מיפוי קטבים ואפסים

שיטת התמרת Z מותאמת, הנקראת גם מיפוי קטבים ואפסים או שיטת התאמת קטבים ואפסים, ובקיצור MPZ או MZT, היא טכניקה נפוצה להמרת עיצוב מסנן בזמן רציף לעיצוב מסנן בזמן בדיד (מסנן ספרתי). השיטה פועלת על ידי מיפוי כל הקטבים והאפסים של התמרת לפלס למיקומים במישור z z = e s T {\displaystyle z=e^{sT}} , עבור מרווח דגימה T = 1 / f s {\displaystyle T=1/f_{\mathrm {s} }} . עבור מסנן אנלוגי עם פונקציית תמסורת: H ( s ) = k a ∏ i = 1 M ( s − ξ i ) ∏ i = 1 N ( s − p i ) {\displaystyle H(s)=k_{\mathrm {a} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(s-\xi _{i})}{\prod _{i=1}^{N}(s-p_{i})}}} מותמר לפונקציית תמסורת: H ( z ) = k d ∏ i = 1 M ( 1 − e ξ i T z − 1 ) ∏ i = 1 N ( 1 − e p i T z − 1 ) {\displaystyle H(z)=k_{\mathrm {d} }{\frac {\prod _{i=1}^{M}(1-e^{\xi _{i}T}z^{-1})}{\prod _{i=1}^{N}(1-e^{p_{i}T}z^{-1})}}} מכיוון שהמיפוי כורך את מישור ה-s j ω {\displaystyle j\omega } ציר מסביב למעגל היחידה של מישור z שוב ושוב, כל אפסים (או קטבים) הגדולים מתדר נייקוויסט ימופו למיקום בעל אליאס. במקרה הנפוץ של פונקציית התמסורת האנלוגית בעלת יותר קטבים מאפסים, האפסים ב s = ∞ {\displaystyle s=\infty } ניתן להזיז באופן אופציונלי למטה לתדר נייקוויסט על ידי הצבתם ב־ z = − 1 {\displaystyle z=-1} , מה שגורם לפונקציית התמסורת לרדת כ־ z → − 1 {\displaystyle z\rightarrow -1} באופן כמעט זהה להעתקה הביליניארית (BLT). בעוד שההעתקה הזו משמרת את היציבות ואת המופע המינימלי, היא לא שומרת על תגובת זמן או תחום תדר ולכן לא נעשה בה שימוש נרחב. שיטות נפוצות יותר כוללות את שיטות ה-BLT ואינווריאנטיות הלם. עם זאת, MZT מספק פחות שגיאת תגובה בתדר גבוה מאשר ה-BLT, מה שמקל על התיקון על ידי הוספת אפסים נוספים, הנקרא MZTi (עבור "משופר"). יישום ספציפי של שיטת התמרת Z מותאמת בתחום הבקרה הדיגיטלית היא עם הנוסחה של אקרמן (Ackermann), אשר משנה את הקטבים של המערכת הניתנת לשליטה; באופן כללי ממיקום לא יציב (או קרוב) למקום יציב. Won Young Yang (2009). Signals and Systems with MATLAB. Springer. p. 292. ISBN 978-3-540-92953-6. Bong Wie (1998). Space vehicle dynamics and control. AIAA. p. 151. ISBN 978-1-56347-261-9. Arthur G. O. Mutambara (1999). Design and analysis of control systems. CRC Press. p. 652. ISBN 978-0-8493-1898-6. Al-Alaoui, M. A. (בפברואר 2007). "Novel Approach to Analog-to-Digital Transforms". IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers. 54 (2): 338–350. doi:10.1109/tcsi.2006.885982. ISSN 1549-8328. {{cite journal}}: (עזרה) S. V. Narasimhan and S. Veena (2005). Signal processing: principles and implementation. Alpha Science Int'l Ltd. p. 260. ISBN 978-1-84265-199-5. Rabiner, Lawrence R; Gold, Bernard (1975). Theory and application of digital signal processing (באנגלית). Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. pp. 224–226. ISBN 0139141014. The expediency of artificially adding zeros at z = —1 to the digital system has been suggested... but this ad hoc technique is at best only a stopgap measure... In general, use of impulse invariant or bilinear transformation is to be preferred over the matched z transformation. Jackson, Leland B. (1996). Digital Filters and Signal Processing (באנגלית). Springer Science & Business Media. p. 262. ISBN 9780792395591. although perfectly usable filters can be designed in this way, no special time - or frequency-domain properties are preserved by this transformation, and it is not widely used. Ojas, Chauhan; David, Gunness (2007-09-01). "Optimizing the Magnitude Response of Matched Z-Transform Filters ("MZTi") for Loudspeaker Equalization". Audio Engineering Society (באנגלית). אורכב מ-המקור ב-27 ביולי 2019. {{cite journal}}: (עזרה) Alt URL