משפט הבסיס של הילברט

במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם R {\displaystyle R} חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם k {\displaystyle k} הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]} נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888. בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים. המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים). כל אחת מהן 'עולה' מ- R {\displaystyle R} ל- R [ x ] {\displaystyle R[x]} . למשפט גרסה במשתנים לא-קומוטטיביים אותה הוכיח שמשון עמיצור: באלגברה החופשית במספר סופי של יוצרים מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים – כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת. למקרה של חוגי פולינומים מעוותים (skew-polynomial rings) ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים. יהי R {\displaystyle R} חוג נתרי שמאלי. נניח בשלילה שהחוג R [ x ] {\displaystyle R[x]} אינו נתרי שמאלי. לכן קיים אידיאל שמאלי I ⊴ R [ x ] {\displaystyle I\trianglelefteq R[x]} שאינו נוצר סופית. נבנה סדרה של פולינומים { f 0 , f 1 , … } {\displaystyle \{f_{0},f_{1},\dots \}} באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום f 0 ≠ 0 {\displaystyle f_{0}\neq 0} ב- I {\displaystyle I} ממעלה מינימלית. יהי n {\displaystyle n} מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים f 0 , f 1 , … , f n − 1 {\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n-1}} . יהי I n {\displaystyle I_{n}} האידיאל השמאלי הנוצר על ידי f 0 , f 1 , … , f n − 1 {\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n-1}} . נבחר את f n {\displaystyle f_{n}} להיות איבר כלשהו של I ∖ I n {\displaystyle I\setminus I_{n}} ממעלה מינימלית. איבר כזה קיים לפי ההנחה ש- I {\displaystyle I} לא נוצר סופית. מכאן שהסדרה { deg ⁡ ( f 0 ) , deg ⁡ ( f 1 ) , … } {\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\dots \}} היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים. יהי a n {\displaystyle a_{n}} המקדם המוביל של f n {\displaystyle f_{n}} ויהי J {\displaystyle J} האידיאל השמאלי של R {\displaystyle R} הנוצר על ידי a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots } . מכיוון ש- R {\displaystyle R} חוג נתרי, שרשרת האידיאלים ( a 0 ) ⊂ ( a 0 , a 1 ) ⊂ ( a 0 , a 1 , a 2 ) ⊂ ⋯ {\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots } מתייצבת. לכן קיים N {\displaystyle N} טבעי שעבורו J = ( a 0 , a 1 , … , a N − 1 ) {\displaystyle J=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{N-1})} . בפרט קיימים איברים u 0 , u 1 , … , u N − 1 ∈ R {\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{N-1}\in R} כך ש- a N = ∑ i < N u i a i {\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i}} . נגדיר את הפולינום: g = ∑ i < N u i x deg ⁡ f N − deg ⁡ f i f i {\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}x^{\deg f_{N}-\deg f_{i}}f_{i}} . ל- g {\displaystyle g} ול- f N {\displaystyle f_{N}} יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל. יתר על כן, g ∈ I N {\displaystyle g\in I_{N}} . מצד שני, f N ∈ I ∖ I N {\displaystyle f_{N}\in I\setminus I_{N}} . לכן f N − g ∈ I ∖ I N {\displaystyle f_{N}-g\in I\setminus I_{N}} והמעלה שלו קטנה יותר מזו של f N {\displaystyle f_{N}} , בסתירה למינימליות. Lang, Serge (1997). Algebra, 3rd ed., reprint w/ corr., Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-55540-0. משפט הבסיס של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית) A NONCOMMUTATIVE HILBERT BASIS THEOREMAND SUBRINGS OF MATRICES by Shimshon Avraham Amitsur (Transactions of the American Mathematical Society). ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.