משפט המולטינום

במתמטיקה, משפט המולטינום הוא נוסחה לפיתוח חזקות של פולינום. הנוסחה מהווה הכללה מהבינום של ניוטון, אשר מציג מקרה פרטי עבור בינום. עבור m מספר טבעי ו-n מספר אי-שלילי (חיובי או אפס), מתקיים: ( x 1 + x 2 + ⋯ + x m ) n = ∑ k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n ( n k 1 , k 2 , … , k m ) x 1 k 1 ⋯ x m k m , {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{m}^{k_{m}}\,,} כאשר ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} הוא המקדם המולטינומי, המהווה הכללה של המקדם הבינומי. הסכום האמור נלקח על כל הקומבינציות האפשריות של מספרים אי-שליליים של k1 עדkm כך שסכום כל ki הוא n. כלומר, עבור כל איבר בסכום, סכום המעריכים בחזקות חייב להסתכם ל-n. (נציין כי איברים מהצורה x0 נלקחים בתור 1, אף אם x הוא 0). עבור המקרה הפרטי m = 2 מתקבל הבינום של ניוטון. את המשפט ניתן להוכיח באינדוקציה על m, ובעזרת הבינום של ניוטון. החזקה השלישית של הביטוי a + b + c נתונה על ידי: ( a + b + c ) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b + 3 a 2 c + 3 b 2 a + 3 b 2 c + 3 c 2 a + 3 c 2 b + 6 a b c . {\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.} ניתן להוכיח נוסחה זו על ידי שימוש בחוק הפילוג, אך ניתן לחשבה יותר בקלות באמצעות נוסחת המולטינום, אשר נותנת לנו את המקדם של כל איבר, בתור המקדם המולטינומי. כאמור, המקדם ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} נקרא המקדם המולטינומי. למקדם זה יש משמעות קומבינטורית, המכלילה את משמעות המקדם הבינומי: ( n k 1 , k 2 , … , k m ) {\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}} היא מספר הדרכים לחלק n עצמים שונים ל-m קבוצות, כך שבקבוצה הראשונה יש k1 עצמים, בקבוצה השנייה k2 עצמים וכן הלאה. בעזרת משמעות קומבינטורית ניתן לספק הוכחה נוספת לנוסחא לעיל, באופן זהה להוכחת נוסחת הבינום של ניוטון. נחשב את מספר המחרוזות השונות שאפשר להרכיב בעזרת האותיות b,a,n,a,n,a - סה"כ יש כאן 6 אותיות, מתוכן פעם אחת b, פעמיים n, ושלוש פעמים a - ולכן התשובה היא ( 6 3 , 2 , 1 ) = 6 ! 1 ! 2 ! 3 ! = 60 {\displaystyle {6 \choose 3,2,1}={\frac {6!}{1!2!3!}}=60} . המקרה הפשוט ביותר של המקדם המולטינומי הוא זה של המקדם הבינומי ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} , המייצג את מספר האפשרויות לחלק מחרוזת בת n אותיות לשתי תת-מחרוזות בנות k ו-n-k אותיות (ללא חשיבות לסדר האותיות בכל אחת מתת-המחרוזות). סכום כל המקדמים הבינומיים כאשר k רץ מ-1 ל-n-1 שווה למספר הדרכים לחלק את המחרוזת המקורית לשתי תת-מחרוזות לא ריקות, שניתן לפרשו גם כמספר האפשרויות להרכיב מחרוזת לא ריקה ולא מקסימלית מתוך n האותיות כאשר יש חשיבות לסדר תת-המחרוזות (אך אין חשיבות לסדר הפנימי של האותיות בכל תת-מחרוזת). כל אות יכולה להיבחר או לא להיבחר, מה שנותן 2 n {\displaystyle 2^{n}} חלוקות כאלו, וכאשר לא כוללים את האפשרויות שמתייחסות לקבוצה ריקה ישנן בדיוק 2 n − 2 {\displaystyle 2^{n}-2} חלוקות כאלו. את אותו הרעיון ניתן להכליל גם למקרה של מקדמים מולטינומיים מורכבים יותר. למעשה, אם נסמן ב- C 3 , n {\displaystyle C_{3,n}} את מספר החלוקות האפשרויות של קבוצה בת n איברים ל-3 קבוצות לא ריקות (כאשר אין חשיבות לסדר תת-הקבוצות; זהו סכום כל המקדמים המולטינומיים מדרגה 3, חלקי 3 ! {\displaystyle 3!} ), נוכל להראות כי מתקיים כלל הנסיגה: C 3 , n + 1 = 3 C 3 , n + 2 n − 1 − 1 {\displaystyle C_{3,n+1}=3C_{3,n}+2^{n-1}-1} ההוכחה לכך מורכבת מן הטיעון הבא - לאחר ש"ממצים" את מספר החלוקות המולטינומיות מדרגה 3 של קבוצה התחלתית בת n איברים, ניתן לספח איבר נוסף (האיבר ה-n+1) בשתי דרכים שונות: להוסיף אותו לקבוצה קיימת; עבור כל חלוקה של הקבוצה ההתחלתית, ניתן להוסיף את האיבר לכל אחת מ-3 תת-הקבוצות שלה, מה שנותן 3 C 3 , n {\displaystyle 3C_{3,n}} אפשרויות. להשאיר אותו בנפרד בתור תת-קבוצה בפני עצמה; במקרה זה, יש לחלק את n האיברים של הקבוצה ההתחלתית לשתי תת-קבוצות, וכבר נוכחנו לדעת כי ישנן 2 n − 2 {\displaystyle 2^{n}-2} חלוקות כאלו. אולם, כל "חצייה" כזאת נספרת למעשה פעמיים, היות שכל אחת משתי תת-הקבוצות של הקבוצה ההתחלתית נספרת בתורה. לפיכך, יש לחלק ב-2 את התוספת, וכך נקבל: C 3 , n + 1 = 3 C 3 , n + ( 2 n − 2 ) / 2 = 3 C 3 , n + 2 n − 1 − 1 {\displaystyle C_{3,n+1}=3C_{3,n}+(2^{n}-2)/2=3C_{3,n}+2^{n-1}-1} . באופן כללי יותר, מספר החלוקות המולטינומיות הלא ריקות מדרגה m של קבוצה בת 1+n איברים מקיים את כלל הנסיגה: C m , n + 1 = m C m , n + C m − 1 , n ( m − 1 ) ! {\displaystyle C_{m,n+1}=mC_{m,n}+{\frac {C_{m-1,n}}{(m-1)!}}} כאשר תנאי ההתחלה הם C m , m = 1 {\displaystyle C_{m,m}=1} ו- C 2 , n = 2 n − 1 − 1 {\displaystyle C_{2,n}=2^{n-1}-1} . סכום כל המקדמים המולטינומיים מדרגה m של קבוצה בגודל כללי n מתקבל אז מהכפלת C m , n {\displaystyle C_{m,n}} ב- m ! {\displaystyle m!} . למשל, הערכים הראשונים של C 3 , n {\displaystyle C_{3,n}} (הספירה מתחילה מ-n=3) הם: 1 , 6 , 25 , 90 , . . . {\displaystyle 1,6,25,90,...} והסכומים המולטינומיים המתאימים הם: 6 , 36 , 150 , 540 , . . . {\displaystyle 6,36,150,540,...} . באופן כללי, C n , m {\displaystyle C_{n,m}} שווה למספר סטירלינג מהסוג השני S ( n , m ) {\displaystyle S(n,m)} , בעוד שסכום כל המקדמים המולטינומיים המתאים הוא: m ! ⋅ S ( n , m ) {\displaystyle m!\cdot S(n,m)} . משפט המולטינום, באתר MathWorld (באנגלית) משפט המולטינום, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)