משטח סיבוב

משטח סיבוב הוא משטח המתקבל מסיבוב של עקומה, הנקראת העקומה היוצרת, סביב ישר הנקרא ציר סיבוב. דוגמאות מוכרות למשטחי סיבוב הם הגליל הפתוח, והחרוט הפתוח, שבהם העקומה היוצרת היא קו ישר. משטחי סיבוב יכולים להיות סגורים או פתוחים. לדוגמה, אם נסובב מעגל סביב ישר העובר דרך מרכזו, נקבל משטח סגור שנקרא ספירה, לעומת זאת, אם נסובב פרבולה סביב ציר הסימטריה שלה נקבל פרבולואיד, שהוא משטח פתוח. כדי לקבל ייצוג מתמטי למשטח סיבוב, ניתן להכפיל את הייצוג הפרמטרי של העקומה במטריצת סיבוב. לדוגמה, כדי לחשב את משטח הסיבוב המתקבל מסיבוב הפרבולה { ( x , y , z ) | y = x 2 , z = 0 } {\displaystyle \{(x,y,z)|y=x^{2},z=0\}} סביב ציר ה-y, יש למצוא פרמטריזציה לפרבולה, לדוגמה, γ ( t ) = ( t , t 2 , 0 ) {\displaystyle \gamma (t)=(t,t^{2},0)} . כעת, נכפיל את הפרמטריזציה של הפרבולה במטריצת סיבוב סביב ציר ה-y: ( cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ) ( t t 2 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\t^{2}\\0\end{pmatrix}}} ונקבל את ההצגה הפרמטרית של המשטח, γ ( t , θ ) = ( t cos ⁡ θ , t 2 , − t sin ⁡ θ ) {\displaystyle \gamma (t,\theta )=(t\cos \theta ,t^{2},-t\sin \theta )} כאשר − ∞ < t < ∞ {\displaystyle -\infty <t<\infty } ו- 0 < θ ≤ π {\displaystyle 0<\theta \leq \pi } . במערכת צירים קרטזית, המשטח שנוצר מתואר על ידי אוסף הפתרונות למשוואה y = x 2 + z 2 {\displaystyle y=x^{2}+z^{2}} , שהוא פרבולואיד. ערך מורחב – פרבולואיד כפי שניתן לראות בדוגמה לעיל, אם נסובב פרבולה מסביב לציר הסימטריה שלה נקבל פרבולואיד, אך לא כל פרבולואיד הוא משטח סיבוב של פרבולה. למעשה, הפרבולואיד היחיד המתקבל מסיבוב פרבולה הוא פרבולואיד אליפטי עם שני צירים שווים, המיוצג במערכת צירים קרטזית כאוסף הפתרונות של המשוואה: z = x 2 a 2 + y 2 a 2 {\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}} ערך מורחב – ספרואיד ספרואיד הוא משטח הסיבוב הנוצר מסיבוב אליפסה מסביב לאחד משני צירי הסימטריה שלה. מסיבוב האליפסה מסביב לציר הראשי שלה נקבל ספרואיד פרובלי ומסיבובה מסביב לציר המשני שלה נקבל ספרואיד אובלי. במערכת צירים קרטזית, משוואת הספרואיד שמרכזו בראשית וציר הסימטריה שלו הוא ציר ה-z נתונה על ידי אוסף הפתרונות של המשוואה: x 2 + y 2 a 2 + z 2 c 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1} הספרואיד הוא מקרה פרטי של אליפסואיד בו שניים מהצירים שווים. הנוסחא לחישוב שטחו של משטח סיבוב זהה לנוסחא לחישוב שטחו החיצוני של גוף סיבוב: A = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}\,dx} בעקום הנתון בהצגה פרמטרית γ ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))} ניתן לחשב את השטח של משטח הסיבוב המתקבל מסיבוב העקום מסביב לציר ה-y על ידי הנוסחא: A y = 2 π ∫ a b x ( t )   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2   d t {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\ dt} באופן דומה ניתן לחשב את שטחו של משטח הסיבוב המתקבל על ידי סיבוב העקום מסביב לציר ה-x: A x = 2 π ∫ a b y ( t )   ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\ {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt} גאומטריה אנליטית גוף סיבוב מדיה וקבצים בנושא משטח סיבוב בוויקישיתוף משטח סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית) משטח סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית) במקרה של הגליל, הקו היוצר מקביל לציר הסיבוב, בעוד שבמקרה של החרוט, אין הדבר כך.