מטריצות גאמה של דיראק

מטריצות גאמה של דיראק הן אוסף של 4 מטריצות   γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 {\displaystyle \ \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}} (בתוספת מטריצה חמישית המייצגת את הכיראליות) בגודל 4 על 4 המשמשות להצגת משוואת דיראק   ( i ℏ γ μ ∂ μ − m c ) ψ = 0 {\displaystyle \ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0} כאשר μ = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle \mu =0,1,2,3} ויש סכימה על אינדקסים כפולים (הסכם הסכימה של איינשטיין). בהצגה הסטנדרטית של דיראק מוגדרות המטריצות באופן הבא: γ 0 = ( I 0 0 − I ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) , γ 1 = ( 0 σ x − σ x 0 ) = ( 0 0 0 1 0 0 1 0 0 − 1 0 0 − 1 0 0 0 ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{x}\\-\sigma ^{x}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}}} γ 2 = ( 0 σ y − σ y 0 ) = ( 0 0 0 − i 0 0 i 0 0 i 0 0 − i 0 0 0 ) , γ 3 = ( 0 σ z − σ z 0 ) = ( 0 0 1 0 0 0 0 − 1 − 1 0 0 0 0 1 0 0 ) {\displaystyle \gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{y}\\-\sigma ^{y}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&\sigma ^{z}\\-\sigma ^{z}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}} כאשר σ k {\displaystyle \sigma ^{k}} הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2. בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות   γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − i 4 ! ϵ μ ν ρ σ γ μ γ ν γ ρ γ σ = ( 0 I I 0 ) {\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}} בהצגה הכיראלית של וייל מוגדרות המטריצות באופן הבא: כאשר σ k {\displaystyle \sigma ^{k}} הן מטריצות פאולי (2 על 2) ו-I היא מטריצת היחידה 2 על 2. בדרך כלל מגדירים גם את מטריצת גאמה של הכיראליות   γ 5 = i γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − i 4 ! ϵ μ ν ρ σ γ μ γ ν γ ρ γ σ = ( − I 0 0 I ) {\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {-i}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }={\begin{pmatrix}-I&0\\0&I\end{pmatrix}}} בהצגה זו קל לבטא את ההטלה הכיראלית של ספינורי וייל השמאלי והימני: : ψ L = ( I 0 0 0 ) ψ = I − γ 5 2 ψ , ψ R = ( 0 0 0 I ) ψ = I + γ 5 2 ψ {\displaystyle \psi _{L}={\begin{pmatrix}I&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\quad \psi _{R}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I\end{pmatrix}}\psi ={\frac {I+\gamma ^{5}}{2}}\psi } פחות נפוצה היא ההצגה של מיורנה בה המטריצות הן דמיוניות. הצגה זו נתונה על ידי γ 0 = ( 0 σ 2 σ 2 0 ) , γ 1 = ( i σ 3 0 0 i σ 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{1}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}} γ 2 = ( 0 − σ 2 σ 2 0 ) , γ 3 = ( − i σ 1 0 0 − i σ 1 ) , γ 5 = ( σ 2 0 0 − σ 2 ) {\displaystyle \gamma ^{2}={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{3}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}} מטריצות גאמה מקיימות את אלגברת קליפורד:   { γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 η μ ν I 4 × 4 {\displaystyle \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4\times 4}} כאשר סוגריים מסולסלים מסמנים אנטי-קומוטטור ו- η {\displaystyle \eta } היא מטריקת מינקובסקי   η μ ν = d i a g ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) {\displaystyle \ \eta ^{\mu \nu }=diag(1,-1,-1,-1)} . בפרט, מטריצות שונות הן אנטי-מתחלפות, כלומר: לכל μ ≠ ν {\displaystyle \mu \neq \nu } מתקיים   γ μ γ ν = − γ ν γ μ {\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }=-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }} מכאן נובע ש:   ( γ 0 ) 2 = I 4 × 4 {\displaystyle \ (\gamma ^{0})^{2}=I_{4\times 4}}   ( γ k ) 2 = − I 4 × 4 {\displaystyle \ (\gamma ^{k})^{2}=-I_{4\times 4}} כאשר k=1,2,3. ביחס ללקיחת צמוד הרמיטי: ( γ 0 ) † = γ 0 {\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}} ( γ k ) † = − γ k {\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}} כאשר k=1,2,3. מטריצת הכיראליות γ 5 {\displaystyle \gamma ^{5}} מקיימת:   ( γ 5 ) † = γ 5 {\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}}   ( γ 5 ) 2 = I 4 × 4 {\displaystyle \ (\gamma ^{5})^{2}=I_{4\times 4}}   { γ μ , γ 5 } = 0 {\displaystyle \ \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{5}\}=0} , כלומר:   γ μ γ 5 = − γ 5 γ μ {\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }} מטריצת הכיראליות הזו היא פסאודו-סקלר. כאשר יש להיעזר בתכונות העקבה: ליניאריות:   tr ⁡ ( α A + β B ) = α tr ⁡ ( A ) + β tr ⁡ ( B ) {\displaystyle \ \operatorname {tr} (\alpha A+\beta B)=\alpha \operatorname {tr} (A)+\beta \operatorname {tr} (B)} ציקליות:   tr ⁡ ( A B C ) = tr ⁡ ( C A B ) = tr ⁡ ( B C A ) {\displaystyle \ \operatorname {tr} (ABC)=\operatorname {tr} (CAB)=\operatorname {tr} (BCA)} אפשר לבטא את היוצרים של חבורת לורנץ (חבורת טרנספורמציות לורנץ) בהצגה הכיראלית על ידי   S μ ν = i 4 [ γ μ , γ ν ] {\displaystyle \ S^{\mu \nu }={\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]} ואז ההאצות (boost) נתונות על ידי   S i j = i 4 [ γ 0 , γ k ] = − i 2 ( σ k 0 0 − σ k )   {\displaystyle \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{0},\gamma ^{k}]=-{\frac {i}{2}}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&-\sigma ^{k}\end{pmatrix}}\ } והסיבובים נתונים על ידי   S i j = i 4 [ γ i , γ j ] = 1 2 ϵ i j k ( σ k 0 0 σ k ) = 1 2 ϵ i j k Σ k   {\displaystyle \ S^{ij}={\frac {i}{4}}[\gamma ^{i},\gamma ^{j}]={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}{\begin{pmatrix}\sigma ^{k}&0\\0&\sigma ^{k}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\epsilon ^{ijk}\Sigma ^{k}\ } Peskin & Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory, עמודים 40-41 ועמוד 50 מטריצות גאמה של דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)