משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)

במכניקה קלאסית משוואות אוילר הן משוואות דיפרנציאליות ווקטוריות מסדר ראשון המתארות את הסיבוב של גוף קשיח. המשוואות קושרות את מומנט הכח לטנזור ההתמד, למהירות הזוויתית של הגוף ולנגזרתה. תוך שימוש במערכת הצירים הראשית של הגוף שהיא מערכת ייחוס מסתובבת הצמודה לגוף המסתובב ומסתובבת איתו, בה מכפלות ההתמדה של טנזור האינרציה מתאפסים ומפשטים את החישובים במידה ניכרת. צורתה הכללית של הנוסחה: d J d t = I ⋅ ω ˙ + ω × ( I ⋅ ω ) = I ⋅ ω ˙ + ω × J = M {\displaystyle {d\mathrm {J} \over dt}=\mathrm {I} \cdot {\dot {\omega }}+\omega \times \left(\mathrm {I} \cdot \omega \right)=\mathrm {I} \cdot {\dot {\omega }}+\omega \times \mathrm {J} =\mathrm {M} } כאשר M הוא סכום המומנטים הפועל על הגוף, I הוא טנזור ההתמד וω היא המהירות הזוויתית של הגוף הנמצא במערכת הצירים הראשית של הגוף. ובה כאשר פורטים את וקטורי הסיבוב וטנזור ההתמד למרכיבי הכיוון תתקבלנה המשוואות: I 1 ω ˙ 1 + ( I 3 − I 2 ) ω 2 ω 3 = M 1 I 2 ω ˙ 2 + ( I 1 − I 3 ) ω 3 ω 1 = M 2 I 3 ω ˙ 3 + ( I 2 − I 1 ) ω 1 ω 2 = M 3 {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=M_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=M_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=M_{3}\end{aligned}}} כאשר המספר התחתי מייצג את הציר לגביו נפרט הווקטור. תנע זוויתי של גוף מוגדר כמכפלה ווקטורית בין המרחק מהציר לתנע הקווי. J = d e f r × p = r × m v = m r × ( ω × r ) = I ⋅ ω {\displaystyle \mathrm {J} \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,\mathrm {r} \times \mathrm {p} =\mathrm {r} \times m\mathrm {v} =m\mathrm {r} \,\times (\omega \times \,\mathrm {r} )=\mathrm {I} \cdot \omega } בדומה לכח מומנט הכח מוגדר כשינוי התנע הזוויתי ביחס לזמן. M = d e f Δ J = d J d t {\displaystyle \mathrm {M} \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,\Delta \mathrm {J} ={\frac {d\,\mathrm {J} }{dt}}} בגלל שאנחנו נמצאים במערכת ייחוס שהצירים בה אינם קבועים הגזירה בזמן צריכה לערב לא רק את גזירת הווקטור עצמו אלא להוסיף לו גם איבר הנובע משינוי הצירים, שכן הווקטור לא רק משתנה בעצמו אלא גם שינוי המערכת משנה אותו. הצירים במקרה של מערכת מסתובבת מסתובבים ביחס לזמן במהירות זוויתית של ω {\displaystyle \omega } . ולכן ווקטור במערכת ישתנה בנוסף לשינוי העצמי שלו גם ב A × ω {\displaystyle \mathrm {A} \times \omega } מכאן ש- M = d e f d J d t = d I ⋅ ω d t + J × ω = I ⋅ ω ˙ + ω × ( I ⋅ ω ) {\displaystyle \mathrm {M} \,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,{\frac {d\,\mathrm {J} }{dt}}={\frac {d\,\mathrm {I} \cdot \omega }{dt}}+\mathrm {J} \times \omega =\mathrm {I} \cdot {\dot {\omega }}+\omega \times (\mathrm {I} \cdot \omega )} על מנת לתאר סיבוב של גוף קשיח במרחב יש צורך לתארו תוך שימוש בשלושה צירי סיבוב. הסביבון בתרשים מסתובב סביב ציר y ′ {\displaystyle y'} במהירות זוויתית θ ˙ {\displaystyle {\dot {\theta }}} סביב ציר הסימטריה שלו z ′ {\displaystyle z'} במהירות זוויתית ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}} וסביב ציר z {\displaystyle z} במהירות זוויתית φ ˙ {\displaystyle {\dot {\varphi }}} . מכאן שווקטור המהירות הזוויתית של הסביבון היא: ω → = ψ ˙ z ^ ′ + φ ˙ z ^ − θ ˙ y ^ ′ {\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\hat {z}}'+{\dot {\varphi }}{\hat {z}}-{\dot {\theta }}{\hat {y}}'} קל לראות באמצעות טריגונומטריה פשוטה כי z ^ = cos ⁡ θ z ^ ′ − sin ⁡ θ x ^ ′ {\displaystyle {\hat {z}}=\cos \theta {\hat {z}}'-\sin \theta {\hat {x}}'} . מכאן שהמהירות הזוויתית תהיה שווה ל: ω → = ψ ˙ z ^ ′ + φ ˙ ( cos ⁡ θ z ^ ′ − sin ⁡ θ x ^ ′ ) − θ ˙ y ^ ′ {\displaystyle {\vec {\omega }}={\dot {\psi }}{\hat {z}}'+{\dot {\varphi }}(\cos \theta {\hat {z}}'-\sin \theta {\hat {x}}')-{\dot {\theta }}{\hat {y}}'} והתנע הזוויתי של הסביבון יהיה שווה ל: J = I ω = I x ′ ω x ′ + I y ′ ω y ′ + I z ′ ω z ′ = I z ′ ( φ ˙ cos ⁡ θ + ψ ˙ ) z ^ ′ − I y ′ θ ˙ y ^ ′ − I x ′ φ ˙ sin ⁡ θ x ^ ′ {\displaystyle \mathrm {J} =\mathrm {I} \mathrm {\omega } =\mathrm {I} _{x'}\omega _{x'}+\mathrm {I} _{y'}\omega _{y'}+\mathrm {I} _{z'}\omega _{z'}=\mathrm {I} _{z'}({\dot {\varphi }}\cos \theta +{\dot {\psi }}){\hat {z}}'-\mathrm {I} _{y'}{\dot {\theta }}{\hat {y}}'-\mathrm {I} _{x'}{\dot {\varphi }}\sin \theta {\hat {x}}'} לשם פתירת מערכת משוואות של מקרה כללי יש צורך לדעת את התנגדות האוויר שלשם כך יש צורך לנתח את המבנה האווירודינמי של הסביבון ויש צורך לנתח את החיכוך עם הקרקע. תנועת סביבון נפוצה היא כאשר φ ˙ ≪ ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\varphi }}\ll {\dot {\psi }}} . וכאשר אין שינוי בזווית ביחס לקרקע כלומר θ ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}=0} . במקרה כזה מכיוון מתקבל וקטור תנע התלוי בציר Z בלבד שגודלו: J = I z ′ ψ ˙ z ^ ′ {\displaystyle \mathrm {J} =\mathrm {I} _{z'}{\dot {\psi }}{\hat {z}}'} מכיוון שהמהירות הזוויתית קבועה הנגזרת של ווקטור המהירות הזוויתית שווה ל-0 הביטוי השני מתאפס והביטוי השלישי הוא זניח ביחס לגורם הראשון וכיוון שהפעולה היא פעולת חיבור ניתן להתעלם ממנו. מגזירת הווקטור מתקבל המומנט שלפי משוואות אוילר הוא שווה ל: d J d t = I ⋅ ω ˙ + ω × ( I ⋅ ω ) = I ⋅ ω ˙ + ω × J = 0 + φ ˙ z ^ × I z ′ ψ ˙ z ^ ′ = − φ ˙ ψ ˙ I z ′ sin ⁡ θ y ^ = M {\displaystyle {d\mathrm {J} \over dt}=\mathrm {I} \cdot {\dot {\omega }}+\omega \times \left(\mathrm {I} \cdot \omega \right)=\mathrm {I} \cdot {\dot {\omega }}+\omega \times \mathrm {J} =0+{\dot {\varphi }}{\hat {z}}\times \mathrm {I} _{z'}{\dot {\psi }}{\hat {z}}'=-{\dot {\varphi }}{\dot {\psi }}\mathrm {I} _{z'}\sin \theta {\hat {y}}=\mathrm {M} } אך המומנט היחידי הפועל במערכת בהזנחת החיכוך עם הרצפה ועם האוויר הוא המומנט הנוצר מכוח המשיכה מכאן ש: M = − m g l sin ⁡ θ y ^ = − φ ˙ Ψ ˙ I z ′ sin ⁡ θ y ^ {\displaystyle \mathrm {M} =-mgl\sin \theta {\hat {y}}=-{\dot {\varphi }}{\dot {\Psi }}\mathrm {I} _{z'}\sin \theta {\hat {y}}} ומפתירת המשוואה נמצא כי אומדן טוב לפרסציה של הסביבון שווה ל: ⟹ φ ˙ = m g l I z ′ ψ {\displaystyle \Longrightarrow {\dot {\varphi }}={\frac {mgl}{\mathrm {I} _{z'}\psi }}} זוויות אוילר מכניקה אנליטית לאונרד אוילר אנליזה וקטורית