התבנית היסודית הראשונה

בגאומטריה דיפרנציאלית, התבנית היסודית הראשונה היא תבנית דיפרנציאלית ריבועית המתקבלת מהמכפלה הפנימית על המרחב המשיק למשטח במרחב אוקלידי תלת-ממדי אשר מושרית מן המכפלה הסקלרית ב-R3. היא מאפשרת את חישוב העקמומיות ותכונות מטריות אחרות של המשטח כמו אורכים ושטחים באופן עקבי עם המרחב בו המשטח משוכן. התבנית היסודית הראשונה מסומנת בדרך כלל על ידי האות הרומאית I, I ( x , y ) = ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle } יהי X(u, v) משטח בהצגה פרמטרית, כאשר u ו-v הן קואורדינטות המוגדרות על המשטח. יהי r(u, v) וקטור מן הראשית לנקודה עליו. הביטוי: d r = r u d u + r v d v {\displaystyle d\mathbf {r} =\mathbf {r_{u}} du+\mathbf {r_{v}} dv} הוא הדיפרנציאל של הווקטור r כאשר השינוי בו נעשה בכיוון העתק המוגדר על ידי היחס d u : d v {\displaystyle du:dv} , ושבמסגרתו זזים נקודה M לנקודה קרובה באופן אינפיניטסימלי 'M. העלאה בריבוע של הביטוי הדיפרנציאלי הליניארי לעיל מאפשרת לבטא את אלמנט האורך ds במונחי הנגזרות החלקיות r u , r v {\displaystyle \mathbf {r_{u}} ,\mathbf {r_{v}} } : I = d s 2 = d r 2 = r u 2 d u 2 + 2 r u r v d u d v + r v 2 d v 2 {\displaystyle \mathrm {I} =ds^{2}=d\mathbf {r} ^{2}=\mathbf {r_{u}^{2}} du^{2}+2\mathbf {r_{u}r_{v}} dudv+\mathbf {r_{v}^{2}} dv^{2}} וביטוי זה מכונה התבנית היסודית הראשונה של המשטח. המקדמים בתבנית היסודית הראשונה בדרך כלל מסומנים באותיות E , F , G {\displaystyle E,F,G} כאשר: E = r u 2 , F = r u r v , G = r v 2 {\displaystyle E=\mathbf {r_{u}^{2}} ,F=\mathbf {r_{u}r_{v}} ,G=\mathbf {r_{v}^{2}} } מכיוון שהתבנית היסודית הראשונה היא תבנית ריבועית המייצגת אלמנט מרחק, על פי הגדרה היא מוכרחה להיות חיובית לחלוטין, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המייצגת שלה חיובית: E G − F 2 > 0 {\displaystyle EG-F^{2}>0} . הצורה של מקדמי התבנית היסודית הראשונה תלויה באופן בחירת מערכת הקואורדינטות (u,v) עמה מציגים את המשטח פרמטרית. היא מקבלת את הצורה האורתוגונלית הבאה כאשר קווים שווי - u חותכים בכל מקום קווים שווי - v בזוויות ישרות (קואורדינטות אורתוגונליות): E ( u , v ) d u 2 + G ( u , v ) d v 2 {\displaystyle E(u,v)du^{2}+G(u,v)dv^{2}} לדוגמה, בחירה של מערכת קווי אורך (u) וקווי רוחב (v) על הספירה S 2 {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}} היא הצגה פרמטרית אורתוגונלית, ומקדמי התבנית היסודית הראשונה מקבלים במקרה זה את הצורה E ( u , v ) = s i n 2 v , G ( u , v ) = 1 {\displaystyle E(u,v)=\mathbb {sin} ^{2}v,G(u,v)=1} . עם זאת, לא לכל משטח ניתן להגדיר מערכת קואורדינטות אורתוגונליות גלובלית (המכסה את כולו) ולכן לא ניתן תמיד להימנע מצורות סבוכות יותר של מקדמי התבנית. התבנית היסודית הראשונה לעיתים קרובות נכתבת בסימון המודרני של הטנזור המטרי. בסימון זה, המקדמים נכתבים כ-gij: ( g i j ) = ( g 11 g 12 g 21 g 22 ) = ( E F F G ) {\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}} רכיבי הטנזור הזה מחושבים דרך המכפלה הסקלרית של וקטורים משיקים X1 ו-X2: g i j = ⟨ X i , X j ⟩ {\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle } בעבור i = 1 , 2   j = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2\ j=1,2} . עקמומיות גאוס של משטח נתונה על ידי: K = det I I p det I p = L N − M 2 E G − F 2 , {\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},} כאשר L,M,N הם מקדמי התבנית היסודית השנייה. התיאורמה אגרגיום של גאוס קובע שעקמומיות גאוס של משטח ניתנת לביטוי באמצעות מקדמי התבנית היסודית הראשונה ונגזרותיהם החלקיות, כך ש-K היא למעשה שמורה פנימית של המשטח. מטריקה רימנית התבנית היסודית הראשונה, באתר MathWorld (באנגלית)