אלגברה חופשית למחצה

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה, אלגברה חופשית למחצה (Quasi-free) היא אלגברה אסוציאטיבית (לא בהכרח קומוטטיבית) בעלת ממד קוהומולוגי לכל היותר 1. לאלגברות אלו חשיבות גאומטרית, מפני שהן חלקות פורמלית (formally smooth) בקטגוריה של אלגברות לא קומוטטיביות: כל הרחבה שלהן באידיאל נילפוטנטי מתפצלת. המושג הוגדר על ידי Joachim Cuntz ודניאל קווילן ב-1995 כמדד לאי-סינגולריות לא-קומוטטיבית, ונדון מאז בהקשרים שונים. תהא A {\displaystyle A} אלגברה אסוציאטיבית עם יחידה (לא בהכרח קומוטטיבית) מעל שדה F {\displaystyle F} . ל- A {\displaystyle A} -בימודול M {\displaystyle M} ניתן להגדיר תורת קוהומולוגיה הנקראת קוהומולוגיית הוכשילד: H n ( A , M ) = E x t A − b i m o d n ( A , M ) {\displaystyle H^{n}(A,M)=Ext_{A-bimod}^{n}(A,M)} הממד הקוהומולוגי של אלגברה הוא האינדקס הגבוה ביותר כך שחבורת הקוהומולוגיה מאינדקס זה אינה מתאפסת לכל בימודול. חשיבות מיוחדת נודעת לחבורת הקוהומולוגיה השנייה, המתארת הרחבות לא מתפצלות. ביתר פירוט, נניח כי M {\displaystyle M} הוא A {\displaystyle A} -בימודול. נאמר כי אלגברה C {\displaystyle C} היא הרחבה של A {\displaystyle A} באמצעות M {\displaystyle M} אם M {\displaystyle M} איזומורפי (כבימודול) לאידיאל של I ◃ C {\displaystyle I\triangleleft C} , שהוא נילפוטנטי מדרגה 2 (כלומר: I 2 = 0 {\displaystyle I^{2}=0} ) וכך ש- C / I ≅ A {\displaystyle C/I\cong A} (איזומורפיזם של אלגברות). אומרים כי הרחבה כזו מתפצלת אם קיים חתך (section) של A {\displaystyle A} לתוך C {\displaystyle C} , הסוגר דיאגרמה קומוטטיבית עם ההטלה של C {\displaystyle C} מודולו I {\displaystyle I} , כאשר מזהים את C / I {\displaystyle C/I} עם A {\displaystyle A} . לפיכך, H 2 ( A , M ) = 0 {\displaystyle H^{2}(A,M)=0} פירושה שכל הרחבה של A {\displaystyle A} באמצעות M {\displaystyle M} מתפצלת. כל אלגברה ספרבילית היא מממד קוהומולוגי אפס, ולכן חופשית למחצה. אכן, המשפט הראשי של ודרברן קובע כי כל אלגברה מממד סופי מעל שדה מושלם היא סכום ישר (כמרחבים וקטוריים) של הרדיקל הנילפוטנטי שלה ושל המנה הפשוטה למחצה המקסימלית של האלגברה המקורית. ניתן לראות משפט זה באופן הבא: כל אלגברה פשוטה למחצה מממד סופי מעל שדה מושלם היא ספרבילית, ובפרט חופשית למחצה. מצד שני, כל אלגברה חופשית היא חופשית למחצה (ולא ספרבילית). חוג הפולינומים בשני משתנים הוא דוגמה לאלגברה חלקה בקטגוריה של אלגברות קומוטטיביות, שאיננה חופשית למחצה, דהיינו, חלקה פורמלית בקטגוריה של אלגברות אסוציאטיביות לאו דווקא קומוטטיביות. אכן, dim F ⁡ H 2 ( F [ x , y ] , F [ x , y ] ) = ∞ {\displaystyle \dim _{F}H^{2}(F[x,y],F[x,y])=\infty } ובפרט אינה אפס. גבול ישר של שרשרת בת-מנייה של אלגברות ספרביליות הוא אלגברה חופשית למחצה. כל אלגברה חופשית למחצה היא תורשתית (ימנית ושמאלית). מכפלה חופשית ומכפלה ישרה של אלגברות חופשית למחצה היא חופשית למחצה (אך מכפלה טנזורית של אלגברות חופשיות למחצה איננה בהכרח חופשית למחצה; אם בנוסף אחד מן הגורמים ספרבילי, המכפלה הטנזורית כן חופשית למחצה). חופשיות למחצה היא שמורת מוריטה. תהי K / F {\displaystyle K/F} הרחבת שדות מממד אינסופי. אזי, לפי תוצאות של רוזנברג וזלינסקי, K {\displaystyle K} הוא אלגברה חופשית למחצה מעל F {\displaystyle F} אם ורק אם ההרחבה ספרבילית, או ספרבילית מממד סופי מעל שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה יחיד F ( t ) {\displaystyle F(t)} . רוזנברג וזלינסקי הוסיפו וחישבו את הממד הקוהומולוגי במובן Hochschild של הרחבות שדות, במונחים של ספרביליות ודרגת טרנסצנדנטיות. JOACHIM CUNTZ AND DANIEL QUILLEN, ALGEBRA EXTENSIONS AND NONSINGULARITY, Journal of the AMS 8 (2), 1995.