טרנסצנדנטיות של e

הקבוע המתמטי e תופס מקום מרכזי בענפי מתמטיקה רבים. לאורך ההיסטוריה חקרו מתמטיקאים רבים את תכונותיו. בפרט התעורר עניין רב סביב השאלה האם e {\displaystyle e} הוא מספר טרנסצנדנטי, מספר שאינו פתרון של אף משוואה פולינומית עם מקדמים שלמים (או רציונליים). הראשון שעסק בסוגיה היה המתמטיקאי השווייצרי יוהאן היינריך למברט, שבשנת 1761 שיער כי e {\displaystyle e} הוא מספר טרנסצנדנטי. אולם, בתקופה זו לא היה ידוע האם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים. בשנת 1844 הוכיח ז'וזף ליוביל את משפט ליוביל, שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה (קבוע ליוביל). בשנת 1874 הוכיח גאורג קנטור כי כמעט כל המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים. על אף זאת ההוכחה כי מספר מסוים הוא טרנסצנדנטי נותרה בעיה סבוכה. בשנת 1873 הוכיח המתמטיקאי הצרפתי שארל הרמיט את השערתו של למברט, ובכך היה e {\displaystyle e} למספר הראשון בהיסטוריה שהוכח כטרנסצנדנטי בלי שנבנה לשם כך מראש (בניגוד למספרי ליוביל). פרדיננד לינדמן וקארל ויירשטראס הכלילו את התוצאה של הרמיט והוכיחו את משפט לינדמן-ויירשטראס הקובע את הטרנסצנדנטיות ואת האי-תלות האלגברית של חזקות אלגבריות של e {\displaystyle e} ; ממשפט זה נובעת גם הטרנסצנדנטיות של פאי. השיטה בה מוכיחים כי e {\displaystyle e} טרנסצנדנטי שימושית במיוחד, ונעשה בה שימוש רב להוכחת הטרנסצנדנטיות והאי-רציונליות של מספרים רבים נוספים. הרעיון הכללי הוא להניח בשלילה כי המספר מקיים את התכונה, ובאמצעות בניית פונקציות שתפורות לעניין היטב, מבצעים מניפולציות אנליטיות ומראים כי זה גורר שוויון מופרך בין מספר שלם שונה מאפס לבין מספר קטן בערכו המוחלט מ-1. גם ההוכחה הפשוטה יותר ש-e אי-רציונלי נעשית בדרך דומה. בשל השימושיות שלה בתחום זכתה השיטה לכינוי ההומוריסטי "המשפט היסודי של הטרנסצנדנטיים" (על משקל המשפטים היסודיים של האלגברה, האריתמטיקה, החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי ודומיהם). הוכחה זו מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי דויד הילברט כפישוט להוכחתו המקורית של הרמיט, תוך שימוש בכלים בסיסיים בחשבון אינפיניטסימלי בלבד. נניח בשלילה כי e {\displaystyle e} מספר אלגברי. לכן קיימים מספרים שלמים c 0 , c 1 , … , c n {\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots ,c_{n}} כאשר c 0 , c n {\displaystyle c_{0},c_{n}} שונים מאפס (אם המקדם החופשי שווה אפס נחלק את המשוואה בחזקה של e {\displaystyle e} כך שהמקדם החופשי יהיה שונה מאפס) ומקיימים: c 0 + c 1 e + c 2 e 2 + ⋯ + c n e n = 0 {\displaystyle c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0} נגדיר פונקציה: f ( x ) = x k [ ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) ] k + 1 e − x {\displaystyle f(x)=x^{k}{\bigl [}(x-1)(x-2)\cdots (x-n){\bigr ]}^{k+1}e^{-x}} k {\displaystyle k} מספר טבעי שיוגדר בהמשך. נכפול את המשוואה ב- ∫ 0 ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx} : c 0 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x + c 1 e ∫ 0 ∞ f ( x ) d x + ⋯ + c n e n ∫ 0 ∞ f ( x ) d x = 0 {\displaystyle c_{0}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx+c_{1}e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx+\cdots +c_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx=0} נשתמש באדיטיביות האינטגרל ונעביר אגפים כדי לקבל: c 0 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x = − ( c 1 e ∫ 0 1 f ( x ) d x + c 2 e 2 ∫ 0 2 f ( x ) d x + ⋯ + c n e n ∫ 0 n f ( x ) d x ) {\displaystyle c_{0}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx=-\left(c_{1}e\int \limits _{0}^{1}f(x)dx+c_{2}e^{2}\int \limits _{0}^{2}f(x)dx+\cdots +c_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{n}f(x)dx\right)} נסמן את אגף שמאל P 1 {\displaystyle P_{1}} ואת אגף ימין P 2 {\displaystyle P_{2}} . לפי המשוואה מתקיים P 1 k ! = P 2 k ! {\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}={\frac {P_{2}}{k!}}} , אולם נוכיח כי ל- k {\displaystyle k} גדול מספיק P 1 k ! {\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}} מספר שלם שונה מאפס בעוד P 2 k ! {\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}} אינו כזה וכך נגיע לסתירה. P 1 {\displaystyle P_{1}} הוא סכום של איברים מהצורה c a e a ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx} . לכל 0 < a ≤ n {\displaystyle 0<a\leq n} נבצע באינטגרל שינוי משתנה מ- x {\displaystyle x} ל- x + a {\displaystyle x+a} ונקבל (נשים לב כי הקבוע e a {\displaystyle e^{a}} מצטמצם): c a e a ∫ a ∞ f ( x ) d x = c a ∫ 0 ∞ ( x + a ) k [ ( x + a − 1 ) ⋯ x ⋯ ( x + a − n ) ] k + 1 e − x d x {\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=c_{a}\int \limits _{0}^{\infty }(x+a)^{k}{\bigl [}(x+a-1)\cdots x\cdots (x+a-n){\bigr ]}^{k+1}e^{-x}dx} נפתח סוגריים ונקבל סכום של אינטגרלים שהחזקה המינימלית של x {\displaystyle x} בהם היא x k + 1 {\displaystyle x^{k+1}} וכל המקדמים שלמים: c a e a ∫ a ∞ f ( x ) d x = ∑ i = k + 1 m d i ∫ 0 ∞ x i e − x d x {\displaystyle c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}\int \limits _{0}^{\infty }x^{i}e^{-x}dx} , כאשר m , d k + 1 , … , d m {\displaystyle m,d_{k+1},\ldots ,d_{m}} מספרים שלמים. מאינטגרציה בחלקים נובע ∫ 0 ∞ x i e − x d x = i ! {\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{i}e^{-x}dx=i!} (זוהי תכונה ידועה של פונקציית גמא). ולכן: 1 k ! c a e a ∫ a ∞ f ( x ) d x = ∑ i = k + 1 m d i i ! k ! = ∑ i = k + 1 m d i ( k + 1 ) ⋯ i ≡ 0 ( mod k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{a}e^{a}\int \limits _{a}^{\infty }f(x)dx=\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}{\frac {i!}{k!}}=\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}(k+1)\cdots i\equiv 0{\pmod {k+1}}} במקרה a = 0 {\displaystyle a=0} מפתיחת סוגריים ומהפעלת שיקולים דומים נקבל (נשים לב כי במקרה הזה יש ל- x k {\displaystyle x^{k}} מקדם השווה למכפלת המקדמים החופשיים באינטגרנד): 1 k ! c 0 ∫ 0 ∞ f ( x ) d x = 1 k ! ( c 0 n ! ( − 1 ) k + 1 ∫ 0 ∞ x k e − x d x + ∑ i = k + 1 m d i ∫ 0 ∞ x i e − x d x ) ≡ c 0 n ! ( − 1 ) k + 1 ( mod k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{k!}}c_{0}\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx={\frac {1}{k!}}\left(c_{0}n!(-1)^{k+1}\int \limits _{0}^{\infty }x^{k}e^{-x}dx+\sum _{i\,=\,k+1}^{m}d_{i}\int \limits _{0}^{\infty }x^{i}e^{-x}dx\right)\equiv c_{0}n!(-1)^{k+1}{\pmod {k+1}}} כל k + 1 {\displaystyle k+1} ראשוני הגדול מ- n {\displaystyle n} ומ- c 0 {\displaystyle c_{0}} זר ל- c 0 n ! ( − 1 ) k + 1 {\displaystyle c_{0}n!(-1)^{k+1}} . במקרה כזה: P 1 k ! = 1 k ! ∑ i = 0 n c i e i ∫ i ∞ f ( x ) d x ≡ c 0 n ! ( − 1 ) k + 1 ≢ 0 ( mod k + 1 ) {\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}={\frac {1}{k!}}\sum _{i\,=\,0}^{n}c_{i}e^{i}\int \limits _{i}^{\infty }f(x)dx\equiv c_{0}n!(-1)^{k+1}\not \equiv 0{\pmod {k+1}}} והוכחנו כי P 1 k ! {\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}} שלם השונה מאפס. נוכיח כי ל- k {\displaystyle k} גדול מספיק P 2 k ! {\displaystyle {\frac {P_{2}}{k!}}} קטן בערכו המוחלט מ-1. נסמן: g ( x ) = x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) ; h ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ⋯ ( x − n ) e − x {\displaystyle g(x)=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n);\quad h(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}} נשים לב כי: f ( x ) = g ( x ) k ⋅ h ( x ) {\displaystyle f(x)=g(x)^{k}\cdot h(x)} g , h {\displaystyle g,h} פונקציות רציפות ולכן לפי משפט ויירשטראס הראשון קיימים חסמים G , H {\displaystyle G,H} כך שלכל x ∈ [ 0 , n ] {\displaystyle x\in [0,n]} : | g ( x ) | < G ; | h ( x ) | < H {\displaystyle |g(x)|<G;\quad |h(x)|<H}      (בפרט ניתן להגדיר: G = n n + 1 ; H = n n {\displaystyle G=n^{n+1};\quad H=n^{n}} ) לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי ותכונת המונוטוניות של אינטגרלים (לכל 0 < i ≤ n {\displaystyle 0<i\leq n} ): | ∫ 0 i f ( x ) d x | ≤ ∫ 0 i | f ( x ) | d x < ∫ 0 i G k H d x = G k H ⋅ i {\displaystyle \left|\int \limits _{0}^{i}f(x)dx\right|\leq \int \limits _{0}^{i}|f(x)|dx<\int \limits _{0}^{i}G^{k}Hdx=G^{k}H\cdot i} לכן לפי אי-שוויון המשולש: | P 2 | = | ∑ i = 1 n c i e i ∫ 0 i f ( x ) d x | < ∑ i = 1 n | c i e i ⋅ i | ⋅ G k H {\displaystyle |P_{2}|=\left|\sum _{i\,=\,1}^{n}c_{i}e^{i}\int \limits _{0}^{i}f(x)dx\right|<\sum _{i\,=\,1}^{n}|c_{i}e^{i}\cdot i|\cdot G^{k}H} נסמן: M = ∑ i = 1 n | c i e i ⋅ i | ⋅ H {\displaystyle M=\sum _{i\,=\,1}^{n}|c_{i}e^{i}\cdot i|\cdot H} , כלומר | P 2 | < M G k {\displaystyle |P_{2}|<MG^{k}} נבחין בגבול הפשוט (פונקציית העצרת גדלה מהר יותר מפונקציה מעריכית): lim k → ∞ M G k k ! = 0 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {MG^{k}}{k!}}=0} ונסיק כי ל- k {\displaystyle k} גדול מספיק: | P 2 k ! | < M G k k ! < 1 {\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<{\frac {MG^{k}}{k!}}<1} נבחר k {\displaystyle k} כך שהוא גדול מספיק וגם k + 1 {\displaystyle k+1} ראשוני (אפשרי משום שקיימים אינסוף ראשוניים). לפי השלב הראשון P 1 k ! {\displaystyle {\frac {P_{1}}{k!}}} שלם שונה מאפס, כלומר | P 1 k ! | ≥ 1 {\displaystyle \left|{\frac {P_{1}}{k!}}\right|\geq 1} . לעומת זאת לפי השלב השני | P 2 k ! | < 1 {\displaystyle \left|{\frac {P_{2}}{k!}}\right|<1} בסתירה לכך ש- P 1 = P 2 {\displaystyle P_{1}=P_{2}} . לכן e {\displaystyle e} אינו שורש של פולינום במקדמים שלמים ובהכרח מספר טרנסצנדנטי. הוכחה זו מבוססת על הוכחה שניתנה על ידי אדולף הורוויץ, גם היא כפישוט להוכחתו המקורית של הרמיט. נניח בשלילה כי e {\displaystyle e} מספר אלגברי, כלומר קיים פולינום P ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n ∈ Z [ x ] {\displaystyle P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}\in \mathbb {Z} [x]} עבורו P ( e ) = 0 {\displaystyle P({\text{e}})=0} . יהי f ( x ) {\displaystyle f(x)} פולינום ממעלה d {\displaystyle d} . נגדיר F ( x ) = ∑ k = 0 d f ( k ) ( x ) {\displaystyle F(x)=\sum _{k\,=\,0}^{d}f^{(k)}\!(x)} . נגזור ונקבל כי F ′ ( x ) = ∑ k = 0 d f ( k + 1 ) ( x ) = ∑ k = 1 d f ( k ) ( x ) = F ( x ) − f ( x ) {\displaystyle F'\!(x)=\sum _{k\,=\,0}^{d}f^{(k+1)}\!(x)=\sum _{k\,=\,1}^{d}f^{(k)}\!(x)=F(x)-f(x)} נגדיר G ( x ) = e − x F ( x ) {\displaystyle G(x)={\text{e}}^{-x}F(x)} . נגזור ונקבל כי G ′ ( x ) = e − x F ′ ( x ) − e − x F ( x ) = e − x [ F ′ ( x ) − F ( x ) ] = − e − x f ( x ) {\displaystyle G'\!(x)={\text{e}}^{-x}F'\!(x)-{\text{e}}^{-x}F(x)={\text{e}}^{-x}{\bigl [}F'\!(x)-F(x){\bigr ]}=-{\text{e}}^{-x}f(x)} כיון שהפונקציה G ( x ) {\displaystyle G(x)} גזירה, ניישם את משפט הערך הממוצע של לגראנז' מעל הקטע [ 0 , m ] {\displaystyle [0,m]} כאשר m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } . לכן קיים x m ∈ ( 0 , m ) {\displaystyle x_{m}\in (0,m)} עבורו G ′ ( x m ) = G ( m ) − G ( 0 ) m − 0 = e − m F ( m ) − e − 0 F ( 0 ) m = − e − x m f ( x m ) {\displaystyle G'\!(x_{m})={\frac {G(m)-G(0)}{m-0}}={\frac {{\text{e}}^{-m}F(m)-{\text{e}}^{-0}F(0)}{m}}=-{\text{e}}^{-x_{m}}f(x_{m})} נסמן F ( m ) − e m F ( 0 ) = − m e m − x m f ( x m ) = A m a m F ( m ) − a m e m F ( 0 ) = a m A m {\displaystyle {\begin{aligned}F(m)-{\text{e}}^{m}F(0)=-m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}f(x_{m})=A_{m}\\[6pt]a_{m}F(m)-a_{m}{\text{e}}^{m}F(0)=a_{m}A_{m}\end{aligned}}} נסכום ונקבל כי ∑ m = 1 n a m F ( m ) − ∑ m = 1 n a m e m F ( 0 ) = ∑ m = 1 n a m A m ∑ m = 1 n a m F ( m ) − F ( 0 ) ∑ m = 1 n a m e m = ∑ m = 1 n a m A m ∑ m = 1 n a m F ( m ) − F ( 0 ) ( − a 0 ) = ∑ m = 1 n a m A m ∑ m = 0 n a m F ( m ) = ∑ m = 1 n a m A m {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}{\text{e}}^{m}F(0)=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-F(0)\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}{\text{e}}^{m}=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}F(m)-F(0)(-a_{0})=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\\[6pt]\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)=\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\end{aligned}}} למה: יהי f ( x ) {\displaystyle f(x)} פולינום בעל שורש x 0 {\displaystyle x_{0}} מריבוי d ≥ 1 {\displaystyle d\geq 1} . אזי f ( j ) ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f^{(j)}\!(x_{0})=0} לכל 0 ≤ j ≤ d − 1 {\displaystyle 0\leq j\leq d-1} . הוכחה: באינדוקציה שלמה. נרשום f ( x ) = ( x − x 0 ) d Q ( x ) {\displaystyle f(x)=(x-x_{0})^{d}Q(x)} , כאשר Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} פולינום עבורו Q ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle Q(x_{0})\neq 0} . עבור d = 1 {\displaystyle d=1} מתקיים: f ( 0 ) ( x 0 ) = f ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f^{(0)}\!(x_{0})=f(x_{0})=0} נניח כי לכל 1 ≤ d ≤ k {\displaystyle 1\leq d\leq k} הטענה מתקיימת לכל 0 ≤ j ≤ d − 1 {\displaystyle 0\leq j\leq d-1} . נוכיח כי עבור d = k + 1 {\displaystyle d=k+1} הטענה מתקיימת לכל 0 ≤ j ≤ k {\displaystyle 0\leq j\leq k} : f ( x ) = ( x − x 0 ) k + 1 Q ( x ) f ( 1 ) ( x ) = ( k + 1 ) ( x − x 0 ) k Q ( x ) + ( x − x 0 ) k + 1 Q ( 1 ) ( x ) = ( x − x 0 ) k [ ( k + 1 ) Q ( x ) + ( x − x 0 ) Q ( 1 ) ( x ) ] = ( x − x 0 ) k R ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=(x-x_{0})^{k+1}Q(x)\\[5pt]f^{(1)}\!(x)&=(k+1)(x-x_{0})^{k}Q(x)+(x-x_{0})^{k+1}Q^{(1)}\!(x)\\[5pt]&={\color {blue}(x-x_{0})^{k}}{\color {red}{\bigl [}(k+1)Q(x)+(x-x_{0})Q^{(1)}\!(x){\bigr ]}}\\[5pt]&={\color {blue}(x-x_{0})^{k}}{\color {red}R(x)}\end{aligned}}} הביטוי הכחול מריבוי k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} , כאשר R ( x ) {\displaystyle R(x)} פולינום עבורו R ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle R(x_{0})\neq 0} . לכן מכפלתם מקיימת את הנחת האינדוקציה. ◻ {\displaystyle \square } עתה נגדיר פולינום f ( x ) = 1 ( p − 1 ) ! x p − 1 [ ( 1 − x ) ( 2 − x ) ⋯ ( n − x ) ] p = ( n ! ) p ( p − 1 ) ! x p − 1 + ∑ m = p ( n + 1 ) p − 1 b m ( p − 1 ) ! x m : b m ∈ Z {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{(p-1)!}}\,x^{p-1}{\bigl [}(1-x)(2-x)\cdots (n-x){\bigr ]}^{p}\\[5pt]&={\frac {(n!)^{p}}{(p-1)!}}x^{p-1}+\!\!\sum _{m\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!{\frac {b_{m}}{(p-1)!}}x^{m}\quad :b_{m}\in \mathbb {Z} \end{aligned}}} כאשר p {\displaystyle p} מספר ראשוני המקיים p > max { a 0 , n } {\displaystyle p>\max\{a_{0},n\}} . מתקיים כי f ( k ) ( x ) = ∑ m = k ( n + 1 ) p − 1 k ! ( p − 1 ) ! ( m k ) b m x m − k : p ≤ k ≤ ( n + 1 ) p − 1 {\displaystyle f^{(k)}\!(x)=\!\!\sum _{m\,=\,k}^{(n+1)p-1}\!\!\!{\frac {k!}{(p-1)!}}{\binom {m}{k}}b_{m}x^{m-k}\quad :p\leq k\leq (n+1)p-1} לכן לכל k ≥ p {\displaystyle k\geq p} הפונקציה f ( k ) ( x ) {\displaystyle f^{(k)}\!(x)} היא פולינום במקדמים שלמים המתחלקים כולם ב- p {\displaystyle p} . לפי השלב השני, לכל 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle 1\leq m\leq n} מתקיים F ( m ) = ∑ k = 0 ( n + 1 ) p − 1 f ( k ) ( m ) = ∑ k = p ( n + 1 ) p − 1 f ( k ) ( m ) {\displaystyle F(m)=\!\!\sum _{k\,=\,0}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(m)=\!\!\sum _{k\,=\,p}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(m)} ולכן F ( m ) {\displaystyle F(m)} מספר שלם המתחלק ב- p {\displaystyle p} . לעומת זאת, עבור m = 0 {\displaystyle m=0} מתקיים F ( 0 ) = ∑ k = 0 ( n + 1 ) p − 1 f ( k ) ( 0 ) = ∑ k = p − 1 ( n + 1 ) p − 1 f ( k ) ( 0 ) {\displaystyle F(0)=\!\!\sum _{k\,=\,0}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(0)=\!\!\sum _{k\,=\,p-1}^{(n+1)p-1}\!\!\!\!f^{(k)}\!(0)} אך f ( p − 1 ) ( 0 ) = ( n ! ) p {\displaystyle f^{(p-1)}\!(0)=(n!)^{p}} , והמספרים n , a 0 {\displaystyle n,a_{0}} אינם מתחלקים ב- p {\displaystyle p} . לכן a 0 F ( 0 ) {\displaystyle a_{0}F(0)} לא מתחלק ב- p {\displaystyle p} . מסקנה: N = ∑ m = 0 n a m F ( m ) {\displaystyle N=\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)} הוא מספר שלם שאינו מתחלק ב- p {\displaystyle p} , ובפרט N ≠ 0 {\displaystyle N\neq 0} . לפי השלב הראשון, לכל 1 ≤ m ≤ n {\displaystyle 1\leq m\leq n} מתקיים 0 < x m < m ≤ n {\displaystyle 0<x_{m}<m\leq n} . לכן A m = − m e m − x m f ( x m ) = − m e m − x m ( p − 1 ) ! ( x m ) p − 1 [ ( 1 − x m ) ( 2 − x m ) ⋯ ( n − x m ) ] p | A m | = m e m − x m ( p − 1 ) ! ( x m ) p − 1 | ( 1 − x m ) ( 2 − x m ) ⋯ ( n − x m ) | p ≤ n e n ( p − 1 ) ! n p − 1 ( 1 ⋅ 2 ⋯ n ) p = e n ( n ⋅ n ! ) p ( p − 1 ) ! {\displaystyle {\begin{aligned}A_{m}&=-m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}f(x_{m})=-{\frac {m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}}{(p-1)!}}\,(x_{m})^{p-1}{\bigl [}(1-x_{m})(2-x_{m})\cdots (n-x_{m}){\bigr ]}^{p}\\[5pt]|A_{m}|&={\frac {m\,{\text{e}}^{m-x_{m}}}{(p-1)!}}\,(x_{m})^{p-1}{\Big |}(1-x_{m})(2-x_{m})\cdots (n-x_{m}){\Big |}^{p}\\[5pt]&\leq {\frac {n\,{\text{e}}^{n}}{(p-1)!}}\,n^{p-1}(1\cdot 2\cdots n)^{p}={\text{e}}^{n}{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}\end{aligned}}} על־פי אי-שוויון המשולש מתקיים 0 < | N | = | ∑ m = 0 n a m F ( m ) | = | ∑ m = 1 n a m A m | ≤ ∑ m = 1 n | a m A m | ≤ ( ∑ m = 1 n | a m | ) e n ( n ⋅ n ! ) p ( p − 1 ) ! {\displaystyle 0<|N|=\left|\sum _{m\,=\,0}^{n}a_{m}F(m)\right|=\left|\sum _{m\,=\,1}^{n}a_{m}A_{m}\right|\leq \sum _{m\,=\,1}^{n}|a_{m}A_{m}|\leq \left(\sum _{m\,=\,1}^{n}|a_{m}|\right){\text{e}}^{n}{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}} אך lim p → ∞ ( n ⋅ n ! ) p ( p − 1 ) ! = 0 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{\frac {(n\cdot n!)^{p}}{(p-1)!}}=0} , כלומר עבור p {\displaystyle p} גדול מספיק מתקיים 0 < | N | < 1 {\displaystyle 0<|N|<1} . סתירה. ◻ {\displaystyle \square } מסקנה: e {\displaystyle {\text{e}}} מספר טרנסצנדנטי. ◼ {\displaystyle \blacksquare } הוכחת הטרנסצנדנטיות של e בגרסת הילברט (ואי-רציונליות של π) (בגרמנית) הוכחת הטרנסצנדנטיות של e בגרסת אדולף הורוויץ (לא פעיל) ארכיון (באנגלית) Fundamental Theorem Of Transcendence באתר PlanetMath