מערכת פרויקטיבית

מערכת פרויקטיבית בקטגוריה מסוימת היא אוסף עצמים באותה קטגוריה (קבוצות, חבורות או חוגים למשל) המקיימים ביניהם קשר של הטלות (אפשר להטיל איבר במקום גבוה יותר ולקבל איבר במקום נמוך יותר) ותכונות מסוימות. לקבוצת כל ה"סדרות" של איברים מאוסף העצמים, המקיימים את תכונת ההטלה, קוראים "הגבול ההפוך" של המערכת הפרויקטיבית. למערכות פרויקטיביות (וגבולות הפוכים בפרט) יש שימוש בתורת המספרים, למשל: חוג המספרים ה-p-אדיים הוא גבול הפוך של חוגי שלמים מודולו p n {\displaystyle p^{n}} . קבוצה מכוונת (directed set) היא קבוצה שמוגדר עליה סדר חלקי ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} , ומקיימת: לכל שני אינדקסים i ו-j קיים אינדקס שלישי k כך ש- i ≤ k ,   j ≤ k {\displaystyle i\leq k,\ j\leq k} . מערכת פרויקטיבית של קבוצות, חבורות או חוגים (נקרא להם עצמים) היא אוסף של עצמים ( X i ) i ∈ I {\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}} בקטגוריה המתאימה בעלת קבוצת אינדקסים שהיא קבוצה מכוונת, ביחד עם פונקציות הטלה π i j : X j → X i {\displaystyle \pi _{ij}:X_{j}\to X_{i}} המהוות מורפיזמים בקטגוריה המתאימה, שמקיימות את התכונות הבאות: זהות עצמית: π i i = i d X i {\displaystyle \pi _{ii}=\mathrm {id} _{X_{i}}} , הטלה של עצם על עצמו היא הזהות. הרכבה טרנזיטיבית: לכל i , j , k ∈ I {\displaystyle i,j,k\in I} שמקיימים i ≤ j ≤ k {\displaystyle i\leq j\leq k} מתקיים π i j ∘ π j k = π i k {\displaystyle \pi _{ij}\circ \pi _{jk}=\pi _{ik}} , כלומר: להטיל את X k {\displaystyle X_{k}} על X i {\displaystyle X_{i}} שקול להטלת X k {\displaystyle X_{k}} על X j {\displaystyle X_{j}} ומשם להטיל על X i {\displaystyle X_{i}} באמצעות ההטלה מ- X j {\displaystyle X_{j}} ל- X i {\displaystyle X_{i}} . הגבול ההפוך (inverse limit) lim ⟵ X i {\displaystyle \lim _{\longleftarrow }X_{i}} של מערכת פרויקטיבית בקטגוריה מסוימת היא עצם באותה קטגוריה הכולל את כל ה"סדרות" שבהן ההטלות מקיימות את התכונה הבאה: π i j ( x j ) = x i {\displaystyle \pi _{ij}(x_{j})=x_{i}} לכל i ≤ j {\displaystyle i\leq j} . בנוסחה lim ⟵ X i = { ( x i ) i ∈ I ∈ ∏ i ∈ I X i   |   ∀ i ≤ j : π i j ( x j ) = x i } {\displaystyle \lim _{\longleftarrow }X_{i}=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}X_{i}\ |\ \forall i\leq j:\pi _{ij}(x_{j})=x_{i}\right\}} . אם הקבוצה המכוונת היא I = N = { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle I=\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}} את איברי הגבול ההפוך אפשר לרשום בצורה x = ( x n ) n ∈ N = ( x n ) n = 1 ∞ = ( . . . , x n , . . . , x 2 , x 1 ) {\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(x_{n})_{n=1}^{\infty }=(...,x_{n},...,x_{2},x_{1})} . חוג המספרים ה-p-אדיים הוא גבול הפוך של ( Z / p n Z ) n = 1 ∞ {\displaystyle \left(\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \right)_{n=1}^{\infty }} (חוגי השלמים מודולו p n {\displaystyle p^{n}} ), כלומר: Z p = lim ⟵ ( Z / p n Z ) {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\lim _{\longleftarrow }(\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} )} . כאן ההטלות הן π n m : Z / p m Z → Z / p n Z {\displaystyle \pi _{nm}:\mathbb {Z} /p^{m}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } המוגדרות על ידי x n = π n m ( x m ) = x m mod p n {\displaystyle x_{n}=\pi _{nm}(x_{m})=x_{m}{\bmod {p}}^{n}} (במילים אחרות: x + p m Z ↦ x + p n Z {\displaystyle x+p^{m}\mathbb {Z} \mapsto x+p^{n}\mathbb {Z} } ) לכל m ≥ n {\displaystyle m\geq n} . חבורה פרו-סופית היא חבורה שמתקבלת על ידי גבול הפוך של חבורות סופיות. ההשלמה הפרו-פיניטית של חוג השלמים: Z ^ = lim ← Z / n Z {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}=\lim _{\leftarrow }\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } . ממשפט השאריות הסיני נובע ש- Z ^ ≅ ∏ p Z p {\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}} . חבורה פרו-p היא חבורה שמתקבלת על ידי גבול הפוך של חבורות p. Gregory Berhuy, Introduction to Galois Cohomology and its Applications, The London Mathematical Society. מערכת מכוונת