עקרון פרמה

עקרון פֶרְמָה או עקרון הזמן המינימלי קובע כי בתנועתה בין שתי נקודות נתונות, עוברת קרן אור במסלול בו זמן תנועתה הוא הקצר ביותר, או בניסוח שקול: קרן האור תעבור במסלול בו הדרך האופטית היא הקצרה ביותר. אורכה של הדרך האופטית שווה לאורך הדרך בפועל, כפול גורם השבירה של התווך דרכו עוברת הקרן. העיקרון פורסם לראשונה על ידי פייר דה פרמה, כיוון שלא היה מרוצה מהתאוריה של דקארט עבור חוק השבירה של קרניים (חוק סנל), אולם הרעיון שהאור נע במסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות מצוי כבר אצל אוקלידס. עקרון פרמה לא זכה להכרה בקרב הקהילה המדעית בתקופה שנוסח, אולם כיום הוא מייצג גישה בסיסית לניסוח של חוקי הפיזיקה. מעיקרון זה ניתן, בפרט, להסיק את חוק ההחזרה ממראה (זווית הפגיעה שווה לזווית ההחזרה), ואת חוק השבירה של קרני אור (חוק סנל) במעבר בין שני חומרים בעלי מקדמי שבירה שונים. במקרים מסובכים יותר, למשל כאשר מקדם השבירה משתנה באופן הדרגתי במרחב, יש להשתמש בחשבון וריאציות כדי לחשב את מסלולי הקרניים. אף שהקו הקצר ביותר בין שתי נקודות הוא הקו הישר המחבר ביניהן, לא בהכרח זהו הקו שבו תעבור קרן אור את המרחק בין שתי הנקודות בזמן הקצר ביותר. תוצאה זו נובעת מכך שמהירות האור תלויה בתווך שבו הוא עובר. ניתן להמחיש זאת באמצעות דוגמה של מציל בחוף הים, שצריך להגיע מסוכת המציל אל אדם טובע בים, בדרך המהירה ביותר. המציל מסוגל לרוץ על החוף הרבה יותר מהר משהוא מסוגל לשחות במים, ולכן המסלול המהיר ביותר לא יהיה קו ישר מהסוכה אל האיש הטובע, אלא קו הנשבר על קו המים, כך שהדרך על החוף תהיה ארוכה יותר, אך בזכות זאת הדרך במים תהיה קצרה יותר, ובסך הכול דרך זו תאפשר להגיע אל הטובע מהר יותר. ניתן להתייחס לעקרון פרמה כאל מקרה פרטי של עקרון המילטון. תופעה מעניינת הנובעת מעקרון פרמה היא תנועת האור בסיב אופטי מסוג graded index, בו מקדם השבירה יורד ככל שמתרחקים מהציר המרכזי שלו (יורד לאורך עוביו). בסיב זה האור לא נע כלל בקווים ישרים, אלא בתבנית הדומה לסינוס. בניגוד לעקרון פרמה, לפי תורת הקוונטים המעבר של חלקיק בין שתי נקודות נתונות נעשה בו זמנית דרך כל המסלולים האפשריים, וההתאבכות של מסלולים אלו קובעת את הסתברות המעבר של החלקיק (ראו אינטגרלי מסלול של פיינמן). למרות זאת בגבול הסמיקלאסי, כלומר בגבול של אורך גל קצר, המסלולים בעלי המשקל הגבוה הם המסלולים הקרובים ביותר לאלו הנקבעים מעקרון הפעולה המינימלית של המכניקה הקלאסית, שעקרון פרמה הוא מקרה פרטי שלו. כאמור, אחת התוצאות החשובות של עקרון פרמה היא האפשרות להוכיח את חוק סנל. נניח ממשק ליניארי בין שני חומרים בעלי מקדמי שבירה n 1 , n 2 {\displaystyle {{n}_{1,}}{{n}_{2}}} , וקרן אור עוברת מהתווך n 1 {\displaystyle {n}_{1}} לתווך n 2 {\displaystyle {n}_{2}} , החל מנקודה P {\displaystyle P} , דרך נקודה O {\displaystyle O} כלשהי על הממשק, אל נקודה Q {\displaystyle Q} (ראו שרטוט). נסמן את קואורדינטות הנקודות P , O , Q {\displaystyle P,O,Q} כך: ( x P , y P ) , ( 0 , y O ) , ( x Q , y Q ) {\displaystyle (x_{P},y_{P}),(0,y_{O}),(x_{Q},y_{Q})} , כלומר הנקודה O נמצאת על ישר x = 0 {\displaystyle x=0} עם y O {\displaystyle y_{O}} משתנה. מסלול הקרן מורכב משני קטעים ישרים, שאורך כל אחד מהם הוא: P O = x P 2 + ( y P − y O ) 2 O Q = ( y O − y Q ) 2 + x Q 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&PO={\sqrt {{{x}_{P}}^{2}+{{({{y}_{P}}-{{y}_{O}})}^{2}}}}\\&OQ={\sqrt {{{({{y}_{O}}-{{y}_{Q}})}^{2}}+{{x}_{Q}}^{2}}}\\\end{aligned}}} נזכור שמקדם השבירה היא היחס בין מהירות האור בריק למהירות האור בחומר, כלומר v = c n {\displaystyle v={\frac {c}{n}}} . מכאן, הזמן שייקח לקרן האור לעבור את המסלול כולו הוא: t = P O + O Q v = x P 2 + ( y P − y O ) 2 n 1 + ( y O − y Q ) 2 + x Q 2 n 2 c {\displaystyle t={\frac {PO+OQ}{v}}={\frac {{\sqrt {{{x}_{P}}^{2}+{{({{y}_{P}}-{{y}_{O}})}^{2}}}}{{n}_{1}}+{\sqrt {{{({{y}_{O}}-{{y}_{Q}})}^{2}}+{{x}_{Q}}^{2}}}{{n}_{2}}}{c}}} על מנת למצוא את המסלול בו הקרן תעבור בזמן המינימלי, נגזור את הביטוי ונשווה לאפס. נזכור שנקודות ( x P , y P ) , ( x Q , y Q ) {\displaystyle (x_{P},y_{P}),(x_{Q},y_{Q})} הן קבועות, והמשתנה היחיד הוא y O {\displaystyle y_{O}} . d t d y O = − y P − y O c x P 2 + ( y P − y O ) 2 n 1 − y O − y Q c ( y O − y Q ) 2 + x Q 2 n 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} {{y}_{O}}}}=-{\frac {{{y}_{P}}-{{y}_{O}}}{c{\sqrt {{{x}_{P}}^{2}+{{({{y}_{P}}-{{y}_{O}})}^{2}}}}}}{{n}_{1}}-{\frac {{{y}_{O}}-{{y}_{Q}}}{c{\sqrt {{{({{y}_{O}}-{{y}_{Q}})}^{2}}+{{x}_{Q}}^{2}}}}}{{n}_{2}}=0} − y P − y O x P 2 + ( y P − y O ) 2 n 1 = y O − y Q ( y O − y Q ) 2 + x Q 2 n 2 {\displaystyle -{\frac {{{y}_{P}}-{{y}_{O}}}{\sqrt {{{x}_{P}}^{2}+{{({{y}_{P}}-{{y}_{O}})}^{2}}}}}{{n}_{1}}={\frac {{{y}_{O}}-{{y}_{Q}}}{\sqrt {{{({{y}_{O}}-{{y}_{Q}})}^{2}}+{{x}_{Q}}^{2}}}}{{n}_{2}}} נשים לב לכך ש: y P − y O x P 2 + ( y P − y O ) 2 = − sin ⁡ θ 1 y O − y Q ( y O − y Q ) 2 + x Q 2 = sin ⁡ θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{{y}_{P}}-{{y}_{O}}}{\sqrt {{{x}_{P}}^{2}+{{({{y}_{P}}-{{y}_{O}})}^{2}}}}}=-\sin {{\theta }_{1}}\\&{\frac {{{y}_{O}}-{{y}_{Q}}}{\sqrt {{{({{y}_{O}}-{{y}_{Q}})}^{2}}+{{x}_{Q}}^{2}}}}=\sin {{\theta }_{2}}\\\end{aligned}}} כלומר, קיבלנו את חוק סנל: sin ⁡ θ 1 n 1 = sin ⁡ θ 2 n 2 {\displaystyle \sin {{\theta }_{1}}{{n}_{1}}=\sin {{\theta }_{2}}{{n}_{2}}} חשבון וריאציות עקרון המילטון הסקת חוק סנל מעקרון פרמה (באנגלית) עקרון פרמה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) במקרה הזה, קטע הדרך העובר במים לא יהיה בניצב לקו המים, אלא שני הקטעים של המסלול האופטימלי יצרו זוויות חדות (ושונות זו מזו) עם האנך לקו המים; וזאת מכיוון שמעבר לזווית מסוימת, הדרך האלכסונית על החוף תהיה כבר ארוכה מדי, כך שסכום הזמנים יהיה גדול יותר מאשר במקרה של המסלול האופטימלי.