נגזרת (אלגברה)

באלגברה, נגזרת פורמלית (או סתם נגזרת) היא פונקציה אדיטיבית   D : R → R {\displaystyle \ D:R\rightarrow R} מחוג R {\displaystyle R} אל עצמו, המקיימת את חוק לייבניץ לנגזרת של המכפלה,   D ( a b ) = a D ( b ) + D ( a ) b {\displaystyle \ D(ab)=aD(b)+D(a)b} . הנגזרת הרגילה, כמו גם נגזרות כיווניות, מהוות נגזרת פורמלית. אם הגזירה היא מעל שדה, נהוג לדרוש בנוסף שתהווה העתקה ליניארית, דהיינו, בנוסף לדרישת האדיטיביות נדרשת גם ההומוגניות. אם   D 1 , D 2 {\displaystyle \ D_{1},D_{2}} נגזרות של חוג R, אז גם סוגרי לי שלהן   [ D 1 , D 2 ] = D 1 ∘ D 2 − D 2 ∘ D 1 {\displaystyle \ [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}} היא נגזרת. עובדה זו הופכת את אלגברת הנגזרות   Der ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {Der} (R)} (שאבריה הם הנגזרות של R) לאלגברת לי, ומקשרת את תורת המבנה של חוגים כלליים (לרבות לא אסוציאטיביים) לתורת המבנה של אלגברות לי. דוגמה לנגזרת פורמלית היא הפונקציה הגוזרת פולינומים לפי הכללים הרגילים של חשבון דיפרנציאלי, כלומר: D ( a 0 + a 1 x + a 2 x 2 . . . + a n x n ) = a 1 + 2 a 2 x + . . . + n a n x n − 1 {\displaystyle D(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}...+a_{n}x^{n})=a_{1}+2a_{2}x+...+na_{n}x^{n-1}} . זוהי נגזרת פורמלית על חוג הפולינומים R = K [ x ] {\displaystyle R=K[x]} באשר K הוא שדה. הנגזרת הפורמלית של הפולינומים שימושית בתורת גלואה: פולינום אי-פריק הוא פולינום ספרבילי אם ורק אם הנגזרת שלו אינה מתאפסת. מחוק לייבניץ נובע, באינדוקציה, ש-   D n ( a b ) = ∑ k = 0 n ( n k ) D k ( a ) D n − k ( b ) {\displaystyle \ D^{n}(ab)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}D^{k}(a)D^{n-k}(b)} . תכונות רבות בהן ניחנה הנגזרת המוכרת בחוג פונקציות גזירות, נשמרות עבור נגזרות פורמליות. בין היתר, מתקיימות שתי התכונות הבסיסיות הבאות D ( 1 ) = 0 {\displaystyle D(1)=0} כאשר 1 , 0 {\displaystyle 1,0} הם איבר האפס ואיבר היחידה בחוג (בהאתמה). בתנאי שהחוג הוא תחום שלמות, הנגזרת מקיימת את כלל המנה הידוע. כלומר, לכל שני איברים בחוג x , y {\displaystyle x,y} עבורם המנה x y {\displaystyle {\frac {x}{y}}} מוגדרת, ניתן להרחיב את הנגזרת לנגזרת של שדה השברים של החוג באופן יחיד, כך שיתקיים D ( x y ) = D ( x ) y − D ( y ) x y 2 {\displaystyle D{\Bigl (}{\frac {x}{y}}{\Bigr )}={\frac {D(x)y-D(y)x}{y^{2}}}} . יהי A חוג, עם נגזרת D : A → A {\displaystyle D:A\rightarrow A} . איבר שהנגזרת שלו היא אפס נקרא סקלר. הנגזרת מגדירה את חוג הסקלרים K = { a ∈ A : D ( a ) = 0 } {\displaystyle K=\{a\in A:D(a)=0\}} , שהוא אכן תת-חוג עם יחידה של A (ואפילו סגור רציונלית: ההפכי של סקלר שהוא הפיך ב-A הוא בעצמו סקלר). התוצאה היא שאפשר לראות את A כאלגברה מעל חוג הסקלרים, והנגזרת מקיימת את החוק   D ( α x ) = α D ( x ) {\displaystyle \ D(\alpha x)=\alpha D(x)} לכל סקלר   α {\displaystyle \ \alpha } . נניח, אם כן, ש-A אלגברה קומוטטיבית מעל שדה K. מסמנים ב- Der K ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A)} את האלגברה של הנגזרות של A שכל אברי K הם סקלרים שלהן. זהו מודול מעל A, לפי הפעולה ( a δ ) ( x ) = a δ ( x ) {\displaystyle (a\delta )(x)=a\delta (x)} . חוג האופרטורים הדיפרנציאליים הוא תת-החוג   Δ ( A ) {\displaystyle \ \Delta (A)} של   End K ⁡ ( A ) {\displaystyle \ \operatorname {End} _{K}(A)} הנוצר על ידי A ועל ידי הנגזרות Der K ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A)} ; בתור מודולים מעל   Δ ( A ) {\displaystyle \ \Delta (A)} , אפשר לפרק   Δ ( A ) = A ⊕ Δ ( A ) Der K ⁡ ( A ) {\displaystyle \ \Delta (A)=A\oplus \Delta (A)\operatorname {Der} _{K}(A)} . בניה זו מכלילה את הדוגמה החשובה של אלגברת וייל, שהיא   A n ( K ) = Der K ⁡ ( K [ x 1 , … , x n ] ) {\displaystyle \ A_{n}(K)=\operatorname {Der} _{K}(K[x_{1},\dots ,x_{n}])} . כפי שגוזרים אלגברה קומוטטיבית A עם ערכים ב-A, אפשר לגזור את A עם ערכים בכל מודול M מעל A (נגזרת כזו היא פונקציה אדיטיבית   D : A → M {\displaystyle \ D:A\rightarrow M} המקיימת את האקסיומה   D ( a b ) = a D ( b ) + D ( a ) b {\displaystyle \ D(ab)=aD(b)+D(a)b} ). גם אוסף הנגזרות האלה,   Der K ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \ \operatorname {Der} _{K}(A,M)} , הוא מודול מעל A. מודול הדיפרנציאלים (האוניברסלי) הוא המודול   Ω {\displaystyle \ \Omega } הנוצר באופן חופשי על ידי הסמלים   d a {\displaystyle \ da} לכל   a ∈ A {\displaystyle \ a\in A} , מודולו היחסים   d α = d ( a + b ) − d a − d b = d ( a b ) − a ( d b ) − b ( d a ) = 0 {\displaystyle \ d\alpha =d(a+b)-da-db=d(ab)-a(db)-b(da)=0} לכל   α ∈ K {\displaystyle \ \alpha \in K} ולכל   a , b ∈ A {\displaystyle \ a,b\in A} . הפונקציה   d : A → Ω {\displaystyle \ d:A\rightarrow \Omega } המוגדרת לפי   d ( a ) = d a {\displaystyle \ d(a)=da} היא אכן גזירה; וכל גזירה עם מקדמים במודול M מתפצלת דרכה באופן יחיד. למעשה, לכל מודול M יש איזומורפיזם Hom A ⁡ ( Ω ( A ) , M ) → ≅ Der K ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{A}(\Omega (A),M){\stackrel {\cong }{\rightarrow }}\operatorname {Der} _{K}(A,M)} , ובפרט Der K ⁡ ( A ) ≅ Hom A ⁡ ( Ω ( A ) , A ) {\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A)\cong \operatorname {Hom} _{A}(\Omega (A),A)} . מכאן ברורה החשיבות של   Ω = Ω ( A ) {\displaystyle \ \Omega =\Omega (A)} בהבנת הנגזרות של A. במקרה שבו A הוא חוג הפונקציות על יריעה, מודול הדיפרנציאלים   Ω = Ω ( A ) {\displaystyle \ \Omega =\Omega (A)} משחק תפקיד יסודי בגישה האלגברית לגאומטריה דיפרנציאלית. McConnel-Robson, Noncommutative Noetherian Rings, פרק 15. אלגברה דיפרנציאלית