אינוולוציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, אינוולוציה על חוג R היא אנטי-אוטומורפיזם מסדר 2, כלומר העתקה   σ : R → R {\displaystyle \ \sigma :R\rightarrow R} המקיימת את התכונות הבאות:   σ ( x + y ) = σ ( x ) + σ ( y ) {\displaystyle \ \sigma (x+y)=\sigma (x)+\sigma (y)} ,   σ ( x y ) = σ ( y ) σ ( x ) {\displaystyle \ \sigma (xy)=\sigma (y)\sigma (x)} , ו-   σ σ ( x ) = x {\displaystyle \ \sigma \sigma (x)=x} לכל x,y בחוג. אינוולוציה על חוג קומוטטיבי אינה אלא אוטומורפיזם מסדר 2 לכל היותר, ובאופן כללי צמצום האינוולוציה למרכז של R משרה אוטומורפיזם מסדר 2 לכל היותר. חוג שאין לו אידיאלים הנשמרים תחת האינוולוציה   σ {\displaystyle \ \sigma } נקרא חוג σ {\displaystyle \,\sigma } -פשוט. לכל אידיאל I, החיתוך   I ∩ σ ( I ) {\displaystyle \ I\cap \sigma (I)} נשמר תחת   σ {\displaystyle \ \sigma } , ולכן חוג הוא σ {\displaystyle \sigma } -פשוט אם ורק אם הוא פשוט במובן הרגיל, או שהוא מהצורה   S × S {\displaystyle \ S\times S} עם האינוולוציה המוגדרת לפי   τ ( x , y ) = ( y , x ) {\displaystyle \ \tau (x,y)=(y,x)} , כאשר S עצמו פשוט. כאשר R אלגברה פשוטה המרכז שלה הוא שדה. ממיינים את האינוולוציות לשני סוגים, לפי הפעולה שלהם על המרכז: האינוולוציה היא מסוג ראשון אם הפעולה על המרכז טריוויאלית, ומסוג שני אם הפעולה על המרכז אינה טריוויאלית; במקרה זה יש למרכז תת-שדה, ממימד 2, שהפעולה עליו טריוויאלית. לדוגמה, פעולת השחלוף של מטריצות היא אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות. הפעולה   a ↦ a ∗ {\displaystyle \ a\mapsto a^{*}} , המעתיקה מטריצה למטריצה הצמודה, היא אינוולוציה מסוג שני של אלגברת המטריצות מעל המרוכבים, המשרה את הצמוד המרוכב כאוטומורפיזם של המרכז. תהי R אלגברה עם אינוולוציה   x ↦ x ∗ {\displaystyle \ x\mapsto x^{*}} . האלגברה איזוטרופית אם קיים איבר   0 ≠ a ∈ R {\displaystyle \ 0\neq a\in R} כך ש-   a ∗ a = 0 {\displaystyle \ a^{*}a=0} , והיפרבולית אם יש לה אידיאל ימני I {\displaystyle \,I} כך ש-   I ⊥ = I {\displaystyle \ I^{\perp }=I} , כאשר   I ⊥ = { x ∈ R : x ∗ I = 0 } {\displaystyle \ I^{\perp }=\{x\in R:x^{*}I=0\}} . מאינוולוציה נתונה אפשר ליצור אינוולוציות חדשות: אם   x ↦ x ∗ {\displaystyle \ x\mapsto x^{*}} אינוולוציה של R, אז לכל   u ∈ R {\displaystyle \ u\in R} הפיך,   x ↦ u x ∗ u − 1 {\displaystyle \ x\mapsto ux^{*}u^{-1}} היא אנטי-אוטומורפיזם, וזו אינוולוציה אם   u ∗ u − 1 {\displaystyle \ u^{*}u^{-1}} הוא איבר מרכזי. כשהאינוולוציה מסוג ראשון, התנאי הזה מכריח את u להיות סימטרי או אנטי-סימטרי. מעובדה זו נובע שכל אינוולוציה מסוג ראשון של אלגברת המטריצות צמודה לאחת משתי אינוולוציות: השחלוף ("האינוולוציה האורתוגונלית" של המטריצות), והאינוולוציה הסימפלקטית (הקיימת רק בממד זוגי). בעקבות כך אפשר למיין את האינוולוציות מסוג ראשון של אלגברה מדרגה סופית לשני טיפוסים, לפי התנהגות האינוולוציה לאחר הרחבת סקלרים לשדה פיצול: האינוולוציה היא מטיפוס אורתוגונלי אם היא נעשית אורתוגונלית, ומטיפוס סימפלקטי אם היא נעשית סימפלקטית. אינוולוציה מסוג שני נקראת תמיד מטיפוס אוניטרי. (מטריצה המקיימת את התנאי   u ∗ u = 1 {\displaystyle \ u^{*}u=1} נקראת אורתוגונלית עבור האינוולוציה האורתוגונלית, ואוניטרית עבור האינוולוציה האוניטרית). אם   σ 1 , σ 2 {\displaystyle \ \sigma _{1},\sigma _{2}} הן אינוולוציות על האלגברות הפשוטות   A 1 , A 2 {\displaystyle \ A_{1},A_{2}} (שמרכזן המשותף F), כך שאם שתיהן מסוג שני אז הן משמרות את אותו תת-שדה, אז   σ 1 ⊗ σ 2 {\displaystyle \ \sigma _{1}\otimes \sigma _{2}} היא אינוולוציה של המכפלה הטנזורית   A 1 ⊗ F A 2 {\displaystyle \ A_{1}\otimes _{F}A_{2}} ; מסוג ראשון אם לשתי האינוולוציות אותו סוג, ומסוג שני אחרת. אם שתי האינוולוציות מאותו סוג, אז המכפלה היא מטיפוס אורתוגונלי אם שתיהן מאותו טיפוס, ומטיפוס סימפלקטי אחרת. כל תבנית ביליניארית לא מנוונת על מרחב וקטורי V (מממד סופי) מגדירה אנטי-אוטומורפיזם A ↦ A ∗ {\displaystyle A\mapsto A^{*}} על   End ⁡ ( V ) {\displaystyle \ \operatorname {End} (V)} , לפי   ( x , A ∗ y ) = ( A x , y ) {\displaystyle \ (x,A^{*}y)=(Ax,y)} . זוהי אינוולוציה אם התבנית סימטרית או אנטי-סימטרית, הרמיטית או אנטי-הרמיטית. האינוולוציה מסוג ראשון אם התבנית סימטרית או אנטי-סימטרית, ומסוג שני אם היא הרמיטית או אנטי-הרמיטית. אינוולוציה, באתר MathWorld (באנגלית)