קואורדינטות כדוריות

קואורדינטות כדוריות (נקראות גם קואורדינטות ספריות, באנגלית: Spherical coordinates) הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי   R 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}} . כל נקודה במרחב מתוארת על ידי המרחק שלה מראשית הצירים והכיוון שלה במרחב (2 זוויות אוריינטציה הנקבעות ביחס לציר z וציר x במערכת צירים קרטזית). בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה כדורית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות כדוריות. בקואורדינטות אלה מחליפות r , θ , ϕ {\displaystyle \!\,r,\theta ,\phi } את x, y, z. הגדרת הקואורדינטות הכדוריות ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הכדוריות מוגדרות באופן הבא (ראו איור). הקואורדינטה r {\displaystyle r} : קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין הנקודה לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי אי-שלילי (כולל אפס). הקואורדינטה θ {\displaystyle \theta } (תטא): קו-רוחב, מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z, כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל־ π {\displaystyle \pi } . הקואורדינטה ϕ {\displaystyle \phi } (פי): אזימוט, מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על המישור xy לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל־   2 π {\displaystyle \ 2\pi } . בדרך זאת משיגים מערכת צירים ימנית. ישנם הסכמים ושימושים שונים הנוגעים לטווח השינוי של הקואורדינטות הכדוריות, נדבוק בהסכם: ( r , θ , ϕ ) ∈ [ 0 , ∞ ) × [ 0 , π ] × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )} לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הכדוריים הם ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle \,(r,\theta ,\phi )} אזי שיעוריו הקרטזיים ( x , y , z ) {\displaystyle \,(x,y,z)} הם: x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ {\displaystyle \,x=r\sin {\theta }\cos {\phi }} y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ {\displaystyle \,y=r\sin {\theta }\sin {\phi }} z = r cos ⁡ θ {\displaystyle \,z=r\cos {\theta }} הטרנספורמציה ההפוכה נתונה בנוסחאות הבאות: r = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle \,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}} θ = arccos ⁡ ( z x 2 + y 2 + z 2 ) {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)} ϕ = arctan ⁡ ( y x ) {\displaystyle \,\phi =\arctan \left({y \over x}\right)} מכיוון שהזווית ϕ {\displaystyle \phi } מוגדרת מאפס עד   2 π {\displaystyle \ 2\pi } , יש להשתמש בפונקציה a t a n 2 ( y , x ) {\displaystyle atan2(y,x)} אשר מחזירה זווית בין 0 < ϕ < 2 π {\displaystyle 0<\phi <2\pi } כתלות בערכי x {\displaystyle x} ו- y {\displaystyle y} ולא רק במנה שלהם. בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את כיוונו של כל וקטור בצורה:   A → = A x e ^ x + A y e ^ y + A z e ^ z = A x x ^ + A y y ^ + A z z ^ {\displaystyle \ {\vec {A}}=A_{x}{\hat {e}}_{x}+A_{y}{\hat {e}}_{y}+A_{z}{\hat {e}}_{z}=A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}} כאשר   e ^ i   i = { x , y , z } {\displaystyle \ {\hat {e}}_{i}\,\ i=\{x,y,z\}} הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור המצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל-1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו-z. אנו נרצה להציג באותה צורה את הווקטור גם בקואורדינטות כדוריות:   A → = A r e ^ r + A θ e ^ θ + A ϕ e ^ ϕ {\displaystyle \ {\vec {A}}=A_{r}{\hat {e}}_{r}+A_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+A_{\phi }{\hat {e}}_{\phi }} כאשר לווקטורים   e ^ j   j = { r , θ , ϕ } {\displaystyle \ {\hat {e}}_{j}\,\ j=\{r,\theta ,\phi \}} נקרא "וקטורי היחידה הכדוריים". אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי: r ^ = e ^ r = ( sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ) x ^ + ( sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) y ^ + ( cos ⁡ θ ) z ^ θ ^ = e ^ θ = ( cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ ) x ^ + ( cos ⁡ θ sin ⁡ ϕ ) y ^ − ( sin ⁡ θ ) z ^ ϕ ^ = e ^ ϕ = ( − sin ⁡ ϕ ) x ^ + ( cos ⁡ ϕ ) y ^ + ( 0 ) z ^ {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {r}}={\hat {e}}_{r}&=&(\sin \theta \cos \phi ){\hat {x}}&+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {y}}&+(\cos \theta ){\hat {z}}\\{\hat {\theta }}={\hat {e}}_{\theta }&=&(\cos \theta \cos \phi ){\hat {x}}&+(\cos \theta \sin \phi ){\hat {y}}&-(\sin \theta ){\hat {z}}\\{\hat {\phi }}={\hat {e}}_{\phi }&=&(-\sin \phi ){\hat {x}}&+(\cos \phi ){\hat {y}}&+(0){\hat {z}}\end{matrix}}} כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה. למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית:   r ^ × θ ^ = ϕ ^ {\displaystyle \ {\hat {r}}\times {\hat {\theta }}={\hat {\phi }}} . עבור וקטור ההעתק, אף על פי שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:   r → = x e ^ x + y e ^ y + z e ^ z {\displaystyle \ {\vec {r}}=x{\hat {e}}_{x}+y{\hat {e}}_{y}+z{\hat {e}}_{z}} או במפורש:   r x ( x , y , z ) = x {\displaystyle \ r_{x}(x,y,z)=x} ,   r y ( x , y , z ) = y {\displaystyle \ r_{y}(x,y,z)=y} ,   r z ( x , y , z ) = z {\displaystyle \ r_{z}(x,y,z)=z} , הרי, זה מקרה פרטי, ובמערכת קואורדינטות כדורית, וקטור המיקום (וקטור שיוצא מראשית הצירים) ייוצג ללא e ^ θ , e ^ ϕ {\displaystyle {\hat {e}}_{\theta },{\hat {e}}_{\phi }} :   r → = r e ^ r ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle \ {\vec {r}}=r{\hat {e}}_{r}(r,\theta ,\phi )} כלומר:   r r ( r , θ , ϕ ) = r {\displaystyle \ r_{r}(r,\theta ,\phi )=r} ,   r θ ( r , θ , ϕ ) = 0 {\displaystyle \ r_{\theta }(r,\theta ,\phi )=0} ,   r ϕ ( r , θ , ϕ ) = 0 {\displaystyle \ r_{\phi }(r,\theta ,\phi )=0} . ההסבר לכך הוא ש e ^ r {\displaystyle {\hat {e}}_{r}} הוא פונקציה של θ , ϕ {\displaystyle \theta ,\phi } , אך לווקטור המיקום אין רכיבים בכיוונים אלו. הסיבה לכך היא שהכיוון מראשית הצירים לכל נקודה על הכדור תלוי רק ב- r {\displaystyle r} , בניגוד לתיאור ווקטור מיקום בין שני ווקטורים שיצריך גם התייחסות ל- θ {\displaystyle \theta } ו- ϕ {\displaystyle \phi } . המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שאלמנטיה השונים מאפס הם:   g r r = 1   g θ θ = r 2   g ϕ ϕ = r 2 sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \ g_{rr}=1\,\ g_{\theta \theta }=r^{2}\,\ g_{\phi \phi }=r^{2}\sin ^{2}\theta } ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא:   d l → = ( d r ) r ^ + ( r d θ ) θ ^ + ( r sin ⁡ θ d ϕ ) ϕ ^ {\displaystyle \ d{\vec {l}}=(dr){\hat {r}}+(rd\theta ){\hat {\theta }}+(r\sin \theta d\phi ){\hat {\phi }}} מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של d r , d θ , d ϕ {\displaystyle \!\,dr,d\theta ,d\phi } . נסתכל על אלמנט נפח אינפיניטסימלי שמונח על קליפה עבה של כדור, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב די טוב הוא קובייתי. עוביו הוא   d r {\displaystyle \ dr} , גובהו הוא   r d θ {\displaystyle \ rd\theta } ואילו אורכו (ההיקף) הוא   r sin ⁡ θ d ϕ {\displaystyle \ r\sin {\theta }d\phi } ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפיניטסימלי יהיה: d V = r 2 sin ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ {\displaystyle \!\,dV=r^{2}\sin {\theta }\ dr\ d\theta \ d\phi } . באותו אופן מחושב גם את השטח של אלמנט השטח ואת האורך של אלמנט האורך האינפיניטסימלי. אלמנט אורך בקואורדינטות כדוריות: d l → = d r r ^ + r d θ θ ^ + r sin ⁡ θ d φ φ ^ {\displaystyle d{\vec {l}}=dr{\hat {r}}+rd\theta {\hat {\theta }}+r\sin \theta d\varphi {\hat {\varphi }}} . אלמנט שטח בקואורדינטות כדוריות כאשר: משטח r קבוע: d a r = r 2 sin ⁡ θ d φ d θ {\displaystyle da_{r}=r^{2}\sin \theta d\varphi d\theta } משטח θ קבוע: d a θ = r sin ⁡ θ d r d φ {\displaystyle da_{\theta }=r\sin \theta drd\varphi } משטח φ קבוע: d a φ = r d r d θ {\displaystyle da_{\varphi }=rdrd\theta } אנליזה וקטורית היא כלי שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיזיקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של שדות סקלריים ווקטוריים בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ, רוטור ולפלסיאן) בקואורדינטות כדוריות: d l → = ( d r ) r ^ + ( r d θ ) θ ^ + ( r sin ⁡ ( θ ) d ϕ ) ϕ ^ ⇒ d V = r 2 sin ⁡ θ ⋅ d r ⋅ d θ ⋅ d ϕ {\displaystyle d{\vec {l}}=(dr){\hat {r}}+(rd\theta ){\hat {\theta }}+(r\sin(\theta )d\phi ){\hat {\phi }}\quad \Rightarrow \quad dV=r^{2}\sin \theta \cdot dr\cdot d\theta \cdot d\phi } גרדיאנט: ∇ → f = ∂ f ∂ r r ^ + 1 r ∂ f ∂ θ θ ^ + 1 r sin ⁡ θ ∂ f ∂ ϕ ϕ ^ {\displaystyle {\vec {\nabla }}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}{\hat {\phi }}} דיברגנץ: ∇ → ⋅ F → = 1 r 2 ∂ ( r 2 F r ) ∂ r + 1 r sin ⁡ θ ∂ ( F θ sin ⁡ θ ) ∂ θ + 1 r sin ⁡ θ ∂ F ϕ ∂ ϕ {\displaystyle {\vec {\nabla }}\mathbf {\cdot } {\vec {F}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}F_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (F_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}} רוטור: ∇ → × F → = 1 r sin ⁡ θ ( ∂ ( F ϕ sin ⁡ θ ) ∂ θ − ∂ F θ ∂ ϕ ) r ^ + 1 r ( 1 sin ⁡ θ ∂ F r ∂ ϕ − ∂ ( r F ϕ ) ∂ r ) θ ^ + 1 r ( ∂ ( r F θ ) ∂ r − ∂ F r ∂ θ ) ϕ ^ {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial (F_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \phi }}\right){\hat {r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rF_{\phi })}{\partial r}}\right){\hat {\theta }}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right){\hat {\phi }}} לפלסיאן: ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ( ∂ 2 f ∂ ϕ 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}\right)} בקואורדינטות כדוריות, המיקום של חלקיק נקודתי (שלעיתים קרובות נכתב גם כשלשה סדורה ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ) יכול להיכתב כך: r = r r ^ . {\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .} ומהירותו הקווית של החלקיק היא: v = d r d t = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ + r φ ˙ sin ⁡ θ φ ^ {\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} } בבעיות של דינמיקה תלת-ממדית שמערכת הקואורדינטות ה"טבעית" לתיאור שלהן היא כדורית, כמו תיאור הכוח הפועל על פגז הנורה מקנה תותח בעל מהירויות צידוד והגבהה מסוימות, הביטוי עבור תאוצת חלקיק בקואורדינטות כדוריות מתגלה כחיוני. בשביל לפתח אותו, יש לרשום תחילה את הביטויים לנגזרות לפי הזמן של שלשת וקטורי היחידה r ^ , φ ^ , θ ^ {\displaystyle {\hat {r}},{\hat {\varphi }},{\hat {\theta }}} : d r ^ d t = φ ˙ s i n θ φ ^ + θ ˙ θ ^ {\displaystyle {\frac {d{\hat {\boldsymbol {r}}}}{dt}}={\dot {\varphi }}\mathbb {sin} \theta {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}} d φ ^ d t = − φ ˙ s i n θ r ^ − φ ˙ c o s θ θ ^ {\displaystyle {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}}{dt}}=-{\dot {\varphi }}\mathbb {sin} \theta {\hat {\boldsymbol {r}}}-{\dot {\varphi }}\mathbb {cos} \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}} d θ ^ d t = − θ ˙ r ^ + φ ˙ c o s θ φ ^ {\displaystyle {\frac {d{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}{dt}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {r}}}+{\dot {\varphi }}\mathbb {cos} \theta {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}} ובאמצעות גזירה לפי הזמן של הביטוי למהירות החלקיק בקואורדינטות כדוריות מקבלים שוקטור התאוצה הוא: a = d v d t = ( r ¨ − r θ ˙ 2 − r φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ ) r ^ + ( r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ − r φ ˙ 2 sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) θ ^ + ( r φ ¨ sin ⁡ θ + 2 r ˙ φ ˙ sin ⁡ θ + 2 r θ ˙ φ ˙ cos ⁡ θ ) φ ^ {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={}&\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}} התנע הזוויתי של החלקיק הוא: L = r × p = r × m v = m r 2 ( − φ ˙ sin ⁡ θ θ ^ + θ ˙ φ ^ ) {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}})} כאשר m {\displaystyle m} היא מסת החלקיק. במקרה של φ {\displaystyle \varphi } קבוע (תנועה לאורך קו אורך) או θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} (תנועה במישור xy בלבד) הביטויים האחרונים מתנוונים לביטוי לתאוצת חלקיק בקואורדינטות גליליות, כך שניתן לזהות בין היתר את איבר קוריוליס ואת איבר הכוח הצנטריפוגלי. האנרגיה הקינטית של החלקיק היא: E k = 1 2 m [ ( r ˙ 2 ) + ( r θ ˙ ) 2 + ( r φ ˙ sin ⁡ θ ) 2 ] {\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}^{2}\right)+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]} כדור (גאומטריה) הרמוניות כדוריות תנע זוויתי אנליזה וקטורית גאומטריה דיפרנציאלית דל במערכות צירים שונות מדיה וקבצים בנושא קואורדינטות כדוריות בוויקישיתוף HIT קואורדינטות כדוריות – הסבר אינטואיטיבי על קואורדינטות כדוריות קואורדינטות כדוריות, באתר MathWorld (באנגלית) קואורדינטות כדוריות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)