טרינום

באלגברה אלמנטרית, טרִינוֹם (בעברית: תלת־איבר) הוא פולינום המורכב משלושה איברים או מונומים. 3 x + 5 y + 8 z {\displaystyle 3x+5y+8z} עם המשתנים x , y , z {\displaystyle x,y,z} 3 t + 9 s 2 + 3 y 3 {\displaystyle 3t+9s^{2}+3y^{3}} עם המשתנים t , s , y {\displaystyle t,s,y} 3 t s + 9 t + 5 s {\displaystyle 3ts+9t+5s} עם המשתנים t , s {\displaystyle t,s} A x a y b z c + B t + C s {\displaystyle Ax^{a}y^{b}z^{c}+Bt+Cs} עם המשתנים x , y , z , t , s {\displaystyle x,y,z,t,s} , הקבועים a , b , c {\displaystyle a,b,c} מספרים שלמים אי־שליליים ו־ A , B , C {\displaystyle A,B,C} קבועים ממשיים. P x a + Q x b + R x c {\displaystyle Px^{a}+Qx^{b}+Rx^{c}} עם המשתנה x {\displaystyle x} , הקבועים a , b , c {\displaystyle a,b,c} מספרים שלמים אי־שליליים ו־ P , Q , R {\displaystyle P,Q,R} קבועים ממשיים. משוואה טרינומית היא משוואה פולינומית הכוללת שלושה איברים. דוגמה לכך היא המשוואה x = q + x m {\displaystyle x=q+x^{m}} שנחקרה על ידי יוהאן היינריך למברט במאה ה-18. בבתי הספר בישראל פירוק טרינום ריבועי נלמד החל מכיתה ט' כתחליף לנוסחת השורשים לפתרון משוואה ריבועית. טרינום מסוג זה מיוצג באופן הבא: a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} . במקרים אלה נחפש שני מספרים a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} המקיימים את השוויונות a 1 + a 2 = b ,   a 1 a 2 = a c {\displaystyle a_{1}+a_{2}=b,\ a_{1}a_{2}=ac} , שכן אז ניתן לפרק כך: a x 2 + b x + c = a x 2 + a 1 x + a 2 x + c = a x ( x + a 1 a ) + a 2 ( x + c a 2 ) = ( a x + a 2 ) ( x + a 1 a ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=ax^{2}+a_{1}x+a_{2}x+c=ax\left(x+{\frac {a_{1}}{a}}\right)+a_{2}\left(x+{\frac {c}{a_{2}}}\right)=(ax+a_{2})\left(x+{\frac {a_{1}}{a}}\right)} (השוויון a 1 a 2 = a c {\displaystyle a_{1}a_{2}=ac} גורר את השוויון a 1 a = c a 2 {\displaystyle {\frac {a_{1}}{a}}={\frac {c}{a_{2}}}} ולכן ניתן להוציא את הגורם המשותף x + a 1 a = x + c a 2 {\displaystyle x+{\frac {a_{1}}{a}}=x+{\frac {c}{a_{2}}}} ). לדוגמה, הפולינום x 2 + 3 x + 2 {\displaystyle x^{2}+3x+2} הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר הוא 1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם x 1 = − 1 ,   x 2 = − 2 {\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}=-2} . נחפש שני מספרים a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} שמקיימים את השוויונות a 1 + a 2 = 3 ,   a 1 a 2 = 2 {\displaystyle a_{1}+a_{2}=3,\ a_{1}a_{2}=2} . המספרים a 1 = 1 , a 2 = 2 {\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=2} מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך: x 2 + 3 x + 2 = x 2 + x + 2 x + 2 = x ( x + 1 ) + 2 ( x + 1 ) = ( x + 2 ) ( x + 1 ) {\displaystyle x^{2}+3x+2=x^{2}+x+2x+2=x(x+1)+2(x+1)=(x+2)(x+1)} ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם x 1 = − 2 ,   x 2 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-2,\ x_{2}=-1} . דוגמה נוספת, הפולינום 3 x 2 − 2 x − 5 {\displaystyle 3x^{2}-2x-5} הוא דוגמה לטרינום שמקדם החזקה הגבוהה ביותר שונה מ־1. מנוסחת השורשים נקבל שהשורשים של הפולינום הם x 1 = − 1 ,   x 2 = 5 3 {\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}} . נחפש שני מספרים a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} שמקיימים את השוויונות a 1 + a 2 = − 2 ,   a 1 a 2 = − 15 {\displaystyle a_{1}+a_{2}=-2,\ a_{1}a_{2}=-15} , המספרים a 1 = − 5 ,   a 2 = 3 {\displaystyle a_{1}=-5,\ a_{2}=3} מקיימים את השוויונות הללו, ולכן נוכל לפרק כך: 3 x 2 − 2 x − 5 = 3 x 2 + 3 x − 5 x − 5 = 3 x ( x + 1 ) − 5 ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ( 3 x − 5 ) {\displaystyle 3x^{2}-2x-5=3x^{2}+3x-5x-5=3x(x+1)-5(x+1)=(x+1)(3x-5)} ונקבל מהפירוק כי שורשי הפולינום הם x 1 = − 1 ,   x 2 = 5 3 {\displaystyle x_{1}=-1,\ x_{2}={\frac {5}{3}}} . אותה תוצאה יכולה להינתן על ידי חוק רופיני, אך עם תהליך מורכב וארוך יותר. טרינום, באתר MathWorld (באנגלית) תְּלַת־אֵיבָר במילון מתמטיקה (תשמ"ה, 1985), באתר האקדמיה ללשון העברית "Definition of Trinomial". Math Is Fun. נבדק ב-16 באפריל 2016. {{cite web}}: (עזרה) Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jerey, D. J.; Knuth, D. E. (1996). "On the Lambert W Function" (PDF). Advances in Computational Mathematics. 5 (1): 329–359. doi:10.1007/BF02124750. פירוק של תלת-איבר ריבועי (טרינום), באתר משרד החינוך