הפרש ריבועים

במתמטיקה, הפרש ריבועים הוא ביטוי מהצורה a 2 − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}} . אחת הזהויות המוכרות ביותר באלגברה בסיסית היא a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)} לכל זוג מספרים a , b {\displaystyle a,b} . הוכחה: נפתח את הסוגריים בביטוי ( a + b ) ( a − b ) {\displaystyle (a+b)(a-b)} לפי חוק הפילוג: ( a + b ) ( a − b ) = ( a + b ) a − ( a + b ) b = a 2 + b a − a b − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=a^{2}+ba-ab-b^{2}} מכיוון שכפל הוא פעולה חילופית (כלומר a b = b a {\displaystyle ab=ba} ) מתקיים b a − a b = 0 {\displaystyle ba-ab=0} , ולכן: ( a + b ) ( a − b ) = a 2 + ( b a − a b ) − b 2 = a 2 − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+(ba-ab)-b^{2}=a^{2}-b^{2}} והתקבלה הזהות הרצויה. בהוכחת הזהות השתמשנו במעט מאוד תכונות של מספרים; התכונות היחידות שנדרשנו להן הן חוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחילופיות הכפל. תכונות אלו מתקיימות בכל חוג חילופי, ולכן בחוג כזה מתקיימת זהות הפרשי הריבועים. מהוכחת הזהות נובע שגם ההפך נכון: חוג שמתקיימת בו זהות הפרש הריבועים לכל זוג איברים הוא חילופי. בשדה המספרים המרוכבים זהות הפרש הריבועים מאפשרת לפרק גם סכום של ריבועים. מאחר ש- i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} אזי מתקיים לכל a , b {\displaystyle a,b} מרוכבים: a 2 + b 2 = a 2 − ( b i ) 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=a^{2}-(bi)^{2}=(a+bi)(a-bi)} לכל מספר מרוכב z = a + i b {\displaystyle z=a+ib} (כאשר a , b {\displaystyle a,b} ממשיים) מוגדר מספר צמוד: z ¯ = a − b i {\displaystyle {\bar {z}}=a-bi} וערך מוחלט: | z | = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} (זהו המרחק של z {\displaystyle z} מ-0 במישור גאוס). לפי פירוק סכום הריבועים מתקיימת הזהות: | z | 2 = z z ¯ {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}} . שאלה בסיסית בתורת המספרים היא אלה מספרים טבעיים ניתנים להצגה כהפרש של שני מספרים ריבועיים. לשאלה זו פתרון פשוט יחסית בזכות קיומה של הזהות האלגברית הפשוטה. אף מספר מהצורה n = 4 k + 2 {\displaystyle n=4k+2} אינו הפרש של שני מספרים ריבועיים. טענה זו פשוטה להוכחה בעזרת חשבון מודולו 4: 0 2 ≡ 4 0 , 1 2 ≡ 4 1 2 2 ≡ 4 0 3 2 ≡ 4 1 {\displaystyle 0^{2}\equiv _{4}0,\quad 1^{2}\equiv _{4}1\quad 2^{2}\equiv _{4}0\quad 3^{2}\equiv _{4}1} לכן מבדיקת כל האפשרויות עולה: a 2 − b 2 ≢ 2 ≡ n ( mod 4 ) {\displaystyle a^{2}-b^{2}\not \equiv 2\equiv n\,(\!{\bmod {4}})} כל מספר אי-זוגי n = 2 k + 1 {\displaystyle n=2k+1} הוא הפרש של שני מספרים ריבועיים: ( k + 1 ) 2 − k 2 = ( k + 1 + k ) ( k + 1 − k ) = 2 k + 1 = n {\displaystyle (k+1)^{2}-k^{2}=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1=n} גם כל מספר מהצורה n = 4 k {\displaystyle n=4k} הוא הפרש שני מספרים ריבועיים: ( k + 1 ) 2 − ( k − 1 ) 2 = ( k + 1 + k − 1 ) ( k + 1 − k + 1 ) = 2 k ⋅ 2 = n {\displaystyle (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=(k+1+k-1)(k+1-k+1)=2k\cdot 2=n} המסקנה היא שמספר טבעי הוא הפרש של שני מספרים ריבועיים אם ורק אם הוא משאיר שארית שונה מ-2 בחלוקה ב-4. אלגוריתמים רבים לפירוק מספר שלם לגורמים מבוססים על התובנה שאם n = a b {\displaystyle n=ab} הוא מספר אי-זוגי אז: n = ( a + b 2 ) 2 − ( a − b 2 ) 2 {\displaystyle n=\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}} זהות הפרש הריבועים היא מקרה פרטי של זהות כללית של הפרש חזקות: a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + a b n − 2 + b n − 1 ) = ( a − b ) ∑ k = 0 n − 1 a n − 1 − k b k {\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\sum _{k\,=\,0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}} את הזהות ניתן להוכיח על ידי פתיחת סוגריים וצמצום הסכום הטלסקופי המתקבל. סכום של שני ריבועים פירוק לגורמים בעזרת הפרש ריבועים