העתקה טבעית

בתורת הקטגוריות, ענף של המתמטיקה, העתקה טבעית מספקת דרך לעבור מפנקטור אחד לאחר תוך שמירת המבנה הפנימי (כלומר הרכבה של מורפיזמים) של הקטגוריות. לכן, העתקה טבעית יכולה להיחשב "מורפיזם של פנקטורים". אמירה אינטואיטיבית זו יכולה לקבל צורה פורמלית על ידי הגדרת קטגוריית הפנקטורים. אחרי קטגוריות ופנקטורים, העתקות טבעיות הן אחד המושגים הבסיסיים ביותר בתורת הקטגוריות ולפיכך הם מופיעים ברוב היישומים שלה. אם F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} הם פנקטורים בין הקטגוריות C {\displaystyle C} ו- D {\displaystyle D} , אזי העתקה טבעית  η {\displaystyle \eta } מ- F {\displaystyle F} ל- G {\displaystyle G} היא משפחה של מורפיזמים המקיימים שתי דרישות. η {\displaystyle \eta } נותנת לכל אובייקט  X {\displaystyle X} ב- C {\displaystyle C} מורפיזם  η X : F ( X ) → G ( X ) {\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)} בין אובייקטים של D {\displaystyle D} . המורפיזם η X {\displaystyle \eta _{X}} נקרא הרכיב של η {\displaystyle \eta } ב- X {\displaystyle X} . עבור כל מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y}   ב- C {\displaystyle C} על הרכיבים η Y {\displaystyle \eta _{Y}} , η X {\displaystyle \eta _{X}} לקיים: {\displaystyle } אפשר לבטא את השוויון האחרון גם באמצעות דיאגרמה קומוטטיבית: אם F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} שניהם פנקטורים קונטרה-וריאנטים, החצים האופקיים בתרשים הפוכים. אם η {\displaystyle \eta }  העתקה טבעית מ- F {\displaystyle F} אל G {\displaystyle G} , נהוג גם לכתוב η : F → G {\displaystyle \eta :F\rightarrow G} או η : F ⇒ G {\displaystyle \eta :F\Rightarrow G} . אפשר גם לומר כי המשפחה של המורפיזמים  η X : F ( X ) → G ( X ) {\displaystyle \eta _{X}:F(X)\rightarrow G(X)} טבעית ב- X {\displaystyle X} . אם לכל אובייקט X {\displaystyle X} ב- C {\displaystyle C} , המורפיזם  η X {\displaystyle \eta _{X}}  הוא איזומורפיזם ב- D {\displaystyle D} , אז η {\displaystyle \eta } נקרא איזומורפיזם טבעי (או איזומורפיזם של פנקטורים). שני פנקטורים F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} נקראים איזומורפיים אם קיים איזומורפיזם טבעי מ- F {\displaystyle F} ל- G {\displaystyle G} . עבור η {\displaystyle \eta }  מ- F {\displaystyle F} ל- G {\displaystyle G}  כללי (שאינו בהכרח טבעי), ה-naturalizer של η {\displaystyle \eta } , n a t ( η ) {\displaystyle nat(\eta )} , מוגדר כתת-קטגוריה הגדולה ביותר של C {\displaystyle C}  המכילה את כל האובייקטים של C {\displaystyle C} , כך ש- η {\displaystyle \eta } מצטמצם להעתקה טבעית. נסתכל על שני פנקטורים F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} מהקטגוריה של חוגים קומוטטיבים, CRing, לקטגוריה של חבורות, Grp. הפנקטור  F {\displaystyle F}  ישלח חוג קומוטטיבי K {\displaystyle K} לחבורת המטריצות G L n ( K ) {\displaystyle GL_{n}(K)} . הפנקטור G {\displaystyle G}  ישלח את אותו חוג לחבורה הכפלית  K ∗ {\displaystyle K^{*}} . נגדיר η {\displaystyle \eta } מ- F {\displaystyle F} ל- G {\displaystyle G} כך שלכל K {\displaystyle K}  כנ"ל,  η K : F ( K ) → G ( K ) {\displaystyle \eta _{K}:F(K)\rightarrow G(K)} תשלח מטריצה לדטרמיננטה שלה. באופן זה מתקבלת העתקה טבעית.  סאונדרס מקליין (Saunders Mac Lane), אחד המייסדים של תורת הקטגוריות, העיר פעם "אני לא המצאתי קטגוריות כדי ללמוד פנקטורים; המצאתי זאת כדי ללמוד העתקות טבעיות." כשם שהמחקר של חבורות אינו שלם בלי מחקר של הומומורפיזמים, כך המחקר של קטגוריות אינו שלם בלי מחקר של פנקטורים. הסיבה להערה של מקליין היא שהמחקר של פנקטורים בעצמו אינו שלם ללא המחקר של העתקות טבעיות. הרקע לדברים של מקליין היה תורת ההומולוגיה האקסיומטית. ניתן היה להראות כי דרכים שונות לבניית הומולוגיה הן שקולות, לדוגמה קומפלקסים סימפליציאלים נמצאו איזומורפים לקומפלקסים סינגולריים, ללא השפה של העתקות טבעיות, קשה היה לראות כיצד חבורות הומולוגיה תואמות למורפיזמים בין אובייקטים, וכיצד לשתי תורות הומולוגיה שקולות יש לא רק את אותם חבורות הומולוגיה, אלא גם את אותם מורפיזמים בין אותן חבורות. העתקה טבעית, באתר MathWorld (באנגלית) (מקליין 1998, §4. I)