תבנית מודולרית

במתמטיקה, תבנית מודולרית היא פונקציה אנליטית (מרוכבת), המוגדרת על חצי המישור העליון, ומקיימת משוואות פונקציונליות ותנאי גידול מסוימים. מעיקר הדין שייכות התבניות המודולריות לאנליזה המרוכבת, אבל המחקר הקשור בהן מהווה באופן מסורתי חלק מרכזי בתורת המספרים האנליטית. תבניות מודולריות מופיעות, בין השאר, גם בטופולוגיה אלגברית ובתורת המיתרים. לכל תבנית מודולרית יש משקל, שהוא מספר שלם. תבניות ממשקל 0 הן פונקציות מודולריות. פונקציות כאלה אינן משתנות תחת הפעולה של החבורה המודולרית   SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} (ולכן הן מוגדרות על התחום היסודי שלה בפעולה על חצי המישור העליון), בעוד שהתבניות ממשקל שאינו אפס מותמרות על ידי איברי החבורה באופן מסוים, התלוי במשקל. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר פונקציות מודולריות לכל סריג של   SL 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )} . תבניות מודולריות הן מקרה פרטי של תאוריה מורכבת יותר, העוסקת בתבניות אוטומורפיות. ראשיתה של התאוריה של תבניות מודולריות בארבעה מקורות: הכללת המשוואות המתארות פונקציות אליפטיות בראשית המאה ה-19; פיתוח התבניות האוטומורפיות (במשתנה אחד), כפי שהבינו אותם פליקס קליין ואחרים, בסוף המאה ה-19; עבודתו של אריך הקה בסביבות 1925; וההתקדמות בתורת המספרים בשנות ה-60, שהצביעה על יותר ויותר קשרים מעניינים של התאוריה עם תחומים אחרים. בשנות ה-90 ניתנה לתחום דחיפה משמעותית נוספת, כאשר הוכיחו ויילס וטיילור את משפט המודולריות, המוכר גם כמשפט טניאמה-שימורה. המונח "תבנית מודולרית" מיוחס ל-Hecke; ג'. ה. הארדי הסתייג מבחירה זו, והוא אכן אינו מופיע בעבודות של תלמידו ועמיתו סריניווסה רמנוג'ן, שתרם לתחום הרבה מן התובנות הראשוניות. המונח חצי המישור העליון מתייחס למחצית העליונה של המישור המרוכב, כלומר לקבוצה   { x + i y ∈ C : y > 0 } {\displaystyle \ \{x+iy\in \mathbb {C} :y>0\}} . על חצי המישור העליון מוגדרת מטריקה לפי תבנית האורך   d s = d x 2 + d y 2 y {\displaystyle \ ds={\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}{y}}} , ההופכת אותו למרחב היפרבולי (בעל עקמומיות שלילית קבועה), שבו העקומים הגאודזיים הם מעגלים וישרים המאונכים לציר ה-x. זהו מרחב היפרבולי חשוב ביותר, מכיוון שכמרחב פשוט קשר, זהו מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל משטחי רימן מגנוס גדול מ-1. חבורת האיזומטריות שומרות הכיוון של חצי המישור העליון היא חבורת המטריצות   PSL 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {R} )} , הפועלת עליה (טרנזיטיבית) לפי טרנספורמציות מביוס:   M z = ( a b c d ) ⋅ z = a z + b c z + d {\displaystyle \ Mz=\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}} . ל"נקודה באינסוף",   ∞ i {\displaystyle \ \infty i} (הנמצאת באינסופו של הכיוון החיובי של הציר המדומה) יש תפקיד מיוחד בפעולה הזו: כאשר   z → ∞ i {\displaystyle \ z\rightarrow \infty i} ,   M z → a / c {\displaystyle \ Mz\rightarrow a/c} , וכך אפשר להגיע לכל נקודה על הציר הממשי. מכיוון שכך, נקודות השפה (היינו: הנקודות על הציר הממשי, והנקודה באינסוף) כולן שקולות זו לזו. מרחבי המנה של H מתקבלים מקיפול המרחב לפי תת חבורה דיסקרטית של   PSL 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {R} )} , והדוגמה החשובה ביותר מאלה היא החבורה המודולרית   PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} . התחום היסודי שלה,   PSL 2 ⁡ ( R ) / PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {R} )/\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} , הוא דוגמה טיפוסית למשטח רימן בעל שטח סופי שאינו קומפקטי - בדיוק בגלל הנקודה באינסוף, הנקראת "חוד" (cusp). במרחב המנה, החוד הזה נמצא לא רק אי-שם במעלה הציר המדומה, אלא גם בכל נקודה רציונלית של הציר הממשי, ובכל המקרים מדובר באותו חוד ממש (משום שהנקודות שקולות זו לזו תחת פעולת החבורה המודולרית). נסמן ב-   { Λ } {\displaystyle \ \{\Lambda \}} את קבוצת כל הסריגים במישור המרוכב   C {\displaystyle \ \mathbb {C} } . אחת הדרכים האפשריות להגדיר תבנית מודולרית היא כדלקמן: הגדרה. תבנית מודולרית ממשקל k היא פונקציה   F : { Λ } → C {\displaystyle \ F:\{\Lambda \}\rightarrow \mathbb {C} } , המקיימת את התכונות הבאות: לכל קבוע   0 ≠ a ∈ C {\displaystyle \ 0\neq a\in \mathbb {C} } , הפונקציה   F ( Z a + Z z ) {\displaystyle \ F(\mathbb {Z} a+\mathbb {Z} z)} אנליטית במשתנה z. לכל קבוע   0 ≠ a ∈ C {\displaystyle \ 0\neq a\in \mathbb {C} } ולכל סריג   Λ {\displaystyle \ \Lambda } , מתקיים   F ( a Λ ) = a − k F ( Λ ) {\displaystyle \ F(a\Lambda )=a^{-k}F(\Lambda )} , כאשר   a Λ {\displaystyle \ a\Lambda } הוא הסריג המתקבל ממתיחת כל הווקטורים של   Λ {\displaystyle \ \Lambda } ביחס הקבוע a. הערכים   F ( Λ ) {\displaystyle \ F(\Lambda )} חסומים, כל עוד הווקטור הקצר ביותר של   Λ {\displaystyle \ \Lambda } נשאר חסום הרחק מאפס. כאשר k=0, פירושו של התנאי השני הוא שהערך   F ( Λ ) {\displaystyle \ F(\Lambda )} תלוי רק בסריג רק עד כדי דמיון (כלומר, כפל בקבוע). זהו מקרה פרטי חשוב, אך לרוע המזל מתברר שהתבניות המודולריות היחידות ממשקל 0 הן הפונקציות הקבועות. אם מוותרים על תנאי (3), ומרשים לפונקציה נקודות סינגולריות, מתקבלת המחלקה של פונקציות מודולריות. את המבנים המתקבלים כאן כדאי להשוות לפונקציות המוגדרות על מרחב פרויקטיבי   P V {\displaystyle \ \mathbb {P} V} : אלו פונקציות המוגדרות על המרחב הווקטורי V, שהן פולינומים בקואורדינטות של   0 ≠ 0 ∈ V {\displaystyle \ 0\neq 0\in V} , ומקיימים את תנאי ההומוגניות   f ( c v ) = f ( v ) {\displaystyle \ f(cv)=f(v)} לכל סקלר שונה מאפס c. גם כאן, רק הפונקציות הקבועות עונות על כל הדרישות. רק כאשר מחליפים את הפולינומים בפונקציות רציונליות (היינו, מנות של פולינומים), ומאבדים בכך משהו מתחום ההגדרה, מתקבלת תאוריה עשירה של פונקציות הומוגניות על מרחבים פרויקטיביים. אלו הן מנות של פולינומים הומוגניים מאותה מעלה, ולכן אפשר לראות בהן "פונקציות ממעלה אפס". לחלופין, אפשר להישאר עם הדרישה שהפונקציות על המרחב V תהיינה פולינומים, אבל להחליף את תנאי ההומוגניות המקורי בתנאי הכללי יותר,   f ( c v ) = c k f ( v ) {\displaystyle \ f(cv)=c^{k}f(v)} . התנאי הזה לוכד את כל הפולינומים ההומוגניים ממעלה k. מחד, פולינומים אלה מהווים מרחב וקטורי מממד סופי לכל k, ומאידך, אם מאפשרים ל-k לגדול, מתקבלים מספיק פולינומים כדי לבנות את כל הפונקציות הרציונליות ההומוגניות, שהן, כאמור, הפונקציות המוגדרות על המרחב הפרויקטיבי   P V {\displaystyle \ \mathbb {P} V} . התנאי   f ( c v ) = c k f ( v ) {\displaystyle \ f(cv)=c^{k}f(v)} (עבור   k ≠ 0 {\displaystyle \ k\neq 0} ) מראה שהפולינומים ההומוגניים אינם מוגדרים על המרחב הפרויקטיבי. מנקודת מבט גאומטרית-אלגברית, הפולינומים ההומוגניים הם "מקטעים" של אלומות (ולמעשה, במקרה זה, אגד וקטורי). התבניות המודולריות אנלוגיות לגמרי לאותם פולינומים הומוגניים. כל סריג   Λ ⊂ C {\displaystyle \ \Lambda \subset \mathbb {C} } מגדיר עקום אליפטי   C / Λ {\displaystyle \ \mathbb {C} /\Lambda } . שני סריגים מגדירים עקומים איזומורפיים, אם ורק אם הם "דומים", כלומר, מתקבלים זה מזה על ידי כפל בקבוע. אפשר לחשוב על פונקציות מודולריות כאילו היו מוגדרות על "מרחב המצבים" (moduli space) של העקומים האליפטיים. לדוגמה, האינווריאנט j של עקומים אליפטיים (שאותו אפשר להגדיר באמצעות פונקציית P של וירשטראס) הוא מודולרי. על-פי ההגדרה שניתנה לעיל, תבנית מודולרית היא פונקציה המוגדרת על סריגים. כל סריג במישור המרוכב אפשר לפרוש על ידי שני וקטורים, ולכן אפשר לראות בתבנית פונקציה של שני משתנים,   f ( w , z ) = f ( Z w + Z z ) {\displaystyle \ f(w,z)=f(\mathbb {Z} w+\mathbb {Z} z)} . את ההתנהגות ביחס לכפל בקבוע של הסריג (תנאי 2) אפשר לתרגם לתנאי   f ( z , w ) = z k f ( 1 , w / z ) = z k F ( w / z ) {\displaystyle \ f(z,w)=z^{k}f(1,w/z)=z^{k}F(w/z)} , כאשר   F ( t ) = f ( 1 , t ) {\displaystyle \ F(t)=f(1,t)} . נקודת המפתח היא שלסריג נתון יש בסיסים רבים. אם 1,z פורשים סריג   Λ {\displaystyle \ \Lambda } , אז לכל מטריצה   ( a b c d ) {\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)} בעלת מקדמים שלמים ודטרמיננטה 1, גם   a z + b , c z + d {\displaystyle \ az+b,cz+d} פורשים את אותו סריג. מכיוון שהתבנית המודולרית מוגדרת על הסריג (ללא תלות בבסיס שבוחרים לו), היא מקיימת   f ( 1 , z ) = f ( Λ ) = f ( c z + d , a z + b ) = ( c z + d ) − k f ( 1 , a z + b c z + d ) {\displaystyle \ f(1,z)=f(\Lambda )=f(cz+d,az+b)=(cz+d)^{-k}f(1,{\frac {az+b}{cz+d}})} , כלומר, את המשוואה הפונקציונלית היסודית   F ( z ) = ( c z + d ) − k F ( a z + b c z + d ) {\displaystyle \ F(z)=(cz+d)^{-k}F({\frac {az+b}{cz+d}})} . חבורת המטריצות   PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} (היינו, מטריצות ב-   SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} , עד כדי סימן), נוצרת על ידי הצמד   ( 1 1 0 1 ) {\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)} ו-   ( 0 1 − 1 0 ) {\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\end{array}}\right)} . משום כך, המשוואה הכללית שקולה לצמד המשוואות הבאות:   F ( z ) = F ( z + 1 ) {\displaystyle \ F(z)=F(z+1)} ו-   F ( − 1 / z ) = z k F ( z ) {\displaystyle \ F(-1/z)=z^{k}F(z)} . פונקציה המקיימת את המשוואה היסודית עבור כל מטריצה בתת-חבורה מאינדקס סופי של   SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} נקראת גם היא "תבנית מודולרית". לדוגמה, חבורת הקונגרואנציה   Γ 0 ( N ) {\displaystyle \ \Gamma _{0}(N)} מוגדרת כאוסף המטריצות ב-   SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} , השקולות מודולו N למטריצה משולשית עליונה; היינו, מטריצות מהצורה   { ( a b N c d ) ∈ S L 2 ( Z ) } {\displaystyle \ \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\Nc&d\end{pmatrix}}\in SL_{2}(\mathbf {Z} )\right\}} . פונקציות המקיימות את המשוואה היסודית עבור מטריצות מהחבורה   Γ 0 ( N ) {\displaystyle \ \Gamma _{0}(N)} נקראות תבניות מודולריות מרמה N. פונקציה מודולרית היא פונקציה מרומורפית על חצי המישור העליון H, המקיימת את שני התנאים הבאים: לכל מטריצה בחבורה המודולרית,   f ( M z ) = f ( z ) {\displaystyle \ f(Mz)=f(z)} ; סדרת פורייה של f היא מהצורה f ( τ ) = ∑ n = − m ∞ a ( n ) e 2 i π n τ {\displaystyle f(\tau )=\sum _{n=-m}^{\infty }a(n)e^{2i\pi n\tau }} , כלומר, היא חסומה מלמטה - מרומורפית בחוד. אפשר להראות שכל פונקציה רציונלית של הקבוע האבסולוטי של קליין,   j ( τ ) {\displaystyle \ j(\tau )} , היא פונקציה מודולרית, ושכל פונקציה מודולרית היא כזו. במילים אחרות, שדה הפונקציות הרציונליות   C ( j ) {\displaystyle \ \mathbb {C} (j)} הוא השדה של הפונקציות המודולריות. יתרה מזו, כל פונקציה מודולרית אנליטית היא תבנית מודולרית (אף על פי שההפך אינו נכון). אם פונקציה מודולרית f אינה זהותית 0, אז, בסגור של התחום היסודי, מספר האפסים שלה שווה למספר הקטבים. יהי k מספר חיובי. תבנית מודולרית ממשקל k ומרמה N היא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, שהיא מרומורפית כאשר   z → ∞ i {\displaystyle \ z\rightarrow \infty i} (הכיוון הזה הוא החוד של חצי המישור העליון), ומקיימת את המשוואה הפונקציונלית f ( a z + b c z + d ) = ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z)} לכל ( a b c d ) ∈ Γ 0 ( N ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)} . התבניות מרמה 1 הן אלו שהוגדרו קודם לכן. מן המשוואה הפונקציונלית נובע בפרט ש-   f ( z + 1 ) = f ( z ) {\displaystyle \ f(z+1)=f(z)} , כלומר, f מחזורית, ולכן יש לה פיתוח פורייה. פיתוח q של תבנית מודולרית הוא הטור לורן שלה בחוד, כלומר, טור פורייה, כשהוא כתוב כטור לורן במונחי הפרמטר   q = exp ⁡ ( 2 π i z ) {\displaystyle \ q=\exp(2\pi iz)} (המשתנה הזה מקודד את המחזוריות). מכיוון שפונקציית האקספוננט אינה מתאפסת,   q ≠ 0 {\displaystyle \ q\neq 0} על המישור המרוכב, אבל בגבול   z → ∞ i {\displaystyle \ z\rightarrow \infty i} ,   q → 0 {\displaystyle \ q\rightarrow 0} . לכן הפיתוח סביב q=0 הוא פיתוח סביב החוד במרחב של z. פירושה של המרומורפיות בחוד הוא שיש רק מספר סופי של מקדמי פורייה שליליים, ולכן הפיתוח במונחי q "חסום מלמטה", ויש לו הצורה f ( z ) = ∑ n = − m ∞ c n exp ⁡ ( 2 π i n z ) = ∑ n = − m ∞ c n q n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}\exp(2\pi inz)=\sum _{n=-m}^{\infty }c_{n}q^{n}} . המקדמים c n {\displaystyle c_{n}} הם "מקדמי פורייה" של f, והמספר m (המינימלי) הוא סדר הקוטב של f בחוד. אם f הולומורפית בחוד (אין לה קוטב ב- q=0), היא נקראת תבנית מודולרית שלמה. אם f מרומורפית אבל לא הולומורפית שם, היא תבנית מודולרית לא שלמה. לדוגמה, האינווריאנט j הוא תבנית מודולרית לא שלמה ממשקל 0, ויש לו קוטב פשוט ב-   i ∞ {\displaystyle \ i\infty } . אם f שלמה ומתאפסת ב- q=0 (כלומר,   c 0 = 0 {\displaystyle \ c_{0}=0} ), אז התבנית היא תבנית חוד. המספר n הקטן ביותר שעבורו   c n ≠ 0 {\displaystyle \ c_{n}\neq 0} הוא "סדר האפס של f" בחוד. במשוואה הפונקציונלית היסודית, אפשר לוותר על הדרישה ש- k יהיה שלם, ולהוסיף כופל   ϵ ( a , b , c , d ) {\displaystyle \ \epsilon (a,b,c,d)} בעל ערך מוחלט 1, כך שמתקיימת המשוואה f ( a z + b c z + d ) = ϵ ( a , b , c , d ) ( c z + d ) k f ( z ) . {\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}f(z).} . פונקציות מהצורה   ϵ ( a , b , c , d ) ( c z + d ) k {\displaystyle \ \epsilon (a,b,c,d)(cz+d)^{k}} ידועות כגורמים אוטומורפיים. בכך שמרשים גורמים אוטומורפיים, אפשר לכלול בתאוריה גם פונקציות כמו פונקציית אטה של דדקינד (שהיא תבנית מודולרית ממשקל 1/2). כך, למשל, יהי χ {\displaystyle \chi } קרקטר דיריכלה מודולו N. תבנית מודולרית ממשקל k ומרמה N ובעלת עיוות   χ {\displaystyle \ \chi } היא פונקציה הולומורפית על חצי המישור העליון, המקיימת את המשוואה הפונקציונלית   f ( a z + b c z + d ) = χ ( d ) ( c z + d ) k f ( z ) {\displaystyle \ f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)(cz+d)^{k}f(z)} לכל z ולכל   ( a b c d ) ∈ Γ 0 ( N ) {\displaystyle \ {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{0}(N)} , ושהיא הולומורפית בחוד. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של סדרות אייזנשטיין. לכל שלם זוגי   k > 2 {\displaystyle \ k>2} , מגדירים את הפונקציה   E k ( Λ ) = ∑ 0 ≠ λ ∈ Λ λ − k {\displaystyle \ E_{k}(\Lambda )=\sum _{0\neq \lambda \in \Lambda }\lambda ^{-k}} . התנאי k>2 מבטיח את התכנסות הטור; הגדרה דומה עבור k אי זוגי תתן תמיד 0, משום שהווקטורים   λ {\displaystyle \ \lambda } ו-   − λ {\displaystyle \ -\lambda } יבטלו זה את זה. סריג יונימודולרי זוגי L ב-   R n {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} הוא סריג הנוצר על ידי וקטורי העמודה במטריצה ממשית שהדטרמיננטה שלה 1, וכך שהאורך של כל וקטור הוא שלם זוגי. אם L סריג כזה, אז כמסקנה מנוסחת הסיכום של פואסון, פונקציית תטא ϑ L ( z ) = ∑ λ ∈ L e π i ‖ λ ‖ 2 z {\displaystyle \vartheta _{L}(z)=\sum _{\lambda \in L}e^{\pi i\Vert \lambda \Vert ^{2}z}} היא תבנית מודולרית ממשקל   n / 2 {\displaystyle \ n/2} . לא פשוט לבנות סריגים יונימודולריים זוגיים, להלן דוגמה: יהי n שלם המתחלק ב-8, ונתבונן בכל הווקטורים   v ∈ R n {\displaystyle \ v\in \mathbb {R} ^{n}} כך שהקואורדינטות של   2 v {\displaystyle \ 2v} שלמים, וכולם זוגיים או כולם אי-זוגיים, וכך שסכום הקואורדינטות של v הוא שלם זוגי. הסריג הזה נקרא   L n {\displaystyle \ L_{n}} . כאשר n=8, זהו הסריג הנוצר על ידי השורשים במערכת השורשים E8. יש רק תבנית מודולרית אחת מממד 8 (עד-כדי כפל בסקלר), ולכן ϑ L 8 × L 8 ( z ) = ϑ L 16 ( z ) , {\displaystyle \vartheta _{L_{8}\times L_{8}}(z)=\vartheta _{L_{16}}(z),} . עם זאת, הסריגים   L 8 × L 8 {\displaystyle \ L_{8}\times L_{8}} ו-   L 16 {\displaystyle \ L_{16}} אינם דומים. ג'ון מילנור הבחין ששני הטורוסים ה-16-ממדיים המתקבלים מחלוקת המרחב   R 16 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{16}} בשני הסריגים, הם דוגמאות ליריעות רימן קומפקטיות, שהם איזוספקטרליים אבל לא איזומטריים (ולכן אי-אפשר לשמוע את צורת התוף). פונקציית אטה של דדקינד מוגדרת כמכפלה η ( z ) = q 1 / 24 ∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) ,   q = e 2 π i z . {\displaystyle \eta (z)=q^{1/24}\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n}),\ q=e^{2\pi iz}.} . "הדיסקרימיננטה המודולרית"   Δ ( z ) = η ( z ) 24 {\displaystyle \ \Delta (z)=\eta (z)^{24}} היא תבנית מודולרית ממשקל 12. רמנוג'ן הוכיח שהמקדמים   q p {\displaystyle \ q_{p}} מקיימים זהויות מודולריות, כגון   q p ≡ p 11 + 1 ( mod 691 ) {\displaystyle \ q_{p}\equiv p^{11}+1{\pmod {691}}} . השערה מפורסמת שלו קובעת שהמקדמים מקיימים   | q p | ≤ 2 p 11 / 2 {\displaystyle \ |q_{p}|\leq 2p^{11/2}} . את ההשערה הזו יישב פייר דלין, כתוצאה של עבודתו על השערות וייל. את השערת רמנוג'ן אפשר לתרגם לשפה של הצגות של החבורות   SL 2 ⁡ ( K ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(K)} , כאשר K שדה גלובלי. דלין פתר את ההשערה עבור שדות ממאפיין אפס, בעוד שאת המקרה של מאפיין ראשוני פתר ולדימיר דרינפלד. הדוגמאות השנייה והשלישית רומזות אל הקשר בין תבניות מודולריות ושאלות קלאסיות בתורת המספרים, כגון ההצגות של מספרים שלמים באמצעות תבניות ריבועיות, ופונקציית החלוקה. הקשרים בין תורת התבניות המודולריות לשאר ענפי תורת המספרים מחוזקים על ידי אופרטורי הקה, המציגים תכונות חשובות של תבניות מודולריות בשפה של תורת ההצגות. כרגיל במתמטיקה, אפשר להשמיט חלק מן האקסיומות שצריכה לקיים תבנית מודולרית, ולקבל מבנים כלליים יותר. אם מוותרים על ההנחה שהפונקציות אנליטיות, מתקבלות תבניות Maass, שהן פונקציות עצמיות של הלפלסיאן, אבל אינן הולומרפיות. אפשר להחליף את החבורה המודולרית בחבורות אחרות. פונקציות מודולריות של הילברט הן פונקציות ב-n משתנים שכל אחד מהם מקבל ערכים בחצי המישור העליון, המקיימות תנאי מודולריות עבור מטריצות   2 × 2 {\displaystyle \ 2\times 2} שהמקדמים שלהן מגיעים מחוג השלמים של שדה מספרים ממשי לחלוטין. התבניות המודולריות של Siegel קשורות לחבורה הסימפלקטית באותו אופן שבו הפונקציות שתוארו כאן קשורות ל-   SL 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )} , במילים אחרות, הן מתייחסות ליריעות אבליות באותו יחס שבו הפונקציות שלנו מתייחסות לעקומים אליפטיים. תבניות אוטומורפיות מכלילות את המושג תבנית מודולרית לחבורות לי. Jean-Pierre Serre: A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973. Chapter VII provides an elementary introduction to the theory of modular forms. Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Provides a more advanced treatment. Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975. Provides an introduction to modular forms from the point of view of representation theory. Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators תבנית מודולרית, באתר MathWorld (באנגלית)