פרדוקס ד'אלמבר

במכניקת הזורמים, פרדוקס ד'אלמבר (או הפרדוקס ההידרודינמי) מתייחס לסתירה בין התיאוריה לתופעות הנצפות בניסוי אליה הגיע ב-1752 המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר. ד'אלמבר הוכיח שבזרימה פוטנציאלית בלתי דחיסה ובלתי צמיגה, כוח הגרר על גוף שנע במהירות קבועה יחסית לזורם שווה לאפס. היעלמות כוח הגרר בתנאים אלו באה בסתירה ישירה לתצפיות של גרר משמעותי על גופים שנעים יחסית לזורמים כגון אוויר ומים; במיוחד במהירויות גבוהות המתאימות למספרי ריינולדס גבוהים. כבר ב-1749 ד'אלמבר אמר על כך: "נראה שהתאוריה (של זרימה פוטנציאלית), שפותחה בקפדנות האפשרית, נותנת לפחות בכמה מקרים התנגדות שנעלמת לחלוטין, פרדוקס יחיד שאני משאיר למתמטיקאים העתידיים להסביר". פרדוקס פיזיקלי מציין פגם בתאוריה. בשל פגם זה, מכניקת הזורמים איבדה את האמון של קהילת המהנדסים, דבר אשר על פי חתן פרס נובל בכימיה סיריל נורמן הינשלווד, הביא לפיצול מצער - בין ההידראוליקה, שהייתה התבוננות בתופעות שלא ניתן להסביר, ומכניקת זורמים תאורטית המסבירה תופעות שלא ניתן להבחין בהן. על פי הקונצנזוס המדעי, הסתירה נובעת מההשפעות הקטנות של הצמיגות. התיאוריה הפוטנציאלית מזניחה לחלוטין את קיומן אך במציאות יש להן חשיבות על הזרימה. במהלך המאה ה-19 היו התקדמויות עצומות בתחום של חיכוך בזרימה צמיגה; התקדמויות אלו כללו התקדמויות ניסיוניות ותאורטיות. בפרט, בעניין הפרדוקס, התקדמויות אלו הגיעו לשיאן בגילוי ותיאור של שכבות גבול דקות על ידי לודוויג פרנטל ב-1904. פרנטל גילה שאפילו במספרי ריינולדס גבוהים מאוד, ייוצרו שכבות גבול דקות כתוצאה מכוחות הצמיגות. על אף ששכבות אלו דקות, פרנטל הראה שקיומן יוצר אזור לחץ נמוך במרד הזרם ובכך יוצר גרר על גופים. מבחינה מעשית, הפרדוקס נפתר בהתאם לתיאור שהוצע על ידי פרנטל. אך מבחינה פורמלית - מתמטית - חסרה הוכחה שהזרימה אותה פרנטל הציע היא הזרימה המתקבלת מפתרון מלא של משוואות נאוייה-סטוקס (אשר בהן משתמשים לתאר זרימה צמיגה). הוכחה זו קשה לספק, כמו בבעיות רבות אחרות בזרימה המערבות את משוואות נאוויה-סטוקס. הצעדים הראשונים לקראת פתרון הפרדוקס נעשו על ידי סן-ונה, שמידל חיכוך נוזל צמיג. הוא כתב בשנת 1847: "אבל מגלים תוצאה אחרת אם, במקום נוזל אידיאלי - מושא החישובים של המתמטיקאים של המאה שעברה - משתמשים בנוזל אמיתי, המורכב ממספר סופי של מולקולות, ואשר במצב של תנועה מפעיל כוחות לחץ לא שווים, או כוחות אשר יש בהם רכיבים משיקים לאלמנטי המשטח שדרכו הם פועלים; רכיבים שאליהם אנו מתייחסים כחיכוך של הנוזל, שם שכבר ניתן להם מימי דקארט, ניוטון וונטורי". זמן קצר לאחר מכן, בשנת 1851, סטוקס חישב את הגרר הפועל על כדור בזרימת סטוקס, המכונה חוק סטוקס. זרימת סטוקס מתרחשת בגבול התחתון של מספרי ריינולדס בהן משוואות נאוויה-סטוקס עוסקות. עם זאת, כאשר הזרימה מתוארת על ידי המשוואות הלא-ממדיות, משוואות נאוויה-סטוקס הצמיגות מתכנסות למשוואות אוילר הבלתי צמיגות בגבול של מספרי ריינולדס גבוהים. דבר זה מעיד שהזרימה צריכה להתכנס לפתרון הבלתי צמיג של זרימה פוטנציאלית. כלומר, הגבול התאורטי של משוואות הזרימה במספר ריינולדס גבוה מוביל לתוצאה תאורטית של אפס גרר עליה מצביע פרדוקס ד'אלמבר. באופן מעשי הזורם מפעיל גרר לא אפסי בזרימה זו. לכן, שאלות הנוגעות לאמינות של מכניקת זורמים הועלו שוב במחצית השנייה של המאה ה-19. במחצית השנייה של המאה ה-19, המוקד עבר שוב לכיוון שימוש בתאוריית זרימה לא צמיגה לתיאור של גרר - בהנחה שהצמיגות הופכת להיות פחות חשובה במספרי ריינולדס גבוהים. המודל המוצע על ידי קירכהוף וריילי היה מבוסס על התאוריה של הלמהולץ ומורכב משובל תמידי מאחורי הגוף. ההנחות אשר חלו על האזור של השובל כוללות: מהירות הזורם שווה למהירות הגוף, והלחץ קבוע. האזור של שובל זה מופרד מהזרימה הפוטנציאלית שמחוץ לגוף ולשובל בעקבות מערבולות סדורות עם קפיצות רציפות במהירות המשיקית על פני הממשק. על מנת לקבל שאין אפס גרר על הגוף, אזור השובל חייב להמשיך עד אינסוף. ניתן לפתור באופן מלא את התיאוריה הזו עבור זרימת קירכהוף בניצב למשטח. התאוריה קובעת בצורה נכונה שכוח הגרר צריך להיות פרופורציונלי לריבוע של המהירות. בהתחלה, התאוריה יכלה להיות מיושמת רק לזרימות המופרדות בקצוות חדים. מאוחר יותר, בשנת 1907, התאוריה הורחבה על ידי לוי-צ'יוויטה לזרימות המופרדות מגבולות חלקות ומעוגלות. כבר בעת פיתוח התיאוריה, היה ידוע שחלק מהנחות התיאוריה אינן מתקיימות במציאות מאחר שבאופן מעשי בזרימות כאלו השובל אינו יציב, שכן, המערבולת הסדורות פיתחו אי יציבות קלווין – הלמהולץ. מודל זה של זרימה מתמידה נחקר עוד בתקווה שעדיין יוכל לתת אומדן סביר של גרר. עם זאת, התנגדויות בסיסיות התעוררו כנגד גישה זו: קלווין ציין שאם משטח נע במהירות קבועה דרך הנוזל, והמהירות בשובל שווה לזו של המשטח. ההיקף האינסופי של השובל - המתרחב ככל שהמרחק מהמשטח מתרחק כפי שמתקבל מהתאוריה - משמעותו שיש אנרגיה קינטית אינסופית בשובל. משמעות שאנחנו חייבים לדחות על בסיס פיזיקלי. יתר על כן, הפרש הלחצים הנצפה בין החלק הקדמי והחלק האחורי של המשטח וכוחות הגרר כתוצאה מכך, הם הרבה יותר גדולים מהצפוי: למשטח שטוח בניצב לזרימה מקדם הגרר המחושב הוא C D = 0.88 {\displaystyle C_{D}=0.88} , ואילו בניסויים C D = 2.0 {\displaystyle C_{D}=2.0} . זאת, בעיקר בשל שאיבה בצד השובל של המשטח, הנגרם על ידי הזרימה הבלתי יציבה בשובל האמיתי (בניגוד לתאוריה שמניחה מהירות זרימה קבועה ששווה למהירות של המשטח). לכן, תאוריה זו אינה מספקת כדי להסביר את הגרר שפועל על גוף בזרימה. הפיזיקאי הגרמני לודוויג פרנטל הציע בשנת 1904 כי ההשפעות של שכבת גבול צמיגה דקה אולי יכולה להיות המקור של גרר משמעותי. פרנטל שיער, שבמהירויות גבוהות ומספרי ריינולדס גבוהים, תנאי שפה של אי-החלקה גורם לווריאציה משמעותית של מהירויות הזרימה בשכבה דקה בקרבת הגוף. זה מוביל ליצירה של ערבוליות ופיזור צמיג של אנרגיה קינטית בשכבת הגבול. פיזור האנרגיה, אשר חסרה בתאוריות של זרימה לא צמיגה, מסבירה את ההפרדה של הזרימה על גבי גופים שאינם פשוטים. הלחץ הנמוך באזור השובל יוצרות גרר צורה, אשר יכול להיות גדול יותר מאשר גרר החיכוך בשל לחץ הגזירה הצמיגי על הקיר. ניתן לראות ראיות לכך שהתרחיש של פרנטל קורה עבור גופים לא פשוטים בזרימה של מספרי ריינולדס גבוהים בהסתכלות על זרימה המתחילה באימפולסיביות סביב גליל. בתחילה הזרימה דומה לזרימה פוטנציאלית, לאחר מכן הזרימה נפרדת מהמשטח ליד נקודת הסטגנציה האחורית. לאחר מכן, נקודות ההפרדה מתחילה לנוע במעלה הזרם, וגורמת לאזור לחץ נמוך של זרימה מופרדת. פרנטל שיער שהתופעות של צמיגות חשובות בשכבות דקיקות - הנקראות שכבות גבול - סמוכות לגבולות מוצקים, ושלצמיגות אין כל חשיבות מחוץ לגבולות אלו. עובי שכבת הגבול הופך להיות קטן יותר כאשר הצמיגות פוחתת. הבעיה המלאה של זרימה צמיגה, שתוארה על ידי משוואות נאוויה סטוקס הלא ליניאריות, היא לא פתירה מבחינה מתמטית באופן כללי. עם זאת, בשימוש בהשערתו (וגיבויה על ידי ניסויים) פרנטל היה מסוגל להפיק מודל משוער לזרימה בתוך שכבת הגבול, הנקראת תיאורית שכבות-גבול, והזרימה מחוץ לשכבת הגבול יכולה להיות מטופלת באמצעות התאוריה של זרימה בלתי צמיגה. תיאורית שכבת גבול ניתנת להרחבה אסימפטוטית לקבלת פתרונות מקורבים. במקרה הפשוט ביותר של משטח המקביל לזרימה, תאוריית שכבת-גבול תניב גרר (חיכוך) בעוד שכל תאוריה של זרימה לא צמיגה תחזה גרר אפס. במקרים אווירודינמיים, התאוריה של פרנטל ניתנת ליישום ישירות לגופים יעילים כמו כנפיים דקים בהם, יש גרר על המשטח כתוצאה ויש גם גרר צורה אשר נובע מההשפעה של שכבת הגבול הדקה והשובל הדק שנוצר על הפיזור לחצים מסביב לכנפיים דקות. לוודא, כפי שפרנטל הציע, שלגורם בעל משמעות זניחה (השפעת הצמיגות זניחה ככל שמגדילים את מספר ריינולדס) יש השפעה גדולה - גרר משמעותי - עשוי להיות משימה קשה מאוד. המתמטיקאי גארט בירקהוף בפרק הפתיחה של ספרו הידרודינמיקה, כותב על מספר פרדוקסים של מכניקת זורמים (כולל פרדוקס ד’אלמבר) ומביע ספק ברור בפתרונות הרשמיים שלהם: "יתר על כן, אני חושב שלייחס את כולם להזנחה של צמיגות זו פשטנות בלתי מוצדקת. שורש הבעיה טמון עמוק יותר בדיוק בחוסר ההקפדה הדדוקטיבית שחשיבותה ממוזערת בתדירות גבוהה על ידי פיסיקאים ומהנדסים". בפרט לפרדוקס ד’אלמבר, הוא מעלה עוד דרך אפשרית ליצירתו של גרר: חוסר יציבות של הפתרונות האפשריים של הזרימה הפוטנציאלית למשוואות אוילר. בירקהוף קובע: "בכל מקרה, בסעיפים הקודמים מובהר שהתאוריה של זרימה לא צמיגה אינה שלמה. ואכן, ההיגיון המוביל למושג של "זרימה תמידית" הוא לא חד משמעי, אין שום הצדקה ריגורוזית לביטול הזמן כמשתנה בלתי תלוי. לכן למרות זרימות דיריכלה (פתרונות פוטנציאלים) וזרימות מתמידות אחרות הן מבחינה מתמטית אפשריים, אין סיבה להניח שכל זרימה קבועה היא יציבה". ב-1951 המתמטיקאי ג'יימס ג'יי סטוקר מבקר בחריפות את הפרק הראשון בספרו של בירקהוף: "[אני] מתקשה להבין בשביל איזה חלק מהקוראים נכתב הפרק הראשון. לקוראים שמכירים הידרודינמיקה הרוב המוחלט של המקרים שהובאו כפרדוקסים שייכים לקטגוריה של טעויות שמזמן תוקנו, או לקטגוריה של פערים בין התאוריה והניסויים אשר סיבותיהם כבר מובנים היטב. מצד השני,מאוד צפוי שההדיוטים יקבלו מקריאת פרק זה רושם מוטעה על כמה מההישגים החשובים והשימושיים בהידרודינמיקה". במהדורה השנייה והמתוקנת של הידרודינמיקה של בירקהוף, שתי ההצהרות שלעיל לא הופיעו. החשיבות והתועלת של ההישגים שנעשו בנושא פרדוקס ד’אלמבר נבדקו על ידי סטיורטסון שלושים שנה לאחר מכן. מאמר הסקירה הארוך שלו מתחיל: "מכיוון שתיאורית הזרימה הלא צמיגה הקלסית מובילה למסקנה האבסורדית שההתנגדות שחווה גוף שנע דרך נוזל עם מהירות אחידה היא אפס, מאמצים רבים שנעשו במהלך מאה השנים האחרונות להציע תאוריות חלופיות ולהסביר כיצד כוח חיכוך זניח בנוזל, יכול בכל זאת להיות השפעה משמעותית על תכונות הזרימה. השיטות המשמשות בתחום הן שילוב של תצפיות ניסיוניות, חישוב לעתים קרובות בקנה מידה גדול מאוד, וניתוח של המבנה האסימפטוטי של הפתרון כשהחיכוך שואף לאפס. ההתקפה הזאת, שבאה משלשה מישורים אלו, זכתה להצלחה ניכרת, במיוחד בעשר השנים האחרונות, כך שעכשיו אפשר להחשיב במידה רבה את הפרדוקס כפתור". לפרדוקסים רבים בפיזיקה, הפתרון שלהם לעיתים קרובות נמצאת במעבר מעבר לתאוריה הזמינה. במקרה של פרדוקס ד’אלמבר, המנגנון החיוני לפתרונו סופק על ידי פרנטל באמצעות הגילוי והמידול של שכבות גבול צמיגות ודקות - אשר על אף שהן דקות הן אינן זניחות במספרי ריינולדס גבוהים. שלוש ההנחות העיקריות בגזירה של פרדוקס ד'אלמבר הן שהזרימה הקבועה היא בלתי דחיסה, לא צמיגה, ואי רוטציונית. נוזל לא צמיג מתואר על ידי משוואות אוילר, שבזרימה בלתי דחיסה נראות כדלהלן: ∇ ⋅ u = 0 (Conservation of mass) ∂ ∂ t u + ( u ⋅ ∇ ) u = − 1 ρ ∇ p (Conservation of momentum) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {u}}=0&&{\text{(Conservation of mass)}}\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{\boldsymbol {u}}+\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p&&{\text{(Conservation of momentum)}}\end{aligned}}} כאשר u {\displaystyle u} הוא מהירות הזורם, p {\displaystyle p} הלחץ, ρ {\displaystyle \rho } הצפיפות, ו ∇ {\displaystyle \nabla } הוא אופרטור הגרדיאנט. ההנחה שהזרימה היא רוטציונית גוררת שהמהירות מקיימת ∇ × u = 0 {\displaystyle \nabla \times u=0} ולכן אנחנו מקבלים: ( u ⋅ ∇ ) u = 1 2 ∇ ( u ⋅ u ) − u × ∇ × u = 1 2 ∇ ( u ⋅ u ) ( 1 ) {\displaystyle \left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)-{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\qquad (1)} כאשר השוויון הראשון הוא זהות והשוויון השני נובע מהעובדה שהזרימה אי-רוטציונית. בנוסף, לכל זרימה אי-רוטציונית, קיימת פונקציית מהירות φ {\displaystyle \varphi } כך ש u = ∇ φ {\displaystyle u=\nabla \varphi } . הכנסת כל זה למשוואת שימור התנע נותן: ∇ ( ∂ φ ∂ t + 1 2 u ⋅ u + p ρ ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}\right)={\boldsymbol {0}}} לכן, החלק שבסוגריים חייב להיות קבוע (כל תלות שיש בזמן יכולה להתבטל על ידי הגדרה מגדש של φ {\displaystyle \varphi } ). בהנחה שהזורם נמצא במנוחה באינסוף ושהלחץ מוגדר כאפס שם, הקבוע שווה לאפס, ולכן: ∂ φ ∂ t + 1 2 u ⋅ u + p ρ = 0 , ( 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}+{\frac {p}{\rho }}=0,\qquad (2)} : שזה משוואת ברנולי לזרימה פוטנציאלית לא יציבה. אם גוף נע במהירות קבועה v {\displaystyle v} דרך הנוזל שנמצא במנוחה רחוק מאוד - באינסוף. לכן שדה המהירות של הנוזל חייב להקבע על ידי הגוף, ולכן הוא מהצורה u ( x , t ) = u ( x − v ⋅ t , 0 ) {\displaystyle u(x,t)=u(x-v\cdot t,0)} כאשר x {\displaystyle x} הוא הקוארדינטה של הווקטור המרחבי, ולכן: ∂ u ∂ t + ( v ⋅ ∇ ) u = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial t}}+\left({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.} מכיוון ש u = ∇ φ {\displaystyle u=\nabla \varphi } , אפשר לעשות אינטגרציה לפי x {\displaystyle x} ולקבל: ∂ φ ∂ t = − v ⋅ ∇ φ + R ( t ) = − v ⋅ u + R ( t ) . {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi +R(t)=-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}+R(t).} הכוח F {\displaystyle F} שהנוזל מפעיל על הגוף מחושב באמצעות אינטגרל משטחי: F = − ∫ A p n d S {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S} כאשר A {\displaystyle A} הוא שטח הגוף, ו n {\displaystyle n} הוא וקטור הנורמל למישור הגוף. אבל ממשואה (2) אנחנו מקבלים: p = − ρ ( ∂ φ ∂ t + 1 2 u ⋅ u ) = ρ ( v ⋅ u − 1 2 u ⋅ u − R ( t ) ) , {\displaystyle p=-\rho {\Bigl (}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}{\Bigr )}=\rho {\Bigl (}{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-R(t){\Bigr )},} לכן: F = − ∫ A p n d S = ρ ∫ A ( 1 2 u ⋅ u − v ⋅ u ) n d S , {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=-\int _{A}p\,{\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S=\rho \int _{A}\left({\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {u}}-{\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right){\boldsymbol {n}}\;\mathrm {d} S,} כאשר התרומה של R ( t ) {\displaystyle R(t)} לאינטגרל שווה לאפס. בשלב זה נהיה הרבה יותר פשוט לעבוד עם רכיבי הווקטור. הרכיב ה k {\displaystyle k} של המשוואה הזאת הוא: F k = ρ ∫ A ∑ i ( 1 2 u i 2 − u i v i ) n k d S . ( 3 ) {\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}({\tfrac {1}{2}}u_{i}^{2}-u_{i}v_{i})n_{k}\,\mathrm {d} S.\qquad (3)} אם V {\displaystyle V} הוא הנפח של הנוזל, אזי על פי משפט גאוס: 1 2 ∫ A ∑ i u i 2 n k d S = − 1 2 ∫ V ∂ ∂ x k ( ∑ i u i 2 ) d V . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{A}\sum _{i}u_{i}^{2}n_{k}\,\mathrm {d} S=-{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V.} צד ימין הוא אינטגרל על נפל אינסופי ולכן צריך הצדקה, אשר אפשר להשיגה מתאוריית הזרימה הפוטנציאלית אשר אומרת כי המהירות דועכת כמו r − 3 {\displaystyle r^{-3}} - כמו פוטנציאל חשמלי של דיפול בגוף סופי תלת־ממדי. האינטגרנד בתוך האינטגרל הנפחי יכול להכתב כדלהלן: 1 2 ∂ ∂ x k ( ∑ i u i 2 ) = ∑ i u i ∂ u k ∂ x i = ∑ i ∂ ( u i u k ) ∂ x i {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)=\sum _{i}u_{i}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}} כאשר שוויון (1) והאי-דחיסות של הנוזל ממומשים. כאשר מחזירים את הנוסחא הזו בחזרה לתוך האינטגר הנפחי ומשתמשים בחוק גאוס שוס, מקבלים: − 1 2 ∫ V ∂ ∂ x k ( ∑ i u i 2 ) d V = − ∫ V ∑ i ∂ ( u i u k ) ∂ x i d V = ∫ A u k ∑ i u i n i d S . {\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(\sum _{i}u_{i}^{2}\right)\,\mathrm {d} V=-\int _{V}\sum _{i}{\frac {\partial (u_{i}u_{k})}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=\int _{A}u_{k}\sum _{i}u_{i}n_{i}\,\mathrm {d} S.} כאשר מכניסים את זה למשוואה (3) אנו מוצאים ש: F k = ρ ∫ A ∑ i ( u k u i n i − v i u i n k ) d S . {\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}u_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.} הנוזל אינו יכול לחדו אל תוך הגוף, ולכן n ⋅ u = n ⋅ v {\displaystyle n\cdot u=n\cdot v} על משטח הגוף, ולכן: F k = ρ ∫ A ∑ i ( u k v i n i − v i u i n k ) d S . {\displaystyle F_{k}=\rho \int _{A}\sum _{i}(u_{k}v_{i}n_{i}-v_{i}u_{i}n_{k})\,\mathrm {d} S.} ולבסוף, כוח הגרר הפועל על הגוף חייב להיות בכיוון התנועה, ולכן: F d r a g = v ⋅ F = ∑ i v i F i = 0. {\displaystyle F_{drag}={\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {F}}=\sum _{i}v_{i}F_{i}=0.} ולכן התיאוריה מצביעה על כך שאין גרר, בעוד שהתצפית מראה גרר לא זניח. זהו פרדוקס ד'אלמבר. Gimberg, Pauls & Frisch (2008) Reprinted in: Jean le Rond d'Alembert (1768) M.J. Lighthill (1956), "Physics of gas flow at very high speeds", Nature, 178 (4529): 343, Bibcode:1956Natur.178..343., doi:10.1038/178343a0 Report on a conference. Landau & Lifshitz (1987), p. 15. Batchelor (2000), pp. 264–265, 303, 337. Schlichting, Hermann; Gersten, Klaus (2000), Boundary-layer theory (8th revised and enlarged ed.), Springer, ISBN 978-3-540-66270-9, pp. XIX–XXIII. Veldman, A.E.P. (2001), "Matched asymptotic expansions and the numerical treatment of viscous–inviscid interaction", Journal of Engineering Mathematics, 39: 189–206, Bibcode:2001JEnMa..39..189V, doi:10.1023/A:1004846400131 Stewartson (1981). Feynman, R.P.; Leighton, R.B.; Sands, M. (1963), The Feynman Lectures on Physics, Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-02116-5, Vol. 2, §41–5: The limit of zero viscosity, pp. 41–9 – 41–10. Saint-Venant, A. (1847), "Mémoire sur la théorie de la résistance des fluides. Solution du paradoxe proposé à ce sujet par d'Alembert aux géomètres. Comparaison de la théorie aux expériences", Comptes Rendu des Séances de l'Academie des Science, 24: 243–246, נבדק ב-2008-08-15 Stokes, G.G. (1851), "On the effect of the internal friction of fluids on the motion of pendulums", Trans. Cambridge Phil. Soc., 9: 8–106, Bibcode:1851TCaPS...9....8S. Reprinted in Stokes, G.G., Mathematical and Physical Papers, vol. 3 (2nd ed.), Cambridge Univ. Press (Batchelor, 2000, pp. 245–246). Batchelor (2000), pp. 337–343 & plates. Batchelor (2000), p. 499, eq. (6.13.12). Kirchhoff, G. (1869), "Zur Theorie freier Flüssigkeitsstrahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 70: 289–298 Rayleigh, Lord (1876), "On the resistance of fluids", Philosophical Magazine, 5 (2): 430–441. Reprinted in: Scientific Papers 1:287–296. Helmholtz, H. L. F. von (1868), "Über discontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen", Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 23: 215–228. Reprinted in: Philosophical Magazine (1868) 36:337–346. Batchelor (2000), pp. 338–339 Wu, T. Y. (1972), "Cavity and wake flows", Annual Review of Fluid Mechanics, 4: 243–284, Bibcode:1972AnRFM...4..243W, doi:10.1146/annurev.fl.04.010172.001331 Lamb, H. (1994), Hydrodynamics (6th ed.), Cambridge University Press, p. 679, ISBN 978-0-521-45868-9 Levi-Civita, T. (1907), "Scie e leggi di resistenza", Rendeconti del Circolo Matematico di Palermo, 23: 1–37 Lord Kelvin (1894), "On the doctrine of discontinuity of fluid motion, in connection with the resistance against a solid moving through a fluid", Nature, 50 (1300): 524–5, 549, 573–5, 597–8, Bibcode:1894Natur..50..524K, doi:10.1038/050524e0 Reprinted in: Mathematical and Physical Papers 4: 215–230. Batchelor (2000), p. 500. Prandtl (1904). Batchelor (2000) pp. 302–314 & 331–337. Garrett Birkhoff, Hydrodynamics: a study in logic, fact, and similitude, Princeton University Press, 1950 Birkhoff (1950) p. 21. James J. Stoker (1951), "Review: Garrett Birkhoff, Hydrodynamics, a study in logic, fact, and similitude", Bull. Amer. Math. Soc., 57 (6): 497–499, doi:10.1090/S0002-9904-1951-09552-X. לדוגמה, הפרדוקס של הקביעות של מהירות האור בכל הכיוונים נפתר על ידי תורת היחסות הפרטית. This article חלק 6.4 של Batchelor (2000).