הנחיית מרדף

הנחיית מרדף (באנגלית: Pursuit guidance) היא שיטת הנחיה שנעשה בה שימוש נרחב בטילי תקיפה קרקעיים ישנים. בהנחיית מרדף הטיל מונחה כך שווקטור המהירות שלו תמיד מצביע ישירות על המטרה, כלומר יש לו את הכיוון של קו הראייה למטרה. באיור מתוארת הנחיית טיל בשיטה זו אל מטרה שנעה בקו ישר, כאשר הנקודות המודגשות על מסלול המטרה מציינות מרווחי זמן שווים. החסרון הבולט בשיטה זו הוא שברוב התרחישים הטיל מחמיץ את המטרה בפעם הראשונה, ומובל למצב של רדיפה אחר זנב המטרה לקראת סיום מעוף הטיל. זה נובע מכך שבקרבת המטרה נדרשת מהטיל תאוצה גבוהה מאוד, שלעיתים קרובות עולה על יכולת התמרון הנכללת במעטפת הביצועים של הטיל. הדבר מוביל את הטיל לעוף למרחק רב יותר, ומגביר את הסבירות שלטיל יאזל הדלק או לא יגיע למטרה. לעומת זאת, מרדף אחר זנב עשוי להיות טוב יותר בעבור טילי אוויר-אוויר מונחי חום, כיוון שהחלק החם ביותר במטוס הוא החלק האחורי של צינור פליטת הסילון. כיוון שמחשבים מודרניים מאפשרים את היישום של חוקי הנחיה מורכבים יותר, בהנחיית מרדף כמעט ולא נעשה שימוש בטילים מודרניים. במשך יותר ממאתיים שנה, הנושא של הנחיית מרדף היה מקור השראה ומקור עניין למתמטיקאים, ובמיוחד למתמטיקאים חובבים בתחום שעשועי המתמטיקה. המחקר המתמטי על הנחיית מרדף החל במאמר שהציג ההידרוגרף והגאומטרן הצרפתי פייר בוגה, המוכר כ"אבי האדריכלות הימית", לאקדמיה המלכותית הצרפתית למדעים ב-1732. הוא ניסח את החוק של הנחיית מרדף בצורה של ספינת פיראטים המנסה ליירט ספינת מסחר. בוגה הציג פתרון לעקום אשר מתווה ספינת הפיראטים במערכת קואורדינטות אבסולוטית, למשל במערכת הייחוס של נמל המרותק למקומו. המונח "מרדף-כלב" לציון מעקב הנעשה בשיטת הנחיית מרדף הופיע מאוחר יותר ונטבע על ידי החוקר הצרפתי ז'אן-מארי דיבואה-איימה (Dubois-Aymé), שצפה בעקבות בחול שהותיר אחריו כלבו שרדף אחריו בחוף הים. לעומת זאת, טורפים רבים ובייחוד חתולים, לא רודפים אחרי הטרף שלהם בשיטת הנחיית מרדף. היישום של הכלל הזה לכלי נשק החל במלחמת העולם השנייה. קרבות אוויר התנהלו בשיטת הנחיית מרדף - מטוס עקב אחרי הזנב של מטוס האויב עד להגעה למרחק מתאים לירי. היישום השני לגישה זו היה בפיתוח הטילים המונחים הראשונים על ידי הלופטוואפה הגרמני. באחת הפצצות המונחות הראשונות, ה-HS-293D, הותקנה בפצצה מצלמת טלוויזיה. באמצעות קשר רדיו, מפעיל הפצצה ראה את המטרה במרחקים הולכים וקטנים, ושידר פקודות הנחיה לפצצה, כך שהדמות של המטרה תישאר במרכז שדה הראייה של מצלמת הטלוויזיה. הסכמה הזאת הגדילה בצורה בלתי רגילה את הדיוק של הפצצות. בתוכניות פיתוח מאוחרות יותר של צבא ארצות הברית, גלאים לגילוי המטרה היו מבוססים על גילוי קרינה אינפרה-אדומה (קרינת חום) המוקרנת על ידי עצמים חמים, או על ידי התבייתות על קרינת המכ"ם של תחנות מכ"ם של האויב. כלל ההנחיה בכל התוכניות הללו היה הכלל הגאומטרי של הנחיית מרדף. למעשה, היסטוריונים אחדים הבחינו ש"ביות" (homing) היה מילה נרדפת להנחיה בשיטת הנחיית מרדף בשנות ה-50, גם בארצות הברית וגם בברית המועצות. בסופו של דבר, מרבית ה"פצצות החכמות" (פצצות וטילים) שנעשה בהם שימוש מסיבי במלחמת וייטנאם ובמלחמת המפרץ היו מבוססות על הכלל הגאומטרי של הנחיית מרדף, והיו מתבייתות על מטרות קרקעיות מוארות בלייזר. לאחרונה, הוצעו אף קליעים חכמים לפי אותם העקרונות. נכתוב את המשוואות הדיפרנציאליות שמתארות את התנועה בקואורדינטות פולריות ממערכת הייחוס של הטיל המיירט. נניח שמהירות הבורח היא U ומהירות הרודף היא V. נסמן ב- (r(t את המרחק הרגעי וב-θ את הזווית שיוצר וקטור המהירות של המטרה עם (r(t כוקטור. מכיוון שהטיל נע תמיד בכיוון (r(t מהירות ההתקרבות היחסית כתלות בזווית θ היא:   d r / d t = − V + U cos ⁡ ( θ ( t ) ) {\displaystyle \ dr/dt=-V+U\cos(\theta (t))} ואילו השינוי בזווית θ במשך הזמן dt הוא   d θ = − U   sin ⁡ ( θ ( t ) ) r ( t ) d t {\displaystyle \ d\theta =-U\ {\frac {\sin(\theta (t))}{r(t)}}dt} (שכן המטרה נעה בקו ישר). נחלק את dr/dt ב-dθ/dt ונקבל: d r / d θ = r ( t ) ( − cot ⁡ θ + β sin ⁡ θ ) {\displaystyle dr/d\theta =r(t)(-\cot \theta +{\frac {\beta }{\sin \theta }})} כאשר   β = V / U {\displaystyle \ \beta =V/U} הוא יחס המהירויות, שאפשר להניח כי הוא גדול מ-1. מכאן נקבל על ידי אינטגרציה   log ⁡ ( r / r 0 ) = ∫ d r / r = ∫ ( − cot ⁡ θ + β sin ⁡ θ ) d θ = − log ⁡ ( sin ⁡ ( θ ) ) + β 2 log ⁡ ( 1 − cos ⁡ ( θ ) 1 + cos ⁡ ( θ ) ) + C ′ {\displaystyle \ \log(r/r_{0})=\int dr/r=\int (-\cot \theta +{\frac {\beta }{\sin \theta }})d\theta =-\log(\sin(\theta ))+{\frac {\beta }{2}}\log \left({\frac {1-\cos(\theta )}{1+\cos(\theta )}}\right)+C'} . לכן   r = C s i n ( θ ) ( 1 − cos ⁡ ( θ ) 1 + cos ⁡ ( θ ) ) β / 2 = C s i n ( θ ) ( t a n ( θ / 2 ) ) β {\displaystyle \ r={\frac {C}{sin(\theta )}}\left({\frac {1-\cos(\theta )}{1+\cos(\theta )}}\right)^{\beta /2}={\frac {C}{sin(\theta )}}(tan(\theta /2))^{\beta }} , כאשר C קבוע התלוי בתנאי ההתחלה. ניתן לראות ש-r = 0 כאשר θ = 0 או θ = π, דהיינו בהתנגשות חזיתית או במרדף-זנב. משך הזמן שעובר עד שהטיל פוגע במטרה מתקבל באמצעות הצבת r(θ) בקשר : d t = r ( θ ) d θ U sin ⁡ θ {\displaystyle dt={\frac {r({\theta })d{\theta }}{U\sin {\theta }}}} ואינטגרציה בין הגבולות 0 = θ ו-θ0 . T = r 0 sin ⁡ θ 0 U tan β ⁡ ( θ 0 / 2 ) ∫ tan β ⁡ ( θ / 2 ) s i n 2 θ d θ {\displaystyle T={\frac {r_{0}\sin \theta _{0}}{U\tan ^{\beta }(\theta _{0}/2)}}\int {\frac {\tan ^{\beta }(\theta /2)}{sin^{2}\theta }}d\theta } נציב u = tan ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle u=\tan({\theta /2})} ונקבל d u = d θ 2 cos 2 ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle du={\frac {d\theta }{2\cos ^{2}{(\theta /2)}}}} ומתקיים sin ⁡ θ = 2 sin ⁡ ( θ / 2 ) cos ⁡ ( θ / 2 ) {\displaystyle \sin \theta =2\sin(\theta /2)\cos(\theta /2)} הצבה באינטגרל נותנת: T = r 0 sin ⁡ θ 0 U tan β ⁡ ( θ 0 / 2 ) ∫ 0 tan ⁡ ( θ 0 / 2 ) 1 2 u β − 2 ( 1 + u 2 ) d u {\displaystyle T={\frac {r_{0}\sin \theta _{0}}{U\tan ^{\beta }(\theta _{0}/2)}}\int _{0}^{\tan(\theta _{0}/2)}{\frac {1}{2}}u^{\beta -2}(1+u^{2})du} . התוצאה לזמן הפגיעה היא: T = r 0 sin ⁡ θ 0 2 U tan β ⁡ ( θ 0 / 2 ) ( t a n β + 1 ( θ 0 / 2 ) β + 1 + t a n β − 1 ( θ 0 / 2 ) β − 1 ) {\displaystyle T={\frac {r_{0}\sin \theta _{0}}{2U\tan ^{\beta }(\theta _{0}/2)}}({\frac {tan^{\beta +1}(\theta _{0}/2)}{\beta +1}}+{\frac {tan^{\beta -1}(\theta _{0}/2)}{\beta -1}})} פישוט נוסף, באמצעות ההצבה u 0 = t a n ( θ 0 / 2 ) {\displaystyle u_{0}=tan(\theta _{0}/2)} נותן: T = r 0 s i n θ 0 2 U ⋅ ( u 0 β + 1 + 1 u 0 ( β − 1 ) ) = r 0 sin ⁡ θ 0 ⋅ 1 + β + ( β − 1 ) u 0 2 2 U u 0 ( β 2 − 1 ) = ( r 0 / U ) ⋅ ( β + c o s θ 0 ) β 2 − 1 {\displaystyle T={\frac {r_{0}sin\theta _{0}}{2U}}\cdot ({\frac {u_{0}}{\beta +1}}+{\frac {1}{u_{0}(\beta -1)}})=r_{0}\sin \theta _{0}\cdot {\frac {1+\beta +(\beta -1)u_{0}^{2}}{2Uu_{0}(\beta ^{2}-1)}}=(r_{0}/U)\cdot {\frac {(\beta +cos\theta _{0})}{\beta ^{2}-1}}} נחפש כעת את כל אותם צירופים ( r 0 , θ ) {\displaystyle (r_{0},\theta )} עבורם זמן המעוף עד לפגיעה T שווה. המשוואה האחרונה היא משוואה של אליפסה בקואורדינטות פולריות, כאשר המוקד שלה בראשית הצירים הוא המיקום ההתחלתי של המטרה. לפיכך העקומות האיזוכרוניות (עקומות שוות זמן) במישור XY הן אליפסות לא קונצנטריות אשר אחד ממוקדיהן הוא מיקומה ההתחלתי של המטרה. חסמים על זמן המעוף הדרוש של הטיל מלמטה ומלמעלה, מאפשרים לקבוע תחומים - אזורי שיגור (Launch Zones) מהם יש לשגר את הטיל כך שזמן המעוף יפול בין החסמים. אזור שיגור (Launch Zone) הוא קונספט מפתח בטילאות מודרנית. באיור מופיע באפור אזור שיגור המתאים למיקום המטרה T. אזור השיגור תחום על ידי שתי אליפסות המתאימות לחסמים על זמן המעוף של הטיל. בחוקי הנחיה מתקדמים יותר, נוסף לטיל רכיב מהירות שמקביל למהירות המטרה, כך שהתנועה המשוקללת של המטרה והטיל יוצרת מצב בו הרכיב הרדיאלי של המהירות היחסית לאחר זמן קצר גדול יותר מאשר בחוק ההנחיה הקלאסי. תנועה אופטימלית של הטיל היא כזו שמאזנת באופן הטוב ביותר בין התנועה בכיוון הרדיוס וקטור לתנועה בכיוון מאונך לרדיוס וקטור (ראו טיל#הנחית טיל – פיתוח מתמטי). בתנועה בזוויות אופטימליות כאלה הטיל למעשה מתקדם ביעילות רבה יותר אל עבר המטרה, ולמעשה חוק הנחיה כזה מקצר את הדרך שהוא צריך לעשות לעומת חוק ההנחיה הקלאסי. חוק הנחיית מרדף הוא חוק שבאופן כללי דורש מהטיל הרודף תאוצות רדיאליות (lateral acceleration) גבוהות. ניתן למצוא את התאוצה המקסימלית שטיל מבוסס הנחיית מרדף צריך לעמוד בה מן הקשר הבסיסי: a = V ⋅ ω {\displaystyle a=V\cdot \omega } כאשר V מהירות הטיל ו- ω {\displaystyle \omega } הוא קצב הרוטציה (מהירות זוויתית) הרגעי של הרדיוס וקטור שמחבר בין הטיל והמטרה (וקטור מהירות הטיל תמיד מצביע בכיוון הרדיוס וקטור). מתקיים: U sin ⁡ θ / r ( θ ) = ω {\displaystyle U\sin \theta /r(\theta )=\omega } . לפיכך יש למצוא מקסימום לפונקציה: V ⋅ U sin ⁡ θ r ( θ ) = V ⋅ U sin 2 ⁡ ( θ ) C t a n β ( θ / 2 ) {\displaystyle V\cdot {\frac {U\sin \theta }{r(\theta )}}=V\cdot {\frac {U\sin ^{2}(\theta )}{Ctan^{\beta }(\theta /2)}}} . הנגזרת של s i n 2 ( θ ) t a n β ( θ / 2 ) {\displaystyle {\frac {sin^{2}(\theta )}{tan^{\beta }(\theta /2)}}} היא: s i n ( θ ) ( 2 c o s θ − β ) t a n − ( β ) ( θ / 2 ) {\displaystyle sin(\theta )(2cos\theta -\beta )tan^{-(\beta )}(\theta /2)} . ניתן לראות כי עבור 2 > β ≥ 1 {\displaystyle 2>\beta \geq 1} הנגזרת מתאפסת בקטע (0,π/2] ולכן יש לפונקציה מקסימום בקטע פתוח זה ואילו עבור β ≥ 2 {\displaystyle \beta \geq 2} המקסימום מתקבל בנקודת הקצה של הקטע [0,π/2] כלומר ב- θ = 0 {\displaystyle \theta =0} . עבור β = 1 {\displaystyle \beta =1} מקסימום התאוצה מתרחש עבור זווית θ = 60 {\displaystyle \theta =60} (במעלות), כלומר עבור β = 1 {\displaystyle \beta =1} התאוצה המקסימלית מתקבלת בתרחיש שבו θ 0 ≥ 60 {\displaystyle \theta _{0}\geq 60} (זווית פתיחה גדולה או שווה 60 מעלות; רק תרחישים אלו רלוונטיים - אחרת התאוצה מקסימלית בתחילת מעוף הטיל ויורדת בהדרגה עד לאפס בנקודת הפגיעה). עבור 2 ≥ β ≥ 1 {\displaystyle 2\geq \beta \geq 1} מתקיים c o s θ m a x = β / 2 {\displaystyle cos\theta _{max}=\beta /2} ומכאן ערך התאוצה המקסימלית (עבור θ 0 ≥ θ m a x {\displaystyle \theta _{0}\geq \theta _{max}} ) הוא: a m a x = V U s i n 2 ( θ m a x ) C ( t a n β ( θ m a x / 2 ) {\displaystyle a_{max}={\frac {VUsin^{2}(\theta _{max})}{C(tan^{\beta }(\theta _{max}/2)}}} . כדוגמה מספרית ניקח למשל β = 1.5 {\displaystyle \beta =1.5} - הצבה בנוסחה נותנת a m a x = 1.88 V ⋅ U t a n 1.5 ( θ 0 / 2 ) r 0 s i n θ 0 {\displaystyle a_{max}=1.88V\cdot U{\frac {tan^{1.5}(\theta _{0}/2)}{r_{0}sin\theta _{0}}}} . תאוצה מקסימלית זאת היא פרמטר חשוב בקביעת המאפיינים המבניים של טיל, כמו למשל שטח הכנפיים שלו. עבור β > 2 {\displaystyle \beta >2} בנקודה θ = 0 {\displaystyle \theta =0} מתקבל ערך אינסופי של התאוצה, כלומר זוהי נקודת סינגולריות - במצב שבו יחס המהירויות גדול מ-2 קצב הקיטון במרחק בין הטיל למטרה מתגבר על הפיחות ברכיב המאונך לרדיוס וקטור של מהירות המטרה ונוצר למעשה קצב רוטציה של הרדיוס וקטור ששואף לאינסוף בנקודות הסינגולריות. בתרחיש כזה, הטיל לעולם לא יוכל לפגוע במטרה בהזדמנות הראשונה אלא רק לחלוף במרחק קטן ממנה, בהתאם ליכולות הטיל. כאן טמון היתרון שיש לשיטת הנחיה אחרות, כמו למשל ניווט יחסי על פני שיטת הנחית מרדף - ניווט יחסי מאפשר פגיעה בזוויות התנגשות שונות מ- θ = 0 {\displaystyle \theta =0} או θ = π {\displaystyle \theta =\pi } ובכך אין לו נקודות סינגולריות. שאיפה לאינסוף מתקיימת גם כש- 2 ≥ β {\displaystyle 2\geq \beta } אולם משנים את קבוע ההתחלה C - הגודל 1 / C {\displaystyle 1/C} שואף לאינסוף כאשר זווית הפתיחה θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} שואפת ל-π, כלומר התאוצה המקסימלית עולה עבור תרחישים חצי-חזיתיים. גרסה שונה במקצת של הנחיית מרדף היא הנחיית מרדף מוסטת (DPP - Deviated Pure Pursuit) - בשיטת הנחיה זו וקטור מהירות הטיל שומר על זווית קבועה מסוימת δ {\displaystyle \delta } שונה מאפס עם קו הראייה למטרה. הזווית היא כזו שסיבוב קו הראייה מנסה להקטין אותה, ולא להפך. היתרון המרכזי בגרסה זו לעומת הגרסה הרגילה של הנחיית מרדף הוא בהפחתת התאוצות הרדיאליות הנדרשות מהטיל; כאשר הטיל לא מרכז את כל מהירותו לעבר המטרה ולמהירותו יש רכיב ניצב לקו הראייה הרגעי קצב הסיבוב של קו הראייה פוחת ולכן גם קצב הסיבוב של וקטור מהירות הטיל פוחת - והתאוצה הנדרשת ממנו פוחתת (עבור זווית מיוחדת מסוימת הנחיה זו הופכת לניווט מקבילי, ולא נדרשת כלל תאוצה מהטיל). N.A. Shneydor, "Missile Guidance and Pursuit - Kinematics, Dynamics and Control" מאמר "Guidance and Control Technology"