יציבות במובן ליאפונוב

יציבות במובן ליאפונוב מתייחסת ליציבות של משוואות דיפרנציאליות עבור מערכת דינמיות. התאוריה הבסיסית מתייחסת ליציבות של נקודת שיווי משקל (נש"מ) של המערכת x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} , כלומר מערכת ללא כניסה חיצונית. ניתוח היציבות מבוסס על "פונקציית אנרגיה" חיובית של המערכת V ( x ) {\displaystyle V(x)} , אשר ערכה יורד עם הזמן לאורך מסלולי המערכת. פונקציה כזאת תקרא "פונקציית ליאפונוב". המונח יציבות במובן ליאפונוב נקראת על שמו של המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב אשר פרסם את ספרו הבעיה הכללית של יציבות בתנועה בשנת 1892. ליאפונוב היה הראשון שלקח בחשבון את כך שדרושה התאמה מסוימת עבור מערכת לא ליניארית על מנת שיהיה ניתן להשתמש בתאורית היציבות של מערכות ליניאריות עבורה. דבר זה נעשה על ידי ליניאריזציה של המערכת בסביבת הנש"מ. עבודתו שתחילה פורסמה ברוסית ולאחר מכן תורגמה לצרפתית זכתה למעט תשומת לב לאורך שנים רבות. השינוי החל בתקופת המלחמה הקרה כאשר השיטה המכונה "השיטה העקיפה של ליאפונוב" נמצאה בעלת ערך רב עבור יציבות של מערכות ניווט אוויריות אשר בדרך כלל אינן ליניאריות בצורה חזקה ולא ניתנות לפתרון באמצעות שיטות אחרות. נניח שהמערכת היא n ממדית וללא כניסה חיצונית x ˙ = f ( x ) , x ∈ R n {\displaystyle {\dot {x}}=f(x),x\in {\mathcal {R}}^{n}} . נש"מ-נקודת שיווי משקל (equilibrium point): הנש"מ של המערכת x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} מוגדרת כנקודה הנמצאת במישור המצב x e ∈ R n {\displaystyle x_{e}\in {\mathcal {R}}^{n}} ומקיימת את האילוץ f ( x e ) = 0 {\displaystyle f(x_{e})=0} . עבור מערכת לא ליניארית יכול להיות מספר כלשהו (כולל 0) של נש"מ. יציבות במובן ליאפונוב: הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} תקרא יציבה במובן ליאפונוב אם: ∀ R > 0   ∃ r > 0 : | | x ( 0 ) − x e | | < r ⇒ | | x ( t ) − x e | | < R , ∀ t > 0 {\displaystyle \forall R>0\ \exists r>0:||x(0)-x_{e}||<r\Rightarrow ||x(t)-x_{e}||<R,\forall t>0} משמעות הביטוי המתמטי במילים פשוטות הוא שעל מסלול המערכת x ( t ) {\displaystyle x(t)} להישאר "בקרבת הנש"מ" אך לא בהכרח להתכנס אליה. הגדרה זו היא הגדרת היציבות החלשה ביותר. נש"מ שאיננה יציבה על פי הגדרה זו תקרא בלתי יציבה (Unstable). יציבות אסימפטוטית: הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} תוגדר כיציבה אסימפטוטית אם: היא יציבה במובן ליאפונוב | | x ( 0 ) − x e | | < r ⇒ l i m t → ∞ x ( t ) = x e {\displaystyle ||x(0)-x_{e}||<r\Rightarrow lim_{t\to \infty }x(t)=x_{e}} במילים פשוטות המערכת יציבה אסימפטוטית עם מסלול המערכת יציב במובן ליאפונוב ובנוסף לכך המסלול מתכנס בסוף התהליך לנש"מ. נניח כמקודם שהמערכת היא n ממדית וללא כניסה חיצונית x ˙ = f ( x ) , x ∈ R n {\displaystyle {\dot {x}}=f(x),x\in {\mathcal {R}}^{n}} ובעלת הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} . לשם הפשטות נניח כי x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} , ניתן להראות שההכללה לנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} נעשית בפשטות יחסית על ידי הזזת קואורדינטות, דוגמה לכך ניתן למצוא בספר Nonlinear system. נניח המערכת f ( x ) {\displaystyle f(x)} רציפה ∀ x ∋ L | f ( x ) − f ( y ) | < L ( x − y )   f o r   a l l   y   i n   s o m e   n e i g h b o r h o o d   o f   x {\displaystyle \forall x\ni L|f(x)-f(y)|<L(x-y)\ for\ all\ y\ in\ some\ neighborhood\ of\ x} נניח פונקציה V ( x ) {\displaystyle V(x)} (תסומן כפונקציית ליאפונוב) אשר גזירה ברציפות בכל התחום הדרוש. הגדרת נגזרת לאורך מסלול המערכת: נגדיר: V ˙ ( x ) = d d t V ( x ( t ) ) ∣ x ( t ) = x {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x(t))\mid _{x(t)=x}} , כאשר x ( t ) {\displaystyle x(t)} מסלול כלשהו של המערכת x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} . זוהי הנגזרת של הפונקציה V ( x ( t ) ) {\displaystyle V(x(t))} אשר מחושבת בנקודה x ( t ) = x {\displaystyle x(t)=x} . על ידי השימוש בנוסחת הגזירה עבור הרכב פונקציות נקבל לבסוף את הביטוי הבא: V ˙ ( x ) = d V ( x ) d x ⋅ f ( x ) = [ d V d x 1 , ⋯ , d V d x n ] [ f 1 ( x ) ⋮ f n ( x ) ] ≡ ∑ i = 1 n d V ( x ) d x i f i ( x ) {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {dV(x)}{dx}}\cdot f(x)={\begin{bmatrix}{\frac {dV}{dx_{1}}},\cdots ,{\frac {dV}{dx_{n}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f_{1}(x)\\\vdots \\f_{n}(x)\end{bmatrix}}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\frac {dV(x)}{dx_{i}}}f_{i}(x)} V ˙ ( x ) {\displaystyle {\dot {V}}(x)} היא פונקציה של המצב x {\displaystyle x} ולא של הזמן t {\displaystyle t} . פונקציה זו מוגדרת כ: הנגזרת של V {\displaystyle V} לאורך מסלולי המערכת השונים. משפט - יציבות מקומית תהי x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} הנש"מ של המערכת x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} . תהי C {\displaystyle C} סביבה פתוחה כלשהי של הראשית נניח כי V : C → R n {\displaystyle V:C\to {\mathcal {R}}^{n}} גזירה ברציפות ב C {\displaystyle C} ומקיימת: V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0} , V ( x ) > 0 {\displaystyle V(x)>0} עבור x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . V ˙ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0} . אזי x e {\displaystyle x_{e}} הנה נש"מ יציבה (במובן ליאפונוב). אם במקום V ˙ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0} מתקיים V ˙ ( x ) < 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0} עבור x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . אזי x e {\displaystyle x_{e}} הנה נש"מ יציבה אסימפטוטית. את ההוכחה המלאה למשפט ניתן למצוא בספר Nonlinear system ניתן לראות בפונקציית ליאפונוב מעין "פונקציית אנרגיה" של המערכת, אם כי אין בהכרח קשר לאנרגיה הפיזיקלית. הקושי העיקרי בשיטת ליאפונוב הוא במציאת פונקציית ליאפונוב מתאימה. דוגמה: x ˙ = f ( x ) = { x ˙ 1 = x 1 ( x 1 2 + x 2 2 − 2 ) − x 1 x 2 2 x ˙ 2 = x 1 2 x 2 + x 2 ( x 1 2 + x 2 2 − 2 ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)={\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)-x_{1}x_{2}^{2}\\{\dot {x}}_{2}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)\end{cases}}} נבחר את פונקציית ליאפונוב V ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle V(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} ניתן לראות כי V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0} וכי V ( x ) > 0 {\displaystyle V(x)>0} עבור כל x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} כמו כן: V ˙ ( x ) = 2 x 1 f 1 ( x ) + 2 x 2 f 2 ( x ) = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) ( x 1 2 + x 2 2 − 2 ) {\displaystyle {\dot {V}}(x)=2x_{1}f_{1}(x)+2x_{2}f_{2}(x)=2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)} לכן V ˙ ( x ) < 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0} עבור כל ערך הנמצא התחום ( x 1 2 + x 2 2 ) < 2 {\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})<2} ומכאן כי הנש"מ של המערכת x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} יציבה אסימפטוטית. קיום פונקציית ליאפונוב אחת מן השאלות העולות האם עבור כל נש"מ יציבה (אסימפטוטית) ניתן למצוא פונקציית ליאפונוב? התשובה לשאלה זאת היא חיובית, אולם הבעיה העיקרית שההוכחה של עובדה זו אינה קונסטרוקטיבית, כלומר שההוכחה אינה מראה כיצד ניתן למצוא פונקציה זו. ניתן לקבוע יציבות מקומית של נש"מ המערכת באמצעות ליניאריזציה של המערכת סביב לנש"מ. שיטה זו ידועה גם בשם "השיטה העקיפה של ליאפונוב" נתבונן במערכת הליניארית x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} בעלת הנש"מ x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} . עבור המערכת מתקיים המשפט הבא: הנש"מ של המערכת x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} יציבה אסימפטוטית אם ורק אם R e ( λ i ) < 0 {\displaystyle Re(\lambda _{i})<0} עבור כל i {\displaystyle i} . הערה: את ההוכחה עצמה ניתן למצוא בספרות הסבר: ניקח את המערכת x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} , בעלת הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} כלומר f ( x e ) = 0 {\displaystyle f(x_{e})=0} . כמו כן נניח שהמערכת f ( x ) {\displaystyle f(x)} היא בעלת נגזרות רציפות בסביבת הנש"מ. מכיוון ש f ( x e ) = 0 {\displaystyle f(x_{e})=0} , אזי פיתוח טור טיילור מסדר ראשון של המערכת מסביב לנש"מ נותן: f ( x ) = A ( x − x e ) + h i g h e r p o w e r s o f ( x − x e ) {\displaystyle f(x)=A(x-x_{e})+higher\quad powers\quad of(x-x_{e})} כאשר A = d f d x ∣ x = x e = [ d f 1 d x 1 , ⋯ , d f 1 d x n ⋮ ⋱ ⋮ d f n d x 1 , ⋯ , d f n d x n ] x = x e {\displaystyle A={\frac {df}{dx}}\mid _{x=x_{e}}={\begin{bmatrix}{\frac {df_{1}}{dx_{1}}}&,\cdots ,&{\frac {df_{1}}{dx_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {df_{n}}{dx_{1}}}&,\cdots ,&{\frac {df_{n}}{dx_{n}}}\end{bmatrix}}_{x=x_{e}}} כלומר ש A {\displaystyle A} היא מטריצת היעקוביאן של המערכת בנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} . משפט: λ 1 , . . . , λ n {\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}} הם הערכים העצמים של מטריצה A {\displaystyle A} הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} יציבה אסימפטוטית אם R e ( λ i ) < 0 {\displaystyle Re(\lambda _{i})<0} עבור כל i {\displaystyle i} . הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} בלתי יציבה אם R e ( λ i ) > 0 {\displaystyle Re(\lambda _{i})>0} עבור i {\displaystyle i} כלשהו. במקרה גבולי בו R e ( λ i ) = 0 {\displaystyle Re(\lambda _{i})=0} עבור i {\displaystyle i} כלשהו (בעוד כל השאר שליליים), לא ניתן לקבוע יציבות באמצעות שיטה זו. בחלקים הקודמים הגדרות היציבות היו בעלות אופי מקומי, כלומר אפיינו את התנהגות המערכת בסביבת הנש"מ. בחלק זה תוגדר יציבות המערכת המתקיימות עבור כל תנאי ההתחלה. הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} תוגדר כיציבה אסימפטוטית גלובאלית אם ההתכנסות x ( t ) → x e {\displaystyle x(t)\to x_{e}} מובטחת עבור כל תנאי ההתחלה בתחום x ( 0 ) ∈ R n {\displaystyle x(0)\in {\mathcal {R}}^{n}} . משפט יציבות גלובאלית נניח כי V ( x ) {\displaystyle V(x)} מוגדרת על R n {\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}} ובעלת נגזרות רציפות בכל התחום ומקיימת: V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0} , V ( x ) > 0 {\displaystyle V(x)>0} עבור כל x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . V ˙ ( x ) < 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)<0} עבור כל x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . V ( x ) → ∞ {\displaystyle V(x)\to \infty } כאשר | | x | | → ∞ {\displaystyle ||x||\to \infty } . אזי הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} יציבה אסימפטוטית גלובאלית. הערות: נש"מ יציבה גלובאלית היא יחידה. במערכת ליניארית יציבות גלובאלית מתלכדת עם יציבות מקומית. דוגמה: x ˙ = f ( x ) = { x ˙ 1 = x 2 = x 1 ( x 1 2 + x 2 2 ) x ˙ 2 = − x 1 − x 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)={\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}=x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\\{\dot {x}}_{2}=-x_{1}-x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})\end{cases}}} נבדוק את פונקציית ליאפונוב הבאה: V ( x ) = x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle V(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} ⇒ V ˙ ( x ) = 2 x 1 f 1 ( x ) + 2 x 2 f 2 ( x ) = − 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) 2 {\displaystyle \Rightarrow {\dot {V}}(x)=2x_{1}f_{1}(x)+2x_{2}f_{2}(x)=-2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})^{2}} ניתן לראות שמתקיימים תנאי המשפט והנש"מ x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} יציבה אסימפטוטית גלובאלית. גם במקרה בו הנש"מ של המערכת אינה יציבה באופן גלובאלי ישנה חשיבות להערכת "אגן המשיכה" שלה. כלומר מהן אוסף הנקודות במרחב מהן קיימת התכנסות לנש"מ זו. הגדרה: תהי x e {\displaystyle x_{e}} נש"מ. אגן המשיכה של x e {\displaystyle x_{e}} היא הקבוצה המקסימלית Ω {\displaystyle \Omega } כך ש: x ( 0 ) ∈ Ω {\displaystyle x(0)\in \Omega } גוררת l i m t → ∞ x ( t ) = x e {\displaystyle lim_{t\to \infty }x(t)=x_{e}} כל תת-קבוצה של Ω {\displaystyle \Omega } תקרא אגן משיכה של x e {\displaystyle x_{e}} . משפט: אגן משיכה של נש"מ יציבה נניח כי בסביבה כלשהי של הראשית ( C ) {\displaystyle (C)} מתקיימים תנאי משפט ליאפונוב ליציבות אסימפטוטית (מקומית). יהי a > 0 {\displaystyle a>0} (רצוי גדול ככל האפשר) כך שמתקיים: Ω a := { x : R n : V ( x ) < a } ⊂ C {\displaystyle \Omega _{a}:=\left\{x:{\mathcal {R}}^{n}:V(x)<a\right\}\subset C} אזי Ω a {\displaystyle \Omega _{a}} היא אגן המשיכה של הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} . דוגמה: ניקח את הדוגמה שהוצגה קודם: x ˙ = f ( x ) = { x ˙ 1 = x 1 ( x 1 2 + x 2 2 − 2 ) − x 1 x 2 2 x ˙ 2 = x 1 2 x 2 + x 2 ( x 1 2 + x 2 2 − 2 ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)={\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{1}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)-x_{1}x_{2}^{2}\\{\dot {x}}_{2}=x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)\end{cases}}} פונקציית ליאפונוב היא V ( x 1 , x 2 ) = x 1 2 + x 2 2 {\displaystyle V(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} כאשר הנגזרת היא V ˙ ( x ) = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) ( x 1 2 + x 2 2 − 2 ) {\displaystyle {\dot {V}}(x)=2(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2)} . תנאי המשפט מתקיימים עבור Ω a = C = { x : | | x | | < 2 } {\displaystyle \Omega _{a}=C=\left\{x:||x||<{\sqrt {2}}\right\}} ולכן זהו תחום המשיכה של הנש"מ x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} . ההגדרות עבור יציבות המערכת עד כה הוצגו ללא כל דרישה לגבי קצב התכנסות המערכת לנש"מ. בפרק זה יוגדר קצב התכנסות אקספוננציאלי. הגדרה: הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} היא יציבה אקספוננציאלית אם קיימים מספרים A 0 {\displaystyle A_{0}} , λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} כך שעבור r > 0 {\displaystyle r>0} כלשהו ועבור x ( 0 ) {\displaystyle x(0)} המקיים | | x ( 0 ) − x e | | < r {\displaystyle ||x(0)-x_{e}||<r} נקבל: | | x ( t ) − x e | | ≤ A 0 | | x ( 0 ) − x e | | e λ t , t > 0 {\displaystyle ||x(t)-x_{e}||\leq A_{0}||x(0)-x_{e}||e^{\lambda t},\quad t>0} הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} היא יציבה אקספוננציאלית גלובלית אם החסם האקספוננציאלי על x ( t ) {\displaystyle x(t)} מתקיים לכל x ( 0 ) ∈ R n {\displaystyle x(0)\in {\mathcal {R}}^{n}} דוגמה: x ˙ = − x {\displaystyle {\dot {x}}=-x} x ( t ) = x ( 0 ) e − t {\displaystyle x(t)=x(0)e^{-t}} | x ( t ) | = | x ( 0 ) | e − t {\displaystyle |x(t)|=|x(0)|e^{-t}} ניתן לראות שההתכנסות לנש"מ המערכת יציבה אקספוננציאלית. הערה: ניתן להראות כי במערכת ליניארית, יציבות אסימפטוטית גוררת יציבות אקספוננציאלית. משפט: יציבות אקספוננציאלית תהיי פונקציית ליאפונוב V ( x ) {\displaystyle V(x)} גזירה ורציפה בסביבה C {\displaystyle C} של הראשית. נניח כי קיימים קבועים חיובים C 1 {\displaystyle C_{1}} ו- α {\displaystyle \alpha } כך ש: c 1 | | x | | α ≤ V ( x ) ≤ c 2 | | x | | α , | | V ˙ ( x ) | | ≤ − c 3 | | x | | α {\displaystyle c_{1}||x||^{\alpha }\leq V(x)\leq c_{2}||x||^{\alpha },\quad ||{\dot {V}}(x)||\leq -c_{3}||x||^{\alpha }} עבור כל x ∈ C {\displaystyle x\in C} אזי הנש"מ x e {\displaystyle x_{e}} היא יציבה אקספוננציאלית. אם הנ"ל מתקיים עבור כל x ∈ R n {\displaystyle x\in {\mathcal {R}}^{n}} אזי הנש"מ יציבה אקספוננציאלית גלובאלית. ניקח את המערכת הליניארית x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} . נניח שהמערכת בראשית יציבה אסימפטוטית, כלומר R e ( λ i ( A ) ) < 0 {\displaystyle Re(\lambda _{i}(A))<0} . עבור המערכת הנ"ל קיימות מספר שיטות למציאת פונקציית ליאפונוב. תהי P {\displaystyle P} מטריצה סימטרית בגודל n × n {\displaystyle n\times n} המטריצה P {\displaystyle P} מגדירה תבנית ריבועית בוקטור המשתנים - x {\displaystyle x} , כלומר f ( x ) = x T P x = ∑ i , j = 1 n P i , j x i x j {\displaystyle f(x)=x^{T}Px=\sum _{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}} . כל תבנית ריבועית ניתן להגדיר באמצעות מטריצה סימטרית P = P T {\displaystyle P=P^{T}} . ננסה למצוא את פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הליניארית x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} באמצעות הפונקציה הבאה V ( x ) = x T P x {\displaystyle V(x)=x^{T}Px} . עבור קבלת V ( x ) > 0 {\displaystyle V(x)>0} נדרוש שמטריצת P {\displaystyle P} תהיה מוגדרת כסימטרית וחיובית P > 0 {\displaystyle P>0} . עבור התנאי השני נחשב את V ˙ {\displaystyle {\dot {V}}} . V ˙ ( x ) = d v d x ⋅ f ( x ) = ( x T P + x T P T ) A x = x T ( A T P + P A ) x {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {dv}{dx}}\cdot f(x)=(x^{T}P+x^{T}P^{T})Ax=x^{T}(A^{T}P+PA)x} . נסמן A T P + P A = − Q {\displaystyle A^{T}P+PA=-Q} אזי V ˙ ( x ) = − x T Q x {\displaystyle {\dot {V}}(x)=-x^{T}Qx} ועל מנת לקיים את התנאי ( V ˙ ≤ 0 ) {\displaystyle ({\dot {V}}\leq 0)} נדרוש Q > 0 {\displaystyle Q>0} . ניתן לראות שהמטרה היא מציאת P > 0 {\displaystyle P>0} שיבטיח Q > 0 {\displaystyle Q>0} . נניח שהמערכת A {\displaystyle A} יציבה כלומר R e ( λ i ( A ) ) < 0 {\displaystyle Re(\lambda _{i}(A))<0} עבור כל i {\displaystyle i} . תהיי Q > 0 {\displaystyle Q>0} כלשהי, נתבונן במשוואה: ( ∗ ) A T P + P A = − Q {\displaystyle (*)\quad A^{T}P+PA=-Q} אזי: למשוואה זו פתרון P {\displaystyle P} סימטרי יחיד. פתרון זה הוא חיובי ( P > 0 ) {\displaystyle (P>0)} . פתרון ( P > 0 ) {\displaystyle (P>0)} קיים אם ורק אם A {\displaystyle A} יציבה. המשוואה (*) נקראת משוואת ליאפונוב. ניתן לראות כי זוהי משוואה ליניארית באיברי המטריצה P {\displaystyle P} . סיכום: על מנת למצוא פונקציית ליאפונוב עבור מערכת הליניארית x ˙ = A x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax} נעשה את השלבים הבאים: נבחר מטריצה כלשהי Q > 0 {\displaystyle Q>0} . נפתור את משוואת ליאפונוב A T P + P A = − Q {\displaystyle A^{T}P+PA=-Q} , נקבל פתרון אם ורק אם A {\displaystyle A} יציבה. נבחר V ( x ) = x T P x {\displaystyle V(x)=x^{T}Px} . פונקציה זו מקיימת V ( x ) > 0 {\displaystyle V(x)>0} וכן את V ˙ ( x ) = − x T Q x {\displaystyle {\dot {V}}(x)=-x^{T}Qx} עבור x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . דוגמה: נתונה המערכת הבאה x ˙ = A x = [ 0 4 − 8 − 12 ] x {\displaystyle {\dot {x}}=Ax={\begin{bmatrix}0&4\\-8&-12\end{bmatrix}}x} נבחר Q = I {\displaystyle Q=I} ונקבל את פונקציית ליאפונוב הבאה A T P + P A = − I {\displaystyle A^{T}P+PA=-I} [ 0 − 8 4 − 12 ] [ p 1 p 3 p 3 p 2 ] + [ p 1 p 3 p 3 p 2 ] [ 0 4 − 8 − 12 ] = [ − 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&-8\\4&-12\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{3}\\p_{3}&p_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{3}\\p_{3}&p_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&4\\-8&-12\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} מפתרון המערכת נקבל ש: p 3 = 1 16 {\displaystyle p_{3}={\frac {1}{16}}} , p 2 = 1 16 {\displaystyle p_{2}={\frac {1}{16}}} , p 1 = 5 16 {\displaystyle p_{1}={\frac {5}{16}}} כלומר ש P = 1 16 [ 5 1 1 1 ] > 0 {\displaystyle P={\frac {1}{16}}{\begin{bmatrix}5&1\\1&1\end{bmatrix}}>0} והמערכת יציבה. כנכתב מקודם הקושי העיקרי הוא מציאת פונקציית ליאפונוב עבור המערכת הלא ליניארית x ˙ = f ( x ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x)} . לא קיימת שיטה כללית שהצלחתה מובטחת. בפרק זה יתוארו מספר שיטות אפשריות. נקודת התחלה אפשרית היא התבנית הריבועית V ( x ) = x T P x {\displaystyle V(x)=x^{T}Px} כאשר P > 0 {\displaystyle P>0} (מוגדרת כמטריצה חיובית). בפרט ניתן להתחיל מהמקרה האלכסוני: V ( x ) = ∑ α i x i 2 , α i > 0 {\displaystyle V(x)=\sum \alpha _{i}x_{i}^{2},\quad \alpha _{i}>0} . דרוש לבדוק האם P {\displaystyle P} מקיימת את האילוץ הבא V ˙ ( x ) = 2 x T P f ( x ) < 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)=2x^{T}Pf(x)<0} . דרך אחת למציאת P {\displaystyle P} מתאימה היא באמצעות לינארזיציה. עבור | A = d f d x | x = 0 {\displaystyle \left|A={\frac {df}{dx}}\right|_{x=0}} נגדיר Q > 0 {\displaystyle Q>0} ונבחר P {\displaystyle P} כך ש A T P + P A = − Q {\displaystyle A^{T}P+PA=-Q} . גישה זו תצליח תמיד כאשר A {\displaystyle A} יציבה (כלומר שהמערכת יציבה אסימפטוטית בסביבת הנש"מ) אולם היא אינה בהכרח מביאה לאגן משיכה מיטבי. בגרסה הבסיסית הפונקציה המוצעת היא t V ( x ) = f ( x ) T f ( x ) {\displaystyle V(x)=f(x)^{T}f(x)} . נגדיר A = d f ( x ) d x , F ( x ) = A ( x ) + A ( x ) T {\displaystyle A={\frac {df(x)}{dx}},\quad F(x)=A(x)+A(x)^{T}} הטענה הבסיסית היא כי אם F ( 0 ) < 0 {\displaystyle F(0)<0} בסביבת הראשית, אזי V ( x ) {\displaystyle V(x)} היא פונקציית ליאפונוב ו x e {\displaystyle x_{e}} היא יציבה אסימפטוטית. יתרה מזאת, אם F ( x ) < 0 {\displaystyle F(x)<0} ב"כדור" המקיף את הראשית, אזי כדור זה הוא אגן המשיכה של הראשית. בכלליות יותר ניתן להשתמש גם במטריצה P > 0 {\displaystyle P>0} כך ש F ( x ) = A ( x ) P + P A ( x ) T {\displaystyle F(x)=A(x)P+PA(x)^{T}} בסביבת הראשית. לעיתים ניתן לגזור פונקציית ליאפונוב מתוך "הבנה פיזיקלית" של הבעיה, דוגמה בולטת היא פונקציית אנרגיה במערכות מכניות. דוגמה: מערכת מטוטלת ניקח בתור דוגמה מטוטלת בעלת חיכוך ויסקוזי B > 0 {\displaystyle B>0} . הפרמטרים m , l {\displaystyle m,l} מתארים את אורך הזרוע והמסה בהתאמה והפרמטר g {\displaystyle g} מתאר את כוח המשיכה. משוואות התנועה של המערכת הן: x 1 = θ x 2 = θ ˙   →   x 1 ˙ = x 2 x 2 ˙ = − g l sin ⁡ x 1 − B m x 2 {\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}=\theta \\x_{2}={\dot {\theta }}\end{matrix}}\ \to \ {\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}=x_{2}\\{\dot {x_{2}}}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {B}{m}}x_{2}\end{matrix}}} את פונקציית ליאפונוב נבחר משיקולים פיזיקליים כפונקציית האנרגיה (המנורמלת): V ( x ) = 1 m l 2 ( E p + E k ) = g l ( 1 − cos ⁡ x 1 ) + x 2 2 2 , ( ≥ 0 ) {\displaystyle V(x)={\frac {1}{ml^{2}}}(E_{p}+E_{k})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {x_{2}^{2}}{2}},(\geq 0)} מכאן נקבל ש: V ˙ ( x ) = d v d x 1 f 1 ( x ) + d v d x 2 f 2 ( x ) = g l sin ⁡ ( x 1 ) x 2 + x 2 ( − g l sin ⁡ ( x 1 ) − B m x 2 ) = − B m x 2 2 ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {dv}{dx_{1}}}f1(x)+{\frac {dv}{dx_{2}}}f2(x)={\frac {g}{l}}\sin(x_{1})x_{2}+x_{2}(-{\frac {g}{l}}\sin(x_{1})-{\frac {B}{m}}x_{2})=-{\frac {B}{m}}x_{2}^{2}\leq 0} ניתן לראות שהמערכת יציבה במובן ליאפונוב. עד חלק זה הוצגה התאוריה עבור מערכות רציפות בזמן. ניתן לפתח תוצאות דומות גם למערכות בזמן בדיד, כאשר הפרטים הטכניים פה לרוב פשוטים יותר. נתבונן במערכת מצב בזמן בדיד: x k + 1 = f ( x k ) , k ≥ 0 {\displaystyle x_{k+1}=f(x_{k}),\quad k\geq 0} גם במקרה זה נחפש פונקציית ליאפונוב V ( x ) {\displaystyle V(x)} המקבלת מינימום בנש"מ x e = 0 {\displaystyle x_{e}=0} ויורדת עבור מסלולי המערכת השונים. הדרישה הראשונה זהה לזמן רציף V ( 0 ) = 0 {\displaystyle V(0)=0} , V ( x ) > 0 {\displaystyle V(x)>0} עבור x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . לעומת זאת הדרישה השנייה משתנה ל: V ( x k + 1 ) − V ( x k ) ) = V ( f ( x k ) ) − V ( x k ) ) = Δ V ( x k ) {\displaystyle V(x_{k+1})-V(x_{k}))=V(f(x_{k}))-V(x_{k}))=\Delta V(x_{k})} במילים אחרות החלפנו את הדרישה V ˙ ( x ) ≤ 0 {\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0} בדרישה Δ V ( x ) ≤ 0 {\displaystyle \Delta V(x)\leq 0} יש לציין כי משוואות ליאפונוב למערכות ליניאריות בזמן רציף A T P + P A = − Q {\displaystyle A^{T}P+PA=-Q} מוחלפת בזמן בדיד עם המשוואה הבאה A T P A − P = − Q {\displaystyle A^{T}PA-P=-Q} . Hassan K.Khalil, Nonlinear system Third edition, Prentice Hall, 2002 Nonlinear Systems, Analysis, Stabilty and control, Shankar Sastry, Springer,1992 תורת הבקרה/שיטת ליאפונוב בויקספר משוואת ליאפונוב באמצעות Matlab Nonlinear system, Hassan K. Khalil Nonlinear Systems, Analysis, Stabilty and control, Shankar Sastry