סכמה אפינית

במתמטיקה, סכמות אפיניות (באנגלית: Affine Scheme) הן אבני הבניין של סכמות — מושא המחקר המרכזי של הגאומטריה האלגברית המודרנית. אחת ההגדרות של יריעה אלגברית אפינית היא אוסף הפתרונות של מערכת משוואות פולנמיאלית מעל שדה מסוים. חקר סכמות אפיניות מגדיל את מוקד העניין מאוסף הפתרונות בלבד אל המערכת עצמה גם כן. בהתאם, ניתן לחשוב על סכמה אפינית כעל מערכת משוואות פולנומיאלית כשהמקדמים של הפולינומים שלמים. בהינתן מערכת משוואות וחוג A {\displaystyle A} ניתן לחפש פתרונות של המערכת ב־ A {\displaystyle A} . זאת אומרת, לחפש איברים ב־ A {\displaystyle A} כך שאם נציב אותם במקום הנעלמים במערכת המשוואות אז כל המשוואות תתקיימנה. בחקר סכמות, אין לנו עניין במערכת הספציפית, אלא רק בפתרונות שלה מעל חוגים שונים. לכן נאמר ששתי מערכות משוואות שקולות אם אוספי הפתרונות שלהן בכל חוג זהים. לכן, מדויק יותר להגדיר סכמה אפינית בתור מחלקת שקילות של מערכות משוואות. בהינתן מערכת משוואות: { f 1 ( x 1 , … , x n ) = 0 f 2 ( x 1 , … , x n ) = 0 ⋯ f k ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle {\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\cdots \\f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\end{cases}}} נתבונן במנה Z [ x 1 , … x n ] / ⟨ f 1 , … f k ⟩ {\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots x_{n}]/\langle f_{1},\dots f_{k}\rangle } של חוג הפולנומים עם מקדמים שלמים Z [ x 1 , … x n ] {\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots x_{n}]} באידיאל ⟨ f 1 , … f k ⟩ {\displaystyle \langle f_{1},\dots f_{k}\rangle } הנוצר על ידי הפולנומים f 1 , … f k {\displaystyle f_{1},\dots f_{k}} אם שתי מערכות משוואות שקולות אז החוגי המנה המתאימים שווים לכן ניתן להגדיר סכמות כחוגים מהסוג Z [ x 1 , … x n ] / ⟨ f 1 , … f k ⟩ {\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},\dots x_{n}]/\langle f_{1},\dots f_{k}\rangle } . מכיוון שאנו לא דורשים ש־ n {\displaystyle n} ו־ k {\displaystyle k} , כל חוג קומוטטיבי עם יחידה אפשר להביע כך (עד כדי איזומורפיזם). מכאן שאפשר להגדיר סכמה אפינית כחוג קומוטטיבי עם יחידה. הגדרה זאת אינה שימושית בדרך כלל מכיוון שהיא לא משקפת את המבנה הגאומטרי של סכמות אפיניות. אלכסנדר גרותנדיק הגדיר את מושג הספקטרום של חוג, שמהווה אובייקט גיאמוטרי שמגלם במובן מסוים את אוסף הפתרונות של מערכת המשוואות שמתאימה לחוג מעל כל החוגים במקביל. בהתאם גרותנדיק הגדיר "סכמה אפינית" בתור ספקטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה. עם זאת, כל המידע על הסכמה האפינית טמון בחוג הפונקציות הרגולריות עליה (החוג שהיא מהווה את הספקטרום שלו). במילים אחרות, חוג זה מגדיר את הסכמה האפינית ביחידות. לכן ניתן להגדיר סכמה באופן שקול כחוג קומוטטיבי עם יחידה. מנקודת מבט של תורת הקטגוריות, קטגורית הסכמות האפינית שקולות לקטגוריה ההפוכה של קטגורית החוגים הקומוטטיביים עם יחידה. מושג הסכמה האפינית פותח כגרסה כללית וגמישה יותר של מושג היריעה האלגברית אפינית. עולה מכך, שאף על פי שמושג היריעה האלגברית האפינית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות: נדרש לקבוע את השדה k {\displaystyle k} , לכן לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים. מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פתרונות של מערכת משוואות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זאת מעל C {\displaystyle \mathbb {C} } . כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסצנדנטים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנריות, זאת אומרת נקודות שימצאו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי. יריעות אינן מאפשרות טיפול בפתרונות של מערכות משוואות מעל חוגים שאינם שדות. גם מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משוואות דיופנטיות. יריעות אינן מאפשרות טיפול בשורשים מרובים. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}=0} זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשוואה x = 0 {\displaystyle x=0} . אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לקחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להתייחס לקבוצת השורשים של x 2 {\displaystyle x^{2}} באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של x {\displaystyle x} . התייחסות לריבוי השורשים משפרת את הניסוח והשימושיות של מספר משפטים. למשל את המשפט היסודי של האלגברה. כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה האפינית. כדי להבין את סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירים את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלא בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג. לוויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקצוית הרגולריות ישנן השלכות. כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו. הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני. סכמה אפינית היא מרחב טופולוגי מחויג מקומית שאיזומורפי לספקטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה R {\displaystyle R} , כלומר: X = Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)} המצויד בטופולוגיית זריצקי כאשר אלומת המבנה שלו מוגדרת על בסיס לטופולוגיה של קבוצות פתוחות ראשיות D ( f ) = { p ∈ Spec ⁡ ( R ) ∣ p ∌ f } {\displaystyle D(f)=\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)\mid {\mathfrak {p}}\not \ni f\right\}} לכל f ∈ R {\displaystyle f\in R} באופן הבא O X ( D ( f ) ) = R f {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\left(D(f)\right)=R_{f}} כאשר R f = S − 1 R {\displaystyle R_{f}=S^{-1}R} הוא הלוקליזציה של R {\displaystyle R} במערכת הכפלית S = { 1 , f , f 2 , f 3 , . . . } {\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},...\}} . בפרט, O X ( X ) = R {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)=R} . הנבט של כל אלומה כזאת O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} בכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} היא חוג מקומי שבו אידיאל מקסימלי יחיד m x {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}} שהוא, באופן אינטואיטיבי, אוסף איברי החוג שמתאפסים בנקודה x. למנה k x = O X , x / m x {\displaystyle k_{x}={\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}_{x}} קוראים "שדה השארית ב-x". סכמה אפינית היא מקרה פרטי של סכמה. כל סכמה היא "הדבקה" של סכמות אפיניות פתוחות, ואפשר לומר שמקומית כל סכמה היא סכמה אפינית, כלומר לכל נקודה קיימת סביבה פתוחה שלה שהיא סכמה אפינית. סכמות הן אובייקט המחקר העיקרי בגאומטריה אלגברית, לצד יריעות אלגבריות. סכמה (מתמטיקה) ספקטרום של חוג יריעה אלגברית Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 69–108, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 ורשבסקי, יעקב (2016), עומר שכטר (ed.), "מושגי יסוד בגיאומטריה אלגברית 1" (PDF), האוניברסיטה העברית Vakil, Ravi (2017), Foundations of Algebraic Geometry, ISBN 978-0821810293 מדיה וקבצים בנושא סכמה אפינית בוויקישיתוף סכמה אפינית באתר MathWorld טקסט של דוד ממפורד שמסביר את מושג הסכמה לקהל רחב. המחברים של Stacks Project, The Stacks Project באופן עקרוני אין דרישה לסופית מספר המשתנים או המשוואות אבל באופן מעשי בדרך כלל זה המצב.