משפט הממדים

מִשְׁפַּט הַמְּמַדִּים (בשפות אחרות ידוע בשם זהות גראסמן או נוסחת גראסמן, על-שם הרמן גראסמן) הוא משפט באלגברה ליניארית האומר כי סכום הממדים של שני מרחבים וקטוריים פחות ממד החיתוך שלהם שווה לממד הסכום שלהם. בצורה פורמלית: dim ⁡ ( U + W ) = dim ⁡ ( U ) + dim ⁡ ( W ) − dim ⁡ ( U ∩ W ) {\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)} . יהיו U {\displaystyle U} ו- W {\displaystyle W} תת-מרחבים של V {\displaystyle V} , שהוא מרחב וקטורי נוצר סופית. נניח כי dim ⁡ ( U ∩ W ) ≠ { 0 } {\displaystyle \dim(U\cap W)\neq \{0\}} וניקח בסיס לחיתוך { v 1 , v 2 , . . . , v k } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}} (ההוכחה עובדת גם עבור dim ⁡ ( U ∩ W ) = { 0 } {\displaystyle \dim(U\cap W)=\{0\}} ) נשלים אותו בשתי דרכים: לבסיס של U {\displaystyle U} : { v 1 , v 2 , . . . , v k , u 1 , . . . , u l } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}} לבסיס של W {\displaystyle W} : { v 1 , v 2 , . . . , v k , w 1 , . . . , w m } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},w_{1},...,w_{m}\}} כעת נשאר להוכיח: dim ⁡ ( U + W ) = k + l + k + m − k = k + l + m {\displaystyle \dim(U+W)=k+l+k+m-k=k+l+m} , ולשם כך מספיק להראות כי הקבוצה { v 1 , . . . , v k , u 1 , . . . , u l , w 1 , . . . , w m } {\displaystyle \{v_{1},...,v_{k},u_{1},...,u_{l},w_{1},...,w_{m}\}} היא בסיס ל- U + W {\displaystyle U+W} . ניזכר כי זה אומר שוקטורי הקבוצה פורשים את המרחב וגם בלתי תלויים ליניארית (בת"ל): פרישה יהי v ∈ U + W {\displaystyle v\in U+W} , קיימים u 0 ∈ U {\displaystyle u_{0}\in U} ו- w 0 ∈ W {\displaystyle w_{0}\in W} כך ש v = u 0 + w 0 {\displaystyle v=u_{0}+w_{0}} הקבוצה { v 1 , v 2 , . . . , v k , u 1 , . . . , u l } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k},u_{1},...,u_{l}\}} היא בסיס ל-U לכן קיימים סקלרים α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β l {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l}} כך שמתקיים u 0 = ∑ i = 1 k α i v i + ∑ i = 1 l β i u i {\displaystyle u_{0}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}} באופן דומה, עבור W, w 0 = ∑ i = 1 k γ i v i + ∑ i = 1 m δ i w i {\displaystyle w_{0}=\sum _{i=1}^{k}\gamma _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}} מכאן שמתקיים , u 0 + w 0 = ∑ i = 1 k ( α i + γ i ) v i + ∑ i = 1 l β i u i + ∑ i = 1 m δ i w i {\displaystyle ,u_{0}+w_{0}=\sum _{i=1}^{k}(\alpha _{i}+\gamma _{i})v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\delta _{i}w_{i}} ולכן הקבוצה פורשת. תלות ליניארית יהיו α 1 , . . . , α k , β 1 , . . . , β l , γ 1 , . . . , γ m {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{k},\beta _{1},...,\beta _{l},\gamma _{1},...,\gamma _{m}} סקלרים כך ש: . ∑ i = 1 k α i v i + ∑ i = 1 l β i u i + ∑ i = 1 m γ i w i = 0 {\displaystyle .\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0} כדי להוכיח את הטענה, יש להראות שהשוויון מתקיים רק אם כל הסקלרים שווים לאפס. בעזרת העברת אגפים, מתקבל השוויון: ∑ i = 1 k α i v i + ∑ i = 1 l β i u i = − ∑ i = 1 m γ i w i {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}} קיבלנו וקטור ב U ∩ W {\displaystyle U\cap W} (כי באגף ימין קיבלנו וקטור ב- W {\displaystyle W} ובאגף שמאל וקטור ב- U {\displaystyle U} ). לכן, את אגף שמאל ניתן לכתוב כצירוף ליניארי של { v 1 , v 2 , . . . , v k } {\displaystyle \{v_{1},v_{2},...,v_{k}\}} שהוא בסיס ל- U ∩ W {\displaystyle U\cap W} . קיימים δ 1 , . . . , δ k {\displaystyle \delta _{1},...,\delta _{k}} כך שמתקיים: ∑ i = 1 k δ i v i = − ∑ i = 1 m γ i w i {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\delta _{i}v_{i}=-\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}} ∑ i = 1 k δ i v i + ∑ i = 1 m γ i w i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\delta _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{m}\gamma _{i}w_{i}=0} קיבלנו צירוף ליניארי של איברי W {\displaystyle W} ולכן הם בת"ל, ובפרט עבור γ i = 0 ,       1 ≤ i ≤ m {\displaystyle \gamma _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq m} ∑ i = 1 k α i v i + ∑ i = 1 l β i u i = 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}v_{i}+\sum _{i=1}^{l}\beta _{i}u_{i}=0} קיבלנו צירוף ליניארי של איברי U {\displaystyle U} ולכן הקבוצה בת"ל. לכן בפרט, β i = 0 ,       1 ≤ i ≤ l {\displaystyle \beta _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq l} α i = 0 ,       1 ≤ i ≤ k {\displaystyle \alpha _{i}=0,\ \ \ 1\leq i\leq k} מש"ל ■ משפט הממדים עבור העתקות ליניאריות עקרון ההכלה וההפרדה הוכחה, באתר ProofWiki