גז אידיאלי

גז אידיאלי הוא גז היפותטי, המבוסס על מודל פיזיקלי לפיו גז מורכב מהרבה גופים נקודתיים, הנעים באופן אקראי במרחב. מודל זה נמצא בשימוש נרחב בתרמודינמיקה ובאווירודינמיקה, ומצליח לתאר היטב גזים בתנאי לחץ וטמפרטורה מתונים, כגון אוויר בלחץ אטמוספירי ובטמפרטורת החדר. ההנחה הראשונה של מודל זה היא שלא קיימת אינטראקציה בין הגופים המרכיבים את הגז, למעט התנגשויות פשוטות. במודלים שונים של הגז האידיאלי, ניתן לתאר גזים אשר לא בהכרח מורכבים מגופים נקודתיים, אלא מצבר של חלקיקים נקודתיים, הניתן להסתכל עליהם כמו על כדורים קטנים הקשורים ביניהם בקשרים אלסטיים (כגון מולקולה דו אטומית). ייצוג חלקיקי הגז על ידי מולקולות פוליאטומיות גורם להוספה של דרגות חופש נוספות במערכת. הוספת דרגות החופש מצריכה לקחת בחשבון בחישובים אנרגטיים את התנועות האפשריות של המולקולה ביחס לעצמה – כגון סיבוב או רטט סביב נקודת שיווי משקל. את הפתרון המלא של גז אידיאלי והגדלים המאפיינים אותו אי־אפשר היה לחשב עד הופעת מכניקת הקוונטים. המאפיינים של גז אידיאלי נקבעים מתוך המודל של הגז האידיאלי בו מתקיימות ההנחות הבאות: גודלי המולקולות זניחים בהשוואה למרחק הממוצע ביניהן, כך שהנפח הכולל שתופסות המולקולות קטן משמעותית מנפח הכלי. כוחות המשיכה בין מולקולות זניחים, וכוחות דוחים פועלים רק במהלך התנגשויות. התנגשויות החלקיקים זה בזה ועם דפנות הכלי אלסטיות לחלוטין. המערכת ארגודית, כך שממוצע על פני אנסמבל בדגימה שווה לממוצע לאורך זמן. הגז נמצא בשיווי משקל עם דפנות הכלי. משוואת המצב עבור גז אידיאלי היא:   P V = N k B T {\displaystyle \ PV=Nk_{B}T} או   P V = n R T {\displaystyle \ PV=nRT} כאשר: P - לחץ הגז V - הנפח שהגז תופס N - מספר חלקיקי הגז n - כמות המולים בגז kB - קבוע בולצמן R - קבוע הגזים האוניברסלי (8.314472 J·K-1·mol-1) T - הטמפרטורה המוחלטת (אנ') של הגז מקרים פרטיים של משוואה זו הם חוקי הגז הפרטיים: חוק בויל-מריוט, חוק גיי-לוסאק וחוק שארל. עבור התיקונים המוכנסים במשוואה על מנת לתאר גז דחוס, ראה גז ואן דר ואלס. כאמור, מודל הגז האידיאלי מתאר את החלקיקים בגז, בין אם מולקולות או אטומים, בתור כדורים פשוטים ללא שום השפעה אלקטרומגנטית או כבידתית אחר על השני ועם גודל זניח, כלומר בתור חלקיקים נקודתיים. כדי שהמודל יתאר את המציאות בצורה טובה, ישנם כמה תנאים שחייבים להתקיים: הגז לא יכול להיות בלחץ גבוה מדי. זאת מכיוון שבלחצים גבוהים החלקיקים מתנגשים לעיתים כה קרובות ונמצאים בסמיכות כה רבה שהכוחות הבין-מולקולריים לא זניחים. במקרה של לחצים גבוהים מאוד, המודל לא מתאר מספיק טוב את המערכת, ועל מנת לתאר מערכות אלו יש להשתמש במשוואות מצב מדויקות יותר, כגון משוואת ואן דר ואלס, הלוקחת בחשבון את הכוחות הפועלים בין החלקיקים ואת הגודל הלא אפסי שלהם. הגז לא יכול להיות בטמפרטורה גבוהה מדי. בטמפרטורות גבוהות מאוד מודל הגז האידיאלי לא מספק, בין היתר בגלל שהמולקולות המרכיבות את הגז יכולות להתנתק לאטומים המרכיבים אותם, או שיכול להיווצר מצב של יינון. התנגשויות החלקיקים בגז זה עם זה ועם דפנות הכלי בו הם נמצאים חייבות להיות אלסטיות, דהיינו, משמרות את האנרגיה הקינטית של החלקיקים. בבידוד ריכוז הגז מתוך משוואת המצב, ניתן לראות שכאשר לחץ הגז נמוך או כאשר טמפרטורת הגז גבוהה, ריכוז הגז נמוך ולכן הוא מתאים לשימוש במשוואת הגז האידיאלי. c = n V = P R T {\displaystyle c={\frac {n}{V}}={\frac {P}{RT}}} כאשר c {\displaystyle {\ce {c}}} מייצג את ריכוז הגז. אנרגיה חופשית של הלמהולץ:   F = − N k B T ( log ⁡ ( n Q ( T ) N / V ) + 1 ) {\displaystyle \ F=-Nk_{B}T\left(\log {\left({\frac {n_{Q}(T)}{N/V}}\right)}+1\right)} כאשר   n Q ( T ) = ( m k B T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \ n_{Q}(T)=\left({\frac {mk_{B}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}} (החזקה 3/2 נובעת ממספר הממדים - עבור גז דו־ממדי למשל החזקה תהיה 1, וזה ישפיע על שאר הגדלים) גודל זה אפשר לקבל מפונקציית החלוקה, וממנו ניתן לגזור את שאר הגדלים, כולל את משוואת המצב, אליה ניתן להגיע על פי P = − ( ∂ F ∂ V ) T {\displaystyle P=-\left({\frac {\partial {F}}{\partial {V}}}\right)_{T}} אנטרופיה:   S = − ( ∂ F ∂ T ) V = k B N ( log ⁡ ( n Q ( T ) N / V ) + 5 2 ) {\displaystyle \ S=-\left({\frac {\partial {F}}{\partial {T}}}\right)_{V}=k_{B}N\left(\log {\left({\frac {n_{Q}(T)}{N/V}}\right)}+{\frac {5}{2}}\right)} אנרגיה:   U = F + T S = 3 2 N k B T {\displaystyle \ U=F+TS={\frac {3}{2}}Nk_{B}T} קיבול חום: בנפח קבוע   C V = 3 2 N k B {\displaystyle \ C_{V}={\frac {3}{2}}Nk_{B}} ובלחץ קבוע   C P = 5 2 N k B {\displaystyle \ C_{P}={\frac {5}{2}}Nk_{B}} קומפרסיביליות איזותרמית:   k T = − 1   V ( ∂ V ∂ P ) T = 1 P {\displaystyle \ k_{T}={\frac {-1}{\ V}}\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}={\frac {1}{P}}} מקדם התפשטות תרמית:   α P = 1 V ( ∂ V ∂ T ) P = 1 T {\displaystyle \ \alpha _{P}={\frac {1}{V}}\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}={\frac {1}{T}}} כאשר לכל מולקולה של גז אידיאלי יש דרגות חופש ורמות אנרגיה פנימיות, אזי האנרגיה הממוצעת שלו היא   ⟨ U ⟩ = U = U t h + N ∑ i ϵ i ⋅ Prob ( ϵ i ) {\displaystyle \ \langle U\rangle =U=U_{th}+N\sum _{i}{\epsilon _{i}\cdot {\mbox{Prob}}(\epsilon _{i})}} כלומר, זהו סכום של האנרגיה התרמית וכל רמת אנרגיה פנימית כפול האכלוס שלה. בדרך כלל נהוג לרשום את האנרגיה של גז אידיאלי בצורה מוכללת:   U = β n R T {\displaystyle \ U=\beta nRT} כאשר n הוא מספר המולים של הגז, R הוא קבוע הגזים ו β {\displaystyle \beta } הוא קבוע מספרי המבטא את מספר דרגות החופש:   β = λ 2 {\displaystyle \ \beta ={\frac {\lambda }{2}}} כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא מספר דרגות החופש. מספר דרגות החופש הוא לדוגמה 3 עבור גז חד אטומי, 5 עבור גז דו-אטומי ו-6 עבור מוצק. ניתן להראות שעבור גז אידיאלי בעל דרגות חופש פנימיות עם אנרגיה   U = β n R T {\displaystyle \ U=\beta nRT} מתקיים:   C P C V = γ = β + 1 β {\displaystyle \ {\frac {C_{P}}{C_{V}}}=\gamma ={\frac {\beta +1}{\beta }}} כמו כן, בתהליך אדיאבטי מתקיים ש   P V γ = Const {\displaystyle \ PV^{\gamma }={\mbox{Const}}} .   T V γ − 1 = Const {\displaystyle \ TV^{\gamma -1}={\mbox{Const}}} .   T γ / ( 1 − γ ) P = Const {\displaystyle \ T^{\gamma /(1-\gamma )}P={\mbox{Const}}} . תרמודינמיקה גז גז ואן דר ואלס ד"ר ארז גרטי, חוקי הגזים האידיאליים, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 28 ביוני 2011 ד"ר אבי סאייג, איך ניתן לחשב נפח אויר בלחץ גדול מלחץ אטמוספרי?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 25 דצמבר 2009