קוהומולוגיית צ'ך

במתמטיקה, קוהומולוגיית צ'ך היא קוהומולוגיה המוגדרת על אלומות על מרחבים טופולוגיים. היא קרויה על שמו של אדוארד צ'ך. קוהומולוגיית צ'ך היא כלי המאפשר לבצע חישובים על מידע גלובלי של מרחב מתוך תכונות מקומיות של אותו המרחב. באופן יותר פורמלי, קוהומולוגיית צ'ך בנויה על מנת לקודד מידע על החתכים הגלובליים של האלומה עליה היא מוגדרת. נניח כי X הוא מרחב טופולוגי וכי F {\displaystyle {\mathcal {F}}} היא אלומה של חבורות אבליות על X. על מנת לבנות את קוהומולוגיית צ'ך נבנה תחילה את קומפלקס צ'ך, קומפלקס קו-שרשרת שבעזרתו תוגדר הקוהומולוגיה. נניח כי U = { U α } α ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}} הוא כיסוי פתוח של X וכי קבוצת האינדקסים I היא קבוצה סדורה חלקית. נגדיר חבורות קו-שרשראות על U {\displaystyle {\mathcal {U}}} עם ערכים ב F {\displaystyle {\mathcal {F}}} באופן הבא: 0-קו-שרשראות יוגדרו להיות פונקציות השולחות כל קבוצה פתוחה U α {\displaystyle \,U_{\alpha }} לאיבר בחבורה F ( U α ) {\displaystyle \,{\mathcal {F}}(U_{\alpha })} . כלומר, נוכל לרשום: C 0 ( U , F ) = ∏ α F ( U α ) {\displaystyle C^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\prod _{\alpha }{\mathcal {F}}(U_{\alpha })} קבוצה זו היא מכפלה ישרה של חבורות אבליות, ולפיכך יש לה מבנה של חבורה אבלית. באופן דומה, 1-קו-שרשראות יוגדרו להיות פונקציות השולחות כל חיתוך U α ∩ U β {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }} של שתי קבוצות פתוחות שונות בכיסוי U {\displaystyle \,{\mathcal {U}}} לאיבר בחבורה F ( U α ∩ U β ) {\displaystyle \,{\mathcal {F}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} . כלומר, נוכל לרשום: C 1 ( U , F ) = ∏ α < β F ( U α ∩ U β ) {\displaystyle C^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\prod _{\alpha <\beta }{\mathcal {F}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} באופן כללי, נגדיר q-קו-שרשראות על ידי: C q ( U , F ) = ∏ α 0 < α 1 < ⋯ < α q F ( U α 0 ∩ U α 1 ∩ ⋯ ∩ U α q ) . {\displaystyle C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\prod _{\alpha _{0}<\alpha _{1}<\cdots <\alpha _{q}}{\mathcal {F}}(U_{\alpha _{0}}\cap U_{\alpha _{1}}\cap \cdots \cap U_{\alpha _{q}}).} אוסף ה-q-קו-שרשראות מהווה חבורה אבלית לכל q. על מנת להפוך את חבורות הקו-שרשרת שהוגדרו לעיל לקומפלקס קו-שרשרת, נגדיר העתקת שפה: δ q : C q ( U , F ) → C q + 1 ( U , F ) . {\displaystyle \delta _{q}:C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}).} על מנת לפשט את הסימון, נסמן U α β = U α ∩ U β {\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }} , ובאופן דומה עבור כמות גדולה יותר של אינדקסים. בהינתן איבר ω ∈ C q ( U , F ) {\displaystyle \omega \in C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})} נגדיר: ( δ ω ) α 0 ⋯ α q + 1 = ∑ i = 0 q + 1 ( − 1 ) i ω α 0 ⋯ α ˇ i ⋯ α q + 1 . {\displaystyle (\delta \omega )_{\alpha _{0}\cdots \alpha _{q+1}}=\sum _{i=0}^{q+1}(-1)^{i}\,\omega _{\alpha _{0}\cdots {\check {\alpha }}_{i}\cdots \alpha _{q+1}}.} כאשר α ˇ i {\displaystyle {\check {\alpha }}_{i}} מסמן שמשמיטים באותו האיבר את האינדקס ה-i, למשל ω α 1 α 2 ˇ α 3 = ω α 1 α 3 {\displaystyle \omega _{\alpha _{1}{\check {\alpha _{2}}}\alpha _{3}}=\omega _{\alpha _{1}\alpha _{3}}} . נזכור כי δ ω ∈ C q + 1 ( U , F ) {\displaystyle \delta \omega \in C^{q+1}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})} היא פונקציה המתאימה לכל אוסף של q+2 אינדקסים שונים α 0 < α 1 < ⋯ < α q < α q + 1 {\displaystyle \alpha _{0}<\alpha _{1}<\dots <\alpha _{q}<\alpha _{q+1}} איבר בחבורה האבלית F ( U α 0 α 1 … α q α q + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}})} . בהינתן אוסף אינדקסים כזה, לכל 0 ≤ i ≤ q + 1 {\displaystyle 0\leq i\leq q+1} האיבר ω α 0 α 1 … α i ˇ … α q α q + 1 {\displaystyle \omega _{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots {\check {\alpha _{i}}}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}}} שייך לחבורה האבלית F ( U α 0 α 1 … α i ˇ … α q α q + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots {\check {\alpha _{i}}}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}})} . מכיוון ש F {\displaystyle {\mathcal {F}}} היא אלומה, הרי שניתן בעזרת הומומורפיזם הצמצום של F {\displaystyle {\mathcal {F}}} לצמצם איבר זה לאיבר בחבורה F ( U α 0 … α i … α q α q + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{\alpha _{0}\dots \alpha _{i}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}})} (שהרי בבירור מתקיים U α 0 α 1 … α i … α q α q + 1 ⊆ U α 0 α 1 … α i ˇ … α q α q + 1 {\displaystyle U_{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{i}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}}\subseteq U_{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots {\check {\alpha _{i}}}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}}} ) את האיבר מהתקבל לאחר הצמצום נסמן גם כן על ידי ω α 0 α 1 … α i ˇ … α q α q + 1 {\displaystyle \omega _{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots {\check {\alpha _{i}}}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}}} . מכיוון שלכל i, לאחר הצמצום איבר זה שייך לחבורה האבלית F ( U α 0 … α i … α q α q + 1 ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(U_{\alpha _{0}\dots \alpha _{i}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}})} , הרי שניתן לחבר ולחסר איברים אלה, ולכן ( δ ω ) α 0 α 1 … α q α q + 1 {\displaystyle (\delta \omega )_{\alpha _{0}\alpha _{1}\dots \alpha _{q}\alpha _{q+1}}} מוגדרת היטב. ניתן להראות על ידי חישוב ישיר שמתקיים δ 2 = δ ∘ δ = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=\delta \circ \delta =0} , ולכן ( C q ( U , F ) , δ ) {\displaystyle (C^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}),\delta )} הוא אכן קומפלקס קו-שרשרת. נניח כי f ∈ C 0 ( U , F ) {\displaystyle f\in C^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})} היא 0-קו-שרשרת. אז לכל α ∈ I {\displaystyle \alpha \in I} , מתקיים f α ∈ F ( U α ) {\displaystyle f_{\alpha }\in {\mathcal {F}}(U_{\alpha })} . לכל זוג אינדקסים שונים α , β ∈ I {\displaystyle \alpha ,\beta \in I} כך ש α < β {\displaystyle \,\alpha <\beta } מתקיים ( δ 0 f ) α β ∈ F ( U α ∩ U β ) {\displaystyle (\delta _{0}f)_{\alpha \beta }\in {\mathcal {F}}(U_{\alpha }\cap U_{\beta })} , ובאופן מפורש: ( δ 0 f ) α β = f α | U α ∩ U β − f β | U α ∩ U β {\displaystyle (\delta _{0}f)_{\alpha \beta }={f_{\alpha }}|_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}-{f_{\beta }}|_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }}} נניח כי f ∈ ker ⁡ δ 0 {\displaystyle f\in \ker \delta _{0}} . אז לכל α , β ∈ I {\displaystyle \alpha ,\beta \in I} כך ש α < β {\displaystyle \,\alpha <\beta } מתקיים f α | U α β − f β | U α β = 0 {\displaystyle f_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}-f_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}=0} . כלומר, על כל חיתוך של זוג קבוצות פתוחות U α ∩ U β {\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }} מתקיים f α | U α β = f β | U α β {\displaystyle f_{\alpha }|_{U_{\alpha \beta }}=f_{\beta }|_{U_{\alpha \beta }}} . לפיכך, אקסיומת ההדבקה של האלומה F {\displaystyle {\mathcal {F}}} מתקיימת, ולכן קיים חתך גלובלי f X ∈ F ( X ) {\displaystyle f_{X}\in {\mathcal {F}}(X)} , כך שלכל α ∈ I {\displaystyle \alpha \in I} מתקיים f X | U α = f α {\displaystyle f_{X}|_{U_{\alpha }}=f_{\alpha }} . גם ההפך נכון, בהינתן חתך גלובלי f X ∈ F ( X ) {\displaystyle f_{X}\in {\mathcal {F}}(X)} , נוכל להגדיר 0-קושרשרת f ∈ C 0 ( U , F ) {\displaystyle f\in C^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})} על ידי f α = f X | U α {\displaystyle \,f_{\alpha }=f_{X}|_{U_{\alpha }}} , ובבירור מתקיים f ∈ ker ⁡ δ 0 {\displaystyle f\in \ker \delta _{0}} . לפיכך, הגרעין של δ 0 {\displaystyle \,\delta _{0}} שווה בדיוק לחבורת החתכים הגלובליים של האלומה F {\displaystyle \,{\mathcal {F}}} , כלומר ker ⁡ δ 0 = F ( X ) {\displaystyle \ker \delta _{0}={\mathcal {F}}(X)} . קוהומולוגיית צ'ך ביחס לכיסוי U {\displaystyle {\mathcal {U}}} עם ערכים ב F {\displaystyle {\mathcal {F}}} מוגדרת להיות הקוהומולוגיה של הקומפלקס-קושרשרת שהוגדר לעיל. במילים אחרות, חבורות הקוהומולוגיה ה-q מוגדרת על ידי: H q ( U , F ) = ker ⁡ δ q / im δ q − 1 {\displaystyle H^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})=\ker \delta _{q}/\operatorname {im} \,\delta _{q-1}} קוהומולוגיית צ'ך של המרחב X מוגדרת באמצעות עידונים של הכיסויים השונים על X. אם V {\displaystyle {\mathcal {V}}} הוא עידון של הכיסוי U {\displaystyle {\mathcal {U}}} , אז מהעתקות הצמצום של האלומה נקבל העתקה מושרית בקוהומולוגיה H q ( U , F ) → H q ( V , F ) . {\displaystyle H^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})\to H^{q}({\mathcal {V}},{\mathcal {F}}).} לכל q. קבוצת כל הכיסויים הפתוחים על X היא קבוצה מכוונת (על ידי עידונים), ולכן ההעתקה המושרית יוצרת מערכת מכוונת של חבורות אבליות. קוהומולוגיית צ'ך של X מוגדרת להיות הגבול הישר של מערכת זו: H ( X , F ) = lim → U ⁡ H ( U , F ) . {\displaystyle H(X,{\mathcal {F}})=\varinjlim _{\mathcal {U}}H({\mathcal {U}},{\mathcal {F}}).} כיסוי U = { U α } α ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}} נקרא כיסוי לרה (על שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לרה) אם לכל קבוצה U = U α 1 … α q {\displaystyle U=U_{\alpha _{1}\dots \alpha _{q}}} שהיא חיתוך של מספר סופי של קבוצות מהכיסוי ולכל q ≥ 1 {\displaystyle \,q\geq 1} מתקיים H q ( U , F | U ) = { 0 } {\displaystyle H^{q}(U,{\mathcal {F}}|_{U})=\{0\}} . כלומר, לכל חיתוך של מספר סופי של קבוצות מהכיסוי U, קוהומולוגיית צ'ך של המרחב הטופולוגי U (עם הטופולוגיה המושרית), מתאפסת. נניח שX הוא מרחב טופולוגי, F {\displaystyle {\mathcal {F}}} אלומה על X, ו- U = { U α } α ∈ I {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in I}} הוא כיסוי לרה. אז קוהומולוגיית צ'ך של X ביחס לאלומה F {\displaystyle {\mathcal {F}}} שווה לקוהומולוגיית צ'ך של X ביחס לכיסוי U {\displaystyle {\mathcal {U}}} . כלומר לכל q ≥ 0 {\displaystyle q\geq 0} מתקיים H q ( X , F ) = H q ( U , F ) {\displaystyle H^{q}(X,{\mathcal {F}})=H^{q}({\mathcal {U}},{\mathcal {F}})} . למשפט לרה חשיבות רבה משום שהוא מאפשר במקרים רבים לחשב את קוהומולוגיית צ'ך של מרחב טופולוגי באופן מפורש. קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על משטח רימן קומפקטי - דוגמה להוכחה המשתמשת בקוהומולוגיית צ'ך. Algebraic curves and Riemann Surfaces - Rick Miranda, AMS press 1995 Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9. ערך על קוהומולוגיית צ'ך באתר PlanetMath