אלגברה פשוטה מרכזית

אלגברה פשוטה מרכזית היא אלגברה פשוטה מממד סופי מעל המרכז שלה. האלגבראות הפשוטות הן אבני היסוד בתורת המבנה של אלגבראות, ומחקרן תורם להבנת המבנה הכללי של חוגים. לאובייקטים אלו מבנה עשיר, הקשור גם לתחומים אחרים במתמטיקה, כמו תורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים שונים. על פי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית A {\displaystyle A} מעל שדה F {\displaystyle F} איזומורפית לחוג מטריצות מעל חוג עם חילוק A ≅ M n ( D ) ≅ M n ( F ) ⊗ D {\displaystyle A\cong M_{n}(D)\cong M_{n}(F)\otimes D} ; חוג זה יחיד עד כדי איזומורפיזם, ומהווה אף הוא אלגברה פשוטה מרכזית (מעל אותו השדה). נובע כי הממד של אלגברה פשוטה מרכזית הוא מספר ריבועי. המכפלה הטנזורית של אלגבראות פשוטות מרכזיות אף היא פשוטה מרכזית (על פי משפט המרכז הכפול). על פי משפט סקולם-נתר, כל אוטומורפיזם של אלגברה פשוטה מרכזית הוא אוטומורפיזם פנימי - כלומר, הצמדה באיבר מהאלגברה; משפט זה מאפשר להוכיח טענות רבות בתחום. האינדקס של האלגברה הפשוטה המרכזית A {\displaystyle A} הוא הממד של חוג החילוק הליבתי שלה: i n d ( A ) = [ D : F ] {\displaystyle ind(A)=[D:F]} . בהינתן פירוק לגורמים ראשוניים של האינדקס, i n d ( D ) = ∏ i = 1 k p i n i {\displaystyle ind(D)=\prod _{i=1}^{k}{p_{i}^{n_{i}}}} , ניתן לכתוב D ≅ ⊗ i = 1 k D i {\displaystyle D\cong {\overset {k}{\underset {i=1}{\otimes }}}{D_{i}}} כאשר D i {\displaystyle D_{i}} אלגברת חילוק מממד p i n i {\displaystyle p_{i}^{n_{i}}} . לכן, כל אלגברה פשוטה מרכזית ניתן להביא למבנה A ≅ M n ( F ) ⊗ ( ⊗ i = 1 k D i ) {\displaystyle A\cong M_{n}(F)\otimes \left({\overset {k}{\underset {i=1}{\otimes }}}{D_{i}}\right)} . הדוגמה הבסיסית לאלגבראות פשוטות מרכזיות היא מעל שדה המספרים הממשיים R {\displaystyle R} , הכוללות את שדה הממשיים עצמו R {\displaystyle \mathbb {R} } , שדה המספרים המרוכבים C {\displaystyle \mathbb {C} } ואלגברת הקווטרניונים של המילטון H {\displaystyle \mathbb {H} } , ואת כל חוגי המטריצות מעליהם. כמסקנה ממשפט הורוויץ, המסווג תכונות של אלגבראות הרכבה מעל שדות ממאפיין לא 2, אלו הן האלגבראות הפשוטות (האסוציאטיביות) היחידות מעל שדה הממשיים. דוגמאות מעט כלליות יותר לאלגבראות פשוטות מרכזיות הן האלגבראות ציקליות, המכילות תת-שדה גלואה מקסימלי המהווה הרחבה ציקלית מעל שדה הבסיס; מבנים אלו כוללים בפרט את כל אלגבראות הקווטרניונים - אלגבראות ציקליות מממד 4, הכוללות את כל האלגבראות הפשוטות המרכזיות מממד 4. ערך מורחב – חבורת בראואר לאחר היכרות בסיסית עם מבנה האלגבראות הפשוטות המרכזיות, ניתן להגדיר את חבורת בראואר. שתי אלגבראות פשוטות מרכזיות A 1 , A 2 {\displaystyle A_{1},A_{2}} מעל אותו שדה הן שקולות לפי יחס בראואר אם יש להן אותה אלגברת חילוק ליבתית, כלומר A 1 ≅ M n ( D ) {\displaystyle A_{1}\cong M_{n}(D)} ו- A 2 ≅ M m ( D ) {\displaystyle A_{2}\cong M_{m}(D)} . כעת, חבורת בראואר B r ( F ) {\displaystyle Br(F)} של השדה F {\displaystyle F} היא חבורה אשר איבריה הם מחלקות השקילות הללו, בה הפעולה היא מכפלה טנזורית והאיבר ההפכי הוא האלגברה המנוגדת. בהינתן הרחבת גלואה K / F {\displaystyle K/F} , חבורת בראואר היחסית להרחבה זו היא החבורה B r ( K / F ) {\displaystyle Br(K/F)} המכילה את כל האלגבראות המפוצלות על ידי השדה K {\displaystyle K} . איחוד על כל הרחבות הגלואה של חבורות הבראואר היחסיות נותן את חבורת בראואר של השדה. חבורת בראואר היא אובייקט בעל מבנה עשיר ומעניין, הקשור גם לתורת הקוהומולוגיה של מבנים אלגבריים. למידת מבנה החבורה ותכונותיה מאפשרת הסקת מסקנות אודות תיאורית המבנה של אלגבראות פשוטות מרכזיות. ערך מורחב – אלגברת אזומיה הכללה טבעית למבנה זה היא למקרה שבו מבנה הבסיס איננו שדה; במקרה זה, חוקרים אלגבראות ספרביליות מרכזית - אלו הן אלגבראות נאמנות, ספרביליות ומרכזיות מעל חוג בסיס נתון. תכונות מבנה רבות שמתקיימות בתורה שהוצגה לעיל, נשמרות גם כאשר עוברים למקרה הכללי יותר (כמו מכפלות טנזוריות, משפט המרכז הכפול). בפרט, ניתן להגדיר את חבורת בראואר של חוג באופן דומה כלעיל. חוג פשוט חבורת בראואר אלגברת אזומיה