אלומה גאוסיאנית

באופטיקה, אלומה גאוסיאנית היא אלומה של קרינה אלקטרומגנטית בה משרעת (אמפליטודה) השדה החשמלי ועוצמתו (ערך מוחלט של המשרעת בריבוע) מתפרשים על המישור המאונך לכיוון התקדמות האלומה לפי התפלגות גאוס. מכשירי לייזר רבים פולטים אלומות גאוסיאניות, ובמקרה זה אומרים שהלייזר באופן הרוחבי הבסיסי "mode TEM00" של המהוד האופטי. כאשר קרן גאוסיאנית נשברת בעדשה, הקרן הגאוסיאנית נשברת לקרן גאוסיאנית אחרת (רוחבה משתנה בהתאם למקדמי השבירה במעבר התווך). תכונה זו הופכת את הקרן הגאוסיאנית לשימושית במיוחד, הן בניסויים והן בפיתוח מודלים תאורטיים עבור אופטיקה של לייזרים. הפונקציה המתמטית שמתארת קרן גאוסיאנית היא פתרון לקירוב הפראקסיאלי של משוואת הלמהולץ. הפתרון הוא גאוסיאן (הפונקציה המתארת את התפלגות גאוס), המייצג את המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי, שמתקדם ביחד עם השדה המגנטי המתאים, כגל אלקטרומגנטי. כמו באופטיקה גאומטרית, גם אלומה גאוסיאנית מתקדמת בקו ישר, אך בניגוד לגל המישורי של האופטיקה הפיזיקלית לאלומה גאוסיאנית יש רוחב סופי, שגדל ככל שהאלומה מתקדמת . אלומה גאוסיאנית מהווה את האלומה הממוקדת ביותר שאפשר להפיק תאורטית, אך גם בה רוחב האלומה סופי - כלומר: יש גבול לכמה ניתן למקד אלומה אופטית קוהרנטית. אלומה גאוסיאנית היא הפתרון הבסיסי של משוואת הלמהולץ תחת הקירוב הפרקסיאלי. משוואת הלמהולץ, הנובעת ממשוואת הגלים, היא   ∇ 2 E ( x , y , z ) + n 2 ω 2 c 2 E ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle \ \nabla ^{2}E(x,y,z)+n^{2}{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E(x,y,z)=0} (כאשר n הוא מקדם השבירה האופטי). זו משוואה דיפרנציאלית רגילה ידועה. מנחשים פתרון מהצורה:   E ( x , y , z ) = A ( x , y , z ) exp ⁡ ( − i k z ) {\displaystyle \ E(x,y,z)=A(x,y,z)\exp {(-ikz)}} (כאשר exp היא פונקציית האקספוננט ו-i הוא מספר היחידה המדומה) עם הקירוב הפרקסיאלי (קירוב זוויות קטנות) ו- k = ω 2 μ ϵ {\displaystyle k=\omega ^{2}\mu \epsilon } . מניחים קירוב נוסף - המעטפת משתנה לאט (כלומר:   | ∂ 2 A ∂ z 2 | << k | ∂ A ∂ z | {\displaystyle \ \left|{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}\right|<<k\left|{\frac {\partial A}{\partial z}}\right|} ). בסך הכל מקבלים שהמשוואה המקורבת היא   ∇ ⊥ 2 A − 2 i k ∂ A ∂ z = 0 {\displaystyle \ \nabla _{\perp }^{2}A-2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}=0} כאשר ∇ ⊥ 2 {\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}} הוא לפלסיאן בכיוון הניצב לכיוון התקדמות האלומה ו-i הוא מספר היחידה המדומה (i2=-1). עבור קרן גאוסיאנית המתקדמת בכיוון ציר z, המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי נתונה על ידי E ( r , z ) = E 0 w 0 w ( z ) exp ⁡ ( − r 2 w 2 ( z ) ) exp ⁡ ( − i k z − i k r 2 2 R ( z ) + i ζ ( z ) )   {\displaystyle E(r,z)=E_{0}{\frac {w_{0}}{w(z)}}\exp \left({\frac {-r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\exp \left(-ikz-ik{\frac {r^{2}}{2R(z)}}+i\zeta (z)\right)\ } כאן r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} הוא המרחק הרדיאלי מציר האלומה, z {\displaystyle z} הוא המרחק מהנקודה הצרה ביותר של האלומה (הנקרא "מותן", מאנגלית:"waist"), i {\displaystyle i} הוא מספר היחידה המדומה המקיים i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} , k = 2 π λ {\displaystyle k={2\pi \over \lambda }} הוא מספר הגל (ביחידות רדיאנים למטר),   E 0 = | E ( 0 , 0 ) | {\displaystyle \ E_{0}=|E(0,0)|} ,   w ( z ) {\displaystyle \ w(z)} הוא הרדיוס בו המשרעת והעוצמה יורדות ל-   1 / e {\displaystyle \ 1/e} ו-   1 / e 2 {\displaystyle \ 1/e^{2}} בהתאמה, מהערך בציר האלומה,   w 0 = w ( 0 ) {\displaystyle \ w_{0}=w(0)} הוא רוחב (למעשה רדיוס) המותן (האזור הצר ביותר בקרן, ראו הרחבה בהמשך). הפונקציות   w ( z ) {\displaystyle \ w(z)} (רוחב הקרן),   R ( z ) {\displaystyle \ R(z)} (רדיוס העקמומיות של הקרן) ו-   ζ ( z ) {\displaystyle \ \zeta (z)} (מופע/פאזה) הם פרמטרים שמאפיינים את האלומה הגאוסיאנית ויוגדרו בהמשך. עוצמת הקרן, ממוצעת על פני הזמן, היא I ( r , z ) = | E ( r , z ) | 2 2 η = I 0 ( w 0 w ( z ) ) 2 exp ⁡ ( − 2 r 2 w 2 ( z ) )   , {\displaystyle I(r,z)={|E(r,z)|^{2} \over 2\eta }=I_{0}\left({\frac {w_{0}}{w(z)}}\right)^{2}\exp \left({\frac {-2r^{2}}{w^{2}(z)}}\right)\ ,} כאשר   I 0 = I ( 0 , 0 ) {\displaystyle \ I_{0}=I(0,0)} היא עוצמת האלומה על צירה במותן (z=0,r=0). הקבוע η {\displaystyle \eta \,} הוא העכבה האופיינית של התווך בו נמצאת האלומה. עבור ריק η = η 0 ≈ 377   Ω {\displaystyle \eta =\eta _{0}\approx 377\ \mathrm {\Omega } } . הגאומטריה וההתנהגות של אלומה גאוסיאנית נשלטים על ידי פרמטרי האלומה המתוארים להלן. עבור אלומה גאוסיאנית המתקדמת בריק, גודל הכתם שיוצרת האלומה, שנקרא גם "רוחב האלומה",   w ( z ) {\displaystyle \ w(z)} יקבל ערך מינימלי   w 0 = w ( 0 ) {\displaystyle \ w_{0}=w(0)} בנקודה כלשהי לאורך ציר הקרן. נקודה זו, בה רוחב הקרן מזערי נקרא המותן (לפעמים "מותניים") של הקרן (באנגלית: beam waist). עבור אלומה גאוסיאנית עם אורך גל λ {\displaystyle \lambda } במרחק z מהמותן, רוחב האלומה נתון על ידי w ( z ) = w 0 1 + ( z z R ) 2 {\displaystyle w(z)=w_{0}\,{\sqrt {1+{\left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)}^{2}}}} כאשר ראשית הצירים מוגדרת להיות במרכז האלומה במותן, ו-z נמדד ממותן האלומה. כמו כן, z R = π w 0 2 n λ {\displaystyle z_{\mathrm {R} }={\frac {\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}} נקרא טווח ריילי (או "מרחק קונפוקלי"), כאשר n הוא מקדם השבירה של התווך. במרחק z ממותני הקרן השווה לטווח ריילי z R {\displaystyle z_{R}} , רוחב האלומה הוא: w ( ± z R ) = w 0 2 {\displaystyle w(\pm z_{\mathrm {R} })=w_{0}{\sqrt {2}}\,} המרחק בין שתי הנקודות הללו נקרא "הפרמטר הקונפוקלי (confocal parameter) או "עומק המוקד" (depth of focus) של הקרן:   b = 2 z R = 2 π w 0 2 n λ {\displaystyle \ b=2z_{\mathrm {R} }={\frac {2\pi w_{0}^{2}n}{\lambda }}}   R ( z ) {\displaystyle \ R(z)} הוא רדיוס העקמומיות של חזיתות הגל המרכיבות את האלומה. ערך הרדיוס זה תלוי במיקום לאורך ציר z ונתון על ידי:   R ( z ) = z [ 1 + ( z R z ) 2 ] {\displaystyle \ R(z)=z\left[{1+{\left({\frac {z_{\mathrm {R} }}{z}}\right)}^{2}}\right]} במותני האלומה רדיוס העקמומיות אינסופי וחזית הגל מישורית. ככל שמתרחקים מטווח ריילי הרדיוס שואף ל-z, כמו בגל כדורי המתפשט מנקודה גאומטרית. כידוע, גל מישורי אינסופי וגל כדורי הם שני פתרונות של משוואת הגלים. אלומה גאוסיאנית משלבת, מבחינת רדיוס העקמומיות, גל מישורי במותניים עם גל כדורי במרחק גדול. הפרמטר   w ( z ) {\displaystyle \ w(z)} שואף לפונקציה ליניארית ב-z עבור z ≫ z R {\displaystyle z\gg z_{\mathrm {R} }} . הזווית בין קו ישר זה לציר הקרן (ציר z) נקרא "התבדרות" (divergence) הקרן. הוא נתון על ידי: θ ≃ λ π w 0 n ( θ   i n   r a d i a n s ) {\displaystyle \theta \simeq {\frac {\lambda }{\pi w_{0}n}}\qquad (\theta \mathrm {\ in\ radians} )} ההתבדרות הזוויתית הכוללת של הקרן נתונה על ידי: Θ = 2 θ   {\displaystyle \Theta =2\theta \ } כלומר, פעמיים זווית הסטייה מהציר. בגלל תכונה זו, אלומה גאוסיאנית הממוקדת לנקודה קטנה מתבדרת ומתפשטת במהירות כשהיא מתקדמת הרחק ממותניה. כדי למנוע התבדרות גדולה של אלומה גאוסיאנית במרחק גדול יש להתחיל מקוטר מותניים גדול. היחס בין רוחב האלומה להתבדרותה נגרם עקב עקיפה. גם אלומות לא-גאוסיאניות מציגות אפקט דומה, אך קרן גאוסיאנית היא מקרה פרטי ומיוחד בו מכפלת הרוחב וההתבדרות היא הקטנה ביותר האפשרי. במילים אחרות, נוהגים לומר שלאלומה גאוסיאנית יש את איכות האלומה המיטבית האפשרית. מאחר שהמודל של אלומה גאוסיאנית משתמש בקירוב הפרקסיאלי, הוא נופל ונכשל כאשר חזיתות הגל מוטות בזוויות גדולות מכ-30 מעלות מציר האלומה. מהביטוי לעיל עבור התבדרות האלומה נובע שהמודל המתמטי עבור אלומה גאוסיאנית תקף רק כאשר מותני הקרן גדולים מ- 2 λ / π n {\displaystyle 2\lambda /\pi n} . האיכות של אלומת לייזר נמדדת באופן כמותי באמצעות מכפלת פרמטרי האלומה (beam parameter product, בקיצור BPP). עבור אלומה גאוסיאנית, ה-BPP היא מכפלת התבדרות הקרן ברוחב מותניה w 0 {\displaystyle w_{0}} . ערך ה-BPP של קרן אמיתית נמצא על ידי מדידת הקוטר המינימלי של הקרן והתבדרותה בשדה הרחוק, ואז ביצוע מכפלת שני המספרים. היחס בין ה-BPP של הקרן האמיתית לבין BPP של קרן גאוסיאנית באותו אורך גל מסומן כ-M² (מבוטא "M squared"). הערך של M² עבור קרן גאוסיאנית הוא 1. לכל שאר קרני הלייזר המופקות בפועל מלייזר, הגודל M² גדול מ-1, אך עבור קרניים איכותיות קרוב מאוד ל-1. "פיגור המופע הרוחבי" (longitudinal phase delay), או "מופע גוּי" (Gouy phase) הוא: ζ ( z ) = arctan ⁡ ( z z R )   {\displaystyle \zeta (z)=\arctan \left({\frac {z}{z_{\mathrm {R} }}}\right)\ } זהו המופע (פאזה) של הקרן הגאוסיאנית. פרמטר הקרן המרוכב מוגדר על ידי   q ( z ) = z + q 0 = z + i z R {\displaystyle \ q(z)=z+q_{0}=z+iz_{\mathrm {R} }} והוא מספר מרוכב המשמש לתיאור קומפקטי של קרן גאוסיאנית. יותר נוח בדרך כלל לעבוד עם ההפכי שלו 1 q ( z ) = 1 z + i z R = z z 2 + z R 2 − i z R z 2 + z R 2 = 1 R ( z ) − i λ π w 2 ( z ) n {\displaystyle {1 \over q(z)}={1 \over z+iz_{\mathrm {R} }}={z \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}-i{z_{\mathrm {R} } \over z^{2}+z_{\mathrm {R} }^{2}}={1 \over R(z)}-i{\lambda \over \pi w^{2}(z)n}} כאשר   w ( z ) {\displaystyle \ w(z)} הוא רוחב הקרן ו-   R ( z ) {\displaystyle \ R(z)} הוא רדיוס העקמומיות שלה, כפי שהוגדרו לעיל. פרמטר הקרן המרוכב ממלא תפקיד מרכזי בניתוח התקדמותה של קרן גאוסיאנית, בייחוד בניתוח של חלל מהוד אופטי באמצעות חשבון מטריצות ABCD הידוע מהקירוב הפראקסיאלי. במונחי פרמטר האלומה המרוכב q, השדה הגאוסיאני בממד אחד הניצב לציר z מתכונתי ל- u ( x , z ) = 1 q x ( z ) exp ⁡ ( − i k x 2 2 q x ( z ) ) {\displaystyle {u}(x,z)={\frac {1}{\sqrt {{q}_{x}(z)}}}\exp \left(-ik{\frac {x^{2}}{2{q}_{x}(z)}}\right)} . ב-2 ממדים ניתן לכתוב קרן בעלת חתך אליפטי כמכפלה u ( x , y , z ) = u ( x , z ) u ( y , z ) {\displaystyle {u}(x,y,z)={u}(x,z)\,{u}(y,z)} , שעבור המקרה הנפוץ של סימטריה מעגלית, בה q x = q y = q {\displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}} and x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} נותן u ( r , z ) = 1 z R q ( z ) exp ⁡ ( − i k r 2 2 q ( z ) ) {\displaystyle {u}(r,z)={\frac {1}{z_{\mathrm {R} }{q}(z)}}\exp \left(-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}\right)} . זהו תיאור קומפקטי של האלומה הגאוסיאנית. ההספק P שעובר דרך צמצם או מפתח עגול ברדיוס r דרך מישור הניצב לכיוון התקדמות האלומה הגאוסיאנית, כתלות במיקום הצמצם z ביחס למותן האלומה, הוא: P ( r , z ) = P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] {\displaystyle P(r,z)=P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]} כאשר: P 0 = 1 2 π I 0 w 0 2 {\displaystyle P_{0}={1 \over 2}\pi I_{0}w_{0}^{2}} הוא ההספק הכולל של הקרן. עבור מפתח בעל רדיוס r = w ( z ) {\displaystyle r=w(z)\,} , החלק היחסי של ההספק שמועבר הוא P ( z ) P 0 = 1 − e − 2 ≈ 0.865   {\displaystyle {P(z) \over P_{0}}=1-e^{-2}\approx 0.865\ } כדי ש-95% מההספק יעברו דרך המפתח, על רדיוסו להיות באורך r = 1.224 ⋅ w ( z ) {\displaystyle r=1.224\cdot w(z)\,} . את עוצמת השיא של אלומה גאוסיאנית במרחק z מהמותן ניתן לחשב באמצעות כלל לופיטל כגבול של ההספק הכלוא בתוך עיגול ברדיוס r חלקי שטח העיגול (שהוא π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} ): I ( 0 , z ) = lim r → 0 P 0 [ 1 − e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] π r 2 = P 0 π lim r → 0 [ − ( − 2 ) ( 2 r ) e − 2 r 2 / w 2 ( z ) ] w 2 ( z ) ( 2 r ) = 2 P 0 π w 2 ( z ) . {\displaystyle I(0,z)=\lim _{r\to 0}{\frac {P_{0}\left[1-e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{\pi r^{2}}}={\frac {P_{0}}{\pi }}\lim _{r\to 0}{\frac {\left[-(-2)(2r)e^{-2r^{2}/w^{2}(z)}\right]}{w^{2}(z)(2r)}}={2P_{0} \over \pi w^{2}(z)}.} אנו רואים, אם כן, שעוצמת השיא היא פעמיים העוצמה הממוצעת (אותה מחשבים על ידי סך ההספק חלקי השטח הכלוא בעיגול ברדיוס   w ( z ) {\displaystyle \ w(z)} ). התקדמות של אלומה גאוסיאנית במרחב, בתווך אופטי או דרך אלמנט אופטי ניתן לתאר על ידי השינוי בפרמטר האלומה המרוכב q, או ליתר דיוק בהפכי שלו, כאשר הוא מחושב לפי חשבון מטריצות ABCD לפי הקירוב הפראקסיאלי בשיטה זו, הפרמטר 'q אחרי האלמנט האופטי מתואר על ידי   q ′ = A q + B C q + D {\displaystyle \ q'={\frac {Aq+B}{Cq+D}}} כאשר A,B,C,D הם פרמטרים התלויים במערכת האופטית ו-q הוא פרמטר האלומה המרוכב לפני האלמנט האופטי. עבור מרחב חופשי ההתקדמות של אלומה מ- z 1 {\displaystyle z_{1}} ל- z 2 {\displaystyle z_{2}} מתוארת על ידי   q ′ = q + ( z 2 − z 1 ) {\displaystyle \ q'=q+(z_{2}-z_{1})} ולכן A = 1 ,   B = z 2 − z 1 ,   C = 0 ,   D = 1 {\displaystyle A=1,\ B=z_{2}-z_{1},\ C=0,\ D=1} . עבור התקדמות דרך עדשה ניתן לחשב את התקדמות האלומה הגאוסיאנית לפי תכונות התנהגותה אחרי העדשה והעובדה שעדשה הופכת אלומה גאוסיאנית מקורית לאלומה גאוסיאנית אחרת. בפרט, רוחבי הקרניים על העדשה (אך משני צידיה) שווים   z R ′ ( 1 + ( z ′ / z R ′ ) 2 ) = z R ( 1 + ( z / z R ) 2 ) {\displaystyle \ z_{R}^{\prime }\left(1+(z'/z_{R}^{\prime })^{2}\right)=z_{R}\left(1+(z/z_{R})^{2}\right)} ורדיוס העקמומיות שלה מקיים   1 R ( z ) − 1 f = 1 R ′ ( z ′ ) {\displaystyle \ {\frac {1}{R(z)}}-{\frac {1}{f}}={\frac {1}{R'(z')}}} פתרון שתי המשוואות נותן 1 z + z R 2 z − f + 1 z ′ = 1 f {\displaystyle {\frac {1}{z+{\frac {z_{R}^{2}}{z-f}}}}+{\frac {1}{z'}}={\frac {1}{f}}} מאחר ש-   R e ( 1 / q ) = 1 / R ( z ) {\displaystyle \ Re(1/q)=1/R(z)} ניתן להראות שהשתנות הפרמטר המרוכב דרך עדשה נתונה על ידי   1 q ′ = 1 q − 1 f {\displaystyle \ {\frac {1}{q'}}={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{f}}} או   q ′ = f q f − q = q − q f + 1 {\displaystyle \ q'={\frac {fq}{f-q}}={\frac {q}{-{\frac {q}{f}}+1}}} כלומר: A = 1 ,   B = 0 ,   C = − 1 f ,   D = 1 {\displaystyle A=1,\ B=0,\ C={\frac {-1}{f}},\ D=1} . מיקום הדמות בעדשה של אלומה גאוסיאנית עם מותן ב-   z o {\displaystyle \ z_{o}} נמצא ב-:   z i = ( 1 f − 1 z o + z R 2 z 0 − f ) − 1 {\displaystyle \ z_{i}=\left({\frac {1}{f}}-{\frac {1}{z_{o}+{\frac {z_{R}^{2}}{z_{0}-f}}}}\right)^{-1}} ניתן לראות שעבור אלומה שהמותן שלה נמצא במוקד העדשה, המותן של אלומת הדמות יתקבל במוקד מצידה השני של העדשה. בנוסף, ההגדלה של אלומה גאוסיאנית דרך עדשה היא   M = w 0 ′ w 0 = 1 ( 1 − z f ) 2 + ( z R f ) 2 {\displaystyle \ M={\frac {w_{0}^{\prime }}{w_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {\left(1-{\frac {z}{f}}\right)^{2}+\left({\frac {z_{R}}{f}}\right)^{2}}}}} אלומות גאוסיאניות הן רק פתרון אחד אפשרי למשוואת הגלים הפרקסיאלית. ישנן מספר קבוצות של פתרונות אורתוגונליים (זה לזה) המשמשים לתאר קרני לייזר. במקרה הכללי, אם בסיס שלם של פתרונות נבחר, ניתן לתאר כל קרן לייזר כצירוף ליניארי של פתרונות מהבסיס. תכנון הלייזר קובע איזה בסיס של פתרונות הוא השימושי ביותר. במקרים מסוימים, ניתן לתאר את קרן הלייזר כאופן אחד יחיד מסדר-גבוה. אופני (אופן=מוד) הרמיט-גאוס הם הנפוצים ביותר, שכן מערכות לייזר רבות הן בעלות סימטריית שיקוף קרטזית במישור הניצב לכיוון התקדמות האלומה. אופני הרמיט-גאוס הם תיאור נוח של אלומת לייזר היוצאת מלייזר בו החלל הוא לא בעל סימטריה מעגלית, אלא יש הבחנה בין הכיוון האופקי לכיוון האנכי. במונחי פרמטר הקרן המרוכב q, התפלגות העוצמה במישור x-z פרופורציונלי ל- u n ( x , z ) = ( 2 π ) 1 / 4 ( 1 2 n n ! w 0 ) 1 / 2 ( q 0 q ( z ) ) 1 / 2 [ q 0 q 0 ∗ q ∗ ( z ) q ( z ) ] ( 2 n + 1 ) / 4 H n ( 2 x w ( z ) ) exp ⁡ [ − i k x 2 2 q ( z ) ] {\displaystyle {u}_{n}(x,z)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{2^{n}n!w_{0}}}\right)^{1/2}\left({\frac {{q}_{0}}{{q}(z)}}\right)^{1/2}\left[{\frac {{q}_{0}}{{q}_{0}^{\ast }}}{\frac {{q}^{\ast }(z)}{{q}(z)}}\right]^{(2n+1)/4}H_{n}\left({\frac {{\sqrt {2}}x}{w(z)}}\right)\exp \left[-i{\frac {kx^{2}}{2{q}(z)}}\right]} כאשר H n ( x ) {\displaystyle H_{n}(x)} הוא פולינום הרמיט מסדר n (בצורה הנהוגה בקרב הפיזיקאים, כלומר: H 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle H_{1}(x)=2x\,} ), והכוכבית מסמלת צמוד מרוכב. עבור n=0 מקבלים התפלגות גאוסיאנית הניצבת לכיוון התקדמות הקרן. עבור מערכת קרטזית דו-ממדית, ניתן לבנות פונקציה   u m , n ( x , y , z ) = u m ( x , z ) u n ( y , z ) {\displaystyle \ {u}_{m,n}(x,y,z)=u_{m}(x,z)u_{n}(y,z)} מהפתרונות לעיל. זה אפשרי מכיוון שניתן לפתור את משוואת הלמהולץ הפרקסיאלית באמצעות הפרדת משתנים. אופני הרמיט-גאוס מסומנים   TEM m , n {\displaystyle \ {\textrm {TEM}}_{m,n}} כאשר m ו-n הם סדרי הפולינומים (של הרמיט) בכיווני x ו-y בהתאמה. כמקרה פרטי, קרן גאוסיאנית היא המוד   TEM 0 , 0 {\displaystyle \ {\textrm {TEM}}_{0,0}} אם מתארים את קרן הלייזר בקואורדינטות גליליות, אפשר לתאר את המודים מסדרים גבוהים על ידי פולינומי לאגר במקום פולינומי הרמיט. אופני לאגר-הרמיט מתוארים על ידי המשוואה הבאה: u ( r , θ , z ) = 2 p ! π ( m + p ) ! exp ⁡ ( i ( 2 p + m + 1 ) ( ψ ( z ) − ψ 0 ) ) w ( z ) × ( 2 r w ( z ) ) m L p m ( 2 r 2 w ( z ) 2 ) exp ⁡ [ − i k r 2 2 q ( z ) + i m θ ] , {\displaystyle {u}(r,\theta ,z)={\sqrt {\frac {2p!}{\pi (m+p)!}}}{\frac {\exp \left(i(2p+m+1)(\psi (z)-\psi _{0})\right)}{w(z)}}\times \left({\frac {{\sqrt {2}}r}{w(z)}}\right)^{m}L_{p}^{m}\left({\frac {2r^{2}}{w(z)^{2}}}\right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2{q}(z)}}+im\theta \right],} כאשר L p m ( r ) {\displaystyle L_{p}^{m}(r)} הם פולינומי לאגר המוכללים עם אינדקס רדיאלי p ≥ 0 {\displaystyle p\geq 0} ואינדקס אזימוטלי m {\displaystyle m} . בקואורדינטות אליפטיות ניתן לתאר את המודים מסדרים גבוהים באמצעות פולינומי אינס. אופני אינס-גאוס האי-זוגיים והזוגיים נתונים על ידי u ( ε , η , z ) = w 0 w ( z ) C p m ( i ξ , ε ) C p m ( η , ε ) exp ⁡ [ − i k r 2 2 q ( z ) − ( p + 1 ) ψ G S ( z ) ] , {\displaystyle u\left(\varepsilon ,\eta ,z\right)={\frac {w_{0}}{w\left(z\right)}}\mathrm {C} _{p}^{m}\left(i\xi ,\varepsilon \right)\mathrm {C} _{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)\exp \left[-ik{\frac {r^{2}}{2q\left(z\right)}}-\left(p+1\right)\psi _{GS}\left(z\right)\right],} כאשר ξ {\displaystyle \xi } היא הקואורדינטה האליפטית הרדיאלית ו- η {\displaystyle \eta } היא הקואורדינטה האליפטית הזוויתית, והן מוגדרות מתמטית על ידי x = ε / 2 w ( z ) cosh ⁡ ξ cos ⁡ η , {\displaystyle x={\sqrt {\varepsilon /2}}w\left(z\right)\cosh \xi \cos \eta ,} y = ε / 2 w ( z ) sinh ⁡ ξ sin ⁡ η , {\displaystyle y={\sqrt {\varepsilon /2}}w\left(z\right)\sinh \xi \sin \eta ,} C p m ( η , ε ) {\displaystyle {C}_{p}^{m}\left(\eta ,\varepsilon \right)} הם פולינומי אינס הזוגיים מסדר p ומעלה m ואילו ε {\displaystyle \varepsilon } הוא פרמטר האקסצנטריות של האליפסה. כמו כן ψ G S ( z ) = arctan ⁡ ( z / z R ) {\displaystyle \psi _{GS}\left(z\right)=\arctan \left(z/z_{\mathrm {R} }\right)} הוא מופע גוי. אופני הרמיט-גאוס ואופני לאגר-גאוס הם מקרה פרטי של אופני אינס-גאוס עבור אקצנטריות ששווה לאינסוף ואפס בהתאמה. ישנה מחלקה נוספת של אופנים (מודים) פרקסיאליים בקואורדינטות קוטביות בהן המשרעת המרוכבת פרופורציונלית לפונקציה היפרגאומטרית. אופנים אלה הם בעלי פרופיל מופיע סינגולרי והם פונקציות עצמיות של התנע הזוויתי המסילתי של הפוטון. העוצמה של פרופיל האלומה מאופיין על ידי טבעת בוהקת אחת עם סינגולריות במרכזה, בה המשרעת מתאפסת. התפלגות הפרופיל מתוארת על ידי u p m ( ρ , θ ; ζ ) = 2 p + | m | + 1 π Γ ( p + | m | + 1 ) Γ ( 1 + | m | + p 2 ) Γ ( | m | + 1 ) i | m | + 1 ζ p 2 ( ζ + i ) − ( 1 + | m | + p 2 ) ρ | m | e − i ρ 2 ( ζ + i ) e i m ϕ 1 F 1 ( − p 2 , | m | + 1 ; r 2 ζ ( ζ + i ) ) , {\displaystyle u_{pm}(\rho ,\theta ;\zeta )={\sqrt {\frac {2^{p+|m|+1}}{\pi \Gamma (p+|m|+1)}}}{\frac {\Gamma (1+|m|+{\frac {p}{2}})}{\Gamma (|m|+1)}}\,\,i^{|m|+1}\zeta ^{\frac {p}{2}}(\zeta +i)^{-(1+|m|+{\frac {p}{2}})}\rho ^{|m|}e^{-{\frac {i\rho ^{2}}{(\zeta +i)}}}e^{im\phi }{}_{1}F_{1}\left(-{\frac {p}{2}},|m|+1;{\frac {r^{2}}{\zeta (\zeta +i)}}\right),} כאשר m הוא מספר שלם, p ≥ − | m | {\displaystyle p\geq -|m|} הוא מספר ממשי,   Γ ( x ) {\displaystyle \ \Gamma (x)} היא פונקציית גאמה ו   1 F 1 ( a , b ; x ) {\displaystyle \ {}_{1}F_{1}(a,b;x)} היא הפונקציה ההיפרגאומטרית המתלכדת. מספר תת-משפחות של אופני גאוס ההיפרגאומטריים (HyGG) ניתן לרשום כפונקציות בסל מותאמות (modified), כאקספוננטים מותאמים של מודים גאוסיאניים וכן פולינומי לאגר המותאמים. ברם, משפחת HyGG הם יותר משלמים (כלומר: ישנה יתירות של מודים ולא צריך את כל המשפחה כדי לפרוש את כל המרחב) ולא אורתוגונליים. למרות הפרופיל המסובך שלהם, למודי HyGG יש פרופיל די פשוט במישור הצמצם/מפתח, u ( ρ , ϕ , 0 ) ∝ ρ p + | m | e − ρ 2 + i m ϕ {\displaystyle u(\rho ,\phi ,0)\propto \rho ^{p+|m|}e^{-\rho ^{2}+im\phi }} וזה מסביר מדוע גל הבא מהולוגרמת קלשון (pitch-fork) הוא תת-משפחה של אופני HyGG. הפרופיל של אופן HyGG כאשר האלומה מתקדמת לאורך ζ {\displaystyle \zeta } הוא בעל שינויים משמעותיים ולא יציב מתחת לטווח ריילי. Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107. Mandel, Leonard and Wolf, Emil (1995). Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2.{{cite book}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267. Siegman, Anthony E. (1986). Lasers. University Science Books. ISBN 0-935702-11-3. Chapter 16. Yariv, Amnon (1989). Quantum Electronics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-60997-8. מדיה וקבצים בנושא אלומה גאוסיאנית בוויקישיתוף F. Pampaloni and J. Enderlein (2004). "Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer". ArXiv:physics/0410021. Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega (2004). "Ince Gaussian beams". Opt. Lett. OSA. 29 (2): 144–146. doi:10.1364/OL.29.000144. E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato (2007). "Hypergeometric-Gaussian beams". Opt. Lett. OSA. 32 (21): 3053–3055. doi:10.1364/OL.32.003053.{{cite journal}}: תחזוקה - ציטוט: multiple names: authors list (link) Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot (אורכב 16.09.2008 בארכיון Wayback Machine) Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport ביחס למרחקה מה"מותניים" שלה, ראו בהמשך. Siegman (1986) p. 630. See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29 Siegman (1986), p645, eq. 54 Siegman (1986), p647, eq. 64 Bandres and Gutierrez-Vega (2004) Karimi et. al (2007)