פוטנציאל חשמלי

באלקטרוסטטיקה, הפוטנציאל החשמלי (מסומן לרוב ב-   ϕ {\displaystyle \ \phi } או ב- φ {\displaystyle \varphi } ) הוא האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית ליחידת מטען. בעבור מטען בוחן, אותו נהוג לסמן באות q, פוטנציאל חשמלי בכל נקודה הוא היחס בין האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית של מטען הבוחן q, לבין גודל המטען. בדומה לאנרגיה פוטנציאלית, הפוטנציאל החשמלי נקבע רק על ידי קבוע, התלוי בנקודת יחוס שניתנת לבחירה. לכן, הגודל בעל המשמעות הפיזיקלית אינו הפוטנציאל עצמו (שכאמור, לערכו האבסולוטי אין חשיבות), אלא: ההפרש בין ערכי הפוטנציאל בנקודות שונות, הפרש המכונה מתח חשמלי. גודל זה הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע כנגד הכוח החשמלי, כדי להעביר מטען בוחן בין הנקודות. בעבור גופים סופיים, מקובל לקבוע את הפוטנציאל כך שהוא מקבל ערך אפס ב"אינסוף" (באופן מעשי: במרחק גדול מן המערכת הפיזיקלית); ובמקרה זה הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי שווה לעבודה (ליחידת מטען) שיש לבצע כנגד הכוח החשמלי, כדי להביא לנקודה זו מטען בוחן מהאינסוף. הפוטנציאל החשמלי הוא פונקציה סקלרית של המרחב (כלומר: φ = φ ( r → ) {\displaystyle \varphi =\varphi ({\vec {r}})} ). הפוטנציאל נמדד ביחידות של וולט במערכת היחידות SI, ובסטטוולט במערכת היחידות CGS. השדה החשמלי האלקטרוסטטי E → {\displaystyle {\vec {E}}} הוא שדה משמר (מקיים ∇ → × E → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=0} ). מכאן נובע קיומה של פונקציה סקלרית   ϕ {\displaystyle \ \phi } מתוכה ניתן לגזור את השדה החשמלי על ידי E → = − ∇ → ϕ {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi } . פונקציה זו היא הפוטנציאל החשמלי. את הפוטנציאל החשמלי ניתן לחשב על ידי קביעת ערכו באופן שרירותי בנקודה מסוימת ϕ ( r → 0 ) = 0 {\displaystyle \phi ({\vec {r}}_{0})=0} , ולאחר מכן ערכו בכל נקודה אחרת יחושב על ידי אינטגרציה של השדה החשמלי: ϕ ( r → ) = − ∫ r → 0 r → E → ⋅ d r → {\displaystyle \phi \left({\vec {r}}\right)=-\int _{{\vec {r}}_{0}}^{\vec {r}}{\vec {E}}\cdot d{\vec {r}}} כאשר האינטגרציה מתבצעת על גבי מסילה כלשהי המחברת בין הנקודות r → 0 , r → {\displaystyle {\vec {r}}_{0},{\vec {r}}} . הפוטנציאל החשמלי סביב מטען נקודתי   q {\displaystyle \ q} הוא k q r {\displaystyle {\frac {kq}{r}}} , כאשר   r {\displaystyle \ r} הוא המרחק מן המטען, ו-   k {\displaystyle \ k} קבוע קולון. הפוטנציאל החשמלי שיוצר תיל "אינסופי" טעון בצפיפות מטען   λ {\displaystyle \ \lambda } הוא   − 2 k λ ln ⁡ ( r r 0 ) {\displaystyle \ -2k\lambda \ln \left({\frac {r}{r_{0}}}\right)} , כאשר   r {\displaystyle \ r} הוא המרחק מהתיל ו-   r 0 {\displaystyle \ r_{0}} נקודת יחוס שרירותית בה הפוטנציאל מתאפס (בדוגמה זו הגוף הטעון איננו סופי ולכן ההגדרה φ ( ∞ ) = 0 {\displaystyle \varphi (\infty )=0} אינה נוחה). ביטוי שקול הוא − 2 k λ l n ( r ) + C {\displaystyle -2k\lambda ln(r)+C} כאשר C {\displaystyle C} הוא קבוע אינטגרציה. הפוטנציאל החשמלי הוא לא האנרגיה הפוטנציאלית אלא האנרגיה הפוטנציאלית מחולקת במטען. לכן למכפלה q φ ( r → ) {\displaystyle q\varphi ({\vec {r}})} יש משמעות של האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית שיש למטען q {\displaystyle q} כשהוא נמצא בנקודה r → {\displaystyle {\vec {r}}} (הקשר בין פוטנציאל ואנרגיה, דומה, אם כן, לקשר בין השדה החשמלי לכוח החשמלי). כיוון שיש חופש בבחירת נקודת יחוס בה הפוטנציאל מתאפס, רק להפרשי פוטנציאל בין נקודות שונות יש משמעות פיזיקלית. הפרש זה, הקרוי מתח, הוא העבודה ליחידת מטען שיש להשקיע כנגד השדה החשמלי על מנת להעביר מטען בוחן בין שתי הנקודות. מקובל לקבוע את הפוטנציאל כך שהוא מתאפס ב"אינסוף" (במרחק גדול מן המערכת הפיזיקלית) ובמקרה זה הפוטנציאל החשמלי בנקודה כלשהי הוא העבודה ליחידת מטען שיש לבצע על מנת להביא לנקודה זו מטען בוחן מהאינסוף. צורת הפוטנציאל קובעת את האופן בו ינועו מטענים. סימן המינוס בהגדרת הפוטנציאל גורם לכך שמטענים חיובים ינועו מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך ואילו מטענים שליליים ינועו מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה. באופן מדויק יותר, הכוח שיפעל על המטענים הוא בכיוון גרדיאנט הפוטנציאל עבור מטען שלילי ובכיוון הפוך לכיוון הגרדיאנט עבור מטען חיובי ( F → = q E → = − q ∇ → ϕ ) {\displaystyle ({\vec {F}}=q{\vec {E}}=-q{\vec {\nabla }}\phi )} . מחוק גאוס נובע כי הפוטנציאל החשמלי מקיים את משוואת פואסון: ∇ 2 ϕ = − 4 π k ρ {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-4\pi k\rho } . כאשר   ρ {\displaystyle \ \rho } צפיפות המטען במרחב ו-   k {\displaystyle \ k} קבוע קולון. בהינתן התפלגות מטען כלשהי   ρ {\displaystyle \ \rho } , פתרון המשוואה עבור הפוטנציאל הוא: ϕ ( r → ) = k ∫ ρ ( r → ′ ) | r → − r → ′ | d r → ′ {\displaystyle \phi ({\vec {r}})=k\int {\frac {\rho ({\vec {r}}^{'})}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{'}|}}d{\vec {r}}^{'}} בנוכחות שדה מגנטי משתנה בזמן, השדה החשמלי אינו שדה משמר ומתקיים: ∇ → × E → = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} . לכן לא ניתן להגדיר פוטנציאל חשמלי באופן דומה למקרה האלקטרוסטטי ממנו ניתן לגזור את השדה החשמלי על ידי E → = − ∇ → ϕ {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi } . למרות זאת, ניתן במקרה זה לגזור את השדה החשמלי מתוך הפוטנציאל הווקטורי A → {\displaystyle {\vec {A}}} והכללה כלשהי של הפוטנציאל החשמלי (פוטנציאל סקלרי   ϕ {\displaystyle \ \phi } ). אף על פי שהשדה החשמלי אינו משמר, השדה E → + ∂ A → ∂ t {\displaystyle {\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}} כן משמר וניתן לגזור אותו מתוך פוטנציאל סקלרי: E → + ∂ A → ∂ t = − ∇ → ϕ {\displaystyle {\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\phi } . כלומר במקרה זה, אין לפוטנציאל החשמלי משמעות של אנרגיה, אך ניתן להיעזר בו ובפוטנציאל הווקטורי על מנת לקבל את השדה החשמלי: E → = − ∂ A → ∂ t − ∇ → ϕ {\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-{\vec {\nabla }}\phi } כיוון שהשדה החשמלי נגזר מתוך שילוב של הפוטנציאל הווקטורי והסקלרי, חופש הכיול של הפוטנציאל הווקטורי גורר גם חופש כיול לפוטנציאל הסקלרי. כלומר הפוטנציאלים A → + ∇ → Λ , ϕ − ∂ Λ ∂ t {\displaystyle {\vec {A}}+{\vec {\nabla }}\Lambda ,\phi -{\frac {\partial \Lambda }{\partial t}}} (עבור   Λ {\displaystyle \ \Lambda } כלשהי) מתארים אותם שדות חשמליים ומגנטיים כמו A → , ϕ {\displaystyle {\vec {A}},\phi } . בניסוח יחסותי של האלקטרומגנטיות, מאוגדים הפוטנציאל הסקלרי והווקטורי ל-4-וקטור A μ = ( ϕ , A → ) {\displaystyle A^{\mu }=(\phi ,{\vec {A}})} . 4-וקטור הפוטנציאל משמש להגדרת טנזור השדה האלקטרומגנטי. מתח חשמלי פוטנציאל וקטורי (פיזיקה) שדה חשמלי הארקה פוטנציאל חשמלי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אלקטרוסטטיקה, דף שער בספרייה הלאומית מטען שאינו חלק מהמערכת ולכן אינו משפיע עליה, אלא שהוא מוצב בנקודה המדוברת רק לצורך חישוב או המחשה של גודל הפוטנציאל החשמלי באותה נקודה. כל הנוסחאות בערך זה הן במערכת היחידות SI