משפט ניקומאכוס

משפט ניקומאכוס הוא משפט בתורת המספרים הקובע כי הזהות הבאה מתקיימת לכל מספר טבעי n: 1 3 + 2 3 + … + n 3 = ( 1 + 2 + … + n ) 2 {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}=(1+2+\ldots +n)^{2}} כלומר שסכום n המספרים המעוקבים הראשונים (חזקות שלישיות) שווה לריבוע סכום n המספרים הראשונים. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי היווני בן המאה ה-1, ניקומאכוס, שכתב אודותיו. הזהות של ניקומאכוס נתגלתה באופן בלתי תלוי פעמים רבות במהלך ההיסטוריה. בין השאר גילו אותה ההודי אריאבהטה (המאה ה-5), הפרסי אל-קאראג'י (המאה ה-10), היהודי צרפתי רלב"ג (המאה ה-14) וההודי נילקנטה סומיאג'י (המאה ה-15). מבחינה פורמלית משפט ניקומאכוס קובע שלכל n טבעי מתקיים: ∑ k = 1 n k 3 = ( ∑ k = 1 n k ) 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}=\left(\sum _{k=1}^{n}{k}\right)^{2}} סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n נקרא המספר המשולשי ה-n, והוא מסומן T n {\displaystyle T_{n}} . ישנה נוסחה מפורשת למספרים משולשיים: T n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}} , ובאמצעותה ניתן לתאר את משפט ניקומאכוס גם כך: ∑ k = 1 n k 3 = T n 2 = n 2 ( n + 1 ) 2 4 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}=T_{n}^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}} למשפט ניקומאכוס הוכחות רבות. קודם להצגתן נציין שלוש זהויות שישמשו לשם קיצור ואסתטיות. את שלוש הזהויות ניתן להוכיח בפשטות בדרך אלגברית מתוך הנוסחה המפורשת למספר משולשי. עם זאת, לכולן ישנן גם הוכחות גאומטריות וקומבינטוריות. T n − T n − 1 = n ( 1 ) {\displaystyle T_{n}-T_{n-1}=n\quad (1)} (נובע ישירות מההגדרה של מספר משולשי) T n + T n − 1 = n 2 ( 2 ) {\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=n^{2}\quad (2)} (הוכחה גאומטרית) T n = ( n + 1 2 ) ( 3 ) {\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}\quad (3)} (הוכחה קומבינטורית; לפשר הסימון ראו מקדם בינומי) כמו כן נניח כי   T 0 = 0 {\displaystyle \ T_{0}=0} (כפי שאכן משתמע מכל הנוסחאות והזהויות). ההוכחה הסטנדרטית למשפט היא באינדוקציה. בסיס האינדוקציה הוא המשוואה 1 3 = 1 2 {\displaystyle 1^{3}=1^{2}} . נניח כי T n − 1 2 = 1 3 + 2 3 + … + ( n − 1 ) 3 {\displaystyle T_{n-1}^{2}=1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3}} ונראה כי T n 2 = 1 3 + 2 3 + … + n 3 {\displaystyle T_{n}^{2}=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}} : T n 2 = ( T n − 1 + n ) 2 = T n − 1 2 + 2 n T n − 1 + n 2 = {\displaystyle T_{n}^{2}=(T_{n-1}+n)^{2}=T_{n-1}^{2}+2nT_{n-1}+n^{2}=} נציב את הנחת האינדוקציה ואת הנוסחה למספר משולשי ונקבל: = ( 1 3 + 2 3 + … + ( n − 1 ) 3 ) + ( n 2 ( n − 1 ) + n 2 ) = 1 3 + 2 3 + … + n 3 {\displaystyle =(1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3})+(n^{2}(n-1)+n^{2})=1^{3}+2^{3}+\ldots +n^{3}} כנדרש. נבחין בזהות הבאה הנובעת מזהויות (1) ו-(2): T k 2 − T k − 1 2 = ( T k + T k − 1 ) ( T k − T k − 1 ) = k 2 ⋅ k = k 3 {\displaystyle T_{k}^{2}-T_{k-1}^{2}=(T_{k}+T_{k-1})(T_{k}-T_{k-1})=k^{2}\cdot k=k^{3}} כעת נוכל להציג את הסכום המבוקש כטור טלסקופי: ∑ k = 1 n k 3 = ∑ k = 1 n ( T k 2 − T k − 1 2 ) = T n 2 − T n − 1 2 + T n − 1 2 − T n − 2 2 + … − T 0 2 = T n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}=\sum _{k=1}^{n}{(T_{k}^{2}-T_{k-1}^{2})}=T_{n}^{2}-T_{n-1}^{2}+T_{n-1}^{2}-T_{n-2}^{2}+\ldots -T_{0}^{2}=T_{n}^{2}} נגדיר קבוצה A {\displaystyle A} שאיבריה הם רביעיות סדורות של מספרים בין 0 ל-n (כולל), כך שהאיבר הרביעי בכל רביעייה גדול ממש משלושת האיברים האחרים. בסימונים: A = { ( h , i , j , k ) | 0 ≤ h , i , j < k ≤ n } {\displaystyle A=\{(h,i,j,k)|0\leq h,i,j<k\leq n\}} . לכל k קבוע, h,‏ i ו-j נבחרים בחופשיות מבין המספרים מ-0 עד k-1. כלומר יש k 3 {\displaystyle k^{3}} רביעיות כאלו. ובסך הכל בכל הקבוצה A מספר האיברים הוא:   | A | = ∑ k = 1 n k 3 {\displaystyle \ |A|=\sum _{k=1}^{n}{k^{3}}} נגדיר עתה קבוצה B {\displaystyle B} שאיבריה הם זוגות סדורים של תת-קבוצות בנות שני איברים של קבוצת המספרים מ-0 עד n. כל תת-קבוצה כזו ניתן לאפיין למעשה כזוג סדור עם המגבלה שהאיברים בזוג שונים והגדול יותר נמצא בימין. כלומר:   B = { ( ( w , x ) , ( y , z ) ) | 0 ≤ w < x ≤ n , 0 ≤ y < z ≤ n } {\displaystyle \ B=\{((w,x),(y,z))|0\leq w<x\leq n,0\leq y<z\leq n\}} B מורכבת מזוגות של תת-קבוצות עם שני איברים הנבחרים בחופשיות, ולכן מהגדרת המקדם בינומי ומזהות (3) נובע:   | B | = ( n + 1 2 ) 2 = T n 2 {\displaystyle \ |B|={\binom {n+1}{2}}^{2}=T_{n}^{2}} כעת נציג התאמה חד-חד-ערכית ועל מ-A ל-B: f ( h , i , j , k ) = { ( ( h , i ) , ( j , k ) ) if  h < i ; ( ( j , k ) , ( i , h ) ) if  h > i ; ( ( i , k ) , ( j , k ) ) if  h = i {\displaystyle f(h,i,j,k)={\begin{cases}((h,i),(j,k))&{\mbox{if }}h<i;\\((j,k),(i,h))&{\mbox{if }}h>i;\\((i,k),(j,k))&{\mbox{if }}h=i\end{cases}}} הפונקציה בוודאי חד-חד-ערכית, והיא על כי לכל זוג סודר חוקי ניתן לבנות רביעייה מתאימה. ההתאמה מעידה כי שתי הקבוצות שוות בגודלן, כלומר: ∑ k = 1 n k 3 = | A | = | B | = T n 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{k^{3}}=|A|=|B|=T_{n}^{2}} בספר "Proofs Without Words"‏ (ISBN 978-0-88385-700-7) מובאות שבע הוכחות גאומטריות שונות למשפט. אחת מהן מודגמת באיור הבא: בכל צבע צבועים k {\displaystyle k} ריבועים עם צלע באורך k {\displaystyle k} . כלומר כל צבע מכסה שטח השווה ל- k 3 {\displaystyle k^{3}} (כאשר במקרים הזוגיים אחד הריבועים מפוצל לשניים). כאשר מסדרים את כל השטחים יחדיו לכל 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} נוצר ריבוע עם צלע באורך T n {\displaystyle T_{n}} , ולכן שטחו T n 2 {\displaystyle T_{n}^{2}} . ראשית נבחין בכך ש- k 3 {\displaystyle k^{3}} הוא הסכום של k {\displaystyle k} מספרים אי-זוגיים עוקבים שהממוצע החשבוני שלהם הוא k 2 {\displaystyle k^{2}} . פורמלית: ∑ i = T k − 1 + 1 T k 2 i − 1 = k 3 {\displaystyle \sum _{i=T_{k-1}+1}^{T_{k}}{2i-1}=k^{3}} . כעת נבחן את סכום האי-זוגיים מ-1 עד 2 T n − 1 {\displaystyle 2T_{n}-1} : ∑ i = 1 T n 2 i − 1 = ∑ k = 1 n ∑ i = T k − 1 + 1 T k 2 i − 1 = ∑ k = 1 n k 3 {\displaystyle \sum _{i=1}^{T_{n}}{2i-1}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{i=T_{k-1}+1}^{T_{k}}{2i-1}=\sum _{k=1}^{n}{k^{3}}} למשל סכום האי זוגיים מ-1 עד 19 הוא: 1 + ( 3 + 5 ) + ( 7 + 9 + 11 ) + ( 13 + 15 + 17 + 19 ) = 1 + 8 + 27 + 64 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 {\displaystyle 1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19)=1+8+27+64=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}} מצד שני את סכום האי-זוגיים מ-1 עד 2 T n − 1 {\displaystyle 2T_{n}-1} ניתן לחשב בעזרת הנוסחה לסכום טור חשבוני (או באמצעות טיעון גאומטרי) ולקבל שהוא שווה ל- T n 2 {\displaystyle T_{n}^{2}} כנדרש. יאקוב ברנולי מצא נוסחה כללית לחישוב סכום חזקות כלשהן של n המספרים הראשונים: ∑ k = 1 n k m = 1 m + 1 ∑ i = 0 m ( − 1 ) i ( m + 1 i ) B i n m + 1 − i {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}(-1)^{i}{\binom {m+1}{i}}B_{i}n^{m+1-i}} כאשר B i {\displaystyle B_{i}} הוא מספר ברנולי ה-i. כאשר m אי-זוגי, הסכום הוא תמיד פולינום, ללא מקדם חופשי, ב- T n {\displaystyle T_{n}} . שתי הוכחות קומבינטוריות של ∑ k 3 = ( n + 1 2 ) 2 {\displaystyle \scriptstyle \sum k^{3}={n+1 \choose 2}^{2}} (באנגלית) סכימת מספרים מעוקבים באמצעות ספירת מלבנים (באנגלית) הוכחה גאומטרית (באנגלית) משפט ניקומאכוס, באתר MathWorld (באנגלית) בסכום יש T k − T k − 1 = k {\displaystyle T_{k}-T_{k-1}=k} מחיבורים (זהות (1)) והממוצע שלהם הוא אכן ( 2 ( T k − 1 + 1 ) − 1 ) + ( 2 T k − 1 ) 2 = T k − 1 + T k = k 2 {\displaystyle {\frac {(2(T_{k-1}+1)-1)+(2T_{k}-1)}{2}}=T_{k-1}+T_{k}=k^{2}} (זהות (2)) כנדרש.