משפט קון

משפט קון (נקרא על שמו של הארולד קון Harold W. Kuhn) הוא משפט בתחום תורת המשחקים. לפי משפט זה בכל משחק בצורה רחבה, אם לשחקן כלשהו יש זיכרון שלם אז לכל אסטרטגיה מעורבת של אותו שחקן קיימת אסטרטגיית התנהגות שקולה לה ולכל אסטרטגיית התנהגות של אותו שחקן קיימת אסטרטגיה מעורבת השקולה לה. נאמר שלשחקן i {\displaystyle i} יש זיכרון שלם אם לכל שני קדקודים Y {\displaystyle Y} , X {\displaystyle X} הנמצאים באותה קבוצת ידיעה של שחקן i {\displaystyle i} , המסילות מהשורש לקדקודים Y {\displaystyle Y} , X {\displaystyle X} עוברות דרך אותן קבוצות ידיעה של שחקן i {\displaystyle i} ובאותו סדר. יתר על כן, הפעולה שבה שחקן i {\displaystyle i} נוקט בקדקוד ההחלטה ה- k {\displaystyle k} שלו על המסילה לקדקוד X {\displaystyle X} שווה לפעולה בה הוא נוקט בקדקוד ההחלטה ה- k {\displaystyle k} שלו על המסילה לקדקוד Y {\displaystyle Y} . השקילות באה לידי ביטוי במובן שבו ללא תלות באסטרטגיות בהן נוקטים השחקים האחרים, ההסתברות להגיע לקדקוד בעץ כאשר שחקן i {\displaystyle i} משתמש באסטרטגיה מעורבת מסוימת זהה להסתברות להגיע לאותו הקדקוד כאשר שחקן i {\displaystyle i} נוקט באסטרטגיית ההתנהגות השקולה לה. כלומר, אם σ i {\displaystyle \sigma _{i}} היא אסטרטגיה מעורבת ו- b i {\displaystyle b_{i}} היא אסטרטגית התנהגות של שחקן i {\displaystyle i} במשחק בצורה רחבה אז הן שקולות זו לזו אם לכל קומבינציה σ − i {\displaystyle \sigma _{-i}} של אסטרטגיות של שאר השחקנים הן משרות הסתברויות שוות על כל אחד מקדקודי עץ המשחק כלומר על כל אחת מהתוצאות האפשריות במשחק. קבוצת אסטרטגיות ההתנהגות "קטנה יותר" מקבוצת האסטרטגיות המעורבות כיוון שהיא חוסכת בפרמטרים. למשל, אם לשחקן מסוים יש 3 קבוצות ידיעה עם שתי פעולות אפשריות בכל אחת, הרי שמספר האסטרטגיות הטהורות הן 2 3 = 8 {\displaystyle 2^{3}=8} ואז כל אסטרטגיה מעורבת כוללת 7 משתנים בעוד שאסטרטגית התנהגות כוללת רק 3 משתנים. קל יותר לחשוב על עשיית הגרלה על הפעולות האפשריות בכל קבוצת ידיעה ולא לחשוב על תוכנית פעולה כוללת לכל המשחק. לשחקן יש ארבע אסטרטגיות טהורות { T 1 T 2 , T 1 B 2 , B 1 T 2 , B 1 B 2 {\displaystyle {T_{1}T_{2},T_{1}B_{2},B_{1}T_{2},B_{1}B_{2}}} }. נראה כי לאסטרטגיה המעורבת σ 1 = [ 0.5 ( T 1 T 2 ) , 0 ( T 1 B 2 ) , 0 ( T 2 B 1 ) , 0.5 ( B 1 B 2 ) ] {\displaystyle \sigma _{1}=[0.5(T_{1}T_{2}),0(T_{1}B_{2}),0(T_{2}B_{1}),0.5(B_{1}B_{2})]} אין אסטרטגית התנהגות שקולה. אסטרטגיה מעורבת זו משרה את ההתפלגות הבאה על תוצאות המשחק: [ 0.5 ( O 1 ) , 0 ( O 2 ) , 0 ( O 3 ) , 0.5 ( O 4 ) ] {\displaystyle [0.5(O_{1}),0(O_{2}),0(O_{3}),0.5(O_{4})]} . אסטרטגית התנהגות ( [ α ( T 1 ) , ( 1 − α ) ( B 1 ) ] , [ β ( T 2 ) , ( 1 − β ) ( B 2 ) ] ) {\displaystyle ([\alpha (T_{1}),(1-\alpha )(B_{1})],[\beta (T_{2}),(1-\beta )(B_{2})])} משרה את ההתפלגות הבאה על התוצאות: [ ( 1 − α ) ( 1 − β ) ( O 1 ) , ( 1 − α ) β ( O 2 ) , α ( 1 − β ) ( O 3 ) , α β ( O 4 ) ] {\displaystyle [(1-\alpha )(1-\beta )(O_{1}),(1-\alpha )\beta (O_{2}),\alpha (1-\beta )(O_{3}),\alpha \beta (O_{4})]} . אם אסטרטגית ההתנהגות ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )} שקולה לאסטרטגיה המעורבת σ 1 {\displaystyle \sigma _{1}} , שתיהן משרות אותה התפלגות על התוצאות. לכן: α β = 0.5 {\displaystyle \alpha \beta =0.5} α ( 1 − β ) = 0 {\displaystyle \alpha (1-\beta )=0} ( 1 − α ) β = 0 {\displaystyle (1-\alpha )\beta =0} ( 1 − α ) ( 1 − β ) = 0.5 {\displaystyle (1-\alpha )(1-\beta )=0.5} למערכת משוואות זו אין פתרון. כלומר, אין אסטרטגית התנהגות שקולה. לשחקן יש שתי אסטרטגיות L {\displaystyle L} ו- R {\displaystyle R} . האסטרטגיה הטהורה L {\displaystyle L} מביאה לתוצאה O 3 {\displaystyle O_{3}} , והאסטרטגיה הטהורה R {\displaystyle R} מביאה לתוצאה O 1 {\displaystyle O_{1}} . כידוע, אסטרטגיה מעורבת היא התפלגות על האסטרטגיות הטהורות, מכאן ניתן להסיק שאין אסטרטגיה מעורבת שניתן לקבל באמצעותה את התוצאה O 2 {\displaystyle O_{2}} . נסתכל על אסטרטגיית ההתנהגות בה השחקן מגריל בין שתי האפשרויות בהסתברויות שוות: [ 0.5 ( L ) , 0.5 ( R ) ] {\displaystyle [0.5(L),0.5(R)]} . במקרה כזה ההתפלגות על התוצאות האפשריות הן: [ 0.5 ( O 1 ) , 0.25 ( O 2 ) , 0.25 ( O 3 ) ] {\displaystyle [0.5(O_{1}),0.25(O_{2}),0.25(O_{3})]} . מכיוון שהתפלגות זו אינה יכולה להתקבל באמצעות אסטרטגיה מעורבת כלשהי נאמר שאין אסטרטגיה מעורבת שקולה לאסטרטגיית ההתנהגות הנתונה. כל מסילה היוצאת מהשורש עוברת דרך כל קבוצת ידיעה של שחקן i {\displaystyle i} לכל היותר פעם אחת. שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, הוצאת מאגנס, 2008 ישראל אומן, שמואל זמיר ויאיר טאומן, תורת המשחקים, האוניברסיטה הפתוחה, 1981 ויליאם פאונדסטון, דילמת האסיר, הוצאת זמורה ביתן, 2000 אבינש דיקסיט ובארי ניילבאף, תורת המשחקים, הוצאת ידיעות אחרונות, 2005 חיים שפירא (מתמטיקאי), שיחות על תורת המשחקים, הוצאת כנרת, 2008