משפט בל

בפיזיקה, משפט בל, ולחלופין אי שוויונות בל הוא שם כללי לאילוצים על תיאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים. אי-השוויונות מתארים את האילוצים על מערכות המקיימות את עקרון המקומיות: פעולה על מערכת פיזיקאלית הנמצאת במקום אחד לא משפיעה באופן מידי על מערכת מרוחקת, ההשפעה יכולה להגיע רק בעתיד-למשל אחרי פרק הזמן שייקח לאור להגיע מהנקודה הראשונה לשנייה. הנחה נוספת היא שתכונות פיזיקאליות שהן ברות מדידה מוגדרות גם אם אינן ידועות. (זה המצב למשל במכניקה קלאסית: לחלקיק נקודתי יש מקום ותנע ברגע נתון גם אם אינם ידועים). המשפט גם מניח שלנסיונאי יש את חופש הבחירה לבחור אילו גדלים ימדוד. ניתן לראות את משפט בל כמקרה פרטי של משפט בל-קוצן-ספקר (אנ'). המשפט ואי-השויונות נקראים על שמו של ג'ון סטיוארט בל שהופיעו לראשונה במאמרו בשנת 1964. בשנת 2022 הוענק פרס נובל לפיזיקה לג'ון קלאוזר, אלן אספה, ואנטון זיילינגר על ניסויים בלתי תלויים שהוכיחו הפרה של אי-שוויונות בל במערכות קוונטיות עם פוטונים שזורים. במדעי המחשב, אי שויונות בל משמשים לוידוא יכולות הצפנה ומחשוב קוונטים. כותרת המאמר של ג'ון סטיוארט בל ב-1964 היא: "על הפרדוקס של איינשטיין פודולסקי ורוזן". ה"פרדוקס" הוצג במאמר ב-1935 שכותרתו מעלה את השאלה: "האם ניתן לקבל את תיאור המציאות במכניקת הקוונטים כתיאור שלם?" במאמר מוצג ניסוי מחשבתי מהפכני עם שני חלקיקים קוונטים שזורים (שמשמש היום כמשאב בסיסי של טכנולוגיות קוונטיות): כאשר שני חלקיקים נמצאים במצב שזירות ידוע, מדידת המקום של חלקיק A מאפשרת לדעת בדיוק את המקום של חלקיק B. המחברים הגדירו "אלמנט של מציאות פיזיקאלית" תופעה שניתן לחזות אותה, מבלי שתהליך המדידה יתערב ויפריע לתופעה. מהגדרה זו נובע שמקום החלקיק השזור B הוא אלמנט של מציאות. באופן דומה, מדידת התנע של חלקיק A מאפשרת לדעת את התנע של חלקיק B, ולכן גם התנע הוא אלמנט של מציאות פיזקאלית, בניגוד (לכאורה) לעקרון אי הודאות של הייזנברג. ולכן, מכניקה קוונטית אינה נותנת תיאור מלא של המציאות. איינשטיין האמין שקיים תיאור שלם של המציאות. תיאור שלם של מכניקה קוונטית באמצעות משתנים חבויים ניתן בשנת 1952 הוצע על ידי דוד בוהם. התורה של משתנים חבויים היא תורה דטרמיניסטית (חורצנית), והאופי ההסתברותי של מכניקה קוונטית בא לידי ביטוי כאשר מתייחסים למשתנים החבויים כמשתנים אקראים קלאסים. בתיאור של בוהם, המשתנה החבוי הוא פונקציית הגל של שרדינגר שאינה מקומית. התרומה החשובה של בל לדיון הייתה התובנה שהשאלה המטה-פיזיקאלית במאמר של איינשטיין פודולסקי ורוזן, אם תיאור המציאות במכניקת הקוונטים שלם כמו גם התיאור של מכניקת הקוונטים בעזרת משתנים חבויים, ניתנות להכרעה נסיונית. בל הראה שלתיאוריה המקיימת את עקרון המקומיות והמציאות (local realism), יש מגבלות על פונקציות המתאם (קורלציות) של מדידות שנעשות במקומות שונים. מגבלות אלו מופרות במערכות קוונטיות עם חלקיקים שזורים. בשנת 1972 הראו פרידמן וקלאוזר, לראשונה באופן ניסויי, הפרה של אי שויון בל הידוע כ-CHSH, במערכת של פוטונים שזורים. בשנת 1982 פרסם אלן אספה מאמר ששיפר משמעותית את התוצאות של פרידמן וקלאוזר. בפרט, הניסוי של אספה סגר את הפרצה של האפשרות לזליגת מידע בין מקור הפוטונים השזורים לגלאים. בנוסף, טכניקת המדידה שופרה גם היא כך שהמובהקות של ההפרה גדלה מאד. בשנת 2022 קבלו השניים, יחד עם אנטון זיילינגר, את פרס נובל בפיזיקה על "ניסויים בפוטונים שזורים וביסוס ההפרה של אי-שויונות בל". בפיזיקה קלאסית, במכניקה של ניוטון, בתורת הנוזלים, בתורה האלקטרומגנטית, ובתורת הכבידה של איינשטיין (הידועה גם כיחסות כללית), בכולן קיומן וערכיהן של תכונות פיזיקאליות אינם מותנים במדידתם, התורות מקיימות את עקרון הממשיות. כמו כן, בכולן אין פעולה ממרחק: פעולה המתבצעת בנקודה מסוימת יכולה להשפיע מיידית רק על אובייקטים הנמצאים באותה בנקודה. ההשפעה על אובייקט מרוחק תקרה רק עם חלוף הזמן. התורות הקלאסיות לכן מכבדות את עקרון המקומיות. אי-שויונות בל הם אילוץ על תיאוריה שמקיימת את תנאי הממשיות והמקומיות. כיוון שמכניקה קוונטית מפרה את אי-שויונות בל, נובע שהיא אינה תורה שהיא גם מקומית וגם ממשית. משפט בל מראה את השוני המהותי בין מכניקה קוונטית והפיזיקה הקלאסית, ומכאן חשיבותו. פריצת הדרך של בל הייתה התובנה שהשאלות הפילוסופית לכאורה שהעלו איינשטיין פודולסקי ורוזן ניתנת להכרעה על ידי עימות בניסויים במעבדה. ואכן, הניסיונות של קלאוזר ואספה בהם נמדדה הפרה משמעותית של אי-שויון בל במערכת של פוטונים שזורים הראו שמכניקה קוונטית לא מכבדת את עקרונות הממשיות והמקומיות. אי שוויון בל חשוב הוא CHSH על שם מחבריו ג'ון קלאוזר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט. ההפרה של אי שיויון זה זיכתה את קלאוזר ואספה בפרס נובל. כדי לתאר את אי השויון נדון קודם במדידת הקיטוב של פוטון יחיד. מדידה קיטוב נותנת תוצאה אקראית בינארית: הפוטון מקוטב אופקית או אנכית (במישור המאונך למסלול). נסמן את (בחירת) הכיוון האופקי במישור באות A {\displaystyle A} , ואת המשתנה האקראי הבינארי שמתאים למדידת הקיטוב המתאימה ב a {\displaystyle a} . המשתנה האקראי מקבל את הערכים ± 1 {\displaystyle \pm 1} (עבור התוצאה אופקי ואנכי בהתאמה). במדידת המתאם בקיטוב של שני פוטונים, נקרא לפוטון האחד הפוטון של אליס ולפוטון השני הפוטון של בוב. אליס מודדת את הפוטון שלה באחד משני הכוונים A {\displaystyle A} או A ′ {\displaystyle A'} . בדומה, בוב מודד את הפוטון שלו באחד משני הכוונים B {\displaystyle B} או B ′ {\displaystyle B'} . כיוון שארבעת המשתנים הבינארים a , a ′ , b , b ′ {\displaystyle a,a',b,b'} מקבלים את הערכים ± 1 {\displaystyle \pm 1} מתקיימת הזהות a ( b + b ′ ) + a ′ ( b − b ′ ) = ± 2 {\displaystyle a(b+b')+a'(b-b')=\pm 2} את המשוואה הזו אי אפשר לעמת מול ניסוי כיוון שכל ניסוי מתייחס רק לאבר אחד מארבעת האיברים במשוואה. אבל, למשוואה הזו יש מובן בתיאוריה ריאליסטית שמניחה שגם קיטובים שלא נמדדו יש להם ערך. נסמן ב λ {\displaystyle \lambda } את המשתנים החבויים וב P ( λ ) {\displaystyle P(\lambda )} את פונקציית הפילוג שלהם. לכל λ {\displaystyle \lambda } מתקיים − 2 ≤ a ( λ ) b ( λ ) + a ( λ ) b ′ ( λ ) + a ′ ( λ ) b ( λ ) − a ′ ( λ ) b ′ ( λ ) ≤ 2 {\displaystyle -2\leq a(\lambda )b(\lambda )+a(\lambda )b'(\lambda )+a'(\lambda )b(\lambda )-a'(\lambda )b'(\lambda )\leq 2} ולכן − 2 ≤ ∫ d λ P ( λ ) ( a ( λ ) b ( λ ) + a ( λ ) b ′ ( λ ) + a ′ ( λ ) b ( λ ) − a ′ ( λ ) b ′ ( λ ) ) ≤ 2 {\displaystyle -2\leq \int d\lambda P(\lambda ){\Big (}a(\lambda )b(\lambda )+a(\lambda )b'(\lambda )+a'(\lambda )b(\lambda )-a'(\lambda )b'(\lambda ){\Big )}\leq 2} בתורת המשתנים החבויים ערך התוחלת, E ( a b ) {\displaystyle E(ab)} , של a b {\displaystyle ab} בניסיון A B {\displaystyle AB} נקבע בנוסחה E ( a b ) = ∫ d λ P ( λ ) a ( λ ) b ( λ ) {\displaystyle E(ab)=\int d\lambda P(\lambda )a(\lambda )b(\lambda )} . ערך זה הוא בר-מדידה בניסיון A B {\displaystyle AB} . נוסחאות דומות תקפות לשאר הניסיונות. את אי-השויון דלעיל ניתן לכן לכתיבה כאי שויון של תוחלות של ארבע ניסיונות שונים − 2 ≤ E ( a b ) + E ( a b ′ ) + E ( a ′ b ) − E ( a ′ b ′ ) ≤ 2 {\displaystyle -2\leq E(ab)+E(ab')+E(a'b)-E(a'b')\leq 2} זה אי-השויון של CHSH. אי-שויון שניתן להוכיח או להפריך אותו בניסוי. אי-השויון מופר במכניקה קוונטית עבורה מתקיים חסם צירלסון − 2 2 ≤ E ( a b ) + E ( a b ′ ) + E ( a ′ b ) − E ( a ′ b ′ ) ≤ 2 2 {\displaystyle -2{\sqrt {2}}\leq E(ab)+E(ab')+E(a'b)-E(a'b')\leq 2{\sqrt {2}}} את החסם ניתן לרוות על ידי בחירה מתאימה של הכיוונים A , A ′ , B , B ′ {\displaystyle A,A',B,B'} ואז מתקבלת הפרה מקסימלית של אי-שיויון בל. קלאוזר ופרידמן היו הראשונים שהראו בשנת 1972 הפרה של אי-שויון CHSH. המקור לזוג הפוטונים השזורים היו אטומי סידן מעורערים באמצעות מנורת קשת של מימן שפלטו זוג פוטונים שזורים באורכי גל 5513 ו-4227 אנגסטרום. הקצב האיטי של יצירת פוטונים שזורים גרם לכך שאיסוף מספיק נתונים כדי להראות הפרה מובהקת של אי השויון בשיעור של שש סטיות תקן, לקח כ-200 שעות. (להרחבה ראה). בשנים 1981–1982 ערך אלן אספה ניסויים עם מקורות בהירים יותר של פוטונים שזורים שנוצרו באמצעות ערור ליזר של אטומי הסידן. ניסיונות אלה הראו הפרה של אי שיויון בל בעשרות סטיות תקן. חשוב מכך, סגרו את פרצת המקומיות: אי-שויון בל מניח שאין העברת מידע על כיווני המדידה בין אליס לבוב. הדרך להבטיח שאין מעבר מידע היא לבחור את הכיוונים של מדידות אליס ובוב באופן אקראי ובלתי תלוי במהירות מספיק גבוהה שלא תתאפשר העברת מידע בין אליס לבוב על הכוונים שנבחרו. (המחמירים מונים הנחות סמויות נוספות כמו חופש הבחירה של אליס ובוב ואי-תלות של מדידות בזוגות פוטונים עוקבים). בתורת המחשוב הקוונטי משפט בל תוחם את היכולות של מחשוב עם עיבוד מידע קלאסי. הפרה של אי-שויונות בל מהווה עדות ליכולות עיבוד מידע קוונטי. ניתן להציג את היתרונות של מחשוב קוונטי כמשחק. משחק כזה הוא המשחק של GHZ, שנקרא על שם ממציאיו דניאל גרינברגר, מיקל הורן ואנטון ציילינגר. במשחק משתתפים שלושה שחקנים אליס, בוב וצ'רלי שאין ביניהם תקשורת בנהלך המשחק, אבל הם חולקים מצב שזור של שלושה קיוביטים: כל אחד מהשחקנים מחזיק בקיוביט אחד, ויש לו יכולת למדוד את הקיוביט שלו. שלושת השחקנים משחקים כקואליציה נגד שופט R עם תקשורת לכל אחד מחברי הקואליציה. R מציג שאלה לכל אחד משלושת חברי הקואליציה, והקואליציה זוכה אם התשובות מקיימות תנאים מתאימים. אליס אינה יודעת איזו שאלה נשאלו בוב וצ'רלי, וכו'. חוקי המשחק: R שואל כל אחד מחברי הקואליציה אחת משני סוגי שאלות-- שאלה X {\displaystyle X} או שאלה Y {\displaystyle Y} . תשובה חוקית לשאלה היא ± 1 {\displaystyle \pm 1} . השאלות נלקחות באופן אקראי ממאגר של ארבע שאלות: X X X {\displaystyle XXX} , X Y Y , Y X Y , Y Y X {\displaystyle XYY,YXY,YYX} . כלומר, או שכל חברי הקואליציה נשאלים אותה שאלה X {\displaystyle X} , או ששניים נשאלים את השאלה Y {\displaystyle Y} ואחד נשאל את השאלה X {\displaystyle X} . הקואליציה זוכה במשחקון אם מכפלת התשובות של A,B,C לשאלה מטיפוס X X X {\displaystyle XXX} היא + 1 {\displaystyle +1} ולשלוש השאלות האחרות הקואליציה מנצחת אם המכפלה היא − 1 {\displaystyle -1} .כיוון שהמשתתפים לא יודעים איזו שאלה נשאלו חבריהם לקואליציה, הם צריכים לגבש מראש אסטרטגיה שאינה מותנית בארבעת השאלות. אין אסטרטגיה קלאסית שמאפשרת לקואליציה לזכות בכל משחקון, כיוון שלא ניתן למלא את הטבלה בערכים ± 1 {\displaystyle \pm 1} . ממכפלת השורות נובע שמכפלת כל אברי הטבלה היא − 1 {\displaystyle -1} . מאידך ממכפלת העמודות נובע שמכפלת הערכים בטבלה היא + 1 {\displaystyle +1} . ( בכל עמודה מופיע X {\displaystyle X} פעמיים ומופיע Y {\displaystyle Y} פעמיים). קבלנו סתירה שמראה שלא ניתן למלא את הטבלה כפוף לאילוצי המשחק, ולכן אין אסטרטגיה קלאסית שתנצח בכל משחקון. אסטרטגיה שמאפשרת לנצח בהסתברות של 3/4 היא למשל שכל המשתתפים ישיבו − 1 {\displaystyle -1} לכל שאלה X {\displaystyle X} או Y {\displaystyle Y} . הקואליציה תפסיד בשאלה X X X {\displaystyle XXX} ותזכה בשלושת השאלות האחרות. זו אסטרטגיה מיטבית. אסטרטגיה קוונטית: מאידך, לשחקנים עם יכולות קוונטיות יש אסטרטגיה לזכות בכל משחקון (בהסתברות 1 {\displaystyle 1} ): התשובה, של כל אחד מהשחקנים, לשאלה X {\displaystyle X} היא התוצאה (הבינארית, אקראית) של מדידת מטריצת פאולי σ x {\displaystyle \sigma _{x}} על הקיוביט שלו, והתשובה לשאלה Y {\displaystyle Y} היא התוצאה (הבינארית, אקראית) של מדידת מטריצת פאולי σ y {\displaystyle \sigma _{y}} על הקיוביט שלו. ארבעת השאלות מיוצגות על ידי ארבע אופרטורים מתחלפים: σ x ⊗ σ x ⊗ σ x ,   σ x ⊗ σ y ⊗ σ y ,   σ y ⊗ σ x ⊗ σ y ,   σ y ⊗ σ y ⊗ σ x , {\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x},~\sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y},~\sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y},~\sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x},} המצב השזור | G H Z ⟩ = | 0 ⟩ A ⊗ | 0 ⟩ B ⊗ | 0 ⟩ C + | 1 ⟩ A ⊗ | 1 ⟩ B ⊗ | 1 ⟩ C {\displaystyle |GHZ\rangle =|0\rangle _{A}\otimes |0\rangle _{B}\otimes |0\rangle _{C}+|1\rangle _{A}\otimes |1\rangle _{B}\otimes |1\rangle _{C}} הוא מצב עצמי עם ערכים עצמיים: σ x ⊗ σ x ⊗ σ x | G H Z ⟩ = + | G H Z ⟩ {\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{x}|GHZ\rangle =+|GHZ\rangle } σ x ⊗ σ y ⊗ σ y | G H Z ⟩ = σ y ⊗ σ x ⊗ σ y | G H Z ⟩ = σ y ⊗ σ y ⊗ σ x | G H Z ⟩ = − | G H Z ⟩ {\displaystyle \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{y}|GHZ\rangle =\sigma _{y}\otimes \sigma _{x}\otimes \sigma _{y}|GHZ\rangle =\sigma _{y}\otimes \sigma _{y}\otimes \sigma _{x}|GHZ\rangle =-|GHZ\rangle } ולכן מובטח שהקואליציה תנצח בכל משחקון בוודאות. בכל משחקון הקואליציה משתמשת במצב GHZ אחד. מכניקת הקוונטים הפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן מצב בל שזירה קוונטית מדיה וקבצים בנושא משפט בל בוויקישיתוף המאמר המקורי של ג'ון בל: On the Einstein Podolsky Rosen Paradox מאמר של אבנר שמעוני באנציקלופדיה לפילוסופיה של סטנפורד: Bell's Theorem הסבר על משפט בל: Spooky Action at a Distance עוד הסבר פשוט: Bell's Theorem Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Holland: Kluwer, 2002 J.S. Bell, Speakable and unspeakable in quantum mechanics, UK: Cambridge, 2004 J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen Paradox, Physics 1, 1964, עמ' 195-200 https://www.nobelprize.org/uploads/2023/10/advanced-physicsprize2022-4.pdf Quantum cryptography based on Bell’s theorem Artur K. Ekert Phys. Rev. Lett. 67, 661 – 5 August 1991 A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47, 1935-05-15, עמ' 777–780 doi: 10.1103/PhysRev.47.777 David Bohm, A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of "Hidden" Variables. I, Physical Review 85, 1952-01-15, עמ' 166–179 doi: 10.1103/PhysRev.85.166 S. Freedman and J, Clauser, Wxperimental tests of local hidden variables theories, Physical Review Letters 28, 1972 A. Aspect, J. Dalibard and G. Roger, Experimental test of Bell's inequalities using time-varying analyzers, Physical review letters 49, 1982, עמ' 1804 הנחות סמויות: חופש הבחירה בבחירת הניסויים, ואי-תלות של ניסיונות שונים. אבל לא תורת הכבידה של ניוטון בה פעולת השדה הגרביטציוני היא פעולה ממרחק. באלקטרודינמיקה פרק הזמן שלוקח לאור לעבור בין שתי הנקודות. John F. Clauser, Michael A. Horne, Abner Shimony, Richard A. Holt, Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories, Physical Review Letters 23, 1969-10-13, עמ' 880–884 doi: 10.1103/PhysRevLett.23.880 לחלופין, קיטוב בורגי ימני או שמאלי משתנים חבויים שאינם מקומיים יכולים לקבוע איזו מדידה תתבצע. במקרה זה ייתכנו פונקציות פילוג שונות לכל אחד מהנסיונות והגזירה של אי השויון אינה תקפה. M. Nielsen and I. Chuang, Quantum information and quantum computation, NY: Cambridge, 2010 משחק אחר הוא משחק ריבוע הקסם של מרמין ופרס.