ממוצע אריתמטי-גאומטרי

באנליזה מתמטית, הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים הוא ערך-ביניים המתקבל מהחלפה חוזרת של המספרים בממוצע האריתמטי והגאומטרי שלהם. התהליך נחקר בתחילה על ידי לגראנז' וגאוס, ובתחילת המאה ה-19 השתמש בו לז'נדר כדי לחשב אינטגרלים אליפטיים. אם a , b {\displaystyle a,b} הם מספרים (ממשיים) חיוביים, הממוצע האריתמטי-גאומטרי שלהם הוא הגבול המשותף של הסדרות a n , b n {\displaystyle a_{n},b_{n}} , המוגדרות ברקורסיה על-פי הנוסחאות: a n + 1 = a n b n {\displaystyle a_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}} (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע גאומטרי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת), b n + 1 = a n + b n 2 {\displaystyle b_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}} (כל איבר בסדרה זו הוא ממוצע אריתמטי של שני איברים: קודמו בסדרה והמקביל בסדרה האחרת), כאשר a 0 = a , b 0 = b {\displaystyle a_{0}=a,b_{0}=b} . מקובל לסמן את הממוצע M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} . כדי למצוא את הממוצע אריתמטי-גאומטרי של a 0 = 6 , b 0 = 24 {\displaystyle a_{0}=6,b_{0}=24} , נחשב תחילה את הממוצע האריתמטי והממוצע הגאומטרי שלהם: a 1 = 6 ⋅ 24 = 12 b 1 = 1 2 ( 6 + 24 ) = 15 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&={\sqrt {6\cdot 24}}=12\\b_{1}&={\tfrac {1}{2}}(6+24)=15\end{aligned}}} נמשיך בתהליך האיטרציה ונחשב: a 2 = 12 ⋅ 15 = 13.41640786500 … b 2 = 1 2 ( 12 + 15 ) = 13.5 {\displaystyle {\begin{aligned}a_{2}&={\sqrt {12\cdot 15}}=13.41640786500\ldots \\b_{2}&={\tfrac {1}{2}}(12+15)=13.5\end{aligned}}} וכן הלאה. ארבעת הצעדים הראשונים נותנים את הערכים הבאים: הערכים מתקרבים זה לזה במהירות, וגבולם המשותף הוא הממוצע האריתמטי-גאומטרי של זוג המספרים המקוריים. קל להוכיח (אי-שוויון הממוצעים) כי a n ≤ a n + 1 ≤ b n + 1 ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_{n}} לכל n > 0 {\displaystyle n>0} , ואם a < b {\displaystyle a<b} הממוצע מתכנס לגבול ממשי מסוים, בהתאם ללמה של קנטור, ומקיים a < M ( a , b ) < b {\displaystyle a<M(a,b)<b} . לממוצע האריתמטי-גאומטרי כמה תכונות חשובות: הפונקציה M {\displaystyle M} הומוגנית מסדר 1 (כלומר M ( λ a , λ b ) = λ M ( a , b ) {\displaystyle M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b)} ); לכן, אם מגדירים f ( x ) = M ( x , 1 ) {\displaystyle f(x)=M(x,1)} אפשר לשחזר את M {\displaystyle M} לפי הזהות M ( a , b ) = b ⋅ f ( a b ) {\displaystyle M(a,b)=b\cdot f\left({\tfrac {a}{b}}\right)} . בנוסף לזה, מן ההגדרה נובע כי M ( a , b ) = M ( a b , a + b 2 ) {\displaystyle M(a,b)=M\left({\sqrt {ab}},{\frac {a+b}{2}}\right)} ; במילים אחרות f ( x ) = x + 1 2 ⋅ f ( 2 x x + 1 ) {\displaystyle f(x)={\frac {x+1}{2}}\cdot f\left({\frac {2{\sqrt {x}}}{x+1}}\right)} . ב-30 במאי 1799 הבחין גאוס כי הערכים 1 M ( 1 , 2 ) , 2 π ∫ 0 1 d x 1 − x 4 {\displaystyle {\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}},{\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}} מתלכדים לפחות עד-כדי 11 ספרות עשרוניות (הערך המשותף נקרא לפעמים "קבוע גאוס"). גילוי זה התניע עבודה רבה באנליזה של המאה ה-19. בהמשך גילה והוכיח גאוס נוסחה כללית 1 M ( 1 , x ) = 2 π ∫ 0 0.5 π d θ 1 − ( 1 − x 2 ) sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\frac {1}{M(1,x)}}={\frac {2}{\pi }}\int \limits _{0}^{0.5\pi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-(1-x^{2})\sin ^{2}(\theta )}}}} ובכך הניח את היסוד לעבודתם של אבל ויעקובי על אינטגרלים של פונקציות אלגבריות. בעוד הקשרים שנמצאו בין הממוצע האריתמטי גאומטרי של מספרים ממשיים לאינטגרלים אליפטיים הוליכו לפתרון כמה מן הבעיות הקשות באנליזה של המאה ה-18, חקר הממוצע האריתמטי גאומטרי של זוג מספרים ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} משדה המספרים המרוכבים הוליך לכמה מההתפתחויות המעמיקות ביותר במתמטיקה של המאה ה-19. מסתבר שבעבור שני מספרים מרוכבים, הממוצע האריתמטי גאומטרי הופך לפונקציה רב-ערכית (Multi-valued function), המקבלת אינסוף ערכים עבור כל זוג מספרים שמציבים בה. הסיבה לכך נעוצה בכך שהשורש הריבועי של מכפלת המספרים b n {\displaystyle b_{n}} מקבל שני ערכים בכל פעם, כך שלא מקבלים אפשרות אחת לסדרה ( a n , b n ) {\displaystyle (a_{n},b_{n})} אלא דווקא אינסוף הסתעפויות. מתברר שכאשר בוחרים בכל איטרציה בתור ממוצע גאומטרי את הערך הקרוב יותר לממוצע החשבוני (זו הבחירה ה"נכונה" כביכול), זוג הסדרות מתכנס לאותו ערך כמו במקרה הממשי. על ידי ביצוע מספר סופי של "שגיאות" מכוונות בהוצאת השורש, ניתן לקבל ערכים שונים של M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} . מבין הערכים השונים של M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} ניתן להגדיר ערך מסוים כ"פשוט ביותר", והוא הערך שמתקבל כאשר כל הבחירות נכונות. התוצאה העמוקה הבאה של גאוס קובעת את הקשר בין הערך היסודי (הערך הפשוט ביותר) של הממוצע האריתמטי גאומטרי לכל הערכים האפשריים האחרים שלו: משפט. יהיו a , b {\displaystyle a,b} שני מספרים מרוכבים המקיימים a ≠ ± b {\displaystyle a\neq \pm b} , ויהיו λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} הערכים הפשוטים ביותר של M ( a , b ) , M ( a + b , a − b ) {\displaystyle M(a,b),M(a+b,a-b)} בהתאמה. אז כל הערכים האפשריים λ {\displaystyle \lambda } של M ( a , b ) {\displaystyle M(a,b)} ניתנים על ידי הנוסחה: 1 λ = c 1 λ 1 + c 2 λ 2 i {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {c_{1}}{\lambda _{1}}}+{\frac {c_{2}}{\lambda _{2}}}i} כאשר c , d {\displaystyle c,d} הם שני מספרים טבעיים זרים שרירותיים המקיימים c 1 ≡ 1 ( mod 4 ) , c 2 ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle c_{1}\equiv 1\,(\!{\bmod {4}}),c_{2}\equiv 0\,(\!{\bmod {4}})} . ההוכחה שמובאת להלן ניתנה לראשונה על ידי גאוס. יהי האינטגרל: I ( y , x ) = ∫ 0 0.5 π d θ x 2 cos 2 ⁡ ( θ ) + y 2 sin 2 ⁡ ( θ ) {\displaystyle I(y,x)=\int \limits _{0}^{0.5\pi }{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}(\theta )+y^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}} ההוכחה של גאוס מבוססת על הצבת משתנים גאונית – נחליף את משתנה האינטגרציה θ {\displaystyle \theta } במשתנה חדש θ ′ {\displaystyle \theta '} שמקיים: sin ⁡ ( θ ) = 2 x sin ⁡ ( θ ′ ) ( x + y ) + ( x − y ) sin 2 ⁡ ( θ ′ ) {\displaystyle \sin(\theta )={\frac {2x\sin(\theta ')}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}(\theta ')}}} ונקבל לאחר פישוט אלגברי ארוך ומסובך: I ( x , y ) = ∫ 0 0.5 π d θ ′ ( 1 2 ( x + y ) ) 2 cos 2 ⁡ ( θ ′ ) + ( x y ) 2 sin 2 ⁡ ( θ ′ ) = I ( 1 2 ( x + y ) , x y ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int \limits _{0}^{0.5\pi }{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}(\theta ')+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}(\theta ')}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}\end{aligned}}} אם נביט בביטוי תחת סימן האינטגרל נשים לב לאנלוגיה בינו לתכונות הממוצע האריתמטי-גאומטרי; הממוצע האריתמטי-גאומטרי של שני מספרים שווה לממוצע האריתמטי-גאומטרי של הממוצעים האריתמטיים והגאומטריים שלהם. לפיכך נקבל: I ( x , y ) = I ( a 1 , g 1 ) = I ( a 2 , g 2 ) = ⋯ = I ( M ( x , y ) , M ( x , y ) ) = π 2 M ( x , y ) {\displaystyle I(x,y)=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots =I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}} השוויון האחרון נובע מההבחנה כי I ( z , z ) = ∫ 0 0.5 π d θ z = π 2 z {\displaystyle I(z,z)=\int \limits _{0}^{0.5\pi }\!{\frac {d\theta }{z}}={\frac {\pi }{2z}}} . לבסוף, קיבלנו את התוצאה המבוקשת: M ( x , y ) = π 2 I ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}} פונקציות תטא אלגוריתם גאוס-לז'נדר J.M. Borwein and P. B. Borwein, Pi and the AGM, 1987. ממוצע אריתמטי-גאומטרי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) ממוצע אריתמטי-גאומטרי, באתר MathWorld (באנגלית)