חבורת גלואה

במתמטיקה, ובפרט בתורת גלואה, חבורת גלואה של הרחבת שדות   E / F {\displaystyle \ E/F} היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה   E {\displaystyle \ E} , המעבירים כל איבר של השדה   F {\displaystyle \ F} לעצמו. חבורה זו נקראת על שם אווריסט גלואה, אבי תורת החבורות. לחבורה זו חשיבות גדולה באפיון ההרחבה   E / F {\displaystyle \ E/F} , זאת בזכות המשפט היסודי של תורת גלואה המציג את הקשר בין שדות הביניים של ההרחבה, לבין תת החבורות של חבורת הגלואה של ההרחבה. יהי   F {\displaystyle \ F} שדה, ותהי   E / F {\displaystyle \ E/F} הרחבת שדות. חבורת הגלואה של ההרחבה   E / F {\displaystyle \ E/F} המסומנת ב-   G ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \ \operatorname {G} \left(E/F\right)} , Aut ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \operatorname {Aut} \left(E/F\right)} או ב-   Gal ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \ \operatorname {Gal} \left(E/F\right)} מוגדרת להיות   G ⁡ ( E / F ) = { σ ∈ Aut ⁡ ( E ) | σ ( x ) = x ; ∀ x ∈ F } {\displaystyle \ \operatorname {G} \left(E/F\right)=\{\sigma \in \operatorname {Aut} \left(E\right)|\sigma (x)=x;\forall x\in F\}} כאשר Aut ⁡ ( E ) {\displaystyle \operatorname {Aut} \left(E\right)} היא חבורת האוטומורפיזמים של השדה   E {\displaystyle \ E} . קל לבדוק שזוהי אכן חבורה. חבורת הגלואה של ההרחבה   C / R {\displaystyle \ \mathbb {C} /\mathbb {R} } היא קבוצה המכילה שני איברים: את העתקת הזהות, ואת העתקת ההצמדה. זאת מאחר שאם σ {\displaystyle \sigma } בחבורת הגלואה של ההרחבה, מתקיים σ ( i 2 + 1 ) = σ ( i ) 2 + 1 = 0 {\displaystyle \sigma \left(i^{2}+1\right)=\sigma (i)^{2}+1=0} . לכן σ ( i ) ∈ { − i , i } {\displaystyle \sigma (i)\in \{-i,i\}} . לכן מתקיים לכל a , b ∈ R {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } כי   σ ( a + b i ) = σ ( a ) + σ ( b ) σ ( i ) = a + b ⋅ σ ( i ) {\displaystyle \ \sigma (a+bi)=\sigma (a)+\sigma (b)\sigma (i)=a+b\cdot \sigma (i)} . במעבר האחרון השתמשנו בכך ש   σ {\displaystyle \ \sigma } משאירה את איברי R {\displaystyle \mathbb {R} } במקום. לכן σ ( a + b i ) = a + b i {\displaystyle \sigma \left(a+bi\right)=a+bi} או σ ( a + b i ) = a − b i {\displaystyle \sigma \left(a+bi\right)=a-bi} . באופן דומה, ניתן להראות כי חבורת הגלואה של ההרחבה   Q ( 2 ) / Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)/\mathbb {Q} } מכילה שני איברים: העתקת הזהות, והעתקת ההצמדה: σ ( a + b 2 ) = a − b 2 {\displaystyle \sigma \left(a+b{\sqrt {2}}\right)=a-b{\sqrt {2}}} חבורת הגלואה של ההרחבה   R / Q {\displaystyle \ \mathbb {R} /\mathbb {Q} } מכילה רק את העתקת הזהות. יתרה מזאת, חבורת האוטומורפיזמים של   R {\displaystyle \ \mathbb {R} } מכילה רק את העתקת הזהות. כדי להוכיח זאת, יש לשים לב שאוטומורפיזם של   R {\displaystyle \ \mathbb {R} } מעביר כל מספר חיובי למספר חיובי, מאחר ש-   σ ( a 2 ) = σ ( a ) 2 {\displaystyle \ \sigma (a^{2})=\sigma (a)^{2}} ולכן שומרת על יחס סדר. תהי   F / Q {\displaystyle \ F/\mathbb {Q} } הרחבת שדות. אזי חבורת הגלואה של   F / Q {\displaystyle \ F/\mathbb {Q} } היא חבורת האוטומורפיזמים של   F {\displaystyle \ F} , כלומר   Aut ⁡ ( F ) {\displaystyle \ \operatorname {Aut} \left(F\right)} . זאת מאחר שהומומורפיזם של שדות מעביר את המספרים השלמים לעצמם, ולכן גם את המספרים הרציונליים לעצמם. יהי   p {\displaystyle \ p} מספר ראשוני, ותהי   K / F p {\displaystyle \ K/\mathbb {F} _{p}} הרחבת שדות, אזי באופן דומה חבורת הגלואה של   K / F p {\displaystyle \ K/\mathbb {F} _{p}} היא חבורת האוטומורפיזמים של   K {\displaystyle \ K} , כלומר   Aut ⁡ ( K ) {\displaystyle \ \operatorname {Aut} \left(K\right)} . חבורת הגלואה של ההרחבה   Q ( 2 3 ) / Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)/\mathbb {Q} } מכילה רק את העתקת הזהות. זאת מאחר שאם σ {\displaystyle \sigma } בחבורה, מתקיים σ ( 2 3 3 − 2 ) = σ ( 2 3 ) 3 − 2 = 0 {\displaystyle \sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}^{3}-2\right)=\sigma ({\sqrt[{3}]{2}})^{3}-2=0} . לכן בהכרח σ ( 2 3 ) = 2 3 {\displaystyle \sigma \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)={\sqrt[{3}]{2}}} . מאחר ש- { 1 , 2 3 , 2 3 2 } {\displaystyle \{1,{\sqrt[{3}]{2}},{\sqrt[{3}]{2}}^{2}\}} בסיס, נובע כי σ {\displaystyle \sigma } היא בהכרח העתקת הזהות. יהי   E {\displaystyle \ E} שדה. תהי   G ≤ Aut ⁡ ( E ) {\displaystyle \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)} תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של   E {\displaystyle \ E} . נגדיר את שדה השבת של   G {\displaystyle \ G} , המסומן גם ב-   E G {\displaystyle \ E^{G}} להיות הקבוצה הבאה: E G = { x ∈ E | ∀ σ ∈ G : σ ( x ) = x } {\displaystyle E^{G}=\{x\in E|\forall \sigma \in G:\sigma (x)=x\}} כלומר, שדה השבת של   G {\displaystyle \ G} הוא קבוצת כל האיברים מהשדה   E {\displaystyle \ E} שכל איברי   G {\displaystyle \ G} משאירים אותם במקום. קל לבדוק שזהו אכן שדה. מתקיים כי אם   E / F {\displaystyle \ E/F} הרחבת שדות ו-   G = G ⁡ ( E / F ) {\displaystyle \ G=\operatorname {G} \left(E/F\right)} אז F ≤ E G {\displaystyle F\leq E^{G}} . שוויון לא בהכרח מתקיים, למשל אם   F = Q {\displaystyle \ F=\mathbb {Q} } ו-   E = Q ( 2 3 ) {\displaystyle \ E=\mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{2}}\right)} , אז ראינו קודם ש-   G {\displaystyle \ G} מכילה רק את העתקת הזהות ולכן מתקיים כי   F ≠ E G = E {\displaystyle \ F\neq E^{G}=E} אם ההרחבה   E / F {\displaystyle \ E/F} מממד סופי, מתקיים כי   | G ⁡ ( E / F ) | ≤ [ E : F ] {\displaystyle \ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|\leq \left[E:F\right]} , כאשר צד שמאל הוא גודל חבורת הגלואה וצד ימין הוא ממד ההרחבה. השוויון   | G ⁡ ( E / F ) | = [ E : F ] {\displaystyle \ \left|\operatorname {G} \left(E/F\right)\right|=\left[E:F\right]} מתקיים אם ורק אם   E / F {\displaystyle \ E/F} הרחבת גלואה. הרחבות מסוג זה חשובות, מאחר שהן מקיימות את המשפט היסודי של תורת גלואה. הלמה של ארטין: יהי   E {\displaystyle \ E} שדה, ו-   G ≤ Aut ⁡ ( E ) {\displaystyle \ G\leq \operatorname {Aut} \left(E\right)} תת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של   E {\displaystyle \ E} . אזי אם   E G = F {\displaystyle \ E^{G}=F} מתקיים | G | ≤ [ E : F ] {\displaystyle |G|\leq \left[E:F\right]} . מתקיים אפילו G = G ⁡ ( E / F ) {\displaystyle G=\operatorname {G} \left(E/F\right)} חבורת גלואה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) חבורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)