משפט ליוביל (קירוב דיופנטי)

באנליזה דיופנטית, משפט ליוביל קובע שאם מספר אלגברי אי-רציונלי הוא שורש של פולינום ממעלה n {\displaystyle n} מעל השלמים, אז לא ניתן לקרב אותו דיופנטית קירוב מסדר העולה על n {\displaystyle n} . מכאן שמספרים לא רציונליים הניתנים לקירוב מכל סדר הם טרנסצנדנטיים. ליוביל בנה מספרים כאלה, הנקראים מספרי ליוביל, ובכך הוכיח בפעם הראשונה שקיימים מספרים טרנסצנדנטיים. את המשפט הוכיח ז'וזף ליוביל בשנת 1844. מספר טרנסצנדנטי הוא מספר שאינו אלגברי, כלומר אינו שורש של אף פולינום במקדמים מספרים שלמים (ולכן גם אינו שורש לאף פולינום במקדמים רציונליים). מספר ליוביל הוא מספר ממשי x {\displaystyle x} כזה שלכל n {\displaystyle n} קיימים p , q > 1 {\displaystyle p,q>1} שלמים עבורם 0 < | x − p q | < 1 q n {\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}} . דוגמה למספר שכזה תנתן בהמשך. קל לראות שכל מספר ליוביל הוא אי-רציונלי: נניח בשלילה כי a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} מספר ליוביל רציונלי. נבחר n {\displaystyle n} גדול מספיק עבורו 2 n − 1 > b {\displaystyle 2^{n-1}>b} , ואז לכל p q ≠ a b {\displaystyle {\frac {p}{q}}\neq {\frac {a}{b}}} מתקיים | a b − p q | = | a q − b p b q | ≥ 1 b q > 1 2 n − 1 q ≥ 1 q n {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}}>{\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}} משום ש- q ≥ 2 {\displaystyle q\geq 2} , בסתירה להגדרה. לכל מספר אלגברי אי-רציונלי α {\displaystyle \alpha } בעל פולינום מינימלי ממעלה n > 1 {\displaystyle n>1} , קיים A > 0 {\displaystyle A>0} כך שלכל p , q > 0 {\displaystyle p,q>0} שלמים מתקיים | α − p q | > A q n {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}} . יהי f ( x ) = ∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}} פולינום מינימלי ממעלה n > 1 {\displaystyle n>1} במקדמים שלמים עבורו f ( α ) = 0 {\displaystyle f(\alpha )=0} . מן המשפט היסודי של האלגברה נובע כי ל- f {\displaystyle f} לכל היותר n {\displaystyle n} שורשים שונים. לכן קיים δ 1 > 0 {\displaystyle \delta _{1}>0} כך שלכל 0 < | x − α | < δ 1 {\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}} מתקיים f ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)\neq 0} . בנוסף, מתקיים כי f ′ ( α ) ≠ 0 {\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0} וכן f ′ {\displaystyle f'} פונקציה רציפה. לכן לפי משפטי ויירשטראס קיים δ 2 > 0 {\displaystyle \delta _{2}>0} וקיים M > 0 {\displaystyle M>0} כך שלכל | x − α | < δ 2 {\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}} מתקיים 0 < | f ′ ( x ) | ≤ M {\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M} . שני התנאים מתקיימים בסביבה δ = min { δ 1 , δ 2 } {\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}} . יהי p q ∈ ( α − δ , α + δ ) {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )} מספר רציונלי. נניח ללא הגבלת הכלליות כי p q < α {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha } . לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' קיים x 0 ∈ ( p q , α ) {\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)} עבורו f ′ ( x 0 ) = f ( α ) − f ( p q ) α − p q {\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}} נפעיל ערך מוחלט על שני האגפים ונקבל: | α − p q | = | f ( α ) − f ( p q ) | | f ′ ( x 0 ) | = | f ( p q ) | | f ′ ( x 0 ) | = 1 | f ′ ( x 0 ) | | ∑ k = 0 n a k p k q − k | = 1 | f ′ ( x 0 ) | q n | ∑ k = 0 n a k p k q n − k | ⏟ ≥ 1 ≥ 1 M q n > A q n : 0 < A < min { δ , 1 M } {\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}} מסקנה: כל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי. הוכחה: נניח בשלילה שמספר ליוביל x {\displaystyle x} הוא אלגברי, ממעלה n {\displaystyle n} . הוכחנו שהוא אינו רציונלי, ולכן, לפי המשפט, קיימים A , n {\displaystyle A,n} כך שלכל p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} מתקיים | x − p q | > A q n {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}} . נבחר m {\displaystyle m} עבורו 1 2 m < A {\displaystyle {\frac {1}{2^{m}}}<A} . לפי הגדרת מספר ליוביל קיים p q {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} כך שמתקיים | x − p q | < 1 q m + n = 1 q m q n ≤ 1 2 m 1 q n ≤ A q n {\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{m+n}}}={\frac {1}{q^{m}q^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{m}}}{\frac {1}{q^{n}}}\leq {\frac {A}{q^{n}}}} , וזו סתירה למשפט. ערך מורחב – מספר ליוביל המשפט מראה שכל מספר ליוביל הוא טרנסצנדנטי. כדי להראות כי קיימים מספרים טרנסצנדנטיים מספיק לתת דוגמה למספר ליוביל. הדוגמה המוכרת ביותר היא קבוע ליוביל שניתנה על ידי ליוביל ב-1851: c = ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! = 0.110001000000000000000001000 … {\displaystyle c=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots } הספרה 1 מופיעה בפיתוח העשרוני של המספר במקום ה- k ! {\displaystyle k!} לאחר הנקודה העשרונית לכל k {\displaystyle k} טבעי (ראו עצרת) ובכל מקום אחר מופיעה הספרה 0. נגדיר סדרות: p n = ∑ k = 1 n 10 n ! − k ! ; q n = 10 n ! {\displaystyle p_{n}=\sum _{k\,=\,1}^{n}10^{n!-k!};\quad q_{n}=10^{n!}} לכל n {\displaystyle n} טבעי מתקיים: | c − p n q n | = ∑ k = 1 ∞ 10 − k ! − ∑ k = 1 n 10 − k ! = ∑ k = n + 1 ∞ 10 − k ! = 10 − ( n + 1 ) ! + 10 − ( n + 2 ) ! + ⋯ < 10 ⋅ 10 − ( n + 1 ) ! ≤ ( 10 − n ! ) n = 1 q n n {\displaystyle \left|c-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=\sum _{k\,=\,1}^{\infty }10^{-k!}-\sum _{k\,=\,1}^{n}10^{-k!}=\sum _{k\,=\,n+1}^{\infty }10^{-k!}=10^{-(n+1)!}+10^{-(n+2)!}+\cdots <10\cdot 10^{-(n+1)!}\leq (10^{-n!})^{n}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}} מכאן שקבוע ליוביל הוא מספר ליוביל, וזו הדוגמה הראשונה הידועה למספר טרנסצנדנטי. במקום כל ספרה 1 בפיתוח העשרוני של קבוע ליוביל ניתן לשים כל ספרה אחרת שאינה 0 והמספר יוותר מספר ליוביל. מכיוון שיש אינסוף מופעים של 1 בפיתוח, ניתן להחליפם בכל סדרת ספרות שונות מאפס, ולכן יש אינסוף מספרי ליוביל ועוצמת הקבוצה של מספרי ליוביל היא עוצמת הרצף. עם זאת קיימים מספרים טרנסצנדנטיים שאינם מספרי ליוביל. למעשה, אוסף מספרי ליוביל הוא קבוצה ממידה אפס, בעוד קנטור הוכיח כי כמעט כל המספרים הם טרנסצנדנטיים. לכן כמעט כל המספרים הטרנסצנדנטיים אינם מספרי ליוביל. ב-1955 שיפר K.F. Roth תוצאות קודמות של Thue, Siegel ו-Dyson, והראה שמספר אלגברי אינו ניתן לקירוב דיופנטי מסדר גבוה מ-2. זהו שיפור משמעותי לחסם שנותן משפט ליוביל (שהוא מעלת הפולינום המינימלי של המספר). בעזרת תוצאה זו ניתן להוכיח את הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה בהרבה של מספרים שאינם בהכרח מספרי ליוביל.