פונקציה תת-ליניארית

באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית, פונקציה תת-ליניארית (נקראת גם פונקציונל תת-ליניארי) היא פונקציונל על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, אשר מקיים תת-חיבוריות והומוגניות חיובית. פונקציות מסוג זה הן גרסה מוחלשת של נורמה ונורמה-למחצה מחד ופונקציה ליניארית מאידך. שימושם העיקרי של פונקציונלים תת-ליניאריים בא לידי ביטוי במשפט האן-בנך. כמו כן ניתן להשתמש בפונקציונלים אלה במקרים שבהם מרחב כלשהו אינו נורמבילי, כלומר שלא ניתן להגדיר עליו נורמה. עבור מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מעל שדה K {\displaystyle \mathbb {K} } שהוא שדה הממשיים או המרוכבים, הפונקציונל ρ : V → R {\displaystyle \rho :V\to \mathbb {R} } יקרא פונקציונל תת-ליניארי אם ורק אם הוא מקיים את שתי התכונות הבאות: תת-חיבוריות (Subadditivity): לכל שני וקטורים x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} מתקיים   ρ ( x + y ) ≤ ρ ( x ) + ρ ( y ) {\displaystyle \ \rho (x+y)\leq \rho (x)+\rho (y)} הומוגניות חיובית (Positive homogeneity): לכל וקטור x ∈ V {\displaystyle x\in V} במרחב ולכל סקלר אי-שלילי λ ≥ 0 {\displaystyle \lambda \geq 0} מתקיים ρ ( λ x ) = λ ρ ( x ) {\displaystyle \rho (\lambda x)=\lambda \rho (x)} . תנאי התת-חיבוריות הוא למעשה קיום אי-שוויון המשולש של הפונקציונל. מתוך תכונת ההומוגניות החיובית ניתן להסיק כי כל פונקציונל תת-ליניארי מתאפס בראשית, כלומר ρ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \rho (0)=0} , זאת על ידי הכפלת כל איבר כלשהו ב- V {\displaystyle V} בסקלר 0 {\displaystyle 0} . מאחר שתכונת ההומוגניות החיובית אינה נוגעת להכפלה בסקלר שלילי, לא ניתן להסיק כי ρ ( − x ) {\displaystyle \rho (-x)} משתווה ל- ρ ( x ) {\displaystyle \rho (x)} עבור x ∈ V {\displaystyle x\in V} כלשהי כפי שתכונה זו מתקיימת עבור נורמה ונורמה-למחצה. לעומת זאת, מתכונת התת-חיבוריות ניתן להסיק כי: 0 = ρ ( 0 ) = ρ ( x + ( − x ) ) ≤ ρ ( x ) + ρ ( − x ) {\displaystyle 0=\rho (0)=\rho (x+(-x))\leq \rho (x)+\rho (-x)} כלומר, ניתן להסיק שלפחות אחד מ- ρ ( − x ) {\displaystyle \rho (-x)} ו- ρ ( x ) {\displaystyle \rho (x)} הוא חיובי. עבור פונקציונל תת-ליניארי ρ {\displaystyle \rho } מעל V {\displaystyle V} וסקלר אי-שלילי α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} הפונקציונל α ρ {\displaystyle \alpha \rho } הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים עבור α < 0 {\displaystyle \alpha <0} . כמו כן, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים ρ 1 , ρ 2 {\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}} מעל V {\displaystyle V} הפונקציונל ρ 1 + ρ 2 {\displaystyle \rho _{1}+\rho _{2}} אף הוא תת-ליניארי. הדבר איננו מתקיים בהכרח עבור ρ 1 − ρ 2 {\displaystyle \rho _{1}-\rho _{2}} . בנוסף, עבור זוג פונקציונלים תת-ליניאריים ρ 1 , ρ 2 {\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}} מעל V {\displaystyle V} הפונקציונל q := max ( ρ 1 , ρ 2 ) {\displaystyle q:=\max(\rho _{1},\rho _{2})} אף הוא תת-ליניארי. כלומר לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} : q ( x ) := max ( ρ 1 ( x ) , ρ 2 ( x ) ) {\displaystyle q(x):=\max(\rho _{1}(x),\rho _{2}(x))} כל פונקציה תת-ליניארית היא בהכרח פונקציה קמורה. ניתן להוכיח זאת מתוך ההגדרה: עבור x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} ו- 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle 0\leq t\leq 1} מתקיים: ρ ( t x + ( 1 − t ) y ) ≤ ρ ( t x ) + ρ ( ( 1 − t ) y ) = t ρ ( x ) + ( 1 − t ) ρ ( y ) {\displaystyle \rho (tx+(1-t)y)\leq \rho (tx)+\rho ((1-t)y)=t\rho (x)+(1-t)\rho (y)} כאשר אי השוויון משמאל מתקיים מתכונת התת-חיבוריות והשוויון מימין מתקיים בגלל הומוגניות חיובית. כל פונקציה p : V → R {\displaystyle p:V\to \mathbb {R} } שהיא תת-חיבורית (תנאי 1 בהגדרה), קמורה ומקיימת p ( 0 ) ≤ 0 {\displaystyle p(0)\leq 0} היא בהכרח תת-ליניארית. לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} ולכל 0 ≤ λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1} כלשהו ניתן להסיק מתכונת הקמירות כי: p ( λ x ) = p ( ( 1 − λ ) 0 + λ x ) ≤ ( 1 − λ ) p ( 0 ) + λ p ( x ) ≤ λ p ( x ) {\displaystyle p(\lambda x)=p((1-\lambda )0+\lambda x)\leq (1-\lambda )p(0)+\lambda p(x)\leq \lambda p(x)} מכיוון ש- 0 ≤ 1 − λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq 1-\lambda \leq 1} ניתן להסיק באותו אופן כי p ( ( 1 − λ ) x ) ≤ ( 1 − λ ) p ( x ) {\displaystyle p((1-\lambda )x)\leq (1-\lambda )p(x)} . כעת לפי תכונת התת-חיבוריות: p ( x ) = p ( ( 1 − λ ) x + λ x ) ≤ p ( ( 1 − λ ) x ) + p ( λ x ) ≤ ( 1 − λ ) p ( x ) + p ( λ x ) {\displaystyle p(x)=p((1-\lambda )x+\lambda x)\leq p((1-\lambda )x)+p(\lambda x)\leq (1-\lambda )p(x)+p(\lambda x)} מהעברת אגפים נקבל כי λ p ( x ) ≤ p ( λ x ) {\displaystyle \lambda p(x)\leq p(\lambda x)} . מכיוון וגם λ p ( x ) ≤ p ( λ x ) {\displaystyle \lambda p(x)\leq p(\lambda x)} וגם λ p ( x ) ≥ p ( λ x ) {\displaystyle \lambda p(x)\geq p(\lambda x)} בהכרח p ( λ x ) = λ p ( x ) {\displaystyle p(\lambda x)=\lambda p(x)} ועל כן מתקיימת הומגוניות עבור 0 ≤ λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1} . עבור λ ≥ 1 {\displaystyle \lambda \geq 1} מתקיים כי 0 ≤ 1 λ ≤ 1 {\displaystyle 0\leq {\frac {1}{\lambda }}\leq 1} ולכן: p ( x ) = p ( 1 λ λ x ) = 1 λ p ( λ x ) {\displaystyle p(x)=p({\frac {1}{\lambda }}\lambda x)={\frac {1}{\lambda }}p(\lambda x)} משמע p ( λ x ) = λ p ( x ) {\displaystyle p(\lambda x)=\lambda p(x)} גם עבור λ ≥ 1 {\displaystyle \lambda \geq 1} . מכל זה נגזרת הומגוניות-חיובית עבור p {\displaystyle p} . מאחר ש- p {\displaystyle p} תת-חיבורית והומוגנית חיובית היא בהכרח תת-ליניארית. מש"ל. אם מרחב התחום V {\displaystyle V} של פונקציה תת-ליניארית ρ {\displaystyle \rho } הוא מרחב וקטורי טופולוגי (כלומר שהוא מצויד בטופולוגיה שעבורה פעולות החיבור והכפל בסקלר רציפות), ניתן לקבוע האם ρ {\displaystyle \rho } רציפה על-פי הטופולוגיה של המרחב. ניתן להוכיח כי אם ρ {\displaystyle \rho } רציפה בראשית אז היא רציפה בכל המרחב, ויתרה מכך היא גם רציפה במידה שווה (כפי שתכונה זו מוגדרת לחבורות טופולוגיות, ובפרט למרחבים וקטוריים טופולוגיים). בפרט, כל פונקציונל תת-ליניארי רציף הוא רציף במידה שווה. עבור ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיימת סביב פתוחה U {\displaystyle U} של הראשית כך ש- | ρ ( v ) | < ε {\displaystyle |\rho (v)|<\varepsilon } לכל v ∈ U {\displaystyle v\in U} . ניתן להגדיר קבוצה פתוחה חדשה U ′ = U ∩ ( − U ) {\displaystyle U'=U\cap (-U)} שאף היא סביב פתוחה של הראשית וסימטרית (כלומר לכל v ∈ U {\displaystyle v\in U} מתקיים − v ∈ U {\displaystyle -v\in U} ) עבור x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} כך ש- x − y ∈ U ′ {\displaystyle x-y\in U'} מתקיים: ρ ( x ) = ρ ( x − y + y ) ≤ ρ ( x − y ) + ρ ( y ) < ε + ρ ( y ) {\displaystyle \rho (x)=\rho (x-y+y)\leq \rho (x-y)+\rho (y)<\varepsilon +\rho (y)} לכן ρ ( x ) − ρ ( y ) < ε {\displaystyle \rho (x)-\rho (y)<\varepsilon } . מכיוון שגם y − x ∈ U ′ {\displaystyle y-x\in U'} ניתן להסיק שגם ρ ( y ) − ρ ( x ) < ε {\displaystyle \rho (y)-\rho (x)<\varepsilon } לכן בסך הכל | ρ ( x ) − ρ ( y ) | < ε {\displaystyle |\rho (x)-\rho (y)|<\varepsilon } . מתקבל כי לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיימת סביבה פתוחה U ′ {\displaystyle U'} כך שלכל x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} עבורם x − y ∈ U ′ {\displaystyle x-y\in U'} מתקיים | ρ ( x ) − ρ ( y ) | < ε {\displaystyle |\rho (x)-\rho (y)|<\varepsilon } . מכל זה ρ {\displaystyle \rho } רציפה במידה שווה. מש"ל. ערך מורחב – פונקציה ליניארית כל פונקציה ליניארית היא גם פונקציה תת-ליניארית (מחליפים את האי-שוויון בתנאי התת-חיבוריות לשוויון). אם מגדירים ב- V # {\displaystyle V^{\#}} את קבוצת כל הפונקציונלים התת-ליניאריים על מרחב וקטורי V {\displaystyle V} כלשהו, ניתן להגדיר על מרחב זה יחס סדר חלקי ⪯ {\displaystyle \preceq } כך שלכל ρ 1 , ρ 2 ∈ V # {\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}\in V^{\#}} , ρ 1 ⪯ ρ 2 {\displaystyle \rho _{1}\preceq \rho _{2}} אם ורק אם ρ 1 ( x ) ≤ ρ 2 ( x ) {\displaystyle \rho _{1}(x)\leq \rho _{2}(x)} לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} (סימון זה אינו סימון מוסכם בספרות ומשמש לערך זה בלבד). על כן, בהינתן פונקציה תת-ליניארית ρ {\displaystyle \rho } מעל מרחב V {\displaystyle V} כלשהו, התנאים הבאים שקולים: ρ {\displaystyle \rho } היא פונקציה ליניארית. ρ {\displaystyle \rho } היא פונקציה אי-זוגית. כלומר, ρ ( − x ) = − ρ ( x ) {\displaystyle \rho (-x)=-\rho (x)} לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} . ρ {\displaystyle \rho } היא פונקציה תת-ליניארית מינימלית תחת היחס ⪯ {\displaystyle \preceq } . מעובדה זאת נגזרת משמעות נוספת והיא שבהינתן פונקציונל תת-ליניארי כלשהו ρ {\displaystyle \rho } מעל מרחב V {\displaystyle V} ניתן למצוא פונקציה ליניארית f : V → R {\displaystyle f:V\to \mathbb {R} } כך ש- f ( x ) ≤ ρ ( x ) {\displaystyle f(x)\leq \rho (x)} לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} . ערך מורחב – נורמה-למחצה עבור מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מעל שדה K {\displaystyle \mathbb {K} } (שהוא שדה הממשיים או המרוכבים) פונקציה ρ : V → R {\displaystyle \rho :V\to \mathbb {R} } תקרא נורמה-למחצה אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים: ρ {\displaystyle \rho } היא תת-חיבורית. ρ {\displaystyle \rho } הומוגנית בהחלט (Absolute homogeneity). כלומר, לכל וקטור x ∈ V {\displaystyle x\in V} במרחב ולכל סקלר λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } מתקיים ρ ( λ x ) = | λ | ρ ( x ) {\displaystyle \rho (\lambda x)=|\lambda |\rho (x)} . כמובן שכל פונקציה הומוגנית בהחלט היא הומוגנית חיובית, לכן כל נורמה למחצה היא פונקציה תת-ליניארית. כל נורמה למחצה היא פונקציה זוגית. כלומר, ρ ( − x ) = ρ ( x ) {\displaystyle \rho (-x)=\rho (x)} לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} . אם K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } (שדה הממשיים), פונקציה תת-ליניארית ρ {\displaystyle \rho } היא נורמה למחצה אם ורק אם היא זוגית. מכיוון שכל נורמה למחצה היא זוגית, ושלפחות אחד מ- ρ ( − x ) {\displaystyle \rho (-x)} ו- ρ ( x ) {\displaystyle \rho (x)} הוא חיובי, ניתן להסיק כי כל נורמה למחצה היא פונקציה חיובית. כלומר, לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} מתקיים ש- ρ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \rho (x)\geq 0} . בהינתן פונקציה תת-ליניארית ρ {\displaystyle \rho } כלשהי, ניתן לבנות ממנה נורמה-למחצה q : V → R {\displaystyle q:V\to \mathbb {R} } כך שלכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} : q ( x ) := max ( ρ ( x ) , ρ ( − x ) ) {\displaystyle q(x):=\max(\rho (x),\rho (-x))} נורמה למחצה זו תקרא הנורמה-למחצה המשויכת ל- ρ {\displaystyle \rho } . לנורמות למחצה חשיבות רבה בבניית מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית, אשר מהווים הכללה למרחבים נורמביליים. ערך מורחב – נורמה (אנליזה) ρ {\displaystyle \rho } תקרא נורמה אם ורק אם היא נורמה-למחצה ובנוסף מקיימת חיוביות בהחלט (positive definite). כלומר, אם ρ ( x ) = 0 {\displaystyle \rho (x)=0} בהכרח x = 0 {\displaystyle x=0} . כל נורמה היא נורמה למחצה, אך ההפך אינו בהכרח נכון. לנורמות חשיבות מכרעת באנליזה ובפיזיקה והן מהוות הבסיס למרחבי הילברט ומרחבי בנך. כל נורמה ונורמה-למחצה היא פונקציונל תת-ליניארי. פונקציית האפס ρ ( x ) = 0 , ∀ x ∈ V {\displaystyle \rho (x)=0,\forall x\in V} היא פונקציונל תת-ליניארי. כל פונקציונל ליניארי על שדה V {\displaystyle V} מעל הממשיים או המרוכבים הוא פונקציונל תת-ליניארי. הדבר נכון בפרט לפונקציית הזהות מ- R {\displaystyle \mathbb {R} } לעצמו. הפונקציה ρ : R → R {\displaystyle \rho :\mathbb {R} \to \mathbb {R} } מהצורה ρ ( x ) = { a x , x ≤ 0 b x , otherwise {\displaystyle \rho (x)={\begin{cases}ax,&x\leq 0\\bx,&{\text{otherwise}}\end{cases}}} כאשר a ≤ b {\displaystyle a\leq b} היא פונקציונל תת-ליניארי. Worawit Tepsan, Functional Analysis, Math 7320, University of Houston, ‏2016-11-8 (באנגלית) Adam Bowers, Nigel J. Kalton, An introductory course in functional analysis, New York, NY [u.a.]: Springer, 2014, An Introductory Course in Functional Analysis, ISBN 978-1-4939-1945-1