טור חזקות

טוּר חֲזָקוֹת הוא טור הבנוי כסכום של חזקות מ-0 עד אינסוף של נעלם. טורי חזקות יכולים לתאר כל פונקציה אנליטית ומשמשים באנליזה מתמטית, לחישוב ערכן של פונקציות אנליטיות, בגלל הפשטות שבחישוב כל אחד מאברי הטור הדורשת אך ורק שימוש בפעולות אריתמטיות רגילות. טור חזקות הוא טור פונקציות מהצורה   f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n {\displaystyle \ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}} כאשר   a n {\displaystyle \ a_{n}} היא סדרה של מקדמים (לרוב אלו מספרים ממשיים או מרוכבים), ו-   c {\displaystyle \ c} היא הנקודה שסביבה מפותח הטור. תכונה חשובה של טורי חזקות במספרים ממשיים או מרוכבים המבדילה אותן מטורי פונקציות אחרים היא קיום רדיוס התכנסות לטור חזקות. אם   f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n {\displaystyle \ f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}} הוא טור חזקות, אז קיים   0 ≤ r ≤ ∞ {\displaystyle \ 0\leq r\leq \infty } כך שלכל   | x − c | < r {\displaystyle \ |x-c|<r} הטור מתכנס בהחלט, ולכל תת-קבוצה קומפקטית של   { | x − c | < r } {\displaystyle \ \left\{|x-c|<r\right\}} הטור מתכנס במידה שווה. כאשר   r = ∞ {\displaystyle \ r=\infty } הטור מתכנס נקודתית עבור כל מספר, והוא מתכנס במידה שווה על כל המרחב אם ורק אם הטור הוא פולינום. אחרת, הטור מתכנס במידה שווה רק על קבוצות חסומות בו. על המעגל, או שתי הנקודות במקרה הממשי,   | x − c | = r {\displaystyle \ |x-c|=r} לא ניתן בוודאות לומר האם הטור מתכנס או מתבדר (קיימות דוגמאות לכאן ולכאן). רדיוס ההתכנסות של טור חזקות נתון על ידי נוסחת קושי־אדמר:   r = 1 / lim sup n → ∞ | a n | n {\displaystyle \ r=1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}} (אם הגבול הוא אפס, הטור מתכנס תמיד). נוסחה זו תמיד מניבה את הרדיוס המבוקש, אך לעיתים קשה לחשב אותה. הנוסחה (דאלמבר)   r = lim n → ∞ 1 / | a n + 1 a n | {\displaystyle \ r=\lim _{n\rightarrow \infty }1/\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|} נכונה כאשר הגבול קיים (סופי או אינסופי; לשם כך הכרחי שכמעט תמיד   a n ≠ 0 {\displaystyle \ a_{n}\neq 0} ), ולעיתים היא קלה יותר לחישוב. סכום שני טורי חזקות הוא טור החזקות שמקדמיו הם סכום המקדמים של הטורים המחוברים, בדומה לטורי פונקציות רגילים: ∑ i = 0 ∞ a i x i + ∑ i = 0 ∞ b i x i = ∑ i = 0 ∞ ( a i + b i ) x i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}+\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }(a_{i}+b_{i})x^{i}} ∑ i = 0 ∞ a i x i − ∑ i = 0 ∞ b i x i = ∑ i = 0 ∞ ( a i − b i ) x i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}-\sum _{i=0}^{\infty }b_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }(a_{i}-b_{i})x^{i}} מכפלת טור חזקות בקבוע היא טור החזקות שמקדמיו הם מכפלת הקבוע בטור החזקות המוכפל:   c ⋅ ∑ i = 0 ∞ a i x i = ∑ i = 0 ∞ c ⋅ a i x i {\displaystyle \ c\cdot \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }c\cdot a_{i}x^{i}} מכפלת שני טורים: ( ∑ n = 0 ∞ a n ( x − c ) n ) ( ∑ n = 0 ∞ b n ( x − c ) n ) = ∑ i = 0 ∞ ∑ j = 0 ∞ a i b j ( x − c ) i + j = ∑ n = 0 ∞ ( ∑ i = 0 n a i b n − i ) ( x − c ) n . {\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.} בתוך תחום ההתכנסות ניתן לגזור את טורי החזקות איבר-איבר, וכן גם לבצע עליהם אינטגרציה איבר-איבר: ( ∑ i = 0 ∞ a i ( x − c ) i ) ′ ( x ) = ∑ i = 1 ∞ a i i ( x − c ) i − 1 {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\left(x-c\right)^{i}\right)^{\prime }(x)=\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}i\left(x-c\right)^{i-1}} ∫ ∑ i = 0 ∞ a i ( x − c ) i d x = ∑ i = 0 ∞ a i ( x − c ) i + 1 i + 1 + C {\displaystyle \int \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\left(x-c\right)^{i}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {a_{i}\left(x-c\right)^{i+1}}{i+1}}+C} לאחר גזירה: אם הטור לאחר הגזירה מתכנס בגבולות אז הטור המקורי גם מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור המקורי התכנס גם הטור לאחר הגזירה יתכנס. לאחר אינטגרציה (כמו בגזירה רק הפוך): אם הטור המקורי מתכנס אז הטור לאחר האינטגרציה מתכנס, אך לא בהכרח שאם הטור לאחר האינטגרציה מתכנס אז הטור המקורי יתכנס. השימוש הנפוץ של טורי חזקות הוא לתיאור של פונקציות אנליטיות. אם פונקציה   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} היא אנליטית בנקודה   c {\displaystyle \ c} , אז מקדמי טור החזקות סביב   c {\displaystyle \ c} שמתאר את הפונקציה בסביבת   c {\displaystyle \ c} הם   a n = f ( n ) ( c ) n ! {\displaystyle \ a_{n}={\frac {f^{(n)}(c)}{n!}}} . כלומר, טור החזקות המתאר את הפונקציה הוא טור טיילור שלה באותה נקודה. ניתן להראות שכל תיאור של פונקציה באמצעות טור חזקות יהיה טור טיילור. במישור המרוכב, רדיוס ההתכנסות של טור חזקות שמתאר פונקציה הולומורפית סביב נקודה מסוימת, הוא רדיוס המעגל המקסימלי סביב אותה נקודה, שלא מכיל אף נקודה סינגולרית. ניתן להכליל את מושג טורי החזקות כדי לתאר פונקציות שאינן אנליטיות בנקודה, אך אנליטיות בסביבתה, על ידי טורי לורן. באלגברה מופשטת ובקומבינטוריקה, משתמשים בטורי חזקות פורמליים ככלי חישובי, כאשר בתחומים אלו אין עניין של התכנסות טורי החזקות, והם מוגדרים רק בשביל האריתמטיקה המיוחדת שלהם. בקומבינטוריקה הטורים מכונים פונקציות יוצרות. הפונקציות היוצרות משמשות כמעט רק לספירת עצמים, על ידי מקדמי החזקות המתאימות, ולכן בדרך כלל אין חשיבות להתכנסות הטורים. כך לדוגמה, טור החזקות ∑ n = 1 ∞ n ! x n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n!x^{n}} שמתבדר עבור כל מספר ששונה מאפס הוא פונקציה יוצרת לגיטימית. לכל שדה F ולכל חבורה אבלית סדורה   Γ {\displaystyle \ \Gamma } , השדה של טורי החזקות המוכללים   F ( ( Γ ) ) {\displaystyle \ F((\Gamma ))} כולל את כל הסכומים הפורמליים   ∑ g ∈ Γ α g g {\displaystyle \ \sum _{g\in \Gamma }\alpha _{g}g} שיש להם תומך סדור היטב. הפונקציה האקספוננציאלית ניתנת להצגה כטור חזקות:   exp ⁡ ( x ) = e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle \ \exp(x)=e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} . ניתן להראות שהתכונה הבסיסית של הפונקציה – העברת חיבור לכפל – נובעת ישירות מאופן הפעולה של הכפל על טורים ומהבינום של ניוטון. גם את הנוסחה   d d x e a x = a ⋅ e a x {\displaystyle \ {\frac {d}{dx}}e^{ax}=a\cdot e^{ax}} אפשר לקבל ישירות מאופן הפעולה של הנגזרת על טורי החזקות. תכונות אלו ניתן להרחיב גם לחוגים ולאלגבראות בנך באופן כללי, אם כי התכונה הראשונה תלויה בקומוטטיביות של המכפלה, ולא מתקיימת באופן כללי. פונקציית הסינוס (טריגונומטריה) ניתנת להצגה כטור חזקות: sin ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k + 1 ) ! x 2 k + 1 {\displaystyle \sin {x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}} . פונקציית הקוסינוס (טריגונומטריה) ניתנת להצגה כטור חזקות: cos ⁡ x = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 2 k ) ! x 2 k {\displaystyle \cos {x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}} . ערך מורחב – פונקציה רציונלית טור החזקות שמקדמיו שווים ל-1 מתכנס לפונקציה: 1 1 − x = ∑ k = 0 ∞ x k {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}} ובמקרה זה טור החזקות מתכנס עם רדיוס התכנסות 1=r כפי שניתן להוכיח בקלות בעזרת משפט דאלמבר שלעיל. לעיתים ניתן למצוא את הפונקציה שאליה מתכנס טור חזקות נתון על ידי ביצוע מניפולציות על הטור הנתון כדי להגיע לטור שידוע לאיזו פונקציה הוא מתכנס, ולאחר מכן ביצוע מניפולציות הפוכות על הפונקציה שהתקבלה, לקבלת הפונקציה שאליה מתכנס הטור המקורי. מדיה וקבצים בנושא טור חזקות בוויקישיתוף טור חזקות, באתר MathWorld (באנגלית) טור חזקות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)