מפתח נומרי

מִפְתָח נומרי (Numerical aperture, מסומן כ-NA) הוא פרמטר חסר יחידות המתאר את זווית האיסוף של אור לתוך רכיב אופטי. הגדרת המפתח הנומרי היא שונה במערכות אופטיות שונות. ברוב המערכות האופטיות, המפתח הנומרי מוגדר כ: NA = n ⋅ sin ⁡ θ {\displaystyle {\textrm {NA}}=n\cdot \sin \theta } , כאשר   n {\displaystyle \ n} הוא מקדם השבירה של התווך ו-   θ {\displaystyle \ \theta } היא חצי זווית הראש של חרוט האור הנאסף אל תוך הרכיב האופטי (ראו שרטוט משמאל). במקרה הכללי ביותר, הנקודה ממנה מגיע האור יכולה להיות במרחקים שונים מהרכיב האופטי, והמפתח הנומרי ישתנה בהתאם. עבור עדשה או רכיב אופטי הנמצאים בסביבה של אוויר, המפתח הנומרי המקסימלי הוא NA=1. מכיוון שעדשת אובייקטיב של מיקרוסקופ חייבת להיות במרחק קבוע מהעצם עליו מסתכלים על-מנת שהוא יראה ממוקד, ניתן להגדיר את המפתח הנומרי של העצם (עבור מרחקים שונים הזווית תשתנה, ולכן גם המפתח הנומרי, אבל במרחקים כאלה העצם ממילא לא יראה ברור). ככל שהגדלת האובייקטיב גדולה יותר כך מרחק המוקד שלו קטן יותר, כלומר האובייקטיב צריך להיות קרוב יותר לעצם, ומכאן שהזווית   θ {\displaystyle \ \theta } תהיה גדולה יותר ולכן גם המפתח הנומרי יגדל. ישנם אובייקטיביים שונים שמתאימים לעבוד בסביבה של מים או שמן אימרסיה. מכיוון שמקדמי השבירה שלהם גדולים ממקדם השבירה של אוויר, גם המפתח הנומרי יגדל וערכו יכול להיות גדול מ-1 (מפתח נומרי של אובייקטיביים שונים נע בין הערכים 0.14 ו-1.45). למפתח הנומרי במיקרוסקופ ישנה חשיבות רבה לקביעת כושר ההפרדה (רזולוציה אופטית) של המיקרוסקופ, כלומר היכולת להבדיל בין שני עצמים הקרובים זה לזה, הנתון על ידי:   d = 0.6 λ NA {\displaystyle \ d={\frac {0.6\lambda }{\textrm {NA}}}} כאשר   λ {\displaystyle \ \lambda } הוא אורך הגל. עצמים הנמצאים במרחק קטן מ-   d {\displaystyle \ d} זה מזה יראו כעצם אחד. בצילום המונח המקובל לשימוש הוא f number (מסומן כ-   f / # {\displaystyle \ f/\#} או כ-   N {\displaystyle \ N} ) ולא מפתח אופטי, אך יש קשר בין המונחים. f number מוגדר כיחס בין מרחק המוקד של עדשה,   f {\displaystyle \ f} , לבין הקוטר שלה,   D {\displaystyle \ D} :   f / # = f D {\displaystyle \ f/\#={\frac {f}{D}}} דמותו של עצם הנמצא באינסוף תיווצר בנקודת המוקד של העדשה, ולכן המפתח הנומרי עבור דמות כזאת נתון על ידי:   N A i = n sin ⁡ θ = n sin ⁡ [ arctan ⁡ ( D 2 f ) ] ≈ n D 2 f {\displaystyle \ \mathrm {NA_{i}} =n\sin \theta =n\sin \left[\arctan \left({\frac {D}{2f}}\right)\right]\approx n{\frac {D}{2f}}} בהנחה שמקדם השבירה הוא של אוויר,   n = 1 {\displaystyle \ n=1} , נקבל את היחס בין מפתח נומרי ל-f number:   f / # = 1 2 N A i {\displaystyle \ f/\#={\frac {1}{2\mathrm {NA_{i}} }}} המפתח הנומרי בסיבים אופטיים מוגדר בצורה שונה ומשמעותו היא זווית האור שיכול להיכנס לתוך הסיב ולהתקדם לאורכו. בסיב אופטי ישנה ליבה עם מקדם שבירה   n 1 {\displaystyle \ n_{1}} , הגדול ממקדם השבירה של המעטפת,   n 2 {\displaystyle \ n_{2}} . הזווית הקריטית לקבלת החזרה פנימית מלאה נתונה על ידי:   sin ⁡ θ c = n 2 n 1 {\displaystyle \ \sin \theta _{c}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}} . נחשב את זווית הכניסה המקסימלית,   θ A {\displaystyle \ \theta _{A}} כך שהאור הנכנס אל תוך הסיב יוכל להתקדם לאורכו: (ראו איור) לפי חוק סנל,   n sin ⁡ θ A = n 1 sin ⁡ θ R {\displaystyle \ n\sin \theta _{A}=n_{1}\sin \theta _{R}} . ניתן לראות ש-   θ R = 90 ∘ − θ c {\displaystyle \ \theta _{R}=90^{\circ }-\theta _{c}} , ולכן נקבל:   n sin ⁡ θ A = n 1 sin ⁡ ( 90 ∘ − θ c ) = n 1 cos ⁡ θ c {\displaystyle \ n\sin \theta _{A}=n_{1}\sin(90^{\circ }-\theta _{c})=n_{1}\cos \theta _{c}} נשתמש בזהות הטריגונומטרית   cos ⁡ α = 1 − sin 2 ⁡ α {\displaystyle \ \cos \alpha ={\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}} , ונקבל את המפתח הנומרי:   NA = n sin ⁡ θ A = n 1 ⋅ 1 − n 2 2 n 1 2 = n 1 2 − n 2 2 {\displaystyle \ {\textrm {NA}}=n\sin \theta _{A}=n_{1}\cdot {\sqrt {1-{\frac {n_{2}^{2}}{n_{1}^{2}}}}}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}} דרך נוספת להגדיר את המפתח הנומרי היא בעזרת השינוי היחסי בין מקדמי השבירה של הליבה והמעטפת (בדרך כלל הוא קטן מאוד):   Δ = n 1 2 − n 2 2 2 n 1 2 = ( n 1 − n 2 ) ( n 1 + n 2 ) 2 n 1 2 ≃ ( n 1 − n 2 ) ⋅ 2 n 1 2 n 1 2 = n 1 − n 2 n 1 {\displaystyle \ \Delta ={\frac {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}{2n_{1}^{2}}}={\frac {(n_{1}-n_{2})(n_{1}+n_{2})}{2n_{1}^{2}}}\simeq {\frac {(n_{1}-n_{2})\cdot 2n_{1}}{2n_{1}^{2}}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}}}} והמפתח הנומרי יוגדר:   NA = n 1 2 − n 2 2 = n 1 2 Δ {\displaystyle \ {\textrm {NA}}={\sqrt {n_{1}^{2}-n_{2}^{2}}}=n_{1}{\sqrt {2\Delta }}} הזווית   θ A {\displaystyle \ \theta _{A}} מתארת את "חרוט הקליטה" של הסיב. קרן אור שתיכנס דרך החרוט (כלומר בזווית קטנה מ-   θ A {\displaystyle \ \theta _{A}} ) תתקדם לאורך הסיב (מסומן בכחול באיור) והיא נקראת קרן מונחה (guided ray), לעומת זאת, קרן אור שתגיע מחוץ לחרוט (כלומר בזווית גדולה מ-   θ A {\displaystyle \ \theta _{A}} ) תזלוג החוצה דרך מעטפת הסיב (מסומן באדום באיור) והיא נקראת קרן קורנת (radiated ray). עבור סיב חד-אופן אי אפשר לדבר על "מודל הקרניים" של האור (אופטיקה גאומטרית), וצריך לעבור למודל גלי של האור. במקרה כזה, הזווית   θ {\displaystyle \ \theta } תינתן על ידי ההתבדרות של האלומה:   θ = λ π ω 0 {\displaystyle \ \theta ={\frac {\lambda }{\pi \omega _{0}}}} כאשר   θ {\displaystyle \ \theta } נתונה ברדיאנים,   λ {\displaystyle \ \lambda } הוא אורך הגל, ו-   ω 0 {\displaystyle \ \omega _{0}} הוא רוחב הקרן בתוך הסיב (מחושב בעזרת התדירות המנורמלת, V-number). טווח הערכים של המפתח הנומרי בסיבים הוא בדרך-כלל 0.1-0.4. ארנסט אבה מערכת אופטית יחס מיקוד (מספר F) מספר V מדיה וקבצים בנושא מפתח נומרי בוויקישיתוף Olympus Microscopy Resource Center (אורכב 01.02.2009 בארכיון Wayback Machine) RP-Photonics: Encyclopedia of Laser Physics and Technology