בעיית וארינג

בתורת המספרים, בעיית וארינג שואלת האם לכל מספר טבעי k {\displaystyle k} קיים חסם עליון s {\displaystyle s} על מספר החזקות ה- k {\displaystyle k} -יות של מספרים טבעיים, הנדרשות כדי להציג כל מספר טבעי. את הבעיה הציע בשנת 1770 אדוארד וארינג. הילברט הוכיח שאכן כך הדבר בשנת 1909. על כן אפשר להגדיר פונקציה g ( k ) {\displaystyle g(k)} , כך שכל מספר טבעי אפשר להציג כסכום של g ( k ) {\displaystyle g(k)} חזקות k {\displaystyle k} -יות, אבל לא כסכום של פחות מכך. חישוב פשוט מראה שכדי להציג את המספר 7 דרושים 4 ריבועים, עבור 23 דרושים 9 מספרים בחזקה השלישית, וכדי להציג את 79 דרושים 19 מספרים בחזקה הרביעית. אלו הם חסמים תחתונים על g ( k ) {\displaystyle g(k)} עבור k = 2 , 3 , 4 {\displaystyle k=2,3,4} בהתאמה. משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' אומר שניתן להציג כל מספר טבעי כסכום של לכל היותר ארבעה ריבועים; מכיוון ש-7 דורש ארבעה ריבועים, הרי נובע מכך כי g ( 2 ) = 4 {\displaystyle g(2)=4} . ההשערה של משפט זה הוצעה בשנת 1640 על ידי פרמה. במהלך השנים נקבעו חסמים נוספים, בשימוש בטכניקות מתוחכמות ומסובכות יותר ויותר. לדוגמה, ליוביל הראה כי g ( 4 ) {\displaystyle g(4)} הוא לכל היותר 53. הארדי וליטלווד הראו שכל מספר גדול מספיק הוא סכום של לכל היותר 19 מספרים בחזקה הרביעית. ויפריך וקמפנר הראו כי g ( 3 ) = 9 {\displaystyle g(3)=9} בעבודתם בין השנים 1909 עד 1912. בשנת 1986 הוכיחו בלאסוברמיאן, דרס, ודשויירז כי g ( 4 ) = 19 {\displaystyle g(4)=19} . ג'נגרון הראה כי g ( 5 ) = 37 {\displaystyle g(5)=37} בשנת 1964. פילאי הוכיח כי g ( 6 ) = 73 {\displaystyle g(6)=73} בשנת 1940. במהלך שנות ה-50, הוכיח יורי ליניק את קיום g ( k ) {\displaystyle g(k)} בכלים אלמנטריים תוך שימוש בצפיפות שנירלמן. כל הערכים של g {\displaystyle g} ידועים כיום, הודות לעבודתם של דיקסון, פילאי, רבגנדיי וניבן. הנוסחה שלהם היא: g ( k ) = ⌊ 1.5 k ⌋ + 2 k − 2 {\displaystyle g(k)=\left\lfloor 1.5^{k}\right\rfloor +2^{k}-2} לכל k ≥ 6 {\displaystyle k\geq 6} , כאשר ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } הוא הערך השלם של x {\displaystyle x} , שהוא המספר השלם הגדול ביותר שאינו עולה על x {\displaystyle x} . הנוסחה בעצם יותר מסובכת כי במקרה ש- 1.5 k − ⌊ 1.5 k ⌋ > 1 − 0.75 k {\displaystyle 1.5^{k}-\left\lfloor 1.5^{k}\right\rfloor >1-0.75^{k}} אזי הנוסחה ל- g ( k ) {\displaystyle g(k)} שונה, אמנם עד עכשיו לא מצאו אף מספר k ≥ 6 {\displaystyle k\geq 6} כזה, ונבדקו כל המספרים שהם קטנים מ-471600000, וידוע שיש ככל האפשר מספר סופי של יוצאי דופן כאלה. ערכי g ( k ) {\displaystyle g(k)} הראשונים הם: 1, 4, 9, 19, 37, 73, 143, 279, 548, 1079, 2132, 4223 ,8384, 16673, 33203, 66190, 132055, ... בעיה דומה, אבל קשה בהרבה, שואלת מהו המספר הקטן ביותר G ( k ) {\displaystyle G(k)} של חזקות- k {\displaystyle k} הדרוש להצגת כל המספרים פרט למספר סופי של יוצאי דופן (או בניסוח שקול: המספר הקטן ביותר הדרוש כדי להציג כל מספר גדול מספיק). ברור כי G ( k ) ≤ g ( k ) {\displaystyle G(k)\leq g(k)} . שלא כמו בפונקציה g ( k ) {\displaystyle g(k)} , מספרים בעייתיים כגון 23 או 79 אינם מסייעים בהערכה של G ( k ) {\displaystyle G(k)} , והערכים המדויקים של פונקציה זו אינם ידועים (פרט ל- G ( 2 ) = g ( 2 ) = 4 {\displaystyle G(2)=g(2)=4} שנובע מעבודתם של לגראנז' וגאוס, שאפיינו את כל המספרים שאפשר להציג בשלושה ריבועים, ו- G ( 4 ) = 16 {\displaystyle G(4)=16} שהוכח על ידי דוונפורט בשנת 1939). עבור חזקות שלישיות ידוע רק כי 4 ≤ G ( 3 ) ≤ 7 {\displaystyle 4\leq G(3)\leq 7} (נכון ל-2005). עוד פונקציה דומה נקראת G + ( k ) {\displaystyle G^{+}(k)} ( G 1 ( k ) {\displaystyle G_{1}(k)} בעבודות של וולי) שהיא המספר הקטן ביותר של חזקות- k {\displaystyle k} הדרוש להצגת כמעט כל המספרים (כלומר, שהיחס בין מספר יוצאי הדופן שקטנים מ- n {\displaystyle n} ובין n {\displaystyle n} יתכנס ל-0 כאשר n {\displaystyle n} ילך ויגדל). ברור כי G + ( k ) ≤ G ( k ) {\displaystyle G^{+}(k)\leq G(k)} . נכון ל-2006 ידוע 5 ערכים מדויקים של פונקציה זו בנוסף ל- G + ( 2 ) = g ( 2 ) = 4 {\displaystyle G^{+}(2)=g(2)=4} , והם G + ( 3 ) = 4 , G + ( 4 ) = 15 , G + ( 8 ) = 32 , G + ( 16 ) = 64 , G + ( 32 ) = 128 {\displaystyle G^{+}(3)=4,G^{+}(4)=15,G^{+}(8)=32,G^{+}(16)=64,G^{+}(32)=128} וריאציה של בעיית וארינג שואלת עבור k {\displaystyle k} קבוע, מהו המספר s {\displaystyle s} הקטן ביותר כך שלכל מספר יש הצגה בצורה ± n 1 k ± ⋯ ± n s k {\displaystyle \pm n_{1}^{k}\pm \cdots \pm n_{s}^{k}} . את המספר הזה מסמנים v ( k ) {\displaystyle v(k)} . ידוע כי v ( 2 ) = 3 {\displaystyle v(2)=3} , אך הערך המדויק של הפונקציה אינו יודע בשום מקרה אחר. למשל, 4 ≤ v ( 3 ) ≤ 5 {\displaystyle 4\leq v(3)\leq 5} : כל מספר אפשר להציג כסכום של 5 חזקות שלישיות (של מספרים שלמים, לאו דווקא חיוביים), ולא ידוע האם די ב-4 חזקות. בעיית וארינג, באתר MathWorld (באנגלית) הוכחתו של יורי ליניק: [1]. Hardy and Wright, פרקים XX ו-XXI. בעיית וארינג, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)