משפט רדון־ניקודים

באנליזה מתמטית ותורת המידה, משפט רדון־ניקודים (או לבג־רדון־ניקודים) הוא תוצאה יסודית וחשובה המאפשרת תחת תנאים מסוימים להשוות בין שתי מידות שונות המוגדרות על מרחב מדיד. המשפט מבטיח את הקיום של פונקציה המכונה נגזרת רדון־ניקודים, ולה תפקיד חשוב בין השאר בפיתוחה התאורטי של תורת ההסתברות. כך למשל פונקציית צפיפות הסתברות של משתנה מקרי, מתוארת באופן פורמלי כנגזרת רדון־ניקודים של מידת ההסתברות שמושרית על ידי המשתנה המקרי ביחס למידת לבג (לרוב). שימוש תאורטי חשוב נוסף הוא הוכחת הקיום של תוחלת מותנית. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האוסטרי יוהאן רדון, שהוכיח מקרה פרטי של המשפט בשנת 1913, והמתמטיקאי הפולני אוטו ניקודים, שהוכיח את המשפט הכללי בשנת 1930. בשנת 1936 פרסם הנס פרוידנטל הכללה נוספת, שבה נכלל משפט רדון־ניקודים כמקרה פרטי. בהינתן מרחב מדיד ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ושתי מידות סיגמא־סופיות μ {\displaystyle \mu } ו- ν {\displaystyle \nu } המוגדרות על המרחב כך ש- ν {\displaystyle \nu } היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידה μ {\displaystyle \mu } , אזי קיימת פונקציה f : Ω → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle f:\Omega \to [0,\infty )} פונקציה אינטגרבילית ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } כך שמתקיים ν ( E ) = ∫ E f d μ {\displaystyle \nu \left(E\right)=\int _{E}fd\mu } לכל קבוצה מדידה E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } . f {\displaystyle f} זו מכונה נגזרת רדון־ניקודים. הדוגמה הבאה מראה מדוע הדרישה לסיגמא־סופיות הכרחית. תהי μ {\displaystyle \mu } מידת המניה על R {\displaystyle \mathbb {R} } , כלומר μ ( E ) = | E | {\displaystyle \mu \left(E\right)=\left|E\right|} (בכל מקרה בו E {\displaystyle E} אינסופית נגדיר μ ( E ) = ∞ {\displaystyle \mu \left(E\right)=\infty } ). תהי λ {\displaystyle \lambda } מידת לבג על R {\displaystyle \mathbb {R} } . קל לראות כי λ {\displaystyle \lambda } רציפה בהחלט ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } . אם בשלילה המשפט היה תקף גם במקרה זה, אז הייתה נגזרת רדון־ניקודים f {\displaystyle f} אינטגרבילית ביחס למידת המניה, כך שמתקיים λ ( E ) = ∫ E f d μ {\displaystyle \lambda \left(E\right)=\int _{E}fd\mu } . אבל לכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } מתקיים, 0 = λ ( { x } ) = ∫ { x } f ( t ) d μ ( t ) = f ( x ) {\displaystyle 0=\lambda \left(\left\{x\right\}\right)=\int _{\left\{x\right\}}f\left(t\right)d\mu \left(t\right)=f\left(x\right)} , כלומר f ≡ 0 {\displaystyle f\equiv 0} . אבל מכך נובע כי λ ≡ 0 {\displaystyle \lambda \equiv 0} , וזו סתירה. במקרה שבו μ {\displaystyle \mu } היא מידה סופית מגדירים את הקבוצה: L := { f : Ω → [ 0 , ∞ ] ∣ ∀ E ∈ Σ , ∫ E f d μ ≤ ν ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}:=\left\{f:\Omega \to [0,\infty ]\mid \forall E\in \Sigma ,\int _{E}{fd\mu }\leq \nu (A)\right\}} באמצעות הלמה של צורן ניתן להוכיח כי קיים ב- L {\displaystyle {\mathcal {L}}} איבר מקסימלי, נסמנו ב- z {\displaystyle z} . לכל f ∈ L {\displaystyle f\in {\mathcal {L}}} מתקיים כי f ≤ z {\displaystyle f\leq z} כמעט בכל מקום. לפי הגדרה, לכל E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } מתקיים ∫ E z d μ ≤ ν ( E ) {\displaystyle \int _{E}{zd\mu }\leq \nu (E)} . נותר רק להוכיח כי מתקיים אי השוויון בכיוון ההפוך. מגדירים פונקציה חדשה λ : Σ → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \lambda :\Sigma \to [0,\infty )} כך שלכל E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } מתקיים λ ( E ) := ν ( E ) − ∫ E z d μ {\displaystyle \lambda (E):=\nu (E)-\int _{E}{zd\mu }} . זאת היא בהכרח מידה מסומנת, לכן לפי משפט הפירוק של האן קיימת לה קבוצה חיובית P {\displaystyle P} כך ש- Ω ∖ P {\displaystyle \Omega \backslash P} קבוצה שלילית. מגדירים פונקציה חדשה z ′ : Ω → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle z':\Omega \to [0,\infty )} כך ש: z ′ ( x ) := { z ( x ) + 1 , if  x ∈ P z ( x ) , else {\displaystyle z'(x):={\begin{cases}z(x)+1,&{\text{if }}x\in P\\z(x),&{\text{else}}\end{cases}}} ניתן להוכיח כי z ′ ∈ L {\displaystyle z'\in {\mathcal {L}}} וכי z ≤ z ′ {\displaystyle z\leq z'} . לכן, לפי המקסימליות של z {\displaystyle z} , P {\displaystyle P} חייבת להיות ממידה אפס. מתקבל כי לכל E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } : ν ( E ) − ∫ E z d μ = λ ( E ) = λ ( E ∩ P ) ⏟ = 0 + λ ( E ∖ P ) = λ ( E ∖ P ) ≤ 0 {\displaystyle \nu (E)-\int _{E}{zd\mu }=\lambda (E)=\underbrace {\lambda (E\cap P)} _{=0}+\lambda (E\backslash P)=\lambda (E\backslash P)\leq 0} משמע ν ( E ) ≤ ∫ E z d μ {\displaystyle \nu (E)\leq \int _{E}{zd\mu }} . מתקבל אם כן כי לכל E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } מתקיימים אי השוויונות ∫ E z d μ ≤ ν ( E ) ≤ ∫ E z d μ {\displaystyle \int _{E}{zd\mu }\leq \nu (E)\leq \int _{E}{zd\mu }} , לכן בהכרח ν ( E ) = ∫ E z d μ {\displaystyle \nu (E)=\int _{E}{zd\mu }} . כלומר, z {\displaystyle z} היא הפונקציה המבוקשת במשפט. מ.ש.ל. אם μ {\displaystyle \mu } מידה סיגמא-סופית ניתן לפרק את Ω {\displaystyle \Omega } לאוסף בן מניה של קבוצות זרות ממידה סופית { C n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{C_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} . לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים מידה חדשה ν n {\displaystyle \nu _{n}} כך שלכל E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } מתקיים ν n ( E ) := ν ( E ∩ C n ) {\displaystyle \nu _{n}(E):=\nu (E\cap C_{n})} . ניתן להוכיח כי ν n {\displaystyle \nu _{n}} היא מידה סופית רציפה בהחלט ביחס μ {\displaystyle \mu } , לכן לפי משפט רדון-ניקודים למידה סופית קיימת לה נגזרת רדון-ניקודים z n {\displaystyle z_{n}} אשר מתאפסת מחוץ ל- C n {\displaystyle C_{n}} . מגדירים z := ∑ n = 1 ∞ z n {\displaystyle z:=\sum _{n=1}^{\infty }{z_{n}}} . ניתן לראות כי מתקיים לכל E ∈ Σ {\displaystyle E\in \Sigma } : ν ( E ) = ν ( E ∩ Ω ) = ν ( E ∩ ⋃ n = 1 ∞ C n ) = ν ( ⋃ n = 1 ∞ ( E ∩ C n ) ) = ∑ n = 1 ∞ ν ( E ∩ C n ) = ∑ n = 1 ∞ ν n ( E ) = ∑ n = 1 ∞ ∫ E z n d μ = ∫ E ∑ n = 1 ∞ z n d μ = ∫ E z d μ {\displaystyle {\begin{aligned}\nu (E)=\nu (E\cap \Omega )=\nu \left(E\cap \bigcup _{n=1}^{\infty }{C_{n}}\right)=\nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }{(E\cap C_{n})}\right)\\=\sum _{n=1}^{\infty }{\nu (E\cap C_{n})}=\sum _{n=1}^{\infty }{\nu _{n}(E)}=\sum _{n=1}^{\infty }{\int _{E}{z_{n}d\mu }}\\=\int _{E}{\sum _{n=1}^{\infty }{z_{n}}d\mu }=\int _{E}{zd\mu }\end{aligned}}} כלומר z {\displaystyle z} היא פונקציה כנדרש. מ.ש.ל. ניתן להרחיב את משפט למידות מסומנות ומידות מרוכבות באופן הבא: עבור ( X , F ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)} מרחב מדיד, μ {\displaystyle \mu } מידה סיגמא־סופית וחיובית על המרחב ו- ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת (מרוכבת) המקבלת ערכים סופיים בלבד ורציפה בהחלט ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } , אזי קיימת פונקציה f {\displaystyle f} פונקציה אינטגרבילית ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } (לא בהכרח חיובית) כך שמתקיים ν ( E ) = ∫ E f d μ {\displaystyle \nu \left(E\right)=\int _{E}fd\mu } לכל קבוצה מדידה E {\displaystyle E} . משפט הפירוק של לבג מאפשר לעדן את התנאי לרציפות בהחלט של משפט רדון-ניקודים. המשפט קובע כי: עבור ( X , F ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)} מרחב מדיד, μ {\displaystyle \mu } מידה סיגמא־סופית וחיובית על המרחב ו- ν {\displaystyle \nu } מידה סיגמא-סופית ומסומנת, קיימות זוג מידות מסומנות ρ , τ {\displaystyle \rho ,\tau } כך ש: μ = τ + ρ {\displaystyle \mu =\tau +\rho } τ {\displaystyle \tau } סינגולרית ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } ρ {\displaystyle \rho } רציפה בהחלט ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } קיימת פונקציה יחידה f ∈ L 1 ( X , F , μ ) {\displaystyle f\in L^{1}\left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)} , כך שמתקיים ρ ( E ) = ∫ E f d μ {\displaystyle \rho \left(E\right)=\int _{E}fd\mu } לכל קבוצה מדידה E {\displaystyle E} . פונקציה זו מכונה נגזרת רדון־ניקודים, והיא מסומנת f = d ρ d μ {\displaystyle f={\frac {d\rho }{d\mu }}} . משפט רדון־ניקודים, באתר MathWorld (באנגלית) Nikodym, O. (1930). "Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon" (PDF). Fundamenta Mathematicae (בצרפתית). 15: 131–179. JFM 56.0922.02. נבדק ב-2009-05-11. Prateek Karandikar, Proof of Radon-Nikodym theorem, Chennai Mathematical Institute, ‏2010-10-13 (באנגלית)