נקודת קיצון

במתמטיקה, נקודת קיצון (נקודת אקסטרמום) של פונקציה סקלרית היא נקודה שבה ערכה הוא גבוה ביותר או נמוך ביותר. יש להבדיל בין נקודות קיצון מקומיות ובין נקודות קיצון מוחלטות (גלובליות). נקודת קיצון גלובלית היא כזו שהערך בה הוא הגדול ביותר (או הנמוך ביותר) בכל תחום ההגדרה של הפונקציה. לעומת זאת, נקודת קיצון מקומית היא כזו שקיימת סביבה של הפונקציה שבה ערכה של הפונקציה באותה נקודה הוא הגבוה או הנמוך ביותר. הדרך היעילה ביותר למציאת נקודות קיצון של פונקציה היא באמצעות שימוש בנגזרת. תהא   f ( x ) : R n → R {\displaystyle \ f(x):\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } פונקציה. נאמר שהנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} היא מקסימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה   x {\displaystyle \ x} בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים   f ( x 0 ) ≥ f ( x ) {\displaystyle \ f(x_{0})\geq f(x)} . נאמר שהנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} היא מינימום גלובלי של הפונקציה אם לכל נקודה   x {\displaystyle \ x} בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים   f ( x 0 ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \ f(x_{0})\leq f(x)} . נאמר שהנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} היא מקסימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה   U {\displaystyle \ U} של   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} כך שלכל נקודה   x ∈ U {\displaystyle \ x\in U} בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים   f ( x 0 ) ≥ f ( x ) {\displaystyle \ f(x_{0})\geq f(x)} . נאמר שהנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} היא מינימום מקומי של הפונקציה אם קיימת סביבה   U {\displaystyle \ U} של   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} כך שלכל נקודה   x ∈ U {\displaystyle \ x\in U} בתחום ההגדרה של הפונקציה מתקיים   f ( x 0 ) ≤ f ( x ) {\displaystyle \ f(x_{0})\leq f(x)} . בשם נקודת קיצון של   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} נקרא לכל נקודת מינימום או מקסימום, מקומית או גלובלית, של הפונקציה. נשים לב כי הגדרה זו מתבססת על כך שהפונקציה היא סקלרית, כלומר תמונתה היא מספר ממשי. אם הפונקציה הייתה מחזירה וקטור, למשל, היה טבעי פחות לדבר על נקודות קיצון שכן אין לווקטורים יחס סדר כמו זה של המספרים הממשיים. משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה. כלומר שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. נשים לב כי יכולה להיות נקודת קיצון גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת, כלומר בנקודה בה שיפוע המשיק, אם קיים, אינו מוגדר. לדוגמה, הפונקציה: f ( x ) = x 2 3 {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}\!} שנגזרתה: f ′ ( x ) = 2 3 x 3 {\displaystyle f'(x)={\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}} . ניתן לראות כי הפונקציה מוגדרת ורציפה לכל   x {\displaystyle \ x} , אך אינה גזירה בנקודה   x = 0 {\displaystyle \ x=0} שהיא למעשה נקודת קיצון (מינימום מקומי וגלובלי) של הפונקציה. כלומר לא מוגדר שיפוע למשיק בנקודה זו. היות שהגבול החד צדדי של הנגזרת כאשר   x {\displaystyle \ x} שואף לאפס מימין ומשמאל הוא אינסופי, קיים בנקודה זו משיק אנכי לפונקציה. ניתן לקבוע את סוג נקודת הקיצון (מינימום או מקסימום) על ידי אחת מהדרכים הבאות: ניתן לקבוע את סוג נקודת הקיצון על ידי הצבת ערכים בנגזרת משני צידי הפונקציה וכך לקבוע האם הנגזרת היא חיובית או שלילית, כלומר האם הפונקציה המקורית היא עולה או יורדת. נקודת מינימום היא נקודה בה הפונקציה יורדת לפניה ועולה אחריה, ונקודת מקסימום, להפך. בדרך דומה ניתן להציב לפחות שני ערכים בפונקציה המקורית ולבדוק בצורה זו האם הפונקציה עולה או יורדת באזור מסוים. דרך נוספת לקביעת סוג נקודת הקיצון היא להציב את ערך נקודת הקיצון בנגזרת השנייה. כך שאם הנגזרת השנייה חיובית, אזי הפונקציה קמורה כך שנקודת הקיצון היא נקודת מינימום. ואם הנגזרת השנייה שלילית אזי הפונקציה קעורה, כך שנקודת הקיצון היא נקודת מקסימום. נקודת פיתול מטריצה חיובית נקודות מקסימום ומינימום בפרבולה, באתר לרגו (LerGO) נקודת קיצון, באתר MathWorld (באנגלית) נקודת קיצון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)