השערת קתה

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידיאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe‏; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי. השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי): האידיאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידיאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי. השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות: הסכום של שני אידיאלים שמאליים ניליים הוא נילי. אם בחוג אין אידיאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידיאל נילי חד-צדדי. לכל חוג R {\displaystyle R} מתקיים N ( R ) = N ¯ ( R ) {\displaystyle N(R)={\overline {N}}(R)} , כאשר N ( R ) {\displaystyle N(R)} הוא סכום האידיאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו- N ¯ ( R ) {\displaystyle {\overline {N}}(R)} הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה). לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות M 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {M} _{2}(R)} נילי. לכל חוג נילי R {\displaystyle R} , חוג הפולינומים R [ x ] {\displaystyle R[x]} קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו). אם J ⁡ ( R [ x ] ) = 0 {\displaystyle \operatorname {J} (R[x])=0} אז N ¯ ( R ) = 0 {\displaystyle {\overline {N}}(R)=0} . אם R {\displaystyle R} חוג נילי אז R [ x ] {\displaystyle R[x]} איננו פרימיטיבי. השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידיאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג R {\displaystyle R} השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי. בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם R {\displaystyle R} נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל סמוקטונוביץ' 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של סמוקטונוביץ' 2000). הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני איברים x , y {\displaystyle x,y} תחת היחסים: x y = y , y x = x , x 2 = y 2 = 0 {\displaystyle xy=y,yx=x,x^{2}=y^{2}=0} , האיברים x {\displaystyle x} ו- y {\displaystyle y} יוצרים אידיאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי. השערת קתה מתקיימת בחוג R {\displaystyle R} אם לכל אידיאל נילי שמאלי L {\displaystyle L} , האידיאל הדו-צדדי L + L R {\displaystyle L+LR} הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות: בחוגים נתריים (לפי משפט הופקינס-לויצקי: בחוג נתרי, כל אידיאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי). בכל חוג עם זהויות N ¯ ( R ) = Nil ∗ ⁡ ( R ) {\displaystyle {\overline {N}}(R)=\operatorname {Nil} _{*}(R)} (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו Jac ⁡ ( R ) = Nil ∗ ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Jac} (R)=\operatorname {Nil} _{*}(R)} , משפט Razmyslov-Kemer-Braun). בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידיאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור): באלגברה אלגברית מעל שדה; באלגברה R {\displaystyle R} שממדה מעל F {\displaystyle F} קטן ממש מהעוצמה של F {\displaystyle F} ; בחוג R [ x ] {\displaystyle R[x]} אם R {\displaystyle R} היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה מעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית R {\displaystyle R} כך ש- J ⁡ ( R [ x ] ) = R [ x ] {\displaystyle \operatorname {J} (R[x])=R[x]} אינו נילי; סמוקטונוביץ', 2000). באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998). לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג R [ x ] {\displaystyle R[x]} הוא מהצורה I [ x ] {\displaystyle I[x]} כאשר I {\displaystyle I} אידיאל נילי. מכאן שאם R {\displaystyle R} הוא חוג שאין בו אידיאלים ניליים, אז J ⁡ ( R [ x ] ) = 0 {\displaystyle \operatorname {J} (R[x])=0} . On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170. The Concise Handbook of Algebra, C.18. A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73 McConnel and Robson, 13.2.6