נוסחת נסיגה

במתמטיקה, נוסחת נסיגה היא נוסחה שמגדירה סדרת איברים באופן רקורסיבי. כל איבר מוגדר באמצעות האיברים הקודמים בסדרה. למשל, סדרת פיבונאצ'י מוגדרת על ידי נוסחת הנסיגה   F n + 1 = F n + F n − 1 {\displaystyle \ F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}} , יחד עם תנאי ההתחלה   F 0 = F 1 = 1 {\displaystyle \ F_{0}=F_{1}=1} . בהגדרה רקורסיבית יש שני חלקים: תנאי התחלה הקובעים את האיברים הראשונים בסדרה, נוסחת הנסיגה, המגדירה כל איבר בסדרה באופן רקורסיבי לפי האיברים הקודמים לו. נוסחת נסיגה מתארת את הקשר בין האיברים בסדרה, אבל אינה נותנת תיאור ישיר שלהם. כדי לחשב את האיבר ה-n בסדרה (ואפילו כדי להעריך את סדר הגודל שלו), יש לחשב את כל האיברים הקודמים. פתרון של נוסחת הנסיגה הוא מעבר מנוסחה כזו לנוסחה מפורשת ("נוסחה ישירה" או "נוסחה סגורה"). ישנן מספר שיטות לעשות כן: במקרים של נוסחת נסיגה פשוטה, ניתן להציב שוב ושוב את הנוסחה בעצמה עד אשר מגיעים אל תנאי ההתחלה, ובכך להגיע לנוסחה סגורה. דוגמה: נביט בסדרה x 0 = a , x n = q ⋅ x n − 1 {\displaystyle x_{0}=a,x_{n}=q\cdot x_{n-1}} . זוהי נוסחה של סדרה הנדסית, שבה המנה של כל שני איברים עוקבים היא q {\displaystyle \!\,q} . כעת ניקח את הנוסחה של x n {\displaystyle \!\,x_{n}} ונציב בה את עצמה שוב ושוב עד אשר נגיע לאיבר x 0 {\displaystyle \!\,x_{0}} : x n = q ⋅ x n − 1 = q ⋅ q ⋅ x n − 2 = ⋯ = q n ⋅ x 0 = q n ⋅ a {\displaystyle x_{n}=q\cdot x_{n-1}=q\cdot q\cdot x_{n-2}=\dots =q^{n}\cdot x_{0}=q^{n}\cdot a} . לעיתים, ובמיוחד במקרים בהם לא ניתנים תנאי התחלה, אין דרך שיטתית לפתור נוסחת נסיגה, אולם ניתן להעריך את צורתו של הפתרון שיתקבל - למשל, האם יהיה מהצורה x n = A + B n + C n {\displaystyle \!\,x_{n}=A+Bn+C^{n}} . כשפותרים בדרך זו, יש להשתמש בתנאי ההתחלה הידועים של נוסחת הנסיגה כדי לחשב את המקדמים של הנוסחה המפורשת, ואז להוכיח (למשל באמצעות אינדוקציה מתמטית) את נכונות הנוסחה המנוחשת. זוהי דרך שיטתית לפתור נוסחאות מהצורה x n = A x n − 1 + B x n − 2 {\displaystyle \!\,x_{n}=Ax_{n-1}+Bx_{n-2}} (סדרת לוקאס) (הערה: נוסחת נסיגה זו, בה יש התייחסות לשני איברים קודמים בסדרה, נקראת "נוסחת נסיגה כפולה"). עבור נוסחה שכזו, יש לפתור את המשוואה הריבועית r 2 − A r − B = 0 {\displaystyle \!\,r^{2}-Ar-B=0} ולקבל את השורשים λ 1 , λ 2 {\displaystyle \!\,\lambda _{1},\lambda _{2}} . אם השורשים שונים, האיבר הכללי של נוסחת הנסיגה הוא מהצורה x n = C λ 1 n + D λ 2 n {\displaystyle \!\,x_{n}=C\lambda _{1}^{n}+D\lambda _{2}^{n}} . אם הם זהים, האיבר הכללי הוא x n = C λ n + n D λ n {\displaystyle \!\,x_{n}=C\lambda ^{n}+nD\lambda ^{n}} . את המקדמים C , D {\displaystyle \!\,C,D} יש למצוא באמצעות תנאי ההתחלה. בתור דוגמה נפתור את סדרת פיבונאצ'י, שהיא כזכור מהצורה x n = x n − 1 + x n − 2 {\displaystyle \!\,x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}} , כלומר אנו מחפשים את שורשי המשוואה r 2 − r − 1 = 0 {\displaystyle \!\,r^{2}-r-1=0} . הפתרונות למשוואה זו הם λ 1 , 2 = 1 ± 5 2 {\displaystyle \!\,\lambda _{1,2}={\frac {1\pm {\sqrt {5}}}{2}}} . לכן האיבר הכללי הוא מהצורה x n = C ( 1 + 5 2 ) n + D ( 1 − 5 2 ) n {\displaystyle \!\,x_{n}=C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}+D\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}} . כעת נמצא את המקדמים. ראשית נציב n = 0 {\displaystyle \!\,n=0} ונקבל x 0 = C + D {\displaystyle \!\,x_{0}=C+D} . כעת נציב n = 1 {\displaystyle \!\,n=1} ונקבל x 1 = C ( 1 + 5 2 ) + D ( 1 − 5 2 ) {\displaystyle \!\,x_{1}=C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)+D\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)} . מהמשוואה הראשונה נקבל: C + D = 0 {\displaystyle \!\,C+D=0} (כי האיבר הראשון הוא 0) ולכן C = − D {\displaystyle \!\,C=-D} . האיבר השני הוא 1, ולכן לאחר שנציב את הנתונים במשוואה השנייה נקבל: C ( 1 + 5 2 ) − C ( 1 − 5 2 ) = 1 {\displaystyle \!\,C\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-C\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)=1} . ממשוואה זו נקבל C = 1 5 {\displaystyle \!\,C={\frac {1}{\sqrt {5}}}} . על כן, הנוסחה הכללית של פיבונאצ'י היא: 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n − ( 1 − 5 2 ) n ] {\displaystyle \!\,{\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right]} . דרך נוספת לפתרון נוסחאות נסיגה היא באמצעות פונקציות יוצרות שמקדמיהן הם איברי הנוסחה. אם נתון יחס הנסיגה y n = a 1 y n − 1 + a 2 y n − 2 + . . . + a k y n − k + b {\displaystyle y_{n}=a_{1}y_{n-1}+a_{2}y_{n-2}+...+a_{k}y_{n-k}+b} עם תנאי התחלה ( y 1 , . . . , y k ) ∈ R k {\displaystyle (y_{1},...,y_{k})\in \mathbb {R} ^{k}} כאשר b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} אומרים שזו סדרת נסיגה ליניארית לא-הומוגנית. לפני שניגשים לפתור אותה בשיטות שתוארו קודם יש לבצע לה הומוגניזציה. אם לסדרה יש מצב יציב או גבול של סדרה אז הדבר אפשרי. נסמן y ∞ = lim n → ∞ y n = b 1 − a 1 − . . . − a k {\displaystyle y_{\infty }=\lim _{n\to \infty }y_{n}={\frac {b}{1-a_{1}-...-a_{k}}}} זהו הגבול של הסדרה וקיים רק אם a 1 + . . . + a k ≠ 1 {\displaystyle a_{1}+...+a_{k}\neq 1} (נוסחה זו מתקבלת על ידי החלפת כל ה-y-ים בגבול y ∞ {\displaystyle y_{\infty }} ). כעת נגדיר סדרה חדשה: z n = y n − y ∞ {\displaystyle z_{n}=y_{n}-y_{\infty }} . סדרה זו מקיימת את היחס הבא: z n = a 1 z n − 1 + a 2 z n − 2 + . . . + a k z n − k {\displaystyle z_{n}=a_{1}z_{n-1}+a_{2}z_{n-2}+...+a_{k}z_{n-k}} ומכאן אפשר להמשיך כמו מקודם. מוצאים את k השורשים של הפולינום האופייני λ k − a 1 λ n − 1 − . . . − a k − 1 λ 1 − a k = 0 {\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{n-1}-...-a_{k-1}\lambda ^{1}-a_{k}=0} . אם יש k שורשים שונים, הפתרון הכללי יהיה z n = c 1 λ 1 n + . . . + c k λ k n {\displaystyle z_{n}=c_{1}\lambda _{1}^{n}+...+c_{k}\lambda _{k}^{n}} כאשר את המקדמים c 1 , . . . , c k {\displaystyle c_{1},...,c_{k}} מוצאים באמצעות תנאי ההתחלה. אם יש שורש מריבוי m אז במקום m מופעים שלו רושמים את הביטוי c ~ 1 λ m n + c ~ 2 n λ m n + . . . + c ~ m n m − 1 λ m n {\displaystyle {\tilde {c}}_{1}\lambda _{m}^{n}+{\tilde {c}}_{2}n\lambda _{m}^{n}+...+{\tilde {c}}_{m}n^{m-1}\lambda _{m}^{n}} . אם יש שורש מרוכב, אז הוא בא עם שורש צמוד. נרשום את שני השורשים כך λ ± = α ± i β = r ⋅ e i θ = r ⋅ ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) {\displaystyle \lambda _{\pm }=\alpha \pm i\beta =r\cdot e^{i\theta }=r\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )} ואז נשתמש בנוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת) ונוסחת דה-מואבר כדי לרשום אותם בצורה c + λ + n + c − λ − n = k 1 r n cos ⁡ ( n θ ) + k 2 r n sin ⁡ ( n θ ) {\displaystyle c_{+}\lambda _{+}^{n}+c_{-}\lambda _{-}^{n}=k_{1}r^{n}\cos(n\theta )+k_{2}r^{n}\sin(n\theta )} כאשר k 1 , k 2 {\displaystyle k_{1},k_{2}} הם קבועים ממשיים אותם מוצאים מתנאי ההתחלה (ביחד עם שאר מקדמי הצירוף הליניארי). נוסחת נסיגה, באתר MathWorld (באנגלית) משוואות פרש, דף שער בספרייה הלאומית