משפט קיילי

בתורת החבורות, משפט קיילי קובע שכל חבורה איזומורפית לתת-חבורה של חבורה סימטרית כלשהי, וכך מציג את החבורה כחבורת תמורות. המשפט בפרט מראה שאפשר להבין את כל החבורות הסופיות באמצעות טיפול אחיד בתמורות, והוא נחשב לאחד מ"משפטי ההצגה" הקלאסיים: כל עצם מופשט (חבורה) הוא למעשה אובייקט קונקרטי ומוכר. בעבודתו של אווריסט גלואה (בסביבות 1830), החבורה נתפסת כקבוצה קונקרטית של תמורות. ב-1854 כתב המתמטיקאי ארתור קיילי שני מאמרים קצרים על מושג החבורה. במאמר הראשון הוא מגדיר חבורה (סופית) על-פי האסוציאטיביות וההפיכות של כל האיברים, כלומר, כאובייקט מופשט. קיילי מציג את הדוגמאות שלו דרך לוח כפל, ומעיר שכל איבר הוא למעשה תמורה על אברי החבורה. בכך הוא רומז שכל חבורה (במובן המודרני, האקסיומטי, של המושג) היא למעשה חבורה של תמורות, אף על פי שאינו מוכיח את המשפט במפורש. אכן, ויליאם ברנסייד (בספרו מ-1911) מייחס את המשפט לקאמי ז'ורדן, שסיפק לו הוכחה מפורשת ב-1870. לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר n {\displaystyle n} כתת-חבורה של החבורה הסימטרית S n {\displaystyle S_{n}} . ההוכחה מבוססת על פעולה נאמנה הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו להלן). למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם העידון של משפט קיילי: אם ל- G {\displaystyle G} יש תת-חבורה H {\displaystyle H} מאינדקס n {\displaystyle n} , אז יש העתקה φ : G → S n {\displaystyle \varphi :G\to S_{n}} שהגרעין שלה הוא הליבה של H {\displaystyle H} : חיתוך תת-החבורות של G {\displaystyle G} הצמודות ל- H {\displaystyle H} , כלומר ⋂ g ∈ G g H g − 1 {\displaystyle \bigcap _{g\in G}gHg^{-1}} . הוכחת העידון מתקבלת מניתוח הפעולה של G {\displaystyle G} על אוסף המחלקות G / H {\displaystyle G/H} על ידי כפל משמאל: g : x H ↦ g x H {\displaystyle g:xH\mapsto gxH} . מסקנה מיידית ממשפט העידון של קיילי הוא שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס n {\displaystyle n} מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית מאינדקס המחלק את n ! {\displaystyle n!} . אכן, לפי משפט האיזומורפיזם הראשון נקבל כי G / ker ⁡ ( φ ) ≅ Im ( φ ) ≤ S n {\displaystyle G/\ker(\varphi )\cong {\text{Im}}(\varphi )\leq S_{n}} , ולכן [ G : ker ] = | Im ( φ ) |   |   | S n | = n ! {\displaystyle [G:\ker ]=|{\text{Im}}(\varphi )|\ |\ |S_{n}|=n!} . בפרט, חבורה פשוטה לא-אבלית המכילה תת-חבורה מאינדקס n {\displaystyle n} משוכנת ב- S n {\displaystyle S_{n}} ולכן הסדר שלה מחלק את n ! {\displaystyle n!} . תהא ( G , ∗ ) {\displaystyle (G,*)} חבורה סופית מסדר n {\displaystyle n} . ראשית, עבור g ∈ G {\displaystyle g\in G} נגדיר פונקציה f g : G → G {\displaystyle f_{g}:G\to G} כאשר f g ( x ) = g ∗ x {\displaystyle f_{g}(x)=g*x} לכל x ∈ G {\displaystyle x\in G} . הפונקציה חד-חד-ערכית: אם f g ( x 1 ) = f g ( x 2 ) = g ∗ x 1 = g ∗ x 2 {\displaystyle f_{g}(x_{1})=f_{g}(x_{2})=g*x_{1}=g*x_{2}} אזי x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} . הפונקציה על: לכל x ∈ G {\displaystyle x\in G} קיים איבר g − 1 ∗ x ∈ G {\displaystyle g^{-1}*x\in G} עבורו f g ( g − 1 ∗ x ) = g ∗ ( g − 1 ∗ x ) = x {\displaystyle f_{g}(g^{-1}*x)=g*(g^{-1}*x)=x} . לכן f {\displaystyle f} היא תמורה על איברי G {\displaystyle G} . ההעתקה g ↦ f g {\displaystyle g\mapsto f_{g}} היא שיכון של G לתוך חבורת התמורות של G. נבחר את החבורה G = Z 4 {\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4}} ונשכן אותה ב- S 4 {\displaystyle S_{4}} , כלומר נמצא תת-חבורה של S 4 {\displaystyle S_{4}} שאיזומורפית ל- G {\displaystyle G} . נגדיר העתקה φ : Z 4 → S 4 {\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} _{4}\to S_{4}} . φ ( 0 ) = [ 0 1 2 3 0 1 2 3 ] φ ( 1 ) = [ 0 1 2 3 1 2 3 0 ] φ ( 2 ) = [ 0 1 2 3 2 3 0 1 ] φ ( 3 ) = [ 0 1 2 3 3 0 1 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}}\\\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}}\\\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}}\\\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}}\end{aligned}}} התמורות שהגדרנו אינן מקריות, בנינו אותן כך שהתמורה φ ( i ) {\displaystyle \varphi (i)} מעבירה את המספר j {\displaystyle j} ל- i + j {\displaystyle i+j} (הסכום בחבורה Z 4 {\displaystyle \mathbb {Z} _{4}} , כלומר מודולו 4). הלמה של יונדה משפט קיילי, באתר MathWorld (באנגלית) On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θ n = 1 {\displaystyle \theta ^{n}=1} , חלקים 1 ו-2