התפלגות טרייסי-וידום

התפלגות טרייסי-וידום היא פונקציית התפלגות בתחום המטריצות אקראיות. ההתפלגות מתארת את התנודות של הערך עצמי הגדול ביותר של סוגים מסוימים של מטריצות אקראיות כשהגודל שלהן נעשה גדול מאוד. ההתפלגות הוצגה לראשונה על ידי קרייג טרייסי (Craig Tracy) והארולד וידום (Harold Widom) בשנת 1993. אחת התכונות יוצאות הדופן של התפלגות טרייסי-וידום היא האוניברסליות שלה. כלומר ההתפלגות מצליחה לתאר את התנודות של הערך העצמי הגדול ביותר עבור מגוון רחב של קבוצות מטריצות אקראיות (בתנאי שהמטריצות מקיימות תנאי סימטריה מסוימים). אוניברסליות זו הפכה את התפלגות טרייסי-וידום לאובייקט יסוד בתורת המטריצות האקראיות, ומצאה גם יישומים בתחומים שונים כגון פיזיקה סטטיסטית, תורת המספרים וקומבינטוריקה. התפלגות טרייסי-וידום מסומנת ב F β {\displaystyle F_{\beta }} כאשר β {\displaystyle \beta } מייצגת את סוג המטריצה עבורה תחושב התפלגותו של λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} (נקראת גם "אינדקס דייסון"). קיימות שלוש צורות רווחות β ∈ { 1 , 2 , 4 } {\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}} : מטריצה אורתוגונאלית ( β = 1 {\displaystyle \beta =1} ), מטריצה אוניטארית ( β = 2 {\displaystyle \beta =2} ), וסימפלקטית (Symplectic matrix) ( β = 4 {\displaystyle \beta =4} ). בפועל, β {\displaystyle \beta } יכולה להיות כל ערך טבעי. תהי F β {\displaystyle F_{\beta }} פונקציית התפלגות מצטברת של התפלגות טרייסי-וידום עבור β {\displaystyle \beta } נתונה, כך שאיברי האלכסון בעלי σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} ושאר האיברים בעלי σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} כלשהי. נגדיר את F N , β ( s ) {\displaystyle F_{N,\beta }(s)} להיות ההסתברות שמטריצה בגודל N × N {\displaystyle N\times N} נדגמת מאוסף המטריצות β {\displaystyle \beta } ובעלת ערך עצמי מקסימלי λ m a x ≤ s {\displaystyle \lambda _{max}\leq s}  : F β ( x ) = P [ λ m a x ≤ s ] = lim N → ∞ F N , β ( λ m a x − 2 σ N σ ⋅ N 1 / 6 + x ) = lim N → ∞ P r [ N 1 / 6 ( λ m a x − 2 σ N σ ) ≤ x ] {\textstyle F_{\beta }(x)=P[\lambda _{max}\leq s]=\lim _{N\to \infty }F_{N,\beta }\left({\frac {\lambda _{max}-2\sigma {\sqrt {N}}}{\sigma }}\cdot N^{1/6}+x\right)=\lim _{N\to \infty }Pr\left[N^{1/6}\left({\frac {\lambda _{max}-2\sigma {\sqrt {N}}}{\sigma }}\right)\leq x\right]} כלומר λ m a x − 2 N N 1 / 6 → d F β {\displaystyle {\frac {\lambda _{max}-2{\sqrt {N}}}{N^{1/6}}}\xrightarrow {d} F_{\beta }} במילים: ההפרש בין λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} לבין מרכז ההתפלגות ( 2 N {\displaystyle 2{\sqrt {N}}} ) שואף לקבוע בקצב של N 1 / 6 {\displaystyle N^{1/6}} . ההצגה הגבולית נותנת פירוש נוסף להתפלגות טרייס וידום : תיאור ה"תנודות" של λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} על קטע צר בגודל פרופורציוני ל N 1 / 6 {\displaystyle N^{1/6}} סביב λ m a x ≈ 2 N {\displaystyle \lambda _{max}\approx {\sqrt {2N}}} . הסטיה 2 σ N {\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}} נובעת מהתפלגות חצי המעגל של ויגנר. הקובעת כי בגבול צפיפות הערכים העצמיים מתכנסת לחצי העיגול ברדיוס 2 σ N {\displaystyle 2\sigma {\sqrt {N}}} . הכפלה בגורם N 1 / 6 {\displaystyle N^{1/6}} משמשת לתיקון, כי סטיית התקן של ההתפלגות מתכנסת כמו N 1 / 6 {\displaystyle N^{1/6}} (פותח לראשונה ב). כאמור, ההתפלגות יכולה מהגדרתה להתרחב לכל β > 0 {\displaystyle \beta >0} . F 2 {\displaystyle F_{2}} יכולה להיות מיוצגת על ידי הדטרמיננטה של פרדהולם (Fredholm determinant): F 2 ( s ) = det ( I − A s ) = 1 + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n n ! ∫ ( s , ∞ ) n det i , j = 1 , . . . , n [ A s ( x i , x j ) ] d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle F_{2}(s)=\det(I-A_{s})=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\int _{(s,\infty )^{n}}\det _{i,j=1,...,n}[A_{s}(x_{i},x_{j})]dx_{1}\cdots dx_{n}} כאשר האינטגרל מחושב על חצי המעגל ( s , ∞ ) {\displaystyle (s,\infty )} וכן A s {\displaystyle A_{s}} היא פונקציית גרעין המוגדרת: A s ( x , y ) = { A i ( x ) A i ′ ( y ) − A i ′ ( x ) A i ( y ) x − y if  x ≠ y A i ′ ( x ) 2 − x ( A i ( x ) ) 2 if  x = y {\displaystyle A_{s}(x,y)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {Ai} (x)\mathrm {Ai} '(y)-\mathrm {Ai} '(x)\mathrm {Ai} (y)}{x-y}}\quad {\text{if }}x\neq y\\Ai'(x)^{2}-x(Ai(x))^{2}\quad {\text{if }}x=y\end{cases}}} A i {\displaystyle A_{i}} נקראת פונקציית איירי. נניח כי q ( s ) {\displaystyle q(s)} מייצגת פתרון של הטרנסצנדנטים של פנלבה (Painlevé transcendents) מסדר שני: q ′ ′ ( s ) = s q ( s ) + 2 q ( s ) 3 {\displaystyle q^{\prime \prime }(s)=sq(s)+2q(s)^{3}} עם חסם גבולי של q ( s ) ∼ Ai ( s ) , s → ∞ {\textstyle \displaystyle q(s)\sim {\textrm {Ai}}(s),s\to \infty } . כעת נגדיר I ( t ) , J ( t ) {\displaystyle I(t),J(t)} כך ש I ( t ) = − ∫ t ∞ ( x − t ) q 2 ( x ) d x J ( t ) = ∫ t ∞ q ( x ) d x {\displaystyle {\begin{array}{lcl}I(t)&=&-\int _{t}^{\infty }(x-t)q^{2}(x)dx\\J(t)&=&\int _{t}^{\infty }q(x)dx\end{array}}} אז התפלגות F 2 {\displaystyle F_{2}} (ההתפלגות המצטברת של טרייסי-וידום) תוגדר להיות F 2 ( t ) = e I ( t ) = exp ⁡ ( − ∫ s ∞ ( x − s ) q 2 ( x ) d x ) {\displaystyle F_{2}(t)=e^{I(t)}=\exp \left(-\int _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)\,dx\right)} בעזרת אותה q ( s ) {\displaystyle q(s)} ניתן לתאר גם β {\displaystyle \beta } נוספות: F 1 ( s ) = F 2 ( t ) e − J ( t ) = exp ⁡ ( − 1 2 ∫ s ∞ q ( x ) d x ) ( F 2 ( s ) ) 1 / 2 F 4 ( s / 2 ) = cosh ⁡ ( 1 2 ∫ s ∞ q ( x ) d x ) ( F 2 ( s ) ) 1 / 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(s)={\sqrt {F_{2}(t)e^{-J(t)}}}&=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}\\F_{4}(s/{\sqrt {2}})&=\cosh \left({\frac {1}{2}}\int _{s}^{\infty }q(x)\,dx\right)\,\left(F_{2}(s)\right)^{1/2}.\end{aligned}}} כאמור,האוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום הביאה חוקרים לחקור את זנבותיה. חקר הזנבות מתבסס על הייצוג של ההתפלגות לפי משוואת פנילבה שהוזכרו לעיל. תהי f β ( x ) = F β ′ ( x ) {\displaystyle f_{\beta }(x)=F_{\beta }'(x)} פונקציית הצפיפות אז f β ( x ) ∼ { e − β 24 | x | 3 , x → − ∞ e − 2 β 3 | x | 3 / 2 , x → + ∞ {\displaystyle f_{\beta }(x)\sim {\begin{cases}e^{-{\frac {\beta }{24}}|x|^{3}},\quad x\to -\infty \\e^{-{\frac {2\beta }{3}}|x|^{3/2}},\quad x\to +\infty \end{cases}}} ניתן לראות כי ההתפלגות אכן בעלת זנב ימני. כלומר יותר סביר כי λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} יהיה גדול מ 2 N {\displaystyle {\sqrt {2N}}} . נזכור כי ההתפלגות הגבולית היא התפלגות חצי העיגול, ולכן ה"זנביות" נובעת מה"דחיה" ממרכז ההתפלגות, ולכן הסיכוי של λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} להיות קטן 2 N {\displaystyle {\sqrt {2N}}} יקטן. עבור הזנב השמאלי x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } קיים פיתוח סגור יותר: f β ( x ) ∼ τ β | x | ( β 2 + 4 − 6 β ) / 16 β exp ⁡ [ − β | x | 3 24 + 2 β − 2 6 | x | 3 / 2 ] {\displaystyle f_{\beta }(x)\sim \tau _{\beta }|x|^{(\beta ^{2}+4-6\beta )/16\beta }\exp \left[-\beta {\frac {|x|^{3}}{24}}+{\sqrt {2}}{\frac {\beta -2}{6}}|x|^{3/2}\right]} עבור τ β {\displaystyle \tau _{\beta }} קבוע כלשהו התלוי ב β {\displaystyle \beta } . דוגמא לקצב דעיכת הזנבות של f 1 {\displaystyle f_{1}} מהגדרה, הצפיפות של F 1 {\displaystyle F_{1}} מוגדרת להיות f 1 ( s ) = 1 2 F 1 ( s ) ( q ( s ) + ∫ s ∞ q 2 d x ) {\displaystyle f_{1}(s)={\frac {1}{2}}F_{1}(s){\Biggl (}q(s)+\int _{s}^{\infty }q^{2}dx{\Biggl )}} אם כן, עבור s {\displaystyle s} חיובי גדול מספיק, נקבל (מהגדרות שהוזכרו לעיל) כי q ( s ) ∼ A i ( s ) ∼ 2 − 1 π − 1 s − 1 / 4 e − 2 3 s 3 / 2 ∫ s ∞ q 2 d x ∼ ( 8 π s ) − 1 e − 4 3 s 3 / 2 = O ( q ( s ) ) {\displaystyle {\begin{array}{lcr}q(s)\sim Ai(s)\sim 2^{-1}\pi ^{-1}s^{-1/4}e^{-{\frac {2}{3}}s^{3/2}}\\\int _{s}^{\infty }q^{2}dx\sim (8\pi s)^{-1}e^{-{\frac {4}{3}}s^{3/2}}=O(q(s))\end{array}}} ולכן סך הכל f 1 ( s ) ≈ q ( s ) ≈ e − 2 3 s 3 / 2 {\displaystyle f_{1}(s)\approx q(s)\approx e^{-{\frac {2}{3}}s^{3/2}}} . בעבור הזנב השמאלי, הוכח כבר כי עבור s {\displaystyle s} שלילי מתקבל q ( s ) ∼ − s / 2 ⟶ ∫ s ∞ q d x ∼ 2 3 | s | 3 2 ∫ s ∞ ( x − s ) q 2 ( x ) d x ∼ | s | 3 / 12 {\displaystyle {\begin{array}{lcr}q(s)\sim {\sqrt {-s/2}}\longrightarrow \int \limits _{s}^{\infty }qdx\sim {\frac {\sqrt {2}}{3}}|s|^{\frac {3}{2}}\\\int \limits _{s}^{\infty }(x-s)q^{2}(x)dx\sim |s|^{3}/12\end{array}}} ואכן נקבל את המקרה הפרטי עבור β = 1 {\displaystyle \beta =1} כי הזנב השמאלי של f 1 {\displaystyle f_{1}} מתנהג כמו f 1 ( s ) ≈ e − | s | 3 12 {\displaystyle f_{1}(s)\approx e^{-{\frac {|s|^{3}}{12}}}} . פונקציית ההסתברות המצטברת תחת x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } : F ( x ) = 1 − e − 4 3 x 3 / 2 32 π x 3 / 2 ( 1 − 35 24 x 3 / 2 + O ( x − 3 ) ) , E ( x ) = 1 − e − 2 3 x 3 / 2 4 π x 3 / 2 ( 1 − 41 48 x 3 / 2 + O ( x − 3 ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {4}{3}}x^{3/2}}}{32\pi x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {35}{24x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )},\\E(x)&=1-{\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{4{\sqrt {\pi }}x^{3/2}}}{\biggl (}1-{\frac {41}{48x^{3/2}}}+{\cal {O}}(x^{-3}){\biggr )}\end{aligned}}} עבור הזנב השמאלי x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } F ( x ) = 2 1 / 48 e 1 2 ζ ′ ( − 1 ) e − 1 24 | x | 3 | x | 1 / 16 ( 1 + 3 2 7 | x | 3 + O ( | x | − 6 ) ) E ( x ) = 1 2 1 / 4 e − 1 3 2 | x | 3 / 2 ( 1 − 1 24 2 | x | 3 / 2 + O ( | x | − 3 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=2^{1/48}e^{{\frac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)}{\frac {e^{-{\frac {1}{24}}|x|^{3}}}{|x|^{1/16}}}\left(1+{\frac {3}{2^{7}|x|^{3}}}+O(|x|^{-6})\right)\\E(x)&={\frac {1}{2^{1/4}}}e^{-{\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}|x|^{3/2}}{\Biggl (}1-{\frac {1}{24{\sqrt {2}}|x|^{3/2}}}+{\cal {O}}(|x|^{-3}){\Biggr )}.\end{aligned}}} כאשר ζ {\displaystyle \zeta } פונקציית זטא של רימן כך ש ζ ′ ( − 1 ) = − 0.1654211437 {\displaystyle \zeta '(-1)=-0.1654211437} . בצורה כזו פונקציית ההתפלגות המצטברת ניתנת לניתוח לכל זנב בנפרד. למשל עבור F 2 {\displaystyle F_{2}} : 1 − F 2 ( x ) = 1 32 π x 3 / 2 e − 4 x 3 / 2 / 3 ( 1 + O ( x − 3 / 2 ) ) , F 2 ( − x ) = 2 1 / 24 e ζ ′ ( − 1 ) x 1 / 8 e − x 3 / 12 ( 1 + 3 2 6 x 3 + O ( x − 6 ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}1-F_{2}(x)&={\frac {1}{32\pi x^{3/2}}}e^{-4x^{3/2}/3}(1+O(x^{-3/2})),\\F_{2}(-x)&={\frac {2^{1/24}e^{\zeta ^{\prime }(-1)}}{x^{1/8}}}e^{-x^{3}/12}{\biggl (}1+{\frac {3}{2^{6}x^{3}}}+O(x^{-6}){\biggr )}.\end{aligned}}} תהא מטריצה H β {\displaystyle H_{\beta }} המוגדרת β-הרמיטית בגודל N × N {\displaystyle N\times N} , נניח כי β = 1 {\displaystyle \beta =1} כלומר אוניטארית. כניסות המטריצה H i j {\displaystyle H_{ij}} נדגמו מהתפלגות גיאוסיאנית קרי P ( H i j ) = { 1 2 π e x p [ − H i j 2 ] , if  i = j 1 π e x p [ − H i j 2 ] , if  i > j {\displaystyle P(H_{ij})={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}exp[-H_{ij}^{2}],&{\text{if }}i=j\\{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}exp[-H_{ij}^{2}],&{\text{if }}i>j\end{cases}}} לכן פונקציית הצפיפות המשותפת של כל N {\displaystyle N} הערכים העצמיים (הבלתי תלוייים, ללא סדר מסוים): f ( λ 1 , … , λ N ) = 1 Z N , β e ( − 1 2 ∑ i = 1 N λ i 2 ) ∏ j < k | λ j − λ k | β {\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{N})={\frac {1}{Z_{N,\beta }}}e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}\right)}\prod _{j<k}|\lambda _{j}-\lambda _{k}|^{\beta }} כאשר Z N , β {\displaystyle Z_{N,\beta }} הוא קבוע נרמול Z N , β = ( 2 π ) N / 2 ∏ k = 1 N Γ ( 1 + k β 2 ) Γ ( 1 + β 2 ) {\displaystyle Z_{N,\beta }=\left(2\pi \right)^{N/2}\prod _{k=1}^{N}{\frac {\Gamma \left(1+k{\frac {\beta }{2}}\right)}{\Gamma \left(1+{\frac {\beta }{2}}\right)}}} . הרכיב e ( − 1 2 ∑ i = 1 N λ i 2 ) {\displaystyle e^{\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}^{2}\right)}} הוא בעצם e − T r ( H 2 ) / 2 {\displaystyle e^{-Tr(H^{2})/2}} הרכיב ∏ j < k | λ j − λ k | β {\displaystyle \prod _{j<k}|\lambda _{j}-\lambda _{k}|^{\beta }} הוא אופרטור הגזירה d H = ∏ i d H i i ∏ i < j d H i j {\displaystyle dH=\prod _{i}dH_{ii}\prod _{i<j}dH_{ij}} . תהי מערכת המכילה בתוכה N {\displaystyle N} אובייקטים הנעים במרחב בצורה רנדומלית ובלתי תלויה לחלוטין. נרצה לחקור את התנועה במערכת (כוחות דוחפים\מושכים) – ובפרט לפתח את היכולת למצוא בה נקודות שיווי משקל. אם נדמיין את התנועה במרחב הרב-מימדי בתור וקטור V = ( y 1 , . . . , y N ) {\displaystyle V=(y_{1},...,y_{N})} הרי שנקודות שיווי המשקל \יציבות y ⋆ {\displaystyle y^{\star }} יתאפיינו על ידי ∇ V ( y ⋆ ) = 0 {\displaystyle \nabla V(y^{\star })=0} (נק' סטציונאריות). לכן נתעניין בהסיאן H N × N {\displaystyle H_{N\times N}} של V {\displaystyle V} : H i j = ∂ 2 ∂ y i ∂ y j V {\displaystyle H_{ij}={\partial ^{2} \over \partial y_{i}\partial y_{j}}V} כעת – הערכים העצמיים של המטריצה H i j {\displaystyle H_{ij}} יקבעו את טבע התנועה במערכת (מינימום\מקסימום לוקאלי\גלובאלי ואוכף). למשל עבור N = 2 {\displaystyle N=2} יהיו שני ערכים עצמיים λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} : i f   λ 1 > 0   a n d   λ 2 > 0   → L o c a l   M i n i m u m   i f   λ 1 < 0   a n d   λ 2 < 0   → L o c a l   M a x i m u m   i f   sgn ⁡ ( λ 1 ) ≠ sgn ⁡ ( λ 2 ) → S a d d l e P o i n t {\displaystyle {\begin{aligned}&if\ \lambda _{1}>0\ and\ \lambda _{2}>0\ \rightarrow Local\ Minimum\\\ &if\ \lambda _{1}<0\ and\ \lambda _{2}<0\ \rightarrow Local\ Maximum\\\ &if\ \operatorname {sgn}(\lambda _{1})\neq \operatorname {sgn}(\lambda _{2})\rightarrow SaddlePoint\end{aligned}}} אם כן, עבור נקודת מינימום נרצה שכל הערכים העצמיים יהיו שליליים ∀   i : λ i < 0 {\displaystyle \forall \ i:\lambda _{i}<0} . נסמן ב λ m a x {\displaystyle \lambda _{max}} את הערך העצמי המקסימלי ונקבל את השקילות P [ ∀   i : λ i < 0 ] = P [ λ m a x < 0 ] {\displaystyle P[\forall \ i:\lambda _{i}<0]=P[\lambda _{max}<0]} . במילים אחרות, הסיכוי ליציבות של המערכת (מינימום לוקאלי) תלויה בהתפלגותו של הערך העצמי המקסימלי של ההסיאן. ניתן גם לפתח התפלגות לערכים העצמיים השני והשלישי בגודלם. ערך מורחב – התפלגות חצי המעגל של ויגנר התפתחות ענף המטריצות האקראיות מתחיל באמצע המאה ה20. הפיזיקאי יוג'ין ויגנר הציג את המטריצות האקראיות בפיזיקה בשנות ה-50, במקור על מנת לדמות את רמות האנרגיה של גרעיני אטומים כבדים. בשנת 1951, ויגנר הציג את מה שנודע לאחר מכן כהתפלגות חצי המעגל של ויגנר, המתארת את ההתפלגות של ערכים עצמיים עבור מטריצות סימטריות אקראיות גדולות. עבודה זו היוותה את הבסיס לתורת המטריצות האקראיות, שמצאה יישומים בפיזיקה גרעינית, כאוס קוונטי ותחומים נוספים. ויגנר הראה כי עבור מטריצה אקראית M N {\displaystyle M_{N}} פונקציית הצפיפות של הערכים העצמיים מתכנסת (בהתפלגות) לחצי העיגול סביב הטווח [ − 2 N , 2 N ] {\displaystyle [-2N,2N]} . ניתן להסיק מכך שפיזור של N {\displaystyle N} ערכים עצמיים על טווח זה יצור מרחק ממוצע בין ערכים עצמיים סמוכים פרופורציונאלי ל N − 1 / 2 {\displaystyle N^{-1/2}} . בנוסף, התפלגותו של הערך עצמי המקסימלי יהיה סביב 2 N {\displaystyle {\sqrt {2N}}} . בהמשך לתובנותיו של ויגנר, מתמטיקאים ופיזיקאים חקרו במהלך העשורים הבאים היבטים שונים של מטריצות אקראיות. התפתחות חשובה הגיעה בשנות ה-70 כאשר רוברט מיי (Robert May, Baron May of Oxford) יישם את מושגי המטריצות האקראיות בתחום האקולוגיה, תוך שימוש בהן כדי לנתח את היציבות של מערכות אקולוגיות מורכבות. מיי גילה ב"תיאוריית האינטראקציה" שלו נקודה קריטית, שמעבר לה המערכת האקולוגית הופכת לבלתי יציבה. נקודת מפנה זו, כפי שהתברר מאוחר יותר, הייתה קשורה באופן הדוק להתפלגות טרייסי-וידום. בשנים אלו התגלה כי בעיות שונות שנחקרו בהרחבה חולקות את אותה פונקציית התפלגות – התפלגות טרייסי-וידום. הבעיה הראשונה היא כמובן תחום המטריצות האקראיות, שם מקומה של ההתפלגות בבעיה התגלה על ידי טרייס ווידום עצמם. מאוחר יותר, בשנת 1999, התגלה שהתפלגות טרייסי וידום מתארת גם את ההתפלגות של אורכו של תת רצף עולה הארוך ביותר (Longest increasing subsequence), בעיה ידועה בתחום הקומבינטוריקה. מיד לאחר מכן, התגלה בכמה מחקרים נפרדים שההתפלגות הזו מופיעה גם במודלי צמיחה אקראית שונים מתחום הפיסיקה הסטטיסטית, בפרט מודלים המנסים לתאר תהליכים הכוללים מעבר פאזה כמו מודל ה-PNG (Polynuclear Growth), ומודלים נוספים המבוססים על משוואות קרדר-פאריסי-זנג (Kardar–Parisi–Zhang equation). ב 2005, התגלה על ידי כי גם בעיית תת הרצף המשותף הארוך ביותר (Longest common subsequence) מכילה גם היא בתוכה את התפלגות טרייסי וידום, בפרט כאשר מדובר בסט סופי של אותיות מהן נדגמים הרצפים (כמו למשל רצפים גנטים בביואינפורמטיקה). ערך מורחב – מעבר פאזה כאמור, 10 שנים מניסוח ההתפלגות, תחומי מחקר שונים לחלוטין מצאו בה שימוש יסודי בבעיות שלהם. אך לרוב (בדומה לגילוי הראשוני של רוברט מיי) השימוש היה בשיא ההתפלגות על מנת לתאר מעבר מיציבות של מערכת דינאמית לחוסר יציבות. גילויים אלה הניעו חוקרים לחקור דווקא את זנבות ההתפלגות. בשנת 2006 פרופסור Satya Majumdar נחשף למחקרים שגרסו כי נקודות יציבות בתורת המיתרים מקבילות לתת-קבוצה של מטריצות אקראיות שהערכים העצמיים הגדולים ביותר שלהן הם שליליים – רחוק משמאל לערך הממוצע של 2 N {\displaystyle {\sqrt {2N}}} בשיא עקומת טרייסי-וידום. הוא תהה עד כמה נדירות עשויות להיות נקודות יציבות אלו. כדי לענות על השאלה, מג'ומדר ודייוויד דין, הבינו שהם צריכים לגזור משוואה המתארת את הזנב הקיצוני השמאלי של שיא טרייסי-וידום, אזור של ההתפלגות הסטטיסטית שמעולם לא נחקר. בתוך שנה, הגזירה שלהם בצד השמאלי הופיעה בכתב העת Physical Review Letters. בצד הימני, מג'ומדר ודין הופתעו לגלות שההתפלגות ירדה בקצב הקשור למספר הערכים העצמיים N {\displaystyle N} . בעוד בצד השמאלי, היא התדלדלה מהר יותר, כפונקציה של N 2 {\displaystyle N^{2}} . בשנת 2011, הצורה של הזנבות השמאלי והימני נתנה למג'ומדר וצוותו תובנה פתאומית: הם הבינו שהאוניברסליות של התפלגות טרייסי-וידום יכולה להיות קשורה לאוניברסליות של מעברי פאזה — אירועים כמו הקפאת מים לקרח, גרפיט שהופך ליהלום ומתכות רגילות שהופכות למוליכי-על. ”מכיוון שמעברי פאזה הם כל כך נפוצים – כל החומרים עוברים שינוי פאזה כאשר הם מוזנים או מורעבים מכמות מספקת של אנרגיה – ולוקחים רק קומץ של צורות מתמטיות, הם עבור הפיזיקאים הסטטיסטיים כמעט כמו דת” (מג'ומדר) בשולי ההתפלגות המיניאטוריים של טרייסי-וידום, מג'ומדר, וצוותו זיהו צורות מתמטיות מוכרות: עקומות נפרדות המתארות שני קצבים שונים של שינוי בתכונות של מערכת, היורדות משני הצדדים של שיא מעבר פאזה. אלו היו סימני מעבר פאזה. על מנת לתת הערכה נומרית להתפלגות טרייסי-וידום, נדרשו טכניקות נומריות להשגת פתרונות נומריים למשוואות פנלבה מסוגים II ו-V. פתרונות אלה הוצגו לראשונה על ידי תבנית באמצעות MATLAB על ידי אנדלמן ופרסון . טכניקות קירוב אלו קיבלו הצדקה אנליטית נוספת ושימשו לצורך הערכה נומרית של התפלגויות β ∈ { 1 , 2 , 4 } {\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}} באמצעות S-PLUS, באותה העבודה ההתפלגויות קובעו בטבלה בדיוק של עד 4 ספרות בקפיצות של 0.01 ביחד עם טבלת מובהקות (p-value). בשנת 2010 נוסח אלגוריתם מהיר לחישוב ערכי F β {\displaystyle F_{\beta }} וערכי הצפיפות f β = d F β / d s {\displaystyle f_{\beta }=dF_{\beta }/ds} עבור β ∈ { 1 , 2 , 4 } {\displaystyle \beta \in \{1,2,4\}} . האלגוריתם מספק חישוב נומרי של הממוצע, השונות, צידוד והעקמומיות: באמצעות אלו, פותח אלגוריתם להתפלגות של הערך העצמי ה k {\displaystyle k} של האופרטור A s {\displaystyle A_{s}} היכול לשמש לחישוב התפלגות טרייסי-וידום. ב R קיימת החבילה בשם 'RMTstat' , ב MATLAB קיימת החבילה בשם 'RMLab' וב Python מספר חבילות בינהן scikit-rmt. מטריצת השונות המשותפת נמצאת במרכז חקר הסטטיסטיקה ובפרט סטטיסטיקה הרב מימדית. כפי שהעיר איאן ג'ונסטון (Iain M. Johnstone): ”תכונה בולטת של התיאוריה הקלאסית של ניתוח סטטיסטי רב-משתני היא שרוב הטכניקות הסטנדרטיות—רכיבים עיקריים, מתאמים קאנוניים, ניתוח שונות רב-משתני (MANOVA), ניתוח הבחנה וכדומה—מבוססות על ניתוח ערכים עצמיים של מטריצות השונות-המשותפת.” בידינו מטריצת נתונים X p × n {\displaystyle X_{p\times n}} המתארת n {\displaystyle n} דגימות מ p {\displaystyle p} משתנים (עמודה ב X {\displaystyle X} מתארת תצפית אחת מ p {\displaystyle p} משתנים). אנו מניחים כי X p × n ∼ N p ( μ , Σ ) {\displaystyle X_{p\times n}\sim N_{p}(\mu ,\Sigma )} ולשם הפשטות μ = 0 {\displaystyle \mu =0} . הבעיה שלפנינו היא להסיק את תכונות Σ = ( C o v [ X k , X k ′ ] ) 1 ≤ k , k ′ ≤ p {\displaystyle \Sigma =\left(Cov\left[X_{k},X_{k'}\right]\right)_{1\leq k,k'\leq p}} מתוך מטריצת השונות הנצפית S = 1 n X T X {\displaystyle S={\frac {1}{n}}X^{T}X} , ממנה ניתנים לחילוץ ℓ j ^ {\displaystyle {\widehat {\ell _{j}}}} – הערכים העצמיים הנצפים של S {\displaystyle S} . נרצה לבצע בדיקת השערות כאשר השערת האפס היא כי אין קורלציה בין p {\displaystyle p} המשתנים כלומר H 0 : Σ = I ,   H 1 : e l s e {\displaystyle H_{0}:\Sigma =I,\ H_{1}:else} . נרצה לפתח סטטיסטי תחת ההנחה כי Σ = I {\displaystyle \Sigma =I} . תחת הנחה זו מצופה כי ℓ j ^ ≈ 1 {\displaystyle {\widehat {\ell _{j}}}\approx 1} . על מנת לאמוד כמה "קיצוניים" ערכי ℓ j ^ {\displaystyle {\widehat {\ell _{j}}}} כך שיצדיקו דחיה של השערת האפס נחקור את ההתפלגות שלהם תחת הנחה זו. התפלגות זו נחקרה ונקראת התפלגות וישארט (Wishart distribution) (התפלגות זו היא הרחבה של התפלגות חצי המעגל של ויגנר). כלומר נתעניין ב P ( ℓ 1 ^ > t | Σ ∼ H 0 W p ( n , I ) ) {\displaystyle P\left({\widehat {\ell _{1}}}>t|\Sigma \sim _{H_{0}}W_{p}(n,I)\right)} כאשר הקשר בין התפלגות טרייסי וידום (הערך העצמי הגדול ביותר של S {\displaystyle S} ) להתפלגות וישארט היא λ max ( W n ) − μ n p σ n p → d F β {\displaystyle {\frac {\lambda _{\max }(W_{n})-\mu _{np}}{\sigma _{np}}}\xrightarrow {d} F_{\beta }} תחת n , p → ∞ {\displaystyle n,p\to \infty } וכן n / p → γ ≥ 1 {\displaystyle n/p\to \gamma \geq 1} מתקבל החסם | P ( n ℓ 1 ^ ≤ μ n p + σ n p t | H 0 ) − F β ( t ) | ≤ C e − c t p − 2 / 3 {\displaystyle \left\vert P\left(n{\hat {\ell _{1}}}\leq \mu _{np}+\sigma _{np}t|H_{0}\right)-F_{\beta }(t)\right\vert \leq Ce^{-ct}p^{-2/3}} כלומר תחת ההשערה Σ = I {\displaystyle \Sigma =I} התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר הנצפה קרובה בדיוק מסדר שני להתפלגות טרייסי-וידום. ולכן התפלגות זו היא התפלגות הסטטיסטי המבוקש ובאמצעותה ניתן לבצע את בדיקת ההשערות. ובפרט קבועי הנרמול הרלוונטים הם: μ n p = ( n − 1 2 + p − 1 2 ) 2 , σ n p = ( n + p ) ( 1 n − 1 2 + 1 p − 1 2 ) 1 / 3 {\displaystyle \mu _{np}=\left({\sqrt {n-{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {p-{\frac {1}{2}}}}\right)^{2},\quad \sigma _{np}=\left({\sqrt {n}}+{\sqrt {p}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{2}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {p-{\frac {1}{2}}}}}\right)^{1/3}} דוגמא נניח כי נתון: Σ {\displaystyle \Sigma } מקיימת β = 1 {\displaystyle \beta =1} , n = 10 , p = 10 {\displaystyle n=10,p=10} . כעת, נניח כי הערך העצמי הגבוהה ביותר הנצפה הוא ℓ 1 ^ = 2 {\displaystyle {\widehat {\ell _{1}}}=2} . האם הוא קיצוני דיו עבורינו? ראשית, נדרוש דיוק של 0.01 להתפלגות F 1 {\displaystyle F_{1}} (התפלגות טרייסי וידום עם β = 1 {\displaystyle \beta =1} ), דיוק זה מתקבל בהסתברות לכל היותר 0.213 {\displaystyle {\text{0.213}}} . בהנחה ואנו מסופקים מהסתברות זו (אחרת, ניאלץ לשנות את הקבועים שלנו) – ניתן נומרית לפתח את התפלגות F 1 {\displaystyle F_{1}} לערכים נבחרים: אם כן, מובהקות התוצאה ℓ 1 ^ = 2 {\displaystyle {\widehat {\ell _{1}}}=2} היא P ( ψ 1 ≥ 2 ) ≈ P ( ψ 1 ≥ 2.023 ) = 0.01 {\displaystyle P(\psi _{1}\geq 2)\approx P(\psi _{1}\geq 2.023)=0.01} . דוגמא נוספת לשימוש בהתפלגות טרייסי וידום הוא שילוב בדיקת ההשערות בניתוח מדגמים רועשים. לעיתים רוצים לזהות האם יש "אות" בתוך הרעש. לדוגמה, במקרה בו יש לנו מטריצת מתאם או שונות משותפת שמתארת נתונים, השאלה היא אם קיימת סטייה משמעותית שיכולה להעיד על מידע משמעותי (אות) או שהמדגם כולו מבוסס על רעש אקראי בלבד. במילים אחרות, מטריצת השונות היא מהצורה Σ ℓ = d i a g ( ℓ 1 2 , ℓ 2 2 , . . . , ℓ k 2 , σ e 2 , . . . , σ e 2 ) {\displaystyle \Sigma _{\ell }=diag\left(\ell _{1}^{2},\ell _{2}^{2},...,\ell _{k}^{2},\sigma _{e}^{2},...,\sigma _{e}^{2}\right)} והמטרה היא למצוא כי מדובר בערך העצמי ה k {\displaystyle k} . ה-BBP Transition ( נקרא על שמם של החוקרים Baik, Ben Arous, ו-Péché שגילו אותו לראשונה בשנת 2005 ) מתאר את הנקודה שבה האות נהיה חזק דיו כדי לגרום לערך העצמי הגדול ביותר לחרוג ממשטר של רעש אקראי. נקודה זו נקראת "spike" ,זהו מעבר חד (כמו "מעבר פאזה" בפיזיקה, שבו המערכת עוברת ממשטר אחד לאחר). נציין, כי במצב כזה המטריצה S = X X T ∈ W p ( n , Σ ) , Σ ≠ I {\displaystyle S=XX^{T}\in W_{p}(n,\Sigma ),\Sigma \neq I} אינה מקיימת λ max ( W n ) − μ n p σ n p → d F 1 {\textstyle {\frac {\lambda _{\max }(W_{n})-\mu _{np}}{\sigma _{np}}}\xrightarrow {d} F_{1}} . מחקרים שונים פתרו את הבעיה למקרים פרטיים שונים. למשל, במקרה "הפשוט" בו σ e 2 = 1 {\displaystyle \sigma _{e}^{2}=1} מתקיים n 2 / 3 ℓ 1 ^ − μ σ ⟶ F 2 {\displaystyle n^{2/3}{\frac {{\hat {\ell _{1}}}-\mu }{\sigma }}\longrightarrow F_{2}} עבור 1 ≤ ℓ 1 ^ < 1 + γ , p / n → γ {\displaystyle 1\leq {\hat {\ell _{1}}}<1+{\sqrt {\gamma }},p/n\to \gamma } . במצב כזה ניתן למשל לפתח את L ( ℓ k | n , p , Σ ℓ ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}(\ell _{k}|n,p,\Sigma _{\ell })} – התפלגות של הערך העצמי ה- k {\displaystyle k} בגודלו המתאים ל X X T {\displaystyle XX^{T}} כאשר X n × p ∼ N p ( 0 , Σ ℓ ) {\displaystyle X_{n\times p}\sim N_{p}(0,\Sigma _{\ell })} . נשים לב כי הערך העצמי ה k + 1 {\displaystyle k+1} במודל ה"ספייק" קטן סטוכסטית מהערך העצמי הגדול ביותר במודל עם p − r {\displaystyle p-r} משתנים. ולכן נותר לבצע מבחן השערות (לא אסימפטוטי) H 0 : ℓ k + 1 = 1 ,   H 1 : e l s e {\displaystyle H_{0}:\ell _{k+1}=1,\ H_{1}:else} באמצעות L ( ℓ 1 | n , p − k , I p − k ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}(\ell _{1}|n,p-k,I_{p-k})} – התפלגות הערך העצמי הגדול ביותר לאחר ש"ניקינו" את k {\displaystyle k} הערכים העצמיים הגודלים. אם כן, הערך העצמי ה k + 1 {\displaystyle k+1} במטריצה החדשה בעל התפלגות טרייסי וידום, כלומר L ( ℓ 1 | n , p − k , I p − k ) {\displaystyle {\mathfrak {L}}(\ell _{1}|n,p-k,I_{p-k})} שקולה נומרית ל F 1 {\displaystyle F_{1}} על ידי ℓ k + 1 − μ n , p − k σ n , p − k ∼ F 1 {\displaystyle {\frac {\ell _{k+1}-\mu _{n,p-k}}{\sigma _{n,p-k}}}\sim F_{1}} מגבלות גבוליות: מסתבר כי הדיוק מסדר שני שהתקבל יחסית מדויק גם עבור n , p {\displaystyle n,p} יחסית קטנים ואף שלא מקיימים את ההנחה n / p → γ ≥ 1 {\displaystyle n/p\to \gamma \geq 1} . ג'ונסטון במאמרו בחן את דיוקו של הקירוב לצרכי חישוב מובהקות בעזרת טבלאות נומריות של התפלגות W ( n , I ) {\displaystyle W(n,I)} . סימולציית קוד של התפלגות טרייסי-וידום ממשוואת פנלבה ב-Computational Random Matrix Theory. רשימות הרצאה של Satya N. Majumdar על הופעתה של התפלגות טרייסי-וידום בשלל בעיות. התפלגות חצי המעגל של ויגנר Tracy, Craig , Widom, Harold, Level-spacing distributions and the Airy kernel, Physics Letters Volume 305, Issues 1–2, 1993, עמ' 115–118 doi: 10.1016/0370-2693(93)91114-3 Forrester, P. J. (1993-08-09). "The spectrum edge of random matrix ensembles". Nuclear Physics B (באנגלית). 402 (3): 709–728. Bibcode:1993NuPhB.402..709F. doi:10.1016/0550-3213(93)90126-A. ISSN 0550-3213. (ראה שקופית 56 ב Edelman, A. (2003). "Stochastic Differential Equations and Random Matrices". SIAM Applied Linear Algebra. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (עזרה) Thomas Trogdon, Yiting Zhang, Computing the Tracy-Widom Distribution for Arbitrary β>0, SIGMA 20, 11 Apr 2023 doi: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2024.005 למעוניינים בפיתוח מפורט הכולל סימולציה בעזרת קוד ראו בלוג Computational Random Matrix Theory של Robert Sweeney Blanco ב https://robertsweeneyblanco.github.io/Computational_Random_Matrix_Theory/Eigenvalues/Tracy_Widom.html נקרא לראשונה כ "הפתרון של הייסטינג-מקליאוד". על ידי Hastings, S.P , McLeod, J.B ב A boundary value problem associated with the second Painlevé" "transcendent and the Korteweg-de Vries equation. Arch. Ration. Mech. Anal. 73, 31–51 (1980) Tracy, C.A., Widom, H, On orthogonal and symplectic matrix ensembles, Communications in Mathematical Physics 177, 1996, עמ' 727–754 doi: https://doi.org/10.1007/BF02099545 Majumdar, Satya N; Schehr, Grégory (2014-01-31), Top eigenvalue of a random matrix: large deviations and third order phase transition, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 31 January 2014 doi: 10.1088/1742-5468/2014/01/P01012 Hastings, S.P., McLeod, J.B, A boundary value problem associated with the second painlevé transcendent and the Korteweg-de Vries equation., Arch. Rational Mech. Anal 73, 1980, עמ' 31-51 doi: https://doi.org/10.1007/BF00283254 Baik, Jinho; Buckingham, Robert; DiFranco, Jeffery (2008-02-26). "Asymptotics of Tracy-Widom Distributions and the Total Integral of a Painlevé II Function". Communications in Mathematical Physics. 280 (2): 463–497. arXiv:0704.3636. Bibcode:2008CMaPh.280..463B. doi:10.1007/s00220-008-0433-5. ISSN 0010-3616. S2CID 16324715. Tracy, C. A.; Widom, H., The distributions of random matrix theory and their applications (PDF). Dieng, Momar (2005). "Distribution functions for edge eigenvalues in orthogonal and symplectic ensembles: Painlevé representations". International Mathematics Research Notices. 2005 (37): 2263–2287. doi:10.1155/IMRN.2005.2263. ISSN 1687-0247. Eugene P. Wigner, On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices, Annals of Mathematics 67, 1958, עמ' 325-327 doi: https://doi.org/10.2307/1970008 MAY, R., Will a Large Complex System be Stable?, Nature 238, 1972, עמ' 413–414 doi: https://doi.org/10.1038/238413a0 ראו רשימות הרצאה של Satya N. Majumdar בנושא Random Matrices, the Ulam Problem, Directed Polymers & Growth Models, and Sequence Matching בhttps://arxiv.org/abs/cond-mat/0701193 Jinho Baik, Percy Deift, Kurt Johansson, On the Distribution of the Length of the Longest Increasing Subsequence of Random Permutations, Journal of the American Mathematical Society 12 (4), 1998, עמ' 1119–1178 doi: doi:10.1090/S0894-0347-99-00307-0 Michael Prähofer and Herbert Spohn, Universal Distributions for Growth Processes in 1+1 Dimensions and Random Matrices, Phys. Rev. Lett 84, 2000, עמ' 4882--4885 doi: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.84.4882 Satya N. Majumdar and Sergei Nechaev, Exact asymptotic results for the Bernoulli matching model of sequence alignment, Physical Review E 72, 2005 David S. Dean, Satya N. Majumdar, Large Deviations of Extreme Eigenvalues of Random Matrices, Physical Review Letters 97, 2006-10-20, עמ' 160201 doi: 10.1103/PhysRevLett.97.160201 Satya N Majumdar , Grégory Schehr, Top eigenvalue of a random matrix: large deviations and third order phase transition, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 2014, 2014 doi: 10.1088/1742-5468/2014/01/P01012 Alan Edelman, Per-Olof Persson, Numerical Methods for Eigenvalue Distributions of Random Matrices, 2005 doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.math-ph/0501068 Andrei Bejan, [chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/http://users.stat.umn.edu/~jiang040/downloadpapers/largesteigen/largesteigen.pdf Largest eigenvalues and sample covariance matrices], Tracy–Widom and Painleve II: computational aspects and realization in S-Plus with applications. Mathematics Subject Classification 1991, 2005 Bornemann, F., On the numerical evaluation of distributions in random matrix theory: A review with an invitation to experimental mathematics, Markov Processes and Related Fields 16 (4), 2010, עמ' 803–866 doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.0904.1581 Zewen Shen, Kirill Serkh, On the Evaluation of the Eigendecomposition of the Airy Integral Operator, Applied and Computational Harmonic Analysis 57, 2022, עמ' 105–150 doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.2104.12958 בהכללה – ניתן באמצעות התפלגות זו לחשב עבור כל אוסף מטריצות גיאוסיאניות את ההתפלגות באחד מהזנבות לרמת דיוק מכונה. I. Johnstone, [https://arxiv.org/abs/0803.3408 Multivariate analysis and Jacobi ensembles: Largest eigenvalue, Tracy Widom limits and rates of convergence], Annals of Statistics, Vol. 36, 2008, עמ' 2638-2716 doi: https://doi.org/10.48550/arXiv.0803.3408 ראה נוסחה (7) ,עמוד 12 ב High Dimensional Statistical Inference and Random Matrices על ידי Iain M. Johnstone Jinho Baik , Gérard Ben Arous , Sandrine Péché, Phase transition of the largest eigenvalue for nonnull complex sample covariance matrices, Ann. Probably 33(5), 2005, עמ' 1643-1697 doi: DOI: 10.1214/009117905000000233 ראה טענה 1.2 ברשימותיו של ג'ונסטון. ראו עמוד 13 ב High Dimensional Statistical Inference and Random Matrices על ידי Iain M. Johnstone William W. Chen, [chrome-extension://efaidnbmnnnibpcajpcglclefindmkaj/https://www.irs.gov/pub/irs-soi/chen.pdf SOME NEW TABLES OF THE LARGEST ROOT OF A MATRIX IN MULTIVARIATE ANALYSIS: A COMPUTER APPROACH FROM 2 TO 6], American Statistical Association, 2002