זהות אבל

במתמטיקה, זהות אבל היא משוואה שמבטאת את הוורונסקיאן של שני פתרונות הומוגניים של משוואה דיפרנציאלית רגילה ליניארית מסדר שני (כלומר: מכילה (עד) נגזרת שנייה של הפונקציה) באמצעות מקדמי המשוואה הדיפרנציאלית. הזהות קרויה על שם נילס הנריק אבל. מאחר שזהות אבל מקשרת בין שני הפתרונות הבלתי-תלויים ליניארית של המשוואה הדיפרנציאלית, ניתן להשתמש בה כדי למצוא באמצעות פתרון אחד את האחר. כמו כן, היא מספקת זהויות שימושיות המקשרות בין שני הפתרונות. בנוסף, היא שימושית גם כחלק משיטות אחרות כמו שיטת וריאציית הפרמטר. זהות אבל שימושית במיוחד עבור משוואות דיפרנציאליות כמו משוואת בסל בהן לפתרונות צורה אנליטית, שכן בהן קשה לחשב את הוורונסקיאן באמצעות הפונקציות. תהי משוואה דיפרנציאלית רגילה (מד"ר) הומוגנית ליניארית מסדר שני d 2 y d x 2 + P ( x ) d y d x + Q ( x ) y = 0 {\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}^{2}y}{{\textrm {d}}x^{2}}}+P(x){\frac {{\textrm {d}}y}{{\textrm {d}}x}}+Q(x)\,y=0} על קטע I {\displaystyle I} המוכל בישר הממשי, כאשר המקדמים P , Q {\displaystyle P,Q} הם פונקציות רציפות. זהות אבל קובעת שהוורונסקיאן W {\displaystyle W} של 2 הפתרונות של המד"ר מקיים את המשוואה W ( x ) = W ( x 0 ) exp ⁡ ( − ∫ x 0 x P ( ξ ) d ξ ) , x ∈ I {\displaystyle W(x)=W(x_{0})\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I} לכל נקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} בקטע I {\displaystyle I} . בפרט, הוורונסקיאן הוא או פונקציית אפס או שונה מאפס בכל נקודה x {\displaystyle x} בקטע I {\displaystyle I} , ואז 2 הפתרונות בלתי-תלויים ליניארית. יהיו y 1 {\displaystyle y_{1}} ו- y 2 {\displaystyle y_{2}} שני הפתרונות של המד"ר y ″ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 {\displaystyle y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0} . הוורונסקיאן של 2 הפונקציות מוגדר להיות W ( x ) = y 1 ( x ) y 2 ′ ( x ) − y 1 ′ ( x ) y 2 ( x ) , x ∈ I {\displaystyle W(x)=y_{1}(x)y_{2}'(x)-y_{1}'(x)y_{2}(x),\qquad x\in I} . נגזור את הוורונסקיאן ונשתמש בכלל לייבניץ ( ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'} ) ונקבל W ′ = y 1 ′ y 2 ′ + y 1 y 2 ″ − y 1 ″ y 2 − y 1 ′ y 2 ′ = y 1 y 2 ″ − y 1 ″ y 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}W'&=y_{1}'y_{2}'+y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}-y_{1}'y_{2}'\\&=y_{1}y_{2}''-y_{1}''y_{2}.\end{aligned}}} נבודד את y ″ {\displaystyle y''} מהמד"ר y ″ = − ( P y ′ + Q y ) {\displaystyle y''=-(Py'+Qy)} ונציב זאת בנגזרת של הוורונסקיאן W ′ = − y 1 ( P y 2 ′ + Q y 2 ) + ( P y 1 ′ + Q y 1 ) y 2 = − P ( y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 ) = − P W {\displaystyle {\begin{aligned}W'&=-y_{1}(Py_{2}'+Qy_{2})+(Py_{1}'+Qy_{1})y_{2}\\&=-P(y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2})\\&=-PW\end{aligned}}} זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון (מכילה רק את הפונקציה ונגזרת ראשונה שלה). כעת, נותר להראות שזהות אבל אכן נותנת את הפתרון היחיד של משוואה זו, המקיימת את תנאי ההתחלה W ( x 0 ) {\displaystyle W(x_{0})} ב- x 0 {\displaystyle x_{0}} . לשם כך נגדיר V ( x ) = W ( x ) exp ⁡ ( ∫ x 0 x P ( ξ ) d ξ ) , x ∈ I {\displaystyle V(x)=W(x)\exp \left(\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right),\qquad x\in I} הפונקציה V {\displaystyle V} מוגדרת היטב מכיוון ש- P {\displaystyle P} רציפה בקטע I {\displaystyle I} ולכן אינטגרבילית עבור כל תת-קטע בתוך I {\displaystyle I} . נגזור את שני הצדדים ונעזר בכלל לייבניץ (כלל המכפלה), בכלל השרשרת, ובנגזרת של פונקציית האקספוננט. נקבל V ′ ( x ) = ( W ′ ( x ) + W ( x ) P ( x ) ) exp ⁡ ( ∫ x 0 x P ( ξ ) d ξ ) = 0 , x ∈ I {\displaystyle V'(x)={\bigl (}W'(x)+W(x)P(x){\bigr )}\exp {\biggl (}\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi {\biggr )}=0,\qquad x\in I} מאחר ש- W {\displaystyle W} מקיים את המד"ר W ′ + P W = 0 {\displaystyle W'+PW=0} . לכן V {\displaystyle V} היא פונקציה קבועה על הקטע I {\displaystyle I} (אחרת נקבל סתירה למשפט הערך הממוצע). מאחר ש- V ( x 0 ) = W ( x 0 ) {\displaystyle V(x_{0})=W(x_{0})} נובעת מכך זהות אבל על ידי פתירה עבור W {\displaystyle W} מההגדרה של V {\displaystyle V} , כלומר: W ( x ) = W ( x 0 ) exp ⁡ ( − ∫ x 0 x P ( ξ ) d ξ ) {\displaystyle W(x)=W(x_{0})\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}P(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)} . עבור משוואה דיפרנציאלית רגילה ליניארית מסדר n, y ( n ) + p 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + p n − 1 ( x ) y = 0 {\displaystyle y^{(n)}+p_{1}(x)\,y^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}(x)\,y=0} הוורונסקיאן נתון על ידי W ( x ) = W ( x 0 ) exp ⁡ ( − ∫ x 0 x p 1 ( ξ ) d ξ ) {\displaystyle W(x)=W(x_{0})\exp \left(-\int _{x_{0}}^{x}p_{1}(\xi )\,{\textrm {d}}\xi \right)} עבור ורונסקיאן של מערכת משוואות Y ′ → = A Y → {\displaystyle {\vec {Y'}}=A{\vec {Y}}} כאשר A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} היא מטריצה מסדר n × n {\displaystyle n\times n} מתקיימת זהות אבל: אם W ( x ) {\displaystyle W(x)} הוא הוורונסיקאן של קבוצת פתרונות של המערכת בנקודה x {\displaystyle x} אז מתקיים W ( x ) = W ( x 0 ) e ∫ x 0 x ∑ i = 1 n a i i ( t ) d t {\displaystyle W(x)=W(x_{0})e^{\int _{x_{0}}^{x}\sum _{i=1}^{n}a_{ii}(t)dt}} מזהות זו ברור כי הוורונסיקאן מתאפס בכל נקודה או שאינו מתאפס כלל (שכן האקספוננט אינו יכול להתאפס, ולכן אם W ( x ) = 0 {\displaystyle W(x)=0} אז בהכרח גם W ( x 0 ) = 0 {\displaystyle W(x_{0})=0} ). Abel, N. H., "Précis d'une théorie des fonctions elliptiques" J. Reine Angew. Math., 4 (1829) pp. 309–348. Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986. Weisstein, Eric W., "Abel's Differential Equation Identity", From MathWorld--A Wolfram Web Resource. זהות אבל, באתר MathWorld (באנגלית)