סכום

סְכוּם הוא התהליך של חיבור קבוצה של איברים, והתוצאה של תהליך זה היא הסכום של איברים אלו. האיברים המסוכמים יכולים להיות מספרים כגון מספרים טבעיים, מספרים ממשיים ומספרים מרוכבים, וגם עצמים מורכבים יותר כגון מטריצות ופונקציות ממשיות. בנוסף לסכום של מספר סופי של איברים, עוסקת המתמטיקה גם בסכום של טור אינסופי של איברים, שבתנאים מסוימים הוא מספר סופי. הסכום של שלושת המספרים 1, 2, 4 מסומן בצורה 1 + 2 + 4 = 7. פעולת החיבור היא פעולה אסוציאטיבית, ולכן לא חשוב אם הביטוי "1 + 2 + 4" יתפרש כ-"(1 + 2) + 4" או כ-"1 + (2 + 4)" – התוצאה זהה בשני המקרים, ולכן נהוג להשמיט את הסוגריים. סיכום של מספר סופי של מספרים הוא קומוטטיבי, ולכן אין חשיבות לסדר שבו נכתבים המספרים המשתתפים בסיכום (המצב שונה לעיתים בסיכום של טור אינסופי של מספרים, ראו משפט רימן). כאשר הסכום כולל מספרים רבים מכדי שנפרט את כולם, ניתן להשמיט חלק מהם ולהחליפם בסימן ..., בהנחה שהקורא יבין את העיקרון של הסכום, כך שיהיה לו ברור מהם המספרים שהושמטו. בהתאם לכך, את סכום כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד 100 נכתוב בצורה: 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050. לכתיב מקוצר של סכומים משמשת האות היוונית Σ (סיגמא גדולה). הגדרתו של סימון מתמטי זה היא ∑ i = m n x i = x m + x m + 1 + x m + 2 + ⋯ + x n − 1 + x n {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}} קרי: סיגמא של x i {\displaystyle x_{i}} (איקס-איי), כאשר i הולך מ-m ועד n. בהגדרה זו, i הוא האינדקס של הסיכום, m הוא הקצה התחתון של הסיכום, n הוא הקצה העליון של הסיכום. לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי לאונרד אוילר, במאה ה-18. האותיות המשמשות לסימון האינדקס וקצותיו נתונות לבחירת הכותב, אם כי נהוג להשתמש באותיות קטנות מאמצעו של האלפבית הלטיני, למשל: ∑ k = 2 6 k 2 = 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 90 {\displaystyle \sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90} יש הכללות שונות של סימון זה, למשל: ∑ 0 ≤ k < 100 f ( k ) {\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)} הוא הסכום של ערכי הפונקציה f לכל k שלם בטווח המצוין. ∑ x ∈ S f ( x ) {\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)} הוא הסכום של ערכי (f(x לכל האיברים x של הקבוצה S. ∑ d | n μ ( d ) {\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)} הוא הסכום של (μ(d לכל המספרים הטבעיים d שמחלקים את n. כאשר אין סוף למספר האיברים בטור, נהוג לסמן אותו כך:   ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \ \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}} (הסמל ∞ {\displaystyle \infty } קרוי אינסוף). גם בטור שכזה ניתן לדבר על הסכום של כל האיברים, אך לא תמיד (ראו הרחבה בערך טור אינסופי). בניגוד לטור סופי, שבו ניתן לפרט את כל איבריו (אם כי הדבר אינו נוח כאשר יש איברים רבים), בטור אינסופי תיאור הטור בנוסחה, כפי שמאפשר סימון ה-Σ, חיוני. סכום של טור סופי ניתן למימוש פשוט בתוכנית מחשב תוך שימוש בלולאה. את הביטוי ∑ i = m n x i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}} מממש, למשל, קטע JavaScript הבא, המזכיר בצורתו את הכתיב המתמטי: sum = 0; for (i = m; i <= n; i++){ sum += x[i]; } מציאת סכום של טור אינסופי מצריכה הוכחה לקיומו ולערכו, אך כאשר קיימת הוכחה לקיומו מבלי שתהיה דרך לחשב את ערכו ישירות (כלומר שלא באמצעות חיבור איבריו בזה אחר זה), ניתן להשתמש בתוכנית מחשב שתממש טכניקות של חישוב נומרי כדי להתקרב לערכו של סכום הטור ככל שנרצה להתקרב. להלן שימושי קירובים נפוצים (עם שימוש בסימון אסימפטוטי) ∑ i = 1 n i c ∈ Θ ( n c + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})} ל-c ממשי הגדול ממינוס 1 ∑ i = 1 n 1 i ∈ Θ ( log ⁡ n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)} ∑ i = 1 n c i ∈ Θ ( c n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})} ל-c ממשי הגדול מ-1 ∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ∈ Θ ( n ⋅ log ⁡ ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})} ל-c ממשי אי-שלילי ∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ⋅ i d ∈ Θ ( n d + 1 ⋅ log ⁡ ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})} ל-c ו-d ממשיים ואי-שליליים ∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ⋅ i d ⋅ b i ∈ Θ ( n d ⋅ log ⁡ ( n ) c ⋅ b n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})} ל-c, d ממשיים ואי-שליליים ולכל b הגדול מ-1 ארבע פעולות חשבון מכפלה אינטגרל סכום ריק סכום, באתר MathWorld (באנגלית)