התאוריה הקינטית של הגזים

התאוריה הקינטית של הגזים היא תאוריה מדעית שמסבירה תכונות מקרוסקופיות של גזים כגון לחץ, טמפרטורה ונפח, תוך התחשבות במבנה המולקולרי ובהרכבם המיקרוסקופי של גזים. התאוריה קובעת כי הלחץ של גזים אינו נובע מדחייה סטטית בין המולקולות (כפי שסבר אייזק ניוטון), כי אם מהתנגשויות דינמיות בין המולקולות שיש להן מהירות ותנע. בשנת 1738 פרסם הפיזיקאי והמתמטיקאי השווייצרי דניאל ברנולי את חיבורו "הידרודינמיקה", שהיווה את הבסיס לתאוריה הקינטית של הגזים. ברנולי הציג במאמר זה טיעון מהפכני, לפיו גזים עשויים ממספר רב של מולקולות הנעות בכל הכיוונים. התנגשויות המולקולות במשטחים יוצרות את לחץ הגז וחום הוא למעשה האנרגיה הקינטית של תנועתן. התאוריה לא התקבלה מיידית, משום שחוק שימור האנרגיה טרם נוסח כראוי ומשום שפיזיקאים לא יכלו להסביר התנגשויות אלסטיות בקני מידה מולקולריים. חלוצים אחרים של התאוריה הקינטית היו מיכאיל לומונוסוב (1745), ז'ורז'-לואי לה סאג (1818), ג'ון הראפאת' (1820) וג'ון ג'יימס ווטרסטון (1843). מחקריהם היו חלק מניסיון להסביר את תופעת הכבידה באופן מכני. כמו כן המחקרים של מדענים אלו בתחום התנהגות החומר ברמה האטומית שימשו במהלך הפיתוח של התאוריה הקינטית. הראפאת', לדוגמה, ניסה להסביר את השפעת הכבידה על גופים רחוקים באמצעות מערכת של חלקיקים מתנגשים. הוא קישר בין הטמפרטורה הגבוהה שבקרבת השמש לתיאורית חלקיקי הגרוויטציה. מכאן, הוא הסיק שקיים קשר בין מהירות חלקיקים לטמפרטורה. הראפאת' שיער כי התנע של חלקיקי גז הוא מדד לטמפרטורה המוחלטת של הגז. המודל של הראפאת' לא צלח, משום שהוא קישר את הטמפרטורה לתנע, ולא לאנרגיה הקינטית של החלקיקים. הראפאת' עשה שימוש במודל המבוסס על שימור תנע על מנת לעקוף את הבעיות הכרוכות במודל המבוסס על התנגשויות אלסטיות ברמה האטומית – תופעה שנכונותה טרם הייתה ידועה. השימוש בתנע הוביל אותו לתוצאה השגויה שמכפלת הלחץ P והנפח V פרופורציונית לריבוע הטמפרטורה. הקשר הנכון, הנובע מעבודתו של ברנולי הוא שמכפלת הלחץ והנפח פרופורציונית לטמפרטורה. ב-1859 פרסם רודולף קלאוזיוס מאמר על דיפוזיית מולקולות. באותה השנה פיתח הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול את התפלגות מקסוול של מהירויות מולקולריות. התפלגות זו מבטאת את כמות המולקולות בגז, שלהן טווח מהירויות מסוים. התפלגות זו הייתה לחוק הסטטיסטי הראשון בפיזיקה. ב-1873, פרסם מקסוול את מאמרו בן שלושה-עשר העמודים "מולקולות" בגיליון ספטמבר של Nature. במאמר מקסוול הסביר את תופעת הלחץ והטמפרטורה של גזים ברמה המולקולרית, בהתבסס על התפלגות המהירויות. בראשית המאה ה-20, מדענים רבים חשבו שהאטומים הם ישויות היפותטיות בלבד. נקודת מפנה חשובה ביצירת ההבנה המקובלת היום נמצאת במאמרו של אלברט איינשטיין משנת 1905 על תנועה בראונית. איינשטיין הצליח לעשות מספר ניבויים מוצלחים במאמרו, בהתבסס על התאוריה הקינטית ועל מחקרו של מקסוול בתחום התרמודינמיקה. התאוריה הקינטית של גזים אידיאלים מתבססת על מספר הנחות יסוד. הגז מורכב מחלקיקים קטנים ביותר. לכל חלקיק יש מסה מוגדרת. מספר המולקולות בגז הוא גדול ביותר, כך שניתן להפעיל עליו שיקולים סטטיסטיים. המולקולות נעות בתנועה אקראית מתמדת. החלקיקים רבי המהירות מתנגשים ללא הרף זה בזה ובדפנות המכל. התנגשויות חלקיקי הגז עם דפנות המכל הן אלסטיות לחלוטין. האינטראקציות הבין מולקולריות ניתנות להזנחה. המולקולות לא מפעילות כוח זו על זו, למעט בשעת התנגשות. זה אומר שמרחק בין-חלקיקי ממוצע הוא גבוה בהרבה מאורך גל דה ברויי. הנפח הכולל של המולקולות זניח ביחס לנפח המכל. דהיינו, המרחק הממוצע בין חלקיקי הגז גדול מאוד ביחס לגודל המולקולות. למולקולות צורה כדורית, והן אלסטיות מטבען. האנרגיה הקינטית הממוצעת של חלקיקי הגז תלויה באופן בלעדי בטמפרטורה של המערכת. אפקטים יחסותיים ניתנים להזנחה. אפקטים הנובעים ממכניקת הקוונטים ניתנים אף הם להזנחה. כלומר, המרחקים בין החלקיקים גדולים בהרבה מאורך הגל התרמי של דה ברויי. המולקולות מתפקדות כעצמים קלאסיים. זמן ההתנגשות של מולקולות בדפנות המכל זניח בהשוואה לזמן בין שתי התנגשויות עוקבות. משוואות התנועה של המולקולות סימטריות בזמן. פיתוחים מודרניים יותר של התאוריה הקינטית זונחים את ההנחות הללו, ומתבססים על משוואת בולצמן, המטפלת במקרים כלליים יותר. משוואה זו מתארת היטב את התנהגותם של גזים דחוסים, משום שהיא מתייחסת לנפח המולקולות. ההנחות הנחוצות היחידות הן העדר אפקטים קוונטיים, כאוס מולקולרי וגרדיאנטים קטנים במסת החומר. לחץ מוסבר בתאוריה הקינטית כתוצאה של הכוח שמפעילות המולקולות על דפנות המכל. גז מסוים בעל N מולקולות שכל אחת מהן בעלת מסה m סגור בתוך קובייה בעלת נפח V. כאשר מולקולת גז מתנגשת בדופן הניצבת לציר ה-x וחוזרת בכיוון הנגדי באותה המהירות (התנגשות אלסטית) השינוי בתנע (המתקף) של המולקולה יהיה: Δ p x = p i − p f = 2 m v x {\displaystyle \Delta p_{x}=p_{i}-p_{f}=2mv_{x}\,} vx הוא המהירות ההתחלתית של החלקיק בציר ה-x. החלקיק מתנגש בדופן כל 2l/vx יחידות זמן (l הוא אורך המקצוע של המכל). אף על פי שבפרק זמן זה החלקיק מתנגש פעם אחת גם בדופן הנגדית (בדרכו חזרה לדופן הראשונה), רק השינוי בתנע על ידי דופן אחת רלוונטי, ולכן התנע של החלקיק משתנה על ידי דופן אחת כל 2l/vx יחידות זמן. Δ t = 2 l v x {\displaystyle \Delta t={\frac {2l}{v_{x}}}} הכוח שמפעיל החלקיק על הדופן בעת השינוי בתנע: F = Δ p Δ t = 2 m v x 2 l v x = m v x 2 l {\displaystyle F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {2mv_{x}}{\frac {2l}{v_{x}}}}={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}} הכוח הכולל הפועל על הדופן: F = m ∑ j v j x 2 l {\displaystyle F={\frac {m\sum _{j}v_{jx}^{2}}{l}}} פעולת הסיכום נעשית על כל מולקולות הגז במכל. מהירות כל חלקיק היא: v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 {\displaystyle v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}} משום שלתיבה שש דפנות, הכוח הכולל שיפעל על דפנות המכל יתקבל מסכימת ביטויי הכוח בכל הצירים. Total Force = 2 ⋅ m l ( ∑ j v j x 2 + ∑ j v j y 2 + ∑ j v j z 2 ) = 2 ⋅ m l ∑ j ( v j x 2 + v j y 2 + v j z 2 ) = 2 ⋅ m ∑ j v j 2 l {\displaystyle {\mbox{Total Force}}=2\cdot {\frac {m}{l}}(\sum _{j}v_{jx}^{2}+\sum _{j}v_{jy}^{2}+\sum _{j}v_{jz}^{2})=2\cdot {\frac {m}{l}}\sum _{j}(v_{jx}^{2}+v_{jy}^{2}+v_{jz}^{2})=2\cdot {\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{l}}} המכפלה בשתיים מתקבלת מהתחשבות בשתי הדפנות על כל אחד מהצירים. בהתחשב בכך שמספר החלקיקים N הוא גדול ותנועתם אקראית די הצורך, הכוח הפועל על כל אחת מהדפנות יהיה בקירוב טוב שווה. הכוח הפועל על דופן אחת הוא: F = 1 6 ( 2 ⋅ m ∑ j v j 2 l ) = m ∑ j v j 2 3 l {\displaystyle F={\frac {1}{6}}\left(2\cdot {\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{l}}\right)={\frac {m\sum _{j}v_{j}^{2}}{3l}}} את הגודל 1 N ∑ j v j 2 {\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j}v_{j}^{2}} ניתן לסמן ב- v 2 ¯ {\displaystyle {\overline {v^{2}}}} - זהו ריבוע ממוצע ה-RMS של המהירות כלל החלקיקים, המסומן גם כ- v r m s 2 {\displaystyle v_{rms}^{2}} . לכן, הכוח הוא: F = N m v r m s 2 3 l {\displaystyle F={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3l}}} הלחץ (כוח ליחידת שטח) של הגז הוא: P = F A = N m v r m s 2 3 A l {\displaystyle P={\frac {F}{A}}={\frac {Nmv_{rms}^{2}}{3Al}}} כאשר A הוא שטח הדופן של המכל. המכפלה Al היא נפח המכל. לכן: P = N m v r m s 2 3 V {\displaystyle P={Nmv_{rms}^{2} \over 3V}} כאשר V הוא נפח המכל. המכפלה Nm היא המסה הכוללת של הגז (מספר החלקיקים כפול מסת כל חלקיק). מנת המסה בנפח היא צפיפות הגז. P = 1 3 ρ   v r m s 2 {\displaystyle P={1 \over 3}\rho \ v_{rms}^{2}} כאשר ρ היא צפיפות הגז. התוצאה מעניינת וחשובה, משום שהיא מקשרת בין לחץ – תכונה מקרוסקופית של החומר ובין האנרגיה הקינטית הקווית הממוצעת של כל מולקולה (1/2mvrms2) – תכונה מיקרוסקופית של החומר. מכפלת הלחץ והנפח היא שני שלישים מהאנרגיה הקינטית הכוללת. ניתן לחשב את מספר ההתנגשויות האטומיות או המולקולריות עם דופן המכל ליחידת שטח, ליחידת זמן. בהנחה כי מדובר בגז אידיאלי, פיתוח של [1] מניב משוואה של מספר ההתנגשויות הכולל ליחידת זמן ליחידת שטח: A = 1 4 N V v a v e = ρ 4 8 k T π m 1 m {\displaystyle {\frac {1}{4}}{\frac {N}{V}}v_{ave}={\frac {\rho }{4}}{\sqrt {\frac {8kT}{\pi m}}}{\frac {1}{m}}\,} המשוואה העיקרית המקשרת בין לחץ, אנרגיה קינטית ונפח מלמדת כי המכפלה של הלחץ והנפח למול פרופורציונית לאנרגיה הקינטית המולקולרית הממוצעת. זאת ועוד, ממשוואת הגז האידיאלי (   p V = n R T {\displaystyle \ pV=nRT} ) נובע כי מכפלה זו פרופורציונית לטמפרטורה המוחלטת. מכאן נובע כי אנרגיה קינטית מולקולרית ממוצעת פרופורציונית לטמפרטורה האבסולוטית. מקדם הפרופורציה למספר דרגות החופש המולקולריות של הגז הוא מחצית מקבוע בולצמן. לגזים חד אטומיים 3 דרגות חופש. לגזים דו אטומיים יש 7 דרגות חופש (כאשר בגזים קלים יותר, יש רק 5). מהנוסחא לאנרגיה קינטית נובע כי v r m s 2 = 3 R T molar mass {\displaystyle v_{rms}^{2}={\frac {3RT}{\mbox{molar mass}}}} V נמדד ב-m/s,ו- T בקלווין. R הוא קבוע הגזים. המסה המולארית נמדדת ב- Kg/mole. מהתפלגות מקסוול נובע כי המהירות בעלת התוחלת הגבוהה ביותר היא 81.6% מהממוצע ההנדסי של המהירויות. התפלגות מקסוול-בולצמן תאוריית ההתנגשויות המולקולריות התיאוריה הקינטית של הגזים, דף שער בספרייה הלאומית בחלק החמישי של הספר השני של הפרינקיפיה ניוטון ניסה להסביר את חוק בויל האמפירי (שהלחץ שצריך להפעיל על גז כדי לדחוס אותו לנפח מסוים משתנה ביחס ישר לצפיפות הגז) כנובע מדחייה סטטית בין המולקולות המשתנה ביחס הפוך למרחק ביניהן. אף שההוכחה שלו נכונה, בפועל כוח הדחייה הבין מולקולרי זניח כשלעומת זאת המולקולות אינן סטטיות, כך שמה שיוצר את הלחץ הוא ההתנגשויות שלהן עם הדופן.