בעיית איינשטיין

בעיית איינשטיין היא מונח בגאומטריה של המישור ושואלת לגבי קיומו של אריח יחיד אשר כשלעצמו מהווה קבוצה של אריחים א-פריודיים, כלומר, צורה שיכולה לרצף את המישור, אבל רק באופן לא-מחזורי. צורה כזו נקראת "איינשטיין" (אין להתבלבל עם הפיזיקאי אלברט איינשטיין), ומשמעותה נובע ממשחק המילים הגרמניות "איינ" (אחד) "שטיין" (אריח). את בעיית איינשטיין ניתן לראות כהרחבה טבעית של החלק השני של הבעיה השמונה-עשרה של הילברט, המבקשת פוליהדרון יחיד המרצף את המרחב האוקלידי התלת־ממדי, אך כזה שאין ריצוף של רצפה בעזרת הפוליהדרון הוא איזוהדרלי. אריחים אניזו-הדרליים כאלה נמצאו על ידי קארל ריינהרדט בשנת 1928, אך אריחים אניזו-הדרליים אלו מרצפים במחזוריות את המרחב. בשנת 1988, פיטר שמיט גילה פרוטוטיל א-מחזורי יחיד במרחב האוקלידי התלת-ממדי. בעוד שאף ריצוף על ידי פרוטוטיל זה לא אפשר הזזה כסימטריה, לחלקם יש סימטריה של בורג (אנ'). פעולת ההברגה כוללת שילוב של הזזה וסיבוב דרך כפולה אי-רציונלית של π, כך ששום מספר של פעולות חוזרות אינן מניבות הזזה טהורה. בנייה זו הורחבה לאחר מכן על ידי ג'ון הורטון קונוויי ולודוויג דנצר לקבוצה קמורה א-מחזורית, אריח שמיט-קונווי-דנזר (אנ'). נוכחות הסימטריה של הבורג הביאה להערכה מחדש של הדרישות לאי-מחזוריות. חיים גודמן-שטראוס (אנ') הציע כי ריצוף ייחשב מאוד א-מחזורי אם הוא לא מאפשר בשום קבוצה מחזורית אינסופית של תנועות אוקלידיות (אנ') כסימטריות, ושרק קבוצות אריחים האוכפות א-מחזוריות חזקה ייקראו א-מחזוריות חזקה, בעוד שקבוצות אחרות ייקראו א-מחזוריות חלשה. בשנת 1996 בנתה פטרה גומלט אריח מעוטר מעוצב והראתה שכאשר מותרים שני סוגים של חפיפות בין זוגות אריחים, האריחים יכולים לכסות את המישור, אך ורק באופן לא מחזורי. בדרך כלל, פירוש המילה ריצוף הוא חיפוי ללא חפיפות, ולכן אריח הגומלט אינו נחשב לפרוטוטיל א-מחזורי. אריח א-מחזורי שנקבע במישור האוקלידי המורכב מאריח אחד בלבד - אריח סוקולאר-טיילור (אנ') - הוצע בתחילת 2010 על ידי ג'ושוע סוקולאר וג'ואן טיילור. בנייה זו מחייבת כללים תואמים, כללים המגבילים את הכיוון היחסי של שני אריחים ואשר מתייחסים לעיטורים המצוירים על האריחים, וכללים אלו חלים על זוגות של אריחים לא צמודים. לחלופין, ניתן לבנות אריח לא מעוטר ללא כללים תואמים, אך האריח אינו מחובר. ניתן להרחיב את הקונסטרוקציה לאריח תלת־ממדי מחובר ללא כללים תואמים, אך אריח זה מאפשר ריצוף מחזורי בכיוון אחד, ולכן הוא א-מחזורי חלש בלבד. יתר על כן, האריח אינו פשוט מחובר. בשנת 2022, חובב החידות, דייוויד סמית, גילה אריח בצורת "כובע" שנוצר משמונה עותקים של דלתון 60°–90°–120°–90°, מודבק מקצה לקצה, שנראה היה כמרצף את המישור רק מדי פעם. סמית' גייס עזרה מהמתמטיקאים קרייג ס. קפלן, ג'וזף סמואל מאיירס וחיים גודמן-שטראוס, ובשנת 2023 פרסמה הקבוצה הדפסה מוקדמת המוכיחה ש"הכובע", כאשר הוא מורכב עם תמונת המראה שלו, יוצר מערכת פרוטוטיל א-מחזורית. יתר על כן, ניתן להכליל את "הכובע" למשפחה אינסופית של אריחים עם אותה תכונה א-מחזורית. ההוכחה שלהם ממתינה לביקורת עמיתים ולפרסום רשמי. בשנת 2023, אותו הצוות (סמית', מאיירס, קפלן וגודמן-שטראוס) פרסמו טיוטה בנושא משפחה של צורות, הנקראות "ספקטרים". כמו אצל ה"כובע", כל צורה כזו יכולה לרצף את המישור בעזרת הזזה וסיבוב בלבד. יתר על כן, אריח ה"ספקטר" נחשב אריח "כיראלי מוחלט": אפילו אם תמונות המראה היו מותרות, כל הריצופים היו משתמשים רק בכיראליות אחת של הספקטר. במילים אחרות, אין שום ריצופים של המישור שמשתמשים גם בספקטר וגם בתמונת המראה שלו. An aperiodic monotile by Smith, Myers, Kaplan, and Goodman-Strauss גלי וינרב, ‏איך הצליח חובב חידות לפתור בעיה שהעסיקה מתמטיקאים במשך עשורים, באתר גלובס, 5 במאי 2023 Senechal, Marjorie (1996) [1995]. Quasicrystals and Geometry (corrected paperback ed.). Cambridge University Press. pp. 22–24. ISBN 0-521-57541-9. Radin, Charles (1995). "Aperiodic tilings in higher dimensions". Proceedings of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 123 (11): 3543–3548. doi:10.2307/2161105. JSTOR 2161105. MR 1277129. Goodman-Strauss, Chaim (10 Jan 2000). "Open Questions in Tiling" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2007-04-18. Retrieved 2007-03-24. Gummelt, Petra (1996). "Penrose Tilings as Coverings of Congruent Decagons". Geometriae Dedicata. 62 (1): 1–17. doi:10.1007/BF00239998. S2CID 120127686. Socolar, Joshua E. S.; Taylor, Joan M. (2011). "An Aperiodic Hexagonal Tile". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 118 (8): 2207–2231. arXiv:1003.4279. doi:10.1016/j.jcta.2011.05.001. S2CID 27912253. Klarreich, Erica (4 Apr 2023). "Hobbyist Finds Math's Elusive 'Einstein' Tile". Quanta. Smith, David; Myers, Joseph Samuel; Kaplan, Craig S.; Goodman-Strauss, Chaim (Mar 2023). "An aperiodic monotile". arXiv:2303.10798 math.CO. Lawson-Perfect, Christian; Steckles, Katie; Rowlett, Peter (22 Mar 2023). "An aperiodic monotile exists!". The Aperiodical. Conover, Emily (24 Mar 2023). "Mathematicians have finally discovered an elusive 'einstein' tile". Science News. Retrieved 2023-03-25. Roberts, Siobhan (29 Mar 2023). "Elusive 'Einstein' Solves a Longstanding Math Problem". New York Times. Retrieved 2023-03-29.