מטריצה לכסינה

באלגברה ליניארית, מטריצה ריבועית A {\displaystyle A} היא לכסינה (או ניתנת ללכסון) אם היא דומה למטריצה אלכסונית, כלומר, אם קיימות מטריצה אלכסונית D {\displaystyle D} ומטריצה הפיכה P {\displaystyle P} , כך ש- D = P − 1 A P {\displaystyle D=P^{-1}AP} , או באופן שקול: A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} . במקרה כזה, P {\displaystyle P} נקראת מטריצה מלכסנת, ו־D נקראת מטריצה ספקטרלית של A. ניתן בקלות יחסית להעלות בחזקה מטריצות לכסינות ולהציבן בפולינומים. כל מטריצה נורמלית ניתנת ללכסון, אבל ישנן מטריצות שאינן ניתנות ללכסון. באופן דומה, העתקה ליניארית T : V → V {\displaystyle T:V\rightarrow V} מהמרחב הווקטורי V {\displaystyle V} אל עצמו היא לכסינה אם קיים בסיס   { b 1 , … , b n } {\displaystyle \ \{b_{1},\dots ,b_{n}\}} של V {\displaystyle V} , ש- T {\displaystyle T} פועלת על כל רכיביו כמו כפל בסקלר; דהיינו קיימים סקלרים   λ 1 , … , λ n {\displaystyle \ \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}} , שעבורם   T ( b i ) = λ i b i {\displaystyle \ T(b_{i})=\lambda _{i}b_{i}} . העתקה ליניארית היא לכסינה אם ורק אם קיימת לה מטריצה מייצגת לכסינה; ובמקרה כזה כל מטריצה מייצגת שלה היא לכסינה. תכונת הלכסינות תלויה בשדה שממנו נלקחות המטריצות P {\displaystyle P} ו- D {\displaystyle D} . ישנן למשל מטריצות ממשיות, שהן לכסינות מעל המרוכבים אבל אינן לכסינות מעל הממשיים. למטריצה אלכסונית, שאלכסונה כולל את המספרים   a 1 , … , a n {\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n}} , יש פולינום אופייני   f D ( t ) = ( t − a 1 ) ⋯ ( t − a n ) {\displaystyle \ f_{D}(t)=(t-a_{1})\cdots (t-a_{n})} , ופולינום מינימלי השווה למכפלת הגורמים   ( t − a i ) {\displaystyle \ (t-a_{i})} עבור הערכים השונים זה מזה. אם שתי מטריצות דומות זו לזו, אז יש להן אותו פולינום אופייני ופולינום מינימלי. באופן כללי, מטריצה היא לכסינה אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שווה לזה של הריבוי הגאומטרי. מכיוון שהריבוי הגאומטרי לעולם קטן או שווה מן הריבוי האלגברי, התנאי האחרון שקול לתנאי הבא: סכום הריבויים הגאומטריים של כל הערכים העצמיים שווה למימד המטריצה. אם המטריצה A {\displaystyle A} ניתנת ללכסון, אפשר להרכיב מטריצה מלכסנת P {\displaystyle P} על ידי איסוף בסיס של וקטורים עצמיים כעמודות במטריצה. במקרה כזה האלכסון הראשי של המטריצה האלכסונית   P − 1 A P {\displaystyle \ P^{-1}AP} הם הערכים העצמיים של A {\displaystyle A} , כאשר כל ערך מופיע בה מספר פעמים ששווה לריבוי האלגברי שלו. המוטיבציה ללכסון מטריצות היא הנוחות הרבה שבעבודה עם מטריצות אלכסוניות: הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה ברורים מאוד ואין קושי במציאתם, וקל מאוד להעלות אותה בחזקה: די בהעלאת כל איבר ואיבר שלה באותה חזקה. דבר זה חשוב במיוחד לצורך העלאה בחזקה של מטריצות שאינן אלכסוניות, אך הן לכסינות. למשל, תהי A {\displaystyle A} המטריצה הלכסינה, D {\displaystyle D} המטריצה האלכסונית הדומה לה ו- P {\displaystyle P} המטריצה המלכסנת: D = P − 1 A P {\displaystyle D=P^{-1}AP} , או באופן שקול: A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} . נעלה את A {\displaystyle A} בחזקה: A n = ( P D P − 1 ) n = ( P D P − 1 ) ( P D P − 1 ) . . . ( P D P − 1 ) = P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) D . . . ( P − 1 P ) D P − 1 = P D n P − 1 {\displaystyle A^{n}=(PDP^{-1})^{n}=(PDP^{-1})(PDP^{-1})...(PDP^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D...(P^{-1}P)DP^{-1}=PD^{n}P^{-1}} כלומר, לשם העלאת מטריצה לכסינה בחזקה n {\displaystyle n} אין צורך לבצע כפל מטריצות n − 1 {\displaystyle n-1} פעמים, אלא די בשתי פעולות כפל מטריצות, שכן העלאת מטריצה אלכסונית בחזקה היא כאמור טריוויאלית. ככלל, מעל לשדה המספרים המרוכבים, קיים סיכוי רב יותר שמטריצה אקראית תהיה לכסינה. הדבר אינו נכון לגבי המספרים הממשיים: הסיכוי שמטריצה אקראית מעל למספרים הממשיים תהיה לכסינה הולך ופוחת ככל שסדר המטריצה גדל. משפט חשוב אומר שכל מטריצה הרמיטית (ובהמשך נראה שגם כל מטריצה נורמלית) ניתנת ללכסון אוניטרי. במקרה הפרטי שבו מדובר במטריצה סימטרית ממשית, זה אומר שהיא ניתנת ללכסון והמטריצה המלכסנת היא מטריצה אורתוגונלית. בנוסף, ללכסון מטריצות חשיבות מכרעת בפיזיקה, בין היתר לשם מציאת אופני תנודה עצמיים של מערכת וכן לפתרון משוואת שרדינגר. תהי A {\displaystyle A} מטריצה ריבועית לכסינה מסדר n {\displaystyle n} . נפתור את הפולינום האופייני p ( λ ) = det ( λ I − A ) = 0 {\displaystyle p(\lambda )=\det \left(\lambda I-A\right)=0} למציאת הערכים העצמיים של המטריצה. המטריצה האלכסונית היא D = diag ( λ 1 , ⋯ , λ n ) {\displaystyle D={\mbox{diag}}\left(\lambda _{1},\cdots ,\lambda _{n}\right)} כאשר λ 1 , . . . , λ n {\displaystyle \lambda _{1},...,\lambda _{n}} הם שורשי הפולינום האופייני. נמצא את הריבוי הגאומטרי, כלומר: dim ⁡ ker ⁡ ( λ I − A ) {\displaystyle \dim \ker(\lambda I-A)} עבור כל ערך עצמי λ {\displaystyle \lambda } . נמצא את המרחב העצמי של כל ערך עצמי, המרחב המכיל את הווקטורים העצמיים לכל ערך עצמי λ {\displaystyle \lambda } , כלומר: נמצא את הווקטורים השונים מאפס המאפסים את המטריצה ( A −   λ I ) {\displaystyle (A-\ \lambda I)} . בדרך כלל נהוג לנרמל אותם כך ש- v → ⋅ v → = ⟨ v → , v → ⟩ = 1 {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {v}}=\langle {\vec {v}},{\vec {v}}\rangle =1} . נסמן ב- P {\displaystyle P} את המטריצה שעמודותיה הם ווקטורים עצמיים בלתי תלויים ליניארית (זוהי המטריצה המלכסנת). אזי D = P − 1 A P {\displaystyle D=P^{-1}AP} . ידוע כי אפשר לזהות כל מטריצה כאופרטור הפועל על מרחב וקטורי. מושגי הווקטורים העצמיים והערכים העצמיים עוזרים רבות עם חישוב אופן הפעולה של מטריצה על המרחב הווקטורי, דבר שלעיתים קרובות קשה לחשב. לכל מטריצה לכסינה מסדר n × n {\displaystyle n\times n} קיימים n {\displaystyle n} וקטורים עצמיים שהם בסיס למרחב ה- n {\displaystyle n} ממדי שעליו המטריצה פועלת. אם נכתוב את המטריצה לפי בסיס זה, ונכתוב כל וקטור לפי בסיס זה, יהיה קל מאוד לחשב את התמונה של הווקטור הזה. יש כאלו שיאמרו כי במובן מסוים, קל יותר להבין את אופן הפעולה של המטריצות, מאחר שהיא לוקחת את המרחב ומותחת אותו בעוצמות שונות לכיוונים שונים. הנוסחה A = P D P − 1 {\displaystyle A=PDP^{-1}} מציגה לנו גם את מעבר הבסיס שנעשה לצורך החישוב. על אף שמעבר בסיס זה בפני עצמו דורש הבנה של אופן הפעולה של מטריצה מסוימת, מטריצות לכסינות שימושיות למשל להעלאת מטריצות בחזקה (במובן מסוים, לכל פעילות שבה P {\displaystyle P} ו- P − 1 {\displaystyle P^{-1}} מבטלים זה את זה). לכסון אוניטרי הוא לכסון של מטריצה בעזרת מטריצה אוניטרית. כאשר המרחב הוא מעל שדה הממשיים ( F = R {\displaystyle F=\mathbb {R} } ) הלכסון נקרא גם לכסון אורתוגונלי. מטריצה היא לכסינה אוניטרית, אם קיים בסיס אורתונורמלי של V = F n {\displaystyle V=F^{n}} (כאשר V {\displaystyle V} מעל שדה F {\displaystyle F} ), שבו המטריצה מיוצגת כמטריצה אלכסונית, כך: Q − 1 A Q = D = diag ⁡ ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) {\displaystyle Q^{-1}AQ=D=\operatorname {diag} (a_{1},a_{2},...,a_{n})} כאשר A {\displaystyle A} היא המטריצה אותה אנחנו רוצים ללכסן, Q {\displaystyle Q} היא המטריצה המלכסנת, שעמודותיה מורכבות מבסיס אורתונורמלי ו- D {\displaystyle D} היא מטריצה אלכסונית. מטריצה מעל C {\displaystyle \mathbb {C} } ניתנת לליכסון אוניטרי אם ורק אם היא נורמלית. מטריצה ריבועית A {\displaystyle A} ניתנת לשילוש (או שלישה) אם היא דומה למטריצה משולשית עליונה, כלומר, אם יש מטריצה הפיכה P {\displaystyle P} כך ש- D = P − 1 A P {\displaystyle D=P^{-1}AP} משולשית עליונה. מטריצה A {\displaystyle A} ניתנת לשילוש (מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } ) אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל אותו שדה. בפרט, כל מטריצה מעל שדה המספרים המרוכבים C {\displaystyle \mathbb {C} } ניתנת לשילוש שם. מטריצה ניתנת לשילוש אוניטרי (כלומר ניתנת לשילוש על ידי מטריצה P {\displaystyle P} כך ש- P {\displaystyle P} היא מטריצה אוניטרית) אם ורק אם היא ניתנת לשילוש. מטריצה אלכסונית מטריצת ז'ורדן – הכללה של מטריצה אלכסונית מטריצה לכסינה, באתר MathWorld (באנגלית)