מרחב Lp

באנליזה מתמטית, מרחבי Lp הם מרחבי פונקציות על מרחב מידה, המוגדרים על ידי הכללה טבעית של נורמות-p של מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים. הם מהווים מחלקה חשובה של דוגמאות למרחבי בנך ולמרחבים וקטוריים טופולוגיים. יש להם שימושים בפיזיקה, סטטיסטיקה, כלכלה, הנדסה ובתחומים אחרים. לעיתים הם קרויים מרחבי לבג, על שמו של אנרי לבג. הנורמה האוקלידית על המרחב האוקלידי R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} היא זו המושרית מן המכפלה הפנימית הסטנדרטית: האורך של וקטור x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) {\displaystyle x=\left(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\right)} נתון על ידי ‖ x ‖ 2 = ( x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x n 2 ) 1 / 2 {\displaystyle \|x\|_{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)^{1/2}} . אך זוהי בהחלט לא הדרך היחידה להגדיר 'אורך' ב- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . אם p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} הוא מספר ממשי, נגדיר את נורמת ℓ p {\displaystyle {\ell }^{p}} של וקטור x {\displaystyle x} להיות ‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}} (ולכן נורמת ℓ n 2 {\displaystyle {\ell }_{n}^{2}} היא הנורמה האוקלידית המוכרת, בעוד שהמרחק בנורמת ℓ n 1 {\displaystyle {\ell }_{n}^{1}} ידוע בתור מטריקת מנהטן). ניתן גם להגדיר נורמה ל- p = ∞ {\displaystyle p=\infty } על ידי ‖ x ‖ ∞ = max { | x 1 | , | x 2 | , … , | x n | } {\displaystyle \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\ldots ,|x_{n}|\right\}} למעשה מתקיים ‖ x ‖ ∞ = lim p → ∞ ‖ x ‖ p {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert _{p}} ולכן מקובל סימון זה. נורמה זו ידועה בשמות נורמת הסופרמום, נורמת המקסימום או נורמת התכנסות במידה שווה. לכל p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} ההגדרות לעיל מקיימות את התכונות של נורמה. מפורשות: חיוביות - | | x | | p ≥ 0 {\displaystyle ||x||_{p}\geq 0} ו- | | x | | p = 0 {\displaystyle ||x||_{p}=0} אם ורק אם x = 0 {\displaystyle x=0} , הומוגניות חיובית - | | c ⋅ x | | p = | c | ⋅ | | x | | p {\displaystyle ||c\cdot x||_{p}=|c|\cdot ||x||_{p}} , ו- אי-שוויון המשולש (ובמקרה פרטי זה קרוי גם אי-שוויון מינקובסקי) - | | x + y | | p ≤ | | x | | p + | | y | | p {\displaystyle ||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p}} . יתרה מזאת, לכל p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} , R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} יחד עם נורמת ℓ p {\displaystyle {\ell }^{p}} (או פשוט נורמת-p) מהווה מרחב בנך, כלומר הנורמה שלמה. מרחב זה מסומן לעיתים על ידי ℓ n p {\displaystyle \ell _{n}^{p}} . לעיתים מגדירים את ℓ n p {\displaystyle \ell _{n}^{p}} להיות המרחב הווקטורי C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} מעל שדה המספרים המרוכבים. ההגדרות הן כלעיל (הפעם הערך המוחלט הוא מרוכב), והתכונות הן אותן תכונות (בפרט, מתקבל מרחב בנך). ב- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} כאשר n > 1 {\displaystyle n>1} , הנוסחה ‖ x ‖ p = ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) 1 / p {\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}} מגדירה מספר ממשי אי-שלילי אם 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} , אבל ההעתקה המתקבלת x ↦ ‖ x ‖ p {\displaystyle x\mapsto \left\Vert x\right\Vert _{p}} איננה נורמה, מכיוון שהיא לא מקיימת את אי-שוויון המשולש. למרות זאת, הפונקציה d p ( x , y ) = ‖ x − y ‖ p p = ∑ i = 1 n | x i − y i | p {\displaystyle d_{p}\left(x,y\right)=\left\Vert x-y\right\Vert _{p}^{p}=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}} היא מטריקה. בדומה למקרה p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} , נהוג לסמן את המרחב המטרי ( R n , d p ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},d_{p}\right)} ב- ℓ n p {\displaystyle \ell _{n}^{p}} וגם אותו ניתן להגדיר בדומה מעל המרוכבים. אף על פי שכדור היחידה במטריקה d p {\displaystyle d_{p}} , המסומן B n p {\displaystyle B_{n}^{p}} , הוא "קעור" (קרי, לא קמור), הטופולוגיה המושרית על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} על ידה היא הטופולוגיה הסטנדרטית על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ולכן ℓ n p {\displaystyle \ell _{n}^{p}} הוא מרחב וקטורי טופולוגי קמור מקומית. מעבר לטענה איכותית זו, דרך כמותית למדוד את חוסר הקמירות של ℓ n p {\displaystyle \ell _{n}^{p}} היא להתבונן ב- C p ( n ) {\displaystyle C_{p}\left(n\right)} , הקבוע הקטן ביותר C {\displaystyle C} שעבורו הניפוח C ⋅ B n p {\displaystyle C\cdot B_{n}^{p}} של כדור היחידה בנורמת-p מכיל את הקמור של B n p {\displaystyle B_{n}^{p}} (שהוא למעשה B n 1 {\displaystyle B_{n}^{1}} לכל 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} ). מסתבר שמתקיים C p ( n ) = n − 1 + 1 / p {\displaystyle C_{p}\left(n\right)=n^{-1+1/p}} לכל n {\displaystyle n} טבעי. העובדה שערך זה שואף לאינסוף כאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } (עבור 0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1} קבוע) משקפת את העובדה שמרחב הסדרות האינסוף-ממדי ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} (המוגדר למטה) הוא כבר לא קמור מקומית. במתמטיקה בדידה, נורמת-p מוגדרת גם עבור p = 0 {\displaystyle p=0} לפי ‖ x ‖ 0 = lim p ↘ 0 ( | x 1 | p + | x 2 | p + ⋯ + | x n | p ) {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{0}=\lim _{p\searrow 0}\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\cdots +\left|x_{n}\right|^{p}\right)} שהוא פשוט מספר הרכיבים השונים מאפס בוקטור x {\displaystyle x} . אם נגדיר 0 0 = 0 {\displaystyle 0^{0}=0} , אז נורמת האפס של x {\displaystyle x} שווה ל- | x 1 | 0 + ⋯ + | x n | 0 {\displaystyle \left|x_{1}\right|^{0}+\cdots +\left|x_{n}\right|^{0}} . זוהי אינה נורמה במובן הרגיל של המילה, אך היא יכולה לשמש למדידת דלילות, למשל בתחום של Compressed sensing. כהכללה של הממד הסופי, מגדירים את המרחב ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} להיות אוסף הסדרות { x n } n ∈ N {\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }} כך ש- ∑ n = 1 ∞ | x n | p < ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{|x_{n}|^{p}}<\infty } , ומגדירים את נורמת-p להיות | | x n | | p = ∑ n = 1 ∞ | x n | p p {\displaystyle ||x_{n}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{n=1}^{\infty }{|x_{n}|^{p}}}}} . כאשר p = ∞ {\displaystyle p=\infty } מגדירים, כמו במקרה הסופי, | | { x n } | | ∞ = s u p { x n } {\displaystyle ||\{x_{n}\}||_{\infty }=sup\{x_{n}\}} , וגם כאן מתקיים ‖ x ‖ ∞ = lim p → ∞ ‖ x ‖ p {\displaystyle \left\Vert x\right\Vert _{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\Vert x\right\Vert _{p}} . המרחבים שמתקבלים בבנייה זו גם הם מרחבי בנך. ניתן להוכיח זאת ישירות, אך החלק הבא מסביר זאת בצורה טובה מאוד. ניתן לשים לב שבמקרים הקודמים התחלנו מקבוצות סופיות, עברנו לבנות מנייה, וכעת נרצה לעבור לעוצמה כללית - מסדרות סופיות, לסדרות בנות מנייה, נעבור לפונקציות, ובמקום סכימה נבצע אינטגרציה. פורמלית, עבור 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } מגדירים את L p ( K , X , S , μ ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )} עבור מרחב מידה ( X , S , μ ) {\displaystyle (X,S,\mu )} ושדה K ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} להיות- L p ( K , X , S , μ ) = { f : X → K : ∫ X | f | p d μ < ∞ } {\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(\mathbb {K} ,X,S,\mu )=\{f:X\to \mathbb {K} :\int _{X}{|f|^{p}d\mu }<\infty \}} כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. מגדירים את נורמת-p להיות | | f | | p = ∫ X | f | p d μ p {\displaystyle ||f||_{p}={\sqrt[{p}]{\int _{X}{|f|^{p}}d\mu }}} . מיפוי זה איננו נורמה, מפני שפונקציות ששוות כמעט בכל מקום לאפס, עדיין יחזירו אינטגרל אפס. כדי להתגבר על בעיה זו, מגדירים את המרחב L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} שאיבריו הוא אוסף מחלקות השקילות עד כדי שוויון כמעט בכל מקום. כעת, | | ⋅ | | p {\displaystyle ||\cdot ||_{p}} היא אכן נורמה - היא חיובית והומוגנית חיובית, ומקיימת את אי שוויון המשולש - זהו אי-שוויון מינקובסקי. המרחבים גם שלמים - ניתן להוכיח זאת בשימוש משפטי התכנסות מתורת המידה (למשל, משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג). מרחבי L p {\displaystyle L^{p}} הם הדוגמה הקלאסית למרחב בנך באנליזה ובטופולוגיה. המקרה p = 2 {\displaystyle p=2} הוא מקרה מיוחד, מפני שבמקרה זה המרחב L 2 {\displaystyle L^{2}} הוא אף מרחב הילברט - מרחב מכפלה פנימית שלם מעל השדה, כאשר המכפלה הפנימית היא < f , g >= ∫ X f ⋅ g ¯ d μ {\displaystyle <f,g>=\int _{X}{f\cdot {\overline {g}}d\mu }} . זוהי דוגמה קלאסית למרחב הילברט, ולמעשה ידוע יותר מכך - כל מרחב הילברט איזומורפי למרחב L 2 ( A , P ( A ) , # ) {\displaystyle L^{2}(A,P(A),\#)} , כאשר A {\displaystyle A} קבוצה כלשהי. במקרה p = ∞ {\displaystyle p=\infty } אי אפשר להגדיר, כמו במקרה הסופי, את L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} להיות אוסף הפונקציות החסומות, משום שפונקציה יכולה לקבל את הערך אינסוף על קבוצה ממידה אפס. כדי להתגבר על הבעיה, מגדירים essential supremum של פונקציה: esssup ⁡ f = inf { a ∈ R : μ ( f − 1 ( a , ∞ ) ) = 0 } {\displaystyle \operatorname {esssup} f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}} והמרחב L ∞ {\displaystyle L^{\infty }} הוא אוסף הפונקציות עבורן esssup ⁡ | f | < ∞ {\displaystyle \operatorname {esssup} |f|<\infty } , הנקראות גם פונקציות חסומות בעיקר (essentially bounded functions). המרחב שמתקבל אף הוא מרחב בנך, ומתקיים | | f | | ∞ = lim p → ∞ | | f | | p {\displaystyle ||f||_{\infty }=\lim _{p\rightarrow \infty }{||f||_{p}}} . מרחב זה חשוב במיוחד בתורת המרחבים המטריים והשלמות, ראו מרחב מטרי שלם. המקרה הסוף-ממדי ℓ n p {\displaystyle \ell _{n}^{p}} מתקבל כמקרה פרטי של L p {\displaystyle L^{p}} , עבור X = { 1 , . . . , n } {\displaystyle X=\{1,...,n\}} ו- μ = # {\displaystyle \mu =\#} מידת הספירה (הסופרת כמה איברים יש בקבוצה). המקרה הבן-מנייה מתקבל עבור X = N {\displaystyle X=\mathbb {N} } ומידת הספירה. בפרט אפשר להסיק ש- ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}} מרחב בנך בלי להוכיח זאת בנפרד. נובע גם ש- ℓ 2 {\displaystyle \ell ^{2}} הוא מרחב הילברט, ומפורשות ניתן לאמר ש- ℓ 2 ≅ L 2 ( N , P ( N ) , # ) {\displaystyle \ell ^{2}\cong L^{2}(\mathbb {N} ,P(\mathbb {N} ),\#)} . היות שהמרחב L p {\displaystyle L^{p}} הוא מרחב נורמי, מתאימה עבורו התכנסות בנורמה - נאמר שסדרת פונקציות { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} מתכנסת בנורמה-p לפונקציה f {\displaystyle f} אם | | f n − f | | p → 0 {\displaystyle ||f_{n}-f||_{p}\to 0} כאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } . המשפט הבסיסי והחשוב בנושא הוא: משפט: תהי { f n } ⊆ L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle \{f_{n}\}\subseteq L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} כך ש- f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} נקודתית כמעט בכל מקום, וכן נניח שיש g ∈ L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle g\in L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} כך ש- | f n | ≤ g {\displaystyle |f_{n}|\leq g} (כלומר f n {\displaystyle f_{n}} נשלטת על ידי g {\displaystyle g} ), אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p, כלומר lim n → ∞ | | f n − f | | p = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{||f_{n}-f||_{p}}=0} . בכיוון ההפוך יש טענה מעט חלשה יותר- משפט - תהי f ∈ L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle f\in L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} ונניח שיש סדרה { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} כך ש- lim n → ∞ | | f n − f | | p = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{||f_{n}-f||_{p}}=0} . אזי ל- { f n } {\displaystyle \{f_{n}\}} יש תת-סדרה המתכנסת נקודתית ל- f {\displaystyle f} כמעט בכל מקום. במקרה של התכנסות במידה שווה, הטיעון 'חלק' יותר: משפט: במרחב ממידה סופית, אם f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} במידה שווה, אז ההתכנסות היא גם בנורמה-p. תכונה טופולוגית נוספת של המרחב, היא שאוסף הפונקציות הפשוטות היא קבוצה צפופה ב- L p {\displaystyle L^{p}} . ניתן לראות זאת בקלות לפי המשפטים לעיל - ידוע שלכל פונקציה אינטגרבילית יש סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} שמתכנסת אליה, ומפני שמתקיים | f − ϕ n | p ≤ 2 p − 1 ( | f | p + | ϕ n | p ) → 2 p | f | p {\displaystyle |f-\phi _{n}|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|\phi _{n}|^{p})\to 2^{p}|f|^{p}} , נקבל שיש התכנסות גם בנורמת-p. למעשה, המרחב L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} הוא ההשלמה של מרחב הפונקציות הפשוטות שיושב בו. במרחבים ממידה סופית, יש שיכונים בין מרחבי L p {\displaystyle L^{p}} , ביחס הפוך לסדר. משפט - יהי ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,M,\mu )} מרחב מידה סופי, כלומר μ ( X ) < ∞ {\displaystyle \mu (X)<\infty } . אזי: אם 1 < p < q {\displaystyle 1<p<q} יש שיכון טבעי - L K q ( X , S , μ ) ↪ L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{q}(X,S,\mu )\hookrightarrow L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} . יותר מכך, השיכון רציף, משום שזהו אופרטור ליניארי חסום. מפורשות, אי-שוויון ינסן (באחת מגרסאותיו) טוען כי | | f | | p ≤ μ ( X ) 1 p − 1 q ⋅ | | f | | q {\displaystyle ||f||_{p}\leq \mu (X)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\cdot ||f||_{q}} . לכל p > 1 {\displaystyle p>1} מתקיים L K ∞ ( X , S , μ ) ⊆ L K p ( X , S , μ ) {\displaystyle L_{\mathbb {K} }^{\infty }(X,S,\mu )\subseteq L_{\mathbb {K} }^{p}(X,S,\mu )} . מרחב Lp, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) The Lp Spaces