חיבור

באריתמטיקה, חיבור היא פעולה בינארית יסודית שמקבלת שני מספרים ומחזירה את סכומם. פעולת החיבור מסומנת בסימן + (פלוס). לשני המספרים שמחברים קוראים "מחוברים" ולתוצאה קוראים "סכום". התמונה משמאל מדגימה את הביטוי 2+3=5: אם נצרף 3 צורות מלמעלה ו-2 צורות מלמטה, נקבל ביחד 5 צורות. לפעולה קוראים "פלוס" או "ועוד" לכן את הביטוי ניתן לקרוא כ"שתים ועוד שלוש" או "שתים פלוס שלוש". הדוגמה מדגימה את המשמעות היסודית של חיבור, היא חיבור מספרים טבעיים, אולם ניתן להגדיר גם חיבור מספרים שליליים, אי-רציונליים ואף מרוכבים, וכמו כן חיבור פונקציות, וקטורים, מטריצות, עוצמות ועוד. פעולת החיבור מוגדרת גם עבור מבנים אלגבריים מופשטים כגון חבורות, חוגים ושדות חיבור מספרים טבעיים ניתן להגדיר בצורה נאיבית בעזרת לוח החיבור: הלוח משמש לחיבור מספרים חד ספרתיים, כדי לחבר מספרי גדולים יותר יש לכתוב אותם זה מעל זה ולחבר את הטורים מימין לשמאל, וכאשר מתקבל מספר הגדול מ-9 יש להוסיף את ספרת העשרות שלו לטור הבא. כדי להגדיר בצורה פורמלית מגדירים תוך שימוש באקסיומת העוקב של אקסיומות פאנו (לכל מספר טבעי קיים מספר עוקב ולא קיים מספר שהעוקב שלו 0), שאותן מקיימים המספרים הטבעיים. אם S ( a ) {\displaystyle \!\,S(a)} הוא הסימון לעוקב של a {\displaystyle \!\,a} , אז החיבור מוגדר ברקורסיה כך: a + 0 := a {\displaystyle \!\,a+0:=a} . a + S ( b ) := S ( a + b ) {\displaystyle \!\,a+S(b):=S(a+b)} . לדוגמה, 4 + 2 = 4 + S ( 1 ) = S ( 4 + 1 ) = S ( S ( 4 + 0 ) ) = S ( S ( 4 ) ) = S ( 5 ) = 6 {\displaystyle \!\,4+2=4+S(1)=S(4+1)=S\left(S(4+0)\right)=S(S(4))=S(5)=6} מכאן ניתן להוכיח מספר תכונות מעניינות באינדוקציה (ראו להלן). בבנייה פורמלית של קבוצת המספרים השלמים, שמסומנת באות Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , מגדירים יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } על N × N {\displaystyle \mathbb {N\times N} } באופן הבא: ( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a + d = b + c {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=b+c} . תחת הגדרה זו, כל מספר שלם הוא מחלקת שקילות של זוג סדור כלשהו, ומסמנים את מחלקת השקילות של הזוג ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} ע״י [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} . באופן הזה, ניתן לראות שהמספר הטבעי a {\displaystyle a} מיוצג על ידי מחלקת השקילות [ ( a + 1 , 1 ) ] {\displaystyle [(a+1,1)]} , המספר 0 מיוצג ע״י מחלקת השקילות [ ( 1 , 1 ) ] {\displaystyle [(1,1)]} (שכמובן מתלכדת עם מחלקת השקילות [ ( t , t ) ] {\displaystyle [(t,t)]} לכל מספר טבעי t {\displaystyle t} ), והמספר הנגדי למספר הטבעי a {\displaystyle a} מיוצג ע״י מחלקת השקילות [ ( 1 , a + 1 ) ] {\displaystyle [(1,a+1)]} , כלומר, בסימון מקוצר, − a := [ ( 1 , a + 1 ) ] {\displaystyle -a:=[(1,a+1)]} . באופן כללי, מחלקת השקילות [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} מייצגת את המספר השלם a − b {\displaystyle a-b} . כעת מגדירים את הסכום בין שתי מחלקות שקילות: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] := [ ( a + c , b + d ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]} . במילים אחרות, ( a − b ) + ( c − d ) = ( a + c ) − ( b + d ) {\displaystyle (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)} כאשר a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} מספרים טבעיים. בבנייה פורמלית של קבוצת המספרים הרציונליים, שמסומנת באות Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , מגדירים יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } על Z × ( Z ∖ { 0 } ) {\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})} (כלומר על קבוצת הזוגות ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , כאשר a {\displaystyle a} הוא מספר שלם כלשהו, ואילו b {\displaystyle b} הוא מספר שלם כלשהו שאינו אפס) באופן הבא: ( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a d = b c {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc} . תחת הגדרה זו, כל מספר רציונלי הוא מחלקת שקילות של זוג סדור כלשהו, כאשר מחלקת השקילות של הזוג ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} מסומנת ב [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} , והיא מייצגת את המספר a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} . הסכום של שתי מחלקות שקילות מוגדר באופן הבא: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] := [ ( a d + b c , b d ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)]} , וניתן להראות שהוא מוגדר היטב (כלומר שאינו תלוי בנציגים של המחלקות). במילים אחרות, חיבור מספרים רציונליים מוגדר בצורה הבאה: a b + c d := a d + b c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}:={\frac {ad+bc}{bd}}} בבניית המספרים הממשיים, מגדירים יחס שקילות על קבוצת סדרות קושי של מספרים רציונליים, כך ש- { x n } n = 1 ∞ ∼ { y n } n = 1 ∞ ⇔ ∀ 0 < ε ∈ Q ∃ N ∈ N , ∀ n > N , | x n − y n | < ε {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\Leftrightarrow \forall \,\,0<\varepsilon \in \mathbb {Q} \,\,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon } , כלומר שתי סדרות קושי { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} ו { y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }} של מספרים רציונליים הן שקולות אם ורק אם לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} רציונלי, קטן ככל שיהא, קיים מספר טבעי N {\displaystyle N} , כך שלכל מספר טבעי אחר n {\displaystyle n} שגדול מ N {\displaystyle N} מתקיים ש | x n − y n | < ϵ {\displaystyle |x_{n}-y_{n}|<\epsilon } (כלומר החל ממקום מסוים, אולי גדול, המרחק בין איברי הסדרות נהיה קטן מאוד). תחת הגדרה זו, כל מספר ממשי הוא מחלקת שקילות של סדרת קושי מסוימת של מספרים רציונליים. מגדירים: [ { x n } n = 1 ∞ ] + [ { y n } n = 1 ∞ ] := [ { x n + y n } n = 1 ∞ ] {\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]} . חיבור של מספרים מרוכבים מוגדר בצורה הבאה:   ( a + b i ) + ( c + d i ) := ( a + c ) + ( b + d ) i {\displaystyle \ (a+bi)+(c+di):=(a+c)+(b+d)i} הסכום κ + λ {\displaystyle \kappa +\lambda } כאשר κ , λ {\displaystyle \kappa ,\lambda } עוצמות מוגדר כך: בוחרים קבוצות A, B זרות המקיימות   | A | = κ {\displaystyle \ |A|=\kappa } ,   | B | = λ {\displaystyle \ |B|=\lambda } העוצמה   κ + λ {\displaystyle \ \kappa +\lambda } מוגדרת כעוצמת האיחוד   | A ∪ B | {\displaystyle \ |A\cup B|} . חיבור של וקטורים הוא חיבור של הקואורדינטות שלהם. כדי לחבר את ההצגה הגאומטרית, משתמשים בכלל המקבילית המגדיר כי A B → + B C → = A C → {\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}} . כאשר יש לנו תרגיל עם סוגריים, כאשר מופיע הסימן + לפני הסוגריים, ניתן "לפתוח" את הסוגריים, או במילים אחרות להוריד או להעלים אותם. משום שפעולת החיבור לפני סוגריים לא תשנה את מה שיש בתוך הסוגריים ולא יהיה הבדל אם התרגיל יהיה גם ללא סוגריים, מה שמבדיל בין שאר הפעולות המתמטיות שכאשר הן נמצאות לפני סוגריים לא ניתן להעלים את הסוגריים ללא ביצוע פעולה מסוימת התלויה בסימן עצמו. לחיבור כמה תכונות בסיסיות: חילופיות:   a + b = b + a {\displaystyle \ a+b=b+a} קיבוציות:   ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle \ (a+b)+c=a+(b+c)} נייטרליות של 0:   a + 0 = 0 + a = a {\displaystyle \ a+0=0+a=a} ומכאן ש-0 הוא איבר היחידה של חיבור. מספרים טבעיים: נוכיח את שתי התכונות הראשונות על מספרים טבעיים באינדוקציה. התכונה השלישית נובעת מהגדרת החיבור והחילופיות. חילופיות: באינדוקציה על b. כצעד ראשון נוכיח באינדוקציה על a ש- 0 + a = a {\displaystyle 0+a=a} . עבור a = 0 {\displaystyle a=0} נקבל 0 + 0 = 0 {\displaystyle 0+0=0} , ואם נניח נכונות עבור a, נקבל 0 + S ( a ) = S ( 0 + a ) {\displaystyle 0+S(a)=S(0+a)} . על פי הנחת האינדוקציה, הביטוי בסוגריים שווה ל-a, לכן S ( 0 + a ) = S ( a ) {\displaystyle S(0+a)=S(a)} כמו שרצינו להוכיח. לכן a + 0 = a = 0 + a {\displaystyle a+0=a=0+a} והוכחנו את בסיס האינדוקציה. כעת נניח עבור b ש a + b = b + a {\displaystyle a+b=b+a} ונקבל a + S ( b ) = S ( a + b ) = S ( b + a ) = b + S ( a ) {\displaystyle a+S(b)=S(a+b)=S(b+a)=b+S(a)} . כעת נוכיח באינדוקציה על a שהביטוי הנ"ל שווה ל- S ( b ) + a {\displaystyle S(b)+a} . עבור a = 0 {\displaystyle a=0} נקבל b + S ( 0 ) = S ( b + 0 ) = S ( b ) = S ( b ) + 0 {\displaystyle b+S(0)=S(b+0)=S(b)=S(b)+0} . נניח עבור a ונקבל b + S ( S ( a ) ) = S ( b + S ( a ) ) = S ( S ( b ) + a ) = S ( b ) + S ( a ) {\displaystyle b+S(S(a))=S(b+S(a))=S(S(b)+a)=S(b)+S(a)} . הרכבת ההוכחות הנ"ל תתן לנו ש- a + S ( b ) = b + S ( a ) = S ( b ) + a {\displaystyle a+S(b)=b+S(a)=S(b)+a} , ומעבר האינדוקציה הושלם. קיבוציות: באינדוקציה על c. עבור c = 0 {\displaystyle c=0} נקבל a + ( b + 0 ) = a + b = ( a + b ) + 0 {\displaystyle a+(b+0)=a+b=(a+b)+0} . נניח עבור c ונקבל a + ( b + S ( c ) ) = a + S ( b + c ) = S ( a + ( b + c ) ) = S ( ( a + b ) + c ) = ( a + b ) + S ( c ) {\displaystyle a+(b+S(c))=a+S(b+c)=S(a+(b+c))=S((a+b)+c)=(a+b)+S(c)} . מספרים שלמים: חילופיות: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] = [ ( a + c , b + d ) ] = [ ( c + a , d + b ) ] = [ ( c , d ) ] + [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]=[(c+a,d+b)]=[(c,d)]+[(a,b)]} קיבוציות: + ( [ ( c , d ) ] + [ ( e , f ) ] ) = [ ( a , b ) ] + [ ( c + e , d + f ) ] = [ ( a + ( c + e ) , b + ( d + f ) ) ] = [ ( ( a + c ) + e , ( b + d ) + f ) ] = ( [ ( a + c , b + d ) ] + [ ( e , f ) ] = ( [ ( a , b ) ] + [ ( c + d ) ] ) + [ ( e , f ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}[(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])&=[(a,b)]+[(c+e,d+f)]=[(a+(c+e),b+(d+f))]=[((a+c)+e,(b+d)+f)]\\&=([(a+c,b+d)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c+d)])+[(e,f)]\end{aligned}}} נייטרליות של אפס: [ ( a , b ) ] + [ ( 0 , 0 ) ] = [ ( a + 0 , b + 0 ) ] = [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(0,0)]=[(a+0,b+0)]=[(a,b)]} קיום איבר נגדי: כאן מצטרפת תכונה חדשה, והיא קיום איבר נגדי - לכל x קיים y כך ש- x + y = 0 {\displaystyle x+y=0} . נראה זאת: [ ( a , b ) ] + [ ( b , a ) ] = [ ( a + b , b + a ) ] = [ ( 0 , 0 ) ] = 0 {\displaystyle [(a,b)]+[(b,a)]=[(a+b,b+a)]=[(0,0)]=0} , לכן [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} הוא הנגדי של [ ( b , a ) ] {\displaystyle [(b,a)]} , ונסמן [ ( b , a ) ] = − [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(b,a)]=-[(a,b)]} . מספרים רציונליים: חילופיות: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] = [ ( a d + b c , b d ) ] = [ ( c b + d a , d b ) ] = [ ( c , d ) ] + [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]} קיבוציות: [ ( a , b ) ] + ( [ ( c , d ) ] + [ ( e , f ) ] ) = [ ( a , b ) ] + [ ( c f + d e , d f ) ] = [ ( a d f + b c f + b d e , b d f ) ] = [ ( a d + b c , b d ) ] + [ ( e , f ) ] = ( [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] ) + [ ( e , f ) ] {\displaystyle [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]} נייטרליות של אפס: [ ( a , b ) ] + [ ( 0 , 1 ) ] = [ ( a + 0 ⋅ b , b ) ] = [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(0,1)]=[(a+0\cdot b,b)]=[(a,b)]} קיום איבר נגדי: [ ( a , b ) ] + [ ( − a , b ) ] = [ ( a b − a b , b 2 ) ] = [ ( 0 , b 2 ) ] = [ ( 0 , 1 ) ] = 0 {\displaystyle [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ab,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0} מספרים ממשיים: חילופיות: [ { x n } n = 1 ∞ ] + [ { y n } n = 1 ∞ ] = [ { x n + y n } n = 1 ∞ ] = [ { y n + x n } n = 1 ∞ ] = [ { y n } n = 1 ∞ ] + [ { x n } n = 1 ∞ ] {\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}+x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]} קיבוציות: [ { x n } n = 1 ∞ ] + ( [ { y n } n = 1 ∞ ] + [ { z n } n = 1 ∞ ] ) = [ { x n } n = 1 ∞ ] + [ { y n + z n } n = 1 ∞ ] = [ { x n + y n + z n } n = 1 ∞ ] = ( [ { x n } n = 1 ∞ ] + [ { y n } n = 1 ∞ ] ) + [ { z n } n = 1 ∞ ] {\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]} נייטרליות של אפס: [ { x n } n = 1 ∞ ] + [ { 0 } n = 1 ∞ ] = [ { x n + 0 } n = 1 ∞ ] = [ { x n } n = 1 ∞ ] {\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]} קיום איבר נגדי: [ { x n } n = 1 ∞ ] + [ { − x n } n = 1 ∞ ] = [ { 0 } n = 1 ∞ ] = 0 {\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=0} מספרים מרוכבים: חילופיות: ( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i = ( c + a ) + ( d + b ) i = ( c + d i ) + ( a + b i ) {\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+a)+(d+b)i=(c+di)+(a+bi)} קיבוציות: ( a + b i ) + ( ( c + d i ) + ( e + f i ) ) = ( a + b i ) + ( ( c + e ) + ( d + f ) i ) = ( a + c + e ) + ( b + d + f ) i = ( ( a + b i ) + ( c + d i ) ) + ( e + f i ) {\displaystyle (a+bi)+((c+di)+(e+fi))=(a+bi)+((c+e)+(d+f)i)=(a+c+e)+(b+d+f)i=((a+bi)+(c+di))+(e+fi)} נייטרליות של אפס: ( a + b i ) + ( 0 + 0 i ) = ( a + 0 ) + ( b + 0 ) i = a + b i {\displaystyle (a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(b+0)i=a+bi} קיום איבר נגדי: ( a + b i ) + ( − a − b i ) = ( a − a ) + ( b − b ) i = 0 + 0 i = 0 {\displaystyle (a+bi)+(-a-bi)=(a-a)+(b-b)i=0+0i=0} (הערה: בחלק ממערכות המספרים השתמשנו לא רק בתכונות החיבור של המערכת הקודמת, אלא גם בכמה מתכונות הכפל, עליהן ניתן לקרוא כאן) סכום: הסכום מייצג תהליך של חיבור של מספר עצמים. לייצוג הסכום משתמשים באות היוונית Σ (סיגמא גדולה). איחוד: פעולת האיחוד היא פעולה בין קבוצות אשר מצרפת את האיברים שבהן לקבוצה חדשה. אינטגרל: פעולת האינטגרציה היא חלוקה לחלקים קטנים (שגודלם שואף ל-0 ומספרם לאינסוף) וסיכומם. צירוף ליניארי הוא חיבור של וקטורים. קונבולוציה היא פעולה הדומה לחיבור של פונקציות או סדרות. עקרון החיבור ארבע פעולות החשבון חיבור מטריצות הוכחת תכונת החילופיות של חיבור חיבור, באתר MathWorld (באנגלית)