מערכת דינקין

מערכת דינקין היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. מערכות אלו נקראות על שמו של המתמטיקאי הרוסי יוג'ין דינקין. משפט π−λ קובע קשר בין מערכות דינקין לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט המחלקה המונוטונית. תהי X {\displaystyle X} קבוצה. משפחה של תת-קבוצות E ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} נקראת מערכת-π, אם לכל A , B ∈ E {\displaystyle A,B\in {\mathcal {E}}} מתקיים A ∩ B ∈ E {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {E}}} . משפחה של תת-קבוצות L ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} נקראת מערכת-λ (או מערכת דינקין), אם מתקיימים שלושת התנאים הבאים: X ∈ L {\displaystyle X\in {\mathcal {L}}} לכל A , B ∈ L {\displaystyle A,B\in {\mathcal {L}}} המקיימות A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} , מתקיים B ∖ A ∈ L {\displaystyle B\setminus A\in {\mathcal {L}}} . לכל סדרה { A i } i = 1 ∞ ⊆ L {\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {L}}} המקיימת A 1 ⊆ A 2 ⊆ A 3 ⊆ . . . {\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq ...} , מתקיים כי ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ L {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {L}}} . יחד, התכונות האלה מרכיבות את המושג סיגמא אלגברה: משפחה של תת-קבוצות היא סיגמא-אלגברה, אם ורק אם היא גם מערכת-π וגם מערכת-λ. תהי P ⊆ P ( X ) {\displaystyle P\subseteq {\mathcal {P}}(X)} משפחה כלשהי של תתי-קבוצות. נסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי P {\displaystyle P} להיות σ ( P ) {\displaystyle \sigma (P)} . זהו חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את P {\displaystyle P} . נסמן את המערכת-λ הנוצרת על ידי P {\displaystyle P} להיות λ ( P ) {\displaystyle \lambda (P)} . זהו חיתוך כל המערכות-λ המכילות את P {\displaystyle P} . משפט: תהי X {\displaystyle X} קבוצה ותהי E ⊆ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)} מערכת-π. אזי σ ( E ) = λ ( E ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {E}})=\lambda ({\mathcal {E}})} . נשים לב שכל סיגמא-אלגברה היא בפרט גם מערכת-λ, ולכן ברור כי לכל משפחה של תתי-קבוצות P ⊂ P ( X ) {\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(X)} מתקיים λ ( P ) ⊂ σ ( P ) {\displaystyle \lambda (P)\subset \sigma (P)} . משפט π−λ מוסיף כי אם P {\displaystyle P} היא מערכת-π, אז λ ( P ) {\displaystyle \lambda (P)} היא למעשה סיגמא-אלגברה. נראה כי λ ( E ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})} סגורה לחיתוך. למה: לכל E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} נגדיר L E = { A ⊆ X | A ∩ E ∈ λ ( E ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{E}=\left\{A\subseteq X|A\cap E\in \lambda ({\mathcal {E}})\right\}} . אזי L E {\displaystyle {\mathcal {L}}_{E}} היא מערכת-λ המכילה את E {\displaystyle {\mathcal {E}}} . הוכחת הלמה: ברור כי E ⊆ L 0 {\displaystyle {\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {L}}_{0}} . נראה כי היא מערכת-λ. ברור כי X ∈ L E {\displaystyle X\in {\mathcal {L}}_{E}} . יהיו A , B ∈ L E {\displaystyle A,B\in {\mathcal {L}}_{E}} המקיימות A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} . מתקיים כי E ∩ ( B ∖ A ) = ( E ∩ B ) ∖ ( E ∩ A ) {\displaystyle E\cap (B\setminus A)=(E\cap B)\setminus (E\cap A)} , וזהו הפרש של שתי קבוצות השייכות ל- λ ( E ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})} , לכן B ∖ A ∈ L E {\displaystyle B\setminus A\in {\mathcal {L}}_{E}} . בהינתן סדרה { A i } i = 1 ∞ ⊆ L E {\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {L}}_{E}} העולה ביחס להכלה, אז ברור כי E ∩ ( ⋃ i = 1 ∞ A i ) = ⋃ i = 1 ∞ ( E ∩ A i ) {\displaystyle E\cap (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\bigcup _{i=1}^{\infty }(E\cap A_{i})} , לכן ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ L E {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {L}}_{E}} . מסקנה: λ ( E ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})} סגורה לחיתוכים סופיים. הוכחת המסקנה: מהלמה נובע שלכל E ∈ λ ( E ) {\displaystyle E\in \lambda ({\mathcal {E}})} מתקיים כי L E {\displaystyle {\mathcal {L}}_{E}} היא מערכת-λ המכילה את E {\displaystyle E} , לכן נובע כי λ ( E ) ⊆ L E {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {L}}_{E}} . יהיו A , B ∈ λ ( E ) {\displaystyle A,B\in \lambda ({\mathcal {E}})} . נגדיר L A = { B ⊆ X | B ∩ A ∈ λ ( E ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}=\left\{B\subseteq X|B\cap A\in \lambda ({\mathcal {E}})\right\}} . באופן דומה להוכחת הלמה ניתן להראות כי L A {\displaystyle {\mathcal {L}}_{A}} היא מערכת-λ המכילה את E {\displaystyle {\mathcal {E}}} , ומכך נובע כמו קודם כי λ ( E ) ⊆ L A {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {L}}_{A}} , כלומר לכל B ∈ λ ( E ) {\displaystyle B\in \lambda ({\mathcal {E}})} מתקיים A ∩ B ∈ λ ( E ) {\displaystyle A\cap B\in \lambda ({\mathcal {E}})} . נסיק כי λ ( E ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})} היא סיגמא-אלגברה. סגירות למשלים: תהי A ∈ λ ( E ) {\displaystyle A\in \lambda ({\mathcal {E}})} . מהיות λ ( E ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})} מערכת-λ נובע כי X ∈ λ ( E ) {\displaystyle X\in \lambda ({\mathcal {E}})} , ולכן גם A ∁ = X ∖ A ∈ λ ( E ) {\displaystyle A^{\complement }=X\setminus A\in \lambda ({\mathcal {E}})} . סיגמא אדיטיביות: תהי { A i } i = 1 ∞ ⊆ λ ( E ) {\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subseteq \lambda ({\mathcal {E}})} . נציג ⋃ i = 1 ∞ A i = ⋃ N = 1 ∞ ⋃ i = 1 N A i {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=\bigcup _{N=1}^{\infty }\bigcup _{i=1}^{N}A_{i}} , וברור כי הסדרה { ⋃ i = 1 N A i } N = 1 ∞ {\displaystyle \left\{\bigcup _{i=1}^{N}A_{i}\right\}_{N=1}^{\infty }} עולה ביחס להכלה, ולכן ⋃ i = 1 ∞ A i ∈ λ ( E ) {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in \lambda ({\mathcal {E}})} . משפט π−λ מספק כלי חזק לזיהוי של מידות ולאפיונן. מידה היא סיגמא-סופית אם המרחב מהווה איחוד בן-מניה של קבוצות בעלות מידה סופית. טענה: תהי E {\displaystyle {\mathcal {E}}} מערכת-π על מרחב X, ויהי ( X , σ ( E ) ) {\displaystyle (X,\,\sigma ({\mathcal {E}}))} המרחב המדיד הנוצר על-ידה. תהי μ {\displaystyle \mu } מידה סיגמא-סופית על המרחב הזה כך שקיימת לפחות קבוצה אחת E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} המקיימת μ ( E ) < ∞ {\displaystyle \mu (E)<\infty } . אזי המידה μ {\displaystyle \mu } נקבעת ביחידות על כל σ ( E ) {\displaystyle \sigma ({\mathcal {E}})} , על-פי ערכיה על E {\displaystyle {\mathcal {E}}} . בפרט למשל עבור המרחב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} יחד עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, מידה נקבעת באופן יחיד באמצעות ערכיה על התיבות. כלומר, קיימת מידה יחידה μ {\displaystyle \mu } על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} שמקיימת: μ ( [ a 1 , b 1 ] × [ a 2 , b 2 ] × . . . × [ a n , b n ] ) = ( b 1 − a 1 ) ⋅ ( b 2 − a 2 ) ⋅ . . . ⋅ ( b n − a n ) {\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times ...\times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\cdot ...\cdot (b_{n}-a_{n})} לכל a i ≤ b i ∈ R {\displaystyle a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R} } עבור 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} . הוכחה: יהיו μ 1 , μ 2 {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}} זוג מידות המזדהות על המערכת-π E {\displaystyle {\mathcal {E}}} . נקבע E ∈ E {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}} המקיימת μ 1 ( E ) < ∞ {\displaystyle \mu _{1}(E)<\infty } . נסמן L E = { A ∈ σ ( E ) | μ 1 ( A ∩ E ) = μ 2 ( A ∩ E ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}_{E}=\left\{A\in \sigma \left({\mathcal {E}}\right)|\mu _{1}(A\cap E)=\mu _{2}(A\cap E)\right\}} . ניתן להראות כי זו מערכת-λ המכילה את E {\displaystyle {\mathcal {E}}} , ולכן ממשפט π−λ נובע כי היא מכילה את λ ( E ) = σ ( E ) {\displaystyle \lambda ({\mathcal {E}})=\sigma ({\mathcal {E}})} . כעת השוויון הכללי לקבוצה מדידה כלשהי F ∈ σ ( E ) {\displaystyle F\in \sigma ({\mathcal {E}})} נובע מסיגמא-אדיטיביות ומרציפות המידות, תוך שימוש בשרשרת המכסה את המרחב: μ 1 ( F ) = ∑ i = 1 ∞ μ 1 ( F ∩ E i ) = lim i → ∞ μ 1 ( F ∩ E i ) = lim i → ∞ μ 2 ( F ∩ E i ) = ∑ i = 1 ∞ μ 2 ( F ∩ E i ) = μ 2 ( F ) {\displaystyle \mu _{1}(F)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{1}(F\cap E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu _{1}(F\cap E_{i})=\lim _{i\to \infty }\mu _{2}(F\cap E_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }\mu _{2}(F\cap E_{i})=\mu _{2}(F)}