הטלה (מתמטיקה)

הטלה (באנגלית: projection) באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית היא העתקה ליניארית ממרחב וקטורי לעצמו המפרקת וקטור לרכיביו ומחזירה רק את הרכיבים שלו שנמצאים בתת-מרחב ליניארי מסוים. תוצר ההטלה, קרי הווקטור שבתת-המרחב הליניארי המוגדר, יקרא ההיטל. נסתכל בווקטור ב- R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} אותו אפשר לרשום בצורה v = ( v x , v y , v z ) = v x x ^ + v y y ^ + v z z ^ {\displaystyle v=(v_{x},v_{y},v_{z})=v_{x}{\hat {x}}+v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}} הטלתו של הווקטור על תת-המרחב הנפרש על ידי הווקטור x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} תחזיר P x v = v x x ^ {\displaystyle P_{x}v=v_{x}{\hat {x}}} . הפעלה נוספת של ההטלה לא תשנה את הווקטור שהתקבל: P x 2 v = P x ( v x x ^ ) = v x x ^ {\displaystyle P_{x}^{2}v=P_{x}(v_{x}{\hat {x}})=v_{x}{\hat {x}}} . אם נרצה להטיל את v על תת-המרחב הנפרש בידי ציר ה-y וציר ה-z נקבל P y z v = v y y ^ + v z z ^ {\displaystyle P_{yz}v=v_{y}{\hat {y}}+v_{z}{\hat {z}}} . הטלת הווקטור שהתקבל על ציר x תחזיר 0 שכן אין לו רכיב על ציר x. יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי ותהי P : V → V {\displaystyle P:V\rightarrow V} העתקה ליניארית. P {\displaystyle P} תיקרא הטלה על תת-מרחב של V {\displaystyle V} , אם P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} . כלומר, אם נפעיל את P {\displaystyle P} פעמיים על וקטור במרחב, נקבל תוצאה זהה כפי שנקבל לו היינו מפעילים את P {\displaystyle P} על אותו וקטור פעם אחת בלבד. באופן כללי באלגברה ליניארית, העתקה ליניארית המקיימת תכונה זו נקראת פונקציה אידמפטונטית (Idempotent). באופן שקול, אם נחלק את V {\displaystyle V} לסכום ישר של תת-מרחבים, V = U ⊕ W {\displaystyle V=U\oplus W} , אזי לכל וקטור v ∈ V {\displaystyle v\in V} קיימים u ∈ U {\displaystyle u\in U} ו- w ∈ W {\displaystyle w\in W} כך שמתקיים v = u + w {\displaystyle v=u+w} . נאמר שההעתקה הליניארית E : V → V {\displaystyle E:V\to V} היא הטלה על W {\displaystyle W} אם היא מקיימת E ( v ) = w {\displaystyle E(v)=w} . ההגדרה תואמת את המשמעות האינטואיטיבית: הפעלת הטלה בפעם הראשונה מעבירה את כל המרחב לתת-מרחב, והפעלתה בפעם השנייה שומרת את התת-מרחב כפי שהוא ולא משנה דבר. מטריצה ריבועית P {\displaystyle P} תיקרא מטריצת ההטלה אם היא מקיימת P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P} . מטריצה ריבועית P {\displaystyle P} תיקרא מטריצת ההטלה האורתוגונלית אם היא מקיימת P 2 = P = P T {\displaystyle P^{2}=P=P^{T}} כאשר P {\displaystyle P} מטריצה ממשית, או אם היא מקיימת P 2 = P = P ∗ {\displaystyle P^{2}=P=P^{*}} כאשר P {\displaystyle P} מטריצה מרוכבת. הערכים העצמיים של מטריצת הטלה הם 0 או 1 יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי עם הטלות E 1 , E 2 , … , E k {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{k}} על התת-המרחבים W 1 , W 2 , … , W k {\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{k}} בהתאמה אזי לכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} מתקיים: E i 2 = E i {\displaystyle E_{i}^{2}=E_{i}} E i E j = 0 {\displaystyle E_{i}E_{j}=0} לכל i ≠ j {\displaystyle i\neq j} Im ⁡ E i = W i {\displaystyle \operatorname {Im} E_{i}=W_{i}} V = Ker ⁡ E i ⊕ Im ⁡ E i {\displaystyle V=\operatorname {Ker} E_{i}\oplus \operatorname {Im} E_{i}} E i {\displaystyle E_{i}} ניתנת ללכסון, והערכים העצמיים שלה הם 1 ו-0. תהי T : V → V {\displaystyle T:V\to V} העתקה ליניארית, אזי התת-מרחבים W i {\displaystyle W_{i}} הם תתי-מרחב T-שמורים אם ורק אם T E i = E i T {\displaystyle TE_{i}=E_{i}T} (בהתאמה לתת-המרחב) בטורי פורייה מחשבים את מקדמי פורייה באמצעות הטלה אורתוגונלית של הפונקציה על איברי מערכת אורתונורמלית שלמה (במקרה הקלאסי של טור פורייה הטריגונומטרי: על סינוסים וקוסינוסים). בתורת הקוונטים, פעולת מדידה מתוארת בעזרת אופרטורי הטלה. ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.