בסיס (אלגברה)

בסיס הוא קבוצת וקטורים במרחב וקטורי בה אפשר להציג כל איבר במרחב כצירוף ליניארי של הקבוצה, באופן יחיד. ניתן להגדירו באופן שקול בכמה צורות: בסיס הוא קבוצה פורשת בלתי תלויה ליניארית. בסיס הוא קבוצה פורשת מינימלית, כלומר כזו שאם מסירים ממנה ולו וקטור אחד, היא כבר אינה פורשת. בסיס הוא קבוצה בלתי תלויה מקסימלית, כלומר כזו שאם יוסיפו לה ולו וקטור אחד היא תפסיק להיות בלתי תלויה. לכל מרחב וקטורי יש בסיס, ומספר הווקטורים שבבסיס מוגדר באופן חד-משמעי, והוא נקרא ממד. לבסיסים חשיבות עקרונית באלגברה ליניארית, בכך שבסיס קובע לכל וקטור את וקטור הקואורדינטות המתאים לו. לפיכך, בחירה של בסיס מאפשרת 'לממש' עצמים מופשטים המתייחסים למרחב (כגון העתקה ליניארית) על ידי מבנים קונקרטיים (כגון מטריצה). בסיס יכול להיות סופי, או אין-סופי. אם במרחב יש קבוצה פורשת סופית, אז הוא בעל בסיס סופי (ולכן גם ממד סופי). ההוכחה לכך שלכל מרחב וקטורי יש בסיס מסתמכת על הלמה של צורן, וממילא תוצאה זו דורשת את אקסיומת הבחירה. בסיס שהווקטורים בו מופיעים בסדר מסוים נקרא בסיס סדור. פעמים רבות כשמתייחסים לבסיס מניחים שהוא אכן סדור בסדר שרירותי כלשהו. במרחבים נורמיים יש משמעות להתכנסות של טור, ואז אפשר להגדיר 'בסיס טופולוגי': זוהי קבוצת איברים שאפשר להציג כל וקטור במרחב באופן יחיד כצירוף ליניארי (לאו דווקא סופי) של איבריה. בסיס טופולוגי בדרך כלל אינו בסיס במובן הרגיל (משום שהוא אינו פורש במובן הסופי), ובסיס בדרך כלל אינו מהווה בסיס טופולוגי (משום שנוצרות בו תלויות ליניאריות במובן של טורים). התוצאה היסודית על בסיסים היא צמד המאפיינים שצוטטו בפתיחה. כדי לפתח את הנושא ללא הנחות מוקדמות, יש להוכיח כצעד ראשון שאם B קבוצה בלתי תלויה מקסימלית ו- C קבוצה פורשת מינימלית, אז   | C | ≤ | B | {\displaystyle \ |C|\leq |B|} (למשל באינדוקציה על גודל החיתוך של B , C {\displaystyle B,C} ושימוש בלמת ההחלפה של שטייניץ). לאחר מכן אפשר להוכיח שאם D גם היא קבוצה בלתי תלויה, אז   | D | ≤ | B | {\displaystyle \ |D|\leq |B|} . מכאן נובע מיד שלכל שתי קבוצות בלתי-תלויות מקסימליות יש אותו גודל. מכאן אפשר להמשיך כך: משפט. התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A של וקטורים: הקבוצה בלתי-תלויה מקסימלית. הקבוצה פורשת מינימלית. הקבוצה פורשת ובלתי תלויה. משפט. נניח שלמרחב V יש בסיס בגודל n. אז התכונות הבאות שקולות עבור קבוצה A: A בלתי תלויה מקסימלית. A פורשת מינימלית. A בסיס. A בלתי תלויה וגודלה   n ≤ {\displaystyle \ n\leq } . A בלתי תלויה וגודלה   n = {\displaystyle \ n=} . A פורשת וגודלה   n ≥ {\displaystyle \ n\geq } . A פורשת וגודלה   n = {\displaystyle \ n=} . כאשר n סופי אומרים של-V יש ממד n, ולפי המשפט n יחיד. תכונה חשובה נוספת: כל קבוצה בלתי תלויה אפשר להשלים לבסיס, ובאופן דומה, מכל קבוצה פורשת סופית אפשר 'לזרוק' וקטורים עד שתהפוך להיות בסיס. לבסיס יש חשיבות גם במציאת הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות. העמודות והשורות של מטריצה ריבועית מסדר   n × n {\displaystyle \ n\times n} מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } מהוות בסיס למרחב   F n {\displaystyle \ \mathbb {F} ^{n}} אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. תכונה זו נובעת מכך שלפי נוסחת קרמר, באמצעות הדטרמיננטה ניתן לקבוע את ממד מרחב הפתרונות של מערכת המשוואות שהמטריצה מייצגת, ולפי משפט קרונקר-קפלי ממד מרחב הפתרונות תלוי ישירות בדרגת מרחב העמודות. לכן עבור מרחב וקטורי מממד סופי, השימוש בדטרמיננטה היא דרך חישובית ישירה לקביעה האם קבוצה של וקטורים היא בסיס. ישנם מרחבים שהמבנה המיוחד שלהם מאפשר לבנות בסיס באופן פשוט ונוח; בסיסים כאלה נקראים בסיסים סטנדרטיים. הבסיס הסטנדרטי של מרחב וקטורי   F n {\displaystyle \ F^{n}} כולל את וקטורי היחידה:   e 1 = ( 1 , 0 , … , 0 ) , e 2 = ( 0 , 1 , … , 0 ) , … , e n = ( 0 , 0 , … , 1 ) {\displaystyle \ e_{1}=(1,0,\dots ,0),e_{2}=(0,1,\dots ,0),\dots ,e_{n}=(0,0,\dots ,1)} . קל לראות כי קבוצה זו פורשת ובלתי תלויה ליניארית, מכיוון שההצגה (היחידה) של כל וקטור   a = ( a 1 , … , a n ) ∈ F n {\displaystyle \ a=(a_{1},\dots ,a_{n})\in F^{n}} היא על ידי הצירוף   ∑ i = 1 n a i e i = a {\displaystyle \ \sum _{i=1}^{n}a_{i}e_{i}=a} . הבסיס הסטנדרטי של מרחב המטריצות   M n × m ( F ) {\displaystyle \ M_{n\times m}(F)} מורכב מ"מטריצות יחידה", שהן המטריצות   e i j {\displaystyle \ e_{ij}} עם אפס בכל רכיב, פרט ל-1 במקום ה- (i,j). לכן ממד מרחב המטריצות הללו הוא m ∗ n {\displaystyle m*n} . בגלל האיזומורפיזם של מרחב המטריצות ומרחב ההעתקות הליניאריות, ניתן להסיק כי גם ממד של מרחב ההעתקות הליניאריות T : F m → F n {\displaystyle T:F^{m}\to F^{n}} הוא m ∗ n {\displaystyle m*n} . הבסיס הסטנדרטי של מרחב הפולינומים   F ≤ n [ x ] {\displaystyle \ F_{\leq n}[x]} כולל את הווקטורים   { 1 , x , x 2 , x 3 , . . , x n } {\displaystyle \ \{1,x,x^{2},x^{3},..,x^{n}\}} . הקבוצה הריקה היא הבסיס (היחיד) של מרחב האפס. במרחב R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} הבסיס הסטנדרטי הוא { (1,0), (0,1) } . במרחב R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} הקבוצה { (1,1), (1, 1-) } היא בסיס. במרחב R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} הקבוצה { (2,3) ,(1,1), (1, 1-) } איננה בסיס, זאת מאחר שכל ווקטור בה תלוי ליניארית בשניים האחרים. למעשה, כל קבוצה של 3 ווקטורים ב R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} תהיה תלויה ליניארית, וזו בעצם משמעותה של הטענה כי R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} הוא מרחב מממד 2. בכל מרחב וקטורי, כל קבוצה המכילה את ווקטור האפס אינה יכולה להיות בסיס, כי וקטור האפס תמיד ניתן לייצוג כצירוף ליניארי (כשכל המקדמים הם 0) של כל קבוצה של וקטורים. במרחב הילברט   L 2 [ − π , π ] {\displaystyle \ L_{2}[-\pi ,\pi ]} קבוצת הפונקציות { e n ^ = e i n x 2 π } n = − ∞ ∞ {\displaystyle \left\{{\hat {e_{n}}}={\frac {e^{inx}}{\sqrt {2\pi }}}\right\}_{n=-\infty }^{\infty }} מהווה מערכת אורתונורמלית שלמה, שכן   ⟨ e n ^ , e m ^ ⟩ = δ m , n {\displaystyle \ \langle {\hat {e_{n}}},{\hat {e_{m}}}\rangle =\delta _{m,n}} . להרחבה, ראו: טור פורייה. קואורדינטות (אלגברה) בסיס אורתונורמלי טור פורייה מדיה וקבצים בנושא בסיס בוויקישיתוף בסיס, באתר MathWorld (באנגלית)