אלגברות קיילי-דיקסון

במתמטיקה, אלגברות קיילי-דיקסון הן האלגברות המתקבלות באמצעות בניית קיילי-דיקסון (עם הקבוע 1-) מן השדה של המספרים הממשיים. האלגברה הראשונה בסדרה היא שדה המספרים המרוכבים. אחר-כך מקבלים את אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואת אלגברת האוקטוניונים, שאלטרנטיבית אך לא אסוציאטיבית. בהמשך הסדרה מתקבלות אלגברות לא אלטרנטיביות (ובפרט לא אסוציאטיביות) נוספות פשוטות ממימד 16, 32, 64, וכן הלאה. לכל אלגברת קיילי-דיקסון יש אינוולוציה המכלילה את פעולת הצמוד המרוכב, ובאמצעותה מוגדרת תבנית נורמה: הנורמה של איבר היא מכפלתו בצמוד שלו. האלגברות המתקבלות במהלך הבניה מאבדות תכונות חשובות בזו אחר זו: השדה הממשי הוא האלגברה היחידה שכל איבריה סימטריים; השדה המרוכב הוא האלגברה הקומוטטיבית האחרונה; אלגברת הקווטרניונים היא האלגברה האסוציאטיבית האחרונה; ואילו אלגברת האוקטוניונים היא האלגברה האלטרנטיבית האחרונה, וגם האחרונה שאין בה מחלקי אפס. עם זאת, כולן ריבועיות ומקיימות את הזהות הגמישה. הן פשוטות, והמרכז שלהן שווה לשדה הבסיס. אפשר להכליל את הבניה כך שתעבוד מעל כל שדה בסיס. באופן כזה מתקבלות בצעד השני של הבניה כל אלגברות הקווטרניונים, ובצעד השלישי כל אלגברות האוקטוניונים -- ראו בניית קיילי-דיקסון. המספרים המרוכבים יכולים להירשם כזוג סדור ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} של מספרים ממשיים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} , עם חיבור שמוגדר רכיב רכיב ומכפלה שמוגדרת כך: ( a , b ) ( c , d ) = ( a c − d b , a d + c b ) {\displaystyle \left(a,b\right)\left(c,d\right)=\left(ac-db,ad+cb\right)} מספר מרוכב שהרכיב השני שלו שווה לאפס מתלכד עם מספר ממשי: המספר המרוכב ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} הוא המספר הממשי a {\displaystyle a} . על המספרים המרוכבים אפשר להגדיר אופרטור הצמדה, לפי ( a , b ) ¯ = ( a , − b ) {\displaystyle {\overline {\left(a,b\right)}}=\left(a,-b\right)} . לפונקציה הזו יש התכונה ( a , b ) ¯ ( a , b ) = ( a a + b b , a b − b a ) = ( a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle {\overline {\left(a,b\right)}}\left(a,b\right)=\left(aa+bb,ab-ba\right)=\left(a^{2}+b^{2},0\right)} , כך שכפל של מספר בצמוד שלו נותן תמיד מספר ממשי אי שלילי. בדרך זו, הצמדה מגדירה נורמה, שהופכת את המספרים המרוכבים למרחב נורמי מעל המספרים הממשיים: הנורמה של מספר מרוכב z {\displaystyle z} היא: | z | = ( z ¯ z ) 1 / 2 {\displaystyle \left|z\right|=\left({\bar {z}}z\right)^{{1}/{2}\;}} . הצמוד מאפשר לחשב את ההפכי של כל מספר מרוכב שונה מאפס: z − 1 = z ¯ / | z | 2 {\displaystyle z^{-1}={\bar {z}}/{\left|z\right|^{2}}\;} . אפשר לראות בפעולת ההצמדה הכללה של פונקציית הזהות על הממשיים. במובן זה, תכונת המספרים הממשיים להיות צמודים לעצמם אבדה בתהליך, והיא אינה נכונה עוד במספרים המרוכבים. אלגברת הקווטרניונים של המילטון מתקבלת מן המספרים המרוכבים באופן דומה. החיבור של זוגות סדורים הוא לפי רכיבים, ואת פעולת הכפל מגדירים לפי הנוסחה ( a , b ) ( c , d ) = ( a c − d b ¯ , a ¯ d + c b ) {\displaystyle \left(a,b\right)\left(c,d\right)=\left(ac-d{\bar {b}},{\bar {a}}d+cb\right)} ; מכיוון ש- ( a , 0 ) ( c , 0 ) = ( a c , 0 ) {\displaystyle \left(a,0\right)\left(c,0\right)=\left(ac,0\right)} , המרוכבים מהווים תת-חוג של האלגברה החדשה, שאינה קומוטטיבית. גם לאלגברת הקווטרניונים יש אינוולוציה, המוגדרת לפי ( a , b ) ¯ = ( a ¯ , − b ) {\displaystyle {\overline {\left(a,b\right)}}=\left({\bar {a}},-b\right)} , ומקיימת ( a , b ) ¯ ( a , b ) = ( a ¯ , − b ) ( a , b ) = ( a ¯ a + b ¯ b , a b − b a ) = ( | a | 2 + | b | 2 , 0 ) {\displaystyle {\overline {\left(a,b\right)}}\left(a,b\right)=\left({\bar {a}},-b\right)\left(a,b\right)=\left({\bar {a}}a+{\bar {b}}b,ab-ba\right)=\left(\left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2},0\right)} . מכיוון שתוצאת הכפל היא מספר ממשי הפיך, כל איבר שונה מאפס הוא הפיך ולכן האלגברה היא אלגברה עם חילוק. אותה נוסחת כפל עבור זוגות סדורים של קווטרניונים, ( a , b ) ( c , d ) = ( a c − d b ¯ , a ¯ d + c b ) {\displaystyle \left(a,b\right)\left(c,d\right)=\left(ac-d{\bar {b}},{\bar {a}}d+cb\right)} , מגדירה אלגברה חדשה הנקראת אלגברת קיילי, שאינה אסוציאטיבית (הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברת קיילי היא אלגברת האוקטוניונים). האלגברה הזו מקיימת זהות חלשה יותר: היא אלטרנטיבית. תבנית הנורמה שלה, בתור מרחב וקטורי מממד 8 מעל הממשיים, היא סכום של שמונה ריבועים. הנורמה כפלית, ונותנת נוסחת כפל לסכומים מסוג זה (שאינה קיימת בממדים גבוהים יותר). אותה נוסחת כפל, המיושמת לזוגות סדורים של אוקטוניונים, נותנת אלגברה מממד 16, הנקראת "אלגברת הסדניונים". אלגברה זו אינה אלטרנטיבית. באופן כזה אפשר להמשיך לבנות אלגברות מממד   2 n {\displaystyle \ 2^{n}} לכל n. לפי משפט שהוכיח ריצ'רד שייפר (בשנת 1954), אלגברות אלו מקיימות כולן את הזהות הגמישה,   x ( y x ) = ( x y ) x {\displaystyle \ x(yx)=(xy)x} . תבנית הנורמה של אלגברת קיילי-דיקסון מממד 2 n {\displaystyle 2^{n}} היא סכום של ריבועים כמספר הזה. מעל שדה סדור זוהי תבנית אנאיזוטרופית, ולכן כל האיברים באלגברות קיילי-דיקסון הם הפיכים, כלומר לכל איבר x {\displaystyle x} קיים x ′ {\displaystyle x'} כך ש- x x ′ = x ′ x = 1 {\displaystyle xx'=x'x=1} . עם זאת, באלגברת קיילי-דיקסון מממד 16 יש מחלקי אפס, והיא אינה אלגברת חילוק: לא לכל המשוואות a x = b {\displaystyle ax=b} יש בה פתרון יחיד. זאת אינה סתירה שכן יכול להתקיים y = ( x ′ x ) y ≠ x ′ ( x y ) = 0 {\displaystyle y=(x'x)y\neq x'(xy)=0} . בניית קיילי-דיקסון