פונקציית בחירה חברתית

פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים היא פונקציה המקבלת כקלט את יחסי ההעדפות של הבוחרים בבחירה חברתית ומחזירה כפלט את המועמד הנבחר או האלטרנטיבה הנבחרת. במקרים רבים החברה אינה צריכה לדרג את כל האפשרויות לפי סדר, אלא לבחור באפשרות אחת. לאפשרות זו נקרא מעתה האפשרות העדיפה על החברה כולה. זה המצב, למשל, בבחירות לנשיאות, לנציג לקונגרס או לראשות ועד, או בחירת המהלך המדיני או הכלכלי "הטוב ביותר" (לדעת קבוצת המחליטים). השאלה היא האם ניתן להתאים לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, האפשרות העדיפה על החברה כולה, כך שמצד אחד שיטת הבחירה תקיים תכונות רצויות, ומצד שני לא תהיה דיקטטורית. פונקציית בחירה חברתית בתורת המשחקים, היא פונקציה שמטרתה לבחור את המועמד המועדף על כלל הבוחרים מבין האפשרויות הנתונות. פונקציית בחירה חברתית מתאימה לכל פרופיל העדפות חזקות אפשרות אחת, שתיקרא "האפשרות העדיפה" על החברה. בפרט, על פי הגדרה זו אין אפשרות שהחברה תבחר בשתי אפשרויות שונות כעדיפות. דוגמאות לפונקציה שכזו ניתן לראות למשל בבחירות לראשות הממשלה, בבחירות לנציגות גוף מסוים, בסקר על אבקת כביסה יעילה ביותר וכדומה. תהי A {\displaystyle A} קבוצת האפשרויות, או המועמדים לבחירה, ותהי N = { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle N=\{1,2,\cdots ,n\}} קבוצת הבוחרים. יחס העדפות על קבוצת האפשרויות A {\displaystyle A} הוא יחס סדר חזק. את קבוצת יחסי ההעדפות החזקים על A {\displaystyle A} מסמנים ב P ( A ) {\displaystyle P\left(A\right)} , והעדפה חזקה של a {\displaystyle a} על b {\displaystyle b} לפי יחס הסדר P i {\displaystyle P_{i}} מסמנים ב a > P i b {\displaystyle a>_{P_{i}}b} . לכל בוחר i {\displaystyle i} יש יחס העדפות P i {\displaystyle P_{i}} על קבוצת האפשרויות A {\displaystyle A} . רשימת יחסי ההעדפות החזקות של כל הבוחרים נקראת בשם פרופיל העדפות חזקות, והיא תסומן ב P = { P 1 , ⋯ , P n } {\displaystyle P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}} . פונקציית בחירה חברתית היא פונקציה F : P ( A ) n → A {\displaystyle \,F:P(A)^{n}\rightarrow A} , המתאימה לכל וקטור של יחסי העדפות חזקים P = { P 1 , ⋯ , P n } ∈ P ( A ) n {\displaystyle P=\{P_{1},\cdots ,P_{n}\}\in P\left(A\right)^{n}} מועמד A {\displaystyle A} . נאמר שהמועמד F ( P ) {\displaystyle F(P)} הוא המועמד המועדף על החברה, כאשר יחסי ההעדפות של הבוחרים ניתנים על ידי פרופיל ההעדפות P {\displaystyle P} . ישנן מספר תכונות שניתן לדרוש אותן או לחלופין להימנע מהן עבור פונקציית הבחירה החברתית: דיקטטורה: פונקציית בחירה חברתית F {\displaystyle F} נקראת דיקטטורית אם קיים בוחר i {\displaystyle i} כך שלכל פרופיל העדפות חזקות P {\displaystyle P} מתקיים ש F ( P ) {\displaystyle F\left(P\right)} היא האפשרות המועדפת ביותר על i {\displaystyle i} . במקרה זה i {\displaystyle i} יקרא דיקטטור. פונקציית הבחירה הדיקטטורית היא מונוטונית. פה אחד: כמו במקרה של פונקציית רווחה חברתית, תנאי סביר לדרוש מפונקציית בחירה חברתית הוא שהיא תהיה יעילה פארטו, היינו שאם כל הפרטים בחברה מעדיפים את אפשרות a על פני אפשרות b, אזי אפשרות b לא תיבחר. פונקציית בחירה חברתית F מקיימת את תכונת הפה-אחד אם לכל שתי אפשרויות a , b ∈ A {\displaystyle a,b\in A} ולכל פרופיל העדפות חזקות   P N {\displaystyle \ P^{N}} מתקיים : אם   a ≻ P i b {\displaystyle \ a\succ _{P_{i}}b} לכל פרט ∀ i ∈ N {\displaystyle \forall i\in N} אזי   F ( P N ) ≠ b {\displaystyle \ F(P^{N})\neq b} . מונוטוניות: פונקציית בחירה היא מונוטונית אם עבור פרופיל העדפות חזקות מסוים נבחרת האפשרות a, אזי בכל פרופיל העדפות חזקות אחר שבו השתפר מיקומו של a, או לפחות לא הורע אצל כל הפרטים, נבחרת גם כן האפשרות a אף אם הסדר בין הפרטים האחרים השתנה. פונקציית בחירה חברתית F {\displaystyle F} נקראת מונוטונית אם לכל שני פרופילי העדפות חזקות P 2 {\displaystyle P_{2}} , P 1 {\displaystyle P_{1}} המקיימים: לכל בוחר i {\displaystyle i} , ולכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} אם לכל b {\displaystyle b} שונה מ a {\displaystyle a} מתקיים a > P 1 b {\displaystyle a>_{P_{1}}b} ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } a > P 2 b {\displaystyle a>_{P_{2}}b} , ואם F ( P 1 ) = a {\displaystyle F\left(P_{1}\right)=a} , אזי גם F ( P 2 ) = a {\displaystyle F\left(P_{2}\right)=a} . לפי משפט גיבארד-סתרסוויט, כשיש שלושה מועמדים לפחות אם פונקציה היא מונוטונית אזי היא או דיקטטורית או לא יעילה פארטו ולכן דרישה זו לא מתקיימת לרוב בפונקציות שימושיות. תבחין קונדורסה: פונקציית בחירה חברתית F {\displaystyle F} מקיימת את תבחין קונדורסה אם השיטה בוחרת מועמד המנצח כל מועמד אחר בהתמודדות ראש בראש אם קיים כזה, מועמד כזה נקרא מנצח קונדורסה. כלומר, אם A הוא מנצח קונדורסה, אזי לכל מועמד אחר, B, רוב הקבוצה מעדיפה את A על B. מניפולציה (תורת המשחקים) שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946