השתנות חסומה

השתנות חסומה היא תכונה של פונקציות ממשיות. עבור פונקציות במשתנה אחד, פונקציה בעלת השתנות חסומה בקטע   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} היא כזו שהשינוי הכולל שלה על ציר ה-y הוא סופי, ולכן היא גם חסומה בקטע. עבור פונקציה   f : [ a , b ] → R {\displaystyle \ f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } תהי T {\displaystyle T} חלוקה של הקטע בצורה הבאה:   T : a = x 0 < x 1 < . . . < x n = b {\displaystyle \ T:a=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=b} נגדיר את ההשתנות של f {\displaystyle f} לפי T {\displaystyle T} להיות:   v ( f , T ) = ∑ i = 1 n | f ( x i ) − f ( x i − 1 ) | {\displaystyle \ v(f,T)=\sum _{i=1}^{n}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|} כעת נגדיר את ההשתנות הכללית של הפונקציה בקטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} להיות: V a b ( f ) = sup T { v ( f , T ) } {\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\sup _{T}\{v(f,T)\}} כאשר ההשתנות הכללית של f {\displaystyle f} בקטע היא ערך ממשי סופי, f {\displaystyle f} תיקרא "בעלת השתנות חסומה בקטע". הפונקציה cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} היא בעלת השתנות חסומה בקטע [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} ומתקיים שם   V a b ( cos ⁡ x ) = 2 {\displaystyle \ V_{a}^{b}(\cos x)=2} . כל פונקציה מונוטונית היא בעלת השתנות חסומה ומתקיים   V a b ( f ) = | f ( b ) − f ( a ) | {\displaystyle \ V_{a}^{b}(f)=|f(b)-f(a)|} . כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא בעלת השתנות חסומה שכן במקרה כזה קיים קבוע K {\displaystyle K} כך ש- V a b ( f ) ≤ K ( b − a ) {\displaystyle V_{a}^{b}(f)\leq K(b-a)} . פונקציית דיריכלה היא פונקציה חסומה שאינה בעלת השתנות חסומה. לכל n טבעי אפשר לבחור חלוקה T שבה יש n+1 נקודות רציונליות ואי-רציונליות לסירוגין ולקבל v ( T ) = n {\displaystyle v(T)=n} . הפונקציה x sin ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle x\sin(1/x)} המוגדרת כאפס באפס היא פונקציה רציפה וחסומה בקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} שאינה בעלת השתנות חסומה. אפשר לבנות סדרת חלוקות ( T n ) {\displaystyle (T_{n})} עם נקודות קרובות מספיק לאפס כך שהסדרה v ( T n ) {\displaystyle v(T_{n})} היא סדרת הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני המתבדר. צירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה הוא פונקציה בעלת השתנות חסומה. פונקציה בעלת השתנות חסומה היא פונקציה חסומה: בהינתן נקודה x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} , ניווכח כי בחלוקה של הקטע בנקודה אחת T = { a = x 0 < x 1 = x < x 2 = b } {\displaystyle T=\{a=x_{0}<x_{1}=x<x_{2}=b\}} , מתקבל כי   | f ( x ) | − | f ( a ) | ≤ | f ( x ) − f ( a ) | ≤ | f ( x ) − f ( a ) | + | f ( b ) − f ( x ) | = ∑ i = 1 2 | f ( x i ) − f ( x i − 1 ) | ≤ V a b ( f ) {\displaystyle \ |f(x)|-|f(a)|\leq |f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(b)-f(x)|=\sum _{i=1}^{2}|f(x_{i})-f(x_{i-1})|\leq V_{a}^{b}(f)} ולכן   | f ( x ) | ≤ V a b ( f ) + | f ( a ) | {\displaystyle \ |f(x)|\leq V_{a}^{b}(f)+|f(a)|} לכל   x {\displaystyle \ x} ב- [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . הכיוון ההפוך שגוי, כפי שמודגם בדוגמאות. פונקציה היא בעלת השתנות חסומה אם ורק אם היא הפרש של שתי פונקציות מונוטוניות לא יורדות: אם   f {\displaystyle \ f} פונקציה בעלת השתנות חסומה, הפונקציות   f 1 ( x ) = V a x f {\displaystyle \ f_{1}(x)=V_{a}^{x}f}   f 2 ( x ) = V a x f − f ( x ) {\displaystyle \ f_{2}(x)=V_{a}^{x}f-f(x)} שתיהן פונקציות מונוטוניות לא יורדות, ומתקיים:   f ( x ) = f 1 ( x ) − f 2 ( x ) {\displaystyle \ f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)} כל הפרש בין פונקציות לא יורדות הוא בעלת השתנות חסומה כצירוף ליניארי של פונקציות בעלות השתנות חסומה. לפונקציה בעלת השתנות חסומה קבוצה בת מנייה של נקודות אי-רציפות וכולן מהסוג הראשון. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות. פונקציה בעלת השתנות חסומה גזירה כמעט בכל מקום והנגזרת שלה אינטגרבילית לבג. נובע מההצגה כהפרש פונקציות מונוטוניות. אם f {\displaystyle f} רציפה בהחלט מתקיים: V a b ( f ) = ∫ a b | f ′ | d λ {\displaystyle V_{a}^{b}(f)=\int _{a}^{b}|f'|d\lambda } (אינטגרל לבג לפי מידת לבג). השתנות חסומה, באתר MathWorld (באנגלית)