שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה Q [ ζ n ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{n}]} , כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית. ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר U n {\displaystyle U_{n}} . בפרט, ממד ההרחבה הוא ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} , כאשר ϕ {\displaystyle \phi } היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של ζ n {\displaystyle \zeta _{n}} הוא הפולינום הציקלוטומי Φ n {\displaystyle \Phi _{n}} . כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם Q [ ζ 1 ] = Q [ ζ 2 ] = Q Q [ ζ 3 ] = Q [ ζ 6 ] = Q [ − 3 ] Q [ ζ 4 ] = Q [ − 1 ] Q [ ζ 5 ] = Q [ − 5 − 5 2 ] Q [ ζ 8 ] = Q [ − 1 , 2 ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} [\zeta _{1}]=\mathbb {Q} [\zeta _{2}]=\mathbb {Q} \\\mathbb {Q} [\zeta _{3}]=\mathbb {Q} [\zeta _{6}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-3}}]\\\mathbb {Q} [\zeta _{4}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}}]\\\mathbb {Q} [\zeta _{5}]=\mathbb {Q} \left[{\sqrt {\frac {-5-{\sqrt {5}}}{2}}}\right]\\\mathbb {Q} [\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}}]\end{aligned}}} מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם m , n {\displaystyle m,n} זרים, אז Q [ ζ m n ] = Q [ ζ n , ζ m ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{mn}]=\mathbb {Q} [\zeta _{n},\zeta _{m}]} . למשל Q [ ζ 24 ] = Q [ ζ 3 , ζ 8 ] = Q [ − 1 , 2 , 3 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{24}]=\mathbb {Q} [\zeta _{3},\zeta _{8}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]} . את המצולע המשוכלל בעל n {\displaystyle n} צלעות אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי Q [ ζ n ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{n}]} מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} הוא חזקה של שתיים; דבר זה קורה אם ורק אם n {\displaystyle n} הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, cos ⁡ ( 2 π 17 ) = 17 − 1 2 + 17 − 17 2 + ( 3 + 17 ) ( 17 − 17 − 17 2 ) 8 {\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {{\dfrac {{\sqrt {17}}-1}{2}}+{\sqrt {\dfrac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}+{\sqrt {(3+{\sqrt {17}})\left({\sqrt {17}}-{\sqrt {\dfrac {17-{\sqrt {17}}}{2}}}\right)}}}{8}}} כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני p {\displaystyle p} , שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי Z [ ζ p ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}]} . הדיסקרימיננטה של ההרחבה Q [ ζ p ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q} } היא ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 p p − 2 {\displaystyle (-1)^{(p-1)/2}p^{p-2}} , ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של p ∗ = ( − 1 ) ( p − 1 ) / 2 p {\displaystyle p^{*}=(-1)^{(p-1)/2}p} (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- 5 ∈ Q [ ζ 5 ] {\displaystyle {\sqrt {5}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{5}]} , ובדומה לזה − 7 ∈ Q [ ζ 7 ] {\displaystyle {\sqrt {-7}}\in \mathbb {Q} [\zeta _{7}]} ). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K {\displaystyle K} של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי Q [ ζ m ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{m}]} . הסדר m {\displaystyle m} המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K. מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה Q [ ζ p ] / Q {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{p}]/\mathbb {Q} } הוא p {\displaystyle p} ; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: ⟨ p ⟩ = ⟨ 1 − ζ p ⟩ p − 1 {\displaystyle \langle p\rangle =\langle 1-\zeta _{p}\rangle ^{p-1}} . גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009 שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)