שורש (של פונקציה)

שורש של פונקציה הוא איבר בתחום ההגדרה של הפונקציה שעבורו ערך הפונקציה הוא 0. שורשים של פונקציה נקראים גם אפסים של הפונקציה או פתרונות של הפונקציה. למשל עבור הפונקציה f ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)=\sin(x)} הצבת x = π {\displaystyle x=\pi } תחזיר f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} , ולכן x = π {\displaystyle x=\pi } הוא שורש של הפונקציה. דוגמה נוספת: תהא A מטריצה ממשית בעלת m שורות ו n עמודות (כאשר m, n הם שני מספרים טבעיים), ויהא b וקטור ב R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . הווקטור z ∈ R n {\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}} הוא פתרון למערכת המשוואות הליניאריות A x = b {\displaystyle Ax=b} אם ורק אם z {\displaystyle z} הוא שורש של הפונקציה f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} המוגדרת באופן הבא: f ( x ) := A x − b {\displaystyle f(x):=Ax-b} לכל x {\displaystyle x} ב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (כי אם z {\displaystyle z} פותר את מערכת המשוואות אז A z = b {\displaystyle Az=b} ולכן f ( z ) = A z − b = 0 {\displaystyle f(z)=Az-b=0} , ולהפך, אם f ( z ) = 0 {\displaystyle f(z)=0} , אז A z − b = 0 {\displaystyle Az-b=0} כלומר A z = b {\displaystyle Az=b} ולכן z {\displaystyle z} הוא פתרון של מערכת המשוואות A x = b {\displaystyle Ax=b} ). כפועל יוצא מההגדרה, שורש של פונקציה מהישר הממשי לעצמו הוא ה- x {\displaystyle x} שעבורו נחתך גרף הפונקציה עם ציר ה-x. כך למשל נקודות החיתוך של הפונקציה f ( x ) = x 2 − 4 {\textstyle f\left(x\right)=x^{2}-4} עם ציר ה-x הן כששיעורי ה- x {\displaystyle x} הם 2 ו-2-. בעיית מציאת השורשים של פונקציות באופן נומרי היא כר פורה למחקר מתמטי. שיטות בסיסיות בענף כוללות את שיטת החצייה ושיטת ניוטון-רפסון, שהיא שיטה איטרטיבית למציאת שורשים בעזרת נגזרות. לא לכל פונקציה יש שורש. לדוגמה, לפונקציה f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } המוגדרת ע״י f ( x ) := sin ⁡ ( x ) − 2 {\displaystyle f(x):=\sin(x)-2} אין שורש, כי אם בשלילה z {\displaystyle z} הוא שורש של הפונקציה, אז sin ⁡ ( z ) = 2 {\displaystyle \sin(z)=2} וזה בלתי אפשרי (כי פונקציית הסינוס חסומה בין 1- ל 1). עבור משוואה ממעלה ראשונה, a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} , a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , הפתרון הוא הנקודה x = − b / a {\displaystyle x=-b/a} . עבור משוואה ממעלה שנייה, a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , יש שני פתרונות (שלפעמים מתלכדים): x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} . קיימות נוסחאות גם למשוואות ממעלה שלישית ורביעית. אולם, אווריסט גלואה הוכיח כי אין פתרון באמצעות רדיקלים למשוואה ממעלה חמישית ומעלה. המשפט הקטן של בזו קובע כי a {\displaystyle a} הוא שורש של פולינום P ( x ) {\displaystyle P(x)} , אם ורק אם הפולינום ‎ ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} מחלק את P ( x ) {\displaystyle P(x)} . החזקה המקסימלית שבה מחלק x − a {\displaystyle x-a} את הפולינום נקראת הריבוי (האלגברי) של השורש. המשפט היסודי של האלגברה קובע ששדה המספרים המרוכבים הוא סגור אלגברית, כלומר שלכל פולינום ממעלה n {\displaystyle n} במקדמים מרוכבים, יש בדיוק n {\displaystyle n} שורשים כולל ריבוי. כל שורש שלם של פולינום שהמקדמים שלו שלמים מחלק את המקדם החופשי של הפולינום. כל שורש רציונלי של פולינום שהמקדמים שלו שלמים, a c {\displaystyle {\frac {a}{c}}} , שבר מצומצם, מקיים: 1.a מחלק את המקדם החופשי. 2.c מחלק את המקדם המוביל. מנגזרת של כפל של איברים נובע שאם ( x − a ) t × q ( x ) {\displaystyle (x-a)^{t}\times q(x)} = p(x), אז a הוא שורש גם של t-1 הנגזרות הראשונות של p. שיטת אברת' שורש, באתר MathWorld (באנגלית) ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.