יעקוביאן

באנליזה וקטורית, יעקוביאן הוא הדטרמיננטה של מטריצת יעקובי. הן ליעקוביאן והן למטריצת יעקובי חשיבות רבה כאשר עוסקים בהעתקות וקטוריות ותכונותיהן. מטריצת יעקובי משמשת לתיאור הדיפרנציאל של העתקה וקטורית. מושג זה מכליל את מושג הנגזרת הקיים עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד. היעקוביאן משמש לתיאור ההתנהגות של העתקה, ואי־התאפסותו הוא תנאי מספיק על מנת שההעתקה תקיים מספר תכונות מקומיות של חד חד ערכיות, הפיכות והעתקה של קבוצות פתוחות לקבוצות פתוחות. כמו כן היעקוביאן נותן מדד לשינוי של גדלים במרחב כאשר משתמשים בהחלפת קואורדינטות. היעקוביאן ומטריצת יעקובי נקראים על שם המתמטיקאי קרל גוסטב יעקב יעקובי. תהא   F = ( f 1 , … , f m ) : R n → R m {\displaystyle \ F=(f_{1},\ldots ,f_{m}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} פונקציה כלשהי שכל הנגזרות החלקיות שלה קיימות. אז מטריצת יעקובי שלה היא המטריצה מסדר   m × n {\displaystyle \ m\times n} הבאה: ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) = [ ∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋯ ∂ f m ∂ x n ] = [ ∇ f 1 ⋮ ∇ f m ] {\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla f_{1}\\\vdots \\\nabla f_{m}\end{bmatrix}}} כלומר, בכל שורה מופיעות כל הנגזרות החלקיות של אחת מפונקציות הרכיבים. ניתן לראות זאת גם כך: מטריצת יעקובי היא וקטור עמודה שמכיל את הגרדיאנטים של הרכיבים שלו (כלומר, כל שורה היא גרדיאנט). היעקוביאן הוא הדטרמיננטה של המטריצה הזו, במקרה שבו   m = n {\displaystyle \ m=n} (זאת מכיוון שדטרמיננטה מוגדרת רק עבור מטריצות ריבועיות). לרוב מסומנת מטריצת יעקובי כך: J F ( x 1 , … , x n ) or ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle J_{F}(x_{1},\ldots ,x_{n})\qquad {\mbox{or}}\qquad {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}} עבור מעבר משני משתנים בלתי תלויים x ו-y ל-u ו-v היעקוביאן הוא   ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = ∂ u ∂ x ∂ v ∂ y − ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x {\displaystyle \ {\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial v}{\partial x}}} אם x ו-y שני משתנים בלתי תלויים אזי   ( ∂ f ∂ x ) y = ∂ ( f , y ) ∂ ( x , y ) {\displaystyle \ \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y}={\frac {\partial (f,y)}{\partial (x,y)}}} אחד מהשימושים העיקריים של היעקוביאן הוא מציאת ערך האינטגרל של פונקציה מורכבת. לדוגמה:   ∫ 0 3 ∫ 0 4 ∫ x = y / 2 x = y / 2 + 1 ( 2 x − y 2 + z 3 ) d x d y d z {\displaystyle \ \int _{0}^{3}\int _{0}^{4}\int _{x=y/2}^{x=y/2+1}\left({\frac {2x-y}{2}}+{\frac {z}{3}}\right)\,dxdydz} הוא שווה לנפח הפונקציה באינטגרל בגבולות הנתונים. הפונקציה מסובכת מדי מכדי לבצע אינטגרציה באופן ישיר. לכן נסמן:   w = z 3 {\displaystyle \ w={\frac {z}{3}}} ,   v = y 2 {\displaystyle \ v={\frac {y}{2}}}   u = 2 x − y 2 {\displaystyle \ u={\frac {2x-y}{2}}} . הפונקציה החדשה שלנו היא   u + w {\displaystyle \ u+w} ונחשב את הגבולות שלה על ידי הצבת הגבולות הקודמים בסימונים החדשים:   z = 3 w {\displaystyle \ z=3w} ,   y = 2 v {\displaystyle \ y=2v} ,   x = u + v {\displaystyle \ x=u+v} . לדוגמה במקום הגבול   x = y 2 {\displaystyle \ x={\frac {y}{2}}} נציב   u + v = 2 v 2 = v {\displaystyle \ u+v={\frac {2v}{2}}=v} ומכאן שנחליף את הגבול   x = y 2 {\displaystyle \ x={\frac {y}{2}}} בגבול   u = 0 {\displaystyle \ u=0} . נחשב את היעקוביאן של הפונקציה: J ( u , v , w ) = | ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w | = | 1 1 0 0 2 0 0 0 3 | = 6 {\displaystyle J(u,v,w)={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial u}}&{\dfrac {\partial x}{\partial v}}&{\dfrac {\partial x}{\partial w}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y}{\partial u}}&{\dfrac {\partial y}{\partial v}}&{\dfrac {\partial y}{\partial w}}\\[3pt]{\dfrac {\partial z}{\partial u}}&{\dfrac {\partial z}{\partial v}}&{\dfrac {\partial z}{\partial w}}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{vmatrix}}\,=6} נחשב את הנפח באמצעות היעקוביאן   ∫ 0 3 ∫ 0 4 ∫ x = y / 2 x = y / 2 + 1 ( 2 x − y 2 + z 3 ) d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( u + w ) ⋅ | J ( u , v , w ) | d u d v d w = ∫ 0 1 ∫ 0 2 ∫ 0 1 ( 6 u + 6 w ) d u d v d w = 12 {\displaystyle \ \int _{0}^{3}\int _{0}^{4}\int _{x=y/2}^{x=y/2+1}\left({\frac {2x-y}{2}}+{\frac {z}{3}}\right)\,dxdydz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2}\int _{0}^{1}(u+w)\cdot |J(u,v,w)|dudvdw=\int _{0}^{1}\int _{0}^{2}\int _{0}^{1}(6u+6w)dudvdw=12} לסיכום: כדי למצוא אינטגרל של פונקציה מסובכת, ניתן לחלק אותה למספר פונקציות קטנות. את הפונקציה הישנה יש להביע באמצעות הפונקציות החדשות ולהכפיל את הפונקציה החדשה שהתקבלה בערכו המוחלט של היעקוביאן שלה וכמובן יש לעדכן את הגבולות של הפונקציה החדשה לפי הפונקציות הקטנות שהגדרנו. אם u , v {\displaystyle u,v} הן פונקציות גזירות ברציפות של המשתנים x , y {\displaystyle x,y} , הן נקראות פונקציות תלויות או בלתי תלויות בהתאם להאם הן מקיימות או לא מקיימות ביניהן יחס מהסוג f ( u , v ) = 0 {\displaystyle f(u,v)=0} , כשהפונקציה f {\displaystyle f} היא פונקציה כלשהי של 2 משתנים שגזירה ברציפות. על ידי גזירת f ( u , v ) = 0 {\displaystyle f(u,v)=0} ביחס ל x , y {\displaystyle x,y} , אנחנו מסיקים ש: ( 1 ) ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x = 0 , ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y + ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y = 0 {\displaystyle (1)\qquad {\operatorname {\partial } \!f \over \operatorname {\partial } \!v}{\operatorname {\partial } \!v \over \operatorname {\partial } \!x}+{\operatorname {\partial } \!f \over \operatorname {\partial } \!u}{\operatorname {\partial } \!u \over \operatorname {\partial } \!x}=0,\qquad {\operatorname {\partial } \!f \over \operatorname {\partial } \!v}{\operatorname {\partial } \!v \over \operatorname {\partial } \!y}+{\operatorname {\partial } \!f \over \operatorname {\partial } \!u}{\operatorname {\partial } \!u \over \operatorname {\partial } \!y}=0} . אם נסמן ∂ f ∂ v = f v , ∂ f ∂ u = f u {\displaystyle \qquad {\operatorname {\partial } \!f \over \operatorname {\partial } \!v}=f_{v},{\operatorname {\partial } \!f \over \operatorname {\partial } \!u}=f_{u}} , ואת ∂ v ∂ x , ∂ u ∂ x , ∂ v ∂ y , ∂ u ∂ y {\displaystyle {\operatorname {\partial } \!v \over \operatorname {\partial } \!x},{\operatorname {\partial } \!u \over \operatorname {\partial } \!x},{\operatorname {\partial } \!v \over \operatorname {\partial } \!y},{\operatorname {\partial } \!u \over \operatorname {\partial } \!y}} בתור v x , u x , v y , u y {\displaystyle v_{x},u_{x},v_{y},u_{y}} , מערכת המשוואת ( 1 ) {\displaystyle (1)} תראינה כך: ( 2 ) f v ⋅ v x + f u ⋅ u x = 0 , f v ⋅ v y + f u ⋅ u y = 0 {\displaystyle (2)\qquad f_{v}\cdot v_{x}+f_{u}\cdot u_{x}=0,\qquad f_{v}\cdot v_{y}+f_{u}\cdot u_{y}=0} . זוהי מערכת משוואות ליניארית ב f v , f u {\displaystyle f_{v},f_{u}} . כל אחת מהמשוואות ב ( 2 ) {\displaystyle (2)} מתארת יחס זהותי בין f v , f u {\displaystyle f_{v},f_{u}} ; לכן הן שקולות זו לזו, ואלימינציה של f v , f u {\displaystyle f_{v},f_{u}} מתוך ( 2 ) {\displaystyle (2)} נותנת | v x u x v y u y | = v x ⋅ u y − v y ⋅ u x = 0 {\displaystyle {\begin{vmatrix}v_{x}&u_{x}\\v_{y}&u_{y}\end{vmatrix}}=v_{x}\cdot u_{y}-v_{y}\cdot u_{x}=0} . אפשר לנסח תוצאה זו כך: התאפסות היעקוביאן ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = | v x u x v y u y | {\displaystyle {\frac {\partial (u,v)}{\partial (x,y)}}={\begin{vmatrix}v_{x}&u_{x}\\v_{y}&u_{y}\end{vmatrix}}} היא תנאי הכרחי לקיום יחס כמו f ( u , v ) = 0 {\displaystyle f(u,v)=0} . מסתבר שזהו גם תנאי מספיק לקיום יחס כמו f ( u , v ) = 0 {\displaystyle f(u,v)=0} , אם כי ההוכחה לכך קשה יותר. תוצאה זו נכונה עבור כל מספר של משתנים. הפונקציות (הגזירות ברציפות) f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} של המשתנים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} הן תלויות או בלתי תלויות בהתאם להאם הן מקיימות או לא מקיימות יחס מהסוג F ( f 1 , … , f m ) = 0 {\displaystyle F(f_{1},\ldots ,f_{m})=0} עם F {\displaystyle F} גזירה ברציפות; ותנאי הכרחי ומספיק לקיום יחס כזה הוא התאפסות היעקוביאן ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle \qquad {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}=0} . באופן אנלוגי, אי־התאפסות היעקוביאן ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \qquad {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}} הוא תנאי הכרחי ומספיק לאי היותן של הפונקציות f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} תלויות. בניסוח אחר, אם ∂ ( f 1 , … , f m ) ∂ ( x 1 , … , x n ) ≠ 0 {\displaystyle \qquad {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}\neq 0} , אז הפונקציות f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} לא מקיימות ביניהן שום משוואה מהסוג F ( f 1 , … , f m ) = 0 {\displaystyle F(f_{1},\ldots ,f_{m})=0} (עבור פונקציה F {\displaystyle F} כלשהי של m {\displaystyle m} משתנים אשר גזירה ברציפות). יעקוביאן, באתר MathWorld (באנגלית)