הסחת לם

במכניקת הקוונטים, הסחת לם היא שינוי ברמות האנרגיה של אורביטלים שונים כתוצאה מאינטראקציה בין האלקטרון לתנודות הקוונטיות של הריק. בפרט, קיים הפרש בין רמת האנרגיה של האורביטל 2P1/2 והאורביטל 2S1/2 של אטום המימן, הפרש שלא נחזה תאורטית לפי המבנה הדק. ההסחה נמדדה לראשונה על ידי ויליס לם והסטודנט שלו רוברט רת'רפורד בשנת 1947 ונקראת על שמו של לם. לם זכה בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1955 על עבודתו בנושא. ההסבר התאורטי הראשונה להסחה הובא על ידי הנס בתה בשנת 1947, אולם חישובו של בתה לא כולל את השפעת הקיטוב של הריק שמובילה לתיקון של כשני אחוזים. הסחת לם קטנה ביחס לפיצול ברמות האנרגיה הנובעות מהמבנה הדק - באטום המימן מתקבל שההפרש בין האנרגיה של האורביטל 22P1/2 והאורביטל 22S1/2 הוא 4.4 מיקרו אלקטרון וולט וזאת בהשוואה להפרש אנרגיה של 45.8 מיקרו אלקטרון וולט בין האורביטל 22P1/2 לאורביטל 22P3/2 הנובע מהמבנה הדק. גילוי הסחת לם וההסבר התאורטי שלו תרמה רבות להבנת החישוב בפיתוח רנורמליזציה מוסדרת לאיברים אינסופיים המופיעים בפיתוחים קוונטים. חישובו של בתה סימן את הדרך לקראת פיתוח האלקטרודינמיקה הקוונטית בשנים 1948–1950, תורה שזיכתה את ריצ'רד פיינמן, שינאיצ'ירו טומונגה וג'וליאן שווינגר בפרס נובל בפיזיקה לשנת 1965. ערך מורחב – אטום המימן ספקטרום הקרינה של אטום המימן נמדד ניסויית לקראת סוף המאה ה-19. מדידות אלו ומדידות נוספות בראשית המאה ה-20, הראו שספקטרום הפליטה הוא בדיד, ושאורך הגל של הקרינה הנפלטת מתאים לנוסחת רידברג 1 λ = R y ( 1 m 2 − 1 n 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=Ry\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)} . כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא אורך הגל, R y ≈ 10.97 ⋅ μ m − 1 {\displaystyle Ry\approx 10.97\cdot \mu m^{-1}} ו- m {\displaystyle m} ו- n {\displaystyle n} מספרים שלמים. את ההסבר לתופעה נתן נילס בוהר בשנת 1913. לפי מודל האטום של בוהר, האלקטרונים באטום המימן נעים ברדיוסים בדידים מסביב לגרעין. הרדיוסים האלו חייבים להיות בעלי תנע זוויתי שהוא מספר שלם כפול קבוע דיראק, מחישוב זה נבע שרמות האנרגיה של האלקטרון באטום המימן הן בדידות והן מקיימות E ≈ m e e 4 8 ϵ 0 2 h 2 n 2 = h c R y n 2 {\displaystyle E\approx {\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}n^{2}}}={\frac {h\,c\,Ry}{n^{2}}}} (כאשר e {\displaystyle e} מטען האלקטרון m e {\displaystyle m_{e}} מסתו, h {\displaystyle h} קבוע פלאנק ו- ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} הפרמטיביות של הריק). האור שנפלט מאטום המימן נפלט כאשר האלקטרון עובר בין רמות אנרגיה שונות. במהלך שנות ה-20 של המאה העשרים פותחה תורת הקוונטים, ובמסגרתה הוצגה דרך סדירה לפתרון בעיות כמו אטום המימן. פתרון כזה יכול להתבצע על ידי שימוש במשוואת שרדינגר. בתיאוריה זו, מיקום האלקטרון מוצג באמצעות פונקציית הגל ψ {\displaystyle \psi } שמקיימת את המשוואה − ℏ 2 2 μ ∇ 2 ψ − e 2 r ψ = E ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}\psi -{\frac {e^{2}}{r}}\psi =E\psi } (כאשר μ = m e m n m n + m e {\displaystyle \mu ={\frac {m_{e}m_{n}}{m_{n}+m_{e}}}} המסה המצומצמת). פתרון של המשוואה באמצעות הפרדת משתנים מראה כי את פונקציית הגל ניתן לתאר באמצעות שלושה מספרים קוונטיים - מספר האנרגיה n {\displaystyle n} , מספר התנע הזוויתי ℓ {\displaystyle \ell } ומספר התנע הזוויתי בציר מסוים m {\displaystyle m} . המספר n {\displaystyle n} מקבל ערכים שלמים הגדולים מ-1, והאנרגיה מקיימת E n = 2 π 2 μ e 4 h 2 n 2 {\displaystyle E_{n}={\frac {2\pi ^{2}\mu e^{4}}{h^{2}n^{2}}}} , המספר ℓ {\displaystyle \ell } מקבל ערכים שלמים בין 0 {\displaystyle 0} ל- n − 1 {\displaystyle n-1} והתנע הזוויתי מקיים L 2 = ℏ 2 ℓ ( ℓ + 1 ) {\displaystyle L^{2}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)} והמספר m {\displaystyle m} מקבל ערכים שלמים בין − ℓ {\displaystyle -\ell } ל- ℓ {\displaystyle \ell } והתנע הזוויתי בציר שלו מקיים L z = ℏ m {\displaystyle L_{z}=\hbar m} . מצבים בהם המספר ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} נקראים מצבי S, מצבים בהם המספר ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} נקראים מצבי P ולאחר מכן מצבי D ו-F. לדוגמה המצב 2P של האטום הוא המצב בו n = 2 {\displaystyle n=2} ו- ℓ = 1 {\displaystyle \ell =1} . הפתרון שמתקבל לפי משוואת שרדינגר נותן את אותם רמות אנרגיה (עד כדי ההבדל בין המסה למסה המצומצמת) שנתקבלו ממודל האטום של בוהר. המספרים הקוונטיים ℓ {\displaystyle \ell } ו- m {\displaystyle m} לא משפיעים על האנרגיה של האטום כלל. ערך מורחב – המבנה הדק בשנת 1929 פיתח פול דיראק תיקונים יחסותיים למודל אטום המימן. תיקונים אלו כוללים: תיקון יחסותי לאיבר האנרגיה הקינטית - האנרגיה הקינטית בתורת היחסות הפרטית מקיימת E = p 2 + m e 2 c 4 ≈ m e c 2 + p 2 2 m e − p 4 2 m e 3 c 2 {\displaystyle E={\sqrt {p^{2}+m_{e}^{2}c^{4}}}\approx m_{e}c^{2}+{\frac {p^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {p^{4}}{2m_{e}^{3}c^{2}}}} ולא E = p 2 2 m e {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m_{e}}}} (ההזזה בקבוע m e c 2 {\displaystyle m_{e}c^{2}} לא משפיעה על ההפרשים בין רמות האנרגיה ולכן מיותרת) ההזזה הפרופורציונלית ל- p 4 {\displaystyle p^{4}} משנה את רמות האנרגיה של האטום. צימוד בין הספין לאורביטל - כאשר האלקטרון נע במהירות יחסותית בשדה חשמלי, ניתן לעבור למערכת היחוס של האלקטרון ולראות שבמערכת זו האלקטרון חש שדה מגנטי B = 1 c 2 v × ∇ V {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \nabla \mathbf {V} } . לאלקטרון יש מומנט מגנטי משלו המקיים M = e m e S {\displaystyle \mathbf {M} ={\frac {e}{m_{e}}}\mathbf {S} } כאשר והשדה המגנטי שהאלקטרון חש פועל על המומנט המגנטי שלו ומשנה את האנרגיה. איבר דרווין - בתיאוריה היחסותית, האינטראקציה בין האלקטרון לשדה החשמלי היא לגמרי לוקלית. כלומר פונקציית הגל בנקודה מסוימת מושפעת מהשדה רק בנקודה זו. בתיאוריה הלא יחסותית, האינטראקציה בין האלקטרון לשדה החשמלי מתקיימת ברדיוס בסדר גודל של אורך גל קומפטון של האלקטרון. מאחר שהשדה החשמלי משתנה מעט בסקלת אורך זו, ישנו תיקון קטן לאנרגיה הנובעים משינויים אלו. בגלל הסימטריה הכדורית של הפוטנציאל, התיקון קיים רק במרכז הפוטנציאל, ומשפיע רק על אלקטרונים שפונקציית הגל שלהם לא מתאפסת במרכז, כלומר רק על אלקטרונים באורביטל S. שלושת התיקונים הללו מרכיבים את המבנה הדק של אטום המימן, וגודלם ביחס לאנרגיה E n {\displaystyle E_{n}} מסוכם בנוסחה: Δ E n , J E n = 1 n 2 ( n J + 1 / 2 − 3 4 ) α 2 {\displaystyle {\frac {\Delta E_{n,J}}{E_{n}}}={\frac {1}{n^{2}}}\left({\frac {n}{J+1/2}}-{\frac {3}{4}}\right)\alpha ^{2}} . כאשר α ≈ 1 137 {\displaystyle \alpha \approx {\frac {1}{137}}} הוא קבוע המבנה הדק ו- J = | ℓ ± 1 / 2 | {\displaystyle J=|\ell \pm 1/2|} הוא מספר קוונטי המתאר את חיבור התנע הזוויתי בין הספין של האלקטרון לתנע הזוויתי של המסלול ℓ {\displaystyle \ell } . בפרט מתקבל שהמצב הקוונטי 2P מתפצלים לשני רמות אנרגיה, האחד בו J = 1 / 2 {\displaystyle J=1/2} (המסומן 2P1/2) והאחד בו J = 3 / 2 {\displaystyle J=3/2} (המסומן 2P3/2). בנוסף מאחר שהמספר הקוונטי ℓ {\displaystyle \ell } לא מופיע בנוסחה, מצופה שלמצבים 2P1/2 ו-2S1/2 תהיה בדיוק אותה אנרגיה. בשנת 1947 ויליס לם והסטודנט שלו רוברט רת'רפורד ערכו ניסוי באטומי מימן. במהלך הניסוי, הם לקחו אטומי מימן, והעבירו אותם ממצב היסוד 12S1/2 למצב המעורר 22S1/2. יחסי שימור מונעים מהמצב הזה לדעוך ישירות למצב היסוד, ולכן זמן החיים שלו ארוך יחסית. לם ועוזרו בנו גלאי שמאפשר לגלות את כמות האלקטרונים במצב מעורר. כעת לם העביר את האטומים באור רנטגן באורך גל ידוע בין המצב 22S1/2 למצב 22P3/2. אם הפרש האנרגיות במציאות היה מתאים למצופה אז חלק מהאטומים היו עוברים למצב 22P3/2 ודועכים ממנו למצב היסוד לפני שהספיקו להגיע לגלאי, ולכן כמות האטומים במצב מעורר שיתגלה בגלאי יהיה נמוך יותר. כשהניסוי בוצע, התברר שהתדירות של קרינת הרנטגן בה יש להעביר את האטומים שונה בכ-1000MHz מהתדירות החזויה לפי התחזית של דיראק בהתאם למבנה הדק. לעומת זאת, בניסוי דומה עם אטומים שעוררו למצב 22P1/2 התגלה שהתיאוריה של דיראק מתאימה לניסוי. כלומר הניסוי הראה הפרש אנרגיות בין המצב 2S1/2 למצב 2P1/2, שלא נחזה על ידי המבנה הדק. הפרש זה נקרא הסחת לם. כדי להסביר את הסחת לם, יש להשתמש בעובדה שכאשר אלקטרון נע, הוא מבצע אינטראקציה רציפה עם הריק האלקטרומגנטי. כלומר, בכל רגע בתנועת האלקטרון, הוא מסוגל לפלוט פוטון. האנרגיה של האלקטרון מושפעת מהיכולת הזו. העובדה שהאלקטרון יכול לבצע את האינטראקציה הזו הוצגה על ידי דיראק כבר ב-1927. הבעיה הגדולה בחישוב האינטראקציה הזו, היא שחישובים תאורטיים שלה נותנים תרומה אינסופית לאנרגיה של האלקטרון. במאמרו של בתה מ-1947 הוא טוען שעל התרומה האינסופית הזו ניתן להסתכל כתרומה למסה של האלקטרון, ולפיכך התרומה הזו נמדדת כבר בכל ניסוי בו נמדדת המסה של האלקטרון. בפרט, כאשר מנסים לחשב את התרומה של האינטראקציה עם השדה האלקטרומגנטי של הריק, ניתן להפחית מהחישוב את האינטראקציה של אלקטרון חופשי עם הריק. ביצוע החישוב בצורה כזו מביא לשינוי סופי באנרגיה של אורביטל s של האלקטרון, אך לא של אף אורביטל אחר, ובכך הוא מסביר את הסחת לם. בפועל, לחישוב של בתה יש להוסיף תיקון של כ-2% הנובע מהפולריזציה של הריק. בחלק זה יובא פיתוח של ההסבר התאורטי בהתאם למאמרו של בתה. בהסבר זה, הפיתוח נעשה באמצעות חישוב לא יחסותי של האינטראקציה, והתוצאה המתקבלת היא התבדרות לוגריתמית של האנרגיה, את ההתבדרות הזו קוטעים באמצעות הפעלת קטיעה באנרגיות יחסותיות. ההמילטוניאן של חלקיק בשדה אלקטרומגנטי הוא: H ^ = ( P − e c A ) 2 2 m + e ϕ + V ( r ) {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {(\mathbf {P} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+e\phi +V(\mathbf {r} )} בפרט, איבר האינטראקציה הוא: W ^ = − e 2 m c ( P A + A P ) {\displaystyle {\hat {W}}=-{\frac {e}{2mc}}(\mathbf {P} \mathbf {A} +\mathbf {A} \mathbf {P} )} כעת יש לחשב את האינטראקציה בין מצב ראשוני בו האלקטרון נע במצב m {\displaystyle m} בריק האלקטרומגנטי למצב סופי בו האלקטרון יכול לנוע באותו מצב או במצב אחר n {\displaystyle n} , והשדה האלקטרומגנטי מכיל פוטון יחיד בעל וקטור גל k → {\displaystyle {\vec {k}}} ופולריזציה σ {\displaystyle \sigma } . האופרטור A σ k → {\displaystyle \mathbf {A} _{\sigma {\vec {k}}}} פועל רק על השדה החשמלי ומתקיים: A ^ σ k → = ϵ σ k → 2 π c ℏ ∫ d 3 k 1 k ( a − k † + a k ) ⟹ < k → σ | A ^ σ k → | Ω >= ϵ σ k → i 2 π c ℏ k {\displaystyle {\hat {A}}_{\sigma {\vec {k}}}=\epsilon _{\sigma {\vec {k}}}{\sqrt {2\pi c\hbar }}\int d^{3}k{\frac {1}{\sqrt {k}}}\left(a_{-k}^{\dagger }+a_{k}\right)\implies <{\vec {k}}\sigma |{\hat {A}}_{\sigma {\vec {k}}}|\Omega >=\epsilon _{\sigma {\vec {k}}}i{\sqrt {\frac {2\pi c\hbar }{k}}}} האופרטור P {\displaystyle P} פועל על האלקטרון ונסמן P m n =< n | P | m > {\displaystyle P_{mn}=<n|P|m>} . בכך מספיק כדי לקבל שאלמנטי המטריצה < n , k → σ | W | m , Ω > {\displaystyle <n,{\vec {k}}\sigma |W|m,\Omega >} לא מתאפסים. לכן ניתן לחשב את ההשפעה של האינטראקציה בתורת הפרעות ולקבל שהשינו באנרגיה של המצב m {\displaystyle m} הוא: δ E = ∫ d 3 k ∑ n ∑ σ | < n , k → σ | W | m , Ω > | 2 E m − E n − h c k = K = h c k 2 e 2 3 π m e 2 ℏ c 3 ∫ K d K ∑ n | P m n | 2 E m − E n − K {\displaystyle \delta E=\int d^{3}k\sum _{n}\sum _{\sigma }{\frac {|<n,{\vec {k}}\sigma |W|m,\Omega >|^{2}}{E_{m}-E_{n}-hck}}=_{K=hck}{\frac {2e^{2}}{3\pi m_{e}^{2}\hbar c^{3}}}\int KdK\sum _{n}{\frac {|P_{mn}|^{2}}{E_{m}-E_{n}-K}}} כאשר חושבה הסכימה על הפולריזציה ו- K {\displaystyle K} היא האנרגיה של הפוטון בעל וקטור הגל k → {\displaystyle {\vec {k}}} . כאמור, האינטגרל בסעיף הקודם מתבדר באופן ליניאירי, ולכן חישוב של השינוי באנרגיה באמצעותו יביא לשינוי עצום באנרגיה של המצב, גם אם הגבול העליון של האינטגרל יוחלף מאינסוף לאנרגיה החופשית של האלקטרון m e c 2 {\displaystyle m_{e}c^{2}} . כדי לבטל את התרומה הזו, יש לשים לב לכך שעבור אלקטרון במצב m {\displaystyle m} שלא יכול לעבור למצב אחר n {\displaystyle n} ניתן לחשב באופן דומה את התרומה לאנרגיה מהאינטראקציה עם השדה האלקטרומגנטי של הריק. תרומה זו תיתן: δ E 0 = ∫ d 3 k ∑ σ | < m , k → σ | W | m , Ω > | 2 − h c k = K = h c k − 2 e 2 3 π m e 2 ℏ c 3 ∫ K d K | P m m | 2 K = − 2 e 2 3 π m e 2 ℏ c 3 ∫ d K ∑ n | P m n | 2 {\displaystyle \delta E_{0}=\int d^{3}k\sum _{\sigma }{\frac {|<m,{\vec {k}}\sigma |W|m,\Omega >|^{2}}{-hck}}=_{K=hck}-{\frac {2e^{2}}{3\pi m_{e}^{2}\hbar c^{3}}}\int KdK{\frac {|P_{mm}|^{2}}{K}}=-{\frac {2e^{2}}{3\pi m_{e}^{2}\hbar c^{3}}}\int dK\sum _{n}|P_{mn}|^{2}} התרומה הזו לאנרגיה של המצב, נכללת כבר בחישוב של המסה החופשית של האלקטרון כפי שהיא מתקבלת בניסוי. לכן, אם ברצוננו לחשב את התרומה לאנרגיה של הפוטון כתוצאה מהאינטראקציה עם הריק, עלינו להחסיר את התרומה הזו מהתרומה שחישבנו בסעיף הקודם. לכן התרומה שמתקבלת היא: δ E − δ E 0 = − 2 e 2 3 π m e 2 ℏ c 3 ∫ 0 K m a x d K ∑ n | P m n | 2 ( E n − E m ) E n + K − E m = 2 e 2 3 π ℏ c 3 m e 2 ∑ n | P m n | 2 ( E n − E m ) ln ⁡ K m a x | E n − E m | {\displaystyle \delta E-\delta E_{0}=-{\frac {2e^{2}}{3\pi m_{e}^{2}\hbar c^{3}}}\int _{0}^{K_{max}}dK\sum _{n}{\frac {|P_{mn}|^{2}(E_{n}-E_{m})}{E_{n}+K-E_{m}}}={\frac {2e^{2}}{3\pi \hbar c^{3}m_{e}^{2}}}\sum _{n}|P_{mn}|^{2}(E_{n}-E_{m})\ln {\frac {K_{max}}{|E_{n}-E_{m}|}}} כאשר K m a x ≈ m e c 2 {\displaystyle K_{max}\approx m_{e}c^{2}} היא האנרגיה החופשית של האלקטרון שמשמשמשת כערך קטיעה לאינטגרל. כעת נשאר רק לחשב את הסכום בסוגריים. מאחר 511 K e V ≈ K m a x >> | E n − E m | ≈ 13.6 e V {\displaystyle 511KeV\approx K_{max}>>|E_{n}-E_{m}|\approx 13.6eV} הלוגריתם כמעט קבוע לכל הערכים של n {\displaystyle n} . ולכן ניתן לחשב את הסכום: ∑ n | P m n | 2 ( E n − E m ) = 1 2 ℏ 2 ∫ ∇ 2 V ψ m 2 d V = 2 π ℏ 2 e 2 ψ m 2 ( 0 ) {\displaystyle \sum _{n}|P_{mn}|^{2}(E_{n}-E_{m})={\frac {1}{2}}\hbar ^{2}\int \nabla ^{2}V\psi _{m}^{2}dV=2\pi \hbar ^{2}e^{2}\psi _{m}^{2}(0)} מתוצאה זו מתקבל שהשינוי באנרגיה שונה מ-0 רק עבור ערכי המספר הקוונטי ℓ {\displaystyle \ell } השווים ל-0, כלומר רק עבור האורביטל s. חישוב של הסכום עבור האורביטל 2S1/2 נותן: δ E − δ E 0 = m e c 2 α 5 6 π ln ⁡ K m a x | E n − E 2 | = ln ⁡ K m a x | E n − E 2 | ⋅ 0.56 μ e V {\displaystyle \delta E-\delta E_{0}={\frac {m_{e}c^{2}\alpha ^{5}}{6\pi }}\ln {\frac {K_{max}}{|E_{n}-E_{2}|}}=\ln {\frac {K_{max}}{|E_{n}-E_{2}|}}\cdot 0.56\mu eV} את הלוגריתם ניתן לחשב באמצעות שימוש בהפרש האנרגיות הממוצע בין האנרגיה של האורביטל לאנרגיה של שאר האנרגיות האפשריות ושימוש ב- K m a x = m e c 2 {\displaystyle K_{max}=m_{e}c^{2}} . עבור האורביטל 2S1/2 מתקבל 7.36 והפרש אנרגיה של 4.3 μ e V {\displaystyle 4.3\mu eV} בקירוב רב לערך הנצפה בניסוי. הסחת לם היא הניסוי הראשון שכדי להסבירו באופן תאורטי נעשה שימוש בהחסרת איבר האנרגיה החופשית של החישוב והצבת קיטוע באנרגיות גבוהות על מנת לחשב את הערך המתקבל בניסוי. שיטות אלו פותחו לאחר החישוב על ידי מספר מדענים, הבולטים בהם הם טומונוגה, שווינגר ופיינמן, והובילו להולדת של תורת שדות קוונטיים מודרנית ובפרט של האלקטרודינמיקה הקוונטית. כאמור, החישוב המובא כאן לא לוקח באופן מלא את האופן היחסותי של התופעה, אבל גם חישוב שמבצע זאת עדיין סוטה מהתוצאה המתקבל בכ-2%. המקור לסטייה זו היא הפולריזציה של הריק - תופעה בה הפוטון הנע יוצר זוגות של אלקטרון ופוזיטרון וירטואליים, האלקטרון הווירטואלי נדחה מהאלקטרון האמיתי בעוד הפוזיטרון נמשך אליו ובכך האלקטרונים והפוזיטרונים הווירטואליים יוצרים מיסוך של המטען החשמלי של האלקטרון המקורי, בדומה למצב בתווך דיאלקטרי. חישוב מדויק של המיסוך הזה אפשרי באמצעות אלקטרודינמיקה קוונטית, והוספת האפקט הזה מביא להתאמה גבוהה של הניסוי והתיאוריה. ניתן להשתמש במדידות מדויקות של הסחת לם כדי לקבוע את קבוע המבנה הדק. שימוש זה נותן α−1 = 137.036 8 (7). כלומר ערך הקבוע נקבע על ידי המדידות ברמת דיוק של כאחד למיליון. מדידות מדויקות יותר מתבצעות היום באמצעות פקטור g של האלקטרון או רתיעה של אטומי רובידיום וצסיום. מדידות אלו מגיעות לדיוק של כעשר למיליארד, מה שהופך את האלקטרודינמיקה הקוונטית לתיאוריה הפיזיקלית המדויקת ביותר עד היום. מדיה וקבצים בנושא הסחת לם בוויקישיתוף Willis E. Lamb, Robert C. Retherford, Fine Structure of the Hydrogen Atom by a Microwave Method, Physical Review 72, 1947-08-01, עמ' 241–243 doi: 10.1103/PhysRev.72.241 H. A. Bethe, The Electromagnetic Shift of Energy Levels, Physical Review 72, 1947-08-15, עמ' 339–341 doi: 10.1103/PhysRev.72.339 ביחידות c.g.s בהן ϵ 0 = 1 4 π {\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }}} לאלקטרון יש ערך ספין עצמי, ועבור אטום המימן האלקטרון (היחיד) יכול לקבל שני ערכים. כדי לסמן זאת מסמנים את המצב כ-22P. המספר בכתב העילי הוא תמיד 2 עבור אטום המימן. Paul Adrien Maurice Dirac, Niels Henrik David Bohr, The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character 114, 1927-03-01, עמ' 243–265 doi: 10.1098/rspa.1927.0039 בחישוב יחסותי כזה, האנרגיה של האלקטרון מתבדרת אך רק באופן לוגריתמי. את ההתבדרות הלוגריתמית הזו ניתן לבטל עם גודל אינסופי אחר, או לקטוע באמצעים מלאכותיים כך שהמסה הנמדדת של האלקטרון היא סופית. בחישוב יחסותי מלא, ההתבדרות הלוגריתמית הזו מתבטלת עם ההתבדרות של המסה של האלקטרון ומתקבל גודל סופי. כאשר השתמשנו בכך ש- | P m m | 2 =< m | P | m >< m | P | m >= ∑ n < m | P | n >< n | m >< m | P | m >= ∑ n < m | P | n >< n | P | m >= ∑ n | P n m | 2 {\displaystyle |P_{mm}|^{2}=<m|P|m><m|P|m>=\sum _{n}<m|P|n><n|m><m|P|m>=\sum _{n}<m|P|n><n|P|m>=\sum _{n}|P_{nm}|^{2}} באמצעות ההחסרה של האיבר δ E 0 {\displaystyle \delta E_{0}} קיבלנו שהתרומה מתבדרת כמו ln ⁡ K m a x {\displaystyle \ln K_{max}} ולא כמו K m a x {\displaystyle K_{max}} . השונים מ- m {\displaystyle m} עצמו, אבל התרומה של m = n {\displaystyle m=n} היא אפס