בדידים

בְּדִידִים (או בשמם הלועזי: "מקלות קְוִּיזֶנֶר") הם אמצעי המחשה המשמשים כעזר בהוראת המתמטיקה בכיתות הנמוכות. זוהי מערכת של עשר תיבות שהקטנה שבהן היא קובייה שאורך מקצועה 1 ס"מ, והיתר הן כפולות (בין 2 ל־10) של קובייה זו. הבדידים ידועים בעולם כ"מקלות קוויזנר". הם הומצאו על ידי ז'ורז' קוויזנר (אנ') (Georges Cuisenaire,‏ ‎1891–1976), מורה בבית ספר יסודי מבלגיה, שפרסם ספרון על שימושם ב-1952 שנקרא 'Les Nombres en Couleurs' ("מספרים בצבעים"). הבדידים נבדלים זה מזה באורכם ובצבעם, כך שלשני בדידים באותו אורך יש אותו הצבע, ולהפך. בשיטתו של קוויזנר, כל אחד מסוגי הבדידים מייצג מספר בין 1 ל־10. כך למשל, המספר "1" מיוצג על ידי קובייה לבנה, המספר "2" מיוצג על ידי תיבה שצבעה אדום, וגודלה שווה לשתי קוביות של "1", וכך הלאה. שיטה זו מקלה בהמחשה חזותית (צבע, אורך) ותחושתית (תלת־ממדיות) של החישוב המופשט, בדרך המתאימה להתפתחותו הקוגניטיבית של הילד. בשנת 1953, גילה פרופ' כלב גטניו, מתמטיקאי יהודי-בריטי יליד אלכסנדריה, את הפוטנציאל של הבדידים כאמצעי המחשה ללימוד אלגברה בגיל צעיר, ופיתח שיטה שלמה ללימוד מתמטיקה וללימוד שפות באמצעותם, כך שהם משמשים להמחשת מצבים, זמנים ושינויים במיצובם. שימוש בבדידים כאמצעי המחשה מתמטי נועד לתמוך בפיתוח היכולת לבצע פעולות פורמליות על מספרים, ולפעול באופן כמותי, באמצעות הענקת תמיכה מוחשית לתפישה המופשטת של המספר. הבדידים יכולים לשמש גם ללימוד גאומטריה, על ידי המחשת מושגי האורך והשטח, ויכולים לשמש גם לבחינת תפיסות מתקדמות יותר, כמו כפל ארוך, שברים ואף חזקות ושורשים. הבדידים משמשים גם להוראת מתמטיקה לתלמידים בעלי לקויות למידה, ויש המשתמשים בהם אף להוראת שפה. בהשפעתו של פרופ' גטניו, הפכו הבדידים לאמצעי לימוד נפוץ, ובסוף שנות ה־50 שימשו הבדידים ללימוד משוואות ליניאריות וגם אלגברה, לפי שיטתו. עד שנת 1960, השתמשו בבדידים יותר מ-10,000 בתי ספר במאה מדינות לשם לימוד מתמטיקה. בישראל, הבדידים ושיטת גטניו הוכנסו לתוכנית הלימודים בשנת 1960, ומאות מורים הוכשרו על ידי פרופ' גטניו עצמו, ועל ידי מורים שהוכשרו על ידו, כמו גאולה זעירי וג'וני אוברמן. בתחילה נקראו מקלות קוויזנר "כפיסים", ומאוחר יותר, בהנחיית משרד החינוך, ניתן להם השם "בדידים". התלמידים שלמדו בשיטת גטניו הגיעו להישגים גבוהים ולהבנה נרחבת של מושגים מתמטיים כבר בכיתה ב', אבל המורים של כיתות ג', שלא הייתה להם השכלה מתמטית גבוהה, התקשו ללמד ברמה הגבוהה שהבדידים איפשרו, לכן, העדיפו אותם מורים לוותר על השיטה, אך לא ויתרו על הבדידים. לתוך החלל שנוצר נכנסה שיטה בשם "1-2-3", שזנחה את הפן המתקדם והמורכב של הבדידים והתמקדה רק בספירה, חיבור וחיסור.[דרוש מקור: מניין כל המידע בפסקה?] פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. התוכן עוסק באמצעי המחשה באופן כללי ולא מספק רקע לשימוש בבדידים במערכת החינוך בישראל. השימוש באמצעי המחשה בהוראת מתמטיקה התרחב בעולם, יחד עם התפישות המודרניות של החינוך, לפיהם הילד אינו "מבוגר קטן" או "לוח חלק", ויש להתאים את ההוראה ליכולות שלו ולתפישותיו. בשנת 1972 החלה פרופ' פרלה נשר לפעול ליישום רעיונות אלו בבתי הספר הישראליים, באמצעות ספרי "אחת, שתיים ו... שלוש", ו"ועוד אחת" של המרכז לטכנולוגיה חינוכית. הבדידים היו אמצעי ההמחשה הזכור ביותר מתוכנית זו. השימוש באמצעי המחשה היה ידוע שנים רבות, ותפס למשל חלק משמעותי בשיטת מונטסורי, אך הוא התפשט בעולם המערבי בראשית שנות השבעים כתגובה לשיטות קודמות, שתמכו בלימוד מתמטיקה מופשט (new math) ולתפישת החינוך הישנה, שדגלה בשינון ותרגול. השימוש בבדידים ובאמצעי המחשה אחרים מיועד לאפשר לתלמיד לבנות את הידע שלו, תוך כדי יצירת תפישה מתמטית וכישורים לעבודה כמותית. אמצעי המחשה איפשרו פעילויות מתמטיות שבאופן אחר הן מופשטות ולכן לא ניתנות לביצוע בגילאים צעירים, כגון למידת חקר - בחינה עצמאית של תופעות לא מוכרות, והבנתן באמצעים של ניסוח טענות ונימוקים, הבניית מושגים, שיח מתמטי, ובהמשך הוכחות והפרכות. הלמידה באמצעות אמצעי המחשה היא בעיקרה למידה בהתנסות, בעבודה אישית ובקבוצות, עם דגש על השיח הכיתתי בין התלמידים למורה ובינם לבין עצמם. זוהי גישת האסכולה הקונסטרוקטיביסטית בחינוך, שנולדה בעקבות מחקריו של פיאז'ה על הלמידה האנושית, וגורסת כי הידע נבנה על ידי פעולה בעולם, וכי לא ניתן לבנות ידע שלם בנושא מהקשבה פאסיבית. בשנת 2002 הקים פרופסור רון אהרוני את "העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל", תנועת "בחזרה לבסיס" שדגלה בחזרה לשיעורים פרונטליים עם דגש על שינון ותרגול, והתנגדה לגישה הקונסטרוקטיביסטית, ובכללה השימוש בבדידים ובאמצעי המחשה אחרים. הקמת העמותה לוותה בדיון ציבורי ער. לטענת חברי העמותה, שיטת הבדידים משתמשת בהמחשה מסוג אחד בלבד של מושג הכמות, ועלולה ליצור קשרים לוגיים שגויים שמפריעים לתלמיד ללמוד במקום לסייע לו. לדוגמה, הצמדת צבע לכמות על ידי צביעת כל בדיד בצבע המייחד אותו, גורמת לפגיעה בייצוג הפנימי של המספר, ולבלבול אצל תלמידים ממוצעים או חלשים. ב-2003, בעקבות פעילות העמותה, אסר משרד החינוך את השימוש בבדידים בבתי ספר בישראל, והיא הפכה למדינה היחידה בעולם בה מקלות קוויזנר פסולים לשימוש על ידי משרד החינוך. הוראת המתמטיקה בישראל מדוע תלמידינו נכשלים בחשבון מאמר באתר העמותה הישראלית לקידום החינוך המתמטי לכל. אביבה לורי, אחת, שתיים ו... נכשלנו, באתר הארץ, 24 בפברואר 2003 Dina Rosen, Jo Hoffman,Integrating Concrete and Virtual Manipulatives in Early Childhood Mathematics, Young Children, 64 (3) pp. 26-33, May 2009 Dina Yankelewitz, Mary Mueller Carolyn A. Maher, A Task that Elicits Reasoning: A Dual Analysis, Journal of Mathematical Behavior, 29 (2) pp. 76-85, June 2010 Christine C. Pappas, Sara Bush, Facilitating Understandings of Geometry, Arithmetic Teacher, 36 (8) pp. 17-20, April 1989 Andi Stix, Teaching Fractions and Decimals: Fun with Picture Grids, 1997 Lynn G. Marsh, Nancy L. Cooke,The Effects of Using Manipulatives in Teaching Math Problem Solving to Students with Learning Disabilities, Learning Disabilities Research and Practice, 11 (1) pp. 58-65, Winter 1996 Donald Esha Cherry, Learning with Rods: One Account, 1994 Wing, Tom (2009). "The Post-Piagetian Child: Early Mathematical Developments and a Role for Structured Materials". For the Learning of Mathematics. 29 (2): 8–13. תלמה גביש, אל תיתנו להם בדידים