יציבות BIBO

בעיבוד אותות, ובאופן ספציפי בתורת הבקרה, יציבות BIBO‏ (bounded-input, bounded-output; בתרגום לעברית: קלט חסום, פלט חסום) היא סוג של יציבות עבור אותות ומערכות המקבלים קלטים. מערכת יציבה במובן BIBO אם ורק אם פלט המערכת יהיה חסום עבור כל קלט חסום הנכנס למערכת. אות חסום אם קיים ערך סופי B > 0 {\displaystyle B>0} כך שעוצמת האות לעולם אינה עולה על B {\displaystyle B} . בניסוח מתמטי: עבור אותות בזמן רציף : y ( t ) ⟺ ∃ B ∈ R + : | y ( t ) | ≤ B ∀ t ∈ R {\displaystyle y(t)\iff \exists B\in \mathbb {R} ^{+}:|y(t)|\leq B\quad \forall t\in \mathbb {R} } חסום. עבור אותות בזמן בדיד : y [ n ] ⟺ ∃ B ∈ R + : | y [ n ] | ≤ B ∀ n ∈ Z {\displaystyle y[n]\iff \exists B\in \mathbb {R} ^{+}:|y[n]|\leq B\quad \forall n\in \mathbb {Z} } חסום. עבור מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI) בזמן רציף, התנאי ליציבות BIBO הוא שהתגובה להלם, h ( t ) {\displaystyle h(t)} , תהיה אינטגרבילית לחלוטין, כלומר, נורמת L1 שלה קיימת. ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t = ‖ h ‖ 1 ∈ R {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,{\mathord {\operatorname {d} }}t=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} } עבור מערכת LTI בזמן בדיד, התנאי ליציבות BIBO הוא שהתגובה להלם תהיה ניתנת לסכימה לחלוטין, כלומר, נורמת L1 שלה קיימת.   ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | = ‖ h ‖ 1 ∈ R {\displaystyle \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} } בהינתן מערכת LTI בזמן בדיד עם תגובה להלם h [ n ] {\displaystyle h[n]} , הקשר בין הקלט   x [ n ] {\displaystyle \ x[n]} והפלט   y [ n ] {\displaystyle \ y[n]} הוא:   y [ n ] = h [ n ] ∗ x [ n ] {\displaystyle \ y[n]=h[n]*x[n]} כאשר ∗ {\displaystyle *} מציין קונבולציה. וזו ההגדרה של קונבולציה:   y [ n ] = ∑ k = − ∞ ∞ h [ k ] x [ n − k ] {\displaystyle \ y[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[k]x[n-k]} יהא ‖ x ‖ ∞ {\displaystyle \|x\|_{\infty }} הערך המקסימלי של | x [ n ] | {\displaystyle |x[n]|} , כלומר, נורמת ∞L | y [ n ] | = | ∑ k = − ∞ ∞ h [ n − k ] x [ k ] | {\displaystyle \left|y[n]\right|=\left|\sum _{k=-\infty }^{\infty }h[n-k]x[k]\right|} ≤ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ n − k ] | | x [ k ] | {\displaystyle \leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\left|x[k]\right|} (לפי אי שוויון המשולש) ≤ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ n − k ] | ‖ x ‖ ∞ = ‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ n − k ] | = ‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | {\displaystyle {\begin{aligned}&\leq \sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\|x\|_{\infty }\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[n-k]\right|\\&=\|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|\end{aligned}}} אם h [ n ] {\displaystyle h[n]} ניתן לסכימה לחלוטין אז ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | = ‖ h ‖ 1 ∈ R {\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\left|h[k]\right|}=\|h\|_{1}\in \mathbb {R} } וגם ‖ x ‖ ∞ ∑ k = − ∞ ∞ | h [ k ] | = ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 {\displaystyle \|x\|_{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left|h[k]\right|=\|x\|_{\infty }\|h\|_{1}} אז אם h [ n ] {\displaystyle h[n]} ניתנת לסכימה ו־ | x [ n ] | {\displaystyle \left|x[n]\right|} חסום, אז | y [ n ] | {\displaystyle \left|y[n]\right|} חסום גם משום ש־ ‖ x ‖ ∞ ‖ h ‖ 1 ∈ R {\displaystyle \|x\|_{\infty }\|h\|_{1}\in \mathbb {R} } . ההוכחה לזמן רציף באה מגיעה מטיעונים דומים. עבור מערכת רציונלית בזמן רציף, התנאי ליציבות הוא שתחום ההתכנסות (ROC) של התמרת לפלס של תגובת המערכת להלם כולל את הציר המדומה. כאשר המערכת היא סיבתית, ה-ROC הוא התחום הפתוח מימין לקו אנכי שהאבסיסה (abscissa) שלו היא החלק הממשי של "הקוטב הגדול ביותר", כלומר הקוטב שיש לו את החלק הממשי הגדול ביותר מכל קוטבי המערכת. החלק הממשי של הקוטב הגדול ביותר מגדיר את ה-ROC והוא נקרא האבסיסה של ההתכנסות. לפיכך, כל הקטבים של המערכת חייבים להיות בחצי השמאלי של מישור ה-s על מנת שהמערכת תהיה יציבה BIBO. מצב יציבות זה יכול להיגזר מתנאי היציבות בתחום הזמן לעיל כדלקמן: ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | d t = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) | | e − j ω t | d t = ∫ − ∞ ∞ | h ( t ) e − j ω t | d t ≥ | ∫ − ∞ ∞ h ( t ) e − j ω t d t | = | H ( j ω ) | {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\,dt&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)\right|\left|e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left|h(t)e^{-j\omega t}\right|\,dt\\&\geq \left|\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-j\omega t}\,dt\right|\\&=|H(j\omega )|\end{aligned}}} כלומר, ‖ h ‖ 1 ≥ | H ( j ω ) | {\displaystyle \|h\|_{1}\geq |H(j\omega )|} , ולכן | H ( j ω ) | ∈ R {\displaystyle |H(j\omega )|\in \mathbb {R} } , כלומר שתחום ההתכנסות חייב אפוא לכלול את הציר המדומה – j ω ⊂ R O C { H ( s ) } {\displaystyle j\omega \subset ROC\{H(s)\}} . עבור מערכת רציונלית בזמן בדיד, התנאי ליציבות הוא שתחום ההתכנסות (ROC) של התמרת ה־Z כולל את מעגל היחידה. כאשר המערכת היא סיבתית, ה-ROC הוא התחום הפתוח מחוץ למעגל שהרדיוס שלו הוא גודל הקוטב בעל הגודל הגדול ביותר. לכן, כל הקטבים של המערכת חייבים להיות בתוך מעגל היחידה במישור z עבור יציבות BIBO. ניתן לגזור מצב יציבות זה באופן דומה לגזירת הזמן הרציף: ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] | | e − j ω n | = ∑ n = − ∞ ∞ | h [ n ] ( 1 ⋅ e j ω ) − n | ≥ | ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] ( 1 ⋅ e j ω ) − n | = | ∑ n = − ∞ ∞ h [ n ] z − n | = | H [ n ] | {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n]\right|\left|e^{-j\omega n}\right|\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left|h[n](1\cdot {e^{j\omega }})^{-n}\right|\\&\geq \left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n](1\cdot {e^{j\omega }})^{-n}\right|\\&=\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}\right|\\&=\left|H[n]\right|\end{aligned}}} כאשר z = r e j ω {\displaystyle z=re^{j\omega }} ו־ r = | z | = 1 {\displaystyle r=|z|=1} . תחום ההתכנסות חייב אפוא לכלול את מעגל היחידה. מערכת ליניארית בלתי תלויה בזמן (LTI) תגובת הלם סופית (FIR) מסנן תגובת הלם אינסופית (IIR) עקומת נייקוויסט עקומת בודה קריטריון יציבות ראות'-הורוביץ Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6 John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4 D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X Proof of the necessary conditions for BIBO stability. Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577 Michael Unser (2020). "A Note on BIBO Stability". IEEE Transactions on Signal Processing. 68: 5904–5913. arXiv:2005.14428. doi:10.1109/TSP.2020.3025029.