חסם פלוטקין

חסם פלוטקין הוא חסם על גודלו של קוד בינארי מאורך   n {\displaystyle \ n} ומרחק קוד   d {\displaystyle \ d} המקיים   2 d > n {\displaystyle \ 2d>n} . חסם זה נקרא על שם מוריס פלוטקין. במקרים בהם 2 d > n {\displaystyle 2d>n} , חסם זה לרוב הדוק יותר מחסם המינג הרגיל. יהי   C {\displaystyle \ C} קוד מאורך   n {\displaystyle \ n} ובעל מרחק קוד   d {\displaystyle \ d} . מספר המילים M בקוד   C {\displaystyle \ C} מקיים: M ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle M\leq 2\left\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\right\rfloor } כאשר ⌊   ⌋ {\displaystyle \left\lfloor ~\right\rfloor } היא פונקציית הערך השלם. נסמן ב-   d ( x , y ) {\displaystyle \ d(x,y)} את מרחק המינג בין המילים   x , y {\displaystyle \ x,y} . (כלומר, מספר המקומות בהם שונות שתי המילים) הוכחת החסם מתבססת על הערכת הסכום ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)} בשתי דרכים שונות: מצד אחד, יש M {\displaystyle M} אפשרויות בחירה עבור המילה   x {\displaystyle \ x} , ו-   M − 1 {\displaystyle \ M-1} אפשרויות בחירה עבור המילה   y {\displaystyle \ y} . לכן, קיימים   M ( M − 1 ) {\displaystyle \ M(M-1)} צמדי מילים. מאחר שהמרחק בין כל שתי מילות קוד הוא   d {\displaystyle \ d} לפחות, נסיק: ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) ≥ M ( M − 1 ) d {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)\geq M(M-1)d} מצד שני, נתבונן במטריצה   A {\displaystyle \ A} מגודל   M × n {\displaystyle \ M\times n} אשר שורותיה הן כל מילות הקוד של   C {\displaystyle \ C} . נסמן ב- s i {\displaystyle s_{i}} את מספר האפסים בעמודה ה-i של   A {\displaystyle \ A} . עמודה זו מכילה, אם כן,   M − s i {\displaystyle \ M-s_{i}} אחדים. כל בחירה של 0 ושל 1 בעמודה זו תורמת 2 לסכום המרחקים הכולל. לכן: ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) = ∑ i = 1 n 2 s i ( M − s i ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)=\sum _{i=1}^{n}2s_{i}(M-s_{i})} נחלק את המשך ההוכחה לשני מקרים: במקרה זה, ערכו המקסימלי של כל איבר בסכום מימין מתקבל עבור s i = M / 2 {\displaystyle s_{i}=M/2} , ולכן: ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) ≤ ∑ i = 1 n 2 M 2 ( M − M 2 ) = 1 2 n M 2 {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)\leq \sum _{i=1}^{n}2{\frac {M}{2}}(M-{\frac {M}{2}})={\frac {1}{2}}nM^{2}} לכן, משילוב החסמים התחתון והעליון, נקבל: M ( M − 1 ) d ≤ 1 2 n M 2 {\displaystyle M(M-1)d\leq {\frac {1}{2}}nM^{2}} ושוויון זה שקול לאי השוויון: M ≤ 2 d 2 d − n {\displaystyle M\leq {\frac {2d}{2d-n}}} ומאחר ש-M זוגי, נוכל להסיק: M ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle M\leq 2\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\rfloor } במקרה זה לעומת זאת, מקבל הסכום: ∑ i = 1 n 2 s i ( M − s i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}2s_{i}(M-s_{i})} אשר ערכו מקסימלי כאשר s i = M ± 1 2 {\displaystyle s_{i}={\frac {M\pm 1}{2}}} לכל   i {\displaystyle \ i} , ולכן: ∑ x , y ∈ C d ( x , y ) ≤ 1 2 n ( M 2 − 1 ) {\displaystyle \sum _{x,y\in C}d(x,y)\leq {\frac {1}{2}}n(M^{2}-1)} ושנית, באמצעות שילוב אי השוויונים מתקבל: M ( M − 1 ) d ≤ 1 2 n ( M 2 − 1 ) = 1 2 n ( M − 1 ) ( M + 1 ) {\displaystyle M(M-1)d\leq {\frac {1}{2}}n(M^{2}-1)={\frac {1}{2}}n(M-1)(M+1)} ומבידוד M, נקבל: M ≤ n 2 d − n = 2 d 2 d − n − 1 {\displaystyle M\leq {\frac {n}{2d-n}}={\frac {2d}{2d-n}}-1} ומאחר ש-M מספר שלם: M ≤ ⌊ 2 d 2 d − n − 1 ⌋ = ⌊ 2 d 2 d − n ⌋ − 1 ≤ 2 ⌊ d 2 d − n ⌋ {\displaystyle M\leq \lfloor {\frac {2d}{2d-n}}-1\rfloor =\lfloor {\frac {2d}{2d-n}}\rfloor -1\leq 2\lfloor {\frac {d}{2d-n}}\rfloor } בשני המקרים, קיבלנו את טענת החסם. חסם סינגלטון חסם האמינג