ממוצע זהותי

במתמטיקה, ממוצע זהותי הוא גודל מתמטי המייצג את הממוצע של שני מספרים ממשיים חיוביים. עבור שני מספרים ממשיים חיוביים ושונים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} , הממוצע הזהותי שלהם מוגדר להיות: I ( a , b ) := exp ⁡ ( a ln ⁡ a − b ln ⁡ b a − b − 1 ) = 1 e a a b b a − b {\displaystyle I(a,b):=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}} כאשר a = b {\displaystyle a=b} מגדירים I ( a , b ) := a = b {\displaystyle I(a,b):=a=b} משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים a < b {\displaystyle a<b} ופונקציה f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } רציפה בקטע הסגור [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} וגזירה בקטע הפתוח ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , אזי קיים a < c < b {\displaystyle a<c<b} כך ש: f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} אם הנגזרת f ′ {\displaystyle f'} היא פונקציה חד-חד-ערכית, c {\displaystyle c} זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} לפי הפונקציה f {\displaystyle f} . הממוצע הזהותי מתקבל מקביעת f ( x ) = x ln ⁡ x {\displaystyle f(x)=x\ln x} . הממוצע הזהותי הוא סימטרי: I ( a , b ) = exp ⁡ ( a ln ⁡ a − b ln ⁡ b a − b − 1 ) = exp ⁡ ( b ln ⁡ b − a ln ⁡ a b − a − 1 ) = I ( b , a ) {\displaystyle I(a,b)=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)=\exp \left({\frac {b\ln b-a\ln a}{b-a}}-1\right)=I(b,a)} ניתן להוכיח כי הממוצי הזהותי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן a 1 ≤ a 2 {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}} ו- b 1 ≤ b 2 {\displaystyle b_{1}\leq b_{2}} ניתן להוכיח כי I ( a 1 , b 1 ) ≤ I ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle I(a_{1},b_{1})\leq I(a_{2},b_{2})} הממוצע הזהותי הוא הומוגני. כלומר, לכל a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} ולכל מקדם α > 0 {\displaystyle \alpha >0} : I ( α a , α b ) = exp ⁡ ( α a ln ⁡ ( α a ) − α b ln ⁡ ( α b ) α a − α b − 1 ) = exp ⁡ ( a ln ⁡ ( α a ) − b ln ⁡ ( α b ) a − b − 1 ) = exp ⁡ ( a ln ⁡ a + a ln ⁡ α − b ln ⁡ b − b ln ⁡ α a − b − 1 ) = exp ⁡ ( a ln ⁡ a − b ln ⁡ b a − b + ln ⁡ α − 1 ) = α exp ⁡ ( a ln ⁡ a − b ln ⁡ b a − b − 1 ) = α I ( a , b ) {\displaystyle {\begin{aligned}I(\alpha a,\alpha b)=\exp \left({\frac {\alpha a\ln(\alpha a)-\alpha b\ln(\alpha b)}{\alpha a-\alpha b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln(\alpha a)-b\ln(\alpha b)}{a-b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln a+a\ln \alpha -b\ln b-b\ln \alpha }{a-b}}-1\right)\\=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}+\ln \alpha -1\right)\\=\alpha \exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)\\=\alpha I(a,b)\end{aligned}}} הממוצע הזהותי I ( x , y ) {\displaystyle I(x,y)} הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן x ≠ y {\displaystyle x\neq y} הרציפות נובעת מכך שהממוצע הזהותי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות רציפות כגון חיסור, כפל, חילוק, אקספוננט ולוגריתם. עבור הנקודות שבהן x = y {\displaystyle x=y} ניתן להיעזר בגבול: lim x → y x ln ⁡ x − y ln ⁡ y x − y = ln ⁡ y + 1 {\displaystyle \lim _{x\to y}{\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}=\ln y+1} כדי לקבל ש: lim x → y I ( x , y ) = lim x → y exp ⁡ ( x ln ⁡ x − y ln ⁡ y x − y − 1 ) = exp ⁡ ( ln ⁡ y + 1 − 1 ) = y = I ( y , y ) {\displaystyle \lim _{x\to y}{I(x,y)}=\lim _{x\to y}{\exp \left({\frac {x\ln x-y\ln y}{x-y}}-1\right)}=\exp(\ln y+1-1)=y=I(y,y)} עבור שני מספרים ממשיים חיוביים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} ומספר ממשי p ≠ 0 , 1 {\displaystyle p\neq 0,1} , ממוצע סטולרסקי מחזקה p {\displaystyle p} מוגדר להיות: S p ( a , b ) := { a if  a = b ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 otherwise {\displaystyle S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}} ניתן להוכיח כי על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר עבור p = 1 {\displaystyle p=1} , מתקיים: lim p → 1 S p ( a , b ) = I ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=I(a,b)} מסיבה זו ניתן להתייחס לממוצע הזהותי כמקרה פרטי של ממוצע סטולרסקי מחזקה 1. ממוצע זהותי, באתר MathWorld (באנגלית) ממוצע זהותי, באתר MathWorld (באנגלית) יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס