תנאי קוטה

באווירודינמיקה, תנאי קוטה (באנגלית: Kutta condition) הוא עקרון בסיסי בזרימה תמידית סביב כנף הקרוי על שמו של מרטין קוטה. התנאי קובע שבזרימה דו-ממדית, עבור כנף קבועה בעלת קצה אחורי חד, הנעה במהירות קבועה בזרימה לא דחיסה ובעלת צמיגות זניחה, נקודת הסטגנציה האחורית של הזרימה תהיה בקצה הכנף. נקודה זו נקראת שפת הזרימה. בניסוח אחר, התנאי קובע שעבור זרימה קבועה, הזרימה תגיע אל קצה הכנף משני הכיוונים, כשזרימה שעברה מתחת הכנף לעולם לא תזרום מעל לכנף, וזרימה שעברה מעל לכנף עולם לא תזרום מתחתיה. כדי לקיים את תנאי קוטה, הסירקולציה סביב הכנף צריכה להיות שונה מאפס. הופעת הסירקולציה גורמת לעילוי לפי משפט קוטה-ז'וקובסקי. השילוב של תנאי קוטה עם משפט קוטה-ז'וקובסקי מביא להסבר הפשוט ביותר לשאלה כיצד מטוסים עפים. אם כי הוא אינו מבין בחשבון אפקטים תלת-ממדיים החשובים לתכנון מעשי של כנפיים. השילוב גם אינו מסביר את תופעת ההזדקרות. כדי לקיים את תנאי קוטה, הזרימה מעל לכנף צריכה להיות מהירה יותר מהזרימה מתחתיה, תוצאה זו מוצגת במקומות מסוימים כנובעת מאחת משתי הנחות שגויות. במצב של זרימה תמידית, הזרימה הדו-ממדית מסביב לכנף מורכבת מזרימה פוטנציאלית ברוב המרחב, וזרימה טורבולנטית, בשכבת גבול דקה הסמוכה לכנף. אם הצמיגות של הזורם נמוכה ביחס למהירות התעופה, כלומר אם מספר ריינולדס של הזרימה גבוהה מספיק, אז שכבת הגבול תהיה דקה מספיק וניתן יהיה להתייחס לכל הזרימה כזרימה פוטנציאלית, כלומר זרימה המקיימת u = ∇ ϕ {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \phi } כאשר u {\displaystyle \mathbf {u} } היא שדה המהירות ו- ϕ {\displaystyle \phi } הוא פוטנציאל המקיים את משוואת לפלס ∇ 2 ϕ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0} . לבעיית הזרימה יש את תנאי השפה הבאים: אי-חדירה: u ⋅ n ^ = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}=0} על שפת הכנף. כאשר u {\displaystyle \mathbf {u} } היא מהירות הזורם, ו- n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} הוא הנורמל לשפה. זרימה מציפה: lim r → ∞ u ( r ) = V x i ^ + V y j ^ {\displaystyle \lim _{r\to \infty }\mathbf {u} (r)=V_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+V_{y}{\hat {\mathbf {j} }}} . תנאי שפה אלו דומים לתנאי השפה בזרימה מסביב לגליל, כשאת הגליל מחליפה צורת הכנף. בדומה לזרימה מסביב לגליל, ישנם אינסוף פתרונות שונים לבעיה זו, הנבדלים ביניהם בסירקולציה מסביב לכנף. בניגוד לזרימה מסביב לגליל, בה מטעמי סימטריה ניתן להניח שתהיה עדיפות לזרימה שלא תייצר סירקולציה כלל, בזרימה מסביב לצורה שאינה סימטרית אין סיבה להניח שזה יהיה הפתרון שיתקבל עבור זרימה מציאותית. תנאי קוטה הוא פתרון אד-הוק למקרה בו הקצה האחורי של הכנף הוא קצה חד. במצב זה, קוטה הבחין שאם נקודת הסטגנציה לא נמצאת בקצה האחורי של הכנף אז מהירות הזרימה בנקודה זאת תשאף לאינסוף. על אף שגם פתרונות אלו מהווים פתרון למשוואה המתמטית, קוטה טען שהם אינם פיזיקליים. לפיכך, קוטה הסיק שהפתרון שיתקיים במציאות הוא הפתרון בו נקודת הסטגנציה היא בקצה החד של הזרימה ואין אף נקודה בה הזרימה אינסופית או לא רציפה. תנאי קוטה מאפשר בחירת הפתרון שיתקבל במציאות מתוך אינסוף הפתרונות האפשריים המקיימים את תנאי השפה של משוואת לפלס. תנאי קוטה מציג את האופן בו הזורם יזרום כאשר הכנף נעה במהירות קבועה ובזווית התקפה קבועה אך לא מסביר את האופן שבו נוצר מצב זה. כשהכנף מתחילה לנוע, נקודות הסטגנציה נמצאות במצב בו אין סירקולציה מסביב לכנף, ולא נוצר עילוי כלל. במצב זה, זורם שעובר מתחת הכנף חייב לסובב את הקצה החד של הכנף ולזרום מעליה (בניגוד לכיוון הזרימה המציפה) אל עבר נקודת הסטגנציה, שם הזורם מסתובב שנית וחוזר לזרום לאחור. לפי המשוואה הפוטנציאלית, הזרימה בקצה הכנף במצב זה צריכה להיות במהירות אינסופית. העובדה שהזרימה ליד קצה הכנף מהירה בהרבה משאר הזרימה, גורמת לכך שלא ניתן להזניח את כוחות הצמיגות, והמשוואה הפוטנציאלית לא מתארת את הזרימה באזור זה. כתוצאה מכוחות הצמיגות, נוצרת מערבולת חזקה בסמוך לקצה האחורי של הכנף, מערבולת זו ידועה כמערבולת ההתחלתית. בשלבים הראשונים של קיום המערבולת ההתחלתית, היא נעה בצמוד לכנף, לעבר הקצה האחורי החד, בשלבים אלה הכנף עדיין לא מייצרת עילוי. הערבוליות של המערבולת ההתחלתית מתאזנת עם הערבוליות של המערבולת הכלואה בתוך הכנף. שכן לפי משפט קלווין, אם כוחות הצמיגות לא יוצרים דעיכה משמעותית של הערבוליות אז הסירקולציה מסביב למערכת הכוללת את המערבולת בתוך הכנף ואת המערבולת ההתחלתית צריכה להתאפס. כל עוד נקודת הסטגנציה לא נמצאת בקצה החד, הזרימה שם עדיין מהירה, ולכן המערבולת ההתחלתית והמערבולת הכלואה ממשיכות להתחזק עד אשר הן מגיעות למצב בו תנאי קוטה מתקיים. זמן קצר לאחר מכן המערבולת ההתחלתית נושרת מהכנף ונשארת מאחור, היא ממשיכה להתקיים עד שכוחות הצמיגות גורמים לדעיכתה. המערבולת הנוצרת בתוך הכנף ממשיכה לנוע עם הכנף ודואגת לכך שהסירקולציה מסביב לכנף חזקה מספיק כך שנקודת הסטגנציה תהיה בקצה האחורי של הכנף. בכל פעם שהכנף משנה את מהירותה או את זווית ההתקפה נוצרת מערבולת התחלתית נוספת והמערבולת בתוך הכנף משנה את עוצמתה. לאחר שהמערבולת ההתחלתית החדשה נושרת מקצה הכנף, הכנף חוזרת לקיים את תנאי קוטה. שינוי עוצמת המערבולת בתוך הכנף משנה את הסירקולציה מסביב לכנף, ומשנה את העילוי בהתאם. נקודת סטגנציה משפט קוטה-ז'וקובסקי תורת הכנף הדקה Anderson, John D., Jr. (John David), 1937-, Fundamentals of aerodynamics, New York: McGraw-Hill, 1984, עמ' 198-200, ISBN 0-07-001656-9 Acheson, D. J.,, Elementary fluid dynamics, Oxford: Clarendon Press, 1990, עמ' 20, ISBN 0-19-859660-X Anderson, John D., Jr. (John David), 1937-, Fundamentals of aerodynamics, New York: McGraw-Hill, 1984, עמ' 203-204, ISBN 0-07-001656-9