יריעה קוואזי-פרויקטיבית

בגאומטריה אלגברית, יריעה קוואזי-פרויקטיבית (Quasi-projective variety) היא תת-קבוצה פתוחה המוכלת ביריעה פרויקטיבית, לפי טופולוגיית זריצקי. כל יריעה פרויקטיבית, כל יריעה אפינית וכל יריעה קוואזי-אפינית היא קוואזי-פרויקטיבית, אבל לא להפך. בהקשר של יריעות קוואזי-פרויקטיביות ישנם מספר משפטים בסיסיים, המלמדים על המבנה שלהן ובפרט על מבנה של יריעות פרויקטיביות ואפיניות. באופן קלסי, טרם ההגדרה של יריעה אלגברית התרכזה הגאומטריה האלגברית בחקר יריעות קוואזי-פרויקטיבית. יהי P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}} מרחב פרויקטיבי מממד N {\displaystyle N} (מעל שדה סגור אלגברית K {\displaystyle \mathbb {K} } ). יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא תת-קבוצה פתוחה של יריעה פרויקטיבית מתוך P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}} . יריעה קוואזי-פרויקטיבית היא אי-פריקה אם הסגור שלה אי-פריק (בתור יריעה פרויקטיבית). כל יריעה אפינית היא פתוחה במישור הפרויקטיבי, ולכן היא קוואזי-פרויקטיבית. כל יריעה פרויקטיבית היא פתוחה בתוך עצמה, ולכן היא גם קוואזי-פרויקטיבית. כל יריעה קוואזי-אפינית, זאת אומרת, תת-קבוצה פתוחה ביריעה אפינית, היא גם קוואזי-פרויקטיבית. לכל x ∈ P N {\displaystyle x\in \mathbb {P} ^{N}} , הקבוצה P N − { x } {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}-\{x\}} היא קוואזי-פרויקטיבית, אך איננה אפינית (אם N > 1 {\displaystyle N>1} או פרויקטיבית. העתקה F : X → Y {\displaystyle F:X\to Y} בין יריעות קוואזי-פרויקטיבית X ⊆ P N , Y ⊆ P M {\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{N},Y\subseteq \mathbb {P} ^{M}} היא העתקה רציונלית אם קיימים פולינומים הומוגניים בעלי אותה מעלה F 0 , . . . , F M {\displaystyle F_{0},...,F_{M}} ב- N + 1 {\displaystyle N+1} משתנים, לא כולם מתאפסים ב- X {\displaystyle X} , כך ש- F = ( F 0 , . . , F M ) {\displaystyle F=(F_{0},..,F_{M})} מעביר נקודות X {\displaystyle X} לנקודות Y {\displaystyle Y} . ייצוג זה אינו יחיד, ולמעשה ניתן להוכיח ששני ייצוגים F ¯ , G ¯ {\displaystyle {\overline {F}},{\overline {G}}} הם שקולים אם ורק אם מתקיים F i G j − F j G i = 0 {\displaystyle F_{i}G_{j}-F_{j}G_{i}=0} , לכל 0 ≤ i , j ≤ M {\displaystyle 0\leq i,j\leq M} . כאשר הפולינומים כולם מתאפסים בנקודה מסוימת, נאמר שהנקודה היא סינגולרית תחת ייצוג זה. אם נקודה היא סינגולרית תחת כל ייצוג, נאמר שהיא סינגולרית עבור ההעתקה. אוסף הנקודות הסינגולריות תחת כל הייצוגים הוא קבוצה סגורה (בטופולוגיית זריצקי), ועל המשלים שלה (שהיא קבוצה פתוחה) הפונקציה מוגדרת. היות שכל קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי היא קבוצה צפופה, ההגדרה "מספיק טובה". איזומורפיזם בי-רציונלי הוא העתקה רציונלית, כך שיש העתקה רציונלית הפוכה לה (על תחום הגדרתה). שתי יריעות קוואזי-פרויקטיבית נקראות שקולות בי-רציונלית אם קיים ביניהן איזומורפיזם בי-רציונלי. מורפיזם יריעות קוואזי-פרויקטיביות הוא העתקה רציונלית המוגדרת על כל התחום, כלומר אין לה נקודות סינגולריות. איזומורפיזם הוא העתקה שעבורה קיימת העתקה הפוכה לה (המוגדרת על כל הטווח), ובמקרה כזה אומרים ששתי היריעות הן איזומורפיות. שני המושגים הנ"ל שונים מהותית. כך למשל, מבנה האיזומורפיזמים של מישור פרויקטיבי P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}} (אל עצמו) ידוע היטב - זוהי החבורה הליניארית הפרויקטיבית (Projective linear group) P G L N ( K ) {\displaystyle PGL_{N}(\mathbb {K} )} . מאידך, המבנה של חבורת האוטומורפיזמים הבי-רציונליים של P N {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}} הרבה יותר מסובכת ועשירה. חבורה זו נקראת חבורת קרמונה (Cremona group), והיא מהווה נושא מחקר פורה גם בימינו (ראו גם כאן). כמו במקרה האפיני, גם כאן נרצה להגדיר מכפלה בין יריעות. במקרה הקוואזי-פרויקטיבי זה מעט יותר מסובך. ראשית, נשים לב שמספיק להגדיר את המיפוי על מישורים פרויקטיביים (אז נצמצם את המיפוי על קבוצות קוואזי-פרויקטיביות כלליות). מכפלה של שני מרחבים פרויקטיביים P N × P M {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\times \mathbb {P} ^{M}} איננה משוכנת לתוך P N + M {\displaystyle \mathbb {P} ^{N+M}} (בניגוד למקרה האפיני). למעשה, קורדו סגרה הציג את הפתרון המלא לבעיה הקרוי גם שיכון סגרה - ניתן לשכן את P N × P M {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\times \mathbb {P} ^{M}} לתוך P L {\displaystyle \mathbb {P} ^{L}} רק עבור L ≥ M N + M + N = ( M + 1 ) ( N + 1 ) − 1 {\displaystyle L\geq MN+M+N=(M+1)(N+1)-1} . השיכון נתון על ידי מכפלת כל הרכיבים, ומפורשות: ( ( w 0 , , , . w N ) , ( z 0 , , , . z M ) ) → ( . . . , w i z j , . . . . ) {\displaystyle ((w_{0},,,.w_{N}),(z_{0},,,.z_{M}))\to (...,w_{i}z_{j},....)} תמונת P N × P M {\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\times \mathbb {P} ^{M}} תחת המיפוי היא הקבוצה הסגורה הנתונה על ידי המשוואות w i z j w k z l − w i z l w k z j = 0 {\displaystyle w_{i}z_{j}w_{k}z_{l}-w_{i}z_{l}w_{k}z_{j}=0} נציג כעת את משפטי המבנה הבסיסיים של יריעות קוואזי-פרויקטיביות, מהם גם ניתן להסיק על תכונות של יריעות פרויקטיביות ואפיניות. משפט: לכל נקודה של יריעה קוואזי-פרויקטיבית יש סביבה שאיזומורפית ליריעה אפינית. מבחינה טופולוגית, מורפיזמים הן פונקציות רציפות: משפט: לכל מורפיזם בין יריעות קוואזי-פרויקטיביות, המקור של קבוצה פתוחה (סגורה) היא קבוצה פתוחה (סגורה). משפט (ההטלה הסגורה): אם X {\displaystyle X} יריעה פרויקטיבית, Y {\displaystyle Y} יריעה קוואזי-פרויקטיבית, אזי העתקה ההטלה p : X × Y → Y {\displaystyle p:X\times Y\to Y} היא סגורה. כמסקנה מהמשפט הקודם, מקבלים: משפט: בתנאי המשפט הנ"ל, אם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מורפיזם, אז f ( X ) {\displaystyle f(X)} קבוצה סגורה. (כדי להוכיח זאת, יש להביט בגרף של f {\displaystyle f} , שהוא קבוצה סגורה, ולהשתמש במשפט ההטלה הסגורה). כעת נציג כמסקנה הכללה של משפט ליוביל לגאומטריה אלגברית: משפט: כל מורפיזם ϕ : X → A {\displaystyle \phi :X\to \mathbb {A} } , כאשר X {\displaystyle X} יריעה פרויקטיבית ו- A {\displaystyle \mathbb {A} } יריעה אפינית, הוא קבוע. לכל יריעה קוואזי-פרויקטיבית אי-פריקה ניתן להגדיר את שדה הפונקציות הרציונליות שלה. עבור כל העתקה מהיריעה למרחב פרויקטיבי חד־ממדי (או בשקילות אל הספירה של רימן), כלומר מהצורה F ( w ¯ ) = ( F 0 ( w ¯ ) : F 1 ( w ¯ ) ) {\displaystyle F({\overline {w}})=(F_{0}({\overline {w}}):F_{1}({\overline {w}}))} , מגדירים פונקציה רציונלית על ידי מנת שני הערכים שהיא מקבלת, כלומר f ( w ¯ ) = F 1 ( w ¯ ) F 0 ( w ¯ ) {\displaystyle f({\overline {w}})={\frac {F_{1}({\overline {w}})}{F_{0}({\overline {w}})}}} . כך מתקבל שדה, המסומן K ( X ) {\displaystyle \mathbb {K} (X)} . כעת, אם g : X → Y {\displaystyle g:X\to Y} מורפיזם דומיננטי בין יריעות קוואזי-פרויקטיביות, ניתן לבנות העתקה דואלית g ∗ : K ( Y ) → K ( X ) {\displaystyle g^{*}:\mathbb {K} (Y)\to \mathbb {K} (X)} , הנתונה על ידי g ∗ ( ϕ ) = ϕ ∘ g {\displaystyle g^{*}(\phi )=\phi \circ g} . שדה זה מכיל למעשה את כל המידע על היריעה. משפט - g {\displaystyle g} איזומורפיזם בירציונלי אם ורק אם g ∗ {\displaystyle g^{*}} איזומורפיזם שדות. יריעה נקראת רציונלית אם היא איזומורפית בירציונלית למרחב אפיני. לפי המשפט, יריעה היא רציונלית אם ורק אם שדה הפונקציות הרציונליות שלה הוא K ( t 1 , . . . , t n ) {\displaystyle \mathbb {K} (t_{1},...,t_{n})} , כלומר שדה השברים של חוג פולינומים. מרחב פרויקטיבי טופולוגיית זריצקי יריעה אלגברית פרויקטיבית