פונקציה אריתמטית

בתורת המספרים, פונקציה המקבלת מספר טבעי n {\displaystyle n} ומחזירה ערך התלוי בתכונות אריתמטיות של n {\displaystyle n} , נקראת פונקציה אריתמטית. חקר של פונקציות כאלה, ובעיקר הערך הממוצע שלהן, הוא ענף מרכזי בתורת המספרים האלמנטרית. דוגמאות: הפונקציה d : N → N {\displaystyle d:\mathbb {N} \to \mathbb {N} } מוגדרת כך ש- d ( n ) {\displaystyle d(n)} הוא מספר המחלקים השונים של n {\displaystyle n} . למשל d ( 1 ) = 1 , d ( 2 ) = 2 , d ( 4 ) = 3 , d ( 6 ) = 4 {\displaystyle d(1)=1,d(2)=2,d(4)=3,d(6)=4} . מספר n {\displaystyle n} הוא מספר ראשוני אם ורק אם d ( n ) = 2 {\displaystyle d(n)=2} . פונקציית מביוס μ {\displaystyle \mu } מוגדרת לפי מספר המחלקים הראשוניים: μ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \mu (1)=1} , μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} אם יש ל- n {\displaystyle n} גורמים ריבועיים, ו- μ ( n ) = ( − 1 ) r {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{r}} אם n {\displaystyle n} הוא מכפלת r {\displaystyle r} ראשוניים שונים. פונקציית אוילר ϕ {\displaystyle \phi } (פי) מוגדרת לפי מספר המספרים הזרים למספר נתון וקטנים ממנו: ϕ ( n ) {\displaystyle \phi (n)} שווה למספר המספרים הקטנים מ- n {\displaystyle n} וזרים לו. כך למשל ϕ ( 12 ) = | { 1 , 5 , 7 , 11 } | = 4 {\displaystyle \phi (12)={\bigl |}\{1,5,7,11\}{\bigr |}=4} . הפונקציה σ {\displaystyle \sigma } מוגדרת על ידי סיכום המחלקים (החיוביים) של מספר. למשל σ ( 12 ) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 {\displaystyle \sigma (12)=1+2+3+4+6+12=28} . מספר משוכלל הוא כזה המקיים σ ( n ) = 2 n {\displaystyle \sigma (n)=2n} . באופן כללי יותר, הפונקציה σ k {\displaystyle \sigma _{k}} (פונקציית מחלקים) מוגדרת על ידי סיכום חזקות- k {\displaystyle k} של המחלקים. למשל σ 2 ( 12 ) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 6 2 + 12 2 = 210 {\displaystyle \sigma _{2}(12)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+6^{2}+12^{2}=210} . לפי הגדרה זו σ 0 = d , σ 1 = σ {\displaystyle \sigma _{0}=d,\sigma _{1}=\sigma } . הפונקציה r {\displaystyle r} המחזירה לכל n {\displaystyle n} את מספר הפתרונות השלמים למשוואה x 2 + y 2 = n {\displaystyle x^{2}+y^{2}=n} . למשל r ( 1 ) = 4 , r ( 3 ) = 0 , r ( 5 ) = 8 {\displaystyle r(1)=4,r(3)=0,r(5)=8} . אם נסמן d 1 ( n ) , d 3 ( n ) {\displaystyle d_{1}(n),d_{3}(n)} את סכומם של מחלקי n {\displaystyle n} הנותנים בהתאמה שארית 1 או 3 בחלוקה ל-4, אזי מתקיים r ( n ) = 4 ( d 1 ( n ) − d 3 ( n ) ) {\displaystyle r(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))} (ראו סכום של שני ריבועים), ומכאן שתמיד d 1 ( n ) ≥ d 3 ( n ) {\displaystyle d_{1}(n)\geq d_{3}(n)} . פונקציית ליוביל λ ( n ) = ( − 1 ) d ( n ) {\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{d(n)}} , מחזירה 1 {\displaystyle 1} או − 1 {\displaystyle -1} לפי זוגיות מספר המחלקים הראשוניים של n {\displaystyle n} . אם f {\displaystyle f} היא פונקציה אריתמטית, הערך f ( n ) {\displaystyle f(n)} מחזיק משהו מן האריתמטיקה של המספר n {\displaystyle n} . אם רוצים להבין תכונות אריתמטיות באופן כללי, טבעי לשאול מהו הערך הממוצע של f {\displaystyle f} , כלומר, כיצד מתנהג הממוצע f ( 1 ) + f ( 2 ) + ⋅ + f ( n ) n = 1 n ∑ k = 1 n f ( k ) {\displaystyle {\frac {f(1)+f(2)+\cdot +f(n)}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{k\,=\,1}^{n}f(k)} . לעיתים קרובות קל לקבל את סדר הגודל של הממוצע, אבל הערכה טובה של גורם השגיאה היא בדרך כלל בעיה אריתמטית ואנליטית קשה. דוגמאות: הגודל הממוצע של הפונקציה r {\displaystyle r} לעיל הוא π {\displaystyle \pi } (פאי), כלומר: בממוצע ניתן להציג מספר כסכום של שני ריבועים ב- π {\displaystyle \pi } דרכים. הערך הממוצע של מספר המחלקים d ( n ) {\displaystyle d(n)} הוא ln ⁡ ( n ) + ( 2 γ − 1 ) + O ( n − 0.5 ) {\displaystyle \ln(n)+(2\gamma -1)+O(n^{-0.5})} . כאשר γ {\displaystyle \gamma } קבוע אוילר-מסקרוני. את גורם השגיאה אפשר לשפר ל- O ( n − 285 / 416 + ϵ ) {\displaystyle O(n^{-285/416+\epsilon })} (Huxley, 2003). הערך הממוצע של σ {\displaystyle \sigma } הוא π 2 12 n + O ( log ⁡ ( n ) ) {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}n+O(\log(n))} . הערך הממוצע של פונקציית אוילר ϕ {\displaystyle \phi } הוא 6 n π 2 {\displaystyle {\frac {6n}{\pi ^{2}}}} . פונקציית מביוס μ {\displaystyle \mu } מקבלת את הערכים ± 1 {\displaystyle \pm 1} בצפיפות 6 π 2 {\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}} , ו-0 בשאר הזמן. למרבה ההפתעה, התוצאה (הצפויה לכאורה) שהערך הממוצע שואף לאפס, שקולה למשפט המספרים הראשוניים, ואילו הטענה שהערך הממוצע קטן מ- O ( x − 0.5 ) {\displaystyle O(x^{-0.5})} שקולה להשערת רימן. פונקציה אריתמטית המקיימת f ( n 1 n 2 ) = f ( n 1 ) f ( n 2 ) {\displaystyle f(n_{1}n_{2})=f(n_{1})f(n_{2})} לכל זוג מספרים זרים n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} נקראת פונקציה כפלית. כל הפונקציות שפגשנו קודם לכן (למעט r {\displaystyle r} ) הן כפליות. בגלל המשפט היסודי של האריתמטיקה, פונקציה כפלית נקבעת על ידי ערכיה במספרים p t {\displaystyle p^{t}} כאשר p {\displaystyle p} ראשוני, ועובדה זו מקלה מאוד על החישוב. למשל, סכום המחלקים של 600 {\displaystyle 600} שווה ל- σ ( 600 ) = σ ( 2 3 ) σ ( 3 ) σ ( 5 2 ) = 15 ⋅ 4 ⋅ 31 = 1860 {\displaystyle \sigma (600)=\sigma (2^{3})\sigma (3)\sigma (5^{2})=15\cdot 4\cdot 31=1860} , בלי שנצטרך לסכם את כל d ( 600 ) = d ( 2 3 ) d ( 3 ) d ( 5 2 ) = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 = 24 {\displaystyle d(600)=d(2^{3})d(3)d(5^{2})=4\cdot 2\cdot 3=24} המחלקים. פונקציה המקיימת את השוויון הנ"ל לכל n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} (גם אם אינם זרים) נקראת כפלית לחלוטין (completely multiplicative) או כפלית במובן החזק (strongly multiplicative). אפשר להגדיר פעולה בינארית הנקראת קונבולוציית דיריכלה בין פונקציות אריתמטיות, באופן הבא: ( f ∗ g ) ( n ) = ∑ d | n f ( d ) g ( n d ) {\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g{\bigl (}{\tfrac {n}{d}}{\bigr )}} ביחס לפעולה זו אוסף הפונקציות האריתמטיות הופך למונואיד, שהפונקציות ההפיכות בו הן כל אלו המקיימות f ( 1 ) ≠ 0 {\displaystyle f(1)\neq 0} (וכך הפונקציות האריתמטיות שלא מקבלות 0 {\displaystyle 0} ב- 1 {\displaystyle 1} הן חבורה אבלית ביחס לקונבולוציה). תכונות מעניינות רבות של פונקציות אריתמטיות אפשר לבטא באמצעות שוויונות בחבורה הזו. נעיר שאם f , g {\displaystyle f,g} שתיהן כפליות, אז גם f ∗ g {\displaystyle f*g} כפלית וגם f − 1 {\displaystyle f^{-1}} כפלית (אבל אין הדבר כן לכפליות חזקה). נגדיר עוד כמה פונקציות שימושיות: 1 ( n ) = 1 {\displaystyle \mathbf {1} (n)=1} , הפונקציה המחזירה 1 {\displaystyle 1} לכל n {\displaystyle n} . id ( n ) = n {\displaystyle {\text{id}}(n)=n} – פונקציית הזהות. פונקציית היחידה השווה ל- 1 {\displaystyle 1} אם n = 1 {\displaystyle n=1} , ול- 0 {\displaystyle 0} אחרת. זהו איבר הזהות בחבורת הפונקציות. את התכונה החשובה ביותר של פונקציית מביוס אפשר לבטא כך: אם F = 1 ∗ f {\displaystyle F=\mathbf {1} *f} , אז f = μ ∗ F {\displaystyle f=\mu *F} . במילים אחרות, μ = 1 − 1 {\displaystyle \mu =\mathbf {1} ^{-1}} , כלומר μ {\displaystyle \mu } היא ההפכית של הפונקציה 1 {\displaystyle \mathbf {1} } בחבורה. דוגמאות נוספות: 1 ∗ 1 = d {\displaystyle \mathbf {1} *\mathbf {1} =d} id = ϕ ∗ 1 {\displaystyle {\text{id}}=\phi *\mathbf {1} } ולכן גם ϕ = id ∗ μ {\displaystyle \phi ={\text{id}}*\mu } . המשוואה הראשונה היא ניסוח מקוצר לזהות ∑ d | n ϕ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d|n}\phi (d)=n} . σ = id ∗ 1 {\displaystyle \sigma ={\text{id}}*1} מדיה וקבצים בנושא פונקציה אריתמטית בוויקישיתוף פונקציה אריתמטית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)