מאמצים ראשיים

מאמצים ראשיים (Principal stresses) הם מאמצי מתיחה או מאמצי לחיצה הפועלים בחתך בו מאמץ הגזירה אפס בגוף הנתון במצב מאמצים כללי. למאמצים הראשיים תפקיד בתאוריות הכשל של גופים כתוצאה מהמאמצים בהם הם נתונים. תאוריות הכשל ידועות גם כהיפותזות החוזק והן הדרך לחבר מאמצים בעלי אופי שונה כמו מאמצי מתיחה ואו מאמצי לחיצה עם מאמצי גזירה. מעגל מור מאפשר תיאור גרפי של המאמצים, המאמצים הראשיים וזווית החתכים בהם פועלים המאמצים הראשיים. המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, Augustin Louis Cauchy ,1789 - 1857, היה הראשון שציין כי בנקודה כלשהי של הגוף הנתון תחת מצב מאמצים כללי, תמיד אפשר למצוא שני מישורים ניצבים זה לזה בהם מאמצי הגזירה מתאפסים. למישורים האלה קושי קרא מישורים ראשיים ולמאמצים הניצבים למישורים אלה הוא קרא מאמצים ראשיים. המאמצים הראשיים הם בעלי הערך המרבי והערך המינימלי של מאמצי המתיחה - לחיצה, את זה קל לראות במעגל מור. המאמצים הראשיים כתלות במאמצים בכוונים X, Y וכתלות במאמץ הגזירה: σ 1 = σ x + σ y 2 + ( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \sigma _{1}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}+{\sqrt {({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}} σ 2 = σ x + σ y 2 − ( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}-{\sqrt {({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}} מתקיים לפי ההגדרה:   σ 2 {\displaystyle \ \sigma _{2}} <   σ 1 {\displaystyle \ \sigma _{1}} מאמץ הגזירה המרבי מבוטא על ידי המאמצים הראשיים:   τ m a x = σ 1 − σ 2 2 = ( σ x − σ y 2 ) 2 + τ x y 2 {\displaystyle \ \tau _{max}={\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}={\sqrt {({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}})^{2}+\tau _{xy}^{2}}}} הזווית של המאמצים הראשיים ביחס לציר X: tan ⁡ ( 2 θ ) = 2 τ x y σ x − σ y {\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tau _{xy}}{\sigma _{x}-\sigma _{y}}}} הזווית של המאמצים הראשיים ביחס לציר X, מבוטאת בעזרת המעוותים: tan ⁡ ( 2 θ ) = γ x y ϵ x − ϵ y {\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {\gamma _{xy}}{\epsilon _{x}-\epsilon _{y}}}} מעוות הגזירה המרבי:   γ θ m a x = ϵ x − ϵ y {\displaystyle \ \gamma _{{\theta }max}=\epsilon _{x}-\epsilon _{y}}   γ x y {\displaystyle \ \gamma _{xy}} - המעוות הזוויתי כתוצאה ממאמץ הגזירה חוק הוק מקבל את הצורה שלהלן:   ( 1 − ν 2 ) σ 1 = E ( ϵ 1 + ν ϵ 2 ) {\displaystyle \ (1-\nu ^{2})\sigma _{1}=E(\epsilon _{1}+\nu \epsilon _{2})}   ( 1 − ν 2 ) σ 2 = E ( ϵ 2 + ν ϵ 1 ) {\displaystyle \ (1-\nu ^{2})\sigma _{2}=E(\epsilon _{2}+\nu \epsilon _{1})} E - מודול האלסטיות   ν {\displaystyle \ \nu } - מקדם פואסון   ϵ 1 , ϵ 2 {\displaystyle \ \epsilon _{1},\epsilon _{2}} - המעוותים היחסיים בכוונים של המאמצים הראשיים   σ 1 , σ 2 {\displaystyle \ \sigma _{1},\sigma _{2}} בהתאמה על מנת למצוא את טנזור המאמצים בצירים הראשיים, יש לבצע טרנספורמציה כזו אשר תאפס את כל האיברים פרט לאלכסון. באלגברה ליניארית, לפעולה זו קוראים לכסון מטריצות:   P − 1 A P = D {\displaystyle \ P^{-1}AP=D} , כאשר P היא המטריצה המלכסנת וD היא מטריצה אלכסונית. עמודות המטריצה המלכסנת הן הוקטרים העצמיים של טנזור המאמצים, ואיברי האלכסון של המטריצה האלכסונית הם הערכים העצמיים המתאימים. לכן, בהינתן טנזור מאמצים, מציאת המאמצים הראשיים מסתכמת במציאת הערכים העצמיים, ומציאת הכיוונים הראשיים מסתכמת במציאת הווקטורים העצמיים המתאימים:   ( A − λ I ) v → = 0 {\displaystyle \ (A-\lambda I){\vec {v}}=0} . הערכים העצמיים הם שורשי הפולינום האופייני. לשם כך משווים את הדטרמיננט   | A − λ I | {\displaystyle \ |A-\lambda I|} לאפס:   | σ x x − λ σ x y σ x z σ y x σ y y − λ σ y z σ z x σ z y σ z z − λ | = 0 {\displaystyle \ {\begin{vmatrix}\sigma _{xx}-\lambda &\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}-\lambda &\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}-\lambda \end{vmatrix}}=0} בפיתוח הדטרמיננט של המטריצה מקבלים את הפולינום הבא:   λ 3 − λ 2 ( T 1 ) + λ ( T 2 ) − ( T 3 ) = 0 {\displaystyle \ \lambda ^{3}-\lambda ^{2}(T_{1})+\lambda (T_{2})-(T_{3})=0} כאשר:   T 1 = σ x x + σ y y + σ z z {\displaystyle \ T_{1}=\sigma _{xx}+\sigma _{yy}+\sigma _{zz}}   T 2 = σ x x σ y y + σ y y σ z z + σ x x σ z z − σ x y 2 − σ y z 2 − σ z x 2 {\displaystyle \ T_{2}=\sigma _{xx}\sigma _{yy}+\sigma _{yy}\sigma _{zz}+\sigma _{xx}\sigma _{zz}-\sigma _{xy}^{2}-\sigma _{yz}^{2}-\sigma _{zx}^{2}}   T 3 = σ x x σ y y σ z z + 2 σ x y σ y z σ x z − σ x x σ y z 2 − σ y y σ x z 2 − σ z z σ x y 2 {\displaystyle \ T_{3}=\sigma _{xx}\sigma _{yy}\sigma _{zz}+2\sigma _{xy}\sigma _{yz}\sigma _{xz}-\sigma _{xx}\sigma _{yz}^{2}-\sigma _{yy}\sigma _{xz}^{2}-\sigma _{zz}\sigma _{xy}^{2}} המאמצים הראשיים נקבעים חד ערכית בכל נקודה ללא תלות במערכת הצירים שנבחרה. מצב המאמצים באותה נקודה לא מושפע מהבחירה רק מתקבלים ערכים מספריים שונים בתוך טנזור המאמצים: המאמצים הראשיים הם אינוואריאנטים. כדי לקבל אותו פתרון עבור   λ 1 , λ 2 , λ 3 {\displaystyle \ \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}} דורשים שמקדמי הפולינום   T 1 , T 2 , T 3 {\displaystyle \ T_{1},T_{2},T_{3}} יהיו אף הם אינוואריאנטים, כאשר   T 1 {\displaystyle \ T_{1}} הוא העקבה (סכום האלכסון הראשי),   T 2 {\displaystyle \ T_{2}} הוא סכום המינורים של איברי האלכסון הראשי, ו-   T 3 {\displaystyle \ T_{3}} הוא הדטרמיננט בכיוונים הראשיים. Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. ISBN 0882754203 S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970.. Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867 מחשבון לחישוב המאמצים הראשיים מאמצים ראשיים אנליזת מאמצים