הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו   A {\displaystyle \ A} תחת ההנחה שמאורע אחר   B {\displaystyle \ B} קרה. הסתברות מותנית נכתבת בתור   P ( A | B ) {\displaystyle \ P(A\,|\,B)} ומתוארת כהסתברות של A {\displaystyle A} בהינתן B {\displaystyle B} . התיאור המתמטי של הסתברות מותנית נתון באמצעות הנוסחה   P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) {\displaystyle \ P(A\,|\,B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}} ההסתברות המותנית אינה מעידה על קשר סיבתי או כרונולוגי בין המאורעות, אלא רק על תלות של המידע לגבי התרחשות המאורע A {\displaystyle A} בהתרחשות המאורע B {\displaystyle B} . כך למשל ייתכן כי הסתברותו של המאורע "ראובן הצליח במבחן" גדלה בהינתן המאורע "ראובן ישן היטב בלילה", אך אין זה אומר ששינה טובה גורמת להצלחה; ייתכן למשל כי במקרה של ראובן, שינה טובה מעידה על ביטחון עצמי גבוה מכיוון שראובן למד היטב, וזהו הגורם להצלחה במבחן. ההסתברות המותנית אינה סימטרית, כלומר ההסתברות של A {\displaystyle A} בהינתן B {\displaystyle B} לא בהכרח שווה להסתברות B {\displaystyle B} בהינתן A {\displaystyle A} . עם זאת, התלות בין מאורעות היא כן סימטרית. במילים אחרות: אם ההסתברות של A {\displaystyle A} בהינתן B {\displaystyle B} שונה מההסתברות של A {\displaystyle A} , אז גם ההסתברות של B {\displaystyle B} בהינתן A {\displaystyle A} שונה מההסתברות של B {\displaystyle B} . כך למשל ההסתברות למאורע "קלרה דוברת אנגלית" גדלה משמעותית בהינתן כי "קלרה היא תושבת אנגליה", אולם ההסתברות למאורע "קלרה היא תושבת אנגליה" גדלה במידה מסוימת אך לא באופן משמעותי בהינתן כי "קלרה דוברת אנגלית". זאת כיוון שרוב דוברי האנגלית בעולם אינם תושבי אנגליה. קיים קשר בין ההסתברות המותנית P ( A | B ) {\displaystyle P(A\,|\,B)} לבין ההסתברות המותנית P ( B | A ) {\displaystyle P(B\,|\,A)} . קשר זה מתואר באופן מתמטי באמצעות חוק בייס. אם X הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב   Ω {\displaystyle \ \Omega } , ו-   A ⊂ Ω {\displaystyle \ A\subset \Omega } הוא מאורע בעל הסתברות חיובית, אפשר להגדיר את המשתנה המותנה   X | A {\displaystyle \ X|A} , שההסתברויות שלו הן   P ( X = x | A ) = P ( { X = x } ∩ A ) P ( A ) {\displaystyle \ P(X=x\,|\,A)={\frac {P(\{X=x\}\cap A)}{P(A)}}} . המשתנה הזה מתקבל מצמצום ההתפלגות של המשתנה X אל המאורע A, כלומר, משינוי מרחב ההתפלגות על ידי הוספת הנחה ש-A אירע. מכונית תקועה בצד הדרך. מחצית מהאנשים העוברים בדרך יבחינו במכונית; מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעצור ליד המכונית; ולמחצית מהאנשים יש ידע טכני מספיק כדי לסייע. ידוע שאין קשר בין ידע טכני, מידת אכפתיות או הבחנה. אדם שעבר בדרך לא חילץ את המכונית. מה ההסתברות לכך שזהו אדם אכפתי? נגדיר את A {\displaystyle A} בתור המאורע "עבר אדם אכפתי", ואת B {\displaystyle B} בתור המאורע "המכונית לא חולצה". המאורע A ∩ B {\displaystyle A\cap B} הוא "עבר אדם אכפתי, והמכונית לא חולצה". מאורע זה ניתן לפירוק לשני מאורעות משנה: עבר אדם אכפתי שלא מבחין במכונית (ההסתברות היא 1/4, שכן חצי מהאנשים אכפתיים וחצי מהם אינם מבחינים); או שעבר אדם אכפתי שהבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (ההסתברות היא 1/8, שכן חצי מהאנשים אכפתיים, ורק רבע מהם גם מבחינים במכוניות וגם אינם בעלי כישורים טכניים). שני מאורעות המשנה לא יכולים להתרחש יחד, ולכן ההסתברות של המאורע הכולל (עבר אדם אכפתי והמכונית לא חולצה) היא סכום ההסתברויות:   P ( A ∩ B ) = 1 4 + 1 8 = 3 8 {\displaystyle \ P(A\cap B)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3}{8}}} כדי לחשב את הסתברות המאורע B {\displaystyle B} , נחשב ראשית את ההסתברות של המאורע המשלים – אדם שעובר יחלץ את המכונית (כלומר יבחין, יהיה אכפתי ויהיה בעל כישורים טכניים) – שהיא 1 / 2 ⋅ 1 / 2 ⋅ 1 / 2 = 1 / 8 {\displaystyle 1/2\cdot 1/2\cdot 1/2=1/8} . מכאן, ההסתברות שאדם שעובר לא יחלץ את המכונית היא   P ( B ) = 1 − 1 8 = 7 8 {\displaystyle \ P(B)=1-{\frac {1}{8}}={\frac {7}{8}}} ולכן:   P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) = 3 8 7 8 = 3 7 {\displaystyle \ P(A\,|\,B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\frac {3}{8}}{\frac {7}{8}}}={\frac {3}{7}}} הסתברות מותנית, באתר MathWorld (באנגלית) יוסי לוי, הכוכב, הסמים והכומר – סקירה של משפט בייס, באתר "נסיכת המדעים"