מטריצה אנטי-סימטרית

במתמטיקה, במיוחד באלגברה ליניארית, מטריצה אנטי-סימטרית (באנגלית: Anti-Symmetric Matrix או Skew-Symmetric Matrix) היא מטריצה ריבועית שהשחלוף שלה שווה לשלילה שלה. כלומר, הוא מקיים את התנאי: A ⊤ = − A {\displaystyle A^{\top }=-A} במונחי הרכיבים של המטריצה, אם a i j {\textstyle a_{ij}} מציין את הערך בשורה ה־ i {\textstyle i} ובעמודה ה־ j {\textstyle j} , אז תנאי האנטי-סימטריות שווה ערך ל־ ∀ i , j : a j i = − a i j {\displaystyle \forall i,j:a_{ji}=-a_{ij}} אוסף המטריצות האנטי-סימטריות הוא מרחב וקטורי. בפרט, הסכום של שתי מטריצות אנטי סימטריות הוא מטריצה אנטי סימטרית, וכל כפולה בסקלר של מטריצה אנטי סימטרית היא מטריצה אנטי סימטרית. כאשר השדה ממאפיין שונה מ-2: הממד של מרחב המטריצות האנטי סימטריות הוא n ( n − 1 ) / 2 {\displaystyle n(n-1)/2} . הרכיבים באלכסון הראשי של מטריצה אנטי סימטרית הם כולם אפס, ובפרט העקבה שלה שווה לאפס. הערכים העצמיים של מטריצה ממשית אנטי-סימטרית הם מספרים מרוכבים טהורים (כלומר, כפולות ממשיות של היחידה המרוכבת i). בפרט, אם A {\textstyle A} היא מטריצה אנטי סימטרית ממשית I + A {\textstyle I+A} היא מטריצה הפיכה, כאשר I {\textstyle I} היא מטריצת היחידה. אם A {\textstyle A} היא מטריצה אנטי סימטרית A 2 {\textstyle A^{2}} היא מטריצה סימטרית שלילית (negative indefinite). מעל שדה ממאפיין 2, אין הבדל בין מטריצות אנטי-סימטריות למטריצות סימטריות. ניתן להשתמש במטריצות אנטי סימטריות של שלוש על שלוש כדי לייצג פעולת מכפלה וקטורית ככפל מטריצות. בהינתן וקטורים a = ( a 1   a 2   a 3 ) ⊤ {\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\top }} ו- b = ( b 1   b 2   b 3 ) ⊤ {\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\top }} , מוגדרת המטריצה: [ a ] × = [ 0 − a 3 a 2 a 3 0 − a 1 − a 2 a 1 0 ] {\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}} ניתן לכתוב את פעולת המכפלה הווקטורית בתור a × b = [ a ] × b {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} } ניתן לאמת זאת בקלות על ידי חישוב שני הצדדים של המשוואה הקודמת והשוואה של כל רכיב תואם של התוצאות. בהינתן ϕ → {\displaystyle {\vec {\phi }}} , וקטור סיבוב, מטריצת הסיבוב R {\displaystyle R} המתאימה תהיה: R = e − [ ϕ ] x {\displaystyle R=e^{-[\phi ]_{x}}} ערך זה עוסק במטריצות שהן אנטי-סימטריות ביחס לפעולת השחלוף. באופן דומה מגדירים איברים אנטי-סימטריים ביחס לאינוולוציה הסימפלקטית של מטריצות, או לכל אינוולוציה אחרת. מטריצה סימטרית Eves, Howard (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63946-8. Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 34: 1–5. doi:10.1017/S0950184300000070. עליזה מלק - קורס אלגברה לינארית - מטריצה אנטי סימטרית, סרטון בערוץ "הטכניון", באתר יוטיוב "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld. Benner, Peter; Kressner, Daniel. "HAPACK – Software for (Skew-)Hamiltonian Eigenvalue Problems". Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3): 286. doi:10.1145/355791.355799. Fortran Fortran90 מטריצה אנטי-סימטרית, באתר MathWorld (באנגלית) Richard A. Reyment; K. G. Jöreskog; Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. p. 68. ISBN 0-521-57556-7. התרגום המילולי לשם Skew-Symmetric Matrix לא נמצא בשימוש בעברית. Lipschutz, Seymour; Lipson, Marc, Schaum's Outline of Theory and Problems of Linear Algebra, McGraw-Hill. ., ספטמבר 2005, עמ' 38 F.Landis Markley, John L Crassidis, Fundamentals of Spacecraft Attitude Determination and Control, עמ' 45