משוואה דיפרנציאלית חלקית

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית חלקית (באנגלית: partial differential equation או PDE) היא משוואה הקושרת בין פונקציה בשני משתנים בלתי תלויים או יותר, לבין נגזרותיה החלקיות, כאשר הפונקציה היא הנעלם במשוואה. לעומתה, משוואה דיפרנציאלית רגילה קושרת בין פונקציה במשתנה יחיד לנגזרותיה. דוגמה למשוואה דיפרנציאלית חלקית היא משוואת החום, שבה הפונקציה הנעלמת היא הטמפרטורה שתלויה בזמן ובמיקום. המשוואה קושרת בין קצב ההתחממות (נגזרת הטמפרטורה לפי הזמן) להפרשי הטמפרטורות (נגזרת הטמפרטורה לפי המיקום). דוגמה לבעיה המתוארת באמצעות משוואת החום היא בעיית זרימת חום במעבד עם צלעות קירור (ראו איור). נגזרת חלקית של הפונקציה   u {\displaystyle \ u} לפי המשתנה   x {\displaystyle \ x} , תסומן כ-   u x {\displaystyle \ u_{x}} או   ∂ u ∂ x {\displaystyle \ {\frac {\partial u}{\partial x}}} . באופן דומה נגזרת חלקית לפי   x {\displaystyle \ x} ואחריו לפי   y {\displaystyle \ y} , תסומן כ-   u x y {\displaystyle \ u_{xy}} או   ∂ 2 u ∂ y ∂ x {\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\partial x}}} וכן הלאה. ערך מורחב – תנאי שפה המשוואה אינה מוגדרת היטב ללא תנאי שפה, כלומר ערך של הפונקציה הנעלמת על הגבול של המשתנים שלה. לדוגמה, משוואת החום בבעיית המעבד אינה פתירה ללא ידיעת הטמפרטורה בהתחלה והחום שמיוצר במעבד (ראו גם משפט קיום ויחידות בהמשך). תנאי השפה מחולקים לשני סוגים עיקריים: תנאי שפה מסוג דיריכלה (Dirichlet boundary condition), בהם נתון ערך הפונקציה בגבולות הבעיה (בזמן מסוים ובגבולות של המרחב). תנאי שפה מסוג נוימן (Neumann boundary condition), בהם נתונה הנגזרת של הפונקציה בגבולות הבעיה (נגזרת לפי הכוון הניצב לשפה). בנוסף ניתן לצרף אותם לסוגים חדשים של תנאי שפה: תנאי שפה מסוג קושי (Cauchy boundary condition), בהם נתונים ערכי הפונקציה וערכי הנגזרת שלה, כלומר עירוב תנאי דיריכלה ונוימן. תנאי שפה מסוג רובין (Robin boundary condition), בהם נתון ערך עבור סכום של הפונקציה והנגזרת שלה באותה משוואה. ערך מורחב – משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות) בעיה מסוימת היא מוצגת היטב אם לבעיה קיים פתרון אמיתי יחיד והפתרון יציב: פתרון מוגדר כיציב כאשר שינוי קטן בתנאי התחלה גורם לשינוי קטן בפתרון. בניסוח אחר: הפתרון יציב כאשר הוא תלוי באופן רציף בתנאים הנלווים לבעיה, כלומר ההפרש בין שני פתרונות כאלה יתכנס במידה שווה ל-0, כאשר השינוי בתנאי ההתחלה שואף ל-0. לצורך קיום תנאים אלו, בנוסף למשוואה הדיפרנציאלית החלקית יש להגדיר תנאי שפה (ראו לעיל). עבור סוגים מסוימים של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ניתן לפתור באופן מתמטי מלא את המשוואה ולמצוא לה פתרון אנליטי (כלומר למצוא צורה פונקציונלית של הפתרון,   u = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) {\displaystyle \ u=f(x_{1},x_{2},...,x_{n})} ). שיטות עיקריות לפתרון אנליטי הן: שיטת הפרדת משתנים - שיטה בה מבודדים בכל אחד מאגפי המשוואה משתנה נפרד, כך שהבעיה פשוטה יותר שכן כל אגף ניתן לפתור בנפרד. שיטת החלפת משתנים. טרנספורמציה אינטגרלית - באמצעות ביצוע אינטגרציה על משוואה דיפרנציאלית ניתן להפוך אותה למשוואה הניתנת לפתרון באמצעות הפרדת משתנים. פתרון יסודי (פונקציית גרין) - שיטה בה מחשבים את הפתרון עבור איבר לא-הומוגני שהוא פונקציית דלתא של דיראק, ואז מבצעים קונבולוציה של הפתרון עם תנאי השפה האמיתיים של הבעיה. קיימים מקרים רבים בהם לא ניתן לפתור את הבעיה באופן אנליטי, למשל כאשר תנאי השפה הם מורכבים (למשל עבור בעיה של התפשטות קול בחדר מרובע, הוספת שולחן יוצרת בעיה שאינה פתירה באופן אנליטי). במקרים כאלו ניתן לפתור לרוב בשיטות נומריות שונות שלרוב נעזרות במחשב. בשיטות אלו מחלקים את המרחב לחלקים קטנים בהתאם לדיוק הרצוי, כך שבין אזורים אלו ההבדלים בערך הפונקציה הנעלמת קטנים. שיטת אלמנטים סופיים - המרחב מחולק לאזורים (אלמנטים). מניחים שצורת הפונקציה מקורבת על ידי פונקציה פשוטה בכל אחד מהאלמנטים בפני עצמו (למשל פונקציית דלתא או פונקציה ליניארית) ובכל אחד מהאלמנטים מבוצע אינטגרל בשיטה נומרית על המשוואה, שלאחר מכן הופכת למערכת משוואות ליניאריות אשר ניתנת לפתרון בשיטות רבות. שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן - המרחב מחולק לרשת של צמתים. מציבים את תנאי ההתחלה על הצמתים, ומתקדמים בצעד זמן קטן בהתאם לדיוק הרצוי, כאשר את הנגזרות החלקיות מחליפים בהפרש בין ערכי הפונקציה בצמתים סמוכים. באופן זה מתקדמים מהזמן ההתחלתי בבעיה לזמן שבו נדרש הפתרון. תופעות פיזיקליות רבות מתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות חלקיות. הדוגמאות הנפוצות ביותר הן: משוואת הגלים (בתלת-מימד):   ∂ 2 ψ ∂ t 2 = v 2 ∇ 2 ψ {\displaystyle \ {\partial ^{2}\psi \over \partial t^{2}}=v^{2}\nabla ^{2}\psi } כאשר   ψ {\displaystyle \ \psi } הוא מרחק ההפרעה מנקודת שיווי המשקל במקום (x,y,z) בזמן t, ו-v היא מהירות התקדמות הגל, ו ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} הוא אופרטור הלפלסיאן. משוואת החום:   u t − k ∇ 2 u = 0 {\displaystyle \ u_{t}-k\nabla ^{2}u=0} כאשר   u ( x , y , z , t ) {\displaystyle \ u(x,y,z,t)} היא הטמפרטורה בנקודה כלשהי בזמן t, ו-k הוא מקדם הולכת החום. נקראת גם משוואת הדיפוזיה. גלי הלם (משוואת אוילר):   u t + u u x = 0 {\displaystyle \ u_{t}+uu_{x}=0} כאשר u מתארת התנהגות ריכוז המסה בזמן, והמהירות תלויה בריכוז המסה. פוטנציאל חשמלי בריק (משוואת לפלס):   ∇ 2 φ = 0 {\displaystyle \ \nabla ^{2}\varphi =0} כאשר   φ {\displaystyle \ \varphi } מתאר פוטנציאל חשמלי באזור ללא מטענים. פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית. משוואת שרדינגר:   i ψ t + ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + V ψ = 0 {\displaystyle \ i\psi _{t}+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi =0} כאשר   ψ ( x , y , z , t ) {\displaystyle \ \psi (x,y,z,t)} היא פונקציית הגל של חלקיק קוונטי ו־V היא פונקציית הפוטנציאל של החלקיק. תופעות רבות בטבע ניתנות לתיאור על ידי משוואות ליניאריות עם נגזרות עד סדר שני, בהצגת המשוואות באופן הבא:   A ( x , y ) u x x + 2 B ( x , y ) u x y + C ( x , y ) u y y + D ( x , y ) u x + E ( x , y ) u y + F ( x , y ) u = G ( x , y ) {\displaystyle \ A(x,y)u_{xx}+2B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+D(x,y)u_{x}+E(x,y)u_{y}+F(x,y)u=G(x,y)} . ניתן למיין משוואות אלו לפי ערך הביטוי   B 2 − A C {\displaystyle \ B^{2}-AC} : המשוואה היא מסוג היפרבולי כאשר הביטוי חיובי, מסוג פרבולי כאשר הביטוי מתאפס, ומסוג אליפטי כאשר הביטוי שלילי. סיבת חלוקה שכזו מובנת כאשר   A , B , C , D , E , F {\displaystyle \ A,B,C,D,E,F} הם קבועים, ו-   G = 0 {\displaystyle \ G=0} : במקרה זה תמיד ישנו הפתרון   u = e m x + n y {\displaystyle \ u=e^{mx+ny}} , וכאשר נציבו במשוואה, נקבל את הקשר   A m 2 + 2 B m n + C n 2 + D m + E n + F = 0 {\displaystyle \ Am^{2}+2Bmn+Cn^{2}+Dm+En+F=0} , ומגאומטריה אנליטית ידוע שזהו למעשה משטח קוני במשתנים   m , n {\displaystyle \ m,n} אשר סוג חתכיו (הפרבולי, פרבולי, אליפטי) נקבעים על ידי הביטוי   B 2 − A C {\displaystyle \ B^{2}-AC} . משוואת הגלים משוואת החום החד־ממדית משוואת לפלס פתרון נקרא פתרון אמיתי אם הוא גזיר עד סדר המשוואה ומקיים את תנאי ההתחלה. כל פתרון אחר יקרא פתרון מוכלל. משוואה דיפרנציאלית משוואה דיפרנציאלית רגילה נגזרת חלקית משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות) יהודה פינצ'ובר ויעקב רובינשטיין, "מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות", מהדורה שלישית, הטכניון, 2006. Uri M. Ascher, Linda R. Petzold, Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998-08-01. (באנגלית), אורי אשר שיטות ממוחשבות לפתרון משוואות משוואה דיפרנציאלית חלקית, באתר MathWorld (באנגלית) משוואה דיפרנציאלית חלקית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) משואות דיפרנציאליות חלקיות, דף שער בספרייה הלאומית