התפלגות בינומית

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n {\displaystyle n} ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה p {\displaystyle p} בכל אחד. אם X {\displaystyle X} משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים X ∼ B i n ( n , p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} . ההתפלגות של משתנה בינומי X ∼ B i n ( n , p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} היא p X ( k ) = Pr ( X = k ) = ( n k ) p k q n − k {\displaystyle p_{X}(k)=\Pr \left(X=k\right)={\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}} עבור k = 0 , 1 , … , n {\displaystyle k=0,1,\ldots ,n} , ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} . הסימון ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה. אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k {\displaystyle k} פעמים בסדרה של n {\displaystyle n} ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה p {\displaystyle p} שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן k {\displaystyle k} הצלחות ו- n − k {\displaystyle n-k} כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה p k q n − k {\displaystyle p^{k}q^{n-k}} . לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k {\displaystyle k} הניסויים המוצלחים מתוך כלל n {\displaystyle n} הניסויים, שהוא המקדם הבינומי ( n k ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}} , כפול p k q n − k {\displaystyle p^{k}q^{n-k}} . כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: ∑ k = 0 n ( n k ) p k q n − k = ( p + q ) n = 1 n = 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1} . התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא n p {\displaystyle np} , והשונות שלו היא n p q {\displaystyle npq} . מטילים 7 {\displaystyle 7} פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של 0.6 {\displaystyle 0.6} . נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו. אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב- X {\displaystyle X} אז X ∼ B i n ( 7 , 0.6 ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (7,0.6)} . ההסתברות לקבלת "עץ" 4 {\displaystyle 4} פעמים בדיוק היא Pr ( X = 4 ) = ( 7 4 ) ⋅ 0.6 4 ⋅ 0.4 3 = 0.290304 {\displaystyle \Pr(X=4)={\binom {7}{4}}\cdot 0.6^{4}\cdot 0.4^{3}=0.290304} ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית נאמר שמשתנה מקרי X {\displaystyle X} מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים ( r , p ) {\displaystyle (r,p)} אם p X ( k ) = Γ ( r + k ) k ! ⋅ Γ ( r ) p r ( 1 − p ) k {\displaystyle p_{X}(k)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\cdot \Gamma (r)}}p^{r}(1-p)^{k}} כאשר Γ {\displaystyle \Gamma } היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב. אם X ∼ B i n ( n , p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} וכן Y ∼ B i n ( m , p ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (m,p)} הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותו פרמטר הצלחה p {\displaystyle p} אז X + Y ∼ B i n ( n + m , p ) {\displaystyle X+Y\sim \mathrm {Bin} (n+m,p)} , זאת אומרת סכומם של המשתנים המקריים גם כן מתפלג בינומי. התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר X ∼ B i n ( 1 , p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (1,p)} ונהוג לסמן X ∼ B e r ( p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Ber} (p)} . למעשה, ניתן לראות בכל התפלגות בינומית Bin(n, p) כסכום של n {\displaystyle n} התפלגויות ברנולי בלתי תלויות שלכולן אותה הסתברות p {\displaystyle p} . ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n {\displaystyle n} גדולים מאוד וערכי p {\displaystyle p} קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר λ = n p {\displaystyle \lambda =np} . באופן פורמלי, אם { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרת משתנים מקריים המתפלגים X n ∼ B i n ( n , λ n ) {\displaystyle X_{n}\sim \mathrm {Bin} \left(n,{\frac {\lambda }{n}}\right)} אז lim n → ∞ Pr ( X = k ) = Pr ( Y = k ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X=k)=\Pr(Y=k)} כאשר Y ∼ P o i s ( λ ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda )} . אם n {\displaystyle n} גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית X ∼ N ( n p , n p ( 1 − p ) ) {\displaystyle X\sim N(np,np(1-p))} . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב. תיבת גלטון התפלגות בינומית, באתר MathWorld (באנגלית) התפלגות בינומית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)