חבורת אוילר

חבורת אוילר (נקראת בדרך כלל חבורת ההפיכים מודולו n {\displaystyle n} ) היא החבורה של המספרים השלמים הזרים ל- n {\displaystyle n} (כלשהו), עם פעולת הכפל מודולו n {\displaystyle n} . לחבורות אלה תפקיד יסודי בתורת המספרים האלמנטרית: לאונרד אוילר נעזר במבנה הזה – עוד לפני שתורת החבורות באה לעולם – כדי להוכיח את ההכללה של המשפט הקטן של פרמה, הידועה בשם "משפט אוילר". מקובל לסמן את החבורה ב- U n {\displaystyle U_{n}} , Euler ( n ) {\displaystyle {\text{Euler}}(n)} או Z n × {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}^{\times }} (הסימון האחרון מדגיש כי זוהי חבורת ההפיכים בחוג Z n {\displaystyle \mathbb {Z} _{n}} ). בחבורת אוילר של n {\displaystyle n} יש ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} איברים, כאשר ϕ {\displaystyle \phi } היא פונקציית אוילר. מנקודת מבט זו, משפט אוילר הוא משפט לגראנז' המיושם לחבורת אוילר. לדוגמה, חבורת אוילר מסדר 15 כוללת את המספרים U 15 = { 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 11 , 13 , 14 } {\displaystyle U_{15}=\{1,2,4,7,8,11,13,14\}} . קיומה של החבורה מבוסס על עובדה שהייתה ידועה כבר לאוקלידס ומופיעה בספרו "יסודות": אם a , b {\displaystyle a,b} שני מספרים הזרים ל- n {\displaystyle n} , אזי גם המכפלה a b {\displaystyle ab} זרה ל- n {\displaystyle n} . במילים אחרות, הקבוצה U n {\displaystyle U_{n}} סגורה לכפל. בנוסף לזה, אם a {\displaystyle a} זר ל- n {\displaystyle n} אזי אלגוריתם אוקלידס המורחב מאפשר למצוא מספרים שלמים x , y {\displaystyle x,y} עבורם x a + y n = 1 {\displaystyle xa+yn=1} , ובחישוב מודולו n {\displaystyle n} מתקבל כי u {\displaystyle u} הוא ההופכי של a {\displaystyle a} (הנקרא הופכי כפלי מודולרי של a {\displaystyle a} ); מכאן שהקבוצה כוללת, עבור כל איבר שלה, גם איבר הפכי – ולכן היא חבורה. חבורת אוילר מאגדת את התכונות הבסיסיות של החישוב בשאריות מודולו n {\displaystyle n} , ואין פלא שהיא מופיעה תדיר בשימושים של תורת המספרים; לדוגמה, בשיטת ההצפנה RSA. בחישוב המבנה של חבורת אוילר עסק גאוס, שמצא כי החבורה ציקלית בדיוק כאשר n {\displaystyle n} שווה ל-1, 2, 4, חזקה של מספר ראשוני אי-זוגי, או פעמיים חזקה כזו (ראו איבר פרימיטיבי). על-פי ההגדרה, חבורת אוילר היא חבורת האיברים ההפיכים של החוג Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } . אם המספרים m , n {\displaystyle m,n} זרים זה לזה, אפשר להוכיח באמצעות משפט השאריות הסיני, בין אם באופן ישיר ובין אם בעזרת הזהות Z / m n Z ≅ Z / n Z × Z / m Z {\displaystyle \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } , את האיזומורפיזם U m n ≅ U m × U n {\displaystyle U_{mn}\cong U_{m}\times U_{n}} . מכאן יוצא שכדי לתאר את חבורת אוילר כמכפלה של חבורות ציקליות, די לתאר חבורה זו עבור n {\displaystyle n} שהוא חזקת ראשוני. כאשר p {\displaystyle p} ראשוני, חבורת אוילר U p {\displaystyle U_{p}} היא ציקלית. לדוגמה, החבורה U 13 {\displaystyle U_{13}} נוצרת על ידי 2. לעובדה שתמיד קיימים יוצרים קטנים יחסית של החבורה יש חשיבות רבה במבחני ראשוניות. טענה זו, על הציקליות של U p {\displaystyle U_{p}} , היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר - תת-חבורה כפלית, סופית, של שדה היא תמיד ציקלית. כדי להוכיח את הטענה, יש להבחין כי למשוואה x d = 1 {\displaystyle x^{d}=1} יש (בשדה) לכל היותר d {\displaystyle d} פתרונות; מצד שני, אם d {\displaystyle d} מחלק את p − 1 {\displaystyle p-1} , אז הפולינום x d − 1 {\displaystyle x^{d}-1} מחלק את הפולינום x p − 1 − 1 {\displaystyle x^{p-1}-1} , וכך אפשר לראות שלמשוואה יש בדיוק d {\displaystyle d} פתרונות. אם r d {\displaystyle r_{d}} יסמן את מספרם של המספרים שסדרם שווה ל- d {\displaystyle d} , אפשר להוכיח באינדוקציה על d {\displaystyle d} את השוויון r d = ϕ ( d ) {\displaystyle r_{d}=\phi (d)} . כדי לראות שחבורת אוילר ציקלית גם עבור חזקות p t {\displaystyle p^{t}} , די להצביע על איבר מסדר p t − 1 {\displaystyle p^{t-1}} (מכפלתו של איבר כזה באיבר מסדר p − 1 {\displaystyle p-1} היא מסדר ϕ ( p t ) = ( p − 1 ) p t − 1 {\displaystyle \phi (p^{t})=(p-1)p^{t-1}} ). ואכן, כאשר p {\displaystyle p} אי-זוגי, האיבר p + 1 {\displaystyle p+1} הוא כזה. לדוגמה, בחבורה U 3125 {\displaystyle U_{3125}} , האיבר 2057 הוא מסדר 4, ואילו 6 מסדר 625. המכפלה, 2967, יוצרת את החבורה. במקרה של חזקת 2 החבורה אינה ציקלית, ובמקום זה U 2 t ≅ Z / 2 Z × Z / 2 t − 2 Z {\displaystyle U_{2^{t}}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2^{t-2}\mathbb {Z} } (כאשר t ≥ 3 {\displaystyle t\geq 3} ). את החבורה יוצרים המספרים U 2 t = ⟨ − 1 , 5 ⟩ {\displaystyle U_{2^{t}}=\langle -1,5\rangle } . כך אפשר לפרק את חבורת אוילר באופן כללי. למשל, U 1600 ≅ U 64 × U 25 ≅ Z / 2 Z × Z / 16 Z × Z / 20 Z ≅ Z / 2 Z × Z / 4 Z × Z / 16 Z × Z / 5 Z {\displaystyle U_{1600}\cong U_{64}\times U_{25}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /20\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /16\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} } ומכאן שהאקספוננט של חבורה זו הוא 16 ⋅ 5 = 80 {\displaystyle 16\cdot 5=80} . במילים אחרות, לכל a שאינו מתחלק ב-2 או ב-5, מתקיים a 80 ≡ 1 ( mod 1600 ) {\displaystyle a^{80}\equiv 1\!\!\!{\pmod {1600}}} , והמספר 80 הוא הקטן ביותר בעל תכונה זו. את האקספוננט של חבורת אוילר מסדר n {\displaystyle n} מסמנים ב- λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} , בעוד שפונקציית אוילר של n = p 1 s 1 ⋯ p k s k {\displaystyle n=p_{1}^{s_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}}} מתקבלת מהכפלת כל המספרים p i s i − 1 ( p i − 1 ) {\displaystyle p_{i}^{s_{i}-1}(p_{i}-1)} , הפונקציה λ {\displaystyle \lambda } שווה לכפולה המשותפת המינימלית של כל המספרים האלה (לאחר שהגורם 2 s − 1 {\displaystyle 2^{s-1}} מוחלף ב- 2 s − 2 {\displaystyle 2^{s-2}} , אם s ≥ 2 {\displaystyle s\geq 2} ). פונקציית אוילר משפט אוילר איבר פרימיטיבי חבורת אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)