מספר קרמייקל

בתורת המספרים, מספר קרמייקל או מספר פסאודו-ראשוני מוחלט הוא מספר טבעי פריק n {\displaystyle n} המקיים את מסקנת המשפט הקטן של פרמה: b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} לכל b {\displaystyle b} שלם. המספרים נקראים כך על שם המתמטיקאי רוברט דניאל קרמייקל, שמצא את מספר קרמייקל הקטן ביותר: 561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17 {\displaystyle \,561=3\cdot 11\cdot 17} , והעלה את ההשערה שישנם אינסוף מספרים כאלו. משפט פרמה הקטן קובע שאם n ראשוני, אז b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} לכל b {\displaystyle b} . כאשר n אינו ראשוני השוויון בדרך כלל אינו מתקיים, ואפשר לבסס על כך מבחנים פשוטים לראשוניות של n. אם n אינו ראשוני ובכל-זאת b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} , הוא נקרא פסאודו-ראשוני ביחס ל-b. מספרי קרמייקל הם פסאודו-ראשוניים ביחס לכל הבסיסים. מספרי קרמייקל נדירים יחסית. למשל, יש 20,138,200 מספרי קרמייקל בין 1 ל-1021, כלומר בערך 1 מכל 50 מיליארד מספרים בטווח זה, והם נעשים נדירים יותר ככל שהמספרים גדלים. התנאים הבאים שקולים עבור מספר פריק n {\displaystyle n} : n {\displaystyle n} חופשי מריבועים (כלומר מכפלת ראשוניים שונים) ולכל מחלק ראשוני p {\displaystyle p} מתקיים גם p − 1 ∣ n − 1 {\displaystyle p-1\mid n-1} . לכל b מתקיים b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} (כלומר n {\displaystyle n} הוא מספר קרמייקל). לכל b זר ל-n מתקיים b n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} . השקילות של 1 ו-2 קרויה קריטריון קורסלט (Korselt). קריטריון זה משמש לזיהוי מספרי קרמייקל באלגוריתמים לבדיקת ראשוניות כמו אלגוריתם מילר-רבין. מסקנה מיידית מקריטריון קורסלט היא שכל מספרי קרמייקל הם אי-זוגיים: מתנאי 1 נובע שקיים למספר קרמייקל n {\displaystyle n} מחלק ראשוני אי-זוגי p {\displaystyle p} (כי הוא לא חזקה של 2). כעת, אם מספר קרמייקל הוא זוגי, לפי תנאי 2 נובע p − 1 | n − 1 {\displaystyle p-1|n-1} . אבל n − 1 {\displaystyle n-1} הוא אי-זוגי, ואילו p − 1 {\displaystyle p-1} הוא זוגי, ומספר זוגי לעולם לא יכול לחלק מספר אי-זוגי. ולכן לא ייתכן ש- n {\displaystyle n} הוא מספר זוגי. מסקנה נוספת: למספר קרמייקל יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים. אחרת המספר הוא מהצורה   p q {\displaystyle \ pq} כאשר p,q ראשוניים, ו-p-1 מחלק את p q − 1 = ( p − 1 ) q + ( q − 1 ) {\displaystyle pq-1=(p-1)q+(q-1)} , כלומר p-1 מחלק את q-1; וגם להפך; לכן p=q, בסתירה לתנאי הראשון. 1 גורר את 2: נניח ש- n {\displaystyle n} חופשי מריבועים ולכל מחלק ראשוני p {\displaystyle p} שלו מתקיים גם p − 1 ∣ n − 1 {\displaystyle p-1\mid n-1} . ראשית נניח ש- b {\displaystyle b} זר ל- n {\displaystyle n} . לכל גורם ראשוני p {\displaystyle p} של n {\displaystyle n} מתקיים b n − 1 = ( b p − 1 ) ( n − 1 ) / ( p − 1 ) ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle b^{n-1}=(b^{p-1})^{(n-1)/(p-1)}\equiv 1{\pmod {p}}} לפי משפט פרמה הקטן, ולפי משפט השאריות הסיני נובע מכך שגם   b n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle \ b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} . שנית נניח ש- b {\displaystyle b} ראשוני המחלק את n {\displaystyle n} . לכל גורם ראשוני p ≠ b {\displaystyle p\neq b} מתקיים b n − 1 ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {p}}} מאותה סיבה כמו במקרה הראשון, ולכן   b n − 1 ≡ 1 ( mod n / b ) {\displaystyle \ b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n/b}}} , ומכאן ש-   b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle \ b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} . אבל כל מספר אפשר לכתוב כמכפלה של מספר זר ל-n וגורמים ראשוניים המחלקים את n, ולכן הטענה   b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle \ b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} נכונה לכל   b {\displaystyle \ b} . 2 גורר את 3: אם b זר ל-n, אז b n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} נובע מההנחה b n ≡ b ( mod n ) {\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}} משום ש-b הפיך מודולו n. 3 גורר את 1: יהי p r ∣ n {\displaystyle p^{r}\mid n} מחלק שהוא חזקת מספר ראשוני. אם p=2 נניח מלכתחילה ש- r ≤ 2 {\displaystyle r\leq 2} . בעזרת משפט השאריות הסיני, נבחר מספר a שהוא גם שורש פרימיטיבי a {\displaystyle a} של p r {\displaystyle p^{r}} (זהו איבר מסדר p r − 1 ( p − 1 ) {\displaystyle p^{r-1}(p-1)} בחבורת אוילר U p {\displaystyle U_{p}} ; נאלצנו להניח ש- p r {\displaystyle p^{r}} אינו מתחלק ב-8, משום של-8 אין שורש פרימיטיבי), וגם זר לכל גורם ראשוני אחר של n. לכן a זר ל-n, ולפי ההנחה a n − 1 ≡ 1 ( mod n ) {\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}} , ולכן גם a n − 1 ≡ 1 ( mod p r ) {\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {p^{r}}}} . מכאן ש- n − 1 {\displaystyle n-1} מתחלק בסדר של a {\displaystyle a} בחבורת אוילר U p r {\displaystyle U_{p^{r}}} , כלומר p r − 1 ( p − 1 ) ∣ n − 1 {\displaystyle p^{r-1}(p-1)\mid n-1} . בפרט, ( p − 1 ) ∣ ( n − 1 ) {\displaystyle (p-1)\mid (n-1)} , כנדרש. לצד זה, אם r>1 מתקבל גם p ∣ ( n − 1 ) {\displaystyle p\mid (n-1)} , וזו סתירה לכך ש- p ∣ n {\displaystyle p\mid n} , ומכאן ש- n {\displaystyle n} גם חופשי מריבועים. קורסלט היה הראשון שציין תכונות של מספרי קרמייקל, אך הוא לא מצא דוגמאות למספרים כאלו. ב-1910, מצא קרמייקל את מספר קרמייקל הקטן ביותר, 561 {\displaystyle 561} , ומשום כך נקראים המספרים על שמו. ניתן לראות ש- 561 {\displaystyle 561} מקיים את תנאי משפט קורסלט: הפירוק לגורמים 561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17 {\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17} לא מכיל ראשוני ממעלה שנייה, ומתקיים 2 | 560 {\displaystyle 2|560} וגם 10 | 560 {\displaystyle 10|560} וגם 16 | 560 {\displaystyle 16|560} . מספרי קרמייקל הבאים הם (סדרה A002997 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים): 1105 = 5 ⋅ 13 ⋅ 17 {\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17} 1729 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19 {\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19} 2465 = 5 ⋅ 17 ⋅ 29 {\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29} 2821 = 7 ⋅ 13 ⋅ 31 {\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31} 6601 = 7 ⋅ 23 ⋅ 41 {\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41} 8911 = 7 ⋅ 19 ⋅ 67 {\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67} נסמן ב- C ( X ) {\displaystyle C(X)} את מספר מספרי קרמייקל שקטנים או שווים ל- X {\displaystyle X} . התפלגות מספרי קרמייקל לפי חזקות 10 היא: בשנת 1953, הוכיח קנדל (Knödel) את החסם: C ( X ) < X exp ⁡ ( − k 1 ( log ⁡ X log ⁡ log ⁡ X ) 1 2 ) {\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)} עבור k 1 {\displaystyle k_{1}} קבוע כלשהו. ב-1956, שיפר ארדש את החסם: C ( X ) < X exp ⁡ ( − k 2 log ⁡ X log ⁡ log ⁡ log ⁡ X log ⁡ log ⁡ X ) {\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)} עבור k 2 {\displaystyle k_{2}} קבוע כלשהו. ההערכה של k 2 {\displaystyle k_{2}} עבור X=10^N כאשר N הולך וגדל היא באזור: k 2 = 1.86619 {\displaystyle k_{2}=1.86619} . לכיוון השני, הוכיחו ב-1994 ויליאם אלפורד, אנדרו גרנוויל וקרל פומרנץ שקיימים אינסוף מספרי קרמייקל. בפרט, הם הוכיחו שעבור X {\displaystyle X} גדול דיו: C ( X ) > X 2 / 7 . {\displaystyle C(X)>X^{2/7}.} ב-2005 שיפר הרמן את החסם ל: C ( X ) > X 0.332 {\displaystyle C(X)>X^{0.332}} צ'רניק הבחין ב-1939 שכל מספר מהצורה ( 6 k + 1 ) ( 12 k + 1 ) ( 18 k + 1 ) {\displaystyle (6k+1)(12k+1)(18k+1)} , כאשר שלושת הגורמים ראשוניים, הוא מספר קרמייקל. השאלה האם קיימים אינסוף מספרי קרמייקל מצורה זו היא בעיה פתוחה. לו וניבור מצאו ב-1992 כמה מספרי קרמייקל גדולים במיוחד, כולל מספר קרמייקל עם 1,101,518 גורמים ומעל 16 מיליון ספרות. המספר הטבעי n הוא מספר קרמייקל אם האקספוננט exp ⁡ U n {\displaystyle \operatorname {exp} U_{n}} של חבורת אוילר של n מחלק את n-1. מכיוון שהאקספוננט תמיד מחלק את הסדר   φ ( n ) {\displaystyle \ \varphi (n)} , הדרישה   φ ( n ) | n − 1 {\displaystyle \ \varphi (n)\,|\,n-1} היא דרישה חזקה יותר. השערת להמר (אנ'), שעודנה פתוחה, קובעת שאין מספרים כאלה שאינם ראשוניים. מספרי קרמייקל/ טיפוסי מספרים בתורת המספרים, אתר המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי בבאר-שבע מספר קרמייקל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) מספר קרמייקל, באתר MathWorld (באנגלית) R. D. Carmichael (1910). "Note on a new number theory function". Bulletin of the American Mathematical Society. 16 (5): 232–238. Erdős, P. (1956). "On pseudoprimes and Carmichael numbers" (PDF). Publ. Math. Debrecen. 4: 201–206. MR 0079031. W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance (1994). "There are Infinitely Many Carmichael Numbers" (PDF). Annals of Mathematics. 139: 703–722. doi:10.2307/2118576.{{cite journal}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Glyn Harman (2005). "On the number of Carmichael numbers up to x". Bull. Lond. Math. Soc. 37: 641–650. doi:10.1112/S0024609305004686. Chernick, J. (1939). "On Fermat's simple theorem" (PDF). Bull. Amer. Math. Soc. 45: 269–274. doi:10.1090/S0002-9904-1939-06953-X.