שדה המספרים הניתנים לבנייה

שדה המספרים הניתנים לבנייה הוא השדה הכולל את כל המספרים שאפשר לבנות בסרגל ובמחוגה. אפשר לבנות את השדה הזה כך: בתחילה נתונות רק שתי נקודות במישור ריק (אלו הנקודות שיתאימו לאיבר האפס ואיבר היחידה של השדה). הסרגל מאפשר להעביר קו ישר בין שתי נקודות נתונות; המחוגה מאפשרת להקצות מעגל שמרכזו הוא נקודה נתונה, והרדיוס שלו הוא המרחק בין שתי נקודות נתונות; לבסוף, אפשר לחתוך כל שני קווים (או מעגלים) ולהוסיף את הנקודות המתקבלות לאוסף הנקודות שלנו. לדוגמה, בשלב הראשון אפשר להעביר רק את הקו הישר דרך 0 {\displaystyle 0} ו- 1 {\displaystyle 1} , ואת שני המעגלים שרדיוסם 1 {\displaystyle 1} , ומרכזיהם 0 {\displaystyle 0} ו-1. חיתוך הקווים האלו מעשיר את האוסף שלנו בנקודות − 1 , 2 , 1 2 + − 3 2 , 1 2 − − 3 2 {\displaystyle -1,2,{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}},{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}} . כעת אפשר להעביר עוד שמונה ישרים ועוד 22 מעגלים, לחתוך את אלו זה עם זה, וכן הלאה. לאחר שזיהינו את המישור עם שדה המספרים המרוכבים, האוסף S {\displaystyle S} של כל הנקודות שאפשר לקבל באמצעות תהליך סופי של העברת ישרים ומעגלים וחיתוכם מהווה תת-קבוצה של שדה המספרים המרוכבים. הדרך הקלה להוכיח שאוסף זה הוא שדה, כוללת שני שלבים: בראשון בודקים שאוסף המרחקים האפשריים בין נקודות ב- S {\displaystyle S} סגור לחיבור וחיסור, לכפל ולפעולת ההיפוך x ↦ 1 / x {\displaystyle x\mapsto 1/x} . מזה נובע ש- S {\displaystyle S} (כאוסף של מספרים מרוכבים) סגור לחיבור וחיסור. בשלב השני מראים שבמחוגה וסרגל אפשר לחבר זוויות, וכך (על-פי נוסחאות דה-מואבר) מוכח ש- S {\displaystyle S} סגור גם לכפל וחילוק. תכונה חשובה של השדה S {\displaystyle S} היא העובדה שהוא סגור גם להוצאת שורש (שוב, כדי לראות זאת מספיק להוכיח שאפשר להוציא ב- S {\displaystyle S} שורש ממספרים ממשיים, ושורשים מרוכבים מתקבלים על ידי חציית זוויות). למעשה, S {\displaystyle S} הוא תת-השדה הקטן ביותר של C {\displaystyle \mathbb {C} } הסגור להוצאת שורש, כלומר הסגור הריבועי של המספרים הרציונליים. מכאן נובע שהוא מכיל כל הרחבת גלואה של שדה המספרים הרציונליים מממד חזקת-2, ולהפך: הממד של סגור גלואה של כל תת-שדה מממד סופי של S {\displaystyle S} הוא חזקת- 2 {\displaystyle 2} . ממילא, כל מספר מרוכב שהפולינום המינימלי שלו ממעלה שאיננה חזקת- 2 {\displaystyle 2} (או שאינו מספר אלגברי), אינו שייך ל- S {\displaystyle S} , ולכן אינו ניתן לבנייה. כדי להראות שהבעיות הגאומטריות של ימי קדם אינן ניתנות לפתרון, נשאר לבדוק מהם הפולינומים המינימליים של המספרים שהן מבקשות מאיתנו לבנות: אי אפשר להכפיל את הקובייה, משום שהצלע המבוקשת, 2 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} , יוצרת שדה מממד 3 {\displaystyle 3} . אי אפשר לבנות זווית של 20 {\displaystyle 20} מעלות, משום ש - cos ⁡ ( 20 ∘ ) {\displaystyle \cos(20^{\circ })} הוא שורש של הפולינום האי-פריק 8 x 3 − 6 x − 1 {\displaystyle 8x^{3}-6x-1} (את הזווית של 60 {\displaystyle 60} מעלות אפשר לבנות, ומכאן שלא ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים). אי אפשר לרבע את המעגל משום ש -   π {\displaystyle \ {\sqrt {\pi }}} מספר טרנסצנדנטי ולכן אינו ניתן לבנייה. אי אפשר לבנות משובע משוכלל משום שהשורש השביעי של היחידה הוא בעל פולינום מינימלי x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1} , ו- 6 {\displaystyle 6} אינו חזקה של 2 {\displaystyle 2} . מדיה וקבצים בנושא שדה המספרים הניתנים לבנייה בוויקישיתוף שדה המספרים הניתנים לבנייה, באתר MathWorld (באנגלית) Martin, George E., Geometric Constructions, Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, 1998