מחקרים אריתמטיים

מחקרים אריתמטיים (Disquisitiones Arithmeticae) הוא ספר בתורת המספרים שנכתב על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס. הספר יצא לאור בשנת 1801, כשגאוס היה בן 24. ספר זה הוא אחד הספרים החשובים בהיסטוריה של המתמטיקה, והייתה לו השפעה מהפכנית על ענף תורת המספרים לא רק בגלל שהוא הפך אותו לשיטתי וריגורוזי אלא גם בגלל שהוא סלל את הדרך לתורת המספרים המודרנית. בספר זה גאוס מסכם תוצאות קודמות בתורת המספרים, שהשיגו מתמטיקאים כגון פרמה, אוילר, לגראנז', ולז'נדר, ומוסיף תוצאות חדשות משלו. "מחקרים אריתמטיים" עוסק בתורת המספרים האלמנטרית וכן גם בחלקים של תחום במתמטיקה שמכונה היום תורת המספרים האלגברית. ככל הנראה, גאוס לא זיהה בפירוש או השתמש במושג החבורה, שהוא מרכזי באלגברה המודרנית. בספרו, הוא מגדיר את נושא הספר כ"אריתמטיקה גבוהה". בהקדמתו לספר, גאוס מתאר את הנושאים בהם הספר עוסק: החקירה שכרך זה יערוך משתייכת לחלק של המתמטיקה שמתייחס למספרים שלמים . הספר מחולק לשבעה פרקים, שהם: פרק 1: מספר קונגרואנטי באופן כללי פרק 2: קונגרואנציות מן המעלה הראשונה פרק 3: שאריות של חזקות פרק 4: קונגרואנציות מן המעלה השנייה פרק 5: תבניות ומשוואות לא מוגדרות מן המעלה השנייה פרק 6: מגוון יישומים של דיונים קודמים פרק 7: משוואות המגדירות חלקים של מעגל פרקים 1-3 הם ביסודם סקירה של תוצאות קודמות, בהן: המשפט הקטן של פרמה (או משפט אוילר), משפט וילסון, וקיומם של שורשים פרימיטיביים. אף על פי שבפרקים אלו יש תוצאות מקוריות אחדות, עיקר חשיבותם נעוצה בכך שגאוס היה הראשון שהציג תוצאות אלו מנקודת מבט גבוהה בדרך מאורגנת ושיטתית - באמצעות התבוננות במחלקות שקילות של שלמים דרך כלי ההצגה החזק שכינה חשבון מודולרי וכן שימוש במספר רעיונות, מושגים והגדרות אשר הכניסו סדר פנימי וקוהרנטיות בתוצאות האריתמטיות שנצברו עד לאותה תקופה. גאוס היה גם אולי הראשון שהבין את החשיבות היסודית של יחידות הפירוק לגורמים ראשוניים (המשפט היסודי של האריתמטיקה, שנחקר לראשונה על ידי אוקלידס), אותו הוא מציג ומוכיח באופן מפורש ובצורה דקדקנית. מפרק 4 ומעלה, רוב היצירה היא מקורית. פרק 4 הוא ניתוח של שאריות ריבועיות, והוא עצמו מספק הוכחה של חוק ההדדיות הריבועית, משפט מפתח בנוגע לשאריות הריבועיות, המאפשר לקבוע את פתירותה או אי פתירותה של כל משוואה ריבועית באריתמטיקה מודולרית. פרק 5, שאורכו למעלה ממחצית הספר, הוא ניתוח מעמיק של תבניות ריבועיות בינאריות, ובו הוא מציג לראשונה את חוק ההרכבה שלהן. פרק 6 כולל שני מבחני ראשוניות שונים, שהייתה להם השפעה רבה על ההתפתחות של מבחני ראשוניות במהלך הדורות שחלפו מאז (בפרק זה גאוס כתב כי "הבעיה של הבחנה בין מספרים ראשוניים למספרים פריקים היא החשובה והמועילה ביותר במתמטיקה"). בנוסף, הפרק דן בשברים חלקיים, בשברים עשרוניים מחזוריים, ובפתרון קונגרואנציות בשיטות חדשות מסוימות. לבסוף, פרק 7 מכיל ניתוח עמוק של מושג שורשי היחידה, מושג אותו גאוס קושר לבעיה הגאומטרית של בנייה בסרגל ומחוגה. בפרק זה גאוס מפתח בהדרגה את הפתרון לבעיה עתיקת היומין של בנייה בסרגל ובמחוגה של מצולעים משוכללים - גאוס הוכיח שהמצולע המשוכלל בן n הצלעות ניתן לבנייה בסרגל ומחוגה אם n הוא מכפלה של חזקה של 2 וראשוני פרמה שונים. בתהליך ההוכחה גאוס מתאר לראשונה, אם כי לא תמיד באופן מפורש, את הקשר בין בעיות גאומטריות לרעיונות ומושגים בתחום הפולינומים, כגון פולינום אי פריק, פולינום מינימלי מעל שדה, ועוד. ההשפעה שהייתה למאמר 335 שבפרק זה, שדן בהכללות האפשריות של חלוקת המעגל, על ההתפתחות המתמטית של אבל, כמו גם על יעקובי, הייתה מכוננת. גאוס מציין במאמר זה את התובנה העמוקה שהצעד הבא בהכללת הבעיה הוא החלוקה של הלמניסקטה. מאוחר יותר, גאוס החל לכתוב פרק שמיני על קונגרואנציות ממעלה גבוהה יותר, אבל הוא לא הספיק להשלים אותו, ועבודתו בתחום זה פורסמה בנפרד לאחר מותו. הפרק השמיני פורסם כחיבור תחת הכותרת Disquisitions generales de congruentiis (חיבור כללי על קונגרואנציות) ובו דן גאוס בקונגרואנציות מכל מעלה שהיא. הוא ראוי לציון כי גאוס תקף את הבעיה מנקודת מבט קרובה לזו של אווריסט גלואה, ריכרד דדקינד, ואמיל ארטין. החיבור סלל את הדרך לתאוריה של שדות פונקציות מעל שדה סופי של קבועים. רעיונות וכלים ייחודיים לחיבור הזה הם הומומורפיזם פרובניוס, מושג שגאוס מזהה בבירור את חשיבותו לחקר בעיות כלליות אלה, וכן גרסה של הלמה של הנזל. בחיבור הזה גאוס גם מדבר לראשונה באופן מפורש על תמורות של שורשים של משוואות, במובן של תורת גלואה. ספר זה היה אחד מן הספרים האחרונים שנכתבו בלטינית (תרגום שלו לאנגלית לא פורסם עד לשנת 1965 ) . לפני שספר זה פורסם, תורת המספרים הייתה אוסף משפטים והשערות שונים, שלכאורה כלל לא היה ביניהן קשר. גאוס הביא את עבודת קודמיו יחד עם עבודתו שלו בצורה מאורגנת, הכליל טענות, מילא את הפערים הלוגיים בהוכחות לא מושלמות של קודמיו, תיקן הוכחות רעועות, והרחיב את התחום בדרכים רבות. הסדר הלוגי של ספר זה (משפט ולאחריו הוכחה ולאחריו מסקנות) קבע נורמה ליצירות מאוחרות יותר. בנוסף לחשיבות היסודית שייחס גאוס להוכחה הלוגית, הוא המחיש משפטים רבים באמצעות דוגמאות מספריות. ספר זה היווה בסיס לעבודות של מתמטיקאים אחרים בני המאה ה-19 כגון: ארנסט קומר, דיריכלה ודדקינד. רבות מן ההכרזות של גאוס בספרו הן למעשה תוצאות של מחקרים קדימה משלו, אשר רבים מהם נותרו לא מפורסמים. כעת אנו יכולים לראות אותם כמכילים את ניצני הרעיונות של התאוריה של פונקציות L ותורת הפונקציות האליפטיות. ה-Disquisitiones המשיך לעורר השפעה מכרעת גם במאה ה-20 . כך למשל, בפרק 5, מאמר 303, גאוס סיכם את החישובים שלו על מספרי מחלקה (class numbers) של שדות מספרים ריבועיים דמיוניים, ושיער שהוא מצא את כל השדות הריבועיים הדמיוניים בעלי מספר מחלקה 1,2, או 3. השערה זו שלפעמים נקראת בעיית מספר המחלקה (class number problem), התבררה לבסוף כנכונה רק ב-1986. בפרק 7, מאמר 358, גאוס הוכיח טענה שניתן לפרש אותה כמקרה הלא טרוויאלי הראשון של השערת רימן מעל שדות סופיים (משפט hesse-weil). מדיה וקבצים בנושא מחקרים אריתמטיים בוויקישיתוף מחקרים אריתמטיים, באתר OCLC (באנגלית) כהערת אגב חשוב לציין שגאוס עתיד להכליל כמה עשורים מאוחר יותר את מושג הראשוניות, אלגוריתם אוקלידס, המשפט היסודי של האריתמטיקה ומונחי מפתח נוספים מפרקים אלו לחוג השלמים המרוכבים   Z [ i ] {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} , במסגרת ניסיונותיו להכליל את חוק ההדדיות הריבועיות לחזקות גבוהות יותר.