אנרי פואנקרה

זִ'יל אַנְרִי פּוּאַנְקָרֶה (בצרפתית: Jules Henri Poincaré; נאנסי, 29 באפריל 1854 – פריז, 17 ביולי 1912), היה מתמטיקאי, פיזיקאי עיוני, מהנדס ופילוסוף צרפתי. מתואר לעיתים קרובות כאיש אשכולות, ובמתמטיקה כ"אחרון האוניברסליסטים", מאחר שהיה המתמטיקאי הבולט האחרון שהצליח להיות שותף יוצר ופעיל בכל ענפי המתמטיקה של תקופתו. השתתף בפיתוח תורת הכאוס המוכרת לנו כיום. כמתמטיקאי וכפיזיקאי, תרם תרומות מקוריות ובסיסיות רבות גם לתחום המתמטיקה העיונית וגם למתמטיקה השימושית, לפיזיקה המתמטית ולמכניקה השמימית. הוא היה אחראי לניסוח השערת פואנקרה, אחת מהבעיות המפורסמות ביותר במתמטיקה, שהוגדרה כאחת משבע בעיות המילניום של מכון קליי והוכחה בידי גריגורי פרלמן רק ב-2002, 98 שנים לאחר הצגתה. במחקרו על בעיית שלושת הגופים, היה פואנקרה הראשון שגילה מערכת כאוטית דטרמיניסטית והניח את היסודות לתורת הכאוס המודרנית. כמו-כן הוא נחשב לאחד היוצרים של תחום הטופולוגיה. פואנקרה הציג את עקרון היחסות המודרני והיה הראשון שהציג את טרנספורמציות לורנץ בצורתן הסימטרית המודרנית. פואנקרה גילה את טרנספורמציית המהירויות בתורת היחסות, שעדיין נמצאת בשימוש, ותיעד אותה במכתב ללורנץ ב-1905. כך הוא השיג אינוואריאנטיות מושלמת של משוואות מקסוול, שהיוותה צעד חשוב בניסוח תורת היחסות הפרטית. פעילותו של פואנקרה בתחום תורת היחסות התרחשה במקביל למחקריו של אלברט איינשטיין, שהתבסס על כתביו של פואנקרה בעבודותיו ובתורות הפיזיקליות שפיתח. חבורת פואנקרה, השימושית במתמטיקה ובפיזיקה, קרויה על שמו. פואנקרה נולד בנאנסי, מרת ומוזל, בחבל גראנד אסט אשר בקיסרות הצרפתית השנייה, למשפחה רבת השפעה. אביו, לאון, היה פרופסור לרפואה באוניברסיטת נאנסי שבנוסף עסק בנוירולוגיה, ובן דודו, רמון פואנקרה, היה פוליטיקאי בכיר, נשיא צרפת וראש ממשלת צרפת וחבר באקדמיה הצרפתית. אמו, מרי פיירטה אז'ני הייתה אישה משכילה, בת למשפחה אמידה. אחותו הצעירה, אלין, שאותה העריץ, נישאה לפילוסוף הספירטואלי אמיל בוטרו. אנרי גדל בבית המשפחה המרווח ביחד עם משפחתו הגרעינית, סבו וסבתו ומשרתי הבית. כבר בגיל תשעה חודשים החל לדבר לראשונה. בילדותו התבלט בהיותו מבריק באופן יוצא מן הכלל, וקיבל חינוך מיוחד מאמו, אז'ני. כילד הוא הצטיין בכתיבה אך גם לקה בדיפתריה, מחלה התוקפת את מערכת הנשימה. במשך חודשיים לא היה מסוגל ללכת וחודשים רבים לא יכול היה לדבר. לשם כך העסיקו הוריו מורה פרטי שלימד אותו לתקשר באמצעות שפת סימנים. ב-1862, בהיותו בן שמונה, החל ללמוד בבית הספר בנאנסי (שהיום קרוי על שמו), לאחר שלמד בחינוך ביתי שנתנה לו אימו. בבית הספר הצטיין בכל תחום, עם דגש על מתמטיקה, וכן קיבל פרס ראשון בתחרות בין תלמידים מכל בתי הספר בצרפת. כאשר היה בן 16 פרצה מלחמת צרפת–פרוסיה וביחד עם אביו טיפל אנרי בחיילים פצועים לאחר שהתנדבו לשרת בחיל רפואת חירום. נאנסי נכבשה בידי צבא הקיסרות הגרמנית ונותרה תחת כיבוש עד 1873, אך לא סופחה לתוך גרמניה כפי שסופח חבל אלזס-לורן. ב-1871 סיים את לימודיו בנאנסי עם תואר ראשון בלימודי ספרות ומדעים כלליים. ציוניו הסופיים היו ממוצעים בלבד ומקורביו חששו כי יתקשה להתקבל ללימודים גבוהים באוניברסיטה עם ציונים אלו. המצב השתנה כאשר פואנקרה פתר ב-1872 סדרת בעיות מתמטיות שפורסמו בידי האֶקוֹל פּוֹלִיטֶקְנִיק. פואנקרה היה הראשון לפתור את אותן הבעיות ובעקבות כך התקבל ללימודים במוסד. הוא החל ללמוד באקול פוליטקניק ב-1873, שם למד מתמטיקה כתלמיד של שארל הרמיט (המתמטיקאי הראשון שהוכיח את הטרנסצנדנטיות של הקבוע e), וסיים את לימודיו ב-1875. פואנקרה נהג לאחר להרצאות והמעיט ברישום החומר הנלמד בהן. הוא לא הרבה לבלות בחברת שאר הסטודנטים אלא כאשר השיח נגע למתמטיקה. ב-1874 פרסם את מאמרו הראשון: "הוכחה חדשה של מאפייני המחוון של המישור." המחקר עסק בגאומטריה דיפרנציאלית והתרכז במחוון דופין; שיטה להגדרה ואפיון הצורה המקומית של המישור. ב-1875 השלים את לימודיו באקול פוליטקניק, והמשיך ללמוד מתמטיקה יחד עם הנדסת מכרות באקול דה מין, וקיבל תואר מהנדס במרץ 1879. לאחר שסיים את לימודיו נעשה למפקח מכרות באזור וסול בצפון מזרח צרפת. באוגוסט 1879 התרחש אסון מכרות במסגרתו נהרגו 18 כורים. פואנקרה היה אחראי על החקירה הרשמית של האסון. זמן קצר לאחר מכן הוצעה לו משרה כמרצה זוטר למתמטיקה באוניברסיטת קאן. הוא מעולם לא נטש את קריירת המכרות, ונעשה למהנדס ראשי ב-1893, ולמפקח הראשי ב-1910. במקביל לחקירת האסון שקד פואנקרה על כתיבת עבודת הדוקטורט שלו: "על המאפיינים של פונקציות המוגדרות על ידי משוואות דיפרנציאליות" (Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différences). פואנקרה המציא שיטה חדשה לחקר התכונות של משוואות דיפרנציאליות. הוא לא רק עמד במשימה של חילוץ האינטגרל של משוואות כאלה, אלא אף היה הראשון שחקר את התכונות הגאומטריות הכלליות שלהן. הוא הבין כי ניתן להשתמש בתכונות אלו כדי ליצור מודל של התנהגות גופים מרובים הנעים בתנועה חופשית בתוך מערכת השמש. באוניברסיטת קאן פגש לראשונה את אשתו לימים, ז'אן-לואיז פוליין ד'אנדסי, ולזוג נולדו ארבעה ילדים. לואיז הייתה אחראית על הטיפול במשפחה, ובכך אפשרה לפואנקרה להתרכז בעבודתו המדעית. זמן קצר לאחר שהחל את עבודתו פרסם את המאמר המפורסם הראשון שלו על אודות פונקציות אוטומורפיות. באותה העת התכתב פואנקרה עם המתמטיקאי פליקס קליין שתרם לו בפיתוח מחקרו. החל מ-1881 ולמשך יתרת הקריירה שלו, לימד באוניברסיטה של פריז (הסורבון). שם הוא החזיק בקתדרות לפיזיקה ומכניקה ניסויית, פיזיקה מתמטית ותורת ההסתברות, ואסטרונומיה. בין 1881 ל-1882 שקד פואנקרה, במקביל למתמטיקאי ופיזיקאי הרוסי אלכסנדר ליאפונוב, על פיתוח התאוריה המכלילה של משוואות דיפרנציאליות. מטרת התאוריה הייתה להשיג מידע על מירב התכונות של סדרת תשובות בלי לדעת את הפונקציה של אף אחת מהן. ב-1883 פרסם מאמר על אנליזה מרוכבת שנחשב לבסיס לתאוריה של פונקציה אנליטית. בין 1883 ל-1897, פואנקרה לימד אנליזה מתמטית באקול פוליטקניק בנוסף לעבודתו בסורבון. במהלך שנות השמונים של המאה התשע עשרה, פואנקרה השתתף בתחרות אשר מטרתה הייתה לנסות ולהבין את אחת מהבעיות המתמטיות המוכרות יותר, "בעיית שלושת הגופים". בעיה זו הייתה צריכה לקבוע תנועה של שלושה גופים בחלל, כאשר נקודות המוצא שלהם ידועות. הפתרון המתמטי שהציג פואנקרה היה כה ארוך ומסובך, שהשופטים נזקקו להסברו של פואנקרה על מנת להבינו והוא הסביר באורך של כמאה עמודים את הרעיון. בשנת 1885 פואנקרה לראשונה הציג מונח ביפורקציה. בשנת 1885 ערך אוסקר השני, מלך שוודיה, תחרות מתמטית נושאת פרס כספי עבור פתרון השאלה עד כמה מערכת השמש יציבה, וריאציה של בעיית שלושת הגופים. פואנקרה לא הצליח לפתור את הבעיה באופן מושלם, אך פתרונו היה כה מרשים שב-1888 קיבל בכל זאת את הפרס. פואנקרה מצא כי ההתפתחות של מערכת כזו היא פעמים רבות כאוטית, כלומר ששינוי קטן ביותר במיקום הראשוני יכול להוביל למצב שונה מאוד לאחר זמן. אם לא ניתן למדוד את השינוי הראשוני הקטן, פירוש הדבר כי לא ניתן לחזות מה יהיה מצב המערכת תוך זמן מסוים. אחד מהשופטים, קרל ויירשטראס, אמר כי "מחקר זה אכן לא פתר בשלמות את הבעיה שהוצגה, אך בכל זאת הוא בעל חשיבות כה רבה שפרסומו יחל תקופה חדשה בהיסטוריה של המכניקה השמימית". בגיל 32 בלבד, נבחר פואנקרה לאקדמיה הצרפתית למדעים, נעשה לנשיאה ב-1906, ונבחר לאקדמיה הצרפתית ב-1909. ב-1893 הוא הצטרף ללשכה הצרפתית לקווי אורך, שהעסיקה אותו בתיאום הזמן בכל העולם. ב-1897 הוא חזר בו מהצעה לא מוצלחת של מעבר לשיטה העשרונית במדידת העיגול, ולפיכך גם בזמן ובקווי האורך. עבודה זו הובילה אותו לחשוב על השוואה בין שעונים שנעים במהירות גבוהה. ב-1898, ב"מדידת הזמן", הוא ניסח את עקרון היחסיות, שלפיו אין כל ניסוי שיכול להבחין בין מצב של תנועה אחידה למצב של מנוחה. יחד עם התאורטיקן הנדריק לורנץ הוא הגיע לגבולות הפיזיקה של אז, על מנת להסביר את תנועתם של אלקטרונים מהירים. רק אלברט איינשטיין, שהיה מוכן לשנות את כל המבנה של הפיזיקה, הוא שהצליח ליצור את המודל היחסותי המוצלח. ב-1895 פואנקרה פרסם מאמר מהפכני בעולם המדעי. מאמר זה חקר גופים טופולוגים בחלל באמצעות שיטות של אלגברה ובעזרתו ייסד פואנקרה את תחום הטופולוגיה האלגברית. כל תקופה מסוימת פואנקרה ערך מחדש את המאמר וקידם ופיתח אותו. בגרסה של המאמר משנת 1904 פואנקרה היה אחראי לניסוח של אחת מהבעיות המפורסמות ביותר במתמטיקה, "השערת פואנקרה". הבעיה היוותה גורם חשוב בהתפתחויות רבות בטופולוגיה ותחומים אחרים במתמטיקה במהלך המאה ה-20, עד שנפתרה לבסוף ב-2002. במהלך שנות ה-90 של המאה ה-19, פואנקרה עבד על כתיבת סדרת מאמרים בת שלושה כרכים על מכניקה שמיימית שמטרתם הייתה להגדיר את כל מערכות התנועה המכניות. בשנת 1899, ושוב בהצלחה רבה יותר ב-1904, הוא התערב במשפטים של אלפרד דרייפוס. בשנת 1900 קיבל מדליית זהב מהאגודה המלכותית של לונדון בנושא האסטרונומיה. בשנת 1912 הוא נותח בשל בעיית ערמונית, ומת מתסחיף ב-17 ביולי 1912, ביום שאמור היה להשתחרר מבית החולים לאחר הניתוח. הוא היה בן 58 במותו. פואנקרה נקבר בבית הקברות מונפרנאס ברובע הארבעה-עשר של פריז. ביוגרף ופסיכולוג מאותה תקופה, א. טולוז, שחקר את אופן עבודתו של פואנקרה, סיפר כי פואנקרה שמר על שעות עבודה מדויקות מאוד. הוא עסק במחקר מתמטי במשך ארבע שעות ביום, מעשר בבוקר ועד הצהריים ושוב מחמש בערב עד שבע. הוא קרא מאמרים בכתבי עת מאוחר יותר בערב. ייתכן והרגלי העבודה שלו נגרמו גם כתוצאה של מחלה ממנה סבל שנים ארוכות שהאטה את תהליך העיכול שלו והובילה אותו לעיתים קרובות לנוח בצהריים עד שלוש שעות לאחר ארוחת הצהריים. היה לו זיכרון יוצא מן הכלל, והוא זכר כל שורה בטקסט שקרא. כמו כן, הוא זכר באופן מושלם דברים ששמע. הנוהג הרגיל שלו בעבודה, היה לפתור בעיה בראשו, ואז להעביר את הפתרון המושלם לנייר. יכולתו לזכור באופן מושלם את ששמע הועילה לו בהרצאות, שכן הוא היה כל כך קצר רואי עד שלא ראה את הלוח. הוא היה מגושם מבחינה פיזית, תמיד מיהר ולא אהב לחזור אחורה לתיקונים או שינויים. פואנקרה היה חבר הכנסייה הרומית-קתולית מילדותו ועד גיל 18, עת החשיב את עצמו איש מחשבה חופשית. הוא התנגד נחרצות לדוגמות קתוליות חריפות כמו גם להתערבות של המדינה בחיי הדת וקרא לשוויון זכויות פוליטי מוחלט. פואנקרה נהנה ממוזיקה קלאסית וריכרד וגנר היה המלחין האהוב עליו. בעת לימודיו באקול פוליטקניק התנסה בנגינה בפסנתר לזמן קצר. ב-1908 פואנקרה העביר הרצאה בפסיכולוגיה שבה תיאר כיצד חקר את ההתנהלות של מוחו. הוא ניחן בריכוז גבוה ובהתעניינות מרובה במגוון רחב של תחומים. פעם אחת הגדיר את עצמו כ-"דבורה שנעה ממגדל למגדל." פואנקרה התבטא בפומבי בהקשר למאורע פוליטי-חברתי רק פעם אחת, במהלך פרשת דרייפוס. הוא תקף את הטענות המדעיות חסרות הבסיס שהובאו כראיות נגד דרייפוס. ב-1899 שלח מכתב למועצת המלחמה של רן, האחראית על השיפוט של קפטן אלפרד דרייפוס, ובו הטיח ביקורת על שיטות הניתוח של האיגרת המפלילה (הבורדרו) שהייתה לראיה שעל בסיסה דרייפוס הואשם. ב-1904 היה בין החותמים על מכתב עצומה שביקר את התנהלות רשויות המשפט ודרש משפט חוזר לניקוי שמו של דרייפוס, תהליך שהושלם רק ב-1906. בתוך המכתב פואנקרה רשם את ההוכחה המתמטית לשימוש השגוי שנעשה במהלך החקירה המקורית בחוק בייס מתורת ההסתברות ושבעזרתו דרייפוס הופלל. בראש ובראשונה פואנקרה תקף את חוקר הזיהוי המשטרתי אלפונס ברטיון אשר העיד כמומחה וטען כי דרייפוס הוא הכותב האמיתי של הבורדרו. פואנקרה תרם תרומות רבות וחשובות לתחומים רבים ושונים של מתמטיקה עיונית ושימושית, כגון: מכניקה שמימית, מכניקת הזורמים, אופטיקה, חשמל, טלגרפיה, נימיות, אלסטיות, תרמודינמיקה, תורת הפוטנציאל, תורת הקוונטים, תורת היחסות וקוסמולוגיה. נוסף על כל אלה הוא גם כתב על מתמטיקה ופיזיקה באופן פופולרי, ופרסם מספר ספרים לציבור הרחב. בין התחומים שלתרומותיו להם הייתה השפעה מהותית עליהם: טופולוגיה אלגברית; התאוריה של פונקציות אנליטיות של כמה משתנים מרוכבים; התאוריה של פונקציות אבליות; גאומטריה אלגברית; פואנקרה היה אחראי לניסוח אחת מהבעיות המפורסמות ביותר במתמטיקה, שידועה כהשערת פואנקרה, השערה בטופולוגיה; גאומטריה היפרבולית; תורת המספרים; בעיית שלושת הגופים; התאוריה של משוואות דיופנטיות; תורת האלקטרומגנטיות; תורת היחסות הפרטית; במאמר משנת 1894, הוא הציג את המושג של החבורה היסודית; בתחום המשוואות הדיפרנציאליות פואנקרה הגיע לתוצאות רבות שחשיבותן קריטית עבור התאוריה האיכותית של המשוואות הדיפרנציאליות, לדוגמה הספירה של פואנקרה ומפת פואנקרה; הוא פרסם מאמר משפיע המספק טענה מתמטית מקורית שתומכת במכניקת הקוונטים; פואנקרה היה מהמייסדים של התורה הארגודית כאשר הציג את משפט הנשנות של פואנקרה (שנוסח והוכח בצורה מדויקת רק מאוחר יותר על ידי קרתיאודורי ב-1919). ערך מורחב – בעיית שלושת הגופים בעיית שלושת הגופים היא בעיה ותיקה ומפורסמת במכניקה, המבקשת לתאר את תנועתם ההדדית של שלושה גופים תחת השפעתו של כוח המשיכה. מכיוון שהבעיה מתאימה לתיאור תנועתם של גופים כגון השמש, כדור הארץ והירח, יש לה חשיבות תאורטית רבה באסטרונומיה של מערכת השמש (ובפרט בסוגיית יציבותה של מערכת השמש). את בעיית שני הגופים פתר ניוטון באופן מלא באחד היישומים הראשונים של החשבון הדיפרנציאלי. ניוטון הראה ששני גופים הנעים תחת השפעת כוח הכובד בלבד, נעים זה ביחס לזה במסלול המהווה חתך חרוט: אליפסה, פרבולה או היפרבולה. בניגוד לכך, בעיית שלושת הגופים היא בעיה קשה באופן כללי ואין עבורה משוואת מערכת סגורה אוניברסלית, על אף מחקרים ממושכים בידי מתמטיקאים רבים, בעיקר בתקופה שלאחר פואנקרה, מכיוון שהוא זה שהעניק פרסום רב לבעיה. הבעיה העקרונית היא לחזות את תנועותיהם של שלושה גופים (כגון כוכבים או כוכבי לכת) הנמשכים הדדית האחד לשני על ידי כוח הכבידה, בהתחשב במיקומים ובמהירויות ההתחלתיים שלהם. עבודתו הראשונה של פואנקרה בנושא נכתבה כמענה לתחרות בחסות אוסקר השני, מלך שוודיה. הבעיה (הראשונה) שהוצעה לכותבים עסקה ביציבות המערכת של שלושה גופים. השופטים - גוסטה מיטג-לפלר, קארל ויירשטראס ושארל הרמיט, התקשו בתחילה לקרוא את פתרונו של פואנקרה, אך לאחר שהלה הגיש הבהרות שארכו כמעט מאה עמודים, בחרו בו כזוכה. בפתרון זה התגלתה שגיאה, ועוד לפני שהספיק פואנקרה לתקן אותה, כעבור פחות מחודש, וחרף ההוצאות הכבדות, אילץ אותו מיטג-לפלר למשוך את כל העותקים המודפסים של הפתרון. במחקרו נעזר פואנקרה במשתנים מגבילים, כך שהמשוואה שהציג, שהעמידה חמישה פתרונות אפשריים, לא הייתה אוניברסלית בכל מקרה. מיטג-לפלר, שתמך בגישתו האינטואיטיבית של פואנקרה, חשש שהאסכולה הגרמנית בראשותו של לאופולד קרוֹנֶקר תראה בשגיאה זו הוכחה ניצחת לביקורת שלה כנגד עבודתו של פואנקרה, שלא הייתה קפדנית דיה לטעמה. בעקבות כך, כתב פואנקרה בשנים 1892–1899 חיבור בן שלושה כרכים על "שיטות חדשות במכניקה השמימית", שהתניע את המחקר המודרני במערכות דינמיות. באופן מעשי פותרים את בעיית שלושת הגופים, ואף את הבעיה הכללית יותר של מספר רב של גופים, בעזרת שיטות נומריות. לצורך כך, מחלקים את התנועה לקטעי זמן קצרים, ומחשבים את הכוחות הפועלים בין הגופים בכל קטע זמן. ככל שפרקי הזמן קצרים יותר יהיו החישובים מדויקים יותר, אך השגת דיוק מלא היא משימה קשה ביותר. פואנקרה גילה שיכולים להתקיים מסלולים לא-מחזוריים, שאינם מתרחקים או מתקרבים לנקודה קבועה. דרך גילוי זה החל פואנקרה את חקר תורת הכאוס. על סמך הוכחה זאת, הוכיח פואנקרה כי לא ניתן לחשב פתרון אוניברסלי לבעיה. סימולציות מראות שבעת אינטראקציה בין שלושה גופים, ישנם שני שלבים: תחילה השלב הכאוטי שבמסגרתו שלושת הגופים מושכים זה את זה עד לנקודה שגוף אחד נפלט הרחק מהשניים האחרים המתמקמים למסלול בצורת אליפסה (בעיית שני הגופים). במקרה והגוף השלישי נמצא במסלול תחום, הוא ישוב בסופו של דבר לכיוון הצמד הנותר ומיד לאחר מכן השלב הראשון יחזור על עצמו. תנועת הגופים הסובבים האחד את השני מסתיימת כאשר בשלב השני, אחד הגופים נפלט למסלול לא תחום ולא שב אף פעם. פואנקרה החזיק בהשקפות פילוסופיות המנוגדות לאלו של ברטרנד ראסל וגוטלוב פרגה, שהאמינו כי מתמטיקה היא ענף של הלוגיקה. פואנקרה סירב לקבל השקפות אלה, וטען שאינטואיציה היא מנת חלקו של המחקר המתמטי, ולא לוגיקה. כמו-כן פואנקרה טען שלוגיקה חוסמת ומגבילה רעיונות ופיתוח. פואנקרה מספק נקודת-מבט מעניינת בספרו מדע והיפותזה: עבור צופה שטחי, אמת מדעית היא מעבר לספק: הלוגיקה של המדע חסינה מטעויות, ואם מדענים לפעמים טועים, זה נובע רק כתוצאה מחוק שגוי או לא כללי מספיק. פואנקרה האמין כי אריתמטיקה היא מדע סינתטי. הוא טען כי האקסיומות של פיאנו אינן ניתנות להוכחה בצורה לא מעגלית באמצעות עקרון האינדוקציה, ומכך הסיק כי אריתמטיקה היא אפריוריות סינתטית ולא אנליטית. השקפותיו היו זהות לאלו של עמנואל קאנט. הוא דחה את תורת הקבוצות הקנטורית, בהתייחסו לשימושה של התורה בהגדרות לא צפויות. פואנקרה לא חלק השקפות קנטיאניות בכל ענפי הפילוסופיה והמתמטיקה. לדוגמה, בגאומטריה, פואנקרה האמין כי המבנה של מרחב לא אוקלידי ניתן לידיעה באופן אנליטי. פואנקרה טען כי הקונבנציה (מוסכמה) מהווה מרכיב חשוב בפיזיקה. השקפתו (וכמה גרסאות יותר קיצוניות שלה), נודעה כקונבנציונליזם. פואנקרה האמין כי החוק הראשון של ניוטון אינו אמפירי, אלא הוא מוסכמת-יסוד המהווה מסגרת למכניקה. הוא האמין גם כי הגאומטריה של המרחב הפיזיקלי היא קונבנציונלית. הוא נתן דוגמאות שבהן הגאומטריה של שדות פיזיקליים או גרדיאנטים של טמפרטורה עשויים להשתנות, כאשר מתארים את המרחב כלא אוקלידי הנמדד על ידי סרגלים נוקשים, או כמרחב אוקלידי בו הסרגלים מתארכים או מתכווצים על ידי התפלגות חום משתנה. פואנקרה גם סבר, שככל הנראה, כה התרגלנו לגאומטריה האוקלידית, שנעדיף לנסח את חוקי הפיזיקה באמצעות גאומטריה אוקלידית מאשר להתקדם לעולם פיזיקלי בעל גאומטריה לא אוקלידית. משפט פואנקרה - בנדיקסון משפט פואנקרה - בירקהוף מודל חצי המישור של פואנקרה סימטרית פואנקרה משפט פואנקרה-הופף ומשפט הכדור השעיר הנובע ממנו המטריקה של פואנקרה הדואליות של פואנקרה חבורת פואנקרה מפת פואנקרה היסטוריה של היחסות הפרטית השערת פואנקרה H. Poincaré, The Future of Mathematics, The Monist, January 1910, in JSTOR June Barrow-Green, Oscar II's Prize Competition and the Error in Poincaré's Memoir on the Three Body Problem, Archive for History of Exact Sciences, June 1994, in JSTOR Alain Chenciner, Poincaré and the Three-Body Problem, Département de mathématique, Université Paris, 2012 מדיה וקבצים בנושא אנרי פואנקרה בוויקישיתוף אנרי פואנקרה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אנרי פואנקרה, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה אנרי פואנקרה, באתר MacTutor (באנגלית) ציטוטים מאנרי פואנקרה סקירה של הישגיו המתמטיים של פואנקרה "היחסיות של החלל", מאמר של פואנקרה מ-1897 השערת פואנקרה כתבי אנרי פואנקרה בפרויקט גוטנברג (בצרפתית ובגרמנית) ז'ול אנרי פואנקרה (1854-1912), דף שער בספרייה הלאומית Poincaré and Dreyfus (רשימת מסמכים וקישורים הנוגעים להתייחסותו של פואנקרה בהקשר למשפט דרייפוס), באתר אוניברסיטת אדינבורו Roger MANSUY et Laurent MAZLIAK, Introduction au rapport de Poincaré pour le procès en cassation de Dreyfus en 1904 (הקדמה לדו"ח של פואנקרה למשפט קאסיה של דרייפוס ב-1904) Tim Stephensrichard Montgomery, University of California - Santa Cruz, The compelling mathematical challenge of the three-body problem, PHYS, ‏AUGUST 7, 2019 Alain Chenciner, Poincaré and the Three-Body Problem, Département de mathématique, Université Paris, 2012 נהוג להשתמש בסימן n בעבור בעיית שלושת הגופים או בעיית מספר רב של גופים כאשר n מייצג שלושה או יותר גופים בשדה משיכה מושפע אחד מהשני. בתורת היחסות של איינשטיין פתרון הבעיה הופך למסובך עוד יותר עקב השילוב של משתנים נוספים כגון שינויים בזמן ובמרחב. הטכניון, פתרון לבעיית שלושת הגופים הכאוטיים - אחרי מאות שנים: מדענים מצאו פתרונות יעילים לבעיית שלושת הגופים המפורסמת – ומה הקשר ל"הליכת שיכור"?, באתר הידען, ‏13 באוגוסט 2021