משוואות אוילר (מכניקת הזורמים)

במכניקת זורמים, משוואות אוילר הן שלוש משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות התנהגות פיזיקלית של זורמים במרחב, שפותחו על ידי המתמטיקאי לאונרד אוילר וקרויות על שמו. המשוואות מורכבות ממשוואת הרצף (המתארת שימור מסה), משוואת התנועה (המתארת שימור תנע), ומשוואת שימור האנרגיה (המתארת שימור אנרגיה). חשיבותן של המשוואות גולשת מעבר לתחום מכניקת הנוזלים. בין היתר, יש למשוואות שימושים רבים בתחום האווירודינמיקה - באמצעתן ניתן לבחון מודלים ממוזערים של כלי תחבורה לצורך הבנת התנהגותם בגודל אמיתי. המשוואות אף היוו פריצת דרך מתמטית בשימוש בכלים של החשבון הדיפרנציאלי לתיאור תופעות פיזיקליות. קרוב ל־100 שנים אחרי פיתוחן, משוואות אוילר היוו הבסיס לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שהן הכלי המרכזי כיום להבנה של מכניקת זורמים. משוואת הרצף (שימור מסה): ∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ v ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial \rho \over \partial t}+{\partial (\rho v) \over \partial x}=0\\[1.2ex]\end{aligned}}} משוואת התנועה (שימור תנע): ∂ v ∂ t + v ∂ v ∂ x = − 1 ρ ∂ P ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial v \over \partial t}+v{\partial v \over \partial x}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial x}\\[1.2ex]\end{aligned}}} משוואת שימור האנרגיה: ∂ E ∂ t + ∂ ∂ x ( v ( E + P ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial E \over \partial t}+{\partial \over \partial x}{(v(E+P))}=0\end{aligned}}} כאשר: ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות הנוזל v {\displaystyle v} היא מהירות הנוזל P {\displaystyle P} הוא הלחץ בנוזל E {\displaystyle E} הוא סך כל האנרגיה ליחידת נפח, כלומר E = ρ ϵ + 1 2 ρ v 2 {\displaystyle E=\rho \epsilon +{\frac {1}{2}}\rho v^{2}} , כאשר ϵ {\displaystyle \epsilon } היא האנרגיה הפנימית של הנוזל. חוק השימור שכל אחת מהמשוואות מייצגת ניתן להסבר אינטואיטיבי: משוואה זו מתארת שימור מסה. במילים, המשמעות של המשוואה הוא כדלקמן: "השינוי במסה של הזורם באזור מסוים הוא תוצאה של זרימת מסה פנימה והחוצה מאזור זה בלבד". נראה שקילות בין המשוואה למשמעות המילולית שניתנה לעיל. נתבונן בתא סטטי בזורם בעל נפח V {\displaystyle V} . הביטוי ∂ ρ ∂ t {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}} משמעו קצב השינוי של הצפיפות בנפח V {\displaystyle V} . הביטוי ∂ ( ρ v ) ∂ x {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}} מבטא את הקצב שבו מסה נכנסת או יוצאת מאזור זה, כאשר הביטוי ρ v {\displaystyle \rho v} מייצג את זרם המסה. המשמעות הפיזיקלית של זרם המסה דומה למשמעות של זרם חשמלי, אך עם תנועה של מסה במקום תנועת מטענים חשמליים. מכאן שהמשמעות של המשוואה היא שעל מנת למצוא את השינוי של המסה בנפח V {\displaystyle V} , הוא ∂ ρ ∂ t {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}} , יש להתבונן בהפרש בין זרם המסה הנכנס לתא לזרם המסה היוצא ממנו. משמעות עובדה זו היא שימור מסה, שכן היא קובעת שלא מופיע נוזל יש מאין. משוואה זו מתארת שימור תנע, והיא מהווה הרחבה של החוק השני של ניוטון ממוצקים לזורמים. החוק השני של ניוטון קובע כי F = d p d t = d ( m v ) d t {\displaystyle \textstyle F={\frac {dp}{dt}}={\frac {d(mv)}{dt}}} , והוא אכן מבטא שימור תנע. לעיתים קרובות קשה להגדיר נפח במכניקת זורמים, ועל כן לרוב עובדים עם גדלים שהם "ליחידת נפח". כך למשל נהוג לעבוד עם צפיפות במקום עם מסה. מסיבה זו, נבטא את החוק השני של ניוטון בצורה: f = ρ a {\displaystyle f=\rho a} , כאשר f {\displaystyle f} הוא כוח ליחידת נפח. כעת, את התאוצה בחוק ניוטון אפשר להחליף בהגדרתה - שינוי המהירות כתלות בזמן, a = ∂ v ∂ t {\displaystyle \textstyle a={\frac {\partial v}{\partial t}}} . בנוסף, מכיוון שלחץ הוא כוח ליחידת שטח, אפשר לכתוב f = − ∂ P ∂ x {\displaystyle \textstyle f=-{\frac {\partial P}{\partial x}}} . מכאן מקבלים − ∂ P ∂ x = ρ ∂ v ∂ t {\displaystyle \textstyle -{\frac {\partial P}{\partial x}}=\rho {\frac {\partial v}{\partial t}}} , ועל ידי סידור המשוואה מתקבלת המשוואה ∂ v ∂ t = − 1 ρ ∂ P ∂ x {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}} . משוואה זו דומה למשוואת שימור התנע שהוצגה, אך יש להסביר את האיבר האחרון שנותר - v ∂ v ∂ x {\displaystyle \textstyle v{\frac {\partial v}{\partial x}}} . איבר זה הוא איבר ה"הסעה", וקשור לעובדה שבחלקים שונים בנוזל ייתכנו מהירויות שונות, מה שיגרום לתאוצה. דוגמה לכך היא תנועה של נוזל דרך צינור שהולך וצר. במקרה זה, ככל שהצינור נהיה צר יותר, כך מהירות הנוזל היא גדולה יותר, ואנו מקבלים תאוצה. תופעה זו מכונה האצת הסעה (Convective acceleration). משוואה זו מתארת שימור אנרגיה. בדומה למשוואת הרצף, משמעות המשוואה היא שהשינוי באנרגיה ליחידת נפח באזור בנוזל, הוא ∂ E ∂ t {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial E}{\partial t}}} , הוא תוצאה של זרימת אנרגיה לתוך נפח זה, המתואר על ידי זרם האנרגיה - v E {\displaystyle vE} . למעשה, ניתן להבין משוואה זו כמעין משוואת רצף עבור אנרגיה. נדגיש כאן שמכיוון שמשוואות אוילר מתארות זורמים, בחישוב האנרגיה עלינו להתחשב באנרגיה הפנימית של הנוזל, ולא באנרגיה הקינטית שלו בלבד. ∂ ρ ∂ t + 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ρ v ) = 0 ∂ v ∂ t + v ∂ v ∂ r = − 1 ρ ∂ P ∂ r ∂ E ∂ t + 1 r 2 ∂ ∂ r ( v r 2 ( E + P ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\rho v\right)=0\\[1.2ex]{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial r}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial r}}\\[1.2ex]{\frac {\partial E}{\partial t}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(vr^{2}\left(E+P\right)\right)=0\\[1.2ex]\end{aligned}}} המשוואות בקואורדינטות כדוריות נוחות יותר לשימוש כאשר הזרימה היא רדיאלית, לדוגמה כאשר עוסקים בבעיות קריסה של בועה או כוכב. ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ v → ) = 0 ∂ v → ∂ t + v → ⋅ ∇ v → = − 1 ρ ∇ P ∂ E ∂ t + ∇ ⋅ ( v → ( E + P ) ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {v}}\right)=0\\[1.2ex]{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla {\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P\\[1.2ex]{\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\vec {v}}\left(E+P\right)\right)=0\\[1.2ex]\end{aligned}}} שורשן של משוואות אוילר נובע מחוקי ניוטון שנוסחו בשנת 1687. בעוד חוקי ניוטון מתארים נכונה את החוקים הפיזיקליים הכלליים הפועלים על זורמים, יישום שלהם על נוזל מסוים מוביל לקשיים - שכן לא ניתן לראות נוזל רק כסך המולקולות המרכיבות אותו. זאת מכיוון שבפתרון המשוואות עבור נוזלים, רצוי להתייחס למושגים מאקרוסקופיים המתארים אותם כלחץ ונפח, שלרוב לא ניתן להגדיר היטב על מולקולות בודדות. רק כאשר מתייחסים לנוזל כאל רצף, ומשיימים את עקרונות החשבון האינפיניטסימלי עליו בכך שמחלקים אותו לגדלים קטנים ומבצעים חישוב על כל אחד בנפרד, ניתן ליישם כהלכה את חוקי ניוטון. ההבנה הזו הייתה תהליך ממושך, שהתחיל עם הניסיון הראשון של דניאל ברנולי ב־1738 ליישם עקרונות דינמיים כלליים על נוזל בתנועה, והגיעה לשיאה 17 שנה לאחר מכן עם פרסום משוואות אוילר על ידי לאונרד אוילר. המחקר שנעשה בשנים אלו לגילוי החוקים הפועלים על זורמים הוביל בין היתר לפיתוח של כלים מתמטיים חדשים, כמו כתיבה של משוואות וקטוריות, המושג של שדה מהירות וטכניקות לפתרון משוואות דיפרנציאליות חלקיות. ב־1738 כתב דניאל ברנולי בספר Hydrodynamica, sive de viribus et motibus fluidorum commentarii (הידרודינמיקה, דיסרטציה על כוחות זורמים ותנועתם) את הניסיון הראשון ליישום של עקרון כללי לתנועת זורמים. ברנולי יישם את עקרון שימור האנרגיה של הויגנס על זורמים והשיג תיאור גאומטרי של חוקים הכוללים אף גרסה חד־ממדית של משוואות אוילר. ב־1742 פרסם יוהאן ברנולי, אביו של דניאל ברנולי, את ספרו Hydraulice, והשתמש הפעם בחוקי ניוטון ובמיוחד בחוק השני שלו, במקום בעקרונות של הויגנס. התוצאה הייתה פיתוח של משוואת ברנולי שהשיג בנו, עם כתיב יותר אלגברי ופחות גאומטרי. ב-1746 זכה המתמטיקאי ז'אן לה רון ד'אלמבר בפרס מטעם האקדמיה הפרוסית למדעים בברלין על מאמרו The Cause of winds. במקרה פרטי במאמר, ניתנות לראשונה משוואות של תנועת זורמים אי דחיסים במקרה הדו־ממדי, שהיא מקרה פרטי של משוואות אוילר. שנתיים לאחר מכן, פרסם ד'אלמבר מאמר בשם The resistance of fluid לתחרות נוספת באקדמיה הפרוסית אך לא זכה בפרס. למרות זאת, חשיבותו של המאמר אינה מוטלת בספק - הוא מכיל לראשונה את מה שכונה "משוואת הערבוליות לזורמים אי־דחיסים", תחת ההנחה שתמיד מתקיים: ∇ × [ ( v ⋅ ∇ ) v ] = 0 {\displaystyle \nabla \times \left[\left(v\cdot \nabla \right)v\right]=0} . הנחה זו פירושה שהערבוליות אפסית, הנחה מוטעית שאוילר עצמו ישתמש בה במאמרו שלוש שנים מאוחר יותר. לאחר שחקר את כתביו של דאלמבר בנושא, טען אוילר במאמר בשנת 1750 שהבסיס האמיתי לכל מכניקת הרצף הוא החוק השני של ניוטון המיושם על חלקים בגודל אינפיניטסימלי של הגוף בתנועה. במאמר נוסף משנת 1750–1751 יישם אוילר את הטענה הזו על תנועת נהר, תוך התייחסות אליו כאל בעיית תנועה דו־ממדית. הוא פיתח גרסה של משוואת ברנולי של יוהאן ברנולי, עם נגזרות חלקיות: d v d t = g − 1 ρ d P d z {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dv}{dt}}=g-{\frac {1}{\rho }}{\frac {dP}{dz}}\end{aligned}}} אך ניכר שאוילר לא היה מרוצה ממונוגרפיה זו ב־1752 כתב אוילר את המאמר Principia motus fluidorum (עברית: עקרונות התנועה של נוזלים) שהציג גרסה מוקדמת של המשוואות לזרימה אי דחיסה. ב־31 באוגוסט 1752 המאמר הוגש לאקדמיה הפרוסית למדעים בברלין. המאמר כלל את הטעות שנעשתה גם על ידי המתמטיקאי ד'אלמבר בבואו למצוא חוקים לזורמים, והיא ההנחה שהערבוליות אפסית. במאמר זה פיתח אוילר לא רק גרסה דו־ממדית של המשוואות, אלא גם לראשונה גרסה תלת־ממדית. אוילר הבין אחרי זמן מה את הטעות שעשה בכך שהתעלם מפתרונות ערבוליים. בשנת 1755 כתב אוילר שלושה מונוגרפים על זורמים. המונוגרפיה הראשונה, Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides (עברית: עקרונות כלליים בנוגע לשיווי משקל בזורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־11 באוקטובר 1753 והוקדשה לשיווי־משקל של זורמים, אי־דחיסים ודחיסים. במונוגרפיה זו ניסה אוילר לבסס את מדע ההידרוסטטיקה על עקרון מנחה יסודי, והוא שכל אלמנט אינפיניטסימלי בנוזל אשר נמצא בשיווי משקל יקיים את המשוואה f − ∇ P = 0 {\displaystyle f-\nabla P={\boldsymbol {0}}} , כאשר P הוא הלחץ בשפת האלמנט ו־f היא צפיפות הכוח הפעולת עליו. אוילר הראה כי התוצאות הידועות של הידרוסטטיקה נובעות מחוק מתמטי פשוט זה. ואכן, בתחילת המונוגרפיה נכתב: אני מציע לפתח עקרון שעליו תבוסס כל ההידרוסטטיקה, או כל מדע של שיווי־משקל בזורם המונוגרפיה השנייה, Principes generaux du mouvement des fluides (עברית: עקרונות כללים בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־4 בספטמבר 1755, והוקדשה ליישום העקרונות מהמונוגרפיה הקודמת לטובת הבנת תנועה של זורמים. בתחילת המונוגרפיה נכתב שהבנת תנועה של זורם תלויה בתנאי התחלה של הזורם, שמכונים "המצב הפרימיטיבי של הזורם", אחד האזכורים הראשונים לכך בספרות המתמטית. ממצב זה יש להבין את הכוחות הפועלים על הזורם וכך ניתן להסיק את מצבו הנוכחי. לאורך המונוגרפיה משתמש אוילר בעיקר בצורה התלת־ממדית של המשוואות, ומפתח אותן גם לצורות כלליות כגון עבור זורמים דחיסים: ∇ ⋅ ( ρ v ) + ∂ p ∂ t = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)+{\frac {\partial p}{\partial t}}=0\end{aligned}}} ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = 1 ρ f − ∇ P {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\boldsymbol {v}}}{\partial t}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}={\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {f}}-\nabla P\end{aligned}}} כך שההנחה ש־ ∇ × [ ( v ⋅ ∇ ) v ] = 0 {\displaystyle \nabla \times \left[\left(v\cdot \nabla \right)v\right]=0} אינה הכרחית. המונוגרפיה השלישית, Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides (עברית: המשך המחקר בנוגע לתנועה של זורמים), הוגשה לאקדמיה בברלין ב־2 באוקטובר 1755. המונוגרפיה היא המשך ישיר של השתיים הקודמות ופיתוח התוצאות בהן, ובתחילתה כתב אוילר על חשיבות תגליותיו: בשתי המונוגרפיות הקודמות שלי צמצמתי את כל תורת הזורמים ... לשתי משוואות אנליטיות. חשיבות משוואות אלו נובעת לא רק שמכך שהן כוללות את כל מה שהתגלה בתחום ... אלא גם את כל מה שניתן לגלות בו בהמשך המונוגרפיה מראה אוילר בין היתר תנאים לקיום פתרון למשוואות וגם את תקפותו של חוק ברנולי לאורך קווי זרם בזרימה יציבה של נוזל לא דחיס, ובכך קיבל פיתוח למשוואת ברנולי. בנוסף, יש עיסוק בזרימה בתוך צינורות דקים. שלושת המונוגרפיות פורסמו על ידי האקדמיה הפרוסית בברלין בשנת 1757 באוגדן Mémoires de l'académie des sciences de Berlin 11. כתבים אלו היוו פריצת דרך בהבנת מכניקת זורמים. בסוף המונוגרפיה השנייה שלו משנת 1755 תיאר אוילר את שנותר לגלות בתחום מכניקת הזורמים לאחר פיתוח משוואותיו: אנו יכולים לראות... כמה רחוקים אנו מהבנה מלאה של תנועת זורמים, ושמה שכתבתי כאן אינו אלא התחלה צנועה. ובכל זאת, כל התיאוריה של תנועת זורמים נמצאת בשתי המשוואות הכתובות מעלה, כך שאין אלו עקרונות מכניים שאנו חסרים אותם במרדף אחר ההבנה, אלא רק האנליזה, שטרם פותחה מספיק למטרה זו. על כן רואים אנו אילו תגליות עלינו לעשות במדע זה לפני שנוכל להגיע לתיאוריה שלמה של תנועת זורמים. לא כל הקהילה המדעית העריכה את אוילר כראוי על גילוי המשוואות הנושאות את שמו. בספר Méchanique analitique של ז'וזף לואי לגראנז' משנת 1788 מצוין דווקא ד'אלמבר כמייסד תחום מכניקת הזורמים, בעוד שמו של אוילר לא מצוין לכל אורך הספר. במהדורה השנייה של הספר שיצאה יותר מ־20 שנה לאחר מכן מופיע המשפט: אוילר הוא זה לו אנו חייבים את קיומן של המשוואות הכלליות הראשונות המתארות תנועה של זורם ... והציג זאת בצורה פשוטה ומאירת עיניים באמצעות נגזרות חלקיות. נדרשה כמעט מאה שנה שתחלוף בטרם נעשתה התקדמות משמעותית במכניקת זורמים כשם שנעשתה בשנות הארבעים והחמישים על ידי אוילר, ד'אלמבר וברנולי. בסוף שנות השלושים של המאה ה-19 נחקרו השפעותיו של החיכוך על הזרימה על ידי ז'אן לואי מארי פואזיי וגוטהילף היינריך לודוויג האגן. ב-1827 חקר קלוד לואי מרי אנרי נאוויה את השפעות הצמיגות על זרימה, וב-1845 עשה כן ג'ורג' סטוקס. הידע שהושג במחקר הוביל לפיתוח משוואות נאוויה-סטוקס, שמהוות הרחבה של משוואות אוילר. הבנת הפתרונות של משוואה זו על זרימת נוזלים מהווה אחת משבע בעיות המילניום של מכון קליי. מספר הערות על פיתוח המשוואות: בפיתוח של המשוואות משתמשים בקירוב הרצף. קירוב זה מניח שמצד אחד הזורם מורכב מתאים קטנים מאוד, כך שכל הגדלים המתארים את הזורם יוגדרו היטב בתוך התא, ומצד שני שגודל התא יהיה קטן בהרבה מהאורך האפייני של המערכת. ללא קירוב הרצף הפיתוח אינו תקף. על מנת לבדוק את קירוב הרצף, מקובל להשתמש במספר קנודסן. בפיתוח משתמשים גם בהנחה שהנוזל אינו צמיג. הבנה של נוזלים בעלי צמיגות, שהיא תכונה של נוזלים שאנלוגית לחיכוך במוצקים, ניתנת בעזרת ההרחבה של משוואות אוילר למשוואת נאוויה-סטוקס. לשם נוחות, הפיתוח ייעשה בממד־אחד. בהינתן צינור ארוך בעל שטח חתך A {\displaystyle A} אשר זורם בו נוזל בכיוון החיובי של ציר ה־ x {\displaystyle x} , החידוש של אוילר היה בחלוקת הצינור לתאים בגודל אינפיניטסימלי ושימוש בכלים של החשבון אינפיניטסימלי כדי לחשב את התנועה של כל החומר הזורם באמצעות זרימה נקודתית. על כן, נחלק את הצינור לתאים אינפיניטסימליים באורך Δ x {\displaystyle \Delta x} ונתבונן בתא מסוים במיקום x 0 {\displaystyle x_{0}} . נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בו ב־ ρ 0 ( t ) {\displaystyle \rho _{0}\left(t\right)} , v 0 ( t ) {\displaystyle v_{0}\left(t\right)} בהתאמה. בדומה, נסמן את הצפיפות והמהירות של הנוזל בתא משמאלו ב־ ρ − ( t ) {\displaystyle \rho _{-}\left(t\right)} , v − ( t ) {\displaystyle v_{-}\left(t\right)} בהתאמה (ראה איור משמאל). נתבונן במערכת בזמן t = 0 {\displaystyle t=0} , ונקדם אותה בזמן Δ t {\displaystyle \Delta t} כלשהו. על מנת לפתח את משוואת הרצף, נמצא שני ביטויים שונים לשינוי במסה בתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} כתוצאה מהקידום בזמן ונשווה ביניהם. ראשית, כתוצאה מהקידום בזמן הנוזל בתא השמאלי יתקדם מרחק של v − Δ t {\displaystyle v_{-}\Delta t} , ולכן סך כל המסה הנכנסת לתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} היא ρ − ⋅ ( A v − Δ t ) {\displaystyle \rho _{-}\cdot \left(Av_{-}\Delta t\right)} . באותו האופן, סך כל המסה היוצאת מהתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} לתא מימנו היא ρ 0 ⋅ ( A v 0 Δ t ) {\displaystyle \rho _{0}\cdot \left(Av_{0}\Delta t\right)} . מכאן שהשינוי במסה בתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} הוא ההפרש בין שני הביטויים. כעת, את השינוי במסה נוכל לרשום גם במפורש בתור ההפרש Δ m = m ( t + Δ t ) − m ( t ) {\displaystyle \Delta m=m\left(t+\Delta t\right)-m\left(t\right)} , כאשר m ( t ) = ρ 0 ( t ) ⋅ A Δ x {\displaystyle m\left(t\right)=\rho _{0}\left(t\right)\cdot A\Delta x} היא המסה בתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} בזמן t {\displaystyle t} . נשווה בין שני הביטויים שמצאנו ונקבל: ρ 0 ( t + Δ t ) ⋅ A Δ x − ρ 0 ( t ) ⋅ A Δ x = ρ − ( t ) ⋅ A v − Δ t − ρ 0 ( t ) ⋅ A v 0 Δ t {\displaystyle \rho _{0}\left(t+\Delta t\right)\cdot A\Delta x-\rho _{0}\left(t\right)\cdot A\Delta x=\rho _{-}\left(t\right)\cdot Av_{-}\Delta t-\rho _{0}\left(t\right)\cdot Av_{0}\Delta t} נחלק ב־ Δ x {\displaystyle \Delta x} וב־ Δ t {\displaystyle \Delta t} ונקבל: ρ 0 ( t + Δ t ) − ρ 0 ( t ) Δ t = ρ − ( t ) v − − ρ 0 ( t ) v 0 Δ x {\displaystyle {\frac {\rho _{0}\left(t+\Delta t\right)-\rho _{0}\left(t\right)}{\Delta t}}={\frac {\rho _{-}\left(t\right)v_{-}-\rho _{0}\left(t\right)v_{0}}{\Delta x}}} ועל ידי לקיחת הגבולות Δ x , Δ t → 0 {\displaystyle \Delta x,\Delta t\rightarrow 0} נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת הרצף: ∂ ρ ∂ t = − ∂ ( ρ v ) ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}} ומהפיתוח מסיקים שמשוואה זו אכן מבטאת שימור מסה. כדי לפתח את משוואת שימור התנע משתמשים ברעיונות וכלים דומים. נקדם את המערכת בזמן Δ t {\displaystyle \Delta t} , ונחפש שני ביטויים לשינוי בתנע של התא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} . ראשית, כמות התנע הנכנס לתא האינפיניטסימלי ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} מהתא משמאלו הוא מכפלת מסת החומר הנכנס במהירותו, כלומר: ( A v − Δ t ⋅ ρ − ) v − {\displaystyle \left(Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\right)v_{-}} . בדומה, כמות התנע העוזבת את התא אל התא מימינו היא ( A v 0 Δ t ⋅ ρ 0 ) v 0 {\displaystyle \left(Av_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\right)v_{0}} . השינוי בתנע הוא ההפרש ביניהם. מצד שני, אפשר לכתוב במפורש את השינוי בתנע בתור ההפרש Δ p = p ( t + Δ t ) − p ( t ) {\displaystyle \Delta p=p\left(t+\Delta t\right)-p\left(t\right)} , כאשר p ( t ) = A Δ x ρ ( t ) ⋅ v ( t ) {\displaystyle p\left(t\right)=A\Delta x\rho \left(t\right)\cdot v\left(t\right)} הוא התנע בתא בזמן t. בנוסף על כך, בעקבות הקידום בזמן פועל מתקף על הנוזל. נסמן ב־ P {\displaystyle P} את הלחץ. התא השמאלי מפעיל מתקף P − A Δ t {\displaystyle P_{-}A\Delta t} על החומר הנכנס לתא, והתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} מפעיל מתקף P 0 A Δ t {\displaystyle P_{0}A\Delta t} על החומר היוצא מהתא. מכאן שהמתקף הכולל שפעל על החומר בתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} הוא ( P 1 − P 0 ) A Δ t {\displaystyle \left(P_{1}-P_{0}\right)A\Delta t} . על ידי השוואה בין שני הביטויים לשינו בתנע, מתקבלת המשוואה: A Δ x ρ ( t + Δ t ) ⋅ v ( t + Δ t ) − A Δ x ρ ( t ) ⋅ v ( t ) = ( A v − Δ t ⋅ ρ − ) v − − ( A v 0 Δ t ⋅ ρ 0 ) v 0 + ( P 1 − P 0 ) A Δ t {\displaystyle A\Delta x\rho \left(t+\Delta t\right)\cdot v\left(t+\Delta t\right)-A\Delta x\rho \left(t\right)\cdot v\left(t\right)=\left(Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\right)v_{-}-\left(Av_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\right)v_{0}+\left(P_{1}-P_{0}\right)A\Delta t} נחלק ב־ Δ x {\displaystyle \Delta x} וב־ Δ t {\displaystyle \Delta t} ונקבל: ρ ( t + Δ t ) ⋅ v ( t + Δ t ) − ρ ( t ) ⋅ v ( t ) Δ t = ρ − v − 2 − ρ 0 v 0 2 Δ x − P 0 − P − Δ x {\displaystyle {\frac {\rho \left(t+\Delta t\right)\cdot v\left(t+\Delta t\right)-\rho \left(t\right)\cdot v\left(t\right)}{\Delta t}}={\frac {\rho _{-}v_{-}^{2}-\rho _{0}v_{0}^{2}}{\Delta x}}-{\frac {P_{0}-P_{-}}{\Delta x}}} על ידי לקיחת הגבולות Δ x , Δ t → 0 {\displaystyle \Delta x,\Delta t\rightarrow 0} נקבל מהגדרת הנגזרת את משוואת התנועה: ∂ ( ρ v ) ∂ t + ∂ ( ρ v 2 ) ∂ x = − ∂ P ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho v^{2}\right)}{\partial x}}=-{\frac {\partial P}{\partial x}}} על מנת לקבל את המשוואה בצורתה המוכרת, נשתמש בעובדה כי ∂ ( ρ v 2 ) ∂ x = v ∂ ( ρ v ) ∂ x + ρ v ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial \left(\rho v^{2}\right)}{\partial x}}=v{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}+\rho v{\frac {\partial v}{\partial x}}} ונוכל לכתוב: ρ ∂ v ∂ t + v ∂ ρ ∂ t + v ∂ ( ρ v ) ∂ x + ρ v ∂ v ∂ x = − ∂ P ∂ x {\displaystyle \rho {\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+v{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}+\rho v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial P}{\partial x}}} כעת, נשתמש במשוואת הרצף על מנת לכתוב ∂ ρ ∂ t + ∂ ( ρ v ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial x}}=0} , ונקבל: ρ ∂ v ∂ t + ρ v ∂ v ∂ x = − ∂ P ∂ x {\displaystyle \rho {\frac {\partial v}{\partial t}}+\rho v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial P}{\partial x}}} ומהפיתוח מסיקים כי משוואה זו אכן מבטאת שימור תנע. פיתוח משוואת שימור האנרגיה נעשה אף הוא בכלים וברעיונות דומים. נציג את השינוי באנרגיה, Δ E {\displaystyle \Delta E} בתא ב־ x 0 {\displaystyle x_{0}} בשתי דרכים שונות. הדרך הראשונה היא הפשוטה יותר, ובה נתאר את האנרגיה בתא לפני ואחרי ההתקדמות בזמן בצורה מפורשת: Δ E = E ( t + Δ t ) − E ( t ) {\displaystyle \Delta E=E\left(t+\Delta t\right)-E\left(t\right)} , כאשר E ( t ) = A Δ x ρ ( t ) ( 1 2 v ( t ) 2 + ϵ ( t ) ) {\displaystyle \textstyle E\left(t\right)=A\Delta x\rho \left(t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t\right)^{2}+\epsilon \left(t\right)\right)} מבטאת את סך כל האנרגיה בתא בזמן t. הדרך השנייה מתחשבת רעיונית באנרגיה שעוזבת ונכנסת לתא בעקבות הקידום בזמן. האנרגיה שנכנסת לתא היא האנרגיה של החומר שנכנס לתא מהתא ב־ x − {\displaystyle x_{-}} . סך כל החומר הנכנס לתא הוא בעל מסה של A u − Δ t ⋅ ρ − {\displaystyle Au_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}} , ולכן האנרגיה שלו היא A v − Δ t ⋅ ρ − ⋅ ( 1 2 v − 2 + ϵ − ) {\displaystyle \textstyle Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right)} . בדומה, האנרגיה שעוזבת את התא היא A u 0 Δ t ⋅ ρ 0 ⋅ ( 1 2 v 0 2 + ϵ 0 ) {\displaystyle \textstyle Au_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{0}{}^{2}+\epsilon _{0}\right)} . על מנת להשוות ביניהן, עלינו להתחשב גם בעבודה שמבצע הלחץ בעת המעבר של הנוזל מתא לתא. סך כל העבודה שמבצע התא על החומר היא ( P − v − − P 0 v 0 ) A Δ t {\displaystyle \left(P_{-}v_{-}-P_{0}v_{0}\right)A\Delta t} . מכאן שמתקבל השוויון הבא: אגף שמאל - A Δ x ρ ( t + Δ t ) ( 1 2 v ( t + Δ t ) 2 + ϵ ( t + Δ t ) ) − A Δ x ρ ( t ) ( 1 2 v ( t ) 2 + ϵ ( t ) ) {\displaystyle A\Delta x\rho \left(t+\Delta t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t+\Delta t\right)^{2}+\epsilon \left(t+\Delta t\right)\right)-A\Delta x\rho \left(t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t\right)^{2}+\epsilon \left(t\right)\right)} אגף ימין - A v − Δ t ⋅ ρ − ⋅ ( 1 2 v − 2 + ϵ − ) − A u 0 Δ t ⋅ ρ 0 ⋅ ( 1 2 v 0 2 + ϵ 0 ) + ( P − v − − P 0 v 0 ) A Δ t {\displaystyle Av_{-}\Delta t\cdot \rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right)-Au_{0}\Delta t\cdot \rho _{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{0}{}^{2}+\epsilon _{0}\right)+\left(P_{-}v_{-}-P_{0}v_{0}\right)A\Delta t} נחלק ב־ Δ x {\displaystyle \Delta x} וב־ Δ t {\displaystyle \Delta t} ונקבל: אגף שמאל - ρ ( t + Δ t ) ( 1 2 v ( t + Δ t ) 2 + ϵ ( t + Δ t ) ) − ρ ( t ) ( 1 2 v ( t ) 2 + ϵ ( t ) ) Δ t {\displaystyle {\frac {\rho \left(t+\Delta t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t+\Delta t\right)^{2}+\epsilon \left(t+\Delta t\right)\right)-\rho \left(t\right)\left({\frac {1}{2}}v\left(t\right)^{2}+\epsilon \left(t\right)\right)}{\Delta t}}} אגף ימין - u − ρ − ⋅ ( 1 2 v − 2 + ϵ − ) − v 0 ρ 0 ⋅ ( 1 2 v 0 2 + ϵ 0 ) + ( P − v − − P 0 v 0 ) Δ x {\displaystyle {\frac {u_{-}\rho _{-}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{-}{}^{2}+\epsilon _{-}\right)-v_{0}\rho _{0}\cdot \left({\frac {1}{2}}v_{0}{}^{2}+\epsilon _{0}\right)+\left(P_{-}v_{-}-P_{0}v_{0}\right)}{\Delta x}}} ועל ידי לקיחת הגבולות Δ x , Δ t → 0 {\displaystyle \Delta x,\Delta t\rightarrow 0} נקבל מהגדרת הנגזרת: ∂ ∂ t ( ρ ( 1 2 v 2 + ϵ ) ) = − ∂ ∂ x ( v ρ ⋅ ( 1 2 v 2 + ϵ + P ρ ) ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\rho \left({\frac {1}{2}}v{}^{2}+\epsilon \right)\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(v\rho \cdot \left({\frac {1}{2}}v{}^{2}+\epsilon +{\frac {P}{\rho }}\right)\right)} נסמן E = 1 2 ρ v 2 + ρ ϵ {\displaystyle E={\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho \epsilon } ונקבל ∂ ∂ t ( E ) = − ∂ ∂ x ( v ( E + P ) ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(E\right)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left(v\left(E+P\right)\right)} בתיאור לגרנז'י, את הנגזרות החלקיות לפי הזמן מחליפים בנגזרת החומרית D D t = ∂ ∂ t + v ⋅ ∇ {\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+v\cdot \nabla } בתיאור זה, המשוואה עוקבת אחרי אלמנט זורם שניתן לתאר כגוף ניוטוני. בצורה זו, משוואת שימור התנע ומשוואת שימור האנרגיה מקבלות צורה פשוטה יותר, המוכרת ממכניקה ניוטונית ותרמודינמיקה. נסתכל על אלמנט זורם, בעל נפח V {\displaystyle V} ומסה m {\displaystyle m} הנע ביחד עם הזרימה. דפנות האלמנט מתקדמות במהירות v {\displaystyle v} שאיננה אחידה, וכתוצאה מכך, נפח התא משתנה. קל להתרשם שהשינוי בנפח האלמנט הוא D V D t = ∮ ∂ V u ⋅ d A {\displaystyle {\frac {DV}{Dt}}=\oint _{\partial V}u\cdot dA} כאשר האינטגרל מתבצע על כל דפנות האלמנט. באמצעות משפט גאוס ניתן לפתח ביטוי זה ולקבל: D V D t = ∫ V ( ∇ ⋅ v ) d V ≈ ( ∇ ⋅ v ) ∫ V d V = V ( ∇ ⋅ v ) {\displaystyle {\frac {DV}{Dt}}=\int _{V}(\nabla \cdot v)dV\approx (\nabla \cdot v)\int _{V}dV=V(\nabla \cdot v)} כאשר המעבר הראשון התבצע בעזרת משפט גאוס, והמעבר השני אפשרי כיון שבאלמנט זורם קטן גרדיאנט המהירות יכול להילקח כקבוע על פני כל האלמנט. צפיפות הזורם באלמנט היא ρ = m / V {\displaystyle \rho =m/V} ולכן צפיפות הזורם מקיימת: D ρ D t = D m V D t = − m V 2 D V D t = − m V ∇ ⋅ u = − ρ ( ∇ ⋅ v ) {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {D{\frac {m}{V}}}{Dt}}=-{\frac {m}{V^{2}}}{\frac {DV}{Dt}}=-{\frac {m}{V}}\nabla \cdot u=-\rho (\nabla \cdot v)} או בצורתה המקובלת: D ρ D t + ρ ( ∇ ⋅ v ) = 0 {\displaystyle {\frac {D\rho }{Dt}}+\rho (\nabla \cdot v)=0} משוואה זו שקולה לתיאור האוילרי. הכוח הכללי שמופעל על אלמנט הזורם הוא: F = − ∮ ∂ V p d A {\displaystyle F=-\oint _{\partial V}pdA} לפי החוק השני של ניוטון מתקיים: m D v D t = F = − ∮ ∂ V P d A = − ∫ V ∇ p d V = V ∇ p {\displaystyle m{\frac {Dv}{Dt}}=F=-\oint _{\partial V}PdA=-\int _{V}\nabla pdV=V\nabla p} כאשר המעבר השלישי התבצע באמצעות משפט גאוס והמעבר הרביעי מסתמך על כך שאלמנט הזורם קטן. משוואת שימור התנע בצורתה הלגרנז'ית היא: ρ D v D t = − ∇ p {\displaystyle \rho {\frac {Dv}{Dt}}=-\nabla p} והיא מייצגת את החוק השני של ניוטון. משוואת שימור האנרגיה מסתמכת על ההנחה לפיה השינוי היחיד באנרגיה הפנימית של האלמנט נובע מעבודה שמבוצעת על ידי הלחץ. העבודה הזו היא − p d V {\displaystyle -pdV} ולכן משוואת שימור האנרגיה היא m D ϵ D t + p D V D t = 0 {\displaystyle m{\frac {D\epsilon }{Dt}}+p{\frac {DV}{Dt}}=0} ולאחר חלוקה במסה: D ϵ D t + p D ( 1 ρ ) D t = 0 {\displaystyle {\frac {D\epsilon }{Dt}}+p{\frac {D\left({\frac {1}{\rho }}\right)}{Dt}}=0} אם הזורם נמצא באופן מקומי בשיווי משקל תרמודינמי, לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה ניתן לרשום T d S = d ϵ + p d ( 1 ρ ) {\displaystyle TdS=d\epsilon +pd\left({\frac {1}{\rho }}\right)} כאשר T {\displaystyle T} היא הטמפרטורה, ו- S {\displaystyle S} האנטרופיה ליחידת מסה. לפיכך, בזרימה רציפה לפי משוואות אוילר, מתקיים D S D t = 0 {\displaystyle {\frac {DS}{Dt}}=0} כלומר האנטרופיה של אלמנט זורם לא משתנה במהלך הזרימה והזרימה היא אדיאבטית. ערך מורחב – משוואת ברנולי משוואת ברנולי מתארת שימור אנרגיה לאורך קווי זרימה של נוזל. משוואה זו היא פשוטה יותר ממשוואת שימור האנרגיה, ולכן מוכרת יותר ולעיתים שימושית יותר. עם זאת, משוואת ברנולי תקפה אך ורק במקרים של זרימה עמידה (זרימה שאיננה משתנה עם הזמן) ואי דחיסה (זרימה בה הצפיפות קבועה). את משוואת ברנולי ניתן לפתח ישירות ממשוואות אוילר. נצא ממשוואת שימור האנרגיה: ∂ E ∂ t + ∇ ⋅ ( v ¯ ( E + p ) ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\overline {v}}\left(E+p\right)\right)=0} הזרימה היא עמידה, ולכן הנגזרת בזמן מתאפסת. מכאן מתקבל ∇ ⋅ ( v ¯ ( E + p ) ) = 0 ⟹ ∇ ⋅ ( v ¯ ( 1 2 ρ v 2 + ρ ϵ + p ) ) = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \left({\overline {v}}\left(E+p\right)\right)=0\Longrightarrow \nabla \cdot \left({\overline {v}}\left({\frac {1}{2}}\rho v^{2}+\rho \epsilon +p\right)\right)=0} על ידי שימוש בנוסחא לנגזרת של מכפלה מסיקים 0 = ∇ ⋅ ( v ¯ ρ ( 1 2 v 2 + ϵ + p ρ ) ) = ( 1 2 v 2 + ϵ + p ρ ) ∇ ⋅ ( v ¯ ρ ) + ρ v ¯ ⋅ ∇ ( 1 2 v 2 + ϵ + p ρ ) {\displaystyle 0=\nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)\right)=\left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)\nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \right)+\rho {\overline {v}}\cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)} ממשוואת הרצף מסיקים כי ∇ ⋅ ( v ¯ ρ ) = ∂ ρ ∂ t {\displaystyle \textstyle \nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \right)={\frac {\partial \rho }{\partial t}}} . בנוסף, הזרימה היא עמידה, ולכן ∇ ⋅ ( v ¯ ρ ) = ∂ ρ ∂ t = 0 {\displaystyle \textstyle \nabla \cdot \left({\overline {v}}\rho \right)={\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0} . מכאן מתקבל: ρ v ¯ ⋅ ∇ ( 1 2 v 2 + ϵ + p ρ ) = 0 {\displaystyle \rho {\overline {v}}\cdot \nabla \left({\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}\right)=0} על ידי אינטגרציה על קו מסלול (המשיק לוקטור המהירות בכל נקודה) מסיקים כי 1 2 v 2 + ϵ + p ρ = c o n s t {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}=const} אם למערכת היה מתווסף שדה כבידה, משינויים קלים בפיתוח היינו מסיקים את משוואת ברנולי בצורתה המוכרת: 1 2 v 2 + ϵ + p ρ + g z = c o n s t {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+\epsilon +{\frac {p}{\rho }}+gz=const} משוואות אוילר משמשות גם כדי להבין התפשטות של גלים בנוזל. על מנת לפתח את משוואת הגלים, מניחים שקיימת הפרעה קטנה בנוזל וחוקרים את האופן שבו היא מתקדמת בו. מכיוון שההפרעה קטנה, משתמשים במושג הליניאריזציה על מנת לפשט את משוואות אוילר. כחלק מהפיתוח, נניח גם לשם הפשטות שהנוזל הלא-מופרע נמצא במנוחה. כתוצאה מההפרעה בנוזל, כל נקודה בנוזל מאופיינת על ידי הפרמטרים הבאים: ρ ( x , t ) = ρ 0 + Δ ρ ( x , t ) , P ( x , t ) = P 0 + Δ P ( x , t ) , v ( x , t ) = Δ v ( x , t ) {\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left(x,t\right)=\rho _{0}+\Delta \rho \left(x,t\right),\;\;\;\;P\left(x,t\right)=P_{0}+\Delta P\left(x,t\right),\;\;\;\;v\left(x,t\right)=\Delta v\left(x,t\right)\end{aligned}}} כאשר ρ 0 , P 0 {\displaystyle \rho _{0},P_{0}} הם קבועים, והביטויים Δ v , Δ P , Δ ρ {\displaystyle \Delta v,\Delta P,\Delta \rho } מייצגים את ההפרעה. נחקור את התקדמות ההפרעה עד לסדר ראשון בה, שכן לפי ההנחה מדובר בהפרעה קטנה, ולכן נזניח איברים מהצורה Δ a Δ b {\displaystyle \textstyle \Delta a\Delta b} ואיברים מהצורה Δ a ∂ ( Δ b ) ∂ x {\displaystyle \Delta a{\frac {\partial \left(\Delta b\right)}{\partial x}}} (וכאן הנחנו שגם הנגזרת של ההפרעה היא קטנה). תהליך הליניאריזציה הוא הצבת הביטויים ל־ ρ ( x , t ) , P ( x , t ) , v ( x , t ) {\displaystyle \rho \left(x,t\right),P\left(x,t\right),v\left(x,t\right)} שמופיעים למעלה במשוואות אוילר, ואז הזנחת איברים מסדר שני ב־ Δ {\displaystyle \Delta } . כתוצאה מהלינאריזציה, משוואת הרצף ומשוואת שימור התנע מקבלות את הצורה הבאה: משוואת הרצף: ∂ ( Δ ρ ) ∂ t + ρ 0 ∂ ( Δ u ) ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \left(\Delta \rho \right)}{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial \left(\Delta u\right)}{\partial x}}=0} . משוואת שימור התנע: ρ 0 ∂ ( Δ u ) ∂ t + ∂ ( Δ P ) ∂ x = 0 {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial \left(\Delta u\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\Delta P\right)}{\partial x}}=0} . כעת, נניח שהתהליך הוא אדיאבטי. הנחה זו מקובלת בפיזיקה כאשר מתכוונים לומר שהתהליך הוא "איטי". לכן ניתן לכתוב Δ P = ( ∂ P ∂ ρ ) S Δ ρ {\displaystyle \textstyle \Delta P=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}\Delta \rho } , כאשר S {\displaystyle S} היא האנטרופיה. נסמן c s 2 = ( ∂ P ∂ ρ ) S {\displaystyle \textstyle c_{s}^{2}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}} , ונראה שזוהי מהירות הקול בנוזל. נגזור את משוואת הרצף בזמן: ∂ 2 ( Δ ρ ) ∂ t 2 + ρ 0 ∂ 2 ( Δ u ) ∂ x ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial t^{2}}}+\rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta u\right)}{\partial x\partial t}}=0} . כעת נגזור את משוואת התנועה במיקום: ρ 0 ∂ 2 ( Δ u ) ∂ t ∂ x + ∂ 2 ( Δ P ) ∂ x 2 = 0 {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta u\right)}{\partial t\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta P\right)}{\partial x^{2}}}=0} . נציב את הקשר Δ P = c s 2 Δ ρ {\displaystyle \Delta P=c_{s}^{2}\Delta \rho } , והמשוואה מקבלת את הצורה: ρ 0 ∂ 2 ( Δ u ) ∂ t ∂ x + c s 2 ∂ 2 ( Δ ρ ) ∂ x 2 = 0 {\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta u\right)}{\partial t\partial x}}+c_{s}^{2}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial x^{2}}}=0} . על ידי חיסור שתי המשוואות מתקבלת המשוואה: ∂ 2 ( Δ ρ ) ∂ t 2 − c s 2 ∂ 2 ( Δ ρ ) ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial t^{2}}}-c_{s}^{2}{\frac {\partial ^{2}\left(\Delta \rho \right)}{\partial x^{2}}}=0\end{aligned}}} זוהי משוואת גלים עבור ההפרעה Δ ρ {\displaystyle \Delta \rho } . בפרט, מסיקים כי מהירות ההפרעה היא c s = ( ∂ P ∂ ρ ) S {\displaystyle \textstyle c_{s}=\left({\frac {\partial P}{\partial \rho }}\right)_{S}} , ולכן זוהי מהירות הקול בנוזל. חישוב דומה מראה שגם כאשר הנוזל אינו במנוחה אלא נע, מהירות הקול בו אינה משתנה. ערך מורחב – גל הלם מקרה חשוב של מעבר גלים בחומר הוא גל הלם. גל הלם נוצר כאשר ההפרעה בחומר מתקדמת מהר יותר מאשר מהירות הקול בחומר. התוצאה היא שההפרעה מגיעה לחומר לפני שהמידע על קיום ההפרעה מגיע אליו, ולכן חזית הגל יוצרת אי־רציפות בחומר. למשל, ייתכן שלחומר מיד לפני חזית הגל יש צפיפות שונה מאשר לחומר מיד אחרי חזית הגל. המשוואות המתארות גלי הלם הן משוואות רנקין-הוגוניו. את המשוואת ניתן לפתח בכך שמתחילים ממשוואות אוילר ומסיקים מהן תנאי על הקפיצה בחזית הגל (אנ'). למשל, ניתן להתחיל ממשוואת הרצף ולהסיק תנאי על הקפיצה בצפיפות המסה בחזית הגל. בהתאם לכך, משוואות רנקין-הוגוניו הן שלוש משוואות הקובעות שימור מסה, שימור תנעה ושימור אנרגיה בחזית הגל. אחד השימושים של משוואות אוילר הוא בהכנת דגמים של כלי תחבורה באווירודינמיקה עבור מנהרות רוח. משוואות אוילר משמשות לקביעת הגדלים הפיזיים של המודלים שבעזרתם ניתן להבין את התנהגות הכלי בגודלו האמיתי. נניח שברצוננו לבנות מודל של כנף של מטוס עבור מנהרת רוח, כך שכל חלק באורך x {\displaystyle x} בכנף מתורגם לחלק בגודל x ′ = α x {\displaystyle x\prime =\alpha x} במודל. כך למשל אם α = 1 5 {\displaystyle \textstyle \alpha ={\frac {1}{5}}} , המודל יהיה בדיוק באורך ובגבוה שהם 1 5 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{5}}} מאורך וגובה הכנף, בהתאמה. x ′ {\displaystyle x'} מגדיר את סקאלת האורך במערכת מנהרת הרוח. מכאן שגם סקאלת המהירות תשתנה, ומתקיים: v ′ = d x ′ d t = α d x d t = α v {\displaystyle {\begin{aligned}v\prime ={\frac {dx\prime }{dt}}=\alpha {\frac {dx}{dt}}=\alpha v\end{aligned}}} על מנת שניתן יהיה לבחון את התנהגות המודל ולהסיק ממנה מסקנות על התנהגות הכנף, יש לדרוש ששניהם יקיימו את אותה משוואת תנועה. לשם נוחות בלבד, נניח שאנו מעוניינים בתנועה חד־ממדית של הכנף בלבד. במקרה זה, משוואת התנועה עבור הכנף בגודל האמיתי היא ∂ v ∂ t + v ∂ v ∂ x = − 1 ρ ∂ P ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}\end{aligned}}} ומשוואת התנועה עבור המודל (בסקאלת האורך של המודל) היא ∂ v ′ ∂ t + v ′ ∂ v ′ ∂ x ′ = − 1 ρ ∂ P ∂ x ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v\prime }{\partial t}}+v\prime {\frac {\partial v\prime }{\partial x\prime }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x\prime }}\end{aligned}}} כאשר מציבים את x ′ , v ′ {\displaystyle x\prime ,v\prime } מתברר שמשוואת התנועה בסקאלה של המודל היא שונה מזו של הכנף. על מנת ששתי המשוואות יהיו זהות, יש לשנות גם את סקאלת הזמן במודל שלנו, ולהגדיר t ′ = α t {\displaystyle t\prime =\alpha t} . המשמעות של השוויון היא שאם המודל מצליח לרחף במנהרת הרוח במשך שנייה, נסיק כי הכנף תצליח לרחף במשך t = 1 α {\displaystyle \textstyle t={\frac {1}{\alpha }}} שניות. כעת, משוואת התנועה בסקאלה של המודל היא: ∂ v ′ ∂ t ′ + v ′ ∂ v ′ ∂ x ′ = − 1 ρ ∂ P ∂ x ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v\prime }{\partial t\prime }}+v\prime {\frac {\partial v\prime }{\partial x\prime }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x\prime }}\end{aligned}}} נותר להראות שהמשוואה האחרונה זהה למשוואת התנועה עבור הכנף (כלומר, למשוואת התנועה בסקאלת x , t {\displaystyle x,t} ). הפעם מתקיים v ′ = d x ′ d t ′ = d x d t = v {\displaystyle {\begin{aligned}v\prime ={\frac {dx\prime }{dt\prime }}={\frac {dx}{dt}}=v\end{aligned}}} ולכן: ∂ v ′ ∂ t ′ + v ′ ∂ v ′ ∂ x ′ = − 1 ρ ∂ P ∂ x ′ ∂ v ∂ ( α t ) + v ∂ v ∂ ( α x ) = − 1 ρ ∂ P ∂ ( α x ) 1 α ∂ v ∂ t + 1 α v ∂ v ∂ x = − 1 α 1 ρ ∂ P ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v\prime }{\partial t\prime }}+v\prime {\frac {\partial v\prime }{\partial x\prime }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x\prime }}\\{\frac {\partial v}{\partial \left(\alpha t\right)}}+v{\frac {\partial v}{\partial \left(\alpha x\right)}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial \left(\alpha x\right)}}\\{\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial v}{\partial t}}+{\frac {1}{\alpha }}v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}\end{aligned}}} ומכאן נובע: ∂ v ∂ t + v ∂ v ∂ x = − 1 ρ ∂ P ∂ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial v}{\partial t}}+v{\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial x}}\end{aligned}}} וכעת ניתן לראות שמשוואת התנועה בסקאלה של x ′ , t ′ {\displaystyle x\prime ,t\prime } זהה לזו בסקאלה של x , t {\displaystyle x,t} , ולכן משוואות התנועה של הכנף והמודל יהיו זהות. מכאן שעל ידי מעברי הסקאלה x ′ = α x , t ′ = α t {\displaystyle x\prime =\alpha x,\;\;t\prime =\alpha t} ניתן להשתמש במודל על מנת להבין את תנועת הכנף מבלי הצורך לבנות מנהרות רוח מספיק גדולות עבור הכנף בגודלה האמיתי. אף על פי ששינויי הסקאלה כאן היו פשוטים, בפועל יש לבצע שינויים מורכבים יותר. זאת מכיוון שבמשוואות אוילר אנו מזניחים את צמיגות הנוזל, בעוד שבמנהרות רוח לרוב הזנחה זו איננה מוצדקת. לכן יש לבנות את מנהרת האוויר כך שבשינוי הסקאלה, משוואת נאוויה־סטוקס, המרחיבה את משוואת התנועה למקרה של נוזל צמיג, היא המשוואה שאיננה משתנה בעקבות שינויי הסקאלה. בעזרת התאמות מסוימות לשפה של תורת הקוונטים, ניתן לפתח סט של משוואות אוילר עבור על נוזלים. על־נוזל הוא פאזה של חומרים מסוימים הבאה לידי ביטוי לרוב בטמפרטורות נמוכות, ומאופיינת בתכונות יוצאות דופן, כגון חוסר בצמיגות. על-נוזל מאופיין בכך שכמות מקרוסקופית של חלקיקים מאכלסים את רמת היסוד. כתוצאה מכך, ניתן להגדיר פונקציית גל המתארת את כל הנוזל, ולא רק חלקיק בודד (כפי שנהוג לרוב בבעיות בתורת הקוונטים). פונקציית הגל היא מהצורה הבאה: ψ ( r ¯ , t ) = ψ 0 ( r ¯ , t ) e i S ( r ¯ , t ) {\displaystyle \textstyle \psi \left({\overline {r}},t\right)=\psi _{0}\left({\overline {r}},t\right)e^{iS\left({\overline {r}},t\right)}} . במקרה זה, ניתנת משמעות מעט שונה לפונקציית הגל: הערך המוחלט | ψ | = ψ 0 {\displaystyle \textstyle \left|\psi \right|=\psi _{0}} יזוהה עם צפיפות החלקיקים n s = ρ s m {\displaystyle \textstyle n_{s}={\frac {\rho _{s}}{m}}} של העל־נוזל. זוהי אנלוגיה למקרה של חלקיק יחיד, שבו | ψ | {\displaystyle \left|\psi \right|} מזוהה עם צפיפות ההסתברות להימצאות החלקיק במקום מסוים. הנגזרת של הפאזה a r g ( ψ ) = S ( r ¯ , t ) {\displaystyle \textstyle arg\left(\psi \right)=S\left({\overline {r}},t\right)} תזוהה בתור מהירות העל־נוזל, עד כדי קבוע: ∇ S = m ℏ v s {\displaystyle \textstyle \nabla S={\frac {m}{\hbar }}v_{s}} . זיהוי זה מקובל לעיתים גם במקרה של פונקציית גל של חלקיק יחיד. מכאן, ניתן לצאת ממשוואת שרדינגר לפונקציות גל ולפתח שלוש משוואות האנלוגיות למשוואות אוילר: משוואת הרצף: ∂ | ψ | 2 ∂ t = − ∇ J ¯ p {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial \left|\psi \right|^{2}}{\partial t}}=-\nabla {\overline {J}}_{p}} , כאשר J ¯ p {\displaystyle {\overline {J}}_{p}} הוא זרם ההסתברות: J ¯ = − i ℏ 2 m ( ψ ∗ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ∗ ) {\displaystyle \textstyle {\overline {J}}=-{\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi *\nabla \psi -\psi \nabla \psi *\right)} . משוואה זו היא משוואה מוכרת בתורת הקוונטים, ונהוג להבינה בתור משוואה המתארת שימור הסתברות. משוואת התנועה: ∂ v s ¯ ∂ t + v s ¯ ⋅ ∇ v s ¯ = − 1 m ∇ μ {\displaystyle \textstyle {\frac {\partial {\overline {v_{s}}}}{\partial t}}+{\overline {v_{s}}}\cdot \nabla {\overline {v_{s}}}=-{\frac {1}{m}}\nabla \mu } , כאשר v s {\displaystyle v_{s}} הוא מהירות העל־נוזל ו־ μ {\displaystyle \mu } הוא הפוטנציאל הכימי של העל־נוזל. משוואה זו מתקבלת תחת ההנחה שהצפיפות של העל-נוזל משתנה לאט במרחב. בפרט, מכיוון שמשוואת התנועה המתארת את העל־נוזל היא משוואת התנועה של אוילר ולא משוואת נאווייה-סטוקס, ניתן להסיק שהעל־נוזל הוא חסר צמיגות, שכן משוואות אוילר מתארות נוזל שהוא בפרט חסר צמיגות. זוהי תכונה חשובה של העל־נוזל. משוואת שימור האנרגיה: 1 2 v s 2 + P ρ − σ T = 0 {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}v_{s}^{2}+{\frac {P}{\rho }}-\sigma T=0} , זוהי משוואה הדומה למשוואת ברנולי, כאשר v s {\displaystyle v_{s}} היא מהירות העל־נוזל, P {\displaystyle P} הוא הלחץ, T {\displaystyle T} הוא הטמפרטורה ו־ σ {\displaystyle \sigma } היא האנטרופיה ליחידת מסה של העל־נוזל. את המשוואות המתארות את העל־נוזל ניתן להרחיב כך שיכלילו גם את רכיבי הנוזל שאינם בפאזה העל־נוזלית. במקרה זה אכן מתווסף איבר של צמיגות למשוואת התנועה, שכן הנוזל שאיננו בפאזה העל־נוזלית איננו חסר צמיגות. השימוש במשוואות אוילר אפשרי רק תחת ההנחה שהנוזל חסר צמיגות. הנחה זו אינה תמיד נכונה במציאות. מכיוון שצמיגות בנוזלים אנלוגית לחיכוך במצוקים, על מנת לתאר נוזלים צמיגים יש לתקן את משוואת התנועה. משוואת התנועה הכוללת את התיקון לנוזלים צמיגים נקראת משוואת נאוויה-סטוקס, והתיקון הוא הוספת האיבר − η ρ ∇ 2 v ¯ {\displaystyle \textstyle -{\frac {\eta }{\rho }}\nabla ^{2}{\overline {v}}} לאגף ימין של משוואת התנועה של אוילר, כאשר η {\displaystyle \eta } הוא מקדם הצמיגות הדינמי. הסימון ∇ 2 v ¯ {\displaystyle \nabla ^{2}{\overline {v}}} הוא הפעלת אופרטור הלפלסיאן על כל איבר של הווקטור v ¯ {\displaystyle {\overline {v}}} . המשמעות של האיבר הנוסף היא מעין דיפוזיה של תנע. משוואת הדיפוזיה היא מהצורה α ∇ 2 n = ∂ n ∂ t {\displaystyle \textstyle \alpha \nabla ^{2}n={\frac {\partial n}{\partial t}}} , ותפקיד תהליך הדיפוזיה הוא למצע את פני גרדיאנטים גדולים בצפיפות הנוזל n {\displaystyle n} . באנלוגיה למקרה הצפיפות בנוזל ניתן להסיק שהאיבר החדש, − η ρ ∇ 2 v ¯ {\displaystyle \textstyle -{\frac {\eta }{\rho }}\nabla ^{2}{\overline {v}}} , ממצע על פני גרדיאנטים גדולים במהירות בנוזל, וזהו עיקר תהליך הצמיגות. זורם מכניקת זורמים הידרודינמיקה והידרוסטטיקה חשבון אינפיניטסימלי מספר ריינולדס לאונרד אוילר משוואת ברנולי משוואת נאוויה-סטוקס צמיגות על נוזל Landau, L. D. and Lifschitz, E. M., Fluid Mechanics, Second Edition, Pergamon Press, ISBN 978-0750627672 Julián Simón Calero, The Genesis of Fluid Mechanics, 1640–1780, Studies in History and Philosophy of Science 22, 2008, ISBN 978-1-4020-6413-5 Darrigol, Olivier, Worlds of Flow. A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press. chapter 1, ISBN 978-0199559114 Julián Simón Calero, "Theoretical Constructions (II): Euler" in "The Genesis of Fluid Mechanics, 1640–1780", Studies in History and Philosophy of Science 22, 2008, ISBN 978-1-4020-6413-5, page 401 * Darrigol, Olivier, Worlds of Flow. A History of Hydrodynamics from the Bernoullis to Prandtl, Oxford University Press. pp. 2 Olivier Darrigol and Uriel Frisch, From Newton's mechanics to Euler's equations, Euler Equations: 250 years on The Euler Archive, E258 -- Principia motus fluidorum The Euler Archive E225 -- Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides Leonhard Euler, Principes generaux de l'etat d'equilibre des fluides, pp. 1 The Euler Archive, E226 -- Principes generaux du mouvement des fluides The Euler Archive, E227 -- Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides Leonhard Euler, Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides, pp. 1 האתר של פרופסור Thayer Watkins, אוניברסיטת סן־חוזה Tilley, David R. and Tilley, John., Superfluidity and Superconductivity, Third Edition. IOP Publishing. chapters 3.2-3.3 D. McMahon, Quantum Field Theory, Mc Graw Hill, ISBN 978-0-07-154382-8