שדה וקטורי

במתמטיקה שדה וקטורי הוא פונקציה חלקה בין יריעה לבין האגד המשיק ליריעה, כך שלכל נקודה מותאם וקטור משיק באותה הנקודה. במילים אחרות שדה וקטורי הוא חתך חלק מעל האגד המשיק של היריעה. מקרה פרטי נפוץ, עבור יריעות שהן תתי-קבוצות של מרחב אוקלידי הוא פונקציה המשייכת וקטור לכל נקודה במרחב. שדה וקטורי הוא למעשה הרחבה של שדה סקלרי. בזמן ששדה סקלרי הוא פונקציה המוגדרת f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } , שדה וקטורי מוגדר f : R n → R n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} שדות וקטוריים, בעיקר בתלת-ממד שבו n = 3 {\displaystyle n=3} , הם דבר שימושי בפיזיקה למידול של תופעות כגון זרימה של נוזלים: שדה וקטורי מתאים עבור כל נקודה את גודל הזרם וכיוונו, או שדות כח (חשמלי, מגנטי...) בהם הווקטור הוא הכוח. שדה וקטורי בתלת-ממד אשר מיוצג בקואורדינטות קרטזיות הוא למעשה שלוש פונקציות סקלריות ונרשם כ-   F → ( x , y , z ) = ( P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) ) {\displaystyle \ {\vec {F}}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))} השדה הווקטורי יכול גם להיות פרמטרי, אם הנעלמים הם פונקציה של נעלמים אחרים. במקרה של הדוגמה הנ"ל, השדה הוא פרמטרי אם כל הנעלמים הם פונקציה של אותו הנעלם t {\displaystyle t}  :   F → ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) = ( P ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , Q ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) , R ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) ) {\displaystyle \ {\vec {F}}\left(x(t),y(t),z(t)\right)=(P(x(t),y(t),z(t)),Q(x(t),y(t),z(t)),R(x(t),y(t),z(t)))} ערך מורחב – שטף באופן אינטואיטיבי, השטף של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הווקטורי העוברת דרך משטח מסוים ליחידת זמן. שטף כזה נהוג להגדיר עבור שדה חשמלי ושדה מגנטי וכן עבור שדות כוח נוספים. אם קיים שדה וקטורי קבוע v → {\displaystyle {\vec {v}}} ונדרש לדעת כמה שדה וקטורי עובר דרך משטח מרובע (מסגרת ריבועית מלאה) בעל שטח A, אזי השטף מוגדר להיות:   flux = Φ v = v → ⋅ A → = | v | | a | cos ⁡ θ {\displaystyle \ {\mbox{flux}}=\Phi _{v}={\vec {v}}\cdot {\vec {A}}=|v||a|\cos \theta } כאן: הווקטור A → {\displaystyle {\vec {A}}} הוא וקטור המשטח, שגודלו הוא כשטח המשטח, וכיוונו הוא ניצב למשטח (וקטור נורמל). הזווית θ {\displaystyle \theta \!} היא הזווית שבין וקטור השדה לווקטור המשטח. כאשר וקטור השדה ווקטור המשטח מקבילים זה לזה, השטף הוא מקסימלי ומרב העוצמה בוקעת דרך המשטח. לעומת זאת, כאשר השדה הווקטורי מאונך לווקטור המשטח, השטף שווה לאפס ואז לא עוברת שום עוצמה דרך המסגרת. מהגדרה זו מקבלים כי יחידות השטף הן היחידות של הווקטור v → {\displaystyle {\vec {v}}} כפול יחידות שטח. כאשר עוסקים במשטח כלשהו ושדה וקטורי שאיננו אחיד במרחב, מגדירים שטף דיפרנציאלי בכל אלמנט שטח של המשטח ואז מבצעים אינטגרציה על פני המשטח:   Φ v = ∫ A d Φ ( A ) = ∫ A v → ⋅ d A → {\displaystyle \ \Phi _{v}=\int _{A}{d\Phi (A)}=\int _{A}{{\vec {v}}\cdot d{\vec {A}}}} משפט חשוב מאוד לגבי שטף הוא משפט גאוס (הקרוי גם "משפט הדיברגנץ") הקובע שאינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי על דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:   ∮ ∂ V v → ⋅ d A → = ∫ V ∇ → ⋅ v →   d V {\displaystyle \ \oint _{\partial V}{{\vec {v}}\cdot d{\vec {A}}}=\int _{V}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {v}}\ dV}} יחידת המידה הסטנדרטית למדידת שטף מגנטי היא ובר וסימולו Wb. שדה סקלרי שדה (פיזיקה) מדיה וקבצים בנושא שדה וקטורי בוויקישיתוף שדה וקטורי, באתר MathWorld (באנגלית) ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.