אנרגיה פונדרומוטיבית

אנרגיה פונדרומוטיבית (ponderomotive energy) היא האנרגיה שצובר אלקטרון חופשי הנע בהשפעת שדה חשמלי מחזורי, לאורך זמן מחזור אחד של השדה. לאנרגיה זו שימושים רבים בפיזיקת פלזמה ובפיזיקה של שדות לייזר חזקים. אלקטרון חופשי המצוי בהשפעת שדה חשמלי, מקיים את החוק השני של ניוטון כאשר הכוח הפועל עליו הוא כוח לורנץ. האנרגיה הפונדרמטיבית של אלקטרון הנע בהשפעת שדה חשמלי התלוי בזמן, מחושבת באמצעות הפוטנציאל הווקטורי המחולל את אותו שדה. בהינתן שדה חשמלי E → ( t ) {\displaystyle {\vec {E}}(t)} , ובהזנחת שדה מגנטי, הפוטנציאל הווקטורי A → ( t ) {\displaystyle {\vec {A}}(t)} יחושב כך: A → ( t ) = − c ∫ − ∞ t E → ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle {\vec {A}}(t)=-c\int _{-\infty }^{t}{\vec {E}}(t')dt'} כאשר c {\displaystyle c} היא מהירות האור בריק. בהינתן שהשדה החשמלי הוא פתרון של משוואת הגלים, ועל כן מחוסר רכיב תדר DC, מתקיים כי A → ( − ∞ ) = 0 {\displaystyle {\vec {A}}(-\infty )=0} , ולמעשה האינטגרל לעיל הופך לאינטגרל לא-מסוים על השדה החשמלי המחזורי. האנרגיה הפונדרמוטיבית U p {\displaystyle U_{p}} מוגדרת על פי הערך הממוצע של ריבוע הפוטנציאל הווקטורי: U p = e 2 2 m c 2 ⟨ A 2 ( t ) ⟩ = e 2 2 m c 2 1 T ∫ t t + T A 2 ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle U_{p}={\frac {e^{2}}{2mc^{2}}}\langle A^{2}(t)\rangle ={\frac {e^{2}}{2mc^{2}}}{\frac {1}{T}}\int _{t}^{t+T}A^{2}(t')dt'} כאשר e {\displaystyle e} מסמן את מטען האלקטרון ו- m {\displaystyle m} את מסתו. נניח שדה חשמלי מונוכרומטי בעל תדירות ω {\displaystyle \omega } והמקוטב ליניארית בכיוון כללי כלשהו n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} : E → ( t ) = E 0 cos ⁡ ω t n ^ {\displaystyle {\vec {E}}(t)=E_{0}\cos \omega t{\hat {n}}} אזי, הפוטנציאל הווקטורי הוא: A → ( t ) = − c ω E 0 sin ⁡ ω t n ^ {\displaystyle {\vec {A}}(t)=-{\frac {c}{\omega }}E_{0}\sin \omega t{\hat {n}}} והאנרגיה הפונדרמוטיבית, שתסומן U p {\displaystyle U_{p}} , תהיה בהתאם: U p = e 2 E 0 2 4 m ω 2 {\displaystyle U_{p}={\frac {e^{2}{E_{0}}^{2}}{4m\omega ^{2}}}} במערכת היחידות האטומית (מערכת הרטרי), בה e = m = ℏ = 1 {\displaystyle e=m=\hbar =1} (ו- c ≃ 137 {\displaystyle c\simeq 137} ) מתקבל: U p = E 0 2 4 ω 2 {\displaystyle U_{p}={\frac {E_{0}^{2}}{4\omega ^{2}}}} כעת נניח שדה חשמלי מונוכרומטי בעל תדירות ω {\displaystyle \omega } והמקוטב מעגלית-ימנית (ההצגה היא, לצורך העניין, במערכת צירים קרטזית): E → ( t ) = E 0 ( cos ⁡ ω t , sin ⁡ ω t ) {\displaystyle {\vec {E}}(t)=E_{0}(\cos \omega t,\sin \omega t)} הפוטנציאל הווקטורי יהיה: A → ( t ) = − c ω E 0 ( sin ⁡ ω t , − cos ⁡ ω t ) {\displaystyle {\vec {A}}(t)=-{\frac {c}{\omega }}E_{0}(\sin \omega t,-\cos \omega t)} והאנרגיה הפונדרמוטיבית תהיה: U p = e 2 E 0 2 2 m ω 2 {\displaystyle U_{p}={\frac {e^{2}{E_{0}}^{2}}{2m\omega ^{2}}}} ובמערכת היחידות האטומית: U p = E 0 2 2 ω 2 {\displaystyle U_{p}={\frac {{E_{0}}^{2}}{2\omega ^{2}}}} כלומר כפליים מהאנרגיה שהתקבלה במקרה הליניארי. יש בכך היגיון, מאחר שניתן לחשוב על השדה המעגלי כסופרפוזיציה של שני שדות ליניאריים בצירים ניצבים וביניהם פאזה. אולם, חישוב האנרגיה הפונדרמוטיבית אדיש לפאזה זו, שכן הערך הממוצע של ריבועי הפונקציות סינוס וקוסינוס הוא זהה, ושווה ל- 1 / 2 {\displaystyle 1/2} . מרגע שחושבה האנרגיה הפונדרמוטיבית עבור השדה החשמלי בבעיה הפיזיקלית אותה נרצה לפתור, ניתן להשתמש בה כסקאלה או כנרמול לאנרגיות שונות בבעיה. אחד השימושים הבולטים ביחידה זו, הוא בפיזיקה של שדות לייזר חזקים ובפרט בפיזיקה של אטו-שניות: שדה חשמלי ליניארי חזק ובתדירות נמוכה המחולל יצירת הרמוניות גבוהות, מסוגל לגרום לפליטת פוטונים בעלי מגוון תדרים, עד לתדר קטעון (cutoff) שממנו והלאה ניצולת תהליך הפליטה פוחתת משמעותית. מתברר, כי ללא תלות בעוצמת השדה ובתדירותו, חישובו של תדר הקטעון עונה תמיד על הכלל הבא (במערכת היחידות האטומית): ω c u t o f f = 3.17 U p + I p {\displaystyle \omega _{cutoff}=3.17U_{p}+I_{p}} כאשר I p {\displaystyle I_{p}} היא אנרגיית היינון הראשונה של האטום, ובהכללה, האנרגיה העצמית של המצב ממנו האלקטרון התיינן. DB Miloseveic, W Becker, R Kopold, Generation of circularly polarized high-order harmonics by two-color coplanar field mixing, Physical Review A 61, APS, 2000, עמ' 063403