מידה מרוכבת

בתורת המידה, מידה מרוכבת היא פונקציית מידה שערכיה מרוכבים. פורמלית, מידה מרוכבת על מרחב מדיד ( X , M ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}}\right)} היא פונקציה μ : M → C {\displaystyle \mu :{\mathcal {M}}\to \mathbb {C} } שהיא סיגמא-אדיטיבית, כלומר μ ( ⋃ n = 1 ∞ E n ) = ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right)} לכל סדרה E 1 , E 2 , … {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots } של קבוצות זרות בזוגות השייכות ל- M {\displaystyle {\mathcal {M}}} . בפרט כל טור ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right)} כזה מתכנס ולמעשה אף מתכנס בהחלט. לא כל מידה חיובית היא מידה מרוכבת, משום שלמידות חיוביות מרשים לקבל את הערך ∞ {\displaystyle \infty } , ואילו ממידה מרוכבת דורשים שכל הערכים יהיו מספרים. למעשה, מידה מרוכבת תמיד חסומה (על ידי מידת המרחב כולו). יהי ( X , M ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}}\right)} מרחב מדיד ותהי μ {\displaystyle \mu } מידה מרוכבת עליו. הסיגמא-אדיטיביות גוררת את העובדה הפשוטה μ ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu (\varnothing )=0} וזו בתורה גוררת אדיטיביות סופית: μ ( A ∪ B ) = μ ( A ) + μ ( B ) {\displaystyle \,\mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)} לכל שתי קבוצות זרות A , B {\displaystyle A,B} . כפי שמתקיים עבור מידות חיוביות, μ {\displaystyle \mu } היא רציפה מלמטה: אם E 1 ⊆ E 2 ⊆ ⋯ {\displaystyle E_{1}\subseteq E_{2}\subseteq \cdots } היא סדרה עולה של קבוצות מדידות, אז מתקיים μ ( ⋃ n = 1 ∞ E i ) = lim n → ∞ μ ( E n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right)} . בדומה לזה, μ {\displaystyle \mu } היא רציפה מלמעלה: אם E 1 ⊇ E 2 ⊇ ⋯ {\displaystyle E_{1}\supseteq E_{2}\supseteq \cdots } היא סדרה יורדת של קבוצות מדידות, אז מתקיים μ ( ⋂ n = 1 ∞ E n ) = lim n → ∞ μ ( E n ) {\displaystyle \mu \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }\mu \left(E_{n}\right)} . האיחוד של סדרת קבוצות מדידות (וזרות בזוגות) E 1 , E 2 , … {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots } אינו תלוי בסדר האיברים, ולכן לכל הטורים המתקבלים מ- ∑ n = 1 ∞ μ ( E n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu \left(E_{n}\right)} על ידי סידור מחדש, יש אותו סכום. משפט סטנדרטי אומר שבמקרה זה הטור מתכנס בהחלט. תהי E {\displaystyle E} קבוצה מדידה ונגדיר פונקציה חדשה על M {\displaystyle {\mathcal {M}}} על ידי | μ | ( E ) = sup ∑ n = 1 ∞ | μ ( E n ) | {\displaystyle \left|\mu \right|\left(E\right)=\sup \sum _{n=1}^{\infty }\left|\mu \left(E_{n}\right)\right|} , כאשר הסופרמום נלקח על פני כל החלוקות האפשריות של E {\displaystyle E} לסדרה של קבוצות מדידות E 1 , E 2 , … {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots } (ניתן לקחת את הסופרמום רק על פני כל החלוקות שבהן E n = ∅ {\displaystyle E_{n}=\varnothing } לכל n {\displaystyle n} טבעי פרט למספר סופי של קבוצות בסדרה ולקבל הגדרה שקולה). ניתן להראות ש- | μ | {\displaystyle \left|\mu \right|} היא מידה חיובית ונהוג לכנות אותה מידת ההשתנות הכוללת (או מידת הערך המוחלט). למידה זו יש מספר תכונות מעניינות. ראשית כל, המידה המרוכבת μ {\displaystyle \mu } נשלטת על ידי | μ | {\displaystyle \left|\mu \right|} , כלומר | μ ( E ) | ≤ | μ | ( E ) {\displaystyle \left|\mu \left(E\right)\right|\leq \left|\mu \right|\left(E\right)} לכל E {\displaystyle E} מדידה. כמו כן, ברור כי | μ | {\displaystyle \left|\mu \right|} היא המידה החיובית המינימלית שלה תכונה זו. התכונה המפתיעה ביותר היא ש- | μ | {\displaystyle \left|\mu \right|} היא תמיד מידה סופית, כלומר | μ | ( X ) < ∞ {\displaystyle \left|\mu \right|\left(X\right)<\infty } . מכאן בפרט מקבלים שערכי המידה μ {\displaystyle \mu } שייכים כולם לעיגול הסגור ב- C {\displaystyle \mathbb {C} } שמרכזו בראשית ורדיוסו | μ | ( X ) {\displaystyle \left|\mu \right|\left(X\right)} . תהי μ {\displaystyle \mu } מידה מרוכבת. באמצעות משפט רדון-ניקודים ניתן להוכיח שקיימת פונקציה מרוכבת מדידה h {\displaystyle h} המקיימת | h ( x ) | = 1 {\displaystyle \left|h\left(x\right)\right|=1} לכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} כך ש- μ ( E ) = ∫ E h d | μ | {\displaystyle \mu \left(E\right)=\int _{E}h\,d\left|\mu \right|} לכל E {\displaystyle E} מדידה. h {\displaystyle h} זו היא הפונקציה היחידה שמקיימת תכונה זו, אם אנו מסכימים שלא להבדיל בין פונקציות שנבדלות בערכיהן רק על קבוצה ממידה μ {\displaystyle \mu } אפס. במצב זה מסמנים d μ = h d | μ | {\displaystyle d\mu =hd\left|\mu \right|} ואומרים שזהו פירוק פולרי של המידה μ {\displaystyle \mu } (באנלוגיה לפירוק הפולרי של מספר מרוכב). כעת בהתבסס על בניית אינטגרל לבג עבור מידות חיוביות ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת מדידה f {\displaystyle f} ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } באופן הבא: ∫ X f d μ = ∫ X f h d | μ | {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}fh\,d\left|\mu \right|} . בגישה אחרת, תחילה רושמים μ = μ 1 + i μ 2 {\displaystyle \mu =\mu _{1}+i\mu _{2}} , כאשר μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} היא החלק הממשי של μ {\displaystyle \mu } ו- μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} היא החלק המדומה של μ {\displaystyle \mu } . אז μ 1 {\displaystyle \mu _{1}} ו- μ 2 {\displaystyle \mu _{2}} הן מידות מרוכבות המחזירות ערכים ממשיים בלבד. באמצעות פירוק האן-ז'ורדן ניתן לרשום μ 1 = μ 1 + − μ 1 − {\displaystyle \mu _{1}=\mu _{1}^{+}-\mu _{1}^{-}} ו- μ 2 = μ 2 + − μ 2 − {\displaystyle \mu _{2}=\mu _{2}^{+}-\mu _{2}^{-}} , כאשר μ 1 + , μ 1 − , μ 2 + , μ 2 − {\displaystyle \mu _{1}^{+},\mu _{1}^{-},\mu _{2}^{+},\mu _{2}^{-}} הן מידות חיוביות סופיות מסוימות. כעת ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה ממשית מדידה f {\displaystyle f} ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } באופן הבא: ∫ X f d μ = ( ∫ X f d μ 1 + − ∫ X f d μ 1 − ) + i ( ∫ X f d μ 2 + − ∫ X f d μ 2 − ) {\displaystyle \int _{X}\!f\,d\mu =\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{1}^{-}\right)+i\left(\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{+}-\int _{X}\!f\,d\mu _{2}^{-}\right)} כל עוד הביטוי באגף ימין מוגדר היטב, כלומר לא נתקלים בהפרש מהצורה ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } . כעת עבור f {\displaystyle f} מרוכבת מדידה מגדירים באופן טבעי ∫ X f d μ = ∫ X R e ( f ) d μ + i ∫ X I m ( f ) d μ {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\mathrm {Re} \left(f\right)\,d\mu +i\int _{X}\mathrm {Im} \left(f\right)\,d\mu } . שתי הגדרות אלה ל- ∫ X f d μ {\displaystyle \int _{X}f\,d\mu } הן שקולות. האינטגרל ביחס למידה מרוכבת מקיים את כל התכונות הרגילות של אינטגרל לבג, לרבות ליניאריות האינטגרל ומשפטי ההתכנסות הידועים. כעת נניח ש- X {\displaystyle X} איננה סתם קבוצה, אלא מרחב טופולוגי, ונניח ש- M {\displaystyle {\mathcal {M}}} היא הסיגמא-אלגברה של בורל המתאימה ל- X {\displaystyle X} . בדומה למקרה של מידה חיובית, במקרה זה אנו אומרים ש- μ {\displaystyle \mu } היא מידת בורל. μ {\displaystyle \mu } נקראת מידת בורל רגולרית אם היא מידת בורל והמידה החיובית | μ | {\displaystyle \left|\mu \right|} היא רגולרית. אחד מהשימושים החשובים של מידות מרוכבות מתבטא במשפט ההצגה של ריס ל- C 0 ∗ ( X ) {\displaystyle C_{0}^{*}\left(X\right)} . המרחב C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}\left(X\right)} מורכב מכל הפונקציות f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיימת תת-קבוצה קומפקטית K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} שמחוצה לה ערכי הפונקציה f {\displaystyle f} קטנים בערכם המוחלט מ- ε {\displaystyle \varepsilon } . זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום, קרי ‖ f ‖ = sup x ∈ X | f ( x ) | {\displaystyle \left\Vert f\right\Vert =\sup _{x\in X}\left|f\left(x\right)\right|} . המרחב הדואלי שלו, C 0 ∗ ( X ) {\displaystyle C_{0}^{*}\left(X\right)} , מורכב מכל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים Φ : C 0 ( X ) → C {\displaystyle \Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C} } . כעת נניח ש- X {\displaystyle X} הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית. בהינתן מידת בורל מרוכבת רגולרית μ {\displaystyle \mu } על X {\displaystyle X} , ההעתקה f ↦ ∫ X f d μ {\displaystyle f\mapsto \int _{X}f\,d\mu } מגדירה פונקציונל ליניארי רציף על C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}\left(X\right)} . משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה ניתן להצגה בצורה שכזו. באופן יותר פורמלי, הוא אומר שעבור כל פונקציונל ליניארי רציף Φ : C 0 ( X ) → C {\displaystyle \Phi :C_{0}\left(X\right)\to \mathbb {C} } , קיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית μ {\displaystyle \mu } על X {\displaystyle X} כך ש- Φ ( f ) = ∫ X f d μ {\displaystyle \Phi \left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu } לכל f ∈ C 0 ( X ) {\displaystyle f\in C_{0}\left(X\right)} , כלומר Φ {\displaystyle \Phi } מיוצג כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה המרוכבת μ {\displaystyle \mu } . המידה μ {\displaystyle \mu } המתאימה ל- Φ {\displaystyle \Phi } מקיימת בנוסף את השוויון ‖ Φ ‖ = | μ | ( X ) {\displaystyle \left\Vert \Phi \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right)} . אם ( X , M ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}}\right)} הוא מרחב מדיד, אוסף כל המידות המרוכבות עליו מהווה מרחב וקטורי מעל C {\displaystyle \mathbb {C} } תחת פעולות חיבור וכפל בסקלר נקודתיות, כלומר ( μ + λ ) ( E ) = μ ( E ) + λ ( E ) {\displaystyle \left(\mu +\lambda \right)\left(E\right)=\mu \left(E\right)+\lambda \left(E\right)} ו- ( c μ ) ( E ) = c μ ( E ) {\displaystyle \left(c\mu \right)\left(E\right)=c\mu \left(E\right)} לכל שתי מידות מרוכבות μ , λ {\displaystyle \mu ,\lambda } ולכל סקלר קומפלקסי c {\displaystyle c} . ההעתקה ‖ μ ‖ = | μ | ( X ) {\displaystyle \left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right)} מגדירה נורמה על מרחב זה והופכת אותו למרחב בנך, אשר לעיתים מסומן M ( X ) {\displaystyle \mathbf {M} \left(X\right)} . אם X {\displaystyle X} הוא מרחב טופולוגי האוסדורף וקומפקטי מקומית ו- M {\displaystyle {\mathcal {M}}} היא אלגברת בורל שלו, אוסף כל המידות המרוכבות הרגולריות עליו הוא תת-מרחב סגור של M ( X ) {\displaystyle \mathbf {M} \left(X\right)} ולמעשה משפט ההצגה של ריס אומר שתת-מרחב זה הוא איזומורפי (במובן של איזומטריה ליניארית) ל- C 0 ∗ ( X ) {\displaystyle C_{0}^{*}\left(X\right)} . מידה חיובית מידה מסומנת משפט ההצגה של ריס