שבר (מתמטיקה)

המונח "שבר פשוט" מפנה לכאן. לערך העוסק במונח הרפואי, ראו שבר (רפואה). במתמטיקה אלמנטרית, שבר הוא מספר, המוצג כחילוק של מספר שלם אחד במספר שלם שני (שאיננו 0). לשבר יש את הצורה m n {\displaystyle {\tfrac {m}{n}}} , כאשר n, m הם מספרים שלמים, ו-n איננו 0. מספר ממשי הניתן להצגה כשבר נקרא מספר רציונלי. דוגמה: המספרים 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} , 4 3 {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}} הם שברים. במשמעות רחבה יותר, שבר הוא כל מספר המוצג כחילוק של מספר אחד (לאו דווקא שלם) במספר אחר (למשל: π/4) ואף ביטוי המוצג כחילוק של ביטוי אחד באחר (למשל: x + 2 x 2 − 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}} ). בהמשך ערך זה נתמקד במשמעות הבסיסית, שהוצגה בתחילת הערך. הקו המפריד בין שני המספרים היוצרים את השבר קרוי קו השבר, המספר שמעליו קרוי מונה, והמספר שמתחתיו קרוי מכנה. לעיתים מחליף את קו השבר הסימן / {\displaystyle \!\,/} , והשבר   n m {\displaystyle \ {\frac {n}{m}}} נרשם בצורה n / m {\displaystyle \!\,n/m} . מקובלת הבחנה בין שני סוגים של שברים: שבר אמיתי: שבר שבו המונה קטן מהמכנה. שבר כזה גדול מ-0 וקטן מ-1. שבר מדומה: שבר שבו המונה גדול מהמכנה או שווה לו. מספר המורכב משלם ושבר קרוי מספר מעורב. שבר שבו למונה ולמכנה אין גורם משותף נקרא שבר מצומצם. כל שבר (עם מונה ומכנה שלמים) אפשר לצמצם, באמצעות חלוקת המונה והמכנה בגורם המשותף שלהם. לדוגמה: 6 12 {\displaystyle {\tfrac {6}{12}}} אינו שבר מצומצם, אך אם נחלק את המונה והמכנה ב-6 נקבל את השבר המצומצם 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} , השווה בערכו לשבר המקורי. שבר יסודי (ידוע גם כשבר יחידה, או שבר אוניטרי מהמונח האנגלי unit fraction) הוא מספר רציונלי הנכתב בצורת שבר שבו המונה שווה ל-1 והמכנה הוא מספר טבעי. שבר יסודי הוא לפיכך ההופכי של מספר טבעי, וצורתו 1 n {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}} . דוגמאות לשבר יסודי הן   1 1 = 1 {\displaystyle \ {{\tfrac {1}{1}}=1}} ,   1 2 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}} ,   1 3 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{3}}} ,   1 42 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{42}}} , וכיוצא באלה. כל מספר רציונלי   m n {\displaystyle \ {\tfrac {m}{n}}} ניתן לייצוג כסכום של שברים יסודיים (לעיתים בכמה אופנים) ההצגה נקראת שבר מצרי. שבר מדומה הוא שבר פשוט שערכו המוחלט שווה ל–1 או גדול ממנו. למשל, 3 2 {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} , 2 2 {\displaystyle {\tfrac {2}{2}}} או − 2 2 {\displaystyle -{\tfrac {2}{2}}} . בשבר המדומה ערכו המוחלט של המונה גדול או שווה לערכו המוחלט של המכנה. שבר מדומה נקרא בעברית בשם זה, כי נדמה שהוא שבר, אך למעשה אפשר לפרק אותו כסכום של שלם ושבר. באנגלית נקרא השבר המדומה Improper fraction, כלומר "שבר לא תקין". אותה משמעות יש גם למונח הגרמני. בסינית השם הוא "שבר מזויף". המונח העברי אינו מרמז על תכונה שלילית של השבר המדומה (או על קשר כלשהו למספר מדומה), אלא רק על כך שמאחוריו חבוי משהו אחר. כאמור, שבר מדומה נקרא כך כי אפשר לשנות את צורתו, ולמצוא בו שלמים. אם מחלצים משבר מדומה את כל השלמים שבו מתקבל מספר מעורב. למשל 22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} אפשר לכתוב גם כ- 3 1 7 {\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}} . האלגוריתם לביצוע המעבר הזה הוא פשוט חילוק: למשל 22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} הופכים למספר מעורב על ידי ביצוע פעולת החילוק 22:7, מה שנותן 3 עם שארית 1. מכיוון שכדי להשלים את פעולת החילוק יש לחלק גם את השארית ב-7, מתקבל 3 1 7 {\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}} . כדי להפוך את 3 1 7 {\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}} לשבר מדומה יש להכפיל את מספר היחידות-(3) במכנה-(7) = 21 ולהוסיף את השבר-( 1 7 {\displaystyle {\tfrac {1}{7}}} ). המספר 3 1 7 {\displaystyle 3{\tfrac {1}{7}}} הוא 1 + 21 {\displaystyle 1+21} שביעיות, כלומר 22 7 {\displaystyle {\tfrac {22}{7}}} . בין שני שברים,   a b {\displaystyle \ {\tfrac {a}{b}}} ו-   c d {\displaystyle \ {\tfrac {c}{d}}} מתקיים שוויון אם ורק אם   a ⋅ d = b ⋅ c {\displaystyle \ a\cdot d=b\cdot c} . הכפלה של המונה והמכנה של שבר נתון במספר שלם שונה מ-0 אינה משנה את ערכו. בנוסחה   a b = c ⋅ a c ⋅ b {\displaystyle \ {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c\cdot a}{c\cdot b}}} , לכל   c ≠ 0 {\displaystyle \ c\neq 0} שלם. כדי לחבר שני שברים, יש להביאם למכנה משותף, ותוצאת החיבור היא סכום המונים של השברים (לאחר הבאתם למכנה משותף) מחולק במכנה המשותף. המכנה המשותף המיידי הוא מכפלת שני המכנים. בנוסחה:   a b + c d = a d + c b b d {\displaystyle \ {\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ad+cb}{bd}}} דוגמה:   1 6 + 5 21 = 7 + 10 42 = 17 42 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {5}{21}}={\tfrac {7+10}{42}}={\tfrac {17}{42}}} . בחיסור השיטה זהה, כשפעולת החיבור מוחלפת בפעולת החיסור. בנוסחה:   a b − c d = a d − c b b d {\displaystyle \ {\tfrac {a}{b}}-{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ad-cb}{bd}}} דוגמה:   1 6 − 5 21 = 7 − 10 42 = − 3 42 = − 1 14 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {5}{21}}={\tfrac {7-10}{42}}={\tfrac {-3}{42}}=-{\tfrac {1}{14}}} . כפל של שני שברים זה בזה שווה למכפלת המונים חלקי מכפלת המכנים. בנוסחה:   a b ⋅ c d = a c b d {\displaystyle \ {\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ac}{bd}}} דוגמה:   2 6 ⋅ 5 7 = 2 ⋅ 5 6 ⋅ 7 = 10 42 = 5 21 {\displaystyle \ {\tfrac {2}{6}}\cdot {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {2\cdot 5}{6\cdot 7}}={\tfrac {10}{42}}={\tfrac {5}{21}}} . חילוק של שבר א' בשבר ב' שווה למכפלה של שבר א' בהופכי של שבר ב'. בנוסחה:   a b ÷ c d = a b ⋅ d c = a d b c {\displaystyle \ {\tfrac {a}{b}}\div {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {d}{c}}={\tfrac {ad}{bc}}} דוגמה:   2 3 ÷ 5 7 = 2 3 ⋅ 7 5 = 2 ⋅ 7 3 ⋅ 5 = 14 15 {\displaystyle \ {\tfrac {2}{3}}\div {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {7}{5}}={\tfrac {2\cdot 7}{3\cdot 5}}={\tfrac {14}{15}}} . ערך מורחב – שבר עשרוני הצגה אחרת של שברים נעשית באמצעות שבר עשרוני. השבר הפשוט, 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} , למשל, מוצג בצורה 0.5 כשבר עשרוני. הנקודה המפרידה בין שני חלקיו של שבר הרשום בצורה כזו קרויה נקודה עשרונית. משמאל לה נרשם חלקו השלם של המספר, ומימין לה נרשם חלק השבר של המספר. את הנקודה העשרונית, כפי שאנו מכירים אותה, הציג המתמטיקאי הסקוטי ג'ון נפייר בשנת 1617. בצורת רישום זו נשמרת שיטת הספירה העשרונית. על-כן, הספרה הראשונה מימין לנקודה מציינת כמות עשיריות, הספרה משמאל לה את כמות המאיות וכך הלאה. כל מספר רציונלי, כלומר כל מספר הניתן להצגה כמונה חלקי מכנה, ניתן להצגה כשבר עשרוני בעל מספר ספרות סופי או כשבר מחזורי. ייצוג מספרים בשיטה זו, שבה נקודה מפרידה בין החלק השלם לחלק השבר של המספר, אפשרי בכל בסיס, ולאו דווקא בבסיס עשרוני. המספר 10.1 בבסיס בינארי, למשל, שקול ל-2.5 בבסיס עשרוני. מספר רציונלי שבר, באתר MathWorld (באנגלית) שבר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)