זרימת קואט

זרימת קואט (מצרפתית: Couette) במכניקת הזורמים היא זרימה למינרית של זורם צמיגי במרחב שבין שני לוחות מקבילים, כאשר אחד מן הלוחות נע יחסית לשני. הזרימה מונעת על ידי כוח הצמיגות המופעל על הזורם וגם על ידי גרדיאנט הלחצים בין שני הלוחות. סוג זה של זרימה קרוי על שם של מוריס מארי אלפרד קואט, פרופסור לפיזיקה מאוניברסיטת אנז'ה, צרפת, בשלהי המאה ה-19. זרימת קואט מובאת לעיתים תכופות בלימודי פיזיקה והנדסה כדי להדגים תנועת זורם המונעת מכוח גזירה. הדוגמה הפשוטה ביותר מראה שני לוחות אינסופיים מקבילים המרוחקים במרחק h {\displaystyle h} זה מזה. לוח אחד, נניח העליון, נע במהירות u 0 {\displaystyle u_{0}} במישור שלו. בהזנחת השפעות של גרדיאנט הלחץ, ניתן לפשט את משוואות נאוויה-סטוקס לצורה: d 2 u d y 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}=0} , כאשר y {\displaystyle y} היא קואורדינטה מרחבית הניצבת ללוחות ו- u ( y ) {\displaystyle u(y)} היא התפלגות המהירות. משוואה זו משקפת את ההנחה שזרימה זו היא "חד-כיוונית". זהו מרכיב המהירות היחידי מבין השלושה ( u , v , w ) {\displaystyle (u,v,w)} שאינו טרוויאלי. אם ראשיתו של y {\displaystyle y} בלוח התחתון אזי תנאי השפה הם u ( 0 ) = 0 , u ( h ) = u 0 {\displaystyle u(0)=0,u(h)=u_{0}} והפתרון המדויק יכול להתקבל מאינטגרציה כפולה ושימוש בתנאי השפה. u ( y ) = u 0 y h {\displaystyle u(y)=u_{0}{\frac {y}{h}}} תובנה הראויה לציון שניתן להסיק מן המודל הנ"ל היא שלאורך הלוח מאמץ הגזירה קבוע. במיוחד ניתן לראות שהנגזרת הראשונה של המהירות u 0 / h {\displaystyle u_{0}/h} היא קבועה. לפי חוק ניוטון של הצמיגות מאמץ הגזירה הוא התוצר של המכפלה הווקטורית בין הביטויי הנ"ל וצמיגות הזורם. מקרה כללי יותר לזרימת קואט הוא כאשר קיים גרדיאנט לחץ בכיוון מקביל ללוחות. במקרה זה ניתן לפשט את משוואת נאוויה-סטוקס לצורה: d 2 u d y 2 = 1 μ d p d x {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}={\frac {1}{\mu }}{\frac {dp}{dx}}} , כאשר d p / d x {\displaystyle dp\!/\!dx} הוא גרדיאנט הלחץ המקביל ללוחות ו- μ {\displaystyle \mu } הוא צמיגות הזורם. מאינטגרציה של המשוואה הנ"ל פעמיים ומשימוש בתנאי השפה (אותם תנאים כמו קודם) נקבל את הפתרון המדויק לפילוג הזרימה: u ( y ) = u 0 y h + 1 2 μ ( d p d x ) ( y 2 − h y ) {\displaystyle u(y)=u_{0}{\frac {y}{h}}+{\frac {1}{2\mu }}\left({\frac {dp}{dx}}\right)\left(y^{2}-hy\right)} . הצורה של פילוג המהירות הנ"ל תלוי במשתנה על-ממדי P = − h 2 2 μ u 0 ( d p d x ) {\displaystyle P=-{\frac {h^{2}}{2\mu u_{0}}}\left({\frac {dp}{dx}}\right)} . גרדיאנט הלחץ יכול להיות חיובי או שלילי. בנוסף, ניתן להבחין במקרה מוגבל בו הלוחות אינם נעים ואז ניתן לראות פרופיל זרימה פואזילי (Poiseuille) רגיל בצורת פרבולה סימטרית. הקונפיגורציה המתוארת לעיל איננה יכולה להתממש במציאות, הרי לא קיימים לוחות אינסופיים. סר ג'פרי טיילור התעניין בזרימות מונעות גזירה הנגרמות על ידי סיבוב של גלילים בעלי מרכז משותף והוא הגיע לפתרון מתמטי בשנת 1923 שהכליל עקמומיות של כיוון הזרימה בצורה הבאה: u ( r ) = C 1 r + C 2 r {\displaystyle u(r)=C_{1}r+{\frac {C_{2}}{r}}} , כאשר C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} הם קבועים התלויים בתנאי שפה. ניתן להבחין במשוואה זו שאפקט העקמומיות לא מאפשר את קיום מאמץ הגזירה הקבוע בשדה הזרימה כמו שמתואר לעיל. המודל של טיילור איננו מושלם מפני שהוא לא מתחשב בתופעות הקרובות לשפה בגלילים בעלי רוחב סופי, אף על פי שניתן לומר שהוא קירוב טוב, אם מימד הרוחב גדול בהרבה מן המרחב בין הגלילים. פתרונו של טיילור תקף במכשירים בהם יש עקמומיות גלילית שלעיתים באים בשימוש ליצירת זרימת קואט, אבל איננו תקף למקרה של רוחב סופי. אידיאליזציה נוספת אכן תקפה למקרים סופיים אך לא למקרים בעלי עקמומיות. בתרשים שלעיל, אולי נחשוב ש-"לוח הגבול" ו-"הלוח הנע" הם בעצם שפות של שני גלילים בעלי רדיוס ענק. נניח R 1 , R 2 {\displaystyle R_{1},R_{2}} בהתאמה, כאשר R 2 {\displaystyle R_{2}} הוא גדול רק במעט מ- R 1 {\displaystyle R_{1}} . במקרה הזה באופן מקומי ניתן להזניח את העקמומיות. הפיזיקאי/מתמטיקאי רתיפ ברקר דיווח על פתרון מתמטי של הקונפיגורציה הזאת במונחים של פונקציות טריגונומטריות. משוואת האגן-פואזיל זרימה פוטנציאלית משוואות נאוויה-סטוקס זרימת טיילור-קואט מדיה וקבצים בנושא זרימת קואט בוויקישיתוף המדע הקשור לזרימת קואט