = 0 {\displaystyle \ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0} ) מכיל בדיוק 27 ישרים. קבוצת חוקרים איטלקים המשיכה את המחקר של עקומים ומשטחים במחצית הראשונה של המאה ה-20. סגנונם היה אינטואיטיבי ולא עמד בדרישות הריגורוזיות של המתמטיקה המודרנית. בשנות ה-30 וה-40 של המאה ה-20, הבינו אוסקר זריצקי, אנדרה וייל ואחרים שיסודות הגאומטריה האלגברית צריכות להיבנות על אלגברה קומוטטיבית ותורת ההערכות. אלגברה קומוטטיבית פותחה על ידי דויד הילברט, מקס נתר, עמנואל לסקר, אמי נתר, וולפגנג קרול ואחרים. במשך זמן רב לא היו יסודות אחידים לגאומטריה האלגברית. בשנות ה-50 וה-60 ז'אן-פייר סר ואלכסנדר גרותנדיק בנו את היסודות מחדש בעזרת תורת האלומות. לאחר מכן, בשנות ה-60, רעיון הסכמה נולד, ובצמידות לו השימוש בשיטות הומולוגיות. לאחר עשור של התפתחות מאסיבית, התחום התייצב בשנות ה-70, ושימושים חדשים נמצאו, הן בתורת המספרים והן לשאלות קלאסיות על יריעות אלגבריות. אחת מקבוצות היריעות אשר לא ניתן להבין ישירות מהמשוואות המגדירות אותן היא היריעות האבליות, שהן יריעות פרויקטיביות שהנקודות שלהן הן גם חבורות אבליות. הדוגמאות הידועות ביותר ליריעות אבליות הן עקומים אליפטים, שהם בעלי תאוריה עשירה מאוד, והיוו כלי חשוב בהוכחת המשפט האחרון של פרמה, ובעלי שימושים גם בקריפטוגרפיה (ראו גם – הצפנה מבוססת עקומים אליפטיים). רובה של הגאומטריה האלגברית עוסקת בטענות מופשטות לגבי יריעות, אך שיטות אפקטיביות לביצוע חישובים קונקרטיים בפולינומים תוך שימוש בטכניקות של גאומטריה אלגברית פותחו אף הן. הטכניקה החשובה ביותר היא בסיסי גרובנר הממומשים בכל המערכות האלגבריות הממוחשבות. יסודות הגאומטריה האלגברית (ספר) Stacks project W. V. D. Hodge; Daniel Pedoe (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46900-7. Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 2. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46901-5. Hodge, W. V. D.; Pedoe, Daniel (1994). Methods of Algebraic Geometry: Volume 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46775-6. David Cox; John Little; Donal O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. Phillip Griffiths; Joe Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8. Joe Harris (1995). Algebraic Geometry: A First Course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3. David Mumford (1995). Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-58657-1. Miles Reid (1988). Undergraduate Algebraic Geometry. Cambridge University Press. ISBN 0-521-35662-8. Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry I: Varieties in Projective Space (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2. David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98637-5. Alexander Grothendieck (1960). Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l'IHÉS. Alexander Grothendieck (1971). Éléments de géométrie algébrique. Vol. 1 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-05113-9. Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. David Mumford (1999). The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-63293-X. Igor Shafarevich (1995). Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-54812-2. The Stacks project Kevin R. Coombes: Algebraic Geometry: A Total Hypertext Online System מדיה וקבצים בנושא גאומטריה אלגברית בוויקישיתוף גאומטריה אלגברית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) גאומטריה אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית) גאומטריה, אלגבראית, דף שער בספרייה הלאומית What is algebraic geometry?, סרטון בערוץ "Aleph 0", באתר יוטיוב (אורך: 11:50) ערך על גאומטריה אלגברית באתר PlanetMath Algebraic Equations and Systems of Algebraic Equations at EqWorld: The World of Mathematical Equations קורס בעברית בגאומטריה אלגברית (במכון ויצמן) זו הוצאה מחודשת של שלושת הספרים. הספרים יצא לאור לראשונה ב-1947