איזוקליניות

בתורת החבורות, איזוקליניוּת היא יחס שקילות בין חבורות, המתייחס עבור חבורה G {\displaystyle G} למבנה המשותף של המנה G / Z ⁡ ( G ) {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)} ותת-חבורת הקומוטטורים G ′ = [ G , G ] {\displaystyle G'=[G,G]} . היחס מאפשר מיון של מחלקות במקום שמיון שלם של חבורות, עד כדי איזומורפיזם, אינו אפשרי או אינו רצוי. כל החבורות האבליות איזוקליניות זו לזו. את היחס הגדיר פיליפ הול ב-1939. ההגדרה מבוססת על-כך שפעולת הקומוטטור G / Z ⁡ ( G ) × G / Z ⁡ ( G ) → [ G , G ] {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)\times G/\!\operatorname {Z} (G)\rightarrow [G,G]} מוגדרת היטב. חבורות G , H {\displaystyle G,H} הן איזוקליניוֹת אם יש איזומורפיזמים α : G / Z ⁡ ( G ) → H / Z ⁡ ( H ) {\displaystyle \alpha :G/\!\operatorname {Z} (G)\rightarrow H/\!\operatorname {Z} (H)} ו- β : [ G , G ] → [ H , H ] {\displaystyle \beta :[G,G]\rightarrow [H,H]} , המקיימים β ( [ x ¯ , y ¯ ] ) = [ α ( x ¯ ) , α ( y ¯ ) ] {\displaystyle \beta ([{\bar {x}},{\bar {y}}])=[\alpha ({\bar {x}}),\alpha ({\bar {y}})]} (כאשר x ¯ , y ¯ {\displaystyle {\bar {x}},{\bar {y}}} הם הנציגים של x , y {\displaystyle x,y} בחבורות המנה). חבורה G {\displaystyle G} היא איזוקלינית לחבורה סופית אם ורק אם G / Z ⁡ ( G ) {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)} סופית. נסמן ב- γ i ( G ) , ζ i ( G ) {\displaystyle \gamma _{i}(G),\zeta _{i}(G)} את החבורות בסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה של חבורה G {\displaystyle G} , בהתאמה. המנות γ i ( G ) Z ⁡ ( G ) / Z ⁡ ( G ) {\displaystyle \gamma _{i}(G)\!\operatorname {Z} (G)/\!\operatorname {Z} (G)} והחיתוכים G ′ ∩ ζ i ( G ) {\displaystyle G'\cap \zeta _{i}(G)} אינם תלויים ב- G {\displaystyle G} , אלא עד כדי איזוקליניות. חבורה G {\displaystyle G} היא איזוקלינית לתת-החבורה H {\displaystyle H} אם G = H ⋅ Z ⁡ ( G ) {\displaystyle G=H\cdot \!\operatorname {Z} (G)} (אם G / Z ⁡ ( G ) {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)} סופית, גם ההפך נכון). כאשר G {\displaystyle G} סופית, G {\displaystyle G} איזוקלינית לתת-החבורה H {\displaystyle H} אם ורק אם G / Z ⁡ ( G ) ≅ H / Z ⁡ ( H ) {\displaystyle G/\!\operatorname {Z} (G)\cong H/\!\operatorname {Z} (H)} . חבורה G {\displaystyle G} היא איזוקלינית לחבורת המנה G / N {\displaystyle G/N} אם N ∩ G ′ = 1 {\displaystyle N\cap G'=1} (אם G ′ {\displaystyle G'} סופית, גם ההפך נכון). כאשר G {\displaystyle G} סופית, היא איזוקלינית לחבורת המנה G / N {\displaystyle G/N} אם ורק אם Z ⁡ ( G ) ≅ Z ⁡ ( G / N ) {\displaystyle \!\operatorname {Z} (G)\cong \!\operatorname {Z} (G/N)} . לכל שתי חבורות איזוקליניות G , H {\displaystyle G,H} יש כיסוי משותף ומעטפת משותפת, במובן הבא. יש חבורה M {\displaystyle M} , איזוקלינית ל- G , H {\displaystyle G,H} , כך ש- G , H {\displaystyle G,H} מנות של M {\displaystyle M} ; ויש חבורה N {\displaystyle N} , איזוקלינית ל- G , H {\displaystyle G,H} , כך ש- G , H {\displaystyle G,H} תת-חבורות של N {\displaystyle N} . אם G , H {\displaystyle G,H} סופיות, יש כיסוי משותף סופי ומעטפת משותפת סופית. בכל מחלקת איזוקליניות יש חבורה T {\displaystyle T} המקיימת T ′ ⊆ Z ⁡ ( T ) {\displaystyle T'\subseteq \!\operatorname {Z} (T)} (חבורה כזו נקראת חבורת גזע). יתרה מזו, אם G {\displaystyle G} נוצרת סופית ו- G ′ {\displaystyle G'} סופית, אז G {\displaystyle G} איזוקלינית לחבורת גזע סופית, ובמקרה זה חבורה איזוקלינית ל- G {\displaystyle G} היא בעלת סדר מינימלי (במחלקת האיזוקליניות) אם ורק אם היא חבורת גזע. נאמר שחבורה G {\displaystyle G} היא "מינימלית לתת-חבורות" אם אין לה תת-חבורה H {\displaystyle H} כך ש- G = H ⋅ Z ⁡ ( G ) {\displaystyle G=H\cdot \!\operatorname {Z} (G)} (אחרת, כפי שצוין לעיל, G {\displaystyle G} איזוקלינית לתת-החבורה הזו). כל חבורה מינימלית לתת-חבורות מקיימת Z ⁡ ( G ) ⊆ Φ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)\subseteq \Phi (G)} , כאשר Φ ( G ) {\displaystyle \Phi (G)} היא תת-חבורת פרטיני; ההפך נכון אם   Z ⁡ ( G ) / ( Z ⁡ ( G ) ∩ G ′ ) {\displaystyle \ \operatorname {Z} (G)/(\operatorname {Z} (G)\cap G')} נוצרת סופית. נאמר שחבורה G {\displaystyle G} היא "מינימלית למנות" אם אין לה תת-חבורה נורמלית N {\displaystyle N} כך ש- N ∩ G ′ = 1 {\displaystyle N\cap G'=1} (אחרת, כפי שצוין לעיל, G {\displaystyle G} איזוקלינית לחבורת המנה G / N {\displaystyle G/N} ). חבורה G {\displaystyle G} היא מינימלית למנות, אם ורק אם כל תת-חבורה נורמלית מינימלית שלה מוכלת ב- G ′ {\displaystyle G'} , ו- Z ⁡ ( G ) / ( Z ⁡ ( G ) ∩ G ′ ) {\displaystyle \operatorname {Z} (G)/(\operatorname {Z} (G)\cap G')} חבורה מפותלת. On the Structure of n-Isoclinism classes of Groups, H.S. Hekster, J Pure and Applied Algebra 40 (1986), 63--85.