כיסוי מאוזן (של משחק)

כיסוי מאוזן הוא מושג בתורת המשחקים השיתופיים. הגדרה : יהי ( N ; v ) {\displaystyle \!\,(N;v)} משחק בצורה קואליציונית, הכיסוי המאוזן של המשחק הוא המשחק ( N ; v ^ ) {\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})} כך ש- v ^ ( s ) {\displaystyle {\hat {v}}(s)} הוא המינימלי המקיים v ( s ) ≤ v ^ ( s ) {\displaystyle v(s)\leq {\hat {v}}(s)} לכל s וכן שהמשחק ( N ; v ^ ) {\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})} הוא משחק מאוזן לחלוטין. הליבה של משחק בצורה קואליציונית היא אוסף וקטורי התשלומים הסבירים קבוצתית (מתארים אפשרויות חלוקה של שווי הקואליציה שלא יעודדו תת-קבוצה של הקואליציה ליצור קואליציה משלהם). יהי ( N ; v ) {\displaystyle \!\,(N;v)} משחק בצורה קואליציונית. תת-משחק שלו ( T ; v ) {\displaystyle \!\,(T;v)} הוא המשחק בצורה קואליציונית שבו T ⊆ N {\displaystyle T\subseteq N} קבוצת שחקנים לא ריקה ו- v {\displaystyle \!\,v} היא הפונקציה הקואליציונית המצומצמת לקואליציות המוכלות ב- T {\displaystyle \!\,T} משחק מאוזן הוא משחק שהליבה שלו אינה ריקה משחק מאוזן לחלוטין הוא משחק שהליבה של כל תת-משחק שלו אינה ריקה מתעוררת המוטיבציה לשאלה הבאה - בהינתן משחק שאינו מאוזן (ליבתו ריקה), מהו השינוי/כיסוי המינימלי שנוכל לבצע בפונקציה הקואליציונית v ( S ) {\displaystyle \!\,v(S)} על מנת להפוך את המשחק למאוזן? או למאוזן לחלוטין?. שינוי/כיסוי זה מוגדר להיות הכיסוי המאוזן של המשחק תנאי כללי שהוא תנאי הכרחי ומספיק לאי-ריקות הליבה נוסח במשפט בונדרבה-שפלי. מובא להלן תנאי בונדרבה-שפלי : (ניתן לקרוא יותר בתוך הערך) נסמן את אוסף הקואליציות הלא ריקות ב - D ∗ := { S ⊆ N : S ≠ ∅ } {\displaystyle D^{*}:=\left\{S\subseteq N:S\neq \emptyset \right\}} . נסמן ב- P {\displaystyle \;P\;} את אוסף כל המשקלות המאזנים חלש את D ∗ {\displaystyle \;D^{*}\;} : P = { δ = ( δ S ) S ∈ D ∗ : δ S ≥ 0 ∀ S ∈ D ∗ , ∑ S ∈ D ∗ δ S χ S = χ N } {\displaystyle P=\left\{\delta =\left(\delta _{S}\right)_{S\in D^{*}}:\delta _{S}\geq 0\quad \forall S\in D^{*},\sum _{S\in D^{*}}{\delta _{S}{\chi ^{S}}}={\chi ^{N}}\right\}} כאשר נשים לב כי χ S {\displaystyle \;\chi ^{S}} הוא וקטור החילה של הקואליציה S {\displaystyle \;S} . משפט בונדרבה-שפלי: תנאי הכרחי ומספיק לכך שהליבה של המשחק ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} איננה ריקה הוא שלכל δ ∈ P {\displaystyle \;\delta \in P} מתקיים: ∑ S ∈ D ∗ δ S v ( S ) ≤ v ( N ) {\displaystyle \;\sum \limits _{S\in D*}{\delta _{S}v\left(S\right)\leq v\left(N\right)}\;} . תנאי בונדרבה-שפלי הרשום לעיל הוא אוסף של אי שוויונים, ניתן לראות שאם נגדיל את שווי הקואליציה N דיה, אי השוויונים יתקיימו ונקבל משחק חדש ומאוזן שליבתו אינה ריקה. ממשפט בונדרבה-שפלי ניתן לראות שלכל משחק ( N ; v ) {\displaystyle \!\,(N;v)} ניתן להגדיר משחק ( N ; v ~ ) {\displaystyle \!\,(N;{\tilde {v}})} באופן הבא : v ~ ( S ) = { v ( S )  S≠N  M a x { ∑ S ∈ D ∗ δ S v ( S ) : δ ∈ P } S=N {\displaystyle {\tilde {v}}(S)={\begin{cases}v(S)&{\mbox{ S≠N }}\\\;Max\left\{\sum \limits _{S\in D*}{\delta _{S}v\left(S\right)}:\delta \in P\right\}&{\mbox{S=N}}\\\end{cases}}} קיבלנו אם כן משחק חדש ומאוזן אך זה אינו מבטיח שהמשחק מאוזן לחלוטין, בשביל להבטיח שאי השוויונים יתקיימו לכל תתי המשחקים, נפעיל את אותו שיקול שהפעלנו לגבי הקואליציה N עבור כל קואליציה S, ונקבל שעל מנת שהמשחק יהיה מאוזן לחלוטין השווי של כל קואליציה צריך להיות לפחות: v ^ ( S ) = M a x { ∑ { S ⊆ N , R ≠ ∅ } δ R v ( R ) : ∑ { S ⊆ N , R ≠ ∅ } δ R χ R = χ S , δ R ≥ 0 , ∀ R } {\displaystyle \;{\hat {v}}(S)=Max\left\{\sum \limits _{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta _{R}v\left(R\right):\sum \limits _{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta _{R}\chi ^{R}}=\chi ^{S},\delta _{R}\geq 0,\forall R}\right\}\;} המשחק ( N ; v ^ ) {\displaystyle \!\,(N;{\hat {v}})} נקרא הכיסוי המאוזן של המשחק ( N ; v ) {\displaystyle \!\,(N;v)} למשחק ( N ; v ) {\displaystyle \!\,(N;v)} בצורה קואליציונית ליבה לא ריקה אם ורק אם v ~ ( N ) = v ( N ) {\displaystyle {\tilde {v}}(N)=v(N)} משחק ( N ; v ) {\displaystyle \!\,(N;v)} הוא מאוזן לחלוטין אם ורק אם v ^ ( N ) = v ( N ) {\displaystyle {\hat {v}}(N)=v(N)} לכל קואליציה S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq N} כאשר הפונקציה v ^ {\displaystyle {\hat {v}}} מוגדרת בהגדרה לעיל מונחים בתורת המשחקים שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946