תנאי הצמצום הזעיר

בתורת החבורות, תורת קנסליישן הקטן (לעיתים מתורגם כ"תנאֵי הצמצום הזעיר" או כ"תנאי קיזוזים קטנים") הם תנאים שעשויה לקיים הצגה של חבורה על ידי יוצרים ויחסים. תנאים אלו הם מרכיב חשוב בתורת החבורות הקומבינטורית, החוקרת חבורות על-פי ההצגות שלהן, ומאפשרים לפתור לפעמים את בעיית המילה. התנאים מתייחסים לאופן שבו עשויים להיחתך היחסים המגדירים את החבורה, וכשהם מתקיימים הם מאלצים כל מילה המייצגת את איבר היחידה להכיל פיסה משמעותית מאחד היחסים. תכונה זו מאפשרת לנתח את החבורה בכלים גאומטריים, דרך דיאגרמת ון-קמפן של אותה המילה, המורכבת מהדבקת יחסים, המהווים שפות של דיסקים דו-ממדיים, לאורך החלקים המשותפים להם. האילוץ על פיסות משותפות, אם הוא חזק מספיק, יוצר עקמומיות שלילית, המכריחה את החבורה להיות היפרבולית. את היסודות של תנאי הצמצום אפשר למצוא בעבודה של מקס דן, שהראה ב-1910 כיצד לפתור את בעיית המילה של חבורה יסודית של משטח מכוון סגור בעל גנוס 2 לפחות. תנאי צמצום מפורשים הופיעו בעבודות של גרינלינגר בשנות ה-60, ואחר-כך אצל Lyndon ו-Schupp. אולשנסקי (בסוף שנות ה-80) השתמש בגרסה מדורגת של תנאי הצמצום כדי לבנות מפלצות-טרסקי (חבורות אינסופיות שבהן כל תת-חבורה סופית היא ציקלית מסדר ראשוני) ולתת הוכחה חדשה לכך שחבורה מפותלת נוצרת סופית עלולה להיות אינסופית (ראו בעיית ברנסייד). תנאי הצמצום הזעיר מתייחסים להצגה מצומצמת וסימטרית של החבורה, כלומר, הצגה שבה היחסים מצומצמים-ציקלית (אין יחס מהצורה x 1 x 2 ⋯ x k y y − 1 x k + 1 ⋯ x n {\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{k}yy^{-1}x_{k+1}\cdots x_{n}} או y x 1 x 2 ⋯ x n y − 1 {\displaystyle yx_{1}x_{2}\cdots x_{n}y^{-1}} ), ויחד עם כל יחס מופיע גם ההפכי שלו וגם כל סיבוב של היחס (היינו, יחד עם x 1 x 2 ⋯ x n {\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}} מופיע גם x 2 ⋯ x n x 1 {\displaystyle x_{2}\cdots x_{n}x_{1}} ). מילה המופיעה בשני יחסים שונים (שאינם מהווים סיבוב זה של זה) נקראת פיסה. יש שלוש משפחות עיקריות של תנאי צמצום זעיר: ההצגה מקיימת את התנאי C ′ ( λ ) {\displaystyle C'(\lambda )} אם כל האורך של פיסה X ביחס R מקיים | X | < λ | R | {\displaystyle |X|<\lambda |R|} . (התנאי חזק יותר ככל ש- λ {\displaystyle \lambda } קטן יותר). ההצגה מקיימת את התנאי C ( p ) {\displaystyle C(p)} אם כל יחס הוא מכפלה של לפחות p פיסות (שקול לזה: לכל תחום פנימי בדיאגרמת ואן-קמפן יש לפחות p שכנים). (התנאי חזק יותר ככל ש-   p {\displaystyle \ p} גדול יותר). ההצגה מקיימת את התנאי T ( q ) {\displaystyle T(q)} אם לכל   3 ≤ ℓ < q {\displaystyle \ 3\leq \ell <q} ולכל רשימת יחסים R 0 , … , R ℓ − 1 {\displaystyle R_{0},\dots ,R_{\ell -1}} , שאף אחד מהם אינו ההפכי של זה שאחריו (לרבות באופן מעגלי), יש צמד R i R i + 1 {\displaystyle R_{i}R_{i+1}} שהוא מצומצם ציקלית (שקול לזה: לכל קודקוד פנימי בדיאגרמת ואן-קמפן יש דרגה לפחות q). כל חבורה מקיימת את התנאי   T ( 3 ) {\displaystyle \ T(3)} . החבורה   Z ⊕ Z {\displaystyle \ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} } מקיימת את   T ( 4 ) {\displaystyle \ T(4)} . חבורה המקיימת את התנאי   C ′ ( λ ) {\displaystyle \ C'(\lambda )} מקיימת את   C ( [ 1 / λ ] + 1 ) {\displaystyle \ C([1/\lambda ]+1)} . מהתנאי   C ( p ) {\displaystyle \ C(p)} נובע שבדיאגרמת ון-קמפן של מילה טריוויאלית כל תחום פנימי נוגע בלפחות p שכנים. מנימוק כזה נובעת הלמה של גרינלינגר: אם מתקיים התנאי   C ′ ( λ ) {\displaystyle \ C'(\lambda )} עבור 0 ≤ λ ≤ 1 / 6 {\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1/6} , אז לכל מילה מצומצמת המייצגת את איבר היחידה יש תת-מילה משותפת עם יחס R, שאורכה יותר מ- ( 1 − 3 λ ) | R | ≥ | R | / 2 {\displaystyle (1-3\lambda )|R|\geq |R|/2} . בחבורה נוצרת סופית המקיימת   C ( 6 ) {\displaystyle \ C(6)} או   C ( 4 ) + T ( 4 ) {\displaystyle \ C(4)+T(4)} , מספר היחסים הדרושים להוכחת טריוויאליות של מילה חסום על ידי כפולה קבועה של ריבוע האורך שלה, ובפרט בעיית המילה פתירה. חבורה נוצרת סופית המקיימת את   C ′ ( 1 / 6 ) {\displaystyle \ C'(1/6)} , או את   C ( 7 ) {\displaystyle \ C(7)} , או את התנאים   C ′ ( 1 / 4 ) {\displaystyle \ C'(1/4)} ו-   T ( 4 ) {\displaystyle \ T(4)} , היא היפרבולית.