התפלגות גמא

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות גמא (Gamma Distribution) הוא שמה של התפלגות השייכת למשפחה דו-פרמטרית של התפלגויות רציפות על המספרים האי-שליליים, שאותן מסמנים Γ ( α , λ ) {\displaystyle \Gamma (\alpha ,\lambda )} . המשפחה כוללת את ההתפלגות המעריכית ואת התפלגות כי בריבוע. התפלגות גמא משמשת לעיתים קרובות כמודל לתיאור זמן ההמתנה עד לאירוע מסוים, כגון קלקול במערכת אלקטרונית או מוות ממחלה. הסיבה לכך היא שההתפלגות Γ ( 1 , λ ) {\displaystyle \Gamma (1,\lambda )} היא ההתפלגות המעריכית חסרת הזיכרון (שמסומנת גם e x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )} ), והמשפחה אדיטיבית ברכיב הראשון. לכן, אם משך החיים של נורה בודדת מתפלג מעריכית עם הפרמטר λ {\displaystyle \lambda } , אז משך החיים של מערכת שבה נכנסות לפעולה n {\displaystyle n} נורות כאלו בזו אחר זו, מתפלג Γ ( n , λ ) {\displaystyle \Gamma (n,\lambda )} . ערכים לא שלמים של   α {\displaystyle \ \alpha } מאפשרים לקרב גם מודלים מורכבים יותר. התפלגות גמא היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא f ( x ) = { λ α e − λ x x α − 1 Γ ( α ) x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\lambda ^{\alpha }e^{-\lambda x}x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} כאשר λ > 0 {\displaystyle \,\!\lambda >0} הוא פרמטר הנקרא פרמטר קצב, α > 0 {\displaystyle \,\!\alpha >0} הוא פרמטר הנקרא פרמטר צורה, ו- Γ ( α ) {\displaystyle \Gamma (\alpha )\!} היא פונקציית גמא, המוגדרת על ידי Γ ( α ) = ∫ 0 ∞ t α − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (\alpha )=\int _{0}^{\infty }\!t^{\alpha -1}\,e^{-t}\,dt} . כשהפרמטר α {\displaystyle \,\!\alpha } הוא מספר שלם, התפלגות גמא נקראת לעיתים התפלגות ארלנג. ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר θ = 1 / λ > 0 {\displaystyle \,\!\theta =1/\lambda >0} , הנקרא פרמטר סקאלה. במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא f ( x ) = { e − x / θ x α − 1 θ α Γ ( α ) x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {e^{-x/\theta }x^{\alpha -1}}{\theta ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} משתנה מקרי X {\displaystyle \,\!X} המתפלג התפלגות גמא עם פרמטרים λ {\displaystyle \,\!\lambda } ו- α {\displaystyle \,\!\alpha } מסומן בדרך כלל X ∼ Gamma ( λ , α ) {\displaystyle \,\!X\sim {\textrm {Gamma}}(\lambda ,\alpha )} . הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של התפלגות גמא הוא הקטע [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \,\![0,\infty )} . פונקציית ההתפלגות המצטברת של התפלגות גמא היא F ( x ) = ∫ 0 x f ( s ) d s = { γ ( α , λ x ) Γ ( α ) x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,\mathrm {d} s=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle {\frac {\gamma (\alpha ,\lambda x)}{\Gamma (\alpha )}}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} כאשר γ ( α , λ x ) {\displaystyle \gamma (\alpha ,\lambda x)\!} היא פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה: γ ( α , λ x ) = ∫ 0 λ x t α − 1 e − t d t {\displaystyle \gamma (\alpha ,\lambda x)=\int _{0}^{\lambda x}t^{\alpha -1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t\,\!} . כשהפרמטר α {\displaystyle \,\!\alpha } הוא מספר שלם (כלומר ההתפלגות היא התפלגות ארלנג), ניתן לכתוב את פונקציית ההתפלגות המצטברת בצורה יותר מפורשת, F ( x ) = { 1 − ∑ i = 0 α − 1 ( λ x ) i i ! e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}\displaystyle 1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\lambda x)^{i}}{i!}}e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} התוחלת של משתנה מקרי X ∼ Gamma ( λ , α ) {\displaystyle \,\!X\sim {\textrm {Gamma}}(\lambda ,\alpha )} היא E ⁡ ( X ) = α / λ {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\alpha /\lambda } והשונות היא V a r ( X ) = λ / α 2 {\displaystyle \mathrm {Var} (X)=\lambda /\alpha ^{2}} . פונקציית הסיכון (Hazard function) של התפלגות גמא, f ( x ) 1 − F ( x ) {\displaystyle {\frac {f(x)}{1-F(x)}}} , היא h ( x ) = λ α x α − 1 e − λ x Γ ( α ) − γ ( α , λ x ) {\displaystyle h(x)={\frac {\lambda ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\Gamma (\alpha )-\gamma (\alpha ,\lambda x)}}} . ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי Γ ( 1 , λ ) {\displaystyle \Gamma (1,\lambda )} (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי e x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )} . הסכום של n {\displaystyle n} משתנים מקריים בלתי תלויים e x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )} מתפלג Γ ( n , λ ) {\displaystyle \Gamma (n,\lambda )} . אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים e x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )} , אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t {\displaystyle t} מתפלג פואסונית עם פרמטר λ t {\displaystyle \lambda t} . תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן), ומתקיים בו שהזמן מתחילת התהליך עד להתרחשות מספר n {\displaystyle n} מתפלג Γ ( n , λ ) {\displaystyle \Gamma (n,\lambda )} . כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג e x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {exp} (\lambda )} , ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות שנשרפות עד זמן t {\displaystyle t} מתפלג פואסונית עם פרמטר λ t {\displaystyle \lambda t} , והזמן מתחילת התהליך עד שריפת נורה מספר n {\displaystyle n} מתפלג Γ ( n , λ ) {\displaystyle \Gamma (n,\lambda )} . התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי χ n 2 {\displaystyle \,\!\chi _{n}^{2}} (כלומר עם n {\displaystyle n} דרגות חופש) הוא משתנה מקרי Γ ( n / 2 , 1 / 2 ) {\displaystyle \,\!\Gamma (n/2,1/2)} . התפלגות ארלנג מדיה וקבצים בנושא התפלגות גמא בוויקישיתוף התפלגות גמא, באתר MathWorld (באנגלית) התפלגות גמא, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)