קיומן של פונקציות מרומורפיות על משטח רימן קומפקטי

במתמטיקה, ובמיוחד בתורה של משטחי רימן קומפקטים, קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על משטחים אלו היא שאלה בסיסית, משום שהיא מאפשרת לבנות פונקציות המקיימות דרישות בסיסיות כמו מיקומם של אפסים או קטבים. ניתן להוכיח כי על משטח רימן קומפקטי אין פונקציות הולומורפיות לא קבועות (ראו פונקציות על משטחי רימן), ולכן שאלת קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות עולה באופן טבעי. לכאורה, ניתן להוכיח קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות על ידי משפט רימן רוך (או אפילו מהגרסה החלשה יותר - אי שוויון רימן): נניח כי X {\displaystyle X} הוא משטח רימן קומפקטי עם גנוס g {\displaystyle g} . נבחר נקודה כלשהי p ∈ X {\displaystyle p\in X} ונגדיר מחלק D {\displaystyle D} על ידי D = ( g + 1 ) ⋅ p {\displaystyle D=(g+1)\cdot p} . כעת, על פי אי שוויון רימן, dim ⁡ L ( D ) ≥ deg ⁡ D − g + 1 = 2 {\displaystyle \dim L(D)\geq \deg D-g+1=2} . בפרט, L ( D ) {\displaystyle L(D)} מכיל פונקציות מרומורפיות לא קבועות, ולכן קיימות פונקציות כאלו על X {\displaystyle X} . הוכחה זו, על אף נכונותה היא למעשה חסרת ערך מעשי, משום שבשביל לתת הוכחה מלאה למשפט רימן רוך יש צורך להוכיח קודם לכן את קיומן של פונקציות מרומורפיות לא קבועות, כך שזוהי למעשה הוכחה מעגלית. על מנת להוכיח את המשפט נסתמך על משפט של המתמטיקאי הצרפתי ז'אן-פייר סר. נניח כי X {\displaystyle X} הוא משטח רימן קומפקטי וכי O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} היא אלומת הפונקציות ההולומורפיות על X {\displaystyle X} . נניח כי U {\displaystyle {\mathcal {U}}} הוא כיסוי פתוח של X {\displaystyle X} . משפטו של סר קובע כי במקרה זה dim ⁡ H 1 ( U , O X ) < ∞ {\displaystyle \dim H^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {O}}_{X})<\infty } , כלומר הממד של קוהומולוגיית צ'ך הראשונה ביחס לכיסוי זה ואלומה זו הוא סופי. תוך שימוש במשפט הסופיות, נוכיח כעת את המשפט הבא: נניח כי X {\displaystyle X} הוא משטח רימן קומפקטי וכי p ∈ X {\displaystyle p\in X} , אז קיימת פונקציה מרומורפית f ∈ M ( X ) {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(X)} (כזכור, M ( X ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(X)} הוא שדה הפונקציות המרומורפיות על X {\displaystyle X} ) כך של- f {\displaystyle f} יש קוטב ב- p {\displaystyle p} , וכך ש- f {\displaystyle f} הולומורפית על X − { p } {\displaystyle X-\{p\}} . הוכחת המשפט: נבחר סביבה U 1 {\displaystyle U_{1}} של p {\displaystyle p} כך שקיימת מפה z : U 1 → C {\displaystyle z:U_{1}\rightarrow \mathbb {C} } , כך ש- z ( p ) = 0 {\displaystyle z(p)=0} . כמו כן, נגדיר U 2 = X − { p } {\displaystyle U_{2}=X-\{p\}} . מכיוון ש- p ∈ U 1 {\displaystyle p\in U_{1}} , הרי ש- U = { U 1 , U 2 } {\displaystyle {\mathcal {U}}=\{U_{1},U_{2}\}} הוא כיסוי פתוח של X {\displaystyle X} . תהי O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} אלומת הפונקציות ההולומורפיות של X {\displaystyle X} , ונסמן n = dim ⁡ H 1 ( U , O X ) {\displaystyle n=\dim H^{1}({\mathcal {U}},{\mathcal {O}}_{X})} . על פי משפט הסופיות של סר, n < ∞ {\displaystyle n<\infty } . לפיכך, התמונות של n + 1 {\displaystyle n+1} הפונקציות z − 1 , z − 2 , … , z − n , z − ( n + 1 ) {\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots ,z^{-n},z^{-(n+1)}} (ההולומורפיות על U 1 ∩ U 2 = U 1 − { p } {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=U_{1}-\{p\}} ) בקוהומולוגיית צ'ך הראשונה הן תלויות ליניארית. לכן קיים צירוף ליניארי לא טריוויאלי ∑ i = 1 n + 1 α i z − i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}z^{-i}=0} . כזכור, התאפסות בקוהומולוגיית צ'ך משמעה שקיים איבר f ∈ C 0 ( U , O X ) {\displaystyle f\in C^{0}({\mathcal {U}},{\mathcal {O}}_{X})} כך ש δ 0 ( f ) = ∑ i = 1 n + 1 α i z − i {\displaystyle \delta _{0}(f)=\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}z^{-i}} . האיבר f {\displaystyle f} מורכב מזוג פונקציות הולומורפיות, פונקציה f 1 {\displaystyle f_{1}} ההולומורפית על U 1 {\displaystyle U_{1}} , ופונקציה f 2 {\displaystyle f_{2}} ההולומורפית על U 2 {\displaystyle U_{2}} . את השוויון לעיל ניתן לכתוב בצורה מפורשת כך: ∑ i = 1 n + 1 α i z − i = ( f 2 − f 1 ) | U 1 ∩ U 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}z^{-i}=(f_{2}-f_{1})|_{U_{1}\cap U_{2}}} . על מנת לסיים את ההוכחה, נגדיר את הפונקציה המבוקשת g {\displaystyle g} באופן הבא: g | U 2 = f 2 {\displaystyle g|_{U_{2}}=f_{2}} , g | U 1 = f 1 + ∑ i = 1 n + 1 α i z − i {\displaystyle g|_{U_{1}}=f_{1}+\sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}z^{-i}} . נשים לב כי מהשוויון לעיל שתי ההגדרות מסכימות על U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}} , ולכן g {\displaystyle g} מוגדרת היטב. כמו כן, ברור כי g {\displaystyle g} הולומורפית על X − { p } {\displaystyle X-\{p\}} , וכן מכיוון שלסכום ∑ i = 1 n + 1 α i z − i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}\alpha _{i}z^{-i}} יש קוטב בנקודה p {\displaystyle p} , הרי שכך גם ל- g {\displaystyle g} וההוכחה הושלמה. בצורה דומה להוכחה הנ"ל, ניתן להוכיח כי על כל משטח רימן לא קומפקטי קיימות פונקציות הולומורפיות (ובפרט מרומורפיות) שאינן קבועות. מסתבר כי בממדים גבוהים יותר המשפט אינו נכון. כלומר, קיימות יריעות מרוכבות שאין עליהן פונקציות הולומורפיות לא קבועות, ואף אין עליהן פונקציות מרומורפיות לא קבועות. יריעה נקראת יריעה מרוכבת אם היא הומיאומורפית באופן מקומי לתת קבוצה פתוחה של C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} , ופונקציות החלפת הקואורדינטות הן פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים (בדומה למקרה של משתנה אחד, פונקציה של כמה משתנים היא הולומורפית אם ורק אם היא אנליטית). Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces (1981), Springer. ISBN 0-3879-0617-7