אוריינטציה (מתמטיקה)

במתמטיקה ובפרט בטופולוגיה וגאומטריה, אוריינטציה היא מבנה שניתן (לעיתים), להגדיר על אובייקט גאומטרי. בדרך כלל, מגדירים את המבנה על יריעה, אך לא על כל יריעה ניתן להגדיר אוריינטציה. יריעה שעליה ניתן להגדיר אוריינטציה נקראת אוריינטבילית. על יריעה אוריינטבילית קשירה ניתן להגדיר בדיוק שתי אוריינטציות. שתי האוריינטציות האלה נקראות מנוגדות (או לעיתים הפוכות). אם מסמנים אחת מהן ב- o {\displaystyle o} אז את השנייה מסמנים ב- − o {\displaystyle -o} . יריעה אוריינטבילית שעליה נקבעה אוריינטציה נקראת מכוונת (oriented). המשמעות האינטואיטיבית של אוריינטציה היא כיוון. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על עקום, שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. בממדים גבוהים יותר, מושג האוריינטציה הופך מורכב, אך במקרים מסוימים עדיין ניתן לתארו בצורה אינטואיטיבית. לדוגמה, בחירת אוריינטציה על משטח במרחב, שקולה לבחירת "צד" של המשטח. כיוון שלטבעת מביוס לא ניתן "לבחור צד", היא אינה אוריינטבילית. באופן פורמלי, ניתן להגדיר את המושג אוריינטציה על מרחב ליניארי ממשי בתור מחלקת שקילות של בסיסים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהם היא חיובית. אוריינטציה על יריעה חלקה היא אוריינטציה על המרחב המשיק לכל נקודה "התלויה באופן רציף" בנקודה. באופן פורמלי, על יריעה חלקה n {\displaystyle n} ממדית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות ממעלה n {\displaystyle n} תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית. על יריעה טופולוגית n {\displaystyle n} -ממדית קשירה X {\displaystyle X} וסגורה (Closed manifold) בחירת אוריינטציה שקולה לבחירת יוצר של חבורת ההומולוגיה העליונה H n ( X ; Z ) {\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )} . יוצר זה נקרא המחלקה היסודית של היריעה. על יריעה טופולוגית n {\displaystyle n} -ממדית X {\displaystyle X} כללית ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה בתור התאמה "רציפה" של יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית H n ( X , X − { x } ; Z ) {\displaystyle H_{n}(X,X-\{x\};\mathbb {Z} )} עבור כל x ∈ X {\displaystyle x\in X} . בניות רבות בגאומטריה בכלל וטופולוגיה דיפרנציאלית בפרט, מתבססת על בחירת אוריינטציה. למשל, מכפלה וקטורית במרחב אוקלידי (תלת־ממדי), אינטגרציה של תבנית דיפרנציאלית על יריעה, מעלה של העתקה (Degree of a continuous mapping) בין שתי יריעות (מאותו ממד), אינדקס חיתוך של שתי תת-יריעות (מממדים משלימים), דואליות פואנקרה (Poincaré duality), וקובורדיזם (Cobordism). כמו כן, ניתן להגדיר כמה אינווריאנטים של יריעות באמצעות מושג האוריינטציה. למשל, אוריינטביליות וכיסוי האוריינטציות. בניות המתבססות על מושג האוריינטציה תלוית בדרך כלל ב"מוסכמות סימן", כגון כלל יד ימין, מושג הכיוון החיובי וכדומה. בערך זה נשתמש במוסכמות המקובלות ביותר, אך ישנן גם מוסכמות אחרות הנמצאות בשימוש. מושג האוריינטציה הוא מופשט, וקשה באופן כללי לתיאור אינטואיטיבי, אולם במקרים פרטיים הדבר אפשרי. בחירת אוריינטציה על עקום שקולה לבחירת כיוון התקדמות לאורך העקום. באופן גרפי מקובל לעשות זאת על ידי סימון חץ על העקום. אם העקום אינו קשיר, יש לשים חץ על כל רכיב קשירות. מכאן אנו רואים שמספר האוריינטציות על עקום עם n {\displaystyle n} רכיבי קשירות הוא 2 n {\displaystyle 2^{n}} . עובדה זו נכונה גם בממדים גבוהים יותר. אם העקום נמצא במישור אז בחירת כיוון התקדמות לאורך העקום שקולה לבחירת צד של העקום באופן הבא: אנו מתאימים לכיוון התקדמות מסוים את הצד שנמצא לימיננו כאשר אנו מתקדמים לאורך העקום בכיוון הנבחר. אמנם לא ברור מה המשמעות של "כיוון התקדמות לאורך משטח" אבל ניתן לבחור צד למשטח הנמצא במרחב, בחירה כזאת מגדירה אוריינטציה על המשטח. בחירת צד של המשטח שקולה לבחירת שדה וקטורי נורמלי למשטח המכוון לעבר הצד הנבחר. הגדרה זו של אוריינטציה ניתנת להכללה לממדים גבוהים יותר, אולם היא תקפה רק למשטחי-על (Hypersurface), זאת אומרת ליריעות k {\displaystyle k} ממדיות ב R k + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{k+1}} . בחירת שדה נורמלי למשטח מגדירה, באמצעות כלל יד ימין, כיוון סיבוב במשטח. בחירה של כיוון כזה היא דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על המשטח. כדי להמחיש את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי תלת-ממדי נשתמש במושג המכפלה הווקטורית. נשים לב כי מושג המכפלה הווקטורית מוגדר רק עבור מרחבים אוקלידיים ספציפיים, למשל R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} או המרחב הפיזי הסובב אותנו. לא ניתן להגדיר מכפלה וקטורית על מרחב אוקלידי תלת-ממדי מופשט. הסיבה לכך היא שלכלל יד ימין אין משמעות במרחב אוקלידי מופשט. ניתן להתייחס אל מושג האוריינטציה בתור המבנה שנדרש כדי שלכלל יד ימין תהיה משמעות. על כל מרחב אוקלידי תלת-ממדי ניתן להגדיר מכפלה וקטורית (ולתת משמעות לכלל יד ימין) על ידי בחירת בסיס אורתונורמלי (סדור) למרחב. אולם בסיסים שונים עלולים לתת תוצאות מנוגדות. ניתן להראות שאם דטרמיננטת מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא 1 אז הם יובילו לאותה תוצאה. אולם אם דטרמיננטה זו היא 1- אז התוצאות תהיינה מנוגדות. לאור אבחנה זו, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על מרחב אוקלידי בתור מחלקת שקילות של בסיסים אורתונורמליים תחת יחס השקילות הבא: שני בסיסים אורתונורמלים שקולים אם דטרמיננטת מטריצת המעבר ביניהן היא 1. הגדרה זו תקפה לממדים גבוהים יותר, אולם מוגבלת למרחבים אוקלידיים. ניתן לגשת למושג האוריינטציה דרך המושג של העתקות שומרת אוריינטציה. נתרכז תחילה במקרה הדו-ממדי. כל יריעה דו-ממדית נראית מקומית כקבוצה פתוחה במישור. ניתן לחשוב על קבוצה כזו כעל פיסת בד גמישה מאוד. נניח את היריעה על המישור ונצבע את צידה העליון של היריעה בשחור ואת התחתון בלבן. העתקה מהיריעה למישור היא תהליך שלוקח כל נקודה ביריעה לנקודה חדשה במישור. העתקה כזאת נקראת רציפה אם היא אינה קורעת את היריעה. ההעתקה נקראת שיכון אם נקודות שנות עוברות לנקודות שנות. שיכון רציף שומר אוריינטציה אם הצד השחור נשאר למעלה. דרך אחרת להבין אם העתקה שומרת אוריינטציה היא להחליף את פיסת הבד בפיסה שקופה, לצייר עליה ציור של אדם העונד שעון על ידו השמאלית ולהפעיל את ההעתקה. האדם עלול להסתובב ולהתעוות. אולם אם עדיין השעון נמצא על ידו השמאלית אז ההעתקה שומרת אוריינטציה, אם השעון נראה על ידו הימנית אז ההעתקה הופכת אוריינטציה. תיאור זה מראה כי סיבובים שומרים אוריינטציה בעוד ששיקופים הופכים אותה. באופן כללי העתקה ליניארית שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה חיובית. העתקה חלקה שומרת אוריינטציה אם ורק אם הדיפרנציאל שלה בכל נקודה שומר אוריינטציה. עובדה זו תקפה לממדים גבוהים יותר. ערך מורחב – טריאנגולציה (גאומטריה) טריאנגולציה היא חלוקה של משטח למשולשים באופן ששני משולשים יכולים לגעת אחד בשני רק לאורך צלע (מלאה) או קודקוד. לאחר שביצענו טריאנגולציה למשטח, ניתן להגדר אוריינטציה על המשטח בתור בחירת אוריינטציה על כל אחד מהמשולשים באופן תואם עבור משולשים שכנים. אוריינטציה על משולש היא בחירה של סדר ציקלי (Cyclic order) על קודקודי המשולש. זאת אומרת כיוון התקדמות מחזורי בין הקודקודים שבו לא נקבע מי הקודקוד הראשון, אבל לכל קודקוד נקבע מי הבא אחריו. שתי אוריינטציות על משולשים צמודם נקראות מתאימות אם שני הסדרים המושרים על הצלע המשותפת מנוגדים. זאת אומרת שאם BC היא הצלע המשותפת אז באחד המשולשים B יבוא (מיד) לפני C, ובאחר C יבוא (מיד) לפני B (ראה איור). לאחר שקבענו אוריינטציה על משולש אחד. יש דרך יחידה לקבוע אוריינטציה על המשולשים השכנים, וכך הלאה. לכן על כל יריעה קשירה יש לא יותר משתי אוריינטציות. אולם לא תמיד ניתן לבחור אוריינטציה על כל המשולשים באופן מתאים. לכן חלק מהמשטחים אינם אוריינטבילים, כמו טבעת מביוס או בקבוק קליין. דוגמאות של אוריינטציה באמצעות טריאנגולציות גם על יריעות רב ממדיות ניתן לעיתים להגדיר אוריינטציה בדרך זאת. אולם צריך לבצע מספר שינויים בהגדרה, ויש לשיטה זאת מספר מגבלות: טריאנגולציה (שילוש) של יריעה רב ממדית היא חלוקה שלה לסימפלקסים במקום למשולשים אוריינטציה על סימפלקס איננה סדר ציקלי על קודקודיו, אלא מחלקת שקילות של יחסי סדר (מלאים) על קודקודיו תחת יחס השקילות הבא: שני יחסי סדר שקולים אם התמורה המעבירה ביניהם היא תמורה זוגית. יש לשנות בהתאם את מושג ההתאמה בין אוריינטציות על סימפלקסים שכנים. החל מממד 4 יש יריעות טופולוגיות שלא ניתן לבצע להם טריאנגולציה. מסיבה זאת, לא ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה באופן כללי באמצעות טריאנגולציה. ערך מורחב – אוריינטציה (אלגברה ליניארית) יהיה V {\displaystyle V} מרחב ליניארי ממשי n {\displaystyle n} ממדי. ניתן להגדיר את המושג האוריינטציה על V {\displaystyle V} כך: הגדרה: אוריינטציה על V {\displaystyle V} היא מחלקת שקילות של בסיסים סדורים תחת יחס השקיליות הבא: שני בסיסים שקולים אם הדטרמיננטה של מטריצת המעבר ביניהן היא חיובית. מהגדרה זו נובע, שעל כל מרחב ליניארי (לא טריוויאלי) יש בדיוק שתי אוריינטציות. בסיס במרחב ליניארי עליו נקבעה אוריינטציה נקרא חיובי אם הוא מגדיר את האוריינטציה שנקבעה ושלילי אם הוא מגדיר את האוריינטציה המנוגדת. על מרחבים ליניאריים מסוימים מוגדר בסיס סטנדרטי. אוריינטציה שבסיס זה מגדיר נקראת האוריינטציה הסטנדרטית על המרחב. לדוגמה על המרחב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} האוריינטציה המוגדרת על ידי הבסיס הסטנדרטי: ⟨ ( 1 0 0 ⋮ 0 ) , ( 0 1 0 ⋮ 0 ) , … , ( 0 0 ⋮   0 1 ) ⟩ {\displaystyle \left\langle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\\\end{pmatrix}},\dots ,{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \ \\0\\1\\\end{pmatrix}}\right\rangle } . נקראת האוריינטציה הסטנדרטית. באופן דומה, על המרחב הפיזיקאלי הסובב אותנו, כלל יד ימין מגדיר את האוריינטציה הסטנדרטית. במילים אחרות, כל בסיס מהצורה ⟨ v , w , v × w ⟩ {\displaystyle \langle v,w,v\times w\rangle } נקרא חיובי ביחס לאוריינטציה הסטנדרטית. כמו כן, במישור שנמצא מולנו (כמו מישור הלוח או מישור דף הניר) מוגדרת אוריינטציה סטנדרטית על ידי בסיס בו הווקטור הראשון מופנה ימינה והשני למעלה. ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה על V {\displaystyle V} גם באמצעות n {\displaystyle n} -תבניות אנטי-סימטריות (להלן תבניות). תבנית היא פונקציה ω : V × ⋯ × V ⏟ n  copies  → R {\displaystyle \omega :{\underset {n{\text{ copies }}}{\underbrace {V\times \dots \times V} }}\to \mathbb {R} } המקיימת: ω {\displaystyle \omega } ליניארית על פי כל אחד מהמשתנים ב- V {\displaystyle V} ω {\displaystyle \omega } אנטי-סימטרית ביחס להחלפת כל שני משתנים ב- V {\displaystyle V} . מרחב התבניות הוא חד-ממדי. לכן בין כל שתי תבניות שונות מ-0 ניתן להגדיר את מושג היחס ביניהן (זהו מספר ממשי). כעת ניתן להגדיר הגדרה: אוריינטציה על V {\displaystyle V} היא מחלקת שקילות של תבניות שונות מ-0 תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם היחס ביניהן חיובי. הגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות בסיס כיוון שלכל בסיס B = ⟨ e 1 , … , e n ⟩ {\displaystyle B=\langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle } ב- V {\displaystyle V} אפשר להתאים תבניות ω B {\displaystyle \omega _{B}} באופן הבא: התבנית היחידה המקיימת ω B ( e 1 , … , e n ) = 1 {\displaystyle \omega _{B}(e_{1},\dots ,e_{n})=1} הדטרמיננטה של מטריצת המעבר בין שני בסיסים היא בדיוק היחס בין התבניות המתאימות להן. מכאן ששני בסיסים שקולים אם ורק אם שתי התבניות המתאימות שקולות. ההגדרות האלו לא ברורות במקרה ש n = 0 {\displaystyle n=0} . במקרה זה המוסכמה היא שיש שתי אוריינטציות אחת מסומנת בסימן + או במספר 1 ונקראת חיובית והשנייה בסימן - או במספר 1- ונקראת שלילית. ערכים מורחבים – משיכה לאחור, דחיפה קדימה יהי π : V → W {\displaystyle \pi :V\to W} איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים. כל תבנית ω {\displaystyle \omega } על W {\displaystyle W} מגדירה תבנית π ∗ ( ω ) {\displaystyle \pi ^{*}(\omega )} על V {\displaystyle V} באופן הבא: π ∗ ( ω ) ( v 1 , … , v n ) = ω ( π ( v 1 ) , … , π ( v n ) ) . {\displaystyle \pi ^{*}(\omega )(v_{1},\dots ,v_{n})=\omega (\pi (v_{1}),\dots ,\pi (v_{n})).} בצורה זו ניתן להגדיר אוריינטציה π ∗ ( o ) {\displaystyle \pi ^{*}(o)} עבור כל אוריינטציה o {\displaystyle o} על W {\displaystyle W} תהליך זה נקרא משיכה לאחור (Pullback) של אוריינטציה. ניתן גם להגדיר דחיפה קדימה (Pushforward) של אוריינטציה על ידי π ∗ ( o ) := ( π − 1 ) ∗ ( o ) . {\displaystyle \pi _{*}(o):=(\pi ^{-1})^{*}(o).} תהי M {\displaystyle M} יריעה חלקה מממד n {\displaystyle n} . אוריינטציה o {\displaystyle o} על M {\displaystyle M} היא התאמה של אוריינטציה o x {\displaystyle o_{x}} על המרחב המשיק לכל נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} "התלויה באופן רציף" בנקודה x {\displaystyle x} . אפשר להגדיר את המשמעות של "תלויה באופן רציף" בעזרת תבניות דיפרנציאליות. תבנית דיפרנציאלית ממעלה n {\displaystyle n} (להלן תבנית דיפרנציאלית) היא התאמה חלקה של n {\displaystyle n} -תבניות אנטי-סימטריות על המרחב המשיק T x M {\displaystyle T_{x}M} עבור כל x ∈ M {\displaystyle x\in M} . תבנית דיפרנציאלית נקראת הפיכה אם היא אינה מתאפסת באף נקודה. כעת ניתן להגדיר הגדרה: M {\displaystyle M} נקראת אוריינטבילית אם קיימת עליה תבנית הפיכה. אוריינטציה על M {\displaystyle M} היא מחלקת שקילות של תבניות דיפרנציאליות הפיכות תחת יחס השקילות הבא: שתי תבניות הפיכות שקולות אם המנה שלהן היא פונקציה חיובית. נשים לב שבהגדרה זו לא ניתן להשתמש בבסיסים במקום בתבניות, מכיוון שקימות יריעות אוריינטביליות שאינן ניתנות למיקבול (Parallelizable manifold) (זאת אומרת יריעות שאי-אפשר לבחור עבור כל נקודה x ∈ M {\displaystyle x\in M} שלהן בסיס למרחב המשיק T x ( M ) {\displaystyle T_{x}(M)} בצורה שתלויה באופן חלק ב- x {\displaystyle x} ). דרך נוספת להגדיר אוריינטציה על M {\displaystyle M} היא לחזור על ההגדרה של יריעה חלקה אך להחליף את ההעתקות החלקות בהעתקות שומרות אוריינטציה. הגדרה: תהיינה U , V ⊂ R n {\displaystyle U,V\subset \mathbb {R} ^{n}} קבוצות פתוחות. דיפאומורפיזם ϕ : U → V {\displaystyle \phi :U\to V} נקרא שומר אוריינטציה אם הדיפרנציאל שלו בכל נקודה שומר אוריינטציה (זאת אומרת בעל דטרמיננטה חיובית). אטלס חלק על M {\displaystyle M} נקרא אוריינטבילי אם העתקות המעבר שלו הן שומרות אוריינטציה. אוריינטציה על M {\displaystyle M} היא אטלס חלק אוריינטבילי מקסימלי. ניתן להראות בעזרת חלוקת היחידה שהגדרה זו שקולה להגדרה באמצעות תבניות. נקבע אוריינטציה o {\displaystyle o} על . M {\displaystyle .M} יהי N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} משטח-על (Hypersurface) ב- M {\displaystyle M} (זאת אומרת תת-יריעה (Submanifold) n − 1 {\displaystyle n-1} ממדית). שדה טרנסברסלי (transverse) ξ {\displaystyle \xi } על N ⊂ M {\displaystyle N\subset M} הוא התאמה של ווקטור משיק ξ x ∈ T x M {\displaystyle \xi _{x}\in T_{x}M} ל M {\displaystyle M} בכל נקודה x ∈ N {\displaystyle x\in N} כך ש־ ξ x ∉ T x N . {\displaystyle \xi _{x}\notin T_{x}N.} בהינתן שדה טרנסברסלי ξ {\displaystyle \xi } על N {\displaystyle N} , האוריינטציה o {\displaystyle o} משרה אוריינטציה o N {\displaystyle o_{N}} על N {\displaystyle N} באופן הבא: תהי ω {\displaystyle \omega } תבנית המייצגת את o {\displaystyle o} . נגדיר תבנית η {\displaystyle \eta } על N {\displaystyle N} על ידי η x ( v 1 , … , v n − 1 ) := ω x ( ξ x , v 1 , … , v n − 1 ) . {\displaystyle \eta _{x}(v_{1},\dots ,v_{n-1}):=\omega _{x}(\xi _{x},v_{1},\dots ,v_{n-1}).} נגדיר את o N {\displaystyle o_{N}} להיות מחלקת השקילות של . η {\displaystyle .\eta } במקום שדה טרנסברסלי ניתן להשתמש בשדה נורמלי לא מתאפס. שדה נורמלי הוא חתך חלק של האגד הנורמלי (Normal bundle) . N o r m N M := ( T M ) | N / T N {\displaystyle .Norm_{N}^{M}:=(T_{M})|_{N}/T_{N}} במילים אחרות שדה נורמלי הוא התאמה חלקה של ווקטור במרחב המנה N o r m N , x M := T x M / T x N {\displaystyle Norm_{N,x}^{M}:=T_{x}M/T_{x}N} לכל נקודה . x ∈ N {\displaystyle .x\in N} שני שדות נורמליים יגדירו את אותה אוריינטציה אם המנה ביניהם היא פונקציה חיובית. במקרה שעל M {\displaystyle M} נתונה מטריקה רימנית בנוסף לאוריינטציה o {\displaystyle o} , אנו מקבלים התאמה חד-חד-ערכית ועל בין אוריינטציות על N {\displaystyle N} ושדות נורמלים באורך יחידה על N {\displaystyle N} . כיוון שעל R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} יש אוריינטציה ומטריקה רימנית סטנדרטית, בחירה של שדה נורמלי על היפר-משטח N {\displaystyle N} ב- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} שקולה לבחירת שדה נורמלי באורך יחידה על , N {\displaystyle ,N} בדומה למוסבר במבוא. אם M {\displaystyle M} היא יריעה עם שפה (Manifold with boundary) אז השפה ∂ M {\displaystyle \partial M} של M {\displaystyle M} היא היפר-משטח ב- M {\displaystyle M} . ניתן (בעזרת חלוקת היחידה) לבחור שדה טרנסברסלי חיצוני על . ∂ M {\displaystyle .\partial M} זאת אומרת שדה טרנסברסלי על ∂ M {\displaystyle \partial M} אשר לא נמצא בחצי-מרחב המשיק ל M {\displaystyle M} באף נקודה . x ∈ ∂ M {\displaystyle .x\in \partial M} האוריינטציה ששדה זה מגדיר נקראת האוריינטציה המושרית על . ∂ M {\displaystyle .\partial M} קל לראות שאוריינטציה זו לא תלויה בבחירת השדה הטרנסברסלי החיצוני. הערה: אף על פי שהבניות בפרק זה מוגדרות היטב הן תלוית במוסכמות סימן שרירותיות למדי: האוריינטציה הסטנדרטית על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , העדפת הנורמל החיצוני על הפנימי והצבת השדה הנורמלי בתור המשתנה הראשון ולא האחרון. בעזרת משפט ז'ורדן (Jordan curve theorem) ניתן להסיק מתהליך השראת האוריינטציה על שפה של יריעה את הקריטריון הבא עבור אוריינטביליות: טענה: היפר-משטח סגור (Closed Hypersurface) (במרחב ליניארי) תמיד אוריינטבילי. העתקה חלקה ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\to N} נקראת דיפאומורפיזם מקומי (או העתקת אטאל (Étale morphism)) אם הדיפרנציאל d x ϕ {\displaystyle d_{x}\phi } שלה בכל x ∈ M {\displaystyle x\in M} הוא איזומורפיזם. לפי משפט הפונקציה הסתומה תנאי זה שקול לכך שלכל x ∈ M {\displaystyle x\in M} קיימת סביבה פתוחה U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} כך ש ϕ ( U ) {\displaystyle \phi (U)} היא קבוצה פתוחה והצמצום (Restriction) ϕ | U : U → ϕ ( U ) {\displaystyle \phi |_{U}:U\to \phi (U)} הוא דיפאומורפיזם. בהינתן אוריינטציה o {\displaystyle o} על N {\displaystyle N} ניתן להגדיר את המשכיה לאחור שלה ϕ ∗ ( o ) {\displaystyle \phi ^{*}(o)} על ידי . ϕ ∗ ( o ) x = ( d ϕ ) ∗ ( o ϕ ( x ) ) {\displaystyle .\phi ^{*}(o)_{x}=(d\phi )^{*}(o_{\phi (x)})} במילים אחרות יש לבחור תבנית דיפרנציאלית ω {\displaystyle \omega } המייצגת את o {\displaystyle o} , ולהגדיר את ϕ ∗ ( o ) {\displaystyle \phi ^{*}(o)} להיות מחלקת השקילות של . ϕ ∗ ( ω ) {\displaystyle .\phi ^{*}(\omega )} העתקת אטאל ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\to N} בין יריעות מכוונות (יריעות שנקבעה עליהן אוריינטציה) נקראת שומרת אוריינטציה אם המשיכה לאחור של האוריינטציה על N {\displaystyle N} שווה לאוריינטציה . M {\displaystyle .M} אחת המוטיבציות להגדרת מושג התבניות הדיפרנציאליות היא האפשרות להגדיר אינטגרל של תבנית דיפרנציאלית. אפשרות זו מותנית בקביעת אוריינטציה על היריעה . M {\displaystyle .M} נקבע אוריינטציה על . M {\displaystyle .M} תהי U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} קבוצה פתוחה דיפאומורפית ל . R n {\displaystyle .\mathbb {R} ^{n}} ניתן להגדיר את האינטגרל של תבנית דיפרנציאלית ω {\displaystyle \omega } על U {\displaystyle U} באופן הבא: ∫ U ω = ∫ R n ϕ ∗ ( ω ) . {\displaystyle \int _{U}\omega =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi ^{*}(\omega ).} כאן ϕ : R n → U {\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to U} הוא דיפאומורפיזם שומר אוריינטציה ואינטגרל של תבנית דיפרנציאלית על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} מוגדר על ידי הזיהוי הסטנדרטי בין תבניות דיפרנציאלית לפונקציות. הגדרה זו לא תלויה בבחירת הדיפאומורפיזם ϕ {\displaystyle \phi } ובלבד שהוא שומר אוריינטציה, אולם אילו ϕ {\displaystyle \phi } היה הופך אורנטצייה אז התוצאה המתקבלת הייתה מנוגדת. ניתן להכליל הגדרה זו עבור קבוצה פתוחה כללית U ⊂ M {\displaystyle U\subset M} על ידי חלוקת היחידה. כמו כן ניתן להגדיר אינטגרלים של k-תבניות דיפרנציאליות לאורך תת-יריעות מכוונות k ממדיות. אם ω {\displaystyle \omega } תבנית הפיכה על , M {\displaystyle ,M} אז היא מגדירה אוריינטציה, ולכן ניתן להגדיר את האינטגרל שלה ביחס לאוריינטציה שהיא עצמה מגדירה גם אם לא נקבע אוריינטציה על . M {\displaystyle .M} אינטגרל זה תמיד חיובי, ומסמנים אותו ב ∫ M | ω | . {\displaystyle \int _{M}|\omega |.} ניתן להכליל הגדרה זאת גם לתבניות לא הפיכות (ואף למקרה ש M {\displaystyle M} לא אוריינטבילית) ע"י: ∫ M | ω | := ∫ U | ω | , {\displaystyle \int _{M}|\omega |:=\int _{U}|\omega |,} כאשר U := { x ∈ M | ω x ≠ 0 } {\displaystyle U:=\{x\in M|\omega _{x}\neq 0\}} ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות תהי M {\displaystyle M} יריעה. אוריינטציה על היריעה היא מושג מקומי: בכל נקודה x ∈ M {\displaystyle x\in M} של היריעה אפשר להגדיר את האוריינטציה בנקודה בתור אוריינטציה על המרחב המשיק T x M {\displaystyle T_{x}M} (חיובית או שלילית). נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה x {\displaystyle x} ב- orient M ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {orient} _{M}(x)} (זו קבוצה בת שני איברים). ניתן לאגד קבוצות אלו למרחב כיסוי orient M {\displaystyle \operatorname {orient} _{M}} . כיסוי דו-יריעתי זה נקרא כיסוי האוריינטציות. אפשר להפוך את כיסוי האוריינטציות לאגד (הנקרא אגד האוריינטציות) או לאלומה (הנקראת אלומת האוריינטציות). באמצעות כיסוי האוריינטציות ניתן להגדיר את "קרקטר האוריינטציות" של החבורה היסודית π 1 ( M ) {\displaystyle \pi _{1}(M)} . אפשר לזהות דרך כיסוי האוריינטציות את כל האוריינטציות האפשריות של היריעה. ניתן להתייחס אל כיסוי האוריינטציות כאל תחליף אוריינטבילי עבור יריעה לא אוריינטבילית. ערכים מורחבים – אוריינטציה על אגד, אוריינטציה יחסית יהי E {\displaystyle E} אגד וקטורי n {\displaystyle n} -ממדי מעל מרחב טופולוגי . X {\displaystyle .X} אוריינטציה על E {\displaystyle E} היא אוריינטציה על כל אחד מהסיבים (Fibers) E | x {\displaystyle E|_{x}} של E {\displaystyle E} התלויה באופן רציף בנקודה x {\displaystyle x} שמעליה הסיב. בהתבסס על מושג האוריינטציה על אגד אפשר להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית של ההעתקה ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\to N} בשני מקרים: ϕ {\displaystyle \phi } היא אימרסיה (immersion) ϕ {\displaystyle \phi } היא סובמרסיה (submersion) בשני המקרים ניתן גם להגדיר גרסאות יחסיות של האובייקטים המקומיים המבוססים על כיסוי האוריינטציות: o r i e n t M / N , O r i e n t M / N , D M / N , O r i e n t M / N , Ω M / N {\displaystyle orient_{M/N},\quad Orient_{M/N},\quad D_{M/N},\quad {\mathcal {O}}rient_{M/N},\quad \Omega _{M/N}} כל אלה יהיו אובייקטים מעל . M {\displaystyle .M} תהי M {\displaystyle M} יריעה טופולוגית n {\displaystyle n} -ממדית. על מנת להגדיר את מושג האוריינטציה על M {\displaystyle M} נגדיר תחילה את כיסוי האוריינטציות p : O r i e n t M → M {\displaystyle p:Orient_{M}\to M} . כמו במקרה החלק, אוריינטציה על M {\displaystyle M} תהיה חתך (Section) של כיסוי האוריינטציות. ערך מורחב – כיסוי האוריינטציות כמו במקרה החלק, הגדרת כיסוי האוריינטציות מבוססת על מושג האוריינטציה בנקודה. הגדרה אוריינטציה בנקודה x ∈ M {\displaystyle x\in M} היא יוצר של חבורת ההומולוגיה היחסית . H n ( M , M − { x } ; Z ) {\displaystyle .H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )} נסמן את קבוצת האוריינטציות בנקודה x {\displaystyle x} ב- o r i e n t M ( x ) {\displaystyle orient_{M}(x)} נשים לב שמכיוון ש . H n ( M , M − { x } ; Z ) {\displaystyle .H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )} איזומורפית ל- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , הקבוצה o r i e n t M ( x ) {\displaystyle orient_{M}(x)} בת שני איברים. נגדיר o r i e n t M := ⋃ x ∈ M o r i e n t M ( x ) , {\displaystyle orient_{M}:=\bigcup _{x\in M}orient_{M}(x),} כאשר הטופולוגיה על o r i e n t M {\displaystyle orient_{M}} מוגדרת, דרך המקרה M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} על ידי הזיהוי o r i e n t R n ≅ R n × { 1 , − 1 } {\displaystyle orient_{\mathbb {R} ^{n}}\cong \mathbb {R} ^{n}\times \{1,-1\}} . קל לראות שאם M {\displaystyle M} יריעה חלקה אז הגדרה זאת מתלכדת עם ההגדרה במקרה החלק. כמו קודם ניתן להגדיר את האגד O r i e n t M {\displaystyle Orient_{M}} ואת האלומה O r i e n t M {\displaystyle {\mathcal {O}}rient_{M}} אבל, להבדיל מהמקרה החלק לא ניתן להגדיר את האגדים Ω M t o p {\displaystyle \Omega _{M}^{top}} או . D M {\displaystyle .D_{M}} שאר הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות. ערך מורחב – המחלקה היסודית נניח כי M {\displaystyle M} יריעה סגורה (זאת אומרת קומפקטית בלי שפה). תהי o {\displaystyle o} אוריינטציה על . M {\displaystyle .M} ניתן להרכיב ממחלקות ההומולוגיה o x ∈ H n ( M , M − { x } ; Z ) {\displaystyle o_{x}\in H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )} מחלקה אחת ב . H n ( M ; Z ) {\displaystyle .H_{n}(M;\mathbb {Z} )} משפט: קיימת ויחידה מחלקת הומולוגיה [ M ] := [ M , o ] ∈ H n ( M ; Z ) {\displaystyle [M]:=[M,o]\in H_{n}(M;\mathbb {Z} )} כך ש ∀ x ∈ M : ϕ x ( [ M ] ) = o x {\displaystyle \forall x\in M:\phi _{x}([M])=o_{x}} כאשר ϕ x : H n ( M ; Z ) → H n ( M , M − { x } ; Z ) {\displaystyle \phi _{x}:H_{n}(M;\mathbb {Z} )\to H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )} היא ההעתקה הטבעית, ו o x ∈ H n ( M , M − { x } ; Z ) {\displaystyle o_{x}\in H_{n}(M,M-\{x\};\mathbb {Z} )} היא המחלקה שמוגדרת על ידי האוריינטציה . o {\displaystyle .o} מחלקת הומולוגיה [ M ] {\displaystyle [M]} נקראת המחלקה היסודית (Fundamental class). באופן אינטואיטיבי ניתן לחשוב על המחלקה היסודית בתור המחלקה המייצגת את "כל היריעה". אם M {\displaystyle M} קשירה אז [ M ] {\displaystyle [M]} יוצרת את חבורת ההומולוגיה H n ( M ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )} אשר איזומורפית ל- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . במקרה זה ניתן להגדיר אוריינטציה בתור בחירה של מחלקה יסודית (זאת אומרת בתור יוצר של H n ( M ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )} ). אם M {\displaystyle M} לא אוריינטבילית (אבל קשירה) אז H n ( M ; Z ) = 0 {\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )=0} ). עבור יריעות קומפקטיות עם שפה ניתן להגדיר את המחלקה היסודית בתור איבר בהומולוגיה היחסית H n ( M , ∂ M ; Z ) {\displaystyle H_{n}(M,\partial M;\mathbb {Z} )} עבור יריעות לא קומפקטיות (בלי-שפה) המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגית בורל-מור (Borel–Moore homology) (המושג הדואלי לקוהומולוגיה עם תומך קומפקטי (Cohomology with compact support)) עבור יריעות (סגורות) לא אוריינטביליות (או עבור יריעות עליהן לא נקבעה אוריינטציה), המחלקה היסודית מוגדרת בתור איבר בהומולוגיה H n ( M ; Z / 2 Z ) {\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )} או בהומולוגיה H n ( M ; O r i e n t M ) {\displaystyle H_{n}(M;{\mathcal {O}}rient_{M})} של M {\displaystyle M} עם מקדמים באלומת האוריינטציות O r i e n t M {\displaystyle {\mathcal {O}}rient_{M}} . ניתן גם להגדיר את ההכללה המשותפת של ההכללות הקודמות ערך מורחב – אוריינטציה יחסית תהי ϕ : X → Y {\displaystyle \phi :X\to Y} העתקה רציפה של מרחבים טופולוגיים. באופן אנלוגי למקרה החלק, ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה היחסית (ואת המושגים הנלווים o r i e n t X / Y , O r i e n t X / Y , O r i e n t X / Y {\displaystyle orient_{X/Y},Orient_{X/Y},{\mathcal {O}}rient_{X/Y}} ) כאשר אחד התנאים הבאים מתקיים: נשים לב שתנאים אלה מתקיימים לעיתים גם כאשר המרחבים הטופולוגיים X , Y {\displaystyle X,Y} אינם יריעות. הבניות והתכונות הקשורות לאוריינטציה יחסית במקרה החלק תקפות גם במקרה הטופולוגי, לאחר התאמות קלות. ערך מורחב – יריעה אוריינטבילית יריעה נקראת אוריינטבילית אם ניתן להגדיר עליה אוריינטציה. באופן מקומי כל יריעה איזומורפית ל- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ולכן ניתן לבחור עליה אוריינטציה. אולם מכיוון שבכל נקודה יש שתי אפשרויות לבחירה זו, לעיתים לא ניתן לבצע בחירה באופן גלובלי. זאת הסיבה שחלק מהיריעות אינן אוריינטביליות. טבעת מביוס, יריעה לא אוריינטבילית טבעת רגילה (זאת אמרת גליל) היא כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס, ובפרט יריעה אוריינטבילית בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי, יריעה לא אוריינטבילית טורוס הוא כיסוי האוריינטציות של בקבוק קליין, יריעה אוריינטבילית. משטח שטיינר (Roman surface) – הטבעה של המישור הפרויקטיבי במרחב, יריעה לא אוריינטבילית. ספירה, היא כיסוי האוריינטציות של המישור הפרויקטיבי, יריעה אוריינטבילית משטח אוריינטבילי מגנוס 3. ניתן למיין את כל המשטחים (הקשירים) הסגורים (Closed manifold) על ידי האוריינטביליות והגנוס שלהם. הטבלה הבאה מסכמת את הדוגמאות למעלה ועוד מספר דוגמאות כמו גם קריטריונים לאורינטביליות (והעדרה). לאורינטציה תפקיד בבניות רבות בטופולוגיה דיפרנציאלית. צורת שימוש אחת באוריינטציה, היא בהרחבת מושג הספירה. יסוד השימוש טמון בניתוח של יריעות קומפקטיות מממד אפס, דהיינו קבוצות דיסקרטיות סופיות. יריעות אלה ממוינות על פי מספר הנקודות בהן. מספר הנקודות הוא מספר טבעי והוא למעשה האינווריאנט היחיד שניתן להגדיר עבור יריעות אלה. אולם, אם נתבונן ביריעה קומפקטית מממד אפס מכוונת, נראה כי ניתן להגדיר אינווריאנט נוסף: "המספר המכוון" של הנקודות ביריעה. כלומר מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "+" פחות מספר הנקודות בעלות אוריינטציה "-". מתברר כי אינווריאנט זה יציב יותר ובעל שימושים רבים יותר. ניתן להגדיר אינווריאנטים רבים של אובייקטים שונים בטופולוגיה דיפרנציאלית לפי הסכמה הכללית הבאה: לבנות יריעה מממד אפס המבוססת על האובייקט הנלמד (בדרך כלל בנייה זאת תלויה בבחירות מסוימות), להתבונן במספר המכוון של הנקודות שלה ולהוכיח כי התוצאה לא תלויה בבחירות. בדרך כלל לאינווריאנטים אלה יש גרסה עבור אובייקטים לא מכוונים, אולם אז צריך להחליף את המספר המכוון של הנקודות במספר הנקודות מודולו 2 (מספר הנקודות עצמו יהיה תלוי בדרך כלל בבחירות), מכאן שבמקום לקבל אינווריאנט עם ערכים ב- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } אנו מקבלים אינווריאנט עם ערכים ב Z 2 ≅ Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } , מה שהופך אותו לחלש יותר. להלן מספר דוגמאות של אינווריאנטים כאלה. תהי ϕ : M → N {\displaystyle \phi :M\to N} העתקה חלקה של יריעות חלקות מכוונות מממד n {\displaystyle n} . לפי הלמה של סארד יש להעתקה זאת ערך רגולרי y ∈ N {\displaystyle y\in N} . הסיב ϕ − 1 ( y ) {\displaystyle \phi ^{-1}(y)} של הנקודה y {\displaystyle y} הוא יריעה מממד אפס. המעלה של ϕ {\displaystyle \phi } מוגדרת להיות המספר המכוון של נקודות היריעה ϕ − 1 ( y ) {\displaystyle \phi ^{-1}(y)} . תהי M {\displaystyle M} יריעה חלקה, קומפקטית ומכוונת מממד n {\displaystyle n} ויהיו N , L ⊂ M {\displaystyle N,L\subset M} תת-יריעות סגורות מכוונות. נניח כי dim ⁡ N + dim ⁡ L = dim ⁡ M {\displaystyle \dim N+\dim L=\dim M} במקרה כזה ניתן להגדיר את אינדקס החיתוך של N {\displaystyle N} ו L {\displaystyle L} . לשם כך יש להשתמש בעיקרון הטרנסוורסליות (המבוסס על הלמה של סארד), שאומר שאפשר לשנות מעט את היריעות N , L {\displaystyle N,L} כך שהחיתוך N ∩ L {\displaystyle N\cap L} יהיה טרנסבווסלי. מכאן שהחיתוך N ∩ L {\displaystyle N\cap L} הוא יריעה מממד 0. האורינטציות על M , N {\displaystyle M,N} ו L {\displaystyle L} מגדירות אוריינטציה על N ∩ L {\displaystyle N\cap L} . אינדקס החיתוך של N {\displaystyle N} ו L {\displaystyle L} מוגדר להיות המספר המכוון של נקודות היריעה N ∩ L {\displaystyle N\cap L} . מקרה נוסף בו משתמשים בספירה מכוונת הוא בתורת מורס. תורת מורס, או ליתר דיוק גרסתו של סמיל לתורה זאת מתאימה לשלשה ( M , f , γ ) {\displaystyle (M,f,\gamma )} (במצב כללי) המורכבת מיריעה חלקה סגורה M {\displaystyle M} פונקציית מורס f {\displaystyle f} ומטריקה רימנית γ {\displaystyle \gamma } , קומפלקס שרשרת ( C i , d ) {\displaystyle (C_{i},d)} . החבורות האבליות C i {\displaystyle C_{i}} הן חבורת האבליות החופשיות הנפרסות על ידי הנקודות הקריטיות של f {\displaystyle f} מאינדקס מורס i {\displaystyle i} . הדיפרנציאל d {\displaystyle d} מוגדר בעזרת ספירה מכוונת של מסלולים גרדיינטים בין שתי נקודות קריטיות בעלות אינדקס עוקב. להבדיל מהמקרים הקודמים, תורת סמיל מורס תקפה גם כאשר M {\displaystyle M} אינה אוריינטבילית, מבלי הצורך להחליף את חוג השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } בחבורה Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } . לשם כך יש לבחור אוריינטציות מקומיות בסביבת כל נקודה קריטית, המתאימות אחת לשנייה במובן מסוים שלא מספיק חזק כדי לאפשר הרכבת אוריינטציה אחת מכולם. תהליך זה מורכב, ולכן במקרים מסוימים מעדיפים להסתפק בתורת מורס עם מקדמים ב- Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } . הדבר בולט עוד יותר בתורת פלויר, שהיא הכללה מרחיקת לכת של תורת מורס. בטופולוגיה אלגברית, למחלקות רבות של יריעות אפשר להגדיר חבורת קובורדיזם מתאימה. לדוגמה חבורת הקובורדיזמים של היריעות הסגורות מוגדרת כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות n {\displaystyle n} ממדיות M , N {\displaystyle M,N} שקולות אם האיחוד הזר M ∪ N {\displaystyle M\cup N} הוא שפה של יריעה n + 1 {\displaystyle n+1} ממדית. האיחוד הזר מגדיר את הפעולה (החיבורית) על חבורה אבלית זאת. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0 היא החבורה Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } . באופן דומה ניתן להגדיר את חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות כאוסף כל היריעות הסגורות עד-כדי יחס השקילות הבא: שתי יריעות מכוונות n {\displaystyle n} ממדיות ( M , o ) , ( N , p ) {\displaystyle (M,o),(N,p)} שקולות אם האיחוד הזר ( M ∪ N , o ∪ − p ) {\displaystyle (M\cup N,o\cup -p)} הוא שפה של יריעה n + 1 {\displaystyle n+1} ממדית. קל לראות כי חבורת הקובורדיזם של יריעות מכוונות מממד 0 היא החבורה Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . באופן כללי יותר, חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות היא תמיד מפיתול 2 (זאת אומרת מרחב ליניארי מעל השדה הסופי F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} ) בעוד שחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות לעיתים חסרת פיתול כלל. מדוגמאות אלה רואים כי חבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות המכוונות מכילה מידע שלא נמצא בחבורת הקובורדיזם של היריעות הסגורות, ובמובנים מסוימים עשירה ממנה. את האינווריאנטים שתוארו בפרק הקודם (מעלה, ואינדקס חיתוך) אפשר לראות כאינווריאנטים שערכיהם בחבורת הקובורדיזם של יריעות מממד 0. אם היריעות המקוריות מכוונות, אז האינווריאנטים הם עם ערכים ב- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , אם לא, אז הערכים ב- Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } . בעזרת המחלקה היסודית ומכפלת הספל (Cup product) ניתן להגדיר את דואליות פואנקרה. תהי M {\displaystyle M} יריעה סגורה מכוונת מממד n {\displaystyle n} . דואליות פואנקרה היא דואליות (זאת אומרת זיווג לא מנוון) בין הקו-הומולוגיה H k ( M , F ) {\displaystyle H^{k}(M,F)} והקו-הומולוגיה H n − k ( M , F ) {\displaystyle H^{n-k}(M,F)} כאשר F {\displaystyle F} שדה ממציין 0. הזיווג מוגדר על ידי ⟨ a , b ⟩ := ⟨ a ⌣ b , [ M ] ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle :=\langle a\smile b,[M]\rangle } כאשר ⌣ {\displaystyle \smile } היא מכפלת הספל, a ∈ H i ( M , F ) , b ∈ H n − i ( M , F ) {\displaystyle a\in H^{i}(M,F),b\in H^{n-i}(M,F)} והזיווג באגף שמאל הוא הזיווג הסטנדרתי בין הומולוגיה וקו-הומולוגיה. זיווג זה מגדיר איזומורפיזם H k ( M , F ) ≅ H n − k ( M , F ) {\displaystyle H_{k}(M,F)\cong H^{n-k}(M,F)} . בצורה זאת דואליות פואנקרה תקפה עבור הומולוגיות בכול חוג מקדמים. לדואליות פואנקרה יש גם גרסאות עבור יריעות כלשהן, בדומה לגרסאות השונות של המחלקה היסודית. לדואליות פואנקרה הכללה מרחיקת לכת – דואליות ורדיה. ערכים מורחבים – גרף מכוון, קבוצה סימפלקסיאלית ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים בעלי אופי גאומטרי. למשל אוריינטציה על גרף משמעה הפיכתו לגרף מכוון, זאת אומרת בחירת כיוון עבור כל קשת. אין כל דרישה להתאמת הכיונים בקודקודים. לכן, להבדיל מיריעה, אין משמעות למושג אוריינטביליות בהקשר של גרף ועל כל גרף אפשר להגדיר אוריינטציה. באופן דומה ניתן להגדיר אוריינטציה על אובייקטים קומבינטוריים מורכבים יותר, כמו קומפלקס סימפלקסיאלי. באובייקטים קומבינטוריים אחרים, כמו קבוצה סימפלקסיאלית, האוריינטציה מובנית בתוך ההגדרה של האובייקט עצמו. ערך מורחב – הומולוגיה של מרחב טופולוגי יהי X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי. ניתן לחשוב על מחלקת הומולוגיה α ∈ H i ( X , Z ) {\displaystyle \alpha \in H_{i}(X,\mathbb {Z} )} בתור "אובייקט גאומטרי" מכוון מממד i {\displaystyle i} בתוך X {\displaystyle X} (עד כדי יחס שקילות מסוים). לדוגמה, ציקלוס סינגולרי הוא למעשה קומפלקס סימפלקסיאלי מכוון, המועתק לתוך היריעה. אם מוותרים על האוריינטציה על הקומפלקס הסימפלקסיאלי ב- X {\displaystyle X} אז מקבלים מחלקת הומולוגיה עם מקדמים ב- Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } . בגישות אחרות לתורת ההומולוגיה ובאופן כללי יותר בתורות הומולוגיה מוכללות, מחליפים את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים באובייקטים גאומטריים אחרים. לדוגמה, אם נחליף את הקומפלקסים הסימפלקסיאלים ביריעות, נקבל את חבורות הקובורדיזם של X {\displaystyle X} . גם בתורות קו-הומולוגיה האוריינטציה באה לידי ביטוי. למשל קו-הומולוגית דה-ראהם מבוססת על מושג התבניות הדפרנציאליות. מושג זה קשור למושג האוריינטציה על יריעה חלקה. מושג האוריינטציה אינו מוגדר למרחבים טופולוגיים שאינם יריעות. אולם ניתן להכליל את אלומת האוריינטציות (ואת אלומת האוריינטציות היחסית) למרחבים טופולוגיים קומפקטיים מקומית. הדבר נעשה במסגרת דואליות ורדיה. דואליות ורדיה היא למעשה מימוש של פורמליזם ששת הפונקטורים של גרותנדיק עבור מרחבים טופולוגיים. הפורמליזם כולל פונקטורים שונים בין קטגוריה הנגזרת של קטגוריות האלומות על מרחבים שונים. אחד מהפונקטורים האלה הוא π ! : D ( Y ) → D ( X ) {\displaystyle \pi ^{!}:D(Y)\to D(X)} המוגדר עבור העתקה רציפה π : X → Y {\displaystyle \pi :X\to Y} כאשר D ( X ) {\displaystyle D(X)} היא הקטגוריה הנגזרת של קטגורית האלומות על X {\displaystyle X} . פונקטור זה הוא הצמוד מימין של הפונקטור הנגזר של פונקטור התמונה הישרה עם תומך קומפקטי π ! : D ( X ) → D ( Y ) {\displaystyle \pi _{!}:D(X)\to D(Y)} . באמצעות הפונקטור π ! {\displaystyle \pi ^{!}} ניתן להגדיר את הקומפלקס המדאל היחסי על ידי D X / Y := π ! ( Z X ) {\displaystyle {\mathcal {D}}_{X/Y}:=\pi ^{!}(\mathbb {Z} _{X})} כאשר Z X {\displaystyle \mathbb {Z} _{X}} היא האלומה הקבועה על X {\displaystyle X} . כאשר Y {\displaystyle Y} הוא נקודה, אנו מקבלים את הקומפלקס המדאל D X := D X / p t {\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}:={\mathcal {D}}_{X/pt}} . אלומת האוריינטציות ואלומת האוריינטציות היחסית הן מקרים פרטיים של הקומפלקס המדאל והקומפלקס המדאל היחסי. בהתבסס על הקומפלקס המדאל ניתן להגדיר את פונקטור הדואליות של ורדיה D : D ( X ) → D ( X ) {\displaystyle \mathbb {D} :D(X)\to D(X)} על ידי D := R H o m ( ⋅ , D X ) {\displaystyle \mathbb {D} :=RHom(\cdot ,D_{X})} . מנקודת המבט של דואליות ורדיה, דואליות פואנקרה היא מקרה פרטי של הטענה הבאה: . D ∘ π ∗ ≅ π ! ∘ D {\displaystyle \mathbb {D} \circ \pi _{*}\cong \pi _{!}\circ \mathbb {D} } מושג האוריינטציה על מרחב ליניארי מבוסס על כך שלחבורה G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} יש שני רכיבי קשירות. לכן על מרחב ליניארי יש שתי אוריינטציות. שני בסיסים מגדירים אותה אוריינטציה על מרחב אם מטריצת המעבר ביניהם נמצאת ברכיב הקשירות של היחידה ב G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} , הם מגדירים אוריינטציות הפוכות אם המטריצה נמצאת ברכיב השני. המצב במרחבים עם מכפלה פנימית דומה מכיוון שלחבורה האורתוגונלית O n {\displaystyle O_{n}} יש גם כן שני רכיבי קשירות. עם זאת, אם מאפשרים למכפלה הפנימית לא להיות חיובית לחלוטין, ניתן לעדן את מושג האוריינטציה. הסיבה לכך היא שלחבורה O p , q {\displaystyle O_{p,q}} יש ארבעה רכיבי קשירות. בהינתן תבנית ריבועית מסיגנטורה ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} על מרחב V {\displaystyle V} וקרקטר כפלי χ : O p , q → { + 1 , − 1 } {\displaystyle \chi :O_{p,q}\to \{+1,-1\}} ניתן להגדיר יחס שקילות על קבוצת הבסיסים האורתונורמליים באופן הבא: שני בסיסים B 1 {\displaystyle B_{1}} ו B 2 {\displaystyle B_{2}} שקולים אם χ ( M B 1 B 2 ) = 1 {\displaystyle \chi (M_{B_{1}}^{B_{2}})=1} . מכיוון של O p , q {\displaystyle O_{p,q}} יש שלושה קרקטרים לא טריוויאליים אנו מקבלים שלושה יחסי שקילות. לכל אחד מהיחסים האלה אפשר להתאים גרסה של מושג האוריינטציה. כך בנוסף לאוריינטציה נקבל שני מושגים נוספים הנקראים, בהשראת תורת היחסות, אוריינטציית מרחב ואוריינטציית זמן. באופן דומה מגדירים מושגים אלה על יריעה פסוודו-רימנית. ערכים מורחבים – גאומטריה אלגברית ממשית, יריעת נאש מכיוון שמושג האוריינטציה מבוסס על רכיבי הקשירות של החבורה G L n ( R ) {\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )} הוא מושג ממשי מטבעו, ולכן לא מוגדר עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי. מעל R {\displaystyle \mathbb {R} } המצב שונה. על יריעה אלגברית ממשית חלקה (ובאופן כללי יותר על יריעת נאש) יש מבנה טבעי של יריעה חלקה ולכן ניתן להגדיר את מושג האוריינטציה עבור יריעות נאש. יתר על כן על כיסוי האוריינטציות, אגד האוריינטציות ועל אגד הצפיפויות של יריעת נאש גם ניתן להגדיר מבנה של יריעת ואגדי נאש. בשונה ממושג האוריינטציה, לדואליות ורדיה דוקה יש גרסאות עבור יריעות אלגבריות מעל שדה כללי (ואף לסכמות מסוימות). גרסה אחת, עבור אלומות קוהרנטיות, נקראת דואליות גרותנדיק. הקשר של גרסה זאת לאוריינטציה רופף כי בה אלומת האוריינטציות מוחלפת באלומת התבניות הדיפרנציאליות. יש גרסאות נוספות עבור D-מודולים, אלומות l {\displaystyle l} -אדיות ואלומות סוטות l {\displaystyle l} -אדיות. גרסאות אלה קשורות יותר למושג האוריינטציה. ערכים מורחבים – פסאודו וקטור, סימטריה בפיזיקה מושגים הדורשים בחירת אוריינטציה כלל יד ימין מכפלה וקטורית כיוון השעון ימין ושמאל (כיוונים במרחב) מעלה של העתקה אינדקס חיתוך המחלקה היסודית מושגים קשורים פסאודו וקטור דטרמיננטה תבנית דיפרנציאלית V. Guillemin, A. Pollack, Diﬀerential Topology, Englewood Cliﬀs, N.J. : Prentice-Hall, 1974 Michael Spivak, Calculus on Manifolds HarperCollins, 1965 Marvin J. Greenberg, John R. Harper, Algebraic topology: a first course Benjamin/Cummings Pub. Co., 1981 Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002 אוריינטציה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) אוריינטציה, באתר MathWorld (באנגלית) Orientation of manifolds ו-Orientation covering, ב-Manifold Atlas (באנגלית) זאת אומרת, תבניות שאינן מתאפסות באף נקודה. אם חבורה זו טריוויאלית אז היריעה איננה אוריינטבילית אינדקס חיתוך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית). נגד כיוון השעון שדה וקטורי נורמלי למשטח הוא התאמה של וקטור באורך יחידה לכל נקודה במשטח המאונך למשטח בנקודה זאת. בחירת בסיס מזהה את המרחב עם R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} שבו המכפלה הווקטורית מגדרת. מטריצת המעבר בין שני בסיסים ארתונורמלים היא אורתוגונלית, ולכן הדטרמיננטה שלה היא ±1 אם להחליף את המספר 1 במספר חיובי כלשהו היא תהייה תקפה למרחבים ליניאריים באופן דומה מושג היריעה החלקה מבוסס על המושג (הפשוט יותר) של העתקה חלקה מ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} לעצמו. במקרה הטריוויאלי נדון בהמשך למעשה המרחבים הפיזיקאלים האלו אינם מרחבים ווקטוריים, אלא מרחבים אפיניים. זאת אמרת, שעל מנת להגדיר עליהם מבנה של מרחב ווקטורי יש לבחור את ראשית הצירים. אולם אין הדבר משנה לצורך הגדרת אוריינטציה. לעיתים מכנים תבנית דיפרנציאליות הפיכות "תבנית נפח". כינוי זה עלול לבלבל כי לעיתים הוא מתייחס לאגד הצפיפויות הסיבה לכך היא שלהבדיל ממחלקת שקילות של תבניות, מחלקת שקילות של בסיסים אינה קמורה, (ואף אינה כוויצה) אטלס חלק על יריעה חלקה הוא אוסף של דיפאומורפיזמים ϕ α : U α → R n {\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}} מתתי-קבוצות פתוחות של M {\displaystyle M} φ α β = φ β ∘ φ α − 1 | φ α ( U α ∩ U β ) : φ α ( U α ∩ U β ) → φ β ( U α ∩ U β ) . {\displaystyle \varphi _{\alpha \beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}|_{\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}\colon \varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta }).} כאן אנו משתמשים בכך שמחלקת שקילות של תבניות קמורה. השם נורמלי עלול להטעות, מכיוון שהמרחב הנורמלי N o r m N , x M {\displaystyle Norm_{N,x}^{M}} אינו תת-מרחב במרחב המשיק T x M {\displaystyle T_{x}M} ולכן לא יכול להיות מאונך ל- T x N {\displaystyle T_{x}N} . אבל בהינתן מטריקה רימנית על M {\displaystyle M} ניתן לזהות את המרחב הנורמלי עם האנך ל- T x N {\displaystyle T_{x}N} בתוך . T x M {\displaystyle .T_{x}M} חצי-מרחב משיק ליריעה עם שפה M {\displaystyle M} בנקודה x {\displaystyle x} על השפה, הוא חצי-מרחב בתוך המרחב המשיק T x M {\displaystyle T_{x}M} המכיל את הכיוונים המפנים לתוך M {\displaystyle M} כל תבנית דיפרנציאלית על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} אפשר לרשום בתור מכפלה של פונקציה והתבנית הסטנדרטית (התבנית היחידה המקיימת , ω ( e 1 , … , e n ) = 1 {\displaystyle ,\omega (e_{1},\dots ,e_{n})=1} כאשר ⟨ e 1 , … , e n ⟩ {\displaystyle \langle e_{1},\dots ,e_{n}\rangle } הוא הבסיס הסטנדרטי) הגדרה זאת מניחה ש M {\displaystyle M} היא יריעה בלי שפה (או לפחות ש x {\displaystyle x} לא נמצאת על השפה של M {\displaystyle M} ). לצורך הגדרת מושג האוריינטציה ניתן להתעלם מהשפה. אם X {\displaystyle X} הוא יריעה אז הקומפלקס המדאל הוא אלומת האוריינטציות מוזזת בממד היריעה זאת אומרת בסיסים שבהם מטריצת התבנית הריבועית היא סטנדרטית