זהות קפלי

בתורת החוגים, זהות קפלי היא הזהות c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} , כאשר c n = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) x σ ( 1 ) y 1 x σ ( 2 ) y 2 ⋯ x σ ( n ) y n {\displaystyle c_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}y_{1}x_{\sigma (2)}y_{2}\cdots x_{\sigma (n)}y_{n}} הוא פולינום קפלי ב- 2 n {\displaystyle 2n} משתנים. כל אלגברה מממד קטן מ- n {\displaystyle n} מקיימת את הזהות c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} . התפקיד המרכזי של זהויות קפלי בתורת החוגים עם זהויות ("חוגי-PI") נובע מכך שכל אלגברת PI אפינית מקיימת זהות קפלי כלשהי; ובנוכחות זהות קפלי c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} , כל זהות שקולה למסקנות שלה בפחות מ- n {\displaystyle n} משתנים. הזהות c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} נובעת מן הזהות c n − 1 = 0 {\displaystyle c_{n-1}=0} , כך שהתנאי c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} הולך ונעשה חלש כאשר n {\displaystyle n} גדל. באלגברה עם יחידה c 1 ≠ 0 {\displaystyle c_{1}\neq 0} , ו- c 2 = 0 {\displaystyle c_{2}=0} אם ורק אם האלגברה קומוטטיבית. פולינום f {\displaystyle f} נקרא n {\displaystyle n} -מתחלף אם לכל 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle 1\leq i,j\leq n} מתקיים f ( . . . , x i , . . . , x j , . . . ) = − f ( . . . , x j , . . . , x i , . . . ) {\displaystyle f(...,x_{i},...,x_{j},...)=-f(...,x_{j},...,x_{i},...)} . פולינום קפלי ה- n {\displaystyle n} -י הוא n {\displaystyle n} -מתחלף; וכזהות, הוא הפולינום ה- n {\displaystyle n} -מתחלף הכללי ביותר: c n = 0 {\displaystyle c_{n}=0} היא זהות של האלגברה A {\displaystyle A} , אם ורק אם כל פולינום n {\displaystyle n} -מתחלף הוא זהות של A {\displaystyle A} . לדוגמה, את הזהות הסטנדרטית s n = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) x σ ( 1 ) ⋯ x σ ( n ) {\displaystyle s_{n}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}} אפשר להסיק מהזהות c n {\displaystyle c_{n}} על ידי ההצבה y i ↦ 1 {\displaystyle y_{i}\mapsto 1} (והיא אכן n-מתחלפת). אלגברת המטריצות M n ( F ) {\displaystyle M_{n}(F)} (מעל שדה F {\displaystyle F} ) מקיימת את זהות קפלי c n 2 + 1 {\displaystyle c_{n^{2}+1}} , אבל לא את הזהות c n 2 {\displaystyle c_{n^{2}}} . האלגברה M n ( R ) {\displaystyle M_{n}(R)} מקיימת את c n 2 + 1 {\displaystyle c_{n^{2}+1}} אם ורק אם R {\displaystyle R} קומוטטיבי. אם A {\displaystyle A} אלגברה מעל שדה F {\displaystyle F} ממאפיין 0, אפשר ללמוד את תורת ההצגות שלה בעזרת מרחב הקו-קרקטרים   χ n ( A ) = V n / ( V n ∩ id ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \ \chi _{n}(A)=V_{n}/(V_{n}\cap \operatorname {id} (A))} (כאשר   V n {\displaystyle \ V_{n}} הוא מרחב הפולינומים המולטילינאריים במשתנים   x 1 , … , x n {\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{n}} ), שהם מודולים מעל החבורות הסימטריות   S n {\displaystyle \ S_{n}} על ידי פעולת ההצבה. תורת ההצגות של החבורה הסימטרית ממיינת את ההצגות האי-פריקות האלה, ומאפשרת להוכיח את המשפט הבא: אלגברה A {\displaystyle A} מקיימת את זהות קפלי c m {\displaystyle c_{m}} אם ורק אם דיאגרמת יאנג של כל תת-הצגה אי-פריקה של   χ n ( A ) {\displaystyle \ \chi _{n}(A)} היא בעלת פחות מ-m שורות. קמר הוכיח שבמאפיין חיובי, כל אלגברת-PI מקיימת זהות קפלי. הוא הראה גם שבמאפיין 0, כל אלגברת-PI אפינית מקיימת זהות כזו. אלגברת גרסמן היא דוגמה לאלגברה לא אפינית, במאפיין 0, שאינה מקיימת אף זהות קפלי. במאפיין 0, לכל n {\displaystyle n} קיימת זהות קפלי c m {\displaystyle c_{m}} הנובעת מן הזהות הסטנדרטית s n {\displaystyle s_{n}} . אלגברה אפינית מעל שדה מקיימת זהות קפלי (כלשהי) אם ורק אם הרדיקל שלה הוא נילפוטנטי. עובדה זו מוליכה לאחד המשפטים החשובים בתורת הזהויות, משפט רזמיסלוב-קמר-בראון, שלפיו הרדיקל של כל אלגברת-PI אפינית הוא נילפוטנטי. Belov and Rowen, Computational Aspects of PIs, Theorem 6.8.2