חלוקת פולינומים

באלגברה, חלוקת פולינומים או חלוקת פולינומים עם שארית או חלוקה אוקלידית, היא אלגוריתם לחלוקת פולינום בפולינום אחר שדרגתו קטנה מזו של המחולק או שווה לשלו. למעשה, אלגוריתם זה מהווה הכללה לאלגוריתם החילוק הארוך באריתמטיקה. בדומה לחילוק האריתמטי, גם חילוק פולינומים מפרק בעיה מתמטית, העשויה להיות מסובכת, לתתי-בעיות פשוטות יותר, ולכן, הוא פשוט ונוח לשימוש באופן יחסי. זאת ועוד, קיימות גם שיטות המקצרות את תהליך חלוקה זה, כדוגמת חלוקה סינתטית. האלגוריתם מיישם הלכה למעשה את תכונת הפולינומים הבאה. בהינתן P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}} (מחולק) ו- D ( x ) = b k x k + b k − 1 x k − 1 + . . . + b 1 x + b 0 {\displaystyle D(x)=b_{k}x^{k}+b_{k-1}x^{k-1}+...+b_{1}x+b_{0}} (מחלק) כך ש- k ≤ n {\displaystyle k\leq n} ובניסוח מדויק, deg ⁡ ( D ( x ) ) ≤ deg ⁡ ( P ( x ) ) {\displaystyle \deg(D(x))\leq \deg(P(x))} , ניתן לבטא את P ( x ) {\displaystyle P(x)} כ- P ( x ) = D ( x ) Q ( x ) + R ( x ) {\displaystyle P(x)=D(x)Q(x)+R(x)} עבור Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} פולינום שיקרא המנה ועבור R ( x ) {\displaystyle R(x)} פולינום שיקרא שארית החלוקה, כך שדרגת השארית R ( x ) {\displaystyle R(x)} קטנה (ממש) מדרגת המחלק D ( x ) {\displaystyle D(x)} , כלומר deg ⁡ ( R ( x ) ) < deg ⁡ ( D ( x ) ) {\displaystyle \deg(R(x))<\deg(D(x))} . התוצאה R ( x ) = 0 {\displaystyle R(x)=0} תופיע אם ורק אם D ( x ) {\displaystyle D(x)} הוא גורם של P ( x ) {\displaystyle P(x)} , כלומר, ניתן לרשום את P ( x ) {\displaystyle P(x)} כמכפלה של הפולינום D ( x ) {\displaystyle D(x)} בפולינום אחר. בנוסף, על פי המשפט הקטן של בזו, אם a {\displaystyle a} הוא שורש של P ( x ) {\displaystyle P(x)} , דהיינו P ( a ) = 0 {\displaystyle P(a)=0} , אזי ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} הוא גורם של P ( x ) {\displaystyle P(x)} . לכן, נעשה שימוש נרחב בחלוקת פולינומים הן על מנת לפרק את הפולינום לגורמים והן על מנת לפשט את הליך מציאת השורשים הנוספים שלו, אם אחד מהם כבר ידוע. נמצא את מנת החלוקה ואת השארית שלה עבור חלוקת הפולינום P ( x ) = x 3 − 2 x 2 − 4 {\displaystyle P(x)=x^{3}-2x^{2}-4} (המחולק) בפולינום D ( x ) = x − 3 , {\displaystyle D(x)=x-3,} (המחלק). תחילה, נכתוב מחדש את המחולק באופן הבא: . P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4. {\displaystyle P(x)=x^{3}-2x^{2}+0x-4.} כעת, נבצע את התהליך דלהלן: נחלק את האיבר הראשון של P ( x ) {\displaystyle P(x)} באיבר הראשון של D ( x ) {\displaystyle D(x)} , דהיינו, את האיבר בעל החזקה המקסימלית של P ( x ) {\displaystyle P(x)} באיבר בעל החזקה המקסימלית של D ( x ) {\displaystyle D(x)} . במקרה זה, מדובר ב- ( x 3 / x = x 2 ) {\displaystyle \left(x^{3}/x=x^{2}\right)} . את התוצאה, נכתוב מעל לקו האופקי: x − 3 ) x 2 x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 ¯ | x − 3 {\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3)}x^{2}\\{\overline {x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\vert {x-3}\end{array}}} נכפול את כל איברי המחלק בתוצאה שקיבלנו זה עתה, ונקבל x 2 D ( x ) = x 3 − 3 x 2 {\displaystyle x^{2}D(x)=x^{3}-3x^{2}} . נכתוב את התוצאה תחת האיברים הראשונים של המחולק: x − 3 ) x 2 x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 ¯ | x − 3 x 3 − 3 x 2 {\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3)}x^{2}\\{\overline {x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\vert {x-3}\\{\color {White}}x^{3}-3x^{2}\end{array}}} נחסר את התוצאה שרשמנו מהאיברים שמעליה ומיד לאחר מכן, נעתיק מטה את האיבר הראשון מימין לאיברי המחלק שביצענו עליהן כעת פעולה. x − 3 ) x 2 x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 ¯ | x − 3 x 3 − 3 x 2 _ 0 x 3 + x 2 + 0 x {\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3)}x^{2}\\{\overline {x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\vert {x-3}\\{\color {White}}{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}} נבצע כעת שוב את אותה סדרת פעולות עבור הפולינום החדש שהתקבל מההפרש ומהוספת האיבר הנוסף. x 2 + x 3 − 2 x 2 + 0 x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 ¯ | x − 3 x 3 − 3 x 2 − 2 x 2 + 0 x − 4 _ + x 2 + 0 x 2 + 0 x − 4 + x 2 − 3 x 2 + 0 x − 4 _ + 3 x − 4 0 x − 4 _ {\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+x{\color {White}^{3}-2x^{2}+0}\\{\overline {x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\vert {x-3}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}-2x^{2}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}^{2}+0x-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}^{2}+0x-4}}}\\{\underline {+3x-4{\color {White}{}0x-4}}}\\\end{array}}} כעת, לא ניתן להעתיק מטה אף איבר. נסיים את התהליך. x 2 + x + 3 3 − 2 x 2 x 3 − 2 x 2 + 0 x − 4 ¯ | x − 3 x 3 − 3 x 2 x 3 − 2 x 2 + 0 x − _ + x 2 + 0 x x 3 − 2 x 2 + + x 2 − 3 x x 3 − 2 x 2 + _ + 3 x − 4 0 x − 4 + 3 x − 9 0 x − 4 _ + 5 0 x − 4 {\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{}x+3{\color {White}^{3}-2x^{2}}\\{\overline {x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\vert {x-3}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}x^{3}-2x^{2}+0x-}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}x^{3}-2x^{2}+}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}x^{3}-2x^{2}+}}}\\{+3x-4{\color {White}{}0x-4}}\\{\underline {+3x-9{\color {White}{}0x-4}}}\\+5{\color {White}{}0x-4}\\\end{array}}} הפולינום שהתקבל מעל לקו האופקי הוא המנה Q ( x ) = x 2 + x + 3 {\displaystyle Q(x)=x^{2}+x+3} והפולינום, במקרה זה ממעלה 0, שנותר אחרי הפעולה האחרונה, הוא השארית R ( x ) = 5 {\displaystyle R(x)=5} . לכן, קיבלנו כי x 3 − 2 x 2 − 4 ⏟ P ( x ) = ( x − 3 ) ⏟ D ( x ) ( x 2 + x + 3 ) ⏟ Q ( x ) + 5 ⏟ R ( x ) {\displaystyle \underbrace {x^{3}-2x^{2}-4} _{P(x)}=\underbrace {(x-3)} _{D(x)}\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{Q(x)}+\underbrace {5} _{R(x)}} . בהינתן פולינום, לעיתים, שורש אחד או יותר שלו כבר ידועים אך ייתכן כי קיימים לו כאלו נוספים. אם ידוע כי r {\displaystyle r} הוא שורש של פולינום P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}} - פולינום ממעלה n {\displaystyle n} , כלומר מתקיים כי P ( r ) = a n r n + a n − 1 r n − 1 + . . . + a 1 r + a 0 = 0 {\displaystyle P(r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_{1}r+a_{0}=0} , ניתן לחלק את P ( x ) {\displaystyle P(x)} ב- ( x − r ) {\displaystyle (x-r)} ומהמשפט הקטן של בזו נובע כי שארית החלוקה היא 0. לכן, נקבל במקרה זה כי P ( x ) = ( x − r ) Q ( x ) {\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x)} עבור Q ( x ) = b n − 1 x n − 1 + b n − 2 x n − 2 + . . . + b 1 x + b 0 {\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0}} , כלומר דרגת המנה היא n − 1 {\displaystyle n-1} . בחלק מהמקרים, הפולינום Q ( x ) = b n − 1 x n − 1 + b n − 2 x n − 2 + . . . + b 1 x + b 0 {\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+...+b_{1}x+b_{0}} הוא כזה שקל יותר למצוא את שורשיו. מאחר שכל שורש שלו הוא גם שורש של P ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 {\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}} , הרי שבכך יועל תהליך מציאת השורשים של הפולינום המקורי. באופן דומה, אם ידועים יותר משורש אחד של הפולינום, לדוגמה, ידוע כי r 1 , r 2 , . . . , r k {\displaystyle r_{1},r_{2},...,r_{k}} שורשים שלו, ניתן לחלק את הפולינום ב- ( x − r 1 ) {\displaystyle (x-r_{1})} ולקבל P ( x ) = ( x − r 1 ) Q 1 ( x ) {\displaystyle P(x)=(x-r_{1})Q_{1}(x)} . כעת, ניתן לחלק את Q 1 ( x ) {\displaystyle Q_{1}(x)} ב- ( x − r 2 ) {\displaystyle (x-r_{2})} ולקבל כי Q 1 ( x ) = ( x − r 2 ) Q 2 ( x ) {\displaystyle Q_{1}(x)=(x-r_{2})Q_{2}(x)} כך שדרגתו של Q 2 ( x ) {\displaystyle Q_{2}(x)} קטנה מהדרגה של Q 1 ( x ) {\displaystyle Q_{1}(x)} . לכן, P ( x ) = ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) Q 2 ( x ) {\displaystyle P(x)=(x-r_{1})(x-r_{2})Q_{2}(x)} . כעת, ניתן להמשיך את התהליך, עד שבסופו של דבר יתקבל כי P ( x ) = ( x − r 1 ) ( x − r 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( x − r k ) Q k ( x ) {\displaystyle P(x)=(x-r_{1})(x-r_{2})\cdot \cdot \cdot (x-r_{k})Q_{k}(x)} כך שדרגת P ( x ) = − Q k ( x ) {\displaystyle P(x)=-Q_{k}(x)} קטנה מ- n − k {\displaystyle n-k} . ניתן להשתמש בחלוקת פולינומים גם למציאת משוואת הישר המשיק לנקודה הנמצאת על גרף של פונקציה פולינומית. בהינתן פונקציה f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}} ונקודה x = q {\displaystyle x=q} , משוואת המשיק לגרף בנקודה x = q {\displaystyle x=q} תהיה שארית החלוקה של f ( x ) {\displaystyle f(x)} ב- ( x − q ) 2 {\displaystyle (x-q)^{2}} . נמצא את משוואת הישר המשיק לפונקציה y = f ( x ) = x 3 − 12 x 2 − 42 {\displaystyle y=f(x)=x^{3}-12x^{2}-42} בנקודה x = 1 {\displaystyle x=1} . נחלק את הפולינום ב- ( x − 1 ) 2 = x 2 − 2 x + 1 {\displaystyle (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1} : x − 10 x 2 − 2 x + 1 ) x 3 − 12 x 2 + 0 x − 42 ¯ x 3 − 0 2 x 2 + 1 x _ − 42 − 10 x 2 − 01 x − 42 − 10 x 2 + 20 x − 10 _ − 21 x − 32 {\displaystyle {\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1{\overline {)x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}} לכן, משוואת המשיק המבוקשת היא y = − 21 x − 32 {\displaystyle y=-21x-32} . בבדיקת יתירות מחזורית משתמשים בשארית החלוקה של פולינומים עבור ניטור שגיאות בהעברת מסרים. המשפט הקטן של בזו חוג אוקלידי פולינומים, שורשים ופונקציות רציונליות - 8 - חלוקת פולינומים - שיעור בקורס ההכנה במתמטיקה של הטכניון בנושא חלוקת פולינומים המועבר על ידי ד"ר אביב צנזור, סרטון באתר יוטיוב (אורך: 20:33) חלוקת פולינומים, באתר MathWorld (באנגלית) דרגת פולינום מוגדרת כחזקה המקסימלית של איבר עם מקדם שאיננו 0. למשל, דרגת הפולינום P ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 {\displaystyle P(x)=x^{3}+3x^{2}-6x-8} היא 3. איך לנחש ולבדוק שורשים אמיתיים - 3 - בדיקות שורשים על ידי חלוקת פולינומים מחלקה סינתטית - Dummies 2021, באתר No dummy https://math-wiki.com/images/1/12/חילוק_פולינומים_הסבר.PDF ניתן להתייחס לכל מספר קבוע שאיננו אפס כאל פולינום ממעלה 0.