נקודת אי רציפות

באנליזה מתמטית, נקודת אי רציפות של פונקציה היא נקודה, שבה הפונקציה אינה רציפה. כלומר, הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה זו (הנקודה אינה נמצאת בתחום הגדרתה), או שהיא מוגדרת, אך ערכי הפונקציה בסביבתה של הנקודה לא מתקרבים אל ערכה בנקודה עצמה. נהוג לחלק את נקודות אי הרציפות לשלושה סוגים, על פי גבול הפונקציה בנקודת אי הרציפות. תהא   f {\displaystyle \ f} פונקציה ותהא   a {\displaystyle \ a} נקודה. נאמר כי   a {\displaystyle \ a} היא נקודת אי רציפות של   f {\displaystyle \ f} אם   lim x → a f ( x ) ≠ f ( a ) {\displaystyle \ \lim _{x\to a}f(x)\neq f(a)} (ייתכן כי   f ( a ) {\displaystyle \ f(a)} כלל לא מוגדר). ניתן לחלק את אי הרציפות לשלושה סוגים: אי רציפות סליקה: בנקודה   a {\displaystyle \ a} קיימת אי רציפות סליקה, אם הגבול   lim x → a f ( x ) {\displaystyle \ \lim _{x\to a}f(x)} קיים אך שונה מ- f ( a ) {\displaystyle f(a)} . אי רציפות כזו נקראת "סליקה", שכן אפשר "לתקן" את הפונקציה   f {\displaystyle \ f} ("לסלק" את אי הרציפות) על ידי הגדרת   f ( a ) = lim x → a f ( x ) {\displaystyle \ f(a)=\lim _{x\to a}f(x)} , וכך תתקבל פונקציה שתהיה רציפה בנקודה   a {\displaystyle \ a} . אי רציפות מהסוג הראשון ("קפיצה"): בנקודה   a {\displaystyle \ a} קיימת אי רציפות מהסוג הראשון, אם הגבול   lim x → a f ( x ) {\displaystyle \ \lim _{x\to a}f(x)} אינו קיים, אך קיימים שני הגבולות בסביבות חד-צדדיות שלה. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד וקיימים ושונים זה מזה הגבולות   lim x → a + f ( x ) , lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \ \lim _{x\to a^{+}}f(x),\lim _{x\to a^{-}}f(x)} , אזי יש לפונקציה בנקודה   a {\displaystyle \ a} אי רציפות מסוג ראשון. אי רציפות מהסוג השני ("אי רציפות עיקרית"): בנקודה   a {\displaystyle \ a} קיימת אי רציפות מהסוג השני, אם לפחות אחד משני הגבולות בסביבות חד-צדדיות שלה לא קיים במובן הצר. למשל, אם הפונקציה היא פונקציה ממשית במשתנה יחיד ולפחות אחד מן הגבולות   lim x → a + f ( x ) , lim x → a − f ( x ) {\displaystyle \ \lim _{x\to a^{+}}f(x),\lim _{x\to a^{-}}f(x)} אינו קיים (אינו ערך ממשי), אזי יש לפונקציה בנקודה   a {\displaystyle \ a} אי רציפות מהסוג השני. הפונקציה   f ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle \ f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}} אינה מוגדרת כלל בנקודה   x = 0 {\displaystyle \ x=0} , אך ידוע כי מתקיים   lim x → 0 f ( x ) = 1 {\displaystyle \ \lim _{x\to 0}f(x)=1} . על כן, ניתן להגדיר   f ( 0 ) = 1 {\displaystyle \ f(0)=1} ותתקבל פונקציה שרציפה גם בנקודה   0 {\displaystyle \ 0} . עבור כל הגדרה אחרת,   x = 0 {\displaystyle \ x=0} תהיה נקודת אי רציפות סליקה של הפונקציה. פונקציית מדרגה H ( x ) = { 0  for  x < 0 1  for  x ≥ 0 {\displaystyle H(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ for }}x<0\\1&{\mbox{ for }}x\geq 0\end{matrix}}\right.} רציפה בכל הישר פרט לנקודה   x = 0 {\displaystyle \ x=0} . בנקודה זו יש לה הן גבול מימין והן גבול משמאל, ולכן זוהי נקודת אי רציפות מן הסוג הראשון. הפונקציה   f ( x ) = sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \ f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)} היא בעלת אי רציפות מן הסוג השני בנקודה   x = 0 {\displaystyle \ x=0} (בסביבת נקודה זו, הפונקציה מתנודדת בקצב הולך וגדל, ככל שמתקרבים ל-   0 {\displaystyle \ 0} , בין הערכים   1 {\displaystyle \ 1} ו-   − 1 {\displaystyle \ -1} , ולכן לא קיים לה גבול, אפילו חד-צדדי, בנקודה זו). 1. בפונקציה f ( x ) = { x 2  for  x < 1 2 − x  for  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{matrix}}\right.} הנקודה x 0 = 1 {\displaystyle \,x_{0}=1} היא נקודת אי רציפות סליקה, משום ש-   lim x → 1 f ( x ) = 1 {\displaystyle \ \lim _{x\to 1}f(x)=1} , וניתן "להפוך" את הפונקציה לרציפה על ידי הגדרתה מחדש באופן הבא: f ( x ) = { x 2  for  x < 1 1  for  x = 1 2 − x  for  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\1&{\mbox{ for }}x=1\\2-x&{\mbox{ for }}x>1\end{matrix}}\right.} 2. בפונקציה f ( x ) = { x 2  for  x < 1 2 − ( x − 1 ) 2  for  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{2}&{\mbox{ for }}x<1\\2-(x-1)^{2}&{\mbox{ for }}x>1\end{matrix}}\right.} הנקודה x 0 = 1 {\displaystyle \,x_{0}=1} היא נקודת אי רציפות מהסוג הראשון, משום ש- lim x → 1 − f ( x ) = 1 ≠ 2 = lim x → 1 + f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=1\neq 2=\lim _{x\rightarrow 1^{+}}f(x)} . 3. בפונקציה f ( x ) = { sin ⁡ 5 x − 1  for  x < 1 0.1 x − 1  for  x > 1 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin {\frac {5}{x-1}}&{\mbox{ for }}x<1\\&\\{\frac {0.1}{x-1}}&{\mbox{ for }}x>1\end{matrix}}\right.} הנקודה x 0 = 1 {\displaystyle \,x_{0}=1} היא נקודת אי רציפות מהסוג השני, משום שהגבול lim x → 1 − f ( x ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}f(x)} לא קיים. נקודת אי רציפות, באתר MathWorld (באנגלית)