טטרציה

במתמטיקה, טֶטְרָצְיָה (באנגלית: Tetration או Hyper-4) היא פעולה, המתבצעת בין שני מספרים: ה"בסיס" וה"גובה". טטרציה מסמנים בסימון a ↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b} או a b {\displaystyle ^{a}b} כאשר a {\displaystyle a} הוא הבסיס ו- b {\displaystyle b} הוא הגובה. בצורתה הבסיסית ביותר, שבה הבסיס הוא מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי, טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה- b {\displaystyle b} ־ית של a {\displaystyle a} היא החזקה החוזרת של b גורמים השווים כולם ל-a:      a ↑↑ b = b a = a a a a ⋯ a ⏟ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdots ^{a}}}}}} _{b}} ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא: b a = { 1 , if  b = 0 a b − 1 a , if  b > 0 {\displaystyle ^{b}a={\begin{cases}1,&{\text{if }}b=0\\a^{^{b-1}a},&{\text{if }}b>0\end{cases}}} ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה (אנ'), המוגדרת כ- a ′ = a + 1 {\displaystyle a'=a+1} נחשבת להיפר-פעולה האפס. חיבור: a + b = a + 1 + 1 + ⋯ + 1 ⏟ b  times {\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b{\text{ times}}}} כפל: a × b = a + a + ⋯ + a ⏟ b  times {\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b{\text{ times}}}} חזקה: a b = a × a × ⋯ × a ⏟ b  times {\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}} טטרציה: b a = a a a a ⋅ ⋅ ⋅ a ⏟ b  times {\displaystyle ^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}}} _{b{\text{ times}}}} יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר, 3 5 7 {\displaystyle {3^{5}}^{7}} משמעותו 3 ( 5 7 ) {\displaystyle 3^{(5^{7})}} ולא ( 3 5 ) 7 {\displaystyle {(3^{5})}^{7}} . כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית, כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות a ( b x ) = a b x {\displaystyle ^{a}(^{b}x)={}^{ab}x} ו a x y = a x a y {\displaystyle ^{a}xy={}^{a}x^{a}{}y} אינן נכונות ברוב המקרים. בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית. כלומר, הטענה ( a b ) c = a ( b c ) {\displaystyle ^{({^{a}}b)}c={}^{^{a}}(^{b}c)} אינה נכונה ברוב המקרים. כיווניות החישוב הנכונה היא מלמעלה למטה. בדומה לחזקה, מתקיים כי 0 x = 1 {\displaystyle ^{0}x=1} ו 1 x = x {\displaystyle ^{1}x=x} מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה: a x = x ( a − 1 x ) {\displaystyle ^{a}x=x^{(^{a-1}x)}} ממהגדרה למעלה נובע כי: ( b a ) ( c a ) = ( c + 1 a ) ( b − 1 a ) {\displaystyle (^{b}a)^{(^{c}a)}=(^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}} מה שמאפשר את החלפת המשתנים b ו-c במשוואות. ההוכחה לתכונה זו היא: ( b a ) ( c a ) = ( a b − 1 a ) ( c a ) = a ( b − 1 a ) ( c a ) = a ( c a ) ( b − 1 a ) = ( c + 1 a ) ( b − 1 a ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}} את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה. החזקה 0 0 {\displaystyle 0^{0}} אינה מוגדרת. ולכן, גם טטרציות מהצורה n 0 {\displaystyle ^{n}0} אינן מוגדרות כראוי. למרות זאת, הגבול lim x → 0 n x {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x} מוגדר וקיים: lim x → 0 n x = { 1 , n  even 0 , n  odd {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}} ולכן, ניתן להגדיר כי n 0 = lim x → 0 n x {\displaystyle ^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x} מאחר שניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} . לדוגמה, עבור n z {\displaystyle ^{n}z} כאשר z = i {\displaystyle z=i} , ניתן באמצעות נוסחת אוילר להראות כי: i a + b i = e 1 2 π i ( a + b i ) = e − 1 2 π b ( cos ⁡ π a 2 + i sin ⁡ π a 2 ) {\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)} ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את n + 1 i = a ′ + b ′ i {\displaystyle ^{n+1}i=a'+b'i} באמצעות n i = a + b i {\displaystyle ^{n}i=a+bi} : a ′ = e − 1 2 π b cos ⁡ π a 2 b ′ = e − 1 2 π b sin ⁡ π a 2 {\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}} ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים. כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול lim n → ∞ n x {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x} . זאת כיוון שבטווח מסוים של בסיסים, הטטרציה מתכנסת למספר סופי כש-n שואף לאינסוף. לדוגמה, 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} מתכנס ל-2, ולכן ניתן לומר כי הוא שווה ל-2. את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן: 2 2 2 2 2 1.414 ≈ 2 2 2 2 1.63 ≈ 2 2 2 1.76 ≈ 2 2 1.84 ≈ 2 1.89 ≈ 1.93 {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}} לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי x x ⋅ ⋅ ⋅ {\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!} מתכנס עבור e − e ≤ x ≤ e 1 e {\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}} . באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה: k + 1 a = a ( k a ) , {\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},} ניתן למצוא את − 1 a {\displaystyle {}^{-1}a} : k a = log a ⁡ ( k + 1 a ) ; {\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);} אם במקום k נציב -1 נקבל: − 1 a = log a ⁡ ( 0 a ) = log a ⁡ 1 = 0 {\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0} ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל: − 2 a = log a ⁡ ( − 1 a ) = log a ⁡ 0 {\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0} וזהו מספר שאינו מוגדר. לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם. באופן אנלוגי, גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם. (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות. הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם n y = x {\displaystyle ^{n}y=x} אז y {\displaystyle y} הוא הסופר-שורש ה- n {\displaystyle n} ־י של x {\displaystyle x} , והוא יסומן בצורה y = x n s {\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}_{s}} לדוגמה, אם 4 2 = 2 2 2 2 = 65 , 536 {\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65,536} אז 2 הוא הסופר-שורש הרביעי של 65,536 ( 2 = 65 , 536 4 s {\displaystyle 2={\sqrt[{4}]{65,536}}_{s}} ). הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה x 2 s {\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}_{s}} , או בפשטות x s {\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}} . הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה x x {\displaystyle x^{x}} , וניתן להציגו באמצעות פונקציית אומגה (אנ'): x s = e W ( ln ⁡ x ) = ln ⁡ x W ( ln ⁡ x ) {\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln {x})}={\frac {\ln {x}}{W(\ln {x})}}} הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם y n = x {\displaystyle ^{y}n=x} אז y {\displaystyle y} הוא הסופר-לוגריתם מבסיס n {\displaystyle n} של x {\displaystyle x} , והוא יסומן בצורה y = slog n x {\displaystyle y={\text{slog}}_{n}{x}} . פונקציה זו מוגדרת עבור כל n > 1 {\displaystyle n>1} . slog b ( b x ) = slog b ( x ) + 1 {\displaystyle {\text{slog}}_{b}(b^{x})={\text{slog}}_{b}(x)+1} slog b 1 = 0 {\displaystyle {\text{slog}}_{b}1=0} slog b ( x ) = slog b ( log b ⁡ ( x ) ) + 1 {\displaystyle {\text{slog}}_{b}(x)={\text{slog}}_{b}(\log _{b}{(x)})+1} לכל x {\displaystyle x} ממשי מתקיים slog b ( x ) > − 2 {\displaystyle {\text{slog}}_{b}(x)>-2} היפר-פעולות מספרים גדולים לוגריתם חוזר מדיה וקבצים בנושא טטרציה בוויקישיתוף טטרציה, באתר MathWorld (באנגלית) Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower, ‏2014 George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration, math.blogoverflow.com, ‏5 בינואר 2015 Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E, "On the Lambert W function, Advances in Computational Mathematics, ‏1996