פונקציה סתומה

במתמטיקה, פונקציה סתומה היא פונקציה המוגדרת על ידי משוואה, ולא באופן ישיר. לפעמים אפשר לפתור את המשוואה ולהציג את הפונקציה באופן מפורש, אבל במקרים רבים ההצגה המפורשת פחות סימטרית מן המשוואה, ואין בה תועלת. משפט הפונקציה הסתומה מספק תנאים לקיומה של פונקציה המוגדרת באופן סתום על ידי מערכת משוואות, ואף מאפשר לחשב את הנגזרות שלה. לדוגמה, משוואת המעגל x 2 + y 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=1} מגדירה שתי פונקציות - y = 1 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}} ו- y = − 1 − x 2 {\displaystyle y=-{\sqrt {1-x^{2}}}} . את הנגזרת של y {\displaystyle y} לפי x {\displaystyle x} אפשר לחשב ישירות מן המשוואה הקושרת את שני המשתנים: 2 x + 2 y y ′ = 0 {\displaystyle 2x+2yy'=0} ולכן y ′ = − x y {\displaystyle y'=-{\frac {x}{y}}} . עקומים מפורסמים רבים מוגדרים בצורה הפשוטה ביותר על ידי פונקציות סתומות: בקואורדינטות קרטזיות: ( x 2 + y 2 ) 2 = a 2 ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})} בקואורדינטות פולאריות: r 2 = a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta } כאשר a {\displaystyle a} פרמטר קבוע כלשהו המשפיע על גודל וצורת העקום. ככל ש-a גדול יותר כך העקום גדול ומתוח יותר. בקואורדינטות קרטזיות: x 3 + y 3 = 3 a x y {\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy} בקואורדינטות פולאריות: r ( cos 3 ⁡ θ + sin 3 ⁡ θ ) = 3 a sin ⁡ θ cos ⁡ θ {\displaystyle r(\cos ^{3}\theta +\sin ^{3}\theta )=3a\sin \theta \cos \theta } בקואורדינטות קרטזיות: ( x 2 + y 2 + a x ) 2 = b 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle (x^{2}+y^{2}+ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2})} בקואורדינטות פולאריות: ( r + a cos ⁡ θ ) 2 = b 2 {\displaystyle (r+a\cos \theta )^{2}=b^{2}} בקואורדינטות קרטזיות: ( x 2 + y 2 ) 3 = 4 a 2 x 2 y 2 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}} בקואורדינטות פולאריות: r = a sin ⁡ 2 θ {\displaystyle r=a\sin 2\theta } או בצורה כללית: r = cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle r=\cos(n\theta )} ישנן מספר שיטות לגזירת פונקציה ומציאת הנגזרת שלה. לפי גישה אחת המשמשת אותנו למציאת הנגזרת של פונקציה סתומה, נכתוב y = y ( x ) {\displaystyle y=y(x)} , ואז d y d x = d y ( x ) d x = y ′ {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy(x)}{dx}}=y'} . לאחר שלקחנו נקודה זו בחשבון, נתייחס לגודל y ( x ) {\displaystyle y(x)} כפונקציה מורכבת של המשתנה הבלתי תלוי x {\displaystyle x} . למשל, כאשר נגזור את המכפלה x y {\displaystyle xy} נגזור כאילו שהפונקציה y {\displaystyle y} היא פונקציה ידועה. כלומר: d d x ( x y ) = d x d x y + x d y d x = y + x d y d x = y + x y ′ {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(xy)={\frac {dx}{dx}}y+x{\frac {dy}{dx}}=y+x{\frac {dy}{dx}}=y+xy'} לפי גישה אחרת, כל משוואה שמתארת פונקציה סתומה ניתן להביא לצורה F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} (למשל על ידי העברת אגפים). היות שהפונקציה F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} היא אפס באופן זהותי, גם d F d x = d F d y = 0 {\displaystyle {\frac {dF}{dx}}={\frac {dF}{dy}}=0} וכן d F = 0 {\displaystyle dF=0} . למעשה, הביטוי האחרון הוא הדיפרנציאל השלם של הפונקציה, שעל פי הגדרתו ניתן להצגה בצורה הבאה: d F = ∂ F ∂ x d x + ∂ F ∂ y d y {\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy} , וכמובן שבגלל טרנזיטיביות יחס השוויון מתקיים ∂ F ∂ x d x + ∂ F ∂ y d y = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy=0} . נחלק את שני אגפי המשוואה ב- d x {\displaystyle dx} ונקבל ∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y d y d x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0} . כדי למצוא את הנגזרת של הפונקציה הסתומה, נרצה לבודד את d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} , וכאשר נצליח לעשות זאת, בדיוק נמצא את הנגזרת הסתומה. על ידי העברת אגפים, וחלוקה ב- ∂ F ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}} נקבל: d y d x = − ∂ F ∂ x / ∂ F ∂ y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial F}{\partial x}}/{\frac {\partial F}{\partial y}}} . דוגמה: נניח שנתונה המשוואה הסתומה sin ⁡ ( x y ) = ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle \sin(xy)=\ln(x^{2}+y^{2})} , נעביר אגפים כדי לקבל את הצורה sin ⁡ ( x y ) − ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0 {\displaystyle \sin(xy)-\ln(x^{2}+y^{2})=0} , וכעת נגדיר F ( x , y ) = sin ⁡ ( x y ) − ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle F(x,y)=\sin(xy)-\ln(x^{2}+y^{2})} . נשתמש בזהות שפיתחנו, ולשם כך נמצא תחילה את ∂ F ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}} ו- ∂ F ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}} : ∂ F ∂ x = y cos ⁡ ( x y ) − 2 x x 2 + y 2 = ( x 2 + y 2 ) y cos ⁡ ( x y ) − 2 x x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}=y\cos(xy)-{\frac {2x}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {(x^{2}+y^{2})y\cos(xy)-2x}{x^{2}+y^{2}}}} , ∂ F ∂ y = x cos ⁡ ( x y ) − 2 y x 2 + y 2 = ( x 2 + y 2 ) x cos ⁡ ( x y ) − 2 y x 2 + y 2 {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}=x\cos(xy)-{\frac {2y}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {(x^{2}+y^{2})x\cos(xy)-2y}{x^{2}+y^{2}}}} . עתה נציב את הנגזרות החלקיות לנוסחה שפיתחנו קודם לכן: d y d x = − ( x 2 + y 2 ) y cos ⁡ ( x y ) − 2 x x 2 + y 2 / ( x 2 + y 2 ) x cos ⁡ ( x y ) − 2 y x 2 + y 2 = − ( x 2 + y 2 ) y cos ⁡ ( x y ) − 2 x ( x 2 + y 2 ) x cos ⁡ ( x y ) − 2 y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2})y\cos(xy)-2x}{x^{2}+y^{2}}}/{\frac {(x^{2}+y^{2})x\cos(xy)-2y}{x^{2}+y^{2}}}=-{\frac {(x^{2}+y^{2})y\cos(xy)-2x}{(x^{2}+y^{2})x\cos(xy)-2y}}} בהינתן משוואה המתארת פונקציה F ( x , y ) {\displaystyle F_{(x,y)}} בעלת 2 משתנים (לא משנה אם המשוואה מפורשת או נתונה בצורה סתומה): מבודדים את האפס - כלומר, מעבירים את כל האיברים לאגף אחד (לא חשוב איזה), כך שבאגף האחר יהיה רק אפס. מגדירים את האגפים כפונקציה חדשה של שלושה משתנים G ( x , y , F ) {\displaystyle G_{(x,y,F)}} , כמובן ששני אגפי המשוואה שווים, ולכן הפונקציה החדשה שווה לאפס. כעת נשתמש בנוסחה: F x ′ = − G x ′ G F ′ {\displaystyle F'_{x}=-{\tfrac {G'_{x}}{G'_{F}}}} זאת למעשה הנגזרת של F {\displaystyle F} לפי x {\displaystyle x} , ובאותו אופן נמצא את F {\displaystyle F} לפי y {\displaystyle y} : F y ′ = − G y ′ G F ′ {\displaystyle F'_{y}=-{\tfrac {G'_{y}}{G'_{F}}}} בנוסף, ניתן לקבל גם כן את הנגזרת של x {\displaystyle x} לפי F {\displaystyle F} וכן הלאה... (כאילו ש- x {\displaystyle x} הוא הפונקציה ו- F {\displaystyle F} היא המשתנה.) וכעת דוגמה: נתונה המשוואה: l n ( x ) + y + s i n ( z ) + z 2 = 4 x {\displaystyle ln(x)+y+sin(z)+z^{2}=4x} ונניח שאנו רוצים את הנגזרת של z {\displaystyle z} לפי x {\displaystyle x} l n ( x ) + y + s i n ( z ) + z 2 − 4 x = 0 {\displaystyle ln(x)+y+sin(z)+z^{2}-4x=0} G ( x , y , F ) = l n ( x ) + y + s i n ( z ) + z 2 − 4 x = 0 {\displaystyle G_{(x,y,F)}=ln(x)+y+sin(z)+z^{2}-4x=0} כעת יש לגזור את G {\displaystyle G} לפי x {\displaystyle x} ולגזור את G {\displaystyle G} שוב, הפעם לפי z {\displaystyle z} , ואז להציב בנוסחה. יכול להיות (לדוגמה) שהנגזרת של אחד המשתנים (נניח z {\displaystyle z} ) לפי משתנה מסוים (נניח x {\displaystyle x} ), תהיה תלויה בין היתר גם במשתנה עצמו אשר אותו אנו גוזרים ( z ) {\displaystyle (z)} , ולכן אם מבקשים מאיתנו למצוא את הנגזרת של z {\displaystyle z} לפי x {\displaystyle x} בנקודה מסוימת, לדוגמה ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} - אזי עלינו להציב במשוואה המקורית x = 1 , y = 2 {\displaystyle x=1,y=2} . לאחר שנקבל את z {\displaystyle z} , נוכל להציב את שלושתם בנגזרת. משפט הפונקציה הסתומה הפרח של גראנדי פונקציה סתומה, באתר MathWorld (באנגלית)