בחירה חברתית

בתורת המשחקים, בחירה חברתית היא הליך שבו בוחרים בין מספר מועמדים באופן המביא בחשבון את ההעדפות של המצביעים. לדוגמה, אזרחים הבוחרים את מועמדיהם לכנסת, או דיירים הבוחרים את המועמדים לוועד הבית. פרדוקס ארו ופרדוקסים דומים לו מראים שלא קיימת שיטת הצבעה "מוצלחת" באופן חד משמעי, ולכן עוסקת תורת הבחירה החברתית בקריטריונים שונים להצלחה של שיטת הצבעה, ובשיטות שונות העומדות בחלק מן הקריטריונים האלה. הליך של בחירה חברתית יוצא כאמור מן ההעדפות של המצביעים, ומחזיר הכרעה משותפת. ההעדפה של מצביע יכולה לכלול בחירת המועמד המועדף עליו בלבד (כמו בבחירות אישיות לראשות הממשלה), דירוג מלא של כל המועמדים, דירוג חלקי (כמו באירוויזיון) או כל יחס סדר על קבוצת המועמדים. תוצאת ההליך יכולה להיות בחירה של זוכה יחיד, או דירוג מלא של המועמדים, ועשויה לכלול גם תוצאות תיקו. הנחת היסוד היא שכל מצביע בפני עצמו נוהג באופן רציונלי, כלומר שאם הוא מעדיף את a על b ואת b על c, אז הוא מעדיף את a על c. באופן פורמלי, כל מצביע בוחר יחס סדר (לאו דווקא ליניארי). בהקשר זה, יחס הסדר נקרא גם יחס העדפות. בגישה מתמטית זו, בחירה חברתית היא שלשה סדורה הכוללת את קבוצת המצביעים N, את קבוצת המועמדים A, ופונקציה המתאימה לכל מצביע את יחס ההעדפות שלו. פונקציית בחירה (או שיטת בחירה) היא פונקציה המקבלת את העדפות המצביעים (פורמלית, את הבחירה החברתית), ומחזירה יחס טרנזיטיבי על המועמדים. פונקציה כזו, המוגדרת היטב עבור כל העדפה, נקראת פונקציה אוניברסלית. מבחינים בין פונקציית בחירה חברתית המקבלת מכל מצביע יחס העדפות חזק ומחזירה אפשרות אחת מועדפת, לבין פונקציית רווחה חברתית המקבלת מכל מצביע יחס העדפות, ואמורה להחזיר יחס העדפות של המועמדים. בתורת המשחקים הוגדרו ונחקרו עשרות תנאים על פונקציות בחירה. פונקציית בחירה היא אנונימית אם היא אדישה לזהות המצביעים (כלומר סימטרית ביחס להחלפה ביניהם); נייטרלית אם היא אדישה לזהות המועמדים; מונוטונית אם מועמד מנצח אינו ניזוק משינוי עמדות של מצביעים לטובתו; תנאי הרוב מתקיים אם המועמד שהגיע למקום הראשון אצל רוב המצביעים, מנצח; תנאי הפה-האחד (נקרא גם תנאי פרטו, unanimity) קובע שאם כל המצביעים מאוחדים בדעה שמועמד a עדיף על b, אז זו תהיה מסקנת הבחירה. פונקציית בחירה מונוטונית המכבדת את סוברניות המצביעים ואינה תלויה באפשרויות לא רלוונטיות, מקיימת את תנאי הפה-האחד. תנאי קונדורסה (הזוכה) דורש שמועמד המנצח כל מועמד אחר בתחרות ראש-בראש, ינצח. תנאי קונדורסה גורר את תנאי הרוב. תנאי קונדורסה המפסיד דורש שמועמד המפסיד לכל מועמד אחר בתחרות ראש-בראש, לא ינצח. אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות (independence of irrelevant alternatives, IIA) דורש שבדרוג של כל שני מועמדים, רק העדפות המצביעים הנוגעות אליהם תלקחנה בחשבון. בפרט, מועמדי סרק אינם יכולים להשפיע על התוצאה. לפי משפט ארו, כל פונקציית בחירה אוניברסלית המקיימת את תנאי הפה-האחד ואת התנאי IIA מוכרחה להיות דיקטטורה (ראו להלן). אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות מלבד עוצמה (intensity of binary idenpendence, IBI) דורש שבדרוג של כל שני מועמדים תלקחנה בחשבון מכל מצביע רק הסדר ביניהם ומספר המועמדים המדורגים ביניהם. זוהי החלשה של התנאי IIA, הנתפס לפעמים כחזק מדי (כפי שמדגים משפט ארו). מכיוון שהכרעה בין מועמדים היא מעשה שבשגרה בכל גוף חברתי מורכב, נמצאות בשימוש פונקציות בחירה רבות, מהן פשוטות ומהן מסובכות, מהן מוצלחות ומהן שנויות במחלוקת. הכרעת רוב היא שיטה שבה המועמד שזכה לרוב קולות המצביעים (כבחירה ראשונה) הוא הזוכה. חסרונה הוא שאם מדרגים יותר משני מועמדים, פעמים רבות אין מועמד כזה. שלטון כפוי היא שיטה שבה מועמד מסוים נבחר בכל מקרה, ללא חשיבות לתוכן ההצבעה (השיטה מאפיינת דיקטטורות). התנאי הקובע שהשלטון אינו כפוי (היינו שלכל מועמד יש א-פריורי אפשרות לנצח כל מועמד אחר) נקרא סוברניות המצביעים. דיקטטורה היא שיטה שבה מצביע אחד, מסוים, קובע את זהותו של המועמד הזוכה. (שיטה זו אינה אנונימית). שיטת מנצח המוביל (plurality) היא השיטה שבה המועמד שזכה למירב הקולות (כבחירה ראשונה) זוכה, אף אם לא הגיע לרוב קולות המצביעים. באופן כללי יותר, שיטת מכסה (quota) היא שיטה שבה מנצח מי שמשיג q קולות. אם יותר ממועמד אחד השיג q קולות, השיטה כשלעצמה אינה מוגדרת. כל שיטת הצבעה נייטרלית, אנונימית ומונוטונית בין שני מועמדים היא שיטת מכסה. משפט May (מ-1952), שהוא תוצאה של העובדה הזו, קובע שכאשר מספר המצביעים אי-זוגי ויש שני מועמדים, הכרעת רוב היא השיטה הנייטרלית, אנונימית ומונוטונית היחידה שאינה סובלת מתיקו. בשיטת בורדה כל מצביע מחלק נקודות במספר קבוע מראש בין המועמדים (למשל, 1,2,3,5 נקודות לארבעת המועמדים, כשסדר החלוקה הוא כראות עיני המצביע). זוהי השיטה שבה בוחרים את השיר הזוכה באירוויזיון. שיטת בורדה היא אוניברסלית ומקיימת את תנאי הפה-האחד ואת התנאי IBI. עם זאת היא אינה מקיימת את תנאי הרוב. בשיטת המפסיד יוצא (Thomas Hare) המצביעים מדרגים את כל המועמדים; מי שמספר התומכים בו כראשון הוא הנמוך ביותר נפסל, וחוזר חלילה. זו שיטה אנונימית ונייטרלית, אבל היא אינה מונוטונית, ואף אינה מקיימת את תנאי קונדורסה. בשיטת ההשוואה הסדרתית מסדרים את המועמדים מראש, ואז קובעים מי ניצח מבין שני הראשונים, משווים את המנצח מביניהם למועמד השלישי, את המנצח מביניהם למועמד הרביעי, וכן הלאה. שיטה זו היא אנונימית, מונוטונית, ומקיימת את תנאי קונדורסה - אבל אינה נייטרלית. בהצבעת אישור מצביע כל מועמד בעד או נגד כל אחד מהמועמדים (גם זה יחס טרנזיטיבי: הוא מעדיף את כל המועמדים שהוא בעדם על פני כל המועמדים שהוא נגדם, ואדיש לסדר בתוך הקבוצות). הסדר נקבע לפי מספר מצביעי הבעד של כל מועמד. פרדוקס ההצבעה משפט ארו שיטת שולצה שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946 The Mathematics of Voting and Elections: A Hands-On Approach, 2nd ed [1], 2018. מדיה וקבצים בנושא בחירה חברתית בוויקישיתוף בחירה חברתית, באתר MathWorld (באנגלית) בחירה חברתית, דף שער בספרייה הלאומית