חבורת גרותנדיק

באלגברה ובגאומטריה אלגברית, חבורת גרותנדיק היא חבורה אבלית המותאמת לחוג נותרי ומאפשרת לרכז מידע על מבנה המודולים הפרויקטיביים מעליו. באופן כללי יותר, החבורה מוגדרת לגבי מונואידים (המקרה הקודם מתקבל על ידי בחירה של מונואיד של מודולים מסוימים מעל החוג) ולגבי קטגוריות מדויקות. את חבורת גרותנדיק ניתן לראות כפונקטור (בין הקטגוריות המתאימות). החבורה נקראת על שמו של אלכסנדר גרותנדיק. כל מונואיד אבלי עם צמצום ניתן לשכן בחבורה אבלית. הדבר נעשה באופן אנלוגי למקרה בתורת החוגים, בו משכנים תחום שלמות בשדה. חבורת גרותנדיק של מונואיד אבלי (לאו דווקא עם צמצום) M {\displaystyle M} היא החבורה האוניברסלית כך שכל הומומורפיזם (של מונואידים) מן המונואיד M {\displaystyle M} לחבורה אבלית מתפצל דרכה. יהי R {\displaystyle R} חוג נותרי. נתבונן באוסף מחלקות האיזומורפיזם של המודולים הנוצרים סופית מעליו ונתאים לכל אחת מהן סמל, כלומר למחלקה של המודול M {\displaystyle M} נתאים את הסמל [ M ] {\displaystyle [M]} . נגדיר את C {\displaystyle C} בתור החבורה האבלית החופשית הנוצרת על ידי הסמלים הללו, ואת D {\displaystyle D} בתור תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הסמלים מן הצורה [ N ] − [ M ] + [ K ] {\displaystyle [N]-[M]+[K]} עבור מודולים מסדרה מדויקת קצרה 0 → N → M → K → 0 {\displaystyle 0\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow K\rightarrow 0} . המנה C / D {\displaystyle C/D} היא חבורת גרותנדיק, המסומנת בלשון תורת K {\displaystyle K} בתור K 0 {\displaystyle K_{0}} . ניתן לחשוב על חבורת גרותנדיק בתור חבורת המודולים הנוצרים סופית מעל R {\displaystyle R} מודולו סדרות מדויקות קצרות, או באופן שקול בתור חבורת המודולים הפרויקטיביים מעל R {\displaystyle R} עם פעולת הסכום הישר - משום שסדרות מדויקות קצרות של מודולים פרויקטיביים מתפצלות. הפעולה R ↦ K 0 ( R ) {\displaystyle R\mapsto K_{0}(R)} מהווה פונקטור קונטרווריאנטי מקטגורית החוגים הנותריים, המצוידת במורפיזמים סופיים - כלומר, הומומורפיזמים של חוגים ϕ : R → S {\displaystyle \phi :R\rightarrow S} עבורם S {\displaystyle S} מודול נוצר סופית מעל ϕ ( R ) {\displaystyle \phi (R)} - לקטגורית החבורות האבליות, באופן שמעתיק מודול מעל S {\displaystyle S} לעצמו כמודול מעל R {\displaystyle R} (באמצעות צמצום הסקלרים לתמונה). אם R {\displaystyle R} שדה, או תחום ראשי אז K 0 ( R ) ≅ Z {\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} } , ונוצרת על ידי [ R ] {\displaystyle [R]} . ניתן לראות זאת על ידי שמפרקים כל מודול נוצר סופית מעל תחום ראשי לסכום ישר של מודול חופשי עם מודול מפותל, ומבחינים כי מודולים (נוצרים סופית) מפותלים מעל חוג ראשי שקולים לאפס בחבורת גרותנדיק. K 0 ( R ) {\displaystyle K_{0}(R)} נוצרת על ידי המודולים הציקליים שאיזומורפיים למנות הראשוניות של R {\displaystyle R} . זאת מפני שלכל מודול נוצר סופית מעל חוג נותרי שרשרת תתי מודולים (סופית) שהמנה בין כל שניים עוקבים מביניהם איזומורפית למנה של R {\displaystyle R} באידיאל ראשוני כלשהו. מעל חוג מקומי, K 0 {\displaystyle K_{0}} חבורה אבלית חסרת פיתול. באופן כללי יותר, K 0 ( R ) {\displaystyle K_{0}(R)} היא מודול מעל K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} . אם R {\displaystyle R} מקומי אז המודול הזה חסר פיתול (ראה להלן). כהמשכת הרעיון של חבורת גרותנדיק מגדירים את החוג K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} . כחבורה חבורית, K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} נבנה בתהליך דומה לזה שבו נבנית החבורה K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} , אלא שכאן מתבוננים מלכתחילה באוסף המודולים השטוחים הנוצרים סופית. הדבר מאפשר להגדיר על K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} מבנה של חוג קומוטטיבי, בעזרת פעולת המכפלה הטנזורית מעל חוג הבסיס R {\displaystyle R} . מאחר שמכפלה טנזורית במודולים שטוחים שומרת על סדרות מדויקות, פעולת הכפל מוגדרת היטב. באופן זה, חבורת גרותנדיק הופכת למודול מעל K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} (פעולת המודול היא מכפלה טנזורית). הפעולה R ↦ K 1 ( R ) {\displaystyle R\mapsto K_{1}(R)} מהווה פונקטור קווריאנטי מקטגורית החוגים הנותריים לקטגורית החוגים, המעביר הומומורפיזם R → S {\displaystyle R\rightarrow S} להומומורפיזם של חוגים המעתיק כל מודול M {\displaystyle M} מעל S {\displaystyle S} למודול M ⊗ S R {\displaystyle M\otimes _{S}R} . אם ϕ : R → S {\displaystyle \phi :R\rightarrow S} הומומורפיזם סופי אז K 0 ( S ) {\displaystyle K_{0}(S)} הופכת למודול מעל K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} (באמצעות צמצום הסקלרים), והמורפיזם המושרה מ- ϕ {\displaystyle \phi } הוא הומומורפיזם של מודולים מעל K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} , כשרואים בו הומומורפיזם K 1 ( R ) → K 0 ( S ) {\displaystyle K_{1}(R)\rightarrow K_{0}(S)} . אם R {\displaystyle R} מקומי אז K 1 ( R ) ≅ Z {\displaystyle K_{1}(R)\cong \mathbb {Z} } . אם R {\displaystyle R} מקומי אז חבורת גרותנדיק מהווה מודול חסר פיתול מעל K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} . אכן, נשים לב כי R / I ⊗ R M ≅ M / I M {\displaystyle R/I\otimes _{R}M\cong M/IM} לכל אידיאל I ◃ R {\displaystyle I\triangleleft R} . אם M {\displaystyle M} מודול נוצר סופית מעל R {\displaystyle R} , שהוא מקומי עם אידיאל מקסימלי m {\displaystyle m} ושדה שאריות k = R / m {\displaystyle k=R/m} אז אם M / m M ≅ k ⊗ R M = 0 {\displaystyle M/mM\cong k\otimes _{R}M=0} אז מן הלמה של נקאימה מקבלים כי M = 0 {\displaystyle M=0} . כעת, אם M , N {\displaystyle M,N} הם מודולים נוצרים סופית מעל R {\displaystyle R} וגם M ⊗ R N = 0 {\displaystyle M\otimes _{R}N=0} אז ( k ⊗ k M ) ⊗ R N = 0 {\displaystyle (k\otimes _{k}M)\otimes _{R}N=0} ולכן ( k ⊗ k M ) ⊗ R ( k ⊗ k N ) = 0 {\displaystyle (k\otimes _{k}M)\otimes _{R}(k\otimes _{k}N)=0} וכמרחבים וקטוריים או k ⊗ k M = 0 {\displaystyle k\otimes _{k}M=0} או k ⊗ k N = 0 {\displaystyle k\otimes _{k}N=0} ואז (כפי שהזכרנו קודם, מלמת נקאימה) או N = 0 {\displaystyle N=0} או M = 0 {\displaystyle M=0} , ובפרט חבורת גרותנדיק היא מודול חסר פיתול מעל K 1 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)} . ישנו הומומורפיזם טבעי של חבורות K 1 ( R ) → K 0 ( R ) {\displaystyle K_{1}(R)\rightarrow K_{0}(R)} , המעתיק כל מודול לעצמו. אם לחוג R {\displaystyle R} ממד סופי והוא רגולרי, אז הומומורפיזם זה הוא למעשה איזומורפיזם. M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, "Introduction to Commutative Algebra" אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות על הסכום הישר הן תכונות רגילות של המכפלה הטנזורית. כלומר, כל מיקום באידיאל ראשוני הוא חוג מקומי רגולרי.