סכום ישר

סכום ישר (סימון: ⊕) הוא אובייקט מתמטי המורכב מכמה אובייקטים מאותו סוג ללא "הפרעות" הדדיות ביניהם. אפשר להגדיר סכום ישר של מבנים אלגבריים כמו מרחבים וקטוריים או מודולים, אבל גם של מטריצות, גרפים, קבוצות סדורות או מרחבים טופולוגיים. אם A = B ⊕ C {\displaystyle A=B\oplus C} , אומרים ש- A {\displaystyle A} הוא סכום ישר של B {\displaystyle B} ו- C {\displaystyle C} , ואילו B , C {\displaystyle B,C} הם מחוברים ישרים של A {\displaystyle A} . הסכום הישר של שני אובייקטים מורכב, כקבוצה, מן הזוגות הסדורים שאפשר לבנות מהם, ולכן הוא שווה למכפלה הישרה שלהם; כך גם בכל מספר סופי של מבנים. לעומת זאת, כאשר מטפלים במספר מבנים אינסופי, הסכום הישר מוכל במכפלה הישרה, והוא כולל רק את הווקטורים שכמעט כל אבריהם אפס. הסכום הישר מאפשר לטפל במספר כלשהו של אובייקטים בבת-אחת. אפשר להבחין בין בנייה "חיצונית" של סכום ישר, המשלבת מבנים נתונים למבנה אחד גדול, לבין בנייה "פנימית", המזהה שמבנה נתון מורכב מתת-מבנים שלו. ההבדל פורמלי בלבד, משום שבשתי הדרכים מקבלים מבנים איזומורפיים. בתורת הקטגוריות, המכפלה הישרה של אובייקטים A i {\displaystyle A_{i}} בקטגוריה, היא אובייקט B = ∏ A i {\displaystyle B=\prod A_{i}} , עם מורפיזמים ("היטלים") π i : B → A i {\displaystyle \pi _{i}{:}B\rightarrow A_{i}} , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט C {\displaystyle C} בקטגוריה עם מורפיזמים f i : C → A i {\displaystyle f_{i}{:}C\rightarrow A_{i}} , קיים מורפיזם יחיד f : C → B {\displaystyle f{:}C\rightarrow B} כך ש- f i = π i f {\displaystyle f_{i}=\pi _{i}f} . הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים A i {\displaystyle A_{i}} , הוא אובייקט B = ∐ A i {\displaystyle B=\coprod A_{i}} , עם מורפיזמים ι i : A i → B {\displaystyle \iota _{i}{:}A_{i}\rightarrow B} , המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט C {\displaystyle C} בקטגוריה עם מורפיזמים f i : A i → C {\displaystyle f_{i}{:}A_{i}\rightarrow C} , קיים מורפיזם יחיד f : B → C {\displaystyle f{:}B\rightarrow C} כך ש- f i = f ι i {\displaystyle f_{i}=f\iota _{i}} . אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם. אם V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה F {\displaystyle F} , הסכום הישר שלהם הוא מרחב וקטורי חדש, V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} , שאבריו הם ה ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} (כאשר v ∈ V , w ∈ W {\displaystyle v\in V,w\in W} ), עם פעולות החיבור והכפל בסקלר לפי רכיבים: ( v 1 , w 1 ) + ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , w 1 + w 2 ) {\displaystyle (v_{1},w_{1})+(v_{2},w_{2})=(v_{1}+v_{2},w_{1}+w_{2})} , ו- α ( v , w ) = ( α v , α w ) {\displaystyle \alpha (v,w)=(\alpha v,\alpha w)} . התוצאה היא מרחב וקטורי שממדו הוא סכום הממדים של V {\displaystyle V} ושל W {\displaystyle W} . המרחב החדש מכיל את שני המרחבים { ( v , 0 ) : v ∈ V } , { ( 0 , w ) : w ∈ W } {\displaystyle \{(v,0):v\in V\},\{(0,w):w\in W\}} , וכל וקטור שלו אפשר להציג באופן יחיד כסכום של וקטור מן הסוג הראשון ווקטור מן הסוג השני. תכונות אלה מציעות הגדרה של סכום ישר פנימי: אם V {\displaystyle V} הוא מרחב וקטורי, עם תת-מרחבים U 1 , . . . , U n {\displaystyle U_{1},...,U_{n}} , וכל וקטור v ∈ V {\displaystyle v\in V} ניתן להצגה כסכום v = ∑ i = 1 n u i {\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}{u_{i}}} , כאשר u i ∈ U i {\displaystyle u_{i}\in U_{i}} , אז אומרים ש- V {\displaystyle V} הוא סכום של U 1 , . . . , U n {\displaystyle U_{1},...,U_{n}} , וכותבים V = U 1 + . . . + U n {\displaystyle V=U_{1}+...+U_{n}} . אם הצגה כזו היא תמיד יחידה, אז הסכום הוא סכום ישר, אותו מסמנים ב- V = U 1 ⊕ . . . ⊕ U n {\displaystyle V=U_{1}\oplus ...\oplus U_{n}} . בהינתן ש- V = U 1 + . . . + U n {\displaystyle V=U_{1}+...+U_{n}} , הטענה שלכל וקטור יש הצגה יחידה כאמור, שקולה לכך שההצגה היחידה של 0 היא 0 = 0 + . . . + 0 {\displaystyle 0=0+...+0} , וכן שקולה לכך שהחיתוך של כל מרחב U i {\displaystyle U_{i}} עם ∑ j = 1 n U j {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{U_{j}}} (כאשר i ≠ j {\displaystyle i\neq j} ) מכיל רק את וקטור ה-0. אפיון שקול לסכום ישר הוא אם הבסיסים של U 1 , . . . , U n {\displaystyle U_{1},...,U_{n}} זרים בזוגות, והאיחוד שלהם מהווה בסיס למרחב V {\displaystyle V} . מכיוון שהמרחבים V , W {\displaystyle V,W} איזומורפיים לתת-המרחבים { ( v , 0 ) } {\displaystyle \{(v,0)\}} ו- { ( 0 , w ) } {\displaystyle \{(0,w)\}} , בהתאמה, הסכום הישר ה"חיצוני" הוא גם סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים, V ⊕ W = ( V ⊕ 0 ) + ( 0 ⊕ W ) {\displaystyle V\oplus W=(V\oplus 0)+(0\oplus W)} , ולהפך. הסכום הישר של מרחבי מכפלה פנימית U , V {\displaystyle U,V} הוא המרחב הווקטורי U ⊕ V {\displaystyle U\oplus V} שהוגדר לעיל, עם המכפלה הפנימית ⟨ u 1 ⊕ v 1 , u 2 ⊕ v 2 ⟩ ≡ ⟨ u 1 , u 2 ⟩ + ⟨ v 1 , v 2 ⟩ {\displaystyle \langle u_{1}\oplus v_{1},u_{2}\oplus v_{2}\rangle \equiv \langle u_{1},u_{2}\rangle +\langle v_{1},v_{2}\rangle } . באופן זה תת-המרחבים U ⊕ 0 {\displaystyle U\oplus 0} ו- 0 ⊕ V {\displaystyle 0\oplus V} מאונכים זה לזה, וכך מתקיים משפט פיתגורס: ריבוע הנורמה של u + v {\displaystyle u+v} שווה לסכום ריבועי הנורמות של u {\displaystyle u} ושל v {\displaystyle v} (כאשר u ∈ U , v ∈ V {\displaystyle u\in U,v\in V} ). תכונה זו מכלילה את הסכום הישר של תבניות ריבועיות. ההגדרה מכבדת גם את המבנה הטופולוגי של המרחבים הווקטוריים (המושרה על ידי הנורמה): סדרה { u n + v n } {\displaystyle \{u_{n}+v_{n}\}} מתכנסת לגבול u + v {\displaystyle u+v} אם ורק אם שתי סדרות הרכיבים מתכנסות ל- u {\displaystyle u} ו- v {\displaystyle v} , בהתאמה. בפרט, סכום ישר של שני מרחבי הילברט הוא מרחב הילברט. במקרה המיוחד של R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} או C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} , המכפלה הפנימית הסטנדרטית מתקבלת מחיבור חוזר של המכפלות הפנימיות הטבעיות על R {\displaystyle \mathbb {R} } או C {\displaystyle \mathbb {C} } ( ⟨ a , b ⟩ = a b {\displaystyle \langle a,b\rangle =ab} במקרה הראשון, ⟨ a , b ⟩ = a b ¯ {\displaystyle \langle a,b\rangle =a{\bar {b}}} בשני). הסכום הישר של מרחבים וקטוריים הוא מקרה פרטי של סכום ישר של מודולים. נניח ש- M , N {\displaystyle M,N} הם מודולים שמאליים מעל חוג R {\displaystyle R} . אפשר להגדיר את המודול M ⊕ N {\displaystyle \,M\oplus N} , כקבוצה הכוללת את כל הזוגות ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} (עם m ∈ M , n ∈ N {\displaystyle m\in M,n\in N} ), והפעולות לפי רכיבים כבמקרה של מרחבים וקטוריים. גם כאן אפשר להגדיר סכום ישר פנימי, המתלכד עם הסכום הישר החיצוני. סכום ישר של עותקים של החוג (כמודול מעל עצמו) נקרא מודול חופשי. מודול M {\displaystyle M} הוא חופשי אם ורק אם יש לו בסיס, כלומר קבוצת איברים e 1 , … , e n {\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}} כך שכל איבר אפשר להציג באופן יחיד כצירוף ליניארי r 1 e 1 + ⋯ + r n e n {\displaystyle r_{1}e_{1}+\cdots +r_{n}e_{n}} עבור r 1 , … , r n ∈ R {\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}\in R} . אפשר לראות כל אלגברה (בין אם היא אסוציאטיבית ובין אם לאו) כמודול מעל חוג עם מכפלה ביליניארית. לכן, עבור שתי אלגברות A , B {\displaystyle A,B} מעל אותו חוג . R {\displaystyle .R} נגדיר את A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} באותו אופן שהגדרנו את הסכום עבור שני מודולים, ואת המכפלה ( a 1 , a 2 ∈ A , b 1 , b 2 ∈ B {\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B} ) על ידי ( a 1 ⊕ b 1 ) ⋆ ( a 2 ⊕ b 2 ) ≡ ( a 1 ⋆ a 2 ) ⊕ ( b 1 ⋆ b 2 ) {\displaystyle (a_{1}\oplus b_{1})\star (a_{2}\oplus b_{2})\equiv (a_{1}\star a_{2})\oplus (b_{1}\star b_{2})} . אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הן שתי מטריצות ריבועיות בגודל n {\displaystyle n} ו- m {\displaystyle m} בהתאמה, אז הסכום הישר A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} הוא המטריצה ( A 0 0 B ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}A&0\\0&B\end{matrix}}\right)} , בגודל n + m {\displaystyle n+m} . אם V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} הם מרחבים וקטוריים ו- A , B {\displaystyle A,B} המטריצות המייצגות של העתקות T : V → V {\displaystyle T{:}V\rightarrow V} ו- S : W → W {\displaystyle S{:}W\rightarrow W} בהתאמה (ביחס לבסיסים B V {\displaystyle B_{V}} ו- B W {\displaystyle B_{W}} ), אז A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} היא המטריצה המייצגת של ההעתקה ( T , S ) : V ⊕ W → V ⊕ W {\displaystyle (T,S){:}V\oplus W\rightarrow V\oplus W} המוגדרת לפי ( T , S ) ( v , w ) = ( T ( v ) , S ( w ) ) {\displaystyle (T,S)(v,w)=(T(v),S(w))} (ביחס לבסיס B V ∪ B W {\displaystyle B_{V}\cup B_{W}} ). הסכום הישר מקיים ( A ⊕ B ) + ( A ′ ⊕ B ′ ) = ( A + A ′ ) ⊕ ( B + B ′ ) {\displaystyle (A\oplus B)+(A'\oplus B')=(A+A')\oplus (B+B')} ו- ( A ⊕ B ) ( A ′ ⊕ B ′ ) = A A ′ ⊕ B B ′ {\displaystyle (A\oplus B)(A'\oplus B')=AA'\oplus BB'} . מכפלה קרטזית מכפלה ישרה מכפלה טנזורית סכום ישר, באתר MathWorld (באנגלית)