פולינום אלכסנדר

פולינום אלכסנדר (Alexander Polynomial) הוא אינווריאנט קשרים נפוץ, המתאים לכל קשר פולינום לורן סופי במקדמים שלמים. זהו אינווריאנט קשרים בסיסי וחשוב, שמהווה אינווריאנט טוב אך לא שלם. אי שלמותו מתבטאת בכך שישנם שני קשרים המתאימים לאותו פולינום, כך שהפולינום לבד לא יכול להבחין בין כל זוג קשרים. הפולינום נחשב לפולינום הקשרים הראשון, והוצג בשנת 1923 על ידי המתמטיקאי ג'יימס אלכסנדר, שתרם רבות לטופולוגיה בכלל ותורת הקשרים בפרט. פולינום אלכסנדר עוזר במיון קשרים. לפולינום הוצגו מספר שיפורים והכללות, על ידי ג'ון קונווי בפולינום ג'ונס-קונווי, והן על ידי פיטר פרייד, דייוויד ייטר ואחרים, שהציגו את פולינום ה-HOMFLY – פולינום לורן עם מקדמים שלמים בשני משתנים. פולינום אלכסנדר הוא איבר בחוג הפולינומים   Δ K ( t ) ∈ Z [ t , t − 1 ] {\displaystyle \ \Delta _{K}(t)\in \mathbb {Z} [t,t^{-1}]} , הניתן להגדיר במספר דרכים. להלן הגדרה אלגברית-טופולוגית. מן החבורה היסודית של המשלים לקשר תמיד קיימת הטלה לחבורה הציקלית האינסופית,   Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} } , המשרה סדרה קצרה מדויקת   1 ⟶ π 1 ( K ∞ ) ⟶ π 1 ( S 3 − K ) ⟶ H 1 ( S 3 − K ) = Z ⟶ 1 {\displaystyle \ 1\longrightarrow \pi _{1}(K_{\infty })\longrightarrow \pi _{1}(S^{3}-K)\longrightarrow H_{1}(S^{3}-K)=\mathbb {Z} \longrightarrow 1} בסדרה הזו מופיע   Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} } -כיסוי של המשלים לקשר, שאותו מסמנים ב-   K ∞ {\displaystyle \ K_{\infty }} . פולינום אלכסנדר הוא הסדר של המודול   H 1 ( K ∞ ) {\displaystyle \ H_{1}(K_{\infty })} מעל   Z [ t , t − 1 ] {\displaystyle \ \mathbb {Z} [t,t^{-1}]} (הסדר הוא האידיאל הגדול ביותר הנוצר על ידי מינורים בגודל קבוע i במטריצת היחסים של המודול). להלן הגדרה אחרת, קומבינטורית, המבוססת בין השאר על אינדוקציה. ראשית, לאל-קשר יש פולינום טריוויאלי:   Δ ( O ) = 1 {\displaystyle \ \Delta (O)=1} . הפולינום המתאים לאיחוד זר של שני שזרים הוא מכפלת הפולינומים שלהם. יחס הרקורסיה המגדיר את הפולינום מבוסס על בחירת צומת בדיאגרמה, והשוואת שלוש הדרכים למעבר הדרכים באותו צומת. ראו שלושת המעברים על קשר השמינית בתמונה. בראשון הדרכים נפגשות באופן שאם הכיוון הוא מלמעלה למטה, הדרך העליונה עוברת מימין לשמאל. בשני היא עוברת משמאל לימין, ובשלישי שתי הדרכים ממשיכות בלי להצטלב (התרה אחרת של ההצטלבות אינה אפשרית, משום שהיא סותרת את כיווני הדרכים). נסמן את הקשרים ב-   K L , K R , K 0 {\displaystyle \ K_{L},K_{R},K_{0}} בהתאמה. היחס המגדיר את פולינומי אלכסנדר הוא   Δ ( K R ) − Δ ( K L ) = ( t 1 / 2 − t − 1 / 2 ) Δ ( K 0 ) {\displaystyle \ \Delta (K_{R})-\Delta (K_{L})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (K_{0})} . הגדרה נוספת היא בעזרת הצגת בוראו המצומצמת של חבורת הצמות ρ ¯ : B n → G L n ( Z [ t , t − 1 ] ) {\displaystyle {\bar {\rho }}:B_{n}\to GL_{n}(\mathbb {Z} [t,t^{-1}])} , הנתונה על ידי שליחת היוצרים: σ i ↦ I i − 2 ⊕ ( 1 − t 0 0 − t 0 0 − 1 1 ) ⊕ I n − i − 2 {\displaystyle \sigma _{i}\mapsto I_{i-2}\oplus {\begin{pmatrix}1&-t&0\\0&-t&0\\0&-1&1\end{pmatrix}}\oplus I_{n-i-2}} . בעזרת הצגה זו ניתן להגדיר את פולינום אלכסנדר – כידוע, לכל קשר K {\displaystyle K} קיימת צמה סגורה המממשת אותו; בהינתן קשר מוצאים צמה כזו b ( K ) {\displaystyle b(K)} , ואז פולינום אלכסנדר נתון על ידי: Δ K ( t ) = det ⁡ ( ρ ¯ ( b ( K ) ) − I n − 1 ) 1 + t + ⋯ + t n − 1 {\displaystyle \Delta _{K}(t)={\frac {\operatorname {det} ({\bar {\rho }}(b(K))-I_{n-1})}{1+t+\dots +t^{n-1}}}} . פולינומי אלכסנדר מקיימים את התכונות הבאות: הפולינום סימטרי – Δ K ( t ) = Δ K ( t − 1 ) {\displaystyle \Delta _{K}(t)=\Delta _{K}(t^{-1})} הפולינום של סכום קשיר הוא מכפלת הפולינומים –   Δ K 1 # K 2 ( t ) = Δ K 1 ( t ) Δ K 2 ( t ) {\displaystyle \ \Delta _{K_{1}\#K_{2}}(t)=\Delta _{K_{1}}(t)\Delta _{K_{2}}(t)} Δ K ( t ) = 1 {\displaystyle \Delta _{K}(t)=1} אם ורק אם תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת הקשר π 1 ( R 3 ∖ K ) {\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{3}\setminus K)} היא מושלמת (כלומר שווה לתת-חבורת הקומוטטורים שלה). לכל פולינום לורן סימטרי ועובר בנקודה ( 1 , 1 ) {\displaystyle (1,1)} יש קשר בעל אותו הפולינום כפולינום אלכסנדר שלו. פולינום אלכסנדר של קשר התלתן הוא t − 1 + 1 + t {\displaystyle t^{-1}+1+t} . פולינום אלכסנדר של קשר השמינית הוא t − 1 + 3 + t {\displaystyle t^{-1}+3+t} . פולינום אלכסנדר של קשר הסור (stevedore Knot) הוא − 2 t − 1 + 5 − 2 t {\displaystyle -2t^{-1}+5-2t} . למרות שבפולינום יש, לכאורה, מקום לאינפורמציה רבה על הקשר, ידועה משפחה אינסופית של קשרים לא טריוויאליים שהפולינום שלהם שווה לזה של האל-קשר. הקשר של Kinoshita-Terasaki, בתמונה, הוא דוגמה אחת כזו. אינווריאנטים של קשרים פולינום ג'ונס פולינום ה-HOMFLY פולינום אלכסנדר, באתר MathWorld (באנגלית)