משוואת מסטר

משוואת מסטר (מכונה גם משוואת M) היא אוסף של משוואות דיפרנציאליות המתארות התפתחות בזמן של מערכת סטוכסטית מרקובית עם מצבים בדידים. כל משוואה מתארת את השינוי בהסתברות של המערכת להמצא במצב מסוים. למשוואה שימושים בתחומים מדעיים מגוונים - החל מאסטרוכימיה וכלה בביופיזיקה. במאמר משנת 1940 [1] הציגו Nordsieck, Lamb, Uhlenbeck משוואה מסוג זה, וכינו אותה בשם משוואת מסטר (The master equation "המשוואה הראשית"), כיוון שממנה ניתן לקבל את יתר המשוואות והתוצאות במאמר. נתבונן במערכת לה מצבים אפשריים s i {\displaystyle {s_{i}}} . המערכת יכולה לעבור בין מצבים אלו. דינמיקת המעבר היא מרקובית כלומר קצב המעבר בין המצבים תלוי אך ורק במצב הנוכחי של המערכת. נסמן את קצב המעבר ממצב i {\displaystyle i} למצב j {\displaystyle j} ב- W i j {\displaystyle W_{ij}} , ואת ההסתברות שהמערכת תהיה בזמן t {\displaystyle t} במצב s i {\displaystyle s_{i}} ב- P i ( t ) {\displaystyle P_{i}(t)} . ההתפתחות בזמן של ההסתברויות הנ"ל נתונה על ידי משוואת המסטר: d P i d t = ∑ j ( W j i P j − W i j P i ) {\displaystyle {\frac {dP_{i}}{dt}}=\sum _{j}(W_{ji}P_{j}-W_{ij}P_{i})} האיבר הראשון באגף ימין מתאר גידול בהסתברות להיות במצב i {\displaystyle i} כתוצאה ממעבר ממצב j {\displaystyle j} כלשהו אל מצב i {\displaystyle i} , ואילו האיבר השני מתאר יציאה ממצב i {\displaystyle i} אל מצב j {\displaystyle j} המקטינה את ההסתברות להיות במצב i {\displaystyle i} . המשוואה הנ"ל מתאימה למערכת עם מצבים דיסקרטיים. קיימות הכללות של המשוואה למערכת עם רצף של מצבים. נתונים N {\displaystyle N} חלקיקים רדיואקטיביים לא יציבים המתפרקים בקצב λ {\displaystyle \lambda } . נסמן ב P ( n , t ) {\displaystyle P(n,t)} את ההסתברות שבזמן t {\displaystyle t} נותרו n {\displaystyle n} חלקיקים שלא התפרקו. ההתפתחות בזמן של ההסתברות מתוארת על ידי משוואת המסטר: P ˙ ( n , t ) = λ [ ( n + 1 ) P ( n + 1 , t ) − n P ( n , t ) ] {\displaystyle {\dot {P}}(n,t)=\lambda [(n+1)P(n+1,t)-nP(n,t)]} האיבר הראשון באגף ימין מתאר מעבר ממצב בו יש n + 1 {\displaystyle n+1} חלקיקים למצב בו יש n {\displaystyle n} חלקיקים כתוצאה מהתפרקות אחד החלקיקים, והאיבר השני מעבר ממצב בו יש n {\displaystyle n} חלקיקים למצב בו יש n − 1 {\displaystyle n-1} חלקיקים. משוואה זו ניתן לפתור תוך שימוש בפונקציה היוצרת של ההתפלגות G ( x , t ) = ∑ n x n P ( n , t ) {\displaystyle G(x,t)=\sum _{n}x^{n}P(n,t)} . באופן כללי לא ניתן לפתור את משוואת המסטר באופן אנליטי ויש לפותרה באופן נומרי או להשתמש בשיטות קירוב שונות. פעמים רבות, לא מתעניינים בתלות בזמן של ההסתברות, אלא בפונקציית ההתפלגות אליה ההסתברות מתכנסת לאחר זמן רב, המאופיינת על ידי P ˙ i = 0 {\displaystyle {\dot {P}}_{i}=0} לכל i {\displaystyle i} (מצב עמיד steady state). פונקציית ההתפלגות במצב עמיד עשויה להיות מסובכת, אולם עבור מקרים בהם מתקיים התנאי W i j = W j i {\displaystyle W_{ij}=W_{ji}} (לכל i , j {\displaystyle i,j} ) ההתפלגות במצב יציב יחסית פשוטה. במערכות המקיימות תנאי זה, המכונה תנאי איזון מפורט (detailed balance) קיימת פונקציית "אנרגיה" E ( s i ) {\displaystyle E(s_{i})} כך שההסתברות למציאת המערכת במצב s i {\displaystyle s_{i}} נתונה על ידי התפלגות בולצמן: P ( s i , t → ∞ ) = 1 Z e − E ( s i ) / k T {\displaystyle P(s_{i},t\rightarrow \infty )={\frac {1}{Z}}e^{-E(s_{i})/kT}} לא כל מצב עמיד הוא יציב, כלומר ישנם מצבים אשר מקיימים P ˙ i = 0 {\displaystyle {\dot {P}}_{i}=0} לכל i {\displaystyle i} אבל הם אינם יציבים תחת שינויים קטנים של פונקציית ההתפלגות, כלומר עבור שינוי אינפיניטסימלי בפונקציית ההתפלגות המערכת לא תחזור למצב "שיווי המשקל" אלא תתרחק ממנו. תהליך סטוכסטי משוואת פוקר פלנק משוואת צ'פמן קולמוגורוב משוואת לנג'ווין Gardiner, Handbook of Stochastic Methods van Kampen, Stochastoc Processes in Physics and Chemistry בנוסף לספרים הנ"ל בהם מוצג הנושא בצורה מעמיקה ומעט מתמטית, ניתן לקרוא על הנושא בספרי פיזיקה סטטיסטית רבים בהם הוא מוצג בצורה פשוטה יותר, לדוגמה: Reif, Fundamentals of Statistical and Thermal Physics קצב המעבר הוא הסתברות מעבר ליחידת זמן הפקטור הכפלי n+1 נובע מכך שכל אחד מהחלקיקים מתפרק באופן בלתי תלוי מזניחים התפרקות בו זמנית של 2 חלקיקים או יותר תנאי זה מתקיים באופן אוטומטי במערכות קוונטיות בהן קצבי המעבר נקבעים על פי כלל הזהב של פרמי ראו הסבר על שיווי משקל יציב בערך שיווי משקל מכני