שיטת המקדמים הלא ידועים

במתמטיקה, שיטת המקדמים הלא ידועים (באנגלית: Method of undetermined coefficients) היא גישה למציאת פתרון פרטי למשוואות דיפרנציאליות רגילות לא-הומוגניות מסוימות. היא קשורה באופן הדוק ל"שיטת אופרטורי החיסול", שיטה במסגרתה עושים שימוש בסוג מסוים של אופרטור דיפרנציאלי בשביל להגיע ל"ניחוש מושכל" באשר לצורת הפתרון המתאימה, אשר נבדק לאחר מכן ביותר פירוט באמצעות הצבתו במשוואה הדיפרנציאלית. על אף פשטותה הרבה יותר, שיטת המקדמים הלא ידועים אינה כללית כמו שיטת וריאציית הפרמטר, ומשום שהיא עובדת רק על משוואות דיפרנציאליות בעלות צורות מיוחדות מסוימות. הרעיון המרכזי מאחורי "הניחושים המושכלים" של שיטת המקדמים הלא ידועים הוא ההנחה שצורת הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הלא-הומוגנית דומה לצורת החלק הלא-הומוגני. רעיון זה מתבסס על "שיטת החיסול" (Annihilator method), שתתואר כעת. בהינתן משוואה דיפרנציאלית ליניארית ולא הומוגנית P ( D ) y = f ( x ) {\displaystyle P(D)y=f(x)} (כאשר הסימון P ( D ) {\displaystyle P(D)} מייצג את האופרטור הדיפרנציאלי התואם למשוואה הדיפרנציאלית), נמצא אופרטור דיפרנציאלי נוסף A ( D ) {\displaystyle A(D)} כך ש- A ( D ) f ( x ) = 0 {\displaystyle A(D)f(x)=0} (במילים אחרות, נמצא משוואה דיפרנציאלית ליניארית ש- f ( x ) {\displaystyle f(x)} הוא פתרון שלה). כעת, נפעיל את A ( D ) {\displaystyle A(D)} על שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית, ונקבל ( A ( D ) P ( D ) ) y = 0 {\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0} . כעת, נכנסת לתמונה אחת התכונות המרכזיות של אופרטורים דיפרנציאליים ליניאריים (כלומר, התואמים למשוואות דיפרנציאליות ליניאריות): העובדה שהם חילופיים, שכן ניתן לדמות את הנגזרת מסדר n של y לחזקה ה-n של אופרטור הגזירה D = d d x {\displaystyle D={\frac {d}{dx}}} , כך שהרכבת אופרטורים דיפרנציאליים ליניאריים שקולה להכפלת פולינומים, שהיא פעולה קומוטטיבית. לפיכך, ניתן להחליף את הסדר של A ( D ) {\displaystyle A(D)} ו- P ( D ) {\displaystyle P(D)} ולקבל: ( P ( D ) A ( D ) ) y = 0 {\displaystyle {\big (}P(D)A(D){\big )}y=0} . כל פתרון השייך למרחב הפתרונות של האופרטור הדיפרנציאלי A ( D ) {\displaystyle A(D)} (מרחב שכולל את f ( x ) {\displaystyle f(x)} ) פותר גם את המשוואה ( P ( D ) A ( D ) ) y = 0 {\displaystyle {\big (}P(D)A(D){\big )}y=0} . נובע מכך שאם P ( D ) y = f ( x ) {\displaystyle P(D)y=f(x)} , אז y פותר את ( A ( D ) P ( D ) ) y = 0 {\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0} ולכן פותר גם את ( P ( D ) A ( D ) ) y = 0 {\displaystyle {\big (}P(D)A(D){\big )}y=0} ; אם מרחבי הפתרונות של המשוואות A ( D ) y = 0 {\displaystyle A(D)y=0} ו- P ( D ) y = 0 {\displaystyle P(D)y=0} זרים, אז עולה מכך ש-y בהכרח משתייך למרחב הפתרונות של A ( D ) {\displaystyle A(D)} , שכן הוא לא יכול לפתור את המשוואה ההומוגנית P ( D ) y = 0 {\displaystyle P(D)y=0} . נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית (הרגילה) הלא-הומוגנית הבאה: ∑ i = 0 n c i y ( i ) + y ( n + 1 ) = g ( x ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)} כאשר y ( i ) {\displaystyle y^{(i)}} מסמל את הנגזרת מסדר i של y {\displaystyle y} , והמקדם c i {\displaystyle c_{i}} הוא פונקציה של x. שיטת המקדמים מספקת שיטה ישירה למציאת הפתרון למשוואה הדיפרנציאלית הרגילה הזאת כאשר שני קריטריונים מתקיימים: המקדמים c i {\displaystyle c_{i}} הם קבועים. g(x) היא קבוע, פונקציה פולינומית, פונקציה מעריכית e α x {\displaystyle e^{\alpha x}} , פונקציות סינוס או קוסינוס sin ⁡ β x {\displaystyle \sin {\beta x}} או cos ⁡ β x {\displaystyle \cos {\beta x}} , או סכומים ומכפלות סופיים של הפונקציות הללו (כאשר α {\displaystyle {\alpha }} , β {\displaystyle {\beta }} הם קבועים). השיטה מורכבת ממציאת הפתרון ההומוגני הכללי y c {\displaystyle y_{c}} למשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית המשלימה ∑ i = 0 n c i y ( i ) + y ( n + 1 ) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,} ולאחר מכן ממציאת פתרון פרטי y p {\displaystyle y_{p}} למשוואה הדיפרנציאלית הלא-הומוגנית המקורית, בהתבסס על הצורה של g ( x ) {\displaystyle g(x)} . הפתרון הכללי y {\displaystyle y} למשוואה המקורית הוא סכום של הפתרון הפרטי והפתרון ההומוגני: y = y c + y p . {\displaystyle y=y_{c}+y_{p}.} אם g ( x ) {\displaystyle g(x)} היא סכום של שתי פונקציות h ( x ) + w ( x ) {\displaystyle h(x)+w(x)} ו- y p 1 {\displaystyle y_{p_{1}}} הוא הפתרון הפרטי המתקבל כאשר לוקחים את g ( x ) {\displaystyle g(x)} להיות שווה ל- h ( x ) {\displaystyle h(x)} , בעוד ש- y p 2 {\displaystyle y_{p_{2}}} הוא הפתרון הפרטי המתקבל כאשר לוקחים את g ( x ) {\displaystyle g(x)} להיות שווה ל- w ( x ) {\displaystyle w(x)} , אז לפי עקרון הסופרפוזיציה הפתרון הפרטי למשוואה המקורית הוא: y p = y p 1 + y p 2 . {\displaystyle y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.} במסגרת שיטת המקדמים, כדי למצוא את הפתרון הפרטי למשוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית מסוימת יש לזהות תחילה את הצורה הכללית של החלק הלא-הומוגני של המשוואה, g ( x ) {\displaystyle g(x)} , ומיד לאחר מכן לנחש את צורת הפתרון, שבמרבית המקרים היא זהה לצורת החלק הלא הומוגני. לאחר מכן, יש לקבוע את המקדמים בצורת הפתרון הפרטי באמצעות פתירת מערכת משוואות ליניאריות מתאימה. שיטת המקדמים מצמצמת את הפתרון של משוואות דיפרנציאליות לא הומוגניות מסוימות לפתרון ישיר של מערכת משוואות ליניארית. להלן מובאת טבלה של הצורות המיוחדות, הניתנות לפתרון בשיטה זו, של g ( x ) {\displaystyle g(x)} : הערה: ∑ i = 0 n k i x i {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}} הוא פולינום ממעלה n {\displaystyle n} . אם איבר מסוים בצורה הכללית של הפתרון הפרטי מופיע גם במרחב הפתרונות של המשוואה ההומוגנית המתאימה, אז נדרש להכפיל איבר זה בחזקה גבוהה מספיק של x הדרושה כדי להפוך אותו לבלתי תלוי ליניארית באוסף הפתרונות הבסיסיים של המשוואה הדיפרנציאלית ההומוגנית. אם הפונקציה g ( x ) {\displaystyle g(x)} היא בעלת צורה מגוונת, כלומר סכום של כמה פונקציות מצורות שונות המופיעות בטבלה לעיל, אז הפתרון הפרטי המתקבל הוא סכום של הפתרונות הפרטיים המתאימים לכל אחד מהצורות בסכום המייצג את g ( x ) {\displaystyle g(x)} . נמצא פתרון פרטי של המשוואה y ″ + y = t cos ⁡ t . {\displaystyle y''+y=t\cos t.} אגף ימין הוא בעל הצורה P n e α t cos ⁡ β t {\displaystyle P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}} כאשר n = 2, α = 0, ו- β = 1. השורש α + iβ = i הוא שורש פשוט של המשוואה האופיינית המתאימה למשוואה ההומוגנית λ 2 + 1 = 0 {\displaystyle \lambda ^{2}+1=0} בעוד שהאופרטור הדיפרנציאלי המתאים לחלק האי-הומוגני הוא ( D 2 + 1 ) 2 {\displaystyle (D^{2}+1)^{2}} , כך ש- ± i {\displaystyle \pm i} הם גם שורשים (מרובים) שלו, ולכן מרחבי הפתרונות שתוארו בפסקה על שיטת החיסול אינם זרים. לכן, לא מספיק להציב את הפתרון הפרטי מהטבלה במשוואה הלא-הומוגנית, אלא שיש לכפול אותו ב-t. לפיכך, ננסה פתרון מהצורה y p = t [ F 1 ( t ) e α t cos ⁡ β t + G 1 ( t ) e α t sin ⁡ β t ] = t [ F 1 ( t ) cos ⁡ t + G 1 ( t ) sin ⁡ t ] = t [ ( A 0 t + A 1 ) cos ⁡ t + ( B 0 t + B 1 ) sin ⁡ t ] = ( A 0 t 2 + A 1 t ) cos ⁡ t + ( B 0 t 2 + B 1 t ) sin ⁡ t . {\displaystyle {\begin{aligned}y_{p}&=t\left[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\right]\\&=t\left[F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\left[\left(A_{0}t+A_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\right)\sin t\right]\\&=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t.\end{aligned}}} לאחר הצבת yp לתוך המשוואה הדיפרנציאלית, נקבל את הזהות t cos ⁡ t = y p ″ + y p = [ ( A 0 t 2 + A 1 t ) cos ⁡ t + ( B 0 t 2 + B 1 t ) sin ⁡ t ] ″ + [ ( A 0 t 2 + A 1 t ) cos ⁡ t + ( B 0 t 2 + B 1 t ) sin ⁡ t ] = [ 2 A 0 cos ⁡ t + 2 ( 2 A 0 t + A 1 ) ( − sin ⁡ t ) + ( A 0 t 2 + A 1 t ) ( − cos ⁡ t ) + 2 B 0 sin ⁡ t + 2 ( 2 B 0 t + B 1 ) cos ⁡ t + ( B 0 t 2 + B 1 t ) ( − sin ⁡ t ) ] + [ ( A 0 t 2 + A 1 t ) cos ⁡ t + ( B 0 t 2 + B 1 t ) sin ⁡ t ] = [ 4 B 0 t + ( 2 A 0 + 2 B 1 ) ] cos ⁡ t + [ − 4 A 0 t + ( − 2 A 1 + 2 B 0 ) ] sin ⁡ t . {\displaystyle {\begin{aligned}t\cos t&=y_{p}''+y_{p}\\&=\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]''+\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=\left[2A_{0}\cos t+2\left(2A_{0}t+A_{1}\right)(-\sin t)+\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)(-\cos t)+2B_{0}\sin t+2\left(2B_{0}t+B_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)(-\sin t)\right]\\&\qquad +\left[\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t\right]\\&=[4B_{0}t+(2A_{0}+2B_{1})]\cos t+[-4A_{0}t+(-2A_{1}+2B_{0})]\sin t.\end{aligned}}} השוואת שני האגפים מובילה למערכת המשוואות הליניאריות { 1 = 4 B 0 0 = 2 A 0 + 2 B 1 0 = − 4 A 0 0 = − 2 A 1 + 2 B 0 {\displaystyle {\begin{cases}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}} שלה פתרון A 0 = 0 , A 1 = B 0 = 1 4 , B 1 = 0. {\displaystyle A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{4}},\quad B_{1}=0.} ולכן הפתרון הפרטי למשוואה הדיפרנציאלית הוא: y p = 1 4 t cos ⁡ t + 1 4 t 2 sin ⁡ t . {\displaystyle y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos t+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin t.} והפתרון הכללי מתקבל ממנו באמצעות הוספת הפתרון ההומוגני. נסתכל על המשוואה הדיפרנציאלית d y d x = y + e x . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y+e^{x}.} נשים לב שהחלק הלא הומוגני ( e x {\displaystyle e^{x}} ) תלוי ליניארית בפתרון הבסיסי של המשוואה ההומוגנית ( c 1 e x {\displaystyle c_{1}e^{x}} ), כך שהצבתו פשוט תפתור את המשוואה ההומוגנית (כלומר תיתן 0) ולא את המשוואה שרצינו; כתוצאה, ניאלץ להכפיל את הניחוש בחזקה גבוהה מספיק של x כדי להפוך אותו לבלתי תלוי ליניארית. ננסה ניחוש שני: y p = A x e x . {\displaystyle y_{p}=Axe^{x}.} ולאחר הצבת פונקציה זאת ונגזרתה לתוך המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן למצוא את A: d d x ( A x e x ) = A x e x + e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}} A x e x + A e x = A x e x + e x {\displaystyle Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}} A = 1. {\displaystyle A=1.} ולכן הפתרון הכללי למשוואה הוא: y = c 1 e x + x e x . {\displaystyle y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.} נמצא את הפתרון הכללי של המשוואה: d y d t = t 2 − y {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=t^{2}-y} t 2 {\displaystyle t^{2}} הוא פולינום ממעלה 2, ולכן נחפש פתרון מאותה הצורה, y p = A t 2 + B t + C , {\displaystyle y_{p}=At^{2}+Bt+C,} הצבת הפתרון הפרטי הזה לתוך המשוואה המקורית מניבה את מערכת המשוואות הליניאריות 2 A t + B = t 2 − ( A t 2 + B t + C ) , {\displaystyle 2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),} 2 A t + B = ( 1 − A ) t 2 − B t − C , {\displaystyle 2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,} ( A − 1 ) t 2 + ( 2 A + B ) t + ( B + C ) = 0. {\displaystyle (A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.} ששקולה ל- A − 1 = 0 , 2 A + B = 0 , B + C = 0. {\displaystyle A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.} ולאחר מציאת הקבועים נקבל את הפתרון הפרטי y p = t 2 − 2 t + 2 {\displaystyle y_{p}=t^{2}-2t+2} הפתרון הכללי הוא סכום של הפתרון ההומוגני והפתרון הפרטי, כלומר: y = t 2 − 2 t + 2 + c 1 e − t {\displaystyle y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}} וריאציית הפרמטר