לכסון (שיטת הוכחה)

לכסון הוא כלי הוכחה נפוץ בתורת הקבוצות אשר השימוש העיקרי שנעשה בו הוא הפרכת היותן של קבוצות בנות מנייה, זאת אומרת הוכחה שעוצמתן גדולה ממש מ   ℵ 0 {\displaystyle \!\ \aleph _{0}} . השימוש המפורסם ביותר של השיטה הוא באלכסון של קנטור, אך יש לציין שפול דו בואה ריימון עשה בה שימוש כבר ב1875. תהי   X {\displaystyle \!\ X} קבוצה. מטרתנו להוכיח ש ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} < | X | {\displaystyle |X|} . 1.נניח בשלילה ש   X {\displaystyle \!\ X} בת מנייה, זאת אומרת שקיימת לקבוצה מנייה (פונקציה מהטבעיים ל   X {\displaystyle \!\ X} ). נסמן מנייה זו   ⟨ x n ∣ n ∈ N ⟩ {\displaystyle \!\ \langle x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle } . 2.נבנה איבר   x {\displaystyle \!\ x} מתוך איברי המנייה כך שהוא שונה מכל איבר בה. באלכסון של קנטור, למשל, בונים מספר   r {\displaystyle \!\ r} ב קטע הפתוח   ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ (0,1)} , כך שלכל   n ∈ N {\displaystyle \!\ n\in \mathbb {N} } , הספרה באינדקס   n {\displaystyle \!\ n} אחרי הנקודה מוגדרת להיות שונה מהספרה באינדקס ה-   n {\displaystyle \!\ n} של   r n {\displaystyle \!\ r_{n}} במנייה (לכאורה) של   ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ (0,1)} . 3.נוכיח שאכן מתקיים   x ∈ X {\displaystyle \!\ x\in X} . 4.נשים לב שלכל   n ∈ N {\displaystyle \!\ n\in \mathbb {N} } , מתקיים   x ≠ x n {\displaystyle \!\ x\neq x_{n}} (כפי שבנינו את   x {\displaystyle \!\ x} ). 5. מכאן יש איבר ב-   X {\displaystyle \!\ X} שאינו במנייה, אך זוהי סתירה להגדרת האחרונה. לכן   X {\displaystyle \!\ X} לא בת מנייה, קרי, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} < | X | {\displaystyle |X|} , כנדרש. הדוגמה המפורסמת ביותר לשימוש בלכסון היא האלכסון של קנטור, המשמש להוכחה שעוצמת המספרים הממשיים גדול ממש מעוצמת המספרים הטבעיים. קנטור הוכיח זאת בהתבסס על כך ש   | R | = | ( 0 , 1 ) | {\displaystyle \!\ |\mathbb {R} |=|(0,1)|} (למשל, הפונקציה   f : ( 0 , 1 ) → R , x ↦ t a n ( π ⋅ x − π 2 ) ) {\displaystyle \!\ f:(0,1)\rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto tan(\pi \cdot x-{\frac {\pi }{2}}))} היא חד חד ערכית ועל ולכן מתקיים השוויון). ההוכחה מתחילה בהנחה בשלילה שהקבוצה   ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ (0,1)} היא בת מנייה, זאת אומרת שקיימת לה מנייה   ⟨ x n ∣ n ∈ N ⟩ {\displaystyle \!\ \langle x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \rangle } . ידוע שלכל מספר יש פיתוח עשרוני יחיד (עד כדי החלפת זנב של תשיעיות בזנב של אפסים), ולכן עבור   r ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ r\in (0,1)} נסמן   r = 0. r ( 0 ) r ( 1 ) . . . {\displaystyle \!\ r=0.r^{(0)}r^{(1)}...} . קנטור יצר מספר   r = 0. r ( 0 ) r ( 1 ) r ( 2 ) . . . {\displaystyle \!\ r=0.r^{(0)}r^{(1)}r^{(2)}...} בקטע   ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ (0,1)} ששונה מכל המספרים במנייה של   ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ (0,1)} , באופן הבא: ∀ n ∈ N   r ( n ) = { 1 r n ( n ) = 7 7 r n ( n ) ≠ 7 {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ~r^{(n)}=\left\{{\begin{matrix}1&r_{n}^{(n)}=7\\7&r_{n}^{(n)}\neq 7\end{matrix}}\right.} כאשר   r n ( n ) {\displaystyle \!\ r_{n}^{(n)}} היא הספרה באינדקס ה   n {\displaystyle \!\ n} אחרי הנקודה ב   r n {\displaystyle \!\ r_{n}} (למשל, אם נניח   r 3 = 0.672... {\displaystyle \!\ r_{3}=0.672...} אז   r 3 ( 0 ) = 6 , r 3 ( 1 ) = 7 , r 3 ( 2 ) = 2 {\displaystyle \!\ r_{3}^{(0)}=6,r_{3}^{(1)}=7,r_{3}^{(2)}=2} וכן הלאה. למעשה, 'סידרנו' את המנייה בשורות ויצרנו את   r {\displaystyle \!\ r} בעזרת האלכסון שהתקבל בסידור זה, ומכאן שם השיטה.) בבירור   r ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \!\ r\in (0,1)} , אך היות שבהכרח   ∀ n ∈ N   r ( n ) ≠ r n ( n ) {\displaystyle \!\ \forall n\in \mathbb {N} ~r^{(n)}\neq r_{n}^{(n)}} מתקבל   ∀ n ∈ N   r ≠ r n {\displaystyle \!\ \forall n\in \mathbb {N} ~r\neq r_{n}} ומכאן   r {\displaystyle \!\ r} לא במנייה. זו סתירה, ולכן מנייה כזו לא קיימת. מכאן   | ( 0 , 1 ) | ≠ ℵ 0 {\displaystyle \!\ |(0,1)|\neq \aleph _{0}} , זאת אומרת   | R | ≠ ℵ 0 {\displaystyle \!\ |\mathbb {R} |\neq \aleph _{0}} . גדי אלכסנדרוביץ', אז מדוע קשה להוכיח ש-P שונה מ-NP? (בלכסון), באתר "לא מדויק", 16 באוגוסט 2010