יריעה אלגברית פרויקטיבית

יריעה אלגברית פרויקטיבית היא יריעה אלגברית במרחב הפרויקטיבי, כלומר: קבוצת השורשים של קבוצת פולינומים הומוגניים. היריעות האלגבריות נחקרות במסגרת הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה האלגברית. למשל: קיימים מיונים של ישרים פרויקטיבים, עקומות קוניות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 2) ועקומות קוביות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 3) מישוריות. משפט בזו מנוסח אף הוא למקרה הפרויקטיבי. יריעות פרויקטיביות מופיעות גם במחקר של חבורות אלגבריות (למשל: אם G {\displaystyle G} חבורה אלגברית ו- H {\displaystyle H} תת-חבורה אלגברית שלה המנה G / H {\displaystyle G/H} היא יריעה קוואזי-פרויקטיבית). המרחב הפרויקטיבי P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} מעל שדה סגור אלגברית K {\displaystyle K} הוא מרחב המנה של מרחב וקטורי המורכב מאוסף ה- n + 1 {\displaystyle n+1} -יות ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{n})} ללא ( 0 , . . . , 0 ) {\displaystyle (0,...,0)} תחת יחס השקילות ( x 0 , x 1 , . . . , x n ) ∼ ( y 0 , y 1 , . . . , y n ) ⟺ ∃ λ ∈ K × : ∀ 0 ≤ i ≤ n : x i = λ y i {\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{n})\sim (y_{0},y_{1},...,y_{n})\iff \exists \lambda \in K^{\times }:\forall 0\leq i\leq n:x_{i}=\lambda y_{i}} כלומר, כל שתי n + 1 {\displaystyle n+1} -יות מזוהות כאחת אם הן פרופורציוניות זו לזו בסקלר שונה מאפס. מסמנים P K n = ( ( K n + 1 − { 0 } ) / ∼ ) = { ( x 0 : x 1 : . . . : x n ) ∣ x i ∈ K ,  not all are zero } {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}=\left((K^{n+1}-\{0\})/\sim \right)=\left\{(x_{0}:x_{1}:...:x_{n})\mid x_{i}\in K,{\mbox{ not all are zero}}\right\}} . פולינום ב- n + 1 {\displaystyle n+1} משתנים x 0 , x 1 , . . . , x n {\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}} יקרא פולינום הומוגני ממעלה d אם f ( λ x 0 , . . . , λ x n ) = λ d f ( x 0 , . . . , x n ) {\displaystyle f(\lambda x_{0},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}f(x_{0},...,x_{n})} כאשר d {\displaystyle d} היא מעלת הפולינום. לדוגמה: f ( x , y , z ) = x 2 + y z {\displaystyle f(x,y,z)=x^{2}+yz} הוא הומוגני ממעלה 2 בעוד ש- g ( x , y , z ) = x 3 + y z {\displaystyle g(x,y,z)=x^{3}+yz} אינו הומוגני בכלל. נשים לב שאין משמעות לערך של פולינום בנקודה של המרחב הפרויקטיבי אך כן יש משמעות להתאפסות של פולינום הומוגני בנקודה פרויקטיבית. מגדירים, אם כן, V = V ( f 1 , . . . , f m ) = { ( x 0 : x 1 : . . . : x n ) ∈ P K n ∣ f 1 ( x 0 , . . . , x n ) = . . . = f m ( x 0 , . . . , x n ) = 0 } {\displaystyle V={\mathcal {V}}(f_{1},...,f_{m})=\left\{(x_{0}:x_{1}:...:x_{n})\in \mathbb {P} _{K}^{n}\mid f_{1}(x_{0},...,x_{n})=...=f_{m}(x_{0},...,x_{n})=0\right\}} כאשר f 1 , . . . , f m {\displaystyle f_{1},...,f_{m}} הם פולינומים הומוגניים. הקבוצה V {\displaystyle V} נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית. קבוצה X {\displaystyle X} ב- P K n {\displaystyle \mathbb {P} _{K}^{n}} נקראת "קבוצה אלגברית" ומוגדרת להיות קבוצה סגורה אם היא מהצורה X = V ( f 1 , . . . , f m ) {\displaystyle X={\mathcal {V}}(f_{1},...,f_{m})} עבור f 1 , . . . , f m {\displaystyle f_{1},...,f_{m}} הם פולינומים הומוגניים כלשהם. הגדרה זו משרה טופולוגיית זריצקי על המרחב הפרויקטיבי. באופן דומה למקרה של יריעה אלגברית אפינית אפשר להגדיר טופולוגיית זריצקי ואי-פריקות של יריעות אלגבריות, וכן להגדיר K {\displaystyle K} -אלגברה של פונקציות מעל כל יריעה. יש הכוללים בהגדרה "יריעה אלגברית פרויקטיבית" את הדרישה שהיא תהייה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. באופן דומה למקרה האפיני, אפשר לנסח את משפט האפסים של הילברט. קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי שמוכלת בקבוצה סגורה במרחב הפרויקטיבי נקראת יריעה קוואזי-פרויקטיבית. הגדרה שקולה היא קבוצה סגורה מקומית. יריעה אלגברית אפינית ויריעה אלגברית פרויקטיבית הן מקרה פרטי של יריעה קוואזי-פרויקטיבית. יריעה אלגברית אפינית יריעה אלגברית פרויקטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)