קואורדינטות קנוניות

במכניקה אנליטית, קואורדינטות קנוניות הן סט של 2 n {\displaystyle 2n} משתנים בלתי תלויים { Q i , P i } i = 1 n {\displaystyle \{Q_{i},P_{i}\}_{i=1}^{n}} המתארים את המערכת במרחב הפאזה, ומקיימים את משוואות המילטון ביחס לפונקציית המילטוניאן K ( Q , P , t ) {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)} . בהינתן מערכת המתוארת באמצעות סט של קואורדינטות מוכללות q = { q i } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {q} =\{q_{i}\}_{i=1}^{n}} והלגראנז'יאן L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)} , מתקיים שהקואורדינטות הכלליות, יחד עם התנעים הקנוניים הצמודים להן, p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} יוצרים סט של קואורדינטות קנונית, ביחס לפונקציית ההמילטוניאן המוגדרת על ידי H ( q , p , t ) = ∑ i = 1 n p i q ˙ i − L {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L} . מעבר בין מערכות קואורדינטות קנוניות שונות נקרא טרנספורמציה קנונית. מעברים מסוג זה מקלים על מציאת חוקי שימור של המערכת, מאפשרים תיאור של המערכת באמצעות זוויות פעולה ומהווים את הבסיס למשוואת המילטון-יעקובי ולמשפט ליוביל. במערכת מכנית קלאסית, פתרון של המערכת דורש מציאה של המסלול שבו דרגות החופש של המערכת יעברו כפונקציה של הזמן. מסלול זה יכול להיות מוצג באמצעות קואורדינטות מוכללות בצורה γ = q ( t ) {\displaystyle \gamma =\mathbf {q} (t)} . כאשר q = { q i } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {q} =\{q_{i}\}_{i=1}^{n}} הן סט של קואורדינטות מוכללות ו- n {\displaystyle n} מספר דרגות החופש במערכת. משוואות אוילר-לגרנז' הן סט של n {\displaystyle n} משוואות דיפרנציאליות מסדר שני של הקואורדינטות. מאחר שמערכת המשוואות הן מסדר שני, נדרשים 2 n {\displaystyle 2n} תנאי התחלה כדי לקבוע את מסלול המערכת. לדוגמה: ניתן לתת כתנאי התחלה את הקואורדינטות המוכללות והמהירויות המוכללות בזמן מסוים q ( t 0 ) ; q ˙ ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {q} (t_{0});\mathbf {\dot {q}} (t_{0})} , או את הקואורידנטות בשני זמנים שונים q ( t 0 ) ; q ( t 1 ) {\displaystyle \mathbf {q} (t_{0});\mathbf {q} (t_{1})} . בתיאור הלגרנז'י, מצב המערכת בכל נקודת זמן מוצג על ידי הסט q ( t ) = { q i ( t ) } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {q} (t)=\{q_{i}(t)\}_{i=1}^{n}} בלבד, המהירויות המוכללות הן נגזרות לפי הזמן של המסלול, ואינן מהוות דרגות חופש נפרדות, ניתן לספק אותן כתנאי התחלה, אך זה לא הכרחי לתיאור המערכת. לעומת זאת, התיאור ההימלטוניאני של המערכת מתאר את המצב הפיזיקלי באמצעות סט של 2 n {\displaystyle 2n} משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. הוא מתייחס לתנעים הקנוניים p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} כמשתנים בלתי תלויים, ומתאר את מצב המערכת בכל נקודת זמן באמצעות הסט q ( t ) , p ( t ) = { q i ( t ) , p i ( t ) } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t)=\{q_{i}(t),p_{i}(t)\}_{i=1}^{n}} . מאחר שהקואורדינטות המוכללות והתנעים הקנוניים אינם תלויים אחד בשני, נדרש הסט המלא המכיל 2 n {\displaystyle 2n} משתנים כדי לתאר את מצב המערכת בכל נקודת זמן. נקודת המבט ההמילטוניאנית בדרך כלל איננה פשוטה יותר לחישוב מהמשוואות הלגרנז'יות. חשיבותה נעוצה בכך שהיא מאפשרת חופש רב יותר, בכך שהיא נותנת אותה רמת חשיבות לקואורדינטות המוכללות ולתנעים הקנוניים. את החופש הזה ניתן להרחיב, ולהציג את המערכת באמצעות כל סט של 2 n {\displaystyle 2n} משתנים בלתי תלויים. במכניקה אנליטית, הסטים החשובים מבין כל הסטים הללו הם סטים של קואורדינטות קנוניות. סטים אלו מתאפיינים בכך שניתן לחלקם לשתי קבוצות Q = { Q i } i = 1 n ; P = { P i } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {Q} =\{Q_{i}\}_{i=1}^{n};\mathbf {P} =\{P_{i}\}_{i=1}^{n}} כך שקיימת פונקציה K ( Q , P , t ) {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)} שעבורה מתקיימות משוואות המילטון: Q ˙ i = ∂ K ∂ P i ; P ˙ i = − ∂ K ∂ Q i {\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}};{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}} ניתן לראות שהסט ( q , p ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} , הכולל קואורדינטות מוכללות והתנעים הקנוניים הצמודים להם, הוא סט של קואורדינטות קנוניות עבורה הפונקציה K {\displaystyle K} היא ההמליטוניאן H {\displaystyle H} . כל סט של קואורדינטות קנוניות אחרות יכול להתקבל מטרנספורמציות קנוניות של המשתנים הקנוניים הראשוניים ( q , p ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} . נניח ש- Q , P , K ( Q , P , t ) {\displaystyle \mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)} הן סט של קואורדינטות קנוניות ונתבונן בפונקציונל S [ Q , P ] = ∫ t 0 t 1 L ( Q , P , Q ˙ , P ˙ , t )   d t = ∫ t 0 t 1 [ ∑ i = 1 N P i Q i ˙ − K ( Q , P , t ) ] d t {\displaystyle S[\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\mathcal {L}}(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,{\dot {\mathbf {Q} }},{\dot {\mathbf {P} }},t)\ dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[\sum _{i=1}^{N}P_{i}{\dot {Q_{i}}}-K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)\right]dt} באמצעות אינטגרציה בחלקים ובאופה דומה לקבלת משוואות אוילר-לגרנז', ניתן לקבל שכל וריאציה של S {\displaystyle S} מקיימת: δ S [ Q , P ] = ∫ t 0 t 1 ∑ i = 1 n [ [ ∂ L ∂ Q i − d d t ∂ L ∂ Q ˙ i ] δ Q i + [ ∂ L ∂ P i − d d t ∂ L ∂ P ˙ i ] δ P i ] d t {\displaystyle \delta S[\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\sum _{i=1}^{n}\left[\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial Q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{i}}}}\right]\delta Q_{i}+\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial P_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {{\dot {P}}_{i}}}}\right]\delta P_{i}\right]dt} אבל לפי הגדרת L {\displaystyle {\mathcal {L}}} והקואורדינטות הקנוניות מתקיים: ∂ L ∂ Q i = − ∂ K ∂ Q i = P i ˙ ; ∂ L ∂ Q ˙ i = P i ⟹ ∂ L ∂ Q i − d d t ∂ L ∂ Q ˙ i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial Q_{i}}}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}={\dot {P_{i}}};{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}=P_{i}\implies {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial Q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}=0} וכן ∂ L ∂ P i = Q ˙ i − ∂ K ∂ P i = 0 ; ∂ L ∂ P ˙ i = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial P_{i}}}={\dot {Q}}_{i}-{\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0;{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {P}}_{i}}}=0} ולכן בסה"כ δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} . כלומר הפונקציונל מקבל ערך אקסטרימום במסלול הפיזיקלי של החלקיק. במילים אחרות, עיקרון הפעולה המינימלי של המילטון מתקיים עבור הפונקציה L {\displaystyle {\mathcal {L}}} , כפי שהוא מתקיים עבור הלגרנז'יאן המקורי L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} . סוגרי פואסון מוגדרים עבור שתי פונקציות רציפות u , v {\displaystyle u,v} על ידי הביטוי: { u , v } q , p = ∑ i = 1 n [ ∂ u ∂ q i ∂ v ∂ p i − ∂ u ∂ p i ∂ v ∂ q i ] {\displaystyle \{u,v\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right]} . בפרט, סוגרי פואסון היסודיים (principal Poisson's bracket) מקיימים: { q j , q k } q , p = 0 ; { p j , p k } q , p = 0 ; { q j , p k } q , p = δ j k {\displaystyle \{q_{j},q_{k}\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0;\{p_{j},p_{k}\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0;\{q_{j},p_{k}\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\delta _{jk}} . אם ( Q , P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )} הן סט של קואורדינטות קנוניות אזי מתקיים: { Q j , Q k } q , p = 0 ; { P j , P k } q , p = 0 ; { Q j , P k } q , p = δ j k {\displaystyle \{Q_{j},Q_{k}\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0;\{P_{j},P_{k}\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=0;\{Q_{j},P_{k}\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\delta _{jk}} . ניתן להשתמש בקשר זה כדי להוכיח שסוגרי פואסון הן אינווריאנטים תחת טרנספורמציות קנוניות ולכל מערכת של קואורדינטות קנוניות ופונקציות מתקיים: { u , v } q , p = { u , v } Q , P {\displaystyle \{u,v\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\{u,v\}_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }} . עבור תנועה חד-ממדית, במצב שבו ההימלטוניאן המקורי אינו תלוי ישירות בזמן, ניתן להשתמש בקואורדינטות הקנוניות הבאות Q = ω ℓ t ; P = E ω ℓ ; K = ω ℓ P {\displaystyle Q=\omega \ell t;P={\frac {E}{\omega \ell }};K=\omega \ell P} כאשר E {\displaystyle E} היא האנרגיה הכוללת במערכת, ω {\displaystyle \omega } סקלת תדירות הקובעת סקלת זמן ו- ℓ {\displaystyle \ell } סקלת אורך. קל להיווכח ש- P ˙ = 0 = − ∂ K ∂ Q ; Q ˙ = ω ℓ = ∂ K ∂ P {\displaystyle {\dot {P}}=0=-{\frac {\partial K}{\partial Q}};{\dot {Q}}=\omega \ell ={\frac {\partial {K}}{\partial P}}} ולכן הקואורדינטות P , Q {\displaystyle P,Q} הן אכן קואורדינטות קנוניות. תוצאה זו מדגימה שבמערכת חד־ממדית, האנרגיה E {\displaystyle E} והזמן t {\displaystyle t} הן קואורדינטות קנוניות. הפונקציה K נקראת לפעמים ה-Kamiltonian (שילוב של K ו-Hamiltionian) של המערכת, בעקבות הערת שוליים בספר Classical Mechanics מאת Goldstein. מבחינה אבסטרקטית, ההמילטוניאן הוא דוגמה לפונקציית K, ואין בו ייחוד לעומת פונקציות אחרות. באופן כללי מתקיים { Q i , P j } = λ δ i j {\displaystyle \{Q_{i},P_{j}\}=\lambda \delta _{ij}} עבור λ ≠ 0 {\displaystyle \lambda \neq 0} קבוע. באמצעות טרנספורמציה פשוטה מהצורה Q i ′ = μ Q i ; P i ′ = ν P i {\displaystyle Q'_{i}=\mu Q_{i};P'_{i}=\nu P_{i}} כאשר μ , ν {\displaystyle \mu ,\nu } הם קבועים המקיימים μ ν = λ {\displaystyle \mu \nu =\lambda } מקבלים { Q i ′ , P j ′ } = δ i j {\displaystyle \{Q'_{i},P'_{j}\}=\delta _{ij}} וניתן להשתמש ב- ( Q ′ , P ′ ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ',\mathbf {P} ')} במקום בסט ( Q , P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )} .