חוג מצומצם

בתורת החוגים, חוג R {\displaystyle R} נקרא חוג מצומצם אם האיבר הנילפוטנטי היחיד בו הוא אפס. באופן שקול, חוג הוא מצומצם אם אין בו איברים שאינם אפס שריבועם הוא אפס, כלומר אם x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}=0} גורר  x = 0 {\displaystyle x=0} . אלגברה קומוטטיבית (חילופית) מעל חוג חילופי נקראת אלגברה מצומצמת אם החוג עליו היא בנויה הוא מצומצם. האיברים הנילפוטנטיים של חוג קומוטטיבי R {\displaystyle R} יוצרים אידיאל של R {\displaystyle R} , שנקרא האידיאל הנילרדיקלי של R {\displaystyle R} ; לכן חוג הוא מצומצם אם ורק אם האידיאל הנילרדיקלי שלו הוא אידיאל האפס. יתרה מזאת, חוג קומוטטיבי הוא מצומצם אם ורק אם האיבר היחידי בכל האידיאלים הראשוניים הוא אפס, כלומר החיתוך של כל האידיאלים הראשוניים הוא טריוויאלי.  חוג מנה R / I {\displaystyle R/I} הוא מצומצם אם ורק אם I {\displaystyle I} הוא אידיאל רדיקלי.  תהי  D {\displaystyle D}  קבוצת כל מחלקי האפס בחוג מצומצם R {\displaystyle R} . אם כן, D {\displaystyle D} הוא האיחוד של כל האידיאלים הראשוניים המינימליים. מעל חוג נתרי  R {\displaystyle R} , נאמר שמודול נוצר סופית  M {\displaystyle M} דרגה קבועה מקומית אם הוא קבוע מקומי (או באופן שקול פונקציה רציפה על הספקטרום של R {\displaystyle R} ). אם כן, R {\displaystyle R} מצומצם אם ורק אם כל מודול נוצר סופית מדרגה קבועה מקומית הוא פרויקטיבי. תתי חוגים, מכפלות ולוקליזציות של חוגים מצומצמים הם שוב, חוגים מצומצמים. חוג השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } הוא חוג מצומצם. כל שדה וכל חוג פולינומים מעל שדה (במספר שרירותי של משתנים) הוא חוג מצומצם. באופן כללי יותר, בכל תחום ראשי הוא חוג מצומצם מכיוון שכל איבר נילפוטנטי הוא מחלק אפס. מצד שני, לא כל חוג מצומצם הוא תחום ראשי. למשל, החוג  Z [ x , y ] / ( x y ) {\displaystyle \mathbb {Z} [x,y]/(xy)} מכיל את x + ( x y ) {\displaystyle x+(xy)} ו- y + ( x y ) {\displaystyle y+(xy)} כמחלקי אפס, אבל לא איברים נילפוטנטיים שאינם אפס. כדוגמה נוספת, החוג  Z × Z {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} } מכיל את (1,0), (0,1) כמחלקי אפס, אבל לא מכיל איברים נילפוטנטיים שאינם אפס. החוג  Z / 6 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} } הוא מצומצם, עם זאת Z / 4 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} } אינו מצומצם: המחלקה 2 + 4 Z {\displaystyle 2+4\mathbb {Z} } היא נילפוטנטית. באופן כללי, Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } מצומצם אם ורק אם n = 0 {\displaystyle n=0} או שהוא חופשי מריבועים. אם R {\displaystyle R} הוא חוג חילופי ו- N {\displaystyle N} הוא אידיאל נילרדיקלי של R {\displaystyle R} , אז חוג המנה  R / N {\displaystyle R/N} מצומצם. חוג חילופי R {\displaystyle R} ממציין p {\displaystyle p} , אם p {\displaystyle p} ראשוני כלשהו, הוא מצומצם אם ורק אם האנדומורפיזם פרובניוס שלו הוא חד חד ערכי, כלומר הוא שדה מושלם. חוגים מצומצמים משחקים תפקיד חשוב בגאומטריה אלגברית, שם מושג זה מוכלל לסכמה מצומצמת. N. Bourbaki, Commutative Algebra, Hermann Paris 1972, פרק 2, סעיף 2.7 N. Bourbaki, Algebra, Springer 1990, פרק 5, סעיף 6.7 Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8. תחום שלמות Proof: let p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} be all the (possibly zero) minimal prime ideals. D ⊂ ∪ p i : {\displaystyle D\subset \cup {\mathfrak {p}}_{i}:} Let x be in D. Then xy=0 for some nonzero y. Since R is reduced, (0) is the intersection of all p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} and thus y is not in some p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} . Since xy is in all p j {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{j}} ; in particular, in p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} , x is in p i {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}} . D ⊃ p i : {\displaystyle D\supset {\mathfrak {p}}_{i}:} (stolen from Kaplansky, commutative rings, Theorem 84). We drop the subscript i. Let S = { x y | x ∈ R − D , y ∈ R − p } {\displaystyle S=\{xy|x\in R-D,y\in R-{\mathfrak {p}}\}} . S is multiplicatively closed and so we can consider the localization R → R [ S − 1 ] {\displaystyle R\to R[S^{-1}]} . Let q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} be the pre-image of a maximal ideal. Then q {\displaystyle {\mathfrak {q}}} is contained in both D and p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} and by minimality q = p {\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}} . (This direction is immediate if R is Noetherian by the theory of associated primes.) Eisenbud, Exercise 20.13.