משפט התלתן

משפט התלתן או incenter–excenter lemma הוא משפט בתחום הגאומטריה האוקלידית במתמטיקה. עבור ABC משולש אקראי, יהי I מרכז המעגל החסום שלו ויהי S נקודת החיתוך של חוצה הזווית של A ושל המעגל החוסם. אזי, B,I,C כולן במרחק שווה מ-S. באופן שקול: יש מעגל שמרכזו S שעובר דרך B,I,C. המשולשים BIS, BCS, CIS כולם שווי שוקיים עם קודקוד ראש ב-S. גרסה חזקה יותר של המשפט אומרת כי גם IA, מרכז המעגל החסום מבחוץ מהצד של A, נמצא על אותו מעגל. אפשר להתבונן במשולש B I S {\displaystyle BIS} ולחשב את זוויותיו, שכן צריך להראות שהוא שווה-שוקיים. I {\displaystyle I} הוא מפגש חוצי זוויות. נסמן את זוויות המשולש ב- 2 α , 2 β , 2 γ {\displaystyle 2\alpha ,2\beta ,2\gamma } . ∠ I B C = β {\displaystyle \angle IBC=\beta } מכך ש- B I {\displaystyle BI} חוצה זווית, מאחר ש- ∠ S B C = ∠ S A C = α {\displaystyle \angle SBC=\angle SAC=\alpha } , נקבל ש ∠ S B I = ∠ S B C + ∠ C B I = α + β {\displaystyle \angle SBI=\angle SBC+\angle CBI=\alpha +\beta } . בנוסף, ∠ I S B = ∠ A S B = ∠ A C B = 2 γ {\displaystyle \angle ISB=\angle ASB=\angle ACB=2\gamma } . מאחר שסכום הזוויות במשולש הוא 180, ∠ B I S = 180 − ∠ S B I − ∠ I S B = ( 2 α + 2 β + 2 γ ) − ( α + β ) − 2 γ = α + β = ∠ S B I {\displaystyle \angle BIS=180-\angle SBI-\angle ISB=(2\alpha +2\beta +2\gamma )-(\alpha +\beta )-2\gamma =\alpha +\beta =\angle SBI} ולכן משולש B I S {\displaystyle BIS} שווה-שוקיים. בצורה סימטרית, ניתן להוכיח ש- C I S {\displaystyle CIS} שווה-שוקיים ועל כן סיימנו. הוכחה זו תוכיח גם את כך ש- I A {\displaystyle I_{A}} , מרכז המעגל החסום מבחוץ, נמצא על המעגל. נקודה זו היא חיתוך חוצי הזוויות החיצוניים של ∠ B , ∠ C {\displaystyle \angle B,\angle C} וחוצה הזווית הפנימי של ∠ A {\displaystyle \angle A} . נשים לב שמפני ש- ∠ B A S = ∠ C A S {\displaystyle \angle BAS=\angle CAS} , נקבל כי B S = C S {\displaystyle BS=CS} . לכן S {\displaystyle S} היא חיתוך האנך האמצעי של B C {\displaystyle BC} וחוצה הזווית של ∠ A {\displaystyle \angle A} . חוצה זווית פנימי וחוצה זווית חיצוני מאונכים זה לזה, מה שאומר ש- ∠ I A B I = 90 = ∠ I A C I {\displaystyle \angle I_{A}BI=90=\angle I_{A}CI} . בגלל משפט תאלס השני, זה אומר שהמעגל שקוטרו I I A {\displaystyle II_{A}} עובר דרך B {\displaystyle B} ו- C {\displaystyle C} . מרכז מעגל זה צריך להיות על ישר I I A {\displaystyle II_{A}} (שכן הוא קוטר) וגם על האנך האמצעי של B C {\displaystyle BC} שכן אלו נקודות על המעגל. חיתוך שני הישרים האלו הוא S {\displaystyle S} ולכן הוכחנו שיש מעגל שמרכזו S {\displaystyle S} שעובר דרך I , B , C , I A {\displaystyle I,B,C,I_{A}} . למשפט ישנה גרסה נוספת, שכדי להוכיחה אפשר לקחת אחת מההוכחות הקודמות ולשנות בהתאם. נגדיר את N בתור חיתוך חוצה הזווית החיצוני של A והמעגל. הגרסה השנייה של המשפט אומרת כי יש מעגל שמרכזו N ושעובר דרך B,C,IB,IC. בדרך כלל, קוראים לנקודות N,S בשמות האלה מכיוון שאם ישר BC הוא אופקי ו-A מעליו, S היא הנקודה הכי דרומית במעגל (South באנגלית) ו-N היא הנקודה הכי צפונית במעגל (North באנגלית). בהינתן קודקוד אחד A, מרכז המעגל החסום I ומרכז המעגל החוסם O ניתן לבנות את המשולש ABC, באמצעות שימוש במשפט התלתן. הבניה היא כדלקמן: בונים את המעגל החוסם כמעגל שמרכזו O ושעובר דרך A הנקודה S נבנית על ידי חיתוך AI עם המעגל החוסם מעבירים מעגל עם מרכז S שעובר דרך I נקודות B,C הן שתי נקודות החיתוך של המעגל עם המעגל החוסם. תהליך זה יכול להיכשל עבור A,O,I כלשהם, אם AI משיק למעגל החוסם או מפני שלשני המעגלים אין שתי נקודות חיתוך. תהליך זה גם יכול ליצור משולש בו הנקודה I היא מרכז מעגל החסום מבחוץ. במצבים אלו, לא קיים משולש עם A כקודקוד, I כמרכז המעגל החסום ו-O כמרכז המעגל החוסם. מעגל חסום משפט חוצה הזווית מדיה וקבצים בנושא משפט התלתן בוויקישיתוף מעגלים חסומים מבפנים ומבחוץ, באתר MathWorld (באנגלית) כלומר הלֶמה (משפט עזר) של מרכזי המעגל החסום והמעגל החוסם. Yiu, Paul (2012), "Conic construction of a triangle from its incenter, nine-point center, and a vertex" (PDF), Journal for Geometry and Graphics, 16 (2): 171–183, MR 3088369