אליפסה

אליפסה היא המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור שסכום מרחקיהן משתי נקודות קבועות במישור הוא קבוע. נקודות אלה נקראות מוקדים. אם שני המוקדים מתלכדים, האליפסה המתקבלת היא מעגל. תיאור אלטרנטיבי של האליפסה הוא כמקום הגאומטרי של הנקודות במישור שהיחס בין מרחקן מנקודת מוקד לישר (הקרוי מדריך) הוא קבוע. המדריך ניצב לישר העובר דרך שני המוקדים. כל אליפסה אפשר לקבל על ידי מתיחה של מעגל בגורם קבוע בכיוון כלשהו. האליפסה היא חתך חרוט, שאפשר לתאר על ידי משוואה מהצורה ( x − x 0 ) 2 a 2 + ( y − y 0 ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1} או הכללות שלה. לאליפסה יש שני צירי סימטריה: הציר הראשי מחבר את שתי הנקודות הרחוקות ביותר זו מזו, והציר המשני, המאונך לו. הציר הראשי עובר דרך שני המוקדים. הצירים נפגשים במרכז הכובד של האליפסה. שיקוף ביחס לצירים יוצר את חבורת הסימטריות של האליפסה, שהיא בעלת ארבעה איברים. (אלא אם האליפסה היא מעגל, שחבורת הסימטריות שלו אינסופית). כחתכי חרוט אחרים, לאליפסה יש תכונות גאומטריות ופיזיקליות חשובות. על-פי חוקי קפלר, מסלולו של כוכב לכת מהווה אליפסה שהשמש נמצאת באחד משני המוקדים שלה. המסלול של מתנד הרמוני במרחב הפאזה (שהקואורדינטות שלו הן המיקום והתנע) הוא אליפסה. קרן אור היוצאת ממוקד של האליפסה ופוגעת בהיקף האליפסה (המשמש מראה, המחזירה קרן אור בזווית החזרה השווה לזווית הפגיעה), תוחזר תמיד אל המוקד השני. הקול מוחזר על-פי כללי החזרה זהים, ולכן שיחה המתקיימת במוקד אחד של חדר אליפטי תשמע היטב במוקד השני שלו. בגאומטריה האנליטית מתארים עקומות בקואורדינטות קרטזיות, כאשר כל נקודה מיוצגת על ידי הזוג הסדור ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , המקיימת משוואה מתאימה. אליפסה שציריה מתלכדים עם הצירים (ולכן מרכז הכובד שלה ממוקם בראשית הצירים) אפשר לתאר באמצעות המשוואה x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} , כאשר 2 a {\displaystyle 2a} ו- 2 b {\displaystyle 2b} הם ארכי הצירים. אם a > b {\displaystyle a>b} , מוקדי האליפסה נמצאים על ציר ה- x {\displaystyle x} , במרחק a 2 − b 2 {\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} מהראשית. לאליפסה זו יש גם הצגה פרמטרית, ( x , y ) = ( a cos ⁡ t , b sin ⁡ t ) {\displaystyle (x,y)=(a\,\cos t,b\,\sin t)} , שממנה אפשר לראות שהאליפסה מתקבלת ממעגל היחידה על ידי מתיחת הצירים ביחס של a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} בהתאמה. הזווית t {\displaystyle t} היא הזווית בין ציר ה- x {\displaystyle x} ובין הרדיוס למעגל שמקיף את האליפסה בעל אותו ערך על ציר ה-x כמו הנקודה הנתונה על האליפסה (ראו שרטוט בצד שמאל להמחשה, אם משתמשים בזווית שיוצרת הנקודה הנתונה עצמה, מתקבלת נוסחה אחרת). מכאן נובע ששטח האליפסה הוא π a b {\displaystyle \pi ab} . אם המרחק בין שני מוקדי האליפסה הוא 2 c {\displaystyle 2c} , אז היחס ϵ = c a = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle \epsilon ={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} נקרא מקדם ה"אקסצנטריות" של האליפסה. זהו מספר בין 0 {\displaystyle 0} ל- 1 {\displaystyle 1} ; ככל ש-   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } קרוב ל-0 האליפסה דומה יותר למעגל, וככל ש-   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } מתקרב ל- 1 {\displaystyle 1} האליפסה נעשית צרה יותר. אליפסה קנונית, שמשוואתה x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} , הופכת למעגל היחידה על ידי מתיחה ביחס של a בציר ה-x וביחס של b בציר ה-y. מכיוון שפעולות אלה מגדילות את השטח פי a ו-b בהתאמה, שטח האליפסה הוא S e l l i p s e = π a b {\displaystyle S_{\mathrm {ellipse} }=\pi ab} . בניגוד לשטח האליפסה לא קיימת נוסחה פשוטה עבור היקף אליפסה, ניתן להעריך את היקף האליפסה שמשוואת x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} בעזרת הנוסחה P e l i p s e ≅ 2 π a 2 + b 2 2 {\displaystyle P_{elipse}\cong 2\pi {\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad } P e l i p s e ≅ π ( 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ) {\displaystyle P_{elipse}\cong \pi {\bigl (}3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}{\bigr )}} בשביל ההיקף המדויק אפשר להשתמש בנוסחאות הבאות P e l i p s e = 4 a ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sin 2 ⁡ ( x )   d x   {\displaystyle P_{elipse}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(x)}}\ dx\quad \quad \ } P e l i p s e = π ( a + b ) ∑ n = 0 ∞ ( 0.5 n ) 2 ( ( a − b ) 2 ( a + b ) 2 ) n {\displaystyle P_{elipse}=\pi (a+b)\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {0.5}{n}}^{2}{\Biggl (}{\frac {(a-b)^{2}}{(a+b)^{2}}}{\Biggr )}^{n}} המשוואה שהוצגה לעיל מתארת את האליפסה הקנונית. כל אליפסה אפשר להביא לצורה הזו, על ידי הזזת המרכז אל הראשית, וסיבוב הצירים כך שהציר הראשי יתלכד עם ציר ה- x {\displaystyle x} . גם להפך: האיזומטריות של המישור (הזזות, סיבובים ושיקופים) מעבירות אליפסה לאליפסה. אם מרשים גם מתיחה של הצירים, אפשר להגיע מכל אליפסה למעגל היחידה. המשוואה הכללית ביותר של אליפסה היא התבנית הריבועית A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} , כשמתקיים התנאי B 2 < 4 A C {\displaystyle B^{2}<4AC} (ללא תנאי זה מתארת המשוואה חתכי חרוט אחרים: פרבולה או היפרבולה, ובמקרים מנוונים אפילו ישר או זוג ישרים). צירי האליפסה מקבילים לצירים הקרטזיים אם ורק אם B = 0 {\displaystyle B=0} . אליפסואיד אובל אליפסה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) אליפסה, באתר MathWorld (באנגלית) אליפסה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) How to get the radius of an ellipse at a specific angle by knowing its semi-major and semi-minor axes?