פלוס ומינוס

הסימנים פלוס ומינוס (+ ו־−) הם סימנים מתמטיים המשמשים לייצוג ערכים חיוביים (פלוס) או שליליים (מינוס) של מספרים, וכסימנים לפעולות החיבור והחיסור. שימושם הורחב לתחומים נוספים. על אף שכיום הסימנים נראים מובנים ופשוטים כמו האלפבית, הם אינם כה עתיקים. הסימן המצרי לחיבור, למשל, הזכיר זוג רגליים בכיוון הטקסט (המצרים יכלו לכתוב גם משמאל לימין וגם מימין לשמאל), כאשר הכיוון הֶהפוך משמעו חיסור: הסימנים מקורם בלטינית, שם הם סימנו "יותר" או "פחות" בהתאמה, ולאו דווקא פעולות מתמטיות. באירופה, בתחילת המאה ה־15 השתמשו באותיות P עם קו מעליה (p̄) ו־M עם קו מעליה (m̄) לסימון חיבור וחיסור. הסימנים הללו הופיעו בפעם הראשונה באסופה המתמטית של לוקה פאצ'ולי, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità (אנ׳) שכללה גאומטריה ופרופורציה ופורסמה לראשונה בוונציה ב־1494. בחיבורו ב־1489 התייחס יוהנס וידמן לסימנים − ו־+ כ־minus ו־mer (מילה בגרמנית שפירושה "עוד"), בהתאמה. רוברט רקורד, המעצב של הסימן =, הִציג את סימני הפלוס והמינוס לבריטים ב־1557 במשפט זה: "ישנם שני סימנים נפוצים נוספים, אשר הראשון צורתו + ופירושו 'עוד', והשני צורתו − ופירושו 'פחות'.” סימן הפלוס (+) הוא אופרטור בינארי שמעיד על הוספה, למשל בביטוי 2 + 3 = 5 {\displaystyle 2+3=5} . כמו כן, הוא יכול לשמש כאופרטור אוּנָרי שמעיד על הסימן של המספר שבא אחריו (כלומר + x {\displaystyle +x} זהה ל־ x {\displaystyle x} ). שימוש זה חשוב לשם הדגשת החיוביות של המספר, במיוחד כאשר משווים אותו למספר הנגדי לו (למשל − 5 {\displaystyle -5} לעומת + 5 {\displaystyle +5} ). סימן הפלוס משמש לפעולות נוספות, בהתאם למערכת המתמטית שבה הוא נמצא. במבנים אלגבריים רבים, כגון מרחבים וקטוריים וחוגי מטריצות, קיימת פעולה שמכוּנָה חיבור. זאת ועוד, סימן הפלוס הורחב לשימוש בפעולות שונות אחרות. למשל, סימן הפלוס יכול להתפרש גם כ: סימן XOR ("או מוציא" – לעיתים מסומן כך: ⊕ {\displaystyle \oplus } ): 1 + 1 = 0 , 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+1=0,\,1+0=1} או לוגי (לעיתים מסומן כך: ∨ {\displaystyle \lor } ): 1 + 1 = 1 , 1 + 0 = 1 {\displaystyle 1+1=1,\,1+0=1} מסורת יהודית שקיימת לכל הפחות מהמאה ה־18 היא לכתוב פלוס בצורת קמץ הפוך (﬩), כדי להימנע מסימן הדומה לצלב. הסימון בשימוש במערכת החינוך הישראלית, בפרט בבתי הספר היסודיים. בספרים בדרך כלל נעשה שימוש בסימן הפלוס הרגיל. בקוד יוניקוד הסימון מיוצג בערך U+FB29. לסימן המינוס (−) ישנם שלושה שימושים עיקריים במתמטיקה: סימן החיסור: אופרטור בינארי שמצביע על חיסור והפחתה, למשל בביטוי 5 − 3 = 2 {\displaystyle 5-3=2} . חיסור הוא ההפך מחיבור. כאשר סימן המינוס מוצמד למספר ולא מעיד על חיסור, משמעותו הוא שהמספר שאחריו הוא מספר שלילי. לדוגמה, − 5 {\displaystyle -5} הוא 5 {\displaystyle 5} שלילי. אופרטור אונארי שפועל על מנת לשנות את סימנו של המשתנה שבא אחריו (למשל, אם x = 3 {\displaystyle x=3} , אז − x = − 3 {\displaystyle -x=-3} , אבל אם x = − 3 {\displaystyle x=-3} , אז − x = 3 {\displaystyle -x=3} ). באופן דומה, − ( − 2 ) = 2 {\displaystyle -(-2)=2} . הדוגמה הנ"ל היא שימוש מיוחד של סימן זה. כל שלושת השימושים נקראים "מינוס" בדיבור היומיומי. ברוב המדינות דוברות האנגלית, − 5 {\displaystyle -5} (למשל) נקרא בדרך כלל "minus five", אבל בארצות הברית כיום אומרים כך "negative five" (כלומר: חמש שלילי). מכאן, המונח "מינוס" היה בשימוש אצל דוברים שנולדו לפני 1950, ועדיין פופולרי בקרב אוכלוסיות מסוימות, אבל המונח "שלילי" נלמד בדרך כלל כַּשימוש הנכון היחיד. יותר מכך, ספרי לימוד בארצות הברית מעודדים להגות את − x {\displaystyle -x} כ־"ההפך מ־ x {\displaystyle x} " או "המספר הנגדי ל־ x {\displaystyle x} ", כדי להימנע מהרושם ש־ − x {\displaystyle -x} מוכרח להיות מספר שלילי. במתמטיקה, הגבול החד־צדדי כש־ x {\displaystyle x} שואף ל־ a + {\displaystyle a^{+}} , משמעותו ש־X מתקרב ל־a מימין, ולעומת זאת, כש־ x {\displaystyle x} שואף ל־ a − {\displaystyle a^{-}} , הדבר מעיד כי X מתקרב ל־a משמאל. לדוגמה, ניתן לראות זאת כאשר מחשבים את הגבול של 1 x {\textstyle {\frac {1}{x}}} כש־ x {\displaystyle x} שואף ל־ 0 {\displaystyle 0} , מכיוון ש־ 1 x → + ∞ {\textstyle {\frac {1}{x}}\to +\infty } כש־ x {\displaystyle x} שואף ל־ 0 + {\displaystyle 0^{+}} (כלומר כש־ x {\displaystyle x} הוא מספר חיובי קטן כרצוננו), ואילו כש־ x {\displaystyle x} שואף ל־ 0 − {\displaystyle 0^{-}} (כלומר כש־ x {\displaystyle x} הוא מספר שלילי גדול כרצוננו) הגבול הוא − ∞ {\displaystyle -\infty } (להסבר נוסף, ראה גבולות מתמטיים). בנוסף לשימוש בסימנים הללו במתמטיקה הרגילה, ניתן להשתמש בהם למטרות רבות נוספות בתחום המחשבים. סימני פלוס ומינוס מופיעים לעיתים קרובות ליד שם של תיקיות במחשב על מנת להראות האם התיקייה "סגורה" או "פתוחה". כלומר, אם ליד התיקייה מופיע סימן המינוס, הדבר מעיד כי התיקייה מורחבת (כלומר ניתן לראות את התיקיות והקבצים שהיא מכילה), וניתן לצמצם אותה על ידי לחיצה על כפתור המינוס. באופן דומה, אם ליד התיקייה מופיע סימן הפלוס, הדבר מעיד כי התיקייה מצומצמת ויש ללחוץ על סימן הפלוס כדי לצפות בקבצים שבה. בשפות תכנות שונות, שרשור מחרוזות נכתב בעזרת סימן הפלוס: "a" + "b" = "ab". במחשבון אלקטרוני, לחיצה פעמיים על סימן ה־+ דהיינו: ++, תגרום להצגת כפולות המספר לפי סדר, על ידי לחיצה חוזרת ונשנית על המקש =. בשפת התכנות C וּבמספר שפות נוספות, שני סימני פלוס מורים על הגדלת המשתנה ב־ 1 {\displaystyle 1} ; באופן דומה, שני סימני מינוס מורים על הקטנתו ב־ 1 {\displaystyle 1} . לדוגמה, הפקודה ++x פירושה "הגדלת הערך של X ב־ 1 {\displaystyle 1} ". במתמטיקה 0 {\displaystyle 0} אינו חיובי ואינו שלילי, אבל במחשבים ל־ − 0 {\displaystyle -0} יכול להיות ייצוג שונה מל־ + 0 {\displaystyle +0} . ב־IEEE 754 (אנ׳) במקרה של חלוקה באפס, נקבל ש־ 1 − 0 = − ∞ {\textstyle {\frac {1}{-0}}=-\infty } בעוד ש־ 1 + 0 = + ∞ {\textstyle {\frac {1}{+0}}=+\infty } (להסבר נוסף, ראה נקודה צפה ואפס עם סימן (אנ׳)). בכימיה, סימן המינוס נמצא בשימוש לסימון קשר קוולנטי יחיד בין שני האטומים. במערכות שבהן יש צורך בדירוג (כמו מתן ציון לבחינה או דירוג אשראי), סימן הפלוס מצביע על רמה אחת גבוהה יותר, ואילו סימן המינוס מצביע על רמה אחת נמוכה יותר. לדוגמה, B− (נקרא "B מינוס") הוא רמה מתחת ל־B. לעיתים, תופעה זו מורחבת לשני סימני פלוס או מינוס (למשל ++B, שתי רמות מעל B). סוגי דם מתוארים לרוב על ידי סימן פלוס או מינוס שמעידים על הופעת או מחסור של הגורם Rh. לדוגמה +A מעיד על סוג דם A שמכיל גורם Rh, בעוד −B מעיד על סוג דם B ללא גורם Rh. במוזיקה, תווים מוגברים מסומנים עם סימן +, אף על פי שסימון זה אינו בינלאומי מכיוון שיש דרכים שונות להגות את התווים הללו. Cajori, Florian., History of Mathematical Notations., Dover Publications, 1928-1929, ISBN 1-306-36970-3 Sangster, Alan; Stoner, Greg; McCarthy, Patricia (2008). "The market for Luca Pacioli's Summa Arithmetica" (PDF). Accounting Historians Journal. 35 (1): 111–134 [p. 115]. על סימן "+" כפעולה חשבונית בספרים עתיקים, בלוג מנהל ספריית הרמב"ם