תהליך פואסון

תהליך פואסון הוא תהליך אקראי, הסופר התרחשויות אקראיות ובלתי תלויות המתרחשות בזו אחר זו. דוגמאות לתהליכים כאלה הן התפרקות רדיואקטיבית, או שיחות טלפון העוברות דרך מרכזיה. במקרים כאלה, התפלגות הזמן בין שני מאורעות עוקבים היא התפלגות מעריכית, ואילו התפלגות מספר המאורעות המתרחשים בפרק זמן נתון היא התפלגות פואסון. מתמטית, תהליך פואסון הוא תהליך המקיים את הדרישות הבאות: אי תלות: מספר ההתרחשויות בפרק זמן מסוים אינו תלוי במספר ההתרחשויות בפרק זמן אחר, עבור כל שני פרקי זמן שאין ביניהם חפיפה. עבור פרק זמן קצר מספיק, ההסתברות להתרחשות אחת בדיוק פרופורציונית לאורך פרק הזמן, וביחס אליה ההסתברות למספר גדול יותר של התרחשויות שואף לאפס. פורמלית: כאשר האורך τ {\displaystyle \tau } של פרק הזמן שואף לאפס, ההסתברות להתרחשות אחת בדיוק באותו פרק זמן היא C τ + o ( τ ) {\displaystyle C\tau +o(\tau )} עבור C {\displaystyle C} קבוע, וההסתברות למספר התרחשויות גדול מאחת היא o ( τ ) {\displaystyle o(\tau )} (ראו o קטן). משמעות תנאי זה היא שהתרחשויות שונות אינן קורות בו זמנית, אלא תמיד מפריד ביניהן זמן סופי. תהליך פואסון הומוגני הוא תהליך בו התפלגות מספר המאורעות בפרק מזמן מסוים תלויה רק באורכו של פרק הזמן. באופן פורמלי, ניתן להגדיר תהליך פואסון הומוגני על ידי שתי הגדרות שקולות: תהליך הספירה { N ( t ) , t ≥ 0 } {\displaystyle \{N(t),t\geq 0\}} נקרא תהליך פואסון עם קצב λ {\displaystyle \lambda } ,‏ ( λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} ), אם: N ( 0 ) = 0 {\displaystyle N(0)=0} לתהליך יש תוספות בלתי תלויות מספר האירועים באינטרוול באורך t {\displaystyle t} מתפלג פואסונית עם תוחלת λ t {\displaystyle \lambda t} . דהיינו, לכל τ , t ≥ 0 {\displaystyle \tau ,t\geq 0} ולכל k = 0 , 1 , … {\displaystyle k=0,1,\ldots } , P [ ( N ( t + τ ) − N ( t ) ) = k ] = e − λ τ ( λ τ ) k k ! {\displaystyle P\left[(N(t+\tau )-N(t))=k\right]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}} , כאשר P {\displaystyle P} מציין הסתברות. תהליך הספירה { N ( t ) , t ≥ 0 } {\displaystyle \{N(t),t\geq 0\}} נקרא תהליך פואסון עם קצב λ {\displaystyle \lambda } ,‏ ( λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} ), אם: N ( 0 ) = 0 {\displaystyle N(0)=0} לתהליך יש תוספות בלתי תלויות וסטציונריות P [ ( N ( h ) = 1 ] = λ h + o ( h ) {\displaystyle P\left[(N(h)=1\right]=\lambda h+o(h)} P [ ( N ( h ) ≥ 2 ] = o ( h ) {\displaystyle P\left[(N(h)\geq 2\right]=o(h)} יהי { N ( t ) , t ≥ 0 } {\displaystyle \{N(t),t\geq 0\}} תהליך פואסון עם קצב λ {\displaystyle \lambda } . נסמן ב- T 1 {\displaystyle T_{1}} את הזמן בו התרחש האירוע הראשון, ובאופן כללי, נסמן ב- T n {\displaystyle T_{n}} את הזמן שעבר בין האירוע ה- ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} לבין האירוע ה- n {\displaystyle n} . הסדרה ( T n ) , n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle \left(T_{n}\right),n=1,2,...} נקראת הסדרה של הזמנים הבין-מופעיים (זמנים בין הגעות). נחשב את ההתפלגות של T n {\displaystyle T_{n}} . ראשית כל, עבור n = 1 {\displaystyle n=1} , נשים לב שהמאורע { T 1 > t } {\displaystyle \{T_{1}>t\}} מתרחש אם ורק אם לא התרחש אף אירוע פואסוני בקטע הזמן [ 0 , t ] {\displaystyle [0,t]} . לכן P [ T 1 > t ] = P [ N ( t ) = 0 ] = e − λ t {\displaystyle P[T_{1}>t]=P[N(t)=0]=e^{-\lambda t}} כלומר, T 1 {\displaystyle T_{1}} הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר λ {\displaystyle \lambda } . כמו כן, . P [ ( T 2 > t ] = E [ P [ T 2 > t | T 1 ] ] {\displaystyle .P\left[(T_{2}>t\right]=E[P[T_{2}>t|T_{1}]]} אבל, P [ T 2 > t | T 1 = s ] = P [ 0   events in   ( s , s + t ] | T 1 = s ] = P [ 0   events in   ( s , s + t ] ] = e − λ t {\displaystyle {\begin{aligned}P\left[T_{2}>t|T_{1}=s\right]&=P\left[0\ {\text{events in}}\ (s,s+t]|T_{1}=s\right]\\&=P\left[0\ {\text{events in}}\ (s,s+t]\right]\\&=e^{-\lambda t}\end{aligned}}} כאשר 2 השוויונות האחרונים נובעים מתכונת ה"תוספות סטציוניריות ובלתי תלויות". סה"כ קיבלנו שגם T 2 {\displaystyle T_{2}} הוא משתנה מעריכי עם פרמטר λ {\displaystyle \lambda } . באופן דומה, מקבלים אותה תוצאה עבור T n {\displaystyle T_{n}} , לכל n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} . בתהליך פואסון לא הומוגני, התפלגות צפיפות המאורעות משתנה כפונקציה של הזמן. במקרה זה, התפלגות מספר המאורעות בין שני זמנים נתונים תתפלג פואסונית עם פרמטר השווה ל: . λ t 1 , t 2 = ∫ t 1 t 2 λ ( t ) d t {\displaystyle .\lambda _{t_{1},t_{2}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\lambda (t)\,dt} (האינטגרל מחליף את המכפלה λ τ {\displaystyle \lambda \tau } המופיעה בתהליך ההומוגני). בתור עומדים לקוחות, ומקבלים שירות מפקיד אחד. זמן הטיפול בלקוח הוא מעריכי, עם תוחלת קבועה. מיד לאחר שהלקוח מסיים את ענייניו, הוא מפנה את התור, ובמקומו נכנס הלקוח הבא. התרחשויות אלה מהוות תהליך פואסון: משך הזמן בין כל שתי התרחשויות מתפלג מעריכי, ומספר ההתרחשויות פואסוני. תהליך של בליעת קרינה על ידי חומר הוא תהליך פואסון. נתבונן בניסוי שבו אטומים חשופים לקרן אור. עוצמת האור, I {\displaystyle I} , מתארת את מספר הפוטונים העוברים ביחידת זמן, ליחידת שטח. קצב הבליעה של פוטונים על ידי האטומים פרופורציוני לעוצמת האור כפול חתך הפעולה של האטום, המסומן σ {\displaystyle \sigma } (ניתן לחשוב עליו כמו השטח של האטום בו צריך לפגוע פוטון כדי שתתרחש בליעה). במקרה שמספר האטומים המוקרנים הוא גדול, תהליכי הבליעה אינם תלויים זה בזה והתהליך הוא תהליך פואסון, בו k {\displaystyle k} מציין את מספר הפוטונים, ו- I σ = λ {\displaystyle I\sigma =\lambda } . כך לדוגמה הסיכוי לבליעת פוטון בודד (ורק פוטון אחד) בפרק זמן τ {\displaystyle \tau } כתלות בעוצמת האור הוא: P ( I ) = σ I τ e − σ I τ {\displaystyle P(I)=\sigma I\tau e^{-\sigma I\tau }} . (המתקבל מהתפלגות פואסון על ידי הצבה k = 1 {\displaystyle k=1} ). ניתן לראות שבעוצמות לייזר נמוכות ההסתברות הזאת ליניארית עם עוצמת הלייזר. לעומת זאת בעוצמות גבוהות מאוד ההסתברות דועכת ל-0 מכיוון שבעוצמות גבוהות יש הסתברות גבוהה לבלוע יותר מפוטון אחד. דוגמה נוספת היא חישוב ההסתברות לבלוע לפחות פוטון אחד. את ההסתברות הזאת ניתן לקבל כאחד פחות ההסתברות לא לבלוע אף פוטון (המתקבלת על ידי הצבה k = 0 {\displaystyle k=0} ), כלומר: P ( I ) = 1 − e − σ I τ {\displaystyle P(I)=1-e^{-\sigma I\tau }} . מכאן שבעוצמות אור נמוכות הסיכוי לבליעת לפחות פוטון אחד הוא ליניארי, ולעומת זאת בעוצמות גבוהות מגיעים לרוויה: הסיכוי לבליעת לפחות פוטון אחד הוא כמעט 1. שרשרת מרקוב תהליך פואסון, באתר MathWorld (באנגלית)