פונקציית דיגמא

במתמטיקה, פונקציית הדיגמא מוגדרת כנגזרת הלוג של פונקציית הגמא: . ψ ( z ) = d d z ln ⁡ Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle .\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}} זאת הראשונה מבין פונקציות הפוליגמא. פונקציה זו מונוטונית עולה ממש וקעורה ממש על ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} , והיא שקולה אסימפטוטית ל- , ψ ( z ) ∼ ln ⁡ z − 1 2 z {\displaystyle ,\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}} עבור ( | z | → ∞ {\displaystyle |z|\rightarrow \infty } ) בגזרה | arg ⁡ z | < π − ε {\displaystyle |\arg z|<\pi -\varepsilon } לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . פונקציית הדיגמא מסומנת לעיתים קרובות כ- ψ 0 ( x ) , ψ ( 0 ) ( x ) {\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)} או Ϝ. פונקציית הגמא מקיימת את המשוואה . Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) {\displaystyle .\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)} ניקח לוג של שני האגפים: , ln ⁡ ( Γ ( z + 1 ) ) = ln ⁡ ( z ) + ln ⁡ ( Γ ( z ) ) {\displaystyle ,\ln(\Gamma (z+1))=\ln(z)+\ln(\Gamma (z))} גזירה ביחס ל- z {\displaystyle z} : ψ ( z + 1 ) = ψ ( z ) + 1 z {\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}} מכיוון שהמספרים ההרמוניים מוגדרים עבור מספרים שלמים חיוביים n , H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle ,H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} מתקיים, , ψ ( n ) = H n − 1 − γ {\displaystyle ,\psi (n)=H_{n-1}-\gamma } כאשר H 0 = 0 {\displaystyle H_{0}=0} ו- γ {\displaystyle \gamma } הוא קבוע אוילר-מסקרוני. עבור ארגומנטים של חצי מספר שלם פונקציית דיגמא מקבלת את הערכים . ψ ( n + 1 2 ) = − γ − 2 ln ⁡ 2 + ∑ k = 1 n 2 2 k − 1 {\displaystyle .\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}} אם החלק הממשי של z {\displaystyle z} הוא חיובי אז לפונקציית הדיגמא יש את הייצוג האינטגרלי של גאוס: . ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − t t − e − z t 1 − e − t ) d t {\displaystyle .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt} שילוב של ביטוי זה עם זהות אינטגרלית עבור קבוע אוילר-מסקרוני γ {\displaystyle \gamma } נותן: . ψ ( z + 1 ) = − γ + ∫ 0 1 ( 1 − t z 1 − t ) d t {\displaystyle .\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt} האינטגרל הזה הוא המספר ההרמוני של אוילר H z {\displaystyle H_{z}} , כך שניתן לכתוב: . ψ ( z + 1 ) = ψ ( 1 ) + H z {\displaystyle .\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}} כתוצאה מקבלים הכללה של נוסחת נסיגה: . ψ ( w + 1 ) − ψ ( z + 1 ) = H w − H z {\displaystyle .\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}} הייצוג אינטגרלי של דיריכלה: . ψ ( z ) = ∫ 0 ∞ ( e − t − 1 ( 1 + t ) z ) d t t {\displaystyle .\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}} מהייצוג האינטגרלי של גאוס ניתן לקבל את הנוסחה הבאה של ψ {\displaystyle \psi } . . ψ ( z ) = log ⁡ z − 1 2 z − ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t z d t {\displaystyle .\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt} נוסחה זו היא גם תוצאה של האינטגרל הראשון של בינה עבור פונקציית הגמא. ניתן לזהות את האינטגרל כהתמרת לפלס. האינטגרל השני של Binet לפונקציית גמא נותן נוסחה שונה עבור ψ {\displaystyle \psi } : . ψ ( z ) = log ⁡ z − 1 2 z − 2 ∫ 0 ∞ t d t ( t 2 + z 2 ) ( e 2 π t − 1 ) {\displaystyle .\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}} מתוך ההגדרה של ψ {\displaystyle \psi } והייצוג האינטגרלי של פונקציית הגמא, מקבלים , ψ ( z ) = 1 Γ ( z ) ∫ 0 ∞ t z − 1 ln ⁡ ( t ) e − t d t {\displaystyle ,\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt} כאשר ℜ z > 0 {\displaystyle \Re z>0} . הפונקציה ψ ( z ) / Γ ( z ) {\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)} היא פונקציה שלמה, והיא יכולה להיות מיוצגת על ידי מכפלה אינסופית: . ψ ( z ) Γ ( z ) = − e 2 γ z ∏ k = 0 ∞ ( 1 − z x k ) e z x k {\displaystyle .{\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}} כאשר x k {\displaystyle x_{k}} הוא האפס ה- k {\displaystyle k} של ψ {\displaystyle \psi } (ראה להלן) ו- γ {\displaystyle \gamma } הוא קבוע אוילר-מסקרוני. הערה: זה גם שווה ל- − d d z 1 Γ ( z ) {\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}} בשל ההגדרה של פונקציית הדיגמא: . Γ ′ ( z ) Γ ( z ) = ψ ( z ) {\displaystyle .{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)} מנוסחת המכפלה של אוילר לפונקציית הגמא, בשילוב עם המשוואה הפונקציונלית וזהות עבור הקבוע של אוילר-מסקרוני, מתקבל הביטוי הבא לפונקציית הדיגמא, התקף במישור המורכב פרט למספרים השלמים השליליים (אברמוביץ וסטגון 6.3.16): ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + z ) = − γ + ∑ n = 1 ∞ ( z n ( n + z ) ) , z ≠ − 1 , − 2 , − 3 , … {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right)=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots } ניתן להשתמש בזהות לעיל כדי להעריך סכומים מהצורה , ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ p ( n ) q ( n ) {\displaystyle ,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}}} כאשר p ( n ) {\displaystyle p(n)} ו- q ( n ) {\displaystyle q(n)} הם פולינומים של n {\displaystyle n} . פירוק לשברים חלקיים של u n {\displaystyle u_{n}} בשדה המורכב, במקרה שבו כל השורשים של q ( n ) {\displaystyle q(n)} הם שורשים פשוטים, . u n = p ( n ) q ( n ) = ∑ k = 1 m a k n + b k {\displaystyle .u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}} כדי שהטור יתכנס, lim n → ∞ n u n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0} , אחרת הטור יהיה גדול מהטור ההרמוני ויתבדר. לכן, , ∑ k = 1 m a k = 0 {\displaystyle ,\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0} ונקבל, ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k n + b k = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( 1 n + b k − 1 n + 1 ) = ∑ k = 1 m ( a k ∑ n = 0 ∞ ( 1 n + b k − 1 n + 1 ) ) {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)} = − ∑ k = 1 m a k ( ψ ( b k ) + γ ) = − ∑ k = 1 m a k ψ ( b k ) {\displaystyle =-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k})} ניתן לקבל גם נוסחה כללית באמצעות טורים עם פונקציות פוליגמא בדרגה גבוהה יותר: , ∑ n = 0 ∞ u n = ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 1 m a k ( n + b k ) r k = ∑ k = 1 m ( − 1 ) r k ( r k − 1 ) ! a k ψ ( r k − 1 ) ( b k ) {\displaystyle ,\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k})} בתנאי שהטור משמאל מתכנס. לדיגמא יש טור זיטה רציונלית, הניתן על ידי פיתוח טור טיילור סביב הנקודה z = 1 {\displaystyle z=1} : , ψ ( z + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k + 1 ) z k {\displaystyle ,\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,\zeta (k+1)\,z^{k}} שמתכנס עבור | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} . כאשר, ζ ( n ) {\displaystyle \zeta (n)} היא פונקציית הזטה של רימן. טור זה מתקבל מהטור טיילור של פונקציית הזטה של Hurwitz. טור ניוטון לפונקציית דיגמא, המכונה לפעמים גם טור שטרן: , ψ ( s + 1 ) = − γ − ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k ( s k ) {\displaystyle ,\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}} כאשר ( s k ) {\displaystyle {\binom {s}{k}}} הוא המקדם הבינומי. ניתן להכליל זאת ל- , ψ ( s + 1 ) = − γ − 1 m ∑ k = 1 m − 1 m − k s + k − 1 m ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k k { ( s + m k + 1 ) − ( s k + 1 ) } , ℜ ( s ) > − 1 {\displaystyle ,\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1} כאשר m = 2 , 3 , 4 , . . . {\displaystyle m=2,3,4,...} . פונקציית הדיגמא מקיימת נוסחת שיקוף דומה לזו של פונקציית הגמא: ψ ( 1 − x ) − ψ ( x ) = π cot ⁡ π x {\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x} . פונקציית פוליגמא פיתוחי צ'בישב מדיה וקבצים בנושא פונקציית דיגמא בוויקישיתוף Wimp, Jet (1961). "Polynomial approximations to integral transforms". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3. Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 258–259. "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5". פונקציית דיגמא, באתר MathWorld (באנגלית) Abramowitz, M.; Stegun, I. A., eds. (1972). "6.3 psi (Digamma) Function.". Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (10th ed.). New York: Dover. pp. 259–258. "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 5". Alzer, Horst; Jameson, Graham (2017). "A harmonic mean inequality for the digamma function and related results" (PDF). Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 137: 203–209. doi:10.4171/RSMUP/137-10. "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.11". Pairman, Eleanor (1919). Tables of the Digamma and Trigamma Functions. Cambridge University Press. p. 5. Whittaker and Watson, 12.3. Whittaker and Watson, 12.31. Whittaker and Watson, 12.32, example. "NIST. Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), 5.9". Mező, István; Hoffman, Michael E. (2017). "Zeros of the digamma function and its Barnes G-function analogue". Integral Transforms and Special Functions. 28 (11): 846–858. doi:10.1080/10652469.2017.1376193. Nörlund, N. E. (1924). Vorlesungen über Differenzenrechnung. Berlin: Springer. Blagouchine, Ia. V. (2018). "Three Notes on Ser's and Hasse's Representations for the Zeta-functions" (PDF). INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. 18A: 1–45.