טור המספרים הטבעיים

טור המספרים הטבעיים הוא תוצאת החיבור של סדרת המספרים הטבעיים, מ-1 ועד אינסוף (   1 + 2 + 3 + ⋯ {\displaystyle \ 1+2+3+\cdots } ). טור זה אינו מתכנס, ולכן אין לו סכום במובן הרגיל של המילה. מצד שני, ניתן בהנחות המתאימות להגיע לתוצאה המוזרה   1 + 2 + 3 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle \ 1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}} . חישוב זה מבוסס על שיטות סיכום המשתמשות בפונקציית זטא של רימן ובסיכום רמנוג'אן (אנ'). אף על פי שבמבט ראשון לא נראה שלסכום סדרת המספרים הטבעיים יהיה שימוש מעשי כלשהו, נעשה בו שימוש במספר תחומים מדעיים, כגון: אנליזה מרוכבת, תורת שדות קוונטית ותורת המיתרים. בתורת המיתר הבוזוני, למשל, שימוש בסכום זה מביא לתוצאה של קיומם של 26 ממדים למרחב (ממד זמן, ממד אורך ו־24 ממדים נוספים). טור המספרים הטבעיים מתבדר משום שהאיבר הכללי שלו אינו שואף לאפס. עם זאת, אפשר לטפל בו אם מרחיבים את מושג הסיכום של טורים, באופן הבא. ההגדרה הסטנדרטית לסכום של הטור האינסופי   ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} היא כגבול של סדרת הסכומים החלקיים   S n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \ S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} , בתנאי שהגבול הזה קיים. באופן יותר פורמלי, אפשר להתבונן באוסף כל הסדרות הממשיות R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} , שהוא מרחב וקטורי מעל הממשיים, ובתוכו בתת-המרחב V של הסדרות שהטורים שלהן מתכנסים. אופרטור הסיכום הוא פונקציונל ליניארי   Σ : V → R {\displaystyle \ \Sigma :V\rightarrow \mathbb {R} } המחזיר על הסדרה   ( a 1 , a 2 , … ) {\displaystyle \ (a_{1},a_{2},\dots )} את הסכום שלה,   Σ ( a 1 , a 2 , … ) = ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \ \Sigma (a_{1},a_{2},\dots )=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} . אבל מדוע לעצור כאן? גם אם מכירים בכך שיש טורים שאי אפשר לסכם, אפשר לקוות שנצליח להרחיב את פונקציונל הסכום לתת-מרחבים גדולים יותר. בבעיה זו מטפלת תורת הסומביליות (שיטות סיכום; וע"ע סיכום צזארו). לדוגמה, שיטת הסיכום של אבל (שפיתח נילס הנריק אבל) מוגדרת באופן הבא:   Σ ′ ( a 1 , a 2 , … ) = lim x → 1 − ∑ n = 1 ∞ a n x n {\displaystyle \ \Sigma '(a_{1},a_{2},\dots )=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}} , גם כאן בתנאי שהגבול קיים. כל טור מתכנס (במובן הרגיל) ניתן לסיכום גם לפי אבל, אבל יש גם טורים שאינם מתכנסים במובן הרגיל, שאפשר לסכם אותם בשיטת אבל. לדוגמה, השוויון   x − 2 x 2 + 3 x 3 − 4 x 4 + 5 x 5 − ⋯ = x ( x + 1 ) 2 {\displaystyle \ x-2x^{2}+3x^{3}-4x^{4}+5x^{5}-\cdots ={\frac {x}{(x+1)^{2}}}} נכון לכל   | x | < 1 {\displaystyle \ |x|<1} , והגבול כאשר x שואף ל-1 מלמטה גם הוא קיים, ושווה ל-   1 4 {\displaystyle \ {\frac {1}{4}}} , על ידי הצבת x=1 בפונקציה מימין. לפיכך, אפשר לומר שלפי אבל   1 − 2 + 3 − 4 + 5 − ⋯ = 1 4 {\displaystyle \ 1-2+3-4+5-\cdots ={\frac {1}{4}}} , אף על פי שהגבול אינו קיים במובן הרגיל. באופן הזה, שיטת הסיכום של אבל מגדירה פונקציונל   Σ ′ : V ′ → R {\displaystyle \ \Sigma ':V'\rightarrow \mathbb {R} } , כאשר 'V הוא המרחב הווקטורי של כל הסדרות המתכנסות לפי אבל (המכיל את המרחב הווקטורי V של הסדרות המתכנסות במובן הרגיל, וגם סדרות נוספות כמו   ( 1 , − 2 , 3 , − 4 , 5 , ⋯ ) {\displaystyle \ (1,-2,3,-4,5,\cdots )} ). טור המספרים הטבעיים,   1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ {\displaystyle \ 1+2+3+4+5+\cdots } , אינו מתכנס אפילו לפי אבל (כלומר, הסדרה   α = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … ) {\displaystyle \ \alpha =(1,2,3,4,5,\dots )} אינה שייכת למרחב 'V). כדי לסכם אותה בכל זאת, צריך להרחיב עוד יותר את מרחב הסדרות שאפשר לסכם. בהרחבה סתמית יש מעט מאוד תועלת, משום שפורמלית אפשר להתבונן במרחב הווקטורי   V ′ + R α {\displaystyle \ V'+\mathbb {R} \alpha } , ולהגדיר את הסכום של   α {\displaystyle \ \alpha } כרצוננו. כדי להגביל את טווח האפשרויות ולקבל שיטות סיכום משמעותיות יותר, מניחים שפעולות טבעיות מסוימות אינן משנות את הסכום. למשל, נגדיר את אופרטור המתיחה P : R N → R N {\displaystyle P:\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\rightarrow \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} לפי   P ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … ) = ( 0 , a 1 , 0 , a 2 , 0 , a 3 , … ) {\displaystyle \ P(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots )=(0,a_{1},0,a_{2},0,a_{3},\dots )} . קל להראות שהמתיחה שומרת על המרחב 'V של אבל, ואינה משנה את הסכום שם. יתרה מזו, אם נסמן   α = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … ) {\displaystyle \ \alpha =(1,2,3,4,5,\dots )} , נגלה ש-   α − 4 P ( α ) = ( 1 , − 2 , 3 , − 4 , 5 , … ) {\displaystyle \ \alpha -4P(\alpha )=(1,-2,3,-4,5,\dots )} . כעת, אם נניח שאפשר להרחיב את הסכום של אבל לשיטת סיכום   Σ ″ {\displaystyle \ \Sigma ''} המוגדרת על מרחב V ″ {\displaystyle V''} שמכיל את הסדרה   ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … ) {\displaystyle \ (1,2,3,4,5,\dots )} וסגור למתיחה, ונניח בנוסף שמתיחה אינה משנה את הסכום ב- V ″ {\displaystyle V''} , נקבל מיד ש-   − 3 Σ ″ ( α ) = Σ ′ ( α − 4 P ( α ) ) = Σ ′ ( 1 , − 2 , 3 , − 4 , 5 , … ) = 1 4 {\displaystyle \ -3\Sigma ''(\alpha )=\Sigma '(\alpha -4P(\alpha ))=\Sigma '(1,-2,3,-4,5,\dots )={\frac {1}{4}}} , כלומר, לפי שיטת הסיכום המוכללת הזו,   1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = − 1 12 {\displaystyle \ 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}} . הטור ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} מתכנס לכל s מרוכב שהחלק הממשי שלו גדול מ-1. הטור מגדיר פונקציה אנליטית ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} שיש לה המשכה אנליטית לכל המישור המרוכב עם קוטב ב-1. באופן הזה ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} מוגדרת גם בנקודות בהן הטור ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} אינו מתכנס. פונקציה זו קרויה פונקציית זטא של רימן. ההמשכה האנליטית מקיימת את זהות הסימטריה   Λ ( s ) = Λ ( 1 − s ) {\displaystyle \ \Lambda (s)=\Lambda (1-s)} כאשר   Λ ( s ) = Γ ( s / 2 ) π − s / 2 ζ ( s ) {\displaystyle \ \Lambda (s)=\Gamma (s/2)\pi ^{-s/2}\zeta (s)} ו- Γ {\displaystyle \Gamma } היא פונקציית גמא. מכיוון ש-   ζ ( 2 m ) = ( − 1 ) m + 1 1 2 ( 2 π ) 2 m ( 2 m ) ! B 2 m {\displaystyle \ \zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {1}{2}}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}} (ע"ע מספרי ברנולי), נובע מזהות הסימטריה שלכל n אי-זוגי מתקיים ζ ( − n ) = − B n + 1 n + 1 {\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}} כאשר B k {\displaystyle B_{k}} הוא מספר ברנולי ה-k. בפרט, B 2 = 1 6 {\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}} . אם נציב n=1 נקבל ζ ( − 1 ) = − B 2 2 = − 1 12 {\displaystyle \zeta (-1)=-{\frac {B_{2}}{2}}=-{\frac {1}{12}}} . על כן, אם נזהה פורמלית את הטור ∑ n = 1 ∞ 1 n s {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}} עם פונקציית זטא של רימן, גם בנקודות בהן הטור אינו מתכנס, נקבל: 1 + 2 + 3 + … = ∑ n = 1 ∞ 1 n − 1 = ζ ( − 1 ) = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+\ldots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{-1}}}=\zeta (-1)=-{\frac {1}{12}}} פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. ניתן לחשב טור זה בעזרת סיכום רמנוג'אן. הנוסחה היא f ( 0 ) 2 + ∑ n = 1 ∞ f ( n ) = i ∫ 0 ∞ f ( i t ) − f ( − i t ) e 2 π t − 1 d t {\displaystyle {\frac {f(0)}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }f(n)=i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}dt} אם נבחר f ( n ) = n {\displaystyle f(n)=n} , נקבל את הטור הרצוי. לכן, נקבל ∑ n = 1 ∞ n = i ∫ 0 ∞ 2 i t e 2 π t − 1 d t {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{n}=i\int _{0}^{\infty }{\frac {2it}{e^{2\pi t}-1}}dt} בעזרת הצבה u = 2 π t {\displaystyle u=2\pi t} , נקבל i ∫ 0 ∞ 2 i t e 2 π t − 1 d t = − 1 2 π 2 ∫ 0 ∞ u e u − 1 d u {\displaystyle i\int _{0}^{\infty }{\frac {2it}{e^{2\pi t}-1}}dt=-{\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{e^{u}-1}}du} האינטגרל הזה שווה ל ζ ( 2 ) {\displaystyle \zeta (2)} ,שהיא שווה ל- π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} . לאחר הצבת הערך נקבל את הסכום הרצוי: 1 + 2 + 3 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ n = − 1 12 {\displaystyle 1+2+3+\dots =\sum _{n=1}^{\infty }n=-{\frac {1}{12}}} גדי אלכסנדרוביץ', איך ייתכן ש …+1+2+3 שווה למינוס 1 חלקי 12?!, באתר "לא מדויק", 18 בינואר 2014 John Baez, Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 (באנגלית) Brydon Cais, Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 (באנגלית) ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... = -1/12, סרטון בערוץ "Numberphile", באתר יוטיוב (אורך: 7:49) (באנגלית) Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage)‎, סרטון באתר יוטיוב (אורך: 21:05) (באנגלית) Tony Padilla, What do we get if we sum all the natural numbers?‎ – תגובה להערות על הסרטון (באנגלית) Dennis Overbye, In the End, It All Adds Up to -1/12 – מאמר במדור המדע של הניו יורק טיימס על הסרטון (באנגלית) Ramanujan: Making sense of 1+2+3+... = -1/12 and Co.‎, סרטון בערוץ "Mathologer", באתר יוטיוב (אורך: 34:30) (באנגלית) Lepowsky, J. (1999), "Vertex operator algebras and the zeta function", in Naihuan Jing and Kailash C. Misra, Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics, Contemporary Mathematics 248, pp. 327–340 (באנגלית) למשל, משפט האן-בנך מבטיח שאפשר להרחיב את פונקציונל הסכום אל מרחב הסדרות שסדרת הסכומים החלקיים שלהם חסומה. הטור ההנדסי   1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ⋯ = 1 1 + x {\displaystyle \ 1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-\cdots ={\frac {1}{1+x}}} מתכנס במידה שווה בכל תת-קטע [ − 1 + δ , 1 − δ ] {\displaystyle [-1+\delta ,1-\delta ]} , ולכן אפשר לגזור אותו רכיב רכיב ולקבל את השוויון   1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + 5 x 4 − ⋯ = 1 ( 1 + x ) 2 {\displaystyle \ 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+5x^{4}-\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}} . Eric W. Weisstein, Riemann Zeta Function באתר MathWorld, נוסחה 1, באתר mathworld.wolfram.com (באנגלית)