נוסחאות ניוטון-קוטס

באנליזה נומרית, הנוסחאות של ניוטון-קוטס, הנקראות גם כללי הריבוע של ניוטון-קוטס או פשוט כללי ניוטון-קוטס, הן קבוצה של נוסחאות לאינטגרציה נומרית (נקראת גם ריבוע) המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם אייזק ניוטון ורוג'ר קוטס. נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו תרבוע גאוס ותרבוע קלנשו-קרטיס (אנ') מתאימות יותר. ההנחה היא שערך הפונקציה f המוגדרת ב [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} ידוע ב n + 1 {\displaystyle n+1} נקודות שוות מרחק: a ≤ x 0 < x 1 < ⋯ < x n ≤ b {\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b} . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר x 0 = a {\displaystyle x_{0}=a} ו x n = b {\displaystyle x_{n}=b} , כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר x 0 > a {\displaystyle x_{0}>a} ו x n < b {\displaystyle x_{n}<b} , כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות n + 1 {\displaystyle n+1} נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∑ i = 0 n w i f ( x i ) , {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),} כאשר עבור נוסחה סגורה, x i = a + i h {\displaystyle x_{i}=a+ih} , עם h = b − a n {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}} , עבור נוסחה פתוחה, x i = a + ( i + 1 ) h {\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h} , עם h = b − a n + 2 {\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}} . המספר h נקרא גודל צעד, w i {\displaystyle w_{i}} נקראות משקולות . ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של פולינומי לגרנז' בסיסיים. הם תלויים רק ב x i {\displaystyle x_{i}} ולא על הפונקציה f . יהי L ( x ) {\displaystyle L(x)} פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות ( x 0 , f ( x 0 ) ) , ( x 1 , f ( x 1 ) ) , … , ( x n , f ( x n ) ) {\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))} , אזי ∫ a b f ( x ) d x ≈ ∫ a b L ( x ) d x = ∫ a b ( ∑ i = 0 n f ( x i ) l i ( x ) ) d x = ∑ i = 0 n f ( x i ) ∫ a b l i ( x ) d x ⏟ w i . {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.} ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה n . עם זאת, עבור n גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מתופעת רונגה (אנ') שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור n גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות בנקודות הקצה של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן. לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות. טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq n} , יהי x i = a + i h {\displaystyle x_{i}=a+ih} כאשר h = b − a n {\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}} , ו f i = f ( x i ) {\displaystyle f_{i}=f(x_{i})} . הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, ספר עיון מוקדם. המעריך של גודל הצעד h ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של f ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר ξ {\displaystyle \xi } יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר f ( ξ ) = max ( f ( x ) ) , a < x < b {\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b} . טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור 0 ≤ i ≤ n {\displaystyle 0\leq i\leq n} , יהי x i = a + ( i + 1 ) h {\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h} כאשר h = b − a n + 2 {\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}} , ו f i = f ( x i ) {\displaystyle f_{i}=f(x_{i})} . כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד h צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא כלל מורכב . ראה אינטגרציה נומרית . ריבוע (מתמטיקה) אינטרפולציה אינטרפולציה של ספליין Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). Numerical Mathematics (Second ed.). Springer. pp. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6. Quarteroni, Alfio; Sacco, Riccardo; Saleri, Fausto (2006). Numerical Mathematics (Second ed.). Springer. pp. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6. Pavel Holoborodko (2011-03-24). "Stable Newton-Cotes Formulas". נבדק ב-2015-08-17. Pavel Holoborodko (2012-05-20). "Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type)". נבדק ב-2015-08-18. Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860") מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i> . ניו יורק: דובר, 1972. (ראה סעיף 25.4.) ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. שיטות מחשב לחישובים מתמטיים . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. (ראה סעיף 5.1.) יוסף סטואר ורולנד בולירש. מבוא לניתוח נומרי . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. (ראה סעיף 3.1.) Newton–Cotes formulas on www.math-linux.com Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld. Newton–Cotes Integration, numericalmathematics.com נוסחאות ניוטון-קוטס, באתר MathWorld (באנגלית)