שלשה פיתגורית

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} , המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית. השלשה הפיתגורית הקטנה ביותר, ( 3 , 4 , 5 ) {\displaystyle (3,4,5)} , הייתה ידועה משחר ההיסטוריה, ומשערים שהמשולש ישר הזווית שמתקבל ממנה שימש להעברת אמות מים עוד במצרים הקדומה. כל שלשה פיתגורית אפשר להכפיל בגורם קבוע שלם, ולקבל שלשה פיתגורית חדשה (אם ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} היא שלשה פיתגורית, אזי a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} ולכן גם ( a k ) 2 + ( b k ) 2 = ( c k ) 2 {\displaystyle (ak)^{2}+(bk)^{2}=(ck)^{2}} , כאשר ( a k , b k , c k ) {\displaystyle (ak,bk,ck)} גם היא שלשה פיתגורית). שלשה פיתגורית שלא ניתן לקבל כמכפלה של שלשה פיתגורית אחרת בקבוע שלם גדול מ-1 נקראת שלשה פרימיטיבית: אלו הן השלשות ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} שבהן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1; בשלשה כזו, המחלק המשותף המקסימלי של כל שני מספרים הוא 1. להלן רשימת 16 השלשות הפרימיטיביות שבהן c ≤ 100 {\displaystyle c\leq 100} : אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה a = m 2 − n 2 b = 2 m n c = m 2 + n 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}-n^{2}\\b&=2mn\\c&=m^{2}+n^{2}\end{aligned}}} כאשר m , n {\displaystyle m,n} מספרים טבעיים. ההוכחה שאלו אכן שלשות פיתגוריות היא על ידי חישוב ישיר: ( m 2 − n 2 ) 2 + ( 2 m n ) 2 = m 4 + 2 m 2 n 2 + n 4 = ( m 2 + n 2 ) 2 {\displaystyle (m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=(m^{2}+n^{2})^{2}} משערים שנוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים, שיצרו לוח בכתב יתדות (לוח פלימפטון 322) המתוארך לתקופה שבין שנת 1900 לפנה"ס לשנת 1600 לפנה"ס וכולל חמש-עשרה שלשות פיתגוריות, ובהן 1771 2 + 2700 2 = 3229 2 {\displaystyle 1771^{2}+2700^{2}=3229^{2}} (אותה אפשר לקבל אם נבחר m = 50 , n = 27 {\displaystyle m=50,n=27} ). בפרט, אם נציב m = n + 1 {\displaystyle m=n+1} נקבל את השלשות a = 2 n + 1 b = 2 n ( n + 1 ) = a 2 − 1 2 c = 2 n 2 + 2 n + 1 = a 2 + 1 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=2n+1\\b&=2n(n+1)={\frac {a^{2}-1}{2}}\\c&=2n^{2}+2n+1={\frac {a^{2}+1}{2}}\end{aligned}}} לכן כל מספר אי-זוגי (למעט המספר 1 {\displaystyle 1} ) הוא חלק משלשה פיתגורית פרימיטיבית, ומכאן שיש אינסוף שלשות פיתגוריות פרימיטיביות. משפט: כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שבראש הסעיף, כאשר m , n {\displaystyle m,n} זרים ובעלי זוגיות שונה. הוכחה: נבחין שאם ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} שלשה פרימיטיבית, אזי c {\displaystyle c} מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים a , b {\displaystyle a,b} (זאת משום שריבוע משאיר תמיד שארית 0 או 1 בחלוקה ל-4). יהי b {\displaystyle b} המספר הזוגי בשלשה. מן השוויון a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}} נובע b 2 = c 2 − a 2 = ( c − a ) ( c + a ) {\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}=(c-a)(c+a)} , כאשר c − a , c + a {\displaystyle c-a,c+a} שניהם זוגיים. מכיוון ש- a , c {\displaystyle a,c} זרים מתקיים כי gcd { c − a , c + a } = 2 {\displaystyle \gcd {\bigl \{}c-a,c+a{\bigr \}}=2} , ומכיוון שמכפלתם היא b 2 {\displaystyle b^{2}} נובע כי כל אחד מן הגורמים הוא פעמיים ריבוע. אם נכתוב c − a = 2 s 2 , c + a = 2 t 2 {\displaystyle c-a=2s^{2},c+a=2t^{2}} נקבל את ההצגה הדרושה. כעת s , t {\displaystyle s,t} זרים משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את a , b , c {\displaystyle a,b,c} , ואחד מהם זוגי משום שאחרת a , b , c {\displaystyle a,b,c} כולם זוגיים. מכאן אפשר לקבל נוסחה כללית לכל השלשות הפיתגוריות: a = ( m 2 − n 2 ) k b = 2 m n k c = ( m 2 + n 2 ) k {\displaystyle {\begin{aligned}a&=(m^{2}-n^{2})k\\b&=2mnk\\c&=(m^{2}+n^{2})k\end{aligned}}} כאשר m , n {\displaystyle m,n} זרים ובעלי זוגיות שונה; כל שלשה מוצגת כך באופן יחיד (משום ש- k {\displaystyle k} הוא המחלק המשותף המקסימלי של שלושת המספרים). זוהי דוגמה לפתרון של משוואה המתקבלת מתבנית ריבועית עם נקודה רציונלית. ישנן שלשות, כגון ( 9 , 12 , 15 ) {\displaystyle (9,12,15)} , שלא ניתן להציג עם k = 1 {\displaystyle k=1} (במקרה זה, משום ש-15 אינו סכום של שני ריבועים). על ידי בחינת הערכים האפשריים של m , n {\displaystyle m,n} מודולו מספר קבוע k {\displaystyle k} , אפשר להסיק אלה שאריות יכולה לקבל שלשה פרימיטיבית בחלוקה ל- k {\displaystyle k} . לדוגמה, אחד מבין המספרים a , b {\displaystyle a,b} מתחלק ב-4 והשני אי-זוגי; גם c {\displaystyle c} אי-זוגי; בפרט, מספר הנותן שארית 2 בחלוקה ל-4 אינו יכול להופיע בשלשה פיתגורית פרימיטיבית. בדומה לזה, בדיוק אחד משני המספרים a , b {\displaystyle a,b} מתחלק ב-3, ובדיוק אחד מבין השלושה מתחלק ב-5. מאחר ש- c {\displaystyle c} הוא סכום של שני ריבועים (זרים זה לזה), כל גורם ראשוני שלו הוא מהצורה 4 k + 1 {\displaystyle 4k+1} . כל מספר טבעי שאינו נותן שארית 2 בחלוקה ל-4 יכול להופיע בתפקיד b {\displaystyle b} בשלשה פרימיטיבית. מספר השלשות הפרימיטיביות (עם a > 0 {\displaystyle a>0} ) שבהן b {\displaystyle b} מופיע שווה ל- 2 s − 1 {\displaystyle 2^{s-1}} , כאשר s {\displaystyle s} הוא מספר הגורמים הראשוניים השונים של b {\displaystyle b} . כאשר m , n {\displaystyle m,n} בנוסחה שבראש פרק זה הם מספרי פל עוקבים, ההפרש בין a , b {\displaystyle a,b} בשלשה המתקבלת הוא 1. אם ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} שלשה פיתגורית, אזי המספרים n 1 = c − b n 2 = c − a n 3 = a + b − c {\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=c-b\\n_{2}&=c-a\\n_{3}&=a+b-c\end{aligned}}} מקיימים את היחס n 3 2 = 2 n 1 n 2 {\displaystyle n_{3}^{2}=2n_{1}n_{2}} ; ולהפך, אם ( n 1 , n 2 , n 3 ) {\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})} מקיימים את היחס הזה, ניתן לבנות מהם שלשה פיתגורית באמצעות הטרנספורמציה ההפוכה: a = n 1 + n 3 b = n 2 + n 3 c = n 1 + n 2 + n 3 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=n_{1}+n_{3}\\b&=n_{2}+n_{3}\\c&=n_{1}+n_{2}+n_{3}\end{aligned}}} במילים אחרות, אם מגדירים T ( a , b , c ) = ( c − b , c − a , a + b − c ) {\displaystyle T(a,b,c)=(c-b,c-a,a+b-c)} אזי T {\displaystyle T} מעבירה את היריעה { ( a , b , c ) : a 2 + b 2 = c 2 } {\displaystyle {\bigl \{}(a,b,c):a^{2}+b^{2}=c^{2}{\bigr \}}} ליריעה { ( n 1 , n 2 , n 3 ) : n 3 2 = 2 n 1 n 2 } {\displaystyle {\bigl \{}(n_{1},n_{2},n_{3}):n_{3}^{2}=2n_{1}n_{2}{\bigr \}}} . היתרון הוא, כמובן, שאת המשוואה השנייה קל יותר לפתור (במספרים שלמים). השלשה ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} פרימיטיבית אם ורק אם n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} זרים. משפט: הווקטור ( a b c ) {\displaystyle (a\,\,b\,\,c)} מהווה שלשה פרימיטיבית אם ורק אם ( a b c ) = M ⋅ ( 3 4 5 ) {\displaystyle (a\,\,b\,\,c)=M\cdot (3\,\,4\,\,5)} , כאשר M {\displaystyle M} מכפלת מספר סופי של מטריצות מבין: T 1 = [ 1 2 2 − 2 − 1 − 2 2 2 3 ] , T 2 = [ − 1 − 2 − 2 2 1 2 2 2 3 ] , T 3 = [ 1 2 2 2 1 2 2 2 3 ] {\displaystyle T_{1}={\begin{bmatrix}1&2&2\\-2&-1&-2\\2&2&3\end{bmatrix}},\quad T_{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&-2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}},\quad T_{3}={\begin{bmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{bmatrix}}} יצוג השלשות כעץ טרנארי: בדרך זו, ניתן להציג את כל השלשות הפרימיטיביות בעץ טרנארי, עץ שבו לכל קודקוד יש בדיוק שלושה בנים. שורש העץ יהיה השלשה ( a b c ) {\displaystyle (a\,\,b\,\,c)} . לכל שלשה P = ( a b c ) {\displaystyle P=(a\,\,b\,\,c)} יהיו שלושה בנים: P 1 = P ⋅ T 1 , P 2 = P ⋅ T 2 , P 3 = P ⋅ T 3 {\displaystyle P_{1}=P\cdot T_{1},\quad P_{2}=P\cdot T_{2},\quad P_{3}=P\cdot T_{3}} רעיון ההוכחה: לכל שלושה מספרים טבעיים המהווים שלשה פיתגורית P = ( a b c ) {\displaystyle P=(a\,\,b\,\,c)} נגדיר את השלשות המסומנות המתקבלות ממנה: P 1 = ( − a b c ) , P 2 = ( a − b c ) , P 3 = ( − a − b c ) {\displaystyle P_{1}=(-a\,\,b\,\,c),\quad P_{2}=(a\,\,-b\,\,c),\quad P_{3}=(-a\,\,-b\,\,c)} נגדיר את ה'תאום' של שלשה המתאימה ל- ( n 1 , n 2 , n 3 ) {\displaystyle (n_{1},n_{2},n_{3})} השלשה המתקבלת מהחלפת n 3 {\displaystyle n_{3}} ב- − n 3 {\displaystyle -n_{3}} . יהיו P 1 ′ , P 2 ′ , P 3 ′ {\displaystyle P_{1}',P_{2}',P_{3}'} תאומי n 1 , n 2 , n 3 {\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}} של P 1 , P 2 , P 3 {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}} בהתאמה. מניתוח התהליך ניתן להסיק כי P 1 ′ , P 2 ′ , P 3 ′ {\displaystyle P_{1}',P_{2}',P_{3}'} הן שלשות פיתגוריות של מספרים טבעיים וכי לכל i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} מתקיים P i ′ = P ⋅ T i {\displaystyle P_{i}'=P\cdot T_{i}} . כדי להוכיח את הכיוון ההפוך מוצאים לכל שלשה פיתגורית (לא מסומנת) P = ( a b c ) {\displaystyle P=(a\,\,b\,\,c)} את התאום שלה P ′ = ( a ′ b ′ c ′ ) {\displaystyle P'=(a'\,\,b'\,\,c')} ומבצעים תהליך דומה. פייר דה פרמה מצא שלשה פיתגורית ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} כאשר a + b , c {\displaystyle a+b,c} ניתנים להצגה כריבוע של מספר טבעי: a = 4565486027761 b = 1061652293520 a + b = 2372159 2 c = 2165017 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=4565486027761\\b&=1061652293520\\a+b&=2372159^{2}\\c&=2165017^{2}\end{aligned}}} בנוסף, פרמה הוכיח בנסיגה אינסופית כי לא ייתכנו שלשות פיתגוריות בהן a , b {\displaystyle a,b} הם ריבועים של מספרים שלמים. קיימות שלשות פיתגוריות שונות עם אותו ערך של המכפלה a b {\displaystyle ab} . למשל, בשלשות ( 70 , 24 , 74 ) , ( 42 , 40 , 58 ) , ( 15 , 112 , 113 ) {\displaystyle (70,24,74),(42,40,58),(15,112,113)} מתקיים a b = 1680 {\displaystyle ab=1680} . לא ידוע האם קיימות שלשות עבורן a b c {\displaystyle abc} זהה. קיימות אינסוף שלשות פיתגוריות שבהן a , b {\displaystyle a,b} הם מספרים עוקבים. ארבע השלשות הראשונות מסוג זה הן ( 3 , 4 , 5 ) , ( 20 , 21 , 29 ) , ( 119 , 120 , 169 ) , ( 696 , 697 , 985 ) {\displaystyle (3,4,5),(20,21,29),(119,120,169),(696,697,985)} מאחר ש- c {\displaystyle c} הוא סכום של שני ריבועים עוקבים, המשוואה המתאימה לכך היא a 2 + ( a + 1 ) 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+(a+1)^{2}=c^{2}} , כלומר 2 a 2 + 2 a + 1 = c 2 {\displaystyle 2a^{2}+2a+1=c^{2}} . לאחר הכפלה ב-2 והעברת אגפים תתקבל המשוואה ( 2 a + 1 ) 2 − 2 c 2 = − 1 {\displaystyle (2a+1)^{2}-2c^{2}=-1} . זוהי משוואת פל שפתרונותיה ידועים. לאחר הוספת הביטוי 2 c 2 {\displaystyle 2c^{2}} לשני האגפים והוצאת שורש ריבועי, מתקבלת האפשרות לבודד את a {\displaystyle a} ולהגיע למשוואה a = 2 c 2 − 1 − 1 2 {\displaystyle a={\frac {{\sqrt {2c^{2}-1}}-1}{2}}} . מכאן ניתן לגלות את הנוסחאות הכלליות ל- a , b , c {\displaystyle a,b,c} בשלשות פיתגוריות שבהן a , b {\displaystyle a,b} עוקבים: a n = ( 1 + 2 ) 2 n + 1 + ( 1 − 2 ) 2 n + 1 − 2 4 b n = ( 1 + 2 ) 2 n + 1 + ( 1 − 2 ) 2 n + 1 + 2 4 c n = ( 1 + 2 ) 2 n + 1 − ( 1 − 2 ) 2 n + 1 2 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2n+1}+(1-{\sqrt {2}})^{2n+1}-2}{4}}\\b_{n}&={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2n+1}+(1-{\sqrt {2}})^{2n+1}+2}{4}}\\c_{n}&={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{2n+1}-(1-{\sqrt {2}})^{2n+1}}{2{\sqrt {2}}}}\end{aligned}}} הכללה מפורסמת של בעיה זו היא המשפט האחרון של פרמה הקובע שאין פתרון במספרים טבעיים למשוואה   a n + b n = c n {\displaystyle \ a^{n}+b^{n}=c^{n}} עבור חזקות הגדולות מ-2. משוואת לז'נדר: לאלה מספרים טבעיים u , v , w {\displaystyle u,v,w} יש פתרון במספרים טבעיים למשוואה u x 2 + v y 2 = w z 2 {\displaystyle ux^{2}+vy^{2}=wz^{2}} ? עבור u = v = w {\displaystyle u=v=w} הפתרונות הם כמובן שלשות פיתגוריות. בעיית השלשות הפיתגוריות הבוליאנית ‏ שלשה פיתגורית, באתר MathWorld (באנגלית) הסבר מפורט באנגלית על העץ הטרנרי גדי אלכסנדרוביץ', שלשות פיתגוריות, באתר "לא מדויק", 4 בנובמבר 2008 מירי אדלר, ההוכחה המתמטית הארוכה ביותר, במדור "חדשות מדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 8 ביוני 2016 Amnon Yekutieli, Pythagorean Triples, Complex Numbers, Abelian Groups and Prime Numbers, American Mathematical Monthly, April 2023 Thomas Koshy, Pythagorean triples with Pell generators, Mathematical Gazette, November 2008, Vol. 92, No. 525, in JSTOR