תהליך פוליטרופי

תהליך פוליטרופי הוא כל תהליך תרמודינמי, שבו מתקיים: p V n = C {\displaystyle pV^{n}=C} . כאשר p {\displaystyle p} הוא הלחץ, V {\displaystyle V} הוא הנפח, n {\displaystyle n} הוא האינדקס הפוליטרופי (הוא תלוי בחומר ויכול לקבל כל ערך מ- − ∞ {\displaystyle -\infty } עד ∞ {\displaystyle \infty } ) ו- C {\displaystyle C} הוא קבוע. גדלים נוספים שנשארים קבועים בתהליך פוליטרופי הם p T n 1 − n {\displaystyle pT^{\frac {n}{1-n}}} ו- V T 1 1 − n {\displaystyle VT^{\frac {1}{1-n}}} . המונח "פוליטרופי" נטבע במקור לתיאור כל תהליך במערכת פתוחה או סגורה של גז או אדים הכוללת העברה של חום ועבודה, כך שהמכפלה הכתובה מעלה נשארת קבועה. ניתן להגדיר תהליך זה כתהליך בו החום הנספג על ידי הגז עקב עלייה של מעלה אחת בטמפרטורה הוא קבוע. מכיוון שתהליך זה יכול להיות קירוב המתאר בצורה טובה מאוד תהליכים רבים בהם יש התפשטות או דחיסת גז הכוללים מעברי חום, התהליך נקרא polytropic process (poly מלשון ריבוי). בתהליך פוליטרופי ניתן להשוות בין שני מצבים: p 1 V 1 n = p 2 V 2 n {\displaystyle p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n}} , ומתקיים השוויון: p 1 p 2 = ( V 2 V 1 ) n = ( T 1 T 2 ) n n − 1 {\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}=\left({\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)^{n}=\left({\frac {T_{1}}{T_{2}}}\right)^{\frac {n}{n-1}}} . כל התהליכים הסטנדרטיים (איזוכורי, אדיאבטי, איזותרמי ואיזוברי) נכנסים תחת הקטגוריה של תהליך פוליטרופי. כאשר n = 0 {\displaystyle n=0} , זהו תהליך איזוברי. כאשר n = + ∞ {\displaystyle n=+\infty } , זהו תהליך איזוכורי. בנוסף, כאשר משוואת הגז האידיאלי מתקיימת: כאשר n = 1 {\displaystyle n=1} , זהו תהליך איזותרמי. כאשר n = γ {\displaystyle n=\gamma } , זהו תהליך איזנטרופי. כאשר γ {\displaystyle \gamma } היא האינדקס האדיאבטי (הנקרא גם "יחס קיבול החום"), הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע ( C p {\displaystyle C_{p}} ) לקיבול החום בנפח קבוע ( C v {\displaystyle C_{v}} ). γ = C p C v {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{p}}{C_{v}}}} עבור גז אידיאלי במערכת סגורה בתהליך איטי עם שינויים מזעריים באנרגיה הקינטית ובאנרגיה הפוטנציאלית, התהליך הוא תהליך פוליטרופי כך שמתקיים: p v ( 1 − γ ) K + γ = C {\displaystyle pv^{(1-\gamma )K+\gamma }=C} כאשר K = δ q δ w {\displaystyle K={\frac {\delta q}{\delta w}}} ולכן, n = ( 1 − γ ) K + γ {\displaystyle n=(1-\gamma )K+\gamma } . עבור ערכים מסוימים של האינדקס הפוליטורפי, נקבל תהליכים אידיאליים מוכרים אחרים. להלן כמה דוגמאות לערכים כאלו: החוק הראשון של התרמודינמיקה: d Q = d U + d W {\displaystyle dQ=dU+dW} משוואת הגז האידיאלי: p V = n R T {\displaystyle pV=nRT} כאשר R = C p − C V {\textstyle R=C_{p}-C_{V}} . כיוון שבתהליך פוליטרופי קיבול החום קבוע, ניתן לרשום: d W = p d V ,       d U = n C V d T ,       d Q = n C d T {\displaystyle dW=pdV,\ \ \ dU=nC_{V}dT,\ \ \ {\displaystyle dQ=nCdT}} . כאשר C {\displaystyle C} הוא קבוע. נציב בחוק הראשון, ונקבל: ( 1 )   n ( C − C V ) d T = p d V ⟸ n C d T = n C V d T + p d V {\displaystyle (1)\ n(C-C_{V})dT=pdV\Longleftarrow {\displaystyle nCdT=nC_{V}dT+pdV}} אם נגזור את משוואת הגז האידיאלי, נקבל: p d V + V d p = n R d T {\displaystyle pdV+Vdp=nRdT} נחלץ את d T {\displaystyle dT} ונציב במשואה (1): n ( C − C V ) ( p d V + V d p n R ) = p d V {\displaystyle n(C-C_{V})\left({\frac {pdV+Vdp}{nR}}\right)=pdV} נשתמש בהגדרה של R {\displaystyle R} ונקבל, ( C − C p C − C V ) d V V + d p p = 0 {\displaystyle \left({\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}\right){\frac {dV}{V}}+{\frac {dp}{p}}=0} נבצע אינטגרציה על שני האגפים ונקבל, ( C − C p C − C V ) l n ( V ) + l n ( p ) = C o n s t ⟹ p V ( C − C p C − C V ) = C o n s t {\displaystyle \left({\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}\right)ln(V)+ln(p)=Const\Longrightarrow pV^{\left({\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}\right)}=Const} כאשר n = C − C p C − C V {\textstyle n={\frac {C-C_{p}}{C-C_{V}}}} . W 1 → 2 = ∫ 1 2 p d V = ∫ 1 2 C V n d V = [ C V 1 − n 1 − n ] 1 2 = [ p V 1 − n ] 1 2 = p 1 V 1 − p 2 V 2 n − 1 = m R ( T 1 − T 2 ) n − 1 {\displaystyle W_{1\rightarrow 2}=\int \limits _{1}^{2}pdV=\int \limits _{1}^{2}{\frac {C}{V^{n}}}dV=\left[{\frac {CV^{1-n}}{1-n}}\right]_{1}^{2}=\left[{\frac {pV}{1-n}}\right]_{1}^{2}={\frac {p_{1}V_{1}-p_{2}V_{2}}{n-1}}={\frac {mR(T_{1}-T_{2})}{n-1}}} השינוי באנרגיה הפנימית הוא: Δ U 1 → 2 = m C V ( T 2 − T 1 ) {\displaystyle \Delta U_{1\rightarrow 2}=mC_{V}(T_{2}-T_{1})} ומכאן נוכל לחלץ את כמות החום שעבר בתהליך: Δ Q 1 → 2 = m C V n − γ n − 1 ( T 2 − T 1 ) = γ − n γ − 1 W 1 → 2 {\displaystyle \Delta Q_{1\rightarrow 2}=mC_{V}{\frac {n-\gamma }{n-1}}(T_{2}-T_{1})={\frac {\gamma -n}{\gamma -1}}W_{1\rightarrow 2}} נשים לב, כאשר n = γ {\displaystyle n=\gamma } , מקבלים Δ Q = 0 {\displaystyle \Delta Q=0} . בהתאם למה שמצופה בתהליך אדיאבטי.