נוסחת קושי-בינה

באלגברה ליניארית, נוסחת קושי בינה היא נוסחה לדטרמיננטה של מכפלת מטריצות שאינן דווקא ריבועיות. הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות. היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)} לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות. תהיינה A , B {\displaystyle A,B} מטריצות מסדר m × n , n × m {\displaystyle m\times n,n\times m} בהתאמה. נסמן ב- S {\displaystyle S} את קבוצת כל תתי הקבוצות של { 1 , 2 , . . , n } {\displaystyle \{1,2,..,n\}} מגודל m. עבור τ ∈ S {\displaystyle \tau \in S} , נסמן ב- A τ {\displaystyle A^{\tau }} את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב- τ {\displaystyle \tau } (בסדר המקורי), וב- B τ {\displaystyle B^{\tau }} את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב- τ {\displaystyle \tau } (בסדר המקורי). אז מתקיים: det ( A B ) = ∑ τ ∈ S det ( A τ ) det ( B τ ) {\displaystyle \det(AB)=\sum _{\tau \in S}\det(A^{\tau })\det(B^{\tau })} הנוסחה מעניינת כאשר n>m. אם n=m, אז S = { { 1 , . . . , n } } {\displaystyle S=\{\{1,...,n\}\}} כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)} . אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא הפיכה משיקולי דרגות. לכן הנוסחה נכונה תמיד. נסמן את העמודה ה-i של מטריצה M {\displaystyle M} ב- M i {\displaystyle M_{i}} כמו כן, נסמן ב- ( M 1 , . . . , M n ) {\displaystyle (M_{1},...,M_{n})} , כאשר M i {\displaystyle M_{i}} הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם. לבסוף נסמן ב- S n {\displaystyle S_{n}} את קבוצת כל התמורות על { 1 , . . . , n } {\displaystyle \{1,...,n\}} . נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל: det ( A B ) = det ( A B 1 , . . . , A B m ) = det ( ∑ i = 1 n b i 1 A i , . . . , ∑ i = 1 n b i m A i ) {\displaystyle \det(AB)=\det(AB_{1},...,AB_{m})=\det(\sum _{i=1}^{n}b_{i1}A_{i},...,\sum _{i=1}^{n}b_{im}A_{i})} = ∑ 1 ≤ i 1 , . . . , i m ≤ n b i 1 1 , . . . , b i m m det ( A i 1 , . . . , A i m ) {\displaystyle =\sum _{1\leq i_{1},...,i_{m}\leq n}b_{i_{1}1},...,b_{i_{m}m}\det(A_{i_{1}},...,A_{i_{m}})} = ∑ 1 ≤ i 1 ≤ . . . ≤ i m ≤ n ∑ σ ∈ S n b i σ ( 1 ) 1 . . . b i σ ( m ) m det ( A i σ ( 1 ) , . . . , A i σ ( m ) ) {\displaystyle =\sum _{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq n}\sum _{\sigma \in S_{n}}b_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\det(A_{i_{\sigma (1)}},...,A_{i_{\sigma (m)}})} = ∑ 1 ≤ i 1 ≤ . . . ≤ i m ≤ n ∑ σ ∈ S n b i σ ( 1 ) 1 . . . b i σ ( m ) m sgn ⁡ ( σ ) det ( A i 1 , . . . , A i m ) {\displaystyle =\sum _{1\leq i_{1}\leq ...\leq i_{m}\leq n}\sum _{\sigma \in S_{n}}b_{i_{\sigma (1)}1}...b_{i_{\sigma (m)}m}\operatorname {sgn}(\sigma )\det(A_{i_{1}},...,A_{i_{m}})} = ∑ τ ∈ S det ( A τ ) det ( B τ ) {\displaystyle =\sum _{\tau \in S}\det(A^{\tau })\det(B^{\tau })} כרצוי. ניתן להכליל את המשפט באופן הבא: תהיינה A , B {\displaystyle A,B} מטריצות מסדר m × n , n × p {\displaystyle m\times n,n\times p} בהתאמה. תהיינה I , J {\displaystyle I,J} תתי קבוצות של { 1 , . . , m } , { 1 , . . . , p } {\displaystyle \{1,..,m\},\{1,...,p\}} בהתאמה בגודל k. נסמן ב- S {\displaystyle S} את קבוצת כל תתי הקבוצות של { 1 , 2 , . . , n } {\displaystyle \{1,2,..,n\}} מגודל k. עבור U , V {\displaystyle U,V} תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב- M U V {\displaystyle M_{UV}} את המטריצה המתקבלת מהשורות של M {\displaystyle M} שנמצאות ב- U {\displaystyle U} , והעמודות של M {\displaystyle M} הנמצאות ב- V {\displaystyle V} . אז מתקיים: det ( A B I J ) = ∑ K ∈ S det ( A I K ) det ( B K J ) {\displaystyle \det(AB_{IJ})=\sum _{K\in S}\det(A_{IK})\det(B_{KJ})} .