אינסוף

אינסוף (סימון: ∞ {\displaystyle \infty } ) הוא מונח עם משמעויות שונות במתמטיקה, בפילוסופיה, בתאולוגיה ובשפת היומיום, המתייחס להיעדר גבול כמותי, מרחבי, זמני, או רעיוני. אין סוף במתמטיקה מתאר גודל של קבוצה (נהוג לקרא לו "עוצמה" של קבוצה) שאינה סופית. למשל קבוצת המספרים השלמים, וקבוצת המספרים הממשיים, הן בעלות עוצמות אין סופיות. הסימן המקובל עבור אינסוף הוא ∞ {\displaystyle \infty } . לצורך השוואה בין עוצמות של קבוצות אין סופיות, נוקטים בכלל כי שתי קבוצות אינסופיות שוות בעוצמתן אם ורק אם קיימת התאמה חד חד ערכית בין אבריהן. לא כל הקבוצות האינסופיות שוות בעוצמתן. למשל עוצמת הקבוצה של המספרים הטבעיים קטנה מעוצמת הקבוצה של המספרים הממשיים. כמו כן ייתכן שקבוצה אין סופית תהיה שוות עוצמה לתת קבוצה אמיתית שלה. תורת הקבוצות היא תחום מתמטי העוסק ביחסים בין עוצמות של קבוצות אינסופיות. ההבנה, שלכל אחד מהמספרים הטבעיים יש מספר גדול ממנו, הייתה ידועה כבר ליוונים הקדמונים (וזכתה לשם אקסיומת ארכימדס). אם נתבונן בסדרה שאיבריה הם המספרים הטבעיים, נראה כי ככל שאנו מתקדמים בסדרה, הערכים של איברי הסדרה הולכים וגדלים בצורה כזו שעבור כל מספר טבעי, החל ממקום מסוים יהיו כל איברי הסדרה גדולים ממנו. זוהי דוגמה לתהליך של שאיפה לאינסוף, אף שהאינסוף בו בא לידי ביטוי רק באמצעות מושגים סופיים. הגדרה פורמלית של תהליך הגדל לאינסוף ניתנה במאה ה-17, בעת העיסוק במושג הגבול, בתחילת יצירתו של החשבון האינפיניטסימלי. במסגרת דיון זה הנהיג המתמטיקאי האנגלי ג'ון ואליס בשנת 1655 את הסמל ∞ {\displaystyle \infty } למושג האינסוף. הסמל בא לידי שימוש, למשל, בביטוי מהצורה lim n → ∞ x n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}} שאותו יש לקרוא " הגבול של הסדרה   x n {\displaystyle \ x_{n}} כאשר n שואף לאינסוף". יש לציין שסדרה אינסופית של מספרים יכולה להתכנס למספר סופי. (ראו הרחבה בעניין זה בערך גבול). ואליס לא הסביר את הבחירה בסמל זה, אולם ייתכן כי הוא נובע מהדמיון לאות היוונית אומגה, ששימשה לתאר כמות גדולה, או לצורת רישום מסוימת של המספר 1,000 בספרות רומיות (CIƆ או CƆ). ערך מורחב – עוצמה (מתמטיקה) העיסוק באינסוף כגודל מוחשי בא לידי ביטוי בפרדוקס של גלילאו, המדגים את תכונותיהן הלא אינטואיטיביות של קבוצות שמספר איבריהן אינו סופי (קבוצות אינסופיות). גלילאו הראה כי ניתן ליצור התאמה שממנה נובע כי מספרם של המספרים הטבעיים זהה למספרם של המספרים הריבועיים, אף שתוצאה זו סותרת לכאורה את העובדה הברורה, שיש מספרים טבעיים שאינם ריבועיים. מכאן הסיק גלילאו שמושגי ה"גדול", "קטן" ו"שווה" המוכרים לנו מקבוצות סופיות אינם תקפים באותה צורה עבור קבוצות אינסופיות, וניסיון לשימוש בהם מוביל לסתירה. המחשה נוספת לתכונות המפתיעות של קבוצות אינסופיות ניתנת בסיפור המלון של הילברט. טיפול פורמלי בקבוצות אינסופיות נוצר על ידי גאורג קנטור בסוף המאה ה-19, במסגרת פיתוחה של תורת הקבוצות. מונח העוצמה נוצר במסגרת זו כדי לבטא את גודלה של קבוצה שמספר איבריה אינו סופי, כגון קבוצת המספרים הטבעיים או קבוצת המספרים הממשיים. במסגרת זו, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הריבועיים יש אותה עוצמה, אף על פי שאחת הקבוצות מכילה ממש את רעותה. ריכרד דדקינד הגדיר קבוצה אינסופית ככזו שהיא שוות עוצמה לקבוצה המוכלת בה ממש. הישג גדול של קנטור היה ההוכחה שאין מקום לדבר על גודל אינסופי יחיד, אלא יש סוגים רבים של גדלים אינסופיים. העוצמה של קבוצת המספרים הממשיים, למשל, גדולה מזו של קבוצת המספרים הטבעיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית   ℵ 0 {\displaystyle \ \aleph _{0}} (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הממשיים סימן באות   ℵ {\displaystyle \ \aleph } . יתרה מזו, משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של A גדולה מעוצמתה של A, ובפרט אין עוצמה 'גדולה ביותר'. ניתן להוכיח כי קבוצת כל העוצמות היא כה גדולה עד כי לא ניתן לדבר על העוצמה שלה עצמה (כלומר, על פי תורת הקבוצות האקסיומטית, אוסף העוצמות גדול מכדי להיות קבוצה, והוא נחשב למחלקה). לקבוצת כל העוצמות (ולקבוצות השקולות לה), שלא ניתן לטפל בהן במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, קרא קנטור "האינסוף המוחלט". יש כמה דרכים שבהן ניתן לצרף את הסמל   ∞ {\displaystyle \ \infty } למערכות מספרים מוכרות. בכל אחת מדרכים אלה מקבלות פעולות מסוימות משמעות, ובאותה עת מאבדים כמה מן התכונות המקוריות של המערכת. למערכות שונות הכוללות את סמל האינסוף יש שימושים שונים בהקשרים מתמטיים שונים, ולא קיימת דרך מוסכמת, "נכונה", לטפל באריתמטיקה של הסמל הזה. דרך אחת לבצע פעולות באינסוף היא לספח לישר הממשי, בתור קבוצה סדורה, שתי נקודות חדשות:   ∞ {\displaystyle \ \infty } ו-   − ∞ {\displaystyle \ -\infty } . מבחינת יחס הסדר, המוסכמה היא ש-   − ∞ < a < ∞ {\displaystyle \ -\infty <a<\infty } לכל a ממשי; הקבוצה נשארת סדורה ליניארית. פעולת החיבור מוגדרת על-פי הכללים   ∞ + a = ∞ {\displaystyle \ \infty +a=\infty } ו-   − ∞ + a = − ∞ {\displaystyle \ -\infty +a=-\infty } לכל a ממשי, וכך מוגדרות כל האפשרויות לחבר שני איברים של הקבוצה החדשה, למעט   − ∞ + ∞ {\displaystyle \ -\infty +\infty } , ביטוי שאינו מוגדר. אפשר להרחיב את הגדרת הכפל באופן דומה, כאשר הביטוי   0 ⋅ ∞ {\displaystyle \ 0\cdot \infty } נשאר לא מוגדר. פעולת החילוק מקיימת את הכלל   a ∞ = 0 {\displaystyle \ {\frac {a}{\infty }}=0} לכל a ממשי, וגם כאן, הביטוי   ∞ ∞ {\displaystyle \ {\frac {\infty }{\infty }}} אינו מוגדר. הקבוצה החדשה אינה שדה (משום שהפעולות אינן מוגדרות שם באופן מלא). לכך שביטויים מסוימים נשארים בלתי מוגדרים יש סיבה: אם נקבע למשל ש-   ∞ − ∞ = 0 {\displaystyle \ \infty -\infty =0} , נצטרך לקבל גם את השוויון המופרך   1 = 1 + 0 = 1 + ( ∞ − ∞ ) = ( 1 + ∞ ) − ∞ = ∞ − ∞ = 0 {\displaystyle \ 1=1+0=1+(\infty -\infty )=(1+\infty )-\infty =\infty -\infty =0} , או לוותר על האסוציאטיביות של החיבור. ראו גם שדה המספרים הסוריאליסטיים. אחת התוצאות הראשונות הנובעות מהאקסיומות של הגאומטריה היא שכל ישר מכיל אינסוף נקודות. תוצאות נוספות הן שבכל מישור נמצאים אינסוף נקודות שונות ואינסוף ישרים שונים, וכן ישנם אינסוף מישורים שונים. עם זאת, עד סוף המאה ה-19, האינסוף כמעט ולא נדון בגאומטריה, למעט בהקשר של תהליכים שניתן להמשיך ללא כל הגבלה. למשל, קו היה מה שנקרא כיום קטע קו, בתנאי שאפשר להרחיב אותו עד כמה שרוצים; אבל הרחבתו "עד אינסוף" לא באה בחשבון. באופן דומה, קו בדרך כלל לא נחשב כמורכב מאין סוף נקודות, אלא כמיקום שבו ניתן למקם נקודה. גם אם יש אינסוף מיקומים אפשריים, רק מספר סופי של נקודות יכול להיות ממוקם על קו. אחד היוצאים מן הכלל הנדירים של מושג מתמטי הכולל אינסוף ממשי היה גאומטריה פרויקטיבית, שבה מוסיפים נקודה שבה נחתכים כל הישרים, זוהי נקודת האינסוף. ניתן לראות את המישור המרוכב ככדור, המכונה הספירה של רימן, המכיל את כל איברי המישור בתוספת נקודה אחת, בקוטב הצפוני של הכדור - האינסוף. זוהי דוגמה למצב שבו האינסוף הוא נקודה לכל דבר במרחב, והיא מאפשרת טיפול נוח בפונקציות שמקבלות ערכים אינסופיים. במתמטיקה המודרנית, לאחר השימוש בתורת הקבוצות ליסודות המתמטיקה, מקובל לדבר על קווים כ"קבוצות אינסופיות" של נקודות. באלקטרודינמיקה קוונטית ובתורת השדות הקוונטית, שני ענפים של תורת הקוונטים שהיא נושא מרכזי בפיזיקה המודרנית, עלתה בעיה של משוואות המציגות מציאות פיזיקלית ותוצאתן אינסוף. הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן הציע פתרון לבעיה זו, הקרוי רנורמליזציה. התגלית לפיה היקום מתפשט העלתה בהכרח את השאלה האם התפשטות היקום היא תהליך שיימשך עד אינסוף או שתהליך זה ייעצר בשלב כלשהו. שאלה זו היא שאלת מפתח בקוסמולוגיה. סינגולריות כבידתית, הנקראת בקיצור סינגולריות וגם ייחודיות, היא נקודה במרחב בה צפיפות החומר אינסופית. תורת היחסות הכללית מאפשרת את קיומן של נקודות סינגולריות, וצופה בהן עיקום אינסופי של המרחב-זמן. מודל המפץ הגדול של היקום מכיל נקודה סינגולרית בתחילתו של הזמן. בסינגולריות המפץ הגדול, המודל חוזה שצפיפות החומר ועיקום המרחב-זמן יהיו אינסופיים. במודלים קוסמולוגיים מסוימים קיימת נקודה סינגולרית נוספת של היקום, הקרויה הקריסה הגדולה, והיא מציינת את קץ הזמן ביקום. משפט מתמטי קובע כי סינגולריות קיימת בהכרח בכל חור שחור. הצייר מאוריץ קורנליס אשר הרבה לחקור את מושג האינסוף ביצירותיו. רבות מיצירותיו מציגות דמויות ההולכות וקטנות לאינסוף. דוגמה מובהקת לכך היא הציור "גבול מעגל 4 - שמים וגיהנום" משנת 1960. בטכניקת מיז-אנ-אבּים (בצרפתית: Mise en abyme) סיפור נמצא בסיפור או תמונה נמצאת בתמונה בין שיהיה אינסוף ליניארי כמו באפקט דרוסטה ובין שיהיה מחזורי (סיפור אחרון מתחבר לסיפור ראשון). אפקט דומה מתקבל בצילום בהצבת מראה מול מראה. ערך מורחב – אינסוף (פילוסופיה) הרעיון המוקדם ביותר שתועד על האינסוף ביוון הוא ככל הנראה הרעיון של הפילוסוף היווני הפרה-סוקרטי, אנקסימנדר (בערך 610 - 546 לפנה"ס לערך). הוא השתמש במילה apeiron, שפירושה "בלתי מוגבל", "אינסופי", ואולי ניתן לתרגם כ"אינסופי". אריסטו (350 לפנה"ס) הבחין בין "האינסוף הפוטנציאלי" לבין "האינסוף הממשי (אקטואלי)", שאותו הוא ראה כבלתי אפשרי בשל הפרדוקסים השונים שנראה שהוא מייצר. אריסטו כתב: תמיד אפשר לחשוב על מספר גדול יותר, משום שמספר הפעמים שבהן ניתן לחלק גודל נתון לשניים אינו מוגבל. לפיכך האינסוף הוא פוטנציאלי ולעולם לא אקטואלי. מספר החלקים שביכולתנו ליצור גדול מכל מספר נתון. רעיונותיו של אריסטו נוסחו ביתר פירוט בימי הביניים, למשל על ידי הפילוסוף בן המאה ה-14 ויליאם איש אוקאם. הפרדוקסים המפורסמים של זנון מאלאה (c. 495 – 430 c. לפני הספירה), במיוחד "אכילס והצב", היו תרומות חשובות לדיון הפילוסופי בכך שהבהירו את הפערים בהבנת האדם את מושג האינסוף. טיעוניו של זנון עוסקים בפרדוקסליות של התנועה ושל הזמן כאשר מחלקים גודל סופי נתון לחלקים רבים והולכים לבלי גבול. פתרון לפרדוקסים אלה נמצא רק בביסוס התאורטי של מושג האינסוף במתמטיקה, החל מהמאה ה-17. הפרדוקסים הללו תוארו על ידי הפילוסוף הבריטי ברטרנד ראסל כ"עדינים ועמוקים לאין שיעור". פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. בתורת הסוד היהודית, מכונה התגלות האל הראשונית והעילאית ביותר כ"אור אין סוף". האור שמגיע מהאינסוף. המקובלים כינו את ההתגלות האלוהית בשם אור, מכיוון שהאור מתייחד בתכונות רבות שיכולות להוות דוגמה ומשל ביחס להתגלות האלוהות - להלן חלק מהתכונות: 1. האור מחובר למקורו. 2. האור הוא "מעין המאור" כלומר דומה בתכונותיו למאור. (לדוגמה אור השמש הוא בהיר כמו גוף כדור השמש) 3. האור מאיר באופן פסיבי ממקורו ואין לו מציאות כשלעצמו. (הוא אינו "מחליט" האם להאיר או לא). כך גם האור האלוהי - 1. מחובר למקורו = עצם האלוה. 2. האור האלוהי ש"מאיר" בעולם הוא כמו השתקפות של המקור - האל. 3. האור אינו אלוהים נפרד אלא התפשטות "אוטומטית" של האלוהים. ביטוי רווח בספרות הקבלה לגבי "אור אין סוף" הוא "לית מחשבה תפיסא ביה" = אין מחשבה נתפסת בו. כלומר בלתי ניתן "לתפוס" בחוש כלשהו את האור מכיוון שהוא למעלה מחושי האדם, ובכל זאת הוא מתגלה אצל בני האדם על אף ש"כליהם" מצומצמים והבנתם יחסית ומוגבלת. נושא זה נחקר רבות בחסידות ובקבלה. רציפות (פילוסופיה) 0.999... אד אינפיניטום מריוס כהן, "פרדוקסים של האינסוף - חלק א'", גליליאו 112, דצמבר 2007 מריוס כהן, "פרדוקסים של האינסוף - חלק ב'", גליליאו 113, ינואר 2008 חיים שפירא, אינסוף - המסע שאינו נגמר, כנרת וזמורה ביתן, 2010 אינסוף, באתר MathWorld (באנגלית) אמנדה גפטר, ניו סיינטיסט, האם אפשר לסלק את האינסוף מחיינו?, באתר הארץ, 23 בספטמבר 2013 שי זמיר, "גליליאו צעיר", ברוכים הבאים לאינסוף, באתר ynet, 28 בדצמבר 2009 פלוריאן בוייר, אֵינְסוֹף, וניסיון לפתור תרגילי חשבון בעזרתו, באתר פרונטירז, 31 במאי 2019 אינסוף, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) מאיר ברק, מה מקור הסמל של האינסוף המתמטי?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, ספטמבר 2009 The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky, סרטון בערוץ "TED-Ed", באתר יוטיוב (אורך: 06:00) - פרדוקס המלון האין סופי, סרטון הסבר באנגלית עם כתוביות בעברית פרופ' שירי ארטשטיין: "אל האינסוף ומעבר לו", סרטון בערוץ "TAUVOD", באתר יוטיוב (אורך: 17:38) Allen, Donald, "The History of Infinity" (PDF) Texas A&M Mathematics, 2003 Aristotle. Physics. תורגם ע"י Hardie, R. P.; Gaye, R. K. The Internet Classics Archive. Book 3, Chapters 5–8. Nick Huggett, Zeno’s Paradoxes, Spring 2024, Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2024 Russell, Bertrand, The Principles of Mathematics, New York: Norton, (1996) [1903] התחלת "פתח אליהו" ראה לדוגמה ספר התניא פרק נ"א ועוד