חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב. המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד. באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1. מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך. נוסח ראשון: יהי ( X , F , P ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} מרחב הסתברות, ותהי { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} קבוצה בת-מנייה של משתנים מקריים בלתי-תלויים. נגדיר "מאורע זנב" A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך { X i } i = 1 ∞ {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} . חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב A {\displaystyle A} , מתקיים P ( A ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או P ( A ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1} . נוסח שני: יהי ( X , F , P ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} מרחב הסתברות, ותהי { F i } i = 1 ∞ {\displaystyle \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} קבוצה בת-מנייה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב- F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ובלתי-תלויות. עבור n = 0 , 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=0,1,2,...} , נגדיר T n = σ ( ⋃ i = n ∞ F i ) {\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}=\sigma \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }F_{i}\right)} , ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, T = ⋂ n = 1 ∞ T n {\displaystyle {\mathcal {T}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {T}}_{n}} . מאורעות T {\displaystyle {\mathcal {T}}} מכונים "מאורעות זנב". חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע A ∈ T {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}} מתקיים P ( A ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או P ( A ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1} . הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת F i = σ ( X i ) {\displaystyle F_{i}=\sigma \left(X_{i}\right)} , כלומר F i {\displaystyle F_{i}} היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה X i {\displaystyle X_{i}} מדיד. המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו. למה: תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} אלגברה של קבוצות על X {\displaystyle X} . תהי F = σ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {F}}=\sigma \left({\mathcal {A}}\right)} . אזי לכל A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} , לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} קיימת B ∈ A {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}} , כך שמתקיים P ( A △ B ) < ϵ {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon } . הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , ולכן היא מכילה את F {\displaystyle {\mathcal {F}}} . נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד. עבור n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle n=1,2,3,...} נגדיר G n = σ ( F 1 , . . . , F n − 1 ) {\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}=\sigma \left(F_{1},...,F_{n-1}\right)} , ונגדיר G = ⋃ n = 1 ∞ G n {\displaystyle {\mathcal {G}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{n}} . נשים לב כי G {\displaystyle {\mathcal {G}}} היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים T 1 = σ ( G ) {\displaystyle {\mathcal {T}}_{1}=\sigma \left({\mathcal {G}}\right)} . בהינתן מאורע A ∈ T {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}} , מהלמה נובע כי לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} יש מאורע B ∈ G {\displaystyle B\in {\mathcal {G}}} שעבורו מתקיים P ( A △ B ) < ϵ {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon } , כלומר P ( A ) − ϵ < P ( B ) < P ( A ) + ϵ {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon } . יהי N {\displaystyle N} שעבורו B ∈ G N {\displaystyle B\in {\mathcal {G}}_{N}} . נשים לב כי A ∈ T ⊂ T N + 1 {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {T}}_{N+1}} , ולכן A , B {\displaystyle A,B} בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי P ( A ) − ϵ < P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) < P ( A ) ⋅ ( P ( A ) + ϵ ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(A\cap B\right)=\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \left(\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon \right)} . אבל ϵ {\displaystyle \epsilon } שרירותי, ולכן נובע כי P ( A ) = P ( A ) 2 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=\mathbb {P} \left(A\right)^{2}} , כלומר P ( A ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או P ( A ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1} . נתבונן במרחב X = { 0 , 1 } N {\displaystyle X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }} , עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה C ( a , n ) = { x ∈ X ∣ x n = a } {\displaystyle C\left(a,n\right)=\left\{\mathbf {x} \in X\mid x_{n}=a\right\}} (כאשר x n {\displaystyle x_{n}} הוא הקואורדינטה ה- n {\displaystyle n} של x {\displaystyle \mathbf {x} } ), עבור a ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle a\in \left\{0,1\right\}} כלשהו. נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות P ( C ( a , n ) ) = 1 2 {\displaystyle \mathbb {P} \left(C\left(a,n\right)\right)={\frac {1}{2}}} לכל a {\displaystyle a} ולכל n {\displaystyle n} . ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן. עבור i = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle i=1,2,3,...} נגדיר F i = σ ( C ( 0 , i ) ) {\displaystyle F_{i}=\sigma \left(C\left(0,i\right)\right)} , ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים X i ( x ) = x i i {\displaystyle X_{i}\left(\mathbf {x} \right)={\frac {x_{i}}{i}}} . אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב: { x ∈ X ∣ ∑ i = 1 ∞ X i ( x ) < ∞ } {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\}} { x ∈ X ∣ lim i → ∞ X i ( x ) exists } {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\}} { x ∈ X ∣ lim sup i → ∞ X i ( x ) < c } {\displaystyle \left\{\mathbf {x} \in X\mid \limsup _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<c\right\}} לאיזשהו c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } באופן כללי יותר, אם { A i } i = 1 ∞ {\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע { infinitely many of the  A i  occur } = lim sup i ( A i ) = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i {\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}} הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)} מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות P ( lim sup i → ∞ A i ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i\to \infty }A_{i}\right)=1} . אנדריי קולמוגורוב, Foundations of the Theory of Probability,‏ 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability" המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת". כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית i 1 , . . . , i k {\displaystyle i_{1},...,i_{k}} , לכל קבוצת מאורעות A i 1 , . . . , A i k {\displaystyle A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}} , מתקיים כי P ( X i 1 ∈ A i 1 , . . . , X i k ∈ A i k ) = P ( X i 1 ∈ A i 1 ) ⋅ . . . ⋅ P ( X i k ∈ A i k ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)} . כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית i 1 , . . . , i k {\displaystyle i_{1},...,i_{k}} , עבור X i 1 , . . . , X i k {\displaystyle X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}} , מתקיים כי P ( A ∣ X i 1 , . . . , X i k ) = P ( A ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\right)} . כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית i 1 , . . . , i k {\displaystyle i_{1},...,i_{k}} , לכל קבוצת מאורעות A i 1 ∈ F i 1 , . . . , A i k ∈ F i k {\displaystyle A_{i_{1}}\in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}}\in F_{i_{k}}} , מתקיים כי P ( A i 1 ∩ . . . ∩ A i k ) = P ( A i 1 ) ⋅ . . . ⋅ P ( A i k ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap ...\cap A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(A_{i_{k}}\right)} . חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.