מסנן בייסיאני

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, מסנן בייסיאני הוא גישה לשערוך פונקציית צפיפות ההסתברות על בסיס מודל תהליך מתמטי ומדידות. התיאוריה של המסנן הבייסיאני נשענת על מתמטיקה מתחום סטטיסטיקה בייסיאנית. על בסיס מסנן בייסיאני פותחו מסנן קלמן ומסנן חלקיקים. המסנן הבייסיאני מניח את ההנחה המרקובית כך שמצב העתידי x {\displaystyle x} תלוי רק במצב הווה ובלתי תלוי במצבי העבר. p ( x k | x k − 1 , x k − 2 , … , x 0 ) = p ( x k | x k − 1 ) {\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1},{\textbf {x}}_{k-2},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})} באופן דומה, המדידה z {\displaystyle z} תלויה רק במצב הנוכחי ובלתי תלוי במצבים הקודמים. p ( z k | x k , x k − 1 , … , x 0 ) = p ( z k | x k ) {\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k},{\textbf {x}}_{k-1},\dots ,{\textbf {x}}_{0})=p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})} תחת הנחות הללו ניתן לתאר את ההסתברות של כל המצבים והמדידות. p ( x 0 , … , x k , z 1 , … , z k ) = p ( x 0 ) ∏ i = 1 k p ( z i | x i ) p ( x i | x i − 1 ) . {\displaystyle p({\textbf {x}}_{0},\dots ,{\textbf {x}}_{k},{\textbf {z}}_{1},\dots ,{\textbf {z}}_{k})=p({\textbf {x}}_{0})\prod _{i=1}^{k}p({\textbf {z}}_{i}|{\textbf {x}}_{i})p({\textbf {x}}_{i}|{\textbf {x}}_{i-1}).} המסנן מורכב משני שלבים: 1. חיזוי: המערכת מתקדמת בזמן כך שניתן לחזות את הסתברות המצב בצעד k באמצעות אינטגרציה על המצבים הקודמים והמדידות שבוצעו. p ( x k | z 1 : k − 1 ) = ∫ p ( x k | x k − 1 ) p ( x k − 1 | z 1 : k − 1 ) d x k − 1 {\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {x}}_{k-1})p({\textbf {x}}_{k-1}|{\textbf {z}}_{1:k-1})\,d{\textbf {x}}_{k-1}} 2. עדכון: התפלגות ההסתברות המעודכנת של צעד k, כלומר לאחר ביצוע המדידה ה-k, פרופורציונלית להתפלגות החיזוי כפול התפלגות המדידה. p ( x k | z 1 : k ) = p ( z k | x k ) p ( x k | z 1 : k − 1 ) p ( z k | z 1 : k − 1 ) ∝ p ( z k | x k ) p ( x k | z 1 : k − 1 ) {\displaystyle p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k})={\frac {p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}{p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})}}\propto p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})} כאשר המכנה הוא p ( z k | z 1 : k − 1 ) = ∫ p ( z k | x k ) p ( x k | z 1 : k − 1 ) d x k {\displaystyle p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})=\int p({\textbf {z}}_{k}|{\textbf {x}}_{k})p({\textbf {x}}_{k}|{\textbf {z}}_{1:k-1})d{\textbf {x}}_{k}} מסנן קלמן הוא מסנן בייסיאני המניח בנוסף: מודל קידום F {\displaystyle \mathbf {F} } ליניארי, כך שניתן לבצע קידום באמצעות כפל מטריצות קידום משתנה המצב: x k = F k x k − 1 + w k ; w ∼ N ( 0 , Q ) {\displaystyle \mathbf {x} _{k}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1}+\mathbf {w} _{k};\mathbf {w} \sim {\mathcal {N}}\left(0,\mathbf {Q} \right)} קידום אי הוודאות: p ( x k ∣ x k − 1 ) = P x k ∣ x k − 1 = F k P x k − 1 F k T + Q k {\displaystyle p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)=\mathbf {P} _{x_{k}\mid x_{k-1}}=\mathbf {F} _{k}\mathbf {P} _{x_{k-1}}\mathbf {F} _{k}^{\mathrm {T} }+\mathbf {Q} _{k}} התפלגות גאוסית נורמלית של רעש התהליך Q {\displaystyle \mathbf {Q} } , רעש המדידה R {\displaystyle \mathbf {R} } ומשתני המצב x {\displaystyle \mathbf {x} } p ( x k ∣ x k − 1 ) = N ( F k x k − 1 , Q k ) p ( z k ∣ x k ) = N ( H k x k , R k ) p ( x k ∣ z k ) = N ( x ^ k , P k ) {\displaystyle {\begin{aligned}p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {x} _{k-1}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {F} _{k}\mathbf {x} _{k-1},\mathbf {Q} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {z} _{k}\mid \mathbf {x} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left(\mathbf {H} _{k}\mathbf {x} _{k},\mathbf {R} _{k}\right)\\p\left(\mathbf {x} _{k}\mid \mathbf {z} _{k}\right)&={\mathcal {N}}\left({\hat {\mathbf {x} }}_{k},\mathbf {P} _{k}\right)\end{aligned}}} Särkkä, Simo (2013). Bayesian Filtering and Smoothing (PDF). הוצאת אוניברסיטת קיימברידג'., עמודים 54-56