משפט ז'יראר

בטריגונומטריה ספירית, משפט ז'יראר (באנגלית: Girard's theorem) קובע שסכום הזוויות של משולש גיאודטי על כדור סוטה מ- π {\displaystyle \pi } סטייה חיובית שערכה פרופורציונלי לשטח המשולש A / r 2 {\displaystyle A/r^{2}} , או, בניסוח שקול: ( α + β + γ − π ) r 2 = A {\displaystyle (\alpha +\beta +\gamma -\pi )r^{2}=A} , כאשר r הוא רדיוס הכדור. את המשפט, שהוא המקרה הלא-טריוויאלי הפשוט ביותר של משפט גאוס-בונה, גילה והוכיח המתמטיקאי הצרפתי אלבר ז'יראר. הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא להסתכל בהשלמה של המשולש הספירי, כלומר להסתכל לא רק על קשתות המעגלים הגדולים שמהוות את צלעות המשולש, אלא על כל ההיקף שלהם, כמומחש באיור. ניתן לראות שכל שני מעגלים גדולים נפגשים בשתי נקודות אנטיפודיות, ולכן יוצרים זוג של "רצועות כדוריות", אותם נכנה סהרונים (lunes). סהרונים אלו חופפים בחלקם, כאשר אזורי החפיפה הם שני העותקים של המשולש הכדורי. מיישום עקרון ההכלה וההפרדה לצורך חישוב שטח ניתן לקבל איפוא ששטח הכדור 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} שווה לסכום שטחי שלושת זוגות הסהרונים פחות ארבע פעמים שטח המשולש הכדורי. הסיבה לכך היא שכל סהרון מכיל את שטח המשולש הכדורי, בעוד יש שני משולשים כדוריים בלבד, לכן ספרנו את השטח A של המשולש הכדורי 6 פעמים כאשר יש למנות אותו פעמיים בלבד, ומכאן מגיע המחוסר 4A. כיוון שזווית הפתיחה של כל סהרון היא אחת מהזוויות הקודקודיות של המשולש הכדורי α , β , γ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } , ניתן לקבל ששטח הסהרון פרופורציונלי לזווית הקודקודית שמתאימה לו ושווה במדויק ל-: θ 2 π ⋅ 4 π r 2 = 2 θ r 2 {\displaystyle {\frac {\theta }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\theta r^{2}} . מהצבת כל הקשרים האלו נקבל: 4 ( α + β + γ ) r 2 − 4 A = 4 π r 2 {\displaystyle 4(\alpha +\beta +\gamma )r^{2}-4A=4\pi r^{2}} ומצמצום ב-4 והעברת אגפים נקבל את התוצאה המבוקשת: A = ( α + β + γ − π ) r 2 {\displaystyle A=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )r^{2}} מ.ש.ל ניתן להיעזר במשפט ז'יראר למתן הוכחה שאינה נעזרת בנוסחת אוילר בתורת הגרפים לעובדה שקיימים רק 5 פאונים משוכללים בשלושה ממדים. פאון משוכלל הוא פאון שכל פאותיו הן מצולעים משוכללים חופפים כך שבכל קודקוד שלו נפגשות מספר שווה של פאות. הוכחה: מטעמי סימטריה ניתן לחסום כל פאון משוכלל בכדור (מרכז הכדור החוסם הוא גם מרכז הכובד של הפאון). אם נבצע הטלה גנומונית של צלעות הפאון ממרכז הכדור החוסם אל פני הכדור, אז תחת ההטלה כל צלע של הפאון תהפוך לקשת של מעגל גדול, ולכן נקבל ריצוף של הספירה הדו-ממדית (פני הכדור החוסם) על ידי מצולעים כדוריים משוכללים חופפים. אם מספר הפאות של הפאון המשוכלל הוא f {\displaystyle f} וכל פאה היא מצולע משוכלל בעל n {\displaystyle n} צלעות, אז שטח כל מצולע כדורי כזה הוא A = 4 π r 2 f {\displaystyle A={\frac {4\pi r^{2}}{f}}} . משפט ז'יראר המקורי אמנם נוסח למשולשים כדוריים, אולם בעזרת טריאנגולציה ניתן להראות שסכום זוויותיו של כל מצולע כדורי בעל n צלעות עולה על סכום זוויותיו של מצולע מישורי בן n צלעות לפי הכלל: ∑ k = 1 n α k − ( n − 2 ) π = A r 2 {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}-(n-2)\pi ={\frac {A}{r^{2}}}} מכיוון שכל מצולע כדורי כזה הוא גם מצולע משוכלל, כל הזוויות α k {\displaystyle \alpha _{k}} שוות זו לזו, ולכן נקבל שזוויותיו הן: α k = 4 π f n + ( n − 2 ) π n {\displaystyle \alpha _{k}={\frac {4\pi }{fn}}+{\frac {(n-2)\pi }{n}}} מצולעים כדוריים זהים כאלה יכולים לרצף את פני הספירה רק אם הזווית הפנימית שלהן היא מהצורה α k = 2 π m {\displaystyle \alpha _{k}={\frac {2\pi }{m}}} כאשר m מספר טבעי כלשהו המייצג את מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד. לאחר מספר פישוטים אלגבריים נקבל את המשוואה הדיופנטית: m − 2 2 m = f − 2 f n {\displaystyle {\frac {m-2}{2m}}={\frac {f-2}{fn}}} מכיוון שמספר הצלעות המינימלי בפאה כלשהי הוא 3 (כלומר n ≥ 3 {\displaystyle n\geq 3} ), מספר הפאות המינימלי של פאון תלת-ממדי הוא 4 (כלומר f ≥ 4 {\displaystyle f\geq 4} ) ומספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד הוא לכל הפחות 3 (כלומר m ≥ 3 {\displaystyle m\geq 3} ), השבר באגף שמאל תמיד גדול או שווה מ- 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} כאשר m ≥ 6 {\displaystyle m\geq 6} בעוד שהשבר באגף ימין תמיד קטן מ- 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} . לפיכך פתרון ייתכן רק עבור m = 3 , 4 , 5 {\displaystyle m=3,4,5} . בדיקה מדוקדקת של שלושת המקרים מגלה פתרונות עבור: ארבעון משוכלל ( m = 3 , n = 3 , f = 4 {\displaystyle m=3,n=3,f=4} ) קובייה ( m = 3 , n = 4 , f = 6 {\displaystyle m=3,n=4,f=6} ) תמניון משוכלל ( m = 4 , n = 3 , f = 8 {\displaystyle m=4,n=3,f=8} ) תריסרון משוכלל ( m = 3 , n = 5 , f = 12 {\displaystyle m=3,n=5,f=12} ) עשרימון משוכלל ( m = 5 , n = 3 , f = 20 {\displaystyle m=5,n=3,f=20} ) טריגונומטריה ספירית משפט גאוס-בונה