נורמה-למחצה

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, נורמה-למחצה היא פונקציונל המוגדר במרחב וקטורי כלשהו מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, ומקיים תת-חיבוריות והומוגניות בהחלט. נורמה-למחצה היא גרסה חלשה יותר של הנורמה ומייצגת מונח מקורב למונח האורך. לנורמות-למחצה מגוון שימושים, בהם בגרסאות של משפט האן-בנך, וכן בהגדרה של מרחבים וקטוריים טופולוגיים קמורים מקומית. בערך זה נסמן ב- V {\displaystyle V} מרחב וקטורי כלשהו. נסמן ב- K {\displaystyle \mathbb {K} } את השדה מעליו פועל V {\displaystyle V} כאשר K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } (שדה הממשיים) או K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } (שדה המרוכבים). כמו כן, עבור A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} , v ∈ V {\displaystyle v\in V} ו- λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } נסמן: A + B := { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}} A + v = v + A := { a + v ∣ a ∈ A } {\displaystyle A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}} λ A := { λ a ∣ a ∈ A } {\displaystyle \lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}} פונקציונל p : V → R {\displaystyle p:V\to \mathbb {R} } ייקרא נורמה-למחצה אם ורק אם הוא מקיים את התכונות הבאות: תת-חיבוריות: לכל x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} מתקיים p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) {\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)} הומוגניות בהחלט: לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} ולכל λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } מתקיים p ( λ x ) = | λ | p ( x ) {\displaystyle p(\lambda x)=|\lambda |p(x)} משתי תכונות אלו נובעות גם התכונות הבאות: אי-שליליות: לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} מתקיים p ( x ) ≥ 0 {\displaystyle p(x)\geq 0} p ( 0 ) = 0 {\displaystyle p(0)=0} נורמה-למחצה תהווה נורמה של המרחב הווקטורי אם היא בנוסף מקיימת את התכונה הבאה: חיוביות בהחלט: אם p ( x ) = 0 {\displaystyle p(x)=0} עבור x ∈ V {\displaystyle x\in V} אז בהכרח x = 0 {\displaystyle x=0} . תכונה זו אינה מתקיימת בהכרח לכל נורמה-למחצה. על כן, כל נורמה היא נורמה-למחצה בעוד ההפך איננו תמיד נכון. כל נורמה-למחצה היא פונקציה תת-ליניארית. באופן דומה לפונקציות ליניאריות, קבוצת האפסים של כל נורמה-למחצה מהווה תת-מרחב וקטורי של מרחב התחום. כלומר, בהינתן נורמה-למחצה p {\displaystyle p} על V {\displaystyle V} , ניתן להגדיר: U = Ker ⁡ ( p ) := { x ∈ V ∣ p ( x ) = 0 } {\displaystyle U=\operatorname {Ker} (p):=\{x\in V\mid p(x)=0\}} ניתן להוכיח כי U {\displaystyle U} הוא תת-מרחב של V {\displaystyle V} . עובדה זאת נובעת מכך שלכל x , y ∈ Ker ⁡ ( p ) {\displaystyle x,y\in \operatorname {Ker} (p)} ולכל λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } מתקיים: p ( λ x ) = | λ | p ( x ) = 0 {\displaystyle p(\lambda x)=|\lambda |p(x)=0} 0 ≤ p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) = 0 + 0 = 0 ⟹ p ( x + y ) = 0 {\displaystyle 0\leq p(x+y)\leq p(x)+p(y)=0+0=0\implies p(x+y)=0} כלומר, U {\displaystyle U} סגור לחיבור ולכפל בסקלר. משמעות תכונה זו היא ש- p {\displaystyle p} מהווה נורמה של המרחב V {\displaystyle V} אם ורק אם Ker ⁡ ( p ) {\displaystyle \operatorname {Ker} (p)} הוא המרחב הווקטורי הטריויאלי { 0 } {\displaystyle \{0\}} . עבור נקודה a ∈ V {\displaystyle a\in V} ורדיוס r > 0 {\displaystyle r>0} ניתן להגדיר כדור פתוח לפי נורמה-למחצה כלשהי p {\displaystyle p} בדומה לאופן שבו כדור זה מוגדר עבור נורמה: B p ( a ; r ) = { x ∈ V ∣ p ( x − a ) < r } {\displaystyle B_{p}(a;r)=\{x\in V\mid p(x-a)<r\}} כל כדור כזה מהווה קבוצה קמורה. מעבר לכך, כל כדור סביב הראשית B p ( 0 ; r ) {\displaystyle B_{p}(0;r)} מהווה קבוצה בולעת קמורה לחלוטין. בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי, נורמה-למחצה על מרחב זה היא פונקציה רציפה אם ורק אם היא רציפה בראשית. מעבר לכך, כל נורמה-למחצה רציפה היא פונקציה רציפה במידה שווה. תכונות אלו מתקיימות עבור כל פונקציה תת-ליניארית (לאו דווקא נורמה-למחצה). בהינתן מרחב וקטורי טופולוגי V {\displaystyle V} ושתי נורמות למחצה המוגדרות עליו p , q {\displaystyle p,q} כך ש- p {\displaystyle p} נשלטת על-ידי q {\displaystyle q} (כלומר p ( x ) ≤ q ( x ) {\displaystyle p(x)\leq q(x)} לכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} ), ניתן להוכיח כי אם q {\displaystyle q} רציפה אז בהכרח p {\displaystyle p} רציפה. תכונה זו מתקיימת לכל נורמה-למחצה אבל לא בהכרח לפונקציה תת-ליניארית כללית. ערך מורחב – פונקציונל מינקובסקי עבור תת-קבוצה בולעת A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} , פונקציונל מינקובסקי של קבוצה A {\displaystyle A} הוא הפונקציונל f A : V → R {\displaystyle f_{A}:V\to \mathbb {R} } המוגדר כך שלכל x ∈ V {\displaystyle x\in V} : f A ( x ) := inf { c ∣ c > 0  and  x ∈ c A } {\displaystyle f_{A}(x):=\inf\{c\mid c>0{\text{ and }}x\in cA\}} מאחר ש- A {\displaystyle A} קבוצה בולעת, פונקציה זו מוגדרת היטב לכל x {\displaystyle x} . ניתן להוכיח כי כל פונקציונל מינקובסקי של קבוצה בולעת וקמורה הוא נורמה-למחצה. יתרה מזאת, עבור נורמה-למחצה כלשהי p {\displaystyle p} , כדור היחידה הפתוח A := B p ( 0 ; 1 ) {\displaystyle A:=B_{p}(0;1)} הוא קבוצה בולעת וקמורה וניתן להוכיח כי p ≡ f A {\displaystyle p\equiv f_{A}} . כלומר, כל נורמה-למחצה שווה לפונקציונל מינקובסקי של כדור היחידה שלה. ערך מורחב – מרחב קמור מקומית מרחב קמור מקומית הוא מרחב וקטורי טופולוגי עבורו קיים בסיס מקומי הבנוי מסביבות פתוחות קמורות בראשית. ניתן להוכיח כי כל מרחב שכזה ניתן לבנייה באמצעות נורמות-למחצה. בהינתן מרחב וקטורי V {\displaystyle V} ומשפחה של נורמות-למחצה P {\displaystyle {\mathcal {P}}} על מרחב זה, משפחה זו נקראת משפחה מפרידה אם ורק אם לכל 0 ≠ x ∈ V {\displaystyle 0\neq x\in V} קיימת נורמה-למחצה p ∈ P {\displaystyle p\in {\mathcal {P}}} כך ש- p ( x ) ≠ 0 {\displaystyle p(x)\neq 0} . באמצעות משפחה זו ניתן להגדיר בסיס טופולוגי המורכב מכדורים פתוחים לפי נורמות-למחצה אלו: B := { B p ( x ; r ) ∣ x ∈ V , p ∈ P , r > 0 } {\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{B_{p}(x;r)\mid x\in V,p\in {\mathcal {P}},r>0\}} ניתן להוכיח כי הטופולוגיה הנפרשת על-ידי כדורים אלו רציפה לפי כפל בסקלר ולפי הזזה, ועל כן הופכת את המרחב למרחב וקטורי טופולוגי. מרחב וקטורי טופולוגי זה יהיה בהכרח מרחב קמור מקומית. ניתן להוכיח כי לכל מרחב קמור מקומית קיימת משפחה מפרידה של נורמות-למחצה כך שהטופולוגיה של המרחב זהה לנורמה הנפרשת על-ידי כדורים פתוחים של הנורמות-למחצה הללו. עובדה זו הופכת את השימוש במשפחה מפרידה של נורמות-למחצה כהגדרה אלטרנטיבית למרחב קמור מקומית. בהינתן מרחב מידה כלשהו Ω {\displaystyle \Omega } בעל פונקציית מידה μ {\displaystyle \mu } ו- p > 1 {\displaystyle p>1} , מגדירים ב- X {\displaystyle X} את מרחב כל הפונקציות f : Ω → R {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} } כך ש"נורמת p" שלה סופית, כלומר: ‖ f ‖ p = ( ∫ Ω | f | p d μ ) 1 p {\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int _{\Omega }{|f|^{p}d\mu }\right)^{\frac {1}{p}}} ניתן להראות כי X {\displaystyle X} הוא מרחב וקטורי ביחס לחיבור פונקציות וכפל בסקלר וכי ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} מהווה בה נורמה-למחצה. במרחב זה ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} אינה נורמה ב- X {\displaystyle X} מכיוון שלכל פונקציה f {\displaystyle f} אשר מתאפסת כמעט בכל מקום יתקיים ‖ f ‖ p = 0 {\displaystyle \|f\|_{p}=0} , גם אם היא בעצמה אינה פונקציית האפס. על-מנת להפוך את ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} לנורמה נהוג להגדיר על X {\displaystyle X} יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } כך שלכל f , g ∈ X {\displaystyle f,g\in X} מתקיים f ∼ g {\displaystyle f\sim g} אם ורק אם הן שוות זו לזו כמעט בכל מקום. לאחר מכן מגדירים מרחב מחלקות שקילות על X {\displaystyle X} ביחס ל- ∼ {\displaystyle \sim } עם פעולות חיבור וכפל בסקלר סטנדרטיות (ניתן להוכיח כי הן אינן תלויות בבחירת נציג של מחלקות השקילות). מאחר ש- ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} שווה לכל מחלקת שקילות, היא מוגדרת היטב במרחב מחלקות השקילות. ניתן להוכיח שבמרחב זה ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} מתאפסת רק עבור מחלקת השקילות של פונקציית האפס, ולכן ‖ ⋅ ‖ p {\displaystyle \|\cdot \|_{p}} מהווה שם נורמה. מרחב שקילות זה הוא מרחב Lp. בהינתן זוג מרחבים וקטוריים X , Y {\displaystyle X,Y} וזוג נורמות למחצה המוגדרות עליהם p X , p Y {\displaystyle p_{X},p_{Y}} ניתן להגדיר פונקציונל על מרחב המכפלה P : X × Y → R {\displaystyle P:X\times Y\to \mathbb {R} } כך ש: P ( x , y ) := p X ( x ) + p Y ( y ) {\displaystyle P(x,y):=p_{X}(x)+p_{Y}(y)} ניתן להוכיח ש- P {\displaystyle P} היא נורמה למחצה במרחב המכפלה וכי הטופולוגיה המושרית ממנה היא טופולוגיית המכפלה של הנורמות המושרות מ- p X , p Y {\displaystyle p_{X},p_{Y}} . ניתן להגדיר זוג פונקציונלים נוספים P X , P Y : X × Y → R {\displaystyle P_{X},P_{Y}:X\times Y\to \mathbb {R} } כך ש- P X ( x , y ) := p X ( x ) {\displaystyle P_{X}(x,y):=p_{X}(x)} P Y ( x , y ) := p Y ( y ) {\displaystyle P_{Y}(x,y):=p_{Y}(y)} פונקציונלים אלו אף הם נורמות-למחצה במרחב המכפלה. נורמה קוואזי-נורמה (אנ') פונקציונל מינקובסקי מרחב קמור מקומית נורמה-למחצה, באתר MathWorld (באנגלית) seminorm, planetmath.org M.P. Wolff, H.H. Schaefer, Topological Vector Spaces, New York: Springer New York, 2012, ISBN 978-1-4612-7155-0 Raz Kupferman, Topological Vector Spaces, Hebrew University, ‏2014-09-29 (באנגלית)