תוחלת

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התּוֹחֶלֶת (באנגלית: Expected value, ערך צפוי או Mean, מסומנת: E או μ, בהתאמה) של משתנה מקרי היא ממוצע הערכים אותם צפוי המשתנה לקבל, משוקלל על-פי ההסתברויות לקבלת הערכים השונים. לפי החוק החזק של המספרים הגדולים, התוחלת היא הערך אליו שואפת התוצאה הממוצעת של ניסוי כשמספר החזרות שואף לאינסוף. לתוחלת יש שימוש נרחב בפיזיקה סטטיסטית, בפיזיקה קוונטית ובהנדסה. בניגוד לממוצע החשבוני הרגיל, המחושב על ידי סיכום סדרת ערכים וחלוקת הסכום למספר הערכים, התוחלת היא ממוצע משוקלל של כל הערכים האפשריים, כשכל ערך משוקלל בהסתברות שלו. בזכות חוק המספרים הגדולים, התוחלת מהווה קירוב לממוצע של סדרת תוצאות ארוכה, ויכולה לסייע בתחזיות של רווח והפסד וכדומה. בהתאם לכך, משחק מזל נחשב להוגן אם תוחלת הזכייה בו, בניכוי דמי ההשתתפות, היא אפס – דבר זה מצביע על כך שבטווח הארוך מחולקים כל דמי ההשתתפות בין השחקנים, ללא רווח או הפסד למארגנים. רולטה היא דוגמה למשחק מזל שאינו הוגן – משום שבגלגל הרולטה יש 38 תוצאות אפשריות, אבל כשהמהמר על אחד המספרים זוכה, משלמים לו פי 35 מדמי ההשתתפות. לפיכך, תוחלת ההפסד של המהמר היא   2 38 ≈ 0.0526 {\displaystyle \ {\frac {2}{38}}\approx 0.0526} או 5.26 אחוזים מגובה ההימור בכל סיבוב של הרולטה, היינו, הפסד של כ-5.26 שקלים בהימור על מאה שקלים. התוחלת מייצגת תוצאה "צפויה" (Expected) של ניסוי זהה החוזר על עצמו פעמים רבות, ומכאן מקורו של המונח בלועזית, אך לעיתים ערך התוחלת עצמה לא יהיה תוצאה "צפויה" במובן המקובל, כלומר הוא עשוי להיות נדיר או אפילו בלתי אפשרי (ראו דוגמה להמחשה). התוחלת מסומלת על ידי E ⁡ X ,   E ⁡ ( X ) ,   E ⁡ [ X ] {\displaystyle \operatorname {E} X,\ \operatorname {E} (X),\ \operatorname {E} [X]} ולעיתים   ⟨ X ⟩ {\displaystyle \ \langle X\rangle } . כאשר X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי בדיד שמקבל את הערכים x 1 , x 2 , … {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots } , התוחלת תחושב על ידי הטור E ⁡ ( X ) = ∑ i x i P ( X = x i ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}P(X=x_{i})} (כמו בדוגמת הרולטה לעיל ובדוגמה להלן). במקום לסכום על פי ערכי המשתנה, אפשר לסכום על פי המאורעות במרחב המדגם Ω {\displaystyle \Omega } : E ⁡ ( X ) = ∑ ω ∈ Ω X ( ω ) P ( ω ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{\omega \in \Omega }X(\omega )P(\omega )} . התוחלת קיימת רק אם הטור מתכנס בהחלט. אם X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי רציף בעל פונקציית צפיפות הסתברות f {\displaystyle f} אזי E ⁡ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\;f(x)\;\mathrm {d} x} (בתנאי שהאינטגרל מתכנס בהחלט). בצורה הכללית, אם X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי המוגדר על מרחב הסתברות ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} , אזי התוחלת של X מוגדרת על ידי E ⁡ ( X ) = ∫ Ω X d P {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\;\mathrm {d} P} כאשר האינטגרל הוא אינטגרל לבג. בדומה למקרה הבדיד, התוחלת קיימת רק כאשר האינטגרל מתכנס בהחלט. מומנטים: המומנט מסדר n {\displaystyle n} של משתנה מקרי X {\displaystyle X} הוא התוחלת של החזקות ה- n {\displaystyle n} -ית של X {\displaystyle X} , כלומר E ⁡ ( X n ) {\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{n}\right)} . כלומר במקרה הבדיד E ⁡ ( X n ) = ∑ i x i n P ( X = x i ) {\displaystyle \operatorname {E} (X^{n})=\sum _{i}x_{i}^{n}P(X=x_{i})} או במקרה הרציף E ⁡ ( X n ) = ∫ − ∞ ∞ x n f ( x ) d x {\displaystyle \operatorname {E} (X^{n})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{n}\;f(x)\;\mathrm {d} x} המומנט מסדר n {\displaystyle n} סביב התוחלת של X {\displaystyle X} מוגדר כ- E ⁡ ( ( X − E ⁡ ( X ) ) n ) {\displaystyle \operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{n}\right)} , כאשר n = 2 {\displaystyle n=2} הוא שווה לשונות. אמידה: כדי לאמוד את התוחלת של משתנה מקרי באופן אמפירי, מבצעים מדידות חוזרות של המשתנה ומחשבים את הממוצע החשבוני של התוצאות (חוק המספרים הגדולים מבטיח שאומדן זה מתכנס בהסתברות לתוחלת). לאומדן זה יש התכונה שהוא ממזער את סכום ריבועי השגיאות ביחס לתוחלת. הדגמת חישוב התוחלת של משתנה מקרי בדיד. כאשר מטילים קובייה הוגנת (בעלת שש פאות) ההסתברות לקבלת כל מספר מ־1 עד 6 שווה ל-1/6. המשתנה המקרי הוא תוצאת ההטלה של הקוביה והתוחלת של משתנה מקרי זה תחושב באופן הבא: E ⁡ ( X ) = 1 × 1 6 + 2 × 1 6 + 3 × 1 6 + 4 × 1 6 + 5 × 1 6 + 6 × 1 6 = 3.5 {\displaystyle \operatorname {E} (X)=1\times {\frac {1}{6}}+2\times {\frac {1}{6}}+3\times {\frac {1}{6}}+4\times {\frac {1}{6}}+5\times {\frac {1}{6}}+6\times {\frac {1}{6}}=3.5} דוגמה זו ממחישה שתי תכונות של התוחלת: תוצאה צפויה: ערך התוחלת (3.5) לא חייב להיות אחד הערכים האפשריים של המשתנה המקרי (המספרים השלמים 1–6). כאשר ההסתברות בניסוי לקבלת כל תוצאה היא שווה אזי התוחלת היא הממוצע החשבוני. ניתן לתת לתוחלת את הפירוש הבא: אם משלמים למהמר לפי תוצאות הטלת הקובייה, דהיינו במקרה שייצא 1 – יקבל 1 ש"ח, במקרה שייצא 6 – יקבל 6 ש"ח, הרי שהסכום הממוצע שהמהמר צפוי לקבל לאחר 10 הטלות של הקובייה הוא   35 = 10 × 3.5 {\displaystyle \ 35=10\times 3.5} ש"ח. על מנת לחשב תוחלת רווחה מהגרלה, נמפה את כל התוצאות האפשריות מההגרלה (זכייה או הפסד), נחשב את הסיכוי שכל מאורע יקרה ומה תוחלת התוצאה, ונסכם את כולם. קיימת גם אפשרות להפסד, בו המשתתף בהגרלה מפסיד את סכום ההגרלה. לצורך הדוגמה נעזר בטבלה הבאה: (בהנחה שאלו פרסים קבועים שאינם משתנים, מספר המשתתפים בהגרלה הוא 16,273,488 והמחיר להשתתפות בהגרלה הוא 2.9 ₪). ניתן לחשב את תוחלת הרווח הצפוי בצורה הבאה: בשביל לזכות בפרס הראשון יש רק אפשרות אחת מתוך סך של 16,273,488 אפשרויות כך שהסיכוי הוא 0.000006% והתקבול הוא 4,000,000 ש"ח. באופן דומה נישב עבור כלל אפשרויות הזכייה ואז נקבל: 4 , 000 , 000 × 1 16 , 273 , 488 + 500 , 000 × 6 16 , 273 , 488 + 2 , 500 × 186 16 , 273 , 488 + 350 × 1 , 116 16 , 273 , 488 {\displaystyle 4,000,000\times {\frac {1}{16,273,488}}+500,000\times {\frac {6}{16,273,488}}+2,500\times {\frac {186}{16,273,488}}+350\times {\frac {1,116}{16,273,488}}} + 125 × 6 , 975 16 , 273 , 488 + 40 × 41 , 850 16 , 273 , 488 + 35 × 89 , 900 16 , 273 , 488 + 10 × 539 , 400 16 , 273 , 488 = 1.164 {\displaystyle +125\times {\frac {6,975}{16,273,488}}+40\times {\frac {41,850}{16,273,488}}+35\times {\frac {89,900}{16,273,488}}+10\times {\frac {539,400}{16,273,488}}=1.164} כלומר, אם לדוגמה עלות השתתפות במשחק זה היא 2.9 ₪ אזי תוחלת אחוז הרווח הצפוי שווה ל-40.1371575% (2.9 / 1.163977569) מההשקעה. תוחלת ההפסד הצפוי מן ההשתתפות בהגרלה היא − 2.9 × 15 , 594 , 054 16 , 273 , 488 = − 2.7789 {\displaystyle -2.9\times {\frac {15,594,054}{16,273,488}}=-2.7789} כך ש סך תוחלת הרווח מההגרלה היא: 1.164 − 2.7789 = − 1.6149 {\displaystyle 1.164-2.7789=-1.6149} והמשמעות היא שעבור כל 2.9 שח שיסכן משתתף ההגרלה, הוא תוחלת ההפסד היא 1.6149, שהם 55.6877%- יש להבדיל בין תוחלת הזכייה/תוחלת ההפסד (שבה הערך המתקבל מייצג את סכום הרווח/ההפסד) לבין תוחלת הרווח הצפוי/תוחלת ההפסד הצפוי (שבה הערך המתקבל מייצג את הסכום הממוצע שמוחזר בכל הגרלה) הנובעות מההשתתפות בהגרלה, בשני המקרים האחוז זהה אך התוחלת שונה. בהגרלות בהן הפרסים מתחלקים בין הזוכים – תוחלת הצפי אינה בהכרח זהה לאחוז ההחזר המוקצה לפרסים כיוון שהסיכוי לנצח נשאר זהה, אך התקבול מזכייה יורד (מתחלק כאמור בין כמה זוכים), מה שמקטין עוד את תוחלת הרווח (קר, מגדיל את תוחלת ההפסד). לשני משתנים מקריים בעלי אותה התפלגות תהיה אותה תוחלת. אופרטור התוחלת E {\displaystyle E} הוא ליניארי, ולפיכך (כאשר X , Y {\displaystyle X,Y} משתנים מקריים המוגדרים על אותו מרחב הסתברות, ו- a , b {\displaystyle a,b} מספרים ממשיים): E ⁡ ( a ) = a {\displaystyle \operatorname {E} (a)=a} E ⁡ ( a X + b ) = a E ⁡ ( X ) + b {\displaystyle \operatorname {E} (aX+b)=a\operatorname {E} (X)+b} E ⁡ ( a X + b Y ) = a E ⁡ ( X ) + b E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)} אופרטור התוחלת אינו כפלי, כלומר, השוויון E ⁡ ( X Y ) = E ⁡ ( X ) E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)} אינו מתקיים בדרך כלל. כאשר השוויון מתקיים, אומרים שהמשתנים X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} בלתי מתואמים. כל שני משתנים בלתי תלויים הם גם בלתי מתואמים. ההפרש E ⁡ ( X Y ) − E ⁡ ( X ) E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (XY)-\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)} הוא השונות המשותפת ומסומן לרוב cov ⁡ ( X , Y ) {\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)} , שממנה אפשר לחשב את מקדם המתאם. אם X,Y משתנים מקריים, מתקיים   E ⁡ ( X ) = E ⁡ ( E ⁡ ( X | Y ) ) {\displaystyle \ \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X|Y))} . תוצאה זו קרויה לפעמים "משפט ההחלקה". אם X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי המקבל רק ערכים טבעיים, אז התוחלת שלו מקיימת E ⁡ ( X ) = ∑ n = 1 ∞ P ( X ≥ n ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{n=1}^{\infty }P(X\geq n)} (לנוסחה זו יש גם גרסאות כלליות יותר). ביטוי זה לחישוב התוחלת שימושי במקרה שהמשתנה מייצג את זמן ההמתנה עד להתרחשותו של מאורע (כגון הופעתה הראשונה של המלה "אנציקלופדיה" בסדרה של תווים אקראיים). תורת הערך תורת המספרים הסתברות מידה (מתמטיקה) משתנה מקרי שונות תוחלת, באתר MathWorld (באנגלית) חישוב תוחלת ושונות במחשבון, סרטון באתר יוטיוב