קוסינוס

קוסינוס (מסומן ב- cos {\displaystyle \cos } ) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית, המתאימה לכל זווית מספר ממשי בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון: הגדרות שונות באנליזה (ובפרט באנליזה מרוכבת). הפונקציה שימושית מאוד בפיזיקה, בהנדסת חשמל ובתחומי מדע והנדסה אחרים. בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הקוסינוס מציינת את היחס בין הניצב שליד הזווית ליתר במשולש ישר-זווית, כפונקציה של הזווית שליד הניצב הזה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הקוסינוס של זווית מוגדר היטב. במעגל היחידה ניתן להסתכל על רדיוס הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שקוסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-x, כלומר שיעור ה-x של הנקודה (x,y). עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס לכל מספר ממשי: הקוסינוס של מספר   θ {\displaystyle \ \theta } הוא שיעור ה-x של הנקודה על מעגל היחידה שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לציר ה-x הוא   θ {\displaystyle \ \theta } (ברדיאנים). כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הקוסינוס באמצעות טור טיילור: cos ⁡ x =   1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! ± ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\displaystyle \cos x=\ 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}} ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של קוסינוס על ידי גזירה חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע קירוב קוסינוס לזוויות קטנות: cos ⁡ x ≈ 1 − x 2 2 ≈ 1 {\displaystyle \cos x\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}\approx 1} , מכיוון שכאשר x קטן החזקה הרביעית שלו (לפעמים אפילו השנייה) וחזקות גבוהות יותר זניחות. הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הקוסינוס גם למספרים מרוכבים. באמצעות נוסחת אוילר אפשר לקבל הגדרות נוספות לקוסינוס:   cos ⁡ ( x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \ \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} פונקציית הקוסינוס היא זוגית, משום שמתקיים cos ⁡   ( − x ) = cos ⁡   ( x ) {\displaystyle \cos \ (-x)=\cos \ (x)} . פונקציית הקוסינוס היא מחזורית בעלת מחזור של   2 π {\displaystyle \ 2\pi } . זאת משום שסיבוב של   2 π {\displaystyle \ 2\pi } מחזיר אותך לנקודת המוצא. פונקציית הקוסינוס רציפה, גזירה ואינטגרבילית לכל   x {\displaystyle \ x} . לפונקציה אינסוף נקודות קיצון מהצורה   x =   2 π k {\displaystyle \ x=\ 2\pi k} (מקסימום) ו-   x = π +   2 π k {\displaystyle \ x=\pi +\ 2\pi k} (מינימום), כאשר   k {\displaystyle \ k} מספר שלם. הערך במקסימום הוא 1 ובמינימום -1. לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה   x = π 2 + π k {\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k} , כאשר   k {\displaystyle \ k} מספר שלם. התמונה של הפונקציה היא   [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \ [-1,1]} . הנגזרת של פונקציית הקוסינוס, כאשר x {\displaystyle x} מבוטא ברדיאנים, היא מינוס פונקציית הסינוס: d d x cos ⁡ x = − sin ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cos x=-\sin x} זאת כיוון שהנגזרת של פונקציית הסינוס היא קוסינוס (ראו הוכחה כאן) ובעזרת כלל השרשרת מקבלים: d d x cos ⁡ x = d d x sin ⁡ ( π 2 − x ) = − cos ⁡ ( π 2 − x ) = − sin ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cos x={d \over dx}\sin({\frac {\pi }{2}}-x)=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x} . מכאן נובעת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הקוסינוס בעזרת משוואה דיפרנציאלית: פונקציית הקוסינוס היא פתרון המשוואה   f ″ ( x ) = − f ( x ) {\displaystyle \ f''(x)=-f(x)} כאשר   f ( 0 ) = 1 {\displaystyle \ f(0)=1} ו-   f ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \ f'(0)=0} . הפונקציה הקדומה של הקוסינוס היא סינוס: ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C {\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C} להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות: ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות פונקציית הקוסינוס מקיימת:   cos ⁡ ( − θ ) = cos ⁡ θ {\displaystyle \ \cos(-\theta )=\cos \theta } וכן   cos ⁡ ( π − θ ) = − cos ⁡ θ {\displaystyle \ \cos(\pi -\theta )=-\cos \theta } בעזרת פונקציית הקוסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): sin ⁡ θ = 1 − cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}} ‏, tan ⁡ θ = 1 − cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}} ‏, cot ⁡ θ = cos ⁡ θ 1 − cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta ={\cos \theta \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} ‏, csc ⁡ θ = 1 1 − cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta ={1 \over {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}} ‏, sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta ={1 \over \cos \theta }} סכום זוויות: cos ⁡ ( θ ± φ ) = cos ⁡ θ cos ⁡ φ ∓ sin ⁡ θ sin ⁡ φ {\displaystyle \cos(\theta \pm \varphi )=\cos \theta \cos \varphi \mp \sin \theta \sin \varphi } זווית כפולה:   cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ − sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \ \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta } ‏,   cos ⁡ 3 θ = 4 cos 3 ⁡ θ − 3 cos ⁡ θ {\displaystyle \ \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta } ובאופן כללי cos ⁡ n θ = ∑ k = 0 n ( n k ) cos k ⁡ θ sin n − k ⁡ θ cos ⁡ ( 1 2 ( n − k ) π ) {\displaystyle \cos n\theta =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)} חצי זווית: cos ⁡ θ 2 = ± 1 + cos ⁡ θ 2 {\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}} סכום קוסינוסים: cos ⁡ θ − cos ⁡ φ = − 2 sin ⁡ ( θ + φ 2 ) sin ⁡ ( θ − φ 2 ) {\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)} ‏, cos ⁡ θ + cos ⁡ φ = 2 cos ⁡ ( θ + φ 2 ) cos ⁡ ( θ − φ 2 ) {\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} הפונקציה ההפוכה לפונקציית הקוסינוס נקראת ארכקוסינוס ומסומנת   arccos {\displaystyle \ \arccos } או   cos − 1 {\displaystyle \ \cos ^{-1}} . הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע   [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \ [-1,1]} , וכיוון שפונקציית הקוסינוס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים   [ 0 , π ] {\displaystyle \ [0,\pi ]} . הנגזרת שלה היא d d x arccos ⁡ x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arccos x=-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}} . ערך מורחב – משפט הקוסינוסים משפט הקוסינוסים הוא הכללה של משפט פיתגורס, והוא קובע את הקשר בין צלעות המשולש ואחת מזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הקוסינוס. המשפט הוא:   c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma } כאשר a, b, c הן צלעות המשולש ו-   γ {\displaystyle \ \gamma } נמצאת מול הצלע c. כאשר זווית c ישרה,   cos ⁡ γ = 0 {\displaystyle \ \cos \gamma =0} ומתקבל משפט פיתגורס. מדיה וקבצים בנושא קוסינוס בוויקישיתוף קוסינוס, באתר MathWorld (באנגלית) גדי אלכסנדרוביץ', נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית), באתר "לא מדויק", 31 במרץ 2010