פונקציה כוכבית

באנליזה מרוכבת, פונקציה כוכבית (אנגלית: Starlike function) היא פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית) בעיגול היחידה, אשר תמונתה היא תחום כוכבי ביחס לראשית הצירים. פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) (להבדיל מהמינוח פונקציה קמורה), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא תחום קמור. לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת הפונקציות האוניוולנטיות. משפט אלכסנדר נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית. תהי f : Ω → C {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} } פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית). נאמר ש- f {\displaystyle f} היא פונקציה כוכבית (Starlike function) אם f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} תחום כוכבי סביב ראשית הצירים. פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) אם f ( Ω ) {\displaystyle f(\Omega )} תחום קמור. פונקציות כוכביות וקמורות נחקרות בדר"כ עבור Ω = D = { z : | z | < 1 } {\displaystyle \Omega =D=\{z:|z|<1\}} עיגול היחידה. הפונקציה z + i z − i {\displaystyle {\frac {z+i}{z-i}}} היא העתקה קונפורמית המעבירה את עיגול היחידה לחצי המישור העליון, ולכן היא קמורה. פונקציית קוב k ( z ) = z ( 1 − z ) 2 {\displaystyle k(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} היא כוכבית, שכן תמונתה היא C − ( − ∞ , − 1 4 ) {\displaystyle \mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}})} וזהו תחום כוכבי. ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה אוניוולנטית f {\displaystyle f} קמורה או כוכבית. משפט: הפונקציה האוניוולנטית f : D ¯ → f ( D ¯ ) {\displaystyle f:{\overline {D}}\to f({\overline {D}})} היא קמורה אם ורק אם מתקיים ∀ | z | = 1 : R e ( 1 + z f ″ ( z ) f ′ ( z ) ) ≥ 0 {\displaystyle \forall |z|=1:Re(1+{\frac {zf''(z)}{f'(z)}})\geq 0} . משפט: אם בנוסף f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} , אז הפונקציה היא כוכבית אם ורק אם ∀ | z | = 1 : R e ( z f ′ ( z ) f ( z ) ) ≥ 0 {\displaystyle \forall |z|=1:Re({\frac {zf'(z)}{f(z)}})\geq 0} . כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית: משפט אלכסנדר (J.W. Alexander,1915): נניח ש- f : D → f ( D ) {\displaystyle f:D\to f(D)} אוניוולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה z f ′ ( z ) {\displaystyle zf'(z)} כוכבית. נפעיל את המשפט על פונקציית קוב, שהראינו שהיא כוכבית - עבור K ( z ) = z 1 − z {\displaystyle K(z)={\frac {z}{1-z}}} מתקיים z K ′ ( z ) = z ( 1 − z ) 2 = k ( z ) {\displaystyle zK'(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=k(z)} , ולכן הפונקציה z 1 − z {\displaystyle {\frac {z}{1-z}}} קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: K ( D ) = { w : R e w > − 1 2 } {\displaystyle K(D)=\{w:Rew>-{\frac {1}{2}}\}} . את אוסף הפונקציות הכוכביות/קמורות המנורמלות על מעגל היחידה נסמן ב- S T {\displaystyle ST} וב- C V {\displaystyle CV} בהתאמה. לפי משפט אלכסנדר, יש התאמה 1:1 בין שתי המחלקות: לכל f ∈ C V {\displaystyle f\in CV} , מתקיים z f ′ ( z ) ∈ S T {\displaystyle zf'(z)\in ST} . לכל F ∈ S T {\displaystyle F\in ST} , מתקיים ∫ 0 z F ( w ) w d w ∈ C V {\displaystyle \int _{0}^{z}{{\frac {F(w)}{w}}dw}\in CV} . משפט דה ברנז' טוען כי המקדמים b n {\displaystyle b_{n}} בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים | b n | ≤ n {\displaystyle |b_{n}|\leq n} . כאשר עוד נחשב להשערה, שכונתה השערת המקדמים, הוא הוכח למקרים פרטיים רבים. ביניהם: משפט (R. Nevanlinna, 1921): במחלקה S T {\displaystyle ST} מתקיימת השערת המקדמים. יותר מכך - אם מתקיים שוויון עבור n 0 ≥ 2 {\displaystyle n_{0}\geq 2} כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של פונקציית קוב - e i α k ( e − i α z ) {\displaystyle e^{i\alpha }k(e^{-i\alpha }z)} . במחלקה C V {\displaystyle CV} מתקיימת טענה חזקה הרבה יותר: משפט (C. Lowner,1921): במחלקה C V {\displaystyle CV} מתקיים ∀ n : | b n | ≤ 1 {\displaystyle \forall n:|b_{n}|\leq 1} . במידה ומתקיים שוויון עבור n 0 ≥ 2 {\displaystyle n_{0}\geq 2} כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של הפונקציה z 1 − z {\displaystyle {\frac {z}{1-z}}} . למעשה, שני המשפטים שקולים - אפשר להוכיח את השני בעזרת הראשון (לפי ההתאמה לעיל). כדי להוכיח את הראשון בעזרת השני, יש להשתמש בהעתקות שוורץ-קריסטופל. קבוצה קמורה תחום כוכבי Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co.,pages 107-180 CONVEX AND STARLIKE UNIVALENT FUNCTIONS, S. D. BERNARDI Star-like function, Encyclopedia of Mathematics