אינטרפרומטר מאך-זנדר

בפיזיקה, אינטרפרומטר מאך זנדר (באנגלית: Mach–Zehnder interferometer) הוא התקן המשמש לקביעת השינויים בפאזה היחסית בין שתי אלומות מקבילות על ידי פיצול אור ממקור יחיד. אחד השימושים העיקריים של אינטרפרומטר מאך-זנדר הוא לשם מדידת הפאזה היחסית בין שתי האלומות שנובעת מהפרשי אורכי הדרכים או מהצבת חומר כלשהו בדרכה של אחת האלומות. המערכת נקראת על שם הפיזיקאים לודוויג מאך (בנו של ארנסט מאך) ולודוויג זנדר. עבודתו של זנדר משנת 1891 חוזקה והורחבה על ידי מאך בשנת 1892. אינטרפרומטר מאך-זנדר מבוסס על פיצול הקרן לשתי קרניים שעוברות דרך גאומטרית זהה (אך דרך אופטית שונה, עקב מעברה של אחת משתי הקרניים בתווך שונה, הוא התווך הנבדק), ונועד לבדיקת תכונות של חומרים. על ידי הצבת חומר כלשהו בדרכה של אחת הקרניים ניתן לדעת משינוי פאזת הקרן את טיב החומר וצפיפותו. לחלופין, כשניתן לשנות את מקדם השבירה של החומר (ולכן את הדרך האופטית) ניתן לשלוט בעוצמת האות המתאבך. בתכונה זו משתמשים בבניית מאפנני עוצמה בתקשורת אופטית בקצב גבוה. אחד השימושים העיקריים של אינטרפרומטר מאך-זנדר הוא לשם מדידת ההשפעות עקב שינויים בלחץ, שינויים בצפיפות, או שינויים בטמפרטורה של גזים. הדבר נבדק על ידי הצבת תאי-מחקר המכילים גז מסוים בדרכה של אחת הקרניים, ומדידת השינויים בתבנית ההתאבכות המתקבלת, עקב שינויי לחץ וטמפרטורה בתא. מאפיין המייחד את אינטרפרומטר מאך-זנדר הוא העובדה שהקרניים לא עוברות יותר מפעם אחת במסלול, להבדיל מאינטרפרומטר מייקלסון שבו כל קרן מוחזרת ממראה דרך אותו מסלול שבו כבר עברה. אלומת קרני אור מקבילות מפוצלת על ידי מראה דיאלקטרית. שתי האלומות המתקבלות ("אלומת הדגימה" ו"אלומת הייחוס") משתקפות כל אחת במראה ולאחר מכן עוברות במראה דיאלקטרית נוספת ונכנסות לשני גלאים. השדה בכניסה הוא E 0 {\displaystyle E_{0}} מיד לאחר המעבר במפצל האלומה הראשון מתקבלים השדות: E i n 1 = r E 0 {\displaystyle E_{in1}=rE_{0}} , E i n 2 = t E 0 {\displaystyle E_{in2}=tE_{0}} כאשר r {\displaystyle r} הוא מקדם החזרת השדה ו- t {\displaystyle t} הוא מקדם העברת השדה. לאחר התקדמות במרחב למפצל האלומה הבא כאשר L1 ו L2 הם המרחקים שכל אחת מהאלומות עברה בהתאמה, השדות שיתקבלו הם: E 1 = e i k L 1 E i n 1 {\displaystyle E_{1}=e^{ikL1}E_{in1}} , E 2 = e i k L 2 E i n 2 {\displaystyle E_{2}=e^{ikL2}E_{in2}} בשלב זה האלומות מתלכדות שנית ונקבל לאחר מפצל האלומה שתי אלומות חדשות שכל אחת מהן מגיעה לאחד מהמסכים או הגלאים: E o u t 1 = − r E 1 + t E 2 {\displaystyle E_{out1}=-rE_{1}+tE_{2}} כאשר המינוס נובע מכיוון הפגיעה ההפוך במפצל האלומה לעומת מפצל האלומה הראשון. E o u t 2 = t E 1 + r E 2 {\displaystyle E_{out2}=tE_{1}+rE_{2}} נחשב את העוצמה במוצא הראשון: | E o u t 1 | 2 = | E 0 | 2 | − r 2 e i k L 1 + t 2 e i k L 2 | 2 {\displaystyle |E_{out1}|^{2}=|E_{0}|^{2}|-r^{2}e^{ikL_{1}}+t^{2}e^{ikL_{2}}|^{2}} נוכל לפתח את האיבר השני בביטוי העוצמה במוצא הראשון | E o u t 1 | 2 {\displaystyle |E_{out1}|^{2}} : | − r 2 e i k L 1 + t 2 e i k L 2 | 2 = | − R e i k L 1 + T e i k L 2 | 2 = [ R 2 + T 2 − R T ( e i k ( L 1 − L 2 ) + e − i k ( L 1 − L 2 ) ] = N [ 1 − V c o s ( k δ L ) ] {\displaystyle |-r^{2}e^{ikL_{1}}+t^{2}e^{ikL_{2}}|^{2}=|-Re^{ikL_{1}}+Te^{ikL_{2}}|^{2}=[R^{2}+T^{2}-RT(e^{ik(L_{1}-L_{2})}+e^{-ik(L_{1}-L_{2})}]=N[1-Vcos(k\delta L)]} על ידי חישוב דומה גם לעוצמה במוצא השני, תוך התחשבות במינוס, מתקבלים שני מוצאים משלימים: I O U T 1 = | E 0 | 2 N ( 1 − V c o s ( k δ L ) ) {\displaystyle I_{OUT1}=|E_{0}|^{2}N(1-Vcos(k\delta L))} I O U T 2 = | E 0 | 2 N ( 1 + V c o s ( k δ L ) ) {\displaystyle I_{OUT2}=|E_{0}|^{2}N(1+Vcos(k\delta L))} כאשר R {\displaystyle R} הוא מקדם החזרת ההספק ו- T {\displaystyle T} הוא מקדם העברת ההספק. כמו כן V = 2 R T R 2 + T 2 {\displaystyle V={\frac {2RT}{R^{2}+T^{2}}}} היא הויסיביליות, מספר הגל הוא k = 2 π n λ {\displaystyle k={\frac {2\pi n}{\lambda }}} , מקדם השבירה n {\displaystyle n} והפרש הדרכים שהקרניים עוברות δ L = | L 1 − L 2 | {\displaystyle \delta L=|L_{1}-L_{2}|} . בנוסף, הגדרנו את N = R 2 + T 2 {\displaystyle N=R^{2}+T^{2}} . וניתן לראות שאנרגיה שאינה יוצאת במוצא 1 יוצאת במוצא 2. כפי שתואר קודם, ניתן לבצע מדידות מדויקות ביותר ברמת דיוק של חלקי אורך גל. למשל, עבור δ L = 1 c m {\displaystyle \delta L=1cm} , λ = 1 μ m {\displaystyle \lambda =1\mu m} מתקבל: δ L λ = 10 4 {\displaystyle {\frac {\delta L}{\lambda }}=10^{4}} , עבור : Δ n n = 10 − 4 {\displaystyle {\frac {\Delta n}{n}}=10^{-4}} יתקבל שינוי פאזה של 2 π {\displaystyle 2\pi } . כלומר ישנה רגישות של עשירית פרומיל במקדם השבירה. נבחן איך כל אלמנט באינטרפומטר מתנהג עבור כניסת פוטון. נניח כי הפוטון נכנס אל המערכת לפי ψ = ( 1 0 ) {\displaystyle \psi ={\biggl (}{\begin{array}{lcr}1\\0\end{array}}{\biggr )}} . לאחר מכן הוא עובר במראה דיאלקטרית (אשר נניח שמחלקת את הקרן ביחס 50/50) אותה ניתן לייצג לפי המטריצה: 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}} לכן, לאחר המעבר במטריצה ההסתברות למצוא פוטון זהה עבור שתי הדרכים האופטיות : ψ = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) ( 1 0 ) = 1 2 ( 1 1 ) {\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}{\binom {1}{0}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{1}}} . בהמשך קיים הפרש דרכים אופטי בין שני המסלולים ΔL, נגדיר את צבירת הפאזה: ϕ = 2 π △ L λ {\displaystyle \phi ={\frac {2\pi \bigtriangleup L}{\lambda }}} . רגע לפני מפצל האלומה השני : ψ = ( 1 0 0 e x p ( i ϕ ) ) 1 2 ( 1 1 ) = 1 2 ( 1 e x p ( i ϕ ) ) {\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}1&0\\0&exp(i\phi )\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{exp(i\phi )}}} ולאחר המעבר במפצל האלומה השני נקבל : ψ = 1 2 ( 1 1 1 − 1 ) 1 2 ( 1 e x p ( i ϕ ) ) = 1 2 ( 1 + e x p ( i ϕ ) 1 + e x p ( − i ϕ ) ) {\displaystyle \psi ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\binom {1}{exp(i\phi )}}={\frac {1}{2}}{\binom {1+exp(i\phi )}{1+exp(-i\phi )}}} ההסתברות לגילוי במוצא עבור הגלאי הראשון: P 1 = | A 1 | 2 = 1 4 ( 1 + e x p ( i ϕ ) ) ( 1 + e x p ( − i ϕ ) ) = 1 2 ( 1 + c o s ϕ ) {\displaystyle P_{1}=|A_{1}|^{2}={\frac {1}{4}}(1+exp(i\phi ))(1+exp(-i\phi ))={\frac {1}{2}}(1+cos\phi )} , ובאופן משלים עבור הגלאי השני: P 2 = 1 − P 1 = 1 2 ( 1 − c o s ϕ ) {\displaystyle P_{2}=1-P_{1}={\frac {1}{2}}(1-cos\phi )} . חוקי פרנל להחזרה ולהעברה של גלים בתווך דיאלקטרי מרמזים שקיימת הסחת פאזה לגל, כאשר הוא מוחזר מתווך בעל מקדם שבירה גבוה לתווך בעל מקדם שבירה נמוך, אך לא במקרה ההפוך. במראה דיאלקטרית יש שני חלקים, מראה העשויה זכוכית וציפוי דיאלקטרי, לכן בפגיעה במראה זו יש שתי אפשרויות פגיעה במראה מהצד הקדמי (אוויר לזכוכית) ופגיעה מהצד האחורי (ציפוי דיאלקטרי זכוכית ואז אוויר). הסחת פאזה של 180° מתרחשת עם החזרה מקדמת מראה, זאת מכיוון שהחומר מאחורי המראה (זכוכית) הוא בעל מקדם שבירה גבוה יותר מהחומר בו נע האור (אוויר). לעומת זאת לא תהיה הסחת פאזה עבור החזרה מגב המראה, שכן לחומר שמאחורי המראה (אוויר) יש מקדם שבירה נמוך יותר מלחומר בו האור עובר (זכוכית). מהירות האור נמוכה יותר בחומר בעל מקדם שבירה גבוה ממקדם השבירה של הואקום (שהוא 1). למעשה, מהירות האור בחומר היא: v=c/n כאשר c הוא מהירות האור בוואקום, ו-n הוא מקדם השבירה. עובדה זו גורמת לעלייה בהסחת הפאזה הפרופורציונלית ל- n-1)*L) כאשר L הוא מרחק ההתקדמות. בהינתן ש-k היא הסחת הפאזה הקבועה הנגרמת ממעבר דרך משטח זכוכית עליו נמצאת מראה, אז נקבל הסחת פאזה של 2k אחרי החזרה מאחורי המראה. זאת מכיוון שהאור הנע לכיוון אחורי המראה עובר דרך משטח הזכוכית, הגורם להסחת פאזה k ולאחר מכן מוחזר מהמראה ללא הסחת פאזה נוספת מכיוון שיש רק אוויר מאחורי המראה. לאחר מכן הוא נע חזרה דרך משטח הזכוכית, אשר יוסיף לו עוד הסחת פאזה של k. הכלל לגבי הסחות הפאזה תקף למפצלי אלומות המורכבים עם ציפוי דיאלקטרי, ויש לשנותם אם משתמשים בציפוי מתכתי או כאשר לוקחים בחשבון קיטובים שונים. בנוסף, באינטרפרומטרים אמיתיים, עובי מפצלי האלומה עלול להיות שונה, והדרכים האופטיות אשר עוברות "אלומת הדגימה" ו"אלומת הייחוס" לא בהכרח שוות. בלי קשר, בהיעדר בליעה, שימור האנרגיה מבטיח ששני המסלולים חייבים להיות שונים בהסחת פאזה של חצי אורך גל. כמו כן, מפצלי האלומות אשר אינם 50/50 משמשים לעיתים קרובות לשיפור ביצועי האינטרפומטר בסוגים מסוימים של מדידות. באיור 3, ללא הדגימה גם אלומת הדגימה SB וגם אלומת הייחוס RB יגיעו אל הגלאי 1 בפאזה מתואמת ותיווצר תבנית התאבכות בונה. שתי האלומות, SB ו- RB יצברו הסחת פאזה של λ+k (כאשר λ הוא אורך הגל ו-k צבירת הפאזה הקבועה במעבר דרך משטח זכוכית) בגלל שתי החזרות מחזית המראה והעברה אחת דרך משטח זכוכית. לעומת זאת לגלאי 2 יגיעו שתי האלומות בהסחת פאזה של חצי אורך גל ותיווצר התאבכות הורסת. אלומת ה- RB תגיע לגלאי אחרי שצברה הסחת פאזה של 0.5λ+2k עקב החזרה אחת מחזית המראה ושתי העברות. אלומת ה-SB תגיע לגלאי 2 אחרי שצברה הסחת פאזה של λ+2k עקב שתי החזרות מחזית המראה, החזרה אחת מאחורי המראה ושתי העברות. לכן, כאשר אין דגימה רק גלאי 1 מקבל אור. כאשר מציבים דגימה בדרך של אלומת הדגימה SB, עוצמות האלומות אשר נכנסות לגלאים ישתנו, דבר המאפשר את חישוב הסחת הפאזה שנגרמה על ידי הדגימה. כדי לבחון התאבכות של אור לבן, עקב אורך הקוהרנטיות המוגבל שלו, בסדר גודל של מיקרומטרים, יש לעבוד בתשומת לב רבה כדי להשוות את הדרך האופטית לכל אורכי הגל בו זמנית, או שלא תופיע תבנית התאבכות ברורה. כפי שניתן לראות באיור 1, למטרה זו, בנוסף לתא הדגימה שמוצב באחד המסלולים, מוצב תא אקוויוולנטי מאותה זכוכית (לצורך דיספרסיה זהה) במסלול הנוסף. גם מפצלי האלומה מוצבים באוריינטציה מדויקת. המשטחים המחזירים של מפצלי האלומה מכוונים כך שאלומת הדגימה ואלומת הייחוס יעברו דרך מסלול באורך שווה של זכוכית. באוריינטציה זו, שתי האלומות חוות שתי החזרות מהמשטח הקדמי שמביאות לאותו מספר של היפוכי פאזה. התוצאה היא שהאור עובר דרכים אופטיות זהות בשני המסלולים ויוצרים תבנית דמוית שריג של התאבכות בונה של אור לבן. קרניים מקבילות לא מתכנסות לנקודה ולכן אין מישור יחיד שבו ניתן לצפות בתבנית ההתאבכות דמוית השריג. באיור 2, ניתן לראות שתבנית ההתאבכות יכולה לעבור התאמה כך שהיא תופיע במישור כרצוננו. ברוב המקרים, תבניות ההתאבכות יכוונו כך שהן יופיעו זו לצד זו על אותו המישור לצורך נוחות צילום והשוואה. לאינטרפרומטר מאך זנדר יש שטח עבודה גדול ונגיש וגמישות רבה במיקום תבניות ההתאבכות. מסיבות אלה הוא שימושי מאוד לצורכי הדמיית זרימה במנהרות רוח ולצורך חקר הדמיית זרימה באופן כללי. בנוסף, נעשה בו שימוש רב בתחומי האווירודינמיקה, פיזיקת פלסמה והעברת חום למדידת לחץ, צפיפות ושינויי טמפרטורה בגזים. נעשה בו גם שימוש במאפננים אלקטרו אופטיים, התקנים אלקטרוניים המשמשים לאפליקציות רבות בתקשורת סיביים-אופטיים. בתחום התקשורת האופטית הוא משמש כמאפנן אלקטרו-אופטי למודולציה של פאזות ואמפליטודות של אור. מאפנני מאך זנדר משולבים במעגלים מונוליתיים משולבים ונותנים תגובות אמפליטודה ופאזה אלקטרו-אופטיות באיכות גבוהה, עם רוחב סרט גדול בתווך תדר של גיגההרצים ספורים. נעשה שימוש באינטרפרומטר זה גם לצורך חקר של שזירה קוונטית. האפשרות לשליטה פשוטה בתכונות של האלומה במסלול הייחוס מבלי להפריע לאור במסלול האובייקט הנחקר הפכה אותו לפופולרי מאוד בתחום של אינטרפרומטריה לצורכי הולוגרפיה. במיוחד, זיהוי אופטי של מידע מאופנן על גבי גל נושא ( optical heterodyne detection) על ידי גל ייחוס מוסט בתדר ובזווית להדמיה דיגיטלית עם רגישות גבוהה. בנוסף, לויברומטריה ולהדמיה של זרימת דם על ידי לייזר דופלר. הרבגוניות של אינטרפומטר מאך-זנדר הובילה לכך שהיא משמשת במגוון רחב של נושאים מחקריים בסיסיים במכניקת הקוונטים, כולל מחקרים על Counterfactual definiteness, שזירה קוונטית, מחשב קוונטי, הצפנה קוונטית, Quantum logic, ניסוי אליצור-ויידמן, the quantum eraser experiment, אפקט זנון הקוונטי ו- neutron diffraction. אינטרפרומטריה Mach–Zehnder interferometer מדיה וקבצים בנושא אינטרפרומטר מאך-זנדר בוויקישיתוף Physikalisch-Technische Reichsanstalt (Germany) Ernst Dorn, Zeitschrift für Instrumentenkunde, Springer, 1891. (בgerman) Physikalisch-Technische Reichsanstalt (Germany) Ernst Dorn, Zeitschrift für Instrumentenkunde, Berlin [etc.], 1881 K P Zetie, S F Adams, R M Tocknell, How does a Mach-Zehnder interferometer work?, Physics Education 35, 2000-01, עמ' 46–48 doi: 10.1088/0031-9120/35/1/308 K P Zetie, S F Adams, R M Tocknell, How does a Mach-Zehnder interferometer work?, Physics Education 35, 2000-01, עמ' 46–48 doi: 10.1088/0031-9120/35/1/308 Harry I. Ashkenas, The design and construction of a Mach-Zehnder interferometer for use with the GALCIT Transonic Wind Tunnel, 1950 Hariharan, P., Basics of interferometry, 2nd ed, Amsterdam: Elsevier Academic Press, 2007 R. Chevalerias, Y. Latron, C. Veret, Methods of Interferometry Applied to the Visualization of Flows in Wind Tunnels, JOSA 47, 1957-08-01, עמ' 703–706 doi: 10.1364/JOSA.47.000703 Ristić, Slavica, "Flow visualization techniques in wind tunnels – optical methods (Part II)", 2012 Hariharan, P., Basics of interferometry, 2nd ed, Amsterdam: Elsevier Academic Press, 2007 Matteo G. A. Paris, Entanglement and visibility at the output of a Mach-Zehnder interferometer, Physical Review A 59, 1999-02-01, עמ' 1615–1621 doi: 10.1103/PhysRevA.59.1615 Géraldine Haack, Heidi Förster, Markus Büttiker, Parity detection and entanglement with a Mach-Zehnder interferometer, Physical Review B 82, 2010-10-01, עמ' 155303 doi: 10.1103/PhysRevB.82.155303 M. Gross, M. Atlan, Digital holography with ultimate sensitivity, Optics Letters 32, 2007-04-15, עמ' 909 doi: 10.1364/OL.32.000909 François Bruno, Jérôme Laurent, Daniel Royer, Michael Atlan, Holographic imaging of surface acoustic waves, Applied Physics Letters 104, 2014-02-24, עמ' 083504 doi: 10.1063/1.4866390 C. Magnain, A. Castel, T. Boucneau, M. Simonutti, Holographic laser Doppler imaging of microvascular blood flow, JOSA A 31, 2014-12-01, עמ' 2723–2735 doi: 10.1364/JOSAA.31.002723