פתרון סינגולרי

פתרון סינגולרי ys(x) של משוואה דיפרנציאלית רגילה הוא פתרון שמכיל נקודת סינגולריות או פתרון עבורו בעיית ההתחלה (שנקראת גם בעיית קושי על ידי מחברים מסוימים) נכשלת להיות בעלת פתרון יחיד בנקודות מסוימות של הפתרון הסינגולרי. קבוצת הנקודות בהן ישנו פתרון סינגולרי יכולה להיות קטנה עד כדי נקודה יחידה או גדולה עד כדי הישר הממשי כולו. באופן כללי, המונח בא לתאר פתרונות שעליהם לבעיית ההתחלה אין פתרון יחיד, ולאו דווקא פתרונות שמכילים נקודת סינגולריות. במקרים מסוימים, המונח "פתרון סינגולרי" בא לתאר פתרון שבו מופרת יחידות הפתרון לבעיית ההתחלה עבור כל נקודה על עקום הפתרון. פתרון סינגולרי במובן החזק הזה מתקבל כעקום המשיק לכל פתרון ממשפחת הפתרונות הלא סינגולריים. ב"משיק" הכוונה היא שקיימת נקודה x עבורה ys(x) = yc(x) וגם y's(x) = y'c(x) כאשר yc הוא פתרון ממשפחת הפתרונות המאופיינים על ידי פרמטר יחיד c. פירוש הדבר הוא שהפתרון הסינגולרי הוא המעטפת של משפחת העקומים המתוארים על ידי הפתרונות הלא סינגולריים. נתייחס למשוואה הדיפרנציאלית הליניארית ההומוגנית x y ′ ( x ) + 2 y ( x ) = 0 , {\displaystyle xy'(x)+2y(x)=0,\,\!} הפתרון הכללי למשוואה הזאת הוא y ( x ) = C x − 2 . {\displaystyle y(x)=Cx^{-2}.\,\!} בעבור C {\displaystyle C} נתון, הפתרון הזה חלק בכל מקום פרט לנקודה x = 0 {\displaystyle x=0} , שבה הפתרון מתבדר. יותר מכך, בעבור x ≠ 0 {\displaystyle x\not =0} , פתרון השייך למשפחת הפתרונות הזאת הוא הפתרון היחיד העובר דרך ( x , y ( x ) ) {\displaystyle (x,y(x))} . נתייחס למשוואה הדיפרנציאלית y ′ ( x ) 2 = 4 y ( x ) . {\displaystyle y'(x)^{2}=4y(x).\,\!} משפחה בת-פרמטר אחד של פתרונות למשוואה הזאת ניתנת על ידי y c ( x ) = ( x − c ) 2 . {\displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}.\,\!} פתרון אחר ניתן על ידי y s ( x ) = 0. {\displaystyle y_{s}(x)=0.\,\!} מכיוון שהבעיה שנחקרת היא משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון, תנאי ההתחלה הם הערכים ההתחלתיים של x ו-y. אם נסתכל על שני הפתרונות לעיל, ניתן יהיה לראות שהפתרון אינו יחיד כאשר y = 0 {\displaystyle y=0} (ניתן להראות שאם y > 0 {\displaystyle y>0} וענף יחיד של השורש הריבועי נבחר, אז יש פתרון מקומי יחיד בהתאם למשפט הקיום והיחידות). בעבור משפחת הפתרונות הראשונה y c ( x ) {\displaystyle y_{c}(x)} , יחידות הפתרון מופרת בנקודה יחידה x = c {\displaystyle x=c} , ואילו בעבור הפונקציה הקבועה y s ( x ) {\displaystyle y_{s}(x)} ("הפתרון הסינגולרי") יחידות הפתרון מופרת בעבור כל ערך של x. לפיכך, הפתרון y s ( x ) {\displaystyle y_{s}(x)} הוא סינגולרי במובן החזק מכיוון שיחידות הפתרון מופרת עבור כל ערך של x. בדוגמה זו, הפתרון הסינגולרי y s ( x ) = 0 {\displaystyle y_{s}(x)=0} הוא המעטפת של משפחת הפרבולות y c ( x ) = ( x − c ) 2 {\displaystyle y_{c}(x)=(x-c)^{2}} . הוא משיק לכל אחת מהפרבולות y c ( x ) {\displaystyle y_{c}(x)} בנקודה יחידה ( c , 0 ) {\displaystyle (c,0)} . ניתן להיעזר בהפרת יחידות הפתרון כדי לבנות פתרונות נוספים, המורכבים בחלקם מן הפתרונות הסטנדרטיים ובחלקם האחר מהפתרון הסינגולרי. למשל, ניקח שני קבועים c 1 < c 2 {\displaystyle c_{1}<c_{2}} ונגדיר את הפונקציה y ( x ) {\displaystyle y(x)} להיות ( x − c 1 ) 2 {\displaystyle (x-c_{1})^{2}} כאשר x < c 1 {\displaystyle x<c_{1}} , להיות 0 {\displaystyle 0} כאשר c 1 ≤ x ≤ c 2 {\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}} , ולהיות ( x − c 2 ) 2 {\displaystyle (x-c_{2})^{2}} כאשר x > c 2 {\displaystyle x>c_{2}} . חישוב ישיר מראה שזהו פתרון למשוואה הדיפרנציאלית בכל נקודה, כולל x = c 1 {\displaystyle x=c_{1}} ו- x = c 2 {\displaystyle x=c_{2}} . הדוגמה הקודמת עשויה ליצור רושם מוטעה כאילו הפרת יחידות הפתרון קשורה באופן ישיר לפתרונות קבועים. הפרת יחידות הפתרון ניתנת לזיהוי גם בדוגמה הבאה של המשוואה הדיפרנציאלית של קלרו: y ( x ) = x ⋅ y ′ + ( y ′ ) 2 {\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!} אם נכתוב y' = p נקבל y ( x ) = x ⋅ p + ( p ) 2 . {\displaystyle y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.\,\!} כעת, אם נגזור את שני האגפים לפי x נקבל: p = y ′ = p + x p ′ + 2 p p ′ {\displaystyle p=y'=p+xp'+2pp'\,\!} מה שלאחר אלגברה פשוטה נותן 0 = ( 2 p + x ) p ′ . {\displaystyle 0=(2p+x)p'.\,\!} תנאי זה תקף אם 2p+x=0 או אם p'=0. אם p' = 0 אז זה אומר ש- y' = p = c ולכן הפתרון הכללי למשוואה הזו הוא y c ( x ) = c ⋅ x + c 2 {\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!} כאשר הפרמטר c נקבע על פי תנאי ההתחלה. אם x + 2p = 0 אז נקבל p = −(1/2)x והצבה במשוואה הדיפרנציאלית נותנת y s ( x ) = − ( 1 / 2 ) x 2 + ( − ( 1 / 2 ) x ) 2 = − ( 1 / 4 ) ⋅ x 2 . {\displaystyle y_{s}(x)=-(1/2)x^{2}+(-(1/2)x)^{2}=-(1/4)\cdot x^{2}.\,\!} כעת נבדוק מתי הפתרונות הללו הם סינגולריים. אם שני פתרונות חותכים אחד את השני, כלומר הם עוברים דרך אותה נקודה (x,y), אז יש הפרת יחידות בעבור המשוואה הדיפרנציאלית מסדר ראשון. לפיכך, תהיה הפרת יחידות כאשר פתרון מהצורה הראשונה חותך את הפתרון השני. תנאי החיתוך הוא: ys(x) = yc(x). נפתור ונקבל c ⋅ x + c 2 = y c ( x ) = y s ( x ) = − ( 1 / 4 ) ⋅ x 2 {\displaystyle c\cdot x+c^{2}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-(1/4)\cdot x^{2}\,\!} מה שאומר שהצורה הכללית של נקודת החיתוך היא ( − 2 c , − c 2 ) {\displaystyle (-2c,-c^{2})} . נוודא ששני הפתרונות משיקים בנקודה y's(x) = y'c(x). נחשב את הנגזרות: y c ′ ( − 2 ⋅ c ) = c {\displaystyle y_{c}'(-2\cdot c)=c\,\!} y s ′ ( − 2 ⋅ c ) = − ( 1 / 2 ) ⋅ x | x = − 2 ⋅ c = c . {\displaystyle y_{s}'(-2\cdot c)=-(1/2)\cdot x|_{x=-2\cdot c}=c.\,\!} ולכן, y s ( x ) = − ( 1 / 4 ) ⋅ x 2 {\displaystyle y_{s}(x)=-(1/4)\cdot x^{2}\,\!} משיק לכל אחד מחברי משפחת הפתרונות : y c ( x ) = c ⋅ x + c 2 {\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!} . מבחינה גאומטרית, הפתרון הסינגולרי הוא הפרבולה y s ( x ) = − ( 1 / 4 ) ⋅ x 2 {\displaystyle y_{s}(x)=-(1/4)\cdot x^{2}\,\!} , אשר עוטפת "מלמטה" את משפחת הישרים y c ( x ) = c ⋅ x + c 2 {\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!} . נשים לב גם שבאופן כללי, פתרונות סינגולריים של מד"ר הם בדיוק העקומים לאורכם מתרחשת הפרה של תנאי ליפשיץ במשתנה y של y ′ = f ( x , y ) {\displaystyle y'=f(x,y)} (בהוכחה של משפט קיום ויחידות באמצעות איטרציות פיקארד, קיום תנאי ליפשיץ במשתנה y מבטיח את יחידות הפתרון). למשל, בדוגמה של משוואת קלרו, קל לראות שבאמצעות השלמה לריבוע ניתן לרשום: ( y ′ + x 2 ) 2 − x 2 4 = y ( x ) ⟹ y ′ = y + x 2 4 − x 2 {\displaystyle (y'+{\frac {x}{2}})^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}=y(x)\implies y'={\sqrt {y+{\frac {x^{2}}{4}}}}-{\frac {x}{2}}} אם נגזור את אגף ימין לפי y, אז נקבל שהנגזרת f y {\displaystyle f_{y}} שואפת לאינסוף כאשר הביטוי בתוך השורש מתאפס, דהיינו לאורך העקום y s ( x ) = − x 2 4 {\displaystyle y_{s}(x)=-{\frac {x^{2}}{4}}} . מעטפת של משפחת עקומים קאוסטיקה פתרון סינגולרי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)