סימון דיראק

סימון דיראק (או כתיב דיראק או סימון בְּרָה-קֵט) הוא הסימון הסטנדרטי לתיאור מצבים קוונטים במכניקת הקוונטים, אף על פי שאפשר להשתמש בסימון זה לציון וקטורים במרחב וקטורי מופשט ואף פונקציונלים. שמו של הסימון הוא מעין "התחכמות לשונית" של ממציאו פול דיראק: מכפלה פנימית של שני מצבים, הנקראת באנגלית "בְּרָקֵט" (bracket) ומסומנת על ידי ⟨ ϕ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle } מכילה למעשה חלק שמאלי ⟨ ϕ | {\displaystyle \langle \phi |} , אשר נקרא "בְּרָה" (bra) וחלק ימני | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } הנקרא "קֵט" (ket). סימון דיראק בא לתאר את הפורמליזם המתמטי של מכניקת הקוונטים, בה המערכת נמצאת במצב קוונטי שהוא סופרפוזיציה קוונטית של מצבים עצמיים של גודל מדיד (המיוצג על ידי אופרטור הרמיטי). לכל גודל מדיד מתאים סט של מצבים עצמיים המייצגים את הערכים שאפשר למדוד. סימון דיראק מסייע לחשב את ההסתברות למדוד ערך a של אופרטור A כאשר המערכת נמצאת במצב קוונטי | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } . בסימון דיראק מדידה (או הטלה) מיוצגת על ידי מכפלה פנימית ⟨ a | ψ ⟩ {\displaystyle \langle a|\psi \rangle } כאשר ריבוע הערך המוחלט שלה נותן את ההסתברות. בכתיב מתמטי: Prob ( A = a ) = | ⟨ a | ψ ⟩ | 2 {\displaystyle {\mbox{Prob}}\left(A=a\right)=\left|\langle a|\psi \rangle \right|^{2}} . הערך a הוא מצב עצמי של האופרטור A המקיים A | a ⟩ = a | a ⟩ {\displaystyle A|a\rangle =a|a\rangle } (כאשר ה-a מחוץ ל"קט" הוא סקלר). סימון דיראק אומר שאפשר לחשב את הסיכוי למדידת הערך a במצב | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } על ידי הטלת המצב | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } על המצב העצמי | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } . בסיס המקום (או בסיס המרחב) מורכב ממצבים עצמיים | r → ⟩ {\displaystyle |{\vec {r}}\rangle } שכל אחד מהם מייצג חלקיק שפונקציית הגל שלו מרוכזת במקום מסוים r → {\displaystyle {\vec {r}}} . כאשר מטילים עליו, נהוג לסמן ⟨ r → | ψ ⟩ = ψ ( r → ) {\displaystyle \langle {\vec {r}}|\psi \rangle =\psi ({\vec {r}})} ולקרוא לביטוי ψ ( r → ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}})} פונקציית הגל של החלקיק. במכניקת הקוונטים, המצב של מערכת פיזיקלית מזוהה על ידי וקטור במרחב הילברט מרוכב H {\displaystyle H} . כל וקטור במרחב זה נקרא "קט" ונכתב בצורה | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } , כאשר ψ {\displaystyle \psi } מייצג קט מסוים. לכל קט | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } קיים ברה דואלי אשר מצוין על ידי ⟨ ψ | {\displaystyle \langle \psi |} שהוא למעשה פונקציונל ליניארי מ- H {\displaystyle H} ל- C {\displaystyle \mathbb {C} } בהתאם להגדרה הקאנונית: ⟨ ψ | ρ ⟩ = ( | ψ ⟩ , | ρ ⟩ ) {\displaystyle \langle \psi |\rho \rangle =(|\psi \rangle ,|\rho \rangle )} לכל ה"קטים" | ρ ⟩ {\displaystyle |\rho \rangle } כאשר ⟨   |   ⟩ {\displaystyle \langle \ |\ \rangle } מייצג את המכפלה הפנימית המוגדרת על מרחב הילברט. סימון זה מקבל את הצדקתו בזכות משפט ההצגה של ריס, הקובע כי מרחב הילברט והמרחב הדואלי שלו איזומורפיים ואיזומטריים. לפיכך, לכל ברה מתאים קט אחד בלבד ולהפך. למעשה, סימון דיראק יכול לשמש, באופן זהה, מרחבים וקטוריים, גם אם אלו אינם מרחבי הילברט. בכל מרחב בנך אפשר לציין את הווקטורים באמצעות ברה ואת הפונקציונלים הליניארים באמצעות קט. למעשה, מעל כל מרחב וקטורי, אשר לא מוגדרת עליו טופולוגיה, אפשר לסמן את הווקטורים והפונקציונלים הליניאריים באמצעות ברה וקט. במקרים יותר כלליים אלו של מרחבים בלי מכפלה פנימית, ל"ברקט" אין את המשמעות של מכפלה פנימית. הצמדתו של ה"ברה" ⟨ ϕ | {\displaystyle \langle \phi |} ל"קט" | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } מניבה מספר מרוכב, המסומן על ידי ⟨ ϕ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle } . במכניקת הקוונטים זוכה סימון זה לפירוש כמשרעת ההסתברות שהמצב ψ {\displaystyle \psi } יקרוס אל המצב ϕ {\displaystyle \phi } . מאחר שמדובר במרחב הילברט שהוא בפרט מרחב וקטורי, המכפלה הפנימית וההצמדה ההרמיטית מקיימות את התכונות הבאות: בי-ליניאריות בשני משתנים: ⟨ ϕ | ( c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ ) = c 1 ⟨ ϕ | ψ 1 ⟩ + c 2 ⟨ ϕ | ψ 2 ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\;(c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle )=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle } ( c 1 ⟨ ϕ 1 | + c 2 ⟨ ϕ 2 | ) | ψ ⟩ = c 1 ∗ ⟨ ϕ 1 | ψ ⟩ + c 2 ∗ ⟨ ϕ 2 | ψ ⟩ {\displaystyle (c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|)\;|\psi \rangle =c_{1}^{*}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}^{*}\langle \phi _{2}|\psi \rangle } הצמוד הדואלי של c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 1 ⟩ {\displaystyle c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{1}\rangle } הוא c 1 ∗ ⟨ ψ 1 | + c 2 ∗ ⟨ ψ 1 | {\displaystyle c_{1}^{*}\langle \psi _{1}|+c_{2}^{*}\langle \psi _{1}|} כמו בכל מרחב מכפלה פנימית אחר מתקיים: ⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ψ | ϕ ⟩ ∗ {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \psi |\phi \rangle ^{*}} אם A ^ : H → H {\displaystyle {\hat {A}}:H\rightarrow H} הוא אופרטור ליניארי, אפשר להפעיל את האופרטור A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} על וקטור קט כך: A ^ | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {A}}|\psi \rangle } . לאופרטורים ליניארים יש חשיבות גדולה במכניקת הקוונטים, בין השאר מכיוון שכל גודל פיזיקלי מדיד (כדוגמת אנרגיה או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור ליניארי הרמיטי, כלומר מתקיים: A ^ = A ^ † {\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }} , כאשר הסימן † {\displaystyle \dagger } נקרא "דאגר" (בעברית: צלבון), ומייצג צמוד הרמיטי של אופרטור נתון. אופרטורים הרמיטיים יכולים לפעול גם על ברה, על ידי הפונקציונל ( ⟨ ϕ | A ^ ) | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ( A ^ | ψ ⟩ ) {\displaystyle (\langle \phi |{\hat {A}})\;|\psi \rangle =\langle \phi |\;({\hat {A}}|\psi \rangle )} , ונהוג לסמן פונקציונל כזה בצורה ⟨ ϕ | A | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |A|\psi \rangle } . עבור אופרטורים לא הרמיטיים, מקובל הסימון: ⟨ ϕ | A ^ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | A ^ ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |{\hat {A}}|\psi \rangle =\langle \phi |{\hat {A}}\psi \rangle } ⟨ ϕ | A † ^ | ψ ⟩ = ⟨ A ^ ϕ | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |{\hat {A^{\dagger }}}|\psi \rangle =\langle {\hat {A}}\phi |\psi \rangle } דרך נוחה אחרת להגדיר אופרטורים ליניאריים על המרחב H {\displaystyle H} היא על ידי מכפלה חיצונית: עבור ברה ⟨ ϕ | {\displaystyle \langle \phi |} וקט | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } מוגדר אופרטור על ידי המכפלה החיצונית P ^ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | {\displaystyle {\hat {P}}=|\psi \rangle \langle \phi |} , כך שלכל קט | ρ ⟩ {\displaystyle |\rho \rangle } , P ^ | ρ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | ρ ⟩ = ⟨ ϕ | ρ ⟩ ⋅ | ψ ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}|\rho \rangle =|\psi \rangle \langle \phi |\rho \rangle =\langle \phi |\rho \rangle \cdot |\psi \rangle } כלומר, אחרי הפעלת האופרטור, המכפלה הפנימית ⟨ ϕ | ρ ⟩ {\displaystyle \langle \phi |\rho \rangle } תהיה המקדם של הקט | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } . שימוש מרכזי בהגדרה זו הוא בהצגת אופרטור הטלה; כאשר נתון וקטור ⟨ ϕ | {\displaystyle \langle \phi |} בעל נורמה 1 (כלומר: ⟨ ϕ | ϕ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \phi |\phi \rangle =1} ), האופרטור | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | {\displaystyle |\phi \rangle \langle \phi |} מבצע הטלה האורתוגונלית לתוך תת-המרחב הנפרש על ידי | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } . בנוסף, בהינתן בסיס שלם { | ψ i ⟩ } i {\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i}} , ניתן להציג כל אופרטור A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} כסכום איברים, A ^ = ∑ i , j a i j | ψ i ⟩ ⟨ ψ j | {\displaystyle {\hat {A}}=\sum _{i,j}a_{ij}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{j}|} כך שהמקדמים מקיימים a i j = ⟨ ψ i | A ^ | ψ j ⟩ {\displaystyle a_{ij}=\langle \psi _{i}|{\hat {A}}|\psi _{j}\rangle } , והם נקראים "איברי המטריצה של A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} ". בפרט, אם המקדמים a i j {\displaystyle a_{ij}} הם הדלתא של קרונקר ( δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} ), האופרטור הוא אופרטור היחידה, ומסמנים: 1 ^ = ∑ i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i | {\displaystyle {\hat {1}}=\sum _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|} במכניקת הקוונטים לעיתים קרובות יותר נוח לעבוד עם הטלות של מצבים וקטורים לתוך בסיס מסוים, מאשר עם הווקטורים עצמם. הסיבה לכך היא שההיטלים הם מספרים מרוכבים, אשר אפשר לנסח במונחים של משוואה דיפרנציאלית חלקית (דוגמה לכך אפשר לראות בפיתוח המצבים העצמיים של משוואת שרדינגר). לדוגמה, מרחב הילברט של חלקיק נקודתי בעל ספין אפס נפרש על ידי בסיס המקום { | x ⟩ } {\displaystyle \lbrace |\mathbf {x} \rangle \rbrace } כאשר הסימון x {\displaystyle \mathbf {x} } מייצג סט של וקטורי בסיס. אם נתחיל על קט כלשהו | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } במרחב הילברט, ניתן לאפיינו באמצעות פונקציה סקלרית של x {\displaystyle \mathbf {x} } הידועה בשם פונקציית הגל: ψ ( x ) ≡ ⟨ x | ψ ⟩ {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\psi \rangle } תחת הצגה זאת נהוג להגדיר אופרטור ליניארי הפועל על פונקציות גל במונחים של אופרטורים ליניאריים הפועלים על קטים על ידי A ψ ( x ) ≡ ⟨ x | A | ψ ⟩ {\displaystyle A\psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |A|\psi \rangle } אף על פי שהאופרטור A {\displaystyle A} הנמצא בצד שמאל של המשוואה מסומן בצורה זהה לזאת של האופרטור A {\displaystyle A} בצד ימין, יש להבין כי מדובר בשתי ישויות מתמטיות שונות; בעוד הראשונה פועלת על פונקציות גל, השנייה פועלת על קטים, כלומר על וקטורים במרחב הילברט. לדוגמה, אמנם לאופרטור התנע p {\displaystyle p} יש, באופן תאורטי, את הצורה הבאה: p ψ ( x ) ≡ ⟨ x | p | ψ ⟩ = − i ℏ ∇ ψ ( x ) {\displaystyle \mathbf {p} \psi (\mathbf {x} )\equiv \langle \mathbf {x} |\mathbf {p} |\psi \rangle =-i\hbar \nabla \psi (x)} אין זה בלתי-סביר להיתקל גם בכתיבה מהצורה: − i ℏ ∇ | ψ ⟩ {\displaystyle -i\hbar \nabla |\psi \rangle } אפשר לומר כי זהו "שימוש חורג", למרות השימוש הנפוץ בו. במקרה זה יש לחשוב על האופרטור הדיפרנציאלי כאופרטור ליניארי מופשט במרחב הילברט הפועל על קטים ומקבל את משמעותו הדיפרנציאלית רק כאשר מתורגם הווקטור לפונקציית הגל בבסיס המקום. כאשר יש מספר מצבים קוונטים המאפיינים את המערכת, התיאור המתמטי הפורמלי שלה הוא למעשה מכפלה טנזורית (מכפלה חיצונית) של הקטים ממרחבי הילברט. לרוב משתמשים במרחבי מכפלה כאשר יש מספר חלקיקים בבעיה. שני מרחבי הילברט, V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} , יכולים ליצור מרחב הילברט שלישי V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} בעזרת מכפלה טנזורית. במכניקת הקוונטים, מרחב זה משמש לתיאור מערכות מורכבות. אם מערכת מורכבת משתי מערכות שנסמנן ב- V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} בהתאמה, אז כל המערכת תתואר על ידי המכפלה הטנזורית של שני המרחבים (יוצא מן הכלל לכך הוא המצב בו שתי תתי-המערכות מתארות חלקיקים זהים. במקרה זה העניין מסובך יותר). אם | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } הוא קט במרחב V {\displaystyle V} ו- | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } הוא קט במרחב W {\displaystyle W} , אזי המכפלה הטנזורית של שני הקטים תהיה הקט V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} . נהוג לרשום ביטוי זה גם כ- | ψ ⟩ | ϕ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle } או כ- | ψ ⟩ ⊗ | ϕ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle } או לחלופין כ- | ψ ϕ ⟩ {\displaystyle |\psi \phi \rangle } נניח שיש 2 חלקיקים בעלי מסה זהה עם ההמילטוניאן: H = p 1 2 2 m + p 2 2 2 m + V ( r 1 → ) + V ( r 2 → ) {\displaystyle H={\frac {p_{1}^{2}}{2m}}+{\frac {p_{2}^{2}}{2m}}+V({\vec {r_{1}}})+V({\vec {r_{2}}})} לכל אחד יהיה סט מצבים עצמיים | n ⟩ ∈ H {\displaystyle |n\rangle \in \mathbb {H} } כאשר H {\displaystyle \mathbb {H} } הוא מרחב הילברט שנפרש על ידי המצבים העצמיים של ההמילטוניאן H = p 2 2 m + V ( r → ) {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})} . את התיאור של המצב הקוונטי של 2 החלקיקים נתאר באמצעות קט השייך למרחב המכפלה | ψ ⟩ ∈ H ⊗ H {\displaystyle |\psi \rangle \in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H} } , קט כזה יהיה מהצורה | ψ ⟩ = | n ⟩ 1 ⊗ | k ⟩ 2 = | n ⟩ 1 | k ⟩ 2 {\displaystyle |\psi \rangle =|n\rangle _{1}\otimes |k\rangle _{2}=|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}} כאשר בכתיבת קטים נהוג להשמיט את סימן המכפלה הטנזורית. נהוג להגדיר אופרטור החלפת חלקיקים. עבור חלקיקים הוא מוגדר כך: P 21 | n ⟩ 1 | k ⟩ 2 = | k ⟩ 1 | n ⟩ 2 {\displaystyle P_{21}|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}=|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}} עבור N חלקיקים מגדירים באופן דומה אופרטור פרמוטציה (תמורה) שמסדר מחדש את האינדקסים של N החלקיקים. חילוף (כלומר, אופרטור החלפת חלקיקים) הוא מקרה פרטי של פרמוטציה. למעשה, כל פרמוטציה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים. ניתן לומר שפונקציית הגל (ליתר דיוק, המצב הקוונטי) סימטרית להחלפת חלקיקים אם P 21 | ψ ⟩ = | ψ ⟩ {\displaystyle P_{21}|\psi \rangle =|\psi \rangle } . לדוגמה, פונקציית הגל | ψ s ⟩ = 1 2 ( | n ⟩ 1 | k ⟩ 2 + | k ⟩ 1 | n ⟩ 2 ) {\displaystyle |\psi _{s}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}+|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}\right)} היא סימטרית להחלפת חלקיקים שכן P 21 ( | n ⟩ 1 | k ⟩ 2 + | k ⟩ 1 | n ⟩ 2 ) = | k ⟩ 1 | n ⟩ 2 + | n ⟩ 1 | k ⟩ 2 = | n ⟩ 1 | k ⟩ 2 + | k ⟩ 1 | n ⟩ 2 {\displaystyle P_{21}\left(|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}+|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}\right)=|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}+|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}=|n\rangle _{1}|k\rangle _{2}+|k\rangle _{1}|n\rangle _{2}} . באותו אופן, נאמר שפונקציית הגל אנטי-סימטרית להחלפת חלקיקים אם P 21 | ψ ⟩ = − | ψ ⟩ {\displaystyle P_{21}|\psi \rangle =-|\psi \rangle } . להגדרות ותכונות אלה יש חשיבות רבה כאשר מדובר במערכת של חלקיקים זהים. ניתוח פיזיקלי מתקדם (תורת שדות) ותוצאות של ניסויים הראו שניתן לסווג את כל החלקיקים בטבע על פי התנהגותם כאשר יש מערכת של זוג חלקיקים זהים: פרמיונים – חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא אנטי-סימטרית, והם מקיימים את עקרון האיסור של פאולי: שני פרמיונים לא יכולים להיות באותו מצב קוונטי בעת ובעונה אחת. בוזונים – חלקיקים שפונקציית הגל שלהם היא סימטרית, ועשויים לאכלס את אותו המצב הקוונטי בו־זמנית. עבור חלקיק בעל ספין שאינו אפס, ניתן להציג את מרחב הילברט כמכפלה של מרחב מיקום H {\displaystyle \mathbb {H} } ומרחב ספין S {\displaystyle \mathbb {S} } . לפיכך, אופרטור ההחלפה של חלקיקים יהיה מכפלת ההחלפות בשני המרחבים. אם נסמן את המרחב בו פועל האופרטור באינדקס עליון, יתקיים P 21 S × H ∣ s 1 s 2 ⟩ ∣ n k ⟩ = P 21 S ∣ s 1 s 2 ⟩ ⊗ P 21 H ∣ n k ⟩ =∣ s 2 s 1 ⟩ ∣ k n ⟩ {\displaystyle P_{21}^{\mathbb {S} \times \mathbb {H} }\mid s_{1}s_{2}\rangle \mid nk\rangle =P_{21}^{\mathbb {S} }\mid s_{1}s_{2}\rangle \otimes P_{21}^{\mathbb {H} }\mid nk\rangle =\mid s_{2}s_{1}\rangle \mid kn\rangle } , ובהכללה לצירופים ליניאריים. לכן אם מעוניינים שמכפלת מצב ספין s ומצב מיקום ψ {\displaystyle \psi } תהיה סימטרית להחלפה, צריך שגם מצב המיקום וגם מצב הספין יהיו סימטריים או ששניהם יהיו אנטי-סימטריים. אם מעוניינים שמכפלתם תהיה אנטי-סימטרית, אז הספין צריך להיות סימטרי והמיקום צריך להיות אנטי-סימטרי, או להפך. הדוגמה הנפוצה ביותר לשימוש במרחב מכפלה היא מצב EPR שמופיע בגרסת דייוויד בוהם לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן, מצב זה מתואר באופן מתמטי על ידי | EPR ⟩ = 1 2 ( | ↑ ⟩ 1 | ↓ ⟩ 2 − | ↓ ⟩ 1 | ↑ ⟩ 2 ) {\displaystyle |{\mbox{EPR}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\uparrow \rangle _{1}|\downarrow \rangle _{2}-|\downarrow \rangle _{1}|\uparrow \rangle _{2}\right)} כאשר הקט השמאלי יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 1 (כיוון החץ מציין את כיוון הספין) והקט הימני יותר מייצג את הספין של חלקיק מספר 2. מצב זה הוא מצב שזור של אנטי-קורלציה מוחלטת; בכל כיוון שמודדים ספין, הספין של חלקיק 2 יהיה הפוך לזה של חלקיק 1. לדוגמה, אם מודדים ל-1 ספין מעלה, אזי ל־2 יימדד בהכרח ספין מטה, ואם מודדים ל-1 ספין מטה, אז ל־2 יימדד בהכרח ספין מעלה. מדיה וקבצים בנושא סימון דיראק בוויקישיתוף סימני דיראק(הקישור אינו פעיל), סיכום של הרצאותיו של פרופסור אלכס גרסטן סימון דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)