השערת ברץ' וסווינרטון-דייר

השערת ברץ' וסווינרטון-דייר היא השערה מרכזית על האריתמטיקה של עקומים אליפטיים, שנוסחה ב-1963 על ידי המתמטיקאים בראיין ברץ' (Birch) ופיטר סווינרטון-דייר (Swinnerton-Dyer). השערה זו היא בין הבעיות הפתוחות החשובות בתורת המספרים, והיא זכתה להכרה כאחת מ"שבע בעיות המילניום" של מכון קליי למתמטיקה. ההשערה קושרת תכונות של פונקציית L של העקום, המוגדרת לפי התנהגות ההיטלים של העקום לשדות הסופיים מסדר ראשוני, עם מערכת הפתרונות הרציונליים של העקום עצמו. אחד הרעיונות היסודיים באריתמטיקה הוא שאפשר ללמוד אובייקט נתון על-פי ההתנהגות של היטלים שלו. במקרה של עקום אליפטי, כגון   E : y 2 = x 3 − 4 x + 3 {\displaystyle \ E:y^{2}=x^{3}-4x+3} , ההיטל מודולו מספר ראשוני p הוא אוסף הנקודות בשדה הסופי   F p {\displaystyle \ \mathbb {F} _{p}} , המקיימות את אותה משוואה. אחת התוצאות הבסיסיות בהקשר זה, החסם של הסה, חוסמת את מספר הפתרונות למשוואה בשדה סופי, וקובעת שמבין   p 2 {\displaystyle \ p^{2}} הזוגות   ( x , y ) {\displaystyle \ (x,y)} האפשריים, מספר הפתרונות עומד בין   p + 1 − 2 p {\displaystyle \ p+1-2{\sqrt {p}}} לבין   p + 1 + 2 p {\displaystyle \ p+1+2{\sqrt {p}}} . במילים אחרות, אם   N p = p + 1 − a p {\displaystyle \ N_{p}=p+1-a_{p}} הוא מספר הפתרונות (זהו "הגודל של העקום האליפטי   E ( F p ) {\displaystyle \ E(\mathbb {F} _{p})} "), אז הסקלר   a p {\displaystyle \ a_{p}} מקיים   | a p | ≤ 2 p {\displaystyle \ |a_{p}|\leq 2{\sqrt {p}}} . תיאור זה נכון עבור כל מספר ראשוני, פרט למספר סופי של יוצאי דופן (המחלקים את הדיסקרימיננטה של העקום). לעקום אליפטי אפשר לצרף פונקציית L, שהיא מעין פונקציית זטא של העקום. את הבניה תארו לראשונה הלמוט הסה והרמן וייל, ולכן הפונקציה נקראת על שמם. בדומה למכפלת אוילר של פונקציית זטא של רימן,   ζ ( s ) = ∏ p ( 1 − p − s ) − 1 {\displaystyle \ \zeta (s)=\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}} , המתכנסת כאשר   ℜ ( s ) > 1 {\displaystyle \ \Re (s)>1} , פונקציית L של העקום E מוגדרת כך:   L ( E , s ) = ∏ p ( 1 − a p ⋅ p − s + p ⋅ p − 2 s ) − 1 {\displaystyle \ L(E,s)=\prod _{p}(1-a_{p}\cdot p^{-s}+p\cdot p^{-2s})^{-1}} . מכפלה זו מתכנסת כאשר   ℜ ( s ) > 3 / 2 {\displaystyle \ \Re (s)>3/2} . עם זאת, ההתנהגות של המכפלה חשובה דווקא בסביבת 'הנקודה הקריטית'   s = 1 {\displaystyle \ s=1} . במקרה של פונקציית זטא של רימן, קל ליצור המשכה אנליטית של מכפלת אוילר, ולחקור את הערכים של הפונקציה לאורך 'הישר הקריטי'   ℜ ( s ) = 1 / 2 {\displaystyle \ \Re (s)=1/2} . בניגוד לכך, לפונקציית L של עקום אליפטי קשה מאוד לבנות המשכה אנליטית, וידועה דרך ישירה לעשות כן רק כאשר העקום הוא מודולרי. השערתם של ברץ' וסווינרטון-דייר חולקה באופן מסורתי לשלושה חלקים. הראשון בהם הוא ההשערה שאפשר יהיה לבנות המשכה אנליטית עד הנקודה הקריטית לכל עקום. חלק זה של ההשערה נובע מיידית מהשערת טניאמה-שימורה, שלפיה כל עקום אליפטי המוגדר מעל הרציונליים הוא מודולרי. השערה זו הוכיח אנדרו ויילס, ב-1995, עבור עקומים 'יציבים למחצה', ואז, ב-1999, התברר שהיא נכונה באופן מלא. בכך הושלמה הוכחת החלק הראשון של השערת ברץ' וסווינרטון-דייר. משפט מורדל-וייל קובע שאוסף הנקודות הרציונליות על העקום E הוא חבורה אבלית נוצרת סופית. לחבורה זו יש מרכיב מפותל, קטן יחסית, והמרכיב הנותר הוא חופשי, כלומר מן הצורה   Z r {\displaystyle \ \mathbb {Z} ^{r}} . במילים אחרות, לעקום ישנם r פתרונות יסודיים, שאפשר להרכיב מהם (על ידי פעולת החבורה של העקום) את כל הפתרונות האחרים (עד כדי פיתול). לערכו של הקבוע r יש חשיבות עצומה בהבנת המבנה הרציונלי של העקום. אם   r = 0 {\displaystyle \ r=0} , יש על העקום רק מספר סופי של נקודות רציונליות. אם   r > 0 {\displaystyle \ r>0} , אז מספר הנקודות אינסופי. הרעיון המנחה את השערת ברץ' וסווינרטון-דייר הוא שמספר הנקודות הרציונליות אמור להיות קשור למספר הנקודות מעל השדות הסופיים: אם   r = 0 {\displaystyle \ r=0} , אפשר לצפות שיהיו מעט נקודות מעל כל שדה סופי, בעוד שבמקרה האחר, אינסוף הנקודות הרציונליות יוטלו לכל שדה סופי, וייצרו שפע של נקודות בכל מקום. כדי לכמת רעיונות אלה, מתבוננים במכפלה המגדירה את פונקציית L של העקום בנקודה   s = 1 {\displaystyle \ s=1} :   L ( E , 1 ) = ∏ p ( 1 − a p p − 1 + p − 1 ) − 1 = ∏ p p N p {\displaystyle \ L(E,1)=\prod _{p}(1-a_{p}p^{-1}+p^{-1})^{-1}=\prod _{p}{\frac {p}{N_{p}}}} . למרות שמכפלה זו אינה מתכנסת, אפשר ללמוד ממנה על העקום מעל שדות סופיים: היחס   p N p {\displaystyle \ {\frac {p}{N_{p}}}} קרוב הרי ל-1 (לפי חסם הסה), וכשמכפילים את היחסים האלה אפשר לצפות שיתקבל מספר קטן בדיוק כאשר, באופן ממוצע, מספר הנקודות בכל היטל סופי גדול מן הצפוי. החלק השני של ההשערה קובע, על-פי שיקולים אלה, שההמשכה האנליטית   L ( E , s ) {\displaystyle \ L(E,s)} מתאפסת ב-   s = 1 {\displaystyle \ s=1} אם ורק אם הדרגה   r > 0 {\displaystyle \ r>0} ; ליתר דיוק, ההשערה קובעת שסדר האפס שווה ל- r. המרכיב השלישי, והאחרון, בהשערה, קושר תכונות נוספות של העקום עם התנהגות עדינה יותר של פונקציית L שלו בנקודה הקריטית. עד כה הוכיחו את החלקים השני והשלישי בהשערה במספר מקרים חשובים, אך איש אינו יודע עדיין איך להוכיח את המקרה הכללי. Henri Darmon, Rational Points on Modular Elliptic Curves, Cbms Regional Conference Series in Mathematics, 2004. השערת ברץ' וסווינרטון-דייר, באתר MathWorld (באנגלית) השערת ברץ' וסווינרטון-דייר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)