הנוסחה הברומטרית

בתרמודינמיקה, הנוסחה הברומטרית (Barometric formula) היא נוסחה פיזיקלית המתארת את הלחץ האטמוספירי כתלות בגובה בשדה כבידה, תחת הנחות המודל של גז אידיאלי. לנוסחה הברומטרית קיימות שתי גרסאות מקובלות. הגרסה הראשונה והמוכרת יותר היא הנוסחה הברומטרית האיזותרמית, כלומר כאשר לא לוקחים בחשבון את שינוי הטמפרטורה כשהגובה משתנה. הגרסה השנייה מכילה תיקון אשר לוקח בחשבון את שינוי הטמפרטורה. העובדה שלחץ האוויר דועך ככל שעולים בגובה הייתה כבר ידועה היטב לפיזיקאים במאה ה-17, אשר ידעו גם להסביר כי הסיבה לכך היא שככל שמגביהים יש פחות אוויר מעליך הנלחץ מטה על ידי כוח הכובד. אך תיאור מתמטי של תלות הלחץ בגובה התאפשר לראשונה רק לאחר פרסומו בשנת 1662 של חוק בויל הקובע יחס הפוך בין הלחץ לבין הנפח של גז אידיאלי. הנוסחה הברומטרית פורסמה לראשונה בשנת 1686 על ידי הפיזיקאי אדמונד האלי, אולם הנוסחה פורסמה ללא פיתוח מתמטי מסודר. הראשון לפרסם פיתוח מסודר של הנוסחה הברומטרית היה המתמטיקאי והפיזיקאי פייר-סימון לפלס בשנת 1805, בכרך הרביעי של עבודתו בת חמשת הכרכים מכניקה שמיימית (אנ') למעלה ממאה שנים לאחר שהנוסחה פורסמה לראשונה על ידי האלי. מודל הגז האידיאלי מתאר גזים טוב יותר ככל שהטמפרטורה גבוהה יותר, והלחץ נמוך יותר, כך שהאנרגיה הקינטית של החלקיקים משמעותית יותר מהאינטראקציה הבין חלקיקית. אטמוספירת כדור הארץ מורכבת בעיקר ממולקולות דו-אטומיות של חנקן וחמצן, ובטמפרטורה ולחץ סטנדרטים ( T = 300 K , p = 1 a t m {\displaystyle T=300K,p=1atm} ) מתוארת היטב בתור גז אידיאלי. לעומת זאת, האטמוספירה של נוגה, כוכב הלכת השני במרחקו מהשמש, דחוסה מאוד. הלחץ על פני הכוכב הוא בערך פי 90 מהלחץ על פני כדור הארץ, ולכן לא ניתן להשתמש במודל הגז האידיאלי ובנוסחה הברומטרית על פני כוכב נוגה. ההנחה שהאוויר מתנהג כמו גז אידיאלי טובה בעיקר עבור אוויר יבש, כאשר ישנם אדי מים באוויר ההנחה נפגעת עקב אינטראקציה חזקה יחסית של מולקולות המים. בפיתוח הנוסחאות מזניחים את השתנות תאוצת הכובד עם הגובה. השינוי בתאוצת הכובד הוא של פחות מחצי אחוז בעלייה בגובה של עשרה קילומטרים, ולכן נזניח תלות זו. אם מניחים שהטמפרטורה קבועה כאשר עולים בגובה הנוסחה הברומטרית נתונה על ידי: כאשר כאשר p 0 {\displaystyle p_{0}} , p {\displaystyle p} צריכים להמדד באותן יחידות של לחץ (לדוגמה פסקל), ויש להתאים את קבוע בולצמן ותאוצת הכובד ליחידות בהן מודדים את הגובה ומסת החלקיקים. אם מניחים שישנה תלות ליניארית של הטמפרטורה בגובה מהצורה: T = T 0 − a h {\displaystyle T=T_{0}-ah} כאשר a {\displaystyle a} קבוע ביחידות של קלווין ליחידת אורך, ו- T 0 {\displaystyle T_{0}} הטמפרטורה בגובה שהוגדר להיות h = 0 {\displaystyle h=0} מתקבלת הנוסחה הברומטרית: כאשר כל הקבועים הוגדרו בטבלה לעיל, למעט a , T 0 {\displaystyle a,T_{0}} שהוגדרו בפסקה הקודמת. עבור אטמוספירת כדור הארץ ההנחה שהטמפרטורה ליניארית בגובה שימושית במקטעים רחבים יחסית, אך לא לאורך כל האטמוספירה . מדידות נסיוניות מראות כי התלות הכללית של הטמפרטורה בגובה מאוד לא טריוויאלית, שינוי הטמפרטורה אפילו אינו מונוטוני כתלות בגובה. למרות זאת, ניתן לאמר בקירוב טוב שהתלות היא ליניארית למקוטעין. באופן סכמטי, הטמפרטורות יורדות ככל שעולים בגובה באזור הטרופוספירה (0-10 ק"מ מעל פני הים). לאחר מכן, באזור הסטרטוספירה (10-50 ק"מ גובה), הטמפרטורות עולות ככל שמגביהים. תופעה זו נובעת בין היתר בגלל בליעה של קרני השמש בטווח העל-סגול בשכבת האוזון הנמצאת בסטרטוספירה. לאחר מכן בגבהים של מעל חמישים קילומטרים מגובה פני הים, במזוספירה, הטמפרטורות יורדות שוב עם הגובה וכן הלאה. למרות התלות הכללית המסובכת, כפי שנכתב לעיל, ממדידות גם ידוע כי בכל אזור בנפרד הטמפרטורה בקירוב טוב ליניארית בגובה. כך למשל מפני הים עד לגובה של 10 ק"מ הטמפרטורה צונחת בערך ב-6.5 מעלות קלווין לכל קילומטר, ולאחר מכן נשארת בערך קבועה עד גובה של 20 ק"מ. נציג שתי דרכים שונות להגיע אל הנוסחה הברומטרית. הדרך הראשונה משיקולים הידרוסטטים ומשוואת המצב של גז אידיאלי, והדרך השנייה מהדרישה לשיווי משקל דיפוזיוני בין שכבות באטמוספירה בהנחה שהגז אידיאלי. נתבונן בעמוד גז (למשל האוויר באטמוספירה) הנמצא במנוחה, גובהו של עמוד הגז קטן מאוד, ונסמנו d h {\displaystyle dh} ושטח החתך שלו A {\displaystyle A} .לכל חלקיק גז מסה m {\displaystyle m} , וצפיפות החלקיקים n ( h ) {\displaystyle n(h)} וגם היא יכולה להיות תלויה בגובה, אך מכוון שגובה העמוד, d h {\displaystyle dh} , קטן מאוד הצפיפות כמעט ולא משתנה לאורכו ולכן מספר חלקיקי הגז הכלואים בו הוא הצפיפות מוכפלת בנפח העמוד N = n ( h ) A d h {\displaystyle N=n(h)Adh} כמו כן, מכוון שהעמוד במנוחה מהחוק הראשון של ניוטון אנו יודעים כי סכום כל הכוחות הפועלים עליו מתאפס. הכוחות הפועלים בציר האנכי הם: נזכור שמספר החלקיקים בעמוד הגז הוא N = n ( h ) A d h {\displaystyle N=n(h)Adh} ולכן משוואת הכוחות היא: − n ( h ) A m g d h + p ( h ) A − p ( h + d h ) A = 0 {\displaystyle -n(h)Amgdh+p(h)A-p(h+dh)A=0} נצמצם בA, נעביר אגפים, ונשתמש בהגדרת הנגזרת: d p d h = − m g n ( h ) {\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-mgn(h)} על מנת לקבל קשר בין הלחץ לצפיפות, נשתמש במשוואת המצב של גז אידיאלי: p ( h ) = n ( h ) k B T ( h ) {\displaystyle p(h)=n(h)k_{B}T(h)} נציב את הצפיפות ממשוואת המצב במשוואה ההידרוסטטית ונקבל משוואה דיפרנציאלית על הלחץ d p d h = − m g k b T ( h ) p ( h ) {\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-{\frac {mg}{k_{b}T(h)}}p(h)} כעת לא ניתן להמשיך ללא ידע לגבי איך הטמפרטורה משתנה עם הגובה, ולכן נצטרך להניח הנחות או לנסות ולחפש מודל לתלות הטמפרטורה בגובה. הגענו למשוואה דיפרנציאלית על הלחץ התלויה בטמפרטורה. אם נניח שהטמפרטורה קבועה כשעולים בגובה T ( h ) = T 0 {\displaystyle T(h)=T_{0}} ניתן מיד לפתור את המשוואה באמצעות הפרדת משתנים: d p p = − m g k b T 0 d h {\displaystyle {\frac {dp}{p}}=-{\frac {mg}{k_{b}T_{0}}}dh} אינטגרציה מ- h = 0 {\displaystyle h=0} עד h {\displaystyle h} תניב: (בלוגריתם אין צורך בערך מוחלט מכוון שהלחץ תמיד חיובי) l n ( p ( h ) p 0 ) = − m g h k B T 0 {\displaystyle ln\left({\frac {p(h)}{p_{0}}}\right)=-{\frac {mgh}{k_{B}T_{0}}}} ניקח אקספוננט של שני האגפים ונקבל: וזו הנוסחה הברומטרית האיזותרמית. נחזור חזרה לנוסחה שפיתחנו משיקולים הידרוסטטים: d p d h = − m g k b T ( h ) p ( h ) {\displaystyle {\frac {dp}{dh}}=-{\frac {mg}{k_{b}T(h)}}p(h)} כעת נניח את התלות T ( h ) = T 0 − a h {\displaystyle T(h)=T_{0}-ah} , כאשר a {\displaystyle a} קבוע ביחידות של קלווין ליחידת אורך. הפרדת משתנים תניב את המשוואה: d p p = − m g k B ( T 0 − a h ) d h {\displaystyle {\frac {dp}{p}}=-{\frac {mg}{k_{B}(T_{0}-ah)}}dh} אינטגרציה מ- h = 0 {\displaystyle h=0} עד h {\displaystyle h} תניב: (בלוגריתם אין צורך בערך מוחלט מכוון שהלחץ תמיד חיובי) l n ( p ( h ) p 0 ) = m g k B a l n ( T 0 − a h T 0 ) {\displaystyle ln\left({\frac {p(h)}{p_{0}}}\right)={\frac {mg}{k_{B}a}}ln\left({\frac {T_{0}-ah}{T_{0}}}\right)} בעזרת חוקי הלוגריתם ניתן לרשום: l n ( p ( h ) p 0 ) = l n [ ( 1 − a T 0 h ) m g k B a ] {\displaystyle ln\left({\frac {p(h)}{p_{0}}}\right)=ln\left[\left(1-{\frac {a}{T_{0}}}h\right)^{\frac {mg}{k_{B}a}}\right]} ניקח אקספוננט של שני האגפים ונקבל: וזו הנוסחה הברומטרית עבור טמפרטורה המשתנה בצורה ליניארית. על מנת להבין הוכחה זו דרוש ידע בסיסי בתרמודינמיקה. ראשית נוכיח טענת עזר כללית על שתי מערכות הנמצאות בשיווי משקל במגע דיפוזיבי, כלומר חלקיקים יכולים לעבור בין המערכות. ידוע ששיווי משקל עבור מערכת בטמפרטורה קבועה משמעותו מינימום של האנרגיה החופשית של הלמהולץ. נסתכל על שתי מערכות A,B אשר נמצאות באותה טמפרטורה. מכוון שהטמפרטורה והנפח לא משתנים ניתן לרשום את הדיפרנציאל של האנרגיה החופשית הכוללת של שתי המערכות F t o t = F A + F B {\displaystyle F_{tot}=F_{A}+F_{B}} באופן הבא: d F t o t = ( ∂ F A ∂ N A ) T , V A d N A + ( ∂ F B ∂ N B ) T , V B d N B {\displaystyle dF_{tot}=\left({\frac {\partial F_{A}}{\partial N_{A}}}\right)_{T,V_{A}}dN_{A}+\left({\frac {\partial F_{B}}{\partial N_{B}}}\right)_{T,V_{B}}dN_{B}} אך מכוון שחלקיקים היוצאים ממערכת A יכולים לעבור אך ורק למערכת B בהכרח מתקיים d N A = − d N B {\displaystyle dN_{A}=-dN_{B}} . נציב זאת, נשווה לאפס מהדרישה לשיווי משקל ונקבל: [ ( ∂ F A ∂ N A ) T , V A − ( ∂ F B ∂ N B ) T , V B ] d N A = 0 {\displaystyle \left[\left({\frac {\partial F_{A}}{\partial N_{A}}}\right)_{T,V_{A}}-\left({\frac {\partial F_{B}}{\partial N_{B}}}\right)_{T,V_{B}}\right]dN_{A}=0} מכוון שנרצה שהשוויון יהיה נכון לכל d N A {\displaystyle dN_{A}} בהכרח נקבל: ( ∂ F A ∂ N A ) T , V A = ( ∂ F B ∂ N B ) T , V B {\displaystyle \left({\frac {\partial F_{A}}{\partial N_{A}}}\right)_{T,V_{A}}=\left({\frac {\partial F_{B}}{\partial N_{B}}}\right)_{T,V_{B}}} כלומר בשיווי משקל דיפוזיוני בין שתי מערכות, הנגזרת החלקית של האנרגיה החופשית לפי מספר החלקיקים, אשר נהוג לכנותה הפוטנציאל הכימי, שווה בשתי המערכות. נשתמש בעובדה זו בהמשך. כעת נתייחס לאטמוספירה בצורה מקורבת כאל עמוד גז הנמצא בשיווי משקל ובטמפרטורה קבועה T 0 {\displaystyle T_{0}} לכל אורכו. נחלק את עמוד הגז לשכבות שונות לכל גובהו. השכבות השונות נמצאות במגע דיפוזיבי זו עם זו ובשיווי משקל. האנרגיה החופשית של הלמהולץ של גז אידיאלי נתונה על ידי:   F ( T , N , V ) = − N k B T ( log ⁡ ( V n Q ( T ) N ) + 1 ) {\displaystyle \ F(T,N,V)=-Nk_{B}T\left(\log {\left({\frac {Vn_{Q}(T)}{N}}\right)}+1\right)} כאשר V {\displaystyle V} נפח השכבה, N {\displaystyle N} מספר החלקיקים הכולל בשכבה, n Q ( T ) {\displaystyle n_{Q}(T)} הצפיפות הקוונטית אשר נתונה על ידי n Q = ( m k b T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle n_{\rm {Q}}=\left({\frac {mk_{b}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}} , m {\displaystyle m} המסה הממוצעת של חלקיק בגז, k B {\displaystyle k_{B}} קבוע בולצמן, ו- ℏ {\displaystyle \hbar } קבוע פלאנק המצומצם. מכוון שעמוד הגז נמצא תחת השפעת הגרביטציה יש להוסיף את האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית הפועלת על כל חלקיק לאנרגיה החופשית של כל שכבה:   F = − N k B T 0 ( log ⁡ ( V n Q ( T 0 ) N ) + 1 ) + N m g h {\displaystyle \ F=-Nk_{B}T_{0}\left(\log {\left({\frac {Vn_{Q}(T_{0})}{N}}\right)}+1\right)+Nmgh} מכוון שכל שכבה נמצאת בשיווי משקל עם השכבה הסמוכה לה, מחוק האפס של התרמודינמיקה נקבל שכל שתי שכבות לאורך העמוד נמצאות בשיווי משקל. נקבע את הגובה z = 0 {\displaystyle z=0} בשכבה כלשהי, ונסתכל על שכבה נוספת בגובה h {\displaystyle h} מעליה. נוכל כעת להשתמש בטענת העזר שהוכחנו לעיל. הנגזרת לפי מספר החלקיקים של האנרגיה החופשית של גז אידיאלי ללא אנרגיה פוטנציאלית כובדית היא: ( ∂ F ∂ N ) T , V = k B T l n ( n n Q ) {\displaystyle \left({\frac {\partial F}{\partial N}}\right)_{T,V}=k_{B}Tln\left({\frac {n}{n_{Q}}}\right)} ולכן נגזור את האנרגיה החופשית הכוללת של כל אחת מהשכבות לפי מספר החלקיקים ונשווה, נקבל את המשוואה: k B T 0 l n ( n ( 0 ) n Q ) = k B T 0 l n ( n ( h ) n Q ) + m g h {\displaystyle k_{B}T_{0}ln\left({\frac {n(0)}{n_{Q}}}\right)=k_{B}T_{0}ln\left({\frac {n(h)}{n_{Q}}}\right)+mgh} נשתמש בחוקי הלוגריתם כדי לרשום: l n ( n ( h ) n ( 0 ) ) = − m g h k B T 0 {\displaystyle ln\left({\frac {n(h)}{n(0)}}\right)=-{\frac {mgh}{k_{B}T_{0}}}} ניקח אקספוננט של שני האגפים ונקבל: n ( h ) = n 0 e − m g h k B T 0 {\displaystyle n(h)=n_{0}e^{-{\frac {mgh}{k_{B}T_{0}}}}} לבסוף נשתמש במשוואת המצב של הגז האידיאלי p = n k B T {\displaystyle p=nk_{B}T} כדי לקבל את הנוסחא הברומטרית: לחץ אטמוספירי לחץ גז אידיאלי תרמודינמיקה הנוסחה הברומטרית ללא הזנחת התלות של תאוצת הכובד והטמפרטורה בגובה הנוסחה הברומטרית - פיתוחים וקריאה נוספת באנגלית רקע הסטורי על גילוי נוסחה, פיתוחים והכללות - באנגלית U.S Standard Atmosphere - מודל מאוד מפורט לאטמוספירת כדור הארץ הלוקח בחשבון הרבה יותר משתנים ממה שהוצג בערך זה David Goodstein, Thermal Physics, Cambridge University Press, 2015 Charles Kittel and Herbert Kroemer, Thermal Physics, University of California, W.H. Freeman and Company, 1980 Mario N. Berberan-Santos, Evgeny N. Bodunov and Lionello Pogliani, On the Barometric formula, 1996 התנאי המדויק עבור גז חלקיקים ללא אינטראקציה להחשב גז אידיאלי הוא שצפיפות הגז תהיה קטנה בהרבה מהצפיפות הקוונטית, כלומר n << n Q {\displaystyle n<<n_{Q}} כאשר הצפיפות הקוונטית נתונה על ידי n Q = ( m k b T 2 π ℏ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle n_{\rm {Q}}=\left({\frac {mk_{b}T}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}} ו- ℏ , k b , T , m {\displaystyle \hbar ,k_{b},T,m} הם מסת החלקיקים, הטמפרטורה, קבוע בולצמן וקבוע פלאנק המצומצם בהתאמה לקוח מתוך U.S Standard Atmosphere 1976 (קישור). הנתונים ב-U.S standard atmosphere נמדדים ביחידות גובה גאופוטנציאלי (Geopotential height), שזוהי סקלת גובה מקובלת בגאופיזיקה הלוקחת בחשבון את תלות תאוצת הכובד בקו הגובה, ובגובה עצמו. מכוון שהתיקון קטן יחסית, ואנו מעוניינים בהתנהגות כללית, בערך זה הנחנו תאוצת כובד קבועה ולכן ניתן להתייחס לנתוני הגובה כאל גובה אבסולוטי מעל פני הים.