אי-שוויון אדמר

במתמטיקה, אי-שוויון אדמר (ידוע גם כמשפט הדטרמיננטות של אדמר) פורסם לראשונה על ידי ז'אק אדמר ב-1893. לפי האי-שוויון, הערך המוחלט של דטרמיננטה של מטריצה שערכיה מספרים מרוכבים קטן או שווה למכפלת האורכים של ווקטורי עמודותיה (שורותיה). כאשר למטריצה יש רק ערכים ממשיים, נפח המקבילון במרחב האוקלידי ה- n {\displaystyle n} -ממדי הנפרש על ידי עמודות המטריצה (באמצעות צירופים ליניאריים עם מקדמים לא שליליים קטנים או שווים ל-1) קטן או שווה למכפלת אורכי עמודותיה. בניסוח פורמלי, אי-שוויון אדמר קובע שאם N {\displaystyle N} היא מטריצה בעלת עמודות v i {\displaystyle v_{i}} , 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , אז , | det ( N ) | ≤ ∏ i = 1 n ‖ v i ‖ {\displaystyle ,\left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|} ושוויון ייתכן אם ורק אם העמודות של מטריצה N {\displaystyle N} אורתוגונליות. אם הערכים המוחלטים של האיברים של מטריצה N {\displaystyle N} חסומים מלעיל על ידי B {\displaystyle B} , כלומר | N i , j | ≤ B {\displaystyle \left|N_{i,j}\right|\leq B} לכל 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} , אז מתקיים, . | det ( N ) | ≤ B n n n / 2 {\displaystyle .\left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}} בפרט, אם הערכים של N {\displaystyle N} הם רק 1 {\displaystyle 1} או − 1 {\displaystyle -1} אז . | det ( N ) | ≤ n n / 2 {\displaystyle .\left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}} בקומבינטוריקה, מטריצה N {\displaystyle N} שעבורה מתקיים שוויון, כלומר, שבנוסף לדרישות הקודמות העמודות של N {\displaystyle N} הן אורתוגונליות, נקראת מטריצת אדמר. באופן כללי יותר, נניח ש- N {\displaystyle N} היא מטריצה מרוכבת מסדר n {\displaystyle n} , שהערכים המוחלטים של איבריה שלה חסומים מלעיל על ידי 1 {\displaystyle 1} , כלומר | N i , j | ≤ 1 {\displaystyle \left|N_{i,j}\right|\leq 1} לכל 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} , מאי-שוויון אדמר נובע, . | det ⁡ ( N ) | ≤ n n / 2 {\displaystyle .|\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}} עבור מטריצה ממשית N {\displaystyle N} מתקיים שוויון אם ורק אם N {\displaystyle N} היא מטריצת אדמר. אם מטריצה P {\displaystyle P} חיובית למחצה קיימת N {\displaystyle N} כך ש - P = N ∗ N {\displaystyle P=N^{*}N} כאשר N ∗ {\displaystyle N^{*}} היא המטריצה הצמודה של N {\displaystyle N} . לכן, . det ( P ) = det ( N ) 2 ≤ ∏ i = 1 n ‖ v i ‖ 2 = ∏ i = 1 n p i i {\displaystyle .\det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}} כלומר, הדטרמיננטה של מטריצה חיובית למחצה קטן או שווה למכפלת ערכי האלכסון שלה. גם אי-שוויון זה לעיתים מכונה אי-שוויון אדמר. אם המטריצה N {\displaystyle N} היא מטריצה לא הפיכה ולכן הדטרמיננטה שלה היא 0 {\displaystyle 0} והתוצאה היא מיידית. אם המטריצה N {\displaystyle N} הפיכה ולכן העמודות של N {\displaystyle N} אינן תלויות ליניארית. נסמן ב- M {\displaystyle M} את המטריצה המתקבלת על ידי חלוקת כל עמודה של N {\displaystyle N} באורך שלה. נסמן ב- e i {\displaystyle e_{i}} , 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , את העמודות של M {\displaystyle M} . ידוע לנו כי הן ווקטורי יחידה ואורכן 1. נוכיח תחילה שהמטריצה M {\displaystyle M} מקיימת את טענת המשפט, כלומר, . | det M | ≤ 1 {\displaystyle .\left|\det M\right|\leq 1} נסמן P = M ∗ M {\displaystyle P=M^{*}M} כאשר M ∗ {\displaystyle M^{*}} היא המטריצה הצמודה של M {\displaystyle M} , ונניח ש- λ 1 , . . . , λ n {\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}} הם הערכים העצמיים של P {\displaystyle P} . מכיוון שאורך כל עמודה של M {\displaystyle M} הוא 1 {\displaystyle 1} , כל איבר באלכסון הראשי של P {\displaystyle P} הוא 1 {\displaystyle 1} ולכן העקבה של P {\displaystyle P} היא n {\displaystyle n} . ניישם את אי-שוויון הממוצעים ונקבל, , det P = ∏ i = 1 n λ i ≤ ( 1 n ∑ i = 1 n λ i ) n = ( 1 n tr ⁡ P ) n = 1 n = 1 {\displaystyle ,\det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq {\bigg (}{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\bigg )}^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1} מכאן נובע מקרה פרטי של המשפט, . | det M | = det P ≤ 1 {\displaystyle .\left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1} התוצאה הכללית נובעת מהמקרה הפרטי: . | det N | = ( ∏ i = 1 n ‖ v i ‖ ) | det M | ≤ ∏ i = 1 n ‖ v i ‖ {\displaystyle .\left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|} אם יש שוויון אז כל הערכים העצמיים של P {\displaystyle P} שווים וסכומם n {\displaystyle n} ולכן שווים ל- 1 {\displaystyle 1} . המטריצה P {\displaystyle P} היא צמודה לעצמה ולכן ניתנת ללכסון, ומכאן שהיא מטריצת היחידה - במילים אחרות העמודות של M {\displaystyle M} הן קבוצה אורתונורמלית והעמודות של N {\displaystyle N} הן קבוצה אורתוגונלית. הוכחות רבות אחרות ניתן למצוא בספרות. אי-שוויון אדמר, באתר MathWorld (באנגלית) "Hadamard theorem - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. נבדק ב-2020-06-15. Maz'ya & Shaposhnikova Garling Różański, Michał; Wituła, Roman; Hetmaniok, Edyta (2017). "More subtle versions of the Hadamard inequality". Linear Algebra and Its Applications. 532: 500–511. doi:10.1016/j.laa.2017.07.003. Proof follows, with minor modifications, the second proof given in Maz'ya & Shaposhnikova.