משפט סטוקס

במתמטיקה, משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. המשפט קרוי על שם ג'ורג' סטוקס והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים. בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית M {\displaystyle M} ותבנית דיפרנציאלית ω {\displaystyle \omega } המוגדרת על M {\displaystyle M} מתקיים: ∫ M d ω = ∫ ∂ M ω {\displaystyle \int _{M}\,\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega \!\,} כאשר d ω {\displaystyle d\omega } היא הנגזרת החיצונית של ω {\displaystyle \omega } ו- ∂ M {\displaystyle \partial M} היא השפה של M {\displaystyle M} . במרחב הווקטורי R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , ניתן לנסח את המשפט כך: ∮ ∂ A F → ⋅ d l → = ∬ A ( ∇ → × F → ) ⋅ d n ^ {\displaystyle \oint _{\partial A}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} l}}=\iint _{A}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}} , כאשר A {\displaystyle A} היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל מסילתי של השדה על שפת A {\displaystyle A} , והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך A {\displaystyle A} . שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים חוק סטוקס) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי. ערך מורחב – משפט גרין משפט גרין הוא מקרה פרטי של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא F → ( x , y ) = ( P , Q ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=(P,Q)} . במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין C {\displaystyle C} , נקרא לשטח החסום על ידי המסילה D {\displaystyle D} ויתקיים: ∮ C ( P d x + Q d y ) = ∮ C F → ⋅ d l → = ∬ D ( ∇ → × F → ) ⋅ z ^ d x d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y {\displaystyle \oint _{C}(P\,\mathrm {d} x+Q\,\mathrm {d} y)=\oint _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} l}}=\iint _{D}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot {\hat {z}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y} מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־ R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} היא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): ∭ V ( ∇ → ⋅ F → ) d V = ∬ S ⊂ ⊃ F → ⋅ d n ^ {\displaystyle \iiint _{V}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}})\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}} , כאשר V {\displaystyle V} הוא נפח ב־ R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , S = ∂ V {\displaystyle S=\partial V} היא המעטפת הכולאת אותו, ו־ n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} הוא וקטור נורמלי למשטח S {\displaystyle S} . האגף השמאלי הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של F → {\displaystyle {\vec {F}}} על הנפח V {\displaystyle V} , ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של השטף של F → {\displaystyle {\vec {F}}} דרך S {\displaystyle S} . גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס. משפט הגרדיאנט הוא הכללה של נוסחת ניוטון לייבניץ ואומר שאם γ : [ a , b ] → R n {\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}} מסילה גזירה ו- f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי: ∫ γ ( ∇ → f ) ⋅ d r → = f ( γ ( b ) ) − f ( γ ( a ) ) {\displaystyle \int _{\gamma }({\vec {\nabla }}f)\cdot {\vec {\mathrm {d} r}}=f(\gamma (b))-f(\gamma (a))} מדיה וקבצים בנושא משפט סטוקס בוויקישיתוף זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב בבלוג רשימות בפיזיקה עיונית. HIT משפט סטוקס - הסבר על משפט סטוקס, הרצאה של קורס במכון הטכנולוגי חולון, עברית משפט סטוקס, באתר MathWorld (באנגלית)