התפלגות משולשת

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות משולשת היא התפלגות רציפה עם גבול תחתון a, גבול עליון b ושכיח c, כך שמתקיים: a < b {\displaystyle a<b} ו- a ≤ c ≤ b {\displaystyle a\leq c\leq b} . ההתפלגות המשולשת מייצגת התפלגות בסיסית המבוססת רק על חסם עליון, חסם תחתון ושכיח. מהסיבות הללו, יש המכנים אותה "התפלגות של חוסר נתונים". לרוב משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר אין מספיק נתונים וההתפלגות אינה אחידה. אולם בעיקר משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר היחס בין המשתנים ידוע. בהתפלגות משולשת ניתן גם בקלות לחשב את ההסתברות של קבוצה בתחום, על ידי חישוב השטח שמתחת לעקומה הבנוי ממשולש. בשל מאפיינים אלו, משתמשים לרב בהתפלגות משולשת בסימולציות ובתהליכי קבלת החלטות. משתמשים גם בהתפלגות משולשת בשילוב התפלגות בטא בניהול פרויקטים. קיימים מקרים מיוחדים בהם הנקודות הן ידועות ויש שימוש בערך מסוים של c. ההתפלגות נהיית יותר פשוטה כאשר a=c או b=c. לדוגמה אם a=0 ו-b=c=1 אז בקטע שבו 0 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle 0\leq x\leq 1} , פונקציית הצפיפות ופונקציית ההצטברות מוגדרות להיות: f ( x ) = 2 x F ( x ) = x 2 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2x\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}} E ( X ) = 2 3 V a r ( X ) = 1 18 {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\mathrm {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}} בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X1, X2 שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , אז ההתפלגות של X = (X1 + X2)/2 מתאימה למקרה שבו a = 0 {\displaystyle a=0} ,‏ b = 1 {\displaystyle b=1} ו- c = 0.5 {\displaystyle c=0.5} . f ( x ) = { 4 x for  0 ≤ x < 1 2 4 − 4 x for  1 2 ≤ x ≤ 1 0 otherwise {\displaystyle f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4-4x&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}} F ( x ) = { 0 for  x < 0 2 x 2 for  0 ≤ x < 1 2 1 − 2 ( 1 − x ) 2 for  1 2 ≤ x < 1 1 for  1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0\\2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\1-2(1-x)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\\1&{\text{for }}1\leq x\leq 1\\\end{cases}}} E ( X ) = 1 2 Var ⁡ ( X ) = 1 24 {\displaystyle {\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}} בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X1, X2 שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , אז ההתפלגות של X = | X 1 − X 2 | {\displaystyle X=\left|X_{1}-X_{2}\right|} מתאימה למקרה שבו a = 0,‏ b = 1 ו-c = 0. f ( x ) = 2 − 2 x ,  for  0 ≤ x < 1 F ( x ) = 2 x − x 2 ,  for  0 ≤ x < 1 E ( X ) = 1 3 Var ⁡ ( X ) = 1 18 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=2-2x,{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2},{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}} כאשר נתון משתנה מקרי U שמתפלג באופן אחיד על הקטע ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} , אז (בעזרת דגימה מהעתקה הופכית) המשתנה { X = a + U ( b − a ) ( c − a )  for  0 < U < F ( c ) X = b − ( 1 − U ) ( b − a ) ( b − c )  for  F ( c ) ≤ U < 1 {\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{cases}X=a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\X=b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}\end{matrix}}} כאשר F היא פונקציית ההתפלגות של התפלגות משולשת עם פרמטרים a,‏ b ו-c, ומכאן שמתקיים F(c) = (c-a)/(b-a). מדיה וקבצים בנושא התפלגות משולשת בוויקישיתוף התפלגות משולשת, באתר MathWorld (באנגלית)