נגזרת פרשה

במתמטיקה, נגזרת פרשה (אנ') היא הרחבה של מונח הדיפרנציאל עבור מרחב בנך כללי. נגזרת זו נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי רנה מוריס פרשה. באמצעות נגזרת פרשה ניתן לתאר דיפרנציאלים של מרחבי מטריצות או פונקציות. עובדה זו הופכת את נגזרת פרשה לשימושית במיוחד בתחום של חשבון וריאציות. בהמשך ערך זה נסמן ב- ( X , | ⋅ | X ) {\displaystyle (X,|\cdot |_{X})} , ( Y , | ⋅ | Y ) {\displaystyle (Y,|\cdot |_{Y})} ו- ( Z , | ⋅ | Z ) {\displaystyle (Z,|\cdot |_{Z})} מרחבי בנך כלשהם מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים, ו- U ⊆ X , W ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq X,W\subseteq Y} קבוצות פתוחות. כמו כן נסמן ב- B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} את מרחב כל האופרטורים הליניארים החסומים מ- X {\displaystyle X} ל- Y {\displaystyle Y} . פונקציה f : U → Y {\displaystyle f:U\to Y} תקרא גזירה לפי פרשה בנקודה x ∈ U {\displaystyle x\in U} אם ורק אם קיים אופרטור ליניארי חסום A : X → Y {\displaystyle A:X\to Y} כך שמתקיים: lim h → 0 | f ( x + h ) − f ( x ) − A ( h ) | Y | h | X = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|f(x+h)-f(x)-A(h)|_{Y}}{|h|_{X}}}=0} ניתן להוכיח כי אם A {\displaystyle A} כזו קיימת, היא בהכרח יחידה, לכן ניתן להגדיר D f ( x ) := A {\displaystyle Df(x):=A} . D f ( x ) {\displaystyle Df(x)} נקראת נגזרת פרשה בנקודה x {\displaystyle x} . בהינתן שתי פונקציות f , g : U → Y {\displaystyle f,g:U\to Y} גזירות לפי פרשה בנקודה x ∈ U {\displaystyle x\in U} וזוג סקלרים α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } (ממשים או מרוכבים), ניתן להראות כי הפונקציה α f + β g {\displaystyle \alpha f+\beta g} אף היא גזירה לפי פרשה בנקודה x {\displaystyle x} ומתקבל: D ( α f + β g ) = α D f + β D g {\displaystyle D(\alpha f+\beta g)=\alpha Df+\beta Dg} נגזרת פרשה מקיימת גרסה שקולה לכלל השרשרת: עבור f : U → W {\displaystyle f:U\to W} גזירה לפי פרשה ב- x ∈ U {\displaystyle x\in U} ו- g : W → Z {\displaystyle g:W\to Z} גזירה לפי פרשה ב- f ( x ) {\displaystyle f(x)} , ניתן להראות כי g ∘ f {\displaystyle g\circ f} גזירה לפי פרשה בנקודה x {\displaystyle x} ומתקיים: D ( g ∘ f ) ( x ) = D g ( f ( x ) ) ∘ D f ( x ) {\displaystyle D(g\circ f)(x)=Dg(f(x))\circ Df(x)} בהניתן נורמות | ⋅ | X ′ , | ⋅ | Y ′ {\displaystyle |\cdot |_{X}',|\cdot |_{Y}'} השקולות לנורמות | ⋅ | X , | ⋅ | Y {\displaystyle |\cdot |_{X},|\cdot |_{Y}} בהתאמה, ניתן להחליף את הנורמה בהגדרת נגזרת פרשה מבלי לשנות את תוצאת הנגזרת. על כן, במקרה שבו X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} שניהם מממד סופי, הגדרת נגזרת פרשה אינה תלויה בבחירת הנורמה, זאת מכיוון שכל הנורמות שקולות עבור מרחב מממד סופי. במקרה שבו f : K → K {\displaystyle f:\mathbb {K} \to \mathbb {K} } כאשר K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } או K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } , ניתן להראות כי f {\displaystyle f} גזירה לפי פרשה אם ורק אם היא גזירה לפי הנגזרת הסטנדרטית. במקרה זה: D f ( x ) ( h ) = f ′ ( x ) h {\displaystyle Df(x)(h)=f'(x)h} כלומר, נגזרת פרשה תהיה פונקציית הכפלה בסקלר f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} , כאשר f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} היא הנגזרת הסטנדרטית של f {\displaystyle f} בנקודה x {\displaystyle x} . ערך מורחב – נגזרת כיוונית במקרה שבו f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} ( n , m {\displaystyle n,m} מספרים טבעיים שונים מ-0), ניתן להוכיח כי נגזרת פרשה קיימת בנקודה x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} אם ורק אם הפונקציה f {\displaystyle f} דיפרנציאבילית בנקודה זו. במקרה זה, ניתן להגדיר את מטריצת היעקוביאן: J x ( x ) = ( ∂ f 1 ∂ x 1 ( x ) ∂ f 1 ∂ x 2 ( x ) ⋯ ∂ f 1 ∂ x n ( x ) ∂ f 2 ∂ x 1 ( x ) ∂ f 2 ∂ x 2 ( x ) ⋯ ∂ f 2 ∂ x n ( x ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ( x ) ∂ f m ∂ x 2 ( x ) ⋯ ∂ f m ∂ x n ( x ) ) {\displaystyle J_{x}(x)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(x)&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(x)\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{1}}}(x)&{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{2}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{2}}{\partial x_{n}}}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(x)&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}(x)&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(x)\\\end{pmatrix}}} ולבטא באמצעותה את נגזרת פרשה של f {\displaystyle f} בנקודה x {\displaystyle x} . לכל h ∈ R n {\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}} מתקבל: D f ( x ) ( h ) = J ( x ) h {\displaystyle Df(x)(h)=J(x)h} כאשר הביטוי מימין מייצג כפל מטריצה בוקטור עמודה. למעשה הביטוי D f ( x ) ( h ) {\displaystyle Df(x)(h)} זהה לנגזרת הכיוונית של f {\displaystyle f} בנקודה x {\displaystyle x} ובכיוון h {\displaystyle h} . בעוד שנגזרת פרשה מהווה הרחבה של הנגזרת הסטנדרטית, היא באותה מידה מהווה מקרה פרטי של נגזרת גאטו. בעוד שנגזרת פרשה מחויבת להיות אופרטור ליניארי חסום, נגזרת גאטו אינה בהכרח ליניארית. ניתן להראות כי כל פונקציה גזירה לפי פרשה היא גזירה לפי גאטו, ובמקרה זה שתי הנגזרות תהיינה זהות. יתרה מכך, במקרה שבו נגזרת גאטו ליניארית וחסומה, היא שווה לנגזרת פרשה. עם זאת, ישנם מקרים שבהם נגזרת גאטו אינה ליניארית ומקרים נוספים שבהם היא ליניארית אך אינה חסומה. בשני מקרים אלו נגזרת פרשה לא תתקיים. בהינתן פונקציה f : U → Y {\displaystyle f:U\to Y} אשר גזירה לפי פרשה בכל U {\displaystyle U} , מתקבלת פונקציה חדשה D f : U → B ( X , Y ) {\displaystyle Df:U\to B(X,Y)} . מאחר שכל האיברים ב- B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} הם אופרטורים חסומים, ניתן להגדיר עליהם את הנורמה האופרטורית ובכך להפוך את B ( X , Y ) {\displaystyle B(X,Y)} למרחב בנך. כלומר, D f {\displaystyle Df} היא פונקציה בין שני מרחבי בנך, ועל כן ניתן להגדיר עליה נגזרת פרשה. בהינתן ש- D f {\displaystyle Df} גזירה לפי פרשה ב- x ∈ U {\displaystyle x\in U} מתקבל כי: D ( D f ) ( x ) ∈ B ( X , B ( X , Y ) ) {\displaystyle D(Df)(x)\in B(X,B(X,Y))} ניתן להגדיר באופן שקול פונקציה ביליניארית D 2 f ( x ) : X × X → Y {\displaystyle D^{2}f(x):X\times X\to Y} כך ש: D 2 f ( x ) ( h 1 , h 2 ) = D ( D f ) ( x ) ( h 1 ) ( h 2 ) {\displaystyle D^{2}f(x)(h_{1},h_{2})=D(Df)(x)(h_{1})(h_{2})} פונקציה זו היא הנגזרת השנייה לפי פרשה בנקודה x {\displaystyle x} . ניתן בצורה דומה להגדיר את נגזרת פרשה עבור מעלות גבוהות יותר. בהינתן אופרטור ליניארי חסום L : X → Y {\displaystyle L:X\to Y} ניתן להראות כי הוא גזיר לפי פרשה בכל נקודה ושנגזרת זו שווה לעצמו. כלומר, לכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} : D L ( x ) = L {\displaystyle DL(x)=L} קל להראות זאת מכיוון ש: lim h → 0 | L ( x + h ) − L x − L h | Y | h | X = lim h → 0 | L x + L h − L x − L h | Y | h | X = lim h → 0 | 0 | Y | h | X = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {|L(x+h)-Lx-Lh|_{Y}}{|h|_{X}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|Lx+Lh-Lx-Lh|_{Y}}{|h|_{X}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {|0|_{Y}}{|h|_{X}}}=0\end{aligned}}} נגדיר פונקציה f : R n × n → R n × n {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} ^{n\times n}} כאשר R n × n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}} הוא מרחב המטריצות הריבועיות מממד n {\displaystyle n} כך שלכל E ∈ R n × n {\displaystyle E\in \mathbb {R} ^{n\times n}} : f ( E ) = E 2 {\displaystyle f(E)=E^{2}} ניתן להראות כי f {\displaystyle f} גזירה לפי פרשה בכל מקום וכי לכל E , F ∈ R n × n {\displaystyle E,F\in \mathbb {R} ^{n\times n}} : D f ( E ) ( F ) = E F + F E {\displaystyle Df(E)(F)=EF+FE} הליניאריות של D f ( E ) {\displaystyle Df(E)} נובעת מתכונות כפל מטריצות. כמו כן פונקציה זו חסומה מכיוון שהמרחב R n × n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}} הוא מממד סופי. על-מנת להוכיח כי אכן פונקציה זו היא נגזרת פרשה של f {\displaystyle f} בנקודה E {\displaystyle E} מגדירים A : R n × n → R n × n {\displaystyle A:\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R} ^{n\times n}} כך ש- A ( F ) = E F + F E {\displaystyle A(F)=EF+FE} לכל F ∈ R n × n {\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{n\times n}} . כמו כן, מאחר שכל הנורמות על R n × n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}} שקולות ניתן לבחור נורמה תת-כפלית עבורה | F 2 | ≤ | F | 2 {\displaystyle |F^{2}|\leq |F|^{2}} לכל F ∈ R n × n {\displaystyle F\in \mathbb {R} ^{n\times n}} . כעת: 0 ≤ lim F → 0 | f ( E + F ) − f ( E ) − A ( F ) | | F | = lim F → 0 | ( E + F ) 2 − E 2 − E F − F E | | F | = lim F → 0 | E 2 + E F + F E + F 2 − E 2 − E F − F E | | F | = lim F → 0 | F 2 | | F | ≤ lim F → 0 | F | 2 | F | = lim F → 0 | F | = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \lim _{F\to 0}{\frac {|f(E+F)-f(E)-A(F)|}{|F|}}\\=\lim _{F\to 0}{\frac {|(E+F)^{2}-E^{2}-EF-FE|}{|F|}}\\=\lim _{F\to 0}{\frac {|E^{2}+EF+FE+F^{2}-E^{2}-EF-FE|}{|F|}}\\=\lim _{F\to 0}{\frac {|F^{2}|}{|F|}}\leq \lim _{F\to 0}{\frac {|F|^{2}}{|F|}}=\lim _{F\to 0}{|F|}=0\end{aligned}}} מכל זה מתקבל כי lim F → 0 | f ( E + F ) − f ( E ) − A ( F ) | | F | = 0 {\displaystyle \lim _{F\to 0}{\frac {|f(E+F)-f(E)-A(F)|}{|F|}}=0} ולכן A {\displaystyle A} היא נגזרת פרשה בנקודה E {\displaystyle E} . נגזרת פרשה, באתר MathWorld (באנגלית) G.K. Ananthasuresh, First Variation of a Functional, Indian Institute of Science, ‏2017-02-02 (באנגלית) Dr. Lennard Bakker, The General Fr´echet Derivative, Brigham Young University, ‏2020-01-06 (באנגלית) Eric W. Weisstein, Fréchet Derivative, mathworld.wolfram.com (באנגלית) Dr. Lennard Bakker, Taylor’s Theorem, Brigham Young University, ‏2020-01-16 (באנגלית) Nick Higham, What Is a Fréchet Derivative?, Nick Higham, ‏2020-06-23 (באנגלית)