מצב (אנליזה פונקציונלית)

באנליזה פונקציונלית (ובמיוחד באנליזה ספקטרלית) מצב הוא פונקציונל ליניארי חיובי המוגדר על אלגברת סי כוכב עם יחידה I ומקיים כי ρ ( I ) = 1 {\displaystyle \rho (I)=1} . השם מצב נובע מהעובדה שבהינתן תיאור של מערכת קוואנטית באמצעות אלגברת סי כוכב, כל מצב פיזיקלי שבו המערכת יכולה להימצא מתואר על ידי פונקציונל כזה עד כדי נורמליזציה. בהינתן אלגברת סי כוכב U {\displaystyle {\mathcal {U}}} , אופרטור A יקרא חיובי אם σ ( A ) ⊂ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \sigma (A)\subset [0,\infty )} (כאשר σ ( A ) {\displaystyle \sigma (A)} הוא הספקטרום של A. בהתאם, פונקציונל ליניארי ρ {\displaystyle \rho } יקרא חיובי אם הוא מקיים כי ρ ( A ) ≥ 0 {\displaystyle \rho (A)\geq 0} לכל A חיובי. אם בנוסף הפונקציונל מקיים כי ρ ( I ) = 1 {\displaystyle \rho (I)=1} נאמר כי הפונקציונל הנ"ל הוא מצב. את קבוצת המצבים נהוג לסמן S ( U ) {\displaystyle S({\mathcal {U}})} מצב המקיים בנוסף כי הוא אינו צירוף קמור של זוג מצבים אחרים יקרא מצב טהור, קל להראות כי הגדרה זו שקולה לטענה כי אם 0 ≤ ρ 0 ≤ ρ {\displaystyle 0\leq \rho _{0}\leq \rho } עבור מצב כלשהו ρ {\displaystyle \rho } , אזי ρ = λ ρ 0 {\displaystyle \rho =\lambda \rho _{0}} עבור סקלר כלשהו λ {\displaystyle \lambda } . את קבוצת המצבים הטהורים נהוג לסמן P ( U ) {\displaystyle P({\mathcal {U}})} . נשים לב כי בהינתן שני מצבים ρ 1 , ρ 2 {\displaystyle \rho _{1},\rho _{2}} קל לראות כי הפונקציה a ρ 1 + ( 1 − a ) ρ 2 {\displaystyle a\rho _{1}+(1-a)\rho _{2}} כאשר a ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle a\in [0,1]} מגדירה פונקציונל ליניארי. כמו כן מתקיים ( a ρ 1 + ( 1 − a ) ρ 2 ) I = a ρ 1 ( I ) + ( 1 − a ) ρ 2 ( I ) = a + ( 1 − a ) = 1 {\displaystyle (a\rho _{1}+(1-a)\rho _{2})I=a\rho _{1}(I)+(1-a)\rho _{2}(I)=a+(1-a)=1} לכן קבוצת המצבים היא קבוצה קמורה. מהגדרת המצב הטהור נובע באופן מידי שקבוצת המצבים הטהורים היא בדיוק קבוצת נקודות הקיצון של קבוצת המצבים, כלומר E x t [ S ( U ) ] = P ( U ) {\displaystyle Ext[S({\mathcal {U}})]=P({\mathcal {U}})} . כמו כן, נובע ישירות מהגדרת המצב ומההגדרה של הטופולוגיה החלשה כוכב כי S ( U ) {\displaystyle S({\mathcal {U}})} סגורה בטופולוגיה זאת ולכן נובע ממשפט קריין-מילמן כי S ( U ) = C l w ⋆ ( P ( U ) ) {\displaystyle S({\mathcal {U}})=Cl_{w^{\star }}(P({\mathcal {U}}))} . הקשר בין מצבים לבין הספקטרום של אופרטור נתון על ידי הטענה הבאה. טענה: בהינתן אופרטור A על אלברת סי כוכב U {\displaystyle {\mathcal {U}}} ובהינתן λ ∈ σ ( A ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (A)} קיים מצב ρ ∈ P ( U ) {\displaystyle \rho \in P({\mathcal {U}})} המקיים ρ ( A ) = λ {\displaystyle \rho (A)=\lambda } . סקיצת הוכחה: נתבונן בתת-המרחב U 0 = { a A + b I | a , b ∈ C } {\displaystyle {\mathcal {U}}_{0}=\{aA+bI|a,b\in \mathbb {C} \}} . נגדיר עליו את האופרטור ρ 0 ( a A + b I ) = λ a + b {\displaystyle \rho _{0}(aA+bI)=\lambda a+b} , מאוד קל לראות כי ρ ∈ S ( U ) {\displaystyle \rho \in S({\mathcal {U}})} ולכן ניתן להרחיב אותו באמצעות משפט האן-בנך לפונקציונל ρ ∈ U # {\displaystyle \rho \in {\mathcal {U}}^{\#}} באופן משמר נורמה. קל לראות כי ρ {\displaystyle \rho } הוא המצב הדרוש. ידוע כי באלגברת סי כוכב איבר הוא צמוד לעצמו אם ורק אם הספקטרום שלו ממשי, כמו כן, איבר הוא אוניטרי אם ורק אם הספקטרום שלו מוכל במעגל היחידה. על ידי המשפט לעיל ניתן לראות שבאופן שקול איבר הוא צמוד לעצמו אם ורק אם הוא מקבל ערך ממשי על כל פונקציונל, וכי היא אוניטרי אם ורק אם הוא מקבל על כל פונקציונל ערך על מעגל היחידה. למעשה קיימת שקילות מוחלטת בין הספקטרום לערכים על פונקציונלים וכל תכונה נוספת שאפשר להגדיר בעזרת הראשון (כמו חיוביות, או אפסיות) ניתן להגדיר גם באמצעות השני. את המשפט הנ"ל ניתן להפריט למצבים טהורים ולקבל את אותה השקילות דרך העובדה שכל מצב הוא צירוף קמור של מצבים טהורים. פונקציונל אלגברת סי כוכב ספקטרום של אופרטור משפט קריין-מילמן משפט האן-בנך בניית GNS מצב, באתר MathWorld (באנגלית)