גרדיאנט

גְּרַדִיאֶנְט הוא הכללה של מושג הנגזרת בעבור חשבון אינפיניטסימלי של מספר משתנים. הגרדיאנט הוא אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור. כיוון וקטור הגרדיאנט מצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי). גודל וקטור הגרדיאנט כשיעור השינוי המקסימלי. נתבונן לדוגמה, באזור הררי. הגובה של כל נקודה ברכס ההרים יתואר על ידי פונקציה (שדה סקלרי). בכל נקודה, ניתן להסתכל על הכיוון בו השיפוע לפונקציה שהותאמה לה הוא הגדול ביותר. זהו, למעשה, הכיוון בו הגובה משתנה בצורה המהירה (החזקה) ביותר. אם נשחרר כדור בנקודה זו, הוא יתגלגל בדיוק לכיוון ההפוך (שיפוע חזק ביותר לכיוון השלילי). באופן זה, ניתן להתאים לכל נקודה וקטור בכיוון השיפוע הגדול ביותר, וגודלו נקבע על פי גודל השיפוע. וקטור זה הוא וקטור הגרדיאנט. דוגמה נוספת היא בניית כבישים וגגות כך שהמים יתנקזו באופן יעיל. יש ליצור שיפוע קטן, על מנת שהמים יזרמו אל פתח הניקוז. המסלול שהמים מבצעים בדרכם אל המרזב, הוא הכיוון בו הגובה משתנה בצורה הכי מהירה, שהוא גם וקטור הגרדיאנט. הגרדיאנט של פונקציה סקלרית   f {\displaystyle \ f} מסומן על ידי : grad ⁡   f = ∇   f = ∇ →   f {\displaystyle \operatorname {grad} \ f=\nabla \ f={\vec {\nabla }}\ f} כאשר ∇ {\displaystyle {\nabla }} מסמל את אופרטור הגזירה דֶל (סמל המשולש עצמו נקרא בשם "נבּלה"). כאשר משתמשים במערכת קואורדינטות, ווקטורי הבסיס אינם פונקציות של המיקום במרחב, הגרדיאנט נתון כווקטור של נגזרות חלקיות. למשל במרחב אוקלידי תלת־ממדי ∇ ≡ x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z ≡ (   ∂ x ,     ∂ y ,     ∂ z ) {\displaystyle {\nabla }\equiv {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\equiv \left(\ \partial _{x},\ \ \partial _{y},\ \ \partial _{z}\right)} מתוך ההגדרה נובע שהגרדיאנט הוא וקטור, כיוון שהפעלת וקטור הנגזרות החלקיות (אופרטור הגזירה דֶל) על הפונקציה סקלרית מחזירה וקטור (הגרדיאנט). במרחב אוקלידי תלת־ממדי, הגרדיאנט של שדה סקלרי כלשהו שמתואר על ידי קואורדינטות קרטזיות   ψ ( x , y , z ) {\displaystyle \ \psi (x,y,z)} מוגדר כך: ∇ ψ ( x , y , z ) ≡ ∂ ψ ( x , y , z ) ∂ x x ^ + ∂ ψ ( x , y , z ) ∂ y y ^ + ∂ ψ ( x , y , z ) ∂ z z ^ {\displaystyle {\nabla }\psi (x,y,z)\equiv {\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \psi (x,y,z)}{\partial z}}{\hat {z}}} כאשר { x ^ , y ^ , z ^ } {\displaystyle \{{\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}\}} הם וקטורי היחידה המקבילים לצירים. באופן כללי, עבור   f {\displaystyle \ f} פונקציה סקלרית כלשהי מעל מרחב וקטורי בעל   n {\displaystyle \ n} ממדים, ניתן להגדיר את הגרדיאנט כך: grad ⁡ f ( a ) ≡ ( ∂ f ∂ x 1 ( a ) , ∂ f ∂ x 2 ( a ) , … , ∂ f ∂ x n ( a ) ) {\displaystyle \operatorname {grad} f(a)\equiv \left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)} נסתכל על ההגדרה של נגזרת כיוונית, ונשאל מהו הווקטור שבו המכפלה הסקלרית עם וקטור הגרדיאנט תהיה מקסימלית? מהגדרת המכפלה הסקלרית, ברור שהמקסימום יתקבל כאשר הזווית בין הווקטורים תהיה אפס (קוסינוס מקבל ערך מקסימלי באפס), ומכאן נובע שהווקטור שבו המכפלה הסקלרית תהיה מקסימלית היא וקטור הגרדיאנט עצמו. הפוטנציאל הוא שדה סקלרי   U ( r → ) {\displaystyle \ U({\vec {r}})} , והכוח שפועל על חלקיק שנמצא בהשראת אנרגיה פוטנציאלית הוא הגרדיאנט של האנרגיה הפוטנציאלית   F → ( r → ) = − ∇ U ( r → ) {\displaystyle \ {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\nabla }U({\vec {r}})} (ראה דוגמאות ספציפיות בערך אנרגיה פוטנציאלית). לכן, הכוח שיפעל על הגוף ימשוך אותו לכיוון בו הפוטנציאל יקטן הכי הרבה. דוגמה נוספת (חישובית): יהי f ( r ) = | r | = r {\displaystyle f(\mathbf {r} )=|\mathbf {r} |=r} שדה סקלרי (הגזיר בכל מקום פרט ל- r = 0 {\displaystyle \mathbf {r} =0} ). אזי הגרדיאנט שלו (בקואורדינטות קרטזיות) הוא: ∇ f = ∂ r ∂ x e ^ x + ∂ r ∂ y e ^ y + ∂ r ∂ z e ^ z = x e ^ x + y e ^ y + z e ^ z x 2 + y 2 + z 2 = r r = r ^ {\displaystyle {\nabla }f={\frac {\partial r}{\partial x}}{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+{\frac {\partial r}{\partial z}}{\hat {\mathbf {e} }}_{z}={\frac {x{\hat {\mathbf {e} }}_{x}+y{\hat {\mathbf {e} }}_{y}+z{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}={\frac {\mathbf {r} }{r}}={\hat {\mathbf {r} }}} שכן ∂ ∂ x r = ∂ ∂ x x 2 + y 2 + z 2 = 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}r={\frac {\partial }{\partial x}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}} . כדאי לשים לב שהחישוב הוא מיידי בקואורדינטות כדוריות, שם הגרדיאנט נתון על ידי הנוסחה: ∇ f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ θ θ ^ + 1 r sin ⁡ θ ∂ f ∂ ϕ ϕ ^ {\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\mathbf {\theta } }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\mathbf {\phi } }}} ומאחר ש ∂ r ∂ θ = 0 = ∂ r ∂ ϕ {\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial \theta }}=0={\frac {\partial r}{\partial \phi }}} מקבלים ש- ∇ f = ∂ f ∂ r r ^ = ∂ r ∂ r r ^ = r ^ {\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\frac {\partial r}{\partial r}}{\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {r} }}} . כצפוי, בשתי הדרכים קיבלנו תוצאה זהה. את הגרדיאנט יותר טבעי להגדיר דווקא כפונקציונל הנקרא "דיפרנציאל":   d f = ∑ μ ∂ f ∂ x μ d x μ {\displaystyle \ df=\sum _{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}dx^{\mu }} פונקציונל זה מקבל וקטור v ומחזיר את הסקלר:   ( d f ) ( v → ) = ⟨ d f , v → ⟩ = ∑ μ v μ ∂ f ∂ x μ {\displaystyle \ (df)({\vec {v}})=\langle df,{\vec {v}}\rangle =\sum _{\mu }v^{\mu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\mu }}}} האות μ {\displaystyle \mu } הכתובה בכתיב עילי מייצגת אינדקס רץ שמייצג קואורדינטה של וקטור ולא חזקה. במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כווקטור על ידי "העלאת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור ∇ f {\displaystyle {\nabla }f} ל-df כך ש-   d f ( v → ) = g ( v → , ∇ f ) {\displaystyle \ df({\vec {v}})=g({\vec {v}},{\nabla }f)} כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט. בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:   ∇ f = ∑ μ , ν g μ ν ( d f ) ν ∂ μ = ∑ μ ( ∑ ν g μ ν ∂ f ∂ x ν ) ∂ μ {\displaystyle \ {\nabla }f=\sum _{\mu ,\nu }g^{\mu \nu }(df)_{\nu }\partial _{\mu }=\sum _{\mu }\left(\sum _{\nu }g^{\mu \nu }{\frac {\partial f}{\partial x^{\nu }}}\right)\partial _{\mu }} כאשר g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} הוא האיבר בשורה ה- μ {\displaystyle \mu } והעמודה ה-- ν {\displaystyle \nu } של המטריקה ההופכית (כלומר: המטריצה ההופכית למטריקה, g-1) ו- ∂ μ = ∂ r → ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x^{\mu }}}} הם הווקטורים המשיקים הפורשים את המרחב המשיק בנקודה. נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית ( q 1 , q 2 , q 3 ) {\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})} . כלומר, וקטורי היחידה המתאימים מקיימים: e ^ i ⋅ e ^ j = δ i j {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}} כאשר δ i j = { 1 If   i = j 0 If   i ≠ j {\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&{\textrm {If}}\ i=j\\0&{\textrm {If}}\ i\neq j\end{cases}}} הוא הדלתא של קרונקר. הווקטורים המשיקים הם ∂ r ∂ q i = h i e ^ i {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}} . נרשום צורה כללית לגרדיאנט של פונקציה סקלרית כלשהי f {\displaystyle f} : ∇ f = ∑ i = 1 3 f i e ^ i {\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{3}f_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}} ונמצא את המקדמים f 1 , f 2 , f 3 {\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3}} . לשם כך נחשב את הדיפרנציאל של f {\displaystyle f} : d f = ∑ i = 1 3 ∂ f ∂ q i d q i {\displaystyle df=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}} מתקיים ש- d f = ∇ f ⋅ d r {\displaystyle df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} } אבל d r = ∑ i = 1 3 ∂ r ∂ q i d q i = ∑ i = 1 3 h i e ^ i d q i {\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}dq_{i}=\sum _{i=1}^{3}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}dq_{i}} ולכן, כיוון שווקטורי היחידה המשיקים הם אורתוגונליים e ^ i ⋅ e ^ j = δ i j {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}} מתקיים ∑ i = 1 3 ∂ f ∂ q i d q i = d f = ∇ f ⋅ d r = ∑ i = 1 3 f i h i d q i {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}dq_{i}=df=\nabla f\cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{3}f_{i}h_{i}dq_{i}} מכיוון ש- d q 1 , d q 2 , d q 3 {\displaystyle dq_{1},dq_{2},dq_{3}} בלתי תלויים נשווה מקדמים איבר איבר ונקבל f i = 1 h i ∂ f ∂ q i {\displaystyle f_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}} ומכאן נקבל ∇ f = ∑ i = 1 3 1 h i ∂ f ∂ q i e ^ i = 1 h 1 ∂ f ∂ q 1 e ^ 1 + 1 h 2 ∂ f ∂ q 2 e ^ 2 + 1 h 3 ∂ f ∂ q 3 e ^ 3 {\displaystyle \nabla f=\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{h_{i}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}} כנדרש. הערה: ההכללה לממד כלשהו n מיידית. עובדים עם הצגת הסכומים כ- Σ {\displaystyle \Sigma } ונותנים לכל אינדקס לרוץ מ-1 עד n. נניח מערכת קואורדינטות אורתוגונלית ( q 1 , q 2 , q 3 ) {\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})} . הווקטורים המשיקים הם: ∂ q i = ∂ r ∂ q i = h i e ^ i {\displaystyle \partial _{q^{i}}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}=h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}} כאשר e ^ i {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}} הם וקטורים משיקים מנורמלים ו- h i {\displaystyle h_{i}} הם ה-scale factors. הטנזור המטרי במקרה של קואורדינטות אורתוגונליות g = diag ( h 1 2 , h 2 2 , h 3 2 ) {\displaystyle g={\mbox{diag}}(h_{1}^{2},h_{2}^{2},h_{3}^{2})} הוא מטריצה אלכסונית, ונזכור ש-   d q i = ∑ j g i j ∂ q j {\displaystyle \ dq^{i}=\sum _{j}g^{ij}\partial _{q^{j}}} כאשר g i j = g − 1 = diag ( 1 / h 1 2 , 1 / h 2 2 , 1 / h 3 2 ) {\displaystyle g^{ij}=g^{-1}={\mbox{diag}}(1/h_{1}^{2},1/h_{2}^{2},1/h_{3}^{2})} היא המטריצה ההופכית ל-g. נציב בהגדרת הגרדיאנט, ∇ f = ∑ i ∂ f ∂ q i d q i = ∑ i j g i j ∂ f ∂ q i ∂ q j = ∑ i j 1 h i 2 δ i j ∂ f ∂ q i ∂ q j = ∑ i 1 h i 2 ∂ f ∂ q i h i e ^ i {\displaystyle \nabla f=\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}dq^{i}=\sum _{ij}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{ij}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}\delta ^{ij}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}\partial _{q^{j}}=\sum _{i}{\frac {1}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}h_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}} (המעבר השלישי נעשה כי g i j {\displaystyle g^{ij}} מטריצה אלכסונית, g i j = ( 1 / h i 2 ) δ i j {\displaystyle g^{ij}=(1/h_{i}^{2})\delta ^{ij}} כאשר δ i j {\displaystyle \delta ^{ij}} היא הדלתא של קרונקר) ובסך הכול נקבל ∇ f = 1 h 1 ∂ f ∂ q 1 e ^ 1 + 1 h 2 ∂ f ∂ q 2 e ^ 2 + 1 h 3 ∂ f ∂ q 3 e ^ 3 {\displaystyle \nabla f={\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{1}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{2}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q^{3}}}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}} דיברגנץ, גרדיאנט ולפלסיאן: div ⁡   grad = Δ {\displaystyle \operatorname {div} \ \operatorname {grad} =\Delta } משפט הגרדיאנט אומר שאם f ( r ) = f ( x , y , z ) {\displaystyle f(\mathbf {r} )=f(x,y,z)} היא שדה סקלרי (פונקציה f : R 3 → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } ) חלק מספיק (גזיר ברציפות), אזי לכל מסילה שמתחילה בנקודה כלשהי A ומסתיימת בנקודה כלשהי B האינטגרל הקווי על ∇ f {\displaystyle \nabla f} לאורך המסילה לא תלוי במסילה עצמה אלא רק בנקודות הקצה ומתקיים ∫ A B ∇ f ⋅ d r = f ( B ) − f ( A ) {\displaystyle \int _{\mathbf {A} }^{\mathbf {B} }\nabla f\cdot d\mathbf {r} =f(\mathbf {B} )-f(\mathbf {A} )} לשדה הווקטורי ∇ f {\displaystyle \nabla f} קוראים "שדה וקטורי משמר" או בהקשר של פיזיקה "כוח משמר" ומתקיים ∇ × ∇ f = 0 {\displaystyle \nabla \times \nabla f=0} פונקציונל טנזור קואורדינטות דיברגנץ מורי ר. שפיגל, אנליזה וקטורית, סדרת שאום מדיה וקבצים בנושא גרדיאנט בוויקישיתוף גרדיאנט, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) גרדיאנט, באתר MathWorld (באנגלית)