מטריצה נילפוטנטית

במתמטיקה, מטריצה נילפוטנטית היא מטריצה ריבועית M {\displaystyle M} כך ש- M q = 0 {\displaystyle M^{q}=0\,} עבור q {\displaystyle q} שלם חיובי כלשהו. באופן דומה, העתקה נילפוטנטית היא העתקה ליניארית L {\displaystyle L} כך ש- L q = 0 {\displaystyle L^{q}=0\,} עבור q {\displaystyle q} שלם חיובי כלשהו. אלו מקרים פרטיים של מושג הנילפוטנטיות, המוגדר בכל חוג: מטריצה נילפוטנטית אינה אלא איבר נילפוטנטי באלגברת המטריצות. המטריצה מהצורה הבאה: [ 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}} היא דוגמה למטריצה נילפוטנטית מסדר 4×4. במטריצה זו לאלכסון האחדים יש את התכונה הבאה: N 2 = [ 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ;   N 3 = [ 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ;   N 4 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle N^{2}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ N^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.} האלכסון 'נע' באלכסון למעלה, עד שנותרת מטריצת אפסים. ההעתקה המתאימה למטריצה הנ"ל, L : R 4 → R 4 {\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}} מוגדרת על ידי: L ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x 2 , x 3 , x 4 , 0 ) . {\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{2},x_{3},x_{4},0).} מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה הוא λ n {\displaystyle \lambda ^{n}} . משום כך, מטריצה היא נילפוטנטית אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים (תכונה המתקיימת ממילא מעל שדה סגור אלגברית), וכל הערכים העצמיים הם אפס. תהי M {\displaystyle M} מטריצה נילפוטנטית ריבועית מסדר n {\displaystyle n} , אזי מתקיימות התכונות הבאות: השלם הקטן ביותר q {\displaystyle q} המקיים M q = 0 {\displaystyle M^{q}=0\,} (אינדקס הנילפוטנטיות) קטן או שווה ל- n {\displaystyle n} . הדטרמיננטה והעקבה של M {\displaystyle M} הן אפס. מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית. המטריצה I − M {\displaystyle I-M} היא הפיכה, שכן ( I − M ) ( I + M + M 2 + … + M q − 1 ) = I − M q = I {\displaystyle (I-M)(I+M+M^{2}+\ldots +M^{q-1})=I-M^{q}=I} . משפט: כל מטריצה נילפוטנטית דומה למטריצת הבלוקים האלכסונית הבאה: [ N 1 0 0 … 0 0 N 2 0 … 0 0 0 N 3 … 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 … N k ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{1}&0&0&\ldots &0\\0&N_{2}&0&\ldots &0\\0&0&N_{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &N_{k}\end{bmatrix}}} כך שכל בלוק N i {\displaystyle N_{i}} הוא מהצורה הבאה: N i = [ 0 1 0 … 0 0 0 0 1 … 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 0 0 … 1 0 0 0 0 … 0 1 0 0 0 … 0 0 ] . {\displaystyle N_{i}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0&0\\0&0&1&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1&0\\0&0&0&\ldots &0&1\\0&0&0&\ldots &0&0\end{bmatrix}}.} כלומר, מכיל אחדים מעל האלכסון הראשי, ואפסים בכל שאר המקומות. משפט זה נובע מצורת ז'ורדן, בצירוף עם המשפט הקובע כי כל מטריצה הדומה למטריצה נילפוטנטית היא מטריצה נילפוטנטית. העתקה נילפוטנטית L {\displaystyle L} על המרחב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} מגדירה את תתי המרחבים הבאים: { 0 } ⊂ ker ⁡ L ⊂ ker ⁡ L 2 ⊂ … ⊂ ker ⁡ L q − 1 ⊂ ker ⁡ L q = U {\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=U} ואת הסיגנטורות הבאות: 0 = n 0 < n 1 < n 2 < … < n q − 1 < n q = n , n i = dim ⁡ ker ⁡ N i . {\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker N^{i}.} הסיגנטורה מאפיינת את L {\displaystyle L} לכדי העתקה ליניארית, וכן מקיימת את האי-שוויונות הבאים: ∀ j = 1 , … , q − 1 : n j + 1 − n j ≤ n j − n j − 1 {\displaystyle \forall j=1,\ldots ,q-1:n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1}} . מטריצה נילפוטנטית, באתר MathWorld (באנגלית) מטריצה נילפוטנטית והעתקה נילפוטנטית באתר PlanetMath (באנגלית)