חבורת וייטהד המצומצמת

חבורת וייטהד המצומצמת של חוג A היא חבורה אבלית, שמסמנים SK 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)} , המודדת באיזו מידה מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 מעל A הן מכפלה של קומוטטורים. אפשר להגדיר את החבורה כשיש דטרמיננטה מחבורות המטריצות מעל החוג; למשל כאשר A קומוטטיבי, או כאשר A אלגברה פשוטה מרכזית. זוהי תת-חבורה של חבורת וייטהד K 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {K} _{1}(A)} המוגדרת עבור כל חוג A. החבורה קרויה על שמו של המתמטיקאי הבריטי ג'ון וייטהד. יהי A חוג קומוטטיבי. נסמן ב- GL ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {GL} (A)} את חבורת המטריצות ההפיכות מכל סדר מעל A (גבול ישר של חבורות המטריצות מממדים סופיים). הדטרמיננטה מגדירה סדרה קצרה מדויקת 1 → SL ⁡ ( A ) → GL ⁡ ( A ) → A ∗ → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {SL} (A)\to \operatorname {GL} (A)\to A^{*}\to 1} . חלוקה בחבורת הקומוטטורים [ GL ⁡ ( A ) , GL ⁡ ( A ) ] {\displaystyle [\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]} מגדירה את הסדרה 1 → SK 1 ⁡ ( A ) → K 1 ⁡ ( A ) → A ∗ → 1 {\displaystyle 1\to \operatorname {SK} _{1}(A)\to \operatorname {K} _{1}(A)\to A^{*}\to 1} , כאשר K 1 ⁡ ( A ) = GL ⁡ ( A ) / [ GL ⁡ ( A ) , GL ⁡ ( A ) ] {\displaystyle \operatorname {K} _{1}(A)=\operatorname {GL} (A)/[\operatorname {GL} (A),\operatorname {GL} (A)]} , ו- SK 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)} הוא הגרעין של הדטרמיננטה מהחבורה הזו לחבורת ההפיכים של A. הסדרה הזו מפוצלת: K 1 ⁡ ( A ) = A ∗ ⊕ SK 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {K} _{1}(A)=A^{*}\oplus \operatorname {SK} _{1}(A)} . תהי A אלגברה פשוטה מרכזית מממד סופי מעל שדה F כלשהו. אפשר לשכן אותה באלגברת מטריצות מעל שדה הפיצול של F, וכך להפעיל את ההגדרות של המקרה הקומוטטיבי. באופן יותר מפורש, יש פונקציה כפלית N : A × → F × {\displaystyle N:A^{\times }\rightarrow F^{\times }} (הנורמה המצומצמת), המתלכדת עם הנורמה על כל תת-שדה. את חבורת האיברים בעלי נורמה 1 מסמנים ב- SL 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)} . תת-חבורת הקומוטטורים A ′ {\displaystyle A'} של A × {\displaystyle A^{\times }} מוכלת ב- SL 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)} , וחבורת המנה SL 1 ⁡ ( A ) / A ′ {\displaystyle \operatorname {SL} _{1}(A)/A'} היא חבורת וייטהד המצומצמת של A; מסמנים אותה ב- SK 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)} . השערת Tannaka-Artin (שהיא השערת Kneser-Tits לחבורות אלגבריות מטיפוס A n {\displaystyle A_{n}} ) סברה ש- SK 1 ⁡ ( A ) = 1 {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)=1} פרט לשני מקרים יוצאי דופן (מטריצות מממד 2 מעל שדה מסדר 2 או 3). השערה זו הופרכה על ידי פלטונוב (1975). החבורה SK 1 {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}} טריוויאלית עבור מטריצות מעל השדה (פרט ליוצאי הדופן שהוזכרו לעיל). החבורה תלויה רק במחלקה של A בחבורת בראוור (בזכות דטרמיננטת דודונה). האקספוננט שלה מחלק את האינדקס של האלגברה. והיא כפלית ביחס לפירוק למכפלה טנזורית של אלגברות מדרגות זרות. מסיבות אלה מספיק להבין את SK 1 ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)} כאשר A אלגברת חילוק מדרגה שהיא חזקת ראשוני. החבורה טריוויאלית עבור אלגברות מדרגה ראשונית (Wang, 1950). SK 1 {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}} טריוויאלית מעל שדות מקומיים ומעל שדות מספרים. יינצב'סקי הראה ש- SK 1 ⁡ ( A ) = 1 {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)=1} אם שדה הבסיס הוא בעל התכונה C 2 0 {\displaystyle C_{2}^{0}} (העתקת הנורמה היא על לכל אלגברה פשוטה מרכזית מעל הרחבה סופית; כל שדה בעל התכונה C 2 {\displaystyle C_{2}} הוא גם C 2 0 {\displaystyle C_{2}^{0}} , אבל לא להפך). מהתכונה C 2 0 {\displaystyle C_{2}^{0}} נובע ש- cd ⁡ ( F ) ≤ 2 {\displaystyle \operatorname {cd} (F)\leq 2} כאשר cd ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {cd} (F)} הוא הממד הקוהומולוגי של F; ואם F שדה מושלם, גם להפך (מרקורייב-סוסלין, 1985). תהי A אלגברה שהאינדקס שלה הוא חזקת-p. אם F שדה ממאפיין שונה מ-p וממד-p הקוהומולוגי של F הוא לכל היותר 2, אז SK 1 ⁡ ( A ) = 1 {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(A)=1} . אם cd ⁡ ( F ) ≤ 3 {\displaystyle \operatorname {cd} (F)\leq 3} אז SK 1 ⁡ ( Q ⊗ Q ′ ) = 1 {\displaystyle \operatorname {SK} _{1}(Q\otimes Q')=1} לכל שתי אלגברות קווטרניונים Q ו-'Q. השערת סוסלין היא שזה נכון לכל אלגברה. Nicolas Grenier-Boley, On the triviality of certain Whitehead groups, Mat Proc Roy Irish Acad 107(2):183--193, (2007).