הלמה של גייל

במתמטיקה, הלמה של גייל היא למה העוסקת בפיזור כללי של נקודות על פני הספירה ה-n-ממדית. הלמה קובעת שלכל n {\displaystyle n} ו- k {\displaystyle k} טבעיים קיימת קבוצה בת 2 k + n {\displaystyle 2k+n} נקודות על פני הספירה כך שכל המיספירה פתוחה בספירה מכילה לפחות k {\displaystyle k} נקודות מהקבוצה. הלמה הוכחה על ידי דייוויד גייל (David Gale) ב-1956. קל לראות שזוהי התוצאה הטובה ביותר שבגדר האפשר. לכל n {\displaystyle n} נקודות בספירה יש מעגל גדול n − 1 {\displaystyle n-1} ממדי שעובר דרך כולן, והוא מחלק את הספירה לשתי המיספרות בנות k {\displaystyle k} נקודות לכל היותר. נוכיח טענה שקולה: קיימות קבוצה של נקודות { x 1 , … , x 2 k + n } {\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{2k+n}\}} ב- R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} כך שבכל חצי מרחב n + 1 {\displaystyle n+1} ממדי שמוגדר על ידי על-מישור העובר דרך הראשית (תת מרחב וקטורי ממעלה n {\displaystyle n} ) יש לפחות k {\displaystyle k} נקודות מהקבוצה. אפשר לתרגם טענה זו ללמה של גייל על ידי הטלה של R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} על ספירת היחידה S n {\displaystyle S^{n}} באמצעות קרניים היוצאת מהראשית (דרך כל נקודה במרחב מעבירים קרן היוצאת מהראשית והנקודה מועתקת לנקודת החיתוך של הקרן עם הספירה). נבנה את הנקודות x 1 , … , x 2 k + n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{2k+n}} . נסתכל על עקום המומנטים ה- n {\displaystyle n} ממדי משוכן בעל-מישור בגובה 1: γ ( t ) = ( 1 , t , t 2 , … , t n ) {\displaystyle \gamma (t)=(1,t,t^{2},\ldots ,t^{n})} . נגדיר: x i = ( − 1 ) i γ ( i ) {\displaystyle x_{i}=(-1)^{i}\gamma (i)} (למעשה יכולנו לבחור כל 2 n + k {\displaystyle 2n+k} נקודות שונות על העקום). יהי h {\displaystyle h} על-מישור העובר דרך הראשית. אנו צריכים להוכיח שבכל צד שלו יש k {\displaystyle k} נקודות לפחות. החיתוך בין h {\displaystyle h} לעל-מישור ( 1 , t 1 , … , t n ) {\displaystyle (1,t_{1},\ldots ,t_{n})} הוא על-מישור n − 1 {\displaystyle n-1} ממדי. על-מישור זה חותך את עקום המומנטים ב- n {\displaystyle n} נקודות לכל היותר (ראו בערך עקום המומנטים). מכאן ש- h {\displaystyle h} חותך את γ {\displaystyle \gamma } ב- n {\displaystyle n} נקודות לכל היותר. אם החיתוך לא מכיל בדיוק n {\displaystyle n} נקודות מתוך A = { γ ( 1 ) , … , γ ( 2 k + n ) } {\displaystyle A=\{\gamma (1),\ldots ,\gamma (2k+n)\}} נזיז את h {\displaystyle h} כך שזה אכן יהיה. נעשה זאת כך: נתייחס אל נקודות החיתוך שכבר יש לנו עם A {\displaystyle A} כציר ונסובב את h {\displaystyle h} ביחס אליו עד ש- h {\displaystyle h} יפגוש נקודה נוספת של A {\displaystyle A} . נחזור על התהליך הזה שוב ושוב עד ש- h {\displaystyle h} יחתוך את γ {\displaystyle \gamma } בדיוק n {\displaystyle n} נקודות. מכיוון שבכל שלב שמרנו על נקודות החיתוך ולקחנו את האיבר הראשון של A {\displaystyle A} שפגשנו, בשום שלב לא העברנו נקודות של A {\displaystyle A} מצד אחד של h {\displaystyle h} לצד השני. לכן מספר הנקודות בכל צד של העל מישור יכל רק לרדת. כמו כן מכיוון שיש n {\displaystyle n} נקודות חיתוך, בהכרח γ {\displaystyle \gamma } עובר מצד אחד של h {\displaystyle h} לצד השני בכל נקודת חיתוך. נסמן את קבוצת n {\displaystyle n} הנקודות החיתוך ב- A on {\displaystyle A_{\text{on}}} ואת קבוצת 2 k {\displaystyle 2k} נקודות A {\displaystyle A} שלא נמצאות על h {\displaystyle h} ב- A off {\displaystyle A_{\text{off}}} . נצבע את נקודות A off {\displaystyle A_{\text{off}}} באופן הבא: נקודה γ ( i ) {\displaystyle \gamma (i)} תהיה שחורה אם i {\displaystyle i} זוגי והנקודה נמצאת מימין ל- h {\displaystyle h} , או אם i {\displaystyle i} אי-זוגי והנקודה נמצאת משמאל ל- h {\displaystyle h} . בהתאמה נקודה היא לבנה אם i {\displaystyle i} זוגי והנקודה משמאל ל- h {\displaystyle h} , או אם i {\displaystyle i} אי-זוגי והנקודה מימין ל- h {\displaystyle h} . נבחין כי שתי נקודות סמוכות ב- A off {\displaystyle A_{\text{off}}} הן בצבעים שונים: אם בין a 1 , a 2 ∈ A off {\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{\text{off}}} סמוכות יש מספר זוגי של נקודות מ- A on {\displaystyle A_{\text{on}}} , אז הן באותו הצד ועם זוגיות שונה, ולכן צבעים שונים. ואם מפרידים ביניהן מספר אי-זוגי של נקודות מ- A on {\displaystyle A_{\text{on}}} הן בצדדים שונים ומאותה זוגיות ולכן בצבעים שונים. מכיוון שהצבע מתחלף בין שתי נקודות סמוכות, יש בדיוק k {\displaystyle k} נקודות שחורות ובדיוק k {\displaystyle k} נקודות לבנות. אם γ ( i ) {\displaystyle \gamma (i)} נקודה שחורה, אז או שהיא מימין ל- h {\displaystyle h} ו- i {\displaystyle i} זוגי ולכן x i = γ ( i ) {\displaystyle x_{i}=\gamma (i)} מימין ל- h {\displaystyle h} . או שהיא משמאל ל- h {\displaystyle h} ו- i {\displaystyle i} אי-זוגי ולכן x i = − γ ( i ) {\displaystyle x_{i}=-\gamma (i)} מימין ל- h {\displaystyle h} . קיבלנו שכל הנקודות השחורות מתאימות ל- x i {\displaystyle x_{i}} מימין ל- h {\displaystyle h} , ובאופן דומה כל הנקודות הלבנות מתאימות ל- x i {\displaystyle x_{i}} משמאל ל- h {\displaystyle h} , ולכן יש בדיוק k {\displaystyle k} נקודות מבין { x 1 , … , x 2 k + n } {\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{2k+n}\}} בכל צד של h {\displaystyle h} . נזכור שהזזנו את h {\displaystyle h} באופן שהחסיר נקודות מהצדדים, ולכן יש לפחות k {\displaystyle k} נקודות בכל צד של h {\displaystyle h} המקורית.