אינטגרל רב-ממדי

אינטגרל רב-ממדי הוא הרחבה של אינטגרל מסוים לפונקציה בשני משתנים או יותר (פונקציה מהצורה f ( x , y , z ) {\displaystyle f(x,y,z)} למשל). אינטגרל לא מסוים אינו מוגדר עבור פונקציה עם יותר ממשתנה אחד, כי לא מוגדרת פונקציה קדומה שלה, או פעולת גזירה שבעזרתה חוזרים לפונקציה המקורית. את המקרה הכללי ביותר מספק משפט פוביני, המספק נוסחה לחישוב אינטגרל לבג רב-ממדי על מרחבי מידה כלליים (סיגמא-סופיים). את האינטגרל של הפונקציה   f ( x , y ) {\displaystyle \ f(x,y)} (אינטגרל כפול - פונקציה עם שני משתנים) בתחום D {\displaystyle D} מסמנים באמצעות: ∬ D f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y} כאשר מספר סימני האינטגרציה מותאם למספר המשתנים שעליהם היא מבוצעת. לאינטגרלים רב-ממדיים משמעות גאומטרית ופיזיקלית: כפי שאינטגרל חד-ממדי יכול לחשב את השטח במישור בין שני עקומים, כך בעזרת אינטגרל דו-ממדי, הנקרא אינטגרל כפול, מחשבים את הנפח בין שני משטחים במרחב, ובממדים גבוהים יותר מחשבים היפר-נפח. דוגמה נוספת היא חישוב מומנט התמד של גוף דו-ממדי או תלת-ממדי בעל צפיפות משתנה. אינטגרל רב ממדי מוגדר על פונקציה המוגדרת בתחום D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} , כלומר פונקציה מהצורה f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } . נתחיל מהמקרה בו D הוא קובייה, כלומר D = [ a 1 , b 1 ] × ⋯ × [ a i , b i ] × ⋯ × [ a n , b n ] = ∏ i = 1 n I i {\displaystyle D=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{i},b_{i}]\times \dots \times [a_{n},b_{n}]=\prod _{i=1}^{n}I_{i}} עבור ∀ i : a i , b i ∈ R {\displaystyle \forall i:a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} } כלשהם. חלוקה של [ a i , b i ] {\displaystyle [a_{i},b_{i}]} היא קבוצה P i {\displaystyle P_{i}} של קטעים מהצורה P = { [ a i j , a i , j + 1 ] | 1 ≤ j ≤ n i } {\displaystyle P=\{[a_{ij},a_{i,j+1}]|1\leq j\leq n_{i}\}} המקיימים a i = a i 1 ≤ ⋯ ≤ a i n i = b i {\displaystyle a_{i}=a_{i1}\leq \dots \leq a_{in_{i}}=b_{i}} עבור n i ∈ N {\displaystyle n_{i}\in \mathbb {N} } כלשהו. לכל סדרה של חלוקות ( P 1 , . . . , P n ) {\displaystyle (P_{1},...,P_{n})} שיש בה בדיוק איבר אחד לכל צלע של הקוביה D, נסמן את הסדרה בP (כחלוקה כללית). מכפלה קרטזית של איבר אחד מכל איבר בחלוקה תיקרא קובייה בחלוקה. נסמן קובייה כללית ב Q {\displaystyle Q} . נגדיר את הסכום העליון של החלוקה P {\displaystyle P} להיות U ( f , P ) = ∑ Q inf { f ( x → ) | x → ∈ Q } ⋅ v ( Q ) {\displaystyle U(f,P)=\sum _{Q}\inf\{f({\vec {x}})|{\vec {x}}\in Q\}\cdot v(Q)} כאשר v ( Q ) {\displaystyle v(Q)} הוא הנפח של הקוביה Q, ואת הסכום התחתון של החלוקה להיות L ( f , P ) = ∑ Q sup { f ( x → ) | x → ∈ Q } ⋅ v ( Q ) {\displaystyle L(f,P)=\sum _{Q}\sup\{f({\vec {x}})|{\vec {x}}\in Q\}\cdot v(Q)} . נגדיר את האינטגרל התחתון של הפונקציה בתחום להיות ∫ D _ f = inf P L ( f , P ) {\displaystyle {\underline {\int _{D}}}f=\inf _{P}L(f,P)} , ואת האינטגרל העליון להיות ∫ D ¯ f = sup P U ( f , P ) {\displaystyle {\overline {\int _{D}}}f=\sup _{P}U(f,P)} . אם מתקיים ∫ D ¯ f = ∫ D _ f {\displaystyle {\overline {\int _{D}}}f={\underline {\int _{D}}}f} , נסמן את הערך המשותף ב- ∫ D f {\displaystyle \int _{D}f} ונקרא לו האינטגרל ה-n ממדי של f בתחום D. במקרה שבו D אינה קובייה, תהי R e c {\displaystyle \mathrm {Rec} } קובייה כלשהי המכילה את D. נגדיר g : R e c → R {\displaystyle g:\mathrm {Rec} \to \mathbb {R} } : g ( x → ) = { f ( x → ) x → ∈ D 0 else {\displaystyle g({\vec {x}})={\begin{cases}f({\vec {x}})&&{\vec {x}}\in D\\0&&{\text{else}}\end{cases}}} , ונגדיר ∫ D f = ∫ R e c g {\displaystyle \int _{D}f=\int _{\mathrm {Rec} }g} . למקרה של אינטגרלים דו-ממדיים ותלת-ממדיים יש סימון אחר: במקרה שבו האינטגרל הוא על פונקציה מתת קבוצה של R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , נכנה אותו אינטגרל כפול ונסמן ∬ D f ( x , y ) d x d y {\displaystyle \iint _{D}f(x,y)dxdy} . במקרה שבו האינטגרל הוא מתת קבוצה של R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} נכנה אותו אינטגרל משולש ונסמן ∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)dxdydz} . מבחינה היסטורית, אינטגרל רימן שהוגדר על ידי המתמטיקאי ברנהרד רימן קודם לאינטגרל לבג שהוגדר על ידי אנרי לבג ופיתוחו דורש פחות ידע מתמטי מוקדם. לעומתו, כדי להגדיר את אינטגרל לבג אמנם יש להשתמש במושגים מתורת המידה שפותחה לשם מטרה זו. למרות זאת הטיפול המתמטי באינטגרל לבג נוח הרבה יותר מבאינטגרל רימן והוא גם כללי בהרבה. כך, בתורת המידה, הגדרת אינטגרל כפול אינה שונה בדבר מהגדרת האינטגרל הרגיל וכמוהו תלויה רק בבניית פונקציית מידה מתאימה על המרחב הדו-ממדי. מידה כזו ניתן לבנות על ידי המלבנים בדומה לבנייה של מידת לבג על הישר הממשי באמצעות הקטעים הסופיים. בניגוד לאינטגרל על הישר הממשי, אותו ניתן לעיתים קרובות לחשב באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי את האינטגרל הכפול לא ניתן לחשב בדרך זו ישירות. במקרה המיוחד בו התחום עליו עורכים את האינטגרציה הוא מלבני, ניתן לבצע את האינטגרציה על ידי אינטגרציה כפולה של אינטגרל חד־ממדי בכל פעם: ∬   [ a , b ] × [ c , d ] f ( x , y ) d x d y = ∫ a b ( ∫ c d f ( x , y ) d y ) d x {\displaystyle \iint \limits _{\ [a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\left(\int _{c}^{d}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x} למעשה, נוסחה זו היא מקרה פרטי של הנוסחה הבאה: בהינתן A ⊆ R n   ,   B ⊆ R m {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\ ,\ B\subseteq \mathbb {R} ^{m}} ותחום D ⊆ R n + m {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n+m}} כך שמתקיים D = A × B {\displaystyle D=A\times B} , וכן פונקציה f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } , אז מתקיים ∫ D f = ∫ A ( ∫ B f ) {\displaystyle \int _{D}f=\int _{A}\left(\int _{B}f\right)} , כאשר באגף ימין רואים את הפונקציה f {\displaystyle f} כפונקציה בm משתנים, ושאר n המשתנים הופכים להיות פרמטרים, וכך הפונקציה ( ∫ B f ) : A → R {\displaystyle \left(\int _{B}f\right):A\to \mathbb {R} } מוגדרת כפונקציה של n המשתנים החסרים. במקרים בהם התחום אינו מלבני, נשתמש בדימויו של האינטגרל לסכום: כלומר שאם המשתנה y {\displaystyle y} חסום בין שתי עקומות m {\displaystyle m} ו- n {\displaystyle n} המקיימות: m = f ( x ) , n = g ( y ) , n > m {\displaystyle m=f(x),n=g(y),n>m} ניתן לחשב את האינטגרל בעזרת סכימת המשתנה y {\displaystyle y} מ- g {\displaystyle g} עד f {\displaystyle f} , וסכימת תוצר זה על כל ערכי x {\displaystyle x} . משפט פוביני משפט גרין משפט גרין דיסקרטי משפט גאוס משפט סטוקס אינטגרל רב-ממדי, באתר MathWorld (באנגלית) אינטגרל רב-ממדי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים באתר לא מדויק. סימנו את הקטע [ a i , b i ] {\displaystyle [a_{i},b_{i}]} ב- I i {\displaystyle I_{i}} . אם Q = ∏ i = 1 n [ c i , d i ] {\displaystyle Q=\prod _{i=1}^{n}[c_{i},d_{i}]} , אז v ( Q ) = ∏ i = 1 n | d i − c i | {\displaystyle v(Q)=\prod _{i=1}^{n}|d_{i}-c_{i}|} .