לא מוגדר

במתמטיקה, המונח לא מוגדר משמש לעיתים קרובות כדי להתייחס לביטוי שלא מיוחס לו ערך או פרשנות הגיונית, למשל, צורה בלתי מוגדרת (אנ') יכולה לקבל ערכים שונים. המונח "לא מוגדר" יכול לקבל כמה משמעויות שונות בהתאם להקשר. לדוגמה: בענפים שונים של המתמטיקה, מושגים מסוימים מוצגים כמושגים פרימיטיביים (למשל: "נקודה", "קו" ו"זווית"). מכיוון שמונחים אלו אינם מוגדרים במונחים של מושגים אחרים, ניתן להתייחס אליהם כ"מונחים לא מוגדרים". אומרים שפונקציה היא "לא מוגדרת" בנקודות שמחוץ לתחום הגדרתה. לדוגמה, הפונקציה הממשית f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} לא מוגדרת עבור כל x < 0 {\displaystyle x<0} (כלומר, היא לא מקצה ערכים לארגומנטים שליליים). באלגברה, פעולות אריתמטיות מסוימות עשויות שלא להקצות משמעות לערכים מסוימים של האופרנדים שלה (למשל, חלוקה באפס). במקרה זה, הביטויים הכוללים אופרנדים כאלה נקראים "לא מוגדרים". בימי קדם, גאומטרים ניסו להגדיר כל מונח. לדוגמה, אוקלידס הגדיר נקודה כ"זה שלא ניתן לחלק". בתקופה המודרנית, מתמטיקאים מכירים בכך שהניסיון להגדיר כל מילה מוביל בהכרח להגדרות מעגליות, ולכן מותירים כמה מונחים (כגון "נקודה") לא מוגדרים (ראה מושג פרימיטיבי). גישה מופשטת יותר מאפשרת הכללות פוריות יותר. בטופולוגיה, מרחב טופולוגי עשוי להיות מוגדר כקבוצה של נקודות שניחנו בתכונות מסוימות, אך בסביבה הכללית, טבען של "נקודות" אלו נותר בלתי מוגדר לחלוטין. כמו כן, בתורת הקטגוריות, קטגוריה מורכבת מ"אובייקטים" ו"חצים", שהם שוב מונחים פרימיטיביים, לא מוגדרים. זה מאפשר ליישם תיאוריות מתמטיות מופשטות כאלה במצבים קונקרטיים מגוונים מאוד. הביטוי f ( x ) = 0 0 {\textstyle f(x)={\frac {0}{0}}} לא מוגדר באריתמטיקה, כפי שמוסבר בערך חילוק באפס. למתמטיקאים יש דעות שונות לגבי האם יש להגדיר את f ( x ) = 0 0 {\textstyle f(x)=0^{0}} כשווה ל-1, או להשאירו לא מוגדר. קבוצת המספרים שעבורה מוגדרת פונקציה נקראת תחום הפונקציה) אם מספר אינו בתחום של פונקציה, אומרים שהפונקציה היא "לא מוגדרת" עבור אותו מספר. שתי דוגמאות נפוצות הן f ( x ) = 1 x {\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}} , שאינו מוגדר עבור x = 0 {\displaystyle x=0} , ו- f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} , שאינו מוגדר (בשדה המספרים הממשיים) עבור x < 0 {\displaystyle x<0} . בטריגונומטריה, הפונקציות tan ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta } ו־ sec ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta } אינם מוגדרים עבור לכל θ = 180 ∘ ( n − 1 2 ) {\textstyle \theta =180^{\circ }\left(n-{\frac {1}{2}}\right)} , בעוד שהפונקציות cot ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta } ו־ csc ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta } אינם מוגדרים עבור כל θ = 180 ∘ ( n ) {\displaystyle \theta =180^{\circ }(n)} . הסמל ∞ {\displaystyle \infty } משמש לעיתים קרובות לציון פסאודו-מספר אינסופי, יחד עם השלילי שלו, − ∞ {\displaystyle -\infty } . לסמל אין משמעות מוגדרת היטב בפני עצמה, אלא ביטוי כמו { a n } → ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty } הוא קיצור של סדרה, שבשלב מסוים הוא גדלה מעבר לכל מספר ממשי. ביצוע פעולות אריתמטיות סטנדרטיות עם הסמלים ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } אינו מוגדר. עם זאת, כמה הרחבות מגדירות את המוסכמות הבאות של חיבור וכפל: x + ∞ = ∞ {\displaystyle x+\infty =\infty } לכל x ∈ R ∪ { ∞ } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}} . − ∞ + x = − ∞ {\displaystyle -\infty +x=-\infty } לכל x ∈ R ∪ { − ∞ } {\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}} . x ⋅ ∞ = ∞ {\displaystyle x\cdot \infty =\infty } לכל x ∈ R + {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}} . ואילו ביטויים מהצורות הבאות אינם מוגדרים: ∞ − ∞ {\displaystyle \infty -\infty } 0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty } ∞ ∞ {\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}} לא מוגדר, באתר MathWorld (באנגלית)