יריעה אלגברית אפינית

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית, יריעה אלגברית אָפִינית היא קבוצת האפסים המשותפים של אוסף פולינומים נתון. יריעות אלגבריות אפיניות הן אבני הבניין מהן נבנות יריעות אלגבריות שמהוות אובייקט מרכזי הנחקר במסגרת הגאומטריה האלגברית הקלאסית. נניח כי k הוא שדה סגור אלגברית, ונסמן ב A n {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}} את המרחב האפיני ה-n-ממדי - אוסף ה-nיות של איברים מ-k, כלומר k n {\displaystyle \,k^{n}} . ניתן לראות באיבר f בחוג הפולינומים ב-n משתנים k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]} פונקציה f : A n → k {\displaystyle f:\,\mathbb {A} ^{n}\rightarrow k} . בהינתן תת-קבוצה S ⊂ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,S\subset k[x_{1},\dots ,x_{n}]} , נגדיר את אוסף האפסים המשותפים של S על ידי: V ( S ) = Z ( S ) = { x ∈ A n : ∀ f ∈ S , f ( x ) = 0 } {\displaystyle \,{\mathcal {V}}(S)=Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}:\forall f\in S,f(x)=0\}} תת קבוצה V של A n {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}} תקרא יריעה אלגברית אפינית אם V = Z ( S ) {\displaystyle \,V=Z(S)} עבור קבוצה S ⊆ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,S\subseteq k[x_{1},\dots ,x_{n}]} כלשהי. יריעה אלגברית אפינית שאינה ריקה V תקרא אי-פריקה אם לא ניתן להציגה כאיחוד של שתי יריעות אלגבריות אפיניות לא ריקות שונות. בעבר היה נהוג להשתמש בשם יריעה רק עבור יריעות אי-פריקות. טרמינולוגיה זאת עדיין נמצאת בשימוש במקורות מסוימים. כאשר משתמשים בה, נהוג לקרוא ליריעות אלגבריות שאינן בהכרח אי-פריקות "קבוצות אלגבריות". על יריעות אפיניות ניתן להגדיר טופולוגיה (הנקראת טופולוגית זריצקי) בצורה טבעית על ידי כך שמכריזים על כל הקבוצות האלגבריות להיות קבוצות הסגורות. בהינתן תת-קבוצה V של A n {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}} , נגדיר את הקבוצה (I(V להיות אוסף כל הפולינומים המתאפסים בכל V, כלומר: I ( V ) = { f ∈ k [ x 1 , … , x n ] : ∀ x ∈ V , f ( x ) = 0 } {\displaystyle \,{\mathcal {I}}(V)=\{f\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]:\forall x\in V,f(x)=0\}} זהו אידיאל בחוג k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]} . V סגורה אם ורק אם V = V ( I ( V ) ) {\displaystyle V={\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(V))} ניתן להראות כי קבוצה אלגברית אפינית V היא אי פריקה אם ורק אם (I(V הוא אידיאל ראשוני. עבור יריעה אלגברית אפינית V, לחוג המנה k [ x 1 , … , x n ] / I ( V ) {\displaystyle \,k[x_{1},\dots ,x_{n}]/{\mathcal {I}}(V)} קוראים חוג הקואורדינטות של V. מאחר שבמקרה זה (I(V הוא אידיאל ראשוני, הרי שחוג הקואורדינטות של V הוא תחום שלמות. הממד של יריעה אלגברית V מוגדר להיות ממד קרול של חוג הקואורדינטות של V. הממד של המרחב האפיני ה-n ממדי (כלומר של A n {\displaystyle \,\mathbb {A} ^{n}} ) הוא בדיוק n. מכיוון שעבור זוג פולינומים f , g ∈ k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,f,g\in k[x_{1},\dots ,x_{n}]} מתקיים כי f − g ∈ I ( V ) {\displaystyle \,f-g\in {\mathcal {I}}(V)} אם ורק אם לכל x ∈ V {\displaystyle \,x\in V} מתקיים f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \,f(x)=g(x)} , הרי שניתן לראות באיברי חוג הקואורדינטות של V פונקציות המוגדרות על V. מורפיזם בין שתי יריעות אלגבריות X ⊂ A n {\displaystyle X\subset \mathbb {A} ^{n}} ו Y ⊂ A m {\displaystyle Y\subset \mathbb {A} ^{m}} הוא העתקה פולינומית בין המרחבים האפינים A n {\displaystyle \mathbb {A} ^{n}} ו A m {\displaystyle \mathbb {A} ^{m}} (זאת אומרת m {\displaystyle m} פולינומים ב n {\displaystyle n} משתנים) שמעבירה את X {\displaystyle X} ל- Y {\displaystyle Y} . יריעות אלגבריות X ו-Y נקראות איזומורפיות אם קיימים מורפיזימים f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} ו- g : Y → X {\displaystyle g:Y\to X} כך ש- g ∘ f = i d X {\displaystyle g\circ f=\mathrm {id} _{X}} ו- f ∘ g = i d Y {\displaystyle f\circ g=\mathrm {id} _{Y}} , כלומר: הרכבתם מניבה את מורפיזם הזהות על כל יריעה בהתאמה. באופן דומה, אם קיימות קבוצות פתוחות לא ריקות U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} ו V ⊆ Y {\displaystyle V\subseteq Y} ומורפיזמים f : U → V , g : V → U {\displaystyle f:U\to V,g:V\to U} כך ש f ∘ g = 1 V , g ∘ f = 1 U {\displaystyle f\circ g=1_{V},g\circ f=1_{U}} אז היריעות X ו-Y נקראות שקולות בי-רציונלית. ספקטרום (גאומטריה אלגברית) משפט האפסים של הילברט יריעה קוואזי-פרויקטיבית יריעה אלגברית פרויקטיבית יריעה קוואזי-אפינית יריעה פרידה יריעה שלמה יריעה טורית G. Kempf, Algebraic Varieties. Cambridge University Press, 1993 Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, vol. 52, Springer-Verlag ,New York, Graduate Texts in Mathematics, ISBN 978-0-387-90244-9 Milne, Algebraic geometry יריעה אלגברית אפינית, באתר MathWorld (באנגלית)