החבורה המודולרית

במתמטיקה, החבורה המודולרית היא החבורה של המטריצות בגודל 2-על-2, בעלות מקדמים שלמים ודטרמיננטה 1, עד כדי סימן. מקובל לסמן אותה ב- PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} . החבורה המודולרית פועלת על וקטורים 2-ממדיים באופן הרגיל בו פועלות מטריצות על וקטורים; ועל חצי המישור המרוכב { z : Im ⁡ ( z ) > 0 } {\displaystyle \{z:\operatorname {Im} (z)>0\}} על ידי טרנספורמציות מביוס ( a b c d ) : z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right):z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}} . החבורה המודולרית, ותת-חבורות שלה, נחקרו לראשונה במפורש על ידי ריכרד דדקינד ופליקס קליין, במסגרת תוכנית ארלנגן בשנות ה-70 של המאה ה-19. הפונקציות האליפטיות הקשורות בפעולת החבורה על חצי המישור העליון נחקרו על ידי ז'וזף לואי לגרנז' ב-1785, על ידי יעקובי ואבל ב-1827, ועל ידי רבים אחרים. (שמה של החבורה מגיע ממרחב המודולים של משטחי רימן, ולא מחשבון מודולרי.) החבורה PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} היא מנה של חבורת המטריצות SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} ביחס למרכז שלה, הכולל רק את המטריצות הסקלריות ± I {\displaystyle \pm I} (יש הקוראים בשם החבורה המודולרית דווקא ל- SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} ). החבורות SL 2 ⁡ ( Z ) → PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} הן תת-חבורות נורמליות, מאינדקס 2, בחבורות GL 2 ⁡ ( Z ) → PGL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z} )} , בהתאמה. החבורה SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} שווה לחבורת המטריצות הסימפלקטיות Sp 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )} . אם A ∈ SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle A\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} , אז כל שורה וכל עמודה של A כוללת זוג מספרים זרים. גם להפך, בעזרת אלגוריתם אוקלידס, כל זוג מספרים זרים אפשר למקם כשורה (או עמודה) במטריצה A, שאותה אפשר להשלים באמצעות שורה (או עמודה) מתאימה לכדי איבר של החבורה המודולרית. יתרה מזו, אם a,b הם מספרים זרים וגם x,y מספרים זרים, אז קיימת מטריצה A כך ש- A ( a b ) = ( x y ) {\displaystyle A\left({\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right)} . כלומר, החבורה פועלת באופן טרנזיטיבי על הזוגות של מספרים זרים. פעולה זו מאפשרת לנתח שברים משולבים סטנדרטיים. אם p n − 1 q n − 1 , p n q n {\displaystyle {\frac {p_{n-1}}{q_{n-1}}},{\frac {p_{n}}{q_{n}}}} הם פיתוחים עוקבים של שבר משולב, אז ( p n − 1 p n q n − 1 q n ) ∈ GL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}p_{n-1}&p_{n}\\q_{n-1}&q_{n}\end{array}}\right)\in \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Z} )} . בפעולה שלה על זוגות סדורים, החבורה המודולרית היא חבורת האוטומורפיזמים של הסריג הסטנדרטי Z + Z i ⊂ C {\displaystyle \mathbb {Z} +\mathbb {Z} i\subset \mathbb {C} } . מכאן נובע שבדומה לפעולה הקודמת, החבורה המודולרית פועלת על סריגים במישור המרוכב. לכל שני מספרים מרוכבים ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} , שהיחס ביניהם אינו ממשי, אוסף הצירופים השלמים Z ω 1 + Z ω 2 {\displaystyle \mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}} הוא סריג, עם בסיס ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} . החבורה המודולרית פועלת טרנזיטיבית על הבסיסים. זו הסיבה לכך שפונקציות דו-מחזוריות על המישור המרוכב הן בעלות סימטריה מודולרית. החבורה SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} נוצרת על-ידי המטריצות S = ( 0 − 1 1 0 ) {\displaystyle S=\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)} ו- T = ( 1 1 0 1 ) {\displaystyle T=\left({\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right)} , המקיימות את היחסים S 2 = − 1 , ( S T ) 3 = 1 {\displaystyle S^{2}=-1,(ST)^{3}=1} . מכאן שהמנה PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} נוצרת על ידי אותם איברים, המקיימים כעת את היחסים S 2 = ( S T ) 3 = 1 {\displaystyle S^{2}=(ST)^{3}=1} . יחסים אלו מגדירים את החבורה המודולרית, ולפיכך יש לזו ייצוג על ידי יוצרים ויחסים, PSL 2 ⁡ ( Z ) = ⟨ x , y ∣ x 2 = ( x y ) 3 = 1 ⟩ {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )=\langle x,y\mid x^{2}=(xy)^{3}=1\rangle } . במילים אחרות, PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} היא חבורת המשולש D ( 2 , 3 , ∞ ) {\displaystyle D(2,3,\infty )} . מכאן שכל חבורות המשולש D ( 2 , 3 , n ) {\displaystyle D(2,3,n)} הן מנות של החבורה המודולרית. היוצרים S,ST מציגים את PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} כמכפלה חופשית ( Z / 2 Z ) ∗ ( Z / 3 Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )*(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )} . (באותו אופן, SL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} היא מכפלת היתוך ( Z / 4 Z ) ∗ Z / 2 Z ( Z / 6 Z ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )*_{\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} )} ). תת-חבורות של PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} המוגדרות על ידי תנאים מודולריים על הרכיבים הן בעלות חשיבות מיוחדת, במיוחד בתאוריה של תבניות מודולריות. לכל n, יש הומומורפיזם טבעי SL 2 ⁡ ( Z ) → SL 2 ⁡ ( Z / n Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )} ; זה משרה הומומורפיזם PSL 2 ⁡ ( Z ) → PSL 2 ⁡ ( Z / n Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )\rightarrow \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )} (שהוא תמיד על), שהגרעין שלו נקרא תת-חבורת קונגרואנציה ראשית. כל תת-חבורה המכילה תת-חבורת קונגרואנציה ראשית נקראת תת-חבורת קונגרואנציה. תת-החבורה Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} כוללת, לפי ההגדרה, את המטריצות T = ( a b c d ) {\displaystyle T=\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)} המקיימות a , d ≡ 1 ( mod n ) ,   b , c ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle a,d\equiv 1{\pmod {n}},\ b,c\equiv 0{\pmod {n}}} (עד כדי סימן משותף). לחבורה המודולרית יש תת-חבורות מאינדקס סופי שאינן תת-חבורות קונגרואנציה (וזאת בניגוד לחבורות SL n ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {Z} )} עבור n>2, המקיימות את תכונת תת-חבורות הקונגרואנציה). PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} היא חבורה מושלמת. ככזו, יש לה הרחבה מרכזית אוניברסלית; הרחבה זו היא 1 → Z → B 3 → PSL 2 ⁡ ( Z ) → 1 {\displaystyle 1\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow B_{3}\rightarrow \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )\rightarrow 1} , כאשר B 3 {\displaystyle B_{3}} היא חבורת הצמות השלישית. חבורת הקה H q {\displaystyle H_{q}} (עבור q>2 טבעי) היא תת-החבורה של PLS 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {PLS} _{2}(\mathbb {R} )} הנוצרת על-ידי המטריצות S (ראו לעיל) ו- T q = ( 1 2 cos ⁡ ( π / q ) 0 1 ) {\displaystyle T_{q}=\left({\begin{array}{cc}1&2\cos(\pi /q)\\0&1\end{array}}\right)} . החבורה המודולרית היא חבורת הקה עבור q=3. באופן כללי, H q ≅ C 2 ∗ C q {\displaystyle H_{q}\cong C_{2}*C_{q}} . יש מושג של תת-חבורות קונגרואנציה המגיע מאידיאלים ראשיים של Z [ cos ⁡ ( π / q ) ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\cos(\pi /q)]} . החבורה המודולרית חשובה בכך שהיא פועלת, כחבורה של איזומטריות, על המישור ההיפרבולי. אכן, חבורת האיזומטריות שומרות האוריינטציה של חצי המישור העליון H = { z : Im ⁡ ( z ) > 0 } {\displaystyle {\mathcal {H}}=\{z:\operatorname {Im} (z)>0\}} היא החבורה PSL 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {R} )} , הפועלת על ידי טרנספורמציות מביוס ( a b c d ) : z ↦ a z + b c z + d {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right):z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}} . החבורה המודולרית היא תת-חבורה דיסקרטית מקו-נפח סופי של PSL 2 ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {R} )} . מכיוון שהחבורה המודולרית היא, כאמור, תת-חבורה דיסקרטית, אפשר למצוא תחום יסודי לפעולה שלה; הבחירה המקובלת היא המשולש ההיפרבולי R = { z ∈ H : | z | > 1 , | Re ( z ) | < 1 2 } {\displaystyle R=\left\{z\in \mathbf {H} \colon \left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\tfrac {1}{2}}\right\}} , שקודקודיו ± 1 2 + 3 2 i {\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i} והנקודה באינסוף ∞ i {\displaystyle \infty i} (הזוויות הן שליש פאי בשני הקודקודים הסופיים, ואפס בקודקוד באינסוף). העותקים השונים של התחום היסודי תחת פעולת החבורה המודולרית מספקת ריצוף של המישור ההיפרבולי על ידי משולשים איזומטריים, שלכל אחד מהם יש קודקוד באינסוף או על הישר הממשי. כל נקודה z בחצי המישור העליון מתאימה לעקום האליפטי C / ( R + R z ) {\displaystyle \mathbb {C} /(\mathbb {R} +\mathbb {R} z)} ; העקומים של שתי נקודות שווים זה לזה אם ורק אם הנקודות שייכות לאותו מסלול בפעולה של החבורה המודולרית. כלומר, התחום היסודי H / PSL 2 ⁡ ( Z ) {\displaystyle {\mathcal {H}}/\operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )} (אחרי זיהוי צלעות המשולש) הוא מרחב המודולים של העקומים האליפטיים: מרחב שהנקודות שלו נמצאות בהתאמה לכל העקומים השונים.