פונקציות זוגיות ואי-זוגיות

פונקציות זוגיות ואי-זוגיות הן פונקציות ממשיות בעלות סימטריה מוגדרת ביחס לישר   x = 0 {\displaystyle \ x=0} (כלומר לציר ה- Y {\displaystyle Y} ). המונח "פונקציה זוגית" נטבע על ידי לאונרד אוילר, ומופיע לראשונה בספרו שיצא ב-1727, והשימוש הראשון הידוע במונח "פונקציה אי-זוגית" הוא בספר של תומאס לייבורן שיצא ב-1814. הסברה המקובלת היא שהכינויים "זוגי" ו"אי-זוגי" נובעים מהעובדה שהפונקציה f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} היא פונקציה זוגית כאשר n {\displaystyle n} זוגי ופונקציה אי-זוגית כאשר n {\displaystyle n} אי-זוגי. הגדרה: ערכה זהה עבור כל מספר בתחום ההגדרה ועבור המספר הנגדי לו, כלומר   f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle \ f(x)=f(-x)} . סימטריה: כל פונקציה זוגית היא סימטרית ביחס לציר ה- Y {\displaystyle Y} . דוגמאות של פונקציות זוגיות:   f ( x ) = a {\displaystyle \ f(x)=a} פונקציה קבועה   f ( x ) = x 2 {\displaystyle \ f(x)=x^{2}} פרבולה בעלת קודקוד בנקודה (0,0)   f ( x ) = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \ f(x)=\cos(x)} קוסינוס   f ( x ) = | x | {\displaystyle \ f(x)=|x|} ערך מוחלט הגדרה: ערכה עבור כל מספר בתחום ההגדרה הוא המספר הנגדי של ערכה עבור המספר הנגדי לו, כלומר   f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle \ f(-x)=-f(x)} . סימטריה: כל פונקציה אי-זוגית היא אנטי-סימטרית ביחס לציר ה- X {\displaystyle X} (כלומר יש לה סימטריית סיבוב של 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} סביב לראשית). דוגמאות של פונקציות אי-זוגיות:   f ( x ) = x {\displaystyle \ f(x)=x} פונקציה ליניארית שעוברת דרך הנקודה (0,0)   f ( x ) = x 3 {\displaystyle \ f(x)=x^{3}} חזקה ממעלה שלישית עם נקודת פיתול בנקודה (0,0)   f ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \ f(x)=\sin(x)} סינוס f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={1 \over x}} מספר הופכי ניתן לייצג כל פונקציה באמצעות סכום של פונקציה זוגית ואי זוגית:   f ( x ) = f even ( x ) + f odd ( x ) {\displaystyle \ f(x)=f_{\text{even}}(x)+f_{\text{odd}}(x)} וזאת כאשר: f even ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{even}}(x)={f(x)+f(-x) \over 2}} ו f odd ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f(-x) \over 2}} יצוג זה הוא יחיד. מכאן נובע שמרחב הפונקציות כולן מהווה סכום ישר של מרחבי הפונקציות הזוגיות והאי-זוגיות (כשחיבור וכפל בסקלר מוגדרים נקודתית). לפעמים, עבור פונקציות מרוכבות, הפונקציה הזוגיות והאי זוגית מיוצגים בהתאמה באופן הבא: f even ( x ) = f ( x ) + f ∗ ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{even}}(x)={f(x)+f^{*}(-x) \over 2}} ו- f odd ( x ) = f ( x ) − f ∗ ( − x ) 2 {\displaystyle f_{\text{odd}}(x)={f(x)-f^{*}(-x) \over 2}} או: f even ( x ) = f even ∗ ( − x ) {\displaystyle f_{\text{even}}(x)=f_{\text{even}}^{*}(-x)} ו- f odd ( x ) = − f odd ∗ ( − x ) {\displaystyle f_{\text{odd}}(x)=-f_{\text{odd}}^{*}(-x)} בצורת כתיבה זאת ניתן להוכיח בקלות רבה תכונות של התמרת פורייה. סכום פונקציות: סכום של פונקציות זוגיות הוא פונקציה זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות זוגיות ובפתוח של פונקציה זוגית מ- L 1 {\displaystyle L^{1}} לטור פורייה יופיעו רק איברי הקוסינוס). סכום של פונקציות אי-זוגיות הוא פונקציה אי-זוגית (בפרט, בפתוח של פונקציה אנליטית אי-זוגית לטור טיילור יופיעו רק חזקות אי-זוגיות ובפתוח של פונקציה אי-זוגית מ- L 1 {\displaystyle L^{1}} לטור פורייה יופיעו רק איברי הסינוס). מכפלת פונקציות: מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית. מכפלה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית. מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית. חלוקת פונקציות: מנה של פונקציה זוגית בפונקציה זוגית היא פונקציה זוגית. מנה של פונקציה אי-זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית. מנה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא פונקציה אי-זוגית. באופן כללי כל מכפלה הכוללת פונקציות זוגיות ולא זוגיות בלבד (הפונקציה x − 1 {\displaystyle x^{-1}} היא לא זוגית), הפונקציות הזוגיות משמרות את הזוגיות, והזוגיות תלויה האם מספר הפונקציות האי זוגיות זוגי או לא זוגי. הרכבת פונקציות: הרכבה הכוללת פונקציות זוגיות ולא כוללת פונקציות כלליות היא פונקציה זוגית. הרכבה של פונקציות אי-זוגיות היא פונקציה אי-זוגית. הרכבה של כל פונקציה עם פונקציה זוגית היא זוגית, אך הרכבה של פונקציה זוגית על פונקציה כללית אינה בהכרח זוגית. גזירת פונקציה: נגזרת של פונקציה זוגית היא פונקציה אי-זוגית (אם אינה אפס). נגזרת של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית. נגזרת של פונקציה כללית היא פונקציה כללית או זוגית. הוכחה:הגדרת הנגזרת בנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} , היא הגבול lim Δ x → 0 Δ y Δ x = f ′ ( x 0 ) {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x_{0})} . ניתן להגדיר את Δ x {\displaystyle \Delta x} כ- x − x 0 {\displaystyle x-{x_{0}}} ואת Δ y {\displaystyle \Delta y} כ- f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})} כעת נציב בגבול: lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} . נראה שאם נחליף את הסימן של x {\displaystyle x} ושל x 0 {\displaystyle x_{0}} נקבל לפונקציה זוגית, lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) ( − x ) − ( − x 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{(-x)-(-x_{0})}}} כלומר שסימן הגבול התחלף. ולפונקציה אי זוגית נקבל, lim x → x 0 ( − f ( x ) ) − ( − f ( x 0 ) ) ( − x ) − ( − x 0 ) {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {(-f(x))-(-f(x_{0}))}{(-x)-(-x_{0})}}} כלומר שסימן הגבול נשמר. אינטגרל של פונקציה: כל פונקציה קדומה של פונקציה אי-זוגית היא פונקציה זוגית. לפונקציה זוגית יש פונקציה קדומה אחת שהיא אי-זוגית - הפונקציה שבה המקדם החופשי שווה ל-0. שאר הפונקציות הקדומות הן כלליות. האינטגרל המסוים של פונקציה אי-זוגית בתחום סימטרי שווה לאפס. האינטגרל המסוים של פונקציה זוגית בתחום סימטרי שווה לפעמיים האינטגרל בחצי התחום הסימטרי. תכונת האפס: כל פונקציה אי זוגית המוגדרת ורציפה בנקודה x = 0 {\displaystyle x=0} חייבת לקיים   f ( 0 ) = 0 {\displaystyle \ f(0)=0} . Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics – "ראשית יש לציין את אותן פונקציות, שאני קורא להן זוגיות, שיש להן התכונה שהן אינן משתנות כאשר במקום x מציבים -x". Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics, Thomas Leybourn, New Series of The Mathematical Repository, Volume 3, עמוד 61 (קריאת הספר בתצוגה מלאה באתר "גוגל ספרים" ) Even and Odd Functions and Function Symmetry, באתר ck-12.org Even and Odd Functions, באתר Tree of Math