איטרציות יעקובי למציאת ערכים עצמיים

באנליזה נומרית, איטרציות יעקובי למציאת ערכים עצמיים, היא שיטה איטרטיבית הנותנת, בדיוק המבוקש, את הערכים העצמיים והוקטורים העצמיים של המטריצה A {\displaystyle A} , כאשר A {\displaystyle A} הרמיטית (או סימטרית). השיטה קרויה על שם המתמטיקאי יעקב יעקובי. הרעיון של השיטה הוא להצמיד בכל איטרציה את המטריצה במטריצה אוניטרית כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, ובכך ללכסן את המטריצה. תהי A {\displaystyle A} מטריצה הרמיטית: A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 . . . a 1 , n a 2 , 1 . . . a 2 , n : : ⋱ : a n , 1 . . . a n , n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&...&a_{1,n}\\a_{2,1}&&...&a_{2,n}\\:&:&\ddots &:\\a_{n,1}&&...&a_{n,n}\\\end{bmatrix}}} נסמן את המטריצה Q ( i , j ) {\displaystyle Q_{(i,j)}}  : (1) Q ( i , j ) = [ 1 0 . . . 0 0 1 . . . ⋱ : : : . . . cos ⁡ α . . . − sin ⁡ α . . . 0 : : ⋱ : . . . sin ⁡ α cos ⁡ α . . . : ⋱ : ⋱ 0 . . . 1 ] {\displaystyle Q_{(i,j)}={\begin{bmatrix}1&0&&&...&&&0\\0&1&&&...&&&\\&&\ddots &&:&&&\\:&:&...&\cos \alpha &...&-\sin \alpha &...&0\\:&:&&&\ddots &&&:\\&&...&\sin \alpha &&\cos \alpha &...&:\\&&\ddots &&:&&\ddots &\\0&&&&...&&&1\\\end{bmatrix}}} זאת אומרת, מטריצת היחידה ששורה ועמודה i {\displaystyle i} ו j {\displaystyle j} הוחלפו במטריצת סיבוב בזווית α {\displaystyle \alpha } (מטריצה כזו ידועה גם בשם סיבובי גיבנס (אנ') או סיבובי יעקובי (אנ') ) כאשר: cot ⁡ α = β ± β 2 + 1 {\displaystyle \cot \alpha =\beta \pm {\sqrt {\beta ^{2}+1}}} ו - β = a i i − a j j 2 a i j {\displaystyle \beta ={\frac {a_{ii}-a_{jj}}{2a_{ij}}}} או - s = 1 cot ⁡ α 2 + 1 {\displaystyle s={\frac {1}{\sqrt {\cot \alpha ^{2}+1}}}} c = s cot ⁡ α {\displaystyle c=s\cot \alpha } . אז ההצמדה של A {\displaystyle A} ב- Q ( i , j ) {\displaystyle Q_{(i,j)}} מקיימת: המטריצה Q ( i , j ) ∗ A Q ( i , j ) {\displaystyle Q_{(i,j)}^{*}AQ_{(i,j)}} הרמיטית. הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים של A {\displaystyle A} ושל Q ( i , j ) ∗ A Q ( i , j ) {\displaystyle Q_{(i,j)}^{*}AQ_{(i,j)}} זהים. האיברים ה- ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} וה- ( j , i ) {\displaystyle (j,i)} של Q ( i , j ) ∗ A Q ( i , j ) {\displaystyle Q_{(i,j)}^{*}AQ_{(i,j)}} הם 0. A 0 = A {\displaystyle A_{0}=A} k = 1 {\displaystyle k=1} U {\displaystyle U} מטריצת היחידה בגודל n. כל עוד סכום רבועי האיברים מחוץ לאלכסון גדול מהשגיאה המותרת בצע: → ( p , q ) {\displaystyle \rightarrow (p,q)} האינדקס של האיבר המקסימלי ב A k {\displaystyle A_{k}} . יהיה Q ( p , q ) {\displaystyle Q_{(p,q)}} כמו ב (1) נסמן A k = Q ( p , q ) ∗ A k − 1 Q ( p , q ) {\displaystyle A_{k}=Q_{(p,q)}^{*}A_{k-1}Q_{(p,q)}} U ← U Q ( p , q ) {\displaystyle U\leftarrow UQ_{(p,q)}} A k {\displaystyle A_{k}} היא מטריצה אלכסונית (עד כדי השגיאה המותרת) ו- U {\displaystyle U} מטריצה אוניטרית, כל ש- A = U ∗ A U {\displaystyle A=U^{*}AU} נוכיח למקרה הממשי, אך הוכחה למקרה המרוכב זהה. בשביל להוכיח התכנסות, מספיק להראות שהערך של הפונקציה: o f f ( A k ) = ∑ i ≠ j ( a i j k ) 2 {\displaystyle \mathrm {off} (A_{k})=\sum _{i\neq j}(a_{ij}^{k})^{2}} קטן בכל איטרציה. נשים לב שמכך שנורמת פרובניוס (אנ') (שאותה נסמן ב ‖ ⋅ ‖ F {\displaystyle \|\cdot \|_{F}} ) נשמרת כשמצמידים במטריצה אורתוגונלית נובע ש- a p p k 2 + a q q k 2 = a p p k 2 + a q q k 2 + 2 a p q k 2 = a p p k − 1 2 + a q q k − 1 2 + 2 a p q k − 1 2 {\displaystyle {a_{pp}^{k}}^{2}+{a_{qq}^{k}}^{2}={a_{pp}^{k}}^{2}+{a_{qq}^{k}}^{2}+2{a_{pq}^{k}}^{2}={a_{pp}^{k-1}}^{2}+{a_{qq}^{k-1}}^{2}+2{a_{pq}^{k-1}}^{2}} נחסום את o f f ( A k ) {\displaystyle \mathrm {off} (A_{k})} : o f f ( A k ) = ∑ i ≠ j ( a i j k ) 2 = ‖ A k ‖ F − ∑ i a i i k 2 = ‖ A k − 1 ‖ F − ∑ i a i i k 2 = ‖ A k − 1 ‖ F − ∑ i ≠ p , q a i i k − 1 2 + a p p k 2 + a q q k 2 = o f f ( A k − 1 ) − 2 a p q k 2 {\displaystyle \mathrm {off} (A_{k})=\sum _{i\neq j}(a_{ij}^{k})^{2}=\|A_{k}\|_{F}-\sum _{i}{a_{ii}^{k}}^{2}=\|A_{k-1}\|_{F}-\sum _{i}{a_{ii}^{k}}^{2}=\|A_{k-1}\|_{F}-\sum _{i\neq p,q}{a_{ii}^{k-1}}^{2}+{a_{pp}^{k}}^{2}+{a_{qq}^{k}}^{2}=\mathrm {off} (A_{k-1})-2{a_{pq}^{k}}^{2}} הראינו שבכל איטרציה, הפונקציה o f f ( A k ) {\displaystyle \mathrm {off} (A_{k})} קטנה במספר חיובי, ולכן האיטרציות מתכנסות. שיטת החזקה (אנ') ושיטת החזקה ההפוכה (אנ') אלגוריתם QR (אנ') המבוסס על פירוק QR