לוח סילוקין

בתחום מתן ההלוואות, לוח סילוקין הוא טבלה המציגה את שלבי ההחזר של הלוואה הנפרעת בתשלומים. לוח הסילוקין נגזר מהסכם ההלוואה, כך שבסיום תקופת ההלוואה יוחזרו במלואם הן הקרן (הסכום שניתן בהלוואה) והן הריבית שהצטברה על הלוואה זו לאורך תקופת החזרתה. מקרה פרטי של החזר הלוואות ניתן לראות במשכנתאות. מאחר שהלוואה היא תהליך מתמשך, אשר חישוב הריבית בו מתבצע תקופתית, ניתן לראות שסכום החוב אינו יורד באופן מונוטוני, משום שבין תשלום לתשלום עולה סכום החוב, בשל הצטברות ריבית על החוב הנותר. כמו כן יש לזכור שהגם שתשלומי ההלוואה משולמים לרוב מדי חודש, הריבית הנקובה בהלוואה היא לרוב ריבית שנתית, אך מחושבת מחדש לפני כל תשלום, על התקופה היחסית מאז התשלום האחרון (וכדי למצוא את הריבית החודשית יש להוציא שורש 12 מהריבית השנתית המתקבלת. לדוגמה, ריבית שנתית של   3.04 {\displaystyle \ 3.04} אחוז תיתן ריבית חודשית של   0.25 {\displaystyle \ 0.25} אחוז, כיוון שהעלאה בחזקה 12 של הקרן שמיוצגת על ידי 1 בתוספת ריבית זו, תיתן את הערך המבוקש –   1.0025 12 = 1.0304 {\displaystyle \ 1.0025^{12}=1.0304} ). אחת הדרכים להתבונן בהחזר הלוואה היא כהחזר הקרן (סכום ההלוואה המקורי) והריבית שנצברה עד להחזרתה. שני התיאורים שקולים זה לזה, אך זו הדרך המקובלת בתיאור החזרי הלוואות על ידי הבנקים. ישנם כמה סוגי הסכמים עיקריים לפירעון ההלוואה: לוח שפיצר (על שם המתמטיקאי היהודי אוסטרי סיימון שפיצר, 1826–1887); נקרא בעברית תשלום חודשי שווה או קבוע (בניגוד לקרן שווה): הפירעון מחושב מראש כך שההחזר התקופתי יהיה אחיד בגובהו. קרן שווה: תשלום חודשי קבוע לקרן ותשלום ריבית כאחוז מהחוב הנוכחי בחודש תשלום הריבית. במקרה השני התשלומים החודשיים קטנים לאורך החזר ההלוואה, כיוון שהריבית בין תשלום לתשלום מחושבת על סכום קטן יותר, ולכן קטנה עם הזמן. בולט/בלון: לוח סילוקין שבו החוב מוחזר במלואו בתשלום אחד בסוף תקופת ההלוואה. בכל אחד מחודשי ההלוואה משלמים את הריבית בלבד (גרייס חלקי). לעיתים גם הריבית אינה משולמת באופן חודשי אלא מצטברת ומוחזרת עם הקרן בתום תקופת ההלוואה. בתמונה נראית דוגמה ללוח סילוקין שבו ההחזר על חשבון הקרן קבוע בכל התשלומים, וגובהו שווה לסכום ההלוואה (הקרן), המחולק במספר חודשי ההלוואה – תשלומי ההחזר. לסכום קבוע זה מוסיפים בכל תקופה (ממועד תשלום אחד למשנהו) את הריבית על החוב באותו חודש, והתוצאה היא סכום התשלום לתקופה זו. לאורך פירעון ההלוואה פוחת בהדרגה התשלום התקופתי, מאחר שהריבית התקופתית מחושבת על סכום קטן יותר בכל פעם. בלוח סילוקין זה התשלום התקופתי (על החוב כולו, ללא חלוקה לקרן וריבית) קבוע (בהנחת אי־הצמדה למדד או שינוי ריבית). אם הריבית התקופתית היא   R {\displaystyle \ R} , החזר קבוע של   R 1 − 1 ( 1 + R ) n {\displaystyle \ {\frac {R}{1-{\frac {1}{(1+R)^{n}}}}}} מגובה ההלוואה יסלק את החוב כולו בתוך   n {\displaystyle \ n} תשלומים (את הריבית התקופתית מחשבים על-פי הריבית השנתית). אם הריבית השנתית הנומינלית היא 6.5%, הריבית התקופתית היא   R = 0.065 12 = 0.00541 {\displaystyle \ R={\frac {0.065}{12}}=0.00541} . אם החישוב מתבסס על ריבית שנתית מתואמת של 6.5%, הריבית החודשית תהיה   R = ( 1 + 6.5 100 ) 1 / 12 − 1 = 0.00526 {\displaystyle \ R=\left(1+{\frac {6.5}{100}}\right)^{1/12}-1=0.00526} . חלף ההלוואה, המלווה מקבל בסופו של חשבון סכום גבוה יותר מזה שהשקיע. בקירוב טוב (כאשר   n R < 3 {\displaystyle \ nR<3} , ותנאי זה מתקיים אפילו בהלוואה לשלושים שנה בריבית שנתית של 10%), הלווה מחזיר פי   1 + n R 2 + ( n R ) 2 12 {\displaystyle \ 1+{\frac {nR}{2}}+{\frac {(nR)^{2}}{12}}} מגובה ההלוואה. לצורך פיתוח מתמטי נסמן :   P {\displaystyle \ P} - גודל ההלוואה.   N {\displaystyle \ N} - תקופת ההלוואה בחודשים.   P n {\displaystyle \ P_{n}} - יתרת ההלוואה בחודש   n {\displaystyle \ n} עבור   n ∈ { 0 , 1 , . . . , N } {\displaystyle \ n\in \left\{0,1,...,N\right\}} .   x n {\displaystyle \ x_{n}} - תשלום הקרן בחודש   n {\displaystyle \ n} עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N\right\}} .   y n {\displaystyle \ y_{n}} - תשלום הריבית בחודש   n {\displaystyle \ n} עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N\right\}} .   z n {\displaystyle \ z_{n}} - סך כל התשלום בחודש   n {\displaystyle \ n} עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N\right\}} . ניתן לשים לב כי   z n = x n + y n {\displaystyle \ z_{n}=x_{n}+y_{n}} .   r n {\displaystyle \ r_{n}} - ריבית תקופתית חודשית בחודש   n {\displaystyle \ n} (כלומר הריבית שהצטברה מחודש   n {\displaystyle \ n} לחודש   n + 1 {\displaystyle \ n+1} ) מתחילת ההלוואה עבור   n ∈ { 0 , 1 , . . . , N − 1 } {\displaystyle \ n\in \left\{0,1,...,N-1\right\}} . יש לשים לב שהריבית מתואמת ליחידות ולהגדרתה (נומינלית א מתואמת), עבור ריבית נומינלית של   R {\displaystyle \ R} אחוזים ל -   T {\displaystyle \ T} חודשים הריבית התקופתית היא   r = R 100 T {\displaystyle \ r={\frac {R}{100T}}} ועבור ריבית מתואמת של   R {\displaystyle \ R} אחוזים ל -   T {\displaystyle \ T} חודשים הריבית התקופתית היא   r = ( 1 + R 100 ) 1 / T − 1 {\displaystyle \ r=\left(1+{\frac {R}{100}}\right)^{1/T}-1} , (למשל עבור ריבית שנתית   T = 12 {\displaystyle \ T=12} ), נסמן את שינוי הריבית המצטבר   R n = ∏ m = 0 n − 1 ( 1 + r m ) {\displaystyle \ R_{n}=\prod _{m=0}^{n-1}(1+r_{m})} המתאר את סך השינוי של המדד עד לחודש   n {\displaystyle \ n} , במידה והמדד נתון לפי פונקציה   r ( x ) {\displaystyle \ r(x)} (המנורמלת ליחידות של חודש) וההלוואה נקלחת בנקודת זמן   t 0 {\displaystyle \ t_{0}} אז נקבל שינוי ריבית מצטבר. של   R n = r ( t 0 + n ) r ( t 0 ) {\displaystyle \ R_{n}={\frac {r(t_{0}+n)}{r(t_{0})}}} , וריבית תקופתית   r n = r ( t 0 + n + 1 ) r ( t 0 + n ) − 1 {\displaystyle \ r_{n}={\frac {r(t_{0}+n+1)}{r(t_{0}+n)}}-1} עבור כל התנהגות אחרת של ריבית   r ( x ; c ) {\displaystyle \ r(x;c)} שתלויה בפרמטר   c {\displaystyle \ c} לפי נקודת ייחוס   t 0 {\displaystyle \ t_{0}} עם ריבית מתואמת   R {\displaystyle \ R} לתקופה של   n {\displaystyle \ n} חודשים. בכדי למצוא את   c {\displaystyle \ c} נפתור את המשווה :   r ( t 0 + n ; c ) r ( t 0 ; c ) = 1 + R {\displaystyle \ {\frac {r(t_{0}+n;c)}{r(t_{0};c)}}=1+R} .   w n {\displaystyle \ w_{n}} - שינוי המדד בחודש   n {\displaystyle \ n} (כלומרת התשואה שהצטברה מחודש   n {\displaystyle \ n} לחודש   n + 1 {\displaystyle \ n+1} ).   w n {\displaystyle \ w_{n}} - שינוי מדד תקופתי חודשי בחודש   n {\displaystyle \ n} (כלומר השינוי מחודש   n {\displaystyle \ n} לחודש   n + 1 {\displaystyle \ n+1} ) נסמן את שינוי המדד המצטבר   W n = ∏ m = 0 n − 1 ( 1 + w m ) {\displaystyle \ W_{n}=\prod _{m=0}^{n-1}(1+w_{m})} המתאר את סך השינוי של המדד עד לחודש   n {\displaystyle \ n} , במידה והמדד נתון לפי פונקציה   w ( x ) {\displaystyle \ w(x)} (המנורמל ליחידות של חודש) וההלוואה נקלחת בנקודת זמן   t 0 {\displaystyle \ t_{0}} אז נקבל מדד מצטבר של   W n = w ( t 0 + n ) w ( t 0 ) {\displaystyle \ W_{n}={\frac {w(t_{0}+n)}{w(t_{0})}}} ושינוי מדד תקופתי של   w n = w ( t 0 + n + 1 ) w ( t 0 + n ) − 1 {\displaystyle \ w_{n}={\frac {w(t_{0}+n+1)}{w(t_{0}+n)}}-1} עבור כל התנהגות אחרת של מדד   w ( x ; c ) {\displaystyle \ w(x;c)} שתלויה בפרמטר   c {\displaystyle \ c} לפי נקודת ייחוס   t 0 {\displaystyle \ t_{0}} עם ריבית מתואמת   W {\displaystyle \ W} לתקופה של   n {\displaystyle \ n} חודשים למציאת   c {\displaystyle \ c} נפתור :   w ( t 0 + n ; c ) w ( t 0 ; c ) = 1 + W {\displaystyle \ {\frac {w(t_{0}+n;c)}{w(t_{0};c)}}=1+W} . לוח שפיצר : עבור לוח שפיצר נדרוש כי ההחזר החודשי המצטבר יהיה קבוע נסמן תשלום זה ב -   z {\displaystyle \ z} , עבור זמן   n {\displaystyle \ n} היתרה   P n {\displaystyle \ P_{n}} תצבור ריבית   r n P n {\displaystyle \ r_{n}P_{n}} ולאחר מכן נוריד ממנה את הסכום החודשי   x {\displaystyle \ x} , מכאן נסיק את משוואת ההפרשים :   P n + 1 = ( 1 + r n ) P n − x {\displaystyle \ P_{n+1}=(1+r_{n})P_{n}-x} כאשר ידוע תנאי ההתחלה   P 0 = P {\displaystyle \ P_{0}=P} . ניתן להוכיח באינדוקציה כי הפתרון למשוואת ההפרשים היא : P n = P R n − z R 1 ∑ k = 1 n R k {\displaystyle P_{n}=PR_{n}-{\frac {z}{R_{1}}}\sum _{k=1}^{n}R_{k}} P n = ( P − x ∑ k = 1 n 1 R k ) R n {\displaystyle P_{n}=\left(P-x\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}}}\right)R_{n}} מכאן ניתן לדרוש כי יתרה ההלוואה בזמן   N {\displaystyle \ N} תהיה   0 {\displaystyle \ 0} , כלומר :   P N = 0 {\displaystyle \ P_{N}=0} , נציב   n = N {\displaystyle \ n=N} במשוואה, ונקבל : P N = P R N − z R 1 ∑ k = 1 N R k = 0 {\displaystyle P_{N}=PR_{N}-{\frac {z}{R_{1}}}\sum _{k=1}^{N}R_{k}=0} P N = P N = ( P − x ∑ k = 1 N 1 R k ) R N = 0 {\displaystyle P_{N}=P_{N}=\left(P-x\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}\right)R_{N}=0} נבודד את   x {\displaystyle \ x} , נשנה משתנה סכימה ונקבל : x n = x = R 1 R N P ∑ k = 1 N R k {\displaystyle x_{n}=x={\frac {R_{1}R_{N}P}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}} x n = x = P ∑ k = 1 N 1 R k {\displaystyle x_{n}=x={\frac {P}{\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{R_{k}}}}}} נשים לב כי במידה ואנו יודעים מה גודל התשלום הקבוע   z {\displaystyle \ z} נוכל לחשב את גודל ההלוואה הנלקחת בהתאם   P {\displaystyle \ P} : P = x ∑ k = 1 N R k R 1 R N {\displaystyle P={\frac {x\sum _{k=1}^{N}R_{k}}{R_{1}R_{N}}}} בהצבת   z {\displaystyle \ z} נקבל ביטוי עבור יתרת ההלוואה בזמן   n {\displaystyle \ n} : P n = ( R n − R N ∑ k = 1 n R k ∑ k = 1 N R k ) P {\displaystyle P_{n}=\left(R_{n}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)P} ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה   r n − 1 P n − 1 {\displaystyle \ r_{n-1}P_{n-1}} והתשלום עבור הקרן יהיה   x − r n − 1 P n − 1 {\displaystyle \ x-r_{n-1}P_{n-1}} . y n = r n P n − 1 = ( R n − 1 − R N ∑ k = 1 n − 1 R k ∑ k = 1 N R k ) r n − 1 P , x n = z − y n = ( R N ( R 1 + r n − 1 ∑ k = 1 n − 1 R k ) ∑ k = 1 N R k − r n − 1 R n − 1 ) r n P {\displaystyle y_{n}=r_{n}P_{n-1}=\left(R_{n-1}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)r_{n-1}P\quad ,\quad x_{n}=z-y_{n}=\left({\frac {R_{N}\left(R_{1}+r_{n-1}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}\right)}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}-r_{n-1}R_{n-1}\right)r_{n}P} במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר נכפיל את כל התוצאות בערך המצטבר של המדד עד לזמן   n {\displaystyle \ n} שנתון על ידי הביטוי :   W n {\displaystyle \ W_{n}} , ולכן התשלום החודשי (עם הצמדה) יהיה נתון על פי הנוסחא : z n = W n z = R 1 R N W n P ∑ k = 1 N R k {\displaystyle z_{n}=W_{n}z={\frac {R_{1}R_{N}W_{n}P}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}} ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה   W n r n − 1 P n − 1 {\displaystyle \ W_{n}r_{n-1}P_{n-1}} והתשלום עבור הקרן יהיה   W n ( z − r n − 1 P n − 1 ) {\displaystyle \ W_{n}\left(z-r_{n-1}P_{n-1}\right)} . y n = ( R n − 1 − R N ∑ k = 1 n − 1 R k ∑ k = 1 N R k ) W n r n − 1 P , x n = ( R N ( R 1 + r n − 1 ∑ k = 1 n − 1 R k ) ∑ k = 1 N R k − r n − 1 R n − 1 ) W n r n − 1 P {\displaystyle y_{n}=\left(R_{n-1}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)W_{n}r_{n-1}P\quad ,\quad x_{n}=\left({\frac {R_{N}\left(R_{1}+r_{n-1}\sum _{k=1}^{n-1}R_{k}\right)}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}-r_{n-1}R_{n-1}\right)W_{n}r_{n-1}P} מקרה פרטי : לצורך פשטות נבחור ריבית קבועה   r n = r {\displaystyle \ r_{n}=r} , עם הצמדה קבועה   w n = w {\displaystyle \ w_{n}=w} , במקרה של ריבית דריבית נציב :   R n = ( 1 + r ) n , W n = ( 1 + w ) n {\displaystyle \ R_{n}=(1+r)^{n},\quad W_{n}=(1+w)^{n}} (הערה : במקרה של ריבית רגילה עם נקודת ייחוס   t 0 = 0 {\displaystyle \ t_{0}=0} צריך להציב   R n = 1 + r n , W n = 1 + w n {\displaystyle \ R_{n}=1+rn,\quad W_{n}=1+wn} אך לא נציב ערכים אלו). ניעזר בנוסחא של טור גאומטרי   ∑ k = 0 N − 1 q k = q N − 1 q − 1 {\displaystyle \ \sum _{k=0}^{N-1}q^{k}={\frac {q^{N}-1}{q-1}}} ונקבל : z = P ( 1 + r ) ∏ k = 0 N − 1 ( 1 + r ) ∑ k = 0 N − 1 ∏ m = 0 k ( 1 + r ) = P ( 1 + r ) ( 1 + r ) N ∑ k = 0 N − 1 ( 1 + r ) k + 1 = P ( 1 + r ) N ∑ k = 0 N − 1 ( 1 + r ) k = ( 1 + r ) N P r ( 1 + r ) N − 1 = 1 1 − ( 1 + r ) − N r P {\displaystyle z={\frac {P(1+r)\prod _{k=0}^{N-1}(1+r)}{\sum _{k=0}^{N-1}\prod _{m=0}^{k}(1+r)}}={\frac {P(1+r)(1+r)^{N}}{\sum _{k=0}^{N-1}(1+r)^{k+1}}}={\frac {P(1+r)^{N}}{\sum _{k=0}^{N-1}(1+r)^{k}}}={\frac {(1+r)^{N}Pr}{(1+r)^{N}-1}}={\frac {1}{1-(1+r)^{-N}}}rP} כעת ניתן לחשב את יתרת ההלוואה בזמן   n {\displaystyle \ n} : P n = ( R n − R N ∑ k = 1 n R k ∑ k = 1 N R k ) P = ( ( 1 + r ) n − ( 1 + r ) N ∑ k = 1 n ( 1 + r ) k ∑ k = 1 N ( 1 + r ) k ) P {\displaystyle P_{n}=\left(R_{n}-{\frac {R_{N}\sum _{k=1}^{n}R_{k}}{\sum _{k=1}^{N}R_{k}}}\right)P=\left((1+r)^{n}-{\frac {(1+r)^{N}\sum _{k=1}^{n}(1+r)^{k}}{\sum _{k=1}^{N}(1+r)^{k}}}\right)P} = ( 1 + r ) n ( ( 1 + r ) N − 1 ) − ( 1 + r ) N ( ( 1 + r ) n − 1 ) ( 1 + r ) N − 1 P = ( 1 + r ) N − ( 1 + r ) n ( 1 + r ) N − 1 P = 1 − ( 1 + r ) n − N 1 − ( 1 + r ) − N P {\displaystyle ={\frac {(1+r)^{n}\left((1+r)^{N}-1\right)-(1+r)^{N}\left((1+r)^{n}-1\right)}{(1+r)^{N}-1}}P={\frac {(1+r)^{N}-(1+r)^{n}}{(1+r)^{N}-1}}P={\frac {1-(1+r)^{n-N}}{1-(1+r)^{-N}}}P} בהצמדה קבועה   w {\displaystyle \ w} נקבל תשואה מצטברת של   W n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + w ) = ( 1 + w ) n {\displaystyle \ W_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1+w)=(1+w)^{n}} ומכאן נקבל תשלום חודשי של : z n = W n z = 1 1 − ( 1 + r ) − N ( 1 + w ) n r P {\displaystyle z_{n}=W_{n}z={\frac {1}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP} מכאן נסיק כי תשלומי הריבית וההצמדה יהיו : y n = 1 − ( 1 + r ) n − N 1 − ( 1 + r ) − N ( 1 + w ) n r P , x n = ( 1 + r ) n − N 1 − ( 1 + r ) − N ( 1 + w ) n r P {\displaystyle y_{n}={\frac {1-(1+r)^{n-N}}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP\quad ,\quad x_{n}={\frac {(1+r)^{n-N}}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP} סך כל התשלומים יהיה : Z = ∑ n = 1 N 1 1 − ( 1 + r ) − N ( 1 + w ) n r P = r P 1 − ( 1 + r ) − N ⋅ ( 1 + w ) N − 1 w {\displaystyle Z=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{1-(1+r)^{-N}}}(1+w)^{n}rP={\frac {rP}{1-(1+r)^{-N}}}\cdot {\frac {(1+w)^{N}-1}{w}}} קרן שווה : עבור קרן שווה נדרוש כי התשלום עבור הקרן יהיה קבוע :   x n = P N {\displaystyle \ x_{n}={\frac {P}{N}}} ויתחלק באופן שווה בכל תקופת ההלוואה, כלומר יתרת ההלוואה תקטן כל פעם ב -   P N {\displaystyle \ {\frac {P}{N}}} מכאן נקבל את משוואת ההפרשים   P n + 1 = P n − P N {\displaystyle \ P_{n+1}=P_{n}-{\frac {P}{N}}} כאשר ידוע תנאי ההתחלה   P 0 = P {\displaystyle \ P_{0}=P} . ניתן להוכיח באינדוקציה כי הפתרון למשוואת ההפרשים היא : P n = ( 1 − n N ) P {\displaystyle P_{n}=\left(1-{\frac {n}{N}}\right)P} מכאן נוכל לגזור את ערך הריבית :   y n = r n P n − 1 {\displaystyle \ y_{n}=r_{n}P_{n-1}} ואת סך הסכום   z n = y n + P N {\displaystyle \ z_{n}=y_{n}+{\frac {P}{N}}} ולכן : x n = P N , y n = r n P n − 1 = ( 1 − n − 1 N ) r n − 1 P , z n = x n + y n = ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r n − 1 ) P {\displaystyle x_{n}={\frac {P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=r_{n}P_{n-1}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}P\quad ,\quad z_{n}=x_{n}+y_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}\right)P} גם כאן כמו במקרה הקודם במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר יוכפל בערך המצטבר של המדד עד לזמן   n {\displaystyle \ n} שנתון על ידי הביטוי :   W n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + w n ) {\displaystyle \ W_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1+w_{n})} , ולכן התשלום החודשי היה נתון על פי הנוסחא : z n = ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r n − 1 ) W n P {\displaystyle z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}\right)W_{n}P} x n = W n P N , y n = ( 1 − n − 1 N ) W n r n − 1 P , z n = ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r n − 1 ) W n P {\displaystyle x_{n}={\frac {W_{n}P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)W_{n}r_{n-1}P\quad ,\quad z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r_{n-1}\right)W_{n}P} מקרה פרטי : לצורך פשטות נבחור ריבית קבועה   r n = r {\displaystyle \ r_{n}=r} , עם הצמדה קבועה   w n = w {\displaystyle \ w_{n}=w} ללא הצמדה התשלומים יהיו : x n = P N , y n = ( 1 − n − 1 N ) r P , z n = ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r ) P {\displaystyle x_{n}={\frac {P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)rP\quad ,\quad z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)P} ומכאן נוכל להסיק כי התשלום עבור הריבית יהיה   P N {\displaystyle \ {\frac {P}{N}}} והתשלום עבור הקרן יהיה   ( 1 − n − 1 N ) r P {\displaystyle \ \left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)rP} . סך כל התשלומים יהיה : Z = ∑ n = 1 N z n = ∑ n = 1 N ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r ) P = P + N ( r + 1 ) 2 P {\displaystyle Z=\sum _{n=1}^{N}z_{n}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)P=P+{\frac {N(r+1)}{2}}P} ניתן להסיק כי החלק היחסי שהתווסף (באחוזים) לסכום ההתחלתי   P {\displaystyle \ P} הוא :   50 N ( r + 1 ) {\displaystyle \ 50N(r+1)} (המקדם של האיבר השני של   P {\displaystyle \ P} במשווה לעיל הוכפל ב - 100) עם הצמדה התשלומים יהיו  : x n = ( 1 + w ) n P N , y n = ( 1 − n − 1 N ) ( 1 + w ) n r P , z n = ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r ) ( 1 + w ) n P {\displaystyle x_{n}={\frac {(1+w)^{n}P}{N}}\quad ,\quad y_{n}=\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)(1+w)^{n}rP\quad ,\quad z_{n}=\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)(1+w)^{n}P} סך כל התשלומים יהיה : Z = ∑ n = 1 N z n = ∑ n = 1 N ( 1 N + ( 1 − n − 1 N ) r ) ( 1 + w ) n P = ( 1 + w ) ( ( 1 + r ) ( 1 + w ) N + 1 − ( 1 + w ) N − ( r N + r + 1 ) w − r ) N w 2 P {\displaystyle Z=\sum _{n=1}^{N}z_{n}=\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{N}}+\left(1-{\frac {n-1}{N}}\right)r\right)(1+w)^{n}P={\frac {(1+w)\left((1+r)(1+w)^{N+1}-(1+w)^{N}-(rN+r+1)w-r\right)}{Nw^{2}}}P} הלוואת בלון : עבור הלוואה מסוג זה אנו מכסים חלק מסוים מהקרן והריבית ובסוף תקופת ההלוואה משלמים את יתרת הקרן והריבית.נניח כי בכל חודש אנו מעוניינים לשלם   α n {\displaystyle \ \alpha _{n}} מהקרן ו -   β n {\displaystyle \ \beta _{n}} מהריבית כאשר   α N − 1 = 1 {\displaystyle \ \alpha _{N-1}=1} ו -   0 ≤ α n , β n ≤ 1 {\displaystyle \ 0\leq \alpha _{n},\beta _{n}\leq 1} ו -   ∑ n = 0 N − 1 β n ≤ 1 {\displaystyle \ \sum _{n=0}^{N-1}\beta _{n}\leq 1} , בזמן   n {\displaystyle \ n} היתרה תצבור ריבית   r n − 1 {\displaystyle \ r_{n-1}} , מהיתרה נפרע   α n {\displaystyle \ \alpha _{n}} מערך הקרן   P {\displaystyle \ P} ו -   β n {\displaystyle \ \beta _{n}} מערך הריבית על היתרה   r n P n {\displaystyle \ r_{n}P_{n}} , מכאן נקבל משוואת ההפרשים :   P n = ( 1 + r n − 1 ( 1 − α n − 1 ) ) P n − 1 − β n − 1 P {\displaystyle \ P_{n}=\left(1+r_{n-1}(1-\alpha _{n-1})\right)P_{n-1}-\beta _{n-1}P} עם תנאי התחלה   P 0 = P {\displaystyle \ P_{0}=P} , עבור משוואה זו הפתרון יהיה : P n = ( ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + r k ( 1 − α k ) ) − ∑ k = 0 n − 1 β k ∏ m = k + 1 n − 1 ( 1 + r m ( 1 − α m ) ) ) P {\displaystyle P_{n}=\left(\prod _{k=0}^{n-1}\left(1+r_{k}(1-\alpha _{k})\right)-\sum _{k=0}^{n-1}\beta _{k}\prod _{m=k+1}^{n-1}\left(1+r_{m}(1-\alpha _{m})\right)\right)P} ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N − 1 } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\}}  : x n = β n − 1 P , y n = α n − 1 r n − 1 P n − 1 , z n = x n + y n = β n − 1 P + α n − 1 r n − 1 P n − 1 {\displaystyle x_{n}=\beta _{n-1}P\quad ,\quad y_{n}=\alpha _{n-1}r_{n-1}P_{n-1}\quad ,\quad z_{n}=x_{n}+y_{n}=\beta _{n-1}P+\alpha _{n-1}r_{n-1}P_{n-1}} לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה   P N {\displaystyle \ P_{N}} ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון בצורה הבאה : התשלום עבור הקרן יהיה החלק היחסי האחרון שנותר ברכיב זה כלומר   β N {\displaystyle \ \beta _{N}} מערך הקרן ההתחלתי   P {\displaystyle \ P} , לכן נקבל : x N = β N − 1 P , y N = P N − x N , z N = P N {\displaystyle x_{N}=\beta _{N-1}P\quad ,\quad y_{N}=P_{N}-x_{N}\quad ,\quad z_{N}=P_{N}} גם כאן כמו במקרים הקודמים במקרה של הוספת הצמדה יתרת ההלוואה לא תשתנה, אך התשלום החודשי (רכיבי הריבית והקרן) ישתנו כתלות במדד, כלומר יוכפל בערך המצטבר של המדד עד לזמן   n {\displaystyle \ n} שנתון על ידי הביטוי :   W n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + w n ) {\displaystyle \ W_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1+w_{n})} , ולכן התשלום החודשי בזמן   n {\displaystyle \ n} יוכפל ב   W n {\displaystyle \ W_{n}}  : ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N − 1 } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\}}  : x n = β n − 1 W n P , y n = α n − 1 r n − 1 W n P n − 1 , z n = x n + y n = ( β n − 1 P + α n − 1 r n − 1 P n − 1 ) W n {\displaystyle x_{n}=\beta _{n-1}W_{n}P\quad ,\quad y_{n}=\alpha _{n-1}r_{n-1}W_{n}P_{n-1}\quad ,\quad z_{n}=x_{n}+y_{n}=\left(\beta _{n-1}P+\alpha _{n-1}r_{n-1}P_{n-1}\right)W_{n}} לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה   P N {\displaystyle \ P_{N}} ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון : x N = β N W N − 1 P , y N = ( P N − x N ) W N , z N = W N P N {\displaystyle x_{N}=\beta _{N}W_{N-1}P\quad ,\quad y_{N}=\left(P_{N}-x_{N}\right)W_{N}\quad ,\quad z_{N}=W_{N}P_{N}} מקרה פרטי : לצורך פשטות נבחר   r n = r , w n = w , α n = α , β n = β ≤ 1 N {\displaystyle \ r_{n}=r,\quad w_{n}=w,\quad \alpha _{n}=\alpha ,\quad \beta _{n}=\beta \leq {\frac {1}{N}}} (ריבית קבועה ולקחת חלק יחסי אחיד מההלוואה) נסמן   q = 1 + r ( 1 − α ) {\displaystyle \ q=1+r(1-\alpha )} נקבל : P n = ( ∏ k = 0 n − 1 ( 1 + r ( 1 − α ) ) − ∑ k = 0 n − 1 β ∏ m = k + 1 n − 1 ( 1 + r ( 1 − α ) ) ) P = ( ∏ k = 0 n − 1 q − ∑ k = 0 n − 1 β ∏ m = k + 1 n − 1 q ) P = ( q n − β ∑ k = 0 n − 1 q n − 1 − k ) P {\displaystyle P_{n}=\left(\prod _{k=0}^{n-1}\left(1+r(1-\alpha )\right)-\sum _{k=0}^{n-1}\beta \prod _{m=k+1}^{n-1}\left(1+r(1-\alpha )\right)\right)P=\left(\prod _{k=0}^{n-1}q-\sum _{k=0}^{n-1}\beta \prod _{m=k+1}^{n-1}q\right)P=\left(q^{n}-\beta \sum _{k=0}^{n-1}q^{n-1-k}\right)P} ( q n − β q n − 1 ∑ k = 0 n − 1 q − k ) P = ( q n − β q n q ⋅ 1 − q − n 1 − q − 1 ) P = ( q n − β ⋅ q n − 1 q − 1 ) P {\displaystyle \left(q^{n}-\beta q^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}q^{-k}\right)P=\left(q^{n}-{\frac {\beta q^{n}}{q}}\cdot {\frac {1-q^{-n}}{1-q^{-1}}}\right)P=\left(q^{n}-\beta \cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)P} ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N − 1 } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\}}  : x n = β ( 1 + w ) n P , y n = ( q n − 1 − β ⋅ q n − 1 − 1 q − 1 ) ( 1 + w ) n α r P , z n = ( ( q n − 1 − β ⋅ q n − 1 − 1 q − 1 ) α r + β ) ( 1 + w ) n P {\displaystyle x_{n}=\beta (1+w)^{n}P\quad ,\quad y_{n}=\left(q^{n-1}-\beta \cdot {\frac {q^{n-1}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{n}\alpha rP\quad ,\quad z_{n}=\left(\left(q^{n-1}-\beta \cdot {\frac {q^{n-1}-1}{q-1}}\right)\alpha r+\beta \right)(1+w)^{n}P} לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה   P N {\displaystyle \ P_{N}} ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון : x N = ( 1 − N β ) ( 1 + w ) N P , y N = ( q N − β ⋅ q N − 1 q − 1 + ( N β − 1 ) ) ( 1 + w ) N P , z N = ( q N − β ⋅ q N − 1 q − 1 ) ( 1 + w ) N P {\textstyle x_{N}=\left(1-N\beta \right)(1+w)^{N}P\quad ,\quad y_{N}=\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}+\left(N\beta -1\right)\right)(1+w)^{N}P\quad ,\quad z_{N}=\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{N}P} מכאן נסיק כי סך התשלומים יהיה : Z = ∑ n = 0 N z n = z N + ∑ n = 1 N − 1 z n = [ ( q N − β ⋅ q N − 1 q − 1 ) ( 1 + w ) N + ∑ n = 1 N − 1 ( ( q n − β ⋅ q n − 1 q − 1 ) α r + β ) ( 1 + w ) n ] ( 1 + w ) P {\displaystyle Z=\sum _{n=0}^{N}z_{n}=z_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}z_{n}=\left[\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{N}+\sum _{n=1}^{N-1}\left(\left(q^{n}-\beta \cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}\right)\alpha r+\beta \right)(1+w)^{n}\right](1+w)P} ( ( q N − β ⋅ q N − 1 q − 1 ) ( 1 + w ) N + β ( 1 + α r q − 1 ) ( 1 + w ) N − 1 w + α r ( 1 − β q − 1 ) ( 1 + w ) N q N − 1 ( 1 + w ) q − 1 ) ( 1 + w ) P {\displaystyle \left(\left(q^{N}-\beta \cdot {\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)(1+w)^{N}+\beta \left(1+{\frac {\alpha r}{q-1}}\right){\frac {(1+w)^{N}-1}{w}}+\alpha r\left(1-{\frac {\beta }{q-1}}\right){\frac {(1+w)^{N}q^{N}-1}{(1+w)q-1}}\right)(1+w)P} עבור הלוואת בלון טיפוסית איננו משלמים כלל את תשלום הקרן, כלומר נבחר   w = 0 , β = 0 {\displaystyle \ w=0,\quad \beta =0} עבורה נקבל   P n = q n P {\displaystyle \ P_{n}=q^{n}P} . ומכאן נוכל להסיק את התשלומים השונים עבור   n ∈ { 1 , 2 , . . . , N − 1 } {\displaystyle \ n\in \left\{1,2,...,N-1\right\}}  : x n = 0 , y n = q n α r P , z n = q n α r P {\displaystyle x_{n}=0\quad ,\quad y_{n}=q^{n}\alpha rP\quad ,\quad z_{n}=q^{n}\alpha rP} נשים לב כי עבור   α = 0 {\displaystyle \ \alpha =0} נקבל הלוואת בלון מלאה עבורה   P n = ( 1 + r ) n P {\displaystyle \ P_{n}=(1+r)^{n}P} ו -   y n = 0 {\displaystyle \ y_{n}=0} ועבור   α = 1 {\displaystyle \ \alpha =1} נקבל הלוואת בלון חלקית עבורה   P n = P {\displaystyle \ P_{n}=P} ו -   y n = r P {\displaystyle \ y_{n}=rP} לאחר מכן יתרת ההלוואה תהיה   P N {\displaystyle \ P_{N}} ומכאן נוכל לגזור את התשלום האחרון : x N = P , y N = ( q N − 1 ) P , z N = q N P {\displaystyle x_{N}=P\quad ,\quad y_{N}=\left(q^{N}-1\right)P\quad ,\quad z_{N}=q^{N}P} נשים לב כי עבור   α = 0 {\displaystyle \ \alpha =0} נקבל הלוואת בלון מלאה עבורה   z N + 1 = ( 1 + r ) N P {\displaystyle \ z_{N+1}=(1+r)^{N}P} ו - ועבור   α = 1 {\displaystyle \ \alpha =1} נקבל הלוואת בלון חלקית עבורה   z N + 1 = P {\displaystyle \ z_{N+1}=P} כלומר משלמים את הקרן במלואה בעוד שעבור כל החודשים הקודמים שילמנו אך ורק את הריבית (ניתן לראות שלא משלמים ריבית נוספת כי   y N + 1 = 0 {\displaystyle \ y_{N+1}=0} ). נוכל גם לראות מתמטית שהלוואת בלון מלאה איננה הלוואה טובה ואז מחזירים יותר כסף בכך שנציב   w = 0 , β = 0 {\displaystyle \ w=0,\quad \beta =0} ב - Z {\displaystyle Z} ונקבל : Z ( w = β = 0 ) = ( q N + α r q N − 1 q − 1 ) P = ( ( 1 + r ( 1 − α ) ) N + α ( 1 + r ( 1 − α ) ) N − 1 1 − α ) P {\displaystyle Z(w=\beta =0)=\left(q^{N}+\alpha r{\frac {q^{N}-1}{q-1}}\right)P=\left(\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}+\alpha {\frac {\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}-1}{1-\alpha }}\right)P} Z ( w = β = α = 0 ) = lim α → 0 ( α ( 1 + r ( 1 − α ) ) N + ( 1 + r ( 1 − α ) ) N − 1 1 − α ) P = ( 1 + r ) N {\displaystyle Z(w=\beta =\alpha =0)=\lim _{\alpha \to 0}\left(\alpha \left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}+{\frac {\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}-1}{1-\alpha }}\right)P=(1+r)^{N}} Z ( w = β = 0 , α = 1 ) = lim α → 1 ( α ( 1 + r ( 1 − α ) ) N + ( 1 + r ( 1 − α ) ) N − 1 1 − α ) P = 1 + r N {\displaystyle Z(w=\beta =0,\quad \alpha =1)=\lim _{\alpha \to 1}\left(\alpha \left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}+{\frac {\left(1+r(1-\alpha )\right)^{N}-1}{1-\alpha }}\right)P=1+rN} Z ( w = β = α = 1 ) = 1 + r N ≤ ( 1 + r ) N = Z ( w = β = α = 0 ) {\displaystyle Z(w=\beta =\alpha =1)=1+rN\leq (1+r)^{N}=Z(w=\beta =\alpha =0)} נוסף על כך קיימים הסכמי דחיית תשלומים, המכונים בשמות "בוליט", "בלון" או "גרייס". ב"הלוואות בלון" משולמת מדי חודש הריבית בלבד, ובסוף התקופה משולמת הקרן בתשלום בודד. התשלום הכולל במקרה זה גבוה יותר מאשר אילו חולק הסכום לתשלומים לאורך תקופת החזר ההלוואה, כיוון שבמקרה זה הריבית התקופתית מחושבת על הסכום המלא, ולא רק על הסכום שנותר לתשלום. ערך מורחב – הלוואת גישור הלוואות מסוג "גרייס" הן הלוואות שבהן נדחה תשלום ההלוואה למועד מאוחר יותר (לרוב שנים בודדות), כשהוא ממשיך לצבור ריבית כרגיל, ולכן גם במקרה זה התשלום הכולל גבוה יותר. לעיתים המונח "גרייס" משמש שם נרדף להלוואות בלון (קרי, תשלום הקרן בתשלום יחיד). בשני המקרים סכום ההחזר הכולל בהלוואה ממין זה גבוה מסכום ההחזר בהלוואה שבה ההחזר משולם לכל אורך פירעון ההלוואה. בהסכם פריסת התשלומים, בדרך כלל מצוין אחוז ריבית שנתית, כאשר ההחזר חודשי. כיוון שמספר הימים בחודש משתנה, אך המלווה אינו מעוניין לבלבל את הלווה בשינויים קטנים בהחזר החודשי, פותחו מספר שיטות חישוב ריבית. שיטות לדוגמה: 360/360, 360/365, Act/ActE, 365.25 ועוד. ישנן שיטות דומות עבור חישובי IRR שהתמודדו עם אותה הבעיה. חלק מההלוואות מוצמדות למדד חיצוני כלשהו (כדוגמת מדד המחירים לצרכן, או לערכו של מטבע כזה או אחר), אשר אמור לספק הגדרת ערך עקבית ולהגן מפני שינויים בערך המטבע שבו נקבעה העסקה. מכיוון שהשינויים במדדים אלה אינם ידועים מראש בעת לקיחת ההלוואה, לא ללווה ולא למלווה, לא ניתן להכניסם ללוחות הסילוקין, ויש לעדכן את החוב בהתאם להם בכל עת (בהתאם להסכם ההלוואה). אשף ההלוואות, באתר חילן אמיר עוז | אמורטיזציה: המפתח הסודי להצלחה במימון השקעות נדל"ן: https://www.linkedin.com/pulse/%D7%90%D7%9E%D7%95%D7%A8%D7%98%D7%99%D7%96%D7%A6%D7%99%D7%94-%D7%94%D7%9E%D7%A4%D7%AA%D7%97-%D7%94%D7%A1%D7%95%D7%93%D7%99-%D7%9C%D7%94%D7%A6%D7%9C%D7%97%D7%94-%D7%91%D7%9E%D7%99%D7%9E%D7%95%D7%9F-%D7%94%D7%A9%D7%A7%D7%A2%D7%95%D7%AA-%D7%A0%D7%93%D7%9C%D7%9F-amir-oz-wocef/