קבוע מילס

קבוע מילס (באנגלית: Mills' constant) הוא קבוע מתמטי, שמוגדר בתור המספר הממשי החיובי הקטן ביותר A שמקיים את התכונה הבאה: לכל n טבעי   ⌊ A 3 n ⌋ {\displaystyle \ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor } ראשוני (כאשר   ⌊ x ⌋ {\displaystyle \ \lfloor x\rfloor } היא פונקציית הערך השלם). הוא נקרא על שם ויליאם מילס, שהוכיח ב-1947 את משפט מילס הקובע כי קבוע כזה קיים. תוצאה מפתיעה לאור ההתנהגות הלא סדורה של סדרת הראשוניים. לא ידוע ערכו של מספר זה, אבל אם מניחים שהשערת רימן נכונה, אז: A ≈ 1.306377883863080690468614492602... {\displaystyle A\approx 1.306377883863080690468614492602...} . לא ידוע אם המספר רציונלי או אי-רציונלי. הכללה של משפט מילס קובעת שלכל 2.106 < c {\displaystyle 2.106<c} קיימים אינסוף ערכים A {\displaystyle A} כך ש-   ⌊ A c n ⌋ {\displaystyle \ \lfloor A^{c^{n}}\rfloor } תמיד ראשוני, ושאינסוף זה הוא מעוצמת הרצף. המספרים הראשוניים שמתקבלים על ידי הצבת מספר טבעי n בביטוי   ⌊ A 3 n ⌋ {\displaystyle \ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor } , נקראים הראשוניים של מילס. אם נניח את נכונות השערת רימן, המספרים שיתקבלו הם: 2, 11, 1361, 2521008887 וכן הלאה. השימוש בקבוע מילס אינו יעיל לשם מציאת ראשוניים גדולים, משום שלשם חישוב חזקות גבוהות שלו יש לדעת את הקבוע בדיוק רב, אולם כדי לחשב את הקבוע נדרשת סדרת ראשוניי מילס עצמה. משפט מילס הקובע את הקיום של קבוע מילס מסתמך על משפט של אלברט אינגהם משנת 1937 הקובע שקיים קבוע K {\displaystyle K} , כך שלכל זוג ראשוניים עוקבים בסדרת הראשוניים p n , p n + 1 {\displaystyle p_{n},p_{n+1}} מתקיים p n + 1 < p n + K p n 5 / 8 {\displaystyle p_{n+1}<p_{n}+Kp_{n}^{5/8}} . מהמשפט של אינגהם נובע שאם K 8 < N {\displaystyle K^{8}<N} , ו- p n , p n + 1 {\displaystyle p_{n},p_{n+1}} הראשוניים העוקבים המקיימים p n < N 3 < p n + 1 {\displaystyle p_{n}<N^{3}<p_{n+1}} , אז מתקיים: N 3 < p n + 1 < p n + K p n 5 / 8 < N 3 + K N 15 / 8 < N 3 + N 1 / 8 N 15 / 8 = N 3 + N 2 < ( N + 1 ) 3 − 1 {\displaystyle N^{3}<p_{n+1}<p_{n}+Kp_{n}^{5/8}<N^{3}+KN^{15/8}<N^{3}+N^{1/8}N^{15/8}=N^{3}+N^{2}<(N+1)^{3}-1} כלומר לכל K 8 < N {\displaystyle K^{8}<N} קיים ראשוני p {\displaystyle p} כך ש- N 3 < p < ( N + 1 ) 3 − 1 {\displaystyle N^{3}<p<(N+1)^{3}-1} . כעת בונים סדרה של ראשוניים { q n } {\displaystyle \{q_{n}\}} באופן רקורסיבי: בוחרים ראשוני K 8 < q 0 {\displaystyle K^{8}<q_{0}} להיות האיבר הראשון. ומגדירים את q n + 1 {\displaystyle q_{n+1}} כראשוני המקיים q n 3 < q n + 1 < ( q n + 1 ) 3 − 1 {\displaystyle q_{n}^{3}<q_{n+1}<(q_{n}+1)^{3}-1} . נקבל סדרה עולה של ראשוניים q 0 , q 1 , q 2 , … {\displaystyle q_{0},q_{1},q_{2},\ldots } . נגדיר שתי סדרות חדשות: a n = q n 3 − n ,   b n = ( q n + 1 ) 3 − n {\displaystyle a_{n}={q_{n}}^{3^{-n}},\ b_{n}={(q_{n}+1)}^{3^{-n}}} קל לראות ש- a n < b n {\displaystyle a_{n}<b_{n}} , ושמהתנאי q n 3 < q n + 1 < ( q n + 1 ) 3 − 1 {\displaystyle q_{n}^{3}<q_{n+1}<(q_{n}+1)^{3}-1} נובע ש- a n {\displaystyle a_{n}} עולה ו- b n {\displaystyle b_{n}} יורדת. a n {\displaystyle a_{n}} עולה וחסומה ולכן נוכל להגדיר A = lim n → ∞ a n {\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }a_{n}} . A מקיים a n < A < b n {\displaystyle a_{n}<A<b_{n}} , כלומר q n 3 − n < A < ( q n + 1 ) 3 − n {\displaystyle {q_{n}}^{3^{-n}}<A<{(q_{n}+1)}^{3^{-n}}} . העלאת האי-שוויון בחזקת 3 n {\displaystyle 3^{n}} נותנת q n < A 3 n < q n + 1 {\displaystyle q_{n}<A^{3^{n}}<q_{n}+1} , ולכן   ⌊ A 3 n ⌋ = q n {\displaystyle \ \lfloor A^{3^{n}}\rfloor =q_{n}} כנדרש. Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem קבוע מילס, באתר MathWorld (באנגלית) ערך מדויק יותר של קבוע מילס, אם ההנחה מתקיימת, ניתן למצוא בסדרה A051021 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים ניתן למצוא עוד מספרים בסדרה A051254 באתר OEIS A. E. Ingham, On the difference between consecutive primes, Quart. J. Math. Oxford 8 (1937), 255-266.