תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים G ′ {\displaystyle G'} של חבורה G {\displaystyle G} היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של איברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה G / G ′ {\displaystyle G/G'} היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G {\displaystyle G} . איבר כללי בתת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה כלשהי של קומוטטורים. קיים אפיון נוסף, לפיו איבר כללי של תת-חבורת הקומוטטורים הוא מכפלה שעל ידי סידור מחודש היא היחידה. כלומר מכפלה g 1 ⋅ g 2 ⋅ ⋯ ⋅ g n {\displaystyle g_{1}\cdot g_{2}\cdot \dots \cdot g_{n}} שכך שיש תמורה π {\displaystyle \pi } המקיימת g π ( 1 ) ⋅ g π ( 2 ) ⋅ ⋯ ⋅ g π ( n ) = e {\displaystyle g_{\pi (1)}\cdot g_{\pi (2)}\cdot \dots \cdot g_{\pi (n)}=e} כאשר e {\displaystyle e} הוא איבר היחידה בחבורה. הקומוטטור של שני איברים g , h {\displaystyle g,h} בחבורה G {\displaystyle G} הוא האיבר [ g , h ] = g h g − 1 h − 1 {\displaystyle [g,h]=ghg^{-1}h^{-1}} . תת-חבורת הקומוטטורים של G {\displaystyle G} היא החבורה הנוצרת ⟨ [ h , g ] | h , g ∈ G ⟩ {\displaystyle \langle [h,g]|h,g\in G\rangle } . את החבורה המתקבלת מסמנים G ′ {\displaystyle G'} או [ G , G ] {\displaystyle [G,G]} . הסימון האחרון רומז שלחבורה יש תפקיד כפול בהגדרת הקומוטטור, מה שמאפשר הכללה: אם A , B {\displaystyle A,B} תת-חבורות נורמליות של G {\displaystyle G} , אז [ A , B ] {\displaystyle [A,B]} היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} עבור a ∈ A , b ∈ B {\displaystyle a\in A,b\in B} ; זו תת-חבורה נורמלית גם של A {\displaystyle A} וגם של B {\displaystyle B} . תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה נורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה G / G ′ {\displaystyle G/G'} היא אבלית. כלומר, לכל תת-חבורה נורמלית N {\displaystyle N} של G {\displaystyle G} , המנה G / N {\displaystyle G/N} אבלית אם ורק אם G ′ ⊆ N {\displaystyle G'\subseteq N} . זהו למעשה אפיון שקול לתת-חבורת הקומוטטורים. חבורת המנה G / G ′ {\displaystyle G/G'} נקראת האבליזציה של G {\displaystyle G} . מכיוון שהומומורפיזם f : G → H {\displaystyle f:G\to H} מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה f ( G ′ ) ⊂ H ′ {\displaystyle f(G')\subset H'} . בפרט עבור חבורות מנה ביחס להומומורפיזם המנה, ניתן לחשב ש- [ A / N , B / N ] = [ A , B ] N / N {\displaystyle [A/N,B/N]=[A,B]N/N} ובפרט ( G / N ) ′ = G ′ N / N {\displaystyle (G/N)'=G'N/N} . פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G {\displaystyle G} , באינדוקציה: G ( 0 ) := G {\displaystyle G^{(0)}:=G} , ולכל n {\displaystyle n} , G ( n + 1 ) := [ G ( n ) , G ( n ) ] {\displaystyle G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]} . בפרט מקצרים וכותבים G ′ = [ G , G ] {\displaystyle G'=[G,G]} , G ″ = [ G ′ , G ′ ] {\displaystyle G''=[G',G']} וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G {\displaystyle G} היא חבורה פתירה. חבורה המקיימת את השוויון G ′ = G {\displaystyle G'=G} נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות S n {\displaystyle S_{n}} היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, A n {\displaystyle A_{n}} , בעוד ש- A n {\displaystyle A_{n}} מושלמת לכל 5 ≤ n {\displaystyle 5\leq n} (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית). בדומה לזה, מגדירים G n + 1 = [ G , G n ] {\displaystyle G_{n+1}=[G,G_{n}]} , כאשר G 1 := G {\displaystyle G_{1}:=G} . אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית. נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה ψ = x 1 {\displaystyle \psi =x_{1}} , או נוסחה מהצורה ψ = [ ψ ′ , ψ ″ ] {\displaystyle \psi =[\psi ',\psi '']} כאשר ψ ′ , ψ ″ {\displaystyle \psi ',\psi ''} הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות [ G n , G n ] ⊆ ψ ( G ) {\displaystyle [G_{n},G_{n}]\subseteq \psi (G)} (לכל חבורה G {\displaystyle G} ), ואלו המקיימות ψ ( G ) ⊆ [ G , G ″ ] {\displaystyle \psi (G)\subseteq [G,G'']} ; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות ψ ( G ) = 1 {\displaystyle \psi (G)=1} , וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות ψ ( G ) = 1 {\displaystyle \psi (G)=1} , ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות. תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות A , B , C {\displaystyle A,B,C} של G {\displaystyle G} , מתקיים [ A , [ B , C ] ] ⊂ [ B , [ C , A ] ] [ C , [ A , B ] ] {\displaystyle [A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]} . בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על ⌈ log 4 ⁡ | G ′ | ⌉ {\displaystyle \lceil \log _{4}|G'|\rceil } , וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2). המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות A n {\displaystyle A_{n}} . מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס L r ( q ) {\displaystyle L_{r}(q)} , עבור q > 8 {\displaystyle q>8} . בשנת 2008 ההשערה הוכחה לכל חבורה פשוטה סופית, באמצעות שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים. חבורה נילפוטנטית תת-חבורת הקומוטטורים, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) תת-חבורת הקומוטטורים, באתר MathWorld (באנגלית) Hall, P. Finiteness conditions for soluble groups. Proc. London Math. Soc. (3) 4 (1954), 419–436 P. X. Gallagher, Group characters and commutators, Math. Z., 79 (1962), 122-6 Liebeck, Martin & A. O’Brien, E & Shalev, Aner & Tiep, Pham. (2010). The Ore conjecture, Journal of The European Mathematical Society - J EUR MATH SOC. 12. 939-1008. 10.4171/JEMS/220.