זמן עצירה

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים מקריים, זמן עצירה או כלל עצירה הוא משתנה מקרי המשויך לתהליך מקרי נתון, שערכו בכל שלב בתהליך נקבע אך ורק לפי ההיסטוריה של התהליך ולא לפי העתיד. הסיבה לשימוש במונח "זמן עצירה", היא שמשתנים מקריים מסוג זה לרוב מתארים מכניזם של הכרעה מתי לעצור תהליך מקרי בהסתמך על מידע נתון. כך למשל מהמר בקזינו המבצע סדרה של הימורים, יכול להחליט מראש על כלל לפיו הוא יפרוש מהמשחק בפעם הראשונה שהרווח שלו יגיע לסכום מסוים. בכל שלב בהימור, השאלה האם לפרוש מהמשחק או לא היא משתנה מקרי המהווה "זמן עצירה", שכן השאלה כמה הרווח עד עתה לא דורשת כל מידע מהעתיד אלא נקבעת בהתאם למידע שבידי המהמר כעת. גרסה ראשונה: יהי X 1 , X 2 , X 3 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots } תהליך מקרי במרחב מדיד ( X , F ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)} . אומרים כי משתנה מקרי τ : Ω → N ∪ { ∞ } {\displaystyle \tau :\Omega \to \mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}} הוא "זמן עצירה", אם לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים כי המאורע { ω ∈ Ω ∣ τ ( ω ) = n } {\displaystyle \left\{\omega \in \Omega \mid \tau \left(\omega \right)=n\right\}} תלוי אך ורק במשתנים המקריים X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}} . משמעות ההגדרה היא שהשאלה האם τ = n {\displaystyle \tau =n} , כלומר השאלה האם לעצור בשלב ה- n {\displaystyle n} , נקבעת לא יאוחר מהשלב ה- n {\displaystyle n} . גרסה מוכללת: תהי F 1 ⊂ F 2 ⊂ F 3 ⊂ … {\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\subset {\mathcal {F}}_{2}\subset {\mathcal {F}}_{3}\subset \dots } סדרה של סיגמא-אלגבראות במרחב מדיד ( X , F ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)} . אומרים כי משתנה מקרי τ : Ω → N ∪ { ∞ } {\displaystyle \tau :\Omega \to \mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}} הוא "זמן עצירה", אם לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } המאורע { ω ∈ Ω ∣ τ ( ω ) = n } {\displaystyle \left\{\omega \in \Omega \mid \tau \left(\omega \right)=n\right\}} היא מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} . הגרסה הראשונה מתקבלת מהגרסה המוכללת על ידי בחירת סדרת הסיגמא-אלגבראות להיות F n = σ ( X 1 , X 2 , … , X n ) {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}=\sigma \left(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}\right)} , כלומר, בוחרים את F n {\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}} להיות הסיגמא-אלגברה המינימלית שעבורה X n {\displaystyle X_{n}} מדיד. באופן כמעט זהה ניתן להגדיר זמן עצירה גם עבור תהליך מקרי רציף, או משפחת סיגמא-אלגבראות רציפה. אם τ 1 , τ 2 : Ω → N ∪ { ∞ } {\displaystyle \tau _{1},\tau _{2}:\Omega \to \mathbb {N} \cup \left\{\infty \right\}} הם שני זמני עצירה, אזי המשתנים המקריים הבאים גם הם זמני עצירה: τ 1 + τ 2 {\displaystyle \tau _{1}+\tau _{2}} min { τ 1 , τ 2 } {\displaystyle \min \left\{\tau _{1},\tau _{2}\right\}} max { τ 1 , τ 2 } {\displaystyle \max \left\{\tau _{1},\tau _{2}\right\}} τ 1 ⋅ τ 2 {\displaystyle \tau _{1}\cdot \tau _{2}} (דווקא במקרה הבדיד, כאשר 1 ≤ τ 1 , τ 2 {\displaystyle 1\leq \tau _{1},\tau _{2}} ). לעומת זאת ההפרש τ 1 − τ 2 {\displaystyle \tau _{1}-\tau _{2}} אינו זמן עצירה, שכן הוא עלול להיות תלוי בשלבים הבאים בתהליך. הזמן הראשון שבו תהליך מרקוב מגיע למצב מסוים הוא זמן עצירה (על אף שהתהליך אינו חייב להגיע למצב הזה, כך שערך המשתנה עלול להיות אינסוף). נתבונן בתנועה בראונית ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle \left(B_{t}\right)_{t\geq 0}} מעל מרחב הסתברות ( Ω , F , P ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} . נגדיר משפחת סיגמא-אלגבראות ( F t ) t ≥ 0 {\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{t}\right)_{t\geq 0}} להיות הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי כל הקבוצות מהצורה B s − 1 ( A ) {\displaystyle B_{s}^{-1}\left(A\right)} עבור כל 0 ≤ s ≤ t {\displaystyle 0\leq s\leq t} ועבור כל A ⊂ R {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } קבוצת בורל. באופן אינטואיטיבי, E ∈ F t {\displaystyle E\in {\mathcal {F}}_{t}} אם ורק אם הוא נקבע על ידי ( B s ) 0 ≤ s ≤ t {\displaystyle \left(B_{s}\right)_{0\leq s\leq t}} . המשתנה המקרי τ = inf { t ≥ 1 ∣ B t > c } {\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 1\mid B_{t}>c\right\}} לאיזה קבוע c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } , הוא זמן עצירה. כלל עצירה זה אומר במילים פשוטות "עצור בפעם הראשונה שהתנועה הבראונית תהיה גדולה מ- c {\displaystyle c} ". לעומת זאת המשתנה המקרי המודד מתי הערך של B t {\displaystyle B_{t}} מקסימלי בקטע [0,1] אינו תנאי עצירה, כי הוא דורש (עבור t<1) השוואה אל ערכים עתידיים. משפט ברירת זמן העצירה זמן עצירה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)