חוג מטריצות

חוג המטריצות הוא חוג הנתון מעל חוג בסיס קבוע, שאבריו הם המטריצות מסדר נתון שרכיביהן שייכים לחוג הבסיס. בניית חוגי מטריצות היא אחת הבניות הבסיסיות בתורת החוגים. הקשר בין חוג המטריצות לחוג המקדמים הדוק למדי; תוספת המטריצות מעשירה את מגוון האפשרויות לטפל בחוג המקורי. זוהי הדוגמה הקלאסית לחוג לא חילופי; חוגים אי-חילופיים רבים קשורים לחוגי מטריצות, להם תפקיד מרכזי באלגברה לא קומוטטיבית. כאשר חוג הבסיס הוא שדה, חוגי המטריצות מעליו נחקרים היטב באלגברה ליניארית. המרכז של חוג מטריצות שווה לאוסף המטריצות הסקלריות מהצורה c I {\displaystyle cI} כאשר c {\displaystyle c} שייך למרכז של חוג המקדמים, כלומר Z ( M n ( R ) ) ≅ Z ( R ) {\displaystyle Z(M_{n}(R))\cong Z(R)} . החבורה הליניארית הפרויקטיבית מוגדרת להיות המנה של חוג מטריצות (ובאופן כללי יותר, חוג אנדומורפיזמים) מעל המרכז שלה, ולה יש חשיבות רבה בגאומטריה אלגברית. חוג המטריצות (מסדר n > 1 {\displaystyle n>1} ) תמיד בעל מחלקי אפס. יש התאמה מלאה בין האידיאלים של חוג המקדמים לבין האידיאלים של חוג המטריצות: כל אידיאל של חוג המטריצות הוא מהצורה M n ( A ) {\displaystyle M_{n}(A)} כאשר A {\displaystyle A} אידיאל בחוג המקדמים, וחוג המנה ביחס לאידיאל זה הוא M n ( R ) / M n ( A ) ≅ M n ( R / A ) {\displaystyle M_{n}(R)/M_{n}(A)\cong M_{n}(R/A)} . ביתר כלליות, חוג מטריצות תמיד שקול מוריטה לחוג המקדמים. חוג המטריצות מסדר n × n {\displaystyle n\times n} איזומורפי לחוג האנדומורפיזמים של המודול החופשי R n {\displaystyle R^{n}} . באופן כללי יותר, מתקיים End ⁡ ( M n ) ≅ M n ( End ⁡ ( M ) ) ) {\displaystyle \operatorname {End} (M^{n})\cong M_{n}(\operatorname {End} (M)))} לכל מודול שמאלי מעל החוג. לעיתים דרושות דרכים להוכיח שחוג מסוים הוא חוג מטריצות. בכל חוג מטריצות יש יחידות מטריצות e i j {\displaystyle e_{ij}} ( i , j = 1 , … , n {\displaystyle i,j=1,\dots ,n} ), המקיימות את שתי התכונות הבאות: e i j e k ℓ = δ j k e i ℓ {\displaystyle e_{ij}e_{k\ell }=\delta _{jk}e_{i\ell }} , e 11 + ⋯ + e n n = I {\displaystyle e_{11}+\cdots +e_{nn}=I} , כאשר I {\displaystyle I} הוא איבר היחידה של חוג המטריצות. יחידות המטריצות מתחלפות עם אברי חוג המקדמים. כיוון שאפשר להציג כל איבר בחוג המטריצות (באופן יחיד) כסכום ∑ a i j e i j {\displaystyle \sum a_{ij}e_{ij}} , עם a i j ∈ R {\displaystyle a_{ij}\in R} , נוסחאות אלה מגדירות את חוג המטריצות. למעשה, כל חוג T {\displaystyle T} שיש בו מערכת של יחידות מטריצות { ϵ i j } i , j = 1 n {\displaystyle \{\epsilon _{ij}\}_{i,j=1}^{n}} , איזומורפי לחוג מטריצות מעל תת-החוג (בלי יחידה) R = ϵ 11 T ϵ 11 {\displaystyle R=\epsilon _{11}T\epsilon _{11}} . האיזומורפיזם הוא t ↦ ∑ i = 1 n ( ϵ 1 i t ϵ j 1 ) e i j {\displaystyle t\mapsto \sum _{i=1}^{n}{(\epsilon _{1i}t\epsilon _{j1})e_{ij}}} . חוג מטריצות מעל חוג עם חילוק הוא גם פשוט ארטיני, ומשפט ודרברן-ארטין קובע את ההפך - כל חוג פשוט ארטיני איזומורפי לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק. בפרט, אם F {\displaystyle F} שדה סגור אלגברית, כל אלגברה פשוטה מממד סופי מעל F {\displaystyle F} היא אלגברת מטריצות, משום שאין אלגברה עם חילוק מעל שדה סגור אלגברית. חוג R {\displaystyle R} הוא פשוט למחצה אם ורק אם כל חוגי המטריצות מעליו פשוטים למחצה. מפורשות, תת-מודול פשוט (כלומר אידיאל שמאלי מינימלי) של M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(R)} הוא קבוצת מטריצות עם איברים לא אפס רק בעמודה מסוימת, שבה האיברים נלקחים מתת-מודול פשוט של R {\displaystyle R} . רדיקל ג'ייקובסון של מטריצות שווה למטריצות מעל הרדיקל: Jac ⁡ ( M n ( R ) ) = M n ( Jac ⁡ ( R ) ) {\displaystyle \operatorname {Jac} (M_{n}(R))=M_{n}(\operatorname {Jac} (R))} , ובפרט חוג הוא פרימיטיבי למחצה אם ורק אם על חוג מטריצות מעליו פרימיטיבי למחצה. חוג האנדומורפיזמים שקילות מוריטה