פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי

פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי היא פונקציה ממשית בעלת מספר תכונות מעניינות ולא-שגרתיות, ומהווה גורם עניין בתחומים כמו אנליזה מתמטית, תורת המידה ותורת הפרקטלים. את הפונקציה מסמנים על ידי ? ( x ) {\displaystyle ?(x)} ; השם והסימון הנ"ל ניתנו לפונקציה בגלל התכונות הלא-שגרתיות ולא-מובנות שלה. הפונקציה הוגדרה על ידי הרמן מינקובסקי בשנת 1904; היא נחקרה על ידי מספר מתמטיקאים, בהם ארנאוד דנג'וי, שהראה בשנת 1938 כיצד מעבירה הפונקציה מספרים ריבועיים אל מספרים רציונליים. הפונקציה מוגדרת בנפרד על המספרים הרציונליים ועל המספרים האי-רציונליים. עבור מספר רציונלי נתון, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב סופי [ a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , a n ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...,a_{n}]} , ומגדירים ? ( x ) = a 0 + 2 ∑ i = 1 n ( − 1 ) i − 1 2 a 1 + ⋯ + a i {\displaystyle ?(x)=a_{0}+2\sum _{i=1}^{n}{\frac {(-1)^{i-1}}{2^{a_{1}+\dots +a_{i}}}}} עבור מספר אי-רציונלי, מביטים בפיתוח שלו לשבר משולב אינסופי [ a 0 ; a 1 , a 2 , . . . , ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},...,]} , ומגדירים ? ( x ) = a 0 + 2 ∑ i = 1 ∞ ( − 1 ) i − 1 2 a 1 + ⋯ + a i {\displaystyle ?(x)=a_{0}+2\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i-1}}{2^{a_{1}+\dots +a_{i}}}}} הפונקציה אכן מוגדרת לכל מספר אי-רציונלי, כפי שניתן להוכיח בעזרת מבחן לייבניץ. מאחורי ההגדרה לעיל ישנו הסבר אינטואיטיבי, אשר בליבתו מסתתרת המרה בין דרכי תצוגה של מספרים ממשיים (בדומה לפונקציית קנטור, הממירה בין בסיסים). בהינתן מספר כלשהו בין 0 ל-1, ניתן להסתכל על הייצוג הבינארי האינסופי שלו, המתפרש לסדרה של אפסים ואחדות. על אותה סדרה ניתן גם להסתכל בתור השבר המשולב [ a 0 ; a 1 , . . . , a n , . . . ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},...,a_{n},...]} , כאשר המספרים הטבעיים a i {\displaystyle a_{i}} הם מספר האפסים והאחדות הרצופים על פי הסדר. לדוגמה: נביט בסדרה הבינארית 00100100100100100... {\displaystyle 00100100100100100...} . הייצוג הבינארי שלה הוא המספר 2 7 {\displaystyle {\frac {2}{7}}} ; הייצוג שלה לפי שבר משולב הוא [ 0 ; 2 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , . . . ] {\displaystyle [0;2,1,2,1,2,1,...]} , ששווה ל- 3 − 1 2 {\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}} . אם כן, פונקציית סימן השאלה מתאימה בין מספר המיוצג באופן של שבר משולב למספר הבינארי בעל אותו הייצוג. בפרט, על פי הדוגמה מתקיים ? ( 3 − 1 2 ) = 2 7 {\displaystyle ?({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}})={\frac {2}{7}}} . עבור שני שברים מצומצמים p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} ו- r s {\displaystyle {\frac {r}{s}}} כך ש- | p s − r q | = 1 {\displaystyle |ps-rq|=1} , מתקיים: . ? ( p + r q + s ) = 1 2 ( ? ( p q ) + ? ( r s ) ) {\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?{\bigg (}{\frac {p}{q}}{\bigg )}+{}?{\bigg (}{\frac {r}{s}}{\bigg )}\right)} בעזרת נוסחה זו ניתן לחשב את פונקציית סימן השאלה עבור כל מספר רציונלי. פונקציית סימן השאלה היא פונקציה אי-זוגית, רציפה ועולה חזק, אך איננה רציפה בהחלט. היא גם פונקציה סינגולרית. הפונקציה ממפה מספרים רציונליים אל מספרים די-אדיים רציונליים (כלומר מהצורה המצומצמת x 2 y {\displaystyle {\frac {x}{2^{y}}}} ), ומספרים ריבועיים (שורשים של משוואות ריבועיות) אי-רציונליים אל מספרים רציונליים לא די-אדיים בהכרח; מעבר לכך, היא מתאימה באופן מלא בין מספרים ריבועיים למספרים רציונליים. עבור x {\displaystyle x} אי-רציונלי, ? ( x ) {\displaystyle ?(x)} הוא או אלגברי מדרגה גדולה מ-2, או טרנסצנדנטי. מתקיים ? ( x + 1 ) = ? ( x ) + 1 {\displaystyle ?(x+1)=?(x)+1} ועל כן הפונקציה ? ( x ) − x {\displaystyle ?(x)-x} היא מחזורית בעלת מחזור 1. היות שהפונקציה עולה חזק, הרי שהיא חד-חד-ערכית, ועל כן הפיכה. ההופכית שלה היא פונקציית הקופסה של קונוויי, שהתגלתה באופן בלתי תלוי על ידי ג'ון הורטון קונוויי. הסימון המקובל עבורה הוא קופסה סביב x, והיא שווה ל- ? − 1 ( x ) {\displaystyle ?^{-1}(x)} . ניתן לחשב את הפונקציה על ידי מציאת הפיתוח הבינארי של המספר { x } 2 = x − ⌊ x ⌋ 2 {\displaystyle {\frac {\{x\}}{2}}={\frac {x-\lfloor x\rfloor }{2}}} , ולאחר מכן לבצע את ההתאמה כמתואר לעיל ולקבל את השבר המשולב [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] {\displaystyle [a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]} , כאשר a 0 = ⌊ x ⌋ {\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor } . פונקציה סינגולרית פונקציית הקופסה של קונוויי Arnaud Denjoy, On the real function of Minkowski. LINAS VEPŠTAS, On the Minkowski Measure R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing מדיה וקבצים בנושא פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי בוויקישיתוף פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)