משפט אוריסון

בטופולוגיה, מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים, כמעט בכל היבט של התאוריה. משפט אוריסון (על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון), הידוע גם כמשפט המטריזביליזציה, אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים: כל מרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה את הטופולוגיה הנתונה של המרחב, ולכן המרחב הוא מבחינה מעשית מרחב מטרי ספרבילי. באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי. מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות   ℓ 2 {\displaystyle \ \ell _{2}} , ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית. בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב T4. בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. עושים זאת על ידי שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי   ℓ 2 {\displaystyle \ \ell _{2}} (זהו מרחב הילברט), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון. מוכיחים שפונקציית השיכון היא רציפה ופתוחה. המרחב שלנו מקיים את תכונת המנייה השנייה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מנייה. כל נקודה   x {\displaystyle \ x} במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס,   x ∈ B i {\displaystyle \ x\in B_{i}} . בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס   B j {\displaystyle \ B_{j}} כך ש   x ∈ B j ⊂ B j ¯ ⊂ B i {\displaystyle \ x\in B_{j}\subset {\overline {B_{j}}}\subset B_{i}} . לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון   f i j : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ f_{ij}:X\to [0,1]} כך ש   f i j ( B j ¯ ) = 0 {\displaystyle \ f_{ij}({\overline {B_{j}}})=0} ו   f i j ( ( B i ) c ) = 1 {\displaystyle \ f_{ij}((B_{i})^{c})=1} . את הפונקציות   f i j {\displaystyle \ f_{ij}} אפשר לסדר, ולסמן   { g n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{g_{n}\}_{n=1}^{\infty }} , לשם הפשטות. כעת נגדיר   G : X → ℓ 2 {\displaystyle \ G:X\to \ell _{2}} באמצעות הנוסחה   ∀ x ∈ X : G ( x ) = ( g 1 ( x ) 1 , g 2 ( x ) 2 , ⋯ , g n ( x ) n , ⋯ ) {\displaystyle \ \forall x\in X:G(x)=\left({\frac {g_{1}(x)}{1}},{\frac {g_{2}(x)}{2}},\cdots ,{\frac {g_{n}(x)}{n}},\cdots \right)} . פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש. נותר להוכיח ש: הפונקציה G מוגדרת היטב. הפונקציה G היא חח"ע. הפונקציה G רציפה. הפונקציה G פתוחה. 1) הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x,   ‖ G ( x ) ‖ = ∑ n = 1 ∞ g n ( x ) n 2 ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 < ∞ {\displaystyle \ \|G(x)\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n}(x)}{n^{2}}}\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty } , ולכן   ∀ x ∈ X   :   G ( x ) ∈ ℓ 2 {\displaystyle \ \forall x\in X\ :\ G(x)\in \ell _{2}} . מכאן ש G מוגדרת היטב. 2) הפונקציה G היא חח"ע כי אם   x ≠ y {\displaystyle \ x\neq y} אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש   x ∈ B j   y ∈ B i {\displaystyle \ x\in B_{j}\,\ y\in B_{i}} (כי מרחב   T 3 {\displaystyle \ T_{3}} הוא בפרט מרחב האוסדורף) ולכן   x ∈ B j ⊂ B j ¯ ⊂ ( B i ) c {\displaystyle \ x\in B_{j}\subset {\overline {B_{j}}}\subset (B_{i})^{c}} . עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון   g n = f i j {\displaystyle \ g_{n}=f_{ij}} שעבורה בבירור מתקיים ש   g ( x ) = 0   g ( y ) = 1 {\displaystyle \ g(x)=0\,\ g(y)=1} . לכן,   ‖ G ( x ) − G ( y ) ‖ ≥ 1 n 2 > 0 {\displaystyle \ \|G(x)-G(y)\|\geq {\frac {1}{n^{2}}}>0} , כלומר,   G ( x ) ≠ G ( y ) {\displaystyle \ G(x)\neq G(y)} ולכן G חח"ע. 3) נוכיח ש G רציפה. תהי   ‖ G ( x ) − G ( x 0 ) ‖ < ε {\displaystyle \ \|G(x)-G(x_{0})\|<\varepsilon } קבוצה פתוחה בטווח. נמצא קבוצה פתוחה V ב-X שעבור כל איבר בה האי-שוויון יתקיים. ניקח n מספיק גדול כך ש ∑ k = n + 1 ∞ | g k ( x ) − g k ( x 0 ) | 2 k 2 < 0.5 ε {\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}<0.5\varepsilon } . כמו כן, לכל רכיב k=1,..,n נדרוש ש   | g k ( x ) − g k ( x 0 ) | < k 2 n ε {\displaystyle \ |g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|<{\frac {k}{\sqrt {2n}}}\varepsilon } . מאחר ש gk רציפות, קיימות סביבות Vk שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת. נגדיר   V = V 1 ∩ ⋯ ∩ V n {\displaystyle \ V=V_{1}\cap \cdots \cap V_{n}} (זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו. לכן:   ∀ x ∈ V   :   ‖ G ( x ) − G ( x 0 ) ‖ ≤ | ∑ k = 1 n | g k ( x ) − g k ( x 0 ) | 2 k 2 + ∑ k = n + 1 ∞ | g k ( x ) − g k ( x 0 ) | 2 k 2 < {\displaystyle \ \forall x\in V\ :\ \|G(x)-G(x_{0})\|\leq |\sum _{k=1}^{n}{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}<}   < ∑ k = 1 n | g k ( x ) − g k ( x 0 ) | 2 k 2 + ε 2 < ∑ k = 1 n ε 2 n + ε 2 < ε {\displaystyle \ <\sum _{k=1}^{n}{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varepsilon }{2n}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon } ומכאן G רציפה. נשים לב ש   I m G ⊂ ℓ 2 {\displaystyle \ \mathrm {Im} G\subset \ell _{2}} הוא מרחב מטרי (יתרה מכך, הוא מרחב נורמי) ולכן, נשרה מטריקה על X באופן הבא:   d ( x , y ) = ‖ G ( x ) − G ( y ) ‖ ℓ 2 {\displaystyle \ d(x,y)=\|G(x)-G(y)\|_{\ell _{2}}} ובכך הוכחנו ש X מטריזבילי. פונקציית אוריסון מרחב רגולרי מרחב נורמלי מרחב מטרי