משפט גליסון-כהנא-ז'לאזקו

באנליזה פונקציולית הוא משפט המאפיין את הפונקציונלים הליניארים הכפליים מעל אלגברת בנך. המשפט נקרא ע"ש המתמטיקאים שהוכיחו אותו גליסון בשנת 1967 באופן בלתי תלוי בקיין וזלזקו שהוכיחו את המשפט ב 1968. תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} אלברת בנך ונסמן ב G ( A ) {\displaystyle G({\mathcal {A}})} את אוסף האיברים ההפיכים על A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . נסמן ב e את איבר היחידה ב A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . יהי F פונקציונל ליניארי (רציף) כפלי על A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . בבירור צריך להתקיים ש F ( e ) = 1 {\displaystyle F(e)=1} וכן ש F ( x ) ≠ 0 {\displaystyle F(x)\neq 0} לכל x ב G ( A ) {\displaystyle G({\mathcal {A}})} . לפי המשפט זהו גם תנאי מספיק לכפליות ולרציפות F כלומר: כל פונקציונל על A {\displaystyle {\mathcal {A}}} המקיים ϕ ( e ) = 1 , ϕ ( x ) ≠ 0 ∀ x ∈ G ( A ) {\displaystyle \phi (e)=1,\phi (x)\neq 0\forall x\in G({\mathcal {A}})} הוא בהכרח רציף וכפלי. לצורך ההוכחה נצטרך את הטענה הבסיסית הבאה לגבי אלגבראות בנך: עובדה: יהי x ∈ A {\displaystyle x\in {\mathcal {A}}} כך ש ‖ x ‖ < 1 {\displaystyle \|x\|<1} אז x − e {\displaystyle x-e} הפיך (רעיון ההוכחה: לא קשה להראות שסדרת הסכומים החלקיים של ∑ k x k {\displaystyle \sum _{k}x^{k}} היא סדרת קושי ומשלמות מתכנסת. הגבול הוא ההופכי). למה: תהי f פונקציה שלמה המקיימת f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = 0 , 0 < | f ( λ ) | ≤ e | λ | {\displaystyle f(0)=1,f'(0)=0,0<|f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}} אז f ≡ 1 {\displaystyle f\equiv 1} . הוכחת הלמה: כיוון ש f לא מתאפסת אז יש לה לוגריתם אנליטי g. מהנתונים נקבל ש g ( 0 ) = g ′ ( 0 ) = 0 {\displaystyle g(0)=g'(0)=0} וכן ℜ ( g ( λ ) ) ≤ | λ | {\displaystyle \Re (g(\lambda ))\leq |\lambda |} . יהי r>0. נקבל מהאי שוויון הקודם שלכל | λ | ≤ r {\displaystyle |\lambda |\leq r} , | g ( λ ) | ≤ | 2 r − g ( λ ) | {\displaystyle |g(\lambda )|\leq |2r-g(\lambda )|} . נגדיר את הפונקציה הבאה: h r ( λ ) := r 2 g ( λ ) λ 2 ( 2 r − g ( λ ) ) {\displaystyle h_{r}(\lambda ):={\tfrac {r^{2}g(\lambda )}{\lambda ^{2}(2r-g(\lambda ))}}} . אזי h אנליטית במעגל ברדיוס 2 r {\displaystyle 2r} . כמו כן אם | λ | = r {\displaystyle |\lambda |=r} אז נקבל ש | h r ( λ ) | ≤ 1 {\displaystyle |h_{r}(\lambda )|\leq 1} . כעת מעקרון המקסימום, | h r ( λ ) | ≤ 1 {\displaystyle |h_{r}(\lambda )|\leq 1} לכל | λ | ≤ r {\displaystyle |\lambda |\leq r} . נשאיף r → ∞ {\displaystyle r\to \infty } ונקבל שבהכרח g=0. הוכחת המשפט: יהי N = ker ⁡ ( ϕ ) {\displaystyle N=\ker(\phi )} . יהו x , y ∈ A {\displaystyle x,y\in {\mathcal {A}}} ההנחה ש ϕ ( e ) = 1 {\displaystyle \phi (e)=1} גוררת שאפשר לרשום x = a + ϕ ( x ) e , y = b + ϕ ( y ) e {\displaystyle x=a+\phi (x)e,y=b+\phi (y)e} כאשר a , b ∈ N {\displaystyle a,b\in N} . ϕ ( x y ) = ϕ ( a b ) + ϕ ( x ) ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (xy)=\phi (ab)+\phi (x)\phi (y)} ולכן על מנת להראות את הכפליות יש להוכיח ש a , b ∈ N ⇒ a b ∈ N {\displaystyle a,b\in N\Rightarrow ab\in N} .נניח תחילה שהוכחנו מקרה פרטי, כלומר a ∈ N ⇒ a 2 ∈ N {\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N} . נקבל ש ϕ ( x 2 ) = ϕ ( x ) 2 {\displaystyle \phi (x^{2})=\phi (x)^{2}} . נציב x+y במקום x ונקבל ש ϕ ( x y + y x ) = 2 ϕ ( x ) ϕ ( y ) {\displaystyle \phi (xy+yx)=2\phi (x)\phi (y)} . לכן x ∈ N ⇒ x y + y x ∈ N {\displaystyle x\in N\Rightarrow xy+yx\in N} . נתבונן בזהות הבאה: ( x y − y x ) 2 + ( x y + y x ) 2 = 2 ( x ( y x y ) + ( y x y ) x ) {\displaystyle (xy-yx)^{2}+(xy+yx)^{2}=2(x(yxy)+(yxy)x)} . נניח ש x ∈ N {\displaystyle x\in N} . מהטענה הקודמת ומההנחה ש a ∈ N ⇒ a 2 ∈ N {\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N} נקבל שצד ימין וכן ( x y + y x ) 2 {\displaystyle (xy+yx)^{2}} ב N. לכן ( x y − y x ) 2 {\displaystyle (xy-yx)^{2}} ב N וכיוון ש ϕ ( x 2 ) = ϕ ( x ) 2 {\displaystyle \phi (x^{2})=\phi (x)^{2}} נקבל ש x y − y x {\displaystyle xy-yx} ב N. לכן xy,yx ב N ונקבל את הכפליות. נוכיח כעת ש ϕ {\displaystyle \phi } רציף. מההנחה אין ב N איברים הפיכים ולכן מהעובדה למעלה, ‖ x − e ‖ ≥ 1 ∀ x ∈ N {\displaystyle \|x-e\|\geq 1\forall x\in N} . לכן לכל λ ∈ C , x ∈ N {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} ,x\in N} ‖ x − λ e ‖ ≥ | λ | = | ϕ ( x − λ e ) | {\displaystyle \|x-\lambda e\|\geq |\lambda |=|\phi (x-\lambda e)|} לכן נסיק ש ϕ {\displaystyle \phi } רציף ומנורמה 1. נשאר להוכיח ש a ∈ N ⇒ a 2 ∈ N {\displaystyle a\in N\Rightarrow a^{2}\in N} . נקבע a ∈ N {\displaystyle a\in N} . ללא הגבלת הכלליות, ‖ a ‖ = 1 {\displaystyle \|a\|=1} . נגדיר f ( λ ) := ∑ k = 0 ∞ ϕ ( a n ) λ n n ! {\displaystyle f(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {\phi (a^{n})\lambda ^{n}}{n!}}} . כיוון ש | ϕ ( a n ) | ≤ ‖ a n ‖ ≤ ‖ a ‖ n = 1 {\displaystyle |\phi (a^{n})|\leq \|a^{n}\|\leq \|a\|^{n}=1} נקבל ש f שלמה ומקיימת | f ( λ ) | ≤ e | λ | {\displaystyle |f(\lambda )|\leq e^{|\lambda |}} בבירור f ( 0 ) = 1 , f ′ ( 0 ) = ϕ ( a ) = 0 {\displaystyle f(0)=1,f'(0)=\phi (a)=0} . נראה ש f לא מתאפסת: הסדרה E ( λ ) := ∑ k = 0 ∞ λ n n ! a n {\displaystyle E(\lambda ):=\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {\lambda ^{n}}{n!}}a^{n}} מתכנסת בנורמה ומרציפות ϕ {\displaystyle \phi } נקבל ש f ( λ ) = ϕ ( E ( λ ) ) {\displaystyle f(\lambda )=\phi (E(\lambda ))} הפונקציה E מקיימת משוואה פונקציונלית זהה לאקספוננט: E ( λ 1 + λ 2 ) = E ( λ 1 ) E ( λ 2 ) {\displaystyle E(\lambda _{1}+\lambda _{2})=E(\lambda _{1})E(\lambda _{2})} (אותה הוכחה). בפרט e = E ( 0 ) = E ( λ ) E ( − λ ) {\displaystyle e=E(0)=E(\lambda )E(-\lambda )} . לכן לכל λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } , E ( λ ) {\displaystyle E(\lambda )} הפיך ולכן מהנתון f לא מתאפסת. מהלמה נקבל ש f ≡ 1 {\displaystyle f\equiv 1} ובפרט ϕ ( a 2 ) = f ″ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \phi (a^{2})=f''(0)=0} וקיבלנו את הדרוש. אלגברת בנך רודין. וולטר, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-Hill. משפט גליסון-קיין-זלזקו, באתר האנציקלופדיה למתמטיקה.