פונקציית אוילר

פונקציית אוילר (על שם המתמטיקאי הגרמני לאונרד אוילר) היא דוגמה חשובה לפונקציה אריתמטית. מקובל לסמנה באות היוונית ϕ {\displaystyle \phi } (פי), והיא מוגדרת באופן הבא: ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} שווה למספר המספרים הטבעיים הקטנים מ- n {\displaystyle n} וזרים לו. למשל, ϕ ( 5 ) = | { 1 , 2 , 3 , 4 } | = 4 , ϕ ( 6 ) = | { 1 , 5 } | = 2 {\displaystyle \phi (5)=|\{1,2,3,4\}|=4,\phi (6)=|\{1,5\}|=2} , ואילו ϕ ( 1 ) = | { 1 } | = 1 {\displaystyle \phi (1)=|\{1\}|=1} (1 הוא המספר הטבעי היחיד שזר לעצמו). כלומר, זהו גודלה של חבורת אוילר U n {\displaystyle U_{n}} המתאימה ל- n {\displaystyle n} . הפונקציה מוכרת ושימושית בעיקר בזכות משפט אוילר, שלפיו הסדר של כל איבר בחבורת אוילר מסדר n {\displaystyle n} מחלק את ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} . אם p {\displaystyle p} מספר ראשוני, אזי כל המספרים הקטנים מ- p {\displaystyle p} זרים לו, ולכן ϕ ( p ) = p − 1 {\displaystyle \phi (p)=p-1} . באופן כללי יותר, המספרים שאינם זרים ל- p s {\displaystyle p^{s}} הם כל אלה המתחלקים ב- p {\displaystyle p} , שמספרם p s − 1 {\displaystyle p^{s-1}} , ולכן ϕ ( p s ) = p s − p s − 1 = p s − 1 ( p − 1 ) = p s ( 1 − 1 p ) {\displaystyle \phi (p^{s})=p^{s}-p^{s-1}=p^{s-1}(p-1)=p^{s}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)} . ממשפט השאריות הסיני נובע שפונקציית אוילר כפלית, כלומר ϕ ( n 1 n 2 ) = ϕ ( n 1 ) ϕ ( n 2 ) {\displaystyle \phi (n_{1}n_{2})=\phi (n_{1})\phi (n_{2})} עבור n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} זרים. מכיוון שכך, אפשר לחשב את ערכיה על-פי הנוסחה ϕ ( n ) = n ( 1 − 1 p 1 ) ⋯ ( 1 − 1 p k ) {\displaystyle \phi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}}}\right)} כאשר p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}} הם הגורמים הראשוניים השונים של n {\displaystyle n} . לדוגמה ϕ ( 45 ) = 45 ( 1 − 1 3 ) ( 1 − 1 5 ) = 24 {\displaystyle \phi (45)=45\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{5}}\right)=24} . נראה זאת. נכתוב n = p 1 k 1 ⋯ p r k r {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}} ונקבל ממה שאנו כבר יודעים עבור חישוב פונקציית אוילר לחזקה של ראשוני כי: ϕ ( n ) = ϕ ( p 1 k 1 ) ⋯ ϕ ( p r k r ) = p 1 k 1 ( 1 − 1 p 1 ) ⋯ p r k r ( 1 − 1 p r ) = p 1 k 1 ⋯ p r k r ( 1 − 1 p 1 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) = n ( 1 − 1 p 1 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) {\displaystyle {\begin{aligned}\phi (n)&=\phi (p_{1}^{k_{1}})\cdots \phi (p_{r}^{k_{r}})\\&=p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\end{aligned}}} פונקציית אוילר מקיימת את הזהות ∑ d | n ϕ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d|n}\phi (d)=n} , אותה אפשר להסביר באמצעות חישוב הסדרים של איברים בחבורה הציקלית Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } . נוכל להסתכל על הזהות הזו כקונבולוציה φ ∗ 1 = id {\displaystyle \varphi *1={\text{id}}} כאשר id {\displaystyle {\text{id}}} פונקציית הזהות. לכן, מנוסחת ההיפוך של מביוס נובע כי φ ( n ) = ( μ ∗ id ) ( n ) = ∑ d | n μ ( d ) n d = n ∑ d | n μ ( d ) d {\displaystyle \varphi (n)=(\mu *{\text{id}})(n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}}=n\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}} כאשר μ {\displaystyle \mu } פונקציית מביוס. נוכל לתת הוכחה נוספת, המבוססת על הנוסחה ϕ ( n ) = n ∏ p | n ( 1 − 1 p ) {\displaystyle \phi (n)=n\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)} לחישוב הפונקציה שהראינו. הרי אם p 1 , … , p r {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{r}} הגורמים הראשוניים השונים המחלקים את n {\displaystyle n} , נוכל להבחין כי ∏ p | n ( 1 − 1 p ) = ( 1 − 1 p 1 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) = ∑ k = 0 r ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ r ( − 1 ) k p i 1 ⋯ p i k = ∑ k = 0 r ∑ 1 ≤ i 1 < ⋯ < i k ≤ r μ ( p i 1 ⋯ p i k ) p i 1 ⋯ p i k = ∑ d | n μ ( d ) d {\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)&=\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=\sum _{k\,=\,0}^{r}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq r}{\frac {(-1)^{k}}{p_{i_{1}}\cdots p_{i_{k}}}}\\&=\sum _{k\,=\,0}^{r}\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq r}{\frac {\mu (p_{i_{1}}\cdots p_{i_{k}})}{p_{i_{1}}\cdots p_{i_{k}}}}\\&=\sum _{d|n}{\frac {\mu (d)}{d}}\end{aligned}}} שהרי לכל מחלק d > 1 , d | n {\displaystyle d>1,d|n} , אם הוא לא מכפלת ראשוניים שונים אז μ ( d ) = 0 {\displaystyle \mu (d)=0} מהגדרת פונקציית מביוס. לכל n > 2 {\displaystyle n>2} , ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} מספר זוגי. ניתן לראות זאת מתכונת הכפליות. אם n = 2 k {\displaystyle n=2^{k}} בעבור k > 1 {\displaystyle k>1} , אז ϕ ( n ) = 2 k ( 1 − 0.5 ) = 2 k − 1 {\displaystyle \phi (n)=2^{k}(1-0.5)=2^{k-1}} . אחרת ל- n {\displaystyle n} יש מחלק p {\displaystyle p} ראשוני אי-זוגי, כלומר הוא מהצורה n = p k m {\displaystyle n=p^{k}m} , ולכן: ϕ ( n ) = ϕ ( p k ) ϕ ( m ) = p k − 1 ( p − 1 ) ϕ ( m ) {\displaystyle \phi (n)=\phi (p^{k})\phi (m)=p^{k-1}(p-1)\phi (m)} , ו- p − 1 {\displaystyle p-1} זוגי. הערך הממוצע של הפונקציה הוא ϕ ( 1 ) + ⋯ + ϕ ( n ) n ∼ 3 π 2 n {\displaystyle {\frac {\phi (1)+\cdots +\phi (n)}{n}}\sim {\frac {3}{\pi ^{2}}}n} . הגבול התחתון של היחס ϕ ( n ) n / ln ⁡ ( ln ⁡ ( n ) ) {\displaystyle {\frac {\phi (n)}{n/\ln(\ln(n))}}} הוא e − γ {\displaystyle e^{-\gamma }} , כאשר γ {\displaystyle \gamma } הוא קבוע אוילר-מסקרוני. ניתן לכתוב את טור דיריכלה של פונקציית אוילר באופן הבא: F ϕ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ ϕ ( n ) n s = ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle F_{\phi }(s)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {\phi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}} כאשר ζ {\displaystyle \zeta } פונקציית זטא של רימן. ∑ d | n μ ( d ) 2 φ ( d ) = n ϕ ( n ) {\displaystyle \sum _{d|n}{\frac {\mu (d)^{2}}{\varphi (d)}}={\frac {n}{\phi (n)}}} בתורת גלואה, פונקציית אוילר מופיעה כממד של ההרחבה הציקלוטומית Q [ ρ n ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [\rho _{n}]/\mathbb {Q} } של שדה המספרים הרציונליים על ידי שורש היחידה מסדר n {\displaystyle n} (הסיבה לכך היא שהפולינום הציקלוטומי הוא אי פריק). Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, פרק 18. מדיה וקבצים בנושא פונקציית אוילר בוויקישיתוף פונקציית אוילר, באתר MathWorld (באנגלית) סדרת מספרי פונקציית אוילר באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים זו השערה לא מפורסמת של גאוס מ-1796. פורסמה לראשונה על ידי דיריכלה ב-1849, והוכחה לבסוף על ידי Arnold Walfisz.