תכונת המשחק המצומצם

תכונת המשחק המצומצם בתורת המשחקים היא תכונת עקביות של פתרון של משחק שיתופי בצורה קואליציונית. יש הטוענים שהיא מקבילה בחשיבותה לתכונת היציבות של שיווי משקל במשחק בצורה אסטרטגית. תכונת המשחק המצומצם מתייחסת לסיטואציה הבאה: נניח שנתון מושג פתרון, והוא מחלק את השווי של הקואליציה הגדולה N {\displaystyle N\,\!} בדרך מסוימת. לאחר שהשחקנים חילקו ביניהם את שוויה של הקואליציה N {\displaystyle N\,\!} לפי וקטור התשלומים שהוצע, וחלק מהשחקנים עזבו את המקום, יכולים השחקנים שנותרו לתהות האם החלוקה ביניהם היא חלוקה הוגנת. הם יכולים להגדיר משחק בצורה קואליציונית שבו משתתפים רק השחקנים שנשארו (זהו המשחק המצומצם), ולבדוק האם הפתרון, כאשר נפעיל אותו על משחק זה, מתלכד עם הסכום שכל אחד מהם קיבל במשחק המקורי. אם התשובה חיובית, ואם דבר זה נכון לכל משחק בצורה קואליציונית ולכל קבוצה של שחקנים שעוזבת את המקום, אנו אומרים שמושג הפתרון "מקיים את תכונת המשחק המצומצם" או "עקבי עם המשחק המצומצם". כלומר, אף קבוצת שחקנים לא תרצה לסטות מהפתרון המוצע, כשהיא בוחנת את המשחק המצומצם עליה, משום שהשווי שלה במשחק המצומצם תואם את מה שקיבלה בפתרון המוצע. את המשחק המצומצם על קבוצת השחקנים שנשארו ניתן להגדיר במספר אופנים. בספרות ידועות שתי הגדרות, המשחק המצומצם של דייוויס ומשלר, והמשחק המצומצם של הרט ומס-כולל. אם ( N ; v ) {\displaystyle (N;v)\,\!} הוא משחק שיתופי בצורה קואליציונית, אזי עבור קואליציה S {\displaystyle S\,\!} לא ריקה, ועבור וקטור תשלומים יעיל x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} (כלומר מקיים ∑ i ∈ N X i = v ( N ) {\displaystyle \sum _{i\in N}X_{i}=v(N)} ), נגדיר את המשחק הבא: ( S ; w s x ) {\displaystyle (S;w_{s}^{x})\,\!} על ידי: w s x ( R ) = { M A X Q ⊆ S c ( v ( R ∪ Q ) − x ( Q ) ) R ⊂ S x ( S ) R = S 0 otherwise {\displaystyle w_{s}^{x}(R)={\begin{cases}MAX_{Q\subseteq S^{c}}(v(R\cup Q)-x(Q))&R\subset S\\x(S)&R=S\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} וזהו המשחק המצומצם לפי דייוויס ומשלר. הרעיון מאחורי ההגדרה פשוט: אנו מצטמצמים על הקואליציה S {\displaystyle S\,\!} . שוויה לפי המשחק המצומצם זהה לסך התשלומים של חבריה לפי וקטור התשלומים x. כלומר, חבריה עדיין מחלקים ביניהם את מה שקיבלו לפי וקטור התשלומים. כעת, כל תת-קואליציה R {\displaystyle R\,\!} של S {\displaystyle S\,\!} , בודקת מה תוכל לקבל, אם תצרף אליה שחקנים מחוץ ל- S {\displaystyle S\,\!} , כל עוד תתן להם את מה שהקצה להם הווקטור המקורי x {\displaystyle x\,\!} , וכך מוחלט שוויה במשחק המצומצם. לפיכך, אם יבחרו לצרף את Q {\displaystyle Q\,\!} , יוותר להם v ( R ∪ Q ) − x ( Q ) {\displaystyle v(R\cup Q)-x(Q)\,\!} , ולכן ימקסמו את הערך הזה. יהי φ {\displaystyle \varphi } מושג פתרון נקודתי, ( N ; v ) {\displaystyle (N;v)\,\!} משחק בצורה קואליציונית, ו- S {\displaystyle S\,\!} קואליציה לא ריקה. המשחק המצומצם לפי הרט ומס כולל על S {\displaystyle S\,\!} ב- φ {\displaystyle \varphi } הוא המשחק ( S , v ^ s , φ ) {\displaystyle \;(S,{\hat {v}}_{s},_{\varphi })} ,בו הפונקציה הקואליציונית מוגדרת באופן הבא : פרק זה טעון שכתוב. אנא תרמו לוויקיפדיה ועזרו לשכתב אותו. הסיבה היא יש להפוך את התמונה למשוואה. v ~ s , φ ( R ) = v ( R ∪ S c ) − ∑ i ∈ S c φ ( R ∪ S c ; v ) , ∀ R ⊆ S , R ≠ ϕ v ~ s , φ ( ϕ ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\tilde {v}}_{s,\varphi }(R)=v(R\cup S^{c})-\sum _{i\in S^{c}}\varphi (R\cup S^{c};v),\forall R\subseteq S,R\neq \phi \\&{\tilde {v}}_{s,\varphi }(\phi )=0\end{aligned}}} הרעיון מאחורי הגדרה זו הוא, שכאשר קואליציה   R {\displaystyle \ R} נוצרת במשחק המצומצם על   S {\displaystyle \ S} , היא מצרפת כשותפים את כל שחקני   S c {\displaystyle \ S^{c}} ונותנת להם את חלקם בפתרון. כל מה שנותר לאחר שחברי   S c {\displaystyle \ S^{c}} קיבלו את חלקם הוא שוויה של הקואליציה   R {\displaystyle \ R} במשחק המצומצם v ^ {\displaystyle {\hat {v}}} . המשחק המצומצם לפי הרט ומס כולל מתאים רק למושגי פתרון נקודתיים, בעוד שהמשחק המצומצם לפי דייוויס ומשלר מתאים גם למושגי פתרון קבוצתיים. בהגדרת המשחק המצומצם לפי הרט ומס כולל חייבים חברי   R {\displaystyle \ R} לצרף את כל השחקנים שאינם חברים ב-   S {\displaystyle \ S} , בעוד שבמשחק המצומצם לפי דייוויס ומשלר הם יכולים לבחור את התת-קבוצה הטובה להם ביותר של   S c {\displaystyle \ S^{c}} . הליבה של משחק שיתופי היא אוסף פתרונות המקיימים את תכונת המשחק המצומצם של דייוויס ומשלר. הגרעינון הוא פתרון נקודתי המקיים את תכונת המשחק המצומצם של דייוויס ומשלר. שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946