פעולה טרנזיטיבית

בתורת החבורות, פעולה טרנזיטיבית היא סוג מיוחד של פעולה של חבורה על קבוצה. נניח שהחבורה G {\displaystyle G} פועלת על הקבוצה X {\displaystyle X} . אם לכל שתי נקודות x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} קיים איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} המעביר את x {\displaystyle x} ל- y {\displaystyle y} , אז הפעולה היא פעולה טרנזיטיבית. במקרים רבים לקבוצה X {\displaystyle X} יש מבנה נוסף (כגון אם X {\displaystyle X} הוא גרף או מרחב מטרי). מן העובדה שקיימת חבורה G {\displaystyle G} הפועלת על X {\displaystyle X} באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של X {\displaystyle X} דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- X {\displaystyle X} מרחב הומוגני (אם X {\displaystyle X} הוא גרף, הוא נקרא גרף טרנזיטיבי). פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה G x = { g ∈ G : g ( x ) = x } {\displaystyle G_{x}=\{g\in G:g(x)=x\}} . כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה X {\displaystyle X} איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של G {\displaystyle G} ) למרחב הקוסטים G / G x {\displaystyle G/G_{x}} . המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה פרימיטיבית. כאשר החבורה G {\displaystyle G} פועלת על קבוצה X {\displaystyle X} , היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X {\displaystyle X} עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X {\displaystyle X} . הפעולה מוגדרת לפי g ( x 1 , … , x k ) = ( g ( x 1 ) , … , g ( x k ) ) {\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{k})=(g(x_{1}),\dots ,g(x_{k}))} , כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה X k {\displaystyle X^{k}} את האלכסון המוכלל ומשאירים רק את הקבוצה X [ k ] {\displaystyle X^{[k]}} של הווקטורים באורך k {\displaystyle k} שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של G {\displaystyle G} , המכלילה את פעולתה על הרכיבים. אם G {\displaystyle G} פועלת באופן טרנזיטיבי על X [ k ] {\displaystyle X^{[k]}} , אז הפעולה שלה על X {\displaystyle X} היא פעולה k {\displaystyle k} -טרנזיטיבית. ניסוח אחר: G {\displaystyle G} פועלת k {\displaystyle k} -טרנזיטיבית על X {\displaystyle X} , אם לכל x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}} שונים זה מזה, ולכל y 1 , … , y k {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k}} שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר g ( x i ) = y i {\displaystyle g(x_{i})=y_{i}} . אם יש בחבורה איבר יחיד g {\displaystyle g} כנ"ל, אז הפעולה היא k {\displaystyle k} -טרנזיטיבית חדה. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד פרימיטיבית). לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית S n {\displaystyle S_{n}} על הקבוצה { 1 , … , n } {\displaystyle \{1,\dots ,n\}} היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של חבורת התמורות הזוגיות A n {\displaystyle A_{n}} על אותה קבוצה היא ( n − 2 {\displaystyle n-2} )-טרנזיטיבית (חדה). כאשר m < n − 1 {\displaystyle m<n-1} , הפעולה של S n {\displaystyle S_{n}} היא m {\displaystyle m} -טרנזיטיבית אבל אינה חדה. פעולה על קבוצה אינסופית נקראת טרנזיטיבית במידה רבה (highly transitive) אם היא k {\displaystyle k} -טרנזיטיבית לכל k {\displaystyle k} , ואוליגומורפית אם לכל k {\displaystyle k} יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל k {\displaystyle k} . יש ארבעה סוגים של פעולות טרנזיטיביות על קבוצה מסדר ראשוני. (1) החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות. (2) תת-חבורות של חבורת ההעתקות האפיניות   A G L 1 ( p ) {\displaystyle \ AGL_{1}(p)} המכילות את החבורה החיבורית של השדה. (3) תת-חבורות של החבורה הליניארית המוכללת   P Γ L n ( p ) {\displaystyle \ P\Gamma {}L_{n}(p)} המכילות את   P S L n ( p ) {\displaystyle \ PSL_{n}(p)} במקרים שבהם הסדר   ( p n − 1 ) / ( p − 1 ) {\displaystyle \ (p^{n}-1)/(p-1)} של המרחב הפרויקטיבי עליו פועלת החבורה הוא מספר ראשוני. (4) שלושה מקרים ספורדיים:   P S L 2 ( 11 ) {\displaystyle \ PSL_{2}(11)} בהצגה (לא סטנדרטית) מדרגה 11, וחבורות מתיו   M 11 {\displaystyle \ M_{11}} ו-   M 23 {\displaystyle \ M_{23}} . מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן S 4 , S 5 , A 6 {\displaystyle S_{4},S_{5},A_{6}} וחבורת מתיו M 11 {\displaystyle M_{11}} ; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן S 5 , S 6 , A 7 {\displaystyle S_{5},S_{6},A_{7}} וחבורת מתיו M 12 {\displaystyle M_{12}} , ושהחבורות היחידות הפועלות באופן k {\displaystyle k} -טרנזיטיבי חד, עבור k ≥ 6 {\displaystyle k\geq 6} , הן S k , S k + 1 , A k {\displaystyle S_{k},S_{k+1},A_{k}} . ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן PGL 2 ⁡ ( q ) {\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(q)} (לכל חזקת-ראשוני q {\displaystyle q} ), ו- M ( q ) {\displaystyle M(q)} (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); M ( q ) {\displaystyle M(q)} היא תת-חבורה של PGL 2 ⁡ ( q ) ⋅ ⟨ σ ⟩ {\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(q)\cdot \langle \sigma \rangle } המכילה את PSL 2 ⁡ ( q ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(q)} . כתוצאה ממיון החבורות הפשוטות הסופיות, ידוע היום שפרט לחבורות S n {\displaystyle S_{n}} ו- A n {\displaystyle A_{n}} , החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש חבורות מתיו (היינו: M 11 {\displaystyle M_{11}} ו- M 23 {\displaystyle M_{23}} הן 4-טרנזיטיביות, ו- M 12 {\displaystyle M_{12}} ו- M 24 {\displaystyle M_{24}} הן 5-טרנזיטיביות) . חבורת תמורות פעולה פרימיטיבית Permutation Groups, Peter J. Cameron, London Math. Soc., Cambridge Univ. Press; משפט 4.11