פולינום סימטרי אלמנטרי

באלגברה, הפולינומים הסימטריים האלמנטריים הם סוג אפשרי של אבני בניין של פולינומים סימטריים, במובן שכל פולינום סימטרי ניתן לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. ישנו פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה d {\displaystyle d} ב- n {\displaystyle n} משתנים בעבור כל מעלה שמקיימת d ≤ n {\displaystyle d\leq n} , והוא נוצר על ידי חיבור כל המכפלות האפשריות של d {\displaystyle d} משתנים שונים מתוך האוסף של n {\displaystyle n} משתנים. הפולינומים הסימטריים האלמנטריים ב- n {\displaystyle n} משתנים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , שנסמנם e k ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})} בעבור k = 0 , 1 , … , n {\displaystyle k=0,1,\ldots ,n} , מוגדרים כך: e 0 ( x 1 , … , x n ) = 1 e 1 ( x 1 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ i ≤ n x i e 2 ( x 1 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 ≤ n x i 1 x i 2 e 3 ( x 1 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ i 1 < i 2 < i 3 ≤ n x i 1 x i 2 x i 3 {\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1\\[10pt]e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i\leq n}x_{i}\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}\leq n}\!\!\!\!x_{i_{1}}x_{i_{2}}\\e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<i_{3}\leq n}\!\!\!\!\!\!x_{i_{1}}x_{i_{2}}x_{i_{3}}\end{aligned}}} וכך הלאה, עד הפולינום האלמנטרי האחרון e n ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋯ x n {\displaystyle e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}\cdots x_{n}} . באופן כללי, עבור 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} מגדירים: e k ( x 1 , … , x n ) = ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ n x i 1 ⋯ x i k {\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}\!\!\!\!\!\!x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}} לכן, בעבור כל שלם אי-שלילי k ≤ n {\displaystyle k\leq n} ישנו בדיוק פולינום סימטרי אלמנטרי אחד ממעלה k {\displaystyle k} ב- n {\displaystyle n} משתנים. כדי ליצור את הפולינום האלמנטרי ממעלה k {\displaystyle k} , יש לקחת את הסכום של כל המכפלות של תת-קבוצות בעלות k {\displaystyle k} איברים שונים של קבוצת המשתנים המקורית (בשונה מכך, אם מבצעים את אותה פעולה באמצעות מולטי-קבוצות של משתנים, כלומר על ידי בחירה עם חזרות של משתנים, אז מקבלים את הפולינום ההומוגני השלם ממעלה k {\displaystyle k} ב- n {\displaystyle n} משתנים). להלן רשימה של כל הפולינומים הסימטריים האלמנטריים בעבור מספר משתנים בין אחד לארבע (בכל מקרה, e 0 = 1 {\displaystyle e_{0}=1} גם הוא אחד הפולינומים): n = 1 : e 1 ( x 1 ) = x 1 n = 2 : e 1 ( x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 e 2 ( x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 n = 3 : e 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 e 2 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 e 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 n = 4 : e 1 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 e 2 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 e 3 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 2 x 3 x 4 e 4 ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 1 x 2 x 3 x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}&n=1:\\&e_{1}(x_{1})=x_{1}\\\\&n=2:\\&e_{1}(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}\\&e_{2}(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2}\\\\&n=3:\\&e_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\&e_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}\\&e_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}x_{2}x_{3}\\\\&n=4:\\&e_{1}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\\&e_{2}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\\&e_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}\\&e_{4}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\end{aligned}}} הפולינומים הסימטריים האלמנטריים מופיעים כאשר מפתחים פירוק לגורמים ליניאריים של פולינום במשתנה אחד; ישנה הזהות: ∏ j = 1 n ( λ − x j ) = λ n − e 1 ( x 1 , … , x n ) λ n − 1 + e 2 ( x 1 , … , x n ) λ n − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n e n ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \prod _{j\,=\,1}^{n}(\lambda -x_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})} כלומר, כאשר מציבים ערכים מספריים במשתנים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} מקבלים את מקדמי הפולינום ששורשיו הם הערכים שהוצבו עבור x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} . הקשרים בין השורשים למקדמים של הפולינום נקראים נוסחאות ויאטה. הפולינום האופייני של מטריצה ריבועית הוא דוגמה ליישום של נוסחאות ויאטה. השורשים של הפולינום הזה הם הערכים העצמיים של המטריצה. כאשר מציבים את הערכים העצמיים הללו בפולינומים הסימטריים האלמנטריים מקבלים, עד כדי סימן, את המקדמים של הפולינום האופייני. למשל, העקבה של המטריצה (סכום האיברים על האלכסון הראשי) הוא הערך של e 1 {\displaystyle e_{1}} , ולפיכך הוא גם סכום הערכים העצמיים שלה – או העקבה של הצורה האלכסונית של המטריצה. בדומה לכך, הדטרמיננטה היא, עד כדי סימן, האיבר הקבוע של הפולינום האופייני; כלומר היא שווה ל- e n {\displaystyle e_{n}} . לכן הדטרמיננטה של מטריצה היא מכפלת הערכים העצמיים. האוסף של פולינומים סימטריים אלמנטריים ב- n {\displaystyle n} משתנים יוצר את חוג הפולינומים הסימטריים ב- n {\displaystyle n} משתנים. באופן פורמלי יותר, חוג הפולינומים הסימטריים עם מקדמים שלמים שווה לחוג הפולינומי Z [ e 1 ( x 1 , … , x n ) , … , e n ( x 1 , … , x n ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\bigr ]}} (ראו למטה בעבור קביעה כללית והוכחה). עובדה זאת היא אחת מהיסודות של תורת האינווריאנטים. בעבור חוג חילופי A {\displaystyle A} , נסמן את החוג של פולינומים סימטריים במשתנים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} עם מקדמים ב- A {\displaystyle A} על ידי A [ x 1 , … , x n ] S n {\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{S_{n}}} . לפי המשפט היסודי של פולינומים סימטריים, זהו חוג פולינומי ב- n {\displaystyle n} הפולינומים הסימטריים האלמנטריים e k ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})} בעבור 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} . את המשפט ניתן להוכיח בעבור פולינומים הומוגניים סימטריים באמצעות אינדוקציה כפולה ביחס למספר המשתנים n {\displaystyle n} וביחס למעלת הפולינום (צעד האינדוקציה ביחס למעלה נעשה כאשר n {\displaystyle n} נלקח כקבוע). המקרה הכללי יותר של פולינום סימטרי אי-הומוגני מתקבל מהמשפט היסודי דרך פירוק הפולינום הסימטרי למרכיבים ההומוגניים שלו (שהם בהכרח סימטריים בעצמם). במקרה n = 1 {\displaystyle n=1} התוצאה מובנת מאליה כי כל פולינום במשתנה אחד הוא בהכרח סימטרי. לכן בסיס האינדוקציה מתקיים. כעת נניח שהמשפט נכון עבור כל הפולינומים ב- m < n {\displaystyle m<n} משתנים ובעבור כל הפולינומים הסימטריים ב- n {\displaystyle n} משתנים ממעלה קטנה מ- d {\displaystyle d} . כל פולינום סימטרי הומוגני P {\displaystyle P} ב- A [ x 1 , … , x n ] S n {\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]^{S_{n}}} ניתן לפירוק כסכום של פולינומים הומוגניים סימטריים באופן הבא: P ( x 1 , … , x n ) = P lacunary ( x 1 , … , x n ) + x 1 ⋯ x n ⋅ Q ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=P_{\text{lacunary}}(x_{1},\ldots ,x_{n})+x_{1}\cdots x_{n}\cdot Q(x_{1},\ldots ,x_{n})} כאן "החלק הלקוני" P lacunary {\displaystyle P_{\text{lacunary}}} מוגדר כסכום כל המונומים של P {\displaystyle P} אשר הגורמים שלהם נלקחים מתוך תת-קבוצה חלקית של n {\displaystyle n} המשתנים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , כלומר כל המונומים אשר לפחות משתנה אחד x j {\displaystyle x_{j}} חסר בהם. מאחר ש- P {\displaystyle P} סימטרי, החלק הלקוני נקבע באופן חד-חד-ערכי על ידי איברי P {\displaystyle P} שמכילים רק את המשתנים x 1 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}} . ביותר דיוק, אם A , B {\displaystyle A,B} הם שני פולינומים הומוגניים סימטריים ב- x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} בעלי אותה מעלה, ואם המקדם לפני כל מונום של A {\displaystyle A} שמכיל רק את המשתנים x 1 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}} שווה למקדם המתאים של B {\displaystyle B} , אזי ל- A , B {\displaystyle A,B} יש חלקים לקוניים זהים. זה נובע מכך שכל מונום שמופיע בחלק הלקוני מוכרח להיות בעל לפחות משתנה חסר אחד, וכמו כן P {\displaystyle P} נשמר תחת פעולת החבורה הסימטרית S n {\displaystyle S_{n}} , ולכן ניתן באמצעות תמורה מתאימה של המשתנים להפוך אותו למונום המכיל רק את המשתנים x 1 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}} . כדוגמה מוחשית, נסתכל על הפולינום הסימטרי ההומוגני P ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 + x 1 x 2 {\displaystyle P(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}} – החלק הלקוני שלו הוא x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} , ואמנם הוא מכיל גם את x 2 2 {\displaystyle x_{2}^{2}} , אך איבר זה למעשה ניתן היה לקבל מראש על בסיס האיבר x 1 2 {\displaystyle x_{1}^{2}} – אם זוכרים ש- P {\displaystyle P} סימטרי – כך שניתן להפעיל את התמורה σ = ( 1 , 2 ) {\displaystyle \sigma =(1,2)} על האינדקסים של המשתנים. האיברים של P {\displaystyle P} שמכילים רק את המשתנים x 1 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}} הם בדיוק האיברים השורדים תחת פעולת הצבת הערך של x n {\displaystyle x_{n}} על 0, כך שסכומם שווה P ( x 1 , … , x n − 1 , 0 ) {\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)} , שהוא פולינום סימטרי במשתנים x 1 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}} שנסמנו כעת P ~ ( x 1 , … , x n − 1 ) {\displaystyle {\tilde {P}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})} . מהנחת האינדוקציה, הפולינום הזה ניתן לכתיבה: P ~ ( x 1 , … , x n − 1 ) = Q ~ ( σ 1 , n − 1 , … , σ n − 1 , n − 1 ) {\displaystyle {\tilde {P}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})} עבור פולינום כלשהו Q ~ {\displaystyle {\tilde {Q}}} , כאשר σ j , n − 1 {\displaystyle \sigma _{j,n-1}} מייצג את הפולינום הסימטרי האלמנטרי ממעלה j {\displaystyle j} ב- n − 1 {\displaystyle n-1} משתנים. נתייחס כעת לפולינום R ( x 1 , … , x n ) := Q ~ ( σ 1 , n , … , σ n − 1 , n ) {\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n})} זהו פולינום סימטרי ב- x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} , ממעלה זהה ל- P lacunary {\displaystyle P_{\text{lacunary}}} , אשר מקיים R ( x 1 , … , x n − 1 , 0 ) = Q ~ ( σ 1 , n − 1 , … , σ n − 1 , n − 1 ) = P ( x 1 , … , x n − 1 , 0 ) {\displaystyle R(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)} במילים אחרות, המקדם של R {\displaystyle R} לפני כל מונום אשר מכיל רק את המשתנים x 1 , … , x n − 1 {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-1}} שווה למקדם המתאים של P {\displaystyle P} . פירוש הדבר הוא שהחלק הלקוני של R {\displaystyle R} זהה לזה של הפולינום המקורי P {\displaystyle P} . לפיכך להפרש P − R {\displaystyle P-R} אין חלק לקוני, ולכן הוא מתחלק במכפלה x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} של כל המשתנים, אשר שווה לפולינום הסימטרי האלמנטרי σ n , n {\displaystyle \sigma _{n,n}} . מאחר שמתקיים P − R = σ n , n Q {\displaystyle P-R=\sigma _{n,n}Q} , המנה Q {\displaystyle Q} היא פולינום הומוגני סימטרי ממעלה קטנה מ- d {\displaystyle d} (למעשה ממעלה לכל היותר d − n {\displaystyle d-n} ) אשר לפי הנחת האינדוקציה ניתנת לביטוי כפולינום בפולינומים הסימטריים האלמנטריים. באמצעות שילוב ההצגות של P − R {\displaystyle P-R} ו- R {\displaystyle R} ניתן לבנות הצגה פולינומית של הפולינום המקורי P {\displaystyle P} . היחידות של ההצגה ניתנת להוכחה באמצעות טכניקה אינדוקטיבית דומה. היא שקולה לעובדה ש- n {\displaystyle n} הפולינומים e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} הם בלתי תלויים אלגברית מעל החוג A {\displaystyle A} . נציג את הפולינום הסימטרי f ( x 1 , x 2 ) = x 1 4 + x 2 4 {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{4}+x_{2}^{4}} כפולינום בפולינומים האלמנטריים. בהתאם לתהליך בהוכחה, נציג את f ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2})} כהפרש בין חזקה של פולינום סימטרי אלמנטרי לבין פולינום סימטרי הומוגני ממעלה נמוכה יותר: x 1 4 + x 2 4 = e 1 4 ( x 1 , x 2 ) − ( 4 x 1 3 x 2 + 6 x 1 2 x 2 2 + 4 x 1 x 2 3 ) = e 1 4 ( x 1 , x 2 ) − e 2 ( x 1 , x 2 ) ( 4 x 1 2 + 6 x 1 x 2 + 4 x 2 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{4}+x_{2}^{4}&=e_{1}^{4}(x_{1},x_{2})-(4x_{1}^{3}x_{2}+6x_{1}^{2}x_{2}^{2}+4x_{1}x_{2}^{3})\\[5pt]&=e_{1}^{4}(x_{1},x_{2})-e_{2}(x_{1},x_{2})(4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2})\end{aligned}}} לפי הנחת האינדוקציה על מעלת הפולינום, את הפולינום 4 x 1 2 + 6 x 1 x 2 + 4 x 2 2 {\displaystyle 4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}} בהכרח ניתן להציג בדרך המבוקשת, ונראה זאת: 4 x 1 2 + 6 x 1 x 2 + 4 x 2 2 = 4 e 1 2 ( x 1 , x 2 ) − 2 e 2 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle 4x_{1}^{2}+6x_{1}x_{2}+4x_{2}^{2}=4e_{1}^{2}(x_{1},x_{2})-2e_{2}(x_{1},x_{2})} לכן קיבלנו הצגה בפולינומים האלמנטריים: x 1 4 + x 2 4 = e 1 4 ( x 1 , x 2 ) − 4 e 1 2 ( x 1 , x 2 ) e 2 ( x 1 , x 2 ) + 2 e 2 2 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=e_{1}^{4}(x_{1},x_{2})-4e_{1}^{2}(x_{1},x_{2})e_{2}(x_{1},x_{2})+2e_{2}^{2}(x_{1},x_{2})} ניתן להרחיב את הבנייה למקרה של סכום חזקות רביעיות של n {\displaystyle n} משתנים, תוך התבססות על התוצאה ל-2 משתנים ושימוש בחלק השני של הנחת האינדוקציה; ביחס למספר המשתנים. פולינום סימטרי פולינום סימטרי אלמנטרי, באתר MathWorld (באנגלית)