גרעין פייר

באנליזה מתמטית, גרעין פייר (באנגלית: Fejér kernel), הנקרא על שם המתמטיקאי ההונגרי־יהודי ליפוט פייר, הוא שמו של גרעין סכימה המוגדר להיות סיכום צזארו של גרעין דיריכלה. גרעין פייר מוגדר בדרך כלל להיות סדרת הממוצעים החשבוניים של גרעין דיריכלה: F N ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N D n ( x ) {\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}D_{n}(x)} , כאשר D n {\displaystyle D_{n}} הוא האיבר ה־ n {\displaystyle n} ־י בגרעין דיריכלה המוגדר על ידי: D n ( x ) = ∑ k = − n n e i k x {\displaystyle D_{n}(x)=\sum _{k=-n}^{n}{e}^{ikx}} . ניתן להציב את הביטוי המפורש של גרעין דיריכלה בהגדרת גרעין פייר, על מנת לקבל הצגה של גרעין פייר כפולינום טריגונומטרי באופן מפורש: F N ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = − N N D n ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N ∑ k = − n n e i k x = ∑ n = − N N ( 1 − | n | N + 1 ) e i n x {\displaystyle F_{N}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=-N}^{N}D_{n}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(1-{\frac {\left|n\right|}{N+1}}\right)e^{inx}} על מנת לקבל נוסחה סגורה לגרעין פייר, נשתמש בהצגה של גרעין פייר כפולינום טריגונומטרי, תוך שימוש בנוסחה לסכום של סדרה הנדסית ובזהות הטריגונומטרית cos ⁡ 2 x = 1 − 2 sin 2 ⁡ x {\displaystyle \cos 2x=1-2\sin ^{2}x} : F N ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N D n ( x ) = 1 N + 1 ∑ n = 0 N ∑ k = − n n e i k x = 1 N + 1 ∑ n = 0 N e − i n x − e i ( n + 1 ) x 1 − e i x = = 1 N + 1 1 1 − e i x [ ∑ n = 0 N e − i n x − e i x ∑ n = 0 N e i n x ] = 1 N + 1 1 1 − e i x [ 1 − e − i ( N + 1 ) x 1 − e − i x − e i x 1 − e i ( N + 1 ) x 1 − e i x ] = = 1 N + 1 1 1 − e i x [ 1 − e − i ( N + 1 ) x 1 − e − i x − 1 − e i ( N + 1 ) x e − i x − 1 ] = 1 N + 1 2 − e − i ( N + 1 ) x − e i ( N + 1 ) x 2 − e i x − e − i x = = 1 N + 1 1 − cos ⁡ ( ( N + 1 ) x ) 1 − cos ⁡ ( x ) = 1 N + 1 sin 2 ⁡ ( N + 1 2 x ) sin 2 ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}F_{N}\left(x\right)&={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}D_{n}\left(x\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}\sum _{k=-n}^{n}e^{ikx}={\frac {1}{N+1}}\sum _{n=0}^{N}{\frac {e^{-inx}-e^{i\left(n+1\right)x}}{1-e^{ix}}}=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[\sum _{n=0}^{N}e^{-inx}-e^{ix}\sum _{n=0}^{N}e^{inx}\right]={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[{\frac {1-e^{-i\left(N+1\right)x}}{1-e^{-ix}}}-e^{ix}{\frac {1-e^{i\left(N+1\right)x}}{1-e^{ix}}}\right]=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1}{1-e^{ix}}}\left[{\frac {1-e^{-i\left(N+1\right)x}}{1-e^{-ix}}}-{\frac {1-e^{i\left(N+1\right)x}}{e^{-ix}-1}}\right]={\frac {1}{N+1}}{\frac {2-e^{-i\left(N+1\right)x}-e^{i\left(N+1\right)x}}{2-e^{ix}-e^{-ix}}}=\\[5pt]&={\frac {1}{N+1}}{\frac {1-\cos \left(\left(N+1\right)x\right)}{1-\cos \left(x\right)}}={\frac {1}{N+1}}{\frac {\sin ^{2}\left({\frac {N+1}{2}}x\right)}{\sin ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right)}}\end{aligned}}} גרעין פייר הוא "גרעין טוב", כלומר הוא מקיים את שלושת התכונות הבאות: בדומה לגרעין דיריכלה, 1 2 π ∫ − π π F N ( x ) d x = 1 {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F_{N}\left(x\right)dx=1} . בדומה לגרעין דיריכלה, לכל δ > 0 {\displaystyle \delta >0} מתקיים ∫ | x | ≥ δ F N ( x ) d x → N → ∞ 0 {\displaystyle \int _{\left|x\right|\geq \delta }F_{N}\left(x\right)dx{\xrightarrow[{N\rightarrow \infty }]{}}0} , כלומר עיקר המסה מתרכזת בקטע [ − δ , δ ] {\displaystyle \left[-\delta ,\delta \right]} . תכונתו המרכזית של גרעין פייר, המבדילה אותו מגרעין דיריכלה, היא היותו אי שלילי, תכונה הגורמת לחסימות של האינטגרל המוחלט שלו: ∫ − π π | F N ( x ) | d x = ∫ − π π F ( x ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\left|F_{N}\left(x\right)\right|dx=\int _{-\pi }^{\pi }F\left(x\right)dx=2\pi } , ובפרט, חסום. גרעין דיריכלה טור פורייה משפט פייר