גבול (מתמטיקה)

גבול הוא מושג יסודי באנליזה מתמטית, המשמש במספר הקשרים: במיוחד, קיימות הגדרות שונות של המושג גבול עבור קבוצות של נקודות במרחב מטרי, במרחב טופולוגי שאינו בהכרח מטרי, עבור סדרות של נקודות במרחבים כאלו, עבור סדרות של פונקציות, ועוד. גבול (או נקודת גבול) של קבוצת נקודות U {\displaystyle U} במרחב מטרי (למשל קבוצת נקודות על הישר הממשי) היא נקודה x שבקרבתה יש אינסוף נקודות אחרות השייכות ל- U {\displaystyle U} – כלומר נקודת הצטברות של הקבוצה (הגדרה מדויקת תינתן בהמשך). כנכתב לעיל, ההגדרה מוכללת גם למרחבים טופולוגיים שאינם מרחבים מטריים. גבול של תהליך אינסופי (למשל סדרה אינסופית של מספרים, או של טור אינסופי של מספרים, או סדרה אינסופית של נקודות במרחב) הוא איבר בודד המייצג את ההתנהגות ארוכת הטווח של התהליך. לדוגמה, גבול של סדרה אינסופית של מספרים ממשיים הוא מספר ממשי שכל אברי הסדרה למעט מספר סופי מהם נמצאים במרחק קטן ממנו, ויהי המרחק קטן ככל שיהיה (הגדרות פורמליות תינתנה בהמשך). ייתכן גם שגבול של סדרה לא יהיה מספר סופי אלא אין סוף (שסימנו ∞ {\displaystyle \infty } ) או מינוס אין סוף ( − ∞ {\displaystyle -\infty } ). במקרים אלו ההגדרה שונה. למשל הגבול של סדרה הוא ∞ {\displaystyle \infty } אם אבריה "גדלים ללא גבול" (פרוט בהמשך). כאשר לסדרה יש גבול נהוג לומר שהסדרה מתכנסת (או שואפת) לגבול זה. התכנסות במרחבים מטריים, בהם מרחק בין נקודות הוא מספר ממשי חיובי, מוגדרת על סמך המרחק בין הנקודות (למשל המרחק בין נקודות במישור או במרחב הוא אורך הקטע המחבר ביניהן). התכנסות במרחבים טופולוגיים מכלילה את ההתכנסות במרחבים מטריים ומתאימה גם למרחבים שאינם מטריים. כך למשל, גבולה של הסדרה ההרמונית   1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , … {\displaystyle \ 1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots } הוא אפס, וגבולה של הסדרה ( 0 , − 1 , − 2 , − 3 , . . . , − n , − ( n + 1 ) , . . . ) {\displaystyle (0,-1,-2,-3,...,-n,-(n+1),...)} הוא מינוס אינסוף ( − ∞ {\displaystyle -\infty } ). סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת, וסדרה שאין לה גבול נקראת סדרה מתבדרת. למשל הסדרה ( 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , . . . . ) {\displaystyle (0,1,0,1,0,1,....)} היא סדרה מתבדרת. מההגדרה משתמע שלסדרה מתכנסת יש גבול יחיד. כנכתב לעיל, מושג הגבול מוגדר גם עבור קבוצת (בשונה מסדרת) נקודות במרחב מטרי, שם הוא נקרא גם נקודת הצטברות. לקבוצת נקודות יכול להיות יותר מגבול יחיד. את הטיפול בעצמים אינסופיים בדרך של גבולות, הגם שהוא זר לרוחה של הפילוסופיה הקלאסית, אפשר לאתר כבר בחישובים שערכו המתמטיקאים ההלניים, ובראשם ארכימדס. שיטת המיצוי, שבה השתמשו כדי לחשב שטחים ונפחים של גופים מסוימים שקשה לחשב את שטחם באופן ישיר (כמו מעגל), וגם את ערכו של פאי, מבוססת על קירוב הגוף המבוקש באמצעות גופים פשוטים יותר, באופן שהשגיאה הולכת וקטנה. בשפה מודרנית, אומרים שהשטח של הגוף המבוקש (למשל מעגל) הוא גבולה של סדרת השטחים של הגופים בסדרה, או לחלופין שסדרת השטחים של הגופים בסדרה מתכנסת לשטחו של הגוף המבוקש. רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו לייבניץ וניוטון את החשבון האינפיניטסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים. את ההדורים האלה יישר המתמטיקאי קושי, שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל-2, המרחק בין ערכה של הפונקציה   f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 {\displaystyle \ f(x)={\frac {x^{2}-4}{x-2}}} לבין המספר 4 הולך וקטן לאפס", נתן קושי הגדרה מדויקת: "לכל מספר חיובי   ε {\displaystyle \ \varepsilon } , קיים מספר חיובי   δ {\displaystyle \ \delta } , כך שאם המרחק מ- x {\displaystyle x} ל-2 אינו עולה על   δ {\displaystyle \ \delta } , אז המרחק מ-   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} ל-4 אינו עולה על   ε {\displaystyle \ \varepsilon } ". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו לקושי וויירשטראס להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטסימלי, כפי שהם מוכרים היום. גבול של קבוצת מספרים ממשיים (או נקודות במרחב) הוא מספר (או נקודה) המהווה נקודת הצטברות של הקבוצה. גבול של סדרת מספרים. הוא מספר שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה, או הערך + ∞ {\displaystyle +\infty } כאשר המספרים גדלים ללא גבול – שואפים לאין סוף, או − ∞ {\displaystyle -\infty } כאשר המספרים קטנים ללא גבול – שואפים למינוס אינסוף. את העובדה שסדרה ( a 1 , a 2 , . . . , a n , . . . ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n},...)} מתכנסת לגבול L {\displaystyle L} נהוג לסמן ע"י: lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} . ההגדרה המילולית המדויקת היא, כאשר L {\displaystyle L} הוא מספר השונה מ- + ∞ , − ∞ {\displaystyle +\infty ,-\infty } : לכל מספר חיובי (אך קטן כרצוננו)   ε {\displaystyle \ \varepsilon } , קיים מספר טבעי n ε {\displaystyle n_{\varepsilon }} , כך שלכל n {\displaystyle n} הגדול מ- n ε {\displaystyle n_{\varepsilon }} , המרחק בין a n {\displaystyle a_{n}} ל-L קטן מ-   ε {\displaystyle \ \varepsilon } גבול של פונקציה בנקודה. או התכנסות נקודתית של פונקציה. מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, המתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה, כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת או גדל בלי הגבלה, או קטן בלי הגבלה. המתמטיקאי הגרמני היינריך אדוארד היינה הציע להגדיר גבול של פונקציה בנקודה באמצעות גבולות של סדרות, והגדרה זו שקולה להגדרה המקובלת יותר שהציע קושי, שניתנה קודם לכן. גבול של פונקציה נהוג לסמן בצורה הבאה: lim n → c f ( n ) = L {\displaystyle \lim _{n\to c}f(n)=L} . התכנסות נקודתית של פונקציה בתחום ההגדרה שלה (תחום ההגדרה יכול להיות למשל כל המספרים הממשיים החיוביים). המשמעות היא התכנסות בכל נקודה בתחום ההגדרה. דוגמה: הפונקציה f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} מתכנסת נקודתית בכל תחום של מספרים ממשיים שאינו מכיל את המספר 0. התכנסות במידה שווה של פונקציה בתחום ההגדרה שלה. זו התכנסות חזקה יותר מהתכנסות הנקודתית. בעוד שבהתכנסות נקודתית לא קיים חסם תחתון חיובי על קצב ההתכנסות, כלומר הוא יכול להיות קטן כרצוננו, הרי שבהתכנסות במידה שווה, קצב ההתכנסות חייב להיות גדול מערך חיובי מסוים לכל הנקודות בתחום ההגדרה. למשל הפונקציה f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} מתכנסת במידה שווה לכל המספרים הגדולים מ-1, אך אינה מתכנסת במידה שווה עבור כל המספרים הגדולים מ-0. גבול של סדרת פונקציות: התכנסות נקודתית של סדרת פונקציות בתחום ההגדרה שלהן. למשל הסדרה f n ( x ) = x + 1 / n {\displaystyle f_{n}(x)=x+1/n} , כאשר n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=1,2,...} , מתכנסת לפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} לכל תחום של מספרים ממשיים. התכנסות במידה שווה של סדרות פונקציות, בתחום ההגדרה שלהן. התכנסות כזו מבטיחה שתכונות כגון רציפות ואינטגרביליות עוברות מפונקציות הסדרה אל פונקציית הגבול. גבול במרחבים מטריים. בכל הדוגמאות לעיל התכנסות נקבעת על פי המרחק בין האובייקטים השונים לבין הגבול. כאשר מרחק בין אובייקטים שונים הוא מספר ממשי חיובי. הגדרות דומות מאוד תקפות גם עבור גבולות של סדרות או פונקציות המוגדרות על מרחב מטרי כלשהו (למשל המרחב התלת־ממדי). גבול במרחבים טופולוגיים. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבולות בכל מרחב טופולוגי. במרחבים כאלו, סדרה ( x 1 , x 2 , . . ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},..)} מתכנסת לגבול L אם עבור כל סביבה פתוחה B של L, כל אברי הסדרה למעט מספר סופי נמצאים ב-B. ראו הרחבה בקישור זה. אריתמטיקה של גבולות הגדרת הגבול לפי קושי טימותי גוורס, מתמטיקה, ידיעות ספרים, 2007, הפרק "גבולות ואינסוף", עמ' 72–86. גדי אלכסנדרוביץ', גבול – סדרת פוסטים, באתר "לא מדויק" מחשבון גבולות ❤² Introduction to Limits (mathbff) – מבוא לגבולות גבול, באתר MathWorld (באנגלית) גבול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)