למת ז'ורדן

באנליזה מרוכבת, למת ז'ורדן היא תוצאה שימושית, המיושמת בדרך כלל ביחד עם משפט השארית כדי לחשב אינטגרלים קוויים (במישור המרוכב) ואינטגרלים לא אמיתיים. הלמה נקראת על שם המתמטיקאי הצרפתי קאמי ז'ורדן. נתייחס לפונקציה מרוכבת ורציפה f המוגדרת על מסילה חצי-מעגלית: C R = { R e i θ ∣ θ ∈ [ 0 , π ] } {\displaystyle C_{R}=\{Re^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}} שלה רדיוס חיובי R, הנמצאת בחצי המישור העליון ושמרכזה בראשית. אם הפונקציה f היא מהצורה: f ( z ) = e i a z g ( z ) , z ∈ C R , {\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z),\quad z\in C_{R},} עם פרמטר a חיובי, אז למת ז'ורדן היא האי-שוויון הבא עבור האינטגרל לאורך המסלול החצי-מעגלי: | ∫ C R f ( z ) d z | ≤ π a M R where M R := max θ ∈ [ 0 , π ] | g ( R e i θ ) | {\displaystyle \left|\int _{C_{R}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\quad {\text{where}}\quad M_{R}:=\max _{\theta \in [0,\pi ]}\left|g\left(Re^{i\theta }\right)\right|} . כאשר שוויון בין אגף שמאל לחסם העליון שבאגף ימין מושג כאשר g מתאפסת בכל מקום על המסילה, ובמקרה זה שני האגפים הם זהותית אפס. טענה אנלוגית תופסת עבור מסלול אינטגרציה חצי-מעגלי בחצי המישור התחתון כאשר 0 > a {\displaystyle 0>a} . אם f רציפה על המסילה החצי-מעגלית CR בעבור R גדול במידה שרירותית ו- (*) lim R → ∞ M R = 0 {\displaystyle \lim _{R\to \infty }M_{R}=0} אז לפי למת ז'ורדן: lim R → ∞ ∫ C R f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{C_{R}}f(z)\,dz=0} . למת ז'ורדן מספקת דרך נוחה לחשב את האינטגרל לאורך הציר הממשי של פונקציות מהצורה f ( z ) = e i a z g ( z ) {\displaystyle f(z)=e^{iaz}g(z)} שהן הולומורפיות בחצי המישור העליון ורציפות בחצי המישור העליון הסגור למעט אולי מספר סופי של נקודות z 1 , z 2 , . . . z n {\displaystyle z_{1},z_{2},...z_{n}} במישור המרוכב. אינטגרלים מסוג זה מופיעים כאשר מוצאים התמרת פורייה או התמרת לפלס של פונקציות מסוימות, כך שלמת ז'ורדן היא שימושית ביותר בחישובים כאלו. כדי להיווכח בכך, נסתכל על המסילה הסגורה C שהיא שרשור המסלולים C 1 , C 2 {\displaystyle C_{1},C_{2}} הנראים באיור. לפי הגדרה ∮ C f ( z ) d z = ∫ C 1 f ( z ) d z + ∫ C 2 f ( z ) d z {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=\int _{C_{1}}f(z)\,dz+\int _{C_{2}}f(z)\,dz\,} . מכיוון שעל C2 המשתנה z הוא ממשי, האינטגרל השני הוא ממשי: ∫ C 2 f ( z ) d z = ∫ − R R f ( x ) d x {\displaystyle \int _{C_{2}}f(z)\,dz=\int _{-R}^{R}f(x)\,dx\,} . אגף שמאל יכול להיות מחושב בעזרת משפט השארית וכך נקבל, עבור כל R הגדול יותר מהמקסימום של | z 1 | , | z 2 | , . . . | z n | {\displaystyle |z_{1}|,|z_{2}|,...|z_{n}|} , ש- ∮ C f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res ⁡ ( f , z k ) {\displaystyle \oint _{C}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})} כאשר Res ⁡ ( f , z k ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,z_{k})} מסמל את השארית של f בנקודות הסינגולריות zk. לפיכך, אם f מקיימת את התנאי (*), אז לאחר לקיחת הגבול שבו רדיוס החלק המעגלי של המסילה R שואף לאינסוף, האינטגרל המסילתי לאורך C1 מתאפס לפי למת ז'ורדן ומתקבל ערך האינטגרל הלא אמיתי ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = 2 π i ∑ k = 1 n Res ⁡ ( f , z k ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,z_{k})\,} . הפונקציה f ( z ) = e i z 1 + z 2 , z ∈ C ∖ { i , − i } , {\displaystyle f(z)={\frac {e^{iz}}{1+z^{2}}},\qquad z\in {\mathbb {C} }\setminus \{i,-i\},} מקיימת את התנאי של למת ז'ורדן עבור כל R {\displaystyle R} גדול מ-0 ושונה מ-1, והפרמטר a שלה הוא 1. נשים לב שבעבור R > 1 {\displaystyle R>1} , M R = max θ ∈ [ 0 , π ] 1 | 1 + R 2 e 2 i θ | = 1 R 2 − 1 {\displaystyle M_{R}=\max _{\theta \in [0,\pi ]}{\frac {1}{|1+R^{2}e^{2i\theta }|}}={\frac {1}{R^{2}-1}}\,} , ולכן התנאי (*) תופס. מכיוון שהקוטב היחידי של f בחצי המישור העליון הוא ב־ z = i {\displaystyle z=i} , היישום לעיל מניב ∫ − ∞ ∞ e i x 1 + x 2 d x = 2 π i Res ⁡ ( f , i ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx=2\pi i\,\operatorname {Res} (f,i)\,} . מכיוון ש־ z = i {\displaystyle z=i} הוא קוטב פשוט של f ו־ z 2 + 1 = ( z + i ) ( z − i ) {\displaystyle z^{2}+1=(z+i)(z-i)} , מקבלים Res ⁡ ( f , i ) = lim z → i ( z − i ) f ( z ) = lim z → i e i z z + i = e − 1 2 i {\displaystyle \operatorname {Res} (f,i)=\lim _{z\to i}(z-i)f(z)=\lim _{z\to i}{\frac {e^{iz}}{z+i}}={\frac {e^{-1}}{2i}}} כך ש- ∫ − ∞ ∞ cos ⁡ x 1 + x 2 d x = Re ⁡ ∫ − ∞ ∞ e i x 1 + x 2 d x = π e {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\cos x}{1+x^{2}}}\,dx=\operatorname {Re} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{ix}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{e}}\,} . תוצאה זו מדגימה את האופן שבו ניתן לחשב בקלות, בעזרת אנליזה מרוכבת, אינטגרלים שקשה לחשב בעזרת שיטות קלאסיות. לפי הגדרת האינטגרל המרוכב הקווי נקבל ∫ C R f ( z ) d z = ∫ 0 π g ( R e i θ ) e i a R ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) i R e i θ d θ = R ∫ 0 π g ( R e i θ ) e a R ( i cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ) i e i θ d θ {\displaystyle \int _{C_{R}}f(z)\,dz=\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}\,iRe^{i\theta }\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }\,d\theta \,} . בעוד אי שוויון המשולש בגרסתו האינטגרלית | ∫ a b f ( x ) d x | ≤ ∫ a b | f ( x ) | d x {\displaystyle {\biggl |}\int _{a}^{b}f(x)\,dx{\biggr |}\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,dx} נותן: I R := | ∫ C R f ( z ) d z | ≤ R ∫ 0 π | g ( R e i θ ) e a R ( i cos ⁡ θ − sin ⁡ θ ) i e i θ | d θ = R ∫ 0 π | g ( R e i θ ) | e − a R sin ⁡ θ d θ {\displaystyle I_{R}:={\biggl |}\int _{C_{R}}f(z)\,dz{\biggr |}\leq R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta })\,e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}\,ie^{i\theta }{\bigr |}\,d\theta =R\int _{0}^{\pi }{\bigl |}g(Re^{i\theta }){\bigr |}\,e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,} . בעזרת שימוש בהגדרת MR כפי שמופיעה בניסוח של למת ז'ורדן ובסימטריה sin ⁡ θ = sin ⁡ ( π − θ ) {\displaystyle \sin \theta =\sin(\pi -\theta )} , נקבל I R ≤ R M R ∫ 0 π e − a R sin ⁡ θ d θ = 2 R M R ∫ 0 π / 2 e − a R sin ⁡ θ d θ {\displaystyle I_{R}\leq RM_{R}\int _{0}^{\pi }e^{-aR\sin \theta }\,d\theta =2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-aR\sin \theta }\,d\theta \,} . מקעירות גרף הפונקציה sin ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta } באינטרוול θ ∈ [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]} נובע שהוא נמצא מעל הקו הישר שמחבר בין נקודות הקצה שלו ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ו- ( π / 2 , 1 ) {\displaystyle (\pi /2,1)} , ולפיכך sin ⁡ θ ≥ 2 θ π {\displaystyle \sin \theta \geq {\frac {2\theta }{\pi }}\quad } בעבור כל θ ∈ [ 0 , π / 2 ] {\displaystyle \theta \in [0,\pi /2]} , מה שגורר גם I R ≤ 2 R M R ∫ 0 π / 2 e − 2 a R θ / π d θ = π a ( 1 − e − a R ) M R ≤ π a M R {\displaystyle I_{R}\leq 2RM_{R}\int _{0}^{\pi /2}e^{-2aR\theta /\pi }\,d\theta ={\frac {\pi }{a}}(1-e^{-aR})M_{R}\leq {\frac {\pi }{a}}M_{R}\,} . שיטות אנליטיות לחישוב אינטגרלים מסוימים למת ז'ורדן, באתר MathWorld (באנגלית)