משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין

משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין בתורת הקבוצות אומר שאם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצה B {\displaystyle B} , וקיימת פונקציה חד-חד-ערכית מהקבוצה B {\displaystyle B} לקבוצה A {\displaystyle A} , אז קיימת פונקציה שהיא גם חד-חד-ערכית וגם על מהקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצה B {\displaystyle B} , כלומר שתי הקבוצות שקולות – עוצמתן זהה. המשפט נקרא על שם גאורג קנטור, ארנסט שרדר ופליקס ברנשטיין. בכתיב עוצמות ניתן לנסח את המשפט כך: אם | A | ≤ | B | {\displaystyle |A|\leq |B|} וגם | B | ≤ | A | {\displaystyle |B|\leq |A|} אז | A | = | B | {\displaystyle |A|=|B|} . המשפט מכונה גם "למת הסנדוויץ'" (משום שהוא מסיק מאי-השוויונות | A | ≤ | B | ≤ | A | {\displaystyle |A|\leq |B|\leq |A|} את שוויון העוצמות). חשיבותו הרבה של המשפט היא בכך שהוא מראה שהיחס " | A | ≤ | B | {\displaystyle |A|\leq |B|} אם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} " הוא יחס יחס אנטי-סימטרי. ברור שהיחס הזה טרנזיטיבי, ואם כך הוא מהווה יחס סדר חלש. כדי להוכיח שהיחס הוא יחס סדר מלא, כלומר שלכל שתי עוצמות a , b {\displaystyle a,b} מתקיים a ≤ b {\displaystyle a\leq b} או b ≤ a {\displaystyle b\leq a} , דרושה אקסיומת הבחירה. נניח ש- f {\displaystyle f} היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} , וש- g {\displaystyle g} היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- B {\displaystyle B} ל- A {\displaystyle A} . נציג כמה הוכחות של המשפט, המבוססות כולן, בדרכים שונות, על חלוקה של אחת הקבוצות לשני חלקים ושימוש ב- f {\displaystyle f} עבור אחד מהחלקים וב- g {\displaystyle g} עבור השני כדי להגדיר את הבייקציה בין הקבוצות. נוכיח את המשפט על ידי בניית פונקציה חד-חד-ערכית ועל h {\displaystyle h} מ־ A {\displaystyle A} ל־ B {\displaystyle B} . נניח, ללא הגבלת הכלליות שהקבוצות A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} זרות. נראה שקיימת התאמה חד-חד-ערכית ועל בין שתי הקבוצות. נבנה עבור כל איבר a {\displaystyle a} של הקבוצה A {\displaystyle A} , וכל איבר b {\displaystyle b} של הקבוצה B {\displaystyle B} , סדרת איברים מ- A {\displaystyle A} ומ- B {\displaystyle B} לסירוגין, כך שכל איבר מתקבל על ידי החלת הפונקציה החד-חד-ערכית המתאימה על האיבר שקודם לו: ⋯ → f − 1 ( g − 1 ( a ) ) → g − 1 ( a ) → a → f ( a ) → g ( f ( a ) ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \rightarrow f^{-1}(g^{-1}(a))\rightarrow g^{-1}(a)\rightarrow a\rightarrow f(a)\rightarrow g(f(a))\rightarrow \cdots } נשים לב שניתן להמשיך את הסדרה ימינה ללא סוף, אך מאחר ש- f − 1 {\displaystyle f^{-1}} ו- g − 1 {\displaystyle g^{-1}} לא מוגדרות לכל איברי B {\displaystyle B} ו- A {\displaystyle A} בהתאמה, לא בהכרח ניתן להמשיך את הסדרה שמאלה עד אינסוף. הסדרות יכולות להסתיים משמאל באיבר של A {\displaystyle A} , להסתיים משמאל באיבר של B {\displaystyle B} , או להיות אינסופיות (או מעגליות) לשני הכיוונים. נסווג את הסדרות כסדרות קצה- A {\displaystyle A} , סדרות קצה- B {\displaystyle B} או סדרות ללא קצה בהתאמה. מכיוון ש- f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} הן פונקציות חד-חד-ערכיות, לכל איבר בכל אחת מהקבוצות קיימת רק סדרה אחת כזו עד כדי זהות: אם איבר מופיע בשתי סדרות, כל האיברים מימינו ומשמאלו חייבים להיות זהים בשתיהן. הסדרות יוצרות חלוקה של האיחוד של A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} . לכן מספיק לבנות פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} בכל אחת מהסדרות בנפרד. כעת, נבנה את הפונקציה החד-חד-ערכית ועל h {\displaystyle h} מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} : עבור איברי A {\displaystyle A} ששייכים לסדרת קצה- A {\displaystyle A} , נגדיר את h ( a ) {\displaystyle h(a)} כ- f ( a ) {\displaystyle f(a)} (כלומר, נלך צעד אחד ימינה בסדרה המתאימה לאיבר). עבור איברי A {\displaystyle A} ששייכים לסדרת קצה- B {\displaystyle B} , נגדיר את h ( a ) {\displaystyle h(a)} כ- g − 1 ( a ) {\displaystyle g^{-1}(a)} (כלומר, נלך צעד אחד שמאלה בסדרה המתאימה לאיבר), ובאותו אופן נגדיר גם את h {\displaystyle h} עבור איברי A {\displaystyle A} ששייכים לסדרה ללא קצה. קל לראות שהפונקציה h {\displaystyle h} היא אכן חד-חד-ערכית ועל. נחליף את הקבוצה B {\displaystyle B} בתמונה שלה g ( B ) ⊆ A {\displaystyle g(B)\subseteq A} , שהיא ממילא שוות עוצמה ל- B {\displaystyle B} משום ש- g {\displaystyle g} חד-חד-ערכית. כעת אפשר להניח ש- B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} ונתונה פונקציה חד-חד-ערכית f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} ; עלינו לבנות פונקציה כזו שהיא חד-חד-ערכית ועל. נסמן ב- f n {\displaystyle f^{n}} את ההרכבה של f {\displaystyle f} על עצמה n {\displaystyle n} פעמים (כאשר f 0 {\displaystyle f^{0}} היא פונקציית הזהות). נאמר שאיבר x ∈ A {\displaystyle x\in A} הוא מסוג ראשון אם קיימים a ∈ A ∖ B {\displaystyle a\in A\setminus B} ו- n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} כך ש- x = f n ( a ) {\displaystyle x=f^{n}(a)} , ומסוג שני אחרת. נגדיר פונקציה h : A → B {\displaystyle h:A\rightarrow B} באופן הבא: h ( x ) = f ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)} אם x {\displaystyle x} מסוג ראשון, ו- h ( x ) = x {\displaystyle h(x)=x} אחרת. כעת נוכיח כמה טענות קלות: h {\displaystyle h} מוגדרת לתוך B {\displaystyle B} . אכן, כל איבר של A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} הוא מסוג ראשון, ולכן h ( A ) ⊆ f ( A ∖ B ) ∪ B = B {\displaystyle h(A)\subseteq f(A\setminus B)\cup B=B} . h {\displaystyle h} חד-חד-ערכית. נניח ש- h ( x ) = h ( y ) {\displaystyle h(x)=h(y)} . אם x , y {\displaystyle x,y} שניהם מסוג ראשון הם שווים כי f {\displaystyle f} חד-חד-ערכית; ואם שניהם מסוג שני הם שווים לפי ההנחה. נניח, אם כך, ש- x {\displaystyle x} מסוג ראשון ו- y {\displaystyle y} מסוג שני. מכיוון ש- x {\displaystyle x} מסוג ראשון אפשר לכתוב x = f n ( a ) {\displaystyle x=f^{n}(a)} עבור a ∈ A ∖ B {\displaystyle a\in A\setminus B} , ומכיוון ש- y {\displaystyle y} מסוג שני, y = h ( y ) = h ( x ) = f ( x ) = f n + 1 ( a ) {\displaystyle y=h(y)=h(x)=f(x)=f^{n+1}(a)} , כלומר גם y {\displaystyle y} מסוג ראשון, בסתירה להנחה שהאברים מסוגים שונים. h {\displaystyle h} על: אם b ∈ B {\displaystyle b\in B} הוא מסוג שני, אז הוא שווה לתמונת h {\displaystyle h} של עצמו; ואם הוא מסוג ראשון אז b = f n ( a ) {\displaystyle b=f^{n}(a)} ובהכרח n > 0 {\displaystyle n>0} , ולכן b ′ = f n − 1 ( a ) {\displaystyle b'=f^{n-1}(a)} גם הוא מסוג ראשון, ואז h ( b ′ ) = f ( b ′ ) = f n ( a ) = b {\displaystyle h(b')=f(b')=f^{n}(a)=b} , כך ש- b {\displaystyle b} בתמונת h {\displaystyle h} בכל מקרה. מסמנים ב- P ( A ) {\displaystyle P(A)} את קבוצת החזקה של A {\displaystyle A} . נשתמש בלמה הבאה: למה: תהי F : P ( A ) → P ( A ) {\displaystyle F:P(A)\rightarrow P(A)} פונקציה שומרת הכלה (כלומר, אם X ⊆ Y {\displaystyle X\subseteq Y} אז F ( X ) ⊆ F ( Y ) {\displaystyle F(X)\subseteq F(Y)} ). אז יש לה נקודת שבת (כלומר קבוצה C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} כך ש- F ( C ) = C {\displaystyle F(C)=C} ). כעת נבחר F ( X ) = A ∖ g ( B ∖ f ( X ) ) {\displaystyle F(X)=A\setminus g(B\setminus f(X))} . ברור שהפונקציה הזו שומרת הכלה, ולפי הלמה יש לה נקודת שבת, שנסמן ב- C {\displaystyle C} . מכיוון ש- g ( B ∖ f ( C ) ) = A ∖ C {\displaystyle g(B\setminus f(C))=A\setminus C} , קיבלנו ש- | A ∖ C | = | g ( B ∖ f ( C ) ) | = | B ∖ f ( C ) | {\displaystyle |A\setminus C|=|g(B\setminus f(C))|=|B\setminus f(C)|} , ולכן | A | = | A ∖ C | + | C | = | B ∖ f ( C ) | + | f ( C ) | = | B | {\displaystyle |A|=|A\setminus C|+|C|=|B\setminus f(C)|+|f(C)|=|B|} . נחשב את | { f ∣ f : N → N } | {\displaystyle |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \}|} (כלומר עוצמת קבוצת הפונקציות מהטבעיים לעצמם, שמסומנת גם N N {\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }} ): ראשית נשים לב שמתקיים { f | f : N → { 1 , 0 } } ⊂ { f | f : N → N } ⊂ { f | f : N → R } {\displaystyle \{f|f:\mathbb {N} \to \{1,0\}\}\subset \{f|f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} \}\subset \{f|f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} \}} כי כל פונקציה מהטבעיים לקבוצה { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} היא בפרט פונקציה מהטבעיים לטבעיים, וכל פונקציה מהטבעיים לטבעיים היא בפרט פונקציה מהטבעיים לממשיים. פונקציית הזהות היא תמיד חד-חד-ערכית, ולכן אם קבוצה מוכלת בקבוצה אחרת אז עוצמתה לא גדולה ממנה. מכאן: | { f ∣ f : N → { 1 , 0 } } | ≤ | { f ∣ f : N → N } | ≤ | { f ∣ f : N → R } | {\displaystyle |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \{1,0\}\}|\leq |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \}|\leq |\{f\mid f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {R} \}|} לפי ההגדרה המוכללת לחזקה, האי שוויון הנ"ל שקול ל: 2 ℵ 0 ≤ ℵ 0 ℵ 0 ≤ ℵ ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\leq \aleph _{0}^{\aleph _{0}}\leq \aleph ^{\aleph _{0}}} (כאשר ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} היא אָלֶף אֶפֶס ו- ℵ {\displaystyle \aleph } היא עוצמת הרצף) אבל מתקיים | 2 ℵ 0 | = ℵ {\displaystyle |2^{\aleph _{0}}|=\aleph } וכמו כן, על פי חוקי החזקות: ℵ ℵ 0 = ( 2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 ⋅ ℵ 0 = 2 ℵ 0 = ℵ {\displaystyle \aleph ^{\aleph _{0}}=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph } (להוכחת השוויון ℵ 0 ⋅ ℵ 0 = ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}} , ראו כאן) לכן ℵ ≤ ℵ 0 ℵ 0 ≤ ℵ {\displaystyle \aleph \leq \aleph _{0}^{\aleph _{0}}\leq \aleph } , ועל פי משפט קנטור-שרדר ברנשטיין נקבל ℵ 0 ℵ 0 = ℵ {\displaystyle \aleph _{0}^{\aleph _{0}}=\aleph } , משמע קיבלנו | N N | = ℵ {\displaystyle |\mathbb {N} ^{\mathbb {N} }|=\aleph } . פונקציית הזיווג של קנטור מדיה וקבצים בנושא משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין בוויקישיתוף משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין, באתר MathWorld (באנגלית)