ממוצע גאומטרי

ממוצע גאומטרי (ממוצע הנדסי) הוא סוג של ממוצע המהווה מדד מרכז לקבוצה סופית של מספרים ממשיים חיוביים. בהינתן סדרת מספרים x 1 , x 2 , … x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\,} הממוצע הגאומטרי מוגדר כשורש ה- n {\displaystyle n} של מכפלת איברי הסדרה, x ¯ = ∏ i = 1 n x i n = x 1 ⋅ x 2 ⋯ x n n {\displaystyle {\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}} לחלופין ניתן להציג את הממוצע הגאומטרי באמצעות הממוצע החשבוני של הלוגריתם של הסדרה x ¯ = exp ⁡ ( 1 n ∑ i = 1 n ln ⁡ x i ) {\displaystyle {\bar {x}}=\exp({1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\ln {x_{i}})} פרט לתכונות הכלליות שיש לו מעצם היותו סוג של ממוצע, לממוצע גאומטרי מספר תכונות ייחודיות: מכפלתה של סדרת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים בסדרה בממוצע הגאומטרי של הסדרה. לכל סדרת מספרים מספרים, הממוצע הגאומטרי קטן מהממוצע החשבוני שלה, אלא אם כן כל המספרים בסדרה שווים, ובמקרה זה הממוצע החשבוני והממוצע הגאומטרי שווים. המנה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המנות של איברי שתי הסדרות. המכפלה של הממוצעים הגאומטריים של שתי סדרות באותו אורך, שווה לממוצע הגאומטרי של סדרת המכפלות של אברי שתי הסדרות. הממוצע הגאומטרי הוא מקרה פרטי של ממוצע מוכלל. הממוצע הגאומטרי מתקבל כאשר הפרמטר p {\displaystyle p} בהגדרת הממוצע המשוכלל שואף לאפס. לחישוב הגבול ניתן להשתמש בכלל לופיטל lim p → 0 ( ∑ i = 1 n x i p n ) 1 p = exp ⁡ ( lim p → 0 1 p ln ⁡ ( ∑ i = 1 n x i p n ) ) = exp ⁡ ( ( ∑ i = 1 n ln ⁡ ( x i ) n ) ) = x ¯ {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to 0}\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}=&\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {1}{p}}\ln {\biggl (}{\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}{\biggr )}\right)\\=&\exp \left({\biggl (}{\frac {\sum _{i=1}^{n}\ln(x_{i})}{n}}{\biggr )}\right)={\bar {x}}\end{aligned}}} ממוצע גאומטרי שימושי עבור סדרות של ערכים שבהם יש משמעות למכפלת הערכים ולא לחיבור ביניהם. לדוגמה: חישוב תשואה ממוצעת רב שנתית על השקעות: הממוצע הגאומטרי מספק תמונה מדויקת של התשואה הממוצעת, כיוון שהוא לוקח בחשבון את ההיבט הכפלי של התשואות השנתיות. כדוגמה, נניח שלאורך 4 שנים התשואות היו 10%, 150%, 30%- ו 10%. ההחזר על השקעה של 100 ש"ח הוא 100 × 1.10 × 2.5 × 0.7 × 1.1 = 211.75 {\displaystyle 100\times 1.10\times 2.5\times 0.7\times 1.1=211.75} . התוצאה הזו שקולה לתשואה שנתית ממוצעת של 20.6%, שמתקבלת באמצעות ממוצע גאומטרי. ממוצע זה נמוך בהרבה מהממוצע החשבוני של סדרה זו – 35%. קצב גידול אוכלוסייה: לחישוב של קצב הגידול הממוצע באוכלוסייה בתקופה מסוימת משתמשים בממוצע גאומטרי ולא בממוצע חשבוני. אם f : [ a , b ] → ( 0 , ∞ ) {\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )} היא פונקציה ממשית רציפה, הממוצע הגאומטרי שלה בתחום הוא f ¯ = exp ⁡ ( 1 b − a ∫ a b ln ⁡ f ( x ) d x ) {\displaystyle {\overline {f}}=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)} כדוגמה, הממוצע הגאומטרי של הפונקציית הזהות f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} בקטע [ 0 : 1 ] {\displaystyle [0:1]} הוא e − 1 {\displaystyle e^{-1}} . אי שוויון הממוצעים מדד מיקום מרכזי ממוצע הרמוני ממוצע חשבוני ממוצע מוכלל ממוצע גאומטרי, באתר MathWorld (באנגלית) https://encyclopediaofmath.org/wiki/Geometric_mean P. S. Bullen, The Arithmetic, Geometric and Harmonic Means, Dordrecht: Springer Netherlands, 2003, עמ' 60–174, ISBN 978-94-017-0399-4. (באנגלית) Breaking Down the Geometric Mean in Investing, Investopedia (באנגלית) יעקב פייטלסון, התהליכים הדמוגרפיים בארץ ישראל ( 1800-2013), ‏אוגוסט 2013