נוסחת ציולקובסקי

נוסחת ציולקובסקי היא משוואה שפותחה על ידי מדען הטילים הרוסי קונסטנטין ציולקובסקי, ופורסמה בשנת 1903. הנוסחה מבטאת את מהירותו הסופית של טיל כפונקציה של גורמים שונים. הנוסחה המלאה נראית כך: v f   = v 0 + v e ln ⁡ m 0 m f {\displaystyle v_{f}\ =v_{0}+v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}} כאשר:   v 0 {\displaystyle \ v_{0}} היא המהירות ההתחלתית של הטיל   v e {\displaystyle \ v_{e}} היא מהירות הגזים הנפלטים מהטיל   m 0 {\displaystyle \ m_{0}} המסה ההתחלתית של הטיל   m f {\displaystyle \ m_{f}} המסה הסופית שלו הנוסחה ונגזרותיה מאפשרים לחשב מהי כמות הדלק הנדרשת לטיל על מנת להשיג מהירות מסוימת ובעצם מאפשרת לדעת מה נדרש לטיל על מנת לעבור בין גרמי שמים כאשר מחשיבים בנוסף את השפעת כוחות המשיכה הפועלים על הטיל. משוואות ההנעה הרקטית פורסמו על ידי ציולקובסקי בשנת 1903, ובמשך שנים נחשב ציולקובסקי לראשון שהגה אותן. עם זאת, מחקר מעודכן יותר גילה חישובים דומים שנערכו בבריטניה בשנת 1813, לשם בחינת היעילות של רקטות קרקע-קרקע ששימשו למטרות לחימה. משוואות אלה הופיעו בחיבור מאת ויליאם מור (William Moore), שנקרא מסה על תנועת הרקטות (A Treatise on the Motion of Rockets). הנוסחה משמשת בפיתוח טילים רב־שלביים. בטילים אלו, כל שלב נושר לאחר שנגמר בו הדלק, והטיל יכול להמשיך ולהאיץ, עד להשגת המהירות הנדרשת לשם הגעה למסלול סביב הארץ או ליציאה משדה הכבידה של גרמי שמיים שונים. בעזרת הנוסחה ניתן לאמוד את המהירות שישיג הטיל בהינתן המהירות ההתחלתית והמסה בתחילת ובסוף כל שלב. המהירות של גוף היא האינטגרל של התאוצה: v f   = v 0 + ∫ 0 t f a ( t ) d t {\displaystyle v_{f}\ =v_{0}+\int _{0}^{t_{f}}a(t)\,dt} לפי החוק השני של ניוטון: F   = m ( t ) ⋅ a ( t ) {\displaystyle F\ =m(t)\cdot a(t)} לכן: a ( t ) = F m ( t ) {\displaystyle a(t)={\frac {F}{m(t)}}} וידוע לפי חוקי ניוטון ש: d p d t = F {\displaystyle {dp \over dt}=F}   d p {\displaystyle \ dp} מציין מתקף. נציב בנוסחה: a ( t ) = d p d t m ( t ) {\displaystyle a(t)={\frac {dp \over dt}{m(t)}}} המתקף של גוף הוא השינוי בתנע: d p = m ( v 2 − v 1 ) {\displaystyle dp=m(v_{2}-v_{1})} כאן m {\displaystyle m} מייצג את הדלק שנפלט מהטיל. v 1 {\displaystyle v_{1}} שווה לאפס כי לפני שהדלק נפלט מהירותו הייתה שווה למהירות הטיל: v 1 = 0 {\displaystyle v_{1}=0} v 2 {\displaystyle v_{2}} הוא מהירות פליטת הדלק, נסמן: v 2 = v e {\displaystyle v_{2}=v_{e}} v 2 − v 1 = v e − 0 = v e {\displaystyle v_{2}-v_{1}=v_{e}-0=v_{e}} d m {\displaystyle dm} הוא דיפרנציאל המסה של הדלק שנפלט. נציב: d p = d m ⋅ v e {\displaystyle dp=dm\cdot v_{e}} נציב בנוסחה של התאוצה: a ( t ) = d m ⋅ v e d t m ( t ) {\displaystyle a(t)={\frac {dm\cdot v_{e} \over dt}{m(t)}}} a ( t ) = v e ⋅ d m d t m ( t ) {\displaystyle a(t)=v_{e}\cdot {\frac {dm \over dt}{m(t)}}} m ( t ) = m 0 − ( d m d t ) ⋅ t {\displaystyle m(t)=m_{0}-\left({dm \over dt}\right)\cdot t} כאשר d m d t {\displaystyle {dm \over dt}} הוא קצב הפליטה של הדלק. נציב בנוסחה של התאוצה: a ( t ) = v e ⋅ d m d t m 0 − ( d m d t ) ⋅ t {\displaystyle a(t)=v_{e}\cdot {\frac {dm \over dt}{m_{0}-\left({dm \over dt}\right)\cdot t}}} לפי הנוסחה: ∫ k l − k x d x = − ln ⁡ ( l − k x ) + C {\displaystyle \int _{}^{}{\frac {k}{l-kx}}\,dx=-\ln(l-kx)+C} (כאשר l > k x {\displaystyle l>kx} ) אם k = d m d t {\displaystyle k={dm \over dt}} ואם l = m 0 {\displaystyle l=m_{0}} ואם x = t {\displaystyle x=t} אז: ∫ 0 t f a ( t ) d t = v e ⋅ ∫ 0 t f d m d t m 0 − ( d m d t ) ⋅ t d t = v e ⋅ [ − ln ⁡ ( m 0 − ( d m d t ) ⋅ t ) − ( − ln ⁡ ( m 0 ) ) ] = {\displaystyle \int _{0}^{t_{f}}a(t)\,dt=v_{e}\cdot \int _{0}^{t_{f}}{\frac {dm \over dt}{m_{0}-\left({dm \over dt}\right)\cdot t}}\,dt=v_{e}\cdot [-\ln \left(m_{0}-\left({dm \over dt}\right)\cdot t\right)-(-\ln(m_{0}))]=} = v e ⋅ [ − ln ⁡ ( m ( t ) ) − ( − ln ⁡ ( m 0 ) ) ] = v e ⋅ [ ln ⁡ ( m 0 ) − ln ⁡ ( m ( t ) ) ] = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m f {\displaystyle =v_{e}\cdot [-\ln(m(t))-(-\ln(m_{0}))]=v_{e}\cdot [\ln(m_{0})-\ln(m(t))]=v_{e}\cdot \ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}} לכן: v f   = v 0 + v e ln ⁡ m 0 m f {\displaystyle v_{f}\ =v_{0}+v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{f}}}} שיטות הנעה של חללית