סחיפת סטוקס

בהקשר של תנועה גלית טהורה במכניקת הזורמים, מהירות סחיפת סטוקס (באנגלית: Stokes drift) היא המהירות הממוצעת של אלמנט זורם כאשר הוא נע עם שדה הזרימה של הגל. לדוגמה, מצוף שצף על פני השטח של גלי מים, יחווה סחיפה נטו בכיוון התקדמות הגל. התופעה הלא-ליניארית הזאת נקראת על שם ג'ורג' גבריאל סטוקס, שגזר ביטויים מתמטיים שמתארים את הסחיפה במחקרו המעמיק מ-1847 על גלי מים. סחיפת סטוקס היא ההבדל במיקום נקודות הקצה של העקום שמתווה אלמנט זורם אחרי כמות קצובה של זמן (בדרך כלל מחזור גל אחד), כפי שנגזר מהתיאור הלגראנז'י והאוילרי של הזרימה. נקודת הקצה בתיאור הלגראנז'י מושגת על ידי עקיבה אחר אלמנט זורם בודד במהלך אינטרוול הזמן. נקודת הקצה המתאימה בתיאור האוילרי מושגת על ידי אינטגרציה של מהירות הזורם במיקום קבוע - השווה למיקום ההתחלתי בתיאור הלגראנז'י - במהלך אותו אינטרוול זמן. מהירות סחיפת סטוקס מוגדרת כיחס בין סחיפת סטוקס למשך הזמן בו היא מתרחשת. המנגנון של סחיפת סטוקס הוא חשוב ביותר לצורך הובלה של חומרים ואורגינזמים שונים על ידי תנועת הגלים. יותר מכך, סחיפת סטוקס מהווה מרכיב חשוב במנגנון ההיווצרות של סירקולציית לאנגמיור. סחיפת סטוקס היא תופעה בה המהירות האופקית הממוצעת של אלמנט מים שונה מאפס, כך שמתקבלים מסלולים פתוחים ונוצרת "סחיפה" של אלמנטי הזורם בזמן - מעבר מים נטו בכיוון התקדמות הגל. חלקיקים הנמצאים בגל מים בעל מהירות מופע C p {\displaystyle C_{p}} ותלילות סופית יפגינו תנועה שאריתית קלה בגלל שהם שוהים מעט יותר זמן בתנועה קדימה מאשר בתנועה אחורנית, אודות להתקדמות הגל עצמו. תופעה זו אינה ייחודית רק לגלי מים, אף כי במקור סטוקס גילה אותה ב-1847 במחקרו המתמטי המעמיק על גלי ים לא ליניארים. בגלי קול קיימת תופעה דומה של סחיפה כאשר מניחים שאמפליטודת הלחץ של הקול אינה זניחה ביחס ללחץ האטמוספירי - או לחלופין שמהירות אלמנטי האוויר אינה זניחה ביחס למהירות הקול; גם אם המהירות הממוצעת של שדה המהירות בנקודה כלשהי היא אפס, המסלול של חלקיק הנע בכל נקודה במהירות הזרימה המקומית לא יהיה בהכרח חסום. קל יותר להבין זאת כאשר מסתכלים על שני מקרי קיצון - הראשון כאשר אמפליטודת המהירות בנקודה (x,t) אפסית והשני כאשר אמפליטודת המהירות שווה למהירות הקול. במקרה הראשון נקבל שהאלמנט מתנודד הרמונית מסביב לנקודת שיווי המשקל שלו, ואילו במקרה השני נקבל שהחלקיק מתקדם במהירות הגל הנושא של שדה הזרימה - כך שמבחינתו הגל נייח - ולכן מהירותו לא צריכה להשתנות כלל, אלא שהיא עומדת על ערך קבוע ששווה למהירות הסחיפה. סחיפת סטוקס מתייחסת לנקודת ביניים בין שני מקרי הקיצון הללו; היחס בין המהירות של האלמנט למהירות התקדמות הגל עצמו אינו זניח, ומנגד עדיין קטן מספיק כדי שאפשר יהיה להזניח אפקטים מסדרים גבוהים יותר. במילים אחרות, כאשר החלקיק נע בכיוון התקדמות הגל מהירותו משתנה לאט יותר מאשר כאשר הוא נע בניגוד לתנועת הגל, והיא יורדת בקצב שתלוי במהירות היחסית בינו לבין הגל. כיוון שכך, החלקיק שוהה זמן רב יותר בתנועה עם הגל מאשר בתנועה בניגוד לגל. הדבר מאפשר לו לגמוע מרחק רב יותר בהתקדמות עם הגל לעומת המרחק שהוא חוזר אחורנית כאשר הוא נע בניגוד אליו. התוצאה של האסימטריה הזאת היא התקדמות נטו של החלקיק בכיוון האופקי בכל מחזור גלי. ננסה לכמת את "האסימטריה" של תנועת האלמנט. ישנם שני אפקטים שתורמים לאסימטריה זאת. ראשית, העובדה שהחלקיק שוהה יותר זמן בתנועה עם הגל מאשר בתנועה נגדו גורמת לו לתנועה נטו בכיוון התקדמות הגל. שנית, כפי שסטוקס הדגיש במאמרו, אודות לפחת באמפליטודת המהירות האופקית של פרודות הזורם עם הגידול בעומק, אלמנטי הזורם - שנמצאים בתנועה מסלולית - נעים במהירות גבוהה במקצת כאשר הם נמצאים בנקודה גבוהה יותר במסלולם (למשל, בפסגת המעגל שהם מתווים) מאשר כאשר הם נעים בנקודה נמוכה יותר במסלולם (בתחתית המעגל). בפיתוח הבא נבצע תחילה אנליזה חד-ממדית של סחיפת סטוקס - שלוקחת בחשבון רק את האפקט הראשון, ולאחר מכן נבצע גם אנליזה דו-ממדית של סחיפה בגלי מים, תוך התחשבות באפקט השני שהוזכר. במקרה החד־ממדי, הגורם המכריע במידת הסחיפה שחווה אלמנט זורם הוא כמה זמן הוא שוהה בתנועה במגמה נתונה. הגודל הפיזיקלי שמכתיב כמה זמן האלמנט יהיה בעל מופע נתון הוא המהירות היחסית בינו לגל: V − u x = V − u 0 s i n θ {\displaystyle V-u_{x}=V-u_{0}sin\theta } (כאן V היא מהירות הגל), שממנו נגזרת התדירות הזוויתית "האפקטיבית" של תנועת האלמנט: ω e f f = k ( V − u 0 s i n θ ) {\displaystyle \omega _{eff}=k(V-u_{0}sin\theta )} . סחיפת סטוקס שווה לאינטגרל: ∫ 0 T u x d t {\displaystyle \int _{0}^{T}u_{x}dt} . את הדיפרנציאל dt נוח יותר להביע במונחי הפאזה θ {\displaystyle \theta } כך: d t = d θ d θ / d t = d θ ω e f f {\displaystyle dt={\frac {d\theta }{d\theta /dt}}={\frac {d\theta }{\omega _{eff}}}} . מתקיים מכאן: u x d t = u 0 s i n θ k ( V − u 0 s i n θ ) d θ {\displaystyle u_{x}dt={\frac {u_{0}sin\theta }{k(V-u_{0}sin\theta )}}d\theta } . כיוון שאנו חותרים לקבלת הביטוי לסחיפת סטוקס מהסדר הנמוך ביותר, אפשר להניח שמהירות האלמנט u x {\displaystyle u_{x}} נמוכה מאוד בהשוואה למהירות הגל V, ולכן מותר לקרב את הביטוי על ידי קירוב מסדר ראשון (קירוב ליניארי): 1 V − u 0 s i n θ ≈ 1 V + u 0 s i n θ V 2 {\displaystyle {\frac {1}{V-u_{0}sin\theta }}\approx {\frac {1}{V}}+{\frac {u_{0}sin\theta }{V^{2}}}} . על כן נקבל איפה: ∫ 0 T u x d t = ∫ 0 2 π ( u 0 s i n θ k V + u 0 2 s i n 2 θ k V 2 ) d θ = π u 0 2 k V 2 {\displaystyle \int _{0}^{T}u_{x}dt=\int _{0}^{2\pi }({\frac {u_{0}sin\theta }{kV}}+{\frac {u_{0}^{2}sin^{2}\theta }{kV^{2}}})d\theta ={\frac {\pi u_{0}^{2}}{kV^{2}}}} . במעבר האחרון נעזרנו בעובדה ש-: < s i n 2 θ >= 1 2 {\displaystyle <sin^{2}\theta >={\frac {1}{2}}} . כדי לקבל את מהירות הסחיפה יש לחלק בזמן המחזור: T = 2 π ω {\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}} , וכך נקבל: u d r i f t , 1 = ω u 0 2 2 k V 2 = 1 2 k ω a 2 {\displaystyle u_{drift,1}={\frac {\omega u_{0}^{2}}{2kV^{2}}}={\frac {1}{2}}k\omega a^{2}} , כאשר במעבר האחרון נעזרנו בקשרי הגל הבסיסיים: u 0 = a ω , V = ω k {\displaystyle u_{0}=a\omega ,V={\frac {\omega }{k}}} . קיבלנו איפה שסחיפת סטוקס יחסית לאמפליטודה של הגל בריבוע. במסגרת פיתוח הסדר הנמוך ביותר של סחיפת סטוקס, יש לחשב מה המרחק שגומא אלמנט נתון עקב גרדיאנט המהירות האופקית של הזרימה יחסית למשתנה העומק: ∂ u x ∂ z {\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}} . כמו בחישוב החד-ממדי, נעריך את האינטגרל ∫ 0 T u x d t {\displaystyle \int _{0}^{T}u_{x}dt} הפעם תוך התחשבות בשינוי הגודל של u x {\displaystyle u_{x}} עם השינוי בעומק. ניתן לפרק את האינטגרל לסכום שני אינטגרלים: ∫ 0 T u x d t = ∫ 0 T / 2 u x d t + ∫ T / 2 T u x d t {\displaystyle \int _{0}^{T}u_{x}dt=\int _{0}^{T/2}u_{x}dt+\int _{T/2}^{T}u_{x}dt} , אותו ניתן לפרש גם כ-: ∫ 0 T / 2 Δ u x ω d θ {\displaystyle \int _{0}^{T/2}{\frac {\Delta u_{x}}{\omega }}d\theta } , כאשר Δ u x {\displaystyle \Delta u_{x}} היא ההפרש בין מהירויות האלמנט במופעים θ {\displaystyle \theta } ו- − θ {\displaystyle -\theta } . הפרש זה הוא גם: Δ u x = ∂ u x ∂ z ⋅ Δ z = a ω k s i n θ ⋅ 2 a s i n θ = 2 ω k a 2 s i n 2 θ {\displaystyle \Delta u_{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\cdot \Delta z=a\omega ksin\theta \cdot 2asin\theta =2\omega ka^{2}sin^{2}\theta } , כאשר במעברים האחרונים נסמכנו על העובדה שמסלול האלמנט הוא מעגל בעל רדיוס a (במסגרת הקירוב הראשוני) ועל התוצאה לגרדיאנט מהירות הזרימה בפני המים במסגרת התאוריה של איירי. תוצאת האינטגרל היא: ∫ 0 π 2 ω k a 2 s i n 2 θ ω d θ = π k a 2 {\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\frac {2\omega ka^{2}sin^{2}\theta }{\omega }}d\theta =\pi ka^{2}} . כדי לקבל את התרומה של אפקט זה לסחיפת סטוקס יש לחלק בזמן המחזור של הגל: u d r i f t , 2 = π k a 2 T = π k a 2 2 π / ω = 1 2 k ω a 2 {\displaystyle u_{drift,2}={\frac {\pi ka^{2}}{T}}={\frac {\pi ka^{2}}{2\pi /\omega }}={\frac {1}{2}}k\omega a^{2}} . מהירות סחיפת סטוקס הכוללת שווה במקרה הדו-ממדי (על שפת המים) לסכום התרומות של כל אחד מהאפקטים: u d r i f t = u d r i f t , 1 + u d r i f t , 2 = 1 2 k ω a 2 + 1 2 k ω a 2 = k ω a 2 {\displaystyle u_{drift}=u_{drift,1}+u_{drift,2}={\frac {1}{2}}k\omega a^{2}+{\frac {1}{2}}k\omega a^{2}=k\omega a^{2}} תאוריית הגלים של איירי