חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים

כאשר דנים במערכת של N חלקיקים זהים יש להפריד לשני מקרים: חלקיקים מובחנים וחלקיקים בלתי-מובחנים. חלקיקים בלתי-מובחנים – במכניקת הקוונטים הם חלקיקים אשר עקרונית לא ניתן להבדיל ביניהם והם מוגדרים רק בסקלות קוונטיות. חלקיקים מובחנים – חלקיקים שניתן להבדיל ביניהם, ולהתחקות אחר ההתפתחות בזמן של כל אחד ואחד מהם. היכולת להבחין בין חלקיקים היא תכונה יסודית של המערכת, אשר קובעת כיצד יש לספור מצבים מיקרוסקופיים. בפיזיקה קלאסית (וכן באינטואיציה שלנו) חלקיקים תמיד מובחנים. לכן, גם אם נבחר לא להבחין ביניהם (לדוגמה: הוצאת כדורים זהים משק) הסטטיסטיקה היא של חלקיקים מובחנים כי תמיד נוכל לבחור לצבוע אותם בצבע שונה או לתייג כל אחד בתווית אחרת. בפיזיקה קוונטית, לעומת זאת, חלקיקים זהים הם בלתי מובחנים בהגדרה, כגון: חלקיקים אלמנטרים, חלקיקים תת-אטומים, אטומים ומולקולות. קיימות תכונות אינהרנטיות באמצעותן ניתן להבדיל בין חלקיקים גם בפיזיקה קוונטית והן: מסה, מטען וספין. זאת, לעומת תכונות דינמיות, כגון: מיקום, תנע ואנרגיה, שמאפשרות הבחנה בפיזיקה הקלאסית, אך לא בפיזיקה הקוונטית. בתום המאה ה-17 התנהל ויכוח בין הפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ לבין סמואל קלארק (תלמידו של ניוטון). על פי התפיסה הניוטונית העולם מורכב מאינספור חלקיקים זהים בתכונותיהם הנמצאים במקומות שונים בחלל וכל חלקיק שומר על זהותו העצמית ונותר הוא עצמו במשך התהליכים בו משתתף (נציין כי הזהות העצמית היוותה מונח בסיס במכניקה קלאסית). לייבניץ, לעומת זאת, התנגד לקיומם של חלקיקים זהים ולכך טענות לוגיות הנובעות מתפיסה פילוסופית דתית. טענתו היא כי האל בורא את הטוב ביותר מבין העולמות האפשריים. חרף זאת, אין סיבה מספקת שהאל יבחר לשים אטום אחד במקום מסוים על פני האחר אם הם זהים ובעלי אותה השפעה. ולכן, לדידו אין זה ייתכן כי האל יברא שני חלקיקים זהים בדיוק וכתוצאה מכך טען כי אטומים זהים לא קיימים. תורת הקוונטים עוקפת את טענתו של לייבניץ בדרך נאה ומחוכמת ומפרה את תכונת הזהות העצמית של חלקיקים. חלקיקים שונים כגון פרוטון ואלקטרון ניתנים להבחנה. לכן, ניתן יהיה לכתוב עבורם מצב מקום בשלושה ממדים: | r p → , r e → ⟩ {\displaystyle |{\overrightarrow {r_{p}}},{\overrightarrow {r_{e}}}\rangle } . אולם, עבור חלקיקים בלתי מובחנים המצב שונה כיוון שלא ניתן להבדיל בניהם. לאחר החלפתם המצב הפיזיקלי לא השתנה, כלומר נותרנו באותו מצב קוונטי עד כדי פאזה, ולכן אם נבצע מדידת מקום ונמצא כי קיים חלקיק אחד במיקום x 1 {\displaystyle x_{1}} וחלקיק אחר ב- x 2 {\displaystyle x_{2}} ,מפני שהם חילופיים – לא נדע מי זה מי. קרי, לאחר המדידה ייתכן ומצב המיקום הוא: | x 1 , x 2 ⟩ {\displaystyle |{x_{1}},{x_{2}}\rangle } או | x 2 , x 1 ⟩ {\displaystyle |{x_{2}},{x_{1}}\rangle } או צירוף ליניארי (סופרפוזיציה) של המצבים הללו. עבור הסופרפוזיציה ניתן להראות כי קיימות רק שתי אפשרויות: מצב סימטרי (s): | x 1 x 2 ⟩ s = 1 2 [ | x 1 x 2 ⟩ + | x 2 x 1 ⟩ ] {\displaystyle |{x_{1}}{x_{2}}\rangle _{s}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|{x_{1}}{x_{2}}\rangle +|{x_{2}}{x_{1}}\rangle \right]} . במצב זה החלפת החלקיקים כלל לא משנה, ולכן: Ψ + ( r 1 → , r 2 → ) = Ψ + ( r 2 → , r 1 → ) {\displaystyle \Psi _{+}({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}})=\Psi _{+}({\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{1}}})} . מצב אנטי סימטרי (a): | x 1 x 2 ⟩ a = 1 2 [ | x 1 x 2 ⟩ − | x 2 x 1 ⟩ ] {\displaystyle |{x_{1}}{x_{2}}\rangle _{a}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[|{x_{1}}{x_{2}}\rangle -|{x_{2}}{x_{1}}\rangle \right]} . במצב זה החלפת החלקיקים הופכת את הסימן, ולכן: Ψ − ( r 1 → , r 2 → ) = − Ψ − ( r 2 → , r 1 → ) {\displaystyle \Psi _{-}({\overrightarrow {r_{1}}},{\overrightarrow {r_{2}}})=-\Psi _{-}({\overrightarrow {r_{2}}},{\overrightarrow {r_{1}}})} . כאשר המקדם 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} דואג לנרמול המצב. למעשה בעולם קוונטי בשלושה ממדים ניתן לסווג את החלקיקים בטבע לשני סוגים בעלי התנהגות סטטיסטית שונה (משפט ספין-סטטיסטיקה): בוזונים: בעלי פונקציית גל סימטרית (דהיינו, מצב סימטרי). ביניהם נמנים בין היתר:פוטונים, גלואונים, פונונים, הליום-4 וכל המזונים. עבור חלקיקים אלו הספין הוא מספר שלם. פרמיונים: בעלי פונקציית הגל האנטי-סימטרית. ביניהם נמנים בין היתר: אלקטרונים, חלקיקי הנייטרינו, הליום-3, קווארקים ופרוטונים. עבור חלקיקים אלו הספין הוא מספר חצי שלם (במילים אחרות, כפולה אי-זוגית של חצי). יצוין כי במערכת בשני ממדים קיימים גם אניונים (anyons) להם תכונות פחות מגבילות מאשר לבוזונים ולפרמיונים. פיזיקה סטטיסטית מסתמכת על חישובי הסתברות עבורם חשוב מאוד להבדיל בין חלקיקים מובחנים לבין חלקיקים בלתי מובחנים: התפלגות הסיכויים המתאימה לחלקיקים מובחנים היא התפלגות מקסוול-בולצמן. לבוזונים זהים הסתברות גבוהה יותר להימצא באותו מצב קוונטי מאשר לחלקיקים מובחנים (דוגמה לכך היא "עיבוי בוז-איינשטיין"), והתפלגות הסיכויים המתאימה היא התפלגות בוז-איינשטיין. לעומת בוזונים, פרמיונים זהים לעולם לא נמצאים באותו מצב קוונטי, עובדה זו מוכרת כעקרון האיסור של פאולי, והתפלגות הסיכויים המתאימה היא התפלגות פרמי-דיראק. כאשר מדובר בחלקיקים בלתי-מובחנים, פעולה רגילה בפיזיקה הקלאסית כמו מספור החלקיקים (למשל, "חלקיק 1" ו"חלקיק 2") היא חסרת משמעות, היות שבעת החלפת המספרים של החלקיקים, הפיזיקה של המערכת לא משתנה. למשל, באיור הסמוך (וראו טבלה להלן), המצב הקוונטי של חלקיקים 1 ו-3 זהה, ולכן החלפה בין המספרים היא חסרת משמעות. יתרה מכך, אין אפילו חשיבות להחלפה בין שמות החלקיקים 2 ו-1, מכיוון שמצב המערכת יוותר כפי שהוא. לשם המחשה, ניעזר בפונקציית חלוקה הקנונית: Z ( β ) = ∑ s exp ⁡ ( − ϵ s k B T ) {\displaystyle Z(\beta )=\sum _{s}\exp(-{\tfrac {\epsilon _{s}}{k_{B}T}})} , כאשר המערכת מצומדת לאמבט תרמי בטמפרטורה T {\displaystyle T} ולמצב מיקרוסקופי של המערכת, s, יש אנרגיה ϵ s {\displaystyle \epsilon _{s}} . עבור חלקיקים מובחנים, האנרגיה של המערכת היא סכום האנרגיות החד חלקיקיות, ולכן פונקציית החלוקה מקיימת: Z t o t a l = ( Z s i n g l e ) N {\displaystyle Z_{\mathrm {total} }=\left(Z_{\mathrm {single} }\right)^{N}} . עבור חלקיקים בלתי מובחנים, בגבול אכלוס דליל (כלומר כאשר יש מעט חלקיקים ביחס למספר רמות האנרגיה כך שהסיכוי למציאת שני חלקיקים באותה רמה נמוך): Z t o t = ( Z s i n g l e ) N N ! {\displaystyle Z_{tot}={\frac {\left(Z_{\mathrm {single} }\right)^{N}}{N!}}} . דוגמה בה ההבחנה בין חלקיקים מובחנים ובלתי מובחנים חשובה היא בחישוב פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת (Ztotal) של גז אידיאלי מונואטומי בעל N חלקיקים (בקופסה). הפתרון הנכון הוא הפתרון של גיבס (ראה פרדוקס גיבס) המניח כי החלקיקים בלתי מובחנים (במצבים קוונטים שונים). הפתרון התקין לוקח בחשבון את חוסר המשמעות להחלפה בין החלקיקים ולכן מחלק את הפתרון השגוי במספר האפשריות לסידור החלקיקים- N ! {\displaystyle N!} . כלומר, לא נוכל לרשום שפונקציית החלוקה הכוללת היא: Z t o t a l = ( Z s i n g l e ) N {\displaystyle Z_{\mathrm {total} }=\left(Z_{\mathrm {single} }\right)^{N}} , אלא: Z t o t a l = ( Z s i n g l e ) N N ! {\displaystyle Z_{\mathrm {total} }={\frac {(Z_{single})^{N}}{N!}}} . כאשר קיימים חלקיקים שבנוסף הם בעלי אותו מצב קוונטי צריך לכפול את פונקציית החלוקה הקנונית פי מספר הפרמוטציות, p, בין החלקיקים אשר באותו מצב מצב קוונטי, כלומר: Z t o t a l = ( Z s i n g l e ) N N ! / p {\displaystyle Z_{\mathrm {total} }={\frac {(Z_{single})^{N}}{N!/p}}} . עקרון האיסור של פאולי סימון דיראק פיזיקה סטטיסטית פרמיון בוזון פרדוקס גיבס אינטראקציית שחלוף התפלגות פרמי-דיראק משפט ספין-סטטיסטיקה יואב בן-דב, תורת הקוונטים – מציאות ומסתורין, תל אביב: דביר, הוצאה לאור בע"מ, 1997. .J.Griffiths, Introduction To Quantum Mechanics, United Kingdom: Cambridge Universiversity Press,Third edition, 2018