פונקציית הסתברות

בתורת ההסתברות, פונקציית הסתברות היא פונקציה המחזירה את ההסתברות שערכו של משתנה מקרי בדיד יהיה שווה בדיוק לערך כלשהו. בשונה מפונקציית הצפיפות, ההסתברות למאורע כלשהו מתקבלת ישירות על ידי הצבה בפונקציה, ולא באמצעות אינטגרציה שלה. יהי   X : Ω → R {\displaystyle \ X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} } משתנה מקרי בדיד המוגדר על מרחב מדגם   Ω {\displaystyle \ \Omega } . פונקציית ההסתברות   f X : R → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ f_{X}:\mathbb {R} \rightarrow [0,1]} מוגדרת על ידי f X ( x ) = Pr ( X = x ) = Pr ( { ω ∈ Ω : X ( ω ) = x } ) {\displaystyle \,f_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr(\{\omega \in \Omega :X(\omega )=x\})} . על-פי ההגדרה,   f X {\displaystyle \ f_{X}} מוגדרת עבור כל המספרים הממשיים, ומחזירה את הערך 0 בערכים ש-   X {\displaystyle \ X} אינו יכול לקבל. פונקציית ההסתברות מקיימת את שלוש האקסיומות הבאות: הסתברותו של כל מאורע במרחב המדגם גדולה או שווה לאפס ∀ A ∈ Ω P ( A ) ≥ 0 {\displaystyle \forall A\in \Omega P(A)\geq 0} סכום ההסתברויות של כל המאורעות במרחב המדגם שווה 1 Σ P ( ω i ) = P ( Ω ) = 1 {\displaystyle \Sigma P(\omega _{i})=P(\Omega )=1} סכום ההסתברויות של שני מאורעות זרים שווה להסתברות של איחוד מאורעות אלו, קרי אם A , B ∈ Ω {\displaystyle A,B\in \Omega } ומתקיים P ( A ∩ B ) = 0 {\displaystyle P(A\cap B)=0} אז P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)} ערכים מרכזיים: התפלגות ברנולי, התפלגות בינומית, והתפלגות גאומטרית ישנן שלוש התפלגויות בדידות מרכזיות: התפלגות ברנולי, ההתפלגות בינומית, וההתפלגות הגאומטרית. התפלגות ברנולי: X ∼ b ( p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {b} (p)} , נשתמש בה בכדי לתאר ניסוי בעל שתי תוצאות אפשריות בלבד. נהוג לכנות את התוצאות 1 ו-0, או הצלחה וכישלון, כאשר ההסתברות להצלחה נתונה לפי p. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג ברנולי נתונה על פי הנוסחה הבאה: P r ( X = k ) = { p , k = 1  םא 1 − p , k = 0  םא {\displaystyle Pr(X=k)={\begin{cases}p,&k=1{\text{ םא}}\\1-p,&k=0{\text{ םא}}\end{cases}}} אחת מהופעותיה הנפוצות של התפלגות ברנולי היא בעת הטלת מטבע. נניח כי S {\displaystyle S} הוא מרחב המדגם המייצג את כל התוצאות האפשריות של הטלת בודדת. נגדיר על S {\displaystyle S} משתנה מקרי X {\displaystyle X} הקובע את תוצאת הטלת המטבע כך שאם המטבע נחת על עץ ערכו יהיה 1 ואם נחת על פלי ערכו יהיה 0. ידוע כיההסתברות שהמטבע ינחת על עץ היא 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} . על פי הנוסחה הנתונה לעיל ובהינתן p = 1 2 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} ההסתברות להצלחה, נוכל לחשב את ההסתברות לכישלון: 1 − p = 1 − 1 2 = 1 2 {\displaystyle 1-p=1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}} . בסך הכל נקבל את פונקציית ההסתברות הבאה P r ( X = k ) = { 1 2 , k = 0 , 1 2 , k = 1 , 0 , k ∉ { 0 , 1 } . {\displaystyle Pr(X=k)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&k=0,\\{\frac {1}{2}},&k=1,\\0,&k\notin \{0,1\}.\end{cases}}} ההתפלגות הבינומית: X ∼ B i n ( n , p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} , נשתמש בה בכדי לתאר סדרה בת n {\displaystyle n} ניסויי ברנולי בלתי תלויים כאשר כולם בעליי הסתברות הצלחה p {\displaystyle p} . פונקציית ההסתברות משתנה מקרי המתפלג בינומית נתונה על פי הנוסחה הבאה: Pr ( X = k ) = ( n k ) p k q n − k {\displaystyle \Pr \left(X=k\right)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}} נרחיב את הדוגמה הנוגעת בהטלת מטבע כך שהפעם נטיל 7 פעמים מטבע קסם המאופיין בכך שההסתברות שייפול על עץ היא 0.6. במקום להציג את תוצאות הניסוי באמצעות שבעה משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים ברנולי: Y 1 , … , Y 7 ∼ b ( 0.6 ) {\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{7}\sim \mathrm {b} (0.6)} , נוכל לאגד את הניסויים תוך הגדרת משתנה מקרי המתפלג בינומית באופן הבא X ∼ B i n ( 7 , 0.6 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (7,0.6)} . נציב את הפרמטרים של X {\displaystyle X} בנוסחה לפקת פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג בינומית הנתונה לעיל ונקבל: Pr ( X = k ) = ( 7 k ) 0.6 k ( 1 − 0.6 ) 7 − k = ( 7 k ) 0.6 k ( 0.4 ) 7 − k {\displaystyle \Pr \left(X=k\right)={\binom {7}{k}}0.6^{k}(1-0.6)^{7-k}={\binom {7}{k}}0.6^{k}(0.4)^{7-k}} כעת נוכל לחשב את ההסתברות לכך שארבעה מתוך שבעת המטבעות ייפלו על עץ ביתר קלות: P r ( X = 4 ) = ( 7 4 ) ⋅ 0.6 4 ⋅ ( 1 − 0.6 ) 7 − 4 = ( 7 4 ) ⋅ 0.6 4 ⋅ ( 0.4 ) 3 = 0.290304 {\displaystyle Pr(X=4)={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot (1-0.6)^{7-4}={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot (0.4)^{3}=0.290304} ההתפלגות הגאומטרית: X ∼ G ( p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {G} (p)} , נשתמש בה כדי לתאר את כמות הפעמים שנצטרף לחזור על ניסוי בטרם תוצאה מסוימת תתקבל, כאשר ההסתברות לקבלת התוצאה המדוברת נתונה לפי p {\displaystyle p} . פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג גאומטרית נתונה על פי הנוסחה הבאה: P r ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 ⋅ p {\displaystyle Pr(X=k)=(1-p)^{k-1}\cdot p} נוכל להשתמש במשתנה מקרי המתפלג גאומטרית בכדי לתאר את תוצאות הניסוי הבא: נטיל מטבע רגיל עד לקבלת עץ בפעם הראשונה ונמנה את כמות ההטלות שנדרשו להשלמת הניסוי. לשם כך נגדיר משתנה מקרי X ∼ G ( 1 2 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {G} \left({\frac {1}{2}}\right)} נציב את הפרמטר הנתון p = 1 2 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} (המפרט את ההסתברות לקבלת עץ) בנוסחה לפונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג גאומטרית ונקבל: P r ( X = k ) = ( 1 − 1 2 ) k − 1 ⋅ 1 2 = 1 2 k {\displaystyle Pr(X=k)=(1-{\frac {1}{2}})^{k-1}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2^{k}}}} . כעת נוכל לחשב את ההסתברות שיידרשו 1 , 2 , … {\displaystyle 1,2,\dots } הטלות בכדי להשלים את הניסוי ביתר קלות. למשל ההסתברות שהמטבע ייפול על עץ בפעם הראשונה לאחר 5 הטלות היא: P r ( X = 5 ) = 1 2 5 = 1 32 {\displaystyle Pr(X=5)={\frac {1}{2^{5}}}={\frac {1}{32}}} . ההתפלגות האחידה רציפה: X ∼ U ( a , b ) {\displaystyle X\sim \mathrm {U} (a,b)} , נשתמש בה בכדי לתאר ניסוי שבו כל תוצאה מתקבלת באותה ההסתברות, כאשר טווח הערכים האפשרי נתון על ידי התחום [ a , b ] {\displaystyle \left[a,b\right]} . פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג בהתפלגות אחידה נתונה על פי הנוסחה הבאה: f ( x ) = { 1 b − a a ≤ x ≤ b 0 תרחא {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&a\leq x\leq b\\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}} נבחין בסקלר c {\displaystyle c} שהתווסף אל נוסחת הפונקציה. ייעודו הוא לוודא כי הסכום של כלל ההסתברויות שהפונקציה מפיקה הוא 1 {\displaystyle 1} בתהליך המכונה נירמול. נוכל להשתמש במשתנה מקרי בעל התפלגות רציפה בכדי לתאר את הניסוי הבא: כדור מתגלגל לאורכו של קרש ועוצר באופן אקראי בנקודה מסוימת בקטע [ 0 , 5 ] {\displaystyle \left[0,5\right]} . נרצה לחשב את ההסתברות שעצר בנקודה x = 4 {\displaystyle x=4} , לשם כך נציב את הפרמטרים הנתונים בנוסחה לקבלת פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי בעל התפלגות רציפה ונקבל: ⋅ f ( x ) = { 1 5 a ≤ x ≤ 0 תרחא {\displaystyle \cdot f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{5}}&a\leq x\leq \\0&{\text{תרחא}}\end{cases}}} .כעת נציב x = 4 {\displaystyle x=4} בנוסחה ונקבל f ( 4 ) = 1 5 {\displaystyle f(4)={\frac {1}{5}}} ההתפלגות האקספוננציאלית: X ∼ E ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {E} (\lambda )} , מהווה מעין הרחבה של ההתפלגות הגאומטרית באופן המאפשר את הרחבת כמות הניסויים אל גבול הרצף. פונקציית ההסתברות של משתנה מקרי המתפלג אקספוננציאלית נתונה על פי הנוסחה הבאה: f ( x ; λ ) = { λ e − λ x x ≥ 0 , 0 x < 0. {\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}} דוגמה לשימוש במשתנה מקרי המתפלג אקספוננציאלית היא מדידת הזמן החולף בין פירוק אירועים נדירים לרבות מדידת זמן החיים של מכשיר חשמלי.