בעיית לנגלי

בשעשועי מתמטיקה, בעיית לנגלי היא חידה במסגרתה צריך להסיק באופן גאומטרי סינתטי זווית מסוימת בתרשים גאומטרי מזוויות נתונות אחרות בתרשים. החידה הוצעה על ידי אדוארד מאן לנגלי במגזין המתמטי The Mathematical Gazette, בשנת 1922. בגרסתה המקורית הבעיה הוצגה באופן הבא: A B C {\displaystyle ABC} הוא משולש שווה-שוקיים עם זוויות בסיס ∠ C B A = ∠ A C B = 80 ∘ {\displaystyle \angle {CBA}=\angle {ACB}=80^{\circ }} . C F {\displaystyle CF} נטוי ביחס ל- A C {\displaystyle AC} בזווית 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} וחותך את A B {\displaystyle AB} בנקודה F {\displaystyle F} . B E {\displaystyle BE} נטוי ביחס ל- A B {\displaystyle AB} בזווית 20 ∘ {\displaystyle 20^{\circ }} וחותך את A C {\displaystyle AC} בנקודה E {\displaystyle E} . הוכח ש- ∠ B E F = 30 ∘ {\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }} . מכיוון שניתן להסיק את הזווית המבוקשת בקלות יחסית באמצעות תהליך חישובי המתבסס על משפטים טריגונומטריים, עיקר הקושי בפתרון חידת לנגלי הוא במתן פתרון סינתטי בעל פשטות מרבית, שאינו עושה שימוש בטריגונומטריה. הבעיה של חישוב הזווית ∠ B E F {\displaystyle \angle {BEF}} היא דוגמה סטנדרטית לבעיית הנסן בגיאודזיה. חישובים טריגונומטריים יכולים להראות שזווית ∠ B E F {\displaystyle \angle {BEF}} היא 30 ∘ {\displaystyle 30^{\circ }} בכל רמת דיוק שנרצה, אך מכיוון שלמכשיר החישוב דיוק סופי, הם עדיין מותירים ספק לגבי ערכה המדויק. הוכחה ישירה באמצעים גאומטריים קלאסיים בלבד פותחה בידי ג'יימס מרסר ב-1923. הפתרון שלו מערב בניית עזר של קו ישר נוסף, ואז שימוש חוזר בעובדה שסכום הזוויות במשולש הוא 180° כדי להראות שכמה מהמשולשים המשורטטים הם כולם שווי שוקיים. שרטטו קו ישר B G {\displaystyle BG} בזווית 20 ∘ {\displaystyle 20^{\circ }} ביחס לבסיס B C {\displaystyle BC} החותך את A C {\displaystyle AC} בנקודה G {\displaystyle G} ושרטטו את F G {\displaystyle FG} (ראו איור משמאל). מכיוון ש- ∠ B C G = 80 ∘ {\displaystyle \angle {BCG}=80^{\circ }} ו- ∠ C B G = 20 ∘ {\displaystyle \angle {CBG}=20^{\circ }} אז ∠ B G C = 80 ∘ {\displaystyle \angle {BGC}=80^{\circ }} ומשולש B C G {\displaystyle BCG} הוא גם שווה-שוקיים עם B C = B G {\displaystyle BC=BG} . מכיוון ש- ∠ B C F = 50 ∘ {\displaystyle \angle {BCF}=50^{\circ }} ו- ∠ C B F = 80 ∘ {\displaystyle \angle {CBF}=80^{\circ }} אז ∠ B F C = 50 ∘ {\displaystyle \angle {BFC}=50^{\circ }} ומשולש B C F {\displaystyle BCF} הוא שווה-שוקיים עם B C = B F {\displaystyle BC=BF} . מכיוון ש- ∠ F B G = 60 ∘ {\displaystyle \angle {FBG}=60^{\circ }} ו- B F = B G {\displaystyle BF=BG} אז משולש B G F {\displaystyle BGF} הוא שווה-צלעות. מכיוון ש- ∠ B G E = 100 ∘ {\displaystyle \angle {BGE}=100^{\circ }} ו- ∠ G B E = 40 ∘ {\displaystyle \angle {GBE}=40^{\circ }} אז ∠ G E B = 40 ∘ {\displaystyle \angle {GEB}=40^{\circ }} ולכן משולש B G E {\displaystyle BGE} הוא שווה-שוקיים עם G B = G E {\displaystyle GB=GE} . לפיכך כל הקטעים האדומים באיור שווים. כיוון ש- G E = G F {\displaystyle GE=GF} , משולש E F G {\displaystyle EFG} הוא שווה-שוקיים עם ∠ G E F = 70 ∘ {\displaystyle \angle {GEF}=70^{\circ }} . לכן ∠ B E F = 30 ∘ {\displaystyle \angle {BEF}=30^{\circ }} . פתרונות סינתטיים רבים אחרים קיימים. רשימת Cut the Knot מונה כתריסר פתרונות שונים ומספר גרסאות חלופיות לבעיה. בעיית לנגלי זכתה לכינוי "בעיית הזוויות המיוחדות", משום שרק בעבור צירופים מיוחדים מסוימים של זוויות זה אפשרי בעבור כל הזוויות בתרשים להיות כפולה רציונלית של פאי. בדומה לכך, מרובע כמו BCEF ייקרא מרובע מיוחד כאשר הזוויות בין אלכסוניו וצלעותיו הן כולן זוויות רציונליות, כלומר זוויות המהוות מספר רציונלי של מעלות או כל יחידת זווית אחרת שעבורה מעגל שלם נמדד במספר יחידות רציונלי. מספר מרובעים מיוחדים מעבר למרובע המקורי של לנגלי נבנו במהלך השנים. מדיה וקבצים בנושא בעיית לנגלי בוויקישיתוף Angular Angst, MathPages.