פונקציית המשולש

פונקציית המשולש היא פונקציה שהגרף שלה הוא בצורת משולש, פעמים רבות משולש שווה-צלעות שגובהו 1 ואורך בסיסו 2. פונקציית המשולש שימושית בעיבוד אותות ובהנדסת מערכות תקשורת, כמייצגת של אותות אידיאליים, שממנה ניתן לגזור פונקציות מציאותיות יותר. הפונקציה שימושית גם באפנון דופק מקודד כצורת דופק לשידור אותות דיגיטליים וכמסנן מתואם לקליטת האותות. היא משמשת גם להגדרת החלון המשולש (אנ'). ההגדרה הנפוצה של פונקציית המשולש היא: tri ⁡ ( x ) = Λ ( x )   = def   max ( 1 − | x | , 0 ) = { 1 − | x | , | x | < 1 ; 0 תרחא {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)=\Lambda (x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-|x|,&|x|<1;\\0&{\text{תרחא}}\\\end{cases}}\end{aligned}}} באופן שקול ניתן להגדיר את הפונקציה כקונבולוציה של שתי פונקציות מלבן זהות: tri ⁡ ( x ) = rect ⁡ ( x ) ∗ rect ⁡ ( x ) = ∫ − ∞ ∞ rect ⁡ ( x − τ ) ⋅ rect ⁡ ( τ ) d τ . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (x)&=\operatorname {rect} (x)*\operatorname {rect} (x)\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {rect} (x-\tau )\cdot \operatorname {rect} (\tau )\,d\tau .\\\end{aligned}}} את פונקציית המשולש ניתן להציג גם כמכפלה של פונקציית המלבן ופונקציית הערך המוחלט: tri ⁡ ( x ) = rect ⁡ ( x / 2 ) ( 1 − | x | ) . {\displaystyle \operatorname {tri} (x)=\operatorname {rect} (x/2){\big (}1-|x|{\big )}.} יש שמגדירים את פונקציית המשולש כבעל בסיס באורך 1 (במקום 2) כך: tri ⁡ ( 2 x ) = Λ ( 2 x )   = def   max ( 1 − 2 | x | , 0 ) = { 1 − 2 | x | , | x | < 1 2 ; 0 תרחא {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} (2x)=\Lambda (2x)\ &{\overset {\underset {\text{def}}{}}{=}}\ \max {\big (}1-2|x|,0{\big )}\\&={\begin{cases}1-2|x|,&|x|<{\tfrac {1}{2}};\\0&{\text{תרחא}}\\\end{cases}}\end{aligned}}} ההגדרה הכללית של פונקציית המשולש היא: tri j ⁡ ( x ) = { ( x − x j − 1 ) / ( x j − x j − 1 ) , x j − 1 ≤ x < x j ; ( x j + 1 − x ) / ( x j + 1 − x j ) , x j ≤ x < x j + 1 ; 0 תרחא {\displaystyle \operatorname {tri} _{j}(x)={\begin{cases}(x-x_{j-1})/(x_{j}-x_{j-1}),&x_{j-1}\leq x<x_{j};\\(x_{j+1}-x)/(x_{j+1}-x_{j}),&x_{j}\leq x<x_{j+1};\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}} במסגרת הגדרה כללית זו, ההגדרה שבתחילת פרק זה היא מקרה פרטי: Λ ( x ) = tri j ⁡ ( x ) , {\displaystyle \Lambda (x)=\operatorname {tri} _{j}(x),} כאשר x j − 1 = − 1 {\displaystyle x_{j-1}=-1} , x j = 0 {\displaystyle x_{j}=0} , x j + 1 = 1 {\displaystyle x_{j+1}=1} . לכל פרמטר a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} : tri ⁡ ( t a ) = ∫ − ∞ ∞ 1 | a | rect ⁡ ( τ a ) ⋅ rect ⁡ ( t − τ a ) d τ = { 1 − | t / a | , | t | < | a | ; 0 תרחא {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{a}}\right)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\tfrac {1}{|a|}}\operatorname {rect} \left({\tfrac {\tau }{a}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-\tau }{a}}\right)\,d\tau \\&={\begin{cases}1-|t/a|,&|t|<|a|;\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}\end{aligned}}} התמרת פורייה מוגדרת כדלקמן: F { tri ⁡ ( t ) } = F { rect ⁡ ( t ) ∗ rect ⁡ ( t ) } = F { rect ⁡ ( t ) } ⋅ F { rect ⁡ ( t ) } = F { rect ⁡ ( t ) } 2 = s i n c 2 ( f ) , {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}\{\operatorname {tri} (t)\}&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\cdot {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}\\&={\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}^{2}\\&=\mathrm {sinc} ^{2}(f),\end{aligned}}} כאשר sinc ⁡ ( x ) = sin ⁡ ( π x ) / ( π x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)} היא פונקציית ה-sinc המנורמלת. התמרת פורייה פונקציית המלבן התפלגות משולשת פונקציית המשולש, באתר MathWorld (באנגלית) "Basic properties of splines and B-splines" (PDF). INF-MAT5340 Lecture Notes. p. 38.