פונקציה יוצרת

במתמטיקה, פונקציה יוצרת היא כלי המשמש לטיפול בסדרות של מספרים, בדרך של איחודן לאובייקט אלגברי ואנליטי אחד, שממנו אפשר לקרוא את הסדרה כולה. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה   a 0 , a 1 , a 2 , … {\displaystyle \ a_{0},a_{1},a_{2},\dots } היא הטור   a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} , כאשר   x {\displaystyle \ x} הוא משתנה. מוגדרות גם פונקציות יוצרות מסוגים אחרים, בהתאם לשימוש הרצוי. בשימושים קומבינטוריים מתייחסים לפונקציה היוצרת כאל אובייקט פורמלי, המוגדר גם כאשר הטור אינו מתכנס; הפונקציה אינה אלא "חבל כביסה, עליו אנו תולים סדרת מספרים לתצוגה". במקרים אחרים, ובפרט בתורת המספרים האנליטית, משחקות התכונות האנליטיות של הפונקציה היוצרת תפקיד מרכזי. דוגמאות בולטת לפונקציות יוצרות בהקשר זה הן פונקציות זטא מסוגים שונים, ופונקציות תטא של תבניות ריבועיות. תהי   { a n } n = 0 ∞ {\displaystyle \ \left\{a_{n}\right\}_{n=0}^{\infty }} סדרה של מספרים. הפונקציה היוצרת הסטנדרטית של הסדרה (ולפעמים סתם "פונקציה יוצרת") היא טור החזקות   G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n {\displaystyle \ G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}} . בפונקציות כאלה משתמשים בקומבינטוריקה, וגם בתורת ההסתברות: אם X הוא משתנה מקרי שערכיו טבעיים (למשל, מספר השחפים המבקרים חופי אגם מסוים במשך יום), מצמידים לו פונקציה יוצרת-הסתברות לפי הנוסחה   G X ( x ) = ∑ n = 0 ∞ P r ( X = n ) x n {\displaystyle \ G_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }Pr(X=n)x^{n}} . במקרה כזה   G X ( 1 ) = 1 {\displaystyle \ G_{X}(1)=1} , ומן הנגזרות של   G X {\displaystyle \ G_{X}} אפשר לקרוא את המומנטים:   G X ′ ( 1 ) {\displaystyle \ G_{X}'(1)} שווה לתוחלת של X, ובאופן כללי   G ( k ) ( 1 ) {\displaystyle \ G^{(k)}(1)} שווה לתוחלת של   X ! ( X − k ) ! {\displaystyle \ {\frac {X!}{(X-k)!}}} . הפונקציה היוצרת הצמודה לסכום   X + Y {\displaystyle \ X+Y} שווה למכפלת הפונקציות היוצרות:   G X + Y ( t ) = G X ( t ) G Y ( t ) {\displaystyle \ G_{X+Y}(t)=G_{X}(t)G_{Y}(t)} . רעיונות אלה ניתנים להכללה גם למספר רב של משתנים. למשל, הפונקציה היוצרת הסטנדרטית הצמודה למערך   a n , m {\displaystyle \ a_{n,m}} היא הפונקציה בשני משתנים,   G ( x , y ) = ∑ m , n = 0 ∞ a m , n x m y n {\displaystyle \ G(x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}} . פונקציה יוצרת אקספוננציאלית: E G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n x n n ! {\displaystyle EG(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}} . מפונקציה כזו אפשר לקרוא ישירות את אברי הסדרה, על ידי גזירה n פעמים והצבת 0:   a n = E G ( n ) ( 0 ) {\displaystyle \ a_{n}=EG^{(n)}(0)} . הנגזרת של הפונקציה המתאימה לסדרה   a 0 , a 1 , a 2 , … {\displaystyle \ a_{0},a_{1},a_{2},\dots } היא הפונקציה המתאימה לסדרה המוזזת   a 1 , a 2 , a 3 , … {\displaystyle \ a_{1},a_{2},a_{3},\dots } . טור דיריכלה.   F ( s ) = ∑ n = 1 ∞ a n n s {\displaystyle \ F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}} . פונקציה יוצרת פואסונית. P G ( x ) = ∑ n = 0 ∞ a n e − x x n n ! {\displaystyle PG(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}} , המשקללת את ערכי הסדרה עם ההסתברויות בהתפלגות פואסון. סדרת לאמברט. L G ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n 1 − x n {\displaystyle LG(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}} . סדרת בל f p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( p n ) x n {\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}} , משמשת בתורת המספרים האלמנטרית, במיוחד כאשר f היא פונקציה אריתמטית ו־p מספר ראשוני. משפט החלוקה של אוילר פונקציה יוצרת, באתר MathWorld (באנגלית) הרברט וילף, Generatingfunctionology