פונקציית החלוקה (תורת המספרים)

בקומבינטוריקה ובתורת המספרים, חלוקה של מספר טבעי היא הצגה שלו כסכום של חלקים, כמו 5 = 3 + 1 + 1 {\displaystyle 5=3+1+1} . שתי חלוקות שההבדל היחיד ביניהן הוא סדר הרכיבים, נחשבות לאותה החלוקה. החלוקות מופיעות בתחומים שונים בקומבינטוריקה, כגון פולינומים סימטריים ותורת ההצגות של החבורה הסימטרית. מספר החלוקות השונות של n {\displaystyle n} נקרא פונקציית החלוקה של n {\displaystyle n} , ומקובל לסמנו p ( n ) {\displaystyle p(n)} . לדוגמה: p ( 3 ) = 3 , 3 = 1 + 2 = 1 + 1 + 1 p ( 4 ) = 5 , 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&p(3)=3,\quad 3=1+2=1+1+1\\&p(4)=5,\quad 4=1+3=2+2=1+1+2=1+1+1+1\end{aligned}}} עבור הערכים n = 1 , 2 , … , 10 {\displaystyle n=1,2,\ldots ,10} פונקציית החלוקה מקבלת את הערכים p ( n ) = 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 15 , 22 , 30 , 42 {\displaystyle p(n)=1,2,3,5,7,11,15,22,30,42} . ערכי הפונקציה גדלים במהירות, לדוגמה: p ( 100 ) = 190569292 p ( 1000 ) ≈ 2.4 ⋅ 10 31 {\displaystyle {\begin{aligned}&p(100)=190569292\\&p(1000)\approx 2.4\cdot 10^{31}\end{aligned}}} ג. ה. הארדי ורמנוג'אן הוכיחו ב-1917 את הנוסחה האסימפטוטית p ( n ) ∼ e π 2 n / 3 4 3 n {\displaystyle p(n)\sim {\frac {e^{\pi {\sqrt {2n/3}}}}{4{\sqrt {3}}n}}} . לצורך כך הם השתמשו בתאוריה של תבניות מודולריות, שהם היו ממייסדיה, כשהמציאו את "שיטת המעגל" לצורך הערכת המקדמים של פונקציית תטא המתאימה לפונקציית החלוקה g ( q ) = ∑ p ( n ) q n = ∏ m ≥ 1 ( 1 − q m ) − 1 {\displaystyle g(q)=\sum p(n)q^{n}=\prod _{m\geq 1}(1-q^{m})^{-1}} בין התכונות המפתיעות של פונקציות החלוקה אפשר למנות את הקונגרואנציות שגילה רמנוג'אן: לכל n {\displaystyle n} מתקיים כי p ( 5 n + 4 ) {\displaystyle p(5n+4)} מתחלק ב-5. באופן דומה p ( 7 n + 6 ) {\displaystyle p(7n+6)} מתחלק ב-7, ו- p ( 11 n + 6 ) {\displaystyle p(11n+6)} מתחלק ב-11. תוצאות אלה קשורות במספרים מצולעים. מאוחר יותר התגלה גם שהמספרים p ( 17303 n + 237 ) {\displaystyle p(17303n+237)} מתחלקים ב-13. בשנת 2000 הוכיח קן אונו שזהויות כאלו קיימות לכל מספר ראשוני ומספר שנים לאחר מכן תוצאה זו הורחבה לכל מספר שלם שזר ל-6. את פונקציית החלוקה חקר לראשונה לאונהרד אוילר, שמצא עבור הפונקציה היוצרת שלה פירוק למכפלה אינסופית ∑ n = 0 ∞ p ( n ) x n = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − x k ) − 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}} , צעד שבמידת מה נחשב לראשיתה של תורת המספרים האנליטית. הפירוק פשוט להוכחה באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי: ∏ k = 1 ∞ ( 1 − x k ) − 1 = ∏ k = 1 ∞ ∑ i = 0 ∞ x k i {\displaystyle \prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}=\prod _{k=1}^{\infty }\sum _{i=0}^{\infty }x^{ki}} מספר הפעמים שהאיבר x n {\displaystyle x^{n}} יתקבל בפתיחת המכפלה באגף ימין הוא בדיוק p ( n ) {\displaystyle p(n)} מכיוון ש-i קובע באופן יחיד את מספר הפעמים שהמספר k {\displaystyle k} מופיע בחלוקה נתונה. מאותו הטעם, באופן כללי הפונקציה היוצרת של מספר החלוקות בהן מופיעים רק מספרים מקבוצה A ⊆ N {\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} } הוא ∏ k ∈ A ( 1 − x k ) − 1 {\displaystyle \prod _{k\in A}(1-x^{k})^{-1}} . באמצעות מניפולציה על הפונקציה היוצרת, נובעת ממשפט המספרים המחומשים נוסחת הנסיגה: p ( n ) = ∑ k ∈ Z ∖ { 0 } ( − 1 ) k − 1 ⋅ p ( n − p k ) = p ( n − 1 ) + p ( n − 2 ) − p ( n − 5 ) − p ( n − 7 ) + p ( n − 12 ) + ⋯ {\displaystyle p(n)=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k-1}\cdot p(n-p_{k})=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+\cdots } כאשר p n = n ( 3 n − 1 ) 2 {\displaystyle p_{n}={\frac {n(3n-1)}{2}}} הוא המספר המחומש המוכלל ה- n {\displaystyle n} -י. זהו סכום סופי, מכיוון ש- p ( 0 ) = 1 {\displaystyle p(0)=1} (סכום ריק) ולכל k < 0 {\displaystyle k<0} מתקיים p ( k ) = 0 {\displaystyle p(k)=0} . משפט החלוקה של אוילר מספרי בל – ספירת חלוקות בהן זהות האיברים בכל חלק חשובה פונקציית החלוקה, באתר MathWorld (באנגלית) גדי אלכסנדרוביץ', חלוקות וההשערה של רמנוג'אן, באתר "לא מדויק", 29 ביוני 2011 Hardy, G. H.; Ramanujan, S., Asymptotic formulae in combinatory analysis., J. Lond. M. S. Proc. (2) 17, 75-115 (1917); הופיע גם ב- Hardy, G. H. and Ramanujan, S. "Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis." Proc. London Math. Soc. 17, 75-115, 1918