מבחן M של ויירשטראס

באנליזה מתמטית, מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות. אם   f n {\displaystyle \ f_{n}} הן פונקציות המוגדרות על קבוצה K, וקיימת סדרה של קבועים M 1 , M 2 , … {\displaystyle \,M_{1},M_{2},\dots } , כך שהטור   ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} מתכנס ולכל n מתקיים | f n ( x ) | ≤ M n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}} לכל x ∈ K {\displaystyle \,x\in K} , אז טור הפונקציות ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} , מתכנס במידה שווה על K. מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי. לכל x ∈ K {\displaystyle \,x\in K} קבוע הטור המספרי ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב S ( x ) {\displaystyle S(x)} ואת הסכום החלקי עד N {\displaystyle N} ב- ∑ n = 1 N f n ( x ) = S N ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}f_{n}(x)=S_{N}(x)} ∑ n = 1 ∞ M n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }M_{n}} מתכנס אז לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך ש ∑ n = n 0 ∞ M n < ε {\displaystyle \sum _{n=n_{0}}^{\infty }M_{n}<\varepsilon } לכל n 0 ≥ N {\displaystyle n_{0}\geq N} . מתקיים: | S n 0 ( x ) − S ( x ) | = | ∑ n = n 0 + 1 ∞ f n ( x ) | ≤ ∑ n = n 0 ∞ | f n ( x ) | ≤ ∑ n = N ∞ M n < ε {\displaystyle |S_{n_{0}}(x)-S(x)|=\left|\sum _{n=n_{0}+1}^{\infty }f_{n}(x)\right|\leq \sum _{n=n_{0}}^{\infty }|f_{n}(x)|\leq \sum _{n=N}^{\infty }M_{n}<\varepsilon } לכל n 0 ≥ N {\displaystyle n_{0}\geq N} . ולכן ∑ n = 1 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)} מתכנס במידה שווה לכל x ∈ K {\displaystyle \,x\in K} . {\displaystyle } להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה-M. הטור ∑ n = 1 ∞ s i n ( n x ) n 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {sin(nx)}{{n}^{3}}}} מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל x ממשי | s i n ( n x ) n 3 | ≤ 1 n 3 {\displaystyle \left|{\frac {sin(nx)}{{n}^{3}}}\right|\leq {\frac {1}{{n}^{3}}}} , והטור ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{{n}^{3}}}} ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם ∑ n = 1 ∞ arctan ⁡ ( n x ) n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\arctan {(nx)}}{{n}^{2}}}} מתכנס במידה שווה בכל הממשיים. עבור הטור ∑ n = 1 ∞ s i n ( n x ) n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {sin(nx)}{n}}} מבחן ה-M לא עוזר, שכן לכל x ממשי - | s i n ( n x ) n | ≤ 1 n {\displaystyle \left|{\frac {sin(nx)}{n}}\right|\leq {\frac {1}{n}}} , אבל ∑ n = 1 ∞ 1 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}} לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל x ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן הM לא נכון. כידוע, הטור ∑ n = 0 ∞ x n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{{x}^{n}}} מתכנס לכל | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . לפי מבחן ה-M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (-1,1)} , כי | x n | < 1 {\displaystyle |{x}^{n}|<1} . עם זאת, לכל 0 < r < 1 {\displaystyle 0<r<1} ניתן להשתמש במבחן ה-M - אז יתקיים | x n | < r n {\displaystyle |{x}^{n}|<{r}^{n}} לכל | x | < r {\displaystyle |x|<r} , והטור הממשי ∑ n = 0 ∞ r n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{{r}^{n}}} מתכנס. מבחן M של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)