מדד שנאת הסיכון של ארו-פראט

מדד שנאת הסיכון של ארו-פראט הוא מדד שנאת הסיכון בתורת התועלת שפותח באופן בלתי תלוי על ידי הכלכלנים ג'ון פראט (John Pratt) בשנת 1964 וקנת' ארו (Kenneth Arrow) בשנת 1970. המדד המאפשר להשוות בין הגישות לסיכון של פרטים שונים המקיימים את אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן, כאשר השוואה זו ניתנת לביצוע הן במונחים מקומיים (עבור רמת עושר תחילי w {\displaystyle w} קבועה), והן במונחים כלליים – לכל רמות העושר יחדיו. עבור פרט המקיים את אקסיומות פון נוימן-מורגנשטרן ובעל פונקציית תועלת לכסף u ( w ) {\displaystyle u(w)} , מקדם שנאת הסיכון של הפרט הוא r u ( w ) = − 0.5 u ″ ( w ) u ′ ( w ) {\displaystyle r_{u}(w)=-0.5{\frac {u''(w)}{u'(w)}}} . ניתן להיעזר בהתנהגות המדד עם השינוי ב- w {\displaystyle w} על מנת למצוא פונקציות תועלת המתאימות לכל גישה אפשרית לסיכון והחלטות בתנאי אי ודאות. בבואנו לנתח בעיות החלטה של פרט בודד שלהן מספר תוצאות אפשריות, עלינו להבין מהו האופן שבו הפרט מדרג את התוצאות. דירוג זה הוא תהליך מנטלי של הפרט המשווה בין כל 2 אלטרנטיבות וקובע איזו מהן הרצויה ביותר. הצורך למדל תהליך זה באופן נוח ברור, היות שהוא מהווה בסיס לניתוח דרכי הפעולה שיבחר הפרט בין אם בבעיית החלטה שרק הוא שותף לה ובין אם במשחק מרובה משתתפים. נניח כי בפני הפרט עומדת קבוצת אלטרנטיבות (סלים) X ⊆ R d {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{d}} וכי לפרט יחס העדפה בינארי ≿ {\displaystyle \succsim } על קבוצה X {\displaystyle X} כך שלכל x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} מתקיים x ≿ y {\displaystyle x\succsim y} אם"ם הפרט מוצא את סל x {\displaystyle x} טוב לפחות כמו סל y {\displaystyle y} . באופן טבעי מטרת הפרט היא למקסם את תועלתו. על מנת שיחס העדפה זה יגדיר סדר על קבוצת האלטרנטיבות האפשריות נדרוש את קיום אקסיומות התועלת הבאות: שלמות: ∀ x , y ∈ X : x ≿ y ∨ y ≿ x {\displaystyle \forall x,y\in X:x\succsim y\lor y\succsim x\quad } טרנזיטיביות: ∀ x , y , z ∈ X : x ≿ y ∧ y ≿ z ⇒ x ≿ z {\displaystyle \forall x,y,z\in X:x\succsim y\land y\succsim z\Rightarrow x\succsim z\quad } רציפות: לכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} הקבוצות { y : y ≿ x } {\displaystyle \{y:y\succsim x\}} ו- { y : x ≿ y } {\displaystyle \{y:x\succsim y\}} הן קבוצות סגורות. אקסיומת השלמות קובעת כי כאשר עומדת בפני הפרט בחירה בין שני סלים אפשריים x {\displaystyle x} ו y {\displaystyle y} הפרט תמיד יכול להשוות ביניהם ולבחור את האופטימלי עבורו, אקסיומת הטרנזיטיביות קובעת את יחס ההעדפה כיחס טרנזיטיבי (דרישה הנראית טבעית להתנהגות "רציונלית" של הפרט) ואקסיומת הרציפות מבטיחה שאם סל x {\displaystyle x} עדיף ממש על סל y {\displaystyle y} וסל z {\displaystyle z} מספיק קרוב ל- y {\displaystyle y} אז x {\displaystyle x} עדיף ממש על z {\displaystyle z} . הגדרה: תהי X {\displaystyle X} קבוצת אפשרויות ו- ≿ {\displaystyle \succsim } יחס העדפות שלם וטרנזיטיבי על X {\displaystyle X} . פונקציה u : X → R {\displaystyle u:{X}\rightarrow \mathbb {R} } נקראת פונקציית תועלת המייצגת את ≿ {\displaystyle \succsim } , אם לכל x , y ∈ X {\displaystyle {x},{y}\in {X}} מתקיים: x ≿ y ⟺ u ( x ) ≥ u ( y ) {\displaystyle {x}\succsim {y}\quad \iff \quad u({x})\geq u({y})} משפט: [ דברה (Debreu)‏ 1954] יהי ( X , ≿ ) {\displaystyle ({X},\succsim )} יחס העדפה של פרט המקיים את אקסיומות התועלת. אז קיימת פונקציית תועלת u : X → R {\displaystyle u:{X}\rightarrow \mathbb {R} } רציפה, המייצגת את יחס ההעדפה של הפרט. חשיבות של משפט זה היא בכך שאם יחס ההעדפה של הפרט מקיים את אקסיומות תורת התועלת, אזי במידול בעיית ההחלטה של הפרט ניתן לחשוב עליו כאילו הוא ממקסם פונקציית תועלת ולנתח את התנהגותו לפי עיקרון זה. נשים לב כי פונקציית התועלת של הפרט איננה יחידה. אכן, כל טרנספורמציה מונוטונית עולה v ( x ) = f ( u ( x ) ) {\displaystyle v(x)=f(u(x))} אף היא פונקציית תועלת של פרט זה. לכן, פונקציית התועלת היא פונקציה אורדינלית וקיימת חשיבות רק לסדר היחסי של הסלים לפי פונקציה זו. התועלת במובנה הרגיל מאפשרת לנתח מצבי החלטה של פרט כאשר ההחלטה מתבצעת בתנאי וודאות. בפועל, חלק נכבד מבין ההחלטות שפרטים מבצעים כרוכות במידה כזו או אחרת של אי ודאות לגבי התוצאה שתתקבל או המהוות חלק ממשחק שבו שותפים גם שחקנים אחרים המשפיעים אף הם על התוצאה . לכן, קיים צורך להתאים את מושג התועלת על מנת לאפשר טיפול במצבים אלו. נניח כי הפרט עומד בפני מצב שלו מספר סופי של תוצאות (פרסים) אפשריות X = { A 1 , A 2 , . . . , A k } {\displaystyle X=\{A_{1},A_{2},...,A_{k}\}} . הגדרה: הגרלה L {\displaystyle L} על הפרסים בקבוצה X {\displaystyle X} נתונה על ידי L = [ p 1 ( A 1 ) , p 2 ( A 2 ) , ⋯ , p k ( A k ) ] {\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),p_{2}(A_{2}),\cdots ,p_{k}(A_{k})]} כאשר: לכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} מתקיים p i ≥ 0 {\displaystyle p_{i}\geq 0} ∑ p i = 1 {\displaystyle \sum p_{i}=1} הגדרה: הגרלה מרוכבת היא הגרלה על הגרלות. יהי Λ {\displaystyle \Lambda } אוסף ההגרלות המורכבות על הקבוצה X {\displaystyle X} ונניח כי קיים עבור הפרט יחס העדפה בינארי על קבוצת ההגרלות וכן שיחס העדפה זה מקיים את אקסיומות התועלת הכללית. כמו כן נזהה את הפרס A i ∈ X {\displaystyle A_{i}\in X} עם ההגרלה המורכבת [ 1 ( A i ) ] {\displaystyle [1(A_{i})]} . תחת הנחות אלו ממשפט Debreu נקבל כי קיימת פונקציית תועלת u : Λ → R {\displaystyle u:\Lambda \rightarrow \mathbb {R} } כך שמתקיים לכל L 1 , L 2 ∈ Λ {\displaystyle L_{1},L_{2}\in \Lambda } L 1 ≿ L 2 ⟺ u ( L 1 ) ≥ u ( L 2 ) {\displaystyle {L_{1}}\succsim {L_{2}}\quad \iff \quad u({L_{1}})\geq u({L_{2}})} הגדרה: פונקציית תועלת u ( x ) {\displaystyle u(x)} תיקרא ליניארית אם לכל הגרלה L = [ p 1 ( A 1 ) , p 2 ( A 2 ) , ⋯ , p k ( A k ) ] {\displaystyle L=[p_{1}(A_{1}),p_{2}(A_{2}),\cdots ,p_{k}(A_{k})]} מתקיים: u ( L ) = ∑ p i u ( A i ) {\displaystyle u(L)=\sum p_{i}u(A_{i})} בשנת 1947 ניסחו המתמטיקאי ג'ון פון-נוימן והכלכלן אוסקר מורגנשטרן 4 את ארבע האקסיומות הבאות (אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן): רציפות: ∀ A , B , C ∈ X A ≿ B ≿ C : ∃ θ 0 ≤ θ ≤ 1 : B ∼ [ θ ( A ) , ( 1 − θ ) ( C ) ] {\displaystyle \forall A,B,C\in {X}\quad A\succsim B\succsim C:\exists \theta \quad 0\leq \theta \leq 1:B\sim [\theta (A),(1-\theta )(C)]} מונוטוניות: ∀ 0 ≤ α , β ≤ 1 a n d A ≻ B : [ α ( A ) , ( 1 − α ) ( B ) ] ≻ [ β ( A ) , ( 1 − β ) ( B ) ] ⟺ α > β {\displaystyle \forall \quad 0\leq \alpha ,\beta \leq 1\quad and\quad A\succ B:\quad [\alpha (A),(1-\alpha )(B)]\succ [\beta (A),(1-\beta )(B)]\iff \alpha >\beta } פישוט: לכל j = 1 , 2... , J {\displaystyle \!j=1,2...,J} תהי L j {\displaystyle \!L_{j}} ההגרלה הפשוטה L j = [ p 1 j ( A 1 ) , p 2 j ( A 2 ) , . . . , p K j ( A K ) ] {\displaystyle \!L_{j}=[p_{1}^{j}(A_{1}),p_{2}^{j}(A_{2}),...,p_{K}^{j}(A_{K})]} ותהי ההגרלה המורכבת L ~ = [ q 1 ( L 1 ) , q 2 ( L 2 ) , . . . , q j ( L j ) ] {\displaystyle \!{\tilde {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{j}(L_{j})]} . לכל 1 ≤ k ≤ K {\displaystyle 1\leq k\leq K} ההסתברות לקבלת A k {\displaystyle A_{k}} בהגרלה המורכבת L ~ {\displaystyle {\tilde {L}}} היא: r k = ∑ q j ⋅ p k , j {\displaystyle r_{k}=\sum q_{j}\cdot p_{k,j}} נסמן L = [ r 1 ( A 1 ) , . . . , r K ( A K ) ] {\displaystyle L=[r_{1}(A_{1}),...,r_{K}(A_{K})]} . אזי מתקיים L ~ ∼ L {\displaystyle {\tilde {L}}\sim L} . הצבה: תהי ההגרלה המורכבת L ~ = [ q 1 ( L 1 ) , q 2 ( L 2 ) , . . . , q j ( L j ) ] {\displaystyle \!{\tilde {L}}=[q_{1}(L_{1}),q_{2}(L_{2}),...,q_{j}(L_{j})]} והגרלה פשוטה כלשהי M {\displaystyle M} המקיימת M ∼ L j {\displaystyle M\sim L_{j}} . אזי מתקיים: L ~ ∼ [ q 1 ( L 1 ) , . . . , q j ( M ) , . . . , q J ( L J ) ] {\displaystyle {\tilde {L}}\sim [q_{1}(L_{1}),...,q_{j}(M),...,q_{J}(L_{J})]} תחת הנחת אקסיומות התועלת הכללית ואקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן מתקיים המשפט הבא: משפט: [Von-Neumann,Morgenstern 1954] יהי ( Λ , ≿ ) {\displaystyle ({\Lambda },\succsim )} יחס העדפה של פרט המקיים את אקסיומות התועלת הכללית ואקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן. אזי קיימת פונקציית תועלת ליניארית המייצגת את יחס ההעדפה. פונקציית תועלת זו, בניגוד לפונקציית תועלת כללית היא יחידה עד כדי טרנספורמציה אפינית. באופן כללית משפט פון-נוימן מורגנשטרן ניתן להכללה כאשר הקבוצה X {\displaystyle X} היא בת מנייה וכן עבור המקרה של התפלגות רציפה. נניח כי בפני פרט נתון עומדת קבוצת הגרלות L ~ {\displaystyle {\tilde {L}}} על קבוצת הפרסים O = R {\displaystyle O=\mathbb {R} } וכי הפרט מקיים את אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן. הגדרה: תהי L = [ p 1 ( x 1 ) , p 2 ( x 2 ) , ⋯ , p k ( x k ) ] {\displaystyle L=[p_{1}(x_{1}),p_{2}(x_{2}),\cdots ,p_{k}(x_{k})]} הגרלה על פרסים כספיים ותהי E L = ∑ p i x i {\displaystyle E_{L}=\sum p_{i}x_{i}} תוחלת הפרס בהגרלה. הפרט ייקרא שונא סיכון אם לכל הגרלה L {\displaystyle L} כנ"ל: u ( L ) ≤ u ( E L ) {\displaystyle u(L)\leq u(E_{L})} המחשה למושג שנאת הסיכון ניתן לראות בגרף. פונקציית התועלת של הפרט קעורה ולכן מדובר בפרט שונא סיכון. ואכן התועלת שמניבה ההגרלה לפרט (תוחלת התועלת) היא u ( y ) {\displaystyle u(y)} והיא נמוכה מהתועלת של תוחלת הפרס u ( w ) {\displaystyle u(w)} . על מנת לבצע השוואה בין פרטים שונים העומדים בפני מצבי החלטה זהים, קיים צורך במציאת מדד שיאפשר השוואה זו וייתן ביטוי למסקנה האינטואיטיבית כי קיים קשר בין "רמת" הקעירות של פונקציית התועלת לבין שנאת הסיכון של הפרט. יתרה מזאת, מכיוון שפונקציית התועלת של פרט המקיים את אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן יחידה עד כדי טרנספורמציה אפינית, נרצה שהמדד המדובר יהיה אינווריאנטי תחת טרנספורמציות אפיניות. תהי u ( x ) {\displaystyle u(x)} פונקציית תועלת מונוטונית עולה ממש, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות ב R {\displaystyle \mathbb {R} } ויהי פרט i {\displaystyle i} כך ש- u ( x ) {\displaystyle u(x)} פונקציית התועלת של פרט זה מכסף והמקיים את אקסיומות פון-נוימן מורגנשטרן. נניח שבידי הפרט רכוש תחילי בגובה w {\displaystyle w} וכי הוא עומד בפני הגרלה שבה ירוויח או יפסיד סכום כסף קטן h {\displaystyle h} בהסתברויות שוות (כפי שמופיע בגרף). נסמן ב- Y {\displaystyle Y} את ההון של הפרט לאחר ההגרלה. בפני הפרט עומדת ההגרלה הבאה Y = [ 0.5 ( w + h ) , 0.5 ( w − h ) ] {\displaystyle Y=[0.5(w+h),0.5(w-h)]} . היות שפונקציית התועלת של הפרט היא ליניארית בכסף וקעורה ממש מתקיים: u ( Y ) = 0.5 u ( w + h ) + 0.5 ( w − h ) < u ( 0.5 ( w + h ) + 0.5 ( w − h ) ) = u ( w ) {\displaystyle u(Y)=0.5u(w+h)+0.5(w-h)<u(0.5(w+h)+0.5(w-h))=u(w)} ולכן הפרט מקיים שנאת סיכון (בהגרלה זו E Y = w {\displaystyle E_{Y}=w} ). בנוסף מתקיים V a r ( Y ) = h 2 {\displaystyle Var(Y)=h^{2}} . נסמן ב- Δ u h := u ( w ) − u ( Y ) {\displaystyle \Delta u_{h}:=u(w)-u(Y)} את הפסד התועלת של הפרט עקב הצורך להשתתף בהגרלה. ומתקיים: Δ u h = u ( w ) − 0.5 u ( w + h ) − 0.5 u ( w − h ) = − u ( w + h ) + u ( w − h ) − 2 u ( w ) 2 {\displaystyle \Delta u_{h}=u(w)-0.5u(w+h)-0.5u(w-h)=-{\frac {u(w+h)+u(w-h)-2u(w)}{2}}} u ( x ) {\displaystyle u(x)} פונקציה גזירה ברציפות פעמיים ומפיתוח טיילור סביב w {\displaystyle w} מתקיים: u ( w + h ) = u ( w ) + u ′ ( w ) h + 0.5 u ″ ( w ) h 2 + o ( h 2 ) {\displaystyle u(w+h)=u(w)+u'(w)h+0.5u''(w)h^{2}+o(h^{2})} u ( w − h ) = u ( w ) − u ′ ( w ) h + 0.5 u ″ ( w ) h 2 + o ( h 2 ) {\displaystyle u(w-h)=u(w)-u'(w)h+0.5u''(w)h^{2}+o(h^{2})} ולכן: lim h → 0 Δ u h h 2 = − 0.5 lim h → 0 u ″ ( w ) h 2 + o ( h 2 ) h 2 = − 0.5 u ″ ( w ) {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\Delta u_{h}}{h^{2}}}=-0.5\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {u''(w)h^{2}+o(h^{2})}{h^{2}}}=-0.5u''(w)} נסמן ב- y h {\displaystyle y_{h}} את ההון המקיים u ( y h ) = u ( Y ) {\displaystyle u(y_{h})=u(Y)} וכן Δ w h := w − y h {\displaystyle \Delta w_{h}:=w-y_{h}} . הפרט שונא סיכון ולכן מתקיים u ( w ) > u ( Y ) {\displaystyle u(w)>u(Y)} . u ( w ) {\displaystyle u(w)} פונקציה מונוטונית עולה ממש ומכאן Δ w h > 0 {\displaystyle \Delta w_{h}>0} . לבסוף: lim h → 0 Δ w h V a r ( Y ) = lim h → 0 Δ w h Δ u h ⋅ Δ u h V a r ( Y ) = − 0.5 u ″ ( w ) u ′ ( w ) = r u ( w ) {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\Delta w_{h}}{Var(Y)}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\Delta w_{h}}{\Delta u_{h}}}\cdot {\frac {\Delta u_{h}}{Var(Y)}}=-0.5{\frac {u''(w)}{u'(w)}}=r_{u}(w)} ובעצם, האינטואיציה מאחורי מדד שנאת הסיכון של ארו-פראט היא השאלה מהו הסכום המקסימלי ששחקן עם הון התחלתי w {\displaystyle w} מוכן לשלם על מנת להימנע מהשתתפות בהגרלה הוגנת (כאשר הסכום נמדד ביחידות של שונות ההגרלה). נוודא כי מדד זה אינווריאנטי תחת טרנספורמציות אפיניות. תהי v ( w ) = a u ( w ) + b {\displaystyle v(w)=au(w)+b} טרנספורמציה אפינית על u ( w ) {\displaystyle u(w)} אזי: r v ( w ) = − 0.5 v ″ ( w ) v ′ ( w ) = − 0.5 ( a u ( w ) + b ) ″ ( a u ( w ) + b ) ′ = − 0.5 u ″ ( w ) u ′ ( w ) = r u ( w ) {\displaystyle r_{v}(w)=-0.5{\frac {v''(w)}{v'(w)}}=-0.5{\frac {(au(w)+b)''}{(au(w)+b)'}}=-0.5{\frac {u''(w)}{u'(w)}}=r_{u}(w)} המדד שהוצג לעיל הוא מדד לוקאלי ביחס לרמת ההון התחילי w {\displaystyle w} . אך מה אם אנו מעוניינים להשוות בין שנאת הסיכון של שני פרטים לכל רמת הון תחילי? ישנן 3 דרכים טבעיות לבצע השוואה זו: על ידי שימוש במדד שנאת הסיכון הלוקאלית בהינתן שני פרטים המקיימים את אקסיומות פון נוימן מורגנשטרן. אם לפרט א' פונקציית תועלת u ( w ) {\displaystyle u(w)} ולפרט ב' פונקציית תועלת v ( w ) {\displaystyle v(w)} ,נאמר כי פרט א' הוא בעל שנאת סיכון גדולה יותר אם לכל רמת הון תחילי w {\displaystyle w} מתקיים: r u ( w ) > r v ( w ) {\displaystyle r_{u}(w)>r_{v}(w)} על ידי טרנספורמציה מונוטונית וקעורה ממש נאמר כי פרט א' הוא בעל שנאת סיכון גדולה יותר מפרט ב' אם פונקציית התועלת של פרט א', u ( w ) {\displaystyle u(w)} , "קעורה" יותר מפונקציית התועלת של פרט ב', v ( w ) {\displaystyle v(w)} . פורמלית, אם קיימת פונקציה G : R → R {\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } מונוטונית עולה, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות כך שמתקיים: u ( w ) = G ( v ( w ) ) {\displaystyle u(w)=G(v(w))} על ידי הגדרת פרמיית סיכון בבניית מדד שנאת הסיכון הלוקאלי של אראו-פראט התבוננו בפרט בעל הון תחילי w {\displaystyle w} העומד בפני הגרלה הוגנת. יהי h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} הרווח בהגרלה זו – משתנה מקרי המקיים E [ h ~ ] = 0 {\displaystyle \mathbb {E} [{\tilde {h}}]=0} . הגדרה: פרמיית הסיכון בהגרלה תסומן Π A ( h ~ ) {\displaystyle \Pi _{A}({\tilde {h}})} והיא רמת העושר המקסימלית שפרט A מוכן לוותר עליה על מנת להימנע מההימור h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} . זאת אומרת, Π A ( h ~ ) {\displaystyle \Pi _{A}({\tilde {h}})} מקיימת: u ( w − Π A ( h ~ ) ) = E [ u ( w + h ~ ) ] {\displaystyle u(w-\Pi _{A}({\tilde {h}}))=\mathbb {E} [u(w+{\tilde {h}})]} עבור פרט שונא סיכון ובעל פונקציית תועלת קעורה ממש מתקיים Π A ( h ~ ) > 0 {\displaystyle \Pi _{A}({\tilde {h}})>0} לכל רמת עושר תחילי w {\displaystyle w} . אנו נאמר כי פרט א' הוא שונא סיכון יותר מפרט ב' אם ∀ w : Π A ( h ~ ) > Π B ( h ~ ) {\displaystyle \forall w:\Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}})} . שלוש הדרכים הללו לטיפול בשנאת סיכון גלובלית הן טבעיות, אך נראה כי קשה לבחור באחת מהן על פני האחרות ועולה השאלה איזו מהן היא הנכונה יותר. מסתבר כי תחת הנחות מסוימות על פונקציות התועלת של הפרטים מתקיים המשפט הבא: משפט: [Pratt] תהיינה A ( w ) , B ( w ) {\displaystyle A(w),B(w)} פונקציות תועלת גזירות פעמיים ברציפות, מונוטוניות עולות ממש וקעורות. הטענות הבאות שקולות: r A ( w ) > r B ( w ) {\displaystyle r_{A}(w)>r_{B}(w)} לכל עושר תחילי w {\displaystyle w} . A ( w ) = G ( B ( w ) ) {\displaystyle A(w)=G(B(w))} כאשר G : R → R {\displaystyle G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } מונוטונית עולה ממש, קעורה ממש וגזירה פעמיים ברציפות. Π A ( h ~ ) > Π B ( h ~ ) {\displaystyle \Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}})} לכל רמת עושר תחילי w {\displaystyle w} ולכל משתנה מקרי h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} כך שמתקיים E [ h ~ ] = 0 {\displaystyle \mathbb {E} [{\tilde {h}}]=0} . הוכחה: ( 2 ) ← ( 1 ) {\displaystyle (2)\leftarrow (1)} נגדיר את G ( w ) {\displaystyle G(w)} באופן עקיף על ידי A ( w ) = G ( B ( w ) ) {\displaystyle A(w)=G(B(w))} . מכך ש- A ( w ) , B ( w ) {\displaystyle A(w),B(w)} מונוטוניות נובע כי G ( w ) {\displaystyle G(w)} מוגדרת היטב. על ידי גזירת שני האגפים פעמיים נקבל: A ′ ( w ) = G ′ ( B ( w ) ) ⋅ B ′ ( w ) {\displaystyle A'(w)=G'(B(w))\cdot B'(w)} A ″ ( w ) = G ″ ( B ( w ) ) ⋅ ( B ′ ( w ) ) 2 + G ′ ( w ) ⋅ B ″ ( w ) {\displaystyle A''(w)=G''(B(w))\cdot (B'(w))^{2}+G'(w)\cdot B''(w)} מהשורה הראשונה ומכך ש- B ( w ) {\displaystyle B(w)} מונוטונית עולה ממש נקבל G ′ ( B ( w ) ) = A ′ ( w ) B ′ ( w ) > 0 {\displaystyle G'(B(w))={\frac {A'(w)}{B'(w)}}>0} .על ידי חלוקת השורה השנייה בראשונה נקבל כי: G ″ ( B ( w ) ) = ( A ″ ( w ) A ′ ( w ) − B ″ ( w ) B ′ ( w ) ) ⋅ B ′ ( w ) ⋅ G ′ ( B ( w ) ) ( B ′ ( w ) ) 2 < 0 {\displaystyle G''(B(w))=({\frac {A''(w)}{A'(w)}}-{\frac {B''(w)}{B'(w)}})\cdot {\frac {B'(w)\cdot G'(B(w))}{(B'(w))^{2}}}<0} ולכן קיבלנו את הדרוש. ( 3 ) ← ( 2 ) {\displaystyle (3)\leftarrow (2)} נשים לב לכך שמתקיימים אי השוויונים הבאים: A ( w − Π A ( h ~ ) ) = E [ A ( w + h ~ ) ] = E [ G [ B ( w + h ~ ) ] ] < G [ E [ B ( w + h ~ ) ] ] = G [ B ( w − Π B ( h ~ ) ) ] = A ( w − Π B ( h ~ ) ) {\displaystyle A(w-\Pi _{A}({\tilde {h}}))=\mathbb {E} [A(w+{\tilde {h}})]=\mathbb {E} [G[B(w+{\tilde {h}})]]<G[\mathbb {E} [B(w+{\tilde {h}})]]=G[B(w-\Pi _{B}({\tilde {h}}))]=A(w-\Pi _{B}({\tilde {h}}))} כאשר אי השוויון נובע מאי-שוויון ינסן. ממונוטוניות A ( w ) {\displaystyle A(w)} נקבל Π A ( h ~ ) > Π B ( h ~ ) {\displaystyle \Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}})} . ( 1 ) ← ( 3 ) {\displaystyle (1)\leftarrow (3)} יהי h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} משתנה מקרי שרירותי קטן כלשהו ונתבונן במשפחת המשתנים המקריים { t h ~ ; t ∈ [ 0 , 1 ] } {\displaystyle \{t{\tilde {h}};t\in [0,1]\}} . תהי Π ( t ) {\displaystyle \Pi (t)} פונקציה של t {\displaystyle t} בקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . נתבונן בקירוב טיילור עבור Π ( t ) {\displaystyle \Pi (t)} סביב t = 0 {\displaystyle t=0} : Π ( t ) ≈ Π ( 0 ) + Π ′ ( 0 ) t + 1 2 Π ″ ( 0 ) t 2 {\displaystyle \Pi (t)\approx \Pi (0)+\Pi '(0)t+{\frac {1}{2}}\Pi ''(0)t^{2}} מהגדרת Π ( t ) {\displaystyle \Pi (t)} מתקיים כי A ( w − Π ( t ) ) = E [ A ( w + t h ~ ) ] {\displaystyle A(w-\Pi (t))=\mathbb {E} [A(w+t{\tilde {h}})]} ולכן Π ( 0 ) = 0 {\displaystyle \Pi (0)=0} . על ידי גזירת שני אגפי ההגדרה פעמיים נקבל: − A ′ ( w − Π ( t ) ) ⋅ Π ′ ( t ) = E [ A ′ ( w + t h ~ ) ⋅ h ~ ] {\displaystyle -A'(w-\Pi (t))\cdot \Pi '(t)=\mathbb {E} [A'(w+t{\tilde {h}})\cdot {\tilde {h}}]} A ″ ( w − Π ( t ) ) ⋅ Π ′ ( t ) − A ′ ( w − Π ( t ) ) ⋅ Π ″ ( t ) = E [ A ″ ( w + t h ~ ) ⋅ h ~ 2 ] {\displaystyle A''(w-\Pi (t))\cdot \Pi '(t)-A'(w-\Pi (t))\cdot \Pi ''(t)=\mathbb {E} [A''(w+t{\tilde {h}})\cdot {\tilde {h}}^{2}]} מהצבת t = 0 {\displaystyle t=0} בשני השוויונות נקבל כי Π ′ ( t ) = 0 {\displaystyle \Pi '(t)=0} וכן Π ″ ( 0 ) = E [ A ″ ( w ) ⋅ h ~ 2 ] − A ′ ( w ) = − A ″ ( w ) A ′ ( w ) ⋅ σ 2 {\displaystyle \Pi ''(0)={\frac {\mathbb {E} [A''(w)\cdot {\tilde {h}}^{2}]}{-A'(w)}}=-{\frac {A''(w)}{A'(w)}}\cdot \sigma ^{2}} , כאשר σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} היא השונות של h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} . על ידי הצבת Π ( 0 ) , Π ′ ( 0 ) , Π ″ ( 0 ) {\displaystyle \Pi (0),\Pi '(0),\Pi ''(0)} אל תוך קירוב טיילור נקבל: Π ( t ) ≈ − A ″ ( w ) A ′ ( w ) ⋅ σ 2 2 ⋅ t 2 {\displaystyle \Pi (t)\approx -{\frac {A''(w)}{A'(w)}}\cdot {\frac {\sigma ^{2}}{2}}\cdot t^{2}} ולכן לכל רמת עושר תחילי w {\displaystyle w} ולכל משתנה מקרי h ~ {\displaystyle {\tilde {h}}} , עבור ערכי t {\displaystyle t} קטנים מספיק פרמיית הסיכון תלויה באופן מונוטוני ברמת שנאת הסיכון. מכאן: Π A ( h ~ ) > Π B ( h ~ ) ⇒ r A ( w ) > r B ( w ) {\displaystyle \Pi _{A}({\tilde {h}})>\Pi _{B}({\tilde {h}})\Rightarrow r_{A}(w)>r_{B}(w)} . שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת הספרים ע"ש י"ל מאגנס, 2008. Arrow, K.J.,1965, "The theory of risk aversion," in Aspects of the Theory of Risk Bearing, by Yrjo Jahnssonin Saatio, Helsinki. Reprinted in: Essays in the Theory of Risk Bearing, Markham Publ. Co., Chicago, 1971, 90–109. Pratt, J. W., "Risk aversion in the small and in the large," Econometrica 32, January–April 1964, 122–136. J.Segura,C.R.Braun (Edward Elgar Publishing Limited, 2004). "An Eponymous Dictionary of Economics" Varian H.R (3ed.,Norton,1992)."Microeconomic analysis"