טריגונומטריה ספירית

טריגנומטריה ספֵירִית היא ענף של הגאומטריה הספירית הדן במצולעים (בעיקר משולשים) המצויים על מעטפת כדורית. הטריגונומטריה הספירית עוסקת ביחסים שבין הזוויות השונות המגדירות מצולע: הזוויות שבין צלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות A,B,C או α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \,} ). הזוויות שבין מרכז הכדור לצלעות המצולע (יסומנו בהמשך באותיות a ′ , b ′ , c ′ {\displaystyle a',b',c'\,} ). (הערה: מהנוסחה לחישוב היקף מעגל מתקבל כי : a ′ = a R , b ′ = b R , c ′ = c R {\displaystyle a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,} ). ניתן לפתח את התורה על בסיס הטריגנומטריה האוקלידית ובהנחה כי נתון רדיוס הכדור (למשל, רדיוס כדור הארץ הוא כ-6400 ק"מ). המשפטים המוכרים מהגאומטריה ומהטריגונומטריה האוקלידית, אינם מתקיימים בגאומטריה הספירית, אך קיימים להם משפטים מקבילים בטריגונומטריה הספירית: משפט פיתגורס בגאומטריה האוקלידית קובע שאם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם   a {\displaystyle \ a} ו-   b {\displaystyle \ b} , ואורך היתר הוא   c {\displaystyle \ c} , אז   a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=c^{2}} . בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: cos ⁡ ( c R ) = cos ⁡ ( a R ) cos ⁡ ( b R ) {\displaystyle \cos \left({\frac {c}{R}}\right)=\cos \left({\frac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\frac {b}{R}}\right)} . כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה cos ⁡ α {\displaystyle \cos {\alpha }\,} לטור מקלורן: cos ⁡ α = 1 − α 2 2 + . . . {\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...} כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הכדורית" מקבלים: ( 1 − c 2 2 R 2 + . . . ) = ( 1 − a 2 2 R 2 + . . . ) ⋅ ( 1 − b 2 2 R 2 + . . . ) {\displaystyle \left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)} . לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2 R 2 {\displaystyle 2R^{2}\,} , מקבלים כאשר רדיוס הכדור R → ∞ {\displaystyle \,R\to \infty } את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית: a 2 + b 2 = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,} . הוכחת המשפט: את הנקודות O,A,B,C נמקם במערכת קואורדינטות קרטזיות באופן הבא: הנקודה O תהא ראשית הצירים; גזרת העיגול BOC תהא על המישור XY; הישר BO יהא על ציר ה-X. במערכת זו שעורי הנקודות A,B,C הן: B ( R , 0 , 0 ) {\displaystyle B(R,0,0)\,} , C ( R cos ⁡ ( a ′ ) , R sin ⁡ ( a ′ ) , 0 ) {\displaystyle C(R\cos(a'),R\sin(a'),0)\,} , A ( R c o s ( a ′ ) cos ⁡ ( b ′ ) , R sin ⁡ ( a ′ ) cos ⁡ ( b ′ ) , R sin ⁡ ( b ′ ) ) {\displaystyle A(Rcos(a')\cos(b'),R\sin(a')\cos(b'),R\sin(b'))\,} . את הזווית בין הווקטורים OA,OB ניתן להביע באמצעות מכפלה פנימית באופן הבא: cos ⁡ ( c ′ ) = O A ⋅ O B ‖ O A ‖ ‖ O B ‖ = cos ⁡ ( a ′ ) cos ⁡ ( b ′ ) {\displaystyle \cos(c')={\frac {OA\cdot OB}{\|OA\|\|OB\|}}=\cos(a')\cos(b')} . הצבת השוויונות: a ′ = a R , b ′ = b R , c ′ = c R {\displaystyle a'={\tfrac {a}{R}},b'={\tfrac {b}{R}},c'={\tfrac {c}{R}}\,} במשוואה האחרונה מניבה את המשפט: cos ⁡ ( c R ) = cos ⁡ ( a R ) cos ⁡ ( b R ) {\displaystyle \cos \left({\tfrac {c}{R}}\right)=\cos \left({\tfrac {a}{R}}\right)\,\cos \left({\tfrac {b}{R}}\right)} . הערה: ניתן לקבל את המשפט כמקרה פרטי של משפט הקוסינוסים (ראו בהמשך) על ידי הצבה γ = 90 0 {\displaystyle \gamma =90^{0}} . משפט הסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן   a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} והזוויות שמולן הן   α , β , γ {\displaystyle \ \alpha ,\beta ,\gamma } בהתאמה, מתקיים: a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ {\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }} . בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הסינוסים באופן הבא: sin ⁡ a R sin ⁡ α = sin ⁡ b R sin ⁡ β = sin ⁡ c R sin ⁡ γ {\displaystyle {\frac {\sin {\tfrac {a}{R}}}{\sin \alpha }}={\frac {\sin {\tfrac {b}{R}}}{\sin \beta }}={\frac {\sin {\tfrac {c}{R}}}{\sin \gamma }}} . כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הסינוסים, מפתחים את הפונקציה sin ⁡ α {\displaystyle \sin {\alpha }\,} לטור מקלורן: sin ⁡ α = α + . . . {\displaystyle \sin \alpha =\alpha +...\,} . כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט הסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים כאשר רדיוס הכדור R → ∞ {\displaystyle \,R\to \infty }  : a R + . . . sin ⁡ α = b R + . . . sin ⁡ β = c R + . . . sin ⁡ γ {\displaystyle {\frac {{\tfrac {a}{R}}+...}{\sin \alpha }}={\frac {{\tfrac {b}{R}}+...}{\sin \beta }}={\frac {{\tfrac {c}{R}}+...}{\sin \gamma }}} . לאחר הכפלה ב-R מתקבל משפט הסינוסים בגרסתו האוקלידית: a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = c sin ⁡ γ {\displaystyle {a \over \sin \alpha }={b \over \sin \beta }={c \over \sin \gamma }} . הוכחת המשפט: האנך מהנקודה A לגזרת העיגול BOC חותך אותה בנקודה D. האנכים מהנקודה D לקטעים OB,OC חותכים את הקטעים בנקודות E,F בהתאמה. אזי A F ⊥ O C {\displaystyle AF\perp OC} , A E ⊥ O B {\displaystyle AE\perp OB} וגם ∠ A E D = β {\displaystyle \angle {AED}=\beta } , ∠ A F C = γ {\displaystyle \angle {AFC}=\gamma } . במשולש AED מתקיים: sin ⁡ β = A D A E {\displaystyle \sin {\beta }={\tfrac {AD}{AE}}} ובמשולש AFD מתקיים: sin ⁡ γ = A D A F {\displaystyle \sin {\gamma }={\tfrac {AD}{AF}}} ולכן sin ⁡ β sin ⁡ γ = A F A E {\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {AF}{AE}}} . במשולש AOE מתקיים: sin ⁡ c ′ = A E R {\displaystyle \sin {c'}={\tfrac {AE}{R}}} ובמשולש AOF מתקיים: sin ⁡ b ′ = A F R {\displaystyle \sin {b'}={\tfrac {AF}{R}}} . לאחר הצבת משוואות אלו במשוואה הקודמת מקבלים: sin ⁡ β sin ⁡ γ = sin ⁡ b ′ sin ⁡ c ′ {\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {b'}}{\sin {c'}}}} , כלומר: sin ⁡ β sin ⁡ γ = sin ⁡ b R sin ⁡ c R {\displaystyle {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}={\frac {\sin {\frac {b}{R}}}{\sin {\frac {c}{R}}}}} . משפט הקוסינוסים בגאומטריה האוקלידית קובע שעבור משולש שצלעותיו הן   a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} והזוויות שמולן הן   α , β , γ {\displaystyle \ \alpha ,\beta ,\gamma } בהתאמה, מתקיים:   c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma } בטריגונומטריה הספירית, כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט הקוסינוסים באופן הבא: cos ⁡ c R = cos ⁡ a R ⋅ cos ⁡ b R + sin ⁡ a R ⋅ sin ⁡ b R ⋅ cos ⁡ γ {\displaystyle \,\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma } . (עבור זוויות המשולש מתקיים משפט אנלוגי: cos ⁡ γ = − cos ⁡ α ⋅ cos ⁡ β + sin ⁡ α ⋅ sin ⁡ β ⋅ cos ⁡ c R {\displaystyle \,\cos \gamma =-\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos {\frac {c}{R}}} ). כדי להבין מדוע משפט זה הוא אכן המקבילה של משפט הקוסינוסים, מפתחים את הפונקציות cos ⁡ α , sin ⁡ α {\displaystyle \cos {\alpha },\sin {\alpha }\,} לטור מקלורן: cos ⁡ α = 1 − α 2 2 + . . . {\displaystyle \cos \alpha =1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}+...} , sin ⁡ α = α + . . . {\displaystyle \sin \alpha =\alpha +...\,} . כאשר מציבים את הפיתוחים הנ"ל ב"משפט הקוסינוסים בגאומטריה הספירית" מקבלים: ( 1 − c 2 2 R 2 + . . . ) = ( 1 − a 2 2 R 2 + . . . ) ⋅ ( 1 − b 2 2 R 2 + . . . ) + ( a ⋅ b R 2 ⋅ cos ⁡ γ + . . . ) {\displaystyle \left(1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+...\right)=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+...\right)\cdot \left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+...\right)+\left({\frac {a\cdot b}{R^{2}}}\cdot \cos {\gamma }+...\right)} . לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם 2 R 2 {\displaystyle 2R^{2}\,} , מקבלים כאשר רדיוס הכדור R → ∞ {\displaystyle \,R\to \infty } את משפט הקוסינוסים בגרסתו האוקלידית:   c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma } . מדיה וקבצים בנושא טריגונומטריה ספירית בוויקישיתוף טריגונומטריה ספירית, באתר MathWorld (באנגלית) טריגונומטריה ספרית, דף שער בספרייה הלאומית