חבורת מנה

באלגברה, חבורת מנה היא חבורה המתקבלת מ"קיפול" האיברים של חבורה נתונה, בהתאמה לתת-חבורה נורמלית. הבניה של חבורות מנה היא מן הבניות היסודיות ביותר בתורת החבורות (ובאלגברה בכלל), וחבורות המנה מופיעות באופן טבעי בכל מקום שבו מוגדר הומומורפיזם מחבורה לחבורה אחרת, או כאשר חבורה פועלת על מרחב. תהא G {\displaystyle G} חבורה ותהא N ◃ G {\displaystyle N\triangleleft G} תת-חבורה נורמלית שלה. הנורמליות פירושה שלכל איבר a {\displaystyle a} בחבורה, המחלקות N a = { n a : n ∈ N } , a N = { a n : n ∈ N } {\displaystyle Na=\{na:n\in N\},\,aN=\{an:n\in N\}} שוות זו לזו. נתבונן באוסף המחלקות G / N = { a N : a ∈ G } {\displaystyle G/N=\{aN:a\in G\}} . כפל הקבוצות a N ⋅ b N = a ( N b ) N = a ( b N ) N = ( a b ) N N = a b N {\displaystyle aN\cdot bN=a(Nb)N=a(bN)N=(ab)NN=abN} מראה שהפעולה a N ⋅ b N = a b N {\displaystyle aN\cdot bN=abN} מחזירה איבר של G / N {\displaystyle G/N} , ואינה תלויה בנציגים. פעולה זו הופכת את G / N {\displaystyle G/N} לחבורה, הנקראת "חבורת המנה של G {\displaystyle G} ביחס ל- N {\displaystyle N} ". האיבר האדיש בחבורה זו הוא הקבוצה e N = N {\displaystyle eN=N} . הוכחה כי G / N {\displaystyle G/N} חבורה ביחס לכפל מחלקות: הפעולה אסוציאטיבית משום שלכל a N , b N , c N ∈ G / N {\displaystyle aN,bN,cN\in G/N} מתקיים a N ⋅ ( b N ⋅ c N ) = ( a ( b c ) ) N = ( ( a b ) c ) N = ( a N ⋅ b N ) ⋅ c N {\displaystyle aN\cdot (bN\cdot cN)=(a(bc))N=((ab)c)N=(aN\cdot bN)\cdot cN} לפי אסוציאטיביות הכפל ב- G {\displaystyle G} . המחלקה N = e N {\displaystyle N=eN} היא איבר יחידה של הפעולה, משום שלכל a N ∈ G / N {\displaystyle aN\in G/N} מתקיים N ⋅ a N = ( e a ) N = a N , a N ⋅ e N = ( a e ) N = a N {\displaystyle N\cdot aN=(ea)N=aN,\,aN\cdot eN=(ae)N=aN} . לכל a N ∈ G / N {\displaystyle aN\in G/N} יש איבר הופכי, a − 1 N {\displaystyle a^{-1}N} – שהרי a N ⋅ a − 1 N = ( a a − 1 ) N = N {\displaystyle aN\cdot a^{-1}N=(aa^{-1})N=N} . חבורת המנה איננה תת-חבורה של G {\displaystyle G} . איבריה הם תת-קבוצות של G {\displaystyle G} ולא איברים של G {\displaystyle G} . הסדר של חבורת המנה G / N {\displaystyle G/N} הוא האינדקס של N {\displaystyle N} בתוך G {\displaystyle G} , שאותו מסמנים ב- [ G : N ] {\displaystyle [G:N]} , ומתקיים | G | = [ G : N ] ⋅ | N | {\displaystyle |G|=[G:N]\cdot |N|} . כאשר G , N {\displaystyle G,N} סופיות, האינדקס שווה ל- | G | | N | {\displaystyle {\frac {|G|}{|N|}}} – מנת הסדרים של G , N {\displaystyle G,N} . העובדה שסדר זה חייב להיות שלם מוכיחה, למעשה, את משפט לגראנז'. G / G ≅ { e } {\displaystyle G/G\cong \{e\}} , ואילו G / { e } ≅ G {\displaystyle G/\{e\}\cong G} . נביט ב- ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} , חבורת המספרים השלמים עם פעולת החיבור, ובתת-החבורה שלה ( 2 Z , + ) {\displaystyle (2\mathbb {Z} ,+)} , חבורת כל המספרים הזוגיים עם פעולת החיבור. זוהי תת-חבורה נורמלית שכן Z {\displaystyle \mathbb {Z} } חילופית ולכן כל תת-חבורה שלה נורמלית. ל- 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } שתי מחלקות: { 2 n : n ∈ Z } , { 2 n + 1 : n ∈ Z } {\displaystyle \{2n:n\in \mathbb {Z} \},\,\{2n+1:n\in \mathbb {Z} \}} . לכן Z / 2 Z ≅ Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} _{2}} , כלומר חבורת המנה איזומורפית לחבורת השלמים מודולו 2 (שהיא החבורה היחידה בת שני איברים עד כדי איזומורפיזם). ובאופן כללי Z / n Z ≅ Z n {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} _{n}} , כאשר n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } היא תת-החבורה של Z {\displaystyle \mathbb {Z} } הכוללת את האיברים המתחלקים ב- n {\displaystyle n} . מסמנים ב- G L n ( F ) {\displaystyle \mathbf {GL} _{n}(F)} את חבורת המטריצות ההפיכות מסדר n {\displaystyle n} מעל השדה F {\displaystyle F} , וב- S L n ( F ) {\displaystyle \mathbf {SL} _{n}(F)} את חבורת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן שווה ל-1. השנייה היא תת-חבורה נורמלית בראשונה, וחבורת המנה איזומורפית לחבורה הכפלית של השדה. את אוסף המחלקות השמאליות G / H {\displaystyle G/H} אפשר לבחון לכל תת-חבורה H {\displaystyle H} , גם אם היא אינה נורמלית ב- G {\displaystyle G} . חשיבותה העיקרית של קבוצה מסוג זה היא בכך שהחבורה פועלת עליה פעולה טרנזיטיבית, g : x H → g x H {\displaystyle g:xH\to gxH} , כאשר המייצב של הנקודה H {\displaystyle H} הוא החבורה H {\displaystyle H} עצמה. מתברר שכל קבוצה שעליה פועלת G {\displaystyle G} באופן טרנזיטיבי איזומורפית לקבוצת מנה מן הטיפוס הזה. משפטי האיזומורפיזם חוג מנה אלגברת מנה חבורת מנה, באתר MathWorld (באנגלית)