קו השרשרת

במתמטיקה ופיזיקה, קו השרשרת (או עקום השרשרת) היא הצורה המתקבלת כאשר תולים כבל או שרשרת בשתי נקודות קצה, שנוסחתה הטיפוסית:   y = 1 2 ( e x + e − x ) {\displaystyle \ y={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)} . ההשפעה האחידה של כוח הכובד מארגנת את חוליות השרשרת בעקומה טיפוסית, שלהּ שיפוע תלול קרוב לנקודות התלייה, היכן שמשקלה המלא של השרשרת מותח אותן, ושיפוע מתון יותר לקראת אמצע השרשרת. צורת העקום שיוצרת שרשרת תלויה הביאה את גלילאו לשער שמדובר בפרבולה, אך ב-1669 הראה יואכים יונגיוס (Joachim Jungius), שפרבולה אינה מתארת את הקו במדויק. בעקבות שאלה של יאקוב ברנולי, מצאו לייבניץ, כריסטיאן הויגנס, ויוהאן ברנולי את הפתרון, שתרם לתחילת פיתוחו של חשבון הווריאציות. הנוסחה הטיפוסית לקו השרשרת היא הקוסינוס ההיפרבולי:   y = cosh ⁡ ( x ) = 1 2 ( e x + e − x ) {\displaystyle \ y=\cosh \left({x}\right)={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{-x}\right)} . זוהי העקומה הממזערת את האנרגיה הפוטנציאלית הכוללת של השרשרת, בכפוף לאילוצים של נקודות הקצה, ומקטינה את כוח המתיחה הפועל על השרשרת. משום כך, משתמשים בצורה דומה גם כדי לבנות קשתות גבוהות, כדוגמת קשת השער בסנט לואיס. התיאורים הגרפיים משמאל הם של קווי שרשרת שונים, שנוסחתם הפרמטרית היא: y = a cosh ⁡ ( x a ) = a 2 ( e x / a + e − x / a ) {\displaystyle y=a\cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\left(e^{x/a}+e^{-x/a}\right)} ידוע שגופים במצב שיווי משקל יציב שואפים להגיע לאנרגיה פטנצאילית מינימלית, לכן נחפש צורת כבל שבה אנרגיית הפוטנציאל הכובדית שלה תהיה מינימלית. נגדיר את צורת הכבל בעזרת הפנקציה y ( x ) {\displaystyle y(x)} . לפתורון הבעיה נשתמש בכלי מתמטי הנקרא חשבון ווריאציות. תחילה נמצא את האנרגיה הפוטנציאלית של הכבל. U = M g y c m {\displaystyle U=Mgy_{cm}} מרכז המסה של הכבל על ציר y {\displaystyle y} הוא: y c m = 1 M ∑ i y i m i = 1 M ∫ y d m {\displaystyle y_{cm}={\frac {1}{M}}\sum _{i}y_{i}m_{i}={\frac {1}{M}}\int ydm} צפיפות הכבל קבועה והיא ρ {\displaystyle \rho } , לכן: y m c = 1 M ∫ A B y ρ d s = ρ M ∫ A B y 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle y_{mc}={\frac {1}{M}}\int _{A}^{B}y\rho ds={\frac {\rho }{M}}\int _{A}^{B}y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx} ולכן האנרגיה הפוטנציאלית של הכבל היא: U = ρ g ∫ A B y 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle U=\rho g\int _{A}^{B}y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx} אורך הכבל קבוע, האילוץ הוא: L = ∫ A B 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle L=\int _{A}^{B}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx} נוסיף את האילוץ דרך כופלי לגראנז': S = U − λ L {\displaystyle S=U-\lambda L} S = ∫ A B ( ρ g y − λ ) 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle S=\int _{A}^{B}(\rho gy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}dx} לכן הלגראנז'יאן הוא: f ( y , y ′ , x ) = ( ρ g y − λ ) 1 + y ′ 2 {\displaystyle f(y,y',x)=(\rho gy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}} על f {\displaystyle f} נבצעה את משוואת אוילר לגראנז', משום שהוא לא תלוי ישירות ב x {\displaystyle x} נשתמש בזהות בלטראמי: f − y ′ ∂ f ∂ y ′ = c o n s t {\displaystyle f-y'{\frac {\partial f}{\partial y'}}=const} נציב את f {\displaystyle f} לזהות בלטראמי: ( c {\displaystyle c} קבוע) ( ρ g y − λ ) 1 + y ′ 2 − y ′ ∂ ∂ y ′ ( ( ρ g y − λ ) 1 + y ′ 2 ) = c {\displaystyle (\rho gy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}-y'{\frac {\partial }{\partial y'}}{\Bigl (}(\rho gy-\lambda ){\sqrt {1+y'^{2}}}{\Bigr )}=c} נפשט את המשוואה: ρ g y − λ = c 2 1 + y ′ 2 {\displaystyle \rho gy-\lambda =c^{2}{\sqrt {1+y'^{2}}}} y ′ = d y d x = ( ρ g y − λ c ) 2 − 1 {\displaystyle y'={dy \over dx}={\sqrt {{\Bigr (}{\frac {\rho gy-\lambda }{c}}{\Bigr )}^{2}-1}}} ניתן לפתור את המשוואה דיפרנציאלית הזאת דרך שימוש בהפרדת משתנים: x = ∫ d x = ∫ d y ( ρ g y − λ c ) 2 − 1 {\displaystyle x=\int dx=\int {\frac {dy}{\sqrt {{\Bigr (}{\frac {\rho gy-\lambda }{c}}{\Bigr )}^{2}-1}}}} נפתור אינטגרל זה על ידי שיטת ההצבה. נציב: y = c ρ g cosh ⁡ u + λ ρ g {\displaystyle y={\frac {c}{\rho g}}\cosh u+{\frac {\lambda }{\rho g}}} d y = c ρ g sinh ⁡ u d u {\displaystyle dy={\frac {c}{\rho g}}\sinh udu} נציב באינטגרל: x = c ρ g ∫ sinh ⁡ u cosh 2 ⁡ u − 1 d u {\displaystyle x={\frac {c}{\rho g}}\int {\frac {\sinh u}{\sqrt {\cosh ^{2}u-1}}}du} נפתור את האינטגרל ( x 0 {\displaystyle x_{0}} קבוע אינטגרציה) x = c ρ g u + x 0 {\displaystyle x={\frac {c}{\rho g}}u+x_{0}} לכן: u = ρ g c ( x − x 0 ) {\displaystyle u={\frac {\rho g}{c}}(x-x_{0})} לכן פנקציה y ( u ) {\displaystyle y(u)} היא: y = c ρ g cosh ⁡ u + λ ρ g {\displaystyle y={\frac {c}{\rho g}}\cosh u+{\frac {\lambda }{\rho g}}} נציב את u {\displaystyle u} כדי לקבל את y ( x ) {\displaystyle y(x)} : y = c ρ g cosh ⁡ ( ρ g c ( x − x 0 ) ) + λ ρ g {\displaystyle y={\frac {c}{\rho g}}\cosh {\Bigl (}{\frac {\rho g}{c}}(x-x_{0}){\Bigr )}+{\frac {\lambda }{\rho g}}} לכן הצורה המתקבלת כאשר תולים כבל בשתי נקודות קצה הוא בצורת הפונקציה cosh ⁡ x {\displaystyle \cosh x} . חשבון וריאציות מדיה וקבצים בנושא קו השרשרת בוויקישיתוף אודות קו השרשרת (באנגלית) קו השרשרת, באתר MathWorld (באנגלית) קו השרשרת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)