השורש הריבועי של 3

השורש הריבועי של 3, אשר מסומן כ- 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} או 31/2, הוא המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-3. השורש הריבועי של 3 הוא מספר אי רציונלי. הוא ידוע גם בתור הקבוע של תיאודורוס, על שם תיאודורוס מקירנה, שהוכיח את האי-רציונליות שלו. נכון לדצמבר 2013, חושבו 10 מיליארד ספרות של 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} . 65 הספרות הראשונות של 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} : 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806 הספרות של 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} הן סדרה A002194 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים. השבר9756 (1.732142857...) הוא קירוב לשורש - הוא שונה מהערך הנכון בפחות מ-110,000 (בערך 9.2 × 10 − 5 {\displaystyle 9.2\times 10^{-5}} ). השבר 716035413403 (1.732 050 807 56...) הוא מדויק בכ-1100000000000 ( 1 10 11 {\displaystyle {\frac {1}{10^{11}}}} ). ארכימדס חישב טווח עבור הערך של השורש: ( 1351 780 ) 2 > 3 > ( 265 153 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {1351}{780}}\right)^{2}>3>\left({\frac {265}{153}}\right)^{2}} ; הגבול התחתון מדויק עבור 1608400 (6 ספרות אחרי הנקודה) והגבול העליון עבור 223409 (4 ספרות אחרי הנקודה). ניתן לבטא אותו כשבר משולב [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (סדרה A040001 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). ולכן ניתן לומר כי: [ 1 2 1 3 ] n = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}} וכאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } : 3 = 2 ⋅ a 22 a 12 − 1 {\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a_{22}}{a_{12}}}-1} ניתן לבטא אותו גם כשבר משולב מוכלל כגון: [ 2 ; − 4 , − 4 , − 4 , . . . ] = 2 − 1 4 − 1 4 − 1 4 − ⋱ {\displaystyle [2;-4,-4,-4,...]=2-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-{\cfrac {1}{4-\ddots }}}}}}} ניתן למצוא את השורש הריבועי של 3 כאורך הצלעות של משולש שווה-צלעות החוסם מעגל בקוטר 1. אם משולש שווה-צלעות בעל צלעות באורך 1 נחתך לשני חצאים שווים, על ידי חציית זווית פנימית כדי ליצור זווית ישרה עם הצלע שמולה, היתר של המשולש ישר-הזווית הוא באורך 1 ואורכן של הצלעות הוא 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} ו- 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} . מכאן, טנגנס של 60° שווה ל- 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , והסינוס של 60° והקוסינוס של 30° שווים ל- 3 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} . השורש הריבועי של 3 מופיע גם בביטויים אלגבריים עבור קבועים טריגונומטריים אחרים, כולל הסינוסים של 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° ו-87°. 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} הוא המרחק בין צלעות מקבילות של משושה משוכלל בעל צלעות באורך 1. זהו אורך האלכסון הפנימי של קוביית יחידה. לווסיקה פיסקיס יש יחס בין הציר העיקרי לציר הקטן השווה ל- 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} :1. ניתן להראות זאת על ידי בניית שני משולשים שווי-צלעות בתוכו. בהנדסת הספק, המתח בין שתי פאזות במערכת תלת-פאזית הוא פי 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} מהמתח לקו הנייטרלי. הסיבה לכך היא שכל שתי פאזות נמצאות במרחק של 120° זה מזה, ושתי נקודות במעגל המרוחקות 120 מעלות זו מזו מופרדות במרחק שגדול פי 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} מהרדיוס. השורש הריבועי של 2 מדיה וקבצים בנושא השורש הריבועי של 3 בוויקישיתוף השורש הריבועי של 3, באתר MathWorld (באנגלית) S., D.; Jones, M. F. (1968). "22900D approximations to the square roots of the primes less than 100". Mathematics of Computation. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806. Uhler, H. S. (1951). "Approximations exceeding 1300 decimals for 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} , sin ⁡ ( π 3 ) {\displaystyle \sin({\frac {\pi }{3}})} and distribution of digits in them". Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 37 (7): 443–447. doi:10.1073/pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382. Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (Revised ed.). London: Penguin Group. p. 23. Archimedes and the Square Root of 3 Department of Mathematics | King’s College London Łukasz Komsta. "Computations | Łukasz Komsta". komsta.net. נבדק ב-24 בספטמבר 2016. {{cite web}}: (עזרה) Knorr, Wilbur R. (1976), "Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation", Archive for History of Exact Sciences, 15 (2): 115–140, doi:10.1007/bf00348496, JSTOR 41133444, MR 0497462, S2CID 120954547. Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds