מכניקה אנליטית

מכניקה אנליטית היא אוסף ניסוחים למכניקה הקלאסית שפיתחו ז'וזף לואי לגראנז', ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקב יעקובי במאות ה-18 וה-19. בעוד שהמכניקה הניוטונית עושה שימוש בכוחות וקטוריים לצורך ניתוח הבעיה הפיזיקלית ומסתמכת במקרים רבים על עקרונות גאומטריים, המכניקה האנליטית משתמשת בקואורדינטות ובכוחות מוכללים ומסתמכת רק על פעולות אלגבריות. המכניקה הלגראנז'ית אשר פיתח לגראנז' עושה שימוש בקואורדינטות מוכללות ובכוחות מוכללים ומאפשרת פתרון בעיות פיזיקליות שבמכניקה הניוטונית נחשבות קשות. בפרט, היא מספקת שיטה סדורה לפתרון של בעיות תנועה תחת אילוצים: תנועה לאורך ישר נתון, תנועה שמוגבלת למישור, ועוד. הפורמליזם הלגרנז'יאני מציג את הבעיה הפיזיקלית כאוסף של משוואות דיפרנציאליות מסדר שני, הנקראות משוואות אוילר-לגראנז'. המכניקה ההמילטונית, על שם ויליאם רואן המילטון, מציגה את הבעיה הפיזיקלית כאוסף של משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון במרחב הפאזה. הפורמליזם ההמילטוני אינו מכיל תוכן פיזיקלי חדש. כוחו של פורמליזם זה הוא במציאת אינטואיציות פיזיקליות חדשות, והוא אף שימש כדי להכליל את הפיזיקה הקלאסית לפיזיקה הקוונטית. בנוסף, הפורמליזם ההמילטוני מהווה כר נוח לפתרון בעיות באופן מקורב באמצעות תורת ההפרעות. משוואת המילטון-יעקובי מציגה את כל הבעיה הפיזיקלית באמצעות פונקציה אחת המקיימת משוואה דיפרנציאלית חלקית יחידה. פורמליזם זה מדגיש את הדמיון בין המכניקה לאופטיקה, ולכן הוא היווה נקודת מוצא לפיתוח של מכניקת הקוונטים. קיימים מספר ניסוחים נוספים ושיטות ניתוח נוספות הנכללים במסגרת המכניקה האנליטית. בין אלו ניתן למנות את המכניקה הרות'נית, טרנספורמציות קנוניות, סוגרי פואסון, זוויות-פעולה ומשוואות התנועה של אפל. בשנת 1687, פרסם אייזק ניוטון את ספרו פרינקיפיה, והציג את היסודות של המכניקה הקלאסית. לפי התיאוריה הניוטונית, על גופים במערכת מכנית פועלים כוחות, והתאוצה של הגופים השונים פרופורציונלית לכוחות אלו. בסוף המאה ה-17 ותחילת המאה ה-18, התיאוריה של ניוטון התפשטה ברחבי אירופה ומדענים רבים החלו לפתור באמצעותה בעיות מכניות. ב-1736 פרסם לאונרד אוילר את ספרו מכניקה שהציג את חוקי התנועה של ניוטון בצורה של משוואות דיפרנציאליות. פתרון בעיית התנועה הפך במקרים רבים לפתרון של משוואות דיפרנציאליות. כדי לפתור את המשוואות הללו נעשה שימוש רב בגדלים נשמרים. כבר בפרינקיפיה, ניוטון הבחין כי התנועה של מרכז המסה של גופים שפועלים זה על זה לא משתנה בגלל הכוחות שפועלים בין הגופים. ד'אלמבר הרחיב את העיקרון וציין שאם על כל החלקיקים פועל כוח חיצוני זהה מרכז המסה של המערכת יזוז באופן דומה לתנועה של סכום המסות אם יופעל עליו הכוח הזה. תצפיות אלו מדגימות את חוק שימור התנע, ומראות שהוא חוק כללי גם כאשר יש אינטראקציות מסובכות בין הגופים. כריסטיאן הויגנס חקר ב-1673 את תנועתן של מטוטלות שמחוברות זו לזו באמצעות כבלים. הויגנס לא מצא דרך לבטא את תנועת המטוטלות במדויק, אבל הוא זיהה שאם מרכז המסה של המטוטלות לא זז (כלומר במקרים בהם כאשר אחת המטוטלות עולה השנייה יורדת) הכוח החי של המטוטלות, המתכונתי למהירותן בריבוע יישאר קבוע. תלמידו, גוטפריד לייבניץ, ניסח את החוק באופן מתמטי, וטען שהגודל: ∑ i m i v i 2 {\displaystyle \sum _{i}m_{i}v_{i}^{2}} יהיה גודל נשמר במערכות מכניות שלא פועלים עליהם כוחות חיצוניים (אותם כינה לייבניץ כוחות מתים). שימור הכוח החי נתפס כמתחרה לשימור התנע, ולכן בצרפת ובאנגליה התנגדו לו וטענו שהוא אינו עקרון כללי. ההתנגדות פחתה לאחר שדניאל ברנולי השתמש בו כדי לפתח את משוואת ברנולי שתיארה בהצלחה תנועה של זורמים לאורך צינור. ב-1746 הראה אוילר (ודניאל ברנולי באופן בלתי תלוי) שעבור גופים שנעים מסביב למרכז מסה, הסכום של מכפלת של מסת הגופים במהירות שלהם מסביב למרכז המסה ובמרחקם ממרכז המסה אינו תלוי באינטראקציות בין הגופים ואם לא פועלים עליהם כוחות חיצוניים הוא קבוע. חוק זה הוא שימור התנע הזוויתי. כך שבאמצע המאה ה-18, היו ידועים שלושה חוקי שימור משמעותיים, שעבור תנועה תלת-ממדית מייצגים שימור של שבעה גדלים. ב-1744 אוילר טען שתנועה של גופים במערכת מכנית מתרחשת במסלול בו תנועתם עוברת את הדרך הקצרה ביותר לפי שקלול הכולל את התנע שלהם, כלומר במסלול בו הגודל ∫ p d q {\displaystyle \int \mathbf {p} d\mathbf {q} } יקבל ערך מינימום. מופרטווי, שהציג רעיון דומה עבור קרניים אופטיות, הצהיר שאוילר הרחיב את עבודתו, והעיקרון נודע כעקרון הפעולה המינימלית או עקרון מופרטווי. ערך מורחב – מכניקה לגראנז'ית במצב הדברים לקראת סוף המאה ה-18 היו שלוש בעיות משמעותיות: הבעיה הראשונה היא שבמקרים מסוימים מציאת הכוחות הפועלים על גוף בתנועה היא בעיה כשלעצמה. סוג מיוחד של בעיות כאלו הן בעיות בהן קיים אילוץ על המערכת, לדוגמה בעיות בהן הגוף מוגבל לתנועה על משטח מסוים. בבעיות כאלה, הכוח שהמשטח יפעיל על החלקיק, יהיה כזה שיחייב את החלקיק להמשיך לנוע על המשטח. אולם משוואות התנועה של ניוטון לא מספקות דרך סדורה למצוא את הכוח הזה, ולכן פתרונם היה קשה. הבעיה השנייה היא שגם במקרים בהם ניתן היה למצוא פתרון לבעיה, הפתרון נסמך במקרים רבים על הבנה גאומטרית, ומשוואות התנועה כשלעצמן לא נותנות כלים לפיתוח ההבנה הגאומטרית הזו. הבעיה השלישית היא שהגדלים הנשמרים, ועקרון הפעולה המינימלית נתפסו לעיתים כעקרונות יסודיים של המכניקה, ולא כתוצאה של חוק תנועה יחיד. לגראנז' פיתח את המכניקה האנליטית כדי לפתור את הבעיות הללו. בספרו méchanique analytique משנת 1788 הוא פיתח את עקרונות היסוד של המכניקה האנליטית. את גישתו הוא מתאר בהקדמה לספר: לא יימצאו דיאגרמות בספר זה. השיטות שאציג לא דורשות בניות, או טיעונים מכניים או גיאומטריים, הן דורשות אך ורק פעולות אלגבריות הנעשות באופן אחיד ורגיל. המקור בצרפתית On ne trouvera point de Figures danc cet Ouvrage. Les méthodes que j'y expose ne demandent ni constructions ,ni raisonnemens géométriques ou mécaniques, mais seulement des opérations algébriques, assujéties à uno marche régulière et uniforme. — méchanique analytique, Joseph-Louis Lagrange לגראנז' הסתמך על הרחבה של עקרון ד'לאמבר לפיתוח חוקי התנועה שלו, שהיו משוואות דיפרנציאליות מסדר שני במשתנים חדשים שהוצגו על-ידי לגראנז' - קוארדינטות מוכללות. משוואות אלו התקבלו מפונקציה יחידה - הלגראנז'יאן. גישתו של לגראנז' יצרה שיטה מוסדרת לכתיבת משוואות התנועה, ובכך הצליחה להביא לפתרון בדרך קלה יחסית של בעיות שנחשבו עד אז כקשות. הגישה סיפקה שיטת פעולה אנליטית לפתרון בעיות בהן קיימים אילוצים, וזאת באחת משתי דרכים - הצגת דרך סדורה למציאת הכוחות אותם מפעילים האילוצים או מציאת דרך לכתיבת משוואות התנועה של המערכת בלי למצוא באופן ישיר את הכוחות האלה. לגראנז' אף הראה בעבודתו שחוקי השימור הם תוצאה ישירה של משוואות התנועה. הוא הציג גודל נשמר הקשור לכוח החי, גודל שבאופן מודרני מכונה האנרגיה. לגראנז' גם הראה כיצד עקרון מופרטווי נובע מחוקי התנועה שלו, וכיצד חוקי התנועה שלו מתקבלים מעקרון הפעולה המינימלית יחד עם שימור הכוח החי. בסוף המאה ה-18 ובתחילת המאה ה-19 תורתו של לגראנז' הפכה להיות הכלי העיקרי המשמש בפתרון בעיות מכניות. ב-1831, ויליאם המילטון העביר את תשומת-לבו מאופטיקה למכניקה. במסגרת עבודתו באופטיקה, המילטון הראה שתנועת קרניים אופטיות יכולה להיות מתוארת על ידי פונקציה אחת שמקיימת משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר ראשון (משוואת אייקונל). בסדרה של שלושה מאמרים מ-1833 עד 1835, המילטון ניסה ליצור משוואה דומה לחוקי המכניקה. הוא השתמש בחשבון וריאציות, אבל בניגוד ללגראנז' שביצע שימוש בווריאציות כדי לחשב את המסלול עבור אנרגיה נתונה, המילטון הכליל שינוי באנרגיה בחשבון הווריאציות שלו. במילים אחרות, המילטון שאל כיצד המסלול המכני של המערכת ישתנה אם היא תקיים אותם תנאי התחלה, אך תנוע עם כמות שונה של כוח חי. המילטון ניסח באופן יותר מדויק את עקרון הפעולה המינימלית, וקבע שהפעולה לא בהכרח מינימלית אלא סטציונרית. כתוצאה מעקרון הפעולה הסטציונרי, המילטון הצליח למצוא פונקציה שקיימה שתי משוואות חלקיות מסדר ראשון ממעלה שנייה. המילטון קרא לפונקציה הפונקציה הקרקטריסטית (characteristic function). בהינתן הפונקציה הקרקטריסטית ניתן לקבל את כל הדינמיקה של המערכת באמצעות גזירה בלבד. המילטון עצמו היה מודע לכך שהשיטה אותה הוא הציג לא פשוטה יותר לפתרון מהמשוואות של לגראנז', אך טען שהיא יותר אלגנטית: הקושי, לפיכך, עובר מביצוע אינטגרציה של הרבה משוואות מסוג אחד, לביצוע אינטגרציה של שתי משוואות מסוג אחר. ואפילו אם יש לחשוב ששום קלות מעשית לא הושגה בכך, עדיין יש הנאה אינטלקטואלית מפישוט רוב הבעיות המסובכות ביותר, או אפילו כל הבעיות העוסקות בכוחות ותנועת גופים, לחקירה של פונקציה קרקטריסטית אחת. המקור באנגלית The difficulty is therefore at least transferred from the integration of many equations of one class to the integration of two of another: and even if it should be thought that no practical facility is gained, yet an intellectual pleasure may result from the reduction of the most complex and, probably, of all researches respecting the forces and motions of body, to the study of one characteristic function — On a general method in dynamics, William Rowan Hamilton ב-1837, קרל יעקובי, הראה ששתי המשוואות שהמילטון הציג שקולות ודי במשוואה אחת כדי לתאר את הפונקציה. המשוואה הזו נקראת משוואת המילטון-יעקובי. יעקובי, שעבד לפני כן על בעיות דינמיות של גופים שלא מקיימים את שימור הכוח החי, גם הראה שאת הווריאציה בכוח החי שהמילטון הכניס לחשבון הווריאציות ניתן להכניס ישירות להגדרת הפעולה, ובכך לאפשר מצב בו האינטראקציה בין הגופים תלויה בזמן ולא מקיימת את חוק השימור של הכוח החי. בכך יעקובי ניסח לראשונה את עקרון הפעולה הסטציונרית באופן בו הוא מנוסח בצורה מודרנית. כחלק ממאמרו ב-1835, המילטון ביצע התמרת לז'נדר למשוואות התנועה של לגרנז', ובכך כתב את משוואות המילטון שמתארות את הדינמיקה של התנועה כסט של משוואות תנועה מסדר ראשון. הפונקציה בה המילטון משתמש כדי לנסח את משוואות התנועה נקראת כיום המילטוניאן. המשתנים החדשים של המילטון מכונים כיום תנעים מוכללים והם חלק ממערכת קואורדינטות הנקראת קואורדינטות קנוניות המתארות את התנועה במרחב הפאזה. השימוש העיקרי שהמילטון עושה במשוואות אלו הוא בפיתוח תורת הפרעות למערכת מכנית. תורה אותה הוא מציג תוך שימוש בפונקציה המנהלת כשהיא מנוסחת באמצעות התנעים המוכללים. על אף שהמילטון מציג את המשתנים הקנוניים כחלק מניסוחו של משוואת המילטון-יעקובי, הם לא תלויים בפונקציה המנהלת, ומשוואות התנועה שלהם מהוות ניסוח מלא של המכניקה הקלאסית, ניסוח שידוע בשם מכניקה המילטונית. בשנת 1918 ניסחה המתמטיקאית אמי נתר את "משפט נתר" והוכיחה אותו. המשפט קושר בין סימטריות של מערכת פיזיקלית וחוקי שימור שהיא מקיימת, וקובע כי עבור כל סימטריה רציפה (וגזירה) של הפעולה, קיים גודל שמור. כך למשל, חוק שימור האנרגיה נובע מסימטריה להזזה בזמן ולכן הוא מתקיים רק אם הלגראנז'יאן לא תלוי ישירות בזמן, חוק שימור התנע נובע מסימטריה להזזה מרחבית וחוק שימור המטען החשמלי נובע מסימטריית כיול. למשפט נתר חשיבות גדולה במכניקה אנליטית בפרט ובפיזיקה תאורטית ככלל. במכניקה הקלאסית תנועת גופים מתוארת על ידי משוואות תנועה בהן התאוצה של כל גוף בכל רגע נתון נתונה על פי מיקומיהם ומהירויותיהם של הגופים, בהתאם לכוחות הפועלים עליהם (חוקי ניוטון). מכאן שבהינתן מצב מסוים והכוחות הפועלים ניתן לחשב את מצב המערכת בכל רגע עתידי. הפורמליזם של המכניקה האנליטית מכליל את משוואות התנועה תוך שימוש בגישה שונה. הנחת היסוד היא עקרון הפעולה הסטציונרית, הקובע שהאינטגרל של הלגראנז'יאן בזמן יהיה סטציונרי. כלומר, המסלול בו נעה המערכת הוא זה עבורו שינוי קטן מספיק במסלול לא יגרור שינוי בפעולה. במקרים רבים מדובר במסלול עבורו הפעולה מינימלית. עבור תנועת קרני אור, לדוגמה, העיקרון מיתרגם לעיקרון הזמן המינימלי: מסלול האור בין שתי נקודות הוא תמיד זה עבורו זמן המעבר הכולל הוא מינימלי (באופטיקה גאומטרית, עובדה זו מאפשרת פיתוח של חוק סנל). במסגרת המכניקה האנליטית מתארים את הבעיה לא בהסתכלות על קואורדינטות קרטזיות של הגופים הנעים, אלא בהגדרת קואורדינטות מוכללות   q i {\displaystyle \ q_{i}} מתאימות לבעיה. ככל שישנם יותר אילוצים בבעיה, כך מצטמצם מספר הקואורדינטות הנדרש כדי לתאר אותה. כך, למשל, גוף הנע במישור דורש שתי קואורדינטות, לעומת שלוש קואורדינטות במרחב תלת-ממדי. באופן דומה, את תנועתה של רכבת הרים בלונה פארק, למרות היותה במרחב תלת-ממדי, ניתן לתאר בעזרת קואורדינטה בודדת, שהיא לדוגמה המרחק שהרכבת עברה על המסילה עצמה. קיימות קואורדינטות רבות המאפשרות לתאר את התנועה: תנועתה של הרכבת יכולה להיות מתוארת באמצעות המרחק שהרכבת עברה, אבל גם באמצעות המיקום הקרטזי של הרכבת. אם מספר הקואורדינטות גדול ממספר דרגות החופש ניתן לכתוב משוואות אילוצים המקשרות בין הקואורדינטות והמהירויות השונות. בהינתן קואורדינטות מוכללות, יש למצוא את פונקציונל הפעולה שיקיים את עקרון הפעולה הסטציונרית. הפעולה המכנית מוגדרת כאינטגרל על הזמן של הלגראנז'יאן   L {\displaystyle \ L} , שהוא ההפרש בין האנרגיה הקינטית   T {\displaystyle \ T} לפוטנציאלית   U {\displaystyle \ U} :   L = T − U {\displaystyle \ L=T-U} האנרגיה הקינטית היא פונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות המוכללות, והלגראנז'יאן הוא לפיכך פונקציה של הקואורדינטות המוכללות ושל המהירויות המוכללות. באופן דומה אפשר לכתוב את הפעולה באמצעות ההמילטוניאן, שהוא התמרת לז'נדר של הלגראנז'יאן: H = ∑ i p i q ˙ i − L {\displaystyle H=\sum _{i}^{}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L} כאשר p i = ∂ L ∂ q ˙ i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}} . לאחר השלמת ההתמרה ההמילטוניאן הוא פונקציה של המהירויות המוכללות ושל התנעים המוכללים. יש להדגיש שעל אף שהלגראנז'יאן מהווה נקודת התחלה נוחה יותר וקשור באופן ישיר יותר למכניקה הניוטונית, ולכן משמש במקרים רבים למציאת ההמילטוניאן, הוא לא מהווה גודל יסודי יותר. ניתן להתחיל בתיאור הבעיה מההמילטוניאן ולקבל את הלגראנז'יאן כהתמרת לז'נדר שלו. אופרטור נוסף, הרות'יאן, מאופיין בנוסחה דומה להמילטוניאן, אך מבוטא בעזרת מונחים של קואורדינטות, מהירויות ותנעים מוכללים. להזנת האופרטורים במידע אודות הקואורדינטות והזמן מצטרפים אילוצי הבעיה שמקשרים בין הקואורדינטות השונות ושמתארים דרישות נוספות מהפתרון. הפעולה מוגדרת מהלגראנז'יאן באופן הבאה: S = ∫ t 1 t 2 L ( q , q ˙ , t )   d t {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\ dt}} . הדרישה הפיזיקלית לפיה הפעולה היא סטציונרית מביאה למשוואות אוילר-לגראנז': ∀ i : d d t ( ∂ L ∂ q ˙ i ) − ∂ L ∂ q i = 0 {\displaystyle \forall i:{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0} השקולות למשוואות התנועה המוכרות מהמכניקה הניוטונית. באמצעות שימוש בכופלי לגראנז' ניתן להכליל משוואות אלו למצבים בהם קיימים אילוצים על הקוארדינטות המוכללות, ומהם למצוא את הכוחות שהאילוצים מפעילים על המערכת. באופן דומה ניתן להשתמש בפעולה המוגדרת מההמילטוניאן: S = ∫ t 1 t 2 ( p ⋅ q ˙ − H ( p , q , t ) ) d t {\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)\right)dt} ולקבל את משוואות המילטון: ∀ i : d q i d t = ∂ H ∂ p i ; d p i d t = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle \forall i:{\frac {dq_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}};{\frac {dp_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} מאפיין חשוב של ההמילטוניאן הוא שהנגזרת שלו לפי הזמן מקיימת: d H d t = ∂ H ∂ t + ∑ i ∂ H ∂ q i d q i d t + ∂ H ∂ p i d p i d t = ∂ H ∂ t = − ∂ L ∂ t {\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}{\frac {dq_{i}}{dt}}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {dp_{i}}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}} ובמקרים בהם הפונקציה המגדירה לא תלויה ישירות בזמן ההמילטוניאן הוא גודל נשמר. בנוסף, אם הקואורדינטות הכלליות לא תלויות ישירות בזמן, והאנרגיה הפוטנציאלית לא תלויה במהירות מתקיים H = T + U = E {\displaystyle H=T+U=E} . עובדות אלו מובילות לכך שלפעמים מגדירים את ההמילטוניאן כאנרגיה של המערכת כאשר היא מבוטאת בקואורדינטות הקנוניות שלה, ומייחסים לו הבנה אינטואיטיבית כגודל שנשמר במהלך התנועה. שני הדברים הללו אינם נכונים באופן כללי. ההמילטוניאן לא בהכרח מקיים H = T + U {\displaystyle H=T+U} והוא לא בהכרח גודל נשמר. ניסוח אחר של חוקי התנועה מתקבל ממשוואת המילטון-יעקובי: ∂ S ∂ t = − H ( q , ∂ S ∂ q , t ) {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}=-H\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)} המוגדרת עבור הפונקציה S ( q ; α ; t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ;{\boldsymbol {\alpha }};t)} . לאחר פתרון המשוואה מתקיים: ∀ i : p i = ∂ S ∂ q i ; d d t ∂ S ∂ α i = 0 {\displaystyle \forall i:p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}};{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}=0} הצגה של הלגראנז'יאן בקואורדינטות קרטזיות במקרה בו הכוחות הם משמרים מאפשרת לקבל את משוואות ניוטון. במקרה כזה הלגראנז'יאן מקיים:   L = T − U = 1 2 m v 2 − U ( x ) = 1 2 m ( x ˙ ) 2 − U ( x ) {\displaystyle \ L=T-U={\frac {1}{2}}mv^{2}-U(x)={\frac {1}{2}}m({\dot {x}})^{2}-U(x)} ומכאן ממשוואות אוילר-לגראנז':   ∂ L ∂ x = − ∂ U ∂ x = − U ′ ( x ) = F {\displaystyle \ {\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}=-U'(x)=F}   d d t ∂ L ∂ x ˙ = d d t ( m x ˙ ) = m x ¨ = m a {\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})=m{\ddot {x}}=ma} ומקבלים בסך הכול:   m a = m x ¨ = − U ′ ( x ) = F {\displaystyle \ ma=m{\ddot {x}}=-U'(x)=F} כאשר a היא התאוצה (נגזרת שנייה של המקום) ו-F הוא הכוח שמושרה מהגרדיאנט של אנרגיה פוטנציאלית. למכניקה האנליטית יישומים רבים בתחומים שונים של הפיזיקה, אך היא כושלת בהתמודדות עם בעיות מתחום התרמודינמיקה, שכן מספרם העצום של החלקיקים המעורבים במערכת הופך את פתרון משוואות התנועה שלהם לבלתי אפשרי. כדי לפתור בעיות מסוג זה פותחו בתרמודינמיקה כלים אחרים בדמות התאוריה הקינטית של הגזים והמכניקה הסטטיסטית. עם זאת, יסודות התרמודינמיקה עדיין מושתתים על עקרונות המכניקה האנליטית. חוק שימור האנרגיה התרמודינמי הוא הרחבה של שימור האנרגיה המכנית במערכות סגורות, יחד עם ההכרה שחום הוא צורה של אנרגיה. משפט ליוביל, שמשמש כנקודת מוצא למכניקה הסטטיסטית הוא משפט מתחום המכניקה האנליטית. כיום, במכניקת הקוונטים, אשר סותרת לכאורה את המכניקה הקלאסית, משתמשים דווקא במונחים מהמכניקה האנליטית ופחות במונחים ניוטוניים, תוך הכללתם לעולם התוכן הקוונטי. כך, בתורת הקוונטים, משוואת הגלים היא צורה כללית יותר של משוואת המילטון-יעקובי, אופרטור ההתפתחות בזמן מוגדר על ידי ההמילטוניאן של הבעיה, ואילו בתורת השדות הקוונטית הלגראנז'יאן של השדה משמש כמושג מרכזי. חשבון וריאציות מכניקה קלאסית חוקי התנועה של ניוטון מכניקה לגראנז'ית משוואת המילטון-יעקובי היסטוריה של הפיזיקה תורת היחסות מכניקת הקוונטים משפט נתר Joseph-Louis Lagrange, Analytical mechanics,1997, Dordrecht: Springer Netherlands Original in French: Mécanique analytique, 1811, Paris: Ve Courcier William Rowan Hamilton, On a general method in dynamics, Philosophical Transactions of the Royal Society, part II for 1834, pp. 247–308 William Rowan Hamilton, Second essay on a general method in dynamics, Philosophical Transactions of the Royal Society, part I for 1835, pp. 95–144 Nakane M, Fraser CG. The early history of Hamilton-Jacobi dynamics 1834-1837. Centaurus. 2002;44(3-4):161-227 Herbert Goldstein, Classical Mechanics, 1980: Addison-Wesley מלטינית vis-viva באופן מודרני גודל זה הוא ∑ i r → i × p → i {\displaystyle \sum _{i}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {p}}_{i}} אם כי לגראנז' ממשיך לתאר את השימור שלו כשימור של כוח החי המונח אנרגיה לא היה בשימוש. המילטון התייחס לשינוי ב"כמות H" שהיא הכמות הכוללת של הכוח החי. במאמר מ-1835 המילטון מציג פונקציה קשורה, הפונקציה המנהלת (principal function). השימוש שנעשה כיום במונחים לא חופף במדויק לשימוש של המילטון. המילטון ניסח את המשוואה המלאה בעצמו. יעקובי רק הראה שמשוואה נוספת שהמילטון ניסח לא נדרשת לניתוח התנועה. במאמרו השלישי, המילטון ניסח את עקרון הפעולה הסטציונרי כפי שהוא נכתב במשתנים הקנוניים, ובפיתוח של העיקרון הוא לא השתמש בכך שהכוח החי נשמר, אבל הוא לא ניסח את העיקרון עבור הלגראנז'יאן באופן בו משתמשים בו היום ולא ציין באופן מפורש שהעיקרון כללי גם עבור מערכות תלויות בזמן. זהו ניסוח פשטני שבדרך כלל נמצא בשימוש בפיזיקה. הניסוח המקורי של המשפט כולל הבחנה בין חבורות סימטריה סופיות ואינסופיות. כמו כן גם הכיוון ההפוך של המשפט נכון - כל גודל שמור מתקבל מסימטריה כלשהי של הפעולה. גולדשטיין מסמן E = T + U {\displaystyle E=T+U} וקורא לפונקציה הזו האנרגיה הכוללת. את הפונקציה ∑ q ˙ i ∂ L ∂ q ˙ i − L {\displaystyle \sum {\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L} מסמן גולדשטיין כ- h {\displaystyle h} וקורא לה "פונקציית האנרגיה". בסימונים אלה, ההמילטוניאן הוא פונקציית האנרגיה המבוטאת בקואורדינטות הקנוניות. לנדאו קורא לפונקציה ∑ q ˙ i ∂ L ∂ q ˙ i − L {\displaystyle \sum {\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L} האנרגיה, ולפיכך הוא מסמן אותה באות E {\displaystyle E} . יש להדגיש שההגדרה של הכוח איננה בסיסית יותר מההגדרה של האנרגיה הפוטנציאלית.