משפט הערך ההתחלתי

באנליזה מתמטית, משפט הערך ההתחלתי הוא משפט המקשר בין ביטויים בתחום התדר להתנהגות מערכת בתחום הזמן כשהזמן שואף לאפס. תהי F ( s ) {\displaystyle F(s)} התמרת לפלס של פונקציה ממשית f ( t ) {\displaystyle f(t)} , כלומר F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt} . אם f {\displaystyle f} חסומה בתחום הפתוח ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} והגבול lim t → 0 + f ( t ) {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)} קיים, אזי מתקיים lim t → 0 + f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) {\displaystyle \lim _{t\,\to \,0^{+}}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}} . f ( t ) {\displaystyle f(t)} חסומה והגבול lim t → 0 + f ( t ) {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)} קיים, כלומר lim t → 0 + f ( t ) = α {\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\alpha } . באמצעות החלפת משתנה ניתן להראות לכל 0 < t {\displaystyle 0<t} ש־ lim s → ∞ f ( t s ) = α {\displaystyle \lim _{s\to \infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)=\alpha } וכן ש־ s F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t s ) e − t d t {\displaystyle sF(s)=\int _{0}^{\infty }f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}\,dt} . נפעיל גבול על שני צִדי המשוואה: lim s → ∞ s F ( s ) = lim s → ∞ ∫ 0 ∞ f ( t s ) e − t d t {\displaystyle \lim _{s\to \infty }sF(s)=\lim _{s\rightarrow \infty }{\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}} הפונקציות f ( t s ) e − t {\displaystyle f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}} חסומות כולן על ידי הפונקציה M e − t {\displaystyle Me^{-t}} (עבור M {\displaystyle M} גדול מספיק), שהיא אינטגרבילית על הקרן ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} . בנוסף לזה, משפחת הפונקציות הזו מתכנסת נקודתית לפונקציה α e − t {\displaystyle \alpha e^{-t}} . על פי משפט ההתכנסות הנשלטת, כל אחת מהפונקציות במשפחה היא אינטגרבילית, וגבול האינטגרלים הוא האינטגרל של פונקציית הגבול: lim s → ∞ s F ( s ) = lim s → ∞ ∫ 0 ∞ f ( t s ) e − t d t = = ∫ 0 ∞ lim s → ∞ f ( t s ) e − t d t = ∫ 0 ∞ α e − t d t = α {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{s\to \infty }sF(s)&=\lim _{s\rightarrow \infty }{\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}=\\&=\int _{0}^{\infty }{\lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)}e^{-t}}dt\\&=\int _{0}^{\infty }\alpha e^{-t}\,dt=\alpha \end{aligned}}} ולכן: lim t → 0 + f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) {\displaystyle \lim _{t\,\to \,0^{+}}f(t)=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}} מ.ש.ל ◼ {\displaystyle \blacksquare } משפט הערך הסופי Fourier and Laplace transforms. R. J. Beerends. Cambridge: Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-511-67510-2. OCLC 593333940.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: others (link) Robert H. Cannon, Dynamics of Physical Systems, Courier Dover Publications, 2003, page 567. t = u s {\displaystyle t={\frac {u}{s}}} t → 0 + , s → ∞ {\displaystyle t\rightarrow 0^{+},s\rightarrow \infty } lim s → ∞ f ( u s ) = α ⇒ lim s → ∞ f ( t s ) = α {\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {u}{s}}\right)}=\alpha \Rightarrow \lim _{s\rightarrow \infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)}=\alpha } F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty }{f\left(t\right)e^{-st}}dt} s F ( s ) = s ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t {\displaystyle sF\left(s\right)=s\int _{0}^{\infty }{f\left(t\right)e^{-st}}dt} t = u s {\displaystyle t={\frac {u}{s}}} t → 0 , u → 0 {\displaystyle t\rightarrow 0,u\rightarrow 0} t → ∞ , u → ∞ {\displaystyle t\rightarrow \infty ,u\rightarrow \infty } d t = d u s {\displaystyle dt={\frac {du}{s}}} s F ( s ) = s ∫ 0 ∞ f ( u s ) e − u d u s = ∫ 0 ∞ f ( u s ) e − u d u = ∫ 0 ∞ f ( t s ) e − t d t {\displaystyle sF\left(s\right)=s\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {u}{s}}\right)e^{-u}{\frac {du}{s}}}=\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {u}{s}}\right)e^{-u}}du=\int _{0}^{\infty }{f\left({\frac {t}{s}}\right)e^{-t}}dt}