משפט קולצ'ין

באלגברה, משפט קולצ'ין קובע כי ניתן לשלש סימולטנית מונואיד של מטריצות אוניפוטנטיות (מעל שדה סגור אלגברית). את המשפט ניסח והוכיח אליס קולצ'ין, שעסק רבות באלגברה דיפרנציאלית ובחבורות אלגבריות ליניאריות. מטריצה A ∈ M n ( F ) {\displaystyle A\in M_{n}(F)} תקרא אוניפוטנטית אם A − I {\displaystyle A-I} היא מטריצה נילפוטנטית. מונואיד של מטריצות נקרא אוניפטנטי אם כל איבר אוניפטנטיים. משפט קולצ'ין קובע כי אם S ⊆ M n ( F ) {\displaystyle S\subseteq M_{n}(F)} מונואיד (ואפילו חבורה למחצה) אוניפטנטי של מטריצות מעל שדה סגור אלגברית, אז ניתן לשלש סימולטנית את כל איברי המונואיד. כלומר, קיים בסיס אחד לפיו כל איברי המונואיד הם בצורה משולשית (עליונה). זהו הניסוח הראשוני של המשפט. למעשה, ניתן לוותר על הדרישה שהשדה יהיה סגור אלגברית, כלומר בעזרת מעבר אל הסגור האלגברי הטענה נכונה לכל שדה. ההוכחה שתינתן בעלת רעיון חשוב שחוזר על עצמו במשפטים דומים (ראו בהמשך). ניעזר במשפט של ודרברן, הקובע כי אלגברה ממד סופי מעל השדה ובעלת בסיס נילפוטנטי היא בעצמה נילפוטנטית. תהי S ⊆ M n ( F ) {\displaystyle S\subseteq M_{n}(F)} חבורה למחצה, ויהי T {\displaystyle T} המרחב הליניארי הנפרש על ידי האיברים מהצורה I − g {\displaystyle I-g} , עבור g ∈ S {\displaystyle g\in S} . מתקיים ( I − g ) ( I − g ′ ) = ( I − g ) + ( I − g ′ ) − ( I − g g ′ ) {\displaystyle (I-g)(I-g')=(I-g)+(I-g')-(I-gg')} , ולכן זוהי תת-אלגברה בעלת בסיס נילפוטנטי, ולפי המשפט של ודרברן היא עצמה נילפוטנטית: נניח T k = 0 , T k − 1 ≠ 0 {\displaystyle T^{k}=0,T^{k-1}\neq 0} . לכן, אם 0 ≠ u ∈ T k − 1 {\displaystyle 0\neq u\in T^{k-1}} , אז לכל g ∈ S {\displaystyle g\in S} מתקיים u ( I − g ) ∈ T k = 0 {\displaystyle u(I-g)\in T^{k}=0} , כלומר u g = u {\displaystyle ug=u} ולכן יש וקטור עצמי משותף לכל איברי תת-החבורה. לכן, כל איבר g ∈ S {\displaystyle g\in S} ניתן להביא אל הצורה ( 1 0 0 g ~ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&{\tilde {g}}\end{pmatrix}}} עבור g ~ ∈ M n − 1 ( F ) {\displaystyle {\tilde {g}}\in M_{n-1}(F)} , ומכאן ממשיכים באינדוקציה. משפט קולצ'ין קובע תכונות מבנה של מטריצות אוניפטנטיות. למשפט מספר הקבלות טבעיות למקרים אחרים: משפט לי-קלוצ'ין בחבורות פתירות משפט לי באלגברות לי פתירות משפט אנגל באלגברות לי נילפטוניות ישראל הרשטיין הוכיח טענה מקבילה עבור חוג עם זהויות נוצר סופית R {\displaystyle R} (עם יחידה). ראשית, איבר u ∈ R {\displaystyle u\in R} הוא אוניפוטנט אם 1 − u {\displaystyle 1-u} הוא איבר נילפוטנטי. תהי S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} תת-חבורה למחצה אוניפוטנטית. אזי קיים 0 ≠ u ∈ R {\displaystyle 0\neq u\in R} כך ש- u g = u {\displaystyle ug=u} לכל g ∈ S {\displaystyle g\in S} . סקירת ההוכחה: כמו בהוכחה לעיל, יהי T {\displaystyle T} המרחב הנפרש על ידי { 1 − s } s ∈ S {\displaystyle \{1-s\}_{s\in S}} . תוך שימוש בטענות על חוגים עם זהויות ניתן להוכיח כי זוהי תת-אלגברה נילית. כעת, בחוג נוצר סופית עם זהויות, ניתן להוכיח כי כל תת-אלגברה נילית מוכלת ברדיקל ג'ייקובסון, ולכן בעצמה נילפוטנטית. לכן, כמו קודם, ניתן למצוא 0 ≠ u ∈ R {\displaystyle 0\neq u\in R} כך ש- u g = u {\displaystyle ug=u} . עבור ההוכחה המלאה, ראו בקריאה נוספת. בעיית קולצ'ין (the Kolchin Problem) שואלת האם ניתן להכליל את הטענה עבור מטריצות מעל חוג עם חילוק. כלומר, האם ניתן לשלש סימולטנית תת-חבורה (או ביתר כלליות מונואיד) של מטריצות הפיכות מעל חוג עם חילוק. Mochizuki הוכיח כי הטענה נכונה עבור תתי חבורות במאפיין אפס. הראשונים לשאול את השאלה היו ארווינג קפלנסקי ובוריס פלוטקין. ניסוח כללי יותר של השאלה, המתקשר גם אל איברים נילפוטנטיים וההוכחה לפי המשפט של ודרברן, הוא: נניח ש- S ⊆ M n ( D ) {\displaystyle S\subseteq M_{n}(D)} היא תת-קבוצה של איבר נילפוטנטיים, כך שלכל s 1 , s 2 ∈ S {\displaystyle s_{1},s_{2}\in S} מתקיים s 1 s 2 + s 1 + s 2 ∈ S {\displaystyle s_{1}s_{2}+s_{1}+s_{2}\in S} . האם נובע S n = 0 {\displaystyle S^{n}=0} ? Graduate Algebra: Noncommutative View, Rowen, p.60-62 On Klochin's Theorem, I.N.Herstein, 1986