מסילה (מתמטיקה)

בטופולוגיה, מסילה היא פונקציה רציפה מקטע ממשי כלשהו (לרוב מתייחסים לקטע היחידה) למרחב טופולוגי. מסילות מאפשרות ללמוד את המבנה הפנימי של המרחב המדובר, למשל, על ידי חקירת מרכיבי קשירות מסילתית, או על ידי מבנים של מסילות, כדוגמת החבורה היסודית. מסילות מאפשרות גם לחקור שינוי רציף של מרחב אחד למשנהו, תחום שבו מטפלת תורת ההומוטופיות. בפיזיקה, אפשר לחשב פרמטרים של תנועה לאורך מסילה באמצעות אינטגרלים מסילתיים, שלהם תפקיד חשוב גם באנליזה מרוכבת. שְמן מגיע מן העובדה, שניתן לחשוב על מסילות אל המרחב האוקלידי כמסלולי טיול רציפים במרחב; אל הנקודות בקטע המקור מתייחסים כמייצגות זמן והנקודות על תמונת המסילה מייצגות את המיקום במרחב בזמן הנתון. למשל, המסילה: γ : [ 0 , 2 π ] → X {\displaystyle \gamma \colon [0,2\pi ]\rightarrow X} , המוגדרת לפי ההתאמה: γ ( t ) = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) {\displaystyle \gamma (t)=(\cos t,\sin t)} היא מסילה המייצגת טיול סביב מעגל היחידה במישור, כשבזמן t {\displaystyle t} נמצאים בזווית t {\displaystyle t} רדיאנים ביחס לציר ה- x {\displaystyle x} . סוג מיוחד של מסילה מכונה לולאה או מסילה סגורה, והיא מוגדרת כמסילה שמקבלת את אותם ערכים על קצוות הקטע. כך המסילה שבדוגמה הקודמת היא לולאה, שכן הפונקציות הטריגונומטריות הן פונקציות מחזוריות בעלות מחזור 2 π {\displaystyle 2\pi } . באופן שקול, ניתן לחשוב על לולאה כעל פונקציה רציפה מהצורה γ : S 1 → X {\displaystyle \gamma \colon S^{1}\to X} , כאשר S 1 {\displaystyle S^{1}} הוא מעגל היחידה. מסילה שאינה "מבקרת" פעמיים באותה נקודה (פרט אולי לנקודות הקצה), כלומר היא אינה חותכת עצמה, כלומר היא חד חד ערכית, נקראת מסילה פשוטה. ללולאות פשוטות יש תכונה בסיסית המתוארת במשפט העקום של ז'ורדן, לפיה הן מחלקות את המישור לשני רכיבי קשירות: פנימי וחיצוני. אף על פי שקביעה זו אינטואיטיבית למדי, ההוכחה לה אינה פשוטה כל כך. מסילה, שתחומה הוא מרחב נורמי נקראת מסילה דיפרנציאבילית, אם היא גזירה ברציפות בכל הקטע; מסילה דיפרנציאבילית למקוטעין היא מסילה שגזירה ברציפות בכל הקטע, למעט מספר סופי של נקודות. באנליזה מרוכבת, יש חשיבות למספר הפעמים שמסילה נתונה במישור המרוכב מקיפה נקודה שאיננה על המסילה. מספר זה נקרא האינדקס של המסילה ביחס לנקודה, והוא מוגדר על-פי הנוסחה:   n ( γ , a ) = 1 2 π i ∫ γ 1 z − a d z {\displaystyle \ n(\gamma ,a)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {1}{z-a}}\,\mathrm {d} z} , המחזירה מספר שלם עבור כל מסילה דיפרנציאבילית וסגורה. אם המסילה נעה נגד כיוון השעון, האינדקס יהיה חיובי, בעוד שהאינדקס של המסילה ההפוכה: t ↦ γ ( 1 − t ) {\displaystyle t\mapsto \gamma (1-t)} , יהיה שלילי. שרשור מסילות הוא יצירת מסילה חדשה משתי מסילות קיימות. למשל, אם קיימות שתי מסילות: α : [ 0 , 1 ] → X , β : [ 0 , 1 ] → X {\displaystyle \alpha \colon [0,1]\rightarrow X,\beta \colon [0,1]\rightarrow X} , כאשר ראש המסילה השנייה (נקודת הקצה) מתלכד עם זנבה של הראשונה ( β ( 0 ) = α ( 1 ) {\displaystyle \beta (0)=\alpha (1)} ), שרשור המסילות יהיה מסילה חדשה - שתחומה [ 0 , 2 ] {\displaystyle [0,2]} , המעניקה את הערכים α ( x ) {\displaystyle \alpha (x)} עבור x {\displaystyle x} בין 0 ל-1, ואת הערכים β ( x − 1 ) {\displaystyle \beta (x-1)} עבור x {\displaystyle x} בין 1 ל-2. האורך של מסילה במרחב מטרי הוא המספר הקטן ביותר הגדול מסכום המרחקים   | P 1 P 2 | + ⋯ + | P n − 1 P n | {\displaystyle \ |P_{1}P_{2}|+\dots +|P_{n-1}P_{n}|} לכל סדרה סופית של נקודות   P 1 , … , P n {\displaystyle \ P_{1},\dots ,P_{n}} המונחות בסדר זה על המסילה. הגדרה זו, הגם שהיא מובלעת בחישובי שטחים ונפחים מאז אוקלידס, לא הופיעה בצורתה זו במפורש, אלא בתקופתם של ניוטון ולייבניץ, מייסדי החשבון האינפיניטסימלי. אינטגרל קווי מרחב קשיר מסילתית מסילה, באתר MathWorld (באנגלית)