מיפוי סטנדרטי

המיפוי הסטנדרטי (באנגלית: Standard Map; מכונה גם מיפוי Chirikov-Taylor) הוא מיפוי כאוטי משמר-שטח מריבוע בעל צד באורך של 2 π {\displaystyle 2\pi } לעצמו. הוא מוגדר על ידי: p n + 1 = p n + K s i n ( θ n ) {\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+Ksin(\theta _{n})} θ n + 1 = θ n + p n + 1 {\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}} כאשר p n {\displaystyle p_{n}} ו- θ n {\displaystyle \theta _{n}} מחושבים מודולו 2 π {\displaystyle 2\pi } . המיפוי הסטנדרטי מתאר בצורה מדויקת מערכת פיזיקלית של סביבון מוכה (Kicked Rotor). מערכת זאת מורכבת ממוט המוחזק בקצהו האחד על ידי ציר חסר חיכוך, ומקבל מכות בקצהו השני באופן מחזורי. המשתנים θ n {\displaystyle \theta _{n}} ו- p n {\displaystyle p_{n}} מייצגים, בהתאמה, את המיקום הזוויתי של המוט ואת התנע הזוויתי לאחר המכה ה- n {\displaystyle n} -ית. הקבוע K {\displaystyle K} מייצג את עוצמת המכות. מיפוי זה הוא מן הנחקרים ביותר בכאוס הקלאסי, ומהווה את אחד המודלים החשובים והשימושיים ביותר. הוא משמש לבחינת שיטות לתיאור מעברים מתנועה מסודרת לתנועה כאוטית, ולתיאור התכונות הסטטיסטיות של מצבי כאוס גלובלי. המיפוי הסטנדרטי נותן תיאור מדויק או מקורב של מערכות פיזיקליות רבות, ולמרות פשטותו הוא שומר על התכונות המורכבות הטיפוסיות למערכות כאוטיות. בין השאר, המיפוי הסטנדרטי משמש לתיאור מערכות פיזיקליות בתחומי הפיזיקה של מאיצי חלקיקים, פיזיקה של פלסמה, ופיזיקת מצב מוצק. מיפוי זה הוצע לראשונה על ידי בריאן טיילור (Bryan Taylor) ופותח באופן בלתי תלוי על ידי בוריס צ'יריקוב (Boris Chirikov) לצורך תיאור הדינמיקה של קווי שדה מגנטי. בשנות ה-70 הראה הפיזיקאי שמואל פישמן כי הגבלת הפיזור שחל בתנע עם הגדלת הכאוטיות של הסביבון המוכה הקוונטי, ואשר מנוגדת בטבעה לפיזור התנע שחל בתמונה הקלאסית, היא תופעת לוקליזציה דינמית הזהה במהות לתופעת לוקליזציית אנדרסון (אנ'). בסעיף זה נראה כיצד מתקבל המיפוי הסטנדרטי מתוך ההמילטוניאן של מערכת סביבון מוכה. נניח, ללא הגבלת הכלליות, כי מומנט האינרציה של המוט הוא 1. קצה אחד של המוט מוחזק על ידי ציר חסר חיכוך, ואילו הצד השני מקבל מכות בעוצמה של K s i n ( θ n ) {\displaystyle Ksin(\theta _{n})} בצורה מחזורית. ההמילטוניאן של המערכת נתון על ידי: H ( p , θ , t ) = p 2 2 + K c o s ( θ ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n ) {\displaystyle H(p,\theta ,t)={\frac {p^{2}}{2}}+Kcos(\theta )\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\delta (t-n)}} אם נפעיל את משוואות המילטון על ההמילטוניאן, נקבל את משוואות התנועה של המערכת: p ˙ = K s i n ( θ ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n ) {\displaystyle {\dot {p}}=Ksin(\theta )\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\delta (t-n)}} θ ˙ = p {\displaystyle {\dot {\theta }}=p} בין מכה למכה המערכת נעה בצורה חופשית. נבצע אינטגרציה על מחזור אחד בין המכות ונקבל את משוואות המיפוי: p n + 1 = p n + K s i n ( θ n ) {\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+Ksin(\theta _{n})} θ n + 1 = θ n + p n + 1 {\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}} המיפוי מספק למעשה צילום סטרובוסקופי של תנועת המוט במרחב הפאזה. המיקום (הזווית) מקבל ערכים בתחום 0 עד 2 π {\displaystyle 2\pi } והתנע אינו חסום, לכן מרחב הפאזה מוגבל לצילינדר. מרחב הפאזה מחזורי בציר התנע, עם מחזור 2 π {\displaystyle 2\pi } (תוספת של 2 π {\displaystyle 2\pi } לתנע לא משנה את המיקום), ולכן אפשר להציג את המיפוי, ללא הגבלת הכלליות, בתוך טורוס בגודל [ 0 , 2 π ) × [ 0 , 2 π ) {\displaystyle [0,2\pi )\times [0,2\pi )} . עבור K = 0 {\displaystyle K=0} משוואות המיפוי מקבלות את הצורה: p n + 1 = p n {\displaystyle p_{n+1}=p_{n}} θ n + 1 = θ n + p n + 1 m o d 2 π {\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}mod2\pi } הדינמיקה במקרה זה היא אינטגרבילית, שכן p {\displaystyle p} הוא קבוע תנועה. אם התנע של נקודת ההתחלה הוא מספר רציונלי, p 0 = m n 2 π {\displaystyle p_{0}={\frac {m}{n}}2\pi } ( n {\displaystyle n} ו- m {\displaystyle m} הם מספרים שלמים ללא גורם משותף), אז נקבל מסלול מחזורי בעל מחזור n {\displaystyle n} . כלומר, אחרי n {\displaystyle n} צעדים המסלול יחזור על עצמו מודולו 2 π {\displaystyle 2\pi } . אם התנע ההתחלתי, p 0 {\displaystyle p_{0}} , הוא מספר אי-רציונלי, אז θ n {\displaystyle \theta _{n}} לא יחזור על עצמו לעולם והמעגל האינווריאנטי יתכסה באופן צפוף (ארגודי). צורת המסלולים במרחב הפאזה תלויה בגודל של פרמטר ההפרעה K {\displaystyle K} . עבור K {\displaystyle K} קטן התנועה ברוב מרחב הפאזה היא יציבה, וככל ש- K {\displaystyle K} גדל, מופיעים אזורים הולכים וגדלים של תנועה כאוטית. כל אחד מהמסלולים המחזוריים המסודרים ב- K = 0 {\displaystyle K=0} (שכאמור מתאים לנקודת התחלה בעלת תנע רציונלי) הופך לשרשרת של איים. שרשרת של איים מטיפוס m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} היא "שרשרת" של n {\displaystyle n} איים המתוחמים מלמעלה ולמטה על ידי שכבות כאוטיות. בכל איטרציה, אי מועתק לאי המופרד ממנו על ידי m − 1 {\displaystyle m-1} פערים של המסלול המסודר המתאים. השכבה הכאוטית העליונה והתחתונה מוגבלות על ידי מסלולים קוואזימחזוריים עם מספר רוטציה אי-רציונלי הנקראים מסלולים רוטציוניים אינוואריאנטים (Rotational Invariant Circles – RIC). המסלולים האלה משתרעים מ-0 עד 2 π {\displaystyle 2\pi } באופן רציף ומונעים את התפשטות הכאוס, לכן הכאוס בשכבות הכאוטיות הוא כאוס לוקלי. כאשר מגדילים את K {\displaystyle K} עוד יותר ה-RICs נשברים ומוחלפים על ידי קווים מחוררים הנקראים קנטורים (כי יש להם מבנה טופולוגי דומה לזה של קבוצת קנטור). המסלולים באזורים הכאוטיים יכולים לחצות את הקנטורים דרך החורים שלהם. אחרי שכל ה-RICs נשברים, כל האזורים הכאוטיים מתחברים לאזור אחד גדול, ומתקבל כאוס גלובלי. ה- K {\displaystyle K} הקריטי, שבו מתרחש המעבר לכאוס גלובלי במיפוי הסטנדרטי, הוא K ∼ 0.9716 {\displaystyle K\sim 0.9716} . עבור K {\displaystyle K} שגדול מהערך הזה, התנע והאנרגיה של מסלולים באזור הכאוטי יכולים לגדול עד אינסוף. עבור ערכים גדולים של K {\displaystyle K} , לא קיימים איים ברי הבחנה וכל מרחב הפאזה מתמלא בצורה ארגודית צפופה על ידי מסלול אחד. Lichtenberg, A.J. and Lieberman, M.A., Regular and Chaotic Maps, Springer, Berlin, 1992 B.V. Chirikov, A universal instability of many-dimensional oscillator systems, Phys. Rep, Vol. 52, p.263-379, 1979 J.D Meiss, Symplectic maps, variational principles, and transport, Rev. Mod. Phys, Vol. 64, p.795-848, 1992 מדיה וקבצים בנושא מיפוי סטנדרטי בוויקישיתוף מיפוי סטנדרטי, באתר MathWorld (באנגלית) כל התמונות בסעיף זה נוצרו על ידי ביצוע של 5000 איטרציות על 100 נקודות התחלה שנלקחו באקראי לאורך הקו θ = π {\displaystyle \theta =\pi } .