מגוון (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מגוון הוא משפחה של חבורות, הסגורה ביחס לתת-חבורות, לתמונות הומומורפיות ולמכפלה ישרה (לאו דווקא סופית). כל מגוון מוגדר על ידי מערכת של זהויות, ולכן חקר המגוונים השונים שקול להבנת מערכות של זהויות. סריג המגוונים הוא סריג מודולרי. אוסף החבורות האבליות A {\displaystyle {\mathcal {A}}} הוא מגוון, המוגדר על ידי הזהות [ x 1 , x 2 ] = 1 {\displaystyle [x_{1},x_{2}]=1} . אוסף החבורות המקיים את הזהות x n = 1 {\displaystyle x^{n}=1} הוא מגוון ברנסייד B n {\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}} . אוסף החבורות הנילפוטנטיות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון, המוגדר על ידי הקומוטטור המרובה באורך המתאים. גם אוסף החבורות הפתירות ממחלקה c לכל היותר הוא מגוון. עם זאת אוסף כל החבורות הנילפוטנטיות אינו מגוון (מכפלה של חבורות נילפוטנטיות שהמחלקה שלהן אינה חסומה, אינה נילפוטנטית). לכל חבורה G, המגוון הקטן ביותר המכיל את G מסומן ב-VarG. לדוגמה, המגוון הנוצר על ידי החבורה הסימטרית S 3 {\displaystyle S_{3}} מוגדר על ידי הזהויות x 6 = [ x 2 , y 2 ] = 1 {\displaystyle x^{6}=[x^{2},y^{2}]=1} , והמגוון הנוצר על ידי חבורת הקווטרניונים מסדר 8 מוגדר על ידי הזהויות x 4 = 1 , [ x , [ y , z ] ] = 1 {\displaystyle x^{4}=1,[x,[y,z]]=1} . החבורה הדיהדרלית מסדר 8 יוצרת את אותו מגוון. כל זהות של חבורה סופית מאקספוננט e שקולה לזהויות x e = 1 , w = 1 {\displaystyle x^{e}=1,w=1} כאשר w מכפלה של קומוטטורים. המכפלה AB של מגוונים A,B מוגדרת כאוסף ההרחבות של חבורה מ-B בחבורה מ-A (כלומר כאוסף החבורות G עם תת-חבורה נורמלית N מ-A, עם מנה G/N השייכת ל-B). כל מגוון של חבורות, מלבד המגוונים הטריוויאליים (זה שכולל רק את החבורה הטריוויאלית וזה הכולל את כל החבורות) ניתן לפירוק באופן יחיד כמכפלה של מגוונים אי-פריקים. מכפלה AB נוצרת על ידי חבורה סופית אם ורק אם האקספוננטים של A ו-B זרים, A נילפוטנטי ו-V אבלי; ומכפלה ABC לעולם אינה נוצרת על ידי חבורה סופית (Smelkin, 1964). קבוצת זהויות המגדירה מגוון, נקראת בסיס של המגוון הזה. אחת השאלות היסודיות על מגוון של חבורות היא האם יש לו בסיס סופי. למגוון הנוצר על ידי חבורה סופית תמיד יש בסיס סופי (משפט Oates-Powell), והוא קטן (ראו להלן). הדוגמאות הראשונות למגוונים שאין להם בסיס סופי ניתנו ב-1969 (על ידי Olshanski, Adyan, Voghan-Lee, בשיטות שונות). דוגמה פשוטה יותר ניתנה ב-1973 (על ידי Bryant ו-Kleinman): אוסף הזהויות   ( x 1 2 ⋯ x n 2 ) 4 {\displaystyle \ (x_{1}^{2}\cdots x_{n}^{2})^{4}} מגדיר מגוון, B 4 B 2 {\displaystyle {\mathcal {B}}_{4}{\mathcal {B}}_{2}} , שאין לו בסיס סופי (לעומת זאת אם n,m זרים אז B n B m {\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}{\mathcal {B}}_{m}} מוגדר לפי הזהות ( x m y m ) n {\displaystyle (x^{m}y^{m})^{n}} ). בשפה של חבורות מנוקדות (היינו עם יחס 0-ארי), יש חבורה סופית עם קבוע, היוצרת מגוון שאינו בעל בסיס סופי (Bryant, 1982). מגוון הוא קטן אם הוא מכיל רק מספר סופי של תת-מגוונים. יש רצף של מגווני חבורות המכילים 3 תת-מגוונים. חבורות למחצה מתנהגות אחרת מבחינה זו. Perkins (ב-1969) הראה שלמגוון הנוצר על ידי מונויד Brandt (יחידות המטריצות בגודל 2 על 2, עם האפס והיחידה) אין בסיס סופי (זהו מונויד בגודל 6; אברהם טרכטמן הוכיח שכל מגוון הנוצר על ידי חבורה למחצה בגודל 5 הוא בעל בסיס סופי[דרוש מקור: Finite basis problem for semigroups of order five or less: generalization and revisitation, Edmond W. H. Lee, Studia Logica 101, 95--115, (2013)]) זהות של חבורות נכתבת באמצעות כפל והפכי. אבל יש זהויות שאפשר לכתוב גם באופן חיובי, כזהות של חבורה למחצה. למשל, הזהות x y x − 1 y − 1 = 1 {\displaystyle xyx^{-1}y^{-1}=1} שקולה לזהות x y = y x {\displaystyle xy=yx} . יש מגוונים שאפשר להציג באמצעות מלים חיוביות, ויש כאלה שלא: Neumann-Taylor (1963) הראו שאפשר להציג את המגוון של חבורות נילפוטנטיות ממחלקה נתונה באמצעות זהות חיובית אחת. מאידך, Lewin-Lewin (1969) הראו שבמגוון המקיים זהות חיובית, כל חבורה פתירה נוצרת סופית היא נילפוטנטית-מעל-סופית; בפרט, המגוון של חבורות פתירות ממחלקה קבועה אינו ניתן להצגה באמצעות זהויות חיוביות. מגוון (אלגברה אוניברסלית) Variety of Groups באנציקלופדיה המקוונת של המתמטיקה. מגוון, באתר MathWorld (באנגלית) הערה=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Variety_of_groups#:~:text=varieties%20of%20groups%20form%20a,that%20G%2FN%E2%88%88V.