שורש יחידה

במתמטיקה, שורש יחידה הוא איבר של שדה שיש לו חזקה השווה לאיבר היחידה. לשורשי יחידה יש תפקיד חשוב בתורת השדות. תכונות רבות של שדות, יחד עם המבנים הנסמכים עליהם (הצגות של חבורות, אלגברות פשוטות, ועוד), נכונות רק כאשר מניחים את קיומם של שורשי יחידה בשדה הבסיס. האיבר ρ {\displaystyle \rho } הוא שורש יחידה מסדר n {\displaystyle n} , אם   ρ n = 1 {\displaystyle \ \rho ^{n}=1} ; זהו שורש יחידה פרימיטיבי מסדר n {\displaystyle n} אם n {\displaystyle n} הוא המספר הקטן ביותר שיש לו תכונה זו. מספר שורשי היחידה מסדר n {\displaystyle n} , בכל שדה, הוא לכל היותר n {\displaystyle n} . אם יש בשדה n {\displaystyle n} שורשי יחידה מסדר n {\displaystyle n} , אז מספר השורשים הפרימיטיביים הוא φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} , כאשר φ {\displaystyle \varphi } היא פונקציית אוילר. בין המספרים המרוכבים יש בדיוק n שורשי-יחידה שונים מסדר n: המספרים   e 2 π i k / n = cos ⁡ ( 2 π k / n ) + i sin ⁡ ( 2 π k / n ) {\displaystyle \ e^{2\pi ik/n}=\cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)} . הם נמצאים על מעגל היחידה, והנקודות המתאימות להם במישור המרוכב מתארות מצולע משוכלל בעל n צלעות. לדוגמה, שורשי היחידה מסדר 3 הם   1 , − 1 + i 3 2 , − 1 − i 3 2 {\displaystyle \ 1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}} , ושורשי היחידה מסדר 4 הם   1 , + i , − 1 , − i {\displaystyle \ 1,+i,-1,-i} . אם z {\displaystyle z} הוא שורש פרימיטיבי מסדר n {\displaystyle n} אז סדרת החזקות   … , z − 1 , 1 , z , z 2 , … {\displaystyle \ \dots ,z^{-1},1,z,z^{2},\dots } היא מחזורית, עם מחזור באורך n. כל סדרה   … , x − 1 , x 0 , x 1 , … {\displaystyle \ \dots ,x_{-1},x_{0},x_{1},\dots } של מספרים מרוכבים אפשר להציג באופן יחיד כצירוף   x j = a 0 + a 1 z j + a 2 z 2 j + ⋯ + a n − 1 z ( n − 1 ) j {\displaystyle \ x_{j}=a_{0}+a_{1}z^{j}+a_{2}z^{2j}+\cdots +a_{n-1}z^{(n-1)j}} ; אם j הוא משתנה הזמן, אז a k {\displaystyle a_{k}} היא משרעת מרוכבת של התדירות k. צורה זו של אנליזת פורייה מקודדת את טרנספורם פורייה הדיסקרטי, ונובעת מכך ש"המטריצה הציקלוטומית"   ( z i j ) i , j {\displaystyle \ (z^{ij})_{i,j}} , שהיא טבלת הקרקטרים של החבורה הציקלית ש- z {\displaystyle z} יוצר, היא הפיכה. מנוסחת הסכום עולה מערכת יחסים אורתוגונליים: עבור j , j ′ ∈ { 1 , 2 , … } {\displaystyle j,j'\in \{1,2,\dots \}} מתקיים: ∑ k = 1 n z j ⋅ k ¯ ⋅ z j ′ ⋅ k = n ⋅ δ j , j ′ {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {z^{j\cdot k}}}\cdot z^{j'\cdot k}=n\cdot \delta _{j,j'}} כאשר δ {\displaystyle \delta } היא הדלתא של קרונקר ו- z {\displaystyle z} הוא כל שורש פרימיטיבי מסדר n {\displaystyle n} של היחידה. המטריצה U {\displaystyle U} מסדר n × n {\displaystyle n\times n} שהמקום ה- ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} שלו הוא: U j , k = n − 1 2 ⋅ z j ⋅ k {\displaystyle U_{j,k}=n^{-{\frac {1}{2}}}\cdot z^{j\cdot k}} מגדירה התמרת פורייה דיסקרטית. חישוב הטרנספורמציה ההופכית באמצעות שיטת האלימינציה של גאוס דורש שימוש ב-   O ( n 3 ) {\displaystyle \ O(n^{3})} פעולות. ככל הנראה, נובע מהאורתוגונליות ש-U היא מטריצה יוניטרית. היא בעצם: ∑ k = 1 n U j , k ¯ ⋅ U k , j ′ = δ j , j ′ , {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\overline {U_{j,k}}}\cdot U_{k,j'}=\delta _{j,j'},} ולכן ההופכי של U {\displaystyle U} הוא פשוט הצמוד המרוכב. (הראשון ששם לב לעובדה זו הוא קרל פרידריך גאוס כאשר הוא פתר את הבעיה של אינטרפולציה טריגונומטרית). היישום המתקדם יותר של U {\displaystyle U} או ההופכי שלו לווקטור נתון דורש שימוש ב-   O ( n 2 ) {\displaystyle \ O(n^{2})} פעולות. התמרת פורייה מהירה מקטינה את מספר הפעולות ל-   O ( n log ⁡ n ) {\displaystyle \ O(n\log {n})} . לפי משפט של צ'בוטרב, כל תת-מטריצה של מטריצת ונדרמונט   A = ( ρ i j ) {\displaystyle \ A=(\rho ^{ij})} היא הפיכה. כאמור לעיל, בכל שדה F {\displaystyle F} ישנם לכל היותר n שורשי יחידה, וזאת מכיוון שהם מהווים שורשים של הפולינום   p ( x ) = x n − 1 {\displaystyle \ p(x)=x^{n}-1} . בשדה ממאפיין אפס (ובאופן כללי יותר, כאשר המאפיין זר ל- n {\displaystyle n} ) אפשר לספח לשדה שורשי יחידה, וזוהי הרחבה ספרבילית. אם השדה ממאפיין p {\displaystyle p} ו-   n = p t m {\displaystyle \ n=p^{t}m} כאשר m {\displaystyle m} זר ל- p {\displaystyle p} , אז יש בסגור האלגברי שלו בדיוק m שורשי יחידה מסדר m {\displaystyle m} . שורשי היחידה מסדר n {\displaystyle n} מרכיבים חבורה ציקלית, שסדרה שווה למספר השורשים בשדה. בשדה הרציונליים עצמו יש רק שני שורשי יחידה (מכל הסדרים): 1 ו- 1-. קל להוכיח שלכל שורשי היחידה הפרימיטיביים מאותו סדר יש אותו פולינום מינימלי, ופולינום זה נקרא הפולינום הציקלוטומי מסדר זה. מתברר שלפולינום זה, המוגדר מעל המספרים הרציונליים, יש מקדמים שלמים (הסיבה העקרונית היא ששורשי היחידה הם שלמים אלגבריים). מדיה וקבצים בנושא שורש יחידה בוויקישיתוף שורש יחידה, באתר MathWorld (באנגלית)