משפט הקוסינוסים

משפט הקוסינוס הוא משפט טריגונומטרי שמציין את הקשר בין צלעות משולש לאחת מזוויותיו. המשפט הוא הכללה של משפט פיתגורס למשולש כלשהו. עבור משולש שצלעותיו הן   a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} והזווית שמול c היא γ {\displaystyle \gamma } , משפט הקוסינוס קובע:   c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle \ c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma } משפט פיתגורס מתקבל במקרה הפרטי שבו γ = 90 ∘ {\displaystyle \gamma =90^{\circ }} ולכן: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ 90 ∘ = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ 0 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot 0=a^{2}+b^{2}} . משפט הקוסינוסים מופיע כבר בספר 'יסודות' של אוקלידס מהמאה השלישית לפנה"ס. הספר מכיל גרסה גאומטרית, ללא שימוש בפונקציות טריגונומטריות (כיוון שטרם הוגדרו). המשפט מופיע בכרך 2 של ה'יסודות' כמשפט 12 עבור משולש קהה-זווית וכמשפט 13 עבור משולש חד-זווית. בציור משמאל, גרסת המשפט עבור משולש חד-זווית: B C 2 + A C 2 = A B 2 + 2 ⋅ A R E A D H I C {\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}+2\cdot AREA_{\color {blue}DHIC}} . מכיוון ש A R E A D H I C = B C ⋅ A C ⋅ cos ⁡ ( A C B ) {\displaystyle AREA_{\color {blue}DHIC}\color {black}=BC\cdot AC\cdot \cos(ACB)} מתקבל משפט הקוסינוסים בגרסתו המוכרת. גרסה זו נוסחה בימי הביניים בעקבות פיתוחו של ענף הטריגונומטריה על ידי מתמטיקאים מוסלמים. בתחילת המאה העשירית האסטרונום והמתמטיקאי המוסלמי אל-בתאני הכליל את המשפט לגאומטריה ספירית. הכללה זו אפשרה לו לחשב את המרחק הזוויתי בין כוכבים. המתמטיקאי ג'משיד אל-קאשי מסמרקנד בן המאה ה-15 חישב ערכים של פונקציות טריגונומטריות. חישוביו הפכו את משפט הקוסינוסים ממשפט תאורטי למשפט שימושי. בצרפתית משפט הקוסינוסים נקרא משפט אל-קאשי. נעביר גובה לצלע c (ראו ציור משמאל). c = a cos ⁡ ( β ) + b cos ⁡ ( α ) . {\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.} . (השוויון נכון גם עבור משולש קהה זווית. שם האנך חותך את c מחוץ למשולש וקוסינוס הזווית הקהה הוא שלילי). נכפיל את השוויון הקודם ב-c ונקבל: c 2 = a c cos ⁡ ( β ) + b c cos ⁡ ( α ) . {\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.} . באותו אופן מקבלים: a 2 = a c cos ⁡ ( β ) + a b cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,} , b 2 = b c cos ⁡ ( α ) + a b cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,} . מחיבור שתי המשוואות הנ"ל נקבל: a 2 + b 2 = a c cos ⁡ ( β ) + b c cos ⁡ ( α ) + 2 a b cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,} . לאחר העברת אגפים נקבל: a c cos ⁡ ( β ) + b c cos ⁡ ( α ) = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) {\displaystyle ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )\,} . לפי השלב השני בהוכחה, אגף שמאל של המשוואה האחרונה שווה ל-c 2 ומתקבל משפט הקוסינוסים: c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( γ ) . {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,} . הוכחה זו כאמור, נכונה עבור משולש כלשהו. בהוכחות רבות הנעזרות בטריגונומטריה, נעשית הפרדה בין משולשים חדי-זווית למשולשים קהי-זווית. ניקח משולש בעל צלעות   a {\displaystyle \ a} ,   b {\displaystyle \ b} ו-   c {\displaystyle \ c} , ובעל זוויות β {\displaystyle \beta } , α {\displaystyle \alpha } ו- γ {\displaystyle \gamma } ממול לכל צלע בהתאמה. נוריד גובה מקודקוד הזווית β {\displaystyle \beta } לצלע b. את המשוואה נקבל באמצעות משפט פיתגורס על המשולש ישר הזווית השמאלי: c 2 = ( a sin ⁡ γ ) 2 + ( b − a cos ⁡ γ ) 2 {\displaystyle c^{2}=(a\sin \gamma )^{2}+(b-a\cos \gamma )^{2}\,} = a 2 sin 2 ⁡ γ + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ + a 2 cos 2 ⁡ γ {\displaystyle =a^{2}\sin ^{2}\gamma +b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma \,} = a 2 ( sin 2 ⁡ γ + cos 2 ⁡ γ ) + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle =a^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )+b^{2}-2ab\cos \gamma \,} = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,} היות ש: sin 2 ⁡ γ + cos 2 ⁡ γ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma =1\,} . את המשולש ABC שצלעותיו BC = a AC = b AB = c,נחסום במעגל, כפי שניתן לראות בשרטוט משמאל. נבנה משולש ABD החופף למשולש המקורי: AD=BC ו BD=AC. מהקודקודים C,D נעביר גבהים החותכים את הצלע AB בנקודות F,E בהתאמה. B F = A E = B C cos ⁡ ( ∠ C B A ) = a cos ⁡ ( ∠ C B A ) ⇒   D C = E F = A B − 2 B F = c − 2 a cos ⁡ ( ∠ C B A ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos(\angle CBA)=a\cos(\angle CBA)\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos(\angle CBA).\end{aligned}}} כעת, ממשפט תלמי נקבל: A D × B C + A B × D C = A C × B D ⇒   a 2 + c ( c − 2 a cos ⁡ ( ∠ C B A ) ) = b 2 ⇒   a 2 + c 2 − 2 a c cos ⁡ ( ∠ C B A ) = b 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos(\angle CBA))=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\angle CBA)=b^{2}.\end{aligned}}} את המשפט קל להוכיח באמצעות חשבון וקטורים. וקטור הוא גודל ליניארי מופשט הקיים במרחב וקטורי. על וקטורים במישור R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ניתן לחשוב כעל חצים בעלי אורך וכיוון, ובאמצעותם לייצג צורות גאומטריות, ובפרט מצולעים כגון משולש. קל לראות מהאיור ש- c → = a → − b → {\displaystyle {\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}} . נשתמש במכפלה סקלרית ונקבל: c 2 = c → ⋅ c → = ( a → − b → ) ⋅ ( a → − b → ) = a → ⋅ a → + b → ⋅ b → − 2 a → ⋅ b → = a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2}={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma } שכן הזווית γ {\displaystyle \gamma } שמול הצלע c במשולש שווה לזווית בין הווקטורים a → {\displaystyle {\vec {a}}} ו- b → {\displaystyle {\vec {b}}} (שכן הן זוויות בין ישרים מקבילים הנוצרים מהעתקה מקבילה של הווקטור b → {\displaystyle {\vec {b}}} ). עבור סימפלקסים רב-ממדיים (מממד גבוה מ-2) קיימות נוסחאות טריגונומטריות בעלות צורה דומה לזו של משפט הקוסינוסים. במקרה התלת-ממדי, הסימפלקס המתקבל הוא הטטראדר, והנוסחה האנלוגית למשפט הקוסינוסים קושרת בין השטחים של שלוש פאות והזוויות הדיהדרליות ביניהן לשטח הפאה הרביעית. אם נסמן את השטחים של ארבע הפאות של הטטראדר ב-α,β,γ,δ ואת הזווית הדיהדרלית בין שתי פאות בסימון (למשל) β γ ^ {\displaystyle {\widehat {\beta \gamma }}} , אז: α 2 = β 2 + γ 2 + δ 2 − 2 ( β γ cos ⁡ ( β γ ^ ) + γ δ cos ⁡ ( γ δ ^ ) + δ β cos ⁡ ( δ β ^ ) ) . {\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left(\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right).} השלב המרכזי בהוכחה הוא להראות שאם נשרטט וקטור ניצב לכל פאה אשר אורכו שווה לשטח שלה, אז סכום ארבעת הווקטורים שיתקבלו יהיה אפס. אם נציב את הראשית באחד מקודקודי הארבעון ונניח שכיוון כל אחד משלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות שנפגשות באותו קודקוד הוא אל הראשית (ולא החוצה), אז אם נסמן את שלושת הווקטורים הללו ב- d → , e → , f → {\displaystyle {\vec {d}},{\vec {e}},{\vec {f}}} , נקבל ששלושת הווקטורים המייצגים את שלוש הצלעות הנותרות הם: a → = d → − e → , b → = e → − f → , c → = f → − d → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {d}}-{\vec {e}},{\vec {b}}={\vec {e}}-{\vec {f}},{\vec {c}}={\vec {f}}-{\vec {d}}} . כל אחד מוקטורי הנורמל לפאות שווה למחצית המכפלה הווקטורית שמתאימה לו: n α = 1 2 d → × ( − e → ) , n β = 1 2 f → × ( − d → ) , n γ = 1 2 e → × ( − f → ) {\displaystyle n_{\alpha }={\frac {1}{2}}{\vec {d}}\times (-{\vec {e}}),n_{\beta }={\frac {1}{2}}{\vec {f}}\times (-{\vec {d}}),n_{\gamma }={\frac {1}{2}}{\vec {e}}\times (-{\vec {f}})} בעוד המכפלה הווקטורית המתאימה לפאה האחרונה היא: n δ = 1 2 b → × ( − c → ) = 1 2 ( e → − f → ) × ( f → − d → ) {\displaystyle n_{\delta }={\frac {1}{2}}{\vec {b}}\times (-{\vec {c}})={\frac {1}{2}}({\vec {e}}-{\vec {f}})\times ({\vec {f}}-{\vec {d}})} אם נחבר את ארבעת וקטורי הנורמל תוך שימוש בדיסטריביוטיביות המכפלה הווקטורית, נקבל: n α + n β + n γ + n δ = 1 2 ( d × ( − e ) + f × ( − d ) + e × ( − f ) + e × f − e × d − f × f + f × d ) = 0 {\displaystyle n_{\alpha }+n_{\beta }+n_{\gamma }+n_{\delta }={\frac {1}{2}}(d\times (-e)+f\times (-d)+e\times (-f)+e\times f-e\times d-f\times f+f\times d)=0} חוק הקוסינוסים בעבור טטראדר מתקבל מעובדה זו בצורה מיידית באמצעות שוויון הנורמה בריבוע של n α {\displaystyle n_{\alpha }} עם המכפלה הסקלרית ⟨ n β + n γ + n δ , n β + n γ + n δ ⟩ {\displaystyle \langle n_{\beta }+n_{\gamma }+n_{\delta },n_{\beta }+n_{\gamma }+n_{\delta }\rangle } , ממנו מקבלים: α 2 = β 2 + γ 2 + δ 2 + 2 ( ⟨ n β , n γ ⟩ + ⟨ n γ , n δ ⟩ + ⟨ n β , n δ ⟩ ) {\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}+2(\langle n_{\beta },n_{\gamma }\rangle +\langle n_{\gamma },n_{\delta }\rangle +\langle n_{\beta },n_{\delta }\rangle )} אבל, מהגדרת הזווית הדיהדרלית נובע: ⟨ n β , n γ ⟩ = β γ c o s ( π − β γ ^ ) {\displaystyle \langle n_{\beta },n_{\gamma }\rangle =\beta \gamma cos(\pi -{\widehat {\beta \gamma }})} , מה שמשלים את ההוכחה. משפט הסינוסים משפט הטנגנסים פונקציית הקוסינוס משפט הקוסינוסים, באתר MathWorld (באנגלית) משפט הקוסינוסים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)