משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)

באנליזה מרוכבת, משפט ליוביל אומר כי פונקציה מרוכבת שלמה (כלומר, פונקציה שהולומורפית בכל המישור המרוכב) וחסומה חייבת להיות קבועה. בין שימושיו של משפט זה ניתן למנות הוכחה אלגנטית של המשפט היסודי של האלגברה והוכחה אלגנטית לכך שספקטרום של אופרטור איננו ריק. גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה לראשונה על ידי ז'וזף ליוביל ב-1847 והמשפט המלא הוכח על ידי אוגוסטן לואי קושי. הוכחת המשפט מבוססת על שימוש בנוסחת האינטגרל של קושי. באמצעות הנוסחה מעריכים את הנגזרת של הפונקציה בכל נקודה. בשל שלמות הפונקציה, ערך הנגזרת נתון על ידי אינטגרל סגור על מעגל סביב הנקודה בה מחשבים את הנגזרת. ערך האינטגרל הולך וקטן כאשר מגדילים את רדיוס המעגל, וערך הנגזרת קטן מערך האינטגרלים על כל אחד מהמעגלים, ומכאן מסיקים כי בהכרח ערך הנגזרת הוא 0. מכיוון שערך הנגזרת של הפונקציה הוא 0 בכל נקודה, היא חייבת להיות קבועה. על פי נוסחת קושי מתקיים: f ′ ( z ) = 1 2 π i ∮ | t − z | = R f ( t ) ( t − z ) 2 d t {\displaystyle f'(z)={\frac {1}{2\pi i}}\!\!\!\oint \limits _{|t-z|=R}\!\!\!{\frac {f(t)}{(t-z)^{2}}}dt} נפעיל ערך מוחלט על שני האגפים: | f ′ ( z ) | = | 1 2 π i ∮ | t − z | = R f ( t ) ( t − z ) 2 d t | ≤ 1 2 π ∮ | t − z | = R | f ( t ) | | t − z | 2 | d t | ≤ 1 2 π ∮ | t − z | = R M R 2 | d t | {\displaystyle |f'(z)|=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\!\!\!\oint \limits _{|t-z|=R}\!\!\!{\frac {f(t)}{(t-z)^{2}}}dt\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\!\!\!\oint \limits _{|t-z|=R}\!\!{\frac {|f(t)|}{|t-z|^{2}}}|dt|\leq {\frac {1}{2\pi }}\!\!\!\oint \limits _{|t-z|=R}\!\!\!{\frac {M}{R^{2}}}|dt|} המעבר האחרון מוצדק בכך שהפונקציה שלנו חסומה, כלומר מתקיים | f ( z ) | ≤ M {\displaystyle |f(z)|\leq M} לכל נקודה במישור עבור M {\displaystyle M} מסוים, ובכך שאנו מחשבים את האינטגרל על מעגל, ולכן מתקיים | t − z | = R {\displaystyle |t-z|=R} . אינטגרל של פונקציה קבועה על מעגל שווה להיקפו, ולכן נקבל: 1 2 π ∮ | t − z | = R M R 2 | d t | = 1 2 π ⋅ M ⋅ 2 π R R 2 = M R {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\!\!\!\oint \limits _{|t-z|=R}\!\!\!{\frac {M}{R^{2}}}|dt|={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {M\cdot 2\pi R}{R^{2}}}={\frac {M}{R}}} הדבר נכון עבור כל מעגל שנבחר סביב הנקודה z {\displaystyle z} , מפני שהפונקציה הולומורפית בכל המישור. לכן קיבלנו כי לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים R {\displaystyle R} גדול דיו כך שיתקיים | f ′ ( z ) | ≤ M R < ε {\displaystyle |f'(z)|\leq {\frac {M}{R}}<\varepsilon } , ולכן בהכרח מתקיים | f ′ ( z ) | = 0 {\displaystyle |f'(z)|=0} , וזה מתקיים רק כאשר f ′ ( z ) = 0 {\displaystyle f'(z)=0} . תהי f {\displaystyle f} שלמה, ולכל r > 0 {\displaystyle r>0} נגדיר M f ( r ) = max | z | = r | f ( z ) | , A f ( r ) = max | z | = r | R e ( f ( z ) ) | {\displaystyle M_{f}(r)={\underset {|z|=r}{\max }}|f(z)|,A_{f}(r)={\underset {|z|=r}{\max }}|Re(f(z))|} . אם קיימים C > 0 , a > 0 {\displaystyle C>0,a>0} ממשיים עבורם M f ( r ) ≤ C r a , r → ∞ {\displaystyle M_{f}(r)\leq Cr^{a},r\to \infty } או A f ( r ) ≤ C r a , r → ∞ {\displaystyle A_{f}(r)\leq Cr^{a},r\to \infty } , אזי f {\displaystyle f} פולינום ממעלה ⌊ a ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } (הערך השלם של a {\displaystyle a} ). (משפט ליוביל מתקבל כאשר a = 0 {\displaystyle a=0} ). מסקנה נוספת מהנ"ל, הידועה כמשפט הדמר, היא: אם f {\displaystyle f} פונקציה שלמה ללא אפסים ו- M f ( r ) ≤ C r a , r → ∞ {\displaystyle M_{f}(r)\leq Cr^{a},r\to \infty } , עם C > 1 {\displaystyle C>1} , אזי היא מהצורה f ( z ) = e p ( z ) {\displaystyle f(z)=e^{p(z)}} כאשר p {\displaystyle p} פולינום ממעלה ⌊ a ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor } . (המשפט מתקבל מהנ"ל עם log ⁡ ( f ) {\displaystyle \log(f)} ). המשפט הקטן של פיקאר מחזק את משפט ליוביל. הוא קובע שכל פונקציה שלמה ולא קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב מלבד אולי ערך אחד (למשל פונקציית האקספוננט מקבלת כל ערך מלבד 0). המשפט נכון גם עבור פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים, כלומר – פונקציה הולומורפית בכמה משתנים אשר חסומה היא קבועה. כל פונקציה הולומורפית על משטח רימן קומפקטי היא בהכרח קבועה (שכן מהקומפקטיות נובע שהפונקציה חסומה). תכונת ליוביל משפט ליוביל, באתר MathWorld (באנגלית)