פונקציית מביוס

במתמטיקה, פונקציית מביוס, המסומנת μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} היא פונקציה אריתמטית שהוצגה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס. הפונקציה מוגדרת על המספרים הטבעיים והיא תלויה רק בפירוק לגורמים של המספר שעליו היא פועלת. לפונקציה שימושים בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, ויש לה גרסאות מוכללות (המוגדרות על קבוצה סדורה). אם יש ל- n {\displaystyle n} גורם ריבועי אז μ ( n ) = 0 {\displaystyle \mu (n)=0} . אחרת n {\displaystyle n} הוא מכפלה של (נאמר) r {\displaystyle r} גורמים ראשוניים שונים, ואז μ ( n ) = ( − 1 ) r {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{r}} . בפרט μ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \mu (1)=1} . כלומר, הפונקציה מחזירה 1 עבור מכפלה של מספר זוגי של ראשוניים, ו-1- עבור מכפלה של מספר אי-זוגי של ראשוניים, לרבות עבור הראשוניים עצמם. פונקציית מביוס היא פונקציה כפלית, כלומר אם gcd ( m , n ) = 1 {\displaystyle \gcd(m,n)=1} אז μ ( m n ) = μ ( m ) μ ( n ) {\displaystyle \mu (mn)=\mu (m)\mu (n)} . ∑ d | n μ ( d ) = { 1 : n = 1 0 : n ≥ 2 {\displaystyle \sum _{d\,|\,n}\mu (d)={\begin{cases}1&:n=1\\0&:n\geq 2\end{cases}}} תכונה שימושית היא נוסחת ההיפוך של מביוס, הנובעת מהיותה של פונקציית מביוס האיבר ההופכי לפונקציה 1 ( n ) ≡ 1 {\displaystyle \mathbf {1} (n)\equiv 1} ביחס לקונבולוציית דיריכלה. נסמן f ( m , n ) = | { k : 1 ≤ k ≤ m , gcd { k , n } = 1 } | {\displaystyle f(m,n)=\left|{\bigl \{}k:1\leq k\leq m,\gcd\{k,n\}=1{\bigr \}}\right|} , פונקציית מספר המספרים בין 1 ל- m {\displaystyle m} שזרים ל- n {\displaystyle n} . נרצה למצוא נוסחה לחישוב f {\displaystyle f} . נסמן ב- p 1 , p 2 , … , p r {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{r}} את הראשוניים השונים שמחלקים את n {\displaystyle n} (ייתכן יותר מפעם אחת). נחשב את f {\displaystyle f} לפי עקרון ההכלה וההפרדה: ראשית נוסיף את כל המספרים בין 1 ל- m {\displaystyle m} , יש m {\displaystyle m} כאלה. אחר כך לכל p i {\displaystyle p_{i}} נוריד את כל המספרים שמתחלקים בו, יש ⌊ m p i ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{p_{i}}}\right\rfloor } כאלה (לפירוש הסימון ראו פונקציית רצפה) אחר כך נוסיף לכל p i , p j {\displaystyle p_{i},p_{j}} את כל המספרים שמתחלקים בשניהם, יש ⌊ m p i p j ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor } כאלה, וכן הלאה. בסך הכל נקבל את הנוסחה: f ( m , n ) = ∑ S ⊂ { 1 , … , r } ( − 1 ) | S | ⌊ m ∏ s ∈ S p s ⌋ {\displaystyle f(m,n)=\sum _{S\subset \{1,\ldots ,r\}}{(-1)^{|S|}\left\lfloor {\frac {m}{\prod \limits _{s\in S}p_{s}}}\right\rfloor }} שבעזרת פונקציית מביוס אפשר להציגה בדרך פשוטה יותר: f ( m , n ) = ∑ d | n μ ( d ) ⌊ m d ⌋ {\displaystyle f(m,n)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\left\lfloor {\frac {m}{d}}\right\rfloor } אם לוקחים m = n {\displaystyle m=n} הביטוי בתוך הערך השלם נהיה שלם; במקרה זה אפשר לפשט את הביטוי ל- n ( 1 − 1 p 1 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) {\displaystyle n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)} , שהיא הנוסחה הידועה לחישוב פונקציית אוילר. אם X {\displaystyle X} היא קבוצה עם יחס סדר חלש, פונקציית מביוס של הקבוצה מוגדרת לפי השוויון μ ( x , y ) = [ X ] a , b − 1 {\displaystyle \mu (x,y)=[X]_{a,b}^{-1}} , כאשר המטריצה [ X ] {\displaystyle [X]} מתארת את היחס [ X ] a , b = { 1 : a ≤ b 0 : a > b {\displaystyle [X]_{a,b}={\begin{cases}1&:a\leq b\\0&:a>b\end{cases}}} עבור המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, מתקבלת פונקציית מביוס הרגילה. מדיה וקבצים בנושא פונקציית מביוס בוויקישיתוף גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת ההיפוך של מביוס, באתר "לא מדויק", 7 בינואר 2012 פונקציית מביוס, באתר MathWorld (באנגלית)