משפטי התכנסות מרטינגלים

בתורת ההסתברות, משפטי התכנסות מרטינגלים של ג'וזף דוּבּ הם אוסף תוצאות אודות התנהגות אסימפטוטית של סופר-מרטינגלים, ובפרט מרטינגלים. יהי ( Ω , F , P ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} מרחב הסתברות, ותהי { F t } t ≥ 0 {\displaystyle \left\{F_{t}\right\}_{t\geq 0}} פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של F {\displaystyle {\mathcal {F}}} . יהי { N t } t ≥ 0 {\displaystyle \left\{N_{t}\right\}_{t\geq 0}} , כאשר N t : Ω → R {\displaystyle N_{t}:\Omega \to \mathbb {R} } , סופר-מרטינגל ימני רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל 0 ≤ s ≤ t < ∞ {\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty } מתקיים N s ≥ E [ N t ∣ F s ] {\displaystyle N_{s}\geq \mathbf {E} \left[N_{t}\mid F_{s}\right]} . לכל 0 ≤ t < ∞ {\displaystyle 0\leq t<\infty } , נגדיר N t − := max ( − N t , 0 ) {\displaystyle N_{t}^{-}:=\max \left(-N_{t},0\right)} . אם מתקיים כי sup t ≥ 0 E [ N t − ] < ∞ {\displaystyle \sup _{t\geq 0}\mathbf {E} \left[N_{t}^{-}\right]<\infty } , אז בהסתברות 1 קיים הגבול lim t → ∞ N t {\displaystyle \lim _{t\to \infty }N_{t}} במובן של התכנסות נקודתית. הדברים הבאים שקולים: { N t } t > 0 {\displaystyle \left\{N_{t}\right\}_{t>0}} אינטגרבילית במידה שווה. קיים משתנה מקרי N {\displaystyle N} בעל אינטגרל סופי, כך שמתקיים N t ⟶ t → ∞ N {\displaystyle N_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}N} גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע. יהי { M t } t ≥ 0 {\displaystyle \left\{M_{t}\right\}_{t\geq 0}} , כאשר M t : Ω → R {\displaystyle M_{t}:\Omega \to \mathbb {R} } , מרטינגל רציף ביחס לפילטרציה הנתונה. כלומר, לכל 0 ≤ s ≤ t < ∞ {\displaystyle 0\leq s\leq t<\infty } מתקיים M s = E [ M t ∣ F s ] {\displaystyle M_{s}=\mathbf {E} \left[M_{t}\mid F_{s}\right]} . אם קיים 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } שעבורו sup t > 0 E [ | M t | p ] < ∞ {\displaystyle \sup _{t>0}\mathbf {E} \left[\left|M_{t}\right|^{p}\right]<\infty } , אזי קיים משתנה מקרי M {\displaystyle M} עם ∫ Ω | M | p d μ < ∞ {\displaystyle \int _{\Omega }\left|M\right|^{p}d\mu <\infty } , כך שמתקיים M t ⟶ t → ∞ M {\displaystyle M_{t}{\underset {\scriptstyle t\to \infty }{\longrightarrow }}M} גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע. הערה: אותה התוצאה נכונה גם עבור מרטינגל בזמן בדיד. יהי ( Ω , F , P ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} מרחב הסתברות, ויהי X {\displaystyle X} משתנה מקרי בעל תוחלת סופית. תהי { F n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} פילטרציה של המרחב, כלומר סדרה עולה של תת-סיגמא-אלגבראות של F {\displaystyle {\mathcal {F}}} . נגדיר F ∞ = σ ( F 1 , F 2 , . . . ) {\displaystyle F_{\infty }=\sigma \left(F_{1},F_{2},...\right)} . אזי מתקיים E [ X ∣ F n ] ⟶ n → ∞ E [ X ∣ F ∞ ] {\displaystyle \mathbf {E} \left[X\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[X\mid F_{\infty }\right]} גם במובן של התכנסות נקודתית וגם במובן של התכנסות בממוצע. הסיבה לכך שתוצאה זו קרויה "חוק אפס-אחד", היא כי אם E ∈ F ∞ {\displaystyle E\in F_{\infty }} מאורע כלשהו, אז מהמשפט נובע כי בהסתברות 1, P ( E ∣ F n ) = E [ 1 E ∣ F n ] ⟶ n → ∞ E [ 1 E ∣ F ∞ ] = 1 E {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\mid F_{n}\right)=\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{n}\right]{\underset {\scriptstyle n\to \infty }{\longrightarrow }}\mathbf {E} \left[1_{E}\mid F_{\infty }\right]=1_{E}} . תוצאה זו קובעת במילים פשוטות את העובדה הבאה: אם אנחנו אוגרים מידע אודות מאורע כלשהו שלב אחר שלב, ועוברים על כל השלבים שכולם יחד קובעים את המאורע באופן דטרמיניסטי, אזי בהסתברות 1 ניתן לדעת האם המאורע התרחש או לא. למרות שתוצאה זו נדמית אינטואיטיבית למדי, יש לה תוצאות חשובות ולא טריוויאליות. כך למשל מתוצאה זו ניתן להסיק את חוק האפס-אחד של קולמוגורוב, שכן נובע ממנה שעבור מאורע זנב מתקיים P ( E ) = 1 E {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=1_{E}} בהסתברות 1, ובמילים אחרות P ( E ) ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)\in \left\{0,1\right\}} .