פולינומי הרמיט

פולינומי הרמיט, על שמו של המתמטיקאי שארל הרמיט, הם סדרה (אינסופית) של פולינומים אורתוגונליים רציפים המשמש בעיקר בפיזיקה (פתרון לאוסצילטור הרמוני קוונטי ופתרון משוואת הגלים עבור אלומת לייזר) ובקומבינטוריקה. מבחינה מתמטית, הפולינומים הם פתרונות למשוואה הדיפרנציאלית   d 2 y d x 2 − 2 x d y d x + 2 n y = 0 {\displaystyle \ {d^{2}y \over dx^{2}}-2x{dy \over dx}+2ny=0} עבור תחום ההגדרה   − ∞ ≤ x ≤ ∞ {\displaystyle \ -\infty \leq x\leq \infty } , והם מוגדרים באופן הבא:   H n ( x ) = ( − 1 ) n e x 2 d n d x n e − x 2 {\displaystyle \ H_{n}(x)={(-1)^{n}}{e^{x^{2}}}{d^{n} \over dx^{n}}{e^{-x^{2}}}} לכאורה פונקציית בסל מהווה פתרון למשוואות מסוג זה, אולם יש לשים לב כי המקדם   ( b c ) 2 {\displaystyle \ (bc)^{2}} בהגדרתה שווה למספר שלילי. שבעת פולינומי הרמיט הראשונים: H 0 ( x ) = 1 {\displaystyle H_{0}(x)=1\,} H 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle H_{1}(x)=2x\,} H 2 ( x ) = 4 x 2 − 2 {\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2\,} H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x {\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x\,} H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12 {\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12\,} H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x {\displaystyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120x\,} H 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120 {\displaystyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120\,} קל לראות כי ניתן להציג את המשוואה הדיפרנציאלית שלעיל כאופרטור שטורם-ליוביל:   d d x [ e − x 2 d y d x ] = e − x 2 2 n y {\displaystyle \ {d \over dx}[e^{-x^{2}}{dy \over dx}]={e^{-x^{2}}}2ny} , ולכן על פי תורת שטורם ליוביל פולינומי הרמיט הם מערכת אורתוגונלית: ∫ − ∞ ∞ H n ( x ) H m ( x ) e − x 2 d x = δ n , m ( x ) A n {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}dx}=\delta _{n,m}(x)A_{n}} כאשר   A n {\displaystyle \ A_{n}} נתון על ידי   A n = ∫ − ∞ ∞ H n 2 ( x ) e − x 2 d x = π 2 n n ! {\displaystyle \ A_{n}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{H_{n}^{2}(x)e^{-x^{2}}dx}={\sqrt {\pi }}2^{n}n!} בשל תכונת האורתוגונליות של הפולינומים, ניתן לפתח כל פונקציה לטור פונקציות על בסיסו:   f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ C n H n ( x ) {\displaystyle \ f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{C_{n}H_{n}(x)}} כאשר את המקדם   C n {\displaystyle \ C_{n}} ניתן לחשב על ידי   C n = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) H n ( x ) e − x 2 d x {\displaystyle \ C_{n}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{f(x)H_{n}(x)e^{-x^{2}}dx}} הפונקציה היוצרת, דהיינו פונקציה של שני משתנים ממנה ניתן ליצור את   H n ( x ) {\displaystyle \ H_{n}(x)} על ידי   n {\displaystyle \ n} גזירות היא   Φ ( x , h ) = e 2 x h − h 2 = ∑ n = 0 ∞ H n ( x ) h n n ! {\displaystyle \ \Phi (x,h)=e^{2xh-h^{2}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{H_{n}(x){h^{n} \over {n!}}}} כאשר כדי ליצור פולינום הרמיט מסדר   n {\displaystyle \ n} , יש לגזור את הפונקציה היוצרת   n {\displaystyle \ n} פעמים ולהציב   h = 0 {\displaystyle \ h=0} . ניתן להגדיר את פולינום הרמיט מסדר   n {\displaystyle \ n} באמצעות יחס הרקורסיה:   H n + 1 ( x ) = 2 x H n ( x ) − 2 n H n − 1 ( x ) {\displaystyle \ H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x)} ניתן להציג את הפולינום גם על ידי הביטוי המפורש הבא (בעזרת שימוש בפונקציית הערך השלם): H n ( x ) = n ! ∑ m = 0 ⌊ n 2 ⌋ ( − 1 ) m m ! ( n − 2 m ) ! ( 2 x ) n − 2 m {\displaystyle H_{n}(x)=n!\sum _{m=0}^{\lfloor {\tfrac {n}{2}}\rfloor }{\frac {(-1)^{m}}{m!(n-2m)!}}(2x)^{n-2m}} הצגה אינטגרבילית של פולינום הרמיט:   H n ( x ) = 2 n π ∫ − ∞ ∞ ( x + i t ) n e − t 2 d t {\displaystyle \ H_{n}(x)={\sqrt {2n \over \pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{(x+it)^{n}e^{-t^{2}}dt}} פולינומי הרמיט מופיעים באוסצילטור הרמוני קוונטי שם הפונקציות העצמיות הן ⟨ x | ψ n ⟩ = 1 2 n n ! ( m ω π ℏ ) 1 / 4 exp ( − m ω x 2 2 ℏ ) H n ( m ω ℏ x ) {\displaystyle \left\langle x|\psi _{n}\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}{\hbox{exp}}\left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)} כאשר n הוא מספר טבעי (כלומר 0, 1, 2, ...). מדיה וקבצים בנושא פולינומי הרמיט בוויקישיתוף פולינומי הרמיט, באתר MathWorld (באנגלית)