קריטריון קרטן

באלגברה מופשטת, קריטריון קרטן הוא קריטריון להיותה של אלגברת לי פתירה. ממנו נובע תנאי הכרחי ומספיק להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה, בעזרת תבנית קילינג. תהי L {\displaystyle L} תת-אלגברת לי של אלגברת האנדומורפיזמים g l ( V ) {\displaystyle gl(V)} של מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מממד סופי, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס. אז L {\displaystyle L} פתירה אם ורק אם ∀ x ∈ L , y ∈ [ L , L ] : Tr ⁡ ( x y ) = 0 {\displaystyle \forall x\in L,y\in [L,L]:\operatorname {Tr} (xy)=0} . קודם נניח כי L {\displaystyle L} פתירה. משפט לי קובע כי אם L ⊆ g l ( V ) {\displaystyle L\subseteq gl(V)} פתירה אז ניתן להציג כל איבר בה כמטריצה משולשית עליונה. מסקנה נוספת ממשפט לי קובעת כי אם L {\displaystyle L} פתירה אז [ L , L ] {\displaystyle [L,L]} נילפוטנטית, ומשפט אנגל קובע כי כל איבר של אלגברת לי נילפוטנטית ניתן להציג כמטריצה משולשית עליונה ממש (עם אפסים באלכסון). לכן, מכפלה של איבר מ- [ L , L ] {\displaystyle [L,L]} באיבר מ- L {\displaystyle L} ייתן מטריצה משולשית עליונה ממש, והעקבה שלה היא אפס, כדרוש. כדי להוכיח את הכיוון השני, יש להיעזר בלמה: למה: יהיו A ⊆ B ⊆ g l ( V ) {\displaystyle A\subseteq B\subseteq gl(V)} , ונביט ב- M = { x ∈ g l ( V ) : [ x , B ] ⊆ A } {\displaystyle M=\{x\in gl(V):[x,B]\subseteq A\}} . לכל x ∈ M {\displaystyle x\in M} , אם מתקיים ∀ y ∈ M , Tr ⁡ ( x y ) = 0 {\displaystyle \forall y\in M,\operatorname {Tr} (xy)=0} , אז x {\displaystyle x} נילפטונט. (הוכחה ללמה ראו בקריאה נוספת). כדי להוכיח את הקריטריון, כלומר כדי להוכיח ש- L {\displaystyle L} פתירה, מספיק להוכיח כי [ L , L ] {\displaystyle [L,L]} נילפטונתית (כי אז היא גם פתירה ואז גם L {\displaystyle L} פתירה). לפי משפט אנגל מספיק להוכיח כי כל איבר ב- [ L , L ] {\displaystyle [L,L]} נילפוטנט. כדי לעשות זאת, נשתמש בלמה עם A = [ L , L ] ⊆ B = L {\displaystyle A=[L,L]\subseteq B=L} . כאן M = { x ∈ g l ( V ) : [ x , L ] ⊆ [ L , L ] } {\displaystyle M=\{x\in gl(V):[x,L]\subseteq [L,L]\}} , ומתקיים [ L , L ] ⊆ L ⊆ M {\displaystyle [L,L]\subseteq L\subseteq M} . כדי להסיק מהלמה שכל איברי [ L , L ] {\displaystyle [L,L]} נילפוטנט, מספיק להוכיח כי ∀ [ x , y ] ∈ [ L , L ] , z ∈ M : Tr ⁡ ( [ x , y ] z ) = 0 {\displaystyle \forall [x,y]\in [L,L],z\in M:\operatorname {Tr} ([x,y]z)=0} . אכן מתקיים Tr ⁡ ( [ x , y ] z ) = Tr ⁡ ( x [ y , z ] ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} ([x,y]z)=\operatorname {Tr} (x[y,z])=0} - המעבר האחרון נכון כי לפי ההנחה ש-z ב- M {\displaystyle M} ולכן [ y , z ] ∈ [ L , L ] {\displaystyle [y,z]\in [L,L]} , ולכן אפשר להשתמש בנתון. קריטריון קרטן כפי שנוסח לעיל נכון רק לתת אלגברות של אלגברת האנדומורפיזמים (אחרת אין משמעות לעקבה של האיברים). ההכללה הטבעית היא: מסקנה: תהי L {\displaystyle L} כל אלגברת לי, כך ש- ∀ x ∈ L , y ∈ [ L , L ] : Tr ⁡ ( a d ( x ) a d ( y ) ) = 0 {\displaystyle \forall x\in L,y\in [L,L]:\operatorname {Tr} (ad(x)ad(y))=0} , כאשר ad {\displaystyle \operatorname {ad} } הוא ההצגה הצמודה. אז L {\displaystyle L} פתירה. הוכחה: נפעיל את קריטריון קרטן עבור ad ⁡ ( L ) = { ad ⁡ x : x ∈ L } {\displaystyle \operatorname {ad} (L)=\{\operatorname {ad} x:x\in L\}} , ונקבל כי ad ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {ad} (L)} פתירה. לפי משפט האיזומורפיזם הראשון עבור ההעתקה ad : L → gl ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {ad} :L\rightarrow \operatorname {gl} (V)} נקבל כי L / Z ( L ) ≅ a d ( L ) {\displaystyle L/Z(L)\cong ad(L)} פתירה (כאשר Z ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {Z} (L)} הוא המרכז של L {\displaystyle L} ); אבל Z ⁡ ( L ) {\displaystyle \operatorname {Z} (L)} אבלית ולכן פתירה, ולכן גם L {\displaystyle L} פתירה כדרוש. אלגברת לי פתירה משפט אנגל משפט לי Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 19-20