קומוטטור

במתמטיקה, קוֹמוּטָטוֹר הוא פונקציה דו-מקומית המוגדרת בדרך כלל בחוג או חבורה, הבודקת את ההתחלפות של זוג איברים ביחס לפעולת כפל נתונה. במילים אחרות, הקומוטטור בודק האם תכונת הקומוטטיביות של הכפל נכשלת עבור זוג איברים מסוימים. בהתאם, בחוג קומוטטיבי או בחבורה קומוטטיבית, הקומוטטור הוא תמיד טריוויאלי. בהינתן זוג איברים a , b {\displaystyle a,b} במבנה אלגברי נתון עם פעולת כפל, השאלה בה מתעניינים היא האם a b = b a {\displaystyle ab=ba} . אם במבנה אלגברי זה קיימת פעולת חיבור, שוויון זה מתקיים אם ורק אם a b − b a = 0 {\displaystyle ab-ba=0} , ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי [ a , b ] = a b − b a {\displaystyle [a,b]=ab-ba} . במקרה זה הקומוטטור מכונה "חיבורי". אם במבנה אלגברי זה קיימת פעולה הופכית לפעולת הכפל, שוויון זה מתקיים אם ורק אם a b a − 1 b − 1 = 1 {\displaystyle aba^{-1}b^{-1}=1} , ועל כן טבעי להגדיר את הקומוטטור שלהם על ידי [ a , b ] = a b a − 1 b − 1 {\displaystyle [a,b]=aba^{-1}b^{-1}} . במקרה זה הקומוטטור מכונה "כפלי". הקומוטטור החיבורי מתאים לחוג. במקרה זה פונקציית הקומוטטור היא אדיטיבית בשני המשתנים, ואם R הוא אלגברה, אז זוהי פונקציה ביליניארית. אם קובעים איבר r {\displaystyle r} בחוג נתון, אז ההומומורפיזם s ↦ [ r , s ] {\displaystyle s\mapsto [r,s]} הוא נגזרת. כל אלגברה אסוציאטיבית הופכת להיות אלגברת לי ביחס לפעולת הקומוטטור. באלגברת המטריצות, העקבה של כל קומוטטור היא אפס, וגם ההפך נכון: מעל שדה, כל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור. כל איבר בעל עקבה אפס באלגברה פשוטה מרכזית הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים. כל איבר בעל עקבה אפס בחוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי הוא סכום של לכל היותר שני קומוטטורים (אבל לפעמים אינו קומוטטור בעצמו). לקומוטטורים (וגם לעקבה) תפקיד מרכזי בתאוריה של אלגברות עם זהויות. הדוגמה הבסיסית בתחום זה היא הזהות   [ [ a , b ] 2 , c ] = 0 {\displaystyle \ [[a,b]^{2},c]=0} , שאותה מקיימת אלגברת המטריצות   M 2 ( F ) {\displaystyle \ M_{2}(F)} . במילים אחרות, כל שלוש מטריצות a,b,c בגודל   2 × 2 {\displaystyle \ 2\times 2} מעל שדה מקיימות את הזהות   [ a , b ] 2 c = c [ a , b ] 2 {\displaystyle \ [a,b]^{2}c=c[a,b]^{2}} . הקומוטטור הכפלי מתאים לחבורה. אם G היא חבורה, אז תת-החבורה שלה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים נקראת תת חבורת הקומוטטורים ומסמנים אותה   G ′ {\displaystyle \ G'} ; זוהי בנייה יסודית בתורת החבורות, מכיוון שתת-חבורת הקומוטטורים היא תמיד תת-חבורה נורמלית, והמנה   G / G ′ {\displaystyle \ G/G'} היא המנה האבלית המקסימלית של G. באופן כללי יותר, אם N,K הן תת-חבורות נורמליות של G, אז מסמנים ב-   [ N , K ] {\displaystyle \ [N,K]} את תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים   [ n , k ] {\displaystyle \ [n,k]} של האיברים   n ∈ N , k ∈ K {\displaystyle \ n\in N,k\in K} . זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת גם ב-N וגם ב-K. איברים המתקבלים מלקיחת קומוטטור k פעמים נקראים 'קומוטטורים ממשקל k' (למשל,   [ [ a , b ] , [ c , d ] ] {\displaystyle \ [[a,b],[c,d]]} הוא קומוטטור ממשקל 3), והם קשורים לתכונות של החבורה כמו פתירות או נילפוטנטיות. לשם הקיצור, מקובל לסמן   [ a , b , c ] = [ [ a , b ] , c ] {\displaystyle \ [a,b,c]=[[a,b],c]} (קומוטטור ממשקל 2), ובאופן כללי   [ a 1 , a 2 , … , a k ] = [ [ a 1 , a 2 , … , a k − 1 ] , a k ] {\displaystyle \ [a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]=[[a_{1},a_{2},\dots ,a_{k-1}],a_{k}]} . תת-החבורה של G הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים   [ a 1 , a 2 , … , a k ] {\displaystyle \ [a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}]} מסומנת ב-   G k {\displaystyle \ G_{k}} , וכך   G ′ = G 2 {\displaystyle \ G'=G_{2}} ובאופן כללי   G k + 1 = [ G k , G ] {\displaystyle \ G_{k+1}=[G_{k},G]} . חבורה נילפוטנטית ממחלקה k היא כזו שבה   G k + 1 = 1 {\displaystyle \ G_{k+1}=1} . קומוטטורים מקיימים מספר זהויות חשובות, למשל   [ a , b ] = [ b , a ] − 1 {\displaystyle \ [a,b]=[b,a]^{-1}} ו-   [ a , b c ] = [ a , b ] [ a , c ] b {\displaystyle \ [a,bc]=[a,b][a,c]^{b}} כאשר   x y {\displaystyle \ x^{y}} הוא סימון מקוצר לצמוד   y x y − 1 {\displaystyle \ yxy^{-1}} . זהות ידועה אחרת היא זהות יעקובי:   [ x , y − 1 , z ] y [ y , z − 1 , x ] z [ z , x − 1 , y ] x = 1 {\displaystyle \ [x,y^{-1},z]^{y}[y,z^{-1},x]^{z}[z,x^{-1},y]^{x}=1} . מזהות זו נובעת למת שלוש תת-החבורות: אם H,K,L תת-חבורות נורמליות של G, אז   [ H , K , L ] ⊆ [ K , L , H ] [ L , H , K ] {\displaystyle \ [H,K,L]\subseteq [K,L,H][L,H,K]} . בפרט (אם נבחר K=L) מתקיים   [ H , [ L , L ] ] ⊆ [ L , [ L , H ] ] {\displaystyle \ [H,[L,L]]\subseteq [L,[L,H]]} . אם כעת נבחר   H = [ L , L ] {\displaystyle \ H=[L,L]} נקבל   [ [ L , L ] , [ L , L ] ] ⊆ [ L , [ L , [ L , L ] ] ] {\displaystyle \ [[L,L],[L,L]]\subseteq [L,[L,[L,L]]]} , כלומר   G ″ ⊆ G 4 {\displaystyle \ G''\subseteq G_{4}} . זהו מקרה פרטי של משפט כללי יותר: כל הקומוטטורים ממשקל k שייכים ל-   G k + 1 {\displaystyle \ G_{k+1}} . אם כך, בחבורה נילפוטנטית ממחלקה k, כל הקומוטטורים ממשקל k הם טריוויאליים. בפיזיקה, וליתר דיוק, במכניקת הקוונטים, הקומוטטור של אופרטורים במרחב הילברט הוא מושג שימושי מאוד. במכניקת הקוונטים יחסי החילוף של אופרטורים מלמדים דברים חשובים על תכונותיהם. אם אופרטור מתחלף עם ההמילטוניאן אזי הוא מייצג גודל שנשמר במערכת (חוק שימור), וסימטריה בקואורדינטה הצמודה. כמו כן, אם אופרטור מתחלף עם אופרטור אחר אז אפשר ללכסן אותם סימולטנית (ביחד) ולקבל בו זמנית את ערכי התצפית של שניהם בצורה מדויקת. על כן זוהי תכונה שימושית ביותר. בניגוד לכך, כל שני אופרטורים A ו־B שאינם מתחלפים מקיימים את עקרון אי הוודאות בניסוחו הכללי:   1 2 | ⟨ i [ A , B ] ⟩ | ≤ Δ A ⋅ Δ B {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}|\langle i[A,B]\rangle |\leq \Delta A\cdot \Delta B} כלומר, אי אפשר למדוד את A ואת B בו זמנית בדיוק מוחלט. מיקום ותנע קווי –   [ x i , p j ] = i ℏ δ i j {\displaystyle \ [x_{i},p_{j}]=i\hbar \delta _{ij}} כאשר x i {\displaystyle x_{i}} הוא אופרטור מיקום ו־ p j {\displaystyle p_{j}} הוא אופרטור תנע. תנע זוויתי –   [ L i , L j ] = i ℏ ε i j k L k {\displaystyle \ [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}} כאשר ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} הוא טנזור לוי-צ'יויטה. עם זאת, האופרטור   L 2 {\displaystyle \ L^{2}} מתחלף עם כל אחד מרכיביו:   [ L 2 , L j ] = 0 {\displaystyle \ [L^{2},L_{j}]=0} אופרטורי יצירה וחיסול של בוזונים מקיימים יחסי חילוף, כלומר [ a ( k → 1 ) , a † ( k → 2 ) ] = δ ( k → 1 − k → 2 ) {\displaystyle [a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})]=\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2})} , ואילו אופרטורי יצירה וחיסול של פרמיונים מקיימים יחסי אנטי חילוף כלומר { a ( k → 1 ) , a † ( k → 2 ) } = δ ( k → 1 − k → 2 ) {\displaystyle \{a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\}=\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2})} . הדבר מבטא את הסטטיסטיקה השונה של חלקיקים אלו. כמו הקומוטטור, אפשר להגדיר גם אנטי קומוטטור עבור חוג או אלגברה, בתור האיבר   { a , b } = a b + b a {\displaystyle \ \{a,b\}=ab+ba} . אם A היא אלגברה אסוציאטיבית, אז היא אלגברת ז'ורדן ביחס לפעולת האנטי-קומוטטור. ערך מורחב – אסוציאטור בדומה לקומוטטור שמודד את כישלון הקומוטטיביות, מגדירים באלגברה לא אסוציאטיבית פונקציה בשם האסוציאטור (associator), לפי הנוסחה   ( a , b , c ) = ( a b ) c − a ( b c ) {\displaystyle \ (a,b,c)=(ab)c-a(bc)} . האסוציאטור מקיים את הזהות   a ( x , y , z ) + ( a , x , y ) z = ( a x , y , z ) − ( a , x y , z ) + ( a , x , y z ) {\displaystyle \ a(x,y,z)+(a,x,y)z=(ax,y,z)-(a,xy,z)+(a,x,yz)} . קומוטטור, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) קומוטטור, באתר MathWorld (באנגלית) Albert and Muckenhoupt 1957, [1] עמיצור ורואן, 1994 רוסט ורוסט, 2000