פתרון קר-ניומן

פתרון קֶר-נְיוּמַן (Kerr-Newmann Solution) היא משפחה תלת-פרמטרית של פתרונות של משוואות איינשטיין-מקסוול, משוואות תורת היחסות הכללית של איינשטיין אשר מתארות את שדה הכבידה של התפלגות חומר טעון, והיא מתארת את עקמומיות המרחב-זמן מחוץ לאובייקט טעון מסתובב. שלושת הפרמטרים של הפתרון הם המסה M {\displaystyle M} , התנע הזוויתי L {\displaystyle L} והמטען Q {\displaystyle Q} . פתרון זה משמש לתיאור שדה הכבידה בסביבת חורים שחורים בעלי מטען ותנע-זוויתי, והתגלה כהרחבה לפתרון קר על ידי עזרא ניומן בשנת 1965. הרלוונטיות האסטרופיזיקלית של פתרון זה היא חלקית, היות שחורים שחורים טעונים צפויים להיות מנוטרלים במהרה על ידי מטענים מנוגדים המצויים בסביבתם, למשל בדיסקת הספיחה. מאידך, ידוע שחורים שחורים אסטרופיזיקליים מסתובבים, על-כן משפחת הפתרונות של קר (Kerr), שמהווה תת-משפחה של פתרון קר-ניומן עבור המקרה בו Q = 0 {\displaystyle Q=0} , היא בעלת חשיבות רבה למחקר של חורים שחורים אסטרופיזיקליים. משפחת פתרונות זו מתאפיינת בתופעות מעניינות כמו יצירת קווי-עולם סיבתיים סגורים, המשכה מקסימלית של הפתרון אשר כוללת יקומים נוספים, סחיפת מערכות ייחוס בתחום המכונה "הארגוספירה", מסלולים בעלי אנרגיה שלילית בארגוספירה אשר מעלים את האפשרות להפקת אנרגיה מהחור השחור ועוד. הפתרון הכללי ביותר, מתאים למצב של שיווי משקל בשדות החיצונים של חור שחור. בעזרת קואורדינטות בוייר-לינדקוויסט (Boyer—Lindquist), מטריקת קר-ניומן נתונה בביטוי d s 2 = − ( 1 − 2 M r − Q 2 Σ ) d t 2 − 2 ( 2 M r − Q 2 ) a sin 2 ⁡ θ Σ d t d φ + ( r 2 + a 2 + ( 2 M r − Q 2 ) a 2 sin 2 ⁡ θ Σ ) sin 2 ⁡ θ d φ 2 + Σ Δ d r 2 + Σ d θ 2 , {\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{2\,Mr-Q^{2} \over \Sigma }\right)\,dt^{2}-2(2\,Mr-Q^{2})a{\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\,dt\,d\varphi \,+{\displaystyle \left(r^{2}+a^{2}+{(2\,Mr-Q^{2})a^{2}\sin ^{2}\theta \over \Sigma }\right)\sin ^{2}\theta \,{d\varphi ^{2}}+{\Sigma \over \Delta }\,dr^{2}+{\Sigma \,{d\theta ^{2}}},}} כאשר, Σ ≡ r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ {\displaystyle \Sigma \equiv r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta } Δ ≡ r 2 − 2 M r + a 2 + Q 2 {\displaystyle \Delta \equiv r^{2}-2Mr+a^{2}+Q^{2}} a ≡ L / M {\displaystyle a\equiv L/M} מהמשוואה הזאת נובע שאופק האירועים נמצא ברדיוס r + = M + M 2 − Q 2 − a 2 {\displaystyle r_{+}=M+{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}}}} , ועל כן המטען החשמלי והתנע הזוויתי של חורים שחורים הם חסומים: a 2 + Q 2 ⩽ M 2 {\displaystyle a^{2}+Q^{2}\leqslant M^{2}} ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} הן קואורדינטות כדוריות של המערכת M היא מסת החור השחור r הוא רדיוס החור השחור dt הוא השינוי בקואורדינטת הזמן הביטוי הפשוט ביותר המתאר הן את פתרון קר והן את פתרון קר-ניומן ניתנת בצורת קר-שילד, g μ ν = η μ ν + 2 H k μ k ν {\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2Hk_{\mu }k_{\nu }} כאשר η μ ν {\displaystyle \eta _{\mu \nu }} היא המטריקה בקואורדינטות קרטזיות x = x μ ( x ) = ( t , x , y , z ) {\displaystyle x=x^{\mu }(x)=(t,x,y,z)} בצורה הזו k μ ( x ) {\displaystyle k^{\mu }(x)} הוא וקטור השדה, אבל נסים לב ש k μ ( x ) {\displaystyle k^{\mu }(x)} ישנו גם נקודה ייחוס אפסית במרחב-זמן שטוח. זה אומר- η μ ν k μ k ν = 0 {\displaystyle \eta _{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0} הפונקציה H מקיימת H = M r − | Q | 2 / 2 r 2 + a 2 cos 2 ⁡ θ , {\displaystyle H={\frac {Mr-|Q|^{2}/2}{r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta }},} כאשר הקואורדינטות של קר, r , θ {\displaystyle r,\theta } נקבעות לפי היחס: x + i y = ( r + i a ) e i ϕ sin ⁡ θ , z = r cos ⁡ θ {\displaystyle x+iy=(r+ia)e^{i\phi }\sin \theta ,z=r\cos \theta } בהתרחקות מחור שחור עוברים למערכת קואורדינטות כדוריות רגיל. בקאורדינטות האלו הרכיבים של ווקטור k α {\displaystyle k_{\alpha }} נקבעים מהמשוואה הדיפרציאלית, k α d x α = d r − d t − a sin 2 ⁡ θ d ϕ {\displaystyle k_{\alpha }dx^{\alpha }=dr-dt-a\sin ^{2}\theta d\phi } השוואת המקדמים היוותה אמצעי נוח מאוד, אשר קר שמש להשיג את הפתרון ביצירות הראשונות שלאחר מכן. מטריקת שוורצשילד פתרון רייזנר-נורדסטרום Newman, Ezra T.; Janis, Allen I. (1965). "Note on the Kerr Spinning‐Particle Metric". Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing. 6 (6): 915–917. doi:10.1063/1.1704350. ISSN 0022-2488. Newman, E. T.; Couch, E.; Chinnapared, K.; Exton, A.; Prakash, A.; Torrence, R. (1965). "Metric of a Rotating, Charged Mass". Journal of Mathematical Physics. AIP Publishing. 6 (6): 918–919. doi:10.1063/1.1704351. ISSN 0022-2488.