דיאמגנטיות לנדאו

דיאמגנטיות לנדאו היא הסבר קוונטי לתופעת הדיאמגנטיות המתרחשת במתכות. את ההסבר לתופעה הגה הפיזיקאי לב לנדאו. בשנת 1778 ס.ג' בראגמאנס היה האדם הראשון שצפה בביסמות ואנטימון נדחים על ידי שדות מגנטיים. אולם, המונח "דיאמגנטיות" נטבע על ידי מייקל פאראדיי בספטמבר 1845, כאשר הוא הבין שכל החומרים בטבע הם בעלי צורה מסוימת של תגובה דיאמגנטית לשדה מגנטי שמופעל עליהם. עם התפתחות תורת הקוונטים בתחילת המאה ה-20, התאוריה הדיאמגנטית של פול לנז'בן הסבירה את תופעת הדיאמגנטיות בחומרים דיאלקטריים. עם זאת, התאוריה של לז'נבן אינה סיפקה הסבר לתופעת הדיאמגנטיות בחומרים שהאלקטרונים בהם מתוארים כגז פרמי, כדוגמת מתכות. בשנת 1929, פרסם הפיזיקאי לב לנדאו את עבודתו העוסקת בדיאמגנטיות בגז פרמי שנקראה לאחר מכן על שמו דיאמגנטיות לנדאו, ומציבה אותו בשורה אחת עם גדולי הפיזיקאים בעולם. רמות לנדאו הן רמות האנרגיה שחלקיק טעון יכול לתפוס כתוצאה מהפעלת שדה מגנטי אחיד. האנרגיות האפשריות של חלקיק טעון בשדה מגנטי אחיד בכיוון z הן: E n = ℏ ω c ( n + 1 2 ) + p z 2 2 m , n ≥ 0   . {\displaystyle {\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0~.}} כאשר ω c = e B m c {\displaystyle \omega _{c}={eB \over mc}} היא תדירות הציקלוטרון התלויה בשדה המגנטי, מטען החלקיק ומסת החלקיק p z = k z ℏ {\displaystyle p_{z}=k_{z}\hbar } הוא רכיב התנע של החלקיק בכיוון השדה. מנוסחה זו ניתן לראות כי ההפרש בין שתי רמות סמוכות הוא ℏ ω c {\displaystyle \hbar \omega _{c}} . פונקציית החלוקה הגראנד קנונית החד חלקיקית עבור חלקיק במצב s שיכול להיות מאוכל או לא מאוכלס היא: ζ G 1 = ∑ n = 0 , 1 exp ⁡ ( − n β ( ϵ s − μ ) ) = 1 + e x p ( − β ( ϵ s − μ ) ) {\displaystyle \zeta _{G}^{1}=\textstyle \sum _{n=0,1}\exp(-n\beta (\epsilon _{s}-\mu ))=1+exp(-\beta (\epsilon _{s}-\mu ))\displaystyle } כאשר β הוא משתנה תרמודינמי המוגדר β = 1 k b T {\displaystyle \beta ={1 \over k_{b}T}} (T- טמפרטורה, k b {\displaystyle k_{b}} - קבוע בולצמן) μ הוא הפוטנציאל הכימי ϵ s {\displaystyle \epsilon _{s}} היא האנרגיה במצב המיקרוסקופי s. וכן פונקציית החלוקה הכוללת עבור כל המצבים היא ζ G t o t = ∏ s ζ G s {\displaystyle \zeta _{G_{tot}}=\prod _{s}\zeta _{G_{s}}} . עבור אלקטרון בקופסה שפועל עליו שדה מגנטי בכיוון z ראינו כי רמות האנרגיה ידועות ונקראות רמות לנדאו. פונקציית החלוקה הגראנד קנונית של אלקטרונים חופשיים בשדה מגנטי היא (נכנס פקטור 2 בגלל ספין האלקטרון): log ⁡ ζ G = L 2 π ∫ d k z ∑ n = 0 ∞ 2 L 2 B e 2 π ℏ c l o g [ 1 + z exp ⁡ ( − β ℏ 2 k z 2 2 m − β ℏ ω c ( n + 1 2 ) ] {\displaystyle \log \zeta _{G}={L \over 2\pi }\int dk_{z}\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{2L^{2}Be \over 2\pi \hbar c}log[1+z\exp({-\beta \hbar ^{2}k_{z}^{2} \over 2m}-\beta \hbar \omega _{c}(n+{1 \over 2})]} כאשר B הוא גודל השדה המגנטי e הוא גודל מטען האלקטרון L היא יחידת אורך, הנובעת מפתרון הבעיה של חלקיק קוונטי בקופסה m מסת האלקטרון ℏ {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם n היא רמת אנרגיה את הסכום בתוך האינטגרל ניתן לקרב לאינטגרל באמצעות נוסחת אוילר-מקלורן, והתוצאה תהיה: log ⁡ ζ G = V m 2 π 2 ℏ 2 ( ∫ − ∞ μ h ( y ) d y − ( ℏ ω c ) 2 24 ∫ − ∞ ∞ d k β 1 + exp ⁡ ( β ℏ 2 k 2 2 m − μ ) ) + . . . {\displaystyle \log \zeta _{G}={Vm \over 2\pi ^{2}\hbar ^{2}}{\Bigl (}\int _{-\infty }^{\mu }h(y)dy-{(\hbar \omega _{c})^{2} \over 24}\int _{-\infty }^{\infty }dk{\beta \over 1+\exp(\beta {\hbar ^{2}k^{2} \over 2m-\mu })}{\Bigr )}+...} כאשר התבצעה הצבה לנפח: V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} . בנוסף התבצעה החלפת משתנים ( n + 1 2 ) → y {\displaystyle (n+{1 \over 2})\rightarrow y} , כאשר הפונקציה h ( y ) {\displaystyle h(y)} אינה תלויה בשדה המגנטי. מכיוון שמגנטיזציה זה M = 1 β ∂ log ⁡ ζ G ∂ B {\displaystyle M={1 \over \beta }{\partial \log \zeta _{G} \over \partial B}} , והתלות בשדה המגנטי בביטוי מוכלת בתדירות הציקלוטרון באיבר השני בפונקציית החלוקה, נקבל לבסוף: M = − μ B 2 3 g ( ϵ F ) B {\displaystyle M=-{\mu _{B}^{2} \over 3}g(\epsilon _{F})B} כאשר μ B = e ℏ 2 m c {\displaystyle \mu _{B}={e\hbar \over 2mc}} מגנטון בוהר ϵ F {\displaystyle \epsilon _{F}} היא אנרגיית פרמי g היא פונקציית הריבוי (סופרת כמה מצבי יש באנרגיה קטנה מ- ϵ F {\displaystyle \epsilon _{F}} ) התוצאה שהתקבלה מנוגדת בסימן וקטנה פי 3 מהתוצאה שמתקבלת עבור פאראמגנטיות פאולי, וזה עולה בקנה אחד עם העובדה שחומרים דיאמגנטיים דוחים שדה מגנטי לעומת חומרים פאראמגנטיים. האפקט הנגזר מהפיתוח הנ"ל נקרא דיאמגנטיות לנדאו. דיאמגנטיות פאראמגנטיות תורת לנדאו גז פרמי פונקציית חלוקה פיזיקה סטטיסטית נספח המתאר את הפיתוח המתמטי פיזיקה סטטיסטית מאת דר דוד טונג פרק 3.6.7