משפט אוילר (גאומטריה)

משפט אוילר בגאומטריה, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק   d {\displaystyle \ d} בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: 1 R + d + 1 R − d = 1 r {\displaystyle {\frac {1}{R+d}}+{\frac {1}{R-d}}={\frac {1}{r}}} , כאשר   R {\displaystyle \ R} הוא רדיוס המעגל החוסם ו-   r {\displaystyle \ r} הוא רדיוס המעגל החסום. נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס השני זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן 2Rr = AI × BL. מתקיים ∠ B I L = ∠ A 2 + ∠ A B C 2 {\displaystyle \angle BIL=\angle {A \over 2}+{\angle ABC \over 2}} וכן ∠ I B L = ∠ A B C 2 + ∠ C B L = ∠ A B C 2 + ∠ A 2 {\displaystyle \angle IBL=\angle {ABC \over 2}+\angle CBL=\angle {ABC \over 2}+\angle {A \over 2}} (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש), ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d2 = R(R − 2r. מש"ל. נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן   α = r R + d {\displaystyle \ \alpha ={\frac {r}{R+d}}} ו-   β = r R − d {\displaystyle \ \beta ={\frac {r}{R-d}}} . נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם α + β = 1 {\displaystyle \alpha +\beta =1} . קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו מרובע, המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, מרובע משיקים ומרובע ציקלי):   α 2 + β 2 = 1 {\displaystyle \ \alpha ^{2}+\beta ^{2}=1} (זהו משפט פס, (אנ')). יש הכללה לנוסחה זו במונחי הפונקציה אליפטית של יעקובי ואינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון, [1]. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא   ( α + β + 1 ) 3 = 4 ( α 3 + β 3 + 1 ) {\displaystyle \ (\alpha +\beta +1)^{3}=4(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+1)} ; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא 3 + ( β 2 − α 2 ) 2 = 2 ( α 2 + β 2 ) {\displaystyle 3+(\beta ^{2}-\alpha ^{2})^{2}=2(\alpha ^{2}+\beta ^{2})} . כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב- P ′ {\displaystyle P'} . באופן כזה מוגדרות הנקודות   P ″ = ( P ′ ) ′ {\displaystyle \ P''=(P')'} , ‏   P ‴ = ( P ″ ) ′ {\displaystyle \ P'''=(P'')'} , וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה   P ( n ) = P ( n − 1 ) ′ {\displaystyle \ P^{(n)}={P^{(n-1)}}'} . אם P ‴ = P {\displaystyle P'''=P} , פירושו של דבר הוא ש- P , P ′ , P ″ {\displaystyle P,P',P''} הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם P ⁗ = P {\displaystyle P''''=P} , אז P , P ′ , P ″ , P ‴ {\displaystyle P,P',P'',P'''} הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. משפט פונסלה (על שמו של ז'אן-ויקטור פונסלה, (אנ')) קובע שאם   P ( n ) = P {\displaystyle \ P^{(n)}=P} לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם אליפסות, ולאו דווקא מעגלים. Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12. A Mathematical Gift II, K Ueno, K Shiga and Sh Morita; Mathematical World Vol 20, AMS, 2004. מדיה וקבצים בנושא משפט אוילר בוויקישיתוף משפט אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)