נוסחת ברהמגופטה

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת בְּרַהמָגוּפְּטָה, היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע בר חסימה, על בסיס צלעותיו. פותחה על ידי המתמטיקאי ההודי בראהמגופטה. שטח K של מרובע בר חסימה, שאורך צלעותיו הם a ,b ,c ,d, ו-s הוא מחצית ההיקף של הצורה ( s = a + b + c + d 2 . {\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.} ) הוא: K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}} הנוסחה היא הכללה לנוסחת הרון למשולשים, וניתן להסתכל עליה כך כאשר אורך אחת הצלעות הוא 0. ניתן לרשום את הנוסחה גם מהצורה: K = 1 4 ( − a + b + c + d ) ( a − b + c + d ) ( a + b − c + d ) ( a + b + c − d ) . {\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.} K = ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 2 + 8 a b c d − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 + d 4 ) 4 ⋅ {\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot } אנחנו נביא כאן הוכחה שבה השתמשנו באלגברה ובטריגונומטריה, והוכחה זה היא שונה מהוכחתו המקורית של ברהמגופטה. מרובע חסום ABCD ששטחו K הוא סכום השטחים של המשלושים ADB△ ו-BDC△, K = 1 2 p q sin ⁡ A + 1 2 r s sin ⁡ C . {\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.} מכיוון שמרובע ABCD הוא בר חסימה, אז DAB = 180° − ∠DCB∠, מכאן sin A = sin C,אז ניתן לרשום את השטח כ- K = 1 2 p q sin ⁡ A + 1 2 r s sin ⁡ A {\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A} ומכאן: K 2 = 1 4 ( p q + r s ) 2 sin 2 ⁡ A {\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A} 4 K 2 = ( p q + r s ) 2 ( 1 − cos 2 ⁡ A ) = ( p q + r s ) 2 − ( p q + r s ) 2 cos 2 ⁡ A . {\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)=(pq+rs)^{2}-(pq+rs)^{2}\cos ^{2}A.\,} ניתן לפתור עבור צלע DB במשולש ADB△ על ידי משפט הקוסינוסים, אז p 2 + q 2 − 2 p q cos ⁡ A = r 2 + s 2 − 2 r s cos ⁡ C . {\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,} ובגלל ש-cos C = −cos A (מכיוון שהם זוויות שמשלימות ל-360), ומכאן 2 ( p q + r s ) cos ⁡ A = p 2 + q 2 − r 2 − s 2 . {\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,} אז 4 K 2 = ( p q + r s ) 2 − 1 4 ( p 2 + q 2 − r 2 − s 2 ) 2 {\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}} 16 K 2 = 4 ( p q + r s ) 2 − ( p 2 + q 2 − r 2 − s 2 ) 2 . {\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.} ניתן לפרק את הביטוי על ידי נוסחת כפל מקוצר, אז [ 2 ( p q + r s ) − p 2 − q 2 + r 2 + s 2 ] [ 2 ( p q + r s ) + p 2 + q 2 − r 2 − s 2 ] {\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]\,} ולאחר מכנה משותף, = [ ( r + s ) 2 − ( p − q ) 2 ] [ ( p + q ) 2 − ( r − s ) 2 ] {\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]\,} = ( q + r + s − p ) ( p + r + s − q ) ( p + q + s − r ) ( p + q + r − s ) . {\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).\,} ועל ידי הצבה של מחצית ההיקף S, אז נקבל 16 K 2 = 16 ( S − p ) ( S − q ) ( S − r ) ( S − s ) . {\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).\,} נוציא שורש ונחלק ב-16,ונקבל את הנוסחה: K = ( S − p ) ( S − q ) ( S − r ) ( S − s ) . {\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.} ניתן להכליל את הנוסחה למרובע שאינו בר חסימה, K = ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) ( s − d ) − a b c d cos 2 ⁡ θ {\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}} כאשר θ זה מחצית סכום הזוויות ההפוכות (בחירת הזוויות היא שרירותית, כי אם נבחר את הזוג השני, אז הזווית תהיה 180 פחות θ, אז cos(180° − θ) = −cos θ, ומכאן cos2(180° − θ) = cos2 θ, אז הזוויות לא משנה), נוסחה זו ידועה בתור נוסחת ברטשניידר. כאשר המרובע הוא בר חסימה, אז θ שווה ל-90°, אז: a b c d cos 2 ⁡ θ = a b c d cos 2 ⁡ ( 90 ∘ ) = a b c d ⋅ 0 = 0 , {\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,\,} נוסחת ברהמגופטה, באתר MathWorld (באנגלית)