השערת גולדבך החלשה

הגרסה החלשה של השערת גולדבך (נקראת גם השערת גולדבך האי־זוגית, השערת גולדבך המשולשת, בעיית שלושת הראשוניים והשערת גולדבך החלשה) היא משפט בתורת המספרים, שלפיו כל מספר אי־זוגי שגדול מ־5 הוא סכום של שלושה מספרים ראשוניים. ההשערה הופיעה בהתכתבות בין כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, יחד עם השערת גולדבך הרגילה. ההתקדמות המהותית הראשונה לעבר הוכחת ההשערה נעשתה ב־1922 על ידי הארדי וליטלווד. ב־1937 הוכיח איוואן וינוגרדוב כי ההשערה מתקיימת עבור מספרים שגדולים מקבוע מסוים C {\displaystyle C} . לאחר מכן מתמטיקאים רבים שיפרו את החסמים על הקבוע, עד שלבסוף ב־2013 הצליח הראלד הלפגוט לסגור את הפער בין החסם התאורטי לגבולות הבדיקה החישובית, ולהוכיח בכך את ההשערה. השערת גולדבך החלשה נקראת כך כי קל להסיק אותה מהשערת גולדבך, שאומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. למעשה השערת גולדבך שקולה לטענה שכל מספר טבעי שגדול מ־5 הוא סכום של 3 ראשוניים. מהשערת גולדבך החלשה נובע שכל מספר טבעי שגדול מ־7 הוא סכום של 4 ראשוניים. השערת גולדבך החלשה נובעת מהשערת גולדבך הרגילה, האומרת שכל מספר זוגי שגדול מ־2 הוא סכום של שני ראשוניים. ואומנם אם n {\displaystyle n} מספר אי־זוגי שגדול מ־5 אז n − 3 {\displaystyle n-3} הוא מספר זוגי שגדול מ־2 ולכן אם השערת גולדבך תקפה אז n − 3 = p + q {\displaystyle n-3=p+q} עבור p {\displaystyle p} ו־ q {\displaystyle q} ראשוניים ומכאן ש n = p + q + 3 {\displaystyle n=p+q+3} . באופן דומה קל להראות שהשערת גולדבך החלשה גוררת שכל מספר זוגי שגדול מ־6 הוא סכום של ארבעה ראשוניים (שהרי 8=2+2+2+2 וכל מספר זוגי שגדול יותר אפשר להציג בצורה 3+a כאשר a אי־זוגי שגדול מ־5). הן הגרסה החלשה והן הגרסה החזקה של השערת גולדבך קשורות לקבוע שנירלמן, שהוא המספר k {\displaystyle k} הקטן ביותר כך שכל מספר טבעי שגדול מ־1 הוא סכום של לא יותר מ־ k {\displaystyle k} ראשוניים. הקבוע נקרא על שם לב שנירלמן, שהוכיח (באמצעות צפיפות שנירלמן) שקיים קבוע כזה. לאחר הוכחתו של שנירלמן, מתמטיקאים רבים שיפרו את הקבוע. השערת גולדבך החלשה גוררת שקבוע שנירלמן לא עולה על 4. עד הוכחתו של הלפגוט החסם הטוב ביותר על קבוע שנירלמן היה 6 (טאו 2012) השערת גולדבך עצמה גוררת שקבוע שנירלמן שווה ל־3. ברור שקבוע שנירלמן לא יכול להיות קטן מ־3. ישנה גרסה מעט חזקה יותר של השערת גולדבך החלשה, הטוענת כי כל מספר אי־זוגי שגדול מ־7 הוא סכום של 3 מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הוכחתו של הלפגוט תקפה גם עבור גרסה זו. מקור הטענה במכתב ששלח כריסטיאן גולדבך ללאונרד אוילר ב־1742, ובו הועלתה האפשרות שניתן לכתוב כל מספר שלם כסכום של שלושה מספרים ראשוניים (לרבות, במשתמע, המספר 1, שבדרך כלל אינו נחשב ראשוני). במכתב התשובה ציטט אוילר השערה אחרת של גולדבך, שעל־פי ניסוחה המקובל היום, ניתן להציג כל מספר זוגי כסכום של שני מספרים ראשוניים אי־זוגיים. הגרסה החלשה נובעת מהשערת גולדבך, משום שאפשר לכתוב כל מספר אי־זוגי כסכום של הראשוני 3 ועוד מספר זוגי. הבעיה תוארה על ידי אדמונד לנדאו ב־1912 כ"בלתי ניתנת להשגה". ב־1925 נשא לנדאו בירושלים הרצאה תמציתית בנושא זה לרגל פתיחת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית. ב־1922 הוכיחו הארדי וליטלווד שאם מניחים את השערת רימן המוכללת, אפשר להציג כל מספר אי־זוגי גדול מספיק כסכום של שלושה ראשוניים. ההוכחה של הארדי וליטלווד לא נתנה חסם מפורש למספר שממנו ההשערה נכונה. עם זאת ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם מניב את החסם 1.24 ⋅ 10 50 {\displaystyle 1.24\cdot 10^{50}} . איוואן וינוגרדוב הצליח להסיר את הנחת השערת רימן המוכללת ב־1937. ההוכחה של וינוגרדוב לא נתנה חסם לערך שאחריו ההשערה נכונה. תלמידו של וינוגרדוב, קונסטנטין בורוזדקין (Borozdkin), הצליח לתת כזה חסם ב־1939. החסם עמד על e e e 41.96 {\displaystyle e^{e^{e^{41.96}}}} . ב־1956 שיפר בורוזדקין את הערך ל e e 16.038 {\displaystyle e^{e^{16.038}}} . החסם שופר ל־ e e 11.503 ≈ 3.33 ⋅ 10 43000 {\displaystyle e^{e^{11.503}}\approx 3.33\cdot 10^{43000}} ‏ (Chen-Wang, 1989) ושוב ל־ e e 9.715 ≈ 6 ⋅ 10 7193 {\displaystyle e^{e^{9.715}}\approx 6\cdot 10^{7193}} ‏ (Chen-Wang, 1996). ב־2002 שופר החסם ל־ e 3100 ≈ 2 ⋅ 10 1346 {\displaystyle e^{3100}\approx 2\cdot 10^{1346}} ‏ על ידי Liu-Wang, אולם הפער בין מספר זה לבין המספר הגדול ביותר שנבדק עד כה נותר גדול. ב־1997 הצליחו דשוילארס, אפינגר, רילה וזינובייב לסגור את הפער אם מניחים את השערת רימן המוכללת: זינובייב הוריד את החסם ל 10 20 {\displaystyle 10^{20}} (בהנחת השערת רימן). לאחר מכן דשוילארס ורילה בדקו בעזרת מחשב את השערת גולדבך הרגילה עד 10 13 {\displaystyle 10^{13}} וארבעתם הסיקו מהבדיקה הזאת (שוב בהנחת השערת רימן) את נכונות השערת גולדבך החלשה עד 10 20 {\displaystyle 10^{20}} . בשנת 1998 חזר Yannick Saouter על הסקת נכונות השערת גולדבך החלשה עד 10 20 {\displaystyle 10^{20}} ללא שימוש בהשערת רימן. בשנים 2012 ו־2013 הוכיח הראלד הלפגוט את השערת גולדבך החלשה בשלושה מאמרים. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב שביצע יחד עם פלאט באותו הזמן. שני המאמרים הראשונים הוקדשו לשיפור החסמים הנחוצים להוכחה. מאמרים אלו לא התבססו על השערת רימן. שיפור החסמים התאפשר בין היתר בזכות בדיקה ממוחשבת של השערת רימן המוכללת (עבור מספר סופי של פונקציות זטא) עד לגובה מסוים במישור המרוכב. בשנת 2013 בדקו הלפגוט ופלאט את תקפותה של השערת גולדבך החלשה עד 10 30 {\displaystyle 10^{30}} . הם השתמשו בשיטה דומה לשיטתו של Saouter לבדיקה של השערת גולדבך החלשה עד 10 20 {\displaystyle 10^{20}} . במאמר האחרון הוכיח הלפגוט את ההשערה למספרים שגדולים מ־ 10 29 {\displaystyle 10^{29}} (בגרסה של המאמר מ-2014 החסם שופר ל 10 27 {\displaystyle 10^{27}} ) ללא הנחת השערת רימן המוכללת, ובכך סגר את ההשערה באופן מלא. בנספח למאמר זה מתאר הלפגוט שיטה נוספת לבדיקת ההשערה עד 10 27 {\displaystyle 10^{27}} . שיטה זו התבססה על מאמר חישובי אחר של פלאט שנכתב באותו הזמן. להלן טבלה המסכמת את התוצאות המיטביות הנוגעות לבעיה במהלך השנים. הטבלה מבוססת על סקירה היסטורית בספרו של הלפגוט. ייתכנו תוצאת היסטוריות שלא מופיעות בה. התוצאות מותנות בהשערת רימן המוכללת. התוצאות המודגשות בכל שורה הן אלה שהוכחו בשנה המתאימה. היתר הועתקו לצורך השוואה. תוצאות שלא פורסמו באופן מלא. תוצאות מותנות בהשערת רימן המוכללת שלא פורסמו באופן מלא. תוצאות שלא פורסמו אך ניתן היה להסיקן בקלות מתוצאות שהיו ידועות באותה עת. תוצאות שלא פורסמו אך ניתן היה להסיקן בקלות מתוצאות שהיו ידועות באותה עת בהסתמך עלֹ השערת רימן המוכללת. הגרפים הבאים מסכמים את התוצאות שבטבלה: ההוכחה של הלפגוט, כמו גם כמעט כל ההוכחות החלקיות הקודמות, מבוססת על השיטה הבאה: בוחרים פונקציית משקל על הטבעיים w ( n ) {\displaystyle w(n)} ומנסים לשערך את הסכום f ( n ) = ∑ p + q + l = n w ( p ) w ( q ) w ( l ) {\displaystyle f(n)=\sum _{p+q+l=n}w(p)w(q)w(l)} כאשר p + q + l = n {\displaystyle p+q+l=n} ו־ p , q , l {\displaystyle p,q,l} ראשוניים. כדי להראות ש n {\displaystyle n} הוא סכום של 3 ראשוניים די להראות ש f ( n ) > 0 {\displaystyle f(n)>0} . שיטת השערוך מבוססת על טור פורייה. התוצאה המתקבלת היא מהצורה f ( n ) = g ( n ) + r ( n ) {\displaystyle f(n)=g(n)+r(n)} כאשר g ( n ) {\displaystyle g(n)} היא פונקציה מפורשת כלשהי ו־ r ( n ) {\displaystyle r(n)} הוא איבר השגיאה החסום על ידי פונקציה מפורשת h ( n ) {\displaystyle h(n)} . מכאן שהשערת גולדבך נכונה כאשר g ( n ) > h ( n ) {\displaystyle g(n)>h(n)} . מוכיחים שזה קורה עבור n > C {\displaystyle n>C} אי־זוגי כאשר C {\displaystyle C} קבוע מסוים ואז בודקים את ההשערה עד C {\displaystyle C} . החלק העמוק והמרכזי בהוכחה הוא השיערוך של f ( n ) {\displaystyle f(n)} בעוד שבדיקת ההשערה עד C {\displaystyle C} היא משימה חישובית ביסודה. עם זאת שני החלקים דרשו הן רעיונות מתמטיים והן חישוב מסיבי בעזרת מחשב. השיטה לשערוך f ( n ) {\displaystyle f(n)} נקראת שיטת המעגל של הארדי וליטלווד. היא מבוססת על שערוך של טור החזקות α ( z ) := ∑ f ( n ) z n {\displaystyle \alpha (z):=\sum f(n)z^{n}} על מעגל היחידה במישור המרוכב. קל לראות ש α ( z ) := β ( z ) 3 {\displaystyle \alpha (z):=\beta (z)^{3}} כאשר β ( z ) = ∑ p  is prime w ( p ) z p {\displaystyle \beta (z)=\sum _{p{\text{ is prime}}}w(p)z^{p}} לכן די לשערך את β {\displaystyle \beta } על מעגל היחידה. למעשה עובדים עם גרסאות של הפונקציה β {\displaystyle \beta } שבהן הסכום הוא לא רק על ראשוניים אלא עלֹ מחלקה רחבה יותר של מספרים, למשל חֲזקות של ראשוניים. שערוך של גרסאות אלה יוביל לשערוך מספר הדרכים (המשוקלל) שבהן ניתן להציג מספר כסכום של 3 מספרים מהמחלקה המתאימה. אז נותר להוכיח שהתרומה של המספרים שאינם ראשוניים זניחה. ההוכחה המקורית של הארדי וליטלווד התבססה על ניתוח של הערך של β {\displaystyle \beta } בשורשי יחידה. ניתוח זה מצריך ידע על התפלגות ראשוניים בסדרות חשבוניות. השערת רימן המוכללת נותנת ידע כזה. למעשה יש צורך בהשערת רימן הקאלסית ובהשערת רימן המוכללת עבור פונקציות זטא של דדקינד עבור הרחבות ציקלוטומיות של Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . לפי משפט הקירוב של דיריכלה ניתן לכסות את מעגל היחידה בקשתות שמרכזיהן הם שורשי יחידה ורדיוסיהן הם כאחד חלקי סדר השורש בריבוע. בהתבסס עלֹ זה הצליחו הארדי וליטלווד להרחיב את השערוך של β {\displaystyle \beta } לכל מעגל היחידה. הרעיון בהוכחה של וינוגרדוב היה לחלק את השערוך לשני חלקים: שערוך β {\displaystyle \beta } סביב שורשי יחידה ממעלה נמוכה. קשתות אלה נקראות "הקשתות גדולות" ואיחודן מסומן בדרך כלל ב M {\displaystyle {\mathfrak {M}}} . שערוך β {\displaystyle \beta } בשאר הנקודות. קבוצת נקודות אלו נקראת "הקשתות הקטנות" ומסומנת בדרך כלל ב־ m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} . וינוגרדוב מצא דרך אחרת להתמודד עם הקשתות הקטנות, המבוססת על שיטות נפה. כיוון שמספר הקשתות הגדולות סופי, נדרש שערוך פחות מדויק עבורן. לכן ניתן להחליף את השערת רימן המוכללת במשפטים אודות אי־התאפסות של פונקציות זטא (של רימן ושל דדקינד) באזורים מסוימים במישור המרוכב. ההוכחה המקורית של וינוגרדוב הסתמכה על תופעת דורינג–הילבורן (Deuring–Heilbronn phenomenon), לפיה קיום של אפס המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת מבטיח אי־התאפסות של פונקציות זטה מסוימות בתחומים מסוימים. כך שאפשר לחלק את ההוכחה לשני מקרים: אם השערת רימן המוכללת נכונה, אז משתמשים בהוכחה של הארדי וליטלווד. אם השערת רימן המוכללת איננה נכונה, אז משתמשים באפס α {\displaystyle \alpha } המהווה דוגמה נגדית להשערת רימן המוכללת כדי לקבל תחומי אי־התאפסות של פונקציות זטה שבהם משתמשים כדי לחסום את התרומה של הקשתות הגדולות. החיסרון בשיטה זאת, הוא שאין דרך לדעת איפה נמצא α {\displaystyle \alpha } ולכן תחומי האי־התאפסות אינם מפורשים. זאת הסיבה שהוכחה זו אינה נותנת חסם על המקום שממנו השערת גולדבך החלשה מתקיימת.  בהוכחות מאוחרות יותר הוחלף השימוש בתופעת דורינג–הילבורן במשפטים אחרים הנותנים תחומים מפורשים של אי־התאפסות, ולכן הן נותנות חסמים מפורשים (אם כי גבוהים מאוד). אחד החידושים בהוכחה של הלפגוט היא שבהוכחתו הוא משתמש, בנוסף לאֲזורי האי־התאפסות שהשתמשו בהם בהכחות הקודמות גם בעובדה שלפונקציית זטא אין אפסים לא טריוויאליים מחוץ לישר הקריטי בעלי ערך מדומה קטן (בערכו המוחלט) מקבוע מסוים (סדר גודל של 10 8 {\displaystyle 10^{8}} ; עבור כ־ 10 5 {\displaystyle 10^{5}} פונקציות זטא שונות). בדיקה של אי־התאפסות זו התבצעה בשנת 2011 על ידי פלאט בעזרת מחשב. בהתבסס על כך הצליח הלפגוט לשפר את החסמים על הקשתות גדולות. כמו כן הלפגוט שיפר את החסמים על הקשתות הקטנות. המספרים שעד אֲליהם צריך לבדוק את השערת גולדבך הם גדולים למדי ( C = 10 27 {\displaystyle C=10^{27}} בהוכחה של הלפגוט). לא ניתן לעבור על כמות כזאת של מספרים במחשב מודרני בהשקעה סבירה. קשה עוד יותר לבצע חישוב לא טריוויאלי כלשהו בשבילם. לכן אסטרטגיית הבדיקה צריכה להיות מתוחכמת יותר: בשלב הראשון מבצעים בדיקה של השערת גולדבך הרגילה עד למספר גדול יחסית M {\displaystyle M} . בדיקה זאת מתבצעת על ידי גרסאות של נפת ארטוסתנס. השיא הנוכחי הושג ב־2013 על ידי אוליברה, סילבה הרצוג ופראד ועומד על M = 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle M=4\cdot 10^{18}} . כדי להסיק את השערת גולדבך החלשה עד קבוע C {\displaystyle C} די להראות שההפרש המקסימלי בין שני ראשוניים עוקבים עד C {\displaystyle C} קטן מ M {\displaystyle M} . מכאן יש שתי גישות: אם מניחים את השערת רימן קל יחסית לקבל תוצאה כזאת עבור C {\displaystyle C} מסדר גודל קרוב ל־ M 2 {\displaystyle M^{2}} . בשביל M {\displaystyle M} ו־ C {\displaystyle C} מסוימים די לבדוק את השערת רימן עד לגובה מסוים במישור המרוכב. עבור M {\displaystyle M} ו־ C {\displaystyle C} בהוכחה של הלפגוט, הגובה שעד אליו צריך לבדוק את השערת רימן הוא כ־ 10 10 {\displaystyle 10^{10}} . ניתן לבצע זאת באמצעות מחשב וזאת הייתה אחת הדרכים שבהן השתמש הלפגוט בהוכחתו. אם מניחים השערות חזקות בנוגע לפערים בין שני ראשוניים עוקבים אז ניתן להסתפק בערכים קטנים יותר של M {\displaystyle M} כדי להבטיח את תקפות ההשערה עד קבוע שגדול בהרבה מ־ C {\displaystyle C} . לדוגמה השערה מרחיקת לכת של Firoozbakht גוררת שאם השערת גולדבך נכונה עד M {\displaystyle M} אז השערת גולדבך החלשה נכונה עד e M {\displaystyle e^{\sqrt {M}}} . לכן כבר ב־1989 הערך שעד אליו נבדקה השערת גולדבך היה מספיק (בהנחת השערת Firoozbakht) כדי להבטיח את נכונותה של השערת גולדבך החלשה עד לערך ממנו הוכחה. גישה נוספת היא למצוא באופן מפורש סדרה של ראשוניים שההפרש בין שני איברים עוקבים שלה קטן מ־ M {\displaystyle M} . בשביל זה ניתן להגריל מספרים בסדרי הגודל המבוקשים ולבדוק את ראשוניותם. לפי משפט המספרים הראשוניים סביר להניח שמספר המספרים שצריך להגריל גדול רק פי log ⁡ ( C ) {\displaystyle \log(C)} ממספר הראשוניים שצריך למצוא, כלומר בסך־הכול log ⁡ ( C ) C M {\displaystyle {\frac {\log(C)C}{M}}} . אמנם מאז 2002 ניתן, במבחן AKS לראשוניות, לבדוק את ראשוניותו של מספר בזמן פולינומי במספר הספרות, אך עדיין מדובר באלגוריתם איטי למדי ולא פרקטי במקרה זה. אולם ניתן להגריל מספרים מסוג מסוים שקל יותר לבדוק את ראשוניותם. הסוג שנבחר על ידי הלפגוט ופלאט הם מספרי פרות (Proth number). מספר פרות הוא מספר מהסוג k ⋅ 2 n + 1 {\displaystyle k\cdot 2^{n}+1} כאשר k < 2 n {\displaystyle k<2^{n}} . בזכות משפט פרות קל מאוד לבדוק את הראשוניות של מספר כזה. ההוכחה התבססה בין היתר על חישוב מסיבי בעזרת מחשב. כך שבנוסף לשאלות רגילות הנוגעות לאמינות הטיעונים והתוכנה הנבחנות בכלים הרגילים של ביקורת עמיתים וקבלה על ידי הקהילה, עלתה גם שאלת אמינות החישוב עצמו ורגישותו לטעויות חומרה. הסבירות שמחשב יטעה בחישוב נמוכה מאוד אך לא אפסית. לכן כשמבצעים כמות גדולה כל כך של חישובים טעויות כאלה קורות. הלפגוט נדרש לשאלה זאת, ולכן בחר להסתמך על חישובים שהתבצעו פעמיים, ובמקרה (הנדיר) שהניבו תוצאות שונות נבדקו פעם שלישית. כמו כן הוא העדיף חישוב שהתבצע על ידי מחשב על מאשר על ידי חישוב מבוזר במחשבים רגילים. הוא מצא שבעוד שבמחשבים רגילים היו מספר מקרים של תוצאת שלא התאימו זו לזו, ההתאמה במחשבי העל הייתה מושלמת. באופן כללי, סיבה מרכזית לטעויות חומרה היא הקרינה קוסמית. קל יותר להגן על מחשב על אחד מקרינה קוסמית מאשר על מספר רב של מחשבים רגילים. כמו כן, ככל שכל טרנזיסטור קטן יותר ומהיר יותר (כמו במחשבי-על) הסבירות לטעות בחישוב בודד נמוכה יותר. The ternary Goldbach problem – ספר שכתב הלפגוט, המתאר את פתרונה של הבעיה וההיסטוריה שלה. Schnirelmann, L.G. (1933). "Über additive Eigenschaften von Zahlen". Math. Ann. . 107: 649–690. doi:10.1007/BF01448914. Zbl 0006.10402. טרנס טאו Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes E. Landau. Geloste und ungeloste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion. In Proceedings of the fifth Itnernational Congress of Mathematicians, volume 1, pages 93–108. Cambridge, 1912 אדמונד לנדאו. "שאלות פתוחות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית" “Open and Closed Problems in the Elementary Theory of Numbers”. https://www.imu.org.il/history-of-mathematics-in-israel G. H. Hardy and J. E. Littlewood. Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math., 44(1):1–70, 1922. G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 I. M. Vinogradov. Representation of an odd number as a sum of three primes. Dokl. Akad. Nauk. SSR, 15:291–294, 1937. Vinogradov, Ivan Matveevich (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Translated, revised and annotated by K. F. Roth and Anne Davenport. London and New York: Interscience. MR 0062183. לפי N. G. Chudakov. Introduction to the theory of Dirichlet L-functions. OGIZ, Moscow-Leningrad, 1947 התוצאה הוצהרה ב-K. G. Borodzkin. On the problem of I. M. Vinogradov’s constant (in Russian). In Proc. Third All-Union Math. Conf., volume 1, page 3. Izdat. Akad. Nauk SSSR, Moscow, 1956. ללא הוכחה J. R. Chen and T. Z. Wang, On odd Goldbach problem, Acta Math. Sinica 32 (1989), 702–718 J. R. Chen and T. Z. Wang. The Goldbach problem for odd numbers. Acta Math. Sinica (Chin. Ser.), 39(2):169–174, 1996. M.-Ch. Liu and T. Wang. On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture. Acta Arith., 105(2):133–175, 2002. J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997. Dmitrii Zinoviev, On Vinogradov's Constant in Goldbach's Ternary Problem Helfgott, H.A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". http://arxiv.org/abs/1205.5252 Helfgott, H.A. (2012). "Major arcs for Goldbach's theorem". http://arxiv.org/abs/1305.2897 D. Platt. Computing degree 1 L-functions rigorously. PhD thesis, Bristol University, 2011. H. A. Helfgott and David J. Platt. Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 · 1030. Exp. Math., 22(4):406–409, 2013. H. A. Helfgott. The Ternary Goldbach Conjecture is true. Preprint. Available as arXiv:1312.7748. D. Platt. Computing π(x) analytically. To appear in Math. Comp.. Available as arXiv:1203.5712. למעשה היו עבודות חישוביות קודמות שגם התאימו למטרה זאת, אולם הלפגוט בחר את עבודתו של פלאט כי ראה בה כיותר אמינה בעמודה השנייה מספיקה השערת רימן הקלאסית ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה ומטבלאות הראשוניים שהיו זמינות באותה עת. Desboves, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} Haussner, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} המאמר המקורי של הארדי וליטלווד לא מציין חסם מפורש, אולם ניתוח מאוחר יותר של הוכחתם שנעשה ב-G. Effinger. Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 מקבל תוצאה זאת קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות השערת ברטראן לפי . Some numerical implications of the Hardy and Littlewood analysis of the 3-primes problem. Ramanujan J., 3(3):239–280, 1999 ב. לוק (תלמידו של לנדאו) קיבל תוצאה זאת בתזת הדוקטורט שלו. Pipping, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} Pipping, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות משפט של Nagura מ־1952 ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של Nagura מ־1952. Shen, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} Stein ו-Stein, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} הוכח על ידי Klimov. כך לפי הלפגוט הוכח על ידי Klimov, G. Z. Piltay ו־T. A. Sheptickaja. כך לפי הלפגוט ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x), II". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 12. ניתן להסיק זאת בקלות מהבדיקה של השערת גולדבך הרגילה וממשפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 10. בהינתן השערת רימן קל להסיק חסם זה משאר התוצאות בשורה זאת בטבלה, באמצעות משפט של שונפלד מ-1976: "Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x)". Mathematics of Computation. 30 (134): 337–360 - Theorem 10. בהינתן השערת רימן. R. C. Vaughan. On the estimation of Schnirelman’s constant. J. Reine Angew. Math., 290:93–108, 1977. J.-M. Deshouillers. Sur la constante de Snirel ˇ 0man. In Seminaire ´ Delange-Pisot-Poitou, 17e annee: (1975/76), Th ´ eorie des nombres: ´ Fac. 2, Exp. No. G16, page 6. Secretariat Math., Paris, 1977. H. Riesel and R. C. Vaughan. On sums of primes. Ark. Mat., 21(1):46–74, 1983. Granville, Van de Lune, and te Riele, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} T.Z. Wang and J.R. Chen, On odd Goldbach problem under general Riemann hypothesis, Sci. China Ser. A 36 (1993) Sinisalo, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} O. Ramare. On ´ Snirel ˇ 0man’s constant. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4), 22(4):645–706, 1995. D. Zinoviev. On Vinogradov’s constant in Goldbach’s ternary problem. J. Number Theory, 65(2):334–358, 1997. J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele, and D. Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc., 3:99–104, 1997. הלפגוט ופלאט Numerical verification of the ternary Goldbach conjecture up to 8.875 ⋅ 10 30 {\displaystyle {8.875\cdot 10^{30}}} Deshouillers, te Riele, and Saouter, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} Richstein, ראו הטבלה ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} Oliveira e Silva, Herzog, and Pardi ב-Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to 4 ⋅ 10 18 {\displaystyle 4\cdot 10^{18}} T. Tao. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. Math. Comp., 83(286):997–1038, 2014. The ternary Goldbach problem וידאו של Veritasium על השפעת הקרינה הקוסמית על מחשבים