שכבת גבול אקמן

במכניקת הזורמים, בפרט בתחומים של אוקיינוגרפיה פיזיקלית ומדעי האטמוספירה, שכבת גבול אקמן (באנגלית: Ekman Layer) היא שכבת גבול בה הזרימה נקבעת כתוצאה משיווי משקל בין כוחות חיצוניים, כוח קוריוליס וכוחות צמיגות. שכבת גבול אקמן תוארה לראשונה על ידי האוקיינוגרף השוודי ואון וולפריד אקמן (Vagn Walfrid Ekman) בשנת 1902 וקרויה על שמו. הזרימה המתקבלת בשכבת אקמן היא זרימה ספירלית, הידועה כספירלת אקמן (באנגלית: Ekman Spiral). שכבת הגבול מופיעה בפני האוקיינוס, כאשר הרוח מספקת את הכוחות החיצוניים, ומנסה לגרום לפני האוקיינוס לזרום במהירות הרוח, לעומתה, כוחות הצמיגות מרסנים את הזרימה, וכוח קוריוליס פועל במאונך לכיוון הזרימה. באופן דומה, שכבת הגבול מופיעה בקרקעית האוקיינוס, ובתחתית האטמוספירה, כאשר פני השטח הם היוצרים את התנאים החיצוניים. בסוף המאה ה-19 יצא פריטיוף ננסן וצוות הספינה פראם למשלחת לחקר הקוטב הצפוני. עם שובו, הוא דווח שבמסגרת תצפיותיו נראה שקרחונים נסחפים בזווית של 20–40 מעלות ימינה ביחס לכיוון הרוח. ננסן פנה לעמיתו ווילהלם ביירקנס שהעביר את הבעיה לסטודנט שלו - ואון אקמן. אקמן פרסם את מסקנותיו במסגרת עבודת הדוקטורט שלו ב-1902 והרחיב אותה מאוחר יותר ב-1905. לפי אקמן, הזרימה של המים לא מקבילה לזרימת הרוח כתוצאה מכוח קוריוליס, ולמעשה הרוח דוחפת את הקרחון במאונך לכיוון הקדמותה. שכבת גבול אקמן קשה מאוד לצפייה באוקיינוס, מאחר שהשכבה היא דקה מאוד, ונדרשת מדידה מדויקת של מהירות הזרם. תצפיות מדויקות כאלו התאפשר רק בשנות ה-80 של המאה ה-20 ואישרו את קיומן של שכבות אקמן. נחפש פתרונות של זרימה קבועה, התלויה רק בעומק, לכן ניתן לסמן את שדה המהירות ב- u ( z ) = ( u x ( z ) , u y ( z ) , u z ( z ) ) {\displaystyle \mathbf {u} (z)=(u_{x}(z),u_{y}(z),u_{z}(z))} , כמו כן נסמן ב- p {\displaystyle p} את שדה הלחץ המתוקן ביחס לכבידה, ב- f = 2 Ω sin ⁡ φ {\displaystyle f=2\Omega \sin \varphi } את תדירות קוריוליס המקומית (כאשר Ω {\displaystyle \Omega } תדירות הסיבוב ו- φ {\displaystyle \varphi } קו הרוחב), ב- ρ {\displaystyle \rho } את הצפיפות וב- ν {\displaystyle \nu } את הצמיגות האפקטיבית (באוקיינוס הזרימה היא כמעט תמיד טורבולנטית, לכן הצמיגות האפקטיבית תהיה גבוהה יותר מהצמיגות הדינמית). נניח ששלושת הפרמטרים הללו קבועים בתיאור הבעיה. משוואות נאוויה-סטוקס במקרה זה מצטמצמות ל: − f u y = − 1 ρ ∂ p ∂ x + ν ∂ 2 u x ∂ z 2 {\displaystyle -fu_{y}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}} f u x = − 1 ρ ∂ p ∂ y + ν ∂ 2 u y ∂ z 2 {\displaystyle fu_{x}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}} − 1 ρ ∂ p ∂ z = 0 ⟹ p = p ( x , y ) {\displaystyle -{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}=0\implies p=p(x,y)} למשוואות אלו יש לצרף תנאי שפה על מנת למצוא את שדה המהירות, נציג כעת את הפתרון המתקבל עבור שני תנאי השפה הנפוצים ביותר: קרקעית האוקיינוס ופני המים. בקרקעית האוקיינוס, וכן בתחתית האטמוספירה, תנאי השפה המתקיים על הקרקעית הוא תנאי אי-החלקה. כלומר המהירות בתחתית z = 0 {\displaystyle z=0} מקיימת u x = u y = 0 {\displaystyle u_{x}=u_{y}=0} . לעומת זאת, הרחק מהקרקעית, מהירות הזרימה יכולה להילקח כאחידה, וציר ה- x {\displaystyle x} יכול להיבחר בכיוון הזרימה. תנאי השפה הזה יוגדר ב- z = ∞ {\displaystyle z=\infty } שם מתקיים u x = U ; u y = 0 {\displaystyle u_{x}=U;u_{y}=0} . משוואות הזרימה הרחק מהקרקעית נותנות: 0 = − 1 ρ ∂ p ∂ x {\displaystyle 0=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}} f U = − 1 ρ ∂ p ∂ y {\displaystyle fU=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}} מאחר ש- p {\displaystyle p} לא תלוי בעומק, ניתן להציב תוצאות אלו במשוואות התנועה ולקבל: − f u y = ν ∂ 2 u x ∂ z 2 {\displaystyle -fu_{y}=\nu {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}} f ( u x − U ) = ν ∂ 2 u y ∂ z 2 {\displaystyle f(u_{x}-U)=\nu {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}} שפתרונם עם תנאי השפה בתחתית הוא: u x = U ( 1 − e − z / d cos ⁡ z d ) {\displaystyle u_{x}=U\left(1-e^{-z/d}\cos {\frac {z}{d}}\right)} u y = sgn ⁡ ( f ) ⋅ U e − z / d sin ⁡ z d {\displaystyle u_{y}=\operatorname {sgn}(f)\cdot Ue^{-z/d}\sin {\frac {z}{d}}} כאשר d = 2 ν | f | {\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\nu }{|f|}}}} הוא העומק האופייני של שכבת הגבול. בגבול בו z << d {\displaystyle z<<d} נקבל: u x = U z d ; u y = sgn ⁡ ( f ) U z d {\displaystyle u_{x}={\frac {Uz}{d}};u_{y}=\operatorname {sgn}(f){\frac {Uz}{d}}} כלומר הזרימה קרוב לקרקעית האוקיינוס תזרום בזווית של 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} ביחס לכיוון הזרימה הכללי באוקיינוס, כאשר כיוון ההטייה הוא לשמאל בחצי הכדור הצפוני, ולימין בחצי הכדור הדרומי. על פני האוקיינוס, תנאי השפה הוא המאמץ שמפעילה הרוח על המים. תנאי זה יכול להיכתב באופן מתמטי בצורה הבאה. עבור z = 0 {\displaystyle z=0} מתקיים: ρ ν ∂ u x ∂ z = τ x ; ρ ν ∂ u y ∂ z = τ y {\displaystyle \rho \nu {\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}=\tau _{x};\rho \nu {\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}=\tau _{y}} בעומק האוקיינוס z = − ∞ {\displaystyle z=-\infty } ניתן להניח שוב שמתקיימת זרימה אחידה u x = U ; u y = 0 {\displaystyle u_{x}=U;u_{y}=0} ולקבל את משוואות התנועה: − f u y = ν ∂ 2 u x ∂ z 2 {\displaystyle -fu_{y}=\nu {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial z^{2}}}} f ( u x − U ) = ν ∂ 2 u y ∂ z 2 {\displaystyle f(u_{x}-U)=\nu {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial z^{2}}}} פתרון המשוואות נותן: u x = U + 2 ρ f d e z / d [ τ x cos ⁡ ( z / d − π / 4 ) − τ y sin ⁡ ( z / d − π / 4 ) ] {\displaystyle u_{x}=U+{\frac {\sqrt {2}}{\rho fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\cos(z/d-\pi /4)-\tau _{y}\sin(z/d-\pi /4)\right]} u y = 2 ρ f d e z / d [ τ x sin ⁡ ( z / d − π / 4 ) + τ y cos ⁡ ( z / d − π / 4 ) ] {\displaystyle u_{y}={\frac {\sqrt {2}}{\rho fd}}e^{z/d}\left[\tau _{x}\sin(z/d-\pi /4)+\tau _{y}\cos(z/d-\pi /4)\right]} כאשר d = 2 ν | f | {\displaystyle d={\sqrt {\frac {2\nu }{|f|}}}} הוא עומק שכבת הגבול. קל לייצר שכבת גבול אקמן ולבחון אותה במעבדה על ידי סיבוב של מיכל גלילי והזרקת דיו לתחתית המיכל כדי לבחון את שכבת הגבול בתחתית או על פני המים כדי לבחון את שכבת הגבול שם. בניסוי זה, שכבת הגבול תגרום לדיו לזרום לעבר מרכז המיכל, בניגוד לאינטואיציה הפשוטה לפיה הכוח הצנטריפוגלי יגרום לזרימה מהמרכז כלפי חוץ. תופעה זו ידועה כפרדוקס עלי התה, ופתרונה הוצג על ידי אלברט איינשטיין ב-1926 באמצעות תאוריית שכבת הגבול שהציע אקמן. באוקיינוס למדוד את שכבת הגבול כתוצאה משלוש בעיות עיקריות: ראשית, החישוב התאורטי המוצג לעיל נכון רק כאשר מניחים שפרמטר הצמיגות האפקטיבי ν {\displaystyle \nu } הא אחיד. בפועל, הנחה זו לא מקיימת, ואי אחידות בפרמטר מחלישה את עוצמת האפקט. שנית, עובי שכבת הגבול באוקיינוס הוא עשרות מטרים בודדים, ונדרש ציוד מדידה מדויק כדי למדוד את מהירות הזרימה באופן זה. אמצעים כאלו לא היו קיימים עד לשנות השמונים של המאה העשרים. בנוסף, גלי ים הנוצרים כתוצאה מהרוחות מסבכים את תיאור שכבת הגבול באופן ניכר. עם זאת, מספר מחקרים בוצעו והראו את קיומה של שכבת הגבול. שכבת גבול אקמן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Cushman-Roisin, Benoit, 1954-, 5, Introduction to geophysical fluid dynamics, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall, 1994, ISBN 0-13-353301-8 Ekman, Vagn Walfrid, Om jordrotationens inverkan på vindströmmar i hafvet, Norway, 1902. (בנורווגית) Ekman, Vagn Walfrid, On the influence of the earth's rotation on ocean-currents., ARKIV FOR MATEMATIK, ASTRONOMI OCH FYSIK, 11 2, lmqvist \& Wiksells boktryckeri, A.-B.,, 1905