חוק ווגארד

חוק ווגארד (Vegard’s Law) הוא תוצאה אמפירית הקובעת שפרמטר הסריג של תמיסה מוצקה של שני מרכיבים (תמיסה בינארית) הוא בערך ממוצע משוקלל של פרמטרי הסריג של שני המרכיבים באותה טמפרטורה. התוצאה התגלתה ב-1921 על ידי הפיזיקאי הנורווגי לארס ווגארד (אנ') באמצעות בדיקות קריסטלוגרפיה בקרני רנטגן של אבקות של תמיסות מוצקות שונות, וקרויה על שמו. כך, עבור תמיסה מוצקה כלשהי A 1 − x B x {\displaystyle A_{1-x}B_{x}} יינתן פרמטר הסריג שלה ( a A 1 − x B x {\displaystyle a_{A_{1-x}B_{x}}} ) על ידי הביטי המתמטי הבא: a A 1 − x B x = ( 1 − x ) a A + x a B {\displaystyle a_{A_{1-x}B_{x}}=(1-x)a_{A}+xa_{B}} , היכן ש- a A {\displaystyle a_{A}} ו- a B {\displaystyle a_{B}} הם הפרמטרי הסריג של המרכיבים A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} , בהתאמה, ו- x {\displaystyle x} הוא השבר המולרי של B {\displaystyle B} בתמיסה המוצקה. למשל, יישום חוק ווגארד לתמיסה המוצקה (הסגוסגת) של סיליקון (Si) וגרמניום (Ge) ייתן: a S i 1 − x G e x = ( 1 − x ) a S i + x a G e {\displaystyle a_{Si_{1-x}Ge_{x}}=(1-x)a_{Si}+xa_{Ge}} . החוק ישים לא רק לתמיסות של יסודות, אלא גם לתמיסות של תרכובות. לדוגמה, פרמטר הסריג של התרכובת הטרנרית (אנ') AlGaAs, כלומר התמיסה המוצקה של שתי התרכובות הבינאריות גליום ארסניד (GaAs) ואלומיניום ארסניד (אנ') (AlAs), יינתן על ידי הביטוי: a A l G a A s = a A l x G a 1 − x A s = x a A l A s + ( 1 − x ) a G a A s {\displaystyle a_{AlGaAs}=a_{{Al_{x}}Ga_{1-x}As}=xa_{AlAs}+(1-x)a_{GaAs}} , היכן שהשבר המולרי של AlAs בתמיסה הוא x {\displaystyle x} . חוק ווגארד מניח שלשני המרכיבים של התמיסה המוצקה ( A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} , או GaAs ו-AlAs בדוגמה האחרונה) יש, בצורתם הטהורה (כלומר לפני שעורבבו) אותו מבנה גבישי (וכך גם לתמיסתם). למעשה, רק לעיתים רחוקות מצייתות תמיסות מוצקות לחוק ווגארד באופן מושלם. בדרך כלל נצפו סטיות מההתנהגות הליניארית. עם זאת, משתמשים בחוק לעיתים קרובות כדי להעריך את פרמטר הסריג של תמיסה מוצקה, כאשר אין נתונים ניסיוניים זמינים עבורו. לעומת זאת, עבור מערכות שמקיימות את חוק ווגארד, אפשר להשתמש בו כדי להעריך את הרכב התמיסה מתוך מדידת פרמטר הסריג שלה, אותו ניתן לקבל מנתוני עקיפה בקרני רנטגן. למשל אפשר לחשב את ההרכב של תמיסה מוצקה אינדיום ארסניד אנטימוניד (אנ') InAsSb, של המוליכים למחצה אינדיום ארסניד (אנ') (InAs) ואינדיום אנטימוניד (אנ') (InSb), מתוך פרמטר הסריג המדוד שלה, ועל סמך ידיעת פרמטרי הסריג של מרכיביה. לדוגמה, אם נמדד פרמטר סריג בגודל של 0.61 ננומטרים, ניתן לחשב שהשבר המולרי ( x {\displaystyle x} ) של InSb בתמיסה הוא 9.5% (פרמטרי הסריג של InAs ו-InSb הם 0.60584 ו-0.64794 ננומטרים, בהתאמה): a I n A s S b = a I n A s 1 − x S b x = 0.61 n m = ( 1 − x ) a I n A s + x a I n S b = ( 0.60584 n m ) ( 1 − x ) + ( 0.64794 n m ) x = 0.60584 + 0.0421 x {\displaystyle a_{InAsSb}=a_{InAs_{1-x}Sb_{x}}=0.61nm=(1-x)a_{InAs}+xa_{InSb}=(0.60584nm)(1-x)+(0.64794nm)x=0.60584+0.0421x} בחלק קטן של התמיסות הבינאריות של מוליכים למחצה גם פער הפס הוא בערך פונקציה ליניארית של פרמטר הסריג. לכן, אם פרמטר הסריג של התמיסות הללו מקיים את חוק וגארד, אפשר לכתוב גם קשר ליניארי בין פער הפסים להרכב. למשל, התמיסה של AlGaAs, שהוזכרה קודם, מקיימת את התנאים הללו, ולכן עבורה ניתן לכתוב את פער הפסים ( E g {\displaystyle E_{g}} ) באמצעות הביטוי הבא: E g , A l G a A s = x E g , A l A s + ( 1 − x ) E g , G a A s {\displaystyle E_{g,AlGaAs}=xE_{g,AlAs}+(1-x)E_{g,GaAs}} תלות ליניארית כזו של פער הפסים של התמיסה המוצקה בפרמטר הסריג קיימת גם, למשל, בתמיסות המוצקות כספית קדמיום טלוריד וכספית קדמיום סלניד. בקירוב די טוב היא קיימת גם בתמיסות של אינדיום גליום פוספיד. אבל ברוב התמיסות הבינאריות של מוליכים למחצה לא קיימת תלות ליניארית כזו. התלות של פער הפסים של התמיסות הללו מראה עקמומיות, קשתיות (bowing), כלפי מטה. במקרה זה יש להוסיף לנוסחה איבר שלישי המכיל את פרמטר הקשתיות b {\displaystyle b} . זה המצב למשל בתמיסות של InAsSb שהוזכרו למעלה: E g , I n A s S b = x E g , I n S b + ( 1 − x ) E g , I n A s − b x ( 1 − x ) {\displaystyle E_{g,InAsSb}=xE_{g,InSb}+(1-x)E_{g,InAs}-bx(1-x)} . דוגמה של דיאגרמת פער פסים - קבוע סריג של מוליכים למחצה מהמשפחה IV (אנ') ומהמשפחות III-V (אנ'), ו-II-VI (אנ') בטבלה המחזורית, עם קווי הקשר עבור התרכובות הטרנריות (אנ'): .https://www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/semi_en/kap_5/backbone/r5_1_4.html. L. Vegard, Die Konstitution der Mischkristalle und die Raumffillung der Atome, Zeitschrift für Physik 5, 1921, עמ' 17-26 A. R. Denton and N. W. Ashcroft, Vegard's law, Physical Review A 43/6, 1991, עמ' 3161-3164 H. W. King, Quantitative Size-Factors for Metallic Solid Solutions, Journal of Materials Science 1, 1966, עמ' 79-90