אופטיקה של שכבות דקות

אופטיקה של שכבות דקות (וכן אופטיקה של חומרים דו־ממדיים) הוא תחום באופטיקה העוסק באינטראקציה של האור עם חומרים דו־ממדיים. אופי ניתוח האינטראקציה דומה לאופי הניתוח של אינטראקציית האור עם חומרים תלת־ממדיים, החל ממשוואות מקסוול ועד פתרון משוואת הגלים בתנאים המתאימים לכל מקרה, אך התכונות האופטיות הנגזרות מכך שונות. חומר דו-ממדי הוא חומר שיחידת המבנה הבסיסית שלו היא שכבה אטומית. זאת לעומת חומר תלת-ממדי, שיחידתו הבסיסית היא מבנה תלת־ממדי, דוגמה למבנה פשוט היא קובייה. המשמעות של יחידה בסיסית שכזו היא שהחומר המורכב ממנה למעשה מורכב מהרבה יחידות בסיסיות שכאלה. שכבה אטומית כזו בנויה כך שהאינטראקציות בין האטומים בתוכה הן קשרים קוולנטים חזקים מאד ובין השכבות ישנם קשרי מימן שהם קשרים חלשים יותר. בזכות אופי הקשרים האלה ניתן להפריד יחסית בקלות בין השכבות ולעבוד עם שכבה בודדת. בנוסף, אופייה השכבתי של יחידת המבנה הבסיסית של החומרים מאפשרת חיבור שכבות של חומרים שונים בקלות יחסית כך שהמבנה המעורב יהיה יציב, מה שמורכב יותר להשגה בחומרים תלת־ממדיים. יתרונות אלה בחומרים הדו־ממדיים מאפשרים את חקר התכונות של החומרים, החל משכבה בודדת ועד חומר נפחי. אחד מתחומי המחקר בחומרים הדו־ממדיים הוא האינטראקציה שלהם עם אור או במילים אחרות אופטיקה של חומרים דו־ממדיים. באינטראקציה שכזו מתעוררים חלקיקים, הן בפני השטח והן בנפח החומר, הנקראים פולריטונים. הפולריטון הוא קוואזי-חלקיק הנוצר מצימוד בין פוטון לבין קוואזי חלקיק נוסף. הייחודיות של חלקיק זה היא שהוא יורש תכונות גם של הפוטון וגם של החלקיק הנוסף כך שאפשר לשלוט בתכונה אחת באמצעות מניפולציה של השנייה. למשל, למדוד אפקטים קוונטים באמצעות אור קלאסי. קוואזי החלקיקים הרלוונטיים במקרה של חומרים דו־ממדיים הם פונון, אקסיטון, ופלסמון, כאשר סוג הפולריטון הנוצר תלוי בקוואזי חלקיק המצומד ובסוג החומר הדו־ממדי. על מנת לבחון את אופי החלקיקים יש לפתור את משוואת הגלים במערכות השונות הגורמות להיווצרות החלקיקים. לשם הפתרון, נניח שהמקדמים הדיאלקטרים (יסומנו ε {\displaystyle \varepsilon } ) של החומרים שנדון בהם קבועים, בנוסף נניח תלות זמנית הרמונית של השדה ונקבל את משוואת הלמהולץ. לשם פשטות נגדיר גאומטריית התפשטות חד־ממדית, הגלים מתפשטים בכיוון x {\displaystyle x} בלבד ולכן ε = ε ( z ) {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon (z)} , מישור z = 0 {\displaystyle z=0} מקביל למישור התפשטות הגל ונקבל: E → ( x , y , z ) = E → ( z ) e i x k x {\displaystyle {\vec {E}}(x,y,z)={\vec {E}}(z)e^{ixk_{x}}} כאשר k x {\displaystyle k_{x}} מסומן גם β {\displaystyle \beta } והוא קבוע ההתפשטות. ובנוסף: ∂ 2 E → ( z ) ∂ z 2 + ( k 0 2 ε − k x 2 ) E → = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}(z)}{\partial z^{2}}}+(k_{0}^{2}\varepsilon -k_{x}^{2}){\vec {E}}=0} ובאופן דומה עבור השדה המגנטי. נמצא את המשוואות המצומדות בין השדה החשמלי לבין השדה המגנטי תחת מספר הנחות. האחת, תלות זמנית הרמונית עבורה ∂ ∂ t = − i ω {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=-i\omega } . השנייה, עבור התפשטות בציר x {\displaystyle x} עבורה מתקיים ∂ ∂ x = i β {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}=i\beta } . שלישית, התפשטות הומוגניות בציר y {\displaystyle y} עבורה ∂ ∂ y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}=0} . המשוואות המצומדות שמתקבלות הן: ∂ E y ∂ z = − i ω μ 0 H x {\displaystyle {\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}=-i\omega \mu _{0}H_{x}} ∂ E x ∂ z − i β E z = i ω μ 0 H y {\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-i\beta E_{z}=i\omega \mu _{0}H_{y}} i β E y = i ω μ 0 H z {\displaystyle i\beta E_{y}=i\omega \mu _{0}H_{z}} ∂ H y ∂ z = i ω ε 0 ε E x {\displaystyle {\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}=i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{x}} ∂ H x ∂ z − i β H z = − i ω ε 0 ε E y {\displaystyle {\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-i\beta H_{z}=-i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{y}} i β H y = − i ω ε 0 ε E z {\displaystyle i\beta H_{y}=-i\omega \varepsilon _{0}\varepsilon E_{z}} מתקבלים שני סטים של משוואות עם קיטוב שונה של הגל המתפשט, TM ו-TE, כך שעבור כל קיטוב מספר המשואות מצטמצם ונקבל את משוואות הגל בהתאמה: ∂ 2 H y ∂ z 2 + ( k 0 2 ε − β 2 ) H y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H_{y}}{\partial z^{2}}}+(k_{0}^{2}\varepsilon -\beta ^{2})H_{y}=0} ∂ 2 E y ∂ z 2 + ( k 0 2 ε − β 2 ) E y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial z^{2}}}+(k_{0}^{2}\varepsilon -\beta ^{2})E_{y}=0} על מנת לנתח ולאפיין את התנהגות החומרים הדו־ממדיים בתגובה להארה יש לפתור משוואות אלה במערכות הרצויות. המערכות השונות עשויות להבדל אחת מהשניה הן בסוג החומרים הדו-ממדיים שמרכיבים אותן והן בקונפיגורציה שלהן. מערכת דו שכבתית היא מערכת של מתכת-חומר דיאלקטרי (IM-isolator metal) או חומר דיאלקטרי-מתכת (MI). נסתכל על מערכת דו שכבתית, השקה יחידה, של מוליך בעל מקדם דיאלקטרי שיסומן ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} וחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי ממשי חיובי שיסומן ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} . פתרון TM בחומר הדיאלקטרי: H y ( z ) = A 1 e i k x x e k 1 z {\displaystyle H_{y}(z)=A_{1}e^{ik_{x}x}e^{k_{1}z}} E x ( z ) = − i A 1 k 1 e i k x x e k 1 z ω ε 0 ε 1 {\displaystyle E_{x}(z)=-i{\frac {A_{1}k_{1}e^{ik_{x}x}e^{k_{1}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{1}}}} E z ( z ) = − A 1 β e i k x x e k 1 z ω ε 0 ε 1 {\displaystyle E_{z}(z)=-{\frac {A_{1}\beta e^{ik_{x}x}e^{k_{1}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{1}}}} כאשר A 1 {\displaystyle A_{1}} הוא קבוע שערכו לא ידוע עדיין. פתרון TM במתכת: H y ( z ) = A 2 e i k x x e k 2 z {\displaystyle H_{y}(z)=A_{2}e^{ik_{x}x}e^{k_{2}z}} E x ( z ) = i A 2 k 2 e i k x x e k 2 z ω ε 0 ε 2 {\displaystyle E_{x}(z)=i{\frac {A_{2}k_{2}e^{ik_{x}x}e^{k_{2}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{2}}}} E z ( z ) = − A 1 β e i k x x e k 2 z ω ε 0 ε 2 {\displaystyle E_{z}(z)=-{\frac {A_{1}\beta e^{ik_{x}x}e^{k_{2}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{2}}}} יש לדרוש את רציפות השדה החשמלי והשדה המגנטי בנקודת ההשקה z = 0 {\displaystyle z=0} ונקבל: A 1 = A 2 {\displaystyle A_{1}=A_{2}} k 2 k 1 = − ε 2 ε 1 {\displaystyle {\frac {k_{2}}{k_{1}}}=-{\frac {\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}}}} כלומר, מתקבלת הדרישה שהגלים המשטחים שמתעוררים במישור ההשקה קיימים רק במערכת המורכבת מחומרים בעלי מקדמים דיאלקטרים להם חלקים ממשיים הפוכים בסימנם. במקרה של מערכת מתכת-מבודד, למבודד מקדם דיאלקטרי שלילי ולכן נדרשת מתכת בעלת מקדם דיאלקטרי לו חלק ממשי שלילי על מנת שייווצרו הפלסמונים. עבור קיטוב TE מתקבל ש A 1 = A 2 = 0 {\displaystyle A_{1}=A_{2}=0} כלומר אין מוד TE של SPPs. יחס הדיספרציה או יחס נפיצה המתקבל: β = k x = k 0 ε 1 ε 2 ε 1 + ε 2 {\displaystyle \beta =k_{x}=k_{0}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}}}} נסתכל על הקשר בין וקטור גל k לאורך גל λ {\displaystyle \lambda } k = 2 π λ {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}} , ניתן לראות שקיים יחס הפוך בין וקטור הגל לאורך הגל, כלומר, העדר חסם עליון על וקטור הגל מעיד על העדר חסם תחתון על אורך הגל. המשמעות היא שחלקיק הפלסמון-פולריטון תומך באורכי גל קצרים מאד וניתן באמצעותו לשבור את גבול הדיפרקציה. גבול אשר מהווה חסם תחתון באופטיקה של חומרים תלת־ממדיים. היתרון באורכי גל קצרים הוא הן לטובת מיקוד הגל והן לטובת הגדלת עוצמתו. עבור מתכת אמיתית למקדם הדיאלקטרי של המתכת יש חלק ממשי ומדומה ומתרחשת דעיכה בכיוון התפשטות הגל הנמדדת לפי: L = 1 2 I m β {\displaystyle L={\frac {1}{2Im{\beta }}}} מערכת תלת שכבתית היא מערכת של מתכת-חומר דיאלקטרי-מתכת (MIM) או חומר דילאקטרי-מתכת-חומר דיאלקטרי (IMI). בכל מישור של ממשק בין שתי שכבות יכול להיווצר SPPs. נגדיר אורך דעיכה z ^ = 1 | k z | {\displaystyle {\hat {z}}={\frac {1}{|k_{z}|}}} המתאר את הדעיכה בכיוון z לתוך נפח החומרים. כאשר המרחק בין ממשקים סמוכים גדול מאורך הדעיכה z ^ {\displaystyle {\hat {z}}} ̂ המערכת שקולה לשתי מערכות דו שכבתיות נפרדות אשר ניתן לפתור כל אחת מהן בנפרד ללא תלות בשנייה, כפי שמוצג קודם. אולם, כאשר המרחק שווה או קטן מאורך הדעיכה z ^ {\displaystyle {\hat {z}}} ̂ נוצרת אינטראקציה בין SPPs הנוצרים על כל ממשק ואינטראקציה זו גורמת ליצירת מודים מצומדים. נציג פתרון עבור IMI כאשר הפתרון עבור MIM דומה. עבור קיטוב TM: בתחום בו z > a {\displaystyle z>a} : H y = A e i k x x e − k 3 z {\displaystyle H_{y}=Ae^{ik_{x}x}e^{-k_{3}z}} E x = i A k 3 e i k x x e − k 3 z ω ε 0 ε 3 {\displaystyle E_{x}=i{\frac {Ak_{3}e^{ik_{x}x}e^{-k_{3}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{3}}}} E z = − A β e i k x x e − k 3 z ω ε 0 ε 3 {\displaystyle E_{z}=-{\frac {A\beta e^{ik_{x}x}e^{-k_{3}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{3}}}} בתחום בו z > − a {\displaystyle z>-a} : H y = B e i k x x e − k 2 z {\displaystyle H_{y}=Be^{ik_{x}x}e^{-k_{2}z}} E x = − i B k 2 e i k x x e − k 2 z ω ε 0 ε 2 {\displaystyle E_{x}=-i{\frac {Bk_{2}e^{ik_{x}x}e^{-k_{2}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{2}}}} < m a t h > E z = − i B β e i k x x e − k 2 z ω ε 0 ε 2 {\displaystyle <math>E_{z}=-{\frac {iB\beta e^{ik_{x}x}e^{-k_{2}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{2}}}} </math> בתחום בו − a < z < a {\displaystyle -a<z<a} : H y = C e i k x x e k 1 z + D e i k x x e − k 1 z {\displaystyle H_{y}=Ce^{ik_{x}x}e^{k_{1}z}+De^{ik_{x}x}e^{-k_{1}z}} E x = − i C k 1 e i k x x e k 1 z ω ε 0 ε 1 + i D k 1 e i k x x e − k 1 z ω ε 0 ε 1 {\displaystyle E_{x}={\frac {-iCk_{1}e^{ik_{x}x}e^{k_{1}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{1}}}+{\frac {iDk_{1}e^{ik_{x}x}e^{-k_{1}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{1}}}} E z = C β e i k x x e k 1 z ω ε 0 ε 2 + D β e i k x x e − k 1 z ω ε 0 ε 2 {\displaystyle E_{z}={\frac {C\beta e^{ik_{x}x}e^{k_{1}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{2}}}+{\frac {D\beta e^{ik_{x}x}e^{-k_{1}z}}{\omega \varepsilon _{0}\varepsilon _{2}}}} על מנת לפתור את מערכת המשוואות הזו יש לדרוש רציפות על רכיב y של השדה המגנטי ועל רכיב x של השדה החשמלי. כמו כן, להיעזר במשוואת וקטור הגל k i 2 = β 2 − k 0 2 ε i {\displaystyle k_{i}^{2}=\beta ^{2}-k_{0}^{2}\varepsilon _{i}} כאשר i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle i=1,2,3} . באמצעות אלה ניתן לקבל 4 משוואות מצומדות אשר פתרונן מוביל לביטוי עבור יחס הדיספרסיה של המערכת: e − 4 k 1 a = k 1 ε 1 + k 2 ε 2 k 1 ε 1 − k 2 ε 2 k 1 ε 1 + k 3 ε 3 k 1 ε 1 − k 3 ε 3 {\displaystyle e^{-4k_{1}a}={\frac {{\frac {k_{1}}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {k_{2}}{\varepsilon _{2}}}}{{\frac {k_{1}}{\varepsilon _{1}}}-{\frac {k_{2}}{\varepsilon _{2}}}}}{\frac {{\frac {k_{1}}{\varepsilon _{1}}}+{\frac {k_{3}}{\varepsilon _{3}}}}{{\frac {k_{1}}{\varepsilon _{1}}}-{\frac {k_{3}}{\varepsilon _{3}}}}}} אפשר לשים לב שעבור a → ∞ {\displaystyle a\to \infty } מתקבל הביטוי ליחס הדיספרסיה שך מערכת דו שכבתית. משוואה זו לא ניתנת לפתרון אנליטי, לכן על מנת לפשט את המשוואה נניח ששתי השכבות הדיאלקטריות זהות כך ש ε 2 = ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{2}=\varepsilon _{3}} ו- k 2 = k 3 {\displaystyle k_{2}=k_{3}} . כעת ניתן לפצל את יחס הדיספרציה שהתקבל לזוג משוואות, אחת עבור הפתרונות הזוגיים והשנייה עבור הפתרונות האי-זוגיים, בהתאמה: tanh ⁡ k 1 a = − k 2 ε 1 k 1 ε 2 {\displaystyle \tanh k_{1}a=-{\frac {k_{2}\varepsilon _{1}}{k_{1}\varepsilon _{2}}}} tanh ⁡ k 1 a = − k 1 ε 2 k 2 ε 1 {\displaystyle \tanh k_{1}a=-{\frac {k_{1}\varepsilon _{2}}{k_{2}\varepsilon _{1}}}} אקסיטון הוא חלקיק הנוצר כאשר בהיווצרות אלקטרון-חור (חשמל) נוצר כוח קולון בין השניים כך שיחדיו הם מהווים חלקיק נייטרלי חשמלית הנקרא אקסיטון. זמן החיים של חלקיק זה מוגבל וכאשר מתרחשת רקומבינציה נפלט פוטון. קוואזי חלקיק זה ניתן לעירור במוליך למחצה דו־ממדי חד שכבתי מסוג TMDs בתחום הספקטרום הנראה. דוגמאות לחומרי TMDs הם MoS2, MoSe2, WS2 ו- WSe2. כפי שמפורט בפיתוח עבור פלסמון-פולריטון, גם עבור היווצרות אקסיטונים, בממשק בין מל"מ לבין חומר דיאלקטרי, יש לדרוש שהמל"מ יהיה בעל מקדם דיאלקטרי עם רכיב ממשי שלילי (כיוון שלחומר הדיאלקטרי מקדם דיאלקטרי חיובי). על מנת לבחון דרישה זו, נסתכל על הסוספטיביליות חשמלית χ של הTMDs ועל הקשר שלה למקדם הדיאלקטרי ε {\displaystyle \varepsilon }  : χ = 1 + ε {\displaystyle \chi =1+\varepsilon } χ ( ω ) = χ b g − c ω 0 d γ r 0 ω − ω 0 + i ( γ n r 2 + γ d ) {\displaystyle \chi (\omega )=\chi _{bg}-{\frac {{\frac {c}{\omega _{0}d}}\gamma _{r0}}{\omega -\omega _{0}+i({\frac {\gamma _{nr}}{2}}+\gamma _{d})}}} כאשר χ b g {\displaystyle \chi _{bg}} היא סוספטביליות הרקע, c {\displaystyle c} היא מהירות האור, ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} היא אנרגיית הקשר של האקסיטון, d {\displaystyle d} מייצג את עובי השכבה החד אטומית ו- γ d , γ n r , γ r 0 {\displaystyle \gamma _{d},\gamma _{nr},\gamma _{r0}} הם מקדמי דעיכה רדיואקטיבית, לא רדיואקטיבית ודעיכה טהורה. נהוג להגדיר עבור אקסיטונים: γ T = 2 γ d + γ n r + γ r 0 {\displaystyle \gamma _{T}=2\gamma _{d}+\gamma _{nr}+\gamma _{r0}} , גודל זה מייצג את הרוחב בכולל של הרזוננס של האקסיטון ומשפיע על האמפליטודה של הסוספטביליות ולכן גם על האמפליטודה של המקדמים הדיאלקטרים. עבור γ T {\displaystyle \gamma _{T}} קטן מספיק האמפליטודות של המקדמים הדיאלקטרים יורדות מספיק ומאפשרות למקדם הדיאלקטרי של הTMD להגיע לערכים שליליים. ניתן לשנות את γ T {\displaystyle \gamma _{T}} באמצעות שינוי טמפ' ובכך לקבל γ T {\displaystyle \gamma _{T}} צר מספיק כך שבתחום אנרגיות מסוים המקדם הדיאלקטרי של הTMD יהיה שלילי ויוכל לתמוך בהיווצרות אקסיטונים. דרך נוספת להשפיע על ערכו של המקדם הדיאלקטרי של הTMD היא באמצעות מבנים שונים של המערכת. למשל, עיטוף חומר חד־ממדי בחומר דיאלקטרי חד־ממדי מסוג hBN משפר את התכונות האופטיות של החומר. חומר זה הוא סוג של מבודד קביעת עוביו של הhBN משפיעה גם היא על התנהגות החומר והן המצע עליו מונח, למשל מצע ספיר או מראה מזהב יובילו לשוני בהתנהגות האופטית של החומר. נפתור את יחס הדיספרסיה של האקסיטון עבור קיטוב TM ונקבל: ε 1 k 1 + ε 2 k 2 + σ ( ω ) ω ε 0 = 0 {\displaystyle {\frac {\varepsilon _{1}}{k_{1}}}+{\frac {\varepsilon _{2}}{k_{2}}}+{\frac {\sigma (\omega )}{\omega \varepsilon _{0}}}=0} σ ( ω ) = − i χ ε 0 ω {\displaystyle \sigma (\omega )=-i\chi \varepsilon _{0}\omega } k 1 , 2 = q 2 D E P 2 − ω 2 ε 1 , 2 c 2 {\displaystyle k_{1,2}={\sqrt {q_{2DEP}^{2}-{\frac {\omega ^{2}\varepsilon _{1,2}}{c^{2}}}}}} כאשר q 2 D E P {\displaystyle q_{2DEP}} הוא תנע האקסיטון ו- σ ( ω ) {\displaystyle \sigma (\omega )} היא המוליכות. החומרים הדו־ממדיים תומכים, תחת תנאים מסוימים, בקיומם של קוואזי חלקיקים: פלסמון-פולריטון ואקסיטון-פולריטון. חלקיקים אלה תומכים באורכי גל קצרים מאד וניתן באמצעותו לשבור את גבול הדיפרקציה. גבול אשר מהווה חסם תחתון באופטיקה של חומרים תלת־ממדיים. היתרון באורכי גל קצרים הוא הן לטובת מיקוד הגל והן לטובת הגדלת עוצמתו. יתרון נוסף לחומרים אלו הוא שאינטראקציית האור-חומר דו־ממדי יכולה להתרחש גם עם שכבה בודדת של החומר, בעובי אטומי. קיומם של יחסי הדיספרסיה המוצגים כאן בשכבה חד אטומית, עשוי להוביל לשימוש בחומרים הדו־ממדיים ברכיבים חשמליים, שעד כה נבנו מחומרים תלת־ממדיים שנפחם גדול בסדרי גודל מהסקלה האטומית של שכבה דו־ממדית, ובכך להקטין משמעותית את גודלם של הרכיבים. שכבות דקות - תכונות אופטיות, דף שער בספרייה הלאומית PLASMONICS: Fundamentals and Applications (2006) (pg 3-50), Stefan A. Maier Itai Epstein at el, Highly confined in-plane propagating exciton-polaritons on monolayer semiconductors, IOP publishing 2D Mater. 7 (2020) 035031, https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2053-1583/ab8dd4 מאמר: Joshua D. Caldwell at el, Low-loss, infrared and terahertz nanophotonics using surface phonon polaritons, Nanophotonics 2015); 4: 44–68) מאמר: J. A. Dionne at el, Planar metal plasmon waveguides: frequency-dependent dispersion, propagation, localization, (and loss beyond the free electron model, Physical Review B 72, 075405 (2005