ממד (גאומטריה אלגברית)

בגאומטריה אלגברית, הממד הוא פונקציה המתאימה לכל יריעה אלגברית מספר שלם ואי שלילי המתאר את מספר דרגות החופש של היריעה; למשל יריעה מממד אפס היא אוסף סופי של נקודות, ממד של עקום הוא אחד ואילו הממד של היריעה האפינית - A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} והיריעה הפרויקטיבית - P n {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}} הוא - n {\displaystyle n} . מושג הממד קיים גם בסכימות ומבנים כלליים יותר של הגאומטריה האלגברית. ניתן להגדיר את הממד באופן אקסיומטי על ידי שלוש הנחות המשקפות את התכונות הטבעיות שעל הממד לקיים. הנחות אלו יחד עם התכונות של יריעה אלגברית גוררות את יחידות הממד. קיומו של הממד מוכח על ידי בנייה מפורשת של פונקציית ממד, למשל ממד קרול, דרגת טרנסצנדנטיות וממד הילברט. תהי X {\displaystyle X} יריעה אלגברית מעל שדה K {\displaystyle \mathbb {K} } , לשם הפשטות נניח ש - K {\displaystyle \mathbb {K} } סגור אלגברית. הממד הוא פונקציה מהיריעות האלגבריות אל המספרים השלמים האי שליליים - dim { Algebraic Varities } → N ∪ { 0 } {\displaystyle {\text{dim}}\{{\text{Algebraic Varities}}\}\rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}} , המקיימת את התכונות הבאות: לכל כיסוי פתוח של X {\displaystyle X} על ידי יריעות אפיניות X = ∪ i = 1 n X i {\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}} מתקיים dim ( X ) = m a x { dim ( X ) i = 1 n } {\displaystyle {\text{dim}}(X)=max\{{\text{dim}}(X)_{i=1}^{n}\}} . dim ( A n ) = n {\displaystyle {\text{dim}}({\mathbb {A} }^{n})=n} . אם ν : X ↠ Y {\displaystyle \nu :X\twoheadrightarrow Y} הוא מורפיזם סופי (finite morphism) בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים dim ( X ) = dim ( Y ) {\displaystyle {\text{dim}}(X)={\text{dim}}(Y)} . ממשפט שבאלה (ראה להלן) נובע שניתן להחליף את האקסיומה השלישית בהנחה אינטואיטיבית יותר - 3'. אם ν : X ↠ Y {\displaystyle \nu :X\twoheadrightarrow Y} הוא מורפיזם עם סיבים סופיים בין יריעות אלגבריות ועל, אז מתקיים dim ( X ) = dim ( Y ) {\displaystyle {\text{dim}}(X)={\text{dim}}(Y)} . מכיוון שהנחה זאת חזקה יותר, מקשה על הוכחת הקיום של פונקציית הממד, ואין בה צורך כדי להגדיר את הממד ביחידות נוח יותר להשתמש בהנחה 3. לכל שתי פונקציות ממד dim 1 {\displaystyle {\text{dim}}_{1}} ו- dim 2 {\displaystyle {\text{dim}}_{2}} ולכל יריעה אלגברית X {\displaystyle X} מתקיים dim 1 ( X ) = dim 2 ( X ) {\displaystyle {\text{dim}}_{1}(X)={\text{dim}}_{2}(X)} . בשל תכונה מספר 1, הנקראת גם מקומיות, מספיק להוכיח יחידות עבור יריעות אפיניות. ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי כל יריעה אפינית X {\displaystyle X} מממד n {\displaystyle n} ניתן להעתיק סופית ועל A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} , כלומר קיימת ν : X ↠ A n {\displaystyle \nu :X\twoheadrightarrow \mathbb {A} ^{n}} העתקה סופית ועל. מתכונה מספר 3 נובע כי dim 1 ( X ) = dim 1 ( A n ) {\displaystyle {\text{dim}}_{1}(X)={\text{dim}}_{1}(\mathbb {A} ^{n})} וגם dim 2 ( X ) = dim 2 ( A n ) {\displaystyle {\text{dim}}_{2}(X)={\text{dim}}_{2}(\mathbb {A} ^{n})} יחד עם תכונה 2 נובעת יחידות הממד - dim 1 ( X ) = dim 1 ( A n ) = n = dim 2 ( A n ) = dim 2 ( X ) {\displaystyle {\text{dim}}_{1}(X)={\text{dim}}_{1}(\mathbb {A} ^{n})=n={\text{dim}}_{2}(\mathbb {A} ^{n})={\text{dim}}_{2}(X)} . נביא כמה דוגמאות מפורשות לבניית פונקציית ממד המקיימת את התכונות הנ"ל. כל אחת מהדוגמאות מספקת הוכחת קיום. ערך מורחב – ממד קרול ממד קרול של מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} הוא אורך השרשרת הארוכה ביותר של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות המוכלות ב- X {\displaystyle X} פחות אחת: dim K r ( X ) := m a x n ∈ N { Z 0 ⊊ Z 1 . . . . . ⊊ Z n ⊂ X | Z i ≠ ∅ irreducible } {\displaystyle {\text{dim}}_{Kr}\left(X\right):=max_{n\in \mathbb {N} }\left\{Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X|Z_{i}\neq \emptyset \,\,{\text{irreducible}}\right\}} . הגדרה זו מתאימה גם לגאומטריה אלגברית מאחר שכל יריעה אלגברית היא בפרט מרחב טופולוגי. נוכיח כי פונקציית ממד קרול עונה על שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית: נניח X {\displaystyle X} יריעה אלגברית כך ש - X = ∪ i = 1 n X i {\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}} כיסוי פתוח של יריעות אפיניות ונניח כי dim K r ( X ) = n {\displaystyle {\text{dim}}_{Kr}\left(X\right)=n} , כלומר קיימת שרשרת מאורך מקסימלי של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות Z 0 ⊊ Z 1 . . . . . ⊊ Z n ⊂ X {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}\subset X} . מאחר ש- X = ∪ i = 1 n X i {\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}} קיים 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} כך ש - X i ∩ Z n ≠ ∅ {\displaystyle X_{i}\cap Z_{n}\neq \emptyset } אז Z 0 ∩ X i ⊊ Z 1 ∩ X i ⊊ . . . ⊊ Z n ∩ X i ⊂ X i {\displaystyle Z_{0}\cap X_{i}\subsetneq Z_{1}\cap X_{i}\subsetneq ...\subsetneq Z_{n}\cap X_{i}\subset X_{i}} היא שרשרת של קבוצות סגורות לא ריקות ואי פריקות ב - X i {\displaystyle X_{i}} , אז מתקיים dim K r ⁡ ( X i ) ≥ dim K r ⁡ ( X ) {\displaystyle \dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\geq \dim _{Kr}\left(X\right)} . מאחר לכל X 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle X_{1\leq i\leq n}} וכל שרשרת U 0 ⊊ U 1 . . . . . ⊊ U n ⊂ X i {\displaystyle U_{0}\subsetneq U_{1}.....\subsetneq U_{n}\subset X_{i}} של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב - X i {\displaystyle X_{i}} ניתן להרים לשרשרת כנ"ל ב X {\displaystyle X} - U 0 ¯ ⊊ U 1 ¯ . . . . . ⊊ U n ¯ ⊂ X {\displaystyle {\overline {U_{0}}}\subsetneq {\overline {U_{1}}}.....\subsetneq {\overline {U_{n}}}\subset X} , נובע כי dim K r ⁡ X ≥ m a x { dim K r ⁡ ( X i ) } i = 1 n {\displaystyle \dim _{Kr}X\geq max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}} . ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל dim K r ⁡ X = m a x { dim K r ⁡ ( X i ) } i = 1 n {\displaystyle \dim _{Kr}X=max\left\{\dim _{Kr}\left(X_{i}\right)\right\}_{i=1}^{n}} . נסמן A n = { ( x 1 , . . . , x n ) } {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}=\left\{\left(x_{1},...,x_{n}\right)\right\}} ונגדיר Z i := { x ∈ A n | x i + 1 = . . . . = x n = 0 } {\displaystyle Z_{i}:=\{x\in \mathbb {A} ^{n}|x_{i+1}=....=x_{n}=0\}} , מאחר שלכל i {\displaystyle i} מתקיים Z i ≅ A i {\displaystyle Z_{i}\cong \mathbb {A} ^{i}} אז Z 0 ⊊ Z 1 . . . . . ⊊ Z n = A n {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{n}=\mathbb {A} ^{n}} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות, לכן, dim K r ⁡ ( A n ) ≥ n {\displaystyle \dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)\geq n} . כעת נניח כי Z 0 ⊊ Z 1 . . . . . ⊊ Z p ⊂ A n {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset \mathbb {A} ^{n}} היא שרשרת עולה ממש של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות. מאחר ש- Z p − 1 {\displaystyle Z_{p-1}} מוכלת ממש ב - A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} וסגורה קיימת פונקציה רגולרית g ∈ K [ x 1 , . . . x n ] {\displaystyle g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right]} כך ש Z p − 1 ⊂ V ( g ) {\displaystyle Z_{p-1}\subset {\mathcal {V}}\left(g\right)} , מוכלת בקבוצת האפסים של הפונקציה g {\displaystyle g} המסומנת על ידי V ( g ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(g\right)} . ממסקנה ממשפט הנורמליזציה של נתר נובע כי ניתן למצוא מורפיזם על וסופי ν : Z p − 1 ↠ A n − 1 {\displaystyle \nu :Z_{p-1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} ^{n-1}} , מ-3 נקבל כי dim K r ⁡ Z p − 1 = n − 1 {\displaystyle \dim _{Kr}Z_{p-1}=n-1} ומכאן dim K r ⁡ ( A n ) = n {\displaystyle \dim _{Kr}\left(\mathbb {A} ^{n}\right)=n} . נניח ν : X ↠ Y {\displaystyle \nu :X\twoheadrightarrow Y} הוא מורפיזם סופי ועל בין יריעות אלגבריות. נניח כי Z 0 ⊊ Z 1 . . . . . ⊊ Z p ⊂ X {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p}\subset X} . היא שרשרת עולה של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב- X {\displaystyle X} , נסמן W i = ν ( Z i ) {\displaystyle W_{i}=\nu \left(Z_{i}\right)} אז W 0 ⊂ W 1 . . . . . ⊂ W p ⊂ Y {\displaystyle W_{0}\subset W_{1}.....\subset W_{p}\subset Y} היא שרשרת של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב Y {\displaystyle Y} , מאחר ש- ν {\displaystyle \nu } הוא מורפיזם סופי ניתן להוכיח כי זוהי שרשרת עולה W 0 ⊊ W 1 . . . . . ⊊ W p ⊂ Y {\displaystyle W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y} לכן dim K r ⁡ ( X ) ≥ dim K r ⁡ ( Y ) {\displaystyle \dim _{Kr}\left(X\right)\geq \dim _{Kr}\left(Y\right)} . לחלופין, תהא W 0 ⊊ W 1 . . . . . ⊊ W p ⊂ Y {\displaystyle W_{0}\subsetneq W_{1}.....\subsetneq W_{p}\subset Y} שרשרת כנ"ל נרצה למצוא שרשרת מתאימה ב- X {\displaystyle X} . נפרק לרכיבי אי פריקות את תת-היריעה ν − 1 ( W p ) = K 1 ∪ . . . . ∪ K i {\displaystyle \nu ^{-1}\left(W_{p}\right)=K_{1}\cup ....\cup K_{i}} נשים לב שמאחר ν {\displaystyle \nu } על מתקיים W p = ν ( K 1 ) ∪ . . . . ∪ ν ( K i ) {\displaystyle W_{p}=\nu \left(K_{1}\right)\cup ....\cup \nu \left(K_{i}\right)} ומאחר ו- W p {\displaystyle W_{p}} אי פריקה קיים j {\displaystyle j} כך ש W p = ν ( K j ) {\displaystyle W_{p}=\nu \left(K_{j}\right)} . נסמן Z p := K j {\displaystyle Z_{p}:=K_{j}} אז ν : Z p → K j {\displaystyle \nu :Z_{p}\rightarrow K_{j}} הוא מורפיזם על וסופי בין תת-יריעות בלתי פריקות, על ידי אינדוקציה על p {\displaystyle p} ניתן להשלים את Z p {\displaystyle Z_{p}} לשרשרת עולה Z 0 ⊊ Z 1 . . . . . ⊊ Z p − 1 ⊊ Z p ⊂ X {\displaystyle Z_{0}\subsetneq Z_{1}.....\subsetneq Z_{p-1}\subsetneq Z_{p}\subset X} של קבוצות סגורות, לא ריקות ואי פריקות ב- X {\displaystyle X} , ונקבל dim K r ⁡ ( X ) ≤ dim K r ⁡ ( Y ) {\displaystyle \dim _{Kr}\left(X\right)\leq \dim _{Kr}\left(Y\right)} . ביחד עם אי השוויון הקודם נקבל dim K r ⁡ ( X ) = dim K r ⁡ ( Y ) {\displaystyle \dim _{Kr}\left(X\right)=\dim _{Kr}\left(Y\right)} . ערך מורחב – דרגת הטרנסצנדנטיות יהיו K , L {\displaystyle \mathbb {K} ,\mathbb {L} } שדות כך ש- L {\displaystyle \mathbb {L} } הוא הרחבת שדה של K {\displaystyle \mathbb {K} } . העוצמה המקסימלית של תת-קבוצה בלתי תלויה אלגברית ב- L {\displaystyle \mathbb {L} } מעל K {\displaystyle \mathbb {K} } נקראת דרגת הטרנסצנדנטיות של L {\displaystyle \mathbb {L} } מעל K {\displaystyle \mathbb {K} } ומסומנת על ידי t r a n s . d e g K ( L ) {\displaystyle trans.deg\,_{\mathbb {K} }\left(\mathbb {L} \right)} . תהי X {\displaystyle X} יריעה אלגברית ו- { X i } i = 1 m {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{m}} רכיבי האי פריקות שלה, כלומר X = ∪ i = 1 n X i {\displaystyle X=\cup _{i=1}^{n}X_{i}} . נגדיר dim t r ( X ) = m a x { t r a n s . d e g K ( K ( X i ) ) } i = 1 m {\displaystyle \dim \,_{tr}\left(X\right)=max\left\{trans.deg\,_{\mathbb {K} }\left(\mathbb {K} \left(X_{i}\right)\right)\right\}_{i=1}^{m}} כאשר K ( X i ) {\displaystyle \mathbb {K} \left(X_{i}\right)} הוא שדה הפונקציות של היריעה האי פריקה X i {\displaystyle X_{i}} . ניתן להוכיח שפונקציית הממד המוגדרת באמצעות דרגת הטרנסצנדנטיות של שדות הפונקציות של תתי היריעות הבלתי פריקות מקיימת את שלוש התכונות הנדרשות לממד של יריעה אלגברית. ערכים מורחבים – ממד הילברט, ממד גלפנד-קירילוב פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. יריעה אלגברית נקראת שוות ממד אם כל רכיבי אי הפריקות שלה הם בעלי אותו הממד. תהי X {\displaystyle X} יריעה אלגברית ותהי U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} קבוצה פתוחה וצפופה ב X {\displaystyle X} , אז dim ⁡ ( U ) = dim ⁡ ( X ) {\displaystyle \dim \left(U\right)=\dim \left(X\right)} . יהי ν : X → Y {\displaystyle \nu :X\rightarrow Y} מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות, אז dim ⁡ ( X ) ≥ dim ⁡ ( Y ) {\displaystyle \dim \left(X\right)\geq \dim \left(Y\right)} . ערך מורחב – משפט האידיאל הראשי משפט האידיאל הראשי קובע כי עבור יריעה אלגברית אי פריקה X {\displaystyle X} - לכל f {\displaystyle f} פונקציה רגולרית על X {\displaystyle X} : 0 ≠ f ∈ O ( X ) {\displaystyle 0\neq f\in {\mathcal {O}}\left(X\right)} בלתי הפיכה הקבוצה { x ∈ X | f ( x ) = 0 } {\displaystyle \left\{x\in X|f\left(x\right)=0\right\}} היא יריעה שוות ממד, מממד dim ⁡ X − 1 {\displaystyle \dim X-1} . בפרט, עבור g ∈ K [ x 1 , . . . x n ] {\displaystyle g\in \mathbb {K} \left[x_{1},...x_{n}\right]} פולינום לא קבוע ב- n {\displaystyle n} משתנים, ממד היריעה המוגדרת על ידי קבוצת האפסים של g {\displaystyle g} הוא dim ⁡ V ( g ) = n − 1 {\displaystyle \dim {\mathcal {V}}\left(g\right)=n-1} . ערך מורחב – משפט שבאלה יהי ν : X → Y {\displaystyle \nu :X\rightarrow Y} מורפיזם בין יריעות אלגבריות, אז - הפונקציה dim ⁡ ( ν − 1 ( y ) ) {\displaystyle \dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)} מקיימת כי הקבוצה { y ∈ Y | dim ⁡ ( ν − 1 ( y ) ) ≥ n } {\displaystyle \left\{y\in Y|\dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)\geq n\right\}} פתוחה לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } טבעי. אם בנוסף X {\displaystyle X} אי פריק אז לכל Y {\displaystyle Y} מתקיים dim ⁡ ( ν − 1 ( y ) ) ≥ dim ⁡ ( X ) − dim ⁡ ν ( X ) ¯ {\displaystyle \dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)\geq \dim \left(X\right)-\dim {\overline {\nu \left(X\right)}}} . מסקנה ממשפט שבאלה - יהי ν : X → Y {\displaystyle \nu :X\rightarrow Y} מורפיזם דומיננטי בין יריעות אלגבריות כך שממד הסיבים קבוע, כלומר קיים n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } כך שלכל y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} מתקיים dim ⁡ ( ν − 1 ( y ) ) = n {\displaystyle \dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)=n} אז dim ⁡ ( X ) = n + dim ⁡ ( Y ) {\displaystyle \dim \left(X\right)=n+\dim \left(Y\right)} . תהי X {\displaystyle X} יריעה אלגברית, נגדיר לכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} את הממד המקומי ב- x {\displaystyle x} להיות הממד המקסימלי של כל רכיבי אי הפריקות של X {\displaystyle X} המכילים את הנקודה x {\displaystyle x} : dim x ⁡ X := m a x { dim ⁡ ( C ) | C ⊂ X i s i r r e d u c i b l e , x ∈ C } {\displaystyle \dim _{x}X:=max\left\{\dim \left(C\right)|C\subset X\,\,is\,\,irreducible,\,x\in C\right\}} . יריעה אלגברית X {\displaystyle X} נקראת חלקה בנקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} אם dim ⁡ ( T x X ) = dim x ⁡ X {\displaystyle \dim \left(T_{x}X\right)=\dim _{x}X} , כאשר T x X {\displaystyle T_{x}X} הוא המרחב הווקטורי המשיק זריצקי ליריעה X {\displaystyle X} בנקודה x {\displaystyle x} והממד שלו הוא הממד הליניארי. באופן כללי מתקיים בכל נקודה על היריעה dim ⁡ ( T x X ) ≥ dim x ⁡ X {\displaystyle \dim \left(T_{x}X\right)\geq \dim _{x}X} . חישוב הממד של היריעה האפינית X = V ( y 2 − x 3 ) {\displaystyle X={\mathcal {V}}\left(y^{2}-x^{3}\right)} תהי X = V ( y 2 − x 3 ) {\displaystyle X={\mathcal {V}}\left(y^{2}-x^{3}\right)} היריעה האפינית ב- A 2 {\displaystyle \mathbb {A} ^{2}} . נשים לב שמאחר ו- X {\displaystyle X} מוגדרת על ידי משוואה אחת ו- dim ( A 2 ) = 2 {\displaystyle {\text{dim}}({\mathbb {A} }^{2})=2} נקבל כי dim ( X ) = 1 {\displaystyle {\text{dim}}(X)=1} . בנוסף, מאחר ש- ( y 2 − x 3 ) ∈ K [ x , y ] {\displaystyle (y^{2}-x^{3})\in \mathbb {K} [x,y]} הוא פולינום אי פריק, גם X {\displaystyle X} הוא יריעה אי פריקה. דרך נוספת לחשב את ממד X {\displaystyle X} היא בעזרת מורפיזם בירציונלי: נגדיר מפה ϕ : A 1 → X {\displaystyle \phi :\mathbb {A} ^{1}\rightarrow X} על ידי t ↦ ( t 2 , t 3 ) {\displaystyle t\mapsto \left(t^{2},t^{3}\right)} זוהי מפה בי רציונלית עם המפה ההפוכה ϕ − 1 | U X ( x , y ) = y / x {\displaystyle \phi ^{-1}|_{U_{X}}\left(x,y\right)=y/x} כאשר U X = { ( x , y ) ∈ X | x ≠ 0 } {\displaystyle U_{X}=\left\{\left(x,y\right)\in X|x\neq 0\right\}} היא הקבוצה הפתוחה והצפופה ב- X {\displaystyle X} אשר איזומורפית לקבוצה הפתוחה והצפופה ב- A 1 {\displaystyle \mathbb {A} ^{1}} U := ϕ − 1 ( U X ) {\displaystyle U:=\phi ^{-1}\left(U_{X}\right)} . ונקבל 1 = dim ⁡ A 1 = dim ⁡ U = dim ⁡ U X = dim ⁡ X {\displaystyle 1=\dim \mathbb {A} ^{1}=\dim U=\dim U_{X}=\dim X} . חישוב הממד של היריעה האפינית X = V ( x y ) {\displaystyle X={\mathcal {V}}\left(xy\right)} תהי X = V ( x y ) {\displaystyle X={\mathcal {V}}\left(xy\right)} היריעה האפינית ב- A 2 {\displaystyle \mathbb {A} ^{2}} . נשים לב שמאחר ו- X {\displaystyle X} מוגדרת על ידי משוואה אחת ו- dim ( A 2 ) = 2 {\displaystyle {\text{dim}}({\mathbb {A} }^{2})=2} נקבל כי dim ( X ) = 1 {\displaystyle {\text{dim}}(X)=1} . בנוסף, מאחר שרכיבי הפריקות של הפולינום ( y 2 − x 3 ) ∈ K [ x , y ] {\displaystyle (y^{2}-x^{3})\in \mathbb {K} [x,y]} הם x , y {\displaystyle x,y} נקבל בהתאמה את רכיבי אי הפריקות של X {\displaystyle X} הם X = V ( y ) ∪ V ( x ) {\displaystyle X={\mathcal {V}}\left(y\right)\cup {\mathcal {V}}\left(x\right)} ונשים לב שחוג הפונקציות הרגולריות על V ( y ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(y\right)} , המסומן ב- K [ V ( y ) ] {\displaystyle \mathbb {K} \left[{\mathcal {V}}\left(y\right)\right]} איזומורפי לחוג הפולינומים במשתנה אחד K [ x ] {\displaystyle \mathbb {K} \left[x\right]} , כלומר K [ V ( y ) ] ≃ K [ x ] {\displaystyle \mathbb {K} \left[{\mathcal {V}}\left(y\right)\right]\simeq \mathbb {K} \left[x\right]} ובאופן דומה K [ V ( x ) ] ≃ K [ y ] {\displaystyle \mathbb {K} \left[{\mathcal {V}}\left(x\right)\right]\simeq \mathbb {K} \left[y\right]} . בפרט, דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים K ( x ) {\displaystyle \mathbb {K} \left(x\right)} היא 1, ניתן למשל לבחור את המונום { x } {\displaystyle \left\{x\right\}} כאיבר בלתי תלוי אלגברית מעל K {\displaystyle \mathbb {K} } , באופן דומה דרגת הטרנצסדנטיות של שדה השברים K ( y ) {\displaystyle \mathbb {K} \left(y\right)} היא 1. על ידי שימוש בממד קרול נקבל באופן שקול לחישוב הקודם - dim t r ⁡ ( X ) = 1 {\displaystyle \dim _{tr}\left(X\right)=1} . חישוב הממד של הגרסמניאן G r ( k , n ) {\displaystyle Gr(k,n)} תהיי X = G L ( n , K ) {\displaystyle X=GL(n,\mathbb {K} )} היריעה המוגדרת על ידי החבורה הליניארית הכללית, על מנת לחשב את הממד של יריעת גרסמן Y = G r ( k , n ) {\displaystyle Y=Gr(k,n)} נבנה מורפיזם על ν : X ↠ Y {\displaystyle \nu :X\twoheadrightarrow Y} באופן הבא - יהי L ∈ G r ( k , n ) {\displaystyle L\in Gr(k,n)} מרחב וקטורי k {\displaystyle k} ממדי, כל מטריצה x ∈ X {\displaystyle x\in X} תעבור תחת המפה ν {\displaystyle \nu } למרחב הליניארי הנפרש על ידי הפעולה של x {\displaystyle x} על המרחב L {\displaystyle L} , כלומר ν ( x ) = x L {\displaystyle \nu (x)=xL} . נשים לב ש- ν {\displaystyle \nu } על, משום שכל שני תתי מרחבים ליניאריים מממד זהה צמודים על ידי מטריצת מעבר בסיס (כלומר איבר ב- X = G L ( n , K ) {\displaystyle X=GL(n,\mathbb {K} )} ). ניתן לזהות את L {\displaystyle L} עם אוסף הווקטורים מממד - n {\displaystyle n} עם n − k {\displaystyle n-k} קואורדינטות אחרונות שוות לאפס, כלומר L ≃ K k ⊂ K n {\displaystyle L\simeq \mathbb {K} ^{k}\subset \mathbb {K} ^{n}} . לכן לכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} מתקיים x . L = L {\displaystyle x.L=L} אם״ם x . L ⊆ L {\displaystyle x.L\subseteq L} , אוסף המטריצות ב X {\displaystyle X} המקיים תנאי זה הוא המטריצות מהצורה ( A B 0 m a t C ) {\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}A&B\\0_{mat}&C\end{smallmatrix}}{\bigr )}} כאשר 0 m a t {\displaystyle 0_{mat}} הוא מטריצת אפס מממד k × ( n − k ) {\displaystyle k\times (n-k)} . מכאן נקבל שלכל y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} מתקיים dim ⁡ ( ν − 1 ( y ) ) = dim ⁡ ( G L ( n , K ) ) − k × ( n − k ) {\displaystyle \dim \left(\nu ^{-1}\left(y\right)\right)=\dim(GL(n,\mathbb {K} ))-k\times (n-k)} , ממסקנה ממשפט שבאלה נקבל כי dim ⁡ ( G L ( n , K ) = dim ⁡ ( G r ( k , n ) + dim ⁡ ( G L ( n , K ) − k × ( n − k ) ) {\displaystyle \dim(GL(n,\mathbb {K} )=\dim(Gr(k,n)+\dim(GL(n,\mathbb {K} )-k\times (n-k))} כלומר dim ⁡ ( G r ( k , n ) = k × ( n − k ) ) {\displaystyle \dim(Gr(k,n)=k\times (n-k))} . G.Kempf (1993), Algebraic Varieties, chapter 2.5 - Dimension Andreas Gathmann - Algebraic Geometry