התפלגות זטא

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בדידה. אם X הוא משתנה אקראי המתפלג זטא עם פרמטר s, אז ההסתברות ש- X מקבל את הערך השלם החיובי k נתונה על ידי פונקציית ההסתברות f s ( k ) = k − s ζ ( s ) {\displaystyle f_{s}(k)={\frac {k^{-s}}{\zeta (s)}}} כאשר ζ ( s ) היא פונקציית זטא של רימן (שאינה מוגדרת עבור s = 1). פונקציית זטא של רימן היא סכום כל האיברים k − s {\displaystyle k^{-s}} עבור מספר שלם חיובי k. פונקציה זו נראית כגורם נירמול של התפלגות Zipf . המונחים "התפלגות Zipf" ו"התפלגות זטא" משמשים לעיתים קרובות לסירוגין. אבל בעוד שהתפלגות זטא היא התפלגות הסתברות בפני עצמה, היא אינה קשורה לחוק Zipf עם אותו מעריך. התפלגות זטא מוגדרת עבור מספרים שלמים חיוביים k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} , ופונקציית ההסתברותית שלה נתונה על ידי P ( x = k ) = 1 ζ ( s ) k − s {\displaystyle P(x=k)={\frac {1}{\zeta (s)}}k^{-s}} כאשר s > 1 {\displaystyle s>1} הוא הפרמטר, ו ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} היא פונקציית הזטה של רימן. פונקציית ההתפלגות המצטברת נתונה על ידי P ( x ≤ k ) = H k , s ζ ( s ) {\displaystyle P(x\leq k)={\frac {H_{k,s}}{\zeta (s)}}} , כאשר H k , s {\displaystyle H_{k,s}} הוא המספר ההרמוני המוכלל H k , s = ∑ i = 1 k 1 i s {\displaystyle H_{k,s}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{i^{s}}}} . המומנט הגולמי ה- n מוגדר כערך התוחלת של Xn : m n = E ( X n ) = 1 ζ ( s ) ∑ k = 1 ∞ 1 k s − n {\displaystyle m_{n}=E(X^{n})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{s-n}}}} הטור מימין היא רק ייצוג של פונקציית זטא של רימן, אבל היא מתכנסת רק כאשר s − n {\displaystyle s-n} גדול מ 1. כלומר: m n = { ζ ( s − n ) / ζ ( s ) for  n < s − 1 ∞ for  n ≥ s − 1 {\displaystyle m_{n}={\begin{cases}\zeta (s-n)/\zeta (s)&{\text{for }}n<s-1\\\infty &{\text{for }}n\geq s-1\end{cases}}} היחס בין פונקציות זטא מוגדר היטב, אפילו עבור n > ס − 1 מכיוון שניתן לבצע המשכה אנליטית של הייצוג של פונקציית זטא כטור. תוחלת: ζ ( s − 1 ) ζ ( s ) {\displaystyle {\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}} (מוגדרת עבור s > 2 {\displaystyle s>2} ). שונות: ζ ( s ) ζ ( s − 2 ) − ζ ( s − 1 ) 2 ζ ( s ) 2 {\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (s-2)-\zeta (s-1)^{2}}{\zeta (s)^{2}}}} (מוגדרת עבור s > 3 {\displaystyle s>3} ). צידוד: ζ ( s − 3 ) ζ 2 ( s ) − 3 ζ ( s − 1 ) ζ ( s − 2 ) ζ ( s ) + 2 ζ 3 ( s − 1 ) ζ ( s − 2 ) ζ ( s ) − ζ 2 ( s − 1 ) 3 / 2 {\displaystyle {\frac {\zeta (s-3)\zeta ^{2}(s)-3\zeta (s-1)\zeta (s-2)\zeta (s)+2\zeta ^{3}(s-1)}{\zeta (s-2)\zeta (s)-\zeta ^{2}(s-1)^{3/2}}}} (מוגדר עבור s > 4 {\displaystyle s>4} ). גבנוניות: ζ ( s − 4 ) ζ 3 ( s ) − 4 ζ ( s − 1 ) ζ ( s − 3 ) ζ 2 ( s ) + 6 ζ 2 ( s − 1 ) ζ ( s − 2 ) ζ ( s ) − 3 ζ 4 ( s − 1 ) [ ζ ( s − 2 ) ζ ( s ) − ζ 2 ( s − 1 ) ] 2 {\displaystyle {\frac {\zeta (s-4)\zeta ^{3}(s)-4\zeta (s-1)\zeta (s-3)\zeta ^{2}(s)+6\zeta ^{2}(s-1)\zeta (s-2)\zeta (s)-3\zeta ^{4}(s-1)}{\left[\zeta (s-2)\zeta (s)-\zeta ^{2}(s-1)\right]^{2}}}} (מוגדרת עבור s > 5 {\displaystyle s>5} ). הפונקציה יוצרת מומנטים מוגדרת כ M ( t ; s ) = E ( e t X ) = 1 ζ ( s ) ∑ k = 1 ∞ e t k k s {\displaystyle M(t;s)=E(e^{tX})={\frac {1}{\zeta (s)}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{tk}}{k^{s}}}} הטור היא למעשה ההגדרה של הפולילוגריתם, תקף עבור e t < 1 {\displaystyle e^{t}<1} כך ש M ( t ; s ) = Li s ⁡ ( e t ) ζ ( s )  for  t < 0. {\displaystyle M(t;s)={\frac {\operatorname {Li} _{s}(e^{t})}{\zeta (s)}}{\text{ for }}t<0.} מכיוון שביטוי זה לא מתכנס בקטע פתוח המכיל את t = 0 {\displaystyle t=0} , הפונקציה יוצרת מומנטים לא קיימת. ζ (1) הוא אינסופי כסדרה ההרמונית, ולכן אין משמעות למקרה s = 1. עם זאת, אם A היא קבוצה כלשהי של מספרים שלמים חיוביים בעלת צפיפות, כלומר אם הגבול lim n → ∞ N ( A , n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N(A,n)}{n}}} קיים, כאשר N(A, n), מספר האיברים של A הקטנים או שווה ל n, אז lim s → 1 + P ( X ∈ A ) {\displaystyle \lim _{s\to 1^{+}}P(X\in A)\,} שווה לצפיפות זו. הגבול האחרון יכול להתקיים גם במקרים מסוימים שבהם ל-A אין צפיפות. לדוגמה, אם A הוא קבוצת כל המספרים השלמים החיוביים שהספרה הראשונה שלהם היא d, אזי ל-A אין צפיפות, אבל למרות זאת הגבול השני שניתן לעיל קיים, והוא פרופורציוני ל log ⁡ ( d + 1 ) − log ⁡ ( d ) = log ⁡ ( 1 + 1 d ) {\displaystyle \log(d+1)-\log(d)=\log \left(1+{\frac {1}{d}}\right)} שהוא חוק בנפורד. התפלגות קושי התפלגות פארטו חוק זיף התפלגות זטא, באתר MathWorld (באנגלית) 5.40: The Zeta Distribution, Statistics LibreTexts, ‏2020-05-06 (באנגלית)