אטום (תורת המידה)

בתורת המידה, אטום הוא קבוצה מדידה שאינה קבוצה ממידה אפס אשר כל תת-הקבוצות המדידות שלה הן קבוצות ממידה שווה לה או ממידה אפס. מבחינה אינטואיטיבית, כשם שאטום בכימיה הוא היחידה הבסיסית שאינה ניתנת לחלוקה, כך גם האטום המתמטי הוא קבוצה שאינה ניתנת לחלוקה (לקבוצות ממידה קטנה יותר). לאטומים יש חשיבות רבה בתורת המידה, תורת ההסתברות ובפיזיקה, שם הם מייצגים חלקיק נקודתי במרחב. בהינתן מרחב מידה ( Ω , Σ , μ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )} וקבוצה מדידה A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } , הקבוצה A {\displaystyle A} תקרא אטום אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים: μ ( A ) > 0 {\displaystyle \mu (A)>0} לכל Σ ∋ B ⊆ A {\displaystyle \Sigma \ni B\subseteq A} מתקיים כי μ ( B ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (B)=\mu (A)} או μ ( B ) = 0 {\displaystyle \mu (B)=0} את התנאי האחרון ניתן לנסח באופן שקול: לכל B ∈ Σ {\displaystyle B\in \Sigma } מתקיים כי μ ( A ∩ B ) = 0 {\displaystyle \mu (A\cap B)=0} או μ ( A ∖ B ) = 0 {\displaystyle \mu (A\backslash B)=0} בהינתן אטום כלשהו A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } וקבוצה מדידה כלשהי B ∈ Σ {\displaystyle B\in \Sigma } כך ש- μ ( A Δ B ) = 0 {\displaystyle \mu (A\Delta B)=0} (הסימון Δ {\displaystyle \Delta } הוא ההפרש הסימטרי), אזי B {\displaystyle B} עצמה היא אטום ו- μ ( B ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (B)=\mu (A)} . כלומר, אם מחלקים את המרחב למחלקות שקילות על-פי הפרש סימטרי ממידה אפס, כל הקבוצות במחלקת השקילות של אטום כלשהו, אף הן אטומיות. יתרה מזאת, אם עבור שני אטומים A , B ∈ Σ {\displaystyle A,B\in \Sigma } מתקיים כי μ ( A ∩ B ) ≠ 0 {\displaystyle \mu (A\cap B)\neq 0} , אז בהכרח μ ( A Δ B ) = 0 {\displaystyle \mu (A\Delta B)=0} והקבוצות שייכות לאותה מחלקת שקילות. כלומר, זוג אטומים יכולים להחשב "אטומים ייחודיים" אם ורק אם החיתוך שלהם הוא ממידה אפס. איבר כלשהו x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } יקרא אטום יחידוני אם ורק אם { x } {\displaystyle \left\{x\right\}} היא קבוצה מדידה ו- μ ( { x } ) ≠ 0 {\displaystyle \mu (\left\{x\right\})\neq 0} . ניתן להבחין כי אם x {\displaystyle x} הוא אטום יחידוני אז { x } {\displaystyle \left\{x\right\}} היא אטום. באופן דומה ניתן להגדיר אטום יחידוני להיות אטום שעוצמתו 1 (על פי הגדרה זו האטום היחידוני הוא קבוצה מהצורה { x } {\displaystyle \left\{x\right\}} ולא x {\displaystyle x} עצמו, וניתן להבין מההקשר האם משתמשים בהגדרה הראשונה או השנייה). ניתן להוכיח כי עבור המרחב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} עם סיגמא-אלגברת בורל ואטום כלשהו A {\displaystyle A} קיים אטום יחידוני x ∈ A {\displaystyle x\in A} , כלומר μ ( A ∖ { x } ) = 0 {\displaystyle \mu (A\backslash \{x\})=0} . אטום זה יהיה האטום היחידוני היחיד בתוך A {\displaystyle A} . במקרה שבו Ω = R {\displaystyle \Omega =\mathbb {R} } ההוכחה מתבצעת באינדוקציה. בסיס האינדוקציה הוא B 0 = A {\displaystyle B_{0}=A} . כמובן ש- B 0 {\displaystyle B_{0}} הוא אטום. לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים קבוצה חדשה B n {\displaystyle B_{n}} בצורה רקורסיבית (כלומר, על סמך השלב הקודם) ומוכיחים כי היא אטום. שלב האינדוקציה הוא: מניחים ש- B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} הוא אטום, ומחלקים את המרחב למקטעים חצי פתוחים מלמעלה באורך 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} . בגלל ש- B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} הוא אטום, בהכרח קיים מקטע יחיד אשר חיתוכו עם B n − 1 {\displaystyle B_{n-1}} אינו ממידה אפס. מסמנים מקטע זה ב- [ k n , k + 1 n ) {\displaystyle \left[{\frac {k}{n}},{\frac {k+1}{n}}\right)} ומגדירים: . B n := B n − 1 ∩ [ k n , k + 1 n ) {\displaystyle .B_{n}:=B_{n-1}\cap \left[{\frac {k}{n}},{\frac {k+1}{n}}\right)} בגלל ש- μ ( B n − 1 ∖ B n ) = 0 {\displaystyle \mu (B_{n-1}\backslash B_{n})=0} בהכרח, B n {\displaystyle B_{n}} אף הוא אטום ושווה במידתו ל- A {\displaystyle A} . ממשיכים כך עד אינסוף. באמצעות הלמה של קנטור ניתן להוכיח כי קיים x ∈ A {\displaystyle x\in A} כך ש- ⋂ n B n = { x } {\displaystyle \bigcap _{n}{B_{n}}=\{x\}} . כמו כן, בגלל תכונות המידה: μ ( { x } ) = lim n → ∞ μ ( B n ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (\{x\})=\lim _{n\to \infty }{\mu (B_{n})}=\mu (A)} ובכך נמצא אטום יחידוני בתוך ב- A {\displaystyle A} . יחידות נובעת ישירות מתכונות האטום. מ.ש.ל. ההוכחה עבור Ω = R n {\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{n}} כללי דומה להוכחה זו. ערך מורחב – מידת דיראק עבור מרחב מדיד ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ו- x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } מגדירים את מידת דיראק סביב x {\displaystyle x} המסומנת ב- δ x {\displaystyle \delta _{x}} כך שלכל קבוצה מדידה B {\displaystyle B} מתקיים: δ x ( B ) := { 1 if  x ∈ B 0 otherwise {\displaystyle \delta _{x}(B):={\begin{cases}1&&{\text{if }}x\in B\\0&&{\text{otherwise}}\end{cases}}} מידה זו נחשבת למידה הבסיסית עם אטום יחידוני x {\displaystyle x} ביחס לסיגמא-אלגברה Σ {\displaystyle \Sigma } (בהנחה ש- { x } {\displaystyle \left\{x\right\}} קבוצה מדידה), שכן זו המידה עם התומך המינימלי שמכיל את x {\displaystyle x} . למידת דיראק חשיבות רבה בפיזיקה והיא קשורה קשר הדוק לפונקציית הדלתא של דיראק שמשמשת פיזיקאים לתאר מרחב ובו חלקיק נקודתי. בהינתן מרחב מידה ( Ω , Σ , μ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )} המידה μ {\displaystyle \mu } תקרא מידה אטומית (או לחלופין אטומית טהורה) אם ניתן לפרק את המרחב Ω {\displaystyle \Omega } לאטומים זרים עד כדי קבוצה ממידה אפס. כלומר, עבור מידה אטומית קיימים { A 1 , A 2 , … } ⊆ Σ {\displaystyle \{A_{1},A_{2},\dots \}\subseteq \Sigma } כך ש: Ω = ⋃ n A n {\displaystyle \Omega =\bigcup _{n}{A_{n}}} A n {\displaystyle A_{n}} הוא אטום לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } לכל i , j ∈ N {\displaystyle i,j\in \mathbb {N} } כך ש- i ≠ j {\displaystyle i\neq j} מתקיים כי μ ( A i ∩ A j ) = 0 {\displaystyle \mu (A_{i}\cap A_{j})=0} על פי ההגדרה, אם כל האטומים של מידה אטומית הם ממידה סופית, אז המידה היא סיגמא-סופית. יתרה מכך, כל מידה סיגמא-סופית שעבורה כל קבוצה מדידה B ∈ Σ {\displaystyle B\in \Sigma } מכילה בתוכה אטום היא בהכרח מידה אטומית. בהינתן מרחב מידה ( Ω , Σ , μ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )} המידה μ {\displaystyle \mu } תקרא מידה בדידה אם ורק אם קיימת קבוצה מדידה בת-מניה { a 1 , a 2 , … } ∈ Σ {\displaystyle \{a_{1},a_{2},\dots \}\in \Sigma } כך ש- μ ( Ω ∖ { a 1 , a 2 , … } ) = 0 {\displaystyle \mu (\Omega \backslash \{a_{1},a_{2},\dots \})=0} . עבור סיגמא-אלגברת בורל, ניתן להוכיח כי μ = ∑ i ω i δ a i {\displaystyle \mu =\sum _{i}{\omega _{i}\delta _{a_{i}}}} כאשר δ a i {\displaystyle \delta _{a_{i}}} היא מידת דיראק סביב a i {\displaystyle a_{i}} ו- ω i ∈ ( 0 , ∞ ] {\displaystyle \omega _{i}\in (0,\infty ]} הן משקולות חיוביות או אינסופיות. כלומר, μ {\displaystyle \mu } המוגדרת על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה בדידה אם ורק אם היא יכולה להכתב כסכום ממושקל בן-מניה של מידות דיראק. ניתן להוכיח כי כל מידה אטומית סיגמא-סופית המוגדרת על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה בדידה. לחלופין, כל מידה בדידה על סיגמא-אלגברת בורל היא מידה אטומית. בהינתן מרחב מידה ( Ω , Σ , μ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )} המידה μ {\displaystyle \mu } תקרא מידה אי-אטומית אם ורק אם אין לה אטומים כלל. כלומר, לכל A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } המקיים μ ( A ) > 0 {\displaystyle \mu (A)>0} קיים Σ ∋ B ⊂ A {\displaystyle \Sigma \ni B\subset A} כך ש- 0 < μ ( B ) < μ ( A ) {\displaystyle 0<\mu (B)<\mu (A)} . חשיבותן של מידות אי-אטומיות היא שהן מקיימות את משפט שרפינסקי: בהינתן מרחב מידה אי-אטומי ( Ω , Σ , μ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )} , לכל A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } המקיים μ ( A ) = c ≠ 0 {\displaystyle \mu (A)=c\neq 0} ולכל b ∈ [ 0 , c ] {\displaystyle b\in [0,c]} קיימת קבוצה מדידה Σ ∋ B ⊆ A {\displaystyle \Sigma \ni B\subseteq A} כך ש- μ ( B ) = b {\displaystyle \mu (B)=b} . מידת לבג היא מידה אי-אטומית. מידת דיראק מידה סינגולרית משפט הפירוק של לבג Atom - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org Roy A. Johnson, Atomic and Nonatomic Measures, Proceedings of the American Mathematical Society 25, 1970, עמ' 650–655 doi: 10.2307/2036664 Wacław Sierpiński, Sur les fonctions d'ensemble additives et continues, Fundamenta Mathematicae 3, 1922, עמ' 240–246 doi: 10.4064/fm-3-1-240-246