גל סברדרופ

במכניקת הזורמים, ובפרט באוקיינוגרפיה פיזיקלית, גלי סברדרופ, הם גלים הנובעים מאיזון של כוח הכבידה עם כוח קוריוליס. גלים אלה מתקיימים באוקיינוסים, מאחר שאורך הגל צריך להיות מסדר גודל של עשרות קילומטרים כדי שמספר רוסבי יהיה קטן מספיק וכוח קוריוליס יהיה משמעותי. הגלים נקראים גלי סברדרופ על שם האוקיינוגרף הנורווגי הרלד סברדרופ שאישר תצפיתית את קיומם בשנות העשרים של המאה ה-20. לעיתים נקראים הגלים גלי פואנקרה על שמו של אנרי פואנקרה שתיאר אותם מתמטית בסוף המאה ה-19. פיתוח משוואות התנועה של גלי סברדרופ זהה לפיתוח משוואות התנועה השולטים בגלי קלווין. ראשית, מניחים שהזרימה לא צמיגה ולא דחיסה. כדי שלכוח קוריוליס יהיה השפעה על תנועת המערכת, מספר רוסבי ומספר אקמן של המערכת צריכים להיות קטנים. דבר זה מחייב שהאורך האופייני במערכת יהיה גדול, ובפרט מהירות ההתקדמות של הגלים חייבת להיות נמוכה ואורך הגל של הגלים צריך להיות מסדר גודל של מספר קילומטרים, ולכן הזרימה יכולה להיות מטופלת כזרימה במים רדודים. עבור זרימה כזו איברים ריבועיים במשוואות התנועה יכולים להיות מוזנחים, ומשוואות התנועה מקבלות את הצורה הבאה: משוואת הרצף: ∂ u x ∂ x + ∂ u y ∂ y = − 1 H ∂ η ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=-{\frac {1}{H}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}} כאשר H {\displaystyle H} הוא העומק הממוצע, ו- η {\displaystyle \eta } הוא העומק הרגעי בנקודה. משוואת התנע בכיוון x {\displaystyle x} : ∂ u x ∂ t = − g ∂ η ∂ x + f u y {\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+fu_{y}} כאשר g {\displaystyle g} היא הגרוויטציה, ו- f = 2 Ω sin ⁡ ϕ {\displaystyle f=2\Omega \sin \phi } הוא פרמטר קוריוליס המקומי. משוואת התנע בכיוון y {\displaystyle y} : ∂ u y ∂ t = − g ∂ η ∂ y − f u x {\displaystyle {\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-fu_{x}} כעת ניתן לפתח את u x , u y {\displaystyle u_{x},u_{y}} ו- η {\displaystyle \eta } לאופני פורייה שלהם e i ( ℓ x + m y − ω t ) {\displaystyle e^{i\left(\ell x+my-\omega t\right)}} ולקבל את המשוואות: − i ω η = − H ( i ℓ u x + i m u y ) {\displaystyle -i\omega \eta =-H\left(i\ell u_{x}+imu_{y}\right)} − i ω u x − f u y = − i g ℓ η {\displaystyle -i\omega u_{x}-fu_{y}=-ig\ell \eta } − i ω u y + f u x = − i g m η {\displaystyle -i\omega u_{y}+fu_{x}=-igm\eta } כדי לקבל פתרון לא טריוויאלי נדרש שהדטרמיננטה של מערכת המשוואות תתאפס ולכן ω ( ω 2 − f 2 − g H ( ℓ 2 + m 2 ) ) = 0 {\displaystyle \omega \left(\omega ^{2}-f^{2}-gH\left(\ell ^{2}+m^{2}\right)\right)=0} . נסמן k 2 = ℓ 2 + m 2 {\displaystyle k^{2}=\ell ^{2}+m^{2}} ונקבל את יחס הנפיצה ω ( k ) = ± f 2 + g H k 2 {\displaystyle \omega (k)=\pm {\sqrt {f^{2}+gHk^{2}}}} . זהו יחס נפיצה דומה ליחס הנפיצה המתקבל ממשוואת קליין-גורדון, והוא מלמד על תופעה דומה, לפיה אפילו הכנסה של גל בעל מספר גל נמוך עולה אנרגיה למערכת, בדומה לתופעה לפיה הכנסה של חלקיק מסיבי בעל תנע נמוך עולה אנרגיה למערכת. מהירות הפאזה היא: c p = ω k = f 2 k 2 + g H {\displaystyle c_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {f^{2}}{k^{2}}}+gH}}} ומהירות החבורה היא: c g = ∂ ω ∂ k = g H k f 2 + g H k 2 {\displaystyle c_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {gHk}{\sqrt {f^{2}+gHk^{2}}}}} . הגבול g H k 2 ≫ f 2 {\displaystyle gHk^{2}\gg f^{2}} הוא הגבול בו הגלים מתנהגים כגלים קצרים. בגבול זה, יחס הנפיצה המתקבל הוא ω ( k ) = g H k {\displaystyle \omega (k)={\sqrt {gH}}k} ותדירות קוריוליס מצטמצמת. גלים אלה מתנהגים כגלים עליהם אין השפעה כתוצאה מכוח קוריוליס, וניתן לראות זאת על ידי כך שבגבול זה האורך האופייני של המערכת קטן ולכן מספר רוסבי של המערכת גדול. הגבול ההפוך בו g H k 2 ≪ f 2 {\displaystyle gHk^{2}\ll f^{2}} מוביל לכך ש- ω ( k ) = ± f {\displaystyle \omega (k)=\pm f} . כלומר התדירות של הגלים היא כתדירות קוריוליס ומהירות החבורה של הגלים מתאפסת. התנועה המתוארת על ידי גלים אלו לא כוללת שינוי בעומק כתלות במיקום, אלא רק מהירות התלויה בזמן: u x = U sin ⁡ ( f t + φ ) ; u y = U cos ⁡ ( f t + φ ) {\displaystyle u_{x}=U\sin(ft+\varphi );u_{y}=U\cos(ft+\varphi )} . חלקיקים הנכללים בתנועה כזו מסתובבים במעגל שרדיוסו R = U f {\displaystyle R={\frac {U}{f}}} ותדירות הסיבוב שלו היא f {\displaystyle f} . סוג מיוחד של גלים הוא גלים עבורם m = 0 {\displaystyle m=0} (או באופן דומה ℓ = 0 {\displaystyle \ell =0} ). גלים אלו מקיימים: u x = f 2 + g H ℓ 2 ℓ H H 0 cos ⁡ ( ℓ x − ω t ) {\displaystyle u_{x}={\frac {\sqrt {f^{2}+gH\ell ^{2}}}{\ell H}}H_{0}\cos(\ell x-\omega t)} u y = f ℓ H H 0 sin ⁡ ( ℓ x − ω t ) {\displaystyle u_{y}={\frac {f}{\ell H}}H_{0}\sin(\ell x-\omega t)} η = H 0 cos ⁡ ( ℓ x − ω t ) {\displaystyle \eta =H_{0}\cos(\ell x-\omega t)} האפיון המיוחד של גל זה הוא שהגל מתקדם רק בכיוון x {\displaystyle x} מייצר זרימה בכיוון y {\displaystyle y} . כוח קוריוליס גל אינרציאלי מספר רוסבי גל רוסבי גל קלווין גל (מים) Cushman-Roisin, Benoit, 1954-, Introduction to geophysical fluid dynamics : physical and numerical aspects, 2nd ed, Waltham, MA: Academic Press, 2011, עמ' 82-84, ISBN 978-0-12-088759-0