איזומורפיזם

במתמטיקה, אִיזוֹמוֹרְפִיזְם הוא התאמה בין שני מבנים מתמטיים באופן ששומר על המאפיינים המגדירים את המבנה. מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם הם איזומורפיים זה לזה. קיומה של ההתאמה מראה ששני המבנים זהים מכל בחינה בעלת עניין במסגרת התורה העוסקת בהם, גם אם הם נקראים בשמות שונים. מקור המלה מיוונית: "אִיזוֹס" (שווה) ו"מוֹרפֶה" (מבנה). בכמה מקרים קוראים למבנים איזומורפיים בשם מיוחד: איזומורפיזם של מרחבים טופולוגיים נקרא "הומיאומורפיזם", איזומורפיזם של יריעות דיפרנציאליות נקרא "דיפאומורפיזם", ואיזומורפיזם של מרחבים מטריים נקרא "איזומטריה". השם הייחודי מדגיש תכונות מסוימות של המבנה ומונע בלבול (למשל, בשאלה האם שני מרחבים מטריים איזומורפיים ככאלה, או רק כמרחבים טופולוגיים). את המונח "איזומורפיזם" טבע המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר במאה ה-19 כדי לתאר קשר בין שני מבנים אלגבריים שהם "בעיקרם זהים". עם זאת, לרעיון האיזומורפיזם יש היסטוריה ארוכה יותר וניתן לייחסו לעבודותיהם של מתמטיקאים מוקדמים יותר כמו אווריסט גלואה ואוגוסטן לואי קושי, אף הם בני המאה ה-19.[דרוש מקור] אם S 1 {\displaystyle S_{1}} ו- S 2 {\displaystyle S_{2}} הם שני מבנים מתמטיים של אותה שפה L {\displaystyle L} של תחשיב היחסים, אז פונקציה H : S 1 → S 2 {\displaystyle H\colon S_{1}\to S_{2}} נקראת איזומורפיזם ביניהם אם: לכל קבוע a {\displaystyle a} של השפה L {\displaystyle L} מתקיים H ( S 1 ( a ) ) = S 2 ( a ) {\displaystyle H(S_{1}(a))=S_{2}(a)} . עבור כל פעולה n {\displaystyle n} -מקומית F {\displaystyle F} של L {\displaystyle L} : לכל a 1 , . . . , a n ∈ S 1 {\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in S_{1}} מתקיים H ( S 1 ( F ( a 1 , . . . , a n ) ) ) = S 2 ( F ( H ( a 1 ) , . . . , H ( a n ) ) ) {\displaystyle H(S_{1}(F(a_{1},...,a_{n})))=S_{2}(F(H(a_{1}),...,H(a_{n})))} . עבור כל יחס n {\displaystyle n} -מקומי R {\displaystyle R} של L {\displaystyle L} , לכל a 1 , . . . , a n ∈ S 1 {\displaystyle a_{1},...,a_{n}\in S_{1}} מתקיים S 1 ( R ( a 1 , . . . , a n ) ) {\displaystyle S_{1}(R(a_{1},...,a_{n}))} אם ורק אם S 2 ( R ( H ( a 1 ) , . . . , H ( a n ) ) ) {\displaystyle S_{2}(R(H(a_{1}),...,H(a_{n})))} . H {\displaystyle H} חד-חד ערכית מ- S 1 {\displaystyle S_{1}} על S 2 {\displaystyle S_{2}} . כשקיימת כזו פונקציה בין שני מבנים S 1 {\displaystyle S_{1}} ו- S 2 {\displaystyle S_{2}} , אומרים שהמבנים איזומורפיים ומסמנים S 1 ≅ S 2 {\displaystyle S_{1}\cong S_{2}} . פונקציה המקיימת את שלוש הדרישות הראשונות נקראת הומומורפיזם. אם S 1 = S 2 {\displaystyle S_{1}=S_{2}} , אז הומומורפיזם נקרא "אנדומורפיזם", ואיזומורפיזם נקרא אוטומורפיזם. בתורת הקטגוריות, מורפיזם f : a → b {\displaystyle f\colon a\to b} בקטגוריה C {\displaystyle C} נקרא "איזומורפיזם", אם הוא הפיך בקטגוריה, כלומר, קיים מורפיזם g : b → a {\displaystyle g\colon b\to a} כך שמתקיים f ∘ g = 1 b {\displaystyle f\circ g=1_{b}} ו- g ∘ f = 1 a {\displaystyle g\circ f=1_{a}} . בקטגוריות רבות ההגדרה הזו מתלכדת עם ההגדרה הקודמת, אך הדבר אינו נכון באופן כללי. אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הן שתי חבורות, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} כך שעבור כל צמד איברים α , β ∈ A {\displaystyle \alpha ,\beta \in A} מתקיים f ( α ⋅ β ) = f ( α ) ⋅ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \cdot \beta )=f(\alpha )\cdot f(\beta )} , אז A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} איזומורפיות זו לזו. אפשר להבין את ה"שוויון" בין החבורות, על ידי כך שנסמן את האיברים f ( α ) , f ( β ) ∈ B {\displaystyle f(\alpha ),f(\beta )\in B} פשוט כ α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } . לכן אפשר לראות שלכל מטרה מעשית, ההבדל בין החבורות הוא הבדל בסימון בלבד. אפשר לראות שהאיזומורפיזם מקיים יחס שקילות: רפלקסיביות - ניקח חבורה A {\displaystyle A} ונגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל f : A → A {\displaystyle f\colon A\to A} כך שעבור כל איבר α ∈ A {\displaystyle \alpha \in A} מתקיים f ( α ) = α {\displaystyle f(\alpha )=\alpha } . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן A ≅ A {\displaystyle A\cong A} . סימטריות - עבור צמד חבורות איזומורפיות, A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} , כשפונקציית האיזומורפיזם ביניהן היא f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} , נגדיר פונקציה חד-חד ערכית ועל f − 1 : B → A {\displaystyle f^{-1}\colon B\to A} כך שעבור כל איבר α ∈ A {\displaystyle \alpha \in A} מתקיים f − 1 ( f ( α ) ) = α {\displaystyle f^{-1}(f(\alpha ))=\alpha } . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן גם B ≅ A {\displaystyle B\cong A} . טרנזיטיביות - אם עבור שלוש החבורות A , B {\displaystyle A,B} ו- C {\displaystyle C} , קיימות פונקציות f A → B : A → B {\displaystyle f_{A\to B}\colon A\to B} ו- f B → C : B → C {\displaystyle f_{B\to C}\colon B\to C} שמקיימות את תנאי האיזומורפיזם, אז אפשר להגדיר פונקציה שלישית f A → C : A → C {\displaystyle f_{A\to C}\colon A\to C} כך שעבור כל איבר α ∈ A {\displaystyle \alpha \in A} מתקיים f A → C ( α ) = f B → C ( f A → B ( α ) ) {\displaystyle f_{A\to C}(\alpha )=f_{B\to C}(f_{A\to B}(\alpha ))} . אפשר לראות שהפונקציה הזו מקיימת את תנאי האיזומורפיזם, ולכן A ≅ C {\displaystyle A\cong C} . החבורה A ≡ { 1 , − 1 , i , − i } {\displaystyle A\equiv \{1,-1,i,-i\}} תחת פעולת הכפל, היא איזומורפית לחבורה B ≡ { 0 , 1 , 2 , 3 } {\displaystyle B\equiv \{0,1,2,3\}} תחת פעולת החיבור מודולו 4. פונקציית האיזומורפיזם היא f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = i , f ( 2 ) = − 1 , f ( 3 ) = − i {\displaystyle f(0)=1,f(1)=i,f(2)=-1,f(3)=-i} . החבורה C ≡ { ( 1 0 0 1 ) , ( 0 − 1 1 0 ) , ( − 1 0 0 − 1 ) , ( 0 1 − 1 0 ) } {\displaystyle C\equiv \left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\right\}} תחת פעולת הכפל איזומורפית ל- A {\displaystyle A} (ולכן, גם ל- B {\displaystyle B} ). פונקציית האיזומורפיזם היא f ( ( 1 0 0 1 ) ) = 1 , f ( ( 0 − 1 1 0 ) ) = i , f ( ( 0 1 − 1 0 ) ) = − i , f ( ( − 1 0 0 − 1 ) ) = − 1 {\displaystyle f\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right)=1,f\left({\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\right)=i,f\left({\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\right)=-i,f\left({\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right)=-1} . עבור החבורה A {\displaystyle A} מתקיים אוטומורפיזם, כשפונקציית האוטומורפיזם היא f ( 1 ) = 1 , f ( − i ) = i , f ( − 1 ) = − 1 , f ( i ) = − i {\displaystyle f(1)=1,f(-i)=i,f(-1)=-1,f(i)=-i} . באופן דומה, גם עבור B {\displaystyle B} ו- C {\displaystyle C} מתקיים אוטומורפיזם. חבורת כל המספרים השלמים ( Z = { … , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}} ), תחת פעולת החיבור, איזומרפית לחבורת המספרים השלמים והחצי שלמים (כלומר { … , − 1 1 2 , − 1 , − 1 2 , 0 , 1 2 , 1 , 1 1 2 , … } {\displaystyle \left\{\dots ,-1{\frac {1}{2}},-1,-{\frac {1}{2}},0,{\frac {1}{2}},1,1{\frac {1}{2}},\dots \right\}} ), פונקציית האיזומורפיזם היא f ( n ) = n 2 {\displaystyle f(n)={\frac {n}{2}}} . הפונקציה f ( n ) = − n {\displaystyle f(n)=-n} עבור חבורת המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } היא אוטומורפיזם. באופן דומה, אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הם שני חוגים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל f : A ↦ B {\displaystyle f:A\mapsto B} כך שעבור כל צמד איברים α , β ∈ A {\displaystyle \alpha ,\beta \in A} מתקיים f ( α ⋅ β ) = f ( α ) ⋅ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \cdot \beta )=f(\alpha )\cdot f(\beta )} , f ( α + β ) = f ( α ) + f ( β ) {\displaystyle f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )} וגם f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} (התנאי האחרון רלוונטי רק לחוגים עם יחידה) אז A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} איזומורפיים זה לזה. באופן דומה, אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הם שני מודולים שמאליים מעל חוג R {\displaystyle R} , וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} כך שעבור כל צמד איברים α , β ∈ A {\displaystyle \alpha ,\beta \in A} מתקיים f ( α + β ) = f ( α ) + f ( β ) {\displaystyle f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )} , וגם עבור כל r ∈ R {\displaystyle r\in R} מתקיים f ( r α ) = r f ( α ) {\displaystyle f(r\alpha )=rf(\alpha )} , אז A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} איזומורפיים זה לזה. בנוסף, אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הם שני מודולים שמאליים מעל שני חוגים R A , R B {\displaystyle R_{A},R_{B}} איזומורפיים, כשהאיזומורפיזם בין שני החוגים הוא g : R A → R B {\displaystyle g\colon R_{A}\to R_{B}} וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} כך שעבור כל צמד איברים α , β ∈ A {\displaystyle \alpha ,\beta \in A} מתקיים f ( α + β ) = f ( α ) + f ( β ) {\displaystyle f(\alpha +\beta )=f(\alpha )+f(\beta )} , וגם עבור כל r ∈ R A {\displaystyle r\in R_{A}} מתקיים f ( r α ) = g ( r ) f ( α ) {\displaystyle f(r\alpha )=g(r)f(\alpha )} אז A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} איזומורפיים זה לזה. באופן דומה, אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הן שתי אלגברות שמקיימות את תנאי האיזומורפיות כמודול עבור הפונקציה f : A → B {\displaystyle f\colon A\to B} ובנוסף עבור כל צמד איברים α , β ∈ A {\displaystyle \alpha ,\beta \in A} מתקיים f ( α ⋆ β ) = f ( α ) ⋆ f ( β ) {\displaystyle f(\alpha \star \beta )=f(\alpha )\star f(\beta )} , אז A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} איזומורפיות זו לזו. אם ( V 1 , E 1 ) {\displaystyle (V_{1},E_{1})} ו- ( V 2 , E 2 ) {\displaystyle (V_{2},E_{2})} הם שני גרפים, וקיימת פונקציה חד-חד ערכית ועל f : V 1 → V 2 {\displaystyle f\colon V_{1}\to V_{2}} כך שקיימת קשת ב- E 1 {\displaystyle E_{1}} בין v ∈ V 1 {\displaystyle v\in V_{1}} לבין u ∈ V 1 {\displaystyle u\in V_{1}} אם ורק אם קיימת קשת ב E 2 {\displaystyle E_{2}} בין f ( v ) ∈ V 2 {\displaystyle f(v)\in V_{2}} לבין f ( u ) ∈ V 2 {\displaystyle f(u)\in V_{2}} אז הגרפים איזומורפיים זה לזה. קבוצות סדורות הן איזומורפיות אם יש ביניהן פונקציה חד-חד-ערכית ועל, השומרת על יחס הסדר. הומומורפיזם משפטי האיזומורפיזם איזומורפיזם, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) איזומורפיזם, באתר MathWorld (באנגלית) איזומורפיזם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) איזומורפיזם (מתמטיקה), דף שער בספרייה הלאומית