תורת הקירובים

תורת הקירובים היא תחום באנליזה מתמטית, העוסק בקירוב מיטבי של פונקציות ממשיות ומרוכבות באמצעות פונקציות פשוטות יותר, ובהערכת השגיאה הכרוכה בקירוב שכזה. במחשב, המתוכנן לבצע רק מספר פעולות לוגיות ואריתמטיות, לרבות ארבע פעולות החשבון, אפשר לחשב בקלות פולינומים. בין השימושים החשובים של תורת הקירובים אפשר למנות את החישוב המהיר של פונקציות מורכבות יותר (כגון פונקציות טריגונומטריות, לוגריתם או פונקציה מעריכית), שאותן מקרבים באמצעות פולינומים או מנות של פולינומים. בקירוב של פונקציה נתונה, המטרה המרכזית היא הקטנת גודל השגיאה. מטרה זו אפשר להשיג על ידי הגדלת המעלה של הפולינום בו משתמשים לקירוב. משפט הקירוב של ויירשטראס מבטיח שאם f {\displaystyle \,f} היא פונקציה רציפה בקטע, אז קיימת סדרה של פולינומים המתכנסים אליה במידה שווה באותו קטע. במילים אחרות, אפשר להבטיח שגיאה מקסימלית קטנה ככל שנרצה, אם רק נרשה למעלת הפולינום להיות גדולה מספיק. במקרים אחרים יש לחלק את הקטע לקטעי-משנה, ולהשתמש בפולינום מתאים בכל אחד מאלו. לאחר שנקבעו הפונקציה   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} , מעלת הפולינום   n {\displaystyle \ n} , והקטע I {\displaystyle \,I} שמעליו יחול הקירוב, מחפשים את הפולינום   P ( x ) {\displaystyle \ P(x)} מן המעלה הרצויה, שעבורו הערך המקסימלי של השגיאה   | f ( x ) − P ( x ) | {\displaystyle \ |f(x)-P(x)|} יהיה הקטן ביותר האפשרי. באיור משמאל מובאת השוואה בין שני קירובים של הפונקציה   e x {\displaystyle \ e^{x}} בקטע   [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \ [-1,1]} , באמצעות פולינומים ממעלה 4: פולינום צ'בישב (כחול), והפולינום האופטימלי (אדום). אפשר לנסח את הבעיה הכללית של קירוב פונקציות באופן הבא. נתונה משפחה של פונקציות שאותן רוצים לקרב (למשל, פונקציות רציפות בקטע מסוים, נאמר I {\displaystyle \,I} ), ומשפחה של פונקציות "פשוטות", שבהן מותר להשתמש לצורך הקירוב (למשל, פולינומים). אם מטרת הקירוב היא להבטיח שגיאה קטנה בכל מחיר, נדרוש שלכל פונקציה f {\displaystyle \,f} במשפחה הראשונה ולכל   0 < ε {\displaystyle \ 0<\varepsilon } , אפשר יהיה למצוא פונקציה פשוטה p {\displaystyle \,p} , כך ש-   | f ( x ) − p ( x ) | < ε {\displaystyle \ |f(x)-p(x)|<\varepsilon } לכל x {\displaystyle \,x} בקטע. בדרישה זו אפשר לטפל במסגרת האנליזה הפונקציונלית, באופן הבא: מניחים ש- B {\displaystyle \,B} הוא מרחב בנך של פונקציות המוגדרות בקטע, למשל, מרחב הפונקציות הרציפות, עם נורמת הסופרימום. תנאי השגיאה החסומה שקול פורמלית לכך שמרחב הפונקציות הפשוטות V {\displaystyle \,V} יהיה צפוף במרחב הפונקציות שרוצים לקרב, B {\displaystyle \,B} . באופן דומה אפשר לטפל גם בקירוב סימולטני של הפונקציה ושל נגזרות שלה, וכן הלאה. במקרים אחרים מעוניינים יותר בגודל השגיאה הממוצעת, ומוכנים להרשות שגיאות גדולות יותר באופן נקודתי, בתנאי שהשגיאה הממוצעת תהיה קטנה. בבעיות כאלה מטפלים על ידי בחירת המשפחה B {\displaystyle \,B} להיות מרחב הילברט (למשל, מרחב הפונקציות f {\displaystyle \,f} כך שהאינטגרל   ∫ I f 2 ( x ) d x {\displaystyle \ \int _{I}f^{2}(x)\,dx} קיים וסופי). במקרה כזה אפשר לצפות שלקבוצת הפונקציות הפשוטות יהיה בסיס אורתונורמלי, תכונה המאפשרת לחשב את הקירוב באמצעות נוסחאות אינטגרליות. אנליזת פורייה, העוסקת בקירובים באמצעות פונקציות טריגונומטריות, מיוסדת על כך שהפונקציות   1 2 π , cos ⁡ ( n t ) π , sin ⁡ ( n t ) π {\displaystyle \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},{\frac {\cos(nt)}{\sqrt {\pi }}},{\frac {\sin(nt)}{\sqrt {\pi }}}} מהוות קבוצה אורתונורמלית של פונקציות במרחב   L 2 [ − π , π ] {\displaystyle \ L^{2}[-\pi ,\pi ]} . דוגמה חשובה בכיוון זה נותנים פולינומי צ'בישב   T n ( x ) {\displaystyle \ T_{n}(x)} , המהווים קבוצה אורתוגונלית מעל הקטע   [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \ [-1,1]} , עם המכפלה הסקלרית ⟨ f , g ⟩ = ∫ − 1 1 f ( x ) g ( x ) 1 − x 2 d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}{\frac {f(x)g(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx} . את הפולינומים אפשר להגדיר לפי הזהות   T n ( cos ⁡ ( t ) ) = cos ⁡ ( n t ) {\displaystyle \ T_{n}(\cos(t))=\cos(nt)} , ומנוסחאות דה-מואבר נובע שמעלתו של הפולינום ה- n {\displaystyle \,n} בסדרה היא n {\displaystyle \,n} . אם   f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ c k T k ( x ) {\displaystyle \ f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}T_{k}(x)} , אז   ∑ k = 0 n c k T k ( x ) {\displaystyle \ \sum _{k=0}^{n}c_{k}T_{k}(x)} הוא פולינום ממעלה n {\displaystyle \,n} , המהווה בדרך כלל קירוב טוב מאוד (גם אם לא אופטימלי) לפונקציה f {\displaystyle \,f} בקטע   [ − 1 , 1 ] {\displaystyle \ [-1,1]} . סדרות אחרות של פולינומים המופיעים בהקשרים דומים הן הסדרות של פולינומי לז'נדר והרמיט. טור פורייה A.F.Timan, Theory of approximation of functions of a real variable, 1963 ISBN 048667830X Linear Operators and Approximation Theory, P. P. Korovkin. K.-G. Steffens The History of Approximation Theory: From Euler to Bernstein Birkhauser, Boston 2006. שיטות קרוב, דף שער בספרייה הלאומית