התכנסות חלשה (מרחב הילברט)

התכנסות חלשה של סדרה במרחב הילברט היא ההתכנסות המושרת מהטופולגיה החלשה עליו. סדרת נקודות ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־ x ∈ H {\displaystyle x\in H} אם לכל y ∈ H {\displaystyle y\in H} , lim n → ∞ ⟨ x n , y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle } . זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא: x n ⇀ x {\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x} . אם סדרת נקודות ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי אי שוויון קושי שוורץ: ⟨ x n , y ⟩ − ⟨ x , y ⟩ = ⟨ x n − x , y ⟩ ≤ ‖ x n − x ‖ ‖ y ‖ → 0 {\displaystyle \langle x_{n},y\rangle -\langle x,y\rangle =\langle x_{n}-x,y\rangle \leq \|x_{n}-x\|\|y\|\rightarrow 0} . כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שהנורמה היא רציפה למחצה מלמטה: אם ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} מתכנסת חלש ל־x אז lim n → ∞ ⟨ x n , x ⟩ = ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},x\rangle =\|x\|^{2}} ומקושי שוורץ נקבל ש־ ‖ x ‖ 2 = l i m n → ∞ ⟨ x , x n ⟩ ≤ lim inf n → ∞ ‖ x n ‖ ‖ x ‖ {\displaystyle \|x\|^{2}=lim_{n\to \infty }\langle x,x_{n}\rangle \leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|\|x\|} . מצד שני אם סדרת נקודות ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} מתכנסת חלש ל x וכן l i m n → ∞ ‖ x n ‖ = ‖ x ‖ {\displaystyle lim_{n\to \infty }\|x_{n}\|=\|x\|} אז ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} מתכנסת ל x: ‖ x − x n ‖ 2 = ⟨ x − x n , x − x n ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + ⟨ x , x ⟩ − ⟨ x n , x ⟩ − ⟨ x , x n ⟩ → 0 {\displaystyle \|x-x_{n}\|^{2}=\langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,x\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0} . ממשפט בנך שטיינהוס, נובע שכל סדרה מתכנסת חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש. משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה: תהי ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: lim N → ∞ 1 N ∑ k = 1 N x n k = x {\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}=x} . הוכחה: בה"כ x=0. כמו כן ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה ( n k ) {\displaystyle (n_{k})} באופן הבא הבא: n 1 = 1 {\displaystyle n_{1}=1} וכן בהינתן n j {\displaystyle n_{j}} לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־ ⟨ x n , x n j ⟩ → 0 {\displaystyle \langle x_{n},x_{n_{j}}\rangle \rightarrow 0} לכל j<k ולכן יש m כך ש־ | ⟨ x m , x n j ⟩ | < 1 k {\displaystyle |\langle x_{m},x_{n_{j}}\rangle |<{\tfrac {1}{k}}} לכל j<k. נבחר את n k {\displaystyle n_{k}} להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: ‖ 1 N ∑ k = 1 N x n k ‖ 2 = 1 N 2 ( ∑ k = 1 N ‖ x n k ‖ 2 + 2 ℜ ( ∑ 1 ≤ i < j ≤ N ⟨ x n i , x n j ⟩ ) ) ≤ N M 2 + 2 ∑ k = 1 N − 1 k k + 1 N 2 ≤ M 2 + 2 N → 0 {\displaystyle \|{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}\|^{2}={\frac {1}{N^{2}}}(\sum _{k=1}^{N}\|x_{n_{k}}\|^{2}+2\Re (\sum _{1\leq i<j\leq N}\langle x_{n_{i}},x_{n_{j}}\rangle ))\leq {\tfrac {NM^{2}+2\sum _{k=1}^{N-1}{\tfrac {k}{k+1}}}{N^{2}}}\leq {\tfrac {M^{2}+2}{N}}\rightarrow 0} ונקבל את הדרוש. הערה: למעשה המשפט נכון לכל מרחב בנך קמור במידה שווה (למשל מרחב L p {\displaystyle \mathbb {L} ^{p}} כאשר 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } ). תהי e n {\displaystyle e_{n}} מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־ ‖ e n ‖ = 1 {\displaystyle \|e_{n}\|=1} , ברור ש־ e n {\displaystyle e_{n}} איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי x ∈ H {\displaystyle x\in H} . מאי שוויון בסל נקבל ∑ n | ⟨ e n , x ⟩ | 2 ≤ ‖ x ‖ 2 {\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}} ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן | ⟨ e n , x ⟩ | → 0 {\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |\rightarrow 0} ולכן e n {\displaystyle e_{n}} שואפת חלש לאפס. וויס בנימין, ליינדרשטראוס יורם, פזי אמנון, אנליזה פונקציונלית, האוניברסיטה העברית 1980. התכנסות חלשה, באתר MathWorld (באנגלית) שיזו קאקוטאני, Weak Convergence in Uniformly Convex Spaces