משפט הצפיפות הכללי

באלגברה, משפט הצפיפות הכללי (General density theorem) הוא משפט על מודולים פשוטים למחצה וההצגה הרגולרית מעליהם. ממשפט זה נובע משפט הצפיפות של ג'ייקובסון, אשר בעזרתו מוכיחים את משפט ודרברן-ארטין. יהי מודול שמאלי R M {\displaystyle _{R}M} מעל חוג R {\displaystyle R} . יהי T = End ⁡ ( R M ) {\displaystyle T=\operatorname {End} (_{R}M)} חוג האנדומורפיזמים של M {\displaystyle M} , כמודול שמאלי מעל R {\displaystyle R} . אזי M {\displaystyle M} הוא מודול ימני מעל T {\displaystyle T} לפי הפעולה x ⋅ S = S ( x ) {\displaystyle x\cdot S=S(x)} , ולמעשה הוא מהווה בי-מודול, שמאלי מעל R {\displaystyle R} וימני מעל T {\displaystyle T} . יהי R ^ = End ⁡ ( M T ) {\displaystyle {\hat {R}}=\operatorname {End} (M_{T})} , חוג האנדומורפיזמים מעל M {\displaystyle M} בתור מודול ימני מעל T = End ⁡ ( M ) {\displaystyle T=\operatorname {End} (M)} , ונגדיר ϕ : R → R ^ {\displaystyle \phi :R\to {\hat {R}}} על ידי a ↦ [ x ↦ a x ] {\displaystyle a\mapsto [x\mapsto ax]} . זהו הומומורפיזם בין חוגים, בעל גרעין ker ⁡ ϕ = Ann ⁡ ( R M ) = { a ∈ R : a M = 0 } {\displaystyle \ker \phi =\operatorname {Ann} (_{R}M)=\{a\in R:aM=0\}} , המאפס של R M {\displaystyle _{R}M} , ולכן מהווה שיכון כאשר המודול נאמן. תת חוג R 0 ⊆ R ^ {\displaystyle R_{0}\subseteq {\hat {R}}} נקרא n {\displaystyle n} -צפוף ב- R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} אם לכל ϕ ∈ R ^ {\displaystyle \phi \in {\hat {R}}} ולכל x 1 , … , x n ∈ R M T {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in _{R}M_{T}} קיים ϕ 0 ∈ R 0 {\displaystyle \phi _{0}\in R_{0}} כך ש- ϕ ( x i ) = ϕ 0 ( x i ) = a 0 x i {\displaystyle \phi (x_{i})=\phi _{0}(x_{i})=a_{0}x_{i}} . מונח זה באמת מתאר צפיפות במובן הטופולוגי - ניתן להגדיר טופולוגיה על R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} , בעלת תת-בסיס המורכב מהקבוצות B ( φ , x ) = { ψ ∈ R ^ : ψ ( x ) = φ ( x ) } {\displaystyle B(\varphi ,x)=\{\psi \in {\hat {R}}:\psi (x)=\varphi (x)\}} . נובע ש- R 0 ⊆ R ^ {\displaystyle R_{0}\subseteq {\hat {R}}} הוא n {\displaystyle n} -צפוף לכל n {\displaystyle n} אם ורק אם הוא צפוף במובן הטופולוגי. יהי R M {\displaystyle _{R}M} מודול פשוט למחצה. אז תמונת R {\displaystyle R} ב- R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} צפופה. כלומר: לכל ϕ ∈ R ^ {\displaystyle \phi \in {\hat {R}}} ולכל x 1 , … , x n ∈ R {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in R} קיים a ∈ R {\displaystyle a\in R} כך ש- ϕ ( x i ) = a x i {\displaystyle \phi (x_{i})=ax_{i}} . ניעזר בלמה: למה: נניח ש- M = N ⊕ N ′ {\displaystyle M=N\oplus N'} , אז לכל φ ∈ R {\displaystyle \varphi \in R} מתקיים φ ( N ) ⊆ N {\displaystyle \varphi (N)\subseteq N} . הוכחת הלמה: ידוע כי כאשר M = N ⊕ N ′ {\displaystyle M=N\oplus N'} קיים אידמפוטנט e ∈ T {\displaystyle e\in T} כך ש- Im ⁡ ( e ) = N {\displaystyle \operatorname {Im} (e)=N} . לכן, מתקיים φ ( e ( x ) ) = φ ( x e ) = φ ( x ) e = e ( φ ( x ) ) ∈ Im ⁡ ( e ) = N {\displaystyle \varphi (e(x))=\varphi (xe)=\varphi (x)e=e(\varphi (x))\in \operatorname {Im} (e)=N} . כעת, נוכיח את ש- ϕ ( R ) {\displaystyle \phi (R)} היא 1-צפופה ב- R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} . לכל x ∈ M {\displaystyle x\in M} , נביט ב- N = R x {\displaystyle N=Rx} ; לפי הלמה: φ ( x ) ∈ ϕ ( R x ) ⊆ R x {\displaystyle \varphi (x)\in \phi (Rx)\subseteq Rx} , כלומר קיים a ∈ R {\displaystyle a\in R} כך ש- φ ( x ) = a x {\displaystyle \varphi (x)=ax} , כדרוש. לכל n {\displaystyle n} אחר, נפעיל את המקרה הקודם עבור M n {\displaystyle M^{n}} , עבורו M n ≅ M n ( T ) {\displaystyle M^{n}\cong M_{n}(T)} , חוג מטריצות מעל T {\displaystyle T} . לפי המקרה n = 1 {\displaystyle n=1} , תמונת R {\displaystyle R} היא 1-צפופה ב- R ^ n = End ⁡ ( M T n n ) {\displaystyle {\hat {R}}^{n}=\operatorname {End} (M_{T^{n}}^{n})} . כעת נגדיר φ n = φ ⊕ ⋯ ⊕ φ {\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi \oplus \dots \oplus \varphi } ; מתקיים ϕ n ∈ R ^ n {\displaystyle \phi ^{n}\in {\hat {R}}^{n}} , ולכן לפי החלק n = 1 {\displaystyle n=1} יש a ∈ R {\displaystyle a\in R} כך ש- φ n ( x ¯ ) = a x ¯ {\displaystyle \varphi ^{n}({\bar {x}})=a{\bar {x}}} , כלומר φ ( x i ) = a x i {\displaystyle \varphi (x_{i})=ax_{i}} , כדרוש. מקרה פרטי וחשוב של משפט הצפיפות הכללי הוא משפט הצפיפות של ג'ייקובסון (Jacobson density theorem), על שם המתמטיקאי נתן ג'ייקובסון. יהי R M {\displaystyle _{R}M} מודול פשוט ונאמן, ונסמן D = End ⁡ ( R M ) {\displaystyle D=\operatorname {End} (_{R}M)} . אזי לכל y 1 , … , y n ∈ M D {\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\in M_{D}} ולכל x 1 , … , x n ∈ M D {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in M_{D}} בלתי תלויים מעל D {\displaystyle D} , קיים a ∈ R {\displaystyle a\in R} כך ש- a x i = y i {\displaystyle ax_{i}=y_{i}} . M {\displaystyle M} פשוט ולכן פשוט למחצה, ולפי הלמה של שור D {\displaystyle D} חוג עם חילוק. לכן, ניתן להשלים את x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} לבסיס. נגדיר φ ∈ End ⁡ ( M D ) {\displaystyle \varphi \in \operatorname {End} (M_{D})} על ידי φ ( x i ) = y i {\displaystyle \varphi (x_{i})=y_{i}} ולכל איבר בסיס אחר אפס. כעת נפעיל את משפט הצפיפות הכללי, ונקבל שקיים a ∈ R {\displaystyle a\in R} כך ש- a x i = y i {\displaystyle ax_{i}=y_{i}} , כדרוש. משפט הצפיפות של ג'ייקובסון הוא משפט חשוב בתורת המבנה של חוגים לא קומוטטיביים. כמסקנה מידית, נקבל כי אם dim ⁡ ( D ) < ∞ {\displaystyle \operatorname {dim} (D)<\infty } , אז R ≅ M n ( D ) {\displaystyle R\cong M_{n}(D)} . האיזומורפיזם נתון, בעזרת משפט הצפיפות, כך: נקבע בסיס x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} עבור D {\displaystyle D} . לכל a ∈ R {\displaystyle a\in R} מתאימים את ההעתקה ∑ x i d i ↦ ∑ a x i d i {\displaystyle \sum {x_{i}d_{i}}\mapsto \sum {ax_{i}d_{i}}} ; מיפוי זה מוגדר היטב, חד-חד ערכי (כי M {\displaystyle M} נאמן), ועל בגלל משפט הצפיפות - לכל מטריצה (או בשקילות אנדומורפיזם מעל D {\displaystyle D} ) הפעולה על הבסיס (הסופי) נקבעת על ידי כפל משמאל באיבר כלשהו a {\displaystyle a} . משפט ודרברן-ארטין, הקובע את המבנה של חוגים ארטיניים פשוטים, נובע מהמסקנה לעיל כמעט ישירות. משפט ודרברן-ארטין