מבחן מקנמר

בסטטיסטיקה, מבחן מקנמר משמש לבדיקת עוצמת הקשר בין שני משתנים איכותיים דיכוטומיים (כלומר כל אחד מהם יכול לקבל שני ערכים אפשריים), כאשר ידוע כי הנתונים מזווגים. במובן מסוים, מבחן זה הוא מקרה פרטי של מבחן קוקראן-מנטל-הנזל. המבחן הוצג על ידי הסטטיסטיקאי והפסיכולוג האמריקני קווין מקנמר ב-1947. במקרים רבים מעוניינים לבדוק את עצמת הקשר בין שני משתנים הקשורים ביניהם על ידי אותו פרט במדגם. להלן מספר דוגמאות נפוצות הן: כאשר עורכים לחולה שתי בדיקות שאמורות לשקף את מצבו הרפואי, אנו מצפים כי תהיה התאמה בין שתי הבדיקות: אם אחת מהן חיובית אנו מצפים כי גם הבדיקה השנייה תהיה חיובית. באופן דומה, אנו יכולים להיות מעוניינם בקשר בין גובה מס שאזרח משלם (גבוה/נמוך) ורמת החיים שלו (גבוהה/נמוכה), בקשר בין שתי תשובות במבחן של אותו הסטודנט (כאשר כל תשובה יכולה להיות נכונה או לא נכונה), או בדיקת הקשר בין שתי קניות עוקבות שמבצע אותו צרכן (כאשר מדובר בשני מותגים). ניתן להציג נתונים כאלה בלוח שכיחות דו-ממדי. לדוגמה, בטבלה הבאה מובאים נתונים על שתי בדיקות מקבילות שנערכו ל-314 חולים: אם יש התאמה בין שתי הבדיקות, נצפה כי שיעור החולים שעבורם בדיקה א חיובית דומה לשיעור החולים עבורם בדיקה ב חיובית. לכאורה ניתן לבצע כאן מבחן Z להשוואת פרופורציות, אבל מבחן זה אינו תקף כיוון שכאן לא מדובר בשתי אוכלוסיות בלתי תלויות. יהיו X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} שני משתנים מקריים איכותיים דיכוטומיים, כאשר ללא הגבלת הכלליות כל אחד מהם יכול לקבל את הערכים 1 {\displaystyle 1} או 2 {\displaystyle 2} , ויהי ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} מדגם בגודל N {\displaystyle N} מההתפלגות המשותפת של X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} . ניתן להציג את התפלגות המדגם בלוח שכיחות דו־ממדי: כאשר A {\displaystyle A} הוא מספר התצפיות במדגם עבורן X = 1 {\displaystyle X=1} ו- Y = 1 {\displaystyle Y=1} , וכולי. השערת האפס, H 0 : P ( X = 1 ) = P ( Y = 1 ) {\displaystyle H_{0}:P(X=1)=P(Y=1)} שקולה להשערה כי P ( X = 1 , Y = 2 ) = P ( X = 2 , Y = 1 ) {\displaystyle P(X=1,Y=2)=P(X=2,Y=1)} . לכן, מבחן מתקבל על הדעת לבדיקת השערת האפס ישווה בין b {\displaystyle b} ל- c {\displaystyle c} . מבחן מקנמר מוגדר באופן הבא: X 2 = ( b − c ) 2 b + c {\displaystyle \mathrm {X} ^{2}={\frac {(b-c)^{2}}{b+c}}} תחת השערת האפס, למבחן מקנמר יש התפלגות אסימפטוטית χ 2 {\displaystyle \chi ^{2}} עם דרגת חופש אחת. כאשר גודל המדגם קטן, מומלץ להשתמש בתיקון רציפות: X 2 = ( | b − c | − 1 ) 2 b + c {\displaystyle \mathrm {X} ^{2}={\frac {(|b-c|-1)^{2}}{b+c}}} עבור נתוני הבדיקות התוארו למעלה, ערכו של מבחן מקנמר (ללא תיקון רציפות) הוא: X 2 = ( 121 − 59 ) 2 121 + 59 = 21.36 {\displaystyle \mathrm {X} ^{2}={\frac {(121-59)^{2}}{121+59}}=21.36} . חישוב ערך ה-p מעלה כי p -value > 0.001 {\displaystyle p{\mbox{-value}}>0.001} . בהנחה שקבענו מראש כי רמת המובהקות של המבחן היא α = 0.05 {\displaystyle \alpha =0.05} נדחה את השערת האפס ונסיק כי יש קשר בין התוצאות של שתי הבדיקות. פרדוקס סימפסון מבחן כי בריבוע McNemar, Quinn (18 ביוני 1947). "Note on the sampling error of the difference between correlated proportions or percentages". Psychometrika. 12 (2): 153–157. doi:10.1007/BF02295996. PMID 20254758. {{cite journal}}: (עזרה) Agresti, Alan, 8.1.1, An Introduction to Categorical Data Analysis, 2nd edition, Hoboken, New Jersey: JohnWiley & Sons, Inc., 2007, עמ' 245-246, ISBN 978-0-471-22618-5 Edwards, A (1948). "Note on the "correction for continuity" in testing the significance of the difference between correlated proportions". Psychometrika. 13 (3): 185–187. doi:10.1007/bf02289261. PMID 18885738.