פונקציית גרין

במתמטיקה, פונקציית גרין היא פונקציה המשמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות לא הומוגניות עם תנאי שפה נתונים, והיא שימושית לפתרון בעיות בפיזיקה ובהנדסת חשמל. הפונקציה נקראת על שם ג'ורג' גרין, מתמטיקאי בריטי אשר פיתח את הרעיון בשנות ה-30 של המאה ה-19. פונקציית גרין, G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} של אופרטור דיפרנציאלי ליניארי L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} היא פתרון של המשוואה: L ^ G ( x , s ) = δ ( x − s ) {\displaystyle {\hat {L}}G(x,s)=\delta (x-s)} כאשר δ ( x − s ) {\displaystyle \delta (x-s)} היא פונקציית דלתא של דיראק המוזזת ב- s {\displaystyle s} . אם מימד הגרעין של האופרטור L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} שונה מאפס פונקציית גרין אינה יחידה, אך למעשה תנאי השפה וסימטריות נותנים פתרון יחיד. ניתן להשתמש בפונקציית גרין כדי לפתור משוואות מהצורה: L ^ u ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\hat {L}}u(x)=f(x)} פונקציית גרין היא פתרון המשוואה עבור f ( x ) = δ ( x − s ) {\displaystyle f(x)=\delta (x-s)} , ובעזרתה ניתן למצוא את פתרון המשוואה u ( x ) {\displaystyle u(x)} . לאחר מציאת פונקציית גרין נכפיל את שני אגפי המשוואה המגדירה אותה ב- f ( s ) {\displaystyle f(s)} ונבצע אינטגרציה על כל תחום ההגדרה שלה, לקבלת: ∫ L ^ G ( x , s ) f ( s ) d s = ∫ δ ( x − s ) f ( s ) d s = f ( x ) {\displaystyle \int {\hat {L}}G(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x)} זהו אינטגרל קונבולוציה. נציב במקום f ( x ) {\displaystyle f(x)} את האופרטור כפי שהוגדר במשוואה הדיפרנציאלית ונקבל: L ^ u ( x ) = ∫ L ^ G ( x , s ) f ( s ) d s {\displaystyle {\hat {L}}u(x)=\int {\hat {L}}G(x,s)f(s)ds} מאחר שהאופרטור L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} ליניארי ופועל על x {\displaystyle x} בלבד (ולא על משתנה האינטגרציה s {\displaystyle s} ) נוכל להוציא אותו מהאינטגרל באגף ימין: L ^ u ( x ) = L ^ ( ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s ) {\displaystyle {\hat {L}}u(x)={\hat {L}}\left(\int G(x,s)f(s)ds\right)} מכאן ניתן לזהות את הפתרון: u ( x ) = ∫ G ( x , s ) f ( s ) d s {\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds} כלומר, הפתרון של משוואה דיפרנציאלית לא הומוגנית תלוי רק בפונקציית גרין של המשוואה ובאיבר הלא הומוגני. פונקציית גרין של האופרטור L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} נותנת את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית שהוא מגדיר עבור כל פונקציה f ( x ) {\displaystyle f(x)} . השימוש העיקרי בפונקציית גרין במתמטיקה הוא לפתרון בעיות שפה אי-הומוגניות. במקרה שבו האופרטור L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} בלתי תלוי מפורשות במשתנה התלוי (לדוגמה, הוא מכיל רק נגזרות לפי x {\displaystyle x} אך לא כפל בפונקציות של x {\displaystyle x} ) - פונקציית גרין תלויה רק בהפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר היא פונקציה של משתנה אחד:   G ( x , s ) = G ( x − s ) {\displaystyle \ G(x,s)=G(x-s)} במקרה כזה, פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הלא הומוגנית שווה לקונבולוציה בין האיבר הלא הומוגני לבין פונקציית גרין: u ( x ) = ( G ∗ f ) ( x ) = ∫ G ( x − s ) f ( s ) d s {\displaystyle u(x)=(G*f)(x)=\int {G(x-s)f(s)ds}} בהנדסת חשמל, פונקציית גרין היא הבסיס לעקרון התגובה להלם. מערכת ליניארית ניתנת לתיאור על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית לא הומוגנית, כאשר האיבר הלא הומוגני הוא פונקציית הכניסה למערכת ופתרון המשוואה הוא היציאה של המערכת. פונקציית הדלתא של דיראק נקראת פונקציית הלם ופונקציית גרין של המשוואה נקראת תגובת ההלם של המערכת משום שהיא יציאת המערכת עבור כניסת הלם. למערכות ליניאריות בלתי משתנות בזמן יש תגובה להלם שתלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת פונקציית ההלם. במקרה כזה התגובה להלם שימושית במיוחד משום שבעזרתה ניתן לחשב את יציאת המערכת לכל כניסה באמצעות קונבולוציה בינה לבין פונקציית הכניסה, פעולה שניתן לבצע ביעילות בעזרת התמרת פורייה. פונקציית גרין משמשת גם בתחומים רבים בפיזיקה: בפיזיקה של חומר מעובה לפתירת משוואת הדיפוזיה, באלקטרומגנטיות לפתרון משוואת פואסון, במכניקת הקוונטים לפתרון משוואת שרדינגר ובפיזיקה תאורטית מודרנית לתיאור תהליכים על ידי דיאגרמות פיינמן. יהי L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} אופרטור שטורם ליוביל - אופרטור דיפרנציאלי ליניארי מהצורה: L ^ = d d x [ p ( x ) d d x ] + q ( x ) {\displaystyle {\hat {L}}={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)} כאשר תנאי השפה ניתנים על ידי אופרטור תנאי השפה D ^ {\displaystyle {\hat {D}}} : D ^ u = { α 1 u ′ ( 0 ) + β 1 u ( 0 ) α 2 u ′ ( ℓ ) + β 2 u ( ℓ ) {\displaystyle {\hat {D}}u=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(\ell )+\beta _{2}u(\ell )\end{matrix}}\right.} ותהי f ( x ) {\displaystyle f(x)} פונקציה רציפה בתחום [ 0 , ℓ ] {\displaystyle [0,\ell ]} . אזי ישנו פתרון אחד ויחיד u ( x ) {\displaystyle u(x)} המקיים: L ^ u = f D ^ u = 0 {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {L}}u=f\\{\hat {D}}u=0\end{matrix}}} והוא נתון על ידי: u ( x ) = ∫ 0 ℓ G ( x , s ) f ( s ) d s {\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }G(x,s)f(s)\,ds} כאשר G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} היא פונקציית גרין המקיימת את התנאים הבאים: G ( x , s ) {\displaystyle G(x,s)} רציפה ב- x {\displaystyle x} וב- s {\displaystyle s} . לכל x ≠ s {\displaystyle x\neq s} מתקיים: L ^ G ( x , s ) = 0 {\displaystyle {\hat {L}}G(x,s)=0\,} . לכל s ≠ 0 , ℓ {\displaystyle s\neq 0,\ell } מתקיים: D ^ G ( x , s ) = 0 {\displaystyle {\hat {D}}G(x,s)=0\,} . "קפיצה" בנגזרת: G ′ ( s 0 + , s ) − G ′ ( s 0 − , s ) = 1 / p ( s ) {\displaystyle G'(s_{0^{+}},s)-G'(s_{0^{-}},s)=1/p(s)} . סימטריה: G ( s , x ) = G ( x , s ) {\displaystyle G(s,x)=G(x,s)} . נתונה המשוואה הדיפרנציאלית הבאה: u ″ + u = f ( x ) {\displaystyle u''+u=f(x)} עם תנאי השפה: u ( 0 ) = u ( π / 2 ) = 0 {\displaystyle u(0)=u(\pi /2)=0} פונקציית גרין של הבעיה היא הפונקציה המקיימת את המשוואה: G ″ + G = δ ( x − s ) {\displaystyle G''+G=\delta (x-s)} עבור כל x ≠ s {\displaystyle x\neq s} פונקציית הדלתא מחזירה אפס ומתקבלת משוואה דיפרנציאלית הומוגנית שהפתרון הכללי שלה הוא: G ( x , s ) = A cos ⁡ x + B sin ⁡ x {\displaystyle G(x,s)=A\cos x+B\sin x} עבור x < s {\displaystyle x<s} נציב את תנאי השפה ב- x = 0 {\displaystyle x=0} : G ( 0 , s ) = c 1 ⋅ 1 + c 2 ⋅ 0 = 0 ⇒ c 1 = 0 {\displaystyle G(0,s)=c_{1}\cdot 1+c_{2}\cdot 0=0\quad \Rightarrow \quad c_{1}=0} עבור x > s {\displaystyle x>s} נציב את תנאי השפה ב- x = π / 2 {\displaystyle x=\pi /2} : G ( π / 2 , s ) = c 3 ⋅ 0 + c 4 ⋅ 1 = 0 ⇒ c 4 = 0 {\displaystyle G(\pi /2,s)=c_{3}\cdot 0+c_{4}\cdot 1=0\quad \Rightarrow \quad c_{4}=0} מכאן שפונקציית גרין היא מהצורה: G ( x , s ) = { c 2 sin ⁡ x x < s c 3 cos ⁡ x s < x {\displaystyle G(x,s)=\left\{{\begin{matrix}c_{2}\sin x\quad x<s\\c_{3}\cos x\quad s<x\end{matrix}}\right.} ונותר לקבוע מהם המקדמים c 2 {\displaystyle c_{2}} ו- c 3 {\displaystyle c_{3}} . מרציפות פונקציית גרין עבור x = s {\displaystyle x=s} נובע כי: c 2 sin ⁡ s = c 3 cos ⁡ s {\displaystyle c_{2}\sin s=c_{3}\cos s} הנגזרת הראשונה של הפתרון אינה רציפה: מבצעים אינטגרציה על שני אגפי המד"ר מ- x = s − ε {\displaystyle x=s-\varepsilon } עד x = s + ε {\displaystyle x=s+\varepsilon } ולוקחים את הגבול ε → 0 {\displaystyle \varepsilon \to 0} . האינטגרל על פונקציית הדלתא הוא פונקציית מדרגה, ומהקפיצה שלה מקבלים את התנאי הבא: c 3 ⋅ ( − sin ⁡ s ) − c 2 ⋅ cos ⁡ s = 1 {\displaystyle c_{3}\cdot (-\sin s)-c_{2}\cdot \cos s=1\,} מתקבלת מערכת משוואות עבור c 2 {\displaystyle c_{2}} ו- c 3 {\displaystyle c_{3}} והפתרון שלה הוא: c 2 = − cos ⁡ s ; c 3 = − sin ⁡ s {\displaystyle c_{2}=-\cos s\quad ;\quad c_{3}=-\sin s} . פונקציית גרין של הבעיה היא: G ( x , s ) = { − cos ⁡ s ⋅ sin ⁡ x x < s − sin ⁡ s ⋅ cos ⁡ x s < x {\displaystyle G(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-\cos s\cdot \sin x\quad x<s\\-\sin s\cdot \cos x\quad s<x\end{matrix}}\right.} משוואה דיפרנציאלית רגילה משוואה דיפרנציאלית חלקית אופרטור פונקציית גרין, באתר MathWorld (באנגלית)