מכפלת סיבים

במתמטיקה, מכפלה סיבית של קבוצות X ו-Y המועתקות לאותה קבוצה S היא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית של X ו-Y המורכבת מזוגות ששתי הקואורדינטות שלהן מועתקות לאותה נקודה ב-S. קיימת העתקה טבעית מהמכפלה הסיבית ל-S, והסיבים שלה הם המכפלות הקרטזיות של הסיבים של ההעתקות מ-X ומ-Y ל-S - מכאן מקור השם. יהיו X, Y, S קבוצות, ויהיו f:X->S, g:Y->S פונקציות. המכפלה הסיבית של X ו־Y מעל S היא תת-קבוצה של המכפלה הקרטזית X × Y {\displaystyle X\times Y} המוגדרת על ידי X × S Y := { ( x , y ) ∈ X × Y | f ( x ) = g ( y ) } {\displaystyle X\times _{S}Y:=\{(x,y)\in X\times Y\,\vert \,f(x)=g(y)\}} ההעתקה הטבעית מהמכפלה הסיבית ל S מוגדרת על ידי ( x , y ) ↦ f ( x ) ( = g ( y ) ) {\displaystyle (x,y)\mapsto f(x)\,(=g(y))} . במילים אחרות, המכפלה הסיבית היא המכפלה בקטגוריה של קבוצות עם פונקציה ל־S. תהי f:X->Y העתקה, ותהי y נקודה בקבוצה Y. הסיב של y תחת ההעתקה f הוא התמונה ההפוכה f^{-1}(y). ניתן להסביר את בחירת המונח על ידי התמונה הבאה: ניקח בתור X גוף תלת-ממדי, בתור Y מישור ובתור f הטלה מ־X ל־Y. אם X ו-Y הם מרחבים טופולוגיים אזי על המכפלה הסיבית יש מבנה טבעי של מרחב טופולוגי, המושרה מן המכפלה הקרטזית. אם X,Y, ו-S הן יריעות חלקות וההעתקות ל־S הן סובמרסיות אזי על המכפלה הסיבית יש מבנה טבעי של יריעה חלקה. אם X,Y ו-S הן יריעות אלגבריות מעל שדה סגור אלגברית וההעתקות הן העתקות של יריעות אלגבריות אזי על המכפלה הסיבית יש מבנה טבעי של יריעה אלגברית, שכן היא מוגדרת בתוך המכפלה הקרטזית על ידי משוואות אלגבריות. לאומת זאת, אם X,Y ו-S הן סכמות, אזי המכפלה הסיבית של X ן Y מעל S היא סכמה שאין מקבוצת הנקודות שלה התאמה חד-חד ערכית ועל טבעית למכפלה הסיבית של קבוצות הנקודות של X ן של Y מעל S. לסכמות אפיניות מתקיים S p e c A × S p e c R S p e c B ≅ S p e c ( A ⊗ R B ) {\displaystyle SpecA\times _{SpecR}SpecB\cong Spec(A\otimes _{R}B)} בכל קטגוריה C ניתן להגדיר מכפלה סיבית מעל אובייקט מסוים S כמכפלה בעל-קטגוריה של S. קטגוריה זו מורכבת מזוגות (X,f) כאשר X הוא אובייקט ב־C ו f הוא מורפיזם מ־X ל־S. מורפיזם מ(X,f) ל (Y,g) בקטגוריה זו הוא מורפיזם h : X → Y {\displaystyle h:X\to Y} בקטגוריה C כך שמתקיים f = g ∘ h {\displaystyle f=g\circ h} . ישנן קטגוריות שבהן מכפלה סיבית קיימת תמיד (כמו קטגוריית הקבוצות וקטגוריית הסכמות), וישנן קטגוריות שבהן לא לכל שתי זוגות של אובייקט ומורפיזם ל־S יש מכפלה (כמו בקטגוריית היריעות החלקות). ניתן לראות כל אובייקט בעל-קטגוריה של S "משפחה של אובייקטים המסומנים על ידי S". למשל, ניתן להגדיר את המושג "משפחה רציפה של מרחבים טופולוגיים" באופן הבא: זוהי העתקה רציפה f : X → S {\displaystyle f:X\to S} כאשר S ו־X הם מרחבים טופולוגיים. בגישה זו, הפרמטר של המשפחה היא נקודה ב־S, והמרחב הטופולוגי המתאים לכל נקודה הוא הסיב שלה תחת f. למכפלה הסיבית בגישה זו יש שתי משמעויות. המשמעות הראשונה היא "מכפלה של משפחות". המשמעות השנייה היא "שינוי בסיס". נשים לב שמהלמכפלה הסיבית ישנה לא רק העתקה טבעית לבסיס S, אלא גם העתקות טבעיות (הטלות) ל־X ולY. על כן, היא מגדירה גם משפחה של אובייקטים מעל X ומעל Y. ניתן לתאר את המשפחות האלה באופן הישיר הבא, למשל עבור מרחבים טופולוגיים: המרחב המתאים לנקודה y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} הוא המרחב במשפחה המקורית המתאים לנקודה g ( y ) ∈ S {\displaystyle g(y)\in S} . על כן המשפחה X × S Y → Y {\displaystyle X\times _{S}Y\to Y} נקראת שינוי בסיס של המשפחה X → S {\displaystyle X\to S} תחת ההעתקה g : Y → S {\displaystyle g:Y\to S} . מסיבה זו משפטים על תכונות של מכפלה סיבית בגאומטריה אלגברית נקראים משפטי שינוי בסיס. נציין שבגאומטריה אלגברית ובקטגוריות נוספות גישת הנקודות לא מתארת את כל התמונה (או לא מתאימה בכלל), ולכן התיאור כאן נותן אינטואיציה בלבד. Mitchell, Barry (1965). Theory of Categories. Academic Press. מדיה וקבצים בנושא מכפלת סיבים בוויקישיתוף pullback באתר nLab ראו pullback באתר nLab