עקרון המקסימום

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם f {\displaystyle f} פונקציה הולומורפית בתחום D {\displaystyle D} וקיים z ∈ D {\displaystyle z\in D} שהוא מקסימום מקומי של | f | {\displaystyle |f|} אז f {\displaystyle f} קבועה. בנוסח שקול, אם f {\displaystyle f} רציפה בקבוצה קומפקטית D ¯ {\displaystyle {\bar {D}}} , והולומורפית בפנים שלה, אזי המקסימום של | f | {\displaystyle |f|} ב- D ¯ {\displaystyle {\bar {D}}} מתקבל על השפה ∂ D ¯ {\displaystyle \partial {\bar {D}}} . יהי z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} מקסימום מקומי של | f | {\displaystyle |f|} . לכן קיים R > 0 {\displaystyle R>0} קטן מספיק כך שבעיגול | z − z 0 | < R {\displaystyle |z-z_{0}|<R} מתקיים כי f {\displaystyle f} הולומורפית ו- z 0 {\displaystyle z_{0}} מקסימום מוחלט של | f | {\displaystyle |f|} . יהי 0 ≤ r < R {\displaystyle 0\leq r<R} . לפי משפט הערך הממוצע של גאוס: f ( z 0 ) = 1 2 π ∫ 0 2 π f ( z 0 + r e θ i ) d θ {\displaystyle f(z_{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z_{0}+re^{\theta i})d\theta } לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי: | f ( z 0 ) | ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( z 0 + r e θ i ) | d θ ≤ 1 2 π ∫ 0 2 π | f ( z 0 ) | d θ = | f ( z 0 ) | {\displaystyle {\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}\leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}d\theta \leq {\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z_{0})|d\theta ={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}} זוהי שרשרת אי-שוויונות חלשים המתחילה ומסתיימת באותו מספר, ועל כן כולם שוויונות. לכן: ( ∗ ) ∫ 0 2 π | f ( z 0 + r e θ i ) | d θ = ∫ 0 2 π | f ( z 0 ) | d θ {\displaystyle (*)\qquad \int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}d\theta =\int \limits _{0}^{2\pi }{\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}d\theta } נגדיר g ( x ) = ∫ 0 x ( | f ( z 0 ) | − | f ( z 0 + r e θ i ) | ) d θ {\displaystyle g(x)=\int \limits _{0}^{x}{\bigl (}{\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}-{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}{\bigr )}d\theta } בקטע [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} . g {\displaystyle g} עולה חלש, שכן מהמקסימליות של | f ( z 0 ) | {\displaystyle {\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}} : g ′ ( θ ) = | f ( z 0 ) | − | f ( z 0 + r e θ i ) | ≥ 0 {\displaystyle g'(\theta )={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}-{\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}\geq 0} אולם מ- ( ∗ ) {\displaystyle (*)} נובע כי g ( 0 ) = g ( 2 π ) = 0 {\displaystyle g(0)=g(2\pi )=0} , ולכן g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} לכל x ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle x\in [0,2\pi ]} . מכאן g ′ ( θ ) = 0 {\displaystyle g'(\theta )=0} לכל x ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle x\in [0,2\pi ]} , כלומר: | f ( z 0 + r e θ i ) | = | f ( z 0 ) | {\displaystyle {\bigl |}f(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}={\bigl |}f(z_{0}){\bigr |}} קיבלנו כי | f | {\displaystyle |f|} קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם f {\displaystyle f} קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע כי f {\displaystyle f} קבועה בכל התחום. ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה u ( x , y ) = x {\displaystyle u(x,y)=x} עם { ( x , y ) : x 2 + y 2 < 1 } {\displaystyle {\bigl \{}(x,y):x^{2}+y^{2}<1{\bigr \}}} שווה זהותית לאפס על { 0 } × ( 0 , 1 ) {\displaystyle \{0\}\times (0,1)} אך איננה קבועה). ראשית ננסח גרסה נקודתית: משפט – אם u {\displaystyle u} פונקציה הרמונית בתחום Ω {\displaystyle \Omega } , ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\in \Omega } , אזי היא קבועה בסביבת z 0 {\displaystyle z_{0}} . הגרסה הכללית היא: משפט – אם u {\displaystyle u} הרמונית בתחום חסום Ω {\displaystyle \Omega } , ורציפה בשפה ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } , אזי: אם קיימת z 0 ∈ Ω {\displaystyle z_{0}\in \Omega } כאשר max z ∈ Ω ¯ u ( z ) = u ( z 0 ) {\displaystyle \max _{z\,\in \,{\overline {\Omega }}}{u(z)}=u(z_{0})} אזי היא קבועה ב- Ω {\displaystyle \Omega } . במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות. למשל, אם f {\displaystyle f} פונקציה שלמה ומתקיים ∀ | z | = 1 : f ( z ) ∈ R {\displaystyle \forall |z|=1:f(z)\in \mathbb {R} } , אז f {\displaystyle f} קבועה, משום שמתקיים ∀ | z | = 1 : I m ( f ( z ) ) = 0 {\displaystyle \forall |z|=1:{\rm {Im}}(f(z))=0} ולפי עקרון המקסימום ∀ | z | ≤ 1 : I m ( f ( z ) ) = 0 {\displaystyle \forall |z|\leq 1:{\rm {Im}}(f(z))=0} , ואז הפונקציה e i f ( z ) : D → { | z | = 1 } {\displaystyle e^{if(z)}:D\to \{|z|=1\}} איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם f {\displaystyle f} קבועה. עקרון המקסימום, באתר MathWorld (באנגלית)