שדה המספרים הממשיים

שדה המספרים הממשיים (או: השדה הממשי) הוא השדה הסדור היחיד שהוא שדה סדור שלם. אברי השדה הזה הם המספרים הממשיים. מקובל לסמן אותו באות R {\displaystyle \mathbb {R} } . אפשר לזהות את שדה המספרים הממשיים עם הישר האינסופי, הנקרא משום כך "הישר הממשי". זיהוי זה מוביל לקואורדינטות הקרטזיות של המישור, ומאפשר לתאר ולפתור בעיות גאומטריות באמצעים אנליטיים, כלומר גאומטריה אנליטית. השדה הממשי הוא שדה סדור. ככזה, הוא שדה סדור שלם: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון (תכונה זו מכונה לעיתים "אקסיומת החסם העליון"); שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור היחיד המקיים את אקסיומת החסם העליון. מאקסיומת החסם העליון נובע שהשדה הוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה המוגדרת על ידי הערך המוחלט, וגם שהוא ארכימדי, תכונה המייחדת אותו בין כל השדות הסדורים השלמים. עבור שדות סדורים, אקסיומת החסם העליון שקולה לשילוב של ארכימדיות ושלמות במובן של סדרות. לכן השדה הממשי הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא שלם במובן של סדרות. זהו גם השדה הארכימדי הגדול ביותר: כל שדה סדור ארכימדי מוכל בממשיים. עוצמת קבוצת המספרים הממשיים מכונה עוצמת הרצף, ונהוג לסמנה בסימונים | R | {\displaystyle |\mathbb {R} |} , ℵ {\displaystyle \aleph } , c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} או ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}} . גאורג קנטור הוכיח באמצעות שיטת האלכסון של קנטור כי השדה אינו בן מניה. למעשה, עוצמת שדה הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים - 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} . הסיבה לכך היא שעוצמת שדה הממשיים שווה לעוצמת הקטע הפתוח ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} , וזו שווה ל- 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} על ידי ההצגה הבינארית של כל מספר ממשי בקטע. ערך מורחב – בניית המספרים הממשיים השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר שהמספרים הרציונליים אינם מספיקים לצרכים גאומטריים, למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו מספר רציונלי (ראה פיתגוראים). עד סוף המאה ה-19 חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים בהתאמה חד-חד ערכית עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד התיאור האלגברי של הגאומטריה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות (על ידי דקארט). זו גם הסיבה מדוע לעיתים קרובות שדה זה נקרא בשם הישר הממשי. יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה. כאמור, ניתן להגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים. לסדרת קושי יש משמעות רק במסגרת של מרחב מטרי, ובבנייה זו נשתמש במספרים הרציונליים, Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , ובמטריקה d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} (כאשר הקווים האנכיים מציינים ערך מוחלט). תהי R {\displaystyle R} קבוצת כל סדרות קושי ב- Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס. זהו יחס שקילות. על קבוצת המנה של היחס מגדירים חיבור וכפל באמצעות חיבור וכפל של נציגים (היינו סדרות קושי) איבר-איבר. הפעולות מוגדרות היטב, ומקיימות את כל אקסיומות השדה, כאשר איבר האפס ואיבר היחידה הם המחלקות של הסדרות הקבועות (0) ו-(1). באותה דרך אפשר להתאים לכל מספר רציונלי q את מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה (q), וכך משוכן שדה המספרים הרציונליים בקבוצת המנה. יחס הסדר מוגדר כך: [ { x n } n = 1 ∞ ] < [ { y n } n = 1 ∞ ] {\displaystyle [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]} אם ורק אם קיים r>0 וקיים N {\displaystyle N} טבעי כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} טבעי מתקיים x n < y n − r {\displaystyle x_{n}<y_{n}-r} . הגדרה זו אינה תלויה בנציגים, ואיתה הופכת קבוצת המנה לשדה סדור. השדה הזה מקיים את אקסיומת החסם העליון. הוכחה. תהי S {\displaystyle S} תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי u {\displaystyle u} . נגדיר u 1 {\displaystyle u_{1}} כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ- u {\displaystyle u} (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש- S {\displaystyle S} אינה ריקה, קיים מספר רציונלי l 1 {\displaystyle l_{1}} שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי S {\displaystyle S} . כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם a n = u n + l n 2 {\displaystyle a_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}} חסם מלעיל אז u n + 1 = a n {\displaystyle u_{n+1}=a_{n}} ו- l n + 1 = l n {\displaystyle l_{n+1}=l_{n}} , אם הוא אינו חסם מלעיל אז l n + 1 = a n {\displaystyle l_{n+1}=a_{n}} ו- u n + 1 = u n {\displaystyle u_{n+1}=u_{n}} . קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב- r {\displaystyle r} . קל להראות באינדוקציה כי לכל n {\displaystyle n} טבעי u n {\displaystyle u_{n}} חסם מלעיל ל- S {\displaystyle S} בעוד ש- l n {\displaystyle l_{n}} לא, מעובדה זו נובע כי r {\displaystyle r} חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי t {\displaystyle t} מקיים t < r {\displaystyle t<r} , אז קיים n 0 {\displaystyle n_{0}} טבעי עבורו t < l n 0 {\displaystyle t<l_{n_{0}}} , ומכיוון ש- { l n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{l_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מונוטונית עולה נקבל כי לכל n ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} גם מתקיים t < l n {\displaystyle t<l_{n}} , אך ראינו כבר ש- l n {\displaystyle l_{n}} אינו חסם מלעיל ולכן t {\displaystyle t} שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל. חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה A {\displaystyle A} המקיימת: ∅ ⊂ A ⊂ Q {\displaystyle \emptyset \subset A\subset \mathbb {Q} } לכל x ∈ A {\displaystyle x\in A} וגם y < x {\displaystyle y<x} , מתקיים y ∈ A {\displaystyle y\in A} ל A {\displaystyle A} אין מקסימום: לא קיים x ∈ A {\displaystyle x\in A} כך שלכל y ∈ A {\displaystyle y\in A} מתקיים y ≤ x {\displaystyle y\leq x} . כל חתך ייצג מספר ממשי (שהוא הסופרמום שלו). לכל מספר רציונלי q {\displaystyle q} , החתך { x : x < q } {\displaystyle \{x:x<q\}} הוא החתך המייצג את q {\displaystyle q} . את קבוצת חתכי דדקינד נסמן R {\displaystyle \mathbb {R} } . יחס הסדר על קבוצת החתכים מוגדר לפי A ≤ B ⇔ A ⊆ B {\displaystyle A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B} . פעולת החיבור מוגדרת לפי A + B = { x + y | x ∈ A ∧ y ∈ B } {\displaystyle A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}} . לכל חתך קיים נגדי ביחס לחיבור, − A = { x − y | x < 0 ∧ y ∈ A c } {\displaystyle -A=\{x-y|x<0\land y\in A^{c}\}} . כעת נגדיר את הכפל. עבור A , B ≥ 0 {\displaystyle A,B\geq 0} , נגדיר A ⋅ B = { x ⋅ y | x ∈ A ∖ 0 ∧ y ∈ B ∖ 0 } ∪ 0 {\displaystyle A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0} . אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר A ⋅ B = − ( A ⋅ − B ) = − ( − A ⋅ B ) = − A ⋅ − B {\displaystyle A\cdot B=-(A\cdot -B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot -B} . גם כאן מתקבל שדה סדור. נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} } קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר M = ⋃ A ∈ S A {\displaystyle M=\bigcup _{A\in S}A} . אז M הוא חתך, שהוא החסם העליון של S {\displaystyle S} . כאמור לעיל, כל שני שדות סדורים שלמים הם איזומורפיים זה לזה, ולכן גם שתי הבניות לעיל מתארות, גם אם בדרכים שונות, את אותו אובייקט. שדה המספרים הממשיים, באתר MathWorld (באנגלית)