משפטי סילו

משפטי סילו הם משפטים בתורת החבורות, העוסקים בתת-חבורות-p מקסימליות של חבורה סופית. חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני p {\displaystyle p} נקראות חבורות p, וכולן נילפוטנטיות. משפטי סילו מאפשרים לחקור חבורות סופיות באמצעות תת-חבורות כאלה והפעולה שלה עליהן, ומכאן המעמד היסודי שלהן בתורת החבורות. את המשפטים הוכיח המתמטיקאי הנורווגי לודוויג סילו בשנת 1872, והם מכלילים את משפט קושי שנוגע למקרה n = 1 {\displaystyle n=1} . במובן מסוים, משפטי סילו הפוכים למשפט לגראנז'. לפי משפט לגראנז', הסדר של תת-חבורה H {\displaystyle H} של G {\displaystyle G} חייב לחלק את הסדר של G {\displaystyle G} . משפטי סילו מראים שאם נתון מחלק q {\displaystyle q} של הסדר של G {\displaystyle G} שהוא חזקת ראשוני, אז אפשר למצוא תת-חבורה מסדר q {\displaystyle q} . משפטי סילו קובעים גם שכל תת-החבורות שסדרן הוא חזקת- p {\displaystyle p} מקסימלית, צמודות זו לזו. אם p {\displaystyle p} הוא מספר ראשוני המחלק את הסדר של החבורה הסופית G {\displaystyle G} , אז קיימת חזקה מקסימלית של p {\displaystyle p} המחלקת את הסדר. כלומר p n {\displaystyle p^{n}} מחלק את סדר החבורה, אבל p n + 1 {\displaystyle p^{n+1}} אינו מחלק. לתת-חבורה של G {\displaystyle G} שסדרה שווה ל- p n {\displaystyle p^{n}} קוראים חבורת p-סילו של G {\displaystyle G} . הגדרה שימושית אחרת לאותו מושג: חבורת p {\displaystyle p} -סילו היא תת-חבורה של G {\displaystyle G} שהיא חבורת-p, בעלת אינדקס זר ל- p {\displaystyle p} . לדוגמה, אם | G | = 24 = 2 3 ⋅ 3 {\displaystyle |G|=24=2^{3}\cdot 3} אז תת-חבורה מסדר 3 {\displaystyle 3} היא חבורת 3 {\displaystyle 3} -סילו של G {\displaystyle G} , ותת-חבורה מסדר 8 {\displaystyle 8} היא חבורת 2 {\displaystyle 2} -סילו של G {\displaystyle G} . נניח ש- G {\displaystyle G} חבורה סופית וש- p n {\displaystyle p^{n}} היא חזקה מקסימלית של ראשוני p {\displaystyle p} המחלקת את הסדר של G {\displaystyle G} . נסמן ב- n p {\displaystyle n_{p}} את מספרן של חבורות p-סילו השונות של G {\displaystyle G} . נציין מיד שאם P {\displaystyle P} חבורת סילו, אז תת-החבורות הצמודות לה גם הן חבורות p {\displaystyle p} -סילו. לכל חבורה G {\displaystyle G} קיימת חבורת p {\displaystyle p} -סילו. (דהיינו n p > 0 {\displaystyle n_{p}>0} ). הכללה של משפט זה קובעת שלכל חזקת p {\displaystyle p} המחלקת את הסדר של G {\displaystyle G} , לאו דווקא החזקה המקסימלית, קיימת תת-חבורה בגודל זה. כל חבורות p {\displaystyle p} -סילו של G {\displaystyle G} צמודות זו לזו. יתרה מזו, כל תת-חבורה של G {\displaystyle G} , שהיא חבורת p {\displaystyle p} , מוכלת באיזושהי חבורת p {\displaystyle p} -סילו של G {\displaystyle G} . מסקנה חבורת p {\displaystyle p} -סילו היא יחידה (כלומר n p = 1 {\displaystyle n_{p}=1} ) אם ורק אם היא תת חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} . מספרן של חבורות p {\displaystyle p} -סילו של G {\displaystyle G} שקול לאחת מודולו p {\displaystyle p} . כלומר n p ≡ 1 ( mod p ) {\displaystyle n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}} . מסקנה n p {\displaystyle n_{p}} מחלק את הסדר של G {\displaystyle G} . אם נסמן | G | = p n m {\displaystyle |G|=p^{n}m} (כאשר n מקסימלי), נובע מכך ש- n p {\displaystyle n_{p}} מחלק את m {\displaystyle m} , משום שלפי משפט סילו השלישי n p {\displaystyle n_{p}} זר ל־ p {\displaystyle p} . הוכחה: מספר תת-החבורות הצמודות לתת-חבורה H {\displaystyle H} של G {\displaystyle G} שווה לאינדקס של המנרמל של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} , שהוא תת-חבורה המכילה את H {\displaystyle H} . אבל המנרמל מכיל את H {\displaystyle H} , לכן האינדקס שלו מחלק את זה של H {\displaystyle H} , וממילא הוא זר ל- p {\displaystyle p} . נראה שלכל חבורה G {\displaystyle G} מסדר 105 {\displaystyle 105} מוכרחה להיות תת-חבורה נורמלית. 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 {\displaystyle 105=3\cdot 5\cdot 7} , ולכן יש לחבורה תת-חבורות מסדר 3 {\displaystyle 3} , 5 {\displaystyle 5} ו- 7 {\displaystyle 7} . מספרן של החבורות מסדר 3 {\displaystyle 3} שקול ל- 1 {\displaystyle 1} מודולו 3 {\displaystyle 3} ומחלק את 35 {\displaystyle 35} - ולכן הוא 1 {\displaystyle 1} או 7 {\displaystyle 7} . באופן דומה מספרן של החבורות מסדר 5 {\displaystyle 5} הוא 1 {\displaystyle 1} או 21 {\displaystyle 21} , ושל אלו מסדר 7 {\displaystyle 7} הוא 1 {\displaystyle 1} או 15 {\displaystyle 15} . אם אחת מחבורות אלו היא יחידה מסדרה, אז היא נורמלית. נניח שאין כזו, אז יש 7 {\displaystyle 7} חבורות מסדר 3 {\displaystyle 3} , שכולן ציקליות כמובן. חבורות מסדר ראשוני מוכרחות להיחתך זו עם זו באופן טריוויאלי, ולכן יש בהן 7 ⋅ ( 3 − 1 ) = 14 {\displaystyle 7\cdot (3-1)=14} איברים מסדר 3 {\displaystyle 3} . באופן דומה יש 84 {\displaystyle 84} איברים מסדר 5 {\displaystyle 5} ו- 90 {\displaystyle 90} מסדר 7 {\displaystyle 7} . ביחד יותר מ- 105 {\displaystyle 105} , וזה בלתי אפשרי. משפט הלדר הכללה של הדוגמה הקודמת. למשפטי סילו יש הוכחות רבות, למשל באינדוקציה על הסדר של G {\displaystyle G} . ההוכחה שנציג כאן מבוססת על הפעולה של G {\displaystyle G} על קבוצות מסוימות, והיא מיוחסת לנתן ג'ייקובסון. הוכחת המשפט הראשון. נסמן ב- X {\displaystyle X} את אוסף כל תת-הקבוצות בגודל p n {\displaystyle p^{n}} של G {\displaystyle G} . מכיוון ש- | X | = ( | G | p n ) = ( p n m p n ) {\displaystyle |X|={|G| \choose p^{n}}={p^{n}m \choose p^{n}}} , קל לחשב ש- p {\displaystyle p} אינו מחלק את העוצמה של X {\displaystyle X} . החבורה פועלת על X {\displaystyle X} על ידי כפל משמאל: g : B ↦ g B = { g b : b ∈ B } {\displaystyle g\colon B\mapsto gB=\{gb:b\in B\}} . מכיוון שהגודל של X {\displaystyle X} אינו מתחלק ב- p {\displaystyle p} , מוכרח להיות מסלול תחת הפעולה של G {\displaystyle G} , שגודלו אינו מתחלק ב- p {\displaystyle p} . תהי B ∈ X {\displaystyle B\in X} נקודה באותו מסלול; נבחר b ∈ B {\displaystyle b\in B} , אז גם b − 1 B {\displaystyle b^{-1}B} היא נקודה באותו המסלול, והיא מכילה את איבר היחידה של G {\displaystyle G} . לכן אפשר להניח ש- 1 ∈ B {\displaystyle 1\in B} . מצד אחד, המייצב של B {\displaystyle B} מוכל ב- B {\displaystyle B} (שהרי x ∈ x B = B {\displaystyle x\in xB=B} ), ולכן גודלו p n {\displaystyle p^{n}} לכל היותר. מצד שני, האינדקס של המייצב מחלק את p n m {\displaystyle p^{n}m} , אבל הוא שווה לגודל המסלול, ולכן זר ל- p {\displaystyle p} ומחלק את m {\displaystyle m} . יחד נובע מכאן שגודל המייצב שווה בדיוק ל- p n {\displaystyle p^{n}} , ואם כך הוא שווה ל- B {\displaystyle B} ; אבל אז B {\displaystyle B} היא חבורת p {\displaystyle p} -סילו. כעת נסמן ב- S {\displaystyle S} את אוסף חבורות p-סילו של G {\displaystyle G} ; המשפט הראשון טוען ש- S {\displaystyle S} אינה ריקה. החבורה G {\displaystyle G} פועלת על S {\displaystyle S} לפי הצמדה. טענה. אם תת-קבוצה T {\displaystyle T} של S {\displaystyle S} סגורה תחת הפעולה, אז גודלה שקול ל- 1 {\displaystyle 1} מודולו p {\displaystyle p} . הוכחה. ברור שכל חבורת p {\displaystyle p} -סילו היא תת-חבורת- p {\displaystyle p} מקסימלית. לכן, אם P , Q {\displaystyle P,Q} שתיהן חבורות p-סילו, אז P Q {\displaystyle PQ} אינה תת-חבורה של G {\displaystyle G} (אחרת סדרה היה שווה ל- | P | ⋅ | Q | | P ∩ Q | {\displaystyle {\frac {|P|\cdot |Q|}{|P\cap Q|}}} , וזו חזקת- p {\displaystyle p} גדולה מדי). מכאן יוצא ש- Q {\displaystyle Q} אינה יכולה לנרמל את P {\displaystyle P} (אחרת P Q = Q P {\displaystyle PQ=QP} היא תת-חבורה). כעת תהי P {\displaystyle P} חבורת p {\displaystyle p} -סילו; בתור תת-חבורה של G {\displaystyle G} , גם P {\displaystyle P} פועלת על S {\displaystyle S} בהצמדה, ולכן היא פועלת גם על T {\displaystyle T} . גודלי המסלולים תחת הפעולה הזו מחלקים כמובן את הגודל של P {\displaystyle P} , ולכן הם כולם חזקות של p {\displaystyle p} . יש שני סוגים של מסלולים: אלה שגודלם 1 {\displaystyle 1} , ואלה שגודלם מתחלק ב- p {\displaystyle p} . אם Q {\displaystyle Q} היא נקודה יחידה במסלול, אז P {\displaystyle P} מנרמלת את Q {\displaystyle Q} , וזה בלתי אפשרי - אלא אם Q = P {\displaystyle Q=P} . כלומר, יש רק מסלול אחד שגודלו 1 {\displaystyle 1} , והוא המסלול המכיל את P {\displaystyle P} בלבד. גודלי שאר המסלולים מתחלקים ב- p {\displaystyle p} , ולכן סכום הגדלים של כל המסלולים (שהוא כמובן הגודל של T {\displaystyle T} ) שקול ל- 1 {\displaystyle 1} מודולו p {\displaystyle p} . הוכחת המשפט השלישי. מספיק לבחור T = S {\displaystyle T=S} בטענה. הוכחת המשפט השני. לפי הטענה, הגודל של כל מסלול שקול ל- 1 {\displaystyle 1} מודולו p {\displaystyle p} . אבל כך גם עבור האיחוד של שני מסלולים, אילו היו כאלה, וזה כמובן בלתי אפשרי. מכאן שיש בפעולה רק מסלול אחד, ובמלים אחרות זוהי פעולה טרנזיטיבית. משפטי סילו, באתר MathWorld (באנגלית)