סדרה מתכנסת

סדרה מתכנסת של מספרים ממשיים היא סדרה שיש לה גבול, כלומר, איבריה הולכים ושואפים למספר כלשהו, או לערך + ∞ {\displaystyle +\infty } או לערך − ∞ {\displaystyle -\infty } (אינסוף או מינוס אינסוף). הסדרה { a 1 , a 2 , … } {\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots \}} מתכנסת למספר L {\displaystyle L} אם לכל ערך חיובי ε {\displaystyle \varepsilon } יש מספר טבעי N {\displaystyle N} שממנו והלאה (כלומר לכל n > N {\displaystyle n>N} ) מתקיים | a n − L | < ε {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon } . סדרה מתכנסת ל + ∞ {\displaystyle +\infty } אם לכל מספר גדול כרצוננו M {\displaystyle M} קיים מספר טבעי N {\displaystyle N} שלכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים a n > M {\displaystyle a_{n}>M} . סדרה שאינה מתכנסת נקראת סדרה מתבדרת. את מושג הסדרה המתכנסת אפשר להגדיר לא רק עבור מספרים ממשיים, אלא בכל מרחב מטרי, ואפילו בכל מרחב טופולוגי (ראו גבול (טופולוגיה)). למושג הסדרה המתכנסת תפקיד מרכזי באנליזה של מרחבים מטריים. אומרים שסדרה { a 1 , a 2 , … } {\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots \}} של נקודות במרחב מטרי X {\displaystyle X} (עם מטריקה d {\displaystyle d} ) מתכנסת לנקודה x {\displaystyle x} (גבול הסדרה), אם לכל ערך חיובי ε {\displaystyle \varepsilon } יש מספר N {\displaystyle N} שממנו והלאה מתקיים   d ( a n , x ) < ε {\displaystyle \ d(a_{n},x)<\varepsilon } . במרחב מטרי, לסדרה מתכנסת יש גבול יחיד. את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. התכונה הזו מלמדת הרבה על מרחב המספרים הממשיים. אכן, סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההפך לא תמיד נכון; למשל, סדרת קושי של מספרים רציונליים אינה מוכרחה להתכנס (במרחב המספרים הרציונליים). מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא מרחב מטרי שלם. כל מרחב מטרי אפשר להשלים, כלומר לשכן באופן צפוף במרחב מטרי שלם. את התנאי d ( a n , x ) < ε {\displaystyle d(a_{n},x)<\varepsilon } אפשר לנסח קצת אחרת: a n ∈ B ε ( x ) {\displaystyle a_{n}\in B_{\varepsilon }(x)} , כאשר B r ( x ) {\displaystyle B_{r}(x)} הוא הכדור ברדיוס r {\displaystyle r} סביב x {\displaystyle x} . ניסוח זה מוביל להגדרה הכללית של סדרה מתכנסת במרחב טופולוגי X {\displaystyle X} : אומרים שסדרה { a 1 , a 2 , … } {\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots \}} של נקודות ב- X {\displaystyle X} מתכנסת לנקודה x {\displaystyle x} (גבול הסדרה), אם לכל סביבה פתוחה U {\displaystyle U} של x {\displaystyle x} , יש מספר N {\displaystyle N} שממנו והלאה מתקיים a n ∈ U {\displaystyle a_{n}\in U} . מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא מרחב-US. כפי האמור לעיל, כל מרחב מטרי מקיים את התכונה הזו, ובאופן יותר כללי, כל מרחב האוסדורף הוא מרחב-US. מאידך, כל מרחב-US מקיים את תכונת ההפרדה T1. למעשה, תכונת יחידות הגבול מתקיימת במשפחה מעט יותר כללית של מרחבים טופולוגיים: כל מרחב-KC הוא מרחב-US, וכל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC. בין מרחבים המקיימים את אקסיומת המניה הראשונה, מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות. בסדרה, מותאמת נקודה של המרחב לכל מספר טבעי. ברשת, מחליפה את קבוצת המספרים הטבעיים קבוצה מכוונת. ההגדרה נותרת בעינה: הרשת a λ {\displaystyle a_{\lambda }} מתכנסת לנקודה x {\displaystyle x} (גבול הרשת), אם לכל סביבה פתוחה U {\displaystyle U} של x {\displaystyle x} , יש מקום λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} שממנו והלאה (כלומר לכל λ > λ 0 {\displaystyle \lambda >\lambda _{0}} ) מתקיים a λ ∈ U {\displaystyle a_{\lambda }\in U} . סדרה היא סוג של רשת, והסדרה מתכנסת (כסדרה) אם ורק אם היא מתכנסת כרשת, ולאותן נקודות גבול. לרשתות יתרונות רבים על-פני סדרות. לדוגמה, מרחב טופולוגי מקיים את תכונת האוסדורף אם ורק אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד. (אם ורק אם לכל מסנן מתכנס יש גבול יחיד). פעמים רבות נרצה לבדוק עד כמה מהר מתכנסת סדרה כלשהי. פרמטר זה חשוב במיוחד בבעיות אופטימיזציה שבהן אנו מנסים לשער ערך מסוים על-ידי פעולה איטרטיבית כלשהי אשר מתכנסת לערך הרצוי (לדוגמה, חישוב שורש של פונקציה באמצעות שיטת ניוטון-רפסון). אחת הדרכים לייצוג מהירות ההתכנסות היא באמצעות חישוב קצב התכנסות וסדר התכנסות. בהינתן סדרה { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} המתכנסת לערך L {\displaystyle L} נאמר שהסדרה מתכנסת בקצב μ {\displaystyle \mu } ומסדר q {\displaystyle q} אם ורק אם: lim k → ∞ | x n + 1 − L | | x n − L | q = μ {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left|x_{n+1}-L\right|}{\left|x_{n}-L\right|^{q}}}=\mu } זאת כאשר q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} . ככל ש- q {\displaystyle q} גדול יותר, כך הסדרה הלכה למעשה מתכנסת מהר יותר אל הגבול שלה. מבחני התכנסות לסדרות מדיה וקבצים בנושא סדרה מתכנסת בוויקישיתוף סדרה מתכנסת, באתר MathWorld (באנגלית) מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל קבוצה קומפקטית היא סגורה Senning, Jonathan R. "Computing and Estimating the Rate of Convergence" (PDF). gordon.edu. Retrieved 2020-08-07.