חבורות מתיו

בתורת החבורות, המשפחה של חבורות מתיו היא משפחה קטנה של חבורות סופיות, מהן פשוטות, המתאפיינות בפעולה רב-טרנזיטיבית. בהקשרים שונים, מונים מחמש ועד שמונה חבורות מתיו. לפי הגרסה המרחיבה, כוללת המשפחה את החבורות M 9 , M 10 , M 11 , M 12 {\displaystyle M_{9},M_{10},M_{11},M_{12}} ו- M 21 , M 22 , M 23 , M 24 {\displaystyle M_{21},M_{22},M_{23},M_{24}} , שמהן M 11 , M 12 , M 22 , M 23 , M 24 {\displaystyle M_{11},M_{12},M_{22},M_{23},M_{24}} הן חבורות פשוטות ספורדיות - הראשונות שהתגלו במסגרת מיון החבורות הפשוטות הסופיות אחרי חבורות התמורות הזוגיות (גם M 21 {\displaystyle M_{21}} פשוטה, אלא שהיא איזומורפית לחבורת המטריצות PSL 3 ⁡ ( F 4 ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{3}(\mathbb {F} _{4})} ). אכן, את החבורות בנה אמיל לאונרד מת'יו (אנ'), 1835-1890, במאמרים שפרסם בשנים 1861–1873. הבניה נעשתה ריגורוזית ב-1937 על ידי ארנסט ויט. החבורה M 10 {\displaystyle M_{10}} היא תת-חבורה מאינדקס 2 של P G L 2 ( F 9 ) ⋅ ⟨ ϕ ⟩ {\displaystyle PGL_{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle \phi \rangle } , כאשר ϕ {\displaystyle \phi } הוא אוטומורפיזם פרובניוס של השדה (שתי האחרות הן PGL 2 ⁡ ( F 9 ) {\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {F} _{9})} ו- PSL 2 ⁡ ( F 9 ) ⋅ ⟨ ϕ ⟩ {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {F} _{9})\cdot \langle {\phi }\rangle } ), ולכן היא פועלת על הישר הפרויקטיבי F 9 ∪ { ∞ } {\displaystyle \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty \}} . פעולה זו היא פעולה 3-טרנזיטיבית חדה. אם מוסיפים ל- M 10 {\displaystyle M_{10}} את התמורה ( ω ∞ ) ( λ ↦ π 2 λ + π ϕ ( λ ) ) {\displaystyle (\omega \infty )(\lambda \mapsto \pi ^{2}\lambda +\pi \phi (\lambda ))} , כאשר π {\displaystyle \pi } יוצר של השדה מסדר 9, המקיים π 2 + π = 1 {\displaystyle \pi ^{2}+\pi =1} , מתקבלת החבורה M 11 {\displaystyle M_{11}} , שפעולתה על F 9 ∪ { ∞ , ω } {\displaystyle \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega \}} היא 4-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר S ( 4 , 5 , 11 ) {\displaystyle S(4,5,11)} , שהיא היחידה עם פרמטרים אלו. כשמוסיפים לזה את התמורה ( ω Ω ) ∘ ϕ {\displaystyle (\omega \Omega )\circ \phi } , מתקבלת החבורה M 12 {\displaystyle M_{12}} , שפעולתה על F 9 ∪ { ∞ , ω , Ω } {\displaystyle \mathbb {F} _{9}\cup \{\infty ,\omega ,\Omega \}} היא 5-טרנזיטיבית-בחדות. חבורה זו היא חבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר S ( 5 , 6 , 12 ) {\displaystyle S(5,6,12)} , היחידה עם פרמטרים אלו. החבורה P S L 3 ( F 4 ) {\displaystyle PSL_{3}(\mathbb {F} _{4})} פועלת באופן טבעי על 16+4+1=21 הישרים הפרויקטיביים. הרחבה שלה הפועלת על 22 נקודות עם מייצב של נקודה השווה לחבורה הקודמת, נקראת M 22 {\displaystyle M_{22}} . הפעולה של חבורה זו היא 3-טרנזיטיבית, ואינה חדה (המייצב של שלשת נקודות הוא מסדר 48). זוהי תת-חבורה מאינדקס 2 בחבורת האוטומורפיזמים של מערכת שטיינר S ( 3 , 6 , 22 ) {\displaystyle S(3,6,22)} . החבורה M 22 {\displaystyle M_{22}} מוכלת בחבורה M 23 {\displaystyle M_{23}} הפועלת באופן 4-טרנזיטיבי על 23 נקודות, כך שהמייצב של נקודה הוא M 22 {\displaystyle M_{22}} (ולכן המייצב של ארבע נקודות הוא מסדר 48); זוהי חבורת האוטומורפיזמים של S ( 4 , 7 , 23 ) {\displaystyle S(4,7,23)} ; ובסופו של דבר, חבורת האוטומורפיזמים M 24 {\displaystyle M_{24}} של המערכת S ( 5 , 8 , 24 ) {\displaystyle S(5,8,24)} פועלת על 24 הנקודות באופן 5-טרנזיטיבי, עם מייצב של נקודה השווה ל-   M 23 {\displaystyle \ M_{23}} . מדיה וקבצים בנושא חבורות מתיו בוויקישיתוף