אלף אפס

ℵ 0 {\displaystyle \!\,\aleph _{0}}   (אָלֶף אֶפֶס) הוא הסימון המקובל בתורת הקבוצות לעוצמה של קבוצת המספרים הטבעיים, שהיא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. כמו שמוכיח משפט קנטור, אף עוצמה אינה גדולה ביותר. קבוצות שעוצמתן אלף אפס נקראות קבוצות בנות מנייה. תורת הקבוצות נוסדה על ידי המתמטיקאי הגרמני גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. הוא השתמש לראשונה בסימון אָלֶף אֶפֶס במאמר שנכתב בשנת 1893, וראה אור בדפוס בשנת 1895, בכותרת Die kleinste transfinite Cardinalzahl Alef-null (המספר המונה האינסופי הקטן ביותר אלף אפס), שהופיע בכתב העת Mathematische Annalen. במאמר כותב קנטור: ℵ 0 {\displaystyle \!\,\aleph _{0}} wir nennen die ihr zukommende Cardinalzahl, in Zeichen (נקרא למספר המונה הקשור בקבוצה זו בסימן ℵ 0 {\displaystyle \!\,\aleph _{0}} ). במכתב ששלח קנטור ב-30 באפריל 1895 הסביר את מניעיו לבחור באות א של האלפבית העברי: "נראה לי שלמטרה זו מערכות אלפבית אחרות כבר היו בשימוש נרחב מדי". פרשנים שונים ייחסו לקנטור כוונות עמוקות יותר, החל מהפירוש התמים שאלף, האות הראשונה באלפבית העברי, מציינת התחלה חדשה, המשך בפירושים שלפיהם קנטור, שהיה ממשפחה מתבוללת, ידע שאלף היא האות הראשונה של המילה העברית "אינסוף", וכלה בטענה שקנטור בחר באות אלף בשל משמעותה בקבלה. או רמיזה לכינוי "אלופו של עולם" לה', שהוא אינסופי. בדומה לסימון ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} לעוצמה האינסופית הקטנה ביותר, מגדירים ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} כעוצמה הקטנה ביותר הגדולה מ- ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{2}} כעוצמה הקטנה ביותר הגדולה מ- ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} , וכן הלאה. העוצמה ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} מוגדרת כעוצמה הקטנה ביותר הגדולה מכל ℵ n {\displaystyle \aleph _{n}} , וכך מוגדרת באינדוקציה טרנספיניטית העוצמה ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} לכל מספר סודר α {\displaystyle \alpha } . את עוצמת הרצף, שהיא עוצמת הממשיים, סימן קנטור באות ℵ {\displaystyle \!\,\aleph } (כיום משתמשים גם באות c {\displaystyle \!\,c} , שהיא האות הראשונה של המלה continuum, לעוצמה זו). הוכחת האלכסון של קנטור מראה כי   ℵ ≠ ℵ 0 {\displaystyle \ \aleph \neq \aleph _{0}} . הוכח שעוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר ℵ = 2 ℵ 0 {\displaystyle \!\,\aleph =2^{\aleph _{0}}} . קנטור שיער ש- ℵ 1 = 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}} , כלומר, יש רק עוצמה אינסופית אחת הקטנה משל הממשיים, והיא זו של הטבעיים. השערה זו נודעה בשם "השערת הרצף". בשנת 1940 הוכיח קורט גדל שהשערת הרצף אינה עומדת בסתירה למערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. בשנת 1963 הוכיח המתמטיקאי פול כהן שגם שלילת ההשערה אינה סותרת את מערכת האקסיומות של תורת הקבוצות. יחד, מראות התוצאות האלה שהשערת הרצף עצמאית. ערך מורחב – ב (מתמטיקה) גם לאות ב' יש שימוש בתורת הקבוצות. הסימון ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}} מציין את עוצמת הרצף 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} . ℶ 2 {\displaystyle \beth _{2}} מציין את 2 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}} . ℶ 3 {\displaystyle \beth _{3}} מציין את 2 2 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{2^{2^{\aleph _{0}}}}} . ℶ 4 {\displaystyle \beth _{4}} מציין את 2 2 2 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{2^{2^{2^{\aleph _{0}}}}}} . וכן הלאה ע"פ הנוסחה ℶ α + 1 = 2 ℶ α {\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}} עבור סודרים עוקבים, ו- ℶ λ = sup { ℶ α : α < λ } {\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \}} עבור סודרים גבוליים. המלון של הילברט Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic Aleph Null and Cantor אלף אפס, באתר MathWorld (באנגלית) טענה זו מניחה גרסה חלשה של אקסיומת הבחירה; בלעדיה, נכון רק שכל עוצמה הקטנה מעוצמת הטבעיים היא סופית, אבל ייתכן שיש עוצמות אינסופיות שאינן בנות השוואה אליה.