פתית השלג של קוך

פתית השלג של קוך הוא פרקטל שהציג המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך. פתית השלג של קוך הידוע גם כעקומת קוך או האי של קוך הוא עקומה פרקטלית שהוצגה לראשונה באמצעות פעולות גאומטריות פשוטות, על ידי המתמטיקאי השוודי הלגה פון קוך בשנת 1904. מקור השם הוא מדמיון העקומה לפתית שלג. פתית השלג של קוך מתקבל על ידי חזרה על שתי פעולות אינסוף פעמים: חלוקת כל קו ישר לשלושה חלקים שווי אורך. החלפת החלק האמצעי בכל אחד מהישרים בשני חלקים השווים באורכם לחלק שהוסר היוצרים משולש שווה-צלעות עם החלק שהוסר. את העקום המרשים הזה הגדיר לראשונה קארל ויירשטראס מבלי להיעזר בגאומטריה (חזותית) בשנת 1872, כדי להוכיח שרציפות איננה מספיקה לקיום כיוון (נגזרת). כי בגבול, העקום נשאר רציף, אורכו גדל לאינסוף ואין לו כיוון (או משיק) באף נקודה. הציור של העקום הזה מרשים כל כך עד שהאפיל על מי שהגדיר אותו לראשונה. אם הצורה הראשונית שנתחיל ממנה היא משולש שווה-צלעות אז הצורה שתתקבל לאחר אינסוף איטרציות היא פתית השלג של קוך. בכל פעולה מוחלף שליש מהקטע בשני חלקים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מאורך הקטע. כלומר, אורך הקו השבור שנוצר גדל בשליש מאורך הקטע המקורי, הווה אומר, אורך הקטע נהיה 4/3 מאורכו המקורי בכל פעולה. עם ביצוע n {\displaystyle n} פעולות אורך יגיע כל הקו השבור ל ( 4 3 ) n {\displaystyle \left({\frac {4}{3}}\right)^{n}} , וכאשר מספר הפעולות שואף לאינסוף היקף פתית השלג של קוך גם הוא שואף לאינסוף: lim n → ∞ ( 4 3 ) n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}=\infty } . ראוי לשים לב שעל אף היקפו האינסופי, שטח פתית השלג של קוך סופי, והוא קטן משטח המעגל החוסם את המשולש ממנו החלה שרשרת האיטרציות. למעשה ניתן להראות ששטח פתית השלג מתכנס במדויק לערך 1.6 a 0 {\displaystyle 1.6a_{0}} , כאשר a 0 {\displaystyle a_{0}} הוא שטח המשולש שווה הצלעות ההתחלתי. הוכחה בכל שלב בבניית הפרקטל כל קטע ישר בו מוחלף בארבעה קטעים ישרים, לכן מספר הקטעים הישרים בו לאחר n איטרציות הוא: b n = 3 ⋅ 4 n {\displaystyle b_{n}=3\cdot 4^{n}} . המשולשים שנבנים בכל איטרציה הם בעלי יחסי דמיון 1 ל-3 עם המשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת, ולכן שטחם תשיעית מהמשולשים שנבנו באיטרציה הקודמת. לפיכך שטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-n הוא: a n = a 0 9 n {\displaystyle a_{n}={\frac {a_{0}}{9^{n}}}} . השטח שמתווסף לפרקטל באיטרציה ה-1 + n שווה למכפלת מספר הקטעים הישרים בסיום האיטרציה ה-n בשטח כל משולש שנבנה באיטרציה ה-n+1. כלומר שטחו הכולל S של הפרקטל הוא: S = a 0 + ∑ n = 1 ∞ a n ⋅ b n − 1 = a 0 ( 1 + ∑ n = 1 ∞ ( 1 9 n ) ⋅ 3 ⋅ 4 n − 1 ) = a 0 ( 1 + 3 4 ∑ n = 1 ∞ ( 4 9 ) n ) {\displaystyle S=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot b_{n-1}=a_{0}(1+\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {1}{9^{n}}})\cdot 3\cdot 4^{n-1})=a_{0}(1+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {4}{9}})^{n})} . מנוסחת הסיכום הידועה לחישוב סכום סדרה הנדסית יוצא שערך הסכום האינסופי תחת סימן הסכימה מתכנס ל-: 4 / 9 1 − 4 / 9 = 4 5 {\displaystyle {\frac {4/9}{1-4/9}}={\frac {4}{5}}} , לכן ערך השטח הכולל של הפרקטל הוא: S = a 0 ( 1 + 3 4 ⋅ 4 5 ) = 8 5 a 0 {\displaystyle S=a_{0}(1+{\frac {3}{4}}\cdot {\frac {4}{5}})={\frac {8}{5}}a_{0}} . תכונה נוספת נוגעת לממד האוסדורף של פתית השלג. כאמור, בכל פעולה אנחנו מחליפים שלושה קטעים שאורך כל אחד מהם הוא שליש מהקטע המקורי בארבעה קטעים מסוג זה. מכאן, שממד האוסדורף של פתית השלג הוא: log ⁡ 4 log ⁡ 3 ≈ 1.262 {\displaystyle {\frac {\log {4}}{\log {3}}}\approx 1.262} . לפתית השלג של קוך ממד שאינו שלם, תכונה אופיינית לפרקטל. קבוצת קנטור משולש סרפינסקי ספוג מנגר שופר גבריאל פתית השלג של קוך, באתר MathWorld (באנגלית)