ערך מוחלט

במתמטיקה, ערך מוחלט הוא פונקציה המודדת את גודלם של איברים בשדה. הערך המוחלט של מספר ממשי או מרוכב הוא המרחק שלו מנקודת האפס. למשל, ה"ערך המוחלט" של המספר הטבעי 5, הוא 5, וה"ערך המוחלט" של המספר השלילי 5-, גם הוא 5. הערך המוחלט של מספר ממשי |x| הוא הערך האי שלילי של x מבלי להתייחס לסימן. |x=|x אם x>0, ואילו x|=-x| אם x<0. התכונות העיקריות של הערך המוחלט הזה נלקחו כאקסיומות, המאפשרות להגדיר מושג דומה עבור שדות כלליים. נהוג לסמן את הערך המוחלט של x {\displaystyle x} כך: | x | {\displaystyle \left|x\right|} . בשדה המספרים הממשיים, ערך מוחלט של מספר הוא המרחק בינו לבין נקודת האפס על ציר המספרים. כלומר, אם המספר חיובי, הערך המוחלט שלו הוא המספר עצמו, ואם המספר שלילי ערכו המוחלט יהיה המספר הנגדי לו. ערכו המוחלט של 0 הוא 0. ניתן גם להגדיר את הערך המוחלט בתור הפונקציה הממשית הבאה: f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x^{2}}}} . הפונקציה רציפה בכל המישור הממשי וגזירה לכל x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} . נגזרת הפונקציה היא f ′ ( x ) = x x 2 {\displaystyle f'(x)={\tfrac {x}{\sqrt {x^{2}}}}} . | a | ≥ 0 {\displaystyle |a|\geq 0} ; | a | = 0 ⟺ a = 0 {\displaystyle |a|=0\iff a=0} ; | a b | = | a | | b | {\displaystyle |ab|=|a||b|} , ולכן גם | a b | = | a | | b | {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}} (אם | b | ≠ 0 {\displaystyle |b|\neq 0} ); | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|} (תכונה זו ידועה בשם אי-שוויון המשולש). נובעת ממנה גרסה נוספת של אי-השוויון: | x − y | ≥ | | x | − | y | | {\displaystyle |x-y|\geq {\bigg |}|x|-|y|{\bigg |}} . הערך המוחלט מגדיר קטעים לפי המרחק מנקודת האמצע. בדומה לזה, − b ≤ a ≤ b ⟺ | a | ≤ b {\displaystyle -b\leq a\leq b\iff \left|a\right|\leq b} ו- | a | ≥ b ⟺ ( a ≥ b ) ∨ ( a ≤ − b ) {\displaystyle \left|a\right|\geq b\iff (a\geq b)\lor (a\leq -b)} (הסימן ∨ {\displaystyle \lor } מסמל "או"). אם F {\displaystyle F} הוא שדה, ערך מוחלט הוא פונקציה |   | : F → R {\displaystyle |\ |:F\rightarrow \mathbb {R} } , כאשר R {\displaystyle \mathbb {R} } הוא שדה המספרים הממשיים, המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות: | x | ≥ 0 {\displaystyle |x|\geq 0} ; | x | = 0 {\displaystyle |x|=0} אם ורק אם x = 0 {\displaystyle x=0} ; | x y | = | x | | y | {\displaystyle |xy|=|x||y|} ; קיים קבוע ממשי C {\displaystyle C} , כך ש- | 1 + a | ≤ C {\displaystyle |1+a|\leq C} לכל | a | ≤ 1 {\displaystyle |a|\leq 1} . דרישות אלה מתקיימות כמובן בערך המוחלט המקובל של מספרים ממשיים או מרוכבים (עם כל קבוע גדול או שווה 2 {\displaystyle 2} ). ערך מוחלט מגדיר על השדה טופולוגית האוסדורף, שבה הסדרה { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} מתכנסת ל- x {\displaystyle x} אם ורק אם | x n − x | R → 0 {\displaystyle |x_{n}-x|_{\mathbb {R} }\rightarrow 0} בטופולוגיה הסטנדרטית של המספרים הממשיים (כאשר |   | R {\displaystyle |\ |_{\mathbb {R} }} הוא הערך המוחלט הסטנדרטי על המספרים הממשיים). שני ערכים מוחלטים הם שקולים אם הם מגדירים את אותה טופולוגיה. מחלקת השקילות נקראת לפעמים מחלק ראשוני של השדה. כל חזקה חיובית קבועה של ערך מוחלט היא ערך מוחלט, המגדיר את אותה טופולוגיה, ושני ערכים המגדירים את אותה טופולוגיה מתקבלים זה מזה על ידי העלאה בחזקה חיובית קבועה. כאשר C = 2 {\displaystyle C=2} , התנאי הרביעי שקול לאי-שוויון המשולש ( | x + y | ≤ | x | + | y | {\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|} ), ולכל ערך מוחלט יש חזקה המקיימת תנאי זה. מכאן שהטופולוגיה שערך מוחלט מגדיר היא מטריזבילית. עם זאת, אי-שוויון המשולש אינו נשמר תחת העלאה בחזקה של הערך המוחלט (לדוגמה, חזקה גדולה מ-1 של הערך המוחלט הממשי הסטנדרטי אינה מקיימת את אי-שוויון המשולש). ערך מוחלט המקיים תנאי חזק יותר - | x + y | ≤ max ( | x | , | y | ) {\displaystyle |x+y|\leq \max(|x|,|y|)} , נקרא אולטרה מטרי או לא-ארכימדי; אחרת הוא נקרא ערך מוחלט ארכימדי. כל חזקה של ערך מוחלט שאינו ארכימדי היא ערך מוחלט שאינו ארכימדי. בגלל אי-השוויון | | x | − | y | | R ≤ | x − y | {\displaystyle ||x|-|y||_{\mathbb {R} }\leq |x-y|} , הערך המוחלט הוא תמיד פונקציה רציפה מהשדה F {\displaystyle F} (ביחס לטופולוגיה המטרית) אל המספרים הממשיים (עם הטופולוגיה הרגילה). ערך מוחלט עם C ≤ 2 {\displaystyle C\leq 2} הוא פונקציה רציפה במידה שווה. ערך מוחלט המוגדר על שדה אפשר להמשיך לכל הרחבה אלגברית של השדה . פונקציה המוגדרת על תחום שלמות D {\displaystyle D} ומקיימת את ארבע האקסיומות, אפשר להרחיב לערך מוחלט המוגדר על שדה השברים של D {\displaystyle D} , באמצעות הנוסחה | a b | = | a | | b | {\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}} . ערכים מוחלטים שאינם שקולים הם שונים מאוד זה מזה, במובן הבא. יהיו | ⋅ | 1 , … , | ⋅ | n {\displaystyle |\cdot |_{1},\dots ,|\cdot |_{n}} ערכים מוחלטים שאינם שקולים על שדה F {\displaystyle F} . לכל a 1 , … , a n ∈ F {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in F} ולכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , קיים a ∈ F {\displaystyle a\in F} כך ש- | a − a i | i < ε {\displaystyle |a-a_{i}|_{i}<\varepsilon } . במילים אחרות, השיכון האלכסוני של השדה במרחב המכפלה F × F × ⋯ × F {\displaystyle F\times F\times \cdots \times F} (כאשר ברכיב ה-i מוגדרת הטופולוגיה המושרית על ידי הערך המוחלט ה-i) הוא צפוף. עבור שדה מספרים הרציונליים עם קבוצה סופית של ערכים מוחלטים p-אדיים (לראשוניים שונים p), משפט הקירוב אינו אלא משפט השאריות הסיני. בשדה המספרים המרוכבים ההגדרה האינטואיטיבית של הערך המוחלט עדיין תקפה - בוחנים את המרחק בין המספר המרוכב ובין ראשית המישור המרוכב. עבור המספר המרוכב z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , הערך המוחלט יהיה | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} - נוסחת המרחק האוקלידי. תכונות 1-4 של הערך המוחלט מתקיימות גם עבור מספרים מרוכבים, וכמו כן מתקיים z ⋅ z ¯ = | z | 2 {\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=|z|^{2}} , כאשר z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} הוא הצמוד המרוכב של z {\displaystyle z} . ביחד עם הזווית שיוצר הוקטור של המספר עם ציר ה-x, משמשים הערך המוחלט (שמסומן ב-r) והזווית (שמסומנת ב- θ {\displaystyle \theta } ) כדרך נוספת להגדיר מספר מסוים. על-פי נוסחת אוילר, ניתן להציג את המספר כ- z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} . דרך זו משמשת, למשל, להכפיל, להעלות בחזקה ולהוציא שורש בקלות. על שדה המספרים ה-p-אדיים Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} מוגדרת הערכה דיסקרטית ν ( ∑ i = − N ∞ a i p i ) = − N {\displaystyle \nu (\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i})=-N} (בהנחה ש- a − N ≠ 0 {\displaystyle a_{-N}\neq 0} ), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי | x | p = p − ν ( x ) {\displaystyle |x|_{p}=p^{-\nu (x)}} ומטריקה ( d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} ), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה-p-אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית. הערך המוחלט ה-p-אדי הוא ערך מוחלט לא-ארכימדי, ומקיים דרישה חזקה יותר מאי-שוויון המשולש, שהיא | x + y | p ≤ max { | x | p , | y | p } {\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}} . תכונה זו מגדירה אומנם טופולוגיה מטרית, אך מספר תכונות בה שונות מהטופולוגיה המטרית הרגילה, למשל: טור אינסופי מתכנס במטריקה ה-p-אדית אם ורק אם האיבר הכללי שואף לאפס (כלומר: ∑ n = 0 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}} מתכנס אם ורק אם lim n → ∞ | a n | p = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n}|_{p}=0} ) בעוד שבמטריקה הרגילה הטור ההרמוני ∑ n = 1 ∞ ( 1 / n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(1/n)} מתבדר, אף על פי ש- 1 / n {\displaystyle 1/n} שואף ל-0. נורמה משפט אוסטרובסקי הערכה בדידה ערך מוחלט ומספרים נגדיים, באתר לרגו (LerGO) ערך מוחלט - פתרון משוואות, באתר לרגו (LerGO) ערך מוחלט, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) ערך מוחלט, באתר MathWorld (באנגלית) ערך מוחלט, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Algebraic number theory, E. Weiss, משפט 2-4-1