דיאגרמת סמית

דיאגרמת סמית היא כלי עזר גרפי המשמש בהנדסת חשמל לפתרון בעיות הנוגעות לקווי תמסורת ותיאום עכבות. הדיאגרמה הומצאה בידי פיליפ ה. סמית ב-1939 עת שעבד במעבדות בל. הדיאגרמה היא כלי שימושי ונפוץ עד היום, על אף שכיום תוכנת מחשב יכולה לבצע את אותן המטלות בקלות. דיאגרמת סמית מקשרת בין גדלים שונים, כגון: עכבה חשמלית, מתירות (אדמיטנס), מקדם החזרה, יחס גלים עומדים (SWR) ועוד. דיאגרמת סמית היא שרטוט במישור המרוכב של מקדם ההחזרה Γ {\displaystyle \Gamma } , כאשר הציר האופקי מתאר את הרכיב הממשי של מקדם ההחזרה והציר האנכי את הרכיב המרוכב שלו. הגדלים הרלוונטיים עבור הדיאגרמה בדרך כלל מנורמלים לפי גודל אופייני של המערכת, למשל לפי העכבה של קו התמסורת: z ¯ = Z ( z ) Z 0 {\displaystyle {\bar {z}}={\frac {Z(z)}{Z_{0}}}} , כאשר Z ( z ) {\displaystyle Z(z)} העכבה בנקודה z {\displaystyle z} , Z 0 {\displaystyle Z_{0}} העכבה של קו התמסורת ו- z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} העכבה המנורמלת. באופן זה ניתן באמצעות כפל פשוט לעבור מהגודל שמציגה הדיאגרמה לגודל הרלוונטי עבור המערכת. מקדם ההחזרה Γ {\displaystyle \Gamma } אינו מנורמל מכיוון שהוא גודל מרוכב חסר יחידות שמקיים | Γ | < 1 {\displaystyle |\Gamma |<1} . הסימונים ההיקפיים בקצוות הדיאגרמה הם סקלות של זוויות ושל אורך גל. הזווית מייצגת את הפאזה של מקדם ההחזרה. השימוש העיקרי של סקלת אורך הגל הוא בפתרון בעיות במערכות מפולגות. זהו המרחק הנמדד על קו התמסורת לכיוון המקור או לכיוון העומס, ביחידות של אורך הגל הרלוונטי לבעיה λ {\displaystyle \lambda } (סיבוב שלם מייצג תנועה של חצי אורך גל על קו התמסורת). הליכה על הציר ההיקפי עם כיוון השעון מסמנת בדיקה של המרחק לכיוון המקור, והליכה נגד כיוון השעון מסמנת בדיקה של המרחק לכיוון העומס. מכיוון שהעכבות והמתירויות תלויים בתדירות של הגל האלקטרומגנטי, ניתן להשתמש בדיאגרמת סמית בשביל לפתור עבור תדירות אחת בכל פעם. עבור יישומים קצרי סרט פתרון זה מספיק בשביל לספק את המטרות לרוב חבילת הגלים, אולם ביישומים עם סרט רחב נוצר צורך לפתור עבור מספר תדרים ולאחר מכן לחבר את התוצאות, דבר אשר מפחית את הדיוק של הפתרון. קו תמסורת מורכב לרוב משני מוליכים המחוברים בכל קצה להדקים, וביניהם חומר דיאלקטרי. בתוך קו התמסורת מתקיימת משוואת הגלים עבור השדה החשמלי ועבור השדה המגנטי, ולכן קיים עבורו פתרון של גל נסוג וגל מתקדם. לאופן המולך קיטוב TEM, וניתן לתת למתח ולזרם פתרון בצורה של גל נסוג וגל מתקדם: V ( z ) = V + e − j k z + V − e j k z {\displaystyle V(z)=V_{+}e^{-jkz}+V_{-}e^{jkz}} I ( z ) = V + Z 0 e − j k z − V − Z 0 e j k z {\displaystyle I(z)={\frac {V_{+}}{Z_{0}}}e^{-jkz}-{\frac {V_{-}}{Z_{0}}}e^{jkz}} מידע נוסף על פיתוח זה ניתן לקרוא תחת משוואות הטלגרפיה. עבור העכבה האופיינית Z 0 {\displaystyle Z_{0}} והמתירות האופיינית Y 0 = 1 Z 0 {\displaystyle Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}} , ניתן להגדיר לכל עכבה Z ( z ) {\displaystyle Z(z)} ומתירות Y ( z ) {\displaystyle Y(z)} במערכת גודל מנורמל: z ¯ = Z Z 0 , y ¯ = Y Y 0 {\displaystyle {\bar {z}}={\frac {Z}{Z_{0}}},{\bar {y}}={\frac {Y}{Y_{0}}}} מקדם ההחזרה מוגדר בתור היחס בין הגל הנסוג לגל המתקדם. נגדיר כי העומס נמצא בנקודה z = 0 {\displaystyle z=0} , ואז מקדם ההחזרה של העומס יהיה: Γ ( z = 0 ) ≡ Γ L = V − e j k ⋅ 0 V + e − j k ⋅ 0 = V − V + {\displaystyle \Gamma (z=0)\equiv \Gamma _{L}={\frac {V_{-}e^{jk\cdot 0}}{V_{+}e^{-jk\cdot 0}}}={\frac {V_{-}}{V_{+}}}} כך ניתן להגדיר באמצעות הגודל Γ L {\displaystyle \Gamma _{L}} את מקדם ההחזרה לכל z {\displaystyle z} עד כדי הבדל פאזה: Γ ( z ) = V − e j k z V + e − j k z = Γ L e 2 j k z {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {V_{-}e^{jkz}}{V_{+}e^{-jkz}}}=\Gamma _{L}e^{2jkz}} עבור גל מתקיים k = 2 π λ {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} , כך שעם תלות באורך הגל מתקבל Γ ( z ) = Γ L e j 4 π λ z {\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma _{L}e^{j{\frac {4\pi }{\lambda }}z}} , גודל בעל מחזוריות של λ 2 {\displaystyle {\frac {\lambda }{2}}} . העכבה מוגדרת בתור היחס בין המתח לזרם, כלומר: Z ( z ) ≡ V ( z ) I ( z ) {\displaystyle Z(z)\equiv {\frac {V(z)}{I(z)}}} . באמצעות הביטויים למתח ולזרם, הגדלים שמצאנו לעיל נותנים לנו ביטוי לעכבה בכל נקודה כתלות במקדם ההחזרה בנקודה זו: Z ( z ) = V ( z ) I ( z = V + e − j k z + V − e j k z V + Z 0 e − j k z − V − Z 0 e j k z = Z 0 V + ( e − j k z + Γ L e j k z ) V + ( e − j k z − Γ L − e j k z ) = Z 0 1 + Γ ( z ) 1 − Γ ( z ) {\displaystyle Z(z)={\frac {V(z)}{I(z}}={\frac {V_{+}e^{-jkz}+V_{-}e^{jkz}}{{\frac {V_{+}}{Z_{0}}}e^{-jkz}-{\frac {V_{-}}{Z_{0}}}e^{jkz}}}=Z_{0}{\frac {V_{+}(e^{-jkz}+\Gamma _{L}e^{jkz})}{V_{+}(e^{-jkz}-\Gamma _{L}-e^{jkz})}}=Z_{0}{\frac {1+\Gamma (z)}{1-\Gamma (z)}}} או באמצעות עכבה מנורמלת: z ¯ = 1 + Γ ( z ) 1 − Γ ( z ) {\displaystyle {\bar {z}}={\frac {1+\Gamma (z)}{1-\Gamma (z)}}} . למעשה, z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} ו- Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} קשורות באמצעות העתקת מוביוס. בשימוש בדיאגרמת סמית מניחים כי אין איבודים בתוך קו התמסורת, כלומר k {\displaystyle k} גודל ממשי. ניתן לכתוב את מקדם ההחזרה בצורה: Γ ( z ) = Γ L e 2 j k z = Γ r ( z ) + j Γ i ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma _{L}e^{2jkz}=\Gamma _{r}(z)+j\Gamma _{i}(z)} , ובאופן דומה את האימפנדס המנורמל בתור: z ¯ = z r ( z ) + j z i ( z ) {\displaystyle {\bar {z}}=z_{r}(z)+jz_{i}(z)} . כך מהביטוי שלעיל עבור z ¯ {\displaystyle {\bar {z}}} מתקבל: z r + j z i = 1 + Γ r + j Γ i 1 − Γ r − j Γ i {\displaystyle z_{r}+jz_{i}={\frac {1+\Gamma _{r}+j\Gamma _{i}}{1-\Gamma _{r}-j\Gamma _{i}}}} אפשר מהשוואת חלק מדומה וחלק ממשי לפתור ולקבל שתי משפחות של מעגלים: ( Γ r − z r 1 + z r ) 2 + Γ i 2 = ( 1 1 + z r ) 2 {\displaystyle \left(\Gamma _{r}-{\frac {z_{r}}{1+z_{r}}}\right)^{2}+\Gamma _{i}^{2}=\left({\frac {1}{1+z_{r}}}\right)^{2}} ( Γ r − 1 ) 2 + ( Γ i − 1 z i ) 2 = ( 1 z i ) 2 {\displaystyle \left(\Gamma _{r}-1\right)^{2}+\left(\Gamma _{i}-{\frac {1}{z_{i}}}\right)^{2}=\left({\frac {1}{z_{i}}}\right)^{2}} התוצאה המתקבלת היא ש- z r {\displaystyle z_{r}} , החלק הממשי של האימפדס המנורמל, נמצא על מעגל בעל רדיוס 1 z r + 1 {\displaystyle {\frac {1}{z_{r}+1}}} שמרכזו בנקודה ( Γ r = z r z r + 1 , Γ i = 0 ) {\displaystyle \left(\Gamma _{r}={\frac {z_{r}}{z_{r}+1}},\Gamma _{i}=0\right)} , בעוד z i {\displaystyle z_{i}} , החלק המדומה של העכבה המנורמלת, נמצא על מעגל ברדיוס 1 | z i | {\displaystyle {\frac {1}{|z_{i}|}}} שמרכזו בנקודה ( Γ r = 1 , Γ i = 1 z i ) {\displaystyle \left(\Gamma _{r}=1,\Gamma _{i}={\frac {1}{z_{i}}}\right)} . דוגמאות למעגלים כאלה ניתן לראות בדיאגרמה שלעיל. החצי העליון של המישור מייצג חלק מדומה חיובי, כלומר התנהגות השראותית, והחלק התחתון של המישור מייצג חלק מדומה שלילי, כלומר התנהגות קיבולית. להלן כמה מקרים חשובים: עבור נתק (מעגל פתוח), z → ∞ {\displaystyle z\to \infty } . עבור הרכיב הממשי מתקבל מעגל ברדיוס 0 (נקודה) שמרכזו ב- ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} . זהו מצב של החזרה מלאה, ואכן מתקבל בהתאם Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1} . עבור קצר, z = 0 {\displaystyle z=0} . הנקודה המתאימה תהיה החיתוך בין המעגל שמייצג חלק ממשי 0 לבין זה שמייצג חלק מרוכב 0 (מקרה עבורו המיפוי הוא לקו ישר). חיתוך זה מתקבל בנקודה Γ = − 1 {\displaystyle \Gamma =-1} , כצפוי עבור קצר. דיאגרמת סמית עבור מתירויות בנויה באופן דומה לזו של העכבות. המתירות המנורמלת היא ההופכי של העכבה המנורמלת: y ¯ = 1 z ¯ {\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1}{\bar {z}}}} מכך נובע: y ¯ = 1 − Γ 1 + Γ ⇒ Γ = 1 − y ¯ 1 + y ¯ {\displaystyle {\bar {y}}={\frac {1-\Gamma }{1+\Gamma }}\Rightarrow \Gamma ={\frac {1-{\bar {y}}}{1+{\bar {y}}}}} דיאגרמת סמית למתירויות נראית כמו זו עבור עכבות, אבל הסקלה מסובבת ב- 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} . לאחר השינוי החלק העליון של המישור מייצג התנהגות קיבולית והחלק התחתון מייצג התנהגות השראתית. עבור הנקודה | Γ | = 0.63 , ∠ Γ = 60 ∘ {\displaystyle |\Gamma |=0.63,\angle \Gamma =60^{\circ }} , יש צורך לחפש על הסקלה של הזוויות את זו המתאימה ל- 60 ∘ {\displaystyle 60^{\circ }} ולמתוח קו ישר בינה לבין ראשית הצירים. קצה הדיאגרמה, לפני הסקלות, מייצג | Γ | = 1 {\displaystyle |\Gamma |=1} , ובעזרת סרגל אפשר למצוא את החלק היחסי המתאים למקדם ההחזרה. כך אם רדיוס המעגל הוא 100 מ"מ, יש לחפש על הסרגל את הנקודה 63 מ"מ. נקודה זו מופיעה בשרטוט משמאל בתור P 1 {\displaystyle P_{1}} . כדי לקבל את העכבה המתאימה לנקודה זו, יש להסתכל בנפרד על החלק הממשי ועל החלק המדומה. עבור החלק הממשי, ניתן לעקוב אחר המעגל הסגור. החיתוך שלו עם הציר האופקי ייתן את הערך: ℜ z ¯ = 0.8 {\displaystyle \Re {\bar {z}}=0.8} . עבור החלק המדומה, יש לעקוב אחר המעגל הפתוח עד החיתוך שלו עם היקף הדיאגרמה, שם רשום החלק המדומה המתאים: ℑ z ¯ = 1.4 {\displaystyle \Im {\bar {z}}=1.4} . סה"כ התקבל העכבה המנורמלת המתאימה: z ¯ = 0.8 + j 1.4 {\displaystyle {\bar {z}}=0.8+j1.4} . בקובץ שמשמאל מסומנות מספר נקודות המסוכמות בטבלה שלהלן. בפתרון בעיות של תיאום קווי תמסורת עולה במקרה רבים צורך לעבוד גם עם המתירויות וגם עם העכבות במקביל. ניתן להשתמש בדיאגרמה כפולה, המייצגת גם עכבות וגם מתירויות, אולם ניתן גם להשתמש בדיאגרמה אחת כדי להציג את אחותה. כדי לעבור מעכבה מנורמלת למתירות מנורמלת, יש לבחור את הנקודה שמייצגת את מקדם ההחזרה, ולבחור את הנקודה שנמצאת על אותו המעגל אבל במרחק של 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} (שימו לב שמדובר במעגל שמרכזו בראשית הצירים ומייצג את | Γ | {\displaystyle |\Gamma |} ). באופן זה, הנקודה P 1 {\displaystyle P_{1}} מהדוגמה הקודמת מועברת לנקודה Q 1 {\displaystyle Q_{1}} , אשר נותנת באותו האופן y ¯ = 0.3 − j 0.54 {\displaystyle {\bar {y}}=0.3-j0.54} . באותו אופן ניתן לראות כי הנקודה P 10 {\displaystyle P_{10}} מייצגת את העכבה z = 0.1 + j 0.22 {\displaystyle z=0.1+j0.22} , אשר מתאים למתירות: y ¯ = 1.8 − j 3.9 {\displaystyle {\bar {y}}=1.8-j3.9} (מופיע בתור Q 10 {\displaystyle Q_{10}} בשרטוט). David M. Pozar, Microwave Engineering, Wiley; 4 edition, 2011, pp.48-72. ISBN 0470631554 מדיה וקבצים בנושא דיאגרמת סמית בוויקישיתוף