התפלגות קושי

התפלגות קוֹשִי (Cauchy), על שם המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי, היא התפלגות רציפה בעלת חשיבות במתמטיקה ובמספר תחומים בפיזיקה. בקרב פיזיקאים ההתפלגות מכונה לעיתים פילוג לורנץ (Lorentz), פילוג ברייט-ויגנר (Breit-Wigner) או לורנציאן. התפלגות קושי מוגדרת כהתפלגות רציפה בעלת פונקציית צפיפות ההסתברות f ( x ; x 0 , γ ) = 1 π γ [ 1 + ( x − x 0 γ ) 2 ] = 1 π [ γ ( x − x 0 ) 2 + γ 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}} כאשר   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} הוא פרמטר מיקום, אשר קובע את החציון של ההתפלגות, ואילו   γ {\displaystyle \ \gamma } הוא פרמטר סקלה, אשר קובע את רוחב ההתפלגות ובהתאם את גובה הערכים. בגבול שבו γ → 0 {\displaystyle \gamma \rightarrow 0} נקבל את פונקציית הדלתא של דיראק. המקרה הפרטי של התפלגות קושי עם פרמטרים x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} ו γ = 1 {\displaystyle \gamma =1} נקרא התפלגות קושי סטנדרטית, עם צפיפות התפלגות f ( x ; 0 , 1 ) = 1 π ( 1 + x 2 ) {\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}} . תכונה יוצאת דופן של התפלגות קושי היא שהתוחלת והשונות שלה אינם מוגדרים, כמו גם המומנטים מסדר גבוה יותר. לעומת זאת, החציון והשכיח מוגדרים ושניהם שווים   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} . אם X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות שנדגמו מהתפלגות קושי סטנדרטית, ממוצע המדגם שלהם X ¯ = 1 n ∑ i X i {\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i}X_{i}} מתפלג קושי סטנדרטית. בפרט, הממוצע אינו מתכנס לתוחלת, ואכן התפלגות קושי אינה מקיימת את חוק המספרים הגדולים. ההוכחה של תכונה זו אפשרית על ידי אינטגרציה של פונקציית צפיפות ההסתברות או על ידי שימוש בפונקציה האופיינית של התפלגות קושי הסטנדרטית: φ X ( t ) = E ⁡ [ e i X t ] = e − | t | {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=e^{-|t|}} עבור סכום הדגימות מקבלים φ ∑ i X i ( t ) = e − n | t | {\displaystyle \varphi _{\sum _{i}X_{i}}(t)=e^{-n|t|}} כלומר X ¯ {\displaystyle {\bar {X}}} הוא משתנה מקרי בעל התפלגות קושי סטנדרטית. באופן כללי יותר, אם X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} הם משתנים בלתי-תלויים בעלי התפלגות קושי עם פרמטרי מיקום x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} ופרמטרי סקלה γ 1 , … , γ n {\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{n}} ו a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} הם מספרים ממשיים אזי ∑ i a i X i {\displaystyle \sum _{i}a_{i}X_{i}} מתפלג קושי עם פרמטר מיקום ∑ i a i x i {\displaystyle \sum _{i}a_{i}x_{i}} וסקאלה ∑ i | a i | γ i {\displaystyle \sum _{i}|a_{i}|\gamma _{i}} . כלומר חוק המספרים הגדולים אינו מתקיים עבור סכום משוקלל של משתני קושי בלתי תלויים. יהי X {\displaystyle X} משתנה מקרי המתפלג קושי. הפונקציה האופיינית של התפלגות קושי ניתנת על ידי φ X ( t ) = E ⁡ [ e i X t ] = ∫ − ∞ ∞ f ( x ; x 0 , γ ) e i x t d x = e i x 0 t − γ | t | {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{iXt}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )e^{ixt}\,dx=e^{ix_{0}t-\gamma |t|}} שאינו אלא טרנספורם פורייה של צפיפות ההסתברות. באופן דומה ניתן להביע את פונקציית צפיפות ההסתברות במונחי הפונקציה האופיינית על ידי טרנספורם פורייה ההפוך f ( x ; x 0 , γ ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ φ X ( t ; x 0 , γ ) e − i x t d t {\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t;x_{0},\gamma )e^{-ixt}\,dt\!} . המומנט ה-n של ההתפלגות מתקבל מהצבת t = 0 {\displaystyle t=0} בנגזרת ה-n של הפונקציה האופיינית. יש לשים לב כי הפונקציה האופיינית אינה גזירה בראשית, ואכן המומנטים של התפלגות קושי אינם מוגדרים פרט למומנט האפס. ניתן להביא את דיברגנץ קולבק-לייבלר בין שתי התפלגויות קושי עם פרמטרים x 0 , 1 , γ 1 {\displaystyle x_{0,1},\gamma _{1}} ו x 0 , 2 , γ 2 {\displaystyle x_{0,2},\gamma _{2}} כנוסחה סגורה סימטרית: K L ( p x 0 , 1 , γ 1 : p x 0 , 2 , γ 2 ) = log ⁡ ( γ 1 + γ 2 ) 2 + ( x 0 , 1 − x 0 , 2 ) 2 4 γ 1 γ 2 {\displaystyle \mathrm {KL} \left(p_{x_{0,1},\gamma _{1}}:p_{x_{0,2},\gamma _{2}}\right)=\log {\frac {\left(\gamma _{1}+\gamma _{2}\right)^{2}+\left(x_{0,1}-x_{0,2}\right)^{2}}{4\gamma _{1}\gamma _{2}}}} . האנטרופיה הדיפרנציאלית של התפלגות קושי נתונה על ידי H ( γ ) = − ∫ − ∞ ∞ f ( x ; x 0 , γ ) log ⁡ ( f ( x ; x 0 , γ ) ) d x = log ⁡ ( 4 π γ ) {\displaystyle {\begin{aligned}H(\gamma )&=-\int _{-\infty }^{\infty }f(x;x_{0},\gamma )\log(f(x;x_{0},\gamma ))\,dx\\[6pt]&=\log(4\pi \gamma )\end{aligned}}} הנגזרת של פונקציית השברונים של התפלגות קושי היא Q ′ ( p ; γ ) = γ π sec 2 [ π ( p − 1 2 ) ] {\displaystyle Q'(p;\gamma )=\gamma \,\pi \,{\sec }^{2}\left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]} . ניתן להגדיר את האנטרופיה של התפלגות במונחים של פונקציית השברונים שלה. באופן ספציפי H ( γ ) = ∫ 0 1 log ( Q ′ ( p ; γ ) ) d p = log ⁡ ( 4 π γ ) {\displaystyle H(\gamma )=\int _{0}^{1}\log \,(Q'(p;\gamma ))\,\mathrm {d} p=\log(4\pi \gamma )} . אם עומדים מול קו ובועטים כדור לעבר הקו בזווית אקראית המתפלגת באופן אחיד בין 90- ל 90+ מעלות, ההתפלגות של הנקודה שבה פוגע הכדור בקו היא התפלגות קושי. באופן פורמלי, תהי נקודה ( x 0 , γ ) {\displaystyle (x_{0},\gamma )} במישור x-y. נבחר קו העובר דרך הנקודה, כך שהזווית שלו ביחס לציר x {\displaystyle x} נבחרת באופן באופן אחיד (בין 90°- ל 90°+) באקראי. נקודת החיתוך של הישר עם ציר x {\displaystyle x} הוא מתפלגת קושי עם פרמטר מיקום x 0 {\displaystyle x_{0}} ופרמטר סקאלה γ {\displaystyle \gamma } . הגדרה זו נותנת דרך פשוטה לדגום מהתפלגות קושי סטנדרטית. תהי u {\displaystyle u} דגימה מהתפלגות אחידה רציפה מהקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . אזי ניתן ליצור דגימה x {\displaystyle x} מהתפלגות קושי סטנדרטית על ידי x = tan ⁡ ( π ( u − 1 2 ) ) {\displaystyle x=\tan \left(\pi (u-{\frac {1}{2}})\right)} . לחילופין, אם U {\displaystyle U} ו V {\displaystyle V} הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1 אז המנה U / V {\displaystyle U/V} מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית. ובאופן כללי, אם ל- ( U , V ) {\displaystyle (U,V)} סימטריה סיבובית במישור סביב ראשית הצירים, אזי המנה U / V {\displaystyle U/V} מתפלגת התפלגות קושי סטנדרטית. פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות קושי היא f ( x ; x 0 , γ ) = 1 π γ [ 1 + ( x − x 0 γ ) 2 ] = 1 π [ γ ( x − x 0 ) 2 + γ 2 ] {\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]} כאשר x 0 {\displaystyle x_{0}} הוא פרמטר המיקום (והשכיח של ההתפלגות) ו γ {\displaystyle \gamma } הוא פרמטר הסקאלה. 2 γ {\displaystyle 2\gamma } הוא רוחב חצי המקסימום (FWHM) של התפלגות קושי. אוגוסטן לואי קושי השתמש בפונקציית צפיפות כזו עם פרמטר קנה מידה אינפיניטסימלי, והגדיר את מה שמכונה כעת פונקציית דלתא של דיראק. פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות קושי היא F ( x ; x 0 , γ ) = 1 π arctan ⁡ ( x − x 0 γ ) + 1 2 {\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}} ופונקציית השברונים (הפונקציה ההופכית לה) היא Q ( p ; x 0 , γ ) = x 0 + γ tan ⁡ [ π ( p − 1 2 ) ] {\displaystyle Q(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right]} . הרבעון הראשון והשלישי הם ( x 0 − γ , x 0 + γ ) {\displaystyle (x_{0}-\gamma ,x_{0}+\gamma )} , ומכאן 2 γ {\displaystyle 2\gamma } הוא הטווח הבין-רבעוני של ההתפלגות. התפלגות קושי סטנדרטית היא התפלגות t עם דרגת חופש אחת, כך שניתן לבנותה בכל שיטה שבה משתמשים לבניית התפלגות t. מדיה וקבצים בנושא התפלגות קושי בוויקישיתוף התפלגות קושי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) התפלגות קושי, באתר MathWorld (באנגלית) התפלגות קושי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Riley, Ken F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (2006). Mathematical Methods for Physics and Engineering (3 ed.). Cambridge, UK: Cambridge University Press. pp. 1333. ISBN 978-0-511-16842-0. Balakrishnan, N.; Nevrozov, V. B. (2003). A Primer on Statistical Distributions (1 ed.). Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc. pp. 305. ISBN 0-471-42798-5. Frederic, Chyzak; Nielsen, Frank (2019). "A closed-form formula for the Kullback-Leibler divergence between Cauchy distributions". arXiv:1905.10965 [cs.IT]. Vasicek, Oldrich (1976). "A Test for Normality Based on Sample Entropy". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 38 (1): 54–59. doi:10.1111/j.2517-6161.1976.tb01566.x. N. L. Johnson; S. Kotz; N. Balakrishnan (1994). Continuous Univariate Distributions, Volume 1. New York: Wiley., Chapter 16. Feller, William (1971). An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II (2 ed.). New York: John Wiley & Sons Inc. pp. 704. ISBN 978-0-471-25709-7. Rui Li, Saralees Nadarajah, A review of Student’s t distribution and its generalizations, Empirical Economics 58, 2020-03-01, עמ' 1461–1490 doi: 10.1007/s00181-018-1570-0