בעיה n-גופית

בפיזיקה, הבעיה ה-n-גופית היא הבעיה של חיזוי תנועה של קבוצת עצמים שמימיים המקיימים אינטראקציית כבידה זה עם זה. המוטיבציה לפתרון הבעיה היה הרצון להבין את תנועות השמש, הירח וכוכבי הלכת והכוכבים. במאה ה-20, הבנת הדינמיקה של מערכות כוכבי צביר כדוריות הפכה לבעיה n-גופית חשובה. הבעיה ה-n-גופית בתורת היחסות הכללית קשה הרבה יותר לפתרון, גם בשל המורכבות המתמטית של התיאוריה וגם עקב גורמים נוספים כמו עיוותי זמן ומרחב. באמצעות נתונים של שלושה מיקומים של כוכב לכת במסלולו – מיקומים שקיבל סר אייזק ניוטון מהאסטרונום ג'ון פלמסטיד (אנ') – ניוטון הצליח לנסח משוואה, שחוזה את תנועתו של כוכב לכת; כלומר, נותנת את מאפייני המסלול שלו: מיקום, קוטר מסלול, זמן מחזור ומהירות מסלול. אך במהרה התגלה כי משוואות התנועה הללו לא חזו בדיוק חלק מהמסלולים. ניוטון הבין שחוסר הדיוק נובע מכוחות הכבידה שכוכבי הלכת מפעילים זה על זה. תובנה זו פוגעת הישר בלב הבעיה ה-n-גופית: כפי שניוטון הבין, לא מספיק לדעת את המיקום והמהירות ההתחלתית או שלוש קוארדינטות על המסלול, כדי למצוא את המסלול של כוכב לכת; יש גם להיות מודעים לכוחות הכבידה שמפעילים עליו כוכבי הלכת האחרים. כך התעוררה, בתחילת המאה ה-17, המודעות ל"בעיה ה-n גופית". כוחות משיכה כבידה אלה אכן מתאימים לחוקי התנועה של ניוטון ולחוק הכבידה האוניברסלי שלו, אך האינטראקציות המרובות (n גופים) הופכות את הפתרון המדויק לבלתי אפשרי במקרה הכללי. מציאת הפתרון הכללי של הבעיה ה-n-גופית נחשבה חיונית ועם זאת מאתגרת מאוד. ואכן, בסוף המאה ה-19, מלך שוודיה אוסקר השני, הכריז על פרס למי שיציע פתרון לבעיה. הבעיה ה-n-גופית מניחה n מסות נקודתיות mi, i = 1, 2, …, n במערכת ייחוס אינרציאלית במרחב תלת־ממדי, שנעות תחת השפעת כוחות משיכה הדדית של כבידה. לכל מסה mi יש וקטור מיקום qi. על פי החוק השני של ניוטון, מסה כפול תאוצת הגוף שווה לסך כל הכוחות שפועלים עליה. על פי חוק הכבידה העולמי של ניוטון כוח המשיכה ששתי מסות mj ו mi מפעילות זו על זו הוא F i j = G m i m j ‖ q j − q i ‖ 2 ( q j − q i ) ‖ q j − q i ‖ = G m i m j ( q j − q i ) ‖ q j − q i ‖ 3 , {\displaystyle \mathbf {F} _{ij}={\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}}}\,{\frac {\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}={\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}},} כאשר G הוא קבוע הכבידה העולמי ו ‖ q j − q i ‖ {\displaystyle \left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|} המרחק בין המסות. סיכום הכוחות על כל המסות נותן את משוואות התנועה ל-n הגופים m i d 2 q i d t 2 = ∑ j = 1 j ≠ i n G m i m j ( q j − q i ) ‖ q j − q i ‖ 3 = − ∂ U ∂ q i {\displaystyle m_{i}{\frac {d^{2}\mathbf {q} _{i}}{dt^{2}}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{\frac {Gm_{i}m_{j}\left(\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right)}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{3}}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {q} _{i}}}} כאשר U {\displaystyle U} היא האנרגיה הפוטנציאלית של המערכת U = − ∑ 1 ≤ i < j ≤ n G m i m j ‖ q j − q i ‖ . {\displaystyle U=-\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|}}.} עם הגדרת המומנטום p i = m i d q i d t {\displaystyle \mathbf {p} _{i}=m_{i}{\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}} משוואות התנועה ההמילטוניות לבעיה ה-n-גופית הופכות ל d q i d t = ∂ H ∂ p i d p i d t = − ∂ H ∂ q i , {\displaystyle {\frac {d\mathbf {q} _{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} _{i}}}\qquad {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} _{i}}},} כאשר ההמילטוניאן הוא H = T + U {\displaystyle H=T+U} ו T האנרגיה הקינטית הכוללת של המערכת T = ∑ i = 1 n ‖ p i ‖ 2 2 m i . {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left\|\mathbf {p} _{i}\right\|^{2}}{2m_{i}}}.} על פי משוואות התנועה ההמילטוניות הבעיה ה-n-גופית מהווה מערכת של 6n משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון, עם 6n תנאי התחלה - 3n קואורדינטות מיקום התחלתיות ו 3n ערכי תנע התחלתיים. סימטריות בבעיה ה-n-גופית מספקות קבועי תנועה, באופן שמפשט את הבעיה. היות שהבעיה סימטרית להזזה מתקיים חוק שימור התנע הכולל של המערכת, ולכן מרכז המסה C = ∑ i = 1 n m i q i ∑ i = 1 n m i {\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {q} _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}}}} נע במהירות קצובה ובקו ישר. כלומר C = L0t + C0, כאשר L0 היא המהירות הקווית ו-C0 היא המיקום ההתחלתי. קבועי התנועה L0 ו - C0 מהווים סה"כ שישה קבועי תנועה. סימטריה סיבובית גורמת לכך שהתנע הזוויתי הכולל הוא קבוע A = ∑ i = 1 n q i × p i , {\displaystyle \mathbf {A} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {q} _{i}\times \mathbf {p} _{i},} כאשר × {\displaystyle \times } הוא אופרטור המכפלה הווקטורית. שלושת המרכיבים של התנע הזוויתי הכולל A מהווים שלושה קבועי תנועה נוספים. קבוע התנועה האחרון מתקבל משימור האנרגיה H. מכאן שלכל בעיה n-גופית יש עשרה קבועי תנועה. מכיוון ש - T ו - U הם פונקציות הומוגניות מדרגה 2 ו-1, בהתאמה, משוואות התנועה אינווריאנטיות לכיול: כלומר, אם qi(t) הוא פתרון, אז גם λ−2/3qi(λt) הוא פתרון לכל λ > 0. ערך מורחב – בעיית קפלר בעיית שני הגופים הכללית עוסקת בשני גופים ופוטנציאל כללי שתלוי אך ורק במרחק בין שני הגופים. בעיית קפלר הוא מקרה פרטי החשוב ביותר, שבו המרחב הוא תלת־ממדי והפוטנציאל הוא פוטנציאל חוק הכבידה העולמי. בעיית קפלר (n = 2) נפתרה על ידי יוהאן ברנולי (1667–1748) באמצעות התיאוריה הקלאסית (ולא על ידי ניוטון) על ידי הנחה שמסת הנקודה העיקרית הייתה קבועה; בתנועה של שני גופים, למשל השמש וכדור הארץ, כשהשמש קבועה, ואז: m 1 a 1 = G m 1 m 2 r 12 3 ( r 2 − r 1 ) Sun–Earth m 2 a 2 = G m 1 m 2 r 21 3 ( r 1 − r 2 ) Earth–Sun {\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\mathbf {a} _{1}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{12}^{3}}}(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})&&\quad {\text{Sun–Earth}}\\m_{2}\mathbf {a} _{2}&={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r_{21}^{3}}}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})&&\quad {\text{Earth–Sun}}\end{aligned}}} המשוואה המתארת את תנועת המסה m2 ביחס למסה m1 מתקבלת מההפרש של שתי המשוואות הללו, ולאחר ביטול איברים משותפים מתקבל: α + η r 3 r = 0 {\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} } כאשר r = r2 − r1 הוא וקטור המיקום של m1 α הוא וקטור התאוצה האוילרית d 2 r d t 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}} η = G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \eta =G(m_{1}+m_{2})} המשוואה α + η r 3 r = 0 {\displaystyle \mathbf {\alpha } +{\frac {\eta }{r^{3}}}\mathbf {r} =\mathbf {0} } היא המשוואה הדיפרנציאלית היסודית לבעיה הדו-גופית תחת שדה כבידה. ערך מורחב – בעיית שלושת הגופים סעיף זה מתייחס לפתרון הבעיה ה-n גופית לאחר שנעשו הנחות מפשטות. בעבר לא היה ידוע הרבה על הבעיה ה-n-גופית עבור n ≥ 3. המקרה התלת-גופי (n = 3) נחקר ביותר. ניסיונות רבים קודמים להבין את בעיית שלושת הגופים היו כמותיים, ומטרתם הייתה למצוא פתרונות מפורשים למצבים ספציפיים. ב-1687 פרסם אייזק ניוטון ב-Principia את השלבים הראשונים בחקר בעיית התנועות של שלושה גופים הכפופים למשיכה ההדדית של הכבידה שלהם. בשנת 1767, מצא אוילר תנועות קולינאריות, שבהן שלושה גופים נעים לאורך קו ישר קבוע. בעיית שלושת הגופים של אוילר היא מקרה מיוחד שבו שניים מהגופים מקובעים במרחב (אין לבלבל זאת עם בעיית שלושת הגופים המוגבלת מעגלית, שבה שני הגופים המסיביים מתארים מסלול מעגלי). בשנת 1772 גילה לגראנז' שני סוגים של פתרון מחזורי, כל אחד עבור שלושה גופים בכל מסה. בסוג אחד, הגופים נמצאים על קו ישר מסתובב. בסוג השני הגופים נמצאים על קודקודיו של של משולש שווה-צלעות מסתובב. בשני המקרים המסלולים של הגופים יהיו חתכים חרוטיים. פתרונות אלה הובילו למחקר של תצורות מרכזיות, שעבורן q̈ = kq עבור קבוע כלשהו k > 0. מחקר גדול על המערכת שמש-ארץ-ירח בוצע על ידי שארל-אוג'ן דלאוני(אנ'). העבודה מרמזת על הכאוטיות של הבעיה. בשנת 1917, פורסט ריי מולטון את ספרו מבוא למכניקה שמימית עם פתרון לבעיית שלושת הגופים המצומצמת. בהשראת בעיית שלושת הגופים המוגבלת המעגלית, ניתן לפשט מאוד את בעיית ארבעת הגופים על ידי התחשבות בגוף קטן יותר כבעל מסה קטנה בהשוואה לשלושת הגופים המאסיביים האחרים, שבתורם מתארים מסלולים מעגליים. זו ידועה כבעיית ארבעת הגופים המוגבלת הדו-מעגלית (הידועה גם כדגם דו-מעגלי). ניסוח זה היה רלוונטי מאוד באסטרודינמיקה, בעיקר למודל של מסלולי חלליות במערכת כדור הארץ-ירח בתוספת משיכה הכבידה של השמש. הבעיה הפלנטרית היא בעיה n-גופית, כאשר אחת המסות גדולה בהרבה מכל האחרות. דוגמה טיפוסית לבעיה פלנטרית היא המערכת שמש-צדק-שבתאי, שבה מסת השמש גדולה בערך פי 1000 מהמסות של צדק או שבתאי, פתרון מקורב לבעיה הוא לפרק אותה ל - n − 1 זוגות של בעיות קפלר של כוכב-כוכב, תוך התייחסות לאינטראקציות בין כוכבי הלכת כאל הפרעות. קירוב הפרעתי עובד היטב כל עוד אין תהודות מסלוליות במערכת, כלומר אף אחד מהיחסים של תדרי קפלר הלא מופרעים הוא מספר רציונלי. רזוננסים מופיעים כמכנים קטנים בפיתוח ההפרעתי. לכל פתרון של הבעיה, איזומטריה, הזזה בזמן והיפוך זמן נותן פתרון. אחת הדרכים לפתור את הבעיה ה-n-גופית היא באמצעות "טור טיילור" נתחיל בהגדרת מערכת משוואות דיפרנציאליות של הבעיה ה-n-גופית: d 2 x i ( t ) d t 2 = G ∑ k = 1 k ≠ i n m k ( x k ( t ) − x i ( t ) ) | x k ( t ) − x i ( t ) | 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}=G\sum _{k=1 \atop k\neq i}^{n}{\frac {m_{k}\left(\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right)}{\left|\mathbf {x} _{k}(t)-\mathbf {x} _{i}(t)\right|^{3}}}} כיוון ש x i ( t 0 ) {\displaystyle \mathbf {x_{i}} (t0)} ו d x i ( t 0 ) d t {\displaystyle {\frac {d\mathbf {x_{i}} (t_{0})}{dt}}} נתונים כתנאי התחלה, גם הנגזרות השניות ידועות ב- t 0 {\displaystyle t_{0}} . הגזירה של d 2 x i ( t ) d t 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{2}}}} ביחס ל-t נותן את d 3 x i ( t ) d t 3 {\displaystyle {\frac {d^{3}\mathbf {x} _{i}(t)}{dt^{3}}}} שגם אותו ניתן לחשב ב- t 0 {\displaystyle t_{0}} , וכך ניתן לחשב באופן איטרטיבי את טור טיילור המתאר את ההתפתחות בזמן של המערכת. אמנם ישנם פתרונות אנליטיים זמינים לבעיית שני הגופים הקלאסית (כלומר הלא-יחסותית) ולקונפיגורציות ספציפיות עם n > 2, אך באופן כללי יש לפתור או לדמות בעיות n-גופיות באמצעות שיטות נומריות. עבור מספר קטן של גופים, ניתן לפתור בעיה n-גופית באמצעות שיטות ישירות, הנקראות גם שיטות חלקיקים-חלקיקים. שיטות אלו משלבות באופן נומרי את משוואות התנועה הדיפרנציאליות. אינטגרציה נומרית לבעיה זו יכולה להיות מאתגרת מכמה סיבות: ראשית, פוטנציאל הכבידה הוא סינגולרי, ושואף לאינסוף כשהמרחק בין שני חלקיקים שואף לאפס. ניתן "לרכך" את פוטנציאל הכבידה על ידי הוספת איבר חיובי קטן במכנה כדי להסיר את הסינגולריות במרחקים קטנים: U ε = ∑ 1 ≤ i < j ≤ n G m i m j ‖ q j − q i ‖ 2 + ε 2 {\displaystyle U_{\varepsilon }=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{\sqrt {\left\|\mathbf {q} _{j}-\mathbf {q} _{i}\right\|^{2}+\varepsilon ^{2}}}}} שנית, באופן כללי עבור n > 2, הבעיה ה-n-גופית היא כאוטית, כלומר אפילו שגיאות קטנות באינטגרציה עשויות לגדול אקספוננציאלית בזמן. שלישית, סימולציה עשויה להיות על פני משכי זמן גדולים של המודל (למשל מיליוני שנים) ושגיאות מספריות מצטברות ככל שגדל מספר צעדי האינטגרציה. ישנן מספר טכניקות לצמצום שגיאות באינטגרציה נומרית. מערכות קואורדינטות מקומיות משמשות להתמודדות עם סקאלות שונות בבעיות מסוימות. למשל, לסימולציה של המערכת שמש-ארץ-ירח. שיטות וריאציה או כאלה המשתמשות בתורת ההפרעות יכולות להניב מסלולים אנליטיים מקורבים ששניתן לדייק באמצעות אינטגרציה נומרית. שיטות ישירות המשתמשות באינטגרציה נומרית דורשות סדר גודל של 1 2 n 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}n^{2}} חישובים להערכת האנרגיה הפוטנציאלית. ולכן סיבוכיות הזמן שלהן היא O ( n 2 ) {\displaystyle O(n^{2})} . עבור סימולציות עם גופים מרובים, פקטור O ( n 2 ) {\displaystyle O(n^{2})} הופך את החישובים לבלתי מעשיים, ולכן פותחו שיטות מקורבות המפחיתות את סיבוכיות הזמן ביחס לשיטות הישירות. בעיית כבידה של שני גופים בעיית קפלר בעיית שלושת הגופים מדיה וקבצים בנושא בעיה n-גופית בוויקישיתוף Leimanis, E.; Minorsky, N., Dynamics and Nonlinear Mechanics, New York: John Wiley & Sons, 1958 Heggie, Douglas; Hut, Piet, The Gravitational Million-Body Problem, A Multidisciplinary Approach to Star Cluster Dynamics, Cambridge:: Cambridge University Press, 2003, ISBN 978-0-521-77303-4 Clark, David H.; Clark, Stephen P. H. (2001). The Suppressed Scientific Discoveries of Stephen Gray and John Flamsteed, Newton's Tyranny. W. H. Freeman and Co.. See Brewster, David (1905). "Discovery of gravitation, A.D. 1666". In Johnson, Rossiter (ed.). The Great Events by Famous Historians. Vol. XII. The National Alumni. pp. 51–65. Kurth, Rudolf, Introduction to the Mechanics of the Solar System., London: Pergamon Press, 1959, ISBN 978-0-08-009141-9 Arild Stubhaug, King Oscar’s Prize, Berlin, Heidelberg: Springer, 2010, עמ' 377–380, ISBN 978-3-642-11672-8. (באנגלית) Meyer, Kenneth Ray, Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the N-Body Problem, New York: Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-387-09724-4.. (באנגלית) Chenciner 2007 See Bate, Mueller, and White, Chapter 1: "Two-Body Orbital Mechanics", pp. 1–49. These authors were from the Department of Astronautics and Computer Science, United States Air Force Academy. Their textbook is not filled with advanced mathematics. See Leimanis and Minorsky's historical comments. Leonard Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics., New York.: McGraw-Hill Book Co., 1970, ISBN 978-0-07-041455-6 Huang, Su-Shu (1960). "Very Restricted Four-Body Problem". NASA TND-501. 65: 347. Bibcode:1960AJ.....65S.347H. doi:10.1086/108151. Le Guyader, C, Solution of the N-Body Problem Expanded Into Taylor Series of High Orders. Applications to the Solar System Over Large Time Range, Astronomy and Astrophysics 272, 1993, עמ' 687-694 Trenti, Michele; Hut, Piet, n-body simulations, Scholarpedia 3, 2008 Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems., New York.: Springer, 1996, עמ' 46–48