פונקציה ליניארית

פונקציה ליניארית או פונקציה קווית היא מושג שמשמש במתמטיקה לתיאור שני מושגים שונים במקצת: בגאומטריה אנליטית, פונקציה ליניארית היא פונקציה פולינומית ממעלה ראשונה בצורת: f ( x ) = m x + n {\displaystyle \!\,f(x)=mx+n} כאשר m ו- n הם קבועים. יש המגדירים את הפונקציות הנ"ל כפונקציות אפיניות. באלגברה ליניארית מגדירים פונקציה ליניארית בין מרחבים וקטוריים כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים: אדיטיביות: f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) {\displaystyle \!\,f(x+y)=f(x)+f(y)} הומוגניות מסדר 1: f ( α x ) = α f ( x ) {\displaystyle \!\,f(\alpha x)=\alpha f(x)} כאשר x {\displaystyle x} ו- y {\displaystyle y} וקטורים במרחב ו   α {\displaystyle \!\ \alpha } קבוע בשדה שמעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים. תחת הגדרה זו, קל להראות שפונקציה אפינית על המספרים הממשיים היא ליניארית אם ורק אם   n = 0 {\displaystyle \ n=0} . פונקציות ליניאריות (לפי ההגדרה הגאומטרית) נכתבות גם בצורה y = m x + n {\displaystyle \!\,y=mx+n} וממוקמות על מערכת צירים קרטזית. על הגרף הפונקציה מהווה קו ישר, ומכאן שמה. הקבוע m מאפיין את שיפוע הפונקציה שהוא יחס השינוי בין הצירים ( m = d y d x ) {\displaystyle \!\,\left(m={\frac {dy}{dx}}\right)} . יחס זה קבוע לכל אורך הפונקציה. לדוגמה, פונקציה בעלת שיפוע 2 תעלה שתי נקודות בציר האנכי על כל נקודה בציר האופקי, בפונקציה שבה השיפוע הוא 0.5 היחס הפוך, על כל תזוזה של שתי נקודות בציר האופקי הפונקציה תעלה נקודה אחת. שיפוע יכול להיות גם שלילי. פונקציות בעלות שיפוע שווה הן מקבילות. בחשבון האינפיניטסימלי יש שימוש בפונקציה הקווית על מנת לתאר התנהגות פונקציות ממעלה שנייה בכל נקודה על הגרף. באמצעות גזירת הפונקציה הפרבולית מתקבל שיפוע הפונקציה הקווית המשיקה לפונקציה המקורית לכל x נתון. הקבוע n מאפיין את נקודת חיתוך הציר האנכי של הפונקציה. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם הציר האנכי. על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם הציר האנכי יש להציב x = 0 {\displaystyle \!\,x=0} וכדי למצוא את נקודת חיתוך עם הציר האופקי יש להציב y = 0 {\displaystyle \!\,y=0} . כל פונקציה היא ייחודית על פי שני מאפיינים אלו, ובמקרה של שינוי אחד מהקבועים מתקבלת פונקציה ליניארית אחרת. בפונקציה זו לכל תמונה יש מקור אחד, קרי, לכל y יש x אחד בשונה מפונקציות ממעלות גבוהות. y = 2 x − 1 {\displaystyle \!\,y=2x-1} - השיפוע הוא 2 ונקודת החיתוך עם הציר האנכי (Y) היא (1-). y = − x + 5 {\displaystyle \!\,y=-x+5} - השיפוע הוא (1-)ונקודת החיתוך עם הציר האנכי (Y) היא 5. f ( x ) = 3 x {\displaystyle \!\,f(x)=3x} - השיפוע הוא 3 ונקודת החיתוך היא ראשית הצירים (0,0). f ( x ) = 4 {\displaystyle \!\,f(x)=4} - השיפוע הוא אפס. זהו קו אופקי שחוצה את הציר האנכי ב-4. המשוואה מסוג x = n {\displaystyle \!\,x=n} אינה פונקציה משום שלמקור אחד יש אינסוף תמונות. כפי שהוסבר הפונקציה הליניארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה ליניארי. פונקציה מהסוג   y = m x {\displaystyle \ y=mx} נקראת יחס ישר. דוגמאות מעשיות נוספות: במכניקה קלאסית- הדרך (x) כפונקציית הזמן (t) או המהירות (v) (במהירות קבועה): x = v t + x 0 {\displaystyle \!\,x=vt+x_{0}} בתנועה מעגלית- המהירות זוויתית (ω) כפונקציית (f) התדירות: ω = 2 π f {\displaystyle \!\,\omega =2\pi f} בחוק אוהם- המתח (V) כפונקציית הזרם (I) או (R) ההתנגדות החשמלית: V = R I {\displaystyle \!\,V=RI} העתקה ליניארית משוואה ליניארית (ובפרט הפרק על משוואות המתארות קווים ישרים) ישר מדיה וקבצים בנושא פונקציה ליניארית בוויקישיתוף פונקציה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית) פונקציה קווית, אתר לרגו