הבעיה השלישית של הילברט

הבעיה השלישית מבין 23 הבעיות שהציג דויד הילברט בקונגרס הבין-לאומי של המתמטיקאים של שנת 1900 עוסקת ביסודות האקסיומטיים של גאומטריית המרחב. הבעיה השלישית היא הבעיה הראשונה של הילברט שנפתרה: את הפתרון מצא מקס דן, עוד לפני שהבעיה הוצגה בקונגרס. הבעיה פשוטה לניסוח: למצוא שני ארבעונים, בעלי אותו בסיס ואותו גובה (ובפרט בעלי אותו הנפח), שלא ניתן לפרק למספר סופי של פאונים חופפים. בעיקרו של דבר, מושגי השטח והנפח הם מושגים השוואתיים. אם שתי צורות מישוריות מורכבות מאותם מרכיבים (למשל, ריבוע בעל צלע 1, ריבוע בעל צלע 2 ומשולש שווה-צלעות בעל צלע 2), אז הן בוודאי בעלות אותו שטח, גם אם המרכיבים מחוברים זה לזה בדרכים שונות. עוד לפני סוף המאה ה-19 הוברר שכל שני מצולעים (פשוטים) שיש להם אותו שטח, אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים, שאותם אפשר לסדר בזוגות חופפים (לתיאור מלא של ההוכחה ראו הערך חידות חיתוך והרכבה). דוגמה פשוטה לעובדה זו אפשר לראות בנוסחה לשטח מקבילית. אם קודקודי המקבילית הם ABCD והגובה מהקודקוד A פוגע בצלע CD בנקודה H (שבתוך הצלע), אז אפשר לפרק את המקבילית למשולש ישר-זווית AHD וטרפז ישר-זווית ABCH. כאשר מחברים את המשולש מצדו האחר של הטרפז, על ידי הסעת המשולש AHD למשולש שקודקודיו BRC, מתקבל מלבן ABRH בעל אותו גובה ואותו בסיס כמו המקבילית. בהיפוך הסדר, אפשר לטעון ששוויון השטחים בין המלבן ABRH למקבילית ABCD נובע מכך שכל אחד מהם אפשר לפרק לטרפז ומשולש, כאשר שני הטרפזים ושני המשולשים חופפים זה לזה. דוגמה זו עשויה להטעות, משום שלא תמיד יפגע הגובה בנקודה שבתוך הצלע. כאשר מכלילים את הרעיון שהוצג כאן, יש צורך להפעיל את תכונת ארכימדס של המספרים הממשיים: אם צועדים בפסיעות שאורכן קבוע וחיובי, אפשר להגיע רחוק ככל שרוצים, ובלבד שמספר הצעדים גדול מספיק. גם כאשר למלבן ומקבילית יש אותם בסיס וגובה (ולכן אותו שטח), לא תמיד אפשר לפרק אותם לשני מרכיבים החופפים זה לזה בזוגות; תכונת ארכימדס מבטיחה, עם זאת, שתמיד יהיה קיים פירוק סופי. הילברט מייחס את הבעיה השלישית לגאוס, שתהה האם האפשרות להסביר כל שוויון של נפחים באמצעות פירוק למרכיבים, בדומה לשוויון של שטחים: האם כל שני פאונים שווי נפח אפשר לפרק למספר סופי של מרכיבים חופפים. באופן מסורתי, שוויון נפחים הוסבר באמצעות תהליכי מיצוי שדרשו פירוק למספר גדל והולך של מרכיבים, באופן שמתקרב בסופו של דבר להליכי החישוב של האינטגרל המסוים. הילברט חשד שלא ניתן להפטר מן המרכיב האינסופי, ולכן ניסח את הבעיה השלישית באופן שלילי, כפי שהוצג במבוא. (הילברט דרש בנוסף שהפאונים לא יהיו ניתנים לפירוק חופף, אפילו אחרי שמוסיפים לכל אחד מהם אותם מרכיבים חופפים). למרות הניסוח הפשוט לכאורה, מדברי המבוא של הילברט לבעיה מובן שהוא מעוניין בשאלה עקרונית: מהן האקסיומות הנחוצות להוכחת טענות בגאומטריה של המרחב. מבחינה זו, הבעיה מצטרפת לבעיה הראשונה, השנייה, הרביעית והששית, שכולן עוסקות ביסודות האקסיומטיים של המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט נפתרה כמעט מיד על ידי מקס דֶן (Max Dehn), יהודי, שנולד בהמבורג בשנת 1878. דן סיים את עבודת הדוקטורט שלו באוניברסיטת גטינגן ב-1900, וכך נחשף לנושאים שהעסיקו את הילברט מיד ראשונה. הפתרון של דן מבוסס על הבחנה פשוטה ורבת עוצמה, ששימשה אותו גם בעבודתו בתחומים מתמטיים אחרים: הצמדת שמורה (אינווריאנט) לכל פאון, שלא תושפע מן הפירוק למרכיבים. לכל צלע בפאון יש שני מאפיינים מספריים: אורך הצלע, והזווית בין שתי הפאות הנפגשות באותה צלע. נניח שאפשר למצוא פונקציה f של שני ערכים אלה, שתקיים את השוויונות f ( x , α ) + f ( y , α ) = f ( x + y , α ) f ( x , α ) + f ( x , π − α ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}f(x,\alpha )+f(y,\alpha )=f(x+y,\alpha )\\f(x,\alpha )+f(x,\pi -\alpha )=0\end{aligned}}} אם נגדיר את ה'משקל' של פאון להיות הסכום של ערכי f במעבר על כל צלעות הפאון, התכונות של f יבטיחו שבכל פירוק של הפאון למספר מרכיבים, סכום המשקלים של המרכיבים יהיה שווה למשקלו של הפאון המקורי. מכאן נובע מיד ששני פאונים בעלי משקל שונה לא ניתן לפרק למרכיבים חופפים בזוגות. דן מצא פונקציה כזו. לשני הארבעונים שבסיסם משולש ישר-זווית ושווה שוקים ABC בעל שוק AB = BC באורך 1, וגובהם 1, שבאחד מהם הקודקוד שמעל לבסיס מונח מעל ל-A ובשני מעל ל-B, יש משקלים שונים, ולכן לא ניתן לפרק אותם למרכיבים חופפים בזוגות – בדיוק כפי שביקש הילברט. הבעיה השלישית של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית)