E=mc²

E=mc2 (לעיתים נקראת נוסחת איינשטיין), היא נוסחה נודעת מתחום הפיזיקה שניסח אלברט איינשטיין. הנוסחה קובעת, לא רק עיקרון כללי של שקילות המסה והאנרגיה, אלא גם יחס המרה מדויק בין המסה (m) של עצם נתון לבין האנרגיה (E) שלו: האנרגיה שווה למסה כפול מהירות האור (c) בריבוע. השלכות הנוסחה נרחבות מאוד, בראש ובראשונה בגלל הצבעתה על עצם העיקרון הכללי החדשני - אודות שקילותן של מסה ואנרגיה - הנושא משמעות פילוסופית עצומה שלמעשה משהתגלתה ערערה לגמרי את התפיסה הישנה של טיב קשר האנרגיה למסה במכניקה הקלאסית ששלטה עד אז במדע המקובל במשך מאות שנים, אבל גם בגלל יחס השקילות המפתיע הנחשף בנוסחה - שהוא למעשה יחס גבוה מאד (בהיות c המהירות הכי גבוהה בטבע) - ושמשליך אפוא מיידית על מידת הדרמטיות שצפונה בשימושיות של הנוסחה כולל בגילוי האמפירי של ההיתוך והביקוע הגרעיניים (שהתגלו כעשרים שנה אחרי הגילוי התאורטי של הנוסחה עצמה). היא גם הובילה בסופו של דבר להגיית תורת היחסות הכללית. הנוסחה התפרסמה לציבור הרחב בעיקר משום שהובילה לפיתוח פצצת האטום. כיום היא נחשבת לאחת מן הנוסחאות החשובות והמפורסמות ביותר מתחום הפיזיקה, ומהווה סמל לתרבות ומדע. בפיזיקה, הגודל "מסה" הוא גודל שמתאר שתי תכונות: כמה גוף מתנגד לתאוצה וכמה הוא מושך דברים אחרים אליו לפי כוח הכבידה. משמעות הנוסחה היא שככל שגוף צובר יותר אנרגיה, המסה שלו תשתנה בהתאם. לדוגמה, כדי לפרק אטום מימן לפרוטון ואלקטרון נפרדים זה מזה (לא קשורים), צריך להשקיע אנרגיה. לפי הנוסחה, ניתן להסיק שמערכת שמכילה פרוטון ואלקטרון שנפרדים זה מזה היא מסיבית יותר ממערכת שמכילה אטום מימן אחד, זאת על אף שבשתי המערכות יש אותם חלקיקים בדיוק. במקרה הזה, לפי הנוסחה, השינוי במסה יהיה בסדר גודל של 10 − 35 {\displaystyle 10^{-35}} קילוגרם, קטן פי 100,000 ממסת האלקטרון – ולכן בחיי היום יום האפקט הזה זניח וקשה מאוד למדידה. עם זאת, במאיצי חלקיקים שבהם מהירות ואנרגיית החלקיקים גבוהה מאד, העלייה במסה היא משמעותית וניתנת למדידה. ניתן לתאר זאת גם בכיוון ההפוך: כדי ליצור חומר במסה m {\displaystyle \mathbb {m} } , צריך להשקיע אנרגיה בסך m c 2 {\displaystyle \mathbb {mc^{2}} } (דבר שניכר בתופעות כמו יצירת זוגות). על פי הנוסחה, כמות האנרגיה המקסימלית שניתן להפיק מעצם זהה למסת העצם כפול מהירות האור בריבוע. אפילו למסות קטנות יחסית, ערכה של אנרגיית המנוחה גבוה מאוד. נוסחת איינשטיין, שלמעשה קובעת בין השאר - כי נכונה לפחות בחינה אחת של שקילות המסה והאנרגיה - כלומר כי כל מסה היא אנרגיה, תקפה לפחות לכל העצמים הנחים בעלי מסה (שאינם נושאים אפוא אנרגיה קינטית); בעוד שתיקוף נוסחת איינשטיין גם לעצמים אשר נעים (כלומר אשר נושאים אנרגיה קינטית) כדי לקבוע בין השאר - כי נכונה גם הבחינה הנגדית של השקילות - כלומר כי גם כל אנרגיה היא מסה, תלוי בהגדרת המסה המופיעה בנוסחת איינשטיין, כפי שיפורט בפיסקה הבאה (וכן בשני תת-הפרקים הבאים). בפיזיקה המודרנית, אנרגיית המנוחה E 0 {\displaystyle E_{0}} של עצם נתון (כלומר אנרגיית העצם שנצפית מבעד למסגרת ייחוס שמבעדה העצם נצפה נח) - כמו גם מסת המנוחה m 0 {\displaystyle m_{0}} שלו (כלומר מסת העצם שנצפית מבעד למסגרת ייחוס שמבעדה העצם נצפה נח) - הן אינווריאנטיות (אנ'), ולגבי שתיהן תקפה גם הצורה E 0 = m 0 c 2 {\displaystyle E_{0}=m_{0}c^{2}} של נוסחת איינשטיין. כמו כן: הואיל ובדרך כלל נוסחת איינשטיין מיושמת על עצם שנצפה נח מבעד למסגרת הייחוס של הצופים בעצם, כשאז מבעדה האנרגיה היחסותית E {\displaystyle E} שלו היא אפוא גם אנרגיית המנוחה E 0 {\displaystyle E_{0}} שלו, הרי שמבעד למסגרת ייחוס זו הצורה הנ"ל של נוסחת איינשטיין תוכל גם להיכתב E = m 0 c 2 {\displaystyle E=m_{0}c^{2}} (כפי שיורחב על כך יותר בפיסקה האחרונה של תת-הפרק הסמוך). ואולם, הואיל והאנרגיה היחסותית E {\displaystyle E} - כמו גם המסה היחסותית - אינן אינווריאנטיות, לכן מנקודת מבט של מסגרת ייחוס אחרת - העצם עשוי להיות בתנועה - כך שתשתנה האנרגיה היחסותית שלו שכבר לא תוכל אפוא להתלכד עם אנרגיית המנוחה E 0 {\displaystyle E_{0}} שלו, ואז הנוסחה E = m 0 c 2 {\displaystyle E=m_{0}c^{2}} כבר לא תחול לגבי מסגרת ייחוס אחרת זו, ואז כדי לאפיין את האנרגיה היחסותית E {\displaystyle E} יש להשתמש בנוסחאות אחרות - למשל בנוסחה E = γ m 0 c 2 {\displaystyle E=\gamma m_{0}c^{2}} (כאשר γ {\displaystyle \gamma } מסמן את הגורם 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} אם v {\displaystyle v} מסמן את מהירות העצם שקטנה ממהירות האור c {\displaystyle c} ) - ולמשל בנוסחת מינקובסקי (שהיא למעשה ה"נורמה" של וקטור ה־4־תנע במרחב מינקובסקי): E = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 {\displaystyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}} (כאשר p {\displaystyle p} מסמן את התנע היחסותי של העצם: ( p = γ m 0 v {\displaystyle (p=\gamma m_{0}v} . בשני תת-הפרקים הבאים מובאות עבור עצמים נעים, עוד צורות תקפות - וחלקן אף יותר פשוטות - של נוסחת איינשטיין, אם כי תקפותן תלויה במובנו של הסימן . m {\displaystyle .m} בתורת היחסות התאורטית, מקובל לסמן ב- m {\displaystyle m} את "המסה היחסותית" של עצם נתון, שלמעשה קשורה אל מסת המנוחה m 0 {\displaystyle m_{0}} שלו לפי היחס: m = m 0 1 − v 2 c 2 {\displaystyle m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} , כאשר v {\displaystyle v} מסמן את מהירות העצם (כולל אפשרות של מהירות אפס) - ובלבד שהיא קטנה ממהירות האור c {\displaystyle c} . לפי פירוש זה של , m {\displaystyle ,m} ניתן להגיע-ריגורוזית לנוסחת איינשטיין E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} עבור כל עצם - נח או נע (שאיטי מהאור) - בדרך יותר קצרה ופשוטה מזו שבה נקט איינשטיין, אם למשל משתמשים - הן ביחס הנ"ל שבין המסה היחסותית לבין מסת המנוחה - והן בהגדרת התנע p = m v {\displaystyle p=mv} שהנו למעשה התנע היחסותי (שהרי הוא מוגדר לפי המסה היחסותית m {\displaystyle m} ), וכך מסיקים-אלגברית לגבי כל עצם בעל: הן מסת מנוחה m 0 {\displaystyle m_{0}} והן מסה יחסותית m {\displaystyle m} והן מהירות v < c {\displaystyle v<c} והן תנע יחסותי p {\displaystyle p} : m 2 c 4 = m 0 2 c 4 1 − v 2 / c 2 = ( 0 ) + m 0 2 c 4 1 − v 2 / c 2 = ( m 0 2 v 2 c 2 − m 0 2 v 2 c 2 ) + m 0 2 c 4 1 − v 2 / c 2 = {\displaystyle m^{2}c^{4}={\frac {m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}}={\frac {(0)+m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}}={\frac {(m_{0}^{2}v^{2}c^{2}-m_{0}^{2}v^{2}c^{2})+m_{0}^{2}c^{4}}{1-v^{2}/c^{2}}}=} m 0 2 v 2 c 2 + ( m 0 2 c 4 − m 0 2 v 2 c 2 ) 1 − v 2 / c 2 = m 0 2 v 2 c 2 1 − v 2 / c 2 + m 0 2 c 4 − m 0 2 v 2 c 2 1 − v 2 / c 2 = {\displaystyle {\frac {m_{0}^{2}v^{2}c^{2}+(m_{0}^{2}c^{4}-m_{0}^{2}v^{2}c^{2})}{1-v^{2}/c^{2}}}={\frac {m_{0}^{2}v^{2}c^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}+{\frac {m_{0}^{2}c^{4}-m_{0}^{2}v^{2}c^{2}}{1-v^{2}/c^{2}}}=} m 2 v 2 c 2 + m 0 2 c 4 ( 1 − v 2 / c 2 ) 1 − v 2 / c 2 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 {\displaystyle m^{2}v^{2}c^{2}+{\frac {m_{0}^{2}c^{4}(1-v^{2}/c^{2})}{1-v^{2}/c^{2}}}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}} לסיכום: לגבי העצם הנ"ל, , m 2 c 4 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 {\displaystyle ,m^{2}c^{4}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}} ולכן , m c 2 = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 {\displaystyle ,mc^{2}={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}} ולכן אם האנרגיה היחסותית שלו היא E {\displaystyle E} הרי, שמתקבל כי אם ורק אם נכונה נוסחת איינשטיין E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} אז נכונה נוסחת מינקובסקי , E = p 2 c 2 + m 0 2 c 4 {\displaystyle ,E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}}} כלומר שמתקבל כי שתי הנוסחאות שקולות זו לזו. ואולם מבחינה היסטורית, נוסחת איינשטיין - היותר פשוטה - קדמה: מינקובסקי עצמו (שלמעשה לא רצה להזכיר את המסה היחסותית וגם לא את המהירות), יכל "להמציא" את וקטור ה־4־תנע - בעל הנורמה המוגדרת בנוסחה הנ"ל של מינקובסקי, רק אחרי שהוא התוודע לנוסחת איינשטיין - ולא קודם לכן. אם מניחים את נוסחת מינקובסקי, אז מוכחת אפוא נוסחת איינשטיין E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} במובנה הכללי ביותר, שמתייחס אפוא לכל עצם - נח או נע (לאט מהאור) - בעל אנרגיה יחסותית E {\displaystyle E} ובעל מסה יחסותית . m {\displaystyle .m} אם נציב כעת v = 0 {\displaystyle v=0} בנוסחה , m = m 0 1 − v 2 c 2 {\displaystyle ,m={\frac {m_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} נקבל כי m = m 0 {\displaystyle m=m_{0}} כלומר כי בזמן מנוחה דהיינו במהירות v = 0 {\displaystyle v=0} הכמות של מסת המנוחה שווה לכמות המסה היחסותית, וניתן אז לכתוב אפוא את נוסחת איינשטיין E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} בתור . E = m 0 c 2 {\displaystyle .E=m_{0}c^{2}} במילים אחרות: כאשר התנע היחסותי p {\displaystyle p} הוא אפס - ולכן גם המהירות v {\displaystyle v} היא אפס - כלומר במקרה מיוחד שבו העצם נח, נקבל E = m 0 c 2 {\displaystyle E=m_{0}c^{2}} . זהו המקרה היחיד שבו נוסחת איינשטיין יכולה להיכתב בצורה E = m 0 c 2 {\displaystyle E=m_{0}c^{2}} . אך לגבי כל מהירות שרירותית כלשהי של העצם שאינה בהכרח מאופסת, אם לא נרצה להזכיר אותה בנוסחה אז נצטרך להזכיר - או את התנע היחסותי p {\displaystyle p} של העצם על ידי נוסחת מינקובסקי - או את המסה היחסותית m {\displaystyle m} של העצם על ידי נוסחת איינשטיין . E = m c 2 {\displaystyle .E=mc^{2}} למעשה אין הבדל עקרוני בין נוסחת איינשטיין הכללית הזו לבין הנוסחה הפרטית , E = m 0 c 2 {\displaystyle ,E=m_{0}c^{2}} מלבד שהאחרונה תקפה רק לגבי המהירות : v = 0 {\displaystyle :v=0} אזי, תוך שימוש בזהות - שבין המסה היחסותית m {\displaystyle m} של העצם הנח - לבין מסת המנוחה m 0 {\displaystyle m_{0}} שלו, נוסחת איינשטיין הכללית E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} תוכל להיכתב בצורה הפרטית , E = m 0 c 2 {\displaystyle ,E=m_{0}c^{2}} שאינה חלה אפוא על עצמים שנעים באף מהירות - אלא אם כן היא אפס כלומר אם הם נחים, משום שהמסה m 0 {\displaystyle m_{0}} שכאן היא רק עבור v = 0 {\displaystyle v=0} . שלא כמו בתורת היחסות התאורטית, חקר החלקיקים היסודיים כמעט שאינו משתמש במסה יחסותית - שבמקומה הוא מסמן ב־ m {\displaystyle m} רק את מסת המנוחה, ולכן בו נוסחת איינשטיין E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} תוכל לתאר רק את האנרגיה היחסותית של עצם נח. בעוד שנוסחת האנרגיה היחסותית E {\displaystyle E} של עצם בעל מהירות שרירותית כלשהי (כולל אפשרות של מהירות אפס) תנוסח, או בצורה E = γ m c 2 {\displaystyle E=\gamma mc^{2}} (כאשר γ {\displaystyle \gamma } מסמן את הגורם 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} אם v {\displaystyle v} מסמן את מהירות העצם שקטנה ממהירות האור c {\displaystyle c} ), או בנוסחת מינקובסקי E = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}} (כאשר p {\displaystyle p} מסמן את התנע היחסותי של העצם: ( p = γ m v {\displaystyle (p=\gamma mv} . שימוש מגביל כזה בסימן m {\displaystyle m} כמסמן את מסת המנוחה בלבד - ולכן תוך הגבלת תוקף נוסחת איינשטיין E = m c 2 {\displaystyle E=mc^{2}} אל המקרה של מהירות אפס בלבד, מגביל אפוא את הנוסחה הזו למקרה של תנע אפס בלבד. מה שמאפשר אפוא להגיע אליה ריגורוזית בדרך יותר קצרה ופשוטה מזו שבה נקט איינשטיין - אם למשל בנוסחת מינקובסקי מציבים p = 0 {\displaystyle p=0} לתנע. למרות שפרשנות מגבילה זו לסימן m {\displaystyle m} רווחת בחקר-החלקיקים היסודיים, המשכו של ערך זה נמנע ממנה - כדי לאפשר את ההבחנה בין שני סוגי המסות - לצורך הבהירות, ולכן ישתמש - ב־ m {\displaystyle m} כדי לסמן את המסה היחסותית - וב־ m 0 {\displaystyle m_{0}} כדי לסמן את מסת המנוחה. מכיוון שאנרגיה המנוחה היא m0c², וסך האנרגיה היא אנרגיה קינטית ועוד אנרגיית המנוחה, אזי האנרגיה הקינטית היחסותית מבוטאת על ידי E k i n e t i c = E t o t a l − E r e s t = γ m 0 c 2 − m 0 c 2 = ( γ − 1 ) m 0 c 2 {\displaystyle E_{\mathrm {kinetic} }=E_{\mathrm {total} }-E_{\mathrm {rest} }=\gamma m_{0}c^{2}-m_{0}c^{2}=\left(\gamma -1\right)m_{0}c^{2}} ובמהירויות הנמוכות מאוד יחסית למהירות האור ( v ≪ c ) {\displaystyle (v\ll c)} מתאים ביטוי זה לנוסחה הקלאסית של אנרגיה קינטית. E k i n e t i c C l a s s i c a l = 1 2 m 0 v 2 {\displaystyle E_{\mathrm {kinetic} }^{\mathrm {Classical} }={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}} . ניתן להראות ש־ E k i n e t i c C l a s s i c a l ≈ E k i n e t i c {\displaystyle E_{\mathrm {kinetic} }^{\mathrm {Classical} }\approx E_{\mathrm {kinetic} }} על ידי הרחבת γ {\displaystyle \gamma } תוך שימוש בטורי טיילור. γ = 1 1 − ( v c ) 2 = ( 1 − ( v c ) 2 ) − 1 / 2 ≈ 1 + 1 2 ( v c ) 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v}{c}})^{2}}}}=\left(1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}\right)^{-1/2}\approx 1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}} . הצבה מחדש בנוסחה המקורית תתן: E k i n e t i c ≈ 1 2 ( v c ) 2 m 0 c 2 = 1 2 m 0 v 2 = E k i n e t i c C l a s s i c a l {\displaystyle E_{\mathrm {kinetic} }\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}m_{0}c^{2}={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}=E_{\mathrm {kinetic} }^{\mathrm {Classical} }} , מכאן, שבאנרגיות נמוכות הנוסחה הקלאסית לאנרגיה קינטית הוא קירוב של האנרגיה הקינטית היחסותית. אולם תורת היחסות מוסיפה עוד אנרגיה שלא הוגדרה קודם - אנרגיית המנוחה, שיש לגוף מעצם קיום המסה שלו. איינשטיין הראה כבר כי המכניקה הקלאסית שגויה במצבים של מהירויות גבוהות או של כבידה חזקה. אולם עבור המקרים שנדונו בעת פיתוח המכניקה הקלאסית, ושרלוונטיים ברוב המוחלט של חיי היום יום, המכניקה הקלאסית היא קירוב טוב של המכניקה היחסותית. איינשטיין פרסם את המאמר שבו הודיע על תגליתו בשנת 1905, אך שורשי התגלית נעוצים בהנחות שונות, שמקורן שנים רבות קודם לכן. איינשטיין לא היה היחיד שקשר אנרגיה למסה, אבל היה הראשון שהציג זאת כחלק מתאוריה רחבה ויותר מכך, הסיק את הנוסחה מתוך ההנחות של תאוריה זו. ניתן לחלק את תיאור פיתוח הנוסחה לפי גורמיה: E = Energy (אנרגיה) m = Mass (מסה) c = Celeritas (מהירות האור, מקור המילה בלטינית) אחת מהנחות הבסיס שעליהן נשענת הנוסחה היא, שאנרגיה אינה יכולה להיווצר או להיעלם, אלא רק להחליף צורה – הנחה שמהווה את חוק שימור האנרגיה, הקובע שכמות האנרגיה במערכת סגורה היא קבועה ואינה מסוגלת להיעלם או להיווצר, ואת החוק הראשון של התרמודינמיקה שמרחיב את חוק שימור האנרגיה ומחיל אותו גם על אנרגיה בצורת חום. משום כך, האנרגיה העודפת - שתוזרם למערכת - ושלא תוכל להמשיך לתפקד כאנרגיה קינטית, לא תוכל להיעלם; לכן היא תיאלץ, בסופו של דבר, להפוך לדבר אחר: איינשטיין טען שהדבר האחר הוא מסה. בדומה לאנרגיה, הנחת בסיס חשובה נוספת לתיאוריה היא חוק שימור החומר, הקובע שחומר אינו יכול להיווצר או להיעלם בתוך מערכת סגורה, אלא רק לשנות את צורתו. לפני מחקרו של איינשטיין, עמדו שני חוקי השימור הללו בפני עצמם. E=mc² חיברה ביניהם: לא רק שאנרגיה יכולה להפוך לאנרגיה בצורה אחרת וחומר יכול להפוך לחומר בצורה אחרת, אלא שאנרגיה יכולה להפוך לחומר, וחומר יכול להפוך לאנרגיה. תגלית זו הפכה את שני חוקי השימור הללו לבלתי מדויקים, ובמקומם נוסח חוק מאוחד שנקרא "חוק שימור האנרגיה-מסה", שקובע כי בכל תהליך שהוא סכום האנרגיות והמסות של הגופים והמערכות המשתתפים בתהליך נשאר קבוע. הנחת בסיס חשובה נוספת, שביסס איינשטיין בתורת היחסות הפרטית, היא שמהירות האור בריק היא הגבול העליון למהירות שבה יכולים חלקיק או אנרגיה לנוע. לכן, כאשר כמות האנרגיה שמוכנסת למערכת מאיצה את המהירות קרוב למהירות האור, היא אינה יכולה להמשיך בהאצת המהירות, ובהתאם לחוק שימור האנרגיה גם לא תוכל להיעלם, ולכן תהפוך למסה. אייזק ניוטון טען, שהמושג הבסיסי במכניקה הוא תנע המערכת הנתונה, שהוגדר על ידי ניוטון בתור מכפלת מסת המערכת במהירותה, כלומר P = m v {\displaystyle P=mv} . לדוגמה, אם גוף במשקל 6 קילוגרמים ינוע במהירות של 10 קמ"ש, הוא יאצור 60 יחידות תנע. הפיזיקאי גוטפריד לייבניץ, לעומת זאת, התנגד לדעתו של ניוטון וסבר, שהמושג החשוב במכניקה הוא לא התנע P {\displaystyle P} אלא האנרגיה הקינטית E {\displaystyle E} , שמקיימת לדעת לייבניץ את המשוואה E = m v 2 {\displaystyle E=mv^{2}} . אך מסקנותיו היו תאורטיות בלבד והוא לא הצליח להוכיחן. בתחילת המאה השמונה עשרה חקרה המדענית אמילי די שאטלה, יחד עם הפילוסוף וולטר, את הנוסחאות של ניוטון ולייבניץ. די שאטלה הסכימה עם האופן שלפיו הגדיר לייבניץ את האנרגיה הקינטית, אך לא יכלה לקבל את ההגדרה ללא הוכחות מעשיות. לבסוף מצאה את ההוכחות בניסויים של החוקר ההולנדי וילם סחרווסנדה, שעסקו במדידת נפילה חופשית אל קרקע רכה. הניסויים תמכו באופן חד משמעי במשוואה של לייבניץ (אם כי בלי להתנגש עם משוואת ניוטון שכאמור לא עסקה באנרגיה אלא בתנע); לדוגמה, כאשר הופלו אל משטח רך שני כדורים באותו משקל שאחד מהם נע במהירות גדולה פי שלושה, הכדור שמהירותו גבוהה יותר שקע פי 9 עמוק יותר בקרקע, ולא פי 3. כך הגיעה די שאטלה באופן אמפירי, אל דעתו התאורטית של לייבניץ ש־ E = m v 2 {\displaystyle E=mv^{2}} . משוואה זו תאמה את הרעיון הכללי המונח בנוסחת איינשטיין, משום שקבעה שהאנרגיה מתייחסת למהירות בריבוע, אך היא התייחסה לאנרגיה הקינטית בלבד ולא לאנרגיה שאצורה במסת החומר. ב־27 בספטמבר 1905 שלח איינשטיין לשנתון הפיזיקה מאמר בן כ־30 עמודים בשם "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" ("על האלקטרודינמיקה של גופים נעים"), בו שטח את מסקנותיו לגבי תורת היחסות. מספר שבועות לאחר מכן הוא הגיע למסקנה נוספת הנובעת מתורת היחסות, ומיהר לשלוח לעיתון תוספת של שלושה עמודים למאמר, בשם "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" ("האם ההתמדה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו?"). בתוספת זו פורסמה לראשונה נוסחתו המפורסמת. מאמר זה הוא אחד מהמאמרים הידועים כיום כמאמרי שנת הפלאות שלו. איינשטיין לא ניסח במאמר נוסחה זו בדיוק כפי שהיא מנוסחת כיום; בסמלים שבהם השתמש איינשטיין הנוסחה נראתה כך - L = m v 2 {\displaystyle L=mv^{2}} (כשהאות L מייצגת אנרגיה במקום E, ו-v מייצגת את מהירות האור). במאמר נכתב: ”אם גוף משחרר אנרגיה L בצורת קרינה, קטנה מסתו ב־L/c².” קרינה היא במקרה זה אנרגיה קינטית, והמסה היא מושג המסה כפי שהיה בשימוש באותה תקופה, מה שקרוי כיום מסת מנוחה או מסה אינווריאנטית. באותה תקופה הייתה קביעה זו השערה תאורטית שלא הוכחה בניסויים. לאחר שנים העתיק איינשטיין את מאמר היחסות המקורי שלו בכתב ידו, כדי למכור אותו במכירה פומבית. תוך כדי כתיבה הוא שאל את מזכירתו, שהכתיבה לו את המאמר, "זה מה שאמרתי?" היא השיבה בחיוב. "הייתי יכול לומר את זה בצורה הרבה יותר פשוטה", הוא אמר. בתחילה התאוריה התקבלה בפקפוק רב, ואף בבוז, בקרב הפיזיקאים. הפיזיקאי זוכה פרס נובל, ארנסט רתרפורד, אמר על הנושא בכנס מדעי בלונדון: ”מי שמדבר על אנרגיה אטומית מדבר שטויות.” כאשר ניסה איינשטיין להתקבל כמרצה באוניברסיטת ברן הוא צירף למכתבו את מאמר היחסות שלו, אך נדחה. הפרופסור טירינג מאוניברסיטת וינה אמר כי ”הנשימה נעצרת למחשבה, מה עלול לקרות אם תשתחרר בצורת התפוצצות האנרגיה הרדומה בלבנה אחת ויחידה... אך דבר זה לא יקרה לעולם...” בשלב זה גם איינשטיין עצמו לא היה בטוח לחלוטין במסקנותיו. הוא הודה בפני ידידו, קונרד הביכט: ”הרעיון משעשע ומרתק, אך אם האל צוחק ממנו ומתלוצץ על חשבוני – זאת איני יכול לדעת.” הניסוי הראשון שהוכיח לבסוף את התאוריה של איינשטיין התבצע ב־1932. הפיזיקאים ג'ון קוקרופט וארנסט וולטון מאוניברסיטת קיימברידג' הצליחו להאיץ גרעיני מימן, עד שפגעו בגרעינים של ליתיום. בהתנגשות נוצרו שני גרעינים של הליום (חלקיקי α, המכילים שני פרוטונים ושני נייטרונים), אשר נעו במהירות גבוהה בכיוונים הפוכים. סכום המסות של הפרוטון וגרעין הליתיום הוא יותר גדול מן המסה של שני חלקיקי α. המסה שהלכה לאיבוד בתהליך הזה הפכה לאנרגיה הקינטית של שני חלקיקי α. כך אישר ניסוי זה את התופעה של הפיכת מסה לאנרגיה, והוכיח שהמאזן הכמותי בין שתיהן נקבע על ידי הנוסחה E=mc^2. הנוסחה ערערה חלק מהעקרונות שהתקבלו קודם לכן על ידי הקהילה המדעית, כגון אחת ההנחות של המכניקה הקלאסית של ניוטון, לפיה לגוף במנוחה אין אנרגיה. על פי הנוסחה של איינשטיין, לעומת זאת, לגוף במנוחה יש אנרגיה – בצורת מסה. למרות זאת, המכניקה הניוטונית יכולה להתקיים במצבים מסוימים ללא סתירה ל-E=mc². המכניקה הניוטונית התייחסה למצבים פשוטים ויומיומיים, שהתנועה בהם הייתה כה איטית ביחס למהירות האור עד שהיה אפשר להתעלם ממנה. כך הצליחה להסביר היבטים שונים בהנדסה ובפיזיקה, מלבד הנושאים העוסקים בחקר האטומים וגרמי השמיים. לכן, המכניקה הניוטונית ניתנת לשימוש לגבי תופעות מסוימות, אך ההשקפה הכללית שלה מוטעית; ניוטון האמין כי המרחב והזמן הם ישויות פיזיקליות "מוחלטות" - קבועות ויציבות לחלוטין, וקביעה זו הייתה בסיס מרכזי לתאוריות שלו. אך כיום, לאחר תורת היחסות, נחשבים עקרונותיו של ניוטון כמקרה פרטי מתוך מערכת רחבה יותר. ערך מורחב – היתוך גרעיני לאחר פרסום הנוסחה וקבלתה, מדענים רבים ניסו להסביר באמצעותה את מקור האנרגיה של השמש; ההבנה שאנרגיה רבה כל כך עשויה להיות אצורה במסה קטנה כל כך, אפשרה להבין את מקור האנרגיה של השמש ושאר הכוכבים ביקום. אך עד אז הניסויים הוכיחו את יעילות הנוסחה בחומרים רדיואקטיביים בלבד, ולא נמצאו שום עקבות של חומרים רדיואקטיביים על השמש. בתחילת המאה ה-20, הדעה הרווחת הייתה שהשמש עשויה מ-66% ברזל טהור. מתכות רדיואקטיביות פולטות אנרגיה בקלות משום שהאטומים שלהם לא יציבים ומתפרקים במהירות. ברזל, לעומת זאת, הוא יסוד יציב במיוחד. אילו השמש הייתה עשויה מברזל היא לא הייתה מסוגלת לפלוט אנרגיה רבה כל כך במשך זמן רב. בשנת 1925 הצליחה ססיליה פיין לפתור את הבעיה. היא קראה את קווי הספקטרוסקופ בצורה אחרת, והגיעה למסקנה שהשמש מורכבת בעיקר ממימן, ומכילה גם מעט הליום. על פני כדור הארץ אטומי מימן לא נוטים להתפרק באופן טבעי, משום שהם לא נתונים ללחץ גבוה. אך כשהם נמצאים במרכזה של השמש, תחת לחץ גדול, גרעיני המימן עשויים להילחץ ולהיצמד זה לזה עד שבמשך הזמן יתמזגו ויהפכו לאטומי הליום. מסתו של אטום מימן אחד היא 1 גרם למול. לכן, מסתם של ארבעה אטומי מימן נפרדים היא 4 גרם למול. אך כאשר ארבעה אטומי מימן מתאחדים לאטום הליום אחד, הוא ישקול 3.971 גרם למול. 0.7 האחוזים הנותרים צצים כאנרגיה ונפלטים מהשמש בצורת אור, בדיוק על פי הנוסחה. זוהי כמות זעירה, אך השמש גדולה מספיק כדי לספק לכדור הארץ חום ואור. בכל שנייה הופכת השמש 4,000,000 טונות מימן לאנרגיה טהורה. תהליך זה נקרא היתוך גרעיני. ערך מורחב – ביקוע גרעיני בשנת 1938 הוביל אוטו האן סדרת ניסויים שבמהלכם הוזרמו נייטרונים מואטים אל תוך חלקיקי אורניום, בציפייה ליצירת יסוד חדש - כבד יותר מן האורניום. אך למרות המשאבים הרבים שהושקעו בניסוי, החוקרים לא הצליחו לזהות חומר חדש. האן גילה שהאורניום למעשה התפרק לבריום, אך הוא לא הבין כיצד הזרמת הנייטרונים גרמה לכך. הוא דיווח על תוצאותיו כך: ”...ככימאים, עלינו לומר שהחלקיקים החדשים אינם מתנהגים כמו רדיום, אלא כמו בריום; כפיזיקאי גרעין, אין אנו יכולים לאמץ מסקנה זו, המנוגדת לכל הניסיון שיש בפיזיקה הגרעינית.” האן ביקש את עזרתה של הפיזיקאית ליזה מייטנר, ששהתה בשוודיה, והיא נענתה לבקשתו וניסתה לפתור את הבעיה יחד עם אחיינה, הפיזיקאי אוטו פריש. פריש תיאר זאת כך: למזלנו, דודתי זכרה כיצד מחשבים מסות של גרעינים... וכך חישבה ששני הגרעינים שנוצרו מחלוקתו של גרעין האורניום יהיו קלים יותר מגרעיון האורניום המקורי, ושההפרש יהיה שווה בערך לחמישית ממסתו של פרוטון. כעת, בכל מקום שבו נעלמת מסה נוצרת אנרגיה, על פי נוסחת איינשטיין E=mc2... — רוברט פריש, What Little I Remrmber, עמ' 116 לפי חישוביהם, המטען החשמלי של הפרוטונים בתוך הגרעין מנה כ-200 MeV - כמות אנרגיה עצומה. פריש תיאר את ההתרגשות שאחזה בהם: ”מסה של חמישית הפרוטון היתה שווה בדיוק ל-200 MeV. אז זה היה המקור של אותה האנרגיה; הכל התאים!” כאשר הנייטרונים פגעו בגרעיני אורניום, הם החלו להתנודד ולהתארך כמו טיפות נוזל. עיוות הצורה עשוי להוריד את עוצמת הכוח הגרעיני החזק שמלכד את הגרעין, ואז כוח הדחייה החשמלית יכול לפרק את הגרעין וליצור חומר חדש תוך פליטת אנרגיה רבה. כך התגלה רעיון הביקוע הגרעיני, שהיווה את הבסיס לפיתוחה של פצצת הביקוע הגרעיני מאוחר יותר. ערך מורחב – תורת היחסות הכללית פוטון הוא "חלקיק" של אור, ונוסחת איינשטיין מעניקה לו מסה זעירה. אם כל גוף בעל מסה מושפע מכוח הכבידה, אזי פוטונים אמורים גם הם להיות מושפעים ממנו. אם כוח הכבידה משנה את מסלול הגופים וגורם לסטייה במסלולם כאשר הם עוברים בסמוך לגוף מסיבי, אזי הגוף המסיבי צריך לשנות את מסלולו של פוטון. אם כוח הכבידה גורם לגופים לאבד אנרגיה כאשר הם נמלטים מהשפעתו של גוף מסיבי, אז פוטון צריך לאבד אנרגיה כאשר הוא עוזב גוף מסיבי. תובנות אלה הובילו את איינשטיין להישגו הגדול ביותר: תורת היחסות הכללית, שעוסקת בכוח הכבידה והשפעותיו. ערך מורחב – חור שחור בשנת 1930 הגה סוברהמניאן צ'נדראסקאר תאוריה יוצאת דופן בנוגע לאופן פעולתם של חורים שחורים: על פי E=mc², כוכב גדול ודחוס שיהפוך את מלאי המסה שלו לאנרגיה במשך זמן ארוך מספיק ייאלץ בסופו של דבר לאבד את המסה המרכזית שלו, וליבתו הריקה תהיה נתונה בלחץ עצום. לפי אותה תאוריה, הלחץ, שהוא סוג של אנרגיה, שווה לכמות של מסה. הכבידה של שריד הכוכב תתעצם בשל המסה הזו, אך תפעל כלפי פנים הכוכב והלחץ יגבר עוד יותר. תוספת הלחץ תתנהג שוב כתוספת מסה והכבידה תתעצם עוד ועוד, עד היווצרות חור שחור בעל כוח משיכה עצום. תאוריה זו תפסה מקום חשוב בתפיסה המודרנית של חורים שחורים, וזיכתה את צ'נדראסקאר בפרס נובל שנים רבות לאחר מכן. ערך מורחב – פצצת ביקוע גרעיני הנוסחה הייתה הכרחית לפיתוח פצצת האטום, משום שאופן פעולתה של הפצצה מתבסס על תהליך הביקוע הגרעיני. בנוסף למעורבותו של איינשטיין בפיתוח הרקע התאורטי לבניית הפצצה, שמו נקשר אליה משום שתמך בפיתוחה על ידי ארצות הברית בחתימתו על מכתב איינשטיין-סילארד וכך גרם להטלת הפצצה על הירושימה ונגסאקי, על אף שלא השתתף באופן אישי בפרויקט מנהטן. מעורבותו בפיתוח המעשי של הפצצה הדגישה גם את הקשר המדעי בין E=mc² לפצצת האטום. איינשטיין עצמו המעיט בחשיבות תרומתו המדעית לפיתוח הפצצה. בשנת 1955 כתב להיסטוריון צרפתי: נראה שאתה מאמין שאני, מסכן שכמותי, באמצעות גילוי ופרסום הקשר בין מסה לאנרגיה, תרמתי תרומה חשובה... אתה רומז שהייתי צריך... ב-1905, לצפות את פיתוחן האפשרי של פצצות אטום. אך היה זה בלתי אפשרי, משום שהשגת תגובת השרשרת הייתה תלויה בקיומו של מדע אמפירי שלא היה אפשר לצפותו ב-1905... גם אם ידע כזה היה זמין, היה זה מגוחך לנסות להסתיר את המסקנה הספציפית שעולה מתורת היחסות הפרטית. לאחר שהתקיימה התאוריה, התקיימה גם המסקנה. — דייוויד בודאניס, E=mc²: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 250 בבתי חולים הנוסחה משמשת בקביעות במכשירים שונים לאבחון וטיפול רפואי. טיפול רדיותרפיה, למשל, פועל באמצעות כמויות זעירות של חומרים רדיואקטיביים המכוונים אל הגידולים. כשגרעיני החומר הרדיואקטיבי הלא יציבים מתפרקים, נעלמת לכאורה מסה; האנרגיה הנוצרת מכוונת בעוצמה שדי בה להרוס את הגידול. טכניקת ההדמיה הרפואית טומוגרפיית פליטת פוזיטרונים מתבססת גם היא על התאוריה של איינשטיין. חומר רדיואקטיבי מוזרק לדמם של הנבדקים ומתפרק שם במהירות. עקבות האנרגיה הנובעת מן המסה הנהרסת מתועדים ביוצאם מן הגוף, וכך מתאפשר דימות מדויק של זרימת הדם או ספיגת תרופות בגוף. הנוסחה באה לידי שימוש גם במכשירים יומיומיים שונים. למשל: גלאי עשן סטנדרטי מכיל בדרך כלל כמות קטנה של אמריציום. הגלאי משתמש באנרגיה שהוא שואב מן האמריציום, לפי הנוסחה, וכך מייצר במשך שנים קרן טעונה רגישה לעשן. מדינות רבות משתמשות ברעיון הפקת האנרגיה ממסה (על ידי ביקוע גרעיני) על מנת להפיק אנרגיה חשמלית. בצרפת, לדוגמה, 75% מהאנרגיה החשמלית מגיעים ממקור זה, שידידותי לסביבה יותר מאשר שריפת פחם ומאפשר הפקת אנרגיה רבה ממסה קטנה יחסית. הנעה גרעינית משמשת גם צוללות גרעיניות, ומספקת למנוע הצוללות אנרגיה מספיקה לשייט ארוך במהירות גבוהה יחסית, מבלי לעלות אל פני המים לעיתים קרובות כדי לספק חמצן למנוע. הנוסחה נחשבת כיום לאחת הנוסחאות המפורסמות ביותר מתחום הפיזיקה, ומסמלת תרבות ומדע. היא מזוהה מאוד עם אלברט איינשטיין ומופיעה פעמים רבות יחד עם דמותו. היא מודפסת על בגדים, בפרסומות למוצרים מסחריים, על שטרות ומטבעות, ומדינות רבות הנפיקו בול שעליו דמותו של איינשטיין יחד עם הנוסחה. בשנת 2008 פרסמה הזמרת-יוצרת האמריקאית מריה קארי אלבום מוזיקה בשם E=mc², כפרפרזה על הנוסחה. בשנת 1985 פרסמה להקת Big Audio Dynamite סינגל בשם E=mc² כסינגל מוביל לאלבום הבכורה שלהם, This Is Big Audio Dynamite. בשנת 1979 פרסם המפיק האיטלקי ג'ורג'ו מורודר אלבום אולפן בשם E=mc². לכבוד שנת הפיזיקה העולמית הועלתה בלונדון יצירת מחול בשם Constant Speed מאת הכוריאוגרף הלונדוני מרק בודווין, המתמקדת בנוסחה E=mc² ובתנועה הבראונית, שבוצעה למוזיקה של פרנץ להאר ויצירות נוספות מהתקופה. דייוויד בודאניס, E=mc2: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, תרגם מאנגלית: יניב פרקש, בהוצאת כתר, 2002 רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות – פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמ' 161–190 מדיה וקבצים בנושא E=mc² בוויקישיתוף science/E-mc2-equation, science/Einsteins-mass-energy-relation E=mc², באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) יום הולדת מאה שמח ל־E=mc² של אלברט איינשטיין, BBC (באנגלית) על האלקטרודינמיקה של גופים נעים - המאמר המקורי (באנגלית) האם ההתמדה של גוף תלויה בתכולת האנרגיה שלו? - המאמר המקורי (באנגלית) פרופ' חנוך גוטפרוינד, "אודיסיאה", המשוואות הגדולות של הפיזיקה: E=mc2, באתר ynet, 20 באוגוסט 2010 אין לבלבל עם משוואת איינשטיין פריץ רודליך, מפרדוקס למציאות: הרעיונות המרכזיים של הפיזיקה החדשה, עמ' 83 פרופ' חנוך גוטפרוינד, המשוואות הגדולות של הפיזיקה: E=mc2, באתר ynet, 20 באוגוסט 2010 Michio Kaku, The Theory Behind the Equation, Nova בהקשר זה המסה תתפקד לפי הגדרתה הפשטנית - מידת ההתנגדות לתאוצה. כלומר, הגוף בעל עודף האנרגיה יהיה כבד יותר אך לא גדול יותר. ערן פוס, מהו חוק שימור האנרגיה?, באתר מכון דוידסון יורם קירש, יסודות הפיסיקה, האוניברסיטה הפתוחה, עמ' 61 דייוויד בודאניס, E=mc²: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 63 איתי נבו, הגאון ששינה את היקום, באתר מכון דוידסון דייוויד בודאניס, E=mc²: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 204 ליאור רובננקו, הידעת? המשוואה המפורסמת E=mc² כלל לא מופיעה כלשונה במאמר המקורי שכתב איינשטיין!, באתר מדע גדול, בקטנה Benesh Hoffman, Einstein, Creator and Rebel, עמ' 209 המאמר נדחה מכמה סיבות, ביניהן הטיעון שהוא הוגש מודפס, ואילו על פי התקנות יש להגיש תזה בכתב יד. Carl Seeling, Albert Einstein: A Documentary Biography, עמ' 88 א. פויירשטיין, יהודים חתני פרס נובל, תל אביב, 1960, עמ' 63 Collected Papers of Einstein, Vol. 5, doc 28 חיים ברק, מה הקשר בין מסה ואנרגיה? , במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 27 בדצמבר 2009 ברנרד כהן, לידתה של פיסיקה חדשה, עמ' 180 אנציקלופדיית אאוריקה איתי נבו, החוקרת שהבינה ממה עשויה השמש, במדור "היום לפני במדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 10 במאי 2020 יורם קירש, יסודות הפיסיקה, האוניברסיטה הפתוחה, עמ' 57 דייוויד בודאניס, E=mc²: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 158 אבי סאייג, האם פצצת מימן חזקה יותר מפצצת אטום, ומדוע? רון, במדור "שאל את המומחה" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 16 באפריל 2012 פוליטיקה, כימיה וגילוי הביקוע הגרעיני, באתר מט"ח דייוויד בודאניס, E=mc^2: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 99 פיטר אטקינס ולורטה ג'ונס, כימיה כללית, כרך ב, עמ' 463 גלי וינרב, ‏בלי איינשטיין לא היה ווייז: 140 שנה להולדת המדען, באתר גלובס, 9 במרץ 2019 איתי נבו, האיש ששינה את היקום: 60 שנה למותו של אלברט איינשטיין, באתר הידען דוגמאות להמרת מסה-אנרגיה, באתר פרחי מדע דייוויד בודאניס, E=mc²: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 172 ז'אן-ברנאר פואי, אנשים גדולים, התחלות קטנות, עמ' 19 אורי פז, איינשטיין והנשק הגרעיני, באתר פאזל, ‏4 באוגוסט 2005 Erin Blakemore, How a Refrigerator Led to Einstein’s Pleas for Atomic Bomb Research, National Geographic דייוויד בודאניס, E=mc^2: סיפורה של התגלית הגדולה בהיסטוריה, עמ' 167 פיטר אטקינס ולורטה ג'ונס, כימיה כללית, כרך ב, עמ' 462 עזרא להד, צוללות אטומיות ואפשרויות הפעלתן, ביטאון חיל הים, עמ' 8 Hans Arora, EINSTEIN'S THEORY OF RELATIVITY: IMPLICATIONS BEYOND SCIENCE?, Helix מטבע ישראלי עם דמותו של אלברט איינשטיין ו-E=mc², באתר החברה הישראלית למדליות ולמטבעות Mariah Carey-E=MC², ALL MUSIC תמרה שרייבר, ‏יהודי מפורסם יחסית, באתר גלובס, 14 במרץ 2005