קדימות אופרטורים

כללי קדימות אופרטורים המוכרים גם כסדר פעולות חשבון הם הכללים הקובעים באיזה סדר יש לבצע את הפעולות בביטוי שבו מופיעים אופרטורים (פעולות) מסוגים אחדים. כדי שיהיה שימושי, סימון מתמטי חייב להיות חד משמעי ולכן יש צורך בדרך כתיבה או במערכת כללים שתאפשר פירוש חד משמעי לביטוי חוקי נתון. כללי הקדימות הם הדרך שהפכה לרווחת ומקובלת כיום בשל הנוחות היחסית בכתיבתה וקריאתה. כל אחת מארבע פעולות החשבון, למשל, פועלת על שני מספרים, אך ניתן לכתוב ביטויים הכוללים מספרים רבים ופעולות רבות, ובמקרה זה נחוצים כללים לקביעת סדר ביצוע הפעולות. דוגמה: האם בביטוי 3 + 4 × 5 {\displaystyle 3+4\times 5} יש לבצע תחילה את פעולת החיבור או את פעולת הכפל? הכלל הפשוט ביותר לניסוח הוא ביצוע הפעולות לפי סדר הופעתן (בדוגמה שלפנינו: תחילה יבוצע החיבור, ותוצאתו תוכפל ב-5). כלל זה אכן מופעל במחשבונים פשוטים. בסימון מתמטי נקבעו כללים מורכבים יותר, של קדימות אופרטורים. עוד מראשית ימיו של הסימון המתמטי, נקבע הכלל שפעולות כפל וחילוק קודמות לפעולות חיבור וחיסור[דרוש מקור]. כדי לבצע את הפעולות בסדר שונה מהאמור בכלל זה יש להשתמש בסוגריים. לאחר הפעלת שני כללים אלה, הפעולות מתבצעות משמאל לימין. דוגמאות: את הביטוי 3 + 4 × 5 {\displaystyle 3+4\times 5} יש לחשב: תחילה 4 × 5 = 20 {\displaystyle 4\times 5=20} ולתוצאה להוסיף 3, כך שערכו של הביטוי הוא 23. את הביטוי ( 3 + 4 ) × 5 {\displaystyle (3+4)\times 5} יש לחשב: תחילה   3 + 4 = 7 {\displaystyle \ 3+4=7} ואת התוצאה יש להכפיל ב-5, כך שערכו של הביטוי הוא 35. בביטוי 8 : 2 × 3 = [ 8 : 2 ] × 3 = [ 4 × 3 ] = 12 {\displaystyle 8:2\times 3=[8:2]\times 3=[4\times 3]=12\,} יש חשיבות רבה לסדר הפעולות (משמאל לימין), משום שביצוע פעולת הכפל לפני פעולת החילוק ייתן תוצאה שונה. בצורת הכתיב המקובלת נכתבת הפעולה, ומשני צדיה המספרים שעליהם היא פועלת. כתיב שאינו מקובל בחיי היומיום הוא הכתיב הפולני, שבו נכתבת הפעולה ואחריה שני המספרים שעליהם היא פועלת. יתרונו של הכתיב הפולני הוא בכך שהוא מייתר את הצורך בכללי קדימות אופרטורים, ואין צורך בסוגריים. כאשר בביטוי מופיעות גם פעולות של העלאה בחזקה והוצאת שורש, פעולות אלה קודמות לארבע פעולות החשבון, אך כאשר ישנו ביטוי כלשהו מתחת לסימן השורש, יש לחשב תחילה ביטוי זה, ומהתוצאה להוציא שורש. כך גם ביחס לביטוי המופיע כחלק מהחזקה (כלומר באותיות עיליות) - תחילה יש לחשב את ערכו של הביטוי, והתוצאה היא החזקה. דוגמה: 2 3 2 = 2 [ 3 2 ] = [ 2 9 ] = 512 {\displaystyle 2^{3^{2}}=2^{[3^{2}]}=[2^{9}]=512\,} דוגמה משולבת: בביטוי: 3 − ( 5 − ( 7 + 1 ) ) 2 × ( − 5 ) + 3 {\displaystyle 3-(5-(7+1))^{2}\times (-5)+3\,} יש לחשב תחילה את הביטוי שבסוגריים הפנימיים ( 7 + 1 ) {\displaystyle (7+1)\,} ולקבל: 3 − ( 5 − 8 ) 2 × ( − 5 ) + 3 {\displaystyle 3-(5-8)^{2}\times (-5)+3\,} לאחר מכן לחשב את הביטוי שבסוגריים החיצוניים ( 5 − 8 ) {\displaystyle (5-8)\,} ולקבל: 3 − ( − 3 ) 2 × ( − 5 ) + 3 {\displaystyle 3-(-3)^{2}\times (-5)+3\,} לחשב את החזקה ( − 3 ) 2 {\displaystyle (-3)^{2}\,} ולקבל: 3 − 9 × ( − 5 ) + 3 {\displaystyle 3-9\times (-5)+3\,} לחשב את המכפלה 9 × ( − 5 ) {\displaystyle 9\times (-5)\,} ולקבל: 3 − ( − 45 ) + 3 {\displaystyle 3-(-45)+3\,} לחשב את ההפרש 3 − ( − 45 ) {\displaystyle 3-(-45)\,} ולקבל: 48 + 3 {\displaystyle 48+3\,} לחשב את הסכום 48 + 3 {\displaystyle 48+3\,} ולקבל: 48 + 3 = 51 {\displaystyle 48+3=51\,} מחשבונים פשוטים פועלים ללא קדימות אופרטורים, כלומר הם מבצעים את הפעולות לפי סדר הקלדתן למחשבון. התוצאה של הקלדת 3 + 4 × 5 {\displaystyle 3+4\times 5} תהיה 35. במחשבונים מדעיים נשמרים כללי קדימות אופרטורים, והתוצאה של הקלדת 3 + 4 × 5 {\displaystyle 3+4\times 5} תהיה 23. למחשבון במערכת ההפעלה "חלונות" יש שני מצבי הפעלה - "רגיל" ו"מדעי", המחקים את שני סוגי המחשבונים הפיזיים. קיימת מחלוקת לגבי ההתייחסות לכפל שהושמט לפני סוגריים, כאשר מחשבונים מודרניים מבצעים חישוב בצורה בה כפל שהושמט אינו מקבל קדימות על כפל וחילוק ומחושב לפי סדר הפעולות משמאל לימין. לעומת זאת, חלק מהמחשבונים הישנים מבצעים חישוב בצורה בה כפל שהושמט מקבל קדימות ומחושב כחלק מהסוגריים לפי סדר הפעולות. לדוגמה הנוסחא 9 / 3 ( 1 + 2 ) {\displaystyle 9/3(1+2)} . מצורפת תמונה [1] בה ניתן לראות את ההבדל בין שני מחשבוני Casio המחשבים באופן שונה את אותה הנוסחה ולכן מתקבלת תוצאה שונה. במחשבון של Google [2], ניתן לראות כי כפל שהושמט אינו מקבל עדיפות. ביטויים הנכתבים בשפות תכנות מחושבים במרבית השפות לפי הכללים המקובלים לקדימות אופרטורים, ויש בהן כללי קדימות גם לאופרטורים נוספים, כגון "וגם". כתיב פולני קדימות אופרטורים, באתר MathWorld (באנגלית)