מידת האר

במתמטיקה, ובמיוחד באנליזה מתמטית, מידת האר היא מידה המוגדרת על חבורות טופולוגיות קומפקטיות מקומית, כגון חבורות של מטריצות מעל הממשיים, המרוכבים, או כל שדה מקומי אחר. מידה זו הוגדרה עבור חבורות קומפקטיות על ידי המתמטיקאי ההונגרי אלפרד האר, ב־1932, ועבור המקרה הכללי על ידי אנדרה וייל. בזכות קיומה של מידה על החבורה G, ניתן להגדיר אינטגרלים של פונקציות המוגדרות על החבורה, ולחקור פונקציות כאלה במסגרת האנליזה הפונקציונלית. תכונה זו הופכת את החבורות הקומפקטיות-מקומית, שיש להן מידת האר, לאובייקט מרכזי בתורת החבורות, באנליזה, בתורת ההצגות ובתורת המספרים. מידת האר מיוחדת בכך שהיא "אינווריאנטית להזזות", כלומר, היא מודדת את ה"נפח" של קבוצה A בחבורה באופן כזה, שהנפח אינו משתנה אם מכפילים את A באיבר של החבורה. עד כדי כפל בקבוע, יש מידת האר אחת שהיא אינווריאנטית לכפל מימין, ואחרת שהיא אינווריאנטית לכפל משמאל. את היחס בין השתיים מודדת הפונקציה המודולרית של החבורה. נניח כי G היא חבורה טופולוגית קומפקטית מקומית. לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי תת-הקבוצות הקומפקטיות של G קוראים אלגברת בורל. האיברים של אלגברה זו נקראים קבוצות בורל. אם a הוא איבר בG וS היא תת-קבוצה של G, אז a S = { a ⋅ s : s ∈ S } {\displaystyle \,aS=\{a\cdot s:s\in S\}} היא ה"הזזה שמאלה" של S ב- a, ו- S a = { s ⋅ a : s ∈ S } {\displaystyle \,Sa=\{s\cdot a:s\in S\}} ה"הזזה ימינה". מכיוון שפעולת הכפל בחבורה היא רציפה, ההזזות מעתיקות קבוצת בורל לקבוצת בורל. באותו אופן, ההפכי של S מוגדר לפי S − 1 = { s − 1 : s ∈ S } {\displaystyle \,S^{-1}=\{s^{-1}:s\in S\}} ; גם פעולת ההיפוך מעתיקה קבוצת בורל לקבוצת בורל. מידה μ על אלגברת בורל של G היא אינווריאנטית משמאל, אם לכל תת-קבוצת בורל S של G ולכל איבר a ב G מתקיים μ ( a S ) = μ ( S ) {\displaystyle \,\mu (aS)=\mu (S)} ; כלומר - הנפח של קבוצות אינו משתנה כאשר מכפילים אותן משמאל. באותו אופן אפשר להגדיר אינווריאנטיות מימין. מתברר כי, עד כדי כפל בקבוע חיובי, קיימת בדיוק מידה רגולרית אינווריאנטית להזזות שמאלה אחת על אלגברת בורל של G, המקיימת μ ( U ) > 0 {\displaystyle \,\mu (U)>0} לכל קבוצת בורל פתוחה U. מידה כזו נקראת מידת האר שמאלית. באותו אופן מתברר גם שקיימת מידה ימנית אחת ויחידה על החבורה. ממידת האר השמאלית, μ, אפשר להגדיר מידת האר ימנית, ν, לפי הנוסחה ν ( S ) = μ ( S − 1 ) {\displaystyle \,\nu (S)=\mu (S^{-1})} . (זוהי אכן מידת האר ימנית, משום שלכל קבוצת בורל S ולכל איבר a ב־G מתקיים ν ( S a ) = μ ( ( S a ) − 1 ) = μ ( a − 1 S − 1 ) = μ ( S − 1 ) = ν ( S ) {\displaystyle \,\nu (Sa)=\mu ((Sa)^{-1})=\mu (a^{-1}S^{-1})=\mu (S^{-1})=\nu (S)} ). מכיוון שמידת האר הימנית היא יחידה (עד כדי קבוע) הרי שקיים קבוע חיובי k כך ש- μ ( S − 1 ) = k ν ( S ) {\displaystyle \,\mu (S^{-1})=k\nu (S)} לכל קבוצת בורל S בG. בהגדרה של מידת האר, ההגבלה לקבוצות בורל היא הכרחית: אם החבורה G אינה דיסקרטית, אז לא קיימת מידה אינווריאנטית משמאל המוגדרת על כל תת-הקבוצות של G (זאת אם מניחים את אקסיומת הבחירה; ראו פרדוקס בנך-טרסקי, עבור המקרה של החבורה הקומפקטית   O 3 ( R ) {\displaystyle \ O_{3}(\mathbb {R} )} ). הזזה משמאל של מידת האר ימנית היא מידת האר ימנית. ליתר דיוק, אם μ היא מידת האר ימנית אז לכל איבר t בG ההעתקה A ↦ μ ( t − 1 A ) {\displaystyle \,A\mapsto \mu (t^{-1}A)} היא גם מידת האר ימנית. לפיכך קיימת פונקציה יחידה Δ, הנקראת הפונקציה המודולרית של G, כך שלכל קבוצת בורל A בG ולכ איבר t בG מתקיים μ ( t − 1 A ) = Δ ( t ) μ ( A ) {\displaystyle \,\mu (t^{-1}A)=\Delta (t)\mu (A)} . נשים לב כי לכל זוג איברים s וt בG ולכל קבוצת בורל A מתקיים: Δ ( t s ) μ ( A ) = μ ( ( t s ) − 1 A ) = μ ( s − 1 t − 1 A ) = Δ ( s ) μ ( t − 1 A ) = Δ ( s ) Δ ( t ) μ ( A ) {\displaystyle \,\Delta (ts)\mu (A)=\mu ((ts)^{-1}A)=\mu (s^{-1}t^{-1}A)=\Delta (s)\mu (t^{-1}A)=\Delta (s)\Delta (t)\mu (A)} לפיכך, לכל s ו-t מתקיים Δ ( t s ) = Δ ( t ) Δ ( s ) {\displaystyle \,\Delta (ts)=\Delta (t)\Delta (s)} , כלומר, הפונקציה המודולרית היא הומומורפיזם של חבורות מG אל החבורה הכפלית של המספרים הממשיים החיוביים. ניתן להראות שהפונקציה המודולרית היא העתקה רציפה. חבורה נקראת אונימודולרית אם הפונקציה המודולרית שלה היא הפונקציה הקבועה 1, כלומר אם מידת האר השמאלית ומידת האר הימנית עליה מתלכדות. לעובדה זו השלכות רבות כשמבצעים אנליזה על החבורה. חבורות דיסקרטיות, עליהן מידת האר היא מידת המניה, הן תמיד אונימודולריות; גם חבורות קומפקטיות, חבורות נילפוטנטיות (ובכללן חבורות אבליות) וחבורות לי פשוטות למחצה הן אונימודולריות. דוגמה לחבורה שאינה אונימודולרית היא חבורת הטרנספורמציות האפיניות של הישר הממשי (כלומר חבורת ההעתקות מהצורה x ↦ a x + b {\displaystyle \,x\mapsto ax+b} כאשר a ≠ 0 {\displaystyle \,a\neq 0} ). דוגמה זו מראה שחבורות פתירות אינן באופן כללי אונימודולריות. בעזרת התאוריה הכללית של אינטגרל לבג, ניתן להגדיר אינטגרל לכל הפונקציות המדידות בורל על G. אינטגרל זה נקרא אינטגרל האר. אם μ היא מידת האר שמאלית אז לכל פונקציה אינטגרבילית f מתקיים: ∫ G f ( s x )   d μ ( x ) = ∫ G f ( x )   d μ ( x ) {\displaystyle \int _{G}f(sx)\ d\mu (x)=\int _{G}f(x)\ d\mu (x)} עובדה זו נובעת מן האינווריאנטיות עבור פונקציות פשוטות, ומכאן (בטכניקות הרגילות של תורת המידה) לכל פונקציה אינטגרבילית. המרחב   L 2 ( G ) {\displaystyle \ L^{2}(G)} , מרחב הפונקציות האינטגרביליות בריבוע, הוא הצגה של החבורה G, שלה תפקיד מרכזי בתורת ההצגות, המקביל לזה של ההצגה הרגולרית עבור חבורות סופיות. מידת האר על החבורה הטופולוגית ( R , + ) {\displaystyle \,(\mathbb {R} ,+)} המקבלת את הערך 1 על הקטע [0,1] היא המידה הרגילה, כלומר, הצמצום של מידת לבג לקבוצות בורל של R. טענה דומה נכונה ל R n {\displaystyle \,\mathbb {R} ^{n}} לכל n. אם G היא החבורה הכיפלית של המספרים הממשיים החיוביים, מידת האר נתונה על ידי μ ( S ) = ∫ S 1 t d t {\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{\frac {1}{t}}\,dt} לכל קבוצת בורל S של G. באופן יותר כללי: עבור   G = G L n ( R ) {\displaystyle \ G=GL_{n}(\mathbb {R} )} - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר n מעל R {\displaystyle \,\mathbb {R} } , מידת האר השמאלית והימנית מתלכדות ונתונות על ידי: μ ( S ) = ∫ S 1 | det ( X ) | n d X {\displaystyle \mu (S)=\int _{S}{1 \over |\det(X)|^{n}}\,dX} כאשר dX מסמנת את מידת לבג על R n 2 {\displaystyle \,\mathbb {R} ^{n^{2}}} המזוהה עם קבוצת המטריצות בגודל n × n {\displaystyle \,n\times n} . באופן כללי יותר, לכל חבורת לי G מממד d, ניתן לייחס מידת האר שמאלית לכל d-תבנית דיפרנציאלית אינווריאנטית משמאל ω, על ידי אינטגרל לבג |ω|. לפיכך הפונקציה המודולרית ניתנת לחישוב על ידי הערך המוחלט של הדטרמיננטה של ההצגה הצמודה של G (ההצגה הטבעית של G על אלגברת הלי שלה). דואליות פונטריאגין Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950. André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971. Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953. מידת האר, באתר MathWorld (באנגלית)