הלמה של פאטו

במתמטיקה, הלמה של פאטו מקשרת באמצעות אי-שוויון בין הגבול התחתון של סדרת האינטגרלים (על פי לבג) של סדרת פונקציות ובין האינטגרל של הגבול התחתון של אותה סדרת פונקציות. בכך היא מאפשרת לקבל מידע מתכונות ההתכנסות של סדרת הפונקציות על תכונות ההתכנסות של סדרת האינטגרלים שלהן. הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר פאטו. שימוש מיידי של הלמה הוא בהוכחת משפט ההתכנסות הנשלטת. אם   f 1 , f 2 , … {\displaystyle \ f_{1},f_{2},\dots } היא סדרה של פונקציות אי שליליות ומדידות, אז מתקיים אי השוויון הבא: ∫ lim inf n → ∞ f n ≤ lim inf n → ∞ ∫ f n {\displaystyle \int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int f_{n}} הוכחת הלמה מסתמכת על משפט ההתכנסות המונוטונית, העוסק בסדרה עולה של פונקציות מדידות ואי שליליות. לצורך ההוכחה מגדירים סדרה חדשה של פונקציות,   g 1 , g 2 , … {\displaystyle \ g_{1},g_{2},\dots } באמצעות הסדרה המקורית, כך שהסדרה החדשה עונה על תנאי משפט ההתכנסות המונוטונית. אם כן, מגדירים   g n = inf { f n , f n + 1 , f n + 2 , … } {\displaystyle \ g_{n}=\inf \left\{f_{n},f_{n+1},f_{n+2},\dots \right\}} . מיד ברור כי זוהי סדרה עולה של פונקציות (שכן האינפימום נלקח על קבוצה הולכת וקטנה). מכיוון שזו סדרה עולה, קיים לה גבול (אם מתירים לפונקציות לקבל גם אינסוף בתור ערך). כמו כן מתקיימות שתי התכונות הבאות:   g n ≤ f n {\displaystyle \ g_{n}\leq f_{n}} (ולכן גם   ∫ g n ≤ ∫ f n {\displaystyle \ \int g_{n}\leq \int f_{n}} )   lim n → ∞ g n = lim inf n → ∞ f n {\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }g_{n}=\liminf _{n\to \infty }f_{n}} באמצעות שתי תכונות אלו ומשפט ההתכנסות המונוטונית מקבלים:   ∫ lim inf n → ∞ f n = ∫ lim n → ∞ g n = lim n → ∞ ∫ g n = lim inf n → ∞ ∫ g n ≤ lim inf n → ∞ ∫ f n {\displaystyle \ \int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}=\int \lim _{n\to \infty }g_{n}=\lim _{n\to \infty }\int g_{n}=\liminf _{n\to \infty }\int g_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }\int f_{n}} למת פאטו ההפוכה קובעת כי אם f n {\displaystyle {f_{n}}} סדרת פונקציות מדידות וחסומות | f n | ≤ g {\displaystyle |f_{n}|\leq g} על ידי פונקציה אינטגרבילית, אז lim sup n → ∞ ∫ f n ≤ ∫ lim sup n → ∞ f n {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}\leq \int {\limsup _{n\rightarrow \infty }{f_{n}}}} . כדי להוכיח זאת, יש להביט בסדרת הפונקציות האי שליליות h n = g − f n {\displaystyle h_{n}=g-f_{n}} , ולהפעיל את למת פאטו הרגילה: ∫ lim inf n → ∞ ( g − f n ) ≤ lim inf n → ∞ ∫ ( g − f n ) {\displaystyle \int {\liminf _{n\rightarrow \infty }{(g-f_{n})}}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int {(g-f_{n})}} ∫ lim inf n → ∞ g + ∫ lim inf n → ∞ ( − f n ) ≤ lim inf n → ∞ ∫ g + lim inf n → ∞ ∫ ( − f n ) {\displaystyle \int {\liminf _{n\rightarrow \infty }{g}}+\int {\liminf _{n\rightarrow \infty }{(-f_{n})}}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int {g}+\liminf _{n\rightarrow \infty }\int {(-f_{n})}} (כי האינטגרל של g {\displaystyle g} סופי) ∫ g + ∫ lim inf n → ∞ ( − f n ) ≤ ∫ g + lim inf n → ∞ ∫ ( − f n ) {\displaystyle \int {g}+\int {\liminf _{n\rightarrow \infty }{(-f_{n})}}\leq \int {g}+\liminf _{n\rightarrow \infty }\int {(-f_{n})}} (כי g {\displaystyle g} אינטגרבילית) − ∫ lim sup n → ∞ f n ≤ − lim sup n → ∞ ∫ f n {\displaystyle -\int {\limsup _{n\rightarrow \infty }{f_{n}}}\leq -\limsup _{n\rightarrow \infty }\int {f_{n}}} lim sup n → ∞ ∫ f n ≤ ∫ lim sup n → ∞ f n {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\int {f_{n}}\leq \int {\limsup _{n\rightarrow \infty }{f_{n}}}} כדרוש. בלמת פאטו לא תמיד מתקיים שוויון, ואפילו אפשר להגיע למצב של 0 < ∞ {\displaystyle 0<\infty } . למשל - f n = n χ [ n , n + 1 ] {\displaystyle f_{n}=n{\chi }_{[n,n+1]}} (כאשר χ {\displaystyle \chi } הפונקציה המציינת). בעזרת למת פאטו ולמת פאטו ההפוכה אפשר להוכיח את "ההפך" למשפט ההתכנסות המונוטונית - אם f n {\displaystyle f_{n}} סדרה יורדת של פונקציות אי שליליות אינטגרביליות, אז ∫ lim n → ∞ f n = lim n → ∞ ∫ f n {\displaystyle \int {\lim _{n\rightarrow \infty }{f_{n}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}} . אכן, אם נסמן f = lim n → ∞ f n {\displaystyle f=\lim _{n\rightarrow \infty }{f_{n}}} , לפי למת פאטו - ∫ f = ∫ lim inf n → ∞ f n ≤ lim inf n → ∞ ∫ f n = lim n → ∞ ∫ f n {\displaystyle \int {f}=\int \liminf _{n\rightarrow \infty }f_{n}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int {f_{n}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}} ; לפי למת פאטו ההפוכה - lim sup n → ∞ ∫ f n ≤ ∫ lim sup n → ∞ f n = ∫ f {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}\leq \int {\limsup _{n\rightarrow \infty }{f_{n}}}=\int {f}} , וביחד: lim sup n → ∞ ∫ f n ≤ ∫ f ≤ lim inf n → ∞ ∫ f n {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}\leq \int {f}\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }{\int {f_{n}}}} כדרוש. משפט ההתכנסות המונוטונית משפט ההתכנסות הנשלטת משפט ההתכנסות של ויטלי