התמרת לפלס

התמרת לפלס היא כלי מתמטי שהשימוש בו מקל מאוד על ניתוח ההתנהגות של מערכות ליניאריות ללא תלות בזמן, כגון מעגלים חשמליים ומערכות מכניות ואופטיות. ההתמרה קרויה על-שמו של פייר-סימון לפלס. את התהליך בו מבצעים התמרת לפלס לפונקציה   f {\displaystyle \ f} מקובל לסמן   L ( f ) {\displaystyle \ {\mathcal {L}}(f)} . אם   f ( t ) {\displaystyle \ f(t)} היא פונקציה ממשית, נהוג לסמן את ההתמרה שלה ב-   F ( s ) {\displaystyle \ F(s)} , והיא מוגדרת לפי האינטגרל המסוים F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt} . התמרת לפלס היא התמרה אינטגרלית: פונקציה המקבלת פונקציה (ממשית או מרוכבת) ומחזירה פונקציה מאותו סוג. ההתמרה היא העתקה ליניארית ממרחב הפונקציות הממשיות לעצמו (למעשה, ההעתקה מוגדרת רק בתנאים מסוימים, כפי שיתואר בהמשך). ייחודה הוא בכך שהיא מקיימת את הזהות   L ( f ′ ) = s ⋅ L ( f ) − f ( 0 ) {\displaystyle \ {\mathcal {L}}(f')=s\cdot {\mathcal {L}}(f)-f(0)} , וכך היא הופכת נגזרת של פונקציה לכפל של הפונקציה במשתנה, תכונה המקלה על ניתוח של מערכות דינמיות ליניאריות הקבועות בזמן. ההתמרה שימושית במיוחד בפתרון של משוואות דיפרנציאליות. בהנדסת חשמל מקובל לומר שהתמרת לפלס מעבירה ממישור הזמן למישור התדר, אף על פי שלמישור לפלס אין כלל משמעות של תדר. ההתמרה שמעבירה ממישור הזמן למישור התדר היא התמרת פורייה (למעשה, אם s הוא מדומה טהור, התמרת לפלס זהה להתמרת פורייה). מישור לפלס הוא מישור מדומה ללא משמעות פיזיקלית פשוטה והוא משמש לפתרון משוואות דיפרנציאליות. התמרות אינטגרליות הוצגו לראשונה על ידי לאונרד אוילר שפתר בעזרת ההתמרות משוואות דיפרנציאליות רגילות ליניאריות מסדר שני. לפלס עצמו מזכיר בכתביו את עבודתו של אוילר על התמרות אינטגרליות. היה זה שפיצר שהצמיד את שמו של לפלס לביטוי F ( s ) = ∫ a b e s t f ( t ) d t {\displaystyle F(s)=\int _{a}^{b}e^{st}f(t)dt} שאוילר השתמש בו. בסוף המאה ה-19 הרחיבו המתמטיקאים פואנקרה, פינקרלה (Pincherle), אבל ופיקאר את התמרת לפלס גם למישור המרוכב ולשני משתנים. במאה ה-20 שכללו החוקרים הארי בייטמן (Bateman), ברנשטיין, דוטש (Doetsch), הביסייד וברומיץ' (Bromwich) את התמרת לפלס. כאמור, התמרת לפלס פועלת גם במישור המרוכב, ובמקום הדרישה s > 0 {\displaystyle s>0} מגיעה הדרישה R e ( s ) > 0 {\displaystyle Re(s)>0} . נראה זאת בדוגמה הבאה: L ( e i ω t ) = ∫ 0 ∞ e − s t e i ω t d t = lim M → ∞ e ( i ω − s ) t i ω − s | 0 M = 1 s − i ω {\displaystyle {\mathcal {L}}(e^{i\omega t})=\int _{0}^{\infty }{e^{-st}e^{i\omega t}dt=}\lim _{M\to \infty }{{e^{(i\omega -s)t}} \over {i\omega -s}}|_{0}^{M}={1 \over {s-i\omega }}} השוויון האחרון מתקיים מכיוון ש: lim M → ∞ | e i ω M e − s M | = lim M → ∞ e − R e ( s ) M = 0 , R e ( s ) > 0 {\displaystyle \lim _{M\to \infty }|e^{i\omega M}e^{-sM}|=\lim _{M\to \infty }e^{-Re(s)M}=0\quad ,\quad Re(s)>0} באופן דומה ניתן להראות כי: L ( e − i ω t ) = 1 s + i ω {\displaystyle {\mathcal {L}}(e^{-i\omega t})={\frac {1}{s+i\omega }}} . לכן, על פי הליניאריות של ההתמרה נקבל כי: L ( sin ⁡ ω t ) = L ( e i ω t ) − L ( e − i ω t ) 2 i = L ( e i ω t − e − i ω t 2 i ) = ω s 2 + ω 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(\sin \omega t)={\frac {{\mathcal {L}}(e^{i\omega t})-{\mathcal {L}}(e^{-i\omega t})}{2i}}={\mathcal {L}}({\frac {e^{i\omega t}-e^{-i\omega t}}{2i}})={\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}} , ובדומה: L ( cos ⁡ ω t ) = s s 2 + ω 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}(\cos \omega t)={\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}} . ניתן לראות שאם s הוא מדומה (כלומר, R e ( s ) = 0 {\displaystyle Re(s)=0} ) התמרת לפלס הופכת להתמרת פורייה. נשאלת השאלה לאילו פונקציות קיימת התמרת לפלס. על פי ההגדרה, אם האינטגרל מתכנס אז ההתמרה קיימת, אבל קיים גם מדד עבור הפונקציה עצמה – הסדר המעריכי שלה: לפונקציה   f ( t ) {\displaystyle \ f(t)} יש סדר מעריכי בגובה   α {\displaystyle \ \alpha } אם קיימים קבועים   M > 0 , α , t 0 ≥ 0 {\displaystyle \ M>0,\alpha ,t_{0}\geq 0} כך שלכל   t ≥ t 0 {\displaystyle \ t\geq t_{0}} מתקיים   | f ( t ) | ≤ M e α t {\displaystyle \ |f(t)|\leq Me^{\alpha t}} . לדוגמה, הסדר המעריכי של   e a t {\displaystyle \ e^{at}} הוא   a {\displaystyle \ a} (   a {\displaystyle \ a} יכול להיות שלילי), הסדר המעריכי של   sin ⁡ a t {\displaystyle \ \sin {at}} הוא 0 (כי נוכל לבחור   M {\displaystyle \ M} מספיק גדול), ולפולינומים יש סדר מעריכי כלשהו גדול מ-0 (שוב, כי נוכל לבחור   M {\displaystyle \ M} מספיק גדול, ובאינסוף אקספוננט "מנצח" פולינום). ל־   e t 2 {\displaystyle \ e^{t^{2}}} לעומת זאת, לא קיים סדר מעריכי כי לא ניתן לחסום אותה עם אקספוננט. ואז אם   f ( t ) {\displaystyle \ f(t)} רציפה למקוטעין על חצי-הישר הימני, ומסדר מעריכי   α {\displaystyle \ \alpha } אז קיימת לה התמרת לפלס לכל   R e ( s ) > α {\displaystyle \ Re(s)>\alpha } (במקרה הממשי –   s > α {\displaystyle \ s>\alpha } ). כלומר, האקספוננט   e − s t {\displaystyle \ e^{-st}} צריך "למשוך למטה" חזק יותר. בעוד שלכל פונקציה המקיימת את התנאים האמורים קיימת התמרת לפלס, קיימות פונקציות שאינן מקיימות תנאים אלו, ובכל זאת קיימת להן התמרה. לדוגמה, לפונקציה   f ( t ) = t e t 2 sin ⁡ e t 2 {\displaystyle \ f(t)=te^{t^{2}}\sin {e^{t^{2}}}} לא קיים סדר מעריכי אך קיימת לה התמרת לפלס לכל   R e ( s ) > 0 {\displaystyle \ Re(s)>0} . בהינתן שתי פונקציות,   f ( t ) {\displaystyle \ f(t)} ו־   g ( t ) {\displaystyle \ g(t)} , וההתמרות לפלס שלהן הן   F ( s ) {\displaystyle \ F(s)} ו-   G ( s ) {\displaystyle \ G(s)} בהתאמה, F ( s ) = L { f ( t ) } {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}} G ( s ) = L { g ( t ) } {\displaystyle G(s)={\mathcal {L}}\{g(t)\}} מתקיימות התכונות הבאות: כללי: ניתן להראות שהתמרת לפלס של כל פונקציה רציפה למקוטעין ובעלת סדר מעריכי, מתכנסת בהחלט ובמידה שווה. אם   f ( t ) {\displaystyle \ f(t)} רציפה למקוטעין על חצי הישר הימני ובעלת סדר מעריכי   α {\displaystyle \ \alpha } אז   lim R e ( s ) → ∞ F ( s ) = lim R e ( s ) → ∞ L ( f ( t ) ) = 0 {\displaystyle \ \lim _{Re(s)\to \infty }F(s)=\lim _{Re(s)\to \infty }{\mathcal {L}}(f(t))=0} . רואים בטבלת ההתמרות כי מעלת המכנה תמיד גבוהה ממעלת המונה. ליניאריות: L { a f ( t ) + b g ( t ) } = a F ( s ) + b G ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=aF(s)+bG(s)} גזירות: L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)} L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)} L { f ( n ) } = s n L { f } − s n − 1 f ( 0 ) − ⋯ − f ( n − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)} קונבולוציה: L { f ( t ) ∗ g ( t ) } = F ( s ) ⋅ G ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)*g(t)\}=F(s)\cdot G(s)} אינטגרציה וקונבולוציה: L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ } = L { u ( t ) ∗ f ( t ) } = 1 s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}={\mathcal {L}}\left\{u(t)*f(t)\right\}={1 \over s}F(s)} איפנון: L { e a t f ( t ) } = F ( s − a ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)} L − 1 { F ( s − a ) } = e a t f ( t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)} הזזה: L { f ( t − a ) u ( t − a ) } = e − a s F ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)} L − 1 { e − a s F ( s ) } = f ( t − a ) u ( t − a ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)} כאן   u ( t ) {\displaystyle \ u(t)} היא פונקציית מדרגה. נגדיר טור חזקות:   f ( t ) = ∑ k = 0 n a k t k {\displaystyle \ f(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}t^{k}} . על ידי שימוש בתכונת הליניאריות ובטבלת ההתמרות, נקבל:   L ( f ( t ) ) = ∑ k = 0 n a k L ( t k ) = ∑ k = 0 n a k k ! s k + 1 {\displaystyle \ {\mathcal {L}}(f(t))=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\mathcal {L}}(t^{k})=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}k!}{s^{k+1}}}} . לטורי חזקות אינסופיים, לעומת זאת, לא תמיד קיימת התמרת לפלס. התמרת לפלס עבור טור החזקות   f ( t ) = ∑ k = 0 ∞ a k t k {\displaystyle \ f(t)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}t^{k}} קיימת אם הטור מתכנס לכל   t ≥ 0 {\displaystyle \ t\geq 0} , וקיים   N {\displaystyle \ N} טבעי כך שלכל   n ≥ N {\displaystyle \ n\geq N} ולכל   α > 0 , M > 0 {\displaystyle \ \alpha >0,M>0} מתקיים   | a k | ≤ M α k k ! {\displaystyle \ |a_{k}|\leq {\frac {M\alpha ^{k}}{k!}}} . במקרה זה נקבל:   L ( f ( t ) ) = ∑ k = 0 ∞ a k L ( t k ) = ∑ k = 0 ∞ a k k ! s k + 1 {\displaystyle \ {\mathcal {L}}(f(t))=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\mathcal {L}}(t^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}k!}{s^{k+1}}}} . ערך מורחב – משפט הערך ההתחלתי אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות   f ( t ) , f ′ ( t ) {\displaystyle \ f(t),f'(t)} אז מתקיים:   lim t → 0 + f ( t ) = lim s → ∞ s F ( s ) {\displaystyle \ \lim \limits _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim \limits _{s\to \infty }sF(s)} משפט זה נוח במיוחד כאשר מעוניינים בערך ההתחלתי של הפונקציה במישור הזמן, משום שהוא אינו מחייב את חישוב של התמרת לפלס ההפוכה של F {\displaystyle F} . ערך מורחב – משפט הערך הסופי אם קיימת התמרת לפלס של הפונקציות   f ( t ) , f ′ ( t ) {\displaystyle \ f(t),f'(t)} וכל הקטבים של F {\displaystyle F} נמצאים בחצי המישור השמאלי, ולכל היותר ישנו קוטב בודד בראשית, אז מתקיים:   lim t → ∞ f ( t ) = lim s → 0 s F ( s ) {\displaystyle \ \lim \limits _{t\to \infty }f(t)=\lim \limits _{s\to 0}sF(s)} משפט זה שימושי כאשר מעוניינים בהתנהגות המערכת לאחר ריסון תנאי ההתחלה. בפתרון משוואות דיפרנציאליות בעזרת התמרת לפלס, מנצלים את הזהות   L ( f ′ ) = s ⋅ L ( f ) − f ( 0 ) {\displaystyle \ {\mathcal {L}}(f')=s\cdot {\mathcal {L}}(f)-f(0)} , שמקשרת בין התמרת לפלס של הנגזרת לבין התמרת לפלס של הפונקציה. בהינתן משוואה דיפרנציאלית רגילה הכוללת נגזרות מסדרים שונים, ניתן לבצע התמרת לפלס על המשוואה, לבודד את הביטוי להתמרת לפלס של הפונקציה הנעלמת – ואז לבצע התמרת לפלס הפוכה ולמצוא את פתרון המשוואה. בתורת הבקרה, כאשר מאפיינים מערכת, מופיעים לעיתים קרובות ביטויים המערבים נגזרות. מאחר שהתמרת לפלס הופכת גזירה למכפלה ואינטגרציה לחלוקה, הטיפול בביטויים כאלה הוא נוח, וכאשר מאפייני המערכת אינם תלויים בזמן, התמרת לפלס של משוואות התנועה נותנת פולינומים, אשר מאפשרים אנליזה קלה של המצב (ע"ע: פונקציית תמסורת). התמרת פורייה Schiff, Joel L., The Laplace transform: theory and applications, Springer-Verlag, 1999, New York. מחשבון להתמרת לפלס התמרת לפלס, באתר MathWorld (באנגלית) התמרת לפלס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) התמרת לפלס, דף שער בספרייה הלאומית