משוואה דיפרנציאלית רגילה

המונח "מד"ר" מפנה לכאן. לערך העוסק בקובץ חיבורים, ראו מדרש רבה. משוואה דיפרנציאלית רגילה (בקיצור: מד"ר; באנגלית: ordinary differential equation, או בקיצור: ODE) היא משוואה דיפרנציאלית שבה המשתנה הוא פונקציה של משתנה יחיד. זאת בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות. ככלל, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה המתארת תלות בין פונקציה, אחת או יותר, ונגזרותיה. למשוואות דיפרנציאליות יש חשיבות רבה בתחומי הנדסה ומדע רבים ביניהם פיזיקה, כימיה, מטאורולוגיה, וכלכלה. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן מופיעות בכל תחום בו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים. ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי הסדר שלהן. סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא סדר הנגזרת (מעלת הנגזרת) הגבוה ביותר שמופיע בה. כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת. ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר n {\displaystyle n} ניתנת להצגה כמערכת של n {\displaystyle n} משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון. משוואות דיפרנציאליות רגילות מופיעות בהקשרים שונים במתמטיקה ובמדעים (מדעי הטבע ומדעי החברה). החל בתחומים כמו פיזיקה ואסטרונומיה וכלה בתחומים כמו מטאורולוגיה (חיזוי מזג האוויר), ביולוגיה (התפשטות מחלות מידבקות), כימיה (קצב תגובה), אקולוגיה וכלכלה. מתמטיקאים רבים תרמו לתורת המשוואות הדיפרנציאליות ביניהם ניוטון, לייבניץ, משפחת ברנולי, ד'אלמבר ואוילר. דוגמה פשוטה למשוואה דיפרנציאלית רגילה היא החוק השני של ניוטון המתאר את הקשר בין הזמן (t) והמיקום (x) של גוף מסוים, עליו פועל כוח F באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית , m d 2 x ( t ) d t 2 = F ( x ( t ) ) {\displaystyle ,m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,} עבור גוף בעל מסה m. במקרה הזה הפונקציה הנעלמת היא x ( t ) {\displaystyle x(t)} . באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת בנוסחה F ( y , y ′ , x ) = 0 {\displaystyle F\left(y,y',x\right)=0} . פתרון המשוואה היא פונקציה y ( x ) {\displaystyle y(x)} , כך שכאשר נציב אותה ב- F {\displaystyle F} נקבל 0. לדוגמה: אם F ( y , y ′ , x ) = y ′ − 2 y {\displaystyle F(y,y',x)=y'-2y} , אז המשוואה המתוארת בנוסחה היא y ′ − 2 y = 0 {\displaystyle y'-2y=0} . למשוואה זו יש פתרון כללי מהצורה y = A e 2 x {\displaystyle y=Ae^{2x}} , כאשר A הוא מספר שייקבע על ידי תנאי הבעיה. ניתן לראות שזהו פתרון למשוואה, שכן ( A e 2 x ) ′ = 2 A e 2 x {\displaystyle (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}} , ולכן הצבה ב-F תתן 2 A e 2 x − 2 A e 2 x = 0 {\displaystyle 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0} (לכל A), כמבוקש. קיימים מספר סוגים של משוואות שיש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. עם זאת, פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וגם לא בהכרח קשה לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי. על פי רוב, למשוואה דיפרנציאלית לא קיים פתרון אחד אלא אוסף של פתרונות. לכן נהוג לספק תנאי התחלה שיצביע על הפתרון הפרטי המבוקש. עבור משוואות מסדר ראשון קיים משפט קיום ויחידות המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד. משוואה ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה y ′ + h ( x ) y + g ( x ) = 0 {\displaystyle y'+h(x)y+g(x)=0} . כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל ln ⁡ ( y ) {\displaystyle \ln(y)} ). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של x {\displaystyle x} ופונקציה נוספת של x {\displaystyle x} היא "גורם חופשי" של המשוואה. משוואות ליניאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן קבועה ופשוטה. אם g ( x ) ≡ 0 {\displaystyle g(x)\equiv 0} , כלומר המשוואה היא מהצורה y ′ + h ( x ) y = 0 {\displaystyle y'+h(x)y=0} , המשוואה נקראת "משוואה ליניארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות. ערך מורחב – דעיכה מעריכית מקרה פרטי של משוואה ליניארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: y ′ + b y = c {\displaystyle y'+by=c} , כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): y = k e − b t + c / b {\displaystyle y=ke^{-bt}+c/b} , כאשר k קבוע כלשהו. זוהי דעיכה מעריכית לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע. גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. משוואות לוטקה-וולטרה, למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות בביולוגיה. במעגלים חשמליים כמו מעגל RC או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו מתח חשמלי. ריכוז המגיבים בתגובה כימית מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות רדיואקטיבית וכמו כן הטמפרטורה של גוף חם בסביבה קרה גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי. ערך מורחב – הפרדת משתנים משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה y ′ − M ( x ) / N ( y ) = 0 {\displaystyle y'-M(x)/N(y)=0} או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה x {\displaystyle x} והמשתנה y {\displaystyle y} . דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא M ( x ) d x = N ( y ) d y {\displaystyle M(x)\,\mathrm {d} x=N(y)\,\mathrm {d} y} , כלומר, "מפרקים" את הנגזרת y ′ = d y d x {\displaystyle y'={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד. פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה M ( x ) d x = N ( y ) d y {\displaystyle M(x)\,\mathrm {d} x=N(y)\,\mathrm {d} y} וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: ∫ x 0 x M ( x ) d x = ∫ y 0 y N ( y ) d y {\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}M(x)\,\mathrm {d} x=\int _{y_{0}}^{y}N(y)\,\mathrm {d} y} , כאשר y 0 = y ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=y(x_{0})} הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה). משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדויקת אם היא מהצורה M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M(x,y)\,\mathrm {d} x+N(x,y)\,\mathrm {d} y=0} כך שמתקיים ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}} . כדי לפתור משוואה מדויקת, מחפשים פונקציה ψ ( x , y ) {\displaystyle \psi (x,y)} אשר תקיים ∂ ψ ∂ x = M , ∂ ψ ∂ y = N {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}=M,{\frac {\partial \psi }{\partial y}}=N} . אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי d ψ ( x , y ) = 0 {\displaystyle \mathrm {d} \psi (x,y)=0} , או ψ ( x , y ) = const {\displaystyle \psi (x,y)={\mbox{const}}} . אם משוואה איננה מדויקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדויקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדויקת נקראת גורם אינטגרציה. שיטת הפתרון, בהינתן y ′ + p ( x ) y = r ( x ) {\displaystyle y'+p(x)y=r(x)} כאשר y הוא הפונקציה המבוקשת, היא לכפול את השוויון בגורם אינטגרציה - פונקציה μ ( x ) {\displaystyle \mu (x)} כך שאגף שמאל יהיה שווה ל- ( μ ( x ) y ) ′ {\displaystyle (\mu (x)y)'} . במצב זה ניתן לבצע אינטגרציה של שני האגפים ולקבל פתרון. כדי למצוא גורם אינטגרציה מתאים, נשתמש בחישוב הנגזרת של המכפלה שהיא ( μ ( x ) y ) ′ = μ ( x ) y ′ + μ ′ ( x ) y {\displaystyle (\mu (x)y)'=\mu (x)y'+\mu '(x)y} והיא צריכה להיות שווה ל- μ ( x ) y ′ + μ ( x ) p ( x ) y {\displaystyle \mu (x)y'+\mu (x)p(x)y} . מכאן נובע שצריך להתקיים: μ ′ ( x ) μ ( x ) = p ( x ) {\displaystyle {\frac {\mu '(x)}{\mu (x)}}=p(x)} . בעזרת הזהות μ ′ ( x ) μ ( x ) = ( ln ⁡ μ ( x ) ) ′ {\displaystyle {\frac {\mu '(x)}{\mu (x)}}=(\ln \mu (x))'} , ניתן לראות כי μ ( x ) = e ∫ p ( x ) d x {\displaystyle \mu (x)=e^{\int p(x)dx}} הוא גורם מתאים להכפלה, ומכאן על ידי אינטגרציה של שני האגפים מתקבל הפתרון. דוגמה כדי לפתור את המשוואה y ′ + y = 1 {\displaystyle y'+y=1} נכפול בגורם האינטגרציה e ∫ 1 d x = e x {\displaystyle e^{\int 1dx}=e^{x}} ונקבל ( e x y ) ′ = e x {\displaystyle (e^{x}y)'=e^{x}} . מכאן e x ⋅ y = e x + c {\displaystyle e^{x}\cdot y=e^{x}+c} ולכן y = e x + c e x = 1 + c e − x {\displaystyle y={\frac {e^{x}+c}{e^{x}}}=1+ce^{-x}} . משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה y ′ + f ( x , y ) = 0 {\displaystyle y'+f(x,y)=0} כאשר מתקיים f ( x , y ) = f ( t x , t y ) {\displaystyle f(x,y)=f(tx,ty)} לכל t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } . ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה z = y x {\displaystyle z={\frac {y}{x}}} . משוואה דיפרנציאלית מהצורה y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y n {\displaystyle y'+p(x)y=q(x)y^{n}} נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יאקוב ברנולי). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה z = y 1 − n {\displaystyle z=y^{1-n}} , שממנה מקבלים את המשוואה הליניארית z ′ + ( 1 − n ) p ( x ) z = ( 1 − n ) q ( x ) {\displaystyle z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)} . שיטה נוספת לפתרון משוואה זו היא על ידי ההצבה y = u ⋅ v {\displaystyle y=u\cdot v} , כך שהמשוואה הדיפרנציאלית מוצגת בצורה u ′ v + u ( v ′ + p ( x ) v ) = q ( x ) ( u ⋅ v ) n {\displaystyle u'v+u(v'+p(x)v)=q(x)(u\cdot v)^{n}} . מניחים כי v ′ + p ( x ) v = 0 {\displaystyle v'+p(x)v=0} , מוצאים את v {\displaystyle v} בעזרת הפרדת משתנים, ולאחר מכן מוצאים את u {\displaystyle u} בעזרת הפרדת משתנים של המשוואה u ′ v = q ( x ) ( u ⋅ v ) n {\displaystyle u'v=q(x)(u\cdot v)^{n}} . באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה F ( y , y ′ , y ″ , x ) = 0 {\displaystyle F\left(y,y',y'',x\right)=0} . משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות ליניאריות מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה ליניארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות. משוואה ליניארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה y ″ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 {\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=0} . סכום וכפל בקבוע של פתרונות משוואה זו הם פתרונות בעצמם, ולכן, הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, וניתן למצוא בסיס למרחב זה. כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה, כל צירוף ליניארי שלהם מהווה בעצמו פתרון שלה. תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס הוא שהורונסקיאן המתאים למערכת ההומוגנית יהיה שונה מ-0. קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית ליניארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעיתים). כאשר הפונקציות p ( x ) , q ( x ) {\displaystyle p(x),q(x)} הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה y ″ + a y ′ + b y {\displaystyle y''+ay'+by} , פתרונות המשוואה הם מהצורה e λ x {\displaystyle e^{\lambda x}} , כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא שורש של הפולינום x 2 + a x + b {\displaystyle x^{2}+ax+b} (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה). אם לפולינום שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, x e λ x {\displaystyle xe^{\lambda x}} הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם (ובעזרת נוסחת אוילר) וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם λ ± i μ {\displaystyle \lambda \pm i\mu } הם השורשים, מקבלים את הפתרונות e λ x sin ⁡ ( μ x ) , e λ x cos ⁡ ( μ x ) {\displaystyle e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)} . משוואה ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה y ″ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = r ( x ) {\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)} כאשר r ( x ) ≢ 0 {\displaystyle r(x)\not \equiv 0} . בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם y 1 ( x ) {\displaystyle y_{1}(x)} ו- y 2 ( x ) {\displaystyle y_{2}(x)} הם פתרונות של המשוואה אז a y 1 ( x ) + b y 2 ( x ) {\displaystyle ay_{1}(x)+by_{2}(x)} הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} ). פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה r ( x ) ≡ 0 {\displaystyle r(x)\equiv 0} ) על ידי כך שמחברים לפתרון זה גם פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית. באופן כללי, משוואה מסדר n {\displaystyle n} מתוארת על ידי הפונקציה F ( x , y , y ′ , ⋯ , y ( n ) ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0} . ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר n {\displaystyle n} ניתנת להצגה כמערכת של n {\displaystyle n} משוואות דיפרנציאליות מסדר 1. משוואה ליניארית מסדר n {\displaystyle n} היא משוואה מהצורה . y ( n ) + a n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) + ⋯ + a 2 ( x ) y ″ + a 1 ( x ) y ′ + a 0 ( x ) y = b ( x ) {\displaystyle .y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{2}(x)y''+a_{1}(x)y'+a_{0}(x)y=b(x)} כאשר b ( x ) ≡ 0 {\displaystyle b(x)\equiv 0} המשוואה היא הומוגנית וכאשר b ( x ) ≢ 0 {\displaystyle b(x)\not \equiv 0} המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית). ניתן להכליל את השיטות שבהם משתמשים כדי לפתור משוואה ליניארית מסדר שני כך שיוכלו לשמש לפתרון משוואות מסדר n {\displaystyle n} . בדומה למשוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר n {\displaystyle n} הם פתרונות בעצמם. כמו כן, בדומה למשוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני, גם במקרה הכללי (של משוואות מסדר n {\displaystyle n} ) ניתן לקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הליניארית האי-הומוגנית על ידי כך שמחברים פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה b ( x ) ≡ 0 {\displaystyle b(x)\equiv 0} ) כאשר את הפתרון הפרטי למשוואה האי-הומוגנית מוצאים בשיטות דומות לאלו שמשתמשים בהם במקרה של משוואה מסדר שני. ערך מורחב – תנאי שפה תנאי התחלה הוא תנאי שעל הפונקציה או על אחת מנגזרותיה לקיים. התנאי הוא מהצורה: y ( n ) ( x 0 ) = y 0 {\displaystyle y^{(n)}(x_{0})=y_{0}} , כאשר y ( 0 ) ≡ y {\displaystyle y^{(0)}\equiv y} . כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר n {\displaystyle n} מקבלים פתרון עם n {\displaystyle n} פרמטרים (הנקרא פתרון כללי של המשוואה). כדי שיהיה ניתן למצוא פונקציה מסוימת (ללא פרמטרים) יש צורך ב- n {\displaystyle n} תנאי התחלה (פתרון זה נקרא פתרון פרטי). למערכת של משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר n {\displaystyle n} עם n {\displaystyle n} תנאי התחלה קוראים בעיית התחלה. אחת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הפשוטות ביותר היא המשוואה: y − y ′ = 0 {\displaystyle y-y'=0} הפתרון הכללי שלה הוא: y ( x ) = C e x {\displaystyle y(x)=Ce^{x}} כאשר C {\displaystyle C} הוא פרמטר. עבור תנאי ההתחלה: y ( 0 ) = 1 {\displaystyle y(0)=1} נקבל ש: y ( 0 ) = C e 0 = C = 1 {\displaystyle y(0)=Ce^{0}=C=1} ולכן הפתרון של בעיית ההתחלה: { y − y ′ = 0 y ( 0 ) = 1 {\displaystyle {\begin{cases}y-y'=0\\y(0)=1\end{cases}}} הוא: y ( x ) = e x {\displaystyle y(x)=e^{x}} משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר MathWorld (באנגלית) משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות, במיזם UnderWarrior משוואות דיפרנציאליות רגילות - סיכום הקורס בטכניון, הפתק הסגול