נוסחת ד'אלמבר

בתורת הגלים, נוסחת ד'אלמבר היא הפתרון הכללי למשוואת הגלים החד-ממדית, ψ t t ( x , t ) = c 2 ψ x x ( x , t ) {\displaystyle \psi _{tt}(x,t)=c^{2}\psi _{xx}(x,t)} , כאשר פונקציית הגל ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} היא פונקציה של המקום והזמן. הפתרון תלוי ונקבע באופן יחידי בהינתן תנאי ההתחלה של המערכת ברגע t = 0 {\displaystyle t=0} : פונקציית הגל ψ ( x , 0 ) {\displaystyle \psi (x,0)} ברגע זה ונגזרתה לפי הזמן ברגע זה, ψ t ( x , 0 ) {\displaystyle \psi _{t}(x,0)} . העובדה שעבור מרבית הגלים המכניים תנאי ההתחלה האלה מספיקים כדי לקבוע את צורת הגל בכל רגע תואמת את התפיסה הדטרמיניסטית של המכניקה הקלאסית, לפיה בהינתן מהירותו ומיקומו של כל חלקיק ברגע מסוים ניתן לחשב את מיקומו של כל חלקיק בעתיד. למשל, עבור גלים במיתר, בהינתן מיקומו ומהירותו הרוחבית של כל מקטע במיתר, ניתן יהיה לחזות את צורתו בכל רגע בעתיד. פתרון ד'אלמבר מנוסח בצורה הבאה: ψ ( x , t ) = 1 2 [ ψ ( x − c t , 0 ) + ψ ( x + c t , 0 ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t ψ t ( ξ , 0 ) d ξ . {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{2}}\left[\psi (x-ct,0)+\psi (x+ct,0)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}\psi _{t}(\xi ,0)\,d\xi .} הוא נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר, אשר גזר אותו ב-1747 כפתרון כללי לבעיית המיתר התונד. הקרקטריסטיקות של משוואת הגלים הם x ± c t = c o n s t {\displaystyle x\pm ct=\mathrm {const} } , כך שניתן לבצע החלפת משתנים μ = x + c t {\displaystyle \mu =x+ct} (בעבור הפתרון החיובי) ו- η = x − c t {\displaystyle \eta =x-ct} (בעבור הפתרון השלילי) כדי להמיר את משוואת הגלים במשוואה ψ μ η = 0 {\displaystyle \psi _{\mu \eta }=0} . הפתרון הכללי למשוואת הגלים יהיה לפיכך מהצורה ψ ( μ , η ) = F ( μ ) + G ( η ) {\displaystyle \psi (\mu ,\eta )=F(\mu )+G(\eta )} כאשר F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} הן פונקציות רציפות וגזירות ברציפות. מבחינה פיזיקלית, שתי הפונקציות הללו מתארות גלים נוסעים המתקדמים במהירות c {\displaystyle c} , כאשר F {\displaystyle F} היא פונקציית הגל הנוסע שמאלה ו- G {\displaystyle G} פונקציית הגל הנוסע ימינה (הכיוון החיובי של ציר x מוגדר להיות ימינה). מכיוון שמשוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית, הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה (צירוף ליניארי) של שתיהן. כעת נתייחס לתנאי ההתחלה, שהוא כל מה שידוע למעשה על פונקציית הגל בזמן t = 0 {\displaystyle t=0} . נניח ש-: ψ ( x , 0 ) = g ( x ) , ψ t ( x , 0 ) = h ( x ) {\displaystyle \psi (x,0)=g(x),\psi _{t}(x,0)=h(x)} . אז מכך ש- ψ ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle \psi (x,0)=g(x)} נקבל F ( x ) + G ( x ) = g ( x ) {\displaystyle F(x)+G(x)=g(x)} . ומכך ש- ψ t ( x , 0 ) = h ( x ) {\displaystyle \psi _{t}(x,0)=h(x)} נקבל c F ′ ( x ) − c G ′ ( x ) = h ( x ) {\displaystyle cF'(x)-cG'(x)=h(x)} . כעת ניתן לבצע אינטגרציה על המשוואה האחרונה ולקבל c F ( x ) − c G ( x ) = ∫ − ∞ x h ( ξ ) d ξ + c 1 . {\displaystyle cF(x)-cG(x)=\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}.} קיבלנו איפה שתי משוואות ליניאריות ב- F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} , אותן ניתן לפתור ולקבל: F ( x ) = − 1 2 c ( − c g ( x ) − ( ∫ − ∞ x h ( ξ ) d ξ + c 1 ) ) {\displaystyle F(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)-\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )\,d\xi +c_{1}\right)\right)} G ( x ) = − 1 2 c ( − c g ( x ) + ( ∫ − ∞ x h ( ξ ) d ξ + c 1 ) ) . {\displaystyle G(x)={\frac {-1}{2c}}\left(-cg(x)+\left(\int _{-\infty }^{x}h(\xi )d\xi +c_{1}\right)\right).} כעת, אם נעשה שימוש בעובדה ש- ψ ( x , t ) = F ( x + c t ) + G ( x − c t ) {\displaystyle \psi (x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)} אז נוסחת ד'לאמבר תקבל את הצורה: ψ ( x , t ) = 1 2 [ g ( x − c t ) + g ( x + c t ) ] + 1 2 c ∫ x − c t x + c t h ( ξ ) d ξ . {\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{2}}\left[g(x-ct)+g(x+ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}h(\xi )\,d\xi .} לנוסחת ד'אלמבר ניתן לפתח המשגה פיזיקלית, המבוססת על תמונת האינטראקציה בין אלמנטים אינפיניטסימליים של התווך הנושא את הגל. נתייחס לדוגמת המיתר התונד, ולהתנהגות של מקטע שרירותי עליו. את הביטוי שבסוגריים ניתן לפרש כממוצע החשבוני של מעתקי מקטעי המיתר המרוחקים ממנו מרחק c t {\displaystyle ct} , מימינו ומשמאלו. את האינטגרל שבנוסחה ניתן לפרש, אף על פי שהוא נסכם במשתנה המקום x, כמעין אינטגרל לפי הזמן על מהירות רוחבית השווה לממוצע החשבוני של מהירויות מקטעי המיתר המרוחקים ממנו מרחק c t {\displaystyle ct} , מימינו ומשמאלו, כאשר דיפרנציאל הזמן הוא δ t = δ x c {\displaystyle \delta t={\frac {\delta x}{c}}} . לאור זאת, ניתן להבין את נוסחת ד'אלמבר מתוך התבוננות בשני מקרים פרטיים: כאשר פונקציית הגל מתאפסת זהותית (כלומר כאשר המיתר אופקי לגמרי ברגע ההתחלתי), וכאשר הנגזרת לפי הזמן שלה מתאפסת זהותית (כלומר כאשר נתונה הפרעה התחלתית בצורת המיתר, אך כל המהירויות הרוחביות מתאפסות). נתייחס תחילה למקרה השני, ונניח הפרעה מלבנית התחלתית בצורת המיתר, שגובהה A {\displaystyle A} . במקרה זה, טיעון המבוסס על פעולת היפוך זמן מראה שכעבור זמן מספיק, ההפרעה תתפצל לשתי הפרעות מלבניות הנעות בכיוונים מנוגדים, עם משרעת השווה למחצית המשרעת המקורית ורוחב השווה לרוחב המלבן המקורי. עבור צורת גל כללית, ניתן לדמיין כל מקטע של המיתר כהפרעה מלבנית אינפיניטסימלית, כך שמקטע זה מהווה מעין "מקור גלים" השולח גלים נוסעים לכיוונים מנוגדים, בהתאם לדפוס שתואר מקודם (עם משרעת A / 2 {\displaystyle A/2} ). כתוצאה מכך, המיקום של מקטע כלשהו על המיתר מושפע בדיוק מאותן הפרעות ש"הגיעו אליו" באותו רגע, כלומר אלו שנוצרו על ידי שני המקטעים המרוחקים ממנו מרחק c t {\displaystyle ct} . מעקרון הסופרפוזיציה של גלים עולה שתרומת הפרעות אלו למעתק של המקטע הוא סכומן, כך שדימוי פיזיקלי זה מסביר את שני האיברים הראשונים בנוסחת ד'אלמבר. כעת נתייחס למקרה הראשון - כאן מקטעי המיתר נעים במהירות רוחבית (כלומר בניצב לו) אך מעתקם הרגעי הוא אפס. גם כאן, ניתן לדמות כל מקטע של המיתר כ"מקור גלים" המשלח הפרעות במהירות הרוחבית ובכיוונים מנוגדים. מטעמי סימטריה ושימור התנע והאנרגיה, כל הפרעה מלבנית אינפיניטסימלית במהירות הרוחבית שגובהה v 0 {\displaystyle v_{0}} (כלומר כשגרף המהירות הרוחבית לפי המקום הוא פונקציית מלבן שגובהו v 0 {\displaystyle v_{0}} ) תתפצל לשתי הפרעות מנוגדות בשיעור v 0 {\displaystyle v_{0}} כל אחת, אך עם מחצית רוחב המלבן המקורי. בהינתן שני קצוות של קטע מיתר קטן מספיק, מהירות אמצע הקטע תהיה שווה לממוצע החשבוני של מהירויות שני הקצוות. כפועל יוצא מכך, המהירות הרוחבית של מקטע מיתר שרירותי ברגע מסוים תהיה שווה לממוצע החשבוני של המהירויות הרוחביות של המקטעים המרוחקים ממנו מרחק c t {\displaystyle ct} . כתוצאה, המעתק של מקטע שרירותי, המתקבל מאינטגרציה לפי הזמן של המהירות הרוחבית שלו, שווה לאיבר השלישי בנוסחת ד'אלמבר (האינטגרל). אף על פי שנוסחת ד'אלמבר נועדה במקור לתאר גלים במערכות ללא נפיצה, רעיונות הלקוחים מתוך הבנייה של פתרון ד'אלמבר מאפשרים, בשילוב עם הכלי המתמטי של התמרת פורייה, לספק תיאור מלא של התפתחות הפרעה גלית לפי הזמן בהינתן תנאי ההתחלה (פונקציית הגל ונגזרתה לפי הזמן ברגע t=0) ויחס הנפיצה ω ( k ) {\displaystyle \omega (k)} של המערכת. מכיוון שנוסחת ד'אלמבר תקפה רק לגלים המתקדמים במהירות קבועה c ללא שינוי צורתם, כדי ליישם אותה לתיאור מערכות דיספרסיביות יש לפרק את ההפרעה הגלית ההתחלתית למרכיביה המונוכרומטיים, לכתוב את נוסחת ד'אלמבר עבור כל מרכיב כזה, ולבסוף לסכום את כולם באמצעות אינטגרל על כל מספרי הגל. לשם כך, נציג בקצרה את הכלי המתמטי של "התמרת פורייה". התמרת פורייה היא כלי מתמטי המאפשר להעביר פונקציות לא מחזוריות ממרחב המקום למרחב מספרי הגל; בעוד שטורי פורייה מאפשרים לייצג פונקציות מחזוריות כסכום בדיד של הרמוניות טריגונומטריות יסודיות, התמרת פורייה עוסקת במקרה שבו המחזור X {\displaystyle X} של הפונקציה המתוארת שואף לאינסוף. במקרה כזה, אין משמעות לטור פורייה בדיד היות שמספרי הגל המתאימים הולכים ומצטופפים ככל שאורך המחזור הולך וגדל, והופכים לרצף כאשר X {\displaystyle X} שואף לאינסוף. התמרת פורייה של פונקציה f ( x ) {\displaystyle f(x)} , המסומנת f ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {f(k)}}} , מתארת את המשקל של כל מספר גל k {\displaystyle k} , ומכילה למעשה את כל המידע על הפונקציה המקורית. באופן כללי, f ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {f(k)}}} היא פונקציה מרוכבת, שכן לכל מרכיב מונוכרומטי של הפונקציה המקורית (כלומר מספר גל יחיד) יש גם פאזה יחסית (הוא עשוי למשל להיות סינוס וגם להיות קוסינוס); לפיכך, ניתן לומר שמשרעת המרכיב המונוכרומטי יחסית ל- | f ( k ) ^ | {\displaystyle |{\hat {f(k)}}|} והפאזה שלו נקבעת על ידי הארגומנט של f ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {f(k)}}} . הנוסחה להתמרת פורייה של פונקציה f ( x ) {\displaystyle f(x)} היא: f ( k ) ^ = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x {\displaystyle {\hat {f(k)}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ikx}dx} והנוסחה המשחזרת את הפונקציה המקורית מתוך התמרת פורייה שלה (התמרת פורייה הפוכה) היא: f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ( k ) ^ e i k x d k {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f(k)}}e^{ikx}dk} מן העובדה שהפאזה של כל מרכיב מונוכרומטי נקבעת על ידי הארגומנט של f ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {f(k)}}} נובעת תכונה נוספת של התמרת פורייה: מכיוון שפונקציית הסינוס נבדלת מפונקציית הקוסינוס בפאזה יחסית של π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} , וטור פורייה של פונקציה זוגית מורכב מקוסינוסים בלבד בעוד שעבור פונקציות אי זוגיות הוא מורכב מסינוסים בלבד, אז התמרת פורייה של פונקציה זוגית היא פונקציה ממשית, בעוד שעבור פונקציה אי זוגית היא מכפלה של פונקציה ממשית ב- e i π 2 = i {\displaystyle e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i} - כלומר היא פונקציה מדומה טהורה. בהינתן תנאי ההתחלה של הפרעה גלית f ( x ) = ψ ( x , 0 ) {\displaystyle f(x)=\psi (x,0)} ו- g ( x ) = ψ t ( x , 0 ) {\displaystyle g(x)=\psi _{t}(x,0)} , נסמן ב- f ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {f(k)}}} ו- g ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {g(k)}}} את התמרות פורייה המתאימות. נראה כעת כיצד לבנות מנוסחת ד'אלמבר את הפתרון הכללי עבור מערכת דיספרסיבית. ניתן לייחס לכל מרכיב מונוכרומטי של f משרעת | f ( k ) ^ | d k 2 π {\displaystyle {\frac {|{\hat {f(k)}}|dk}{2\pi }}} , וכמו כן כתוצאה מהזזה של פונקציית הגל בשיעור Δ x {\displaystyle \Delta x} רכיב ה-k בהתמרת פורייה שלה רוכש פאזה e i k Δ x {\displaystyle e^{ik\Delta x}} . לפיכך, הביטוי המרחבי בנוסחת ד'אלמבר עבור מרכיב זה מקבל את הצורה: 1 2 [ ψ ( x − c t , 0 ) + ψ ( x + c t , 0 ) ] = 1 4 π f ( k ) ^ [ e i k ( x − c t ) + e i k ( x + c t ) ] d k = 1 4 π [ f ( k ) ^ e i ( k x − ω ( k ) t ) + f ( k ) ^ ¯ e − i ( k x − ω ( k ) t ) ] d k {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[\psi (x-ct,0)+\psi (x+ct,0)\right]={\frac {1}{4\pi }}{\hat {f(k)}}[e^{ik(x-ct)}+e^{ik(x+ct)}]dk={\frac {1}{4\pi }}[{\hat {f(k)}}e^{i(kx-\omega (k)t)}+{\bar {\hat {f(k)}}}e^{-i(kx-\omega (k)t)}]dk} כאשר f ( k ) ^ ¯ {\displaystyle {\bar {\hat {f(k)}}}} הוא הצמוד המרוכב של f ( k ) ^ {\displaystyle {\hat {f(k)}}} . הנימוק לביטוי הזה הוא שהביטוי לגל המתקדם שמאלה הוא הצמוד המרוכב של הגל המתקדם ימינה. בדומה לכך, הביטוי הזמני בנוסחת ד'אלמבר עבור מרכיב זה יקבל את הצורה: 1 2 c ∫ x − c t x + c t ψ t ( ξ , 0 ) d ξ = k 2 ω ( k ) ∫ x − c t x + c t ( g ( k ) ^ d k 2 π ) e i k ξ d ξ = 1 4 π ∫ x − c t x + c t g ( k ) ^ d k ω ( k ) ( k e i k ξ ) d ξ {\displaystyle {\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}\psi _{t}(\xi ,0)\,d\xi ={\frac {k}{2\omega (k)}}\int _{x-ct}^{x+ct}({\frac {{\hat {g(k)}}dk}{2\pi }})e^{ik\xi }d\xi ={\frac {1}{4\pi }}\int _{x-ct}^{x+ct}{\frac {{\hat {g(k)}}dk}{\omega (k)}}(ke^{ik\xi })d\xi } מכיוון שהאינטגרל מתבצע במשתנה המקום ξ {\displaystyle \xi } , תוצאת האינטגרל היא − i 4 π g ( k ) ^ ω ( k ) d k [ e i k ( x + c t ) − e i k ( x − c t ) ] = i 4 π g ( k ) ^ ω ( k ) d k [ e i ( k x − ω ( k ) t ) − e i ( k x + ω ( k ) t ) ] = ( i 4 π g ( k ) ^ ω ( k ) d k ) e i ( k x − ω ( k ) t ) + C . c {\displaystyle -{\frac {i}{4\pi }}{\frac {\hat {g(k)}}{\omega (k)}}dk[e^{ik(x+ct)}-e^{ik(x-ct)}]={\frac {i}{4\pi }}{\frac {\hat {g(k)}}{\omega (k)}}dk[e^{i(kx-\omega (k)t)}-e^{i(kx+\omega (k)t)}]=({\frac {i}{4\pi }}{\frac {\hat {g(k)}}{\omega (k)}}dk)e^{i(kx-\omega (k)t)}+C.c} כאשר הקיצור C.c הוא בעבור "complex conjugate", כלומר יש להוסיף למחובר הראשון את הצמוד המרוכב שלו. לפיכך, נוסחת ד'אלמבר למרכיב מונוכרומטי היא בעלת הצורה: [ f ( k ) ^ + i g ( k ) ^ ω ( k ) ] d k ⋅ e i ( k x − ω ( k ) t ) + C . c {\displaystyle [{\hat {f(k)}}+i{\frac {\hat {g(k)}}{\omega (k)}}]dk\cdot e^{i(kx-\omega (k)t)}+C.c} וכדי לתאר את פונקציית הגל ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} יש לבצע אינטגרל על כל מספרי הגל: ψ ( x , t ) = ∫ − ∞ ∞ [ f ( k ) ^ + i g ( k ) ^ ω ( k ) ] ⋅ e i ( k x − ω ( k ) t ) d k + C . c {\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }[{\hat {f(k)}}+i{\frac {\hat {g(k)}}{\omega (k)}}]\cdot e^{i(kx-\omega (k)t)}dk+C.c} וזוהי הנוסחה הכללית להתפתחות פונקציית הגל במערכת דיספרסיבית. משוואת הגלים הנימוק לכך הוא שאם "נריץ את הסרט לאחור" אז נקבל ששתי ההפרעות המלבניות יתלכדו למלבן יחיד בעל משרעת כפולה ורוחב זהה לכל אחת מהן, תוך ביטול הדדי מוחלט של המהירויות הרוחביות של מקטעי המיתר. כלומר, קיבלנו את המצב המתואר במקרה זה, ומכיוון שמשוואת הגלים סימטרית להיפוך זמן (עתיד הגל קובע את עברו בדיוק כשם שעברו קובע את עתידו), אז מקבלים שההפרעה אכן תתפצל כמתואר לעיל. תפיסת התקדמות ההפרעה הגלית כנפילת שרשרת אבני דומינו מסייעת להמחיש זאת. ב"קטן מספיק" הכוונה שניתן להתייחס אליו כאל קטע ישר.