מכפלת אוילר

בתורת המספרים האנליטית, מכפלת אוילר היא מכפלה אינסופית של ביטויים מהצורה   1 + a p p s + a p 2 p 2 s + ⋯ {\displaystyle \ 1+{\frac {a_{p}}{p^{s}}}+{\frac {a_{p^{2}}}{p^{2s}}}+\cdots } , העוברת על-פני המספרים הראשוניים   p {\displaystyle \ p} . בביטוי זה, המקדמים   a p , a p 2 , … {\displaystyle \ a_{p},a_{p^{2}},\dots } עשויים להיות מספרים שלמים או מרוכבים, ואילו s {\displaystyle s} הוא משתנה ממשי או מרוכב. אם כל הסכומים מתכנסים והמכפלה מתכנסת, התוצאה היא פונקציה אנליטית של המשתנה s {\displaystyle s} , הניתנת לתיאור גם כטור דיריכלה. מכפלות אוילר מהוות כלי לניתוח ההתנהגות של מספרים ראשוניים בשיטות אנליטיות, ויש להן שימושים בכל תחומי תורת המספרים האנליטית, והכללות לתורת המספרים האלגברית, תורת החבורות, תורת הגרפים ותורת החוגים. הדוגמה הראשונה למכפלת אוילר, והמפורסמת ביותר, היא המכפלה של פונקציית זטא של רימן. פונקציה זו מוגדרת, עבור s {\displaystyle s} שהחלק הממשי שלו   Re ⁡ ( s ) > 1 {\displaystyle \ \operatorname {Re} (s)>1} , כסכום הטור   ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} . כאשר מחשבים את המכפלה   ∏ p ( 1 + 1 p s + 1 p 2 s + … ) {\displaystyle \ \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+\dots \right)} על פני כל הראשוניים p, יש לסכם את כל המכפלות של רכיב בודד מכל גורם. לדוגמה, במכפלה   ( 1 + 1 3 s + 1 9 s ) ( 1 + 1 7 s ) = 1 + 1 3 s + 1 7 s + 1 9 s + 1 21 s + 1 63 s {\displaystyle \ \left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}\right)\left(1+{\frac {1}{7^{s}}}\right)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{21^{s}}}+{\frac {1}{63^{s}}}} , יש רק שני גורמים, ששניהם סופיים. בדומה לזה, המכפלה   ( 1 + 1 3 s + ⋯ ) ( 1 + 1 7 s + ⋯ ) {\displaystyle \ \left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \right)\left(1+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots \right)} שווה לסכום כל הביטויים מהצורה   1 ( 3 i 7 j ) s {\displaystyle \ {\frac {1}{(3^{i}7^{j})^{s}}}} , לכל   i , j ≥ 0 {\displaystyle \ i,j\geq 0} . לעומת זאת, כאשר מכפילים את אינסוף הגורמים   1 + 1 2 s + 1 4 s + ⋯ {\displaystyle \ 1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots } ,   1 + 1 3 s + 1 9 s + ⋯ {\displaystyle \ 1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+\cdots } ,   1 + 1 5 s + 1 25 s + ⋯ {\displaystyle \ 1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{25^{s}}}+\cdots } , וכן הלאה, מתקבל הסכום של כל המכפלות מהצורה   1 ( 2 i 2 3 i 3 5 i 5 ⋯ ) s {\displaystyle \ {\frac {1}{(2^{i_{2}}3^{i_{3}}5^{i_{5}}\cdots )^{s}}}} . עם זאת, בחישוב המכפלה צריך הגורם המוכפל להיות שווה ל-1 כמעט בכל מקרה, כך שהסכום כולל רק את הביטויים   1 ( 2 i 2 3 i 3 5 i 5 ⋯ ) s {\displaystyle \ {\frac {1}{(2^{i_{2}}3^{i_{3}}5^{i_{5}}\cdots )^{s}}}} שבהם כמעט כל   i p = 0 {\displaystyle \ i_{p}=0} . לפי המשפט היסודי של האריתמטיקה, מתקבל באופן זה כל ביטוי מהצורה   1 n s {\displaystyle \ {\frac {1}{n^{s}}}} (n טבעי) בדיוק פעם אחת, ולכן המכפלה שווה לפונקציית זטא של רימן. הסכום 1 + 1 p s + 1 p 2 s + … {\displaystyle 1+{\frac {1}{p^{s}}}+{\frac {1}{p^{2s}}}+\dots } הוא טור הנדסי, שאפשר לכתוב גם בצורה   ( 1 − 1 p s ) − 1 {\displaystyle \ \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}} . כך מתקבלת הצורה המוכרת יותר של מכפלת אוילר לפונקציית זטא של רימן:   ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − 1 p s ) − 1 {\displaystyle \ \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}} . מן ההסבר לעיל נובע שכל מכפלת אוילר אפשר להציג כטור דיריכלה בצורה   ∏ p ( 1 + a p p s + a p 2 p 2 s + ⋯ ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \ \prod _{p}\left(1+{\frac {a_{p}}{p^{s}}}+{\frac {a_{p^{2}}}{p^{2s}}}+\cdots \right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} , כאשר המקדמים   a n {\displaystyle \ a_{n}} מחושבים על-פי הנוסחה   a 2 i 2 3 i 3 … = a 2 i 2 a 3 i 3 ⋯ {\displaystyle \ a_{2^{i_{2}}3^{i_{3}}\dots }=a_{2^{i_{2}}}a_{3^{i_{3}}}\cdots } (ו-   a 1 = 1 {\displaystyle \ a_{1}=1} ). בפרט, הפונקציה   a : n ↦ a n {\displaystyle \ a:n\mapsto a_{n}} היא פונקציה כפלית (כלומר:   a n m = a n a m {\displaystyle \ a_{nm}=a_{n}a_{m}} לכל n ו- m זרים). אם סדרת המקדמים היא כפלית במובן החזק (כלומר:   a n m = a n a m {\displaystyle \ a_{nm}=a_{n}a_{m}} לכל n ו- m), אז המקדמים בגורמי המכפלה מקיימים   a p i = a p i {\displaystyle \ a_{p^{i}}=a_{p}^{i}} , ובמקרה כזה מתקבלת הצורה   ∑ n = 1 ∞ a n n s = ∏ p ( 1 − a p p s ) − 1 {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {a_{p}}{p^{s}}}\right)^{-1}} . פונקציית זטא של דדקינד פונקציית L מכפלת אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)