מרחב בנך

במתמטיקה, מרחב בנך (באנגלית: Banach space) הוא מרחב וקטורי נורמי שהוא שלם במטריקה המושרית מן הנורמה. מרחב בנך הוא אחד המרחבים הנפוצים שנחקרים במסגרת האנליזה פונקציונלית. מרחב בנך נקרא על שם סטפן בנך, מתמטיקאי פולני שהיה מבין מייסדי התחום וממנסחי משפטיו היסודיים. כדור היחידה   { x : | | x | | < 1 } {\displaystyle \ \{x:||x||<1\}} במרחב נורמי הוא תמיד קמור, פתוח וסימטרי לשיקוף סביב 0. במרחב ממימד סופי, גם ההפך נכון: כל גוף בעל פנים לא ריק בעל תכונות אלה הוא כדור היחידה של נורמה מתאימה. התנאי על קמירות כדור היחידה שקול לאי-שוויון המשולש שהנורמה צריכה לקיים. משפט האן-בנך מאפשר להרחיב פונקציונלים מתת-מרחב אל המרחב כולו, וכך מאפשר לבנות פונקציונלים רציפים רבים. משפט בנך-שטיינהאוס (הנקרא גם עקרון החסימות במידה שווה) טוען שאם למשפחה של אופרטורים ליניאריים רציפים על מרחב בנך יש חסם משותף בכל נקודה של המרחב, אז יש חסם אחיד על הנורמה שלהם. לפי משפט ההעתקה הפתוחה (או בניסוח שקול משפט הגרף הסגור), כל אופרטור ליניארי חסום ממרחב בנך אחד על מרחב בנך אחר, הוא פתוח. לפי משפט מזור-אולם, המבנה המטרי על מרחב בנך קובע את המבנה הליניארי שלו: אם   f : X → Y {\displaystyle \ f:X\to Y} היא איזומטריה בין מרחבי בנך וגם על, אז   f {\displaystyle \ f} היא ליניארית. המרחב האוקלידי הוא מרחב בנך. באופן כללי יותר, כל מרחב הילברט הוא מרחב בנך. אוסף הסדרות של מספרים ממשיים   ( a n ) n ∈ N {\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} שמקיימות   ∑ n = 1 ∞ | a n | < ∞ {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|<\infty } הוא מרחב בנך עם הנורמה ‖ ( a n ) ‖ 1 = ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \|(a_{n})\|_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|} . מרחב זה מסומן ב   ℓ 1 {\displaystyle \ \ell _{1}} . כהכללה של הדוגמה הקודמת, אם   1 ≤ p < ∞ {\displaystyle \ 1\leq p<\infty } , מגדירים את המרחב   ℓ p {\displaystyle \ \ell _{p}} להיות אוסף הסדרות   ( a n ) n ∈ N {\displaystyle \ (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} שמקיימות   ∑ n = 1 ∞ | a n | p < ∞ {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty } . מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה ‖ ( a n ) ‖ p = ( ∑ n = 1 ∞ | a n | p ) 1 / p {\displaystyle \|(a_{n})\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}} . אם   p = ∞ {\displaystyle \ p=\infty } מגדירים את המרחב   ℓ ∞ {\displaystyle \ \ell _{\infty }} להיות אוסף הסדרות החסומות עם הנורמה   ‖ ( a n ) ‖ ∞ = sup | a n | {\displaystyle \ \|(a_{n})\|_{\infty }=\sup |a_{n}|} וזהו מרחב נורמי. אם   p < 1 {\displaystyle \ p<1} , המרחב המתקבל הוא מרחב מטרי שלם (ואפילו מרחב פרשה) אבל איננו מרחב בנך כי אין עליו נורמה. אוסף רחב יותר של דוגמאות מתקבל באופן הבא: אם   ( X , μ ) {\displaystyle \ (X,\mu )} הוא מרחב מידה מגדירים את   L p ( X , μ ) {\displaystyle \ L_{p}(X,\mu )} להיות אוסף מחלקות השקילות של פונקציות   f : X → C {\displaystyle \ f:X\to \mathbb {C} } המקיימות   ∫ X | f ( x ) | p d μ ( x ) < ∞ {\displaystyle \ \int _{X}|f(x)|^{p}d\mu (x)<\infty } תחת יחס השקילות של שוויון כמעט תמיד. מרחב זה הוא מרחב בנך תחת הנורמה   ‖ f ‖ p = ( ∫ X | f ( x ) | p d μ ( x ) ) 1 / p {\displaystyle \ \|f\|_{p}=\left(\int _{X}|f(x)|^{p}d\mu (x)\right)^{1/p}} מרחב הפונקציות החסומות ממשיך את הדוגמה הקודמת למקרה   p = ∞ {\displaystyle \ p=\infty } . אם X מרחב מטרי,   L ∞ ( X ) {\displaystyle \ L^{\infty }(X)} הוא המרחב של הפונקציות החסומות   X → C {\displaystyle \ X\rightarrow \mathbb {C} } (לפעמים מדובר בפונקציות ממשיות דווקא). זהו מרחב נורמי, עם נורמת הסופרימום של הפונקציות. שיכון קורטובסקי (   x ↦ ( y ↦ d ( x , y ) − d ( x 0 , y ) ) {\displaystyle \ x\mapsto (y\mapsto d(x,y)-d(x_{0},y))} כאשר x 0 {\displaystyle \,x_{0}} נקודה קבועה) מראה שכל מרחב מטרי משוכן במרחב הפונקציות החסומות המתאים לו. מרחב הפונקציות הרציפות   C ( X ) {\displaystyle \ C(X)} ממרחב מטרי X אל המספרים המרוכבים (או הממשיים). מרחבי הילברט הם דוגמה קיצונית של מרחבי בנך, ותכונות שונות של מרחבי בנך מודדות עד כמה הם קרובים להיות מרחבי הילברט. מרחב הפונקציונלים הליניארים על מרחב בנך   X {\displaystyle \ X} גם הוא מרחב בנך תחת הנורמה   ‖ φ ‖ = sup x ∈ X , ‖ x ‖ = 1 φ ( x ) {\displaystyle \ \|\varphi \|=\sup _{x\in X,\|x\|=1}\varphi (x)} מרחב זה מסומן לרוב ב   X ∗ {\displaystyle \ X^{*}} . לדוגמה, אם   1 p + 1 q = 1 {\displaystyle \ {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} וגם   p < ∞ {\displaystyle \ p<\infty } אז ℓ p ∗ = ℓ q {\displaystyle \ell _{p}^{*}=\ell _{q}} . לעומת זאת, ℓ ∞ ∗ ≠ ℓ 1 {\displaystyle \ell _{\infty }^{*}\neq \ell _{1}} . מדוגמה זו רואים שלא תמיד מתקיים X ∗ ∗ = X {\displaystyle \,X^{**}=X} . לעומת זאת, יש שיכון טבעי X ↪ X ∗ ∗ {\displaystyle \,X\hookrightarrow X^{**}} . מרחב בנך שעבורו השיכון X ↪ X ∗ ∗ {\displaystyle \,X\hookrightarrow X^{**}} הוא איזומורפיזם נקרא מרחב רפלקסיבי. כל מרחב הילברט הוא רפלקסיבי. מרחב בנך שלכל תת-מרחב ספרבילי שלו, A, גם   A ∗ {\displaystyle \ A^{*}} הוא ספרבילי, נקרא מרחב Asplund; כל מרחב רפלקסיבי הוא Asplund. מרחב בנך שאינו מכיל עותק איזומורפי של   ℓ 1 {\displaystyle \ \ell _{1}} נקרא מרחב Rosenthal. כל מרחב Asplund הוא Rosenthal. כל מרחב בנך רפלקסיבי הוא נוצר קומפקטית-חלש (weakly compactly generated), כלומר, יש בו קבוצה קומפקטית (בטופולוגיה החלשה), הפורשת מרחב צפוף. כל מרחב כזה הוא Weakly Lindelof determined (יש בו קבוצה M הפורשת מרחב צפוף, כך שהחיתוך שלה עם התומך של כל פונקציונל ליניארי הוא בן-מניה). מרחב מסוג זה, שהוא Asplund, הוא ספרבילי. נורמה (אנליזה) מרחב מטרי מרחב שלם מרחב הילברט אופרטור פונקציונל משפט האן-בנך משפט בנך-שטיינהאוס טופולוגיה אנליזה מתמטית אנליזה פונקציונלית מדיה וקבצים בנושא מרחב בנך בוויקישיתוף מרחב בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) מרחב בנך, באתר MathWorld (באנגלית) מרחבי בנך, דף שער בספרייה הלאומית