משפט הפירוק של לבג

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, משפט הפירוק של לבג הוא משפט הקובע כי ניתן לפרק כל מידה סיגמא-סופית לחלק רציף בהחלט ולחלק סינגולרי ביחס למידה סיגמא-סופית אחרת. משפט זה הוא למעשה הרחבה של משפט רדון־ניקודים. המשפט קרוי על שמו של אנרי לבג. בהינתן מרחב מדיד ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ושתי מידות סיגמא-סופיות על המרחב μ , ν {\displaystyle \mu ,\nu } , אזי קיימות זוג מידות על המרחב ν cont , ν sing {\displaystyle \nu _{\text{cont}},\nu _{\text{sing}}} כך ש: ν = ν cont + ν sing {\displaystyle \nu =\nu _{\text{cont}}+\nu _{\text{sing}}} . ν cont ≪ μ {\displaystyle \nu _{\text{cont}}\ll \mu } . כלומר, ν cont {\displaystyle \nu _{\text{cont}}} רציפה בהחלט ביחס ל μ {\displaystyle \mu } . ν sing ⊥ μ {\displaystyle \nu _{\text{sing}}\perp \mu } . כלומר, ν sing {\displaystyle \nu _{\text{sing}}} סינגולרית ביחס ל μ {\displaystyle \mu } . יתר על כן, פירוק זה הוא פירוק יחיד. במקרה שבו ν {\displaystyle \nu } היא מידה סופית, מגדירים: L := { f : Ω → [ 0 , ∞ ) ∣ ∀ A ∈ Σ , ∫ A f d μ ≤ ν ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}:=\left\{f:\Omega \to [0,\infty )\mid \forall A\in \Sigma ,\int _{A}{fd\mu }\leq \nu (A)\right\}} ניתן להוכיח באמצעות הלמה של צורן כי ל- L {\displaystyle {\mathcal {L}}} קיים איבר מקסימלי ולסמנו ב- z {\displaystyle z} . בגלל סופיות המידה μ {\displaystyle \mu } , בהכרח מתקיים כי z {\displaystyle z} מקבלת את הערך ∞ {\displaystyle \infty } עבור קבוצה ממידה אפס (ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } ). כמו כן, לכל f ∈ L {\displaystyle f\in {\mathcal {L}}} מתקיים כי f ≤ z {\displaystyle f\leq z} כמעט בכל מקום (גם כן, ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } ). לכל A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } מגדירים: ν cont ( A ) := ∫ A z d μ {\displaystyle \nu _{\text{cont}}(A):=\int _{A}{zd\mu }} ν sing ( A ) := ν ( A ) − ν cont ( A ) {\displaystyle \nu _{\text{sing}}(A):=\nu (A)-\nu _{\text{cont}}(A)} . מובן כי: ν = ν cont + ν sing {\displaystyle \nu =\nu _{\text{cont}}+\nu _{\text{sing}}} ν cont ≪ μ {\displaystyle \nu _{\text{cont}}\ll \mu } , (מתכונות אינטגרל לבג). נותר רק להוכיח כי ν sing ⊥ μ {\displaystyle \nu _{\text{sing}}\perp \mu } . לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים λ n := ν sing − 1 n μ {\displaystyle \lambda _{n}:=\nu _{\text{sing}}-{\frac {1}{n}}\mu } . זוהי מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת קבוצה חיובית P n ∈ Σ {\displaystyle P_{n}\in \Sigma } כך ש- Ω ∖ P n {\displaystyle \Omega \backslash P_{n}} היא קבוצה שלילית. מגדירים P := ⋃ n P n {\displaystyle P:=\bigcup _{n}{P_{n}}} . לכל n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } מתקיים Ω ∖ P = Ω ∖ ⋃ n P n = ⋂ n Ω ∖ P n ⊆ Ω ∖ P n 0 {\displaystyle \Omega \backslash P=\Omega \backslash \bigcup _{n}{P_{n}}=\bigcap _{n}{\Omega \backslash P_{n}}\subseteq \Omega \backslash P_{n_{0}}} . לכן: ν sing ( Ω ∖ P ) − 1 n 0 μ ( Ω ∖ P ) = λ n 0 ( Ω ∖ P ) ≤ 0 ⟹ ν sing ( Ω ∖ P ) ≤ 1 n 0 μ ( Ω ∖ P ) {\displaystyle \nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)-{\frac {1}{n_{0}}}\mu (\Omega \backslash P)=\lambda _{n_{0}}(\Omega \backslash P)\leq 0\implies \nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)\leq {\frac {1}{n_{0}}}\mu (\Omega \backslash P)} הדבר נכון לכל n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } , לכן בהכרח ν sing ( Ω ∖ P ) = 0 {\displaystyle \nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)=0} . עבור כל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים: z n ( x ) := { z ( x ) + 1 n , if  x ∈ P n z ( x ) , else {\displaystyle z_{n}(x):={\begin{cases}z(x)+{\frac {1}{n}},&{\text{if }}x\in P_{n}\\z(x),&{\text{else}}\end{cases}}} בגלל החיובית של P n {\displaystyle P_{n}} ניתן להוכיח כי z n ∈ L {\displaystyle z_{n}\in {\mathcal {L}}} . מצד שני, בגלל המקסימליות של z {\displaystyle z} , מחויב כי μ ( P n ) = 0 {\displaystyle \mu (P_{n})=0} . הדבר נכון לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , לכן בהכרח μ ( P ) = μ ( ⋃ n P n ) = 0 {\displaystyle \mu (P)=\mu \left(\bigcup _{n}{P_{n}}\right)=0} . התקבל אפוא כי ν sing ( Ω ∖ P ) = 0 {\displaystyle \nu _{\text{sing}}(\Omega \backslash P)=0} ו- μ ( P ) = 0 {\displaystyle \mu (P)=0} , לכן ν sing ⊥ μ {\displaystyle \nu _{\text{sing}}\perp \mu } . מ.ש.ל. במקרה שבו ν {\displaystyle \nu } היא מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את המרחב Ω {\displaystyle \Omega } לכמות בת מניה של קבוצות זרות עבורן המידה ν {\displaystyle \nu } היא סופיות { C n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{C_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} . לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ולכל A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } מגדירים μ n ( A ) := μ ( A ∩ C n ) {\displaystyle \mu _{n}(A):=\mu (A\cap C_{n})} ו- ν n ( A ) := ν ( A ∩ C n ) {\displaystyle \nu _{n}(A):=\nu (A\cap C_{n})} . ברור כי ν n {\displaystyle \nu _{n}} מידה סופית, לכן לפי תוצאת המשפט למקרה הסופי עבור μ n , ν n {\displaystyle \mu _{n},\nu _{n}} , לפרק אותה ל- ν cont n , ν sing n {\displaystyle \nu _{\text{cont}}^{n},\nu _{\text{sing}}^{n}} כתוצאת המשפט. מגדירים: ν cont := ∑ n = 1 ∞ ν cont n {\displaystyle \nu _{\text{cont}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\nu _{\text{cont}}^{n}}} ν sing := ∑ n = 1 ∞ ν sing n {\displaystyle \nu _{\text{sing}}:=\sum _{n=1}^{\infty }{\nu _{\text{sing}}^{n}}} ניתן להוכיח כי ν cont , ν sing {\displaystyle \nu _{\text{cont}},\nu _{\text{sing}}} הוא הפירוק הרצוי. מ.ש.ל. ממשפט הפירוק של לבג ניתן להסיק כי כל מידה μ {\displaystyle \mu } המוגדרת על המרחב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} לפי סיגמא-אלגברת בורל ניתנת לפירוק μ = μ ac + μ c s + μ a {\displaystyle \mu =\mu _{\text{ac}}+\mu _{cs}+\mu _{a}} כך ש: μ ac , μ c s , μ a {\displaystyle \mu _{\text{ac}},\mu _{cs},\mu _{a}} סינגולריות אחת ביחס לשנייה μ ac {\displaystyle \mu _{\text{ac}}} רציפה בהחלט (ביחס למידת לבג) μ c s {\displaystyle \mu _{cs}} סינגולרית רציפה (ביחס למידת לבג) μ a {\displaystyle \mu _{a}} מידה בדידה (כלומר, סכום בן-מניה של מידות דיראק ממושקלות) משפט הפירוק של לבג ניתן להכללה עבור מידות סיגמא-סופיות מסומנות או מרוכבות. נוסח המשפט נותר זהה מלבד הסרת ההנחה לחיוביות. על-מנת להוכיח את הרחבה זו יש להשתמש במשפט הפירוק של ז'ורדן כדי לפרק את המידות לחלק חיובי ושלילי ולהוכיח את המשפט לכל חלק בנפרד. ערך מורחב – משפט רדון־ניקודים בעוד משפט הפירוק של לבג מתייחס לשתי מידות סיגמא-סופיות כלליות, במקרה שבו אחת המידות רציפה בהחלט ביחס לשנייה ניתן להסיק את משפט רדון-ניקודים מההוכחה של ממשפט הפירוק שהוצגה למעלה: במקרה שבו ν ≪ μ {\displaystyle \nu \ll \mu } , לפי משפט הפירוק של לבג ν sing = ν − ν cont {\displaystyle \nu _{\text{sing}}=\nu -\nu _{\text{cont}}} , אבל במקרה זה ν sing {\displaystyle \nu _{\text{sing}}} היא הפרש של שתי מידות רציפות בהחלט ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } , לכן אף היא רציפה ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } . מקבלים אם כן כי ν sing {\displaystyle \nu _{\text{sing}}} היא גם סינגולרית וגם רציפה, לכן היא בהכרח מידת האפס. כלומר ν = ν cont {\displaystyle \nu =\nu _{\text{cont}}} . כזכור, ν cont {\displaystyle \nu _{\text{cont}}} נוצרת על-ידי אינטגרציה של פונקציה z : Ω → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle z:\Omega \to [0,\infty ]} כלשהי, וזהו בדיוק משפט רדון-ניקודים. באופן זהה ניתן להסיק בכיוון ההפוך את משפט הפירוק של לבג ממשפט רדון-ניקודים. משפט הפירוק של לבג, באתר MathWorld (באנגלית) Lebesgue decomposition theorem, planetmath.org The Lebesgue Decomposition Theorem, University of Colorado (באנגלית)