צבר (פיזיקה סטטיסטית)

בפיזיקה סטטיסטית מושג הצבר (ensemble) מתייחס לאוסף המערכות המוגדרות על ידי אותה בעיה פיזיקלית ואותם גדלים מקרוסקופיים (טמפרטורה, לחץ, פוטנציאל כימי וכדומה), אבל נבדלות זו מזו במצב המיקרוסקופי של כל החלקיקים. אחד הרעיונות בפיזיקה הסטטיסטית הוא לבנות תורה הנובעת מחוקי הפיזיקה התקפים לכל מספר של חלקיקים, אבל מבלי לחקור את ההתנהגות של מערכת בודדת, אלא של עותקים מחשבתיים רבים של אותה מערכת בודדת. אוסף של עותקים כאלו נקרא "צבר" והפיזיקה הסטטיסטית עוסקת בתכונות של צברים, או במילים אחרות, בהתנהגות הממוצעת של המערכת. הפיזיקה הסטטיסטית מצליחה להגדיר את המושגים המוכרים מתרמודינמיקה, כמו טמפרטורה, אנטרופיה, וקיבול חום, כתכונות של הצברים הללו. צבר הוא אוסף של מערכות, שכל אחת יכולה להיות במצב שונה, אך יש להן תכונות משותפות הקובעות את סוג הצבר. הצבר המיקרוקנוני הוא צבר שעבורו כל המערכות הן בעלות אותה אנרגיה, אותו נפח ואותו מספר חלקיקים. הצבר הקנוני הוא צבר שבו לכל המערכות אותו נפח ואותו מספר חלקיקים אך הן יכולות להחליף אנרגיה עם אמבט חום בעל טמפרטורה קבועה. הצבר הגרנד-קנוני הוא צבר שבו המערכות יכולות להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום, אך נפחן קבוע. אלו שלושת הצברים הנחשבים לבסיסיים ביותר, אם כי ניתן להגדיר צברים רבים אחרים. קל להבין שבזמן שהתיאור המיקרוסקופי מוביל לתיאור מקרוסקופי יחיד, כל תיאור מקרוסקופי נובע מהרבה תיאורים מיקרוסקופיים שונים: אפשר לסדר את החלקיקים בצורות שונות כך שתהיה להם אותה צפיפות, טמפרטורה ומהירות ממוצעת. הצבר על כן, הוא אותו האוסף של כל התיאורים המיקרוסקופיים הגוררים את אותו התיאור המקרוסקופי. במכניקת הקוונטים צברים מיוצגים על ידי מטריצת צפיפות שבעזרתה ניתן לחשב את הממוצעים של כל מדידה פיזיקלית. גם כאן, התיאור המקרוסקופי אינו נותן מידע מלא על המצב המיקרוסקופי. ערך מורחב – צבר מיקרוקנוני אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הסטטיסטית היא כי בהינתן מערכת סגורה, בה האנרגיה הכוללת, הנפח ומספר החלקיקים קבועים, ההסתברות שהמערכת תמצא בכל אחד מן המצבים המיקרוסקופיים האפשריים המקיימים את כל המאפיינים הקבועים מראש (נקראים "מצבים זמינים") היא זהה, וההסתברות שהמערכת תמצא במצב אחר, אשר איננו מקיים את התנאים האלו (למשל, בו סכום האנרגיות של כל החלקיקים גדול מהאנרגיה שנקבעה למערכת כולה) היא אפס. בשפה מתמטית, אם למערכת נתונה   g {\displaystyle \ g} מצבים זמינים, אזי הסיכוי שהיא תמצא באחד מהם הוא P = 1 g {\displaystyle P={\frac {1}{g}}} . להלכה, לא ניתן לאמת הנחה זו בצורה ניסויית, אך ניתן להצדיקה משיקולים תאורטיים או לבדוק את המסקנות המתקבלות ממנה בצורה ניסויית. בצבר זה, הנחשב לבסיסי ביותר, לכל המערכות יש בדיוק אותה אנרגיה. הגבלה זו איננה מחייבת בהכרח שכל המערכות נמצאות באותו מצב, שכן יכולים להיות מצבים שונים בעלי אותה אנרגיה (תופעה זו נקראת "ניוון"). את מספר המצבים שהמערכת יכולה להיות בהם בעלי אנרגיה   E {\displaystyle \ E} נהוג לסמן ב Ω ( E ) {\displaystyle \Omega \left(E\right)} . לפונקציה זו קוראים "פונקציית הניוון". האנטרופיה   S {\displaystyle \ S} , מוגדרת בתור S ( E ) = k B log ⁡ ( Ω ( E ) ) {\displaystyle S\left(E\right)=k_{B}\log \left(\Omega \left(E\right)\right)} (כאשר k B {\displaystyle k_{B}} הוא קבוע בולצמן). מתוך האנטרופיה ניתן להגדיר את שאר הגדלים התרמודינמיים. כך לדוגמה, טמפרטורה מיקרו-קנונית,   T μ {\displaystyle \ T_{\mu }} , מוגדרת על ידי 1 T μ = d S d E {\displaystyle {\frac {1}{T_{\mu }}}={\frac {dS}{dE}}} , וקיבול חום מיקרו-קנוני, C μ {\displaystyle C_{\mu }} , מוגדר כ- C μ = d E d T {\displaystyle C_{\mu }={\frac {dE}{dT}}} . הצבר הקנוני מתאר אוסף של מערכות שסכום האנרגיה המשותף להן הוא קבוע, אך המערכות יכולות להחליף אנרגיה ביניהן, כך שהאנרגיה של כל אחת מהמערכות יכולה להשתנות. דרך אחרת לתאר את הצבר הקנוני היא להביט על מערכת אחת שיכולה לחלוק אנרגיה עם אמבט חום (שהוא למעשה כל שאר המערכות). סך האנרגיה של המערכת והאמבט קבוע אך האנרגיה של המערכת יכולה להשתנות. באמבט הקנוני ניתן להראות שההסתברות   ρ ( E ) {\displaystyle \ \rho (E)} שלמערכת תהיה אנרגיה   E {\displaystyle \ E} , נתונה על ידי ρ ( E ) ∝ Ω ( E ) e − β E {\displaystyle \rho (E)\propto \Omega \left(E\right)e^{-\beta E}} כאשר הקבוע β {\displaystyle \beta } נקבע מתוך שימור האנרגיה הכולל, וניתן להראות שהוא שווה ל: β = 1 k b T c a n {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{b}T_{can}}}} כאשר T c a n {\displaystyle T_{can}} היא הטמפרטורה של אמבט החום. התפלגות זאת נקראת "ההתפלגות הקנונית" או "התפלגות בולצמן". ברוב המערכות הפיזיקליות Ω ( E ) {\displaystyle \Omega \left(E\right)} , כלומר מספר המצבים בעלי אנרגיה   E {\displaystyle \ E} , היא פונקציה עולה של   E {\displaystyle \ E} , ולעומת זאת   e − β E {\displaystyle \ e^{-\beta E}} היא פונקציה יורדת של   E {\displaystyle \ E} , ולכן ערכה של ההתפלגות הקנונית הוא 0 באנרגיה 0, לאחר מכן היא עולה, אבל דועכת שוב ל-0 באנרגיות גבוהות. מכאן שיש לה מקסימום לאורך הדרך, וניתן להראות שהמקסימום של ההתפלגות הקאנונית מתקבל באנרגיה   E {\displaystyle \ E} שעבורה: T μ ( E ) = T c a n {\displaystyle T_{\mu }\left(E\right)=T_{can}} הצבר הקנוני הוא צבר המתאר היטב מערכות רבות במציאות, שכן בפיזיקה חלק גדול מהמערכות נמצאות בשיווי משקל עם אמבט חום כלשהו, או שניתן לתאר את המצב שלהן בקירוב טוב להתפלגות קנונית. יתר על כן, מבחינה חישובית, ההתפלגות הקנונית שימושית הרבה יותר מההתפלגות המיקרו-קנונית. בצבר הגרנד-קנוני המערכת יכולה להחליף לא רק אנרגיה אלא גם חלקיקים עם אמבט החום. במקרה כזה ההסתברות שלמערכת תהיה אנרגיה E ומספר חלקיקים N מקיימת ρ ( E , N ) ∝ Ω ( E ) e − β ( E − μ N ) {\displaystyle \rho (E,N)\propto \Omega \left(E\right)e^{-\beta (E-\mu N)}} . אחד הרעיונות החשובים בפיזיקה סטטיסטית הוא שעבור מערכות בעלות מספר גדול של חלקיקים, הצברים השונים שקולים זה לזה. מכאן שעבור מערכות גדולות ניתן לדוגמה לבצע חישובים בצבר הגרנד קנוני, ותוצאות החישובים תהיינה תקפות גם אם המערכת לא יכולה להחליף חלקיקים עם האמבט. את השקילות של הצבר הקנוני והגרנד-קנוני ניתן להסביר בכך שההתפלגות הקנונית נראית בקרוב טוב כגאוסיאן כאשר היחס בין מיקום המרכז שלו לבין הרוחב שלו פרופורציונלי לאחד חלקי שורש ממספר החלקיקים, לפי שגיאת התקן.[דרושה הבהרה] לכן, כאשר מספר החלקיקים במערכת גדול מאוד הרוחב של ההתפלגות נהיה זניח, וההתפלגות הופכת למעשה לפונקציית דלתא, שהיא בדיוק ההגדרה של מערכת מיקרוקנונית. פונקציית חלוקה צבר איזותרמי-איזוברי מטריצת צפיפות מדיה וקבצים בנושא צבר בוויקישיתוף בראייה מודרנית, ניתן להצדיק הנחה זו על סמך ניתוח של מצבי המערכת במרחב הפאזות ושימוש במשפט ליוביל או על ידי שימוש בהנחה כי במערכת סגורה האנטרופיה מרבית במצב של שיווי משקל ושימוש בעקרונות ווריאציה על מנת למצוא מינימום של האנטרופיה.