חבורת p

בתורת החבורות, חבורת-p היא חבורה שהסדר של כל איבר בה הוא חזקה של p {\displaystyle p} . קיימת מחלקה כזו של חבורות לכל מספר ראשוני p {\displaystyle p} , והן נקראות, בהתאמה, חבורות-2, חבורות-3, חבורות-5, וכן הלאה. לפי משפט קושי, חבורה סופית היא חבורת-p אם ורק אם הסדר שלה הוא חזקה של p {\displaystyle p} . התאוריה של חבורות-p היא מרכיב חשוב בתורת החבורות הסופיות, משום שכל חבורה סופית מכילה תת-חבורות-p (כל תת-חבורת-p מקסימלית של חבורה סופית היא מאינדקס זר ל-p: משפטי סילו). מאידך, בעיית המיון של חבורות-p קשה, ומבחינות מסוימות היא בלתי אפשרית. שוויון המחלקות מראה שהמרכז של חבורת-p הוא לא-טריוויאלי. מכאן נובע (באינדוקציה על סדר החבורה) שהמנרמל של כל תת-חבורה אמיתית של חבורת-p, מכיל אותה ממש. כל מכפלה ישרה של חבורות-p סופיות (גם לערכים שונים של p {\displaystyle p} ) היא חבורה נילפוטנטית, וגם ההפך נכון: כל חבורה נילפוטנטית סופית מתפרקת למכפלה ישרה של חבורות-סילו שלה. חבורת-p היא חזקה (powerful) אם תת-החבורה הנוצרת על-ידי החזקות x p {\displaystyle x^{p}} (או x 4 {\displaystyle x^{4}} אם p=2) מכילה את תת-חבורת הקומוטטורים. עבור מספרים מאותו סדר גודל, מספר החבורות (עד כדי איזומורפיזם) מסדר n {\displaystyle n} הוא הגדול ביותר כאשר n {\displaystyle n} הוא חזקה של ראשוני. לדוגמה, יש 15 חבורות לא איזומורפיות מסדר 16 (לעומת 28 מכל הסדרים עד 15 גם יחד), 2328 חבורות מסדר 128 ו-56092 מסדר 256. Graham Higman (1960) ו-Sims (1965) הוכיחו שמספר החבורות מסדר p n {\displaystyle p^{n}} גדל כמו p 2 n 3 / 27 {\displaystyle p^{2n^{3}/27}} . יש חבורה יחידה מכל סדר p {\displaystyle p} ; 2 חבורות מסדר p 2 {\displaystyle p^{2}} ; 5 חבורות מסדר p 3 {\displaystyle p^{3}} ; ו-15 חבורות מסדר p 4 {\displaystyle p^{4}} . מספר החבורות מסדר p 5 {\displaystyle p^{5}} הוא 2 p {\displaystyle 2p} ועוד גורם בגודל חסום התלוי ב- p {\displaystyle p} ; מספר החבורות מסדר p 6 {\displaystyle p^{6}} הוא 3 p 2 {\displaystyle 3p^{2}} ועוד גורם ליניארי התלוי ב- p {\displaystyle p} ; מספר החבורות מסדר p 7 {\displaystyle p^{7}} הוא 3 p 5 {\displaystyle 3p^{5}} ועוד גורם ממעלה רביעית התלוי ב- p {\displaystyle p} . חישובים אלה, שנערכו בדייקנות, הביאו את Higman לשער השערה שנודעה בשם "The PORC conjecture" (על-שם ראשי התיבות Polynomials On Residue Classes), שלפיה לכל n {\displaystyle n} יש N {\displaystyle N} גדול מספיק כך שמספר החבורות מסדר p n {\displaystyle p^{n}} (עבור p {\displaystyle p} גדול מספיק) הוא פולינום מסוים של p {\displaystyle p} , התלוי ב- p ( mod N ) {\displaystyle p{\pmod {N}}} בלבד. החבורות מכל סדר p n {\displaystyle p^{n}} , עבור n ≤ 7 {\displaystyle n\leq 7} (וכאשר p = 2 {\displaystyle p=2} , עבור n ≤ 9 {\displaystyle n\leq 9} ) מויינו באופן מלא. יש 49478365422 {\displaystyle 49478365422} חבורות מסדר 2 10 {\displaystyle 2^{10}} . משערים שאם P {\displaystyle P} חבורת-p מסדר שאינו p {\displaystyle p} או p 2 {\displaystyle p^{2}} , אז הסדר של חבורת האוטומורפיזמים | Aut ⁡ ( P ) | {\displaystyle |\operatorname {Aut} (P)|} מתחלק בזה של P {\displaystyle P} . חבורת האוטומורפיזמים החיצונית של חבורת-p תמיד כוללת איבר מסדר p {\displaystyle p} (Gashutz, 1966). השאלה האם תמיד קיים אוטומורפיזם חיצוני מסדר p עודנה פתוחה. חבורת פרטיני Φ ( P ) {\displaystyle \Phi (P)} של חבורת-p P {\displaystyle P} היא תת-החבורה הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן P / Φ ( P ) {\displaystyle P/\Phi (P)} היא מהצורה ( Z / p Z ) d {\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{d}} עבור d {\displaystyle d} מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d {\displaystyle d} איברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה H 2 ( P , Z / p Z ) {\displaystyle H_{2}(P,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )} : גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d {\displaystyle d} יוצרים ו- r {\displaystyle r} יחסים. בעיית האיזומורפיזם המודולרי (האם אלגברת החבורה   F p [ G ] {\displaystyle \ \mathbb {F} _{p}[G]} , כאשר P {\displaystyle P} היא חבורת-p, קובעת את P {\displaystyle P} עד-כדי איזומורפיזם) נפתרה לשלילה: ראו אלגברת חבורה. חבורה פרו-p חבורת p, באתר MathWorld (באנגלית)