בניית קיילי-דיקסון

במתמטיקה, בניית קיילי-דיקסון היא תהליך הבונה מאלגברה נתונה אלגברה חדשה, שממדה כפול. את הבניה תיאר באופן כללי לאונרד יוג'ין דיקסון (1874-1954), על-פי השיטה שבה השתמש ארתור קיילי כדי לבנות (ב-1845) את אלגברת האוקטוניונים. התהליך פותח באלגברה (לאו דווקא אסוציאטיבית) עם אינוולוציה מטיפוס מסוים, ומחזיר אלגברה עם אינוולוציה מאותו טיפוס. כאשר מיישמים אותו לשדה המספרים הממשיים, מתקבל בצעד הראשון שדה המספרים המרוכבים, ואחריו אלגברת הקווטרניונים של המילטון ואלגברת האוקטוניונים של קיילי. התהליך בונה כל אלגברת קווטרניונים מהרחבה ריבועית של שדה הבסיס, וכל אלגברת אוקטוניונים מאלגברת קווטרניונים מתאימה. בניית קיילי-דיקסון מתייחסת לאלגברות, לאו דווקא אסוציאטיביות, מעל שדה (כלשהו) F {\displaystyle F} , המצוידות במבנה נוסף: אינוולוציה   x ↦ x ¯ {\displaystyle \ x\mapsto {\bar {x}}} , המקיימת את התנאים   x + x ¯ ∈ F {\displaystyle \ x+{\bar {x}}\in F} ו-   x x ¯ = x ¯ x ∈ F {\displaystyle \ x{\bar {x}}={\bar {x}}x\in F} לכל x. באלגברה כזו כל איבר מקיים פולינום ממעלה שנייה מעל השדה,   x 2 − ( x + x ¯ ) x + x ¯ x = 0 {\displaystyle \ x^{2}-(x+{\bar {x}})x+{\bar {x}}x=0} , ולכן זו אלגברה ריבועית (היינו אלגברה מדרגה 2). בנוסף לזה מניחים שהתבנית הריבועית   N ( x ) = x x ¯ {\displaystyle \ N(x)=x{\bar {x}}} אינה סינגולרית. בגלל הזהות   x x ¯ = x ¯ x = N ( x ) {\displaystyle \ x{\bar {x}}={\bar {x}}x=N(x)} , האיברים ההפיכים ב-A הם אלו שהנורמה שלהם אינה מתאפסת. כאשר A אלטרנטיבית, היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה היא "תבנית אנאיזוטרופית" (כלומר, אין לה אפסים לא טריוויאליים). ראו כאן לגבי אלגברת קיילי-דיקסון מממד 16. בבניית האלגברה החדשה נכנסים שני מרכיבים: אלגברה A {\displaystyle A} עם אינוולוציה כאמור, וסקלר   γ ∈ F {\displaystyle \ \gamma \in F} סקלר. הרחבת קיילי-דיקסון הנוצרת מ- A {\displaystyle \,A} ו- γ {\displaystyle \,\gamma } היא האלגברה   C = C D ( A , γ ) = A ⊕ z A {\displaystyle \ C=CD(A,\gamma )=A\oplus zA} , שאבריה נכתבים כסכומים פורמליים   a + z a ′ {\displaystyle \ a+za'} עבור   a , a ′ ∈ A {\displaystyle \ a,a'\in A} , והכפל בה מוגדר לפי היחסים   ( z a ) b = z ( b a ) ,   a ( z b ) = z ( a ¯ b ) ,   ( z a ) ( z b ) = γ b a ¯ {\displaystyle \ (za)b=z(ba),\ a(zb)=z({\bar {a}}b),\ (za)(zb)=\gamma b{\bar {a}}} , היינו,   ( a + z b ) ( a ′ + z b ′ ) = a a ′ + γ b ′ b ¯ + z ( a ¯ b ′ + a ′ b ) {\displaystyle \ (a+zb)(a'+zb')=aa'+\gamma b'{\bar {b}}+z({\bar {a}}b'+a'b)} . בפרט, C מכילה את A כתת-אלגברה, יש לה יחידה   1 = 1 + z 0 {\displaystyle \ 1=1+z0} , והיוצר הנוסף z מקיים   z 2 = γ {\displaystyle \ z^{2}=\gamma } . האינוולוציה מורחבת ל-C לפי הנוסחה   a + z b ¯ = a ¯ − z b {\displaystyle \ {\overline {a+zb}}={\overline {a}}-zb} . האינוולוציה על C מקיימת את התכונות   x + x ¯ ∈ F {\displaystyle \ x+{\bar {x}}\in F} ו-   x x ¯ = x ¯ x ∈ F {\displaystyle \ x{\bar {x}}={\bar {x}}x\in F} לכל   x ∈ C {\displaystyle \ x\in C} , ולכן גם הרחבת קיילי-דיקסון של A היא אלגברה מאותו סוג; כך אפשר להמשיך את הבניה פעמים נוספות. הנורמה מורחבת לפי   N ( a + z b ) = N ( a ) − γ N ( b ) {\displaystyle \ N(a+zb)=N(a)-\gamma N(b)} , והיא איזומורפית למכפלה הטנזורית   N A ⊗ ⟨ ⟨ γ ⟩ ⟩ {\displaystyle \ N_{A}\otimes \langle \langle \gamma \rangle \rangle } , כאשר   N A {\displaystyle \ N_{A}} היא הנורמה של A {\displaystyle A} , ו-   ⟨ ⟨ γ ⟩ ⟩ = ⟨ 1 , − γ ⟩ {\displaystyle \ \langle \langle \gamma \rangle \rangle =\langle 1,-\gamma \rangle } היא תבנית פיסטר מסדר ראשון. בפרט, אם N A {\displaystyle N_{A}} היא תבנית פיסטר, גם הנורמה החדשה היא כזו. האלגברה C היא קומוטטיבית אם ורק אם A=F; אסוציאטיבית אם ורק אם A קומוטטיבית; אלטרנטיבית אם ורק אם A אסוציאטיבית; ותמיד מקיימת את הזהות הגמישה. יש לה אותם איברים סימטריים כמו ל-A, והמרכז שלה מורכב מן האיברים הסימטריים במרכז של A (אלא אם A=F). בבניה הקלאסית של שדה המספרים המרוכבים, הקווטרניונים של המילטון והאוקטוניונים, בוחרים   γ = − 1 {\displaystyle \ \gamma =-1} . ראו אלגברות קיילי-דיקסון. הבחירה   γ = 1 {\displaystyle \ \gamma =1} בשלושת הצעדים נותנת, במקום זה, את הסכום הישר   R ⊕ R {\displaystyle \ \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} } , את אלגברת המטריצות   M 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {M} _{2}(\mathbb {R} )} , ואת אלגברת האוקטוניונים המפוצלת מעל   R {\displaystyle \ \mathbb {R} } . אחת הסיבות לחשיבות של בניית קיילי-דיקסון היא האפשרות לחזור על התהליך עם האלגברה המורחבת, וליצור הרחבות נוספות בממדים הולכים וגדלים. האלגברות המתקבלות באופן כזה משדה הבסיס נקראות אלגברות קיילי-דיקסון (אף על פי שבמובן הצר, המונח מתייחס לפעמים רק לאלגברות המתקבלות מן הבניה מעל שדה המספרים הממשיים, עם הקבוע 1- בכל צעד של ההרחבה). מעל שדה כללי, אם A היא ההרחבה הריבועית K/F, הבניה נותנת את אלגברת הקווטרניונים   ( K / F , γ ) {\displaystyle \ (K/F,\gamma )} . בדומה לזה, אם A היא אלגברת הקווטרניונים   ( α , β ) {\displaystyle \ (\alpha ,\beta )} , הבניה נותנת את אלגברת האוקטוניונים   ( α , β , γ ) {\displaystyle \ (\alpha ,\beta ,\gamma )} . אלגברות אלו הן היחידות עם נורמה כפלית (כזו המקיימת את הזהות   N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\displaystyle \ N(xy)=N(x)N(y)} ). מכיוון שקבועי המבנה אינם מתאפסים, כל אלגברות קיילי-דיקסון הן פשוטות, מרכזיות וריבועיות. הזהויות שהן מקיימות הופכות אותן לאלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות; בפרט, הן אלגברות גמישות בעלות חזקה אסוציאטיבית בהחלט. החלפת המשתנה z {\displaystyle z} ב- z k {\displaystyle zk} (כאשר   k ∈ A {\displaystyle \ k\in A} ) מגדירה איזומורפיזם   C D ( A , γ ) → C D ( A , γ ′ ) {\displaystyle \ CD(A,\gamma )\rightarrow CD(A,\gamma ')} , בתנאי ש-   N ( k ) ≠ 0 {\displaystyle \ N(k)\neq 0} , כל האסוציאטורים   ( A , A , k ) = 0 {\displaystyle \ (A,A,k)=0} , ולכל a,b ב-A מתקיים   ( a k , k ¯ , b ) = ( a , k , k ¯ ) b {\displaystyle \ (ak,{\bar {k}},b)=(a,k,{\bar {k}})b} . במקרה זה,   γ = N ( k ) γ ′ {\displaystyle \ \gamma =N(k)\gamma '} . אם A אסוציאטיבית, זהויות אלה מתקיימות לכל k, ואז הכפלת   γ {\displaystyle \ \gamma } בנורמה של איבר מ-A אינה משנה את האלגברה   C D ( A , γ ) {\displaystyle \ CD(A,\gamma )} . לכן יש התאמה בין ההרחבות האפשריות של A, לבין חבורת המנה   F × / N ( A × ) {\displaystyle \ F^{\times }/N(A^{\times })} . כאשר A {\displaystyle A} אסוציאטיבית, הכפלת z {\displaystyle z} באיבר k {\displaystyle k} שהנורמה שלו 1 היא אוטומורפיזם של A, אף על פי שיש גם אוטומורפיזמים אחרים. חבורות האוטומורפיזמים (מעל F {\displaystyle F} ) של אלגברות קיילי-דיקסון הראשונות, היינו השדה F והרחבות ריבועיות שלו, הן סופיות. האוטומורפיזמים של אלגברת קווטרניונים מהווים חבורה אלגברית מטיפוס   A 1 {\displaystyle \ A_{1}} , וחבורות האוטומורפיזמים של אלגברת אוקטוניונים היא חבורה אלגברית ספורדית, מטיפוס   G 2 {\displaystyle \ G_{2}} . On Quaternions and Octonions, J.H. Conway. The Book of Involutions, M.A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost and J.-P. Tignol. אלגברות קיילי-דיקסון