פונקציה סינגולרית

באנליזה מתמטית, פונקציה סינגולרית היא פונקציה ממשית המוגדרת בקטע, שהיא רציפה, לא־קבועה, בעלת השתנות חסומה ושנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום (כב״מ). ידוע שפונקציה שנגזרתה מתאפסת בכל מקום היא פונקציה קבועה. הפונקציות הסינגולריות מתקבלות כאשר מחלישים מעט את התנאי, ומאפשרים לנגזרת שלא להתאפס (ואפילו לא להיות מוגדרת) בחלק מהנקודות, כל עוד קבוצת הנקודות שבה הנגזרת לא מתאפסת היא זניחה (קבוצה ממידה אפס). במקורות מסוימים בוחרים לדרוש שהפונקציה גם לא יורדת. יש גם מקורות שלא דורשים שהפונקציה תהיה רציפה. פונקציית קנטור – זוהי פונקציה רציפה ולא יורדת בקטע היחידה שקבועה בכל קטע שמוסר בבנייה של קבוצת קנטור ולכן היא סינגולרית. הפונקציה הסינגולרית של לבג – מטילים אינסוף פעמים מטבע לא הוגן שההסתברות שייצא עץ היא p ≠ 1 2 {\displaystyle p\neq {\tfrac {1}{2}}} וההסתברות שייצא פלי היא 1 − p {\displaystyle 1-p} . מגדירים מספר ממשי X ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\in [0,1]} כך שהספרה הבינארית ה־n שלו היא 1 אם בהטלה ה־n יצא עץ, ו־0 אם בהטלה ה־n יצא פלי. פונקציית ההצטברות של המשתנה המקרי X {\displaystyle X} : L p ( t ) = P ( X ≤ t ) {\displaystyle L_{p}(t)=P(X\leq t)} היא הפונקציה הסינגולרית של לבג עם הפרמטר p {\displaystyle p} . זוהי פונקציה עולה חזק ורציפה שלמרות זאת נגזרתה מתאפסת כב״מ. פונקציית סימן השאלה של מינקובסקי – פונקציה המוגדרת לפי ? ( x ) = a 0 + 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 a 1 + ⋯ + a n {\displaystyle \textstyle {\rm {?}}(x)=a_{0}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{2^{a_{1}+\cdots +a_{n}}}}} כאשר x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] {\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]} היא ההצגה של x כשבר משולב (מגדירים באופן אנלוגי לשבר משולב סופי). הפונקציה עולה חזק ובעלת מספר תכונות מעניינות. למשל היא ממפה שורשים של משוואה ריבועית למספרים רציונליים ומקיימת משוואות פונקציונליות מעניינות. אינטגרל לבג אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס, ולכן לצורכי אינטגרציה של הנגזרת ניתן להניח שהנגזרת של פונקציה סינגולרית מוגדרת בכל מקום כפונקציית האפס. פונקציות סינגולריות אינן אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלהן (בניגוד לקביעה של נוסחת ניוטון לייבניץ העוסקת בפונקציות גזירות בכל מקום). מכיוון שפונקציה סינגולרית f {\displaystyle f} אינה קבועה קיימות נקודות a < b {\displaystyle a<b} בתחומה כך ש־ f ( a ) ≠ f ( b ) {\displaystyle f(a)\neq f(b)} , ולכן: ∫ a b f ′ d λ = 0 ≠ f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f'd\lambda =0\neq f(b)-f(a)} זאת מכיוון שפונקציה סינגולרית אמנם רציפה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע. ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה בקטע אם ורק אם היא רציפה בהחלט בקטע. כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציה סינגולרית אינה אינטגרל מסוים של אף פונקציה. לכל פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה f {\displaystyle f} בקטע [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} יש פירוק מהצורה f = f 1 + f 2 {\displaystyle f=f_{1}+f_{2}} כאשר f 1 {\displaystyle f_{1}} רציפה בהחלט ו־ f 2 {\displaystyle f_{2}} סינגולרית או קבועה. הפירוק יחיד עד כדי חיבור קבוע לרכיב אחד וחיסורו מהרכיב השני. אפשר גם לדרוש ש־ f ( a ) = f 1 ( a ) {\displaystyle f(a)=f_{1}(a)} ואז הפירוק יחיד לגמרי (ו־ f 2 {\displaystyle f_{2}} היא סינגולרית או זהותית 0). משפט זה הוכח על ידי אנרי לבג ב־1904. בהסתמך על התכונות הידועות של פונקציות רציפות בהחלט ההוכחה פשוטה: נגדיר f 1 ( x ) = ∫ a x f ′ d λ + f ( a ) {\displaystyle f_{1}(x)=\int _{a}^{x}f'd\lambda +f(a)} (פונקציה בעלת השתנות חסומה היא גזירה כב״מ ולכן הביטוי מוגדר היטב). כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט ולכן f 1 {\displaystyle f_{1}} רציפה בהחלט (ובפרט בעלת השתנות חסומה). פונקציה רציפה בהחלט היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה ולכן f 1 ′ = f ′ {\displaystyle f_{1}'=f'} כב״מ. נגדיר f 2 = f − f 1 {\displaystyle f_{2}=f-f_{1}} . זו פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה (כהפרש פונקציות רציפות בעלות השתנות חסומה) ומתקיים f 2 ′ = f ′ − f 1 ′ = 0 {\displaystyle f_{2}'=f'-f_{1}'=0} כב״מ, ולכן f 2 {\displaystyle f_{2}} סינגולרית או קבועה. נראה שהפירוק יחיד. נניח שגם f = g 1 + g 2 {\displaystyle f=g_{1}+g_{2}} פירוק של f {\displaystyle f} ומתקיים f ( a ) = g 1 ( a ) {\displaystyle f(a)=g_{1}(a)} . אז מתקיים כב״מ: ( f 1 − g 1 ) ′ = ( ( f − f 2 ) − ( f − g 2 ) ) ′ = g 2 ′ − f 2 ′ = 0 {\displaystyle (f_{1}-g_{1})'=((f-f_{2})-(f-g_{2}))'=g_{2}'-f_{2}'=0} אולם f 1 − g 1 {\displaystyle f_{1}-g_{1}} רציפה בהחלט ולכן אינה סינגולרית. מכאן שהיא קבועה. נשים לב כי ( f 1 − g 1 ) ( a ) = f ( a ) − f ( a ) = 0 {\displaystyle (f_{1}-g_{1})(a)=f(a)-f(a)=0} ולכן f 1 − g 1 {\displaystyle f_{1}-g_{1}} פונקציית האפס. קיבלנו ש־ f 1 = g 1 , f 2 = g 2 {\displaystyle f_{1}=g_{1},f_{2}=g_{2}} כנדרש. אם מתירים לפונקציה סינגולרית קבוצה בת מנייה של נקודות אי־רציפות, אז לכל פונקציה בעלת השתנות חסומה (לא בהכרח רציפה) יש פירוק לבג. ההוכחה זהה, בתוספת העובדה שקבוצת נקודות האי־רציפות של פונקציה בעלת השתנות חסומה היא בת־מנייה, והיא גזירה כב״מ. רציפות בהחלט R. SALEM, On some singular monotonic functions what are strictly increasing פונקציה סינגולרית, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה המקיימת שלכל 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } קיים 0 < δ {\displaystyle 0<\delta } כך שלכל אוסף סופי של קטעים זרים בזוגות בתחום ( x 1 , y 1 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} המקיימים ∑ i = 1 n | y i − x i | < δ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|y_{i}-x_{i}|<\delta } מתקיים ∑ i = 1 n | f ( y i ) − f ( x i ) | < ϵ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|f(y_{i})-f(x_{i})|<\epsilon } .