אי-שוויון (מתמטיקה)

אי-שוויון הוא שם משותף לשני סוגי טענות במתמטיקה. הטענה הראשונה היא ששני ערכים a ו־b שונים זה מזה, שאותה מסמנים   a ≠ b {\displaystyle \ a\neq b} . הטענה השנייה היא שאחד מן הערכים גדול מהשני, שאותה מסמנים   a < b {\displaystyle \ a<b} או   b > a {\displaystyle \ b>a} , טענה זו נקראת אי-שוויון חזק. הטענה שאחד הערכים גדול או שווה לשני, שאותה מסמנים a ≤ b {\displaystyle \,a\leq b} או b ≥ a {\displaystyle \,b\geq a} , נקראת אי-שוויון חלש. יחס הסדר על הישר הממשי הוא ליניארי, כלומר, מבין כל שני מספרים שונים, אחד מוכרח להיות גדול מן השני. תכונה זו מאפשרת לשאול, בהינתן שני מספרים (או "תבניות מספר" - ערכים התלויים במשתנה אחד או יותר) a,b, איזה יחס הוא הנכון:   a < b {\displaystyle \ a<b} ,   a = b {\displaystyle \ a=b} או   a > b {\displaystyle \ a>b} . בפרט, כל מספר ממשי אפשר להשוות לאפס - וכך מתקבלת החלוקה למספרים חיוביים, או בעלי "סימן חיובי" (אלו הגדולים מאפס) ושליליים, או בעלי "סימן שלילי" (אלו הקטנים מאפס). משוואות כמו   2 x + 4 y = 6 , x − 5 y = 0 {\displaystyle \ 2x+4y=6,x-5y=0} אפשר לחבר, לחסר ולהכפיל (כל אגף בנפרד), והתוצאה המתקבלת היא משוואה חדשה. באי-שוויונות, הפעולות המותרות הבסיסיות הן כדלקמן: אם   a < b {\displaystyle \ a<b} אז לכל c,   a + c < b + c {\displaystyle \ a+c<b+c} ; אם   a < b {\displaystyle \ a<b} ו-   d {\displaystyle \ d} חיובי, אז גם   a d < b d {\displaystyle \ ad<bd} ; אם   d {\displaystyle \ d} שלילי, אז   a d > b d {\displaystyle \ ad>bd} ; אם   0 < a < b {\displaystyle \ 0<a<b} , אז גם   a 2 < b 2 {\displaystyle \ a^{2}<b^{2}} . החוק השני מקנה לאיבר האפס מעמד מיוחד. כפי שהכפל באיבר חיובי שומר על כיוון האי-שוויון, כפל באיבר שלילי תמיד הופך אותו. (בפתרון של אי-שוויונות קורה שמכפילים בגודל שהסימן שלו אינו ידוע, וכדי לשמור על האי-שוויון שהוכפל, יש לבדוק בנפרד את שתי האפשרויות). מן החוקים שהוזכרו לעיל, יחד עם התכונות הבסיסיות של יחס הסדר (ובפרט, הטרנזיטיביות שלו) נובע גם ש- אם   a < b {\displaystyle \ a<b} ו- c < d {\displaystyle \;c<d} אז   a + c < b + d {\displaystyle \ a+c<b+d} ; אם   0 < a < b {\displaystyle \ 0<a<b} ו-   0 < c < d {\displaystyle \ 0<c<d} אז   a c < b d {\displaystyle \ ac<bd} . האלגברה הליניארית עוסקת במערכות של משוואות ליניאריות בכמה נעלמים. הצעד הבסיסי בחקירת אי-שוויונות הוא הבנת המבנה הגאומטרי של מערכת השוויונות המתאימה (המתקבלת מהחלפת כל סימן אי-שוויון בסימן השוויון). כפי שמשוואה ליניארית מגבילה את הפתרון לעל-מישור (שממדו קטן ב-1 מממד המרחב המקורי), כל אי-שוויון מגביל את הפתרון לחצי המרחב ("מעל" לשוויון ומתחתיו). מערכת של אי-שוויונות מגדירה פאון (לאו-דווקא חסום), העשוי להיות ריק אם אין למערכת פתרון. בעיות אופטימיזציה על קבוצות כאלה כרוכות בתכנון ליניארי. כדי שלמערכת של משוואות ליניאריות (כמו   x + y = 1 , x + z = 1 , z − y = 6 {\displaystyle \ x+y=1,x+z=1,z-y=6} ) לא יהיה פתרון, מוכרחה להיות תלות ליניארית בין המשוואות. בדומה לזה, כדי שלמערכת של אי-שוויונות   ∑ j = 1 n a i j x j > 0 {\displaystyle \ \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}>0} (   i = 1 , … , m {\displaystyle \ i=1,\dots ,m} ) לא יהיה פתרון, מוכרח להיות צירוף ליניארי עם מקדמים חיוביים של האי-שוויונות, השווה לאפס; כלומר, מוכרחים להיות קבועים   b 1 , … , b m ≥ 0 {\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{m}\geq 0} , שאינם כולם אפס, כך ש-   ∑ i = 1 m b i ( ∑ j = 1 n a i j x j ) = 0 {\displaystyle \ \sum _{i=1}^{m}b_{i}(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j})=0} . יחס הסדר המוגדר על שדה המספרים הממשיים הופך אותו לשדה סדור; הסימונים, הפעולות והתכונות של יחס הסדר של הממשיים חלים באותו אופן בכל שדה סדור. מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון בוויקישיתוף אי-שוויון, באתר MathWorld (באנגלית) אי-שוויונות, באתר לרגו