משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל   f 0 {\displaystyle \ f_{0}} מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20. יהי L {\displaystyle \,L} מרחב בנך מעל השדה F {\displaystyle \,F} (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב   L 0 ⊂ L {\displaystyle \ L_{0}\subset L} , ופונקציה תת-ליניארית   ρ : L → R {\displaystyle \ \rho :L\rightarrow {\mathbb {R} }} (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה). אזי כל פונקציונל ליניארי   f 0 : L 0 → F {\displaystyle \ f_{0}:L_{0}\rightarrow F} החסום על ידי   ρ {\displaystyle \ \rho } (כלומר:   | f 0 ( x ) | ≤ ρ ( x ) {\displaystyle \ |f_{0}(x)|\leq \rho (x)} לכל   x ∈ L 0 {\displaystyle \ x\in L_{0}} ) אפשר להרחיב לפונקציונל   f : L → F {\displaystyle \ f:L\rightarrow F} שגם הוא חסום באותו אופן. כלומר:   ∀ x ∈ L 0   :   f ( x ) = f 0 ( x ) {\displaystyle \ \forall x\in L_{0}\ :\ f(x)=f_{0}(x)} (כלומר:   f {\displaystyle \ f} הוא אכן הרחבה של   f 0 {\displaystyle \ f_{0}} ).   ∀ x ∈ L   :   | f ( x ) | ≤ ρ ( x ) {\displaystyle \ \forall x\in L\ :\ |f(x)|\leq \rho (x)} (כלומר:   f {\displaystyle \ f} חסום גם כן על ידי ρ {\displaystyle \,\rho } ). קיום הרחבה שומרת נורמה: אם   L {\displaystyle \ L} הוא מרחב בנך ו-   M {\displaystyle \ M} הוא תת-מרחב שלו, ואם f 0 : M → R {\displaystyle f_{0}:M\to \mathbb {R} } הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על   M {\displaystyle \ M} , אזי קיימת לו הרחבה f : L → R {\displaystyle f:L\to \mathbb {R} } רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: ‖ f 0 ‖ L 0 ∗ = ‖ f ‖ L ∗ {\displaystyle \|f_{0}\|_{L_{0}^{*}}=\|f\|_{L^{*}}} . זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר:   f 0 ( x ) ≤ ‖ f 0 ‖ ∗ ⋅ ‖ x ‖ {\displaystyle \ f_{0}(x)\leq \|f_{0}\|_{*}\cdot \|x\|} , ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, R {\displaystyle \,\mathbb {R} } הוא אובייקט אינג'קטיבי. משפט ההפרדה בין נקודות:   ∀ x 0 ≠ 0   :   ∃ f 0 ≠ 0   bounded functional   such that   :     f 0 ( x 0 ) = ‖ f 0 ‖ ⋅ ‖ x 0 ‖ ≠ 0 {\displaystyle \ \forall x_{0}\neq 0\ :\ \exists f_{0}\neq 0\ {\mbox{bounded functional}}\,\ {\mbox{such that}}\ :\ \ f_{0}(x_{0})=\|f_{0}\|\cdot \|x_{0}\|\neq 0} . בפרט, אם נגדיר   x 0 = x 1 − x 2 {\displaystyle \ x_{0}=x_{1}-x_{2}} עבור   x 1 ≠ x 2 {\displaystyle \ x_{1}\neq x_{2}} אזי נקבל שקיים פונקציונל   f 0 ≠ 0 {\displaystyle \ f_{0}\neq 0} כך ש   f 0 ( x 1 ) ≠ f 0 ( x 2 ) {\displaystyle \ f_{0}(x_{1})\neq f_{0}(x_{2})} . כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות. משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה: יהי   L {\displaystyle \ L} מרחב בנך ויהי   M {\displaystyle \ M} הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי   z ∉ M ¯ {\displaystyle \ z\notin {\overline {M}}} נקודה שאיננה בסגור של   M {\displaystyle \ M} , אזי קיים פונקציונל רציף (חסום)   f : M → R {\displaystyle \ f:M\to \mathbb {R} } כך ש:   ∀ x ∈ M   :   f ( x ) = 0 {\displaystyle \ \forall x\in M\ :\ f(x)=0} ,   f ( z ) = 1 {\displaystyle \ f(z)=1} ומתקיים ש   ‖ f ‖ = ( ‖ z ‖ ) − 1 {\displaystyle \ \|f\|=(\|z\|)^{-1}} הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של f 0 {\displaystyle \,f_{0}} החסומות על ידי ρ {\displaystyle \,\rho } לתת-מרחב כלשהו   L 0 ⊂ L α ⊂ L {\displaystyle \ L_{0}\subset L_{\alpha }\subset L} עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב- E {\displaystyle \,E} ). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב- E {\displaystyle \,E} שמהווה הרחבה של f 0 {\displaystyle \,f_{0}} המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל L {\displaystyle \,L} . עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב- E {\displaystyle \,E} מוגדרת על תת-מרחב   L ′ ⊂ L {\displaystyle \ L'\subset L} , כאשר   L ′ ≠ L {\displaystyle \ L'\neq L} . אזי קיים   y ∈ L − L ′ {\displaystyle \ y\in L-L'} ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי   ρ {\displaystyle \ \rho } , המוגדרת על ידי:   ∀ z ∈ span ( L ′ ∪ { y } )   :   f ( z ) = f ( x + λ y ) = f ′ ( x ) + λ y ′ {\displaystyle \ \forall z\in {\mbox{span}}\left(L'\cup \{y\}\right)\ :\ f(z)=f(x+\lambda y)=f'(x)+\lambda y'} כאשר   z = x + λ y {\displaystyle \ z=x+\lambda y} פירוק יחיד של z {\displaystyle \,z} כאשר   x ∈ L ′ {\displaystyle \ x\in L'} ו- f ′ {\displaystyle \,f'} הוא ההרחבה המקסימלית על L ′ {\displaystyle \,L'} (והם איברי המשפחה E {\displaystyle \,E} ). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך   f ′ ( y ) = y ′ {\displaystyle \ f'(y)=y'} כך שלכל z {\displaystyle \,z} בתחום ההגדרה יתקיים   f ′ ( x ) + λ y ′ = f ( z ) ≤ ρ ( z ) {\displaystyle \ f'(x)+\lambda y'=f(z)\leq \rho (z)} . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים y ′ {\displaystyle \,y'} כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל- f ′ {\displaystyle \,f'} מ- L ′ {\displaystyle \,L'} לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב- E {\displaystyle \,E} . מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של E {\displaystyle \,E} , וניתן לראות בקלות שגם היא ב- E {\displaystyle \,E} , נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה. לכן, האיבר המקסימלי של E {\displaystyle \,E} מוגדר היטב על כל L {\displaystyle \,L} ומהווה הרחבה של f 0 {\displaystyle \,f_{0}} המקיימת את הנדרש. ◼ {\displaystyle \blacksquare } אנליזה פונקציונלית פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית משפט האן-בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) משפט האן-בנך, באתר MathWorld (באנגלית)