אנרגיה פנימית

אנרגיה פנימית הוא גודל בתרמודינמיקה שמתאר את האנרגיה של מערכת תרמודינמית. מסומן בדרך כלל באות U {\displaystyle U} , ולעיתים באות E {\displaystyle E} . האנרגיה הפנימית כוללת את האנרגיה הבלתי מסודרת של המערכת, כלומר את האנרגיה הקינטית של חלקיקים יחסית למרכז המסה של הגוף (אנרגיה תרמית), או את האינטראקציות בין החלקיקים השונים שמרכיבים את המערכת (כמו אינטראקציה חשמלית בין החלקיקים, או קשרים כימיים). היא לא כוללת אנרגיה קינטית או פוטנציאלית של הגוף כולו. נכון לרגע זה, לא ניתן לחשב את האנרגיה הפנימית בכל מצב כלשהו אך ניתן לחשב את שינוי האנרגיה הפנימית שעובר הגוף בין 2 מצבים (הפרש האנרגיה הפנימית שהייתה לגוף אחרי פעולה לאנרגיה הפנימית שהייתה לו לפני). לפי החוק הראשון של התרמודינמיקה הנוסחה היא Δ U = W + Q {\displaystyle \Delta U=W+Q} כאשר W {\displaystyle W} הוא סך כל העבודות של הגוף (בג'ול) ו- Q {\displaystyle Q} הוא סך אנרגיית החום של הגוף (בג'ול). היחידות של האנרגיה הפנימית הן יחידות של אנרגיה (ג'ול, ארג, או קלוריה – שהיא יחידת האנרגיה ההיסטורית בה השתמשו בתרמודנימיקה), והיא גודל אקסטנסיבי. האנרגיה הפנימית היא הפוטנציאל התרמודינמי שהמשתנים הטבעיים שלו הם האנטרופיה S {\displaystyle S} הנפח V {\displaystyle V} , ומספר החלקיקים N i {\displaystyle N_{i}} , כלומר הוא מתאים למקרה של מערכת מבודדת תרמית, עם נפח קבוע. מבחינה מתמטית דבר זה מובע על ידי: U = U ( S , V , N i ) {\displaystyle U=U\left(S,V,N_{i}\right)} הביטוי עבור הדיפרנציאל של האנרגיה הפנימית הוא למעשה הצורה הדיפרנציאלית של החוק הראשון של התרמודינמיקה, שהוא חוק שימור האנרגיה עבור מערכות תרמודינמיות: d U = T d S − P d V + ∑ i μ i d N i {\displaystyle dU=TdS-PdV+\sum _{i}\mu _{i}dN_{i}} . מביטוי זה ניתן לחשב את: הדיפרנציאל של האנרגיה הפנימית, שכאמור נובע מהחוק הראשון של התרמודינמיקה, הוא הבסיס שממנו בעזרת טרנספורמי לז'אנדר ניתן לקבל את הביטויים עבור הדיפרנציאלים של שאר הפוטנציאלים התרמודינמיים, ואת הפוטנציאלים עצמם. למרות זאת, מאחר שהתנאים של מערכת מבודדת תרמית עם נפח קבוע אינם נפוצים במערכות תרמודינמיות, מושג האנרגיה הפנימית פחות שימושי מהפוטנציאלים התרמודינמיים האחרים. במכניקה סטטיסטית האנרגיה הפנימית מהווה מרכיב חשוב במעבר מהצבר הקנוני לגדלים התרמודינמיים. כאשר נתון צבר קנוני של מערכת תרמודינמית, האנרגיה הפנימית שלה מחושבת על ידי ממוצע על הצבר: U = ⟨ E ⟩ = ∑ r E r P ( r ) = ∑ r E r e − β E r ∑ r e − β E r {\displaystyle U=\langle E\rangle =\sum _{r}{E_{r}P(r)}={\frac {\sum _{r}{E_{r}e^{-\beta E_{r}}}}{\sum _{r}{e^{-\beta E_{r}}}}}} כאשר: E r {\displaystyle E_{r}} – האנרגיה של מצב מיקרוסקופי r {\displaystyle r} בו כל אחד מהחלקיקים המרכיבים את הצבר יכול להיות בו P ( r ) = e − β E r ∑ r e − β E r {\displaystyle P(r)={\frac {e^{-\beta E_{r}}}{\sum _{r}{e^{-\beta E_{r}}}}}} הסיכוי של חלקיק להיות במצב המיקרוסקופי r {\displaystyle r} β = 1 k b T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{b}T}}} כאשר מגדירים את פונקציית החלוקה – Z = ∑ r e − β E r {\displaystyle Z=\sum _{r}{e^{-\beta E_{r}}}} מקבלים: U = − ∂ ln ⁡ Z ∂ β = k b T 2 ∂ ln ⁡ Z ∂ T {\displaystyle U=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \beta }}=k_{b}T^{2}{\frac {\partial \ln Z}{\partial T}}} ביטוי זה אומנם לא נותן את האנרגיה הפנימית כפונקציה של המשתנים הטבעיים שלה, אלא של הטמפרטורה במקום האנטרופיה. אולם ניתן ממנו להגיע לביטוי עבור האנרגיה החופשית של הלמהולץ כפונקציה של המשתנים הטבעיים שלו. כאשר רמות האנרגיה של כל חלקיק אינן תלויות ברמות האנרגיה של חלקיקים אחרים, אפשר לכתוב את פונקציית החלוקה כמכפלה של פונקציות חלוקה נפרדות עבור כל אחד מהחלקיקים (עד כדי חלוקה בעצרת של מספר החלקיקים הזהים – גורם שמשפיע על האנטרופיה, ועל האנרגיה החופשית, אבל לא על האנרגיה הפנימית). דבר זה מאפשר לפרק את האנרגיה לסכום האנרגיות של החלקיקים השונים (כצפוי מגודל אקסטנסיבי), ואף לפרק לסכום האנרגיות בדרגות החופש השונות עבור כל חלקיק (דרגות החופש המרחביות השונות, וגם דרגות חופש של רוטציה וויברציה). כיוון שמדובר בביטוי עבור ממוצע של התפלגות, יש לו גם סטיית תקן, שהמימוש הפיזיקאלי שלה המכונה פלקטואציה. היא נתונה על ידי: Δ U = ∂ 2 ln ⁡ Z ∂ 2 β = k b T 2 ∂ U ∂ T {\displaystyle \Delta U={\sqrt {\frac {\partial ^{2}\ln Z}{\partial ^{2}\beta }}}={\sqrt {k_{b}T^{2}{\frac {\partial U}{\partial T}}}}} . מכיוון שהאנרגיה הפנימית היא גודל אקסטנסיבי, והטמפרטורה היא גודל אינטנסיבי, האנרגיה הפנימית גדלה באופן ליניארי עם מספר החלקיקים, אבל הפלקטואציה גדלה רק יחסית לשורש מספר החלקיקים, כך שבגבול התרמודינמי הפלקטואציה זניחה ברוב המקרים. אנרגיה פנימית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)