מערכת סביבות

בטופולוגיה, מערכת סביבות היא קבוצת כל הסביבות של נקודה מסוימת במרחב טופולוגי. מערכת הסביבות מאפשרת לתאר את מבנה המרחב בסביבת נקודה כלשהי. עבור מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} , נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} ו- N ⊆ X {\displaystyle N\subseteq X} , הקבוצה N {\displaystyle N} תקרא סביבה של x {\displaystyle x} אם ורק אם קיימת קבוצה פתוחה U {\displaystyle U} כך ש- x ∈ U ⊆ N {\displaystyle x\in U\subseteq N} . אם בנוסף N {\displaystyle N} היא קבוצה פתוחה בעצמה, N {\displaystyle N} תקרא סביבה פתוחה של x {\displaystyle x} . עבור מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} ונקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} ניתן להגדיר: N ( x ) := { N ⊆ X ∣ N  is a neighborhood of  x } {\displaystyle {\mathcal {N}}(x):=\{N\subseteq X\mid N{\text{ is a neighborhood of }}x\}} כלומר, N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(x)} היא קבוצת כל הסביבות של x {\displaystyle x} ונקראת מערכת הסביבות של x {\displaystyle x} . עבור מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} , נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} וקבוצה B ⊆ N ( x ) {\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)} , הקבוצה B {\displaystyle {\mathcal {B}}} תקרא בסיס מקומי של x {\displaystyle x} אם ורק אם לכל N ∈ N ( x ) {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)} קיים B ∈ B {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}} כך ש- B ⊆ N {\displaystyle B\subseteq N} . כל מערכת סביבות של נקודה כלשהי מהווה מסנן לפי היחס ⊆ {\displaystyle \subseteq } , ובפרט בסיס מקומי מהווה גם בסיס של המסנן לפי הגדרה. על מנת להוכיח כי מערכת הסביבות היא מסנן יש להוכיח כי מתקיימות שלוש תכונות: ראשית, X ∈ N ( x ) {\displaystyle X\in {\mathcal {N}}(x)} מכיוון שהמרחב כולו מהווה קבוצה פתוחה ומכיל את x {\displaystyle x} . שנית, יש להוכיח כי אם N ∈ N ( x ) {\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)} ו- N ⊆ N 1 {\displaystyle N\subseteq N_{1}} אז בהכרח N 1 ∈ N ( x ) {\displaystyle N_{1}\in {\mathcal {N}}(x)} . מאחר ש- N {\displaystyle N} היא סביבה של x {\displaystyle x} קיימת קבוצה פתוחה U {\displaystyle U} כך ש- x ∈ U ⊆ N {\displaystyle x\in U\subseteq N} . מאחר ש- N ⊆ N 1 {\displaystyle N\subseteq N_{1}} מתקיים x ∈ U ⊆ N 1 {\displaystyle x\in U\subseteq N_{1}} משמע N 1 {\displaystyle N_{1}} היא סביבה של x {\displaystyle x} ו- N 1 ∈ N ( x ) {\displaystyle N_{1}\in {\mathcal {N}}(x)} . לבסוף, יש להוכיח כי לכל N 1 , N 2 ∈ N ( x ) {\displaystyle N_{1},N_{2}\in {\mathcal {N}}(x)} מתקיים N 1 ∩ N 2 ∈ N ( x ) {\displaystyle N_{1}\cap N_{2}\in {\mathcal {N}}(x)} . מאחר ש- N 1 , N 2 {\displaystyle N_{1},N_{2}} שתיהן סביבות פתוחות של x {\displaystyle x} קיימות זוג קבוצות פתוחות U 1 , U 2 {\displaystyle U_{1},U_{2}} כך ש- x ∈ U 1 ⊆ N 1 {\displaystyle x\in U_{1}\subseteq N_{1}} ו- x ∈ U 2 ⊆ N 2 {\displaystyle x\in U_{2}\subseteq N_{2}} . מובן מכך כי x ∈ U 1 ∩ U 2 ⊆ N 1 ∩ N 2 {\displaystyle x\in U_{1}\cap U_{2}\subseteq N_{1}\cap N_{2}} וכי U 1 ∩ U 2 {\displaystyle U_{1}\cap U_{2}} קבוצה פתוחה (חיתוך שתי קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה), על כן N 1 ∩ N 2 {\displaystyle N_{1}\cap N_{2}} היא סביבה של x {\displaystyle x} ו- N 1 ∩ N 2 ∈ N ( x ) {\displaystyle N_{1}\cap N_{2}\in {\mathcal {N}}(x)} . מ.ש.ל. בעזרת מערכת סביבות של נקודה ובפרט בסיס מקומי ניתן לתאר את מבנה המרחב בנקודה הנתונה. כך למשל, מרחב קמור מקומית בנקודה כלשהי הוא מרחב שבו קיים לנקודה זו בסיס מקומי המורכב מקבוצות קמורות. באופן דומה ניתן להוכיח כי מרחב וקטורי טופולוגי בעל בסיס מקומי בן-בניה הוא מרחב מטריזבילי. יתרה מכך, עבור חבורות טופולוגיות (ומרחבים וקטורים טופולוגיים בפרט) ניתן ליצור בסיס למרחב כולו באמצעות בסיס מקומי באיבר היחידה (בראשית עבור מרחבים וקטורים טופולוגיים) ופעולות הזזה. עבור מרחב מטרי שלם X {\displaystyle X} עם המטריקה d {\displaystyle d} ונקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} , קבוצות כל הכדורים הפתוחים סביב x {\displaystyle x} מהווה בסיס מקומי של x {\displaystyle x} . יתרה מכך, בהינתן סדרת רדיוסים חיוביים r 1 , r 2 , r 3 , … {\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},\dots } כך ש- r n → 0 {\displaystyle r_{n}\to 0} קבוצת כל הכדורים הפתוחים סביב x {\displaystyle x} בעלי רדיוסים אלו מהווה בסיס מקומי של x {\displaystyle x} . עבור מרחב X {\displaystyle X} עם הטופולוגיה הטריוויאלית ונקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} , מערכת הסביבות של x {\displaystyle x} תהיה קבוצה של תת-הקבוצות של X {\displaystyle X} אשר מכילות את x {\displaystyle x} . מערכת סביבות, באתר MathWorld (באנגלית) Neighborhood of a Point | eMathZone, ‏2014-08-03 (באנגלית) Bert Mendelson, Introduction to topology, 3. ed., [Nachdr.], Mineola, NY: Dover Publ, 2009, Dover books on mathematics, ISBN 978-0-486-66352-4 Stephen Willard, General topology, Reading/Mass.: Addison-Wesley, 1970, Addison-Wesley series in mathematics, ISBN 978-0-201-08707-9 Raz Kupferman, Topological vector spaces, The Hebrew University, ‏2014-09-29 (באנגלית)