אקראיות

אקראיות היא היעדר תכנון בהקשר למאורע נתון. יש להבדיל בין אקראיות לאי-צפיוּת, שכן לא כל מידע שלא ניתן לחיזוי הוא אקראי (ראו בהמשך). בניסוח אחר אקראיות היא מצב כאוטי, שאינו מוּנָע או מכוון לתכלית כלשהי, נעשה או מתרחש ללא מגמה או בחירה מודעת. בעולם הדיגיטלי התפיסה של אקראיות מתייחסת לחוסר סדר או אי-עקביות של רצף סמלים או צעדים, כך שלא קיימת בהן תבנית דטרמיניסטית או היעדר קורלציה. יישומים מדעיים מעשיים במתמטיקה כסטטיסטיקה שמים דגש על תכונת אי-הצפיות של האקראיות, גם אם קיימת "סדירות" מועטה בתוצאות התרחשויות של אירועים אי-וודאיים. למשל אם מטילים שתי קוביות וסוכמים את תוצאתן ניתן לומר שהסכום 7 יופיע בתדירות כפולה מהסכום 4. גישה זו של התייחסות לרמת הוודאות של התוצאה, משתמשת במושגים כמו "סיכויים", הסתברות ואנטרופיה. כלומר האקראיות מהווה כלי מדידה של רמת אי הוודאות. במקרה זה מבחינים בין אקראיות ל"מקריות", האחרונה אינה רלוונטית בהקשר זה. בתחומי המתמטיקה, סטטיסטיקה ותורת ההסתברות מנסחים אקראיות באופן פורמלי בהיעדר חוקיות. בסטטיסטיקה, משתנה מקרי הוא התאמת ערך נומרי לכל תוצאה אפשרית של מרחב ההסתברות. גישה זו פותחת את הדלת לכלים מן האנליזה המתמטית המאפשרים לחשב תוחלת או מדדים אחרים. תהליך סטוכסטי הוא תהליך שהתפתחותו תלויה ברצף של משתנים מקריים שתוצאתו אינה דטרמיניסטית – קרי קיימים מספר מצבים שונים אליהם יכולה המערכת להגיע. כמו כן אקראיות משמשת לעיתים לציון תכונה סטטיסטית מוגדרת היטב; שיטת מונטה קרלו המסתמכת על קלט אקראי, היא טכניקה חשובה בתורת החישוביות המבטאת שימוש כזה לצורך פתרון בעיה מתמטית. מדגם הוא שיטה לבחירת קבוצה של פרטים מתוך אוכלוסייה, שבה ההסתברות לבחירה של פרטים ספציפיים מהווה מודל מייצג לכלל האוכלוסייה. למשל בקערה המכילה 100 גולות, עשר מהן אדומות זהות והיתר כחולות זהות, דגימה מייצגת תכלול גולות אדומות בהסתברות של עשירית. לא ניתן להסיק כי בכל דגימה תהיינה גולה אחת אדומה ותשע כחולות. הגרלה יכולה להכריע במקרים של תיקו בבחירות או בספורט. הקדמונים השתמשו בהגרלות לצורך חיזוי, ניחוש או נבואה כדי "לגלות את רצון האל". חלק משיטות אלו נשמרו עד ימינו, ביניהן קלפי טארוט, אי צ'ינג, ניחוש בקפה וגילוי עתידות באמצעות קטעי תנ"ך שנבחרו. בעת העתיקה שימששו ההגרלות לצורך חלוקה הוגנת של אדמות או נכסים. באתונה חולקו נחלות על פי הגרלה ולא בהצבעה. כמו כן משחקי הימורים, הלוטו ושעשועוני טלוויזיה מסוימים, כדוגמת גלגל המזל אינם אקראיות אך בשל הסיבוך לחזות את התוצאות הם נחשבים בעיניי הציבור כהגרלה הוגנת בה לכולם יש סיכוי לזכות בפרס. מאז ימי קדם התעניינו בני אדם בתהליכים אקראיים כמו פּוּר או הימור. בתנ"ך מוזכרים מקרים בהם נעשה שימוש בהגרלה כדי להכריע בשתי סוגיות עיקריות, יישוב ומניעת סכסוכים ומריבות כאשר אין צורך בהתערבות אלוהית או בירור רצון האל רק במידה ויש הוכחה כי אלוהים התערב בהגרלה. דוגמה מספר שופטים (כ', ט'–י') "ועתה זה הדבר אשר נעשה לגבעה: עליה בגורל ולקחנו עשרה אנשים...". בספר משלי, פרק ט"ז, פסוק ל"ג "בחיק יוטל את הגורל, ומה' כל משפטו...". שמואל הנביא (כ', כ"ד) הפיל גורל כדי לברר מי האיש שה' בחר למלוך על ישראל ובספר יונה הפילו המלחים גורל כדי למצוא מי אשם בסערה הגדולה שפקדה אותם. לפי אחד הפירושים הם ביצעו הרבה הגרלות (שנאמר "לכו ונפילה גורלות") והם השתכנעו ברצון האל רק לאחר שיונה הנביא נפל בגורל בכל הפעמים. ביוון העתיקה הוקצו אדמות לבעליהן באמצעות הגרלה. הימורים היו נפוצים בתרבויות שונות מאז ומתמיד, ג'ירולמו קרדאנו וגלילאו גליליי כתבו על משחקי הימורים. הטיפול המתמטי הראשון בנושא אקראיות ככלי מדעי החל עם עבודתם של פסקל, פרמה וכריסטיאן הויגנס. הגרסה המקורית של תורת ההסתברות שפיתחו הייתה מבוססת על ההנחה שתוצאת תהליכים אקראיים היא בעלת התפלגות אחידה. הם היו הראשונים שהגדירו את המושג הסתברות סטטיסטית, מה שהתפתח לאחר מכן לאנטרופיה בתורת האינפורמציה. בתחילת שנות השישים, פיתחו המתמטיקאים גרגורי צ'ייטין, קולמוגורוב וריי סולומונוף מושג חשוב בתורת ההסתברות "אקראיות אלגוריתמית", שבה אקראיות נמדדת באופן חישובי, כמו אקראיות רצף סיביות הנמדדת ברמת הדחיסות שלו. תורת ההסתברות קמה מהצורך לנסח "סיכויים" באופן מתמטי, בתחילה בהקשר של הימורים ולאחר מכן בכל תחומי העניין. סטטיסטיקה משמשת לניתוח התפלגות סטטיסטית, איסוף נתונים משורה של תצפיות אמפיריות לצורך ניתוח והסקת מסקנות. כמו כן עולה הצורך לעיתים ביצירת מספרים אקראיים כדי לדמות אירועים טבעיים, לבצע סימולציה של מציאות מורכבת לשם בדיקה וחקירה או חיקוי התנהגות לצורכי למידה, הסבר או משחק. תורת האינפורמציה עוסקת בין היתר גם בניסוח והגדרה פורמליים של מושג האקראיות. ניתוח והגדרה של רצף אקראי בהקשר אלגוריתמי. אחד הרעיונות המרכזיים הנובע מסיבוכיות קולמוגורוב הוא שמחרוזת סיביות היא אקראית רק אם היא קצרה יותר מכל תוכנת מחשב (דטרמיניסטית) המסוגלת לייצר אותה. במילים אחרות, מחרוזת אקראית היא כזו שאינה ניתנת לדחיסה. תחומי מדע רבים קשורים או עושים שימוש באקראיות. ביניהם נמנים תורת הכאוס, קריפטוגרפיה, תורת המשחקים, תורת האינפורמציה, תורת ההסתברות, מכניקה קוונטית ומכניקה סטטיסטית. במאה ה-19 ניסו פיזיקאים לנתח התנהגות צברים של חלקיקים תוך שימוש בכלים הסתברותיים בשל הקושי הרב בתיאור מדויק של המערכת באופן דטרמיניסטי. מה שהוביל לפיתוח ענף חשוב בתרמודינמיקה, המכניקה הסטטיסטית בשני מישורים מקבילים, מכניקה קלאסית ומכניקה קוונטית. על פי תורה זו, אירועים מיקרוסקופיים הם אקראיים במובן שלא ניתן לחזות תוצאתם אלא רק בהסתברות מסוימת גם בהינתן כל הפרמטרים הרלוונטיים. למשל הקרינה הרדיואקטיבית הנפלטת מגרעין אטום בלתי יציב היא הסתברותית במובן שלא ניתן לדעת מתי בדיוק יתפרק חלקיק מסוים. אפשר רק לחשב את ההסתברות שאירוע כזה יתרחש בטווח זמן מוגדר. ההסבר המקובל לתופעה היה בסתירה לדעתם של מספר פיזיקאים ובראשם איינשטיין, שסברו כי המכניקה הקוונטית המושתתת על עקרונות הסתברותיים "אינה שלמה", הם האמינו כי אירועים פיזיקליים שנראים לכאורה כאקראיים חייבים להתרחש לפי תוואי דטרמיניסטי נסתר. אלברט איינשטיין צוטט פעם: "אלוהים אינו משחק בקוביות עם העולם" (נילס בוהר השיב לו על כך: "איינשטיין, תפסיק לומר לאלוהים מה לעשות בקוביות שלו"). הוא ניסה לערער את יסודות המכניקה הקוונטית באמצעות פרדוקס איינשטיין-פודולסקי-רוזן. שבעקבותיו התגלו גילויים חדשים שהובילו בין היתר לגילוי ההצפנה הקוונטית. הצפנה קוונטית נשענת על תופעת אי הוודאות של פוטונים היכולים להימצא במצבים שונים בו זמנית, תופעה הנקראת סופרפוזיציה קוונטית (ראו: החתול של שרדינגר). מוטציה גנטית היא שכפול ושחלוף בין כרומוזומים בתהליך המיוזה. תופעה בסיסית בביולוגיה בה בא לידי ביטוי ערבוב גנים בין כרומוזומים הומולוגיים. המוטציות משנות את מאגר הגנים ויוצרות מגוון ביולוגי. תורת האבולוציה מסבירה כיצד נוצרת מוטציה על ידי מנגנונים שונים כגון ברירה טבעית. תופעה זו מנוצלת גם לשימושים מעשיים בשל הקושי לחזות במדויק את תהליך השחלוף, כגון, אלגוריתמים גנטיים. תכונות של אורגניזמים מעוצבות במידה מסוימת גם עקב השפעת גנים. צפיפות נמשים בפניו של אדם למשל, נקבעת על ידי גנים וחשיפה לאור, אולם מיקומם המדויק נוטה להיות קשה לחיזוי. התנהגות בעלי חיים היא גם לעיתים כלי הישרדות. לדוגמה, חרקים מעופפים בתוואי הנראה כאקראי כדי להקשות על טורפים לנחש את מסלול מעופם. בתורת האינפורמציה מידע חסר משמעות או מידע "לא רלוונטי" הוא רצף של נתונים המכונים רעש. רעש ביסודו הוא מספר חוזר של הפרעות זמניות בעלי תכונה סטטיסטית אקראית. בתקשורת, אותות אקראיים הם אותות שלא ניתן לייחס להם משמעות בהקשר של מקור כלשהו. תופעה הנקראת "הילוך אקראי" או "הילוך שיכור" היא היפותזה ידועה המסבירה אירועים מסוימים כמו התנהגות מחירי מניות, כתנועה בלתי צפויה דוגמת הילוכו המתנודד של אדם שתוי או תנועתן של נמלים מגששות. תופעה השקולה במידת מה לתנועה הבראונית, תנועת חלקיקים האקראית בתרחיף, שנחקרה בתחילת המאה ה-19. יש המאמינים[דרושה הבהרה] בטענה פילוסופית שכל החלטה או מחשבה היא תוצאה דטרמיניסטית של רצף אירועים קודמים ולמעשה לא קיים מושג אקראיות כלל ביקום, אלא רק אי-צפיות (טענה זו נקראת דטרמיניזם קשה). לפי טענה זו מאחר שרק תוצאה אחת אפשרית בכל אירוע נתון, אין דבר כזה אירוע בעל הסתברות, כלומר לגבי כל אירוע ייתכן רק אמת או שקר, אין מצב ביניים. על אף שאקראיות היא תכונה אובייקטיבית, לעיתים מה שנראה כאקראי לעינו של אחד עשוי להראות רחוק מאקראי לעינו של אחר. הדוגמה הטובה ביותר היא הצפנה. מחרוזת סיביות של טקסט מוצפן כלשהו נראית כאקראית לכל דבר למתבונן מהצד, אולם אינה אקראית מנקודת ראותו של בעל מפתח ההצפנה המתאים. לדידו לאחר פענוחה מקבלת המחרוזת 'האקראית' משמעות ברורה. בהקשר זה המחרוזת אינה אקראית אלא "בלתי צפויה". למעשה אחד ההיבטים החשובים של תכונת האקראיות הוא שקשה מאוד לקבוע האם מחרוזת סיביות היא אקראית אמיתית. תמיד קיים חשש שהמחרוזת אינה אלא חלק מתבנית מסוימת שניתן להבחין בה באמצעות מידע נסתר כלשהו כמו מפתח הצפנה למשל. זהו אחד המניעים לגילויים חדשים במתמטיקה שהתגלו כתוצאה מסקרנות ורצון להבין תופעות בלתי מוסברות. ערכים מתמטיים ידועים כמו ערכו של פאי מקיימים תכונות הנראות לעין כאקראיות, אולם ברור שכיוון שנוצרו באופן דטרמיניסטי הם אינם אקראיים. על כן הם נקראים "אקראיים מדומים" (פסאודו-אקראיים). למתבונן מהצד שאינו מכיר את המערכת הם נראים כאקראיים. רצף פסאודו-אקראי, נקרא בלתי צפוי בהקשר זה. מערכות כאוטיות הן בלתי צפויות עקב התלות העדינה בתנאים התחלתיים רבים. שאלת היותם בלתי צפויים מהיבט של חישוביות היא נושא פתוח. יש הסבורים כי קיים קשר בין אקראיות לבין אי-צפיות חישובית. תופעות אקראיות כשלעצמן אינן אקראיות לגמרי, במובן שניתן לחזות או להעריך את סיכויי התרחשותן. ניתן לחשב את תוחלת חייהם של אטומים על אף שהתפרקותם אקראית. או למשל על אף שלא ניתן לנחש צד מטבע בהטלה בודדת, אפשר להעריך באופן סטטיסטי כי לאחר מספר רב של הטלות כמחצית מהן יהיו עץ. מקצת אירועים מאקרוסקופיים ניתנים לחיזוי מדויק על אף שברמה מיקרוסקופית הם בלתי צפויים. על פי היהדות, המאמינה באל אחד, כל צעד ושעל בו צפוי בידי ההשגחה העליונה ובמקביל תתקיים בחירה חופשית. כלומר האדם מסוגל לבצע החלטות לפי רצונו החופשי המוחלט ואינו נשלט בידי כח עליון ועם זאת החלטתו תהיה צפויה בפני האל היודע צפונות ליבו ומניעו הנסתרים. [1] ולכן אינה קיימת אקראיות בהחלטותיהם של בני האדם ובחירותיהם הם תוצר העבר והסביבה בה גדלו וחונכו, ובשל מורכבותם הרבה, קשה לצפות את התנהגותם. רבי יוסף קארו ציין כבר ש"הטבע" בגימטריה שווה ל"אלהים". כלומר בכל מה שקשור לטבע, אין אירועים אקראיים. הכל גלוי וידוע לפני לבורא עולם. תופעות טבע אינן רק פועל ידיו של אלוהים אלא חלק בלתי נפרד ממנו. יוצא מן הכלל הוא בני אדם שלהם כושר החלטה וחופש בחירה לגבי מעשיהם וגורלם, לכאורה בסתירה לידיעה האלוהית האין סופית. הרמב"ם מיישב סתירה זו באופן פשוט, הוא מבחין בין ידיעת בני אדם לידיעה אלוהית. בני אדם מוגבלים בזמן ובמקום בעוד שידיעת אלוהים אינה מוגבלת, אין לפניו עבר הווה או עתיד. ועל כן הבחירה החופשית אינה סותרת את האמונה כי הטבע מכוון בידי אלוהים. גם בני דתות אחרים מודעים לסתירה לכאורה בין הידיעה האלוהית לבין מושג הבחירה החופשית. תאולוגים נוצרים אחדים ניסו ליישב זאת באמצעות מושג אקראיות כבריאה אלוהית. הפילוסופיה הבודהיסטית (קארמה) אינה מאמינה באקראיות ולפי אמונתה כל אירוע המתרחש הוא תוצאה של שרשרת אירועים קודמים. מרטין לותר אבי הדת הפרוטסטנטית האמין על פי הבנתו את התנ"ך שלא קיימת אקראיות. לפי הבנתו הבחירה החופשית מוגבלת לרמה נמוכה מאוד של קבלת החלטות. הנצרות דגלה בעבר בהשקפת עולם דטרמיניסטית בעיקרה ולא האמינה באקראיות או בבחירה חופשית; זו אחת הסיבות להתנגדותה לתורת האבולוציה שלפיה התפתחות של אוכלוסיות מסוימות הייתה עקב וריאציה גנטית אקראית. דונלד קנות', מדען מחשב ופרשן של הנצרות שחקר מספרים פסאודו-אקראיים, טוען שאלוהים ברא במכוון את האקראיות כדי לאפשר בחירה חופשית מוגבלת. הוא מאמין שאלוהים מעוניין שתהיה בידי בני אנוש יכולת החלטה עד לרמה מסוימת. בהתבסס על הבנתו בתחום המחשבים הקוונטיים, הוא סבור שאלוהים מפעיל שליטה דינאמית בעולם מבלי להפר את חוקי הפיזיקה. גם ק.ס. לואיס, סופר ותאורטיקן נוצרי שחי במאה העשרים, התייחס רבות לנושא הבחירה החופשית. הוא כתב שאלוהים רצה שתהיה בידי בני אדם בחירה חופשית למרות הידיעה כי הדבר בהכרח יוביל לרוע וסבל, אולם החופש שווה אפילו את המחיר הזה. לדעתו, עולם ללא בחירה חופשית לא מאפשר את היכולת לאהוב. אקראיות במתמטיקה, פוליטיקה או דת, מנוצלת בעיקר בשל התכונה המולדת של הגינות או העדר ההטיה שבה. כמו השימוש שנעשה על ידי האתונאים באקראיות כדרך לחלוקה הוגנת של אדמות. אקראיות משמשת כיום בפוליטיקה בעיקר כדרך בחירה הוגנת של מושבעים במערכת המשפט האנגלו-סכסונית או במערכת הגיוס לצבא ארצות הברית ומדינות אחרות. כמו כן נעשה שימוש רב באקראיות בהימורים לסוגיהם באמצעות הטלת מטבע, קוביות, קלפי משחק ורולטות, הגרלות לוטו וכדומה. היכולת לייצר מספרים אקראיים באופן הוגן אף היא חלק חשוב בתעשיית ההימורים האלקטרונית השיטות ליצירת המספרים בדרך כלל מפוקחות בידי רשויות החוק. אקראיות משמשת גם למקרים בהם אין יכולת הכרעה, כמו ההחלטה באיזה צד או מי יתחיל ראשון במשחק כלשהו, או בבחירת אנשים למשימה לא רצויה. אקראיות משמשת גם לצורך סקרי דעת קהל, משאלים ומדגמים. במתמטיקה, בעיות מסוימות ניתנות לפתרון רק באמצעות מספרים אקראיים. שיטת מונטה קרלו היא המפורסמת מבין השיטות המתמטיות שבהן משתמשים במספרים אקראיים כדי לפתור בעיות מתמטיות. כמו כן אקראיות מסייעת בבדיקת ראשוניות ובאלגוריתמים גנטיים. קיימות למעשה שלוש דרכים עיקריות ליצירת אקראיות: אקראיות טבעית; אקראיות שמקורה בתופעות טבע ידועות כמו תנועה בראונית, התפרקות רדיואקטיבית. אקראיות כאוטית; אקראיות שמקורה במצב התחלתי מורכב, אקראיות זו נלמדת בתורת הכאוס והיא אקראיות הנוצרת ממקור הרגיש מאוד לשינויים מינוריים במצבים התחלתיים עדינים. כדור רולטה או קוביות משחק הם דוגמה טובה לאקראיות כזו. אקראיות מדומה; אקראיות שנוצרת בדרך דטרמיניסטית, כגון במחשב. קיימים מחוללי מספרים אקראיים רבים המבוססים על אריתמטיקה או אוטומט תאי. התנהגות מערכת אקראית מסוג כזה ניתנת לחיזוי בהינתן הגרעין ההתחלתי והאלגוריתם. מספרים פסאודו-אקראיים ניתנים להכנה בקלות ולרוב די בהם לצורך מעשי. השימושים הרבים באקראיות הולידו שיטות רבות ומגוונות ליצירת מספרים אקראיים. השיטות השונות נבדלות ברמת אקראיותן מבחינה סטטיסטית, ובקלות תפעולן. לפני התפתחות המחוללים האקראיים החישוביים, נדרשה עבודה רבה בהכנת רצפים אקראיים ארוכים במידה מספקת ובאיכות הרצויה. כיום המגוון הוא עצום, אולם לא כל אלגוריתם ליצירת מספרים אקראיים אכן עומד בדרישות מינימליות של אקראיות. בדיקת אקראיות היא משימה קשה. לא ניתן להוכיח מבחינה מתמטית כי רצף כלשהו הוא אקראי באמת, אולם ניתן לבדוק אקראיות מבחינה סטטיסטית חישובית. ישנם כמה כלים מעשיים למדידת אקראיות סטטיסטית של רצפים בינאריים. כולל מדידות המבוססות על מבחני תדירות, התמרה וסיבוכיות או שילוב ביניהם. בין המבחנים הידועים נמנים אלו של קאק, פיליפס, יון, הופקינס, בת', דאי, זאמן ומרסגליה. החומר המקיף ביותר אודות אקראיות הוא של דונלד קנות' בספרו The Art of Computer Programming כרך שני. ראו: מחולל מספרים אקראיים: מבחנים סטטיסטיים. לעיתים עולה טענה בפי מהמרים, שהיות שכל המספרים בסופו של דבר ייבחרו ברצף האקראי, אותם מספרים שלא הופיעו עדיין הם "הבאים בתור", במילים אחרות סיכוייהם גבוהים משל אלו שכבר הופיעו. טענה זו נכונה רק אם מדובר בבחירת מספרים ללא חזרות, למשל כאשר מספרים שנבחרו מוסרים מהערימה, ואז הסיכויים של אלו שטרם נבחרו גדלים, כמו במשחקי קלפים מסוימים. אולם כאשר מדובר במקרה הכללי של אקראיות הטענה אינה נכונה – אם מחזירים כל מספר שנבחר לערמה הרי שהסיכויים לבחירת כל מספר שווים, כמו במקרה של הטלת קוביות או בכל הגרלת לוטו נפוצה. דרך נכונה להסתכל על זה היא שתהליך אקראי כמו הטלת מטבע אינו מכיל זיכרון, כך שלתוצאות קודמות אין כל השפעה על תוצאות עתידיות. תכונה הסתברותית זו מכונה חוסר זיכרון. תפיסה מוטעית אחרת היא האמונה שמספר מסוים הוא "מקולל" (ראו: חוק בנפורד) – אמונה טפלה שהיא כמעט היפוכה של הטענה הקודמת. לא מעט מאמינים שמספרים שהופיעו בתדירות נמוכה בעבר, נוטים להדיר רגליהם גם בעתיד. כמוה כטענה כי מספר מסוים "מבורך" שמושמעת מפי לא מעט מהמרים. מבחינה מתמטית אמונות אלו מופרכות, למעט מקרים יוצאים מן הכלל שבהם המכשיר המייצר את המספרים האקראיים נוטה לצד כלשהו. אמונות אילו לא לגמרי מופרכות כי באופן טבעי, אירועים בלתי צפויים או אי-ודאיים באופן מושלם אינם נפוצים, ותמיד קיימות הטיות מסוימות, דבר המאפשר ללמוד מהו האירוע בעל הסבירות הגבוהה ביותר שיתרחש. אולם לא ניתן להשליך לוגיקה זו על מערכות שפותחו במיוחד על מנת לבטל הטיה סטטיסטית, כמו גלגל רולטה או קוביות משחק. Third Workshop on Monte Carlo Methods, Jun Liu, Professor of Statistics, Harvard University Municipal Elections Act (Ontario, Canada) 1996, c. 32, Sched., s. 62 (3) : "If the recount indicates that two or more candidates who cannot both or all be declared elected to an office have received the same number of votes, the clerk shall choose the successful candidate or candidates by lot." "Each nucleus decays spontaneously, at random, in accordance with the blind workings of chance". Q for Quantum, John Gribbin Breathnach, A. S. (1982). "A long-term hypopigmentary effect of thorium-X on freckled skin". British Journal of Dermatology 106 (1): 19–25. doi:10.1111/j.1365-2133.1982.tb00897.x. “The distribution of freckles seems to be entirely random, and not associated with any other obviously punctuate anatomical or physiological feature of skin.” Donald Knuth, "Things A Computer Scientist Rarely Talks About", Pg 185, 190–191, CSLI Terry Ritter, Randomness tests: a literature survey. http://www.ciphersbyritter.com/RES/RANDTEST.HTM אנטרופיה תורת האינפורמציה תורת ההסתברות משתנה מקרי רעש לבן תוצאה לא מכוונת Deborah J. Bennett, Randomness, Harvard University Press, 1998. ISBN 0-674-10745-4 Olav Kallenberg, Random Measures, 4th ed, Academic Press, New York, London; Akademie-Verlag, Berlin (1986). MR0854102 Donald E. Knuth, The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, 3rd ed, Reading, MA: Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2 Nassim Nicholas Taleb, Fooled by Randomness, 2nd ed, Thomson Texere, 2004. ISBN 1-58799-190-X Gregory Chaitin, Exploring Randomness, Springer-Verlag London, 2001. ISBN 1-85233-417-7 Kenneth Chan, Random, includes a "Random Scale" for grading the level of randomness מדיה וקבצים בנושא אקראיות בוויקישיתוף George Johnson, Connoisseurs of Chaos Offer A Valuable Product: Randomness, The New York Times, ‏12 ביוני 2001 מקריות, דף שער בספרייה הלאומית