מרחב וקטורי טופולוגי

במתמטיקה מרחב וקטורי טופולוגי (במקורות מסוימים קרוי גם מרחב טופולוגי ליניארי) הוא קבוצה אשר מהווה מרחב וקטורי מעל המספרים הממשיים או המרוכבים וכן מוגדרת עליה טופולוגיה עבורה פעולת החיבור וכפל בסקלר מהוות פונקציות רציפות. כל מרחב הילברט ומרחב בנך הם מרחבים וקטוריים טופולוגיים עם הטופולוגיה המושרית מהנורמה. למרחבים מסוג זה יש חשיבות רבה בתחום האנליזה הפונקציונלית והם מאפשרים לחקור מקרים של התכנסות ורציפות על מרחבי פונקציות ללא שימוש במטריקה או בנורמה. בערך זה נסמן ב- V {\displaystyle V} מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו. K {\displaystyle \mathbb {K} } יהיה השדה מעליו פועל V {\displaystyle V} כאשר K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } (שדה הממשיים) או K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } (שדה המרוכבים). T {\displaystyle {\mathcal {T}}} תהיה הטופולוגיה על V {\displaystyle V} . עבור קבוצות A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} , v ∈ V {\displaystyle v\in V} ו- α ∈ K {\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} } נסמן: A + B := { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle A+B:=\left\{a+b\mid a\in A,b\in B\right\}} v + A = A + v := { a + v ∣ a ∈ A } {\displaystyle v+A=A+v:=\left\{a+v\mid a\in A\right\}} α A := { α a ∣ a ∈ A } {\displaystyle \alpha A:=\left\{\alpha a\mid a\in A\right\}} עבור מרחבים מתמטיים מסוימים ניתן להגדיר באופן סטנדרטי מטריקה המציינת מרחק בין כל שני אובייקטים באותו מרחב. במקרים שבהם מטריקה כזאת אינה קיימת, תחום הטופולוגיה מאפשר להגדיר מונחים מופשטים כגון "קרוב" ו"רחוק" מבלי לציין מרחק ספציפי בין שני אובייקטים. באופן זהה, פונקציית נורמה במרחב וקטורי מאפשרת לציין את ה"אורך" של וקטור מסוים במרחב, ונגזרת מכך מטריקה המוגדרת על-ידי המרחק של הפרש וקטורים. עבור מרחבים וקטוריים שאינם בעלי נורמה, מרחב וקטורי טופולוגי מאפשר להגדיר באופן ברור מונחים כגון "התכנסות" ו"רציפות" במרחב זה ללא שימוש בנורמה. יתרה מכך, מרחבים נורמיים הם בהכרח קמורים וחסומים מקומית, בעוד שמרחבים וקטוריים טופולוגיים כלליים אינם בהכרח קמורים או חסומים מקומית. עובדה זו מאפשרת לחקור מרחבים וקטוריים בעלי גאומטריה שונה מהגאומטריה המושרית על ידי נורמה. מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מעל שדה K {\displaystyle \mathbb {K} } ובעל טופולוגיה T {\displaystyle {\mathcal {T}}} יקרא מרחב וקטורי טופולוגי אם ורק אם: פונקציית החיבור + : V × V → V {\displaystyle +:V\times V\to V} היא פונקציה רציפה. פונקציית הכפל בסקלר ⋅ : K × V → V {\displaystyle \cdot :\mathbb {K} \times V\to V} היא פונקציה רציפה. הקבוצה { 0 } {\displaystyle \{0\}} היא קבוצה סגורה (כלומר V ∖ { 0 } {\displaystyle V\backslash \{0\}} היא קבוצה פתוחה). הרציפות בתנאים 1 ו-2 היא רציפות בין מרחבי המכפלה V × V {\displaystyle V\times V} ו- K × V {\displaystyle \mathbb {K} \times V} לבין המרחב V {\displaystyle V} , כאשר הטופולוגיה על K {\displaystyle \mathbb {K} } היא הטופולוגיה נפרשת על ידי כדורים פתוחים. מקורות מסוימים אינם כוללים את תנאי 3 בהגדרה זו. ניתן להוכיח שבהינתן תנאים 1 ו-2, תנאי 3 שקול לכך שהמרחב הוא מרחב האוסדורף. עבור כל קבוצה פתוחה U ⊆ V {\displaystyle U\subseteq V} : לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} הקבוצה U + v {\displaystyle U+v} פתוחה. לכל 0 ≠ α ∈ K {\displaystyle 0\neq \alpha \in \mathbb {K} } הקבוצה α U {\displaystyle \alpha U} פתוחה. כלומר, קבוצות פתוחות נשמרות תחת הזזה והרחבה. תכונות אלו מתקיימות אף עבור קבוצות סגורות. מעבר לכך: עבור קבוצה פתוחה U ⊆ V {\displaystyle U\subseteq V} וקבוצה A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} כלשהי (לאו דווקא פתוחה), הקבוצה U + A {\displaystyle U+A} פתוחה. עבור קבוצה סגורה C ⊆ V {\displaystyle C\subseteq V} וקבוצה קומפקטית K ⊂ V {\displaystyle K\subset V} , הקבוצה C + K {\displaystyle C+K} סגורה. קבוצה B ⊆ T {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {T}}} תקרא בסיס מקומי של v ∈ V {\displaystyle v\in V} אם ורק אם: כל איברי B {\displaystyle {\mathcal {B}}} מכילים את v {\displaystyle v} (כלומר, לכל U ∈ B {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}} מתקיים v ∈ U {\displaystyle v\in U} ) כל סביבה פתוחה של v {\displaystyle v} מכילה איבר כלשהו מ- B {\displaystyle {\mathcal {B}}} (כלומר, לכל קבוצה פתוחה U ∈ T {\displaystyle U\in {\mathcal {T}}} כך ש- v ∈ U {\displaystyle v\in U} קיימת קבוצה פתוחה B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} כך ש- B ⊆ U {\displaystyle B\subseteq U} ) ניתן להראות כי אם B {\displaystyle {\mathcal {B}}} בסיס מקומי של 0 {\displaystyle 0} ו- v ∈ V {\displaystyle v\in V} , אז B + v = { B + v ∣ B ∈ B } {\displaystyle {\mathcal {B}}+v=\left\{B+v\mid B\in {\mathcal {B}}\right\}} הוא בסיס מקומי של v {\displaystyle v} . קבוצה B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל v ∈ B {\displaystyle v\in B} ולכל α ∈ K {\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} } כך ש- | α | ≤ 1 {\displaystyle |\alpha |\leq 1} מתקיים α v ∈ B {\displaystyle \alpha v\in B} . קבוצה S ⊆ V {\displaystyle S\subseteq V} תקרא קבוצה סימטרית אם ורק אם לכל v ∈ B {\displaystyle v\in B} מתקיים − v ∈ B {\displaystyle -v\in B} . כאשר K {\displaystyle \mathbb {K} } הוא שדה הממשיים, קבוצה מאוזנת היא קבוצה סגורה לפעולת כיווץ (הכפלה בסקלר חיובי קטן מ- 1 {\displaystyle 1} ) או היפוך כיוון (הכפלה ב- − 1 {\displaystyle -1} ). כאשר K {\displaystyle \mathbb {K} } הוא שדה המרוכבים, קבוצה מאוזנת סגורה בשני מובנים אלו וגם לסיבוב בשדה המרוכבים (הכפלה בסקלר מהצורה e i θ {\displaystyle e^{i\theta }} כאשר θ {\displaystyle \theta } ממשי). ניתן לראות כי כל קבוצה מאוזנת היא קבוצה סימטרית. קבוצות מאוזנות או סימטריות אינן בהכרח פתוחות או סגורות. עבור קבוצה A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} כלשהי ניתן להגדיר: Bal ⁡ ( A ) := ⋃ α ∈ K , | α | ≤ 1 α A {\displaystyle \operatorname {Bal} (A):=\bigcup _{\alpha \in \mathbb {K} ,|\alpha |\leq 1}{\alpha A}} Sym ⁡ ( A ) := A ∪ ( − A ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (A):=A\cup (-A)} הקבוצה Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Bal} (A)} היא קבוצה מאוזנת והיא הקבוצה המאוזנת המינימלית המכילה את A {\displaystyle A} . באופן זהה, הקבוצה Sym ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (A)} היא קבוצה סימטרית והיא הקבוצה הסימטרית המינימלית המכילה את A {\displaystyle A} . לכל מרחב וקטורי טופולוגי קיים בסיס מקומי של 0 {\displaystyle 0} הבנוי מקבוצות מאוזנות בלבד. קבוצה B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} תקרא קבוצה חסומה אם ורק אם לכל U {\displaystyle U} סביבה פתוחה של 0 {\displaystyle 0} קיים 0 < ρ ∈ R {\displaystyle 0<\rho \in \mathbb {R} } כך ש- B ⊆ ρ U {\displaystyle B\subseteq \rho U} . ניתן להוכיח כי כל קבוצה קומפקטית היא גם חסומה. ההפך לא בהכרח נכון. קבוצה B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} תקרא קבוצה בולעת אם ורק אם לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | < r {\displaystyle |c|<r} מתקיים c v ∈ B {\displaystyle cv\in B} . בגלל שפעולת הכפל בסקלר היא פעולה רציפה במרחבים וקטוריים טופולוגיים, ניתן להוכיח כי כל סביב פתוחה של הראשית היא בהכרח קבוצה בולעת. מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב מטריזבילי (metrizable) אם ורק אם קיימת מטריקה כלשהי d {\displaystyle d} על המרחב V {\displaystyle V} כך שהטופולוגיה T {\displaystyle {\mathcal {T}}} נפרשת על ידי קבוצת הכדורים הפתוחים לפי d {\displaystyle d} . מטריקה זו תהיה אינווריאנטית תחת הזזה. כלומר, לכל x , y , z ∈ V {\displaystyle x,y,z\in V} מתקיים d ( x + z , y + z ) = d ( x , y ) {\displaystyle d(x+z,y+z)=d(x,y)} . ניתן להוכיח עבור מרחב וקטורי טופולוגי כלשהו כי אם ל- 0 {\displaystyle 0} קיים בסיס מקומי בן-מנייה אז המרחב מטריזבילי. ההפך אינו בהכרח נכון. בניגוד למרחב נורמי שבו כל כדור פתוח הוא בהכרח קמור, עבור מרחב מטריזבילי עם מטריקה כלשהי שאינה נגזרת מנורמה, ייתכן והכדורים הפתוחים אינם קמורים. מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב קמור מקומית אם ורק אם קיים ל- 0 {\displaystyle 0} בסיס מקומי המורכב מקבוצות פתוחות וקמורות. מאחר שהבסיס נשמר תחת הזזה, אם קיים בסיס כזה, ניתן ליצור בסיס דומה סביב כל וקטור במרחב. כל מרחב וקטורי טופולוגי הנוצר נורמה הוא בהכרח קמור מקומית. למרחבים קמורים מקומית חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית. ראשית, ניתן להוכיח שכל מרחב מסוג זה ניתן לבנייה על-פי משפחה מפרידה של נורמות למחצה (seminorms). כלומר, בהינתן קבוצה של נורמות למחצה P {\displaystyle {\mathcal {P}}} כך שלכל 0 ≠ v ∈ V {\displaystyle 0\neq v\in V} קיים p ∈ P {\displaystyle p\in {\mathcal {P}}} כך ש- p ( v ) ≠ 0 {\displaystyle p(v)\neq 0} . מרחבים קמורים מקומית מקיימים גרסה מוכללת של משפט האן-בנך. כמו כן, אם המרחב קמור מקומית ומטריזבילי, ניתן להוכיח כל הכדורים הפתוחים לפי המטריקה המשרה קמורים. מרחב וקטורי טופולוגי יקרא חסום מקומית אם ורק אם קיימת ל- 0 {\displaystyle 0} סביבה פתוחה כלשהי שהסגור שלה חסום. ניתן להוכיח כי כל מרחב חסום מקומית הוא מטריזבילי. מרחב וקטורי טופולוגי יקרא קומפקטי מקומית אם ורק אם קיימת ל- 0 {\displaystyle 0} סביבה סגורה וקומפקטית. ניתן להוכיח כי מרחב הוא קומפקטי מקומי אם ורק אם הוא מממד סופי. מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב F אם הוא מטריזבילי ושלם, כלומר שכל סדרת קושי בו מתכנסת. אם בנוסף המרחב קמור מקומית הוא ייקרא מרחב פרשה (אין להתבלבל עם מרחב פרשה-אוריסון). מרחבי פרשה נחשבים לגרסה חלשה יותר של מרחבי בנך וניתן להשתמש בהם במקרים שבהם לא ניתן להגדיר נורמה על המרחב. מרחב וקטורי טופולוגי יקרא מרחב נורמבילי (normable) אם ורק אם ניתן להגדיר נורמה על המרחב כך שהטופולוגיה נוצרת על-ידי בסיס של כדורים פתוחים לפי נורמה זו. כל מרחב נורמי לרבות מרחבי הילברט ובנך הוא מרחב נורמבילי. ניתן להוכיח כי מרחב וקטורי טופולוגי כללי הוא מרחב נורמבילי אם ורק אם הוא קמור מקומית וחסום מקומית. כל מרחב נורמי, ובפרט מרחב הילבט ומרחב בנך, הוא מרחב וקטורי טופולוגי. מרחב וקטורי עם הטופולוגיה הטריוואלית הוא מרחב וקטורי טופולוגי. מרחב הפונקציות המדידות על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} עם הטופולוגיה הנגזרת מהמטריקה d ( f , g ) = ∫ 0 1 | f ( x ) − g ( x ) | 1 + | f ( x ) − g ( x ) | d x {\displaystyle d(f,g)=\int _{0}^{1}{{\frac {|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}}dx}} , הוא מרחב טופולוגי מטריזבלי שאינו קמור מקומית ועל כן איננו נורבילי. כל מרחב Lp עם המטריקה d ( f , g ) = ‖ f − g ‖ p p {\displaystyle d(f,g)=\lVert f-g\rVert _{p}^{p}} הוא מרחב פרשה שאיננו מרחב בנך, בניגוד לשימוש הסטנדרטי בנורמה ‖ f ‖ p {\displaystyle \lVert f\rVert _{p}} על מרחבי Lp. ניתן להשתמש בצורה זו של המרחב במקרים בהם נדרש לבצע פעולות גזירה על תוצאת המטריקה. כל מרחב מכפלה קרטזית על מרחבים וקטורים טופולוגיים הוא מרחב וקטורי טופולוגי עם טופולוגיית המכפלה. מרחב וקטורי טופולוגי, באתר MathWorld (באנגלית) Gabriel Nagy, Topological Vector Spaces I: Basic Theory, Kensas State University, ‏2007-10-16 (באנגלית) Eric W. Weisstein, Topological Vector Space, mathworld.wolfram.com (באנגלית) Raz Kupferman, Topological vector spaces, האוניברסיטה העברית בירושלים, ‏2014-09-29 (באנגלית) Hahn-Banach theorem in nLab, ncatlab.org (באנגלית)