התפלגות פואסון

בתורת ההסתברות, התפלגות פואסון (Poisson distribution) היא התפלגות של משתנה מקרי בדיד, הקרויה על שם המדען הצרפתי סימאון דני פואסון (1781–1840). כמו התפלגויות חשובות אחרות, התפלגות פואסון היא למעשה משפחה של התפלגויות בעלת פרמטר אחד, ה"קצב", המסומן בדרך כלל באות λ {\displaystyle \lambda } . הפרמטר יכול לקבל כל ערך ממשי חיובי. אם X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי בדיד שמתפלג פואסונית, אז הוא יכול לקבל רק ערכים שלמים אי שליליים, וההסתברות לקבלת הערך k {\displaystyle k} היא p X ( k ) = Pr ( X = k ) = λ k k ! e − λ {\displaystyle p_{X}(k)=\Pr \left(X=k\right)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }} כאשר k {\displaystyle k} מקבל ערכים בתחום { 0 , 1 , 2 , … } {\displaystyle \{0,1,2,\dots \}} (עבור k {\displaystyle k} אחר ההסתברות היא אפס). מסמנים X ∼ P o i s ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )} . התפלגות פואסון מתקבלת כאשר סופרים אירועים שמתרחשים בפרק זמן קבוע. אם האירועים מתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע, אזי מספר האירועים שהתרחשו בפרק זמן נתון מתפלג פואסונית. דוגמה לכך היא מספר השיחות המתקבלות במרכזיית טלפונים במשך דקה. הנוסחה מתארת את הסיכוי שיקרו k {\displaystyle k} אירועים בזמן שפרופורציוני ל- λ {\displaystyle \lambda } . התפלגות פואסון מתקבלת מהתפלגות בינומית כאשר המכפלה של מספר הניסויים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל- λ {\displaystyle \lambda } ), ומספר הניסויים שואף לאינסוף. ניתן לפרש את הפרמטר λ {\displaystyle \lambda } כמספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה. הקירוב הזה מתיישב עם העובדה שהתוחלת והשונות של משתנה מקרי פואסוני שוות שתיהן ל- λ {\displaystyle \lambda } . מאידך, כאשר λ → ∞ {\displaystyle \lambda \rightarrow \infty } , ההתפלגות של X − λ λ {\displaystyle {\frac {X-\lambda }{\sqrt {\lambda }}}} מתקרבת להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (משפט הגבול המרכזי). זמן ההמתנה בין הופעות בהתפלגות פואסון הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר ההופעות בזמן קבוע של תופעות שזמן ההמתנה ביניהן מעריכי (עם פרמטר קבוע), הוא פואסוני. לפיכך, התפלגות פואסון היא ההתפלגות היחידה שלפיה זמן ההמתנה בין אירועים מתפלג ללא זיכרון. להתפלגות פואסון חשיבות רבה בתורת התורים. אם מניחים שלקוחות נוספים לתור באופן בלתי תלוי זה בזה, מתברר שזמן ההמתנה בין לקוח ללקוח הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר הלקוחות שנוספים לתור מדי שעה מתפלג פואסונית. התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור מספר התופעות המתרחשות בפרק זמן מסוים, כאשר ההסתברות להתרחשות התופעה בפרק זמן קצרצר היא קבועה. הכלכלן לדיסלב פון בורטקייביץ' (אנ'), שהיה פרופסור בברלין בשנים 1901–1931, הוא אחד הראשונים שהבינו את החשיבות המעשית של התפלגות פואסון. בספרו "חוק המספרים הקטנים" הוא נתן דוגמאות (מקבריות) רבות, שאחת הידועות שבהן היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים הפרוסי שנהרגו בשנה מבעיטת סוס. להלן דוגמאות נוספות: מספר האטומים שמתפרקים בפרק זמן נתון בחומר רדיואקטיבי. מספר המכוניות שעוברות דרך נקודה מסוימת בכביש בפרק זמן מסוים. מספר שיחות הטלפון במרכז תמיכה בדקה. מספר הטאצ'דאונים בסופרבול האמריקאי. מספר המוטציות במקטע DNA לאחר חשיפה מסוימת לקרינה. מספר עצי האלון ביחידת שטח של יער. מספר הקוצים על חוטר של ורד. מספר הדוורים הננשכים על ידי כלבים במשך יום עבודה. מספר רעידות האדמה ההרסניות שמתרחשות על העתק גאולוגי או על מערכת של העתקים באורך נתון. כפי שנכתב לעיל, ניתן לראות את התפלגות פואסון בתור גבול של סדרת התפלגויות בינומיות שבה מספר הניסויים שואף לאינסוף, ותוחלת מספר ההצלחות נשארת קבועה. נקבע פרמטר λ {\displaystyle \lambda } . לכל n {\displaystyle n} טבעי נביט בהתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ב- n {\displaystyle n} ניסויים בעלי הסתברות הצלחה λ n {\displaystyle {\frac {\lambda }{n}}} , כלומר ההתפלגות X n ∼ B i n ( n , λ n ) {\displaystyle X_{n}\sim \mathrm {Bin} \left(n,{\frac {\lambda }{n}}\right)} . נראה ש- lim n → ∞ Pr ( X n = k ) = Pr ( Y = k ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=k)=\Pr(Y=k)} כאשר Y ∼ P o i s ( λ ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda )} . אכן, lim n → ∞ n ! ( n − k ) ! n k = lim n → ∞ n n n − 1 n … n − k + 1 n = 1 … 1 = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{(n-k)!n^{k}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n}}{\frac {n-1}{n}}\dots {\frac {n-k+1}{n}}=1\dots 1=1} בנוסף, lim n → ∞ ( 1 − λ n ) n = e − λ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda }} לפי תכונות ידועות של הקבוע e, ו- lim n → ∞ ( 1 − λ n ) − k = 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{-k}=1} כי החזקה אינה תלויה ב- n {\displaystyle n} , והביטוי שבתוך הסוגריים שואף ל-1. לכן lim n → ∞ P ( X n = k ) = lim n → ∞ ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = lim n → ∞ n ! ( n − k ) ! k ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k = λ k k ! e − λ , {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X_{n}=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },\end{aligned}}} שהיא ההסתברות שמשתנה פואסוני עם תוחלת λ {\displaystyle \lambda } יקבל את הערך k {\displaystyle k} . חיבוריות – סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים פואסונית אף הוא משתנה פואסון, והפרמטר שלו הוא סכום הפרמטרים של המשתנים המקריים המחוברים. למשל, עבור שני משתנים, אם X ∼ P o i s ( λ 1 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})} וגם Y ∼ P o i s ( λ 2 ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})} ובנוסף X , Y {\displaystyle X,Y} בלתי תלויים, אז X + Y ∼ P o i s ( λ 1 + λ 2 ) {\displaystyle X+Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1}+\lambda _{2})} . באופן כללי, אם { X i } i = 1 N {\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{N}} קבוצה של N {\displaystyle N} משתנים בלתי תלויים, ולכל i {\displaystyle i} , מתקיים כי X i ∼ P o i s ( λ i ) {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{i})} , אז מתקיים: ∑ i = 1 N X i ∼ P o i s ( ∑ i = 1 N λ i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \mathrm {Pois} \left(\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}\right)} . תהליך פואסון מחשבון התפלגות פואסונית, באתר Icalc. התפלגות פואסון, באתר MathWorld (באנגלית) התפלגות פואסון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Michael Falk; Jürg Hüsler; Rolf-Dieter Reiss (2004). Laws Of Small Numbers: Extremes And Rare Events. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-2416-2. OCLC 1183958402.