כוח גאות

כוחות גאות הם תופעה שיורית של כוח המשיכה, והם המקור לתופעת הגאות והשפל, כמו גם למספר תופעות נוספות, הנסקרות בהמשך. מקורם של כוחות הגאות הוא באי אחידותו של שדה הכבידה לאורך קוטרו (המקביל לציר הכוח) של גוף עליו הוא פועל: עוצמת שדה הכבידה שנובע מגוף מסוים בצד הקרוב של גוף אחר עליו הוא פועל, עשויה להיות חזקה בצורה משמעותית מהעוצמה בצד הרחוק שלו. כתוצאה מכך נוצרת מתיחות בקצוות של הגוף השני, דבר שעשוי להוביל, במקרים יותר קיצוניים, להתפרקותו של הגוף השני. כוחות גאות ושפל לא היו מתקיימים בשדה כבידה אחיד, מאחר שבשדה כבידה אחיד כל פיסת חומר נמשכת אל מקור השדה בכוח שווה. כוחות גאות הפועלים על גוף כדורי, יגרמו לפחיסתו של הגוף תוך שהם שומרים על נפחו המקורי. הכדור יהפוך, לפיכך, לאליפסואיד, תופעה המתרחשת בעת גאות ושפל. כוח המשיכה הלא אחיד שמפעיל הירח על כדור הארץ גורם לכך שהחלק הקרוב לירח יימשך אליו בצורה יותר חזקה מאשר החלק הרחוק ממנו. מאחר שמסתו של כדור הארץ גדולה בשני סדרי גודל ממסת הירח, היא כמעט אינה מושפעת מכבידת הירח, ואת השפעת הכוחות ניתן לראות בעיקר באוקיינוסים. כוחות הגאות והשפל שיוצר כוכב הלכת שבתאי מונעים מהטבעות שלו להתלכד ליצירת ירחים, בהשפעת כוח המשיכה ביניהם. טרם נפילתו אל כוכב הלכת צדק, כוכב השביט שומייקר-לוי 9 התפרק בהשפעת כוחות הגאות והשפל של צדק. ניתן להיעזר בחשבון אינפיניטסימלי על מנת לחשב את כוחות הגאות והשפל, קרי את ההפרש בין כוחות המשיכה בצד הקרוב והרחוק מהגוף המפעיל את השדה. כוח הכבידה שמפעיל גוף מסוים במרחק R ממנו נתון בנוסחה:   F = G M m R 2 {\displaystyle \ F={\frac {GMm}{R^{2}}}} . הפרשי השדות (בהנחה ש-h הוא אורכו של הגוף ביחס לציר השדה, וכמו כן h<<R) אם כך בנוסחה: F ( R ) − F ( R + h ) = G M m R 2 − G M m ( R + h ) 2 = − h F ′ ( R ) = 2 h G M m R 3 {\displaystyle F(R)-F(R+h)={\frac {GMm}{R^{2}}}-{\frac {GMm}{(R+h)^{2}}}=-hF'(R)={\frac {2hGMm}{R^{3}}}} כאשר G הוא קבוע הכבידה העולמי, M היא מסת הגוף המפעיל את הכוח, m היא מסת הגוף עליו פועל הכוח, ו-R הוא המרחק בין מרכז הגוף הראשון לצידו הקרוב של הגוף השני. בחלק זה ננתח את גובה פני הים r ( θ ) = R + h ( θ ) {\displaystyle r(\theta )=R+h(\theta )} כפונקציה של הזווית θ {\displaystyle \theta } בין הרדיוס לנקודה לקו הישר שמחבר בין מרכז הארץ והירח. בעיה זו שקולה למעשה לחישוב כוחות הגאות שמפעיל הירח על מימי כדור הארץ, שכן מצורת פני הים ניתן להקיש את כוחות הגאות. ראשית, מינוח: M E , M m {\displaystyle M_{E},M_{m}} הם מסת כדור הארץ והירח בהתאמה. ω {\displaystyle \omega } היא המהירות הזוויתית של מערכת הארץ ירח סביב מרכז המסה המשותף. r ( θ ) , h ( θ ) , R {\displaystyle r(\theta ),h(\theta ),R} הם מרחק נקודה על פני הים ממרכז כדור הארץ, גובה פני הים ורדיוס כדור הארץ בהתאמה. r c . m , l , L , r m {\displaystyle r_{c.m},l,L,r_{m}} הם מרחק נקודה על פני הים ממרכז המסה של מערכת הארץ-ירח, מרחק מרכז כדור הארץ ממרכז המסה, מרחק מרכז הארץ ממרכז הירח, ומרחק נקודה על כדור הארץ ממרכז הירח. כדי לתאר את צורת פני האוקיינוס נרשום את הביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת (של נקודה על פני הים) עקב משיכת הירח, משיכת כדור הארץ והתאוצה הצנטריפוגלית. אם פני הים לובשים צורה מסוימת, צורה זו היא בהכרח משטח שווה פוטנציאל של האנרגיה הזאת. לכן: U ( r , θ ) = − 1 2 ω 2 r c . m 2 − G M E r − G M m r m {\displaystyle U(r,\theta )=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}r_{c.m}^{2}-{\frac {GM_{E}}{r}}-{\frac {GM_{m}}{r_{m}}}} ניעזר במשפט הקוסינוסים כדי להביע את פונקציות המרחק r c . m ( θ ) , r m ( θ ) {\displaystyle r_{c.m}(\theta ),r_{m}(\theta )} ונקבל: r c . m 2 = r 2 − 2 r l c o s θ + l 2 {\displaystyle r_{c.m}^{2}=r^{2}-2rlcos\theta +l^{2}} r m 2 = L 2 − 2 r L c o s θ + r 2 {\displaystyle r_{m}^{2}=L^{2}-2rLcos\theta +r^{2}} ניעזר כעת בקירוב מסדר שני הבא עבור ערכים נמוכים של היחס a = r / L {\displaystyle a=r/L} : 1 1 + a 2 − 2 a c o s θ ≈ 1 + a c o s θ + a 2 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+a^{2}-2acos\theta }}}\approx 1+acos\theta +{\frac {a^{2}(3cos^{2}\theta -1)}{2}}} ונקבל כי הביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת הוא: U ( r , θ ) = − 1 2 ω 2 r 2 − G M E r − G M m r 2 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) 2 L 3 {\displaystyle U(r,\theta )=-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}r^{2}-{\frac {GM_{E}}{r}}-{\frac {GM_{m}r^{2}(3cos^{2}\theta -1)}{2L^{3}}}} כאשר במעבר האחרון נסמכנו על העובדה ש- ω 2 l = G M m L 2 {\displaystyle \omega ^{2}l={\frac {GM_{m}}{L^{2}}}} היות שהתאוצה הצנטריפטלית של כדור הארץ אל מרכז המסה היא למעשה תאוצת הנפילה החופשית שלו אל הירח. עובדה זו גרמה להתקזזות של שני איברים, שמשום כך אינם מופיעים בביטוי לאנרגיה הפוטנציאלית (שכן ω 2 r l c o s θ − G M m r L 2 c o s θ = 0 {\displaystyle \omega ^{2}rlcos\theta -GM_{m}{\frac {r}{L^{2}}}cos\theta =0} ). מן הנוסחה לאנרגיה הפוטנציאלית ניתן להסיק מיידית את הרכיב המשיקי והרכיב הרדיאלי של כוחות הגאות: T r = − ∂ U ∂ r − G M E r 2 = G M m r L 3 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) ≈ G M m R L 3 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) {\displaystyle T_{r}=-{\frac {\partial U}{\partial r}}-{\frac {GM_{E}}{r^{2}}}={\frac {GM_{m}r}{L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)\approx {\frac {GM_{m}R}{L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)} T θ = − 1 r ∂ U ∂ θ = 3 G M m r s i n 2 θ 2 L 3 ≈ 3 G M m R s i n 2 θ 2 L 3 {\displaystyle T_{\theta }=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}={\frac {3GM_{m}rsin2\theta }{2L^{3}}}\approx {\frac {3GM_{m}Rsin2\theta }{2L^{3}}}} ניעזר כעת בקירובים הבאים: 1 r = 1 R + h ≈ 1 R − h R 2 {\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{R+h}}\approx {\frac {1}{R}}-{\frac {h}{R^{2}}}} r 2 = R 2 + 2 R h + h 2 ≈ R 2 + 2 R h {\displaystyle r^{2}=R^{2}+2Rh+h^{2}\approx R^{2}+2Rh} ונקבל: U ( r , θ ) = c o n s t − ω 2 R h − G M E h R 2 − G M m r 2 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) 2 L 3 {\displaystyle U(r,\theta )=const-\omega ^{2}Rh-{\frac {GM_{E}h}{R^{2}}}-{\frac {GM_{m}r^{2}(3cos^{2}\theta -1)}{2L^{3}}}} האיבר השמאלי מקיים ω 2 R h = G ( M E + M m ) R h L 3 {\displaystyle \omega ^{2}Rh={\frac {G(M_{E}+M_{m})Rh}{L^{3}}}} ולכן הוא קטן בהרבה מהאיבר השני (קטן בערך פי ( R L ) 3 {\displaystyle ({\frac {R}{L}})^{3}} , כלומר בכמה סדרי גודל) וניתן להזנחה. אם נכייל, בלי הגבלת הכלליות, את הפוטנציאל הכולל להיות 0 על פני הים, אז נקבל את הנוסחה לגובה פני הים כפונקציה של הזווית: h ( θ ) = M m r 2 R 2 2 M E L 3 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) ≈ M m R 4 2 M E L 3 ( 3 c o s 2 θ − 1 ) {\displaystyle h(\theta )={\frac {M_{m}r^{2}R^{2}}{2M_{E}L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)\approx {\frac {M_{m}R^{4}}{2M_{E}L^{3}}}(3cos^{2}\theta -1)} מן הנוסחה עולה שבעת גאות (כאשר θ = 0 , π {\displaystyle \theta =0,\pi } ) התרוממות פני הים חזקה יותר (פי 2) מאשר ירידת פני המים בעת שפל (כאשר θ = π / 2 , 3 π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2,3\pi /2} ). הערה: הפיתוח שתואר כאן מניח h << R {\displaystyle h<<R} , הנחה שאינה תקפה כאשר מנסים לקבל למשל, את גבול רוש (גבול רוש מתייחס למקרה הקיצוני של כוחות גאות שגוברים על הכבידה העצמית של הכוכב, ולכן מפרקים אותו לחלקים). מהתבוננות בנוסחה ניתן לראות, כי כוחות הגאות והשפל עומדים ביחס ישר למסת הגוף המפעיל את הכוח. מכאן ניתן להסיק, כי כוחות אלה גדולים במיוחד בסביבת גופים על-מסיבים, ככוכבי ניטרונים וחורים שחורים. בגופים אלה כוחות הגאות והשפל כה חזקים, עד כי בשלב מסוים הם קורעים את הגוף עליו הם פועלים לגזרים, בתהליך המוכר כספגטיפיקציה. מדיה וקבצים בנושא כוח גאות בוויקישיתוף