נוסחת זרניצקי

נוסחת זרניצקי היא נוסחה המשמשת בשמאות מקרקעין למציאת אומד לשוויו של נכס, בהתבסס על העיקרון הכלכלי של תועלת שולית פוחתת. נוסחת זרניצקי הוצעה לראשונה בשנות השישים על ידי מ' זרניצקי, סגן השמאי הממשלתי הראשי באותה תקופה, ופורסמה ב-1964 בסיכומי "הוועדה לגיבוש קווים מנחים לגבי בעיות מיוחדות בשמאות מקרקעין" (הידועים בשם "הקווים המנחים ההיסטוריים"). נוסחת זרניצקי הכללית היא: V = P ⋅ ( A A 0 ) α {\displaystyle V=P\cdot \left({\frac {A}{A_{0}}}\right)^{\alpha }} כאשר: V {\displaystyle V} - אומד לשוויו של הנכס הנישום; P {\displaystyle P} - מחיר נכס ההשוואה;  A {\displaystyle A} - שטח הנכס הנישום; A 0 {\displaystyle A_{0}} - שטח נכס ההשוואה; α < 1 {\displaystyle \alpha <1} , α > 0 {\displaystyle \alpha >0} - מקדם לשווי שולי פוחת (מהווה את גמישות השווי ביחס לשטח הנכס). בהצעתו המקורית של זרניצקי נלקח הערך α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} עבור מקדם השווי השולי - וזאת לשם פשטות החישוב בימים של טרום עידן המחשוב. אולם אמידה מודרנית במודל רגרסיה הראתה כי 0.75 הוא ערך מדויק יותר. הנוסחה מתארת את שווי הנכס V {\displaystyle V} כפונקציה של שטחו A {\displaystyle A} , עם שווי שולי פוחת ( P {\displaystyle P} , A 0 {\displaystyle A_{0}} ו- α {\displaystyle \alpha } הם פרמטרים קבועים). ודוק: במקרה הפשוט בו α = 1 {\displaystyle \alpha =1} מתקבלת הנוסחה V = ( P / A 0 ) A {\displaystyle V=(P/A_{0})A} . כלומר, האומד לשווי הנכס מתקבל ממכפלת שטחו במחיר הממוצע P / A 0 {\displaystyle P/A_{0}} ליחידת שטח בנכס ההשוואה (למשל, ש"ח/מ"ר). התוצאה של כל "הרצה" של הנוסחה היא אומד יחיד לשווי הנכס, גורם אחד מני רבים לקביעת השווי. נוסחת זרניצקי היא הרכבה של שתי פונקציות תועלת של הצרכן - זו עבור הנכס הנישום וזו עבור נכס ההשוואה. יוצא כי היא מבטאת את שוויו של הנכס כנגזרת של צד הביקוש בלבד, דבר הנוגד לכאורה את פרדיגמת הביקוש וההיצע של הכלכלה הנאו-קלאסית. אלא שבטווח הקצר כמות הבנייה קבועה (עקומת ההיצע קשיחה לחלוטין) ולכן מחירי הנכסים נקבעים על ידי צד הביקוש בלבד. תחשיב לפי שטח שווה-ערך (״שטח אקוויוולנט״) הוא תחשיב שמאי שבו מוענקים משקלים שונים (מקדמים) לחלקים שונים בנכס. לדוגמה: כאשר שווי מ"ר שטח עיקרי נקבע ל- x {\displaystyle x} ש"ח וביחס אליו שווי מ"ר שטחי שירות נקבע ל- x / 2 {\displaystyle x/2} ש"ח. דוגמה נוספת: שווי מ"ר שטח גרעין נקבע ל- x {\displaystyle x} ש"ח וביחס אליו שווי מ"ר שטח שולי נקבע ל- 0.75 x {\displaystyle 0.75x} ש"ח. מקור המונח "שטח שווה-ערך" בכך שבמקום להכפיל את המקדמים השונים בשווי x {\displaystyle x} ליחידת שטח מסוימת, ניתן להכפילם בשטחים עצמם. כך, אם בנכס מסוים קיימים 200 מ"ר שטחים עיקריים ו-100 מ"ר שטחי שירות, הרי ששטחו במונחי שטח שווה-ערך לפי הדוגמה הקודמת הוא: 200 ∗ 1.0 + 100 ∗ 0.5 = 250 {\displaystyle 200*1.0+100*0.5=250} מ"ר שווה-ערך (שווי הנכס הוא 250 x {\displaystyle 250x} ש"ח). באופן דומה אם 160 מ"ר נם שטח גרעין ו- 40 מ"ר שטח שולי, שטחו במונחי שטח שווה-ערך הוא 160 ∗ 1.0 + 40 ∗ 0.75 = 190 {\displaystyle 160*1.0+40*0.75=190} מ"ר שווה-ערך (שווי הנכס הוא 190 x {\displaystyle 190x} ש"ח). להלן הוכחה כי תחשיב לפי שטח שווה-ערך מהווה קירוב לשימוש בנוסחת זרניצקי וכי α {\displaystyle \alpha } , מקדם השווי השולי בנוסחה, זהה למקדם השטח השולי: ניתן לרשום את הנוסחה באופן הבא: V P = ( A A 0 ) α {\displaystyle {\frac {V}{P}}=\left({\frac {A}{A_{0}}}\right)^{\alpha }} ניקח ln {\displaystyle \ln } משני הצדדים: ln ⁡ V P = ln ⁡ ( A A 0 ) α {\displaystyle \ln {\frac {V}{P}}=\ln \left({\frac {A}{A_{0}}}\right)^{\alpha }} נקבל: ln ⁡ V − ln ⁡ P = α ( ln ⁡ A − ln ⁡ A 0 ) {\displaystyle \ln {V}-\ln {P}=\alpha \left(\ln {A}-\ln {A_{0}}\right)} נגדיר: Δ ln ⁡ V ≡ ln ⁡ V − ln ⁡ P {\displaystyle \Delta \ln {V}\equiv \ln {V}-\ln {P}} ונניח בקירוב: Δ ln ⁡ V ≈ d ln ⁡ V {\displaystyle \Delta \ln {V}\approx d\ln {V}} מכאן: d ln ⁡ V = α ( d ln ⁡ A ) {\displaystyle d\ln {V}=\alpha \left(d\ln {A}\right)} מאחר שמתקיים: d ln ⁡ x = d x x {\displaystyle d\ln {x}={\frac {dx}{x}}} נקבל: d V P = α ( d A A 0 ) {\displaystyle {\frac {dV}{P}}=\alpha \left({\frac {dA}{A_{0}}}\right)} ומכאן: d V = α d A ( P A 0 ) {\displaystyle dV=\alpha dA\left({\frac {P}{A_{0}}}\right)} נציב: d V ≈ V − P {\displaystyle dV\approx V-P} וגם d A ≈ Δ A {\displaystyle dA\approx \Delta A} נקבל: V = P + α Δ A ( P A 0 ) {\displaystyle V=P+\alpha \Delta A\left({\frac {P}{A_{0}}}\right)} לבסוף: V = P A 0 ( A 0 + α Δ A ) {\displaystyle V={\frac {P}{A_{0}}}\left(A_{0}+\alpha \Delta A\right)} הביטוי שבתוך הסוגריים בצד ימין של המשוואה הוא השטח שווה-הערך של הנכס הנישום. למשוואה עצמה הצורה הכללית A ¯ x {\displaystyle {\bar {A}}x} כמו בדוגמה 190 x {\displaystyle 190x} לעיל. מ.ש.ל.  זרניצקי, מ' (1964) "שווי אפרוקסימטיבי של זכויות בנייה (הקרקע) בבתים רבי-קומות", סיכומי הוועדה לגיבוש קווים מנחים לגבי בעיות מיוחדות בשמאות מקרקעין, פרק י"א, עמ' 41 - 63. שנער, אבי (2001) "שוליות השטח בדירות מגורים", מקרקעין וערכם, חוברת דצמבר 2001, הוצאת לשכת שמאי מקרקעין.