משוואת שרדינגר ואינטגרלי פיינמן

במכניקת הקוונטים נפוצות כמה שיטות לתיאור ההתפתחות בזמן של מערכת. השתיים ה"קלאסיות", מראשית תורת הקוונטים, הן תמונת הייזנברג ותמונת שרדינגר, אשר מבוססות שתיהן על משוואת שרדינגר. שיטה מאוחרת יותר היא פורמליזם אינטגרלי המסלול שהגה ריצ'רד פיינמן בשנת 1948. בשיטה זו, במקום לתהות איך תשתנה התפלגות המיקום של חלקיק (פונקציית הגל שלו) או איך ישתנו האופרטורים הפועלים עליו, יש לסכום על כל המסלולים האפשריים עבור חלקיק שעבר מנקודה א' לנקודה ב', והסכימה הזו – עם פונקציית משקל מסוימת – נותנת את אמפליטודת ההסתברות שהחלקיק יגיע מנקודה לנקודה. המונח היסודי בפורמליזם זה הוא הפרופגטור, המסומן לרוב ב-K, שמסמן את אמפליטודת ההסתברות למעבר. כפי שהתמונות המוזכרות לעיל שקולות בתוצרים שהן מייצרות ובניבויים הפיזיקליים שלהן, כך גם פורמליזם אינטגרלי המסלול נותן תוצאות זהות לאלה שתיתן משוואת שרדינגר. בפרט, עבור ניסוי שני הסדקים (שהיווה מוטיבציה ומקור רעיוני לשיטת אינטגרלי המסלול) מתקבלת תוצאה זהה. כוחו המרכזי של פורמליזם אינטגרלי המסלול הוא הפשטות בה ניתן לעבור למערכות רבות חלקיקים בלי שינוי עקרוני במתודות, בעוד שבמשוואת שרדינגר יש צורך לעסוק בקוונטיזציה שנייה. אינטגרלי המסלול הם גם הכללה של עקרון הפעולה המינימלית למכניקה הקוונטית, כפי שיוזכר גם בהמשך. בעזרת הכללות פשוטות יחסית של שיטת אינטגרלי המסלול ניתן לעסוק בחישובים מתחום המכניקה הסטטיסטית ולחשב פונקציית חלוקה באופן קוונטי. מאמר זה מציג את היסוד לפורמליזם זה, באמצעות הצגת הקשר הישיר בין משוואת שרדינגר לבין פורמליזם אינטגרלי המסלול של פיינמן, וזאת באמצעות שימוש בהמילטוניאן לא-רלטביסטי חד-חלקיקי המורכב מאנרגיה קינטית ואנרגיה פוטנציאלית, המקרה הכי בסיסי בו ניתן לעסוק באינטגרלי מסלול. את הפיתוח שמופיע בהמשך ניתן למצוא בספרים ובמקורות רבים, עם הבדלים מועטים, דוגמת Altland & Simons או Lancaster & Blundell. כאשר משתמשים בסימון דיראק ניתן לכתוב את משוואת שרדינגר כך: i ℏ d d t | ψ ⟩ = H ^ | ψ ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle } כאשר  H ^ {\displaystyle {\hat {H}}} הוא אופרטור ההמילטוניאן. את אופרטור ההמילטוניאן אפשר לכתוב כך: H ^ = p ^ 2 2 m + V ( q ^ ) {\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {q}})} כאשר  V ( q ^ ) {\displaystyle V({\hat {q}})} היא אנרגיה פוטנציאלית, m {\displaystyle m} היא המסה ואנחנו מניחים שיש רק מימד מרחבי אחד,  q {\displaystyle q} . הפתרון הפורמלי של משוואת שרדינגר בתמונת שרדינגר נתון, באופן כללי, על ידי | ψ ( t ) ⟩ = exp ⁡ ( − i ℏ H ^ t ) | q 0 ⟩ ≡ exp ⁡ ( − i ℏ H ^ t ) | 0 ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|q_{0}\rangle \equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|0\rangle } ולכן סיכוי המעבר מהמצב ההתחלתי למצב סופי כלשהו F {\displaystyle F} הוא ⟨ F | ψ ( t ) ⟩ = ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ T ) | 0 ⟩ {\displaystyle \langle F|\psi (t)\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle } . פורמליזם אינטגרלי המסלול טוען שהסתברות המעבר נתונה על ידי אינטגרל על הגודל exp ⁡ ( i ℏ S ) {\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}S\right)} על כל המסלולים האפשריים מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, כאשר S {\displaystyle S} מסמל את הפעולה הקלאסית. הניסוח מחדש הזה עבור סיכוי המעבר, שנהגה במקור על ידי דיראק ושוכלל על ידי פיינמן, מהווה את הבסיס של פורמליזם אינטגרלי המסלול. הגזירה שלהלן עושה שימוש בנוסחת המכפלה של טרוטר, שקובעת שעבור כל שני אופרטורים הרמיטיים A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} (המקיימים תנאים מסוימים) מתקיים e i ( A + B ) ψ = lim N → ∞ ( e i A / N e i B / N ) N ψ {\displaystyle e^{i(A+B)}\psi =\lim _{N\rightarrow \infty }(e^{iA/N}e^{iB/N})^{N}\psi } , אפילו אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} אינם מתחלפים. ניתן לחלק את מרווח הזמן [ T , 0 ] {\displaystyle [T,0]} ל- N {\displaystyle N} מקטעים מאורך δ t = T N {\displaystyle \delta t={\frac {T}{N}}} . ולכן אפשר לכתוב את אמפליטודת המעבר כך: ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ T ) | 0 ⟩ = ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) ⋯ exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | 0 ⟩ {\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\cdots \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle } . ניתן להכניס את מטריצת הזהות I = ∫ d q | q ⟩ ⟨ q | {\displaystyle I=\int dq|q\rangle \langle q|} N − 1 {\displaystyle N-1} פעמים (בין כל זוג אקספוננטים) ונקבל את השוויון ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ T ) | 0 ⟩ = ( ∏ j = 1 N − 1 ∫ d q j ) ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | q N − 1 ⟩ ⟨ q N − 1 | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | q N − 2 ⟩ ⋯ ⟨ q 1 | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | 0 ⟩ {\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-1}\right\rangle \left\langle q_{N-1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-2}\right\rangle \cdots \left\langle q_{1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle } . אף על פי שהאנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית אינן מתחלפות (ולכן, אי אפשר לפרק את האקספוננט של ההמילטוניאן למכפלת אקספוננט של האנרגיה הקינטית ואקספוננט של הפוטנציאלית), נוסחת טרוטר מאפשרת להתעלם מהאי-התחלפות ולכתוב בכל מקטע זמן קטן exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) ≈ exp ⁡ ( − i ℏ p ^ 2 2 m δ t ) exp ⁡ ( − i ℏ V ( q j ) δ t ) {\displaystyle \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\approx \exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right)} ולכן לאחר שימוש בנוסחה נקבל: ⟨ q j + 1 | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | q j ⟩ = ⟨ q j + 1 | exp ⁡ ( − i ℏ p ^ 2 2 m δ t ) exp ⁡ ( − i ℏ V ( q j ) δ t ) | q j ⟩ {\displaystyle \left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left\langle q_{j+1}{\Bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right){\Bigg |}q_{j}\right\rangle } עכשיו ניעזר בזהות נוספת למטריצת הזהות: I = ∫ d p 2 π | p ⟩ ⟨ p | {\displaystyle I=\int {dp \over 2\pi }|p\rangle \langle p|} ולאחר הכנסה של הזהות לתוך האמפליטודה נקבל: ⟨ q j + 1 | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | q j ⟩ = exp ⁡ ( − i ℏ V ( q j ) δ t ) ∫ d p 2 π ⟨ q j + 1 | exp ⁡ ( − i ℏ p 2 2 m δ t ) | p ⟩ ⟨ p | q j ⟩ = exp ⁡ ( − i ℏ V ( q j ) δ t ) ∫ d p 2 π exp ⁡ ( − i ℏ p 2 2 m δ t ) ⟨ q j + 1 | p ⟩ ⟨ p | q j ⟩ = exp ⁡ ( − i ℏ V ( q j ) δ t ) ∫ d p 2 π ℏ exp ⁡ ( − i ℏ p 2 2 m δ t − i ℏ p ( q j + 1 − q j ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle &=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right){\bigg |}p\right\rangle \langle p|q_{j}\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right)\left\langle q_{j+1}|p\right\rangle \left\langle p|q_{j}\right\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi \hbar }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t-{\frac {i}{\hbar }}p\left(q_{j+1}-q_{j}\right)\right)\end{aligned}}} כאשר נעזרנו בעובדה שהפונקציות העצמיות של המקום ושל התנע מקיימות ⟨ p | q j ⟩ = exp ⁡ ( i ℏ p q j ) ℏ {\displaystyle \langle p|q_{j}\rangle ={\frac {\exp \left({\frac {i}{\hbar }}pq_{j}\right)}{\sqrt {\hbar }}}} . ניתן לבצע אינטגרציה על התנע p {\displaystyle p} , מכיוון שזהו אינטגרל גאוסיאני ולכן הוא פתיר ולקבל: ⟨ q j + 1 | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ δ t ) | q j ⟩ = ( − i m 2 π δ t ℏ ) 1 2 exp ⁡ [ i ℏ δ t ( 1 2 m ( q j + 1 − q j δ t ) 2 − V ( q j ) ) ] {\displaystyle \left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{1 \over 2}\exp \left[{i \over \hbar }\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right]} ולכן נקבל שאמפליטודת המעבר עבור כל תקופת הזמן (לאחר הצבה של הנוסחה האחרונה באמפליטודה) היא: ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ T ) | 0 ⟩ = ( − i m 2 π δ t ℏ ) N 2 ( ∏ j = 1 N − 1 ∫ d q j ) exp ⁡ [ i ℏ ∑ j = 0 N − 1 δ t ( 1 2 m ( q j + 1 − q j δ t ) 2 − V ( q j ) ) ] {\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{N \over 2}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\exp \left[{i \over \hbar }\sum _{j=0}^{N-1}\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right]} כאשר N {\displaystyle N} שואף לאינסוף, נקבל שאת הביטוי בסוגריים הקטנים ניתן להחליף בנגזרת של q {\displaystyle q} לפי הזמן, ולכן נקבל בתוך הסוגריים העגולים הגדולים את הלגרנז'יאן. בגבול הסכום נהפך לאינטגרל, ולכן נקבל ⟨ F | exp ⁡ ( − i ℏ H ^ T ) | 0 ⟩ = ∫ D q ( t ) exp ⁡ [ i ℏ S ] {\displaystyle \left\langle F{\bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{\hat {H}}T}\right){\bigg |}0\right\rangle =\int Dq(t)\exp \left[{i \over \hbar }S\right]} כאשר S {\displaystyle S} היא הפעולה הקלאסית, שמוגדרת כך: S = ∫ 0 T d t L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) ) {\displaystyle S=\int _{0}^{T}dtL\left(q(t),{\dot {q}}(t)\right)} ו- L {\displaystyle L} הוא הלגראנז'יאן הקלאסי שמוגדר כך: L ( q , q ˙ ) = 1 2 m q ˙ 2 − V ( q ) {\displaystyle L\left(q,{\dot {q}}\right)={1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}-V(q)} עבור כל נתיב אפשרי של החלקיק, שמגיע מהמצב ההתחלתי למצב הסופי, מחשבים את התרומה שלו על ידי הגבול שסימנו בסימון הקומפקטי D q {\displaystyle Dq} : ∫ D q ( t ) = lim N → ∞ ( − i m 2 π δ t ℏ ) N 2 ( ∏ j = 1 N − 1 ∫ d q j ) {\displaystyle \int Dq(t)=\lim _{N\to \infty }\left({\frac {-im}{2\pi \delta t\hbar }}\right)^{\frac {N}{2}}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)} על אף הצורה הקומפקטית שיש למשוואה האחרונה למעלה, בפועל הביטוי הזה הוא הדרך בה מחשבים דברים בשיטת אינטגרלי המסלול – על ידי לקיחת גבול של אינטגרל על מקטעים. המקדם דואג ליחידות, אך אין לו משמעות אמיתית בשימושים פיזיקליים. הפיתוח הנ"ל מכסה את הפיתוח של פורמליזם אינטגרלי המסלול (החד-חלקיקי) של מכניקת הקוונטים כאשר מתחילים ממשוואת שרדינגר. ניתן להעיר שהפורמליזם מכליל את עקרון הפעולה המינימלית, שכן שיטת הפאזה הסטציונרית גורסת שהתרומה המרכזית לאינטגרל בגבול בו קבוע פלאנק שואף לאפס נובעת מהמצב בו הפעולה מינימלית, ולכן זהו המסלול שיתקבל בסבירות הכי גבוהה. Hall, Brian C. (2013), Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158 A. Zee (2010). Quantum Field Theory in a Nutshell, Second Edition. Princeton University. ISBN 978-0-691-14034-6. Altland, Alexander; Simons, Ben D. (2010). "3.2 – Feynman path integral, Construction of the path integral". Condensed Matter Field Theory (באנגלית) (2 ed.). Cambridge University Press. pp. 97–101. ISBN 978-0-521-76975-4. Altland, Alexander; Simons, Ben D. (2001). "4 – Feynman Path Integral". Concepts of Theoretical Solid State Physics. Lancaster, Tom; Blundell, Stephan J. (2014). "23 – Path integrals: I said to him, 'you're crazy'". Quantum Field Theory for the Gifted Amenteur. New York, New York, USA: Oxford. ISBN 978-0-19-969933-9. Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition. Oxford. ISBN 0-19-851208-2. Brown, Laurie M. (1958). Feynman's Thesis: A New Approach to Quantum Theory. World Scientific. ISBN 981-256-366-0. See Hall 2015 Section 20.2