ממוצע סטולרסקי

במתמטיקה, ממוצע סטולרסקי הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים. ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני, הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי. בהינתן שני מספרים חיוביים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} ומספר ממשי p ≠ 0 , 1 {\displaystyle p\neq 0,1} , ממוצע סטולרסקי מחזקה p {\displaystyle p} מוגדר להיות: S p ( a , b ) := { a if  a = b ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 otherwise {\displaystyle S_{p}(a,b):={\begin{cases}a&{\text{if }}a=b\\\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}} ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975. משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים a < b {\displaystyle a<b} ופונקציה f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } רציפה בקטע הסגור [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} וגזירה בקטע הפתוח ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} , אזי קיים a < c < b {\displaystyle a<c<b} כך ש: f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} אם הנגזרת f ′ {\displaystyle f'} היא פונקציה חד-חד-ערכית, c {\displaystyle c} זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} לפי הפונקציה f {\displaystyle f} . ממוצע סטולרסקי מחזקה p {\displaystyle p} מתקבל מקביעת f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}} . ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי: S p ( a , b ) = ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = ( − 1 − 1 ⋅ a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = ( b p − a p p ( b − a ) ) 1 p − 1 = S p ( b , a ) {\displaystyle S_{p}(a,b)=\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {-1}{-1}}\cdot {\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=S_{p}(b,a)} ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן a 1 ≤ a 2 {\displaystyle a_{1}\leq a_{2}} ו- b 1 ≤ b 2 {\displaystyle b_{1}\leq b_{2}} ניתן להוכיח כי S p ( a 1 , b 1 ) ≤ S p ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle S_{p}(a_{1},b_{1})\leq S_{p}(a_{2},b_{2})} ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני. כלומר, לכל a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} ולכל מקדם α > 0 {\displaystyle \alpha >0} : S p ( α a , α b ) = ( ( α a ) p − ( α b ) p p ( α a − α b ) ) 1 p − 1 = ( α p − 1 a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = α ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = α S p ( a , b ) {\displaystyle S_{p}(\alpha a,\alpha b)=\left({\frac {(\alpha a)^{p}-(\alpha b)^{p}}{p(\alpha a-\alpha b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\left(\alpha ^{p-1}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha \left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=\alpha S_{p}(a,b)} ממוצע סטולרסקי S p ( x , y ) {\displaystyle S_{p}(x,y)} הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן x ≠ y {\displaystyle x\neq y} הרציפות נובעת מכך שממוצע סטולרסקי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות (חזקה, כפל, חיסור וכו') שכולן רציפות. עבור הנקודות שבהן x = y {\displaystyle x=y} ניתן להיעזר בגבול: lim x → y x p − y p x − y = p y p − 1 {\displaystyle \lim _{x\to y}{\frac {x^{p}-y^{p}}{x-y}}=py^{p-1}} כדי לקבל ש: lim x → y S p ( x , y ) = lim x → y ( x p − y p p ( x − y ) ) 1 p − 1 = ( p y p − 1 p ) 1 p − 1 = y = S p ( y , y ) {\displaystyle \lim _{x\to y}{S_{p}(x,y)}=\lim _{x\to y}{\left({\frac {x^{p}-y^{p}}{p(x-y)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {py^{p-1}}{p}}\right)^{\frac {1}{p-1}}=y=S_{p}(y,y)} ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} מתקיים: lim p → ∞ S p ( a , b ) = max ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{S_{p}(a,b)}=\max(a,b)} כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר p → ∞ {\displaystyle p\to \infty } שואף למקסימום של a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} . על כן ניתן להגדיר כי S ∞ ( a , b ) := max ( a , b ) {\displaystyle S_{\infty }(a,b):=\max(a,b)} במקרה שבו p = 2 {\displaystyle p=2} מתקבל: S 2 ( a , b ) = ( a 2 − b 2 2 ( a − b ) ) 1 2 − 1 = ( a − b ) ( a + b ) 2 ( a − b ) = a + b 2 {\displaystyle S_{2}(a,b)=\left({\frac {a^{2}-b^{2}}{2(a-b)}}\right)^{\frac {1}{2-1}}={\frac {(a-b)(a+b)}{2(a-b)}}={\frac {a+b}{2}}} זהו למעשה הממוצע החשבוני. על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור p = 1 {\displaystyle p=1} , ניתן למצוא אותו באמצעות גבול. ניתן להוכיח כי: lim p → 1 S p ( a , b ) = 1 e a a b b a − b {\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}} ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי. על כן, ניתן להגדיר כי S 1 {\displaystyle S_{1}} היא פונקציית הממוצע הזהותי. מגדירים: L = lim p → 1 S p ( a , b ) = lim p → 1 ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 {\displaystyle L=\lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 1}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}} על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל: ln ⁡ L = lim p → 1 ln ⁡ ( a p − b p ) − ln ⁡ ( p ) − ln ⁡ ( a − b ) p − 1 = lim p → 1 ln ⁡ a ⋅ a p − ln ⁡ b ⋅ b p a p − b p − 1 p = a ln ⁡ a − b ln ⁡ b a − b − 1 {\displaystyle \ln L=\lim _{p\to 1}{\frac {\ln(a^{p}-b^{p})-\ln(p)-\ln(a-b)}{p-1}}=\lim _{p\to 1}{{\frac {\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}}{a^{p}-b^{p}}}-{\frac {1}{p}}}={\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1} על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל: lim p → 1 S p ( a , b ) = L = exp ⁡ ( a ln ⁡ a − b ln ⁡ b a − b − 1 ) = 1 e a a b b a − b {\displaystyle \lim _{p\to 1}{S_{p}(a,b)}=L=\exp \left({\frac {a\ln a-b\ln b}{a-b}}-1\right)={\frac {1}{e}}{\sqrt[{a-b}]{\frac {a^{a}}{b^{b}}}}} מש"ל. גם במקרה p = 0 {\displaystyle p=0} ניתן להגדיר את ממוצע סטולרסקי על-ידי מציאת גבול. ניתן להוכיח כי: lim p → 0 S p ( a , b ) = a − b ln ⁡ a − ln ⁡ b {\displaystyle \lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}} ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי. על כן, ניתן להגדיר כי S 0 {\displaystyle S_{0}} היא פונקציית הממוצע הלוגריתמי. על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי: lim p → 0 a p − b p p = lim p → 0 ( ln ⁡ a ⋅ a p − ln ⁡ b ⋅ b p ) = ln ⁡ a − ln ⁡ b {\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {a^{p}-b^{p}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\left(\ln a\cdot a^{p}-\ln b\cdot b^{p}\right)}=\ln a-\ln b} לכן: lim p → 0 S p ( a , b ) = lim p → 0 ( a p − b p p ( a − b ) ) 1 p − 1 = ( ln ⁡ a − ln ⁡ b a − b ) 1 0 − 1 = a − b ln ⁡ a − ln ⁡ b {\displaystyle \lim _{p\to 0}{S_{p}(a,b)}=\lim _{p\to 0}{\left({\frac {a^{p}-b^{p}}{p(a-b)}}\right)^{\frac {1}{p-1}}}=\left({\frac {\ln a-\ln b}{a-b}}\right)^{\frac {1}{0-1}}={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}} מש"ל. במקרה שבו p = − 1 {\displaystyle p=-1} מתקבל: S − 1 ( a , b ) = ( a − 1 − b − 1 − 1 ⋅ ( a − b ) ) 1 − 1 − 1 = ( 1 a − 1 b − 1 ⋅ ( a − b ) ) − 1 2 = ( b − a a b − 1 ⋅ ( a − b ) ) − 1 2 = a b {\displaystyle S_{-1}(a,b)=\left({\frac {a^{-1}-b^{-1}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{\frac {1}{-1-1}}=\left({\frac {{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{b}}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=\left({\frac {\frac {b-a}{ab}}{-1\cdot (a-b)}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {ab}}} זהו למעשה הממוצע הגאומטרי. ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} מתקיים: lim p → − ∞ S p ( a , b ) = min ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{S_{p}(a,b)}=\min(a,b)} כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר p → − ∞ {\displaystyle p\to -\infty } שואף למינימום של a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} . על כן ניתן להגדיר כי S − ∞ ( a , b ) := min ( a , b ) {\displaystyle S_{-\infty }(a,b):=\min(a,b)} ממוצע סטולרסקי, באתר MathWorld (באנגלית) the Stolarsky mean, בביצוע Michael Penn, סרטון באתר יוטיוב Eric W. Weisstein, Stolarsky Mean, mathworld.wolfram.com (באנגלית) Kenneth B. Stolarsky, Generalizations of the Logarithmic Mean, Mathematics Magazine 48, 1975-03, עמ' 87–92 doi: 10.1080/0025570X.1975.11976447