לפלסיאן

במתמטיקה ופיזיקה, אופרטור לפלס או לפלסיאן, המסומל באמצעות Δ {\displaystyle \Delta \,} או ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} ונקרא על שם פייר-סימון לפלס, הוא אופרטור דיפרנציאלי, ובפרט אופרטור אליפטי, בעל שימושים רבים, הפועל על פונקציות סקלריות. בפיזיקה, הוא משמש למשל במודלים מתמטיים של התפשטות גלים ושל הולכת חום, וכן במשוואת הלמהולץ. הלפלסיאן הוא בעל חשיבות מרכזית באלקטרוסטטיקה ובמכניקת הזורמים, ומשמש במשוואת לפלס ומשוואת פואסון. במכניקת הקוונטים, הוא מייצג את רכיב האנרגיה הקינטית במשוואת שרדינגר. במתמטיקה, פונקציה אשר הלפלסיאן שלה מתאפס נקראת פונקציה הרמונית. הלפלסיאן הוא מרכיב ליבה בתורת הודג' ובתוצאותיה של קוהומולוגיית דה רהם. אופרטור לפלס הוא אופרטור דיפרנציאלי מסדר שני במרחב אוקלידי n-ממדי, המוגדר כדיברגנץ ( ∇ ⋅ {\displaystyle \nabla \cdot } ) של הגרדיאנט ( ∇ → f {\displaystyle {\vec {\nabla }}f} ). אם   f {\displaystyle \ f} היא פונקציה ממשית הגזירה פעמיים, אז הלפלסיאן של   f {\displaystyle \ f} מוגדר על ידי Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ → f {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot {\vec {\nabla }}f} (1) באופן שקול, הלפלסיאן של f הוא סכום כל הנגזרות החלקיות השניות הבלתי מעורבות בקואורדינטות הקרטזיות   x i {\displaystyle \ x_{i}} :   Δ f = ∑ i = 1 n ∂ 2 f ∂ x i 2 {\displaystyle \ \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}} (2) כאופרטור דיפרנציאלי מסדר שני, אופרטור לפלס ממפה פונקציות-Ck לפונקציות-   C ( k − 2 ) {\displaystyle \ C^{\left(k-2\right)}} עבור   k ≥ 2 {\displaystyle \ k\geq 2} . הביטויים לעיל מגדירים אופרטור   △ : C k ( R n ) → C k − 2 ( R n ) {\displaystyle \ \triangle :C^{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\rightarrow C^{k-2}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)} , או באופן כללי יותר אופרטור   △ : C k ( Ω ) → C k − 2 ( Ω ) {\displaystyle \ \triangle :C^{k}\left(\Omega \right)\rightarrow C^{k-2}\left(\Omega \right)} לכל קבוצה פתוחה   Ω {\displaystyle \ \Omega } . הלפלסיאן של פונקציה הוא גם העקבה של מטריצת הסיאן של הפונקציה, הגדרה נוחה לשימוש באלגברה ליניארית ובסטטיסטיקה:   Δ f = t r ( H ( f ) ) {\displaystyle \ \Delta f=\mathrm {tr} (H(f))} כדוגמה למניע ששימש להגדרת הלפלסיאן, נביא את התאוריה הפיזיקלית של פעפוע. אופרטור לפלס (במסגרת משוואת לפלס) מופיע באופן טבעי בתיאור המתמטי של שיווי משקל. בפרט, אם u היא הצפיפות במצב שיווי משקל של גודל כלשהו (כגון ריכוז כימי), אזי השטף של u דרך שפתו של התחום V הוא אפס: ∬ ∂ V ∇ u ⋅ n d S = 0 {\displaystyle \iint _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0} כאשר n הוא וקטור יחידה הניצב לשפתו של V. ממשפט הדיברגנץ נקבל: ∭ V d i v ∇ u d V = ∬ ∂ V ∇ u ⋅ n d S = 0 {\displaystyle \iiint _{V}\mathrm {div} \nabla u\,dV=\iint _{\partial V}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0} משום שמשוואה זו תקפה לגבי כל תחום חלק V, ניתן להסיק כי d i v ∇ u = ∇ ⋅ ∇ u = Δ u = 0 {\displaystyle \mathrm {div} \nabla u=\nabla \cdot \nabla u=\Delta u=0} כאן, צד שמאל של המשוואה הוא אופרטור לפלס. ערך מורחב – דל במערכות צירים שונות אופרטור לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות הוא: Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}} ובקואורדינטות קוטביות: Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}} בשלושה ממדים, בקואורדינטות קרטזיות: Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} בקואורדינטות גליליות: Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.} ובקואורדינטות כדוריות: Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.} כאשר θ   {\displaystyle \theta \ } היא הזווית הקוטבית (כלומר, הזווית מטה מציר z ו- ϕ {\displaystyle \phi } היא הזווית האזימוטית (מציר x). את הביטוי 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)} ניתן להחליף בביטוי השקול 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r f ) {\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)} . בקואורדינטות כדוריות ב- N {\displaystyle N} ממדים, עם הפרמטריזציה x = r θ ∈ R N {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}} כאשר r ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle r\in [0,+\infty )} וכן θ ∈ S N − 1 {\displaystyle \theta \in S^{N-1}} , Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f} כאשר Δ S N − 1 {\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}} הוא אופרטור לפלס-בלטרמי בכדור N − 1 {\displaystyle N-1} -ממדי, או לפלסיאן כדורי. את הביטוי ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}} ניתן להחליף בביטוי השקול 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}} . כתוצאה מכך, ניתן לחשב את הלפלסיאן הכדורי של פונקציה המוגדרת על S N − 1 ⊂ R N {\displaystyle S^{N-1}\subset {\mathbb {R} }^{N}} בתור הלפלסיאן הרגיל של הפונקציה, אשר הורחב ל- R N ∖ { 0 } {\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}\setminus \{0\}} כך שהוא קבוע לאורך הקרניים. אם f ו-g הן פונקציות, אז הלפלסיאן של מכפלתן יהיה Δ ( f g ) = ( Δ f ) g + 2 ( ( ∇ f ) ⋅ ( ∇ g ) ) + f ( Δ g ) {\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)} מקרה מיוחד הוא זה שבו f היא פונקציה רדיאלית   f ( r ) {\displaystyle \ f(r)} ו-g היא הרמוניה ספרית,   Y l m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \ Y_{lm}(\theta ,\phi )} . מקרה זה מופיע במודלים פיזיקליים רבים. הגרדיאנט של   f ( r ) {\displaystyle \ f(r)} הוא וקטור רדיאלי והגרדיאנט של פונקציה זוויתית משיק לווקטור זה, לכן 2 ( ∇ f ( r ) ) ⋅ ( ∇ Y l m ( θ , ϕ ) ) = 0 {\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0} בנוסף, ההרמוניות הספריות הן פונקציות עצמיות של החלק הזוויתי של הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות: Δ Y ℓ m ( θ , ϕ ) = − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} מכאן, Δ ( f ( r ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) ) = ( d 2 f ( r ) d r 2 + 2 r d f ( r ) d r − ℓ ( ℓ + 1 ) r 2 f ( r ) ) Y ℓ m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )} ניתן להכליל את הלפלסיאן למרחבים לא אוקלידים, בהן הוא יכול להיות אופרטור אליפטי, היפרבולי או אולטרה-היפרבולי. במרחב מינקובסקי הופך הלפלסיאן לאופרטור ד'אלמבר (הנקרא גם ד'אלמברטיאן): ◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 − ∂ 2 ∂ y 2 − ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}-{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}} הד'אלמברטיאן משמש למשל על מנת לרשום את משוואת הגלים בארבעה ממדים ואת משוואת קליין-גורדון. נציין כי הסימנים לפני הנגזרות המרחביות הם שליליים, בעוד במרחב אוקלידי הם יהיו חיוביים. המקדם המכיל את c נדרש אם המרחב והזמן נמדדים ביחידות שונות; מקדם נוסף ידרש אם, לדוגמה, כיוון x היה נמדד במטרים בעוד כיוון y היה נמדד בסנטימטרים. הפיזיקאים עובדים בדרך כלל במערכת של יחידות טבעיות כגון יחידות פלאנק, בהן c=1, על מנת לפשט את המשוואה. הכללה נוספת של הלפלסיאן היא אופרטור אליפטי הנקרא אופרטור לפלס-בלטרמי, המוגדר על יריעה רימנית. בדומה, ניתן להכליל את אופרטור ד'אלמבר לאופרטור היפרבולי על יריעה פסאודו-רימנית. את אופרטור לפלס-בלטרמי ניתן להמשיך ולהכליל לשדה טנזורי. דרך נוספת להכליל את אופרטור לפלס ליריעות פסאודו-רימניות היא באמצעות אופרטור לפלס-דה רם, אשר פועל על תבניות דיפרנציאליות. הקשר בין אופרטור זה לאופרטור לפלס-בלטרמי ניתן על ידי זהות וייצנבוק. בעוד הלפלסיאן הסקלרי שהוגדר לעיל פועל על שדה סקלרי ומחזיר סקלר, הלפלסיאן הווקטורי פועל של שדה וקטורי ומחזיר וקטור. הלפלסיאן הווקטורי של שדה וקטורי A {\displaystyle \mathbf {A} } מוגדר על ידי ∇ 2 A = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ × ( ∇ × A ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )} בקואורדינטות קרטזיות הוא יוצג כך: ∇ 2 A = ( ∇ 2 A x , ∇ 2 A y , ∇ 2 A z ) {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z})} כאשר A x {\displaystyle \,A_{x}} , A y {\displaystyle \,A_{y}} ו- A z {\displaystyle \,A_{z}} הם רכיבי הווקטור A {\displaystyle \mathbf {A} } . (לביטויים במערכות צירים אחרות ראו דל במערכות צירים שונות) הלפלסיאן של שדה טנזורי T {\displaystyle T} (כאשר סקלר ווקטור הם מקרים פרטיים של טנזור) מוגדר כדיברגנץ של הגרדיאנט של הטנזור: ∇ 2 T = ∇ ⋅ ( ∇ T ) {\displaystyle \nabla ^{2}T=\nabla \cdot (\nabla T)} במקרה המיוחד בו T {\displaystyle T} הוא סקלר (טנזור מדרגה 0), נקבל את הלפלסיאן הסקלרי הרגיל. אם T {\displaystyle T} הוא וקטור (טנזור מדרגה 1), הגרדיאנט שלו הוא נגזרת קו-וריאנטית אשר תוצאה הפעלתה הוא טנזור מדרגה 2, והדיברגנץ של תוצאה זו הוא שוב וקטור. המשוואה ללפלסיאן הווקטורי לעיל עשויה לשמש על מנת להימנע מחשבון טנזורי וניתן להראות כי הוא שקולה לדיברגנץ של הגרדיאנט של הווקטור. דוגמה לשימוש בלפלסיאן הווקטורי ניתן למצוא במשוואות נאוויה-סטוקס לנוזל ניוטוני בלתי דחיס: ρ ( ∂ v ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) v ) = ρ f − ∇ p + μ ( ∇ 2 v ) {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)} כאשר הביטוי הכולל את הלפלסיאן הווקטורי של שדה המהירות μ ( ∇ 2 v ) {\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)} מייצג את מאמץ הצמיגות בנוזל. דוגמה נוספת היא משוואת הגל לשדה החשמלי המופקת ממשוואות מקסוול בהיעדר מטענים וזרמים: ∇ 2 E − μ 0 ϵ 0 ∂ 2 E ∂ t 2 = ∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E ∂ t 2 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}\mathbf {E} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0} את משוואה זו ניתן לכתוב גם בצורה ◻ 2 E = 0 {\displaystyle \Box ^{2}\,\mathbf {E} =0} כאשר ◻ 2 = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 {\displaystyle \Box ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}} הוא הד'אלמברטיאן. לפלסיאן, באתר MathWorld (באנגלית) Evans, L (1998). "Section 2.2". Partial Differential Equations. American Mathematical Society. ISBN 978-0821807729.