משפט לגראנז' (תורת החבורות)

משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם G {\displaystyle G} חבורה סופית ו- H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} תת-חבורה שלה, אז הסדר של H {\displaystyle H} מחלק את הסדר של G {\displaystyle G} , כלומר | G | | H | {\displaystyle {\frac {|G|}{|H|}}} הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'. מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי x {\displaystyle x} היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x {\displaystyle x} ). במילים אחרות, אם G {\displaystyle G} חבורה סופית אז g | G | = e {\displaystyle g^{|G|}=e} לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} . עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר. אם G {\displaystyle G} חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את | G | {\displaystyle |G|} . תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות – הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות A 4 {\displaystyle A_{4}} , שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6. לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של n {\displaystyle n} משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את n ! {\displaystyle n!} . הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה H {\displaystyle H} של החבורה הסימטרית של n {\displaystyle n} משתנים (הכוללת n ! {\displaystyle n!} איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של H {\displaystyle H} בחבורה הסימטרית, n ! / | H | {\displaystyle n!/|H|} . לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של H {\displaystyle H} מהווה חלוקה של G {\displaystyle G} , ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזו שווה לסדר של H {\displaystyle H} . לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות a H {\displaystyle aH} זרות זו לזו. אכן, אם x ∈ a H {\displaystyle x\in aH} אז x H ⊆ a H H = a H {\displaystyle xH\subseteq aHH=aH} , ומאידך אפשר לכתוב x = a h {\displaystyle x=ah} עבור h ∈ H {\displaystyle h\in H} , ולכן גם a = x h − 1 ∈ x H {\displaystyle a=xh^{-1}\in xH} , כך ש- a H ⊆ x H {\displaystyle aH\subseteq xH} ולכן x H = a H {\displaystyle xH=aH} . כעת, אם a H ∩ b H ≠ ∅ {\displaystyle aH\cap bH\neq \varnothing } , אז יש x ∈ a H ∩ b H {\displaystyle x\in aH\cap bH} ולכן a H = x H = b H {\displaystyle aH=xH=bH} . כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של H {\displaystyle H} שווה לסדר H {\displaystyle H} . לשם כך נבנה פונקציה חד-חד-ערכית מ- H {\displaystyle H} על מחלקה   a H {\displaystyle \ aH} כלשהי שלה. ההתאמה f : H → a H {\displaystyle f:H\to aH} תיבנה כך: f ( h ) = a h {\displaystyle f(h)=ah} . נראה כי זו התאמה חד-חד-ערכית: נניח כי f ( h 1 ) = f ( h 2 ) {\displaystyle f(h_{1})=f(h_{2})} אז a h 1 = a h 2 {\displaystyle ah_{1}=ah_{2}} ואחרי צמצום נקבל h 1 = h 2 {\displaystyle h_{1}=h_{2}} . נראה כי זו התאמה על: יהי x ∈ a H {\displaystyle x\in aH} , אז על פי הגדרת המחלקה, ∃ h ∈ H : x = a h {\displaystyle \exists h\in H:x=ah} ולכן f ( h ) = x {\displaystyle f(h)=x} . על כן הקבוצות H , a H {\displaystyle H,aH} שקולות, כלומר | H | = | a H | {\displaystyle |H|=|aH|} . כעת, לכל איבר ב- G {\displaystyle G} ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של H {\displaystyle H} . לכן מספר האיברים ב- G {\displaystyle G} הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של H {\displaystyle H} . יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב- G {\displaystyle G} . יהי k {\displaystyle k} מספר המחלקות, אז k ⋅ | H | = | G | {\displaystyle k\cdot |H|=|G|} , כלומר סדר H {\displaystyle H} מחלק את סדר G {\displaystyle G} , כפי שהיה להוכיח. משפט לגראנז', באתר MathWorld (באנגלית)