אי-שוויון ML

באנליזה מרוכבת, למת האומדן, הידועה גם בשם אי-שוויון ML, היא לֶמה הנותנת חסם עליון לאינטגרל מסילתי. החסם מאפשר לחסום אינטגרלים, למשל לצורך החישובים הנדרשים במשפט השארית. אם f {\displaystyle f} היא פונקציה מרוכבת רציפה על המסילה Γ {\displaystyle \Gamma } ואם המודול שלה | f ( z ) | {\displaystyle |f(z)|} חסום על ידי הקבוע M {\displaystyle M} עבור כל z {\displaystyle z} על Γ {\displaystyle \Gamma } , אז: | ∫ Γ f ( z ) d z | ≤ M ℓ ( Γ ) {\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|\leq M\,\ell (\Gamma )} כאשר ℓ ( Γ ) {\displaystyle \ell (\Gamma )} הוא אורך הקשת של Γ {\displaystyle \Gamma } . בפרט, ניתן לקחת את המקסימום M := sup z ∈ Γ | f ( z ) | {\displaystyle M:=\sup _{z\in \Gamma }|f(z)|} כחסם עליון. טענת הלמה אינה מפתיעה. אם מקרבים את המסילה כאיחוד סופי של קטעים קטנים, אז המקסימום של הערכים בקטעים אלה אינו רחוק מהחסם M {\displaystyle M} על המסילה. לפיכך, אם מבצעים אינטגרל של המקסימום על פני כל המסילה, אז האינטגרל של f ( z ) {\displaystyle f(z)} על המסילה חייב להיות קטן ממנו או שווה לו. באופן פורמלי ניתן להראות שאי-השוויון מתקיים באמצעות הגדרת האינטגרל הקווי, אי-שוויון המשולש האינטגרלי והנוסחה עבור אורך עקומה כדלקמן: | ∫ Γ f ( z ) d z | = | ∫ α β f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t | ≤ ∫ α β | f ( γ ( t ) ) | | γ ′ ( t ) | d t ≤ ∫ α β M | γ ′ ( t ) | d t = M ∫ α β | γ ′ ( t ) | d t = M ℓ ( Γ ) {\displaystyle \left|\int _{\Gamma }f(z)dz\right|=\left|\int \limits _{\alpha }^{\beta }f(\gamma (t))\gamma '(t)dt\right|\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }|f(\gamma (t))||\gamma '(t)|dt\leq \int \limits _{\alpha }^{\beta }M\left|\gamma '(t)\right|dt=M\int \limits _{\alpha }^{\beta }|\gamma '(t)|dt=M\,\ell (\Gamma )} בעיה – חשבו את האינטגרל ∫ − ∞ ∞ 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx} . פתרון – במקום לחשב את האינטגרל בגבולות המבוקשים, נקרב את ∫ − a a 1 ( x 2 + 1 ) 2 d x {\displaystyle \int _{-a}^{a}{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}dx} ונשאיף את a {\displaystyle a} לאינסוף. לשם כך נשלים את קטע האינטגרציה למסילה סגורה, על ידי הוספת חצי המעגל | z | = a {\displaystyle |z|=a} מ- z = a {\displaystyle z=a} לכיוון z = − a {\displaystyle z=-a} (נגד כיוון השעון). את חצי המעגל הזה נסמן ב- Γ {\displaystyle \Gamma } . לפי משפט השארית, האינטגרל הזה שווה ל- 2 π i {\displaystyle 2\pi i} כפול סכום השאריות בכל נקודות הסינגולריוּת. הסינגולריות היחידה של הפונקציה בתוך המסילה היא בנקודה z = i {\displaystyle z=i} . אפשר לפתח לטור לורן 1 ( z 2 + 1 ) 2 = − 1 4 ( z − i ) − 2 + − i 4 ( z − i ) − 1 + 3 16 + i 8 ( z − i ) − 5 64 ( z − i ) 2 + … {\displaystyle {\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}={\frac {-1}{4}}(z-i)^{-2}+{\frac {-i}{4}}(z-i)^{-1}+{\frac {3}{16}}+{\frac {i}{8}}(z-i)-{\frac {5}{64}}(z-i)^{2}+\dots } ; ומכאן שהשארית, שהיא המקדם של ( z − i ) − 1 {\displaystyle (z-i)^{-1}} , שווה ל- − i 4 {\displaystyle {\frac {-i}{4}}} . מכאן נובע שהאינטגרל על פני כל המסילה הוא ( ∫ − a a + ∫ Γ ) d z ( z 2 + 1 ) 2 = 2 π i − i 4 = π 2 {\displaystyle (\int _{-a}^{a}+\int _{\Gamma }){\frac {dz}{(z^{2}+1)^{2}}}=2\pi i{\frac {-i}{4}}={\frac {\pi }{2}}} . אורכו של מסלול האינטגרציה הוא חצי היקף מעגל שרדיוסו a {\displaystyle a} , ומכאן ℓ ( Γ ) = 1 2 ( 2 π a ) = π a {\displaystyle \ell (\Gamma )={\tfrac {1}{2}}(2\pi a)=\pi a} . מאי-שוויון המשולש ניתן לראות כי: | z | 2 = | z 2 | = | z 2 + 1 − 1 | ≤ | z 2 + 1 | + 1 {\displaystyle |z|^{2}=|z^{2}|=|z^{2}+1-1|\leq |z^{2}+1|+1} ולכן: | z 2 + 1 | ≥ | z | 2 − 1 = a 2 − 1 > 0 {\displaystyle |z^{2}+1|\geq |z|^{2}-1=a^{2}-1>0} כאשר a > 1 {\displaystyle a>1} . מכאן: | 1 ( z 2 + 1 ) 2 | ≤ 1 ( a 2 − 1 ) 2 {\displaystyle \left|{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\right|\leq {\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}} כלומר M = 1 ( a 2 − 1 ) 2 {\displaystyle M={\frac {1}{(a^{2}-1)^{2}}}} , והחסם הוא: | ∫ Γ 1 ( z 2 + 1 ) 2 d z | ≤ π a ( a 2 − 1 ) 2 {\displaystyle \left|\int _{\Gamma }{\frac {1}{(z^{2}+1)^{2}}}\,dz\right|\leq {\frac {\pi a}{(a^{2}-1)^{2}}}} . הערך הזה שואף לאפס כאשר a {\displaystyle a} שואף לאינסוף, ומכאן ש- ∫ − ∞ ∞ d x ( x 2 + 1 ) 2 = π 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {\pi }{2}}} . הלמה של ז'ורדן משפט השאריות Saff, E.B; Snider, A.D. (1993), Fundamentals of Complex Analysis for Mathematics, Science, and Engineering (2nd ed.), Prentice Hall, ISBN 978-0133274615. Howie, J.M. (2003), Complex Analysis, Springer.