איחוד (מתמטיקה)

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, האיחוד של אוסף של קבוצות הוא קבוצה המכילה את כל מה ששייך לקבוצות אלה, ושום דבר אחר. אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הן קבוצות, אז האיחוד של A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הוא קבוצה המכילה את כל האיברים של A {\displaystyle A} ואת כל האיברים של B {\displaystyle B} , בלי איברים אחרים. האיחוד של A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} נכתב בדרך כלל כך: A ∪ B {\displaystyle A\cup B} . מבחינה פורמלית: x ∈ A ∪ B {\displaystyle x\in A\cup B} ( x {\displaystyle x} הוא איבר ב- A ∪ B {\displaystyle A\cup B} ) אם ורק אם x ∈ A {\displaystyle x\in A} או x ∈ B {\displaystyle x\in B} . נשים לב כי במקרה זה מדובר על "או" לוגי, כלומר x {\displaystyle x} יכול להיות גם בשתי הקבוצות ואז יהיה באיחוד. פעולה שמחזירה קבוצה שמכילה איברים השייכים לאחת משתי הקבוצות אך לא לשתיהן יחד נקראת הפרש סימטרי. אם לשתי הקבוצות אין איברים משותפים, הן מכונות קבוצות זרות, ואיחודן מכונה איחוד זר. הערה: איחוד זר נהוג לסמן על ידי רשימת + או נקודה בתוך ה-⋃ של האיחוד (למשל ⊎ {\displaystyle \uplus } ). באופן דומה ניתן להגדיר איחוד עבור משפחה כלשהי, גם אינסופית, של קבוצות. נניח כי { A i } i ∈ Λ {\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i\in \Lambda }} היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס i {\displaystyle i} השייך לקבוצת אינדקסים Λ {\displaystyle \Lambda } ), אז האיחוד שלהן יסומן ⋃ i ∈ Λ A i {\displaystyle \bigcup _{i\in \Lambda }A_{i}} ומתקיים x ∈ ⋃ i ∈ Λ A i {\displaystyle x\in \bigcup _{i\in \Lambda }A_{i}} אם ורק אם קיים k ∈ Λ {\displaystyle k\in \Lambda } כלשהו כך ש- x ∈ A k {\displaystyle x\in A_{k}} . ההגדרה הכללית ביותר היא ⋃ A = { x   |   ∃ A ∈ A : x ∈ A } {\displaystyle \bigcup {\mathcal {A}}=\left\{x\ |\ \exists A\in {\mathcal {A}}:x\in A\right\}} (מילולית: איבר x נמצא באיחוד של קבוצות ממשפחה A {\displaystyle {\mathcal {A}}} אם ורק אם קיימת קבוצה A ב- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} כך ש-x שייך ל-A). אם A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { 4 , 5 , r , t } {\displaystyle A=\left\{1,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\}} אז A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , r , t } {\displaystyle A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,r,t\right\}} . אם B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} (B הוא קבוצה חלקית של A) אז A ∪ B = A {\displaystyle A\cup B=A} . אם B = ∅ {\displaystyle B=\emptyset } (קבוצה ריקה) אז לכל A {\displaystyle A} מתקיים A ∪ B = A {\displaystyle A\cup B=A} . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם). אם A = { 1 , 2 } , B = { 1 , { 2 } } {\displaystyle A=\left\{1,2\right\},B=\left\{1,\left\{2\right\}\right\}} אז A ∪ B = { 1 , 2 , { 2 } } {\displaystyle A\cup B=\left\{1,2,\left\{2\right\}\right\}} . אם A n = { 1 , 2 , … , n } {\displaystyle A_{n}=\left\{1,2,\dots ,n\right\}} אז ⋃ n ∈ N A n = N {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\mathbb {N} } . בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת החיתוך: בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות A n {\displaystyle A_{n}} , אז הקבוצה ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k ≥ n A k {\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k\geq n}A_{k}} היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס n {\displaystyle n} כלשהו. בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות A n {\displaystyle A_{n}} , אז הקבוצה ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k ≥ n A k {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}A_{k}} היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות. (שתי הקבוצות הללו מכונות בהתאמה הגבול התחתון והגבול העליון של סדרת הקבוצות A n {\displaystyle A_{n}} ומסומנות lim inf A n {\displaystyle \liminf A_{n}} ו- lim sup A n {\displaystyle \limsup A_{n}} ). איחוד הוא פעולה אסוציאטיביות (קיבוצית); כלומר ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) {\displaystyle \left(A\cup B\right)\cup C=A\cup \left(B\cup C\right)} . בשל כך הביטוי A ∪ B ∪ C {\displaystyle A\cup B\cup C} מוגדר היטב (כלומר, אין חשיבות לשאלה מהו הסדר בו מתבצעים האיחודים) ושווה לשתי הקבוצות הנ"ל, ולכן אין צורך בסוגריים אף-פעם כאשר כותבים רק איחודים בין קבוצות. באופן דומה, איחוד הוא גם קומוטטיבי (חילופי), וניתן לכתוב את הקבוצות באיחודים בכל סדר שנרצה. הקבוצה הריקה היא איבר היחידה של פעולת האיחוד. ולכן ניתן לראות את הקבוצה הריקה כאיחוד של אפס קבוצות. ביחד עם חיתוך והמשלים, הופך האיחוד כל קבוצת חזקה כלשהי להקבלה של אלגברה בוליאנית. לדוגמה, איחוד וחיתוך הם דיסטריבוטיביים אחד מעל השני, וכל שלוש הפעולות משולבות זו בזו בכללי דה מורגן. באופן פורמלי: אסוציאטיביות: A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C {\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C} קומוטטיביות: A ∪ B = B ∪ A {\displaystyle A\cup B=B\cup A} דיסטריבוטיביות של חיתוך על איחוד: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} דיסטריבוטיביות של איחוד על חיתוך: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)} משלים: A ∪ B = ( A C ∩ B C ) C {\displaystyle A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}} עקרון החיבור OR מדיה וקבצים בנושא איחוד בוויקישיתוף איחוד, באתר MathWorld (באנגלית)