נוסחת לז'נדר

בתורת המספרים, נוסחת לז'נדר (על שם המתמטיקאי הצרפתי אדריאן-מארי לז'נדר; נקראת גם נוסחת דה פוליניאק על שם אלפונס דה פוליניאק) קובעת את הפירוק לגורמים ראשוניים של n ! {\displaystyle n!} , כאשר הסימן " ! {\displaystyle !} " מסמן את פעולת העצרת: n ! = ∏ p ≤ n p a , a = ∑ k = 1 ∞ ⌊ n p k ⌋ {\displaystyle n!=\prod _{p\,\leq \,n}p^{a},\quad a=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor } כאשר p {\displaystyle p} מספר ראשוני ו- ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor {x}\rfloor } היא פונקציית הערך השלם (עיגול כלפי מטה). בניסוח שקול, הנוסחה קובעת שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני p {\displaystyle p} המחלקת את n ! {\displaystyle n!} הוא ∑ k = 1 ∞ ⌊ n p k ⌋ {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor } . הסכום האינסופי לכאורה הוא למעשה סכום סופי, שכן החל משלב מסוים כל איברי הסכום מתאפסים משום של- p k > n {\displaystyle p^{k}>n} מתקיים ⌊ n p k ⌋ = 0 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =0} . " n {\displaystyle n} עצרת" הוא מכפלת המספרים מ-1 עד n {\displaystyle n} : n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 {\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1} לכן המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של ראשוני p {\displaystyle p} המחלקת אותו הוא סכום המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של p {\displaystyle p} המחלקות כל אחד מהמספרים מ-1 עד n {\displaystyle n} . לכל ראשוני p {\displaystyle p} , אנחנו יודעים כי p {\displaystyle p} מחלק בדיוק ⌊ n p ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor } מספרים מ-1 עד n {\displaystyle n} שכן כפולותיו הן p , 2 p , 3 p , … , ⌊ n p ⌋ p {\displaystyle p,2p,3p,\ldots ,\left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor p} . ביניהם ⌊ n p 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor } מספרים שמתחלקים אפילו ב- p 2 {\displaystyle p^{2}} , ולכן יש לספור אותם פעם נוספת. ובאופן כללי, יש ביניהם בדיוק ⌊ n p k ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor } המתחלקים ב- p k {\displaystyle p^{k}} , ויש לספור אותם שוב. נסכום את כל המקרים יחדיו ונקבל שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של p {\displaystyle p} המחלקת את n ! {\displaystyle n!} הוא V p ( n ! ) = ∑ k = 1 ∞ ⌊ n p k ⌋ {\displaystyle V_{p}(n!)=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor } . נמצא כמה אפסים מופיעים בסוף הכתיב העשרוני של המספר 199 ! {\displaystyle 199!} . מספר האפסים שווה למעריך של החזקה הגבוהה ביותר של 10 המחלקת את 199 ! {\displaystyle 199!} . הפירוק לגורמים של חזקות של 10 הוא 10 m = 2 m ⋅ 5 m {\displaystyle 10^{m}=2^{m}\cdot 5^{m}} . לכן המעריך המבוקש יהיה הקטן מבין המעריכים של החזקות הגבוהות ביותר של הראשוניים 2 ו-5 המחלקות את 199 ! {\displaystyle 199!} . ברור כי המעריך הגבוה יותר מבין השניים הוא זה של 2 (שכן הוא מחלק יותר מספרים בין 1 ל-199) ולכן מספיק למצוא את המעריך של 5. לפי הנוסחה המעריך הוא: ∑ k = 1 ∞ ⌊ 199 5 k ⌋ = 39 + 7 + 1 + 0 + 0 + ⋯ = 47 {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {199}{5^{k}}}\right\rfloor =39+7+1+0+0+\cdots =47} מכאן שהמספר 199 ! {\displaystyle 199!} מסתיים ב-47 אפסים. נסמן ב- S p ( n ) {\displaystyle S_{p}(n)} את סכום הספרות של n {\displaystyle n} בבסיס p {\displaystyle p} . ניסוח שקול לנוסחת לז'נדר קובע שהמעריך של החזקה הגבוהה ביותר של p {\displaystyle p} המחלקת את n ! {\displaystyle n!} הוא n − S p ( n ) p − 1 {\displaystyle {\frac {n-S_{p}(n)}{p-1}}} . נציג את n {\displaystyle n} בבסיס p {\displaystyle p} : n = a r p r + a r − 1 p r − 1 + ⋯ + a 1 p + a 0 ; a r , … , a 0 < p {\displaystyle n=a_{r}p^{r}+a_{r-1}p^{r-1}+\cdots +a_{1}p+a_{0}\quad ;\quad a_{r},\ldots ,a_{0}<p} כעת נשים לב כי ⌊ n p k ⌋ = ⌊ a r p r + ⋯ + a 0 p k ⌋ = ⌊ a r p r − k + ⋯ + a k + a k − 1 p − 1 + ⋯ + a 0 p − k ⌋ = a r p r − k + ⋯ + a k {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {a_{r}p^{r}+\cdots +a_{0}}{p^{k}}}\right\rfloor =\left\lfloor a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k}+a_{k-1}p^{-1}+\cdots +a_{0}p^{-k}\right\rfloor =a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k}} זאת מכיוון ש- a k − 1 p − 1 + ⋯ + a 0 p − k < 1 {\displaystyle a_{k-1}p^{-1}+\cdots +a_{0}p^{-k}<1} . מכאן לפי נוסחת לז'נדר המעריך של חזקה הגבוהה ביותר של p {\displaystyle p} המחלקת את n ! {\displaystyle n!} הוא: ∑ k = 1 ∞ ⌊ n p k ⌋ = ∑ k = 1 ∞ ( a r p r − k + ⋯ + a k ) = {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor =\sum _{k\,=\,1}^{\infty }(a_{r}p^{r-k}+\cdots +a_{k})=} נבחין כי בטור האחרון לכל 1 ≤ i ≤ r {\displaystyle 1\leq i\leq r} , המקדם a i {\displaystyle a_{i}} מופיע פעם אחת בדיוק כמקדם של כל אחד מבין 1 , p , … , p i − 1 {\displaystyle 1,p,\ldots ,p^{i-1}} . לכן נוכל לסדר מחדש את הטור האחרון בצורה: = ∑ i = 1 r a i ( 1 + p + ⋯ + p i − 1 ) = ∑ i = 1 r a i p i − 1 p − 1 = 1 p − 1 ( ∑ i = 1 r a i p i − ∑ i = 1 r a i ) = ( n − a 0 ) − ( S p ( n ) − a 0 ) p − 1 = n − S p ( n ) p − 1 {\displaystyle =\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}(1+p+\cdots +p^{i-1})=\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}{\frac {p^{i}-1}{p-1}}={\frac {1}{p-1}}\left(\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}p^{i}-\sum _{i\,=\,1}^{r}a_{i}\right)={\frac {(n-a_{0})-(S_{p}(n)-a_{0})}{p-1}}={\frac {n-S_{p}(n)}{p-1}}} במעבר הראשון עשינו שימוש בנוסחה לסכום טור הנדסי. מקדם בינומי ( n r ) = n ! r ! ( n − r ) ! {\displaystyle {\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}} שווה למספר התת-קבוצות מגודל r {\displaystyle r} שיש לקבוצה בגודל n {\displaystyle n} . מכאן שהוא בהכרח מספר שלם. עם זאת, זוהי הוכחה קומבינטורית לטענה, ואילו נוסחת לז'נדר מספקת הוכחה אלמנטרית לטענה (כזו המסתמכת רק על תכונות מספרים). פונקציית הערך השלם מקיימת את האי-שוויון הטריוויאלי ⌊ a ⌋ + ⌊ b ⌋ ≤ ⌊ a + b ⌋ {\displaystyle \lfloor a\rfloor +\lfloor b\rfloor \leq \lfloor a+b\rfloor } . לכן מתקיים: ∑ k = 1 ∞ ⌊ r p k ⌋ + ∑ k = 1 ∞ ⌊ n − r p k ⌋ ≤ ∑ k = 1 ∞ ⌊ n p k ⌋ {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {r}{p^{k}}}\right\rfloor +\sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n-r}{p^{k}}}\right\rfloor \leq \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor } לפי נוסחת לז'נדר אגף ימין הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של p {\displaystyle p} המחלקת את n ! {\displaystyle n!} , בעוד אגף שמאל הוא המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של p {\displaystyle p} המחלקת את r ! ( n − r ) ! {\displaystyle r!(n-r)!} . מהאי-שוויון אנו מסיקים שלכל חזקת ראשוני בפירוק של r ! ( n − r ) ! {\displaystyle r!(n-r)!} לגורמים, כפולה שלו מופיעה בפירוק של n ! {\displaystyle n!} , ולכן n ! {\displaystyle n!} מתחלק ב- r ! ( n − r ) ! {\displaystyle r!(n-r)!} , כלומר ( n r ) = n ! r ! ( n − r ) ! {\displaystyle {\binom {n}{r}}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}} מספר שלם. לפי נוסחת לז'נדר המעריך של החזקה הגבוהה ביותר של p {\displaystyle p} המחלקת את ( 2 n n ) {\displaystyle {\binom {2n}{n}}} הוא ∑ k = 1 ∞ ( ⌊ 2 n p k ⌋ − 2 ⌊ n p k ⌋ ) {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {2n}{p^{k}}}\right\rfloor -2\left\lfloor {\frac {n}{p^{k}}}\right\rfloor \right)} , עובדה המשמשת בהוכחה האלמנטרית של פאול ארדש להשערת ברטראן.