אופרטור הרמיטי

במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור ליניארי ממרחב מכפלה פנימית, הצמוד לעצמו (כלומר שווה לאופרטור הצמוד אליו). במילים אחרות, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור שאינו משתנה כתוצאה מפעולת ההצמדה. כל האופרטורים ההרמיטיים הם לכסינים אוניטרית, וכמו אופרטורים סימטריים ממשיים, הם מקיימים את התכונה שכל הערכים העצמיים שלהם ממשיים. האופרטורים האלו קרויים כך על-שם המתמטיקאי שארל הרמיט שהוכיח תכונה זו. לאופרטורים הרמיטיים תפקיד מרכזי במכניקת הקוונטים, שבה כל גודל פיזיקלי מדיד (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור. יהי H {\displaystyle H} מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים. לכל אופרטור ליניארי A : H → H {\displaystyle A\colon H\to H} מוגדר האופרטור הצמוד A ∗ : H → H {\displaystyle A^{*}\colon H\to H} , לפי החוק   ⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A ∗ y ⟩ {\displaystyle \ \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle } (את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם   A † {\displaystyle \ A^{\dagger }} , מבטאים כ"A דאגר"). לדוגמה, אם H {\displaystyle H} הוא מרחב הילברט ו- A {\displaystyle A} אופרטור חסום, אז לפי משפט ההצגה של ריס גם A ∗ {\displaystyle A^{*}} חסום. אם A ∗ = A {\displaystyle A^{*}=A} , אומרים ש- A {\displaystyle A} צמוד לעצמו. משפט הפירוק הספקטרלי מבטיח שכל אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו הוא לכסין אוניטרית. יתרה מזו, לכל וקטור עצמי v {\displaystyle v} של A {\displaystyle A} עם ערך עצמי λ {\displaystyle \lambda } , מתקיים   λ ⟨ v , v ⟩ = ⟨ λ v , v ⟩ = ⟨ A v , v ⟩ = ⟨ v , A ∗ v ⟩ = ⟨ v , A v ⟩ = ⟨ v , λ v ⟩ = λ ¯ ⟨ v , v ⟩ {\displaystyle \ \lambda \langle v,v\rangle =\langle \lambda v,v\rangle =\langle Av,v\rangle =\langle v,A^{*}v\rangle =\langle v,Av\rangle =\langle v,\lambda v\rangle ={\bar {\lambda }}\langle v,v\rangle } , ולכן λ {\displaystyle \lambda } ממשי. מכאן שיש למרחב בסיס אורתוגונלי (ובמקרה האינסוף-ממדי מערכת אורתונורמלית שלמה) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי. כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה   A = 1 2 ( A + A ∗ ) + 1 2 ( A − A ∗ ) {\displaystyle \ A={\frac {1}{2}}(A+A^{*})+{\frac {1}{2}}(A-A^{*})} . מחצית הסכום A + A ∗ {\displaystyle A+A^{*}} היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור. גם המכפלות A A ∗ {\displaystyle AA^{*}} ו- A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: ‖ A A ∗ ‖ = ‖ A ‖ ‖ A ∗ ‖ = ‖ A ‖ 2 {\displaystyle \|AA^{*}\|=\|A\|\|A^{*}\|=\|A\|^{2}} , כאשר   ‖ A ‖ {\displaystyle \ \|A\|} מסמן את הנורמה של A {\displaystyle A} כאופרטור. על מרחב הווקטורים המרוכבים   C n {\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}} מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית   ⟨ x → , y → ⟩ = ∑ k = 1 n x k y ¯ k {\displaystyle \ \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\bar {y}}_{k}} אותה אפשר לפרש ככפל מטריצות של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי צמוד מרוכב). לכל מטריצה A ∈ M n ⁡ ( C ) {\displaystyle A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )} מתאים אופרטור הכפל z → ↦ A z → {\displaystyle {\vec {z}}\mapsto A{\vec {z}}} (ביתר דיוק: A היא המטריצה המייצגת של אופרטור הכפל ביחס לבסיס הסטנדרטי). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה A {\displaystyle A} הוא A ∗ = A T ¯ = A ¯ T {\displaystyle A^{*}={\overline {A^{\mathrm {T} }}}={\overline {A}}^{\mathrm {T} }} (בכתיב לפי רכיבים: A i j ∗ = ( A j i ) ¯ {\displaystyle A_{ij}^{*}={\overline {(A_{ji})}}} ). כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת משחלוף והפעלת הצמוד המרוכב. עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא סימטרית. מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים. אופרטור הזהות i d : H → H {\displaystyle \mathrm {id} \colon \mathbb {H} \to \mathbb {H} } הוא אופרטור הרמיטי. בפרט, לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } טבעי, מטריצת היחידה I n {\displaystyle I_{n}} היא מטריצה הרמיטית מעל R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ו- C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . יהי H = R n {\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} ^{n}} , אזי כל מטריצה סימטרית A {\displaystyle A} היא אופרטור הרמיטי. הוכחה עבור R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} : ⟨ x , A y ⟩ = [ x 1   x 2 ] A [ y 1 y 2 ] = ( A t [ x 1 x 2 ] ) t [ y 1 y 2 ] = ⟨ A t x , y ⟩ = ⟨ A x , y ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\left[x_{1}\ x_{2}\right]A\left[{\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\end{matrix}}\right]=\left(A^{t}\left[{\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}}\right]\right)^{t}\left[{\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\end{matrix}}\right]=\langle A^{t}\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle } . מעל H = C 2 {\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {C} ^{2}} , הצמוד ההרמיטי של A = [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] {\displaystyle A=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right]} הוא A ∗ = A ¯ t = A t ¯ = [ a ¯ 11 a ¯ 21 a ¯ 12 a ¯ 22 ] {\displaystyle A^{*}={\overline {A}}^{t}={\overline {A^{t}}}=\left[{\begin{matrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}\end{matrix}}\right]} . מעל H = C 2 {\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {C} ^{2}} , מטריצות פאולי σ x = [ 0 1 1 0 ] , σ y = [ 0 − i i 0 ] , σ z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} הן מטריצות הרמיטיות. יהי H = C 2 ( I ) ∩ L 2 ( I ) {\displaystyle \mathbb {H} =C^{2}(I)\cap L^{2}(I)} מרחב הפונקציות הממשיות הגזירות פעמיים ברציפות ואינטגרביליות לבג בריבוע שמתאפסות בקצות הקטע I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } , עם מכפלה פנימית ⟨ f , g ⟩ = ∫ I f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{I}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x} , אזי האופרטור d 2 d x 2 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}} (גזירה פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן, ⟨ d 2 f d x 2 , g ⟩ = ∫ I ( d 2 f d x 2 ) g ( x ) d x = − ∫ I ( d f d x ) ( d g d x ) d x = ∫ I f ( x ) d 2 g d x 2 d x = ⟨ f , d 2 g d x 2 ⟩ {\displaystyle \left\langle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},g\right\rangle =\int _{I}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)g(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{I}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\right)\mathrm {d} x=\int _{I}f(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left\langle f,{\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} x^{2}}}\right\rangle } (השתמשנו פעמיים באינטגרציה בחלקים). תורת שטורם-ליוביל על פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות אופרטורים הרמיטיים. אופרטור הרמיטי, באתר MathWorld (באנגלית)