משפט ההצגה של ריס

מספר משפטים חשובים באלגברה ליניארית ובאנליזה פונקציונלית ידועים בתור משפט ההצגה של ריס. המשפטים קרויים של שמו של המתמטיקאי היהודי-הונגרי פרידיש ריס. גרסה אינטגרלית של המשפט נוסחה על ידי המתמטיקאי הצרפתי רנה מוריס פרשה, על כן לעיתים קרוי משפט ריס-פרשה. משפט זה מספק תיאור מלא של המרחב הדואלי של מרחב הילברט: אם השדה שמעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים, שני מרחבים אלו הם איזומורפיים (כמרחבים נורמיים) ואם השדה הוא שדה המספרים המרוכבים, שני המרחבים הם אנטי-איזומורפיים. נוסף לכך, ה(אנטי-)איזומורפיזם המתואר במשפט הוא טבעי ביותר ונוח לשימושים תאורטיים. יהי H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מרחב הילברט עם מכפלה פנימית ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle } ונסמן ב- H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} את המרחב הדואלי שלו, כלומר את מרחב כל הפונקציונלים הליניאריים הרציפים מ- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} לשדה הבסיס R {\displaystyle \mathbb {R} } או C {\displaystyle \mathbb {C} } . בהינתן x ∈ H {\displaystyle x\in {\mathcal {H}}} ההעתקה המוגדרת על ידי ϕ x ( y ) = ⟨ y , x ⟩ {\displaystyle \phi _{x}\left(y\right)=\left\langle y,x\right\rangle } לכל y ∈ H {\displaystyle y\in {\mathcal {H}}} מהווה פונקציונל ליניארי רציף על H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . משפט ההצגה של ריס אומר שכל איבר ב- H ∗ {\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}} ניתן להיכתב בצורה אחת ויחידה כזו. משפט: ההעתקה Φ : H → H ∗ , Φ ( x ) = ϕ x {\displaystyle \Phi :{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}^{*},\quad \Phi (x)=\phi _{x}} היא (אנטי-) איזומורפיזם איזומטרי, כלומר:   Φ {\displaystyle \ \Phi } היא חד חד ערכית ועל. מתקיים ‖ Φ ( x ) ‖ = ‖ x ‖ {\displaystyle \left\Vert \Phi \left(x\right)\right\Vert =\left\Vert x\right\Vert } לכל x ∈ H {\displaystyle x\in {\mathcal {H}}} , כאשר ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \left\Vert \cdot \right\Vert } מסמן את הנורמות הסטנדרטיות המושרות על מרחב הילברט ועל המרחב הדואלי שלו (ראו נורמה אופרטורית).   Φ {\displaystyle \ \Phi } היא אדיטיבית:   Φ ( x 1 + x 2 ) = Φ ( x 1 ) + Φ ( x 2 ) {\displaystyle \ \Phi (x_{1}+x_{2})=\Phi (x_{1})+\Phi (x_{2})} לכל x 1 , x 2 ∈ H {\displaystyle x_{1},x_{2}\in {\mathcal {H}}} . אם שדה הבסיס הוא R {\displaystyle \mathbb {R} } , אז   Φ ( λ x ) = λ Φ ( x ) {\displaystyle \ \Phi (\lambda x)=\lambda \Phi (x)} לכל מספר ממשי   λ {\displaystyle \ \lambda } . אם שדה הבסיס הוא C {\displaystyle \mathbb {C} } , אז   Φ ( λ x ) = λ ¯ Φ ( x ) {\displaystyle \ \Phi (\lambda x)={\bar {\lambda }}\Phi (x)} לכל מספר מרוכב   λ {\displaystyle \ \lambda } . את ההעתקה ההפוכה ל-   Φ {\displaystyle \ \Phi } ניתן לתאר באופן הבא. יהי   φ {\displaystyle \ \varphi } פונקציונל ליניארי רציף על H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ונפריד למקרים. אם   φ {\displaystyle \ \varphi } הוא פונקציונל האפס, ניתן פשוט לבחור   x = 0 {\displaystyle \ x=0} . אחרת, משפט בסיסי בתורה של מרחבי הילברט אומר שקיים וקטור z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} אשר שייך למשלים האורתוגונלי של ker ⁡ φ {\displaystyle \ker \varphi } . כעת אם נגדיר x = φ ( z ) ¯ ‖ z ‖ 2 z {\displaystyle x={\frac {\overline {\varphi \left(z\right)}}{\left\Vert z\right\Vert ^{2}}}z} אז יתקיים Φ ( x ) = φ {\displaystyle \Phi \left(x\right)=\varphi } , כפי שרצינו. יהיו H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} ו- H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} מרחבי הילברט. תבנית ססקווילינארית על זוג מרחבים אלה היא העתקה [ ⋅ , ⋅ ] : H 1 × H 2 → C {\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C} } שליניארית במשתנה הראשון ואנטי-ליניארית במשתנה השני. אומרים שהיא חסומה אם קיים קבוע ממשי C ≥ 0 {\displaystyle C\geq 0} כך ש- | [ u , v ] | ≤ C ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \left|\left[u,v\right]\right|\leq C\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert } לכל u ∈ H 1 {\displaystyle u\in {\mathcal {H}}_{1}} ו- v ∈ H 2 {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}_{2}} , כאשר ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle \left\Vert \cdot \right\Vert } מסמן הן את הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית ב- H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} והן את הנורמה המושרית על H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} . תבנית ססקווילינארית היא חסומה אם ורק אם היא פונקציה רציפה (ביחס לטופולוגית המכפלה על H 1 × H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}} ) ולכן כששני המרחבים H 1 , H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {H}}_{2}} הם סוף-ממדיים, כל תבנית ססקווילינארית היא חסומה. נסמן ב- ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ {\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle } את המכפלה הפנימית על H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} . משפט: בהינתן העתקה ליניארית חסומה T : H 1 → H 2 {\displaystyle T:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} , ניתן להגדיר תבנית ססקווילינארית חסומה [ ⋅ , ⋅ ] : H 1 × H 2 → C {\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C} } על ידי [ u , v ] = ⟨ T u , v ⟩ {\displaystyle \left[u,v\right]=\left\langle Tu,v\right\rangle } (החסימות נובעת מאי-שוויון קושי-שוורץ). יתרה מזאת, עבור כל תבנית ססקווילינארית חסומה [ ⋅ , ⋅ ] : H 1 × H 2 → C {\displaystyle \left[\cdot ,\cdot \right]:{\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}\to \mathbb {C} } קיימת העתקה ליניארית חסומה יחידה T : H 1 → H 2 {\displaystyle T:{\mathcal {H}}_{1}\to {\mathcal {H}}_{2}} כך שהשוויון [ u , v ] = ⟨ T u , v ⟩ {\displaystyle \left[u,v\right]=\left\langle Tu,v\right\rangle } מתקיים לכל u ∈ H 1 {\displaystyle u\in {\mathcal {H}}_{1}} ו- v ∈ H 2 {\displaystyle v\in {\mathcal {H}}_{2}} . יהי X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי. המרחב C c ( X ) {\displaystyle C_{c}\left(X\right)} מורכב מכל הפונקציות f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } אשר רציפות ובעלות תומך קומפקטי. ניתן לצייד מרחב זה בפעולות נקודתיות של חיבור וכפל בסקלר וכן בנורמת הסופרמום ובכך הוא הופך למרחב נורמי. פונקציונל ליניארי חיובי על מרחב זה הוא העתקה C {\displaystyle \mathbb {C} } -ליניארית Λ : C c ( X ) → C {\displaystyle \Lambda :C_{c}\left(X\right)\to \mathbb {C} } אשר בנוסף יש לה את התכונה הבאה: אם f ∈ C c ( X ) {\displaystyle f\in C_{c}\left(X\right)} היא פונקציה ממשית אי-שלילית, אז גם Λ ( f ) {\displaystyle \Lambda \left(f\right)} היא כזו. בהנחה והטופולוגיה על X {\displaystyle X} היא "סבירה" דיה, משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי חיובי על C c ( X ) {\displaystyle C_{c}\left(X\right)} ניתן להיכתב ביחידות כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה "סבירה" מסוימת. משפט: יהי X {\displaystyle X} מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית ויהי Λ {\displaystyle \Lambda } פונקציונל ליניארי חיובי על C c ( X ) {\displaystyle C_{c}\left(X\right)} . אז קיימת מידת רדון (כלומר מידה חיובית סופית מקומית ורגולרית) יחידה μ {\displaystyle \mu } על X {\displaystyle X} המקיימת Λ ( f ) = ∫ X f d μ {\displaystyle \Lambda \left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu } לכל f ∈ C c ( X ) {\displaystyle f\in C_{c}\left(X\right)} . למידה זו יש גם שתי תכונות נוספות: μ {\displaystyle \mu } היא מידה שלמה. אם X {\displaystyle X} הוא בנוסף מרחב סיגמא-קומפקטי, μ {\displaystyle \mu } היא מידת רדון רגולרית. משפט זה מהווה קשר חשוב בין תורת המידה ואנליזה פונקציונלית ומספק דרך אפקטיבית לבנות מידות על מרחבים מסוימים. לדוגמה, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} הוא מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית וסיגמא-קומפקטי וההעתקה f ↦ ∫ R n f ( x ) d x {\displaystyle f\mapsto \int _{\mathbb {R} ^{n}}f\left(x\right)\,dx} (כאשר כאן האינטגרל הוא אינטגרל רימן הרגיל) מגדירה פונקציונל ליניארי חיובי על C c ( R n ) {\displaystyle C_{c}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)} . תנאי המשפט מתקיימים והמידה μ {\displaystyle \mu } המייצגת את הפונקציונל Λ {\displaystyle \Lambda } היא מידת לבג על R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . כמו קודם, נניח כי X {\displaystyle X} הוא מרחב טופולוגי. המשפט הבא, המכונה לעיתים משפט ריס-מרקוב, מראה שניתן להציג כל פונקציונל ליניארי רציף על המרחב C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}\left(X\right)} כאופרטור אינטגרציה ביחס למידה מרוכבת מסוימת. המרחב C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}\left(X\right)} מורכב מכל הפונקציות f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } שהן רציפות ומתאפסות באינסוף, כלומר לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיימת תת-קבוצה קומפקטית K ⊆ X {\displaystyle K\subseteq X} כך ש- | f ( x ) | < ε {\displaystyle \left|f\left(x\right)\right|<\varepsilon } לכל x ∉ K {\displaystyle x\notin K} . זהו מרחב נורמי, כאשר פעולות החיבור והכפל בסקלר מוגדרות נקודתית והנורמה היא נורמת הסופרמום. מובן ש- C c ( X ) ⊆ C 0 ( X ) {\displaystyle C_{c}\left(X\right)\subseteq C_{0}\left(X\right)} . מידה מרוכבת μ {\displaystyle \mu } על X {\displaystyle X} נקראת רגולרית אם מידת ההשתנות הכוללת שלה, כלומר | μ | {\displaystyle \left|\mu \right|} , היא מידת רדון רגולרית כפי שהמושג הוגדר לעיל עבור מידות חיוביות. מרחב כל המידות המרוכבות הרגולריות על X {\displaystyle X} מסומן M ( X ) {\displaystyle M\left(X\right)} והוא מהווה מרחב וקטורי תחת הפעולות הסטנדרטיות של חיבור וכפל בסקלר של מידות. בנוסף לכך, ההעתקה μ ↦ | μ | ( X ) {\displaystyle \mu \mapsto \left|\mu \right|\left(X\right)} מגדירה נורמה על M ( X ) {\displaystyle M\left(X\right)} והופכת אותו למרחב בנך. בהינתן מידה μ ∈ M ( X ) {\displaystyle \mu \in M\left(X\right)} ניתן להגדיר פונקציונל ליניארי רציף על C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}\left(X\right)} על ידי Φ μ ( f ) = ∫ X f d μ {\displaystyle \Phi _{\mu }\left(f\right)=\int _{X}f\,d\mu } לכל f ∈ C 0 ( X ) {\displaystyle f\in C_{0}(X)} . משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על C 0 ( X ) {\displaystyle C_{0}\left(X\right)} הוא מצורה זו, בהנחה ו-X הוא מרחב טופולוגי "סביר". נוסחו הפורמלי הוא כדלקמן. משפט: יהי X {\displaystyle X} מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. אז ההעתקה Ψ : M ( X ) → C 0 ∗ ( X ) , μ ↦ Φ μ {\displaystyle \Psi :M\left(X\right)\to C_{0}^{*}\left(X\right),\quad \mu \mapsto \Phi _{\mu }} היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר: Ψ {\displaystyle \Psi } היא חד-חד-ערכית ועל. Ψ {\displaystyle \Psi } היא ליניארית, כלומר Ψ ( μ 1 + c μ 2 ) = Ψ ( μ 1 ) + c Ψ ( μ 2 ) {\displaystyle \Psi \left(\mu _{1}+c\mu _{2}\right)=\Psi \left(\mu _{1}\right)+c\Psi \left(\mu _{2}\right)} לכל μ 1 , μ 2 ∈ M ( X ) {\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}\in M\left(X\right)} ולכל סקלר c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } . Ψ {\displaystyle \Psi } היא איזומטריה, כלומר ‖ Φ μ ‖ = ‖ μ ‖ = | μ | ( X ) {\displaystyle \left\Vert \Phi _{\mu }\right\Vert =\left\Vert \mu \right\Vert =\left|\mu \right|\left(X\right)} . ל- Ψ {\displaystyle \Psi } יש גם תכונה שימושית נוספת. הפונקציונל Ψ ( μ ) = Φ μ {\displaystyle \Psi \left(\mu \right)=\Phi _{\mu }} הוא פונקציונל ליניארי חיובי אם ורק אם המידה μ {\displaystyle \mu } היא מידה חיובית. יהי ( X , M , μ ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)} מרחב מידה ויהי L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}\left(\mu \right)} מרחב כל הפונקציות המדידות f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } שנורמת-p שלהן היא סופית: ‖ f ‖ p = ( ∫ X | f | p d μ ) 1 / p < ∞ {\displaystyle \left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int _{X}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}<\infty } (ראו מרחב Lp). מגדירים גם את L ∞ ( μ ) {\displaystyle L^{\infty }\left(\mu \right)} בתור מרחב כל הפונקציות המדידות f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } עבורן ‖ f ‖ ∞ < ∞ {\displaystyle \left\Vert f\right\Vert _{\infty }<\infty } (כאשר ‖ f ‖ ∞ {\displaystyle \left\Vert f\right\Vert _{\infty }} הוא המספר הקטן ביותר C ∈ [ 0 , ∞ ] {\displaystyle C\in \left[0,\infty \right]} שעבורו | f ( x ) | ≤ C {\displaystyle \left|f\left(x\right)\right|\leq C} ל- μ {\displaystyle \mu } -כמעט כל x ∈ X {\displaystyle x\in X} ). ידוע כי עבור כל 1 ≤ p ≤ ∞ {\displaystyle 1\leq p\leq \infty } המרחב L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}\left(\mu \right)} הוא מרחב בנך ביחס לנורמה ‖ f ‖ p {\displaystyle \left\Vert f\right\Vert _{p}} ושבמקרה p = 2 {\displaystyle p=2} (ורק בו) נורמה זו מושרית ממכפלה פנימית, אשר ניתנת על ידי ⟨ f , g ⟩ = ∫ X f g ¯ d μ {\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{X}f{\bar {g}}\,d\mu } . לכן L 2 ( μ ) {\displaystyle L^{2}\left(\mu \right)} הוא מרחב הילברט ומשפט ההצגה של ריס למרחב הדואלי למרחב הילברט גורר שכל פונקציונל ליניארי רציף על מרחב זה הוא מהצורה f ↦ ∫ X f g d μ {\displaystyle f\mapsto \int _{X}{fg}\,d\mu } עבור g ∈ L 2 ( μ ) {\displaystyle g\in L^{2}\left(\mu \right)} כלשהי. נשאלת השאלה אם ניתן לתת אפיון דומה לפונקציונלים הליניאריים הרציפים על L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}\left(\mu \right)} עבור p {\displaystyle p} כללי. יהי q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} האקספוננט הצמוד ל- p {\displaystyle p} , כלומר המספר הממשי המקיים את השוויון 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} (במקרה p = 1 {\displaystyle p=1} מסכימים ש- q = ∞ {\displaystyle q=\infty } ). תהי g ∈ L q ( μ ) {\displaystyle g\in L^{q}\left(\mu \right)} ונגדיר את ההעתקה הבאה: Φ g ( f ) = ∫ X f g d μ {\displaystyle \Phi _{g}\left(f\right)=\int _{X}fg\,d\mu } לכל f ∈ L p ( μ ) {\displaystyle f\in L^{p}\left(\mu \right)} . מאי-שוויון הלדר נובע שהאינטגרנד f g {\displaystyle fg} שייך ל- L 1 ( μ ) {\displaystyle L^{1}\left(\mu \right)} ולכן העתקה זו היא מוגדרת היטב. יתרה מזאת, קל לבדוק שהיא מגדירה פונקציונל ליניארי רציף Φ g : L p ( μ ) → C {\displaystyle \Phi _{g}:L^{p}\left(\mu \right)\to \mathbb {C} } . אם מרחב המידה ( X , M , μ ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)} הוא "סביר" במובן מסוים ו- p ≠ ∞ {\displaystyle p\neq \infty } , משפט ההצגה של ריס אומר שכל פונקציונל ליניארי רציף על L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}\left(\mu \right)} הוא מצורה זו. משפט: יהי 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } ונניח ש- ( X , M , μ ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)} הוא מרחב מידה סיגמא-סופי. אז ההעתקה Ψ : L q ( μ ) → ( L p ( μ ) ) ∗ , g ↦ Φ g {\displaystyle \Psi :L^{q}\left(\mu \right)\to \left(L^{p}\left(\mu \right)\right)^{*},\quad g\mapsto \Phi _{g}} היא איזומורפיזם של מרחבי בנך, כלומר: Ψ {\displaystyle \Psi } היא חד-חד-ערכית ועל. Ψ {\displaystyle \Psi } היא ליניארית, כלומר Ψ ( g 1 + c g 2 ) = Ψ ( g 1 ) + c Ψ ( g 2 ) {\displaystyle \Psi \left(g_{1}+cg_{2}\right)=\Psi \left(g_{1}\right)+c\Psi \left(g_{2}\right)} לכל g 1 , g 2 ∈ L q ( μ ) {\displaystyle g_{1},g_{2}\in L^{q}\left(\mu \right)} ולכל סקלר c ∈ C {\displaystyle c\in \mathbb {C} } . Ψ {\displaystyle \Psi } היא איזומטריה, כלומר ‖ Φ g ‖ = ‖ g ‖ q {\displaystyle \left\Vert \Phi _{g}\right\Vert =\left\Vert g\right\Vert _{q}} . בעקבות משפט זה, נהוג לומר פשוט ש- L q ( μ ) {\displaystyle L^{q}\left(\mu \right)} הוא המרחב הדואלי ל- L p ( μ ) {\displaystyle L^{p}\left(\mu \right)} (תחת הנחות המשפט, כמובן). הערות: עבור 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } ההנחה שהמרחב ( X , M , μ ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {M}},\mu \right)} הוא סיגמא-סופי היא מיותרת. עבור p = ∞ {\displaystyle p=\infty } המשפט אינו נכון. במקרה זה ההעתקה לעיל מהווה שיכון איזומטרי בלבד, כלומר L 1 ( μ ) ↪ ( L ∞ ( μ ) ) ∗ {\displaystyle L^{1}\left(\mu \right)\hookrightarrow \left(L^{\infty }\left(\mu \right)\right)^{*}} , ובדרך כלל המרחב ( L ∞ ( μ ) ) ∗ {\displaystyle \left(L^{\infty }\left(\mu \right)\right)^{*}} הוא הרבה יותר גדול. משפט ההצגה של ריס, באתר MathWorld (באנגלית) Maurice Fréchet - Biography, Maths History (באנגלית)