משפט פייר

באנליזה מתמטית, משפט פייר הוא משפט העוסק בקירוב במידה שווה של פונקציות רציפות על ידי פולינומים טריגונומטריים, הקרוי על שם המתמטיקאי ההונגרי־יהודי ליפוט פייר. באנליזה מתמטית נודעת חשיבות רבה לקירוב במידה שווה של פונקציות כלליות על ידי פונקציות פשוטות יותר, לדוגמה פולינומים טריגונומטריים. טור פורייה של פונקציה אינטגרבילית כלשהי אינו בהכרח מתכנס אל הפונקציה, אלא תחת הנחות נוספות (כדוגמת ליפשיציות מקומית). למרות זאת, אנו יודעים שסיכום צזארו של טור יכול להניב לעיתים התכנסות גם במקרים בהם הטור המקורי איננו מתכנס. גרעין פייר עוסק אפוא בסדרת ממוצעי צזארו של טור פורייה, וקובע כי הוא מתכנס במידה שווה לכל פונקציה רציפה. תהי f : R → C {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} } רציפה ומחזורית 2 π {\displaystyle 2\pi } , ונסמן σ N f := F N ∗ f {\displaystyle \sigma _{N}f:=F_{N}\ast f} , כלומר σ N f {\displaystyle \sigma _{N}f} הוא הקונבולוציה של f {\displaystyle f} עם גרעין פייר, ובניסוח מפורש: σ N f ( x ) = ( F N ∗ f ) ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N ( D n ∗ f ) ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N S n f ( x ) = = 1 N + 1 ∑ n = 0 N ∑ k = − n n f ^ ( n ) e i n x = ∑ n = − N N ( 1 − | n | N + 1 ) e i n x {\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{N}f\left(x\right)&=\left(F_{N}\ast f\right)\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}\left(D_{n}\ast f\right)\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}S_{n}f\left(x\right)=\\[3pt]\\&={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}\left(n\right)e^{inx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {\left|n\right|}{N+1}}\right)e^{inx}\end{aligned}}} או במילים אחרות, σ N f {\displaystyle \sigma _{N}f} הוא סדרת הממוצעים החלקיים של טור פורייה. אזי הסדרה σ N f {\displaystyle \sigma _{N}f} מתכנסת במידה שווה אל f {\displaystyle f} בכל R {\displaystyle \mathbb {R} } כאשר n → ∞ {\displaystyle n\rightarrow \infty } . יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . נתון כי f {\displaystyle f} רציפה ומחזורית 2 π {\displaystyle 2\pi } , ולכן ניתן לראותה כרציפה על קטע סגור וסופי, כלומר קומפקטי. וכעת, לפי משפט ויירשטראס f {\displaystyle f} חסומה, נסמן M > 0 {\displaystyle M>0} להיות חסם שלה, ולפי משפט קנטור f {\displaystyle f} רציפה במידה שווה, ולכן קיימת δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } המקיימים | x − y | < δ {\displaystyle \left|x-y\right|<\delta } מתקיים | f ( x ) − f ( y ) | < ε 2 {\displaystyle \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . מתכונות גרעין פייר, קיים N 0 {\displaystyle N_{0}} כך שלכל N > N 0 {\displaystyle N>N_{0}} מתקיים: ∫ | x | ≥ δ F N ( x ) ≤ ε 2 M {\displaystyle \int _{\left|x\right|\geq \delta }F_{N}\left(x\right)\leq {\frac {\varepsilon }{2M}}} . לבסוף נזכור כי גרעין פייר מקיים ∫ − π π F N ( x ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }F_{N}\left(x\right)dx=2\pi } וכן F N ( x ) ≥ 0 {\displaystyle F_{N}\left(x\right)\geq 0} לכל N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } ולכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , וכעת לכל N > N 0 {\displaystyle N>N_{0}} ולכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } מתקיים: | σ N f ( x ) − f ( x ) | = | ( F N ∗ f ) ( x ) − f ( x ) | = | 1 2 π ∫ − π π F N ( t ) f ( x − t ) d t − f ( x ) | = = 1 2 π | ∫ − π π F N ( t ) ( f ( x − t ) − f ( x ) ) d t | ≤ 1 2 π ∫ − π π F N ( t ) | f ( x − t ) − f ( x ) | d t = = 1 2 π [ ∫ − δ δ F N ( t ) | f ( x − t ) − f ( x ) | d t + ∫ δ ≤ | t | ≤ π F N ( t ) | f ( x − t ) − f ( x ) | d t ] ≤ 1 2 π ε 2 ∫ − δ δ F N ( t ) d t + M π ∫ δ ≤ | t | ≤ π F N ( t ) d t ≤ 1 2 π ε 2 ∫ − π π F N ( t ) d t + M π ε 2 M < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sigma _{N}f\left(x\right)-f\left(x\right)\right|&=\left|\left(F_{N}\ast f\right)\left(x\right)-f\left(x\right)\right|=\left|{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}\left(t\right)f\left(x-t\right)dt-f\left(x\right)\right|=\\[5pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left|\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}\left(t\right)\left(f\left(x-t\right)-f\left(x\right)\right)dt\right|\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}\left(t\right)\left|f\left(x-t\right)-f\left(x\right)\right|dt=\\[5pt]&={\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\delta }^{\delta }F_{N}\left(t\right)\left|f\left(x-t\right)-f\left(x\right)\right|dt+\int _{\delta \leq \left|t\right|\leq \pi }F_{N}\left(t\right)\left|f\left(x-t\right)-f\left(x\right)\right|dt\right]\leq \\[5pt]&{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\varepsilon }{2}}\int _{-\delta }^{\delta }F_{N}\left(t\right)dt+{\frac {M}{\pi }}\int _{\delta \leq \left|t\right|\leq \pi }F_{N}\left(t\right)dt\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {\varepsilon }{2}}\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}\left(t\right)dt+{\frac {M}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{2M}}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon \end{aligned}}} ולכן σ N f → u f {\displaystyle \sigma _{N}f\xrightarrow {u} f} , כמבוקש. ההוכחה לעיל משתמשת בשלושת התכונות הייחודיות של גרעין פייר, ולכן תקפה לכל גרעין שמקיים אותן. באופן כללי, נגדיר את T := R / 2 π Z {\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} } (הטורוס מרדיוס 2 π {\displaystyle 2\pi } ; כמובן שבחירת הרדיוס היא שרירותית), ותהי ( K n ) n = 1 ∞ ⊂ L 1 ( T ) {\displaystyle \left(K_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\subset L^{1}\left(\mathbb {T} \right)} סדרת פונקציות אינטגרביליות בטורוס, אזי נאמר כי הסדרה K n {\displaystyle K_{n}} היא גרעין טוב (או גרעין סכימה, באנגלית summability kernel) אם מתקיימות שלוש התכונות הבאות: האינטגרל על הטורוס שווה ל־ 2 π {\displaystyle 2\pi } : 1 2 π ∫ − π π K n ( x ) d x = 1 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }K_{n}\left(x\right)dx=1} . נורמת L 1 {\displaystyle L^{1}} חסומה במידה אחידה: קיים M > 0 {\displaystyle M>0} כך שלכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים ‖ K n ‖ 1 = 1 2 π ∫ − π π | K n ( x ) | d x ≤ M {\displaystyle \left\Vert K_{n}\right\Vert _{1}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\left|K_{n}\left(x\right)\right|dx\leq M} . המסה מתרכזת במרכז: לכל δ > 0 {\displaystyle \delta >0} מתקיים ∫ δ ≤ | t | ≤ π | K n ( x ) | d x → n → ∞ 0 {\displaystyle \int _{\delta \leq \left|t\right|\leq \pi }\left|K_{n}\left(x\right)\right|dx{\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{}}0} . אם K n {\displaystyle K_{n}} גרעין טוב אזי ממשפט פייר נוכל להסיק כי לכל f ∈ C ( T ) {\displaystyle f\in C\left(\mathbb {T} \right)} (פונקציה רציפה בטורוס) מתקיים K n ∗ f → f {\displaystyle K_{n}\ast f\rightarrow f} במידה שווה. דוגמאות לגרעינים טובים הם גרעין פייר וגרעין פואסון. גרעין דיריכלה לעומת זאת, איננו גרעין טוב, שכן הוא איננו מקיים את הדרישה השנייה. גרעין פייר גרעין דיריכלה טור פורייה