מספר סודר

לחצו כדי להקטין חזרה לחצו להגדלה בתורת הקבוצות, מספר סודר (באנגלית: Ordinal number) הוא טיפוס סדר של קבוצה סדורה היטב. את רעיון המספרים הסודרים הגה לראשונה אבי תורת הקבוצות גאורג קנטור, במסגרת עבודתו על קבוצות נגזרות. המוטיבציה להגדרת המספרים הסודרים מגיעה מהרצון להכליל את התכונות המועילות של המספרים הטבעיים. למספרים הטבעיים שני תפקידים עיקריים: מנייה וייצוג כמות; סדר ומיקום בסדרה. במסגרת תורת הקבוצות מגדירים את המספרים המונים כהכללה של המספרים הטבעיים במובן הראשון, כך שניתן יהיה לייצג גם כמויות אינסופיות. המספרים הסודרים מוגדרים במטרה להכליל את המובן השני, כך שניתן יהיה לדבר על איברים במקומות "אינסופיים" בסדרה. המספרים הסודרים הראשונים הם המספרים הטבעיים 0 , 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle 0,1,2,3,\dots } (בתורת הקבוצות מקובל להחשיב את 0 {\displaystyle 0} כמספר טבעי). לאחריהם מגיע הסודר האינסופי הראשון, ω {\displaystyle \omega } (אומגה). ω {\displaystyle \omega } מתאפיין בכך שהוא "הסודר הקטן ביותר שגדול מכל מספר טבעי". לאחריו מגיעים הסודרים: ω , ω + 1 , ω + 2 , … , ω ⋅ 2 , ω ⋅ 2 + 1 , … ω 2 , ω 3 , … , ω ω , … , ω ω ω , … , ε 0 , … {\displaystyle \omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots \omega ^{2},\omega ^{3},\dots ,\omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0},\dots } למספרים הסודרים מספר הגדרות, להלן הנפוצה שבהם. התכונה הראשונה שמופיעה מאפשרת הגדרת סדר בין סודרים: עבור α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } סודרים α < β ⟺ α ∈ β {\displaystyle \alpha <\beta \iff \alpha \in \beta } . כמו כן סדר זה בין סודרים הוא סדר טוב. הגדרת פעולת העוקב: S ( α ) = α ∪ { α } {\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}} . סודר α {\displaystyle \alpha } ייקרא סודר עוקב, אם קיים סודר אחר β {\displaystyle \beta } כך שמתקיים α = S ( β ) {\displaystyle \alpha =S(\beta )} , וסודר גבולי אחרת (לעיתים לא מתייחסים ל-0 כאל סודר גבולי מטעמי נוחות). סודר מונה (לעיתים נקרא "סודר פותח") הוא סודר שאינו שווה-עוצמה לאף סודר קטן יותר. אקסיומת היסוד מבטיחה שאם α {\displaystyle \alpha } היא קבוצה טרנזיטיבית ויחס השייכות ל- α {\displaystyle \alpha } הוא סדר קווי על α {\displaystyle \alpha } , אז יחס זה הוא גם סדר טוב על α {\displaystyle \alpha } . סודר נקרא סודר סופי אם הוא 0 = { } = ∅ {\displaystyle 0=\{\}=\emptyset } או שהוא עוקב של סודר סופי. בניית המספרים הטבעיים של ג'ון פון נוימן מתלכדת עם המספרים הסודרים הסופיים: 0 = { } = ∅ 1 = S ( 0 ) = { 0 } = { ∅ } 2 = S ( 1 ) = { 0 , 1 } = { ∅ , { ∅ } } 3 = S ( 2 ) = { 0 , 1 , 2 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } 4 = S ( 3 ) = { 0 , 1 , 2 , 3 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } } 5 = S ( 4 ) = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } = { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } , { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } , { ∅ , { ∅ } , { ∅ , { ∅ } } } } } … n = S ( n − 1 ) = { 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 } {\displaystyle {\begin{aligned}0&&&&&=\{\}&&=\emptyset \\1&&&=S(0)&&=\{0\}&&=\{\emptyset \}\\2&&&=S(1)&&=\{0,1\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\\3&&&=S(2)&&=\{0,1,2\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\\4&&&=S(3)&&=\{0,1,2,3\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}\\5&&&=S(4)&&=\{0,1,2,3,4\}&&=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\},\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}\}\}\\\dots \\n&&&=S(n-1)&&=\{0,1,2,...,n-1\}\end{aligned}}} הסודרים הסופיים הם סודרים עוקבים וסודרים מונים. לפי אקסיומת הקבוצה האינסופית קיימת קבוצת כל הסודרים הסופיים. קבוצה זו: ω = ⋃ n n = { 0 , 1 , 2 , . . . } {\displaystyle \omega =\bigcup _{n}n=\{0,1,2,...\}} , היא הסודר האינסופי הקטן ביותר. ניתן להמשיך ולהגדיר סודרים נוספים בעזרת פעולת העוקב ובעזרת איחוד הסודרים הקודמים. למשל: ω + 1 = S ( ω ) = ω ∪ { ω } = { 0 , 1 , 2 , . . . , ω } {\displaystyle \omega +1=S(\omega )=\omega \cup \{\omega \}=\{0,1,2,...,\omega \}} ω ⋅ 2 = 0 ∪ 1 ∪ 2 ∪ . . . ∪ ω ∪ ω + 1 ∪ ω + 2 ∪ . . . = { 0 , 1 , 2 , . . . , ω , ω + 1 , ω + 2 , . . . } {\displaystyle \omega \cdot 2=0\cup 1\cup 2\cup ...\cup \omega \cup \omega +1\cup \omega +2\cup ...=\{0,1,2,...,\omega ,\omega +1,\omega +2,...\}} כל איבר של סודר הוא סודר בעצמו; אם α {\displaystyle \alpha } סודר, אז גם α ∪ { α } {\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}} סודר; אם A {\displaystyle A} היא קבוצה של סודרים, אז ⋃ α ∈ A α {\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}\alpha } הוא סודר; אם A {\displaystyle A} היא קבוצה (או מחלקה) של סודרים, אז ⋂ α ∈ A α {\displaystyle \bigcap _{\alpha \in A}\alpha } הוא סודר. סודר זה הוא המינימום ב- A {\displaystyle A} ; עבור שני סודרים α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } שונים, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: α < β {\displaystyle \alpha <\beta } או β < α {\displaystyle \beta <\alpha } ; קבוצת הסודרים הסופיים מהווים מודל לתורה של אקסיומות פאנו. תכונה מעניינת נוספת שמתקבלת היא הפרדוקס של בּוּרָלִי-פוֹרְטִי, ששולל את קיום "קבוצת כל המספרים הסודרים". משום כך, לא ניתן לדבר בתורת הקבוצות על "קבוצת כל המספרים הסודרים", כשם שבגלל הפרדוקס של ראסל לא ניתן לדבר על "קבוצת כל הקבוצות". בלשון תורת הקבוצות, נאמר כי אוסף כל הסודרים הוא מחלקה ולא קבוצה. לכל קבוצה ויחס סדר שלה ( A , ≤ ) {\displaystyle (A,\leq )} , אם הסדר הוא סדר טוב קיים סודר α {\displaystyle \alpha } יחיד כך ש- A ≅ α {\displaystyle A\cong \alpha } , כאשר הסימון ≅ {\displaystyle \cong } מציין שקיים איזומורפיזם ביניהם (פונקציה חד-חד-ערכית ועל, ששומרת את הסדר בין האיברים). α {\displaystyle \alpha } נקרא טיפוס הסדר של ( A , ≤ ) {\displaystyle (A,\leq )} ומסומן o r t ( A , ≤ ) {\displaystyle \mathrm {ort} (A,\leq )} . נציין כי ניתן להגדיר מספר סדרים טובים על אותה קבוצה לפי יחס סדר שונה. מהתכונה הנ"ל ניתן להסיק תכונה מעניינת נוספת: תהי קבוצה שניתנת לסידור טוב A {\displaystyle A} (כלומר, שניתן להגדיר עליה סדר טוב אחד או יותר). נסתכל על קבוצת הסודרים שאיזומורפיים לה: O = { o r t ( A , ≤ ) ∣≤ well order of  A } = { α ∣ α  ordinal , A ≅ α } {\displaystyle O=\{\mathrm {ort} (A,\leq )\mid \leq {\text{well order of }}A\}=\{\alpha \mid \alpha {\text{ ordinal}},A\cong \alpha \}} . הקבוצה O {\displaystyle O} היא קבוצה של סודרים. כפי שאמרנו, חיתוך של קבוצת סודרים הוא סודר, ולכן ⋂ O = min O {\displaystyle \bigcap O=\min O} סודר. כעת נוכל להגדיר את העוצמה של הקבוצה A {\displaystyle A} כסודר המינימלי שאיזומורפי לה, קרי: c a r d ( A ) = | A | = min O = ⋂ O {\displaystyle \mathrm {card} (A)=|A|=\min O=\bigcap O} . ניתן להראות שסודר מסוג זה הוא תמיד סודר מונה. אחת המטרות של הגדרת הסודרים היא לתת ביסוס פורמלי למושג העוצמה, ואכן ניתן להשיג מטרה זו בהנחת אקסיומת הבחירה. במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אקסיומת הבחירה שקולה למשפט הסדר הטוב, ולכן כל קבוצה ניתנת לסידור טוב, ומכאן הגדרת העוצמה שהוצגה קודם מוגדרת היטב עבור כל קבוצה. נוכל להגדיר את המספרים המונים בתור הסודרים המונים. באופן זה נזהה כל מונה כסודר המונה שעוצמתו היא המונה הנ"ל, למשל את ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (אָלֶף אֶפֶס) נזהה עם ω {\displaystyle \omega } . תחת הגדרה זו ישנה טריכוטומיה בין עוצמות של קבוצות; כלומר, עבור שתי קבוצות A , B {\displaystyle A,B} שונות זו מזו, מתקיים בדיוק אחד מהבאים: | A | < | B | {\displaystyle |A|<|B|} או | B | < | A | {\displaystyle |B|<|A|} (לא ניתן להוכיח זאת ללא אקסיומת הבחירה). כפי שניתן להגדיר פעולות על מספרים מונים, ניתן גם להגדיר פעולות על מספרים סודרים. פעולות על סודרים אינן בהכרח מתלכדות עם פעולות על מונים. למשל, ω {\displaystyle \omega } מזוהה עם ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , אולם לפי ההגדרה מטה 2 ω = ω {\displaystyle 2^{\omega }=\omega } , בעוד שלפי משפט קנטור 2 ℵ 0 > ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}} . ניתן להגדיר חיבור סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן: הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית. α + 0 = α {\displaystyle \alpha +0=\alpha } , עבור חיבור עם 0 {\displaystyle 0} ; α + ( β + 1 ) = ( α + β ) + 1 = S ( α + β ) {\displaystyle \alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1=S(\alpha +\beta )} , עבור חיבור סודר עוקב β + 1 {\displaystyle \beta +1} ; α + β = ⋃ γ < β α + γ {\displaystyle \alpha +\beta =\bigcup _{\gamma <\beta }\alpha +\gamma } , עבור חיבור סודר גבולי β {\displaystyle \beta } . נגדיר את α + β {\displaystyle \alpha +\beta } באופן הבא: נסתכל על α × { 0 } ∪ β × { 1 } {\displaystyle \alpha \times \{0\}\cup \beta \times \{1\}} יחד עם יחס הסדר בו איברי α {\displaystyle \alpha } שומרים על סדרם הפנימי, איברי β {\displaystyle \beta } שומרים על סדרם הפנימי ואיברי α {\displaystyle \alpha } קטנים מאיברי β {\displaystyle \beta } . ניתן להראות, כי יחס סדר זה הוא יחס סדר טוב. כעת ניתן להגדיר את החיבור כטיפוס הסדר (ראו הגדרה מעלה) של האיחוד הנ"ל, תחת יחס הסדר המדובר: α + β = o r t ( α × { 0 } ∪ β × { 1 } , ≤ ) {\displaystyle \alpha +\beta =\mathrm {ort} (\alpha \times \{0\}\cup \beta \times \{1\},\leq )} . ניתן להראות, כי שתי ההגדרות שהוצגו שקולות זו לזו. באופן דומה, ניתן להגדיר כפל סודרים במספר דרכים; נציג שתיים מתוכן: הגדרה זו היא הגדרה אינדוקטיבית, בדומה להגדרת החיבור. α ⋅ 0 = 0 {\displaystyle \alpha \cdot 0=0} , עבור כפל ב- 0 {\displaystyle 0} ; α ⋅ ( β + 1 ) = ( α ⋅ β ) + α {\displaystyle \alpha \cdot (\beta +1)=(\alpha \cdot \beta )+\alpha } , עבור כפל בסודר עוקב β + 1 {\displaystyle \beta +1} ; α ⋅ β = ⋃ γ < β α ⋅ γ {\displaystyle \alpha \cdot \beta =\bigcup _{\gamma <\beta }\alpha \cdot \gamma } , עבור כפל בסודר גבולי β {\displaystyle \beta } . באופן דומה להגדרת החיבור השנייה, נגדיר α ⋅ β = o r t ( α × β , ≤ ) {\displaystyle \alpha \cdot \beta =\mathrm {ort} (\alpha \times \beta ,\leq )} כאשר יחס הסדר הוא יחס הסדר הלקסיקוגרפי. באופן דומה, ניתן להגדיר העלאה בחזקת סודרים במספר דרכים; נציג את אחת הדרכים. בדרך זו נגדיר חזקה באופן אינדוקטיבי. α 0 = 1 {\displaystyle \alpha ^{0}=1} , עבור העלאה בחזקת 0 {\displaystyle 0} ; α β + 1 = ( α β ) ⋅ α {\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=(\alpha ^{\beta })\cdot \alpha } , עבור העלאה בחזקת סודר עוקב β + 1 {\displaystyle \beta +1} ; α β = ⋃ γ < β α γ {\displaystyle \alpha ^{\beta }=\bigcup _{\gamma <\beta }\alpha ^{\gamma }} , עבור העלאה בחזקת סודר גבולי β {\displaystyle \beta } . בועז צבאן, החלום של קנטור, המחלקה למתמטיקה ומדעי המחשב, אוניברסיטת בר-אילן. גדי אלכסנדרוביץ', איך קנטור המציא את הסודרים?, באתר "לא מדויק", 23 במאי 2011 מספר סודר, באתר MathWorld (באנגלית)