קוונטיזציה שנייה

בתורת הקוונטים, קוונטיזציה שנייה היא פורמליזם לניתוח מערכות קוונטיות מרובות גופים. הרעיונות המרכזיים בה הוצגו בשנת 1927 על ידי פול דיראק, ופותחו, בעיקר על ידי ולדימיר פוק ופסקואל יורדן מאוחר יותר. לפי גישה זו, מערכות קוונטיות מרובות גופים ניתנות לתיאור על ידי בסיס של מצבי פוק, הנבנים על ידי הכנסת מספר החלקיקים הזהים בעלי מצב קוונטי מסוים למצב הפוק הרלוונטי. פורמליזם הקוונטיזציה השנייה משתמש באופרטורי היצירה וההשמדה כדי לבנות ולנהל את מצבי פוק, ומספק כלי יעיל ושימושי על מנת לפתור בעיות של מערכות קוונטיות מרובות גופים. נקודת הפתיחה של פורמליזם הקוונטיזציה השנייה היא הרעיון של חלקיקים בלתי ניתנים להבחנה במכניקת הקוונטים. בשונה ממכניקה קלאסית, בה לכל חלקיק יש תכונה ייחודית של וקטור המקום r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} וקונפיגורציה שונה של וקטורי הבסיס r i {\displaystyle \mathbf {r} _{i}} שמתאימה למערכת מרובת גופים, במכניקת הקוונטים החלקיקים זהים, כך שההחלפה r i ↔ r j {\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}} אינה משפיעה על המצב הקוונטי של המערכת. על כן פונקציית המצב הקוונטי של מערכת מרובת גופים צריכה להיות אינווריאנטית (עד כדי פקטור פאזורי) להחלפה בין שני חלקיקים. לפי סטטיסטיקה של חלקיקים, מערכת מרובת גופים יכולה להיות סימטרית או אנטיסימטרית תחת החלפת חלקיקים: Ψ B ( ⋯ , r i , ⋯ , r j , ⋯ ) = + Ψ B ( ⋯ , r j , ⋯ , r i , ⋯ ) {\displaystyle \Psi _{B}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{B}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )} אם החלקיקים הם בוזונים , Ψ F ( ⋯ , r i , ⋯ , r j , ⋯ ) = − Ψ F ( ⋯ , r j , ⋯ , r i , ⋯ ) {\displaystyle \Psi _{F}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{F}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )} אם החלקיקים הם פרמיונים. סימטרית החילוף הזו מטילה מגבלה על פונקציית הגל של מערכות מרובות גופים. בכל פעם שחלקיק נוסף או מוסר מהמערכת, על פונקציית הגל לספק את מגבלת הסימטריה הזו. בפורמליזם הקוונטיזציה הראשונה, מגבלה זו מובטחת על ידי הצגת פונקציית הגל כצירוף ליניארי של פרמננטות (עבור בוזונים) או דטרמיננטות (עבור פרמיונים) של מצבים של חלקיק בודד. בפורמליזם הקוונטיזציה השנייה, נושא הסימטריה מטופל באופן מיידי על ידי אופרטורי היצירה וההשמדה, דבר שהופך את הסימון לפשוט יותר. נסתכל על בסיס שלם של פונקציות גל של חלקיק בודד, ψ α ( r ) {\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )} (כאשר α {\displaystyle \alpha } יכולה להיות שילוב של כמה מספרים קוונטיים). פונקציית הגל המייצגת מצב N-חלקיקי היא: Ψ [ r i ] = ∏ i = 1 N ψ α i ( r i ) ≡ ψ α 1 ⊗ ψ α 2 ⊗ ⋯ ⊗ ψ α N {\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}} כאשר החלקיק ה-i מיוצג על ידי המצב α i {\displaystyle \alpha _{i}} . פונקציית הגל Ψ {\displaystyle \Psi } לא סימטרית או אנטי-סימטרית, ולכן באופן כללי לא מתאימה לתיאור של מערכת רב גופית עבור חלקיקים זהים. למרות זאת, ניתן להעביר אותה להצגה הסימטרית שלה על ידי אופרטורי הסימטריזציה שלה, המסומנים S ( A ) {\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {A}})} . עבור בוזונים, פונקציית הגל תהפוך לסימטרית: Ψ B [ r i ] = N S Ψ [ r i ] = N ∑ π ∈ S N ∏ i = 1 N ψ α π ( i ) ( r i ) = N ∑ π ∈ S N ψ α π ( 1 ) ⊗ ψ α π ( 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ ψ α π ( N ) {\displaystyle \Psi _{B}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}} בעוד שעבור פרמיונים, פונקציית הגל תהפוך לאנטי-סימטרית: Ψ F [ r i ] = N A Ψ [ r i ] = N ∑ π ∈ S N ( − 1 ) π ∏ i = 1 N ψ α π ( i ) ( r i ) = N ∑ π ∈ S N ( − 1 ) π ψ α π ( 1 ) ⊗ ψ α π ( 2 ) ⊗ ⋯ ⊗ ψ α π ( N ) {\displaystyle \Psi _{F}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}} כאשר π {\displaystyle \pi } הוא איבר בחבורת הפרמטוציות על N-גופים (או חבורת הסימטריות), S N {\displaystyle S_{N}} , המבצע פרמוטציה בין המצבים α i {\displaystyle \alpha _{i}} , וכן ( − 1 ) π {\displaystyle (-1)^{\pi }} מצביעה על סימן הפרמוטציה. N {\displaystyle {\mathcal {N}}} מסמן את אופרטור הנורמליזציה, המנרמל את פונקציית הגל. קוונטיזציה ראשונה של פונקציות גל כוללת סימטריזציה מסובכת, היות שהשפה של קוונטיזציה ראשונה היא גדושה בחלקיקים שבלתי ניתנים להבחנה ביניהם. בשפה של קוונטיזציה ראשונה, מערכת רב גופית מתוארת על ידי שאילת שאלות כגון "איזה חלקיק נמצא באיזה מצב", אך אלה לא שאלות פיזיקליות, כיוון שהחלקיקים הם זהים, וזה בלתי אפשרי להבחין איזה חלקיק נמצא באיזה מצב. המצבים הלכאורה שונים ψ 1 ψ 2 {\displaystyle \psi _{1}\psi _{2}} וכן ψ 2 ψ 1 {\displaystyle \psi _{2}\psi _{1}} הם למעשה יתירות של אותו המצב של המערכת הרב גופית. על כן, הסימטריזציה (או האנטי-סימטריזציה) צריכה להוריד את היתירות הזו שנוצרה בתיאור של קוונטיזציה ראשונה. בשפה של קוונטיזציה שנייה, במקום לשאול שאלות בסגנון "איזה חלקיק נמצא באיזה מצב", השאלות נהיות "כמה חלקיקים נמצאים בכל מצב". היות שתיאור זה לא מתייחס לאינדקס החלקיקי, הוא לא מכיל מידע מיותר, ולכן מביא לתיאור פשוט ומדויק יותר של המערכת הרב גופית. בגישה זו, מערכת רב גופית מיוצגת על ידי בסיס מספרי אכלוס, כאשר מצב בסיס מסומן על ידי מספרי האכלוס, כלומר: | [ n α ] ⟩ ≡ | n 1 , n 2 , ⋯ , n α , ⋯ ⟩ , {\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,} אומר שישנם n α {\displaystyle n_{\alpha }} חלקיקים במצב α {\displaystyle \alpha } . מספרי האכלוס מסתכמים למספר החלקיקים הכולל, כלומר ∑ α n α = N {\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N} . עבור פרמיונים, מספר אכלוס n α {\displaystyle n_{\alpha }} יכול להיות 0 או 1, לפי עקרון האיסור של פאולי, בעוד שעבור בוזונים, הוא יכול להיות כל מספר שלם אי-שלילי. מצבי מספרי האכלוס | [ n α ] ⟩ {\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle } נקראים גם מצבי פוק. כל מצבי פוק יוצרים בסיס שלם של מרחב הילברט עבור מערכת רב גופית, שנקרא מרחב פוק. כל מצב במערכת רב גופית קוונטית גנרית ניתן לתיאור על ידי צירוף ליניארי של מצבי פוק. מצב פוק בו כל מספרי האכלוס הם אפס נקרא מצב הריק, והוא המצב עם האנרגיה הנמוכה ביותר, והוא מסומן | 0 ⟩ ≡ | ⋯ , 0 α , ⋯ ⟩ {\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle } . מצב פוק עם ערך אחד שונה מ0 נקרא מצב בעל מוד יחיד, ומסומן | n α ⟩ ≡ | ⋯ , 0 , n α , 0 , ⋯ ⟩ {\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle } . במונחים של פונקציות גל של קוונטיזציה ראשונה, מצב הריק הוא היחידה של המכפלה הטנזורית. מצב של חלקיק יחיד מצומצם לפונקציית הגל שלו: | 1 α ⟩ = ψ α {\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }} . בעבור מצב כללי של אופן יחיד של מערכת רב גופית, נקבל את המכפלה הטנזורית של פונקציות הגל של האופן הזה, כגון: | n α ⟩ = ψ α ⊗ n {\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}} . בעבור מצבים בעלי אופנים מרובים, פונקציית הגל של קוונטיזציה ראשונה דורש סימטריזציה המתאימה לסטטיסטיקה החלקיקית, כגון: | 1 1 , 1 2 ⟩ = ψ 1 ψ 2 + ψ 2 ψ 1 2 {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle ={\frac {\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}}{\sqrt {2}}}} עבור מצב בוזוני, ו- | 1 1 , 1 2 ⟩ = ψ 1 ψ 2 − ψ 2 ψ 1 2 {\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle ={\frac {\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1}}{\sqrt {2}}}} עבור מצב פרמיוני. במקרה הכללי, הנרמול יהיה ∏ α n α ! N ! {\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}}} , כאשר N הוא המספר הכולל של חלקיקים. קוונטיזציה קוונטיזציה ראשונה Dirac, P. A. M. (1927). "The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 114 (767): 243. Bibcode:1927RSPSA.114..243D. doi:10.1098/rspa.1927.0039. V. Fock, Z. Phys. 75 (1932), 622-647 M.C. Reed, B. Simon, "Methods of Modern Mathematical Physics, Volume II", Academic Press 1975. Page 328.