סדרה חשבונית

במתמטיקה, סדרה חשבונית היא סדרה של מספרים, שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא קבוע:   a n + 1 − a n = d {\displaystyle \ a_{n+1}-a_{n}=d} ( a n {\displaystyle a_{n}} הוא האיבר ה- n {\displaystyle n} בסדרה). לדוגמה, בסדרה: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ..., ההפרש בין כל שני איברים עוקבים הוא מספר קבוע, במקרה זה 2. בסדרה חשבונית, כל איבר מהווה ממוצע חשבוני של האיבר הקודם והאיבר העוקב לו, ומכאן שְׁמָהּ (בדומה לסדרה הנדסית ולסדרה הרמונית). סדרה חשבונית מוגדרת באמצעות שלושה מאפיינים: a 1 {\displaystyle a_{1}} – האיבר הראשון בסדרה d {\displaystyle d} – ההפרש הקבוע בין (כל) שני איברים עוקבים בסדרה n {\displaystyle n} – מספר האיברים בסדרה (שעשוי להיות סופי או אינסופי) לפי מאפיינים אלה, ניתן לדעת מהו כל אחד מאיברי הסדרה. אם a 1 {\displaystyle a_{1}} הוא האיבר הראשון, ו- d {\displaystyle d} הוא ההפרש, האיבר ה- n {\displaystyle n} נתון על ידי הנוסחה: נשתמש בתכונות הטור הטלסקופי: a n − a 1 = ( a n − a n − 1 ) + ( a n − 1 − a n − 2 ) + ⋯ + ( a 2 − a 1 ) = d ⋅ ( n − 1 ) {\displaystyle a_{n}-a_{1}=(a_{n}-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+\dots +(a_{2}-a_{1})=d\cdot (n-1)} כאשר השוויון הראשון נובע מזה שכל האיברים מבטלים אחד את השני למעט שניים. נעביר את a 1 {\displaystyle a_{1}} אגף ונקבל a n = a 1 + d ( n − 1 ) {\displaystyle a_{n}=a_{1}+d(n-1)} ניעזר באינדוקציה: כדי להוכיח את נוסחת האיבר הכללי, נבדוק את נכונותה עבור n = 1 {\displaystyle n=1} . במקרה זה, אכן מתקיים a 1 + d ⋅ ( 1 − 1 ) = a 1 {\displaystyle a_{1}+d\cdot (1-1)=a_{1}} . נניח כעת שמתקיים a n = a 1 + ( n − 1 ) ⋅ d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d} עבור n {\displaystyle n} ספציפי כלשהו ונוכיח שמתקיים a n + 1 = a 1 + n ⋅ d {\displaystyle a_{n+1}=a_{1}+n\cdot d} . נשים לב שמתקיים: a 1 + n ⋅ d = a 1 + n d − d + d = a 1 + ( n − 1 ) d + d = a n + d = a n + 1 {\displaystyle a_{1}+n\cdot d=a_{1}+nd-d+d=a_{1}+(n-1)d+d=a_{n}+d=a_{n+1}} , כאשר השוויון הלפני-אחרון נכון בגלל הנחת האינדוקציה. ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה- n {\displaystyle n} (כולל) לפי הנוסחה: את הסכום של n {\displaystyle n} האיברים הראשונים בסדרה: S n = a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n − 1 + a n {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{n-1}+a_{n}} , ניתן לרשום בשני אופנים: S n = ( a n − ( n − 1 ) d ) + ( a n − ( n − 2 ) d ) + ⋯ + ( a n − 2 d ) + ( a n − d ) + a n {\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}} S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ⋯ + ( a 1 + ( n − 2 ) d ) + ( a 1 + ( n − 1 ) d ) {\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)} נחבר בהתאמה את האגפים של שני השוויונות האלה, ולאחר שאיברים שווי ערך אך שוני סימן יבטלו זה את זה נקבל: 2 S n = n ( a 1 + a n ) {\displaystyle 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})} ולכן: S n = n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} כזכור, מצאנו מקודם שמתקיים: a n = a 1 + d ( n − 1 ) {\displaystyle a_{n}=a_{1}+d(n-1)} , והצבת נתון זה בנוסחת הסכום האחרונה תיתן: S n = n ( a 1 + a 1 + d ( n − 1 ) ) 2 = n [ 2 a 1 + d ( n − 1 ) ] 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{1}+d(n-1))}{2}}={\frac {n[2a_{1}+d(n-1)]}{2}}} נוסחה לחישוב ההפרש בין סכום האיברים הזוגיים לבין סכום האיברים האי-זוגיים: S n 2 ( e v e n ) − S n 2 ( o d d ) = n d 2 {\displaystyle S_{{\frac {n}{2}}(even)}-S_{{\frac {n}{2}}(odd)}={\frac {nd}{2}}} . נתונה סדרה: a 1 , a 2 , a 3 , . . . . a 2 n {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},....a_{2n}} , כאשר מספר האיברים הוא זוגי והאיבר האחרון הוא a 2 n {\displaystyle a_{2n}} (כלומר, יש 2 n {\displaystyle 2n} איברים בסדרה). נחשב את סכום האיברים הזוגיים והאי-זוגיים על פי נוסחת הסכום. יש 2 n {\displaystyle 2n} איברים בסדרה, אז יש n {\displaystyle n} איברים שמיקומם זוגי ו- n {\displaystyle n} איברים שמקומם אי-זוגי. סכום האיברים הזוגיים: S n ( e v e n ) = n ( 2 a 2 + ( n − 1 ) 2 d ) 2 {\displaystyle S_{n(even)}={\frac {n(2a_{2}+(n-1)2d)}{2}}} a 2 {\displaystyle a_{2}} הוא האיבר הראשון בסדרה הזוגית, ומכיוון שהפרש הסדרה הוא d {\displaystyle d} , אז ההפרש בין כל שני איברים שמקומם זוגי הוא 2 d {\displaystyle 2d} , ולכן סכום האיברים הזוגיים: S n ( e v e n ) = n ( 2 a 2 + ( n − 1 ) 2 d ) 2 {\displaystyle S_{n(even)}={\frac {n(2a_{2}+(n-1)2d)}{2}}} . נציב   a 2 = a 1 + d {\displaystyle \ a_{2}=a_{1}+d} במשוואה המקורית. לאחר פישוט נקבל: S n ( e v e n ) = n a 1 + n 2 d {\displaystyle S_{n(even)}=na_{1}+n^{2}d} . נעשה כך גם עם הסדרה האי-זוגית, ונקבל: S n ( o d d ) = n a 1 + n 2 d − n d {\displaystyle S_{n(odd)}=na_{1}+n^{2}d-nd} . נחסר את המשוואה השנייה מן המשוואה הראשונה, ונקבל: S n ( e v e n ) − S n ( o d d ) = n d {\displaystyle S_{n(even)}-S_{n(odd)}=nd} . מכיוון שמספר האיברים המקורי שלנו הוא 2 n {\displaystyle 2n} ואנו מעוניינים בנוסחה עבור סדרה בת n {\displaystyle n} איברים, נחלק את ה- n {\displaystyle n} במשוואה שהתקבלה בשתיים (נציב n 2 {\displaystyle {\frac {n}{2}}} במקום n {\displaystyle n} ). נקבל: S n 2 ( e v e n ) − S n 2 ( o d d ) = n d 2 {\displaystyle S_{{\frac {n}{2}}(even)}-S_{{\frac {n}{2}}(odd)}={\frac {nd}{2}}} הסכום של הסדרה החשבונית: 1, 3, 5, ..., בעלת n {\displaystyle n} איברים הוא n 2 {\displaystyle n^{2}} . הסכום של הסדרה החשבונית: 2, 4, 6, ..., בעלת n {\displaystyle n} איברים הוא n ( n + 1 ) {\displaystyle n(n+1)} . סדרה הנדסית סדרה כללית טור (מתמטיקה) אינדוקציה מתמטית סדרה חשבונית, באתר MathWorld (באנגלית)