חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'

חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא משפט בתורת ההסתברות שהוכיחו המתמטיקאים אדווין יואיט ולאונרד סאוואג'. המשפט מתאר מאורעות שהסתברותם היא 0 או 1 בלבד. באופן לא לגמרי פורמלי, המשפט קובע כי בהינתן סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי-התפלגות, כל מאורע שנקבע על ידי המשתנים המקריים הללו, אך שאינו תלוי באף שינוי סדר של מספר סופי מתוך המשתנים המקריים, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1. תהי μ {\displaystyle \mu } מידת הסתברות על ( R , B ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}\right)} , כאשר B {\displaystyle {\mathcal {B}}} היא סיגמא אלגברת בורל. נדון במרחב המכפלה ( R N , F , P ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} , כאשר F = ⊗ i ∈ N B {\displaystyle {\mathcal {F}}=\otimes _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {B}}} וכן P = ⊗ i ∈ N μ {\displaystyle \mathbb {P} =\otimes _{i\in \mathbb {N} }\mu } . נשים לב כי במרחב זה המשתנים המקריים { X i } i ∈ N {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }} המוגדרים X i ( ( x i ) x ∈ N ) = x i {\displaystyle X_{i}\left(\left(x_{i}\right)_{x\in \mathbb {N} }\right)=x_{i}} הם כולם בלתי-תלויים, והם גם שווי-התפלגות, שכן כל אחד מהם בעל ההתפלגות μ {\displaystyle \mu } . נתבונן בחבורה S {\displaystyle {\mathcal {S}}} של התמורות הסופיות על N {\displaystyle \mathbb {N} } , כלומר התמורות שמשנות רק מספר סופי של איברים. נשים לב כי S {\displaystyle {\mathcal {S}}} פועלת על R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} , על ידי כך שכל תמורה סופית π ∈ S , π : N → N {\displaystyle \pi \in {\mathcal {S}},\pi :\mathbb {N} \to \mathbb {N} } , משרה העתקה T π : R N → R N {\displaystyle T_{\pi }:\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\to \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} , על ידי T π ( ( x i ) i ∈ N ) = ( x π ( i ) ) i ∈ N {\displaystyle T_{\pi }\left(\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }\right)=\left(x_{\pi (i)}\right)_{i\in \mathbb {N} }} . אזי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הפעולה היא ארגודית. כלומר, לכל מאורע A ∈ F {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} , אם T π − 1 ( A ) = A {\displaystyle T_{\pi }^{-1}\left(A\right)=A} לכל π ∈ S {\displaystyle \pi \in {\mathcal {S}}} , אז P ( A ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=0} או P ( A ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=1} . תחילה ניתן להראות כי המשפחה E = { E ∣ T − 1 ( E ) = E } ⊂ F {\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{E\mid T^{-1}\left(E\right)=E\right\}\subset {\mathcal {F}}} מהווה תת-סיגמא-אלגברה. אם כך תהי E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} . נתבונן בהעתקה המציינת 1 E {\displaystyle 1_{E}} , ונשתמש בעובדה הבאה: קיימת סדרה של העתקות ( g n ) n = 1 ∞ {\displaystyle \left(g_{n}\right)_{n=1}^{\infty }} החסומות על ידי 1 {\displaystyle 1} , כך שלכל n {\displaystyle n} ההעתקה g n {\displaystyle g_{n}} היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה F n = σ ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma \left(X_{1},X_{2},...,X_{n}\right)} , ומתקיים E | 1 E − g n | → 0 {\displaystyle \mathbb {E} \left|1_{E}-g_{n}\right|\to 0} כאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } . תהי g n {\displaystyle g_{n}} העתקה כלשהי שהיא F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} -מדידה. נבחר תמורה π ∈ S {\displaystyle \pi \in {\mathcal {S}}} שמקיימת { 1 , 2 , . . . , n } ∩ { π ( 1 ) , π ( 2 ) , . . . , π ( n ) } = ∅ {\displaystyle \left\{1,2,...,n\right\}\cap \left\{\pi \left(1\right),\pi \left(2\right),...,\pi \left(n\right)\right\}=\emptyset } . יש כזאת, כי ניתן למשל לבחור את התמורה שמחליפה את המספרים 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle 1,2,...,n} עם המספרים n + 1 , n + 2 , . . . , 2 n {\displaystyle n+1,n+2,...,2n} , ואת כל שאר המספרים משאירה במקומם. תחילה נשים לב כי g n ∘ T π {\displaystyle g_{n}\circ T_{\pi }} היא העתקה בלתי-תלויה ב- F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} , ולכן מתקיים E [ g n ] 2 = E [ g n ] ⋅ E [ g n ∘ T π ] = E [ g n ⋅ g n ∘ T π ] {\displaystyle \mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}=\mathbb {E} \left[g_{n}\right]\cdot \mathbb {E} \left[g_{n}\circ T_{\pi }\right]=\mathbb {E} \left[g_{n}\cdot g_{n}\circ T_{\pi }\right]} . כמו כן נבחין כי מההנחה לגבי E {\displaystyle E} נובע כי 1 E ∘ T π = 1 T − 1 ( E ) = 1 E {\displaystyle 1_{E}\circ T_{\pi }=1_{T^{-1}\left(E\right)}=1_{E}} , ולכן נובע כי E [ 1 E ] = E [ 1 E 2 ] = E [ 1 E ⋅ 1 E ∘ T π ] {\displaystyle \mathbb {E} \left[1_{E}\right]=\mathbb {E} \left[1_{E}^{2}\right]=\mathbb {E} \left[1_{E}\cdot 1_{E}\circ T_{\pi }\right]} . עוד נשים לב כי מתקיים: | E [ 1 E ] − E [ g n ] 2 | = | E [ 1 E ⋅ 1 E ∘ T π − g n ⋅ g n ∘ T π ] | {\displaystyle \left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]-\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}\right|=\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\cdot 1_{E}\circ T_{\pi }-g_{n}\cdot g_{n}\circ T_{\pi }\right]\right|} ≤ E | ( 1 E − g n ) ⋅ 1 E ∘ T π ] + E | g n ⋅ ( 1 E ∘ T π − g n ∘ T π ) | {\displaystyle \leq \mathbb {E} \left|\left(1_{E}-g_{n}\right)\cdot 1_{E}\circ T_{\pi }\right]+\mathbb {E} \left|g_{n}\cdot \left(1_{E}\circ T_{\pi }-g_{n}\circ T_{\pi }\right)\right|} ≤ E | 1 E − g n | + E | 1 E ∘ T π − g n ∘ T π | = 2 ⋅ E | 1 E − g n | ⟶ 0 n → ∞ {\displaystyle \leq \mathbb {E} \left|1_{E}-g_{n}\right|+\mathbb {E} \left|1_{E}\circ T_{\pi }-g_{n}\circ T_{\pi }\right|=2\cdot \mathbb {E} \left|1_{E}-g_{n}\right|{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow 0}}} כעת נוכל להסיק כי: , | P ( E ) − P ( E ) 2 | = | E [ 1 E ] − E [ 1 E ] 2 | ≤ | E [ 1 E ] − E [ g n ] 2 | + | E [ 1 E ] 2 − E [ g n ] 2 | {\displaystyle \left|\mathbb {P} \left(E\right)-\mathbb {P} \left(E\right)^{2}\right|=\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]-\mathbb {E} \left[1_{E}\right]^{2}\right|\leq \left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]-\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}\right|+\left|\mathbb {E} \left[1_{E}\right]^{2}-\mathbb {E} \left[g_{n}\right]^{2}\right|} ממה שהראינו נובע כי שני הנסכמים שואפים לאפס, ולכן בהכרח P ( E ) = P ( E ) 2 {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=\mathbb {P} \left(E\right)^{2}} , כלומר P ( E ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=0} או P ( E ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=1} . בדומה לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב, מאורעות זנב גבוליים, כדוגמת { ∑ i = 1 ∞ X i < ∞ } {\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{\infty }X_{i}<\infty \right\}} , הם מאורעות שאינם תלויים בהחלפת הסדר של אף קבוצה סופית של המשתנים המקריים, ולכן גם חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' קובע כי הסתברותם היא 0 או 1. דוגמה שלא ניתן להסיק מתוך חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, היא הילוך מקרי פשוט { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} על המספרים השלמים, בהסתברות p {\displaystyle p} ללכת ימינה ובהסתברות המשלימה ללכת שמאלה, כלומר P ( X n = X n − 1 + 1 ) = 1 − P ( X n = X n − 1 − 1 ) = p {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{n}=X_{n-1}+1\right)=1-\mathbb {P} \left(X_{n}=X_{n-1}-1\right)=p} באופן בלתי תלוי לכל n {\displaystyle n} . במצב זה נתבונן בסדרת המשתנים המקריים { S N } N = 1 ∞ {\displaystyle \left\{S_{N}\right\}_{N=1}^{\infty }} המוגדרים S N = ∑ n = 1 N X n {\displaystyle S_{N}=\sum _{n=1}^{N}X_{n}} , כלומר S N {\displaystyle S_{N}} קובע היכן נמצא ההילוך בצעד ה- N {\displaystyle N} . אזי המאורע { lim sup N { S N = 0 } } {\displaystyle \left\{\limsup _{N}\left\{S_{N}=0\right\}\right\}} , כלומר המאורע שמתאר כי ההילוך המקרי חוזר אינסוף פעמים ל- 0 {\displaystyle 0} , הוא מאורע שכמובן נקבע על ידי { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} , והוא לא תלוי באף תמורה סופית על N {\displaystyle N} . לכן לפי חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג' הוא בעל הסתברות 0 או 1 בלבד. חוק האפס-אחד של קולמוגורוב אינו מספיק כדי לקבוע כי המאורע הנ"ל הוא מאורע בעל הסתברות 0 או 1 בלבד, שכן { S N } N = 1 ∞ {\displaystyle \left\{S_{N}\right\}_{N=1}^{\infty }} הם משתנים מקריים תלויים. Bruce K. Driver, Probability Tools with Examples , 2010 Hewitt, E.; Savage, L. J. (1955). "Symmetric measures on Cartesian products". Trans. Amer. Math. Soc. 80: 470–501. doi:10.1090/s0002-9947-1955-0076206-8. ההעתקה T π {\displaystyle T_{\pi }} מדידה, שכן בכל קואורדינטה j {\displaystyle j} היא שווה למשתנה המקרי X π ( j ) ( ( x i ) i ∈ N ) = x π ( j ) {\displaystyle X_{\pi \left(j\right)}\left(\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }\right)=x_{\pi \left(j\right)}} . ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "חוק האפס-אחד של יואיט-סאוואג'".