הסדרה ההרמונית

במתמטיקה, הסדרה ההרמונית היא סדרת המספרים 1 , 1 2 , 1 3 , … , 1 n , … {\displaystyle 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\ldots ,{\frac {1}{n}},\dots } . שמה של הסדרה ההרמונית נובע מהמושג של צלילים או הרמוניות במוזיקה: אורכי הגל של צלילי מיתר רוטט הם 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ,  1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} וכו', של אורך הגל הבסיסי של המיתר. כל איבר של הסדרה ההרמונית אחרי הראשון הוא הממוצע ההרמוני של האיברים השכנים, ולכן האיברים יוצרים התקדמות הרמונית; הביטויים "ממוצע הרמוניים" ו"התקדמות הרמונית" נובעים גם הם מעולם המוזיקה. מעבר למוזיקה, לרצפים הרמוניים הייתה גם פופולריות מסוימת בקרב אדריכלים. זה היה נכון במיוחד בתקופת הבארוק, כאשר אדריכלים השתמשו בהם כדי לקבוע את הפרופורציות של תוכניות הרצפה, של הגבהים, וכדי לבסס יחסים הרמוניים בין פרטים אדריכליים פנימיים וחיצוניים של כנסיות וארמונות. הטור האינסופי ∑ k = 1 ∞ 1 k {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{k}}} מכונה הטור ההרמוני או הטור ההרמוני המוכלל והוא מתבדר (כלומר הוא אינו מתכנס למספר סופי). הטור ההרמוני הוא אחד הטורים הפשוטים שהאיבר הכללי שלהם מתכנס לאפס (כי הגבול של הסדרה ההרמונית הוא אפס), ובכל זאת סכום הטור מתבדר. יתר על כן, הטור ההרמוני מהווה מעין חסם: לכל p > 1 {\displaystyle p>1} הטור האינסופי ∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}} מתכנס, וערכו ניתן על ידי פונקציית זטא של רימן ζ ( p ) {\displaystyle \zeta (p)} . לכל 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} הטור האינסופי ∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}} מתבדר. הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני נקראים מספרים הרמוניים ומסומנים H n {\displaystyle H_{n}} , כלומר H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {1}{k}}} . המספרים ההרמוניים הם רציונליים אך לא שלמים (למעט H 1 {\displaystyle H_{1}} ), ואף ההפרש בין כל שני מספרים הרמוניים שונים הוא לא שלם. סדרת המספרים ההרמוניים { H n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{H_{n}\}_{n=1}^{\infty }} שואפת לאינסוף אך לאט מאוד – בקצב של הלוגריתם הטבעי. למעשה, לאונרד אוילר הוכיח שהסדרה H n − ln ⁡ ( n ) {\displaystyle H_{n}-\ln(n)} מתכנסת, וגבולה מכונה קבוע אוילר-מסקרוני. העובדה שהטור ההרמוני מתבדר מפתיעה אינטואיטיבית, משום שהאיבר הכללי של הטור שואף ל-0 ולכן ניתן היה לצפות שנוכל להזניח את האיברים הרחוקים. כך לדוגמה, סכום הטור עובר את 10 רק באיבר ה־12,367 שלו, ואת 11 באיבר ה־33,617. ניתן להוכיח את התבדרות הטור בדרכים רבות. על פי סכומי דארבו של אינטגרל רימן, הסכום ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {1}{k}}} חוסם את האינטגרל המסוים ∫ 1 n d t t {\displaystyle \int \limits _{1}^{n}{\frac {dt}{t}}} מלמעלה (שכן זהו סכום דארבו עליון), כלומר לכל n {\displaystyle n} טבעי: ∑ k = 1 n 1 k ≥ ∫ 1 n d t t = ln ⁡ ( n ) {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {1}{k}}\geq \int \limits _{1}^{n}{\frac {dt}{t}}=\ln(n)} היות שפונקציית הלוגריתם הטבעי שואפת לאינסוף כאשר המשתנה שלה שואף לאינסוף, הסדרה הימנית שגדולה ממנה שואפת לאינסוף גם כן ולכן הטור עצמו מתבדר. למעשה, קיים גם אי שוויון הפוך – גם פונקציית הלוגריתם חוסמת את הטור מלמעלה. אם נתייחס אל הטור (חוץ מהאיבר הראשון) כסכום דארבו התחתון של האינטגרל המסוים ∫ 1 n d t t = ln ⁡ ( n ) {\displaystyle \int \limits _{1}^{n}{\frac {dt}{t}}=\ln(n)} נקבל את האי-שוויון הבא: ∑ k = 2 n 1 k ≤ ∫ 1 n d t t = ln ⁡ ( n ) {\displaystyle \sum _{k\,=\,2}^{n}{\frac {1}{k}}\leq \int \limits _{1}^{n}{\frac {dt}{t}}=\ln(n)} או בניסוח שקול: לכל n {\displaystyle n} מתקיים האי-שוויון 0 ≤ H n − ln ⁡ ( n ) ≤ 1 {\displaystyle 0\leq H_{n}-\ln(n)\leq 1} . זהו מקרה פרטי של מבחן לבדיקת התכנסות של טורים באמצעות התכנסות אינטגרלים ולהפך. אם f {\displaystyle f} פונקציה מונוטונית יורדת אז הטור ∑ n = 1 ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n\,=\,1}^{\infty }f(n)} מתכנס אם ורק אם האינטגרל הלא-אמיתי ∫ 1 ∞ f ( t ) d t {\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(t)dt} מתכנס. ניתן לסכם את הטור בצורה שתראה את ההתבדרות שלו בדרך יותר ברורה: נקבץ יחד את כל האיברים בין שתי חזקות של 2 ונסכם אותם יחד. לדוגמה, נסכם את 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} לבד, את 1 3 , 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}}} , את 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 {\displaystyle {\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},{\frac {1}{8}}} וכן הלאה. בכל אחד מסכומי הביניים האלה כל האיברים גדולים מהאיבר האחרון, שהוא בעצמו חזקה שלילית של 2. בנוסף, בסכום הביניים שבו האיבר האחרון הוא 2 − k {\displaystyle 2^{-k}} יהיו בדיוק 2 k − 1 {\displaystyle 2^{k-1}} איברים, ולכן ערך כל סכום ביניים כזה גדול מחצי. ניתן לבטא את סכומי הביניים האלו בנוסחה מפורשת בעזרת פונקציית הערך השלם של הלוגריתם עם בסיס 2: ∑ k = 1 ∞ 1 k = ∑ k = 1 ∞ 2 − log 2 ⁡ ( k ) = 1 + ( 1 2 ) + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ⋯ > ∑ k = 1 ∞ 2 − ⌈ log 2 ⁡ ( k ) ⌉ = 1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }2^{-\log _{2}(k)}&=1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)+\cdots \\>\sum _{k\,=\,1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}(k)\rceil }&=1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\cdots \end{aligned}}} זהו סכום אינסופי של מספר חיובי ולכן הוא מתבדר. בדרך הזו קיבלנו גם הערכה מסוימת לקצב הגידול של הטור: H n = ∑ k = 1 n 1 k > 1 + ⌊ log 2 ⁡ ( n ) ⌋ 2 {\displaystyle H_{n}=\sum _{k\,=\,1}^{n}{\frac {1}{k}}>1+{\frac {\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }{2}}} . טור חשוב שמתקשר לטור ההרמוני הוא הטור ההרמוני המתחלף (טור לייבניץ), שהוא טור הרמוני עם סימנים מתחלפים: ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − ⋯ {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots } טור זה מתכנס וערכו הוא ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \ln(2)} (הדבר נובע מהצבת x = 1 {\displaystyle x=1} בטור טיילור של הפונקציה ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} ). זוהי דוגמה למבחן לייבניץ להתכנסות טורים הקובע כי טור מתחלף המורכב מסדרה מונוטונית יורדת שהאיבר הכללי שלו שואף לאפס – מתכנס. הטור הוא דוגמה סטנדרטית למשפט רימן, שכן שינוי סדר איבריו משנה את הסכום. טור נוסף שקשור לטור ההרמוני הוא טור ההופכיים של המספרים הראשוניים, שגם הוא טור מתבדר: ∑ k = 1 ∞ 1 p k = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{p_{k}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots } כאשר p k {\displaystyle p_{k}} הוא הראשוני ה־ k {\displaystyle k} ־י. אם נשמיט מן הטור ההרמוני את כל האיברים המכילים את הספרה 9 נקבל טור מתכנס וסכומו הוא 22.92067 … {\displaystyle 22.92067\ldots } . הטור נחקר לראשונה על ידי A.J. Kempner בשנת 1914. קמפנר הוכיח כי בניגוד לאינטואיציה, הטור הזה מתכנס, וסכומו הוא פחות מ־90. מאוחר יותר חושב במדויק סכום הטור. מדיה וקבצים בנושא הסדרה ההרמונית בוויקישיתוף גדי אלכסנדרוביץ', האם הטור ההרמוני מתכנס ל-137?, באתר "לא מדויק" הסדרה ההרמונית, באתר MathWorld (באנגלית) David E. Kullman, What's Harmonic about the Harmonic Series?, The College Mathematics Journal 32, 2001, עמ' 201–203 doi: 10.2307/2687471 Dick Jardine, Mathematical time capsules: historical modules for the mathematics classroom, Washington, DC: Math. Assoc. of America, 2010, MAA notes, ISBN 978-0-88385-984-1 George L. Hersey, Architecture and geometry in the age of the Baroque, Chicago, Ill.,: Univ. of Chicago Press, 2000, ISBN 978-0-226-32783-9 עובדה זו מהווה הוכחה נוספת לכך שיש אינסוף מספרים ראשוניים. ראו: קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים#הוכחתם של אוילר וקרונקר. Kempner, A. J., A Curious Convergent Series, American Mathematical Monthly, 21 (2), February 1914. pp. 48–50, in JSTOR