משפט האי-שכפול

משפט האי-שכפול (באנגלית: No cloning theorem) הוא משפט בתורת האינפורמציה הקוונטית. לפי המשפט, לא קיים אופרטור היוצר עותק זהה למצב קוונטי שרירותי. הוא נוסח על ידי ווטרס, וויצ'ך ז'ורק, ודיקס בשנת 1982, ובעל השלכות רבות על מחשוב קוונטי ותחומים דומים. המצב של מערכת יכול להיות שזור עם מצב של מערכת אחרת (לדוגמה, מצבי בל), אך זהו לא שכפול. משום שאין מצב מוגדר היטב שניתן להתייחס אליו כאל תת-מערכת של מצב שזור. שכפול הוא תהליך שתוצאתו היא שני מצבים זהים לא שזורים. משפט האי-שכפול בדרך כלל מנוסח ומוכח עבור מצבים טהורים, ומשפט האי-שידור מכליל זאת למצבים מעורבים. למשפט האי-שכפול יש תאום הפוך בזמן: משפט האי-מחיקה, הטוען כי לא קיים אופרטור שבהינתן שני עותקים זהים של מצב קוונטי שרירותי, מוחק את אחד העותקים. יחד, משפטים אלו מחזקים את המשמעות של מכניקת הקוונטים במונחי תורת הקטגוריות. תהי מערכת A, ויהי מצב קוונטי המתאר אותה | ψ ⟩ A {\displaystyle |\psi \rangle _{A}} (ראו סימון דיראק). כדי ליצור עותק של המצב, ניקח מרחב זהה B ומצב התחלתי | e ⟩ B {\displaystyle |e\rangle _{B}} . המצב ההתחלתי חייב להיות בלתי תלוי במצב | ψ ⟩ A {\displaystyle |\psi \rangle _{A}} , שאין לנו שום ידע מקדים עליו. המצב של המערכת המורכבת מתואר על ידי המכפלה הטנזורית בין המצבים: | ψ ⟩ A ⊗ | e ⟩ B {\displaystyle |\psi \rangle _{A}\otimes |e\rangle _{B}\,} מכאן ואילך, נשמיט את הסימן ⊗ {\displaystyle \otimes } לצורך נוחות, אך עדיין מדובר במכפלה טנזורית. ישנן שתי דרכים לתפעול המערכת המורכבת. נוכל לבצע מדידה, שתקריס באופן בלתי הפיך את המערכת למצב עצמי של האופרטור, ותשנה את המידע שהוכל במערכת, וברור כי זהו לא מצב העונה על דרישות המשפט. לחלופין, ניתן לשנות את ההמילטוניאן של המערכת, ובכך להשפיע על אופרטור הקידום בזמן U (בעבור המילטוניאן לא תלוי בזמן, מתקיים U ( t ) = e − i H t / ℏ {\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }} , כאשר − H / ℏ {\displaystyle -H/\hbar } הוא היוצר של הזזות בזמן). אזי U יתנהג כאופרטור המעתיק, בתנאי שיקיים: U | ϕ ⟩ A | e ⟩ B = | ϕ ⟩ A | ϕ ⟩ B {\displaystyle U|\phi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=|\phi \rangle _{A}|\phi \rangle _{B}\,} לכל מצב אפשרי | ϕ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle } במרחב המצבים (כולל | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } ). היות ש-U היא אופרטור אוניטרי, היא משמרת מכפלה פנימית: ⟨ e | B ⟨ ϕ | A | ψ ⟩ A | e ⟩ B = ⟨ e | B ⟨ ϕ | A U † U | ψ ⟩ A | e ⟩ B = ⟨ ϕ | B ⟨ ϕ | A | ψ ⟩ A | ψ ⟩ B , {\displaystyle \langle e|_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle e|_{B}\langle \phi |_{A}U^{\dagger }U|\psi \rangle _{A}|e\rangle _{B}=\langle \phi |_{B}\langle \phi |_{A}|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B},} וכיוון שמכניקת הקוונטים מניחה נרמול, מתקיים גם: ⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ 2 . {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}.\,} מכאן, נקבל בהכרח שמתקיים ϕ = ψ {\displaystyle \phi =\psi } (ואז, ⟨ ϕ | ψ ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1} ) או ש- ϕ {\displaystyle \phi } מאונך ל- ψ {\displaystyle \psi } (ואז, ⟨ ϕ | ψ ⟩ = 0 {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0} ). אבל זה לא המצב עבור שני מצבים שרירותיים (זה יכול להתקיים אבל מצבים מסוימים). לכן, לדוגמה, אם נבחר מצבים אורתוגנליים בבסיס { | 0 ⟩ , | 1 ⟩ } , {\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \},} : | ϕ ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ + | 1 ⟩ ) {\displaystyle |\phi \rangle ={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle +|1\rangle {\bigg )}} | ψ ⟩ = 1 2 ( | 0 ⟩ − | 1 ⟩ ) {\displaystyle |\psi \rangle ={1 \over {\sqrt {2}}}{\bigg (}|0\rangle -|1\rangle {\bigg )}} והם אכן מקיימים את הדרישה ⟨ ϕ | ψ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩ 2 {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle ^{2}} , אך התוצאה הזו לא מתקיימת למצבים כלליים יותר. מסתבר ש-U לא יכולה לשכפל מצב קוונטי כללי. ועל כן, לא ניתן לשכפל מצב. משפט האי-שכפול מונע שימוש בשיטות תיקון שגיאות קלסיות על מצבים קוונטים. לדוגמה, עותקים של מצב באמצע חישוב קוונטי לא יכולים להתבצע, ובפרט לא עבור תיקון שגיאות. תיקון שגיאות הוא נושא הכרחי למחשוב קוונטי פרקטי, ולמשך זמן מה זוהי נחשבה לתקלה קריטית. בשנת 1995, פיטר שור וסטין החיו את הסיכויים למחשוב קוונטי על ידי תכנון של אלגוריתמים לתיקון שגיאות קוונטי, שעקפו את משפט האי-שכפול. באופן דומה, שכפול יחלל את משפט האי-שיגור שקובע כי טלפורטציה קלאסית (בשונה מטלפורטציה קוונטית בעזרת שזירה) היא לא אפשרית. במילים אחרות, מצבים קוונטים לא יוכלו להימדד בצורה אמינה. משפט האי-שכפול משתמע ממשפט האי-התקשורת, שקובע כי ערוצי מידע קוונטי לא ניתנים לשימוש לשידור מידע קלאסי. על כן, שכפול היא דרך יעילה לתקשורת כזו. כדי להבין זאת, ניתן להסתכל על פרדוקס EPR, ולהניח כי מצבים קוונטים ניתנים היו לשכפול. נניח שחלק ממצבי בל השזורים מקסימלית מופצים לאליס ולבוב. אליס תוכל לשלוח לבוב מידע באופן הבא: אם אליס רוצה לשדר "0", היא תמדוד את הספין של האלקטרון שלה בכיוון z, ותקריס את המצב של בוב להיות | z + ⟩ B {\displaystyle |z+\rangle _{B}} או | z − ⟩ B {\displaystyle |z-\rangle _{B}} , ואם היא תרצה לשדר "1", היא לא תשנה את הקיוביט שלה. בוב ייצור הרבה עותקים מהמצב של האלקטרון וימדוד בכולם את הספין בכיוון z. בוב יודע שאליס שידרה "0" אם כל המדידות שלו הפיקו את אותה התוצאה, ואחרת, המדידות שלו יביאו | z + ⟩ B {\displaystyle |z+\rangle _{B}} או | z − ⟩ B {\displaystyle |z-\rangle _{B}} בהסתברות שווה. זה יאפשר לאליס ובוב לתקשר בצורה קלאסית על ערוץ תקשורת קוונטי. למרות חוסר היכלת ליצור עותקים מושלמים של מצב קוונטי לא ידוע, ניתן ליצור עותקים לא מושלמים. זה יכול להיעשות על ידי צימוד של מערכות עזר גדולות יותר למערכת שנרצה לשכפל, וליצור טרנספורמציות אוניטריות על המערכת המשולבת. אם נבחר את הטרנספורמציה האוניטרית בצורה נכונה, רכיבים מסוימים של המערכת המשולבת יתפתחו לעותקים משוערים של המערכת המקורית. בשנת 1996, בוזק והילרי הראו שמכונת שכפול אוניברסלית יכולה ליצור עותק של מצב לא ידוע בנאמנות של 5/6. ניתן להשתמש בשכפול לא מושלם על מנת לצותת לתקשורת המשתמשת בפרוטוקולי קריפטוגרפיה קוונטית, ובשימושים נוספים במדע האינפורמציה הקוונטית. Bužek V. and Hillery, M. Quantum Copying: Beyond the No-Cloning Theorem. Phys. Rev. A 54, 1844 (1996)