תהליך וינר

במתמטיקה, תהליך וינר הוא תהליך סטוכסטי ממשי ורציף הנקרא על שמו של המתמטיקאי האמריקאי נורברט וינר בעקבות מחקריו על התכונות המתמטיות של התנועה הבראונית החד-ממדית. תהליך וינר נקרא גם תנועה בראונית בשל הקשר ההיסטורי עם התהליך הפיזיקלי אשר נצפה במקור על ידי הבוטנאי הסקוטי רוברט בראון. זהו אחד המקרים הפרטיים החשובים של תהליכי לוי (אנ') ויש לו יישומים רבים במתמטיקה, פיזיקה, כלכלה וביולוגיה. במתמטיקה תהליך וינר הוא מרטינגל ולמעשה הוליד את המחקר של מרטינגלים בזמן רציף. זהו תהליך מרכזי שניתן לתאר באמצעותו תהליכים סטוכסטיים מורכבים. ככזה, הוא ממלא תפקיד חיוני בחשבון סטוכסטי (אנ'). תהליך וינר משמש ביצירת העקומה המקרית; האבולוציה של שרם-לואנר (אנ'). בפיזיקה תהליך וינר משמש לחקר תנועה בראונית, דיפוזיה של חלקיקים זעירים בנוזל וסוגים אחרים של דיפוזיה באמצעות משוואת הדיפוזיה, משוואת פוקר-פלאנק ומשוואת לנז'בן. הוא גם מהווה את הבסיס לניסוח פורמלי של אינטגרלי מסלול במכניקת הקוונטים (לפי נוסחת פיימן-כץ (אנ'), ניתן להציג פתרון למשוואת שרדינגר במונחים של תהליך וינר) ומשמש בחקר היקום התופח בקוסמולוגיה פיזיקלית. ניתן להציג את תהליך וינר כאינטגרל סטוכסטי (אנ') של תהליך גאוסי (אנ') ("רעש לבן") עם תוחלת אפס, ושונות 1. לכן תהליך וינר שימושי כמודל של רעש בהנדסת אלקטרוניקה (ראה רעש בראוני), שגיאות מכשירים בתורת המסננים והפרעות בתורת הבקרה. לתהליך וינר יש חשיבות במתמטיקה פיננסית, בפרט במודל בלאק ושולס לתמחור נגזרים. תהליך וינר חד־ממדי הוא תהליך סטוכסטי ממשי, W t {\displaystyle W_{t}} , t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} , המקיים: W 0 = 0 {\displaystyle W_{0}=0} כמעט בוודאות. ל- W {\displaystyle W} יש תוספות זרות בלתי תלויות: לכל t > 0 {\displaystyle t>0} , התוספות העתידיות W t + u − W t {\displaystyle W_{t+u}-W_{t}} אינן תלויות בערכי העבר W s {\displaystyle W_{s}} , s < t {\displaystyle s<t} . ל- W {\displaystyle W} יש תוספות נורמליות: ל- W t + u − W t {\displaystyle W_{t+u}-W_{t}} יש התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 {\displaystyle 0} ושונות u {\displaystyle u} , כלומר, W t + u − W t ∼ N ( 0 , u ) {\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u)} . ל- W {\displaystyle W} יש כמעט בוודאות נתיבים רציפים: W t {\displaystyle W_{t}} הוא כמעט בוודאות רציף ב t {\displaystyle t} . המשמעות שלתהליך יש תוספות זרות בלתי תלויות היא שאם 0 ≤ s 1 < t 1 ≤ s 2 < t 2 {\displaystyle 0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}} אז W t 1 − W s 1 {\displaystyle W_{t_{1}}-W_{s_{1}}} ו- W t 2 − W s 2 {\displaystyle W_{t_{2}}-W_{s_{2}}} הם משתנים מקריים בלתי תלויים, תכונה דומה מתקיימת עבור n {\displaystyle n} תוספות. נתונים משתנים מקריים ξ 1 , ξ 2 , … {\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots } בלתי תלויים ושווי התפלגות עם תוחלת 0 ושונות 1. לכל n {\displaystyle n} , נגדיר תהליך סטוכסטי בזמן רציף לכל , t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle ,t\in [0,1]} . W n ( t ) = 1 n ∑ 1 ≤ k ≤ ⌊ n t ⌋ ξ k {\displaystyle .W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k}} W n {\displaystyle W_{n}} מתאר הילוך מקרי. התוספות של W n {\displaystyle W_{n}} הן בלתי תלויות. לפי משפט הגבול המרכזי כאשר n {\displaystyle n} שואף לאינסוף, W n ( t ) − W n ( s ) {\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)} שואף ל - N ( 0 , t − s ) {\displaystyle N(0,t-s)} . ממשפט דונסקר נובע כי כאשר כאשר n {\displaystyle n} שואף לאינסוף, W n {\displaystyle W_{n}} שואף לתהליך וינר. כמו בהילוך מקרי, תהליך וינר הוא צפוף בממד אחד או בשני ממדים (כלומר שהוא חוזר כמעט בוודאות לכל סביבה נתונה של הראשית אינסוף פעמים) בעוד שהוא אינו צפוף בשלושה ממדים ומעלה (תהליך וינר רב ממדי הוא תהליך שהקואורדינטות שלו הן תהליכי וינר בלתי תלויים). שלא כמו הילוך מקרי, תהליך וינר לא משתנה עם שינוי בקנה מידה, כלומר, 1 c   W c t {\textstyle {\frac {1}{\sqrt {c}}}\ W_{ct}} הוא תהליך וינר לכל קבוע חיובי שונה מאפס. וינר (1923) נתן גם ייצוג של תהליך וינר במונחים של טור פורייה מקרי. אם ξ n {\displaystyle \xi _{n}} הם משתנים נורמליים בלתי תלויים עם תוחלת אפס ושונות אחד, אז W t = ξ 0 t + 2 ∑ n = 1 ∞ ξ n sin ⁡ π n t π n {\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}} ו- W t = 2 ∑ n = 1 ∞ ξ n sin ⁡ ( ( n − 1 2 ) π t ) ( n − 1 2 ) π {\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}} מייצגים תהליך וינר על [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} (ראו משפט קוסמבי-קרהונן-לואב (אנ')). מדיה וקבצים בנושא תהליך וינר בוויקישיתוף תהליך וינר, באתר MathWorld (באנגלית) N.Wiener Collected Works vol.1 Huang, Steel T.; Cambanis, Stamatis (1978). "Stochastic and Multiple Wiener Integrals for Gaussian Processes". The Annals of Probability. 6 (4): 585–614. doi:10.1214/aop/1176995480. ISSN 0091-1798. JSTOR 2243125. Durrett, Rick (2019). "Brownian Motion". Probability: Theory and Examples (5th ed.). Cambridge University Press. ISBN 9781108591034. Steven Lalley, Mathematical Finance 345 Lecture 5: Brownian Motion (2001) "Pólya's Random Walk Constants". Wolfram Mathworld.