מצבים קוהרנטיים

בפיזיקה, מצבים קוהרנטיים הם מצבים קוונטיים של מתנדים הרמוניים אשר התנהגותם בזמן דומה להתנהגות הקלאסית של המערכת (כאשר זו מוגדרת). דמיון זה מתבטא בכך שערכי התצפית (התוחלת) של המיקום והתנע משתנים בזמן בדיוק כמו התנע והמקום של מתנד הרמוני קלאסי, כלומר הם מתנהגים באופן מחזורי בזמן בדומה למטוטלת פשוטה. למצבים קוהרנטיים ישנה חשיבות רבה בתיאור של מערכות קוונטיות, ותכונות האור של לייזרים. בנוסף לכך, הם מהווים מרכיב בסיסי בבנייה של תורת השדות הקוונטית המתארת מערכות מרובות חלקיקים. מצבים קוהרנטיים, באופן כללי, הם הכללות של המצבים הקוהרנטיים של מתנד הרמוני פשוט. לכן מרבית הדיון במאמר זה יתמקד במקרה זה, ורק בסופו ייסקרו ההכללות ומשמעויותיהן. סופרפוזיציה של מצבים קוהרנטיים מכונה מצב חתול[דרוש מקור], על-שם החתול של שרדינגר, שנמצא בסופרפוזיציה קוונטית של שני מצבים קלאסיים מקרוסקופיים. מצבים קוהרנטיים הם המצבים העצמיים של אופרטור ההשמדה (נקרא גם אופרטור ההורדה, החיסול, ההריסה; ראה אופרטורי סולם בערך מתנד הרמוני קוונטי). כדי להסביר את מהות הגדרה זו נתמקד במקרה הפשוט של מתנד הרמוני קוונטי בממד אחד המתואר על ידי ההמילטוניאן:   H = p 2 2 m + 1 2 m ω 2 x 2 {\displaystyle \ H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}} כאשר   ω {\displaystyle \ \omega } היא התדירות העצמית של המתנד,   x {\displaystyle \ x} הוא אופרטור המיקום של החלקיק ו-   p {\displaystyle \ p} אופרטור התנע. אופרטורי ההשמדה והיצירה (אופרטורי הסולם) של בעיה מוגדרים להיות: a = m ω 2 ℏ ( x + i m ω p ) a † = m ω 2 ℏ ( x − i m ω p ) {\displaystyle {\begin{matrix}a&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{i \over m\omega }p\right)\\a^{\dagger }&=&{\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x-{i \over m\omega }p\right)\end{matrix}}} כאשר   a {\displaystyle \ a} הוא אופרטור ההשמדה (או אופרטור הורדה) ו-   a † {\displaystyle \ a^{\dagger }} הוא אופרטור היצירה (או אופרטור העלאה). מצב קוהרנטי   | z ⟩ {\displaystyle \ |z\rangle } (בכתיב דיראק) הוא מצב המקיים: a | z ⟩ = z | z ⟩ {\displaystyle a|z\rangle =z|z\rangle } כאשר   z {\displaystyle \ z} הוא מספר מרוכב שרירותי. אפשר למצוא מההגדרה הזאת את ההצגה של המצב הקוהרנטי | z ⟩ {\displaystyle |z\rangle } בבסיס המספר { | n ⟩ } n = 0 ∞ {\displaystyle \{|n\rangle \}_{n=0}^{\infty }} : נכתוב | z ⟩ = ∑ n = 0 ∞ α n | n ⟩ {\displaystyle |z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}|n\rangle } נפעיל את אופרטור ההורדה: a | z ⟩ = ∑ n = 0 ∞ α n a | n ⟩ = ∑ n = 1 ∞ α n n | n − 1 ⟩ {\displaystyle a|z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n}a|n\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}{\sqrt {n}}|n-1\rangle } על ידי החלפת אינדקסים נקבל a | z ⟩ = ∑ n = 0 ∞ α n + 1 n + 1 | n ⟩ {\displaystyle a|z\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\alpha _{n+1}{\sqrt {n+1}}|n\rangle } ולפי הגדרה זה צריך להיות שווה ל- z | z ⟩ {\displaystyle z|z\rangle } ולכן צריך להתקיים בהכרח z ⋅ α n = n + 1 α n + 1 {\displaystyle z\cdot \alpha _{n}={\sqrt {n+1}}\alpha _{n+1}} . נקבל את יחס הרקורסיה α n + 1 = z n + 1 α n {\displaystyle \alpha _{n+1}={\frac {z}{\sqrt {n+1}}}\alpha _{n}} לכן בהינתן α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} אפשר לראות שהאיבר הכללי נתון ע"י α n = z n n ! α 0 {\displaystyle \alpha _{n}={\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}}\alpha _{0}} כעת, בשביל נרמול נדרוש ש- ∑ n = 0 ∞ | α n | 2 = 1 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|\alpha _{n}|^{2}=1} . כלומר | α 0 | 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ | z 2 | n n ! = 1 ⇒ | α 0 | 2 ⋅ e | z 2 | = 1 ⇒ | α 0 | = e − | z | 2 2 {\displaystyle |\alpha _{0}|^{2}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|z^{2}|^{n}}{n!}}=1\Rightarrow |\alpha _{0}|^{2}\cdot e^{|z^{2}|}=1\Rightarrow |\alpha _{0}|=e^{-{\frac {|z|^{2}}{2}}}} לסיום, משום שהפאזה הגלובלית לא משנה להגדרת המצב, נבחר את α 0 {\displaystyle \alpha _{0}} להיות ממשי ונקבל | z ⟩ = e − | z | 2 2 ∑ n = 0 ∞ z n n ! | n ⟩ {\displaystyle |z\rangle =e^{-{\frac {|z|^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle } מההגדרה שלמעלה נובע כי מצב קוהרנטי מתואר על ידי:   | z ⟩ = e − | z | 2 2 e z a † | 0 ⟩ {\displaystyle \ |z\rangle =e^{-{\frac {|z|^{2}}{2}}}e^{za^{\dagger }}|0\rangle } כאשר   | 0 ⟩ {\displaystyle \ |0\rangle } הוא מצב היסוד (כלומר המצב בעל האנרגיה הנמוכה ביותר) של המתנד ההרמוני. ניתן להוכיח פתרון זה על ידי השימוש בתכונות אופרטורי היצירה וההשמדה:   a | n ⟩ = n | n − 1 ⟩ {\displaystyle \ a|n\rangle ={\sqrt {n}}|n-1\rangle }   a † | n ⟩ = n + 1 | n + 1 ⟩ {\displaystyle \ a^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle } כאשר   | n ⟩ {\displaystyle \ |n\rangle } הוא המצב המתאר את הרמה ה-n-ית של המתנד. אפשרות אחרת היא לבנות את המצבים הקוהרנטיים על ידי פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית המגדירה אותם. אופרטור התנע בהצגת המקום הוא   p = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle \ p=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} ולכן מהגדרת המצבים הקוהרנטיים נובע שהם מקיימים את המשוואה: m ω 2 ℏ ( x + ℏ m ω ∂ ∂ x ) ψ z ( x ) = z ψ z ( x ) {\displaystyle {\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left(x+{\hbar \over m\omega }{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi _{z}(x)=z\psi _{z}(x)} פתרון משוואה זו הוא:   ψ z ( x ) = ( ℏ π m ω ) 1 4 e − m ω 2 ℏ ( x − x ¯ ) 2 + i ℏ x p ¯ {\displaystyle \ \psi _{z}(x)=\left({\frac {\hbar \pi }{m\omega }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {m\omega }{2\hbar }}(x-{\bar {x}})^{2}+{\frac {i}{\hbar }}x{\bar {p}}}} כאשר z = m ω 2 ℏ ( x ¯ + i m ω p ¯ ) {\displaystyle z={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\bar {x}}+{i \over m\omega }{\bar {p}}\right)} המצבים הקוהרנטיים אינם מצבים עצמיים של המערכת, ולכן הם משתנים בזמן. מצבים אלו מאופיינים על ידי שני מספרים: החלק הממשי והחלק הדמיוני של המספר המרוכב   z {\displaystyle \ z} , שהוא הערך העצמי של אופרטור ההשמדה. מספרים אלו מגדירים את ערכי התוחלת של המקום והתנע של המצב הקוהרנטי: x ¯ = ⟨ z | x | z ⟩ = ℏ 2 m ω ⟨ z | a + a † | z ⟩ = ℏ 2 m ω ( z + z ∗ ) = 2 ℏ m ω Re ⁡ ( z ) {\displaystyle {\bar {x}}=\langle z|x|z\rangle ={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}\langle z|a+a^{\dagger }|z\rangle ={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega }}}(z+z^{*})={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\operatorname {Re} (z)} p ¯ = ⟨ z | p | z ⟩ = ℏ m ω 2 1 i ⟨ z | a − a † | z ⟩ = 2 ℏ m ω Im ⁡ ( z ) {\displaystyle {\bar {p}}=\langle z|p|z\rangle ={\sqrt {\frac {\hbar m\omega }{2}}}{\frac {1}{i}}\langle z|a-a^{\dagger }|z\rangle ={\sqrt {2\hbar m\omega }}\operatorname {Im} (z)} כמו כן, אם לדוגמה נניח שפונקציית הגל ברגע t = 0 {\displaystyle t=0} היא מצב קוהרנטי | z ⟩ {\displaystyle |z\rangle } כאשר z = | z | e i θ {\displaystyle z=|z|e^{i\theta }} , יעניין אותנו לראות מה קורה בזמן: | ψ ⟩ ( t ) = e − | z | 2 2 ∑ n = 0 ∞ z n n ! e − i E n ℏ t | n ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle (t)=e^{-{\frac {|z|^{2}}{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-i{\frac {E_{n}}{\hbar }}t}|n\rangle } האנרגיה של המצב | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } היא ℏ ω ( n + 1 2 ) {\displaystyle \hbar \omega (n+{\frac {1}{2}})} ולכן | ψ ⟩ ( t ) = e − | z | 2 2 ⋅ e − i ω 2 t ∑ n = 0 ∞ ( z ⋅ e − i ω t ) n n ! | n ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle (t)=e^{-{\frac {|z|^{2}}{2}}}\cdot e^{-i{\frac {\omega }{2}}t}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z\cdot e^{-i\omega t})^{n}}{\sqrt {n!}}}|n\rangle } אך נשים לב שזה בדיוק המצב הקוהרנטי | z ⋅ e − i ω t ⟩ {\displaystyle |z\cdot e^{-i\omega t}\rangle } (עד כדי פאזה גלובלית שלא משנה את המצב, e − i ω 2 t {\displaystyle e^{-i{\frac {\omega }{2}}t}} ). משום שהחלק הממשי של z {\displaystyle z} הוא המיקום הממוצע והחלק המדומה שלו הוא התנע הממוצע, יוצא שב"מרחב הפאזה" של המיקום והתנע הממוצעים המערכת מתנהגת ממש כמו שהייתה מתנהגת במרחב הפאזה באוסילטור הרמוני קלאסי. בגלל התכונה הזאת ותכונות נוספות ניתן לאמר שהמצבים הקוהרנטיים הם המצבים הכי דומים בהתנהגותם לאוסילטורים קלאסיים. מצבים קוהרנטיים הם חבילות גלים בעלי יחס אי-הוודאות המינימלי האפשרי:   Δ p Δ x = ℏ 2 {\displaystyle \ \Delta p\Delta x={\frac {\hbar }{2}}} כאשר   Δ x {\displaystyle \ \Delta x} ו-   Δ p {\displaystyle \ \Delta p} הם אי הודאויות במיקום ובתנע של החלקיק, בהתאמה. מצבים קוהרנטיים ניתנים להכללה במספר אופנים: הכללה למערכת המכילה מספר גדול של מתנדים הרמוניים המצומדים זה לזה (למשל תנודות גלי קול בגביש) הכללה לתורת השדות הקוונטית בוזונית שם אופרטורי היצירה וההשמדה הם אופרטורים שיוצרים ומשמידים חלקיקים בנקודות כלשהן במרחב (או במרחב התנע). הכללה לתורת שדות פרמיונית שם יש להשתמש באלגברה גרסמנית לצורך התיאור של מצבים קוהרנטיים הכללה של מצבים קוהרנטיים עבור הדינמיקה של ספין. מתנד הרמוני קוונטי תורת השדות הקוונטית מדיה וקבצים בנושא מצבים קוהרנטיים בוויקישיתוף עופר מגד, אמנות הרכבת המצבים הקוהרנטיים, בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"