גבול של פונקציה

גבול של פונקציה הוא מושג יסוד בחשבון אינפיניטסימלי, שמתאר לאיזה ערך מתקרבת הפונקציה כאשר המשתנה הבלתי תלוי הולך ומתקרב לנקודה מסוימת בתחום ההגדרה של הפונקציה (פרט אולי לנקודה עצמה), גדל בלי הגבלה או קטן בלי הגבלה. מושגי יסוד רבים באנליזה מוגדרים בשפה של גבולות של פונקציות, לדוגמה הרציפות, והגזירות מוגדרים על ידי קיום של גבולות מסוימים. כאשר עוסקים בפונקציה ממשית, יש עניין רב בשאלה לאן "שואפים" ערכי הפונקציה כאשר ערכי המשתנה מתקרבים לנקודה מסוימת. ניתן לחשוב על גבול של פונקציה באופן פשטני כנקודה שאם נוסיף אותה לפונקציה היא תהיה המשך "טבעי" שלה. באופן אינטואיטיבי   L {\displaystyle \ L} הוא הגבול של הפונקציה בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם כאשר   x {\displaystyle \ x} הולך ומתקרב ל-   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אז ערך הפונקציה   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} מתקרב ל-   L {\displaystyle \ L} . באופן כללי, הפונקציה לא צריכה להיות מוגדרת בנקודת הגבול. יתר על כן, פעמים רבות גם כאשר הפונקציה מוגדרת בנקודת הגבול, הגבול לא שווה לערך הפונקציה. לדוגמה, לפונקציה הבאה יש גבול בנקודה x=0 והוא שווה ל-0, אף על פי שערך הפונקציה בנקודה הוא 1: f ( x ) = { 0 x ≠ 0 1 x = 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}0&&x\neq 0\\1&&x=0\end{matrix}}\right.} בנוסף לכך קיימים הגבול מימין והגבול משמאל של פונקציה. הגבול מימין של הנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} מוגדר, באופן אינטואיטיבי, כמספר   L {\displaystyle \ L} שכאשר   x {\displaystyle \ x} הולך ומתקרב ל-   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} מימין (כלומר מתקרב מכיוון המספרים הגדולים מ-   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} ) אזי ערך הפונקציה הולך ומתקרב ל-   L {\displaystyle \ L} . באופן דומה מוגדר גם הגבול משמאל (הפעם המשתנה שואף ל-   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} מכיוון המספרים הקטנים ממנו). הצורך בגבולות אלו מתברר כאשר רוצים לחשב גבול של פונקציה מהסוג הבא: f ( x ) = { 1 x = 0 x x > 0 2 x < 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&&x=0\\x&&x>0\\2&&x<0\end{matrix}}\right.} בנקודה   x = 0 {\displaystyle \ x=0} לפונקציה לא קיים גבול, מאחר שלא קיים מספר אחד שאליו שואפת הפונקציה כאשר   x {\displaystyle \ x} שואף ל-0. לעומת זאת קיימים גבולות מימין ומשמאל. הגבול מימין שווה ל-0 והגבול משמאל שווה ל-2. כפי שניתן לראות, אין חובה לכך שהגבול מימין יהיה שווה לגבול משמאל ואין חובה לכך שאחד מהם יהיה שווה לערך הפונקציה בנקודה עצמה. ניתן להגדיר את מושג הגבול של פונקציה בשתי דרכים שקולות: אחת מסתמכת על הגדרת הגבול בסדרות ומסתכלת על התנהגות הסדרות ששואפות לנקודה, והשנייה עומדת בפני עצמה. הגדרת הגבול בעזרת סדרות מאפשרת להחיל משפטים שנכונים על גבולות של סדרות גם לגבולות של פונקציות. בהגדרה באמצעות סדרות, אומרים שפונקציה מתכנסת לגבול בנקודה מסוימת, אם ורק אם עבור כל הסדרות שמתכנסות לאותה נקודה, הסדרות המתקבלות מהפעלת הפונקציה על אברי אותן סדרות מתכנסות לאותו גבול. ההגדרה העצמאית אומרת שעבור כל סביבה של נקודת הגבול, ניתן למצוא סביבה של הנקודה שאליה ערכי ה-x מתקרבים כך שכל התמונות של הנקודות הקרובות לנקודה שאותה בודקים יעברו לאותה סביבה של נקודת הגבול. תמונת הפונקציה באותה נקודה שאליה מתקרבים ערכי ה-x לא רלוונטית לגבול, אלא רק הערכים שקרובים אליה. רק כאשר פונקציה היא רציפה יש חשיבות גם לנקודה שאליה מתקרבים. עד כה דנו בגבול מבלי להגדיר אותו מתמטית ובאופן מדויק. כיום מקובלות שתי הגדרות (שקולות) של גבול. הראשונה, של קארל ויירשטראס, מבוססת על עבודתו של קושי, ומנוסחת בשפה של אפסילון ודלתא. השנייה, על-פי היינה, מבוססת על התנהגות של סדרות. ההגדרות שקולות זו לזו: כל פונקציה המתכנסת לגבול ℝ ∪ {∞,-∞}∋ L כלשהו בהתאם להגדרה אחת, מתכנסת לגבול L גם בהתאם לאחרת. תהא f {\displaystyle \,f} פונקציה המקבלת ומחזירה ערכים ממשיים, המוגדרת בסביבה של   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} (אך לא בהכרח בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} עצמה). הגדרת קושי לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול   L {\displaystyle \ L} בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} מתאים כך שאם -   0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle \ 0<|x-x_{0}|<\delta } אזי | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } . הגדרת היינה לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול   L {\displaystyle \ L} בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל סדרה   { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} שכולן שונות מ-   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} , אם   x n → x 0 {\displaystyle \ x_{n}\to x_{0}} אז   f ( x n ) → L {\displaystyle \ f(x_{n})\to L} . כאמור לעיל, ההגדרות שקולות זו לזו ומעבר בין ההגדרות מסייע רבות לחישובי גבולות שונים. ערך מורחב – הגדרת הגבול לפי קושי תנאי קושי הוא אפיון שקול לגבול של פונקציה בנקודה. פונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה, היא פונקציה שאם המרחק בין כל שני איברים בתחום שלה קטן מגודל נתון אז גם המרחק בין כל שני ערכי הפונקציה של איברים אלה קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שפונקציה המקיימת את תנאי קושי בסביבה נתונה בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול של הפונקציה, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע קיום גבול של פונקציה בנקודה מבלי להתייחס לגבול עצמו, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול. הגדרה: לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} מתאים כך שלכל x , y {\displaystyle x,y} , אם -   0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle \ 0<|x-x_{0}|<\delta } וגם   0 < | y − x 0 | < δ {\displaystyle \ 0<|y-x_{0}|<\delta } אזי | f ( x ) − f ( y ) | < ε {\displaystyle |f(x)-f(y)|<\varepsilon } . נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } ): הפונקציה f {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל   T > 0 {\displaystyle \ T>0} (גדול כרצוננו) קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} מתאים כך שלכל -   0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle \ 0<|x-x_{0}|<\delta } מתקיים   f ( x ) > T {\displaystyle \ f(x)>T} . נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה): הפונקציה f {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל סדרה   { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} המקיימת   x n → x 0 {\displaystyle \ x_{n}\to x_{0}} ו-   x n ≠ x 0 {\displaystyle \ x_{n}\neq x_{0}} מתקיים   f ( x n ) → ∞ {\displaystyle \ f(x_{n})\to \infty } . שתי ההגדרות להתכנסות שקולות. אם הן מתקיימות, מסמנים lim x → x 0 f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty } . באופן דומה ניתן להגדיר שאיפה למינוס אינסוף כאשר בנוסח הראשון ההבדל מתבטא בכך ש   T < 0 {\displaystyle \ T<0} וש   f ( x ) < T {\displaystyle \ f(x)<T} , ובנוסח השני מתקיים   f ( x n ) → − ∞ {\displaystyle \ f(x_{n})\to -\infty } . הגדרה בלשון ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } : א. לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול מימין   L {\displaystyle \ L} בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} מתאים כך שאם   0 < x − x 0 < δ {\displaystyle \ 0<x-x_{0}<\delta } אזי | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } . מסמנים זאת כך: lim x → x 0 + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L} . ב. לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול משמאל   L {\displaystyle \ L} בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} מתאים כך שאם   0 > x − x 0 > − δ {\displaystyle \ 0>x-x_{0}>-\delta } אזי | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } . מסמנים זאת כך: lim x → x 0 − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L} . נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } ): לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול סופי   L {\displaystyle \ L} כאשר   x → ∞ {\displaystyle \ x\to \infty } אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים   S > 0 {\displaystyle \ S>0} מתאים כך שלכל -   x > S {\displaystyle \ x>S} מתקיים | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } . נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה): לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול סופי   L {\displaystyle \ L} כאשר   x → ∞ {\displaystyle \ x\to \infty } אם לכל סדרה   { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} המקיימת   x n → ∞ {\displaystyle \ x_{n}\to \infty } מתקיים   f ( x n ) → L {\displaystyle \ f(x_{n})\to L} . באופן דומה ניתן להגדיר גבול כאשר   x → − ∞ {\displaystyle \ x\to -\infty } , כאשר ההבדלים בהגדרה בנוסח הראשון הם:   S < 0 {\displaystyle \ S<0} ו   x < S {\displaystyle \ x<S} , ובנוסח השני   x n → − ∞ {\displaystyle \ x_{n}\to -\infty } . נוסח ראשון (הגדרת הגבול בלשון ε − δ {\displaystyle \varepsilon -\delta } ): הפונקציה f {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף כאשר   x → ∞ {\displaystyle \ x\to \infty } אם לכל   T > 0 {\displaystyle \ T>0} (גדול כרצוננו) קיים   S > 0 {\displaystyle \ S>0} מתאים כך שלכל -   x > S {\displaystyle \ x>S} מתקיים   f ( x ) > T {\displaystyle \ f(x)>T} . נוסח שני (הגדרת הגבול בלשון הסדרות - משפט היינה): הפונקציה f {\displaystyle \,f} שואפת לאינסוף כאשר   x → ∞ {\displaystyle \ x\to \infty } אם לכל סדרה   { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} המקיימת   x n → ∞ {\displaystyle \ x_{n}\to \infty } מתקיים   f ( x n ) → ∞ {\displaystyle \ f(x_{n})\to \infty } . גם כאן ניתן להגדיר באופן דומה עבור גבולות השואפים למינוס אינסוף ועבור גבולות ב   x → − ∞ {\displaystyle \ x\to -\infty } . אריתמטיקה של גבולות הגבול של sin(x)/x מדיה וקבצים בנושא גבול של פונקציה בוויקישיתוף Limits and Continuity - הסבר על גבולות של פונקציה