קופינליות

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקבוצות, הקופינליות או סופיות של סדר חלקי A {\displaystyle A} היא העוצמה המינימלית של תת-קבוצה חוסמת (קופינלית) של A {\displaystyle A} . עוצמה זו מייצגת עד כמה הסדר קל לכיסוי. ההגדרה הכללית של מושג הקופינליות תלויה בהנחה שלכל אוסף של עוצמות יש מינימום, ששקולה לאקסיומת הבחירה, אך בדרך כלל נשתמש במושג בקבוצות סדורות היטב, כך שלא נהיה חייבים להניח את אקסיומת הבחירה. עבור קבוצה סדורה חלקית A {\displaystyle A} , נאמר כי תת-קבוצה B {\displaystyle B} היא קופינלית ב- A {\displaystyle A} אם לכל איבר מ- A {\displaystyle A} יש איבר מ- B {\displaystyle B} שגדול (או שווה) אליו. הקופינליות של A {\displaystyle A} היא: cf ( A ) = min { | B | : B ⊂ A , ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B a ≤ b } {\displaystyle {\mbox{cf}}(A)=\min\{|B|:B\subset A,\forall a\in A\exists b\in B\,\,a\leq b\}} אם A {\displaystyle A} סדור קווית אז B {\displaystyle B} היא קופינלית אם היא לא חסומה, ולכן הקופינליות של A {\displaystyle A} היא גודלה של הקבוצה הלא-חסומה המינימלית ב- A {\displaystyle A} . לכל סודר α {\displaystyle \alpha } , הקופינליות תוגדר כסודר הקטן ביותר שהוא טיפוס סדר של תת-קבוצה חוסמת של α {\displaystyle \alpha } , כלומר c f ( α ) = min { o r t ( A ) : A ⊆ α ∧ ∀ β ∈ α , ∃ γ ∈ A , β < γ } {\displaystyle \mathrm {cf} (\alpha )=\min\{\mathrm {ort} (A):A\subseteq \alpha \land \forall \beta \in \alpha ,\exists \gamma \in A,\beta <\gamma \}} . באותה דרך ניתן להגדיר קופינליות של קבוצה סדורה היטב, באמצעות הקופינליות של טיפוס הסדר שלה: c f ( A ) = c f ( o r t ( A ) ) {\displaystyle \mathrm {cf} (A)=\mathrm {cf(ort} (A))} . בהינתן מספר מונה κ {\displaystyle \kappa } , הקופינליות שלו תוגדר כעוצמת הקבוצה הקטנה ביותר של עוצמות הקטנות מ κ {\displaystyle \kappa } , וסכומם הוא κ {\displaystyle \kappa } : c f ( κ ) = min { | I | : κ = ∑ i ∈ I λ i ∧ ∀ i ∈ I , λ i < κ } {\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )=\min \left\{|I|:\kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}\land \forall i\in I,\lambda _{i}<\kappa \right\}} . מכיוון שניתן להגדיר κ = ∑ α ∈ A 1 {\displaystyle \kappa =\sum _{\alpha \in A}1} עבור | A | = κ {\displaystyle |A|=\kappa } , נקבל c f ( κ ) ≤ κ {\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )\leq \kappa } . ממשפט קניג נובע כי לכל מספר מונה אינסופי κ {\displaystyle \kappa } מתקיים κ < κ c f ( κ ) {\displaystyle \kappa <\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}} (נגדיר את צד שמאל כסכום העוצמות λ i {\displaystyle \lambda _{i}} , ואת צד ימין כמכפלת κ {\displaystyle \kappa } בעצמו | I | {\displaystyle |I|} פעמים), וכן κ < c f ( 2 κ ) {\displaystyle \kappa <\mathrm {cf} (2^{\kappa })} (לא ייתכנו κ {\displaystyle \kappa } עוצמות קטנות מ 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} שסכומם 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }} , כי אז לפי משפט קניג 2 κ = ∑ α ∈ A λ α < ∏ α ∈ A 2 κ = ( 2 κ ) κ = 2 κ ⋅ κ = 2 κ {\displaystyle 2^{\kappa }=\sum _{\alpha \in A}\lambda _{\alpha }<\prod _{\alpha \in A}2^{\kappa }=(2^{\kappa })^{\kappa }=2^{\kappa \cdot \kappa }=2^{\kappa }} כאשר | A | = κ {\displaystyle |A|=\kappa } . אם נניח ש κ > c f ( 2 κ ) {\displaystyle \kappa >\mathrm {cf} (2^{\kappa })} נוכל להוסיף אפסים לאגף שמאל ואחדות לצד ימין כדי להגיע לסכום ומכפלה של κ {\displaystyle \kappa } איברים). cf ( R ) = cf ( N ) = ℵ 0 {\displaystyle {\mbox{cf}}(\mathbb {R} )={\mbox{cf}}(\mathbb {N} )=\aleph _{0}} (נובע מתכונת ארכימדס) אם α {\displaystyle \alpha } סודר אז cf ( α + 1 ) = 1 {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha +1)=1} כי הקבוצה { α } {\displaystyle \{\alpha \}} היא קבוצה קופינלית. בהנחת אקסיומת הבחירה - cf ( ℵ 1 ) = ℵ 1 {\displaystyle {\mbox{cf}}(\aleph _{1})=\aleph _{1}} . הסיבה לכך היא שאחרת היה אוסף בן מנייה של סודרים בני מנייה קופינלי (כלומר לא חסום) בקבוצת כל הסודרים בני המנייה. איחודם היה בן מנייה, ומהווה דוגמה נגדית לקופינליות שלהם, כיוון שהוא גדול מכולם. באותו אופן, cf ( λ + ) = λ + {\displaystyle {\mbox{cf}}(\lambda ^{+})=\lambda ^{+}} , לכל מונה λ {\displaystyle \lambda } . נעיר כי מהאמור לעיל נובע ש- cf ( 2 ℵ 0 ) > ℵ 0 {\displaystyle {\mbox{cf}}(2^{\aleph _{0}})>\aleph _{0}} מה שמדגים את העובדה שהקופינליות תלויה בעיקר בסדר הנבחר ולא בעוצמת הקבוצה. מונה וכן סודר יקרא סדיר (רגולרי) אם הוא שווה לקופינאליות של עצמו, אחרת הוא יקרא חריג (סינגולרי). למשל, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} הוא מונה סדיר כי כל סדרה לא חסומה בו היא בהכרח אינסופית. כמו כן, בהנחת אקסיומת הבחירה, כל מונה עוקב הוא סדיר. לעומת זאת, המונה הגבולי ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} הוא חריג כי הסדרה ℵ 0 , ℵ 1 , … , ℵ n , … {\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\dots ,\aleph _{n},\dots } היא קופינלית בו ומעוצמה ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} בלבד. הקופינליות של כל סודר היא סודר סדיר, כלומר cf ( cf ( α ) ) = cf ( α ) {\displaystyle {\mbox{cf}}({\mbox{cf}}(\alpha ))={\mbox{cf}}(\alpha )} .