הלמה של בורל-קנטלי

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20. המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה. יהי ( X , F , P ) {\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} מרחב הסתברות, ותהי { A i } i = 1 ∞ {\displaystyle \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }} סדרה של מאורעות. נתבונן במאורע הבא, { infinitely many of the  A i  occur } = lim sup i ( A i ) = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ i = n ∞ A i {\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}} . אם מתקיים כי ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) < ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)<\infty } , אז P ( lim sup i ( A i ) ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=0} נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים. אם מתקיים כי ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\infty } , אז P ( lim sup i A i ) = 1 {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i}A_{i}\right)=1} . נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע lim sup i ( A i ) {\displaystyle \limsup _{i}\left(A_{i}\right)} הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0. הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי. נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ . . . {\displaystyle A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset ...} . נשים לב כי במקרה זה, lim sup i ( A i ) = { ∃ j , A j  occures } {\displaystyle \limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\left\{\exists _{j},A_{j}{\text{ occures}}\right\}} . אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים { i k } k = 1 ∞ {\displaystyle \left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }} שעבורה ∑ k = 1 ∞ P ( A i k + 1 ∣ A i k c ) = ∞ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i_{k+1}}\mid A_{i_{k}}^{c}\right)=\infty } . הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה. נתבונן במאורעות A n = [ 0 , 1 n ] {\displaystyle A_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]} במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} . מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן   A i {\displaystyle \ A_{i}} גורר את   A j {\displaystyle \ A_{j}} לכל i < j {\displaystyle i<j} . ואכן, למרות שמתקיים ∑ i = 1 ∞ P ( A i ) = ∑ i = 1 ∞ 1 i = ∞ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\infty } , עדיין P ( lim sup i ( A i ) ) = P ( { 0 } ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=\mathbb {P} \left(\left\{0\right\}\right)=0} . משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי מספר נורמלי E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271. F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45. כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית i 1 , . . . , i k {\displaystyle i_{1},...,i_{k}} , לכל קבוצת מאורעות A i 1 , . . . , A i k {\displaystyle A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}} , מתקיים כי P ( X i 1 ∈ A i 1 , . . . , X i k ∈ A i k ) = P ( X i 1 ∈ A i 1 ) ⋅ . . . ⋅ P ( X i k ∈ A i k ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)} .