נוסחת השרוך

במתמטיקה, נוסחת השרוך (נקרא גם אלגוריתם השרוך או נוסחת גאוס), היא נוסחה לחישוב שטח של מצולע במישור הקרטזי על בסיס קודקודיו. שמה של הנוסחה נובע מדרך החישוב שלה על ידי מטריצות (יפורט בהמשך). המשפט נובע ממשפט גרין, אך ניתן לחשב אותו על ידי חלוקת המצולע למשולשים וחישוב הצלע של כל אחד מהם. הנוסחה היא לחישוב שטח של מצולע כלשהו, לא משנה אם הוא מצולע קמור או לא. שטחו של מצולע A בעל n קודקודים, שכל אחד מהם הוא מהצורה xi, yi), i = 1, 2,..., n), היא: A = 1 2 | ∑ i = 1 n − 1 x i y i + 1 + x n y 1 − ∑ i = 1 n − 1 x i + 1 y i − x 1 y n | = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + ⋯ + x n − 1 y n + x n y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − ⋯ − x n y n − 1 − x 1 y n | {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}y_{i+1}+x_{n}y_{1}-\sum _{i=1}^{n-1}x_{i+1}y_{i}-x_{1}y_{n}{\Big |}\\&={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+\cdots +x_{n-1}y_{n}+x_{n}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-\cdots -x_{n}y_{n-1}-x_{1}y_{n}|\\\end{aligned}}} או בצורת כיתוב שונה: A = 1 2 | ∑ i = 1 n x i ( y i + 1 − y i − 1 ) | = 1 2 | ∑ i = 1 n y i ( x i + 1 − x i − 1 ) | = 1 2 | ∑ i = 1 n x i y i + 1 − x i + 1 y i | = 1 2 | ∑ i = 1 n det ( x i x i + 1 y i y i + 1 ) | {\displaystyle \mathbf {A} ={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}(y_{i+1}-y_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}y_{i}(x_{i+1}-x_{i-1}){\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}{\Big |}={1 \over 2}{\Big |}\sum _{i=1}^{n}\det {\begin{pmatrix}x_{i}&x_{i+1}\\y_{i}&y_{i+1}\end{pmatrix}}{\Big |}} כאשר xn+1 = x1, x0 = xn, yn+1 = y1 ו-y0 = yn. על פי הנוסחה ניתן לחשב את הנוסחה עבור משולש כאשר n הוא 3: A tri. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 1 y 3 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} עבור מרובע כאשר n הוא 4: A quad. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 1 y 4 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{quad.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{1}y_{4}|} ועבור מחומש כאשר n הוא 5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} שטח הצורה שקדקודיה הם (3,4), (5,11), (12,8), (9,5) ו-(5,6) היא: A = 1 2 | 3 × 11 + 5 × 8 + 12 × 5 + 9 × 6 + 5 × 4 − 4 × 5 − 11 × 12 − 8 × 9 − 5 × 5 − 6 × 3 | = 60 2 = 30 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={1 \over 2}|3\times 11+5\times 8+12\times 5+9\times 6+5\times 4\\&{}\qquad {}-4\times 5-11\times 12-8\times 9-5\times 5-6\times 3|\\[10pt]&={60 \over 2}=30\end{aligned}}} מקור השם הוא בחישוב השטח על ידי מטריצה. לדוגמה, ניקח את הצורה שקדקודיה הם {(2,4),(1,2),(3,-8)}, אז ניתן לרשום את המצולע בתור המטריצה הבאה: [ 2 4 3 − 8 1 2 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}2&4\\3&-8\\1&2\\2&4\end{bmatrix}}} עכשיו נצייר קווים אלכסוניים ימניים: ואז נצייר קווים אלכסוניים שמאליים: אם נכפל את כל הקווים שהאלכסונים נפגשים, נחבר את כל אלה עם הקווים הימניים: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6 ונחסר מזה את הסכום של אלה עם הקווים השמאליים: (4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8 ונוציא ערך מוחלט: −6 )−( 8)| = 14)|, נקבל את השטח, שהוא מחצית הערך המוחלט, כפי שניתן לקבל בנוסחה, שהוא 7.