מודל איזינג

מודל איזינג (על שמו של ארנסט איזינג (אנ')) הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. זהו המודל הראשון (והפשוט ביותר) במשפחה רחבה של מודלים מבוססי ספין (מומנט מגנטי) אשר מתארים את התנהגותם של חומרים פרומגנטיים בטמפרטורות ושדות מגנטיים שונים. המודל משמש גם לתיאור מערכות שונות שאינן מגנטיות ומשמש מודל חשוב בתחומי מעברי הפאזה. את המודל הגדיר וילהלם לנץ (אנ') אשר נתן אותו לתלמידו ארנסט איזינג כנושא מחקר לדוקטורט. ב-1925 איזינג, שעל שמו קרוי המודל, פתר את המודל עבור שרשרת חד-ממדית ומצא שלא מתקבל בו מעבר פאזה בטמפרטורה סופית. על סמך זאת הסיק איזינג בטעות כי במודל לא מתרחש מעבר פאזה גם בממד גבוה יותר. קיומו של מעבר פאזה בשני ממדים הוכח ב 1936 על ידי רודולף פיירלס ואף חושבה ב 1941, על ידי קראמרס וואניאה הטמפרטורה בה המעבר קורה. הפתרון האנאליטי של המודל, שהוצג ב-1944 על ידי לארס אונסאגר, נחשב לחשוב מאוד בתחום הפיזיקה הסטטיסטית בפרט ובתחום הפיזיקה התאורטית בכלל. המודל מניח כי בכל נקודת סריג מצוי מומנט מגנטי, או 'ספין' S, אשר ערכו הוא בינארי (לרוב מיוצג בתור ‎+1 ו־‎-1), כאשר בייצוג מרחבי הספין מתואר כחץ שמצביע "מעלה" או "מטה". הספינים מקובעים לנקודות הסריג ואינם יכולים לנוע, אך יכולים לשנות את ערכם מערך בינארי אחד לשני, בהתאם לאינטראקציה ביניהם. תנאי השפה בבעיה לרוב נלקחים כמחזוריים, כדי להתקרב לגבול התרמודינמי של מערכת אינסופית. המילטוניאן האינטראקציה במודל איזינג, ללא שדה מגנטי חיצוני, מתואר על ידי: H = − g ∑ < i , j > S i S j {\displaystyle {\mathcal {H}}=-g\sum _{<i,j>}{S_{i}}{S_{j}}} . כאשר g הוא קבוע בעל יחידות אנרגיה הנקרא "אנרגיית הקשר". הסכימה היא על כל זוגות הספינים השכנים i,j. מהתבוננות בהמילטוניאן, רואים שערך אנרגיית הקשר בין שני ספינים סמוכים הוא בינארי - אם שני הספינים מצביעים באותו כיוון אנרגיית הקשר היא g- ואם הם מצביעים בכיוונים מנוגדים אנרגיית הקשר g+. מכאן, בהכרח קיים מספר סופי של מצבי אנרגיה עבור ספין מסוים ושכניו הקרובים. לדוגמה, עבור ספין בסריג דו-ממדי ריבועי (בו ישנם ארבעה שכנים קרובים), ייתכנו רק 5 ערכי אנרגיה לאינטראקציה בין הספין ושכניו. לעובדה זו חשיבות מכרעת לפתרון המודל. האנרגיה של זוג ספינים שכנים שלילית עבור g>0 ; אינטראקציה פרומגנטית, ובמצב עם האנרגיה הנמוכה ביותר של המערכת כל הספינים בעלי אותו סימן (כולם + או כולם -). עבור g<0 האינטראקציה נקראת אנטיפרומגנטית. בתוספת שדה מגנטי חיצוני, מתווסף לאנרגיה איבר אינטראקציה של מומנט מגנטי עם שדה חיצוני: − h ∑ i S i {\displaystyle -h\sum _{i}S_{i}} . פתרון המודל משמעו חישוב פונקציית החלוקה והגדלים התרמודינמיים המקרוסקופיים של המערכת הנגזרים ממנה, כגון אנרגיה חופשית, קיבול חום סגולי ומגנטיזציה, כתלות בטמפרטורה ובשדה המגנטי החיצוני. מגדלים אלו ניתן למצוא את טמפרטורת מעבר הפאזה והאקספוננטים הקריטיים השונים בסביבות מעבר הפאזה. עבור שרשרת איזינג בממד אחד אין מעבר פאזה, כך שבכל טמפרטורה (שונה מאפס) המערכת היא פאראמגנט. למערכת דו-ממדית ומעלה בעלת אינטראקציה כזו יהיה מעבר פאזה יחיד מסדר שני, בטמפרטורה קריטית מסוימת. מעל טמפרטורה זו המערכת נמצאת בפאזה לא-סדורה (פאראמגנט), ומתחת הטמפרטורה הקריטית - בפאזה סדורה (פרומגנט), בעל מגנטיזציה שונה מאפס. מעבר שכזה ילווה בהתבדרות של החום הסגולי בטמפרטורה הקריטית (או מקסימום חד, במערכת סופית). מודל איזינג עבור המקרה הדו-ממדי (ללא שדה חיצוני) נפתר באופן אנליטי על ידי לארס אונסאגר בשנת 1944. המודל התלת-ממדי לא נפתר אנליטית, אולם קיים מגוון רחב של שיטות לפתרונו באופן נומרי עבור גבישים בגודל סופי. גדלים אלו שונים מהותית מהגדלים עבור סריג אינסופי, אולם ניתן למצוא את הגדלים בגבול האינסופי על ידי ביצוע סימולציות רבות בגודלי סריג משתנים, וידיעה של התנהגות גדלים אלו כתלות בגודל הסריג (תהליך זה נקרא finite size scaling). מרבית השיטות הנומריות משתמשות בסימולציה סטטיסטית (שיטת מונטה-קרלו) המחולקת לצעדי זמן, שבה לכל ספין בצעד זמן נתון ישנו סיכוי לשנות את מצבו, כאשר ההסתברות לעבור למצב כלשהו (מבין שני המצבים האפשריים) נקבעת לפי האנרגיה שתהיה לספין ולשכניו במצב זה. מאחר שמספר החלקיקים במערכת כזו קבוע, התפלגות בולצמן מתארת בצורה טובה את הסתברות המעבר למצב חדש עם אנרגיה נתונה. מאחר שמספר מצבי האנרגיה האפשריים הוא סופי, ניתן לבנות בהתאם להתפלגות טבלה של הסתברויות מעבר כתלות במצב השכנים של ספין מסוים. באופן זה, לכל ספין נדרשת הגרלה של מספר אקראי יחיד, כך שהסימולציה אינה יקרה בזמן מעבד. ניתן לחסוך זמן מעבד נוסף על ידי היפוך של קבוצות ספינים שאין ביניהם אינטראקציה באופן סימולטני. ניתן לקבוע בקירוב טוב את השדה המגנטי B שיוצר חומר מגנטי בטמפרטורה T לפי התפלגות בולצמן. בהינתן N + {\displaystyle N^{+}} אטומים שווקטור המומנט המגנטי שלהם מצביע בכיוון השדה המגנטי העצמי של החומר ו- N − {\displaystyle N^{-}} אטומים שווקטור המומנט המגנטי שלהם מצביע בכיוון הפוך לכוון השדה המגנטי, השדה המגנטי שנוצר הוא ( N + − N − ) μ 0 μ ρ m {\displaystyle (N^{+}-N^{-})\mu _{0}\mu {\frac {\rho }{m}}} (1), כאשר μ המומנט המגנטי של אטום בודד, ρ צפיפות החומר ,m מסת אטום בודד ו- μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} פרמיבליות הריק. לפי התפלגות בולצמן של רמות אנרגיה: נקבל שהיחס בין +N ל-N- הוא : N + N − = e μ B k T {\displaystyle {\frac {N^{+}}{N^{-}}}=e^{\frac {\mu B}{kT}}} (2) כאשר k קבוע בולצמן. נציב את 1 ב-2 ונקבל: N + N − = e μ ( N + − N − ) μ 0 μ ρ m 1 k t {\displaystyle {\frac {N^{+}}{N^{-}}}=e^{\mu (N^{+}-N^{-})\mu _{0}\mu {\frac {\rho }{m}}{\frac {1}{kt}}}} פתרון נומרי של המשוואה נותן בקירוב טוב את N+ ו-N- ואת השדה המגנטי B בטמפרטורה T. בנקודת טמפרטורת איבוד המגנטיות מתקיים שהשדה המגנטי העצמי שנוצר על ידי שינוי אקראי קטן בערך N + − N − {\displaystyle N^{+}-N^{-}} לא חזק מספיק כדי לשמור על האטומים שמצביעים בכיוונו מצביעים בכיוונו, כלומר בניסוח מתמטי: 1=(N+1)/(1-N) = N+/N- > e((μN+- N- )*μ0μ*ρ/m))/kT) ובנקודה הקריטית TC מתקיים שוויון עבור קירוב מהסדר הראשון של האקספוננט x + 1 = e x {\displaystyle x+1=e^{x}} . מכאן נקבל: (1+N)/(1-N) = 1+ N/kTC 2* ρ/m*μ2מכאן נקבל: N/(1 – N) 2 + 1 = 1+ N/kTC 2* ρ/m*μ2מכאן:N) = 2 N - 1)N/kTC 2* ρ/m*μ^2 מכאן נקבל: ρμ0μ2/m=kTC ולכן: ρ/m(μ0μ2)/k = TC. לצורך בדיקה ניקח את הדוגמה של ברזל. לאטום ברזל מומנט מגנטי J/T (22-)^10 * 3.5785 = μ (זהו ערך מוערך ולא מדויק), מסה *10^(-26 ) kg 9.273 = m ולברזל צפיפות: 7874kg/m^3. מכאן נקבל: TC = 990K בעוד הערך האמיתי של טמפרטורת קירי של ברזל עומד על 1043k ולכן זהו קירוב טוב. מודל איזינג הבסיסי הוא המודל הפשוט ביותר לתיאור פרומגנט. קיימים מודלים רבים מורכבים יותר, כמו מודל איזינג עם n>2 מצבים (למשל, עבור n=3 לכל אתר סריג משויך משתנה S i = − 1 , 0 , + 1 {\displaystyle S_{i}=-1,0,+1} ); וכן מודלים בהם לספינים דרגות חופש נוספות. דוגמה נוספת למודל עם מספר מצבים בדידים גדול יותר מ-2 היא מודל פוטס, וכן מודלים בהם המשתנה הבסיסי בכל אתר הוא וקטור יחידה בעל שלושה רכיבים (מודל הייזנברג). בשל אופיו הבינארי הפשוט, מודל איזינג הוא שיטה נוחה לפתרון בעיות אופטימיזציה. הפרמטרים השונים של הבעיה ממודלים לספינים על גביש, כאשר עוצמת הקשר ביניהם וקרבתם נקבעים לפי תנאי הבעיה, ופונקציית המחיר היא השקול לאנרגיה. למערכת כזו נותנים להתייצב במינימום האנרגיה, וכך מקבלים פתרון אופטימלי. שיטה זו ידועה בשם Simulated Annealing. מודל המוצק של איינשטיין מערכות תרמודינמיות מגנטיות מדיה וקבצים בנושא מודל איזינג בוויקישיתוף מודל איזינג, באתר MathWorld (באנגלית)