אוריינטציה על אגד

בטופולוגיה, אוריינטציה על אגד היא מבנה רציף של אוריינטציות על הסיבים של האגד. המושג מבוסס על מושג האוריינטציה על מרחב וקטורי, וניתן לבסס עליו את מושג האוריינטציה על יריעה חלקה. יתר על כן ניתן להגדיר באמצעותו את מושג האוריינטציה היחסית עבור העתקות מסוימות בין יריעות חלקות יהי E {\displaystyle E} אגד וקטורי n {\displaystyle n} -ממדי מעל מרחב טופולוגי . X {\displaystyle .X} אוריינטציה על E {\displaystyle E} היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers) E | x {\displaystyle E|_{x}} של E {\displaystyle E} התלויה באופן רציף בנקודה x {\displaystyle x} שמעליה הסיב. כדי להגדיר זאת באופן פורמלי נזדקק למושג התבניות. תבנית על E {\displaystyle E} היא חתך (Section) (רציף) של אגד התבניות . Ω n ( E ) = Λ n ( E ∗ ) {\displaystyle .\Omega ^{n}(E)=\Lambda ^{n}(E^{*})} במילים זאת פונקציה רציפה ω {\displaystyle \omega } ממכפלת הסיבים (fiber product) E × X E × X ⋯ × X E {\displaystyle E\times _{X}E\times _{X}\dots \times _{X}E} ל R {\displaystyle \mathbb {R} } כך שלכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} הצימצום לסיב ω x := ω | E | x × ⋯ × E | x : E | x × ⋯ × E | x → R . {\displaystyle \omega _{x}:=\omega |_{E|_{x}\times \dots \times E|_{x}}:{E|_{x}\times \dots \times E|_{x}}\to \mathbb {R} .} הוא תבנית. הגדרה: E {\displaystyle E} נקרא אוריינטבילי אם קיימת עליו תבנית הפיכה. אוריינטציה על E {\displaystyle E} היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית. כמו מושג האוריינטציה על יריעה חלקה, גם מושג האוריינטציה על אגד הוא מקומי ולכן ניתן להגדיר את כיסוי האוריינטציות o r i e n t E / X {\displaystyle orient_{E/X}} , אגד האוריינטציות O r i e n t E / X {\displaystyle Orient_{E/X}} , אגד הצפיפויות D E / X {\displaystyle D_{E/X}} ואלומת האוריינטציות O r i e n t E / X {\displaystyle {\mathcal {O}}rient_{E/X}} של האגד E {\displaystyle E} . כל אלה יהיו אובייקטים מעל . X {\displaystyle .X} ניתן להכליל את ההגדרה הזאת למקרה ש E {\displaystyle E} איננו אגד וקטורי אלא אגד סיבים (Fiber bundle) שהסיבים שלו הם יריעות. ניתן גם להגדיר את האובייקטים המקומיים במקרה זה אולם אז הם יהיו אובייקטים מעל המרחב הכולל של . E {\displaystyle .E} אם X {\displaystyle X} יריעה חלקה ו E = T ( X ) {\displaystyle E=T(X)} הוא האגד המשיק (Tangent bundle) שלה אז, אוריינטציה על X {\displaystyle X} שקולה לאוריינטציה על . E {\displaystyle .E} כמו כן o r i e n t X = o r i e n t E / X , O r i e n t X = O r i e n t E / X , O r i e n t X = O r i e n t E / X , D X = D E / X . {\displaystyle orient_{X}=orient_{E/X},\quad Orient_{X}=Orient_{E/X},\quad {\mathcal {O}}rient_{X}={\mathcal {O}}rient_{E/X},\quad D_{X}=D_{E/X}.} נשים לב כי אף על פי שמושג האוריינטציה מוגדר לאגד מעל מרחב טופגולוגי X {\displaystyle X} כלשהו, ניתן להגדיר באמצעותו אוריינטציה על X {\displaystyle X} רק אם X {\displaystyle X} יריעה חלקה, זאת מכיוון שהאגד המשיק מוגדר רק עבור יריעה חלקה. בשביל להגדיר אוריינטציה על יריעה טופולוגית כללית, צריך להשתמש בשיטה אחרת. ערך מורחב – אוריינטציה יחסית בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\to N} בשני מקרים: ϕ {\displaystyle \phi } היא אימרסיה (immersion) ϕ {\displaystyle \phi } היא סובמרסיה (submersion) בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות: o r i e n t M / N , O r i e n t M / N , D M / N , O r i e n t M / N , Ω M / N {\displaystyle orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad {\mathcal {O}}rient_{M/N},\quad \Omega _{M/N}} כל אלה יהיו אובייקטים מעל . M {\displaystyle .M} ניתן להתייחס אל אגד וקטורי n {\displaystyle n} ממדי, כאל G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} -טורסור. מנקודת מבט זאת אגד מכוון (אגד עליו נקבעה אוריינטציה) הוא G L n + ( R ) {\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )} -טורסור. כאן G L n + ( R ) {\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )} היא חבורת המטריצות עם דטרמיננטה חיובית. G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} -טורסור מעל מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} הוא מרחב T {\displaystyle T} המועתק ל X {\displaystyle X} שהסיבים (Fiber) שלו הם מרחבים הומוגניים עיקריים (Principal homogeneous space) מעל G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} . זאת אומרת ש G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} פעולת עליהם באופן טרנזיטיבי, עם מייצבים טריוויאליים. לכל אגד וקטורי E {\displaystyle E} מעל X {\displaystyle X} ניתן להתאים G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} -טורסור באופן הבא: T := { ( x , b ) | x ∈ X ,  and  b  is a basis of  E | x } {\displaystyle T:=\{(x,b)|x\in X,{\text{ and }}b{\text{ is a basis of }}E|_{x}\}} הפעולה של G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} נתונה על ידי החלפת בסיס. קל לראות שהתאמה זאת נותנת התאמה חח"ע ועל בין מחלקות איזומורפיזם של אגדים ומחלקות איזומורפיזם של טורסורים. באופן אנלוגי, לכל אגד וקטורי מכוון ( E , o ) {\displaystyle (E,o)} מעל X {\displaystyle X} ניתן להתאים G L n + ( R ) {\displaystyle GL_{n}^{+}(\mathbb {R} )} -טורסור באופן הבא: T := { ( x , b ) | x ∈ X ,  and  b  is a positive basis of  E | x  w.r.t.  o x } {\displaystyle T:=\{(x,b)|x\in X,{\text{ and }}b{\text{ is a positive basis of }}E|_{x}{\text{ w.r.t. }}o_{x}\}} בניות דומות קיימות גם עבור מבנים אחרים. כך למשל: אגד עם מכפלה פנימית הוא O n ( R ) {\displaystyle O_{n}(\mathbb {R} )} -טורסור. אגד עם תבנית סימפלקטית הוא S p n ( R ) {\displaystyle Sp_{n}(\mathbb {R} )} -טורסור. אגד (מממד 2 n {\displaystyle 2n} ) עם מבנה מרוכב הוא G L n ( C ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )} -טורסור. אגד עם תבנית נפח הוא S L n ( R ) {\displaystyle SL_{n}(\mathbb {R} )} -טורסור. למעשה, די בכך שהם יריעות טופולוגיות ואין צורך במבנה חלק עליהם. אפשר להתייחס למושג זה כאל מקרה פרטי של אוריינטציה יחסית של יריעות טופולוגיות Total Space, Wolfram Math World למעשה זוהי שקילות קטגוריות אם אנו מתייחסים רק לאיזומורפיזמים