משפט המספרים הראשוניים

בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב- π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על x {\displaystyle x} (פונקציית המספרים הראשוניים). משפט המספרים הראשוניים קובע כי π ( x ) ∼ x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}} (כאשר ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} הוא הלוגריתם הטבעי, והטילדה היא סימון אסימפטוטי), כלומר, כאשר x {\displaystyle x} גדול מספיק, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על x {\displaystyle x} הוא (בקירוב סביר) x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}} . את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי אדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת. גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין π ( x ) , x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x),{\frac {x}{\ln(x)}}} חסום בין 0.25 {\displaystyle 0.25} ל- 4 {\displaystyle 4} . צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין 7 8 {\displaystyle {\tfrac {7}{8}}} ל- 9 8 {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}} , ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, אדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את תוצאתו של צ'בישב, כבדרך אגב). שיטתו של רימן, שעליה בנויות כל ההוכחות האנליטיות למשפט המספרים הראשוניים, מוליכה באופן טבעי לקירוב π ( x ) ∼ Li ( x ) {\displaystyle \pi (x)\sim {\text{Li}}(x)} , כאשר Li ( x ) = ∫ 2 x d t ln ⁡ ( t ) {\displaystyle {\text{Li}}(x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}} היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי. מבחינת אסימפטוטיקה(אנ') מסדר ראשון אין הבדל בין הקירוב הזה למנה x ln ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}} , משום שהיחס בין שתיהן שואף ל-1. עם זאת, גורם השגיאה במשפט המספרים הראשוניים הוא מוקד עניין מרכזי בתורת המספרים (ראו השערת רימן), והקירוב באמצעות האינטגרל הלוגריתמי ההפוך טוב בהרבה. רימן וגאוס האמינו שלכל ערך גדול מספיק של x {\displaystyle x} מתקיים π ( x ) < Li ( x ) {\displaystyle \pi (x)<{\text{Li}}(x)} , והנתונים המספריים הידועים תומכים כולם בהשערה כזו. אלא שליטלווד הראה כי כיוון האי-שוויון בין שתי הפונקציות מתהפך אינסוף פעמים. סטנלי סקיוז הוכיח ב-1933 שהמקום הראשון שבו ההיפוך הזה קורה הוא לפני המספר העצום 10 10 10 34 {\displaystyle 10^{10^{10^{34}}}} (וגם זאת בהנחה שהשערת רימן נכונה; ללא ההשערה הוא הוכיח ב-1955 את החסם 10 10 10 963 {\displaystyle 10^{10^{10^{963}}}} ). מאז השתפר החסם כמה פעמים, והוא עמד בשנת 2000 על 1.4 ⋅ 10 316 {\displaystyle 1.4\cdot 10^{316}} (Bays-Hudson). מאידך, Rosser ו-Schonenfeld הוכיחו ב-1962 שלכל x ≥ 17 {\displaystyle x\geq 17} מתקיים x ln ⁡ ( x ) ≤ π ( x ) {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)} . את הפונקציה Li ( x ) {\displaystyle {\text{Li}}(x)} אפשר לקרב באמצעות סכומים סופיים מהצורה Li ( x ) ≈ x ln ⁡ ( x ) ∑ k = 0 n k ! ln ⁡ ( x ) k = x ln ⁡ ( x ) ( 1 + 1 ! ln ⁡ ( x ) + 2 ! ln ⁡ ( x ) 2 + ⋯ + n ! ln ⁡ ( x ) n ) {\displaystyle {\text{Li}}(x)\approx {\frac {x}{\ln(x)}}\sum _{k\,=\,0}^{n}{\frac {k!}{\ln(x)^{k}}}={\frac {x}{\ln(x)}}\left(1+{\frac {1!}{\ln(x)}}+{\frac {2!}{\ln(x)^{2}}}+\cdots +{\frac {n!}{\ln(x)^{n}}}\right)} טבלה המשווה את הפונקציות: ניתן גם לראות על פי המשפט כי lim n → ∞ g n p n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0} , כאשר g n {\displaystyle g_{n}} מייצג את הרווח בין המספרים הראשוניים g n = p n + 1 − p n {\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}} . מסמנים π k ( x ) {\displaystyle \pi _{k}(x)} את מספרם של המספרים הקטנים מ- x {\displaystyle x} שיש להם בדיוק k {\displaystyle k} גורמים ראשוניים. גאוס שיער כי π k ( x ) ∼ x ln ⁡ ( ln ⁡ ( x ) ) k − 1 ( k − 1 ) ! ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi _{k}(x)\sim {\frac {x\ln(\ln(x))^{k-1}}{(k-1)!\ln(x)}}} . השערה זו הוכחה על ידי לנדאו ב-1900. על הפונקציה ω ( n ) {\displaystyle \omega (n)} הסופרת כמה גורמים ראשוניים שונים יש למספר n {\displaystyle n} , ידוע שליחס ω ( n ) − log ⁡ ( log ⁡ ( n ) ) log ⁡ ( log ⁡ ( n ) ) {\displaystyle {\frac {\omega (n)-\log(\log(n))}{\sqrt {\log(\log(n))}}}} יש התפלגות נורמלית סטנדרטית כאשר n {\displaystyle n} נבחר באקראי מהמספרים הקטנים מ- N {\displaystyle N} , ו- N {\displaystyle N} שואף לאינסוף (זהו משפט של ארדש ו-Kac מ-1940; הארדי ורמנוג'אן הוכיחו שהיחס חסום). משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל- x {\displaystyle x} . בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו x {\displaystyle x} ומתחיל ב- y {\displaystyle y} , כלומר את π ( y + x ) − π ( y ) {\displaystyle \pi (y+x)-\pi (y)} , במיוחד כאשר x {\displaystyle x} אינו גדול ביחס ל-y. האתגר הוא להוכיח את הקירוב π ( y + x ) − π ( y ) ∼ x log ⁡ ( y ) {\displaystyle \pi (y+x)-\pi (y)\sim {\frac {x}{\log(y)}}} כאשר x קטן יחסית. אם x = λ y {\displaystyle x=\lambda y} תוצאה זו נובעת מן המשפט. השערת רימן, השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור x = y log ⁡ ( y ) {\displaystyle x={\sqrt {y}}\log(y)} . ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור x = y 7 / 11 {\displaystyle x=y^{7/11}} . סלברג הוכיח את הקירוב עבור x = log ⁡ ( y ) 2 {\displaystyle x=\log(y)^{2}} כמעט לכל y {\displaystyle y} , אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל y {\displaystyle y} . כתוצאה ממשפט המספרים הראשוניים, מתקבל ביטוי אסימפטוטי עבור המספר הראשוני ה- n {\displaystyle n} -י: p n ≈ n ln ⁡ ( n ) {\displaystyle p_{n}\approx n\ln(n)} (היחס בין הביטויים שואף ל-1). את הקירוב אפשר לשפר p n = n ln ⁡ ( n ln ⁡ ( n ) ) + n ln ⁡ ( n ) ( ln ⁡ ( ln ⁡ ( n ) ) − ln ⁡ ( n ) − 2 ) − n ln ⁡ ( ln ⁡ ( n ) ) 2 ln ⁡ ( n ) 2 ( ln ⁡ ( ln ⁡ ( n ) ) − 6 ) + O ( n ln ⁡ ( n ) 2 ) {\displaystyle p_{n}=n\ln(n\ln(n))+{\frac {n}{\ln(n)}}{\bigl (}\ln(\ln(n))-\ln(n)-2{\bigr )}-{\frac {n\ln(\ln(n))}{2\ln(n)^{2}}}{\bigl (}\ln(\ln(n))-6{\bigr )}+O\left({\frac {n}{\ln(n)^{2}}}\right)} לפי משפט רוסר (Rosser) מתקיים p n > n ln ⁡ ( n ) {\displaystyle p_{n}>n\ln(n)} לכל n {\displaystyle n} ; למעשה מתקיים עבור n ≥ 6 {\displaystyle n\geq 6} האי-שוויון n ( ln ⁡ ( n ln ⁡ ( n ) ) − 1 ) < p n < n ln ⁡ ( n ln ⁡ ( n ) ) {\displaystyle n{\bigl (}\ln(n\ln(n))-1{\bigr )}<p_{n}<n\ln(n\ln(n))} אף על פי שמשפט המספרים הראשוניים הוכח בסוף המאה ה-19, היו מתמטיקאים שחשו חוסר נחת לגבי ההוכחה, שהשתמשה בכלים מתורת הפונקציות המרוכבות – שממבט ראשון אינה שייכת לעניין – וחיפשו הוכחה ישירה יותר. ב-1948 הצליח אטלה סלברג להוכיח את הקירוב ∑ p < x ln ⁡ ( p ) 2 + ∑ p q < x ln ⁡ ( p ) ln ⁡ ( q ) = 2 x ln ⁡ ( x ) + O ( x ) {\displaystyle \sum _{p<x}\ln(p)^{2}+\sum _{pq<x}\ln(p)\ln(q)=2x\ln(x)+O(x)} . תוך זמן קצר מצאו סלברג ופאול ארדש דרך להוכיח מאי-שוויון זה את משפט המספרים הראשוניים, באופן אלמנטרי (כלומר, כזה שאינו משתמש בתורת הפונקציות המרוכבות). אף על פי שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה. שני המתמטיקאים היו שונים זה מזה באופיים באופן כמעט קיצוני: ארדש ראה במתמטיקה פעילות קהילתית, וכתב בימי חייו עם כ-500 מחברים-שותפים. סלברג, שהעדיף בניית תאוריה על פתרון בעיות, כתב את כל מאמריו לבדו (למעט אחד, שנכתב עם Sarvadaman Chowla וביוזמתו). ארדש, שהיה מבוגר בכמה שנים והידוע יותר מבין השניים, ראה בהוכחה הישג משותף, והציע לפרסם ב-Annals of Mathematics שני מאמרים: בראשון יתאר סלברג את האי-שוויון שלו, ובשני יסבירו שניהם כיצד אפשר להסיק ממנו שהיחס בין שני ראשוניים עוקבים שואף ל-1, וכיצד אפשר להסיק מטענה זו את משפט המספרים הראשוניים. הרמן וייל, שהעדיף את סגנונו התאורטי של סלברג, מנע את קבלת המאמר המשותף ל-Annals, שפרסם בסופו של דבר הוכחה שכתב סלברג ועקפה את תרומתו של ארדש. המחלוקת בשאלה מי אחראי להוכחה האלמנטרית – סלברג לבדו או סלברג וארדש – לא שככה עוד זמן רב אחר-כך. The Elementary Proof of the Prime Number Theorem, J. Spencer and R. Graham, The Mathematical Intelligencer, Vol. 31(3), 2009. משפט המספרים הראשוניים, באתר MathWorld (באנגלית) סרטון בנושא משפט המספרים הראשוניים מבית Numberphile סרטון בנושא משפט המספרים הראשוניים מבית אקדמיית קהאן (Khan Academy) משפט המספרים הראשוניים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) The Little Book of Big Primes, P. Ribenboim, p. 162 Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.20, 5th edition, 1979. להסבר הסימון O בנוסחה, ראו סימון אסימפטוטי.