פונקציה חסומה

באנליזה מתמטית, פונקציה חסומה היא פונקציה, בדרך-כלל ממשית או מרוכבת, שכל ערכיה קטנים בערכם המוחלט ממספר קבוע כלשהו. אומרים שהפונקציה חסומה בתחום A אם קיים קבוע M כך שלכל   x ∈ A {\displaystyle \ x\in A} ,   | f ( x ) | ≤ M {\displaystyle \ |f(x)|\leq M} . פונקציה ממשית נקראת חסומה מלמעלה (או חסומה מלעיל) אם קיים קבוע M כך ש- f ( x ) ≤ M {\displaystyle f(x)\leq M} לכל x בתחום, וחסומה מלמטה (או חסומה מלרע) אם קיים קבוע m כך ש- f ( x ) ≥ m {\displaystyle f(x)\geq m} לכל x בתחום. באנליזה מתקדמת, חסימות אבסולוטית איננה תכונה מספיק כללית (למשל, פונקציית דלתא). על כן, לעיתים מתעסקים עם פונקציות חסומות פרט לתת-קבוצה ממידה אפס בתחום. פונקציה f : A → R {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה, Im ⁡ f = f ( A ) {\displaystyle \operatorname {Im} f=f(A)} היא קבוצה חסומה. בפרט, פונקציה היא חסומה אם ורק אם התמונה שלה מוכלת בתוך קטע בעל אורך סופי. פונקציה היא חסומה אם ורק אם היא חסומה מלמעלה וגם חסומה מלמטה. לפי משפט ויירשטראס הראשון, כל פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה בו. זהו מקרה פרטי של תכונה כללית יותר: כל פונקציה רציפה המוגדרת על מרחב קומפקטי היא חסומה. כל פונקציה קבועה (כזו המקבלת ערך קבוע לכל הצבה) היא חסומה. באופן כללי יותר, פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים ממשיים היא חסומה. הפונקציה   f ( x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \ f(x)=\sin(x)} חסומה, כי כל הערכים שהיא מקבלת קטנים או שווים בערכם המוחלט מ-1. למעשה, תמונתה היא הקטע הסגור [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} . הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} אינה חסומה, כי לכל חסם M {\displaystyle M} , מתקיים | f ( M + 1 ) | = M + 1 > M {\displaystyle |f(M+1)|=M+1>M} . הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} חסומה בתחום ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} . לכל נקודה בתחום מתקיים | f ( x ) | = x < 1 {\displaystyle |f(x)|=x<1} . הפונקציה f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} אינה חסומה בתחום ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} : שכן אם היה קיים חסם M {\displaystyle M} , כל מספר טבעי n {\displaystyle n} הגדול מ- M {\displaystyle M} הרי מקיים | f ( 1 / n ) | = n > M {\displaystyle |f(1/n)|=n>M} . הפונקציה f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} חסומה מלמטה כי e x > 0 {\displaystyle e^{x}>0} לכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } אך איננה חסומה מלמעלה. הפונקציה f ( x ) = 1 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}} חסומה. מלמטה היא חסומה על ידי 0 כי היא תמיד חיובית ומלמעלה היא חסומה על ידי 1 שכן 1 ≤ 1 + x 2 {\displaystyle 1\leq 1+x^{2}} לכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . למעשה, Im ⁡ f = f ( R ) = ( 0 , 1 ] {\displaystyle \operatorname {Im} f=f(\mathbb {R} )=(0,1]} . בתורת המידה, מונח הפונקציה החסומה איננו מספיק - פונקציות יכולות לקבל גם ערכים אינסופיים, ולכן, למשל, לפי ההגדרות לעיל הפונקציה δ ( x ) = { ∞ x = 0 0 x ≠ 0 {\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty \quad \quad x=0\\0\quad \quad \quad x\neq 0\end{cases}}} איננה חסומה. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את ה- essential supremum וה- essential infimum של פונקציה מדידה באופן הבא: esssup ⁡ ( f ) = inf { a ∈ R : μ ( f − 1 ( a , ∞ ) ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {esssup} (f)=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}} essinf ⁡ ( f ) = sup { a ∈ R : μ ( f − 1 ( − ∞ , a ) ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {essinf} (f)=\sup\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(-\infty ,a))=0\}} ואומרים שפונקציה היא חסומה בעיקר אם esssup ⁡ | f | < ∞ {\displaystyle \operatorname {esssup} |f|<\infty } . הגדרה זו שימושית בעיקר בתורת המידה, בהגדרת המרחב L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} באופן קונסיסטנטי. ראו גם נורמת הסופרמום. חסימות במידה אחידה משפטי ויירשטראס