מה שהצב אמר לאכילס

מה שהצב אמר לאכילס (באנגלית: What the Tortoise Said to Achilles) הוא דיאלוג הומוריסטי באופיו מאת לואיס קרול שנכתב בשנת 1895 עבור כתב העת Mind, ומצביע על בעיות יסוד בלוגיקה ובפילוסופיה של הנפש. ההשראה לדיאלוג לקוחה מן הפרדוקסים של זנון, שבאחד מהם, המוכר כפרדוקס אכילס והצב, מופיעות דמויותיהם של הצב ושל אכילס. בדיאלוג, המתרחש לאחר סיום המרוץ המוצג בפרדוקס של זנון, מנסה אכילס לשכנע את הצב לקבל את נכונותו של היסק מסוים הנובע משתי אקסיומות, אך הצב מראה שכדי לעשות זאת עליו להניח אינסוף אקסיומות נוספות. הפרדוקס מצביע על חשיבות ההבחנה בין אקסיומות ובין כללי היסק, ועל הקושי שבניסוחה של הבחנה זו. מן הדיאלוג עולות גם מסקנות חשובות בנוגע למושגים הבסיסיים של הפילוסופיה של הנפש ויחסם אל הלוגיקה. מסתבר כי לא ניתן לייחס לאדם (ובמקרה זה, לצב) אמונות, דעות, והסכמות, אילולי אותו אדם מסוגל להפגין שהבנתו את אלו מחייבת אותו גם להאמנות נוספות, הנגזרות באופן לוגי מהן. הצב מציג לאכילס שלוש טענות של אוקלידס, שהשלישית שבהן נגזרת לכאורה משתי הראשונות: A) שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים זה לזה. B) שתי צלעותיו של המשולש הזה שוות לגודל שלישי. Z) שתי צלעותיו של המשולש הזה שוות זו לזו. הצב עושה הצרות מאתגר את אכילס בכך שהוא טוען שגם אם הוא מקבל את נכונות הטענות A ו-B הוא עדיין אינו מבין מדוע עליו לקבל את נכונות Z. הוא מבקש מאכילס לשכנע אותו באמצעים לוגיים ש-Z אמיתית. אכילס בתגובה מצביע על כך שניתן לנסח את כלל ההיסק עליו הוא נסמך כטענה הבאה: C) אם A ו-B נכונים, גם Z חייב להיות נכון. לטענת אכילס כל שעל הצב לעשות הוא לקבל את הטענה המגלמת את כלל ההיסק הזה כדי להשתכנע בנכונות Z. הצב אומר שיסכים לקבל את נכונות הטענה Z ברגע שבו ירשום אותו אכילס במחברת שלו. משאכילס עושה זאת הוא טוען שעל הצב כעת לקבל את Z, אולם הצב מערים קושי חדש: הוא טוען כי "אם A, B ו-C הם נכונים גם Z חייב להיות נכון" הוא טענה חדשה, שכדי לקבלה דרוש כלל היסק חדש. כך נמשך התהליך לאין קץ, כשבכל פעם מתווספת טענה חדשה שאומרת שאם כל הטענות הקודמות נכונות, אז Z נכון, אולם הצב דורש לכתוב גם את הטענה הזו במחברת. אכילס מסוגל לכתוב רק מספר סופי של טענות בכל שלב, ולכן לעולם לא יצליח לשכנע את הצב. הצב מצליח להערים על אכילס בכל שלב משום ששניהם מסכימים על כך שההרשאה להסיק, כלומר לעבור מטענות ההנחה לטענה שהיא המסקנה, אינה אלא טענה נוספת. ואולם יש להבחין הבחנה חדה בין כללי היסק ובין טענות אמיתיות, ובפרט בין כללי היסק ובין האקסיומות. האקסיומות, עצמן הן טענות אמיתיות, המשמשות כבסיס לכל היסק במערכת (או בשפה המתוארת). ואולם כללי ההיסק אינם חלק מן המערכת: הם כללים אודות המערכת, המאפשרים לנו לייצר את ההיסק התקף או להבחין בין היסק תקף ושאינו תקף. במקרה זה כלל ההיסק הרלוונטי הוא מודוס פוננס. כלל זה קובע כי עבור כל שני משפטים x ו- y, ניתן לגזור מן ההנחות 'x' ו- 'אם x אז y' את המסקנה y. בתחשיב הפסוקים נביע את כלל ההיסק כך:   P → Q {\displaystyle \ P\rightarrow Q}   P {\displaystyle \ P} ––––––––––––––––––––––––   Q {\displaystyle \ Q} כשאנו מצרינים את כלל ההיסק, אנו רושמים כל אחת מן הטענות בשורה חדשה, משום שתפקידו של הכלל אינו ליצור טענה מורכבת מן ההנחות, אלא לאפשר לנו לעבור לטענה חדשה על בסיס ההנחות. בכך נעוץ ההבדל בין התפקוד הלוגי של כלל ההיסק ובין האופן בו הצב מנסה להשתמש בו, כאשר הוא מתלונן ש"אם A ו-B הם נכונים גם Z חייב להיות נכון" הוא טענה חדשה, שיש לקבלה כהנחה. בלוגיקה המודרנית ישנה אמנם אפשרות להביע את יחסי ההיסק הללו בשורה אחת, באמצעות הסימן ⊢ {\displaystyle \vdash } , אולם אין לראות בסימן זה מעין קשר לוגי חדש, שכן הוא אינו מייצר פסוק מורכב מן הפסוקים הפשוטים המופיעים בו. את הייצוג של הטיעון המבוסס על מודוס פוננס, למשל,   P → Q ,   P ⊢ Q {\displaystyle \ P\rightarrow Q,\ P\vdash Q} אין לראות כפסוק יחיד מתוך השפה, אלא כתיאור של קשר בין שלוש טענות (או שלושה פסוקים) מתוך השפה. אילו היינו מנסים לתפוס את כלל ההיסק כאקסיומה, דהיינו כפסוק יחיד, היינו מאפשרים את הרגרסיה האינסופית אותה הצב כופה על אכילס, משום שלא היה לנו כלל שעל פיו היינו יודעים כיצד לטפל בקשר שבין האקסיומה החדשה ובין שאר הטענות שבטיעון שלנו. הקטע מתאפיין באנכרוניזם מכוון - הדמויות מזכירות דברים שיתקיימו מאות שנים אחריהן ומודעות לכך. כך, למשל, אוקלידס עדיין לא נולד בתקופתו של אכילס, והאחרון טוען שהוא מעריץ נלהב של אוקלידס "עד כמה שאפשר להעריץ תורה שלא תפורסם אלא רק בעוד כמה מאות שנים". דאגלס הופשטטר, בספרו הנודע "גדל, אשר, באך", שיצא לאור בשנת 1979, ממשיך את הרעיון של קרול, ובתחילת כל פרק בספרו נותן שיחה משעשעת וחריפה בין אכילס והצב (הדיאלוג השני בספר הוא המקורי של קרול), כאשר הצב מאופיין כחכם מאוד וערמומי. לעיתים מצטרפים לשיחה גיבורים נוספים, כגון דוב נמלים וסרטן. הרב מיכאל אברהם, בספריו "שתי עגלות וכדור פורח" ו"את אשר ישנו ואשר איננו", ממשיך את סדרות הדיאלוגים בין הצב ואכילס, ובהם הצב מייצג את הגישה הסינתטית לעומת אכילס האנליטי. תרגום של הדיאלוג לעברית, מאת רינה ליטוין, בשם "מה שהצב אמר לאכילס" מופיע בספר "האנתולוגיה החדשה", שיצא לאור בשנת 2000 בהוצאת "הספריה החדשה". תרגום נוסף לעברית, מאת טל כהן וירדן ניר-בוכבינדר, יצא לאור בשנת 2011, כחלק מתרגומם לספר "גדל, אשר, באך", שהדיאלוג נכלל בו. כלל היסק מודוס פוננס הטענות מוצגות כאן לפי נוסחם בתרגומה של רינה ליטוין