נגזרת כיוונית

במתמטיקה, הנגזרת הכיוונית היא ערך המייצג את קצב השינוי של פונקציה רבת משתנים בכיוון של וקטור נתון. זוהי הכללה של הנגזרת החלקית, שבה כיוון הנגזרת הוא במקביל לאחד מהצירים הראשיים. עבור מספר טבעי n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , פונקציה סקלרית f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ווקטורים v → = ( v 1 , … , v n ) ∈ R n {\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} ו- x → = ( x 1 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} , מגדירים את הנגזרת הכיוונית של f {\displaystyle f} בכיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} על ידי הגבול: D v → f ( x → ) := lim h → 0 f ( x → + h v → ) − f ( x → ) h | v → | {\displaystyle D_{\vec {v}}{f}({\vec {x}}):=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {x}}+h{\vec {v}})-f({\vec {x}})}{h|{\vec {v}}|}}} כאשר | v → | {\displaystyle |{\vec {v}}|} היא הנורמה של v → {\displaystyle {\vec {v}}} , כלומר | v → | = v 1 2 + v 2 2 + ⋯ + v n 2 {\displaystyle |{\vec {v}}|={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\dots +v_{n}^{2}}}} . אם נגזרת כיוונית זו קיימת אומרים כי f {\displaystyle f} גזירה בכיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} . תתכנה פונקציות אשר עבור נקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} כלשהי אינן גזירות לכל כיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} . באופן דומה, תתכנה פונקציות אשר עבור כיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} כלשהו אינן גזירות בכל נקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} . בהינתן זוג פונקציות f , g : R n → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } גזירות בכיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} , ובהינתן α , β ∈ R {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } מתקיים כי: D v → ( α f + β g ) ( x → ) = α D v → f ( x → ) + β D v → g ( x → ) {\displaystyle D_{\vec {v}}(\alpha f+\beta g)({\vec {x}})=\alpha D_{\vec {v}}f({\vec {x}})+\beta D_{\vec {v}}g({\vec {x}})} כלומר, פעולת הנגזרת הכיוונית היא ליניארית. בהינתן זוג פונקציות f , g : R n → R {\displaystyle f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } גזירות בכיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} , מתקיים כי: D v → ( f g ) ( x → ) = g ( x → ) D v → f ( x → ) + f ( x → ) D v → g ( x → ) {\displaystyle D_{\vec {v}}(fg)({\vec {x}})=g({\vec {x}})D_{\vec {v}}f({\vec {x}})+f({\vec {x}})D_{\vec {v}}g({\vec {x}})} כלומר, הנגזרת הכיוונית מקיימת את כלל לייבניץ לנגזרת מכפלה. בהינתן הפונקציה הסקלרית f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } ופונקציה ממשית g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } , כאשר f {\displaystyle f} גזירה בכיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} בנקודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} וכן g {\displaystyle g} גזירה בנקודה f ( x → ) {\displaystyle f({\vec {x}})} , מתקיים כי: D v → ( g ∘ f ) ( x → ) = g ′ ( f ( x → ) ) D v → f ( x → ) {\displaystyle D_{\vec {v}}(g\circ f)({\vec {x}})=g'(f({\vec {x}}))D_{\vec {v}}f({\vec {x}})} זאת כאשר g ′ {\displaystyle g'} היא הנגזרת של g {\displaystyle g} . זוהי גרסה כיוונית של כלל השרשרת. אם הפונקציה היא דיפרנציאבילית, ניתן לכתוב אותה בעזרת הגרדיאנט ∇ f {\displaystyle \nabla f} של f {\displaystyle f} באמצעות: D v → f = ∇ f ⋅ v → | v → | = ∇ f ⋅ v ^ {\displaystyle D_{\vec {v}}{f}=\nabla f\cdot {\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}=\nabla f\cdot {\hat {v}}} כאשר ⋅ {\displaystyle \cdot } מציין מכפלה סקלרית, ו־ v ^ {\displaystyle {\hat {v}}} מציין את וקטור היחידה בכיוון v → {\displaystyle {\vec {v}}} . מדיה וקבצים בנושא נגזרת כיוונית בוויקישיתוף נגזרת כיוונית, באתר MathWorld (באנגלית)