משפט השאריות

באנליזה מרוכבת, משפט השאריות הוא משפט חשוב המאפשר לחשב אינטגרלים על מסלול סגור של פונקציות הולומורפיות באמצעות הכרת התנהגותן בנקודות הסינגולריות שלהן. משפט זה הוא הכללה של משפט האינטגרל של קושי־גורסה ונוסחת האינטגרל של קושי, ובנוסף לחשיבותו בתחום האנליזה המרוכבת, הוא גם מאפשר חישוב נוח של אינטגרלים ממשיים שלעיתים לא ניתן לחשב בדרך אחרת. יהי D {\displaystyle D} תחום פשוט קשר ויהיו a 1 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},...,a_{n}} אוסף סופי של נקודות ב- D {\displaystyle D} . יהא D ∗ = D − { a 1 , . . . , a n } {\displaystyle D^{*}=D-\left\{a_{1},...,a_{n}\right\}} ותהי f {\displaystyle f} פונקציה הולומורפית ב- D ∗ {\displaystyle D^{*}} . תהא γ {\displaystyle \gamma } מסילה סגורה ב- D ∗ {\displaystyle D^{*}} כך שכל הנקודות a 1 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},...,a_{n}} מוקפות על ידה. השארית של הפונקציה f {\displaystyle f} בנקודה a k {\displaystyle a_{k}} היא המקדם של החזקה ( z − a k ) − 1 {\displaystyle (z-a_{k})^{-1}} בטור לורן של הפונקציה סביב הנקודה a k {\displaystyle a_{k}} . נסמן אותה Res ⁡ ( f , a k ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})} . כמו כן נסמן ב- I ⁡ ( γ , a k ) {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})} את מספר הפעמים שבו המסילה γ {\displaystyle \gamma } מקיפה את הנקודה a k {\displaystyle a_{k}} (האינדקס של המסילה). אז מתקיים: ∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ i = 1 n I ⁡ ( γ , a i ) ⋅ Res ⁡ ( f , a i ) {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{i=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{i})\cdot \operatorname {Res} (f,a_{i})} כלומר, האינטגרל על המסילה שווה ל- 2 π i {\displaystyle 2\pi i} כפול סכום השאריות של נקודות הסינגולריות בתחום שמקיפה המסילה, כאשר כל שארית נלקחת כמספר הפעמים שמוקפת הנקודה הסינגולרית שלה. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. בקוטב פשוט (קוטב מסדר 1) z 0 {\displaystyle z_{0}} , השארית של f {\displaystyle f} נתונה על ידי Res z = z 0 ⁡ f ( z ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)} . אם הגבול הזה לא קיים, זוהי נקודת סינגולריות עיקרית. אם הגבול קיים ושווה 0 אז f {\displaystyle f} אנליטית בנקודה או שזוהי נקודת סינגולריות סליקה. אם הגבול קיים אך אינסופי אז הנקודה היא קוטב מסדר גבוה מ־1. אם ניתן לכתוב את הפונקציה f {\displaystyle f} כמנה של שתי פונקציות, f ( z ) = p ( z ) q ( z ) {\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}} , כאשר p {\displaystyle p} ו־ q {\displaystyle q} הן פונקציות הולומורפיות בסביבה של z 0 {\displaystyle z_{0}} , ו־ q ( z 0 ) = 0 {\displaystyle q(z_{0})=0} ו־ q ′ ( z 0 ) ≠ 0 {\displaystyle q'(z_{0})\neq 0} , ניתן להראות באמצעות כלל לופיטל שמתקיים: Res z = z 0 ⁡ p ( z ) q ( z ) = p ( z 0 ) q ′ ( z 0 ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}{\frac {p(z)}{q(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}} הוכחה: Res z = z 0 ⁡ f ( z ) = lim z → z 0 ( z − z 0 ) f ( z ) = lim z → z 0 z p ( z ) − z 0 p ( z ) q ( z ) = lim z → z 0 p ( z ) + z p ′ ( z ) − z 0 p ′ ( z ) q ′ ( z ) = p ( z 0 ) q ′ ( z 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)&=\lim _{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z)=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {zp(z)-z_{0}p(z)}{q(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {p(z)+zp'(z)-z_{0}p'(z)}{q'(z)}}={\frac {p(z_{0})}{q'(z_{0})}}\end{aligned}}} באופן כללי יותר, אם z 0 {\displaystyle z_{0}} הוא קוטב מסדר n {\displaystyle n} , אזי ניתן למצוא את השארית של f ( z ) {\displaystyle f(z)} סביב הנקודה z = z 0 {\displaystyle z=z_{0}} על ידי הנוסחה: Res z = z 0 ⁡ f ( z ) = 1 ( n − 1 ) ! lim z → z 0 d n − 1 d z n − 1 ( ( z − z 0 ) n f ( z ) ) {\displaystyle \mathop {\operatorname {Res} } _{z=z_{0}}f(z)={\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{z\to z_{0}}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left((z-z_{0})^{n}f(z)\right)} נרצה לחשב את האינטגרל הבא: ∮ | z | = 2 z e 1 z − 1 ( 1 − z ) 2 d z {\displaystyle \oint _{|z|=2}{\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}dz} נשים לב כי בתוך המעגל { z : | z | = 2 } {\displaystyle \left\{z:\left|z\right|=2\right\}} נקודת הסינגולריות היחידה של f ( z ) = z e 1 z − 1 ( 1 − z ) 2 {\displaystyle f(z)={\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}} היא z = 1 {\displaystyle z=1} . לכן, לפי משפט השאריות: ∮ | z | = 2 z e 1 z − 1 ( 1 − z ) 2 d z = ∮ | z | = 2 f ( z ) d z = 2 π i R e s ( f , 1 ) {\displaystyle \oint _{|z|=2}{\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}dz=\oint _{|z|=2}{f(z)}dz=2\pi iRes(f,1)} נשתמש בפיתוח הפונקציה לטור לורן על מנת לחשב את השארית. ידוע לנו: e z = ∑ n = 0 ∞ z n n ! {\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} . לכן: e 1 z − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( z − 1 ) − n n ! {\displaystyle e^{\frac {1}{z-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}} נחזור לפונקציה המקורית שלנו: f ( z ) = z e 1 z − 1 ( 1 − z ) 2 = ( z − 1 + 1 ) ( z − 1 ) 2 ∑ n = 0 ∞ ( z − 1 ) − n n ! = ( z − 1 ) ( z − 1 ) 2 ∑ n = 0 ∞ ( z − 1 ) − n n ! + 1 ( z − 1 ) 2 ∑ n = 0 ∞ ( z − 1 ) − n n ! = {\displaystyle f(z)={\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}={\frac {(z-1+1)}{(z-1)^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}={\frac {(z-1)}{(z-1)^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}+{\frac {1}{(z-1)^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n}}{n!}}=} = ∑ n = 0 ∞ ( z − 1 ) − n − 1 n ! + ∑ n = 0 ∞ ( z − 1 ) − n − 2 n ! {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n-1}}{n!}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(z-1)}^{-n-2}}{n!}}} כמו שנכתב לעיל, השארית היא המקדם של האיבר ( z − 1 ) − 1 {\displaystyle (z-1)^{-1}} בטור לורן ולכן נקבל ש: R e s ( f , 1 ) = 1 {\displaystyle Res(f,1)=1} . לכן מתקיים ש: ∮ | z | = 2 z e 1 z − 1 ( 1 − z ) 2 d z = ∮ | z | = 2 f ( z ) d z = 2 π i {\displaystyle \oint _{|z|=2}{\frac {ze^{\frac {1}{z-1}}}{(1-z)^{2}}}dz=\oint _{|z|=2}{f(z)dz}=2\pi i} על פי משפט האינטגרל של קושי, די להראות כי ∮ | z − a k | = r f ( z ) d z = 2 π i ⋅ Res ⁡ ( f , a k ) {\displaystyle \oint _{|z-a_{k}|=r}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} (f,a_{k})} כאשר האינטגרל נלקח על מעגל קטן דיו סביב הנקודה a k {\displaystyle a_{k}} כך שאינו מכיל נקודות סינגולריות נוספות של הפונקציה. מכיוון שהפונקציה אנליטית סביב הנקודה a k {\displaystyle a_{k}} , ניתן לפתח אותה לטור לורן סביב נקודה זו: f ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − a k ) n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a_{k})^{n}} . מכיוון שטור זה מתכנס במידה שווה מתקיים ∮ | z − a k | = r ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − a k ) n d z = ∑ n = − ∞ ∞ c n ∮ | z − a k | = r ( z − a k ) n d z {\displaystyle \oint _{|z-a_{k}|=r}\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a_{k})^{n}dz=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\oint _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz} כעת, עבור n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} הפונקציה ( z − a k ) n {\displaystyle (z-a_{k})^{n}} אנליטית בכל העיגול | z − a k | ≤ r {\displaystyle |z-a_{k}|\leq r} , ולכן על פי משפט אינטגרל קושי, ∮ | z − a k | = r ( z − a k ) n d z = 0 {\displaystyle \oint _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz=0} . עבור n < − 1 {\displaystyle n<-1} מתקיים גם כן ∮ | z − a k | = r ( z − a k ) n d z = 0 {\displaystyle \oint _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz=0} ואילו עבור n = − 1 {\displaystyle n=-1} מתקיים ∮ | z − a k | = r ( z − a k ) n d z = 2 π i {\displaystyle \oint _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{n}dz=2\pi i} . את ההוכחה לכך ניתן לראות בהוכחת נוסחת האינטגרל של קושי. מכל אלו נובע כי ∮ | z − a k | = r ∑ n = − ∞ ∞ c n ( z − a k ) n d z = c − 1 ∮ | z − a k | = r ( z − a k ) − 1 d z = 2 π i ⋅ Res ⁡ ( f , a k ) {\displaystyle \oint _{|z-a_{k}|=r}\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a_{k})^{n}dz=c_{-1}\oint _{|z-a_{k}|=r}(z-a_{k})^{-1}dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} (f,a_{k})} כמבוקש. עקרון הארגומנט דוגמאות והסברים על יישום משפט השאריות לפתרון אינטגרלי קונטור משפט השאריות, באתר MathWorld (באנגלית)