פונקציית W של למברט

במתמטיקה, פונקציית W של למברט (נקראת גם: פונקציית אומגה), היא פונקציה רב-ערכית, השווה לאוסף הענפים של הפונקציה ההופכית של הפונקציה f ( w ) = w e w {\displaystyle f(w)=we^{w}} , כש- w {\displaystyle w} הוא מספר מרוכב כלשהו ו- e w {\displaystyle e^{w}} היא פונקציית האקספוננט. לכל מספר שלם k {\displaystyle k} משויך ענף אחד, המסומן בצורה W k ( z ) {\displaystyle W_{k}({\text{z}})} . W 0 {\displaystyle W_{0}} מוגדר כענף הראשי (אנ'). לפונקציות אלו מתקיימת התכונה הבאה: אם z {\displaystyle {\text{z}}} ו- w {\displaystyle w} הם מספרים מרוכבים כלשהם, אזי מתקיים: w e w = z {\displaystyle we^{w}=z} אם ורק אם: w = W k ( z ) {\displaystyle w=W_{k}({\text{z}})} עבור k {\displaystyle k} שלם כלשהו. אם מתעסקים רק בעולם המספרים הממשיים, אז קיימים שני הענפים W 0 {\displaystyle W_{0}} ו- W − 1 {\displaystyle W_{-1}} בלבד; עבור המספרים הממשיים x {\displaystyle x} ו- y {\displaystyle y} והמשוואה: y e y = x {\displaystyle ye^{y}=x} למשוואה זו יש פתרון רק עבור x ≥ − 1 e {\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}} ; אנו מקבלים כי y = W 0 ( x ) {\displaystyle y=W_{0}(x)} אם x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} , ואת שני הערכים y = W 0 ( x ) {\displaystyle y=W_{0}(x)} וגם y = W − 1 ( x ) {\displaystyle y=W_{-1}(x)} אם − 1 e ≤ x < 0 {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x<0} (כפי שניתן לראות בתמונה). הפונקציה שימושית בקומבינטוריקה, לדוגמה, בספירת עצים. ניתן להשתמש בה בכדי לפתור משוואות המכילות אקספוננט (למשל המקסימום של משוואת פלאנק, משוואת התפלגות בוז-איינשטיין ומשוואת התפלגות פרמי-דיראק). פונקציית W של למברט קרויה על שם המתמטיקאי יוהאן היינריך למברט. לעיתים הענף הראשי W 0 {\displaystyle W_{0}} מסומן כ- W p {\displaystyle W_{p}} והענף W − 1 {\displaystyle W_{-1}} מסומן כ- W m {\displaystyle W_{m}} . לעיתים הפונקציה נקראת גם "לוגריתם המכפלה" (באנגלית product logarithm) כיוון שאם הפונקציה ההופכית של f ( w ) = e w {\displaystyle f(w)=e^{w}} נקראת לוגריתם, אז הגיוני לקרוא לפונקציה ההופכית של המכפלה w e w {\displaystyle we^{w}} בשם "לוגריתם המכפלה" הפונקציה קשורה לקבוע אומגה, ששווה ל- W 0 ( 1 ) {\displaystyle W_{0}(1)} . אומנם את פונקציית W של למברט לא ניתן לבטא באמצעות פונקציות אלמנטריות., אך ניתן לייצג אותה ובעיקר את הענף הראשי (אנ') שלה בדרכים אחרות. בתחום | x | < 1 e {\displaystyle |x|<{\frac {1}{e}}} , ניתן לייצג באמצעות האינטגרל הבא: − π 2 W 0 ( − x ) = ∫ 0 π sin ⁡ ( 3 2 t ) − x e cos ⁡ t sin ⁡ ( 5 2 t − sin ⁡ t ) 1 − 2 x e cos ⁡ t cos ⁡ ( t − sin ⁡ t ) + x 2 e 2 cos ⁡ t sin ⁡ ( 1 2 t ) d t {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt} ועבור התחום הרחב יותר − 1 e ≤ x ≤ e {\displaystyle -{\frac {1}{e}}\leq x\leq e} , ניתן לפשט עוד יותר את הביטוי: W 0 ( x ) = 1 π Re ⁡ ∫ 0 π ln ⁡ ( e e i t − x e − i t e e i t − x e i t ) d t {\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt} קיים ייצוג נוסף לענף הראשי: W 0 ( x ) = 1 π ∫ 0 π log ⁡ ( 1 + x sin ⁡ t t e t cot ⁡ t ) d t {\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt} עבור התחום x ≥ − 1 e {\displaystyle x\geq -{\frac {1}{e}}} בו הענף הראשי מוגדר, מתקיים: W 0 ( x ) = x 2 π ∫ − π π ( 1 − v cot ⁡ v ) 2 + v 2 x + v csc ⁡ v e − v cot ⁡ v d v   = x π ∫ 0 π ( 1 − v cot ⁡ v ) 2 + v 2 x + v csc ⁡ v e − v cot ⁡ v d v {\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&={\frac {x}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\\\ &={\frac {x}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {(1-v\cot v)^{2}+v^{2}}{x+v\csc ve^{-v\cot v}}}dv\end{aligned}}} (שני האינטגרלים שווים כיוון שהפונקציה בתוך האינטגרל סימטרית). ניתן גם להציג את הענף הראשי באמצעות השבר המשולב הבא: W 0 ( x ) = x 1 + x 1 + x 2 + 5 x 3 + 17 x 10 + 133 x 17 + 1927 x 190 + 13582711 x 94423 + ⋱ {\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}} ועבור התחום | W 0 ( x ) | < 1 {\displaystyle |W_{0}(x)|<1} : W 0 ( x ) = x exp ⁡ x exp ⁡ x ⋱ {\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}} ובאופן דומה, עבור התחום | W 0 ( x ) | > e {\displaystyle |W_{0}(x)|>e} : W 0 ( x ) = ln ⁡ x ln ⁡ x ln ⁡ x ⋱ {\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}} לפי השיטה למציאת נגזרת של פונקציה סתומה, ניתן להראות כי לכל הענפים של W {\displaystyle W} יש משוואה דיפרנציאלית רגילה: z ( 1 + W ) d W d z = W       ( z ≠ − 1 e ) {\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\ \ \ (z\neq {\frac {-1}{e}})} ( W {\displaystyle W} אינה גזירה עבור z = − 1 e {\displaystyle z=-{\frac {1}{e}}} ) כתוצאה מכך, אנו מקבלים את הנוסחה הבאה עבור הנגזרת של W {\displaystyle W} : d W d z = W ( z ) z ( 1 + W ( z ) )       z ∉ { 0 , − 1 e } {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\ \ \ z\notin \{0,-{\frac {1}{e}}\}} ובאמצעות שימוש בזהות e W ( z ) = z W ( z ) {\displaystyle e^{W(z)}={\frac {z}{W(z)}}} נקבל את הנוסחה הבאה: d W d z = 1 z + e W ( z )       ( z ≠ − 1 e ) {\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\ \ \ (z\neq -{\frac {1}{e}})} בענף הראשי נקבל W 0 ′ ( 0 ) = 1 {\displaystyle W_{0}'(0)=1} . ניתן למצוא את האינטגרל של הפונקציה W ( x ) {\displaystyle W(x)} , ושל פונקציות רבות נוספות המכילות בתוכן את פונקציית W, על ידי שימוש באינטגרציה באמצעות החלפת משתנים: w = W ( x )       ( x = w e w ) {\displaystyle w=W(x)\ \ \ (x=we^{w})} ∫ W ( x ) d x = x W ( x ) − x + e W ( x ) + C   = x ( W ( x ) − 1 + 1 W ( x ) ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\\ &=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C\end{aligned}}} המשוואה השנייה היא בשימוש הנפוץ יותר, אך אינה מוגדרת עבור x = 0 {\displaystyle x=0} . אם נשתמש בעובדה כי W 0 ( e ) = 1 {\displaystyle W_{0}(e)=1} נקבל: ∫ 0 e W 0 ( x ) d x = e − 1 {\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)dx=e-1} קיימים כמה אינטגרלים מסוימים שימושיים של הענף הראשי של פונקציית W. כגון: ∫ 0 π W 0 ( 2 cot 2 ⁡ x ) sec 2 ⁡ x d x = 4 π {\displaystyle \int _{0}^{\pi }W_{0}(2\cot ^{2}x)\sec ^{2}xdx=4{\sqrt {\pi }}} ∫ 0 ∞ W 0 ( x ) x x d x = 2 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}dx=2{\sqrt {2\pi }}} ∫ 0 ∞ W 0 ( 1 x 2 ) d x = 2 π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)dx=2{\sqrt {\pi }}} את המשוואה הראשונה ניתן למצוא באמצעות כתיבת אינטגרל גאוסיאני בקואורדינטות קוטביות. את המשוואה השנייה ניתן למצוא על ידי שימוש בהחלפה u = W 0 ( x ) {\displaystyle u=W_{0}(x)} , ואז ניתן גם להחליף את: x = u e u {\displaystyle x=ue^{u}} d x d u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle {\frac {dx}{du}}=(u+1)e^{u}} ואז ניתן להראות כי: ∫ 0 ∞ W 0 ( x ) x x d x = ∫ 0 ∞ u u e u u e u ( u + 1 ) e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u e u d u = ∫ 0 ∞ u + 1 u 1 e u d u = ∫ 0 ∞ u 1 2 e − u 2 d u + ∫ 0 ∞ u − 1 2 e − u 2 d u = 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ ( 2 w ) − 1 2 e − w d w ( u = 2 w ) = 2 2 ∫ 0 ∞ w 1 2 e − w d w + 2 ∫ 0 ∞ w − 1 2 e − w d w = 2 2 ⋅ Γ ( 3 2 ) + 2 ⋅ Γ ( 1 2 ) = 2 2 ( 1 2 π ) + 2 ( π ) = 2 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}} המשוואה השלישית נובעת מהמשוואה השנייה על ידי ההחלפה u = x − 2 {\displaystyle u=x^{-2}} , ובנוסף גם המשוואה הראשונה נובעת מהשלישית על ידי ההחלפה z = 1 2 tan ⁡ x {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\tan x} . ∫ W ( x ) x d x = W ( x ) 2 2 + W ( x ) + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}dx={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C} הוכחה ראשונה אם נציב את המשתנה u = W ( x ) → x = u e u       d d u u e u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}} נקבל: ∫ W ( x ) x d x = ∫ u u e u ( u + 1 ) e u d u   = ∫ u u e u ( u + 1 ) e u d u   = ∫ ( u + 1 ) d u   = u 2 2 + u + C   u = W ( x )   = W ( x ) 2 2 + W ( x ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\frac {\cancel {\color {green}u}}{{\cancel {\color {green}u}}{\cancel {\color {red}e^{u}}}}}(u+1){\cancel {\color {red}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}+u+C\\\ &\qquad u=W(x)\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}} הוכחה שנייה W ( x ) e W ( x ) = x → W ( x ) x = e − W ( x ) {\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}} ∫ W ( x ) x d x = ∫ e − W ( x ) d x   u = W ( x ) → x = u e u   d d u u e u = ( u + 1 ) e u   = ∫ e − u ( u + 1 ) e u d u   = ∫ e − u ( u + 1 ) e u d u   = ∫ ( u + 1 ) d u   = u 2 2 u + C   = W ( x ) 2 2 + W ( x ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x}}dx&=\int e^{-W(x)}dx\\\ &\qquad u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\\\ &\qquad {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}\\\ &=\int e^{-u}(u+1)e^{u}du\\\ &=\int {\cancel {\color {green}e^{-u}}}(u+1){\cancel {\color {green}e^{u}}}du\\\ &=\int (u+1)du\\\ &={\frac {u^{2}}{2}}u+C\\\ &={\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C\end{aligned}}} ∫ W ( A e B x ) d x = W ( A e B x ) 2 2 B + W ( A e B x ) B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C} הוכחה ∫ W ( A e B x ) d x = ∫ W ( A e B x ) d x {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx} u = B x → u B = x d d u u B = 1 B {\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}} ∫ W ( A e B x ) d x = ∫ W ( A e u ) 1 B d u {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du} v = e u → ln ⁡ ( v ) = u d d v ln ⁡ ( v ) = 1 v {\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}} ∫ W ( A e B x ) d x = 1 B ∫ W ( A v ) v d v {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv} w = A v → w A = v d d w w A = 1 A {\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}} ∫ W ( A e B x ) d x = 1 B ∫ A W ( w ) w 1 A d w {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw} t = W ( w ) → t e t = w d d t t e t = ( t + 1 ) e t {\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}} ∫ W ( A e B x ) d x = 1 B ∫ t t e t ( t + 1 ) e t d t {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt} ∫ W ( A e B x ) d x = 1 B ∫ t t e t ( t + 1 ) e t d t {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt} ∫ W ( A e B x ) d x = 1 B ∫ t + 1 d t {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt} ∫ W ( A e B x ) d x = t 2 2 B + t B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C} t = W ( w ) {\displaystyle t=W\left(w\right)} ∫ W ( A e B x ) d x = W ( w ) 2 2 B + W ( w ) B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C} w = A v {\displaystyle w=Av} ∫ W ( A e B x ) d x = W ( A v ) 2 2 B + W ( A v ) B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C} v = e u {\displaystyle v=e^{u}} ∫ W ( A e B x ) d x = W ( A e u ) 2 2 B + W ( A e u ) B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C} u = B x {\displaystyle u=Bx} ∫ W ( A e B x ) d x = W ( A e B x ) 2 2 B + W ( A e B x ) B + C {\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C} ∫ W ( x ) x 2 d x = Ei ⁡ ( − W ( x ) ) − e − W ( x ) + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C} הוכחה אם נציב את המשתנה u = W ( x ) → x = u e u       d d u u e u = ( u + 1 ) e u {\displaystyle u=W(x)\rightarrow x=ue^{u}\ \ \ {\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}} נקבל: ∫ W ( x ) x 2 d x = ∫ u ( u e u ) 2 ( u + 1 ) e u d u = ∫ u + 1 u e u d u = ∫ u u e u d u + ∫ 1 u e u d u = ∫ e − u d u + ∫ e − u u d u {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}} v = − u → − v = u d d v − v = − 1 {\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1} ∫ W ( x ) x 2 d x = ∫ e v ( − 1 ) d v + ∫ e − u u d u {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du} ∫ W ( x ) x 2 d x = − e v + Ei ⁡ ( − u ) + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C} v = − u {\displaystyle v=-u} ∫ W ( x ) x 2 d x = − e − u + Ei ⁡ ( − u ) + C {\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C} u = W ( x ) {\displaystyle u=W(x)} ∫ W ( x ) x 2 d x = − e − W ( x ) + Ei ⁡ ( − W ( x ) ) + C = Ei ⁡ ( − W ( x ) ) − e − W ( x ) + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}} עבור כל x {\displaystyle x} מספר אלגברי השונה מ-0, מתקיים כי W ( x ) {\displaystyle W(x)} הוא מספר טרנסצנדנטי. אם W ( x ) {\displaystyle W(x)} הוא 0, אז x {\displaystyle x} חייב להיות גם הוא 0, ואם W ( x ) {\displaystyle W(x)} הוא מספר לא אלגברי שונה מאפס, אז לפי משפט לינדמן-ויירשטראס, e W ( x ) {\displaystyle e^{W(x)}} חייב להיות מספר טרנסצנדנטי, ולכן x = W ( x ) e W ( x ) {\displaystyle x=W(x)e^{W(x)}} חייב להיות גם הוא מספר טרנסצנדנטי. למטה מובאים ערכים מיוחדים של הענף הראשי ( W 0 {\displaystyle W_{0}} ): W 0 ( − π 2 ) = i π 2 {\displaystyle W_{0}(-{\frac {\pi }{2}})={\frac {i\pi }{2}}} W 0 ( − 1 e ) = − 1 {\displaystyle W_{0}(-{\frac {1}{e}})=-1} W 0 ( 2 ln ⁡ 2 ) = ln ⁡ 2 {\displaystyle W_{0}(2\ln 2)=\ln 2} W 0 ( 0 ) = 0 {\displaystyle W_{0}(0)=0} W 0 ( 1 ) = Ω = ( ∫ − ∞ ∞ d t ( e t − t ) 2 + π 2 ) − 1 ≈ 0.56714329 {\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}\approx 0.56714329} (קבוע אומגה) W 0 ( 1 ) = e − W ( 1 ) = ln ⁡ ( 1 W ( 1 ) ) = − ln ⁡ W ( 1 ) {\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W(1)}=\ln \left({\frac {1}{W(1)}}\right)=-\ln W(1)} W ( e ) = 1 {\displaystyle W(e)=1} W ( e 1 + e ) = e {\displaystyle W(e^{1+e})=e} מדיה וקבצים בנושא פונקציית W של למברט בוויקישיתוף פונקציית W של למברט לפי המכון הלאומי לתקנים וטכנולוגיה פונקציית W של למברט, באתר MathWorld (באנגלית) מימוש הפונקציה בשפת C++ Timothy Y. Chow, What Is a Closed-Form Number?, The American Mathematical Monthly, ‏1999 Finch, S. R., Mathematical constants, Cambridge University Press, 2003, עמ' 450 Mező, István, An integral representation for the principal branch of the Lambert W function Mező, István, An integral representation for the Lambert W function, ‏2020 Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M., Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert W, ‏2011 The Lambert W Function, Ontario Research Centre for Computer Algebra Dubinov, A. E.; Dubinova, I. D.; Saǐkov, S. K., The Lambert W Function and Its Applications to Mathematical Problems of Physics, 2006, עמ' 53. (ברוסית) Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth, A sequence of series for the Lambert W function (עמ' 197-204), ‏יולי 1997