אקסיומת הבנייה

אקסיומת הבנייה היא אקסיומה הטוענת, שכל קבוצה היא "בת-בנייה"; או בנוסח המקורי: שמחלקת הקבוצות היא מחלקת-הקבוצות בנות-הבנייה. מגמתה של האקסיומה זו - היא, "למזער-אונטולוגית" את מחלקת הקבוצות - עד למינימום - ולמעשה עד למחלקת-הקבוצות הנוצרת ממערכת אקסיומות צרמלו פרנקל לבדן. מובנה האינטואיטיבי של האקסיומה הוא אפוא, שכל קבוצה יכולה להיבנות ממערכת זו. מבחינה זו: יחסה של תורת הקבוצות לאקסיומת הבנייה, מקביל אל יחסה של האריתמטיקה לאקסיומת האינדוקציה - שאף היא מיועדת למזער למינימום (ולמעשה עד לקבוצת המספרים הטבעיים) את האונטולוגיה של האריתמטיקה. הראשון שרמז לאקסיומה הזו - בכנותו אותה "אקסיומת ההגבלה" - היה המתמטיקאי אברהם הלוי פרנקל, בשנת 1922; עם זאת, הוא ניסח אותה בשפת-על (בלתי פורמלית) - כזו הכרוכה במונחים חיצוניים (כגון המונח "אקסיומות" וכדומה). המתמטיקאים של זמנו אף הסתייגו ממנה, וקראו לה "אקסיומה אד-הוק". הראשון שניסח את האקסיומה - ללא שימוש במונחים חיצוניים - אלא על ידי ניסוח תקני בשפה הפורמלית הרגילה של מערכת צרמלו-פרנקל (באופן מקביל אל תקניות הניסוח של אקסיומת האינדוקציה באריתמטיקה), היה המתמטיקאי והלוגיקן האוסטרי קורט גדל, בשנת 1935. אקסיומת הבניה מכריעה כמה השערות מפורסמות: היא בראש ובראשונה מכריעה לחיוב את השערת הרצף המוכללת (וממילא גם את אקסיומת הבחירה הנובעת מהשערת הרצף המוכללת), כפי שהוכיח גדל בשנת 1938. מאוחר יותר התברר שהיא גם מכריעה לחיוב את ההשערה בדבר קיומה של קבוצה פשוטה בלתי מדידה של מספרים ממשיים, וכן שהיא מכריעה לשלילה את השערת סוסלין. כמו כן, אקסיומת הבניה גוררת את אקסיומת היסוד, המהווה באופן מסורתי חלק בלתי נפרד מתורת הקבוצות האקסיומטית. חשיבותה של אקסיומת הבניה התגלתה בשנת 1940, כשגדל הוכיח כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם אליה תתווסף אקסיומת הבניה. תגלית זו איפשרה לגדל להוכיח, לראשונה, כי - אם מערכת צרמלו פרנקל עקבית - אז היא תישאר כזו גם אם אליה תתווסף השערת הרצף (מסקנה מקבילה תהיה תקפה גם לגבי כל ההשערות האחרות המוכרעות לחיוב על ידי אקסיומת הבניה). למרות עיקביותה המוכחת של אקסיומת הבניה - ביחס למערכת צרמלו פרנקל, ועל אף שהעקביות הזו מספיקה לשם הכרעת עקביותן (לאו דווקא נכונותן) של כמה השערות מפורסמות (ובכללן השערת הרצף כאמור) - ביחס למערכת צרמלו פרנקל, הרי שעצם נכונותה של אקסיומת הבניה - שנויה במחלוקת: אפילו גדל עצמו, מנסחה הראשון (פורמלית), סבר כי היא אינה אינטואיטיבית דיה - בהגבילה אד-הוק ובאופן שרירותי ומוגזם על פניו את יקום הקבוצות. הגד דומה הועלה בזמנו כנגד גרסתה המיושנת יותר: "אקסיומת ההגבלה" (ראו לעיל). ערך מורחב – L האופן המקובל לסמן את מה שטוענת אקסיומת הבניה, הוא: V=L, זאת כאשר V מסמן את מחלקת הקבוצות, בעוד ש-L מסמן את מחלקת הקבוצות הניתנות לבניה. המחלקה L מוגדרת באינדוקציה טרנספיניטית על פני כל הסודרים: L α + 1 {\displaystyle L_{\alpha +1}} מוגדר להיות אוסף כל הקבוצות הגדירות מתוך איברים של L α {\displaystyle L_{\alpha }} , במודל ( L α , ∈ ) {\displaystyle (L_{\alpha },\in )} . בסודרים גבוליים לוקחים את איחוד כל השלבים הקודמים. אפשר לראות כי קבוצה גדירה בתוך מודל מהצורה ( A , ∈ ) {\displaystyle (A,\in )} אם ורק אם היא תת-קבוצה של A שמתקבלת באמצעות הפעלה בסדר מסוים של הפעולות הבאות על הקבוצות ההתחלתיות A n , i , j = = { x ∈ A n | x i = x j } , A n , i , j ∈ = { x ∈ A n | x i ∈ x j } {\displaystyle A_{n,i,j}^{=}=\{x\in A^{n}|x_{i}=x_{j}\},\,A_{n,i,j}^{\in }=\{x\in A^{n}|x_{i}\in x_{j}\}} (האינדקסים רצים על כל המספרים הטבעיים): חיתוך של זוג קבוצות (מקביל להפעלת הקשר הלוגי "וגם"). לקיחת משלים ביחס ל-An המתאים (מקביל להפעלת הקשר הלוגי שלילה). הטלה לפי קואורדינטה מסוימת (מקביל להפעלת הכמת "קיים"). כלומר ניתן לבנות אותה מתוך הקבוצה המקורית באמצעות אוסף מצומצם של פעולות בסיסיות, ומכאן השם. השערת הרצף השערת סוסלין קבוצה מדידה אקסיומת היסוד