אובייקט התחלתי ואובייקט סופי

בתורת הקטגוריות, אובייקט התחלתי ואובייקט סופי הם סוג של אובייקטים בקטגוריה שמהווים עצמי קצה מבחינת המורפיזמים שיוצאים מהם ונכנסים לתוכם. באמצעות בניות בסיסיות אלה ניתן להגדיר בניות מורכבות יותר כגון מכפלה של שני עצמים. תהי C {\displaystyle {\mathcal {C}}} קטגוריה. אובייקט I ∈ O b ( C ) {\displaystyle I\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} יקרא אובייקט התחלתי (Initial object) אם לכל אובייקט X ∈ O b ( C ) {\displaystyle X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} בקבוצה M o r ( I , X ) {\displaystyle \mathrm {Mor} (I,X)} יש איבר אחד בדיוק. במילים אחרות, לכל אובייקט X {\displaystyle X} : מ- I {\displaystyle I} יוצא מורפיזם יחיד ל- X {\displaystyle X} (כלומר: f : I → X {\displaystyle f:I\to X} קיים ויחיד). אובייקט F ∈ O b ( C ) {\displaystyle F\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} יקרא אובייקט סופי (Final object) אם לכל אובייקט X ∈ O b ( C ) {\displaystyle X\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} בקבוצה M o r ( X , F ) {\displaystyle \mathrm {Mor} (X,F)} יש איבר אחד בדיוק. במילים אחרות, לכל אובייקט X {\displaystyle X} : ל- F {\displaystyle F} נכנס מורפיזם יחיד מ- X {\displaystyle X} (כלומר: g : X → F {\displaystyle g:X\to F} קיים ויחיד). אובייקט Z ∈ O b ( C ) {\displaystyle Z\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} יקרא אובייקט אפס אם הוא גם אובייקט התחלתי וגם אובייקט סופי. אובייקט התחלתי מוגדר ביחידות עד כדי איזומורפיזם קנוני. באופן דומה, כך גם אובייקט סופי. נראה זאת לגבי אובייקט התחלתי: נניח ש- I 1 {\displaystyle I_{1}} ו- I 2 {\displaystyle I_{2}} הם אובייקטים התחלתיים. אזי קיים f ∈ M o r ( I 1 , I 2 ) {\displaystyle f\in \mathrm {Mor} (I_{1},I_{2})} יחיד כי I 1 {\displaystyle I_{1}} אובייקט התחלתי וקיים g ∈ M o r ( I 2 , I 1 ) {\displaystyle g\in \mathrm {Mor} (I_{2},I_{1})} יחיד כי I 2 {\displaystyle I_{2}} אובייקט התחלתי. כעת, g ∘ f ∈ M o r ( I 1 , I 1 ) {\displaystyle g\circ f\in \mathrm {Mor} (I_{1},I_{1})} אבל i d I 1 ∈ M o r ( I 1 , I 1 ) {\displaystyle \mathrm {id} _{I_{1}}\in \mathrm {Mor} (I_{1},I_{1})} ומאחר שהוא יחיד בקבוצה זו i d I 1 = g ∘ f {\displaystyle \mathrm {id} _{I_{1}}=g\circ f} . באופן דומה מוכיחים ש- f ∘ g = i d I 2 {\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{I_{2}}} ולכן f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} הופכיים אחד לשני ומהווים איזומורפיזמים כך ש- I 1 ≅ I 2 {\displaystyle I_{1}\cong I_{2}} . בקטגוריית הקבוצות C = S e t s {\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Sets} } האובייקט ההתחלתי הוא הקבוצה הריקה (בשל קיומה של הפונקציה הריקה), ואילו כל יחידון הוא אובייקט סופי (שכן לכל קבוצה X {\displaystyle X} ישנה העתקה יחידה X → { a } {\displaystyle X\to \{a\}} וזו הפונקציה השולחת כל איבר מ- X {\displaystyle X} ל- a {\displaystyle a} ). בקטגוריית החבורות C = G r p s {\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Grps} } החבורה הטריוויאלית { e } {\displaystyle \{e\}} (כלומר: החבורה שמורכבת רק מאיבר היחידה) היא אובייקט התחלתי (שכן הומומורפיזם של חבורות שולח יחידה ליחידה) ואובייקט סופי, ולכן אובייקט אפס. מושג של אובייקט התחלתי או אובייקט סופי שימושי מאוד לשם הגדרת בניות אוניברסליות. למשל, כדי להגדיר חבורה חופשית עם קבוצה X {\displaystyle X} של יוצרים, מגדירים קטגוריה חדשה C {\displaystyle {\mathcal {C}}} שהאובייקטים שלה הם זוגות ( G , α ) {\displaystyle (G,\alpha )} כאשר G {\displaystyle G} חבורה ו- α : X → G {\displaystyle \alpha :X\to G} העתקת קבוצות. מורפיזמים ב- C {\displaystyle {\mathcal {C}}} מ- ( G , α ) {\displaystyle (G,\alpha )} ל- ( G ′ , α ′ ) {\displaystyle (G',\alpha ')} הם הומומורפיזמים f : G → G ′ {\displaystyle f:G\to G'} המקיימים α ′ = f ∘ α {\displaystyle \alpha '=f\circ \alpha } . אובייקט התחלתי בקטגוריה C {\displaystyle {\mathcal {C}}} הוא החבורה החופשית הנפרשת על-ידי קבוצה X {\displaystyle X} . בדרך דומה ניתן להגדיר מכפלה כאובייקט סופי בקטגוריה מתאימה. אם A , B ∈ O b ( C ) {\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob} ({\mathcal {C}})} , נגדיר קטגוריה חדשה C A , B {\displaystyle {\mathcal {C}}_{A,B}} שהאובייקטים שלה שלשות ( X , α , β ) {\displaystyle (X,\alpha ,\beta )} עם α : X → A {\displaystyle \alpha :X\to A} ו- β : X → B {\displaystyle \beta :X\to B} . מורפיזם f : ( X , α , β ) → ( X ′ , α ′ , β ′ ) {\displaystyle f:(X,\alpha ,\beta )\to (X',\alpha ',\beta ')} הוא מורפיזם f : X → X ′ {\displaystyle f:X\to X'} המקיים α = α ′ ∘ f ,   β = β ′ ∘ f {\displaystyle \alpha =\alpha '\circ f,\ \beta =\beta '\circ f} . אובייקט סופי ב- C A , B {\displaystyle {\mathcal {C}}_{A,B}} הוא המכפלה A × B {\displaystyle A\times B} . מכפלה (תורת הקטגוריות) קו-מכפלה (תורת הקטגוריות) פונקטור מיוצג ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.