מודול (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, מודול הוא מבנה אלגברי הכולל חבורה אבלית, שעליה פועל חוג באמצעות כפל בסקלר, באותו אופן שבו שדה פועל על מרחב וקטורי. המודולים מהווים "מגרש משחקים" כללי ביותר, שבו יכול החוג לפעול ולהפגין את תכונותיו האלגבריות. משום כך מהווים מודולים כלי עבודה מרכזי בתורת החוגים, ובפרט באלגברה הומולוגית, ובכל היישומים של תחומים אלה במתמטיקה. כאמור לעיל, מודול הוא חבורה אבלית: קבוצה, עם פעולה בינארית שמקובל לסמן בסימן החיבור, " + {\displaystyle +} ", ואיבר נייטרלי, 0. חוג הבסיס, R {\displaystyle R} , עשוי לפעול על המודול משמאל או מימין, ותוצאת הפעולה היא "מודול שמאלי" או "מודול ימני", בהתאמה. חבורה אבלית M {\displaystyle M} היא מודול שמאלי מעל החוג R {\displaystyle R} , אם מוגדרת פונקציה R × M → M {\displaystyle R\times M\rightarrow M} ("כפל בסקלר", שמקובל לסמן בנקודה, ( r , m ) ↦ r ⋅ m {\displaystyle (r,m)\mapsto r\cdot m} , או בלעדיה, ( r , m ) ↦ r m {\displaystyle (r,m)\mapsto rm} ), שהיא דיסטריבוטיבית בשני המשתנים, אסוציאטיבית, ומכבדת את איבר היחידה של R {\displaystyle R} ; כלומר, מתקיימות האקסיומות (לכל r , r ′ ∈ R , m , m ′ ∈ M {\displaystyle r,r'\in R,m,m'\in M} ):   r ( m + m ′ ) = r m + r m ′ {\displaystyle \ r(m+m')=rm+rm'}   ( r + r ′ ) m = r m + r ′ m {\displaystyle \ (r+r')m=rm+r'm}   r ( r ′ m ) = ( r r ′ ) m {\displaystyle \ r(r'm)=(rr')m} 1 m = m {\displaystyle 1m=m} (אקסיומה זו אינה נדרשת אם R {\displaystyle R} הוא חוג בלי יחידה). באותו אופן, M {\displaystyle M} הוא מודול ימני מעל R {\displaystyle R} , אם מוגדרת פעולת כפל בסקלר מימין, M × R → M {\displaystyle M\times R\rightarrow M} , המקיימת אקסיומות אנלוגיות. אין הבדל עקרוני בין מודולים שמאליים וימניים. הבחירה באחד משני הסוגים היא עניין של טעם, והצורך לעסוק בשתי ההגדרות מתעורר רק כאשר לומדים בימודולים, שהם מבנים שעליהם פועלים שני חוגים בו-זמנית. לבסוף, M {\displaystyle M} הוא בימודול מעל זוג החוגים R , S {\displaystyle R,S} , אם M {\displaystyle M} הוא מודול שמאלי מעל R {\displaystyle R} וימני מעל S {\displaystyle S} , והפעולות משתלבות באמצעות האקסיומה ( r m ) s = r ( m s ) {\displaystyle (rm)s=r(ms)} לכל r ∈ R , s ∈ S , m ∈ M {\displaystyle r\in R,s\in S,m\in M} . אם R = S {\displaystyle R=S} , אומרים גם ש- M {\displaystyle M} בימודול מעל R {\displaystyle R} . תורת המודולים מכלילה שתי תאוריות חשובות: אלגברה ליניארית מתקבלת מן ההבחנה שמעל שדה F {\displaystyle F} , המודולים אינם אלא מרחבים וקטוריים. בדומה לזה, המודולים מעל חוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } אינם אלא חבורות אבליות. אפשר לחשוב על פעולת הכפל בחוג R {\displaystyle R} כעל פעולה של כפל בסקלר; כך, כל חוג הוא גם מודול מעל עצמו. יתרה מזו, חוג R {\displaystyle R} מהווה מודול מעל תת-חוג שלו, ומנגד, הסגירות לכפל משמאל הופכת כל אידיאל שמאלי של R {\displaystyle R} למודול מעל R {\displaystyle R} . אם R {\displaystyle R} חוג ו- I {\displaystyle I} אידיאל שלו, אז כל מודול מעל חוג המנה R / I {\displaystyle R/I} הוא גם מודול מעל R {\displaystyle R} , ביחס לפעולה r x = ( r + I ) x {\displaystyle rx=(r+I)x} . מצד שני, מודול מעל R {\displaystyle R} אפשר לראות גם כמודול מעל חוג המנה, רק כאשר המאפס Ann R ⁡ ( M ) = { r ∈ R : r M = 0 } {\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(M)=\{r\in R:rM=0\}} מוכל ב- I {\displaystyle I} . אם V {\displaystyle V} מרחב וקטורי מעל שדה F {\displaystyle F} , ו- T : V → V {\displaystyle T:V\rightarrow V} העתקה ליניארית, אפשר להפוך את V {\displaystyle V} למודול מעל חוג הפולינומים F [ λ ] {\displaystyle F[\lambda ]} , באמצעות פעולת הכפל בסקלר ∑ α i λ i ⋅ v = ∑ α i T i ( v ) {\displaystyle \sum \alpha _{i}\lambda ^{i}\cdot v=\sum \alpha _{i}T^{i}(v)} . המבנה של המודול המתקבל קשור קשר הדוק לתכונות של ההעתקה T {\displaystyle T} , ובפרט לצורת ז'ורדן שלה. אם M {\displaystyle M} הוא מודול שמאלי מעל חוג R {\displaystyle R} , תת-חבורה N {\displaystyle N} של M {\displaystyle M} היא תת-מודול אם N {\displaystyle N} מהווה מודול מעל R {\displaystyle R} ביחס לאותה פעולה של כפל בסקלר, כלומר, אם r n ∈ N {\displaystyle rn\in N} לכל r ∈ R {\displaystyle r\in R} ולכל n ∈ N {\displaystyle n\in N} . החיתוך של שני תת-מודולים הוא תת-מודול, והסכום של שני תת-מודולים הוא תת-מודול. כמו במרחבים וקטוריים, יש חשיבות מיוחדת לסכום ישר, שהוא סכום של תת-מודולים, שבו יש דרך יחידה להציג כל וקטור כסכום משני המרכיבים. אם N ≤ M {\displaystyle N\leq M} שני מודולים, מודול המנה M / N {\displaystyle M/N} מוגדר כמרחב הקוסטים { m + N : m ∈ M } {\displaystyle \{m+N:m\in M\}} , עם פעולת הכפל בסקלר r ( m + N ) = r m + N {\displaystyle r(m+N)=rm+N} . פונקציה שומרת חיבור f {\displaystyle f} ממודול M {\displaystyle M} מעל R {\displaystyle R} למשנהו היא הומומורפיזם של מודולים, אם היא שומרת על הכפל בסקלר: f ( r m ) = r f ( m ) {\displaystyle f(rm)=rf(m)} . כרגיל, איזומורפיזם של מודולים הוא הומומורפיזם שהוא חד-חד-ערכי ועל. תת-מודולים מקיימים את משפטי האיזומורפיזם של נתר. ה"סכום הישר החיצוני" (הקרוי גם "מכפלה ישרה"), מוגדר בדומה למרחבים וקטוריים או חבורות, עם הכפל בסקלר לפי רכיבים: r ( m , n ) = ( r m , r n ) {\displaystyle r(m,n)=(rm,rn)} . מגדירים גם סכום ישר חיצוני ומכפלה ישרה של מספר אינסופי של מודולים (שני המבנים המתקבלים שונים זה מזה). אם M {\displaystyle M} היא חבורה אבלית, אוסף האנדומורפיזמים f : M → M {\displaystyle f:M\rightarrow M} (אלו הן הפונקציות המקיימות f ( m + m ′ ) = f ( m ) + f ( m ′ ) {\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')} ) מהווה חוג, ביחס לפעולות של חיבור נקודתי ( f + f ′ ) ( m ) = f ( m ) + f ′ ( m ) {\displaystyle (f+f')(m)=f(m)+f'(m)} והרכבה. את החוג הזה מקובל לסמן ב- End Z ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)} . אם M {\displaystyle M} הוא מודול מעל חוג R {\displaystyle R} , אז לכל r ∈ R {\displaystyle r\in R} הפונקציה ℓ r : m ↦ r m {\displaystyle \ell _{r}:m\mapsto rm} היא אנדומורפיזם (לזה דואג תנאי הדיסטריבוטיביות מימין), והפונקציה השולחת את r {\displaystyle r} אל ℓ r {\displaystyle \ell _{r}} היא הומומורפיזם של חוגים (בזכות שלוש האקסיומות האחרות). אפשר להפוך את כיוון הבניה, וכך מתקבלת התאמה בין הדרכים לחשוב על M {\displaystyle M} כמודול, לבין ההומומורפיזמים מחוגים כלשהם אל End Z ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbb {Z} }(M)} . מודול פשוט הוא מודול שאין לו תת-מודולים לא טריוויאליים (דהיינו שונים מאפס ומהמודול עצמו). כל מודול פשוט הוא ציקלי (כלומר, מודול מהצורה M = R x {\displaystyle M=Rx} ); כל מודול ציקלי איזומורפי למודול מהצורה R / L {\displaystyle R/L} כאשר L {\displaystyle L} אידיאל שמאלי של R {\displaystyle R} . מודול שהוא סכום של תת-מודולים פשוטים נקרא מודול פריק לחלוטין. מודול שאי-אפשר להציג כסכום ישר של תת-מודולים הוא אי-פריד. כל מודול ארטיני או מודול נתרי הוא סכום ישר סופי של מודולים אי-פרידים. מודול M {\displaystyle M} הוא נאמן אם לא קיים איבר r ≠ 0 {\displaystyle r\neq 0} של החוג כך ש- r M = 0 {\displaystyle rM=0} . אוסף המודולים מעל חוג נתון R {\displaystyle R} מהווה קטגוריה. אפשר ללמוד על המבנה של R {\displaystyle R} מתוך התכונות של מודולים מעליו. אחת הדוגמאות החשובות בעניין זה: חוג שיש לו מודול פשוט ונאמן נקרא חוג פרימיטיבי; כל חוג פשוט הוא פרימיטיבי, וכל חוג פרימיטיבי הוא חוג ראשוני. המבנה של מודולים מעל תחומים ראשיים מהווה דוגמה חשובה. כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי R {\displaystyle R} אפשר לכתוב באופן יחיד כסכום ישר של מודולים ציקליים R / d i R {\displaystyle R/d_{i}R} , כאשר d 1 | . . . | d n {\displaystyle d_{1}|...|d_{n}} . ממשפט זה אפשר לקבל כמקרים פרטיים את המשפט היסודי על מיון של חבורות אבליות נוצרות סופית, וגם את פירוק ז'ורדן של מטריצות. בדרך כלל, אם M {\displaystyle M} הוא מודול שמאלי מעל R {\displaystyle R} , אז הפעולה של כפל בסקלר מימין אינה הופכת את M {\displaystyle M} למודול ימני מעל אותו חוג, משום שתנאי האסוציאטיביות אינו מתקיים. אם R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי, בעיה זו נעלמת: מעל חוגים כאלה, כל מודול שמאלי הוא גם ימני (ולהפך); למעשה, כל מודול שמאלי או ימני הוא בימודול מעל R {\displaystyle R} . במקרה הכללי, המעבר בין מודולים שמאליים וימניים מערב את החוג המנוגד R o p {\displaystyle R^{\mathrm {op} }} של R {\displaystyle R} , שהוא בעל אותו מבנה חיבורי, עם הכפל ההפוך x o p y o p = ( y x ) o p {\displaystyle x^{\mathrm {op} }y^{\mathrm {op} }=(yx)^{\mathrm {op} }} . אם M {\displaystyle M} הוא מודול שמאלי מעל R {\displaystyle R} , אז הוא גם מודול ימני מעל R o p {\displaystyle R^{\mathrm {op} }} , אם מגדירים את הפעולה החדשה לפי הנוסחה m ⋅ x o p = x m {\displaystyle m\cdot x^{\mathrm {op} }=xm} . עם זאת, M {\displaystyle M} איננו בימודול מעל הזוג R , R o p {\displaystyle R,R^{\mathrm {op} }} . הקטגוריה של מודולים מעל חוג R {\displaystyle R} היא אחת הדוגמאות החשובות לקטגוריה. קטגוריות מסוג זה פותחו במסגרת תורת ההצגות ותורת ההומולוגיה האלגברית, והכניסו מושגים בסיסיים רבים לתורת הקטגוריות עצמה. הקטגוריה של מודולים מעל אלגברת החבורה של חבורה נתונה שקולה לקטגוריית ההצגות של החבורה. מסמנים ב- C b ( m o d - R ) {\displaystyle C^{b}(\mathbf {mod} {\mbox{-}}R)} את הקטגוריה של קומפלקסי השרשרת החסומים של מודולים מעל R {\displaystyle R} . זוהי קטגוריה אבלית. העתקה בין קומפלקסים המגדירה איזומורפיזם של כל ההומולוגיות בשרשרת, נקראת קאווזי-איזומורפיזם. הצורך ללמוד את המודולים מעבר למבנה ההומולוגי שלהם מביא להגדרת הקטגוריה הנגזרת, D b ( m o d - R ) {\displaystyle D^{b}(\mathbf {mod} {\mbox{-}}R)} , הנבנית מן הקטגוריה של קומפלקסי השרשרת החסומים, על ידי היפוך פורמלי של כל הקוואזי-איזומורפיזמים. (קטגוריה זו אינה עוד אבלית, אבל היא משולשית (אנ')). מודול חופשי מודול פרויקטיבי גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זה בעצם מודולים ואלגבראות?, באתר "לא מדויק", 5 באוגוסט 2018 מודול, באתר MathWorld (באנגלית)