התפלגות מעריכית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות מעריכית (או התפלגות אקספוננציאלית, Exponential Distribution), היא התפלגות רציפה על המספרים האי-שליליים. ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה שהיא חסרת זיכרון, והיא מאופיינת באופן מלא על ידי תכונה זו. משכך, היא מתארת תופעות אקראיות שהסיכוי להתרחשותן קבוע בזמן, כגון התפרקות רדיואקטיבית או הזמן עד לתקלה בנורה או ברכיב חשמלי. התפלגות מעריכית היא התפלגות רציפה, שפונקציית הצפיפות שלה היא f ( x ) = { λ e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} כאשר λ > 0 {\displaystyle \,\!\lambda >0} היא הפרמטר של ההתפלגות, המכונה גם קצב או קבוע דעיכה. ההתפלגות מתוארת לעיתים באמצעות ההופכי של פרמטר הקצב, כלומר באמצעות פרמטר הפיזור τ = 1 / λ > 0 {\displaystyle \,\!\tau =1/\lambda >0} . במקרה זה, פונקציית הצפיפות היא: f ( x ) = { 1 τ e − x / τ x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\tau }}e^{-x/\tau }&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} משתנה מקרי X {\displaystyle \,\!X} המתפלג מעריכית עם פרמטר λ {\displaystyle \,\!\lambda } מסומן בדרך כלל X ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )} . הערכים שמשתנה מקרי שכזה יכול לקבל הם המספרים האי-שליליים, כלומר התומך של ההתפלגות המעריכית הוא הקטע [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \,\![0,\infty )} . ניתן להגדיר את ההתפלגות המעריכית גם באמצעות פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה, שהיא F ( x ) = { 1 − e − λ x x ≥ 0 0 x < 0 {\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\lambda x}&\;x\geq 0\\0&\;x<0\end{matrix}}\right.} ההתפלגות המעריכית מתאימה לתיאור הזמן בין אירועים המתרחשים באקראי אך בקצב ממוצע קבוע. דוגמאות לתופעות הניתנות (בקירוב) לתיאור כזה הן הגעת שיחות למרכזיית טלפונים פליטה של חלקיקים במהלך התפרקות רדיואקטיבית תקלות במערכת אלקטרונית מתמטית, תופעות כאלה מתוארות לעיתים קרובות כתהליכי פואסון הומוגניים בזמן, שבהם הזמן הבין מופעי מתפלג מעריכית. בתורת התורים (Queueing Theory), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור זמן השירות. תחת הנחה זו (והנחות נוספות), מערכות תורים ניתנות לתיאור כשרשראות מרקוב, וקל יחסית לנתח את התנהגותן. בתורת האמינות (Reliability Theory) ובניתוח שרידות (Survival Analysis), ההתפלגות המעריכית משמשת לעיתים לתיאור (חלקי או מלא) של משך החיים של רכיב או של חולה. בפיזיקה סטטיסטית, במערכות שבהן האנרגיה יכולה לקבל ערכים רציפים והאנרגיה הכוללת של המערכת ידועה (כלומר, בצבר הקנוני), התפלגות האנרגיה היא התפלגות מעריכית עם פרמטר התפלגות λ = 1 k b T {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{k_{b}T}}} כאשר k b {\displaystyle k_{b}} הוא קבוע בולצמן. התפלגות זו נקראת גם התפלגות בולצמן. לדוגמה, האנרגיה הקינטית של מולקולות גז בטמפרטורה נתונה מתפלגת מעריכית. עובדה זו נובעת מתכונת האנטרופיה המקסימלית המתוארת להלן. התוחלת של משתנה מקרי X ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )} , הקרויה גם "זמן החיים הממוצע" של ההתפלגות, היא E ( X ) = 1 / λ {\displaystyle \mathrm {E} (X)=1/\lambda } ; השונות היא V a r ( X ) = 1 / λ 2 {\displaystyle \mathrm {Var} (X)=1/\lambda ^{2}} . משתנה מקרי מעריכי הוא חסר זיכרון, כלומר לכל s , t ≥ 0 {\displaystyle s,t\geq 0} מתקיים כי P ( X > s + t | X > s ) = P ( X > t ) {\displaystyle \,\!P(X>s+t\;|\;X>s)=P(X>t)} בניסוח אחר: אם X ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )} , אז ההתפלגות המותנית של X − s {\displaystyle \,\!X-s} , בהינתן X > s {\displaystyle \,\!X>s} , גם היא E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} . המשמעות המילולית של תכונה זו היא כדלקמן: כשאנו ממתינים לאירוע שהזמן עד להתרחשותו מתפלג מעריכית, הזמן שחלף עד כה אינו משנה את התפלגות הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע, וזמן זה (הזמן שנותר עד להתרחשות האירוע) ממשיך להתפלג מעריכית, בדיוק כאילו התחלנו להמתין זה עתה. ההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון. אפשר לראות זאת כך. נניח התפלגות חסרת זיכרון. היא צריכה לקיים את התכונה P ( X > s + t | X > s ) = P ( X > s + t , X > s ) P ( X > s ) = P ( X > s + t ) P ( X > s ) = P ( X > t ) {\displaystyle \,\!P(X>s+t\;|\;X>s)={P(X>s+t\;,\;X>s) \over P(X>s)}={P(X>s+t) \over P(X>s)}=P(X>t)} מכאן נקבל את הדרישה: P ( X > s + t ) = P ( X > s ) P ( x > t ) . {\displaystyle P(X>s+t)=P(X>s)P(x>t).} נתבונן, לכן, בפונקציה המקיימת f ( s + t ) = f ( s ) f ( t ) . {\displaystyle f(s+t)=f(s)f(t).} נציב t = 0 {\displaystyle t=0} ונקבל f ( s + 0 ) = f ( s ) = f ( s ) f ( 0 ) , {\displaystyle f(s+0)=f(s)=f(s)f(0),} ומכאן נסיק f ( 0 ) = 1 {\displaystyle f(0)=1} . נקח שוב את השוויון המקורי, ונחסר מכל אגף f ( s ) {\displaystyle f(s)} : f ( s + t ) − f ( s ) = f ( s ) f ( t ) − f ( s ) = f ( s ) ( f ( t ) − 1 ) = f ( s ) ( f ( t ) − f ( 0 ) ) . {\displaystyle f(s+t)-f(s)=f(s)f(t)-f(s)=f(s)(f(t)-1)=f(s)(f(t)-f(0)).} נחלק ב- t {\displaystyle t} ונשאיפו ל0: lim t → 0 f ( s + t ) − f ( s ) t = lim t → 0 f ( s ) f ( t ) − f ( 0 ) t . {\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}{f(s+t)-f(s) \over t}=\lim _{t\rightarrow 0}f(s){f(t)-f(0) \over t}.} מכאן קיבלנו את המד"ר: f ′ ( s ) = f ( s ) f ′ ( 0 ) . {\displaystyle f'(s)=f(s)f'(0).} תחת הנחות קלות למדי, פתרון משוואה זו הוא פונקציה מעריכית. החציון של משתנה מקרי E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} הוא ln ⁡ ( 2 ) / λ {\displaystyle \,\!\ln(2)/\lambda } . גודל זה קרוי לעיתים זמן מחצית החיים. באופן כללי יותר, השברון (quantile) ה-p של ההתפלגות המעריכית הוא F − 1 ( p ) = − 1 λ ln ⁡ ( 1 − p ) , 0 ≤ p < 1 {\displaystyle \,\!F^{-1}(p)=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-p),\qquad 0\leq p<1} אם X 1 , … , X n {\displaystyle \,\!X_{1},\ldots ,X_{n}} הם משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים, כך ש- X i ∼ E x p ( λ i ) {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})} , אז גם המינימום שלהם מתפלג מעריכית, עם פרמטר λ 1 + ⋯ + λ n {\displaystyle \,\!\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}} , כלומר min ( X 1 , … , X n ) ∼ E x p ( ∑ i = 1 n λ i ) {\displaystyle \min(X_{1},\ldots ,X_{n})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}}\right)} בפרט, המינימום של n {\displaystyle n} משתנים מעריכיים בלתי תלויים עם פרמטר λ {\displaystyle \,\!\lambda } הוא משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר n λ {\displaystyle \,\!n\lambda } . המקסימום של משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים לא מתפלג מעריכית, גם אם לכולם אותו פרמטר. אם X 1 , … , X n {\displaystyle \,\!X_{1},\ldots ,X_{n}} הם משתנים מקריים בלתי תלויים כך ש- X i ∼ E x p ( λ i ) {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda _{i})} , ו- X = max ( X 1 , … , X n ) {\displaystyle \,\!X=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})} , אז P ( X ≤ x ) = Π i = 1 n ( 1 − e − λ i x ) {\displaystyle \,\!P(X\leq x)=\Pi _{i=1}^{n}(1-e^{-\lambda _{i}x})} אם X i ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle X_{i}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )} (כלומר לכולם אותו פרמטר), אז P ( X ≤ x ) = ( 1 − e − λ x ) n , E ( X ) = 1 λ ( 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n ) {\displaystyle \,\!P(X\leq x)=(1-e^{-\lambda x})^{n},\qquad \mathrm {E} (X)={\frac {1}{\lambda }}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}\right)} מבין כל ההתפלגויות הרציפות על [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \,\![0,\infty )} שהתוחלת שלהן μ {\displaystyle \,\!\mu } , ההתפלגות המעריכית עם פרמטר λ = 1 / μ {\displaystyle \,\!\lambda =1/\mu } היא בעלת אנטרופיה מקסימלית. פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות המעריכית היא קבועה, וערכה הוא λ {\displaystyle \,\!\lambda } . ההתפלגות המעריכית היא במובן מסוים גבול של ההתפלגות הגאומטרית: נניח שעורכים סדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים, כך שהזמן בין ניסוי לניסוי הוא 1 / n {\displaystyle 1/n} , והסתברות ההצלחה בכל ניסוי היא λ / n {\displaystyle \lambda /n\,\!} . אזי מספר הניסוי בו תתקבל ההצלחה הראשונה מתפלג גאומטרית (עם פרמטר λ / n {\displaystyle \,\!\lambda /n} ), ואילו הזמן עד ההצלחה הראשונה, כש-n שואף לאין-סוף, מתכנס (בהתפלגות) להתפלגות מעריכית עם פרמטר λ {\displaystyle \,\!\lambda } . כשם שההתפלגות המעריכית היא ההתפלגות הרציפה היחידה בעלת תכונת חוסר הזיכרון, כך ההתפלגות הגאומטרית היא ההתפלגות הבדידה היחידה בעלת תכונה זו. אם X ∼ exp ( λ ) {\displaystyle \,\!X\sim {\textrm {exp}}(\lambda )} , אז הערך השלם העליון של X {\displaystyle X} (כלומר המספר השלם הנמוך ביותר שגדול או שווה ל- X {\displaystyle X} , המסומן ⌈ X ⌉ {\displaystyle \lceil X\rceil } ), מתפלג גאומטרית עם פרמטר 1 − e − λ {\displaystyle \,\!1-e^{-\lambda }} . אם תופעה מסוימת מתרחשת מפעם לפעם, כך שפרקי הזמן בין התרחשות להתרחשות הם משתנים מקריים בלתי תלויים E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} , אז מספר ההתרחשויות בפרק זמן שאורכו t {\displaystyle t} מתפלג פואסונית עם פרמטר λ t {\displaystyle \lambda t} . תהליך שכזה נקרא תהליך פואסון (הומוגני בזמן). כדוגמה קונקרטית, נניח שבידנו מספר נורות שזמן החיים של כל אחת מהן מתפלג E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} , ונחשוב על המערכת הבאה: מחברים את הנורות לחשמל ומדליקים את הנורה הראשונה בלבד; ברגע שהיא נשרפת, מדליקים את הנורה השנייה; ברגע שגם היא נשרפת, מדליקים את הנורה השלישית; וכן הלאה. אזי מספר הנורות Y {\displaystyle Y} שנשרפות עד זמן t {\displaystyle t} מתפלג פואסונית עם פרמטר λ t {\displaystyle \lambda t} , כלומר P ( Y = y ) = e − λ t ( λ t ) y y ! {\displaystyle P(Y=y)={\frac {e^{-\lambda t}(\lambda t)^{y}}{y!}}} ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות גמא: משתנה מקרי G a m m a ( 1 , λ ) {\displaystyle \mathrm {Gamma} (1,\lambda )\!} (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} . היות שהתפלגות גמא עם פרמטר צורה שלם נקראת לעיתים התפלגות ארלנג על שם ממציאה אגנר קרוייף ארלנג, ההתפלגות המעריכית היא גם מקרה פרטי של התפלגות ארלנג. הסכום של n {\displaystyle n} משתנים מקריים בלתי תלויים E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} מתפלג G a m m a ( n , λ ) {\displaystyle \mathrm {Gamma} (n,\lambda )} . אם U {\displaystyle U} הוא משתנה מקרי רציף המתפלג אחיד על הקטע ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} , אז − ln ⁡ ( U ) λ ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle -{\frac {\ln(U)}{\lambda }}\sim \mathrm {Exp} (\lambda )} זהו מקרה פרטי של דגימה מטרנספורמציה הופכית (Inverse transform sampling), ועל בסיס תוצאה זו ניתן לחולל ("להגריל") מספרים מקריים מעריכיים, לצורכי סימולציה ממוחשבת. ההתפלגות המעריכית עם פרמטר λ = 1 / 2 {\displaystyle \lambda =1/2} היא מקרה פרטי של התפלגות כי בריבוע: משתנה מקרי χ 2 2 {\displaystyle \,\!\chi _{2}^{2}} (כלומר עם שתי דרגות חופש) הוא משתנה מקרי E x p ( 1 / 2 ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (1/2)} . ההתפלגות המעריכית היא מקרה פרטי של התפלגות וייבול: משתנה מקרי W e i b u l l ( λ , 1 ) {\displaystyle \,\!\mathrm {Weibull} (\lambda ,1)} (כלומר עם פרמטר צורה 1) הוא משתנה מקרי E x p ( λ ) {\displaystyle \mathrm {Exp} (\lambda )} . התפלגות לפלס, הקרויה גם "התפלגות מעריכית כפולה", היא ההתפלגות של ההפרש בין שני משתנים מקריים מעריכיים בלתי תלויים בעלי אותו פרמטר. כלומר, אם X 1 , X 2 , ∼ E x p ( λ ) {\displaystyle X_{1},X_{2},\sim \mathrm {Exp} (\lambda )} הם בלתי תלויים, אז X 1 − X 2 {\displaystyle \,\!X_{1}-X_{2}} מתפלג התפלגות לפלס. בהינתן מדגם x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle \,\!x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}} של תצפיות בלתי תלויות מהתפלגות מעריכית בעלת פרמטר לא ידוע λ {\displaystyle \lambda } , אומד הנראות המרבית הוא ההופכי של ממוצע התצפיות, כלומר λ ^ = n ∑ i = 1 n x i {\displaystyle \,\!{\widehat {\lambda }}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}} אותו אומד בדיוק מתקבל גם בשיטת המומנטים. מדיה וקבצים בנושא התפלגות מעריכית בוויקישיתוף התפלגות מעריכית, באתר MathWorld (באנגלית)