הלמה של אייזנשטיין

הלמה של אייזנשטיין (על שם המתמטיקאי הגרמני פרדיננד אייזנשטיין) היא למה בתורת המספרים, המספקת תנאי למספר טבעי להיות שארית ריבועית. בדומה ללמה של גאוס, על אף שהלמה אינה יעילה ככלי חישוב, יש לה חשיבות תאורטית, כטענת עזר בהוכחות רבות של משפט ההדדיות הריבועית. יהי p {\displaystyle p} מספר ראשוני אי-זוגי, ויהי a {\displaystyle a} מספר שלם אי-זוגי זר ל- p {\displaystyle p} . אזי מתקיים ( a p ) = ( − 1 ) S , S = ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 ⌊ k a p ⌋ {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{S},\,S=\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\left\lfloor {\frac {ka}{p}}\right\rfloor } , כאשר אגף שמאל הוא סימן לז'נדר. a {\displaystyle a} זר ל- p {\displaystyle p} , ולכן כל המספרים בקבוצה { a , 2 a , … , p − 1 2 a } {\displaystyle \left\{a,2a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a\right\}} שונים זה מזה מודולו p {\displaystyle p} . נחלק את איברי הקבוצה ב- p {\displaystyle p} עם שארית, ונקבל: k a = q k p + t k , : 0 ≤ t k ≤ p − 1 k a p = q k + t k p ⌊ k a p ⌋ = ⌊ q k + t k p ⌋ = q k + ⌊ t k p ⌋ = q k k a = ⌊ k a p ⌋ p + t k {\displaystyle {\begin{aligned}&ka=q_{k}p+t_{k},\quad :0\leq t_{k}\leq p-1\\&{\frac {ka}{p}}=q_{k}+{\frac {t_{k}}{p}}\\&\left\lfloor {\frac {ka}{p}}\right\rfloor =\left\lfloor q_{k}+{\frac {t_{k}}{p}}\right\rfloor =q_{k}+\left\lfloor {\frac {t_{k}}{p}}\right\rfloor =q_{k}\\&ka=\left\lfloor {\frac {ka}{p}}\right\rfloor \!p+t_{k}\end{aligned}}} תהיינה r 1 , … , r m {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{m}} שאריות החילוק הקטנות מ- p 2 {\displaystyle {\frac {p}{2}}} , ותהיינה s 1 , … , s n {\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}} שאריות החילוק הגדולות מ- p 2 {\displaystyle {\frac {p}{2}}} . מן הלמה של גאוס נובע כי המספרים r 1 , … , r m , p − s 1 , … , p − s n {\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{m},p-s_{1},\ldots ,p-s_{n}} שווים לאיברים 1 , 2 , … , p − 1 2 {\displaystyle 1,2,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}} בסדר כלשהו. ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 k a = ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 ( ⌊ k a p ⌋ p + t k ) = ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 ⌊ k a p ⌋ p + ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 t k = p ⋅ S + ∑ k = 1 m r k + ∑ k = 1 n s k ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 k = ∑ k = 1 m r k + ∑ k = 1 n ( p − s k ) = ∑ k = 1 m r k + ∑ k = 1 n p − ∑ k = 1 n s k = n p + ∑ k = 1 m r k − ∑ k = 1 n s k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\!ka=\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\left(\left\lfloor {\frac {ka}{p}}\right\rfloor \!p+t_{k}\right)=\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\left\lfloor {\frac {ka}{p}}\right\rfloor \!p+\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!t_{k}=p\cdot S+\sum _{k\,=\,1}^{m}r_{k}+\sum _{k\,=\,1}^{n}s_{k}\\\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\!k=\sum _{k\,=\,1}^{m}r_{k}+\sum _{k\,=\,1}^{n}(p-s_{k})=\sum _{k\,=\,1}^{m}r_{k}+\sum _{k\,=\,1}^{n}p-\sum _{k\,=\,1}^{n}s_{k}=np+\sum _{k\,=\,1}^{m}r_{k}-\sum _{k\,=\,1}^{n}s_{k}\end{aligned}}} נחסר את שתי המשוואות זו מזו ונקבל: ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 k a − ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 k = ( a − 1 ) ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 k = p ( S − n ) + 2 ∑ k = 1 n s k 2 ( a − 1 2 ∑ k = 1 ( p − 1 ) / 2 k − ∑ k = 1 n s k ) = p ( S − n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\!ka-\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\!k=(a-1)\!\!\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\!k=p(S-n)+2\sum _{k\,=\,1}^{n}s_{k}\\2\left({\frac {a-1}{2}}\!\sum _{k\,=\,1}^{(p-1)/2}\!\!\!k-\sum _{k\,=\,1}^{n}s_{k}\right)=p(S-n)\end{aligned}}} המספרים a , p {\displaystyle a,p} אי-זוגיים ולכן a − 1 {\displaystyle a-1} זוגי. לכן p ( S − n ) ≡ 0 ( mod 2 ) S − n ≡ 0 ( mod 2 ) S ≡ n ( mod 2 ) ( a p ) = ( − 1 ) n = ( − 1 ) S {\displaystyle {\begin{aligned}p(S-n)\equiv 0\!\!\!{\pmod {2}}\\S-n\equiv 0\!\!\!{\pmod {2}}\\S\equiv n\!\!\!{\pmod {2}}\\\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}=(-1)^{S}\end{aligned}}} כאשר השורה האחרונה על-פי הלמה של גאוס. הלמה של גאוס משפט ההדדיות הריבועית