משפט נגטה-היגמן

באלגברה, משפט נגטה-היגמן הוא משפט הקובע שכל אלגברה אסוציאטיבית (בלי יחידה) A {\displaystyle A} מעל שדה ממאפיין 0, שהיא נילית מדרגה חסומה, היא נילפוטנטית. במילים אחרות לכל n {\displaystyle n} קיים קבוע c ( n ) {\displaystyle c(n)} כך שאם a n = 0 {\displaystyle a^{n}=0} לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} , אז לכל a 1 , … , a c ( n ) ∈ A {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{c(n)}\in A} , המכפלה a 1 ⋯ a c ( n ) {\displaystyle a_{1}\cdots a_{c(n)}} שווה לאפס. הקבוע c ( n ) {\displaystyle c(n)} נמצא בטווח n ( n + 1 ) 2 ≤ c ( n ) ≤ n 2 {\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}\leq c(n)\leq n^{2}} , ומשערים שהוא שווה לחסם התחתון, אבל ערכו המדויק אינו ידוע. המשפט, כפי שנוסח כאן, נכון גם כאשר המאפיין חיובי וגדול מ- n {\displaystyle n} , אבל במקרה הכללי הוא ידוע רק כאשר A {\displaystyle A} נוצרת סופית. למעשה מתקיים העידון הבא: לכל n {\displaystyle n} ולכל d {\displaystyle d} יש קבוע c d ( n ) {\displaystyle c_{d}(n)} כך שכל אלגברה עם d {\displaystyle d} יוצרים, מעל שדה ממאפיין 0 < p ≤ n {\displaystyle 0<p\leq n} , שכל אבריה נילפוטנטיים מדרגה n {\displaystyle n} לכל היותר, היא נילפוטנטית מדרגה c d ( n ) {\displaystyle c_{d}(n)} לכל היותר. גם כאן הערך המדויק של c d ( n ) {\displaystyle c_{d}(n)} אינו ידוע; ל- d {\displaystyle d} קבוע קיים תת-מעריכי מהצורה c d ( n ) = O ( e log ⁡ ( n ) 2 ) {\displaystyle c_{d}(n)=O(e^{\log(n)^{2}})} , ואם מגבילים את המאפיין לטווח n 2 < p ≤ n {\displaystyle {\frac {n}{2}}<p\leq n} , ידוע גם חסם פולינומי ב- n {\displaystyle n} (אך דרגת הפולינום תלויה - לוגריתמית - ב- d {\displaystyle d} ). מעל שדה אינסופי (ממאפיין שרירותי) ישנו חסם פולינומי שניתן על ידי דומוקוש: c d ( n ) ≤ ( m + 2 ) n 4 {\displaystyle c_{d}(n)\leq (m+2)n^{4}} . אם המאפיין גדול מ- n 2 + 1 {\displaystyle n^{2}+1} (או 0), אזי c d ( n ) ≤ n 2 {\displaystyle c_{d}(n)\leq n^{2}} . את המשפט הוכיחו ב-1943 Dubnov ו-Ivanov, אלא שמן הגרסה שלהם, שהתפרסמה באמצע המלחמה בכתב-עת רוסי, התעלמו עד שהתגלתה מחדש כארבעים שנה מאוחר יותר. ב-1952 הוכיח Nagata את קיומו של חסם עליון, עצום בגדלו, למספרים c ( n ) {\displaystyle c(n)} , ובכך הוכיח את המשפט. הוא הראה גם שהמשפט אינו נכון, כלשונו, במאפיין חיובי. מעט אחר-כך, ב-1956 הוכיח גרהם היגמן את המשפט למאפיין חיובי גדול מ- n {\displaystyle n} , ומצא חסם עליון טוב יותר, מעריכי, וגם חסם תחתון ריבועי. ב-1975 שיפר Kuzmin את החסם התחתון ל- c ( n ) ≥ n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle c(n)\geq {\frac {n(n+1)}{2}}} , ושער שזהו שוויון (במאפיין אפס). השערה זו נבדקה ונמצאה נכונה עבור n = 1 , 2 , 3 , 4 {\displaystyle n=1,2,3,4} . בשפה של תורת הזהויות, המשפט קובע (במאפיין אפס) שלכל n {\displaystyle n} קיים c ( n ) {\displaystyle c(n)} כך ש- x 1 ⋯ x c ( n ) {\displaystyle x_{1}\cdots x_{c(n)}} נמצא ב-T-אידיאל של x 1 n {\displaystyle x_{1}^{n}} ; כלומר, x 1 ⋯ x c ( n ) {\displaystyle x_{1}\cdots x_{c(n)}} שייך לאידיאל של האלגברה החופשית F ⟨ x 1 , x 2 , … ⟩ {\displaystyle F\langle x_{1},x_{2},\dots \rangle } הנוצר על ידי כל החזקות f n {\displaystyle f^{n}} . תרגום הבעיה לשפת המטריצות הגנריות אִפשר ל-Razmyslov להוכיח את החסם c ( n ) ≤ n 2 {\displaystyle c(n)\leq n^{2}} , שהוא הטוב ביותר הידוע כיום. הטענה השנייה חזקה יותר לכאורה משום שהיא מספקת חסם אחיד לכל האלגברות, אבל אין בזה חידוש משום שהחסם של האלגברה החופשית מתאים לכולן [1] Mátyás Domokos, Polynomial bound for the nilpotency index of finitely generated nil algebras, Algebra and Number Theory, Vol. 12 (2018), No. 5, 1233–1242 M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296-301 G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Phil. Soc. 52 (1956), 1-4.