מונה על-קומפקטי

בתורת הקבוצות, מונה על-קומפקטי הוא סוג מסוים של מונה גדול. מונה κ {\displaystyle \kappa } נקרא λ {\displaystyle \lambda } -על-קומפקטי, אם קיים שיכון אלמנטרי j : V → M {\displaystyle j\colon V\to M} , כש- M {\displaystyle M} מחלקה טרנזיטיבית של V {\displaystyle V} , כך ש- crit ( j ) = κ {\displaystyle {\mbox{crit}}(j)=\kappa } , j ( κ ) > λ {\displaystyle j(\kappa )>\lambda } ו- λ M ⊆ M {\displaystyle {^{\lambda }}M\subseteq M} . מונה על-קומפקטי הוא מונה κ {\displaystyle \kappa } שהוא λ {\displaystyle \lambda } -על-קומפקטי לכל λ {\displaystyle \lambda } . קיימת הגדרה שקולה, שניתנת להבעה בלוגיקה מסדר ראשון. עבור λ ≥ κ {\displaystyle \lambda \geq \kappa } , κ {\displaystyle \kappa } הוא λ {\displaystyle \lambda } -על-קומפקטי אם ורק אם קיימת מידה עדינה ונורמלית על הקבוצה P κ ( λ ) = { A ⊆ λ   :   | A | < κ } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )=\{A\subseteq \lambda \ \colon \ |A|<\kappa \}} . מידה כזו היא על-מסנן U {\displaystyle U} על P κ ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )} המקיים: U {\displaystyle U} הוא κ {\displaystyle \kappa } -שלם: כלומר, U {\displaystyle U} סגור לחיתוך של פחות מ- κ {\displaystyle \kappa } קבוצות. U {\displaystyle U} עדין: כלומר, לכל α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda } , הקבוצה α ˇ = { A ∈ P κ ( λ ) : α ∈ A } {\displaystyle {\check {\alpha }}=\{A\in {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\colon \alpha \in A\}} שייכת ל- U {\displaystyle U} . U {\displaystyle U} נורמלי: כלומר U {\displaystyle U} עדין, ומקיים בנוסף את התכונה הבאה: לכל פונקציה f : P κ ( λ ) → λ {\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\to \lambda } , אם { x ∈ P κ ( λ ) : f ( x ) ∈ x } ∈ U {\displaystyle \{x\in {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\colon f(x)\in x\}\in U} אז קיימת קבוצה A ∈ U {\displaystyle A\in U} עליה f {\displaystyle f} קבועה. שתי ההגדרות שקולות. אם יש שיכון אלמנטרי j : V → M {\displaystyle j\colon V\to M} המעיד על כך ש- κ {\displaystyle \kappa } הוא λ {\displaystyle \lambda } -על-קומפקטי, אז ניתן להגדיר מידה עדינה ונורמלית על P κ ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )} באופן הבא: U = { A ∈ P κ ( λ ) : j ″ λ ∈ j ( A ) } {\displaystyle U=\{A\in {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )\colon j''\lambda \in j(A)\}} . מנגד, אם U {\displaystyle U} מידה עדינה ונורמלית על P κ ( λ ) {\displaystyle {\mathcal {P}}_{\kappa }(\lambda )} , אז שיכון העל חזקה המתאים מעיד על כך ש- κ {\displaystyle \kappa } הוא λ {\displaystyle \lambda } -על-קומפקטי. אם κ {\displaystyle \kappa } מונה על-קומפקטי, אז קיימים עליו 2 2 κ {\displaystyle 2^{2^{\kappa }}} על-מסננים נורמליים (זו הכמות המרבית). למונים על-קומפקטיים יש תכונות השתקפות חזקות. למשל, אם השערת הרצף המוכללת (GCH) נכונה עד למונה על-קומפקטי κ {\displaystyle \kappa } , אז היא נכונה בכל מקום. כמו כן, כל מונה על-קומפקטי κ {\displaystyle \kappa } הוא גבול של מונים מדידים (יתרה מכך, קבוצת המונים המדידים מתחתיו היא קבוצה שבת). כל מונה על-קומפקטי הוא קומפקטי-חזק. רוברט סולוביי שיער שההפך גם נכון, כלומר כל מונה קומפקטי-חזק הוא על-קומפקטי. אף על פי שטענה זו עקבית מתוך קיום מונה על-קומפקטי, מתברר שאינה בהכרח נכונה: Menas הוכיח שגבול מדיד של מונים קומפקטיים חזקים הוא קומפקטי חזק. מכאן נובע שהמונה הראשון שהוא גבול מדיד של קומפקטיים חזקים, (אם קיים), הוא מונה קומפקטי חזק שאינו על-קומפקטי. השיטה של Menas לא מאפשרת לשלול את היותו של המונה הקומפקטי-חזק הראשון על-קומפקטי. מנחם מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא המונה המדיד הראשון (ולכן אינו על-קומפקטי). כמו כן, מגידור הוכיח כי עקבי שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא העל-קומפקטי הראשון. אקסיומת העל-חזקה גוררת שהמונה הקומפקטי-חזק הראשון הוא על-קומפקטי; יחד עם זאת, לא ידוע עדיין האם אקסיומת העל-חזקה עקבית עם קיומם של מונים קומפקטים-חזקים. כיום עדיין לא ידוע אם חוזק ההתיישבות של מונים קומפקטיים-חזקים ומונים על-קומפקטיים זהה.