חוג מקומי

בתורת החוגים, חוג מקומי הוא חוג (בדרך כלל – קומוטטיבי) שיש לו אידיאל מקסימלי יחיד. חוגים מקומיים נקראים כך משום שהם מאפשרים לחקור מרחבים באופן מקומי, בסביבת נקודה. אחד המקורות החשובים לחוגים כאלה הוא תהליך המיקום של חוג קומוטטיבי נתון ביחס לאידיאל ראשוני של אותו חוג. כל תחום הערכה הוא מקומי. לחוג קומוטטיבי מקומי תורת הצגות פשוטה בתכלית: יש לו מודול פשוט יחיד (עד כדי איזומורפיזם), וכל מודול פרויקטיבי הוא חופשי. אם R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי מקומי ו- M {\displaystyle M} האידיאל המקסימלי שלו, אז כל איבר מחוץ ל- M {\displaystyle M} הוא הפיך. ערך מורחב – לוקליזציה (תורת החוגים) יהי R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי עם יחידה, ו- S {\displaystyle S} תת-קבוצה של R {\displaystyle R} , המכילה את 1 וסגורה לכפל, ואינה מכילה את 0. המיקום של R {\displaystyle R} ב- S {\displaystyle S} הוא החוג S − 1 R = { a s   |   a ∈   R ,   s ∈   S } {\displaystyle S^{-1}R=\{{\frac {a}{s}}\ |\ a\in \ R,\ s\in \ S\}} , שבו החיבור של שברים מוגדר לפי a s + b t = a t + b s s t {\displaystyle {\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}={\frac {at+bs}{st}}} , והכפל לפי a s ⋅ b t = a b s t {\displaystyle {\frac {a}{s}}\cdot {\frac {b}{t}}={\frac {ab}{st}}} . החוג החדש מכיל את החוג R {\displaystyle R} , ויש התאמה חד-חד-ערכית בין סריג האידיאלים שלו, לסריג האידיאלים של R {\displaystyle R} הזרים ל- S {\displaystyle S} . אם P {\displaystyle P} אידיאל ראשוני של R {\displaystyle R} , אז המיקום של R {\displaystyle R} ביחס ל- P {\displaystyle P} הוא החוג ( R − P ) − 1 R {\displaystyle (R-P)^{-1}R} . זהו חוג מקומי, שהאידיאל המקסימלי היחיד שלו הוא ( R − P ) − 1 P {\displaystyle (R-P)^{-1}P} . מיקום של חוג המספרים השלמים באידיאל הראשוני p Z {\displaystyle p\mathbb {Z} } נותן את החוג Z p Z = { a b : a , b ∈ Z , gcd ( b , p ) = 1 } ⊂ Q {\displaystyle \mathbb {Z} _{p\mathbb {Z} }=\left\{{\frac {a}{b}}:a,b\in \mathbb {Z} ,\gcd(b,p)=1\right\}\subset \mathbb {Q} } , שהאידיאל המקסימלי היחיד שלו נוצר על ידי p {\displaystyle p} . השלמה של החוג הזה ביחס לטופולוגיה ה-p-אדית נותנת את חוג השלמים ה-p-אדיים, Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} , שגם הוא מקומי. כל חוג מקומי סופי שכל האידיאלים שלו ראשיים הוא חוג מנה של חוג שלמים בשדה מקומי. כל חוג מהצורה R / M n {\displaystyle R/M^{n}} , כאשר M {\displaystyle M} אידיאל מקסימלי של R {\displaystyle R} , הוא מקומי. ישנם מקורות (ובפרט בכתבי בורבקי) שבהם המושג "חוג מקומי" מתייחס לחוג שהוא מקומי ונתרי (ואז חוג מקומי סתם נקרא "קוואזי-מקומי"). אכן, החוגים המקומיים המופיעים בגאומטריה אלגברית הם כמעט תמיד נתריים. לחוגים מקומיים נתריים יש כמה תכונות חשובות: וולפגנג קרול, שהיה הראשון שחקר חוגים מקומיים, הוכיח (ב-1938) ש- ⋂ M i = 0 {\displaystyle \bigcap M^{i}=0} , כאשר M {\displaystyle M} הוא האידיאל המקסימלי היחיד. לחוגים מקומיים נותריים יש ממד קרול סופי, נאמר n {\displaystyle n} , ואז יש איברים   x 1 , … , x n {\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{n}} בחוג כך שהרדיקל של ∑ R x i {\displaystyle \sum Rx_{i}} הוא האידיאל המקסימלי, M {\displaystyle M} . לכל חוג מקומי R {\displaystyle R} יש השלמה, שהיא הגבול הפרויקטיבי R ^ = lim ← ⁡ R / M n {\displaystyle {\hat {R}}=\operatorname {lim} _{\leftarrow }R/M^{n}} . החוג שלם אם הוא שווה להשלמה שלו. משפט המבנה של כהן (1946) מתאר חוגים מקומיים נתריים שלמים: כל חוג מקומי נתרי שלם (המכיל שדה) הוא חוג מנה של k [ [ x 1 , … , x n ] ] {\displaystyle k[[x_{1},\dots ,x_{n}]]} . חוג מקומי נתרי הוא רגולרי, אם אפשר ליצור באמצעות n = Kdim ⁡ ( R ) {\displaystyle n=\operatorname {Kdim} (R)} יוצרים את האידיאל המקסימלי עצמו. תכונה זו שקולה לכך שהממד של M / M 2 {\displaystyle M/M^{2}} (כמרחב וקטורי מעל שדה השאריות k = R / M {\displaystyle k=R/M} ) שווה ל- n {\displaystyle n} ; וגם לכך שהחוג המדורג ⨁ i = 0 ∞ M i / M i + 1 {\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }M^{i}/M^{i+1}} איזומורפי לחוג הפולינומים ב- n {\displaystyle n} משתנים מעל k {\displaystyle k} . כמה משפחות חשובות נוספות של חוגים מקומיים נתריים הן חוגים בעלי חיתוך שלם (זהו חוג מקומי רגולרי, מודולו אידיאל שלו הנוצר על ידי "סדרה רגולרית"); חוגי גורנשטיין (חוגים מקומיים נתריים בעלי ממד אינג'קטיבי סופי); וחוגי כהן-מקולי מקומיים (חוגים מקומיים נתריים שבהם יש לאידיאל המקסימלי סדרה רגולרית באורך השווה לממד קרול של החוג). כל חוג מקומי רגולרי הוא בעל חיתוך שלם; כל חוג בעל חיתוך שלם הוא גורנשטיין; וכל חוג גורנשטיין הוא כהן-מקולי. חוג מקומי (קומוטטיבי) ארטיני R {\displaystyle R} , עם אידיאל מקסימלי N, הוא ראשי (כלומר, כל האידיאלים שלו ראשיים) אם ורק אם N {\displaystyle N} עצמו ראשי. במקרה זה, כל עוד המנה אינה מתאפסת, הממד של כל N i / N i + 1 {\displaystyle N^{i}/N^{i+1}} מעל שדה השאריות F = R / N {\displaystyle F=R/N} הוא 1. את הסיעוף של R {\displaystyle R} מודד המספר e {\displaystyle e} , כאשר p R = N e {\displaystyle pR=N^{e}} ; החוג נקרא מסועף אם e > 1 {\displaystyle e>1} . חוג מקומי ארטיני ראשי R {\displaystyle R} הוא מנה של תחום הערכה דיסקרטית שלם, W {\displaystyle W} , ויתרה מזו, R {\displaystyle R} אינו מסועף אם ורק אם W {\displaystyle W} אינו מסועף. אם המאפיין של R {\displaystyle R} שווה לזה של F {\displaystyle F} , אז R = F [ x ] / ⟨ x s ⟩ {\displaystyle R=F[x]/\langle x^{s}\rangle } עבור s {\displaystyle s} מתאים. אחרת, המאפיין של F {\displaystyle F} חיובי, ואז קיים חוג הערכה דיסקרטית שלם לא מסועף יחיד V {\displaystyle V} ששדה השאריות שלו הוא F {\displaystyle F} ; במקרה זה R = V [ x ] / ⟨ x s , f ( x ) ⟩ {\displaystyle R=V[x]/\langle x^{s},f(x)\rangle } כאשר f ( x ) ∈ V [ x ] {\displaystyle f(x)\in V[x]} הוא פולינום אייזנשטיין. אם R {\displaystyle R} מסועף באופן מבוית (כלומר e > 1 {\displaystyle e>1} אבל אינו מתחלק במאפיין p {\displaystyle p} של F {\displaystyle F} ) אפשר לדייק יותר: R = V [ x ] / ⟨ x m − p a , x s ⟩ {\displaystyle R=V[x]/\langle x^{m}-pa,x^{s}\rangle } , כאשר a ∈ V × {\displaystyle a\in V^{\times }} והתמונה של a {\displaystyle a} ב- F {\displaystyle F} יחידה עד-כדי כפל בחזקת- m {\displaystyle m} והפעלה של אוטומורפיזם של F {\displaystyle F} . חוג לא קומוטטיבי נקרא מקומי אם יש לו אידיאל שמאלי מקסימלי יחיד; במקרה זה, יש לו גם אידיאל ימני מקסימלי יחיד, ואידיאל מקסימלי זה הוא דו-צדדי. לכן יש לחוג אידיאל מקסימלי יחיד. חוג המנה ביחס אליו הוא חוג עם חילוק. משפט קפלנסקי (כל מודול פרויקטיבי הוא חופשי) מתקיים גם לחוגים מקומיים לא קומוטטיביים. מודול שחוג האנדומורפיזמים שלו הוא מקומי נקרא אי-פריק בחֹזקה (strongly indecomposable). חוג מקומי למחצה Dummit & Foote, Abstract Algebra - second edition חוג מקומי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) חוג מקומי, באתר MathWorld (באנגלית) Kaplansky's theorem