קטגוריות של תורות

בלוגיקה מתמטית, אומרים שתורה T {\displaystyle T} היא קטגורית אם כל המודלים שלה איזומורפיים. במקרה כזה, ניתן לומר שהמודל M {\displaystyle M} של התורה היחיד עד כדי איזומורפיזם, מגדיר אותה. בלוגיקה מסדר ראשון, תורה קטגורית היא בהכרח בעלת מודלים סופיים בלבד. זו מסקנה ישירה ממשפט לוונהיים-סקולם, שכן אם היה לה מודל אינסופי, אז היה לה מודל מכל עוצמה אינסופית (עם זאת, בלוגיקות מסדר גבוה יותר, ייתכנו תורות קטגוריות בעלות מודלים אינסופיים: למשל לאקסיומות פיאנו מסדר שני יש מודל אחד עד כדי איזומורפיזם, והוא N {\displaystyle \mathbb {N} } ). בנוסף, תורה קטגורית היא בהכרח שלמה (אך ההפך לא נכון; יש למשל תורות שלמות בעלות מודלים אינסופיים). זאת כי איזומורפיזם גורר שקילות אלמנטרית, ולכן כל שני מודלים של התורה שקולים אלמנטרית, וזאת אם ורק אם היא שלמה. ניתן הגדרה עדינה יותר: אומרים שתורה T {\displaystyle T} היא κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית אם כל המודלים שלה מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } איזומורפיים. פעמים רבות, נוח להוכיח שלמות של תורות באמצעות κ {\displaystyle \kappa } -קטגוריות. זה נובע מהמשפט הבא: משפט: תהי κ {\displaystyle \kappa } עוצמה כלשהי, לפחות כעוצמת השפה. אם תורה T {\displaystyle T} היא κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית, וכל מודל שלה הוא אינסופי, אז T {\displaystyle T} שלמה. הוכחה: נניח בשלילה ש- T {\displaystyle T} לא שלמה. אז קיים פסוק α {\displaystyle \alpha } כך ש- T ⊬ α {\displaystyle T\nvdash \alpha } וגם T ⊬ ¬ α {\displaystyle T\nvdash \neg \alpha } . מכך ש- T ⊬ α {\displaystyle T\nvdash \alpha } נובע ש- T , α {\displaystyle T,\alpha } עקבית (חסרת סתירה), ולכן ממשפט השלמות קיים מודל M ′ ⊨ T , α {\displaystyle M'\vDash T,\alpha } . מההנחה מודל זה אינסופי, ולכן ממשפט לוונהיים-סקולם יש מודל M ⊨ T , α {\displaystyle M\vDash T,\alpha } מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } . באופן דומה, מ- T ⊬ ¬ α {\displaystyle T\nvdash \neg \alpha } נקבל שיש מודל N ⊨ T , ¬ α {\displaystyle N\vDash T,\neg \alpha } מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } . אז בפרט M , N {\displaystyle M,N} מודלים ל- T {\displaystyle T} , אבל הם לא איזומורפיים כי הם לא שקולים אלמנטרית: M ⊨ α {\displaystyle M\vDash \alpha } אך N ⊨ ¬ α {\displaystyle N\vDash \neg \alpha } ולכן N ⊭ α {\displaystyle N\nvDash \alpha } . קיבלנו סתירה להנחה ש- T {\displaystyle T} היא κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית. ניקח שפה עם סימן השוויון = {\displaystyle =} ושלושה סימני קבועים c 1 , c 2 , c 3 {\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}} . ניקח תורה עם האקסיומות הבאות: ∃ x 1 ∃ x 2 ∃ x 3 ¬ ( x 1 = x 2 ) ∧ ¬ ( x 1 = x 3 ) ∧ ¬ ( x 2 = x 3 ) ∧ ∀ y ( y = x 1 ∨ y = x 2 ∨ y = x 3 ) {\displaystyle \exists x_{1}\,\exists x_{2}\,\exists x_{3}\,\neg (x_{1}=x_{2})\wedge \neg (x_{1}=x_{3})\wedge \neg (x_{2}=x_{3})\wedge \forall y\,(y=x_{1}\vee y=x_{2}\vee y=x_{3})} ¬ ( c 1 = c 2 ) ∧ ¬ ( c 1 = c 2 ) ∧ ¬ ( c 2 = c 3 ) {\displaystyle \neg (c_{1}=c_{2})\wedge \neg (c_{1}=c_{2})\wedge \neg (c_{2}=c_{3})} זו תורה קטגורית, כי בכל מודל M {\displaystyle M} שלה יש שלושה איברים בדיוק (מהאקסיומה הראשונה), והם פירושי הקבועים c 1 M , c 2 M , c 3 M {\displaystyle c_{1}^{M},c_{2}^{M},c_{3}^{M}} , ששונים זה מזה (מהאקסיומה השנייה). אם בדוגמה הקודמת היינו מוותרים על האקסיומה השנייה, אז התורה לא הייתה קטגורית, כי קיים מודל בו כל סימני הקבועים מתאימים לאותו איבר, למשל (כלומר c 1 M = c 2 M = c 3 M {\displaystyle c_{1}^{M}=c_{2}^{M}=c_{3}^{M}} ). ניקח הפעם שפה עם סימן השוויון = {\displaystyle =} , ועם סימני קבועים c 1 , c 2 , c 3 , … {\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},\dots } . ניקח את התורה הבאה: T = { ¬ ( c i = c j ) ∣ i ≠ j } {\displaystyle T=\{\neg (c_{i}=c_{j})\mid i\neq j\}} . אז כל מודל M {\displaystyle M} של T {\displaystyle T} אינסופי, כי יש בו אינסוף איברים שונים שהם פירושי הקבועים c i M {\displaystyle c_{i}^{M}} . נבחין כי T {\displaystyle T} לא ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -קטגורית: הרי נוכל לקחת מודל M {\displaystyle M} שלה המכיל את פירושי הקבועים בלבד, ומודל M ′ {\displaystyle M'} המכיל איבר נוסף, ואז אין איזומורפיזם ביניהם (כי איזומורפיזם שומר על קבועים). אמנם, נבחין ש- T {\displaystyle T} היא κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית לכל κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} : בהינתן שני מודלים מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } , נוכל להתאים את פירושי הקבועים זה לזה (כלומר להתאים c i M ↦ c i M ′ {\displaystyle c_{i}^{M}\mapsto c_{i}^{M'}} ), ואת יתר κ {\displaystyle \kappa } האיברים להתאים על ידי איזומורפיזם של קבוצות, שמתאים גם כאיזומורפיזם של מודלים כי אין יחסים עליהם יש לשמור ביחס אליהם. מהמשפט לעיל נקבל כי T {\displaystyle T} שלמה. נעיין בתורת המספרים עם פונקציית העוקב בלבד. נטען שהיא שלמה, ונראה זאת בעזרת המשפט שלעיל. אכן, כל מודל שלה אינסופי, שכן הוא מכיל עותק של N {\displaystyle \mathbb {N} } , וכן מספר עותקים כלשהו של Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . ברור שהיא לא ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -קטגורית, כי יש לה מודל המכיל עותק של N {\displaystyle \mathbb {N} } בלבד, ומודל אחר שמכיל בנוסף עותק של Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , ומודלים אלו לא איזומורפיים. אבל היא כן κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית לכל κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} , כי בהינתן שני מודלים מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } , נוכל להתאים בין העותקים של N {\displaystyle \mathbb {N} } שבהם, וכן בין κ {\displaystyle \kappa } העותקים של Z {\displaystyle \mathbb {Z} } שיש בכל אחד מהם. מכאן שזו תורה שלמה. תורת הסדר המלא הצפוף בלי קצוות היא שלמה, שכן כל מודל שלה אינסופי, וניתן להראות שהיא ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -קטגורית, על ידי בניית התאמה בין שני סדרים צפופים בני-מנייה. תורת המרחבים הווקטוריים מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } כלשהו בן מנייה היא שלמה. היא לא ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} -קטגורית כי למשל F , F 2 {\displaystyle \mathbb {F} ,\mathbb {F} ^{2}} לא איזומורפיים, כי הם לא מאותו מימד מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } : הראשון ממימד 1 {\displaystyle 1} ואילו השני ממימד 2 {\displaystyle 2} . אמנם, לכל κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} התורה כן κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית. מכיוון שאיבר כללי במרחב הוא צירוף ליניארי סופי של איברי בסיס, נובע שכל מרחב וקטורי מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } הוא ממימד κ {\displaystyle \kappa } מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , ולכן יש איזומורפיזם בין כל שני מרחבים וקטוריים מעוצמה κ {\displaystyle \kappa } . תורת השדות הסגורים אלגברית ממציין כלשהו היא שלמה. זאת כי כל שדה סגור אלגברית הוא אינסופי (הרי בהינתן שדה F = { a 1 , … , a n } {\displaystyle \mathbb {F} =\{a_{1},\dots ,a_{n}\}} סופי, הפולינום p ( x ) = 1 + ∏ i = 1 n ( x − a i ) {\displaystyle p(x)=1+\prod _{i=1}^{n}(x-a_{i})} מקיים p ( a i ) = 1 {\displaystyle p(a_{i})=1} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} ואזי אין לו שורש בשדה, ומכאן ש- F {\displaystyle \mathbb {F} } לא סגור אלגברית). בנוסף, לפי משפט, בהינתן עוצמה κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} ומאפיין כלשהו, יש רק שדה סגור אלגברי אחד מעוצמה וממאפיין אלו עד כדי איזומורפיזם. לכן התורה היא κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית לכל κ > ℵ 0 {\displaystyle \kappa >\aleph _{0}} , ונובע כי היא שלמה. ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "קטגוריות של תורות".