קומפלקס שרשרת

במתמטיקה, ובפרט באלגברה הומולוגית, קומפלקס שרשרת (או קומפלקס) הוא אמצעי אלגברי, אשר מקורו בטופולוגיה אלגברית. במקור הוא איפשר לבטא את הקשר האלגברי בין ציקלוסים ושפות של מרחב כלשהו. באופן כללי יותר, אלגברה הומולוגית עוסקת בעיקר בחקר של קומפלקסים בצורה אבסטרקטית, ללא קשר גאומטרי או טופולוגי מפורש. השימוש העיקרי של קומפלקסים הוא על מנת להגדיר חבורות הומולוגיה (או קוהומולוגיה עבור קומפלקסי קו־שרשראות). קומפלקס שרשרת ( A ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (A_{\bullet },\partial _{\bullet })} הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... A-2, A-1, A0, A1, A2, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים (הנקראים אופרטורי שפה) ∂ n : A n → A n − 1 {\displaystyle \partial _{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}} כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל־0: ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0 {\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0} לכל n. בדרך כלל נרשם קומפלקס בדרך הבאה: ⋯ → A n + 1 ∂ n + 1 → A n ∂ n → A n − 1 ∂ n − 1 → A n − 2 → ⋯ → A 2 ∂ 2 → A 1 ∂ 1 → A 0 ∂ 0 → A − 1 ∂ − 1 → A − 2 ∂ − 2 → ⋯ {\displaystyle \cdots \to A_{n+1}{\begin{matrix}\partial _{n+1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\partial _{n}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-1}{\begin{matrix}\partial _{n-1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n-2}\to \cdots \to A_{2}{\begin{matrix}\partial _{2}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}\partial _{1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}\partial _{0}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{-1}{\begin{matrix}\partial _{-1}\\\to \\\,\end{matrix}}A_{-2}{\begin{matrix}\partial _{-2}\\\to \\\,\end{matrix}}\cdots } הגדרה קרובה להגדרה זו היא של קומפלקס קו־שרשרת. קומפלקס קו־שרשרת ( A ∙ , ∂ ∙ ) {\displaystyle (A^{\bullet },\partial ^{\bullet })} הוא סדרה של חבורות אבליות או מודולים ... A-2, A-1, A0, A1, A2, ... המקושרים על ידי הומומורפיזמים ∂ n ∙ : A n → A n + 1 {\displaystyle \partial _{n}^{\bullet }:A_{n}\rightarrow A_{n+1}} , כך שההרכבה של כל שני הומומורפיזמים עוקבים היא 0: ∂ n + 1 ∙ ∘ ∂ n ∙ = 0 {\displaystyle \partial _{n+1}^{\bullet }\circ \partial _{n}^{\bullet }=0} לכל n. בדרך כלל נרשם קומפלקס קו־שרשרת בדרך הבאה: ⋯ → A − 2 ∂ − 2 ∙ → A − 1 ∂ 1 ∙ → A 0 ∂ 0 ∙ → A 1 ∂ 1 ∙ → A 2 → ⋯ → A n − 1 ∂ n − 1 ∙ → A n ∂ n ∙ → A n + 1 → ⋯ . {\displaystyle \cdots \to A_{-2}{\begin{matrix}\partial _{-2}^{\bullet }\\\to \\\,\end{matrix}}A_{-1}{\begin{matrix}\partial _{1}^{\bullet }\\\to \\\,\end{matrix}}A_{0}{\begin{matrix}\partial _{0}^{\bullet }\\\to \\\,\end{matrix}}A_{1}{\begin{matrix}\partial _{1}^{\bullet }\\\to \\\,\end{matrix}}A_{2}\to \cdots \to A_{n-1}{\begin{matrix}\partial _{n-1}^{\bullet }\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n}{\begin{matrix}\partial _{n}^{\bullet }\\\to \\\,\end{matrix}}A_{n+1}\to \cdots .} הרעיון בשני המקרים זהה, וההבדל הוא פשוט כיוון ההתקדמות של החצים. בשני המקרים האינדקס i ב־Ai נקרא דרגה. קומפלקס שרשרת חסום הוא קומפלקס שרשרת בו כמעט לכל i (כלומר, פרט למספר סופי) מתקיים ש־Ai שווה ל־0. קומפלקס סופי ניתן להמשכה שמאלה וימינה על ידי אפסים. בדומה, קומפלקס שרשרת חסום מלמעלה הוא קומפלקס שרשרת כך שקיים n כך שלכל i>n מתקיים ש־Ai שווה ל־0. קומפלקס שרשרת חסום מלמטה מוגדר באופן דומה. אם נשמיט את האינדקסים, הקשר הטבעי על ∂ {\displaystyle \partial } ניתן לניסוח על ידי: ∂ 2 = 0 {\displaystyle \partial ^{2}=0} . התמונה של ∂ {\displaystyle \partial } היא חבורת השפות, או בקומפלקס קו־שרשרת – חבורת הקו־שפות. הגרעין של ∂ {\displaystyle \partial } נקרא חבורת הציקלוסים, או במקרה של קומפלקס קו־שרשרת – חבורת הקו־ציקלוסים. מכיוון ש־ ∂ 2 = 0 {\displaystyle \partial ^{2}=0} הרי שחבורת השפות היא תת חבורה של חבורת הציקלוסים. כל סדרה מדויקת היא קומפלקס שרשרת, משום שבסדרה מדויקת התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם הבא אחריו, ובפרט ההרכבה של שני הומומורפיזמים עוקבים שווה ל־0. אלגברה הומולוגית סדרה מדויקת הומולוגיה (טופולוגיה אלגברית) מדיה וקבצים בנושא קומפלקס שרשרת בוויקישיתוף קומפלקס שרשרת, באתר MathWorld (באנגלית)