מבחן F

מבחן F הוא כל מבחן סטטיסטי אשר בו סטטיסטי המבחן הוא בעל התפלגות F תחת השערת האפס. השם של המבחן נקבע על ידי הסטטיסטיקאי ג'ורג' ואדל סנדקור (George Waddel Snedecor), כמחווה לרונלד פישר. להלן מספר דוגמאות נפוצות שבהן משתמשים במבחני F. בחינת ההיפותזה שהתוחלות של אוכלוסיות המתפלגות נורמלית, בעלות אותה סטיית תקן הן שוות. זהו מבחן ה-F הנפוץ ביותר, והוא מהווה חלק חשוב במבחני אנובה. בחינת ההיפותזה שמודל רגרסיה מוצע מתאים באופן טוב לנתונים. יהיו X 1 , . . . , X n ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) {\displaystyle X_{1},...,X_{n}\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})} ו- Y 1 , . . . , Y m ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) {\displaystyle Y_{1},...,Y_{m}\sim N(\mu _{2},\sigma _{2}^{2})} שני מדגמים, כך שהשונויות והתוחלות שלהם אינן ידועות. נניח שאנו רוצים לבדוק האם השונויות זהות או שונות. נגדיר את ההשערות שלנו: H 0 : σ 1 2 = σ 2 2 {\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}} H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2 {\displaystyle H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}} כדי לבחון את ההשערות ולקבוע מתי לדחות את השערת האפס נבנה מבחן יחס נראות מוכלל. נגדיר את אומדי הנראות המקסימלית: μ ^ 1 = X ¯ , σ ^ 1 2 = 1 n ∑ ( X i − X ¯ ) 2 {\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\bar {X}},\quad {\hat {\sigma }}_{1}^{2}={\frac {1}{n}}\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}} μ ^ 2 = Y ¯ , σ ^ 2 2 = 1 m ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\bar {Y}},\quad {\hat {\sigma }}_{2}^{2}={\frac {1}{m}}\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}} פונקציית הנראות עבור האומדים הללו מקיימת: L ( μ ^ 1 , μ ^ 2 , σ ^ 1 , σ ^ 2 ) = ( 1 2 π σ ^ 1 ) n e − n 2 ( 1 2 π σ ^ 2 ) m e − m 2 {\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{1}}}\right)^{n}e^{-{\frac {n}{2}}}\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{2}}}\right)^{m}e^{-{\frac {m}{2}}}} תחת השערת האפס, מתקיים שהשונויות שוות, נסמנן σ ^ 0 2 = ∑ ( X i − X ¯ ) 2 + ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 n + m {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{0}^{2}={\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}+\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n+m}}} . כעת, פונקציית הנראות תחת השערת האפס היא: L ( μ ^ 1 , μ ^ 2 , σ ^ 0 ) = ( 1 2 π σ ^ 0 ) n + m e − n + m 2 {\displaystyle L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})=\left({\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}{\hat {\sigma }}_{0}}}\right)^{n+m}e^{-{\frac {n+m}{2}}}} משני חישובים אלה נקבל שפונקציית יחס הנראות היא: λ ( X , Y ) = L ( μ ^ 1 , μ ^ 2 , σ ^ 1 , σ ^ 2 ) L ( μ ^ 1 , μ ^ 2 , σ ^ 0 ) = ( σ ^ 1 2 σ ^ 0 2 ) n 2 ( σ ^ 2 2 σ ^ 0 2 ) m 2 {\displaystyle \lambda (X,Y)={\frac {L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2})}{L({\hat {\mu }}_{1},{\hat {\mu }}_{2},{\hat {\sigma }}_{0})}}=\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{1}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {n}{2}}\left({\frac {{\hat {\sigma }}_{2}^{2}}{{\hat {\sigma }}_{0}^{2}}}\right)^{\frac {m}{2}}} ואם נציב בביטוי את הנתונים ונפשט נקבל: λ ( X , Y ) = ( ( 1 + ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 ∑ ( X i − X ¯ ) 2 ) n + m n ) − n 2 ( ( 1 + ∑ ( X i − X ¯ ) 2 ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 ) n + m m ) − m 2 {\displaystyle \lambda (X,Y)=\left(\left(1+{\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{n}}\right)^{-{\frac {n}{2}}}\left(\left(1+{\frac {\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}}\right){\frac {n+m}{m}}\right)^{-{\frac {m}{2}}}} כעת, נביט בסטטיסטי T ( X , Y ) = ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 ∑ ( X i − X ¯ ) 2 {\displaystyle T(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}}}} . נשים לב שגם כאשר ביטוי זה שואף ל-0 וגם כאשר הוא שואף לאינסוף, λ ( X , Y ) {\displaystyle \lambda (X,Y)} שואפת לאינסוף. לכן, מבחן יחס נראות מוכלל יהיה מהצורה: נדחה את השערת האפס אם T ( X , Y ) > C 1 {\displaystyle T(X,Y)>C_{1}} או T ( X , Y ) < C 2 {\displaystyle T(X,Y)<C_{2}} , כאשר רמת הביטחון מקיימת α = P ( { T ( X , Y ) < C 2 } ∪ { T ( X , Y ) > C 1 } ) {\displaystyle \alpha =P\left(\{T(X,Y)<C_{2}\}\cup \{T(X,Y)>C_{1}\}\right)} . כעת, נשים לב לתכונות הבאות: ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 / ( m − 1 ) ∑ ( X i − X ¯ ) 2 / ( n − 1 ) = S Y 2 S X 2 ∼ χ m − 1 2 / ( m − 1 ) χ n − 1 2 / ( n − 1 ) = F m − 1 , n − 1 {\displaystyle {\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}={\frac {S_{Y}^{2}}{S_{X}^{2}}}\sim {\frac {\chi _{m-1}^{2}/(m-1)}{\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}=F_{m-1,n-1}} לכן, נעדיף להשתמש בסטטיסטי T ′ ( X , Y ) = ∑ ( Y i − Y ¯ ) 2 / ( m − 1 ) ∑ ( X i − X ¯ ) 2 / ( n − 1 ) {\displaystyle T'(X,Y)={\frac {\sum (Y_{i}-{\bar {Y}})^{2}/(m-1)}{\sum (X_{i}-{\bar {X}})^{2}/(n-1)}}} . כדי לקבל אותו, נחלק ב- n − 1 , m − 1 {\displaystyle n-1,m-1} את המקומות הרלוונטיים בפונקציית יחס הנראות. עדיין יתקיים שכשהסטטיסטי החדש שואף לאינסוף או ל-0, כך גם פונקציית יחס הנראות. לכן נקבל את אותו מבחן יחס נראות מוכלל רק עם ערכי C שונים: נדחה את השערת האפס אם T ′ ( X , Y ) > C 1 ∗ {\displaystyle T'(X,Y)>C_{1}^{*}} או T ′ ( X , Y ) < C 2 ∗ {\displaystyle T'(X,Y)<C_{2}^{*}} כאשר רמת הביטחון מקיימת α = P ( T ′ ( X , Y ) < C 2 ∗ o r T ′ ( X , Y ) > C 1 ∗ ) {\displaystyle \alpha =P(T'(X,Y)<C_{2}^{*}orT'(X,Y)>C_{1}^{*})} . ולמעשה נוכל למצוא את ערכי ה-C לפי התפלגות F : C 1 ∗ = F m − 1 , n − 1 ; 1 − α 2 , C 2 ∗ = F m − 1 , n − 1 ; α 2 {\displaystyle C_{1}^{*}=F_{m-1,n-1;1-{\frac {\alpha }{2}}},C_{2}^{*}=F_{m-1,n-1;{\frac {\alpha }{2}}}} מבחן t