טנזור השדה האלקטרומגנטי

טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא טנזור מדרגה 2 המתאר את השדה האלקטרומגנטי - כלומר את השדה החשמלי והשדה המגנטי - כישות אחת, קו-ואריאנטית לורנץ. טנזור זה הוא תוצאה של תורת היחסות הפרטית. בהינתן ה4-וקטור של הפוטנציאל האלקטרומגנטי   A μ = ( ϕ / c , A → ) {\displaystyle \ A^{\mu }=\left(\phi /c,{\vec {A}}\right)} , או בצורתו הלורנץ-קו-ואריאנטית   A μ = ( ϕ / c , − A → ) {\displaystyle \ A_{\mu }=\left(\phi /c,-{\vec {A}}\right)} , טנזור השדה האלקטרומגנטי מוגדר להיות :   F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle \ F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} כאשר   ∂ μ = ∂ ∂ x μ {\displaystyle \ \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}} הוא הגרדיאנט ה-4 ממדי, A הוא הפוטנציאל הווקטורי ו-   ϕ {\displaystyle \ \phi } הוא הפוטנציאל הסקלארי. באופן מפורש, נוכל לרשום את הטנזור F בצורת מטריצה 4 על 4 באופן הבא F μ ν = [ 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ] {\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}} או F μ ν = [ 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ] {\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}} כאשר E הוא השדה החשמלי, B השדה המגנטי ו-c היא מהירות האור. טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא אנטי-סימטרי, כלומר:   F μ ν = − F ν μ {\displaystyle \ F_{\mu \nu }=-F_{\nu \mu }} . זהות ביאנקי:   ∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0 {\displaystyle \ \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0} . מזהות זו נובעות משוואות מקסוול ההומוגניות:   ∇ → ⋅ B → = 0 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0} ו   ∇ → × E → + ( 1 / c ) ∂ t B → = 0 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}+(1/c)\partial _{t}{\vec {B}}=0} . הטנזור מקיים את משוואת התנועה הבאה:   ∂ μ F μ ν = j ν / c {\displaystyle \ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=j^{\nu }/c} (ביחידות גאוס) או   ∂ μ F μ ν = 4 π j ν {\displaystyle \ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=4\pi j^{\nu }} (ביחידות cgs) כאשר   j μ = ( c ρ , j → ) {\displaystyle \ j^{\mu }=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right)} הוא ה-4-וקטור של צפיפות זרמים ומטענים. משוואה זו שקולה לשתי משוואות מקסוול הלא הומוגניות. הגודל   E 2 c 2 − B 2 = − 1 2 F μ ν F μ ν {\displaystyle \ {\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}=-{\frac {1}{2}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }} הוא אינווריאנטי לורנץ (סקלר). הגודל   E → ⋅ B → = c 8 π ϵ μ ν λ ρ F μ ν F λ ρ {\displaystyle \ {\vec {E}}\cdot {\vec {B}}={\frac {c}{8\pi }}\epsilon _{\mu \nu \lambda \rho }F^{\mu \nu }F^{\lambda \rho }} הוא אינווריאנטי לורנץ (פסאודו סקלר). להבנת חלק זה של המאמר נדרש ידע מוקדם בגאומטריה דיפרנציאלית. אל 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי   A ν {\displaystyle \ A_{\nu }} אפשר להתייחס כאל חד-תבנית (one-form) הנתונה על ידי   A ~ = A μ d x μ {\displaystyle \ {\tilde {A}}=A_{\mu }dx^{\mu }} (כאשר כאן משתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין) האיברים   d x μ {\displaystyle \ dx^{\mu }} הם בסיס למרחב החד-תבניות הצמוד לבסיס המרחב המשיק, כלומר:   d x μ ( ∂ ν ) = δ ν μ {\displaystyle \ dx^{\mu }(\partial _{\nu })=\delta _{\nu }^{\mu }} הדלתא של קרונקר. במקרה זה, את טנזור השדות האלקטרומגנטי   F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle \ F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} אפשר לרשום באמצעות דיפרנציאל דה-ראם על החד-תבנית A:   F ~ = d A ~ {\displaystyle \ {\tilde {F}}=d{\tilde {A}}} מאחר שזו "גזירה" אנטי-סימטרית אפשר לקבל ש   F ~ = F μ ν d x μ d x ν {\displaystyle \ {\tilde {F}}=F_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }} כאשר   F μ ν {\displaystyle \ F_{\mu \nu }} נתונים לעיל ואילו המכפלה בין   d x μ {\displaystyle \ dx^{\mu }} ל-   d x ν {\displaystyle \ dx^{\nu }} היא מכפלת וודג' (Wedge product) בין תבניות ששומרת על אנטי-סימטריות (באופן אינטואיטיבי ניתן לומר שכופלים את התבניות כדי לקבל תבנית חדשה ואז מבצעים לה אנטי-סימטריזציה כך שתהיה אנטי-סימטרית בכל זוג ארגומנטים). אפשר לסכם ולומר F הוא טנזור קו-וריאנטי אנטי-סימטרי מסדר 2, או דו-תבנית. משפט כללי בגאומטריה דיפרנציאלית קובע שדיפרנציאל דה-ראם מקיימת זהותית d2=0. מכאן נובע ש   d F ~ = d 2 A ~ = 0 {\displaystyle \ d{\tilde {F}}=d^{2}{\tilde {A}}=0} וזו אחת ממשוואות מקסוול (זהות ביאנקי). כעת, נגדיר את הטנזור הצמוד של Hodge לדו-תבנית F. באופן כללי, דואליות הודג' מתאימה ל k-תבנית מעל מרחב וקטורי n-ממדי (n-k)-תבנית, שמוגדרת ביחס ל n-תבנית שנקבעה מראש, שהיא בדרך כלל היא תבנית ה"דטרמיננטה" האנטי-סימטרית בהחלט (בכתיב בקואורדינטות קרטזיות זהו טנזור לוי-צ'יויטה). אזי   ∗ F ~ = ϵ μ ν λ ρ F λ ρ d x μ d x ν {\displaystyle \ *{\tilde {F}}=\epsilon _{\mu \nu \lambda \rho }F^{\lambda \rho }dx^{\mu }dx^{\nu }} ואילו   d ( ∗ F ~ ) = J {\displaystyle \ d(*{\tilde {F}})=J} שהוא 4-וקטור צפיפות הזרם החשמלי j μ {\displaystyle j^{\mu }} . נשים לב ש 4-וקטור זה מקיים באופן אוטומטי את משוואת הרציפות, שכן   0 = d 2 ( ∗ f ~ ) = d J = ∂ ν j ν {\displaystyle \ 0=d^{2}(*{\tilde {f}})=dJ=\partial _{\nu }j^{\nu }} יצוין שרכיביו של J והעובדה שהוא מייצג צפיפות מטען וזרם מוסקים פיזיקלית מהתכונות של השדה החשמלי E והשדה המגנטי B, אך העובדה ש-J הוא 4-וקטור שמקיים את משוואת הרציפות נובעת באופן אוטומטי מהצורה בה הוגדר והתכונות של דיפרנציאל דה-ראם. בגישה אחרת מתייחסים ל-A כאל קשר אפיני מעל אגד וקטורי ואז מקבלים ש-F היא העקמומיות שלו. במכניקה נהוג להסיק את משוואות התנועה של גופים מגודל הנקרא המילטוניאן שמהווה פונקציה של האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית כפי שהם מבוטאים על ידי התנע (ליתר דיוק: התנע הקנוני הצמוד) p והמקום x. את ההמילטוניאן מסיקים מהלגראנז'יאן באמצעות טרנספורם לז'נדר. כאשר יש פוטנציאל וקטורי נוכח, מגלים שאיבר האנרגיה הקינטית נתון על ידי   T = 1 2 m ( p → + e c A → ) 2 {\displaystyle \ T={\frac {1}{2m}}\left({\vec {p}}+{\frac {e}{c}}{\vec {A}}\right)^{2}} . במכניקת הקוונטים התנע הוא אופרטור הגזירה   p → = − i ℏ ∇ → {\displaystyle \ {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}} . במובן מסיים, אפשר להסתכל על הפוטנציאל כגודל שמעוות את היריעה ולכן הזזה מקבילה של פונקציית הגל ממקום אחד לשני לא תשמור עליה אם לא נוסיף תיקון שיבטל את ההשפעה של הפוטנציאל הווקטורי שמעקם את המרחב. לכן, מגדירים אופרטור גזירה "קו-ואריאנטי" השומר על הווקטור ביריעה הנ"ל, וזאת על ידי   Π → = − i ℏ ( ∇ → + i e ℏ c A → ) {\displaystyle \ {\vec {\Pi }}=-i\hbar ({\vec {\nabla }}+{\frac {ie}{\hbar c}}{\vec {A}})} ואכן, הווקטור משמש כמקדמי הקשר. לכל קשר אפשר להגדיר טנזור עקמומיות, טנזור זה מבטא את ההפרש בין וקטור ההתחלתי למה שמתקבל כאשר מזיזים אותו לאורך לולאה סגורה אינפינסיטימלית. אם נבנה את הלולאה כמקבילון המורכב משני וקטורים נראה שמקדם העקמומיות כתלות בכיווני הווקטורים הוא אנטי-סימטרי ולמעשה יהיה מהצורה:   κ μ ν = C 0 ( ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ) {\displaystyle \ \kappa _{\mu \nu }=C_{0}(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })} . כלומר, טנזור השדה האלקטרומגנטי הוא עקמומיות של קשר. מכאן נובעת גם זהות ביאנקי כמקרה פרטי של תורת העקמומיות והקשרים המוגדרים מעל אגדי וקטורים. טנזור אלקטרומגנטי, בעולם המדע של וולפרם