משפט שפלי-שוביק

משפט שפלי שוביק הוא משפט מתחום תורת המשחקים, הקובע כי הליבה של משחק שוק אינה ריקה. הערה: המשפט מסתמך על כך שמשחק שוק נגזר משוק שבו פונקציות הייצור הן רציפות וקעורות. המשפט ההפוך אינו נכון. הוכחת המשפט משתמשת במשפט בונדרבה-שפלי. נוכיח כי משחק שוק הוא משחק מאוזן, כלומר, תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים. במהלך ההוכחה נשתמש בסימונים המופיעים בערך משחק שוק. נסמן ב- X S {\displaystyle X^{S}} את קבוצת כל ההקצאות עבור קואליציה S {\displaystyle S} : X S := { ( x i ) i ∈ S : x i ∈ R + L ∀ i ∈ S , x ( S ) = a ( S ) } ⊆ R + | S | L {\displaystyle X^{S}:=\left\{(x^{i})_{i\in {S}}:x^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{L}\quad \forall {i}\in {S},\quad x(S)=a(S)\right\}\subseteq {\mathbb {R} _{+}^{|S|L}}} כאשר a ( S ) = ∑ i ∈ s a i {\displaystyle a(S)=\sum _{i\in {s}}a^{i}} הוא סך המצרכים העומד לרשות הקואליציה   S {\displaystyle \ S} . נגדיר את התשלום לקואליציה   S {\displaystyle \ S} בצורה הבאה: v ( S ) = m a x { ∑ i ∈ S u i ( x i ) : x = ( x i ) i ∈ S ∈ X S } {\displaystyle v(S)=max\left\{\sum _{i\in {S}}u_{i}(x^{i}):x=(x^{i})_{i\in {S}}\in {X^{S}}\right\}} , כאשר   u i {\displaystyle \ u_{i}} היא פונקציית הייצור. לכל קואליציה S ≠ ∅ {\displaystyle S\neq \varnothing } נבחר הקצאה x S = ( x S , i ) i ∈ S ∈ R + | S | L {\displaystyle x^{S}=(x^{S,i})_{i\in {S}}\in \mathbb {R} _{+}^{|S|L}} שבה מתקבל המקסימום בהגדרת   v ( S ) {\displaystyle \ v(S)} . מתקיים: (i) x S , i ∈ R + L {\displaystyle x^{S,i}\in \mathbb {R} _{+}^{L}} לכל שחקן i. (ii) x S ( S ) = ∑ i ∈ S x S , i = ∑ i ∈ s a i = a ( S ) {\displaystyle x^{S}(S)=\sum _{i\in {S}}x^{S,i}=\sum _{i\in {s}}a^{i}=a(S)} , כאשר a i ∈ R + L {\displaystyle a^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{L}} הוא הסל ההתחלתי של שחקן i. (iii) v ( S ) = ∑ i ∈ S u i ( x S , i ) {\displaystyle v(S)=\sum _{i\in {S}}u_{i}(x^{S,i})} נראה כעת כי המשחק הוא משחק מאוזן. יהי δ = ( δ S ) s ∈ D ∗ ∈ P {\displaystyle \delta =(\delta _{S})_{s\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\in {P}} , כאשר D ∗ {\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}} הוא אוסף כל הקואליציות הלא ריקות ב-   N {\displaystyle \ N} , ו-   P {\displaystyle \ P} היא קבוצת כל וקטורי המקדמים המאזנים חלש את D ∗ {\displaystyle {\mathcal {D}}^{*}} . צריך להראות כי v ( N ) ≥ ∑ S ∈ D ∗ δ S v ( S ) {\displaystyle v(N)\geq \sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\delta _{S}v(S)} . נגדיר: ∀ i ∈ N . z i := ∑ { s ∈ D ∗ : i ∈ S } δ S x S , i {\displaystyle \forall {i}\in {N}.\quad z^{i}:=\sum _{\{s\in {{\mathcal {D}}^{*}}:i\in {S}\}}\delta _{S}x^{S,i}} . נראה כי z = ( z i ) i ∈ N {\displaystyle z=(z^{i})_{i\in {N}}} הוא הקצאה אפשרית: z i ∈ R + L {\displaystyle z^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{L}} כי הוא ממוצע של וקטורים ב- R + L {\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{L}} . נותר להראות כי   z ( N ) = a ( N ) {\displaystyle \ z(N)=a(N)} : z ( N ) = ∑ i ∈ N z i = ∑ i ∈ N ∑ { S : i ∈ S } δ S x S , i = ∑ S ∈ D ∗ ∑ i ∈ S δ S x S , i = ∑ S ∈ D ∗ δ S ∑ i ∈ S x S , i = ∑ S ∈ D ∗ δ S x S ( S ) {\displaystyle z(N)=\sum _{i\in {N}}z^{i}=\sum _{i\in {N}}\sum _{\{S:i\in {S}\}}\delta _{S}x^{S,i}=\sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\sum _{i\in {S}}\delta _{S}x^{S,i}=\sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\delta _{S}\sum _{i\in {S}}x^{S,i}=\sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\delta _{S}x^{S}(S)} מכיוון ש-   x S ( S ) = a ( S ) {\displaystyle \ x^{S}(S)=a(S)} ועל ידי שינוי סדר סכימה, נקבל: z ( N ) = ∑ S ∈ D ∗ δ S a ( S ) = ∑ S ∈ D ∗ δ S ∑ i ∈ S a i = ∑ i ∈ N a i ∑ { S : i ∈ S } δ S {\displaystyle z(N)=\sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\delta _{S}a(S)=\sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\delta _{S}\sum _{i\in {S}}a^{i}=\sum _{i\in {N}}a^{i}\sum _{\{S:i\in {S}\}}\delta _{S}}   δ {\displaystyle \ \delta } הוא וקטור מקדמים מאזנים, כלומר - ∑ { S : i ∈ S } δ S = 1 {\displaystyle \sum _{\{S:i\in {S}\}}\delta _{S}=1} לכן - z ( N ) = ∑ i ∈ N a i = a ( N ) {\displaystyle z(N)=\sum _{i\in {N}}a^{i}=a(N)} כלומר   z {\displaystyle \ z} הוא אכן הקצאה אפשרית. לכן, מהגדרת   v {\displaystyle \ v} ומהגדרת   z {\displaystyle \ z} נקבל: v ( N ) ≥ ∑ i ∈ N u i ( z i ) = ∑ i ∈ N u i ( ∑ { S : i ∈ S } δ S x S , i ) ≥ ∑ i ∈ N ∑ { S : i ∈ S } δ S u i ( x S , i ) {\displaystyle v(N)\geq \sum _{i\in {N}}u_{i}(z^{i})=\sum _{i\in {N}}u_{i}\left(\sum _{\{S:i\in {S}\}}\delta _{S}x^{S,i}\right)\geq \sum _{i\in {N}}\sum _{\{S:i\in {S}\}}\delta _{S}u_{i}(x^{S,i})} אי השוויון האחרון נובע מקעירות הפונקציות   u i {\displaystyle \ u_{i}} . על ידי שינוי סדר סכימה, נקבל: v ( N ) ≥ ∑ S ∈ D ∗ ∑ i ∈ S δ S u i ( x S , i ) = ∑ S ∈ D ∗ δ S v ( S ) {\displaystyle v(N)\geq \sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\sum _{i\in {S}}\delta _{S}u_{i}(x^{S,i})=\sum _{S\in {{\mathcal {D}}^{*}}}\delta _{S}v(S)} . כיון ש- δ {\displaystyle \delta } הוא וקטור מקדמים מאזנים חלש כלשהו, נובע מכאן כי תנאי בונדרבה-שפלי מתקיים, ולכן הליבה של המשחק אינה ריקה. ◼ {\displaystyle \blacksquare } תורת המשחקים משחק שוק ליבה של משחק שיתופי משפט בונדרבה-שפלי שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946