משפט הוויראליות

במכניקה ובייחוד במכניקה אנליטית ובמכניקה סטטיסטית, משפט הוויראליות מקשר בין הממוצע על הזמן של האנרגיה הקינטית של המערכת, ⟨ T ⟩ {\displaystyle \left\langle T\right\rangle } , והממוצע על הזמן של האנרגיה הפוטנציאלית , ⟨ U ⟩ {\displaystyle \left\langle U\right\rangle } . המשפט קובע שבמערכת שתנועתה סופית, כלומר מערכת בה גם בזמן אינסוף המרחק בין הגופים סופי, ושהאנרגיה הפוטנציאלית שלה היא פונקציה הומוגנית מסדר   k {\displaystyle \ k} של הקואורדינטות, אזי: 2 ⟨ T ⟩ = k ⟨ U ⟩ {\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =k\left\langle U\right\rangle } . נגדיר ממוצע על הזמן של גודל כלשהו:   ⟨ f ⟩ = lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ f ( t ) d t {\displaystyle \ \left\langle f\right\rangle =\lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }f(t)dt} . המשפט קובע שבמערכת בה התנועה מוגבלת לאזור סופי של המרחב לכל זמן, והאנרגיה הפוטנציאלית שלה לא תלויה במהירויות, מתקיים: 2 ⟨ T ⟩ = ∑ a = 1 N ⟨ r a ⋅ ∂ U ∂ r a ⟩ {\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =\sum _{a=1}^{N}\left\langle \mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}\right\rangle } . כאשר   T {\displaystyle \ T} היא האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת,   U {\displaystyle \ U} האנרגיה הפוטנציאלית ו r a {\displaystyle \mathbf {r} _{a}} הקואורדינטות המוכללות. אם האנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית מסדר   k {\displaystyle \ k} של הקואורדינטות אזי המשפט מקבל את הצורה 2 ⟨ T ⟩ = k ⟨ U ⟩ {\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =k\left\langle U\right\rangle } . האנרגיה הקינטית   T {\displaystyle \ T} היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות, לכן על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: 2 T = ∑ a = 1 N v a ⋅ ∂ T ∂ v a {\displaystyle 2T=\sum _{a=1}^{N}\mathbf {v} _{a}\cdot {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{a}}}} . במערכת מכנית בה האנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירויות מתקיים: ∂ T ∂ v a = ∂ L ∂ v a = p a {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{a}}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} _{a}}}=\mathbf {p} _{a}} . כאשר   L {\displaystyle \ L} הוא הלגראנז'יאן ו p a {\displaystyle \mathbf {p} _{a}} הם התנעים המוכללים. לכן נקבל: 2 T = ∑ a = 1 N p a ⋅ v a = d d t ( ∑ a = 1 N p a ⋅ r a ) − ∑ a = 1 N r a ⋅ d p a d t {\displaystyle 2T=\sum _{a=1}^{N}\mathbf {p} _{a}\cdot \mathbf {v} _{a}={\frac {d}{dt}}(\sum _{a=1}^{N}\mathbf {p} _{a}\cdot \mathbf {r} _{a})-\sum _{a=1}^{N}\mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {d\mathbf {p} _{a}}{dt}}} . נזכור כעת ש: d p a d t = − ∂ U ∂ r a {\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{a}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}} ולכן: 2 T = d d t ( ∑ a = 1 N p a ⋅ r a ) + ∑ a = 1 N r a ⋅ ∂ U ∂ r a {\displaystyle 2T={\frac {d}{dt}}(\sum _{a=1}^{N}\mathbf {p} _{a}\cdot \mathbf {r} _{a})+\sum _{a=1}^{N}\mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}} . נסמן: F ( t ) = ∑ a = 1 N p a ( t ) ⋅ r a ( t ) {\displaystyle F(t)=\sum _{a=1}^{N}\mathbf {p} _{a}(t)\cdot \mathbf {r} _{a}(t)} . כעת נבצע ממוצע על פי הזמן עבור האיבר השמאלי בביטוי הימני: lim τ → ∞ 1 τ ∫ 0 τ d d t F ( t ) d t = lim τ → ∞ F ( τ ) − F ( 0 ) τ = 0 {\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {d}{dt}}F(t)dt=\lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {F(\tau )-F(0)}{\tau }}=0} . וזאת משום שהתנועה סופית ולכן   F ( τ ) {\displaystyle \ F(\tau )} ו   F ( 0 ) {\displaystyle \ F(0)} סופיים. לכן: ⟨ 2 T ⟩ = 2 ⟨ T ⟩ = 0 + ⟨ ∑ a = 1 N r a ⋅ ∂ U ∂ r a ⟩ = ∑ a = 1 N ⟨ r a ⋅ ∂ U ∂ r a ⟩ {\displaystyle \left\langle 2T\right\rangle =2\left\langle T\right\rangle =0+\left\langle \sum _{a=1}^{N}\mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}\right\rangle =\sum _{a=1}^{N}\left\langle \mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}\right\rangle } . כאשר   U {\displaystyle \ U} היא פונקציה הומוגנית מסדר   k {\displaystyle \ k} של הקואורדינטות אז על פי משפט אוילר לפונקציות הומוגניות נקבל: ∑ a = 1 N r a ⋅ ∂ U ∂ r a = k U {\displaystyle \sum _{a=1}^{N}\mathbf {r} _{a}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{a}}}=kU} ולפיכך:   2 ⟨ T ⟩ = ⟨ k U ⟩ = k ⟨ U ⟩ {\displaystyle \ 2\left\langle T\right\rangle =\left\langle kU\right\rangle =k\left\langle U\right\rangle } . ערך מורחב – בעיית קפלר מסקנה פשוטה של המשפט מתקבלת עבור בעיית קפלר. עבור כח משיכה ניוטוני מתקיים:   k = − 1 {\displaystyle \ k=-1} ולכן 2 ⟨ T ⟩ = − ⟨ U ⟩ {\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =-\left\langle U\right\rangle } ומכאן E = ⟨ T ⟩ + ⟨ U ⟩ = − ⟨ T ⟩ {\displaystyle E=\left\langle T\right\rangle +\left\langle U\right\rangle =-\left\langle T\right\rangle } . כאשר   E {\displaystyle \ E} היא האנרגיה הכוללת של המערכת. מכאן ניתן להסיק שאם תנאי המשפט מתקיימים אזי האנרגיה בהכרח שלילית. כלומר תנועה למרחק סופי תתקיים אם ורק אם האנרגיה שלילית. תוצאה זו זהה לתוצאה הידועה לנו מפתרון בעיית קפלר הנותנת תנועה אליפטית או מעגלית אם האנרגיה שלילית. עבור שאר האפשרויות תתקבל תנועה לא סופית. ערך מורחב – בעיית המסה החסרה אם נצפה אזור ביקום שמלא באופן חריג בגלקסיות, ניתן להניח שהגלקסיות הללו נעו ביחד זמן ממושך, ולכן ניתן להפעיל את משפט הוויראליות. כיון שהכוח הפועל הוא כוח משיכה גרביטציוני, מתקיים הקשר: 2 ⟨ T ⟩ = − ⟨ U ⟩ {\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle =-\left\langle U\right\rangle } . ממדידות של אפקט דופלר ניתן למצוא את המהירויות היחסיות של הגלקסיות ואז מהפעלת משפט הוויראליות ניתן למצוא את המסה הכוללת של האזור כולל החומר האפל שבו. כאשר ביצע פריץ צוויקי את המדידות האלו בשנת 1933, הוא גילה שהמסה הכוללת של האזור בו צפה גדולה בהרבה מהמסה של החומר הנראה באזור זה. גילוי זה גרם לצוויקי לחזות את קיומו של החומר האפל. L.D. Landau and E.M. Lifshitz. (1960). Mechanics. Pergamon Press H. Goldstein. (1980). Classical Mechanics (2nd ed.). Addison–Wesley