משפט לוזין

משפט לוזין מבטא עיקרון יסודי באנליזה פונקציונלית, לפיו כל פונקציה מדידה לבג, במונחי תורת המידה היא כמעט פונקציה רציפה. כלומר כל פונקציה מדידה קרובה להיות פונקציה רציפה במובן של קירוב שיתואר בהמשך. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הרוסי ניקולאי לוזין בשנת 1912. תהי f : [ 0 , 1 ] → C {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {C} } פונקציה מדידה-לבג. אזי לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} קיימת קבוצה סגורה K ⊂ [ 0 , 1 ] {\displaystyle K\subset [0,1]} המקיימת λ ( [ 0 , 1 ] ∖ K ) < ϵ {\displaystyle \lambda \left([0,1]\setminus K\right)<\epsilon } (כאשר λ {\displaystyle \lambda } היא מידת לבג), כך שעל K {\displaystyle K} הפונקציה f {\displaystyle f} שווה כמעט תמיד לפונקציה רציפה. הערה: ניתן להשתמש במשפט ההרחבה של טיצה כדי להרחיב את הפונקציה f ∣ K {\displaystyle f\mid _{K}} להיות פונקציה רציפה המוגדרת על כל [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . נגדיר F n = { x ∈ [ a , b ] ∣∣ f ( x ) ∣> n } {\displaystyle F_{n}=\left\{x\in [a,b]\mid \mid f(x)\mid >n\right\}} . בוודאי מתקיים ⋂ n = 1 ∞ F n = ∅ {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}=\emptyset } , ומהיות [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} בעל מידת לבג סופית נובע כי lim n → ∞ λ ( F n ) = λ ( ⋂ n = 1 ∞ F n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\lambda (F_{n})=\lambda \left(\bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}\right)=0} . נקבע N {\displaystyle N} שעבורו λ ( F N ) < ϵ {\displaystyle \lambda (F_{N})<\epsilon } , כלומר לכל x ∈ F N ∁ {\displaystyle x\in F_{N}^{\complement }} מתקיים ∣ f ( x ) ∣< N {\displaystyle \mid f(x)\mid <N} . כל פונקציה מדידה וחסומה על קטע סופי היא אינטגרבילית לבג, ולכן h := f ∣ F N ∁ ∈ L 1 {\displaystyle h:=f\mid _{F_{N}^{\complement }}\in L^{1}} . מרחב הפונקציות הרציפות צפוף ב- L 1 {\displaystyle L^{1}} , ולכן h {\displaystyle h} היא גבול של פונקציות רציפות בנורמת L 1 {\displaystyle L^{1}} . ידוע שלכל סדרה המתכנסת ב- L 1 {\displaystyle L^{1}} קיימת תת-סדרה המתכנסת כמעט תמיד, לכן h {\displaystyle h} היא גבול כמעט תמיד של פונקציות רציפות. ממשפט אגורוף יש קבוצה מדידה E ⊂ [ 0 , 1 ] {\displaystyle E\subset [0,1]} המקיימת λ ( E ) < ϵ / 2 {\displaystyle \lambda (E)<\epsilon /2} , כך שעל E ∁ {\displaystyle E^{\complement }} ההתכנסות כמעט תמיד ל- h {\displaystyle h} היא התכנסות במידה שווה. מרגולריות מידת לבג יש קבוצה קומפקטית K ⊂ E {\displaystyle K\subset E} המקיימת λ ( E ∖ K ) < ϵ / 2 {\displaystyle \lambda (E\setminus K)<\epsilon /2} . גבול במידה שווה של פונקציות רציפות על קבוצה קומפקטית הוא פונקציה רציפה, ולכן f ∣ K = h ∣ K {\displaystyle f\mid _{K}=h\mid _{K}} רציפה. זו הקבוצה המבוקשת, כי λ ( [ 0 , 1 ] ∖ K ) = λ ( E ∁ ) + λ ( E ∖ K ) < ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ {\displaystyle \lambda \left([0,1]\setminus K\right)=\lambda \left(E^{\complement }\right)+\lambda \left(E\setminus K\right)<\epsilon /2+\epsilon /2=\epsilon } . קיימת גרסה כללית יותר למשפט: יהי ( X , M , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {M}},\mu )} מרחב מידה כאשר μ {\displaystyle \mu } היא מידת רדון. יהי גם Y {\displaystyle Y} מרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, היוצר מרחב מדיד עם סיגמא אלגברת בורל שלו, ותהי f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} . לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} , לכל קבוצה מדידה A ∈ M {\displaystyle A\in {\mathcal {M}}} בעלת מידה סופית קיימת קבוצה מדידה E ∈ M {\displaystyle E\in {\mathcal {M}}} המוכלת ב- A {\displaystyle A} , כך שמתקיים μ ( A ∖ E ) < ϵ {\displaystyle \mu (A\setminus E)<\epsilon } , כך שעל הקבוצה E {\displaystyle E} הפונקציה f {\displaystyle f} רציפה. בנוסף, אם הקבוצה A {\displaystyle A} קומפקטית מקומית, אז ניתן לבחור את E {\displaystyle E} הנ"ל שתהיה קומפקטית, ובמקרה זה קיימת פונקציה רציפה g {\displaystyle g} בעלת תומך קומפקטי המקיימת f ∣ E = g ∣ E {\displaystyle f\mid _{E}=g\mid _{E}} . N. Lusin. Sur les propriétés des fonctions mesurables, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1688–1690. משפט לוזין, באתר MathWorld (באנגלית)