חוג עם זהויות

חוג עם זהויות (או חוג עם זהויות פולינומיות, ובקיצור חוג PI - Polynomial Identity) בתורת החוגים הוא חוג שיש לו זהות פולינומית, כלומר פולינום לא אפסי באלגברה האסוציאטיבית החופשית במספר משתנים (מעל שדה קבוע) שמתאפס בכל הצבה מתוך החוג. לחוגים עם זהויות תפקיד חשוב בתורת החוגים, בכך שהם מכלילים את התורה הקומוטטיבית (אכן, כל אלגברה קומוטטיבית היא PI, באמצעות זהות הקומוטטור) ומהווים נדבך חשוב נוסף בין החוגים הקומוטטיביים לחוגים הלא קומוטטיביים. לחוגים עם זהויות ישנו מדד, שנקרא דרגת ה-PI והוא דרגת הזהות הפולינומית המינימלית של החוג. ב-1948, מצאו עמיצור ולויצקי את הזהויות המינימליות של חוג המטריצות מסדר n {\displaystyle n} מעל שדה - והיא הזהות הסטנדרטית מסדר 2 n {\displaystyle 2n} . הזהות הסטנדרטית מוגדרת כך: s n ( X 1 , … , X n ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) X σ ( 1 ) ⋯ X σ ( n ) = 0   {\displaystyle s_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (n)}=0~} . מעל שדה אינסופי, כל זהות פולינומית שקולה לזהות מולטילינארית. אוסף הזהויות של אלגברה הוא "אידיאל-T", כלומר אידיאל של האלגברה החופשית (בכמות בת מנייה של משתנים לא קומוטטיביים) הסגור לאנדומורפיזמים שלה. אומרים כי שני חוגים עם אותן זהויות בדיוק הם שקולים-PI. משפט קמר קובע כי כל אלגברה עם זהויות, שהיא נוצרת סופית מעל שדה ממאפיין אפס היא שקולת-PI לאלגברה סוף ממדית מעל שדה. מציאת בסיס לאידיאל הזהויות, כלומר מציאת קבוצת זהויות מפורשת לחוג, כך שמהן נובעות כל הזהויות שלו היא בעיה קשה ופתוחה באופן כללי - כבר עבור מטריצות מסדר 3 מעל שדה לא ידוע בסיס כזה (עבור 2 בסיס כזה הוא הזהות הסטנדרטית וזהות קפלי, לפיה ריבוע הקומוטטור הוא במרכז). בעיית Specht שואלת האם לכל חוג PI שהוא אלגברה נוצרת סופית מעל חוג נותרי יש בסיס סופי לאידיאל הזהויות. תת-חוג של חוג עם זהויות מקיים (לפחות) את אותן זהויות. מכפלה ישרה סופית של חוגים עם זהויות היא חוג עם זהויות. מכפלה ישרה כלשהי של חוגים עם אותה זהות, מקיימת את אותה זהות. לפי משפט של רגב, המכפלה הטנזורית של אלגברות PI היא אלגברת PI. אלגברה שהיא סכום של שתי תתי-אלגברות שלה המקיימות זהויות פולינומיות, מקיימת אף היא זהות פולינומית. כל אלגברה שהיא מודול נוצר סופית מעל המרכז שלה היא PI. חוג המטריצות מעל חוג PI הוא PI. אלגברת חבורה מעל שדה ממאפיין אפס היא PI אם ורק אם לחבורה יש תת-חבורה אבלית מאינדקס סופי (Isaacs-Passman 1964). אלגברת חבורה מעל שדה ממאפיין p היא PI אם ורק אם לחבורה יש תת-חבורה מאינדקס סופי שחבורת הקומוטטורים שלה היא חבורת-p סופית (Passman 1972). כל חוג פרימיטיבי עם זהויות הוא חוג פשוט ארטיני, סוף ממדי מעל המרכז שלו (משפט זה הוכח על ידי אירווינג קלפנסקי). אלגברות עם זהויות מקיימות את השערת קתה (סכום אידיאלים שמאליים ניליים בהן הוא נילי) ואת השערת קורוש (אלגברה PI, אפינית ואלגברית היא מממד סופי). משפט Razmyslov-Kemer-Braun קובע כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית (מעל חוג קומוטטיבי נותרי) עם זהויות הוא נילפוטנטי. אלגברת PI אפינית מעל חוג נותרי מקיימת את תנאי השרשרת העולה על אידיאלים ראשוניים למחצה. Small הוכיח שהאידיאלים הראשוניים באלגברה אפינית עם זהויות מקיימים את תנאי השרשרת היורדת. הרחבה שלמה R ⊆ S {\displaystyle R\subseteq S} של חוגים עם זהויות מקיימת את התכונות Lying over, Going up, Incomparability (בהקשר הזה, אומרים שאידיאל ראשוני Q ◃ S {\displaystyle Q\triangleleft S} מונח מעל הראשוני P ◃ R {\displaystyle P\triangleleft R} אם P {\displaystyle P} ראשוני מינימלי מעל Q ∩ R {\displaystyle Q\cap R} ). באמצעות שיטת חוג העקבות הראו Razmyslov ו-Schelter כי אם R {\displaystyle R} אלגברת PI נוצרת סופית מעל המרכז שלה, C {\displaystyle C} אז קיימים α 1 , ⋯ , α n {\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}} מרכזיים כך שהאלגברה R [ α 1 , ⋯ , α n ] {\displaystyle R[\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}]} היא מודול נוצר סופית מעל C [ α 1 , ⋯ , α n ] {\displaystyle C[\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}]} . בעזרת רעיון זה הראה Schelter שחוגים עם זהויות הם קטנריים. חוגים עם זהויות מקיימים גרסה לא קומוטטיבית של משפט האפסים של הילברט. רואן הוכיח כי באלגברת PI ראשונית למחצה, לכל אידיאל (לא אפסי) ישנו חיתוך לא טריוויאלי עם המרכז. משפט פוזנר קובע כי לכל חוג ראשוני עם זהויות ישנו חוג שברים קלאסי, איזומורפי לחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו (שהוא שדה השברים של המרכז של החוג המקורי). תחומים עם זהויות מקיימים את תנאי Ore (לפי הלמה של Jategaonkar) ולכן משוכנים בחוגים עם חילוק. ממשפט פוזנר נובע שחוג ראשוני עם זהויות ניתן לשיכון בחוג פשוט מממד סופי מעל המרכז שלו; הדבר נכון לחוג חוג ראשוני למחצה המקיים זהות (תוצאה שהוכחה על ידי עמיצור). אלגברה עם זהויות שהיא נותרית ונוצרת סופית מעל שדה (או באופן כללי יותר, מעל המרכז שלה), משוכנת בחוג מטריצות מעל שדה כלשהו. עמיצור, סמול ואירווינג בנו דוגמות שונות לחוגים שמקיימים את כל הזהויות של מטריצות (מסדר כלשהו) מעל חוג קומוטטיבי, אך אינם משוכנים באף חוג מטריצות מעל חוג קומוטטיבי. מגוון (תורת החבורות) Vesselin Drensky and Edward Formanek, Polynomial identity rings, BULLETIN OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 43, Number 2, 2004; Pages 259–267 (באנגלית)