אינטגרל רימן

באנליזה ממשית, אינטגרל רימן, שנוצר על ידי ברנהרד רימן, היה ההגדרה המדוקדקת הראשונה של אינטגרל כפונקציה של קטע. רעיון זה הוצג בפני הפקולטה באוניברסיטת גטינגן בשנת 1854, אך לא פורסם בכתב עת עד שנת 1868. עבור פונקציות רבות ויישומים פרקטיים, ניתן להעריך את אינטגרל רימן על ידי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או לבצע קירוב באמצעות שיטות נומריות. תהי f {\displaystyle f} פונקציה אי-שלילית בעלת ערך ממשי בקטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , ויהי S = { ( x , y ) :   a ≤ x ≤ b , 0 < y < f ( x ) } {\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}} האזור מתחת לגרף הפונקציה f {\displaystyle f} ומעל המרווח [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} (דוגמה באיור מימין). נמדוד את שטח S {\displaystyle S} ואחר כך נסמנו כך: ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} . הרעיון הבסיסי בשיטה של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לשטח של S {\displaystyle S} באמצעות מלבנים. ככל שמחלקים את הקטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ליותר תתי-קטעים, ישנם יותר מלבנים, ובכך הקירוב מדויק יותר. כאשר מספר המלבנים שואף לאינסוף, ניתן לומר שהשטח של סכום כל המלבנים שווה לשטח S {\displaystyle S} שמתחת לגרף. נשים לב כי f {\displaystyle f} יכולה להיות חיובית או שלילית, ההגדרה של S {\displaystyle S} משתנה כך שהאינטגרל תואם את האזור התחום מתחת לגרף של f {\displaystyle f}  : כלומר, האזור שמעל ציר x {\displaystyle x} פחות השטח שמתחת לציר x {\displaystyle x} . ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן". אינטגרל רימן אינו מתאים להרבה שימושים תאורטיים. שיטה מקבילה, אינטגרל רימן-סטילטג'ס (אנ'), היא בעלת דיוקים טכניים המגשרת מעל החסרונות באינטגרציה של רימן, ורובם נעלמים בשיטת אינטגרל לבג, אף על פי שלאחרון אין טיפול מספק באינטגרלים לא אמיתיים. אינטגרל הנסטוק הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן. תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים. חלוקה P {\displaystyle P} של קטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} היא רצף של n {\displaystyle n} נקודות ב- [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} המקיימות: a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b} . כל [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} נקרא תת-קטע של החלוקה. פרמטר החלוקה או הנורמה של P {\displaystyle P} מסומן ב- λ ( P ) {\displaystyle \lambda (P)} ומוגדר כאורכו של התת-קטע הארוך ביותר שלה. כלומר λ ( P ) = max { x i + 1 − x i ∣ 0 ≤ i ≤ n − 1 } {\displaystyle \lambda (P)=\max\{x_{i+1}-x_{i}\mid 0\leq i\leq n-1\}} . תהי f {\displaystyle f} פונקציה ממשית על הקטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . סכום רימן של f {\displaystyle f} ביחס לחלוקה המיוצגת על x 0 , … , x n {\displaystyle x_{0},\dots ,x_{n}} יחד עם בחירת נקודות t 0 , … , t n − 1 {\displaystyle t_{0},\dots ,t_{n-1}} כאשר t i ∈ [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]} הוא ∑ i = 0 n − 1 f ( t i ) ( x i + 1 − x i ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right)} . כל איבר בסכום הוא מכפלת הערך של הפונקציה בנקודה נתונה עם אורך הקטע בה היא נמצאת. כתוצאה מכך, כל איבר מייצג את השטח של מלבן בעל גובה f ( t i ) {\displaystyle f(t_{i})} ורוחב x i + 1 − x i {\displaystyle x_{i+1}-x_{i}} . סכום רימן הוא סכום של כל שטחי המלבנים. לפי הגדרת רימן, פונקציה f {\displaystyle f} אינטגרבילית בקטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} אם קיים   I {\displaystyle \ I} ממשי כך שלכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} כך שלכל חלוקה P {\displaystyle P} של הקטע המקיימת λ ( P ) ≤ δ {\displaystyle \lambda (P)\leq \delta } כל סכום רימן S {\displaystyle S} המתאים לאותה חלוקה מקיים ∣ S − I ∣< ε {\displaystyle \mid S-I\mid <\varepsilon } . אם קיים   I {\displaystyle \ I} העומד בדרישות אלו ניתן להוכיח שהוא יחיד, וערך האינטגרל של f {\displaystyle f} ב- [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} מוגדר להיות I {\displaystyle I} (כלומר ∫ a b f ( x ) d x := I {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=I} ). מושגים הקשורים זה לזה הם סכומי דרבו התחתונים והעליונים. אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה t i {\displaystyle t_{i}} מוחלף על ידי אינפימום וסופרמום (בהתאמה) של f {\displaystyle f} בכל תת-קטע: L ( f , P ) = ∑ i = 0 n − 1 inf t ∈ [ x i , x i + 1 ] f ( t ) ( x i + 1 − x i ) , U ( f , P ) = ∑ i = 0 n − 1 sup t ∈ [ x i , x i + 1 ] f ( t ) ( x i + 1 − x i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}} אם f {\displaystyle f} רציפה, סכומי הדרבו התחתונים והעליונים עבור חלוקה לא מסומנת שווים לסכום רימן עבור אותה חלוקה. מדיה וקבצים בנושא אינטגרל רימן בוויקישיתוף אינטגרל רימן, באתר MathWorld (באנגלית) The Riemann integral was introduced in Bernhard Riemann's paper "Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (On the representability of a function by a trigonometric series; i.e., when can a function be represented by a trigonometric series). This paper was submitted to the University of Göttingen in 1854 as Riemann's Habilitationsschrift (qualification to become an instructor). It was published in 1868 in Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Proceedings of the Royal Philosophical Society at Göttingen), vol. 13, pages 87-132. (Available online here.) For Riemann's definition of his integral, see section 4, "Über den Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit" (On the concept of a definite integral and the extent of its validity), pages 101–103. Krantz, Steven G. (1991). Real Analysis and Foundations. CRC Press. p. 173.