חבורת סימטריות נקודתית

בקריסטלוגרפיה, חבורת סימטריות נקודתית היא חבורה של העתקות ליניאריות שומרות זווית, שאיבריה מעבירים את הנקודות על סריג כלשהו לנקודות אחרות של אותו סריג, תוך שמירה על נקודה אחת (לפחות) במקומה הקבוע. לחבורות של סימטריות נקודתיות יש חשיבות רבה במיון הסריגים, בעיקר במרחב הדו-ממדי ובמרחב התלת-ממדי. גם החבורות עצמן מוכרות היטב, וכל אחת מהן זכתה לסימון מיוחד משלה (בממד 3 יש 32 כאלה). על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות נקודתית פועלת בנאמנות על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח לחבורת הסימטריות המלאה של אותו סריג עם אותה נקודה קבועה. למעשה, ממיינים את חבורות הסימטריות הנקודתיות למשפחות, בדיוק לפי גודלן של חבורות הסימטריה המלאות של הסריגים השונים. מאידך, כל חבורת סימטריות מרחבית (בממד 3 יש 230 כאלה) שייכת לאחת מחבורת הסימטריות הנקודתיות (המייצב של נקודת סריג כלשהי תחת פעולת החבורה); כל החבורות המרחביות השייכות לחבורה נקודתית נתונה מרכיבות יחד "מחלקת סריגים". בהקשר רחב יותר, עשויים לקרוא לכל חבורה של סימטריות צפידות הקובעות את הראשית חבורת סימטריות נקודתיות, בין אם החבורה פועלת על סריג כלשהו, ובין אם לאו. אפשר לתאר סריג במרחב האוקלידי   R n {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} באמצעות מטריצות. אם   Λ {\displaystyle \ \Lambda } הוא סריג, אפשר לכתוב כל נקודה עליו כצירוף שלם של וקטורים   v 1 , … , v n {\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}} (כלומר,   Λ = { a 1 v 1 + ⋯ + a n v n : a 1 , … , a n ∈ Z } {\displaystyle \ \Lambda =\{a_{1}v_{1}+\cdots +a_{n}v_{n}:a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} \}} ). כעת אפשר לאסוף את הווקטורים   v 1 , … , v n {\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}} לעמודות של מטריצה ריבועית L, והסריג שווה לאוסף הנקודות   Λ = L Z n {\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}} , כאשר   Z n {\displaystyle \ \mathbb {Z} ^{n}} הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים. חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומהרכבות של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית, כלומר, מטריצה השייכת לחבורה הקומפקטית   O n ( R ) = { A ∈ GL n ⁡ ( R ) : A t A = I } {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )=\{A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} ):A^{t}A=I\}} . כפל במטריצה A כזו שומר על הסריג   Λ = L Z n {\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}} , אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה מעל השלמים,   P ∈ GL n ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ P\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )} , כך ש-   A L = L P {\displaystyle \ AL=LP} , דהיינו, אם   A ∈ L ⋅ GL n ⁡ ( Z ) ⋅ L − 1 {\displaystyle \ A\in L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}} . מכאן שחבורת סימטריות הסיבובים של   Λ = L Z n {\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}} שווה לחיתוך   O n ( R ) ∩ L ⋅ GL n ⁡ ( Z ) ⋅ L − 1 {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}} . החיתוך הזה סופי, משום שהחבורה הראשונה קומפקטית והשנייה דיסקרטית. כאמור לעיל, "חבורת סימטריות נקודתית" (מממד n) היא תת-חבורה של   O n ( R ) ∩ L ⋅ GL n ⁡ ( Z ) ⋅ L − 1 {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}} , עבור מטריצה הפיכה L כלשהי. במילים אחרות, מדובר בתת-חבורות של   O n ( R ) {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )} , המוכלות גם בתת-חבורה צמודה ל-   GL n ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )} . בחבורה   O n ( R ) {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )} יש מטריצות בעלות דטרמיננטה 1 (השומרות על זוויות וכיוונים) ודטרמיננטה   − 1 {\displaystyle \ -1} (השומרות על זוויות אבל הופכות יד ימנית לשמאלית). תת-החבורה   S O n ( R ) = O n ( R ) ∩ SL n ⁡ ( R ) {\displaystyle \ SO_{n}(\mathbb {R} )=O_{n}(\mathbb {R} )\cap \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {R} )} , הכוללת מטריצות מן הסוג הראשון בלבד, נקראת 'החבורה האורתוגונלית המיוחדת'. זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 של   O n ( R ) {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )} . חבורת סימטריות נקודתיות היא מ"טיפוס ראשון", אם היא מוכלת ב-   S O n ( R ) {\displaystyle \ SO_{n}(\mathbb {R} )} , ומ"טיפוס שני" אם לא. אם G חבורת סימטריות מטיפוס שני, אז   G ∩ S O n ( R ) {\displaystyle \ G\cap SO_{n}(\mathbb {R} )} היא תת-חבורה מאינדקס 2 של G. כאשר n אי זוגי, מטריצת השיקוף   − I {\displaystyle \ -I} אינה שייכת ל- S O n {\displaystyle SO_{n}} , ואז   O n ( R ) = S O n ( R ) ⋅ ⟨ − I ⟩ {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )=SO_{n}(\mathbb {R} )\cdot \langle -I\rangle } (מכפלה ישרה פנימית). במקרה כזה, אפשר להראות שכל חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס שני, שאינה מכילה את I-, איזומורפית (כחבורה מופשטת) לחבורת סימטריות נקודתית מטיפוס ראשון. מכאן יוצא שבמיון החבורות המופשטות העשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות, אפשר להניח שהחבורה היא מטיפוס ראשון בעצמה, או שהיא מן הצורה   G 1 × ⟨ − I ⟩ {\displaystyle \ G_{1}\times \langle -I\rangle } , כאשר   G 1 {\displaystyle \ G_{1}} מטיפוס ראשון. יש להבחין כי שתי חבורות צמודות מוכרחות להיות מאותו טיפוס (משום שפעולת ההצמדה שומרת על הדטרמיננטה). באותו אופן, אם חבורה מכילה את השיקוף − I {\displaystyle \,-I} , אז גם כל חבורה צמודה לה מכילה אותו (משום שזוהי מטריצה סקלרית, המתחלפת עם כל פעולת הצמדה). יש 10 חבורות סימטריה נקודתיות מממד 2: 5 מטיפוס ראשון, ו-5 מטיפוס שני. חבורות אלה איזומורפיות ל-9 חבורות מופשטות: החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6, והחבורות הדיהדרליות שסדרן 4,6,8 ו- 12. מכל אלה, רק החבורה הציקלית מסדר 2 מופיעה בשתי הצגות שונות: סימטריית הסיבוב ב-180 מעלות,   ( − 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&-1\end{array}}\right)} , וסימטריית השיקוף   ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)} . מאלה, רק ארבע חבורות עשויות להופיע כחבורות סימטריה נקודתיות מלאות של סריג, כפי שיתואר בהמשך. החבורה האורתוגונלית המיוחדת   S O 2 ( R ) {\displaystyle \ SO_{2}(\mathbb {R} )} מורכבת מסיבובים של המישור, שהמטריצות המייצגות אותן הן   ( cos ⁡ ( α ) sin ⁡ ( α ) − sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) ) {\displaystyle \ \left({\begin{array}{cc}\cos(\alpha )&\sin(\alpha )\\-\sin(\alpha )&\cos(\alpha )\end{array}}\right)} . אם מטריצה כזו שייכת, לאחר הצמדה, לחבורה   S L 2 ( Z ) {\displaystyle \ SL_{2}(\mathbb {Z} )} , אז העקבה שלה,   2 cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \ 2\cos(\alpha )} , היא מספר שלם. מכאן נובע שהסיבוב הוא בזוויות של 0, 60, 90, 120 או 180 מעלות. מאידך, כל תת-חבורה סופית של   S O 2 ( R ) {\displaystyle \ SO_{2}(\mathbb {R} )} היא ציקלית, ולכן חבורות הסימטריה הנקודתיות מטיפוס ראשון, מממד 2, הן החבורות הציקליות מסדר 1,2,3,4 ו- 6. חבורת סימטריות מטיפוס שני אפשר להצמיד, כך שהיא תכיל את השיקוף ביחס לציר x. נובע מכאן שחבורות הסימטריה מטיפוס שני הן החבורות הדיהדרליות   D 1 = C 2 , D 2 = C 2 × C 2 , D 3 , D 4 {\displaystyle \ D_{1}=C_{2},D_{2}=C_{2}\times C_{2},D_{3},D_{4}} ו-   D 6 {\displaystyle \ D_{6}} (כאשר הסדר של   D n {\displaystyle \ D_{n}} הוא 2n). נקבע נקודה בסריג L במרחב האוקלידי הדו-ממדי. את הסריג אפשר להזיז, כך שנקודה זו ממוקמת בראשית (הנקודה השחורה השמאלית בתרשים). בסריג יש נקודה קרובה ביותר לראשית, שאפשר לסמן ב-a. לאחר מתיחה, וסיבוב מתאים, אפשר להניח שהווקטור מן הראשית לנקודה זו הוא וקטור יחידה A המצביע ימינה מהראשית, כמתואר בחץ השחור בתחתית התרשים משמאל. בסריג יש נקודות נוספות; אפשר לבחור כזו שהיא קרובה ביותר למעט הראשונה, ולסמנה ב-b. מכיוון שלנקודה הזו אפשר להוסיף כפולות (שלמות) של A, שעור ה-x שלה מוכרח להיות בין 1/2- ל-1/2, כך שהיא נמצאת בין שני הקווים האנכיים הקיצוניים בציור. מכיוון שהנקודה הראשונה שבחרנו הייתה הקרובה ביותר, הנקודה השנייה נמצאת מחוץ למעגל היחידה, המאויר באפור; כלומר, היא נמצאת בתחום הירקרק, או על אחד הקווים התוחמים אותו (למעשה, על ידי הזזה ב-A אפשר להניח ש-b איננה על הקו התוחם השמאלי). אם הנקודה b נמצאת באחת הנקודות הירוקות, התא היסודי בסריג הוא משושה, וחבורת הסימטריות הנקודתית המלאה שלו היא   D 6 {\displaystyle \ D_{6}} , מסדר 12. אם b היא הנקודה החומה במרכז, אז הסריג ריבועי, וחבורת הסימטריות המלאה שלו היא   D 4 {\displaystyle \ D_{4}} , מסדר 8. אם b היא כל נקודה אחרת על הקשת האדומה (שהנקודות עליה במרחק 1 מן הראשית, בדומה ל-a), אז קיימת סימטריית שיקוף (בקו החוצה את הזווית שבין a ל-b מנקודת הראשית), והחבורה היא   D 2 {\displaystyle \ D_{2}} , מסדר 4. התא היסודי הוא מעוין. אם b שייכת לאחד הקווים הכחולים האנכיים, אז מותרת סימטריה של שיקוף גם בציר x וגם בציר y, והחבורה היא שוב   D 2 {\displaystyle \ D_{2}} . במקרה זה התא היסודי הוא מלבן (אם b על הקו הכחול האמצעי), או מקבילית מלבנית (שבה הבסיס העליון מוסט ביחס לתחתון בדיוק במחצית אורך הבסיס). בכל מקרה אחר (היינו, b שייכת לאזור הירקרק), אין לסריג סימטריות מלבד הסיבוב ב-180 מעלות, והחבורה מסדר 2. כמו בכל בעיית מיון, יש לקבוע היטב מתי שני אובייקטים מן הקבוצה שאותה מבקשים למיין, נחשבים שקולים זה לזה. נאמר ששתי חבורות סימטריה נקודתיות   G 1 {\displaystyle \ G_{1}} ו-   G 2 {\displaystyle \ G_{2}} הן צמודות, אם קיימת העתקה אורתוגונלית A, כך ש-   G 2 = A G 1 A − 1 {\displaystyle \ G_{2}=AG_{1}A^{-1}} . חבורות צמודות הן גם איזומורפיות כחבורות מופשטות, אך ההפך אינו נכון. (חבורה מופשטת מתוארת על ידי לוח הכפל שלה, אבל היא יכולה לפעול על המרחב האוקלידי בדרכים שונות באופן מהותי. למשל, הפעולות "שיקוף" ו"סיבוב ב-180 מעלות" של המישור, אינן צמודות, אף-על-פי שהחבורה המופשטת שהן יוצרות היא בשני המקרים החבורה היחידה מסדר 2). במיון חבורות הסימטריה הנקודתיות שהמבנה שלהן ידוע באופן מופשט (היינו, הן איזומורפיות לחבורה ידועה H), יש למצוא את ההצגות הנאמנות, הממשיות, מממד 3, עם קרקטר של הצגות שלם - עד כדי הצמדה (ההצגות אינן בהכרח אי-פריקות). נניח ש- G חבורת סימטריות נקודתיות מטיפוס ראשון. כל איבר של G הוא מטריצת סיבוב תלת-ממדית; אם המטריצה מסובבת בזווית t סביב ציר מסוים, אז העקבה שלה היא   1 + 2 cos ⁡ ( t ) {\displaystyle \ 1+2\cos(t)} , וזה מוכרח להיות מספר שלם. מכאן יוצא שזווית הסיבוב היא 0, 60, 90, 120 או 180 מעלות, והסדר של האיבר הוא 1,2,3,4 או 6. מעובדה זו, בצירוף הדרישה שכל טבלת הקרקטרים של החבורה תהיה שלמה, אפשר להסיק שסדר החבורה הוא מחלק של 24. יש 32 חבורות מופשטות מסדר כזה, והמיון מתקבל מסקירת ההצגות של כל אחת ואחת מהן (הפרטים לא יינתנו כאן). יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות (עד כדי צמידות). 11 מאלה הן מטיפוס ראשון, ועוד 21 מטיפוס שני. בין החבורות מטיפוס שני, יש 11 הכוללות את השיקוף   − I {\displaystyle \ -I} , ועוד 10 שאינן כוללות אותו. כל חבורה מן הטיפוס הראשון איזומורפית לחבורה מופשטת משלה, המיוצגת באופן הזה רק פעם אחת. טענה דומה נכונה גם לחבורות מן הטיפוס השני הכוללות את השיקוף   − I {\displaystyle \ -I} . בין 10 החבורות הנותרות מן הטיפוס השני, יש שני זוגות של חבורות איזומורפיות, ועוד שש שאינן איזומורפיות זו לזו. בסך הכל, יש 18 חבורות מופשטות המיוצגות כחבורות סימטריה נקודתיות (מטיפוס ראשון או שני). כל חבורת סימטריה נקודתית תלת-ממדית איזומורפית לאחת מן הבאות (בסוגריים נתון מספר ההצגות הלא-צמודות מהטיפוס הראשון, מספר ההצגות הלא-צמודות מהטיפוס השני הכוללות את השיקוף   − I {\displaystyle \ -I} , ומספר ההצגות הלא-צמודות מהטיפוס השני שאינן כוללות שיקוף זה):   C 1 {\displaystyle \ C_{1}} (מטיפוס ראשון בלבד, היינו 1+0+0);   C 2 {\displaystyle \ C_{2}} (מטיפוס ראשון, או מטיפוס שני בשני אופנים לא צמודים: 1+1+1);   C 3 {\displaystyle \ C_{3}} (1+0+0);   C 4 {\displaystyle \ C_{4}} (1+0+1);   C 2 × C 2 {\displaystyle \ C_{2}\times C_{2}} (1+1+1);   C 6 {\displaystyle \ C_{6}} (1+1+1);   D 3 {\displaystyle \ D_{3}} (1+0+1);   D 4 {\displaystyle \ D_{4}} (1+0+2);   C 2 × C 4 {\displaystyle \ C_{2}\times C_{4}} (0+1+0);   C 2 × C 2 × C 2 {\displaystyle \ C_{2}\times C_{2}\times C_{2}} (0+1+0);   D 6 {\displaystyle \ D_{6}} (1+1+2);   A 4 {\displaystyle \ A_{4}} (1+0+0);   C 2 × C 6 {\displaystyle \ C_{2}\times C_{6}} (0+1+0);   C 2 × D 4 {\displaystyle \ C_{2}\times D_{4}} (0+1+0);   S 4 {\displaystyle \ S_{4}} (1+0+1);   C 2 × D 6 {\displaystyle \ C_{2}\times D_{6}} (0+1+0);   C 2 × A 4 {\displaystyle \ C_{2}\times A_{4}} (0+1+0); ו-   C 2 × S 4 {\displaystyle \ C_{2}\times S_{4}} (0+1+0). כאן,   C n {\displaystyle \ C_{n}} היא החבורה הציקלית מסדר n,   D n {\displaystyle \ D_{n}} היא החבורה הדיהדרלית, מסדר 2n,   S 4 {\displaystyle \ S_{4}} היא החבורה הסימטרית בת 24 איברים, ו-   A 4 {\displaystyle \ A_{4}} היא חבורת התמורות הזוגיות, בת 12 איברים. רק 7 מכל חבורות הסימטריה הנקודתיות כוללות את כל הסימטריות הנקודתיות של סריג כלשהו. אלו הן   C 2 {\displaystyle \ C_{2}} (טריקלינית, 2),   C 2 × C 2 {\displaystyle \ C_{2}\times C_{2}} (מונוקלינית, 3),   C 2 × C 2 × C 2 {\displaystyle \ C_{2}\times C_{2}\times C_{2}} (מעוינת, 3),   D 6 {\displaystyle \ D_{6}} (משולשת, 5),   C 2 × D 4 {\displaystyle \ C_{2}\times D_{4}} (טטרגונלית, 7),   C 2 × D 6 {\displaystyle \ C_{2}\times D_{6}} (הקסגונלית, 7), ו-   C 2 × S 4 {\displaystyle \ C_{2}\times S_{4}} (קובית, 5) בכל המקרים, מיוצגות כחבורות מטיפוס שני עם השיקוף   − I {\displaystyle \ -I} (כצפוי, משום ששיקוף זה הוא סימטריה של כל סריג). בהתאם לכך, ממיינים את 32 החבורות ל-7 מחלקות: חבורת סימטריות נקודתית G שייכת למחלקה הנשלטת על ידי חבורת סימטריות מלאה H, שהיא הקטנה ביותר מבין ה-7 המכילה את G. בסוגריים לעיל נתונים שמות המחלקות, ומספר החבורות השייכות לכל מחלקה. בשנת 1830 הוכיח הקריסטלוגרף הגרמני יוהאן פרידריך כריסטיאן הסל (Johann Friedrich Christian Hessel‏ 1871-1796) שבגביש יכולים להיות שלושים ושתיים חבורות סימטריות נקודתיות, כתוצאה מתבקשת מ"חוק האינדקסים היחסיים של פאות הגביש" של רנה ז'יסט אאיאי. עבודתו נשכחה עד שב-1867 הגיע המינרלוג הפיני אקסל גדולין (Axel Gadolin‏ 1892-1828) לאותה תוצאה. Applications of Finite Groups, J.S. Lomont. חבורת סימטריות מרחבית מדיה וקבצים בנושא חבורת סימטריות נקודתית בוויקישיתוף חבורת סימטריות נקודתית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) חבורת סימטריות נקודתית, באתר MathWorld (באנגלית)