מסת פלאנק

מסת פלאנק היא יחידת מידה פיזיקלית השייכת למערכת יחידות פלאנק. מסת פלאנק מגדירה את סדר הגודל של המסה המינימלית, שעבורה יש לקחת בחשבון גם אפקטים כבידתיים ולא רק אפקטים קוונטיים. מכאן חשיבותו של גודל זה בתאוריות של כבידה קוונטית. ערכה של מסת פלאנק הוא: m P = ℏ c G = 21.7645 μ g = 1.22090 ⋅ 10 19 G e V c 2 {\displaystyle m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}=21.7645\mu g=1.22090\cdot 10^{19}\,{\frac {GeV}{c^{2}}}} לצורך המחשה, ניתן לציין שמסתו של מטיל ברזל בעל נפח של 2.77 ⋅ 10 − 3 m m 3 {\displaystyle \,2.77\cdot 10^{-3}\,mm^{3}} היא מסת פלאנק. מאידך, מסת פלאנק גדולה בעשרות סדרי גודל ממסתם של החלקיקים היסודיים המוכרים כיום. אחת היחידות הבסיסיות במערכת יחידות פלאנק פעמיים המסה המינימלית של חור שחור, בהתאם לעקרון אי הוודאות המסה שעבורה אורך גל קומפטון שווה לרדיוס שוורצשילד מוכפלת ב- π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} סדר הגודל של מסת גוף מינימלית, שעבורה יש לקחת בחשבון גם את כוח הכבידה, ולא רק את כוחות היסוד האחרים עקרון אי הוודאות קובע שבכל מדידה קיימת אי ודאות מסוימת. אם אי הוודאות במדידת מסה של גוף שווה למסת הגוף עצמו, אז אין לנו דרך להיות בטוחים שהגוף קיים. על ידי השוואה בין מסת חור שחור לאי הוודאות במדידתה, נוכל למצוא את המסה המינימלית של חור שחור כלשהו. עקרון אי הוודאות קובע שמכפלת אי הוודאות באנרגיה באי הוודאות בזמן היא מסדר גודל של מחצית קבוע דיראק: Δ E Δ t ∼ ℏ 2 {\displaystyle \Delta E\Delta t\sim {\frac {\hbar }{2}}} הקשר בין אי הוודאות באנרגיה ובין אי הוודאות במסה הוא: Δ E = Δ m c 2 {\displaystyle \Delta E=\Delta m\,c^{2}} כאשר c היא מהירות האור. אי הוודאות במדידת אות בתוך מרחב בגודל של חור שחור היא מסדר גודל של: Δ t ∼ r s c {\displaystyle \Delta t\sim {\frac {r_{s}}{c}}} רדיוס שוורצשילד של החור השחור קשור למסתו בעזרת הנוסחה: r s = 2 G m c 2 {\displaystyle \,r_{s}={\frac {2Gm}{c^{2}}}} כאשר G הוא קבוע הכבידה. לאחר הצבת אי הוודאות באנרגיה ובזמן, עקרון אי הוודאות ייראה כך: Δ m m ∼ ℏ c 4 G {\displaystyle \Delta m\,m\sim {\frac {\hbar c}{4G}}} על פי משוואה זו, מסת חור שחור נמוכה יותר גוררת אי ודאות גדולה יותר במדידת המסה. אם נדרוש שהמסה ואי הוודאות במדידתה יהיו בנות אותו סדר גודל, אז נקבל את המסה המינימלית של חור שחור: m ∼ ℏ c 4 G = m P 2 {\displaystyle \,m\sim {\sqrt {\frac {\hbar c}{4G}}}={\frac {m_{P}}{2}}} תנע פלאנק ואנרגיית פלאנק הם שני גדלים שנוח להגדיר אותם בעזרת מסת פלאנק. תנע פלאנק מוגדר בתור: p P = m P c = ℏ l P = ℏ c 3 G = 6.52483 k g m s {\displaystyle p_{P}=m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}=6.52483\,{\frac {kg\,m}{s}}} אנרגיית פלאנק מוגדרת בתור: E P = m P c 2 = ℏ t P = ℏ c 5 G = 1.95610 G J = 1.22090 ⋅ 10 19 G e V {\displaystyle E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}=1.95610GJ=1.22090\cdot 10^{19}\,GeV} לצורך השוואה, במאיץ LHC ניתן להגיע כיום (2011) עד לאנרגיות בסדר גודל של 7 ⋅ 10 3 G e V {\displaystyle \,7\cdot 10^{3}\,GeV} בלבד, ומתקן שיאיץ חלקיקים עד כדי אנרגיית פלאנק רחוק מאוד ממימוש. בשנת 1998 הוצעה תאוריה מקורית של ממדים נוספים גדולים, המוכרת גם בתור מודל ADD על שם מחבריה. על פי מודל זה, קיימים ממדי מרחב נוספים מלבד שלושת הממדים המוכרים מחיי היום-יום. הממדים הנוספים הם קומפקטיים וגודלם יכול להגיע עד לסדר גודל של עשירית המילימטר. בכך מיוחד מודל זה יחסית למודלים מתחרים, בהם הממדים הנוספים קטנים משמעותית. במודל ADD הכוח היחיד שמושפע מקיומם של הממדים הנוספים הוא כוח הכבידה, כלומר רק גרביטונים יכולים לנוע דרך הממדים הנוספים. אם נסמן את מסת פלאנק בעולם ארבע-ממדי (שלושה ממדי מרחב וממד זמן אחד) בתור M p {\displaystyle \,M_{p}} , אזי בעולם ( 4 + n ) {\displaystyle \,(4+n)} ממדי, שבו גודלם של הממדים הנוספים הוא R {\displaystyle \,R} , מסת פלאנק M ∗ {\displaystyle \,M_{*}} תהיה מסדר גודל של: M ∗ n + 2 ∼ M p 2 R n {\displaystyle \,M_{*}^{n+2}\sim {M_{p}^{2} \over R^{n}}} אם הממדים הנוספים גדולים מספיק, אז ייתכן מצב שבו מסת פלאנק החדשה ( M ∗ {\displaystyle \,M_{*}} ) קטנה באופן משמעותי ממסת פלאנק המקורית ( M p {\displaystyle \,M_{p}} ), וגודלה יכול להיות קטן עד כדי: 1000 G e V / c 2 ≈ 2 ⋅ 10 − 24 k g {\displaystyle \,1000\,{GeV/c^{2}}\approx 2\cdot 10^{-24}kg} . הואיל ומסת פלאנק מגדירה את סדר הגודל למסה מינימלית של חורים שחורים, מודל ADD מאפשר את יצירתם של חורים שחורים זעירים במאיצי חלקיקים עתידיים. גילוי חורים שחורים זעירים ומדידה של מסת פלאנק נמוכה יכולים להוות אישוש למודל ADD. יחידות פלאנק אורך פלאנק רדיוס שוורצשילד חור שחור חור שחור זעיר N. Arkani-Hamed, S. Dimopoulos, G. Dvali, "The Hierarchy Problem and New Dimensions at a Millimeter", Phys.Lett. B429 (1998) 263-272.