פונקציה הומוגנית

במתמטיקה, פונקציה הומוגנית מסדר n {\displaystyle n} היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע c {\displaystyle c} , ערך הפונקציה מוכפל ב־ c n {\displaystyle c^{n}} . תהי f : V → W {\displaystyle f:V\to W} פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה F {\displaystyle F} , ויהי k {\displaystyle k} מספר שלם. אזי f {\displaystyle f} תיקרא הומוגנית מסדר k {\displaystyle k} אם f ( α v ) = α k f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )} לכל 0 ≠ α ∈ F {\displaystyle 0\neq \alpha \in F} ולכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} . כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר k {\displaystyle k} כאשר הדרישה f ( α v ) = α k f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )} צריכה להתקיים רק עבור α > 0 {\displaystyle \alpha >0} חיובי, ו- k {\displaystyle k} יכול להיות כל מספר מרוכב. כמו כן, במקרה שבו F {\displaystyle F} הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר k {\displaystyle k} אם מתקיים f ( α v ) = | α | k f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=|\alpha |^{k}f(\mathbf {v} )} לכל α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} . כל העתקה ליניארית f : V → W {\displaystyle f:V\to W} היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: f ( α v ) = α f ( v ) {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )} לכל α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} ולכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} . כל מונום (חד-איבר) ב- n {\displaystyle n} משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית f : F n → F {\displaystyle f:F^{n}\to F} . לדוגמה, שטח של ריבוע S ( a ) = a 2 {\displaystyle S(a)=a^{2}} הוא מונום הומוגני f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר S ( c a ) = c 2 a 2 = c 2 S ( a ) {\displaystyle S(ca)=c^{2}a^{2}=c^{2}S(a)} . סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x y 4 {\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}} הוא פולינום הומוגני מסדר 5. הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת. כלומר אם f {\displaystyle f} פולינום הומוגני מסדר m {\displaystyle m} ו- g {\displaystyle g} פולינום הומוגני מסדר n {\displaystyle n} , אזי f g {\displaystyle {\frac {f}{g}}} היא פונקציה הומוגנית מסדר m − n {\displaystyle m-n} בכל הנקודות חוץ מבשורשים של g {\displaystyle g} . פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון x 2 + y 2 + z 2 ( x + 2 y + 3 z ) 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}}} , מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי. כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1. לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית E k ( m , v ) = 1 2 m v 2 {\displaystyle E_{k}(m,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}} היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית E k ( m , c v ) = 1 2 m c 2 v 2 {\displaystyle E_{k}(m,cv)={\frac {1}{2}}mc^{2}v^{2}} , לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים E k ( c m , v ) = 1 2 c m v 2 {\displaystyle E_{k}(cm,v)={\frac {1}{2}}cmv^{2}} . במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן t {\displaystyle t} נתון על ידי N ( N 0 , t , τ ) = N 0 ⋅ e − t τ {\displaystyle N(N_{0},t,\tau )=N_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}} , ובעוד שמתקיים N ( c N 0 , t , τ ) = c N ( N 0 , t , τ ) {\displaystyle N(cN_{0},t,\tau )=cN(N_{0},t,\tau )} , קרי N {\displaystyle N} היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור N 0 {\displaystyle N_{0}} , היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים. תהי f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } פונקציה חלקה אזי f {\displaystyle f} הומוגנית חיובית מסדר k {\displaystyle k} אם ורק אם: x ⋅ ∇ f ( x ) = ∑ i = 1 n x i ∂ f ∂ x i = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(\mathbf {x} )} ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } : תהי f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר k {\displaystyle k} . אזי f ( a x ) = a k f ( x ) {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )} . נגזור את שני האגפים לפי a {\displaystyle a} ונקבל d f ( a x ) d a = x ⋅ ∇ f ( a x ) = k a k − 1 f ( x ) {\displaystyle {\frac {df(a\mathbf {x} )}{da}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} )} מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל a {\displaystyle a} , נציב a = 1 {\displaystyle a=1} ונקבל x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )} . ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } : תהי f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } פונקציה חלקה המקיימת x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )} לכל x {\displaystyle \mathbf {x} } . נבחר x {\displaystyle \mathbf {x} } כלשהו ונגדיר g ( a ) = a − k f ( a x ) {\displaystyle g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} )} . כעת: d g d a = − k a − k − 1 f ( a x ) + a − k x ⋅ ∇ f ( a x ) {\displaystyle {\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )} נציב a x ⋅ ∇ f ( a x ) = k f ( a x ) {\displaystyle a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} )} ונקבל d g d a = − k a − k − 1 f ( a x ) + a − k k f ( a x ) a = 0 {\displaystyle {\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0} לכן g {\displaystyle g} היא פונקציה קבועה. נשים לב כי g ( 1 ) = f ( x ) {\displaystyle g(1)=f(\mathbf {x} )} , לכן לכל a > 0 {\displaystyle a>0} מתקיים g ( a ) = f ( x ) {\displaystyle g(a)=f(\mathbf {x} )} . כלומר f ( a x ) = a k f ( x ) {\displaystyle f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )} עבור פונקציה f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } גזירה והומוגנית חיובית מסדר k {\displaystyle k} נקבל כי ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} היא הומוגנית מסדר k − 1 {\displaystyle k-1} . כלומר: ∂ f ∂ x i | c x = c k − 1 ∂ f ∂ x i | x {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\bigg |}_{cx}=c^{k-1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\bigg |}_{x}} תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי x i {\displaystyle x_{i}} . שכן על פי משפט אוילר: x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )} נגזור לפי x i {\displaystyle x_{i}} ונקבל ∂ ( x ⋅ ∇ f ( x ) ) ∂ x i = ∂ f ∂ x i + x ⋅ ∇ ∂ f ∂ x i = k ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} ולכן x ⋅ ∇ ∂ f ∂ x i = ( k − 1 ) ∂ f ∂ x i {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה. פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית) המשפט לא תקף עבור a < 0 {\displaystyle a<0} משום ש- g {\displaystyle g} לא מוגדרת בנקודה a = 0 {\displaystyle a=0} .