עקום אליפטי

במתמטיקה, ובמיוחד בגאומטריה אלגברית ותורת המספרים, עקום אליפטי הוא עקום אלגברי פרויקטיבי חלק מגנוס 1. עקומים אליפטיים הם העקומים הפשוטים ביותר שאינם רציונלים. כמו כן, הם היריעות אבליות הפשוטות ביותר. עקומים אליפטים הם אובייקט מחקר מרכזי במתמטיקה מודרנית ונמצאו להם שימושים רבים בתחומים רבים של המתמטיקה ומדעי המחשב. את שמם, קיבלו העקומים האליפטים מן הקשר שלהם לחישוב אורך הקשת של אליפסות, הכרוך בחישוב אינטגרל אליפטי. כל העקומים האליפטים הם מישוריים, כלומר ניתנים לשיכון במישור הפרויקטיבי. אם המאפיין של שדה הבסיס K {\displaystyle K} אינו 2 או 3, כל עקום אליפטי מעל K {\displaystyle K} איזומורפי לאוסף הנקודות במישור הפרויקטיבי המקיימות משוואה מעוקבת מהצורה: y 2 z = x 3 − p ⋅ x z 2 − q ⋅ z 3 {\displaystyle y_{}^{2}z=x^{3}-p\cdot xz^{2}-q\cdot z^{3}} כאשר p {\displaystyle p} ו- q {\displaystyle q} הם איברים של K {\displaystyle K} . הצגה זו נקראת צורת ויירשטראס של העקום. אם המאפיין הוא 2 או 3, הצורה הכללית קצת שונה. בעזרת צורת ויירשטראס, ניתן להגדיר מבנה של חבורה על אוסף הנקודות של עקום אליפטי. הכפל מאופיין על ידי התכונות הבאות: הנקודה [0:1:0] היא האיבר האדיש. אם ℓ {\displaystyle \ell } ישר פרויקטיבי שחותך את העקום בנקודות P,Q,R אז מתקיים P+Q+R=0. בתנאי השני, את הנקודות צריך לספור לפי כפליות החיתוך: לדוגמה, אם ℓ {\displaystyle \ell } משיק לעקום בנקודה P וחותך אותו בנקודה נוספת Q, הדרישה היא 2P+Q=0. תחת פעולת כפל זו העקום הוא יריעה אבלית. אם השדה K {\displaystyle K} הוא שדה המספרים המרוכבים, אז לכל עקום אליפטי מעל K יש פרמטריזציה על ידי פונקציה אליפטית מסוימת והנגזרת שלה. באופן מפורש, לכל עקום אליפטי E {\displaystyle E} קיים שריג L {\displaystyle L} עם פונקציית ויירשטראס אליפטית תואמת ℘ {\displaystyle \wp } , כך שההעתקה φ : C / L → E {\displaystyle \varphi :\mathbf {C} /L\rightarrow E} המוגדרת על ידי φ ( z ) = [ 1 : ℘ ( z ) : ℘ ′ ( z ) ] {\displaystyle \varphi (z)=[1:\wp (z):\wp '(z)]} היא איזומורפיזם של חבורות ושל משטחי רימן. בפרט, E {\displaystyle E} הומיאומורפי לטורוס (כיוון שהקבוצה C / L {\displaystyle \mathbf {C} /L} היא טורוס). בכוון ההפוך, אם L {\displaystyle L} שריג עם פונקציית ויירשטראס ℘ {\displaystyle \wp } , אז התמונה של φ {\displaystyle \varphi } היא עקום אליפטי. שני עקומים אליפטיים הם איזומורפיים אם ורק אם השריגים המתאימים להם הומוטתיים. מחלקות איזומורפיזם של עקומים אליפטיים מתוארות על ידי קבוע j של עקומים אליפטיים. אם E {\displaystyle E} עקום אליפטי שמוגדר מעל שדה סופי F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} , האוסף E ( F q ) {\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})} של הפתרונות מעל השדה F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} הוא קבוצה סופית. משפט האסה (Hasse) על עקומים אליפטיים אומר כי | ♯ E ( F q ) − q − 1 | < 2 q {\displaystyle \left|\sharp E(\mathbb {F} _{q})-q-1\right|<2{\sqrt {q}}} בהוכחת המשפט משתמשים בהעתקת הפרובניוס של השדה F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} . מציאת המספר המדויק של הנקודות הרציונליות של עקום אליפטי מעל שדה סופי היא באופן כללי בעיה קשה לחישוב. עקומים אליפטיים מעל שדות סופיים נמצאים בשימוש בכמה יישומים קריפטוגרפיים, וכן לצורך פירוק לגורמים של מספרים שלמים. משפט מורדל-וייל קובע כי אם השדה K {\displaystyle K} הוא השדה של המספרים הרציונליים (או באופן כללי יותר - שדה מספרים, כלומר הרחבה אלגברית סופית של שדה הרציונלים), אז החבורה של הנקודות ה- K {\displaystyle K} -רציונליות היא נוצרת סופית. לא ידוע אלגוריתם כללי לחישוב דרגת החבורה האבלית הזו. עם זאת, נוסחה לחישוב הדרגה נתונה על ידי השערת בירץ' וסווינרטון-דייר. ההוכחה של המשפט האחרון של פרמה כוללת הוכחה של מקרה פרטי של משפט טניאמה-שימורה (הידוע יותר כ"השערת טניאמה-שימורה"), הקושר עקומים אליפטיים מעל המספרים הרציונליים לבין תבניות מודולריות. עקומים אליפטיים אופייניים מעל השדה של המספרים הממשיים נתונים על ידי המשוואות y 2 = x 3 − x {\displaystyle y_{}^{2}=x^{3}-x} ו- y 2 = x 3 − x + 1 {\displaystyle y_{}^{2}=x^{3}-x+1} . עקומים אליפטיים ניתנים להגדרה מעל כל שדה K {\displaystyle K} ; ההגדרה הפורמלית של עקום אליפטי הוא: עקום אלגברי פרויקטיבי, לא סינגולרי, מעל K {\displaystyle K} מגנוס 1, עם נקודה קבועה המוגדרת מעל K {\displaystyle K} . בפרט, עקום אליפטי מעל שדה המספרים המרוכבים הוא משטח רימן קומפקטי. אם המאפיין של K {\displaystyle K} אינו 2 או 3, הרי שכל עקום אליפטי מעל K {\displaystyle K} אפשר להביא (על ידי העתקה רציונלית) לצורה הבאה: y 2 = x 3 − p ⋅ x − q {\displaystyle y_{}^{2}=x^{3}-p\cdot x-q} כאשר p {\displaystyle p} ו- q {\displaystyle q} הם איברים של K {\displaystyle K} , כך שלחלק הימני של המשוואה הזו אין אף שורש כפול. אם המאפיין הוא 2 או 3, הצורה הכללית קצת שונה. לרוב לוקחים את העקום להיות קבוצת כל הנקודות ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} אשר מקיימות את המשוואה לעיל, וכך שגם x {\displaystyle x} וגם y {\displaystyle y} הם איברים בסגור האלגברי של K {\displaystyle K} . נקודה של העקום אשר שתי הקואורדינטות שלה שייכות ל- K {\displaystyle K} נקראת נקודה K {\displaystyle K} -רציונלית. על ידי הוספת נקודה "באינסוף", אנו משיגים את הגרסה הפרויקטיבית של עקום זה. אם P {\displaystyle P} ו- Q {\displaystyle Q} הן שתי נקודות על העקום, הרי שקיימת נקודה שלישית אחת ויחידה אשר מהווה את החיתוך בין העקום לבין הקו הישר העובר בין P {\displaystyle P} ל- Q {\displaystyle Q} . אם הקו הישר משיק לעקום בנקודה כלשהי, הרי שנקודה זו נספרת פעמיים, ואם הקו הישר מקביל לציר ה- y {\displaystyle y} , אנו מגדירים את הנקודה השלישית "באינסוף". בדיוק אחד מן המצבים הללו מתקיים לכל זוג של נקודות על עקום אליפטי. ניתן להגדיר פעולה בינארית על העקום, שתסומן ב" + {\displaystyle +} ", עם התכונות הבאות: אנו מתייחסים לנקודת האינסוף כאפס, כלומר כאיבר הזהות של הקבוצה; אם קו ישר חוצה את העקום ב-3 נקודות P {\displaystyle P} , Q {\displaystyle Q} ו- R {\displaystyle R} , אנו נדרוש כי יתקיים P + Q + R = 0 {\displaystyle P+Q+R=0} . ניתן לבדוק כי הגדרה זו הופכת את העקום לחבורה אבלית, ובכך גם ליריעה אבלית. כמו כן, ניתן להראות שקבוצת הנקודות ה- K {\displaystyle K} -רציונליות, כולל נקודת האינסוף, יוצרים תת חבורה של חבורה זו. אם נסמן את העקום ב- E {\displaystyle E} , הרי שנוהגים לרשום את העקום כ- E ( K ) {\displaystyle E(K)} . את החבורה הזו ניתן לתאר הן בצורה אלגברית והן בצורה גאומטרית. בהינתן העקום y 2 = x 3 − p ⋅ x − q {\displaystyle y_{}^{2}=x^{3}-p\cdot x-q} מעל השדה K {\displaystyle K} (אשר המאפיין שלו שונה מ-2 ו-3), ונקודות P = ( x P , y P ) {\displaystyle P=\left(x_{P},y_{P}\right)} ו- Q = ( x Q , y Q ) {\displaystyle Q=\left(x_{Q},y_{Q}\right)} על העקום, נניח תחילה כי x P ≠ x Q {\displaystyle x_{P}\neq x_{Q}} . יהי s = y Q − y P x Q − x P {\displaystyle s={\frac {y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}}} . כיוון ש- K {\displaystyle K} שדה, s {\displaystyle s} מוגדר היטב. לכן נוכל להגדיר R = P + Q = ( x R , y R ) {\displaystyle R=P+Q=\left(x_{R},y_{R}\right)} על ידי: x R = s 2 − x P − x Q {\displaystyle x_{R}^{}=s^{2}-x_{P}-x_{Q}} y R = − y P + s ( x P − x R ) {\displaystyle y_{R}^{}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})} אם מתקיים x P = x Q {\displaystyle x_{P}^{}=x_{Q}} , הרי שיש שתי אפשרויות: אם y P = − y Q {\displaystyle y_{P}^{}=-y_{Q}} , אז הסכום מוגדר להיות 0. לכן, ההופכי של כל נקודה על העקום הוא הנקודה הסימטרית מעבר לציר ה-x. אם y P = y Q ≠ 0 {\displaystyle y_{P}^{}=y_{Q}\neq 0} , אז R = P + P = 2 ⋅ P = ( x R , y R ) {\displaystyle R=P+P=2\cdot P=(x_{R},y_{R})} נתון על ידי: s = ( 3 x P 2 − p ) / ( 2 y P ) {\displaystyle s={(3{x_{P}}^{2}-p)}/{(2y_{P})}} x R = s 2 − 2 x P {\displaystyle x_{R}=s_{}^{2}-2x_{P}} y R = − y P + s ( x P − x R ) {\displaystyle y_{R}^{}=-y_{P}+s(x_{P}-x_{R})} אם y P = y Q = 0 {\displaystyle y_{P}^{}=y_{Q}=0} , אז P + P = 0 {\displaystyle P_{}^{}+P=0} . הצפנה מבוססת עקומים אליפטיים קורס על עקומים אליפטיים עם מבוא על הנושא עקום אליפטי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) עקום אליפטי, באתר MathWorld (באנגלית) כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה. לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה". כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה".