משפט לקסל

בגאומטריה כדורית, משפט לקסל (באנגלית: Lexell's theorem) הוא תוצאה המאפיינת את המקום הגאומטרי של קודקודי כל המשולשים הכדוריים בעלי בסיס ושטח קבועים. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי הפיני-שוודי אנדרס יוהאן לקסל שפעל ברוסיה, מחשובי מפתחי הטריגונומטריה והגאומטריה הכדורית במאה ה-18. לקסל הציג את המשפט שלו כדוגמה לטענה לא טריוויאלית על עקומים על גבי ספירה דו-ממדית (טענה על מקום גאומטרי), האנלוגית באופן חלקי לטענות 37 ו-39 בספר הראשון של יסודות של אוקלידס. בגאומטריה אוקלידית דו-ממדית (מישורית), בהינתן צלע אחת (נניח AB) של משולש, המקום הגאומטרי של כל הנקודות C כך שלמשולש ABC יהיה שטח השווה לערך נתון מסוים הוא זוג ישרים המקבילים לצלע הבסיס (AB), והנמצאים במרחק ממנה הנקבע על פי היחס בין שטח המשולש לאורכה. משפט לקסל מספק את התשובה לשאלה הזהה עבור המקרה של משולשים כדורים; במקרה זה, המקום הגאומטרי של C יהיה מעגל קטן מסוים, שאינו מצוי במרחק קבוע מן המעגל הגדול שעליו מונחת צלע הבסיס. המשפט משך תשומת לב מסוימת מכמה מהמתמטיקאים הגדולים של המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19, ביניהם לאונרד אוילר, יאקוב שטיינר, קרל פרידריך גאוס וניקולאי לובצ'בסקי, כולם מתוך שאיפה לפשט במקצת את הטיעון המקורי של לקסל, שעשה שימוש נרחב בנוסחאות מסוימות של טריגונומטריה כדורית הנקראות אנלוגיות נפייר. לובצ'בסקי אף חקר שאלה זהה עבור המישור ההיפרבולי, וגילה שבמקרה זה המקום הגאומטרי המתקבל הוא היפר-מעגל (hypercycle). בהינתן בסיס קבוע A B {\displaystyle AB} , שהוא קשת של מעגל גדול על הספירה, ושתי נקודות קצה C {\displaystyle C} ו- X {\displaystyle X} המצויות באותו צד של המעגל הגדול A B {\displaystyle AB} , משפט לקסל קובע כי השטח של המשולש הכדורי △ A B X {\displaystyle \triangle ABX} שווה לשטחו של △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} אם ורק אם X {\displaystyle X} נחה על המעגל הקטן B ∗ C A ∗ , {\displaystyle B^{*}CA^{*}\!,} כאשר A ∗ {\displaystyle A^{*}} ו- B ∗ {\displaystyle B^{*}} הן הנקודות האנטיפודיות ל- A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} , בהתאמה. כאנלוג אחד לנוסחה המישורית area = 1 2 base ⋅ height {\displaystyle {\text{area}}={\tfrac {1}{2}}\,{\text{base}}\cdot {\text{height}}} עבור שטח של משולש, העודף הזוויתי הכדורי ε {\displaystyle \varepsilon } (לפי משפט ז'יראר, העודף הזוויתי הכדורי יחסי לשטח המשולש הכדורי) של המשולש הכדורי △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ניתן לחישוב במונחי הבסיס c {\displaystyle c} (האורך הזוויתי של הקשת AB) וה"גובה" h c {\displaystyle h_{c}} (המוגדר כמרחק הזוויתי בין המעגלים הקטנים המקבילים A ∗ B ∗ C {\displaystyle A^{*}B^{*}C} ו- A B C ∗ {\displaystyle ABC^{*}} ): sin ⁡ 1 2 ε = tan ⁡ 1 2 c tan ⁡ 1 2 h c . {\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}\varepsilon =\tan {\tfrac {1}{2}}c\,\tan {\tfrac {1}{2}}h_{c}.} בגבול של משולשים כדוריים בעלי גובה ובסיס הקטנים בהרבה מרדיוס הספירה, נוסחה זאת הופכת לנוסחה המישורית. המעגלים הקטנים A ∗ B ∗ C {\displaystyle A^{*}B^{*}C} ו- A B C ∗ {\displaystyle ABC^{*}} חותכים כל אחד את המעגל הגדול A B {\displaystyle AB} בזווית של 1 2 ε {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varepsilon } . ישנן מספר דרכים להוכיח את משפט לקסל, כשכל אחת שופכת אור על היבט אחר במערכת הקשרים שמתקיימת. הרעיון המרכזי בהוכחה הגאומטרית של לקסל מ-1777 - שאומץ גם על ידי אז'ן שרל קטלן (ב-1843), ז'אק אדמר (1901) ואחרים - הוא לפצל את המשולש הכדורי △ A ∗ B ∗ C {\displaystyle \triangle A^{*}B^{*}C} לשלושה משולשים שווי-שוקיים עם קודקוד משותף במרכז המעגל החוסם P {\displaystyle P} של המשולש הזה (שבדומה למשולשים במישור הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש, אך כאן אנכים אלה הם קשתות מעגלים גדולים), ואז לבטא את העודף הזוויתי ε {\displaystyle \varepsilon } של המשולש הכדורי △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} באמצעות זוויותיו. באיור, הנקודות A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} נמצאות בצד המרוחק של הספירה כדי שניתן יהיה לראות בבירור את הנקודות האנטיפודיות שלהן כמו גם את כל מעגל לקסל l {\displaystyle l} (המעגל החוסם את המשולש △ A ∗ B ∗ C {\displaystyle \triangle A^{*}B^{*}C} הוא למעשה המעגל הקטן מניסוח המשפט). נסמן את זוויות הבסיס של המשולשים שווי השוקיים △ B ∗ C P {\displaystyle \triangle B^{*}CP} (המודגש באדום באיור), △ C A ∗ P {\displaystyle \triangle CA^{*}P} (בכחול) ו- △ A ∗ B ∗ P {\displaystyle \triangle A^{*}B^{*}P} (בסגול) ב- α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } ו- δ {\displaystyle \delta } , בהתאמה. ניתן לחשב את הזוויות הפנימיות של המשולש △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} (בכתום) במונחי הזוויות האלו: ∠ A = π − β − δ {\displaystyle \angle A=\pi -\beta -\delta } (הזווית המשלימה של ∠ A ∗ {\displaystyle \angle A^{*}} ) ובדומה לכך ∠ B = π − α − δ {\displaystyle \angle B=\pi -\alpha -\delta } ולבסוף ∠ C = α + β {\displaystyle \angle C=\alpha +\beta } . העודף הזוויתי של △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} הוא לפיכך: ε = ∠ A + ∠ B + ∠ C − π = ( π − β − δ ) + ( π − α − δ ) + ( α + β ) − π = π − 2 δ . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\angle A+\angle B+\angle C-\pi \\[3mu]&=(\pi -\beta -\delta )+(\pi -\alpha -\delta )+(\alpha +\beta )-\pi \\[3mu]&=\pi -2\delta .\end{aligned}}} לפי משפט ז'יראר, עודף זוויתי זה שווה לשטח המשולש הכדורי △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} (על ספירת היחידה). לפיכך, כל עוד הבסיס A B {\displaystyle AB} קבוע, עבור כל קודקוד שלישי C {\displaystyle C} הנופל על מעגל לקסל, הנקודה P {\displaystyle P} ולפיכך גם הזווית δ {\displaystyle \delta } לא ישתנו, וכך גם העודף הזוויתי ε {\displaystyle \varepsilon } של △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} אשר תלוי רק בגודל δ {\displaystyle \delta } , שהוא קבוע. לפיכך קיבלנו שהמקום הגאומטרי של כל הקודקודים C {\displaystyle C} המקיימים שלמשולש △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} שטח קבוע הוא המעגל הקטן A ∗ B ∗ C {\displaystyle A^{*}B^{*}C} . הוכחה העושה שימוש במעגל האמצעים של המשולש הכדורי △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} ניתנה על ידי קרל פרידריך גאוס ב-1841, והיא מתאפיינת בבהירות ויזואלית רבה יותר. במסגרת ההוכחה, בונים את מרובע סאקרי (מרובע עם שתי זוויות סמוכות ישרות ושתי זוויות נוספות השוות זו לזו) הנוצר בין הבסיס A B {\displaystyle AB} של המשולש וההטלה האורתוגונלית שלו על מעגל האמצעים m {\displaystyle m} , אשר יש לו אותו שטח כמו למשולש. יהי m {\displaystyle m} המעגל הגדול העובר דרך נקודות האמצע M 1 {\displaystyle M_{1}} של A C {\displaystyle AC} ו- M 2 {\displaystyle M_{2}} של B C {\displaystyle BC} , ויהיו B ′ {\displaystyle B'} , A ′ {\displaystyle A'} ו- C ′ {\displaystyle C'} עקבי הגבהים המורדים מקודקודי המשולש אל m {\displaystyle m} . לצמד המשולשים ישרי הזווית △ A A ′ M 1 {\displaystyle \triangle AA'M_{1}} ו- △ C C ′ M 1 {\displaystyle \triangle CC'M_{1}} שנוצרים (באדום מוצלל) יש זוויות שוות ב- M 1 {\displaystyle M_{1}} (זוויות קודקודיות) ויתרים שווים, כך שהם חופפים; כך גם המשולשים △ B B ′ M 2 {\displaystyle \triangle BB'M_{2}} ו- △ C C ′ M 2 {\displaystyle \triangle CC'M_{2}} (בכחול). בפרט, מכיוון שמהחפיפה נובע ש- A A ′ {\displaystyle AA'} ו- B B ′ {\displaystyle BB'} שווים שניהם ל- C C ′ {\displaystyle CC'} , מקבלים שהמרובע ◻ A B B ′ A ′ {\displaystyle \square ABB'A'} הוא אכן מרובע סאקרי. לפיכך, השטח של המשולש △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} שווה לשטחו של מרובע סאקרי ◻ A B B ′ A ′ {\displaystyle \square ABB'A'} , שכן שניהם מורכבים ממשולש אדום אחד, משולש כחול אחד, ומהמרובע הירוק ◻ A B M 2 M 1 {\displaystyle \square ABM_{2}M_{1}} המשותף לשניהם. מכיוון שהמעגל הגדול m {\displaystyle m} , ולפיכך גם המרובע ◻ A B B ′ A ′ {\displaystyle \square ABB'A'} , אינו משתנה תחת כל בחירה של C {\displaystyle C} על מעגל לקסל l {\displaystyle l} - הנבנה כמעגל הקטן המצוי במרחק זוויתי קבוע C C ′ {\displaystyle CC'} מן המעגל הגדול m {\displaystyle m} - שטח המשולש המתאים △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} נשאר קבוע. ההטלה הסטריאוגרפית מעתיקה את הספירה הדו-ממדית למישור. מעגל גדול יועתק למעגל במישור, בעוד ששני הקטבים יועתקו לראשית ולנקודה באינסוף. כל מעגל על הספירה יועתק למעגל או ישר (מעגל מוכלל) במישור, כשקווים ישרים אינסופיים ייצגו מעגלים גדולים העוברים דרך הקוטב המועתק לנקודה באינסוף. ההטלה הסטריאוגרפית היא קונפורמית, כלומר היא משמרת זוויות בין עקומים. כדי להוכיח קשרים גאומטריים על משולש כדורי כללי △ A B C {\displaystyle \triangle ABC} , ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות שקודקוד A {\displaystyle A} הוא הנקודה המועתקת לראשית המישור. תחת הנחה זו, צלעות המשולש הכדורי יועתקו לשני קטעים ישרים (המייצגים את שני הצלעות הנפגשות בקודקוד A {\displaystyle A} ) ולקשת מעגלית. מכיוון שההטלה הסטריאוגרפית משמרת זוויות נקבל שאם המשיקים לקשת המעגלית בשני הקודקודים האחרים נחתכים בנקודה E {\displaystyle E} , ייווצר מרובע מישורי ◻ A B E C {\displaystyle \square ABEC} , אשר הזווית החיצונית לו בקודקוד E {\displaystyle E} היא העודף הזוויתי ε = ∠ A + ∠ B + ∠ C − π {\displaystyle \varepsilon =\angle A+\angle B+\angle C-\pi } של המשולש הכדורי. כעת, יהי O {\displaystyle O} הנקודה במישור ההטלה שהיא מרכז הקשת המעגלית אשר אליה מועתקת הצלע B C {\displaystyle BC} . למרובע ◻ O B E C {\displaystyle \square OBEC} יש שתי זוויות ישרות, כך שהזווית המרכזית ∠ B O C {\displaystyle \angle BOC} שווה לזווית החיצונית ב- E {\displaystyle E} , שהיא כאמור גם העודף הזוויתי של המשולש ε {\displaystyle \varepsilon } . הזווית המישורית ∠ B B ∗ C {\displaystyle \angle BB^{*}C} היא זווית היקפית הנמתחת על ידי אותה קשת, כך שלפי משפט הזווית ההיקפית גודלה הוא 1 2 ε {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\varepsilon } . קשר זה נשמר עבור כל בחירה של C {\displaystyle C} ; לפיכך, העודף הזוויתי של המשולש נשמר כל עוד C {\displaystyle C} נשאר על מעגל לקסל l {\displaystyle l} , אשר מועתק לישר (אינסופי) דרך B ∗ {\displaystyle B^{*}} במישור ההטלה. "A Most Elegant Property: On the Early History of Lexell’s Theorem" "On Lexell's Theorem" תיאור משפט לקסל