מעגל חוסם

בגאומטריה של המישור, מעגל חוסם של מצולע הוא מעגל העובר דרך כל הקודקודים של המצולע. בין המצולעים שיש להם מעגל חוסם: כל המשולשים, כל המלבנים, וכל המצולעים המשוכללים. מצולע שיש לו מעגל חוסם נקרא מצולע ציקלי. במשולש, מרכז המעגל החוסם הוא הנקודה שבה נפגשים שלושת האנכים האמצעיים של הצלעות. הסיבה לכך היא שאנך האמצעים הוא המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן מקצות הקטע שווים זה לזה, ומרחקו של המרכז מן הקודקודים, העומדים בקצותיה של כל צלע, הוא קבוע. מיקומו של מרכז המעגל החוסם במשולש תלוי בסוג המשולש. במשולש חד-זווית המרכז בתוך המשולש, במשולש ישר-זווית המרכז נמצא באמצע היתר (זהו אחד הנוסחים של משפט תלס), ובמשולש קהה-זווית המרכז מחוץ למשולש. במשולש חד-זווית, מרכז המעגל החוסם בתוך המשולש במשולש ישר-זווית, מרכז המעגל החוסם באמצע היתר במשולש קהה-זווית, מרכז המעגל החוסם מחוץ למשולש מרכז המעגל החוסם של משולש נמצא על קו ישר אחד עם מפגש התיכונים ועם מפגש הגבהים; הישר המחבר את הנקודות נקרא ישר אוילר. שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד אינן יוצרות משולש במובן המקובל של המילה, אבל אפשר להתייחס לישר המונח עליהן כאילו היה המעגל החוסם - "מעגל ברדיוס אינסופי". נקודות הקרובות למצב כזה עשויות לגרום לאי-יציבות בחישוב המעגל החוסם. משפט אוילר, הקרוי על שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: d 2 = R ⋅ ( R − 2 r ) {\displaystyle d^{2}=R\cdot (R-2r)} , כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם ו- r הוא רדיוס המעגל החסום. מנוסחה זו נובע כי: R ≥ 2 r {\displaystyle R\geq 2r} . הזוויות בין הישר המשיק למעגל החוסם, בקודקוד A, לבין צלעות המשולש, שוות לזוויות B ו- C. נקודה P נמצאת על המעגל החוסם אם ורק אם שלושת ההיטלים שלה על צלעות המשולש או המשכיהן נמצאים על ישר אחד. ישרים אלו, שהתגלו על ידי William Wallach ב-1797, קרויים בטעות ישרי סימסון, על-שם Robert Simson, ‏1687-1768. נסמן ב- a , b , c {\displaystyle a,b,c} את צלעות המשולש, וב- α {\displaystyle \alpha } את הזווית שמול a {\displaystyle a} . לפי משפט הסינוסים, a = 2 R s i n ( α ) {\displaystyle a=2Rsin(\alpha )} , ולכן שטח המשולש נתון לפי השוויון S = 1 2 b c sin ⁡ ( α ) = a b c 4 R {\displaystyle S={\frac {1}{2}}bc\sin(\alpha )={\frac {abc}{4R}}} . מכאן שבכל משולש מתקיים היחס   4 R S = a b c {\displaystyle \ 4RS=abc} . את רדיוס המעגל החוסם אפשר לחשב ישירות מאורכי הצלעות a, b ו- c, לפי הנוסחה   R = a b c 4 S {\displaystyle \ R={\frac {abc}{4S}}} , כאשר   S = s ( s − a ) ( s − b ) ( s − c ) {\displaystyle \ S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}} הוא שטח המשולש (לפי נוסחת הרון), ו-   s = a + b + c 2 {\displaystyle \ s={\frac {a+b+c}{2}}} חצי ההיקף. קוטרו של מעגל פיירבך הוא מחצית מזה של המעגל החוסם. בקואורדינטות קרטזיות, המעגל החוסם של משולש שקודקודיו בנקודות A = ( A x , A y ) {\displaystyle \mathbf {A} =(A_{x},A_{y})} , B = ( B x , B y ) {\displaystyle \mathbf {B} =(B_{x},B_{y})} ו- C = ( C x , C y ) {\displaystyle \mathbf {C} =(C_{x},C_{y})} הוא האוסף של נקודות   v = ( v x , v y ) {\displaystyle \ v=(v_{x},v_{y})} המקיימות את המשוואות | v − u | 2 − r 2 = 0 {\displaystyle |\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0} , | A − u | 2 − r 2 = 0 {\displaystyle |\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0} ו- | B − u | 2 − r 2 = 0 {\displaystyle |\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0} ו- | C − u | 2 − r 2 = 0 {\displaystyle |\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}-r^{2}=0} , שמהן נובע גם ש- u {\displaystyle \mathbf {u} } הוא מרכז המעגל החוסם. כשהופכים את המשוואות למערכת המשוואות הליניארית, מתברר שהן שקולות לכך שלמטריצה הריבועית | | v | 2 − 2 v x − 2 v y − 1 | A | 2 − 2 A x − 2 A y − 1 | B | 2 − 2 B x − 2 B y − 1 | C | 2 − 2 C x − 2 C y − 1 | {\displaystyle {\begin{vmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{vmatrix}}} תהיה דטרמיננטה אפס. מנוסחת קרמר מתקבל הפתרון S x = 1 2 det | | A | 2 A y 1 | B | 2 B y 1 | C | 2 C y 1 | , S y = 1 2 det | A x | A | 2 1 B x | B | 2 1 C x | C | 2 1 | , {\displaystyle \quad S_{x}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad S_{y}={\frac {1}{2}}\det {\begin{vmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{vmatrix}},} , a = det | A x A y 1 B x B y 1 C x C y 1 | , b = det | A x A y | A | 2 B x B y | B | 2 C x C y | C | 2 | {\displaystyle a=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{vmatrix}},\quad b=\det {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{vmatrix}}} , ואז מתקבל המרכז   S / a {\displaystyle \ S/a} ורדיוס המעגל   a b + | S | 2 / a {\displaystyle \ {\sqrt {ab+|S|^{2}}}/a} . חישוב דומה מוביל לנוסחאות הכדור החוסם של ארבעון. בקואורדינטות בריצנטריות, המעגל החוסם הוא אוסף הנקודות   x : y : z {\displaystyle \ x:y:z} המקיימות   1 x + 1 y + 1 z = 0 {\displaystyle \ {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}=0} . מרכז המעגל בקואורדינטות אלה הוא   a 2 ( − a 2 + b 2 + c 2 ) : b 2 ( a 2 − b 2 + c 2 ) : c 2 ( a 2 + b 2 − c 2 ) {\displaystyle \ a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2}):c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})} . ערך מורחב – מרובע ציקלי מרובע הוא ציקלי (כלומר, יש לו מעגל חוסם), אם ורק אם הסכום של כל זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות. לא לכל מצולע יש מעגל חוסם, שהרי הקודקודים אינם חייבים להיות מונחים על מעגל אחד. עם זאת, לכל מצולע יש מעגל עוטף מינימלי, שהוא המעגל הקטן ביותר הכולל בתוכו את המצולע (לבניית המעגל העוטף המינימלי יש אלגוריתם ליניארי). המעגל החוסם עשוי להיות גדול מן המעגל העוטף המינימלי, למשל עבור משולש קהה זווית, שקוטר המעגל העוטף המינימלי שלו שווה לצלע הגדולה של המשולש. במצולע משוכלל, מרכז המעגל החוסם מתלכד עם מרכז המעגל החסום. נסמן: n - מספר הצלעות של המצולע המשוכלל t - אורך הצלע במצולע המשוכלל R - רדיוס המעגל החוסם r - רדיוס המעגל החסום. מתקיים:   t = 2 r tan ⁡ π n = 2 R sin ⁡ π n {\displaystyle \ t=2r\tan {\frac {\pi }{n}}=2R\sin {\frac {\pi }{n}}}   r = 1 2 t cot ⁡ π n = R cos ⁡ π n {\displaystyle \ r={\frac {1}{2}}t\cot {\frac {\pi }{n}}=R\cos {\frac {\pi }{n}}}   R = 1 2 t csc ⁡ π n = r sec ⁡ π n {\displaystyle \ R={\frac {1}{2}}t\csc {\frac {\pi }{n}}=r\sec {\frac {\pi }{n}}} בהינתן שני אורכים שלמים a ו-b כך ש- b > a לא קשה להרכיב מהם משולש רציונלי (משולש רציונלי הוא משולש שכל אורכי צלעותיו הם מספרים טבעיים); אורך הצלע השלישית שלו c מקיים b + a > c > b − a {\displaystyle b+a>c>b-a} כך שיש טווח ממשי של 2a ערכים אפשריים לאורך הצלע השלישית; לכן אין שום קושי בהרכבת משולש רציונלי. הקושי הוא כשעולה דרישה נוספת, והיא שרדיוס המעגל החוסם יהיה גם מספר טבעי. קרל פרידריך גאוס מצא, במכתב מ-1847, שכל המשולשים הרציונליים שגם אורך רדיוס המעגל החוסם אותם טבעי, מקיימים שאורכי צלעותיהם הם מהצורה: 4 a b f g ( a 2 + b 2 ) , ± 4 a b ( f + g ) ( a 2 f − b 2 g ) , 4 a b ( a 2 f 2 + b 2 g 2 ) {\displaystyle 4abfg(a^{2}+b^{2}),\pm 4ab(f+g)(a^{2}f-b^{2}g),4ab(a^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})} כאשר a,b,f,g מספרים טבעיים, בעוד r = ( a 2 + b 2 ) ( a 2 f 2 + b 2 g 2 ) {\displaystyle r=(a^{2}+b^{2})(a^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})} . מעגל חסום קבוע קפלר באוקמפ מדיה וקבצים בנושא מעגל חוסם בוויקישיתוף מעגל חוסם, באתר MathWorld (באנגלית) Geometry Revisited, Coxeter and Greitzer; סעיף 2.5 History of the theory of numbers,volume 2,p.194 Leonard E. (Leonard Eugene) Dickson, History of the theory of numbers, Washington Carnegie Institution of Washington, 1919-23