זרימה דו-ממדית

תנועת זורם היא זרימה דו-ממדית כאשר מהירות הזרימה בכל נקודה מקבילה למישור קבוע במרחב. בהינתן נורמל למשטח, המהירות בכל נקודה עליו קבועה. עבור זרימה דו-ממדית במישור X − Y {\displaystyle X-Y} , מהירות הזורם בכל נקודה ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} בזמן t {\displaystyle t} מבוטא ע"י: v ¯ ( x , y , z , t ) = v x ( x , y , z , t ) i ^ + v y ( x , y , z , t ) j ^ . {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(x,y,z,t)=v_{x}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {i}}}+v_{y}(x,y,z,t){\hat {\boldsymbol {j}}}.} עבור זרימה דו-ממדית במישור r − θ {\displaystyle r-\theta } , מהירות הזורם בכל נקודה ( r , θ , z ) {\displaystyle (r,\theta ,z)} בזמן t {\displaystyle t} מבוטא ע"י: v ¯ ( r , θ , z , t ) = v r ( r , θ , z , t ) r ^ + v θ ( r , θ , z , t ) θ ^ . {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}(r,\theta ,z,t)=v_{r}(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {r}}}+v_{\theta }(r,\theta ,z,t){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.} ערבוליות בזרימה דו-ממדית במישור X − Y {\displaystyle X-Y} מבוטא ע"י: ω ¯ = ω z k ^ , {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}},} ω z = ∂ v y ∂ x − ∂ v x ∂ y . {\displaystyle \omega _{z}={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}.} ערבוליות בזרימה דו-ממדית במישור r − θ {\displaystyle r-\theta } מבוטא ע"י: ω ¯ = ω z k ^ {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}=\omega _{z}{\hat {\boldsymbol {k}}}} ω z = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ ψ ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 ψ ∂ r 2 . {\displaystyle \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r{\frac {\partial \psi }{\partial r}})+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}.} קו מקור הוא קו ממנו "יוצא" הזורם ומתרחק לאורך מישורים מאונכים לו. בהסתכלות דו־ממדית על מישורים אלו, קו מקור יופיע כנקודת מקור. מסימטריה נוכל להניח שהזרימה מתרחשת רדיאלית בכיוון החוצה מן המקור. עוצמת המקור נתונה על ידי הספיקה שהוא יוצר. בדומה לקו מקור, קו בור הוא קו שאליו "נכנס" הזורם המתקדם לקראתו ממישורים אשר מאונכים לו. בהסתכלות דו־ממדית על מישורים אלו, קו זה יופיע כנקודת בור. מסימטריה נוכל להניח שהזרימה מתרחשת רדיאלית בכיוון פנימה לעבר הבור. עוצמת הבור נתונה על ידי הספיקה שהוא סופג. שדה זרימה סימטרי רדיאלית אשר מכוון אל מחוץ לנקודה המשותפת נקרא מקור הזרימה. הנקודה המשותפת היא קו המקור המתואר לעיל. הזורם מסופק בספיקה קבועה Q {\displaystyle Q} מן המקור. שטח הזרימה גדל עם יציאת הזורם החוצה. כתוצאה מכך, על מנת שתתקיים משוואת הרצף, המהירות יורדת וקווי הזרם מתפשטים. המהירות זהה בכל נקודה במרחק נתון מהמקור. מהירות הזורם נתון ע"י: v ¯ = v r ( r ) r ^ . {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {r}}}.} ניתן לגזור את הקשר בין ספיקה ומהירות הזרימה. נסתכל על גליל שציר הסימטריה שלו מתלכד עם המקור. הספיקה בה המקור פולט זורם צריך להיות שווה לספיקה בה הזורם יוצא מפני הגליל. ∫ S v ¯ ⋅ d S ¯ = 2 π r v r ( r ) = Q , {\displaystyle \int \limits _{S}{\bar {\boldsymbol {v}}}\cdot {d{\bar {\boldsymbol {S}}}}=2\pi rv_{r}(r)=Q,} ∴ v r ( r ) = Q 2 π r . {\displaystyle \therefore \;\;v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.} פונקציית הזרם עבור מקור זרם היא: ψ ( r , θ ) = Q 2 π θ . {\displaystyle \psi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\theta .} הזרימה היציבה מנקודת המקור היא אי-רוטציונית ומתקבלת מגזירת המהירות הפוטנציאלית הנתונה ע"י: ϕ ( r , θ ) = Q 2 π ln ⁡ r . {\displaystyle \phi (r,\theta )={\frac {Q}{2\pi }}\ln r.} בור זרימה הוא ההפך ממקור זרימה. קווי הזרם רדיאליים, פנימה לעבר קו המקור. ככל שמתקרבים לבור, שטח הזורם מצטמצם. על מנת לקיים את משוואת הרצף, קווי הזרם מצטופפים והמהירות קטנה ככל שמתקרבים מהמקור. בדומה למקור זרימה מציפה, מהירות הנקודות הנמצאות במרחק שווה מן הבור זהה. מהירות הזורם מסביב לבור נתונה על ידי - v ¯ = − v r ( r ) e ^ r , {\displaystyle {\bar {\boldsymbol {v}}}=-v_{r}(r){\hat {\boldsymbol {e}}}_{r},} v r ( r ) = Q 2 π r . {\displaystyle v_{r}(r)={\frac {Q}{2\pi r}}.} פונקציית הזרם עבור בור הי: ψ ( r , θ ) = − Q 2 π θ . {\displaystyle \psi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\theta .} הזרימה מסביב לקו הבור היא אי-רוטציונית ומתקבלת מגזירת המהירות הפוטנציאלית הנתונה ע"י: ϕ ( r , θ ) = − Q 2 π ln ⁡ r . {\displaystyle \phi (r,\theta )=-{\frac {Q}{2\pi }}\ln r.} מערבולת הוא אזור בו הזרימה מתרחשת מסביב לציר מדומה. ניתן לדמות זרימה בערבולת אי-רוטציונית בכל נקודה כחלקיק קטן שתנועתו קווית וללא סיבוב. במקרה זה המהירות משתנה ביחס הפוך עם הרדיוס. המהירות תשאף לאינסוף עבור r = 0 {\displaystyle r=0} והמרכז הוא נקודה סינגולרית. המהירות נתונה בצורה מתמטית על ידי - v = v θ e ^ θ , {\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{\theta }{\hat {\boldsymbol {e}}}_{\theta },} v θ = K 2 π r . {\displaystyle v_{\theta }={\frac {K}{2\pi r}}.} מפני שהזרימה מתרחשת סביב ציר, v r = 0. {\displaystyle v_{r}=0.} פונקציית הזרם למערבולת אי-רוטציונית נתונה ע"י: ψ = − K 2 π ln ⁡ r . {\displaystyle \psi =-{\frac {K}{2\pi }}\ln r.} כאשר המהירות הפוטנציאלית היא: ϕ = − K 2 π θ . {\displaystyle \phi =-{\frac {K}{2\pi }}\theta .} עבור עקום סגור המקיף את הראשית, הסירקולציה (האינטגרל הקווי של שדה המהירות) היא Γ = K {\displaystyle \Gamma =K} ועבור כל עקום אחר Γ = 0 {\displaystyle \Gamma =0} . ניתן לתאר זוגן כשילוב של מקור ובור בעלי עוצמה זהה אשר מוצבים במרחק אינפיניטסימלי זה מזה. כך ניתן לראות שקווי הזרם מתחילים ומסתיימים באותה נקודה. עוצמת זוגן אשר נוצר ממקור ובור בעלי ספיקה Q {\displaystyle Q} , כאשר ביניהם מרחק d s {\displaystyle ds} , נתונה ע"י: Λ = Q d s 2 π . {\displaystyle \Lambda =Q{\frac {ds}{2\pi }}.} ומהירות שדה הזרימה היא: v r = − Λ r 2 cos ⁡ θ , {\displaystyle v_{r}=-{\frac {\Lambda }{r^{2}}}\cos \theta ,} v θ = − Λ r 2 sin ⁡ θ . {\displaystyle v_{\theta }={\frac {-\Lambda }{r^{2}}}\sin \theta .} המשוואות והגרף הם עבור התנאי: d s → 0 {\displaystyle ds\rightarrow 0} . מושג הזוגן מאוד דומה לדיפול חשמלי ומגנטי באלקטרודינמיקה. זרימה פוטנציאלית דו-ממדית Kothandaraman, C. P.; Rudramoorthy, R. (2006), Fluid Mechanics and Machinery (2nd ed.), New Age International, ISBN 978-1906574789 Two-dimensional sources and sinks