מעגל נושק

בגאומטריה דיפרנציאלית ובחקר של עקומים, מעגל נושק (באנגלית: Osculating circle) של עקום חלק מספיק בנקודה נתונה p על העקום מוגדר כמעגל אשר מתקרב לעקום בצורה המרבית מבין כל המעגלים המשיקים לו בנקודה זו. באופן אינטואיטיבי ניתן לתארו בתור המעגל שעובר דרך p ודרך שתי נקודות נוספות על העקום הקרובות אינפיניטסימלית ל-p. מרכזו נח על חלקו הפנימי של הנורמל של העקום בנקודה זו, ועקמומיותו זהה לזו של העקום בנקודה זו. מרכזו ורדיוסו של המעגל הנושק נקראים בהתאמה מרכז העקמומיות ורדיוס העקמומיות של העקום בנקודה זו. המחשה יפה וקולעת למושג המעגל הנושק מתוארת בפסקה הבאה. נניח כי מכונית נעה לאורך מסלול עקום כלשהו על פני כביש מישורי נרחב. כעת נניח כי ברגע מסוים במהלך תנועתה ובנקודה מסוימת על פני העקום ההגה שלה ננעל במצבו הנוכחי הרגעי. המעגל שהמכונית תתווה לאחר מכן כתוצאה מכך הוא המעגל הנושק לעקום בנקודה זו. רדיוסו הוא רדיוס העקמומיות של העקום בנקודת הנעילה ועקמומיותו היא כשל העקום בנקודת הנעילה. יהי (γ(s עקום פרמטרי רגולרי, כאשר s הוא אורך הקשת של העקום ופרמטר לתיאורו. הצגה זו קובעת את וקטור היחידה המשיק T, את וקטור היחידה הנורמלי, את העקמומיות (k(s ואת רדיוס העקמומיות בכל נקודה על העקום: T ( s ) = γ ′ ( s ) , T ′ ( s ) = k ( s ) N ( s ) , R ( s ) = 1 | k ( s ) | . {\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)={\frac {1}{\left|k(s)\right|}}.} נניח כי p היא נקודה על העקום c בה העקמומיות שונה מאפס. מרכז העקמומיות המתאים הוא בנקודה Q במרחק R לאורך N, באותו הכיוון אם k חיובי ובכיוון ההפוך אם k שלילי. המעגל בעל המרכז Q והרדיוס R נקרא המעגל הנושק לעקום C בנקודה P. אם C הוא עקום מרחבי רגולרי אז המעגל הנושק מוגדר בצורה דומה, באמצעות וקטור הנורמל N. המעגל שוכן במישור הנושק, המישור הנפרש על ידי הווקטור המשיק ווקטור הנורמל T ו-N בנקודה P. אם העקום המישורי נתון בפרמטריטזיציה רגולרית אחרת γ ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ) {\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}\,} כאשר רגולרי פירושו γ ′ ( t ) ≠ 0 {\displaystyle \gamma '(t)\neq 0} עבור כל t. אז הנוסחאות לעקמומיות (k(t, וקטור היחידה הנורמלי (N(t, רדיוס העקמומיות (R(t והמרכז (Q(t הן: k ( t ) = x 1 ′ ( t ) ⋅ x 2 ″ ( t ) − x 1 ″ ( t ) ⋅ x 2 ′ ( t ) ( x 1 ′ ( t ) 2 + x 2 ′ ( t ) 2 ) 3 2 N ( t ) = 1 | | γ ′ ( t ) | | ⋅ ( − x 2 ′ ( t ) x 1 ′ ( t ) ) {\displaystyle k(t)={\frac {x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}{{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad N(t)\,=\,{\frac {1}{||\gamma '(t)||}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}} , R ( t ) = | ( x 1 ′ ( t ) 2 + x 2 ′ ( t ) 2 ) 3 2 x 1 ′ ( t ) ⋅ x 2 ″ ( t ) − x 1 ″ ( t ) ⋅ x 2 ′ ( t ) | a n d Q ( t ) = γ ( t ) + 1 k ( t ) ⋅ | | γ ′ ( t ) | | ⋅ ( − x 2 ′ ( t ) x 1 ′ ( t ) ) . {\displaystyle R(t)=\left|{\frac {{\Big (}x_{1}'(t)^{2}+x_{2}'(t)^{2}{\Big )}^{\frac {3}{2}}}{x_{1}'(t)\cdot x_{2}''(t)-x_{1}''(t)\cdot x_{2}'(t)}}\right|\qquad \qquad \mathrm {and} \qquad \qquad Q(t)\,=\,\gamma (t)\,+\,{\frac {1}{k(t)\cdot ||\gamma '(t)||}}\cdot {\begin{pmatrix}-x_{2}'(t)\\x_{1}'(t)\end{pmatrix}}\,.} עבור עקום C הנתון על ידי משוואות פרמטריות חלקות מספיק (גזירות ברציפות לפחות פעמיים), המעגל הנושק ניתן לבנייה באמצעות גבול מתאים: זהו הגבול של כל המעגלים העוברים דרך שלוש נקודות שונות על C כאשר נקודות אלו שואפות ל-P. זה אנלוגי לחלוטין לבנייה של משיק לעקום כגבול של מיתרים העוברים דרך זוגות של נקודות על C כשאלו שואפות ל-P. המעגל הנושק S לעקום מישורי C בנקודה נתונה P ניתן לאפיון באמצעות התכונות הבאות: המעגל S חולף דרך P. למעגל S ולעקום C יש משיק משותף בנקודה P, ולפיכך גם קו נורמל משותף. בסביבת P, המרחק בין הנקודות של העקום C והמעגל S בכיוון הנורמלי דועך לפי החזקה השלישית או חזקה גבוהה יותר של המרחק ל-P בכיוון המשיקי. באופן מילולי ניתן לומר כי "לעקום ולמעגל הנושק שלו יש מגע מסדר שני או גבוה יותר" ב-P. במילים אחרות, הפונקציות הווקטוריות שמייצגות את C ואת S זהות בנגזרות הראשונה והשנייה שלהן ב-P. אם הנגזרת של העקמומיות לפי s שונה מאפס ב-P אז המעגל הנושק בנקודה חוצה את העקום C בנקודה P. נקודות שבהן הנגזרת של העקמומיות היא אפס מכונות קודקוד של העקום. אם P היא קודקוד אז לעקום C ולמעגל הנושק לו בנקודה זו מגע מסדר רביעי לפחות. אם, יותר מכך, לעקמומיות יש אף מינימום או מקסימום מקומי שונה מאפס ב-P, אזי המעגל הנושק נוגע בעקום C ב-P אבל אינו חוצה אותו. העקום C ניתן לבנייה כמעטפת של משפחה בת פרמטר אחד של המעגלים הנושקים שלו. מרכזיהם, דהיינו מרכזי העקמומיות שלהם, יוצרים עקום אחר, הנקרא האוולוט של C. קודקודים על C מתאימים לנקודות יחידות על האוולוט שלו. עבור הפרבולה: γ ( t ) = ( t t 2 ) {\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}t\\t^{2}\end{pmatrix}}} ורדיוס העקמומיות הוא: R ( t ) = | ( 1 + 4 ⋅ t 2 ) 3 2 2 | {\displaystyle R(t)=\left|{\frac {\left(1+4\cdot t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{2}}\right|} בקודקוד מתקיים γ ( 0 ) = ( 0 0 ) {\displaystyle \gamma (0)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}} ורדיוס העקמומיות שווה ל-0.5. לפרבולה יש מגע מסדר רביעי עם המעגל הנושק לה בנקודה זו. עבור t-ים גדולים רדיוס העקמומיות גדל בקצב יחסי ל-~ t3, והעקום הולך ונעשה קרוב יותר ויותר לישר. עקום ליסאז'ו בעל יחס תדירויות 2:3 ניתן להצגה פרמטרית באופן הבא: γ ( t ) = ( cos ⁡ ( 3 t ) sin ⁡ ( 2 t ) ) {\displaystyle \gamma (t)\,=\,{\begin{pmatrix}\cos(3t)\\\sin(2t)\end{pmatrix}}\,} העקמומיות (k(t, וקטור היחידה הנורמלי (N(t ורדיוס העקמומיות (R(t שלו הם: k ( t ) = 6 cos ⁡ ( t ) ( 8 cos ⁡ ( t ) 4 − 10 cos ⁡ ( t ) 2 + 5 ) ( 232 cos ⁡ ( t ) 4 − 97 cos ⁡ ( t ) 2 + 13 − 144 cos ⁡ ( t ) 6 ) 3 / 2 , {\displaystyle k(t)={\frac {6\cos(t)(8\cos(t)^{4}-10\cos(t)^{2}+5)}{(232\cos(t)^{4}-97\cos(t)^{2}+13-144\cos(t)^{6})^{3/2}}}\,,} N ( t ) = 1 | | γ ′ ( t ) | | ⋅ ( − 2 cos ⁡ ( 2 t ) − 3 sin ⁡ ( 3 t ) ) {\displaystyle N(t)\,=\,{\frac {1}{||\gamma '(t)||}}\cdot {\begin{pmatrix}-2\cos(2t)\\-3\sin(3t)\end{pmatrix}}} ו-: R ( t ) = | ( 232 cos ⁡ ( t ) 4 − 97 cos ⁡ ( t ) 2 + 13 − 144 cos ⁡ ( t ) 6 ) 3 / 2 6 cos ⁡ ( t ) ( 8 cos ⁡ ( t ) 4 − 10 cos ⁡ ( t ) 2 + 5 ) | . {\displaystyle R(t)=\left|{\frac {(232\cos(t)^{4}-97\cos(t)^{2}+13-144\cos(t)^{6})^{3/2}}{6\cos(t)(8\cos(t)^{4}-10\cos(t)^{2}+5)}}\right|\,.} פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. המעגל הנושק כונה כך על ידי לייבניץ. בנייה גאומטרית של המעגל תוארה על ידי אייזק ניוטון בספרו פרינקיפיה משנת 1687: בהינתן, בכל מקום כלשהו, המהירות שבה גוף נתון מתווה צורה מסוימת, ובמונחים של כוח שכיוונו למרכז מסוים: למצוא את המרכז הזה — אייזק ניוטון, פרינקיפיה, טענה 5, בעיה 1. רדיוס עקמומיות עקמומיות מישור נושק מבוא לגאומטריה דיפרנציאלית, מיכאל פרבר מדיה וקבצים בנושא מעגל נושק בוויקישיתוף מעגל נושק, באתר MathWorld (באנגלית)