מסנן Raised cosine

מסנן Raised cosine הוא מסנן (אנ') בשימוש תדיר בעיצוב פולסים בתקשורת דיגיטלית עקב יכולתו למזער את תופעת הפרעה-בין-סימנים (Intersymbol Interference). שמו של המסנן נובע מהעובדה כי החלק הלא מאופס שלו בספקטרום בצורתו הפשוטה ביותר ( β = 1 {\displaystyle \beta =1} ) היא פונקציית קוסינוס, 'מורמת' לשבת מעל ציר התדר ( f {\displaystyle f}  האופקי). מסנן raised-cosine הוא יישום של מסנן נייקוויסט (אנ') מעביר נמוכים. משמעות הדבר שהספקטרום שלו אי-זוגי סביב  1 2 T {\displaystyle {\frac {1}{2T}}} , כאשר  T {\displaystyle T}  מסמל את קבוע הזמן של מערכת התקשורת (אורך הסימבול). הייצוג שלו בציר התדר נתון על ידי פונקציה מחולקת: H ( f ) = { T , | f | ≤ 1 − β 2 T T 2 [ 1 + cos ⁡ ( π T β [ | f | − 1 − β 2 T ] ) ] , 1 − β 2 T < | f | ≤ 1 + β 2 T 0 , otherwise {\displaystyle H(f)={\begin{cases}T,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {T}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} לכל 0 ≤ β ≤ 1 {\displaystyle 0\leq \beta \leq 1} והוא מאופיין על ידי שני ערכים; β {\displaystyle \beta } , פקטור roll-off, ו- T {\displaystyle T} , זמן סימבול. תגובת ההלם של מסנן כזה נתונה על ידי: h ( t ) = { π 4 s i n c ( 1 2 β ) , t = ± T 2 β s i n c ( t T ) cos ⁡ ( π β t T ) 1 − ( 2 β t T ) 2 , otherwise {\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4}}\;\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}} במונחים של פונקציית sinc מנורמלת. פקטור ה-Roll off,  β {\displaystyle \beta } , הוא אמצעי מדידה של "רוחב פס עודף" של המסנן, כלומר רוחב הפס התפוס מעבר לתדר נייקוויסט שהוא  1 2 T {\displaystyle {\frac {1}{2T}}} . יש מחברים המשתמשים בסימון  α = β {\displaystyle \alpha =\beta } . אם רוחב הפס העודף מסומן כ- Δ f {\displaystyle \Delta f}  אז: β = Δ f ( 1 2 T ) = Δ f R S / 2 = 2 T Δ f {\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\Delta f} כאשר  R S = 1 T {\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}} הוא קצב הסימבול. הגרף מראה את תגובת המשרעת ככל ש- β {\displaystyle \beta }  נע בין 0 ל-1, ואת התגובה המקבילה בתגובת ההלם. כפי שניתן לראות, בתחום הזמן, ככל ש- β {\displaystyle \beta }  קטן, כך הגליות בתחום הזמן גדלה. זה מראה כי עודף רוחב הפס של מסנן יכול להיות מופחת, אבל רק על חשבון תגובת הלם מוארכת. ככל ש- β {\displaystyle \beta }  שואף ל-0, אזור ה-Roll-off הופך להיות צר יותר ולכן: lim β → 0 H ( f ) = r e c t ( f T ) {\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\mathrm {rect} (fT)} כאשר  r e c t ( . ) {\displaystyle \mathrm {rect} (.)} היא פונקציית המלבן, אז תגובת התדר מתקרבת ל־ s i n c ( t T ) {\displaystyle \mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)} . לפיכך, הוא ישאף למסנן מלבני אידיאלי במקרה זה. כאשר β = 1 {\displaystyle \beta =1} , החלק שאינו אפס של הספקטרום הוא raised-cosine טהור (קוסינוס מורם), המוביל לפישוט: H ( f ) | β = 1 = { T 2 [ 1 + cos ⁡ ( π f T ) ] , | f | ≤ 1 T 0 , otherwise {\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {T}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{matrix}}\right.} רוחב הפס של המסנן, מוגדר לרוב על ידי רוחב האזור הלא-מאופס של הספקטרום, כלומר: B W = R S ( β + 1 ) {\displaystyle BW=R_{S}(\beta +1)} כאשר נעשה שימוש כדי לסנן זרם סימבולים, למסנן נייקוויסט יש תכונה של ביטול הפרעה בין סימנים (ISI), מפני שתגובתו להלם היא אפס לכל  n T {\displaystyle nT} (כאשר  n {\displaystyle n} הוא מספר טבעי), פרט ל־ n = 0 {\displaystyle n=0} . לכן, אם הגל המועבר נדגם כראוי במקלט, הסימבול המקורי יכול להיות משוחזר בשלמותו.