נוסחת המסה של ויצאקר

נוסחת המסה של ויצאקר (אנגלית: Weizsäcker's mass formula) היא נוסחה חצי-אמפירית המתארת את מסתו של גרעין האטום כתלות במספר האטומי שלו Z (זהו מספר הפרוטונים) ומספר המסה שלו A (זהו מספר הנוקליאונים שלו, כלומר המספר הכולל של פרוטונים ונייטרונים). הנוסחה מורכבת מ-6 איברים, כל אחד מהם מקורו בתאוריה אך המקדמים שלהם נמצאו באמצעות התאמה לתוצאות ניסיוניות. מכיוון שהמקדמים מחושבים באמצעות שיטות להתאמה מרבית לתוצאות ניסיוניות, קיימות כמה אפשרויות לערכם המספרי התלוי בשיטת ההתאמה בה משתמשים. לכן ייתכנו הבדלים ניכרים בין המקדמים שחושבו בשיטות התאמה שונות, במיוחד עבור האיברים מסדר גבוה (החמישי והשישי). נוסחת המסה נותנת קירוב למסתו של הגרעין לגביו חושבה, כאשר האיבר הראשון הוא איבר המאסה והאיברים השני ואילך הם אנרגיית הקשר, כאשר יש להפחית את סכומם מהאיבר הראשון. אנרגיית הקשר נותנת אומדן ליציבותו של הגרעין ולסבירות של תהליכים גרעיניים שונים - ככל שאנרגיית הקשר גבוהה יותר הגרעין יציב יותר, לכן תהליך שבו אנרגיית הקשר של הגרעין או הגרעינים עולה (אנרגיית הקשר של התוצרים גבוהה מאנרגיית הקשר של המגיבים) הוא תהליך ספונטני (כלומר יקרה מעצמו במהלך הזמן), בעוד תהליך הפוך דורש השקעת אנרגיה חיצונית. הנוסחה נקראת גם מודל הטיפה מכיוון שהיא מבוססת על עקרונות תרמודינמיים דומים לאלו של טיפת חומר בעל צפיפות גבוהה ומתח פנים. האיבר הראשון בנוסחה הוא מסת המנוחה של הנוקליאונים:   f 0 ( Z , A ) = Z ⋅ m p + ( A − Z ) ⋅ m n {\displaystyle \ f_{0}(Z,A)=Z\cdot m_{p}+(A-Z)\cdot m_{n}} איבר זה מייצג את האנרגיה (שמתבטאת במסה) של האינטראקציה בין נוקליאונים תוך הנחה שהאינטראקציה מתפלגת באופן אחיד על פני נפח הגרעין. רדיוס הגרעין פרופורציוני ל- A 1 / 3 {\displaystyle A^{1/3}} ולכן הנפח פרופורציוני ל-A. דרך נוספת להבין איבר זה נובעת מכך שהאינטראקציה של הכוח הגרעיני החזק היא קצרת טווח, ובקירוב כל נוקליאון מקיים אינטראקציה רק עם שכניו. לפיכך, האנרגיה פרופורציונית בקירוב למספר הנוקליאונים A. נדרש תיקון עבור נוקליאונים שאינם מוקפים מכל צדדיהם בנוקליאונים אחרים, כלומר כאלה שהם בפני השטח של הגרעין, ותיקון זה מוצג באיבר הבא (איבר השטח).   f 1 ( Z , A ) = a V A {\displaystyle \ f_{1}(Z,A)=a_{V}A} הערך של המקדם הוא   a V = 15.56   MeV {\displaystyle \ a_{V}=15.56\ {\mbox{MeV}}} ערך זה ניתן להבין כמספר הנוקליאונים המקיפים כל נוקליאון שאינו על פני השטח (בקירוב 6), כפול ערכה של האנרגיה הנובעת מן האינטקרציה הגרעינית (כ-1.5 MeV) איבר זה הוא תיקון לאיבר הנפח ובעצם לוקח בחשבון את האינטראקציה של הנוקליאונים על השפה, שם יש להם פחות שכנים.   f 2 ( Z , A ) = − a S A 2 / 3 {\displaystyle \ f_{2}(Z,A)=-a_{S}A^{2/3}} הערך של המקדם הוא   a S = 17.23   MeV {\displaystyle \ a_{S}=17.23\ {\mbox{MeV}}} איבר זה מייצג את הדחייה החשמלית בין הפרוטונים.   f 3 ( Z , A ) = − a C Z ( Z − 1 ) A 1 / 3 {\displaystyle \ f_{3}(Z,A)=-a_{C}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}} הערך של המקדם הוא   a C = 0.697   MeV {\displaystyle \ a_{C}=0.697\ {\mbox{MeV}}} איבר זה הוא תוצאה של שיקולים קוונטיים. הנוקליאונים הם פרמיונים ולכן, לפי עיקרון האיסור של פאולי, שני נוקליאונים זהים אינם יכולים לאכלס את אותו המצב הקוונטי. בכל רמת אנרגיה ניתן לאכלס מספר סופי של נוקליאונים מכל סוג, וכאשר יש עודף של נוקליאונים מסוג מסוים, הם יתפסו רמות יותר גבוהות, שגובהן תלוי בצפיפות המצבים שפרופורציונלית לנפח הגרעין. האנרגיה המינימלית תושג כאשר מספר הנוקליאונים שווה (כלומר A=2Z) ואז שניהם מגיעים בקירוב עד לאותה רמת אנרגיה מקסימלית. סיבה נוספת ואף חשובה יותר נובעת מהעובדה שהאינטראקציה הגרעינית (הנובעת מהכוח החזק) חזקה יותר בין פרוטון לנייטרון מאשר בין זוגות נוקלאונים זהים (פרוטון-פרוטון או נייטרון-נייטרון). איבר זה יוצר העדפה לגרעינים בעלי מספר קרוב של נייטרונים ופרוטונים על פני גרעינים שבהם יש עודף גדול של סוג נוקלאונים אחד על פני האחר.   f 4 ( Z , A ) = − a A ( Z − A / 2 ) 2 A {\displaystyle \ f_{4}(Z,A)=-a_{A}{\frac {(Z-A/2)^{2}}{A}}} הערך של המקדם הוא   a A = 93.14   MeV {\displaystyle \ a_{A}=93.14\ {\mbox{MeV}}} איבר זה נובע משיקולים קוונטיים של תכונת הספין של הנוקלאונים ומבטא העדפה לצירופים בעלי מספר זוגי של נוקלאונים מכל סוג על פני צירופים אי זוגיים. הוא שווה ל- a P {\displaystyle a_{P}} כאשר מספר הפרוטונים אי-זוגי ומספר הנייטרונים אי-זוגי. הוא שווה ל- 0 {\displaystyle 0} כאשר מספר הפרוטונים זוגי ומספר הנייטרונים אי-זוגי ולהפך. הוא שווה ל- − a P {\displaystyle -a_{P}} כאשר מספר הפרוטונים זוגי ומספר הנייטרונים זוגי. הערך של המקדם הוא   a P = 12   MeV {\displaystyle \ a_{P}=12\ {\mbox{MeV}}} מדיה וקבצים בנושא נוסחת המסה של ויצאקר בוויקישיתוף יסודות הפיזיקה ב', האוניברסיטה הפתוחה