תאוריית הגלים של איירי

במכניקת הזורמים, תאוריית הגלים של איירי (לעיתים נקראת גם תאוריית הגלים הליניארית) היא תיאור ליניארי של ההתקדמות גלים על פני השטח של שכבת זורם הומוגנית. התאוריה מניחה שלשכבת הזורם יש גובה ממוצע אחיד, ושזרימת הזורם היא בלתי-צמיגה, בלתי דחיסה, ואי-רוטציונית. התאוריה פורסמה לראשונה, בצורה נכונה, על ידי ג'ורג' בידל איירי במאה ה-19. לעיתים קרובות, כאשר מתייחסים לפתרון המתמטי הנפוץ והבסיסי ביותר בתאוריה של גלי מים, מתכוונים לתאוריה של איירי. הנחת הליניאריזציה המרכזית של התאוריה היא שאמפליטודת הגל קטנה בהרבה מאורך הגל שלו, כך שניתן להזניח אפקטים מסדרים גבוהים יותר הקשורים בתלילות הגל. התאוריה הכללית של גלי מים היא באופן מובהק מורכבת יותר ממקבילות לה בתחומים אחרים (כמו אקוסטיקה), מה שמסביר גם את הופעתה המאוחרת יחסית לתאוריות מתמטיות אחרות בנוגע לגלים מכניים; בעת שפורסמה התאוריה של איירי נחשבה ליישום חדשני של עקרונות מכניקת הזורמים לניתוח תופעות גליות באוקיינוס. בכך שהיא מתבססת על המשוואות המתארות זרימה פוטנציאלית בלתי יציבה, התאוריה של איירי מצביעה על המנגנון האחראי להתקדמות גלי ים, זאת שכן היא מאפשרת להסביר את ההתקדמות הבלתי-מופרעת כמעט של גלי ים לאורך מרחקים עצומים באוקיינוס, שלעיתים נדמית כמתחוללת כמעט כאילו מכוח האינרציה. במסגרת התאוריה, ההתקדמות הסדירה של הגל היא תוצא של השינוי בגודל פיזיקלי דמוי לחץ הנקרא "נגזרת פוטנציאל המהירות" – כלומר התאוריה מניחה קיום של הפרעה התחלתית בפני המים, אליה מקושרים שינויים במאפיינים הפיזיקליים של הזורם, והם אלו שמתניעים את התקדמות הגל. בתאוריית הגלים של איירי נעשה שימוש לעיתים קרובות באוקיינוגרפיה כדי למדל מצבי ים אקראיים - היא נותנת תיאור של הקינמטיקה והדינמיקה של הגלים בדיוק גבוה מספיק למטרות רבות. תאוריית הגלים של איירי מנבאת היטב גם את המהירות של גלי צונאמי באוקיינוס הפתוח, לפני שהם מתחילים לגבוה בקרבת החוף. בתאוריה נעשה שימוש גם כדי לקבל אומדן מהיר וגס של מאפייני גלים וההשפעות שלהם. האומדן הזה מדויק עבור יחסים נמוכים של גובה הגל לעומק המים (גלים במים עמוקים) ושל גובה הגל לאורך הגל שלו. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. מבחינה היסטורית, המדע המתמטי שעוסק בחקר גלי ים והתקדמותם באוקיינוס הפתוח החל בניסיונו של אייזק ניוטון לתת צביון כמותי לתאוריה של גלי ים, שהופיע בחלק השמיני של הכרך השני של ספרו "פרינקיפיה". בחלק זה ניוטון צייר אנלוגיה פיזיקלית בין תנודת פני המים בצינור בצורת U מסביב למפלס של שיווי משקל לבין התנועה של המים מתחת לגל ים; ניוטון טען שבהתאם לאנלוגיה שלו, העיתוי של העלייה והירידה של פני הגל בנקודה מסוימת (דהיינו זמני ההופעה של השיאים והשפלים) מתאים לזמן המחזור של תנודת פני המים בצינור U שאורכו L הוא כאורך הגל λ {\displaystyle \lambda } . בטענה 44 הוא מראה שזמן המחזור של תנודת פני המים בצינור כזה שווה למשך זמן התנודה של מטוטלת שאורכה l הוא כמחצית אורך הצינור המלא במים l = L / 2 {\displaystyle l=L/2} , כלומר ש-T שווה: T = 2 π l / g = π 2 L / g {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {l/g}}=\pi {\sqrt {2L/g}}} . כיוון שמהירות הגל היא אורך הגל מחולק בזמן המחזור שלו, בטענה הבאה ניוטון מקיש מהאנלוגיה שמהירות התקדמות גלי מים במים עמוקים יחסית לשורש הריבועי של אורך הגל שלהם, טענה נכונה על פי התאוריה של איירי. אך ניוטון היה מודע לכך שהתוצאה שלו היא מקורבת, וכתב: "אולם הטיעונים הללו נכונים רק תחת ההנחה שחלקי המים עולים ויורדים בקווים ישרים; במציאות, העלייה והירידה של המים מבוצעות במסלולים מעגליים". הרבה לפני התאוריה של איירי, Gerstner גזר ב-1802 תאוריה לא ליניארית טרוכואידית של גלים, שהיא, בניגוד לתאוריה של איירי, כן רוטציונית (הערבוליות שלה שונה מאפס). התאוריה של Gerstner, שהיא למעשה הפתרון המדויק הראשון שניתן אי פעם בתאוריה של גלי מים (כלומר בפיתוח הפתרון לא עושים שום הנחת ליניאריזציה), לא הייתה ידועה מספיק בזמנו, לפחות עד שנתגלתה מחדש באופן בלתי תלוי על ידי ויליאם ג'ון מקורן רנקין ב-1863, אשר גם עזר להפוך אותה לידועה יותר. בתאוריה הזאת פני המים הם טרוכואיד מהופך, כאשר השיאים חדים יותר והשפלים שטוחים יותר. הפילוג של הערבוליות בפתרון הוא כזה שמסלולי אלמנטי הזורם הם בדיוק מעגלים מושלמים, גם ללא הנחת תלילות נמוכה של הגל. על אף הפתרון המעניין, כיום הוא נחשב לבעל חשיבות מעשית מעטה שכן הוא עומד בסתירה לתצפיות האמפיריות של ערבוליות זניחה. ניסיונות קודמים לתאר גלי כבידה בזורם נעשו על ידי לגראנז', לפלס, פואסון, קושי, ג'ורג' גרין ו-Kelland. כמה שנים לפני פרסום התאוריה של איירי, ג'ורג' גרין נעזר בקירוב WKBJ כדי להסיק את חוק גרין (Green's law) על שינוי האמפליטודה של גלי כבידה במים המתקדמים במים רדודים בעלי עומק משתנה. אך איירי היה הראשון לתת תיאור מלא של הפתרון לבעיה ב-1841. אף על פי שכפי שצוין מקודם, חלקים מהתאוריה פותחו קודם על ידי חוקרים אחרים, התאוריה של איירי היא הראשונה להציב את כל הפיתוחים הללו במסגרת מושגית אחת, תוך ביאור ההנחות שתקפות בכל אחד מהמקרים שטופלו קודם, ועל כן היא נחשבת לנקודת ציון בהתפתחות התאוריה של גלי מים. מספר שנים מאוחר יותר, ב-1847, ג'ורג' גבריאל סטוקס הרחיב את התאוריה הליניארית של איירי כדי שתכלול גם תנועת גלים לא ליניארית; התאוריה, שנקראת תאוריית הגלים של סטוקס, היא נכונה עד לסדר שלישי בתלילות הגל. באופנים רבים, מחקרו של סטוקס על גלי מים היה מעמיק בהרבה והוא כלל ניתוח מעמיק של אפקטים שונים שקשורים בגלים כמו סחיפת סטוקס, וניתוח של התפתחות גלי מים באמצעות תורת ההפרעות. הרבה אחרי הפרסומים של גרין ואיירי, החוקרים גוסטאב דה-וריז ודידריק קורטווג השלימו את התיאור של גלי מים רדודים בכך שהציגו ב-1895 את משוואת קורטווג דה וריז (שנקראת גם בקיצור משוואת ה-Kdv) - מודל לגלי ים במים רדודים שמאפשר להסיק את שינוי צורת הגל שמתקדם לעבר החוף, בנוסף על פרמטרים איכותיים כמו אורך הגל וגובה הגל (שהשינוי שלהם מתואר בחוק גרין). למשוואה זאת יש פתרונות יציבים הנקראים גלים סוליטריים, שמאפיין ייחודי להם הוא שבמים רדודים מהירותם תלויה גם בגובה הגל ולא רק בעומק המים (ובכך הם שונים מהגלים של תאוריית איירי). גלים אלו תוארו לראשונה בספרות המדעית הרבה קודם לכן על ידי המהנדס הסקוטי ג'ון סקוט ראסל ב-1834. תאוריית הגלים של איירי נעזרת בפורמליזם של זרימה פוטנציאלית (פוטנציאל מהירות) כדי לתאר את התנועה של גלי כבידה על פני השטח של הזורם. השימוש בזרימה פוטנציאלית בלתי צמיגה ואי רוטציונית (אי הרוטציוניות הכרחית כדי שניתן יהיה להגדיר פונקציית פוטנציאל) לחיזוי ההתנהגות של גלי מים הוא מצליח באופן מפתיע, במיוחד בהינתן הכישלון שלה לתאר סוגי זרימה אחרים בהם הכרחי להתחשב בצמיגות, ערבוליות, וטורבולנציה. הצלחה זאת היא הרבה בזכות העובדה שבחלק האוסצילטורי של תנועת זורם, ערבוליות מושרית-גלים מוגבלת לשכבות גבול סטוקס דקות בגבולות תחום הזורם. התאוריה של איירי משמשת בהנדסת חופים; במיוחד עבור גלים אקראיים, ההתפתחות של סטטיסטיקת הגלים - כולל ספקטרום הגלים - נחזית היטב על פני מרחקים לא גדולים מדי (במונחים של אורך הגל) ובמים לא רדודים מדי. עקיפה היא אחת מהאפקטים הקשורים בגלים שניתנים לתיאור באמצעות התאוריה. יותר מכך, בעזרת קירוב WKBJ, התהליכים של החפת גלים (wave shoaling) ושבירה (שינוי כיוון ההתקדמות שלהם) שלהם ניתנים לתיאור. תאוריית הגלים של איירי היא תאוריה ליניארית להתקדמות של גלים על השפה של זרימה פוטנציאלית ומעל קרקעית אופקית. ההנחה היא שגובה המשטח שמייצג את הגל (η(x,t הוא סינוסואידי בתלות במיקום האופקי x ובזמן t: η ( x , t ) = a cos ( k x − ω t ) {\displaystyle \eta (x,t)\,=\,a\,\cos \,\left(kx\,-\,\omega t\right)} כאשר: a הוא אמפליטודת הגל. k הוא מספר הגל הזוויתי, הקשור מתמטית באורך הגל λ לפי: k = 2 π λ , {\displaystyle k\,=\,{\frac {2\pi }{\lambda }},\,} . ω היא התדירות הזוויתית, הקשורה לזמן המחזור T ולתדירות f בקשר: c p = ω k = λ T . {\displaystyle c_{p}\,=\,{\frac {\omega }{k}}\,=\,{\frac {\lambda }{T}}.} . מספר הגל הזוויתי k והתדירות ω אינם פרמטרים בלתי תלויים, אלא שהם מצומדים (וכך גם אורך הגל λ וזמן המחזור T אינם בלתי תלויים). גלי כבידה בזורם הם דיספרסיביים - לכל מספר גל יש מהירות התקדמות משלו. שימו לב שבהנדסה נעשה שימוש לעיתים קרובות בגודל אחר - גובה הגל H - ולא באמפליטודת הגל a. גובה הגל H מוגדר כהפרש המפלסים בין שיא ושפל עוקבים של הגל: H = 2 a and a = 1 2 H , {\displaystyle H\,=\,2\,a\qquad {\text{and}}\qquad a\,=\,{\frac {1}{2}}\,H,} . מתחת לפני המים, ישנה תנועה שלהן המקושרת לתנועת פני השטח החופשיים. בעוד שפני המים מראים גל מתקדם, אלמנטי הזורם הם למעשה בתנועה מסלולית. במסגרת התאוריה של איירי, המסלולים הם עקומים סגורים: מעגלים מושלמים על פני המים ובמים עמוקים (כלומר רק כאשר שני התנאים הללו מתקיימים), ואליפסות בעומק סופי - כאשר האליפסות נעשות "שטוחות" עוד יותר ליד הקרקעית של שכבת הזורם. כלומר, כאשר הגל מתקדם, אלמנטי הזורם פשוט מתנודדים מסביב למיקום הממוצע שלהם. במהלך תנועת הגל המתקדם, אלמנטי הזורם מעבירים אנרגיה בכיוון התקדמות הגל, מבלי שתהיה להם מהירות ממוצעת. הקוטר של המסלולים יורד עם העומק מתחת לפני המים; במים עמוקים, הקוטר של המסלול יורד ל-4% מערכו על פני המים בעומק ששווה לחצי מאורך הגל של הגל. באופן כללי ניתן לומר שככל ששדה הזרימה מתחת לגל משתנה לאט יותר בכיוון האופקי, כך הוא משתנה לאט יותר גם בכיוון האנכי; היינו, באורכי גל ארוכים יותר שדה הזרימה הגלי "חודר" לעומק רב יותר, ודעיכת המסלולים עם העומק חלשה יותר. כהמחשה לכך ניתן להסתכל במקטע הזרימה שבסמוך לשפל. בשפל, היכן שהמים נסוגים לאחור כדי לבנות את "ערימת" המים של השיא, מהירות הזרימה האנכית היא אפס. קרוב אל השפל, מהירות הזורם מקבלת רכיב אנכי, ואילו הרכיב האופקי של המהירות קטן. ניתן להסיק שככל שאורך הגל גדול יותר, השינויים הללו קטנים יותר, ומשוואת הרציפות מאפשרת להחיל את ההסקה הלוגית הזאת הן לגבי השינויים האופקיים והן לגבי השינויים האנכיים, וזאת לכל תחום הזורם. קשר זה בין קנה המידה של ההתנהגות האופקית של הזרימה לזו האנכית, הוא המקור להבחנה בין גלי מים עמוקים לגלי מים רדודים. באופן דומה, ישנן גם אוסצילציות בלחץ מתחת לפני המים, כאשר השינויים בלחץ שמשרים הגלים יורדים עם העומק מתחת לפני המים - באותו האופן שבו המסלולים דועכים עם העומק. הגלים מתקדמים בכיוון האופקי, שנזהה אותו עם הקואורדינטה x, ותחום הזורם חסום מלמעלה על ידי משטח חופשי (z = η(x,t, כאשר z היא הקואורדינטה האנכית (שהיא חיובית בכיוון למעלה) ו-t הוא הזמן. המפלס z = 0 מתאים לגובה הממוצע של פני הזורם. הקרקעית שמתחת לשכבת הזורם היא בגובה z = -h. בנוסף, נניח כי הזרימה היא אי-דחיסה (צפיפות הזורם קבועה) ואי-רוטציונית - קירוב טוב של הזרימה בתחום הזורם בעבור גלים על משטח נוזלי - ועל כן ניתן להשתמש בזרימה פוטנציאלית כדי לתאר את המהירות. פוטנציאל המהירות (Φ(x,z,t קשור לרכיבים של מהירות הזרימה ux ו-uz בכיוון האופקי (x) והאנכי (z) על ידי: u x = ∂ Φ ∂ x and u z = ∂ Φ ∂ z . {\displaystyle u_{x}\,=\,{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}\quad {\text{and}}\quad u_{z}\,=\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}.} אודות למשוואת הרציפות בעבור זרימה אי-דחיסה, הפוטנציאל Φ חייב לקיים את משוואת לפלס: ( 1 ) ∂ 2 Φ ∂ x 2 + ∂ 2 Φ ∂ z 2 = 0. {\displaystyle (1)\qquad {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}\,=\,0.} כעת, נדרשים תנאי שפה על הקרקעית ועל פני המים כדי לסגור את מערכת המשוואות. לצורך ניסוח בעיית הזרימה במסגרת התאוריה הליניארית, הכרחי להגדיר את הבסיס של הזרימה. בסיס זה מסופק על ידי ההנחה שמהירות הזרימה האנכית uz מתאפסת על הקרקעית, שכן סמוך לקרקעית לא יכולה להיות תנועה אנכית. הקרקעית היא בגובה z = -h, מה שמוביל לתנאי השפה הקינמטי על הקרקעית: ( 2 ) ∂ Φ ∂ z = 0  at  z = − h . {\displaystyle (2)\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\,=\,0\quad {\text{ at }}z\,=\,-h.} תנאי קינמטי נוסף, על הזרימה בסמוך לפני המים, נובע מכך שאלמנט זורם שהיה בתחילה בסמוך לפני המים נשאר סמוך לפני המים, ובפרט, אלמנט זורם שהיה על השפה נשאר על השפה. הנחה זו היא מסקנה ישירה מההנחה שהזרימה נטולת-ערבוליות, שכן אילו היו "חילופי מקומות" בין אלמנט זורם שפתי לאלמנט זורם פנימי, אז התמונה ההידרודינמית הייתה שקולה למצב בו נוצרים תאי ערבול בתחום הזורם - מצב לא סביר מבחינה פיזיקלית שכן תאי ערבול יאבדו מהר את האנרגיה שלהם עקב השפעות הצמיגות. על מנת שאלמנט זורם יישאר על השפה, התנאי הבא צריך להתקיים: u z = ∂ η ∂ t   + u x ∂ η ∂ x {\displaystyle u_{z}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}\ +u_{x}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} כיוון שההנחה המרכזית של התאוריה היא שהגלים הם בעלי יחס נמוך של האמפליטודה לאורך הגל, ולפיכך בעלי שיפוע נמוך, האיבר השני של אגף ימין זניח, ולפיכך התנועה האנכית של הזורם חייבת להיות שווה למהירות האנכית של המשטח החופשי. זה מוביל לתנאי השפה הקינמטי על פני המים: ( 3 ) ∂ η ∂ t = ∂ Φ ∂ z  at  z = η ( x , t ) . {\displaystyle (3)\qquad {\frac {\partial \eta }{\partial t}}\,=\,{\frac {\partial \Phi }{\partial z}}\quad {\text{ at }}z\,=\,\eta (x,t).} אם פני המשטח (η(x,t היו פונקציה ידועה, זה היה מספיק כדי לפתור את בעיית הזרימה. אולם, פני המשטח הם פונקציה לא ידועה (הצורה שלהן ידועה, אולם קצב ההתקדמות שלה בזמן אינו ידוע), ולכן נחוץ תנאי שפה נוסף. את זה מספקת משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה. מניחים כי הלחץ מעל פני המים קבוע ושווה ללחץ האטמוספירי; הלחץ הקבוע הזה נלקח כשווה לאפס, מכיוון שגודל הלחץ הקבוע הזה לא משפיע על הזרימה. מכאן נקבל: ∂ Φ ∂ t + 1 2 ( u x 2 + u z 2 ) + g η = 0  at  z = η ( x , t ) . {\displaystyle \qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\,+{\frac {1}{2}}(u_{x}^{2}+u_{z}^{2})+\,g\,\eta \,=\,0\quad {\text{ at }}z\,=\,\eta (x,t).} . במשוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה מופיעים איבר האנרגיה הפוטנציאלית g η {\displaystyle g\eta } , איבר האנרגיה הקינטית (ריבוע המהירות) והנגזרת הזמנית של פונקציית הפוטנציאל. כיוון שאלמנטי הזורם על השפה נעים בתנועה מעגלית במהירות קבועה, הגודל 1 2 ( u x 2 + u z 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(u_{x}^{2}+u_{z}^{2})} גם הוא קבוע (הצדקה מפורטת יותר להזנחת איבר ריבוע המהירות מופיעה משמאל), לכן מקבלים את התנאי הרביעי: ( 4 ) ∂ Φ ∂ t + g η = 0  at  z = η ( x , t ) . {\displaystyle (4)\qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\,+\,g\,\eta \,=\,0\quad {\text{ at }}z\,=\,\eta (x,t).} כדי לתאר את תנועת הזורם מתחת לגל מספיק לפתור את ארבע המשוואות הדיפרנציאליות האלה. בעבור גל מתקדם בעלת תדירות יחידה - גל מונוכרומטי - פני המים הם מהצורה: η = a cos ( k x − ω t ) . {\displaystyle \eta \,=\,a\,\cos \,(kx\,-\,\omega t).} פוטנציאל הזרימה שמקיים את משוואת לפלס (1) בתחום הזורם, כמו גם את תנאי השפה הקינמטיים על הקרקעית (2) ועל פני המים (3), הוא מהצורה: Φ = ω k a cosh ( k ( z + h ) ) sinh ( k h ) sin ( k x − ω t ) , {\displaystyle \Phi \,=\,{\frac {\omega }{k}}\,a\,{\frac {\cosh \,{\bigl (}k\,(z+h){\bigr )}}{\sinh \,(k\,h)}}\,\sin \,(kx\,-\,\omega t),} כאשר sinh ו-cosh הם פונקציות היפרבוליות. אולם η ו-Φ חייבים גם לקיים את תנאי השפה הדינמי, מה שמביא ליחס נפיצה לא ליניארי: ω 2 = g k tanh ( k h ) , {\displaystyle \omega ^{2}\,=\,g\,k\,\tanh \,(kh),} ניתוח של הנגזרות החלקיות של פונקציית הפוטנציאל (הרכיבים השונים של מהירות האלמנט) נותן את ערכי המהירות האופקית והאנכית של אלמנטי הזורם: u x = a ω c o s h ( k ( h + z ) ) s i n h ( k h ) c o s ( k x − ω t ) {\displaystyle u_{x}=a\omega {\frac {cosh(k(h+z))}{sinh(kh)}}cos(kx-\omega t)} u z = − a ω s i n h ( k ( h + z ) ) s i n h ( k h ) s i n ( k x − ω t ) {\displaystyle u_{z}=-a\omega {\frac {sinh(k(h+z))}{sinh(kh)}}sin(kx-\omega t)} וניתן להסיק ממהירויות אלה את ערכי ההסטה האופקית המרבית A וההסטה האנכית המרבית B של אלמנט זורם במהלך תנועת הגל: A = a c o s h ( k ( h + z ) ) s i n h ( k h ) {\displaystyle A=a{\frac {cosh(k(h+z))}{sinh(kh)}}} B = a s i n h ( k ( h + z ) ) s i n h ( k h ) {\displaystyle B=a{\frac {sinh(k(h+z))}{sinh(kh)}}} בנוסף, הצבת הקשר בין התדירות הזוויתית למספר הגל (יחס הנפיצה) מאפשרת לקבל את משוואת המסלול של אלמנט זורם: x 2 A 2 + y 2 B 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{A^{2}}}+{\frac {y^{2}}{B^{2}}}=1} משוואה זו מייצגת אליפסה עם חצי ציר ראשי A וחצי ציר משני B. כלומר, אלמנטי הזורם נעים במסלולים אליפטיים סגורים. במים עמוקים, כלומר בגבול שבו עומק המים שואף לאינסוף, A = B כאשר 0 = z. תוצאה זאת עקבית עם ההנחה בפיתוח שאלמנטי הזורם על פני המים נעים במסלולים מעגליים במהירות קבועה (המהירות הקבועה היא u = a ω {\displaystyle u=a\omega } ), או לכל הפחות במהירות כמעט קבועה (בעבור יחס לא נמוך מאוד של אורך הגל לעומק המים). שימו לב שגם כאשר יורדים משמעותית בעומק, בגבול של מים עמוקים המסלולים נשמרים מעגליים בקירוב גם בעומק רב; האליפטיות של מסלולי האלמנטים מובחנת רק כאשר עומק המים הוא בר-השוואה לאורך הגל. נהוג לשייך את הגלים לשלוש קטגוריות: גלים במים עמוקים, גלים במים רדודים וגלים בעומק ביניים. גלים שמקיימים שהיחס בין אורך הגל שלהם לעומק המים המקומי נמוך מאוד ייקראו גלי מים עמוקים (קריטריון כמותי מקורב לכך הוא כאשר h > ½ λ), גלים שאורך הגל שלהם גדול משמעותית מעומק המים המקומי ייקראו גלי מים רדודים (קריטריון כמותי מקורב לכך הוא כאשר h < 0.05 λ), ואילו גלים לגביהם מתקיים אחרת ייקראו גלי ביניים. עבור גלים בתחום הביניים התנהגות מהירות המופע של גל בעבור עומק נתון נשלטת על ידי k (מספר הגל) והטנגנס ההיפרבולי שביחס הנפיצה, כלומר היא מושפעת הן מאורך הגל והן מהעומק, בשונה מגלים בתחומים האחרים, שכן, כפי שניווכח מיד, מהירות גלי מים עמוקים מושפעת רק מאורך הגל ולא מהעומק, ואילו ההפך הוא הנכון עבור גלי מים רדודים. נתייחס כעת לשני מקרי הקצה - גלי מים עמוקים וגלי מים רדודים. במים עמוקים המכפלה k h {\displaystyle kh} שואפת לאינסוף (שכן k קשור בהופכי של אורך הגל), לכן הטנגנס ההיפרבולי הופך שווה ל-1 ומקבלים שמהירות הגל לא מושפעת בכלל מעומק המים, אלא רק ממספר הגל. במקרה זה נקבל: ω 2 = g k tanh ( k h ) = g k {\displaystyle \omega ^{2}\,=\,g\,k\,\tanh \,(kh)=gk} , ולפיכך מהירות המופע היא: ω k = g k = g λ 2 π {\displaystyle {\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}}={\sqrt {\frac {g\lambda }{2\pi }}}} . במים רדודים לעומת זאת, המכפלה k h {\displaystyle kh} שואפת לאפס, לפיכך הטנגנס ההיפרבולי שווה ל-kh, והביטוי למהירות המופע של גל הוא: ω k = g k h k = g h {\displaystyle {\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {gkh}{k}}}={\sqrt {gh}}} כלומר מספר הגל מצטמצם - מהירות הגל לא תלויה בכלל באורך הגל אלא רק בעומק המים. נוסחה זאת היא למעשה מהירות התקדמות גל צונאמי באוקיינוס הפתוח. ראוי להבחין כי המהירות הנצפית של גלי מים אינה בהכרח זאת, שכן גל לעולם אינו מופיע בצורתו הסינוסואידית הטהורה - אלא שמופיעות דווקא חבילות גלים בתחום תדרים צר סביב תדר מסוים. לפיכך נכון יותר להשתמש במהירות החבורה כדי לחזות את מהירות הגלים. מהירות החבורה, שמתקבלת מגזירת יחס הנפיצה, היא: d ω / d k = 1 2 c p ( 1 + 2 k h sinh ⁡ ( 2 k h ) ) {\displaystyle d\omega /dk={\frac {1}{2}}c_{p}\left(1+{\frac {2kh}{\sinh \left(2kh\right)}}\right)} , כאשר c p {\displaystyle c_{p}} היא מהירות המופע. בגבול של מים עמוקים (kh שואף לאינסוף) נקבל שמהירות החבורה היא רק חצי ממהירות המופע: c g = 1 / 2 c p = g λ 8 π {\displaystyle c_{g}=1/2c_{p}={\sqrt {\frac {g\lambda }{8\pi }}}} . לעומת זאת, במקרה של מים רדודים נקבל שמהירות החבורה שווה למהירות המופע. באיור משמאל מופיעים גרפים שמסכמים את התנהגות הגלים (מהירות המופע ומהירות החבורה) בתלות ביחס h / λ {\displaystyle h/\lambda } . כתוצאה מחלוף הגל, ישנם אוסצילציות בלחץ הסטטי שחווה עצם בעומק מסוים מתחת למפלס z = 0. ניתן להעריך את הלחץ הסטטי בעומק z כפונקציה של הזמן בעזרת שימוש בשנית במשוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית בלתי יציבה - אלא שהפעם מיישמים אותה לפנים הזורם ולא לשפה (בה הלחץ קבוע ושווה ללחץ האטמוספירי). תחת ההנחה של מים עמוקים, ניתן להניח כי כל המסלולים של אלמנטי הזורם להם רדיוס משמעותי (מספר אחוזים מרדיוס התנועה בפני המים) הם בקירוב טוב מעגליים, כאשר התנועה לאורך המעגל היא במהירות קבועה. הדבר מאפשר לפשט משמעותית את משוואת ברנולי המתאימה, שכן כאשר מיישמים את המשוואה לקו זרם מסוים, איבר ריבוע המהירות הופך קבוע ובלתי משפיע על הלחץ. כעת נרשום שוב את משוואת ברנולי: ∂ Φ ∂ t + P ρ + g η = 0 {\displaystyle \qquad {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\,+{\frac {P}{\rho }}+\,g\,\eta \,=\,0} הצבה של פונקציית הפוטנציאל שנגזרה קודם במשוואה הזאת מניבה את התוצאה: P ρ = g c o s h ( k ( z + h ) ) c o s h ( k h ) a c o s ( k x − ω t ) − g z = g c o s h ( k ( z + h ) ) c o s h ( k h ) η ( x , t ) − g z {\displaystyle {\frac {P}{\rho }}={\frac {gcosh(k(z+h))}{cosh(kh)}}acos(kx-\omega t)-gz={\frac {gcosh(k(z+h))}{cosh(kh)}}\eta (x,t)-gz} שינוי צורה של המשוואה נותן: P ρ g = K p η − z {\displaystyle {\frac {P}{\rho g}}=K_{p}\eta -z} , כאשר K p = c o s h ( k ( z + h ) ) c o s h ( k h ) {\displaystyle K_{p}={\frac {cosh(k(z+h))}{cosh(kh)}}} הוא קבוע שתלוי רק בעומק. הקבוע K p {\displaystyle K_{p}} נקרא פקטור שינוי הלחץ. המשוואה האחרונה ללחץ מייצגת תנודות סינוסואידיות של הלחץ בעומק z מסביב ללחץ ההידרוסטטי הטבעי והממוצע בעומק z (היינו ρ g z {\displaystyle \rho gz} ). הערך של K p {\displaystyle K_{p}} יורד כמעט מעריכית עם העומק, ופירוש הדבר הוא שתנודות הלחץ המקושרות למעבר של גל מים יורדות עם העומק, עד שבעומק מסוים כבר לא ניתן להבחין בשינויים בלחץ. החישוב נעשה עבור המקרה של מים עמוקים; במים רדודים לא ניתן עוד להזניח את האקסצנטריות של המסלולים האליפטיים, והביטוי המתקבל לשינויים המחזוריים בלחץ מעט סבוך יותר. האנרגיה של גלי מים היא גודל בעל חשיבות ראשונה במעלה ליישומים טכנולוגיים כמו הפקת אנרגיה הידרואלקטרית, וזהו הגודל המרכזי שמעבירות רכבות גלים באוקיינוס. כפי שהודגם מקודם, גדלים רבים המקושרים לגלים כמו התרוממות פני המים והמהירות המסלולית של האלמנטים, הם תנודתיים בטבעם עם ממוצע אפס (במסגרת התאוריה הליניארית). בגלי מים, הגודל האנרגטי שנעשה בו שימוש רב ביותר הוא צפיפות האנרגיה הממוצעת ליחידת שטח של הגל. זהו הסכום של האנרגיה הקינטית והפוטנציאלית, המסוכמות לכל העומק של שכבת הזורם וממוצעות במהלך מחזור אחד של גל. הגודל הפשוט יותר לחישוב הוא האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת ליחידת שטח Epot של גלי כבידה בזורם, שהיא הסטייה של האנרגיה הפוטנציאלית מהמצב היציב (כאשר פני המים אחידים בגובהם) אודות לקיום הגלים: E pot = ∫ − h η ρ g z d z ¯ − ∫ − h 0 ρ g z d z = 1 2 ρ g η 2 ¯ = 1 4 ρ g a 2 , {\displaystyle E_{\text{pot}}\,=\,{\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \,g\,z\;{\text{d}}z}}\,-\,\int _{-h}^{0}\rho \,g\,z\;{\text{d}}z\,=\,{\overline {{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,\eta ^{2}}}\,=\,{\frac {1}{4}}\,\rho \,g\,a^{2},} כאשר המעבר האחרון נובע מהעובדה שהממוצע של s i n 2 ( θ ) {\displaystyle sin^{2}(\theta )} על פני מחזור אחד הוא 1/2. האנרגיה הקינטית הממוצעת ליחידת שטח Ekin מחושבת באופן דומה על ידי אינטגרציה על כל הערכים של z (העומקים השונים) ואז מיצוע של תוצאת האינטגרציה על פני מחזור של הגל: E kin = ∫ − h 0 1 2 ρ [ u x 2 + u z 2 ] d z ¯ = 1 4 ρ ω 2 k tanh ( k h ) a 2 , {\displaystyle E_{\text{kin}}\,=\,{\overline {\int _{-h}^{0}{\frac {1}{2}}\,\rho \,\left[\,{\boldsymbol {u}}_{x}^{2}\,+\,u_{z}^{2}\,\right]\;{\text{d}}z}}\,=\,{\frac {1}{4}}\,\rho \,{\frac {\omega ^{2}}{k\,\tanh \,(k\,h)}}\,a^{2},} כאשר ω {\displaystyle \omega } היא התדירות הזוויתית. בעזרת שימוש ביחס הנפיצה, נקבל שהתוצאה לאנרגיה הקינטית הממוצעת היא: E kin = 1 4 ρ g a 2 . {\displaystyle E_{\text{kin}}\,=\,{\frac {1}{4}}\,\rho \,g\,a^{2}.} כפי שניתן לראות, צפיפות האנרגיה הקינטית הממוצעת שווה לצפיפות האנרגיה הפוטנציאלית הממוצעת. זוהי תכונה כללית של צפיפויות אנרגיה של גלים ליניאריים מתקדמים במערכת משמרת. צפיפות האנרגיה הממוצעת ליחידת שטח של הגל היא: E = E pot + E kin = 1 2 ρ g a 2 . {\displaystyle E\,=\,E_{\text{pot}}\,+\,E_{\text{kin}}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,g\,a^{2}.} קצב זרימת האנרגיה דרך חתך ניצב לכיוון התקדמות הגל שווה למכפלת צפיפות האנרגיה הכוללת במהירות הגל וברוחב הגל L (רוחב הגל אינו אורך הגל). כלומר: J = d E d t = L ⋅ ω k ⋅ 1 2 ρ g a 2 {\displaystyle J={\frac {dE}{dt}}=L\cdot {\frac {\omega }{k}}\cdot {\frac {1}{2}}\rho ga^{2}} וכאשר מדובר בחבילת גלים יש להחליף את מהירות המופע במהירות החבורה. בנוסף, משימור שטף האנרגיה של חזיתות גלים ניתן לקבל תוצאה חשובה נוספת (חוק גרין) על שינוי האמפליטודה של גלי מים רדודים: a ∝ h − 1 4 L − 1 2 {\displaystyle a\propto h^{-{\frac {1}{4}}}L^{-{\frac {1}{2}}}} . כאשר h הוא עומק המים המקומי. תוצאה זאת מתארת היטב את הגידול העצום בגובה של גלי צונאמי עם הגעתם לחופים. יותר מכך, על סמך ידיעת תוואי הקרקעית, הקשר שהחוק מתאר בין רוחב חזית הגל לאמפליטודה שלו מאפשר לנבא באילו אזורים צפויים הגלים להתחזק מעבר לממוצע, שכן תוואי הקרקעית הוא שמכתיב את התעקמות הקרניים המייצגות את חזיתות הגלים (התעקמות הקרניים נשלטת על ידי העקיפה והשבירה של הגלים). ניתן ליישם את עקרונות התאוריה הליניארית של איירי גם כדי להשיג קירוב טוב של אפקטים לא ליניאריים הקשורים בגלי ים. למשל, ניתן להיעזר בפתרון היסודי של איירי כדי לקבל אומדן לסחיפת סטוקס (Stokes drift) - תופעה בה המהירות האופקית הממוצעת של אלמנט מים שונה מאפס, כך שמתקבלים מסלולים פתוחים ונוצרת "סחיפה" של אלמנטי הזורם בזמן - מעבר מים נטו בכיוון התקדמות הגל. למעשה, מה שמבדיל את תאוריית הגלים של סטוקס מתאוריית הגלים של איירי הוא התחשבות בשיפוע הלא זניח של הגל. בפיתוח התאוריה של איירי, הזנחנו את שיפוע הגל בקבלת התנאי הקינמטי השלישי (על מהירות אלמנט זורם בסמוך לפני המים), ובחלק זה נבצע אנליזה כללית ומדויקת יותר בגבול של מים עמוקים. התופעה של סחיפת סטוקס בגלים אינה מיוחדת רק לגלי מים, אף כי במקור ג'ורג' גבריאל סטוקס גילה אותה ב-1847 במחקרו המתמטי המעמיק על גלי ים לא ליניארים. בגלי קול קיימת תופעה דומה של סחיפה כאשר מניחים שאמפליטודת הלחץ של הקול אינה זניחה ביחס ללחץ האטמוספירי - או לחלופין שמהירות אלמנטי האוויר אינה זניחה ביחס למהירות הקול; גם אם המהירות הממוצעת של שדה המהירות בנקודה כלשהי היא אפס, המסלול של חלקיק הנע בכל נקודה במהירות הזרימה המקומית לא יהיה בהכרח חסום. במובן זה, אפקט הסחיפה של חלקיק נגזר מן ההבדל בין התיאור הלגראנז'י והאוילרי של שדה הזרימה. קל להבין זאת כאשר לוקחים שני מקרי קיצון - הראשון כאשר אמפליטודת המהירות בנקודה (x,t) אפסית והשני כאשר אמפליטודת המהירות שווה למהירות הקול. במקרה הראשון נקבל שהאלמנט מתנודד הרמונית מסביב לנקודת שיווי המשקל שלו, ואילו במקרה השני נקבל שהחלקיק מתקדם במהירות הגל הנושא של שדה הזרימה - כך שמבחינתו הגל נייח - ולכן מהירותו לא צריכה להשתנות כלל, אלא שהיא עומדת על ערך קבוע ששווה למהירות הסחיפה. כלומר, כאשר החלקיק נע בכיוון התקדמות הגל מהירותו משתנה לאט יותר מאשר כאשר הוא נע בניגוד לתנועת הגל, והיא יורדת בקצב שתלוי במהירות היחסית בינו לבין הגל. כיוון שכך, החלקיק שוהה זמן רב יותר בתנועה עם הגל מאשר בתנועה בניגוד לכיוון הגל. הדבר מאפשר לו לגמוע מרחק רב יותר בהתקדמות עם הגל לעומת המרחק שהוא חוזר אחורנית כאשר הוא נע בניגוד אליו. התוצאה של האסימטריה הזאת היא התקדמות נטו של החלקיק בכיוון האופקי בכל מחזור גלי. בדומה לכך, כאשר מניחים כי המהירות האופקית המרבית של אלמנטי זורם בסמוך לפני השטח של גל מים אינה זניחה ביחס למהירות המופע של הגל, מתקבלת סחיפת מים נטו בכיוון התקדמות הגל. התנאי האחרון שקול להנחה ששיפוע הגל אינו זניח, כי: ω ⋅ a ω / k = k a {\displaystyle {\frac {\omega \cdot a}{\omega /k}}=ka} ו-ka הוא הפקטור שאחראי לתלילות הגל. במאמרו מ-1847 סטוקס גזר ביטוי למהירות האופקית של אלמנט זורם על פני המים כפונקציה של הזמן, והראה שהוא מכיל איבר בעל ממוצע זמני שונה מאפס, שהוא (ערך הממוצע): k ω a 2 {\displaystyle k\omega a^{2}} , וזהו איבר הסחיפה. איבר הסחיפה הזה, שיחסי לאמפליטודה של הגל בריבוע, נקרא מהירות הסחיפה. סטוקס הראה גם שהסחיפה בעומק שרירותי z היא : u ¯ S = 1 2 ω k a 2 cosh 2 k ( z + h ) sinh 2 ( k h ) {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {u}}}_{S}\,=\,{\frac {1}{2}}\,\omega \,k\,a^{2}\,{\frac {\cosh \,2\,k\,(z+h)}{\sinh ^{2}\,(k\,h)}}\,} . כלומר הדעיכה של אפקט הסחיפה עם העומק היא יותר חזקה מאשר הדעיכה של המהירות האופקית עם העומק; מהירות הסחיפה דועכת בקירוב לפי e − 2 k z {\displaystyle e^{-2kz}} בעוד מהירות האלמנטים יורדת לפי e − k z {\displaystyle e^{-kz}} . אפקט נוסף שקשור לרעיונות מאחורי הפיתוח הזה קשור בהבדל בזמן המחזור של הגל שחווה אלמנט זורם בסמוך לפני המים לעומת זמן המחזור של הגל מנקודת מבט אוילרית. זמן המחזור של הגל שיחווה אלמנט זורם יהיה ארוך יותר מהמחזור שימדוד צופה חיצוני. אפקט זה הוא אודות לתוצא דופלר. שבירת גלים, התופעה בה הגל הופך לא יציב במידה כזאת שהוא כבר לא יכול לתמוך בעצמו, היא תופעה אי-ליניארית ביותר, אך עם זאת קיימים לה מספר מודלים פשוטים יחסית, שניתנים להבנה אפילו בהקשר של תאוריית איירי. בחלק זה נציג באופן חלקי תהליך אנליטי שתואר לראשונה על ידי סטוקס במאמר מ-1880, אשר אפשר לו להסיק שגלים במים עמוקים נשברים כאשר צורתם הופכת מחודדת עם זווית חוד ששווה ל-120 מעלות. תנאי השבירה של גל הוא כאשר מהירות הזורם בשיא שלו הופכת שווה למהירות התקדמות הגל עצמו; במצב כזה שינוי קל במהירות הזורם בשיא גורם למים בשיא לגלוש אל מעבר לגל, והגל בכללותו כמבנה יציב קורס. נרשום זאת בשפה מתמטית: u c r e s t = c {\displaystyle u_{crest}=c} . כעת נעבור למערכת הייחוס של הגל נע; נתייחס לתנועה במערכת קואורדינטות גליליות שנעה אופקית במהירות c ושראשיתה בנקודת החוד, ונסיק את זווית החוד α m a x {\displaystyle \alpha _{max}} . כיוון שתנאי השבירה גורס שמהירות הזורם בנקודת החוד שווה למהירות הגל, נקבל שבמערכת הקואורדינטות החדשה מהירות הזורם בראשית היא אפס. כעת נרשום את משוואת לפלס לפונקציית פוטנציאל המהירות בקואורדינטות גליליות: ∂ 2 Φ ∂ R 2 + 1 R ∂ Φ ∂ R + 1 R 2 ∂ 2 Φ ∂ α 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial R^{2}}}+{\frac {1}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}+{\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \alpha ^{2}}}=0} כאן Φ {\displaystyle \Phi } היא פוטנציאל המהירות, R {\displaystyle R} הוא הרדיוס (המרחק מהחוד) ו- α {\displaystyle \alpha } היא הזווית. הפתרון למשוואת לפלס מוכרח להיות מהצורה: Φ = C n R n s i n ( n α ) {\displaystyle \Phi =C_{n}R^{n}sin(n\alpha )} , ורכיבי המהירות הרדיאלית והמשיקית המתקבלים הם: v R = ∂ Φ ∂ R = C n n R n − 1 s i n ( n α ) {\displaystyle v_{R}={\frac {\partial \Phi }{\partial R}}=C_{n}nR^{n-1}sin(n\alpha )} ו-: v α = 1 R ∂ Φ ∂ R = C n n R n − 1 c o s ( n α ) {\displaystyle v_{\alpha }={\frac {1}{R}}{\frac {\partial \Phi }{\partial R}}=C_{n}nR^{n-1}cos(n\alpha )} . לכן נקבל שערך המהירות הכוללת הוא: V = v R 2 + v α 2 = C n n R n − 1 {\displaystyle V={\sqrt {v_{R}^{2}+v_{\alpha }^{2}}}=C_{n}nR^{n-1}} . כיוון שאנו עובדים במערכת ייחוס בה הזרימה תמידית (אנו נעים במהירות הגל), גם איבר הלחץ על השפה קבוע וגם איבר הנגזרת הזמנית של פונקציית הפוטנציאל קבוע (ושווה לאפס). כיוון שכך, משוואת ברנולי מתארת כעת תחלופה בין אנרגיה פוטנציאלית לאנרגיה קינטית, ומקבלת את הצורה הבאה: g η + 1 2 V 2 = c 2 2 {\displaystyle g\eta +{\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {c^{2}}{2}}} . פרופיל הגל בסמוך לחוד ניתן לתיאור על ידי המשוואה הליניארית: η = η m a x − R c o s ( α m a x ) = c 2 2 g − R c o s ( α m a x ) {\displaystyle \eta =\eta _{max}-Rcos(\alpha _{max})={\frac {c^{2}}{2g}}-Rcos(\alpha _{max})} אם נעזר בפתרון משוואת לפלס, בנוסחה לפרופיל הגל בסמוך לחוד, ובמשוואת ברנולי, נקבל את התוצאה הבאה: − g R c o s ( α m a x ) + 1 2 C n 2 n 2 R 2 ( n − 1 ) = 0 {\displaystyle -gRcos(\alpha _{max})+{\frac {1}{2}}C_{n}^{2}n^{2}R^{2(n-1)}=0} . תוצאה זאת עקבית רק כאשר n = 3 2 {\displaystyle n={\frac {3}{2}}} . כיוון שרכיב המהירות המשיקית חייב להתאפס על השפה, נקבל גם: c o s ( 3 α m a x 2 ) = 0 → α m a x = π 3 {\displaystyle cos({\frac {3\alpha _{max}}{2}})=0\rightarrow \alpha _{max}={\frac {\pi }{3}}} . כלומר כאשר מחצית זווית החוד שווה ל-60 מעלות (או כאשר זווית החוד שווה ל-120 מעלות) הגל נשבר. במאמרו מ-1880 סטוקס תיאר גם מתווה לקבלת התלילות המרבית האפשרית של גל (לפני שהוא נשבר) במים עמוקים, אולם קבלת פתרון נומרי מדויק למשוואות שלו נעשתה לראשונה רק ב-1893 על ידי John Henry Michell, שמצא שהתלילות המרבית האפשרית של גל באוקיינוס (שמעליה גלים לא יכולים להתקיים) היא: 1=H / λ ≈ 0.1412, או כאשר גובה הגל הוא בערך שביעית (1/7) מאורך הגל λ. במים רדודים, בהם עומק המים קטן בהשוואה לאורך הגל, גלים נשברים כאשר גובה הגל H גדול מ-0.8 פעמים עומק המים המקומי h, או H > 0.8 h. Wind Generated Ocean Waves, I.R. Young גל (מים) התאוריה מכונה תאוריה ליניארית משום שאין בה תלות של מהירות התקדמות הגל באמפליטודה שלו; מהירות הגל תלויה באורך הגל ובעומק המים בלבד. תכונה זו שקולה לכך שמהירויות אלמנטי הזורם יחסיות לאמפליטודה של הגל; בכך תאוריית איירי שונה מתאוריות גלים אחרות, כמו גלי סטוקס וסוליטונים. THE ORIGINS OF WATER WAVE THEORY התנאי הקינמטי הזה הוא מה שמבדיל בין תאוריה זאת לתאוריות גלים לא ליניאריות מתקדמות יותר (למשל, התאוריה של סטוקס); שם לוקחים בחשבון את התלילות הסופית של הגל ומתחשבים באפקטים מסדרים גבוהים יותר - בין היתר בתאוריות לא ליניאריות יכולים להתקבל מסלולים פתוחים של אלמנטי הזורם. במים עמוקים, ניתן להפוך את המשוואה למשוואת ברנולי היציבה כאשר עוברים למערכת הייחוס של הגל. זאת דרך חלופית לפתח את יחס הנפיצה, ומגיעים דרכה לאותה תוצאה. בדרך זאת אסור כמובן להזניח את ריבוע המהירות של אלמנט זורם שפתי, שכן במעבר למערכת הייחוס של הגל הוא קיבל תוספת מהירות (אחורנית) ששווה למהירות הגל, כך שמהירותו אינה זניחה וכך גם השינוי בריבוע המהירות שלו. הקביעה הראשונה של פתרונות למשוואת לפלס כמכפלה של אקספוננטים עם סינוסים או קוסינוסים היא אודות לאוילר (1757), אך עבודתו זו נעשתה בהקשר של תורת הפוטנציאל ולא של גלים מכניים. ההנחה שתחום התדרים הוא צר היא חיונית כדי שצורת הגל לא תשתנה בזמן, וכדי שמהירות חבילת הגלים תהיה מוגדרת היטב. אם תחום התדרים רחב אז מקבלים אפקט של מהירויות חבורה שונות של תת-תחומים של תחום התדרים, והתרחבות (נפיצה) של הגל בזמן. תנאי זה אנלוגי במידה מסוימת לתנאי היווצרות גל הלם בזורם; כאשר מהירות הזורם בנקודה עולה על מהירות הקול המקומית נוצרת חזית הלם מתקדמת.