תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

תורת ההפרעות (בתרגומים ישנים מכונה גם טרידה) היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית. עיקר השיטה הוא הפרדת הבעיה הפיזיקלית לשתי תתי-בעיות: בעיה עיקרית שפתרונותיה ידועים מראש, אם בצורה אנליטית ואם בצורה מקורבת - זוהי בעיית הבסיס. בעיה נוספת בעלת ערכים עצמיים קטנים ביחס לבעיית הבסיס - זוהי ההפרעה. על פי השיטה ניתן להרכיב את הפתרונות של הבעיה הכללית (כולל ההפרעה) באמצעות סופרפוזיציה של פתרונות של בעיית הבסיס. במסגרת תורת ההפרעות ניתן לנתח מערכות פיזיקלית עם המילטוניאן מהצורה: H ^ = H ^ 0 + λ V ^ {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+\lambda {\hat {V}}} כך ש- λ ≪ 1 {\displaystyle \lambda \ll 1} ול- H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} אוסף מצבים עצמיים בדידים | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(0)}\rangle } עם אנרגיות עצמיות E n ( 0 ) {\displaystyle E_{n}^{(0)}} . על פי השיטה ניתן למצוא אנרגיות עצמיות ומצבים עצמיים של ההמילטוניאן הכללי H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} באמצעות הפתרונות הידועים של H ^ 0 {\displaystyle {\hat {H}}_{0}} . פתרונות אלו יהיו מהצורה: | n ⟩ = | n ( 0 ) ⟩ + λ | n ( 1 ) ⟩ + λ 2 | n ( 2 ) ⟩ + … {\displaystyle |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\dots } עם אנרגיות עצמיות מתאימות מהצורה: E n = E n ( 0 ) + λ E n ( 1 ) + λ 2 E n ( 2 ) + … {\displaystyle E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\dots } האיברים E n ( k ) {\displaystyle E_{n}^{(k)}} ו- | n ( k ) ⟩ {\displaystyle |n^{(k)}\rangle } נקראים התיקון מסדר k {\displaystyle k} לאנרגיה ולמצב העצמי בהתאמה. בעיות מתחום תורת ההפרעות ניתן לחלק לשני סוגים: תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן: זהו המקרה בו ההפרעה V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} בעלת תלות מרחבית בלבד ואינה תלויה בזמן. במקרה זה ישנו שימור אנרגיה ועל כן ניתן לפתור את הבעיה כפתרון בעיית ערכים עצמיים. תורת ההפרעות שתלויה בזמן: זהו המקרה בו ההפרעה תלויה במרחב ובזמן, כלומר V ^ ≡ V ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {V}}\equiv {\hat {V}}(t)} . במקרה זה האנרגיה אינה נשמרת ולמעשה הפתרון מיוצג על-ידי מעברים משתנים בזמן בין המצבים העצמיים של בעיית הבסיס. את תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן פיתח ארווין שרדינגר ב-1926 כהמשך ישיר לעבודתו על משוואת שרדינגר. את תורת ההפרעות התלויה בזמן פיתח פול דיראק. כאשר פתרונות בעיית הבסיס הם ללא ניוון, ניתן לחשב את התיקון מסדר ראשון ושני לאנרגיה באופן הבא: E n ( 1 ) = ⟨ n ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ {\displaystyle E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle } E n ( 2 ) = ∑ k ≠ n | ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ | 2 E n ( 0 ) − E k ( 0 ) {\displaystyle E_{n}^{(2)}=\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}} את התיקון למצב העצמי מסדר ראשון ניתן לחשב באמצעות: | n ( 1 ) ⟩ = ∑ k ≠ n ⟨ k ( 0 ) | V | n ( 0 ) ⟩ E n ( 0 ) − E k ( 0 ) | k ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle } פתרונות אלו נכונים אך ורק במידה ואין ניוון. במקרה ויש ניוון המכנה בתיקון מסדר שני לאנרגיה ומסדר ראשון למצב מתאפס וישנה חלוקה באפס. במקרה זה נדרשת שיטה אחרת. במקרה שבו ישנו ניוון, ניתן להניח כי המצבים העצמיים של אותה אנרגיה עצמית מתערבבים זה עם זה בלבד, זאת בהינתן הפרעה קטנה. כלומר, התיקון למצבים העצמיים יהיה סופרפוזיציה של מצבים בעלי אנרגיה עצמית זהה. עבור אוסף מצבים עצמיים | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , … , | k ⟩ {\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,\dots ,|k\rangle } בעלי אותה אנרגיה עצמית E n {\displaystyle E_{n}} בבעיית הבסיס, ניתן לצמצם את ההפרעה V ^ {\displaystyle {\hat {V}}} למרחב הנפרס על ידי מצבים אלו ולהציג אותה בייצוג מטריצי: V = ( V 11 V 12 … V 1 k V 21 V 22 … V 2 k ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ V k 1 V k 2 … V k k ) {\displaystyle V=\left({\begin{matrix}V_{11}&V_{12}&\dots &V_{1k}\\V_{21}&V_{22}&\dots &V_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\V_{k1}&V_{k2}&\dots &V_{kk}\end{matrix}}\right)} כך ש: V i j = ⟨ i | V ^ | j ⟩ {\displaystyle V_{ij}=\langle i|{\hat {V}}|j\rangle } עבור וקטור עצמי ( α 1 , … , α k ) {\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k})} וערך עצמי מתאים Δ E {\displaystyle \Delta E} של המטריצה V {\displaystyle V} , מתקבל מצב עצמי ואנרגיה עצמית מתוקנים כך שהאנרגיה המתוקנת היא E + λ Δ E {\displaystyle E+\lambda \Delta E} והמצב המתוקן הוא: | ψ ⟩ = ∑ i = 1 k α i | i ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{k}{\alpha _{i}|i\rangle }} ובכך ניתן לקבל k {\displaystyle k} מצבים עצמיים מתוקנים עם אנרגיות מתוקנות. ניתן לתאר גביש חד־ממדי כמערכת עם המילטוניאן מהצורה H = p 2 2 m + V {\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V} , כאשר V {\displaystyle V} הוא הפרעה מחזורית עם מחזור מאורך a {\displaystyle a} . כלומר, לכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } מתקיים V ( x + a ) = V ( x ) {\displaystyle V(x+a)=V(x)} . במקרה זה ההמילטוניאן הבלתי מופרע הוא p 2 2 m {\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}} והמצבים העצמיים שלו הם האלקטרונים החופשיים | k ⟩ {\displaystyle |k\rangle } עם האנרגיות E k = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E_{k}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} כאשר k ∈ R {\displaystyle k\in \mathbb {R} } הוא מספר הגל. ניתן לתאר את הפוטנציאל המחזורי באמצעות טור פורייה: V ( x ) = ∑ n ∈ Z V ~ n e n K x {\displaystyle V(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{{\tilde {V}}_{n}e^{nKx}}} כאשר K = 2 π a {\displaystyle K={\frac {2\pi }{a}}} ו- V ~ − n = V ~ n ∗ {\displaystyle {\tilde {V}}_{-n}={\tilde {V}}_{n}^{*}} (זאת מכיוון ש- V {\displaystyle V} חייב להיות הרמיטי) מאחר שהוספת קבוע להמילטוניאן שקול להזזת פאזה, מה שאינו משנה את סטטיסטיקת מיקום האלקטרונים, ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות כי V ~ 0 = 0 {\displaystyle {\tilde {V}}_{0}=0} . בבעיית הבסיס אין ניוון באנרגיה, לכן בעזרת תורת ההפרעות מתקבל כי התיקון הראשון לאנרגיה מתאפס והתיקון השני לאנרגיה הוא: E k ( 2 ) = ∑ 0 ≠ n ∈ Z | V ~ n | 2 E k − E k + n K {\displaystyle E_{k}^{(2)}=\sum _{0\neq n\in \mathbb {Z} }{\frac {|{\tilde {V}}_{n}|^{2}}{E_{k}-E_{k+nK}}}} פתרון זה נקרא מודל אלקטרונים כמעט חופשיים והוא ניתן להרחבה גם לשלושה ממדים. אפקט שטארק באטום מימן מתקבל כאשר המימן מצוי בשדה חשמלי. במקרה זה ההמילטוניאן הוא מהצורה H = H 0 + e E z {\displaystyle H=H_{0}+eEz} כאשר H 0 {\displaystyle H_{0}} הוא ההמילטוניאן של אטום המימן ו- V = e E z {\displaystyle V=eEz} מתאר שדה חשמלי מגודל E {\displaystyle E} בכיוון ציר z {\displaystyle z} ( e {\displaystyle e} הוא מטען האלקטרון). בבעיה הבלתי מופרעת של אטום המימן ישנו ניוון מגודל n 2 {\displaystyle n^{2}} לכל רמת אנרגיה n {\displaystyle n} ולכן יש להשתמש בתורת ההפרעות במקרה המנוון. עבור n = 2 {\displaystyle n=2} , המצבים היחידים המקיימים אינטראקציה זה עם זה הם | 200 ⟩ {\displaystyle |200\rangle } ו- | 210 ⟩ {\displaystyle |210\rangle } עם ⟨ 200 | V | 210 ⟩ = 3 e E a 0 {\displaystyle \langle 200|V|210\rangle =3eEa_{0}} כאשר a 0 {\displaystyle a_{0}} הוא רדיוס בוהר. מכל זה, המצבים | 211 ⟩ {\displaystyle |211\rangle } ו- | 21 − 1 ⟩ {\displaystyle |21{-1}\rangle } נשארים ללא שינוי, ומתקבלים מצבים מלוכסנים (לפי ההפרעה), 2 2 ( | 200 ⟩ ± | 210 ⟩ ) {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\left(|200\rangle \pm |210\rangle \right)} , בעלי אנרגיות E 2 ± 3 e E a 0 {\displaystyle E_{2}\pm 3eEa_{0}} בהתאמה. לרוב בבעיות של תורת ההפרעות התלויה בזמן יש למצוא את הסיכוי שחלקיק ימצא במצב קוונטי סופי | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } בהינתן מצב התחלתי | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } , כאשר | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } ו- | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } שניהם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן הבלתי מופרע. ניתן לעשות זאת על-ידי הנוסחה:   c f ( 1 ) ( t ) = − i ℏ λ ∫ t 0 t V f b ( t ) e i ω f b t d t {\displaystyle \ c_{f}^{(1)}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{t_{0}}^{t}{V_{fb}(t)e^{i\omega _{fb}t}dt}} כאשר V f b ( t ) = ⟨ f | V ( t ) | b ⟩ {\displaystyle V_{fb}(t)=\langle f|V(t)|b\rangle } ו- ω f b = E f − E b ℏ {\displaystyle \omega _{fb}={\frac {E_{f}-E_{b}}{\hbar }}} , וכן t 0 {\displaystyle t_{0}} הוא הזמן שממנו מתחילה ההפרעה. הסיכוי שחלקיק ימצא במצב קוונטי | f ⟩ {\displaystyle |f\rangle } בזמן t {\displaystyle t} כלשהו הוא | c f ( 1 ) ( t ) | 2 {\displaystyle |c_{f}^{(1)}(t)|^{2}} . פיתוח זה תקף רק עבור λ ≪ 1 {\displaystyle \lambda \ll 1} ו-   | c f | 2 ≪ 1 {\displaystyle \ |c_{f}|^{2}\ll 1} . בתורת ההפרעות התלויה בזמן יש לפתור את משוואת שרדינגר מהצורה: i ℏ ∂ ∂ t ψ ( t ) = ( H 0 + λ V ( t ) ) | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (t)=(H_{0}+\lambda V(t))|\psi (t)\rangle } . מנחשים פתרון מהצורה:   | ψ ( t ) ⟩ = ∑ n c n ( t ) e − i E n t / ℏ | n ⟩ {\displaystyle \ |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle } כאשר אף כאן המצבים הקוונטיים | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } הם מצבים עצמיים של ההמילטוניאן הבלתי מופרע עם האנרגיה העצמית E n {\displaystyle E_{n}} . בגבול λ → 0 {\displaystyle \lambda \to 0} המקדמים c n {\displaystyle c_{n}} מתנוונים לקבועים בזמן. מציבים אותה במשוואה ומטילים על מצב עצמי כלשהו, ובכך מקבלים מערכת משוואות דיפרנציאליות מצומדות עבור המקדמים c n ( t ) {\displaystyle c_{n}(t)} .   i ℏ ∂ ∂ t c n ( t ) = λ ∑ k c k ( t ) e i ( E n − E k ) t / ℏ ⟨ n | V ( t ) | k ⟩ {\displaystyle \ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{n}(t)=\lambda \sum _{k}c_{k}(t)e^{i(E_{n}-E_{k})t/\hbar }\langle n|V(t)|k\rangle } על-ידי סימון   ω n k = ( E n − E k ) / ℏ {\displaystyle \ \omega _{nk}=(E_{n}-E_{k})/\hbar } ו- V n k = ⟨ n | V ( t ) | k ⟩ {\displaystyle V_{nk}=\langle n|V(t)|k\rangle } , מתקבלת הצורה הסופית:   i ℏ ∂ ∂ t c n ( t ) = λ ∑ k e i ω n k t V n k c k ( t ) {\displaystyle \ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{n}(t)=\lambda \sum _{k}e^{i\omega _{nk}t}V_{nk}c_{k}(t)} אפשר לפתור את המשוואה על ידי לכסון מטריצת ההפרעה המוכפלת ב"תדירויות ההפרשים". לרוב, הפתרון הכללי מסובך לחישוב. בתמונת האינטראקציה של דיראק מעבירים את התלות הטריוויאלית בזמן, זו הנובעת מ-H0, ההמילטוניאן הלא מופרע, מפונקציות הגל לאופרטורים. אזי:   | ψ ( t ) ⟩ S c → | ψ ( t ) ⟩ I = e i H 0 t / ℏ | ψ ⟩ S c {\displaystyle \ |\psi (t)\rangle _{Sc}\to |\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi \rangle _{Sc}}   A S c → A I = e i H 0 t / ℏ A S c e − i H 0 t / ℏ {\displaystyle \ A_{Sc}\to A_{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{Sc}e^{-iH_{0}t/\hbar }} ואז הנוסחה הכללית למצב המופרע נהפכת ל   | ψ ( t ) ⟩ I = ∑ n c n ( t ) | n ⟩ {\displaystyle \ |\psi (t)\rangle _{I}=\sum _{n}c_{n}(t)|n\rangle } כאשר   c n ˙ ≠ 0 ⟺ λ V ≠ 0 {\displaystyle \ {\dot {c_{n}}}\neq 0\iff \lambda V\neq 0} . משוואת התנועה הופכת להיות   i ℏ ∂ ∂ t | ψ ⟩ I = λ V I ( t ) | ψ ⟩ I {\displaystyle \ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle _{I}=\lambda V_{I}(t)|\psi \rangle _{I}} ופתרונה הכללי הוא   | ψ ( t ) ⟩ I = e − i ℏ λ ∫ 0 t V I ( t ′ ) d t ′ | ψ ( 0 ) ⟩ I {\displaystyle \ |\psi (t)\rangle _{I}=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}}|\psi (0)\rangle _{I}} כאשר אנו מניחים ש   ∀ t 1 , t 2   :   [ V I ( t 1 ) , V I ( t 2 ) ] = 0 {\displaystyle \ \forall t_{1},t_{2}\ :\ \left[V_{I}(t_{1}),V_{I}(t_{2})\right]=0} . נסמן   U I = e − i ℏ λ ∫ 0 t V I ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \ U_{I}=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}}} את האופרטור של הקידום בזמן של ההפרעה. זהו אופרטור יוניטרי. אזי ההסתברות לעבור ממצב עצמי b למצב עצמי f נתונה על ידי   Prob b → f = | ⟨ f | U I ( λ ) | b ⟩ | 2 {\displaystyle \ {\mbox{Prob}}_{b\to f}=|\langle f|U_{I}(\lambda )|b\rangle |^{2}} וכדי לפתור זאת, מפתחים את אופרטור הקידום בזמן של ההפרעה לפי λ {\displaystyle \lambda } במה שנקרא סדרת דייסון   U I ( t ) = e − i ℏ λ ∫ 0 t V I ( t ′ ) d t ′ = 1 + λ U I ( 1 ) + λ 2 U I ( 2 ) + ⋯ {\displaystyle \ U_{I}(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}}=1+\lambda U_{I}^{(1)}+\lambda ^{2}U_{I}^{(2)}+\cdots } . כדי לחשב במפורש את התיקונים בסדרת דייסון, נשים לב שאופרטור הקידום בזמן של ההפרעה מקיים את המשוואה הבאה   i ℏ ∂ ∂ t U I ( t ) = λ V I ( t ) U I ( t ) {\displaystyle \ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U_{I}(t)=\lambda V_{I}(t)U_{I}(t)} מציבים ופותרים לכל סדר, וכך למשל מקבלים את התיקון הראשון   U I ( 1 ) ( t ) = − i ℏ ∫ 0 t V I ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \ U_{I}^{(1)}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}} את התיקון השני   U I ( 2 ) ( t ) = ( − i ℏ ) 2 ∫ 0 t d t ′ V I ( t ′ ) ∫ 0 t ′ d t ″ V I ( t ″ ) {\displaystyle \ U_{I}^{(2)}(t)=\left(-{\frac {i}{\hbar }}\right)^{2}\int _{0}^{t}{dt'V_{I}(t')\int _{0}^{t'}{dt''V_{I}(t'')}}} כאשר תמיד מתקיים   0 ≤ t ″ < t ′ < t {\displaystyle \ 0\leq t''<t'<t} . התיקון הראשון מייצג מעבר בין b ל-f בקפיצה אחת, התיקון השני מייצג מעבר בין b ל-f ב-2 קפיצות דרך רמת ביניים אחת, השני מייצג מעבר בין b ל-f ב-3 קפיצות דרך 2 רמות ביניים, וכן הלאה. בתהליך אדיאבטי ההפרעה משתנה לאט מאוד כתלות בזמן. במקרה זה, המצב העצמי ה- n {\displaystyle n} -י הבלתי מופרע משתנה בצורה רציפה למצב ה- n {\displaystyle n} -י המופרע המקביל לו והאנרגיה משתנה כך גם כן. ניתן לתאר תהליך אדיאבטי באמצעות הפרעה מהצורה: V ( t ) = { 0 if  t = − ∞ λ V e t / τ if  t < 0 λ V if  t ≥ 0 {\displaystyle V(t)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}t=-\infty \\\lambda Ve^{t/\tau }&{\mbox{if }}t<0\\\lambda V&{\mbox{if }}t\geq 0\end{matrix}}\right.} כאשר השינוי בהפרעה איטי מאוד, אזי:   | n ( t → + ∞ ) ⟩ → | n ′ ⟩ {\displaystyle \ |n(t\to +\infty )\rangle \to |n'\rangle } כאשר   ( H + λ V ) | n ′ ⟩ = E n ′ | n ′ ⟩ {\displaystyle \ (H+\lambda V)|n'\rangle =E_{n}'|n'\rangle } ואותם אפשר למצוא באמצעות תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן. הפתרון במקרה זה הוא | ψ n ( t ) ⟩ = e − i ℏ ∫ t 0 t E n ( t ′ ) d t ′ | n ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi _{n}(t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}{E_{n}(t')dt'}}|n(t)\rangle } וזה פתרון רק אם השינוי בפונקציית הגל של המצב העצמי הוא מאוד איטי, כלומר, בגבול τ → ∞ {\displaystyle \tau \to \infty } . נניח הפרעה מחזורית   V ( t ) = V sin ⁡ ( ω t ) {\displaystyle \ V(t)=V\sin(\omega t)} בתדירות ω {\displaystyle \omega } . כמו בנוסחה הכללית ניתן לסמן   ω f b = ( E f − E b ) / ℏ {\displaystyle \ \omega _{fb}=\left(E_{f}-E_{b}\right)/\hbar } . במקרה זה, האמפליטודה למעבר ממצב b למצב f היא c f ( 1 ) = − i ℏ λ V f b ∫ 0 t e i ω f b t ′ sin ⁡ ( ω t ′ ) d t ′ = i λ V f b 2 ℏ ( 1 − e i ( ω f b + ω ) t ω f b + ω + 1 − e i ( ω f b − ω ) t ω f b − ω ) = i λ V f b 2 ℏ ( A + + A − ) {\displaystyle {\begin{aligned}c_{f}^{(1)}=-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V_{fb}\int _{0}^{t}{e^{i\omega _{fb}t'}\sin(\omega t')dt'}\\={\frac {i\lambda V_{fb}}{2\hbar }}\left({\frac {1-e^{i(\omega _{fb}+\omega )t}}{\omega _{fb}+\omega }}+{\frac {1-e^{i(\omega _{fb}-\omega )t}}{\omega _{fb}-\omega }}\right)\\={\frac {i\lambda V_{fb}}{2\hbar }}(A_{+}+A_{-})\end{aligned}}} האיבר   A − {\displaystyle \ A_{-}} מייצג בליעה של פוטון ועלייה ברמת האנרגיה, ואילו האיבר   A + {\displaystyle \ A_{+}} מייצג פליטה של פוטון וירידה ברמת האנרגיה. כל איבר נהייה דומיננטי כאשר התדירות קרובות להפרש האנרגיות המתאים. אם מניחים כי   ω ≈ ω f b {\displaystyle \ \omega \approx \omega _{fb}} מתקבל ש-   A − {\displaystyle \ A_{-}} דומיננטי. במקרה זה, ההסתברות למעבר רמות מ-b ל-f היא: Prob b → f = | c f | 2 = λ 2 | V f b | 2 4 ℏ 2 | A − | 2 = λ 2 | V f b | 2 4 ℏ 2 | e i ω f b − ω 2 t | ⋅ | sin ⁡ ( ( ω f b − ω ) t / 2 ) ( ω f b − ω ) / 2 | 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{Prob}}_{b\to f}=|c_{f}|^{2}\\={\frac {\lambda ^{2}|V_{f}b|^{2}}{4\hbar ^{2}}}|A_{-}|^{2}\\={\frac {\lambda ^{2}|V_{f}b|^{2}}{4\hbar ^{2}}}\left|e^{i{\frac {\omega _{fb}-\omega }{2}}t}\right|\cdot \left|{\frac {\sin \left((\omega _{fb}-\omega )t/2\right)}{(\omega _{fb}-\omega )/2}}\right|^{2}\end{aligned}}} ניתן לראות שההסתברות מתנהגת כמו פונקציית sinc ( ζ ) = sin ⁡ ( ζ ) / ζ {\displaystyle {\mbox{sinc}}(\zeta )=\sin(\zeta )/\zeta } בריבוע כאשר ζ = ( ω f b − ω ) t / 2 {\displaystyle \zeta =(\omega _{fb}-\omega )t/2} . רק כאשר תדירות ההפרעה מקיימת   ω f b − 2 π t < ω < ω f b + 2 π t {\displaystyle \ \omega _{fb}-{\frac {2\pi }{t}}<\omega <\omega _{fb}+{\frac {2\pi }{t}}} יש הסתברות משמעותית למעבר רמות. תופעה זאת נקראת רזוננס, שבה המערכת מגיבה רק לתדירות אחת. רוחב עקומת התהודה הוא   4 π / t {\displaystyle \ 4\pi /t} ועבור   ω → ω f b {\displaystyle \ \omega \to \omega _{fb}} מקבלים שההסתברות למעבר רמות פרופורציונית למשך ההפרעה: Prob b → f = λ 2 | V f b | 2 4 ℏ 2 | t | 2 {\displaystyle {\mbox{Prob}}_{b\to f}={\frac {\lambda ^{2}|V_{fb}|^{2}}{4\hbar ^{2}}}|t|^{2}} הניתוח לעיל תקף עבור   4 π ω f b ≪ t ≪ 2 ℏ λ | V f b | {\displaystyle \ {\frac {4\pi }{\omega _{fb}}}\ll t\ll {\frac {2\hbar }{\lambda |V_{fb}|}}} , כלומר: על המערכת לדגום מחזורים רבים של ההפרעה. תנאי זה נובע מרוחב עקומת התהודה. התנאי השני נובע מדרישת תקפות הפיתוח של תוה"פ, ש   | c f | 2 ≪ 1 {\displaystyle \ |c_{f}|^{2}\ll 1} . בשביל שיהיה t מספיק גדול שעבורו התנאי הראשון יתמלא, על ההפרעה להיות קטנה מאוד מהפרש האנרגיות, כלומר:   | V f b | ≪ ℏ ω f b = E f − E b {\displaystyle \ |V_{fb}|\ll \hbar \omega _{fb}=E_{f}-E_{b}} . תורת ההפרעות, באתר MathWorld (באנגלית) הפרעות (דינמיקה קוונטית), דף שער בספרייה הלאומית 9.1: Time-Independent Perturbation Theory, Physics LibreTexts, ‏2016-12-16 (באנגלית) E. Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem, Annalen der Physik 385, 1926, עמ' 437–490 doi: 10.1002/andp.19263851302 Albert Messiah, Quantum mechanics, Mineola, N.Y.: Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40924-4