משתנים מקריים חילופיים

בהסתברות ובסטטיסטיקה, סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית X 1 , X 2 , … , X i {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}} , מתקיים כי ההתפלגות המשותפת שלה שמורה תחת כל תמורה. לדוגמה, כאשר i = 3 {\displaystyle i=3} צריך להתקיים: F X 1 X 2 X 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = F X 1 X 2 X 3 ( x 3 , x 1 , x 2 ) {\displaystyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{3},x_{1},x_{2})} , כאשר F X 1 X 2 X 3 {\textstyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}} היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת של X 1 , X 2 , X 3 {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}} ומוגדרת באמצעות, F X 1 X 2 X 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) = Pr ( X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , X 3 ≤ x 3 ) {\displaystyle F_{X_{1}X_{2}X_{3}}(x_{1},x_{2},x_{3})=\Pr(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},X_{3}\leq x_{3})} סדרה של משתנים מקריים חילופיים היא סדרה X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } (סופית או אינסופית) אם לכל תת סדרה סופית X 1 , X 2 , … , X i {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i}} , ולכל תמורה σ {\displaystyle \sigma } על המספרים הטבעיים 1 , … , i {\displaystyle 1,\ldots ,i} מתקיים F X 1 … X i ( x 1 , … , x i ) = F X 1 … X i ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( i ) ) {\textstyle F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{1},\ldots ,x_{i})=F_{X_{1}\ldots X_{i}}(x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (i)})} . סדרה E 1 , E 2 , … {\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots } של מאורעות חילופיים היא סדרה של מאורעות אשר סדרת המשתנים המציינים המתאימים חילופיים. אולב קלנברג סיפק הגדרה של חילופיות לתהליכים סטוכסטיים בזמן רציף. המושג החילופיות הוצג על ידי ויליאם ארנסט ג'ונסון בספרו מ-1924 Logic, Part III: The Logical Foundations of Science . החילופיות שקולה למושג הבקרה הסטטיסטית שהציג וולטר שוארט גם כן ב-1924. תכונת החילופיות קשורה קשר הדוק לשימוש במשתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות (Independent and Identically Distributed - iid). סדרה של משתנים מקריים שהם בלתי-תלויים ושווי-התפלגות, הם דוגמה פשוטה יחסית למשתנים חילופיים. תערובת של סדרות משתנים מקריים חילופיים (ובפרט, סדרות של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות) נותנת סידרה של משתנים חילופיים. ההפך הוא גם נכון עבור סדרות משתנים חילופיים אינסופיות. (המשפט המקורי של דה פינטי הראה שזה נכון עבור משתנים מקריים מציינים. מאוחר יותר הורחב כך שיקיף את כל הסדרות של משתנים מקריים.) נניח שכד מכיל n {\displaystyle n} כדורים אדומים ו m {\displaystyle m} כדורים כחולים. ונניח שמוציאים באקראי מהכד, ללא החזרה, כדור אחרי כדור, עד שהכד ריק. נסמן ב- X i {\displaystyle X_{i}} את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה- i {\displaystyle i} שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה { X i } i = 1 , … , n + m {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n+m}} היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים. נניח שכד מכיל n {\displaystyle n} כדורים אדומים ו m {\displaystyle m} כדורים כחולים. בכל פעם מוציאים באקראי כדור, ומחזירים אותו ועוד כדור באותו צבע לכד. נסמן ב- X i {\displaystyle X_{i}} את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה- i {\displaystyle i} שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה { X i } i ∈ N {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in \mathbb {N} }} היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים. מודל זה נקרא כד פוליה. למשתנים המקריים ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} יש התפלגות נורמלית דו משתנית עם פרמטרים μ = 0 {\displaystyle \mu =0} , σ x = σ y = 1 {\displaystyle \sigma _{x}=\sigma _{y}=1} ומקדם מתאם שרירותי ρ ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle \rho \in (-1,1)} . המשתנים המקריים X {\displaystyle X} ו Y {\displaystyle Y} חילופיים, אבל הם בלתי תלויים רק אם ρ = 0 {\displaystyle \rho =0} . פונקציית הצפיפות היא f X Y ( x , y ) = f X Y ( y , x ) = exp ⁡ ( − x 2 + y 2 − 2 ρ x y 2 ( 1 − ρ 2 ) ) {\displaystyle f_{XY}(x,y)=f_{XY}(y,x)=\exp {\left(-{\frac {x^{2}+y^{2}-2\rho xy}{2(1-\rho ^{2})}}\right)}} Diaconis, Persi (2009). "Book review: Probabilistic symmetries and invariance principles (Olav Kallenberg, Springer, New York, 2005)". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 46 (4): 691–696. doi:10.1090/S0273-0979-09-01262-2. Zabell, S. L. (1992). "Predicting the unpredictable". Synthese. 90 (2): 205. doi:10.1007/bf00485351. S2CID 9416747. Barlow, R. E. & Irony, T. Z. (1992) "Foundations of statistical quality control" in Ghosh, M. & Pathak, P.K. (eds.) Current Issues in Statistical Inference: Essays in Honor of D. Basu, Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 99-112. Bergman, B. (2009) "Conceptualistic Pragmatism: A framework for Bayesian analysis?", IIE Transactions, 41, 86–93 In short, the order of the sequence of random variables does not affect its joint probability distribution.