המילטוניאן

הֶמילטוניאן היא פונקציה המהווה אפיון שלם של מערכת פיזיקלית. באמצעות ההמילטוניאן וחוקי הפיזיקה אפשר לגזור את משוואות התנועה של המערכת הפיזיקלית המתוארת על ידי ההמילטוניאן. במילים אחרות, הצורה של ההמילטוניאן קובעת את ההתפתחות של המערכת בזמן. ההמילטוניאן קרוי על שמו של המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון. ברוב המקרים אפשר לתת להמילטוניאן הגדרה טכנית קולעת – האנרגיה של המערכת כאשר היא כתובה כפונקציה של המשתנים הקנוניים שלה. ברוב המקרים, ההמילטוניאן (מסומן ב-H) הוא בעצם האנרגיה של מערכת פיזיקלית, כאשר היא רשומה כפונקציה של המשתנים הקנוניים של המערכת, דהיינו קואורדינטות מוכללות ומשתני התנע הצמודים-קנונית שלהן, למשל קואורדינטה של המיקום בציר x {\displaystyle x} והתנע המתאים לה, p x {\displaystyle p_{x}} (שבמקרה זה התנע המוכלל הוא התנע הקווי הרגיל m v x {\displaystyle mv_{x}} ), או כדוגמה אחרת, זווית הסיבוב ϕ {\displaystyle \phi } סביב ציר z {\displaystyle z} , והתנע הצמוד לה p ϕ {\displaystyle p_{\phi }} שהוא בעצם התנע הזוויתי בציר z {\displaystyle z} , כלומר p ϕ = m r ϕ ˙ {\displaystyle p_{\phi }=mr{\dot {\phi }}} . כלומר ההמילטוניאן הוא ביטוי המתאר כיצד האנרגיה של גוף תלויה בתנע שלו ובמקום שלו. באמצעות ההמילטוניאן אפשר לאפיין מערכת בשלמות ואף לחשב כיצד היא תתקדם בזמן ומה יהיה מצבה בכל רגע ורגע. דוגמה פשוטה: נניח גוף הנע תחת השפעת כוח מחזיר F = − m ω 2 x {\displaystyle F=-m\omega ^{2}x} של מתנד הרמוני חד-ממדי. אזי האנרגיה הפוטנציאלית של הגוף היא U = 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} ואילו האנרגיה הקינטית שלו היא T = 1 2 m x ˙ 2 = 1 2 m v 2 = p 2 2 m {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}} כאשר p = m v {\displaystyle p=mv} הוא התנע של החלקיק. ההמילטוניאן יהיה אז H ( p , x ) = T + U = p 2 2 m + 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle H(p,x)=T+U={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} . ההמילטוניאן מתקבל כאשר רשמנו את האנרגיה כפונקציה של המקום (קואורדינטה קנונית) ושל התנע (תנע קנוני הצמוד למקום). באמצעות משוואות המילטון אפשר למצוא את הפונקציות p ( t ) {\displaystyle p(t)} ו־ x ( t ) {\displaystyle x(t)} שיתארו את תנועתו האמיתית של הגוף, כלומר מה הם המיקום והתנע שלו בכל רגע. ההמילטוניאן הוא למעשה התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן ונתון באופן הבא: H ( q , p , t ) = ∑ i p i q ˙ i − L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle H(q,p,t)=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q,{\dot {q}},t)} כאשר p i {\displaystyle p_{i}} הוא התנע הקנוני של q i {\displaystyle q_{i}} ונתון על ידי p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} . לא תמיד אפשר לעשות התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן. אם האנרגיה הקינטית היא תבנית ביליניארית של המהירויות אזי ההמילטוניאן שווה לאנרגיה של המערכת. למשל במימד אחד, במקרה שבו האנרגיה הקינטית היא פשוט E k = 1 2 m ( x ˙ ) 2 {\displaystyle E_{k}={1 \over 2}m({\dot {x}})^{2}} ההמילטוניאן נראה כך: H = p 2 2 m + V ( x ) {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x)} כאשר V {\displaystyle V} הוא האנרגיה הפוטנציאלית או בקיצור "הפוטנציאל". על מנת לחשב המילטוניאן יש לבצע את השלבים הבאים: מציאת הלגראנז'יאן חישוב התנעים המוכללים p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} , ומהם חילוץ של q ˙ i ( p i ) {\displaystyle {\dot {q}}_{i}\left(p_{i}\right)} חישוב ההמילטוניאן על ידי הצבת הערכים שנמצאו בהגדרתו. כדי לגזור מ-H את משוואות התנועה יש לפתור את משוואות המילטון: q ˙ i = ∂ H ∂ p i ,     p ˙ i = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\ \ {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} , וכמו כן מתקיים d H d t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {dH}{dt}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}} שמהם מקבלים את משוואות התנועה. צמד משוואות אלה שקול למשוואת אוילר-לגראנז'. את משוואות המילטון ניתן להסיק באמצעות עקרון הפעולה המינימלית של המילטון כאשר מבוצע על הפונקציונל שנקרא פעולה, שהוא בעל הצורה המיוחדת הבאה: S [ q , p ] = ∫ t 1 t 2 [ ∑ i p i q ˙ i − H ( q i , p i ) ] d t {\displaystyle S[q,p]=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-H(q_{i},p_{i})\right]dt} הצורה הפונקציונלית של ההמילטוניאן קובעת את ההתפתחות בזמן של הגדלים הפיזיקליים במערכת. כדי לראות זאת נמצא את הנגזרת השלמה של גודל פיזיקלי כלשהו U לפי הזמן: d U d t = ∂ U ∂ t + ∂ U ∂ q ∂ q ∂ t + ∂ U ∂ p ∂ p ∂ t = ∂ U ∂ t + ∂ U ∂ q ∂ H ∂ p − ∂ U ∂ p ∂ H ∂ q {\displaystyle {\frac {dU}{dt}}={\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial q}}{\frac {\partial q}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial p}}{\frac {\partial p}{\partial t}}={\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial U}{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}} בעזרת סוגרי פואסון נוכל לכתוב משוואה זו בקיצור: d U d t = ∂ U ∂ t + { U , H } {\displaystyle {\frac {dU}{dt}}={\frac {\partial U}{\partial t}}+\{U,H\}} משוואה זו משמשת למציאת קבועי תנועה של המערכת, כמו להכללה של המכניקה ההמילטונית אל המכניקה הקוונטית. עבור לגראנז'יאן מהצורה L = m r ˙ 2 2 − V ( r ) {\displaystyle L={\frac {m{\dot {r}}^{2}}{2}}-V\left(r\right)} ההמילטוניאן בקואורדינטות קרטזיות יהיה H = ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) 2 m + V ( x , y , z ) {\displaystyle H={\frac {\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)}{2m}}+V\left(x,y,z\right)} בקואורדינטות גליליות ההמילטוניאן יהיה H = ( p ρ 2 + p θ 2 ρ 2 + p z 2 ) 2 m + V ( ρ , θ , z ) {\displaystyle H={\frac {\left(p_{\rho }^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{\rho ^{2}}}+p_{z}^{2}\right)}{2m}}+V\left(\rho ,\theta ,z\right)} ובקואורדינטות כדוריות ההמילטוניאן יהיה H = ( p r 2 + p θ 2 r 2 + p φ 2 r 2 sin 2 ⁡ ( θ ) ) 2 m + V ( r , θ , φ ) {\displaystyle H={\frac {\left(p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}\right)}{2m}}+V\left(r,\theta ,\varphi \right)} אם נציב בנוסחאות הנ"ל אנרגיה פוטנציאלית ששווה לאפס נקבל את ההמילטוניאן של חלקיק חופשי ששווה H = p 2 2 m = p → ⋅ p → 2 m {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {p}}}{2m}}} כאשר החלקיק נמצא תחת השפעת פוטנציאל אלקטרו-מגנטי ההמילטוניאן הוא H = ( p → − e A → ) 2 2 m + e φ {\displaystyle H={\frac {({\vec {p}}-e{\vec {A}})^{2}}{2m}}+e\varphi } כאשר A הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי ו- φ {\displaystyle \varphi } הוא הפוטנציאל החשמלי ו e מבטא את המטען החשמלי . במכניקת הקוונטים ההמילטוניאן הוא אופרטור הרמיטי (ולכן מהווה גודל פיזיקלי מדיד) שמייצג את האנרגיה של המערכת. להמילטוניאן יש תפקיד חשוב מאוד במכניקת הקוונטים מלבד היותו אופרטור שמודד אנרגיה. ההמילטוניאן הוא זה שקובע את התפתחות המצב הקוונטי של המערכת בזמן באמצעות משוואת שרדינגר: i ℏ d d t | ψ ⟩ = H | ψ ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle =H|\psi \rangle } פתרון משוואה זו (עבור המילטוניאן שאינו תלוי בזמן) הוא | ψ ( t ) ⟩ = e − i H t / ℏ | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle } ואומרים שההמילטוניאן הוא היוצר של התפתחות המערכת בזמן. הדוגמה הפשוטה ביותר היא של מערכת עם חלקיק אחד. בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ p → = ℏ i ∇ → {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}} . ההצגה של ההמילטוניאן בבסיס זה היא לפיכך H = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r → )   {\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})\ } ולכן משוואת שרדינגר נהיית: i ℏ ∂ ψ ( t , r → ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( t , r → ) + V ( r → ) ψ ( t , r → ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}})\psi (t,{\vec {r}})} זוהי משוואה דיפרנציאלית חלקית שאפשר לפתור באמצעות הפרדת משתנים ותורת שטורם-ליוביל על ידי מציאת מצבים עצמיים של האנרגיה לחלק הבלתי תלוי בזמן. בשנים האחרונות התחילו לחקור גם מערכות עם המילטוניאן שאיננו הרמיטי. מכניקת הקוונטים מרחב הילברט המילטוניאן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)