פאפוס מאלכסנדריה

פאפוס מאלכסנדריה (ביוונית: Πάππος ὁ Ἀλεξανδρεύς; ‏290 בקירוב – 350 לספירה) היה אחד המתמטיקאים הגדולים האחרונים במסורת היוונית העתיקה, הידוע בעיקר בזכות חיבורו המתמטי "האוסף" (Collection). האוסף, שהוא עבודתו הידועה ביותר, הוא חיבור מתמטי מקיף בשמונה כרכים. הוא מכסה נושאים מתמטיים רבים, בעיקר גאומטריה, שעשועי מתמטיקה, הכפלת הקובייה, מצולעים ופאונים. מעבר לכך, כל שידוע על חייו הוא שהיה מורה באלכסנדריה ואב לבן בשם הרמודורוס. פאפוס היה פעיל בתקופה של קפאון יחסי במחקר המתמטי, שבה הוא מהווה דוגמה יוצאת דופן למתמטיקאי משמעותי. באופנים רבים, גורלו מזכיר את זה של דיופנטוס, שעבודתו במקור הייתה בעלת חשיבות מוגבלת אולם הפכה למשפיעה מאוד במהלך תקופת הרנסאנס המאוחר ותחילת העת החדשה. יצירתו הגדולה של פאפוס, שמכילה שמונה ספרים ומכונה הסינגוגה או האוסף, לא שרדה בצורתה השלמה; הספר הראשון אבד, ושאר הספרים ניזוקו במידה משמעותית. לקסיקון הסודא מונה עבודות אחרות של פאפוס: "תיאור העולם המיושב", פרשנות לארבעת ספרי האלמגסט של תלמי, "נהרות לוב" ו"פרשנות החלומות". פאפוס עצמו מציין פרשנות שכתב על האנלמה של דיודורוס מאלכסנדריה. פאפוס כתב גם פרשנויות ליסודות של אוקלידס (אשר קטעים ממנה השתמרו אצל פרוקלוס ובסכוליה, בעוד שפרשנותו על הספר העשירי של היסודות נמצאה בכתב יד ערבי), ועל "הרמוניקה" של תלמי. פדריקו קומנדינו תרגם את האוסף של פאפוס ללטינית בשנת 1588. היסטוריון המתמטיקה הגרמני פרידריך הולטש (1833-1908) פרסם הצגה מקיפה בשלושה כרכים של תרגומו של קומנדינו יחד עם הגרסאות ביוונית ולטינית (ברלין, 1875 - 1878). דרך עבודתו של הולטש, היסטוריון המתמטיקה הבלגי פול ור אקה היה הראשון לפרסם תרגום של האוסף לשפה אירופית מודרנית; תרגומו לצרפתית, בשני כרכים, מכונה .Pappus d'Alexandrie. La Collection Mathématique (פריז וברוז', 1933). המאפיינים של "האוסף" של פאפוס הם ראשית כל שהוא מכיל סיכום מאורגן שיטתית של כל התוצאות החשובות שהשיגו קודמיו, ושנית, ההערות שלו שמבארות ומרחיבות את תגליותיהם המתמטיות של קודמיו. תגליות קודמות אלו מהוות גוף ידע אשר עליו פאפוס מתבסס ומרחיב באופן שיטתי. הספרים ששרדו של האוסף ניתנים לסיכום באופן הבא. הספר הראשון אבד לגמרי. משערים שהספר הראשון, כמו הספר השני, עסק באריתמטיקה שכן הספר השלישי מהווה בבירור מבוא לנושאים חדשים. הספר השני כולו (שחלקו הראשון אבוד, והגרסה הנוכחית מתחילה מאמצע טענה 14) דן בשיטת הכפלה שהופיעה קודם בספר לא מוכר של אפולוניוס מפרגה. הטענות האחרונות בספר זה עוסקות בהכפלת הערך הנומרי של כל האותיות היווניות בשתי שורות של שירה, מה שהניב שני מספרים גדולים מאוד ששווים בקירוב ל- 2 × 10 54 {\displaystyle 2\times 10^{54}} ו- 2 × 10 38 {\displaystyle 2\times 10^{38}} . הספר השלישי כולל בעיות גאומטריות, מישוריות ומרחביות. ניתן לחלקו לחמישה חלקים: על הבעיה המפורסמת של הכפלת הקובייה, שלה היפוקרטס מכיוס מצא ניסוח שקול באמצעות ממוצעים גאומטריים. פאפוס מספק מספר פתרונות לבעיה, כולל שיטה איטרטיבית לבצע קירובים עוקבים לפתרון, אשר את חשיבותה כשיטה עצמאית פאפוס ככל הנראה לא זיהה; הוא מוסיף את פתרונו לבעיה הכללית יותר של בנייה גאומטרית של צלע הקובייה אשר נפחה מצוי בכל יחס שהוא לנפחה של קובייה נתונה. על הממוצע האריתמטי, הגאומטרי, וההרמוני של שני קטעים ישרים נתונים, ועל הבעיה של ייצוג כולם באמצעות אותה צורה גאומטרית. חלק זה משמש כמבוא לתאוריה של ממוצעים, לגביהם פאפוס מבחין בין עשרה סוגים, ונותן טבלה שמכילה דוגמאות לכל סוג במספרים שלמים. על בעיה מעניינת שעלתה בעקבות טענה 21 בספר הראשון של יסודות של אוקלידס. בחלק זה פאפוס מתאר גם אוסף של פרדוקסים גאומטריים, אשר הוא מייחס אותם למתמטיקאי לא מוכר בשם אריסינוס. על חסימת כל אחד מהפאונים המשוכללים בכדור. פאפוס הבחין שניתן לחסום את התריסרון המשוכלל והעשרימון המשוכלל באותו כדור ובאופן כזה שקודקודיהם נחים כולם על 4 מעגלי רוחב, כאשר 3 מ-12 קודקודי העשרימון נחים על כל מעגל, ו-5 מ-20 קודקודי התריסרון נחים על כל מעגל. אבחנה זו הוכללה לפאונים דואליים בממדים גבוהים יותר. תוספת של מחבר מאוחר יותר על פתרון אחר של הבעיה הראשונה בספר. הכותרת וההקדמה לספר הרביעי אבודים, כך שתוכניתו הכללית חייבת להיות מובנת מתכני הספר עצמם. בתחילתו מופיע הכללה מוכרת לטענה 47 בספר הראשון של יסודות (משפט השטחים של פאפוס), ולאחר מכן מופיעים מגוון משפטים על המעגל, מה שמוביל לבניית המעגל שחוסם שלושה מעגלים נתונים, המשיקים כל אחד לשניים האחרים. במסגרת בנייה זאת ומספר טענות אחרות על מעגלים משיקים, פאפוס חוקר סדרה אינסופית של מעגלים המשיקים אחד לשני וחסומים כולם בצורה המורכבת משלושה חצאי מעגלים ונקראת ארבלוס (שרשרת פאפוס). טענות אלו מהוות את החלק הראשון של הספר. פאפוס לאחר מכן מפנה את תשומת לבו לתכונות מסוימות של ספירלת ארכימדס, הקונכואיד של ניקומדס (עקומה שהוזכרה כבר בספר השלישי כמספקת שיטה להכפלת הקובייה), והעקומה שנתגלתה קרוב לוודאי על ידי היפיאס מאליס בסביבות שנת 420 לפנה"ס, שמוכרת גם בשם קוואדרטריקס. טענה 30 מתארת את הבנייה של עקום בעל שני סוגי עקמומיות שכונה על ידי פאפוס "סליל על הספירה"; עקום זה מתואר על ידי נקודה הנעה במהירות קבועה לאורך קשת של מעגל גדול, אשר בעצמו מסתובב בקצב אחיד סביב אחד הקטרים שלו, באופן כזה שהנקודה משלימה רבע מעגל גדול בדיוק כאשר הוא משלים סיבוב יחיד סביב הקוטר. פאפוס לאחר מכן מחשב את השטח החסום בין העקום הזה ובסיסו - הדוגמה הראשונה של תרבוע של קו עקום שנח על משטח עקום. שאר הספר מטפל בבעיית שילוש הזווית, וכן בפתרון של בעיות כלליות יותר מאותו סוג באמצעות הקוואדרטריקס והספירלה. בפתרון אחד לבעיה זו מופיעה השימוש המפורש הראשון בתכונה מסוימת של חתך חרוט (ההיפרבולה), במסגרתו פאפוס מתייחס למוקד (focus) ולמדריך (directrix). בספר החמישי, לאחר הקדמה מעניינת שעוסקת במצולעים משוכללים, והמכילה מספר הדגשים על הצורה המשושה של תאי חלת דבש, פאפוס עוסק בהשוואת השטחים של צורות מישוריות שונות שכולן בעלות אותו היקף (בהמשך לעבודתו של זנודורוס על נושא הבעיה האיזופרימטרית), ועל הנפחים של גופים שונים שלכולם אותו שטח פנים, ולבסוף, בהשוואה ברוח זו בין חמשת הפאונים המשוכללים של אפלטון. במספר הערות ביניים, פאפוס מתאר את הבנייה של שלוש עשרה פאונים אחרים שפאותיהם הם מצולעים משוכללים שונים, שנתגלו על ידי ארכימדס (פאונים ארכימדיים), ומחשב, באמצעות שיטה המזכירה את זו של ארכימדס, את שטח הפנים והנפח של כדור. לפי ההקדמה, הספר השישי מיועד ליישב קשיים וסתירות פנימיות ב"חיבורים אסטרונומיים ידועים פחות", עבודות שאינן האלמגסט. הוא מעיר על "הכדור" של תאודוסיוס, "על הכדור הנע" של אוטוליקוס, ספרו של תאודוסיוס "יום ולילה", חיבורו של אריסטרכוס "על הגדלים והמרחקים של השמש והירח", וכן ספרו של אוקלידס "אופטיקה ותופעות". מאז שהמתמטיקאי הצרפתי מישל שסלה ציטט ספר זה של פאפוס בחיבורו על ההיסטוריה של שיטות גאומטריות, הספר השביעי הפך למוקד עניין בקרב מתמטיקאים מודרניים. ההקדמה לספר השביעי מסבירה את המונחים "אנליזה" ו"סינתזה", ואת ההבחנה בין משפט לבעיה. פאפוס מונה לאחר מכן עבודות של אוקלידס, אפולוניוס, אריסטאוס וארטוסתנס (אותן הוא מכנה באופן קולקטיבי "אוצר האנליזה"), שלושים ושלושה ספרים בסך הכל, אשר את תמצית תוכנם הוא מתכוון לתת, יחד עם הלמות הנדרשות להסברתן בצורה בהירה. האזכור של פאפוס לפוריזמים של אוקלידס מהווה מקור ידע חשוב על הקשר בין "פוריזם" (טענה המהווה מסקנה ישירה של הוכחה מסוימת) למשפט ובעיה, כפי שהשתקף לעיניהם של מתמטיקאים יוונים עתיקים. באותה הקדמה נכללים גם: (1) הבעיה המפורסמת הנקראת על שמו של פאפוס (בעיית פאפוס בגאומטריה סינתטית), שלעיתים מנוסחת כך: "בהינתן מספר ישרים נתונים, למצוא את המקום הגאומטרי של כל הנקודות כך שאורכי האנכים המורדים מהן לישרים הנתונים, או (באופן כללי יותר) אורכי הקווים שנמתחים מהן באופן אלכסוני לישרים בזוויות נתונות, מקיימים את התנאי שמכפלת כמה מהם נמצאת ביחס קבוע למכפלת הקטעים האחרים; (2) המשפטים שנתגלו מחדש ונקראים על שם פול גולדין (ביניהם משפט פאפוס על אינטגרציה נפחית), אבל ככל הנראה נתגלו לראשונה על ידי פאפוס עצמו". הספר השביעי מכיל: מספר למות אשר, אם בוחנים אותן לעומק, עוסקות באינוולוציה של שש נקודות. למות חשובות על פוריזמים של אוקלידס, כולל הטענה שמכונה כעת משפט המשושה של פאפוס בגאומטריה פרויקטיבית. למה על Surface Loci של אוקלידס, אשר קובעת כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות המקיימות שמרחקן מנקודה נתונה מצוי ביחס קבוע למרחקן מישר נתון הוא חתך חרוט, כשמיד אחריה פאפוס מוכיח שחתך החרוט הוא פרבולה, אליפסה או היפרבולה כאשר היחס שווה, קטן או גדול מ-1, בהתאמה (אלו הן ההוכחות המתועדות הראשונות של תכונות אלו, שאינן מופיעות אצל אפולוניוס). מחקרים היסטוריים מודרניים גילו עניין רב בספר השביעי, והצליחו להראות כיצד פאפוס ערך מניפולציות במרובע השלם, נעזר בקשרים של צמודים הרמוניים פרויקטיביים (projective harmonic conjugates), והפגין רמה מסוימת של מודעות ליחס הכפול בין נקודות וישרים, לגביו זיהה את תכונתו החשובה שהוא נשמר תחת הטלות פרספקטיביות - עובדה מרכזית בפיתוחים גאומטריים מודרניים. יותר מכך, המושגים של קוטב וישר קוטבי (pole and polar) מופיעים במסגרת למה בספר זה. הספר השמיני עוסק בעיקר במכניקה, בתכונות מרכז הכובד, ובכמה יתרונות מכניים. בין לבין שזורות בגוף הטקסט מספר טענות בגאומטריה טהורה. טענה 14 מראה כיצד לבנות אליפסה דרך חמש נקודות נתונות, וטענה 15 מספקת בנייה פשוטה של הצירים של אליפסה כאשר נתןן זוג קטרים צמודים (conjugate diameters). לפי השערה של N. Khanikoff, ייתכן שבחלק חסר של ספר זה פאפוס תיאר מכשיר למדידת צפיפויות ונפחים של נוזלים, אשר בבסיסו עמדו עקרונות פיזיקליים דומים מאוד לאלו של מד הנפח של ז'וזף לואי גה-ליסאק, שהומצא בתחילת המאה ה-19. האוסף של פאפוס היה כלל לא ידוע למתמטיקאים ערבים ואירופים ימי ביניימים, אבל היה בעל השפעה ניכרת על המתמטיקה של המאה ה-17 לאחר שתורגם ללטינית בידי פדריקו קומנדינו. האריתמטיקה של דיופנטוס והאוסף של פאפוס היו שני המקורות העיקריים לחיבורו המתמטי של פרנסואה וייט, Isagoge in artem analyticam (משנת 1591). העיסוק בבעיית פאפוס והכללתה הובילו את דקארט לפיתוח הגאומטריה האנליטית. פרמה פיתח את הגרסה שלו לגאומטריה אנליטית כמו גם את שיטתו לקביעת מינימום ומקסימום לאחר עיונו בסיכומיו של פאפוס את עבודותיו האבודות של אפולוניוס "מקומות גאומטריים מישוריים" (Plane Loci) ו"על חתך מוגדר" (On Determinate Section). מתמטיקאים אחרים שהושפעו מפאפוס הם פאצ'ולי, דה וינצ'י, קפלר, ון רומן, פסקל, ניוטון, ברנולי, אוילר, גאוס, גרגון, שטיינר ופונסלה. מדיה וקבצים בנושא פאפוס מאלכסנדריה בוויקישיתוף פאפוס מאלכסנדריה, באתר MacTutor (באנגלית) פאפוס מאלכסנדריה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)