וריאציית הפרמטר

וריאצית הפרמטר (או וריאציית הפרמטרים) במתמטיקה, היא שיטה לפתירת משוואות דיפרציאליות ליניאריות רגילות וחלקיות באופן שיטתי. שכיח יותר לפתור משוואות ממעלה ראשונה באמצעות שיטת "השוואת מקדמים" או בשיטת "גורם אינטגרציה" (עבור משוואה ליניארית מסדר ראשון) משום ששיטות אלו דורשות פחות מאמץ. אך בניגוד לשיטת וריאציית הפרמטר, הן לעיתים דורשות לעשות שימוש ב"ניחוש מושכל" של הצבות (היוריסטיקה) והן גם לא פותרות באופן שיטתי כל מד"ר. שיטת וריאציית הפרמטר הוצגה לראשונה במאה ה-18 על ידי המתמטיקאי השווייצרי לאונרד אוילר והשלים אותה המתמטיקאי האיטלקי ז'וזף לואי לגרנז'. נתונה משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון. נסדר אותה באופן הבא, כשהיא "מנורמלת" (מקדם y ′ {\displaystyle y'} ערכו 1): y ′ + p ( x ) y = q ( x ) {\displaystyle y'+p(x)y=q(x)} הפתרון הכללי של המשוואה מורכב מסכום הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (הרשומה מטה) ומפתרון פרטי של המשוואה הלא-הומוגנית. ראשית נמצא פתרון למשוואה ההומוגנית המתאימה: y ′ + p ( x ) y = 0 {\displaystyle y'+p(x)y=0} . ניתן לפתור את המשוואה ההומוגנית במגוון דרכים, ביניהן הפרדת משתנים: d d x y + p ( x ) y = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}y+p(x)y=0} d y d x = − p ( x ) y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-p(x)y} d y y = − p ( x ) d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{y}}=-p(x)\,\mathrm {d} x} ∫ 1 y d y = − ∫ p ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,\mathrm {d} y=-\int p(x)\,\mathrm {d} x} ln ⁡ | y | = − ∫ p ( x ) d x + C 0 {\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,\mathrm {d} x+C_{0}} | y | = C 1 e − ∫ p ( x ) d x , C 1 > 0 {\displaystyle |y|=C_{1}e^{-\int p(x)dx},C_{1}>0} y = ± C 1 e − ∫ p ( x ) d x = C 2 e − ∫ p ( x ) d x , C 2 ≠ 0 {\displaystyle y=\pm C_{1}e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}=C_{2}e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x},C_{2}\neq 0} אך מכיוון שגם y = 0 {\displaystyle y=0} הוא פתרון ניתן לכלול גם אותו, ולהרשות כל C 2 ∈ R {\displaystyle C_{2}\in \mathbb {R} } . כלומר, פתרון המשוואה ההומוגנית הוא: y H ( x ) = C e − ∫ p ( x ) d x {\displaystyle y_{H}(x)=Ce^{-\int p(x)\,dx}} . כעת נחזור למשוואה המקורית הלא-הומגנית: y ′ + p ( x ) y = q ( x ) {\displaystyle y'+p(x)y=q(x)} נשתמש בשיטת וריאציית הפרמטר - באמצעות החלפת הפרמטר C {\displaystyle C} של הפתרון הפרטי בפונקציה C ( x ) {\displaystyle C(x)} : y p ( x ) = C ( x ) e − ∫ p ( x ) d x {\displaystyle y_{p}(x)=C(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}} באמצעות הצבת הפתרון הפרטי לתוך המשוואה המקורית הלא-הומוגנית ניתן למצוא C ( x ) {\displaystyle C(x)} : C ′ ( x ) e − ∫ p ( x ) d x − C ( x ) p ( x ) e − ∫ p ( x ) d x + p ( x ) C ( x ) e − ∫ p ( x ) d x = q ( x ) {\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}=q(x)} C ′ ( x ) e − ∫ p ( x ) d x = q ( x ) {\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)} C ′ ( x ) = q ( x ) e ∫ p ( x ) d x {\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}} C ( x ) = ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x + C 1 {\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}} אנו נדרשים רק לפתרון פרטי, לכן נבחר C 1 = 0 {\displaystyle C_{1}=0} לצורך פשטות, כאשר הפתרון הפרטי הוא: y p = e − ∫ p ( x ) d x ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x {\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,\mathrm {d} x} לבסוף נסכום את שני הפתרונות הפרטיים שמצאנו לכדי פתרון כללי y ( x ) = y H ( x ) + y p ( x ) {\displaystyle y(x)=y_{H}(x)+y_{p}(x)} y ( x ) = C e − ∫ p ( x ) d x + e − ∫ p ( x ) d x ∫ q ( x ) e ∫ p ( x ) d x d x {\displaystyle y(x)=Ce^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}+e^{-\int p(x)\,\mathrm {d} x}\int q(x)e^{\int p(x)\,\mathrm {d} x}\,\mathrm {d} x} בהינתן משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר שני: y ″ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = g ( x ) {\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)} , נניח שבידינו פתרונות המשוואה ההומוגנית y 1 ( x ) , y 2 ( x ) {\displaystyle y_{1}(x),y_{2}(x)} וננסה פתרון מהצורה: y ( x ) = u 1 ( x ) y 1 ( x ) + u 2 ( x ) y 2 ( x ) {\displaystyle y(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)} . נגזור לפי x {\displaystyle x} ונקבל: y ′ = u 1 ′ y 1 + u 1 y 1 ′ + u 2 ′ y 2 + u 2 y 2 ′ {\displaystyle y'=u_{1}'y_{1}+u_{1}y_{1}'+u_{2}'y_{2}+u_{2}y_{2}'} בנוסף נדרוש שהפונקציות u 1 , u 2 {\displaystyle u_{1},u_{2}} תקיימנה את התנאי: y 1 u 1 ′ + y 2 u 2 ′ = 0 {\displaystyle y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}'=0} ולכן y ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ {\displaystyle y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'} . נגזור פעם שנייה לפי x {\displaystyle x} ונקבל: y ″ = u 1 ′ y 1 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 ′ y 2 ′ + u 2 y 2 ″ {\displaystyle y''=u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''} . נציב את הנגזרות של הפתרון לתוך המשוואה הדיפרנציאלית: u 1 ′ y 1 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 ′ y 2 ′ + u 2 y 2 ″ + p ( u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ ) + q ( u 1 y 1 + u 2 y 2 ) = g ( x ) {\displaystyle u_{1}'y_{1}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}'y_{2}'+u_{2}y_{2}''+p(u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}')+q(u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2})=g(x)} . נסדר את הביטוי מחדש: u 1 ( y 1 ″ + p y 1 ′ + q y 1 ) + u 2 ( y 2 ″ + p y 2 ′ + q y 2 ) + u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ = g ( x ) {\displaystyle u_{1}(y_{1}''+py_{1}'+qy_{1})+u_{2}(y_{2}''+py_{2}'+qy_{2})+u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=g(x)} . y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} הם פתרונות של המשוואה ההומוגנית, ולכן y 1 / 2 ″ + p y 1 / 2 ′ + q y 1 / 2 = 0 {\displaystyle y_{1/2}''+py_{1/2}'+qy_{1/2}=0} . בינתיים יש לנו שתי משוואות שבעזרתן נוכל למצוא את u 1 , u 2 {\displaystyle u_{1},u_{2}} : { y 1 u 1 ′ + y 2 u 2 ′ = 0 y 1 ′ u 1 ′ + y 2 ′ u 2 ′ = g ( x ) {\displaystyle {\begin{cases}y_{1}u_{1}'+y_{2}u_{2}'=0\\y_{1}'u_{1}'+y_{2}'u_{2}'=g(x)\end{cases}}} נוכל לחלץ את הערכים של u 1 ′ , u 2 ′ {\displaystyle u_{1}',u_{2}'} , ולרשום אותם דרך הורונסקיאן: u 1 ′ = − y 2 ( x ) g ( x ) W ( y 1 , y 2 ) {\displaystyle u_{1}'=-{y_{2}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}} , u 2 ′ = y 1 ( x ) g ( x ) W ( y 1 , y 2 ) {\displaystyle u_{2}'={y_{1}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}} . ומכאן: u 1 = − ∫ y 2 ( x ) g ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x {\displaystyle u_{1}=-\int {y_{2}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x} , u 2 = ∫ y 1 ( x ) g ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x {\displaystyle u_{2}=\int {y_{1}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x} . נרשום את הפתרון הפרטי למשוואה: y p = − y 1 ∫ y 2 ( x ) g ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x + y 2 ∫ y 1 ( x ) g ( x ) W ( y 1 , y 2 ) d x {\displaystyle y_{p}=-y_{1}\int {y_{2}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x+y_{2}\int {y_{1}(x)g(x) \over W(y_{1},y_{2})}\mathrm {d} x} . למעשה קיבלנו את הפתרון הכללי למשוואה הדיפרנציאלית: y ( x ) = A y 1 + B y 2 + y p {\displaystyle y(x)=Ay_{1}+By_{2}+y_{p}} כאשר הפרמטרים A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} מתקבלים מתנאי ההתחלה. וריאציית הפרמטר, באתר MathWorld (באנגלית) וריאציית הפרמטר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Forest Ray Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics, 2nd ed. (first published by the Macmillan Company in 1914; reprinted in 1970 by Dover Publications, Inc., Mineola, New York), page 431. Edgar Odell Lovett (1899) "The theory of perturbations and Lie's theory of contact transformations," The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 30, pages 47-149; see especially pages 48-61. Jupiter and Saturn.Euler, L. (1748) "Recherches sur la question des inégalités du mouvement de Saturne et de Jupiter, sujet proposé pour le prix de l'année 1748, par l’Académie Royale des Sciences de Paris" [Investigations on the question of the differences in the movement of Saturn and Jupiter; this subject proposed for the prize of 1748 by the Royal Academy of Sciences (Paris)] (Paris, France: G. Martin, J.B. Coignard, & H.L. Guerin, 1749).