מעגל

המונח "עיגול" מפנה לכאן. לערך העוסק בפעולה מתמטית, ראו עיגול (אריתמטיקה). מעגל הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מהמרכז קבוע. המרחק של כל נקודה מהמרכז נקרא רדיוס (בעברית, "מחוג"). השטח שאותו תוחם המעגל מכונה עיגול. זהו המקום הגאומטרי של כל הנקודות שמרחקן מהמרכז קטן מהרדיוס. היחס בין אורך המעגל (היקף העיגול) לקוטרו קבוע בכל המעגלים, ומסומן באמצעות האות היוונית π. למעגל ברדיוס   R {\displaystyle \ R} היקף   2 π R {\displaystyle \ 2\pi R} , והוא חוסם עיגול ששטחו   π R 2 {\displaystyle \ \pi R^{2}} . בעברית, מבחינים בין מעגל, שהוא הקו העגול (שפתו של העִגול), ובין העיגול, שאותו הוא תוחם. להבחנה זו אין מקבילה עברית בצורות גאומטריות אחרות: כאשר עוסקים במשולש, מרובע, מלבן וכן הלאה, אותו מונח מציין הן את ההיקף והן את השטח. כמו כן, אף שבעברית משתמשים לעיתים במונח "היקף המעגל", לפי הגדרה זו נמצא כי מוטב היה לומר "אורך המעגל" ולחלופין, "היקף העיגול" (להבדיל משטח העיגול). כבכל כדור, קווי הרוחב של כדור הארץ הם מעגלים. ארבעה מהם נקראים "חוג": חוג הסרטן, חוג הגדי ושני חוגי הקוטב – החוג הארקטי והחוג האנטארקטי. הבחנה זו אינה קיימת בשפות האירופאיות הנפוצות, ובהן חוגים אלה נקראים מעגל. המעגל הוא כאמור שפת העיגול, כלומר, הקו התוחם את שטח העיגול. קטע המחבר בין שתי נקודות על המעגל נקרא מיתר. רדיוס (מחוג) הוא קטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה הנמצאת על שפת המעגל. אורכו מסומן באות   R {\displaystyle \ R} . כל מיתר, העובר דרך מרכז המעגל נקרא קוטר, ואורכו שווה לפעמיים רדיוס המעגל, כלומר   2 R {\displaystyle \ 2R} (ניתן לסמן אותו גם באות   D {\displaystyle \ D} ). לישר ולמעגל עשויות להיות 2 נקודות חיתוך, נקודת חיתוך אחת או אפס נקודות חיתוך. א. אם לישר יש שתי נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא חותך למעגל. ב. אם לישר יש נקודת חיתוך אחת עם המעגל, הוא נקרא משיק למעגל. ג. אם לישר אין נקודות חיתוך עם המעגל, הוא נקרא ישר חיצוני למעגל. אם נתונות משוואת הישר ומשוואת המעגל, ניתן להבחין בין שלושת המקרים בעזרת סימנה של הדיסקרימיננטה המתקבלת בפתרון מערכת המשוואות. זווית שקודקודה במרכז המעגל נקראת זווית מרכזית (שוקיה הם שני רדיוסים במעגל). זווית שקודקודה על היקף המעגל נקראת זווית היקפית (שוקיה הם שני מיתרים במעגל). זווית שקודקודה בתוך שטח המעגל נקראת זווית פנימית (שוקיה הם שני חלקי מיתרים במעגל). זווית שקודקודה מחוץ לשטח המעגל נקראת זווית חיצונית (שוקיה הם שני חותכים למעגל). שתי נקודות על שפת המעגל תוחמות חלק מהיקף המעגל, הנקרא קשת. מאחר שנוצרות שתי קשתות, נהוג להתייחס לקשת הקטנה ביניהן (אלא אם נאמר אחרת; אם הקשתות שוות נדרש מידע נוסף). הקטע הישר בין אמצע הקשת לאמצע המיתר עליו היא נשענת נקרא סַגִיטָה (חץ בלטינית). הזווית של הקשת היא הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, שאותה מודדים במעלות או ברדיאנים. משפטים נוספים: על מיתרים שווים נשענות זוויות מרכזיות שוות. קטע המרכזים של שני מעגלים נחתכים חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו. קטע המרכזים או המשכו של שני מעגלים המשיקים זה לזה, עובר דרך נקודת ההשקה שלהם. מרכז המעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעותיו. מרכז המעגל החסום במשולש הוא מפגש חוצי הזוויות שלו. במרובע החוסם מעגל, סכום זוג צלעות נגדיות אחד שווה לסכום הזוג האחר. במרובע החסום במעגל, סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא 180 מעלות. זווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצידו השני. זווית הקפית נשענת על קוטר אם ורק אם היא זווית ישרה – כיוון שהיא נשענת על קשת שהיא חצי מעגל. מספר זוויות היקפיות הנשענות יחד על היקף המעגל השלם – סכומן שווה 180. מספר זוויות מרכזיות הנשענות יחד על היקף המעגל השלם – סכומן שווה 360. שני משיקים לאותו מעגל, היוצאים מאותה נקודה, שווים זה לזה עד לנקודת ההשקה. הקטע שבין נקודת הראייה של שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למרכז המעגל, חוצה את זווית הראייה. מכפלת חותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע משיק היוצא מאותה נקודה. (גודל זה מכונה דרגה של נקודה) האנך למיתר ממרכז המעגל – חוצה את המיתר, חוצה את הזווית המרכזית המתאימה וחוצה את הקשת השייכת למיתר. מיתרים שווים נמצאים במרחקים שווים מהמרכז. מיתר גדול יותר קרוב למרכז מאשר מיתר קטן. חוצה זווית בין 2 מיתרים שווים – הוא רדיוס. משפט הפרפר – משפט מיתרים. אליפסה ששני מוקדיה מתלכדים היא מעגל. מעגל אפולוניוס הוא מעגל. במרובע קמור, מעגל העובר דרך נקודת חיתוך האלכסונים, דרך נקודת חיתוך המשכי הצלעות ודרך נקודות פנימיות של צלעות המרובע הוא מעגל היוצר נקודות פסקל. משפט גלגל העין – מדבר על תכונה של זוג מעגלים זרים. עיגול סגור הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן או שווה לגודל קבוע. ניתן להגדיר עיגול סגור גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, לרבות המעגל עצמו. עיגול פתוח הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שמרחקן מנקודה מסוימת, המרכז, קטן מגודל קבוע. ניתן להגדיר עיגול פתוח גם כמשטח המוגבל על ידי מעגל, למעט המעגל עצמו. עיגול הוא כל צורה המכילה את כל הנקודות התחומות על ידי מעגל ואולי גם נקודות על המעגל עצמו (בפרט עיגולים פתוחים ועיגולים סגורים הם עיגולים). גזרה היא צורה הכלואה בין שני רדיוסים במעגל לבין קשת על המעגל. היחס בין שטח הגזרה לכלל שטח המעגל שווה ליחס בין זווית הגזרה לסיבוב שלם, השווה ליחס בין אורך הקשת של הגזרה לבין היקף המעגל כולו. כלומר ששטח הגזרה יהיה שווה: S = θ ⋅ r 2 2 = L ⋅ r 2 {\displaystyle S={\frac {\theta \cdot r^{2}}{2}}={\frac {L\cdot r}{2}}} כאשר L {\displaystyle L} הוא אורך הקשת והזוויות ברדיאנים. מקטע הוא צורה הכלואה בין מיתר לקשת המתאימה לו. שטח המקטע שווה להפרש בין שטח הגזרה הנכלאת בין 2 הרדיוסים המחוברים לקצוות המיתר לבין שטח המשולש שצלעותיו הן המיתר ו-2 הרדיוסים המחוברים לקצוותיו. כלומר שטחו שווה ל: R ⋅ ( θ ⋅ R − d ⋅ cos ⁡ ( θ / 2 ) ) 2 = 1 2 R 2 ⋅ ( θ − sin ⁡ ( θ ) )   ) {\displaystyle {\frac {R\cdot (\theta \cdot R-d\cdot \cos(\theta /2))}{2}}={\frac {1}{2}}R^{2}\cdot \left(\theta -\sin(\theta ))\ \right)} כאשר d {\displaystyle d} הוא מרחק המיתר. משוואת המעגל בגאומטריה אנליטית היא ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2 {\displaystyle \!\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}} , כאשר ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \!\,(x_{0},y_{0})} היא מרכז המעגל ו- R {\displaystyle R} הוא מחוגו. העיגול הסגור מוגבל על ידי אי-השוויון החלש ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ≤ R 2 {\displaystyle \!\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}\leq R^{2}} . העיגול הפתוח מוגבל על ידי אי-השוויון החזק ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < R 2 {\displaystyle \!\,(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}<R^{2}} . באופן כללי, התבנית הריבועית A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} מתארת מעגל אם ורק אם המרכיב הריבועי הוא כפולה של x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} (כלומר A = C {\displaystyle A=C} ו- B = 0 {\displaystyle B=0} ). ארבע נקודות   P i = ( x i , y i ) {\displaystyle \ P_{i}=(x_{i},y_{i})} (עבור i=1,2,3,4) נמצאות על אותו מעגל אם ורק אם   ∑ σ ∈ S 4 sgn ⁡ ( σ ) x σ 1 y σ 2 ( x σ 3 2 + y σ 3 2 ) = 0 {\displaystyle \ \sum _{\sigma \in S_{4}}\operatorname {sgn}(\sigma )x_{\sigma 1}y_{\sigma 2}(x_{\sigma 3}^{2}+y_{\sigma 3}^{2})=0} , כאשר   S 4 {\displaystyle \ S_{4}} היא החבורה הסימטרית, ו-   sgn {\displaystyle \ \operatorname {sgn} } הוא הסימן של התמורה. מעגל קנוני הוא מעגל שמרכזו הוא הנקודה ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} . משוואתו של מעגל קנוני היא x 2 + y 2 = R 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}} . זהו מקרה פרטי של משוואת המעגל, כאשר במקרה של מעגל קנוני x 0 = y 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=y_{0}=0} . מעגל היחידה הוא מעגל קנוני בו R = 1 {\displaystyle R=1} . הנקודה ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} עצמה היא מקרה מנוון של מעגל קנוני (כאשר R = 0 {\displaystyle R=0} ). התוספות מציגים שיטה לחישוב שטח העיגול: בתוך המעגל יוצרים בחוטים סדרה של מעגלים קונצנטריים, ממרכז העיגול ועד שפתו. את סדרת המעגלים חותכים ברדיוס שלו. ייווצרו לנו חוטים רבים, כאשר הראשון הוא הכי ארוך, וכל אחד ואחד פוחת אורכו מעט מקודמו. לאחר יישור החוטים נוצר משולש שווה-שוקיים. את המשולש חותכים מהקודקוד לבסיס, ואת שני המשולשים שנוצרים הופכים ויוצרים מהם מלבן. שטח המלבן (אורך כפול רוחב) הוא שטח העיגול. למעשה הנוסחה לחישוב השטח המוצגת כאן היא היקף כפול רדיוס חלקי שתיים. השיטה המוצגת בתוספות היא שיטתו של אברהם בר חייא. ברמב"ם הלכות טומאות מת פרק יב', הלכה ח' "סאה שהיא מוטה על צדה באוויר אינה מביאה את הטומאה תחת כולה עד שיהיה בהיקפה ד' טפחים ומחצה בקרוב כדי שיהיה גובה הצד העליון טפח ומחצה ויהיה הטפח על טפח ממנה גבהו מעל הארץ טפח לפיכך אם הייתה גבוהה מעל הארץ חצי טפח והיה בהיקפה שלשה מביאה את הטומאה וכן עמוד עגול שהוא מוטל לאוויר ומונח על הארץ אינו מביא טומאה תחת דפנו עד שיהיה בו היקף כ"ד טפחים ואם אין בהיקפו עשרים וארבעה טפחים טומאה בוקעת ועולה בוקעת ויורדת זה שהצריכו עשרים וארבעה טפחים על העיקרין שסומכים עליהן חכמים בחשבון כל המשפטים שכל שיש בהיקפו שלשה יש בו רוחב טפח וכל טפח על טפח ברבוע יש באלכסונו טפח ושני חומשין לפיכך אם היה בהיקף העמוד עשרים וארבעה טפחים נמצא תחת כל דפנו טפח על רום טפח מרובע ויתר מעט שחשבונות אלו בקרוב הן." בעבר שימש המעגל בסיס לתרבויות רבות, אך לאורך הזמן השימוש בו הלך ונתמעט במרבית החברות. עם זאת, חוקרים מראים כי כיום חוזרת העטרה ליושנה וצורת הישיבה במעגל שבה לשמש בהקשרים הולכים ורבים בחברה המודרנית. המעגל, כצורת התכנסות או התוועדות של אנשים מאפשר מפגש "שוויוני" בו כל אחד פונה ומסתכל אל כולם, להבדיל ממפגש פרונטלי כמו מרצה וכיתה, או שחקן מול קהל. ניתן למצוא דוגמאות להתכנסות מעגלית של בני אדם בתרבויות שבטיות המתכנסות לטקס סביב למדורה, באגדת אבירי השולחן העגול של המלך ארתור, בריקודי עם וכדומה. עם זאת, לעיתים קרובות אנשים מתכנסים (כיום ובמהלך ההיסטוריה) בצורת מעגל או קשת של מעגל כדי לצפות באירוע המתרחש במרכזו, כמו במופעי רחוב, באצטדיונים (לרוב לא עגולים), באולמי הופעות מסוימים ובאמפיתיאטראות כגון הקולוסיאום. הצורה המעגלית הלכה והכתה שורשים גם בתחום הפדגוגיה שבחינוך, בשלוש רמות ביטוי שונות: הראשונה, בין התלמיד לבין המערכת הבית ספרית, ובה המעגל יכול ליצור מרחב מכיל ומכבד ביחס לקשיים המסגרתיים שעימם מתמודד התלמיד. השנייה היא בין התלמידים, ובה המעגל מאפשר הדרה חברתית, מציאת פתרונות יצירתיים לקונפליקטים בדרכי שלום, למידה חברתית, הטמעת ערכים, דיאלוג רפלקטיבי ועוד. הרמה השלישית היא בין המורים עצמם. בחינוך בא רעיון ההתכנסות במעגל לידי ביטוי גם בחינוך בלתי פורמלי, ובתנועות הנוער. תנועות הנוער הציוניות אף הורישו רעיון זה לפלמ"ח. חיים חפר תיאר תרבות זו במאמר בעיתון "דבר" ב-1982, וכינה אותה "תרבות המעגל": "תרבות המעגל" שהתקיימה בתנועות הנוער ובתנועה הקיבוצית ובפלמ"ח ובעוד מסגרות רצוניות, טיפחה סגנון דיבור מיוחד. את מקום הנואם הגדול תפס המשוחח-המורה, המבקש לברר דברים, להבקיע יחדיו מן הספק, לשכנע בצוותא. במקומות שונים בעולם קיימת מסורת של ציורי מנדלות שהן שרטוטים ססגוניים מעגליים, לעיתים בעלי משמעות פילוסופית או דתית. המושג "מעגל" משמש לעיתים בשפה להצגת תהליכים מחזוריים (כגון מעגל החיים, המחזור האינסופי בבודהיזם, גלגל המזלות או מעגל קרבס) או מצבים חסרי מוצא (כגון מעגל העוני או מעגל קסמים). אינוורסיה (גאומטריה) תנועה מעגלית כדור (גאומטריה) כיפה (מבנה) הסבר על המעגל – מתוך המילון לגאומטריה של משרד החינוך מעגל ועיגול, באתר לרגו (LerGO) מעגל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) מעגל, באתר MathWorld (באנגלית) מעגל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) דוד פרייברט, חידושים בגיאומטריה אוקלידית – תיאוריה של מרובע קמור ומעגל היוצר נקודות פסקל על צלעותיו, הוצאת אקדמון, 2021 https://www.geogebra.org/m/e876nhdt https://www.geogebra.org/m/fykgx6tm במסכת סוכה (ח, א), ובמקומות אחרים