אינטגרציה בחלקים

באנליזה מתמטית, אינטגרציה בחלקים היא שיטת אינטגרציה שמתבססת על שימוש בכלל המכפלה עבור נגזרות. בשיטת האינטגרציה בחלקים ניתן להפוך את הבעיה של אינטגרל של מכפלה של שתי פונקציות לבעיה של מציאת אינטגרל של מכפלת שתי פונקציות אחרות, נגזרת הראשונה והפונקציה הקדומה של השנייה. באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ניתן להשתמש גם בשיטה זו כדי לחשב במדויק אינטגרלים מסוימים. בהינתן שתי פונקציות גזירות ובעלות נגזרות רציפות f , g {\displaystyle f,g} , מתקיים עבור אינטגרל שאינו מסוים:   ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \ \int f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x} כדי להראות את נכונות הטענה די לבצע אינטגרציה על שני האגפים של כלל המכפלה האומר כי ( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)} . מכלל לייבניץ לנגזרת מכפלה: ( u ⋅ v ) ′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ {\displaystyle (u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'} נבצע אינטגרציה על המשוואה: ∫ ( u ⋅ v ) ′ = ∫ ( u ′ ⋅ v + u ⋅ v ′ ) {\displaystyle \int (u\cdot v)'=\int (u'\cdot v+u\cdot v')} נשתמש בליניאריות האינטגרל: ∫ ( u ⋅ v ) ′ = ∫ ( u ′ ⋅ v ) + ∫ ( u ⋅ v ′ ) {\displaystyle \int (u\cdot v)'=\int (u'\cdot v)+\int (u\cdot v')} נשתמש בנוסחת ניוטון-לייבניץ: ∫ a b ( u ⋅ v ) ′ = ( u ⋅ v ) ∣ a b {\displaystyle \int _{a}^{b}(u\cdot v)'=(u\cdot v)\mid _{a}^{b}} לפיכך: ∫ a b ( u ⋅ v ) ′ = ∫ a b u ′ ⋅ v + ∫ a b u ⋅ v ′ = u ⋅ v ∣ a b {\displaystyle \int _{a}^{b}(u\cdot v)'=\int _{a}^{b}u'\cdot v+\int _{a}^{b}u\cdot v'=u\cdot v\mid _{a}^{b}} נבצע העברת אגפים ונקבל את הנוסחה: ∫ a b ( u ⋅ v ′ ) = ( u ⋅ v ) ∣ a b − ∫ a b ( u ′ ⋅ v ) {\displaystyle \int _{a}^{b}(u\cdot v')=(u\cdot v)\mid _{a}^{b}-\int _{a}^{b}(u'\cdot v)} אף על פי שהכלל תקף תמיד, הוא לא בהכרח מפשט את האינטגרל שאותו אנו רוצים למצוא, ולכן יעיל לשימוש רק במקרים מסוימים. מכיוון שלרוב, ישנן מספר דרכים לפרק כל פונקציה למכפלה של שתי פונקציות, בחירה חכמה של פונקציות יכולה להיות הכרחית להצלחת השיטה. ככלל אצבע לא מחייב, כדאי לבחור את הפונקציה g ( x ) {\displaystyle g(x)} על פי הרשימה הבאה, בסדר יורד: פונקציות מעריכיות כדוגמת e x {\displaystyle e^{x}\!} , 13 x {\displaystyle 13^{x}\!} פונקציות טריגונומטריות כדוגמת sin ⁡ x , cos ⁡ x {\displaystyle \sin x,\cos x} פונקציות פולינומיות כדוגמת x 2 {\displaystyle x^{2}\!} , 3 x 50 {\displaystyle 3x^{50}\!} פונקציות טריגונומטריות הפוכות כדוגמת arctan ⁡ x , arcsec ⁡ x {\displaystyle \arctan x,\operatorname {arcsec} x} פונקציות לוגריתמיות כדוגמת log ⁡ x {\displaystyle \log x} (שלעיתים מסומנת כ- ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} ) נשים לב שככל שהפונקציות נמצאות במעלה הרשימה, יותר קל לגלות עבורן את הפונקציה הקדומה שלהן, צעד אשר הכרחי במהלך ביצוע האינטגרציה בחלקים. עם זאת, לא קיים אלגוריתם לביצוע אינטגרציה בחלקים וקיימים מקרים בהם עדיף לא לעקוב אחרי הסדר ברשימה. לכן יש להתייחס לרשימה זאת אך ורק בגדר כלל אצבע. דוגמה: אנו רוצים לחשב את האינטגרל ∫ x cos ⁡ ( n x ) d x {\displaystyle \int x\cos(nx)\,\mathrm {d} x} ולכן בהתאם לנוסחה ובהמשך ל"כלל האצבע" נבחר את המשתנים שלנו כך: המשתנים מהפונקציה המקורית יוגדרו: f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} , g ′ ( x ) = cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle g'(x)=\cos(nx)} ולכן נגדיר בהתאם: f ′ ( x ) = 1 {\displaystyle f'(x)=1} , g ( x ) = sin ⁡ ( n x ) n {\displaystyle g(x)={\frac {\sin(nx)}{n}}} ומכאן נקבל: x sin ⁡ ( n x ) n − ∫ sin ⁡ ( n x ) n d x = x sin ⁡ ( n x ) n + cos ⁡ ( n x ) n 2 {\displaystyle x{\frac {\sin(nx)}{n}}-\int {\frac {\sin(nx)}{n}}\,\mathrm {d} x=x{\frac {\sin(nx)}{n}}+{\frac {\cos(nx)}{n^{2}}}} = ∫ x cos ⁡ ( n x ) d x {\displaystyle \int x\cos(nx)\,\mathrm {d} x} דוגמה נוספת: אנו רוצים לחשב את האינטגרל ∫ arctan ⁡ ( x ) d x {\displaystyle \int \arctan(x)\,\mathrm {d} x} . כאן נדמה כי הפונקציה שאנו מוצאים לה אינטגרל היא יחידה ואין כאן מכפלה של פונקציות, ולכן אין דרך להשתמש בשיטת האינטגרציה בחלקים, אולם ניתן להסתכל על אינטגרל זה כעל האינטגרל ∫ 1 ⋅ arctan ⁡ ( x ) d x {\displaystyle \int 1\cdot \arctan(x)\,\mathrm {d} x} . כעת, נבחר את הפונקציות של המכפלה כך:   g ′ ( x ) = 1 , f ( x ) = arctan ⁡ ( x ) {\displaystyle \ g'(x)=1,f(x)=\arctan(x)} . פונקציה קדומה של   1 {\displaystyle \ 1} קל לחשב: למשל   x {\displaystyle \ x} . גם הנגזרת של arctan ⁡ ( x ) {\displaystyle \arctan(x)} ידועה: 1 1 + x 2 {\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}} . לכן נקבל:   ∫ 1 ⋅ arctan ⁡ ( x ) d x = x ⋅ arctan ⁡ ( x ) − ∫ x 1 + x 2 d x = x arctan ⁡ ( x ) − 1 2 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) + C {\displaystyle \ \int 1\cdot \arctan(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x=x\arctan(x)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C} ניתן להרחיב את הנוסחה של אינטגרציה בחלקים עבור משתנים מרובים. במקום לבצע אינטגרל על אינטרוול, יש לבצע אינטגרציה על קבוצה n {\displaystyle n} -ממדית. כמו כן, יש להחליף את הנגזרת בנגזרת חלקית. באופן מדויק יותר, נניח כי Ω {\displaystyle \Omega } היא תת-קבוצה פתוחה וחסומה של R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} עם שפה חלקה Γ {\displaystyle \Gamma } . אם u {\displaystyle u} ו- v {\displaystyle v} הן דיפרנציאביליות ברציפות בסגור של Ω {\displaystyle \Omega } אז הנוסחה של אינטגרציה החלקים ניתנת ע"י: ∫ Ω ∂ u ∂ x i v d Ω = ∫ Γ u v ν i d Γ − ∫ Ω u ∂ v ∂ x i d Ω , {\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}v\,\mathrm {d} \Omega =\int _{\Gamma }uv\,\nu _{i}\,\mathrm {d} \Gamma -\int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} \Omega ,} כאשר ν ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {\nu } }}} הוא הנורמל היוצא כלפי חוץ ל Γ {\displaystyle \Gamma } ו- ν i {\displaystyle \mathbf {\nu } _{i}} הוא הרכיב ה- i {\displaystyle i} -י של ν {\displaystyle \nu } כאשר i {\displaystyle i} נע בין 1 {\displaystyle 1} ל- n {\displaystyle n} . אינטגרל כלל לייבניץ שיטות אינטגרציה אינטגרציה בחלקים, באתר MathWorld (באנגלית)