למניסקטה

בגאומטריה אלגברית, למניסקטה (באנגלית: Lemniscate) היא עקומה שמזכירה בצורתה את הספרה שמונה. המושג בא מהמילה הלטינית "lēmniscātus" שפירושה "מעוטרת עם סרטים". את העיסוק הראשוני בעקומות בעלות צורה כשל הספרה שמונה ניתן לייחס לפרוקלוס, פילוסוף ומתמטיקאי יווני נאופלטוניסטי מהמאה ה-5 לספירה. פרוקלוס התייחס לחיתוכים של טורוס על ידי מישור שמקביל לציר הטורוס. רוב החתכים האפשריים מורכבים מעקום או שני עקומים אובליים נפרדים; עם זאת, הוא הבחין שבמקרה הגבולי, כאשר המישור החותך משיק למשטח הפנימי של הטורוס, אז החתך מקבל את הצורה של הספרה שמונה, אשר לה פרוקלוס קרא "אזיקי סוס" (אמצעי להחזקת שתי הרגליים של הסוס יחדיו). המונח "למניסקטה" הופיע לראשונה במאה ה-17. הבנייה של עקומים כחיתוך של הטורוס על ידי מישור שמקביל לציר הטורוס מובילה ישירות להגדרה האלגברית שלהם כאוסף האפסים של הפולינום ממעלה רביעית: ( x 2 + y 2 ) 2 − c x 2 − d y 2 + e = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}+e=0} כאשר המקדם d {\displaystyle d} שלילי, והמקדמים c , d , e {\displaystyle c,d,e} נקבעים על ידי המידות של הטורוס ומרחק המישור מצירו a {\displaystyle a} . למניסקטה זו קרויה גם היפופידה או "הלמניסקטה של בות'", על שמו של ג'יימס בות', שחקר אותה במאה ה-19. ערך מורחב – הלמניסקטה של ברנולי ב-1680 חקר קאסיני משפחה של עקומים, שכעת נקראים האובל של קאסיני, אותה הגדיר כך: המקום הגאומטרי של כל הנקודות, אשר מכפלת מרחקיהן משתי נקודות קבועות, שהן המוקדים של העקום, קבועה. כאשר מחצית המרחק בין המוקדים משתווה לשורש הריבועי של הקבוע, האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה. ב-1694 חקר יוהאן ברנולי את המקרה שבו האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה (שכעת נקראת הלמניסקטה של ברנולי) בהקשר של "בעיית האיזוכרונות" שהוצעה קודם על ידי לייבניץ. עקומה זאת ניתנת לתיאור אנליטית על ידי המשוואה הפולינומית ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0} . אחיו של יוהאן, יאקוב ברנולי, חקר גם הוא את העקומה באותה שנה, והוא שהעניק לה לראשונה את השם "למניסקטה". זהו מקרה פרטי של העקום שנוצר על ידי חיתוך של מישור בטורוס כאשר d = − c {\displaystyle d=-c} , מצב שקורה כאשר הלמניסקטה היא חתך של טורוס אשר החור הפנימי שלו והחתך המעגלי שלו (כלומר חתך ה"צינור" שכופף לכדי טורוס) הם בעלי אותו קוטר. בקואורדינטות קוטביות משוואת הלמניסקטה של ברנולי היא: r 2 = 2 a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta } . בעבור חלוקת עקומת הלמניסקטה לחלקים שווים קיים קריטריון אנלוגי לזה של חלוקת המעגל בעזרת סרגל ומחוגה. במקרה של חלוקת המעגל לקשתות שוות, גאוס הוכיח שניתן לחלק את המעגל ל- n {\displaystyle n} קשתות שוות אם ורק אם n {\displaystyle n} הוא מכפלה של חזקה של שתיים וראשוני פרמה שונים. בהקדמה לפרק השביעי של "מחקרים אריתמטיים" שלו (מאמר 335), גאוס כתב: "את עקרונות התאוריה אותה אנו נסביר ניתן להרחיב למעשה הרבה מעבר למה שנציין. זאת מכיוון שהם ניתנים ליישום לא רק לפונקציות המעגליות אלא גם לפונקציות טרנסצנדנטיות אחרות, בין היתר לאלו שתלויות באינטגרל ∫ d x 1 − x 4 {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}} ." בכתביו של גאוס שלא פורסמו מופיעה חלוקה אלגברית מפורשת של הלמניסקטה לשלושה וחמישה חלקים שווים. עם זאת, דבר בכתביו שנותרו לא כולל תוצאה מקיפה כמו התוצאה שלו בנוגע למעגל. הראשון שפתר את הבעיה של חלוקת הלמניסקטה ל- n {\displaystyle n} חלקים שווים באופן מלא היה נילס הנריק אבל ב-1827, בהשראת ספרו של גאוס, שמצא שהלמניסקטה ניתנת לחלוקה לחלקים שווים בדיוק עבור אותם ערכים של n {\displaystyle n} כמו במקרה של המעגל, דהיינו: n = 2 m p 1 p 2 ⋯ p k {\displaystyle n=2^{m}p_{1}p_{2}\cdots p_{k}} כאשר p i {\displaystyle p_{i}} ראשוני מהצורה 2 2 h + 1 {\displaystyle 2^{2^{h}}+1} . תוצאה נפלאה זאת שימשה, אולי יותר מכל תוצאה אחרת, כדי להדגים את התפקיד המאחד שיש לפונקציות אליפטיות בגאומטריה, באלגברה ובתורת המספרים. חלוקת הלמניסקטה ל- n {\displaystyle n} חלקים שווים שקולה לבניית שורשי היחידה הלמניסקטיים γ k = cl ( 2 π k n ) + sl ( 2 π k n ) i {\displaystyle \gamma _{k}={\text{cl}}\left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+{\text{sl}}\left({\frac {2\pi k}{n}}\right)i} , שהם מספרים אלגבריים. נוסחאות החיבור מטילות על קבוצת השורשים Γ n = { γ 0 = 1 , γ 1 , … , γ n − 1 } {\displaystyle \Gamma _{n}=\{\gamma _{0}=1,\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n-1}\}} פעולה ההופכת אותה לחבורה הציקלית מסדר n {\displaystyle n} . בדומה למקרה של סיפוח שורשי יחידה רגילים, הרחבת השדות Q [ i ] ( Γ n ) / Q [ i ] {\displaystyle \mathbb {Q} [i](\Gamma _{n})/\mathbb {Q} [i]} היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה איזומורפית לחבורת אוילר של n {\displaystyle n} . התוצאה של אבל נובעת מעובדות אלה, בדומה למיון המצולעים המשוכללים הניתנים לבניה. קבוע גאוס מדיה וקבצים בנושא למניסקטה בוויקישיתוף למניסקטה, באתר MathWorld (באנגלית) Norbert Schappacher, Some Milestones of Lemniscatomy, 1997 המקדמים הללו נקבעים על פי המידות של הטורוס והמרחק a באופן הבא: c = − 2 ( a 2 − r 2 − ( R + r ) 2 ) {\displaystyle c=-2(a^{2}-r^{2}-(R+r)^{2})} , d = − 2 ( a 2 − r 2 + ( R + r ) 2 ) {\displaystyle d=-2(a^{2}-r^{2}+(R+r)^{2})} , e = ( a 2 + ( R + r ) 2 − r 2 ) 2 − 4 ( R + r ) 2 a 2 {\displaystyle e=(a^{2}+(R+r)^{2}-r^{2})^{2}-4(R+r)^{2}a^{2}} , כאשר r הוא רדיוס הגליל שכופף לכדי טורוס ו-R הוא רדיוס החור הפנימי של הטורוס. הלמניסקטה של פרוקלוס מתקבלת במקרה הגבולי שבו a=R. Mathematics and Its History, p.224[1] Leonardo Solanilla, Oscar Palacio y Uriel Hern´andez, "A simple proof of Abel's theorem on the lemniscate", (Ingeniería y Ciencia 6(12), 2010.