ארכימדס

אַרְכִימֶדֶס (ביוונית: Άρχιμήδης; ‏212 לפנה"ס) היה מתמטיקאי, פיזיקאי, פילוסוף, מהנדס, ממציא ואסטרונום ביוון העתיקה. היה בין הראשונים שיישמו את המתמטיקה לחקר תופעות פיזיקליות, ונחשב לגדול המתמטיקאים ואחד המדענים המובילים של העת העתיקה, עם זאת – הידע הביוגרפי אודותיו מועט מאוד. העתקים ספורים של חיבוריו שרדו במהלך ימי הביניים, והיוו מקור משפיע של רעיונות עבור מדענים במהלך הרנסאנס, במהלך המהפכה המדעית, ועד לימינו. כתלמיד בבית הספר של אוקלידס, ארכימדס החל את דרכו בלימוד עבודתו שלו ושל ממשיכיו, אך עד מהרה עבודתו עלתה בהרבה על כל קודמיו. הוא ייסד את מדעי ההידרוסטטיקה והסטטיקה בכך שתיאר את החוק הראשון של ההידרוסטטיקה (הידוע כחוק הציפה או "חוק ארכימדס") ותיאר גם את החוק עליו מבוסס המנוף, המכשיר עליו מבוססת המכניקה. הוא חזה את החשבון האינטגרלי והאנליזה המודרנית, ונעזר במושג האינפיניטסימל ובשיטת המיצוי כדי לגזור ולהוכיח ריגורוזית מגוון של משפטים גאומטריים, ביניהם שטח המעגל, שטח הפנים והנפח של הספירה, והשטח החסום תחת פרבולה – אשר במסגרת חישובו ביצע את הסיכום הידוע הראשון של טור אינסופי. הישגים מתמטיים אחרים שלו הם מתן אומדן מדויק למדי לקבוע המתמטי פאי (שנקרא מאז "מספר ארכימדס"), הגדרת ספירלה הנושאת את שמו וחקירתה, ויצירת מערכת חדשה לכתיב מספרים גדולים מאוד. בנוסף לתגליות בתחומי המתמטיקה, הגאומטריה, והפיזיקה, תכנן ארכימדס מכונות רבות שהיו חדשניות מאוד. הוא השתמש בכלים המתמטיים שפיתח לחקר בעיות הידרוסטטיות הנוגעות ליציבותם של גופים במים (בספרו "על גופים צפים"), וגם יישם את הידע הזה בבניית הספינה הגדולה ביותר שנבנתה בעת העתיקה – הסירקוזיה. נזקפות לזכותו המצאות חדשניות רבות, ביניהם משאבת הבורג המפורסמת שלו, מערכות גלגלות מורכבות, ומכונות מלחמה הגנתיות שנועדו להגן על מולדתו סִירָקוּסַאי (סירקוזה) מפלישת רומי (ההיסטוריונים של רומא העתיקה גילו עניין רב בארכימדס וכתבו חיבורים רבים על חייו ועבודתו). ארכימדס נהרג במהלך המצור על סירקוסאי. על פי האגדה, בזמן הפלישה הרומאית לסירקוסאי, ארכימדס היה שקוע כולו בלימוד צורה גאומטרית שצוירה בחול, ולפיכך לא השיב לשאלות התיחקור של חייל רומאי. כתוצאה מכך דקר אותו החייל למוות. היסטוריון המתמטיקה אריק טמפל בל מנה את ארכימדס כאחד משלושת המתמטיקאים הגדולים בכל הזמנים, יחד עם סר אייזק ניוטון וקרל פרידריך גאוס, ורבים נוספים מחשיבים את עבודתו המתמטית לחשובה ביותר. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. ארכימדס נולד ומת בעיר הנמל סירקוסאי שבסיציליה (כיום באיטליה). נהרג בשנת 212 לפנה"ס במהלך המלחמה הפונית השנייה ומטיעוניהם של היסטוריונים שהוא חי 75 שנה מסיקים שנולד בשנת 287 לפנה"ס. בחיבורו "מחשב החול", מזכיר ארכימדס את שם אביו – פידיאס – אסטרונום שלא ידוע עליו דבר. פלוטרכוס כתב בחיבורו שארכימדס היה קרוב משפחה של היירון השני, טיראן סירקוסאי. הביוגרפיה של ארכימדס נכתבה על ידי חברו היריקלידס, אולם חיבור זה אבד ופרטי חייו נותרו מעורפלים. לא ידוע אם הוא נישא ואם היו לו ילדים. ארכימדס חי חלק משנות חייו המוקדמות באלכסנדריה שבמצרים, שהייתה אז מרכז חשוב של התרבות הלניסטית, שם הוא למד אצל ממשיכיו של אוקלידס. ממצרים שב לסירקוסאי ופעל בה שנים רבות, ובה גם מצא את מותו – בעת כיבוש העיר על ידי הרומאים. לפי המסופר, הורה מפקד הכוחות הרומאים מרקוס קלאודיוס מרקלוס שלא לפגוע בארכימדס. אחד מחייליו של מרקלוס נתקל בארכימדס, שהיה עסוק בפתרון בעיה גאומטרית ששרטט בחול. ארכימדס אמר לחייל: "אל תמחק את המעגלים שלי" (ביוונית: μή μου τούς κύκλους τάραττε; בלטינית: nuli turbare circulos meos), אך החייל לא ידע מיהו, והרג אותו. לפי תיאורו של קיקרו, שביקר בקברו כ־150 שנה לאחר מותו, על מצבתו של ארכימדס היה חרות אחד מהישגיו המתמטיים – כדור חסום בגליל – שארכימדס הוכיח שנפחו ושטח פניו שווים ל־2/3 מאלו של הגליל (כולל הבסיסים שלו). מחקריו הביאו אותו עד סף החשבון האינטגרלי, ענף מתמטיקה שפותח רק כעבור 1800 שנה בידי ניוטון ולייבניץ. עם מותו נשכח גאון המתמטיקה היווני, ורק בתקופת המאה ה־16 שב לתודעת העולם המדעי. ערך מורחב – אאורקה לפי אנקדוטה מפורסמת שהובאה בכרך התשיעי של "על אודות האדריכלות" מאת ויטרוביוס התבקש ארכימדס לקבוע אם כתרו של המלך היירון השני עשוי מזהב טהור. כדי למצוא את צפיפות החומר שממנו עשוי הכתר היה צריך לחשב תחילה את נפחו, אבל אז לא ידעו איך למדוד את נפחו של גוף הנדסי לא משוכלל. פעם אחת, כשרחץ ארכימדס באמבט ציבורי, נוכח לדעת שגופו השקוע באמבט דוחה כמות מים השווה לנפח גופו, והבין שכך יהיה אפשר למדוד את נפחו של גוף כלשהו. מרוב התלהבות יצא בריצה לרחוב כשהוא עירום וצעק "אאורקה!" (מצאתי). אחרי שמצא את נפח הכתר יכול ארכימדס לחשב את צפיפותו (על ידי חלוקת הנפח במשקל) ולהשוותו עם צפיפותו של מטיל זהב טהור בעל צורה משוכללת. ערך מורחב – חוק ארכימדס בחיבורו "על גופים צפים" תיאר ארכימדס את החוק הידוע בהידרוסטטיקה כחוק ארכימדס. חוק זה קובע שעל גוף השקוע בנוזל פועל כוח ציפה השווה למשקל הנוזל הנדחה על ידי הגוף (הסיפור המוזכר למעלה על כתר הזהב – "אאורקה" – אינו מופיע בעבודותיו הידועות של ארכימדס). ארכימדס אמנם לא המציא את המנוף, אולם הוא רשם את ההסבר הידוע המוקדם ביותר של החוק המעורב בתהליכי מנוף, כמו גם את התיאור המוקדם ביותר של המושג מרכז כובד. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו על מנופים גרמה לו לקבוע: ”תנו לי מנוף מספיק ארוך, ונקודת משען להניחו עליה, ואניף את העולם”. מהאמירה המפורסמת הזו נולד הצירוף "נקודה ארכימדית" (Archimedean point) – המתאר נקודת משען היפותטית, עליה ניתן לבסס את הידע כולו, או נקודת־תצפית־על־אובייקטיבית, המאפשרת מבט כולל. פלוטרכוס מתאר כיצד ארכימדס תכנן מערכות משיכה המורכבות מגלגלות, אשר איפשרו למלחים להיעזר בעוצמתם של מנופים כדי להרים דברים שהיו כבדים מדי להרמה. ערך מורחב – בורג ארכימדס חלק נכבד מיצירותיו ההנדסיות של ארכימדס מוקדש היה לצרכיה של עיר הולדתו סירקוסאי. הסופר היווני אתנוס תיאר איך הפקיד הירון השני בידי ארכימדס את תכנונה של הספינה סירקוסיה, שיעשה בה שימוש לטיולי מותרות, הובלת אספקות של צרכים שונים, וכספינת מלחמה ימית. ארכימדס נענה לבקשתו, וזו הפכה לספינה הגדולה ביותר שנבנתה בתקופת העת העתיקה. לפי אתנוס, הספינה הייתה מסוגלת להוביל 600 אנשים וכללה קישוטי גינה, גימנסיון ומקדש שהוקדש לאלילה אפרודיטה. לתחזוקת הספינה תכנן אמצעי לשאיבת מים שהמציא – בורג ארכימדס – התקן מכני המורכב מלהב בורגי המסתובב בתוך גליל, אשר מטרתו הייתה לשאוב את המים הרבים שדלפו לתוך הספינה. עקרון הפעולה הגאוני העומד מאחורי המצאת הבורג הוא המרת תנועה סיבובית לתנועה ליניארית בנצילות אנרגטית גבוהה. אף על פי כן, במחקר המודרני הוערך כי נעשה שימוש בבורג עוד לפני ארכימדס, למשל כאמצעי להשקיית הגנים התלויים בבבל. בכל אופן, ארכימדס המציא מחדש את הבורג או שיפר משמעותית את הבורג והציג אותו לראשונה בעולם היווני, והשיפורים שהכניס בפרופורציות של הבורג מעידים שהוא היה גם הראשון לנתח באופן תאורטי את הקינמטיקה של הבורג (כפי הנראה הוא עסק בעקרונות התיאורטים של פעולת הבורג באחת מעבודותיו האבודות). מתקנים על בסיס בורג ארכימדס משמשים עד היום להובלת נוזלים, גרעינים ואבקות. כושר ההמצאה של ארכימדס ויכולתו ההנדסית באו לידי ביטוי באופן מיוחד בפעולותיו לשם הגנת סירקוסאי מפני הרומאים במלחמה הפונית השנייה. פלוטרכוס העיד, שהמצאותיו הצבאיות של ארכימדס מנעו את נחיתת הצי הרומי, בפיקודו של מרקלוס. ארכימדס שיפר את העוצמה והדיוק של הקטפולטה, המציא בליסטראות שהמטירו על הרומאים סלעים שמשקלם רבע טון לפחות, ומכונות אימתניות ששלחו "מקלות וציפורניים" מברזל אל מעבר לחומות העיר, תפסו את הספינות וסחררו אותן אל הסלעים. הסופר בן המאה ה־2 לספירה, לוציאן, כתב כי במהלך המצור על סירקוסאי ארכימדס הרס ספינות אויב באש. מספר מאות מאוחר יותר יש אזכור בספרות כי ארכימדס השתמש במראות קעורות ענקיות כדי למקד את קרני השמש על ספינות בים כדי להביא להתחממותן עד לנקודת שרפה. האמינות ההיסטורית של קיום המכשיר היוותה נושא לדיון מתמשך מאז ימי הרנסאנס, ובניסויים בני ימינו הוכח כי כפי הנראה המראות שימשו יותר כדי לסנוור ולהרתיע את צוותי ספינות האויב. אחרי כישלונו הראשון לכבוש את סירקוסאי כינה מרקלוס את ארכימדס: ”בריארוס [מפלצת מיתולוגית בעלת 100 זרועות] הנדסי, המשתמש בספינותיו כתרווד לשאיבת מי הים”. ארכימדס גם המציא אודומטר המבוסס על נפילת כדור בכל מיל נסיעה של עגלה. מד המרחק של ארכימדס תואר כמכניזם גלגלי שיניים מורכב המפיל כדור לתוך מיכל בכל מיל נסיעה של עגלה. בהקשר זה, ארכימדס גם המציא שעון מים מתוחכם – המבוסס על מנגנון מורכב לויסות של זרימת המים לצורך מדידה מדויקת של זמן. ארכימדס כתב חיבור שכותרתו "על שעוני מים" (On Water Clocks) על הבנייה של מנגנונים כאלה. ישנם המייחסים היום לארכימדס את תחילתה של מסורת בניית מנגנונים מכניים, ששיאה בתכנון ובניית מנגנון אנטיקיתרה – מחשב אנלוגי מכני קדום, שהקדים את זמנו ב־1,500 שנה לערך, ושימש לצורך חישוב מועדם של ליקויי ירח וליקויי חמה עתידיים, ובבנייתו נעשה שימוש במיטב הידע האסטרונומי של אותה עת. הראיות ההיסטוריות לכך מתבססות על דבריו של קיקרו, שמזכיר את ארכימדס בדיאלוג שלו – "הרפובליקה". לפי קיקרו, הגנרל מרקוס קלאודיוס מרקלוס הביא איתו לרומא שתי מכונות שנבנו על ידי ארכימדס, שנעשה בהם שימוש לצורך הדגמות אסטרונומיות, ואשר הראו את תנועת השמש, הירח וחמש פלנטות נוספות. המכונה שהביא איתו מרקלוס, הודגמה, לפי דבריו של קיקרו, בידי גאיוס סולפיקיוס גאלוס ללוציוס פוריוס פילוס, אשר תיאר אותה כך: כאשר גאלוס הניע את הגלובוס, התרחשה תנועה של השמש והירח על ההתקן מברונזה שתאמה במדויק את תנועותיהם בשמיים, כך שכאשר בשמיים היה אמור להתרחש ליקוי חמה, הירח נע כך שיעמוד במקום שבו הוא יעמוד בקו אחד עם השמש וכדור הארץ, וכך הטיל את צילו על הארץ המקור בלטינית Hanc sphaeram Gallus cum moveret, fiebat ut soli luna totidem conversionibus in aere illo quot diebus in ipso" caelo succederet, ex quo et in caelo sphaera solis fieret eadem illa defectio, et incideret luna tum in eam metam quae esset umbra terrae, cum sol e regione זהו תיאור של פלנטריום. לפי פאפוס מאלכסנדריה, ארכימדס כתב חיבור (שכעת אבוד) על הבנייה של מכניזמים כאלה תחת הכותרת "על הכנת כדור" (On Sphere-Making). קיקרו אף מוסיף ומציין כי מכונות דומות נבנו בעבר על ידי תאלס איש מילטוס ואאודוקסוס מקנידוס, אך לפי קיקרו, מכונתו של ארכימדס הצטיינה בכך שהוא תכנן דרך להניע את הפלנטות במדויק, ועל ידי מכשיר יחיד, בהתאם למסלוליהם השונים וקצבי המהירות המשתנים שלהם, ובכך זכתה להערכה מיוחדת. מבין המצאותיו של ארכימדס, הקדמונים העריכו במיוחד את המצאת הפלנטריום (שנראתה פלאית באותה עת), ומצבור הראיות ההולך וגדל מעיד שהייתה מסורת יוונית של בניית התקנים מכניים מורכבים שראשיתה בארכימדס. נוסף לפרסומו כמתכנן של מכשירים מכניים, נודע ארכימדס גם בזכות הישגיו במתמטיקה. הישגים אלה מעידים על יצירתיות וחזון. פלוטרכוס כתב עליו: "הוא הפנה את מלוא החיבה והשאיפה שלו לתחומים הטהורים הללו אשר אין להם קשר לצרכים הרגילים של החיים". ארכימדס היה הראשון שהשתמש בגדלים אינפיניטסימליים. באמצעות חלוקת קבוצה לאינסוף תת־קבוצות השואפות בגודלן לאפס, הוא הגיע לדיוק המרבי האפשרי לגבי גודל הקבוצה. שיטה זו ידועה בשם "שיטת המיצוי", והיא מהווה צעד ראשון לקראת החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. ארכימדס נעזר בשיטה זו כדי לחשב את שטחו של עיגול, בכך גילה את הנוסחה המפורסמת לשטח מעגל המיוחסת לו S = π ⋅ R 2 {\displaystyle S=\pi \cdot R^{2}} כאשר S הוא שטח המעגל, π {\displaystyle \pi } הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו ו־R הוא רדיוס המעגל. הוא אף הציג שיטה לחישוב π {\displaystyle \pi } בכל דיוק רצוי, וחישב את ערכו בין הסכום 3 + 1 / 7 {\displaystyle 3+1/7} לסכום 3 + 10 / 71 {\displaystyle 3+10/71} . ב"על הכדור והגליל", ארכימדס קובע שכל גודל כאשר הוא מתווסף לעצמו מספיק פעמים יעבור כל גודל נתון. זה ידוע כתכונה הארכימדית של המספרים הממשיים. ארכימדס לא הסתפק בחישוב שטחו של עיגול. הוא נעזר שוב בשיטת המיצוי והמציא שיטות לחישוב שטחים ונפחים, חישב שטחים החסומים בפרבולות ובספירלות, נפחי גלילים, פרבולואידים ומקטעים כדוריים. הוא מצא את מרכזי הכובד של ההמיספירה (חצי ספירה), ושל טריז גלילי, ובכך חזה שוב את החשבון האינטגרלי. הוא הוכיח ששטחו ונפחו של כדור הם ביחס של 2 : 3 {\displaystyle 2:3} לשטחו ונפחו של גליל החוסם כדור זה. כיוון שנוסחאות לחישוב שטח ונפח של גליל היו ידועות, הוכחתו של ארכימדס סיפקה לראשונה נוסחאות לחישוב שטח ונפח של כדור. ארכימדס היה הראשון, ואולי אף היחיד, מבין המתמטיקאים היוונים שעסק בעקומים מכניים (כאלה שנוצרים על ידי נקודה נעה), בראותו עקומים אלה כנושא ראוי לחקירה, בניגוד לדבקותם של המתמטיקאים היוונים בבנייה בסרגל ובמחוגה בלבד. במסגרת חקירתו זו השתמש בספירלת ארכימדס לשם תרבוע העיגול, ולשם שילוש הזווית (בחיבורו "על ספירלות"). ב"על ספירלות" ארכימדס גם פיתח טכניקות למציאת משיקים לספירלות, ובכך היה הראשון שמצא דרך למציאת משיק לעקומה שאינה מעגל. למרות שעיקר הישגיו היו בגאומטריה ומכניקה, ארכימדס עשה גם התקדמויות משמעותיות בחישוב נומרי; בחיבורו "המדידה של המעגל", מצא ארכימדס את השורש הריבועי של 3 כגדול מ־ 265 153 {\displaystyle {\frac {265}{153}}} וקטן מ־ 1351 780 {\displaystyle {\frac {1351}{780}}} . לפי אומדן זה הספרות הראשונות של שורש 3 בשבר עשרוני הן 1.7320508, ולכן אומדן זה מדויק מאוד. ככל הנראה הוא הגיע להערכה זאת באמצעות שיטות חדשות למציאת שורשים שפיתח, אך הוא לא תיאר ולא הסביר את שיטותיו. מנקודת מבט מתמטית מודרנית, החסמים שנתן הם ערכי ביניים בפיתוח לשבר משולב של 3 {\displaystyle {\sqrt {3}}} , מה שהוביל לספקולציות רבות לגבי התקדמויות מסוימות בתורת המספרים שייתכן שעשה. בחיבורו "תרבוע הפרבולה", הוכיח ארכימדס שהשטח הכלוא על ידי פרבולה וקו ישר שווה ל־4/3 כפול שטחו של המשולש בעל גובה ובסיס שווים. במהלך הפתרון הוא סיכם לראשונה את הטור הגאומטרי האינסופי בעל מנה 1/4: ∑ n = 0 ∞ 4 − n = 1 + 4 − 1 + 4 − 2 + 4 − 3 + ⋯ = 4 3 . {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}\;.} . ב"מחשב החול", ניסה ארכימדס לחשב את מספר גרגירי החול שהיקום עשוי להכיל. במטרה להראות שמספר גרגירי החול ביקום אמנם גדול מאוד אבל סופי. כדי לספור את גרגירי החול, ארכימדס המציא שיטה חדשה שהתבססה על הסמל היווני לרבבה (10,000) לרישום מספרים גדולים עד 10 8 ⋅ 10 16 {\displaystyle 10^{8\cdot 10^{16}}} . כתבים חדשים שנכתבו על ידי ארכימדס ונתגלו בזמננו חשפו במידה מסוימת את הרקע הרעיוני לכתיבת חיבוריו, שהתבסס על הבנה עמוקה של האינסוף. נתגלו בהם תובנות של המושגים של אינסוף וקבוצה בת־מנייה, תובנות אשר לא הושגו עד לזמנו של גאורג קנטור, שחי כ־2,000 שנה אחרי ארכימדס (ארכימדס התחבט בגרסה של פרדוקס גלילאו). בכתבים הללו, ובמיוחד בספר "השיטה" של ארכימדס, מופיעות שיטות אחרות לקבלת התוצאות של ארכימדס שהופיעו בכתבים אחרים שלו. רעיונות ייחודיים לחיבור זה הם שימוש בגרסה מוקדמת של סכומי רימן ואינטגרציית רימן, כמו גם חישובי נפחים של צורות אחדות אשר לא מופיעים בשום מקום אחר בכתביו. כמו כן, בעקבות עבודות שחזור ומחקר שנעשו על הפלימפססט של ארכימדס הועלתה ההשערה, שארכימדס עסק בשאלות קומבינטוריות, יותר מאלפיים שנה לפני המצאת מדע הקומבינטוריקה. ארכימדס כתב חיבורים רבים על תוצאות מחקריו, אשר אותם הוא שלח כמכתבים לבני דורו. מעטים מכתביו המקוריים ביוונית השתמרו, ורובם אבדו במהלך אירועים כמו שריפת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה בשנת 391, או בזיזת קונסטנטינופול במהלך מסע הצלב הרביעי בשנת 1203. בקטלוג מהמאה הרביעית מצוין שבין כתביו של האפיפיור היו שני אוספים של ספרי ארכימדס, הנקראים 'קודקס A' ו'קודקס B'. ספרים אלו היוו מקור השראה לרבים מהמדענים של תקופת הרנסאנס, כמו לאונרדו דה וינצ'י או גלילאו גלילאי, ובהמשך – אייזק ניוטון שהושפע ישירות מעבודתו. הקודקסים הללו אבדו, אך תרגומים של חלק מספריו לערבית השתמרו. אוסף שלישי של כתבי ארכימדס, הידוע היום כהפלימפססט של ארכימדס התגלה בשנת 1907. על המדידה של המעגל הוא חיבור המכיל שלוש טענות, המהווה רק חלק קטן שנותר מעבודה ארוכה אחרת שלא נמצאה. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. "על שיווי משקל של שטחים מישוריים" הוא חיבור בשני חלקים. החלק הראשון מבסס את עקרון המנוף, וממקם את מרכזי הכובד של המשולש והטרפז. תיאורו של ארכימדס את מרכז הכובד, שהוא אחד המושגים היסודיים של המכניקה, הוא התיאור המוקדם ביותר של המושג המצוי בספרות המדעית. לפי פאפוס מאלכסנדריה, עבודתו של ארכימדס על מנופים גרמה לו לקבוע: "תנו לי נקודת משען, ואניף את העולם". החלק השני, שמכיל 10 טענות, חוקר את מרכזי הכובד של מקטעים פרבוליים. "תרבוע הפרבולה" הוא חיבור על גאומטריה, ונכתב במאה ה־3 לפנה"ס. כשהוא נכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס, העבודה מכילה 24 טענות בנוגע לפרבולות, ותוצאת הכתר שלה היא ההוכחה שהשטח של מקטע פרבולי (השטח התחום על ידי פרבולה וקו ישר) שווה ל־4/3 שטחו של משולש חסום מסוים. הניסוח של הבעיה נעזר בשיטת המיצוי. ארכימדס חילק את השטח התחום לאינסוף משולשים אשר שטחיהם יוצרים סדרה הנדסית. הוא מחשב את הסכום של הטור הגאומטרי המתקבל, ומוכיח שזהו השטח של המקטע הפרבולי. זה מייצג את אחד השימושים המתוחכמים ביותר בשיטת המיצוי במתמטיקה של העת העתיקה, ונשאר כזה עד הפיתוח של החשבון האינטגרלי במאה ה־17, אז הוא הוחלף בידי עקרון קאוואליירי. "על הכדור והגליל" היא עבודה שפורסמה בשני כרכים בשנת 225 לפנה"ס. העבודה דנה ביחס שבין הכדור לגליל, ובאופן ראוי לציון מתארת לפרטים איך למצוא את שטח הפנים של הספירה והנפח של הכדור המוכל בה והערכים האנלוגיים עבור הגליל, והוא היה הראשון לעשות זאת. "על ספירלות" הוא חיבור שנכתב בשנת 225 לפנה"ס. החיבור מכיל 28 טענות על ספירלות, ונכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס. אף על פי שארכימדס לא גילה את הספירלה הארכימדית, הוא נעזר בה בספרו כדי לרבע את המעגל ולחלק זווית לשלושה חלקים שווים. על ספירלות מכיל גם את החישוב המוקדם ביותר של שטח החסום בספירלה; בעיה שבמינוח מודרני היא בעיית אינטגרציה בקואורדינטות פולריות – ארכימדס הוכיח שהשטח התחום על ידי זרוע הספירלה לאחר שהשלימה סיבוב אחד שווה לשליש משטח המעגל החוסם את הספירלה. "על קונואידים וספרואידים" הוא חיבור ב־32 טענות שכתב ארכימדס כמכתב לידידו דוסיתאוס. ביחד עם חיבורו על הספירלה, חיבור זה תופס מקום ייחודי בכתביו של ארכימדס כי בו ארכימדס חוקר תכונות של גופים גאומטריים שלא נחקרו קודם, אלא הוגדרו במיוחד על ידו כאובייקט לחקירה. על קונואידים וספרואידים חוקר גופי סיבוב של חתכי חרוט (קונואידים) כגון הפרבולואיד, ההיפרבולואיד והאליפסואיד. בחיבור זה מחשב ארכימדס את השטחים והנפחים של מקטעים של הגופים האלה, ובכמה מהתוצאות שבחיבור זה ארכימדס עשה שימוש באחד מחיבוריו הגדולים – על גופים צפים. "על גופים צפים" הוא חיבור בן שני ספרים בשפה היוונית שנכתב על ידי ארכימדס מסירקוזה (287 לפנה"ס – 212 לפנה"ס), אחד מגדולי המתמטיקאים, הפיזיקאים והמהנדסים של העת העתיקה. על גופים צפים, שמשערים שנכתב בסביבות 250 לפנה"ס, שרד רק באופן חלקי ביוונית, והשאר בלטינית ימי ביניימית שתורגמה מיוונית. זו העבודה הידועה הראשונה על הידרוסטטיקה, אשר ארכימדס מזוהה כמייסדה. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. "בעיית הבקר של ארכימדס" היא בעיה באנליזה דיופנטית העוסקת במספר ראשי הבקר של אל השמש הרועים, כביכול, בסיציליה. הבעיה מיוחסת לארכימדס, אף כי יש על כך עוררין. ב־1769 מונה המחזאי גוטהולד אפרים לסינג לספרן בספרייתו של ההרצוג אוגוסט שבעיירה וולפנביטל, גרמניה, שבה היו כתבי יד יווניים ורומיים רבים. ב־1773 פרסם לסינג תרגום של כמה מכתבי היד האלה, עם הערות. ביניהם נמצא שיר בן 22 בתים ביוונית עתיקה, המבקש למצוא את גודל עדר הבקר של אל השמש. בכותרת לשיר נאמר שהוא נשלח על ידי ארכימדס לאסטרונום הגדול ארטוסתנס, על מנת שהמתמטיקאים של אלכסנדריה ילמדו אותו. הבעיה לא נזכרה בכתבי המתמטיקאים היווניים, ולכן היו חוקרים, ולסינג ביניהם, שהטילו ספק בייחוסה לארכימדס. "השיטה של משפטים מכניים", שלעיתים נקרא גם השיטה, היא אחת מעבודותיו המרכזיות של ארכימדס ששרדו. הספר ערוך בצורה של מכתב מארכימדס לארתוסטנס, הספרן הראשי בספריית אלכסנדריה, ומכיל את השימוש המפורש בשיטת הגדלים הבלתי ניתנים לחלוקה (אינפיניטסימלים). הספר נחשב לעבודה אבודה עד שנת 1906 עם הגילוי מחדש של הפלימפססט של ארכימדס. הספר מכיל את "השיטה המכנית" של ארכימדס, שנקראת כך משום שהיא מתבססת על חוק המנוף, שנקבע לראשונה על ידי ארכימדס, ועל מושג מרכז הכובד, אשר הוא מצא את מיקומו במקרים פרטיים רבים (צורות ספציפיות). פאפוס מאלכסנדריה מציין עבודה על פאונים (פאונים ארכימדיים) שנכתבה על ידי ארכימדס ואבדה. פאפוס מציין כי ארכימדס מנה 13 פאונים כאלה, אך לא ידוע אם הוכיח כי אלו היחידים (יוהאנס קפלר היה הראשון להוכיח כי יש רק 13 פאונים ארכימדיים). תיאון מאלכסנדריה מצטט הערה על שבירה של אור מהעבודה, שכעת אבודה, Catoptrica. ספר הלמות מיוחס לארכימדס על פי ת'אבת אבן קורה אף כי האותנטיות שלו מוטלת בספק. מקורות ערבים מייחסים לו חיבור שכותרתו "על בניית המשובע המשוכלל" (On the construction of the heptagon), בו תיאר ארכימדס שיטה לבנות את הזווית 2 π 7 {\displaystyle {\frac {2\pi }{7}}} (הבנייה אינה אפשרית בסרגל ומחוגה, וארכימדס נעזר בסוג של neusis construction כדי לבנות את הזווית). מוערך שארכימדס אף גילה והוכיח את נוסחת הירון לחישוב שטח משולש מאורכי צלעותיו, מקרה פרטי של נוסחת ברהמגופטה. חוק ארכימדס בורג ארכימדס עקרון המנוף רויאל נץ וויליאם נואל, מאנגלית – דרורה בלישה, הקודקס של ארכימדס, תל אביב, פן, 2007, ISBN 9654824434. ארכימדס, ברשת החברתית Goodreads ארכימדס, באתר MacTutor (באנגלית) זיוה דויטש ועקיבא קדרי, "אל תקלקל לי את המעגל!", באתר "אלף אפס" אתר המוקדש לארכימדס קטעי e-text של ארכימדס בנוגע לפתרונות גאומטריים לבעיות מכניות Stamps of Archimedes – בולים שהונפקו לזכרו של ארכימדס שחזור כתבי ארכימדס, מתוך google techtalks טיטוס ליוויוס, כיצד הגן ארכימדס על סירקוסאי, תרגם מלטינית ד"ר מאיר שָׂש קוסטס קוצאנאס, (2008) - Ancient Greek Technology (ISBN 978-960-930859-5) רן לוי, ארכימדס מסירקוסאי, באתר "עושים היסטוריה" (שידור של הפודקאסט וטקסט מלא שלו) ארכימדס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ארכימדס, דף שער בספרייה הלאומית ארכימדס, באתר אנציקלופדיית ההיסטוריה העולמית (באנגלית) כתבי ארכימדס בפרויקט גוטנברג (באנגלית) בתיאורו של ויטרוביוס את בורג ארכימדס מצוין שהבורג הונח בשיפוע המתאים לזווית הקטנה של משולש בעל צלעות 3:4:5 - במחקר מתמטי-פיזיקלי מודרני נמצא שהערך של השיפוע קרוב לערך האופטימלי עבור בורג ארכימדס, כפי שניתן לראות במאמר הזה: [1] בספרו "השיטה" ארכימדס אף הכליל את המשפט שלו על מיקום מרכז הכובד של ההמיספירה וקבע את מיקום מרכז הכובד של מקטע כדורי שרירותי. תרומות אלו ראויות לציון בשל דמיונן לחשבון הדיפרנציאלי; בעוד התרומות של ארכימדס לחשבון האינטגרלי רחבות למדי, התרומות שלו לחשבון הדיפרנציאלי ספורות, ומה שכתב ב-"על ספירלות" נמנה ביניהן. למען הדיוק, אלו בדיוק ערכי הביניים ה-9 וה-12 בפיתוח של שורש 3 לשבר משולב. התאוריה המועדפת היא שהוא עשה שימוש בשברים משולבים או במבנה כלשהו השקול להם, ומכיוון שהיא היחידה שיכולה להסביר מדוע בחר דווקא בחסמים אלה מתוך חסמים אפשריים רבים אחרים. And although he made many excellent discoveries, he is said to have asked his kinsmen and friends to place over the grave where he should be buried a cylinder enclosing a sphere, with an inscription giving the proportion by which the containing solid exceeds the contained. פליקס דותן, המעלית של איינשטיין - מדענים ששינו את העולם, עמ' 11 International Symposium on History of Machines and Mechanisms p.63 [2] Archimedes, Thomas Little Heath, The works of Archimedes, Cambridge, University Press, 1897