חבורה היפרבולית

בתורת החבורות, חבורה היפרבולית היא חבורה נוצרת סופית, שגרף קיילי שלה הוא היפרבולי. כיוון שהחלפת קבוצת היוצרים נותנת גרף קיילי קוואזי-איזומטרי לקודם, ומכיוון שהיפרבוליות נשמרת תחת קוואזי-איזומטריה, ההגדרה אינה תלויה בבחירת קבוצת היוצרים של החבורה. את תכונת ההיפרבוליות של חבורה אפשר לנסח בדרכים שקולות רבות - בעיקר מתחום תורת החבורות הקומבינטורית והפעולה של חבורות על מרחבים מטריים. לדוגמה, החבורה היסודית של כל משטח רימן קומפקטי מגנוס גדול מ-1 היא היפרבולית. את המושג הגדיר מיכאיל גרומוב ב-1978. הצגה של חבורה נקראת הצגת דן (על-שם מקס דן), אם היחסים הם כולם מהצורה a i = b i {\displaystyle a_{i}=b_{i}} , כאשר האורך של b i {\displaystyle b_{i}} (במונחי היוצרים) קטן משל a i {\displaystyle a_{i}} , וכל מילה שאינה מכילה אף a i {\displaystyle a_{i}} אינה מייצגת את האיבר הטריוויאלי של החבורה. בחבורה כזו, ההצגה נותנת אלגוריתם כמעט מפורש לבעיית המילה: החלף כל הופעה של a i {\displaystyle a_{i}} ב- b i {\displaystyle b_{i}} , עד שאין יותר תת-מילים מהצורה a i {\displaystyle a_{i}} ; האיבר הוא טריוויאלי אם ורק אם התהליך הסתיים במילה הריקה. בחבורה עם הצגה כזו, גם בעיית הצמידות פתירה. חבורה נוצרת סופית היא היפרבולית אם ורק אם יש לה הצגת דן סופית. בפרט, חבורה היפרבולית היא חבורה מוצגת סופית. בעיית האיזומורפיזם פתירה עבור חבורות היפרבוליות לא מפותלות. חבורה נוצרת סופית המקיימת את תנאי הצמצום הזעיר C ′ ( 1 / 6 ) {\displaystyle C'(1/6)} , או את התנאים C ′ ( 1 / 4 ) {\displaystyle C'(1/4)} ו- T ( 4 ) {\displaystyle T(4)} , היא היפרבולית. במובן סטטיסטי מסוים, כמעט כל חבורה נוצרת סופית היא היפרבולית. מרחב מטרי נקרא "הגון" (proper), אם כל הכדורים הסגורים הם קומפקטיים. חבורה היא היפרבולית אם ורק אם היא פועלת נאמנה, כחבורה של איזומטריות, על מרחב מטרי הגון, כך שמרחב המנה ביחס לפעולה הוא קומפקטי. בפרט, החבורה היסודית של כל יריעת רימן קומפקטית מעקמומיות שלילית היא היפרבולית. כל החבורות הסופיות הן היפרבוליות. חבורה מפותלת יכולה להיות היפרבולית רק אם היא סופית. בחבורה היפרבולית יש מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה ציקלית אינסופית של חבורה היפרבולית היא בעלת אינדקס סופי בנורמליזטור שלה. בפרט, לחבורה היפרבולית לא יכולה להיות תת-חבורה מהצורה Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} . כל תת-חבורה של חבורה היפרבולית, שאינה מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית, היא דמוי-ציקלית (כלומר, יש לה תת-חבורה ציקלית מאינדקס סופי). המכפלה הישרה של חבורה היפרבולית בחבורה סופית היא היפרבולית, אבל המכפלה הישרה של שתי חבורות היפרבוליות אינסופיות אינה היפרבולית. מאידך, המכפלה החופשית של שתי חבורות היפרבוליות היא היפרבולית. תת-חבורה נוצרת סופית H {\displaystyle H} של חבורה היפרבולית חסרת פיתול מקיימת את תכונת Hopf: כל אפימורפיזם H → H {\displaystyle H\rightarrow H} הוא איזומורפיזם. השפה של חבורה היפרבולית (במובן של מרחבים היפרבוליים) איזומורפית למעגל S 1 {\displaystyle S^{1}} , אם ורק אם החבורה פוקסיאנית. טור הילברט H S ( t ) = ∑ n = 0 ∞ a n t n {\displaystyle H_{S}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}} של חבורה היפרבולית ( a n {\displaystyle a_{n}} הוא מספר האיברים מאורך n {\displaystyle n} בחבורה, ביחס לקבוצת יוצרים S {\displaystyle S} ) הוא פונקציה רציונלית במשתנה t {\displaystyle t} . משערים שכל חבורה היפרבולית היא residually finite, אבל הדבר אינו ידוע לאשורו. אם G {\displaystyle G} היפרבולית, כל חבורות ההומולוגיה H n ( G , Z ) {\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )} הן נוצרות סופית, וכמעט כל החבורות H n ( G , Q ) {\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Q} )} טריוויאליות. אם G {\displaystyle G} חסרת פיתול, אז גם כמעט כל החבורות H n ( G , Z ) {\displaystyle H_{n}(G,\mathbb {Z} )} הן טריוויאליות. Survey on geometric group theory, Wolfgang Luck, 2008. ריאיון עם גרומוב ב- Newsletter of the EMS, ספטמבר 2009. Luck, Theorem 7.2. ( v ) {\displaystyle 7.2.(v)}