חוג המספרים השלמים

חוג המספרים השלמים הוא מערכת מספרים הכוללת את המספרים השלמים, חיוביים ושליליים, לרבות אפס (ואותם בלבד), יחד עם פעולות החיבור והכפל. את חוג המספרים השלמים מקובל היום לסמן באות   Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} } , שהיא האות הראשונה במילה הגרמנית "Zahlen" (מספרים). אוסף זה של מספרים הוא הדוגמה הבסיסית לחוג קומוטטיבי. בפיתוח האקסיומטי של מערכות מספרים, חוג המספרים השלמים מוגדר מתוך מערכת פאנו של המספרים הטבעיים. זהו אחד המבנים הבסיסיים ביותר בתורת החוגים ובמתמטיקה בכלל. יחד עם תכונותיו והפעולות המוגדרות עליו, מהווה החוג אבן יסוד בתחומים רבים, כמו אלגברה, תורת המספרים ועוד. תכונות החוג מהוות בסיס להגדרות כלליות יותר בתורת החבורות והחוגים. ישנן מספר דרכים להגדיר את חוג השלמים   Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} } . אחת מהן היא בעזרת המספרים הטבעיים N = { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}} (שמוגדרים בעזרת אקסיומות פיאנו) : נוסיף איבר נייטרלי לחיבור שנסמנו 0 {\displaystyle 0} , שיקיים לכל איבר a {\displaystyle a} במערכת החדשה a + 0 = 0 + a = a {\displaystyle a+0=0+a=a} לכל מספר טבעי a {\displaystyle a} נגדיר את המספר הנגדי לו, − a {\displaystyle -a} כך ש- a + ( − a ) = ( − a ) + a = 0 {\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0} . בהינתן הגדרות אלו, ניתן להוכיח כי Z = { . . . − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } {\displaystyle \mathbb {Z} =\{...-2,-1,0,1,2,...\}} הוא חוג. היות שכפל המספרים הטבעיים חילופי, הרי שגם הכפל הנגזר חילופי, והחוג הוא חוג קומוטטיבי. החבורה החיבורית של   Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} } היא החבורה הציקלית האינסופית, כלומר החבורה הציקלית האינסופית היחידה עד כדי איזומורפיזם. זוהי גם החבורה החופשית עם יוצר אחד. החבורה נוצרת על ידי 1 ו--1. כל האיברים בה מלבד 0 (איבר היחידה) הם מסדר אינסופי, וכל תת-החבורות שלה הן החבורות הציקליות האינסופיות n Z = { n k ∣ k ∈ Z } {\displaystyle n\mathbb {Z} =\{nk\mid k\in \mathbb {Z} \}} . המספרים השלמים הם אחד החוגים הבסיסיים ביותר. מעבר לכך, במקרים רבים הם מהווים מוטיבציה להגדרות כלליות יותר, שמטרתן היא להכליל את התכונות של המספרים השלמים בתורת החוגים הכללית. להלן מספר תכונות מרכזיות של   Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} } כחוג: כאמור לעיל, פעולת הכפל שומרת על קומוטטיביות ממערכת המספרים הטבעיים, ועל כן החוג הוא קומוטטיבי. בחוג קומוטטיבי זה אין מחלקי אפס, כלומר הוא תחום שלמות. האיברים ההפיכים היחידים לפעולת הכפל בחוג הם − 1 , 1 {\displaystyle -1,1} . חוג זה הוא תחום ראשי, כלומר כל האידיאלים בו הם ראשיים. אכן קל לוודא שכל קבוצה מהצורה ( a ) = { a b | b ∈ Z } {\displaystyle (a)=\left\{ab|b\in \mathbb {Z} \right\}} היא אידיאל, וגם ההפך נכון - אם I {\displaystyle I} אידיאל שונה מהאידיאל האפס, אפשר לבחור את המחלק המשותף המקסימלי של איברי האידיאל, ולהראות כי הוא יוצר את האידיאל. על חוג זה ניתן להגדיר נורמה בעזרת פונקציית הערך המוחלט. נורמה זו הופכת את המרחב לחוג אוקלידי, בגלל עקרון החלוקה עם שארית במספרים השלמים. זו דרך נוספת להסביר מדוע החוג הוא ראשי - כל חוג אוקלידי הוא ראשי. החוג הוא תחום פריקות יחידה, כלומר כל איבר בו ניתן להציג כמכפלה של גורמים אי פריקים, עד כדי כפל באיבר הפיך (ראו גם המשפט היסודי של האריתמטיקה). המספרים השלמים הם אחד המקרים בהם אין הבדל בין איבר אי פריק לאיבר ראשוני. בחוגים אחרים אין הדבר הוא כך (ראו הרחבות בהמשך). שדה השברים של החוג הוא שדה המספרים הרציונליים. זו גם אחת הדרכים לתאר את בניית הרציונליים מלכתחילה. חוג זה אינו ארטיני, שהרי הסדרה   2 Z ⊃ 4 Z ⊃ 8 Z ⊃ … {\displaystyle \ 2\mathbb {Z} \supset 4\mathbb {Z} \supset 8\mathbb {Z} \supset \dots } אינה מסתיימת. לאחר הגדרת חוג השלמים, עלתה השאלה כיצד ניתן להרחיב אותו אבל "לא בהרבה", או במילים אחרות למצוא חוגים נוספים "בין" המספרים השלמים למספרים הרציונליים ואף למספרים הממשיים ולמספרים המרוכבים. אפשר להוסיף לחוג איברים ו"לסגור" את הקבוצה החדשה, כך שייווצר חוג מינימלי שיכיל את המספרים השלמים ואת האיברים החדשים. פורמלית, לכל קבוצת מספרים מרוכבים S {\displaystyle S} , אפשר להגדיר את Z [ S ] {\displaystyle \mathbb {Z} [S]} כחיתוך כל תת-החוגים של שדה המספרים המרוכבים המכילים את S {\displaystyle S} ואת 1. קבוצה זו מגדירה חוג (כחיתוך של חוגים), וזהו החוג הקטן ביותר שמכיל את Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ואת S {\displaystyle S} . למשל, אם S = { − 5 } {\displaystyle S=\{{\sqrt {-5}}\}} , אז ניתן להראות כי Z [ S ] = Z [ − 5 ] = { a + b − 5 : a , b ∈ Z } {\displaystyle \mathbb {Z} [S]=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]=\left\{a+b{\sqrt {-5}}:a,b\in \mathbb {Z} \right\}} . בקבוצה זו ראשוניים ואי פריקים מקבלים משמעות שונה, שכן 3 {\displaystyle 3} לא ראשוני אבל כן אי פריק. אובייקטים, בעיות אלה ופתרונותיהן נמצאים בבסיס של תורת המספרים האלגברית. חוג השלמים של גאוס חוג השלמים של אייזנשטיין חוג המספרים השלמים, באתר MathWorld (באנגלית)