אי-שוויון קנטורוביץ'

במתמטיקה, אי-שוויון קנטורוביץ' הוא מקרה פרטי של אי-שוויון קושי-שוורץ, שהוא בעצמו הכללה של אי-שוויון המשולש, ונקרא על שם הכלכלן, המתמטיקאי וזוכה פרס נובל הסובייטי, לאוניד קנטורוביץ', שהיה חלוץ בתחום התכנון הליניארי. בצורתו הפשוטה, אי-שוויון המשולש, קובע כי בכל משולש, סכום אורכי כל שתי צלעות יהיה שווה לאורך הצלע השלישית או גדול ממנה. במילים פשוטות, אי-שוויון קנטורוביץ׳ מתרגם את הרעיון הבסיסי של אי-שוויון המשולש למונחים ולסימונים של תכנון ליניארי. פורמלית, ניתן לבטא את אי-שוויון קנטורוביץ' כך: נסמן A n = { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle A_{n}=\{1,2,\cdots ,n\}} . אם לכל i {\displaystyle i} ב- A n {\displaystyle A_{n}} , קיימים p i ≥ 0 {\displaystyle p_{i}\geq 0} , ו- x i {\displaystyle x_{i}} המקיים 0 < a ≤ x i ≤ b {\displaystyle 0<a\leq x_{i}\leq b} , אזי ( ∑ i = 1 n p i x i ) ( ∑ i = 1 n p i x i ) ≤ ( a + b ) 2 4 a b ( ∑ i = 1 n p i ) 2 − ( b − a ) 2 4 a b ⋅ min { ( ∑ i ∈ X p i − ∑ j ∈ Y p j ) 2 : X ∪ Y = A n , X ∩ Y = ∅ } . {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}\\&\qquad -{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min \left\{\left(\sum _{i\in X}p_{i}-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\,:\,{X\cup Y=A_{n}},{X\cap Y=\varnothing }\right\}.\end{aligned}}} אם, בניסוח הקודם, מתקיים גם ∑ i p i = 1 {\displaystyle \sum _{i}p_{i}=1} , ניתן לפרש את המקדמים כהסתברויות. לכן, אם נגדיר משתנה מקרי X {\displaystyle X} המקבל את כל אחד מהערכים x i {\displaystyle x_{i}} בהסתברות p i {\displaystyle p_{i}} , אזי E [ X ] ⋅ E [ 1 X ] = ( ∑ i = 1 n p i x i ) ( ∑ i = 1 n p i x i ) ≤ ( a + b ) 2 4 a b ( ∑ i = 1 n p i ) 2 − ( b − a ) 2 4 a b ⋅ min Y ∈ A n { ( 1 − 2 ∑ j ∈ Y p j ) 2 } = ( a + b ) 2 4 a b − ( b − a ) 2 4 a b ⋅ min Y ∈ A n { 1 − 4 ∑ j ∈ Y p j + 4 ( ∑ j ∈ Y p j ) 2 } = 1 − ( b − a ) 2 a b ⋅ min Y ∈ A n { ∑ j ∈ Y p j ( 1 − ∑ j ∈ Y p j ) } . {\displaystyle {\begin{aligned}E[X]\cdot E\left[{\frac {1}{X}}\right]&=\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\\&\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}\left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}\right)^{2}\\&\qquad -{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min _{Y\in A_{n}}\left\{\left(1-2\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\right\}\\&={\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}-{\frac {(b-a)^{2}}{4ab}}\cdot \min _{Y\in A_{n}}\left\{1-4\sum _{j\in Y}p_{j}+4\left(\sum _{j\in Y}p_{j}\right)^{2}\right\}\\&=1-{\frac {(b-a)^{2}}{ab}}\cdot \min _{Y\in A_{n}}\left\{\sum _{j\in Y}p_{j}\left(1-\sum _{j\in Y}p_{j}\right)\right\}.\end{aligned}}} הביטוי שצריך למזער מקבל ערך מינימלי כאשר מחלקים את ההסתברויות בצורה הכי קרובה לקבוצות שוות הסתברות, כלומר, ∑ j ∈ Y p j ≈ 1 2 {\displaystyle \sum _{j\in Y}p_{j}\approx {\frac {1}{2}}} , ואז החסם יהיה הכי גדול. במילים אחרות, אם ניתן לחלק את A n {\displaystyle A_{n}} באופן זר ל- X {\displaystyle X} ול- Y {\displaystyle Y} כך שמתקיים ∑ i ∈ X p i = ∑ j ∈ Y p j {\displaystyle \sum _{i\in X}p_{i}=\sum _{j\in Y}p_{j}} , אז ( ∑ i = 1 n p i x i ) ( ∑ i = 1 n p i x i ) ≤ ( a + b ) 2 4 a b {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{x_{i}}}\right)\leq {\frac {(a+b)^{2}}{4ab}}} והחסם הדוק. מרשל ואולקין ניסחו גם גרסה מטריציונית לאי-שוויון קנטרוביץ': תהי A {\displaystyle A} מטריצה הרמיטית חיובית לחלוטין שכל אחד מערכיה העצמיים, α i {\displaystyle \alpha _{i}} , מקיים 0 < m ≤ α i ≤ M {\displaystyle 0<m\leq \alpha _{i}\leq M} עבור m {\displaystyle m} ו- M {\displaystyle M} חיוביים כלשהם. כמו כן, תהי U {\displaystyle U} מטריצה כלשהי המקיימת U U ∗ = I {\displaystyle UU^{*}=I} , כאשר U ∗ {\displaystyle U^{*}} הוא הצמוד ההרמיטי של U {\displaystyle U} , ו- I {\displaystyle I} היא מטריצת היחידה מסדר מתאים. בתנאים אלה, U A − 1 U ∗ ≤ m + M m M I − U A U ∗ m M ≤ ( m + M ) 2 4 m M ( U A U ∗ ) − 1 {\displaystyle UA^{-1}U^{*}\leq {\frac {m+M}{mM}}I-{\frac {UAU^{*}}{mM}}\leq {\frac {\left(m+M\right)^{2}}{4mM}}\left(UAU^{*}\right)^{-1}} . הדמיון לאי-שוויון קנטורוביץ' שהוצג לעיל מתגלה אם מכפילים מימין ב- U A U ∗ {\displaystyle UAU^{*}} את הביטויים בקצוות האי-שוויון, ומתקבל ( U A − 1 U ∗ ) ( U A U ∗ ) ≤ ( m + M ) 2 4 m M {\displaystyle \left(UA^{-1}U^{*}\right)\left(UAU^{*}\right)\leq {\frac {\left(m+M\right)^{2}}{4mM}}} פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. אי-שוויון קנטורוביץ׳ משמש בראש ובראשונה באנליזת התכנסות, שם הוא מטיל חסם על קצב ההתכנסות של אלגוריתם הירידה התלולה ביותר (steepest descent) של קושי. אי-שוויון קנטורוביץ', באתר MathWorld (באנגלית) אי-שוויון קנטורוביץ', במילון תכנון מתמטי ראו מרחב וקטורי, מכפלה פנימית ומרחב נורמי לדוגמאות אחרות כיצד ניתן להכליל את הרעיונות הבסיסיים הטמונים באי-שוויון המשולש – קטע, קו ישר ומרחק – להקשר רחב יותר. Marshall, A. W.; Olkin, I. (1990). "Matrix versions of the Cauchy and Kantorovich inequalities". Aequationes Mathematicae. Springer Science and Business Media LLC. 40 (1): 89–93. doi:10.1007/bf02112284. ISSN 0001-9054.