מקדמי קלבש-גורדן

במכניקת הקוונטים, מקדמי קלבש-גורדן הם מקדמים המשמשים לבניית מצבים עצמיים של התנע הזוויתי הכולל של מערכת מורכבת מתוך מצבים עצמיים של תנע זוויתי של תת-מערכות שלה. נתונה מערכת המורכבת משתי תת-מערכות. יהי   V 1 {\displaystyle \ V_{1}} מרחב וקטורי   2 j 1 + 1 {\displaystyle \ 2j_{1}+1} ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של j 1 2 , j z 1 {\displaystyle j_{1}^{2},j_{z1}} , התנע הזוויתי של תת-המערכת הראשונה ורכיב   z {\displaystyle \ z} שלו: | j 1 m 1 ⟩ m 1 = − j 1 , − j 1 + 1 , … j 1 {\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle \quad m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\ldots j_{1}} ויהי   V 2 {\displaystyle \ V_{2}} מרחב וקטורי   2 j 2 + 1 {\displaystyle \ 2j_{2}+1} ממדי, הנפרס על ידי המצבים העצמיים של j 2 2 , j z 2 {\displaystyle j_{2}^{2},j_{z2}} , של תת-המערכת השנייה: | j 2 m 2 ⟩ m 2 = − j 2 , − j 2 + 1 , … j 2 {\displaystyle |j_{2}m_{2}\rangle \quad m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\ldots j_{2}} מרחב המצבים של המערכת הכוללת הוא מרחב   ( 2 j 1 + 1 ) ( 2 j 2 + 1 ) {\displaystyle \ (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)} ממדי, הנתון על ידי המכפלה של שני המרחבים הנפרדים V 12 ≡ V 1 ⊗ V 2 {\displaystyle V_{12}\equiv V_{1}\otimes V_{2}} . בסיס אפשרי למרחב זה הוא סט מצבי המכפלה החיצונית של המצבים הנפרדים | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ≡ | j 1 m 1 ⟩ ⊗ | j 2 m 2 ⟩ {\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle } כאשר הסימון ⊗ {\displaystyle \otimes } מייצג את אופרטור המכפלה טנזורית. נגדיר אופרטורים הפועלים במרחב   V 12 {\displaystyle \ V_{12}} באמצעות רכיבי התנעים הזוויתיים הנפרדים (כאן 1 {\displaystyle \mathbf {1} } מייצג את אופרטור היחידה) J i ≡ j i 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ j i 2 f o r i = x , y , z {\displaystyle J_{i}\equiv j_{i1}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes j_{i2}\quad \mathrm {for} \quad i=x,y,z} כל מכפלה כזאת פועלת על מרחב המצבים של המערכת הכוללת באופן הבא ( j i 1 ⊗ 1 ) | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ≡ ( j i 1 | j 1 m 1 ⟩ ) ⊗ | j 2 m 2 ⟩ {\displaystyle (j_{i1}\otimes \mathbf {1} )|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \equiv (j_{i1}|j_{1}m_{1}\rangle )\otimes |j_{2}m_{2}\rangle } ( 1 ⊗ j i 2 ) | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ) ≡ | j 1 m 1 ⟩ ⊗ j i 2 | j 2 m 2 ⟩ {\displaystyle (\mathbf {1} \otimes j_{i2})|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle )\equiv |j_{1}m_{1}\rangle \otimes j_{i2}|j_{2}m_{2}\rangle } אופרטורים אלו מקיימים את יחסי החילוף של רכיבי תנע זוויתי [ J k , J l ] = i ∑ m = 1 3 ϵ k l m J m {\displaystyle [J_{k},J_{l}]=i\sum _{m=1}^{3}\epsilon _{klm}J_{m}} לפיכך נוכל להגדיר את התנע הזוויתי הכולל של המערכת, שאופרטורים אלו הם רכיביו, ואשר מקיים J 2 | j 1 j 2 J M ⟩ = J ( J + 1 ) | j 1 j 2 J M ⟩ {\displaystyle \mathbf {J} ^{2}|j_{1}j_{2}JM\rangle =J(J+1)|j_{1}j_{2}JM\rangle } J z | j 1 j 2 J M ⟩ = M | j 1 j 2 J M ⟩ , f o r M = − J , … , J {\displaystyle J_{z}|j_{1}j_{2}JM\rangle =M|j_{1}j_{2}JM\rangle ,\quad \mathrm {for} \quad M=-J,\ldots ,J} כאשר | j 1 j 2 J M ⟩ {\displaystyle |j_{1}j_{2}JM\rangle } הם המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל (וגם של התנעים הזוויתיים הנפרדים), והם פורסים את המרחב   V 12 {\displaystyle \ V_{12}} . כמו כן   J {\displaystyle \ J} מקיים את אי שוויון המשולש | j 1 − j 2 | ≤ J ≤ j 1 + j 2 {\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leq J\leq j_{1}+j_{2}} מצבי המכפלה מהווים בסיס של המרחב   V 12 {\displaystyle \ V_{12}} , מכאן שניתן להביע כל מצב במרחב כצירוף ליניארי שלהם. בפרט, ניתן להביע את המצבים העצמיים של התנע הזוויתי הכולל בבסיס זה: | j 1 j 2 J M ⟩ = ∑ m 1 = − j 1 j 1 ∑ m 2 = − j 2 j 2 | j 1 m 1 ⟩ | j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 1 j 2 J M ⟩ {\displaystyle |j_{1}j_{2}JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{1}j_{2}JM\rangle } מקדמי הצירוף הליניארי ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 1 j 2 J M ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{1}j_{2}JM\rangle } נקראים מקדמי קלבש גורדן. נהוג להשמיט את   j 1 j 2 {\displaystyle \ j_{1}j_{2}} , ולסמן את המקדמים בקיצור ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle } . על ידי הגדרת אופרטורי סולם של התנע הזוויתי הכולל ניתן למצוא יחסי רקורסיה שבאמצעותם ניתן לחשב את מקדמי קלבש גורדן במפורש. את יחסי הרקורסיה מצא יואל רקח בשנת 1941. הפעלת האופרטור J z = j z 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ j z 2 {\displaystyle J_{z}=j_{z1}\otimes \mathbf {1} +\mathbf {1} \otimes j_{z2}} על המשוואה המגדירה את המקדמים מראה שהמקדמים מתאפסים אלא אם מתקיים   M = m 1 + m 2 {\displaystyle \ M=m_{1}+m_{2}} בנוסף, המקדמים מקיימים ⟨ J M | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ≡ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ {\displaystyle \langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \equiv \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle } ואת יחסי האורתוגונליות: ∑ J = | j 1 − j 2 | j 1 + j 2 ∑ M = − J J ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J M ⟩ ⟨ J M | j 1 m 1 ′ j 2 m 2 ′ ⟩ = δ m 1 , m 1 ′ δ m 2 , m 2 ′ {\displaystyle \sum _{J=|j_{1}-j_{2}|}^{j_{1}+j_{2}}\sum _{M=-J}^{J}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle \langle JM|j_{1}m_{1}'j_{2}m_{2}'\rangle =\delta _{m_{1},m_{1}'}\delta _{m_{2},m_{2}'}} ∑ m 1 m 2 ⟨ J M | j 1 m 1 j 2 m 2 ⟩ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | J ′ M ′ ⟩ = δ J , J ′ δ M , M ′ {\displaystyle \sum _{m_{1}m_{2}}\langle JM|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|J'M'\rangle =\delta _{J,J'}\delta _{M,M'}} כאמור, המקדמים משמשים לבניית מצבים של התנע הזוויתי הכולל מתוך מצבים של התנעים הזוויתיים הנפרדים. בנוסף, לתכונות מקדמי קלבש גורדן יש חשיבות בקביעת כללי ברירה של מעברים קרינתיים תוך שימוש במשפט ויגנר-אקרט. קובץ המכיל טבלת מקדמי קלבש-גורדן, הרמוניות ספריות ומטריצות d של ויגנר. טבלאות של מקדמי קלבש גורדן, מתוך ויקיפדיה האנגלית מקדמי קלבש-גורדן, באתר MathWorld (באנגלית)