משפט לוסטרניק-שנירלמן

בטופולוגיה, משפט לוסטרניק-שנירלמן הוא משפט הקובע ששתי הטענות הבאות נכונות: בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות סגורות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות. בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות פתוחות יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות. המשפט שוער לראשונה במאמר של לזר לוסטרניק ולב שנירלמן מ-1930. המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם שהוכח ב-1933. למעשה נכון משפט כללי יותר שמכליל את שתי הגרסאות המקוריות של המשפט: בכל כיסוי של ספירה n-ממדית באמצעות n+1 קבוצות, שכל אחת מהן פתוחה או סגורה, יש קבוצה שמכילה זוג נקודות אנטיפודיות. מספיק להוכיח את המשפט ל- S n {\displaystyle S^{n}} שהיא ספירת היחידה ה-n-ממדית (אוסף כל הנקודות ב- R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} שמרחקן מהראשית הוא 1). נוכיח כי המשפט שקול למשפט בורסוק-אולם הקובע שלכל פונקציה רציפה f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} קיימת נקודה x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} כך ש- f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle f(x)=f(-x)} . במרחב מטרי, המרחק בין נקודה x לקבוצה A, d ( x , A ) {\displaystyle d(x,A)} , מוגדר כאינפימום של אוסף המרחקים בין x לכל אחת מנקודות A. לפי הגדרת הסגור, אם d ( x , A ) = 0 {\displaystyle d(x,A)=0} אז x ∈ A ¯ {\displaystyle x\in {\bar {A}}} . יהי F 1 , … , F n + 1 {\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n+1}} אוסף של n+1 קבוצות סגורות המכסות את S n {\displaystyle S^{n}} . נגדיר פונקציה f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} כך: f ( x ) = ( d ( x , F 1 ) , … , d ( x , F n ) ) {\displaystyle f(x)=(d(x,F_{1}),\ldots ,d(x,F_{n}))} f {\displaystyle f} בבירור רציפה ולכן לפי משפט בורסוק-אולם קיים x ∗ ∈ S n {\displaystyle x^{*}\in S^{n}} כך ש- f ( x ∗ ) = f ( − x ∗ ) {\displaystyle f(x^{*})=f(-x^{*})} . בפרט אם קיים 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} כך ש- d ( x ∗ , F i ) = 0 {\displaystyle d(x^{*},F_{i})=0} אז גם d ( − x ∗ , F i ) = 0 {\displaystyle d(-x^{*},F_{i})=0} . אולם F i {\displaystyle F_{i}} סגורה ושווה לסגור שלה, ולכן במקרה כזה x ∗ , − x ∗ {\displaystyle x^{*},-x^{*}} הן זוג נקודות אנטיפודיות הנמצאות ב- F i {\displaystyle F_{i}} . נותר המקרה בו d ( x ∗ , F i ) = d ( − x ∗ , F i ) ≠ 0 {\displaystyle d(x^{*},F_{i})=d(-x^{*},F_{i})\neq 0} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} . במקרה כזה x ∗ , − x ∗ {\displaystyle x^{*},-x^{*}} לא נמצאות באף אחת מן הקבוצות F 1 , … , F n {\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n}} (כי מרחקן מכל אחת מהן חיובי) ולכן הן חייבות להימצא יחדיו ב- F n + 1 {\displaystyle F_{n+1}} . יהי U 1 , … , U n + 1 {\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n+1}} אוסף של n+1 קבוצות פתוחות המכסות את S n {\displaystyle S^{n}} . לכל 1 ≤ i ≤ n + 1 {\displaystyle 1\leq i\leq n+1} ולכל x ∈ U i {\displaystyle x\in U_{i}} נבחר סביבה פתוחה קטנה מספיק V x {\displaystyle V_{x}} כך ש- x ∈ V x i ⊆ V x i ¯ ⊆ U i {\displaystyle x\in V_{x}^{i}\subseteq {\bar {V_{x}^{i}}}\subseteq U_{i}} . איחוד כל הסביבות V x i {\displaystyle V_{x}^{i}} לכל ה-x וה-i הוא כיסוי פתוח של S n {\displaystyle S^{n}} . הספירה היא קבוצה קומפקטית ולכן יש לכיסוי תת-כיסוי סופי V 1 , … , V m {\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{m}} . נאחד את כל הקבוצות V j ¯ {\displaystyle {\bar {V_{j}}}} המוכלות באותה קבוצה U i {\displaystyle U_{i}} . זהו איחוד סופי של קבוצות סגורות ולכן לכל i נקבל קבוצה סגורה F i ⊆ U i {\displaystyle F_{i}\subseteq U_{i}} . קיבלנו כיסוי F 1 , … , F n + 1 {\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n+1}} של הספירה, ולכן לפי המקרה הסגור קיימים l {\displaystyle l} ונקודה x ∗ ∈ S n {\displaystyle x^{*}\in S^{n}} כך ש- x ∗ , − x ∗ ∈ F l ⊆ U l {\displaystyle x^{*},-x^{*}\in F_{l}\subseteq U_{l}} כפי שרצינו להוכיח. יהי A 1 , … , A n + 1 {\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n+1}} אוסף של n+1 קבוצות סגורות או פתוחות המכסות את S n {\displaystyle S^{n}} . לכל A i {\displaystyle A_{i}} סגורה נגדיר U i k = { x ∈ S n ∣ d ( x , A i ) < 1 k } {\displaystyle U_{i}^{k}=\{x\in S^{n}\mid d(x,A_{i})<{\tfrac {1}{k}}\}} . ולכל A i {\displaystyle A_{i}} פתוחה נגדיר U i k = A i {\displaystyle U_{i}^{k}=A_{i}} . לכל k, U 1 k , … , U n + 1 k {\displaystyle U_{1}^{k},\ldots ,U_{n+1}^{k}} כיסוי פתוח של S n {\displaystyle S^{n}} , ולכן לפי הגרסה הפתוחה קיימים l k {\displaystyle l_{k}} וזוג נקודות x k , − x k ∈ U l k k {\displaystyle x_{k},-x_{k}\in U_{l_{k}}^{k}} . אם ל-k כלשהו A l k {\displaystyle A_{l_{k}}} פתוחה סיימנו, כי x k , − x k ∈ U l k k = A l k {\displaystyle x_{k},-x_{k}\in U_{l_{k}}^{k}=A_{l_{k}}} . לכן נניח שלכל k A l k {\displaystyle A_{l_{k}}} סגורה. הסדרה { l k } {\displaystyle \{l_{k}\}} היא סדרה אינסופית שמקבלת מספר סופי של ערכים (שלמים 1 ≤ l k ≤ n + 1 {\displaystyle 1\leq l_{k}\leq n+1} ) ולכן יש מספר l {\displaystyle l} שמופיע בה אינסוף פעמים. נסתכל על תת-סדרה מתכנסת של הסדרה ( x k ) k {\displaystyle (x_{k})_{k}} שאיבריה מקיימים l k = l {\displaystyle l_{k}=l} . נסמן את גבולה x ∗ {\displaystyle x^{*}} . מתקיים d ( x ∗ , A l ) = lim k → ∞ d ( x k , A l k ) = 0 {\displaystyle d(x^{*},A_{l})=\lim _{k\to \infty }d(x_{k},A_{l_{k}})=0} . ולכן, מכיוון שהנחנו ש- A l {\displaystyle A_{l}} סגורה, מתקיים x ∗ ∈ A l {\displaystyle x^{*}\in A_{l}} . מאותה סיבה מתקיים − x ∗ ∈ A l {\displaystyle -x^{*}\in A_{l}} . למה. ניתן לכסות את S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות n+1 קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. הוכחה. נמקם סימפלקס במרחב ה-n ממדי כך שהראשית נמצאת במרכז הסימפלקס. כעת נטיל את n+1 פאות הסימפלקס על הספירה S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות קרניים שיוצאות מהראשית. קל לראות שתמונת הפאות הן הקבוצות הסגורות הנדרשות. הוכחת בורסוק-אולם. נניח בשלילה שקיימת פונקציה f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} כך שלכל x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} מתקיים f ( x ) ≠ f ( − x ) {\displaystyle f(x)\neq f(-x)} . אזי הפונקציה g : S n → S n − 1 {\displaystyle g:S^{n}\to S^{n-1}} המוגדרת לפי g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) ‖ f ( x ) − f ( − x ) ‖ {\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{\|f(x)-f(-x)\|}}} מוגדרת היטב (כי המכנה לא מתאפס) ורציפה. נשים לב כי לכל x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} מתקיים g ( x ) = − g ( − x ) {\displaystyle g(x)=-g(-x)} . יהי F 1 , … , F n + 1 {\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{n+1}} כיסוי של S n − 1 {\displaystyle S^{n-1}} באמצעות קבוצות סגורות שלא מכילות אנטיפודים. g − 1 ( F 1 ) … , g − 1 ( F n + 1 ) {\displaystyle g^{-1}(F_{1})\ldots ,g^{-1}(F_{n+1})} הוא כיסוי של S n {\displaystyle S^{n}} באמצעות קבוצות סגורות, ולכן לפי משפט לוסטרניק-שנירלמן קיימים x ∗ , − x ∗ ∈ g − 1 ( F l ) {\displaystyle x^{*},-x^{*}\in g^{-1}(F_{l})} . אולם אז g ( x ∗ ) ∈ f − 1 ( F l ) {\displaystyle g(x^{*})\in f^{-1}(F_{l})} וגם − g ( x ∗ ) = g ( − x ∗ ) ∈ f − 1 ( F l ) {\displaystyle -g(x^{*})=g(-x^{*})\in f^{-1}(F_{l})} בסתירה לטענה ש- F l {\displaystyle F_{l}} אינה מכילה אנטיפודים. משפט לוסטרניק-שנירלמן עומד בבסיס הוכחה פשוטה למשפט לובאס-קנזר בתורת הגרפים, מה שמדגים את היותו כלי חשוב בקומבינטוריקה טופולוגית. השערת בורסוק Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 3-540-00362-2