אינטגרל רימן-ליוביל

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל רימן-ליוביל הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי) או מרוכב. אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי. האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל. בהינתן זוג מספרים ממשיים c < d {\displaystyle c<d} מסמנים ב- L 1 ( [ c , d ] ) {\displaystyle L^{1}([c,d])} את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} . עבור a ∈ [ c , d ] {\displaystyle a\in [c,d]} מגדירים אופרטור J a : L 1 ( [ c , d ] ) → L 1 ( [ c , d ] ) {\displaystyle J_{a}:L^{1}([c,d])\to L^{1}([c,d])} להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב- a {\displaystyle a} . כלומר, עבור פונקציה f ∈ L 1 ( [ c , d ] ) {\displaystyle f\in L^{1}([c,d])} ו- x ∈ [ c , d ] {\displaystyle x\in [c,d]} : J a f ( x ) := ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle J_{a}f(x):=\int _{a}^{x}{f(t)dt}} עבור f {\displaystyle f} כזו ומספר טבעי n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל x ∈ [ c , d ] {\displaystyle x\in [c,d]} מתקיים השוויון הבא: J a n f ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle J_{a}^{n}f(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}} כאשר J a n f := J a ( J a ( … J a ⏟ n  times ( f ) ) ) {\displaystyle J_{a}^{n}f:=\underbrace {J_{a}(J_{a}(\dots J_{a}} _{n{\text{ times}}}(f)))} . אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי n {\displaystyle n} במספר מרוכב α {\displaystyle \alpha } עם חלק ממשי חיובי. מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה. הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" ( α = 1 / 2 {\displaystyle \alpha =1/2} ) או "שליש אינטגרל" ( α = 1 / 3 {\displaystyle \alpha =1/3} ). הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה f {\displaystyle f} מהקטע [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} לקטע חצי סופי או ל- R {\displaystyle \mathbb {R} } כולו. עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר a {\displaystyle a} כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות α = ∞ {\displaystyle \alpha =\infty } או α = − ∞ {\displaystyle \alpha =-\infty } במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה. בהינתן תחום ממשי קמור U ⊆ R {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} } (קטע סופי, חצי סופי או R {\displaystyle \mathbb {R} } כולו), מספר ממשי a ∈ U {\displaystyle a\in U} (או ± ∞ {\displaystyle \pm \infty } במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב α {\displaystyle \alpha } בעל חלק ממשי חיובי ( Re ⁡ ( α ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0} ), אופטור רימן-ליוביל מסדר α {\displaystyle \alpha } הוא האופרטור J a α : L 1 ( U ) → L 1 ( U ) {\displaystyle J_{a}^{\alpha }:L^{1}(U)\to L^{1}(U)} כך שלכל פונקציה f ∈ L 1 ( U ) {\displaystyle f\in L^{1}(U)} ולכל x ∈ U {\displaystyle x\in U} : J a α f ( x ) := 1 Γ ( α ) ∫ a x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle J_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt}} באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי. כלומר, לכל f , g ∈ L 1 ( U ) {\displaystyle f,g\in L^{1}(U)} ולכל c , d ∈ R {\displaystyle c,d\in \mathbb {R} } : J a α ( c f + d g ) = c J a α f + d J a α g {\displaystyle J_{a}^{\alpha }(cf+dg)=cJ_{a}^{\alpha }f+dJ_{a}^{\alpha }g} המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית. כלומר: d d x J a f ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}J_{a}f(x)=f(x)} הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל: d d x J a α + 1 f ( x ) = J a α f ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}J_{a}^{\alpha +1}f(x)=J_{a}^{\alpha }f(x)} ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה. כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } עם חלק ממשי חיובי מתקיים: J a α ( J a β f ) = J a α + β f {\displaystyle J_{a}^{\alpha }(J_{a}^{\beta }f)=J_{a}^{\alpha +\beta }f} בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה. מסמנים ב- L p ( U ) {\displaystyle L^{p}(U)} מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור p > 1 {\displaystyle p>1} ותחום ממשי U {\displaystyle U} כלשהו. עבור כל α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור J a α {\displaystyle J_{a}^{\alpha }} הפועל על L p ( U ) {\displaystyle L^{p}(U)} הוא אופרטור חסום ועל כן רציף. יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל f ∈ L p ( U ) {\displaystyle f\in L^{p}(U)} , מתקיים: lim α → 0 + ‖ J a α f − f ‖ p = 0 {\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}{\lVert J_{a}^{\alpha }f-f\rVert _{p}}=0} כלומר, סדרת הפונקציות J a α f {\displaystyle J_{a}^{\alpha }f} שואפת ל- f {\displaystyle f} כאשר α → 0 {\displaystyle \alpha \to 0} כמעט בכל מקום. מסיבה זו טבעי להגדיר J a 0 = I {\displaystyle J_{a}^{0}=I} כאשר I {\displaystyle I} הוא אופרטור הזהות. עבור הפונקציה f ( x ) = x β {\displaystyle f(x)=x^{\beta }} המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר α > 0 {\displaystyle \alpha >0} כלשהו: J 0 α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 t β d t {\displaystyle J_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}t^{\beta }dt}} על ידי החלפת משתנים u = x t {\displaystyle u=xt} מתקבל: J 0 α f ( x ) = x α + β Γ ( α ) ∫ 0 1 ( 1 − u ) α − 1 u β d u = x α + β Γ ( α ) B ( α , β + 1 ) = x α + β Γ ( α ) Γ ( α ) Γ ( β + 1 ) Γ ( α + β + 1 ) = Γ ( β + 1 ) Γ ( α + β + 1 ) x α + β {\displaystyle {\begin{aligned}J_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{1}{(1-u)^{\alpha -1}u^{\beta }du}\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}B(\alpha ,\beta +1)\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\\={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}x^{\alpha +\beta }\\\end{aligned}}} כאשר הפונקציה B {\displaystyle B} היא פונקציית בטא. תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי. עבור הפונקציה f ( x ) = exp ⁡ ( x ) {\displaystyle f(x)=\exp(x)} המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר α > 0 {\displaystyle \alpha >0} כלשהו: J − ∞ α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ − ∞ x ( x − t ) α − 1 exp ⁡ ( t ) d t {\displaystyle J_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{x}{(x-t)^{\alpha -1}\exp(t)dt}} על ידי החלפת משתנים u = x − t {\displaystyle u=x-t} מתקבל: J − ∞ α f ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 ∞ u α − 1 exp ⁡ ( x − u ) d u = exp ⁡ ( x ) Γ ( α ) ∫ 0 ∞ u α − 1 exp ⁡ ( − u ) d u = exp ⁡ ( x ) Γ ( α ) Γ ( α ) = exp ⁡ ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}J_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(x-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\Gamma (\alpha )\\=\exp(x)\end{aligned}}} זאת באופן דומה לכך ש- d d x exp ⁡ ( x ) = exp ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(x)=\exp(x)} . על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש- J a 1 {\displaystyle J_{a}^{1}} ( α = 1 {\displaystyle \alpha =1} ) הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב α = − 1 {\displaystyle \alpha =-1} באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל). באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים). עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות. עבור מספר ממשי α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ניתן להגדיר את D a α {\displaystyle D_{a}^{\alpha }} להיות נגזרת רימן-ליוביל מסדר α {\displaystyle \alpha } כך שלכל פונקציה f {\displaystyle f} אינטגרבילית לפי לבג ולכל x {\displaystyle x} בתחום שלה: D a α f ( x ) := d ⌈ α ⌉ d x ⌈ α ⌉ J a ⌈ α ⌉ − α f ( x ) {\displaystyle D_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)} זאת כאשר ⌈ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lceil \cdot \rceil } היא פונקציית התקרה. כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את α {\displaystyle \alpha } למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים. עבור α {\displaystyle \alpha } טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית. באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל α {\displaystyle \alpha } ממשי: D a α f ( x ) := { d ⌈ α ⌉ d x ⌈ α ⌉ J a ⌈ α ⌉ − α f ( x ) if  α > 0 f ( x ) if  α = 0 J a − α f ( x ) if  α < 0 {\displaystyle D_{a}^{\alpha }f(x):={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha >0\\f(x)&{\text{if }}\alpha =0\\J_{a}^{-\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha <0\\\end{cases}}} באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית, כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים. אינטגרל רימן-ליוביל, באתר MathWorld (באנגלית) Roudy El Haddad, Repeated Integration and Explicit Formula for the $n$-th Integral of $x^m (\ln x)^{m'}$, Open Journal of Mathematical Sciences 6, 2022-12-31, עמ' 51–75 doi: 10.30538/oms2022.0178 Eric W. Weisstein, Riemann-Liouville Operator, mathworld.wolfram.com (באנגלית) Paulo Mendes Carvalho-Neto, Renato Fehlberg Júnior, The Riemann-Liouville fractional integral in Bochner-Lebesgue spaces I, 2021 Yuri Luchko, Fractional derivatives and the fundamental theorem of Fractional Calculus, Fractional Calculus and Applied Analysis 23, 2020-08, עמ' 939–966 doi: 10.1515/fca-2020-0049