אלגברת ז'ורדן ריבועית

במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס. יהי k חוג קומוטטיבי. אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה U : J → End k ⁡ ( J ) {\displaystyle U{\,:\,}J\rightarrow \operatorname {End} _{k}(J)} (שמסמנים U x = U ( x ) {\displaystyle \,U_{x}=U(x)} ) ואיבר מיוחד 1 ∈ J {\displaystyle 1\in J} , כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר, U α x = α 2 U x {\displaystyle \,U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}} , ו- U x , y = U x + y − U x − U y {\displaystyle \,U_{x,y}=U_{x+y}-U_{x}-U_{y}} היא תבנית ביליניארית; שנית, U 1 = 1 {\displaystyle \,U_{1}={\bf {1}}} ; ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית U U x y = U x U y U x {\displaystyle \,U_{U_{x}y}=U_{x}U_{y}U_{x}} , והזהות U x V y , x = V x , y U x {\displaystyle \,U_{x}V_{y,x}=V_{x,y}U_{x}} כאשר V x , y z = U x , z y {\displaystyle \,V_{x,y}z=U_{x,z}y} . באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים { x y z } = U x , z y {\displaystyle \,\{xyz\}=U_{x,z}y} ; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה x ∘ y = { x 1 y } = { x y 1 } = { 1 x y } {\displaystyle \,x\circ y=\{x1y\}=\{xy1\}=\{1xy\}} היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, U x , y , V x , y {\displaystyle \,U_{x,y},V_{x,y}} הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית. כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה x y = 1 2 x ∘ y {\displaystyle \,xy={\frac {1}{2}}x\circ y} ; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי U x = 2 L x 2 − L x 2 {\displaystyle \,U_{x}=2L_{x}^{2}-L_{x^{2}}} (כאשר L x y = x y {\displaystyle \,L_{x}y=xy} ), ואז { x y z } = 2 ( x ( z y ) + z ( x y ) − ( x z ) y ) {\displaystyle \,\{xyz\}=2(x(zy)+z(xy)-(xz)y)} (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים U x y = x y x {\displaystyle \,U_{x}y=xyx} ). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן. אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה U x y = x y x {\displaystyle \,U_{x}y=xyx} הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב- A + {\displaystyle A^{+}} . תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן. איבר x הוא הפיך אם הפונקציה U x {\displaystyle \,U_{x}} המתאימה לו הפיכה (באלגברה A + {\displaystyle \,A^{+}} איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A). האיבר היחיד y המקיים U x y = x {\displaystyle \,U_{x}y=x} הוא ההפכי של x, ומסמנים אותו ב- x − 1 {\displaystyle x^{-1}} . אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק. תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם U I J , U J I ⊆ I {\displaystyle \,U_{I}J,U_{J}I\subseteq I} . אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית). תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה p − 1 {\displaystyle \,p^{-1}} והפעולות U x ′ = U x U p {\displaystyle \,U'_{x}=U_{x}U_{p}} , גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, איזוטופית לאלגברה המקורית. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות). אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא חבורת המבנה של J. אוסף ההעתקות ההפיכות U x {\displaystyle \,U_{x}} יוצר תת-חבורה הנקראת חבורת המבנה הפנימית.