לאונרד אוילר

לאונרד אוֹילֶר (בגרמנית: ‏Leonhard Euler‏Ⓘ‏‏; 15 באפריל 1707 – 18 בספטמבר 1783) היה מתמטיקאי ופיזיקאי שווייצרי, שבילה את רוב חייו ברוסיה ובגרמניה. אוילר תרם תרומה מכרעת לתחומים רבים ומגוונים במתמטיקה. הוא גם הגה רבים מהמינוחים ומסימני המתמטיקה המודרניים. כמו כן, הוא ידוע בזכות עבודותיו במכניקה, באופטיקה ובאסטרונומיה. אוילר נחשב למתמטיקאי המוביל של המאה ה-18 ולאחד מהבולטים ביותר בכל הזמנים. הוא פרסם 886 ספרים ומאמרים בימי חייו, ונחשב למתמטיקאי הפורה ביותר בהיסטוריה. ישנם מאות מושגים במתמטיקה הנקראים על שמו. אמרה המיוחסת לפייר-סימון לפלס באה לתאר את גדולתו והשפעתו של אוילר במתמטיקה: "למדו מאוילר, למדו מאוילר, הוא המאסטר של כולנו". עבודתו של אוילר נגעה בתחומים רבים כל כך, שבמקרים רבים עבודתו היא החומר הכתוב הראשון שנמצא בנושא מסוים והוא אחראי להוכחות הראשונות בנושא זה, ולכן מתוך רצון להימנע מכך שכמעט כל דבר ייקרא על שמו של אוילר, חלק מתגליותיו וממצאיו משויכים לאדם הראשון בהיסטוריה שעסק או הוכיח בהם משהו לאחר מותו של אוילר. לאונרד אוילר נולד בבזל לפאול אוילר, כומר של הכנסייה המתוקנת, ולמרגרט ברוקר, שהייתה אף היא בת למשפחת כמרים. לאוילר היו שתי אחיות צעירות ממנו בשם אנה מריה ומריה מגדלנה. זמן קצר לאחר הולדתו היגרה משפחת אוילר מבזל לעיר רייהן, בה בילה אוילר את רוב ילדותו. פאול אוילר היה חבר של משפחת ברנולי ושל יוהאן ברנולי, שנחשב אז לאחד המתמטיקאים החשובים באירופה, ואשר השפיע רבות על אוילר הצעיר. את חינוכו המוקדם רכש אוילר בבזל, שם נשלח לגור עם סבתו. בגיל 13 נרשם ללימודי פילוסופיה באוניברסיטת בזל, וב-1723, והוא בן 16 בלבד, הוענק לו תואר שני בפילוסופיה, על תזה שהשוותה בין הפילוסופיה של דקארט לזו של אייזק ניוטון. באותה התקופה הוא קיבל שיעורי אחר-הצוהריים במתמטיקה מיוהאן ברנולי, שעמד במהרה על כישרונו המתמטי יוצא הדופן של תלמידו החדש. בהשפעת אביו, למד אוילר בתקופה זו תאולוגיה, יוונית ועברית, במטרה ללכת בדרכיו ולהיות כומר. לאחר שיוהאן ברנולי שכנע את פאול אוילר כי לאונרד נועד להיות מתמטיקאי דגול, התיר האב לבנו ללמוד מתמטיקה. ב-1726 השלים אוילר את עבודת הדוקטורט שלו על מהירות הקול, שכותרתה הייתה "De Sono". ב-1727 הוא נרשם לתחרות של האקדמיה הצרפתית למדעים, שעסקה באותה השנה במציאת המיקום האופטימלי של התרנים באוניה. הוא זכה במקום השני, והפסיד רק לפייר בוגה, המוכר כיום כ"אבי האדריכלות הימית". במהלך הקריירה שלו עתיד היה אוילר לזכות בפרס האקדמיה הצרפתית 12 פעמים. באותה תקופה שני בניו של יוהאן ברנולי, דניאל ברנולי וניקולס ברנולי, עבדו באקדמיה למדעים של האימפריה הרוסית, בסנקט פטרבורג. ב-1726, נפטר ניקולס מדלקת התוספתן אחרי שעברה עליו שנה ברוסיה וכאשר דניאל קיבל על עצמו את משרת אחיו בחלוקה של מתמטיקה/פיזיקה, הוא המליץ שאת המשרה שפינה בפיזיולוגיה יתפוס חברו אוילר. בנובמבר 1726, אוילר קיבל בלהיטות את ההצעה, אבל דחה את ההגעה לסנקט פטרבורג. עוד בזמן שהותו בבזל הוא ניסה, ללא הצלחה, להתמחות כפרופסור לפיזיקה באוניברסיטת בזל. אוילר הגיע לבירת רוסיה ב-17 במאי 1727, שם הוא קודם ממשרתו הקודמת במחלקת הרפואה של האקדמיה למחלקת המתמטיקה. הוא התגורר באותה דירה יחד עם דניאל ברנולי ושיתף איתו פעולה בעבודתו. אוילר למד היטב את השפה הרוסית והחליט להתיישב בסנקט פטרבורג. הוא גם לקח על עצמו עבודה נוספת כקצין רפואה בצי הרוסי. האקדמיה בסנקט פטרבורג, שיוסדה על ידי פיוטר הגדול, יועדה לשפר את החינוך ברוסיה ולאחות את הנתק המדעי בין רוסיה לאירופה המערבית. כתוצאה מכך, הפכה האקדמיה מושכת במיוחד עבור מלומדים זרים כגון אוילר: האקדמיה שלטה במשאבים פיננסיים שופעים וכללה ספרייה מקיפה שנלקחה מן הספריות הפרטיות של פטר עצמו ושל האצולה. תלמידים מעטים נרשמו לאקדמיה, כך שעומס ההוראה הופחת והאקדמיה העניקה לחברי הסגל הן את הזמן והן את החופש לשקוד על מחקר מדעי. התורמת של האקדמיה, יקתרינה הראשונה, שהתאמצה להמשיך את מדיניות בעלה המנוח פטר, נפטרה ביום הגעתו של אוילר. האצולה הרוסית שאבה כוח רב מעלייתו של פיוטר השני בן ה-12. האצולה הייתה חשדנית מאוד כלפי המדענים הזרים שהגיעו לרוסיה ולכן החליטה להפסיק את המימון ובכך גרמה נזק רב לאוילר ועמיתיו. התנאים השתפרו במקצת לאחר מותו של פיוטר השני ב-1730 ואוילר התקדם במהירות רבה במעלה הדרגות האקדמיות והפך לפרופסור לפיזיקה ב-1731. שנתיים מאוחר יותר, דניאל ברנולי, שנפגע קשות מן הביקורת ומן העוינות שהפנו כלפיו עמיתיו בסנקט פטרבורג, שב לבזל ואוילר החליף אותו בהצלחה כראש המחלקה למתמטיקה. ב-7 בינואר 1734, נישא אוילר לקתרינה גיסל, בת של אומן מן האקדמיה גימנזיום. הזוג הצעיר קנה בית ליד נהר נייבה. מבין 13 הצאצאים שהביאו לעולם שרדו רק 5. מודאג מהמהפכה המתמשכת ברוסיה, התלבט אוילר לגבי המשך שהייתו בסנקט פטרבורג. לבסוף הציע לו פרידריך הגדול מפרוסיה משרה באקדמיה של ברלין, אותה החליט לקבל. הוא עזב את סנקט פטרבורג ב-19 ביוני 1741 וחי את 25 השנים הבאות בברלין, בה כתב למעלה מ-380 מאמרים. בברלין הוא פרסם את שתי היצירות אשר הביאו לו את הפרסום הרב מכול: "Introductio in analysin infinitorum" (מבוא לניתוח האינסוף), חיבור קלאסי וחשוב על פונקציות ועל טריגונומטריה גבוהה שפורסם ב-1748 והניח את יסודות האנליזה המתמטית ו-"institutiones calculi differentialis", חיבור בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, בו פיתח את מושג הפונקציה במתמטיקה אנליטית על ידי כך שהמשתנים היו מקושרים אחד לשני, וקידם את השימוש של כמויות זעירות ואינסופיות. בנוסף, התבקש אוילר להדריך את הנסיכה של אנהלט-דסאו, אחייניתו של פרידריך. הוא כתב למעלה מ-200 מכתבים אליה, אשר מאוחר יותר קובצו לכרך רב-מכר שכותרתו "מכתבים של אוילר לגבי נושאים שונים בפילוסופית הטבע שנשלחו לנסיכת גרמניה", או בקיצור, "מכתבים לנסיכת גרמניה". הכרך ביטא את השקפותיו של אוילר על תחומים שונים בפיזיקה ובמתמטיקה, והעניק הזדמנות נדירה לצפות באישיותו ובאמונותיו הדתיות. כרך זה זכה לפופולריות רבה יותר מאשר כל אחת מעבודותיו במתמטיקה, ופורסם בכל אירופה וכן בארצות הברית. הצלחת המכתבים העידה על יכולתו של אוילר להציג נושאים מדעיים בצורה נהירה לציבור הרחב, יכולת נדירה יחסית לחוקר מדעי מסור. על אף תרומתו העצומה של אוילר ליוקרתה של האקדמיה, הוא נאלץ לעזוב את ברלין, בעיקר בגלל עימות אישי עם פרידריך. פרידריך החשיב את אוילר לחסר תחכום בהשוואה לפילוסופים שהמלוכה הגרמנית הביאה לאקדמיה. וולטר הועסק אף הוא על ידי המלך, ונהנה ממקום מועדף במעגל החברתי של המלך. אוילר, איש דתי פשוט ועובד מסור, היה שגרתי מאוד באמונותיו, בדעותיו ובטעמיו. במובנים רבים הוא היה ההפך מוולטר. לאוילר היה ניסיון מוגבל בלבד ברטוריקה, והוא נטה לדון בדברים עליהם ידע מעט, וכך הפך את עצמו תדיר למטרה ישירה לשנינותו של וולטר. פרידריך התאכזב גם מיכולתו ההנדסית של אוילר, וכאשר ביקש ממנו לבצע חישוב הנדרש לבניית מזרקה בגני המלך, שגה אוילר בחישוביו והבנייה נכשלה בצורה מחפירה. ראייתו של אוילר הידרדרה במהלך חייו. שלוש שנים לאחר שסבל מקדחת כמעט קטלנית ב-1735, הוא כמעט והתעוור בעינו הימנית. הוא תלה את הסיבה לכך בתנאים הקשים בהם עבד בסנקט פטרבורג במחקר בקרטוגרפיה. ראייתו של אוילר בעין ימין הידרדרה כל כך במהלך שהותו בגרמניה, עד שפרידריך התייחס אליו כאל "קיקלופ". ב-1766 החל אוילר לסבול מקטרקט בעינו השמאלית, שהותיר אותו עיוור לגמרי תוך שבועות ספורים. ברם, ראייתו המשובשת לא פגמה ביכולת היצירה שלו, וב-17 שנותיו האחרונות הוא יצר כמעט מחצית מעבודתו, הישג נדיר גם בקרב פיקחים. הוא פיצה על עוורונו ביכולת חישובית יוצאת דופן ובזיכרון מצוין. לדוגמה, הוא היה מסוגל לדקלם בעל פה את האינאיס של ורגיליוס מבלי לטעות, ומאוחר יותר גם היה יכול לצטט מזכרונו את המשפט הראשון והאחרון בכל עמוד מעמודי יצירה זו. עד ראייה שהתבונן בו עובד פעם העיד: "אוילר עורך חישובים מסובכים ללא כל מאמץ ניכר, ממש כשם שאנשים אחרים נושמים או כשם שנשרים נושאים עצמם באוויר". המצב ברוסיה השתפר משמעותית לאחר שקתרינה הגדולה עלתה לשלטון. ב-1766 נענה אוילר להצעתה, וחזר לאקדמיה של סנקט פטרבורג, בה התגורר למשך שארית חייו. על שהותו השנייה בסנקט פטרבורג העיבה טרגדיה; שרפה שפרצה ב-1771 בעיר החריבה את ביתו וכמעט שגרמה למותו. ב-1773 הוא איבד את אשתו, לה היה נשוי 40 שנה. אוילר הושפע קשות משתי הטרגדיות, אולם נישא מחדש שלוש שנים מאוחר יותר. בשנותיו האחרונות הוא נעזר בחברו אנדרס יוהאן לקסל בכתיבה. ב-18 בספטמבר 1783 במהלך שיחה עם לקסל הוא הספיק להגיד "אני עומד למות" ונפטר משבץ מוחי. הוא נקבר בבית העלמין טיחבין. הפילוסוף והמתמטיקאי הצרפתי, המרקיז דה קונדורסה, אמר עליו: "il cessa de calculer et de vivre... - ... הוא הפסיק לחשב ולחיות" עבודתו של אוילר הקיפה כמעט כל תחום אפשרי במתמטיקה: גאומטריה, אנליזה מתמטית, תורת הגרפים, אלגברה, תורת המספרים ועוד. תרומותיו בפיזיקה עוסקות בתנועת הירח ובתחומים נוספים. לפוריותו של אוילר אין שני בתולדות המתמטיקה; רק פאול ארדש, המתמטיקאי בן המאה ה-20, הגיע לתפוקה קרובה. אוילר המציא סימנים מתמטיים שהפכו לנחלת הכלל. עמם נמנים:   i {\displaystyle \ i} - היחידה המדומה,   e {\displaystyle \ e} - בסיס הלוגריתם הטבעי, אשר אוילר הוכיח שהוא מספר אי-רציונלי (למעשה אוילר הוכיח שגם   e 2 {\displaystyle \ e^{2}} אי-רציונלי),   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} כצורת סימון לפונקציה של המשתנה x (במקום לרשום את הפונקציה בצורה ישירה), הסימן   π {\displaystyle \ \pi } כיחס בין היקף המעגל לקוטרו, Σ {\displaystyle \Sigma } כסכום, הסימונים המודרניים לפונקציות הטריגונומטריות, ועוד. הוא גם הגדיר את הקבוע המסומן באות גמא γ {\displaystyle \,\gamma } הקרוי קבוע אוילר. פיתוח החשבון האינפיניטסימלי והאנליזה היה משאת נפשם של מתמטיקאים בני המאה ה-18. בתחום זה אולי השפיע אוילר יותר מכול, ורעיונותיו הובילו להתקדמויות אדירות. אוילר הביא לעולם את רעיון ההצגה של טור חזקות אינסופי ופיתוחו, כמו התגלית: e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = lim n → ∞ ( 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + ⋯ + x n n ! ) {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right)} . ב-1735 פתר אוילר את בעיית בזל והוכיח ש- ζ ( 2 )   = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + ⋯ = π 2 6 {\displaystyle \zeta (2)\ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}} . פתרון בעיית בזל זיכה את אוילר בתהילה אדירה, מאחר שבעיה זו ניצבה ללא פתרון במשך זמן רב, חרף ניסיונותיהם של המתמטיקאים הדגולים שקדמו לאוילר, בהם בני משפחת ברנולי וגוטפריד וילהלם לייבניץ. במסגרת מחקרו על פונקציית זטא הכליל אוילר את הבעיה והצליח, בהישג נדיר של האנליזה המתמטית של המאה ה-18, למצוא ביטוי המתאר את הערכים של פונקציית זטא לכל מספר טבעי זוגי ζ ( 2 n ) = ( − 1 ) n + 1 B 2 n ( 2 π ) 2 n 2 ( 2 n ) ! {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\!} . בהמשך חייו אוילר חקר רבות את פונקציית זטא, וכשניסה ללא הצלחה למצוא צורות מתמטיות סגורות לערכים המדויקים של ζ ( 2 n + 1 ) {\displaystyle \zeta (2n+1)} , הוא הגדיר פונקציות הנקראות כיום פונקציות זטא מכופלות (multiple zeta functions), וגילה מספר זהויות יפות הקושרות אותן לפונקציית זטא, למשל: ζ ( 2 , 1 ) = ζ ( 3 ) {\displaystyle \zeta (2,1)=\zeta (3)} . אוילר גם שיער, במה שמהווה הישג אנליטי מזהיר נוסף שלו, את המשוואה הפונקציונלית שמקיימת פונקציית זטא: ζ ( 1 − s ) = 2 ( 2 π ) − s c o s ( π s 2 ) Γ ( s ) ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (1-s)=2(2\pi )^{-s}cos({\frac {\pi s}{2}})\Gamma (s)\zeta (s)} . משוואה זו, המדגימה את הסימטריה של פונקציית זטא ביחס לציר   R e ( s ) = 1 / 2 {\displaystyle \ Re(s)=1/2} , היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו. קשר זה הוכח לראשונה על ידי ברנהרד רימן במאמרו המכונן על תורת המספרים האנליטית. אוילר נחשב לאחד מאבות תורת הסומביליות בזכות גישתו החדשנית שניתן לתת ערך מספרי (סופי) בר-משמעות לטור מתבדר. למשל, באמצעות מניפולציות אנליטיות מבריקות, הוא הראה במאמר מ-1760 ש-: 0 ! − 1 ! + 2 ! − 3 ! + 4 ! − ⋯ + ( − 1 ) k k ! + ⋯ ≈ 0.596347 {\displaystyle 0!-1!+2!-3!+4!-\cdots +(-1)^{k}k!+\cdots \approx 0.596347} . אוילר כינה את טור העצרת המתחלף הזה "טור מתבדר פר אקסלנס", והטכניקות שאפשרו לו לסכום את הטור הזה קרובות מבחינה רעיונית לסיכום בורל שפיתח אמיל בורל ב-1899. אוילר הציג ופיתח את השימוש של פונקציה מעריכית ושל לוגריתמים בהוכחות אנליטיות. הוא גילה דרכים לתאר מגוון פונקציות לוגריתמיות כטורים אינסופיים, ובאחת מעבודותיו החשובות הצליח לשלב בין לוגריתמים לבין תורת המספרים המרוכבים. הוא הגדיר את הפונקציה המעריכית עבור מספרים מרוכבים, וגילה את הקשר בינה לבין פונקציות טריגונומטריות, המובא בנוסחה הבאה: לכל מספר ממשי   θ {\displaystyle \ \theta } , נוסחת אוילר קובעת כי: e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \!\,e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }} . מקרה פרטי של נוסחה זו נקרא זהות אוילר, הקושרת חמישה קבועים מתמטיים בסיסיים מעולמות שונים: e i π + 1 = 0 {\displaystyle \!\,e^{i\pi }+1=0} . לזהות זו קרא לימים הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן "הזהות הפלאית ביותר במתמטיקה". אוילר קידם את התורה של פונקציות טרנסצנדנטיות גבוהות על ידי ההצגה של פונקציית בטא ושל פונקציית גמא, המהווה הרחבה של פונקציית העצרת אל שדה המספרים המרוכבים. הוא גם מצא שיטה חדשה לפתרון משוואות ממעלה רביעית. הוא מצא שיטה לחשב אינטגרל עם גבולות מרוכבים, ובכך הביא את בשורת האנליזה המרוכבת. הוא פיתח את חשבון הווריאציות יחד עם ז'וזף לואי לגראנז'. התוצאה המפורסמת הנובעת משיתוף פעולה זו ידועה כמשוואות אוילר-לגראנז'. אוילר הוביל את השימוש בשיטות אנליטיות כדי לפתור בעיות בתורת המספרים. בעשותו זאת הניח את היסודות של תורת המספרים האנליטית. בתחום זה, אוילר יצר את התורה של טורים היפרגאומטריים, סדרת q, פונקציות היפרבוליות ושברים משולבים. לדוגמה, הוא תרם תרומה מכרעת לפתרון משוואת פל באמצעות שברים משולבים, הוכיח באופן מקורי באמצעות הטור ההרמוני כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים, ואף השתמש בשיטות אנליטיות כדי להגיע להבנה מסוימת של התפלגות המספרים הראשוניים. עבודתו של אוילר בתחום זה הובילה למשפט המספרים הראשוניים. אוילר החל להתעניין בתורת המספרים בהשפעת חברו, כריסטיאן גולדבך. חלק נכבד מעבודתו המוקדמת של אוילר מבוסס על עבודתו של פייר דה פרמה. מאז פרמה ועד הופעתו של אוילר לא קם מתמטיקאי מוכשר דיו כדי להוכיח את השערותיו הבלתי מוכחות של הראשון, ושיכול היה לפרוץ דרך בהבנת הרעיונות שמאחורי המשפטים בתורת המספרים. אוילר הוכיח רבות מהשערותיו של פרמה, פיתח את רעיונותיו (הסמויים), גילה תוצאות רבות חדשות והוסיף השערות משלו. מכלול העבודות שלו העשירו רבות את התחום, והוא היה הדמות המרכזית בהתפתחות תורת המספרים במאה ה-18. אוילר הוכיח את זהויות ניוטון, את המשפט הקטן של פרמה ואת משפט פרמה על סכום של שני ריבועים, ותרם תרומה מכרעת להוכחת משפט ארבעת הריבועים של לגראנז'. הוא המציא את פונקציית אוילר (φ(n, שהיא מספר המספרים הטבעיים הקטנים או שווים ל-n שזרים לו. באמצעות תכונות הפונקציה הזו הוא הכליל את המשפט הקטן של פרמה למה שכעת ידוע בתור משפט אוילר. הוא תרם משמעותית לתאוריה של מספרים מושלמים, אשר ריתקו מתמטיקאים עוד מאז ימי אוקלידס. הוא סיפק הוכחה ראשונה למקרה n = 3 של המשפט הגדול של פרמה. ב-1783, שנת מותו, הוא שיער את משפט ההדדיות הריבועית, משפט מפתח בנוגע לשאריות ריבועיות, המאפשר לקבוע את פתירותה או אי פתירותה של כל משוואה ריבועית בחשבון מודולרי. אוילר נעזר בשיקולים אנליטיים עמוקים כדי להשיג הבנה כיצד מתפלגים המספרים הראשוניים בקרב המספרים הטבעיים, ובכך הוא חזה את תורת המספרים האנליטית. הוא הוכיח את התבדרות סכום הערכים ההופכיים של המספרים הראשוניים. בעשותו כך, הוא חשף את הקשר העמוק בין פונקציית זטא של רימן והמספרים הראשוניים. קשר זה ידוע בתור מכפלת אוילר לפונקציית זטא של רימן. באמצעות מניפולציות על פונקציות יוצרות, שיטה חדשנית לזמנו, הגיע לתוצאות רבות על חלוקות של מספרים. בין השאר הוכיח את משפט החלוקה של אוילר ואת משפט המספרים המחומשים. בשנת 1772 הוכיח אוילר כי המספר 2,147,483,647 הוא מספר מרסן ראשוני. מספר זה נשאר המספר הראשוני הידוע הגדול ביותר עד שנת 1876. ב-1735 פתר אוילר בעיה הידועה כבעיית הגשרים של קניגסברג. פתרונו זה של אוילר הניח את היסודות לתורת הגרפים, והיה המשפט הראשון שנוסח בתחום זה. העיר קניגסברג שבפרוסיה משתרעת על שני עברי נהר הפרגוליה, ובה שני איים גדולים המחוברים אחד לשני וליבשה המרכזית באמצעות חמישה גשרים, שני גשרים נוספים עברו מעל שתי שלוחות של הנהר. הבעיה הייתה לקבוע האם אדם יכול להתחיל ללכת מנקודה כלשהי בעיר ולעבור על כל גשר בדיוק פעם אחת. לצורך פתרון הבעיה אוילר חקר את תכונותיו של גרף שקיים בו מסלול כזה (אשר לימים נודע כמסלול אוילר) והוכיח שמסלול כזה קיים אם ורק אם הגרף לא מכיל אף צומת מדרגה אי זוגית, או שהוא מכיל שני צמתים כאלה בדיוק. אם נתייחס לכל אחד מארבעת גושי היבשה בעיר כצומת ולכל גשר כקשת בין שני צמתים ניתן לראות בנקל שכל הצמתים הם מדרגה אי-זוגית ועל כן מסלול כזה לא קיים. תוצאה זו פתחה פתח לתחום מחקר בשם תורת הגרפים אשר נותר פורה עד היום. בהקשר זה יש לציין את פתרונו של אוילר לחידת מסע הפרש; החידה מהווה מקרה פרטי של בעיה חשובה בתורת הגרפים - מציאת מסלול המילטוני בגרף. אוילר גם גילה את הנוסחה V − E + F = 2, שמקשרת בין מספר הקודקודים, הצלעות, והפאות של פאון קמור, ולחלופין של גרף מישורי. הקבוע בנוסחה זו ידוע כעת כמאפיין אוילר של הגרף (או של אובייקט מתמטי אחר), והוא קשור לגנוס של האובייקט. יתרה מכך, אוילר נעזר בנוסחה הזו כדי להוכיח מחדש את התוצאה העתיקה שישנם רק 5 פאונים אפלטוניים, ובכך הדגים הוכחה מנקודת מבט שונה לחלוטין מאילו שנראו עד אז. המחקר המתמטי שנערך במאה ה-19 על הנוסחה הזו, במיוחד על ידי קושי ואחרים, הוא מקורו של ענף המתמטיקה הקרוי טופולוגיה. אוילר לא פעל הרבה בתחום הגאומטריה. אף על פי כן הוא גילה מספר משפטים ועובדות חשובות בגאומטריה, בהם: משפט אוילר לגבי מעגל חוסם ומעגל חסום במשולש, גילה את ישר אוילר ומעגל אוילר ואת תכונותיהם, ועוד. במסגרת עבודתו המכנית על תיאור התנועה של גופים קשיחים, אוילר עשה תרומה חשובה לגאומטריה, כשגילה והוכיח את משפט הסיבובים שלו, שהוא הבסיס למושג של חבורת הסיבובים התלת-ממדיים (3)SO, המרכזית לענפי מתמטיקה ופיזיקה רבים. ההוכחה הקונסטרוקטיבית שנתן לה ניחנה באלגנטיות רבה. מחקרו המתמטי של אוילר נגע גם בגאומטריה דיפרנציאלית. אוילר חקר רבות את התאוריה של משטחים והעקמומיות של משטחים, והגיע לתוצאות ניכרות. בין השאר הכליל את הנוסחה לעקמומיות בנקודה ממישור למשטח כלשהו במרחב. אף כי מחקרו של אוילר עסק בעיקר בשימוש בכלים אנליטיים כדי לבחון את הגאומטריה החיצונית (extrinsic geometry) של משטחים (בין גילוייו נמנים משפט אוילר (גאומטריה דיפרנציאלית)), הוא גילה[דרוש מקור] גם כמה תוצאות על הגאומטריה הפנימית של משטחים (intrinsic geometry), על כן לעיתים רואים בו את המתמטיקאי החשוב ביותר לתחום הגאומטריה הדיפרנציאלית לפני גאוס. הוא תיאר צורה שקיבלה שם "תיבת אוילר". כמה מהצלחותיו הגדולות ביותר של אוילר היו ביישום שיטות אנליטיות לפתרון בעיות שימושיות. אוילר הוכיח מספר תוצאות בנוגע למספרי ברנולי, לטורי פורייה ולדיאגרמות ון, הגדיר את מספרי אוילר, והשתמש בחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי של ניוטון ושל לייבניץ לפתרון בעיות פיזיקליות. הוא תרם תרומות מכרעות לתחום האינטגרציה והמשוואות דיפרנציאליות, ביניהן שיטת אוילר לפתרון משוואה דיפרנציאלית ליניארית. כשהוא חקר את הבעיה של ממברנות רועדות, הוא פיתח את משוואת בסל ופתר אותה באמצעות ההצגה של פונקציות בסל. הוא הגדיר את קבוע אוילר: γ = lim n → ∞ ( 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ + 1 n − ln ⁡ ( n ) ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)} . בהקשר של קבוע זה, ניסח אוילר את נוסחת אוילר-מקלורן, או נוסחת הסכום של אוילר. אחד מתחומי העניין מעט יוצאי הדופן של אוילר היה היישום של רעיונות מתמטיים במוזיקה. ב-1739 הוא פרסם את "Tentamen novae theoriae musicae", וקיווה להפוך את המוזיקה לחלק מן המתמטיקה. עבודתו זו לא זכתה להכרה רבה, ותוארה כמתמטית מדי בשביל מוזיקאים ומוזיקלית מדי בשביל מתמטיקאים. אוילר כתב עבודות חשובות רבות במכניקת הזורמים, בתורת התנודות, באקוסטיקה, בבליסטיקה, בתורת הטורבינות, בתורת בניית האוניות ובתחומי פיזיקה אחרים. מכלול העבודות שפרסם בתחומים אלה דיו להנחיל לו תהילת עולם. במכניקה, אוילר הציג בספרו "מכניקה" משנת 1735 לראשונה בהרחבה את חוקי ניוטון בצורה של משוואות דיפרנציאליות, וספרו "תאוריית התנועה של גופים קשיחים" משנת 1765 הרחיב משמעותית את הישג ידה של המכניקה בכך שאיפשר גם לטפל בתיאור תנועות הסיבוב התלת-ממדיות המורכבות של גופים קשיחים - כדוגמת הפרצסיה והנוטציה של סביבונים - ובכך הניח חלק מיסודות המכניקה האנליטית. במסגרת עבודתו זו פיתח את משוואות אוילר במכניקה של גוף קשיח. בהנדסת בניין, אוילר פיתח מודל המתאר תהליך קריסת קורות (הנקרא תורת אוילר ברנולי), שהפך ברבות הימים לאבן בסיס בתחום. בספרו החשוב על חשבון הווריאציות, אשר אחד הנושאים המרכזיים הנידונים בו הוא כפיפתן של קורות, עסק אוילר רבות בתורת האלסטיות, ופתר את הבעיה הכללית של צורתן של עקומות אלסטיות (תוך שהוא בונה על עבודותיהם הקודמות של ג'יימס ודניאל ברנולי בתחום). במכניקת הזורמים, אוילר פרסם ב-1757 מערכת של משוואות הנקראות משוואות אוילר, שמהוות את הבסיס להבנת זרימה לא צמיגה. בתורת בניית האוניות, אוילר פרסם שני כרכים בנושא, בהם הרחיב את הטיפול של ניוטון בצורות בעלות התנגדות הידרודינמית מינימלית ונעזר בעקרונות וריאציוניים כללים יותר כדי לגזור את התכנון האופטימלי הידרודינמית של אוניה, וכן עסק בהיבטים נוספים של תכנון אוניות. בשנת 1752 הוא פרסם משוואות שבהמשך נקראו משוואת המשאבה והטורבינה של אוילר. אוילר גם חזה את התופעה של קוויטציה בשנת 1754, הרבה לפני התצפיות הראשונות שלה בשלהי המאה ה-19, ומספר אוילר חסר-הממדים בו משתמשים בחישובי זרימה מגיע מעבודתו הקשורה לנצילות של טורבינות. כדמות דומיננטית ביותר במפעל המדעי הפוסט-ניוטוני של המאה ה-18, אוילר תרם רבות לפתרון בעיות שטופלו בפרינקיפיה של ניוטון באופן לא מלא, ועבודתו הנרחבת בתחומים אלו זיכתה אותו בפרסים רבים. למשל, במקביל ובאופן בלתי תלוי בז'אן לה רון ד'אלמבר, אוילר היה הראשון שהצליח לתת הסבר כמותי מדויק לתופעות הפרצסיה של ציר כדור הארץ והנוטציה של ציר כדור הארץ כתוצאה מהאפקט הכבידתי של השמש והירח. לפניו, ניוטון נתן הסבר איכותי נכון לתופעה, אולם לא הצליח לספק תאוריה מתמטית בעלת ניבוי שתואם את התצפיות. על עבודתו המעמיקה על התיאור המתמטי של הגאות והשפל זכה בפרס של האקדמיה הצרפתית למדעים לשנת 1740, ובה אוילר הרחיב את הטיפול המקורי של ניוטון מסטטיקה בלבד לדינמיקה, במה שמהווה למעשה את הצעדים הראשונים לקראת התאוריה הדינמית של גאות ושפל (שלניסוחה העיקרי אחראי לפלס ב-1776). בפרט, עבודתו סיפקה הסברים איכותיים לתופעות העיקריות הקשורות בגאות באוקיינוסים הפתוחים וליד איים. באסטרונומיה אוילר היה הראשון שפיתח שיטה מעשית לחישוב מסלול הירח, שיטה שהיוותה התקדמות משמעותית בהשגת פתרונות מקורבים לבעיית שלושת הגופים. הוא היה חלוץ בשימוש בכלים אנליטיים לניתוח האי רגולציות במסלול הירח (בניגוד לטיפול הגאומטרי המסורבל של ניוטון), ובמחקריו בתחום היה אחראי על גילוי קבוצה של פתרונות אפשריים לבעיית שלושת הגופים, כמו גם על גילוי נקודות לגראנז' (על שום הטיפול המתמטי המעמיק יותר של לגראנז' בנקודות הללו, הן נקראו על שמו). הישגיו הנוספים באסטרונומיה כללו קביעה בדיוק רב של מסלוליהם של שביטים וגופים שמימיים אחרים, הבנת הטבע של שביטים, וחישוב הפרלקסה של השמש. חישוביו תרמו רבות גם לפיתוח של טבלאות קווי אורך (longitude tables) מדויקות. בנוסף, אוילר תרם תרומות משמעותיות לאופטיקה. הוא לא קיבל את התאוריה החלקיקית של ניוטון שהופיעה בספרו אופטיקה (ספר), שהייתה אז התאוריה המקובלת. בסדרת מאמרים שפרסם בין השנים 1740 ו-1750 הוא פיתח את המודל הגלי של האור, שהוצע קודם על ידי כריסטיאן הויגנס, ובכך עזר להפכו למודל המקובל יותר של האור. אוילר נעזר בעקומות סגורות כדי להמחיש סיבתיות לוגית (1768). הדיאגרמות הללו נקראו מאז בשם דיאגרמות אוילר. למעשה אוילר היה הממציא האמיתי של שיטת ההצגה של סיבתיות באמצעות עקומות סגורות, ולא ג'ון ון שנודע כממציאה של דיאגרמת ון. אוילר וחברו דניאל ברנולי התנגדו למונדיזם של לייבניץ ולפילוסופיה של כריסטיאן וולף. אוילר התעקש שידע נמצא בחלקו בבסיס החוקים הכמותיים המדויקים, דעה אשר מונדיזם ומדע וולפאני לא היו מסוגלים לספק. ניתן להסיק הרבה על האמונות הדתיות של אוילר מן "המכתבים עבור הנסיכה הגרמנית, בנושאים שונים בפיזיקה ובפילוסופיה" (Letters to a German Princess), כמו גם מעבודה מוקדמת יותר שלו: הגנה על ההתגלות האלוהית מפני ההתנגדות של המחשבות החופשיות, עבודה שהיוותה בראש ובראשונה פולמוס עם דעות כפרניות שהכחישו את המקור האלוהי של הביבליה. עבודותיו אלו מראות כי אוילר היה נוצרי אדוק שהאמין שכתבי הקודש מהווים מקור להשראה. אוילר חיבר מאות כתבים; הידועים ביותר שבהם הם: Elements of Algebra, חיבור באלגברה אלמנטרית הדן בטבע המספרים ובהקדמה מעמיקה לאלגברה, ואף מספק נוסחה לפתרון משוואות פולינומליות. Introductio in analysin infinitorum‏ (1748) שני ספרים רבי השפעה על חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: Institutiones calculi differentialis‏ (1755) ו-Institutiones calculi integralis‏ (1768-1770). חיבורו: Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti‏ (1744). הגרסה הלטינית תורגמה כ-" a method for finding curved lines enjoying properties of maximum or minimum, or solution of isoperimetric problems in the broadest accepted sense". מלבד מאות המושגים המתמטיים והפיזיקליים הקרויים על שמו, אוילר הונצח גם במספר דרכים נוספות: 2002 אוילר - אסטרואיד שנתגלה ב-1973. מדליית אוילר - פרס הניתן כל שנה מאז 1993 על ידי "המכון לקומבינטוריקה ויישומיה" שבסיסו בקנדה. אוילר (שפת תכנות) - שפת תכנות שמהווה הרחבה ל-ALGOL 60. AMS Euler - גופן שפותח בחסות האגודה האמריקאית למתמטיקה שייעודו כתיבת טקסט מתמטי. אוילר (תוכנה) - חבילת תוכנה מתמטית חופשית. פרויקט אוילר - אתר אינטרנט המוקדש לחידות מתמטיות. משפטים על שם אוילר ראו רשימת מושגים על שמו של אוילר בוויקיפדיה האנגלית. Nikolaĭ Nikolaevich Bogolyubov, G. K. Mikhaĭlov, Adolph Pavlovich Yushkevich, Euler and Modern Science, Translated by Robert Burns, Mathematical Association of America, 2007. Ronald Calinger, Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment, Princeton University Press, 2016. מדיה וקבצים בנושא לאונרד אוילר בוויקישיתוף לאונרד אוילר, ברשת החברתית Goodreads לאונרד אוילר, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה לאונרד אוילר, באתר MacTutor (באנגלית) לאונרד אוילר, באתר dblp How Euler Did It - מאמרים על עבודתו של אוילר (אין גישה חופשית לקישור) הסבר על ה"דודל" (שרבוט גוגל) שפרסמה גוגל לציון יום הולדתו ה-306 של אוילר, באתר מנוע החיפוש "גוגל" (באנגלית), 15 באפריל 2013 לאונרד אוילר, באתר "Find a Grave" (באנגלית) לאונרד אוילר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ליאונרד אוילר (1707-1783), דף שער בספרייה הלאומית Leonhard Euler, האקדמיה הימית של ארצות הברית (באנגלית). לראשונה השתמש בסימון זה המתמטיקאי הוולשי ויליאם ג'ונס בחיבורו "תצפית הישגי המתמטיקה" ("Synopsis Palmariorum Matheseos" או "a New Introduction to the Mathematics", אך השימוש לא השתרש עד אוילר) שכתב בשנת 1706. The elastica: a mathematical history [1] Euler: Genius Blind Astronomer Mathematician [2]