שדה הילברטי

בתורת השדות, שדה הילברטי הוא שדה, שהאברים שלו כלליים מספיק כדי להעיד על אי-פריקות של פולינומים. השדות ההילברטיים קרויים על-שמו של הילברט, שהוכיח תכונה זו ב-1892 עבור שדה המספרים הרציונליים. פולינום במשתנה אחד מתפרק לגורמים אם אפשר לכתוב אותו כמכפלה של פולינומים שאינם סקלרים; אחרת הוא אי-פריק. אותן הגדרות חלות גם על פולינומים בכל מספר של משתנים. לדוגמה, X 2 − Y 2 {\displaystyle X^{2}-Y^{2}} פריק, ואילו X 2 − Y {\displaystyle X^{2}-Y} הוא אי-פריק. אם f ( X , T ) {\displaystyle f(X,T)} הוא פולינום בשני משתנים מעל שדה k {\displaystyle k} המתפרק לגורמים f ( X , T ) = g ( X , T ) ⋅ h ( X , T ) {\displaystyle f(X,T)=g(X,T)\cdot h(X,T)} , אז לכל הצבה של ערך t ∈ k {\displaystyle t\in k} במשתנה T {\displaystyle T} , גם הפולינום f ( X , t ) {\displaystyle f(X,t)} מתפרק למכפלה f ( X , t ) = g ( X , t ) ⋅ h ( X , t ) {\displaystyle f(X,t)=g(X,t)\cdot h(X,t)} . באופן כללי, ייתכן שהפולינום f ( X , T ) {\displaystyle f(X,T)} פריק, ובכל זאת f ( X , t ) {\displaystyle f(X,t)} אי-פריק, משום שהצבת T = t {\displaystyle T=t} הופכת את אחד הגורמים לסקלר. כך למשל f ( X , T ) = ( 1 + T X ) X {\displaystyle f(X,T)=(1+TX)X} פריק, ואילו f ( X , 0 ) = X {\displaystyle f(X,0)=X} אי-פריק. תופעה כזו אפשרית רק למספר סופי של הצבות, ולכן, אם הפולינום f ( X , t ) {\displaystyle f(X,t)} אי-פריק לאינסוף ערכים של t {\displaystyle t} , אז גם הפולינום f ( X , T ) {\displaystyle f(X,T)} אי-פריק. מאידך, לא תמיד אפשר לזהות אי-פריקות של פולינום באמצעות הצבות. לדוגמה, הפולינום X 2 − ( T 2 + 1 ) {\displaystyle X^{2}-(T^{2}+1)} אי-פריק, בעוד שמעל שדה המספרים הממשיים כל הפולינומים X 2 − ( t 2 + 1 ) {\displaystyle X^{2}-(t^{2}+1)} (עבור t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } ) הם פריקים. בשדה הילברטי, אם f ( X , T ) {\displaystyle f(X,T)} אי-פריק, אז יש הצבות t ∈ T {\displaystyle t\in T} כך שגם f ( X , t ) {\displaystyle f(X,t)} אי-פריק. ההגדרה המדויקת כללית יותר, ומכלילה תכונה זו לכמה משתנים. נניח שפולינום f {\displaystyle f} במשתנים X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} ו- T 1 , … , T m {\displaystyle T_{1},\dots ,T_{m}} מעל שדה k {\displaystyle k} הוא אי-פריק. אומרים שהאיברים t 1 , … , t m ∈ k {\displaystyle t_{1},\dots ,t_{m}\in k} מעידים על אי-הפריקות, אם לאחר ההצבה, הפולינום f ( X 1 , … , X n , t 1 , … , t m ) {\displaystyle f(X_{1},\dots ,X_{n},t_{1},\dots ,t_{m})} אי-פריק. השדה k {\displaystyle k} הוא הילברטי אם לכל מערכת סופית של פולינומים אי-פריקים f 1 , … , f s {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{s}} במשתנים X 1 , … , X n {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} ו- T 1 , … , T m {\displaystyle T_{1},\dots ,T_{m}} , ולכל פולינום g ( T 1 , … , T m ) ≠ 0 {\displaystyle g(T_{1},\dots ,T_{m})\neq 0} , יש הצבה T i = t i {\displaystyle T_{i}=t_{i}} המקיימת g ( t 1 , … , t m ) ≠ 0 {\displaystyle g(t_{1},\dots ,t_{m})\neq 0} , ומעידה על אי-הפריקות של כל הפולינומים f j {\displaystyle f_{j}} . לתכונת ההילברטיות הגדרות שקולות רבות. למשל, די לדרוש שלכל פולינום אי-פריק f {\displaystyle f} במשתנים X {\displaystyle X} ו- T {\displaystyle T} תהייה הצבה T = t {\displaystyle T=t} המעידה על אי-הפריקות של f {\displaystyle f} . כל הרחבה סופית של שדה הילברטי היא הילברטית. כל הרחבה טרנסצנדנטית טהורה (אמיתית) של שדה כלשהו, היא הילברטית. מטענות אלה (יחד עם המשפט של הילברט שלפיו שדה המספרים הרציונליים הילברטי) נובע שכל שדה אינסופי נוצר סופית הוא הילברטי. כל הרחבה אבלית של שדה הילברטי היא הילברטית. כל הרחבה סופית (אמיתית) של הרחבת גלואה הילברטית היא הילברטית. לעומת זאת, שדה המספרים הממשיים (או כל שדה פיתגורי) אינו הילברטי לפי הדוגמה שניתנה לעיל. גם השדות הסופיים (ממאפיין p {\displaystyle p} ) אינם הילברטיים, משום שהפולינום האי-פריק X p − T {\displaystyle X^{p}-T} מתפצל לגורמים ליניאריים בכל הצבה של ערך במקום T {\displaystyle T} . שדות מהצורה F ( ( t ) ) {\displaystyle F(\!(t)\!)} אינם הילברטיים. Schinzel, "Polynomials, with special regard to reducibility", Enc. Math. Appl. 77, 2000; section 4.4. בעיית ההיפוך של תורת גלואה בעיית נתר