משפט ואן קמפן

בטופולוגיה אלגברית, משפט ואן קמפן (van Kampen theorem) הוא משפט המאפשר למצוא חבורה יסודית של מרחב טופולוגי באמצעות מכפלת היתוך של החבורות היסודיות של שתי תתי קבוצות פתוחות שלו, המקיימות תנאים מסוימים. זהו משפט יסודי וחשוב בטופולוגיה אלגברית, המהווה את אחד הכלים המרכזיים לחישוב חבורות יסודיות. בפרט, משתמשים בו כדי לחשב את החבורה היסודית של מרחבי CW. השימוש במשפט בפועל דורש לעיתים הבנה גאומטרית עמוקה של האובייקטים אותם מעוניינים לחקור. הבנה זו והשימוש במשפט עוזרים בתחומים נוספים, כמו בהומולוגיה טופולוגית. יהי X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי קשיר מסילתית, ויהיו U 1 , U 2 ⊆ X {\displaystyle U_{1},U_{2}\subseteq X} שתי תתי קבוצות פתוחות, המקיימות: X = U 1 ∪ U 2 {\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}} U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}} לא ריק וקשיר מסילתית. U 1 , U 2 {\displaystyle U_{1},U_{2}} קשירים מסילתית. אזי החבורה היסודית π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} איזומורפית למכפלת ההיתוך π 1 ( U 1 ) ∗ π 1 ( U 1 ∩ U 2 ) i 1 ↖↗ i 2 π 1 ( U 2 ) {\displaystyle \pi _{1}(U_{1}){\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}}{*}}\pi _{1}(U_{2})} כאשר ההעתקות i 1 , i 2 , j 1 , j 2 {\displaystyle i_{1},i_{2},j_{1},j_{2}} הן הומומורפיזמי ההכלה היחסיים (למשל, ∀ ϕ ∈ π 1 ( U ∩ V ) : i 1 ( ϕ ) = i 1 ∘ ϕ {\displaystyle \forall \phi \in \pi _{1}(U\cap V):i_{1}(\phi )=i_{1}\circ \phi } ). הדיאגרמה הבאה ממחישה את שרטוט החבורות: כאן k {\displaystyle k} הוא ההומומורפיזם הנובע מבניית מכפלת ההיתוך, וטענת המשפט היא שהוא איזומורפיזם. n {\displaystyle n} -זר - זהו מרחב בו הולחמו n {\displaystyle n} מעגלים בנקודה משותפת. לוקחים את U 1 {\displaystyle U_{1}} להיות כל הזר בלי איבר מהמעגל הראשון, ואת U 2 {\displaystyle U_{2}} להיות המעגל הראשון וקצת מהמעגלים ליד (כדי שתהיה קבוצה פתוחה). החיתוך של כל שתי סביבות הוא מרחב כוויץ ולכן בעל חבורה יסודית טריוויאלית (ולכן אין משמעות להעתקות i 1 , j 1 {\displaystyle i_{1},j_{1}} ). לפי במשפט ואן קמפן ואינדוקציה, נובע כי החבורה היסודית היא F n {\displaystyle F_{n}} , חבורה חופשית ב- n {\displaystyle n} יוצרים. מישור פרויקטיבי P {\displaystyle P} - אחת ההצגות של המישור הפרויקטיבי היא בעזרת הדבקה של שפה של טבעת מביוס עם שפה של עיגול, כאשר ההדבקה היא של השפה. מהצגה זו ניתן לחשב את החבורה היסודית בעזרת משפט ואן קמפן - נבחר את U 1 {\displaystyle U_{1}} להיות השפה של טבעת מביוס וקצת מהעיגול (כדי שתהיה פתוחה), ובדומה את U 2 {\displaystyle U_{2}} להיות השפה של העיגול וקצת מהטבעת. החיתוך הוא הטבעת ולכן π 1 ( U 1 ∩ U 2 ) = π 1 ( S 1 ) = F 1 {\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})=\pi _{1}(S^{1})=F_{1}} , ל- U 1 {\displaystyle U_{1}} יש נסג עיוותי לטבעת ולכן π 1 ( U 1 ) = π 1 ( S 1 ) = F 1 {\displaystyle \pi _{1}(U_{1})=\pi _{1}(S^{1})=F_{1}} , ול- U 2 {\displaystyle U_{2}} יש נסג עיוותי לדיסק והוא בעל חבורה טריוויאלית. כעת, היות שמדובר בשפה של טבעת מוביוס, ההעתקה i 1 {\displaystyle i_{1}} שולחת את היוצר (סיבוב אחד על המעגל) ליוצר בטבעת מביוס, שהוא שני סיבובים על המעגל, ולכן ההעתקה היא i 1 : a ↦ a 2 {\displaystyle i_{1}:a\mapsto a^{2}} . לכן, לפי הצגה על ידי יוצרים ויחסים של מכפלת היתוך, מקבלים: π 1 ( P ) ≅ F 1 ∗ F 1 i 1 ↖↗ i 2 { 1 } = ⟨ x ∣ x 2 ⟩ = Z / 2 Z {\displaystyle \pi _{1}(P)\cong F_{1}{\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{F_{1}}}{*}}\{1\}=\langle x\mid x^{2}\rangle =\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } החבורה היסודית של סכום קשיר n {\displaystyle n} טורוסים, המסומן n T {\displaystyle nT} היא: π 1 ( n T ) ≅ ⟨ a 1 , . . . , a 2 n ∣ [ a 1 , a 2 ] ⋅ . . . ⋅ [ a 2 n − 1 , a 2 n ] ⟩ {\displaystyle \pi _{1}(nT)\cong \langle a_{1},...,a_{2n}\mid [a_{1},a_{2}]\cdot ...\cdot [a_{2n-1},a_{2n}]\rangle } כאשר [ ⋅ , ⋅ ] {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]} הוא הקומוטטור. בפרט נובע כי האבליניזציה שלו היא חבורה אבלית חופשית ב- 2 n {\displaystyle 2n} יוצרים. רואים זאת בעזרת משפט ואן קמפן - לוקחים את U 1 {\displaystyle U_{1}} להיות דיסק על השפה, ואת U 2 {\displaystyle U_{2}} להיות ה- n {\displaystyle n} טורוס בלי דיסק שיושב ממש בתוך U 1 {\displaystyle U_{1}} , כך שיש ביניהם טבעת חפיפה. אז U 1 {\displaystyle U_{1}} כוויץ החיתוך שקול למעגל. הפענוח של U 2 {\displaystyle U_{2}} הוא גאומטרי - לאחר הוצאת דיסק מהטורוס ניתן להרחיב את החור סביב הכיוונים האופקי והאנכי, ואז מקבלים מרחב השקול ל- 2 n {\displaystyle 2n} זר. ההעתקה שחשוב להבין היא מהשפה (מעגל) לתוך הזר - שיקולים גאומטריים מראים כי ההעתקה על יוצר של חבורת השפה היא a ↦ [ a 1 , b 1 ] ⋅ ⋯ ⋅ [ a n , b n ] {\displaystyle a\mapsto [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{n},b_{n}]} . מכאן החישוב נעשה ישירות לפי משפט ואן קמפן. באופן דומה לדוגמה הקודמת, החבורה היסודית של סכום קשיר של n {\displaystyle n} מישורים פרויקטיביים, המסומן n P {\displaystyle nP} , היא π 1 ( n P ) ≅ ⟨ a 1 , . . , a n ∣ a 1 2 ⋅ . . . ⋅ a n 2 ⟩ {\displaystyle \pi _{1}(nP)\cong \langle a_{1},..,a_{n}\mid a_{1}^{2}\cdot ...\cdot a_{n}^{2}\rangle } כדי לראות זאת פועלים באופן דומה: הוצאת דיסק מהמרחב מביאה מרחב השקול ל- n {\displaystyle n} זר של מעגלים (למעשה, של טבעות מביוס), והעתקה החשובה הפעם היא a ↦ a 1 2 ⋅ ⋯ ⋅ a n 2 {\displaystyle a\mapsto a_{1}^{2}\cdot \dots \cdot a_{n}^{2}} . ניתן להשתמש במשפט ואן קמפן כדי לקבוע מפורשות מהי החבורה היסודית של מרחבי CW. בפועל, החבורה נקבעת על ידי השלד ה-2-ממדי בלבד. ראשית, נשים לב ששלד 1-ממדי הוא גרף; נניח כי זהו גרף קשיר (אחרת נחלק את המרחב המקורי למרכיבי הקשירות המסילתית שלו). לכל גרף קשיר ניתן למצוא עץ פורש. כל עץ הוא כוויץ, ולכן הוא פשוט קשר. נראה, בעזרת משפט ואן-קמפן, כי כל צלע שנוספת על העץ הפורש נותנת עוד יוצר חופשי לחבורה היסודית: יהי U 1 {\displaystyle U_{1}} המסלול עד הצלע שנוספה ובחזרה עד השורש, U 2 {\displaystyle U_{2}} הוא אותו מסלול רק בלי הצלע שנוספה. אז U 1 ∩ U 2 = U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=U_{2}} שניהם פשוטי קשר, ו- U 1 ≅ S 1 {\displaystyle U_{1}\cong S^{1}} ולכן החבורה היא F 1 ∗ { 1 } i 1 ↖↗ i 2 { 1 } = F 1 {\displaystyle F_{1}{\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{\{1\}}}{*}}\{1\}=F_{1}} . לכן באינדוקציה, החבורה היסודית של עץ שנוספו לו t {\displaystyle t} צלעות היא F t {\displaystyle F_{t}} . בפרט, אם בגרף (הקשיר) יש d 0 {\displaystyle d_{0}} קדקודים ו- d 1 {\displaystyle d_{1}} צלעות, בעץ פורש שלו יהיו d 0 − 1 {\displaystyle d_{0}-1} צלעות, ולכן החבורה היסודית שלו היא F d 1 − d 0 + 1 {\displaystyle F_{d_{1}-d_{0}+1}} . כעת, נעבור בבנייה של מרחבי CW לשלד ה-2 ממדי. בכל שלב, מדביקים את השפה של דיסק לפי העתקות ההדבקה ממבנה ה-CW. כדי למצוא את החבורה היסודית אחרי ההדבקה, נעזר שוב במשפט ואן קמפן - נסמן ב- U 1 {\displaystyle U_{1}} את המרחב שהתקבל עד כה, יחד עם חלק מהדיסק, ואת U 2 {\displaystyle U_{2}} להיות הדיסק יחד עם קצת מהמרחב שהתקבל עד כה. אזי החיתוך הוא טבעת, כלומר S 1 {\displaystyle S^{1}} , המרחב הראשון הוא בעל נסג עיוותי למה שהיה קודם, והמרחב השני הוא בעל נסג עיוותי לדיסק, שהוא פשוט קשר. לכן לפי משפט ואן קמפן, נקבל כי אחרי ההדבקה החבורה היא { 1 } ∗ { F 1 } i 1 ↖↗ i 2 π 1 ( U 1 ) {\displaystyle \{1\}{\underset {\overset {i_{1}\nwarrow \nearrow i_{2}}{\{F_{1}\}}}{*}}\pi _{1}(U_{1})} , כאשר ההעתקה i 2 {\displaystyle i_{2}} מוסיפה את היחסים שבאים מהעתקות ההדבקה. כעת, נראה שזה מספיק - כאשר נדביק כדורים מממדים גבוהים יותר, החיתוך יהיה S n , n ≥ 2 {\displaystyle S^{n},n\geq 2} שהוא פשוט קשר, ולכן החבורה היסודית תישאר כמו קודם. כדי להמחיש את הבנייה, נביט במבנה CW עם d 0 = d 1 = d 2 = 1 {\displaystyle d_{0}=d_{1}=d_{2}=1} , כלומר הגרף הוא עיגול ולכן בעל חבורה F 1 {\displaystyle F_{1}} , ואת ההדבקה של הדיסק ניקח להיות הדבקה ששולחת סיבוב אחד על שפת הדיסק ל- m {\displaystyle m} סיבובים על הגרף. אז היחס הנובע מההדבקה הוא x m {\displaystyle x^{m}} , ולכן החבורה היסודית היא F 1 {\displaystyle F_{1}} בתוספת היחס, כלומר ⟨ x ∣ x m ⟩ = Z / m Z {\displaystyle \langle x\mid x^{m}\rangle =\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } . הבנייה של החבורה היסודית של מרחב CW מאפשר להסיק שלכל חבורה (גם לא נוצרת סופית) יש מרחב CW שהיא החבורה היסודית שלו. כדי לראות זאת, ניקח הצגה של החבורה. את השלד ה-1 ממדי במבנה ה-CW ניקח להיות גרף עם כמות מעגלים ככמות היוצרים. לכל יחס בחבורה, נוסיף דיסק שישרה את היחס הזה. לפי הבנייה לעיל נקבל כי החבורה היסודית היא בדיוק החבורה שלקחנו. מכפלת היתוך מרחבי CW מדיה וקבצים בנושא משפט ואן קמפן בוויקישיתוף משפט ואן קמפן, באתר MathWorld (באנגלית)