הורדה והעלאה של אינדקסים

בגאומטריה דיפרנציאלית, "הורדה והעלאה של אינדקסים" היא כינוי עממי לפעולה מעל יריעה רימנית (כלומר: יריעה עם מטריקה רימנית) שבה מזהים בכל נקודה את המרחב המשיק T עם המרחב הקו-משיק *T באמצעות איזומורפיזם קנוני המוגדר על ידי המטריקה. באמצעות איזומורפיזם זה לכל וקטור אפשר להתאים פונקציונל ולהפך, באופן יחיד. פעולות אלה נקראות גם איזומורפיזמים מוזיקליים. לשם פשטות הדיון, נעבוד במרחב משיק מסוים T ונסמן את המרחב הקו-משיק לו   T ∗ = { v ~ : T → R   |   v ~  is linear } {\displaystyle \ T^{*}=\{{\tilde {v}}:T\to \mathbb {R} \ |\ {\tilde {v}}{\mbox{ is linear}}\}} המרחב הקו-משיק הוא המרחב הדואלי למרחב המשיק ומכיל את כל הפונקציונלים שלינאריים מעליו. מאחר שכל פונקציונל במרחב זה הוא ליניארי, את פעולת הפונקציונל על וקטור ניתן לרשום (כאשר בוחרים בסיס קואורדינטות) כסכום הבא   ω ~ ( v → ) = ∑ μ ω μ v μ {\displaystyle \ {\tilde {\omega }}({\vec {v}})=\sum _{\mu }\omega _{\mu }v^{\mu }} תהי   g : T × T → R {\displaystyle \ g:T\times T\to \mathbb {R} } המטריקה הרימאנית שלנו. זוהי תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט. אם בוחרים קואורדינטות למרחב המשיק, ואם   e ^ μ {\displaystyle \ {\hat {e}}_{\mu }} הוא בסיס למרחב, אזי ההצגה של g לפי רכיבים ("כתיב באינדקסים") היא   g ( e ^ μ , e ^ ν ) = g μ ν {\displaystyle \ g({\hat {e}}_{\mu },{\hat {e}}_{\nu })=g_{\mu \nu }} ואת פעולתה על כל וקטור שהוא ניתן להציג על ידי   g ( ∑ μ v μ e ^ μ   ,   ∑ ν w ν e ^ ν ) = ∑ μ ∑ ν g μ ν v μ w ν {\displaystyle \ g\left(\sum _{\mu }v^{\mu }{\hat {e}}_{\mu }\ ,\ \sum _{\nu }w^{\nu }{\hat {e}}_{\nu }\right)=\sum _{\mu }\sum _{\nu }g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }} להבא, נשתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין (שאומר שאם אינדקס מופיע פעם למטה ופעם למטה באותה מכפלה, אזי סוכמים עליו) ופשוט נרשום   g ( v μ e ^ μ , w ν e ^ ν ) = g μ ν v μ w ν {\displaystyle \ g\left(v^{\mu }{\hat {e}}_{\mu },w^{\nu }{\hat {e}}_{\nu }\right)=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }} לכל וקטור   v → ∈ T {\displaystyle \ {\vec {v}}\in T} אפשר להתאים פונקציונל   v ~ ∈ T ∗ {\displaystyle \ {\tilde {v}}\in T^{*}} באופן קנוני באמצעות המטריקה. התאמה זו היא   v ~ = g ( v → ,   ) : T → R {\displaystyle \ {\tilde {v}}=g({\vec {v}},\ ):T\to \mathbb {R} } שמתאימה לכל וקטור   w → ∈ T {\displaystyle \ {\vec {w}}\in T} את המספר   v ~ ( w → ) = g ( v → , w → ) ∈ R {\displaystyle \ {\tilde {v}}({\vec {w}})=g({\vec {v}},{\vec {w}})\in \mathbb {R} } בכתיב אינדקסים   v ~ ( w → ) = g ( v μ e ^ μ , w ν e ^ ν ) = g μ ν v μ w ν {\displaystyle \ {\tilde {v}}({\vec {w}})=g\left(v^{\mu }{\hat {e}}_{\mu },w^{\nu }{\hat {e}}_{\nu }\right)=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }} ומאחר שאת פעולת פונקציונל על וקטור ניתן לרשום תמיד כ   ω ~ ( w → ) = ω μ w μ {\displaystyle \ {\tilde {\omega }}({\vec {w}})=\omega _{\mu }w^{\mu }} ולקבל ש   v ~ ( w → ) = g ( v μ e ^ μ , w ν e ^ ν ) = g μ ν v μ w ν = w μ v ν {\displaystyle \ {\tilde {v}}({\vec {w}})=g\left(v^{\mu }{\hat {e}}_{\mu },w^{\nu }{\hat {e}}_{\nu }\right)=g_{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=w^{\mu }v_{\nu }} כלומר   ( v ~ ) μ = v μ = g μ ν v ν {\displaystyle \ ({\tilde {v}})_{\mu }=v_{\mu }=g_{\mu \nu }v^{\nu }} לכן, הפעולה בה לכל וקטור מותאם פונקציונל נקראת "הורדת אינדקסים". נשים לב שפעולה זו היא חד-חד-ערכית, שכן g היא מטריצה לא מנוונת ולכן הפיכה. פעולה זו היא גם על, לפי משפטי האיזומורפיזם מאלגברה ליניארית. באופן דומה, "העלאת אינדקסים" היא הפעולה של התאמה לכל פונקציונל ב-*T וקטור ב-T. ראשית, נשים לב שההתאמה בסעיף הקודם היא איזומורפיזם   T ≅ T ∗ {\displaystyle \ T\cong T^{*}} , שכן g היא תבנית ביליניארית (מטריצה) לא מנוונת והמרחבים הם שווי ממד. כעת, גם על המרחב הקו-משיק אפשר להגדיר מטריקה   h : T ∗ × T ∗ → R {\displaystyle \ h:T^{*}\times T^{*}\to \mathbb {R} } על ידי   h ( v ~ , w ~ ) = g ( v → , w → ) {\displaystyle \ h({\tilde {v}},{\tilde {w}})=g({\vec {v}},{\vec {w}})} כאשר   v → ∈ T {\displaystyle \ {\vec {v}}\in T} הוא הווקטור שעבורו מקבל את v ~ {\displaystyle {\tilde {v}}} על ידי "הורדת אינדקסים" (וקטור כזה קיים והוא יחיד). כעת, באמצעות המטריקה החדשה אפשר להסתכל על המרחב המשיק כמרחב הדואלי למרחב המשיק, כלומר:   T = ( T ∗ ) ∗ {\displaystyle \ T=(T^{*})^{*}} ולהגדיר את ההתאמה באופן דומה:   v → = h ( v ~ ,   ) {\displaystyle \ {\vec {v}}=h({\tilde {v}},\ )} כעת, מאחר ש   h ( v ~ , w ~ ) = g ( v → , w → ) {\displaystyle \ h({\tilde {v}},{\tilde {w}})=g({\vec {v}},{\vec {w}})} (או בכתיב אינדקסים)   h μ ν v μ w ν = g μ ν v ν w μ {\displaystyle \ h^{\mu \nu }v_{\mu }w_{\nu }=g_{\mu \nu }v^{\nu }w^{\mu }} וכפי שהגדרנו קודם   v μ = g μ ν v ν {\displaystyle \ v_{\mu }=g_{\mu \nu }v^{\nu }} אזי   h μ ν w ν = w μ {\displaystyle \ h^{\mu \nu }w_{\nu }=w^{\mu }} כעת, נדרוש ש   v → = h ( v ~ ,   ) = h ( g ( v → ,   )   ,   ) {\displaystyle \ {\vec {v}}=h({\tilde {v}},\ )=h(g({\vec {v}},\ )\ ,\ )} , כלומר: הווקטור שמתאים לפונקציונל מסוים הוא הווקטור שהפונקציונל התאים לו. כלומר: אנו רוצים שהתאמה הווקטור לפונקציונל תהיה ההתאמה ההפכית לזאת המתאימה פונקציונל לווקטור. בכתיב אינדקסים:   v μ = h μ ν v ν = h μ ν g ν ρ v ρ {\displaystyle \ v^{\mu }=h^{\mu \nu }v_{\nu }=h^{\mu \nu }g_{\nu \rho }v^{\rho }} והדרישה שיוחזר אותו וקטור פירושה היא   v μ = v ρ {\displaystyle \ v^{\mu }=v^{\rho }} , כלומר:   h μ ν g ν ρ = δ ρ μ {\displaystyle \ h^{\mu \nu }g_{\nu \rho }=\delta _{\rho }^{\mu }} שבהצגה ככפל מטריצות אומר ש   h ⋅ g = I d {\displaystyle \ h\cdot g=I_{d}} . כלומר: המטריצה h היא המטריצה ההפכית של g:   h = g − 1 {\displaystyle \ h=g^{-1}} . מקובל לסמן את רכיבי המטריצה ההפכית באותה אות של המטריקה עצמה   h μ ν = ( g − 1 ) μ ν = g μ ν {\displaystyle \ h^{\mu \nu }=(g^{-1})^{\mu \nu }=g^{\mu \nu }} ואז   g μ ν g ν ρ = δ ρ μ {\displaystyle \ g^{\mu \nu }g_{\nu \rho }=\delta _{\rho }^{\mu }} לכן, מקבלים שהעלאת אינדקסים בהצגת קואורדינטות נתונה על ידי   v μ = g μ ν v ν {\displaystyle \ v^{\mu }=g^{\mu \nu }v_{\nu }} במרחב עם מטריקה, אפשר להגדיר את הגרדיאנט כוקטור על ידי "הורדת אינדקסים", כלומר, על ידי התאמת וקטור ∇ → f {\displaystyle {\vec {\nabla }}f} ל df כך ש   d f ( v → ) = g ( v → , ∇ → f ) {\displaystyle \ df({\vec {v}})=g({\vec {v}},{\vec {\nabla }}f)} כאשר g היא המטריקה: תבנית ביליניארית סימטרית וחיובית בהחלט. בקואורדינטות אפשר לכתוב את וקטור הגרדיאנט כך:   ∇ → f = ∑ ν g μ ν ( d f ) ν ∂ μ {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}f=\sum _{\nu }g^{\mu \nu }(df)_{\nu }\partial _{\mu }} כאשר g μ ν {\displaystyle g^{\mu \nu }} הוא האיבר בשורה ה- μ {\displaystyle \mu } והעמודה ה-- ν {\displaystyle \nu } של המטריקה ההפכית (כלומר: המטריצה ההפכית למטריקה, g-1). כלומר:   ∇ → f = g − 1 d f {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}f=g^{-1}df} . גאומטריה דיפרנציאלית חשבון טנזורים קואורדינטות מטריקה רימנית הורדה והעלאה של אינדקסים, באתר MathWorld (באנגלית)