קבוצת מנדלברוט

קבוצת מַנְדֶלְבְּרוֹט היא קבוצה של מספרים מרוכבים שנוצרים על ידי כללים פשוטים, אבל הקבוצה כולה היא בעלת מורכבות גדולה. תנאי השייכות לקבוצה עדין ביותר, ובקרבת השפה מופיעה התנהגות פרקטלית של דמיון-עצמי בכל קנה מידה. קבוצת מנדלברוט תוארה לראשונה על ידי בנואה מנדלברוט בשנת 1979, וקרויה על שמו. הקבוצה מהווה אובייקט מחקר בסיסי ומעניין בתחום מחקר הפרקטלים, ובעזרתה חוקרים תופעות במערכות דינמיות מרוכבות. קבוצת מנדלברוט היא אחד הנושאים הנחקרים בתחום הפרקטלים, שהחל לתפוס תאוצה בתחילת המאה ה-20, כשבין אבותיו נמנים פייר פאטו וגסטון ז'וליה. קבוצת מנדלבורט תוארה לראשונה על ידי המתמטיקאי רוברט ברוקס בשנת 1978. בשנת 1980 גילה בנואה מנדלברוט את הקבוצה תוך ביצוע אנימציות של קבוצת ז'וליה במחשב, וכתב מאמר ראשוני בו היא נכללה. בשנת 1985 פרסמו שני מתמטיקאים נוספים מאמר נרחב על קבוצה זו, וקראו לה על שם מנדלברוט. בהמשך, הפכה קבוצת מנדלבורט לאובייקט מחקר בסיסי בתורת המערכות הדינמיות המרוכבות. החל משנת 1985 הפך עניין שרטוט קבוצת מנדלבורט למושא עניינם של רבים, וגם פורסמו אלגוריתמים לשרטוט הקבוצה ותמונות צבעוניות שלה. קבוצת מנדלברוט מוגדרת באופן הבא: לכל מספר מרוכב c {\displaystyle c} , אפשר להגדיר באופן רקורסיבי סדרה, שאיברה הראשון a 0 ( c ) = 0 {\displaystyle a_{0}(c)=0} , והמשכה מחושב על-פי הכלל a n + 1 ( c ) = a n ( c ) 2 + c {\displaystyle a_{n+1}(c)=a_{n}(c)^{2}+c} . הסדרה עשויה להיות חסומה או בלתי-חסומה, תלוי בערכו של c {\displaystyle c} . קבוצת מנדלברוט מורכבת מן המספרים c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } שעבורם הסדרה a n ( c ) {\displaystyle a_{n}(c)} חסומה. מנקודת מבט שונה במקצת, לכל c {\displaystyle c} , מוגדרת קבוצת ז'וליה J c {\displaystyle J_{c}} כשפה של קבוצת הנקודות z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } שעבורן הסדרה f c n ( z ) {\displaystyle f_{c}^{n}(z)} חסומה (כאשר f c ( z ) = z 2 + c {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c} ). ז'וליה ופאטו הוכיחו שאם הסדרה f c n ( 0 ) {\displaystyle f_{c}^{n}(0)} חסומה (כלומר c {\displaystyle c} שייכת לקבוצת מנדלברוט) אז J c {\displaystyle J_{c}} קשירה, ואם היא אינה חסומה, אז J c {\displaystyle J_{c}} בלתי קשירה לחלוטין. משפט זה מוביל להגדרה שקולה נוספת של הקבוצה: זהו המקום הגאומטרי הקשיר(אנ') של משפחת הפולינומים f c ( z ) = z 2 + c {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c} , כלומר אוסף הנקודות עבורן קבוצת ז'וליה המתאימה היא קשירה. ערכים מורחבים – מערכת דינמית, דינמיקה הולומורפית, מערכת דינמית הנתונה על ידי פולינום ריבועי במשתנה מרוכב אחד השאלה האם מספר c {\displaystyle c} נמצא בקבוצת מנדלברוט ומקומו בקבוצה זאת מספקת מידע רב על המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה f c ( z ) := z 2 + c {\displaystyle f_{c}(z):=z^{2}+c} . זאת אחת המערכות הדינמיות הפשוטות ביותר המוגדרות על ידי פונקציה לא הפיכה: מדובר בפולינום ממעלה שנייה במשתנה מְרוּכַּב אחד. מערכות דינמיות המוגדרות על ידי פונקציות ליניאריות הן פשוטת מאוד. כל מערכת דינמית המוגדרת על ידי פולינום ממעלה שנייה ממשתנה מרוכב אחד שקולה למערכת המוגדרת על ידי הפונקציה f c {\displaystyle f_{c}} . כך שניתן לחשוב על דוגמה זאת כעל "הדוגמה הלא טריוויאלית הראשונה". קבוצת מנדלברוט מאפשרת טיפול סימולטני בכל המערכות הדינמיות האלה לכל c {\displaystyle c} . למרות פשטותה היחסית של מערכת זו היא מדגימה התנהגויות מורכבות מאוד כפי שניתן לראות מהמורכבות של קבוצת מנדלברוט. ישנן שאלות פתוחות רבות לגבי התנהגויות אלה אך גם תוצאות רבות שכבר הוכחו. באופן כללי מערכת דינמית בדידה היא זוג, המורכב מקבוצה X {\displaystyle X} ופונקציה f {\displaystyle f} מ- X {\displaystyle X} לעצמה. במקרה שלנו X {\displaystyle X} היא המישור המרוכב C {\displaystyle \mathbb {C} } ו- f {\displaystyle f} היא הפונקציה f c {\displaystyle f_{c}} עבור פרמטר c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } . השאלה הבסיסית בחקר מערכות דינמיות היא זו: בהינתן נקודה x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} , איך מתנהגת הסדרה f n ( x 0 ) {\displaystyle f^{n}(x_{0})} שמתקבלת מהפעלת הפונקציה על x 0 {\displaystyle x_{0}} ואז על תוצאת ההפעלה וכך הלאה עד אינסוף. סדרות כאלה נקראות מסלולים. התנהגות אפשרית אחת היא התכנסות לנקודת שֶבת. נקודת שֶבֶת היא נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} המקיימת f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} . נקודת שבת x ∈ X {\displaystyle x\in X} נקראת יציבה אם בהינתן נקודה x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} הקרובה מספיק ל x {\displaystyle x} , אז הסדרה f n ( x 0 ) {\displaystyle f^{n}(x_{0})} מתכנסת ל x {\displaystyle x} . בהינתן נקודת שבת יציבה יש מסלולים רבים שמתכנסים אליה. משימת איתור נקודות שבת שקולה לפתרון משוואה, ולכן קלה יחסית. בדרך כלל ניתן לבדוק האם נקודת שבת היא יציבה על ידי ניתוח הנגזרת של הפונקציה בנקודת השבת, ולכן גם זו משימה לא קשה. מיון נקודות השבת של מערכת דינמית היא השלב הראשון בחקירתה. התנהגות אפשרית אחת היא היתכנות למסלול מחזורי. מסלול מחזורי הוא מסלול f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} המקיים f n + k ( x ) = f n ( x ) {\displaystyle f^{n+k}(x)=f^{n}(x)} עבור k {\displaystyle k} מסוים וכל n {\displaystyle n} . מסלול שבו במקום מסוים מופיעה הנקודה המקורית. אומרים שמסלול מתכנס למסלול מחזורי אם החל ממקום מסוים הוא קרוב כרצוננו למסלול מחזורי. מסלול מחזורי נקרא יציב אם בהינתן נקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} קרובה מספיק לאחת מנקודות המסלול, הסדרה f n ( x 0 ) {\displaystyle f^{n}(x_{0})} מתכנסת למסלול המחזורי. ניתוח המסלולים המחזוריים ממחזור נתון k {\displaystyle k} ויציבותם שקול לניתוח נקודות השבת של f k {\displaystyle f^{k}} . מכאן שעבור k {\displaystyle k} ספציפי מדובר במשימה פשוטה למדי. אולם ניתוח כל המסלולים המחזוריים ויצובותם הוא משימה מסובכת בהרבה. קל יותר לנתח מערכות דינמיות כאשר הקבוצה X {\displaystyle X} היא קומפקטית. המישור המרוכב אינו קומפקטי. ניתן להחליף אותו בספירה של רימן (כלומר להוסיף לו נקודה באינסוף) ואז נקבל מרחב קומפקטי. קל לראות שהפונקציה f c {\displaystyle f_{c}} מתרחבת ברציפות לספירה של רימן (על ידי כך שקובעים את האינסוף להיות נקודת שבת שלה). מכאן ניתוח המערכת הדינמית שלנו שקול לניתוח המערכת הדינמית שמתקבלת על הספירה של רימן. בהינתן מערכת דינמית על קבוצה קומפקטית X {\displaystyle X} ניתן לחלק את X {\displaystyle X} לשתי קבוצות: קבוצת פאטו - אוסף הנקודות x 0 {\displaystyle x_{0}} כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי קטן בסדרה f n ( x 0 ) {\displaystyle f^{n}(x_{0})} קבוצת ז'וליה - אוסף הנקודות x 0 {\displaystyle x_{0}} כך ששינוי קטן בהן מוביל לשינוי גדול בסדרה f n ( x 0 ) {\displaystyle f^{n}(x_{0})} עבור המערכת הדינמית המוגדרת על ידי הפונקציה f c ( z ) {\displaystyle f_{c}(z)} מתקימות התכונות הבאות: עבור כל x 0 {\displaystyle x_{0}} המקיים | x 0 | > 2 {\displaystyle |x_{0}|>2} הסדרה f c n ( x 0 ) {\displaystyle f_{c}^{n}(x_{0})} שואפת לאינסוף. זה מאפשר לקבוע בקלות יחסית שנקודה מסוימת לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט. למערכת יש לא יותר ממסלול מחזורי אחד. למערכת יש מסלול מחזורי אם ורק אם המסלול המתחיל ב-0 מתכנס למסלול מחזורי. קבוצת ז'וליה של המערכת קשירה אם ורק אם c {\displaystyle c} נמצאת בקבוצת מנדלברוט. אם c {\displaystyle c} לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט אז קבוצת ז'וליה של המערכת הומיאומורפית לקבוצת קנטור ובפרט בלתי קשירה לחלוטין. אם למערכת יש נקודת שבת יציבה אז קבוצת ז'וליה של המערכת היא עקום פשוט (רציף ובדרך כלל לא חלק) סגור. בהתאם לפי משפט העקום של ז'ורדן, לקבוצת פאטו של המערכת יש בדיוק שני רכיבי קשירות (האחד תחום על ידי קבוצת ז'וליה והאחר מחוצה לה). אם למערכת יש מסלול מחזורי יציב (יציב שאינו נקודת שבת) אז לקבוצת פאטו של המערכת יש אינסוף רכיבי קשירות. במבט חטוף על קבוצת מנדלברוט ניתן לראות שהיא מורכבת מ"חלקים" המהווים צורת גאומטריות פשוטת יחסית (לא פרקטלים). ניתן להגדיר באופן ריגורוזי חלקים אלה בתור רכיבי קשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט. משערים שפנים זה צפוף בקבוצת מנדלברוט. הגדול והבולט בין רכיבים אלו נקרא הקרדיואידה הראשית. צורתה הגאומטרית היא קרדיואידה. ניתן להגדיר אותה כאוסף כל הנקודות c {\displaystyle c} עבורם למערכת z ↦ f c ( z ) := z 2 + c {\displaystyle z\mapsto f_{c}(z):=z^{2}+c} יש נקודת שבת יציבה. קל לראות שקבוצה זאת מתוארת על ידי התנאי ∃ z  s.t.  f ( z ) = z  and  | f ′ ( z ) | < 1. {\displaystyle \exists z{\text{ s.t. }}f(z)=z{\text{ and }}|f'(z)|<1.} קל לראות שתנאי זה מתקיים אמ"ם קיים μ {\displaystyle \mu } בעיגול היחידה כך ש: c = μ 2 ( 1 − μ 2 ) {\displaystyle c={\frac {\mu }{2}}\left(1-{\frac {\mu }{2}}\right)} מכאן שהספה של הקבוצה הזאת מתוארת על ידי המשוואה הפרמטרית: c ( t ) = e i t 2 ( 1 − e i t 2 ) {\displaystyle c(t)={\frac {e^{it}}{2}}\left(1-{\frac {e^{it}}{2}}\right)} רכיב נקרא רכיב היפרבולי אם עבור כל נקודה בו למערכת יש מסלול מחזורי יציב. מחזור המסלול במקרה זה הוא קבוע ונקרא המחזור של הרכיב. משערים שכל רכיבי הקשירות של הפנים של קבוצת מנדלברוט הם היפרבוליים. עבור n {\displaystyle n} נתון, תיאור כל הרכיבים ההיפרבוליים ממחזור n {\displaystyle n} היא משימה הניתנת לביצוע באמצעות חישוב: התנאי לכך שנקודה נמצאת ברכיב היפרבולי ממחזור n {\displaystyle n} הוא ∃ z  s.t.  f n ( z ) = z  and  | ( f n ) ′ ( z ) | < 1. {\displaystyle \exists z{\text{ s.t. }}f^{n}(z)=z{\text{ and }}|(f^{n})'(z)|<1.} זהו תנאי אלגברי-למחצה ולכן על פי משפט זינדנברג-טרסקי (שיש לו הוכחות קנסטרוקטיביות) נתן לשכתב תנאי זה ללא כמתים אלא רק עם אי-שוויונים פולינומיים על החלק הממשי והמרוכב של c {\displaystyle c} . לאחר מכן ניתן לחשב את מספר רכיבי הקשירות ואת האי-שוויון שמתאר כל אחד מהם. אולם כאשר n {\displaystyle n} גדל חישוב ישיר נהיה לא מעשי מהר מאוד. עבור נקודה c {\displaystyle c} הנמצאת ברכיב היפרבולי ממחזור n {\displaystyle n} לקבוצת פאטו של המערכת הנתונה יש אינסוף רכיבי קשירות. n {\displaystyle n} הנקודות של המסלול המחזורי נמצאים ב- n {\displaystyle n} רכיבים שונים של קבוצת פאטו. הסגורים של רכיבים אלה נוגעים בנקודה אחת. ניתן להגדיר סדר ציקלי על רכיבים אלה לפי הסדר שבו הם נוגעים זה בזה (נגד כיוון השעון). סדר זה נותן סדר ציקלי על נקודות המסלול המחזורי. ניתן להראות שהפונקציה f c {\displaystyle f_{c}} מבצעת הזזה קבוע על נקודות המסלול המחזורי לפי הסדר הציקלי הנ"ל. גודל הזזה k {\displaystyle k} זר ל- n {\displaystyle n} . מכאן שאנו מקבלים מספר רציונלי מצומצם k n {\displaystyle {\frac {k}{n}}} . מספר אינו תלוי בנקודה c {\displaystyle c} ברכיב ההיפרבולי ובכך מהווה אינבריאנט של הרכיב ההיפרבולי. ניתן למיין ולתאר במפורש את כל הרכיבים המשיקים לקרדאוידה הראשית. רכיבים אלה נקראים רכיבים היפרבוליים ראשיים. הם כולם בצורת עיגול. לכל מספר רציונלי r {\displaystyle r} בקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} קיים ויחיד רכיב היפרבולי ראשי שהאינבריאנט הרציונלי שהוגדר מעלה עבורו הוא r {\displaystyle r} . רכיב זה משיק לקרדיאוד הראשי בנקודה c ( t ) = e i r 2 ( 1 − e i r 2 ) {\displaystyle c(t)={\frac {e^{ir}}{2}}\left(1-{\frac {e^{ir}}{2}}\right)} בסמוך לכל רכיב היפרבולי ראשי, ניתן לזהות חלק של קבוצת מנדלברוט הנראה כמעין קו (מאוד לא חלק ומכיל לאורכו רכיבים נוספים) שמתפצל למספר קווים הנראים גם הם כך. חלקים אלה של קבוצת מנדלברוט נקראים לעיתים "אנטנות". ניתן להראות שהמספר הכולל של האנטנות בהתפצלות הראשונה בסמוך לרכיב הפרבולי ראשי שווה למחזור של רכיב זה. את קבוצת מנדלברוט מתארים במישור המרוכב שבו הצירים מייצגים את החלק הממשי והמדומה של כל מספר. הנקודות השייכות לקבוצה (כלומר, הערכים של c שעבורם הסדרה a n ( c ) {\displaystyle a_{n}(c)} חסומה) נצבעות בשחור, וכל נקודה אחרת מקבלת צבע התלוי במספר האיברים בסדרה שערכם המוחלט קטן ממספר מסוים – 2 בדרך כלל. בהדגמה שלהלן מתבצע שינוי קנה המידה. כל תמונה היא הגדלה של אזור מסוים בתמונה הקודמת. ההגדלה הכוללת מהתמונה הראשונה לאחרונה מגיעה עד כדי 60 מיליארד. את קבוצת מנדלברוט ניתן להכליל באופן הבא: במקום להביט בפונקציה f c ( z ) = z 2 + c {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c} ולהציב בה ערכים, מביטים בפונקציה הכללית f c . d ( z ) = z d + c {\displaystyle f_{c.d}(z)=z^{d}+c} , עבור d {\displaystyle d} ממשי כלשהו. כאשר d {\displaystyle d} מספר שלם, המשפט אודות הקשר בין הגדרה זו להגדרה בעזרת קבוצת ז'וליה נשאר תקף. כאשר d {\displaystyle d} משתנה, ניתן לשרטט את הקבוצה ולקבל תמונה שונה בכל פעם. כך למשל, כאשר d {\displaystyle d} נמצא בין 0 ל-5 (כמו בתמונה המצורפת), ניתן לראות את קבוצת מנדלברוט "נולדת" מכלום ומתפתחת. שימוש נוסף של קבוצת מנדלברוט הוא האפשרות לקרב את פאי בעזרת מונחים וכלים מנושא זה. כידוע, המספר c = 1 4 {\displaystyle c={\frac {1}{4}}} הוא המספר הממשי הגדול ביותר בקבוצת מנדלברוט; עוד ידוע כי כל פעם שהסדרה a n ( c ) {\displaystyle a_{n}(c)} חסומה, אז היא קטנה מ-2 בהכרח. כעת, לכל מספר ממשי c > 1 4 {\displaystyle c>{\frac {1}{4}}} , מסמנים ב- N c {\displaystyle N_{c}} את מספר הפעמים שיש לבצע את האיטרציה עד שעוברים את 2, כלומר המספר הראשון כך ש- a N c ( c ) > 2 {\displaystyle a_{N_{c}}(c)>2} . מסתבר שהסדרה n ⋅ N 1 4 + 1 / n 2 {\displaystyle n\cdot N_{{\frac {1}{4}}+1/n^{2}}} מתכנסת ל- π {\displaystyle \pi } . נקודות נוספות בקבוצת מנדלברוט אשר מאפשרות לקרב את פאי כוללות נקודות הנמצאות על התפר בין הצורות של הקבוצה. עבור נקודות כאלו, המסלול אשר בעזרתו שואפים אל הנקודה משתנה ולרוב איננו כולל מספרים ממשיים. עבור הפונקציה הממשית f ( x ) = x 2 + 1 4 {\displaystyle f(x)=x^{2}+{\frac {1}{4}}} , הישר y = x {\displaystyle y=x} משיק לפונקציה; לכן, בעת הפעלת התהליך של סדרת מנדלברוט, נוצרת מעין פונקציית מדרגה תחומה בין הפרבולה לבין הישר, אשר שואפת בגובהה אל 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} אך לא מגיעה. לעומת זאת, בפונקציה f ( x ) = x 2 + 1 4 + ϵ {\displaystyle f(x)=x^{2}+{\frac {1}{4}}+\epsilon } , הישר y = x {\displaystyle y=x} לא משיק לפרבולה, ולכן נוצרת ביניהם פונקציית מדרגה. במובן מסוים, פאי הוא ה"זמן" שלוקח לאותה פונקציית מדרגה לעבור את 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} . הסבר נוסף כלהלן: כאמור לעיל, הפונקציה הממשית f ( x ) = x 2 + 1 4 + ϵ {\displaystyle f(x)=x^{2}+{\frac {1}{4}}+\epsilon } עוברת את 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} . צורת הגרף סביב ערך זה (בטווח) מתקרבת לצורה של פונקציית הטנגנס ככל שאפסילון קטן יותר. הקשר של פונקציה זו לפאי מעולם הטריגונומטריה ברור. מדיה וקבצים בנושא קבוצת מנדלברוט בוויקישיתוף קבוצת מנדלברוט, באתר MathWorld (באנגלית) "Mandelbrot Set - Online Generator" "עשר דקות של תקריב לתוך הפרקטל" קורס על דינמקה מרוכבת הכלל את ההגדרה של קבוצות מנדלברוט. וידאו של 3Blue1Brown על דינמיקה הולומורפית. וידאו של Matheologer על דינמיקה הולומורפית. וידאו של numberphile על דינמיקה הולומורפית. סדרת סרטוני יוטיוב של numberphile מאת הולי קריגר. חלק גדול מהסרטונים עוסקים בקבוצת מנדלברוט. Robert L. Devaney, The Complex Geometry of the Mandelbrot Set, Boston University אם k {\displaystyle k} הוא המספר המזערי שמקיים תנאי זה, הוא נקרא המחזור של המסלול. אחרת המחזור של המסלול יכול להיות מחלק של k {\displaystyle k} למעשה נקודת שבת של f k {\displaystyle f^{k}} מתאימה למסלול של f {\displaystyle f} ממחזור שמחלק את k {\displaystyle k} אם אחרי מספר מסוים של הפעלות של f c {\displaystyle f_{c}} על 0 {\displaystyle 0} הנקודה עוזבת את העיגול | x | ≤ 2 {\displaystyle |x|\leq 2} אז c {\displaystyle c} לא נמצאת בקבוצת מנדלברוט. לפי משפט של Douady ו-Hubbard קבוצת מנדלברוט עצמה היא קשירה. אולם כפי שיוסבר להלן לפנים שלה יש אינסוף רכיבי קשירות