עקום בזייה

עקום בזייה (Bézier) הוא תיאור פרמטרי של עקום השימושי במיוחד בגרפיקה ממוחשבת. עקומי בזייה מוגדרים על ידי קבוצה של נקודות בקרה, כאשר נקודת הבקרה הראשונה והאחרונה הן קצות העקום, ויתר הנקודות לא בהכרח מצויות על העקום (ולרוב לא נמצאות עליו). לעקומי בזייה שימושים רבים בתחומי הגרפיקה הממוחשבת. בין היתר משמשים עקומי בזייה בגרפיקה וקטורית כדי למדל עקומים חלקים שאותם ניתן להרחיב בצורה אינסופית, ובתוכנות לעריכה גרפית נעשה שימוש בצירוף של מספר עקומי בזייה כדי להגדיר מסלולים (paths). הבסיס המתמטי לעקומי בזייה הם פולינומי ברנשטיין, שאותם פיתח המתמטיקאי הרוסי סרגיי נתנוביץ' ברנשטיין ב-1912, אולם חשיבותם הובנה רק כעבור כחצי מאה. שימוש בפולינומים אלו פותח ב-1959 על ידי Casteljau עבור שימוש של סיטרואן. שימוש נרחב בעקומים אלו נעשה בעקבות עבודתו של המהנדס הצרפתי פייר בזייה (Pierre Bézier) ב-1962 שהשתמש בהם לתכנון גוף רכב של חברת רנו. ניתן להכליל את עקומי בזייה לממדים גבוהים יותר על ידי הכפלה טנסורית של עקומי בזייה ליצירת, למשל, משטחי בזייה. עקומי בזייה מוגדרים על ידי קבוצת נקודות בקרה P 0 {\displaystyle P_{0}} עד P n {\displaystyle P_{n}} , כאשר n {\displaystyle n} הוא הדרגה של העקום (כאשר n = 1 {\displaystyle n=1} העקום הוא ליניארי, כאשר n = 2 {\displaystyle n=2} הוא ריבועי וכו'). העקום מוגדר בצורה הבאה: B ( t ) = ∑ i = 0 n ( n i ) ( 1 − t ) n − i t i P i = ( 1 − t ) n P 0 + ( n 1 ) ( 1 − t ) n − 1 t P 1 + ⋯ ⋯ + ( n n − 1 ) ( 1 − t ) t n − 1 P n − 1 + t n P n , t ∈ [ 0 , 1 ] , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (t)&=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}\mathbf {P} _{i}\\&=(1-t)^{n}\mathbf {P} _{0}+{n \choose 1}(1-t)^{n-1}t\mathbf {P} _{1}+\cdots \\&{}\quad \cdots +{n \choose n-1}(1-t)t^{n-1}\mathbf {P} _{n-1}+t^{n}\mathbf {P} _{n},\quad t\in [0,1],\end{aligned}}} בהינתן שתי נקודות בקרה P0 ו P1, עקום בזייה ליניארי הוא פשוט הקו הישר בין שתי הנקודות הניתן על ידי: B ( t ) = P 0 + t ( P 1 − P 0 ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1  ,  t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}+t(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1]} זה שקול לאינטרפולציה ליניארית. עקום בזייה ריבועי הוא עקום המוגדר על ידי שלוש נקודות בקרה. P1, P0 ו-P2 ומוגדר על ידי: B ( t ) = ( 1 − t ) [ ( 1 − t ) P 0 + t P 1 ] + t [ ( 1 − t ) P 1 + t P 2 ]  ,  t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)[(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}]+t[(1-t)\mathbf {P} _{1}+t\mathbf {P} _{2}]{\mbox{ , }}t\in [0,1]} ניתן לראות בכך אינטרפולציה ליניארית על הנקודות המוגדרות על ידי עקומי בזייה המוגדרים על ידי שתי הנקודות P0 ו-P1 ועל ידי שתי הנקודות P1 ו-P2 בהתאמה. ניתן לראות זאת בסידור מחדש של המשוואה הקודמת: B ( t ) = ( 1 − t ) 2 P 0 + 2 ( 1 − t ) t P 1 + t 2 P 2  ,  t ∈ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2(1-t)t\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].} הנגזרת של העקום לפי t היא: B ′ ( t ) = 2 ( 1 − t ) ( P 1 − P 0 ) + 2 t ( P 2 − P 1 ) . {\displaystyle \mathbf {B} '(t)=2(1-t)(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})+2t(\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1})\,.} מן הנגזרת ניתן להסיק כי המשיקים לעקום ב-P0 ו-P2 נפגשים ב-P1. ככל ש-t גדל מ-0 ל-1 העקום מתרחק מ- P0 לכיוון P1, ואז מתעקם לעבר P2 מהכיוון של P1. מדיה וקבצים בנושא עקום בזייה בוויקישיתוף עקום בזייה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) עקום בזייה, באתר MathWorld (באנגלית) Bernstein, S. N., Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes, Proc. of 5th Inter. Math. Congress Vol. 1, 1912, 256-266