קבוצה בולעת

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, קבוצה בולעת היא קבוצה במרחב וקטורי מעל הממשיים או המרוכבים, שניתן להרחיב אותה עד לנקודה שבה תכיל כל איבר מהמרחב. לקבוצות מסוג זה חשיבות רבה, בפרט עבור מרחבים וקטוריים טופולוגיים בהם כל סביבה פתוחה של הראשית היא קבוצה בולעת. בערך זה נסמן ב- V {\displaystyle V} מרחב וקטורי כלשהו. נסמן ב- K {\displaystyle \mathbb {K} } את השדה מעליו פועל V {\displaystyle V} כאשר K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } (שדה הממשיים) או K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } (שדה המרוכבים). כמו כן, עבור A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} , v ∈ V {\displaystyle v\in V} ו- λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } נסמן: A + B := { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}} A + v = v + A := { a + v ∣ a ∈ A } {\displaystyle A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}} λ A := { λ a ∣ a ∈ A } {\displaystyle \lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}} בהינתן שתי קבוצות A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} מוגדר כי A {\displaystyle A} בולעת את B {\displaystyle B} אם ורק אם מתקיימים התנאים השקולים הבאים: קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | > r {\displaystyle |c|>r} מתקיים B ⊆ c A {\displaystyle B\subseteq cA} . קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≥ r {\displaystyle |c|\geq r} מתקיים B ⊆ c A {\displaystyle B\subseteq cA} . קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל 0 ≠ c ∈ K {\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {K} } עבורו | c | < r {\displaystyle |c|<r} מתקיים c B ⊆ A {\displaystyle cB\subseteq A} . קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל 0 ≠ c ∈ K {\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≤ r {\displaystyle |c|\leq r} מתקיים c B ⊆ A {\displaystyle cB\subseteq A} . התנאי ש- c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} בתנאים 3 ו-4 הוא תנאי הכרחי. משמעות ההגדרה היא ש- A {\displaystyle A} בולעת את B {\displaystyle B} אם ורק אם ניתן להרחיב את A {\displaystyle A} עד לנקודה שממנה היא תמיד מכילה את B {\displaystyle B} , או לחלופין ניתן לכווץ את B {\displaystyle B} עד לנקודה אשר ממנה היא תמיד תהיה מוכלת ב- A {\displaystyle A} . בהינתן קבוצה A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} ונקודה v ∈ V {\displaystyle v\in V} מוגדר כי A {\displaystyle A} בולעת את v {\displaystyle v} אם ורק אם מתקיימים התנאים השקולים הבאים: הקבוצה A {\displaystyle A} בולעת את הקבוצה { v } {\displaystyle \{v\}} קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | > r {\displaystyle |c|>r} מתקיים v ∈ c A {\displaystyle v\in cA} . קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≥ r {\displaystyle |c|\geq r} מתקיים v ∈ c A {\displaystyle v\in cA} . קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל 0 ≠ c ∈ K {\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {K} } עבורו | c | < r {\displaystyle |c|<r} מתקיים c v ∈ A {\displaystyle cv\in A} . קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל 0 ≠ c ∈ K {\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≤ r {\displaystyle |c|\leq r} מתקיים c v ∈ A {\displaystyle cv\in A} . גם כאן התנאי ש- c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} בתנאים 4 ו-5 הוא תנאי הכרחי. באופן דומה כפי שזו מוגדרת עבור בליעת קבוצות, בליעת נקודה מתאפשרת על-ידי הרחבת הקבוצה הבולעת או כיווץ הנקודה הנבלעת. בהינתן קבוצה A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} , A {\displaystyle A} תקרא קבוצה בולעת, אם ורק אם היא מקיימת את התנאים השקולים הבאים: הקבוצה A {\displaystyle A} בולעת את v {\displaystyle v} לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} . לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | > r {\displaystyle |c|>r} מתקיים v ∈ c A {\displaystyle v\in cA} . לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≥ r {\displaystyle |c|\geq r} מתקיים v ∈ c A {\displaystyle v\in cA} . לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל 0 ≠ c ∈ K {\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {K} } עבורו | c | < r {\displaystyle |c|<r} מתקיים c v ∈ A {\displaystyle cv\in A} . לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} קיים r > 0 {\displaystyle r>0} כך שלכל 0 ≠ c ∈ K {\displaystyle 0\neq c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≤ r {\displaystyle |c|\leq r} מתקיים c v ∈ A {\displaystyle cv\in A} . התנאי ש- c ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0} בתנאים 4 ו-5 הוא תנאי הכרחי. קבוצה בולעת היא למעשה קבוצה שניתן להרחיב אותה עד שתכיל כל נקודה במרחב. מאחר שכל קבוצה בולעת בולעת גם את הראשית, כל קבוצה בולעת מכילה את הראשית. כלומר, אם A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} קבוצה בולעת אז בהכרח 0 ∈ A {\displaystyle 0\in A} . עבור כל מרחב וקטורי, המרחב כולו מהווה קבוצה בולעת. קבוצה המכילה קבוצה בולעת, היא קבוצה בולעת. כיווץ או הרחבה של קבוצה בולעת מהווה קבוצה בולעת. כלומר, אם A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} ו- 0 ≠ λ ∈ K {\displaystyle 0\neq \lambda \in \mathbb {K} } אז λ A {\displaystyle \lambda A} היא קבוצה בולעת. חיתוך של שתי קבוצות בולעות היא קבוצה בולעת. כלומר, אם A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} שתיהן קבוצות בולעות אז A ∩ B {\displaystyle A\cap B} היא קבוצה בולעת. נובע מהתכונה לעיל כי כל חיתוך סופי של קבוצות בולעות הוא קבוצה בולעת. עבור מרחב וקטורי טופולוגי, כל סביבה פתוחה של הראשית היא קבוצה בולעת. עבור כל קבוצה בולעת A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} קיימת נורמה-למחצה p {\displaystyle p} עבורה A {\displaystyle A} היא בדיוק כדור היחידה לפי p {\displaystyle p} . נורמה למחצה זו היא פונקציונל מינקובסקי של A {\displaystyle A} . לכל קבוצה בולעת A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} קיימת קבוצה בולעת אחרת B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} כך ש- B + B ⊆ A {\displaystyle B+B\subseteq A} . למעשה בהכרח גם B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} . קבוצת כל הקבוצות הבולעות עבור מרחב וקטורי כלשהו מהווה מסנן. קבוצה מאוזנת קבוצה חסומה קבוצה קומפקטית קבוצה קמורה קבוצה קמורה לחלוטין קבוצה פתוחה קבוצה סגורה קבוצה בולעת, באתר MathWorld (באנגלית) קבוצה בולעת, באתר MathWorld (באנגלית) Lawrence Narici, Edward Beckenstein, Topological vector spaces, 2. ed, Boca Raton: CRC Press, 2011, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, ISBN 978-1-58488-866-6 יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס