גרף קיילי

בתורת החבורות, גרף קיילי של חבורה הוא גרף מכוון וצבוע, המהווה תיאור גרפי של החבורה, ומאפשר לחקור אותה בכלים גאומטריים, טופולוגיים והסתברותיים. הגרף נקרא על שם המתמטיקאי ארתור קיילי. הגרף אינו מוגדר עבור חבורה G {\displaystyle G} בפני עצמה, אלא רק ביחס לקבוצת יוצרים שלה, S {\displaystyle S} . גרף קיילי של G {\displaystyle G} ביחס ל- S {\displaystyle S} הוא הגרף שקודקודיו הם אברי החבורה, ולכל יוצר s ∈ S {\displaystyle s\in S} יש בו קשת בצבע s {\displaystyle s} מכל קודקוד g ∈ G {\displaystyle g\in G} למכפלה g s {\displaystyle gs} . באופן הזה מתקבל גרף מכוון רגולרי: מכל קודקוד יוצאות ונכנסות בדיוק | S | {\displaystyle |S|} קשתות. באיור משמאל מוצג גרף קיילי של החבורה A 4 {\displaystyle A_{4}} ביחס ליוצרים a = ( 12 ) ( 34 ) {\displaystyle a=(12)(34)} באדום, ו- b = ( 123 ) {\displaystyle b=(123)} בכחול. מקובל להשמיט את הכיוונים עבור היוצרים מסדר 2, כפי שעשינו לעיל. בחבורות קטנות הגרף מאפשר לבצע חישובים במהירות. בגרף שלנו אפשר לחשב כי ( a b ) 3 = e {\displaystyle (ab)^{3}=e} , משום שאם יוצאים מאיבר היחידה וצועדים בכיוון אדום-כחול-אדום-כחול-אדום-כחול, חוזרים לנקודת ההתחלה. אותה תוצאה נקבל מכל נקודת התחלה, דבר המדגים את מידת הסימטריה של הגרף. אכן, חבורת הסימטריות של גרף קיילי צבוע היא בדיוק החבורה שאותה הוא מתאר. על הגרף אפשר להגדיר את מטריקת המלה, שלפיה המרחק מקודקוד g {\displaystyle g} לקודקוד h {\displaystyle h} שווה למספר הקטן ביותר של יוצרים (והאיברים ההפוכים להם) הדרוש לכתיבת היחס g − 1 h {\displaystyle g^{-1}h} . אפשר להפוך את הגרף למרחב גאודזי, אם מתאימים כל קשת g ↦ g s {\displaystyle g\mapsto gs} לקטע היחידה [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} (עם המטריקה הרגילה עליו). באופן הזה, כל גרפי קיילי של חבורה נוצרת סופית G {\displaystyle G} (ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית) הם קוואזי-איזומטריים זה לזה, וכך מתקבל העיקרון היסודי של תורת החבורות הגאומטרית: גרף קיילי הוא אינווריאנט קוואזי-איזומטרי של החבורה. לפי הלמה של שוורץ-מילנור, כל מרחב גאודזי סימטרי די הצורך הוא גרף קיילי, במובן הבא: אם חבורה G {\displaystyle G} פועלת על מרחב גאודזי X {\displaystyle X} כחבורה של איזומטריות, באופן שהמרחב אינו גדול מדי (המנה X / G {\displaystyle X/G} קומפקטית) ואינו קטן מדי (לכל קבוצה קומפקטית K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} , הקבוצה { g ∈ G : g ( K ) ∩ K ≠ ∅ } {\displaystyle \{g\in G:g(K)\cap K\neq \emptyset \}} סופית), אז X {\displaystyle X} קוואזי-איזומטרי לגרף קיילי של G {\displaystyle G} (על ידי ההתאמה g ↦ g x {\displaystyle g\mapsto gx} , כאשר x ∈ X {\displaystyle x\in X} נקודה קבועה). לדוגמה, אם M {\displaystyle M} הוא יריעת רימן פשוטת קשר אז כל סריג קו-קומפקטי בחבורת האיזומטריות של M {\displaystyle M} (לחלופין, החבורה היסודית של כל יריעת רימן קומפקטית ש- M {\displaystyle M} הוא מרחב הכיסוי האוניברסלי שלה) הוא קוואזי-איזומטרי ל- M {\displaystyle M} . מרחבי פונקציות המוגדרים על חבורה G {\displaystyle G} מרחבים לתורת החבורות טכניקות אנליטיות שונות ומגוונות. הדוגמה החשובה ביותר היא מרחב הפונקציות האינטגרביליות-בריבוע, L 2 ( G ) {\displaystyle L^{2}(G)} , שהוא אובייקט יסודי בתורת ההצגות. בעוד שמרחב זה תלוי בחבורה בלבד, אפשר לתאר גם מרחבים התלויים בקבוצת היוצרים, כגון מרחב פונקציות הרמוניות (הערך בנקודה הוא ממוצע השכנים), פונקציות המקיימות את תנאי ליפשיץ או בעלות גידול פולינומי, וכדומה. ראו למשל תכונת ליוביל. משפט קיילי גרף שרייר מדיה וקבצים בנושא גרף קיילי בוויקישיתוף גרף קיילי, באתר MathWorld (באנגלית)