תיכושקף

בגאומטריה, תיכושְקַף (באנגלית: symmedian) הוא ישר המתקבל משיקוף של תיכון במשולש סביב חוצה הזווית מאותו הקודקוד. שלושת התיכושקפים במשולש נפגשים בנקודה אחת שנקראת נקודת למואן, שהיא הצמודה האיזוגונלית לנקודת מפגש התיכונים. רוס הונסברגר קרא לקיום שלה "אחד מיהלומי הכתר בגאומטריה מודרנית".[דרוש מקור] לעיתים מאוד קרובות בגאומטריה, אפשר לקחת ישרים היוצאים מקודקוד במשולש (צ'ביאנות), לשקף אותם ביחס לנקודת מפגש התיכונים לחוצי הזוויות, וגם לישרים החדשים יהיו תכונות מעניינות. לדוגמה, אם שלוש צ'ביאנות נחתכות בנקודה P, גם הישרים המשוקפים נחתכים בנקודה, הידועה כצמודה איזוגונלית של P. מקרה פרטי של הצמדה איזוגונלית הוא התיכושקפים: גם הם שיקופים של צ'ביאנות (התיכונים במקרה זה) ולכן הם נפגשים בנקודה, שהיא הצמודה האיזוגונלית למפגש התיכונים. נקודת זו נקראת נקודת למואן. יהי A B C {\displaystyle ABC} משולש. נבנה נקודה D {\displaystyle D} על ידי חיתוך המשיקים מ- B , C {\displaystyle B,C} למעגל החוסם של המשולש A B C {\displaystyle ABC} . אז A D {\displaystyle AD} הוא התיכושקף מנקודה A {\displaystyle A} של המשולש A B C {\displaystyle ABC} . למת התיכושקף נותנת לנו הגדרה שקולה לתיכושקף. במקרים רבים, נוח יותר לעבוד עם ההגדרה השקולה הנ"ל, ולא עם ההגדרה המקורית. השיקוף של A D {\displaystyle AD} ביחס לחוצה הזווית מ- A {\displaystyle A} חותך את B C {\displaystyle BC} בנקודה הנקרא לה M ′ {\displaystyle M'} . אז ממשפט הסינוסים: B M ′ M ′ C = A M ′ ⋅ s i n ∠ B A M ′ s i n ∠ A B M ′ A M ′ ⋅ s i n ∠ C A M ′ s i n ∠ A C M ′ = s i n ∠ B A M ′ s i n ∠ A C D ⋅ s i n ∠ A B D s i n ∠ C A M ′ = s i n ∠ C A D s i n ∠ A C D ⋅ s i n ∠ A B D s i n ∠ B A D = C D A D ⋅ A D B D = 1 {\displaystyle {\frac {BM'}{M'C}}={\frac {AM'\cdot {\frac {sin\angle {BAM'}}{sin\angle {ABM'}}}}{AM'\cdot {\frac {sin\angle {CAM'}}{sin\angle {ACM'}}}}}={\frac {sin\angle {BAM'}}{sin\angle {ACD}}}\cdot {\frac {sin\angle {ABD}}{sin\angle {CAM'}}}={\frac {sin\angle {CAD}}{sin\angle {ACD}}}\cdot {\frac {sin\angle {ABD}}{sin\angle {BAD}}}={\frac {CD}{AD}}\cdot {\frac {AD}{BD}}=1} נגדיר את D ′ {\displaystyle D'} כצמודה האיזוגונלית של D {\displaystyle D} . ניתן לראות כי השיקוף של C D {\displaystyle CD} ביחס לחוצה הזווית של C {\displaystyle C} הוא ישר המקביל ל- A B {\displaystyle AB} . אותו הדבר נכון ל- B D {\displaystyle BD} , ולכן A B D ′ C {\displaystyle ABD'C} מקבילית. מזה נקבל כי A D ′ {\displaystyle AD'} הוא התיכון, אבל A D ′ {\displaystyle AD'} הוא השיקוף של A D {\displaystyle AD} ביחס לחוצה הזווית מ- A {\displaystyle A} . לפי דרגת נקודה, מתקיים B D = C D {\displaystyle BD=CD} . לכן, קיים מעגל ω {\displaystyle \omega } עם מרכז ב- D {\displaystyle D} שעובר בנקודות B , C {\displaystyle B,C} . נסמן ב- E , F {\displaystyle E,F} את נקודות החיתוך של ω {\displaystyle \omega } עם המשכי הצלעות A B , A C {\displaystyle AB,AC} בהתאמה. מתקיים: ∠ B D E = 180 ∘ − 2 ⋅ ∠ D B E = 180 ∘ − 2 ⋅ ( 180 ∘ − ∠ A B C − ∠ C B D ) = 180 ∘ − 2 ⋅ ( 180 ∘ − ∠ A B C − ∠ B A C ) = 180 ∘ − 2 ⋅ ∠ A C B {\displaystyle \angle BDE=180^{\circ }-2\cdot \angle DBE=180^{\circ }-2\cdot (180^{\circ }-\angle ABC-\angle CBD)=180^{\circ }-2\cdot (180^{\circ }-\angle ABC-\angle BAC)=180^{\circ }-2\cdot \angle ACB} ובאופן סימטרי, נוכל לקבל ∠ C D F = 180 ∘ − 2 ⋅ ∠ A B C {\textstyle \angle CDF=180^{\circ }-2\cdot \angle ABC} . מכיוון ש- ∠ B C D = ∠ C B D = ∠ B A C {\textstyle \angle BCD=\angle CBD=\angle BAC} , מתקיים ∠ B D C = 180 ∘ − 2 ⋅ ∠ B A C {\textstyle \angle BDC=180^{\circ }-2\cdot \angle BAC} . אז קיבלנו: ∠ E D F = ∠ B E D + ∠ B D C + ∠ C D F = 540 ∘ − 2 ⋅ ( ∠ A B C + ∠ B A C + ∠ A C B ) = 540 ∘ − 2 ⋅ 180 ∘ = 180 ∘ {\displaystyle \angle EDF=\angle BED+\angle BDC+\angle CDF=540^{\circ }-2\cdot (\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB)=540^{\circ }-2\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }} כלומר, הנקודות E , D , F {\textstyle E,D,F} הן על ישר אחד. מכיוון שהנקודות B , C , F , E {\displaystyle B,C,F,E} על מעגל, מתקיים שהמשולשים A B C {\displaystyle ABC} ו- A F E {\displaystyle AFE} דומים, והם מתקבלים זה מזה על ידי שיקוף סביב חוצה הזווית של ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} והומותטיה. לכן התיכון לצלע B C {\displaystyle BC} במשולש A B C {\displaystyle ABC} הוא השיקוף סביב חוצה הזווית של ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} של התיכון לצלע E F {\displaystyle EF} במשולש A F E {\displaystyle AFE} , וזהו A D {\displaystyle AD} . לכן A D {\displaystyle AD} הוא השיקוף סביב חוצה הזווית של התיכון, כלומר A D {\displaystyle AD} הוא התיכושקף. תיכושקף, באתר MathWorld (באנגלית) תיכושקף ואנטי-מקבילים באתר Cut-the-knot יופיי, ז'או (2010). ‏ Three Lemmas in Geometry‏ (PDF). עמ' 5