משפט וילסון

משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם p {\displaystyle p} מספר ראשוני אזי הוא מחלק את ( p − 1 ) ! + 1 {\displaystyle (p-1)!+1} (ראו עצרת למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על שם ג'ון וילסון, אף על פי שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773. הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שאם n ≠ 4 {\displaystyle n\neq 4} ואינו ראשוני אז הוא מחלק את ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} . הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט נקרא על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 אף על פי שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב־1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כ-90 שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת. יהי p {\displaystyle p} ראשוני. לכל 1 ≤ a ≤ p − 1 {\displaystyle 1\leq a\leq p-1} קיים 1 ≤ b ≤ p − 1 {\displaystyle 1\leq b\leq p-1} יחיד עבורו a b ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle ab\equiv 1\!\!\!{\pmod {p}}} (זהו ההפכי של a {\displaystyle a} בחבורת אוילר U p {\displaystyle U_{p}} ). אם a {\displaystyle a} הפוך לעצמו אז p ∣ ( a − 1 ) ( a + 1 ) {\displaystyle p\mid (a-1)(a+1)} , ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 , p − 1 {\displaystyle 1,p-1} . מכאן שבמכפלה ( p − 1 ) ! {\displaystyle (p-1)!} , כל המספרים פרט ל- 1 , p − 1 {\displaystyle 1,p-1} ניתנים לסידור בזוגות שמכפלתם מודולו p {\displaystyle p} היא 1, ולכן ( p − 1 ) ! = 1 ⋅ 2 ⋯ ( p − 1 ) ≡ p − 1 ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle (p-1)!=1\cdot 2\cdots (p-1)\equiv p-1\equiv -1\!\!\!{\pmod {p}}} אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה. אם p {\displaystyle p} ראשוני אי-זוגי, אזי לפי משפט וילסון ( p − 1 ) ! = 1 ⋅ ( p − 1 ) ⋅ 2 ⋅ ( p − 2 ) ⋯ p − 1 2 ⋅ ( p − p − 1 2 ) ≡ 1 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 2 ⋅ ( − 2 ) ⋯ p − 1 2 ⋅ ( − p − 1 2 ) ( mod p ) ≡ ( − 1 ) p − 1 2 [ ( p − 1 2 ) ! ] 2 ≡ − 1 ( mod p ) [ ( p − 1 2 ) ! ] 2 ≡ ( − 1 ) p + 1 2 ( mod p ) ≡ { − 1 ( mod p ) : p ≡ 1 ( mod 4 ) 1 ( mod p ) : p ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(p-1)!&=1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots {\frac {p-1}{2}}\cdot \left(p-{\frac {p-1}{2}}\right)\\&\equiv 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots {\frac {p-1}{2}}\cdot \left(-{\frac {p-1}{2}}\right)\!\!\!{\pmod {p}}\\&\equiv (-1)^{\frac {p-1}{2}}\left[\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\right]^{2}\equiv -1\!\!\!{\pmod {p}}\\\left[\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\right]^{2}&\equiv (-1)^{\frac {p+1}{2}}\!\!\!{\pmod {p}}\\&\equiv {\begin{cases}-1{\pmod {p}}&:p\equiv 1{\pmod {4}}\\\quad \!1{\pmod {p}}&:p\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}\end{aligned}}} נוכיח גרסה חזקה של המשפט ההפוך למשפט וילסון. במקרה n = 4 {\displaystyle n=4} מתקיים כי ( 4 − 1 ) ! + 1 = 7 {\displaystyle (4-1)!+1=7} אינו מתחלק ב-4. נראה כי אם n > 4 {\displaystyle n>4} מספר פריק, אז n {\displaystyle n} מחלק את ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} . נבחר מחלק אמיתי 1 < a < n {\displaystyle 1<a<n} . אם a {\displaystyle a} השורש הריבועי של n {\displaystyle n} , אז a > 2 {\displaystyle a>2} (כי n > 4 {\displaystyle n>4} ), ומכאן 2 a < a 2 = n {\displaystyle 2a<a^{2}=n} . מאחר ש- a < 2 a < n {\displaystyle a<2a<n} הם כלולים במכפלה ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} , ובפרט מכפלה זו מתחלקת במכפלתם 2 a 2 = 2 n {\displaystyle 2a^{2}=2n} , ולכן n {\displaystyle n} מחלק את ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} . אם a {\displaystyle a} אינו שורש של n {\displaystyle n} , אז הוא שונה מ- n a < n {\displaystyle {\frac {n}{a}}<n} , ולכן מכפלתם n {\displaystyle n} מחלקת את ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} . קרל פרידריך גאוס הוכיח את ההכללה הבאה למשפט: לכל n > 2 {\displaystyle n>2} מתקיים ∏ k = 1 gcd { k , n } = 1 n k ≡ { − 1 ( mod n ) : n = 4 , p m , 2 p m 1 ( mod n ) : otherwise {\displaystyle \prod _{k\,=\,1 \atop \gcd\{k,n\}=1}^{n}\!\!\!\!k\equiv {\begin{cases}-1{\pmod {n}}&:n=4,p^{m},2p^{m}\\\quad \!1{\pmod {n}}&:{\text{otherwise}}\end{cases}}} כאשר p {\displaystyle p} ראשוני אי-זוגי ו- m > 0 {\displaystyle m>0} שלם. משפט וילסון מתקבל כאשר n {\displaystyle n} ראשוני. המכפלה האחרונה היא למעשה מכפלת האיברים בחבורת אוילר U n {\displaystyle U_{n}} . את הטענה ניתן להכליל לכל חבורה אבלית סופית: מכפלת האיברים בחבורה כזו היא תמיד איבר היחידה, אלא אם כן קיים איבר יחיד מסדר 2, ואז המכפלה שווה אליו. גאוס הוכיח שבמקרים n = 4 , p m , 2 p m {\displaystyle n=4,p^{m},2p^{m}} חבורת אוילר היא חבורה ציקלית מסדר זוגי (הזוגיות נובעת מתכונות פונקציית אוילר) ולכן − 1 {\displaystyle -1} הוא אכן האיבר היחיד בה שסדרו 2. הלמה של גאוס משפט וילסון, באתר MathWorld (באנגלית) משפט וילסון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)