אריתמטיקה של גבולות

בחשבון אינפיניטסימלי, כללי האריתמטיקה של גבולות (לעיתים בר"ת: אש"ג) הם חוקים בסיסיים העוסקים בגבולות של פונקציות המתקבלות מביצוע פעולות אריתמטיות בין פונקציות (ממשיות או מרוכבות) נתונות. תהיינה f {\displaystyle f\,} ו- g {\displaystyle g\,} פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של x 0 {\displaystyle \,x_{0}} שעבורן קיימים הגבולות הסופיים lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)} ו- lim x → x 0 g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)} . בתנאים אלו מתקיימים הכללים הבאים: הגבול של סכום פונקציות, שווה לסכום הגבולות של הפונקציות, כלומר: הגבול של מכפלת פונקציות, שווה למכפלת הגבולות של הפונקציות, כלומר: אם נבחר בפונקציה   g ( x ) = α {\displaystyle \ g(x)=\alpha } , קבוע, יתקבל המקרה הפרטי lim x → x 0 α ⋅ f ( x ) = α lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}\alpha \cdot f(x)=\alpha \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)} . בפרט lim x → x 0 ( − f ( x ) ) = − lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(-f(x))=-\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)} ומכאן נובע "כלל ההפרש", המקביל בצורתו לכלל הסכום, ועוסק בגבול של הפרש פונקציות. הגבול של מנת פונקציות, שווה למנת הגבולות של הפונקציות בתנאי ש: lim x → x 0 g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)\neq 0} , כלומר: כללי האריתמטיקה לגבולות סופיים תקפים גם כאשר x → ± ∞ {\displaystyle \,x\rightarrow \pm \infty } . תהיינה f {\displaystyle f\,} ו- g {\displaystyle g\,} פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של x 0 {\displaystyle \,x_{0}} שעבורן מתקיים: lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty } . lim x → x 0 g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=L} , כאשר L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } (כלומר מספר סופי). בתנאים אלו מתקיימים כללי האריתמטיקה לגבולות אינסופיים שלהלן: lim x → x 0 ( f + g ) ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=+\infty } . lim x → x 0 ( g − f ) ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(g-f)(x)=-\infty } . lim x → x 0 ( g f ) ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}({\frac {g}{f}})(x)=0} . כאשר L > 0 {\displaystyle \,L>0} מתקיים: lim x → x 0 ( f ⋅ g ) ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=+\infty } . וכאשר L < 0 {\displaystyle \,L<0} מתקיים: lim x → x 0 ( f ⋅ g ) ( x ) = − ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=-\infty } . כאשר L = 0 {\displaystyle \,L=0} לא ניתן לדעת באופן מיידי את ערכו של הגבול lim x → x 0 ( f ⋅ g ) ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)} מכיוון שגבול זה אינו מוגדר היטב, שכן הוא מהצורה של " 0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty } " ולכן במקרה זה לא ניתן לדעת דבר על הגבול או על קיומו. יש לחפש דרכים אחרות לחישוב הגבול, ביניהן כלל לופיטל. כללי האריתמטיקה לגבולות האינסופיים תקפים גם כאשר x → ± ∞ {\displaystyle \,x\rightarrow \pm \infty } . תהי f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בסביבה (נקובה או לא) של x 0 {\displaystyle \,x_{0}} שעבורה מתקיים: lim x → x 0 f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=0} . קיימת סביבה מנוקבת של x 0 {\displaystyle \,x_{0}} בה מתקיים f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0\,} . בתנאים אלו מתקיים: lim x → x 0 ( 1 f ) ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}({\frac {1}{f}})(x)=+\infty } . הערה: המשפט אנלוגי לגמרי עבור המקרה בו קיימת סביבה נקובה של x 0 {\displaystyle \,x_{0}} בה מתקיים f ( x ) < 0 {\displaystyle f(x)<0\,} ובמקרה הזה הגבול הוא − ∞ {\displaystyle -\infty } . תהיינה f {\displaystyle f\,} ו- g {\displaystyle g\,} פונקציות המוגדרות בסביבה (נקובה או לא) של x 0 {\displaystyle \,x_{0}} שעבורן מתקיים: lim x → x 0 f ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=+\infty } . lim x → x 0 g ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}g(x)=+\infty } . בתנאים אלו מתקיים : lim x → x 0 ( f ⋅ g ) ( x ) = + ∞ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(f\cdot g)(x)=+\infty } . גם כלל זה תקף כאשר x → ± ∞ {\displaystyle \,x\rightarrow \pm \infty } . אם f {\displaystyle f\,} ו- g {\displaystyle g\,} פונקציות שעבורן lim x → x 0 f ( x ) = y 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}} וכן גם lim y → y 0 g ( y ) = L {\displaystyle \lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L} (עבור x 0 , y 0 , L {\displaystyle x_{0},y_{0},L} כלשהם), ומתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים (1) L = g ( y 0 ) {\displaystyle L=g(y_{0})} (כלומר g ( y ) {\displaystyle g(y)} רציפה ב y 0 {\displaystyle y_{0}} ) (2) f ( x ) ≠ y 0 {\displaystyle f(x)\neq y_{0}} בסביבה מנוקבת של x 0 {\displaystyle x_{0}} אז הגבול של הרכבת הפונקציות g ∘ f {\displaystyle g\circ f} בנק' x 0 {\displaystyle x_{0}} קיים ושווה ל- lim x → x 0 ( g ∘ f ) ( x ) = lim x → x 0 g ( f ( x ) ) = L {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(g\circ f)(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}g(f(x))=L} . נסמן ב- A {\displaystyle \,A} וב- B {\displaystyle \,B} את הגבולות של f {\displaystyle \,f} ושל g {\displaystyle \,g} בהתאמה. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . יש להוכיח כי קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים | x − x 0 | < δ {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta \,} מתקיים | ( f ± g ) ( x ) − ( A ± B ) | < ε {\displaystyle |(f\pm g)(x)-(A\pm B)|<\varepsilon \,} . מהנתונים על הגבולות של f {\displaystyle f\,} ו- g {\displaystyle g\,} נסיק כי: קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים | x − x 0 | < δ 1 {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta _{1}\,} מתקיים | f ( x ) − A | < ε 2 {\displaystyle |f(x)-A|<{\frac {\varepsilon }{2}}\,} (1). קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים | x − x 0 | < δ 2 {\displaystyle |x-x_{0}|<\delta _{2}\,} מתקיים | g ( x ) − B | < ε 2 {\displaystyle |g(x)-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}\,} (2). נבחר את δ {\displaystyle \delta \,} להיות δ = min { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\,} . לפי אי-שוויון המשולש: | ( f ± g ) ( x ) − ( A ± B ) | = | f ( x ) ± g ( x ) − A ∓ B | ≤ | f ( x ) − A | + | g ( x ) − B | {\displaystyle |(f\pm g)(x)-(A\pm B)|=|f(x)\pm g(x)-A\mp B|\leq |f(x)-A|+|g(x)-B|} . מכאן ש- | ( f ( x ) ± g ( x ) ) − ( A ± B ) | ≤ | f ( x ) − A | + | g ( x ) − B | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle |(f(x)\pm g(x))-(A\pm B)|\leq |f(x)-A|+|g(x)-B|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon } . יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . יש להוכיח כי קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \,} מתקיים | ( f ⋅ g ) ( x ) − ( A ⋅ B ) | < ε {\displaystyle |(f\cdot g)(x)-(A\cdot B)|<\varepsilon \,} . נגדיר ε 1 = min { 1 , ε 1 + | A | + | B | } {\displaystyle \,\varepsilon _{1}=\min \left\{1,{\frac {\varepsilon }{1+|A|+|B|}}\right\}} . מהנתונים על הגבולות של f {\displaystyle f\,} ו- g {\displaystyle g\,} נסיק כי: קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים 0 < | x − x 0 | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{1}\,} מתקיים | f ( x ) − A | < ε 1 {\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon _{1}} קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים 0 < | x − x 0 | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,} מתקיים | g ( x ) − B | < ε 1 {\displaystyle |g(x)-B|<\varepsilon _{1}} נבחר את δ {\displaystyle \delta \,} להיות δ = min { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}\,} . יהי x {\displaystyle x\,} המקיים 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \,} . נקבל, על-פי אי-שוויון המשולש, כי: | f ( x ) g ( x ) − A B | = | ( f ( x ) − A ) ( g ( x ) − B ) + ( f ( x ) − A ) B + A ( g ( x ) − B ) | {\displaystyle \,|f(x)g(x)-AB|=|(f(x)-A)(g(x)-B)+(f(x)-A)B+A(g(x)-B)|} ≤ | f ( x ) − A | ⋅ | g ( x ) − B | + | f ( x ) − A | ⋅ | B | + | A | ⋅ | g ( x ) − B | {\displaystyle \,\leq |f(x)-A|\cdot |g(x)-B|+|f(x)-A|\cdot |B|+|A|\cdot |g(x)-B|} < ε 1 ⋅ ε 1 + ε 1 ⋅ | B | + | A | ⋅ ε 1 ≤ ε 1 + ε 1 ⋅ | B | + | A | ⋅ ε 1 {\displaystyle \,<\varepsilon _{1}\cdot \varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}\cdot |B|+|A|\cdot \varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{1}+\varepsilon _{1}\cdot |B|+|A|\cdot \varepsilon _{1}} = ε 1 ( 1 + | A | + | B | ) ≤ ε {\displaystyle \,=\varepsilon _{1}(1+|A|+|B|)\leq \varepsilon } כלומר, הראינו שאם x {\displaystyle x\,} מקיים 0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta \,} אזי | f ( x ) g ( x ) − A B | < ε {\displaystyle |f(x)g(x)-AB|<\varepsilon } , ומכאן נובע כלל המכפלה. נוכיח במקרה בו g {\displaystyle g\,} רציפה. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\,} . נתון ש- g {\displaystyle g} רציפה בנקודה y 0 {\displaystyle y_{0}\,} , לכן קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0\,} כך שלכל y {\displaystyle y} המקיים | y − y 0 | < δ 1 {\displaystyle |y-y_{0}|<\delta _{1}\,} (כולל y 0 {\displaystyle y_{0}} ) מתקיים | g ( y ) − L | < ε {\displaystyle |g(y)-L|<\varepsilon } (1). lim x → x 0 f ( x ) = y 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}} ולכן קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0\,} כך שלכל x {\displaystyle x\,} המקיים 0 < | x − x 0 | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,} מתקיים | f ( x ) − y 0 | < δ 1 {\displaystyle |f(x)-y_{0}|<\delta _{1}\,} (2). מ-(2) נסיק כי לכל x {\displaystyle x\,} המקיים 0 < | x − x 0 | < δ 2 {\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta _{2}\,} מתקיים | f ( x ) − y 0 | < δ 1 {\displaystyle |f(x)-y_{0}|<\delta _{1}\,} ולכן עבור y = f ( x ) {\displaystyle \,y=f(x)} נקבל מ-(1) כי | g ( f ( x ) ) − L | < ε {\displaystyle |g(f(x))-L|<\varepsilon } , כנדרש. במקרה השני, אנחנו ניאלץ לדרוש ש- 0 < | y − y 0 | {\displaystyle 0<|y-y_{0}|} , ולכן נבחר | x − x 0 | {\displaystyle |x-x_{0}|} קטן מספיק (כפי שחייב להיות לפי התנאי השני), שעבורו 0 < | f ( x ) − y 0 | {\displaystyle 0<|f(x)-y_{0}|} כפי שרצינו.