אי-שוויון קולמוגורוב

בתורת ההסתברות, אי-שוויון קולמוגורוב או אי-שוויון המקסימום של קולמוגורוב מתאר חסם הסתברותי למאורע שהמקסימום של סדרת הסכומים החלקיים של סדרה סופית של משתנים מקריים בלתי-תלויים גדול מערך קבוע כלשהו. האי-שוויון קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב. יהיו X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}} משתנים מקריים בלתי תלויים, שתוחלת כולם היא אפס ושונות כולם סופית. נסמן S k = X 1 + ⋯ + X k {\displaystyle S_{k}=X_{1}+\dots +X_{k}} לכל k = 1 , … n {\displaystyle k=1,\dots n} . אזי לכל λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} מתקיים, P ( max 1 ≤ k ≤ n | S k | ≥ λ ) ≤ 1 λ 2 ⋅ V a r ( S n ) = 1 λ 2 ⋅ ∑ k = 1 n V a r ( X k ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(\max _{1\leq k\leq n}\left|S_{k}\right|\geq \lambda \right)\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\cdot \mathbf {Var} \left(S_{n}\right)={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\cdot \sum _{k=1}^{n}\mathbf {Var} \left(X_{k}\right)} ניתן להראות כי הסדרה S 1 , S 2 , . . . , S n {\displaystyle S_{1},S_{2},...,S_{n}} היא מרטינגל. נניח ללא הגבלת הכלליות כי S 0 = 0 {\displaystyle S_{0}=0} וכי S k ≥ 0 {\displaystyle S_{k}\geq 0} לכל k = 1 , … , n {\displaystyle k=1,\dots ,n} . נגדיר בצורה אינדוקטיבית Z 0 = 0 {\displaystyle Z_{0}=0} , וכן Z k + 1 = { S k + 1 max 1 ≤ j ≤ k S j < λ Z k otherwise {\displaystyle Z_{k+1}={\begin{cases}{\begin{array}{cc}S_{k+1}&\max _{1\leq j\leq k}S_{j}<\lambda \\Z_{k}&{\mbox{otherwise}}\end{array}}\end{cases}}} ניתן להראות כי הסדרה ( Z k ) k = 0 n {\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k=0}^{n}} גם היא מרטינגל. נשים לב שמתקיים, ∑ k = 1 n E [ ( S k − S k − 1 ) 2 ] = ∑ k = 1 n E [ S k 2 − 2 S k S k − 1 + S k − 1 2 ] = ∑ k = 1 n E [ S k 2 − 2 ( S k − 1 + S k − S k − 1 ) S k − 1 + S k − 1 2 ] = ∑ k = 1 n E [ S k 2 − S k − 1 2 ] − 2 E [ S k − 1 ( S k − S k − 1 ) ] = E [ S n 2 ] − E [ S 0 2 ] = E [ S n 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {E} [(S_{k}-S_{k-1})^{2}]&=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {E} [S_{k}^{2}-2S_{k}S_{k-1}+S_{k-1}^{2}]\\&=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[S_{k}^{2}-2(S_{k-1}+S_{k}-S_{k-1})S_{k-1}+S_{k-1}^{2}\right]\\&=\sum _{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[S_{k}^{2}-S_{k-1}^{2}\right]-2\mathbf {E} \left[S_{k-1}(S_{k}-S_{k-1})\right]\\&=\mathbf {E} [S_{n}^{2}]-\mathbf {E} [S_{0}^{2}]=\mathbf {E} [S_{n}^{2}].\end{aligned}}} ניתן לראות כי אותו הדבר נכון עבור הסדרה ( Z k ) k = 0 n {\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k=0}^{n}} . לכן נובע על ידי אי-שוויון צ'בישב כי, P ( max 1 ≤ k ≤ n S k ≥ λ ) = P ( Z n ≥ λ ) ≤ 1 λ 2 E [ Z n 2 ] = 1 λ 2 ∑ k = 1 n E [ ( Z k − Z k − 1 ) 2 ] ≤ 1 λ 2 ∑ k = 1 n E [ ( S k − S k − 1 ) 2 ] = 1 λ 2 E [ S n 2 ] = 1 λ 2 V a r ( S n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\max _{1\leq k\leq n}S_{k}\geq \lambda \right)&=\mathbb {P} \left(Z_{n}\geq \lambda \right)\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {E} \left[Z_{n}^{2}\right]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[(Z_{k}-Z_{k-1})^{2}\right]\\&\leq {\frac {1}{\lambda ^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {E} \left[(S_{k}-S_{k-1})^{2}\right]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {E} \left[S_{n}^{2}\right]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\mathbf {Var} \left(S_{n}\right)\end{aligned}}} נתבונן בהילוך מקרי פשוט על Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , בו כל צעד הוא משתנה מקרי X k {\displaystyle X_{k}} בעל התפלגות אחידה בדידה P ( X k = 1 ) = P ( X k = − 1 ) = 1 2 {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{k}=1\right)=\mathbb {P} \left(X_{k}=-1\right)={\frac {1}{2}}} . לכן השונות של כל צעד היא 1 {\displaystyle 1} . בצעד ה- n {\displaystyle n} , מיקומו של ההילוך הוא S n = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S_{n}=X_{1}+\dots +X_{n}} . לפיכך מאי-שוויון קולמוגורוב ניתן להסיק כי אם אנחנו בצעד ה- n {\displaystyle n} , ההסתברות שהמיקום הרחוק ביותר אליו הגיע ההילוך הוא 1 2 n {\displaystyle {\frac {1}{2n}}} , היא לכל היותר 1 4 n 2 ∑ k = 1 n V a r ( X k ) = 1 4 n 2 ⋅ n = 1 4 n {\displaystyle {\frac {1}{4n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {Var} \left(X_{k}\right)={\frac {1}{4n^{2}}}\cdot n={\frac {1}{4n}}} * Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4) Feller, William (1968) [1950]. An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1 (Third ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. xviii+509. ISBN 0-471-25708-7.