מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה H {\displaystyle H} היא קבוצה של איברי חבורה G {\displaystyle G} אשר מתקבלת מהכפלת אברי H {\displaystyle H} באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה H {\displaystyle H} מהווה חלוקה של G {\displaystyle G} לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה H {\displaystyle H} בחבורה G {\displaystyle G} נקרא האינדקס של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} , ומסומן [ G : H ] {\displaystyle [G:H]} . אם G {\displaystyle G} סופית, אינדקס זה שווה ל- [ G : H ] = | G | | H | {\displaystyle [G:H]={\frac {|G|}{|H|}}} . חשוב להדגיש שעל אף שהקוסטים של תת-חבורה נגזרים ישירות ממנה, הם אינם מהווים תת-חבורות בעצמם (למעט הקוסט הטריוויאלי) משום שאינם סגורים לכפל. הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של החבורה G = { 1 , − 1 , i , − i } {\displaystyle G=\{1,-1,i,-i\}} ותת-החבורה שלה H = { 1 , − 1 } {\displaystyle H=\{1,-1\}} . הקוסט הלא טריוויאלי המתאים לה הוא { i , − i } {\displaystyle \{i,-i\}} , והוא אינו סגור לכפל. תהא G {\displaystyle G} חבורה ותהא H ⊆ G {\displaystyle H\subseteq G} תת-חבורה שלה. יהא g ∈ G {\displaystyle g\in G} איבר כלשהו, אז הקבוצה g H = { g h | h ∈ H } {\displaystyle gH=\left\{gh|h\in H\right\}} תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} , והקבוצה H g = { h g | h ∈ H } {\displaystyle Hg=\left\{hg|h\in H\right\}} תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} . קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה H {\displaystyle H} , המחלקות (מאותו צד) של H {\displaystyle H} מהוות חלוקה של G {\displaystyle G} לקבוצות זרות. הוכחה: אם x ∈ g 1 H ∩ g 2 H {\displaystyle x\in g_{1}H\cap g_{2}H} אז לפי הגדרה קיימים h 1 , h 2 {\displaystyle h_{1},h_{2}} כך ש- x = g 1 h 1 = g 2 h 2 {\displaystyle x=g_{1}h_{1}=g_{2}h_{2}} ולכן g 1 = g 2 h 2 h 1 − 1 {\displaystyle g_{1}=g_{2}h_{2}h_{1}^{-1}} . מכיוון ש- h 2 h 1 − 1 ∈ H {\displaystyle h_{2}h_{1}^{-1}\in H} , נובע ש- g 1 ∈ g 2 H {\displaystyle g_{1}\in g_{2}H} , ולכן g 1 H = g 2 H {\displaystyle g_{1}H=g_{2}H} . הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של H {\displaystyle H} מהוות חלוקה של G {\displaystyle G} . לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות. בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה H {\displaystyle H} שווה למספר האיברים ב- H {\displaystyle H} . במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה. אם לתת חבורה מסוימת H {\displaystyle H} מתקיים ∀ g , g H = H g {\displaystyle \forall g\,,gH=Hg} , כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה. ניקח את החבורה ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} , כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. 4 Z {\displaystyle 4\mathbb {Z} } היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: { 4 Z , 1 + 4 Z , 2 + 4 Z , 3 + 4 Z } {\displaystyle \{4\mathbb {Z} ,1+4\mathbb {Z} ,2+4\mathbb {Z} ,3+4\mathbb {Z} \}} . נציגים לדוגמה מהמחלקה 1 + 4 Z {\displaystyle 1+4\mathbb {Z} } הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה 3 + 4 Z {\displaystyle 3+4\mathbb {Z} } הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות. מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)