על גופים צפים

על גופים צפים הוא חיבור בן שני ספרים בשפה היוונית שנכתב על ידי ארכימדס מסירקוזה (287–212 לפנה"ס), אחד מגדולי המתמטיקאים, הפיזיקאים והמהנדסים של העת העתיקה. על גופים צפים, שמשערים שנכתב בסביבות 250 לפנה"ס, שרד רק באופן חלקי ביוונית, והשאר בלטינית ימי ביניימית שתורגמה מיוונית. זו העבודה הידועה הראשונה על הידרוסטטיקה, אשר ארכימדס מזוהה כמייסדה. ארכימדס חי בעיר-מדינה היוונית סירקוזה, סיציליה. נזקפת לזכותו הנחת יסודות ההידרוסטטיקה (אותם ביסס בחיבור "על גופים צפים"), הסטטיקה וחישוב המתמטיקה שבבסיס המנוף. כמדען מוביל של העת העתיקה, ארכימדס גם פיתח מערכות גלגלות מתוחכמות כדי להניע עצמים כבדים במינימום מאמץ. בורג ארכימדס שתכנן עומד ביסוד הנדסת המים המודרנית, ומכונות המלחמה שלו עזרו לעצור את צבאות רומי במלחמה הפונית הראשונה. ארכימדס אף הפריך לחלוטין את טיעוניו של אריסטו והראה שבלתי אפשרי להפריד בין המתמטיקה והטבע, והוכיח זאת על ידי המרת תאוריות מתמטיות להמצאות פרקטיות. המטרה של החיבור "על גופים צפים" הייתה לקבוע את התנוחות שמגוון מוצקים יתייצבו בהם כאשר הם צפים בנוזל, בהתאם לצורה שלהם והשינוי במשקל הסגולי לאורכם. בחלק הראשון של החיבור, ארכימדס מבסס מספר עקרונות כללים, למשל שמוצק צפוף יותר מהנוזל יהיה, כשהוא מושקע בנוזל, קל יותר (המשקל ה"חסר" נמצא בנוזל שהוא מתיק ממקומו). הטענה החשובה ביותר בעל גופים צפים היא זו המוכרת כיום כחוק ארכימדס: כל גוף שחלקו או כולו מוטבל בנוזל חש כח למעלה (ציפה) השווה למשקל הנוזל שהוא דוחה ארכימדס דן בחלק זה גם בשיווי משקל של זורמים, ומוכיח שמים יאמצו צורה ספירית מסביב למרכז כבידתי (לא מרכז כובד אלא נקודת מוקד של שדה הכבידה). הוכחה זו הייתה ככל הנראה ניסיון להסביר את התאוריה של אסטרונומים יוונים בני דורו כמו ארטוסתנס שכדור הארץ עגול. הזורמים שארכימדס מתאר אינם בעלי כבידה עצמית, שכן הוא מניח את קיומה של נקודה אליה כל הדברים נופלים כדי לגזור את הצורה הכדורית. הספר השני הוא הישג מתמטי מהכבירים שבעולם העתיק. הספר מכיל חקירה מפורטת של תנוחות שיווי המשקל היציבות של פרבולואידים צפים במגוון צורות וצפיפויות יחסיות, כאשר הם צפים בנוזל בעל משקל סגול גבוה יותר, ותחת אילוצים גאומטריים והידרוסטטיים שונים. היא מוגבלת למקרה שהבסיס של הפרבולואיד נמצא כולו מעל או כולו מתחת למשטח הנוזל. בכל אחד מהמקרים האלה, היעד של חקירתו של ארכימדס הוא למצוא את זווית הנטייה של ציר המקטע הפרבולואידי (ציר הפרבולואיד) יחסית לאנך לפני המים במצב שיווי משקל. אחת התוצאות המרכזיות של ארכימדס היא בנייה גאומטרית מסובכת אשר משמעותה היא, בשפה מודרנית, גזירת משטח היציבות (equilibrium surface) במרחב הפאזה, המורכב מכל הקונפיגורציות ( θ , ϕ , s ) {\displaystyle (\theta ,\phi ,s)} עבורן העצם בשיווי משקל. ( θ {\displaystyle \theta } היא זווית הנטייה של הציר, ϕ {\displaystyle \phi } היא זווית מסוימת המגדירה את הפרבולואיד ו-s הוא היחס בין צפיפות העצם הצף לצפיפות המים), חקירתו של ארכימדס דווקא את הפרבולואידים הייתה קרוב לוודאי אידיאליזציה של צורת גופי אוניות. בכמה מהפרקים שלו הגופים צפים עם הבסיס מתחת למים ומבצבצים מעל למים, בדומה לדרך שבה קרחונים צפים. ערך מורחב – אאורקה על פי אנקדוטה מפורסמת שסופרה על ידי ויטרוביוס בכרך התשיעי של הספר "על אודות האדריכלות", נתבקש ארכימדס לקבוע האם הכתר של המלך היירון השני עשוי מזהב טהור. כדי למצוא את הרכב הכתר היה צריך להשוות את נפחו לנפח של כתר זהב באותו משקל, אולם אז לא ידעו איך למדוד את נפח הכתר. בעת שארכימדס רחץ באמבט ציבורי הוא הבין שגופו השקוע באמבט דוחה כמות מים השווה לנפח גופו. בדרך זו הוא למד כיצד למדוד נפח של גוף כלשהו. מרוב התלהבות יצא בריצה לרחוב כשהוא עירום וצועק "אאורקה!" (מצאתי). הסיפור ככל הנראה לא מדויק משום שהבדלי הנפח בין כתר זהב לכתר מזויף באותו משקל, יגרמו לעליית פני המים בהפרש קטן מדי מכדי שיבחינו בו במכשירי המדידה של אותם ימים. גרסה מקוונת ומתורגמת לאנגלית של החיבור מתוך הספר The works of Archimedes (ed. T.L. Heath), University Press, 1897, באתר ארכיון האינטרנט, עמ' 253–300 הערך "ארכימדס" באתר אנציקלופדיה בריטניקה http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Floating/rorres_paraboloids_MI.pdf