מטוטלות מתמטיות צמודות

מערכת מטוטלות מתמטיות צמודות, או "מטוטלת בעלת מספר מתנדים צמודים" היא מערכת מכנית בה ישנם מספר מטוטלות שקשורות אחת לקצה השנייה. הטיפול במשוואות התנועה שלהן מתנהל בעזרת משוואות אוילר-לגראנז', וקירובי זוויות קטנות. עבור מטוטלת מתמטית פשוטה, יש למערכת תדירות עצמית (eigenvalue) לפיה המערכת מתנודדת. במקרה זה, עבור N מטוטלות יהיו למערכת N תדירויות עצמיות לפיהם תנוע המערכת. ניתן למצוא את תדירויות אלו באמצעות מעקב אחר מיקום המטוטלות כפונקציה של הזמן, והתמרת הפורייה של מידע זה תיתן את התדירויות העצמיות של המערכת. כמעט כמו כל הבעיות בפיזיקה, לבעיה זו ישנן הרבה דרכים להגיע לאותו פתרון. מכיוון שקשה לעסוק במשוואות כוחות ומומנטים למספר רב של גופים, הניתוח הפשוט יותר יעשה באמצעות משוואות אוילר לגראנז'. באמצעות משוואות אלו, משתמשים בשיקולי אנרגיה בלבד ובכך המתמטיקה נעשית פשוטה יותר. נחשב תחילה את המיקום של כל גוף כפונקציה של הזמן, בכל ציר (נתייחס לזוויות כפונקציות שתלויות בזמן נגדיר Vn,x - המהירות בציר X, של מטוטלת מספר N (וכמו כן עבור ציר Y) :   X 1 ( t ) = R 1 sin ⁡ ϕ , Y 1 ( t ) = R 1 cos ⁡ ϕ , {\displaystyle \ X_{1(t)}=R_{1}\sin \phi ,Y_{1(t)}=R_{1}\cos \phi ,}   → X ˙ 1 ( t ) = R 1 ϕ ˙ cos ⁡ ϕ , Y 1 ( t ) = − R 1 ϕ ˙ sin ⁡ ϕ , {\displaystyle \ \rightarrow {\dot {X}}_{1(t)}=R_{1}{\dot {\phi }}\cos \phi ,Y_{1(t)}=-R_{1}{\dot {\phi }}\sin \phi ,}   X 2 ( t ) = R 1 sin ⁡ ϕ + R 2 sin ⁡ ψ , Y 2 ( t ) = R 1 cos ⁡ ϕ + R 2 cos ⁡ ψ {\displaystyle \ X_{2(t)}=R_{1}\sin \phi +R_{2}\sin \psi ,Y_{2(t)}=R_{1}\cos \phi +R_{2}\cos \psi }   → X ˙ 2 ( t ) = R 1 ϕ ˙ cos ⁡ ϕ + R 2 ψ ˙ cos ⁡ ψ , Y ˙ 1 ( t ) = − R 1 ϕ ˙ sin ⁡ ϕ − R 2 ψ ˙ sin ⁡ ψ {\displaystyle \ \rightarrow {\dot {X}}_{2(t)}=R_{1}{\dot {\phi }}\cos \phi +R_{2}{\dot {\psi }}\cos \psi ,{\dot {Y}}_{1(t)}=-R_{1}{\dot {\phi }}\sin \phi -R_{2}{\dot {\psi }}\sin \psi } על מנת לחשב את משוואות התנועה עבור מטוטלת בעלת שני גופים, נכתוב את הלגראנז'יאן של המערכת. לפי משוואות אלו:   T = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2 {\displaystyle \ T={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}} כאשר: T - האנרגיה הקינטית האצורה במערכת. ממשפט פיתגורס ידוע כי:   v 1 2 = v 1 , x 2 + v 1 , y 2 {\displaystyle \ v_{1}^{2}=v_{1,x}^{2}+v_{1,y}^{2}} מכאן:   T = 1 2 [ m 1 ( v 1 , x 2 + v 1 , y 2 ) + m 2 ( v 2 , x 2 + v 2 , y 2 ) = m 1 R 1 2 ϕ ˙ 2 + m 2 R 1 2 ϕ ˙ 2 + m 2 R 2 2 ψ ˙ 2 + R 1 R 2 ϕ ˙ ψ ˙ cos ⁡ ( ϕ − ψ ) {\displaystyle \ T={\frac {1}{2}}[m_{1}(v_{1,x}^{2}+v_{1,y}^{2})+m_{2}(v_{2,x}^{2}+v_{2,y}^{2})=m_{1}R_{1}^{2}{\dot {\phi }}^{2}+m_{2}R_{1}^{2}{\dot {\phi }}^{2}+m_{2}R_{2}^{2}{\dot {\psi }}^{2}+R_{1}R_{2}{\dot {\phi }}{\dot {\psi }}\cos(\phi -\psi )} U, אנרגיית הגובה האצורה במערכת היא:   U = − g ( R 1 cos ⁡ ϕ ( m 1 + m 2 ) + m 2 R 2 cos ⁡ ψ ) {\displaystyle \ U=-g(R_{1}\cos \phi (m_{1}+m_{2})+m_{2}R_{2}\cos \psi )} פונקציית הלגראנז' L של המערכת היא:   L = T − U {\displaystyle \ L=T-U} ;   L = 1 2 [ m 1 R 1 2 ϕ ˙ 2 + m 2 R 1 2 ϕ ˙ 2 + m 2 R 2 2 ψ 2 + 2 m 2 R 1 R 2 ψ ˙ ϕ ˙ cos ⁡ ( ϕ − ψ ) ] + g ( R 1 cos ⁡ ϕ ( m 1 + m 2 ) + m 2 R 2 cos ⁡ ψ ) {\displaystyle \ L={\frac {1}{2}}[m_{1}R_{1}^{2}{\dot {\phi }}^{2}+m_{2}R_{1}^{2}{\dot {\phi }}^{2}+m_{2}R_{2}^{2}\psi ^{2}+2m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}\cos(\phi -\psi )]+g(R_{1}\cos \phi (m_{1}+m_{2})+m_{2}R_{2}\cos \psi )} נחשב עתה את משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית   ϕ {\displaystyle \ \phi }  :   d d t ∂ L ∂ ϕ ˙ = ∂ L ∂ ϕ {\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \phi }}} לאחר חישוב הנגזרות החלקיות בכל אגף מתקבלת המשוואה:   ( I ) : m 1 R 1 2 ϕ ¨ + m 2 R 2 2 ϕ ¨ + m 2 R 1 R 2 ψ ¨ cos ⁡ ( ϕ − ψ ) − m 2 R 1 R 2 ψ ˙ sin ⁡ ( ϕ − ψ ) ( ϕ ˙ − ψ ˙ ) {\displaystyle \ (I):m_{1}R_{1}^{2}{\ddot {\phi }}+m_{2}R_{2}^{2}{\ddot {\phi }}+m_{2}R_{1}R_{2}{\ddot {\psi }}\cos(\phi -\psi )-m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\psi }}\sin(\phi -\psi )({\dot {\phi }}-{\dot {\psi }})}   = − m 2 R 1 R 2 ϕ ˙ ψ ˙ sin ⁡ ( ϕ − ψ ) − g R 1 sin ⁡ ϕ ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \ =-m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\phi }}{\dot {\psi }}\sin(\phi -\psi )-gR_{1}\sin \phi (m_{1}+m_{2})} באותה צורה, מחישוב משוואת אוילר-לגראנז' לפי הזווית   ψ {\displaystyle \ \psi } מתקבלת המשוואה:   ( I I ) : m 2 R 2 2 ψ ¨ + m 2 R 1 R 2 ϕ ¨ cos ⁡ ( ϕ − ψ ) − m 2 R 1 R 2 ϕ ˙ sin ⁡ ( ϕ − ψ ) ( ϕ ˙ − ψ ˙ ) {\displaystyle \ (II):m_{2}R_{2}^{2}{\ddot {\psi }}+m_{2}R_{1}R_{2}{\ddot {\phi }}\cos(\phi -\psi )-m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\phi }}\sin(\phi -\psi )({\dot {\phi }}-{\dot {\psi }})}   = m 2 R 1 R 2 ϕ ˙ ψ ˙ sin ⁡ ( ϕ − ψ ) − g m 2 R 2 sin ⁡ ψ {\displaystyle \ =m_{2}R_{1}R_{2}{\dot {\phi }}{\dot {\psi }}\sin(\phi -\psi )-gm_{2}R_{2}\sin \psi } לאחר קירוב לזווית קטנות וארגון המשוואות, מקבלים מ-(I):   ( 2 , 1 ) : R 1 ϕ ¨ + m 2 m 1 + m 2 R 2 ψ ¨ = − g ψ {\displaystyle \ (2,1):R_{1}{\ddot {\phi }}+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}R_{2}{\ddot {\psi }}=-g\psi } הערה: משמעות הסימונים למשוואות (n,k) הוא: המשוואה ה-k עבור n מתנדים צמודים. מ-(II) מקבלים:   ( 2 , 2 ) : R 1 ϕ ¨ + R 2 ψ ¨ = − g ψ {\displaystyle \ (2,2):R_{1}{\ddot {\phi }}+R_{2}{\ddot {\psi }}=-g\psi } מחישוב משוואות אוילר לגראנז' בצורה זהה לזו שפורטה לעיל, קירוב לזוויות קטנות, וארגון המשוואות מתקבלות המשוואה הבאות:   ( 3 , 1 ) : R 1 ϕ ¨ + m 2 + m 3 m 1 + m 2 + m 3 R 2 ψ ¨ + m 3 m 1 + m 2 + m 3 R 3 θ ¨ = − g ϕ {\displaystyle \ (3,1):R_{1}{\ddot {\phi }}+{\frac {m_{2}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}R_{2}{\ddot {\psi }}+{\frac {m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}R_{3}{\ddot {\theta }}=-g\phi }   ( 3 , 2 ) : R 1 ϕ ¨ + R 2 ψ ¨ + m 3 m 2 + m 3 R 3 θ ¨ = − g ψ {\displaystyle \ (3,2):R_{1}{\ddot {\phi }}+R_{2}{\ddot {\psi }}+{\frac {m_{3}}{m_{2}+m_{3}}}R_{3}{\ddot {\theta }}=-g\psi }   ( 3 , 3 ) : R 1 ϕ ¨ + R 2 ψ ¨ + R 3 θ ¨ = − g θ {\displaystyle \ (3,3):R_{1}{\ddot {\phi }}+R_{2}{\ddot {\psi }}+R_{3}{\ddot {\theta }}=-g\theta } בעזרת שש המשוואות שפותחו לעיל, ננסח עתה נוסחה כללית עבור מספר (k) של מתנד במטוטלת בעלת N מתנדים:   ( N , k ) ∑ i = 1 K R i ϕ ¨ i + ∑ i = k + 1 N ϕ ¨ i R i ∑ j = i N m i ∑ j = k N m i = − g ϕ k {\displaystyle \ (N,k)\sum _{i=1}^{K}R_{i}{\ddot {\phi }}_{i}+\sum _{i=k+1}^{N}{\ddot {\phi }}_{i}R_{i}{\frac {\sum _{j=i}^{N}m_{i}}{\sum _{j=k}^{N}m_{i}}}=-g\phi _{k}} כאשר:   ϕ i {\displaystyle \ \phi _{i}} היא הזווית ה-i מלמעלה הערה: בנוסחה לעיל, כאשר משתמשים במשוואה עבור k=n יש להשמיט בחישוב את האיבר האחרון (המשוואה אמורה להתחיל מ k+1 ולעלות עד N דבר אשר אינו אפשרי במקרה זה). פתרון התנועה למערכת בעלת יותר משני מתנדים קשה מאוד אנליטית. ניתן לקבל הדמיה של התנועה באמצעים נומריים.