נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות

נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות היא נוסחה באלגברה המבטאת את הדטרמיננטה של מטריצה ריבועית באמצעות תמורות של איברי המטריצה. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ. אם A היא מטריצה מסדר n×n, אז אם נסמן ב-ai,j את האיבר בשורה ה-i ובעמודה ה-j, הנוסחה היא: det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) , i , {\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i),i},} כאשר sgn היא פונקציית הסימן של התמורות בחבורת התמורות Sn, והיא מחזירה 1+ אם התמורה זוגית (כלומר אם היא מתקבלת מתמורת הזהות על ידי מספר זוגי של חילופים) ו-1- אם התמורה אי-זוגית. ויזואלית ניתן לדמות את הנוסחה כסכום מסומן של כל המכפלות האפשריות של n מאיברי המטריצה כאשר הם נבחרים כך שאין שניים באותה עמודה או שורה. נוסחה זו היא הביטוי המתמטי היחיד המקבל כמשתנים את n2 איברי המטריצה, ומהווה תבנית מולטי-ליניארית (הווה אומר, ליניארית בכל אחד מאיברי המטריצה), מתחלפת (אנטי-סימטרית) ומנורמלת. זו הגרסה הסגורה להגדרה הרקורסיבית של הדטרמיננטה באמצעות פיתוח למינורים לפי שורה או עמודה מסוימת. את כמה מהתכונות הבסיסיות של הדטרמיננטה, כגון התאפסותה עבור מטריצה תלויית-שורות, ניתן להסביר כתוצא ישיר של הגדרה זו, וכפועל יוצא של הצורה המתמטית של הנוסחה. למשל, אם שתיים משורות המטריצה הריבועית זהות (עד כדי כפל בסקלר), אז מאנטי-סימטריות הדטרמיננטה נובע שאם נחליף בין השורות הזהות ערך הדטרמיננטה ישתנה מ- d e t ( A ) {\displaystyle det(A)} ל- − d e t ( A ) {\displaystyle -det(A)} ; אולם המטריצה נותרה אותו דבר (החלפנו שורות זהות), וכיוון שהמספר היחידי ששווה לנגדי של עצמו הוא 0 נובעת התאפסות הדטרמיננטה. בנימה דומה, כלל קרמר נובע ישירות ממולטי-ליניאריות הדטרמיננטה. חישוב ישיר של הדטרמיננטה על פי נוסחת לייבניץ דורש באופן כללי Ω ( n ! ⋅ n ) {\displaystyle \Omega (n!\cdot n)} פעולות בשדה; זה מאוד לא יעיל בעבור מטריצות גדולות. בעזרת דירוג מטריצות ניתן להוריד זאת ל-(O(n3, זאת שכן הדטרמיננטה של מטריצה משולשית שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה, ואת הדטרמיננטה המקורית ניתן לשחזר באמצעות "זכירת" הפעולות האלמנטריות שביצענו עד כה אשר שינו את ערכה. משפט. קיימת פונקציה יחידה F : M n ( K ) → K {\displaystyle F:M_{n}(\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} } אשר היא מתחלפת, מולטי-ליניארית ביחס לעמודות ושורות המטריצה, ומנורמלת כך ש- F ( I ) = 1 {\displaystyle F(I)=1} . הוכחה. יחידות: תהי F {\displaystyle F} פונקציה כזאת, ותהי A = ( a i j ) i = 1 , … , n j = 1 , … , n {\displaystyle A=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}} מטריצה מסדר n × n {\displaystyle n\times n} . נקרא ל- A j {\displaystyle A^{j}} העמודה ה- j {\displaystyle j} של A {\displaystyle A} , כלומר A j = ( a i j ) i = 1 , … , n {\displaystyle A^{j}=(a_{i}^{j})_{i=1,\dots ,n}} , כך ש- A = ( A 1 , … , A n ) . {\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).} . בנוסף, תהי E k {\displaystyle E^{k}} העמודה ה- k {\displaystyle k} של מטריצת הזהות. כעת נרשום את כל אחת מהעמודות A j {\displaystyle A^{j}} במונחי העמודות E k {\displaystyle E^{k}} , כלומר A j = ∑ k = 1 n a k j E k {\displaystyle A^{j}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{j}E^{k}} . כיוון ש- F {\displaystyle F} היא מולטי-ליניארית, מקבלים: F ( A ) = F ( ∑ k 1 = 1 n a k 1 1 E k 1 , … , ∑ k n = 1 n a k n n E k n ) = ∑ k 1 , … , k n = 1 n ( ∏ i = 1 n a k i i ) F ( E k 1 , … , E k n ) . {\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum _{k_{1}=1}^{n}a_{k_{1}}^{1}E^{k_{1}},\dots ,\sum _{k_{n}=1}^{n}a_{k_{n}}^{n}E^{k_{n}}\right)\\&=\sum _{k_{1},\dots ,k_{n}=1}^{n}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{k_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k_{1}},\dots ,E^{k_{n}}\right).\end{aligned}}} כיוון ש-F מתחלפת, כל איבר עם אינדקסים חוזרים הוא 0. הסכום לפיכך מוגבל ל-n-יות עם אינדקסים לא חוזרים, או במילים אחרות תמורות: F ( A ) = ∑ σ ∈ S n ( ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) F ( E σ ( 1 ) , … , E σ ( n ) ) . {\displaystyle F(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).} כיוון ש-F מתחלפת, העמודות E {\displaystyle E} ניתנות לשחלוף עד אשר המטריצה הופכת למטריצת הזהות (הדבר שקול לכפל במטריצת תמורה). פונקציית הסימן sgn ⁡ ( σ ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )} מוגדרת כך שתמנה את מספר חילופי העמודות הנחוצים ותביא לשינוי הסימן. לבסוף מקבלים: F ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ( ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) F ( I ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) i {\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}} שכן F ( I ) {\displaystyle F(I)} מוגדרת כשווה ל- 1 {\displaystyle 1} . לפיכך אף פונקציה אחרת חוץ מזו המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ יכולה להיות מולטי-ליניארית, מתחלפת ומנורמלת כך ש- F ( I ) = 1 {\displaystyle F\left(I\right)=1} . קיום: כעת נראה ש-F, כאשר F היא הפונקציה שמוגדרת של ידי נוסחת לייבניץ, היא בעלת שלוש תכונות. מולטי-ליניארית: F ( A 1 , … , c A j , … ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) c a σ ( j ) j ∏ i = 1 , i ≠ j n a σ ( i ) i = c ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) a σ ( j ) j ∏ i = 1 , i ≠ j n a σ ( i ) i = c F ( A 1 , … , A j , … ) F ( A 1 , … , b + A j , … ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ( b σ ( j ) + a σ ( j ) j ) ∏ i = 1 , i ≠ j n a σ ( i ) i = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ( ( b σ ( j ) ∏ i = 1 , i ≠ j n a σ ( i ) i ) + ( a σ ( j ) j ∏ i = 1 , i ≠ j n a σ ( i ) i ) ) = ( ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) b σ ( j ) ∏ i = 1 , i ≠ j n a σ ( i ) i ) + ( ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) i ) = F ( A 1 , … , b , … ) + F ( A 1 , … , A j , … ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{1},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{1},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b_{\sigma (j)}+a_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a_{\sigma (j)}^{j}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b_{\sigma (j)}\prod _{i=1,i\neq j}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{1},\dots ,b,\dots )+F(A^{1},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}} מתחלפת: F ( … , A j 1 , … , A j 2 , … ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ( ∏ i = 1 , i ≠ j 1 , i ≠ j 2 n a σ ( i ) i ) a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 {\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}\\\end{aligned}}} לכל σ ∈ S n {\displaystyle \sigma \in S_{n}} תהי σ ′ {\displaystyle \sigma '} ה-n-יה השווה ל- σ {\displaystyle \sigma } עם האינדקסים j 1 {\displaystyle j_{1}} ו- j 2 {\displaystyle j_{2}} מוחלפים. F ( A ) = ∑ σ ∈ S n , σ ( j 1 ) < σ ( j 2 ) [ sgn ⁡ ( σ ) ( ∏ i = 1 , i ≠ j 1 , i ≠ j 2 n a σ ( i ) i ) a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 + sgn ⁡ ( σ ′ ) ( ∏ i = 1 , i ≠ j 1 , i ≠ j 2 n a σ ′ ( i ) i ) a σ ′ ( j 1 ) j 1 a σ ′ ( j 2 ) j 2 ] = ∑ σ ∈ S n , σ ( j 1 ) < σ ( j 2 ) [ sgn ⁡ ( σ ) ( ∏ i = 1 , i ≠ j 1 , i ≠ j 2 n a σ ( i ) i ) a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 − sgn ⁡ ( σ ) ( ∏ i = 1 , i ≠ j 1 , i ≠ j 2 n a σ ( i ) i ) a σ ( j 2 ) j 1 a σ ( j 1 ) j 2 ] = ∑ σ ∈ S n , σ ( j 1 ) < σ ( j 2 ) sgn ⁡ ( σ ) ( ∏ i = 1 , i ≠ j 1 , i ≠ j 2 n a σ ( i ) i ) ( a σ ( j 1 ) j 1 a σ ( j 2 ) j 2 − a σ ( j 1 ) j 2 a σ ( j 2 ) j 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}+\operatorname {sgn}(\sigma ')\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma '(i)}^{i}\right)a_{\sigma '(j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma '(j_{2})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\left[\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)a_{\sigma (j_{2})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}\right]\\&=\sum _{\sigma \in S_{n},\sigma (j_{1})<\sigma (j_{2})}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\neq j_{1},i\neq j_{2}}^{n}a_{\sigma (i)}^{i}\right)\left(a_{\sigma (j_{1})}^{j_{1}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{2}}-a_{\sigma (j_{1})}^{j_{2}}a_{\sigma (j_{2})}^{j_{_{1}}}\right)\\\\\end{aligned}}} לכן אם A j 1 = A j 2 {\displaystyle A^{j_{1}}=A^{j_{2}}} אז F ( … , A j 1 , … , A j 2 , … ) = 0 {\displaystyle F(\dots ,A^{j_{1}},\dots ,A^{j_{2}},\dots )=0} . לסיום, נקבל F ( I ) = 1 {\displaystyle F(I)=1} : F ( I ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n I σ ( i ) i = sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n I σ ( i ) i where  σ = ( 1 , 2 , … , n ) .  For other choices of  σ , I σ ( i ) i = 0. = ∏ i = 1 n I i i = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\\F(I)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\\&=\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}I_{\sigma (i)}^{i}\qquad {\text{where }}\sigma =(1,2,\ldots ,n).{\text{ For other choices of }}\sigma ,I_{\sigma (i)}^{i}=0.\\&=\prod _{i=1}^{n}I_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}} לפיכך הפונקציות המולטי-ליניאריות ומתחלפות היחידות עם F ( I ) = 1 {\displaystyle F(I)=1} מוגבלות לצורה הפונקציונלית המוגדרת על ידי נוסחת לייבניץ, שלמעשה מקיימת את שלושת התנאים הללו. דטרמיננטה כלל קרמר