רדיוס בוהר

רדיוס בוהר הוא קבוע פיזיקלי השווה בערכו בערך למרחק בין הפרוטון לאלקטרון באטום מימן במצב היסוד ומסומן a 0 {\displaystyle a_{0}} . הקבוע נקרא על שם נילס בוהר, תודות לחלקו במודל האטום של בוהר. ביחידות SI רדיוס בוהר מוגדר באופן הבא: a 0 = 4 π ε 0 ℏ 2 m e e 2 = ℏ m e c α {\displaystyle a_{0}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{m_{\mathrm {e} }e^{2}}}={\frac {\hbar }{m_{\mathrm {e} }\,c\,\alpha }}} , ואילו ביחידות cgs הוא מוגדר באופן הבא: a 0 = ℏ 2 m e e 2 {\displaystyle a_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{m_{e}e^{2}}}} , כאשר: ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק ℏ {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם m e {\displaystyle m_{\mathrm {e} }} היא מסת המנוחה של האלקטרון e {\displaystyle e} הוא המטען היסודי c {\displaystyle c} היא מהירות האור בריק α {\displaystyle \alpha } הוא קבוע המבנה הדק נכון לשנת 2013, ערכו של רדיוס בוהר, הוא‏‎0.52917721092(17)×10-10‎ מטר שהם כ-53 פיקומטר או 0.53 אנגסטרום. מודל האטום של בוהר, שהוצע על ידי נילס בוהר בשנת 1913, מתאר אלקטרון המסתובב סביב גרעין במסלולים סגורים. יחודו של המודל בכך שהאלקטרון יכול להקיף את האטום רק במרחקים מסוימים כתלות באנרגיה שלו. באטום הפשוט ביותר, אטום המימן, אלקטרון יחיד מקיף את הגרעין, ובמסלול הקרוב ביותר האפשרי, כלומר באנרגיה הנמוכה ביותר שלו, המרחק בין האלקטרון לגרעין הוא בקרוב רדיוס בוהר. הטעות נובעת מכך שלא מתחשבים באפקט המסה המצומצמת (ראו למטה) וההבדל הוא בערך 0.1%. אף על פי שמודל האטום של בוהר כבר אינו המודל המשמש לתיאור מבנה האטום, רדיוס בוהר נותר קבוע שימושי לחישובים בפיזיקה אטומית, תודות לקשר הפשוט שלו לקבועים בסיסיים אחרים וזו גם הסיבה בגינה הוא מוגדר עבור מסת המנוחה של האלקטרון ולא עבור מסה מצומצמת. לדוגמה, רדיוס בוהר הוא יחידת אורך ביחידות אטומיות. במודל העדכני של אטום המימן, לפי מכניקת הקוונטים, המרחק הממוצע או ערך התצפית של המרחק בין האלקטרון לגרעין אטום המימן הוא כ-1.5a0≈, התוצאה שקיבלנו היא מאותו סדר גודל. רדיוס בוהר הוא אחד משלוש יחידות האורך הקשורות, כאשר השתיים הנוספות הן אורך גל קומפטון של האלקטרון, λ e {\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }} והשני הוא הרדיוס הקלאסי של האלקטרון, r e {\displaystyle r_{\mathrm {e} }} . רדיוס בוהר מורכב ממסת האלקטרון, m e {\displaystyle m_{\mathrm {e} }} , קבוע פלאנק, ℏ {\displaystyle \hbar } ומטען האלקטרון (המטען היסודי), e {\displaystyle e} . אורך גל קומפטון של האלקטרון, λ e {\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }} , קטן בערך פי 20 מרדיוס בוהר, ומורכב מ m e {\displaystyle m_{\mathrm {e} }} , ℏ {\displaystyle \hbar } ומהירות האור c {\displaystyle c} . רדיוס האלקטרון הקלאסי, r e {\displaystyle r_{\mathrm {e} }} , קטן בערך פי 1000 מאורך גל קומפטון, ומורכב מ m e {\displaystyle m_{\mathrm {e} }} , e {\displaystyle e} ו- c {\displaystyle c} . הקשר בין האורכים השונים ניתן להבעה באמצעות קבוע המבנה הדק α {\displaystyle \alpha } במשוואה r e = α λ e 2 π = α 2 a 0 {\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {\alpha \lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}} . רדיוס בוהר המצומצם הוא ערך אשר לוקח בחשבון את ההשפעה של תנועת האלקטרון על הגרעין. באופן קלאסי האלקטרון והגרעין שניהם "נעים" סביב נקודה משותפת. את האפקט הזה לוקחים בחשבון אם במקום מסת האלקטרון משתמשים במסה המצומצמת של האלקטרון והגרעין, או באופן שקול במקום אורך גל קומפטון של האלקטרון משתמשים בסכום אורכי הגל של האלקטרון והגרעין. מכך נובע שעבור אטום המימן ניתן לבטא את רדיוס בוהר באופן הבא:   a 0 ∗   = λ p + λ e 2 π α {\displaystyle \ a_{0}^{*}\ ={\frac {\lambda _{\mathrm {p} }+\lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi \alpha }}} , כאשר: λ p   {\displaystyle \lambda _{\mathrm {p} }\ } הוא אורך גל קומפטון של הפרוטון λ e   {\displaystyle \lambda _{\mathrm {e} }\ } הוא אורך גל קומפטון של האלקטרון α   {\displaystyle \alpha \ } הוא קבוע המבנה הדק מודל האטום של בוהר יחידות אורך בפיזיקה: רדיוס בוהר (באנגלית) ערכו המעודכן של רדיוס בוהר, באתר CODATA (באנגלית) המספר המופיע בסוגריים הוא השגיאה הנכתבת בצורה: 0.1234±0.0056 = (56)0.1234 David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice-Hall, 1995, p. 137. ISBN 0-13-124405-1 Modern physics, by Serway, Moses, Moyer, Example 8.9, p284 הערך 1.5a0 הוא קירוב, ולא במדויק, עקב הזנחת מסה מצומצמת, תיקוני המבנה הדק ועוד תיקונים יחסותיים קטנים דומים