משפט פרובניוס (תורת החבורות)

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק d {\displaystyle d} של הסדר של חבורה G {\displaystyle G} , מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה x d = 1 {\displaystyle x^{d}=1} מתחלק ב- d {\displaystyle d} . המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895. תהי G חבורה ויהי d {\displaystyle d} מחלק של הסדר | G | {\displaystyle |G|} . נסמן ב A d = { x ∈ G ∣ x d = e } {\displaystyle A_{d}=\{x\in G\mid x^{d}=e\}} את אוסף האיברים מסדר המחלק את d {\displaystyle d} . אזי d ∣ | A d | {\displaystyle d\mid |A_{d}|} . נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות: כל איבר מסדר n m {\displaystyle nm} , כאשר n , m {\displaystyle n,m} זרים, אפשר לפרק בצורה x = y z {\displaystyle x=yz} כאשר z y = y z = x , o ( y ) = n , o ( z ) = m {\displaystyle zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m} (למעשה אפשר לבחור את y , z {\displaystyle y,z} להיות חזקות של x {\displaystyle x} ). נעזר גם בלמה הבאה: למה: לכל n אם A n {\displaystyle A_{n}} לא ריקה אז ϕ ( n ) ∣ | A n | {\displaystyle \phi (n)\mid |A_{n}|} כאשר ϕ {\displaystyle \phi } היא פונקציית אוילר. בנוסף אם d ∣ | G | {\displaystyle d\mid |G|} מהצורה d = p α s {\displaystyle d=p^{\alpha }s} כאשר p α + 1 ∣ | G | , ( p , s ) = 1 {\displaystyle p^{\alpha +1}\mid |G|,(p,s)=1} ואם A = A d p ∖ A d {\displaystyle A=A_{dp}\setminus A_{d}} אז A {\displaystyle A} ריקה או ש ϕ ( p α + 1 ) ∣ | A | {\displaystyle \phi (p^{\alpha +1})\mid |A|} . הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: x ≡ y ⟺ ⟨ x ⟩ = ⟨ y ⟩ {\displaystyle x\equiv y\iff \langle x\rangle =\langle y\rangle } , כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים x ≡ x t ⟺ ( t , o ( x ) ) = 1 {\displaystyle x\equiv x^{t}\iff (t,o(x))=1} . לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא ϕ ( o ( x ) ) {\displaystyle \phi (o(x))} . מקבלים ש A n {\displaystyle A_{n}} איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש ϕ ( n ) ∣ | A n | {\displaystyle \phi (n)\mid |A_{n}|} . נרשום את A בצורה הבאה: A = { x ∈ G ∣ o ( x ) = p α + 1 s 1 , s 1 ∣ s } {\displaystyle A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\}} . אם A אינה ריקה נקבל ש A = ⋃ s 1 ∣ s ⋃ o ( x i ) = p α + 1 s 1 [ x ] {\displaystyle A=\bigcup _{s1\mid s}\bigcup _{o(x_{i})=p^{\alpha +1}s_{1}}[x]} כאשר [ x ] {\displaystyle [x]} מסמן את המחלקה של x {\displaystyle x} . כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב ϕ ( p α + 1 s 1 ) = ϕ ( p α + 1 ) ϕ ( s 1 ) {\displaystyle \phi (p^{\alpha +1}s_{1})=\phi (p^{\alpha +1})\phi (s_{1})} . ונקבל את הדרוש. הוכחת המשפט: יהו d ∣ n := | G | {\displaystyle d\mid n:=|G|} . ההוכחה באינדוקציה כפולה על n , d {\displaystyle n,d} . מקרה הבסיס n = 1 {\displaystyle n=1} או d = n {\displaystyle d=n} טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי p ∣ | G | d , d = p α s , ( s , p ) = 1 {\displaystyle p\mid {\tfrac {|G|}{d}},d=p^{\alpha }s,(s,p)=1} . תהי A = A d p ∖ A d {\displaystyle A=A_{dp}\setminus A_{d}} . מתקיים | A d | = | A d p | − | A | {\displaystyle |A_{d}|=|A_{dp}|-|A|} . מאינדוקציה נקבל כי d p ∣ | A d p | {\displaystyle dp\mid |A_{dp}|} ולכן מספיק להראות ש d ∣ | A | {\displaystyle d\mid |A|} . אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה p α ( p − 1 ) = ϕ ( p α + 1 ) ∣ | A | {\displaystyle p^{\alpha }(p-1)=\phi (p^{\alpha +1})\mid |A|} ולכן מספיק להראות ש s ∣ | A | {\displaystyle s\mid |A|} . נרשום A = { x ∈ G ∣ o ( x ) = p α + 1 s 1 , s 1 ∣ s } {\displaystyle A=\{x\in G\mid o(x)=p^{\alpha +1}s_{1},s1\mid s\}} ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש x = y z = z y , o ( y ) = p α + 1 , z s = e {\displaystyle x=yz=zy,o(y)=p^{\alpha +1},z^{s}=e} . נסמן ב C ( a ) = C ( ⟨ a ⟩ ) {\displaystyle C(a)=C(\langle a\rangle )} את המרכז של a וב conj ⁡ ( a ) {\displaystyle \operatorname {conj} (a)} את מחלקת הצמידות של a {\displaystyle a} . עבור a {\displaystyle a} ב G {\displaystyle G} נגדיר S a = { a b ∣ b s = e , b ∈ C ( a ) } , S conj ⁡ ( a ) = ⋃ x ∈ conj ⁡ ( a ) S x {\displaystyle S_{a}=\{ab\mid b^{s}=e,b\in C(a)\},S_{\operatorname {conj} (a)}=\bigcup _{x\in \operatorname {conj} (a)}S_{x}} . מקבלים ש A = ⋃ o ( a ) = p α + 1 S a {\displaystyle A=\bigcup _{o(a)=p^{\alpha +1}}S_{a}} . נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו o ( a ) = o ( a 1 ) = p α + 1 , a b = b a = b 1 a 1 = a 1 b 1 , b s = b 1 s = 1 {\displaystyle o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1},ab=ba=b_{1}a_{1}=a_{1}b_{1},b^{s}=b_{1}^{s}=1} . נקבל ש a s = a s b s = ( a b ) s = ( a 1 b 1 ) s = a 1 s b 1 s = a 1 s {\displaystyle a^{s}=a^{s}b^{s}=(ab)^{s}=(a_{1}b_{1})^{s}=a_{1}^{s}b_{1}^{s}=a_{1}^{s}} . כיוון ש o ( a ) = o ( a 1 ) = p α + 1 {\displaystyle o(a)=o(a_{1})=p^{\alpha +1}} וכן ( s , p ) = 1 {\displaystyle (s,p)=1} נקבל ש a = a 1 {\displaystyle a=a_{1}} והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש s ∣ | S conj ⁡ ( a ) | {\displaystyle s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}|} לכל a מסדר p α + 1 {\displaystyle p^{\alpha +1}} . נשים לב שהעתקה Φ : S a → S x − 1 a x , a b → x − 1 a x x − 1 b x {\displaystyle \Phi \colon S_{a}\to S_{x^{-1}ax},ab\to x^{-1}axx^{-1}bx} היא התאמה חח"ע ועל ולכן | S conj ⁡ ( a ) | = | conj ⁡ ( a ) | | S a | {\displaystyle |S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|} . יהי k = | C ( a ) / ⟨ a ⟩ | , m = ( s , k ) {\displaystyle k=|C(a)/\langle a\rangle |,m=(s,k)} . ההתאמה a b → b ⟨ a ⟩ {\displaystyle ab\to b\langle a\rangle } היא התאמה חח"ע ועל מ S a {\displaystyle S_{a}} ל { y ∈ C ( a ) / ⟨ a ⟩ ∣ y s = e } = { y ∈ C ( a ) / ⟨ a ⟩ ∣ y m = e } {\displaystyle \{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{s}=e\}=\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}} . כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש m ∣ | { y ∈ C ( a ) / ⟨ a ⟩ ∣ y m = e } | = | S a | {\displaystyle m\mid |\{y\in C(a)/\langle a\rangle \mid y^{m}=e\}|=|S_{a}|} ולכן | S a | = c m {\displaystyle |S_{a}|=cm} . ממשפט מסלול מייצב נקבל ש | conj ⁡ ( a ) | = | G | | C ( a ) | {\displaystyle |\operatorname {conj} (a)|={\tfrac {|G|}{|C(a)|}}} ולכן | S conj ⁡ ( a ) | = | conj ⁡ ( a ) | | S a | = | G | | S a | | C ( a ) | = n c m k p α + 1 {\displaystyle |S_{\operatorname {conj} (a)}|=|\operatorname {conj} (a)||S_{a}|={\tfrac {|G||S_{a}|}{|C(a)|}}={\tfrac {ncm}{kp^{\alpha +1}}}} . כיוון שגם k {\displaystyle k} וגם s {\displaystyle s} מחלקים את n {\displaystyle n} נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם lcm ⁡ ( k , s ) = k s m {\displaystyle \operatorname {lcm} (k,s)={\tfrac {ks}{m}}} מחלקת את n {\displaystyle n} . לכן s {\displaystyle s} מחלק את n c m k {\displaystyle {\tfrac {ncm}{k}}} . מכיוון ש ( s , p ) = 1 {\displaystyle (s,p)=1} נקבל ש s ∣ | S conj ⁡ ( a ) | {\displaystyle s\mid |S_{\operatorname {conj} (a)}|} וסיימנו. 1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם. מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש | G | = ∏ i = 1 r p i α i {\displaystyle |G|=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}} ו p i {\displaystyle p_{i}} סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת p r {\displaystyle p_{r}} סילו היא נורמלית ב G {\displaystyle G} ובנוסף G {\displaystyle G} חבורה פתירה. בפרט אם | G | {\displaystyle |G|} חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת p r {\displaystyle p_{r}} סילו שלה היא נורמלית. הוכחה: נוכיח באינדוקציה על d {\displaystyle d} ש d = | A d | {\displaystyle d=|A_{d}|} עבור d ∣ | G | {\displaystyle d\mid |G|} כך ש d = p k β k ∏ i = k + 1 r p i α i 1 ≤ k ≤ r , β k ≤ α k {\displaystyle d=p_{k}^{\beta _{k}}\prod _{i=k+1}^{r}p_{i}^{\alpha _{i}}1\leq k\leq r,\beta _{k}\leq \alpha _{k}} . המקרה של d = | G | {\displaystyle d=|G|} ברור. נניח שהראנו לכל מחלק d ′ {\displaystyle d'} מהצורה לעיל הגדול מ d {\displaystyle d} , ונוכיח כעת עבור d {\displaystyle d} . יהי p {\displaystyle p} המחלק הראשוני הגדול ביותר של | G | d {\displaystyle {\tfrac {|G|}{d}}} . תהי A = A d p / A d {\displaystyle A=A_{dp}/A_{d}} . כיוון שחבורות p {\displaystyle p} סילו ציקליות, A {\displaystyle A} לא ריקה. מהנחת האינדוקציה | A d p | = d p {\displaystyle |A_{dp}|=dp} . ממשפט פרובניוס קיים 1 ≤ t < p {\displaystyle 1\leq t<p} כך ש | A d | = d t {\displaystyle |A_{d}|=dt} . מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש p − 1 ∣ d p − d t = d ( p − t ) {\displaystyle p-1\mid dp-dt=d(p-t)} מהצורה של d {\displaystyle d} כל מחלק של d {\displaystyle d} הוא לפחות p {\displaystyle p} ולכן ( p − 1 , d ) = 1 {\displaystyle (p-1,d)=1} לכן p − 1 ∣ ( p − t ) {\displaystyle p-1\mid (p-t)} ולכן t = 1 {\displaystyle t=1} . קיבלנו לכן ש d = | A d | {\displaystyle d=|A_{d}|} עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור d = p r α r {\displaystyle d=p_{r}^{\alpha _{r}}} נקבל ש | A p r α r | = p r α r {\displaystyle |A_{p_{r}^{\alpha _{r}}}|=p_{r}^{\alpha _{r}}} ונקבל שתת-חבורת ה p r {\displaystyle p_{r}} סילו N {\displaystyle N} יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה N {\displaystyle N} , G / N {\displaystyle G/N} פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית. באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה: מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ ( n , ϕ ( n ) ) ≠ 1 {\displaystyle (n,\phi (n))\neq 1} . 2) על ידי חישוב | A d | {\displaystyle |A_{d}|} בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל p ≤ n {\displaystyle p\leq n} על ידי חישוב | A p | {\displaystyle |A_{p}|} בחבורה הסימטרית S n {\displaystyle S_{n}} ניתן להראות כי מתקיים: ∑ k = 1 ⌊ n p ⌋ n ! p k k ! ( n − p k ) ! ≡ − 1 ( mod p ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{p}}\right\rfloor }{\tfrac {n!}{p^{k}k!(n-pk)!}}\equiv -1{\pmod {p}}} . גרסה כללית יותר (הול 1959 משפט 9.1.1) היא שאם C {\displaystyle C} היא מחלקת צמידות עם h {\displaystyle h} איברים אזי מספר האיברים k {\displaystyle k} כך ש k n {\displaystyle k^{n}} נמצא ב C {\displaystyle C} מתחלק ב ( h n , | G | ) {\displaystyle (hn,|G|)} . פרובניוס שיער שאם d ∣ | G | {\displaystyle d\mid |G|} ו d = | A d | {\displaystyle d=|A_{d}|} אז A d ⊲ G {\displaystyle A_{d}\vartriangleleft G} , תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} . ההשערה הוכחה בשנת 1991 תוך שימוש במשפט המיון לחבורות סופיות פשוטות לאחר עבודה רבה. משפטי סילו הוכחת המשפט ושימושים F. G. Frobenius, Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes, Berliner Sitz Hall Jr.Marshall, Theory of Groups, LCCN, 1959 NOBUO IIYORI AND HIROYOSHI YAMAKI, ON A CONJECTURE OF FROBENIUS