עקיפת פראונהופר

עקיפת פראונהופר באופטיקה היא תבנית העקיפה המתקבלת כאשר גל עובר דרך מחסום בעל מפתח, על מסך שניצב בעברו האחר של המחסום במרחק גדול ממנו (אזור הנקרא השדה הרחוק). התופעה קרויה על שמו של הפיזיקאי הגרמני יוזף פראונהופר. כאשר גל מישורי בעל משרעת A {\displaystyle A} פוגע במחסום מישורי בעל מפתח, משרעת הגל לאחר המחסום שווה למכפלת משרעת הגל המישורי שפגע בו בפונקציית העברת המשרעת של המחסום, המסומנת T ( x , y ) {\displaystyle T(x,y)} . מחסום פשוט הוא מחסום בעל מפתח, כך שלאחר המחסום הגל מתאפס למעט באזור המפתח, שם הגל עובר ללא שינוי. דוגמה לפונקציית העברה של מחסום כזה היא פונקציית המלבן הדו־ממדית, המתארת מפתח מרובע. מחסומים מורכבים יותר הם כאלה שמכפילים את הגל בהגברים שונים כתלות במיקום על המחסום. הגבר שהוא מספר מרוכב מציין כי בנוסף לשינוי המשרעת, נוסף לגל גם מופע. הגל המועבר דרך המחסום מסומן:   U ( x ′ , y ′ ) = A T ( x ′ , y ′ ) {\displaystyle \ U(x',y')=AT(x',y')} כאשר מערכת הצירים במישור המחסום z = 0 {\displaystyle z=0} מסומנת x ′ , y ′ {\displaystyle x',y'} . מערכת הצירים על פני מסך מישורי הניצב במרחק z {\displaystyle z} מסומנת x , y {\displaystyle x,y} והגל הפוגע במסך מסומן U ( x , y , z ) {\displaystyle U(x,y,z)} . לפי עקרון הויגנס, הקשר בין הגל הפוגע במסך לבין הגל היוצא מהמחסום נתון במערכת צירים קרטזית על ידי: U ( x , y , z ) = k z 2 π i ∬ − ∞ ∞ U ( x ′ , y ′ ) e i k ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 + z 2 d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {kz}{2\pi i}}\iint _{-\infty }^{\infty }U(x',y'){\frac {e^{ik{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}}{(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}dx'dy'} כאשר k מספר הגל והאינטגרל הוא על כל המחסום. קירוב פרנל תקף כאשר מתקיים: z 3 >> k 8 ( ( x − x ′ ) 2 + ( y − y ′ ) 2 ) 2 {\displaystyle z^{3}>>{\frac {k}{8}}((x-x')^{2}+(y-y')^{2})^{2}} בתנאי זה ניתן לקרב את התוצאה לעקיפת פרנל: U ( x , y , z ) = k e i k z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) 2 π i z ∬ − ∞ ∞ [ U ( x ′ , y ′ ) e i k 2 z ( x ′ 2 + y ′ 2 ) ] e − i k z ( x x ′ + y y ′ ) d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}{2\pi iz}}\iint _{-\infty }^{\infty }[U(x',y')e^{i{\frac {k}{2z}}(x'^{2}+y'^{2})}]e^{-i{\frac {k}{z}}(xx'+yy')}dx'dy'} אם בנוסף מתקיים: z >> k ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 2 {\displaystyle z>>{\frac {k(x'^{2}+y'^{2})}{2}}} מתקבלת עקיפת פראונהופר: U ( x , y , z ) = k e i k z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) 2 π i z ∬ − ∞ ∞ U ( x ′ , y ′ ) e − i k z ( x x ′ + y y ′ ) d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}{2\pi iz}}\iint _{-\infty }^{\infty }U(x',y')e^{-i{\frac {k}{z}}(xx'+yy')}dx'dy'} זאת ניתן לכתוב באמצעות התמרת פורייה עם כיווץ בתדר. התמרת פורייה הדו-ממדית של פונקציה   g ( x , y ) {\displaystyle \ g(x,y)} מוגדרת: G ( f X , f Y ) = F { g ( x , y ) } ≡ ∬ − ∞ ∞ g ( x , y ) e − i 2 π ( f X x + f Y y ) d x d y {\displaystyle G(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\left\{g(x,y)\right\}\equiv \iint _{-\infty }^{\infty }g(x,y)e^{-i2\pi (f_{X}x+f_{Y}y)}dxdy} כאשר   f X , f Y {\displaystyle \ f_{X},f_{Y}} הם התדרים המרחביים בכיוונים x,y בהתאמה. מכאן: U ( x , y , z ) = k e i k z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) 2 π i z ⋅ F { U ( x ′ , y ′ ) } | f X = k x 2 π z ; f Y = k y 2 π z {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}{2\pi iz}}\cdot {\mathcal {F}}\left.\{U(x',y')\}\right|_{f_{X}={\frac {kx}{2\pi z}};f_{Y}={\frac {ky}{2\pi z}}}} ואם נגדיר: H ( f X , f Y ) = F { k e i k z 2 π i z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) } {\displaystyle H(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\{{\frac {ke^{ikz}}{2\pi iz}}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}\}} G ( f X , f Y ) = F { U ( x ′ , y ′ ) } {\displaystyle G(f_{X},f_{Y})={\mathcal {F}}\{U(x',y')\}} אז: U ( x , y , z ) = H ( f X , f Y ) ⋅ G ( f X , f Y ) | f X = k x 2 π z ; f Y = k y 2 π z {\displaystyle U(x,y,z)=\left.H(f_{X},f_{Y})\cdot G(f_{X},f_{Y})\right|_{f_{X}={\frac {kx}{2\pi z}};f_{Y}={\frac {ky}{2\pi z}}}} גל מישורי בעל משרעת A פוגע במחסום בעל פונקציית העברה בצורת פונקציית המלבן הדו-ממדית: T ( x ′ , y ′ ) = r e c t ( x ′ 2 a ) r e c t ( y ′ 2 b ) {\displaystyle T(x',y')=rect({\frac {x'}{2a}})rect({\frac {y'}{2b}})} התמרת פורייה של פונקציית המלבן היא הפונקציה s i n c ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)} . עקיפת פראונהופר היא: U ( x , y , z ) = k e i k z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) 2 π i z ⋅ F { A T ( x ′ , y ′ ) } | f X = k x 2 π z ; f Y == k y 2 π z = {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {ke^{ikz}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}{2\pi iz}}\cdot {\mathcal {F}}\left.\{AT(x',y')\}\right|_{f_{X}={\frac {kx}{2\pi z}};f_{Y}=={\frac {ky}{2\pi z}}}=} = k e i k z e i k 2 z ( x 2 + y 2 ) 2 π i z A s i n c ( a k x π z ) s i n c ( b k y π z ) {\displaystyle ={\frac {ke^{ikz}e^{i{\frac {k}{2z}}(x^{2}+y^{2})}}{2\pi iz}}A\mathrm {sinc} ({\frac {akx}{\pi z}})\mathrm {sinc} ({\frac {bky}{\pi z}})} העוצמה של אור שעובר במפתח כזה היא ריבוע המשרעת: I ( x , y ) = | U ( x , y ) | 2 = A 2 4 π 2 z 2 s i n c 2 ( a k x π z ) s i n c 2 ( b k y π z ) {\displaystyle I(x,y)=|U(x,y)|^{2}={\frac {A^{2}}{4\pi ^{2}z^{2}}}\mathrm {sinc} ^{2}({\frac {akx}{\pi z}})\mathrm {sinc} ^{2}({\frac {bky}{\pi z}})} באופן דומה, תבנית העקיפה של גל הפוגע במחסום בעל פונקציית העברה בצורת עיגול: T ( x ′ , y ′ ) = { 1 if  x ′ 2 + y ′ 2 < R 0 if  x ′ 2 + y ′ 2 > R {\displaystyle T(x',y')={\begin{cases}1&{\mbox{if }}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}<R\\[3pt]0&{\mbox{if }}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}>R\end{cases}}} נתונה על ידי: U ( r ) = e i k z e i k r 2 2 z A k π i z J 1 ( k R r / z ) k R r / z {\displaystyle U(r)=e^{ikz}e^{i{\frac {kr^{2}}{2z}}}{\frac {Ak}{\pi iz}}{\frac {J_{1}(kRr/z)}{kRr/z}}} כאשר r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} ו- J 1 {\displaystyle J_{1}} היא פונקציית בסל מהסוג הראשון מסדר 1. העוצמה נתונה על ידי: I ( x , y ) = [ A k π z J 1 ( k R r / z ) k R r / z ] 2 {\displaystyle I(x,y)=[{\frac {Ak}{\pi z}}{\frac {J_{1}(kRr/z)}{kRr/z}}]^{2}} Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, Chapter 4