שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן

שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן (אנגלית FDTD, ר"ת: Finite Difference Time Domain) היא שיטה נומרית לפתרון משוואות התלויות בזמן ובמרחב, בדרך כלל משוואות דיפרנציאליות חלקיות (שהן משוואות דיפרנציאליות מרובות משתנים), כמו למשל משוואות מקסוול לאלקטרומגנטיות. קיין יי פיתח לראשונה את השיטה בשנת 1966. בשיטה הזו מחלקים את המרחב לרשת של נקודות. מתחילים מפתרון המשוואות עבור הזמן ההתחלתי. לאחר מכן מתקדמים בצעד זמן אחד, פותרים את המשוואות במרחב בזמן החדש, וחוזר חלילה (ומכאן השם "הפרש סופי בתחום הזמן"). באופן זה פותרים את המשוואות עבור כל תחום המרחב והזמן. השיטה נחשבת קלה להבנה ופשוטה ליישום בתוכנה, ביחס לשיטות פתרון אחרות של משוואות דיפרנציאליות חלקיות. היות שהשיטה היא בתחום הזמן, פתרונותיה יכולים לכסות טְווח תדרים רחב באמצעות הרצת סימולציה בודדת, בניגוד לשיטות במרחב התדר, בהן ניתן לפתור תדר בודד בכל סימולציה. צעד ראשון הוא חלוקת המרחב והזמן לרשת בדידה. נקודות הרשת נקראות צמתים או באנגלית nodes, והפונקציה הנעלמת במשוואה מוגדרת רק על צמתים אלו. הנגזרות החלקיות מתורגמות להפרשים של ערך הפונקציה בין נקודות סמוכות. באופן זה המשוואה עברה דיסקרטיזציה, כלומר מוגדרת במרחב וזמן דיסקרטי (בדיד) במקום רציף. המרווחים ברשת, בזמן ובמרחב, צריכים להיות קטנים מספיק כך שייווצרו שגיאות מינימליות בפתרון. דרך הפתרון בשיטת ההפרשים הסופיים היא כדלהלן: פותרים את המשוואות במרחב עבור הזמן ההתחלתי, על פי תנאי התחלה (שהוא פתרון נתון בזמן התחלתי כלשהו). לאחר מכן פותרים את המשוואות עבור הנקודה הבאה בזמן, תוך חזרה על התהליך עד לקבלת זמן הפתרון הרצוי. כאשר בוחנים את משוואות מקסוול ניתן לראות כי השינוי בשדה החשמלי בזמן תלוי ברוטור (פונקציה מתמטית) של השדה המגנטי, כלומר פתרון השדה החשמלי בזמן מסוים תלוי בערך של השדה החשמלי בצעד הקודם וברוטור של השדה המגנטי. השדה המגנטי תלוי בחשמלי באותו אופן. מהלך הפתרון: מוצאים את השדה החשמלי והמגנטי בזמן ההתחלתי מתוך תנאי ההתחלה. מחשבים את השדה החשמלי עבור הנקודה הבאה בזמן, ולאחר מכן את השדה המגנטי באותו זמן, תוך חזרה על התהליך עד לקבלת טווח זמן הפתרון הרצוי. על מנת להשתמש בשיטת ההפרשים הסופיים יש ליצור סביבת עבודה בעלת יכולת חישוב. הסביבה החישובית (computational domain) תתאר את האזור הפיזיקלי שבו הסימולציה (של השדות) תתרחש. החומר בכל תא בסביבה החישובית חייב להיות מוגדר מראש, לרוב, חומר זה הוא אוויר, מתכת או חומר דיאלקטרי כלשהו. ניתן להשתמש בכל חומר כל עוד מוגדרים לו פרמביליות, פרמטיביות, ומוליכות. פרמביליות היא דרגת המיגנוט של חומר אשר מגיב ליניארית להשפעת שדה מגנטי, פרמטיביות מתארת כיצד החומר מושפע ומשפיע על שדה חשמלי ונמדדת כדרך שבה החומר מקוטב כתגובה לשדה וכך מפחיתה את השדה בתוך החומר ואילו המוליכות היא היכולת של החומר להעביר זרם חשמלי. עם הקמת הסביבה החישובית יוגדר המקור. המקור יכול להיות גל מישורי פוגע, זרם בתיל או שדה חשמלי יזום, בהתאם לצורך. היות שהשדות, המגנטי והחשמלי, נקבעים ישירות, תוצאת הסימולציה היא בדרך כלל השדה החשמלי, או המגנטי, בנקודה או בסדרת נקודות של הסביבה החישובית. פעולת הסימולציה מעוררת את השדות ומריצה אותם קדימה בתחום הזמן. עיבוד הנתונים מתבצע על השדה החשמלי ועל המגנטי אשר מוחזרים על ידי הסימולציה, עוד במהלך ההרצה עצמה. השיטה קלה להבנה (אינטואיטיבית), קל ללמוד את יישומה וכן לצפות את תוצאותיה. השיטה פועלת בתחום הזמן וכאשר פולס רחב סרט (כדוגמת פולס גאוסיאני) משמש בה כמקור, התגובה המתקבלת היא על פני תחום רחב מאוד של תדרים, וניתן להשיגה מתוך סימולציה אחת בלבד. זהו כלי שימושי עבור אפליקציות בהן תדרי התהודה (resonant frequencies) אינם ידועים וכן עבור כל מקרה בו מעוניינים בתוצאה רחבת סרט. שיטת ההפרשים הסופיים מחשבת את השדות החשמליים והמגנטיים בסביבה החישובית, כאשר אלו מתפתחים בזמן, ומאפשרת המחשה ויזואלית של תנועת השדה האלקטרו-מגנטי לאורך המודל. הצגה כזו שימושית מאוד להבנת פעולת המודל ולביטחון בכך שהמודל פועל כשורה. שיטת ההפרשים הסופיים מאפשרת למשתמש להגדיר את החומר במודל בכל נקודה ונקודה בתוך הסביבה החישובית. כך ניתן למדל מגוון רב של חומרים דיאלקטריים ליניאריים ולא ליניאריים ושל חומרים מגנטיים . עבור פתרונות בשיטת ההפרשים הסופיים יש צורך לקחת את כל הסביבה החישובית, ויש צורך בדיסקרטיזציה וכן ברזולוציה מספיקות כדי שנוכל לפתור גם את אורך הגל הקטן ביותר עבור המשטח הגאומטרי הקטן ביותר. לשם כך יש צורך בסביבה חישובית גדולה מאוד (יכולת חישובית) אשר גם זמן החישוב בה יהיה גדול מאוד. מודלים בעלי פרופיל ארוך ודק (כגון חוטים) קשים למידול בשיטה זו מכיוון שהם מחייבים סביבה חישובית גדולה מאוד. שיטת ההפרשים מוצאת את השדה החשמלי/מגנטי בצורה ישירה בכל מקום בסביבה החישובית, אם נחפש את ערכי השדה במרחק גדול, נאלץ להשתמש בסביבה חישובית גדולה מאוד. קיימות הרחבות עבור השדה הרחוק עבור שיטת ההפרשים הסופיים, אולם הן מצריכות כמות נכבדת של עיבוד נתונים לאחר החישוב. משום ששיטת ההפרשים הסופיים מחשבת את השדה החשמלי והמגנטי בכל הנקודות בסביבה החישובית, הסביבה החישובית חייבת להיות סופית בממדיה כדי שתוכל להיות מוכלת בזיכרון המחשב. במקרים רבים משיגים מצב כזה על ידי הכנסת "גבולות מלאכותיים" לתוך מרחב הסימולציה. גבולות שכאלו 'סופגים' את כל השדה המתפזר בקצוות ומונעים החזרות בקצוות. יש לנקוט זהירות רבה בהכנסת גבולות, כדי למזער שגיאות הנובעות מגבולות שכאלו. ישנם מספר תנאי שפה 'סופגים' אפקטיביים אשר מדמים סביבה אינסופית חסרת גבולות (דימוי לעולם האמיתי). רוב היישומים משתמשים במקום זה בחומר 'בולע' מיוחד אשר מהווה תיאום לשדה ומונע החזרות ונקרא Perfectly Matched Layer - PML. שיטת ההפרשים הסופיים מבוצעת על ידי התפשטות השדות קדימה בתחום הזמן ולכן תגובת הזמן האלקטרו-מגנטי של התווך חייבת להיות ממודלת בצורה ייחודית. עבור תגובה ארעית, יש צורך בקונבולוציה יקרת-זמן חישוב. משוואה דיפרנציאלית חלקית שיטת אלמנטים סופיים מדיה וקבצים בנושא שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן בוויקישיתוף Kane Yee (1966). "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on. 14: 302–307. doi:10.1109/TAP.1966.1138693.