הומוטופיה

בטופולוגיה, שתי פונקציות רציפות ממרחב טופולוגי אחד לשני הן הומוטופיות (מיוונית: הומוס=זהה, טופוס=מקום) אם ניתן באופן רציף "לעוות" אחת מהן לכדי השנייה; דפורמציה כזו (שינוי צורה) מכונה הומוטופיה בין שתי פונקציות. בעזרת מושג ההומוטופיה ניתן להגדיר יחס שקילות חשוב בין מרחבים טופולוגיים, המהווה את המבוא להגדרת החבורה היסודית, וביתר כלליות חבורות ההומוטופיה. למונח שימושים בתאוריות טופולוגיות נוספות, כמו תורת ההומולוגיה, תורת הקשרים ועוד. הומוטופיה בין שתי פונקציות רציפות f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} ממרחב טופולוגי X {\displaystyle X} למרחב טופולוגי Y {\displaystyle Y} , היא פונקציה רציפה H : X × [ 0 , 1 ] → Y {\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y} מהמכפלה הטופולוגית של המרחב X {\displaystyle X} במרווח היחידה [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , אל המרחב Y {\displaystyle Y} , כך שעבור כל הנקודות x {\displaystyle x} ב- X {\displaystyle X} מתקיים: H ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle H(x,0)=f(x)} H ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle H(x,1)=g(x)} . נוח לדמיין כי מרווח היחידה [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} מתאר את ציר הזמן. אז הפונקציה H {\displaystyle H} מתארת דפורמציה רציפה בזמן של f {\displaystyle f} ל- g {\displaystyle g} : כאשר מצטמצמים לזמן 0 ("תחילת ההומוטופיה") מתקבלת הפונקציה f {\displaystyle f} וכאשר מצטמצמים לזמן 1 ("סוף ההומוטופיה") מתקבלת הפונקציה g {\displaystyle g} . בתמונה משמאל מתוארת הומוטופיה בין שתי מסילות, כלומר בין שתי פונקציות רציפות מקטע היחידה X = [ 0 , 1 ] {\displaystyle X=[0,1]} למישור הציור Y = R 2 {\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{2}} . פונקציה תיקרא "נול-הומוטופית", אם היא הומוטופית לפונקציה קבועה כלשהי. בהשראת האנימציה לעיל, נאמר ששתי העתקות f , g : X → Y {\displaystyle f,g:X\to Y} הן הומוטופיות ביחס לקבוצה A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} אם יש ביניהן הומוטופיה כנ"ל, המקיימת גם ∀ a ∈ A , t ∈ [ 0 , 1 ] : H ( a , t ) = H ( a , 0 ) {\displaystyle \forall a\in A,t\in [0,1]:H(a,t)=H(a,0)} כלומר, לכל אורך השינוי בין הפונקציות, הערכים על הקבוצה A {\displaystyle A} לא משתנים. בפרט נובע ∀ a ∈ A : f ( a ) = H ( a , 0 ) = H ( a , 1 ) = g ( a ) {\displaystyle \forall a\in A:f(a)=H(a,0)=H(a,1)=g(a)} (זהו תנאי הכרחי ולא מספיק להומוטופיה ביחס ל- A {\displaystyle A} ). אם כן, בדוגמה לעיל המסילות הומוטופיות ביחס ל- ∂ [ 0 , 1 ] = { 0 , 1 } {\displaystyle \partial [0,1]=\{0,1\}} . באופן כללי, בחבורה היסודית של מרחב טופולוגי, האיברים הם מסילות סגורות שמזוהות עד כדי הומוטופיה ביחס לקצוות קטע היחידה. עיקרון זה מוכלל בחבורות ההומוטופיה. בעזרת מושג ההומוטופיה ניתן להגדיר יחס שקילות חשוב בין מרחבים טופולוגיים: שני מרחבים טופולוגיים X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} יקראו שקולים הומוטופית אם קיימות זוג העתקות f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} ו- g : Y → X {\displaystyle g:Y\to X} כך שההרכבה f ∘ g : Y → Y {\displaystyle f\circ g:Y\to Y} הומוטופית לפונקציית הזהות על Y {\displaystyle Y} ואילו g ∘ f : X → X {\displaystyle g\circ f:X\to X} הומוטופית לפונקציית הזהות על X {\displaystyle X} . f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} שמקיימת את התנאי תקרא שקילות הומוטופית. מרחב ששקול הומוטפית לנקודה (כלומר פונקציית הזהות של המרחב היא נול-הומוטופית), ייקרא מרחב כוויץ. נשים לב שמרחבים הומיאומורפיים הם בפרט שקולים הומוטופית, כי אם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} הומיאומורפיזם, אז f {\displaystyle f} ו- g = f − 1 {\displaystyle g=f^{-1}} מקיימות את הדרוש בהגדרה. אבל הכיוון ההפוך רחוק מלהיות נכון – זוג מרחבים שקולים הומוטופית בדרך כלל אינם הומיאומורפיים, ויכולים להיות שונים מאוד זה מזה למראית עין. אנקדוטה ידועה מספרת שטופולוגים אינם מבחינים בין ספל הקפה שהם שותים לבין הכעך שהם אוכלים – כיוון שהטורוס וספל הקפה שקולים הומוטופית. מחלקת שקילות הומוטופית נקראת טיפוס הומוטופיה. תורת ההומוטופיה היא תחום עשיר בטופולוגיה המודרנית העוסק במיון טיפוסי ההומוטופיה של מרחבים. הומוטופיה, באתר MathWorld (באנגלית) הומוטופיה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) הומוטופיה, דף שער בספרייה הלאומית ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.