הצבת ויירשטראס

בחשבון אינטגרלי, הצבת ויירשטראס (מכונה גם ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית או הצבת טנגנס חצי-הזווית) היא שיטה לחישוב אינטגרלים, אשר ממירה פונקציה רציונלית של פונקציות טריגונומטריות של x {\displaystyle x} לפונקציה רציונלית רגילה של t {\displaystyle t} באמצעות ההצבה t = tan ⁡ x 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}} ; מכיוון ש- s i n ( x ) {\displaystyle sin(x)} ו- cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} מהווים ביטויים רציונליים ב- t {\displaystyle t} , פונקציה רציונלית של אלו מהווה גם היא ביטוי רציונלי ב-t. נוסחת הטרנספורמציה הכללית היא: ∫ f ( sin ⁡ ( x ) , cos ⁡ ( x ) ) d x = ∫ 2 1 + t 2 f ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) d t . {\displaystyle \int f(\sin(x),\cos(x))\,dx=\int {\frac {2}{1+t^{2}}}f\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,dt.} לאחר המעבר לפונקציה רציונלית רגילה, האינטגרל ניתן לפתירה באמצעות פירוק לשברים חלקיים. ההצבה נקראת על שם קרל ויירשטראס (1815–1897) אף על פי שניתן למצוא אותה במפורש כבר בספר של לאונרד אוילר מ-1768, וסביר מאוד להניח שהייתה ידועה עוד לפני כן. מבין הטכניקות האלמנטריות להתרת אינטגרלים לא מסוימים, הצבה זאת נחשבת לאחת היותר "טריקיות", והנוסחאות הקשורות בה קשות יותר לזכירה. על ידי שימוש בזהויות של זווית כפולה ובזהות הטריגונומטרית הפיתגוראית וחלוקת המונה והמכנה ב- cos 2 ⁡ x 2 , {\textstyle \cos ^{2}{\tfrac {x}{2}},} , ניתן לקבל: sin ⁡ x = 2 sin ⁡ x 2 cos ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x 2 = 2 tan ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 = 2 t 1 + t 2 , cos ⁡ x = cos 2 ⁡ x 2 − sin 2 ⁡ x 2 cos 2 ⁡ x 2 + sin 2 ⁡ x 2 = 1 − tan 2 ⁡ x 2 1 + tan 2 ⁡ x 2 = 1 − t 2 1 + t 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2\sin {\tfrac {x}{2}}\,\cos {\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2\tan {\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[18mu]\cos x&={\frac {\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}} ולפי כללי גזירה, מקבלים d t = 1 2 ( 1 + tan 2 ⁡ x 2 ) d x = 1 + t 2 2 d x , {\textstyle dt={\tfrac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}\right)dx={\frac {1+t^{2}}{2}}dx,} ולכן: d x = 2 1 + t 2 d t . {\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.} . מנמוניקה גאומטרית לשחזור נוסחאות הטרנספורמציה מתבססת על הצבת משולש ישר-זווית בעל זווית φ {\displaystyle \varphi } בתוך מעגל היחידה באופן כזה שזווית זו היא זווית מרכזית במעגל (ראו איור). הזווית ההיקפית הנשענת על קשת המעגל המתאימה לזווית φ {\displaystyle \varphi } היא φ / 2 {\displaystyle \varphi /2} , ולפיכך, מדמיון משולשים בין משולשים AOB ו-ACE נקבל: t = t a n ( φ 2 ) = s i n ( φ ) 1 + c o s ( φ ) ⟹ t = 1 − c o s 2 ( φ ) 1 + c o s ( φ ) {\displaystyle t=tan({\frac {\varphi }{2}})={\frac {sin(\varphi )}{1+cos(\varphi )}}\implies t={\frac {\sqrt {1-cos^{2}(\varphi )}}{1+cos(\varphi )}}} מכאן נקבל: t = 1 − c o s ( φ ) 1 + c o s ( φ ) ⟹ c o s ( φ ) = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle t={\sqrt {\frac {1-cos(\varphi )}{1+cos(\varphi )}}}\implies cos(\varphi )={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} ומהנוסחה ל- c o s φ {\displaystyle cos\varphi } נקבל גם: s i n φ = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle sin\varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}}} . ∫ csc ⁡ x d x = ∫ d x sin ⁡ x = ∫ ( 1 + t 2 2 t ) ( 2 1 + t 2 ) d t t = tan ⁡ x 2 = ∫ d t t = ln ⁡ | t | + C = ln ⁡ | tan ⁡ x 2 | + C . {\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}} ∫ 0 2 π d x 2 + cos ⁡ x = ∫ 0 π d x 2 + cos ⁡ x + ∫ π 2 π d x 2 + cos ⁡ x = ∫ 0 ∞ 2 d t 3 + t 2 + ∫ − ∞ 0 2 d t 3 + t 2 t = tan ⁡ x 2 = ∫ − ∞ ∞ 2 d t 3 + t 2 = 2 3 ∫ − ∞ ∞ d u 1 + u 2 t = u 3 = 2 π 3 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}} שיטות למציאת אינטגרלים לא מסוימים הצבת ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)