מודל הרוכסן לשכפול DNA

מודל הרוכסן הוא מודל תרמודינמי משמש קירוב פשטני של סליל DNA במהלך שכפול. המודל מקרב את ה-DNA למולקולה חד־ממדית שמבצעת מעבר פאזה, שמתוארת על ידי רוכסן שיכול להיפתח ולהיסגר. הפיתוח המלא ודיון בו פורסמו לראשונה על ידי צ'ארלס קיטל ב-1969. הדמיון בין המערכות נובע מהמכניזם של תהליך פתיחת ה-DNA לצורך שכפולו, ובייחוד תהליך האתחול. תהליך האתחול מתרחש מסביב למקור השכפול (Origin of Replication), שהוא אזור מסוים בכרומוזום שבו מתחיל שכפול ה-DNA. בהמשך התהליך נקשרים מספר חלבונים למקור השכפול וגורמים לו להיפתח בצורה חלקית (הפתיחה נעשית באמצעות הפרדת זוגות הנוקלאוטידים שמקשרים בין הגדילים). כך נוצרת בועת השכפול (Replication Bubble), שבשני הצדדים שלה נוצרים מזלגות השכפול (אזורי המעבר בין החלק הפתוח של ה-DNA לזה הסגור, נקראים כך משום צורתם), אחד בכל צד. המשך הפתיחה מבוצע על ידי ה-DNA הליקאז, אנזים שאחראי על הפרדת שני הגדילים. המזלגות הנוצרים במהלך הפתיחה דומים לאזור הפתיחה של רוכסן: ה-DNA שעוד לא נפתח מקביל לחלק ברוכסן שבו השיניים סגורות ומשולבות, החלק הפתוח של ה-DNA מקביל לשני הקצוות הפתוחים של הרוכסן והחוליות מקבילות לנוקלאוטידים. מערכת הרוכסן היא מולקולה חד־ממדית בעלת N {\textstyle N} זוגות של חוליות. כל זוג יכול להיות באחד משני מצבים: סגור או פתוח. נניח כי הרוכסן יכול להיפתח רק מכיוון אחד. נגדיר את מספר החוליות הפתוחות, p {\displaystyle p} . כדי להבחין בין קצות הרוכסן, נניח כי החוליה p = N {\displaystyle p=N} לא יכולה להיפתח ולכן נאמר כי הרוכסן פתוח כאשר p = N − 1 {\displaystyle p=N-1} . בנוסף נניח כי למצב הפתוח של חוליה יש ניוון G {\displaystyle G} שנובע מדרגות החופש הרוטציוניות שלה. נניח כי אם p {\displaystyle p} החוליות הראשונות פתוחות, האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה- p + 1 {\displaystyle p+1} היא ϵ {\displaystyle \epsilon } . אחרת, לפחות חלק מ- p {\displaystyle p} החוליות הראשונות סגורות ואז האנרגיה הדרושה לפתוח את החוליה ה- p + 1 {\displaystyle p+1} היא אינסופית. האנרגיה הדרושה עבור פתיחת p {\displaystyle p} החוליות הראשונות היא p ϵ {\displaystyle p\epsilon } והניוון של p {\displaystyle p} החוליות הוא G p {\displaystyle G^{p}} . התרומה של מצב זה לפונקציית החלוקה היא: G p exp ⁡ ( − p ϵ τ ) {\displaystyle G^{p}\exp \left(-{\frac {p\epsilon }{\tau }}\right)} כאשר τ ≡ k B T {\displaystyle \tau \equiv k_{B}T} , T {\displaystyle T} הטמפרטורה ו- k B {\displaystyle k_{B}} קבוע בולצמן. מכך מתקבלת פונקציית החלוקה, כאשר נסכום על מספר החוליות הפתוחות כדי לקבל תרומות מכל המצבים: Z = ∑ p = 1 N − 1 G p exp ⁡ ( − p ϵ τ ) {\displaystyle Z=\sum _{p=1}^{N-1}G^{p}\exp \left(-{\frac {p\epsilon }{\tau }}\right)} ועל ידי שימוש בטור הגאומטרי והגדרת משתנה חסר יחידות x ≡ G exp ⁡ ( − ϵ τ ) {\displaystyle x\equiv G\exp \left(-{\frac {\epsilon }{\tau }}\right)} נקבל Z = 1 − G N exp ⁡ ( − N ϵ τ ) 1 − G exp ⁡ ( − ϵ τ ) ≡ 1 − x N 1 − x {\displaystyle Z={\frac {1-G^{N}\exp \left(-{\frac {N\epsilon }{\tau }}\right)}{1-G\exp \left(-{\frac {\epsilon }{\tau }}\right)}}\equiv {\frac {1-x^{N}}{1-x}}} את מספר החוליות הפתוחות הממוצע עבור טמפרטורה τ {\displaystyle \tau } מקבלים על ידי מיצוע תרמודינמי. הממוצע של פונקציה תרמודינמית O {\displaystyle O} הוא < O >= ∑ i o i z i ∑ i z i {\displaystyle <O>={\frac {\sum _{i}o_{i}z_{i}}{\sum _{i}{z_{i}}}}} כאשר z i {\displaystyle z_{i}} ההסתברות למצב ה- i {\displaystyle i} . לכן מספר החוליות הפתוחות הממוצע יהיה: < n >= ∑ p = i N − 1 p x p ∑ p = i N − 1 x p = x ( d d x ln ⁡ Z ) = N x N x N − 1 − x x − 1 {\displaystyle <n>={\frac {\sum _{p=i}^{N-1}{px^{p}}}{\sum _{p=i}^{N-1}x^{p}}}=x\left({d \over dx}\ln Z\right)={\frac {Nx^{N}}{x^{N}-1}}-{\frac {x}{x-1}}} האנטרופיה S {\displaystyle S} מחושבת על ידי: S k B ≡ σ = − ( ∂ F ∂ τ ) V , N {\displaystyle {\frac {S}{k_{B}}}\equiv \sigma =-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)_{V,N}} כאשר F = − τ ln ⁡ Z {\displaystyle F=-\tau \ln Z} , האנרגיה החופשית של הלמהולץ. לכן האנטרופיה של המערכת: σ = τ ∂ ∂ τ ln ⁡ Z + ln ⁡ Z = x ln ⁡ ( G x ) ( d d x ln ⁡ Z ) + ln ⁡ Z {\displaystyle \sigma =\tau {\frac {\partial }{\partial \tau }}\ln Z+\ln Z=x\ln \left({\frac {G}{x}}\right)\left({\frac {d}{dx}}\ln Z\right)+\ln Z} נזהה את < n >= x ( d d x ln ⁡ Z ) {\displaystyle <n>=x\left({d \over dx}\ln Z\right)} ונקבל σ =< n > ln ⁡ ( G x ) + ln ⁡ ( 1 − x N 1 − x ) {\displaystyle \sigma =<n>\ln \left({\frac {G}{x}}\right)+\ln \left({\frac {1-x^{N}}{1-x}}\right)} נשים לב כי אם נשרטט את הגרף של מספר החוליות הפתוחות הממוצע כפונקציה של x {\displaystyle x} , נקבל תופעה מעניינת. אפשר לראות עלייה חדה באזור x ≡ x c = 1 {\displaystyle x\equiv x_{c}=1} . זה אזור שבו כאשר מעלים את הטמפטורה מעט (כשמגדילים את x {\displaystyle x} מגדילים את τ {\displaystyle \tau } בלבד כי G {\displaystyle G} , ϵ {\displaystyle \epsilon } קבועים), נפתחות הרבה מאוד חוליות ברוכסן וקצב הפתיחה גדל גם הוא. באזור זה מתרחש מעבר פאזה בין המצב של הרוכסן הסגור לבין המצב של שני קצוות הרוכסן הפתוחים. x = 1 {\displaystyle x=1} כדי למדל את ההתנהגות באזור זה תחילה נפתח לטור את מספר החוליות הפתוחות הממוצע. נשים לב כי המכנה של < n > {\displaystyle <n>} מתאפס באזור הזה ולכן ניעזר בפיתוח לטור. מפיתוח טיילור לפי x {\displaystyle x} סביב x = 1 {\displaystyle x=1} עד סדר ראשון נקבל < n >= N x N x N − 1 − x x − 1 ≈ 1 2 ( N − 1 ) + 1 12 ( N 2 − 1 ) ( x − 1 ) + … {\displaystyle <n>={\frac {Nx^{N}}{x^{N}-1}}-{\frac {x}{x-1}}\approx {1 \over 2}\left(N-1\right)+{1 \over 12}\left(N^{2}-1\right)\left(x-1\right)+\ldots } כעת נניח כי N ≫ 1 {\displaystyle N\gg 1} ונחלק ב- N {\displaystyle N} : < n > N → N ≫ 1 1 2 + N 12 ( x − 1 ) + … {\displaystyle {<n> \over N}{\xrightarrow[{N\gg 1}]{}}{1 \over 2}+{N \over 12}\left(x-1\right)+\ldots } נגדיר x − 1 ≡ ξ {\displaystyle x-1\equiv \xi } משום שיהיה נוח בהמשך להתייחס לאזור מעבר הפאזה כ- ξ ≪ 1 {\displaystyle \xi \ll 1} . השיפוע באזור זה יהיה 1 N d < n > d ξ ≅ N 12 + … {\displaystyle {1 \over N}{d<n> \over d\xi }\cong {N \over 12}+\ldots } כלומר סך הכל קיבלנו שעבור N ⟶ ∞ {\displaystyle N\longrightarrow \infty } ו- ξ ≪ 1 {\displaystyle \xi \ll 1} השיפוע אינסופי בנקודת המעבר וגם מספר החוליות הפתוחות הוא < n >≅ 1 2 N {\displaystyle <n>\cong {1 \over 2}N} . x ≫ 1 {\displaystyle x\gg 1} עבור x ≫ 1 {\displaystyle x\gg 1} , נוכל לראות שמתקיים: < n >= N 1 − ( 1 x ) N − x x − 1 ≅ N ( 1 + ( 1 x ) N ) − ( 1 + y ) ≈ N − x x − 1 = ( N − 1 ) − 1 x − 1 = ( N − 1 ) − 1 ξ {\displaystyle <n>={\frac {N}{1-\left({\frac {1}{x}}\right)^{N}}}-{\frac {x}{x-1}}\cong N\left(1+\left({\frac {1}{x}}\right)^{N}\right)-\left(1+y\right)\approx N-{\frac {x}{x-1}}=\left(N-1\right)-{\frac {1}{x-1}}=\left(N-1\right)-{1 \over \xi }} כאשר מזניחים את האיבר ( 1 x ) N ≪ 1 {\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)^{N}\ll 1} . כלומר < n > {\displaystyle <n>} שואף מלמטה לחסמו העליון N − 1 {\displaystyle N-1} . x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} עבור x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} , נקבל כי האיבר x N ≪ 1 {\displaystyle x^{N}\ll 1} זניח ולכן: < n >= N x N x N − 1 + x 1 − x ≈ x 1 − x {\displaystyle <n>={\frac {Nx^{N}}{x^{N}-1}}+{\frac {x}{1-x}}\approx {\frac {x}{1-x}}} ללא תלות ב- N {\displaystyle N} . ראינו כבר כי המעבר מתקיים בנקודה x c = 1 {\displaystyle x_{c}=1} , כלומר הטמפרטורה הקריטית של מעבר הפאזה היא הפתרון למשוואה G exp ⁡ ( − ϵ τ c ) = 1 {\displaystyle G\exp \left(-{\epsilon \over \tau _{c}}\right)=1} עבור G = 1 {\displaystyle G=1} , למשוואה זו יש פתרון רק בטמפרטורה אינסופית. לכן נקבל כי התנאי לקיום מעבר פאזה בטמפרטורה סופית הוא: G = exp ⁡ ( ϵ τ c ) > 1 {\displaystyle G=\exp \left({\epsilon \over \tau _{c}}\right)>1} והטמפרטורה בה מתקיים מעבר הפאזה, τ c {\displaystyle \tau _{c}} , היא: τ c = ϵ ln ⁡ G {\displaystyle \tau _{c}={\epsilon \over \ln G}} תוצאה זו מערערת על ההגדרה של המודל כחד־ממדי, משום שניתן לטעון כי הניוון G {\displaystyle G} נובע מדרגות החופש הרוטציוניות של החוליה, שאינן קיימות במודל חד־ממדי אמיתי. בכל זאת, ישנם מודלים חד־ממדיים דומים בהם משמש הניוון חלק חשוב ממעבר הפאזה. זה נובע מכך שהקיום של קונפיגורציות אסורות במערכת (כלומר, אנרגיה אינסופית) הוא תנאי הכרחי אך לא מספיק למעבר פאזה במערכת חד־ממדית כמו זו. דרישה נוספת יכולה להיות, למשל, שהניוון של מצב מעורר של יחידה מבנית (באנגלית- Structural Unit) חייב להיות גדול מהניוון של מצב היסוד. ניתן להראות גם כי באזור מעבר הפאזה מתקיים ξ = ln ⁡ G ⋅ τ − τ c τ c {\displaystyle \xi =\ln G\cdot {\frac {\tau -\tau _{c}}{\tau _{c}}}} הגדרת קיבול החום היא C = k B τ ( d σ d τ ) {\displaystyle C=k_{B}\tau \left({\frac {d\sigma }{d\tau }}\right)} . באזור מעבר הפאזה האנטרופיה היא σ ≈< n > ⋅ ln ⁡ ( G x c ) =< n > ln ⁡ G {\displaystyle \sigma \approx <n>\cdot \ln \left({\frac {G}{x_{c}}}\right)=<n>\ln G} , ולכן קיבול החום באזור זה: C ≈ k B τ c ln ⁡ G ⋅ ( d < n > d τ ) ≈ k B ln 2 ⁡ G ⋅ ( d < n > d ξ ) {\displaystyle C\approx k_{B}\tau _{c}\ln G\cdot \left({\frac {d<n>}{d\tau }}\right)\approx k_{B}\ln ^{2}G\cdot \left({\frac {d<n>}{d\xi }}\right)} ותחת ההנחה N ξ ≪ 1 {\displaystyle N\xi \ll 1} מתקבל הביטוי C ≅ N k B ln 2 ⁡ G ⋅ ( 1 12 N + … ) {\displaystyle C\cong Nk_{B}\ln ^{2}G\cdot \left({1 \over 12}N+\ldots \right)} כלומר קיבול החום לחוליה שואף לאינסוף כאשר N ⟶ ∞ {\displaystyle N\longrightarrow \infty } וזה מעבר פאזה מסדר ראשון. תופעה מעניינת היא קיום של מעבר פאזה כאשר כל החוליות ברוכסן פתוחות, כלומר p = N − 1 {\displaystyle p=N-1} . הסיכוי למצב כזה: P ( p = N − 1 ) = x N − 1 Z = x N − 1 1 − x 1 − x N {\displaystyle P\left(p=N-1\right)={x^{N-1} \over Z}=x^{N-1}{\frac {1-x}{1-x^{N}}}} אנחנו קרובים לנקודת המעבר, לכן ξ ≪ 1 {\displaystyle \xi \ll 1} ומתקיים N ξ ≪ 1 {\displaystyle N\xi \ll 1} ומקבלים: P ( p = N − 1 ) = ξ + 1 N ≈ 1 N {\displaystyle P\left(p=N-1\right)=\xi +{1 \over N}\approx {1 \over N}} כלומר רוכסן אחד מכל N {\displaystyle N} יהיה פתוח לגמרי בנקודת מעבר הפאזה. מעל נקודה זו, עבור x N ≫ 1 {\displaystyle x^{N}\gg 1} הסיכוי לרוכסן פתוח לחלוטין הוא P ( p = N − 1 ) ≅ 1 − 1 x {\displaystyle P\left(p=N-1\right)\cong 1-{1 \over x}} שכפול DNA ביופיזיקה מעברי פאזה http://x3dna.org/articles/seeing-is-understanding-as-well-as-believing, באתר x3dna. J. H. Gibbs and E. A. Dimarzio, Statistical Mechanics of Helix‐Coil Transitions in Biological Macromolecules, The Journal of Chemical Physics 30, 1959, עמ' 271 C. Kittel, Phase Transition of a Molecular Zipper, American Journal of Physics 37, 1969, עמ' 917 Seeing is understanding as well as believing, 3dna, תמונות שמסבירות את דרגות החופש הרוטציוניות של ה-DNA J. F. Nagle הראה במאמרו כי האנלוגיה החד־ממדית של מודל "Slater KDP" מבצעת מעבר פאזה מסדר ראשון. פונקציית החלוקה של הרוכסן זהה לזו מהמאמר של Nagle. J. F. Nagle, Proof of the First Order Phase Transition in the Slater KDP Model, American Journal of Physics 36, 1968, עמ' 1114