טבלת קרקטרים

באלגברה מופשטת, טבלת קרקטרים (Character table) של חבורה סופית היא טבלה המייצגת את המידע על הקרקטרים של ההצגות האי-פריקות שלה. בעמודותיה נתונות מחלקות הצמידות של החבורה, ובשורותיה שמים את הקרקטרים האי-פריקים שלה. את טבלת הקרקטרים של חבורה נתונה ניתן לבנות בשיטות שונות, כמו יחסי האורתוגונליות של שור, הרמה של הצגות מחבורות מנה ופעולה של הקרקטרים החד-ממדיים. הבנת טבלת הקרקטרים של חבורה סופית (ואף קומפקטית) תורמת להבנת כל הקרקטרים וההצגות שלה באופן מלא. לטבלת הקרקטרים שימושים גם בתחומים נוספים, כמו פיזיקה, כימיה, קריסטלוגרפיה ועוד. תהי G {\displaystyle G} חבורה ויהי F {\displaystyle F} שדה נתון (לרוב שדה המספרים המרוכבים). בהינתן הצגה ליניארית π : G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)} ממד סופי של G {\displaystyle G} מעל השדה F {\displaystyle F} , הקרקטר (character) של הצגה זו הוא הפונקציה χ π : G → F , χ π ( g ) = tr ⁡ ( π ( g ) ) {\displaystyle \chi _{\pi }:G\to F,\,\chi _{\pi }(g)=\operatorname {tr} (\pi (g))} אשר מחשבת את העקבה של האופרטורים הליניאריים אשר באמצעותם פועלת החבורה. אם ההצגה π : G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)} אי-פריקה, נאמר כי הקרקטר שלה χ π {\displaystyle \chi _{\pi }} הוא קרקטר אי-פריק. בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם בחבורה קומפקטית), אפשר לשחזר מן הקרקטר של הצגה את ההצגה כולה (עד כדי שקילות). כך למשל, ניתן לשחזר את הממד של ההצגה מתוך הקרקטר שלה: χ π ( e ) = tr ⁡ ( i d V ) = d i m ( V ) {\displaystyle \chi _{\pi }(e)=\operatorname {tr} (id_{V})=dim(V)} כאשר e ∈ G {\displaystyle e\in G} הוא איבר היחידה. הערך χ π ( e ) {\displaystyle \chi _{\pi }(e)} נקרא הדרגה של הקרקטר χ π {\displaystyle \chi _{\pi }} . אם g , h {\displaystyle g,h} הם שני איברים צמודים בחבורה, דהיינו h = x g x − 1 {\displaystyle h=xgx^{-1}} עבור איבר x {\displaystyle x} מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של מחלקות הצמידות בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה. אם מאפיין השדה לא מחלק את סדר החבורה, לפי משפט משקה חוג החבורה F [ G ] {\displaystyle F[G]} הוא פשוט למחצה, ולכן לפי משפט ודרברן-ארטין מתפרק לסכום ישר של חוגי מטריצות מעל חוגים עם חילוק: F [ G ] = ⊕ i = 1 t M n i ( D i ) {\displaystyle F[G]={\overset {t}{\underset {i=1}{\oplus }}}{M_{n_{i}}(D_{i})}} . לחוגים כאלה מודול אי-פריק יחיד, ולכן מספר ההצגות האי-פריקות של החבורה סופי, שווה למספר המחוברים t {\displaystyle t} , השווה גם לממד המרכז Z ( F [ G ] ) {\displaystyle Z(F[G])} , שווה למספר מחלקות הצמידות של G {\displaystyle G} . לכן, ניתן לבנות טבלה ריבועית, אשר בעמודותיה שמים את הקרקטרים האי-פריקים { χ i } i = 1 t {\displaystyle \{\chi _{i}\}_{i=1}^{t}} , ובשורותיה את מחלקות הצמידות { C i } i = 1 t {\displaystyle \{C_{i}\}_{i=1}^{t}} של החבורה. מעל מחלקות הצמידות נהוג לרשום את גודל המחלקה h i {\displaystyle h_{i}} . במקום ה- ( u , j ) {\displaystyle (u,j)} של הטבלה שמים את χ u ( C j ) {\displaystyle \chi _{u}(C_{j})} . טבלה זו נקראת טבלת קרקטרים של החבורה. לכל חבורה יש את הקרקטר הטרוויאלי (הקארקטר של ההצגה הטריוויאלית), ולכן בשורה הראשונה יש אחדות; בעמודה הראשונה שמים את דרגות הקרקטרים, היינו את המספרים n i {\displaystyle n_{i}} (כלומר, הממדים של ההצגות האי-פריקות). כדי למלא את טבלת הקרקטרים ניתן להשתמש במספר שיטות. בנוגע לגדלים, מתקיימים מספר כללים: כדי לדעת את גודל הטבלה יש לדעת את מספר מחלקות הצמידות. מתקיים | G | = ∑ i = 1 t n i 2 {\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{t}{n_{i}^{2}}} , ולעיתים (נדירות) הצגה כזו היא יחידה, ואז יודעים את t {\displaystyle t} . מתקיים n i ∣ | G | {\displaystyle n_{i}\mid |G|} (ממד ההצגה מחלק את גודל החבורה), ואפילו n i ∣ [ G : Z ( G ) ] {\displaystyle n_{i}\mid [G:Z(G)]} . אם A ≤ G {\displaystyle A\leq G} תת-חבורה אבלית, ממדי ההצגות האי-פריקות n i {\displaystyle n_{i}} קטנים מהאינדקס: n i ≤ [ G : A ] {\displaystyle n_{i}\leq [G:A]} . כדי לדעת (בוודאות) את n i {\displaystyle n_{i}} , יש להכיר את מבנה החבורה (למשל, את תת-החבורות הנורמליות שלה). יחסי האורתוגונליות של שור הם יחסי אורתוגונליות על שורות ועמודות טבלת הקרקטרים העוזרים לחשב את איבריה. שני יחסי שור השימושיים ביותר הם: ∑ u χ u ( g i ) ¯ χ u ( g j ) = | G | h j δ i , j {\displaystyle \sum _{u}{{\overline {\chi _{u}(g_{i})}}\chi _{u}(g_{j}})={\frac {|G|}{h_{j}}}\delta _{i,j}} (עמודות) ∑ j h j χ u ( g ) χ v ( g ) ¯ = δ u , v | G | {\displaystyle \sum _{j}{h_{j}\chi _{u}(g){\overline {\chi _{v}(g)}}=\delta _{u,v}|G|}} (שורות) ניתן להרים הצגות (ולכן טבלאות חלקיות) של חבורת מנה נתונה אל הצגה של החבורה. כלומר, אם H {\displaystyle H} תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} וידועה הצגה ϕ {\displaystyle \phi } של G / H {\displaystyle G/H} , מקבלים הצגה של G {\displaystyle G} על ידי הרכבה עם העתקת המנה ρ ∘ ϕ {\displaystyle \rho \circ \phi } . מקרה שימושי במיוחד של הרמה הוא עבור H = [ G , G ] {\displaystyle H=[G,G]} , תת-חבורת הקומוטטורים. במקרה זה G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} היא האבליניזציה של G {\displaystyle G} ובפרט אבלית - כלומר כל הצגה אי-פריקה שלה היא חד־ממדית (נתונה על ידי קרקטר כפלי) של החבורה G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} ). יותר מכך - כל הצגה חד־ממדית של G {\displaystyle G} היא הרמה של הצגה כלשהי של G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} , לפי התכונה האוניברסלית של האבליניזציה. בפרט, מספר הקרקטרים האי-פריקים מדרגה 1 של G {\displaystyle G} שווה ל- | G / [ G , G ] | {\displaystyle |G/[G,G]|} . מספר זה הוא גם מספר המחוברים 1 2 {\displaystyle 1^{2}} שמשתתפים בסכום | G | = ∑ i = 1 t n i 2 {\displaystyle |G|=\sum _{i=1}^{t}{n_{i}^{2}}} . אם ρ {\displaystyle \rho } הצגה חד-ממדית של G {\displaystyle G} , אז לכל הצגה k {\displaystyle k} -ממדית ϕ {\displaystyle \phi } של G {\displaystyle G} , גם ρ ∘ ϕ {\displaystyle \rho \circ \phi } אף היא הצגה k {\displaystyle k} -ממדית של G {\displaystyle G} . יתר על כן מוגדרת פעולת חבורה של חבורת הקרקטרים הכפליים (חבורת הקרקטרים מדרגה 1) של G {\displaystyle G} על כלל הקרקטרים של G {\displaystyle G} , השומרת על ממד. יתר על כך, פעולה זו מעבירה קרקטרים אי-פריקים לקרקטרים אי-פריקים, כלומר, מקבלים פעולה של חבורת הקרקטרים הכפליים של G {\displaystyle G} על קבוצת השורות בטבלת הקרקטרים בעלות אותה דרגה. ניתן לראות פעולה זו גם כפעולה של החבורה G / [ G , G ] {\displaystyle G/[G,G]} . טבלת הקרקטרים של מכפלה ישרה של חבורות G × H {\displaystyle G\times H} היא המכפלה טנזורית של הטבלאות שלהן. חבורות ציקליות - במקרה של חבורות ציקליות המצב פשוט יותר, כי אנו יודעים מראש את כל ההצגות - הן מהצורה 1 ↦ ρ n j {\displaystyle 1\mapsto \rho _{n}^{j}} , כלומר העברת היוצר אל חזקה של שורש יחידה. בפרט, טבלת הקרקטרים היא ( ρ n i j ) i , j = 1 n {\displaystyle (\rho _{n}^{ij})_{i,j=1}^{n}} . למשל, הטבלה של Z / 3 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } היא ( 1 1 1 1 ρ 3 ρ 3 2 1 ρ 3 2 ρ 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1\\1&\rho _{3}&\rho _{3}^{2}\\1&\rho _{3}^{2}&\rho _{3}\end{pmatrix}}} חבורות אבליות - לפי הטענה לעיל על הטבלה של מכפלת חבורות ולפי מיון חבורות אבליות סופיות, מקבלים את כל הטבלאות של כל החבורות האבליות הסופיות. S 3 {\displaystyle S_{3}} - נחשב ישירות את הטבלה של החבורה הסימטרית השלישית. יש בה 6 איברים, וההצגה היחידה של 6 כסכום של ריבועים שלמים היא 6 = 1 2 + 1 2 + 2 2 {\displaystyle 6=1^{2}+1^{2}+2^{2}} . ואכן, יש שלוש מחלקות צמידות, מהצורה: ( ⋅ ) , ( ⋅ ⋅ ⋅ ) , ( ⋅ ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ),(\cdot \cdot \cdot ),(\cdot \cdot )} . ההצגה השנייה היא הצגה הסימן, הצגה שיש בכל חבורה סימטרית על ידי העתקת הסימן. את השורה השלישית ניתן למצוא לפי יחס האורתוגונליות. סה"כ הטבלה היא ( 1 1 1 1 1 − 1 2 − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&-1\\2&-1&0\end{pmatrix}}} . חבורות הסימטריה S n {\displaystyle S_{n}} - באופן כללי, מבנה ההצגות של חבורות הסימטריה ידוע על פי דיאגרמות יאנג. כך ניתן למצוא את טבלת הקרקטרים, שאיברי יהיו תמיד מספרים שלמים. לפרטים, ראו למשל כאן. חבורות דיהדרליות D n {\displaystyle D_{n}} - במקרה זה יש מבנה מפורש של מחלקות הצמידות ושל הטבלאות, התלוי בזוגיות של n {\displaystyle n} . למבנה המלא ראו למשל כאן. טבלת קרקטרים, באתר MathWorld (באנגלית)