טנזור איינשטיין

טנזור איינשטיין הוא טנזור בתורת היחסות הכללית המתאר גודל הקשור לעקמומיות המרחב, ומבוטא על ידי טנזור ריצ'י, סקלר ריצ'י והטנזור המטרי הפסאודו-רימאני. הטנזור מופיע במשוואת השדה של איינשטיין עבור כבידה. הטנזור קרוי על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין. בפיזיקה וגאומטריה דיפרנציאלית, טנזור איינשטיין G {\displaystyle \mathbf {G} } הוא טנזור מדרגה 2 שמוגדר מעל יריעה פסאודו-רימאנית. בכתיב ללא אינדקסים הוא מוגדר להיות G = R − 1 2 g R {\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R} כאשר R {\displaystyle \mathbf {R} } הוא טנזור ריצ'י, g {\displaystyle \mathbf {g} } הוא הטנזור המטרי ו- R {\displaystyle R} הוא סקלר ריצ'י המהווה ביטוי סקלרי לעקמומיות של המרחב. בכתיב עם אינדקסים, הגדרת טנזור איינשטיין היא G μ ν = R μ ν − 1 2 g μ ν R {\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R} טנזור ריצ'י תלוי רק בטנזור המטרי ונגזרותיו, כך שניתן להגדיר את טנזור איינשטיין רק באמצעות הטנזור המטרי (ונגזרותיו). ברם, ביטוי זה ארוך ומסובך, ולכן רק לעיתים נדירות נמצא בספרי לימוד. ניתן לראות את המורכבות של ביטוי באמצעות הנוסחה לטנזור באמצעות סמלי כריסטופל: G α β = R α β − 1 2 g α β R = R α β − 1 2 g α β g γ ζ R γ ζ = ( δ α γ δ β ζ − 1 2 g α β g γ ζ ) R γ ζ = ( δ α γ δ β ζ − 1 2 g α β g γ ζ ) ( Γ γ ζ , ϵ ϵ − Γ γ ϵ , ζ ϵ + Γ ϵ σ ϵ Γ γ ζ σ − Γ ζ σ ϵ Γ ϵ γ σ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }R\\&=R_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R_{\gamma \zeta }\\&=(\delta _{\alpha }^{\gamma }\delta _{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma _{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma _{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma _{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma _{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma _{\epsilon \gamma }^{\sigma }),\end{aligned}}} כאשר δ β α {\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }} הוא הדלתא של קרונקר ואת סמלי כריסטופל Γ β γ α {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }} ניתן לרשום באמצעות הטנזור המטרי, לפי הנוסחה הבאה: Γ β γ α = 1 2 g α ϵ ( g β ϵ , γ + g γ ϵ , β − g β γ , ϵ ) {\displaystyle \Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g_{\beta \epsilon ,\gamma }+g_{\gamma \epsilon ,\beta }-g_{\beta \gamma ,\epsilon })} לפני צמצומים, הנוסחה כוללת 2 × ( 6 + 6 + 9 + 9 ) = 60 {\displaystyle 2\times (6+6+9+9)=60} איברים. צמצומים מקטינים מספר זה. במקרה הפרטי של מערכת ייחוס אינרציאלית לוקלית ליד נקודה, הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי מתאפסות, וניתן לפשט את הביטוי לטנזור איינשטיין: G α β = g γ μ [ g γ [ β , μ ] α + g α [ μ , β ] γ − 1 2 g α β g ϵ σ ( g ϵ [ μ , σ ] γ + g γ [ σ , μ ] ϵ ) ] = g γ μ ( δ α ϵ δ β σ − 1 2 g ϵ σ g α β ) ( g ϵ [ μ , σ ] γ + g γ [ σ , μ ] ϵ ) , {\displaystyle {\begin{aligned}G_{\alpha \beta }&=g^{\gamma \mu }{\bigl [}g_{\gamma [\beta ,\mu ]\alpha }+g_{\alpha [\mu ,\beta ]\gamma }-{\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta }g^{\epsilon \sigma }(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }){\bigr ]}\\&=g^{\gamma \mu }(\delta _{\alpha }^{\epsilon }\delta _{\beta }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}g^{\epsilon \sigma }g_{\alpha \beta })(g_{\epsilon [\mu ,\sigma ]\gamma }+g_{\gamma [\sigma ,\mu ]\epsilon }),\end{aligned}}} כאשר סוגריים מרובעים מציינות אנטי-סימטריזציה על האינדקסים המוכלים בהם, כלומר: g α [ β , γ ] ϵ = 1 2 ( g α β , γ ϵ − g α γ , β ϵ ) {\displaystyle g_{\alpha [\beta ,\gamma ]\epsilon }\,={\frac {1}{2}}(g_{\alpha \beta ,\gamma \epsilon }-g_{\alpha \gamma ,\beta \epsilon })} העקבה של טנזור איינשטיין ניתנת לחישוב על ידי כיווץ אינדקסים במשוואה המגדירה את טנזור איינשטיין באמצעות הטנזור המטרי g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} . בממד D כללי מקבלים: g μ ν G μ ν = g μ ν R μ ν − 1 2 g μ ν g μ ν R G = R − 1 2 ( D R ) G = 2 − D 2 R {\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }G_{\mu \nu }&=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }g_{\mu \nu }R\\G&=R-{1 \over 2}(DR)\\G&={{2-D} \over 2}R\end{aligned}}} במקרה הפרטי של מרחב-זמן בעל 3 ממדי מרחב וממד זמן אחד, העקבה של טנזור איינשטיין היא מינוס העקבה של טנזור ריצ'י. מסיבה זו נקרא טנזור איינשטיין לעיתים "טנזור ריצ'י בעל עקבה הפוכה". טנזור איינשטיין מאפשר רישום קומפקטי של משוואת השדה של איינשטיין: G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }} כאשר T μ ν {\displaystyle T_{\mu \nu }} הוא טנזור המאמץ-אנרגיה, c היא מהירות האור בריק, G הוא קבוע הכבידה האוניברסלי ו- π {\displaystyle \pi } הוא הקבוע המתמטי פאי. ביחידות גאומטריות בהן G=c=1 מקבלים ביטוי פשוט יותר: G μ ν = 8 π T μ ν . {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi \,T_{\mu \nu }.} מהביטוי המפורש לטנזור איינשטיין למעלה, ניתן לראות שטנזור איינשטיין הוא פונקציה לא-ליניארית של הטנזור המטרי אך ליניארי בנגזרות החלקיות של הטנזור המטרי. כטנזור סימטרי מדרגה 2, טנזור איינשטיין הוא בעל 10 רכיבים בלתי-תלויים במרחב-זמן 4 ממדי. מכאן עולה שמשוואת השדה של איינשטיין היא בעצם סט של 10 משוואות דיפרנציאליות חלקיות קוואזי-ליניאריות מסדר שני. ניתן לבטא את זהות ביאנקי באמצעות טנזור איינשטיין: ∇ μ G μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }G^{\mu \nu }=0} כאשר ∇ μ {\displaystyle \nabla _{\mu }} מציינת נגזרת קו-ואריאנטית. זהות ביאנקי מבטיחה באופן אוטומטי את שימור טנזור המאמץ-אנרגיה. ∇ μ T μ ν = 0 {\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0} החשיבות הגאומטרית של טנזור איינשטיין מודגשות באמצעות זהות זו. במערכת קואורדינטות ביחס לתנאי הכיול הבא Γ μ ν ρ G μ ν = 0 {\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\rho }G^{\mu \nu }=0} ניתן לרשום חוקי שימור מדויקים עבור טנזור המאמץ: ∂ μ ( g T μ ν ) = 0 {\displaystyle \partial _{\mu }({\sqrt {g}}T^{\mu \nu })=0} . תפקידו של טנזור איינשטיין הוא להבחין בין מערכות אלה. את צורתו טנזור איינשטיין ניתן להסיק מעקרון הפעולה של המילטון (עקרון ואריציוני) בהינתן הפעולה הבאה, הידועה כפעולת הילברט:   S = ∫ d 4 x R − det g {\displaystyle \ S=\int {d^{4}xR{\sqrt {-\det g}}}} Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994). Gravitation and Spacetime (Second ed.). W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96501-5. Martin, John Legat (1995). General Relativity: A First Course for Physicists. Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-291196-5. טנזור איינשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)