תנאי לדו

באסטרופיזיקה תנאי לדו (באנגלית: Ledoux Criterion) הוא תנאי ליציבות של גרם שמים כמו כוכב או ענק גזים כנגד קונווקציה. קרוי על שמו של הפיזיקאי הבלגי פול לדו (Paul Ledoux). תנאי לדו הוא הרחבה של תנאי שוורצשילד, בו מתחשבים גם בהרכב כימי הלא אחיד של הגרם. תנאי זה שימושי מאוד לתיאור מבנה פנימי של ענקי הגזים, בהם ההרכב משתנה בהתאם למרחק ממרכז כוכב הלכת. פותח על ידי פול לדו, מרטין שוורצשילד (Martin Schwarzschild) (בנו של קרל שוורצשילד) ואדווארד שפיגל (Edward Spiegel) בשנות ה-60 של המאה ה-20. מתמטית לתנאי זה מספר ניסוחים דומים. אחד המקובלים הוא: שכבה יציבה לקונווקציה אם מתקיים: ∇ < ∇ e + φ δ ∇ μ {\displaystyle \nabla <\nabla _{e}+{\frac {\varphi }{\delta }}\nabla _{\mu }} כאשר: δ = − ( ∂ ln ⁡ ρ ∂ ln ⁡ T ) P , μ ; φ = ( ∂ ln ⁡ ρ ∂ ln ⁡ μ ) P , T {\displaystyle \delta =-\left({\frac {\partial \ln \rho }{\partial \ln T}}\right)_{P,\mu };\varphi =\left({\frac {\partial \ln \rho }{\partial \ln \mu }}\right)_{P,T}} ∇ = ( d ln ⁡ T d ln ⁡ P ) s ; ∇ μ = ( d ln ⁡ μ d ln ⁡ P ) s ; ∇ e = ( d ln ⁡ T d ln ⁡ P ) e {\displaystyle \nabla =\left({\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right)_{s};\nabla _{\mu }=\left({\frac {d\ln \mu }{d\ln P}}\right)_{s};\nabla _{e}=\left({\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right)_{e}} אינדקס e קטן מסמן elemet (אלמנט של חומר) ו-s מסמן surrounding (סביבת האלמנט). כאשר T היא טמפרטורה, P לחץ, ρ {\displaystyle \rho } צפיפות החומר, μ {\displaystyle \mu } משקל מולקולרי ממוצע. החום מועבר לרוב דרך הקרנה ולכן קירוב שימושי מאוד הוא ∇ ≃ ∇ r a d {\displaystyle \nabla \simeq \nabla _{rad}} . האלמנט מוזז באופן אדיאבטי ולכן ∇ e = ∇ a d {\displaystyle \nabla _{e}=\nabla _{ad}} . כך הקריטריון הופך להיות: ∇ r a d < ∇ a d + φ δ ∇ μ {\displaystyle \nabla _{rad}<\nabla _{ad}+{\frac {\varphi }{\delta }}\nabla _{\mu }} כאשר: ∇ r a d = ( d ln ⁡ T d ln ⁡ P ) r a d = P 4 p r κ L 4 π c G m {\displaystyle \nabla _{rad}=\left({\frac {d\ln T}{d\ln P}}\right)_{rad}={\frac {P}{4p_{r}}}{\frac {\kappa L}{4\pi cGm}}} כאשר L זו הארה (Luminosity), κ {\displaystyle \kappa } זו אטימות, c מהירות האור, G קבוע ניוטון, m מסה ו p R = 1 3 a T 4 {\displaystyle p_{R}={\frac {1}{3}}aT^{4}} . ההארה עצמה נתונה לפי: L = − 4 π r 2 c κ ρ d p R d r {\displaystyle L=-4\pi r^{2}{\frac {c}{\kappa \rho }}{\frac {dp_{R}}{dr}}} כמו שניתן לראות, במקרה של הרכב קבוע ∇ μ = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }=0} והתנאי מתנוון לתנאי שוורצשילד. קריטריון לדו קובע אם הפרעה קטנה בכוכב או כוכב לכת תגרום לקונווקציה, כלומר מגדיר למעשה את היציבות. הקריטריון דומה במידה רבה לתנאי שוורצשילד. ההבדל המרכזי הוא שהרכב כימי של האלמנט משפיע על הצפיפות היחסית שלו ולכן יכול לשנות את היחס בין צפיפות הסביבה לצפיפות בועה. באופן זהה למקרה הפרטי, התנהגות הבועה נקבעת על ידי ציפה. כלומר שקיעה או עליה של הבועה היא פונקציה של יחס בין צפיפות הסביבה לצפיפות הבועה: אם הבועה צפופה יותר מהסביבה, הבועה תשקע חזרה. אם הסביבה צפופה יותר מהבועה, הבועה תצוף. Stellar Evolution at High Mass Based on the Ledoux Criterion for Convection,‏ Astrophysical Journal, Vol. 179, pp. 555-568 (1973) Criterion for convection in an inhomogeneous star, ‏ Astrophysical Journal, Part 2 - Letters (ISSN 0004-637X), vol. 390, no. 1, May 1, 1992, p. L33-L35 Stellar convection simulations , אתר Scholarpedia On the Spectrum of Turbulent Convection., Astrophysical Journal, vol. 133, p.184 The Ledoux Criterion for Convection in a Star, מרינה פון שטייקריך, State University of New York Convection and Mixing in Giant Planet Evolution, אלונה וזן