מרחב (CAT(k

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T). ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} אפשר לכייל למרחבי   CAT ( k ′ ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')} אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר. עבור מספר ממשי k, מסמנים ב-   M k {\displaystyle \ M_{k}} את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה,   M 0 {\displaystyle \ M_{0}} הוא המישור האוקלידי   R 2 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}} עם המטריקה הרגילה שלו;   M 1 {\displaystyle \ M_{1}} הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו-   M − 1 {\displaystyle \ M_{-1}} הוא המישור ההיפרבולי. אם k>0, הקוטר של המרחב הוא   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} (אחרת הקוטר אינסופי). נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} . אז קיים ב-   M k {\displaystyle \ M_{k}} משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T. נניח ש-   ( X , d ) {\displaystyle \ (X,d)} הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה   γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \ \gamma :[a,b]\rightarrow X} , כאשר   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים   d ( γ ( t ) , γ ( s ) ) = | t − s | {\displaystyle \ d(\gamma (t),\gamma (s))=|t-s|} לכל   a ≤ t ≤ s ≤ b {\displaystyle \ a\leq t\leq s\leq b} ). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב   M k {\displaystyle \ M_{k}} . המרחב X נקרא מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} , אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} ), מקיים את תנאי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} . אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} . מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית". התנאי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם   k < k ′ {\displaystyle \ k<k'} , אז כל מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הוא גם מרחב   CAT ( k ′ ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')} . מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא   CAT ( k ′ ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k')} לכל   k < k ′ {\displaystyle \ k<k'} , הוא גם   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} . המרחב   M k {\displaystyle \ M_{k}} הוא   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} . המרחב האוקלידי   E n {\displaystyle \ \mathbb {E} ^{n}} (מכל ממד) הוא   CAT ( 0 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} . המרחב ההיפרבולי   H n {\displaystyle \ \mathbb {H} ^{n}} (מכל ממד) הוא   CAT ( − 1 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(-1)} . ספירת היחידה   S n {\displaystyle \ \mathbb {S} ^{n}} (בכל ממד) היא   CAT ( 1 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(1)} (אבל לא   CAT ( 0 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} ). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות   1 r {\displaystyle \ {\frac {1}{\sqrt {r}}}} ) היא   CAT ( 1 r ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}({\frac {1}{\sqrt {r}}})} . כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הוא מרחב מכפלה פנימית. אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו   CAT ( 0 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} . מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא   CAT ( 0 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} , ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית. עץ הוא מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} לכל k. כל מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} , עבור k<0, הוא מרחב   CAT ( 0 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} . בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים. יהי X מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} . בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה. כל עקום (שאורכו אינו עולה על   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי. כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על   1 2 π k {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) הוא קמור-גאודזית. כדורים (שרדיוסם אינו עולה על   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) הם כוויצים. נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על   π k {\displaystyle \ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} אם k>0) ולכל   ϵ > 0 {\displaystyle \ \epsilon >0} קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} , כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על   1 2 d ( x , y ) + δ {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta } , נמצאת במרחק   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } לכל היותר מ-m. מתכונות אלה נובע שאם   k ≤ 0 {\displaystyle \ k\leq 0} , מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות   S n {\displaystyle \ \mathbb {S} ^{n}} מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} . כל מרחב   CAT ( k ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(k)} (עבור   k < 0 {\displaystyle \ k<0} ) הוא מרחב היפרבולי. מרחב   CAT ( 0 ) {\displaystyle \ {\mbox{CAT}}(0)} הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי   R 2 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{2}} (עם המטריקה הרגילה). מרחב (CAT(0