משוואת הגז האידיאלי

משוואת הגז האידיאלי (באנגלית: Ideal Gas Law) היא משוואת מצב, המתארת את היחס בין המשתנים האקסטנסיביים והאינטנסיביים של גז אידיאלי. המשתנים אשר לוקחים חלק במשוואה הם הלחץ P {\displaystyle P} , הטמפרטורה המוחלטת T {\displaystyle T} , נפח הגז V {\displaystyle V} וכמות הגז במולים n {\displaystyle n} . המשוואה מתוארת בצורה הבאה: P V = n R T {\displaystyle PV=nRT} כאשר R {\displaystyle R} הוא קבוע הגזים האוניברסלי. המשוואה תקפה עבור גזים אידיאליים - גזים היפותטיים המורכבים ממולקולות שאינן מבצעות אינטראקציה ביניהן, כלומר כל מולקולה נעה באופן עצמאי מיתר המולקולות בגז. גזים אלו אינם בהכרח מכילים חלקיקים נקודתיים ללא מבנה פנימי, אלא עשויים להיות מורכבים ממולקולות פולי-אטומיות עם דרגות חופש סיבוביות, ויברציוניות וחשמליות. משוואת הגז האידיאלי מתארת את תנועת מרכזי המסה של המולקולות, אשר אכן יכולים להחשב כמסות נקודתיות. לעומת זאת, עבור תכונות אחרות של גז אידיאלי כמו אנטרופיה, למבנה הפנימי של המולקולות תיתכן השפעה. משוואת הגז האידיאלי מהווה קירוב טוב לחישוב תכונות החומר של גזים רבים והתנהוגתם תחת שלל תנאים ועבור טווח רחב של ערכים, כל עוד שילוב ערכי הטמפרטורה והלחץ רחוק מספיק מהערכים עבורם נוצרת התעבות או המראה. למרות זאת, משוואה זו אינה מציינת אם גז מתקרר או מתחמם תחת דחיסה או התפשטות. גז אידיאלי מסוגל להישאר באותה טמפרטורה בתהליכים אלו, אך רוב הגזים אינם אידיאליים ומקיימים את אפקט ג'ול תומסון. העבודה הראשונית על התנהגותם של גזים החלה באירופה בחציה השני של המאה ה-17 על ידי רוברט בויל. בשנת 1662 הוא ניסח את חוק בויל, אשר אומת מאוחר יותר באופן עצמאי בדיוק רב על ידי אדם מריוט ולכן החוק נקרא כיום חוק בויל-מריוט. עבודתם על אוויר בלחצים נמוכים הניבה את היחס ההפוך בין הלחץ לנפח, כלומר V = K P {\displaystyle V={\frac {K}{P}}} כאשר K {\displaystyle K} קבוע הנקבע עבור כמות חלקיקי הגז וטמפרטורה קבועים. בסוף המאה ה-17 הפיזיקאי הצרפתי גיליאם אמונטונס חקר את היחס בין הלחץ והטמפרטורה בגזים. אף על פי שתוצאותיו לקו בחוסר דיוק, הוא הצליח לקבוע כי לחץ גז גדל בקירוב בשליש בין טמפרטורה של 0 ∘ C {\displaystyle 0^{\circ }C} לטמפרטורת הרתיחה של מים. עבודתו הכינה את הקרקע עבור ז'וזף לואי גה-ליסאק, אשר ניסח ב-1802 את חוק גה-ליסאק לפיו עבור גז הנמצא בנפח קבוע, הלחץ והטמפרטורה נמצאים ביחס ישר, כלומר - P ∝ T {\displaystyle P\propto T} . בנוסף לכך, ב-1787 נוסח חוק שארל על ידי הפיזיקאי ז'אק שארל הקובע כי בלחץ קבוע, נפחה של כמות נתונה של גז גדל ככל שהטמפרטורה גדלה, כלומר מתקיים V ∝ T {\displaystyle V\propto T} . בשנת 1811, הכימאי האיטלקי אמדאו אבוגדרו, ניסח על בסיס חוק גה-ליסאק את חוק אבוגדרו אשר קובע כי נפחים שווים של גזים כלשהם תחת אותם תנאי טמפרטורה ולחץ מכילים את אותו מספר המולקולות. ב-1833 אמיל קלפרון איחד את עבודתם של בויל, מריוט, שארל וגה-ליסאק למשוואת מצב אחת עבור גז אידיאלי : P V = R 0 T {\displaystyle PV=R_{0}T} , כאשר R 0 {\displaystyle R_{0}} היה קבוע התלוי בסוג הגז. בשנת 1845 הפך אנרי ויקטור רניו את משוואתו של קלפרון למשוואה הידועה כיום - P V = n R T {\displaystyle PV=nRT} , בכך שהפעיל את חוק אבוגדרו עבור נפח של מול אחד של גז אידיאלי. חוק בויל, חוק שארל, חוק גה-ליסאק וחוק אבוגדרו הובילו אל משוואת הגז האידיאלי אשר נמצאת בשימוש כיום, אך כל אחד מהם מייצג מקרה מיוחד של המשוואה. חוק בויל מתאר את המשוואה תחת תהליך איזותרמי, חוק שארל תחת תהליך איזוברי, חוק גה-ליסאק תחת תהליך איזוכורי וחוק אבוגדרו עבור תהליך בו כמות החומר קבועה. למשוואת הגז האידיאלי ישנן מספר הצגות שונות. שתי ההצגות הנפוצות ביותר הן: P V = n R T = N k B T {\displaystyle PV=nRT=Nk_{B}T} כאשר: P {\displaystyle P} - לחץ הגז V {\displaystyle V} - נפח הגז n {\displaystyle n} - מספר המולים בגז R {\displaystyle R} - קבוע הגזים האוניברסלי N {\displaystyle N} - מספר חלקיקי הגז k B {\displaystyle k_{B}} - קבוע בולצמן T {\displaystyle T} - הטמפרטורה המוחלטת של הגז קבוע הגזים האוניברסלי הוא בקירוב R = 8.314 J K ⋅ m o l {\displaystyle R=8.314{\frac {J}{K\cdot mol}}} וערכו של קבוע בולצמן הוא k B = 1.38 × 10 − 23 J K {\displaystyle k_{B}=1.38\times 10^{-23}{\frac {J}{K}}} . ביחידות SI - P {\displaystyle P} נמדד בפסקל, V {\displaystyle V} נמדד במ"ק, n {\displaystyle n} נמדד במולים ו- T {\displaystyle T} נמדד בקלווין. P V = ρ R M T = ρ R s p e c i f i c T {\displaystyle PV=\rho {\frac {R}{M}}T=\rho R_{specific}T} כאשר M {\textstyle M} המסה המולרית של הגז ו- ρ {\textstyle \rho } הצפיפות. R s p e c i f i c {\textstyle R_{specific}} הוא קבוע הגז הספציפי המוגדר בתור R M {\textstyle {\frac {R}{M}}} וערכו משתנה עבור גזים שונים. הניסוח הנ"ל מתקבל מכך שמספר המולים הוא: n = m M = ρ V M {\displaystyle n={\frac {m}{M}}={\frac {\rho V}{M}}} כאשר m {\displaystyle m} היא המסה הכוללת של הגז. על ידי הצבת n {\displaystyle n} בהצגה הסטנדרטית מתקבלת ההצגה המולרית: P V = n R T = m M R T {\displaystyle PV=nRT={\frac {m}{M}}RT} P = m V R T M = ρ R M T {\displaystyle P={\frac {m}{V}}{\frac {RT}{M}}=\rho {\frac {R}{M}}T} משילוב של חוק בויל, חוק שארל וחוק גה-ליסאק מתקבלת משוואת הגז המשולבת. P V T = k {\displaystyle {\frac {PV}{T}}=k} כאשר k {\displaystyle k} קבוע כלשהו. כלומר, היחס בין מכפלת הנפח והלחץ P V {\displaystyle PV} , לטמפרטורה T {\displaystyle T} ע"פ החוקים הנ"ל הוא קבוע. הצגה נוספת של המשוואה המשולבת מתייחסת לגדלים הללו לפני ואחרי שתהליך התרחש בגז: P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2 {\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}}}} כאשר אגף שמאל מתאר את היחס בו נכללים הנפח, הלחץ והטמפרטורה ההתחלתיים, ואגף שמאל מתאר את היחס עם הגדלים הללו לאחר התהליך. משוואת הגז האידיאלי תקפה גם כאשר מדובר במערכת בעלת יותר משלושה ממדים. המשוואה עבור מערכת כזו היא: P ( d ) = N k B T V d {\displaystyle P^{(d)}={\frac {Nk_{B}T}{V^{d}}}} כאשר V d {\displaystyle V^{d}} הוא הנפח ה- d {\displaystyle d} -ממדי. ניתן לראות משיקולי יחידות כי גם הלחץ משתנה עם מספר הממדים. החוקים אשר קדמו למשוואת הגז האידיאלי המוכרת כיום והובילו לפיתוחה, התגלו באמצעות ניסויים בהם שינו רק שניים מהמשתנים של הגז, בעוד יתר המשתנים נשארו קבועים. החוקים הללו הם: (1) חוק בויל מריוט - P V = C 1 ⟷ P 1 V 1 = P 2 V 2 {\textstyle PV={C_{1}}\longleftrightarrow P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}} . (2) חוק גה-ליסאק - P T = C 2 ⟷ P 1 T 1 = P 2 T 2 {\displaystyle {\frac {P}{T}}=C_{2}\longleftrightarrow {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}} . (3) חוק שארל - V T = C 3 ⟷ V 1 T 1 = V 2 T 2 {\displaystyle {\frac {V}{T}}=C_{3}\longleftrightarrow {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}} . (4) חוק אבוגדרו - V N = C 4 ⟷ V 1 N 1 = V 2 N 2 {\displaystyle {\frac {V}{N}}=C_{4}\longleftrightarrow {\frac {V_{1}}{N_{1}}}={\frac {V_{2}}{N_{2}}}} . (5) N T = C 5 ⟷ N 1 T 1 = N 2 T 2 {\displaystyle NT=C_{5}\longleftrightarrow {N_{1}}{T_{1}}={N_{2}}{T_{2}}} . (6) P N = C 6 ⟷ P 1 N 1 = P 2 N 2 {\displaystyle {\frac {P}{N}}=C_{6}\longleftrightarrow {\frac {P_{1}}{N_{1}}}={\frac {P_{2}}{N_{2}}}} . כאשר P {\textstyle P} הוא הלחץ, V {\displaystyle V} הנפח, T {\displaystyle T} הטמפרטורה ו- N {\displaystyle N} מספר החלקיקים. C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , C 5 , C 6 {\textstyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6}} אינם קבועים באופן כללי, אך בפיתוח נתייחס אליהם כך מכיוון שבכל משוואה בה ייעשה שימוש יהיה צורך רק במשתנים שצוינו במפורש. הפיתוח מתחיל עם גז בעל המאפיינים P 1 , V 1 , T 1 , N 1 {\textstyle P_{1},V_{1},T_{1},N_{1}} עליו מבצעים תהליכים אשר משנים את גודל משתנים אלו בשלבים. תחילה משנים רק את הנפח ומספר החלקיקים, ובהתאם לחוק אבוגדרו: (7) V 1 N 1 = V 2 N 2 {\displaystyle {\frac {V_{1}}{N_{1}}}={\frac {V_{2}}{N_{2}}}} לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים P 1 , V 2 , T 1 , N 2 {\textstyle P_{1},V_{2},T_{1},N_{2}} . כעת משנים את הטמפרטורה והלחץ. לפי חוק גה-ליסאק: (8) P 1 T 1 = P 2 T 2 {\displaystyle {\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}} לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים P 2 , V 2 , T 2 , N 2 {\textstyle P_{2},V_{2},T_{2},N_{2}} . בשלב הבא משנים את הנפח והלחץ, ועל פי חוק בויל מריוט: (9) P 2 V 2 = P 3 V 3 {\displaystyle P_{2}V_{2}=P_{3}V_{3}} לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים P 3 , V 3 , T 2 , N 2 {\textstyle P_{3},V_{3},T_{2},N_{2}} . לבסוף נשנה את הטמפרטורה ומספר החלקיקים. ממשוואה (5) מתקבל: (10) N 2 T 2 = N 3 T 3 {\displaystyle {N_{2}}{T_{2}}={N_{3}}{T_{3}}} לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים P 3 , V 3 , T 3 , N 3 {\textstyle P_{3},V_{3},T_{3},N_{3}} . ממכפלת משוואות (7) ו- (8) והשוואה למשוואות (9) ו-(10) מתקבל כי: P 1 V 1 T 1 N 1 = P 2 V 2 T 2 N 2 = P 3 V 3 T 3 N 3 = K B {\displaystyle {\frac {P_{1}V_{1}}{T_{1}N_{1}}}={\frac {P_{2}V_{2}}{T_{2}N_{2}}}={\frac {P_{3}V_{3}}{T_{3}N_{3}}}=K_{B}} כאשר K B {\textstyle K_{B}} הוא קבוע בולצמן. ובאופן כללי - P V T N = K B {\displaystyle {\frac {PV}{TN}}=K_{B}} . בצורה דומה ניתן להגיע אל ההצגה המקבילה בה מופיעים מספר המולים n {\displaystyle n} וקבוע הגזים R {\displaystyle R} , על ידי שימוש בכך ש- n R = N K B {\textstyle nR=NK_{B}} ולכן מתקיים: P V = N k B T = n R T {\displaystyle PV=Nk_{B}T=nRT} ניתן לפתח את משוואת הגז האידיאלי על ידי שימוש בתוצאות של מדידות הטמפרטורה, הלחץ והנפח ומציאת הגבולות המתאימים. נניח כי הלחץ P {\displaystyle P} והנפח V {\displaystyle V} של n {\displaystyle n} מולים של גז המוחזקים תחת טמפרטורה קבועה כלשהי נמדדים על טווח רחב של לחצים וטווח רחב של ערכי המכפלה P v {\displaystyle Pv} . נסמן את הנפח המולרי בתור v = V n {\displaystyle v={\frac {V}{n}}} . את היחס בין P v {\displaystyle Pv} ל- P {\displaystyle P} ניתן להביע באמצעות טור חזקות מהצורה הבאה: P v = A ( 1 + B P + C P 2 + . . . ) {\displaystyle Pv=A(1+BP+CP^{2}+...)} כאשר A , B , C {\displaystyle A,B,C} וכו' נקראים המקדמים הויראליים והם תלויים בטמפרטורה ובאופי הגז. בטווח הלחצים בין 0 ל-40 אטמוספירות היחס בין P v {\displaystyle Pv} ל- P {\displaystyle P} הוא בקירוב ישר, כך שרק שני המקדמים הראשונים משמעותיים. באופן כללי, ככל שהלחץ גדל כך גדל גם מספר הרכיבים בטור. מהקשר בין P v {\displaystyle Pv} ל- P {\displaystyle P} המתקבל עבור גזים שונים באותה טמפרטורה, אפשר לראות כי כאשר P → 0 {\textstyle P\to 0} המכפלה P v {\displaystyle Pv} היא באותו גודל עבור כל הגזים. מכך נובע כי המקדם הויראלי הראשון A {\displaystyle A} הוא בלתי תלוי באופי הגז ולכן תלוי רק בטמפרטורה, כלומר: lim P → 0 ( P v ) = A ( T ) {\textstyle \lim _{P\to 0}(Pv)=A(T)} . טמפרטורת הגז האידיאלי מוגדרת באמצעות הלחץ בנקודה המשולשת, P T P {\displaystyle P_{TP}} , על פי הביטוי הבא: T = 273.16 K lim P T P → 0 ( P P T P ) {\displaystyle T=273.16K\lim _{P_{TP}\to 0}({\frac {P}{P_{TP}}})} ואת ביטוי זה ניתן לפתח על ידי מכפלה ב- V n {\displaystyle {\frac {V}{n}}} של המונה והמכנה של הגבול הנ"ל: T = 273.16 K lim P V n P T P V n = 273.16 K lim ( P v ) lim ( P v ) T P {\displaystyle T=273.16K\lim {\frac {P{\frac {V}{n}}}{{P_{TP}}{\frac {V}{n}}}}=273.16K{\frac {\lim(Pv)}{\lim(Pv)_{TP}}}} וע"י שינוי הניסוח נקבל: lim ( P v ) = [ lim ( P v ) T P 273.16 K ] T ≡ R T {\displaystyle \lim(Pv)=[{\frac {\lim(Pv)_{TP}}{273.16K}}]T\equiv RT} כאשר R {\displaystyle R} הוא קבוע הגזים האוניברסלי. בצעד האחרון, נחליף את v {\displaystyle v} חזרה ב- V n {\textstyle {\frac {V}{n}}} ובכך נגיע אל המשוואה הרצויה: lim ( P V ) = n R T {\displaystyle \lim(PV)=nRT} מכיוון ש- lim ( P v ) = A = R T {\textstyle \lim(Pv)=A=RT} , טור החזקות המלא הוא: P v R T = 1 + B P + C P 2 + D P 3 + . . . {\displaystyle {\frac {Pv}{RT}}=1+BP+CP^{2}+DP^{3}+...} למקדמים הויראליים חשיבות גבוהה גם בפיזיקה תאורטית מכיוון שהם קשורים בין היתר לתכונות מולקולריות. בפיתוח זה ישנן שתי הנחות מובילות: המולקולות המרכיבות את הגז הן מערכות עצמאיות לחלוטין - הן אינן משפיעות אחת על תנועת האחרת. מעבר אנרגיה בין מולקולות הוא אפשרי, כך שהמערכת יכולה להגיע לשיווי משקל תרמי. פונקציית החלוקה הקנונית היא פונקציה של מספר החלקיקים N = n N A {\textstyle N=nN_{A}} , הנפח V {\displaystyle V} והטמפרטורה T {\displaystyle T} המוגדרת בצורה הבאה: Z ( N , V , T ) = ∑ I e − E I / ( k B T ) {\displaystyle Z(N,V,T)=\sum _{I}e^{-{\mathcal {E}}_{I}/(k_{B}T)}} כאשר E I {\displaystyle {\mathcal {E}}_{I}} היא האנרגיה האפשרית ה- I {\displaystyle I} של הגז הכולל, כלומר האנרגיה של כל N {\displaystyle N} המולקולות. ממכניקת הקוונטים ידוע כי לגז במיכל גדול סופי יש אנרגיות בדידות, I {\displaystyle I} הוא אינדקס בדיד המתייג את האנרגיות השונות לפי גודלן. הסכום הוא על כל הערכים העצמיים (כולל ניוון) של ההמילטוניאן המתאר את המערכת. בנוסף, האנרגיה החופשית של הלמהולץ נתונה על ידי F = − k B T l n Z {\displaystyle F=-k_{B}TlnZ} . מהנחה 1 ניתן להגיד כי האנרגיות E I {\displaystyle {\mathcal {E}}_{I}} הן סכומי אנרגיות של מולקולות בודדות E i {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}} , כלומר: E I = E i 1 + E i 2 + . . . {\displaystyle {\mathcal {E}}_{I}={\mathcal {E}}_{i_{1}}+{\mathcal {E}}_{i_{2}}+...} האנרגיות הללו הן של מולקולות נפרדות הנעות בצורה עצמאית במיכל. ניתן לרשום את z {\displaystyle z} , פונקציית החלוקה עבור המולקולות הבודדות, בצורה הבאה: z ( N , V , T ) = ∑ i e − E i / ( k B T ) {\displaystyle z(N,V,T)=\sum _{i}e^{-{\mathcal {E}}_{i}/(k_{B}T)}} כאשר אין אינטראקציות, תחת ההנחה כי הגז מכיל סוג אחד בלבד של מולקולות, את פונקציית החלוקה הכוללת Z {\displaystyle Z} אפשר לבטא באמצעות z {\displaystyle z} על ידי: Z ( N , V , T ) = ∑ i 1 , i 2 , . . . e − ( E i 1 + E i 2 + . . . ) / ( k B T ) = ∑ i 1 e − E i 1 / ( k B T ) ∑ i 2 e − E i 2 / ( k B T ) . . . = z N {\displaystyle Z(N,V,T)=\sum _{i_{1},i_{2},...}e^{-({\mathcal {E}}_{i_{1}}+{\mathcal {E}}_{i_{2}}+...)/(k_{B}T)}=\sum _{i_{1}}e^{-{\mathcal {E}}_{i_{1}}/(k_{B}T)}\sum _{i_{2}}e^{-{\mathcal {E}}_{i_{2}}/(k_{B}T)}...=z^{N}} הניסוח הנ"ל אינו מדויק לחלוטין מכיוון שבמכניקת הקוונטים מולקולות גז מאותו הסוג הן חלקיקים זהים, בדיוק כמו אלקטרונים, ולכן נדרש פקטור של 1 N ! {\textstyle {\frac {1}{N!}}} כדי להימנע מספירה חוזרת. כלומר הביטוי המלא הוא Z = z N N ! {\textstyle Z={\frac {z^{N}}{N!}}} . את הנפח ניתן להביע באמצעות משוואות המצב של האנרגיה החופשית של הלמהולץ כך שמתקיים: P = ( ∂ F ∂ V ) N , T = k B T ( ∂ ln ⁡ Z ∂ V ) N , T = k B T ( ∂ ( N ln ⁡ z − ln ⁡ N ! ) ∂ V ) N , T = N k B T ( ∂ ln ⁡ z ∂ V ) N , T {\displaystyle P={\Bigl (}{\frac {\partial F}{\partial V}}{\Bigr )}_{N,T}=k_{B}T{\Bigl (}{\frac {\partial \ln {Z}}{\partial V}}{\Bigr )}_{N,T}=k_{B}T{\Bigl (}{\frac {\partial (N\ln {z}-\ln {N!})}{\partial V}}{\Bigr )}_{N,T}=Nk_{B}T{\Bigl (}{\frac {\partial \ln {z}}{\partial V}}{\Bigr )}_{N,T}} לפי המכניקה הקלאסית ומכניקת הקוונטים, את האנרגיה המולקולרית E i {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}} המאפיינת את המצב המיקרוסקופי ה- i {\displaystyle i} ניתן להפריד במדויק לשני רכיבים E i = E i t r a n s + E i i n t {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}={\mathcal {E}}_{i}^{trans}+{\mathcal {E}}_{i}^{int}} , כאשר: E i t r a n s {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}^{trans}} - האנרגיה הטרנסלציונית של מרכז המסה של המולקולה. E i i n t {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}^{int}} - האנרגיה הפנימית של המולקולה. לכן, גם את פונקציית החלוקה של אותו מצב מיקרוסקופי ניתן להביע בצורה דומה: E i = E i t r a n s + E i i n t ⟹ z = z t r a n s z i n t {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}={\mathcal {E}}_{i}^{trans}+{\mathcal {E}}_{i}^{int}\Longrightarrow z=z^{trans}z^{int}} האנרגיה הפנימית של המולקולה אינה תלויה בנפח V {\displaystyle V} , אך האנרגיה הטרנסלציונית כן תלויה ולכן יתקיים: P = N k B T ( ∂ ln ⁡ z t r a n s ∂ V + ∂ ln ⁡ z i n t ∂ V ) = N k B T ∂ ln ⁡ z t r a n s ∂ V {\displaystyle P=Nk_{B}T{\Bigl (}{\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V}}+{\frac {\partial \ln z^{int}}{\partial V}}{\Bigr )}=Nk_{B}T{\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V}}} האנרגיה הטרנסלציונית של מולקולה אחת הנעה בקופסה בנפח V {\displaystyle V} היא בעיה הניתנת לפתירה בצורה אנליטית. כלומר הפתרון של האנרגיות E i t r a n s {\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}^{trans}} ידוע בדיוק מוחלט והוא: E n t r a n s = ℏ 2 2 m ( π L ) 2 n 2 = ℏ 2 2 m ( π L ) 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle {\mathcal {E}}_{n}^{trans}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\Bigl (}{\frac {\pi }{L}}{\Bigr )}^{2}n^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\Bigl (}{\frac {\pi }{L}}{\Bigr )}^{2}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})} תחת ההנחה כי נפח הקופסה הוא V = L 3 {\textstyle V=L^{3}} ומכיוון שמדובר בשלושה ממדים מתקיים n 2 = ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\textstyle n^{2}=(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})} . בקירוב דיי טוב, ניתן להחליף את הסכום המופיע בביטוי עבור z t r a n s {\displaystyle z^{trans}} באינטגרל כך ש, z t r a n s ≡ ∑ n e − E n t r a n s / ( k B T ) = ∑ n x , n y , n z = 1 ∞ e − ℏ 2 2 m k B T ( π L ) 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) = ( ∑ n = 1 ∞ e − ℏ 2 2 m k B T ( π L ) 2 n 2 ) 3 ≃ ∫ 0 ∞ e − α 2 x 2 d x = π 3 2 8 α 3 ≡ n Q V {\displaystyle z^{trans}\equiv \sum _{n}e^{-{\mathcal {E}}_{n}^{trans}/(k_{B}T)}=\sum _{n_{x},n_{y},n_{z}=1}^{\infty }e^{-{\frac {\hbar ^{2}}{2mk_{B}T}}({\frac {\pi }{L}})^{2}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})}={\biggl (}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-{\frac {\hbar ^{2}}{2mk_{B}T}}({\frac {\pi }{L}})^{2}n^{2}}{\biggr )}^{3}\simeq \int _{0}^{\infty }e^{-\alpha ^{2}x^{2}}dx={\frac {\pi ^{\frac {3}{2}}}{8\alpha ^{3}}}\equiv n_{Q}V} כאשר α 2 = ℏ 2 2 m k B T ( π L ) 2 , n Q = ( m k B T 2 π ℏ 2 ) 3 2 {\textstyle \alpha ^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{2mk_{B}T}}{\Bigl (}{\frac {\pi }{L}}{\Bigr )}^{2},n_{Q}={\Bigl (}{\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}{\Bigr )}^{\frac {3}{2}}} . נשים לב לכך ש- n Q {\displaystyle n_{Q}} אינו תלוי בנפח V {\displaystyle V} ולכן: P = N k B T ∂ ln ⁡ z t r a n s ∂ V = N k B T ( ∂ ( ln ⁡ V + ln ⁡ n Q ) ∂ V ) = N k B T V {\displaystyle P=Nk_{B}T{\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V}}=Nk_{B}T{\Biggl (}{\frac {\partial (\ln V+\ln {n_{Q}})}{\partial V}}{\Biggr )}={\frac {Nk_{B}T}{V}}} כעת ניתן לקבל את משוואת הגז האידיאלי המלאה: P V = N k B T {\displaystyle PV=Nk_{B}T} נסתכל על קובייה בעלת צלע באורך L {\displaystyle L} המלאה בגז אידיאלי בלחץ P {\displaystyle P} בטמפרטורה T {\displaystyle T} . נסמן את n {\displaystyle n} ו- N {\displaystyle N} בתור מספר המולים ומספר מולקולות הגז בקובייה בהתאמה. בנוסף, נסמן את m {\displaystyle m} בתור מסת מולקולת גז ואת M {\displaystyle M} בתור מסת הגז כולו. נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המיכל הן התנגשויות אלסטיות - כלומר אין איבוד אנרגיה קינטית כתוצאה מהתנגשויות. קביעת תדירות ההתנגשויות תחילה, נרצה למצוא את התדירות בה מולקולה יחידה מתנגשת בדופן מסוימת של המיכל. נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} כאשר המולקולה בזמן t = 0 {\displaystyle t=0} נמצאת במיקום x = L − L 0 {\displaystyle x=L-L_{0}} ומהירותה היא v → = v x x ^ {\displaystyle {\vec {v}}=v_{x}{\hat {x}}} . המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב- x = L {\displaystyle x=L} לאחר שעברה מרחק L 0 {\displaystyle L_{0}} בזמן כלשהו t 1 {\displaystyle t_{1}} . ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן t 2 = t 1 + t 2 L {\displaystyle t_{2}=t_{1}+t_{2L}} כאשר המרחק שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא 2 L {\displaystyle 2L} ואינטרוול הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא Δ t = ( t 1 + t 2 L ) − t 1 = t 2 L {\displaystyle \Delta t=(t_{1}+t_{2L})-t_{1}=t_{2L}} . באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן t 3 = t 1 + 2 t 2 L {\displaystyle t_{3}=t_{1}+2t_{2L}} , כך שהמרחק שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן 2 L {\displaystyle 2L} ואינטרוול הזמן יישאר זהה: Δ t = t 3 − t 2 = ( t 1 + 2 t 2 L ) − ( t 1 + t 2 L ) = t 2 L {\displaystyle \Delta t=t_{3}-t_{2}=(t_{1}+2t_{2L})-(t_{1}+t_{2L})=t_{2L}} שני הגדלים הללו, המרחק ואינטרוול הזמן, יישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות v x {\displaystyle v_{x}} בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן: v 1 = L 0 t 1 , v 2 = 2 L t 2 L , v 3 = 2 L t 2 L , . . . {\displaystyle v_{1}={\frac {L_{0}}{t_{1}}},v_{2}={\frac {2L}{t_{2L}}},v_{3}={\frac {2L}{t_{2L}}},...} מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן: v 1 = v 2 = v 3 = . . . = v x {\displaystyle v_{1}=v_{2}=v_{3}=...=v_{x}} מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה: Δ t 1 = t 1 = L 0 v 1 = L 0 v x {\displaystyle \Delta t_{1}=t_{1}={\frac {L_{0}}{v_{1}}}={\frac {L_{0}}{v_{x}}}} Δ t 2 = t 2 L = 2 L v 2 = 2 L v x {\displaystyle \Delta t_{2}=t_{2L}={\frac {2L}{v_{2}}}={\frac {2L}{v_{x}}}} Δ t 3 = t 2 L = 2 L v 3 = 2 L v x {\displaystyle \Delta t_{3}=t_{2L}={\frac {2L}{v_{3}}}={\frac {2L}{v_{x}}}} . . . {\displaystyle ...} Δ t k = t 2 L = 2 L v k = 2 L v x {\displaystyle \Delta t_{k}=t_{2L}={\frac {2L}{v_{k}}}={\frac {2L}{v_{x}}}} הזמן הממוצע t a v g {\displaystyle t_{avg}} בין התנגשויות לאחר k {\displaystyle k} התנגשויות יהיה: t a v g = t 1 + t 2 + t 3 + . . . + t k k = L 0 v x + 2 L v x + 2 L v x + . . . + 2 L v x k = L 0 v x + 2 L v x ⋅ ( k − 1 ) k = L 0 + 2 L ⋅ ( k − 1 ) k v x {\displaystyle t_{avg}={\frac {t_{1}+t_{2}+t_{3}+...+t_{k}}{k}}={\frac {{\frac {L_{0}}{v_{x}}}+{2L}{v_{x}}+{2L}{v_{x}}+...+{2L}{v_{x}}}{k}}={\frac {{\frac {L_{0}}{v_{x}}}+{\frac {2L}{v_{x}}}\cdot (k-1)}{k}}={\frac {L_{0}+2L\cdot (k-1)}{kv_{x}}}} וכאשר מספר ההתנגשויות k {\displaystyle k} שואף לאינסוף נקבל: t a v g = lim k → ∞ L 0 + 2 L ⋅ ( k − 1 ) k v x = 2 L v x {\displaystyle t_{avg}=\lim _{k\to \infty }{\frac {L_{0}+2L\cdot (k-1)}{kv_{x}}}={\frac {2L}{v_{x}}}} זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת. תדירות ההתנגשויות אם כך תהיה: f = 1 t a v g = v x 2 L {\displaystyle f={\frac {1}{t_{avg}}}={\frac {v_{x}}{2L}}} חישוב הכוח הפועל על הדופן הכוח F {\displaystyle F} מוגדר כקצב שינוי התנע p {\displaystyle p}  : F = Δ p Δ t = f Δ p {\displaystyle F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}=f\Delta p} השינוי בתנע הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר: Δ p = p f − p i = ( − m v x ) − m v x = − 2 m v x {\displaystyle \Delta p=p_{f}-p_{i}=(-mv_{x})-mv_{x}=-2mv_{x}} הכוח שהדופן מפעילה על המולקולה הוא: F w m = f Δ p = − 2 m v x f {\displaystyle F_{wm}=f\Delta p=-2mv_{x}f} לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- F w m {\textstyle F_{wm}} והפוך בסימנו, כלומר: F m w = − F w m = 2 m v x f {\displaystyle F_{mw}=-F_{wm}=2mv_{x}f} ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל: F m w = 2 m v x ⋅ v x 2 L = m v x 2 L {\displaystyle F_{mw}=2mv_{x}\cdot {\frac {v_{x}}{2L}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}} עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה. כאשר הכוח יופעל על ידי N {\textstyle N} מולקולות הנעות בכיוון x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} הוא יהיה מהצורה הבאה: F N = m v x 1 2 L + m v x 2 2 L + m v x 3 2 L + . . . + m v x N 2 L = m L ( v x 1 2 + v x 2 2 + v x 3 2 + . . . + v x N 2 ) = m L ( ∑ i = 1 N v x i 2 ) {\displaystyle F_{N}={\frac {mv_{x_{1}}^{2}}{L}}+{\frac {mv_{x_{2}}^{2}}{L}}+{\frac {mv_{x_{3}}^{2}}{L}}+...+{\frac {mv_{x_{N}}^{2}}{L}}={\frac {m}{L}}(v_{x_{1}}^{2}+v_{x_{2}}^{2}+v_{x_{3}}^{2}+...+v_{x_{N}}^{2})={\frac {m}{L}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{N}v_{x_{i}}^{2}{\biggr )}} מהירות RMS מוגדרת בצורה הבאה: v r m s 2 = v ¯ 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N v x i 2 ) {\displaystyle v_{rms}^{2}={\bar {v}}^{2}={\frac {1}{N}}{\biggl (}\sum _{i=1}^{N}v_{x_{i}}^{2}{\biggr )}} ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך: F N = N m v ¯ 2 L {\displaystyle F_{N}={\frac {Nm{\bar {v}}^{2}}{L}}} מציאת לחץ הגז הגדרת הלחץ הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ליחידת שטח, כלומר: P = F N A = N m v ¯ x 2 L 3 = N m v ¯ x 2 V {\displaystyle P={\frac {F_{N}}{A}}={\frac {Nm{\bar {v}}_{x}^{2}}{L^{3}}}={\frac {Nm{\bar {v}}_{x}^{2}}{V}}} כאשר A = L 2 {\displaystyle A=L^{2}} שטח דופן הקובייה ו- V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} נפח הקובייה. לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} , כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים y ^ , z ^ {\displaystyle {\hat {y}},{\hat {z}}} . הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י: v ¯ 2 = v ¯ x 2 + v ¯ y 2 + v ¯ z 2 {\displaystyle {\bar {v}}^{2}={\bar {v}}_{x}^{2}+{\bar {v}}_{y}^{2}+{\bar {v}}_{z}^{2}} כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה - v ¯ x 2 = v ¯ y 2 = v ¯ z 2 {\displaystyle {\bar {v}}_{x}^{2}={\bar {v}}_{y}^{2}={\bar {v}}_{z}^{2}} , לכן נקבל כי v ¯ 2 = 3 v ¯ x 2 {\displaystyle {\bar {v}}^{2}=3{\bar {v}}_{x}^{2}} . כאשר נחליף את v ¯ x 2 {\displaystyle {\bar {v}}_{x}^{2}} ב- v ¯ 2 {\displaystyle {\bar {v}}^{2}} בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא: P = N m v ¯ 2 3 V {\displaystyle P={\frac {Nm{\bar {v}}^{2}}{3V}}} חישוב אנרגיית הגז האידיאלי האנרגיה הקינטית הנתונה מהמכניקה הקלאסית היא: E k = 1 2 m v ¯ 2 {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m{\bar {v}}^{2}} האנרגיה הקינטית עבור גז מונואטומי הידועה ממכניקה סטטיסטית נתונה על יד: E k = 3 2 k B T {\displaystyle E_{k}={\frac {3}{2}}k_{B}T} כאשר k B {\displaystyle k_{B}} הוא קבוע בולצמן ו- T {\displaystyle T} טמפרטורת הגז. השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-RMS לטמפרטורה: 3 k B T = m v ¯ 2 {\displaystyle 3k_{B}T=m{\bar {v}}^{2}} מציאת משוואת הגז האידיאלי על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי: P = N m v ¯ 2 3 V = 3 N k B T 3 V {\displaystyle P={\frac {Nm{\bar {v}}^{2}}{3V}}={\frac {3Nk_{B}T}{3V}}} ⇒ P V = N k B T {\displaystyle \Rightarrow PV={Nk_{B}T}} בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים: v ¯ 2 = 3 P V m N {\displaystyle {\bar {v}}^{2}={\frac {3PV}{mN}}} ⇒ v r m s = v ¯ = 3 P V M = 3 n R T M = 3 R T M w {\displaystyle \Rightarrow v_{rms}={\bar {v}}={\sqrt {\frac {3PV}{M}}}={\sqrt {\frac {3nRT}{M}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M_{w}}}}} כאשר M w {\displaystyle M_{w}} היא המסה המולקולרית של הגז האידיאלי. למשוואת הגז האידיאלי ונגזרותיה שימושים גם בתחום הרפואה. באמצעות חוק בויל ניתן לתאר את השפעת הגובה מעל פני הים על גזים בחללים סגורים בגוף האדם, ולחשב את לחץ הגז הכולל בחלל בית החזה באמצעות פלטיזמוגרפיה. כאשר הגובה גדל, הלחץ האמביינטי יורד ולכן על פי חוק בויל נפח החללים הסגורים אמור להתרחב. במודל מלאכותי שהיווה העתק של מערכת הנשימה האנושית עם חזה אוויר של 40 מיליליטר, נצפתה עליה בנפח בטווח של 16.2%-12.7% בגובה של כ־1500 מטר מגובה פני הים. לתוצאה זו חשיבות רבה במקרים בהם נדרש פינוי של החולה בהליקופטר וחזה האוויר עלול לעבור למצב של חזה אוויר בלחץ, תרחיש אשר ניתן למנוע על ידי ביצוע ניקור חזה לפני ההמראה. בגובה של 2.5 ק"מ מעל גובה פני הים משוערת התרחבות של עד כ-30% עבור נפח גז סגור בגוף האדם. באמצעות חוק בויל - P 1 V 1 = P 2 V 2 {\textstyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}} , ניתן לחשב את השינוי הצפוי לנפח עבור בגבהים השונים. לדוגמה, עבור חולה עם חזה אוויר של 40 מיליליטר בגובה פני הים, נחשב את השינוי בנפח כאשר יגיע לגובה של 1500 מטר. הנתונים הידועים הם: P 1 = 1 [ A t m ] , P 2 = 0.84 [ A t m ] , V 1 = 40 [ m L ] {\textstyle P_{1}=1[Atm],P_{2}=0.84[Atm],V_{1}=40[mL]} מהצבה בחוק בויל נקבל: P 1 V 1 = P 2 V 2 → V 2 = P 1 V 1 P 2 = 1 ⋅ 40 0.85 ≃ 47.06 [ m L ] {\textstyle P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}\rightarrow V_{2}={\frac {P_{1}V_{1}}{P_{2}}}={\frac {1\cdot 40}{0.85}}\simeq 47.06[mL]} חוק הגז האידיאלי יכול לשמש לחישוב ריכוז חומרי הרדמה בתערובות גזים. מכשירים המיועדים לניטור ריכוז חומרי הרדמה בתערובת גזים לרוב מציגים את התוצאה בחלק היחסי באחוזים מהנפח הכולל, המוגדר בצורה הבאה: v o l u m e % = V p × 100 V t o t {\displaystyle volume\,\%={\frac {V_{p}\times 100}{V_{tot}}}} כאשר: V p {\displaystyle V_{p}} - נפח חומר ההרדמה. V t o t {\displaystyle V_{tot}} - הנפח הכולל של תערובת הגזים. כשרוצים לחשב את ההשפעה של חומר הרדמה על נפח נתון של גז, הגדרה זו אינה שימושית כל כך. הגודל המשמעותי הוא מספר המולקולות, או מספר המולים, של חומר ההרדמה המוכלים ביחידת נפח של תערובת הגז. עבור גז אידיאלי ההגדרה לעיל של החלק היחסי מהנפח הכולל עובדת כנדרש, זאת מכיוון שעל פי משוואת הגז האידיאלי בלחץ וטמפרטורה קבועים יחידת נפח של הגז תכיל תמיד את אותו מספר המולים. במילים אחרות, כאשר הלחץ והטמפרטורה קבועים, נפח הגז פרופורציונלי למספר המולים. לכן, את ריכוז חומר ההרדמה בתערובות ניתן לתאר באחוזים ממספר המולים הכולל, כלומר: v o l u m e % = m o l e s % {\displaystyle volume\,\%=moles\,\%} במקרים בהם משוואת הגז האידיאלי אינה שמישה, המשוואה שיש להשתמש בה היא משוואת הגז הריאלי (באנגלית: Real Gas Law): P V n R T = Z {\displaystyle {\frac {PV}{nRT}}=Z} כאשר Z {\displaystyle Z} הוא פקטור הקומפרסיביליות, המתאר את היחס בין הנפח האמיתי של הגז לנפח המחושב באמצעות משוואת הגז האידיאלי. לכן, עבור גז אידיאלי מתקיים Z = 1 {\displaystyle Z=1} . כאשר משתמשים במשוואת הגז הריאלי, אין זה שימושי בחלק היחסי מהנפח כמדד לריכוז - מספר המולים והנפח אינם פרופורציונליים במקרה זה ולכן אין שוויון בין החלק היחסי מהנפח הכולל לחלק היחסי ממספר המולים הכולל. כדי שהשימוש בחלק היחסי מהנפח יהיה תקין, יש צורך למצוא את פקטור הקומפרסיביליות - אם הוא שווה ל-1 או קרוב ברמת הדיוק הרצויה ל-1 ניתן להשתמש במשוואת הגז האידיאלי לחישוב הריכוז. אם לא, יש להשתמש במדד של מספר מולים ליחידת נפח בתערובת. בניסוי בו מדדו את פקטור הקומפרסיביליות עבור תערובות של חמצן עם חומרי ההרדמה איזופלורן, אנפלורן והלותאן בטמפרטורת החדר ולחץ אטמוספירי, נמצא כי ניתן לתאר את ריכוז חומרי ההרדמה באמצעות משוואת הגז האידיאלי עם אי ודאות של 0.3%. לכן, באופן כללי אין צורך להתחשב בסטייה ממשוואת הגז האידיאלי והחלק היחסי מהנפח הוא מדד תקין לחישוב ריכוז חומר ההרדמה בתערובת. גז אידיאלי גז ואן דר ואלס תרמודינמיקה מכניקה סטטיסטית Herbert B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Second Edition, University of Pennsylvania: John Wiley & Sons Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman, Heat and Thermodynamics, Seventh Edition, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-017059-2 מדיה וקבצים בנושא משוואת הגז האידיאלי בוויקישיתוף Robert Boyle, A defence of the doctrine touching the spring and weight of the air, propos'd by Mr. R. Boyle in his New Physico-Mechanical Experiment... by the author of those experiments, London: Printed by F. G. for Thomas Robinson, 1662, עמ' 57-68 Académie des sciences (France) Auteur du texte, Histoire de l'Académie royale des sciences ... avec les mémoires de mathématique & de physique... tirez des registres de cette Académie (עמ' 112-126), Gallica, ‏1699 (בצרפתית) Joseph Louis Gay-Lussac, Science History Institute, ‏2016-06-01 (באנגלית) Matt Williams, Charles Law, Universe Today, ‏2010-12-03 (באנגלית אמריקאית) Gay-Lussac, web.lemoyne.edu Journal de physique, de chimie, d'histoire naturelle et des arts, Fuchs, 1811, עמ' 58-76. (בצרפתית) Émile Clapeyron, Journal de l'Ecole royale polytechnique, la République, 1833, עמ' 153-190. (בצרפתית) C. J. Adkins, Clement John Adkins, Equilibrium Thermodynamics, Cambridge University Press, 1983-07-14, ISBN 978-0-521-27456-2. (באנגלית) Kenneth W. Raymond, General Organic and Biological Chemistry, John Wiley & Sons, 2009-12-14, עמ' 186, ISBN 978-0-470-50476-5. (באנגלית) Siti Khotimah, Partition function of 1-, 2-, and 3-D monatomic ideal gas: A simple and comprehensive review Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman, 5, Heat and Thermodynamics, Seventh Edition, עמ' 106-108 Derek Knotts, Annette O. Arthur, Peyton Holder, Tim Herrington, Pneumothorax volume expansion in helicopter emergency medical services transport, Air Medical Journal 32, 2013-05, עמ' 138–143 doi: 10.1016/j.amj.2012.10.014 P. L. Christensen, J. Nielsen, T. Kann, Methods to produce calibration mixtures for anesthetic gas monitors and how to perform volumetric calculations on anesthetic gases, Journal of Clinical Monitoring 8, 1992-10, עמ' 279–284 doi: 10.1007/BF01617909