שדה וקטורי משמר

באנליזה וקטורית, שדה וקטורי משמר הוא שדה וקטורי שהוא בעצם גרדיאנט של שדה סקלרי (שבגלל סיבות פיזיקליות נקרא פוטנציאל), או באופן שקול שדה וקטורי שהאינטגרל הקווי שלו לאורך מסילה סגורה שווה לאפס. דרישה זו שקולה לכך שהערך של אינטגרל קווי בין שתי נקודות לא תלוי במסילה עליה נעשית האינטגרציה, אלא רק בנקודות הקצה. שדה חסר סיבוב (Irrotational) שתחום ההגדרה שלו הוא מרחב פשוט קשר (simply connected) הוא שדה משמר. שדה וקטורי חסר סיבוב שהוא גם אי-דחיס (solenoidal, כלומר הדיברגנץ שלו מתאפס) נקרא שדה וקטורי לפלסיאני מכיוון שהגרדיאנט שלו הוא פתרון של משוואת לפלס. שדה וקטורי   v {\displaystyle \ \mathbf {v} } נקרא שדה משמר אם קיים שדה סקלרי   φ {\displaystyle \ \varphi } כך ש- v = ∇ φ {\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi } . כלומר:   v {\displaystyle \ \mathbf {v} } הוא הגרדיאנט של   φ {\displaystyle \ \varphi } . כאשר תנאי זה מתקיים −   φ {\displaystyle -\ \varphi } נקרא פוטנציאל סקלרי של   v {\displaystyle \ \mathbf {v} } . משפט הפירוק של הלמהולץ לאנליזה וקטורית טוען שכל שדה וקטורי ניתן להציג כסכום של שדה משמר ושדה וקטורי סולנואידי. תכונת מפתח של שדה משמר היא שהאינטגרל הקווי בין שתי נקודות A ו-B המחוברות במסילה   γ {\displaystyle \ \gamma } לא תלוי באיזה מסילה   γ {\displaystyle \ \gamma } בוחרים, אלא רק בנקודות הקצה. זה נובע ישירות ממשפט הגרדיאנט: ∫ γ v ⋅ d r = ∫ γ ∇ φ ⋅ d r = φ ( B ) − φ ( A ) {\displaystyle \int _{\gamma }\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\gamma }\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =\varphi (B)-\varphi (A)} . זה שקול לתכונה ש- ∮ v ⋅ d r = 0 {\displaystyle \oint \mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0} על כל מסילה סגורה בתחום ההגדרה. באמצעות משפט סטוקס אפשר להשתמש בתכונה זו ולהוכיח זהות יסודית באנליזה וקטורית:   ∬ Ω ( ∇ × ∇ φ ) ⋅ d A = ∮ ∂ Ω ∇ φ ⋅ d r = 0 {\displaystyle \ \iint _{\Omega }(\nabla \times \nabla \varphi )\cdot d\mathbf {A} =\oint _{\partial \Omega }\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} =0} , ומכאן נובע   ∇ × ∇ φ = 0 {\displaystyle \ \nabla \times \nabla \varphi =0} כלומר: רוטור של גרדיאנט של פוטנציאל סקלרי שווה לאפס. גם ההפך הוא נכון, אם אינטגרל מסלולי של שדה וקטורי מתאפס על כל מסילה סגורה בתחום פתוח ופשוט קשר S ⊂ R 3 {\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}} אזי הוא שדה משמר. שדה וקטורי v {\displaystyle \mathbf {v} } נקרא חסר-סיבוב אם הרוטור שלו מתאפס ∇ × v = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\mathbf {0} } . מסיבה זו נקראים שדות כאלה לעיתים כ"חסרי קרל" (curl-free) או "חסרי רוטור". כל שדה משמר, כלומר שניתן להציגו כגרדיאנט של שדה סקלרי   φ {\displaystyle \ \varphi } מקיים את הזהות הבאה ∇ × ∇ φ = 0 {\displaystyle \nabla \times \nabla \varphi =\mathbf {0} } . לכן כל שדה וקטורי משמר הוא שדה וקטורי חסר-סיבוב. אם S הוא תחום פשוט קשר, ההפך גם נכון: שדה חסר סיבוב המוגדר על S הוא גם שדה משמר. ההפך איננו נכון אם S הוא לא פשוט קשר. נציג דוגמה הממחישה זאת. יהי S המרחב האוקלידי התלת-ממדי שממנו אנו מוציאים החוצה את ציר z, כלומר S = R 3 ∖ { ( 0 , 0 , z )   |   z ∈ R } {\displaystyle S=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)~|~z\in \mathbb {R} \}} . כעת נגדיר שדה וקטורי על ידי v = ( − y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {v} =\left({\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)} . שדה זה קיים בכל מקום ב-S והרוטור שלו מתאפס בכל מקום ב-S. ברם, הסירקולציה (אינטגרל קווי על מסילה סגורה) של v {\displaystyle \mathbf {v} } סביב עיגול היחידה במישור x-y שווה ל-   2 π {\displaystyle \ 2\pi } . לכן, v {\displaystyle \mathbf {v} } לא מקיים את התנאי של אי-תלות בדרך (ליתר דיוק: לא מקיים את התנאי השקול שהאינטגרל הקווי על כל לולאה סגורה שווה לאפס). משמע, שדה זה איננו שדה משמר. ממבט יותר אבסטרקטי, של גאומטריה דיפרנציאלית, שדה וקטורי משמר הוא חד-תבנית מדויקת (exact 1-form). כלומר, הוא חד-תבנית השווה לנגזרת חיצונית (exterior derivative) של 0-תבנית (שדה סקלרי)   ϕ {\displaystyle \ \phi } . שדה וקטורי חסר סיבוב הוא חד-תבנית סגורה (closed 1-form). מאחר ש- d2 = 0 כל תבנית מדויקת היא גם סגורה, כך שכל שדה וקטורי משמר הוא חסר סיבוב. התחום הוא מרחב פשוט קשר אם ורק אם חבורת ההומולוגיה הראשונה שלו היא אפס, שזה שקול לכך שחבורת הקוהומולוגיה שלו היא אפס. קוהומולוגיית דה-ראם הראשונה H d R 1 {\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{1}} היא אפס אם ורק אם כל החד-תבניות הסגורות הן מדויקות. ערך מורחב – כוח משמר אם השדה הווקטורי הוא שדה כוח פיזיקלי F {\displaystyle \mathbf {F} } אזי הכוח נקרא כוח משמר. הדוגמה הכי טובה לכוח משמר היא כוח הכבידה. לפי חוק הכבידה האוניברסלי של אייזק ניוטון, כוח הכבידה F G {\displaystyle \mathbf {F} _{G}} , הפועל על מסה m בגלל מסה M במרחק r ממנה, נתון על ידי F G = − G m M r ^ r 2 , {\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM{\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}},} כאשר G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי ו- r ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}} הוא וקטור יחידה המצביע מהמקום של M על המקום של m. זהו כוח משמר שכן F G = − ∇ Φ G {\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}} , כאשר Φ G = − G m M r {\displaystyle \Phi _{G}=-{\frac {GmM}{r}}} הוא האנרגיה הפוטנציאלית של הכבידה. עבור כוח משמר, אי-תלות במסלול אפשר לפרש בתור כך שהעבודה (פיזיקה) הנעשית במעבר מנקודה A לנקודה B איננה תלויה במסלול הנעשה, ושהעבודה הנעשית במהלך מסלול סגור שווה לאפס: W = ∮ F ⋅ d r = 0 {\displaystyle W=\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =0} . חוק שימור האנרגיה קובע שהאנרגיה הכוללת של חלקיק הנע תחת השפעת כוח משמר נשמרת. במצב זה שינוי באנרגיה פוטנציאלית מומר לשינוי באנרגיה הקינטית, ולהפך. George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition, Elsevier Academic Press (2005) D. J. Acheson, Elementary Fluid Dynamics, Oxford University Press (2005) שדה וקטורי משמר, באתר MathWorld (באנגלית)