תורת הכנף הדקה

תורת הכנף הדקה היא ענף בתורת האווירודינמיקה. היא פישוט לתורת הכנפיים שקושרת את זווית התקיפה לכוח העילוי עבור זרימה לא צמיגה בזורם בלתי-דחיס. היא פותחה על ידי המתמטיקאי הגרמני-אמריקאי מיכאל מקס מונק, ולאחר מכן לוטשה על ידי האווירודינמיקאי הרמן גלאורט ואחרים ב-1920. התאוריה מניחה זרימה אידיאלית, דו-ממדית, סביב כנף דקה. ניתן לדמות את פרופיל הכנף לפרופיל בעל עובי אפס ומוטת כנפיים אינסופית. תורת הכנף הדקה הייתה מאוד מקובלת בעבר משום שסיפקה בסיס תאורטי יציב למאפיינים עיקריים של כנף תחת השפעת זרימה דו-ממדית: בפרופיל כנף סימטרי, מרכז הלחץ והמרכז האווירודינמי ממוקמים בדיוק במרחק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה. בפרופיל כנף קמורה, המרכז האווירודינמי ממוקם בדיוק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה. השיפוע של מקדם העילוי מול זווית ההתקפה הוא בדיוק 2 π {\displaystyle 2\pi } רדיאנים, כלומר ∂ C L ∂ α = 2 π {\displaystyle {\frac {\partial C_{L}}{\partial \alpha }}=2\pi } . המרכז האווירודינמי נמצא במרחק רבע מיתר אווירודינמי משפת התקיפה, בנקודה זו מתקיים ∂ C M L E ∂ C L = 0 {\displaystyle {\frac {\partial C_{M_{LE}}}{\partial C_{L}}}=0} *מרכז הלחץ הוא הנקודה שבה הלחץ מכל הכיוונים זהה מרכז אווירודינמי – הנקודה שבה המומנט, שנוצר כתוצאה מהכח האווירודינמי הפועל על הכנף, לא משתנה עקב כח העילוי. המומנט המחושב ביחס לנקודה זו אינו תלוי בזווית ההתקפה. שפת התקפה - הנקודה הקדמית ביותר של הכנף, הנקודה שפוגשת ראשונה את הזרימה על הכנף. שפת הזרימה - הנקודה האחורית ביותר של הכנף, הנקודה שבה המשטח העליון והמשטח התחתון נפגשים. מיתר אווירודינמי - קו ישר משפת התקיפה לשפת הזרימה. קו העקימון – קו שנמצא במרחק שווה מהמשטח העליון ומהמשטח התחתון של פרופיל הכנף. קימור מקסימלי - הגובה הגדול ביותר של קו העקימון מהמיתר האווירודינמי. עובי הפרופיל - המרחק הגדול ביותר בין המשטח העליון והתחתון. קו אפס-עילוי - הקו שאם הכנף נעה במקביל אליו, לא פועל עליה כח עילוי. עבור פרופיל סימטרי קו זה מתלכד עם המיתר האווירודינמי. זווית התקפה - הזווית הנוצרת בין הזרימה המציפה את הכנף ובין המיתר האווירודינמי עבור פרופיל כנף סימטרי, ובין קו האפס-עילוי עבור פרופיל קמור. זרימה דו-ממדית ( w = 0 , ∂ ∂ z = 0 ) {\displaystyle (w=0,{\frac {\partial }{\partial z}}=0)} זרימה בלתי דחיסה + זרימה תמידית (ρ=const) צמיגות קבועה (μ=const) פרופיל כנף דק בדומה לכל גוף הנע בזורם, ניתן להגדיר את מקדמי הגרר והעילוי של כנף מקדם העילוי C L = l 1 / 2 ρ ∞ U ∞ 2 c {\displaystyle C_{L}={\frac {l}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c}}} מקדם הגרר C D = d 1 / 2 ρ ∞ U ∞ 2 c {\displaystyle C_{D}={\frac {d}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c}}} מקדם המומנט C M L E = m L E 1 / 2 ρ ∞ U ∞ 2 c 2 {\displaystyle C_{M_{LE}}={\frac {m_{LE}}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c^{2}}}} l – עילוי ליחידת אורך d – גרר ליחידת אורך m L E {\displaystyle m_{LE}} – המומנט הפועל בשפת התקיפה עקב כוחות העילוי ליחידת אורך c – אורך המיתר האווירודינמי דרך נוספת להגדיר את מקדם העילוי היא לפי זווית ההתקפה. עבור פרופיל סימטרי: C L = 2 π α {\displaystyle C_{L}=2\pi \alpha } עבור פרופיל קמור: C L = C L 0 + 2 π α {\displaystyle C_{L}=C_{L_{0}}+2\pi \alpha } כאשר C L 0 {\displaystyle C_{L_{0}}} זה מקדם העילוי כאשר זווית ההתקפה היא אפס. הכנף ממודלת כקו. קו זה הוא קו העקימון y c ( s ) {\displaystyle y_{c}(s)} , שיוצר ערבוליות γ ( s ) {\displaystyle \gamma (s)} לאורך הישר s. תחת הנחת קוטה, הערבוליות בשפת הזרימה היא אפס. מאחר שהכנף דקה, ניתן להשתמש בקואורדינטה x במקום ב-s, וניתן להניח כי כל הזוויות הן זוויות קטנות. מחוק ביו-סבר, ערבוליות זו יוצרת שדה זרימה w ( x ) {\displaystyle w(x)} w ( x ) = 1 2 π ∫ 0 c γ ( ξ ) ( x − ξ ) d ξ {\displaystyle w(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\xi )}{(x-\xi )}}d\xi } כאשר x היא קואורדינטת המיקום שבו נוצרת המהירות המושרת ו-ξ היא קואורדינטת המיקום של אלמנט הערבוליות היוצר את המהירות. c הוא אורך המיתר האווירודינמי של הכנף. מאחר שאין זרימה בכיוון הניצב למשטח הכנף, w ( x ) {\displaystyle w(x)} צריך לאזן את המהירות כתוצאה מהמהירות החיצונית U ∞ {\displaystyle U_{\infty }} . U ∞ ( α − ∂ y c ∂ x ) + 1 2 π ∫ 0 c γ ( ξ ) ( x − ξ ) d ξ = 0 {\displaystyle U_{\infty }(\alpha -{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}})+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\xi )}{(x-\xi )}}d\xi =0} U ∞ {\displaystyle U_{\infty }} – מהירות הזרימה המציפה α – זווית ההתקפה γ ( ξ ) {\displaystyle \gamma (\xi )} – עוצמת הערבול y c ( x ) {\displaystyle y_{c}(x)} – קו העקימון ∂ y c ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}} – זווית קו העמימון ניתן לפתור את המשוואה ולקבל ביטוי עבור γ ( x ) {\displaystyle \gamma (x)} אם נציב את הקשר הבא x = c 2 ( 1 − c o s ( θ ) ) {\displaystyle x={\frac {c}{2}}(1-cos(\theta ))} ולקבל את הפתרון כטור פורייה γ ( θ ) 2 U ∞ = A 0 1 + c o s ( θ ) s i n ( θ ) + ∑ n = 1 ∞ A n s i n ( n θ ) {\displaystyle {\frac {\gamma (\theta )}{2U_{\infty }}}=A_{0}{\frac {1+cos(\theta )}{sin(\theta )}}+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}sin(n\theta )} את המקדמים ניתן למצוא ולקבל A 0 = α − 1 π ∫ 0 π d y c d x d θ {\displaystyle A_{0}=\alpha -{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {dy_{c}}{dx}}d\theta } A n = 2 π ∫ 0 π c o s ( n θ ) d y c d x d θ {\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }cos(n\theta ){\frac {dy_{c}}{dx}}d\theta } קיבלנו את γ ( θ ) {\displaystyle \gamma (\theta )} . כעת נרצה לחשב את הסירקולציה Γ = ∫ 0 c γ ( ξ ) d ξ = c 2 ∫ 0 π γ ( θ ) s i n ( θ ) d θ {\displaystyle \Gamma =\int _{0}^{c}\gamma (\xi )d\xi ={\frac {c}{2}}\int _{0}^{\pi }\gamma (\theta )sin(\theta )d\theta } נציב את הביטוי ל- γ ( θ ) {\displaystyle \gamma (\theta )} Γ = c U ∞ π 2 ( 2 A 0 + A 1 ) {\displaystyle \Gamma ={\frac {cU_{\infty }\pi }{2}}(2A_{0}+A_{1})} לפי השערת קוטה-ג'ייקובסקי C L = l 1 / 2 ρ ∞ U ∞ 2 c = 2 π [ α + 1 π ∫ 0 π ∂ y c ∂ x ( c o s ( θ ) − 1 ) d θ ] {\displaystyle C_{L}={\frac {l}{1/2\rho _{\infty }U_{\infty }^{2}c}}=2\pi [\alpha +{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}(cos(\theta )-1)d\theta ]} מכאן נקבל כי לכל פרופיל כנף מתקיים ∂ C L ∂ α = 2 π {\displaystyle {\frac {\partial C_{L}}{\partial \alpha }}=2\pi } ניתן לקבל את הביטוי למקדם העילוי כאשר זווית ההתקפה היא אפס, כלומר שהכנף נעה במקביל למהירות המציפה C L | α = 0 = 2 ∫ 0 π ∂ y c ∂ x ( c o s ( θ ) − 1 ) d θ {\displaystyle C_{L}|_{\alpha =0}=2\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}(cos(\theta )-1)d\theta } בנוסף, נוכל לקבל את הזווית שבה מקדם העילוי הוא אפס α | C L = 0 = − 1 π ∫ 0 π ∂ y c ∂ x ( c o s ( θ ) − 1 ) d θ {\displaystyle \alpha |_{C_{L}=0}=-{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\partial y_{c}}{\partial x}}(cos(\theta )-1)d\theta } מהנחת קוטה-ג'ייקובסקי נקבל את העילוי ליחידת אורך F L = ρ U ∞ ∫ 0 c γ ( x ) d x {\displaystyle F_{L}=\rho U_{\infty }\int _{0}^{c}\gamma (x)dx} חישוב מקדם הגרר תלוי רק במקדמים של שני האיברים הראשונים של הטור C L = 2 π ( A 0 + A 1 2 ) {\displaystyle C_{L}=2\pi (A_{0}+{\frac {A_{1}}{2}})} המומנט שהערבוליות יוצרת על שפת ההתקפה יהיה M L E = ρ U ∞ ∫ 0 c x γ ( x ) d x {\displaystyle M_{LE}=\rho U_{\infty }\int _{0}^{c}x\gamma (x)dx} המומנט על שפת התקיפה תלוי רק במקדמים של שלושת האיברים הראשונים של הטור C M L E = − π 2 ( A 0 + A 1 − A 2 2 ) {\displaystyle C_{M_{LE}}=-{\frac {\pi }{2}}(A_{0}+A_{1}-{\frac {A_{2}}{2}})} נחשב את מרכז הלחץ, הנקודה שאם נשים בה את כח העילוי תתן לנו פרופיל מומנט זהה. נדרוש x c p c C L + C M L E = 0 {\displaystyle {\frac {x_{cp}}{c}}C_{L}+C_{M_{LE}}=0} נקבל x c p c = 1 4 [ 1 + π C L ( A 1 − A 2 ) ] {\displaystyle {\frac {x_{cp}}{c}}={\frac {1}{4}}[1+{\frac {\pi }{C_{L}}}(A_{1}-A_{2})]} מקדם הגרר על כנף יהיה מורכב מגרר מושרה, הנגרם כתוצאה מהעילוי. ומגרר שיורי, הנוצר בגלל הצורה של הכנף. C D = C L 2 π e A r + C D 0 {\displaystyle C_{D}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi eA_{r}}}+C_{D_{0}}} A r = A c {\displaystyle A_{r}={\frac {A}{c}}} C D 0 {\displaystyle C_{D_{0}}} – גרר שיורי e – קבוע המתאר את צורת הכנף A r {\displaystyle A_{r}} – כמה הכנף ארוכה ביחס למיתר האווירודינמי פרופיל אווירודינמי אתר NASA כלים לייצור וחיפוש פרופילי כנף תנאי קוטה תנאי קוטה-ג'ייקובסקי