מספרי ברנולי

במתמטיקה, סדרת מספרי ברנולי היא סדרה של מספרים שגילה יאקוב ברנולי, ובזכות תכונותיה הבסיסיות היא מופיעה בהקשרים שונים באנליזה של פונקציות מרוכבות ובתורת המספרים. הסדרה איפשרה לברנולי לחשב את הסכום 1 10 + 2 10 + 3 10 + ⋯ + 1000 10 {\displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+\cdots +1000^{10}} ב"פחות מרבע שעה" (Ars Conjectandi, 1713). אבריה הראשונים של הסדרה הם: B 0 = 1 , B 1 = − 1 2 , B 2 = 1 6 , B 4 = − 1 30 , B 6 = 1 42 , {\displaystyle B_{0}=1,\,B_{1}=-{\frac {1}{2}},\,B_{2}={\frac {1}{6}},\,B_{4}=-{\frac {1}{30}},\,B_{6}={\frac {1}{42}},\,} B 8 = − 1 30 , B 10 = 5 66 , B 12 = − 691 2730 , . . . {\displaystyle B_{8}=-{\frac {1}{30}},\,B_{10}={\frac {5}{66}},\,B_{12}=-{\frac {691}{2730}},...} והאיברים האי-זוגיים (פרט ל- B 1 {\displaystyle B_{1}} ) הם אפס. מספרי ברנולי מופיעים כמקדמים בפיתוח טיילור של פונקציות טריגונומטריות ושל הפונקציות ההיפרבוליות המקבילות להן. אוילר גילה שמספרים אלה קשורים לערכים מיוחדים של פונקציית זטא של רימן, והם הופיעו שוב בפתרונו של קומר למשפט האחרון של פרמה, עבור ראשוניים רגולריים. הנוסחאות לסכום טור כגון: 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}} 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 {\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}} 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = [ n ( n + 1 ) 2 ] 2 {\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=\left[{\frac {n(n+1)}{2}}\right]^{2}} (משפט ניקומאכוס), ואחרות, היו ידועות זמן רב לפני ברנולי. ברנולי ביקש נוסחה כללית לסכום S m ( n ) = ∑ k = 1 n − 1 k m {\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k\,=\,1}^{n\,-\,1}k^{m}} , שתהיה קלה לחישוב לכל m {\displaystyle m} קבוע, כלומר פולינום ממעלה m + 1 {\displaystyle m+1} במשתנה n {\displaystyle n} . הוא הבחין שאפשר להציג את n m + 1 {\displaystyle n^{m+1}} כטור טלסקופי, n m + 1 = ∑ k = 0 n − 1 ( ( k + 1 ) m + 1 − k m + 1 ) = ∑ i = 0 m ( m + 1 i ) S i ( n ) {\displaystyle n^{m+1}=\sum _{k\,=\,0}^{n\,-\,1}{\bigl (}(k+1)^{m+1}-k^{m+1}{\bigr )}=\sum _{i\,=\,0}^{m}{\binom {m+1}{i}}S_{i}(n)} , והסיק מכך את נוסחת הנסיגה ( m + 1 ) S m ( n ) = n m + 1 − ∑ i = 0 m − 1 ( m + 1 i ) S i ( n ) {\displaystyle (m+1)S_{m}(n)=n^{m+1}-\sum _{i\,=\,0}^{m\,-\,1}{\binom {m+1}{i}}S_{i}(n)} . מנוסחה זו הסיק ברנולי את השוויון S m ( n ) = 1 m + 1 ∑ i = 0 m ( − 1 ) i ( m + 1 i ) B i n m + 1 − i {\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{i\,=\,0}^{m}(-1)^{i}{\binom {m+1}{i}}B_{i}n^{m+1-i}} , כאשר המקדמים, מספרי ברנולי B k {\displaystyle B_{k}} , מוגדרים לפי נוסחת הנסיגה B 0 = 1 , B m = − 1 m + 1 ∑ i = 0 m − 1 ( m + 1 i ) B i {\displaystyle B_{0}=1,\quad B_{m}=-{\frac {1}{m+1}}\sum _{i\,=\,0}^{m\,-\,1}{\binom {m+1}{i}}B_{i}} מנוסחת הנסיגה של הסדרה אפשר להסיק את השוויון החשוב x e x − 1 = ∑ n = 0 ∞ B n n ! x n {\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}} (על ידי הכפלת שני אגפי השוויון בפונקציה e x − 1 {\displaystyle e^{x}-1} ). מכיוון שהפונקציה x e x − 1 + x 2 = x 2 coth ⁡ ( 0.5 x ) {\displaystyle {\frac {x}{e^{x}-1}}+{\frac {x}{2}}={\frac {x}{2}}\coth(0.5x)} זוגית (כאשר coth {\displaystyle \coth } היא פונקציית הקוטנגנס ההיפרבולי), נובע מן השוויון כי B n = 0 {\displaystyle B_{n}=0} לכל n > 1 {\displaystyle n>1} אי-זוגי. על ידי הצבה מתאימה מתקבל טור לורן של הקוטנגנס: cot ⁡ ( x ) = 1 x + ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 2 2 n ( 2 n ) ! B 2 n x 2 n − 1 {\displaystyle \cot(x)={\frac {1}{x}}+\sum _{n\,=\,1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}B_{2n}x^{2n-1}} . מפיתוח אחר לפונקציית הקוטנגנס הסיק לאונהרד אוילר את הזהות ζ ( 2 m ) = ( − 1 ) m + 1 1 2 ( 2 π ) 2 m ( 2 m ) ! B 2 m {\displaystyle \zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {1}{2}}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}} , כאשר ζ {\displaystyle \zeta } היא הפונקציה שלימים תקרא פונקציית זטא של רימן. מכאן נובע מיד כי הסימנים של B 2 m {\displaystyle B_{2m}} מתחלפים, וגם כי | B 2 m | > ( m π e ) 2 m {\displaystyle |B_{2m}|>\left({\frac {m}{\pi e}}\right)^{2m}} , כך שהסדרה גדלה מהר מאוד (חרף הערכים הקטנים המופיעים בתחילתה). למעשה, B 2 m ≈ ( − 1 ) m + 1 4 π m ( m π e ) 2 m {\displaystyle B_{2m}\approx (-1)^{m+1}4{\sqrt {\pi m}}\left({\frac {m}{\pi e}}\right)^{2m}} . בזכות הקשר שלהם לפונקציות היסודיות 1 e x − 1 {\displaystyle {\frac {1}{e^{x}-1}}} וקוטנגנס, הופיעו מספרי ברנולי מאז בנוסחאות רבות מספור. במחצית השנייה של המאה ה-19 גילה ארנסט קומר שמספר ראשוני p {\displaystyle p} הוא רגולרי אם ורק אם p {\displaystyle p} אינו מחלק את המונים של B 2 , B 4 , … , B p − 3 {\displaystyle B_{2},B_{4},\ldots ,B_{p-3}} . מונים אלה עדיין אינם מובנים די הצורך. באשר למכנים של מספרי ברנולי – אותם קל לחשב, מכיוון ש- B 2 m ≡ − ∑ p , p − 1 | 2 m 1 p ( mod 1 ) {\displaystyle B_{2m}\equiv -\sum _{p,\,p-1|2m}{\frac {1}{p}}{\pmod {1}}} (משפט של Claussen ו-von Straudt, משנת 1840). מספרי אוילר מדיה וקבצים בנושא מספרי ברנולי בוויקישיתוף גדי אלכסנדרוביץ', מספרי ברנולי, באתר "לא מדויק", 2 במרץ 2012 מספרי ברנולי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) מספרי ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית) סדרת המונים של מספרי ברנולי באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרת המכנים של מספרי ברנולי באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים