משפט ברטראן

משפט ברטראן בפיזיקה, דן בתנאים לקיומם של מסלולים סגורים יציבים עבור תנועת גוף בהשפעת פוטנציאל מרכזי. על פי המשפט, הפוטנציאלים היחידים עבורם המסלולים החסומים סגורים עבור כל תנאי התחלה הם הפוטנציאל הגרביטציוני/אלקטרוסטטי V ( r ) = − k r {\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}} או הפוטנציאל ההרמוני V ( r ) = 1 2 k r 2 {\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}} . המשפט הוצג בידי הפיזיקאי הצרפתי ז'וזף ברטראן בשנת 1873. נתון גוף, הנע בהשפעת כוח הנגזר מפוטנציאל מרכזי - F → ( r → ) = − ∇ → V ( r ) {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-{\vec {\nabla }}V(r)} . מסלול הגוף (כלומר פתרון משוואות התנועה) כפונקציה של הזמן הוא r → ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}(t)} . כיוון שהגוף נע בהשפעת כוח מרכזי, מסלול תנועתו מוגבל למישור וניתן לתאר אותו על ידי שימוש בקואורדינטות פולריות   r , θ {\displaystyle \ r,\theta } . מסלול הגוף הוא חסום אם קיים   R {\displaystyle \ R} כך ש   r ( t ) < R {\displaystyle \ r(t)<R} לכל זמן t (כלומר הגוף אינו מתרחק לאינסוף, אלא נשאר בסביבת מקור הכוח). מסלול הגוף הוא סגור אם קיים   T {\displaystyle \ T} כך r → ( t + T ) = r → ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}(t+T)={\vec {r}}(t)} (במקרה זה הגוף מבצע תנועה מחזורית עם זמן מחזור   T {\displaystyle \ T} ). המסלול הסגור הפשוט ביותר הוא מסלול בצורת מעגל, עבורו   r ( t ) = r 0 = c o n s t {\displaystyle \ r(t)=r_{0}={\rm {const}}} . מסלול כזה קיים עבור כל כוח מושך, והוא מתקבל כאשר הכוח הפועל על הגוף מתקזז בדיוק עם ה"כוח הצנטריפוגלי", כלומר כאשר: F ( r 0 ) = − m θ ˙ 2 r 0 = − L 2 m r 0 3 {\displaystyle F(r_{0})=-m{\dot {\theta }}^{2}r_{0}=-{\frac {L^{2}}{mr_{0}^{3}}}} כאשר   L = m r 2 θ ˙ {\displaystyle \ L=mr^{2}{\dot {\theta }}} הוא התנע הזוויתי. בנוסף, עבור מסלול מעגלי, האנרגיה של הגוף שווה למינימום של הפוטנציאל האפקטיבי V e f f ( r ) = V ( r ) + L 2 2 m r 2 {\displaystyle V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}} (ציור 3). לסיכום, ניתן לקבל מסלול מעגלי סגור עבור כל כוח מרכזי מושך, אך על מנת לקבל מסלול שכזה יש צורך בתנאי התחלה מיוחדים. הסעיפים הבאים ידונו בקיום מסלול סגור במקרים בו התנאים הנ"ל אינם מתקיימים. כדי לבחון את המתרחש עבור מסלול שאינו מעגלי, יש להשתמש במשוואת המסלול שפתרונה נותן את צורת המסלול   r ( θ ) {\displaystyle \ r(\theta )} . את משוואת המסלול נוח לכתוב עבור המשתנה u = 1 r {\displaystyle u={\frac {1}{r}}} : d 2 u d t 2 + u = − m L 2 u 2 F ( 1 u ) {\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}u^{2}}}F\left({\frac {1}{u}}\right)} עבור, סטייה קטנה ממסלול מעגלי   u = u 0 {\displaystyle \ u=u_{0}} , ניתן לבצע ליניאריזציה של המשוואה ולקבל כי הפתרון הוא מן הצורה   u = u 0 + a sin ⁡ ( β θ ) {\displaystyle \ u=u_{0}+a\sin(\beta \theta )} , כלומר אוסצילציות קטנות סביב המסלול המעגלי [ציור 1 (2)]. המסלול יהיה סגור אם ורק אם   β {\displaystyle \ \beta } הוא מספר רציונלי. ניתוח של משוואת המסלול מראה כי   β {\displaystyle \ \beta } רציונלי יתקבל רק עבור כוח מן הצורה: F ( r ) = − k r 3 − β 2 {\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{3-\beta ^{2}}}}} כלומר, רק עבור כוחות מן הצורה הנ"ל, כאשר   β {\displaystyle \ \beta } רציונלי, סטייה קטנה מן התנאים למסלול מעגלי תוביל אף היא למסלול סגור (דוגמת זה המופיע בחלק 2 של ציור 1). כאשר הסטייה ממסלול מעגלי אינה קטנה לא ניתן להסתפק בגרסה הליניארית של משוואת המסלול אלא יש צורך בניתוח מעמיק יותר. מניתוח זה עולה כי הכוחות היחידים עבורם מתקבל מסלול סגור עבור תנאי התחלה כללי (לאו דווקא קרוב למסלול מעגלי) הם: הכוח הריבועי ההפוך F ( r ) = − k r 2 {\displaystyle F(r)=-{\frac {k}{r^{2}}}} , דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי, המתאים לפוטנציאל V ( r ) = − k r {\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}} . אוסצילטור הרמוני איזוטרופי - הכוח   F ( r ) = k r {\displaystyle \ F(r)=kr} , דוגמת כוח אלסטי של קפיץ (חוק הוק), המתאים לפוטנציאל הרמוני V ( r ) = 1 2 k r 2 {\displaystyle V(r)={\frac {1}{2}}kr^{2}} . בשני המקרים הנ"ל צורת המסלול המתקבלת היא אליפסה. משפט ברטרנד שופך אור על הייחוד של אופי המסלולים בשתיים מן הבעיות החשובות במכניקה - בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני. העובדה כי בבעיות אלו מתקבלים מסלולים סגורים אינה טריביאלית והיא תלויה בצורה המיוחדת של הכוח הפועל בבעיות אלו. ניתן להראות כי בבעיות אלו קיימים גדלים שמורים ייחודיים, בנוסף לגדולים השמורים הקיימים בכל בעיית כוח מרכזי (אנרגיה ותנע זוויתי). קיום הגדלים הנ"ל גורם לכך שהמסלולים המתקבלים סגורים. כך לדוגמה, בבעיית קפלר וקטור לפלס-רונגה-לנץ הוא וקטור שמור המצביע בכיוון הציר הראשי של האליפסה. העובדה כי זהו וקטור קבוע, שומרת על האליפסה קבועה, מונעת ממנה לבצע פרצסיה ולפיכך מתקבל מסלול סגור. כאשר ישנן סטיות מן הכוח הריבועי ההפוך הווקטור הנ"ל כבר אינו שמור, האליפסה מבצעת פרצסיה (ציור 2) והמסלול המתקבל כבר אינו סגור. סטיות כאלו, אמנם קיימות עבור תנועת כוכבי הלכת במערכת השמש (כתוצאה מתיקונים יחסותיים והשפעות הדדיות בין כוכבי הלכת) והדבר אכן גורם לפרצסיה במסלולם. את היחוד של בעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני, ניתן להציג בדרכים נוספות: בתנועה חסומה המתקבלת בבעיית כוח מרכזי כללית, הגוף מבצע תנועה מחזורית בשתי הקואורדינטות   r , θ {\displaystyle \ r,\theta } . באופן כללי תדירות התנודה בשתי הקואורדינטות תהיה שונה. אולם בבעיית קפלר ובבעיית האוסצילטור ההרמוני, קיים ניוון - שתי התדירויות שוות ולפיכך מתקבל מסלול סגור. בבעיית קפלר ובעיית האוסצילטור ההרמוני יש סימטריה גדולה יותר מאשר בבעיית כוח מרכזי כללית. בבעיית כוח מרכזי כללית קיימת סימטריה לסיבובים, כלומר המערכת אינווריאנטית תחת טרנספורמציה מתוך חבורת הסימטריה   S O ( 3 ) {\displaystyle \ SO(3)} . לעומת זאת עבור בעיית קפלר חבורת הסימטריה היא   S O ( 4 ) {\displaystyle \ SO(4)} ועבור האוסצילטור ההרמוני   S U ( 3 ) {\displaystyle \ SU(3)} . וקטור לפלס-רונגה-לנץ בעיית קפלר Joseph Louis François Bertrand, "Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe", (1873) Comptes Rendus des Séances de l'Académie des Sciences, Paris 77, 849-853 H. Goldstein, Classical Mechanics כאן אין מדובר בכוח מרכזי. או ליתר דיוק לאקסטרמום. אם אקסטרמום זה הוא מקסימום, המסלול המעגלי לא יהיה יציב. אם   β = p / q {\displaystyle \ \beta =p/q} כאשר   p , q {\displaystyle \ p,q} שלמים, המסלול יסגר על עצמו לאחר   q {\displaystyle \ q} סיבובים. עבור   β = 1 {\displaystyle \ \beta =1} (כוח ריבועי הפוך) או   β = 2 {\displaystyle \ \beta =2} מתקבלת אליפסה.