פילוסופיה של המתמטיקה

הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהנחות היסוד של המתמטיקה ובמשמעותה של המתמטיקה. הפילוסופיה של המתמטיקה מנסה לתת תשובות לשאלות כגון: "האם המתמטיקה היא תגלית או המצאה?" "מדוע המתמטיקה שימושית בתיאור היקום?" "באיזה מובן, אם בכלל, ישויות בסיסיות של המתמטיקה, כמו מספרים, קיימות?" "האם משפטים מתמטיים נכונים ובאיזה אופן?" כמה פילוסופים של המתמטיקה רואים את תפקידם כתיאור של המצב של המתמטיקה כפי שהיא, כפירוש ולא כביקורת. אך לביקורת יכולה להיות השפעה ממשית על המחקר המתמטי, ולפיכך הפילוסופיה של המתמטיקה יכולה להיות משמעותית ביותר עבור מתמטיקאים בפועל, במיוחד בתחומים חדשים שבהם עדיין אין בדיקה טובה של ההוכחות המתמטיות על ידי חוקרים רבים, ולכן ייתכן כי ימצאו טעויות. ניתן למצוא טעויות כאלה רק אם יודעים היכן לחפש אותן, ואיפה הגיוני שיעלו. נושא זה הוא אחד מהתפקידים החשובים של הפילוסופיה של המתמטיקה. בעשורים האחרונים, יש שניסו לקשר בין המתמטיקה לבין עניינים פילוסופיים אחרים, כגון אפיסטמולוגיה ואתיקה. עניינים אלה נדונים בסוף הערך. השאלה האם התפתחות המתמטיקה, כפי שהיא מתבטאת בהעלאת השערה חדשה או במציאת הוכחה חדשה, היא בגדר תגלית או בגדר המצאה, העסיקה את המתמטיקאים בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, אם כי שורשיה מגיעים עד לאריסטו ואפלטון. מצד אחד מתקיימת הגישה לפיה כל העצמים המתמטיים (משפטים, הוכחות וכדומה), אלה הידועים לנו וגם אלה שאינם ידועים לנו, קיימים ב"חלל וירטואלי" כלשהו, וכל שנותר הוא לגלות אותם. בהתאם לגישה זו, ניסוח משפט חדש הוא בגדר תגלית, וכך גם ביחס להוכחתו. בהתאם לכך, התפתחותה של המתמטיקה אינה אלא התפתחות הידע האנושי אודות המתמטיקה. עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים קנטור והארדי, והלוגיקן קורט גדל. ז'אק אדמר, מחשובי המתמטיקאים בצרפת, אמר: "אף שהאמת עדיין אינה ידועה לנו, היא קיימת מלכתחילה, וכופה עלינו את הדרך שעלינו ללכת בה". גישה זו ידועה בשם פלאטוניזם, על שם "ספירת האידאות" של אפלטון. רבים מתקוממים נגד גישה זו, משום שברור שלא דומה "גילוי" ההוכחה למשפט האחרון של פרמה לגילוי אי באוקיינוס או גילוי צמח שלא היה מוכר קודם לכן. ההוכחה למשפט האחרון של פרמה כרוכה בעבודת יצירה רבה מאוד, ולטעון שהיא הייתה קיימת ורק היה צריך לגלות אותה אינו רחוק מלטעון ששיר חדש אינו יצירה של המשורר אלא גילוי של השיר ב"ים כל המחרוזות המילוליות". בהתאם לגישה זו, המתמטיקה כולה היא יצירה של המוח האנושי, ואינה קיימת בלעדיו. ביטוי נחרץ לגישה זו נתן המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר, באומרו: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם". עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים גם ריכרד דדקינד וקארל ויירשטראס. הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין החזיק בדעה שהמתמטיקאי הוא ממציא, ולא מגלה. אך הוא ממציא כלים שפתיים שעשוים להקל על הבנת המציאות, אך בזאת אינו ממציא דבר חדש (הלוגיקה היא טאוטולוגיה – מתוך מאמר לוגי פילוסופי). בפילוסופיה של המתמטיקה יש כמה אסכולות, שמתמקדות בשאלות מטאפיזיות, כלומר: "מדוע המתמטיקה פועלת?", ובשאלה קשורה אך שונה מבחינה לוגית, "מדוע המתמטיקה מסבירה בצורה כל כך טובה את העולם הפיזי כפי שאנו רואים אותו?" התשובה לשאלה זו אינה מובנת מאליה. בעקבות עבודתו של דויד הילברט, נהוג היום לראות את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים, שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר למציאות, רק בתנאי שיהיו עקביות. גישה זו זכתה לחיזוק בעקבות גילויה/המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה האוקלידית. שתי הגאומטריות הללו תקפות מתמטית בדיוק באותה מידה, אולם סביר שרק אחת מהן מתארת את המציאות. ובכל זאת – כאשר נותנים למודל את הפשר המתאים מקבלים לא רק תיאור מצוין של המציאות, אלא גם את היכולת לחזות תופעות באמצעות חקירת המשוואות ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת המספרים לייצג את החשבון היומיומי שאנו עושים בהוספת והחסרת דברים, ובהסתמכות של כל תאוריה פיזיקלית כיום על משוואות מתמטיות שמתארות את האינטראקציות והקינמטיקה (תנועה) של הגופים. היטיב לבטא בעיה זו הפיזיקאי אלברט איינשטיין שתהה "כיצד ייתכן שהמתמטיקה, שאיננה אלא פרי מחשבת האדם, ללא תלות בניסיון ובהסתכלות, מסתגלת כל כך יפה למציאות?" תשובתו הייתה: "במידה שחוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ובמידה שהם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות". פתרון חלקי לבעיה זו הציג הפילוסוף עמנואל קאנט. על פי קאנט טענות המתמטיקה הם "סינתטי א-פריורי", כלומר: טענות אינפורמטיביות שאינן תלויות בניסיון (ואף קודמות לכל ניסיון). טענות אלה אינן מוסרות מידע לגבי העולם כשלעצמו, אבל הן כן מוסרות מידע על העולם כפי שהוא נתפש בניסיוננו, כלומר – העולם דרך משקפי "התבונה הטהורה". המתמטיקה איננה חוקי העולם אלא חוקי ההיגיון או חוקי התבונה שדרכם תופש השכל האנושי את העולם הסובב אותנו ומארגן את צבר התחושות שהוא קולט לכלל ניסיון או מציאות עקביים. שלוש אסכולות — אינטואיציוניזם, לוגיציזם ופורמליזם — התפתחו בתחילת המאה ה-20 כתגובה להבנה המחלחלת יותר ויותר, כי המתמטיקה (כפי שהייתה אז), והאנליזה בעיקר, אינה עומדת בקריטריונים של החומרה הלוגית והוודאות, שהייתה אמורה לעמוד בהם. כל אסכולה מתייחסת לנושאים שעלו באותו זמן, כשהיא מנסה לפתור אותם או לטעון שהמתמטיקה אינה זכאית למעמד שלה כתחום המכיל את הידע הוודאי ביותר שנוכל להשיג. עם דעיכתה של הוודאות המתמטית, שאלת היסודות המקוריים של המתמטיקה ("איזה ענף במתמטיקה הוא זה הבסיסי, שממנו כל שאר הענפים צומחים?") נוסחה מחדש כחקירה פתוחה של יסודות המתמטיקה עם היסמכות על מושגי יסוד מסוימים כגון סדר, וכך עלה התחום מטא-מתמטיקה, שאפשר להגדירו פשוט כ"מתמטיקה שמועילה במחקר מטאפיזי על המתמטיקה". נתייחס לאסכולות האלה בנפרד: ריאליזם מתמטי טוען כי ישויות מתמטיות קיימות באופן עצמאי, גם מחוץ למוח האנושי. לפיכך, בני אדם אינם ממציאים את המתמטיקה, אלא מגלים אותה, וכל שאר הישויות האינטליגנטיות ביקום כנראה היו עושות דבר דומה. משתמשים במושג "פלאטוניזם", מכיוון שדעה כזו מקבילה לאמונתו של אפלטון ב"רעיונות שמימיים", מציאות בלתי משתנה אולטימטיבית, שהעולם היומיומי הוא רק קירוב לא מושלם שלה. דעותיו של אפלטון כנראה מגיעות מפיתגורס וחברי האסכולה שלו, "הפיתגוראים", שהאמינו כי העולם בנוי באופן ממשי ממספרים. לרעיון זה עשויים להיות מקורות קדומים יותר שאינם ידועים לנו. מתמטיקאים חשובים רבים הם ריאליסטיים; הם רואים את עצמם כמגלים. כדוגמה אפשר לציין את פאול ארדש וקורט גדל. יש שנתנו הסברים פסיכולוגיים להעדפה הזו: כנראה שקשה מאוד לעסוק ולחקור משהו למשך תקופה ארוכה, אם אינך מאמין שהוא קיים. גדל האמין במציאות מתמטית אובייקטיבית, שניתן מבחינה עקרונית לחוש בה, בדומה לחישה רגילה. ישנם עקרונות מסוימים (לדוגמה, עבור כל שני דברים מתמטיים, יש אוסף של דברים שמורכבים בדיוק משני הדברים האלה) שאפשר לראות שהם אמת בצורה ישירה, אך יש השערות מסוימות, כמו "השערת הרצף", שייתכן שלא ניתן להחליט אם הן נכונות או לא. גדל הציע מתודולוגיה אמפירית למחצה שבעזרתה ניתן יהיה למצוא מספיק ראיות כדי להניח השערות כגון אלה. הבעיה הגדולה ביותר של הריאליזם המתמטי היא זו: היכן ואיך הישויות המתמטיות האלה קיימות? האם יש עולם, נפרד לחלוטין מהעולם הפיזי שלנו, שבו קיימות הישויות המתמטיות? איך אפשר להגיע לעולם הזה ולגלות את האמת על הישויות האלה? ישנה ביקורת רבה על התשובות של אפלטון וגדל לשאלות אלו. טענה חשובה בעד הריאליזם המתמטי, שנוסחה בידי וילארד ואן אורמאן קוויין והילרי פטנאם, היא "טענת ההכרחיות": המתמטיקה הכרחית עבור כל המדעים האמפיריים, ואם רוצים להאמין בתופעות המתוארות על ידי כל המדעים, יש להאמין גם במציאות של הישויות הנצרכות עבור התיאור הזה. בהתאם לפילוסופיה הכללית של קוויין ופטנאם, טענה זו היא נטורליסטית. היא טוענת לקיומן של הישויות המתמטיות כהסבר הטוב ביותר למה שאנו חווים, וכך הם מרוקנים את המתמטיקה, במידה מסוימת, מהמעמד האפיסטמי שלה. רוב צורות הלוגיציזם (ראו להלן) הן צורות שונות של ריאליזם מתמטי. אינטואיציזם היא הדוגמה הקלאסית לפילוסופיה אנטי-ריאליסטית של המתמטיקה. פטנאם התנגד נחרצות למושג "פלאטוניזם", בטענה שמושג זה מרמז על הוויה מסוימת, שאינה נצרכת במקרה המתמטי. הוא תומך בצורה של "ריאליזם טהור" שדוחה מושגים מיסטיים של אמת, ומקבלת הרבה אמפיריציזם-למחצה במתמטיקה. דוגמה של תאוריה ריאליסטית שמתנגדת לפלאטוניזם היא תאוריית השכל המוגשם (ראו להלן). הפורמליזם טוען כי אפשר לראות אמירות מתמטיות כאמירות על התוצאות של חוקי מניפולציה של מחרוזות (רצף של סימנים). לדוגמה, ב"משחק" של הגאומטריה האוקלידית (שאפשר להבין אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות "אקסיומות" ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות הראשונות מחרוזות נוספות), אפשר להוכיח כי משפט פיתגורס מתקיים (כלומר, אפשר ליצור את המחרוזת המקבילה למשפט פיתגורס). לפי כמה מהגרסאות של הפורמליזם, הנושא של המתמטיקה הוא בעצם רק הסימנים הרשומים עצמם. כל משחק שווה למשחק אחר, ואפשר רק לשחק את המשחקים, אך אי אפשר להוכיח דבר לגביהם. עם זאת, עמדה זו אינה פותרת את הבעיות האפיסטמיות (מהם סמלים? האם הם קיימים בעולם לא משתנה ונצחי?), אינה מסבירה את התועלת שבמתמטיקה, ועושה את המתמטיקה לפעילות חסרת ערך לחלוטין. גרסה זו של הפורמליזם אינה מקובלת ביותר. גרסה שנייה של הפורמליזם ידועה כדדוקטיביזם. בדדוקטיביזם, משפט פיתגורס אינו אמת מוחלטת, אלא אמת יחסית: אם מייחסים משמעות למחרוזות כך שחוקי המשחק נעשים לאמיתיים (כלומר, אקסיומות הן אמירות נכונות, והחוקים שאיתם פועלים גם הם אמיתיים), אז יש לקבל את המשפט, או ליתר דיוק, הפירוש שניתן למשפט זה הוא כנראה אמת. ניתן לומר את אותו הדבר לגבי כל אמירה מתמטית. לפי גישה זו, הפורמליזם אינו טוען שהמתמטיקה היא רק משחק סמלים חסר משמעות. בדרך כלל אכן מקווים שיש פירוש כלשהו שבו חוקי המשחק הם אכן אמיתיים. שיטה זו מאפשרת למתמטיקאי להמשיך בעבודתו, ולהשאיר את הבעיות האלה לפילוסוף או למדען. פורמליסטים רבים טוענים כי למעשה המערכות האקסיומטיות שאותן יחקרו יהיו אלה שיועילו ביותר למדע או לתחומים מתמטיים אחרים. אחד מהראשונים שהציעו את הפורמליזם היה דויד הילברט, שמטרתו (תוכנית הילברט) הייתה להביא לאקסיומטיקה שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). הילברט ביקש להראות את העקביות של המערכת המתמטית מההנחה כי ה"אריתמטיקה הפיניטארית" (כלומר, המספרים הטבעיים, שנחשבו כמקובלים על הכול מבחינה פילוסופית) היא עקבית. משפט האי-שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קִצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא תוכל להוכיח את העקביות של עצמה. הילברט היה במקור דדוקטיביסט, אך כפי שאפשר לראות מההסבר שלנו, הוא חשב כי שיטות מטא-מתמטיות מסוימות מביאות לתוצאות משמעותיות, והוא היה ריאליסט ביחס למספרים הטבעיים. מאוחר יותר היה בדעה כי אין מטא-מתמטיקה משמעותית כלשהי, ולא משנה באיזה פירוש. פורמליסטים מודרניים, כגון רודולף קרנפ, אלפרד טרסקי והסקל קורי, חושבים כי המתמטיקה היא חקירה של מערכות אקסיומטיות פורמליות. לוגיקנים מתמטיים חוקרים מערכות פורמליות אך הם פעמים רבות פלאטוניסטים. פורמליסטים הם בדרך כלל סובלניים למדי, ומזמינים גישות חדשות ללוגיקה, למערכות מספרים לא סטנדרטיות, גרסאות חדשות של תורת הקבוצות, וכו'. ככל שאנו משחקים יותר משחקים כן ייטב. אך בכל שלוש הדוגמאות האלה, המוטיווציה היא תמיד בשל התעניינות מתמטית או פילוסופית. ה"משחקים" אף פעם אינם נבחרים באופן שרירותי. הבעיה העיקרית עם הפורמליזם היא שהרעיונות המתמטיים האמיתיים שמעסיקים מתמטיקאים אינם דומים כלל למשחקי המניפולציה הקטנים שתוארו למעלה. אם כי אפשר להגדיר הוכחות על ידי המושגים של המשחקים האלה, ההוכחות כמעט אף פעם אינן נעשות למעשה באופן הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור. הלוגיציזם טוען כי הלוגיקה היא הבסיס של המתמטיקה, וכי כל האמירות המתמטיות הן אמיתות לוגיות מוכרחות. לדוגמה, הטענה "אם סוקרטס הוא אדם, וכל אדם הוא בן תמותה, אז סוקרטס הוא בן תמותה", היא אמת לוגית מוכרחת. ללוגיציסט, כל האמירות המתמטיות הן מאותו סוג; הן תשובות אנליטיות, או טאוטולוגיות. גוטלוב פרגה היה מייסד הלוגיציזם. בספרו החשוב, "החוקים הבסיסיים של האריתמטיקה", הוא בנה את האריתמטיקה ממערכת לוגית, שכללה את מה שהוא כינה 'החוק הבסיסי החמישי' (שני מושגים F ו-G הם שווי משמעות, אם ורק אם כל אובייקט a המתאים ל-F מתאים גם ל-G), עיקרון שהוא חשב שהוא חלק מקובל של הלוגיקה. אך בבנייה של פרגה הייתה טעות פטאלית. ברטראנד ראסל גילה כי החוק הבסיסי החמישי אינו עקבי (זהו הפרדוקס של ראסל). פרגה נטש את תוכניתו הלוגית זמן קצר לאחר מכן, אך ראסל ווייטהד המשיכו אותה. הם ייחסו את הפרדוקס ל"מעגליות מרושעת" ובנו תאוריה מסובכת של מדרג על מנת לפתור את בעיית המעגליות. במערכת זו הם הצליחו, בסופו של דבר, לבנות הרבה מהמתמטיקה המודרנית אך באופן שונה ומסובך יותר (לדוגמה, המספרים היו שונים בכל רמה של המדרג, והיו אינסוף רמות במדרג). הם גם היו צריכים להתפשר בכמה נקודות על מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון ב"אקסיומת הצמצום". אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו לא באמת שייכת ללוגיקה. לוגיקנים מודרניים שבו לתוכנית הקרובה יותר לזו של פרגה. הם נטשו את החוק הבסיסי החמישי לטובת עקרונות הפשטה כגון העיקרון של יום (שמספר הדברים שמתאימים ל-F שווה למספר הדברים שמתאימים ל-G, אם ורק אם קיימת התאמה חד-חד ערכית בין הקבוצות המתארות את F ו-G). פרגה היה זקוק לחוק הבסיסי החמישי כדי לתת הגדרה ברורה של המספרים, אך אפשר להפיק את כל המאפיינים של המספרים מהעיקרון של יום. זה לא הספיק לפרגה כי (בפרפרזה על דבריו) אין זה מוציא מכלל אפשרות כי יוליוס קיסר=2. אינטואיציוניזם היא עמדה שבאה בעקבות טענתו של קאנט, בדבר האפשרות להגיע אל ההכרה הממשית של טבע העולם באמצעות התבונה בלבד, ולפיה כל הידע המתמטי נובע מהחשיבה האנושית. כל עצם מתמטי הוא תוצר של השכל, ולכן קיומו מותנה ביכולת לבנות אותו. בהתאם לכך, יש לקבל לדיון המתמטי רק עצם שקיימת דרך ברורה לבנותו. ציטוט טיפוסי הוא של לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל השאר הוא עבודת האדם". כוח משמעותי מאחורי האינטואיציוניזם הוא ל. אי. ג'יי. בראואר, שהציע לוגיקה חדשה, השונה מהלוגיקה האריסטוטלית הקלאסית; ה"לוגיקה האינטואיציונית" אינה כוללת את עקרון השלישי הנמנע (החוק שאומר שדבר חייב להיות אמת או שקר, ושאין אפשרות אחרת), ולפיכך היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה נעשתה לאחר מכן על ידי ארנד הייטינג, שהיה תלמידו של ברואר, שניסח באופן פורמלי את הלוגיקה האינטואיציוניסטית, ועל ידי ארט בישופ, שהצליח להוכיח כמה מהמשפטים החשובים ביותר באנליזה במסגרת הזו. באינטואיציוניזם, המושג "בנייה ברורה" לא הוגדר באופן חותך, ודבר זה הביא לביקורת עליה. ניסיונות נעשו להשתמש במושגים כגון מכונת טיורינג או פונקציה רקורסיבית על מנת למלא את החסר, דבר שהוביל לטענה כי רק שאלות שמתייחסות להתנהגות של אלגוריתמים סופיים משמעותיות, וכי רק אותם המתמטיקה צריכה לחקור. תאוריות אלה טוענות כי החשיבה המתמטית היא פיתוח טבעי של המערכת הקוגניטיבית האנושית לנוכח היקום הפיזי. לדוגמה, המושג המופשט של מספר מגיע מהחוויה של ספירת חפצים נפרדים. כלומר, המתמטיקה אינה אוניברסלית ולא קיימת בצורה אמיתית, חוץ מאשר במוח האנושי. בני אדם יוצרים, אינם מגלים, את המתמטיקה. לפי זה, היקום הפיזי הוא הבסיס האולטימטיבי של המתמטיקה: הוא שהדריך את האבולוציה של המוח ולאחר מכן קבע אילו שאלות המוח הזה יבקש לחקור. אולם, למוח האנושי אין תביעה מיוחדת על "האמת" או על הגישות אליה שנבנות על המתמטיקה; אם בניות אלה כגון זהות אוילר הן "אמת", אז הן אמת כמפה של החשיבה והמוח האנושי, ולא כמפה של דבר שהמוח הזה "רואה". היעילות של המתמטיקה בהסבר היקום מוסברת בקלות: המוח הוא שבנה את המתמטיקה כדי שיהיה יעיל ביקום הזה. כנגד טענה זאת מועלית התנגדות הקשורה באינסוף: המתמטיקה מטפלת בהרבה דברים אינסופיים – הן מבחינת סוגים, הן מבחינת כמות והן מבחינת תהליכים; כיצד המתמטיקה, שכוללת עצם או אידאה כמו האינסוף, יכולה להימצא במוח האנושי, שהוא דבר סופי? תאוריה זו רואה את המתמטיקה בעיקר כהבניה חברתית, כתוצר של התרבות, שניתן לשינוי ולתיקון. כמו במדעים האחרים, המתמטיקה היא הסכמה בין אנשים, וניתן לשנות אותה אם היא אינה עונה על צורכי הקבוצה. הכיוון של המחקר המתמטי נקבע בידי ההשקפות של הקבוצה החברתית שעוסקת בו, תכונותיה (למשל, האם היא חברה חשדנית או בוטחת באנשים), המבנה החברתי שלה, או על ידי הצרכים של החברה שתומכת בו. כוחות חיצוניים יכולים לשנות את הכיוון של חלק מהמחקר המתמטי, וישנן גם הגבלות פנימיות חזקות (המסורות, השיטות, הבעיות, המשמעויות והערכים המתמטיים שאליהם המתמטיקאים מחונכים). קונסטרוקטיביסטים מרבים לעסוק במושג ההוכחה, במיוחד בפער הרב הקיים בין ההגדרה הפורמלית של הוכחה בלוגיקה מתמטית לבין הוכחות כפי שהן מופיעות הלכה למעשה בכתבי עת וספרים מתמטיים. הם מייחסים את ההבדלים בין קהילות שונות של מתמטיקאים בסטנדרטים של מה שנחשב להוכחה קבילה, שאותם הם מייחסים לנורמות חברתיות שונות. רעיון זה סותר את האמונות המקובלות ביחס לאופן פעולתם של המתמטיקאים, הטוענות לטוהר ואובייקטיביות המתמטיקה. אך קונסטרוקטיבסטים מתמטיים טוענים כי המתמטיקה למעשה מבוססת על הרבה חוסר ודאות: עם האבולוציה של המתמטיקה, הסטטוס של המתמטיקה הקודמת נעשה פחות ברור, והיא מתוקנת על ידי הקהילה המתמטית, במידה שאפשר או רצוי לשנותה. אפשר לראות את ההיבט הזה בהתפתחות של האנליזה על ידי הבחינה מחדש של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-19. הם גם אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית. את טבעה החברתי של המתמטיקה אפשר לראות בתתי-התרבות שלה. אפשר לעשות גילויים חשובים בענף אחד של המתמטיקה שיהיו רלוונטיים לענפים אחרים, אך בדרך כלל לא מגלים את הקישורים האלה בגלל חוסר הקשר החברתי בין המתמטיקאים. כל תת-תחום יוצר לעצמו קהילה נפרדת, ולעיתים יש קושי רב בתקשורת ביניהן, או במחקר העוסק בקשרים שעשויים לחבר את התחומים השונים של המתמטיקה. קונסטרוקטיביסטים חברתיים רואים את התהליך של המחקר המתמטי כיוצר את המשמעות, ואילו ריאליסטים חברתיים רואים חיסרון ביכולת האנושית לפשט דברים, בהטיות קוגניטיביות אנושיות כמונעים את ההבנה של היקום "האמיתי" של "הדברים המתמטיים". קונסטרוקטיביסטים חברתיים לפעמים דוחים את החיפוש אחר יסודות המתמטיקה ככישלון ודאי, כחסר משמעות או כחסר טעם. יש הטוענים כי המתמטיקה אינה אמיתית או אובייקטיבית כלל, אלא היא מושפעת מגזענות ואתנוצנטריזם. כמה מהרעיונות האלה קשורים לפוסטמודרניזם. תרומות לאסכולה הזו נעשו על ידי אימרה לקטוש, שבעקבות קרל פופר טען שהידע המתמטי מתפתח בתהליך של השערות והפרכות, ותומאס טימושצקו. פול ארנסט ניסח במפורש פילוסופיה חברתית קונסטרוקטיביסטית, ורובין הרש פיתח תפישה דומה שאותה הוא מכנה הומניזם. במקום להתמקד בוויכוחים הצרים על ה"אמת האמיתית" של המתמטיקה, או אפילו על הדברים המאפיינים את המתמטיקה כמו הוכחה, תנועה גדלה משנות ה-60 של המאה ה-20 ועד שנות ה-90 של המאה ה-20 החלה לאתגר את שאלת "היסודות", ואת האפשרות למצוא תשובה נכונה לשאלה מדוע המתמטיקה פועלת. ההתחלה של התנועה הייתה במאמר מפורסם של יוג'ין ויגנר מ-1960, "היעילות הלא-סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע", שבו טען כי העובדה שהמתמטיקה ומדעי הטבע כה מתאימים זה לזה לא יכולה להיות מקרית, אך קשה להסביר אותה. האסכולות ה"קוגניטיביות" או "החברתיות" הן תשובות לאתגר הזה. אך היו גם ויכוחים נוספים שקמו: עניין מקביל אחד, שאינו ממש מפריע לאסכולות באופן ישיר, אך הוא עדיין מאתגר את ההתמקדות שלהן, הוא רעיון המעין-אמפיריציזם במתמטיקה. רעיון זה צמח בסוף המאה ה-20 מהטענה הפופולרית שלא ניתן להוכיח כי אף אחד מיסודות המתמטיקה אכן קיים. יש שקוראים לזה "פוסטמודרניזם מתמטי". גישה זו היא צורה מינימלית של ריאליזם/קונסטרוקטיביזם חברתי, שמקבל שיטות אמפיריציסטיות-למחצה, ואף אמפיריציסטיות ממש, לתחום המתמטי המודרני. שיטות כאלה תמיד היו חלק מהמתמטיקה העממית, ועל ידיה נעשו פעולות מרשימות של חישוב ומדידה. למעשה, השיטות האלה הן ה"הוכחה" היחידה שיש לתרבות כזו. הילרי פטנאם טען כי כל תאוריה של ריאליזם מתמטי תכלול שיטות מעין-אמפיריציסטיות. הוא הציע כי יצורים מעולם אחר שעוסקים במתמטיקה, עשויים בהחלט להעדיף שיטות אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות – אם כי יש סיכוי גדול יותר שהם יטעו בחישוביהם. חוקרים רבים שאינם עוסקים בהוכחת משפטים מתמטיים העירו כמה הערות מעניינות ביחס לטבעה של המתמטיקה: יהודה פרל טען, כי כל המתמטיקה כפי שהיא כיום מבוססת על אלגברה של ראייה – והציע אלגברה של מעשה (סיבתיות) על מנת להשלים אותה – דבר זה הוא התעניינות מרכזית של הפילוסופיה של הפעולה ושל מחקרים אחרים של היחס בין "ידיעה" ל"מעשה". התוצר החשוב ביותר של זה היו תאוריות אמת חדשות, בעיקר אלה שקשורים לאקטיביזם ולביסוס שיטות אמפיריות. הרעיון של פילוסופיה של המתמטיקה בנפרד מהפילוסופיה הכללית ספג ביקורת כ"מביא מתמטיקאים טובים לפילוסופיה גרועה" – פילוסופים מעטים מסוגלים להבין את השפה והתרבות המתמטית באופן כזה שיוכלו לקשר בין המושגים הרגילים יותר של המטאפיזיקה לרעיונות המטאפיזיים המיוחדים יותר של האסכולות דלעיל. דבר זה יכול להוביל לחוסר קשר, שבו המתמטיקאים ממשיכים לעסוק בפילוסופיה גרועה וחסרת בסיס כהצדקה לאמונה בראיית עולם שמאפשרת להם לעבוד בתחומם. אם כי תאוריות חברתיות ומעין-אמפיריציזם, ובמיוחד תאוריית המוח המוגשם, התמקדו יותר באפיסטמולוגיה שמונחית על ידי הנוהגים המתמטיים הקיימים, הם אינן מצליחות לקשר בין התחומים האלה לבין החישה והידע היומיומי. כמו כן, יש אך מעט התייחסות לאתיקה של המחקר המתמטי. בתרבות טכנולוגית, המתמטיקה נתפסת כצורך מוחלט שערכו ברור מאליו – אף אם לענפים מסוימים אין מטרה ברורה, או שהם מועילים רק על מנת לאפשר מאבקים, כמו קריפטוגרפיה וסטגנוגרפיה, שמועילות לשמירת סודות, או המתמטיקה שקשורה לשיפור הביקוע הגרעיני. בעוד שהרוב מסכימים כי יש לפיזיקאים אחריות על המעשים האלה, מעטים מייחסים אחריות כלשהי למתמטיקאים. הסוציולוגיה של הידע עסקה בחלק מהביקורת הזו, אך המתמטיקה עצמה הצליחה להתחמק מהמבטים הבוחנים שהם מנת חלקם של מדעים כמו הגנטיקה, הפיזיקה, הכלכלה או הרפואה. פסיכולוגיה אבולוציונית לדוגמה אימצה את הרעיון ש"המוח הוא מחשב", במשמעות של "מכונת טיורינג". מהן המשמעויות של שימוש בהפשטה שאמורה הייתה להסביר מחשבים, להסבר המוח האנושי? ערך מורחב – יופי מתמטי טענה נוספת היא שאפשר לראות את המתמטיקה באופן צר כמדע המדידה, עם כמות גדולה של קיצורי דרך שנועדו לפשט את החישובים. כמה מהאסכולות ייחסו למתמטיקה יותר חשיבות מאשר המטרה התועלתנית הזו – ולפעמים אף חיפשו הדרכה מוסרית, או אסתטיקה של האמת והיופי, בהפשטות של המתמטיקה. יש שרואים זאת כסימפטום של מדענות. רעיונות אלה מציעים כי המתמטיקה תקפה בתחומים רחבים יותר מאשר פיזיקה בלבד, דוגמת מדעי החברה ומדע הביולוגיה. לבסוף, אף כי מתמטיקאים או פילוסופים רבים יקבלו את האמירה "מתמטיקה כשפה", אין תשומת לב רבה שמופנית למשמעות של האמירה הזו. לא משתמשים בבלשנות כלפי מערכות הסמלים של המתמטיקה, כלומר, חוקרים את המתמטיקה באופן שונה מאשר שפות אחרות. היכולת לקלוט את המתמטיקה ולפעול בה נתפסת כנפרדת מאוריינות וקליטת שפה. יש שטוענים[דרוש מקור] כי דבר זה הוא תוצאה של כישלון לא של הפילוסופיה של המתמטיקה, אלא של הבלשנות ושל מחקר התחביר הטבעי. תחומים אלה, הם אומרים, אינם קשיחים מספיק, ועל הבלשנות "לסגור את הפער". אך דבר זה נסמך במרומז על הרעיון שהמתמטיקה עליונה על שאר סוגי הידע. הסטנדרטים של הקשיחות אולי שונים בשפות שונות, אך "יותר" הוא לאו דווקא "טוב יותר". תפיסת המתמטיקה כסינתטית ואפריורית על ידי עמנואל קאנט תזת האקסיומטיות של דויד הילברט משפטי האי-שלמות של גדל המתמטיקה כשפה מטא-מתמטיקה ארנון אברון, משפטי גדל ובעיית היסודות של המתמטיקה, תל אביב: סדרת האוניברסיטה המשודרת, הוצאת משרד הביטחון. אי"י פוזננסקי, על יסודות המתמטיקה, נספח לספרו של יהושע בר-הלל, הגיון לשון ושיטה, תל אביב: ספרית פועלים, 1970. הרמן וייל, פילוסופיה של המתמטיקה, תרג. דוד מאוחד (קלינגהופר), התקין ובאר א. הלוי פרנקל. חברה להוצאת ספרים על יד האוניברסיטה העברית, ירושלים תש'ה. הנרי פואנקרה, המדע וההיפותזה, תרג. יחיאל גרינפלד. 'כתבי יחיאל גרינפלד', הוצ. ועד היובל, 1931. ג'יימס א' אורמסון (עורך), בן-עמי שרפשטיין (עורך המהדורה העברית), מתמטיקה, בספר "פילוסופיה" באתר מט"ח Roger Bishop Jones, The Philosophy of Mathematics Philosophy of Mathematics דף קישורים כתב העת Philosophia Mathematica The Utility of Mathematics סרטון: הרצאה של פרופ' דנה סקוט על קונסטרוקטיביזם חברתי במתמטיקה דוד קשדן, על מתמטיקה ופילוסופיה, הרצאה באקדמיה הלאומית הישראלית למדעים לאון הורסטן, פילוסופיה של המתמטיקה, באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד (באנגלית) מריו ליביו, מדוע המתמטיקה פועלת?, סיינטיפיק אמריקן ישראל, 30 בנובמבר 2011 פילוסופיה של המתמטיקה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) מתמטיקה - פילוסופיה, דף שער בספרייה הלאומית Einstein, Albert (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)". P. Dutton., Co. Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I, February 1960