אלגברה מממד סופי

אלגברה מממד סופי היא אלגברה מעל שדה, שהיא בעלת ממד סופי. הממד הסופי מאפשר להפעיל שיקולים אלגבריים כלליים בקלות יחסית, ולכן תורת המבנה של אלגברות מממד סופי, לרבות תיאור המודולים מעליה, מפותחת היטב. לפי משפט ארטין, אלגברה פשוטה מממד סופי היא אלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק. תהי A אלגברה מממד סופי מעל שדה F. נסמן ב-rad(A) את הרדיקל של האלגברה (מכיוון שהממד סופי, כל הרדיקלים המוכרים מתלכדים). אלגברת המנה A/rad(A) פשוטה למחצה, כלומר, היא מתפרקת לסכום ישר של אלגברות פשוטות, שכולן כמובן מממד סופי. האלגברה A מפוצלת אם כל המרכיבים בפירוק הזה הם מטריצות מעל F (זו הדרך להבטיח שמספר המרכיבים לא יגדל תחת הרחבה של שדה הבסיס). כל אלגברה אפשר לפצל באמצעות הרחבה סופית של שדה הבסיס. האלגברה בסיסית אם כל המרכיבים בפירוק הם חוגים עם חילוק. בפרט, האלגברה מפוצלת בסיסית אם המנה A/rad(A) היא סכום ישר של עותקים של F. כל אלגברה מפוצלת שקולה במובן מוריטה לאלגברה מפוצלת בסיסית. לפי משפט קרול-שמידט, כל מודול שמאלי מממד סופי מעל A מתפרק באופן יחיד (עד כדי סדר) לסכום ישר של מודולים אי-פרידים (מודולים שאי אפשר לפרק כסכום ישר של תת-מודולים). משום כך, בכל משפחה משמעותית של מודולים, המודולים האי-פרידים הם האטומים שבאמצעותם אפשר להציג כל מודול אחר. שלוש המשפחות העיקריות הן של מודולים פרויקטיביים, פשוטים ואינג'קטיביים. כל מודול פרויקטיבי מעל A אפשר להציג בצורה A e {\displaystyle Ae} כאשר e אידמפוטנט; המודול אי-פריד אם ורק אם האידמפוטנט פרימיטיבי. האלגברה A מתפרקת לסכום ישר של מודולים אי-פרידים כמודול מעל עצמה. המרכיבים בפירוק A = P 1 ⊕ ⋯ ⊕ P t {\displaystyle A=P_{1}\oplus \cdots \oplus P_{t}} הם המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים, ומכאן שמספרם של אלו סופי. אפשר לתאר את הפירוק באמצעות מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים אורתוגונליים (היינו, כאשר האידמפוטנטים פרימיטיביים). כל המערכות המקסימליות של אידמפוטנטים אורתוגונליים צמודות זו לזו (על ידי איבר הפיך של האלגברה). עבור כל פירוק של A לסכום של מרכיבים אי-פרידים, יש מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים e 1 , … , e t {\displaystyle e_{1},\dots ,e_{t}} כך ש- P i = A e i {\displaystyle P_{i}=Ae_{i}} לכל i; ולהפך, מערכת מקסימלית של אידמפוטנטים משרה פירוק של A לפי אותה נוסחה. הרדיקל rad(M) של מודול M מוגדר כחיתוך תת-המודולים המקסימליים שלו. אם M מממד סופי, המנה M/rad(M) פשוטה למחצה, כלומר סכום של מודולים פשוטים. אם P מודול פרויקטיבי אי-פריד, אז P/rad(P) מודול פשוט, וכל מודול פשוט מתקבל כך באופן יחיד. זוהי התאמה חד-חד-ערכית בין המודולים הפרויקטיביים האי-פרידים של A, לבין המודולים הפשוטים. העתקה ממודול פרויקטיבי למודול אחר היא "כיסוי פרויקטיבי" אם הגרעין שלה מוכל ברדיקל. העתקה ממודול כלשהו לתוך מודול אינג'קטיבי היא "מעטפת אינג'קטיבית" אם התמונה היא תת-מודול גדול (כזה שנחתך עם כל תת-מודול). לכל מודול פרויקטיבי P i {\displaystyle P_{i}} , יש מודול פשוט S i {\displaystyle S_{i}} ומודול אינג'קטיבי I i {\displaystyle I_{i}} כך שבשרשרת P i → S i → I i {\displaystyle P_{i}\rightarrow S_{i}\rightarrow I_{i}} ההעתקה הראשונה היא כיסוי פרויקטיבי והשניה מעטפת אינג'קטיבית. כל מודול אינג'קטיבי אי-פריד מתקבל כך באופן יחיד. אם כך, יש התאמה חד-חד-ערכית בין מודולים פשוטים, פרויקטיביים אי-פרידים, ואינג'קטיביים אי-פרידים. יתרה מזו, אם P i = A e i {\displaystyle P_{i}=Ae_{i}} , אז S i = ( A / r a d ( A ) ) e i {\displaystyle S_{i}=(A/rad(A))e_{i}} ו- I i = Hom ⁡ ( e i A , F ) {\displaystyle I_{i}=\operatorname {Hom} (e_{i}A,F)} . אלגברות מסילה (path algebra) מספקות כלי קומבינטורי יעיל לתיאור אלגברות מממד סופי. אלגברת המסילה של קוויבר Q (קוויבר אינו אלא גרף מכוון) היא האלגברה הנפרשת על ידי כל המסלולים ב-Q (לרבות המסלולים באורך 0), עם פעולת הכפל לפי הרכבת מסלולים כאשר תחנת הסיום של המסלול הראשון מתלכדת עם תחנת המוצא של המסלול השני (המכפלה היא אפס אם התחנות לא מתלכדות). אלגברה מפוצלת בסיסית היא תורשתית (כלומר, כל תת-מודול של מודול פרויקטיבי הוא פרויקטיבי; שקול לזה - הממד הגלובלי הוא 0 או 1) אם ורק אם היא אלגברת המסילות של קוויבר נטול מעגלים. כל אלגברה מפוצלת בסיסית A אפשר לתאר כמנה FQ/I כאשר FQ היא אלגברת המסילה של קוויבר (יחיד) Q, ו-I אידיאל המוכל באידיאל המקסימלי J של FQ ומכיל חזקה כלשהי של J. האידיאל I (על אף שאינו יחיד) מספק את היחסים בייצוג של A לפי Q.