הפרדוקס של בנך-טרסקי

הפרדוקס של בנך-טרסקי (באנגלית: Banach-Tarski Paradox) הוא משפט מתמטי, הקובע שאפשר לחלק כדור למספר סופי של חלקים לא חופפים באופן כזה שאחרי הזזה וסיבוב של החלקים, ניתן יהיה להרכיב מהם שני כדורים מלאים, זהים במידותיהם לכדור המקורי. המשפט מסתמך במידה רבה על עבודה קודמת של האוסדורף, ויש המכנים אותו "פרדוקס בנך-האוסדורף-טרסקי" בשל כך. התוצאה נקראת "פרדוקס" משום שהיא סותרת את האינטואציה ואת הגישה הגאומטרית והפיזיקלית השכיחה. עם זאת, אין במשפט שום בעיה לוגית. הוכחת המשפט דורשת שימוש באקסיומת הבחירה. נגדיר יחס שקילות בין תת-קבוצות של מרחב אוקלידי (n-ממדי) כך: A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} תקראנה חופפות-בחלקים אם ניתן להציג את A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} כאיחוד זר של קבוצות: A = ⊎ i = 1 n A i {\displaystyle A=\uplus _{i=1}^{n}A_{i}} , B = ⊎ i = 1 n B i {\displaystyle B=\uplus _{i=1}^{n}B_{i}} כך שלכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} מתקיים ש- A i {\displaystyle A_{i}} ו-   B i {\displaystyle \ B_{i}} חופפות, כלומר קיימת איזומטריה ϕ i {\displaystyle \phi _{i}} עבורה B i = ϕ i ( A i ) {\displaystyle B_{i}=\phi _{i}(A_{i})} . דומה, שאם שתי צורות הן חופפות-בחלקים, נכון לומר שיש להן אותו "שטח" או "נפח". ואומנם כבר אוקלידס השתמש ברעיון זה בספרו "יסודות" כדי להגדיר מתי לשתי צורות במישור הדו-ממדי יש אותו שטח; ניתן להראות שהגדרה זו מתיישבת עם ההגדרה המודרנית של שטח. אולם כאשר מנסים להחיל הגדרה זו על קבוצות מממדים גבוהים יותר, מתברר שעבור n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} כל שתי קבוצות חסומות בעלות פנים לא ריק הן חופפות בחלקים. זהו תוכנו של המשפט שהוכח על ידי סטפן בנך ואלפרד טרסקי ב-1924. חשוב להעיר שחלק הארי של ההוכחה פורסם כבר בשנת 1914 על ידי פליקס האוסדורף, שבנה "פרדוקס" דומה עבור מעטפת כדורית דו-ממדית. כבר עמדנו על כך, שכל פונקציית שטח "סבירה" צריכה לכבד חפיפה-בחלקים, כלומר - שלקבוצות חופפות-בחלקים יהיה אותו שטח. באמצעות פרדוקס דומה, האוסדורף ביקש להראות שלא ניתן להגדיר פונקציית שטח "סבירה" שכזו על כל תת-הקבוצות של הספֵירה הדו-ממדית (אף על פי שעל הקבוצות הדו-ממדיות במישור כן ניתן לעשות זאת). ב-1914 מצא האוסדורף בחבורת המטריצות האורתוגונליות SO 3 ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {SO} _{3}(\mathbb {R} )} תת-חבורה שהיא מכפלה חופשית Z 2 ∗ Z 3 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{3}} ולכן פועלת פעולה פרדוקסלית על הספירה (לאחר סילוק קבוצה בת מנייה). את פרדוקס בנך-טרסקי ניתן לפרש ברוח זו כהעשרה משמעותית של אותה טענה: עבור n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} , אם מנסים להגדיר שוויון נפח בין תת-קבוצות של המרחב האוקלידי ה- n {\displaystyle n} -ממדי, חייבים לקבל אחת מבין שלוש המגבלות הבאות: היחס לא יהיה מוגדר על כל תת-הקבוצות של המרחב, אלא רק על קומץ מבין מגוון הקבוצות; היחס לא יכבד חפיפה-בחלקים - כלומר, צורות חופפות-בחלקים יוגדרו לעיתים כבעלות נפח שונה; היחס יהיה מנוון - כל שתי קבוצות (חסומות ובעלות פנים לא ריק) תוגדרנה כשוות נפח. טרסקי ובנך הדגישו את העובדה, שהבניה של הפרדוקס מסתמכת על אקסיומת הבחירה (ולמעשה ניתן להראות, שבלעדיה בניית הפירוק איננה אפשרית). נראה שמטרתם הייתה להשתמש בפרדוקס כעדות לכך שיש לזנוח את אקסיומת הבחירה. עם זאת, על אף שהוא מכונה "פרדוקס", אין במשפט זה הוכחה של סתירה לוגית, שהייתה מחייבת שינוי באקסיומות. מרבית המתמטיקאים ממשיכים להשתמש באקסיומת הבחירה, ורואים במשפט "מוזרות" המצביעה על אחד הפערים בין האינטואיציה האנושית לאמת המתמטית. החלקים עצמם מהם מרכיבים את הכדורים בפרדוקס הם קבוצות בלתי מדידות לפי מידת לבג, כלומר אי אפשר להגדיר להן נפח באופן טבעי. עובדה זו תורמת ל"קבלת" הפרדוקס בקרב מתמטיקאים. באופן דומה להוכחה של משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין ניתן להראות שהיחס " A {\displaystyle A} חופף-בחלקים לתת-קבוצה של B {\displaystyle B} " הוא יחס סדר חלקי. לכן אם נצליח להראות שכדור חופף-בחלקים ל-2 כדורים מאותו גודל (ומכאן שהוא חופף-בחלקים לכל מספר סופי של כדורים מאותו גודל), נוכל להראות שכל שתי קבוצות חסומות עם פנים לא ריק (כלומר, המכילות כדור וניתנות לכיסוי על ידי מספר סופי של כדורים מכל גודל נתון) הן חופפות-בחלקים זו לזו. עושים זאת כך: מראים שבחבורת הסיבובים של ספירת היחידה, S O n ( R ) {\displaystyle \mathrm {SO} _{n}(\mathbb {R} )} , ניתן למצוא תת-חבורה חופשית, F {\displaystyle F} , בשני יוצרים, a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} . ניתן למצוא "פירוק פרדוקסלי" ל- F {\displaystyle F} , כלומר להציג אותה כאיחוד זר של חמש קבוצות: F = a F ⊎ a − 1 F ⊎ b F ⊎ b − 1 F ⊎ { 1 F } {\displaystyle F=aF\uplus a^{-1}F\uplus bF\uplus b^{-1}F\uplus \{1_{F}\}} כך שניתן להרכיב שני עותקים של F {\displaystyle F} מהקבוצות הללו על ידי הכפלת הקבוצות באיברים מ- F {\displaystyle F} : F = a F ∪ a ( a − 1 F ) {\displaystyle F=aF\cup a(a^{-1}F)} וכן F = b F ∪ b ( b − 1 F ) {\displaystyle F=bF\cup b(b^{-1}F)} . אם מסירים מספירת היחידה את הקבוצה (בת המנייה) של נקודות השבת של F {\displaystyle F} מתקבלת תת-קבוצה, T {\displaystyle T} , ש- F {\displaystyle F} פועלת עליה באופן חופשי - כלומר, שאף איבר מ- F {\displaystyle F} , למעט איבר היחידה, אינו משאיר אף איבר מ- T {\displaystyle T} במקומו. על ידי בחירת קבוצת נציגים מכל אחד מהמסלולים שבהן F {\displaystyle F} פועלת על T {\displaystyle T} , והפעלת הקבוצות מהפירוק הפרדוקסלי של F {\displaystyle F} על קבוצת נציגים זו, מתקבל "פירוק פרדוקסלי" של T {\displaystyle T} - כלומר הצגה של T {\displaystyle T} כאיחוד זר של חמש קבוצות, כך שמשני זוגות של קבוצות ניתן להרכיב עותק של T {\displaystyle T} על ידי הפעלת איזשהו סיבוב על הקבוצות. נותר רק להראות ש- T {\displaystyle T} חופפת-בחלקים לכל הספירה (כלומר, שניתן להחזיר מספר בן מנייה של נקודות על ידי פירוק והרכבה מחדש של T {\displaystyle T} ). כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הספירה. כעת, קל לחלק את הכדור כולו על ידי מתיחת קו ישר מכל נקודה בספירה למרכזה. כך מתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור כולו, למעט המרכז. על ידי חפיפה-בחלקים אחרונה מוסיפים את הנקודה הזו, כך שמתקבל פירוק פרדוקסלי של הכדור לשני כדורים זהים, כנדרש. בעיית תרבוע העיגול של טרסקי מספר טרסקי הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ' איאן סטיוארט, תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2012, הפרק "חיתוך ממש תמוה", עמ' 190–194. מדיה וקבצים בנושא הפרדוקס של בנך-טרסקי בוויקישיתוף גדי אלכסנדרוביץ', הפרדוקס של בנך-טרסקי, באתר "לא מדויק", 9 בפברואר 2011 The Banach–Tarski Paradox, סרטון באתר יוטיוב