עקרון ד'אלמבר

עקרון ד'אָלֶמְבֶּר (D'Alembert), הידוע גם כעקרון לגרנז'-ד'אלמבר (Lagrange–d'Alembert), הוא משפט על חוקי התנועה הבסיסיים של המכניקה הקלאסית. המשפט קרוי על שם מגלו, הפיזיקאי הצרפתי ז'אן לה רון ד'אלמבר. העיקרון קובע כי סכום ההפרשים בין הכוחות הפועלים על המערכת לבין הנגזרת הזמנית של התנע, לאורך כל העתקה וירטואלית המצייתת לאילוצי המערכת[דרושה הבהרה], הוא אפס. לפיכך, עקרון ד'אלמבר הוא: ∑ i ( F i − m i a i ) ⋅ δ r i = 0 , {\displaystyle \sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,} משפט זה הוא המקביל הדינמי למשפט העבודה הווירטואלית והוא כללי יותר מעקרון המילטון, שכן הוא אינו מוגבל למערכות הולונומיות. הגבלה הולונומית היא הגבלה התלויה רק בקואורדינטות ובזמן. העתקה וירטואלית היא שינוי הקונפיגורציה של המערכת, כך שבניגוד להעתקה אמיתית של המערכת, הנעשית בזמן dt, העתקה וירטואלית נעשית מידית. כידוע מחוקי ניוטון, סכום הכוחות על חלקיק שווים לנגזרת הזמנית של התנע שלו: F i − p i ˙ = 0 {\displaystyle F_{i}-{\dot {p_{i}}}=0} ומכאן נקבל מידית: ∑ i ( F i − p i ˙ ) δ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}(F_{i}-{\dot {p_{i}}})\delta {r_{i}}=0} נבדיל בין כוחות ממשיים F i ( a ) {\displaystyle {F_{i}}^{(a)}} לכוחות אילוצים f i {\displaystyle f_{i}} : ∑ i ( F i ( a ) − p i ˙ ) δ r i + ∑ i f i δ r i = 0 {\displaystyle \sum _{i}({F_{i}}^{(a)}-{\dot {p_{i}}})\delta {r_{i}}+\sum _{i}f_{i}\delta {r_{i}}=0} כאשר האיבר השני אשר עוסק בעבודה וירטואלית אשר מתבצעת על ידי כוחות אילוצים, חייב להתאפס. לדוגמה חלקיק המוגבל לנוע על משטח- כוחות האילוצים פועלים בהכרח בניצב למישור, בעוד ההעתקים הווירטואליים חייבים להיות משיקים לו. הטיפול שלנו לא מתייחס למערכות בהן פועלים כוחות כגון חיכוך לאורך המשטח. למרות זאת במקרים מסוימים, כמו גלגול ללא החלקה, התנאי של אי קיום עבודה עדיין מתקיים. אנו רוצים עכשיו לאפס בנפרד את המקדים של כל ההעתקות הווירטואליות, אך קיום האילוצים במערכת כופה תלות בין הקוארדינטות השונות. לכן נרצה לעבור לקואורדינטות מוכללות, בלתי תלויות אחת בשנייה. נתאר את מעבר הקוארדינטות בעזרת מערכת משוואות: r i = r i ( q 1 , q 2 , . . . , q n , t ) {\displaystyle r_{i}=r_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n},t)} באופן כללי מספר הקוארדינטות המוכללות שונה ממספר הקוארדינטות הממשיות (כל אילוץ מוריד את מספר הקוארדינטות המוכללות הבלתי תלויות). ההעתקה הווירטואלית δ r i {\displaystyle \delta {r_{i}}} קשורה להעתקה הווירטואלית δ q i {\displaystyle \delta {q_{i}}} על ידי: δ r i = ∑ j ∂ r i ∂ q j δ q j {\displaystyle \delta {r_{i}}=\sum _{j}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}} על ידי קשר זה נוכל להגדיר את הכוחות המוכללים Q j {\displaystyle Q_{j}} ∑ i F i δ r i = ∑ i , j F i ∂ r i ∂ q j δ q j = ∑ j Q j δ q j {\displaystyle \sum _{i}F_{i}\delta {r_{i}}=\sum _{i,j}F_{i}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=\sum _{j}Q_{j}\delta {q_{j}}} Q j = ∑ i F i ∂ r i ∂ q j {\displaystyle Q_{j}=\sum _{i}F_{i}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}} שים לב כי היחידות הפיזיקליות של הכוחות המוכללים אינם חייבים להיות של כוח. המגבלה היחידה עליהם היא שהמכפלה שלהם עם הקוארדינטה המוכללת תהיה בעלת יחידות של עבודה. עוד איבר במשוואה עוסק בעבודה הנעשית על ידי הכוחות המדומים. באופן דומה לכוחות המוכללים: ∑ i p ˙ i δ r i = ∑ i , j m r i ¨ ∂ r i ∂ q j δ q j = ∑ i , j d d t ( m r i ˙ ∂ r i ∂ q j ) δ q j − ∑ i , j m r i ˙ d d t ( ∂ r i ∂ q j ) δ q j {\displaystyle \sum _{i}{\dot {p}}_{i}\delta r_{i}=\sum _{i,j}m{\ddot {r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}(m{\dot {r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}m{\dot {r_{i}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}} נוכל לבטא את המהירויות: v i = d r i d t = ∑ j ∂ r i ∂ q j q j ˙ + ∂ r i ∂ t {\displaystyle v_{i}={\frac {dr_{i}}{dt}}=\sum _{j}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q_{j}}}+{\frac {\partial r_{i}}{\partial t}}} נזכור כי r i {\displaystyle r_{i}} אינם תלויים באופן מפורש ב q ˙ j {\displaystyle {\dot {q}}_{j}} ולכן: ∂ v i ∂ q j ˙ = ∂ r i ∂ q j {\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}={\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}} בנוסף לכך: d d t ∂ r i ∂ q j = ∑ k ∂ 2 r i ∂ q j ∂ q k q ˙ k + ∂ 2 r i ∂ q j ∂ t = ∂ ∂ q j d r i d t {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial ^{2}r_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{\frac {\partial ^{2}r_{i}}{\partial q_{j}\partial t}}={\frac {\partial }{\partial q_{j}}}{\frac {dr_{i}}{dt}}} נציב ביטוים אלו באיבר התנע ונפתח: ∑ i p ˙ i δ r i = ∑ i , j d d t ( m r i ˙ ∂ r i ∂ q j ) δ q j − ∑ i , j m r i ˙ d d t ( ∂ r i ∂ q j ) δ q j = ∑ i , j d d t ( m v i ∂ v i ∂ q j ˙ ) δ q j − ∑ i , j m v i ∂ v i ∂ q j δ q j = ∑ i , j d d t ( 1 2 m ∂ v i 2 ∂ q j ˙ ) δ q j − ∑ i , j 1 2 m ∂ v i 2 ∂ q j δ q j = {\displaystyle \sum _{i}{\dot {p}}_{i}\delta r_{i}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}(m{\dot {r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}m{\dot {r_{i}}}{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}})\delta {q_{j}}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}(mv_{i}{\frac {\partial v_{i}}{\partial {\dot {q_{j}}}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}mv_{i}{\frac {\partial v_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=\sum _{i,j}{\frac {d}{dt}}({\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {v_{i}}^{2}}{\partial {\dot {q_{j}}}}})\delta {q_{j}}-\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}m{\frac {\partial {v_{i}}^{2}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=} = d d t ( ∂ T ∂ q j ˙ ) δ q j − ∂ T ∂ q j δ q j {\displaystyle ={\frac {d}{dt}}({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{j}}}}})\delta {q_{j}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}} כאשר T היא האנרגיה הקינטית מבוטאת בקואורדינטות המוכללות. אם הכוח במערכת הוא משמר, ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית סקלרית אשר מקיימת: F i = − ∂ V ∂ r i {\displaystyle F_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}} לכן בקואורדינטות מוכללות איבר הכוחות נראה כך: ∑ i , j − ∂ V ∂ r i ∂ r i ∂ q j δ q j = ∑ j − ∂ V ∂ q j δ q j {\displaystyle \sum _{i,j}-{\frac {\partial V}{\partial r_{i}}}{\frac {\partial r_{i}}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}=\sum _{j}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\delta {q_{j}}} והכוח המוכלל ניתן על ידי: Q i = − ∂ V ∂ q j {\displaystyle Q_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}} נסכום את האיברים: ∑ j ( ∂ ( T − V ) ∂ q j − d d t ∂ T ∂ q j ˙ ) δ q j = 0 {\displaystyle \sum _{j}({\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{j}}}}})\delta {q_{j}}=0} כאשר δ q j {\displaystyle \delta {q_{j}}} הם העתקים וירטואליים שרירותיים. לכן מתקיים לכל איבר בסכום: ∂ ( T − V ) ∂ q j − d d t ∂ T ∂ q j ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{j}}}}}=0} ברוב הבעיות האנרגיה הפוטנציאלית אינה תלויה ב q ˙ i {\displaystyle {\dot {q}}_{i}} . לכן על ידי הוספת איבר שמתאפס נוכל לבטא מחדש את המשוואה כ: ∂ ( T − V ) ∂ q j − d d t ∂ ( T − V ) ∂ q j ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial (T-V)}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (T-V)}{\partial {\dot {q_{j}}}}}=0} נגדיר את פונקציית הלגרנז'יאן כ L = T − V {\displaystyle L=T-V} ובכך קיבלנו את משוואת אוילר לגרנז': ∂ L ∂ q j − d d t ∂ L ∂ q j ˙ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{j}}}}}=0} Cornelius Lanczos, The variational principles of mechanics, Toronto: University of Toronto Press, 1964, עמ' 92 עקרון ד'אלמבר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)