קוהומולוגיית הוכשילד

במתמטיקה, הומולוגיית הוכשילד היא תורת הומולוגיה עבור אלגברות אסוציאטיביות. המבנה הוגדר על ידי גרהרד הוכשילד (Gerhard Hochschild) ב-1945 עבור אלגברות מעל שדה, והוכלל לאלגברות מעל חוגים כלליים יותר על ידי אנרי קרטן וסמואל איילנברג (1956). ב-1962 הראה מארי גרסטנהבר (Murray Gerstenhaber) כיצד לפרש את הקוהומולוגיה במונחים של דפורמציות. תהי A אלגברה אסוציאטיבית מעל שדה k. קוהומולוגיית הוכשילד של בי-מודול M מעל A (מימין ומשמאל) היא סדרה   HH n ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \ \operatorname {\operatorname {HH} } ^{n}(A,M)} של מרחבים וקטוריים מעל k, המקודדים תכונות יסודיות של A ושל M. אפשר להגדיר את מרחבי ההומולוגיה והקוהומולוגיה באמצעות הפונקטורים הנגזרים Tor ו-Ext, כדלקמן: HH n ⁡ ( A , M ) = Tor n A e ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)} ו- HH n ⁡ ( A , M ) = Ext A e n ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)} , כאשר A e = A ⊗ A o p {\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{op}} . עבור M=A מקצרים וכותבים HH n ⁡ ( A ) = HH n ⁡ ( A , A ) {\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A)=\operatorname {HH} _{n}(A,A)} ו- HH n ⁡ ( A ) = HH n ⁡ ( A , A ) {\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A)=\operatorname {HH} ^{n}(A,A)} , כאשר A e = A ⊗ A o p {\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{op}} . זהו מודול מעל המרכז של A. להלן נציג הגדרה מפורשת. ההומולוגיה אדיטיבית וכפלית: HH n ⁡ ( A ⊕ B ) = HH n ⁡ ( A ) ⊕ HH n ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A\oplus B)=\operatorname {HH} _{n}(A)\oplus \operatorname {HH} _{n}(B)} ו- HH ∗ ⁡ ( A ⊗ k B ) = HH ∗ ⁡ ( A ) ⊗ k HH ∗ ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {HH} _{*}(A\otimes _{k}B)=\operatorname {HH} _{*}(A)\otimes _{k}\operatorname {HH} _{*}(B)} . היא תלויה רק בקטגוריית הבימודולים של A (שקילות מוריטה). עבור שדה F, HH 0 ⁡ ( F ) = F {\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(F)=F} , ושאר ההומולוגיה מתאפסת. עבור אלגברה (עם יחידה) A, HH 0 ⁡ ( A ) = A / [ A , A ] {\displaystyle \operatorname {HH} _{0}(A)=A/[A,A]} היא המנה הקומוטטיבית המקסימלית; מבנה זה מאפשר למיין את המודולים האי-פריקים מעל A. חבורות ההומולוגיה הגבוהות קשורות בהרחבות של מודולים, ובדרך כלל קשה לחשב אותן, בעיקר משום שהסדרה המדויקת המוגדרת על ידי אידיאל של A אינה מספקת סדרה מדויקת ארוכה של חבורות ההומולוגיה. האלגברה A היא בי-מודול מעל עצמה. כל חזקה טנזורית   A ⊗ n = A ⊗ k ⋯ ⊗ k A {\displaystyle \ A^{\otimes n}=A\otimes _{k}\cdots \otimes _{k}A} היא בי-מודול מעל A, לפי הפעולה על הגורמים בקצוות. קומפלקס הוכשילד הוא הקומפלקס   ⋯ ⟶ d 1 A ⊗ 3 ⟶ d 0 A ⊗ 2 ⟶ μ A ⟶ 0 {\displaystyle \ \cdots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 3}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}A^{\otimes 2}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0} , שהדיפרנציאלים שלו מוגדרים לפי   d ( a 0 ⊗ ⋯ ⊗ a n + 2 ) = ∑ i = 0 n + 1 ( − 1 ) i a 0 ⊗ ⋯ ⊗ a i a i + 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n + 2 {\displaystyle \ d(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n+2})=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n+2}} ; כאן   μ {\displaystyle \ \mu } היא פעולת הכפל. זוהי רזולוציה חופשית של A. משפט כללי באלגברה הומולוגית מראה שההגדרה של מרחבי הקומוהולוגיה אינה תלויה ברזולוציה (היינו אפשר היה לבחור רזולוציה פרויקטיבית כלשהי). כעת יהי M בי-מודול מעל A-A. הקוהומולוגיה ביחס ל-M מתקבלת על ידי הפעלת הפונקטור   Hom A − A ⁡ ( − , M ) {\displaystyle \ \operatorname {Hom} _{A-A}(-,M)} על הרזולוציה שניתנה לעיל. לשם כך נוח לזהות Hom A − A ⁡ ( A ⊗ n + 2 , M ) = Hom k ⁡ ( A ⊗ n , M ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{A-A}(A^{\otimes n+2},M)=\operatorname {Hom} _{k}(A^{\otimes n},M)} . קומפלקס הקו-שרשרת המתאים ל-M הוא Hom k ⁡ ( k , M ) ⟶ δ 0 Hom k ⁡ ( A , M ) ⟶ δ 1 Hom k ⁡ ( A ⊗ A , M ) ⟶ ⋯ {\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(k,M){\stackrel {\delta _{0}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{k}(A,M){\stackrel {\delta _{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Hom} _{k}(A\otimes A,M){\longrightarrow }\cdots } , כאשר   ( δ n − 1 f ) ( a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n ) = a 1 f ( a 2 ⊗ ⋯ ⊗ a n ) + ∑ i = 1 n ( − 1 ) i f ( a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a i a i + 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n ) + ( − 1 ) n + 1 f ( a 1 ⊗ ⋯ ⊗ a n − 1 ) a n {\displaystyle \ (\delta _{n-1}f)(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{1}f(a_{2}\otimes \cdots \otimes a_{n})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}f(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n})+(-1)^{n+1}f(a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1})a_{n}} . מכיוון ש-   d 2 = 0 {\displaystyle \ d^{2}=0} מתקיים גם δ 2 = 0 {\displaystyle \delta ^{2}=0} , ולכן im ⁡ δ n − 1 ⊆ ker ⁡ δ n {\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n-1}\subseteq \operatorname {ker} \delta _{n}} . בהתאם לכך, מגדירים את מרחבי הקוהומולוגיה (עבור   n ≥ 0 {\displaystyle \ n\geq 0} ) כמנות HH n ⁡ ( A , M ) = ker ⁡ δ n / im ⁡ δ n − 1 {\displaystyle \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=\operatorname {ker} \delta _{n}/\operatorname {im} \delta _{n-1}} , כאשר δ − 1 = 0 {\displaystyle \delta _{-1}=0} . אם M בימודול אינג'קטיבי, אז   HH n ⁡ ( A , M ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0} לכל   n ≥ 1 {\displaystyle \ n\geq 1} . אם A אלגברה ספרבילית (כלומר, A פרויקטיבי כבי-מודול מעל A-A), אז   HH n ⁡ ( A , M ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)=0} לכל   n ≥ 1 {\displaystyle \ n\geq 1} ולכל בי-מודול M. הממד של A מוגדר כ-n הגדול ביותר שעבורו   HH n ⁡ ( A , M ) ≠ 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{n}(A,M)\neq 0} למודול כלשהו (או אינסוף אם אין כזה n). אם כך, הממד של אלגברה ספרבילית הוא אפס. גם הכיוון ההפוך נכון: לאלגברה יש ממד 0 אם ורק אם היא ספרבילית. אלגברה מממד אחד נקראת חופשית למחצה, או חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות לא-קומוטטיביות. לאלגברות בעלות ממד קרול אפס יכול להיות ממד אינסופי: אם A = F [ x ] / ⟨ x 2 ⟩ {\displaystyle A=F[x]/\langle x^{2}\rangle } אז HH n ⁡ ( A ) = A , F , x A , F , x A , F , … {\displaystyle \operatorname {HH} _{n}(A)=A,F,xA,F,xA,F,\dots } עבור n=0,1,2,... . לפי ההגדרה,   HH 0 ⁡ ( A , M ) = { m ∈ M : a m = m a   ( ∀ a ∈ A ) } {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{0}(A,M)=\{m\in M\,:\,am=ma\ (\forall a\in A)\}} (ה"מרכז" של M). הגרעין של   δ 1 {\displaystyle \ \delta _{1}} הוא אוסף הנגזרות הפורמליות   A → M {\displaystyle \ A\rightarrow M} , בעוד שתמונת   δ 0 {\displaystyle \ \delta _{0}} כוללת את הנגזרות הפנימיות, a ↦ [ a , m ] {\displaystyle a\mapsto [a,m]} . אם כך,   HH 1 ⁡ ( A , M ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)=0} אם ורק אם כל נגזרת היא פנימית. כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב   HH 1 ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{1}(A,M)} ממיין את המשלימים של M במכפלה הישרה למחצה   A ⋉ M = { ( a m 0 a ) } {\displaystyle \ A\ltimes M=\left\{\left({\begin{array}{cc}a&m\\0&a\end{array}}\right)\right\}} שהם איזומורפיים ל-A, עד כדי הצמדה באיברים מהצורה ( 1 m 0 1 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&m\\0&1\end{array}}\right)} . הרחבה של A על ידי M היא אלגברה B המכילה את M כאידיאל כך ש-   M 2 = 0 {\displaystyle \ M^{2}=0} ו-   B / M ≅ A {\displaystyle \ B/M\cong A} , כאשר פעולת A על M (מימין ומשמאל) מתלכדת עם המבנה של M כבי-מודול. שתי הרחבות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות על M ועל A. שוב כמו במקרה של קוהומולוגיית חבורות, המרחב   HH 2 ⁡ ( A , M ) {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)} ממיין את ההרחבות של A על ידי M עד כדי שקילות; לכן   HH 2 ⁡ ( A , M ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{2}(A,M)=0} אם ורק אם כל הרחבה מתפצלת (כלומר שקולה למכפלה הישרה למחצה). תהי A אלגברה אסוציאטיבית. דפורמציה של A היא פעולת כפל אסוציאטיבית * של המרחב   A [ [ t ] ] = ∑ n = 0 ∞ A t n {\displaystyle \ A[[t]]=\sum _{n=0}^{\infty }At^{n}} , המסכימה עם פעולת הכפל של A כאשר מציבים t=0, כלומר   a ∗ b = a b + F 1 ( a , b ) t + F 2 ( a , b ) t 2 + ⋯ {\displaystyle \ a*b=ab+F_{1}(a,b)t+F_{2}(a,b)t^{2}+\cdots } . שתי דפורמציות הן שקולות אם יש איזומורפיזם ביניהן המשרה את הזהות כאשר מציבים t=0. מתברר שאם   HH 2 ⁡ ( A , A ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{2}(A,A)=0} אז כל הדפורמציות טריוויאליות (כלומר, שקולות לפעולת הכפל הרגילה על A [ [ t ] ] {\displaystyle A[[t]]} ). חישוב מראה שהרכיב   F 1 {\displaystyle \ F_{1}} לעיל הוא 2-קוציקלוס (כלומר, שייך לגרעין של δ 2 {\displaystyle \delta _{2}} ), ולכן קובע מחלקה ב- HH 2 ⁡ ( A , A ) {\displaystyle \operatorname {HH} ^{2}(A,A)} . איבר כזה נקרא אינטגרבילי אם אפשר להמשיך אותו לדפורמציה של A. מתברר שאם   HH 3 ⁡ ( A , A ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {HH} ^{3}(A,A)=0} אז כל 2-קוציקלוס הוא אינטגרבילי (גרסטנהבר). Hochschild cohomology in nLab Sarah Witherspoon, Hochschild Cohomology, Notices of the AMS, June/July 2020 Richard Melrose, Hochschild homology, MIT Topological Hochschild homology in arithmetic geometry