דרגות חופש (מכניקה)

בפיזיקה, דרגות החופש (באנגלית:Degrees of Freedom או בקיצור:DOF) של מערכת מכנית היא מספר הפרמטרים הבלתי-תלויים המגדירים את תצורתה או מצבה. ערך זה חשוב בניתוח מערכות גופים בתחומים כגון הנדסת מכונות, הנדסת מבנים, הנדסת חלל, רובוטיקה. למיקום של קרונית אחת הנע לאורך מסילה יש דרגת חופש אחת מכיוון שמיקומו מוגדר על ידי המרחק שלה לאורך המסילה. לרכבת המורכבת ממספר קרונות שמחוברות באופן קשיח עדיין יש מידה אחת בלבד של חופש מכיוון שמיקומי הקרונות שמאחורי המנוע מוגבלים על ידי צורת המסילה וחיבורם אחד לשני. רכב עם מתלים קשיחים מאוד יכול להיחשב כגוף קשיח הנוסע על משטח (שטח שטוח דו־ממדי). לגוף זה שלוש דרגות חופש בלתי תלויות המורכבות מתנועת העתקה (אנ') בשני צירים וזווית סיבוב אחת. החלקה או דריפט הם דוגמה טובה לשלוש דרגות חופש בלתי תלויות של רכב. מיקום מצב זוויתי (אנ') של גוף קשיח בחלל מוגדרים על ידי שלושה מרכיבי מיקום (XYZ) ושלושה מרכיבי סיבוב (אחד לכל ציר), מה שאומר שיש לו שש דרגות חופש. שיטת התכנון המכני של אילוץ מדויק מנהלת את דרגות החופש של המכשיר באופן כזה שהמכשיר לא יהיה חופשי מדי או מוגבל מדי. המיקום של גוף קשיח n-ממדי מוגדרת על ידי טרנספורמצית קשיחות (אנ'), [T] = [A, d], כאשר d הוא העתקה n-ממדית ו-A הוא מטריצת סיבוב n × n, אשר מקבל n דרגות חופש מהעתקה ו-n (n - 1)/2 דרגות חופש מסיבוב. מספר דרגות החופש הסיבוביות מגיע מהמימד של קבוצת הסיבוב SO(n) (אנ'). גוף שאינו קשיח אפשר להחשיב אותו כאוסף של חלקיקים זעירים (מספר אינסופי של דרגות חופש), בדרך כלל נהוגים לקרב אותו למערכת בעלת מספר סופי של דרגות חופש. תנועה הכרוכה בעיבורים גדולים היא המטרה העיקרית של מחקרים מודרניים (למשל ניתוח תנועת לוויינים), בקרוב ניתן להתייחס לגוף ניתן לעוות כגוף קשיח (או אפילו חלקיק) על מנת לפשט את הניתוח. ניתן לראות את מידת החופש של מערכת כמספר הקואורדינטות המינימלי הנדרש כדי לציין תצורתה. החלת הגדרה זו נותנת לנו: עבור חלקיק בודד במישור נדרש שתי קואורדינטות כדי להגדיר את מיקומו במישור, כלומר יש לו רק שתי דרגות חופש; חלקיק בודד במרחב דורש שלוש קואורדינטות, ולכן יש לו שלוש דרגות חופש; לשני חלקיקים בחלל יש שש דרגות חופש; אם שני חלקיקים בחלל מוגבלים לשמור על מרחק קבוע אחד מהשני, כמו במקרה של מולקולה דו-אטומית, אז שש הקואורדינטות חייבות לענות על משוואת אילוץ אחת המוגדרת על ידי נוסחת המרחק. מה שמקטין את מידת החופש של המערכת לחמישה, מכיוון שנוסחת המרחק יכולה לשמש כדי לפתור את הקואורדינטות שנותרו לאחר שציינו את חמשת האחרים. גוף קשיח יחיד כולל לכל היותר שש דרגות חופש המורכב משלוש העתקות ושלושה סיבובים. העתקה וסיבוב בכל ציר במרחב התלת הממדי תנועה העתקה למעלה ולמטה; תנועה העתקה ימינה ושמאלה; תנועה העתקה קדימה ואחורה; מסתובב שמאלה וימינה (סבסוב); מסתובב קדימה ואחורה (עלרוד); מסתובב מצד לצד (גלגול). ראו גם: מניפולציה מקבילה (אנ') אילוצים פיזיים עשויים להגביל את מספר דרגות החופש של גוף קשיח יחיד. לדוגמה, תנועת מכונית בכביש כוללת 3 דרגות חופש המורכב משתי העתקות וסיבסוב. לרובוט מיקום XYZ כמו SCARA (אנ') יש ניידות נמוכה יותר של 3 דרגות חופש 3T. נוסחת הניידות סופרת את מספר הפרמטרים המגדירים את התצורה של קבוצת גופים קשיחים המוגבלים על ידי מפרקים המחברים בין גופים אלה. עבור מערכת של n גופים קשיחים הנעים בחלל יש 6n דרגות חופש שנמדדות ביחס למסגרת קבועה (נהוג גם לקרוא למסגרת זו אדמה/קרקע). על מנת לספור את דרגות החופש של מערכת זו, שכלול את המסגרת הקבוע בספירת הגופים, כך שהניידות אינה תלויה בבחירת הגוף היוצר את המסגרת הקבועה. מידת החופש של המערכת הלא מוגבלת של N = n + 1 גופים הוא M = 6 n = 6 ( N − 1 ) , {\displaystyle M=6n=6(N-1),\!} מכיוון שלגוף הקבוע אפס דרגות חופש ביחס לעצמו. מפרקים המחברים גופים במערכת זו מסירים דרגות חופש ומפחיתים את הניידות. באופן ספציפי, צירים ומחליקים מטילים כל אחד חמש מגבלות ולכן מסירים חמש דרגות חופש. נוח להגדיר את מספר האילוצים (constraints) שמפרק מטיל באות c את חופש (freedom) המפרק באות f, כאשר מתקיים c = 6 - f . במקרה של ציר או מחליק, דרגה החופש של הפרק היא אחת, כלומר f = 1 ולכן c = 6 - 1 = 5. התוצאה היא שהניידות של מערכת שנוצרת מ-n חוליות נעות ו-j מפרקים שלכל אחד מהם חופש f i, i = 1, ..., j, ניתן על ידי M = 6 n − ∑ i = 1 j   ( 6 − f i ) = 6 ( N − 1 − j ) + ∑ i = 1 j   f i {\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}} נזכור ש-N כולל את החוליה הקבועה. ישנם שני מקרים מיוחדים חשובים: (i) שרשרת פתוחה פשוטה, ו-(ii) שרשרת סגורה פשוטה. שרשרת פתוחה אחת מורכבת מ-n חוליות נעות המחוברות מקצה לקצה על ידי n מפרקים, כאשר קצה אחד מחובר לחוליית קרקע. לפיכך, במקרה זה N = j + 1 והניידות של השרשרת היא M = ∑ i = 1 j   f i {\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}} עבור שרשרת סגורה פשוטה, n חוליות נעות מחוברים מקצה לקצה על ידי n + 1 מפרקים כך ששני הקצוות מחוברים לחוליית הקרקע ויוצרים לולאה. במקרה זה, יש לנו N = j והניידות של השרשרת היא M = ∑ i = 1 j   f i − 6 {\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6} דוגמה פשוטה לשרשרת פתוחה היא זרוע רובוטית מסוג serial robot manipulator. מערכות רובוטיות אלה בנויות מסדרת חוליות המחוברים על ידי שישה מפרקים בלי דרגת חופש אחת כגון ציר או מחליק, כך שלמערכת יש שש דרגות חופש. דוגמה לשרשרת סגורה פשוטה הוא הצמד מרחבי מסוג ארבע-מוטות (RSSR). סכום החופש של המפרקים הללו הוא שמונה, כך שניידות ההצמדה היא שתיים, כאשר אחת מדרגות החופש היא סיבוב המצמד סביב הקו שיוצרים שני מפרקי ה-S. נהוג לתכנן מערכת חוליות (אנ') כך שתנועת כל הגופים במערכת נאלצת להתקיים על מישורים מקבילים, כדי ליצור מה שמכונה צימוד מישורי (planar linkage). אפשר גם לבנות את מערכת החוליות כך שכל הגופים נעים על גבי כדורים קונצנטריים, ויוצרים הצמדה כדורית. בשני המקרים, דרגות החופש של הקישורים בכל מערכת הן כעת שלוש ולא שש, והאילוצים שמציב המפרקים הם כעת c = 3 - f . במקרה זה, נוסחת הניידות ניתנת על ידי M = 3 ( N − 1 − j ) + ∑ i = 1 j   f i , {\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},} והמקרים המיוחדים הופכים להיות שרשרת פתוחה או כדורית פשוטה, M = ∑ i = 1 j   f i , {\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},} שרשרת סגורה פשוטה או כדורית, M = ∑ i = 1 j   f i − 3. {\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.} דוגמה לשרשרת מישורית סגורה ופשוטה היא מנגנון הארבעה מוטות, שהיא לולאה בעלת ארבע מוטות עם ארבעה מפרקים בעלי דרגת חופש אחת, ולכן יש לה ניידות M = 1. מערכת עם מספר גופים תהיה בעלת DOF משולב שהוא סכום ה-DOF של הגופים, פחות האילוצים הפנימיים שיש להם מתנועה יחסית. מנגנונים המכילים מספר גופים קשיחים מחוברים עשויים להיות בעלי יותר דרגות חופש מאשר לגוף קשיח יחיד. כאן המונח דרגות חופש משמש לתיאור מספר הפרמטרים הדרושים כדי לציין את התנוחה המרחבית של המנגנון. הוא מגדיר גם בהקשר של מרחב הקונפיגורציה, מרחב המשימות וסביבת העבודה של רובוט. סוג הצמדה ספציפי הוא שרשרת קינמטית (אנ') פתוחה, בה קבוצה של חוליות קשיחות מחוברות במפרקים; מפרק עשוי לספק דרגת חופש אחת (ציר/הזזה), או שתיים (גליליים). שרשראות כאלה נמצאות בשימוש בדרך כלל ברובוטיקה, ביו-מכניקה, ולוויינים ומבני חלל אחרים. זרוע אנושית נחשבת לבעלת שבעה DOF. כתף נותנת עלדור, סבסוב, וגלגול, מרפק מאפשר עלדור, ופרק כף היד מאפשר עלדור, סבסוב וגלגול. רק 3 מאותן תנועות נדרשות להעביר את היד לכל נקודה במרחב, אך אם לאנשים היו רק שלוש מהן, אז לא הייתה להם היכולת לתפוס דברים מזוויות או כיוונים שונים. רובוט (או חפץ) שיש בו מנגנונים לשלוט בכל 6 DOF שלו נאמר שהוא הולונומי (holonomic). אומרים שאובייקט עם פחות דרגות חופש לשליטה מהכמות הכוללת של דרגות החופש שלו נקרא אי-הולונומי, ואובייקט עם יותר דרגות חופש לשליטה מהכמות הכוללת של דרגות החופש שלו (כמו הזרוע האנושית) נאמר שהוא יתיר (redundant). אם כי יש לזכור כי השליטה היתר בזרוע האנושית אינה מיותרת משום ששני מדרגות החופש, פרק כף היד והכתף, המייצגים את אותה תנועה, גלגול, מחפים אחד על השני מכיוון שכל אחד מהם בנפרד לא מסוגל לעשות תנועה של 360 מעלות. דרגת החופש היא כמו תנועות שונות שניתן לבצע. ברובוטיקה ניידת, רובוט דמוי מכונית יכול להגיע לכל מיקום והתמצאות במרחב דו-ממדי, ולכן הוא זקוק ל-3 DOF כדי לתאר את תנוחתו, אך בכל נקודה נוכל להזיז אותו רק על ידי תנועה קדימה וזווית היגוי. כלומר יש לו שתי דרגות חופש לשליטה ושלוש דרגות חופש לייצוג המיקום והתנוחה; אזי אי-הולונומי. כנף של מטוס, עם 3–4 דרגות חופש של שליטה (תנועה קדימה, גלגול, עלדור, ובמידה מוגבלת, סבסוב) בחלל תלת-ממדי, גם הוא אינו הולונומי, מכיוון שהוא אינו יכול לנוע ישירות למעלה ולמטה שמאל וימין. סיכום הנוסחאות והשיטות לחישוב דרגות החופש במערכות מכניות ניתן על ידי Pennestri, Cavacece ו-Vita. בהנדסת חשמל משתמשים בדרגות חופש לעיתים קרובות לתיאור מספר הכיוונים בהם אנטנת מערך מופע יכולה ליצור אלומות או אפסים (beams or nulls). דרגות החופש שוות לאחד פחות ממספר האלמנטים הכלולים במערך, מכיוון שאלמנט אחד משמש כביקורת שכנגדה לקונסטרוקטיביות או הרסניות של הפרעות שמתבצעות באמצעות כל שאר מרכיבי האנטנה הנותרים. דוגמה לכך היא תרגול מכ"ם ותרגול תקשורת, כאשר היגוי אלומה נפוץ יותר ליישומי מכ"ם והיגוי אפס נפוץ יותר לדיכוי הפרעות בתקשורת. קינמטיקה דרגות חופש (פיזיקה וכימיה) מדיה וקבצים בנושא דרגות חופש בוויקישיתוף Hale, Layton C., Principles and techniques for designing precision machines, Massachusetts Institute of Technology, 1999 J. J. Uicker, G. R. Pennock, and J. E. Shigley, 2003, Theory of Machines and Mechanisms, Oxford University Press, New York. J. M. McCarthy and G. S. Soh, Geometric Design of Linkages, 2nd Edition, Springer 2010 E. Pennestri`, M. Cavacece, L. Vita, On the Computation of Degrees-of-Freedom: A Didactic Perspective, American Society of Mechanical Engineers Digital Collection, 2008-06-11, עמ' 1733–1741 doi: 10.1115/DETC2005-84109