עקיפת פרנל

עקיפת פרנל היא תבנית העקיפה המתקבלת כאשר גל עובר דרך מחסום בעל מפתח, על מסך שניצב בעברו האחר של המחסום במרחק גדול מספיק (אזור הנקרא השדה הקרוב). במרחק גדול עוד יותר מתקבלת עקיפת פראונהופר. קרויה על שמו של הפיזיקאי הצרפתי אוגוסטן ז'אן פרנל (Augustin-Jean Fresnel). תופעת העקיפה החלה להיבחן במאה ה17, על ידי פרנצ'סקו מריה גרימלדי(אנ'), שטבע את המונח האנגלי Diffraction (המגיע מהמילה הלטינית Diffringere, "להישבר לחתיכות", במובן של אור שמתפצל להרבה כיוונים). העבודה של גרימלדי פורסמה לאחר מותו ב-1665. התקדמות משמעותית נוספת הייתה של ג'יימס גרגורי(אנ') במאה ה17, שחקר את תבנית העקיפה שנוצרת כתוצאה מפגיעה של גל בנוצת ציפור, מה שהיה למעשה סריג העקיפה האפקטיבי הראשון שנחקר. לאחר מכן, תומאס יאנג ערך את ניסויו המפורסם "ניסוי שני הסדקים", שבאמצעותו הסיק שאור מתקדם בצורה גלית. ולכך הוסיף אוגוסטן ז'אן פרנל כשהמשיך לחקור את תופעת העקיפה של אור, והגיע לתוצאות המאששות את העקיפה כתופעה גלית. ערך מורחב – הקירוב הפראקסיאלי באופטיקה גאומטרית הקירוב הפראקסיאלי הוא קירוב זוויות קטנות. שימושיו הידועים הם טכניקת ray tracing(אנ') (מעקב אחר קרני אור במערכת אופטית, כגון עדשה), וכן עקיפת פרנל. קרן פראקסיאלית היא קרן שהזווית (ברדיאנים) בינה לבין הציר האופטי של המערכת קטנה, כלומר θ << 1 {\displaystyle \theta <<1} . במקרה זה, מקרבים עבור הפונקציות הטריגונומטריות הבסיסיות בהתקדמות הקרן: sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } cos ⁡ θ ≈ 1 {\displaystyle \cos \theta \approx 1} tan ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \tan \theta \approx \theta } בעקיפה אנו מתמודדים עם הבעיה של גל מישורי שפוגע במחסום מישורי, ואנו רוצים לדעת כיצד הוא מתקדם במרחב. כדי לענות על זה, נסתכל על משוואת הגלים:   ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( t , r → ) = v 2   ∇ 2 ψ ( t , r → ) {\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (t,{\vec {r}})=v^{2}\ \nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})} זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה: r → {\displaystyle {\vec {r}}} הוא המקום במרחב.   t {\displaystyle \ t} הוא הזמן. הפונקציה   ψ ( t , r → ) {\displaystyle \ \psi (t,{\vec {r}})} היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.   v {\displaystyle \ v} היא מהירות התקדמות הגל.   ∇ 2 {\displaystyle \ \nabla ^{2}} הוא האופרטור לפלסיאן. לפי תורת שטורם-ליוביל, ניתן לפתור בעיה זו בהפרדת משתנים. כיוון שנרצה לקדם את הגל במרחב, נפתור רק עבור החלק המרחבי, ונקבל את משוואת הלמהולץ: ∇ 2 Φ ( r → ) + k 2 Φ ( r → ) = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ({\vec {r}})+k^{2}\Phi ({\vec {r}})=0} עקיפת פרנל עוסקת בפתרון משוואת הלמהולץ עבור גל מונוכרומטי בקירוב הפראקסיאלי. כאשר גל מישורי פוגע במחסום מישורי בעל מפתח, משרעת הגל לאחר המחסום שווה למכפלת משרעת הגל המישורי שפגע בו בפונקציית ההעברה של המחסום. מחסום פשוט הוא מחסום בעל מפתח, כך שלאחר המחסום הגל מתאפס למעט באזור המפתח, שם הגל עובר ללא שינוי. דוגמה לפונקציית העברה של מחסום כזה היא פונקציית המלבן הדו־ממדית, המתארת מפתח מרובע. מחסומים מורכבים יותר הם כאלה שמכפילים את הגל בהגברים שונים כתלות במיקום על המחסום. הגבר שהוא מספר מרוכב מציין כי בנוסף לשינוי המשרעת, נוסף לגל גם מופע. פונקציית ההעברה של המחסום מסומנת   U ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle \ U(x',y',0)} , כאשר מערכת הצירים במישור המחסום z=0 מסומנת   x ′ , y ′ {\displaystyle \ x',y'} . כאשר גל בעל פונקציית גל ψ ( t , r → ) {\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})} פוגע במחסום, הגל שעובר דרך המחסום יהיה U ( x ′ , y ′ , 0 ) = ψ ( t , r → ) U ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle U(x',y',0)=\psi (t,{\vec {r}})U(x',y')} . מערכת הצירים על פני מסך מישורי הניצב במרחק z מסומנת x,y והגל הפוגע במסך מסומן   U ( x , y , z ) {\displaystyle \ U(x,y,z)} . את תבנית העקיפה הכללית ביותר ניתן לחשב באמצעות פתרון ריילי זומרפלד (על שם הלורד ריילי וארנולד זומרפלד): U ( x , y , z ) = 1 2 π ∬ − ∞ ∞ U ~ ( k x , k y , 0 ) e i k z 1 − k x 2 k 2 − k y 2 k 2 e i ( k x x + k y y ) d k x d k y {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{\infty }{\tilde {U}}(k_{x},k_{y},0)e^{ikz{\sqrt {1-{\frac {k_{x}^{2}}{k^{2}}}-{\frac {k_{y}^{2}}{k^{2}}}}}}e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}} כאשר U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} הוא התמרת הפורייה הדו־ממדית של פונקציית הגל ב-z=0. במילים אחרות, פתרון ריילי זומרפלד סוכם את כל הגלים שמגיעים (בתדרים מרחביים שונים) לפונקציית המחסום, ומקדם אותם במרחב עד למישור z. אינטגרל זה לרוב אינו פתיר אנליטית. קירוב פרנל למעשה מדבר על הקירוב הפראקסיאלי, והתנאי לקיומו הוא: θ << π ⇔ | k x k | , | k y k | << 1 {\displaystyle \theta <<\pi \Leftrightarrow |{\frac {k_{x}}{k}}|,|{\frac {k_{y}}{k}}|<<1} בקירוב זה, נפתח את התמרת הפורייה של פונקציית הגל לטור טיילור, ונקבל: e i k z 1 − k x 2 + k y 2 k 2 ≈ e i k z e − i ( k x 2 + k y 2 ) z 2 k {\displaystyle e^{ikz{\sqrt {1-{\frac {k_{x}^{2}+k_{y}^{2}}{k^{2}}}}}}\approx e^{ikz}e^{\frac {-i(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})z}{2k}}} וכשנציב בפתרון הכללי נקבל: U ( x , y , z ) = 1 2 π ∬ − ∞ ∞ U ~ ( k x , k y , 0 ) e i k z e − i ( k x 2 + k y 2 ) z 2 k e i k x x + i k y y d k x d k y {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{\infty }{\tilde {U}}(k_{x},k_{y},0)e^{ikz}e^{\frac {-i(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})z}{2k}}e^{ik_{x}x+ik_{y}y}dk_{x}dk_{y}} ניזכר כי: 1 2 π F − 1 [ U ~ ( k x , k y , 0 ) ] = U ( x , y , 0 ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\mathcal {F}}^{-1}[{\tilde {U}}(k_{x},k_{y},0)]=U(x,y,0)} כעת, נסתכל על החלק באינטגרנד שהוא לא U ~ {\displaystyle {\tilde {U}}} ונשתמש באינטגרל: ∫ − ∞ ∞ e − α x 2 + β x d x = π α e β 2 4 α {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}+\beta x}dx={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}e^{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}} ונקבל: F k x , k y − 1 [ e i k z 2 π e − i ( k x 2 + k y 2 ) z 2 k ] = − i k e i k z 2 π z e i k ( x 2 + y 2 ) 2 z = U 3 D {\displaystyle {\mathcal {F}}_{k_{x},k_{y}}^{-1}[{\frac {e^{ikz}}{2\pi }}e^{\frac {-i(k_{x}^{2}+k_{y}^{2})z}{2k}}]={\frac {-ike^{ikz}}{2\pi z}}e^{\frac {ik(x^{2}+y^{2})}{2z}}=U_{3D}} כאשר U 3 D {\displaystyle U_{3D}} היא פונקציה של גל כדורי המתקדם במרחב תלת־ממדי. התוצאה: U ( x , y , z ) = F − 1 [ F [ U ( x , y , 0 ) ] F [ U 3 D ] ] = U ( x , y , 0 ) ∗ U 3 D {\displaystyle U(x,y,z)={\mathcal {F}}^{-1}[{\mathcal {F}}[U(x,y,0)]{\mathcal {F}}[U_{3D}]]=U(x,y,0)*U_{3D}} כאשר המעבר האחרון נובע ממשפט הקונבולוציה. קיבלנו את עקיפת פרנל כקונבולוציה של תבנית הכניסה עם גל כדורי. ערך מורחב – עקרון הויגנס עקרון הויגנס פרנל קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל כמקור נקודתי של גל חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, וההתאבכות של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב. יש לשים לב כי עקרון הויגנס פרנל תקף רק בקירוב הזוויות הקטנות. אפשר לראות את עקרון הויגנס בא לידי ביטוי בנוסחת הקונבולוציה של עקיפת פרנל. למעשה, יש שקילות בין עקרון הויגנס ועקיפת פרנל. נראה שקילות זו על ידי פיתוח באמצעות עקרון הויגנס. לפי עקרון הויגנס, הקשר בין הגל הפוגע במסך לבין הגל היוצא מהמחסום נתון במערכת צירים קרטזית על ידי: U ( x , y , z ) = k z 2 π i ∬ − ∞ ∞ U ( x ′ , y ′ ) e i k ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {kz}{2\pi i}}\iint _{-\infty }^{\infty }U(x',y'){\frac {e^{ik{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}dx'dy'} כאשר k מספר הגל והאינטגרל הוא על כל המחסום. קירוב פרנל תקף כאשר מתקיים: z 3 >> k 8 ( ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 ) 2 {\displaystyle z^{3}>>{\frac {k}{8}}((x-x')^{2}+(y-y')^{2})^{2}} בתנאי זה ניתן לקרב את המכנה של האינטגרנד ל-   z {\displaystyle \ z} ואת השורש באקספוננט המרוכב לטור טיילור מסדר שני: ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ≈ z ( 1 + 1 2 x − x ′ z 2 + 1 2 y − y ′ z 2 ) {\displaystyle {\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}\approx z(1+{\frac {1}{2}}{\frac {x-x'}{z}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {y-y'}{z}}^{2})} לאחר הקירוב מתקבלת תוצאת עקיפת פרנל: U ( x , y , z ) = k e i k z 2 π i z ∬ − ∞ ∞ U ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 ) d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}}{2\pi iz}}\iint _{-\infty }^{\infty }U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}((x-x')^{2}+(y-y')^{2})}dx'dy'} את עקיפת פרנל ניתן גם להציג בצורה הבאה: U ( x , y , z ) = k e i k z 2 π i z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) ∬ − ∞ ∞ [ U ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] e − i k z ( x x ′ + y y ′ ) d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}}{2\pi iz}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}\iint _{-\infty }^{\infty }[U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x'^{2}+y'^{2})}]e^{-i{\frac {k}{z}}(xx'+yy')}dx'dy'} זאת ניתן לכתוב באמצעות התמרת פורייה עם כיווץ בתדר. התמרת פורייה הדו-ממדית של פונקציה   g ( x , y ) {\displaystyle \ g(x,y)} מוגדרת: G ( f X , f Y ) = F { g ( x , y ) } ≡ ∬ − ∞ ∞ g ( x , y ) e − i 2 π ( f X x + f Y y ) d x d y {\displaystyle G(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)}dxdy} כאשר   f X , f Y {\displaystyle \ f_{X},f_{Y}} הם התדרים המרחביים בכיוונים x,y בהתאמה. מכאן: U ( x , y , z ) = k e i k z 2 π i z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) ⋅ F { U ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) } | f X = k x 2 π z ; f Y = k y 2 π z {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}}{2\pi iz}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}\cdot {\mathcal {F}}\left.\{U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x'^{2}+y'^{2})}\}\right|_{f_{X}={\frac {kx}{2\pi z}};f_{Y}={\frac {ky}{2\pi z}}}} ואם נגדיר: H ( f X , f Y ) = F { ψ 3 D ( x , y ) } {\displaystyle H(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\{\psi _{3D}(x,y)\}} G ( f X , f Y ) = F { U ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) } {\displaystyle G(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\{U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x'^{2}+y'^{2})}\}} אז: U ( x , y , z ) = H ( f X , f Y ) ⋅ G ( f X , f Y ) | f X = k x 2 π z ; f Y = k y 2 π z {\displaystyle U(x,y,z)=\left.H(f_{X},f_{Y})\cdot G(f_{X},f_{Y})\right|_{f_{X}={\frac {kx}{2\pi z}};f_{Y}={\frac {ky}{2\pi z}}}} בהרבה מקרים יומיומיים נתקלים בעקיפת פראונהופר, כי תנאיה מתקיימים והיא יותר נוחה לחישוב. אף על פי כן, ישנן מספר תוצאות מעניינות לחישוב תבנית העקיפה בקירוב פרנל. ערך מורחב – אפקט טלבוט אפקט טלבוט הוא אפקט המתרחש בעקיפה בשדה הקרוב (קירוב פרנל). כאשר גל מישורי מונוכרומטי פוגע בסריג עקיפה מחזורי בגבול השדה הקרוב (עקיפת פרנל), במרחקים מסוימים פונקציית הגל תהיה זהה לפונקציית הסריג (עד כדי הזזת פאזה שנובעת מהתקדמות הגל במרחב). מרחקים אלו נקראים מרחקי טלבוט. נניח גל מונוכרומטי U 0 ( x ′ , y ′ , 0 ) {\displaystyle U_{0}(x',y',0)} שפוגע בעדשה מרכזת. נרצה לחשב את השדה במוקד העדשה U ( x , y , f ) {\displaystyle U(x,y,f)} . תחילה, ניעזר בפונקציית התמסורת של עדשה: t l = e − i k 2 f ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle t_{l}=e^{-{\frac {ik}{2f}}(x^{2}+y^{2})}} . נשתמש בקירוב פרנל ונקבל: U ( x , y , f ) = e i k 2 f ( x 2 + y 2 ) i λ f ∬ − ∞ ∞ U 0 ( x ′ , y ′ , 0 ) [ t l ( x ′ , y ′ ) e i k 2 f ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] e − i k f ( x x ′ + y y ′ ) d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,f)={\frac {e^{{\frac {ik}{2f}}(x^{2}+y^{2})}}{i\lambda f}}\iint _{-\infty }^{\infty }U_{0}(x',y',0)[t_{l}(x',y')e^{{\frac {ik}{2f}}(x'^{2}+y'^{2})}]e^{-{\frac {ik}{f}}(xx'+yy')}dx'dy'} נבחין כי t l ( x ′ , y ′ ) e i k 2 f ( x ′ 2 + y ′ 2 ) = 1 {\displaystyle t_{l}(x',y')e^{{\frac {ik}{2f}}(x'^{2}+y'^{2})}=1} , ולכן: U ( x , y , f ) = e i k 2 f ( x 2 + y 2 ) i λ f ∬ − ∞ ∞ U 0 e − i k f ( x x ′ + y y ′ ) d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,f)={\frac {e^{{\frac {ik}{2f}}(x^{2}+y^{2})}}{i\lambda f}}\iint _{-\infty }^{\infty }U_{0}e^{-{\frac {ik}{f}}(xx'+yy')}dx'dy'} כלומר, במרחק המוקד של העדשה, היא מבצעת התמרת פורייה לפונקציית הגל שמגיעה אליה, עם תוספת פאזה. אם המקור נמצא במרחק f {\displaystyle f} לפני העדשה, איבר הפאזה מתבטל ומתקבל טרנספורם פורייה בדיוק. עבור עדשה מפזרת, מתקבל טרנספורם פורייה במרחק מוקד מהצד של המקור (מרחק − f {\displaystyle -f} ). עקיפה עקיפת פראונהופר עדשת פרנל Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, Chapter 4 Francis A. Jenkins, Harvey E. White, Fundementals of Optics, 4th edition, McGraw-Hill, Chapter 18 יישום ג'אווה היוצר תבניות עקיפת פרנל Francesco Maria Grimaldi, Physico-mathesis de lumine, coloribus, et iride, aliisque adnexis... (הפיזיקה המתמטית של אור, צבע וקשת, ועוד דברים מצורפים...) (Bologna, Italy: Vittorio Bonati, 1665), וכן: "Propositio I. Lumen propagatur seu diffunditur non solum directe, refracte, ac reflexe, sed etiam alio quodam quarto modo, diffracte." (הצעה 1: אור מתקדם או מתפשט לא רק בקווים ישרים, בשבירה ובהשתקפות, אלא גם בדרך רביעית: עקיפה) Light עמ' 1-11 מכתב של ג'יימס גרגורי אל ג'ון קולינס, מהתאריך 13.05.1673, "התכתבות של אנשי מדע של המאה ה-17", עורך: סטפן ג'ורדן ריגוד (אוקספורד, אנגליה, 1841), כרך 2, עמודים 251-255, ובייחוד עמ' 254 הפיתוח של פונקציה זו מופיע בספר Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, עמ' 96-99