התפלגות לפלס

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות לפלס היא התפלגות הסתברות רציפה הקרויה על שם פייר-סימון לפלס. היא נקראת לפעמים גם התפלגות מעריכית כפולה, כיוון שניתן לראותה כשתי התפלגויות מעריכיות (עם פרמטר מיקום נוסף) המחוברות יחדיו, אם כי המונח משמש לעיתים גם להתייחסות להתפלגות גומבל(אנ'). פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות לפלס עם פרמטרים μ {\displaystyle \mu } ו b {\displaystyle b} היא f ( x ∣ μ , b ) = 1 2 b exp ⁡ ( − | x − μ | b ) , {\displaystyle f(x\mid \mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right),} . μ {\displaystyle \mu } הוא פרמטר מיקום, ו b > 0 {\displaystyle b>0} הוא פרמטר קנה מידה. אִם μ = 0 {\displaystyle \mu =0} ו b = 1 {\displaystyle b=1} , ההתפלגות על חצי הישר הממשי זהה להתפלגות המעריכית עד כדי פקטור 1/2. פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות לפלס דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית; עם זאת, בעוד שההתפלגות הנורמלית מתבטאת במונחים של ריבוע ההפרש מהממוצע μ {\displaystyle \mu } , צפיפות לפלס מתבטאת במונחי הערך המוחלט של ההפרש מהממוצע. כתוצאה מכך, להתפלגות לפלס יש זנב עבה יותר מזה של ההתפלגות הנורמלית. זהו מקרה פרטי של ההתפלגות הנורמלית המוכללת וההתפלגות ההיפרבולית(אנ'). התפלגויות סימטריות רציפות שיש להן זנבות אקספוננציאליים, כמו התפלגות לפלס, אך בעלות פונקציות צפיפות הסתברות בעלות נגזרת רציפה גם בשכיח כוללות את ההתפלגות הלוגיסטית והתפלגות הסקנט ההיפרבולי(אנ'). קל לבצע אינטגרציה של פונקציית הצפיפות של התפלגות לפלס, לקבל את פונקציית ההתפלגות המצטברת: F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( u ) d u = { 1 2 exp ⁡ ( x − μ b ) if  x < μ 1 − 1 2 exp ⁡ ( − x − μ b ) if  x ≥ μ = 1 2 + 1 2 sgn ⁡ ( x − μ ) ( 1 − exp ⁡ ( − | x − μ | b ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\1-{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{cases}}\\&={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {sgn}(x-\mu )\left(1-\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\right).\end{aligned}}} הפונקציה ההופכית להתפלגות המצטברת היא F − 1 ( p ) = μ − b sgn ⁡ ( p − 0.5 ) ln ⁡ ( 1 − 2 | p − 0.5 | ) {\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|)} . μ r ′ = ( 1 2 ) ∑ k = 0 r [ r ! ( r − k ) ! b k μ ( r − k ) { 1 + ( − 1 ) k } ] {\displaystyle \mu _{r}'={\bigg (}{\frac {1}{2}}{\bigg )}\sum _{k=0}^{r}{\bigg [}{\frac {r!}{(r-k)!}}b^{k}\mu ^{(r-k)}\{1+(-1)^{k}\}{\bigg ]}} אם X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} אז k X + c ∼ Laplace ( k μ + c , | k | b ) {\displaystyle kX+c\sim {\textrm {Laplace}}(k\mu +c,|k|b)} . אם X ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} אז b X ∼ Laplace ( 0 , b ) {\displaystyle bX\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)} . אם X ∼ Laplace ( 0 , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(0,b)} אז | X | ∼ Exponential ( b − 1 ) {\displaystyle \left|X\right|\sim {\textrm {Exponential}}\left(b^{-1}\right)} (התפלגות מעריכית). אם X , Y ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} אז X − Y ∼ Laplace ( 0 , λ − 1 ) {\displaystyle X-Y\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)} ． אם X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} אז | X − μ | ∼ Exponential ( b − 1 ) {\displaystyle \left|X-\mu \right|\sim {\textrm {Exponential}}(b^{-1})} . אם X ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} אז X ∼ GND ( μ , b , 1 ) {\displaystyle X\sim {\textrm {GND}}(\mu ,b,1)} (התפלגות נורמלית מוכללת). אם X 1 , . . . , X 4 ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{1},...,X_{4}\sim {\textrm {N}}(0,1)} (התפלגות נורמלית) אז X 1 X 2 − X 3 X 4 ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle X_{1}X_{2}-X_{3}X_{4}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} and ( X 1 2 − X 2 2 + X 3 2 − X 4 2 ) / 2 ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle (X_{1}^{2}-X_{2}^{2}+X_{3}^{2}-X_{4}^{2})/2\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} . אם X i ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X_{i}\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} אז 2 b ∑ i = 1 n | X i − μ | ∼ χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle {\frac {\displaystyle 2}{b}}\sum _{i=1}^{n}|X_{i}-\mu |\sim \chi ^{2}(2n)} (התפלגות כי בריבוע). אם X , Y ∼ Laplace ( μ , b ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu ,b)} אז | X − μ | | Y − μ | ∼ F ⁡ ( 2 , 2 ) {\displaystyle {\tfrac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)} . (התפלגות F) אם X , Y ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle X,Y\sim {\textrm {U}}(0,1)} (התפלגות אחידה רציפה) אז log ⁡ ( X / Y ) ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle \log(X/Y)\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} . אם X ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} ו- Y ∼ Bernoulli ( 0.5 ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Bernoulli}}(0.5)} (התפלגות ברנולי) בלתי תלוי ב- X {\displaystyle X} , אז X ( 2 Y − 1 ) ∼ Laplace ( 0 , λ − 1 ) {\displaystyle X(2Y-1)\sim {\textrm {Laplace}}\left(0,\lambda ^{-1}\right)} . אם X ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} ו- Y ∼ Exponential ( ν ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\nu )} בלתי תלוי ב- X {\displaystyle X} , אז λ X − ν Y ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle \lambda X-\nu Y\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} ． אם X {\displaystyle X} מתפלג ראדמאכר(אנ') ו Y ∼ Exponential ( λ ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Exponential}}(\lambda )} אז X Y ∼ Laplace ( 0 , 1 / λ ) {\displaystyle XY\sim {\textrm {Laplace}}(0,1/\lambda )} . יהיו X , Y {\displaystyle X,Y} משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים לפלס: X ∼ Laplace ( μ X , b X ) {\displaystyle X\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{X},b_{X})} ו- Y ∼ Laplace ( μ Y , b Y ) {\displaystyle Y\sim {\textrm {Laplace}}(\mu _{Y},b_{Y})} . נרצה לחשב את ההסתברות P ( X > Y ) {\displaystyle P(X>Y)} . ניתן לפשט את P ( X > Y ) {\displaystyle P(X>Y)} באמצעות התכונות לעיל ל P ( μ + b Z 1 > Z 2 ) {\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})} , כאשר Z 1 , Z 2 ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z_{1},Z_{2}\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} , μ = μ X − μ Y b Y {\displaystyle \mu ={\frac {\mu _{X}-\mu _{Y}}{b_{Y}}}} ו b = b X b Y {\displaystyle b={\frac {b_{X}}{b_{Y}}}} . הסתברות זו שווה ל- P ( μ + b Z 1 > Z 2 ) = { b 2 e μ / b − e μ 2 ( b 2 − 1 ) , when  μ < 0 1 − b 2 e − μ / b − e − μ 2 ( b 2 − 1 ) , when  μ > 0 {\displaystyle P(\mu +bZ_{1}>Z_{2})={\begin{cases}{\frac {b^{2}e^{\mu /b}-e^{\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu <0\\1-{\frac {b^{2}e^{-\mu /b}-e^{-\mu }}{2(b^{2}-1)}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}} כאשר b = 1 {\displaystyle b=1} ניתן להמיר את שני הביטויים בגבול שלהם כאשר b → 1 {\displaystyle b\to 1} : P ( μ + Z 1 > Z 2 ) = { e μ ( 2 − μ ) 4 , when  μ < 0 1 − e − μ ( 2 + μ ) 4 , when  μ > 0 {\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})={\begin{cases}e^{\mu }{\frac {(2-\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu <0\\1-e^{-\mu }{\frac {(2+\mu )}{4}},&{\text{when }}\mu >0\\\end{cases}}} כדי לחשב את המקרה μ > 0 {\displaystyle \mu >0} נשים לב כי P ( μ + Z 1 > Z 2 ) = 1 − P ( μ + Z 1 < Z 2 ) = 1 − P ( − μ − Z 1 > − Z 2 ) = 1 − P ( − μ + Z 1 > Z 2 ) {\displaystyle P(\mu +Z_{1}>Z_{2})=1-P(\mu +Z_{1}<Z_{2})=1-P(-\mu -Z_{1}>-Z_{2})=1-P(-\mu +Z_{1}>Z_{2})} כיוון ש Z ∼ − Z {\displaystyle Z\sim -Z} כאשר Z ∼ Laplace ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\textrm {Laplace}}(0,1)} . ניתן לייצג משתנה מקרי המתפלג לפלס כהפרש של שני משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות (iid) המתפלגים מעריכית. אחת הדרכים להראות זאת היא באמצעות גישת הפונקציה האופיינית. לכל קבוצה של משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים, לכל שילוב ליניארי של אותם משתנים, ניתן לרכוש את הפונקציה האופיינית שלו (שקובעת באופן ייחודי את ההתפלגות) על ידי הכפלת הפונקציות האופייניות המתאימות. בהינתן n {\displaystyle n} דגימות בלתי תלויות ושוות התפלגות x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} , אומד הנראות המקסימלית (MLE) של μ {\displaystyle \mu } הוא חציון המדגם μ ^ = m e d i a n ( x ) {\displaystyle {\hat {\mu }}=\mathrm {median} (x)} . אומד ה-MLE של b {\displaystyle b} הוא הסטייה המוחלטת הממוצעת מהחציון b ^ = 1 n ∑ i = 1 n | x i − μ ^ | {\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\hat {\mu }}|} . התפלגות לפלס שימשה בזיהוי דיבור כדי למדל התפלגויות פריוריות על מקדמי התמרת פוריה בזמן בדיד (DFT) ובדחיסת תמונת JPEG. הוספה של רעש שנלקח מהתפלגות לפלס, עם פרמטר קנה מידה המתאים לרגישות הפונקציה, לפלט של שאילתת מסד נתונים סטטיסטי היא אמצעי נפוץ לספק פרטיות דיפרנציאלית במסדי נתונים סטטיסטיים. בניתוח רגרסיה, אומדן הסטיות הפחות אבסולוטיות מתעורר כאומדן הסבירות המקסימלית אם לשגיאות יש התפלגות לפלס. ניתן להתייחס ל מודל לאסו (אנ') כאל רגרסיה בייסיאנית עם הסתברות פריורית לפלס. בהידרולוגיה התפלגות לפלס מיושמת לאירועי קיצון כגון כמות גשמים מרבית שנתית של יום אחד וספיקה של נהרות. האיור הכחול, ממחיש דוגמה להתאמת התפלגות לפלס לכמות הגשמים המקסימלית השנתית המדורגת של יום אחד, המציגה גם את רווח בר סמך של 90% על סמך ההתפלגות הבינומית. נתוני הגשמים מיוצגים על ידי התווית מיקומים כחלק מניתוח התדירות המצטבר. להתפלגות לפלס יש יישומים בתחום הפיננסים. לדוגמה, מודל למחירי מכשירים פיננסיים המשלב התפלגות לפלס כדי לטפל בבעיות של צידוד, וגבנוניות המתרחשות לעיתים קרובות בעת שימוש בהתפלגות נורמלית לתמחור מכשירים אלה. התפלגות לפלס, בהיותה התפלגות מורכבת או כפולה, ישימה במצבים שבהם הערכים הנמוכים מקורם בתנאים חיצוניים שונים מהגבוהים כך שהם עוקבים אחר דפוס שונה. בהינתן משתנה מקרי U {\displaystyle U} בעל התפלגות אחידה רציפה בקטע ( − 1 / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle \left(-1/2,1/2\right)} , למשתנה המקרי X = μ − b sgn ⁡ ( U ) ln ⁡ ( 1 − 2 | U | ) {\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)} התפלגות לפלס עם פרמטרים μ {\displaystyle \mu } ו b {\displaystyle b} . תוצאה זו נובע מפונקציית ההתפלגות המצטברת ההופכית שנתונה לעיל. התפלגות לפלס מכונה לעיתים קרובות "חוק השגיאות הראשון של לפלס". פייר סימון לפלס פרסם אותו בשנת 1774, תוך מידול תדירות שגיאה כפונקציה מעריכית של גודל השגיאה בערך מוחלט. לפלס יחליף מאוחר יותר את המודל הזה ב"חוק השגיאות השני" שלו, שהתבסס על ההתפלגות הנורמלית, לאחר גילוי משפט הגבול המרכזי. ב-1911 פרסם קיינס מאמר המבוסס על התזה המוקדמת שלו, שבה הראה שהתפלגות לפלס מזערה את הסטייה המוחלטת מהחציון. מדיה וקבצים בנושא התפלגות לפלס בוויקישיתוף התפלגות לפלס, באתר MathWorld (באנגלית) Kotz, Samuel; Kozubowski, Tomasz J.; Podgórski, Krzysztof (2001). The Laplace distribution and generalizations: a revisit with applications to Communications, Economics, Engineering and Finance. Birkhauser. pp. 23 (Proposition 2.2.2, Equation 2.2.8). ISBN 9780817641665. Robert M. Norton (במאי 1984). "The Double Exponential Distribution: Using Calculus to Find a Maximum Likelihood Estimator". The American Statistician. American Statistical Association. 38 (2): 135–136. doi:10.2307/2683252. JSTOR 2683252. {{cite journal}}: (עזרה) Eltoft, T.; Taesu Kim; Te-Won Lee (2006). "On the multivariate Laplace distribution" (PDF). IEEE Signal Processing Letters. 13 (5): 300–303. doi:10.1109/LSP.2006.870353. אורכב מ-המקור (PDF) ב-2013-06-06. נבדק ב-2012-07-04. Minguillon, J.; Pujol, J. (2001). "JPEG standard uniform quantization error modeling with applications to sequential and progressive operation modes" (PDF). Journal of Electronic Imaging. 10 (2): 475–485. doi:10.1117/1.1344592. CumFreq for probability distribution fitting Pardo, Scott (2020). Statistical Analysis of Empirical Data Methods for Applied Sciences. Springer. p. 58. ISBN 978-3-030-43327-7. Kou, S.G. (8 באוגוסט 2002). "A Jump-Diffusion Model for Option Pricing". Management Science. 48 (8): 1086–1101. doi:10.1287/mnsc.48.8.1086.166. JSTOR 822677. נבדק ב-2022-03-01. {{cite journal}}: (עזרה) Chen, Jian (2018). General Equilibrium Option Pricing Method: Theoretical and Empirical Study. Springer. p. 70. ISBN 9789811074288. A collection of composite distributions Laplace, P-S. Wilson, Edwin Bidwell (1923). "First and Second Laws of Error". Journal of the American Statistical Association. Informa UK Limited. 18 (143): 841–851. doi:10.1080/01621459.1923.10502116. ISSN 0162-1459. Keynes, J. M. (1911). "The Principal Averages and the Laws of Error which Lead to Them". Journal of the Royal Statistical Society. JSTOR. 74 (3): 322–331. doi:10.2307/2340444. ISSN 0952-8385. JSTOR 2340444.