השערת ארדש-שטראוס

השערת ארדש-שטראוס היא השערה שנוסחה על ידי המתמטיקאים פול ארדש וארנסט ג. שטראוס בשנת 1948, וההופעה המוקדמת ביותר שלה בספרות היא במאמר של ארדש מ-1950. ההשערה אומרת שעבור כל מספר טבעי n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} , המספר הרציונלי 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}} ניתן לביטוי כסכום של בדיוק שלושה שברים יסודיים. כלומר, קיימים שלושה מספרים טבעיים x , y , z {\displaystyle x,y,z} כך שמתקיים: 4 n = 1 x + 1 y + 1 z ( 1 ) {\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}\qquad (1)} סכומם של שלושת שברי היחידה הוא הייצוג של 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}} כשבר מצרי. לדוגמה: 4 1801 = 1 451 + 1 295364 + 1 3249004 {\displaystyle {\frac {4}{1801}}={\frac {1}{451}}+{\frac {1}{295364}}+{\frac {1}{3249004}}} אם נכפיל את משוואה (1) ב- n x y z {\displaystyle nxyz} נקבל את הצורה השקולה 4 x y z = n ( x y + x z + y z ) {\displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)} , שהיא ניסוח של ההשערה כמשוואה דיופנטית. גורם מהותי לקושי של פתרון המשוואה הדיופנטית הוא ההגבלה על x , y , z {\displaystyle x,y,z} , הנדרשים להיות שלמים וחיוביים. לו היינו מאפשרים גם ערכים שליליים, פתרון הבעיה היה טריוויאלי, ומידי באמצעות אחת משתי הזהויות 4 4 k + 1 = 1 k − 1 k ( 4 k + 1 ) {\displaystyle {\frac {4}{4k+1}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k(4k+1)}}} , או 4 4 k − 1 = 1 k + 1 k ( 4 k − 1 ) {\displaystyle {\frac {4}{4k-1}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k(4k-1)}}} . אם n = p q {\displaystyle n=pq} מספר פריק, אז ניתן למצוא פיתוח של 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}} בקלות באמצעות הפיתוחים של 4 p {\displaystyle {\frac {4}{p}}} או 4 q {\displaystyle {\frac {4}{q}}} . לכן אם קיימת דוגמה נגדית להשערת ארדש-שטראוס, המספר n {\displaystyle n} הקטן ביותר שיצור דוגמה נגדית יהיה ראשוני. עקרון הסה לפתירת משוואות דיופנטיות מספר לנו שכדי לפתור משוואה דיופנטית ממין זה מעל השלמים, עלינו לאחד את הפתרונות המתקבלים מודולו כל מספר ראשוני אפשרי. על-פניו, עיקרון זה לא נראה מתאים להשערת ארדש-שטראוס, שכן המשוואה הדיופנטית 4 x y z = n ( x y + x z + y z ) {\displaystyle 4xyz=n(xy+xz+yz)} יכולה להיפתר בקלות מודולו כל מספר ראשוני שהוא. אף־על־פי־כן, שימוש בזהויות מודולריות הוכיח את עצמו ככלי חשוב בעבודה על ההשערה. עבור ערכים של n {\displaystyle n} המקיימים יחסי שקילות מודולרית מסוימים ניתן למצוא הרחבה ל- 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}} באופן אוטומטי, כתוצאה ישירה לזהויות פולינומיות. לדוגמה, כאשר n ≡ 3 2 {\displaystyle n\equiv _{3}2} המשוואה פתירה, מכיוון שמתקיים 4 3 x + 2 = 1 3 x + 2 + 1 x + 1 + 1 ( x + 1 ) ( 3 x + 2 ) {\displaystyle {\frac {4}{3x+2}}={\frac {1}{3x+2}}+{\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{(x+1)(3x+2)}}} לכל x {\displaystyle x} , ועבור x = n − 2 3 {\displaystyle x={\frac {n-2}{3}}} מתקבל הפיתוח הרצוי ל- 4 n {\displaystyle {\frac {4}{n}}} . אלגוריתם חמדן לשברים מצריים יכול למצוא פתרון בשלושה או פחות איברים כל עוד n ≢ 24 1 , 17 {\displaystyle n\not \equiv _{24}1,17} . אך המקרה n ≡ 24 17 {\displaystyle n\equiv _{24}17} כבר מכוסה על ידי היחס n ≡ 3 2 {\displaystyle n\equiv _{3}2} , כך שהערכים היחידים של n {\displaystyle n} עבורם שתי השיטות נכשלות במציאת פיתוח עם שלושה או פחות איברים הם אלה השקולים ל-1 מודולו 24. אם היינו יכולים למצוא מספר גדול מספיק של יחסי שקילות מודולרית כאלה כדי לכסות את כל הערכים האפשריים של n, הבעיה הייתה נפתרת. לרוע המזל, כפי שהראה לואי מורדל, זהות מסוג זה עבור ערכי n קונגרואנטים ל-r mod p יכולה להתקיים רק כאשר r אינו שארית ריבועית מודולו p . מורדל רשם זהויות מהצורה הזו עבור כל n שהוא 2 מוד 3 (ראה למעלה), 3 מוד 4, 5 מוד 8, 2 או 3 מוד 5, או 3, 5, או 6 מוד 7, ובכך מכסה את כל המספרים שאינם שאריות ריבועיות עבור הבסיסים הללו. אך, עבור בסיסים גדולים יותר, לא כל המספרים שאינם שאריות ריבועיות מכוסים באמצעות זהויות כאלה. מהזהויות של מורדל ניתן להסיק שפתרונות קיימים עבור כל הערכים של n למעט אולי אלה השקולים ל-1, 121, 169, 289, 361, או 529 מודולו 840. המספר הראשוני הקטן ביותר מהצורה הזו הוא 1801. באמצעות איחוד מחלקות שקילות מודולרית גדולות יותר, וובּ (Webb) ואחרים הראו שהשבר של n בקטע [‎1,N] היכול לשמש כדוגמה נגדית להשערה, שואף לאפס בגבול כש-N שואף לאינסוף . אף על פי שהתוצאות של מורדל מגבילות את הצורות השונות של הזהויות הקונגרואנטיות, ישנה עדיין תקווה להשתמש בזהויות מודולריות כדי להוכיח את השערת ארדש-שטראוס. באופן מידי מהגדרתו, שום מספר ראשוני אינו יכול להיות מספר ריבועי, כך שלפי משפט הסה-מינקובסקי (המשפט בוויקיפדיה האנגלית), עבור כל p ראשוני קיים מספר ראשוני גדול יותר q, כך ש-p אינו שארית ריבועית מודולו q. אם-כן, גישה אפשרית להוכחת המשפט תהיה: עבור כל מספר ראשוני p, מציאה של מספר ראשוני גדול יותר q וקונגרואנציה הפותרת את משוואת ‎4/n עבור n ≡ p mod q {\displaystyle n\equiv p\mod q} ;; אם ניתן לעשות את הדבר, שום מספר ראשוני p לא יוכל להיות דוגמה נגדית להשערה - כלומר, ההשערה תוכח. אנשים רבים נעזרו במחשבים כדי לחפש דוגמה נגדית להשערה באמצעות שימוש בכוח גס. ניתן להאיץ חיפושים ממין זה אם נתבונן רק במספרים ראשוניים שאינם שייכים ליחסים קונגרואנטים ידועים. נכון ליוני 2014, חיפושים מסוג זה אימתו את ההשערה עבור כל n טבעי עד ל- 10 17 {\displaystyle 10^{17}} . הנושא של כמה פתרונות שונים יש למשוואה עבור כל n נחקר גם הוא. גם כאן נעזרו במחשבים כדי למצוא את הערכים עבור n קטנים. אך שום חוקיות לא נמצאה עד-כה, המספרים מפגינים התנהגות בלתי-רגילה עבור ערכים גדלים של n. החל מ n = 3 {\displaystyle n=3} , מספר הפתרונות השונים הוא: 1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ... (סדרה A073101 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים). אך גם עבור ערכים גדולים של n עשויים להיות רק מעט פתרונות, למשל יש רק שבעה פתרונות שונים עבור n = 73 {\displaystyle n=73} . המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי הציע גרסה מוכללת להשערה: עבור כל k קיים N כך שעבור כל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} קיים פתרון למשוואה k n = 1 x + 1 y + 1 z {\displaystyle {\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}} , כאשר k, ‏N, ‏n, ‏x, ‏y, ‏z, כולם מספרים טבעיים. בשנת 2000 הוכיח תומאס האגדרון השערה דומה של ר"ה הארדין וניל סלואן. הם שיערו שעבור מספר טבעי ואי-זוגי, n, המשוואה 3 n = 1 x + 1 y + 1 z {\displaystyle {\frac {3}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}} תמיד פתירה, ו-x, ‏y ו-z הם טבעיים, אי-זוגיים ושונים בזוגות. האלגוריתם של אלן סווט להשערת ארדש-שטראוס, בעמוד הבית של אלן סווט באוניברסיטה של אינדיאנפוליס השערת ארדש-שטראוס, באתר MathWorld (באנגלית) Elsholtz, Christian (2001). "Sums of k unit fractions". Transactions of the American Mathematical Society 353 (8): 3209–3227. DOI:10.1090/S0002-9947-01-02782-9. MR1828604. Erdős, Paul (1950). "Az 1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn=a/b egyenlet egész számú megoldásairól (On a Diophantine Mat. Equation)". Lapok. 1: 192–210. MR0043117. Mordell, Louis J. (1967). Diophantine Equations. Academic Press, 287–290. Webb, William A. (1970). "On 4/n = 1/x + 1/y + 1/z". Proceedings of the American Mathematical Society 25 (3): 578–584. MR0256984. Li, D. L. (1981). "Equation 4/n = 1/x + 1/y + 1/z". Journal of Number Theory 13 (4): 485–494. DOI:10.1016/0022-314X(81)90039-1. MR0642923. Serge E. Salez, The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to N=1017 Sierpiński, Wacław (1964). A Selection of Problems in the Theory of Numbers. Pergamon Press, 113. Hagedorn, Thomas R. (2000). "A proof of a conjecture on Egyptian fractions". American Mathematical Monthly 107: 62–63. MR1745572.