משפט בלוך

בפיזיקת המצב המוצק, משפט בלוך מאפיין את פונקציית הגל של חלקיק בפוטנציאל מחזורי, דוגמת אלקטרון הנע בגביש מחזורי. פונקציות גל אלו מכונות גלי בלוך או פונקציות בלוך. המשפט קרוי על שם הפיזיקאי פליקס בלוך שפרסם אותו בשנת 1928. למשפט שימושים וחשיבות רבה בפיזיקת המצב המוצק, לדוגמה לגבי מבנה הפסים במתכות. למשפט מספר ניסוחים שקולים. אם V ( r → ) {\displaystyle V({\vec {r}})} הוא פוטנציאל מחזורי של סריג כלשהו, כלומר מתקיים V ( r → + R → ) = V ( r → ) {\displaystyle V({\vec {r}}+{\vec {R}})=V({\vec {r}})} עבור כל וקטור הזזה סריגית R → {\displaystyle {\vec {R}}} , אזי ניתן לכתוב את הפתרונות למשוואת שרדינגר עבור האלקטרונים בסריג כך: פונקציית בלוך ψ k → ( r → ) = e i k → ⋅ r → u k → ( r → ) {\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u_{\vec {k}}({\vec {r}})} כאשר לפונקציה u {\displaystyle u} יש את אותה המחזוריות של הסריג, כלומר לכל r → {\displaystyle {\vec {r}}} בסריג ולכל הזזה סריגית R → {\displaystyle {\vec {R}}} מתקיים u k → ( r → + R → ) = u k → ( r → ) {\displaystyle u_{\vec {k}}({\vec {r}}+{\vec {R}})=u_{\vec {k}}({\vec {r}})} . פונקציות גל אלו הן פונקציות עצמיות של ההמילטוניאן H = p → 2 2 m + V ( r → ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})} עבור האלקטרונים. בהינתן המילטוניאן כנ"ל, קיים וקטור k → {\displaystyle {\vec {k}}} , כך שהפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן מקיימות: ψ ( r → + R → ) = e i k → ⋅ R → ψ ( r → ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})} לכל הזזה סריגית R → {\displaystyle {\vec {R}}} . המליטוניאן עבור קירוב אלקטרונים לא-תלויים (Independent electron approximation): H = p → 2 2 m + V ( r → ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})} . נגדיר וקטור סריג: R → ≡ n 1 a → 1 + n 2 a → 2 + n 3 a → 3 {\displaystyle {\vec {R}}\equiv n_{1}{\vec {a}}_{1}+n_{2}{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3}} כאשר a → 2 {\displaystyle {\vec {a}}_{2}} , a → 1 {\displaystyle {\vec {a}}_{1}} ו־ a → 3 {\displaystyle {\vec {a}}_{3}} הם וקטורי סריג פרימיטיביים ( n 1 , n 2 , n 3 ∈ Z {\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}\in \mathbb {Z} } ). נגדיר אופרטורי הזזה בווקטור סריג עבור R → {\displaystyle {\vec {R}}} כלשהו כמוגדר לעיל: T R → f ( r → ) ≡ f ( r → + R → ) {\displaystyle T_{\vec {R}}f({\vec {r}})\equiv f({\vec {r}}+{\vec {R}})} . מכיוון שהפוטנציאל שמור (invariant) להזזה בווקטור סריג (כלומר מתקיים V ( r → + R → ) = V ( r → ) {\displaystyle V({\vec {r}}+{\vec {R}})=V({\vec {r}})} עבור כל R → {\displaystyle {\vec {R}}} כמוגדר לעיל), אז גם ההמילטוניאן שמור להזזה בווקטור סריג. ניתן להראות שההמילטוניאן חילופי עם אופרטורי הזזה בווקטור סריג T R → {\displaystyle T_{\vec {R}}} : T R → ( H ( r → ) ψ ( r → ) ) = H ( r → + R → ) ψ ( r → + R → ) = H ( r → ) ψ ( r → + R → ) = H ( r → ) T R → ψ ( r → ) {\displaystyle T_{\vec {R}}(H({\vec {r}})\psi ({\vec {r}}))=H({\vec {r}}+{\vec {R}})\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=H({\vec {r}})\psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=H({\vec {r}})T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})} כלומר הקומוטטור של ההמילטוניאן וּוקטור סריג כלשהו שווה לאפס: [ H , T R → ] = 0 {\displaystyle [H,T_{\vec {R}}]=0} . כמו כן, אופרטורי ההזזה הנ"ל חילופיים זה עם זה. לפיכך ניתן למצוא פונקציות עצמיות משותפות להמילטוניאן ולאופרטורי ההזזה, כלומר ניתן לבחור את הפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן כך שיקיימו: { H ψ n ( r → ) = E n ψ n ( r → ) T R → ψ n ( r → ) = C ( R → ) ψ n ( r → ) {\displaystyle {\begin{cases}H\psi _{n}({\vec {r}})=E_{n}\psi _{n}({\vec {r}})\\T_{\vec {R}}\psi _{n}({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi _{n}({\vec {r}})\end{cases}}} מכיוון שהזזה ב- R → 2 {\displaystyle {\vec {R}}_{2}} ואחריה הזזה ב- R → 1 {\displaystyle {\vec {R}}_{1}} שקולה להזזה ב- R → 1 + R → 2 {\displaystyle {\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}} , מתקיים: C ( R → 1 + R → 2 ) ψ ( r → ) = T R → 1 + R → 2 ψ ( r → ) = T R → 1 T R → 2 ψ ( r → ) = C ( R → 1 ) C ( R → 2 ) ψ ( r → ) {\displaystyle C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=T_{{\vec {R}}_{1}}T_{{\vec {R}}_{2}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})\psi ({\vec {r}})} ולכן: C ( R → 1 + R → 2 ) = C ( R → 1 ) C ( R → 2 ) {\displaystyle C({\vec {R}}_{1}+{\vec {R}}_{2})=C({\vec {R}}_{1})C({\vec {R}}_{2})} הפונקציה היחידה בעלת תכונה זו היא אקספוננט, ולכן: C ( R → ) = e i k → ⋅ R → {\displaystyle C({\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}} . לסיום: ψ ( r → + R → ) = T R → ψ ( r → ) = C ( R → ) ψ ( r → ) = e i k → ⋅ R → ψ ( r → ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=T_{\vec {R}}\psi ({\vec {r}})=C({\vec {R}})\psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})} כלומר: ψ ( r → + R → ) = e i k → ⋅ R → ψ ( r → ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})} וזה הניסוח השני של המשפט. בנוסף להוכחה שהוצגה כאן, קיימות הוכחות אחרות, בהן בונים באופן מפורש את הפונקציות העצמיות. נכפיל את שני האגפים ב־ e − i k → ⋅ ( r → + R → ) {\displaystyle e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}} : ψ ( r → + R → ) e − i k → ⋅ ( r → + R → ) = e i k → ⋅ R → ψ ( r → ) e − i k → ⋅ ( r → + R → ) = e i k → ⋅ R → ψ ( r → ) e − i k → ⋅ r → e − i k → ⋅ R → = ψ ( r → ) e − i k → ⋅ r → {\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {R}}}=\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}} נגדיר: u ( r → ) ≡ ψ ( r → ) e − i k → ⋅ r → {\displaystyle u({\vec {r}})\equiv \psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}} ולכן: ψ ( r → + R → ) e − i k → ⋅ ( r → + R → ) = ψ ( r → ) e − i k → ⋅ r → ⇒ u ( r → + R → ) = u ( r → ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}}+{\vec {R}})e^{-i{\vec {k}}\cdot ({\vec {r}}+{\vec {R}})}=\psi ({\vec {r}})e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\Rightarrow u({\vec {r}}+{\vec {R}})=u({\vec {r}})} כלומר הפונקציה u ( r → ) {\displaystyle u({\vec {r}})} היא פונקציה מחזורית והמחזוריות שלה זהה למחזוריות הסריג. לפי ההגדרה של u ( r → ) {\displaystyle u({\vec {r}})} נקבל: ψ ( r → ) = e i k → ⋅ r → u ( r → ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}u({\vec {r}})} מ.ש.ל Felix Bloch, "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern," Z. Physik 52, 555-600 (1928). Ashcroft and Mermin, Solid state physics (chapter 8) יש לציין כי תכונות דומות של פתרונות של משוואות דיפרנציאליות היו ידועות בתקופה מוקדמת יותר