משוואת קורטווג דה וריז

משוואת קורטווג דה וריז (אנגלית: Korteweg-de Vries Equation) או משוואת ה-KdV היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, לא ליניארית, מסדר שלישי. המשוואה פותחה כמודל של גלי ים במים רדודים. בנוסף, יש לה יישומים לסריגים המתוארים על ידי קפיצים לא ליניארים וקווי העברה לא ליניארים ועוד. למשוואה זו פתרונות יציבים הנקראים סוליטונים. למרות האי-ליניאריות של המשוואה, המשוואה פתורה אנליטית, על ידי שימוש בטרנספורמציית ה inverse scattering. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי המתמטיקאי הצרפתי בוסינסק (Joseph Valentin Boussinesq) ב-1877, ונתגלתה מחדש על ידי גוסטאב דה-וריז ודידריק קורטווג בשנת 1895 הצורה הסטנדרטית של המשוואה: ∂ u ∂ t − 6 u ∂ u ∂ x + ∂ 3 u ∂ x 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-6u{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0} המשוואה המקורית של קורטווג ודה וריז שפורסמה ב-1895 ומתארת גלי ים ארוכים בעלי אי-ליניאריות חלשה היא: ± ∂ ζ ∂ t = 3 2 g h ( ζ ∂ ζ ∂ x + 2 3 α ∂ ζ ∂ x + 1 3 σ ∂ 3 ζ ∂ x 3 ) {\displaystyle \pm {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {g}{h}}}(\zeta {\frac {\partial \zeta }{\partial x}}+{\frac {2}{3}}\alpha {\frac {\partial \zeta }{\partial x}}+{\frac {1}{3}}\sigma {\frac {\partial ^{3}\zeta }{\partial x^{3}}})} כאשר σ = 1 / 3 h 3 − T h / ρ g {\displaystyle \sigma =1/3h^{3}-Th/\rho g} הסימון ± ∂ ζ ∂ t {\displaystyle \pm {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}} נועד להבדיל בין הגל שנע שמאלה וימינה. T - הוא מתח הפנים של המים. ρ {\displaystyle \rho } - הוא צפיפות הנוזל. g {\displaystyle g} - תאוצת הכובד. h {\displaystyle h} - עומק המים. על ידי שימוש בטרנספורמציות : u = k 1 ζ + k 0 ; X = k 3 x + k 2 ; T = k 4 t + k 5 {\displaystyle u=k_{1}\zeta +k_{0};X=k_{3}x+k_{2};T=k_{4}t+k_{5}} שהן מקרה פרטי של חבורת לי ומשחק בערכים של k 0 . . . k 5 {\displaystyle k_{0}...k_{5}} נוכל להגיע לצורות השקולות הבאות: ∂ u ∂ T + ( 1 + u ) ∂ u ∂ X + ∂ 3 u ∂ X 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial T}}+(1+u){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial X^{3}}}=0} ∂ u ∂ T = ( 1 + u ) ∂ u ∂ X + ∂ 3 u ∂ X 3 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial T}}=(1+u){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial X^{3}}}} ∂ u ∂ T − 6 u ∂ u ∂ X + ∂ 3 u ∂ X 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial T}}-6u{\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial X^{3}}}=0} ועוד... למשוואה פתרונות יציבים של גלים סוליטריים (או סוליטונים), גלים אשר הצורה שלהם נשמרת לאורך הזמן ורק עוברים העתקה, תופעת הסוליטונים איננה ייחודית למשוואת ה-KdV, הצורות הללו במשוואה שלנו יהיו פונקציות אליפטיות (המרכזית שבהן cn) המייצגת את ה-cnoidal waves וסקאנטים היפרבוליים בריבוע. את היציבות הזו אפשר להסביר אינטואיטיבית על ידי שתי תופעות מנוגדות, הליניארית מסדר גבוהה, והתופעה הלא ליניארית. אם נשתמש בקירוב של אמפליטות נמוכות( 1 + u ≈ 1 {\displaystyle 1+u\approx 1} ), כלומר אי ליניאריות חלשה נקבל כי ∂ u ∂ T + ∂ u ∂ X + ∂ 3 u ∂ X 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial T}}+{\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial X^{3}}}=0} לה יחס הנפיצה (דיספרסיה) הבא : ω = k − k 3 {\displaystyle \omega =k-k^{3}} ולכן מהירות פאזה c = ω k = 1 − k 2 {\displaystyle c={\frac {\omega }{k}}=1-k^{2}} ומהירות חבורה c g = d ω d k = 1 − 3 k 2 < c {\displaystyle c_{g}={\frac {d\omega }{dk}}=1-3k^{2}<c} ולכן חבילת גלים תשאף להתרחב. כעת נתעלם מהאיבר בסדר גבוהה במשוואה, אך לא מהחלק הלא ליניארי כלומר: ∂ u ∂ T + ( 1 + u ) ∂ u ∂ X = 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial T}}+(1+u){\frac {\partial u}{\partial X}}=0} על ידי שימוש בשיטת הקרקטריסטיקות נוכל להיווכח כי ללא קבלת תנאי התחלה הפתרון הכללי למשוואה הוא: u = f ( x − ( 1 + u ) t ) {\displaystyle u=f(x-(1+u)t)} כלומר ההפרעה נעה במהירות שפרופורציונלית לאמפליטודה שלה, חלקים גבוהים ינועו מהר ונמוכים ינועו לאט, כך שהחלקים הגבוהים בהפרעה יגשרו על הפער ההתחלתי והפונקציה תהפוך תלולה יותר עד שהקירוב של המשוואה ישבר או ייווצר גל הלם (בדומה לשבירה של גלי ים) כלומר הסדר הגבוה במשוואה יגרור התרחבות ואילו החלק הלא ליניארי יגרור היצרות, שילוב של השניים יהיה זה שמייצב צורות מסוימות בסוליטונים. נחפש עבור המשוואה הסטנדרטית פתרונות מהצורה u ( x , t ) = f ( X ) ; s . t : X = x − c t {\displaystyle u(x,t)=f(X);s.t:X=x-ct} יש לשים לב כי כרגע c איננו מוגדר בתור מהירות אבל קל להשתכנע כבר עכשיו שהוא יהיה מהירות הגל. נציב את הפתרון במשוואה הסטנדרטית: ∂ f ∂ t − 6 f ∂ f ∂ x + ∂ 3 f ∂ x 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}-6f{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}=0} על ידי כלל השרשרת נקבל: − c f ′ − 6 f f ′ + f ‴ = 0 {\displaystyle -cf'-6ff'+f'''=0} על ידי העברת אגפים וביצוע אינטגרל נקבל f ″ = 3 f 2 + c f + c o n s t 1 . {\displaystyle f''=3f^{2}+cf+const_{1}.} הכפלה ב- f ′ {\displaystyle f'} וביצוע אינטגרל פעם נוספת 1 2 f ′ 2 = f 3 + c 2 f 2 + c o n s t 1 f + c o n s t 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}f'^{2}=f^{3}+{\frac {c}{2}}f^{2}+const_{1}f+const_{2}.} אם נניח כי c o n s t 1 , c o n s t 2 = 0 {\displaystyle const_{1},const_{2}=0} נוכל לקבל כי X = ∫ d f f ′ = ∫ d f f 2 f + c {\displaystyle X=\int {\frac {df}{f'}}=\int {\frac {df}{f{\sqrt {2f+c}}}}} וע"י שימוש בהצבה f = − 1 2 c s e c h 2 ( θ ) {\displaystyle f=-{\frac {1}{2}}csech^{2}(\theta )} הפתרונות היציבים יהיו מהצורה : u ( x , t ) = − 0.5 c ∗ s e c h 2 ( 1 2 c ( x − x 0 − c t − c t 0 ) ) {\displaystyle u(x,t)=-0.5c*sech^{2}({\frac {1}{2}}{\sqrt {c}}(x-x_{0}-ct-ct_{0}))} והם נקראים סוליטונים. פתרונות יציבים נוספים, שלא תחת ההנחה שהקבועים הם אפס, יכולים להכתב על ידי פונקציות אליפטיות, ובפרט גל קונאידלי (cnoidal wave) המתואר על ידי הפונקציה האליפטית cn. מתברר שאת המשוואה אפשר לפתור נומרית על ידי שימוש בעזרת טרנספורם פוריה ב"שיטת השלבים" כלומר קודם את החלק הליניארי ואז את הלא ליניארי. ∂ t u + 3 ∂ x ( u ) 2 + ∂ x 3 u = 0. {\displaystyle \partial _{t}u+3\partial _{x}\left(u\right)^{2}+\partial _{x}^{3}u=0.} לכן הטרנספורם פורייה של המשוואה יהיה ∂ t u ^ + 3 i k ( u 2 ) ^ − i k 3 u ^ = 0 {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}+3ik{\widehat {\left(u^{2}\right)}}-ik^{3}{\hat {u}}=0} בשיטת השלבים נעסוק בחלק הליניארי בלבד ∂ t u ^ = − 3 i k ( u 2 ) ^ + i k 3 u ^ {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}=-3ik{\widehat {\left(u^{2}\right)}}+ik^{3}{\hat {u}}} ונפתור במדויק. ∂ t u ^ = i k 3 u ^ {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}=ik^{3}{\hat {u}}} בולאחר מכן בחלק הלא ליניארי ∂ t u ^ = − 3 i k ( u 2 ) ^ {\displaystyle \partial _{t}{\hat {u}}=-3ik{\widehat {\left(u^{2}\right)}}} את החלק הלא ליניארי נפתור בצורה נומרית על ידי קידום בזמן בשיטת אוילר, הרעיון מאחורי שיטת השלבים הוא שפתרון שתי בעיות אלו במקביל, באופן בלתי תלוי במהלך הקידום בזמן בין t {\displaystyle t} ל t + Δ t {\displaystyle t+\Delta t} , לא משנה משמעותית את הפתרון. ולכן סדר הפעולות מפורשות על ידי פורייה יהיה: u ^ 1 ( k , t + Δ t ) = u ^ ( k , t ) e i k 3 Δ t u ^ ( k , t + Δ t ) = u ^ 1 ( k , t + Δ t ) − 3 i k Δ t ( u 1 2 ) ^ {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {u}}_{1}\left(k,t+\Delta t\right)&=&{\hat {u}}\left(k,t\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k^{3}\Delta t}\\{\hat {u}}\left(k,t+\Delta t\right)&=&{\hat {u}}_{1}\left(k,t+\Delta t\right)-3ik\Delta t{\widehat {\left(u_{1}^{2}\right)}}\end{matrix}}} במשוואה קיימים גם u {\displaystyle u} וגם u ^ {\displaystyle {\hat {u}}} אולם הקשר ביניהם הוא פשוט טרנספורם פורייה. והמשוואה הופכת ל: u ^ 1 ( k , t + Δ t ) = u ^ ( k , t ) e i k 3 Δ t u ^ ( k , t + Δ t ) = u ^ 1 ( k , t + Δ t ) − 3 i k Δ t ( F ( ( F − 1 [ u ^ 1 ( k , t + Δ t ) ] ) 2 ) ) {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {u}}_{1}\left(k,t+\Delta t\right)&=&{\hat {u}}\left(k,t\right)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k^{3}\Delta t}\\{\hat {u}}\left(k,t+\Delta t\right)&=&{\hat {u}}_{1}\left(k,t+\Delta t\right)-3ik\Delta t\left({\mathcal {F}}\left(\left({\mathcal {F}}^{-1}\left[{\hat {u}}_{1}\left(k,t+\Delta t\right)\right]\right)^{2}\right)\right)\end{matrix}}} מימוש לדוגמה במטלאב של הפתרון הנומרי בשיטת אוילר, תוך שימוש ב'שיטת השלבים'. N = 256; x = linspace(-10,10,N); delta_x = x(2) - x(1); delta_k = 2*pi/(N*delta_x); k = [0:delta_k:N/2*delta_k,-(N/2-1)*delta_k:delta_k:-delta_k]; c=16; u = 1/2*c*(sech(sqrt(c)/2*(x+8))).^2; delta_t = 0.4/N^2; tmax = 0.1; nmax = round(tmax/delta_t); U = fft(u); for n = 1:nmax % first we solve the linear part U = U.*exp(1i*k.^3*delta_t); %then we solve the non linear part U = U - delta_t*(3i*k.*fft(real(ifft(U)).^2)); end פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. קירוב בוסינסק (ציפה) מדיה וקבצים בנושא משוואת קורטווג דה וריז בוויקישיתוף משוואת קורטווג דה וריז, באתר MathWorld (באנגלית) Darrigol, O. (2005), Worlds of Flow: A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press, p. 84, ISBN 9780198568438 Bluman, G & Cole, J, Similarity Methods for Differential Equations, Springer-Verlag New York, Heidelberg, Berlin, 1974, 332 pp (Vol. 13, Appl. Math. Sci.).