תיאום עכבות (אקוסטיקה)

באקוסטיקה, להליך ההנדסי של תיאום עכבות (באנגלית: Impedance matching) אקוסטיות בממשקים בין תווכים יש תפקיד מפתח. כאשר גל קול פוגע בממשק שבין תווך אחד למשנהו, חלקו יוחזר מן הממשק וחלקו יועבר לתווך השני, כשהמשרעת המועברת תלויה במידה בה העכבות האקוסטיות של שני התווכים קרובות אחת לשנייה. אם העכבות האקוסטיות מאוד שונות מרבית האנרגיה של הקול תוחזר במקום לעבור לתווך השני, בעוד שאם מתקיים שוויון בין העכבות, הגל יועבר במלואו כאילו הממשק איננו היה קיים. ביישומים טכנולוגיים הדורשים מעבר הספק מרבי (דרך שידור גלים) בין שני מיקומים שונים, לרוב לא ניתן להקרין את מלוא אנרגיית הגל בין שתי הנקודות עקב הבדלי העכבות בין שני התווכים בהם הן מצויות. התהליך ההנדסי של "תיאום עכבות" משמש כדי להגדיל את נתח האנרגיה המועברת באמצעות הוספת תווך ביניים שלישי, המכונה "מתאם עכבות", אשר "מגשר" בין שני התווכים ומאפשר להגדיל את סך האנרגיה המועברת. העכבה האקוסטית הסגולית האופיינית של תווך כלשהו מוגדרת כיחס בין עוצמת גל הלחץ הפועל בנקודה מסוימת לבין המהירות שבה נעה שכבת התווך כתוצאה מפעולתו. כדי לקבל את היחס הזה אפשר להשתמש בעקרון המקומיות: אם שכבה מסוימת של התווך נעה במהירות קבועה u במשך זמן קצרצר T אז נפח התווך המושפע מגל הלחץ הוא V = ( c s ⋅ T ) A {\displaystyle V=(c_{s}\cdot T)A} כאשר c s {\displaystyle c_{s}} היא מהירות הקול באותו תווך ו-A שטח החתך של השכבה. כתוצאה מתנועת השכבה, הנפח הזה נדחס בשיעור d V = ( u ⋅ T ) A {\displaystyle dV=(u\cdot T)A} , ולכן לפי חוק המאמץ-מעוות נובע שהלחץ הנגרם כתוצאה מתנועת השכבה הוא: P = B ⋅ d V V = B ⋅ u c s {\displaystyle P=B\cdot {\frac {dV}{V}}=B\cdot {\frac {u}{c_{s}}}} , כאשר B הוא מודול הדחיסות. העכבה האקוסטית הסגולית של התווך היא לפיכך: Z = P u = B c s = ρ ⋅ B {\displaystyle Z={\frac {P}{u}}={\frac {B}{c_{s}}}={\sqrt {\rho \cdot B}}} , כאשר המעבר האחרון נובע מכך שמהירות הקול בתווך כללי היא: c s = B ρ {\displaystyle c_{s}={\sqrt {\frac {B}{\rho }}}} . עבור מוצקים B הוא בדרך כלל מודול יאנג של החומר ועבור גזים B = γ ⋅ P 0 {\displaystyle B=\gamma \cdot P_{0}} , כאשר γ {\displaystyle \gamma } הוא יחס קיבולי החום. ההספק האקוסטי המושקע במתן מהירות u לשכבה של התווך הוא: W = F ⋅ u = A P ⋅ u = A P 2 / Z = A Z u 2 {\displaystyle W=F\cdot u=AP\cdot u=AP^{2}/Z=AZu^{2}} , כפול משטף האנרגיה הקינטית הנלווה לגל קול: 1 / 2 A c s ρ u 2 = 1 / 2 A B ρ u 2 {\displaystyle 1/2Ac_{s}\rho u^{2}=1/2A{\sqrt {B\rho }}u^{2}} . כעת נניח גל לחץ מישורי המתקדם בתווך A לעבר תווך B בניצב לממשק ביניהם, כשביניהם מפרידה ממברנה דקה וחסרת מסה בעלת תכונות אקוסטיות זהות לאלו של תווך A. נגזור את מקדמי ההעברה וההחזרה T ו-R של הגל מעקרונות ראשוניים. ההנחות בפיתוח יהיו: רציפות הלחץ - כיוון שהממברנה חסרת מסה הכרחי להניח ששקול הכוחות הפועלים עליה הוא 0 ולכן הלחץ משני צדדיה שווה. רציפות ההעתק - מהירות הסחיפה של המולקולות של תווך A שווה למהירות תנועתה של הממברנה בכל רגע נתון, וכדומה לגבי תווך B. הלחץ בסמוך לממברנה מהצד של תווך A (ששווה ללחץ מצידה השני) בכל רגע נתון הוא סכום הלחצים של הגל המוחזר והגל הפוגע, שכן הגל השקול בתווך A הוא סופרפוזיציה של הגל הפוגע והמוחזר: P T = P 1 = P I + P R ⟹ 1 + R = T {\displaystyle P_{T}=P_{1}=P_{I}+P_{R}\implies 1+R=T} . כדי לקבל את הקשרים הנוספים יש להבחין בין גל הלחץ לבין גל ההעתק המקושרים אל גל קול. בעוד שגל הלחץ מוחזר מממשק עם אותו מופע, גל ההעתק מוחזר עם מופע הפוך; הדבר תואם את האינטואיציה הבסיסית שפרודות תווך A בעצם מתנגשות אלסטית בממשק. לפיכך, המשוואה השנייה מתקבלת מכך שעוצמת הלחץ המועבר לתווך B היא בעצם (לפי הגדרת העכבה האקוסטית) P T = u ⋅ Z 2 {\displaystyle P_{T}=u\cdot Z_{2}} , בעוד שעוצמת הלחץ המוחזר מקיימת P R = ( v − u ) ⋅ Z 1 {\displaystyle P_{R}=(v-u)\cdot Z_{1}} , כאשר v = P I Z 1 {\displaystyle v={\frac {P_{I}}{Z_{1}}}} היא המהירות של שכבת התווך אשר הייתה מתקבלת אלמלא הממשק היה קיים. את עוצמת הלחץ המוחזר מקבלים על סמך הנחת רציפות גל ההעתק המקושר לגל הלחץ: v − ∂ δ R ∂ t = u {\displaystyle v-{\frac {\partial \delta _{R}}{\partial t}}=u} . מקשרים אלו מקבלים את מערכת המשוואות הליניאריות: 1 + R = T {\displaystyle 1+R=T} R = 1 − u Z 1 P I {\displaystyle R=1-{\frac {uZ_{1}}{P_{I}}}} T = u Z 2 P I {\displaystyle T={\frac {uZ_{2}}{P_{I}}}} פתרון המערכת נותן את מקדמי ההעברה וההחזרה של גל הלחץ: R = Z 2 − Z 1 Z 2 + Z 1 , T = 2 Z 2 Z 2 + Z 1 {\displaystyle R={\frac {Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}},T={\frac {2Z_{2}}{Z_{2}+Z_{1}}}} . מבחינת שימור האנרגיה, זרם האנרגיה האקוסטית של גל הלחץ לפני הפגיעה בממשק שווה לסכום זרמי האנרגיה של הגל המוחזר והמועבר: P I 2 Z 1 = P R 2 Z 1 + P T 2 Z 2 ⟺ 1 Z 1 = R 2 Z 1 + T 2 Z 2 {\displaystyle {\frac {P_{I}^{2}}{Z_{1}}}={\frac {P_{R}^{2}}{Z_{1}}}+{\frac {P_{T}^{2}}{Z_{2}}}\iff {\frac {1}{Z_{1}}}={\frac {R^{2}}{Z_{1}}}+{\frac {T^{2}}{Z_{2}}}} כאשר Z 2 = Z 1 {\displaystyle Z_{2}=Z_{1}} מקדם ההעברה הוא 1, בהתאמה עם כך שתווך B מתנהג כ"המשך אקוסטי" של A. כאשר Z 2 >> Z 1 {\displaystyle Z_{2}>>Z_{1}} מקדם ההעברה המתקבל הוא 0 משום שהתווך B צפוף אקוסטית בהרבה מ-A כך שהממשק מתנהג כקצה סגור (במה שמכונה "החזרה קשיחה") שמחזיר את גל הקול במלואו כהד. כאשר Z 2 = 0 {\displaystyle Z_{2}=0} מקדם ההחזרה המתקבל הוא שלילי (הוא 1-) משום שהגל מוחזר בהיפוך מופע מן הממשק. תרחיש כזה מכונה "החזרה רכה", וניתן לראות בממשק כזה קצה חופשי שהלחץ בו עומד על ערך קבוע, בדומה למצב בעמודי אוויר שבצינורות עוגב. במקרה שבו גל קול פוגע בממשק בזווית θ i {\displaystyle \theta _{i}} (שונה מ-0), עקרונות הפיתוח יהיו אותם עקרונות אך יש לקחת בחשבון את השבירה של גל הקול כשהוא מתקדם מתווך אחד לשני. כמו במקרה הקודם צריך להתקיים משיקולי סופרפוזיציה 1 + R = T {\displaystyle 1+R=T} , אלא שבאשר להנחת רציפות ההעתק יש להתייחס להעתק בניצב לממשק (רציפות המהירות הנורמלית). כיוון שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה, המהירויות הנורמליות של הגל הפוגע והגל המוחזר הן: v I = P I ⋅ cos ⁡ θ i Z 1 , v R = P R ⋅ cos ⁡ θ i Z 1 {\displaystyle v_{I}={\frac {P_{I}\cdot \cos \theta _{i}}{Z_{1}}},v_{R}={\frac {P_{R}\cdot \cos \theta _{i}}{Z_{1}}}} , וההפרש ביניהן צריך לקיים: v I − v R = v T = P T ⋅ cos ⁡ θ t Z 2 {\displaystyle v_{I}-v_{R}=v_{T}={\frac {P_{T}\cdot \cos \theta _{t}}{Z_{2}}}} , כאשר הזווית θ t {\displaystyle \theta _{t}} מקיימת את חוק סנל: sin ⁡ ( θ t ) c 2 = sin ⁡ ( θ i ) c 1 ⟹ sin ⁡ ( θ t ) = Z 1 ρ 2 Z 2 ρ 1 sin ⁡ ( θ i ) {\displaystyle {\frac {\sin(\theta _{t})}{c_{2}}}={\frac {\sin(\theta _{i})}{c_{1}}}\implies \sin(\theta _{t})={\frac {Z_{1}\rho _{2}}{Z_{2}\rho _{1}}}\sin(\theta _{i})} . פתרון המשוואות הליניאריות מאפשר לקבל את מקדם ההחזרה: R = Z 2 c o s θ i − Z 1 c o s θ t Z 2 c o s θ i + Z 1 c o s θ t {\displaystyle R={\frac {Z_{2}cos\theta _{i}-Z_{1}cos\theta _{t}}{Z_{2}cos\theta _{i}+Z_{1}cos\theta _{t}}}} וההעברה: T = 2 Z 2 cos ⁡ θ i Z 2 cos ⁡ θ i + Z 1 cos ⁡ θ t {\displaystyle T={\frac {2Z_{2}\cos \theta _{i}}{Z_{2}\cos \theta _{i}+Z_{1}\cos \theta _{t}}}} . התהליך ההנדסי המכונה "תיאום עכבות" משמש לא רק בתכנון מערכת אקוסטיות, אלא גם בתכנון מערכות אלקטרוניות, ולמעשה בכל מקום שנדרש למקסם את העברת ההספק של גלים בין שני תווכים בעלי עכבות שונות. מן הנוסחאות המתארות את מקדמי ההעברה ניתן להראות מתמטית שבהינתן שני תווכים בעלי עכבות Z 1 {\displaystyle Z_{1}} ו- Z 2 {\displaystyle Z_{2}} , הוספת תווך ביניים בעל עכבה המהווה ממוצע הנדסי של שתי העכבות, דהיינו Z 3 = Z 1 Z 2 {\displaystyle Z_{3}={\sqrt {Z_{1}Z_{2}}}} , תמקסם את העברת האנרגיה בין תווך 1 לתווך 2. בדומה לכך, גם את מעבר האנרגיה בין תווך 1 לתווך 3 ניתן להגדיל עוד יותר, על ידי הוספת תווך ביניים ביניהם לפי הכלל של ממוצע הנדסי. מכיוון שעבור כל נקודת אי-רציפות של העכבה ניתן להגדיל את מעבר האנרגיה באמצעות הוספת תווך ביניים, עולה שמיקסום האנרגיה המועברת ייתכן רק כאשר העכבה משתנה באופן רציף, כלומר Z ( x ) {\displaystyle Z(x)} צריכה להיות פונקציה רציפה של המיקום. בדומה למקרה הבדיד, גם כאן נדרוש שהעכבה של כל מקטע אינפיניטסימלי תהיה ממוצע הנדסי של עכבות המקטעים השכנים לו, מה שמוביל למשוואה הדיפרנציאלית: Z ( x ) Z ( x − d x ) = Z ( x + d x ) Z ( x ) ⟹ Z ′ ( x ) Z = c o n s t {\displaystyle {\frac {Z(x)}{Z(x-dx)}}={\frac {Z(x+dx)}{Z(x)}}\implies {\frac {Z'(x)}{Z}}=\mathbb {const} } נסמן את הקבוע הזה בתוך − α {\displaystyle -\alpha } , ונקבל שעקומת העכבה האופטימלית לצורך תיאום עכבות בין נקודה x=0, הממוקמת בתווך בעל עכבה Z 1 {\displaystyle Z_{1}} , לבין הנקודה השנייה היא עקומה המתארת דעיכה או גידול מעריכי: Z ( x ) = Z 1 e − α x {\displaystyle Z(x)=Z_{1}e^{-\alpha x}} אחת הדוגמאות הקלאסיות לתיאום עכבות אקוסטיות הוא הגרמופון, אשר שיקולים של תיאום עכבות הובילו לבחירת צורה דמוית גוף סיבוב של פונקציית האקספוננט עבור השפופרת שלו. לקונספט של תיאום עכבות אקוסטיות יש חשיבות במגוון יישומים טכנולוגיים: לתיאום עכבות חשיבות קריטית ביישומים שונים של בידוד אקוסטי כגון "חדרים שקטים" או צמצום רעשי מנוע בכלי רכב. התאוריה מאחורי טכניקת החמקנות של ציפוי בולע קרינת מכ"ם היא האנלוג האלקטרומגנטי לתאוריה האקוסטית שמאחורי ציפוי בולע קול; השכבה החיצונית של הציפוי מתוכננת כך שתהיה בעלת עכבה אלקטרומגנטית כמעט זהה לשל האוויר. המרת האנרגיה האלקטרומגנטית לחום נגרמת מניחות של האות האלקטרומגנטי בתוך הציפוי בטווח תדרים רחב. באקוסטיקה תת-מימית יש חשיבות רבה להחזרה של גלי קול מפני הים, הנובעת מפערי העכבות הקיצוניים בין המים לאוויר. עצמות האוזן התיכונה מספקות תיאום עכבות בין עור התוף (אשר שינויי הלחץ של האוויר פועלים עליו) והאוזן הפנימית המלאה בנוזלים. עכבה חשמלית חוקי פרנל הפקטור 2 נובע מכך ששטף האנרגיה של גל קול כולל לא רק את האנרגיה הקינטית אלא גם את האנרגיה הפוטנציאלית האצורה בחומר הדחוס. האנלוגיה לעמודי אוויר בצינורות עוגב עשויה להיתפס כאילו היא סותרת את זה שהאוויר מחוץ לצינורות הוא בעל תכונות סגוליות זהות לאלו שבאוויר שבקצה הפתוח, אולם אין הדבר מהווה סתירה משום שבחישוב העכבה של האוויר מחוץ לצינור יש להתייחס לעכבה האקוסטית הכוללת ולא לעכבה האקוסטית הסגולית - כיוון שהאוויר בחוץ מתנהג כבעל שטח חתך אפקטיבי אינסופי ביחס לחתך הצינור, העכבה שלו צונחת לאפס. הדבר מזכיר את הנוסחה להתנגדות חשמלית של נגד כפונקציה של הפרמטרים המגדירים אותו: R = ρ ⋅ l S {\displaystyle R={\frac {\rho \cdot l}{S}}} .