פעולה אסוציאטיבית

המונח "אסוציאטיביות" מפנה לכאן. אם הכוונה למשמעות אחרת, ראו אסוציאטיביות (פירושונים). במתמטיקה, פעולה אסוציאטיבית היא פעולה בינארית המקיימת את חוק הקיבוץ. כלומר, אם נסמן את תוצאת הפעולה על איברים a , b {\displaystyle a,b} על ידי a ∗ b {\displaystyle a*b} אז הפעולה מקיימת לכל   a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} את השוויון   a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle \ a*(b*c)=(a*b)*c} . פעולות החיבור והכפל של מספרים הן דוגמאות חשובות לפעולות אסוציאטיביות. דוגמה כללית יותר היא פעולת ההרכבה של פונקציות (ראו להלן). קיימות עוד פעולות אסוציאטיביות רבות, כמו כפל מטריצות. לפעולות אסוציאטיביות תפקיד מרכזי באלגברה מופשטת – מערכת הכוללת קבוצה עם פעולה אסוציאטיבית נקראת חבורה למחצה, והנחות נוספות על הפעולה מוליכות להגדרה של מונויד ושל חבורה. בחוג הכפל הוא אסוציאטיבי (והחיבור הוא אסוציאטיבי וקומוטטיבי, ומתקיים חוק הפילוג של החיבור ביחס לכפל). באלגברה נלמדות גם מערכות שבהן הכפל אינו אסוציאטיבי. הרכבה של פעולות מאפשרת להגדיר בעזרת פעולה בינארית גם פעולות על מספר כלשהו של משתנים. למשל, בארבעה משתנים קיימות הפעולות   ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ↦ x 1 ∗ ( x 2 ∗ ( x 3 ∗ x 4 ) ) , x 1 ∗ ( ( x 2 ∗ x 3 ) ∗ x 4 ) , ( x 1 ∗ x 2 ) ∗ ( x 3 ∗ x 4 ) , ( x 1 ∗ ( x 2 ∗ x 3 ) ) ∗ x 4 , ( ( x 1 ∗ x 2 ) ∗ x 3 ) ∗ x 4 {\displaystyle \ (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\mapsto x_{1}*(x_{2}*(x_{3}*x_{4})),\,x_{1}*((x_{2}*x_{3})*x_{4}),\,(x_{1}*x_{2})*(x_{3}*x_{4}),\,(x_{1}*(x_{2}*x_{3}))*x_{4},\,((x_{1}*x_{2})*x_{3})*x_{4}} . מספר הפעולות השונות שאפשר להגדיר באופן הזה, כאשר * הוא אופרטור בינארי, הוא מספר קטלן. אם הפעולה אסוציאטיבית, כל הפעולות יתנו אותה תוצאה. בדרך כלל המונח "פעולה אסוציאטיבית" מתייחס, כאמור, לפעולה בינארית, כלומר לפונקציה   A × A → A {\displaystyle \ A\times A\rightarrow A} . עם זאת למלה "פעולה" יש גם משמעות רחבה יותר, והיא עשויה לחול על כל פונקציה דו-מקומית   A × B → C {\displaystyle \ A\times B\rightarrow C} . במצב שבו מוגדרות פעולות   f : A × B → X {\displaystyle \ f:A\times B\rightarrow X} ,   g : B × C → Y {\displaystyle \ g:B\times C\rightarrow Y} , וכן   a : X × C → Ω {\displaystyle \ a:X\times C\rightarrow \Omega } ו-   b : A × Y → Ω {\displaystyle \ b:A\times Y\rightarrow \Omega } , אומרים שהמערכת אסוציאטיבית (או שאחת הפעולות אסוציאטיבית ביחס לאחרות) אם הדיאגרמה   A × B × C ⟶ 1 × g A × Y ↓ f × 1 ↓ b X × C ⟶ a Ω {\displaystyle \ {\begin{array}{ccc}A\times B\times C&\longrightarrow ^{1\times g}&A\times Y\\\downarrow ^{f\times 1}&&\downarrow ^{b}\\X\times C&\longrightarrow ^{a}&\Omega \end{array}}} קומוטטיבית. הרכבה של פונקציות היא אסוציאטיבית במובן הכללי הזה: לכל שלוש פונקציות   X → f Y → g Z → h U {\displaystyle \ X{\stackrel {f}{\rightarrow }}Y{\stackrel {g}{\rightarrow }}Z{\stackrel {h}{\rightarrow }}U} מתקיים   ( h ∘ g ) ∘ f = h ∘ ( g ∘ f ) {\displaystyle \ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)} . גם פעולת הכפל בסקלר של מודול M מעל חוג R היא אסוציאטיבית במובן דומה: לכל   a , b ∈ R {\displaystyle \ a,b\in R} ו-   v ∈ M {\displaystyle \ v\in M} מתקיים   a ( b x ) = ( a b ) x {\displaystyle \ a(bx)=(ab)x} . אין קשר ישיר בין אסוציאטיביות לתכונה אחרת של פעולות בינאריות, קומוטטיביות: ישנן פעולות שהן גם קומוטטיביות וגם אסוציאטיביות (לדוגמה: חיבור וכפל במספרים, AND, OR, XOR). ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות ולא אסוציאטיביות (לדוגמה: חיסור וחילוק). ישנן פעולות שהן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיביות (למשל: הערך המוחלט של ההפרש, NOR, ‏NAND). ישנן פעולות שהן לא קומוטטיביות אבל כן אסוציאטיביות (למשל: הפעולה המוגדרת לפי   a # b = a {\displaystyle \ a\#b=a} , או כפל מטריצות). אלגברה לא אסוציאטיבית פעולה אסוציאטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)