פורמליזם (מתמטיקה)

הפורמליזם (בעברית: הצרנה) הוא מתודה מתמטית, שמהווה מלבד שיטת עבודה גם פילוסופיה ותפיסה כוללת לגבי מהות המתמטיקה. הפורמליזם כשיטה מתייחס למערכת המשוואות, הנוסחאות, הסימנים וחוקי ההסקה, שבאמצעותם תורה מתמטית מביעה את הטענות שלה. לפי שיטה זו, ניתן לתאר אותה על ידי הצרנה שלה (רישומה והצגתה באמצעות סמלים ועצמים של התאוריה) ואז להסיק ממנה מסקנות על ידי הפעלה מכנית של כללי הלוגיקה עליה. אף שזו אינה דרך פעולה נוחה להוכחת טענות חדשות, היא יעילה כאמצעי לאישוש נכונותן של טענות קיימות (אם ניתן להצרין את ההוכחות הקיימות עבורן), ולחיפוש מכני של הוכחות חדשות (למשל, באמצעות מחשב). השימוש הידוע ביותר (לקהל הרחב) בהצרנה הוא הצרנת טענות לוגיות לשם ניתוח המבנה והתוקף שלהן. שיטה זו שימושית במיוחד כדי לטפל בשאלות היגיון במבחנים דוגמת הפסיכומטרי. לדוגמה, נראה את שאלת ההיגיון הבאה: "אם יֵרד גשם, רוני ייקח מטרייה." מהי הקביעה השקולה לקביעה הנתונה? רוני ייקח מטרייה. אם לא יֵרד גשם, רוני לא ייקח מטרייה. אם לא יֵרד גשם, רוני ייקח מטרייה. אם רוני לא ייקח מטרייה, סימן שלא יֵרד גשם. התשובה הנכונה היא תשובה 4. הסבר: אם נסמן את הביטוי "יֵרד גשם" ב- R {\displaystyle R} ואת הביטוי "רוני ייקח מטרייה" ב- U {\displaystyle U} , אזי ההצרנה של "אם יֵרד גשם, רוני ייקח מטרייה" היא   R → U {\displaystyle \ R\rightarrow U} ( R {\displaystyle R} גורר U {\displaystyle U} ). כעת נצרין את התשובות:   U {\displaystyle \ U}   ¬ R → ¬ U {\displaystyle \ \lnot R\rightarrow \lnot U}   ¬ R → U {\displaystyle \ \lnot R\rightarrow U}   ¬ U → ¬ R {\displaystyle \ \lnot U\rightarrow \lnot R} מבחינה לוגית, רק תשובה 4 שקולה להצהרה המקורית, ובפרט, היא היחידה שנובעת ממנה. את השקילות הנ"ל אפשר לוודא ישירות באמצעות טבלת אמת. להסברים מפורטים יותר בנושא זה, ראו בערך תחשיב הפסוקים. ניקח לדוגמה את המשפט: "כל הילדים שותים פטל". היפוך סדר הטענות: "כל הילדים שותים פטל" ← "כל מי ששותה פטל הוא ילד". הוספת המילה 'רק' או גריעת המילה 'רק': "כל הילדים שותים פטל" ← "רק הילדים שותים פטל". הפיכת טענות לשליליות או לחיוביות: "כל הילדים שותים פטל" ← "כל מי שלא ילד לא שותה פטל". אם עשינו שתיים מהפעולות האלו – המשפט שקול. תרגיל: עבור הטענה "כל ספרי המדע הוזלו", מצא את הטענה השקולה לה: כל מה שהוזל הוא ספרי מדע. כל מה שלא הוזל אינו ספרי מדע. רק ספרי מדע הוזלו. יש ספרים שהוזלו. ערך מורחב – יחס טרנזיטיבי אם a {\displaystyle a} גורר את b {\displaystyle b} ו- b {\displaystyle b} גורר את c {\displaystyle c} , הרי ש- a {\displaystyle a} גורר את c {\displaystyle c} . האסכולה הפורמליסטית אימצה את התזה האקסיומטית של דויד הילברט, הטוענת כי המתמטיקה היא הנוסחאות הקונקרטיות עצמן, שהן אוסף עצמים קונקרטיים המהווים 'אותיות', ולא משמעות כלשהי שנייחס לנוסחאות. כלומר, לעצמי המתמטיקה אין שום משמעות כי הם לא מורים על שום דבר מלבד עצמם. כדי להשיג מצב כזה, פיתח הילברט שיטה של "הגדרה מקופלת", בה העצמים המתמטיים מוגדרים בשלמות על ידי האקסיומות אותן הם מקיימים (ראו למשל: נקודה גאומטרית). כאשר הילברט ניגש לנסח את התזה הזאת הוא הושפע מאוד מעמנואל קאנט ומטרתו הייתה להעניק למתמטיקה ולמשפטיה ודאות מוחלטת ושלמות (כלומר: התורה המתמטית מכילה רק את מה שהמתמטיקאי מכניס לתוכה, כך שהוא יכול להכירה באופן שלם ובלתי אמצעי). על סמך תזה זו פיתח הילברט מפעל שלם, שמטרתו היה לבסס את המתמטיקה במסגרת ההצרנה (פורמליזציה) המלאה שלה וניסוח ריגורוזי ומקיף של האקסיומות העומדות בבסיסה. תוכנית זאת התגלתה כחסרת תוחלת, אחרי שהלוגיקן האוסטרי קורט גדל הוכיח את משפטי האי-שלמות שלו, שהוכיחו שאי אפשר לנסח תורה אקסיומטית המכילה את האריתמטיקה, שתהיה גם עקבית וגם שלמה (כלומר, שכל טענה ניתן להוכיח או להפריך במסגרת האקסיומות; או במילים אחרות: לא קיים משפט אמיתי שאי-אפשר להוכיח באמצעות האקסיומות). תגלית זו הנחיתה מכת מוות על התוכנית של הילברט. אף על פי שהפורמליזם כשל כפילוסופיה יסודית ומקיפה, הוא פרח ביותר כשיטת עבודה וכחלק מהתרבות המתמטית. מתמטיקה ריגורוזיות פילוסופיה של המתמטיקה פילוסופיה של המדע שלוש מהפכות קופרניקניות מערכת פורמלית