קירוב ליניארי

קירוב ליניארי או קירוב מסדר ראשון הוא מושג במתמטיקה המתאר קירוב של פונקציה מתמטית כלשהי באמצעות פונקציה ליניארית (ליתר דיוק, פונקציה אפינית). לקירובים ליניארים יש שימוש נרחב במדעים ובמתמטיקה כדי לקבל קירוב לערך הפונקציה בסביבה של ערך קבוע מראש. היות שפונקציות ליניאריות הן קלות לחישוב ולפתרון, קירובים ליניארים מועדפים כמעט תמיד בניתוחים אנליטיים ונומריים אם הם מספקים את הדיוק הנדרש. כאשר לפונקציה קיים קירוב ליניארי, נאמר שהפונקציה דיפרנציאבילית. בהינתן פונקציה   f {\displaystyle \ f} על מרחב הממשיים שהיא רציפה וגזירה ושנגזרתה רציפה גם היא בסביבה של   a {\displaystyle \ a} , מתקבל מטור טיילור עבור   n = 1 {\displaystyle \ n=1} כי: f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + R 2   {\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R_{2}\ } כאשר   R 2 {\displaystyle \ R_{2}} הוא איבר השארית המייצג את סכום האיברים מסדר גבוה יותר. קירוב ליניארי, או קירוב מסדר ראשון, מתקבל על ידי השמטת השארית, כך שמתקבלת הנוסחה: f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).} ככל ש-   x {\displaystyle \ x} יהא קרוב יותר ל-   a {\displaystyle \ a} כך שגיאת הקירוב תהא קטנה יותר שכן האיברים של החזקות הגבוהות יותר של   x − a {\displaystyle \ x-a} ישאפו מהר יותר לאפס ויהיו זניחים ביחס לאיבר הליניארי ב-   x − a {\displaystyle \ x-a} והאיבר הקבוע. למעשה הנוסחה שלעיל היא בדיוק משוואת המשיק לגרף של הפונקציה   f {\displaystyle \ f} בנקודה   ( a , f ( a ) ) {\displaystyle \ (a,f(a))} . ניתן לבצע קירוב ליניארי לפונקציות וקטוריות דיפרנציאביליות באופן דומה. לדוגמה, בהינתן פונקציה דיפרנציאבילית   f ( x , y ) {\displaystyle \ f(x,y)} על המספרים הממשיים, הקירוב הליניארי של   f ( x , y ) {\displaystyle \ f(x,y)} עבור   ( x , y ) {\displaystyle \ (x,y)} קרובים ל-   ( a , b ) {\displaystyle \ (a,b)} נתון על ידי הנוסחה: f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ∂ x ( a , b ) ( x − a ) + ∂ f ∂ y ( a , b ) ( y − b ) . {\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).} ניתן לחשב קירוב לערך 25 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}} על ידי קירוב ליניארי של הפונקציה f ( x ) = x 1 / 3 {\displaystyle f(x)=x^{1/3}\,} , כלומר לחשב את הקירוב על ידי חישוב הערך   f ( 25 ) {\displaystyle \ f(25)} . ראשית עלינו למצוא את הנגזרת הראשונה של הפונקציה: f ′ ( x ) = x − 2 / 3 3 = 1 3 x 2 3 {\displaystyle f'(x)={\frac {x^{-2/3}}{3}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}} ואז לפי משוואת הקירוב הליניארי: f ( 25 ) ≈ f ( 27 ) + f ′ ( 27 ) ( 25 − 27 ) = 3 − 2 / 27. {\displaystyle f(25)\approx f(27)+f'(27)(25-27)=3-2/27.} התוצאה המתקבלת, 2.926, קרובה למדי לערך האמיתי של המספר: 2.924. שגיאת הקירוב המוחלטת היא 0.002, ושגיאת הקירוב היחסית היא 0.0684%. שיטת ניוטון-רפסון ערך מורחב – דיפרנציאל (מתמטיקה) עבור פונקציות ממשיות רבות משתנים, f : R n → R m {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} , חישוב הקירוב הליניארי הופך להיות כלי מרכזי בניתוח הפונקציות. עבור פונקציה סקלרית, f : R n → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } , הקירוב הליניארי בנקודה הנמדדת r {\displaystyle \mathbf {r} } אשר נמצאת בסביבות הנקודה המקורית r 0 {\displaystyle \mathbf {r_{0}} } מתקבל על ידי הגרדיאנט על פי הנוסחה: f ( r ) ≈ f ( r 0 ) + ∇ f ( r 0 ) ⋅ ( r − r 0 ) = f ( r 0 ) + ∇ f ( r 0 ) ⋅ Δ r {\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx f(\mathbf {r_{0}} )+\nabla f(\mathbf {r_{0}} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )=f(\mathbf {r_{0}} )+\nabla f(\mathbf {r_{0}} )\cdot \Delta \mathbf {r} } לפונקציה וקטורית כללית f : R n → R m {\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} , ערך הקירוב הליניארי מתקבל על ידי מטריצת יעקובי המסומנת כאן באות Df (באמצעות כפל מטריצות): f ( r ) ≈ f ( r 0 ) + D f ( r 0 ) ⋅ Δ r {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )\approx \mathbf {f} (\mathbf {r_{0}} )+Df(\mathbf {r_{0}} )\cdot \Delta \mathbf {r} } כאשר הנקודה הנמדדת r {\displaystyle \mathbf {r} } שואפת בגבול לנקודה המקורית r 0 {\displaystyle \mathbf {r_{0}} } (ובהעברת אגף) מתקבלת הגדרת הדיפרנציאל, מושג יסודי בניתוח פונקציות אלו: d f = D f ⋅ d r {\displaystyle d\mathbf {f} =Df\cdot d\mathbf {r} } המשמעות הגאומטרית של הקירוב הליניארי עבור פונקציות כאלה, היא משוואת המישור המשיק לגרף בנקודה r {\displaystyle \mathbf {r} } . קירוב טור טיילור שגיאת קירוב קירוב ליניארי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)