מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן

מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (באנגלית: Linear time-invariant system, הידועה גם בתור מערכת LTI) היא מושג במתמטיקה שימושית, שיש לו יישומים בתחומים כגון מעגלים חשמליים, עיבוד אותות, תורת הבקרה, ספקטרוסקופיית NMR (אנ'), סייסמולוגיה ועוד. המונח LTI מיוחס לתגובה של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור אות כניסה שרירותי. ההתקדמות של מערכות אלה בדרך כלל נמדדת כאשר עובר זמן (למשל, בגל אקוסטי), אבל ביישומים כמו עיבוד תמונה ותורת השדות, מערכות LTI מתקדמות גם בממדים מרחביים. לפיכך, מערכות אלה נקראות גם ליניאריות בלתי תלויות בהעתקה, כדי לתת לתאוריה את ההיקף הכללי ביותר. המונח המקביל במקרה הכללי של זמן בדיד (כלומר, דגימות) הוא מערכות ליניאריות בלתי תלויות בהיסט (shift). מעגלים חשמליים הם דוגמה טובה למערכות LTI, שעשויים להיות מורכבים מנגדים, קבלים וסלילים. הגדרת המאפיינים של כל מערכת LTI הן ליניאריות וקביעות (אי-תלות) בזמן. ליניאריות – הקשר בין הכניסה למוצא המערכת היא העתקה ליניארית: אם עבור הכניסה x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t)\,} המוצא הוא y 1 ( t ) {\displaystyle y_{1}(t)\,} , ועבור הכניסה x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)\,} המוצא הוא y 2 ( t ) {\displaystyle y_{2}(t)\,} , אז עבור הצירוף הליניארי של הכניסות a 1 x 1 ( t ) + a 2 x 2 ( t ) {\displaystyle a_{1}x_{1}(t)+a_{2}x_{2}(t)\,} המוצא יהיה a 1 y 1 ( t ) + a 2 y 2 ( t ) {\displaystyle a_{1}y_{1}(t)+a_{2}y_{2}(t)\,} , עם אותם קבועים a 1 , a 2 {\displaystyle a_{1},a_{2}} . אפשר להרחיב תכונה זאת למספר רב יותר של כניסות, מוכפלות במספרים ממשיים c 1 , c 2 , … , c k {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}} , כך שהכניסה ∑ k c k x k ( t ) {\displaystyle \sum _{k}c_{k}\,x_{k}(t)} מייצרת יציאה ∑ k c k y k ( t ) {\displaystyle \sum _{k}c_{k}\,y_{k}(t)\,} . (נוסחה 1) בפרט: הכניסה ∫ − ∞ ∞ c ω x ω ( t ) d ⁡ ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,x_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega } מייצרת יציאה ∫ − ∞ ∞ c ω y ω ( t ) d ⁡ ω {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }c_{\omega }\,y_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega \,} כאשר c ω {\displaystyle c_{\omega }} ו־ x ω {\displaystyle x_{\omega }} הם סקלרים וכניסות, בהתאמה, אשר משתנים לאורך רצף אינדקסים ω {\displaystyle \omega } . לכן אם פונקציית כניסה יכולה להיות מיוצגת על ידי צירוף ליניארי של פונקציות כניסה, כפי שמוצג בדוגמה, אז פונקציית המוצא המתאימה יכולה להיות מיוצגת על ידי צירוף לילנארי של פונקציות יציאה מתאימות, באותה העתקה ליניארית שבכניסה. קביעות בזמן – עבור כניסה בהזזה של T שניות, המוצא יהיה זהה למעט עיכוב זמן של T שניות. כלומר, אם עבור הכניסה x ( t ) {\displaystyle x(t)} המוצא הוא y ( t ) {\displaystyle y(t)} , אז עבור הכניסה x ( t − T ) {\displaystyle x(t-T)} המוצא הוא y ( t − T ) {\displaystyle y(t-T)} . לפיכך, המערכת קבועה בזמן כי המוצא אינו תלוי בזמן שהכניסה נכנסת. התוצאה היסודית במערכות LTI היא שכל מערכת LTI יכולה להיות מאופיינת כולה על ידי פונקציה יחידה, שהיא התגובה להלם של המערכת. עבור כל כניסה, המוצא של המערכת הוא קונבולוציה של הכניסה עם תגובת ההלם. שיטה זו של ניתוח נקראת לעיתים קרובות נקודת מבט של מישור הזמן. אותה התוצאה נכונה עבור מערכות קבועות בזמן הבדיד אשר האותות הן בזמן בדיד, והקונבולוציה מוגדרת על רצפים. באופן שקול, ניתן לאפיין כל מערכת LTI במישור התדר באמצעות פונקציות התמסורת של המערכת, שהיא התמרת לפלס של תגובת ההלם של המערכת (או התמרת Z במקרה של מערכת בזמן הבדיד). כתוצאה ממאפיינים אלה, מוצא המערכת במישור התדר הוא סכום של פונקציית המעבר וההתמרה של הכניסה. במילים אחרות, הקונבולוציה שקולה לכפל במישור התדר. המודל של מערכת LTI טוב בתיאור מערכות חשובות רבות. רוב מערכות ה-LTI מתוארות כ"קלות לניתוח" ביחס לאלו שאין LTI. כל מערכת שיכולה להיות ממודלת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית עם מקדמים קבועים היא מערכת LTI. דוגמה למערכת כזאת היא מעגלים חשמליים המורכבים מנגדים, קבלים וסלילים (מעגל RLC למשל). ניתן לפתור מערכת שאינה קבועה בזמן אך ליניארית על ידי משפט גרין, למשל.[דרושה הבהרה] ניתן להשתמש באותה שיטה כאשר נתוני הבעיה אינם מלאים. ערכים מורחבים – תגובה להלם, קונבולוציה לכל מערכת LTI, ניתן להגדיר פונקציית תגובה להלם, שמבטאת את המוצא של המערכת עבור כניסה של פונקציית הלם x ( t ) = δ ( t ) {\displaystyle x(t)=\delta (t)} (הדלתא של דיראק), ומסומנת באות h:‏ y ( t ) = h ( t ) {\displaystyle y(t)=h(t)} . ההתנהגות של מערכת ליניארית וקבועה בזמן עבור כניסה כללית x ( t ) {\displaystyle x(t)} ואות מוצא y ( t ) {\displaystyle y(t)} מתוארת על ידי אינטגרל הקונבולוציה עם התגובה להלם: y ( t ) = ( x ∗ h ) ( t ) = d e f   ∫ − ∞ ∞ x ( t − τ ) ⋅ h ( τ ) d τ = ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) ⋅ h ( t − τ ) d τ {\displaystyle y(t)=(x*h)(t)\quad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\mathrm {d} \tau \quad =\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau } , כאשר המעבר נעשה על ידי שימוש בתכונת הקומוטטיביות. עבור מערכת ליניארית, O צריכה לקיים את נוסחה 1: O t { ∫ − ∞ ∞ c τ   x τ ( u ) d τ ;   u } = ∫ − ∞ ∞ c τ   y τ ( t ) ⏟ O t { x τ } d τ {\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau } , (נוסחה 2) מדרישת האי-תלות בזמן, היא מקיימת גם: O t { x ( u − τ ) ;   u }   =   y ( t − τ )   = def   O t − τ { x } {\displaystyle O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ {\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}} . (נוסחה 3) כעת נוכל לרשום את תגובת ההלם כ- h ( t )   = def   O t { δ ( u ) ;   u } {\displaystyle \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}} . באופן דומה: h ( t − τ )   = def   O t − τ { δ ( u ) ;   u } = O t { δ ( u − τ ) ;   u } {\displaystyle h(t-\tau )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}} כאשר הצורה של צד ימין של נוסחה 2 נשמרת עבור המקרה c τ = x ( τ ) {\displaystyle \textstyle c_{\tau }=x(\tau )} ו- x τ ( u ) = δ ( u − τ ) {\displaystyle \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau )} . נוסחה 2 מאפשרת את השלב הבא: ( x ∗ h ) ( t ) = O t { ∫ − ∞ ∞ x ( τ ) ⋅ δ ( u − τ ) d τ ;   u } = O t { x ( u ) ;   u }   = def   y ( t ) . {\displaystyle (x*h)(t)=O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).} לסיכום, קלט הפונקציה, { x } {\displaystyle \textstyle \{x\}} , יכול להיות מיוצגת על ידי רצף של פונקציות הלם מוזזות בזמן בצירוף ליניארי. תכונת הליניאריות של המערכת מאפשרת לייצג את תגובת המערכת על ידי רצף של תגובות הלם מתאימות, מסוכמות באותה הדרך, ותכונת הקביעות בזמן מאפשרת לייצג את הצירוף על ידי אינטגרל הקונבולוציה. פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה פעולת האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, f היא פונקציה עצמית של H ^ {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}} , אם H ^ f = λ f , {\displaystyle {\hat {\mathcal {H}}}f=\lambda f,} כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא קבוע מספרי, שנקרא ערך עצמי. פונקציות האקספוננט A e s t {\displaystyle Ae^{st}} , כאשר A , s ∈ C {\displaystyle A,s\in \mathbb {C} } , הן פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי וקבוע בזמן. ניתן להוכיח זאת באופן הבא: נניח שהכניסה היא x ( t ) = A e s t {\displaystyle x(t)=Ae^{st}} . היציאה של המערכת היא הקונבולוציה עם התגובה להלם ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) A e s τ d ⁡ τ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau } אשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל: ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) A e s ( t − τ ) d ⁡ τ ⏞ H f = ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) A e s t e − s τ d ⁡ τ = A e s t ∫ − ∞ ∞ h ( τ ) e − s τ d ⁡ τ = A e s t ⏟ Input ⏞ f H ( s ) ⏟ Scalar ⏞ λ , {\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}} כאשר הסקלר H ( s )   = def   ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d ⁡ t {\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t} תלוי רק בפרמטר s, ולא במשתנה t. תגובת המערכת היא העתקה ליניארית של הכניסה. בפרט, עבור כל A , s ∈ C {\displaystyle A,s\in \mathbb {C} } היציאה של המערכת היא המכפלה של הכניסה A e s t {\displaystyle Ae^{st}} והקבוע H ( s ) {\displaystyle H(s)} . לפיכך, A e s t {\displaystyle Ae^{st}} היא פונקציה עצמית של מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI), והערך העצמי המתקבל הוא H ( s ) {\displaystyle H(s)} . נאמר כי v ( t ) = e i ω t {\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}} אקספוננט מדומה ( i 2   = def − 1 {\displaystyle i^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}-1} ) והגרסה המוזזת בזמן שלו הוא: v a ( t ) = e i ω ( t + a ) {\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}} . H [ v a ] ( t ) = e i ω a H [ v ] ( t ) {\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)} כהעתקה ליניארית של האקספוננט לפי הקבוע e i ω a {\displaystyle e^{i\omega a}} . H [ v a ] ( t ) = H [ v ] ( t + a ) {\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)} לפי קביעות בזמן לפי H {\displaystyle H} . אז, H [ v ] ( t + a ) = e i ω a H [ v ] ( t ) {\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)} . עבור t = 0 {\displaystyle t=0} ונקבל: H [ v ] ( τ ) = e i ω τ H [ v ] ( 0 ) {\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)} כלומר, עבור אקספוננט מדומה e i ω τ {\displaystyle e^{i\omega \tau }} ככניסה, נקבל אקספוננט מדומה עם אותו תדר במוצא. ערכים מורחבים – התמרת לפלס, התמרת פורייה תכונת הפונקציה העצמית של אקספוננטים שימושית מאוד כדי לנתח את המערכת בכלים אנילטיים. במסגרת ניתוח זה פותחו שתי התמרות המאפשרות להתמיר את פונקציית הכניסה והמוצא למרחב אחר שבו נוח יותר לעבוד. התמרת לפלס: L { x ( t ) }   = def   ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d ⁡ t {\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t} כלומר התמרת לפלס של פונקציה היא הפריסה שלה על גבי הפונקציות העצמיות. בפרט עבור פונקציית התגובה להלם: H ( s )   = def   L { h ( t ) }   = def   ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − s t d ⁡ t {\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t} היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. התמרה נוספת נוצרת כאשר מתמקדים בפונקציות סינוסואידיות טהורות (למשל פונקציות אקספוננטים מדומים מהצורה e j ω t {\displaystyle e^{j\omega t}} כאשר ω ∈ R {\displaystyle \omega \in \mathbb {R} } ו- j 2   = def − 1 {\displaystyle j^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}-1} ). התמרת פורייה H ( j ω ) = F { h ( t ) } {\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}} מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסואידיות מדומות טהורות. שתי הפונקציות H ( s ) {\displaystyle H(s)} ו- H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר. התמרת לפלס בדרך כלל משמשת אותות חד-צדדיים, למשל, אותות ששווים לאפס עבור כל t < t 0 {\displaystyle t<t_{0}} , כאשר t 0 {\displaystyle t_{0}} ערך קבוע כלשהו. בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר: y ( t ) = ( h ∗ x ) ( t )   = def   ∫ − ∞ ∞ h ( t − τ ) x ( τ ) d ⁡ τ   =   L − 1 { H ( s ) X ( s ) } {\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ =\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}} דוגמה פשוטה לכך היא אופרטור הנגזרת: d d ⁡ t ( c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) ) = c 1 x 1 ′ ( t ) + c 2 x 2 ′ ( t ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)} (כלומר האופרטור ליניארי) d d ⁡ t x ( t − τ ) = x ′ ( t − τ ) {\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )} (כלומר האופרטור קבוע בזמן) כאשר מתמירים את הנגזרת בהמרת לפלס, הנגזרת מותמרת להתמרת הפונקציה המקורית מוכפלת במשתנה הלפלס, s. L { d d ⁡ t x ( t ) } = s X ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)} הפשטות של התמרת הנגזרת מעידה על למה התמרת לפלס יעילה על פונקציות מעבר. עוד דוגמה פשוטה היא אופרטור הממוצע A { x ( t ) }   = def   ∫ t − a t + a x ( λ ) d ⁡ λ . {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda .} מליניאריות האינטגרל, A { c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) } = ∫ t − a t + a ( c 1 x 1 ( λ ) + c 2 x 2 ( λ ) ) d ⁡ λ = c 1 ∫ t − a t + a x 1 ( λ ) d ⁡ λ + c 2 ∫ t − a t + a x 2 ( λ ) d ⁡ λ = c 1 A { x 1 ( t ) } + c 2 A { x 2 ( t ) } , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}} ליניארי. בנוסף, מפני ש- A { x ( t − τ ) } = ∫ t − a t + a x ( λ − τ ) d ⁡ λ = ∫ ( t − τ ) − a ( t − τ ) + a x ( ξ ) d ⁡ ξ = A { x } ( t − τ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}} קבוע בזמן. למען האמת, A {\displaystyle {\mathcal {A}}} יכולה להיות מיוצגת כקונבולוציה עם פונקציית המלבן Π ( t ) {\displaystyle \Pi (t)} . כלומר, A { x ( t ) } = ∫ − ∞ ∞ Π ( λ − t 2 a ) x ( λ ) d ⁡ λ , {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,} כאשר פונקציית המלבן היא: Π ( t )   = def   { 1 if  | t | ≤ 1 2 , 0 if  | t | > 1 2 . {\displaystyle \Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|\leq {\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}} חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות. מערכת נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבע אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה, ולא על פי ערכי הכניסה בעתיד. עבור התגובה להלם, מערכת כזאת מתקבלת רק כאשר לכל t שלילי, התגובה מתאפסת, משום שפונקציית ההלם שהיא הכניסה, גם היא מתאפסת בתחום זה. בייצוג מתמטי: ∀ t < 0 : h ( t ) = 0 ⇒ causal system {\displaystyle \forall t<0:h(t)=0\Rightarrow {\text{causal system}}} כאשר h ( t ) {\displaystyle h(t)} הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת לפלס של תגובת המערכת להלם, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע ניתן לדעת האם המערכת סיבתית. ערך מורחב – יציבות BIBO מערכת נקראת יציבה במובן BIBO אם לכל כניסה חסומה יתקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת: ∃ k (   ‖ x ( t ) ‖ ∞ < k ) {\displaystyle \exists k(\ \|x(t)\|_{\infty }<k)} מתקבל מוצא שמקיים: ∃ m (   ‖ y ( t ) ‖ ∞ < m ) {\displaystyle \exists m(\ \|y(t)\|_{\infty }<m)} (כלומר, המקסימום של | x ( t ) | {\displaystyle |x(t)|} סופית גוררת שהמקסימום של | y ( t ) | {\displaystyle |y(t)|} סופית גם כן), לכן המערכת יציבה. תנאי הכרחי ומספיק הוא שהתגובה להלם, h ( t ) {\displaystyle h(t)} , נמצאת במרחב L1 (בעלת נורמת L 1 {\displaystyle L^{1}} סופית): ∃ k (   ‖ h ( t ) ‖ 1 = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d ⁡ t < k ) {\displaystyle \exists k(\ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<k)} במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את הציר המדומה s = j ω {\displaystyle s=j\omega } . לדוגמה, מסנן מעביר תדרים נמוכים (LPF) אידיאלי עם תגובה להלם של פונקציית sinc היא לא יציבה במובן BIBO, מפני שנורמת L1 שלה לא סופית. לכן, עבור כניסה חסומה לא הכרחי שנקבל מוצא חסום. בפרט, עבור הכניסה אפס ל- t < 0 {\displaystyle t<0\,} ושווה לסינוסואיד בתדר cutoff ל־ t > 0 {\displaystyle t>0\,} , אז המוצא לא יהיה חסום לכל זמן מלבד אלה שחוצים את האפס. כמעט לכל מערכת בזמן רציף יש חלק משלים במערכת בזמן בדיד. ערך מורחב – דגימה (עיבוד אותות) בהקשרים רבים, מערכת זמן בדיד (זמן דיסקרטי, DT) היא למעשה חלק ממערכת זמן רציפה (CT) גדולה יותר. לדוגמה, מערכת הקלטה דיגיטלית לוקחת צליל אנלוגי, מבצעת דיגיטציה, אולי מעבדת את האותות הדיגיטליים, ומשמיעה צליל אנלוגי. אם x ( t ) {\displaystyle x(t)} הוא אות אנלוגי רציף, ממיר אנלוגי לדיגיטלי יהפוך אותו לאות דיגיטלי DT: x [ n ]   = def   x ( n T ) , n ∈ Z {\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT),\qquad \,n\in \mathbb {Z} } כאשר T זה זמן הדגימה. חשוב להגביל את טווח התדרים של אות הכניסה לייצוג נאמן באות בדיד, כך שמשפט הדגימה יבטיח שאף מידע של האות הרציף לא יאבד. אות בדיד יכול להכיל טווח תדרים רק עד 1 2 T {\displaystyle {\frac {1}{2T}}} . תדרים אחרים "יתקפלו" לאותו טווח. יהי { x [ m − k ] ;   m } {\displaystyle \{x[m-k];\ m\}} ייצוג של הרצף { x [ m − k ] | ∀ m ∈ Z } {\displaystyle \{x[m-k]|\forall m\in \mathbb {Z} \}} . יהי הייצוג הקצר יותר { x } {\displaystyle \{x\}\,} תייצג { x [ m ] ;   m } {\displaystyle \{x[m];\ m\}} . מערכת בדידה הופכת רצף קלט { x } {\displaystyle \{x\}} , לרצף פלט { y } {\displaystyle \{y\}} . באופן כללי, כל אלמנט של הפלט תלוי בכל רכיב הקלט. נייצג את אופרטור ההעתקה על ידי O {\displaystyle O} , ועתה אנו יכולים לכתוב: y [ n ]   = def   O n { x } {\displaystyle y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}} נשים לב שאם ההתמרה עצמה משתנה עם n, רצף הפלט הוא קבוע בלבד, והמערכת אינה מעניינת. במערכת טיפוסית, [y[n "תלויה בדרך כלל מהאלמנטים של x שהאינדקסים שלהם קרובים ל- n. עבור מקרה מיוחד של הדלתא של קרונקר, x [ m ] = δ [ m ] {\displaystyle x[m]=\delta [m]} , רצף המוצא יהיה התגובה להלם: h [ n ]   = def   O n { δ [ m ] ;   m } . {\displaystyle h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m];\ m\}.\,} עבור מערכת ליניארית, O {\displaystyle O} צריכה לקיים את: O n { ∑ k = − ∞ ∞ c k ⋅ x k [ m ] ;   m } = ∑ k = − ∞ ∞ c k ⋅ O n { x k } . {\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.\,} (נוסחה 4) והתנאי לקביעות בזמן: O n { x [ m − k ] ;   m }   =   y [ n − k ] = def   O n − k { x } . {\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y[n-k]\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}} (נוסחה 5) במערכת כזאת, התגובה להלם, { h } , {\displaystyle \{h\},\,} , מתארת את המערכת לגמרי. כלומר, עבור כל רצף קלט, רצף הפלט יכול להיות מחושב במונחים של קלט התגובה להלם. כדי לראות איך זה נעשה, יש לשקול את הזהות: x [ m ] ≡ ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ⋅ δ [ m − k ] , {\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],\,} אשר מייצגת את { x } {\displaystyle \{x\}\,} כסכום של דלתאות במושקלים. לכן, y [ n ] = O n { x } = O n { ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ⋅ δ [ m − k ] ;   m } = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ⋅ O n { δ [ m − k ] ;   m } , {\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}} כאשר עוררנו את נוסחה 4 עבור המקרה c k = x [ k ] {\displaystyle c_{k}=x[k]} ו- x k [ m ] = δ [ m − k ] {\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k]} . ובגלל נוסחה 5, נוכל לכתוב: O n { δ [ m − k ] ;   m }   =   O n − k { δ [ m ] ;   m } = def   h [ n − k ] . {\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ h[n-k].\,\end{aligned}}} לכן: אשר מניבה את הנוסחה המוכרת עבור קונבולוציה בדידה. פונקציה עצמית היא פונקציה שעבורה הפלט של האופרטור היא מכפלה של אותה פונקציה בקבוע. זאת אומרת, f היא פונקציה עצמית של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} , אם H f = λ f , {\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,} כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא קבוע, שנקרא בהקשר זה ערך עצמי. את פונקציות האקספוננט z n = e s T n {\displaystyle z^{n}=e^{sTn}} , כאשר n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , הם פונקציות עצמיות של אופרטור ליניארי, וקבוע בזמן. T ∈ R {\displaystyle T\in \mathbb {R} } הוא קצב הדגימה, וכן z = e s T {\displaystyle z=e^{sT}} , z {\displaystyle z} , s ∈ C {\displaystyle s\in \mathbb {C} } . הוכחה פשוטה ממחישה את המושג הזה. נניח שהכניסה היא x [ n ] = z n {\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}} . היציאה של המערכת עבור תגובה להלם h [ n ] {\displaystyle h[n]} יהיה: ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] z m {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}} כאשר לפי תכונת הקומוטטיביות של הקונבולוציה, שקולה ל: ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z ( n − m ) = z n ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z − m = z n H ( z ) {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)} כאשר הסקלר H ( z )   = def   ∑ m = − ∞ ∞ h [ m ] z − m {\displaystyle H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}} תלוי רק בפרמטר z. אז z n {\displaystyle z^{n}} היא פונקציה עצמית של מערכת LTI מפני שתגובת המערכת שקולה לקלט כפול הקבוע H ( z ) {\displaystyle H(z)} . תכונת הפונקציה העצמית של אקספוננטים שימושית מאוד כדי להבין יותר מערכות LTI. התמרת Z: H ( z ) = Z { h [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] z − n {\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}} היא בדיוק הדרך למצוא את הערכים העצמיים מתוך התגובה להלם. בפרט, נתעניין בפונקציות סינוסואידיות טהורות (למשל אקספוננטים מרוכבים מהצורה e j ω n {\displaystyle e^{j\omega n}} כאשר ω ∈ R {\displaystyle \omega \in \mathbb {R} } ו- j 2   = def − 1 {\displaystyle j^{2}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}-1} ). התמרת פורייה הבדידה (DTFT) H ( j ω ) = F { h [ n ] } {\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h[n]\}} מביאה את הערכים העצמיים עבור פונקציות סינוסואידיות מדומות טהורות. שתי הפונקציות H [ z ] {\displaystyle H[z]} ו- H ( e j ω ) {\displaystyle H(e^{j\omega })} נקראות "תגובת המערכת", "פונקציית המערכת" או פונקציית המעבר. התמרת Z בדרך כלל מופעלת על אותות חד-צדדיים, למשל, אות ששווה לאפס עבור כל t < t 0 {\displaystyle t<t_{0}} , כאשר t 0 {\displaystyle t_{0}} ערך קבוע כלשהו. בגלל תכונת הקונבולוציה של שתי ההתמרות, הקונבולוציה שמביאה את מוצא המערכת יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה במישור התדר, עבור מערכות אשר קיימות במישור התדר: y [ n ] = ( h ∗ x ) [ n ] = ∑ m = − ∞ ∞ h [ n − m ] x [ m ] = Z − 1 { H ( z ) X ( z ) } {\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}} דוגמה פשוטה לכך היא אופרטור העיכוב (delay): D { x [ n ] }   = def   x [ n − 1 ] {\displaystyle D\{x[n]\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x[n-1]} D ( c 1 ⋅ x 1 [ n ] + c 2 ⋅ x 2 [ n ] ) = c 1 ⋅ x 1 [ n − 1 ] + c 2 ⋅ x 2 [ n − 1 ] = c 1 ⋅ D x 1 [ n ] + c 2 ⋅ D x 2 [ n ] {\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]} (כלומר האופרטור ליניארי) D { x [ n − m ] } = x [ n − m − 1 ] = x [ ( n − 1 ) − m ] = D { x } [ n − m ] {\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,} (כלומר האופרטור קבוע בזמן) כאשר מתמירים את הנגזרת בהמרת Z, הנגזרת מותמרת להתמרת הפונקציה המקורית מוכפלת במשתנה, z−1. כלומר, Z { D x [ n ] } = z − 1 X ( z ) . {\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).} עוד דוגמה פשוטה היא אופרטור הממוצע A { x [ n ] }   = def   ∑ k = n − a n + a x [ k ] {\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k]} מליניאריות הסכום, A { c 1 x 1 [ n ] + c 2 x 2 [ n ] } = ∑ k = n − a n + a ( c 1 x 1 [ k ] + c 2 x 2 [ k ] ) = c 1 ∑ k = n − a n + a x 1 [ k ] + c 2 ∑ k = n − a n + a x 2 [ k ] = c 1 A { x 1 [ n ] } + c 2 A { x 2 [ n ] } , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}} ליניארי. בנוסף, מפני ש- A { x [ n − m ] } = ∑ k = n − a n + a x [ k − m ] = ∑ k ′ = ( n − m ) − a ( n − m ) + a x [ k ′ ] = A { x } [ n − m ] , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}} קבוע בזמן. ניתן לתאר באופן מלא את הקשר שבין הקלט לפלט במערכת LTI בדידה על ידי תגובת ההלם של המערכת h [ n ] {\displaystyle h[n]} . חלק מהתכונות החשובות ביותר של מערכת הן סיבתיות ויציבות. בניגוד למערכות בזמן רציף, מערכות בדידות לא סיבתיות יכולות להתממש. זה טריוויאלי כדי להפוך מערכת עם תגובה להלם סופית סיבתי על ידי הוספת עיכובים (Delays). זה אפשרי אפילו לעשות מערכות שלא סיבתיות עם תגובה להלם אינסופית. מערכת בדידה נקראת "סיבתית" כאשר מוצא המערכת נקבעת אך ורק על פי ערכי הכניסה בעבר ובהווה. תנאי הכרחי ומספיק למערכת סיבתית: ∀ n ( n < 0 ⇒ h [ n ] = 0 ) {\displaystyle \forall n(n<0\Rightarrow h[n]=0)} כאשר h [ n ] {\displaystyle h[n]} הוא התגובה להלם. באופן כללי, לא ניתן לדעת האם המערכת היא סיבתית מתוך התמרת Z, מפני שההתמרה ההפוכה אינה יחידה. רק כאשר התחום התכנסות ידוע, ניתן לדעת האם המערכת סיבתית. מערכת נקראת יציבה במובן BIBO אם לכל כניסה חסומה מתקבל מוצא סופי (כלומר, חסום גם כן). בייצוג מתמטי, אם כל כניסה שמקיימת: ∃ k (   ‖ x [ n ] ‖ ∞ < k ) {\displaystyle \exists k(\ \|x[n]\|_{\infty }<k)} מתקבל מוצא שמקיים: ∃ k (   ‖ y [ n ] ‖ ∞ < k ) {\displaystyle \exists k(\ \|y[n]\|_{\infty }<k)} (כלומר, המקסימום של | x [ n ] | {\displaystyle |x[n]|} סופית גוררת שהמקסימום של | y [ n ] | {\displaystyle |y[n]|} סופית גם כן), לכן המערכת יציבה. תנאי הכרחי ומספיק הוא שהתגובה להלם, h [ n ] {\displaystyle h[n]} , נמצאת בL1 (בעלת נורמת L 1 {\displaystyle L^{1}} סופית): ∃ k ( ‖ h [ n ] ‖ 1   = def   ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | < k ) {\displaystyle \exists k(\|h[n]\|_{1}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<k)} במישור התדר, תחום ההתכנסות חייבת לכלול את מעגל היחידה (כלומר, המקום הגאומטרי המקיים | z | = 1 {\displaystyle |z|=1} עבור z {\displaystyle z} מרוכב) תגובת הלם פונקציית גרין Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007). Signals, systems and Transforms. Prentice Hall. ISBN 0-13-041207-4.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Hespanha,J.P. (2009). Linear System Theory. Princeton university press. ISBN 0-691-14021-9. Crutchfield, Steve (12 באוקטובר 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University, נבדק ב-21 בנובמבר 2010 {{citation}}: (עזרה) Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (במאי 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks – Part I: system theoretic fundamentals". IEEE Trans. Signal Proc. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395. {{cite journal}}: (עזרה) ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – קדימון קצר על ניתוח מתמטי של מערכות LTI חשמליות ECE 209: Sources of Phase Shift – הסבר אינטואיטיבי של המקור של הזזות בפאזה בשתי מערכות LTI חשמליות משותפות JHU 520.214 Signals and Systems course notes – קורס מקוצר על תורת מערכת ה־LTI, הולם להוראה עצמית LTI system example: RC low-pass filter – תגובת ההגבר ותגובת הפאזה Hespanha, João P., Linear systems theory, Princeton: Princeton University Press, 2009, עמ' 78 Steve Crutchfeild, The Joy of Convolution (עמ' 1 "Welcome") Steve Crutchfeild, The Joy of Convolution (עמ' 1 "Exercises") P.P. Vaidyanathan, Tsuhan Chen, Role of anticausal inverses in multirate filter-banks .I. System-theoretic fundamentals, IEEE Transactions on Signal Processing 43, עמ' 1090–1102 doi: 10.1109/78.382395 Phillips, Charles L., Signals, systems, and transforms, 3rd ed, Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 2003