חבורה אלגברית

חבורה אלגברית G {\displaystyle G} היא אובייקט שהוא בו זמנית גם חבורה וגם יריעה אלגברית, כך שההעתקות הכפל: m : G × G → G {\displaystyle m:G\times G\to G} , המוגדרת על ידי ( g , h ) ↦ g h {\displaystyle (g,h)\mapsto gh} , וההפכי: i : G → G {\displaystyle i:G\to G} , המוגדרת על ידי g ↦ g − 1 {\displaystyle g\mapsto g^{-1}} , הן מורפיזמים (העתקות רגולריות) של יריעות אלגבריות. יריעות אלגבריות מצוידות בטופולוגיית זריצקי, אך המבנה הזה לא נותן חבורה טופולוגית, שכן טופולוגיית זריצקי על המכפלה לא מסכימה עם טופולוגיית המכפלה. הטופולוגיה הזו גם לא מבטאת את המבנה הגאומטרי של החבורה. לעומת זאת אם על השדה k {\displaystyle k} מעליו מוגדרת החבורה נתונה טופולוגיה (למשל כאשר k = R , C {\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } ) אז אנו מקבלים טופולוגיה עדינה יותר על החבורה G {\displaystyle G} (או ליתר דיוק על קבוצת ה k {\displaystyle k} -נקודות שלה G ( k ) {\displaystyle G(k)} ). אם המציין של k {\displaystyle k} הוא 0, אז ניתן להראות ש G יריעה חלקה, ולכן, כאשר k = R , C {\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } , על G ( k ) {\displaystyle G(k)} יש מבנה של חבורות לי. כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית עם הטופולוגיה הדיסקרטית. עקומים אליפטיים: עקום במרחב הפרויקטיבי עליו מוגדרת פעולת חבורה. החבורה החיבורית: G a = ( k , + ) {\displaystyle \mathbf {G} _{a}=(k,+)} . החבורה הכפלית: G m = ( k × , ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {G} _{m}=(k^{\times },\cdot )} . הדוגמאות השימושיות והחשובות ביותר - חבורות אלגבריות ליניאריות: החבורה הליניארית הכללית G L ( n , k ) {\displaystyle \mathbf {GL} (n,k)} - חבורת המטריצות ההפיכות מסדר n × n {\displaystyle n\times n} מעל שדה k. תת-החבורות האלגבריות שלה: S L ( n , k ) {\displaystyle \mathbf {SL} (n,k)} (מטריצות בעלות דטרמיננטה 1) O ( n ) {\displaystyle \mathbf {O} (n)} (מטריצות אורתוגונליות), S O ( n ) {\displaystyle \mathbf {SO} (n)} (מטריצות אורתוגונליות עם דטרמיננטה 1), U ( n ) {\displaystyle \mathbf {U} (n)} (מטריצות אוניטריות) ועוד. טורוס: T = D ( n , k ) ≅ ( k × ) × . . . × ( k × ) {\displaystyle T=\mathbf {D} (n,k)\cong (k^{\times })\times ...\times (k^{\times })} חבורת המטריצות האלכסוניות ההפיכות מסדר n. כל שיכון של חבורה אלגברית בחבורה G L ( n , k ) {\displaystyle \mathbf {GL} (n,k)} נקרא "הצגה ליניארית" של החבורה. חבורה אלגברית שקיימת לה הצגה נאמנה כתת-חבורה סגורה של G L ( n , k ) {\displaystyle \mathbf {GL} (n,k)} נקראת חבורה אלגברית ליניארית או "חבורה אלגברית אפינית". הדרגה של חבורה אלגברית חוסמת את רמת המורכבות שלה. לפי משפט קלאסי של קמיל ז'ורדן, לכל n יש קבוע N כך שלכל תת-חבורה של   GL n ⁡ ( C ) {\displaystyle \ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )} יש תת-חבורה נורמלית אבלית מאינדקס N לכל היותר. נראה דוגמה מפורטת של חבורה אלגברית: G = G L ( 2 , C ) = { A ∈ M 2 ( C ) ∣ det A ≠ 0 } {\displaystyle G=\mathbf {GL} (2,\mathbb {C} )=\left\{A\in \mathrm {M} _{2}(\mathbb {C} )\mid \det A\neq 0\right\}} . זו חבורה עם הפעולה של כפל מטריצות. זו יריעה אלגברית, שניתן להציגה כיריעה הסגורה { ( a , b , c , d , t ) ∣ ( a d − b c ) t = 1 } {\displaystyle \left\{(a,b,c,d,t)\mid (ad-bc)t=1\right\}} כאשר אנו מזהים כל מטריצה כ- A = ( a b c d ) {\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)} ואז det A = a d − b c {\displaystyle \det A=ad-bc} ; קיומו של מספר t כך ש- ( det A ) t = ( a d − b c ) t = 1 {\displaystyle (\det A)t=(ad-bc)t=1} שקול לכך ש- det A ≠ 0 {\displaystyle \det A\neq 0} . הפונקציות הרגולריות הבסיסיות על יריעה זו הן X i j {\displaystyle X_{ij}} המחזירות את הקואורדינטה בשורה ה-i ובעמודה ה-j במטריצה A, וכן הפונקציה 1 det A = ( X 11 X 22 − X 12 X 21 ) − 1 {\displaystyle {\frac {1}{\det A}}=(X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21})^{-1}} (למעשה זו הפונקציה שמחזירה את ה"קואורדינטה" t). יהיו A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 ) {\displaystyle A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right)} ו- B = ( b 11 b 12 b 21 b 22 ) {\displaystyle B=\left({\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{matrix}}\right)} , אז למשל X 11 ( A ⋅ B ) = a 11 b 11 + a 12 b 21 = X 11 ( A ) X 11 ( B ) + X 12 ( A ) X 21 ( B ) {\displaystyle X_{11}(A\cdot B)=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}=X_{11}(A)X_{11}(B)+X_{12}(A)X_{21}(B)} ולכן כפל מטריצות הפיכות היא העתקה רגולרית. ( a b c d ) − 1 = 1 a d − b c ( d − b − c a ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}\left({\begin{matrix}d&-b\\-c&a\end{matrix}}\right)} וקל לראות שגם זו פונקציה רגולרית (השבר שכופל את המטריצה שווה לאחד חלקי הדטרמיננטה ולכן הוא פונקציה רגולרית!), ומכאן שגם פונקציית ההפכי רגולרית. בסך בכל נובע ש-G היא חבורה שהיא גם יריעה אלגברית כך שפעולות הכפל וההפכי הן פונקציות רגולריות ולכן היא חבורה אלגברית. תת-חבורה אלגברית H של חבורה אלגברית G היא תת-חבורה מופשטת, שמהווה גם תת-יריעה של G והיא סגורה בטופולוגיית זריצקי. ניתן להגדיר גם את המנה G / H {\displaystyle G/H} . אם H היא תת-חבורה אלגברית של G אז למרחב הקוסטים G/H קיים מבנה יחיד של יריעה קוואזי-פרויקטיבית שעבורו הפעולה של G על G/H היא רגולרית (למעשה, ניתן לזהות את H, כמייצב של וקטור במרחב פרויקטיבי שעליו פועלת G). אם G היא אפינית ו H תת-חבורה נורמלית אז המנה G/H היא חבורת מנה אפינית - כלומר: חבורה אלגברית ויריעה אלגברית אפינית. בנוסף רוב מושגי היסוד בתורת החבורת קיימים גם עבור חבורות אלגבריות. זה כולל את המושגים: הרחבה, מרכז, החבורה הנגזרת, מכפלה ישרה. מכפלה חצי ישרה ועוד. כל חבורה סופית היא חבורה אלגברית, ביחס למבנה הדיסקרטי של יריעה אלגברית על קבוצה סופית. קל לראות שכל חבורה סופית היא גם חבורה ליניארית. מעל שדה סגור אלגברית אין הבדל בין חבורה סופית וחבורה אלגברית סופית. מעל שדה כללי יש הבדל אבל הוא מינורי (לחבורה המוגדרת מעל שדה כללי יש מבנה נוסף; אם השדה מושלם מבנה זה מתבטא בפעולת חבורת גלואה האבסולוטית של השדה). לכן המחקר של חבורות אלגבריות כמעט ולא עוסק בחבורות סופיות. חבורה אלגברית G נקראת "אי-פריקה" אם כיריעה היא יריעה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. עבור חבורה אלגברית ניתן להראות ש-G היא אי-פריקה אם ורק אם היא קשירה (בטופולוגיית זריצקי). לכן עבור חבורות אלגבריות בדרך כלל משתמשים במינוחים חבורות קשירות וחבורות אי-פריקות לחלופין. לעומת זאת, יש מתמטיקאים שמשתמשים במונח "אי-פריקות" ביחס לטופולוגיית זריצקי ואילו במונח "קשירות" ביחס לטופולוגיה המוגדרת על ידי הטופולוגיה על השדה k {\displaystyle k} (בעיקר במקרים k = R , C {\displaystyle k=\mathbb {R} ,\mathbb {C} } ). לחבורה אלגברית G כמו לכל יריעה אלגברית יש מספר סופי של מרכיבים אי-פריקים. הרכיב האי-פריק של G המכיל את איבר היחידה מסומן G 0 {\displaystyle G^{0}} ונקרא identity component. הרכיב הקשיר של איבר היחידה G 0 {\displaystyle G^{0}} הוא תת-חבורה נורמלית סגורה של G. המנה G / G 0 {\displaystyle G/G^{0}} עומדת בהתאמה לקבוצת רכיבי הקשירות של G {\displaystyle G} ונקראת חבורת רכיבי הקשירות של G {\displaystyle G} . זוהי חבורה אלגברית סופית. מכאן מקבלים שכל חבורה אלגבית היא הרחבה של חבורה סופית וחבורה קשירה. לכן עיקר העיסוק בחבורות אלגברית מתמקד בחבורות קשירות. חבורה אלגברית קשירה נקראת יריעה אבלית אם בתור יריעה אלגברית היא יריעה שלמה. זה גורר שהיא גם יריעה פרויקטיבית וגם חבורה קמוטטיבית. בהקשרים מסוימים מדברים גם על יריעות אבליות לא קשירות. במקרה כזה, נהוג להוסיף את דרישת הקומוטטיביות כדרישה נוספת משום שהיא לא נובעת אוטומטית מדרישת השלמות. הפרויקטיביות, נובעת מהשלמות גם במקרה הלא קשיר. אם שדה ההגדרה הוא C {\displaystyle \mathbb {C} } אז קבוצת הנקודות של יריעה אבלית (קשירה) איזומורפית כחבורת לי לטורוס מממד זוגי (פעמיים ממד הירעה האבלית). יריעות אבליות מהוות תחום מחקר חשוב בגאוטריה אלגברית, אולם, מכיוון שהן קומוטטיבוית, הן אינן מהוות מוקד עינין משמעותי מנקודת מבט של תורת החבורות ותורת ההצגות. למרות שמן יריעות אבליות אינן סוג של יריעות אלגבריות אלא סוג של חבורות אלגבריות. ערך מורחב – חבורה אלגברית ליניארית חבורה נקראת אפינית, אם היא אפינית כיריעה אלגברית. ניותן להראות כי במקרה זה היא ניתנת לשיכון (כתת-חבורה) ב G L N {\displaystyle \mathbf {GL} _{N}} (עבור איזה שהוא N {\displaystyle N} טבעי). לכן קראים לחבורות כאילו גם חבורות ליניאריות. לפי משפט המבנה של שבלה כל חבורה אלגברית קשירה היא הרחבה של חבורה ליניארית ויריעה אבלית (כאשר החבורה הליניארית היא תת-חבורה של החבורה האלגברית). חבורה ליניאריות G נקראת פתירה אם קיימת סדרה יורדת של תת-חבורות נורמליות ב-G כך שהמנות העוקבות הן חבורות קומוטטיביות (בדומה למושג המקביל בתורת החבורות). הרדיקל (הפתיר) של חבורה ליניארית היא הרכיב הקשיר של איבר היחידה של תת-החבורה הנורמלית הפתירה המקסימלית שלה. חבורה ליניארית קשירה נקראת פשוטה-למחצה אם הרדיקל הפתיר שלה טריוויאלי. הרדיקל האוניפוטנטי של חבורה ליניארית הוא תת-החבורה האוניפוטנטית הגדולה ביותר של הרדיקל הפתיר. חבורה ליניארית שהרדיקל האוניפוטנטי שלה טריוויאלי נקראת חבורה רדוקטיבית. כל חבורה פשוטה-למחצה היא רדוקטיבית. חבורה ליניארית קשירה G נקראת פשוטה אם היא לא קומוטטיבית וגם אין לה תת-חבורות נורמליות קשירות סגורות לא טריוויאליות. היא נקראת כמעט פשוטה אם יש לה מרכז סופי Z והחבורה G/Z היא פשוטה. חבורה אלגברית קשירה נקראת חבורה אלגברית פשוטת קשר אם היא לא מנה של חבורה אלגברית בתת-חבורה לא טריוויאלית. זה שקול לכך שהיא פשוטת קשר כיריעה אלגברית (זאת אומרת שהיא לא תמונה של העתקת אטל נאותה שאיננה איזומורפיזם). אם שדה ההגדרה הוא C {\displaystyle \mathbb {C} } אז זה גם שקול לכך שקבוצת הנקודות של החבורה היא פשוטת קשר בטופולגיה האנליטית (המושרית מ - C {\displaystyle \mathbb {C} } ) כל חבורה אלגברית פשוטת קשר היא ליניארית. חבורה אלגברית ליניארית חבורה רדוקטיבית טורוס אלגברי החבורה הכפלית חבורה אלגברית פשוטה למחצה חבורה אלגברית פשוטה חבורה אוניפוטנטית החבורה החיבורית יריעה אבלית עקום אליפטי אובייקט חבורתי חבורה טופולוגית חבורת לי סכמת חבורה אלגברת הופף אלגברת לי תורת האינווריאנטים הגאומטרית Chevalley, Claude (1958), Classification des groupes de Lie algébriques, Paris: Secrétariat Mathématique Humphreys, James E. (1972), Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 21, Springer-Verlag, Berlin, New York, ISBN 978-0-387-90108-4 Milne, J. S., Affine Group Schemes; Lie Algebras; Lie Groups; Reductive Groups; Arithmetic Subgroups Springer, Tonny A. (1998), Linear algebraic groups, Progress in Mathematics, vol. 9 (2nd ed.), Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4021-7 Waterhouse, William C. (1979), Introduction to affine group schemes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90421-4 Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0 Lang, Serge (1983), Abelian varieties, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90875-5 Weil, André (1971), Courbes algébriques et variétés abéliennes, Hermann, Paris הגדרות ומונחים בחבורות אלגבריות חבורה אלגברית, באתר MathWorld (באנגלית) סכמות חבורה באתר Stacks project אם k = C {\displaystyle k=\mathbb {C} } אז שני מושגי הקשירות שקולים, אולם המצב שונה במקרה ש k = R {\displaystyle k=\mathbb {R} } למשל החבורה האלגברית G L 2 {\displaystyle \mathbf {GL} _{2}} קשירה אולם חבורת הנקודות הממשיות שלה G L 2 ( R ) {\displaystyle \mathbf {GL} _{2}(\mathbb {R} )} איננה קשירה. מילן פרק 1.1 עמוד 8 כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה. לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה". כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה".