התכנסות בתנאי

במתמטיקה, נאמר כי אינטגרל או טור מתכנס בתנאי, אם הוא מתכנס אבל לא מתכנס בהחלט, או במילים אחרות: טור ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס בתנאי אם ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס אך ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|} מתבדר. דוגמה ידועה לטור מתכנס בתנאי היא הסדרה ההרמונית המתחלפת (או טור לייבניץ), אשר מוגדרת על ידי: ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 k = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − … {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\dots } טור זה מתכנס ל-   ln ⁡ 2 {\displaystyle \ \ln 2} . טור זה מתכנס בתנאי כי "הערך המוחלט של הטור" - סכום הערכים המוחלטים של כל איבר בטור נותן לנו את הטור ההרמוני, שאיננו מתכנס. משפט רימן קובע כי בטורים מתכנסים בתנאי, חיבור אינה פעולה קומוטטיבית, וכי על ידי החלפת סדר האיברים ניתן להגיע לכל ערך אחר (אפילו לטורים שלא מתכנסים), דבר שאינו אפשרי בטור שמתכנס בהחלט, כי שינוי הסדר אינו משפיע על הסכום. תוצאה ידועה בתורת הטורים היא שטור שמתכנס בהחלט הוא גם מתכנס (במובן הרגיל), אך התוצאה ההפוכה איננה נכונה תמיד, כפי שניתן לראות במקרה של טור לייבניץ שמתכנס, איך איננו "מתכנס בהחלט". תוצאה חשובה נוספת היא משפט לייבניץ, שאומר כי אם a n {\displaystyle \!\,a_{n}} היא סדרה חיובית היורדת מונוטונית ושואפת לאפס, אזי הטור שנוצר על ידה באופן הבא ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n ⋅ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}} הוא טור מתכנס. זנב הטור, r m = ∑ n = m ∞ ( − 1 ) n ⋅ a n {\displaystyle r_{m}=\sum _{n=m}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}} , קטן תמיד בערכו המוחלט מגודל האיבר הראשון בו. כלומר: | ∑ n = m ∞ ( − 1 ) n ⋅ a n | ≤ a m {\displaystyle |\sum _{n=m}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}|\leq a_{m}} . כמו כן מתקיים ( − 1 ) n ⋅ r n ≥ 0 {\displaystyle (-1)^{n}\cdot r_{n}\geq 0} . מבחן זה נותן דרך לדעת אילו טורים מתכנסים בתנאי על בסיס סדרות ידועות. משפט לייבניץ הוא מקרה פרטי של מבחן דיריכלה, שמתחליף את הסדרה של 1 ו 1-, עבור כל סדרה - { b n } {\displaystyle \{b_{n}\}} היא סדרה של מספרים מרוכבים שמקיימת | ∑ n = 1 N b n | ≤ M {\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M} לכל מספר טבעי N, אז הטור ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} מתכנס. שני מבחני ההתכנסות הללו הם מאוד חשובים בתורת הטורים, כי רוב מבחני התכנסות לטורים אינם עובדים על טורים שמתכנסים בתנאי, מכיוון שהם דורשים שהסדרה המדוברת תהיה חיובית, ואם הסדרה החיובית הזו יוצרת טור מתכנס, הרי שזה יהיה גם טור שמתכנס בהחלט, היות שהערך המוחלט לא ישנה דבר. ניתן באותה דרך להגדיר גם אינטגרל שמתכנס בתנאי, ודוגמה לאינטגרל שמתכנס בתנאי הוא האינטגרל של הפונקציה sin ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle \sin(x^{2})} בחלק הלא שלילי של הציר הממשי (ראו אינטגרל פרנל). נאמר כי טור מתכנס לא בתנאי אם הוא אינו מתכנס בהחלט אך כל שינוי של סדר האיברים שלו נותן את הסכום המקורי, זאת אומרת שאינו מקיים את משפט רימן. ניתן לראות כי טורים כאלו אינם יכולים להיות ממשים, אך קיימים טורים כאלו במרחבים אחרים, לדוגמה הטור ∑ n = 1 ∞ 1 n e n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{n}}e_{n}} כאשר { e n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{e_{n}\}_{n=1}^{\infty }} הוא בסיס אורתוגונלי של מרחב בנך. בצורה יותר כללית, אריה דבורצקי וקלאוד אמברוס רוג'רס (אנ') הוכיחו את המשפט הבא: כל מרחב בנך מממד אינסופי מכיל סדרה שמתכנסת לא בתנאי ולא בהחלט. הוכחה: לכל ε > 0 נבחר κ ε , λ ε ∈ N {\displaystyle \kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\in \mathbf {N} } כל שמתקיים: ∀ N > κ ε ∑ n = N ∞ ‖ a n ‖ < ε 2 ∀ N > λ ε ‖ ∑ n = 1 N a n − A ‖ < ε 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\forall N>\kappa _{\varepsilon }&\quad \sum _{n=N}^{\infty }\|a_{n}\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\\\forall N>\lambda _{\varepsilon }&\quad \left\|\sum _{n=1}^{N}a_{n}-A\right\|<{\tfrac {\varepsilon }{2}}\end{aligned}}} יהי N ε = max { κ ε , λ ε } M σ , ε = max { σ − 1 ( { 1 , … , N ε } ) } {\displaystyle {\begin{aligned}N_{\varepsilon }&=\max \left\{\kappa _{\varepsilon },\lambda _{\varepsilon }\right\}\\M_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\right\}\end{aligned}}} לכן לכל מספר שלם N > M σ , ε {\displaystyle N>M_{\sigma ,\varepsilon }} יהי I σ , ε = { 1 , … , N } ∖ σ − 1 ( { 1 , … , N ε } ) S σ , ε = min { σ ( k )   :   k ∈ I σ , ε } L σ , ε = max { σ ( k )   :   k ∈ I σ , ε } {\displaystyle {\begin{aligned}I_{\sigma ,\varepsilon }&=\left\{1,\ldots ,N\right\}\setminus \sigma ^{-1}\left(\left\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\right\}\right)\\S_{\sigma ,\varepsilon }&=\min \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\\L_{\sigma ,\varepsilon }&=\max \left\{\sigma (k)\ :\ k\in I_{\sigma ,\varepsilon }\right\}\end{aligned}}} לכן ‖ ∑ i = 1 N a σ ( i ) − A ‖ = ‖ ∑ i ∈ σ − 1 ( { 1 , … , N ε } ) a σ ( i ) − A + ∑ i ∈ I σ , ε a σ ( i ) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε a j − A ‖ + ‖ ∑ i ∈ I σ , ε a σ ( i ) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε a j − A ‖ + ∑ i ∈ I σ , ε ‖ a σ ( i ) ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε a j − A ‖ + ∑ j = S σ , ε L σ , ε ‖ a j ‖ ≤ ‖ ∑ j = 1 N ε a j − A ‖ + ∑ j = N ε + 1 ∞ ‖ a j ‖ S σ , ε ≥ N ε + 1 < ε {\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|&=\left\|\sum _{i\in \sigma ^{-1}\left(\{1,\dots ,N_{\varepsilon }\}\right)}a_{\sigma (i)}-A+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\left\|\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{i\in I_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{\sigma (i)}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=S_{\sigma ,\varepsilon }}^{L_{\sigma ,\varepsilon }}\left\|a_{j}\right\|\\&\leq \left\|\sum _{j=1}^{N_{\varepsilon }}a_{j}-A\right\|+\sum _{j=N_{\varepsilon }+1}^{\infty }\left\|a_{j}\right\|&&S_{\sigma ,\varepsilon }\geq N_{\varepsilon }+1\\&<\varepsilon \end{aligned}}} ולכן ∀ ε > 0 , ∃ M σ , ε , ∀ N > M σ , ε ‖ ∑ i = 1 N a σ ( i ) − A ‖ < ε , {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists M_{\sigma ,\varepsilon },\forall N>M_{\sigma ,\varepsilon }\quad \left\|\sum _{i=1}^{N}a_{\sigma (i)}-A\right\|<\varepsilon ,} , וזה מוכיח כי ∑ i = 1 ∞ a σ ( i ) = A {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{\sigma (i)}=A} ולכן הטור מתכנס לא בתנאי ולא בהחלט. מש"ל. התכנסות בתנאי, באתר MathWorld (באנגלית)