משפט הורוויץ (אלגברה)

באלגברה מופשטת ובאנליזה מרוכבת, משפט הורוויץ (Hurwitz theorem) הוא משפט הנותן פתרון מלא למשוואות מהצורה ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) = ∑ i = 1 n z i 2 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{{{y}_{i}}^{2}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{{{z}_{i}}^{2}}} , כאשר z i {\displaystyle {z}_{i}} משתנים ליניאריים ב- x i , y i {\displaystyle {x}_{i},{y}_{i}} . המשפט קובע בדיוק לאילו מספרים טבעיים n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } יש פתרון. מבחינה אלגברית, בעיה זו שקולה למיון כל אלגבראות ההרכבה מעל שדה ממאפיין לא 2. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי אדולף הורוויץ (Adolf Hurwitz), שעסק בבעיה במקרה המרוכב ופתר אותה לקראת סוף המאה ה-19. יהי F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה ממאפיין לא 2. נביט במשוואות מהצורה ( ∑ i = 1 n x i 2 ) ( ∑ i = 1 n y i 2 ) = ∑ i = 1 n z i 2 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{{{x}_{i}}^{2}}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}{{{y}_{i}}^{2}}\right)=\sum _{i=1}^{n}{{{z}_{i}}^{2}}} , כאשר n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מספר טבעי (משתנה), המשתנים x i , y i ∈ F {\displaystyle {x}_{i},{y}_{i}\in \mathbb {F} } טרנסצנדנטיים מעל השדה, והמשתנים z i {\displaystyle {z}_{i}} הם מהצורה z i = ∑ j , k = 1 n a i j k x j y k {\displaystyle {z}_{i}=\sum _{j,k=1}^{n}{{a}_{ijk}{x}_{j}{y}_{k}}} , עם a i j k ∈ F {\displaystyle {a}_{ijk}\in \mathbb {F} } כלומר משתנים ליניאריים לפי x j , y k {\displaystyle {x}_{j},{y}_{k}} . המשפט קובע כי למשוואות אלו יש פתרון שבו כל z i {\displaystyle z_{i}} הוא כנ"ל, אם ורק אם n = 1 , 2 , 4 , 8 {\displaystyle n=1,2,4,8} . עבור n = 1 {\displaystyle n=1} הפתרון הליניארי של x 2 ⋅ y 2 = z 2 {\displaystyle {x}^{2}\cdot {y}^{2}={z}^{2}} הוא z = x y {\displaystyle z=xy} . עבור n = 2 {\displaystyle n=2} קל לבדוק כי ( x 1 2 + x 2 2 ) ( y 1 2 + y 2 2 ) = ( x 1 y 1 − x 2 y 2 ) 2 + ( x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 2 {\displaystyle ({{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2})({{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2})={({x}_{1}{y}_{1}-{x}_{2}{y}_{2})}^{2}+{({x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1})}^{2}} . זהויות דומות ומעט מסובכות יותר ניתן לתת עבור n = 4 , 8 {\displaystyle n=4,8} (לפרטים מדויקים, ראו בקריאה נוספת). כעת נציג את קשר הבעיה לאלגברת הרכבה. אלגברת הרכבה היא אלגברה לא אסוציאטיבית A {\displaystyle A} עם יחידה, יחד עם תבנית ריבועית רגולרית q {\displaystyle q} שהיא כפלית, כלומר מקיימת q ( x y ) = q ( x ) q ( y ) {\displaystyle q(xy)=q(x)q(y)} . לכן, קביעת כל אלגברות ההרכב תוביל למציאת כל הפתרונות למשוואה לעיל ולהוכחת משפט הורוויץ. התכונה החשובה של אלגברות הרכבה היא שאלגברה היא אלגברת הרכבה אם ורק אם היא אלגברה אלטרנטיבית עם אינוולוציה, עבורה q ( x ) 1 = x ⋅ x ¯ {\displaystyle q(x)1=x\cdot {\overline {x}}} , כאשר 1 הוא איבר היחידה ו- q {\displaystyle q} תבנית רגולרית. תכונה מעניינת נוספת של כל אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית אנאיזוטרופית (תבנית בה q ( x ) = 0 {\displaystyle q(x)=0} רק עבור x = 0 {\displaystyle x=0} ), היא שכל אלגברה כזו היא אלגברה עם חילוק - הפכי של x {\displaystyle x} הוא q ( x ) − 1 x ¯ {\displaystyle {q(x)}^{-1}{\overline {x}}} . ערך מורחב – בניית קיילי-דיקסון כעת נתאר בנייה חיונית עבור המשפט והתאוריה. בהינתן אלגברה A {\displaystyle A} כלעיל, ואיבר c ∈ A {\displaystyle c\in A} , האלגברה ה-c מוכפלת (c-double algebra) (גם אלגברת קיילי-דיקסון) היא אלגברת בעלת ממד כפול מזה של A {\displaystyle A} , שנסמנה D c ( A ) {\displaystyle {D}_{c}(A)} . כמרחב וקטורי, D c ( A ) = A 2 {\displaystyle {D}_{c}(A)={A}^{2}} . פעולת הכפל נתונה על ידי ( u , v ) ( x , y ) = ( u x + c y ¯ v , y u + v x ¯ ) {\displaystyle (u,v)(x,y)=(ux+c{\overline {y}}v,yu+v{\overline {x}})} . קל לבדוק שהמבנה שהוגדר הוא אלגברה, וממדה ודאי כפול מזה של A {\displaystyle A} . ניתן להגדיר גם אינוולוציה שנובעת מהאינוולוציה הקודמת על ידי j ( x , y ) = ( x ¯ , − y ) {\displaystyle j(x,y)=({\overline {x}},-y)} , ומתקיים j 2 = 1 {\displaystyle {j}^{2}=1} . התכונות החשובות של האלגברה המוכפלת הן: D c ( A ) {\displaystyle {D}_{c}(A)} קומוטטיבית ואסוציאטיבית אם ורק אם A {\displaystyle A} קומוטטיבית ואסוציאטיבית, ו- j 2 = 1 {\displaystyle {j}^{2}=1} . D c ( A ) {\displaystyle {D}_{c}(A)} אסוציאטיבית אם ורק אם A {\displaystyle A} קומוטטיבית ואסוציאטיבית. D c ( A ) {\displaystyle {D}_{c}(A)} אלטרנטיבית אם ורק אם A {\displaystyle A} אסוציאטיבית. כעת, נשים לב שאלגברות הרכבה הן אלטרנטיביות. לכן, אם מתחילים מ- A = F {\displaystyle A=\mathbb {F} } שדה, הכפלה אחת תיתן אלגברה 2-ממדית קומוטטיבית ואסוציאטיבית, המכונה אלגברה ריבועית. הכפלה שנייה תיתן אלגברה 4-ממדית אסוציאטיבית ולא קומוטטיבית, המכונה אלגברת קווטרניונים מוכללת. הכפלה נוספת תיתן אלגברה 8-ממדית אלטרנטיבית, המכונה אלגברת אוקטוניונים. כעת, לאחר ההכפלה השנייה קיבלנו אלגברה לא קומוטטיבית (משום שהאינוולוציה בריבוע איננה הזהות), ולכן האוקטוניונים הם אלגברה לא אסוציאטיבית, כלומר הכפלה שלהם איננה אלטרנטיבית, ולכן איננה אלגברת הרכבה. סיום תהליך ההכפלה מעיד על נכונותה משפט, אשר את הוכחתו נראה מיד. לפי כל האמור לעיל, ניסוח שקול למשפט הוא כזה: מיון מלא של כל אלגברות ההרכבה של שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } ממאפיין לא 2 הוא כלהלן: השדה עצמו. אלגברה ריבועית מעל השדה. אלגברת קווטרניונים מעל השדה. אלגברת אוקטוניונים מעל השדה. בהוכחה ניעזר בלמה: למה: תהי A {\displaystyle A} אלגברת הרכבה עם תבנית q {\displaystyle q} , ונניח כי C {\displaystyle C} תת-אלגברה ממש של A {\displaystyle A} , הנשמרת תחת האינוולוציה j ( C ) ⊆ C {\displaystyle j(C)\subseteq C} . אז C {\displaystyle C} מוכלת באלגברה D c ( C ) {\displaystyle {D}_{c}(C)} , עבור c ∈ A {\displaystyle c\in A} כלשהו. (הוכחת הלמה ראו בקריאה נוספת). הוכחת המשפט: תהי A {\displaystyle A} אלגברת הרכבה. אם A = F {\displaystyle A=\mathbb {F} } קיבלנו את מקרה 1. אחרת, לפי הלמה, A {\displaystyle A} מכילה אלגברה ריבועית הנשמרת תחת האינוולוציה. אם A {\displaystyle A} שווה לה, סיימנו לפי מקרה 2. אחרת, שוב נעזר בלמה ונקבל כי A {\displaystyle A} מכילה אלגברת קווטרניונים (הנשמרת על ידי האינוולוציה). אם A {\displaystyle A} שווה לה, סיימנו לפי מקרה 3. אחרת, שוב לפי הלמה, A {\displaystyle A} מכילה אלגברת אוקטוניונים. זו בהכרח כל האלגברה A {\displaystyle A} , אחרת לפי הלמה A {\displaystyle A} תכיל הכפלה של אלגברת אוקטוניונים לא אלטרנטיבית, בעוד ש- A {\displaystyle A} אלטרנטיבית, בסתירה. המקרה שעניין את הווריץ הוא המקרה בו F = C {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} } , שדה המספרים המרוכבים. במקרה זה, נביט בשדה הבסיס R {\displaystyle \mathbb {R} } - הכפלה אחת שלו עם 1- תיתן את שדה המרוכבים C {\displaystyle \mathbb {C} } ; הכפלה שנייה תיתן את אלגברת הקווטרניונים של המילטון H {\displaystyle \mathbb {H} } ; הכפלה נוספת (ואחרונה) תיתן את אלגברת האוקטוניונים O {\displaystyle \mathbb {O} } . אלגברות אלו מכונות גם אלגברות קיילי-דיקסון - אלגברות הכפלה עם c = − 1 {\displaystyle c=-1} . אלגברת הרכבה אלגברה לא אסוציאטיבית אלגברה אלטרנטיבית אינוולוציה (תורת החוגים) אלגברות קיילי-דיקסון Basic Algebra I, Jacobson Nathan, 438-449