משפט רימן-רוך

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית ובאנליזה מרוכבת, משפט רימן רוך הוא משפט חשוב המאפשר לחשב את המימד של מרחבי פונקציות מרומורפיות עם אפסים וקטבים נתונים על משטחי רימן קומפקטיים ומאפשר להסיק את קיומן של פונקציות המוגדרות על המשטח ומקיימות אילוצים מסוימים על האפסים והקטבים שלהן. המשפט הוכח בשני חלקים. תחילה הוכיח ברנהרד רימן טענה חלשה יותר הנקראת אי שוויון רימן. לאחר מכן הוכיח אחד מתלמידיו, גוסטב רוך, את המשפט במלואו בשנות ה-50 של המאה ה-19. מאוחר יותר הוכחו הכללות רבות של המשפט, בין היתר לעקומים אלגברים וליריעות אלגבריות מממדים גבוהים יותר. נניח כי X הוא משטח רימן קומפקטי, וכי D הוא מחלק על X. כזכור, מחלק D על משטח רימן קומפקטי הוא פשוט סכום סופי ∑ i = 1 n c i ⋅ x i {\displaystyle \,\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot x_{i}} כאשר c i ∈ Z {\displaystyle \,c_{i}\in \mathbb {Z} } הם מספרים שלמים, ו x i ∈ X {\displaystyle \,x_{i}\in X} הן נקודות בX. הדרגה של D מוגדרת להיות deg ⁡ ( D ) = ∑ i = 1 n c i {\displaystyle \,\deg(D)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}} . נניח כי D 1 , D 2 {\displaystyle \,D_{1},D_{2}} הם שני מחלקים על X כך שמתקיים D 1 = ∑ i = 1 n c i ⋅ x i {\displaystyle \,D_{1}=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\cdot x_{i}} D 2 = ∑ i = 1 n d i ⋅ x i {\displaystyle \,D_{2}=\sum _{i=1}^{n}d_{i}\cdot x_{i}} (כל שני מחלקים אפשר לכתוב עם אותם אינדקסים בדיוק משום שייתכן ש c i {\displaystyle \,c_{i}} או d i {\displaystyle \,d_{i}} שווים ל0 עבור אינדקסים מסוימים). נגדיר יחס ≤ {\displaystyle \,\leq } על המחלקים על X באופן הבא: נאמר ש D 1 ≤ D 2 {\displaystyle D_{1}\leq D_{2}} אם לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle \,1\leq i\leq n} מתקיים c i ≤ d i {\displaystyle \,c_{i}\leq d_{i}} . ניתן להראות שזהו יחס סדר חלקי על קבוצת המחלקים על X. לדוגמה, אם x , y , z ∈ X {\displaystyle \,x,y,z\in X} הן נקודות על X, ו D 1 = x + 2 y {\displaystyle \,D_{1}=x+2y} , D 2 = 3 x + 4 y + 5 z {\displaystyle \,D_{2}=3x+4y+5z} , אז מכיוון שהמקדם של כל נקודה ב D 1 {\displaystyle \,D_{1}} קטן או שווה מהמקדם של כל נקודה ב D 2 {\displaystyle \,D_{2}} , הרי ש D 1 ≤ D 2 {\displaystyle D_{1}\leq D_{2}} . בהינתן מחלק D על משטח רימן קומפקטי X, מסמנים את שדה כל הפונקציות המרומורפיות על X ב M ( X ) {\displaystyle {\mathcal {M}}(X)} . נשים לב ששדה הפונקציות המרומורפיות של X הוא מרחב וקטורי מעל שדה המספרים המרוכבים. נגדיר את המרחב (L(D שהוא תת-מרחב של שדה הפונקציות המרומורפיות באופן הבא: L ( D ) = { f ∈ M ( X ) × : ( f ) ≥ − D } ∪ { 0 } {\displaystyle \,L(D)=\{f\in {\mathcal {M}}(X)^{\times }:(f)\geq -D\}\cup \{0\}} כזכור, ( f ) {\displaystyle \,(f)} הוא המחלק המתאים לפונקציה המרומורפית f. רק לפונקציות מרומורפיות השונות מפונקציית ה0 מתאים מחלק, ולפיכך יש להוסיף את פונקציית ה0 על מנת לקבל מרחב וקטורי. נסביר כעת את משמעות ההגדרה. לשם כך, נניח כי y , z ∈ X {\displaystyle \,y,z\in X} הן נקודות בX, ונניח כי D = 3 ⋅ y − 4 ⋅ z {\displaystyle D=3\cdot y-4\cdot z} הוא מחלק על X. בדוגמה זו, המרחב L ( D ) {\displaystyle \,L(D)} יכיל את פונקציית ה0 וכן את כל הפונקציות המרומורפיות f ∈ M ( X ) × {\displaystyle f\in {\mathcal {M}}(X)^{\times }} כך שמתקיים ( f ) ≥ − D = − 3 ⋅ y + 4 ⋅ z {\displaystyle (f)\geq -D=-3\cdot y+4\cdot z} בפרט, לכל נקודה x ∈ X {\displaystyle \,x\in X} כך ש x ≠ y {\displaystyle \,x\neq y} ו x ≠ z {\displaystyle \,x\neq z} מתקיים ( f ) ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \,(f)(x)\geq 0} . לפיכך לכל נקודה x כזאת, f הולומורפית בx. בנקודה y על f לקיים ( f ) ( y ) ≥ − 3 {\displaystyle \,(f)(y)\geq -3} , ולפיכך לf יכול להיות קוטב בנקודה זו, כאשר סדר הקוטב הוא לכל היותר 3. בנקודה z על f לקיים ( f ) ( z ) ≥ 4 {\displaystyle \,(f)(z)\geq 4} , ולפיכך בנקודה זו יש לf אפס מסדר 4 לפחות. כל פונקציה f שהיא פונקציה מרומורפית על X ואשר מקיימת את התנאים הללו תהיה שייכת למרחב (L(D עבור D הנ"ל. באופן כללי, התנאים של השתייכות למרחבי (L(D עבור פונקציה f ≠ 0 {\displaystyle \,f\neq 0} הם תנאים מ3 הסוגים הבאים: עבור נקודות x שעבורן D ( x ) = 0 {\displaystyle \,D(x)=0} , על f להיות הולומורפית בנקודה x. עבור נקודות x שעבורן D ( x ) = n > 0 {\displaystyle \,D(x)=n>0} , בנקודה x לפונקציה f מותר שיהיה קוטב מסדר לכל היותר n. עבור נקודות x שעבורן D ( X ) = − n < 0 {\displaystyle \,D(X)=-n<0} , בנקודה x לפונקציה f חייב להיות אפס מסדר n לפחות. ניתן להראות כי (L(D הוא מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים. משפט רימן רוך מאפשר לחשב את המימד של (L(D. נניח כי X משטח רימן קומפקטי, D הוא מחלק על X וכי הגנוס של X הוא g. אי שוויון רימן נותן חסם תחתון למימד של (L(D על ידי: dim ⁡ L ( D ) ≥ deg ⁡ D − g + 1 {\displaystyle \dim L(D)\geq \deg D-g+1} לעומת זאת, משפט רימן רוך מאפשר לחשב במדויק את המימד של (L(D באמצעות הנוסחה הבאה: dim ⁡ L ( D ) = dim ⁡ H 1 ( X , O D ) + 1 − g + deg ⁡ D {\displaystyle \,\dim L(D)=\dim {\mathcal {H}}^{1}(X,{\mathcal {O}}_{D})+1-g+\deg D} כאשר H 1 ( X , O D ) {\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(X,{\mathcal {O}}_{D})} היא קוהומולוגיית צ'ך הראשונה של האלומה O D {\displaystyle \,{\mathcal {O}}_{D}} . בהסתמך על הגדרת המרחב הווקטורי (L(D, בהינתן מחלק D על משטח רימן קומפקטי X, נגדיר אלומה שתסומן על ידי O D {\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}} , אשר תאפשר להסיק מידע גלובלי ממידע מקומי על המרחב (L(D. בהינתן קבוצה פתוחה U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} נגדיר את O D ( U ) {\displaystyle \,{\mathcal {O}}_{D}(U)} להיות אוסף הפונקציות המרומורפיות על U, שביחס לקבוצה הפתוחה U שייכות ל(L(D. בצורה מדויקת, ההגדרה היא: O D ( U ) = { f ∈ M ( U ) : ( f ) ( x ) ≥ − D ( x ) , ∀ x ∈ U } {\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}(U)=\{f\in {\mathcal {M}}(U):(f)(x)\geq -D(x),\forall x\in U\}} כאשר M ( U ) {\displaystyle \,{\mathcal {M}}(U)} מסמן את שדה הפונקציות המרומורפיות על U. נזכור כי U כתת-קבוצה פתוחה של משטח רימן היא בעצמה משטח רימן, ולכן יש למושג שדה הפונקציות המרומורפיות על U את משמעותו הרגילה. הומומוריפזמי הצמצום הם צמצומים רגילים של פונקציות. מכיוון ששייכות לקבוצה זו הוגדרה באמצעות תכונה מקומית, הרי שקל לוודא שאקסיומת ההדבקה מתקיימת וזוהי אכן אלומה של מרחבים וקטורים. משפט מיטאג-לפלר