משפט ספין-סטטיסטיקה

במכניקה קוונטית ובתורת השדות הקוונטית, משפט הספין-סטטיסטיקה מייחס התנהגות סטטיסטית מסוימת לחלקיקים בהתאם לספין שלהם. במכניקה קוונטית לא יחסותית, הספין הוא דרגת חופש פנימית של חלקיק שמתנהגת כמו תנע זוויתי קוונטי ויוצרת מומנט מגנטי עצמי של החלקיק. לכל החלקיקים יש ספין שהוא מספר שלם או חצי שלם (מספר שלם ועוד חצי). החלקיקים במכניקה הקוונטית בלתי ניתנים להבחנה - במערכת בה יש מספר חלקיקים מאותו סוג (לדוגמה שני אלקטרונים) אי אפשר להבחין בין המצב בו חלקיק אחד נמצא במצב מסוים וחלקיק שני במצב אחר למצב ההפוך בו החלקיק הראשון נמצא במצב השני והחלקיק השני במצב הראשון. משפט הספין-סטטיסטיקה הוא תצפית אמפירית לפיה חלקיקים בעלי ספין שלם יהיו תמיד סימטריים תחת החלפה של החלקיקים, כלומר פונקציית הגל שלהם לא תשתנה אם מבוצעת החלפה כזו, ומצבים בעלי ספין חצי שלם יהיו אנטי-סימטריים כלומר פונקציית הגל שלהם תקבל סימן שלילי לאחר החלפה כזו. שני מקרים אלו מכונים בהתאמה בוזונים ופרמיונים. פרמיונים נוהגים לפי עקרון האיסור של פאולי, בעוד שבוזונים חופשיים מעיקרון זה. מצב קוונטי נתון יכול להיות מאוכלס על ידי פרמיון אחד לכל היותר, אך אין הגבלה על מספר הבוזונים שיכולים לאכלס מצב קוונטי. השאלה האם החלקיקים הם בוזונים או פרמיונים משפיעה על הסיכוי למצוא מספר חלקיקים מסוים במצב מסוים במערכת שצמודה לאמבט טמפרטורות. חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה שמתנהגים כמו בוזונים מצייתים להתפלגות בוז-איינשטיין וחלקיקים שמתנהגים כמו פרמיונים מצייתים להתפלגות פרמי-דיראק. בתורת השדות הקוונטית, חלקיקים נוצרים באמצעות הפעלה של אופרטור יצירה ונהרסים באמצעות אופרטור הריסה. הספין של החלקיק היא תגית בעלת משמעות פיזיקלית. משפט הספין-סטטיסטיקה בתיאור הזה ניתן להוכחה בהסתמך על מספר הנחות, והוא קובע שעבור חלקיקים בעלי ספין שלם האופרטורים מקיימים יחסי קומוטציה וחלקיקים בעלי ספין חצי שלם מקיימים יחסי אנטי קומוטציה. המשמעות של המשפט בתורת השדות הקוונטים זהה למשמעות במכניקה קוונטית לא יחסותית - חלקיקים עם ספין חצי הם פרמיונים ומקיימים את עקרון האיסור של פאולי; חלקיקים עם ספין שלם הם בוזונים שהחלפה ביניהם לא משנה את פונקציית הגל והם לא מקיימים את עקרון האיסור. אבני היסוד של החומר, כגון פרוטונים, נייטרונים, ואלקטרונים הם פרמיונים. הכוחות בין חלקיקים אלו נישאים על ידי הבוזונים השונים: פוטונים, בוזוני W ו-Z, וגלואונים. בסוף המאה ה-19 פיטר זימן ביצע מדידות של ספקטרום אטום המימן בנוכחות שדה מגנטי. הוא גילה שקווי הפליטה מתפצלים בנוכחות שדה מגנטי. גילוי זה רמז על כך שלגורמים באטום המימן יש שדה מגנטי, שמתקשר לתנע זוויתי, ושערך השדה המגנטי מקבל ערכים קוונטיים. בתחילת המאה ה-20 התפתחה תורת הקוונטים, מודל האטום של בוהר הסביר למה לאטום המימן יש קווי פליטה שמקבלים ערכים בדידים. מודל זומרפלד שהוצג ב-1913 הראה שלרמות האנרגיה המעורערות של אטום המימן יהיה תנע זוויתי שונה מאפס. התיאורי הסבירה היטב את אפקט זימן באטום המימן, אולם עבור אטומים אחרים כמו אבץ ונתרן, קווי הפליטה פוצלו לשש או לארבע רמות, כאשר מודל זומרפלד חזה פיצול לשלוש רמות. האפקט הלא מוסבר זכה לשם אפקט זימן האנומלי, והסבר שלו היה אתגר משמעותי בתיאוריה הקוונטית בשנות ה-20 של המאה ה-20. ב-1922 ביצע וולטר גרלך את ניסוי שטרן-גרלך, הוא שיגר אטומי כסף דרך שדה מגנטי קבוע. אם לאטומי הכסף היה מומנט מגנטי קלאסי, הם היו מתפזרים באופן רציף. בניסוי התגלה שחצי מהאטומים מוסטים על ידי השדה לכיוון אחד, וחצי לכיוון ההפוך. בכך התגלה שהתנע הזוויתי של אטומי הכסף, שקובע את המומנט המגנטי שלהם, מקבל ערכים קוונטיים בדידים. תיאור זה התאים לתחזית של מודל זומרפלד. ב-1927 בוצע ניסוי דומה לניסוי שטרן-גרלך עם אטומי מימן במצב היסוד שלהם. גם במקרה זה נתגלה פיצול לשני ערכי תנע זוויתי. התחזית לאטום המימן, כפי שתואר על ידי מודל זומרפלד או משוואת שרדינגר שהוצגה ב-1926, הייתה שרמת היסוד כוללת ערך עצמי אחד חסר תנע זוויתי ולכן האלומה לא הייתה צריכה להתפצל. הפיצולים הלא מוסברים ברמות הפליטה, הביאו את וולפגנג פאולי להציג ב-1924 את ההסבר לפיו לאלקטרון ישנם שני מצבים אפשריים שאין להם מקבילה במכניקה הקלאסית. ב-1925 הציעו ג'ורג' אולנבק וסמואל חאודסמיט את האפשרות שהמצבים האלה תלויים בסיבוב העצמי של האלקטרון סביב עצמו. הסבר זה נדחה מיד מאחר שכדי לייצר ערך תנע זוויתי כפי שנצפה בניסוי, האלקטרון (הקטן מאוד) היה צריך להסתובב כל כך מהר עד כדי כך שהשפה שלו חייבת לזוז מהר יותר ממהירות האור. למרות שפאולי התנגד בהתחלה לרעיון לפיו המצבים האפשריים של האלקטרון קשורים לתנע-זוויתי, הוא החל לקבל את הרעיון בעיקר בעקבות גילויו של לוולין תומאס, לפיו פער לא מוסבר במבנה הדק של אטום המימן, מגיע מנקיפה יחסותית של המצב העצמי של האלקטרון. נקיפה זו נקראת נקיפת תומאס. ב-1927 פאולי פרסם את תאוריית הספין שלו. הוא תיאר את המצבים הפנימיים של האלקטרון כמתארים משהו דומה לתנע-זוויתי, והציג את מטריצות פאולי שמתארות את המצבים האפשריים של הספין, ואיך הם מתקשרים אחד לשני ביחס למדידות בכיוונים שונים. על אף שהספין מתנהג באופן דומה לתנע זוויתי הוא עדיין מושג קוונטי לחלוטין שאין לו מקבילה קלאסית. ב-1928 פרסם פול דיראק את התיאוריה היחסותית של האלקטרון, הספין של האלקטרון הוא חלק מהותי שמופיע באופן טבעי בתיאוריה, ומתנהג בהתאם למודל של פאולי בגבול הלא יחסותי. אחד ההתפתחויות הראשונות שהביאה לתורת הקוונטים בתחילת המאה ה-20 היה המודל של קרינת גוף שחור שהוצג על ידי מקס פלאנק ב-1900. פלאנק הכריז שגוף שחור פולט קרינה ביחידות בדידות; כשהאנרגיה של כל פליטה גדלה עם התדירות של הקרינה. המודל של פלאנק תיאר את הקרינה הנפלטת, והוסבר על ידי אלברט איינשטיין שהציג את הפוטון ב-1905 כשתיאר את האפקט הפוטואלקטרי. עם התפתחות תורת הקוונטים וההסבר לרמות הפליטה האפשריות התגלה שכמות הפוטונים הנפלטת בכל רמת אנרגיה לא מתאימה להתפלגות מקסוול-בולצמן שהיא ההתפלגות שמתארת את הסיכוי למצוא חלקיק ברמת אנרגיה מסוימת בטמפרטורה נתונה. הפיתוח שנעשה כדי לקבל את התפלגות מקסוול-בולצמן מניח שאם יש שני חלקיקים שלא משפיעים אחד על השני, וכל אחד מהם יכול להיות באחד משני מצבים אז הסיכוי שהם יהיו בשנים מצבים שונים הוא חצי. זאת מכיוון שהחלקיק הראשון יכול להיות במצב אחד והחלקיק השני במצב שני או שהחלקיק הראשון נמצא במצב השני והחלקיק השני במצב הראשון; הסיכוי ששני החלקיקים יהיו במצב הראשון הוא רבע, והסיכוי ששניהם יהיו במצב השני הוא רבע. ב-1924 הציע נאת בוז את ההצעה הרדיקלית הבאה: עבור חלקיקים קוונטים - אם יש שני חלקיקים שכל אחד מהם יכול להיות באחד משני מצבים בסיכוי שווה אז הסיכוי לגלות את שני החלקיקים במצבים שונים הוא שליש, כמו הסיכוי לגלות את שניהם במצב הראשון והסיכוי לגלות את שניהם במצב השני. המשמעות של ההצעה הזו היא שיש מצב אחד בלבד שמתאר מערכת בה N i {\displaystyle N_{i}} חלקיקים נמצאים במצב ה- i {\displaystyle i} . בוז הראה שאם לוקחים את ההנחה הזו, חוק פלאנק מתקבל מהמודל הקוונטי. הוא שלח את המאמר לאיינשטיין שתרגם אותו לגרמנית וכתב מאמר משלים. ההתפלגות שמתקבלת מההנחה הזו נקראת התפלגות בוז-איינשטיין וחלקיקים שמצייתים לה נקראים בוזונים על שמו של בוז. במסגרת התיאוריה שפאולי הציג ב-1924 כדי להסביר את אפקט זימן האנומלי, פאולי הציג את עקרון האיסור שלו, לפיו שני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב עצמי, כאשר המצב העצמי מוגדר לא רק על ידי המספר הקוונטים הידועים שיש להם משמעות קוונטית, אלא גם מספר נוסף, שפאולי הציג כדרגת חופש עצמאית של האלקטרון - הספין. ב-1926 אנריקו פרמי ודיראק עבדו על המוליכות החשמלית ומוליכות החום של מתכות. לכאורה היה נראה שמספר האלקטרונים שמובילים למוליכות החשמלית גדול בהרבה ממספר האלקטרונים שתורמים למוליכות החום. פרמי ודיראק הראו שחלקיקים שמקיימים את עקרון האיסור מצייתים להתפלגות סטטיסטית אחרת, שנקראת על שמם התפלגות פרמי-דיראק. חלקיקים שמצייתים לה נקראים פרמיונים על שמו של פרמי. הגילוי לפיו אלקטרונים מצייתים להתפלגות פרמי-דיראק כשהם נושאים איתם ספין חצי, בעוד חלקיקים אחרים מצייתים להתפלגות בוז-איינשטיין הביאה למחשבה שהספין של החלקיק קשור להתנהגות שלהם ולכך שהם מקיימים את עיקרון האיסור של פאולי. פאולי התחיל לנסות להוכיח את קיום הקשר בין הספין לטבע החלקיקים ב-1936. ברייס דה-ויט פרסם הוכחה לקשר בין הספין של החלקיקים לסטטסטיקה שלהם עבור חלקיקים עם ספין 0 שמקיימים את משוואת קליין גורדון וחלקיקים עם ספין 1/2 שמקיימים את משוואת דיראק ב-1939. באותה שנה מרכוס פירץ שהיה סטודנט של פאולי פיתח יחד עם פאולי הוכחה כללית יותר שפאולי שיפר בשנה העוקבת. התנאים אותם ניסחו פאולי ופירץ קבע שבהינתן עקרונות היסוד של יחסות פרטית, חלקיקים קוונטיים עם ספין שלם לא יכולים להיות פרמיונים וחלקיקים קוונטים עם ספין חצי לא יכולים להיות בוזונים. ההוכחה שהוצגה על ידי פאולי לא הייתה מוגבלת למשוואה מסוימת אותה החלקיקים מתקיימים, אך כן הוגבלה לשדות קוונטים שלא מבצעים אינטראקציה ביניהם. במשך השנים ניתנו הוכחות רבות אחרות. חלקן מסתמכות על אותן הנחות של פאולי, וחלקן מניחות הנחות אחרות, או מחביאות את השימוש שלהן בהנחות של פאולי. ריצ'רד פיינמן הציג הוכחה ב-1949 שבוקרה על ידי פאולי שהראה שהיא מסתמכת באופן חבוי על אותן הנחות שפאולי הניח. ג'וליאן שווינגר הציג הוכחה אחרת ב-1950 שהסתמכה על סימטריית היפוך בזמן, סימטריה שהוכח בהמשך שלא מתקיימת בטבע. ב-1957 הוכח שסימטריית CPT נובעת מהמשפט (ולמעשה שקולה לו), ובהמשך ניתנו הוכחות נוספות שהורידו את ההנחה של פאולי לגבי חוסר האינטראקציה של השדות. ב-1964 ניתנה הוכחה נוספת על ידי סטיבן ויינברג מנקודת המבט של מטריצות פיזור, ויינברג הסיר את הדרישה לכך שהאנרגיה של מצב היסוד היא האנרגיה הנמוכה ביותר, אולם החליף אותה עם דרישה מורכבת יותר לגבי הטבע של השדה. ג'ורג' סודרשן הציג הוכחה משלו ב-1975, שהסירה את ההתייחסות הישירה לאופי היחסותי של הבעיה, אולם הוא הראה שהנחה אחרת ששימשה אותו לגבי טבע השדות יוצאת מהנחה חבויה לגבי האופי היחסותי. בהרצאות פיינמן על פיזיקה שכתב פיינמן ב-1963 הוא טוען שמשפט הספין-סטטיסטיקה הוא דוגמה למשפט בעל ניסוח פשוט אבל הוכחה מסובכת, ושהדבר מראה שאין לנו הבנה מלאה של התופעה: אנחנו מצטערים על כך שאנחנו לא יכולים לספק הסבר אלמנטרי [לסיבה מדוע מתקיים הקשר בין הספין לסטטיסטיקה]. הסבר הוצג על ידי פאולי כתוצאה מטיעונים מורכבים שנובעים מיחסות ותורת שדות קוונטית. הוא הראה שהשניים שלובים זה בזה. אבל עוד לא הצלחנו למצוא דרך לייצר את ההסבר שלו ברמה בסיסית. זה אחד המקרים בפיזיקה בהם יש חוק שניתן לניסוח די פשוט, אבל אי אפשר למצוא לו הסבר קל ופשוט. ההסבר שקוע עמוק בתורת יחסותית קוונטית. זה כנראה מסמל את זה שאין לנו הבנה מושלמת של העיקרון הבסיסי שמעורב. המקור באנגלית We apologize for the fact that we cannot give you an elementary explanation. An explanation has been worked out by Pauli from complicated arguments of quantum field theory and relativity. He has shown that the two must necessarily go together, but we have not been able to find a way of reproducing his arguments on an elementary level. He has shown that the two must necessarily go together, but we have not been able to find a way of reproducing his arguments on an elementary level. It appears to be one of the few places in physics where there is a rule which can be stated very simply, but for which no one has found a simple and easy explanation. The explanation is deep down in relativistic quantum mechanics. This probably means that we do not have a complete understanding of the fundamental principle involved. — Feynmann lectures on physics. Volume III chapter 4 ב-1994 הוצגה בכתב העת American Journal of Physics השאלה האם נמצא הסבר פשוט למשפט בשלושים השנים שעברו מאז כתיבתו של פיינמן. מספר פיזיקאים נענו לשאלה והציגו הוכחות שונות. מרבית ההוכחות נדחו כשגויות או כמניחות הנחות לא טריוויאליות באופן מוסתר. הסיכום שניתן ב-1998 קבע: לבסוף אנחנו מוכרחים לסכם שלמרות שמשפט הספין-סטטיסטיקה מנוסח בפשטות, הוא בשום צורה לא פשוט להבנה או להוכחה המקור באנגלית Finally we are forced to conclude that although the Spin-Statistics Theorem is simply stated, it is by no means simply understood or simply proved — I. Duck, ECG Sudarshan, Toward an understanding of the spin-statistics theorem. Am. J. Phys. 66 (4): 284–303 (1998) במכניקה קוונטית לא יחסותית אין דרך להוכיח את משפט הספין-סטטיסטיקה, והוא מוצג כפוסטולט על בסיס תצפיות פיזיקליות. קיימת הוכחה של המשפט שמסתמכת על סימטריה של הלגראנז'יאן, אולם סימטריה זו ניתנת להצדקה רק במסגרת תורת היחסות הפרטית. חלקיקים קוונטים הם בלתי ניתנים להבחנה. כלומר אם במערכת ישנם שני חלקיקים מאותו סוג, אפשר למדוד את המצבים של שני החלקיקים, אולם לא ניתן לדעת איזה חלקיק נמצא באיזה מצב. בסימון דיראק ניתן לתאר את התכונה הזו של החלקיקים באופן הבא - אם נמדדו המצבים | k ′ ⟩ {\displaystyle |k'\rangle } ו- | k ″ ⟩ {\displaystyle |k''\rangle } המצב של המערכת יכול להיות | k ′ , k ″ ⟩ {\displaystyle |k',k''\rangle } (כאשר האיבר השמאלי מתאר את המצב של החלקיק הראשון והימני את המצב של החלקיק השני) או | k ″ , k ′ ⟩ {\displaystyle |k'',k'\rangle } או כל סופרפוזיציה ביניהם α | k ′ , k ″ ⟩ + 1 − | α | 2 | k ″ , k ′ ⟩ {\displaystyle \alpha |k',k''\rangle +{\sqrt {1-|\alpha |^{2}}}|k'',k'\rangle } כאשר α {\displaystyle \alpha } הוא משתנה חופשי. החופש בבחירת α {\displaystyle \alpha } היה יכול להיות לא בעייתי אם הערך שלו לא היה יכול להשפיע על שום מדידה פיזיקלית, אולם זה לא המצב. לדוגמה במערכת של שני חלקיקי בעלי ספין 1/2. אם לשני החלקיקים נמדד ערך הספין בכיוון z ובמדידה אחת יצא ספין למעלה ובשנייה ספין למטה, המצב של המערכת יתואר על ידי: | ψ ⟩ = α | ↓ , ↑ ⟩ + 1 − | α | 2 | ↑ , ↓ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |\downarrow ,\uparrow \rangle +{\sqrt {1-|\alpha |^{2}}}|\uparrow ,\downarrow \rangle } . כעת אפשר לבדוק מה הסיכוי ששני החלקיקים ימדדו בערך עצמי פלוס בכיוון x. המצב העצמי של מדידה כזו הוא: | φ ⟩ = | + , + ⟩ x = 1 2 ( | ↑ , ↑ ⟩ + | ↑ , ↓ ⟩ + | ↓ , ↑ ⟩ + | ↓ , ↓ ⟩ ) {\displaystyle |\varphi \rangle =|+,+\rangle _{x}={\frac {1}{2}}\left(|\uparrow ,\uparrow \rangle +|\uparrow ,\downarrow \rangle +|\downarrow ,\uparrow \rangle +|\downarrow ,\downarrow \rangle \right)} . הסיכוי למדוד את המצב הזה הוא: | ⟨ φ | ψ ⟩ | 2 = 1 4 ( α ∗ + 1 − | α | 2 ) ( α + 1 − | α | 2 ) = 1 4 ( 1 + 1 − | α | 2 ( α + α ∗ ) ) {\displaystyle |\langle \varphi |\psi \rangle |^{2}={\frac {1}{4}}(\alpha ^{*}+{\sqrt {1-|\alpha |^{2}}})(\alpha +{\sqrt {1-|\alpha |^{2}}})={\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {1-|\alpha |^{2}}}(\alpha +\alpha ^{*}))} . כלומר הסיכוי הפיזיקלי תלוי ב- α {\displaystyle \alpha } שאין דרך פיזיקלית למדוד אותו. אופרטור ההחלפה בין החלקיקים מוגדר על ידי P 12 | k ″ , k ′ ⟩ = | k ′ , k ″ ⟩ {\displaystyle P_{12}|k'',k'\rangle =|k',k''\rangle } קל לראות שמתקיים P 12 2 = I {\displaystyle P_{12}^{2}=I} . מאחר שהחלקיקים זהים, ההמילטוניאן לא יכול להיות לא סימטרי עבורם ולכן מתקיים P 12 H P 12 − 1 = H {\displaystyle P_{12}HP_{12}^{-1}=H} כלומר P 12 {\displaystyle P_{12}} מתחלף עם ההמילטוניאן ולכן הוא קבוע של התנועה שיכול לקבל רק את הערכים העצמיים ± 1 {\displaystyle \pm 1} ושהווקטורים העצמיים שלו הם | ± ⟩ = 1 2 ( | k ′ , k ″ ⟩ ± | k ″ , k ′ ⟩ ) {\displaystyle |\pm \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|k',k''\rangle \pm |k'',k'\rangle \right)} . באופן דומה ניתן להגדיר אופרטור שמחליף בין מצבים שכוללים יותר משני חלקיקים P i j | k 1 , . . . , k i , . . . , k j , . . . k n ⟩ = | k 1 , . . . , k j , . . . , k i , . . . k n ⟩ {\displaystyle P_{ij}|k_{1},...,k_{i},...,k_{j},...k_{n}\rangle =|k_{1},...,k_{j},...,k_{i},...k_{n}\rangle } ולבנות לאופרטורים האלה ערכים עצמיים משלהם. מצב סימטרי הוא מצב בו עבור כל i , j {\displaystyle i,j} אופרטור ההחלפה הוא בעל ערך עצמי 1 ומצב אנטי סימטרי הוא מצב בו עבור כל i , j {\displaystyle i,j} אופרטור ההחלפה הוא בעל ערך עצמי מינוס 1. פרמיונים הם חלקיקים שעבורם כל מצב שכולל מספר פרמיונים הוא מצב אנטי-סימטרי, ובוזונים הם חלקיקים עבורם כל מצב שכולל מספר בוזונים הוא סימטרי. משפט הספין-סטטיסטיקה קובע (אמפירית) שחלקיקים בעלי ספין חצי שלם הם פרמיונים וחלקיקים בעלי ספין שלם הם בוזונים. כלומר אם בוצעו שני מדידות ונמדדו המצבים | k ′ ⟩ {\displaystyle |k'\rangle } ו- | k ″ ⟩ {\displaystyle |k''\rangle } אז אם החלקיקים הם בעלי ספין חצי שלם המצב שמתאר אותם הוא 1 2 ( | k ′ , k ″ ⟩ − | k ″ , k ′ ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|k',k''\rangle -|k'',k'\rangle )} ואם הם בעלי ספין שלם המצב שמתאר אותם הוא 1 2 ( | k ′ , k ″ ⟩ + | k ″ , k ′ ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|k',k''\rangle +|k'',k'\rangle )} . ערך מורחב – עקרון האיסור של פאולי תוצאה מיידית של היותם סימטריים להחלפה הוא ששני פרמיונים לא יכולות להיות באותו מצב קוונטי. זאת מכיוון שאם שני פרמיונים מאכלסים את אותו המצב | k ′ ⟩ {\displaystyle |k'\rangle } , נקבל שפונקציית הגל היא 1 2 ( | k ′ , k ′ ⟩ − | k ′ , k ′ ⟩ ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|k',k'\rangle -|k',k'\rangle )=0} . תכונה זו נקראת עקרון האיסור של פאולי. נשים לב שהאיסור קיים רק אם המצב | k ′ ⟩ {\displaystyle |k'\rangle } הוא מצב קוונטי מלא. שני אלקטרונים, לדוגמה באטום ההליום, יכולים להיות באותו מצב אנרגטי של האטום, כלומר בעלי אותה פונקציית גל מרחבית, אם אחד מהם הוא עם ספין למעלה והאחר הוא עם ספין למטה, זאת מכיוון שהמצב האנרגטי שלהם ביחס לאטום הוא לא מצב מלא של החלקיק. במקרה זה המצב של המערכת יהיה 1 2 ( | k ↑ , k ↓ ⟩ − | k ↓ , k ↑ ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|k\uparrow ,k\downarrow \rangle -|k\downarrow ,k\uparrow \rangle )} , כאשר k {\displaystyle k} מתאר את המצב האנרגטי של החלקיקים והאינטראקציה שלהם עם האטום והחיצים מתארים את כיוון הספין. בוזונים לא סובלים ממגבלה זו, ומספר הבוזונים שיכול להיות במצב מסוים הוא בלתי מוגבל. בתורת השדות הקוונטית, הספין של השדה הוא תגית שמתארת כיצד השדה מתנהג כאשר מבוצעות עליו טרנספורמציית לורנץ. היוצרים של חבורת לורנץ מקיימים את אותם יחסים כמו תנע-זוויתי קוונטי, ולכן הספין חייב לקבל ערך שלם או חצי שלם. וולפגנג פאולי הראה שעבור כל תורה שבה מתקיימים ארבעה תנאים מתקבל ששדות בעלי ספין חצי מקיימים יחסי אנטי-קומוטציה והם מתארים פרמיונים בעוד שדות בעלי ספין שלם מקיימים יחסי קומוטציה והם מתארים בוזונים. התנאים שנדרשים למשפט הם: המסה והספין אינווריאנטים תחת טרנספורמציית לורנץ. השדות הם הצגות אוניטריות סופיות לא ניתנות לצמצום. מצב הריק הוא המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר - הוספה של חלקיקים או אנטי חלקיקים יכולה רק להעלות את האנרגיה. בביצוע של מדידות במקומות שונים שרחוקים אחד מהשני יותר מהזמן בין המדידות כפול מהירות האור (מדידות כמו-מרחביות (spacelike)), המדידות לא יכולות להשפיע אחת על השנייה. הסיכוי למדוד חלקיק במצב מסוים חייב להיות חיובי. לתנאים שפאולי הציג יש חלופות מסוימות. בפרט, ההנחה השנייה שנדרשת להוכחה שחלקיקים בעלי ספין חצי הם פרמיונים עוררה אי נוחות מסוימת. ויינברג החליף אותה בהנחה לגבי הדרישה למטען אותו השדות יכולים ליצור. באופן שקול ניתן להחליף אותה בדרישה לשימור סימטריית CPT. ההוכחה המלאה של המשפט מורכבת להבנה, ודורשת הסבר של מושג הספין מבחינה יחסותית, ושל האופן בו שדות קוונטים מייצרים אינטראקציה זה עם זה. ההוכחה שתובא כאן מבוססת על ההוכחה של פאולי, אבל מפשטת ומדלגת על חלק מהרכיבים של ההוכחה המלאה. הוכחות פשוטות יותר למקרים של ספין 0 וספין 1/2 קיימות בספרות. חלקיקים זהים בתורת שדות קוונטית הם חלקיקים ששומרים על כל המספרים הקוונטיים תחת חבורות הסימטריה של התיאוריה. המשמעות של משפט זה היא שניתן להגיד שאלקטרון שזז בכיוון אחד עם תנע מסוים זהה לאלקטרון שזז לכיוון אחר בתנע אחר היא שקיימים אוסף של טרנספורמציות ששומרות על הסימטריה של התיאוריה ומעבירות את המצב הראשון למצב השני. בתורת קוונטית שמקיימת את תורת היחסות הפרטית, אחת הטרנספורמציות שכל תיאוריה חייבת לקיים היא טרנספורמציית לורנץ של המרחב. אחת מהתוצאות היסודיות של תורת היחסות הפרטית היא שהמסה של חלקיק לא משתנה במעבר בין מערכות ייחוס, כלומר המסה אינווריאנטית תחת טרנספורמציית לורנץ. לכן לדוגמה אלקטרון ומיואון לא יכולים להיות אותו שדה כיון שהמסה שלהם שונה, ושום טרנספורמציה ששומרת על הסימטריה של יחסות פרטית לא יכולה להעביר חלקיק עם מסה של אלקטרון לחלקיק עם מסה של מיואון. לא כל החלקיקים עם אותה מסה יכולים להיות מתוארים על ידי אותו שדה. לחלקיק יכולים להיות מספרים קוונטים שחבורת לורנץ לא פועלת עליהם בכלל, לדוגמה המטען החשמלי. אם בטבע היה קיים חלקיק עם מסה דומה למסה של האלקטרון אבל עם מטען חשמלי שונה, שני החלקיקים לא היו יכולים להיות מתוארים על ידי אותו שדה. לחבורת לורנץ יש תכונה שהיא משמרת על מספר קוונטי נוסף, מלבד המסה, למרות שהיא פועלת באופן לא טריוויאלי עליו - מדובר בספין של החלקיק, שעובר טרנספורמציה לא טריוויאלית ביחס לסיבובים L {\displaystyle L} . הסיבובים הם תלת־ממדיים, והחבורה שהם מייצרים היא S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} . ההצגות של החבורה מתנהגות כמו תנע זוויתי קוונטי, ולכן הן ניתנות לתיוג באמצעות ערך הספין s {\displaystyle s} שמקבל ערכים שלמים או חצי שלמים. הצגה עם ספין s {\displaystyle s} , תהיה בעלת 2 s + 1 {\displaystyle 2s+1} ממדים. הספין לא משתנה כאשר מופעלות עליו טרנספורמציות לורנץ, לעומת זאת, המרכיבים של השדה, שהוא כבר לא סקלר, עוברים טרנספורמציה שיכולה לשנות את ערכי השדה בלי לשנות את ה4-תנע עבור סיבובים מסוימים של המרחב. בחבורת לורנץ ניתן להגדיר J ± = 1 2 ( L ± i K ) {\displaystyle \mathbf {J} _{\pm }={\frac {1}{2}}(\mathbf {L} \pm i\mathbf {K} )} , קל לוודא שמתקיים [ J + , J − ] = 0 ; [ J ± i , J ± j ] = i e i j k J ± k {\displaystyle [\mathbf {J} _{+},\mathbf {J} _{-}]=0;[J_{\pm }^{i},J_{\pm }^{j}]=ie_{ijk}J_{\pm }^{k}} . ולכן חבורת לורנץ מתפרקת לשתי חבורות S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} . לפיכך, אפשר להציג את חבורת לורנץ באמצעות שני ערכים j ± {\displaystyle j_{\pm }} שמקבלים ערכים חצי שלמים או שלמים. המימד הכולל של ההצגה הוא ( 2 j + + 1 ) ( 2 j − + 1 ) {\displaystyle (2j_{+}+1)(2j_{-}+1)} . מאחר ש- L = J + + J − {\displaystyle L=J_{+}+J_{-}} ערך הספין יכול להיות s = | j + − j − | , . . . , j + + j − {\displaystyle s=|j_{+}-j_{-}|,...,j_{+}+j_{-}} . מכאן אפשר להגדיר את סוגי השדות הבאים: ספין שלם ממש (נסמן ב- ψ + {\displaystyle \psi ^{+}} ) מצב בו j ± {\displaystyle j_{\pm }} שניהם שלמים. ספין שלם חלקית (נסמן ב- ψ − {\displaystyle \psi ^{-}} ) מצב בו j ± {\displaystyle j_{\pm }} שניהם חצי שלמים, ספין חצי שלם שמאלי (נסמן ב ψ L {\displaystyle \psi ^{L}} ) מצב בו j + {\displaystyle j_{+}} חצי שלם ו- j − {\displaystyle j_{-}} שלם וספין חצי שלם ימני (נסמן ב ψ R {\displaystyle \psi ^{R}} ) מצב בו j + {\displaystyle j_{+}} שלם ו- j − {\displaystyle j_{-}} חצי שלם. השדה הצמוד ( ψ † {\displaystyle \psi ^{\dagger }} ) לשדה מסוג שלם ממש הוא שדה שלם ממש, הצמוד לשדה שלם חלקית הוא שדה שלם חלקית, השדה הצמוד לשדה חצי שלם ימני הוא שדה חצי שלם שמאלי ולהפך. כל גודל, ולא רק השדות, יכול להיות מפורק בהתאם לפעולה של שני חלקי החבורה עליו. כדי שטנזור יתנהג כראוי תחת טרנספורמציית לורנץ, הוא חייב להיות בעל ״ספין״ שלם. טנזורים ממימד אי-זוגי חייבים להיות שלמים חלקית, וטנזורים ממימד זוגי חייבים להיות שלמים ממש. בפרט כל 4-וקטור, כולל וקטור ה4-תנע, חייב לקיים j ± = 1 / 2 {\displaystyle j_{\pm }=1/2} . מכפלה של שדה ב4-וקטור הופכת שדה שלם ממש לשדה שלם חלקית ולהפך, ושדה חצי שלם ימני לשדה חצי שלם שמאלי ולהפך. משוואות התנועה הקוונטיות של חלקיק חופשי מתארות קשרים בין השדה שמציין את החלקיק וה-4 תנע שהשדה הזה נושא. כל עוד החלקיקים חופשיים, משוואת התנועה חייבת להיות ליניארית בשדות, או בשדות הצמודים שלהם. לכן משוואות התנועה יכולות להיות כתובות באופן נרחב בצורה f 1 ( k ) ψ + f 2 ( k ) ψ † = 0 {\displaystyle f_{1}(k)\psi +f_{2}(k)\psi ^{\dagger }=0} . עבור פונקציות פולינימיאליות של התנע. נפריד את הדיון לספין שלם ולספין חצי שלם. עבור ספין שלם, נפרק את המשוואה למשוואות עבור רכיבים שלמים ממש וחלקית שלא משפיעות על סוג השדה. נקבל שהמשוואות מקשרות בין הסוגים באופן הבא: ∑ f 1 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ + + f 2 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ + † = ∑ f 1 , 2 j k 2 j ψ − + f 2 , 2 j k 2 j ψ − † {\displaystyle \sum f_{1,2j+1}k^{2j+1}\psi ^{+}+f_{2,{2j+1}}k^{2j+1}{\psi ^{+}}^{\dagger }=\sum f_{1,{2j}}k^{2j}\psi ^{-}+f_{2,{2j}}k^{2j}{\psi ^{-}}^{\dagger }} ∑ f 1 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ − + f 2 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ − † = ∑ f 1 , 2 j k 2 j ψ + + f 2 , 2 j k 2 j ψ + † {\displaystyle \sum f_{1,2j+1}k^{2j+1}\psi ^{-}+f_{2,{2j+1}}k^{2j+1}{\psi ^{-}}^{\dagger }=\sum f_{1,{2j}}k^{2j}\psi ^{+}+f_{2,{2j}}k^{2j}{\psi ^{+}}^{\dagger }} המשוואות האלה סימטריות ביחס להחלפות: k → − k ; ψ + → ψ + ; ψ − → − ψ − ; ψ + † → ψ + † ; ψ − † → − ψ − † {\displaystyle k\to -k;\psi ^{+}\to \psi ^{+};\psi ^{-}\to -\psi ^{-};{\psi ^{+}}^{\dagger }\to {\psi ^{+}}^{\dagger };{\psi ^{-}}^{\dagger }\to -{\psi ^{-}}^{\dagger }} . עבור ספין חצי שלם נקבל שהמשוואות מקשרות באופן הבא: ∑ f 1 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ R + f 2 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ L † = ∑ f 1 , 2 j k 2 j ψ L + f 2 , 2 j k 2 j ψ R † {\displaystyle \sum f_{1,2j+1}k^{2j+1}\psi ^{R}+f_{2,{2j+1}}k^{2j+1}{\psi ^{L}}^{\dagger }=\sum f_{1,{2j}}k^{2j}\psi ^{L}+f_{2,{2j}}k^{2j}{\psi ^{R}}^{\dagger }} ∑ f 1 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ L + f 2 , 2 j + 1 k 2 j + 1 ψ R † = ∑ f 1 , 2 j k 2 j ψ R + f 2 , 2 j k 2 j ψ L † {\displaystyle \sum f_{1,2j+1}k^{2j+1}\psi ^{L}+f_{2,{2j+1}}k^{2j+1}{\psi ^{R}}^{\dagger }=\sum f_{1,{2j}}k^{2j}\psi ^{R}+f_{2,{2j}}k^{2j}{\psi ^{L}}^{\dagger }} שסימטריות ביחס להחלפות: k → − k ; ψ R → i ψ R ; ψ L → − i ψ L ; ψ R † → − i ψ R † ; ψ L † → i ψ L † {\displaystyle k\to -k;\psi ^{R}\to i\psi ^{R};\psi ^{L}\to -i\psi ^{L};{\psi ^{R}}^{\dagger }\to -i{\psi ^{R}}^{\dagger };{\psi ^{L}}^{\dagger }\to i{\psi ^{L}}^{\dagger }} כל סקלר שמורכב מהשדות חייב להיות מצב שלם מלא. לכן הוא חייב לכלול מכפלה של שדות חצי שלמים ימניים בשדות חצי שלמים ימניים, שמאליים בשמאליים או שמאליים בימניים ובחזקות אי-זוגיות של התנע. קל לראות שתנאים אלה גוררים שתחת ההחלפה לעיל, כל סקלר, ובפרט האנרגיה, מחליף סימן E → − E {\displaystyle E\to -E} . התוצאה האחרונה גורמת לבעיה לגבי פרמיונים. אם הוספת חלקיק עם 4-תנע k {\displaystyle k} למערכת מגדילה את האנרגיה של המערכת, אז הוספת חלקיק עם 4-תנע − k {\displaystyle -k} תקטין את האנרגיה של המערכת, בסתירה להנחה 2 שהוספת חלקיק למערכת לא יכולה להוסיף אנרגיה. זוהי אותה בעיה שעמדה בפני דיראק כאשר הוא התייחס למשוואה שלו כמשוואה המתארת את ההתנהגות של חלקיק בודד - למשוואה יש פתרונות עם אנרגיה שלילית. הדרך היחידה לשמור על ההנחה שמצב היסוד הוא בעל האנרגיה המינימלית היא באמצעות הים של דיראק. באופן זה מתארים את מצב היסוד כמצב בו כל המצבים עם תדירות ( k 0 {\displaystyle k^{0}} ) שלילית הם מצבים מאוכלסים, ובגלל עקרון האיסור של פאולי לא ניתן להוסיף להם חלקיק, וכך האנרגיה יכולה רק לעלות. את התיאור הזה אפשר להחליף באמירה שחלקיקים יכולים להיות רק עם תדירות חיובית, ושחלקיקים עם תדירות שלילית הם אנטי חלקיקים שיצירתם שקולה להסרת חלקיק, התיאור הזה זהה מבחינה פיזיקלית, ונהנה מהעובדה שמצב היסוד שלו לא כולל שום חלקיק. לכאורה היה ניתן לייצר טיעון דומה גם לבוזונים, אולם אפשר להראות שבמצב כזה היצירה של בוזון עם תדירות שלילית ממצב הריק תיצור מצב בו הסיכוי למדוד את החלקיק יהיה שלילי, בסתירה להנחה 4. כדי להראות שבוזונים לא יכולים לקיים יחסי אנטי-קומוטציה יש להשתמש בלוקליות של ביצוע המדידות. לוקליות זו קובעת שכל גודל פיזיקלי חייב להתאפס מחוץ לקונוס האור. כל רכיב של שדה יחסותי חייב לקיים את משוואת קליין-גורדון. אפשר למצוא את פונקציית גרין של המשוואה הזו - יש שתי פונקציות גרין - רק אחת מהן מקיימת את התנאי שהיא מתאפסת מחוץ לקונוס האור. הפונקציה הזו (פונקציית יורדן-פרמי) היא אנטי סימטרית ביחס ל- t → − t {\displaystyle t\to -t} וסימטרית ביחס ל- x → → − x → {\displaystyle {\vec {x}}\to -{\vec {x}}} , ולכן בסה"כ אנטי סימטרית להחלפה x → − x {\displaystyle x\to -x} . כל הפונקציות הפיזיקליות בתיאוריה, ובפרט הקומוטטור (עבור בוזונים) או האנטי קומוטטור (עבור פרמיונים) חייבות להיות מורכבות מפונקציית הגרין ומנגזרות שלה לפי הקואורדינטות. עבור חלקיקים בעלי ספין שלם הסוגריים [ ψ , ψ ∗ ] ± {\displaystyle [\psi ,\psi ^{*}]_{\pm }} (שיכולים לסמן את הקומוטטור או האנטי-קוממוטטור בהתאם לסוג של החלקיקים) הם טנזורים ממימד זוגי. לכן הסוגריים שמקבלים משמעות פיזיקלית חייבים להיות מורכבים ממספר זוגי של נגזרות של פונקציית הגרין (כולל 0 נגזרות, כלומר פונקציית הגרין עצמה). כעת נסתכל בפונקציה: [ ψ ( x ) , ψ ( − x ) ∗ ] ± + [ ψ ( − x ) , ψ ( x ) ∗ ] ± {\displaystyle [\psi (x),\psi (-x)^{*}]_{\pm }+[\psi (-x),\psi (x)^{*}]_{\pm }} הפונקציה הזו סימטרית ביחס להחלפה x → − x {\displaystyle x\to -x} , אבל אם היא מורכבת מסכום של פונקציות שהן מספר זוגי של נגזרות של פונקציה אנטי סימטרית להחלפה כזו. היא חייבת להתאפס. לכן [ ψ ( x ) , ψ ( y ) ∗ ] ± + [ ψ ( y ) , ψ ( x ) ∗ ] ± = 0 {\displaystyle [\psi (x),\psi (y)^{*}]_{\pm }+[\psi (y),\psi (x)^{*}]_{\pm }=0} . כעת אם לוקחים את סימן הפלוס בסוגריים, כלומר מניחים שהחלקיקים הם פרמיונים נקבל שכאשר x = 0 {\displaystyle x=0} מתקיים ψ ( 0 ) ψ ∗ ( 0 ) + ψ ∗ ( 0 ) ψ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \psi (0)\psi ^{*}(0)+\psi ^{*}(0)\psi (0)=0} אבל שני הגדלים הללו בהכרח לא שליליים בסתירה להנחה. לכן קיבלנו שחלקיקים בעל ספין שלם לא יכולים להיות פרמיונים. עבור חלקיקים עם ספין חצי-שלם לא מתקבלת סתירה מאחר שהם מורכבים מפונקציות שהן טנזור ממימד אי זוגי, כלומר מורכבות מסכום של פונקציות שהן מספר אי-זוגי של נגזרות של פונקציית יורדן-פאולי. ולכן הפונקציה [ ψ ( x ) , ψ ( − x ) ∗ ] ± + [ ψ ( − x ) , ψ ( x ) ∗ ] ± {\displaystyle [\psi (x),\psi (-x)^{*}]_{\pm }+[\psi (-x),\psi (x)^{*}]_{\pm }} יכולה להיות סימטרית ביחס להחלפה x → − x {\displaystyle x\to -x} ואי אפשר לדרוש שהיא תתאפס. בסיום המאמר של פאולי בו הופיעה לראשונה ההוכחה של המשפט הוא סיכם: לסיכום אנחנו רוצים לציין, שלפי דעתנו הקשר בין הספין לסטטיסטיקה הוא אחד שימושים הכי חשובים של תורת היחסות הפרטית. המקור באנגלית In conclusion we wish to state, that according to our opinion the connection between spin and statistics is one of the most important applications of the special relativity theory. — ,W Pauli, The Connection Between Spin and Statistics פאולי הצהיר זאת כי בניגוד לרוב השימושים של היחסות הפרטית, שמסבירים דבר בגבול של מהירויות גבוהות, הסטטיסטיקה הקוונטית של החלקיקים משפיעה באופן ישיר על ההתנהגות שלהם בכל אנרגיה, כולל בחישובים שנעשים בגבול הלא יחסותי. החישוב של בוז שנותן את התפלגות האנרגיה של פליטה מגוף שחור ניתן לביצוע רק אם מקבלים את העובדה שפוטונים הם בוזונים. העובדה הזו נובעת ממשפט הספין סטטיסטיקה שנובע מתורת היחסות הפרטית. בהתאם לכך, בוצעה עבודה רבה כדי לנסות להוכיח את המשפט בלי להשתמש בתורת היחסות. הניסיונות האלה הסתכמו במציאת מספר ניסוחים אחרים שלא מניחים את תורת היחסות באופן גלוי, אבל נעזרים בתוצאות שהדרך הפשוטה ביותר להצדיקם היא בשימוש בתורת היחסות. לדוגמה אפשר להוכיח את המשפט כתוצאה מההנחות לפיהם הלאגראנז'יאן של התיאוריה ניתן להבעה כסכום של אופרטורים הרמיטיים, וסימטרי להחלפה של הטעם של החלקיקים. דרישה זו יכולה להיות מוצדקת לחלקיקים יסודיים בתורת היחסות הפרטית. הוכחות אחרות הראו שחלקיקים יסודיים לא יכולים להתנהג בצורה המצופה מתורת השדות הקוונטים אם ערך הספין שלהם גדול מ-1. תוצאות אלו מאפשרות להוכיח את המשפט רק עבור ערכי ספין 0,1/2 ו-1. דבר שמביא את ההוכחה להיות ישירה יותר (מכיוון שאפשר לכתוב במפורש את משוואות התנועה ולהוכיח ישירות מהן). חלקיקים שמורכבים ממספר חלקיקים יסודיים יכולים להיות עם ערכי ספין גבוהים יותר (לדוגמה לגרעין של ליתיום 7 יש ספין 3/2) וגם הם מקיימים את משפט הספין סטטיסטיקה בקירובים מסוימים. קיומם של בוזונים ופרמיונים משפיע על המצבים אותם יכולים שני חלקיקים או יותר לקחת. לדוגמה עבור שני חלקיקים פרמיונים שנמצאים באחד משני מצבים המערכת יכולה להיות במצב אחד בלבד - הסינגלט 1 2 ( | k ′ , k ″ ⟩ − | k ″ , k ′ ⟩ ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|k',k''\rangle -|k'',k'\rangle )} . עבור בוזונים המערכת יכולה להיות באחד משלושה מצבים - הטריפלט 1 2 ( | k ′ , k ″ ⟩ + | k ″ , k ′ ⟩ ) , | k ′ , k ′ ⟩ , | k ″ , k ″ ⟩ {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|k',k''\rangle +|k'',k'\rangle ),|k',k'\rangle ,|k'',k''\rangle } . פונקציית גל פרמיונית חייבת להיות אנטי-סימטרית להחלפה רק כאשר מדובר על כל מרכיבי הפונקציה, אם פונקציית הגל מורכבת מפונקציה מרחבית ומהספין, והאינטראקציה בין המרחב לספין זניחה, אז אם הפונקציה המרחבית סימטרית להחלפה הפונקציה של הספינים תהיה אנטי סימטרית ובמצב הסינגלט, ואם הפונקציה המרחבית אנטי סימטרית הספינים יהיו במצב הטריפלט. הסטטיסטיקות שנובעות משני סוגי הסטטיסטיקה אחראיות למספר תופעות מעניינות: התפלגות בוז-איינשטיין, המתארת את הבוזונים, מובילה לעיבוי בוז-איינשטיין. מתחת לטמפרטורה מסוימת, רוב החלקיקים במערכת המורכבת מבוזונים יאכלסו את מצב היסוד (המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר במערכת). במקרה זה מופיעות תכונות מעניינות, כגון נוזליות-על. התפלגות פרמי-דיראק, המתארת פרמיונים, מובילה אף היא לתכונות מעניינות. כיוון שלכל היותר פרמיון אחד יכול לאכלס מצב קוונטי נתון. מכיוון שאלקטרונים הם בעלי ספין 1/2 (מקבלים רק את שני ערכי הספין ± 1 / 2 {\displaystyle \pm 1/2} ), יכול כל אורביטל באטום להכיל לכל היותר שני אלקטרונים שהספינים שלהם הפוכים זה ביחס לזה. לכן, גם כשהטמפרטורה היא אפס מוחלט, המערכת עדיין נושאת כמות אנרגיה משמעותית. כתוצאה מכך, מערכות הבנויות מפרמיונים מפעילות לחץ כלפי חוץ גם בטמפרטורה אפס. לחץ זה אחראי למניעת קריסתם של כוכבים מסיביים כתוצאה מכבידה (ראו: ננס לבן, כוכב נייטרונים וחור שחור). בוזון פרמיון עיבוי בוז-איינשטיין עקרון האיסור של פאולי טרנספורמציית קליין(אנ') התפלגות פרמי-דיראק התפלגות בוז-איינשטיין W. Pauli, The Connection Between Spin and Statistics, Physical Review 58, 716-722 (1940). JJ. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, 1994, Addison-Wesley. Chapter 6. D. Tong, Quantum Field Theory, pages 106-113 ME. Peskin and DV. Schroder, An Introduction to Quantum Field Theory, 1995, Addison-Wesley, pages 52-62. R. Feynman, Feynman Lectures on Physics, Volume III, Chapter 4. M. Massimi, M. Redhead, Weinberg’s proof of the spin-statistics theorem, Studies in History and Philosophy of Modern Physics 34, 621-650 (2003). I Duck, E. C. G. Sudarshan, Toward an understanding of the spin-statistics theorem. Am. J. Phys. 66 (4): 284–3 (1998) משפט ספין-סטטיסטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) α {\displaystyle \alpha } יכול להיות מרוכב במצב הזה שתי המדידות נתנו את אותה תוצאה ולכן אין חופש בהחלפה ביניהם עבור חלקיקים מסיביים, חלקיקים חסרי מסה הם בעלי חבורת סימטריה שונה. S U ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} היא כיסוי כפול של S O ( 3 ) {\displaystyle SO(3)} , ויש לה את אותן הצגות. הוא יכול כמובן לקיים משוואה נוספת, כמו משוואת דיראק, אבל הוא חייב לקיים גם את משוואת קליין-גורדון.