תלות ליניארית

תלות ליניארית הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי, אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה. לדוגמה, שלושת הווקטורים ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} ב- R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} בלתי תלויים ליניארית. אולם שלושת הווקטורים ( 2 , − 1 , 1 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 3 , − 1 , 2 ) {\displaystyle (2,-1,1),(1,0,1),(3,-1,2)} תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים). יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } . עבור v 1 , v 2 , … , v n ∈ V {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\in V} נאמר כי הם תלויים ליניארית מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } אם ישנם סקלרים a 1 , a 2 , … , a n ∈ F {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {F} } , לא כולם אפסים, עבורם ∑ i = 1 n a i v i = a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0 {\displaystyle \sum _{i\,=\,1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} } אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}} בלתי תלויים ליניארית, או בקיצור בת"ל. מכאן נובע כי הווקטורים v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}} הם בלתי תלויים ליניארית אם ורק אם מן השוויון a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0 {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} } נובע בהכרח כי a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} . תלות ליניארית בין וקטורים v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}} היא וקטור ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} בעל n {\displaystyle n} סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים a 1 v 1 + a 2 v 2 + ⋯ + a n v n = 0 {\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} } אם קיימת תלות כזו, הווקטורים תלויים ליניארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות ליניארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות ליניארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הליניאריות בין הווקטורים v 1 , v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}} יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת-מרחב של F n {\displaystyle \mathbb {F} ^{n}} . הווקטורים ( 1 , 1 ) , ( 2 , − 3 ) {\displaystyle (1,1),(2,-3)} ב- R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} בלתי תלויים ליניארית. הוכחה: יהיו a , b {\displaystyle a,b} מספרים ממשיים כך שמתקיים a ( 1 , 1 ) + b ( − 3 , 2 ) = ( 0 , 0 ) ( a − 3 b , a + 2 b ) = ( 0 , 0 ) a − 3 b = 0 a + 2 b = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}a(1,1)+b(-3,2)=(0,0)\\(a-3b,a+2b)=(0,0)\\a-3b=0\\a+2b=0\end{aligned}}} אם נפתור עבור a , b {\displaystyle a,b} נמצא כי a = b = 0 {\displaystyle a=b=0} . יהי V = R n {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} . נסתכל על הווקטורים הבאים ב- V {\displaystyle V} : e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … , 0 ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … , 0 ) ⋮ e n = ( 0 , 0 , 0 , … , 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots &\\\mathbf {e} _{n}&=(0,0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}} אזי e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}} בלתי תלויים ליניארית. הוכחה: נתבונן בקבוצת סקלרים a 1 , a 2 , … , a n ∈ R {\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} } שעבורם מתקיים a 1 e 1 + a 2 e 2 + ⋯ + a n e n = 0 = ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=\mathbf {0} =(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} מתקיים a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} . אי-תלות אלגברית תלות ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)