חיתוך (גאומטריה)

בגאומטריה, חיתוך הוא אוסף הנקודות המשותפות לשתי צורות גאומטריות (או ליותר משתיים). זהו מימוש בגאומטריה של המושג המתמטי הרחב יותר חיתוך. החיתוך יכול להיות הקבוצה הריקה, למשל החיתוך בין שני ישרים מקבילים, או מממד כלשהו. דוגמאות: שני ישרים שאינם מקבילים נחתכים בנקודה אחת. קוטר חותך את המעגל בשתי נקודות. שני מישורים שאינם מקבילים נחתכים בישר אחד. חתכי חרוט: מישור החותך חרוט עשוי ליצור אחת מארבע צורות (מעגל, אליפסה, פרבולה, היפרבולה), בהתאם לזווית שבה המישור חותך את החרוט. מקרים מנוונים מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך קודקוד החרוט. חיתוך מתקיים גם בין יותר משתי צורות גאומטריות. במשולש שלושת התיכונים נחתכים בנקודה אחת, וכך גם שלושת הגבהים ושלושת חוצי הזוויות. כאשר נתונים שני ישרים, שמשוואותיהם הן: a 1 x + b 1 y = c 1 ,   a 2 x + b 2 y = c 2 {\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}} מתקבלות, לפי נוסחת קרמר, הקואורדינטות של נקודת החיתוך ( x s , y s ) {\displaystyle (x_{s},y_{s})} : x s = c 1 b 2 − c 2 b 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 , y s = a 1 c 2 − a 2 c 1 a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}} . כאשר a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0 {\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0} הישרים מקבילים. כאשר נתונים שני קטעים, ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} ו- ( x 3 , y 3 ) , ( x 4 , y 4 ) {\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})} , הם לא בהכרח נחתכים, משום שייתכן שנקודת החיתוך בין שני הישרים שהקטעים מוכלים בהם נמצאת מחוץ לקטעים. כדי לבדוק זאת ניתן להשתמש בהצגה הפרמטרית של הקטעים: ( x ( s ) , y ( s ) ) = ( x 1 + s ( x 2 − x 1 ) , y 1 + s ( y 2 − y 1 ) ) , {\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),} ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( x 3 + t ( x 4 − x 3 ) , y 3 + t ( y 4 − y 3 ) ) . {\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).} שני הקטעים נחתכים בנקודה משותפת ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} כאשר הפרמטרים המתאימים s 0 , t 0 {\displaystyle s_{0},t_{0}} מקיימים את התנאי 0 ≤ s 0 , t 0 ≤ 1 {\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1} . הפרמטרים s 0 , t 0 {\displaystyle s_{0},t_{0}} הם הפתרון של מערכת המשוואות הליניאריות s ( x 2 − x 1 ) − t ( x 4 − x 3 ) = x 3 − x 1 {\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1}} s ( y 2 − y 1 ) − t ( y 4 − y 3 ) = y 3 − y 1 {\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}} הצבת הערכים s 0 {\displaystyle s_{0}} או t 0 {\displaystyle t_{0}} בהצגה הפרמטרית נותנת את נקודת החיתוך ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} . דוגמה: לקטעים ( 1 , 1 ) , ( 3 , 2 ) {\displaystyle (1,1),(3,2)} ו- ( 1 , 4 ) , ( 2 , − 1 ) {\displaystyle (1,4),(2,-1)} נקבל את מערכת המשוואות הליניאריות 2 s − t = 0 {\displaystyle 2s-t=0} s + 5 t = 3 {\displaystyle s+5t=3} שפתרונה s 0 = 3 11 , t 0 = 6 11 {\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}} , כלומר הקטעים נחתכים בנקודה ( 17 11 , 14 11 ) {\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})} . למציאת נקודות החיתוך של הישר a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} והמעגל x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} יש לבודד את   x {\displaystyle \ x} או את   y {\displaystyle \ y} ממשוואת הישר ולהציב במשוואת המעגל, ולקבל את הפתרונות ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} מהמשוואות הריבועיות x 1 / 2 = a c ± b r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 a 2 + b 2 {\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}} y 1 / 2 = b c ∓ a r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 a 2 + b 2 {\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}} כאשר r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 ≥ 0 {\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}\geq 0} . כאשר מתקיים r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 > 0 {\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0} , מתקבלות שתי נקודות חיתוך, והקטע המחבר ביניהן קרוי מיתר במעגל. כאשר r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 = 0 {\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0} יש רק נקודת חיתוך אחת, והישר משיק למעגל. כאשר r 2 ( a 2 + b 2 ) − c 2 < 0 {\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}<0} , הישר והמעגל אינם נחתכים. הצורה המתקבלת מחיתוך של שני מעגלים קרויה עדשה. כאשר שני המעגלים הם בעלי אותו רדיוס, והמרכז של כל אחד מהם נמצא על היקפו של האחר, העדשה המתקבלת קרויה וסיקה פיסקיס. ישר שאינו מקביל למישור ואינו מוכל במישור חותך את המישור בנקודה אחת. הישר במרחב מוצג פרמטרית ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) {\displaystyle (x(t),y(t),z(t))} והמישור מוצג במשוואה a x + b y + c z = d {\displaystyle ax+by+cz=d} . הצבת ההצגה הפרמטרית במשוואה נותנת a x ( t ) + b y ( t ) + c z ( t ) = d {\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d} לפרמטר t 0 {\displaystyle t_{0}} של נקודת החיתוך ( x ( t 0 ) , y ( t 0 ) , z ( t 0 ) ) {\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))} . כאשר למשוואה אין פתרון, הישר מקביל למישור או מוכל בו. דיאגרמת ון