קוהומולוגיה מקומית

באלגברה קומוטטיבית, קוהומולוגיה מקומית (Local Cohomology) היא הפונקטור הנגזר של פונקטור הפיתול ביחס לאידיאל. בהינתן חוג קומוטטיבי A {\displaystyle A} ואידיאל I ⊊ A {\displaystyle I\subsetneq A} , פונקטור ה- I {\displaystyle I} -פיתול הוא תת-הפונקטור של פונקטור הזהות של Mod ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Mod} (A)} המוגדר על ידי הנוסחה: Γ I ( M ) := lim → n ⁡ Hom A ⁡ ( A / I n , M ) = { m ∈ M ∣ ∃ n , I n ⋅ m = 0 } {\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\varinjlim _{n}\operatorname {Hom} _{A}(A/I^{n},M)=\{m\in M\mid \exists n,I^{n}\cdot m=0\}} . ניתן להראות כי פונקטור זה הוא אדיטיבי ומדויק משמאל, ולכן יש עניין בבניית הפונקטור הנגזר הימני שלו. הפונקטור הנגזר הטוטאלי הנ"ל הוא פונקטור R Γ I : D ( Mod ⁡ A ) → D ( Mod ⁡ A ) {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma _{I}:D(\operatorname {Mod} A)\to D(\operatorname {Mod} A)} מהקטגוריה הנגזרת של מודולים מעל A {\displaystyle A} לעצמה. הוא מחושב על ידי החלפת מודול (או קומפלקס) ברזולוציה אינג'קטיבית שלו, והפעלת פונקטור הפיתול על הרזולוציה. הקוהומולוגיות של פונקטור זה, נותנות את הפונקטור הנגזר הימני הקלאסי שלו, המסומן על ידי H I n ( M ) := H n ( R Γ I ( M ) ) {\displaystyle \mathrm {H} _{I}^{n}(M):=\mathrm {H} ^{n}\left(\mathrm {R} \Gamma _{I}(M)\right)} . ונקרא הקוהומולוגיה המקומית ה- n {\displaystyle n} של M {\displaystyle M} ביחס לאידיאל I {\displaystyle I} . לעיתים פונקטור זה מכונה גם פונקטור הקוהמולוגיה עם תמיכה ב- I {\displaystyle I} , או קוהומולוגיה עם תמיכה ב- V ( I ) {\displaystyle V(I)} . הקוהומולוגיה המקומית מעניינת במיוחד במקרה בו החוג מעליו היא מוגדרת הוא נתרי, ובמיוחד במקרה בו מדובר בחוג מקומי וקוהומולוגיה מקומית ביחס לאידיאל המקסימלי. בהינתן חוג נתרי מקומי ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} , ובהינתן מודול M {\displaystyle {\ce {M}}} מעל A {\displaystyle A} , אלכסנדר גרותנדיק הראה את התכונות הבאות של קוהומולוגיה מקומית: לכל i > dim ⁡ ( M ) {\displaystyle i>\dim(M)} מתקיים ש H m i ( M ) = 0 {\displaystyle \mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0} , כאשר dim ⁡ ( M ) {\displaystyle \dim(M)} מסמל את ממד קרול של M {\displaystyle M} . מתקיים inf { n ∈ N ∣ H m n ( M ) ≠ 0 } = depth ⁡ ( M ) {\displaystyle \inf\{n\in \mathbb {N} \mid \mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0\}=\operatorname {depth} (M)} כאשר depth ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {depth} (M)} , העומק של M {\displaystyle M} , מסמל את אורכה הארוך ביותר של סדרה M {\displaystyle M} -רגולרית המורכבת מאיברים המוכלים ב אידיאל המקסימלי m {\displaystyle {\mathfrak {m}}} . תחת ההנחה שהמודול M {\displaystyle M} הוא נוצר סופית, גרותנדיק הראה בנוסף כי sup { n ∈ N ∣ H m n ( M ) ≠ 0 } = dim ⁡ ( M ) {\displaystyle \sup\{n\in \mathbb {N} \mid \mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0\}=\dim(M)} שוב, בהנחה כי M {\displaystyle M} נוצר סופית, מתקיים כי מודולי הקוהומולוגיה המקומית H m n ( M ) {\displaystyle \mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{n}(M)} הם כולם ארטיניים. מסקנה מיידית מתכונות אלו היא שמודול נוצר סופית M {\displaystyle M} הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקומפלקס R Γ m ( M ) {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)} הוא הזזה של מודול. באופן כללי יותר, אם M {\displaystyle M} הוא קומפלקס חסום עם קוהומולוגיה נוצרת סופית, אז M {\displaystyle M} נקרא כהן-מקולי אם הקומפלקס R Γ m ( M ) {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)} הוא הזזה של מודול. על פי ההגדרה, על מנת לחשב קוהומולוגיה מקומית של מודול M {\displaystyle M} , יש להחליפו ברזולוציה אינג'קטיבית, ולהפעיל עליה את הפונקטור Γ I ( − ) {\displaystyle \Gamma _{I}(-)} . במקרה שבו החוג A {\displaystyle A} הוא חוג נתרי, דרך אלנטרנטיבית לחשב את הקוהומולוגיה המקומית היא בעזרת קומפלקס צ'ך. בהינתן חוג נתרי A {\displaystyle A} , ואידיאל I {\displaystyle I} , בוחרים סדרה כלשהי של יוצרים I = ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle I=(a_{1},\dots ,a_{n})} . לכל אחד מאיברי הסדרה הזו, מייחסים את קומפלקס צ'ך: K ( A ; a i ) = 0 → A → A [ a i − 1 ] → 0 {\displaystyle K(A;a_{i})=0\to A\to A[a_{i}^{-1}]\to 0} המרוכז בדרגות קוהומולוגיות 0,1. לסדרה כולה, יש קומפלקס צ'ך המוגדר על ידי: K ( A ; a 1 , … , a n ) := K ( A ; a 1 ) ⊗ A K ( A ; a 2 ) ⊗ A ⋯ ⊗ A K ( A ; a n ) {\displaystyle K(A;a_{1},\dots ,a_{n}):=K(A;a_{1})\otimes _{A}K(A;a_{2})\otimes _{A}\dots \otimes _{A}K(A;a_{n})} . בעזרת קומפלקס זה, ותחת ההנחה שהחוג A {\displaystyle A} הוא נתרי, מתקיים כי R Γ I ( M ) ≅ K ( A ; a 1 , … , a n ) ⊗ A M {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma _{I}(M)\cong K(A;a_{1},\dots ,a_{n})\otimes _{A}M} אם החוג A {\displaystyle A} אינו נתרי, ייתכן כי נוסחה זו תהיה שגויה. במקרים כאלו, ההתנהגות של הקוהומולוגיה המקומית היא גרועה במיוחד, ויש פונקטורים טובים יותר המחליפים אותה, בעלי תכונות טוב יותר. אם החוג A {\displaystyle A} הוא נתרי, קיימת דרך נוספת לבנות את פונקטור הקוהומולוגיה המקומית. בהינתן אידיאל I ⊊ A {\displaystyle I\subsetneq A} , קומפלקס שרשרת M {\displaystyle M} נקרא קומפלקס עם קוהמולוגיה I {\displaystyle I} -פיתולית אם לכל n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , המודול H n ( M ) {\displaystyle \mathrm {H} ^{n}(M)} מקיים את השוויון Γ I ( H n ( M ) ) = H n ( M ) {\displaystyle \Gamma _{I}\left(\mathrm {H} ^{n}(M)\right)=\mathrm {H} ^{n}(M)} , כלומר אם כל איברי הקוהומולוגיות של M {\displaystyle M} הם מודולים I {\displaystyle I} -פיתוליים. אוסף כל קומפלקסי השרשרת בעלי קוהומולוגיה I {\displaystyle I} -פיתולית מהווה תת-קטגוריה משולשית (Triangulated) של הקטגוריה הנגזרת D ( A ) {\displaystyle D(A)} . נסמן קטגוריה זו ב D ( A ) I − t o r {\displaystyle D(A)_{I-tor}} . ניתן להראות כי לפונקטור ההכלה Q : D ( A ) I − t o r → D ( A ) {\displaystyle Q:D(A)_{I-tor}\to D(A)} קיים פונקטור צמוד מימין G : D ( A ) → D ( A ) I − t o r {\displaystyle G:D(A)\to D(A)_{I-tor}} ההרכבה Q ∘ G : D ( A ) → D ( A ) {\displaystyle Q\circ G:D(A)\to D(A)} היא פונקטור, שבמקרה שבו A {\displaystyle A} הוא חוג נתרי, ניתן להראות שהוא איזומורפי בצורה טבעית לפונקטור הקוהומולוגיה המקומית R Γ I {\displaystyle \mathrm {R} \Gamma _{I}} . במקרים בהם A {\displaystyle A} אינו נתרי, ייתכן שפונקטורים אלו יתנו תוצאות שונות. מתברר כי במקרים אלו, לפונקטור Q ∘ G {\displaystyle Q\circ G} יש לעיתים תכונות טובות יותר מלפונקטור הקוהומולוגיה המקומית, ולכן הוא מהווה במובן מסוים פונקטור קוהומולוגיה מקומית טוב יותר. *Brodman, M. P.; Sharp, R. Y. (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications (2nd ed.), Cambridge University Press Book review by Hartshorne