משחק מאוזן

בתחום המשחקים השיתופיים ישנו נושא העוסק במשחקים בצורה קואליציונית. משחק בצורה קואליציונית יכול להיות (או לא להיות) משחק מאוזן. המשחק ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} יקרא משחק מאוזן אם לכל אוסף קואליציות מאוזן D {\displaystyle \;D\;} ולכל וקטור מקדמים מאזנים של האוסף מתקיים: ∑ S ∈ D δ S v ( S ) ≤ v ( N ) {\displaystyle \;\sum \limits _{S\in D}{\delta _{S}v\left(S\right)\leq v\left(N\right)}\;} משחק מאוזן הוא משחק אשר עונה על תנאי בונדרבה שפלי, לכן נוכל לתת ניסוח שקול למשפט זה – "הליבה של משחק איננה ריקה אם ורק אם המשחק הוא משחק מאוזן". משחק בצורה קואליציונית ( N ; v ) {\displaystyle \;\left(N;v\right)\;} מוגדר על ידי קבוצת שחקנים N = { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle \;N=\left\{1,2,...,n\right\}\;} ופונקציה קואליציונית v : 2 N → R {\displaystyle \;v:2^{N}\to \mathbb {R} \;} . פונקציה זו "נותנת" רווח כלשהו לכל תת-קבוצה (קואליציה) של השחקנים. כך לדוגמה, אם שחקנים 1,2,3 יתאגדו לקואליציה, הרווח המשותף שלהם במשחק יהיה v ( { 1 , 2 , 3 } ) {\displaystyle \;v\left(\left\{1,2,3\right\}\right)\;} . בהמשך גם יצטרכו להחליט איך לחלק את הרווח ביניהם. הסימון המקובל לקואליציה הוא S {\displaystyle \;S\;} . ( S ∈ 2 N {\displaystyle \;S\in 2^{N}\;} ). לכל קואליציה S {\displaystyle \;S\;} , נגדיר וקטור χ {\displaystyle \;\chi \;} , ( χ ∈ R n {\displaystyle \;\chi \in \mathbb {R} ^{n}\;} ) באופן הבא: χ i S = { 1 i ∈ S 0 i ∉ S {\displaystyle \;\chi _{i}^{S}=\left\{{\begin{matrix}1&i\in S\\0&i\notin S\\\end{matrix}}\right.\;} . כלומר, וקטור החילה של הקואליציה S {\displaystyle \;S\;} הוא וקטור שהקואורדינאטה ה i {\displaystyle \;i\;} 'ית שלו היא 1 אם שחקן i {\displaystyle \;i\;} נמצא בקואליציה, ו 0 אחרת. נתבונן באוסף קואליציות D {\displaystyle \;D\;} , המכיל K {\displaystyle \;K\;} קואליציות: D = { S 1 , . . . , S K } {\displaystyle \;D=\left\{S_{1},...,S_{K}\right\}\;} . נרצה לקבוע האם אוסף D {\displaystyle \;D\;} הוא אוסף מאוזן או לא. אם קיים וקטור δ > 0 {\displaystyle \;\delta >0\;} (באורך K {\displaystyle \;K\;} ) כך שיתקיים: ∑ S i ∈ D δ i χ S i = ( 1 , . . . , 1 ) {\displaystyle \;\sum \limits _{S_{i}\in D}{\delta _{i}\chi ^{S_{i}}=\left(1,...,1\right)}\;} (הכוונה ב δ i {\displaystyle \;\delta _{i}\;} היא הרכיב ה i {\displaystyle \;i\;} בווקטור δ {\displaystyle \;\delta \;} ). נאמר שהאוסף הוא אוסף מאוזן והווקטור δ {\displaystyle \;\delta \;} הוא וקטור מקדמים מאזנים. סכום זה הוא למעשה סכום של וקטורים, כאשר כל וקטור הוא כפל של הקבוע ( δ i ) {\displaystyle \;\left(\delta _{i}\right)\;} בווקטור החילה המתאים לקואליציה S i {\displaystyle \;S_{i}\;} . אם סכום הווקטורים (חיבור "רכיב-רכיב") מסתכם לווקטור ( 1 , . . . , 1 ) {\displaystyle \;\left(1,...,1\right)\;} נאמר שהאוסף הוא אוסף מאוזן והווקטור δ {\displaystyle \;\delta \;} הוא וקטור מקדמים מאזנים. לכל קואליציה S i ∈ D {\displaystyle \;S_{i}\in D\;} נסמן את וקטור החילה שלה ב- χ S i {\displaystyle \;\chi ^{S_{i}}\;} . נתבונן במטריצה A = ( − χ S 1 − ⋯ − χ S K − ) K × n {\displaystyle \;A=\left({\begin{matrix}-&\chi ^{S_{1}}&-\\{}&\cdots &{}\\-&\chi ^{S_{K}}&-\\\end{matrix}}\right)_{K\times n}\;} (מספר העמודות הוא n {\displaystyle \;n\;} - כמספר השחקנים). אם קיים וקטור δ > 0 {\displaystyle \;\delta >0\;} (באורך K {\displaystyle \;K\;} ) כך ש δ ⋅ A = ( 1 , . . . , 1 ) {\displaystyle \;\delta \cdot A=\left(1,...,1\right)\;} (מכפלת מטריצות) אזי נאמר שהווקטור δ {\displaystyle \;\delta \;} הוא וקטור מקדמים מאזנים וגם נאמר על אוסף הקואליציות D {\displaystyle \;D\;} שהוא אוסף מאוזן. נשים לב שמשני ההסברים נובע בקלות שכל חלוקה של N {\displaystyle \;N\;} מהווה אוסף מאוזן עם וקטור מקדמים מאזנים ( 1 , . . . , 1 ) {\displaystyle \;\left(1,...,1\right)\;} . ניתן לראות במושג האוסף המאוזן הכללה של מושג החלוקה. נניח שהשחקנים יכולים לחלק את זמנם בין הקואליציות השונות: כל שחקן יכול לקבוע איזה חלק מזמנו יקדיש לכל קואליציה שאליה הוא שייך. למשל החלוקה { N } {\displaystyle \;\{N\}\;} מתאימה למצב שבו כל השחקנים מקדישים את מלוא זמנם לקואליציה N {\displaystyle \;N\;} . ב"אוסף מאוזן" כל שחקן מקדיש מזמנו לכל קואליציה בה הוא נמצא את המקדם של קואליציה זו, ומשמעות העובדה שהסכום הנ"ל הוא 1 לכל שחקן היא שאף שחקן לא יעבוד "שעות נוספות" או "יתבטל". אם במקום לדרוש δ > 0 {\displaystyle \;\delta >0\;} , נדרוש רק δ ≥ 0 {\displaystyle \;\delta \geq 0\;} אז נאמר שהוא וקטור מקדמים מאזנים חלש . בהתאמה, נאמר שהאוסף הוא אוסף מאוזן חלש . אוסף מאוזן של קואליציות D {\displaystyle \;D\;} יקרא מינימלי אם כל תת-אוסף שלו אינו מאוזן. לדוגמה - האוסף { { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \;\left\{\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\}\right\}\;} הוא מאוזן מינימלי, בעוד שהאוסף { { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 } } {\displaystyle \;\left\{\left\{1,2\right\},\left\{1,3\right\},\left\{2,3\right\},\left\{1\right\}\right\}\;} מאוזן אך אינו מאוזן מינימלי. במשפט בונדרבה-שפלי דורשים כי שהמשוואה v ^ ( S ) = M a x { ∑ { S ⊆ N , R ≠ ∅ } δ R v ( R ) : ∑ { S ⊆ N , R ≠ ∅ } δ R χ R = χ S , δ R ≥ 0 , ∀ R } {\displaystyle \;{\hat {v}}(S)=Max\left\{\sum \limits _{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta _{R}v\left(R\right):\sum \limits _{\left\{S\subseteq N,R\neq \emptyset \right\}}{\delta _{R}\chi ^{R}}=\chi ^{S},\delta _{R}\geq 0,\forall R}\right\}\;} (ראו כיסוי מאוזן) תתקיים לכל אוסף מאוזן. מסתבר שדי לדרוש שמשוואה זו תתקיים רק עבור אוספים מאוזנים מינימליים. משפט זה נקרא משפט בונדרבה-שפלי החזק. מונחים בתורת המשחקים משפט בונדרבה שפלי