זווית היפרבולית

במתמטיקה, זווית היפרבולית היא פרמטר שמאפיין גזרות של היפרבולה, בדומה לאופן שבו זוויות רגילות מאפיינות גזרות של מעגל. הזווית ההיפרבולית מוגדרת ראשית בעבור "מיקום סטנדרטי", ולאחר מכן כמידה על אינטרוול של ענף היפרבולי. זווית היפרבולית במיקום סטנדרטי היא הזווית ב- ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} בין הקרן שעוברת ב- ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} לקרן שעוברת ב- ( x , 1 x ) {\displaystyle \left(x,{\frac {1}{x}}\right)} כאשר x > 1; זווית זו שווה לארקטנגנס ההיפרבולי ההופכי ("ארקטנגנס היפרבולי")   2 arctan − 1 ⁡ ( x − x − 1 x + x − 1 ) {\displaystyle \ 2\arctan ^{-1}\left({\frac {x-x^{-1}}{x+x^{-1}}}\right)} . הזווית ההיפרבולית שלילית כאשר x בין 0 ל-1. הזווית ההיפרבולית שווה לפעמיים השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה, השווה ל- ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} (הוכחה תובא בהמשך הערך), בדיוק כשם שהגודל של זווית מעגלית הוא השטח של הגזרה המעגלית המתאימה לזווית מרכזית זאת. בניגוד לזווית מעגלית, הגודל של זווית היפרבולית אינו חסום. נניח ש- a b = 1 {\displaystyle ab=1} ו- c d = 1 {\displaystyle cd=1} כאשר c > a > 1 {\displaystyle c>a>1} , כך שהנקודות ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ו- ( c , d ) {\displaystyle (c,d)} מגדירות אינטרוול על ההיפרבולה xy = 1. יש העתקה אפינית משמרת שטח (אנ') הממפה את האינטרוול הזה לאינטרוול בין ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} ל- ( b c , a d ) {\displaystyle (bc,ad)} . חשבון שטחים פשוט מראה שהשטח תחת ההיפרבולה באינטרוול זה הוא גם השטח של הגזרה ההיפרבולית המתאימה לנקודות ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} ו- ( b c , a d ) {\displaystyle (bc,ad)} . לפי תוצאה של גרגואיר דה סנט וינסנט, לשטח זה תכונות לוגריתמיות[דרושה הבהרה]. הפונקציות ההיפרבוליות sinh, cosh ו-tanh נעזרות בזווית ההיפרבולית כמשתנה הבלתי תלוי שלהן, ומכיוון שהערכים שלהן ניתנים לחישוב באופן אנלוגי לפונקציות הטריגונומטריות המעגליות. לכן המושג של "זווית היפרבולית" הוא שימושי ביותר בבעיות של חשבון אינפיניטסימלי במשתנה ממשי; המושג מקנה אינטואיציה כיצד להתיר בעיות בנושא. למעגל היחידה x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} יש גזרה מעגלית ששטחה חצי מהזווית המעגלית ברדיאנים. באופן אנלוגי, להיפרבולת היחידה x 2 − y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1} יש גזרה היפרבולית עם שטח ששווה למחצית הזווית ההיפרבולית. הזווית ההיפרבולית מהווה יותר מהגדרה שרירותית המקבילה לזו של זווית מעגלית, אלא שהיא טומנת בחובה עומק רב; הרעיון הבסיסי של חיבור זוויות דרך תכונות של הנקודות המתאימות לזוויות האלו, תקף גם לזווית המעגלית וגם לזווית ההיפרבולית. הבניות הבאות מראות את ההקבלה בין הזווית ההיפרבולית לזווית המעגלית: זוויות מעגליות ניתנות לאפיון באופן גאומטרי באמצעות התכונה שאם לשני מיתרים P 0 P 1 {\displaystyle P_{0}P_{1}} ו- P 0 P 2 {\displaystyle P_{0}P_{2}} מתאימות זוויות L 1 {\displaystyle L_{1}} ו- L 2 {\displaystyle L_{2}} במרכז המעגל, אז הסכום שלהן L 1 {\displaystyle L_{1}} + L 2 {\displaystyle L_{2}} הוא הזווית המרכזית המתאימה למיתר P 0 Q {\displaystyle P_{0}Q} שמקביל ל- P 1 P 2 {\displaystyle P_{1}P_{2}} . אותה הבניה נכונה גם להיפרבולה: אם בוחרים P 0 = ( 1 , 1 ) {\displaystyle P_{0}=(1,1)} , P 1 = ( x 1 , 1 x 1 ) {\displaystyle P_{1}=\left(x_{1},{\frac {1}{x_{1}}}\right)} ו- P 2 = ( x 2 , 1 x 2 ) {\displaystyle P_{2}=\left(x_{2},{\frac {1}{x_{2}}}\right)} , אז באמצעות חישוב שיפועים ניתן להראות שתנאי ההקבלה מכתיב ש- Q {\displaystyle Q} תהא הנקודה ( x 1 x 2 , 1 x 1 x 2 ) {\displaystyle \left(x_{1}x_{2},{\frac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)} . נקודה זאת מתקבלת גם מהגדרת הזווית ההיפרבולית כפונקציה לוגריתמית; הנקודה המתאימה לסכום הזוויות ההיפרבוליות שמתאימות לנקודות P 1 {\displaystyle P_{1}} ו- P 2 {\displaystyle P_{2}} היא, לפי הזהות ln ⁡ ( x 1 ) + ln ⁡ ( x 2 ) = ln ⁡ ( x 1 x 2 ) {\displaystyle \ln(x_{1})+\ln(x_{2})=\ln(x_{1}x_{2})} , הנקודה ( x 1 x 2 , 1 x 1 x 2 ) {\displaystyle \left(x_{1}x_{2},{\frac {1}{x_{1}x_{2}}}\right)} . הבעיה של תרבוע ההיפרבולה היא הבעיה של הערכת השטח של גזרה היפרבולית. בעיה זאת נפתרה לראשונה על ידי גרגואיר דה סנט וינסנט ב-1647 בחיבורו החשוב Opus geometricum quadrature circuli et sectionum coni. כפי שהיסטוריון אחד ניסח זאת: "הוא ערך את התרבוע של ההיפרבולה ביחס לאסימפטוטות שלה, והראה שהשטח גדל בהתאם לטור חשבוני כאשר x גדל בטור גאומטרי." תלמידו של גרגואיר, A. A. de Sarasa, פירש מחדש את השטח הזה כלוגריתם והגדיר באופן גאומטרי את הלוגריתם הטבעי. כאחת הדוגמאות הראשונות לפונקציות טרנסצנדנטיות, הלוגריתם מפורסם יותר מהרעיון שהתניע את גילויו, דהיינו הזווית ההיפרבולית. הראשון שהרחיב את הישג ידה של הטריגונומטריה המעגלית כדי שתכלול גם את תכונות ההיפרבולות היה אוגוסטוס דה מורגן בספרו Trigonometry and Double Algebra. ב-1914 פרסם Ludwik Silberstein את חיבורו על תורת היחסות החדשה, ובו הוא נתן פרשנות לתורה המתבססת על מושג הזווית ההיפרבולית. בהמשך לעבודתו של הרמן מינקובסקי על האיחוד המתמטי של המרחב והזמן, Silberstein הראה שניתן לפרש את טרנספורמציות לורנץ כסיבוב בזווית היפרבולית של קואורדינטות המרחב-זמן; לאחר שמגדירים זווית היפרבולית a המקיימת tanh a = v/c, טרנספורמציות לורנץ למעשה מזיזות את הקואורדינטות המרחב-זמניות של אירוע לאורך היפרבולת האינטרוול c 2 t 2 − x 2 = 1 {\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=1} כאשר מערכת הייחוס משתנה. הזווית ההיפרבולית המוגדרת בדרך זאת מסייעת להבחין בין מערכות ייחוס הנמצאות במהירות יחסית אחת לשנייה, וניתן להראות את העקביות של הגדרת β {\displaystyle \beta } בדרך זאת: אם נציב tanh a = v/c בטרנספורמציית לורנץ למעבר בין מערכות ייחוס נקבל: t ′ = γ ( t − v x c 2 ) = γ t = 1 1 − ( tanh ⁡ ( a ) ) 2 ∗ 1 = c o s h ( a ) = t ′ {\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)=\gamma t={\frac {1}{\sqrt {1-(\tanh(a))^{2}}}}*1=cosh(a)=t'} (במעבר האחרון השתמשנו ב-x = 0, t = 1). הנוסחה לחיבור מהירות יחסותי היא תוצאה ישירה של האדיטיביות של הזווית ההיפרבולית ושל הזהות לטנגנס ההיפרבולי של סכום זוויות: c tanh ⁡ ( a + b ) = c tanh ⁡ ( a ) + tanh ⁡ ( b ) 1 + tanh ⁡ ( a ) tanh ⁡ ( b ) = v 1 + v 2 1 + v 1 v 2 c 2 = v 1 + 2 {\displaystyle c\tanh(a+b)=c{\frac {\tanh(a)+\tanh(b)}{1+\tanh(a)\tanh(b)}}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}=v_{1+2}\,} . באותו חיבור, Silberstein נעזר גם במושג של זווית ההקבלה (angle of parallelism) של לובצ'בסקי (Π(a כדי להגיע לתוצאה cos Π(a) = v/c. הזווית ההיפרבולית מוצגת לעיתים כמספר מדומה; אם x הוא מספר ממשי ו-i2 = −1 אז: cos ⁡ ( i x ) = cosh ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(ix)=\cosh(x)} ו- sin ⁡ ( i x ) = i sinh ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(ix)=i\sinh(x)} . כך שהפונקציות ההיפרבוליות cosh ו-sinh ניתנות להצגה באמצעות פונקציות מעגליות. הזהויות האלו ניתנות להבנה גם במונחים של טורים אינסופיים. הטור המייצג את הפונקציה האקספוננציאלית ( e x = cosh ⁡ x + sinh ⁡ x {\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!} ) מורכב מאיברים עם חזקות זוגיות ואי זוגיות, כאשר טור החזקות הזוגיות מרכיב את פונקציית הקוסינוס ההיפרבולי ( cosh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \textstyle \cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} ) וטור החזקות האי זוגיות מרכיב את פונקציית הסינוס ההיפרבולי ( sinh ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle \textstyle \sinh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}} ). הטור האינסופי לקוסינוס נגזר מהטור האינסופי לקוסינוס היפרבולי באמצעות הפיכתו לטור מתחלף. בדרך דומה מתקבל גם הטור ל-sin מהטור ל-sinh, אלא שהפעם החזקות האי זוגיות בטור הופכות למדומות ולכן נדרש הפקטור i. היפרבולה פונקציות היפרבוליות או פשוט t 2 − x 2 = 1 {\displaystyle t^{2}-x^{2}=1} כאשר מנרמלים את מהירות האור c להיות 1.