מהירות הקול

מהירות הקול היא המהירות שבה נעים גלי הקול בתווך. מהירות הקול תלויה במקדם הקשיחות של חומר התווך ובצפיפות שלו. מהירות הקול בגז אידיאלי תלויה רק בטמפרטורה ובהרכב שלו. עם זאת, מהירות הקול משתנה מחומר לחומר: כללית, הקול עובר הכי לאט בגזים, מהר יותר בנוזלים והכי מהר במוצקים. בדרך כלל, משתמשים במונח "מהירות הקול" כשמתכוונים למהירות הקול באוויר, שהיא 343 מטר לשנייה או 1234.8 קמ"ש, בטמפרטורה של 20 מעלות צלזיוס באוויר יבש. לעומת זאת, בברזל, מהירות הקול היא אלפי מטרים בשנייה ובמים מהירות הקול גבוהה פי 4.3 ממהירות הקול באוויר – 5309.6 קמ"ש. בוואקום ובתווך בין-כוכבי בהם צפיפות החומר נמוכה מאוד, גלי הקול אינם יכולים להתקדם. באופן כללי מהירות הקול ניתנת בנוסחה: c = C ρ {\displaystyle c={\sqrt {\frac {C}{\rho }}}} C {\displaystyle C} מסמל מקדם הקשיחות של החומר ואילו ρ {\displaystyle \rho } מסמל את צפיפות החומר. ניתן להציג את מהירות הקול באופן מפורט יותר כ: c i d e a l = γ ⋅ p ρ = γ ⋅ R ⋅ T M = γ ⋅ k ⋅ T m {\displaystyle c_{\mathrm {ideal} }={\sqrt {\gamma \cdot {p \over \rho }}}={\sqrt {\gamma \cdot R\cdot T \over M}}={\sqrt {\gamma \cdot k\cdot T \over m}}} כאשר: p הוא הלחץ R {\displaystyle R} הוא קבוע הגזים האוניברסלי המחולק למסה המולרית של האוויר. k {\displaystyle k} הוא קבוע בולצמן. γ {\displaystyle \gamma } (בשימושים מסוימים מסומן גם κ {\displaystyle \kappa } ) הוא היחס בין החום הסגולי בלחץ קבוע לחום הסגולי בנפח קבוע (1.402 לאוויר). T {\displaystyle T} היא הטמפרטורה (בקלווין). M {\displaystyle M} המסה המולרית. m {\displaystyle m} המסה של מולקולה יחידה. לציון מהירותם של עצמים כמו מטוסים או חלליות הנעים במהירות על-קולית (מהירות הגבוהה ממהירות הקול) נהוג להשתמש במספר מאך, שהוא היחס בין מהירות העצם בתווך, לבין מהירות הקול באותו תווך. מאך 1 שווה למהירות הקול, מאך 2 הוא פי 2 ממהירות הקול וכן הלאה. ב-14 באוקטובר 2012 שבר פליקס באומגרטנר את מהירות הקול בצניחה חופשית. באומגרטנר קבע את שיא המהירות בצניחה חופשית, 373 מטר לשנייה שהם 1,342.8 קמ"ש, או 1.24 מאך. שיא זה נשבר ב-2014 על ידי אלן יוסטס.[דרוש מקור] נוסחה לחישוב מהירות הקול באוויר על פי הטמפרטורה: c a i r = ( 331 . 5 + 0 . 6 ⋅ ϑ )   m / s {\displaystyle c_{\mathrm {air} }=(331{.}5+0{.}6\cdot \vartheta )\ \mathrm {m/s} } כאשר ϑ {\displaystyle \vartheta } (תטה) מייצגת את הטמפרטורה בצלזיוס, ו- c {\displaystyle c} מייצג את מהירות הקול באוויר. מכיוון שמהירות הקול באוויר תלויה בלחץ האוויר היא תלויה בטמפרטורה ובגובה מעל פני הים, דבר שלא בא לידי ביטוי בנוסחא הפשוטה. ההנחות על תכונות התווך הגזי לגביו המושג של "מהירות הקול" תקף הן: המושג של מהירות הקול בתווך אלסטי כלשהו תקף כל עוד אורך הגל של הקול גדול באופן משמעותי מהמהלך החופשי הממוצע של חלקיקי הגז הנושא את גל הקול. אחרת, רעידות (תנודות בלחץ ובצפיפות של הגז) בתווך הגזי לא יצליחו להתקדם בתוכו באופן אפקטיבי, שכן חלקיקי הגז ינועו בקו ישר במהלך זמן מחזור אחד של הגל, בגלל המהלך החופשי הארוך של החלקיקים, שמונע העברת תנע בין חלקיקי הגז ולכן מונע התקדמות במרחב של הפרמטרים המאפיינים את הגל. כיוון שקול הוא למעשה גל דחיסה בתווך (אלמנטי הגז נעים במהירויות שונות וכך דוחסים אחד את השני), חוסר יכולת של אלמנטי הגז להעביר תנע אחד לשני מונע התקדמות של הגל בתווך, והופך לפעפוע בלבד כאשר התנאי הזה לא מתקיים. לפיכך המושג של מהירות הקול מאבד מישימותו עבור תדרים גבוהים במיוחד של גל הקול או לחלופין בתנאים של תווך דליל במיוחד, כמו זה שמתקיים באטמוספירה העליונה. מסתבר שתחת טווח שינוי לחצים קטן בהשוואה ללחץ המקומי של הגז, הגז כולו מתפקד כתווך אלסטי עם מקדם קפיצי קבוע מסוים. ניתן לדמות את הגז בו מתקדם הגל כמורכב מתאים זהים שביניהם מחיצות המקיימים אינטראקציה אחד עם השני - לכל תא יש מסה מסוימת, ואודות ללחץ הגז יש לו גם מקדם אלסטי מסוים. דימוי זה של התקדמות הגל מרמז כי מהירות הקול תלויה במסת כל אחד מהתאים, כלומר בצפיפות הגז ρ {\displaystyle \rho } , ובמקדם האלסטי k של כל תא, כלומר בלחץ שלו P {\displaystyle P} . כיוון שכך, מספיק לחשב את מהירות ההתקדמות של הפרעה טורית במערכת קפיצים ומסות עם מסה m וקבוע קפיץ k, ולאחר מכן נותר להעריך את מקדם הקפיציות של הגז מהפרמטרים שמאפיינים אותו (כלומר משיקולים תרמודינמיים). אם האורך הרפוי של כל קפיץ הוא L, אז מקבלים את משוואות התנועה הבאות עבור המסות: m x n ( t ) ¨ = k ( ( x n + 1 − x n − L ) − ( x n − x n − 1 − L ) ) = k ( ( x n + 1 − x n ) − ( x n − x n − 1 ) ) {\displaystyle m{\ddot {x_{n}(t)}}=k((x_{n+1}-x_{n}-L)-(x_{n}-x_{n-1}-L))=k((x_{n+1}-x_{n})-(x_{n}-x_{n-1}))} הביטוי ( x n + 1 − x n ) − ( x n − x n − 1 ) {\displaystyle (x_{n+1}-x_{n})-(x_{n}-x_{n-1})} הוא גרסה מבוססת שינויים סופיים של הביטוי הבא (המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי): L 2 ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) {\displaystyle L^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)} , כאשר ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} הוא למעשה ההפרש בין x n ( t ) {\displaystyle x_{n}(t)} ל- x n ( 0 ) {\displaystyle x_{n}(0)} . לפיכך המשוואה שנתקבלה היא למעשה המשוואה הבאה: ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( x , t ) = ( k / m ) ⋅ L 2 ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)=(k/m)\cdot L^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)} . משוואה זו היא למעשה משוואת הגלים, ולפיכך מקבלים שמהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות במערכת הקפיצים והמסות היא: v = L 2 ∗ k m = L ⋅ k m {\displaystyle v={\sqrt {\frac {L^{2}*k}{m}}}=L\cdot {\sqrt {\frac {k}{m}}}} . כדי להשתמש בתוצאה זאת על מנת להסיק משהו לגבי מהירות הקול בגז, יש להעריך את מקדם הקפיציות של תא גזי בצורת תיבה בעלת שטח חתך S ואורך L. ההנחה שנניח כעת היא שהגז בתיבה נדחס ומתפשט אדיאבטית. הנחה זאת מוצדקת משום שהתהליכים המתרחשים במעבר קול מהירים ולא מאפשרים מעבר חום בדרכים סטנדרטיות כמו הולכה והסעה, כך שאין מעבר חום מהתא החוצה, וזה בהגדרה תהליך אדיאבטי. המשוואה הקושרת את הלחץ והנפח בתהליך אדיאבטי היא P V γ = c o n s t {\displaystyle PV^{\gamma }=const} , או, בגרסה דיפרנציאלית: d P P = − γ d V V {\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-\gamma {\frac {dV}{V}}} שזה למעשה: d P d V = − γ P V = − γ P L S {\displaystyle {\frac {dP}{dV}}=-\gamma {\frac {P}{V}}=-\gamma {\frac {P}{LS}}} . הקשר בין מקדם הקפיציות k ל- d P d V {\displaystyle {\frac {dP}{dV}}} הוא לפי הגדרת k למעשה k = d P d V ⋅ S 2 {\displaystyle k={\frac {dP}{dV}}\cdot S^{2}} מסת התא הגזי היא m = ρ ⋅ L S {\displaystyle m=\rho \cdot LS} . התוצאה שמתקבלת למהירות הקול היא: c s = L 2 ⋅ k m = L 2 ⋅ γ P L S ⋅ S 2 ρ ⋅ L S = γ P ρ {\displaystyle c_{s}={\sqrt {\frac {L^{2}\cdot k}{m}}}={\sqrt {\frac {L^{2}\cdot \gamma {\frac {P}{LS}}\cdot S^{2}}{\rho \cdot LS}}}={\sqrt {\frac {\gamma P}{\rho }}}} . הערה: ההנחה בפיתוח לחישוב מהירות ההתקדמות של הפרעות טוריות שהביטוי בצורה של שינויים סופיים שווה לביטוי המנוסח בשפת החשבון האינפיניטסימלי נכונה בקירוב רק כאשר אורכי הגל גדולים בהרבה (כמה סדרי גודל) מהמרחק L בין שתי מסות, הגם שבמקרה של גז הנחה זאת חייבת להתקיים כדי שתהיה לו אלסטיות מסוימת. במוצקים המצב שונה, שכן אודות למבנה המסודר של האטומים גם גלים עם אורכי גל מסדר גודל של המרחק בין האטומים יכולים להתקדם באופן אפקטיבי, אך יש להם יחס נפיצה לא ליניארי. להסבר מורחב ראו יחס נפיצה של פונונים. במוצקים ישנם שני אופנים עיקריים: גלי P וגלי S. גלי P הם למעשה גלי אורך וגלי S הם גלי רוחב ומהירות גלי ה-P ( c P {\displaystyle c_{P}} ) גבוהה יותר ממהירות גלי ה-S ( c S {\displaystyle c_{S}} ). את מהירות גלי הקול במוצק ניתן לחשב לפי: c P = K + 4 3 G ρ = E ( 1 − ν ) ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ρ , {\displaystyle c_{P}={\sqrt {\frac {K+{\frac {4}{3}}G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )\rho }}},} c S = G ρ = E 2 ( 1 + ν ) ρ , {\displaystyle c_{S}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}={\sqrt {\frac {E}{2(1+\nu )\rho }}},} כאשר K הוא מודול הנפח, G הוא מודול הגזירה, E הוא מודול האלסטיות, ν {\displaystyle \nu } הוא מקדם פואסון ו- ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות החומר. גלים סייסמיים הם למעשה דוגמה מוכרת לגלי קול המתפשטים במוצק. חשוב לזכור כי מהירות הקול במוצקים תלויה ביחס הנפיצה ומבנים גבישיים שונים מאופיינים ביחס נפיצה שונה. בפיזיקה של מצב מוצק נוטים להתייחס לגלי קול כפונונים: קוואזי-חלקיקים המייצגים אופני תנודה מקוונטטים. אייזק ניוטון כלל בחיבורו עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע, מ-1687, חישוב לפיו מהירות הקול באוויר היא כ-979 רגל לשנייה (298 מ/ש). ערך נמוך מדי בכ-15%. הפער נבע בעיקר מהזנחת ההשפעה (שלא הייתה ידועה אז) של תנודתיות מהירה בטמפרטורה בגל קול (במונחים מודרניים, דחיסת גלי קול והתפשטות האוויר היא תהליך אדיאבטי, לא תהליך איזותרמי). שגיאה זו תוקנה מאוחר יותר על ידי פייר-סימון לפלס. במהלך המאה ה-17 נעשו מספר ניסיונות למדוד את מהירות הקול במדויק, כולל ניסיונותיו של מרן מרסן ב-1630 (1,380 רגל פריזאית לשנייה), פייר גסנדי ב-1635 (1,473 רגל פריזאית לשנייה) ורוברט בויל (1,125 רגל פריזית לשנייה). בשנת 1709 פרסם הכומר וויליאם דרהם (אנ') (רקטור ברובע אפמינסטר (אנ') שבלונדון), מדד מדויק יותר של מהירות הקול, כ-1,072 רגל פריזאית לשנייה (כף הרגל הפריזאית הייתה 325 מ"מ. זה ארוך יותר מה"רגל הבינלאומית" הרגילה שבשימוש נפוץ כיום, כ-304.8 מ"מ, מה שהופך את מהירות הקול ב-20 °C ל-1,055 רגל פריזאי לשנייה). דרהם השתמש בטלסקופ מהמגדל של כנסיית סנט לורנס באפמינסטר (אנ') כדי לצפות בהבזק של רובה ציד מרוחק שנורה, ולאחר מכן מדד את הזמן עד ששמע את יריית האקדח במטוטלת של חצי שנייה. בוצעו מדידות של יריות ממספר נקודות ציון מקומיות, כולל כנסיית נורת' אוקנדון. המרחק נודע על ידי משולש, וכך חושבה המהירות שהקול עבר. מהירות תת-קולית מהירות על-קולית מהירות שגא קולית בום על קולי מהירות האור מאמר על מהירות הקול באתר אווירון ד"ר מאיר ברק, מה מהירות הקול באדמת חול?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ספטמבר 2009 ד"ר מאיר ברק, האם טייס הנע במהירות על-קולית ישמע את מנועי המטוס?, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 1 ספטמבר 2009 מהירות הקול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Felix Baumgartner: First person to break sound barrier in freefall, Guinness World Records (באנגלית)