מטוטלת קונית

מטוטלת קונית מורכבת ממשקולת המקובעת לקצהו של חוט או מוט התלוי מנקודת משען. בנייתה דומה לזו של מטוטלת רגילה; אף על פי כן, במקום להתנודד קדימה ואחורה, המשקולת של מטוטלת קונית נעה במהירות קבועה לאורך מעגל באופן כזה שהחוט (או המוט) מתווים חרוט במרחב. באופן כללי יותר, המשקולת של מטוטלת קונית נעה לאורך אליפסה שכן המודל הפיזיקלי של מטוטלת קונית הוא של אוסצילטור הרמוני דו-ממדי. מכיוון שמעשית קשה להקנות למשקולת מהירות התחלתית מדויקת כך שהמשקולת תנוע במעגל מושלם, מתייחסים גם למקרה של התנועה האליפטית של המשקולת כאל "מטוטלת קונית" (למרות שבמקרה זה החוט או המוט אינם מתווים חרוט מושלם), שכן תיאור שני המקרים חולק אותם עקרונות פיזיקליים. המטוטלת הקונית נחקרה לראשונה על ידי המדען האנגלי רוברט הוק בסביבות 1660 כמודל לתנועה המסלולית של כוכבי הלכת. ב-1673 המדען ההולנדי כריסטיאן הויגנס חישב את זמן המחזור שלה בעזרת שימוש במושג הכוח הצנטריפוגלי שלו, וחישובו זה הופיע בספרו Horologium Oscillatorium. מאוחר יותר נעשה שימוש במטוטלת קונית כרכיב בקרת זמן בשעונים מכניים אחדים. במהלך המאה ה-19 נעשה שימוש במטוטלות קוניות כרכיב בקרת זמן בכמה מנגנוני שעונים בהם נדרשת תנועה "חלקה" יותר, בניגוד לתנועה התנודתית וההפכפכה שמספקות מטוטלות רגילות. שתי דוגמאות בולטות הן מנגנונים להפניית העדשות של זרקורים לכיוון מסוים כדי לספק כיסוי הולם של הים על ידי אלומות האור שלהם, ומנגנונים החיוניים לפעולתם של טלסקופים המוצבים על מעמד משווני - מנגנונים אלו אפשרו לטלסקופ לעקוב אחרי כוכב בצורה חלקה כאשר כדור הארץ מסתובב (והכוכב משנה את מיקומו בשמיים). אחד השימושים החשובים ביותר של המטוטלת הקונית נעשה במנגנון הוסת הצנטריפוגלי שהומצא על ידי ג'יימס ואט ב-1788, אשר ויסת את מהירות עבודתם של מנועי קיטור במהלך עידן הקיטור במאה ה-19. נניח מטוטלת קונית המורכבת ממשקולת במסה m המסתובבת ללא חיכוך במעגל במהירות v באמצעות מיתר באורך L המתוח בזווית θ ביחס לאנך. שני כוחות פועלים על המשקולת: המתיחות T של המיתר, המופעלת לאורך המיתר ומכוונת כלפי נקודת התלייה. כוח הכובד mg, כאשר m היא מסת המשקולת ו-g תאוצת הכובד. הכוח המופעל על ידי המיתר ניתן לפירוק לרכיב אופקי, (T sin(θ, המכוון למרכז המעגל, ולרכיב אנכי, (T cos(θ, בכיוון מעלה. מהחוק השני של ניוטון, הרכיב האופקי של המתיחות מספק למשקולת את התאוצה הצנטריפיטלית הדרושה כדי לשמור על תנועה מעגלית אחידה: T sin ⁡ θ = m v 2 r {\displaystyle T\sin \theta ={\frac {mv^{2}}{r}}\,} מכיוון שאין תאוצה בכיוון האנכי, הרכיב האנכי של המתיחות בחוט שווה ומנוגד לכוח הכובד הפועל על המשקולת: T cos ⁡ θ = m g {\displaystyle T\cos \theta =mg\,} משתי המשוואות האחרונות נקבל: g cos ⁡ θ = v 2 r sin ⁡ θ {\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {v^{2}}{r\sin \theta }}} מכיוון שמהירות המשקולת קבועה, היא ניתנת לביטוי גם כהיקף המעגל 2 π r {\displaystyle 2\pi r} חלקי הזמן הדרוש להקפה שלמה של המשקולת: v = 2 π r t {\displaystyle v={\frac {2\pi r}{t}}} אם נציב את התוצאות הקודמות במשוואה האחרונה, נקבל: g cos ⁡ θ = ( 2 π r t ) 2 r sin ⁡ θ = ( 2 π ) 2 r t 2 sin ⁡ θ {\displaystyle {\frac {g}{\cos \theta }}={\frac {({\frac {2\pi r}{t}})^{2}}{r\sin \theta }}={\frac {(2\pi )^{2}r}{t^{2}\sin \theta }}} כך שלבסוף נמצא שהזמן הדרוש למשקולת להשלים הקפה אחת הוא t = 2 π r g tan ⁡ θ {\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {r}{g\tan \theta }}}} וביטוי זה הוא למעשה: t = 2 π L cos ⁡ θ g ≈ 2 π L g {\displaystyle t=2\pi {\sqrt {\frac {L\cos \theta }{g}}}\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}} כלומר, בעבור זוויות קטנות, זמן המחזור של מטוטלת קונית זהה לזה של מטוטלת רגילה באותו האורך. הניתוח שתואר לעיל הוא זה של מטוטלת מתמטית, ההולם את המקרה שבו ממדי המשקולת קטנים בהרבה מאורך המטוטלת. אחרת, המודל המתאים הוא זה של מטוטלת פיזיקלית, והוא לוקח בחשבון גם את מומנט האינרציה של המשקולת ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה שלה בכיוון ניצב למישור התנודה שלה. אולם כאן צצה בעיה: בעוד שלמטוטלת רגילה מישור תנודה קבוע, במקרה של מטוטלת קונית מישור התנודה סובב ולכן אין מומנט אינרציה מוגדר היטב. במקרה זה, יש להתייחס למומנט האינרציה של גוף המשקולת בשני צירים ניצבים ולפתור את בעיית המטוטלת הפיזיקלית עבור כל ציר בנפרד. עבור משקולות סימטריות למדי (למשל, משקולת כדורית), אין הבדל משמעותי בין מומנטי האינרציה בכל ציר, כך שצורתו האליפטית של מסלול המשקולת אינה משתנה כאשר מתייחסים למודל המטוטלת הפיזיקלית. אולם במקרים רבים לא כך הוא המצב, ומתקבלת תדירות אופיינית שונה לתנודה בכל ציר. במקרה כזה, משקולת המטוטלת לא תתווה יותר מסלול אליפטי, אלא צורה הנקראת עקום ליסז'וס. מדיה וקבצים בנושא מטוטלת קונית בוויקישיתוף