פירוק לשברים חלקיים

באלגברה, פירוק לשברים חלקיים של פונקציה רציונלית מבטא את הפונקציה כסכום של שברים, כאשר: המכנה של כל אחד מהשברים הוא חזקה של פולינום אי פריק. המונה הוא פולינום ממעלה נמוכה משל המכנה. חשיבותה של שיטת הפירוק לשברים חלקיים נעוצה בכך שהיא מספקת אלגוריתם מובנה למגוון חישובים המערבים פונקציות רציונליות, חישובים אשר מאפשרים מציאת פונקציות קדומות (ראו אינטגרציה בשברים חלקיים) של פונקציות רציונליות, פיתוחי טיילור ועוד. בלב השיטה עומד משפט קיום מרכזי, המתבסס על אלגוריתם אוקלידס לפולינומים. הרעיון של השיטה פותח ב-1702 בידי גוטפריד וילהלם לייבניץ, אולם הוא לא הצליח לטפל באופן מלא בבעיית האינטגרציה של השברים עם המכנה הריבועי. יוהאן ברנולי השלים את הפרטים החסרים של האלגוריתם, וסיפק נוסחאות (סבוכות במקצת) לאינטגרלים של שברים עם מכנים שהם חזקות של פולינומים ריבועיים. אם לפונקציה רציונלית R ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle R(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}} במשתנה בלתי תלוי אחד x יש מכנה שמתפרק לגורמים כ-: g ( x ) = P ( x ) ⋅ Q ( x ) {\displaystyle g(x)=P(x)\cdot Q(x)} מעל שדה K (שיכול להיות שדה הממשיים או המרוכבים) ואם בנוסף ל-P ו-Q אין גורם משותף, אז לפי זהות בזו לפולינומים, ששקולה לאלגוריתם אוקלידס המורחב, קיימים פולינומים (C(x ו-(D(x כך ש- deg ⁡ ( C ) < deg ⁡ ( Q ) {\displaystyle \deg(C)<\deg(Q)} , deg ⁡ ( D ) < deg ⁡ ( P ) {\displaystyle \deg(D)<\deg(P)} ומתקיים: C P + D Q = 1 {\displaystyle CP+DQ=1} . לכן: 1 g ( x ) = C P + D Q P Q = C Q + D P {\displaystyle {\frac {1}{g(x)}}={\frac {CP+DQ}{PQ}}={\frac {C}{Q}}+{\frac {D}{P}}} ולפיכך R ניתנת לכתיבה גם כ-: R = f ( x ) g ( x ) = D f ( x ) P + C f ( x ) Q , {\displaystyle R={\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {Df(x)}{P}}+{\frac {Cf(x)}{Q}},} כאשר כל המונים הם פולינומים. באמצעות אינדוקציה הפונקציה הרציונלית (R(x ניתנת לכתיבה כסכום של שברים עם מכנים שהם חזקות של פולינומים אי-פריקים. אם נרחיב רעיון זה, ניתן לכתוב את: G ( x ) F ( x ) n {\displaystyle {\frac {G(x)}{F(x)^{n}}}} כסכום של שברים עם מכנים שהם חזקות של F ומונים ממעלה נמוכה מזו של F, בתוספת אפשרית של פולינום. התוצאה היא המשפט הבא: משפט: יהיו f ו-g פולינומים שונים מאפס מעל שדה K. נכתוב את g כמכפלה של חזקות של פולינומים זרים ואי פריקים: g = ∏ i = 1 k p i n i . {\displaystyle g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.} אז ישנם פולינומים (יחידים) b ו-aij שדרגותיהם מקיימות deg aij < deg pi, כך שמתקיים: f g = b + ∑ i = 1 k ∑ j = 1 n i a i j p i j . {\displaystyle {\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}.} . אם deg f < deg g, אז b = 0. אם K הוא שדה המספרים המרוכבים, אז מהמשפט היסודי של האלגברה מובטח לנו שכל הגורמים pi הם גורמים ליניאריים ממעלה אחת, וכל המונים a i j {\displaystyle a_{ij}} הם קבועים. כאשר K הוא שדה הממשיים, חלק מהגורמים pi עשויים להיות ריבועיים, כך שבפירוק לשברים חלקיים, חלוקות של פולינומים ליניאריים בדרגות של פולינומים ריבועיים עשויות להופיע גם כן. להלן יובאו מספר דוגמאות לפירוק לשברים חלקיים. נניח וברצוננו לפרק את השבר x + 3 x 2 − 3 x − 40 {\displaystyle {x+3 \over x^{2}-3x-40}\,} לשברים חלקיים. באמצעות טרינום קל לראות שהמכנה מתפרק לגורמים הבאים: ( x − 8 ) ( x + 5 ) {\displaystyle (x-8)(x+5)\,} . לפיכך, אנו מחפשים סקלרים A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} כך ש: x + 3 x 2 − 3 x − 40 = x + 3 ( x − 8 ) ( x + 5 ) = A x − 8 + B x + 5 {\displaystyle {x+3 \over x^{2}-3x-40}={x+3 \over (x-8)(x+5)}={A \over x-8}+{B \over x+5}} . דרך אחת למצוא את A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} היא על ידי "העלמת השברים", כלומר, הכפלת שני הצדדים במכנה המשותף ( x − 8 ) ( x + 5 ) {\displaystyle (x-8)(x+5)\,} . זה מביא אותנו לביטוי הבא: x + 3 = A ( x + 5 ) + B ( x − 8 ) {\displaystyle x+3=A(x+5)+B(x-8)\,} . נאסוף באגף הימני של המשוואה את אשר מוכפל ב- x {\displaystyle x} ואת אשר לא. x + 3 = ( A + B ) x + ( 5 A − 8 B ) {\displaystyle x+3=(A+B)x+(5A-8B)\,} . מכיוון שיש שוויון בין שני אגפי המשוואה, ניתן להשוות את המקדמים של הביטויים הדומים. A + B = 1 5 A − 8 B = 3 {\displaystyle {\begin{matrix}A&+&B&=&1\\5A&-&8B&=&3\end{matrix}}} הפתרון לביטויים אלו הוא A = 11 13 {\displaystyle A={\frac {11}{13}}} , B = 2 13 {\displaystyle B={\frac {2}{13}}} . לפיכך, מתקבל הפירוק הבא לשבר זה: x + 3 x 2 − 3 x − 40 = 11 / 13 x − 8 + 2 / 13 x + 5 {\displaystyle {x+3 \over x^{2}-3x-40}={11/13 \over x-8}+{2/13 \over x+5}} . על מנת לפרק את השבר 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}} לשברים חלקיים, ראשית נשים לב כי x 3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) {\displaystyle x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4)\,} . ניתן לראות כי הביטוי x2 + 2x + 4 איננו פריק באמצעות מספרים ממשיים מכיוון שהדיסקרימיננטה של הביטוי היא שלילית. לכן, אנו מחפשים סקלרים A, B, C כך ש: 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 = 10 x 2 + 12 x + 20 ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) = A x − 2 + B x + C x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={10x^{2}+12x+20 \over (x-2)(x^{2}+2x+4)}={A \over x-2}+{Bx+C \over x^{2}+2x+4}} . לאחר "העלמת השברים" אנו מקבלים 10 x 2 + 12 x + 20 = A ( x 2 + 2 x + 4 ) + ( B x + C ) ( x − 2 ) {\displaystyle 10x^{2}+12x+20=A(x^{2}+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,} . ניתן לסדר משוואה זו ולכתוב על פיה שלוש משוואות ליניאריות בעלות שלושת הנעלמים A, B, C, כמו שעשינו בדוגמה הקודמת, אבל מכיוון שפתירת מערכת כזו של משוואות הופכת למעיקה ככל שמספר המשתנים גדל, אנו מנסים שיטה אחרת. הצבה של 2 במקום x במשוואה מעלימה את כל הביטוי הימני השני ואנו מקבלים 10 ⋅ 2 2 + 12 ⋅ 2 + 20 = A ( 2 2 + 2 ⋅ 2 + 4 ) {\displaystyle 10\cdot 2^{2}+12\cdot 2+20=A(2^{2}+2\cdot 2+4)\,} , מכאן 12A = 84, לכן A=7 כך שקיבלנו 10 x 2 + 12 x + 20 = 7 ( x 2 + 2 x + 4 ) + ( B x + C ) ( x − 2 ) {\displaystyle 10x^{2}+12x+20=7(x^{2}+2x+4)+(Bx+C)(x-2)\,} . נציב 0 במקום x. 20 = 7 ( 4 ) + C ( − 2 ) {\displaystyle 20=7(4)+C(-2)\,} , מכאן C=4. קיבלנו 10 x 2 + 12 x + 20 = 7 ( x 2 + 2 x + 4 ) + ( B x + 4 ) ( x − 2 ) {\displaystyle 10x^{2}+12x+20=7(x^{2}+2x+4)+(Bx+4)(x-2)\,} . נציב 1 במקום x. 10 + 12 + 20 = 7 ( 1 + 2 + 4 ) + ( B + 4 ) ( 1 − 2 ) {\displaystyle 10+12+20=7(1+2+4)+(B+4)(1-2)\,} , מכאן B=3. אם כך, הפירוק לשברים חלקיים של שבר זה הוא: 10 x 2 + 12 x + 20 x 3 − 8 = 7 x − 2 + 3 x + 4 x 2 + 2 x + 4 {\displaystyle {10x^{2}+12x+20 \over x^{3}-8}={7 \over x-2}+{3x+4 \over x^{2}+2x+4}} . עבור שברים מהצורה הזו P ( x ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) 5 {\displaystyle {P(x) \over (x+2)(x+3)^{5}}} (כאשר P {\displaystyle P} יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא: A x + 2 + B x + 3 + C ( x + 3 ) 2 + D ( x + 3 ) 3 + E ( x + 3 ) 4 + F ( x + 3 ) 5 {\displaystyle {A \over x+2}+{B \over x+3}+{C \over (x+3)^{2}}+{D \over (x+3)^{3}}+{E \over (x+3)^{4}}+{F \over (x+3)^{5}}} . דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ממעלה ראשונה אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה. לדוגמה, ניקח את השבר הבא: 10 x 2 − 63 x + 29 x 3 − 11 x 2 + 40 x − 48 {\displaystyle {10x^{2}-63x+29 \over x^{3}-11x^{2}+40x-48}} . המכנה מתפרק באופן הבא: x 3 − 11 x 2 + 40 x − 48 = ( x − 3 ) ( x − 4 ) 2 {\displaystyle x^{3}-11x^{2}+40x-48=(x-3)(x-4)^{2}\,} . הגורם ממעלה ראשונה (x − 4) חוזר על עצמו במכנה. לפיכך, הפירוק לשברים חלקיים נעשה בצורה הבאה: 10 x 2 − 63 x + 29 x 3 − 11 x 2 + 40 x − 48 = 10 x 2 − 63 x + 29 ( x − 3 ) ( x − 4 ) 2 = A x − 3 + B x − 4 + C ( x − 4 ) 2 {\displaystyle {10x^{2}-63x+29 \over x^{3}-11x^{2}+40x-48}={10x^{2}-63x+29 \over (x-3)(x-4)^{2}}={A \over x-3}+{B \over x-4}+{C \over (x-4)^{2}}} . מכאן פותרים כמו בדוגמאות לעיל. עבור שברים מהצורה הזו P ( x ) ( x + 2 ) ( x 2 + 1 ) 5 {\displaystyle {P(x) \over (x+2)(x^{2}+1)^{5}}} בעלי גורם ריבועי בלתי פריק במכנה (כאשר שוב, P {\displaystyle P} יכול להיות כל פולינום שהוא ממעלה נמוכה דיה), הפירוק לשברים חלקיים נעשה באופן הבא: A x + 2 + B x + C x 2 + 1 + D x + E ( x 2 + 1 ) 2 + F x + G ( x 2 + 1 ) 3 + H x + I ( x 2 + 1 ) 4 + J x + K ( x 2 + 1 ) 5 {\displaystyle {A \over x+2}+{Bx+C \over x^{2}+1}+{Dx+E \over (x^{2}+1)^{2}}+{Fx+G \over (x^{2}+1)^{3}}+{Hx+I \over (x^{2}+1)^{4}}+{Jx+K \over (x^{2}+1)^{5}}} . דפוס זה של פירוק נכון גם עבור כל גורם ריבועי בלתי פריק אחר ומספר השברים הנ"ל תלוי במספר החזרות של הגורם במכנה. באופן כללי יותר, בהינתן P n − 1 ( z ) Q n ( z ) {\displaystyle {P_{n-1}(z) \over Q_{n}(z)}} והקטבים של הפונקציה λ 1 . . λ n {\displaystyle \lambda _{1}..\lambda _{n}} . נסמן ב- q {\displaystyle q} את הריבוי של כל קוטב ואז עבור ההצגה ∑ i = 1 n r i ( z − λ i ) q {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{r_{i} \over (z-\lambda _{i})^{q}}} המקדמים נתונים על ידי הנוסחה לחישוב שארית r i =   R e s ( z i , λ i ) = lim z → λ i 1 ( q − 1 ) ! d q − 1 d z q − 1 ( z − λ i ) q P n − 1 ( z ) Q n ( z ) {\displaystyle r_{i}=\ Res(z_{i},\lambda _{i})=\lim _{z\to \lambda _{i}}{1 \over (q-1)!}{d^{q-1} \over dz^{q-1}}(z-\lambda _{i})^{q}{P_{n-1}(z) \over Q_{n}(z)}} מחשבון לפירוק לשברים חלקיים, באתר Quick math פירוק לשברים חלקיים, באתר MathWorld (באנגלית)