משפט גוטסמן-ניל

משפט גוטסמן – ניל הוא משפט יסודי במחשוב קוונטי הקובע כי מעגל קוונטי הממומש על ידי שערי קליפורד יכול להיות מסומלץ בזמן פולינומי על מחשב קלאסי וכך, אין יתרון חישוב למעגל קוונטי שכזה. המשפט פורסם לראשונה במאמר מאת דניאל גוטסמן (Daniel Gottesman), פיזיקאי וחוקר מחשוב קוונטי, בסוף שנות ה־90 של המאה ה־20 ונושא גם את שמו של עמנואל ניל (Emanuel Knill) שתרם ליישום המשפט. קבוצת קליפורד היא קבוצת אופרטורים קוונטים המפורסמת בעיקר בתחום תיקון השגיאות הקוונטי והיא כוללתאת קבוצת המכפלות של קבוצת פאולי כך שהקבוצה ממופה אל תוך עצמה. כלומר, שאם עבור שער L {\displaystyle L} מסוים קיימים שערים פאולי P 1 , P 2 {\displaystyle P_{1},P_{2}} כך ש L P 1 L † = P 2 {\displaystyle LP_{1}L^{\dagger }=P_{2}} אזי L שייך לקבוצת קליפורד. קבוצת קליפורד מפורסמת בעיקר בתחום תיקון השגיאות הקוונטי. שערי פאולי על קיוביט בודד מוגדרים כך: σ 0 = I = [ 1 0 0 1 ] , σ 1 = X = [ 0 1 1 0 ] , σ 2 = Y = [ 0 − i i 0 ] ,  and  σ 3 = Z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{0}=I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad \sigma _{1}=X={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{2}=Y={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},{\text{ and }}\sigma _{3}=Z={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}} והם יכולים לשמש כבסיס לאופרוטרי צפיפות. קבוצת פאולי, המוגדרת על ידי פאולי משמשת ליצירת שערים אלו על קיוביט n-ממדי. מתוך קבוצת פאולי נוצרת קליפורד שהיא קבוצה של אופרטורים אוניטריים שמנרמלים את קבוצת פאולי: C n = { V ∈ U 2 n ∣ V P n V † = P n } . {\displaystyle \mathbf {C} _{n}=\{V\in U_{2^{n}}\mid V\mathbf {P} _{n}V^{\dagger }=\mathbf {P} _{n}\}.} . גודל קבוצת קליפורד המוגדרת על קיוביט n-ממדי הוא 2 n 2 + 2 n + 3 ∏ j = 1 n ( 4 j − 1 ) {\displaystyle 2^{n^{2}+2n+3}\prod _{j=1}^{n}(4^{j}-1)} . הקבוצה הוצגה על ידי דניאל גוסטמן וקוריה על שם המתמטיקאי ויליאם קינגדן קליפורד. שערי קליפורד הם איברי קבוצת קליפורד כך שבאופן שקול קבוצת קליפורד היא קבוצת שערים אוניטריים המורכבת באופן קלאסי מהשערים : שער אדמר, המקיים H X H † = Z {\displaystyle HXH^{\dagger }=Z} ו H Z H † = X {\displaystyle HZH^{\dagger }=X} . ולכן שייך לקבוצת קליפורד. חישובותו של שער זה הוא שהוא מספק את 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} לשערים האוניטריים. שער הפאזה S = [ 1 0 0 e i π 2 ] = [ 1 0 0 i ] = Z {\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&0\\0&e^{i{\frac {\pi }{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}}={\sqrt {Z}}} המקיים כי S X S † = Y {\displaystyle SXS^{\dagger }=Y} ו S Z S † = Z {\displaystyle SZS^{\dagger }=Z} , ולכן גם הוא שייך לקבוצה. החשיבות של השער היא בכך שהוא מספק את האיבר המדומה. שער CNOT, המקיים כי עבור שער P ולכן אף הוא שייך לקבוצה. חשיבותו של השער שהוא מאפשר לשזור בין הקיוביטים וכן כי בלעדיו השערים יפעלו על קיוביט בודד בלבד. באופן שקול, כלל שערי פאולי הם שערי קליפורד שהרי σ i σ j σ i † = σ i σ j σ i = i ϵ i j k σ k σ i = − ϵ i j k ϵ k i j σ j {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}^{\dagger }=\sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=i\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\sigma _{i}=-\epsilon _{ijk}\epsilon _{kij}\sigma _{j}} כך שהמכפלה שייכת לקבוצת פאולי, ולכן השערים שייכים לקבוצת קליפורד. דוגמאות נוספות לשערי קליפורד הן שערי SWAP, iSWAP וטופולי. המשפט אומר כי כל מחשב קוונטי המערב : הכנה של הקיוביטים בבסיס החישובי שערי קליפורד מדידות בבסיס החישובי אפשרות לביצוע פעולות קלאסיות על תוצאות המדידות ואלו בלבד - הוא מחשב שניתן לסמלוץ בזמן פולנומיאלי על מחשב קלאסי ואין לו יתרון על פני מחשב קלאסי. חשיבות המשפט אומרת כי אף מצבים קוונטים שזורים ומסובכים ככל שיהיו ניתנים לסמלוץ על ידיד מחשב קלאסי בצורה יעילה למדי. כלומר, טלפורטציה קוונטית, ושימושים אחרים כגון קודים לתיקון שגיאות המתבססים על שערי קליפורד ניתנים למימוש על ידי מחשב קלאסי. המשפט מתייחס למשתנים בדידים בלבד, אולם במשתנים רציפים מתברר כי קיים סט מצבים אשר ניתן לסמלוץ על ידי מחשב קלאסי (מצבים גאוסיים) ולכן נדרש להשתמש במצבים מסוג שונה על מנת ליצור יתרון חישובי, דיון זה מתבסס בעיקרו על משפט הדסון. הוכחת המשפט משתמשת בפורמליזם המייצבים, אשר מאפשר לתאר את המצבים בצורה שקלה לפענוח קלאסי. עבור מחשב קוונטי המקיים את תנאי המשפט מתקיים כי כל שער קליפורד מתורגם כעדכון של היוצרים של אותה קבוצת מייצבים, עדכון זה לוקח O ( n 2 ) {\displaystyle O(n^{2})} . לאחר הפעלת השערים המצבים קורסים למצבים מייצבים, המדידה אף היא יכולה להתבצע על ידי מחשב קלאסי. המשפט מתייחס למשתנים בדידים בלבד.