תורת הביפורקציה

תורת הביפורקציה היא מחקר מתמטי של שינויים במבנה האיכותי או הטופולוגי של משפחה של עקומות (כמו עקומות אינטגרליות של משפחה של שדות וקטורים), וכן פתרונות של משפחות של משוואות דיפרנציאליות. תורת הביפורקציה בדרך כלל מיושמת במחקר מתמטי של מערכות דינמיות, כאשר ההתפצלות (ביפורקציה) מתרחשת כששינוי קטן בפרמטר מסוים של המערכת (פרמטר ההתפצלות) גורם לשינוי "איכותי" או טופולוגי פתאומי בהתנהגות המערכת. התפצלויות (ביפורקציות) מתרחשות הן במערכות רציפות (מתוארות על ידי משוואות רגילות, משוואות דילאי, או משוואות חלקיות) והן במערכות בדידות (מתוארות על ידי מפות). השם "ביפורקציה" הוצג לראשונה על ידי החוקר אנרי פואנקרה ב-1885 במאמר המתמטי הראשון שהראה התנהגות כזו. נהוג לחלק את ההתפצלות לשתי מחלקות עיקריות: התפצלות (ביפורקציה) מקומית, שניתן לנתח באמצעות שינויים במאפייני היציבות המקומיים של שיווי משקל,, מסלולים מחזוריים או קבוצות בלתי משתנות אחרות כאשר פרמטרים חוצים ספים קריטיים. התפצלויות (ביפורקציות) גלובליות, המתרחשות לעיתים קרובות כאשר קבוצות של המערכת 'מתנגשות' זו בזו, או עם שיווי משקל של המערכת. לא ניתן לזהות התפצלויות כאלו על ידי ניתוח יציבות של שיווי המשקל (נקודות שבת), אלא דרושה אנליזה נוספת. התפצלות (ביפורקציה) מקומית מתרחשת כאשר שינוי פרמטר גורם לשינוי היציבות של נקודת שיווי המשקל (או נקודת השבת). במערכות רציפות, ביפורקציה מתאימה לחלק הממשי של הערך העצמי של שיווי משקל העובר דרך האפס. במערכות בדידות (מתוארות במפות), זה מתאים לנקודת שבת בעלת "מכפיל Floquet" עם מודולוס שווה לאחד. בשני המקרים, שיווי המשקל אינו היפרבולי בנקודת ההתפצלות. השינויים הטופולוגיים בגרף הפאזה של המערכת יכולים להיות מוגבלים לאזור קטן כרצוננו סביב נקודת הביפורקציה אשר מתרחשים בעת שינוי פרמטר ההתפצלות קרוב לנקודת ההתפצלות (ולכן התפצלויות אלו הן 'מקומיות'). מבחינה טכנית, בהינתן המערכת הדינמית הרציפה המתוארת על ידי המשוואה הדיפרנציאלית הרגילה (ODE) x ˙ = f ( x , λ ) f : R n × R → R n . {\displaystyle {\dot {x}}=f(x,\lambda )\quad f\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}.} התפצלות מקומית מתרחשת ב ( x 0 , λ 0 ) {\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})} אם ליעקוביאן d f x 0 , λ 0 {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}} יש ערך עצמי עם חלק ממשי אפסי. אם הערך העצמי שווה לאפס, הביפורקציה היא יציבה, אך אם הערך העצמי אינו אפס אלא מדומה טהור, זוהי התפצלות מסוג 'הופף' . עבור מערכות דינמיות בדידות, בהינתן המערכת x n + 1 = f ( x n , λ ) . {\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n},\lambda )\,.} מתרחשת התפצלות מקומית ב ( x 0 , λ 0 ) {\displaystyle (x_{0},\lambda _{0})} אם המטריצה d f x 0 , λ 0 {\displaystyle {\textrm {d}}f_{x_{0},\lambda _{0}}} בעל ערך עצמי עם מודולוס שווה לאחד. אם הערך העצמי שווה לאחד, ההתפצלות היא או צומת אוכף, 'חוצה קריטית' או התפצלות קלשון. אם הערך העצמי שווה ל −1, זוהי התפצלות מסוג הכפלה (או היפוך), ואחרת זו נקראת התפצלות הופפ. דוגמאות להתפצלות מקומיות כוללות: התפצלות אוכף-צומת (קיפול). התפצלות טרנסקריטית התפצלות קלשון התפצלות הכפלת תקופה (היפוך). התפצלות הופפ התפצלות Neimark–Sacker (הופף משני). התפצלות גלובלית מתרחשת כאשר קבוצות 'גדולות' יותר, כגון מסלולים מחזוריים, מתנגשות עם נקודת שיווי משקל. זה גורם לשינויים בטופולוגיה של המסלולים במרחב הפאזה, כיוון שהם לא יכולים להיות מוגבלים לאזור קטן (בניגוד למה שקורה עם התפצלות מקומית). למעשה, השינויים בטופולוגיה מתרחבים למרחק גדול באופן שרירותי (ולכן הביפורקציה נקראת 'גלובלית'). דוגמאות להתפצלות גלובליות כוללות: התפצלות הומוקלינית שבה מעגל שבת מתנגש בנקודת אוכף. התפצלות הומוקלינית יכולה להתרחש באופן סופר-קריטי או תת-קריטי. הגרסה שלמעלה היא התפצלות הומוקלינית "קטנה". בדו־ממד קיימת גם ההתפצלות הומוקלינית "גדולה" שבה המסלול ההומקליני "לוכד" את הקצוות האחרים של נקודת האוכף. בשלושה ממדים או יותר, יכולות להתרחש התפצלויות גבוהות יותר, מה שיוצר דינמיקה מסובכת ואף כאוטית. התפצלות הטרוקלינית שבה מעגל שבת מתנגש בשתי נקודות או יותר או יותר; דיאגרמת התפצלות מדיה וקבצים בנושא תורת הביפורקציה בוויקישיתוף Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differential Equations. London: Thompson. pp. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8. Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885. Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. p. 262. ISBN 0-201-54344-3.