משפטי פיקאר

באנליזה מרוכבת, משפטי פיקאר הם שני משפטים שנותנים מידע בדבר תמונת פונקציה אנליטית של המישור המרוכב כולו או סביב נקודת סינגולריות עיקרית יחידה. הם נקראים על שם המתמטיקאי אמיל פיקאר, ונהוג לכנותם בשמות "משפט פיקאר הקטן" ו"משפט פיקאר הגדול". פיקאר הוכיח אותם בשנים 1879 ו-1880 בהתאמה. הם מהווים חיזוק משמעותי למשפט קזוראטי-ויירשטראס, הקובע כי תמונה כנ"ל היא קבוצה צפופה. תהי f : C → C {\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} } פונקציה מרוכבת שלמה ולא קבועה, אזי תמונת הפונקציה היא המישור המרוכב כולו, או המישור המרוכב פרט לנקודה אחת. תהי f {\displaystyle f} פונקציה מרוכבת, אנליטית בסביבה U {\displaystyle U} , פרט לנקודת סינגולריות עיקרית z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} . אז לכל סביבה z 0 ∈ S ⊆ U {\displaystyle z_{0}\in S\subseteq U} , הקבוצה f ( S ∖   { z 0 } ) {\displaystyle f(S\backslash \ \{z_{0}\})} שווה למישור המרוכב כולו פרט אולי לנקודה אחת. יותר מכך, כל ערך שמתקבל – מתקבל מספר אינסופי (בן מנייה) של פעמים. ההוכחה היא בשלילה. נניח בשלילה כי הפונקציה לא מקבלת את הערכים a ≠ b , a , b ∈ C {\displaystyle a\neq b,a,b\in \mathbb {C} } . ניתן להניח כי a = 1 , b = 0 {\displaystyle a=1,b=0} (אחרת נביט בפונקציה f ( z ) − a b − a {\displaystyle {\frac {f(z)-a}{b-a}}} ). נגדיר כעת סדרה של פונקציות עזר. הנחנו ∀ z ∈ C : f ( z ) ≠ 0 {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} :f(z)\neq 0} , לכן מוגדרת ואנליטית פונקציית הלוגוריתם המרוכב h ( z ) = 1 2 π i l o g ( f ( z ) ) {\displaystyle h(z)={\frac {1}{2\pi i}}log(f(z))} . כעת, ∀ z ∈ C : f ( z ) ≠ 1 {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} :f(z)\neq 1} , ולכן h לא מקבלת ערכים שלמים. לכן, לפונקציות h , h − 1 {\displaystyle h,h-1} קיים שורש ריבועי אנליטי מרוכב, כלומר יש פונקציות u , v {\displaystyle u,v} אנליטיות כך ש- u 2 = h , v 2 = h − 1 {\displaystyle u^{2}=h,v^{2}=h-1} . אז ( u − v ) ( u + v ) = u 2 − v 2 = 1 ≠ 0 {\displaystyle (u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}=1\neq 0} ולכן מוגדר ואנליטי ϕ ( z ) = l o g ( u − v ) {\displaystyle \phi (z)=log(u-v)} . כלומר u − v = e ϕ , u + v = e − ϕ {\displaystyle u-v={e}^{\phi },u+v={e}^{-\phi }} , ולכן u = e ϕ + e − ϕ 2 {\displaystyle u={\frac {{e}^{\phi }+{e}^{-\phi }}{2}}} . לכן ϕ {\displaystyle \phi } לא קבועה (אחרת u {\displaystyle u} קבועה ואז f {\displaystyle f} קבועה). בשלב הבא, נגדיר סדרת נקודות במישור המרוכב: γ ( m , n ) = ± l n ( m + m − 1 ) + π n i 2 , m ∈ N , n ∈ Z {\displaystyle \gamma (m,n)=\pm ln({\sqrt {m}}+{\sqrt {m-1}})+{\frac {\pi ni}{2}},m\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {Z} } . חישובים ישירים מראים כי כל עיגול פתוח ברדיוס אחד מכיל לפחות נקודה אחת כזו, וכל נקודה כזו לא נמצאת בתמונה ϕ ( C ) {\displaystyle \phi (\mathbb {C} )} , וזו סתירה למסקנה ממשפט בלוך-לנדאו, הקובעת כי התמונה של כל פונקציה אנליטית לא קבועה מכילה עיגול ברדיוס 1. בהוכחה יש להיעזר במשפט שוטקי(אנ'), הנותן חסם אוניברסלי על משפחת פונקציות בה יש שימוש במשפט פיקארד: משפט שוטקי: לכל שני מספרים ממשיים 0 < w ∈ R , 0 ≤ θ ≤ 1 {\displaystyle 0<w\in \mathbb {R} ,0\leq \theta \leq 1} , קיים מספר ממשי חיובי ψ ( w , θ ) > 0 {\displaystyle \psi (w,\theta )>0} , כך שלכל פונקציה f : B ( 0 , 1 ) ¯ = { z : | z | ≤ 1 } → C {\displaystyle f:{\overline {B(0,1)}}=\{z:|z|\leq 1\}\to \mathbb {C} } אנליטית שלא מקבלת את 0 , 1 {\displaystyle 0,1} וכך ש- | f ( 0 ) | ≤ w {\displaystyle |f(0)|\leq w} , מתקיים: ∀ | z | ≤ θ : | f ( z ) | ≤ ψ ( w , θ ) {\displaystyle \forall |z|\leq \theta :|f(z)|\leq \psi (w,\theta )} כעת, נוכיח את משפט פיקאר הגדול: מספיק להוכיח שבכל טבעת (המוכלת בתחום) מהצורה u R = { z : 0 < | z − z 0 | < R } {\displaystyle u_{R}=\{z:0<|z-z_{0}|<R\}} , הפונקציה מקבלת כל ערך פרט אולי לאחד. שוב בשלילה, נניח שהפונקציה לא מקבלת שני ערכים. על ידי הזזה: f ( z 0 + R z ) − b a − b {\displaystyle {\frac {f(z_{0}+Rz)-b}{a-b}}} ניתן להניח כי נקודת הסינגולריות היא z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} והערכים שהפונקציה לא מקבלת בטבעת u 1 = { z : 0 < | z | < 1 } {\displaystyle u_{1}=\{z:0<|z|<1\}} , הם a = 1 , b = 0 {\displaystyle a=1,b=0} . כעת, לפי משפט קסורטי-ויירשטראס, עבור r < R {\displaystyle r<R} הקבוצה f ( { z : 0 < | z | < r } ) {\displaystyle f(\{z:0<|z|<r\})} צפופה, ולכן קיימת סדרה z n → 0 {\displaystyle z_{n}\to 0} כזו ש- | z n | ≤ e − 4 π {\displaystyle |z_{n}|\leq e^{-4\pi }} וכך ש- | f ( z n ) | ≤ w {\displaystyle |f(z_{n})|\leq w} חסומה. נגדיר H n ( z ) = f ( z n e 4 π z ) {\displaystyle H_{n}(z)=f(z_{n}e^{4\pi z})} . היא אנליטית ב- { z : | z | < 1 } {\displaystyle \{z:|z|<1\}} . לפי משפט שוטקי, לכל | z | ≤ 1 2 {\displaystyle |z|\leq {\frac {1}{2}}} מתקיים H n ( z ) ≤ ψ ( w , 1 2 ) = c {\displaystyle H_{n}(z)\leq \psi (w,{\frac {1}{2}})=c} . כעת, אם z {\displaystyle z} בתחום כזה ש- | z | = | z n | {\displaystyle |z|=|z_{n}|} , אז z = e i t z n = z n e 4 π ⋅ i t 4 π {\displaystyle z=e^{it}z_{n}=z_{n}e^{4\pi \cdot {\frac {it}{4\pi }}}} , ולכן לפי החסם לעיל: f ( z ) = f ( z n e 4 π ⋅ i t 4 π ) = H n ( i t 4 π ) {\displaystyle f(z)=f(z_{n}e^{4\pi \cdot {\frac {it}{4\pi }}})=H_{n}({\frac {it}{4\pi }})} , ומכך ש- | i t 4 π | ≤ 1 2 {\displaystyle |{\frac {it}{4\pi }}|\leq {\frac {1}{2}}} נקבל | f ( z ) | ≤ c {\displaystyle |f(z)|\leq c} . זה נכון לכל | z | = | z n | {\displaystyle |z|=|z_{n}|} , אבל לכל z {\displaystyle z} אחרת בתחום { z : 0 < | z | < e − 4 π } {\displaystyle \{z:0<|z|<e^{-4\pi }\}} קיים n {\displaystyle n} כך ש- | z n + 1 | ≤ | z | ≤ | z n | {\displaystyle |z_{n+1}|\leq |z|\leq |z_{n}|} , ולכן לפי עקרון המקסימום | f ( z ) | ≤ c {\displaystyle |f(z)|\leq c} (פה משתמשים באופן מובהק במשפט שוטקי, שכן החסם ψ ( w , 1 2 ) = c {\displaystyle \psi (w,{\frac {1}{2}})=c} גלובלי ונכון לכל n {\displaystyle n} ). לכן, הוכחנו ש f {\displaystyle f} חסומה ב- { z : 0 < | z | < e − 4 π } {\displaystyle \{z:0<|z|<e^{-4\pi }\}} , אבל זה אומר ש- z 0 = 0 {\displaystyle z_{0}=0} נקודת אי רציפות סליקה, בניגוד להנחת המשפט. הפונקציה e z {\displaystyle e^{z}} היא דוגמה לפונקציה שמקיימת את תנאי המשפט הקטן. היות שהפונקציה לא מקבלת את הערך 0, נובע מהמשפט הקטן כי היא מקבלת בהכרח כל ערך אחר, כלומר תמונתה היא C − { 0 } {\displaystyle C-\{0\}} . הפונקציה e 1 z {\displaystyle {e}^{\frac {1}{z}}} שמוגדרת בכל נקודה פרט לנקודת הסינגולריות העיקרית z=0, מקיימת את תנאי המשפט הגדול. לכן לפי המשפט תמונתה היא גם כן C − { 0 } {\displaystyle C-\{0\}} . פונקציה שלמה שאיננה פולינום מקבלת כל ערך אינסוף פעמים. כדי להוכיח זאת יש להביט בפונקציה f ( 1 z ) {\displaystyle f({\frac {1}{z}})} , לה יש נקודה סינגולרית עיקרית סביב האפס, ולכן היא מקיימת את התנאים של משפט פיקארד הגדול. כמסקנה מהתוצאה הקודמת, כל פונקציה שלמה וחד חד ערכית היא בהכרח פולינום ממעלה 1 בדיוק, כלומר פולינום ליניארי. אכן, היא בהכרח פולינום אחרת לפי הסעיף הקודם היא לא חד-חד-ערכית; יותר מכך, ידוע שכל פולינום מרוכב ממעלה 2 לפחות איננו חד-חד-ערכי (ניתן להוכיח זאת למשל באינדוקציה). למשפט פיקארד יש מספר הכללות, חלקן חלקיות ותחת מחקר. זוהי הכללה של משפט פיקאר הגדול, המדברת על פונקציות מרומורפיות, או ביתר כלליות פונקציות ממשטח רימן אל הספירה של רימן. משפט: יהי M {\displaystyle M} משטח רימן ותהי w ∈ M {\displaystyle w\in M} . תהי f : M ∖ { w } → S 1 {\displaystyle f:M\setminus \{w\}\to S^{1}} פונקציה הולומורפית, כאשר S 1 = C ∪ { ∞ } {\displaystyle S^{1}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}} היא הספירה של רימן. אז אם w {\displaystyle w} נקודת סינגולריות עיקרית של הפונקציה, אז תמונתה על כל כקבוצה פתוחה המכילה את w {\displaystyle w} היא כל S 1 {\displaystyle S^{1}} פרט אולי לשתי נקודות. כל ערך שמתקבל, מתקבל אינסוף פעמים. במילים אחרות, פונקציה מרומורפית שלא מקבלת שלוש נקודות היא קבועה. מהכללה זו ניתן להסיק את המשפט הקטן - משום שכל פונקציה שלמה היא או פולינום (לא קבוע), או שיש לה סינגולריות עיקרית באינסוף. דוגמה: הפונקציה f ( z ) = 1 1 − e 1 z {\displaystyle f(z)={\frac {1}{1-e^{\frac {1}{z}}}}} היא מרומורפית; היא מקבלת את הערך ∞ {\displaystyle \infty } בכל סביבה של אפס, ולא מקבלת את שתי הנקודות 0 , 1 {\displaystyle 0,1} . משפט קסורטי-ויירשטראס משפט בלוך-לנדאו משפט שוטקי משפטי פיקאר, באתר MathWorld (באנגלית)