הקבוצה הנגזרת

בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה A {\displaystyle A} במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה. מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב- A ′ {\displaystyle A'} . את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי לחקור את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי. הסגור של קבוצה A {\displaystyle A} במרחב טופולוגי X {\displaystyle X} מוגדר בתור הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את A {\displaystyle A} ונכתב   A ¯ {\displaystyle \ {\overline {A}}} . באופן שקול, הוא שווה לאיחוד   A ∪ A ′ {\displaystyle \ A\cup A'} . ברור כי A {\displaystyle A} סגורה אם ורק אם היא שווה לסגור שלה, ולכן נובע כי זה קורה אם ורק אם   A ′ ⊆ A {\displaystyle \ A'\subseteq A} . קיימות קבוצות שהקבוצה הנגזרת שלהן ריקה, אלה הקבוצות שנקודותיהן מבודדות. בצד השני קיימות קבוצות השוות לקבוצה הנגזרת שלהן, אלה מכונות קבוצות מושלמות, ואלה קבוצות ללא אף נקודה מבודדת. במרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת ההפרדה T1, כלומר כזה שבו כל היחידונים סגורים, כל קבוצה נגזרת היא סגורה. בפרט כל קבוצה מושלמת במרחב כזה היא סגורה. "קבוצה דקה" (meager set) היא קבוצה שאפשר להציג כאיחוד בן מניה של קבוצות בעלות נגזרת ריקה. שני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה רציפה וחד־חד־ערכית מהראשון על משנהו, שהיא גם פתוחה, כלומר מעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. אם f {\displaystyle f} הומאומורפיזם אז לכל קבוצה A {\displaystyle A} בתחום של f {\displaystyle f} מתקיים f ( A ′ ) = f ( A ) ′ {\displaystyle f(A')=f(A)'} . מתברר שבמרחב המקיים אקסיומת הפרדה T1 גם ההפך נכון: אם f {\displaystyle f} פונקציה חח״ע ועל המקיימת f ( A ′ ) = f ( A ) ′ {\displaystyle f(A')=f(A)'} , אז היא הומאומורפיזם. זאת כי במרחב כזה, קבוצה U {\displaystyle U} היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לקבוצה הנגזרת של משלימתה, ( U ∁ ) ′ {\displaystyle \left(U^{\complement }\right)'} . אופרטור הנגזרת מקיים את התכונות הבאות: ∅ ′ = ∅ {\displaystyle \emptyset ^{'}=\emptyset } S ″ ⊆ S ′ {\displaystyle S^{''}\subseteq S^{'}} לכל a ∈ S ′ {\displaystyle a\in S'} מתקיים a ∈ ( S ∖ { a } ) ′ {\displaystyle a\in (S\setminus \{a\})^{'}} ( S ∪ T ) ′ ⊆ S ′ ∪ T ′ {\displaystyle (S\cup T)^{'}\subseteq S^{'}\cup T^{'}} אם S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} אז S ′ ⊆ T ′ {\displaystyle S^{'}\subseteq T^{'}} S ′ ∖ T ′ ⊆ ( S ∖ T ) ′ {\displaystyle S'\backslash T'\subseteq \left(S\backslash T\right)'} ( ⋃ i ∈ I S i ) ′ ⊇ ⋃ i ∈ I S i ′ {\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)'\supseteq \bigcup _{i\in I}S_{i}'} ( ⋂ i ∈ I S i ) ′ ⊆ ⋂ i ∈ I S i ′ {\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)'\subseteq \bigcap _{i\in I}S_{i}'} לכל מספר סודר α {\displaystyle \alpha } אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר α {\displaystyle \alpha } של מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} , באינדוקציה טרנספיניטית: X 0 = X {\displaystyle X^{0}=X} . X α + 1 = ( X α ) ′ {\displaystyle X^{\alpha +1}=(X^{\alpha })'} לכל סודר עוקב α {\displaystyle \alpha } . X α = ⋂ β < α X β {\displaystyle X^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }X^{\beta }} לכל סודר גבולי α {\displaystyle \alpha } . סדרת הנגזרות של כל מרחב טופולוגי היא יורדת ומוכרחה לעצור בסופו של דבר (ייתכן שהיא תסתיים בקבוצה הריקה). הסודר הקטן ביותר שעבורו X α + 1 = X α {\displaystyle X^{\alpha +1}=X^{\alpha }} נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0. משפט קנטור-בנדיקסון קובע שכל קבוצה סגורה במרחב פולני ניתנת לפירוק יחיד כאיחוד של שתי קבוצות: האחת בת מניה והאחרת היא קבוצת נקודות ההתעבות (אנ') שלה. בפרט נובע שבמרחב פולני, כל קבוצה סגורה היא מושלמת. למעשה המשפט קובע שדרגת קנטור-בנדיקסון של כל מרחב פולני היא בת-מניה. משפט זה שקול לאקסיומת הבחירה, וקבוצת ברנשטיין מהווה דוגמה נגדית במודל ללא אקסיומת הבחירה. משפט קנטור-בנדיקסון הקבוצה הנגזרת, באתר MathWorld (באנגלית)