הכד של פוליה

בהסתברות, מודל הכד של פוליה (באנגלית: Pólya's urn), הקרוי על שמו של ג'ורג' פוליה, הוא סוג של מודל הסתברותי המשמש כמסגרת לניסויים מחשבתיים רבים. במודלים של כד, מיוצגים אובייקטים בעלי עניין אמיתי (כגון אטומים, אנשים, מכוניות וכו') ככדורים צבעוניים בכד או במיכל אחר. בדגם הכד הבסיסי של פוליה, הכד מכיל a {\displaystyle a}  כדורים בצבע לבן ו- b {\displaystyle b} כדורים בצבע שחור; מוציאים באופן אקראי כדור אחד מהכד ומתבוננים בצבעו; לאחר מכן מחזירים את הכדור לכד, ומוסיפים לכד כדור נוסף מאותו צבע. חוזרים על תהליך זה שוב ושוב. דגם הכד הבסיסי הזה של פוליה הוכלל בדרכים רבות. במודלים של כד, מיוצגים אובייקטים בעלי עניין אמיתי (כגון אטומים, אנשים, מכוניות וכו') ככדורים צבעוניים בכד או במיכל אחר. אם בשלב מסוים מוצא כדור בצבע מסוים, אז הסיכוי שהכדור הבא שיצא אחריו, באותו הצבע גדל. כלומר, לכד יש תכונה אשר מחזקת את עצמה (" העשירים מתעשרים ") בניגוד לתהליך של הוצאת כדורים ללא החזרה, שבו בכל פעם שמוציאים כדור בצבע מסוים, יורד הסיכוי שהכדור הבא יהיה מאותו הצבע. במודל הכד פוליה, ככל שהתהליך מתקדם הפעולות שמתבצעות משפיעות פחות ופחות על הסתברויות עתידיות, בעוד שבהוצאות ללא החזרה, ההפך הוא הנכון: לאחר מספר מסוים של הוצאות של כדור בצבע מסוים, יאזלו הכדורים בצבע זה מהכד. התהליך שמתואר שונה גם מתהליך, שבו הכדור המוצא מוחזר לכד ללא הוספת כדורים. במקרה זה, השקול לתהליך ברנולי, ההסתברויות להוצאת כדור בצבע מסוים נשארות קבועות לאורך התהליך. לאחר n {\displaystyle n} הוצאות, ההסתברות שהכד מכיל ( a + n 1 ) {\displaystyle (a+n_{1})} כדורים לבנים ו ( b + n 2 ) {\displaystyle (b+n_{2})} כדורים שחורים ( n 1 + n 2 = n ) {\displaystyle (n_{1}+n_{2}=n)} הוא ( n n 1 ) a n ¯ 1 b n ¯ 2 ( a + b ) n ¯ {\displaystyle {\binom {n}{n_{1}}}{\frac {a^{{\bar {n}}_{1}}b^{{\bar {n}}_{2}}}{(a+b)^{\bar {n}}}}} כאשר c m ¯ = c ( c + 1 ) ⋯ ( c + m − 1 ) {\displaystyle c^{\bar {m}}=c(c+1)\cdots (c+m-1)} (עצרת עולה). במקרה הכללי יותר שבו בכד יש כדורים עם יותר משני צבעים ונניח שבהתחלה הכד מכיל a i {\displaystyle a_{i}} כדורים בצבע i {\displaystyle i} , עם i = 1 , 2 , . . . , k {\displaystyle i=1,2,...,k} , אז אחרי n {\displaystyle n} הוצאות, ההסתברות שהכד מכיל ( a i + n i ) {\displaystyle (a_{i}+n_{i})} כדורים בצבע i {\displaystyle i} היא: ( n n 1 , ⋯ , n k ) ∏ i = 1 k a i n ¯ i ( ∑ i a i ) n ¯ {\displaystyle {\binom {n}{n_{1},\cdots ,n_{k}}}{\frac {\prod _{i=1}^{k}a_{i}^{{\bar {n}}_{i}}}{(\sum _{i}a_{i})^{\bar {n}}}}} כאשר ( n n 1 , ⋯ , n k ) {\displaystyle {\binom {n}{n_{1},\cdots ,n_{k}}}} הוא המקדם המולטינומי. הכד של פוליה הוא דוגמה בסיסית לסדרת משתנים מקריים חילופיים. נניח, שבתהליך הכד של פוליה, אנו ממשיכים להוציא כדורים באופן אקראי מהכד. נסמן עבור ההוצאה ה- i {\displaystyle i} של כדור, משתנה מקרי, X i {\displaystyle X_{i}} , כך ש- X i = 1 {\displaystyle X_{i}=1} אם הכדור שחור ו- X i = 0 {\displaystyle X_{i}=0} אחרת. (לאחר מכן כמובן נחזיר את הכדור לכד, עם כדור נוסף באותו צבע). ההסתברות של X i + 1 = 1 {\displaystyle X_{i+1}=1} בהינתן X i = 1 {\displaystyle X_{i}=1} גדולה מההסתברות ש- X i + 1 = 1 {\displaystyle X_{i+1}=1} בהינתן ש- X i = 0 {\displaystyle X_{i}=0} . לכן, משתנים אלה אינם בלתי תלויים זה בזה. עדיין, למשתנים X 1 , X 2 , X 3 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots } יש תכונה חלשה יותר של חילופיות. במקרה שלנו, ההסתברות לסדר הוצאה מסוים של n {\displaystyle n} כדורים הוא a n ¯ 1 b n ¯ 2 ( a + b ) n ¯ {\displaystyle {\frac {a^{{\bar {n}}_{1}}b^{{\bar {n}}_{2}}}{(a+b)^{\bar {n}}}}} , כאשר n 1 {\displaystyle n_{1}} הוא מספר הכדורים השחורים ו- n 2 {\displaystyle n_{2}} מספר הלבנים. תכונת החילופיות באה לידי ביטוי בכך שההסתברות לסדר מסוים אינה תלויה בסדר הצבעים של הכדורים שהוצאו אלא רק בכמות של כדורים שהוצאו מכל צבע ובמצב ההתחלתי. לדוגמה, Pr ( X 1 = 1 , X 2 = 1 , X 3 = 0 ) = Pr ( X 1 = 1 , X 2 = 0 , X 3 = 1 ) = Pr ( X 1 = 0 , X 2 = 1 , X 3 = 1 ) = a ( a + 1 ) b n ( n + 1 ) ( n + 2 ) {\displaystyle \Pr(X_{1}=1,X_{2}=1,X_{3}=0)=\Pr(X_{1}=1,X_{2}=0,X_{3}=1)=\Pr(X_{1}=0,X_{2}=1,X_{3}=1)={\frac {a(a+1)b}{n(n+1)(n+2)}}} . Hoppe, Fred M (1984). "Polya-like urns and the Ewens' sampling formula". Journal of Mathematical Biology (באנגלית). 20 (1): 91–94. doi:10.1007/bf00275863. ISSN 0303-6812.