אלגברת סי כוכב

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, אלגברת סי כוכב (או אלגברת *-C) היא אלגברת בנך A מעל שדה המספרים המרוכבים ביחד עם פעולה אונארית ∗ : A → A {\displaystyle \,*:A\rightarrow A} כך ש: הפעולה היא אינוולוציה מסוג שני, כלומר, לכל a , b ∈ A {\displaystyle \,a,b\in A} ולכל סקלר λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } מתקיים: ( a + b ) ∗ = a ∗ + b ∗ {\displaystyle \,(a+b)^{*}=a^{*}+b^{*}} ( a b ) ∗ = b ∗ a ∗ {\displaystyle \,(ab)^{*}=b^{*}a^{*}} ( a ∗ ) ∗ = a {\displaystyle \,(a^{*})^{*}=a} ( λ a ) ∗ = λ ¯ a ∗ {\displaystyle \,(\lambda a)^{*}={\overline {\lambda }}a^{*}} כאשר הקו העליון מעל λ {\displaystyle \lambda } מסמן את הצמוד המרוכב של λ {\displaystyle \lambda } . | | a ∗ a | | = | | a | | 2 {\displaystyle \,||a^{*}a||=||a||^{2}} לכל a ∈ A {\displaystyle \,a\in A} . אלגבראות סי כוכב נקראות גם מרחבים טופולוגיים לא קומוטטיביים. לאלגבראות סי-כוכב חשיבות רבה במכניקת הקוואנטים. על פי משפט גלפנד-נאימרק, כל אלגברת סי-כוכב איזומורפית לתת אלגברה של אלגברת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט. אלגברת האופרטורים הליניארים החסומים מעל מרחב הילברט עם לקיחת צמוד הרמיטי היא אלגברת סי כוכב. אוסף כל האופרטורים הקומפקטים על מרחב הילברט הוא אלגברת סי כוכב. זוהי תת-אלגברה של אלגברת האופרטורים הליניארים החסומים. כמו בכל אלגברת בנך, לכל איבר באלגברת סי-כוכב (עם יחידה) אפשר להגדיר ספקטרום שהוא קבוצה קומפקטית לא-ריקה של מספרים מרוכבים, המכלילה את קבוצת הערכים העצמיים מן התאוריה של טרנספורמציות ליניאריות מממד סופי. הספקטרום של a (המסומן ב σ ( a ) {\displaystyle \,\sigma (a)} ) שווה, על-פי ההגדרה, לאוסף המספרים המרוכבים λ {\displaystyle \,\lambda } כך שהאיבר a − λ ⋅ 1 {\displaystyle a-\lambda \cdot 1} אינו הפיך באלגברה. נניח כי X הוא מרחב טופולוגי שהוא האוסדורף וקומפקטי באופן מקומי (כלומר לכל נקודה יש סביבה קומפקטית). נניח כי f היא פונקציה רציפה על X המקבלת ערכים מרוכבים, כלומר f : X → C {\displaystyle \,f:X\rightarrow \mathbb {C} } . נאמר ש-f "מתאפסת באינסוף" אם לכל ε > 0 {\displaystyle \,\varepsilon >0} קיימת קבוצה קומפקטית K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} כך שלכל x ∈ X − K {\displaystyle x\in X-K} מתקיים | f ( x ) | < ε {\displaystyle \,|f(x)|<\varepsilon } . את אוסף כל הפונקציות הרציפות המתאפסות באינסוף על X נסמן ב C 0 ( X ) {\displaystyle \,C_{0}(X)} . ניתן להוכיח שזוהי אלגברת סי-כוכב, כאשר פעולות החיבור והכפל הן חיבור וכפל רגילים של פונקציות ופעולת הכוכב היא הצמדה של מספרים מרוכבים. בפרט, פעולת הכפל היא קומוטטיבית. לאלגברת סי כוכב שבה פעולת הכפל היא קומוטטיבית קוראים אלגברת סי כוכב קומוטטיבית. משפט הייצוג של גלפנד קובע כי בהינתן אלגברת סי כוכב קומוטטיבית A קיים מרחב טופולוגי האוסדורף קומפקטי באופן מקומי X כך ש A ≅ C 0 ( X ) {\displaystyle \,A\cong C_{0}(X)} . נוסף על כך ניתן להוכיח שאם X ו-Y הם שני מרחבים טופולוגיים אז X הומיאומורפי ל-Y אם ורק אם האלגברה C 0 ( X ) {\displaystyle \,C_{0}(X)} איזומורפית לאלגברה C 0 ( Y ) {\displaystyle \,C_{0}(Y)} . מסיבה זאת ניתן לזהות מרחבים טופולוגיים "סבירים" (כלומר שהם האוסדורף וקומפקטיים באופן מקומי) עם אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות, ולפיכך ניתן לראות באלגבראות סי כוכב כלליות הכללה למושג מרחב טופולוגי, ועקב החוסר בקומוטטיביות, נהוג לקרוא להן מרחבים טופולוגיים לא קומוטטיביים. חלקים נרחבים מהפיתוח של אלגבראות סי כוכב מתבססים על הכללה של שיטות טופולוגיות למרחבים שאינם קומוטטיביים. לעיתים ההכללה למרחבים לא קומוטטיביים היא למעשה פשוטה יותר ובכך מפשטת שיטות טופולוגיות קלאסיות. לדוגמה, תורת K של מרחבים טופולוגיים נותנת אינווריאנטה אלגברית (החבורות K 0 ( X ) {\displaystyle \,K_{0}(X)} ו- K 1 ( X ) {\displaystyle \,K_{1}(X)} ) למרחבים טופולוגיים על ידי שקילויות בין אגדים וקטורים (שהם אובייקט מסובך יחסית) מעליהם. הכללתה של תורת-K לאלגבראות סי כוכב מתבצעת על ידי מחלקות שקילות של הטלות (במקרה של חבורת K 0 {\displaystyle \,K_{0}} ) או של איברים אוניטריים (במקרה של חבורת K 1 {\displaystyle \,K_{1}} ) באלגבראות סי כוכב. איבר a ∈ A {\displaystyle \,a\in A} באלגברת סי כוכב נקרא הטלה אם הוא מקיים a = a 2 = a ∗ {\displaystyle \,a=a^{2}=a^{*}} . איבר a ∈ A {\displaystyle \,a\in A} באלגברת סי כוכב נקרא אוניטרי אם הוא מקיים a a ∗ = a ∗ a = 1 {\displaystyle \,aa^{*}=a^{*}a=1} . אלגברת סי כוכב, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) אלגברות C*, דף שער בספרייה הלאומית אלגברת סי כוכב, באתר MathWorld (באנגלית)