משפט לינדמן-ויירשטראס

במתמטיקה, משפט לינדמן–ויירשטראס הוא משפט מרכזי בחקר המספרים הטרנסצנדנטיים. המשפט קובע כי אם α 1 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} מספרים אלגבריים בלתי תלויים ליניארית מעל שדה המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , אזי e α 1 , … , e α n {\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}} בלתי תלויים אלגברית מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . בפרט, e α {\displaystyle e^{\alpha }} טרנסצנדנטי לכל α {\displaystyle \alpha } אלגברי שונה מאפס ( e {\displaystyle e} הוא בסיס הלוגריתם הטבעי). המקרה הפרטי לבדו נקרא משפט לינדמן. בניסוח שקול, המשפט טוען כי תחת התנאים המצוינים דרגת הטרנסצנדנטיות של Q ( e α 1 , … , e α n ) {\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}})} מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } היא n {\displaystyle n} . ניתן להוכיח גם כי המשפט שקול לטענה כי תחת התנאים המצוינים e α 1 , … , e α n {\displaystyle e^{\alpha _{1}},\ldots ,e^{\alpha _{n}}} בלתי תלויים ליניארית מעל שדה המספרים האלגבריים. בשנת 1761 שיער יוהאן היינריך למברט (שהוכיח לראשונה את האי-רציונליות של ℼ) כי e , π {\displaystyle e,\pi } הם מספרים טרנסצנדנטיים. אולם בתקופה זו כלל לא היה ידוע אם קיימים בכלל מספרים טרנסצנדנטיים. בשנת 1844 הוכיח ז'וזף ליוביל את משפט ליוביל שהוכיח לראשונה את קיומם של המספרים הטרנסצנדנטיים ונתן דוגמה ראשונה למספר שכזה (מספר ליוביל). בשנת 1873 הוכיח שארל הרמיט כי e {\displaystyle e} מספר טרנסצנדנטי. הייתה זו הוכחת הטרנסצנדנטיות הראשונה למספר שלא נבנה לצורך זה מראש. הרמיט הצליח להכליל את הוכחתו כך שתוקפה הורחב גם לחזקות מסוימות של e {\displaystyle e} . בשנת 1882, בהתבסס על הטכניקות שפיתח הרמיט, הצליח פרדיננד לינדמן להוכיח את המשפט הנקרא על שמו, שכל חזקה אלגברית שונה מאפס של e {\displaystyle e} היא טרנסצנדנטית. תוצאה זו אפשרה ללינדמן להוכיח בקלות כי π {\displaystyle \pi } טרנסצנדנטי. הטרנסצנדנטיות של π {\displaystyle \pi } מראה כי הוא אינו איבר של שדה המספרים הניתנים לבנייה ולכן לא ניתן לפתור את בעיית תרבוע העיגול. בכך קנה לינדמן את תהילתו כמי שפתר חידה בת אלפיים שנה. בשנת 1885 הכליל קארל ויירשטראס את הוכחתו של לינדמן והוכיח את הגרסה המלאה של המשפט. מאז פרסום המשפט פישטו מתמטיקאים שונים את ההוכחה, כאשר הפישוט המשמעותי ביותר נעשה על ידי דויד הילברט. בשל תרומתו של הרמיט, המשפט נקרא גם משפט הרמיט–לינדמן או משפט הרמיט–לינדמן–ויירשטראס. ההוכחה כי π {\displaystyle \pi } מספר טרנסצנדנטי נובעת בקלות ממשפט לינדמן–ויירשטראס. נניח בשלילה כי π {\displaystyle \pi } אלגברי. היחידה המדומה ( i {\displaystyle i} ) אלגברית ולכן גם π i {\displaystyle \pi i} אלגברי (שדה המספרים האלגבריים סגור תחת כפל). לפי זהות אוילר e π i = − 1 {\displaystyle e^{\pi i}=-1} ולכן לפי משפט לינדמן–ויירשטראס נקבל את התוצאה המגוחכת כי − 1 {\displaystyle -1} טרנסצנדנטי. לכן ההנחה שגויה ו- π {\displaystyle \pi } טרנסצנדנטי. הכללה של ההוכחה תוכיח כי הפונקציות הטריגונומטריות מחזירות ערכים טרנסצנדנטיים כאשר הן מופעלות על ערכים אלגבריים שונים מאפס. cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} אלגברי אם ורק אם sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} אלגברי (נובע מהזהות sin ⁡ ( x ) = ± 1 − cos 2 ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}} ): יהי α {\displaystyle \alpha } אלגברי שונה מאפס, נניח בשלילה כי cos ⁡ ( α ) , sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \cos(\alpha ),\sin(\alpha )} אלגבריים אז לפי נוסחת אוילר e α i = cos ⁡ ( α ) + sin ⁡ ( α ) i {\displaystyle e^{\alpha i}=\cos(\alpha )+\sin(\alpha )i} אלגברי בסתירה למשפט לינדמן–ויירשטראס. תוצאה דומה תקפה לפונקציית הטנגנס ולפונקציות ההיפרבוליות. גם הלוגריתם הטבעי טרנסצנדנטי לכל α ≠ 1 {\displaystyle \alpha \neq 1} אלגברי. אחרת e ln ⁡ ( α ) = α {\displaystyle e^{\ln(\alpha )}=\alpha } סותר את המשפט. משוער כי משפט אנלוגי למשפט לינדמן–ויירשטראס נכון גם בשדה המספרים ה-p-אדיים. אם α 1 , … , α n {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}} מספרים p-אדיים אלגבריים ובלתי תלויים ליניארית מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } כך שפונקציית האקספוננט ה-p-אדי exp p {\displaystyle \exp _{p}} (מוגדרת כטור חזקות) מוגדרת עליהם, אזי exp p ⁡ ( α 1 ) , … , exp p ⁡ ( α n ) {\displaystyle \exp _{p}(\alpha _{1}),\ldots ,\exp _{p}(\alpha _{n})} בלתי תלויים אלגברית מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . משפט גלפונד-שניידר משפט לינדמן-ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)