משחק שוק

משחק שוק הוא דוגמה למשחק בצורה קואליציונית. המשחק הוא למעשה הסתכלות על מודל של שוק (שבו נמצאים מצרכים, צרכנים ויצרנים) בתור משחק בצורה קואליציונית. אל השוק מגיעים קבוצת יצרנים N {\displaystyle \;N\;} , N = { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle \;N=\left\{1,2,...,n\right\}\;} שמטרתם היא, כמובן, להרוויח כמה שיותר כסף. בשוק נמכרים L {\displaystyle \;L\;} מצרכים ( L ∈ N ) {\displaystyle \;\left(L\in \mathbb {N} \right)\;} . כל יצרן מאופיין על ידי שני אלמנטים: (היצרן ה i {\displaystyle \;i\;} מאופיין על ידי ( a i , u i ) {\displaystyle \;\left(a^{i},u^{i}\right)\;} ) הכמות מכל מוצר אליה הוא מגיע אל השוק. כמות זו נקראת סל המצרכים ההתחלתי של היצרן. הכמות מכל מוצר מסומנת בוקטור a ∈ R + L {\displaystyle \;a\in \mathbb {R} _{+}^{L}\;} כך שבקואורדינאטה ה j {\displaystyle \;j\;} רשום הכמות שיש ליצרן ממוצר j {\displaystyle \;j\;} . (כל קואורדינאטה היא אי שלילית). האופן שבו הוא מסוגל להרוויח מתוך סל המוצרים שיש לו. זוהי פונקציית התועלת שלו מסל מצרכים כלשהו. פונקציה זו מקבלת וקטור כמויות של מצרכים ומחזירה את סכום הכסף שהיצרן יכול להרוויח באמצעות וקטור זה. פונקציה זו נקראת פונקציית היצור ומסומנת: u : R + L → R {\displaystyle \;u:\mathbb {R} _{+}^{L}\to \mathbb {R} \;} . באופן פורמלי מודל השוק מוגדר על ידי קבוצת היצרנים, מספר המצרכים, והאפיון של כל יצרן: ( N ; L ; ( a i , u i ) i ∈ N ) {\displaystyle \;\left(N;L;\left(a^{i},u^{i}\right)_{i\in N}\right)\;} . במילים, שוק מוגדר על ידי קבוצת השחקנים ואפיונם (הם מגדירים את קבוצת המצרכים). כל משחק שוק הוא משחק קמור (משחק שבו התרומה השולית של כל שחקן לקואליציה גדלה ככל שהקואליציה גדולה יותר) ולכן במשחקים קמורים סביר שייווצר המבנה הקואליציוני בו נמצאת הקואליציה של כל השחקנים. לכן, במשחק שוק ניתן להניח היווצרות של הקואליציה המלאה. בניתוח המתמטי של מודל משחק השוק מניחים כבר שנוצרו הקואליציות הטובות ביותר (כאמור, ניתן להניח שנוצרת הקואליציה הגדולה ביותר) והניתוח אינו עוסק ביצירת הקואליציות אלא באופן חלוקת הרווח בין החברים בקואליציה. העניין שלנו בניתוח הוא בהבנת מושג הליבה של השוק. כדי לעשות זאת אנו מתאימים לכל שוק - משחק בצורה קואליציונית (וירטואלי) ועל ידי "הלבשת" המשחק הקואליציוני על השוק ניתן לחקור את הליבה שלו (כליבה של משחק בצורה קואליציונית). לכל שוק (קבוצת השחקנים והאפיון שלהם) ניתן להתאים משחק בצורה קואליציונית, אשר יקרא משחק שוק. ההפך אינו נכון לא לכל משחק ניתן להתאים שוק. רק משחק שניתן להתאים לו שוק - יקרא משחק שוק. במשחק היצרנים מתאגדים בקואליציה על ידי כך שהם מאחדים ביחד את סלי המצרכים של חברי הקואליציה ומחלקים מחדש את המצרכים כך שסך כל הרווח של הקואליציה יהיה מקסימלי. לחברי קואליציה S {\displaystyle \;S\;} יש וקטור מצרכים: ∑ i ∈ S a i ∈ R + L {\displaystyle \;\sum \limits _{i\in S}{a^{i}}\in \mathbb {R} _{+}^{L}\;} , כל חלוקה אפשרית של המצרכים מסומנת ב: ( x i ) i ∈ S {\displaystyle \;\left(x^{i}\right)_{i\in S}\;} . (נשים לב ש ( x i ) i ∈ S {\displaystyle \;\left(x^{i}\right)_{i\in S}\;} הוא "וקטור של וקטורים").כך מתקיים ∑ i ∈ S x i = ∑ i ∈ S a i {\displaystyle \;\sum \limits _{i\in S}{x^{i}}=\sum \limits _{i\in S}{a^{i}}\;} . למשל אם ∑ i ∈ S a i = ( 4 , 5 , 2 , 9 , 3 ) {\displaystyle \;\sum \limits _{i\in S}{a^{i}}=\left(4,5,2,9,3\right)\;} וישנם 3 יצרנים. אזי חלוקה אפשרית היא ( x i ) i ∈ S = ( 2 , 4 , 1 , 0 , 0 ) ( 1 , 1 , 1 , 7 , 2 ) ( 1 , 0 , 0 , 2 , 1 ) _ ( 4 , 5 , 2 , 9 , 3 ) {\displaystyle \;\left(x^{i}\right)_{i\in S}={\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(2,4,1,0,0\right)\\&\left(1,\,\,1,1\,,7,2\right)\\&{\underline {\left(1,\,0,\,0,2,\,\,1\right)}}\\&\left(4,5,2,9,3\right)\\\end{aligned}}\\\end{matrix}}\;} . קבוצת כל החלוקות האפשריות עבור הקואליציה S {\displaystyle \;S\;} מסומנת ב X S {\displaystyle \;X^{S}\;} . משחק בצורה קואליציונית מוגדר על ידי הזוג ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} כאשר N {\displaystyle \;N\;} היא קבוצת השחקנים ו v {\displaystyle \;v\;} היא הפונקציה הקואליציונית. במשחק השוק קבוצה השחקנים N {\displaystyle \;N\;} היא קבוצת היצרנים והפונקציה הקואליציונית v {\displaystyle \;v\;} מוגדרת באופן הבא: v ( S ) = max { ∑ i ∈ S u i ( x i ) : x ∈ X S } {\displaystyle \;v\left(S\right)=\max \left\{\sum \limits _{i\in S}{u^{i}\left(x^{i}\right)\,\,\,:\,\,\,x\in X^{S}}\right\}\;} . כלומר – הפונקציה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה את הרווח המקסימלי שהיא יכולה להרוויח אם תעשה את החלוקה בצורה חכמה (בצורה שתביא למקסימום את הרווח של כל הקואליציה). משפט שפלי שוביק: הליבה של משחק שוק אינה ריקה. אם ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} הוא משחק שוק אז כל תת-משחק שלו הוא משחק שוק ובפרט הליבה של כל תת-משחק שלו אינה ריקה. כל משחק שוק הוא משחק מאוזן לחלוטין. (שפלי & שוביק) אם ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} הוא משחק מאוזן לחלוטין אזי קיים שוק כך ש ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} הוא משחק השוק המתאים לו. משחק שיתופי ליבה של משחק שיתופי מונחים בתורת המשחקים שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946