משפט הטנגנסים

בטריגונומטריה, משפט הטנגנסים הוא משפט מתמטי המציג יחס בין אורך צלעות המשולש לבין טנגנס הזוויות שבו. עבור משולש ששתיים מצלעותיו הן   a , b {\displaystyle \ a,b} והזוויות שמולן הן   α , β {\displaystyle \ \alpha ,\beta } בהתאמה, משפט הטנגנסים קובע כי מתקיים היחס הבא: a − b a + b = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}} . משפט הטנגנסים הובא לראשונה בניסוח מתמטי פורמלי בספרו של המתמטיקאי הצרפתי פרנסואה וייט "Variorum de rebus Mathematicis" בשנת 1593, שם גם נוסח משפט הקוסינוסים בצורתו המודרנית. עם זאת, ניסוח מסובך יותר של המשפט ומספר שימושים שלו הופיעו גם בשנת 1583 בספרו של המתמטיקאי הדני תומאס פינק "Geometria Rotundi", שם גם נעשה לראשונה שימוש במונח "טנגנס" במשמעותו הנוכחית. שימושים נוספים למשפט הובאו בשנת 1609 אצל יוהאנס קפלר בספרו "Astronomia Nova" ("האסטרונומיה החדשה"). משפט מקביל בטריגונומטריה הספירית נתגלה והוכח כבר לפני כן במאה ה-13 בידי המתמטיקאי ואיש האשכולות הפרסי נסיר אל-דין אל-טוסי. לפי משפט הסינוסים מתקיים השוויון הבא (כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם של המשולש): a sin ⁡ α = b sin ⁡ β = 2 R {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}=2{R}} בהעברת אגפים נקבל שתי משוואות: { a = 2 R sin ⁡ α b = 2 R sin ⁡ β {\displaystyle {\begin{cases}a=2R\sin \alpha \\b=2R\sin \beta \end{cases}}} כעת נוכל לפתח את הנוסחה הבאה: a − b a + b = 2 R sin ⁡ α − 2 R sin ⁡ β 2 R sin ⁡ α + 2 R sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin \alpha -2R\sin \beta }{2R\sin \alpha +2R\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}} נעזר בזהויות הטריגונומטריות של המרת סכום והפרש של שני סינוסים: sin ⁡ ( α ) ± sin ⁡ ( β ) = 2 sin ⁡ ( α ± β 2 ) cos ⁡ ( α ∓ β 2 ) {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)\;} נציב את הזהויות בתוצאה (3) ונקבל: a − b a + b = 2 sin ⁡ ( α − β 2 ) cos ⁡ ( α + β 2 ) 2 sin ⁡ ( α + β 2 ) cos ⁡ ( α − β 2 ) = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{2\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}} להלן בנייה המוכיחה את המשפט על סמך משפט תאלס המבוססת על הוכחה שהוצגה במגזין "Mathematics Magazine" של איגוד המתמטיקאים האמריקאי: עבור   △ A B C {\displaystyle \ \triangle ABC} בו מתקיים   α > β {\displaystyle \ \alpha >\beta } , נבנה מעגל בו C היא נקודת המרכז ו-CB הוא הרדיוס, ונסמן את D כהמשך הצלע AC משמאל, את E כהמשך אותה צלע מימין, כך שמתקיים:   a = C B = C D = C E {\displaystyle \ a=CB=CD=CE} . בבנייה שביצענו, רואים את התוצאות הבאות:   A E = C E − C A = a − b {\displaystyle \ AE=CE-CA=a-b} .   D A = D C + C A = a + b {\displaystyle \ DA=DC+CA=a+b} .   D E {\displaystyle \ DE} הוא קוטר במעגל שבנינו. לכן, הזווית הנשענת עליו, היא זווית ישרה, כלומר:   ∠ D B E = 90 ∘ {\displaystyle \ \angle DBE=90^{\circ }} . נוריד גובה מקודקוד A במשולש ABE ונסמן את נקודת המפגש עם צלע BE ב-F. כלומר:   ∠ A F E = 90 ∘ {\displaystyle \ \angle AFE=90^{\circ }} . מכאן כי   A F ‖ D B {\displaystyle \ AF\|DB} . על פי משפט תאלס מתקיים:   A E / D A = F E / B F = ( a − b ) / ( a + b ) {\displaystyle \ AE/DA=FE/BF=(a-b)/(a+b)} . ב-   △ A B C {\displaystyle \ \triangle ABC} מתקיים:   ∠ A C B = 180 ∘ − ( α + β ) {\displaystyle \ \angle ACB=180^{\circ }-(\alpha +\beta )} . זווית זו היא גם זווית הראש במשולש שווה השוקיים BCE. לכן מתקיים:   ∠ C E B = ∠ A E F = 180 ∘ − ∠ A C B 2 = 1 2 ( α + β ) {\displaystyle \ \angle CEB=\angle AEF={\frac {180^{\circ }-\angle ACB}{2}}={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )} . באופן דומה, ∠ C B E = 1 2 ( α + β ) {\displaystyle \angle CBE={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )} ומכאן נקבל כי: ∠ A B F = ∠ C B E − β = 1 2 ( α − β ) {\displaystyle \angle ABF=\angle CBE-\beta ={\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )} . על פי תכונות הטנגנס במשולש ישר-זווית מתקיימות המשוואות הבאות: במשולש ABF:   t a n ( ∠ A B F ) = t a n ( α − β 2 ) = A F / B F {\displaystyle \ tan(\angle ABF)=tan({\frac {\alpha -\beta }{2}})={AF}/{BF}} . במשולש AEF:   t a n ( ∠ A E F ) = t a n ( α + β 2 ) = A F / F E {\displaystyle \ tan(\angle AEF)=tan({\frac {\alpha +\beta }{2}})={AF}/{FE}} . מחלוקת משוואות זו בזו נקבל את התוצאה הבאה:   F E B F = t a n ( 1 2 ( α − β ) ) t a n ( 1 2 ( α + β ) ) {\displaystyle \ {\frac {FE}{BF}}={\frac {tan({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta ))}{tan({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta ))}}} . על סמך תוצאה (4) נקבל:   a − b a + b = t a n ( 1 2 ( α − β ) ) t a n ( 1 2 ( α + β ) ) {\displaystyle \ {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {tan({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta ))}{tan({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta ))}}} . קיימות בניות גאומטריות נוספות המוכיחות את המשפט, בין בהסתמכות על דמיון משולשים ובין בהסתמכות על תכונות אחרות כגון משפט חוצה הזווית. כמו משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים, גם במשפט הטנגנסים ניתן להיעזר לפתירת בעיות בהן ידועים רק גודלי שתי זוויות ואורך צלע אחת במשולש (שתי זוויות וצלע), או כאשר ידועים אורכי שתי צלעות וגודל אחת מהזוויות (שתי צלעות וזווית). בעבר, לפני המצאת המחשבון, היו משתמשים בחוקי הלוגריתמים ובלוחות לוגריתמים על מנת לבצע חישובים במהירות. בשל העובדה כי משפט הקוסינוסים מורכב מפעולות חיבור וחיסור, קשה להמיר אותו לצורה לוגריתמית בת-חישוב, ולפיכך השתמשו במשפט הטנגנסים שאת תוצאתו קל יותר לחשב באמצעות הטבלאות. כיום, לאחר המצאת המחשבון, נוח יותר לבצע חישובים בעזרת משפט הקוסינוסים, ולפיכך השימוש במשפט הטנגנסים פחות רווח. משפט הסינוסים משפט הקוסינוסים משפט הטנגנסים, באתר MathWorld (באנגלית) A History of Mathematics, מאת Carl Boyer, הוצאת אוניברסיטת פרינסטון, ניו ג'רזי, 1985, פרק 16 * תומאס פינק (Tomas Fincke) באתר MacTutor (באנגלית) משפט הטנגנסים - שימושים והוכחות מספרו של יוהאנס קפלר Astronomia Nova באתר Worldwide larouche youth movement (באנגלית) ,The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook פרק 5: "Mathematics in Medieval Islam" מאת Berggren, J. Lennart, הוצאת אוניברסיטת פרינסטון, 2007 Proof Without Words: The Law of Tangents, מאת Rex H.Wu, Mathematics Magazine גיליון 74, 2001 שלוש הוכחות נוספות: Plane Trigonometry and Applications מאת Ernest Julius Wilczynski, הוצאת Allyn & Bacon, בוסטון, 1914, עמ' 100-106.