פונקציה מטריציאלית

במתמטיקה, פונקציה מטריציאלית (Matrix function) היא פונקציה הממפה מטריצה אחת למטריצה אחרת. קיימות מספר שיטות להצגת פונקציה ממשית כמטריצה ריבועית כך שתכונות מעניינות יישמרו. הטכניקות הבאות מניבות את אותה פונקציה מטריציאלית, אך התחומים שבהם מוגדרת הפונקציה עשויים להיות שונים. אם לפונקציה ממשית קיימת הצגה כטור טיילור f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ⋅ x + f ″ ( 0 ) ⋅ x 2 2 ! + ⋯ {\displaystyle f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots } אז הפונקציה המטריציאלית יכולה להיות מוגדרת על ידי החלפת x במטריצה: החזקות הופכות לחזקות של מטריצות, החיבור לחיבור מטריצות והכפל לפעולות דירוג. אם הסדרה ממשית מתכנסת עבור ‖ A ‖ < r {\displaystyle \|A\|<r} אז סדרת המטריצות המקבילה תתכנס למטריצה A אם ‖ A ‖ < r {\displaystyle \|A\|<r} עבור נורמת מטריצה כלשהי ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \|\cdot \|} שמקיימת ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ⋅ ‖ B ‖ {\displaystyle \|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|} . אם A לכסינה, ניתן למצוא מטריצה P ומטריצה אלכסונית D כך ש A = P ⋅ D ⋅ P − 1 {\displaystyle A=P\cdot D\cdot P^{-1}} . נפעיל את סדרת החזקות על הפירוק ונקבל כי (f(A מוגדר על ידי f ( A ) = P [ f ( d 1 ) … 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 … f ( d n ) ] P − 1   {\displaystyle f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~} , כאשר d 1 , … , d n {\displaystyle d_{1},\dots ,d_{n}} הם ערכי האלכסון של D. לדוגמה, נניח כי מחפשים (A! = Γ(A+1 עבור A = [ 1 3 2 1 ]   {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}~} . ניתן לרשום את A באופן הבא A = P [ 1 − 6 0 0 1 + 6 ] P − 1   {\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~} , כאשר P = [ 1 / 2 1 / 2 − 1 6 1 6 ]   {\displaystyle P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}~} . מהפעלת הנוסחה נקבל A ! = [ 1 / 2 1 / 2 − 1 6 1 6 ] ⋅ [ Γ ( 2 − 6 ) 0 0 Γ ( 2 + 6 ) ] ⋅ [ 1 − 6 / 2 1 6 / 2 ] ≈ [ 3.6274 8.8423 5.8949 3.6274 ]   {\displaystyle A!={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (2-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (2+{\sqrt {6}})\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}3.6274&8.8423\\5.8949&3.6274\end{bmatrix}}~} . ובאופן דומה A 4 = [ 1 / 2 1 / 2 − 1 6 1 6 ] ⋅ [ ( 1 − 6 ) 4 0 0 ( 1 + 6 ) 4 ] ⋅ [ 1 − 6 / 2 1 6 / 2 ] = [ 73.00 84.00 56.00 73.00 ]   {\displaystyle A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}73.00&84.00\\56.00&73.00\end{bmatrix}}~} . כל המטריצות המרוכבות, לכסינות או לא, בעלות צורת ז'ורדן A = P ⋅ J ⋅ P − 1 {\displaystyle A=P\cdot J\cdot P^{-1}} , כאשר המטריצה J מורכבת מבלוקי ז'ורדן. נסתכל על כל בלוק בנפרד ונפעיל עליו את סדרת החזקות: f ( [ λ 1 0 … 0 0 λ 1 ⋮ ⋮ 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋱ λ 1 0 … … 0 λ ] ) = [ f ( λ ) 0 ! f ′ ( λ ) 1 ! f ″ ( λ ) 2 ! … f ( n ) ( λ ) n ! 0 f ( λ ) 0 ! f ′ ( λ ) 1 ! ⋮ f ( n − 1 ) ( λ ) ( n − 1 ) ! 0 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ … ⋱ f ( λ ) 0 ! f ′ ( λ ) 1 ! 0 … … 0 f ( λ ) 0 ! ] {\displaystyle f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\ldots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ldots &\ddots &\lambda &1\\0&\ldots &\ldots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\ldots &{\frac {f^{(n)}(\lambda )}{n!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\vdots &{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ldots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\ldots &\ldots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}} . הגדרה זו יכולה לשמש כדי להרחיב את תחום הפונקציה המטריציאלית מעבר לקבוצת מטריצות עם רדיוס ספקטרלי קטן יותר מרדיוס ההתכנסות של טור החזקות. נוסחת האינטגרל של קושי באנליזה מרוכבת יכולה לשמש להכללת פונקציות סקלריות לפונקציות מטריציאליות. לפי נוסחת האינטגרל של קושי לכל פונקציה אנליטית f המוגדרת בקבוצה D, f ( x ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) z − x d z   {\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-x}}\,\mathrm {d} z~} , כאשר C היא עקומה סגורה בתחום D בצירוף x. כעת, נחליף את x במטריצה A כאשר C היא בתוך D ומכילה את כל הערכים העצמיים של A. אז, (f(A מוגדר על ידי f ( A ) = 1 2 π i ∮ C f ( z ) ( z I − A ) − 1 d z   {\displaystyle f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{f(z)(zI-A)^{-1}}\,\mathrm {d} z~} . אינטגרל זה ניתן בקלות להעריך באמצעות כלל הטרפז, אשר במקרה זה מתכנס באופן אקספוננציאלי. כלומר, הדיוק של התוצאה מוכפל כאשר מספר הצמתים מוכפל. חלק ממחלקות הפונקציות הסקליות ניתנות להרחבה לפונקציות מטריציאליות של מטריצות הרמיט, באמצעות שימוש ביחס סדר על מטריצות ( X − Y ⇔ X ⪯ Y {\displaystyle X-Y\Leftrightarrow X\preceq Y} מטריצה חיובית ו- X − Y ⇔ X ≺ Y {\displaystyle X-Y\Leftrightarrow X\prec Y} מטריצה חיובית לחלוטין.) פונקציה f נקראת אופרטור מונוטוני אם ורק אם 0 ≺ A ⪯ H ⇒ f ( A ) ⪯ f ( H ) {\displaystyle 0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)} לכל A , H {\displaystyle A,H} מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של f. ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות מונוטוניות במקרה הסקלרי. פונקציה f נקראת אופרטור קעור אם ורק אם τ f ( A ) + ( 1 − τ ) f ( H ) ⪯ f ( τ A + ( 1 − τ ) H ) {\displaystyle \tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)} לכל A , H {\displaystyle A,H} מטריצות צמודות לעצמן עם ספקטרום בתחום של f ו- τ ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \tau \in [0,1]} . ההגדרה הזו מקבילה לפונקציות קעורות במקרה הסקלרי. אופרטור קמור מוגדר על ידי החלפת ⪯ {\displaystyle \preceq } ב ⪰ {\displaystyle \succeq } בהגדרה הנ"ל. אנליזה מתמטית Higham, Nicholas J. (2008). Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. ISBN 9780898717778. תורת הפונקציות המטריציאליות (באנגלית) פונקציות מטריציאליות: תאוריה ואלגוריתמים (באנגלית) מושג קשור נוסף הוא הפירוק של ז'ורדן-צ'אוולי, המבטא מטריצה כסכום של חלק אלכסוני וחלק נילפוטנטי. דרך אחת להשיג זאת היא לקחת את C להיות מעגל סביב הראשית עם רדיוס גדול מ עבוד נורמת מטריצה כלשהי.