כוח מרכזי

בפיזיקה, כוח מרכזי הוא כוח שגודלו תלוי רק במרחק ממקור הכוח, וכיוונו רדיאלי, כלומר ככיוון הוקטור המחבר בין מקור הכוח לבין הנקודה עליה פועל הכוח. מתמטית, אם מקור הכוח נמצא בראשית הצירים, אזי הכוח הפועל על נקודה r → {\displaystyle {\vec {r}}} יהיה מן הצורה: F → ( r → ) = F ( r ) r ^ {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=F(r){\hat {r}}} כאשר: r = | r → | {\displaystyle r=|{\vec {r}}|} הוא המרחק מהראשית (מקור הכח). r ^ = r → r {\displaystyle {\hat {r}}={\frac {\vec {r}}{r}}} הוא וקטור יחידה בכיוון רדיאלי. כוחות רבים וחשובים דוגמת כוח הכבידה הניוטוני והכוח הקולומבי האלקטרוסטטי הם כוחות מרכזיים. הכוח המגנטי הוא דוגמה לכוח שאינו מרכזי, כיוון שכיוונו אינו רדיאלי וגודלו תלוי במהירות הגוף עליו הוא פועל. כוח מרכזי הוא מאפיין של מערכת פיזיקלית בעלת סימטריה לסיבוב. כוח מרכזי הוא כוח משמר. כלומר: האנרגיה של גוף הנע בהשפעת כח מרכזי משתמרת. את הכוח ניתן לגזור מתוך אנרגיה פוטנציאלית על ידי F → = − ∇ → V ( r ) {\displaystyle {\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}V(r)} . הפוטנציאל   V ( r ) {\displaystyle \ V(r)} תלוי אף הוא אך ורק במרחק ממקור הכוח ומכונה לפיכך פוטנציאל מרכזי. כאשר גוף נע בהשפעת כוח מרכזי התנע הזוויתי שלו משתמר. הגוף ינוע במישור הניצב לכיוון וקטור התנע הזוויתי. בזכות תכונות אלו, בעיה של גוף הנע בהשפעת כוח מרכזי קלה יחסית לפתרון. כיוון שתנועת הגוף מוגבלת למישור נוח לעבוד בקואורדינטות פולריות r , θ {\displaystyle r,\theta } . כיוון שהאנרגיה   E {\displaystyle \ E} והתנע הזוויתי L → {\displaystyle {\vec {L}}} קבועים, ניתן לכתוב: E = 1 2 m r ˙ 2 + L 2 2 m r 2 + V ( r ) {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}+V(r)} כלומר ניתן להתייחס לתנועת הגוף (בקואורדינטה r) כתנועה חד־ממדית בהשפעת פוטנציאל אפקטיבי V eff ( r ) = V ( r ) + L 2 2 m r 2 {\displaystyle V_{\mbox{eff}}(r)=V(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}} . את המשוואה הנ"ל ניתן לפתור ברמת העיקרון על ידי הפרדת משתנים ולקבל את   r ( t ) {\displaystyle \ r(t)} (אם כי רק עבור מספר מצומצם של פוטנציאלים ידוע הפתרון בצורה מפורשת). לאחר מכן ניתן לקבל את   θ ( t ) {\displaystyle \ \theta (t)} על ידי אינטגרציה של θ ˙ = L m r 2 {\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {L}{mr^{2}}}} . בנוסף למשוואות התנועה שפתרונן הוא מיקום הגוף כפונקציה של הזמן   r ( t ) , θ ( t ) {\displaystyle \ r(t),\theta (t)} , במקרים רבים נהוג להתעניין גם במשוואת המסלול שפתרונה נותן את   r ( θ ) {\displaystyle \ r(\theta )} כלומר את צורת מסלול הגוף במישור בו הוא נע. לדוגמה, עבור בעיית קפלר שהיא בעיית כוח מרכזי עבור כוח הכבידה, המסלולים האפשריים הם החתכים הקוניים - מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה, אותם ניתן לכתוב כ: r ( θ ) = r 0 1 + ϵ cos ⁡ θ {\displaystyle r(\theta )={\frac {r_{0}}{1+\epsilon \cos \theta }}} . משוואת המסלול עבור בעיית כוח מרכזי כללי נתונה על ידי: l r 2 d d θ ( l m r 2 d r d θ ) − l 2 m r 3 = F ( r ) {\displaystyle {\frac {l}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {l}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {l^{2}}{mr^{3}}}=F(r)} את המשוואה האחרונה ניתן לפשט על ידי החלפת המשתנה   u = 1 / r {\displaystyle \ u=1/r} . המשוואה המתקבלת עבור המשתנה   u {\displaystyle \ u} היא: l 2 u 2 m ( d 2 u d t 2 + u ) = − F ( 1 u ) {\displaystyle {\frac {l^{2}u^{2}}{m}}\left({\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+u\right)=-F\left({\frac {1}{u}}\right)} ההמילטוניאן עבור גוף הנע בהשפעת פוטנציאל מרכזי הוא מן הצורה: H = p → 2 2 m + V ( r ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V(r)} במקרה זה אופרטורי התנע הזוויתי   L 2 , L x , L y , L z {\displaystyle \ L^{2},L_{x},L_{y},L_{z}} חילופיים עם ההמילטוניאן, ולפיכך ניתן למצוא בסיס של מצבים עצמיים משותפים להמילטוניאן, לתנ"ז הכולל   L 2 {\displaystyle \ L^{2}} ולאחר מרכיבי התנ"ז   L z {\displaystyle \ L_{z}} . נהוג לסמן מצבים אלו ב- | n , l , m ⟩ {\displaystyle |n,l,m\rangle } והם מקיימים: L z | n , l , m ⟩ = ℏ m | n , l , m ⟩ {\displaystyle L_{z}|n,l,m\rangle =\hbar m|n,l,m\rangle } L 2 | n , l , m ⟩ = ℏ 2 l ( l + 1 ) | n , l , m ⟩ {\displaystyle L^{2}|n,l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)|n,l,m\rangle } H | n , l , m ⟩ = E n , l | n , l , m ⟩ {\displaystyle {\mathcal {H}}|n,l,m\rangle =E_{n,l}|n,l,m\rangle } האנרגיה   E n , l {\displaystyle \ E_{n,l}} אינו תלויה במספר הקוונטי m (כלומר בכיוון התנע הזוויתי), אי לכך יש ניוון של (לפחות)   2 l + 1 {\displaystyle \ 2l+1} באנרגיה. פונקציית הגל של המצב תהיה מן הצורה: ψ ( r → ) = R n , l ( r ) Y l , m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}})=R_{n,l}(r)Y_{l,m}(\theta ,\phi )} , כאשר   Y l , m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \ Y_{l,m}(\theta ,\phi )} היא הפונקציה הספרית הרמונית, והפונקציה הרדיאלית   R n , l ( r ) {\displaystyle \ R_{n,l}(r)} היא פתרון של המשוואה: [ − ℏ 2 2 m ( ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r − l ( l + 1 ) r 2 ) + V ( r ) ] R ( r ) = E n , l R ( r ) {\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\Biggl (}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}{\biggr )}+V(r)\right]R(r)=E_{n,l}R(r)} בעיית קפלר כח משמר כח משיכה H. Goldstein, Classical Mechanics