אינדוקציה נתרית

באלגברה קומוטטיבית, אינדוקציה נתרית (Noetherian induction) היא שיטת הוכחת טענות על אלגברות נתריות, שדומה במובן מסוים לאינדוקציה הרגילה. תהי R {\displaystyle R} אלגברה נתרית. כדי להוכיח עליה טענה מסוימת, ניתן להיעזר באינדוקציה נתרית - ניתן להניח שהטענה לא נכונה עבור אלגברה כלשהי, אבל נכונה לכל אלגברת מנה R / A {\displaystyle R/A} עבור כל אידיאל 0 ≠ A ◃ R {\displaystyle 0\neq A\triangleleft R} , ואז להמשיך באינדוקציה. הסבר - יהי L {\displaystyle L} אוסף כל האידיאלים A {\displaystyle A} של R {\displaystyle R} כך ש- R / A {\displaystyle R/A} דוגמה נגדית לטענה. האוסף אינו ריק, משום שאידיאל האפס שם. R {\displaystyle R} נתרי, ולכן ל- L {\displaystyle L} יש מקסימום, נאמר I 1 {\displaystyle I_{1}} . בכך למעשה הוכחה הטענה, משום שמתקבלת אלגברה R / I {\displaystyle R/I} שאינה מקיימת את הטענה, ולכל אידיאל אמיתי שלה 0 ≠ I 2 / I 1 ◃ R / I 1 {\displaystyle 0\neq I_{2}/I_{1}\triangleleft R/I_{1}} המנה מקיימת את הטענה, משום ש- ( R / I 1 ) / ( I 2 / I 1 ) ≅ R / I 2 {\displaystyle (R/I_{1})/(I_{2}/I_{1})\cong R/I_{2}} , ו- I 1 ⊊ I 2 {\displaystyle I_{1}\subsetneq I_{2}} . טענה: אם R {\displaystyle R} נתרי, קיימים אידיאלים ראשוניים P 1 , . . . , P t ∈ s p e c ( R ) {\displaystyle P_{1},...,P_{t}\in spec(R)} כך ש- P 1 ⋅ . . . P t = 0 {\displaystyle P_{1}\cdot ...P_{t}=0} . הוכחה: באינדוקציה נתרית, נניח כי R {\displaystyle R} דוגמה נגדית, אבל R / I {\displaystyle R/I} איננו דוגמה נגדית לכל 0 ≠ I ◃ R {\displaystyle 0\neq I\triangleleft R} . כעת, R {\displaystyle R} דוגמה נגדית, ולכן איננו תחום שלמות (אחרת ניקח P 1 = 0 {\displaystyle P_{1}=0} ). לכן, יש אידיאלים A , B ≠ 0 {\displaystyle A,B\neq 0} עבורם A B = 0 {\displaystyle AB=0} . לפי ההנחה, R / A , R / B {\displaystyle R/A,R/B} מקיימות את הטענה, ולכן קיימים P 1 ¯ , . . . , P u ¯ ∈ s p e c ( R / A ) , P u + 1 ¯ , . . . , P n ¯ ∈ s p e c ( R / B ) {\displaystyle {\overline {P_{1}}},...,{\overline {P_{u}}}\in spec(R/A),{\overline {P_{u+1}}},...,{\overline {P_{n}}}\in spec(R/B)} כך ש- P 1 ¯ ⋅ . . . ⋅ P u ¯ = P u + 1 ¯ ⋅ . . . ⋅ P n ¯ = 0 {\displaystyle {\overline {P_{1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{u}}}={\overline {P_{u+1}}}\cdot ...\cdot {\overline {P_{n}}}=0} . נקבל P 1 ⋅ . . . ⋅ P u ⊆ A , P u + 1 ⋅ . . . ⋅ P n ⊆ B {\displaystyle P_{1}\cdot ...\cdot P_{u}\subseteq A,P_{u+1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq B} , ולכן P 1 ⋅ . . . ⋅ P n ⊆ A B = 0 {\displaystyle P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}\subseteq AB=0} כלומר P 1 ⋅ . . . ⋅ P n = 0 {\displaystyle P_{1}\cdot ...\cdot P_{n}=0} , וסיימנו באינדוקציה נתרית. כהכללה למושג לעיל, נציג בנייה כללית יותר מ אומרים על יחס R {\displaystyle R} על קבוצה X {\displaystyle X} שהוא בנוי-היטב (Well-founded relation) אם לכל תת-קבוצה לא ריקה S {\displaystyle S} קיים a ∈ S {\displaystyle a\in S} כך שלכל x ∈ S {\displaystyle x\in S} מתקיים ¬ x R y {\displaystyle \lnot x{\mathcal {R}}y} . היחס נקרא בנוי היטב הפוך אם R − 1 {\displaystyle R^{-1}} (היחס ההופכי) בנוי-היטב. בהקשר של יחסים בנויים-היטב, ניתן לדבר על סוג נוסף של אינדוקציה, המהווה מעין גרסה של אינדוקציה טרנספיניטית: אם ( X , R ) {\displaystyle (X,R)} יחס בנוי-היטב, אז כדי להוכיח טענה על כל איבר x ∈ X {\displaystyle x\in X} מספיק להוכיח אותה על כל y R x {\displaystyle yRx} . אלגברה היא נתרית אם יחס ההכלה על אידיאלים הוא בנוי-היטב הפוך (והיא ארטינית אם היחס הוא בנוי-היטב רגיל). תנאי שרשרת (מתמטיקה)