בעיית אוסף הקופונים

בתורת ההסתברות, בעיית אוסף הקופונים היא בעיה קלאסית הדנה במשחק שבו נאספים קופונים מתוך תיבה עם n {\displaystyle n} קופונים שונים, בהסתברות שווה עם החזרה, והמטרה היא לאסוף את כל הקופונים. מהי ההסתברות שנדרשות לפחות t {\displaystyle t} דגימות כדי לצפות בכל n {\displaystyle n} הקופונים לפחות פעם אחת? ניתוח מתמטי מראה שתוחלת מספר הדגימות הנדרש כדי לצפות בכל קופון לפחות פעם אחת גדלה כתלות ב- n {\displaystyle n} לפי Θ ( n log ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \Theta (n\log(n))} (לדוגמה כאשר מספר הקופונים הוא n = 50, נדרשות בממוצע כ-225 דגימות). עיקרון חשוב להבנת הבעיה הוא שנדרש מספר דגימות מועט מאוד כדי לאסוף את הקופונים הראשונים, ואילו כדי לצפות בקופונים האחרונים (אלו שלא נצפו קודם לאחר שכמעט כל הקופונים נצפו) נדרש מספר גדול של דגימות. למשל כאשר יש 50 קופונים ו-49 מהם כבר נצפו, ידרשו 50 דגימות בממוצע כדי לצפות בקופון האחרון. נסמן T {\displaystyle T} כזמן הנדרש (או מספר הדגימות) לאיסוף n {\displaystyle n} קופונים, נסמן ב t i {\displaystyle t_{i}} את הזמן הנדרש לאיסוף הקופון ה- i {\displaystyle i} לאחר שנאספו i − 1 {\displaystyle i-1} קופונים. נתייחס אל T {\displaystyle T} ו- t i {\displaystyle t_{i}} כאל משתנים מקריים. נשים לב שההסתברות לאיסוף קופון חדש (לא אחד מתוך ה- i − 1 {\displaystyle i-1} שכבר נצפו) היא p i = n − ( i − 1 ) n {\displaystyle p_{i}={\frac {n-(i-1)}{n}}} . הזמן הנדרש לאיסוף הקופון ה- i {\displaystyle i} ( t i {\displaystyle t_{i}} ) מתפלג לפי התפלגות גאומטרית עם תוחלת של 1 p i {\displaystyle {\frac {1}{p_{i}}}} . באמצעות ליניאריות התוחלת ניתן למצוא את תוחלת הזמן הנדרש לאיסוף כל הקופונים, T {\displaystyle T} : E ⁡ ( T ) = E ⁡ ( ∑ i = 1 n t i ) = E ⁡ ( t 1 ) + E ⁡ ( t 2 ) + ⋯ + E ⁡ ( t n ) = 1 p 1 + 1 p 2 + ⋯ + 1 p n = n n + n n − 1 + ⋯ + n 1 = n ⋅ ( 1 1 + 1 2 + ⋯ + 1 n ) = n ⋅ H n . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (T)&=\operatorname {E} \left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}\right)=\operatorname {E} (t_{1})+\operatorname {E} (t_{2})+\cdots +\operatorname {E} (t_{n})={\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{p_{n}}}\\&={\frac {n}{n}}+{\frac {n}{n-1}}+\cdots +{\frac {n}{1}}=n\cdot \left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)\,=\,n\cdot H_{n}.\end{aligned}}} כאשר H n {\displaystyle H_{n}} הוא המספר ההרמוני ה- n {\displaystyle n} . בניתוח אסימפטוטי מקבלים שכאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } : E ⁡ ( T ) = n ⋅ H n = n log ⁡ n + γ n + 1 2 + o ( 1 ) {\displaystyle \operatorname {E} (T)=n\cdot H_{n}=n\log n+\gamma n+{\frac {1}{2}}+o(1)} כאשר γ ≈ 0.5772156649 {\displaystyle \gamma \approx 0.5772156649} הוא קבוע אוילר-מסקרוני. באמצעות אי-שוויון מרקוב ניתן לחסום את ההסתברות שהזמן הנדרש לאיסוף כל הקלפים יעלה על   c n H n {\displaystyle \ c\,nH_{n}} : P ⁡ ( T ≥ c n H n ) ≤ 1 c {\displaystyle \operatorname {P} (T\geq c\,nH_{n})\leq {\frac {1}{c}}} . ניתן לקבל חסם לשונות מספר התצפיות הנדרש. בהסתמך על כך שהמשתנים המקרים t i {\displaystyle t_{i}} בלתי תלויים: Var ⁡ ( T ) = Var ⁡ ( t 1 ) + Var ⁡ ( t 2 ) + ⋯ + Var ⁡ ( t n ) = 1 − p 1 p 1 2 + 1 − p 2 p 2 2 + ⋯ + 1 − p n p n 2 = ( n 2 n 2 + n 2 ( n − 1 ) 2 + ⋯ + n 2 1 2 ) − ( n n + n n − 1 + ⋯ + n 1 ) = n 2 ⋅ ( 1 1 2 + 1 2 2 + ⋯ + 1 n 2 ) − n ⋅ H n = n 2 ⋅ ( π 2 6 − 1 n + 1 2 n 2 ) − ( n log ⁡ n + γ n + 1 2 ) + o ( 1 ) < π 2 6 n 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (T)&=\operatorname {Var} (t_{1})+\operatorname {Var} (t_{2})+\cdots +\operatorname {Var} (t_{n})\\&={\frac {1-p_{1}}{p_{1}^{2}}}+{\frac {1-p_{2}}{p_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {1-p_{n}}{p_{n}^{2}}}\\&=\left({\frac {n^{2}}{n^{2}}}+{\frac {n^{2}}{(n-1)^{2}}}+\cdots +{\frac {n^{2}}{1^{2}}}\right)-\left({\frac {n}{n}}+{\frac {n}{n-1}}+\cdots +{\frac {n}{1}}\right)\\&=n^{2}\cdot \left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)-n\cdot H_{n}\\&=n^{2}\cdot \left({\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2n^{2}}}\right)-\left(n\log n+\gamma n+{\frac {1}{2}}\right)+o(1)\\&<{\frac {\pi ^{2}}{6}}n^{2}.\end{aligned}}} כאשר π 2 / 6 {\displaystyle \pi ^{2}/6} הוא ערך של פונקציית זטא של רימן. (ראו בעיית בזל). באמצעות אי-שוויון צ'בישב מתקבל החסם: P ⁡ ( | T − n H n | ≥ c n ) ≤ π 2 6 c 2 . {\displaystyle \operatorname {P} \left(|T-nH_{n}|\geq c\,n\right)\leq {\frac {\pi ^{2}}{6c^{2}}}.} פייר-סימון לפלס, אך גם פאול ארדש ואלפרד רניי הוכיחו את משפט הגבול להתפלגות T. תוצאה זו היא הרחבה נוספת של גבולות קודמים. הוכחה נמצאת ב. P ⁡ ( T < n log ⁡ n + c n ) → e − e − c {\displaystyle \operatorname {P} (T<n\log n+cn)\to e^{-e^{-c}}} כאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } היא התפלגות גאמבל. דונלד ג'יי ניומן ולורנס שפ הכלילו את בעית אוסף הקופונים, כאשר יש לאסוף מספר עותקים של כל קופון. תהי Tm פעם הראשונה שבה נאספו m עותקים של כל קופון. בגבול של n {\displaystyle n} גדול התוחלת של Tm היא E ⁡ ( T m ) = n log ⁡ n + ( m − 1 ) n log ⁡ log ⁡ n + O ( n ) {\displaystyle \operatorname {E} (T_{m})=n\log n+(m-1)n\log \log n+O(n)} עבור m = 1 מתקבלת התוצאה הקודמת. מדיה וקבצים בנושא בעיית אוסף הקופונים בוויקישיתוף Arnon Boneh and Micha Hofri, The Coupon-Collector Problem Revisited, ‏February, 1990 E(50)=50(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/50) = 224.9603, מספר הניסויים הצפוי לאיסוף כל 50 הקופונים. בקירוב: n log ⁡ n + γ n + 1 / 2 {\displaystyle n\log n+\gamma n+1/2} כאשר במקרה זה מתקבלת התוצאה המקורבת: 50 log ⁡ 50 + 50 γ + 1 / 2 ≈ 195.6011 + 28.8608 + 0.5 ≈ 224.9619 {\displaystyle 50\log 50+50\gamma +1/2\approx 195.6011+28.8608+0.5\approx 224.9619} . EN. David, D.E. Barton., Combinatorial Chance, London: Charles Griffin & Co, 1962 Mitzenmacher, Michael (2017). Probability and computing : randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis. Eli Upfal (2nd ed.). Cambridge, United Kingdom. Theorem 5.13. ISBN 978-1-107-15488-9. OCLC 960841613.