מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון מכפלה קרטזית של קבוצות, מכפלה ישרה של חבורות, מכפלה של מרחבים טופולוגיים וכו'. במהותה, מכפלה של זוג אובייקטים היא "האובייקט הכללי ביותר" שיש ממנו מורפיזם לכל אחד מזוג האובייקטים. נניח כי C היא קטגוריה וכי { X i | i ∈ I } {\displaystyle \,\{X_{i}|i\in I\}} היא משפחה של אובייקטים ב-C. המכפלה של הקבוצה { X i } {\displaystyle \,\{X_{i}\}} היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים π i : X → X i {\displaystyle \,\pi _{i}:X\rightarrow X_{i}} (הנקראות ההטלות הקנוניות, שהן לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד אפימורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים f i : Y → X i {\displaystyle \,f_{i}:Y\rightarrow X_{i}} קיים מורפיזם יחיד f : Y → X {\displaystyle \,f:Y\rightarrow X} כך שלכל i ∈ I {\displaystyle \,i\in I} מתקיים f i = π i ∘ f {\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f} . במילים אחרות, לכל i הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית: במילים אחרות, X הוא אובייקט סופי בקטגוריה C { X i } = { ( Z , { g i : Z → X i } )   |   ∀ i : X , X i ∈ O b ( C )   ,   g i ∈ M o r ( Z , X i ) } {\displaystyle C_{\{X_{i}\}}=\left\{(Z,\{g_{i}:Z\to X_{i}\})\ |\ \forall i:X,X_{i}\in \mathrm {Ob} (C)\ ,\ g_{i}\in \mathrm {Mor} (Z,X_{i})\right\}} עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב X 1 × X 2 {\displaystyle \,X_{1}\times X_{2}} , ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה: המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב<f1,f2>. בקטגוריה של קבוצות, המכפלה היא פשוט מכפלה קרטזית של אוסף הקבוצות. בהינתן משפחה של קבוצות Xi, המכפלה מוגדרת על ידי: ∏ i ∈ I X i := { ( x i ) i ∈ I | x i ∈ X i ∀ i ∈ I } {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}:=\{(x_{i})_{i\in I}|x_{i}\in X_{i}\,\forall i\in I\}} וההטלות הקנוניות הן π j : ( ∏ i ∈ I X i ) → X j , π j ( ( x i ) i ∈ I ) := x j {\displaystyle \pi _{j}:\left(\prod _{i\in I}X_{i}\right)\to X_{j}\mathrm {,} \quad \pi _{j}((x_{i})_{i\in I}):=x_{j}} בהינתן קבוצה כלשהי Y ואוסף של פונקציות f i : Y → X i {\displaystyle \,f_{i}:Y\to X_{i}} המורפיזם האוניברסלי f נתון על ידי f : Y → ∏ i ∈ I X i , f ( y ) := ( f i ( y ) ) i ∈ I {\displaystyle f:Y\to \prod _{i\in I}X_{i}\mathrm {,} \quad f(y):=(f_{i}(y))_{i\in I}} בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים, המכפלה נתונה על ידי מכפלה של מרחבים טופולוגיים. כקבוצה, המכפלה שווה למכפלה הקרטזית של הקבוצות מהן מורכבים המרחבים הטופולוגים, והטופולוגיה היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה ההטלות הן פונקציות רציפות. ההטלות הן, שוב, כמו בקטגוריה של קבוצות, ועקב בחירת הטופולוגיה על המכפלה הן מהוות פונקציות רציפות, ולפיכך מורפיזמים בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים. לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה { X i } {\displaystyle \,\{X_{i}\}} מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם π i : X → X i {\displaystyle \,\pi _{i}:X\rightarrow X_{i}} ו- π i ′ : X ′ → X i {\displaystyle \,\pi '_{i}:X'\rightarrow X_{i}} הן זוג מכפלות של המשפחה { X i } {\displaystyle \,\{X_{i}\}} אז קיים איזומורפיזם יחיד f : X → X ′ {\displaystyle \,f:X\rightarrow X'} כך ש π i = π i ′ ∘ f {\displaystyle \,\pi _{i}=\pi '_{i}\circ f} . קו-מכפלה (תורת הקטגוריות) מכפלת סיב (תורת הקטגוריות) מדיה וקבצים בנושא מכפלה בוויקישיתוף מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)