מטריקה רימנית

בגאומטריה דיפרנציאלית, מטריקה רימנית היא כלל המתאים באופן חלק לכל נקודה על יריעה חלקה מכפלה פנימית על המרחב המשיק ליריעה בנקודה זו. בעזרת כלל זה ניתן להגדיר אורך של קטעים אינפיניטסימלים על עקום ועל ידי אינטגרציה, את האורך של העקום. כמו כן מטריקה רימנית מאפשרת להגדיר זוויות בין עקומים שעוברים דרך אותה נקודה. מטריקה רימנית קרויה על שם ממציאה, ברנהרד רימן. יריעה חלקה יחד עם מטריקה רימנית נקראת יריעה רימנית. מטריקה רימנית על יריעה חלקה   M {\displaystyle \ M} היא שדה טנזורי   g {\displaystyle \ g} מטיפוס (0,2) כך שבכל נקודה   p ∈ M {\displaystyle \ p\in M} התבנית הביליניארית   g p {\displaystyle \ g_{p}} היא סימטרית וחיובית לחלוטין. שדה טנזורי זה נקרא הטנזור המטרי של רימן. במילים אחרות, המטריקה הרימנית מתאימה לכל נקודה   p ∈ M {\displaystyle \ p\in M} תבנית ביליניארית על המרחב המשיק   T p M {\displaystyle \ T_{p}M} , כך שההתאמה היא חלקה ובכל נקודה התבנית הביליניארית היא מכפלה פנימית. באמצעות חלוקת יחידה, אפשר לבנות על כל יריעה חלקה מטריקה רימנית. בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אורך של עקום   γ : [ a , b ] → M {\displaystyle \ \gamma :[a,b]\to M} על ידי   L ( γ ) = ∫ a b g γ ( t ) ( γ ′ ( t ) , γ ′ ( t ) ) d t = ∫ a b g μ ν d x μ d t d x ν d t d t {\displaystyle \ L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))}}dt=\int _{a}^{b}{{\sqrt {g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}}}dt}} ומכאן להגדיר את המרחק (מטריקה) בין שתי נקודות להיות האינפימום של האורכים של עקומים שמתחילים בנקודה אחת ומסתיימים בשנייה. פונקציית המרחק הזו היא מטריקה. בהינתן מטריקה רימנית ניתן להגדיר אלמנט נפח אינווריאנטי על ידי   d V = d x 1 ⋯ d x n det g {\displaystyle \ dV=dx^{1}\cdots dx^{n}{\sqrt {\det {g}}}} ואלמנט נפח כזה הוא אינווריאנטי תחת שינוי קואורדינטות. ההוכחה לכך היא כזו: ראשית,   d x ¯ 1 ⋯ d x ¯ n = ∂ ( d x ¯ 1 ⋯ d x ¯ n ) ∂ ( d x 1 ⋯ d x n ) d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \ d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n}={\frac {\partial (d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n})}{\partial (d{x}^{1}\cdots d{x}^{n})}}d{x}^{1}\cdots d{x}^{n}} כאשר   ∂ ( d x ¯ 1 ⋯ d x ¯ n ) ∂ ( d x 1 ⋯ d x n ) = det ( ∂ x ¯ μ ∂ x ν ) {\displaystyle \ {\frac {\partial (d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n})}{\partial (d{x}^{1}\cdots d{x}^{n})}}=\det {\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\right)}} הוא היעקוביאן של הטרנספורמציה. כמו כן,   g ¯ μ ν = ∂ x α ∂ x ¯ μ ∂ x β ∂ x ¯ ν g α β {\displaystyle \ {\bar {g}}_{\mu \nu }={\frac {\partial x^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}{\frac {\partial x^{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}g_{\alpha \beta }} ולכן, מכפליות של דטרמיננטה,   det g ¯ = det ( ∂ x μ ∂ x ¯ ν ) ⋅ det ( ∂ x μ ∂ x ¯ ν ) ⋅ det g {\displaystyle \ \det {\bar {g}}=\det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}\cdot \det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}\cdot \det {g}} או   det g ¯ = det ( ∂ x μ ∂ x ¯ ν ) det g {\displaystyle \ {\sqrt {\det {\bar {g}}}}=\det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}{\sqrt {\det {g}}}} לכן   d V ¯ = d x ¯ 1 ⋯ d x ¯ n det g ¯ = det ( ∂ x ¯ μ ∂ x ν ) ⋅ d x 1 ⋯ d x n ⋅ det ( ∂ x μ ∂ x ¯ ν ) det g = d x 1 ⋯ d x n det g = d V {\displaystyle \ d{\bar {V}}=d{\bar {x}}^{1}\cdots d{\bar {x}}^{n}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}=\det {\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial {x}^{\nu }}}\right)}\cdot dx^{1}\cdots dx^{n}\cdot \det {\left({\frac {\partial {x}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)}{\sqrt {\det {g}}}=dx^{1}\cdots dx^{n}{\sqrt {\det {g}}}=dV} שכן מדובר בדטרמיננטות של מטריצה וההפכית לה (   ∂ x ¯ μ ∂ x ν ⋅ ∂ x ν ∂ x ¯ ρ = δ ρ μ {\displaystyle \ {\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\cdot {\frac {\partial x^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=\delta _{\rho }^{\mu }} ). כדי לתאר מטריקה רימנית, נהוג לבחור מערכת קואורדינטות מקומיות ולתאר את המטריקה הרימנית בעזרת המטריצה של פונקציות   g μ ν ( p ) = g p ( ∂ ∂ x μ , ∂ ∂ x ν ) {\displaystyle \ g_{\mu \nu }(p)=g_{p}\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}},{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\right)} . המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי   E n {\displaystyle \ \mathbb {E} ^{n}} נתונה בקואורדינטות קרטזיות על ידי המטריצה   g i j = δ i j {\displaystyle \ g_{ij}=\delta _{ij}} כאשר   δ {\displaystyle \ \delta } היא הדלתא של קרונקר. כאשר בוחרים מערכת קואורדינטות מקומיות { q i } {\displaystyle \{q^{i}\}} כלשהן ביחס למרחב האוקלידי והקואורדינטות הקרטזיות, המטריקה נתונה על ידי מטריצת גראם: g i j = ⟨ ∂ r ∂ q i , ∂ r ∂ q j ⟩ {\displaystyle g_{ij}=\langle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\rangle } אם   g {\displaystyle \ g} היא מטריקה רימנית על יריעה   M {\displaystyle \ M} ו   N ⊂ M {\displaystyle \ N\subset M} היא תת יריעה, הצמצום של   g {\displaystyle \ g} הוא המטריקה על   N {\displaystyle \ N} הנתונה על ידי   h p ( v , w ) = g p ( v , w ) {\displaystyle \ h_{p}(v,w)=g_{p}(v,w)} , כאשר   p ∈ N , v , w ∈ T p N ⊂ T p M {\displaystyle \ p\in N,v,w\in T_{p}N\subset T_{p}M} . המטריקה על הספירה   S 2 {\displaystyle \ S^{2}} המתקבלת מצמצום המטריקה השטוחה על המרחב האוקלידי ניתנת (בקואורדינטות כדוריות) על ידי המטריצה   ( 1 0 0 sin 2 ⁡ ( θ ) ) {\displaystyle \ \left({\begin{matrix}1&0\\0&\sin ^{2}(\theta )\end{matrix}}\right)} מכיוון שמטריקה רימנית היא תבנית לא מנוונת, היא משרה איזומורפיזם בין המרחב המשיק למרחב הקו-משיק. בקואורדינטות מקומיות, האיזומורפיזם נתון על ידי ∂ i =   ∂ ∂ x i ↦ g i j d x j {\displaystyle \partial _{i}=\ {\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\mapsto g_{ij}dx^{j}} ו   d x i ↦ g i j ∂ ∂ x j {\displaystyle \ dx^{i}\mapsto g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}} כאשר המטריצה   g i j {\displaystyle \ g^{ij}} מסמנת את המטריצה ההופכית של   g {\displaystyle \ g} ומשתמשים בהסכם הסכימה של איינשטיין. בעזרת איזומורפיזם זה ניתן להגדיר איזומורפיזמים נוספים בין כפולות טנזוריות גבוהות יותר של המרחב המשיק והקו משיק, לדוגמה בין   T M ⊗ T M {\displaystyle \ TM\otimes TM} ובין   T M ⊗ T ∗ M {\displaystyle \ TM\otimes T^{*}M} ומכך לקבל העתקות בין שדות טנזורים. העתקות אלה נקראות גם הורדה והעלאה של אינדקסים וגם איזומורפיזמים מוזיקליים. אם מסירים את הדרישה ש   g {\displaystyle \ g} תהיה מוגדרת חיובית (אבל דורשים שהיא תהיה לא מנוונת) האובייקט המתקבל נקרא מטריקה פסאודו-רימנית. מטריקה פסאודו-רימנית מסיגנטורה (n-1,1) נקראת מטריקה לורנצית. על פי תורת היחסות, על המרחב-זמן יש מטריקה לורנצית. מטריקה רימנית על אגד וקטורי כלשהו היא חתך של האגד   E ∗ ⊗ E ∗ {\displaystyle \ E^{*}\otimes E^{*}} כך שבכל נקודה, התבנית המתקבלת היא מכפלה פנימית. על כל אגד וקטורי קיימת מטריקה רימנית. פונקציה חלקה המתאימה לכל נקודה ביריעה נורמה על המרחב המשיק נקראת מטריקת פינסלר (Finsler). מטריקה יריעה הורדה והעלאה של אינדקסים Lee, John M. (2018). Introduction to Riemannian Manifolds. Springer-Verlag. ISBN 978-3-319-91754-2. Lang, Serge (1999). Fundamentals of differential geometry. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-1-4612-0541-8. Ben Andrews, Lecture9. Riemannian metrics, in Lectures on Differential Geometry מטריקה רימנית, באתר MathWorld (באנגלית) מטריקה רימנית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)