משוואת ריילי-פלסט

במכניקת הזורמים, משוואת ריילי-פלסט (לחלופין, משוואת בסנט-ריילי-פלסט) היא משוואה דיפרנציאלית רגילה לא ליניארית, המתארת את הדינמיקה של בועה כדורית המצויה בזורם אי-דחיס: R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 + 4 ν L R d R d t + 2 σ ρ L R + Δ P ( t ) ρ L = 0 {\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {dR}{dt}}+{\frac {2\sigma }{\rho _{L}R}}+{\frac {\Delta P(t)}{\rho _{L}}}=0} כאשר: ρ L {\displaystyle \rho _{L}} היא צפיפות הנוזל, R ( t ) {\displaystyle R(t)} הוא רדיוס הבועה, ν L {\displaystyle \nu _{L}} היא צמיגות הנוזל, σ {\displaystyle \sigma } הוא מתח הפנים בממשק של הבועה והנוזל, Δ P ( t ) = P ∞ ( t ) − P B ( t ) {\displaystyle \Delta P(t)=P_{\infty }(t)-P_{B}(t)} הפרש הלחצים, כאשר P B ( t ) {\displaystyle P_{B}(t)} הוא הלחץ בתוך הבועה ו- P ∞ ( t ) {\displaystyle P_{\infty }(t)} הוא הלחץ החיצוני "רחוק" מהבועה. בהנחה ש- P B ( t ) {\displaystyle P_{B}(t)} ידוע ו־ P ∞ ( t ) {\displaystyle P_{\infty }(t)} נתון, משוואת ריילי-פלסט יכולה לשמש כדי למצוא את רדיוס הבועה המשתנה בזמן R ( t ) {\displaystyle R(t)} . בהזנחת מתח הפנים והצמיגות, המשוואה נגזרה לראשונה על ידי ויליאם הנרי בסנט בספרו על הידרודינמיקה מ-1859 במסגרת פתרון בעיה שמנוסחת כדלהלן: "מסה אינסופית של זורם אי-דחיס והומוגני שלא פועלים עליו שום כוחות נמצא במנוחה, כשלפתע נפער חלל כדורי בתחום הזורם; נדרש למצוא את השינוי בלחץ בכל נקודה של המסה, ואת הזמן שייקח לחלל להתמלא לגמרי בזורם, בהינתן שהלחץ במרחק אינסופי נשאר קבוע". תוך שהוא מזניח את השינויים בלחץ בתוך הבועה, בסנט חזה שהזמן שייקח למלא את החלל הוא t = a ( 6 ρ p ∞ ) 1 / 2 ∫ 0 1 z 4 d z 1 − z 6 = a ( π ρ 6 p ∞ ) 1 / 2 Γ ( 5 / 6 ) Γ ( 4 / 3 ) ≈ 0.91468 a ( ρ p ∞ ) 1 / 2 {\displaystyle {\begin{aligned}t&=a\left({\frac {6\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\int _{0}^{1}{\frac {z^{4}\,dz}{\sqrt {1-z^{6}}}}\\&=a\left({\frac {\pi \rho }{6p_{\infty }}}\right)^{1/2}{\frac {\Gamma (5/6)}{\Gamma (4/3)}}\\&\approx 0.91468a\left({\frac {\rho }{p_{\infty }}}\right)^{1/2}\end{aligned}}} כאשר חישוב האינטגרציה נעשה על ידי לורד ריילי ב-1917, שגזר את המשוואה ממאזן אנרגיה. ריילי זיהה גם שההנחה של לחץ קבוע בתוך החלל תהפוך לשגויה כאשר הרדיוס יקטן והראה, באמצעות חוק בויל, שאם רדיוס החלל קטן בפקטור של 4 1 / 3 {\displaystyle 4^{1/3}} , אז הלחץ בסמוך לשפת החלל הופך גדול יותר מהלחץ באינסוף. המשוואה יושמה לראשונה לבועות קביטציה נעות על ידי מילטון ספינוזה פלסט ב-1949 באמצעות הכללת אפקט של מתח פנים במשוואה. לורד ריילי פיתח גרסה ראשונית של המשוואה על סמך שיקולים של שימור אנרגיה ומסה. נחזור שוב לבעיה כפי שתיאר אותה בסט: תהי בועה כדורית בעלת רדיוס משתנה בזמן R ( t ) {\displaystyle R(t)} המצויה בתוך נוזל בעל צפיפות קבועה ρ L {\displaystyle \rho _{L}} . יהי P ∞ {\displaystyle P_{\infty }} הלחץ רחוק מהבועה. אי דחיסות הנוזל גוררת שללא מעבר מסה בין הנוזל לבועה, שינוי בנפח של הבועה חייב להענות בשינוי זהה של נפח הנוזל. תחת סימטריה כדורית ניתן להסיק: R 2 d R = r 2 d r {\displaystyle R^{2}dR=r^{2}dr} ומכאן ניתן להסיק כי u ( r , t ) = ( R r ) 2 R ˙ = R 2 R ˙ r 2 {\displaystyle u(r,t)={\Bigl (}{\frac {R}{r}}{\Bigr )}^{2}{\dot {R}}={\frac {R^{2}{\dot {R}}}{r^{2}}}} משפט עבודה-אנרגיה קובע כי: W = Δ E k i n {\displaystyle W=\Delta E_{kin}} סך האנרגיה הקינטית של הזורם: E k i n = 1 2 ∫ R ∞ 4 π ρ L r 2 u 2 ( r , t ) d r = ∫ R ∞ 2 π ρ L R 4 ( d R d t r ) 2 d r = 2 π ρ L ( d R d t ) 2 R 3 {\displaystyle E_{kin}={\frac {1}{2}}\int _{R}^{\infty }4\pi \rho _{L}r^{2}u^{2}(r,t)dr=\int _{R}^{\infty }2\pi \rho _{L}R^{4}{\Bigl (}{\frac {\frac {dR}{dt}}{r}}{\Bigr )}^{2}dr=2\pi \rho _{L}{\Bigl (}{\frac {dR}{dt}}{\Bigr )}^{2}R^{3}} העבודה שנוצרת על ידי לחץ חיצוני P ∞ ( t ) {\displaystyle P_{\infty }(t)} היא: W = 4 π 3 ( R 0 3 − R 3 ) P ∞ ( t ) {\displaystyle W={\frac {4\pi }{3}}(R_{0}^{3}-R^{3})P_{\infty }(t)} השוואת שני הגורמים נותנת: 2 3 ( R 0 3 − R 3 ) P ∞ ( t ) = ρ L ( d R d t ) 2 R 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}(R_{0}^{3}-R^{3})P_{\infty }(t)=\rho _{L}{\Bigl (}{\frac {dR}{dt}}{\Bigr )}^{2}R^{3}} מגזירה בזמן נקבל: R d 2 R d t 2 + 3 2 ( d R d t ) 2 + P ∞ ( t ) ρ L = 0 {\displaystyle R{\frac {d^{2}R}{dt^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {dR}{dt}}\right)^{2}+{\frac {P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=0} פתרונות אנליטיים סגורים למשוואת ריילי-פלסט נמצאו הן עבור בועה ריקה ובועה מלאה בגז, והוכללו ל-N ממדים. המקרים שבהם מתח הפנים חשוב נחקרו לעומק גם כן. בנוסף, בעבור המקרה המיוחד שבו ניתן להזניח את מתח הפנים והצמיגות, קירובים אנליטיים מסדר גבוה ידועים. במקרה הסטטי, משוואת ריילי-פלסט מצטמצמת למשוואת יאנג-לפלס: P B − P ∞ = 2 σ R {\displaystyle P_{B}-P_{\infty }={\frac {2\sigma }{R}}} בקירוב ליניארי של תנודות קטנות ניתן לקבל ביטוי לתדירות העצמית של הבועה: ω 0 2 = 1 ρ R 0 2 ( 3 κ ( P 0 − P V ) − 2 ( 3 κ − 1 ) σ R 0 ) {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {1}{\rho R_{0}^{2}}}{\Bigl (}3\kappa {\bigl (}P_{0}-P_{V}{\bigr )}-2(3\kappa -1){\frac {\sigma }{R_{0}}}{\Bigr )}} כאשר R 0 {\displaystyle R_{0}} רדיוס המנוחה של הבועה, P 0 {\displaystyle P_{0}} הלחץ ההידרוסטטי, P V {\displaystyle P_{V}} לחץ האדים, ρ {\displaystyle \rho } צפיפות הנוזל, σ {\displaystyle \sigma } מקדם מתח הפנים ו- κ {\displaystyle \kappa } הוא הקבוע הפוליטרופי. משוואת ריילי-פלסט בצורה המקורית מניחה שהנוזל בו מצויה הבועה איננו דחיס. הנחה זו סבירה כל עוד מהירות הבועה נמוכה ביחס למהירות הקול בנוזל. עבודות רבות נעשו במטרה להרחיב את משוואת ריילי-פלסט למקרה הדחיס. כאשר ב-1986 הוצג פיתוח של המשוואה באמצעות תורת הפרעות. דחיסות הנוזל מהווה מנגנון אובדן אנרגיה מרכזי (בצורת גלי קול) בקריסה מהירה של הבועה. William Henry Besant, A Treatise on Hydrostatics and Hydrodynamics, Deighton, Bell, 1859 Lord Rayleigh, VIII. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 34, 1917-08, עמ' 94–98 doi: 10.1080/14786440808635681 M. S. Plesset, The Dynamics of Cavitation Bubbles, Journal of Applied Mechanics 16, 1949-09, עמ' 277–282 Christopher E. Brennen, Cavitation and Bubble Dynamics, Cambridge: Cambridge University Press, 2013, ISBN 978-1-107-33876-0 ריילי הניח שבהכרח מצוי בחלל אדים (למשל, אדי מים), גם אם צפיפותם מזערית. Nikolay A Kudryashov, Dmitry I Sinelshchikov, Analytical solutions of the Rayleigh equation for empty and gas-filled bubble, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 47, 2014-10-10, עמ' 405202 doi: 10.1088/1751-8113/47/40/405202 Nikolai A. Kudryashov, Dmitry I. Sinelshchikov, Analytical solutions for problems of bubble dynamics, Physics Letters A 379, 2015-04-03, עמ' 798–802 doi: 10.1016/j.physleta.2014.12.049 S. C. Mancas, H. C. Rosu, Evolution of spherical cavitation bubbles: parametric and closed-form solutions, Physics of Fluids 28, 2016-02-01, עמ' 022009 doi: 10.1063/1.4942237 D. Obreschkow, M. Bruderer, M. Farhat, Analytical approximations for the collapse of an empty spherical bubble, Physical Review E 85, 2012-06-05 doi: 10.1103/PhysRevE.85.066303 Bubble oscillations of large amplitude, AIP Publishing A. Prosperetti, A. Lezzi, Bubble dynamics in a compressible liquid. Part 1. First-order theory, Journal of Fluid Mechanics 168, 1986-07, עמ' 457–478 doi: 10.1017/S0022112086000460 A. Lezzi, A. Prosperetti, Bubble dynamics in a compressible liquid. Part 2. Second-order theory, Journal of Fluid Mechanics 185, 1987-12, עמ' 289–321 doi: 10.1017/S0022112087003185 soNOLUMINESCENCE: How Bubbles Turn Sound into Light - חיפוש ב-Google, באתר www.google.com