צפיפות שנירלמן

בתורת המספרים, צפיפות שנירלמן היא מדד לצפיפות של קבוצת מספרים בתוך קבוצת המספרים הטבעיים. זהו מדד מרכזי בתורת המספרים האדיטיבית, העוסקת בשאלות כמו השערת גולדבך, בעיית וארינג ומשפט ארבעת הריבועים, המבקשות להציג מספר כסכום של מספרים מקבוצה נתונה. אם   A ⊂ N {\displaystyle \ A\subset \mathbb {N} } קבוצה של מספרים, אפשר לסמן ב-   A ( n ) = { a ∈ A , 1 ≤ a ≤ n } {\displaystyle \ A(n)=\{a\in A,\,1\leq a\leq n\}} את הרישא המתאימה של A. הצפיפות של A קשורה, באופן אינטואיטיבי, בקצב הגידול של הקבוצות   A ( n ) {\displaystyle \ A(n)} . ב-1931 הציע המתמטיקאי הרוסי לב שנירלמן לבחון את מידת הצפיפות   δ ( A ) = inf | A ( n ) | n {\displaystyle \ \delta (A)=\inf {\frac {|A(n)|}{n}}} , כלומר, המספר הגדול ביותר המקיים את התנאי   | A ( n ) | ≥ δ ⋅ n {\displaystyle \ |A(n)|\geq \delta \cdot n} לכל   n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle \ n=1,2,...} . מדד זה נקרא "צפיפות שנירלמן" של הקבוצה A. דוגמאות. לכל קבוצה   0 ≤ δ ( A ) ≤ 1 {\displaystyle \ 0\leq \delta (A)\leq 1} . הצפיפות שווה ל-1 אם ורק אם A כוללת את כל המספרים הטבעיים (מאחד ואילך). הצפיפות של כל קבוצה סופית היא 0, אבל זוהי גם הצפיפות של קבוצות גדולות כמו קבוצת כל הריבועים או הראשוניים. לכל קבוצה שאינה כוללת את המספר 1 יש צפיפות 0. הצפיפות של הסדרה האריתמטית   1 + n N {\displaystyle \ 1+n\mathbb {N} } היא   1 n {\displaystyle \ {\frac {1}{n}}} . בניגוד למדדים אחרים, המדד של שנירלמן רגיש מאוד לערכים ההתחלתיים של A. לדוגמה, מדדים כמו   lim inf | A ( n ) | n {\displaystyle \ \liminf {\frac {|A(n)|}{n}}} או   lim sup | A ( n ) | n {\displaystyle \ \limsup {\frac {|A(n)|}{n}}} (ראו גבול תחתון וגבול עליון) אינם משתנים כאשר מסירים קבוצה סופית מ-A, או כאשר מוסיפים קבוצה כזו, ואף לא כאשר מזיזים את הקבוצה כולה בהפרש קבוע. צפיפות שנירלמן עשויה להשתנות בכל המקרים האלה. למרות חסרונות תאורטיים אלה, ואולי דווקא בשלהם, הפך המדד שהציע שנירלמן לכלי מרכזי בתורת המספרים האדיטיבית. שנירלמן הצליח להראות, בעזרת שיטת הנפה, שלקבוצה   P + P {\displaystyle \ P+P} יש צפיפות חיובית, כאשר P היא קבוצת המספרים הראשוניים (יחד עם 0 ו- 1) (הסכום   A + B {\displaystyle \ A+B} מהווה סימון מקובל לאוסף כל הסכומים   a + b {\displaystyle \ a+b} כאשר a ו- b הם איברים של A ו- B, בהתאמה). כתוצאה מכך הוא יכול היה להסיק שכל מספר שלם אפשר להציג כסכום של עד 300,000 ראשוניים, או פחות. התוצאה רחוקה מאוד מזו שקיווה לה גולדבך, ובכל זאת זה היה הצעד המשמעותי הראשון לפתרון השערת גולדבך, מאז הועלתה ההשערה, כמעט 200 שנה קודם לכן. כדי להוכיח תוצאה זו, חקר שנירלמן כמה תכונות כלליות של מדד הצפיפות שלו, עבור קבוצות המכילות את המספר 0. הוא הוכיח שאם A ו- B קבוצות המקיימות את התנאי   δ ( A ) + δ ( B ) ≥ 1 {\displaystyle \ \delta (A)+\delta (B)\geq 1} , אז הסכום   A + B {\displaystyle \ A+B} מכיל את כל המספרים הטבעיים. בנוסף הראה שנירלמן שלכל שתי קבוצות (המכילות את 0), מתקיים   δ ( A + B ) ≥ δ ( A ) + δ ( B ) − δ ( A ) δ ( B ) {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)} . אם נסמן   m A = A + A + … + A {\displaystyle \ mA=A+A+\ldots +A} (כל הסכומים של m ערכים מ- A), אז מהטענה האחרונה נובע ש-   1 − δ ( m A ) ≤ ( 1 − δ ( A ) ) m {\displaystyle \ 1-\delta (mA)\leq (1-\delta (A))^{m}} , כלומר, אם A קבוצה בעלת צפיפות חיובית, אז הצפיפות של mA עולה על חצי עבור m גדול מספיק. בשילוב עם הטענה הראשונה, נובע מכאן שכל מספר טבעי ניתן להצגה כסכום של 2m איברים של A, לכל היותר. נכון שבדרך כלל החסם המתקבל הוא הערכה גרועה, ואפשר להציג כל מספר טבעי כסכום של מספר קטן יותר של איברים. ובכל זאת, זוהי ההוכחה הקלה ביותר לכך שבקבוצה בעלת צפיפות חיובית אפשר לכסות, בסופו של דבר, את כל המספרים הטבעיים (קבוצות בעלות התכונה האחרונה נקראות בתורת המספרים האדיטיבית "בסיסים"). שנירלמן ואדמונד לנדאו שיערו כבר ב-1931 שאפשר להוכיח   δ ( A + B ) ≥ δ ( A ) + δ ( B ) {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)} לכל שתי קבוצות שסכום צפיפויותיהן קטן מ-1 (והמכילות את 0). חוקרים רבים ניסו כוחם בפתרון השערה זו, עד ש- H.B.Mann, שלמד את תורת המספרים האדיטיבית אצל אלפרד בראוור, מצא לה הוכחה ב- 1941, ועל כך זכה בפרס קול של החברה האמריקאית למתמטיקה ב- 1946. צפיפות שנירלמן ממשיכה להוות כלי חשוב בתורת המספרים האדיטיבית, ואף בתחומים רחבים יותר של האריתמטיקה. בין התוצאות הידועות מצוי לדוגמה משפט של ארדש ו- van der Corput, שלפיו ישנם אינסוף מספרים איזוגיים שאינם ניתנים להצגה כסכום של מספר ראשוני וריבוע; הם הראו שלקבוצת המספרים האלה יש צפיפות חיובית. צפיפות (תורת המספרים) צפיפות דיריכלה משפטי שנירלמן צפיפות שנירלמן, באתר MathWorld (באנגלית)