למת החמישה

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית וביישומים אחרים של התורה של קטגוריות אבליות, למת החמישה היא למה בעלת חשיבות בנוגע לדיאגרמות קומוטטיביות. למת החמישה תקפה לא רק בקטגוריות אבליות אלא למשל גם בקטגוריית החבורות. נניח כי נתונה הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה בקטגוריה אבלית כלשהי (או לחלופין בקטגוריית החבורות): למת החמישה טוענת כי אם השורות בדיאגרמה זו הן מדויקות, ואם m ו-p הם איזומורפיזמים, l הוא אפימורפיזם ו-q הוא מונומורפיזם, אזי גם n הוא איזומורפיזם. למת החמישה נובעת מידית מזוג למות הדואליות זו לזו הנקראות למות הארבעה. ניסוחן של למות הארבעה: הלמה הראשונה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות: וכי m ו-p הם אפימורפיזמים ו-q הוא מונומורפיזם, אזי n הוא אפימורפיזם. הלמה השנייה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות: וכי m ו-p הם מונומורפיזמים ו-l הוא אפימורפיזם, אזי n הוא מונומורפיזם. הוכחת למות מסוג זה נעשית על ידי מרדף דיאגרמות: מעבר של איברים בדיאגרמה בעזרת מורפיזמים, תוך שימוש בתכונות שלהם. זוהי שיטה נוחה להוכחת טענות כלליות בתורת הקטגוריות, התלויות בתכונות שונות של מורפיזמים. ההוכחה עצמה לרוב טריוויאלית ומשתמשת כמעט ישירות בהגדרות. כדי להוכיח ש-n הוא על, נניח ש- a 1 ∈ C ′ {\displaystyle a_{1}\in C'} . נסמן a 2 = t ( a 1 ) {\displaystyle a_{2}=t(a_{1})} . השורה התחתונה מדויקת ו- a 2 ∈ I m ( t ) {\displaystyle a_{2}\in Im(t)} , ולכן u ( a 2 ) = 0 {\displaystyle u(a_{2})=0} . נתון ש- p {\displaystyle p} על, לכן יש a 3 ∈ D {\displaystyle a_{3}\in D} כך ש- p ( a 3 ) = a 2 {\displaystyle p(a_{3})=a_{2}} , ונסמן a 4 = j ( a 3 ) ∈ E {\displaystyle a_{4}=j(a_{3})\in E} . לכן, לפי התחלפות הריבוע הימני נקבל q ( a 4 ) = 0 {\displaystyle q(a_{4})=0} , ומכך ש- q {\displaystyle q} חח"ע נקבל a 4 = 0 {\displaystyle a_{4}=0} . השורה העליונה מדויקת, לכן יש a 5 ∈ C {\displaystyle a_{5}\in C} כך ש- h ( a 5 ) = a 3 {\displaystyle h(a_{5})=a_{3}} , ונסמן a 6 = n ( a 5 ) ∈ C ′ {\displaystyle a_{6}=n(a_{5})\in C'} (שימו לב שלא נובע ש- n ( a 5 ) = a 1 {\displaystyle n(a_{5})=a_{1}} !). כעת, לפי התחלפות הריבוע האמצעי, נקבל כי t ( a 6 ) = a 2 = t ( a 1 ) {\displaystyle t(a_{6})=a_{2}=t(a_{1})} , ומכך ש- t {\displaystyle t} הומומורפיזם נובע t ( a 1 − a 6 ) = 0 {\displaystyle t(a_{1}-a_{6})=0} . מדויק השורה התחתונה, נובע שקיים a 7 ∈ B ′ {\displaystyle a_{7}\in B'} כך ש- s ( a 7 ) = a 1 − a 6 {\displaystyle s(a_{7})=a_{1}-a_{6}} . נתון ש- m {\displaystyle m} על, ולכן יש a 8 ∈ B {\displaystyle a_{8}\in B} כך ש- m ( a 8 ) = a 7 {\displaystyle m(a_{8})=a_{7}} . נסמן a 9 = g ( a 8 ) ∈ C {\displaystyle a_{9}=g(a_{8})\in C} . לבסוף, לפי התחלפות הריבוע השמאלי n ( a 9 ) = s ( a 7 ) = a 1 − a 6 {\displaystyle n(a_{9})=s(a_{7})=a_{1}-a_{6}} . בסך הכל, שני האיברים a 1 − a 6 , a 6 ∈ C ′ {\displaystyle a_{1}-a_{6},a_{6}\in C'} שניהם מתקבלים בתמונת n {\displaystyle n} , ולכם גם סכומם (מפורשות, n ( a 9 + a 5 ) = a 1 {\displaystyle n(a_{9}+a_{5})=a_{1}} ). אפשר לשים לב שבאף מקום בהוכחה אין שימוש בחילופיות הפעולה (סמנטית, אפשר לכתוב אותם הוכחות עם פעולת כפל במקום חיבור). ההוכחה על הדיאגרמה: התמלול וההוכחה המלאה היא בדומה לעיל. ההוכחה על הדיאגרמה: בסוף ההוכחה, מכך ש- m {\displaystyle m} חח"ע נובע ש- a 3 = a 7 {\displaystyle a_{3}=a_{7}} , ולכן לפי דיוק השורה העליונה a 1 = 0 {\displaystyle a_{1}=0} . למת הנחש מדיה וקבצים בנושא למת החמישה בוויקישיתוף למת החמישה, באתר MathWorld (באנגלית)