ערך בנזף

ערך בנזף או מדד הכוח של בנזף (באנגלית: Banzhaf power index) הוא מושג בתורת המשחקים, המנסה לתת מדד לכוחו של שחקן במשחק פשוט. משחק פשוט הוא סוג של משחק שיתופי בצורה קואליציונית ( N ; v ) {\displaystyle \left(N;v\right)} בו שוויה של קואליציה הוא תמיד 0 או 1. אם הערך הוא 1 נאמר שזו קואליציה מנצחת ואם הוא 0 נאמר שזו קואליציה מפסידה. משחק ( N ; v ) {\displaystyle \left(N;v\right)} נקרא מונוטוני אם לכל שתי קואליציות S ו- T, המקיימות S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} , מתקיים v ( S ) ≤ v ( T ) {\displaystyle v(S)\leq v(T)} . עבור משחק פשוט מונוטוני ( N ; v ) {\displaystyle \left(N;v\right)} , המקיים v ( N ) = 1 {\displaystyle v(N)=1\,\!} , ועבור שחקן i {\displaystyle i} כלשהו, נגדיר את הערך B i ( N ; v ) {\displaystyle B_{i}(N;v)\,\!} כמספר הקואליציות S {\displaystyle S} המקיימות v ( S ) = 0 {\displaystyle v(S)=0\,\!} וכן v ( S ∪ { i } ) = 1 {\displaystyle v(S\cup \{i\})=1} . כלומר, B i ( N ; v ) {\displaystyle B_{i}(N;v)\,\!} הוא מספר הקואליציות ששחקן i {\displaystyle i} בהצטרפותו אליהן מעביר אותן ממפסידות למנצחות (במקרה זה נאמר כי i {\displaystyle i} הוא שחקן ציר). נגדיר את ערך בנזף של שחקן i במשחק ( N ; v ) {\displaystyle \left(N;v\right)} להיות: B Z i = B i ( N ; v ) ∑ j ∈ N B j ( N ; v ) {\displaystyle BZ_{i}={\frac {B_{i}(N;v)}{\sum _{j\in N}B_{j}(N;v)}}} נניח כי כל שחקן בוחר באקראי ובאופן בלתי תלוי בחבריו כיצד להצביע. נצטמצם למרחב הסתברותי בו החלטה עוברת על חודו של קול. כלומר, רק על ידי קואליציות מנצחות מינימליות בגודלן. אם מספר הקואליציות המנצחות המינימליות הוא k {\displaystyle k\,\!} , ושחקן i {\displaystyle i\,\!} הוא שחקן ציר ב- B i {\displaystyle B_{i}\,\!} מתוכן, אז ההסתברות שיהיה שחקן ציר היא בדיוק B i k {\displaystyle {\frac {B_{i}}{k}}} . ערכי בנזף מתקבלים מהנרמול של סכום ההסתברויות ∑ j ∈ N B j k {\displaystyle \sum _{j\in N}{\frac {B_{j}}{k}}} ל-1. ואכן: מ- α ∑ j ∈ N B j k = 1 {\displaystyle \alpha \sum _{j\in N}{\frac {B_{j}}{k}}=1} נקבל: α = k ∑ j ∈ N B j {\displaystyle \alpha ={\frac {k}{\sum _{j\in N}B_{j}}}} , ואז, הגודל α ⋅ B i k {\displaystyle \alpha \cdot {\frac {B_{i}}{k}}} הוא בדיוק B Z i {\displaystyle BZ_{i}\,\!} . לכן, ערך בנזף הוא גודל השוואתי. כלומר, ניתן לומר שאם ערך בנזף של שחקן 1 גדול פי b מזה של שחקן 2, אזי הסיכוי ששחקן 1 יהיה שחקן ציר גדול פי b מהסיכוי ששחקן 2 יהיה שחקן ציר. נתבונן במשחק פשוט של ועדה בת 4 חברים הנדרשת להעביר החלטה כלשהי. לחבר A יש 4 קולות, לחבר B - שלושה קולות, לחבר C - שני קולות, ולחבר D יש קול אחד. כדי להעביר החלטה, יש צורך במינימום של 6 קולות. לכן, לחישוב ערכי בנזף של השחקנים, נתבונן ברשימת הקואליצות המנצחות כששחקני הציר בכל קואליציה מודגשים: AB, AC, ABC, ABD, ACD, BCD, ABCD לכן, סך כל האפשרויות בהן שחקן כלשהו יהיה שחקן ציר הוא 12, וזהו שווי המכנה בערך בנזף. ולבסוף: שחקן A הוא שחקן ציר 5 פעמים, ולכן B Z A = B A ( N ; v ) ∑ j ∈ N B j ( N ; v ) = 5 12 {\displaystyle BZ_{A}={\frac {B_{A}(N;v)}{\sum _{j\in N}B_{j}(N;v)}}={\frac {5}{12}}} באופן דומה: B Z B = 3 12 {\displaystyle BZ_{B}={\frac {3}{12}}} B Z C = 3 12 {\displaystyle BZ_{C}={\frac {3}{12}}} B Z D = 1 12 {\displaystyle BZ_{D}={\frac {1}{12}}} המושג המוכר כיום כמדד הכוח של בנזף, הוצג עוד ב-1946 במאמר מאת הגנטיקאי והמתמטיקאי ליונל פנרוז (אביו של רוג'ר פנרוז) אשר לא זכה לתשומת לב רבה. הוא הומצא בשנית על ידי ג'ון בנזף השלישי ב-1965. בנזף היה משפטן ורצה להראות בצורה אובייקטיבית כי שיטת ההצבעות במועצת מחוז נאסאו בלונג איילנד אינה הוגנת. במועצת המחוז ההצבעות היו ממושקלות, כשלנציגי אזורים שונים היה משקל שונה. חלוקת משקלי הקולות הייתה כלדקמן: המפסטד #1: 9 המפסטד #2: 9 צפון המפסטד: 7 אוייסטר ביי: 3 גלן קוב: 1 לונג ביצ': 1 כלומר המשקל הכולל של הקולות הוא 30 וכדי להעביר החלטה היה צורך במינימום של משקל 16. בחישוב מדד בנזף במקרה זה יש סך הכל 48 מקרים של שחקן ציר, ותוצאות מדד בנזף היו: המפסטד #1: 16/48 המפסטד #2: 16/48 צפון המפסטד: 16/48 אוייסטר ביי: 0 גלן קוב: 0 לונג ביצ': 0 כלומר, ההסתברות ששלושת האזורים האחרונים יוכלו להיות שחקני ציר היא 0. בנזף טען שמתן 0% השפעה על פי המדד המוצע ל-3 אזורים אינו הוגן. מאז עבודתו של בנזף המדד הנושא את שמו בנזף משמש מדד מקובל למדידת כוח הצבעה, לצד מדד הכוח של שפלי ושוביק. כך, למשל, בנזף עצמו טען ב-1968 כי בשיטת הבחירה של נשיא ארצות הברית באמצעות חבר האלקטורים יש עדיפות לבוחרים ממדינות גדולות. עם זאת, מדד בנזף ספג ביקורת על התייחסותו להחלטות המצביעים כהחלטות אקראיות, וניסויים אמפיריים הראו תוצאות שאינן עקביות עם המדד. מדד הכוח של שפלי ושוביק שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946 .Penrose, Lionel (1946), "The Elementary Statistics of Majority Voting", Journal of the Royal Statistical Society 109 (1): 53–57, Banzhaf, John F. (1965), "Weighted voting doesn't work: A mathematical analysis", Rutgers Law Review 19 (2): 317–343 Andrew Gelman, Jonathan N. Katz, and Francis Tuerlinckx, The mathematics and statistics of voting power, Statist. Sci. Volume 17, Issue 4 (2002), 420-435