משוואה ממעלה שלישית

משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה: a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} כאשר a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} הם מקדמים בשדה נתון (למשל, המספרים הרציונליים). אם השדה ממאפיין שונה מ-3, אפשר להציב x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}} ולקבל משוואה ממעלה שלישית שבה המקדם של y 2 {\displaystyle y^{2}} הוא אפס. ערך מורחב – היסטוריה של פתרון המשוואות ממעלה שלישית ורביעית בעוד שאת המשוואה ממעלה שנייה ידעו לפתור היוונים (וכנראה גם הבבלים), פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית לא היה ידוע עד תחילת המאה ה-16. המתמטיקאים באותו זמן עדיין לא 'הכירו' במספרים שליליים, וכך הם התייחסו למשוואות x 3 = p x + q {\displaystyle x^{3}=px+q} או x 3 + p x = q {\displaystyle x^{3}+px=q} (כאשר p , q {\displaystyle p,q} שלמים חיוביים) כאל בעיות נבדלות. ב-1515 גילה המתמטיקאי האיטלקי שיפיונה דל פרו איך לפתור חלק מן המשוואות ממעלה שלישית. באותה תקופה היו מתמטיקאים מתחרים זה בזה בפתרון משוואות, ולכן הסתיר דל פרו את הפתרון שלו. ב-1535 גילה האיטלקי ניקולו טרטליה מחדש את אותם פתרונות וסיפר עליהם לג'ירולמו קרדאנו, שהשלים את המקרים החסרים ופרסם אותם בספרו "האמנות הגדולה". את המשוואה ממעלה רביעית הצליחו לפתור עשר שנים אחר-כך, ב-1545. פתרונה של המשוואה ממעלה שלישית היה ההישג האמיתי הראשון של המתמטיקאים בראשית תקופת הרנסאנס, ובכך הוא סייע לשבור את ה'שיתוק' שאחז בהם מאז תחילת ימי הביניים. בנוסף, פתרונו של קרדנו 'אילץ' את המתמטיקאים להתייחס ברצינות למספרים המרוכבים, משום שפתרונות 'אמיתיים' (דהיינו, ממשיים) מתקבלים לפעמים תוך מניפולציות של מספרים מרוכבים. כפי שהוסבר בפתרון המלא, אפשר להניח שהמקדם של x 2 {\displaystyle x^{2}} במשוואה הוא 0. נפתור, אם כן, את המשוואה הבאה: x 3 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px+q=0} כאשר p , q {\displaystyle p,q} הם מקדמים כלשהם בשדה, ללא שום הנחות על היותם חיוביים. אם נכתוב x = A + B {\displaystyle x=A+B} , אז ( A + B ) 3 = A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3 = 3 A B ( A + B ) + A 3 + B 3 x 3 = 3 A B x + A 3 + B 3 {\displaystyle {\begin{aligned}(A+B)^{3}&=A^{3}+3A^{2}B+3AB^{2}+B^{3}\\&=3AB(A+B)+A^{3}+B^{3}\\x^{3}&=3ABx+A^{3}+B^{3}\end{aligned}}} נקבל אילוץ: p = − 3 A B q = − A 3 − B 3 {\displaystyle {\begin{aligned}&p=-3AB\\&q=-A^{3}-B^{3}\end{aligned}}} מן האילוץ יוצא A 3 B 3 = − ( p 3 ) 3 {\displaystyle A^{3}B^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}} , כלומר הסכום והמכפלה של A 3 , B 3 {\displaystyle A^{3},B^{3}} ידועים. מן הסכום והמכפלה קל להרכיב משוואה ממעלה שנייה, שפתרונותיה הם A 3 , B 3 {\displaystyle A^{3},B^{3}} . על ידי הוצאת שורש שלישי אפשר למצוא את A {\displaystyle A} , ומן האילוץ מקבלים גם את B {\displaystyle B} ולכן את סכומם x {\displaystyle x} . בסעיף זה נמצא את הפתרונות המדויקים של משוואה כללית ממעלה שלישית: (1) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} כדי למצוא את שורשי משוואה (1), עלינו להיפטר מהביטוי הריבועי x 2 {\displaystyle x^{2}} , באמצעות ההצבה הבאה: (2) x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}} . לאחר הצבה נקבל: (3) a ( y − b 3 a ) 3 + b ( y − b 3 a ) 2 + c ( y − b 3 a ) + d = 0 {\displaystyle a(y-{\frac {b}{3a}})^{3}+b(y-{\frac {b}{3a}})^{2}+c(y-{\frac {b}{3a}})+d=0} . לאחר פתיחת סוגריים ופישוט משוואה (3), נקבל את משוואה (4): (4) a y 3 + ( c − b 2 3 a ) y + ( d + 2 b 3 27 a 2 − b c 3 a ) = 0 {\displaystyle ay^{3}+\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)y+\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)=0} . משוואה מספר (4) נקראת "משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית" כיוון שהמקדם של y 2 {\displaystyle y^{2}} , שווה 0 (אפס). הבאת המשוואה לצורתה המנוונת מקלה על פתרונה ומציאת שורשיה. כעת, נחלק את המשוואה ב-a, בהניחנו כי a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} . נקבל את המשוואה: y 3 + 1 a ( c − b 2 3 a ) y + 1 a ( d + 2 b 3 27 a 2 − b c 3 a ) = 0 {\displaystyle y^{3}+{\frac {1}{a}}\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)y+{\frac {1}{a}}\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)=0} . כעת נגדיר: f = 1 a ( d + 2 b 3 27 a 2 − b c 3 a ) {\displaystyle f={\frac {1}{a}}\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)} , e = 1 a ( c − b 2 3 a ) {\displaystyle e={\frac {1}{a}}\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)} ונקבל את משוואה (5) : (5) y 3 + e y + f = 0 {\displaystyle y^{3}+ey+f=0} . כעת נשתמש בהמרת וייטה ונגדיר: (6) y = z + s z {\displaystyle y=z+{\frac {s}{z}}} . לעת עתה, הקבוע s אינו מוגדר. נציב את משוואה (6) בתוך משוואה (5) (כאמור, משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית), ונקבל: (7) ( z + s z ) 3 + e ( z + s z ) + f = 0 {\displaystyle \left(z+{\frac {s}{z}}\right)^{3}+e\left(z+{\frac {s}{z}}\right)+f=0} . לאחר פתיחת סוגריים והכפלת שני צדי המשוואה ב- z 3 {\displaystyle z^{3}} , נקבל את המשוואה הבאה: (8) z 6 + ( 3 s + e ) z 4 + f z 3 + s ( 3 s + e ) z 2 + s 3 = 0 {\displaystyle z^{6}+(3s+e)z^{4}+fz^{3}+s(3s+e)z^{2}+s^{3}=0} . כעת, יהי s = − e 3 {\displaystyle s=-{\frac {e}{3}}} . כעת, הקבוע s מוגדר, ומבוטא באמצעות e (הוגדר קודם לכן, במשוואה (4)). נוסף לכך, משוואה (8) מפושטת לכדי משוואה תלת-ריבועית: (9) z 6 + f z 3 − e 3 27 = 0 {\displaystyle z^{6}+fz^{3}-{\frac {e^{3}}{27}}=0} . כעת נגדיר קשר נוסף: w = z 3 {\displaystyle w=z^{3}} , אשר לאחר הצבתו במשוואה (9), תיוותר לנו המשוואה הריבועית הכללית הבאה: (10) w 2 + f w − e 3 27 = 0 {\displaystyle w^{2}+fw-{\frac {e^{3}}{27}}=0} . כעת ניתן לפתור על נקלה משוואה ריבועית זו. לאחר פתרונה, יש לזכור "לחזור אחורה" מבחינת ההצבות שביצענו, על פי הסדר הבא: w → z → y → x {\displaystyle w\rightarrow z\rightarrow y\rightarrow x} . זאת, על מנת לקבל את שורשי המשוואה (מהמעלה השלישית) המקורית, המיוצגת על ידי x. תזכורת: הנחנו כי: (11) w = z 3 {\displaystyle w=z^{3}} ( w → z {\displaystyle w\rightarrow z} ) [6] y = z + s z {\displaystyle y=z+{\frac {s}{z}}} ( z → y {\displaystyle z\rightarrow y} ) (12) s = − e 3 {\displaystyle s=-{\frac {e}{3}}} [2] x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}} ( y → x {\displaystyle y\rightarrow x} ) פתרון משוואה (10), שהיא משוואה ריבועית - יניב שני ערכי w. פתרון משוואה (11), עבור כל אחד משני שורשי w שקיבלנו - יניב שלושה ערכי z (שווים או שונים זה לזה). בסך הכל יתקבלו שישה ערכי z, כמצופה, עבור משוואה (9) - שהיא ממעלה שישית. פתרון משוואה (6) יספק מכל שורש של z - שורש של y. כלומר, נקבל שישה ערכי y. עם זאת, שלושת השורשים הראשונים של y יהיו זהים בערכם לשלושת השורשים הנוספים. כך נקבל למעשה רק שלושה שורשים של y. לפיכך, נסיים במשוואה (2) - ונקבל שלושה ערכים (ולא שישה) של x, כמצופה ממשוואה ממעלה שלישית. נפתור את המשוואה:   y 3 − 6 y 2 − 67 y + 360 = 0 {\displaystyle \ y^{3}-6y^{2}-67y+360=0} . כדי להיפטר מן המקדם של   y 2 {\displaystyle \ y^{2}} , נציב   x = y − 2 {\displaystyle \ x=y-2} , כלומר   y = x + 2 {\displaystyle \ y=x+2} . המשוואה הופכת להיות:   x 3 − 79 x + 210 = 0 {\displaystyle \ x^{3}-79x+210=0} . נכתוב   x = β + γ {\displaystyle \ x=\beta +\gamma } , כאשר   γ = 79 3 β {\displaystyle \ \gamma ={\frac {79}{3\beta }}} , והמשוואה תהפוך ל-   β 6 + 210 β 3 + ( 79 3 ) 3 = 0 {\displaystyle \ \beta ^{6}+210\beta ^{3}+\left({\frac {79}{3}}\right)^{3}=0} זוהי משוואה ריבועית, שהפתרונות שלה הם   β 3 = − 105 ± 442 9 − 3 {\displaystyle \ \beta ^{3}=-105\pm {\frac {442}{9}}{\sqrt {-3}}} . למעשה, כיוון שהתפקידים של   β {\displaystyle \ \beta } ו-   γ {\displaystyle \ \gamma } סימטריים מלכתחילה, אפשר לבחור אחד מן השורשים ולהניח ש-   β 3 = − 105 + 442 9 − 3 {\displaystyle \ \beta ^{3}=-105+{\frac {442}{9}}{\sqrt {-3}}} (ואז   γ 3 = − 105 − 442 9 − 3 {\displaystyle \ \gamma ^{3}=-105-{\frac {442}{9}}{\sqrt {-3}}} ). כעת, לכל אחד משלושת הערכים (המרוכבים) של   β = − 105 + 442 9 − 3 3 {\displaystyle \ \beta ={\sqrt[{3}]{-105+{\frac {442}{9}}{\sqrt {-3}}}}} יש לחשב את γ = 79 3 β {\displaystyle \gamma ={\frac {79}{3\beta }}} , ומתקבל פתרון   x = β + γ {\displaystyle \ x=\beta +\gamma } של המשוואה. הביטויים המתקבלים אמנם מסובכים למדי; על ידי השוואת נורמות, אפשר לגלות שעד-כדי כפל בשורש שלישי של היחידה,   β = − 5 + 2 3 − 3 {\displaystyle \ \beta =-5+{\frac {2}{3}}{\sqrt {-3}}} . מכאן יוצא ששלושת הפתרונות למשוואה שלנו הם   x = − 10 , 3 , 7 {\displaystyle \ x=-10,3,7} (ולמשוואה המקורית   y = − 8 , 5 , 9 {\displaystyle \ y=-8,5,9} ). מצא את שורשי המשוואה: x 3 − 9 x 2 + 36 x − 80 = 0 {\displaystyle x^{3}-9x^{2}+36x-80=0} . פתרון: כזכור, משוואה כללית ממעלה שלישית מוגדרת באופן הבא (משוואה מספר (1)) : (1) a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . מקדמי המשוואה הזו הם: a = 1 , b = − 9 , c = 36 , d = − 80 {\displaystyle a=1,\quad b=-9,\quad c=36,\quad d=-80} . משוואה (1) מצטמצמת לכדי משוואה (2) (משוואה מְנוּוֵנֶת ממעלה שלישית) : (2) y 3 + e y + f = 0 {\displaystyle y^{3}+ey+f=0} . כעת עלינו למצוא את המקדמים e {\displaystyle e} ו- f {\displaystyle f} : e = 1 a ( c − b 2 3 a ) {\displaystyle e={\frac {1}{a}}\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)} , על כן: e = 1 a ( c − b 2 3 a ) = 1 1 ( 36 − ( − 9 ) 2 3 ⋅ ( 1 ) ) = 9 {\displaystyle e={\frac {1}{a}}\left(c-{\frac {b^{2}}{3a}}\right)={\frac {1}{1}}\left(36-{\frac {\left(-9\right)^{2}}{3\cdot \left(1\right)}}\right)=9} , ו- f = 1 a ( d + 2 b 3 27 a 2 − b c 3 a ) {\displaystyle f={\frac {1}{a}}\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)} , על כן: f = 1 a ( d + 2 b 3 27 a 2 − b c 3 a ) = 1 1 ( − 80 + 2 ⋅ ( − 9 ) 3 27 ⋅ ( 1 ) 2 − ( − 9 ) ⋅ ( 36 ) 3 ⋅ ( 1 ) ) = − 26 {\displaystyle f={\frac {1}{a}}\left(d+{\frac {2b^{3}}{27a^{2}}}-{\frac {bc}{3a}}\right)={\frac {1}{1}}\left(-80+{\frac {2\cdot \left(-9\right)^{3}}{27\cdot \left(1\right)^{2}}}-{\frac {\left(-9\right)\cdot \left(36\right)}{3\cdot \left(1\right)}}\right)=-26} . כעת, המשוואה נראית כך: y 3 + 9 y − 26 = 0 {\displaystyle y^{3}+9y-26=0} , כאשר: e = 9 , f = − 26 {\displaystyle e=9\quad ,\quad f=-26} . מכיוון שהגדרנו: s = − e 3 {\displaystyle s=-{\frac {e}{3}}} (משוואה (12)), נקבל: s = − e 3 = − 9 3 = − 3 {\displaystyle s=-{\frac {e}{3}}=-{\frac {9}{3}}=-3} . נציב במשוואה (10), המוגדרת, כזכור, באופן כללי כך: w 2 + f w − e 3 27 = 0 {\displaystyle w^{2}+fw-{\frac {e^{3}}{27}}=0} את ערכיהם של e {\displaystyle e} ושל f {\displaystyle f} : w 2 − 26 w − 9 3 27 = w 2 − 26 w − 9 3 3 3 = w 2 − 26 w − ( 9 3 ) 3 = w 2 − 26 w − 3 3 = w 2 − 26 w − 27 = 0 {\displaystyle w^{2}-26w-{\frac {9^{3}}{27}}=w^{2}-26w-{\frac {9^{3}}{3^{3}}}=w^{2}-26w-\left({\frac {9}{3}}\right)^{3}=w^{2}-26w-3^{3}=w^{2}-26w-27=0} . כעת, נפתור את המשוואה הריבועית הזו: w 1 , 2 = − ( − 26 ) ± ( − 26 ) 2 − 4 ⋅ ( 1 ) ⋅ ( − 27 ) 2 ⋅ ( 1 ) {\displaystyle w_{1,2}={\frac {-\left(-26\right)\pm {\sqrt {\left(-26\right)^{2}-4\cdot \left(1\right)\cdot \left(-27\right)}}}{2\cdot \left(1\right)}}} . כלומר: w 1 = 27 , w 2 = − 1 {\displaystyle w_{1}=27\quad ,\quad w_{2}=-1} . לצורך מציאת שורשי המשוואה המקורית (שורשי x {\displaystyle x} ), נבחר, באופן שרירותי לחלוטין, את השורש w 1 = 27 {\displaystyle w_{1}=27} . בחירת השורש השני, w 2 = − 1 {\displaystyle w_{2}=-1} - תניב שורשים זהים של x {\displaystyle x} לאלו של הראשון, w 1 = 27 {\displaystyle w_{1}=27} . (ניתן לבדוק נכונות טענה זו, באמצעות ביצוע תהליך זהה עבור השורש השני - w 2 = − 1 {\displaystyle w_{2}=-1} ; אך כאמור, נסתפק כאן בהדגמה על אחד מהשורשים בלבד.) קודם לכן הגדרנו את הקשר: w = z 3 {\displaystyle w=z^{3}} . מכיוון שכאמור, נפתור את המשוואה הזו (באופן שרירותי) עבור w 1 = 27 {\displaystyle w_{1}=27} , נקבל: z 3 = w 1 = 27 = 27 e i 0 {\displaystyle z^{3}=w_{1}=27=27e^{i0}} . מהות השוויון האחרון תתבטא בצורתה הפולרית של המשוואה: לשם מעבר לצורה הפולרית, נעזר בנוסחת אוילר, אשר צורתה הפשוטה היא:   e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \ e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }} לכל   θ {\displaystyle \ \theta } ממשי, כאשר e {\displaystyle e} הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו- i {\displaystyle i} הוא היחידה המדומה. צורתה הכללית של המשוואה כוללת גם מקדם הכפלה, אשר כופל את צורתה הפשוטה של המשוואה: (3) w 1 = r e i θ = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = 27 = 27 e i 0 {\displaystyle w_{1}=re^{i\theta }=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=27=27e^{i0}} . (4) z 3 = ( u e i α ) 3 = u 3 ( cos ⁡ 3 α + i sin ⁡ 3 α ) {\displaystyle z^{3}=\left(ue^{i\alpha }\right)^{3}=u^{3}\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)} . יש לשים לב, כי w 1 {\displaystyle w_{1}} מבוטא ביחידות של ( r , θ ) {\displaystyle \left(r,\theta \right)} ו- z 3 {\displaystyle z^{3}} מבוטא ביחידות של ( u , α ) {\displaystyle \left(u,\alpha \right)} . כזכור, אנו נשאף לעבור מהמערכת המבוטאת ב- w {\displaystyle w} לזו המבוטאת ב- z {\displaystyle z} ( w → z {\displaystyle w\rightarrow z} ), ע"פ משוואה (11) בפתרון המלא של משוואה ממעלה שלישית (בסעיף הקודם). כעת, נשווה בין משוואות (3) ו-(4) : השוואה בין צד שמאל של משוואות (3) ו- (4): r e i θ = ( u e i α ) 3 = u 3 ⋅ e 3 i α {\displaystyle re^{i\theta }=\left(ue^{i\alpha }\right)^{3}=u^{3}\cdot e^{3i\alpha }} . השוואה בין צד ימין של משוואות (3) ו- (4): r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = u 3 ( cos ⁡ 3 α + i sin ⁡ 3 α ) {\displaystyle r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=u^{3}\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)} . נקבל: (5) r = u 3 {\displaystyle r=u^{3}} . (6) cos ⁡ θ = cos ⁡ 3 α {\displaystyle \cos \theta =\cos 3\alpha } . (7) sin ⁡ θ = sin ⁡ 3 α {\displaystyle \sin \theta =\sin 3\alpha } . כיוון ש: sin ⁡ θ   , cos ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta \ ,\cos \theta } הן פונקציות מחזוריות, בעלות מחזור של 2 π  rad = 360 ∘ {\displaystyle 2\pi {\text{ rad}}=360^{\circ }} , נוכל לכתוב את הקשר הבא: (9) 3 α = θ + 2 π k ⇒ α = θ + 2 π k 3 {\displaystyle 3\alpha =\theta +2\pi k\Rightarrow \alpha ={\frac {\theta +2\pi k}{3}}} , כאשר: k = 0 , 1 , 2 {\displaystyle k=0,1,2} . ( k = 3 {\displaystyle k=3} משלים מעגל שלם של 2 π  rad {\displaystyle 2\pi {\text{ rad}}} , ותוצאותיו של α {\displaystyle \alpha } תחזורנה על עצמן). נקבל: (10.1) α 1 = θ 3 {\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\theta }{3}}} . ( k = 0 {\displaystyle k=0} ) עבור z 1 {\displaystyle z_{1}} . (10.2) α 2 = ( θ + 2 π ) 3 {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\left(\theta +2\pi \right)}{3}}} . ( k = 1 {\displaystyle k=1} ) עבור z 2 {\displaystyle z_{2}} . (10.3) α 3 = ( θ + 4 π ) 3 {\displaystyle \alpha _{3}={\frac {\left(\theta +4\pi \right)}{3}}} . ( k = 2 {\displaystyle k=2} ) עבור z 3 {\displaystyle z_{3}} . נמצא את המודול של z {\displaystyle z}  : (נכון לגבי כל שלושת שורשי z {\displaystyle z} , כלומר: z 3 {\displaystyle z_{3}} , z 2 {\displaystyle z_{2}} , z 1 {\displaystyle z_{1}} ) : ממשוואה (3) נקבל את הקשר: r e i θ = 27 e i 0 ⇒ r = 27  ,  θ = 0 {\displaystyle re^{i\theta }=27e^{i0}\Rightarrow r=27{\text{ , }}\theta =0} . ממשוואה (5) נקבל את הקשר: r = u 3 = 27 ⇒ u = 3 {\displaystyle r=u^{3}=27\Rightarrow u=3} . לקבלת הפתרון הכללי של z {\displaystyle z} , נחלץ את z {\displaystyle z} ממשוואה (4) : (4) z 3 = u 3 ( cos ⁡ 3 α + i sin ⁡ 3 α ) ⇒ z = u ( cos ⁡ 3 α + i sin ⁡ 3 α ) 1 3 = u ( cos ⁡ α + i sin ⁡ α ) {\displaystyle z^{3}=u^{3}\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)\Rightarrow z=u\left(\cos 3\alpha +i\sin 3\alpha \right)^{\frac {1}{3}}=u\left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)} . השוויון האחרון נכון, בזכות משפט דה מואבר. אבל קיבלנו קודם לכן ש: u = 3    ,  θ = 0 {\displaystyle u=3{\text{ }}{\text{ , }}\theta =0} . ואז: (10.1) α 1 = θ 3 = 0 {\displaystyle \alpha _{1}={\frac {\theta }{3}}=0} עבור z 1 {\displaystyle z_{1}} (10.2) α 2 = ( θ + 2 π ) 3 = ( 0 + 2 π ) 3 = ( 2 π ) 3 {\displaystyle \alpha _{2}={\frac {\left(\theta +2\pi \right)}{3}}={\frac {\left(0+2\pi \right)}{3}}={\frac {\left(2\pi \right)}{3}}} עבור z 2 {\displaystyle z_{2}} (10.3) α 3 = ( θ + 4 π ) 3 = ( 0 + 4 π ) 3 = ( 4 π ) 3 {\displaystyle \alpha _{3}={\frac {\left(\theta +4\pi \right)}{3}}={\frac {\left(0+4\pi \right)}{3}}={\frac {\left(4\pi \right)}{3}}} עבור z 3 {\displaystyle z_{3}} מכאן ניתן לקבל את שלושת הפתרונות של z {\displaystyle z}  : (11.1) z 1 = u ( cos ⁡ α 1 + i sin ⁡ α 1 ) ⇒ 3 ( cos ⁡ 0 3 + i sin ⁡ 0 3 ) = 3 {\displaystyle z_{1}=u\left(\cos \alpha _{1}+i\sin \alpha _{1}\right)\Rightarrow 3\left(\cos {\frac {0}{3}}+i\sin {\frac {0}{3}}\right)=3} (11.2) z 2 = u ( cos ⁡ α 2 + i sin ⁡ α 2 ) ⇒ 3 ( cos ⁡ 2 π 3 + i sin ⁡ 2 π 3 ) = 3 ( − 1 2 + i 3 2 ) = − 3 2 + i 3 3 2 {\displaystyle z_{2}=u\left(\cos \alpha _{2}+i\sin \alpha _{2}\right)\Rightarrow 3\left(\cos {\frac {2\pi }{3}}+i\sin {\frac {2\pi }{3}}\right)=3\left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-{\frac {3}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}} (11.3) z 3 = u ( cos ⁡ α 3 + i sin ⁡ α 3 ) ⇒ 3 ( cos ⁡ 4 π 3 + i sin ⁡ 4 π 3 ) = 3 ( − 1 2 − i 3 2 ) = − 3 2 − i 3 3 2 {\displaystyle z_{3}=u\left(\cos \alpha _{3}+i\sin \alpha _{3}\right)\Rightarrow 3\left(\cos {\frac {4\pi }{3}}+i\sin {\frac {4\pi }{3}}\right)=3\left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=-{\frac {3}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}} המעבר הראשון ( w → z ) {\displaystyle \left(w\rightarrow z\right)} הושלם. כעת נבצע את המעבר השני ( z → y ) {\displaystyle \left(z\rightarrow y\right)} . זהו הקשר בין z {\displaystyle z} (כלומר, נקודת המוצא: השורשים שקיבלנו זה עתה, במונחי z {\displaystyle z} ) ובין השורשים אותם אנו חפצים לקבל (נקודת היעד), במונחי y {\displaystyle y} . קיבלנו קודם לכן את הקשר: y = z + s z {\displaystyle y=z+{\frac {s}{z}}} . כיוון שמצאנו קודם לכן כי: s = − 3 {\displaystyle s=-3} , נקבל: (12) y = z + s z = z − 3 z {\displaystyle y=z+{\frac {s}{z}}=z-{\frac {3}{z}}} . בעזרת קשר זה, נמצא כעת את y 3 {\displaystyle y_{3}} , y 2 {\displaystyle y_{2}} , y 1 {\displaystyle y_{1}}  : (12.1) y 1 = z 1 − 3 z 1 = 3 − 3 3 = 2 {\displaystyle y_{1}=z_{1}-{\frac {3}{z_{1}}}=3-{\frac {3}{3}}=2} . y 2 = z 2 − 3 z 2 = ( − 3 2 + i 3 3 2 ) − 3 ( − 3 2 + i 3 3 2 ) = − 5 + 3 i 3 − 1 + i 3 {\displaystyle y_{2}=z_{2}-{\frac {3}{z_{2}}}=\left(-{\frac {3}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)-{\frac {3}{\left(-{\frac {3}{2}}+i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)}}=-{\frac {5+3i{\sqrt {3}}}{-1+i{\sqrt {3}}}}} נפשט את השורש שהתקבל: (12.2) y 2 = − 5 + 3 i 3 − 1 + i 3 ⋅ − 1 − i 3 − 1 − i 3 = − 1 + i 2 3 {\displaystyle y_{2}=-{\frac {5+3i{\sqrt {3}}}{-1+i{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{-1-i{\sqrt {3}}}}=-1+i2{\sqrt {3}}} . y 3 = z 3 − 3 z 3 = ( − 3 2 − i 3 3 2 ) − 3 ( − 3 2 − i 3 3 2 ) = 5 − i 3 3 1 + i 3 {\displaystyle y_{3}=z_{3}-{\frac {3}{z_{3}}}=\left(-{\frac {3}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)-{\frac {3}{\left(-{\frac {3}{2}}-i{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)}}={\frac {5-i3{\sqrt {3}}}{1+i{\sqrt {3}}}}} נפשט את השורש שהתקבל: (12.3) y 3 = 5 − 3 i 3 1 + i 3 ⋅ 1 − i 3 1 − i 3 = − 1 − i 2 3 {\displaystyle y_{3}={\frac {5-3i{\sqrt {3}}}{1+i{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1-i{\sqrt {3}}}{1-i{\sqrt {3}}}}=-1-i2{\sqrt {3}}} . המעבר השני ( z → y ) {\displaystyle \left(z\rightarrow y\right)} הושלם. כעת נבצע את המעבר השלישי והאחרון: ( y → x ) {\displaystyle \left(y\rightarrow x\right)}  : ממשוואה (2) בסעיף הקודם ("פתרון מלא של משוואה כללית ממעלה שלישית"), נקבל את הקשר: (13) x = y − b 3 a {\displaystyle x=y-{\frac {b}{3a}}} . תזכורת: b = − 9    ,  a = 1 {\displaystyle b=-9{\text{ }}{\text{ , }}a=1} . לכן: (14) x = y − − 9 3 ⋅ 1 = y − − 9 3 = y + 3 ⇒ x = y + 3 {\displaystyle x=y-{\frac {-9}{3\cdot 1}}=y-{\frac {-9}{3}}=y+3\Rightarrow x=y+3} . בעזרת קשר זה, נמצא כעת את x 3 {\displaystyle x_{3}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , x 1 {\displaystyle x_{1}}  : (14.1) x 1 = y 1 + 3 = 2 + 3 = 5 {\displaystyle x_{1}=y_{1}+3=2+3=5} . (14.2) x 2 = y 2 + 3 = ( − 1 + i 2 3 ) + 3 = 2 + i 2 3 {\displaystyle x_{2}=y_{2}+3=\left(-1+i2{\sqrt {3}}\right)+3=2+i2{\sqrt {3}}} . (14.3) x 3 = y 3 + 3 = ( − 1 − i 2 3 ) + 3 = 2 − i 2 3 {\displaystyle x_{3}=y_{3}+3=\left(-1-i2{\sqrt {3}}\right)+3=2-i2{\sqrt {3}}} . אלו הם שלושת שורשי המשוואה המקורית, שהיה עלינו למצאם ( x 3 − 9 x 2 + 36 x − 80 = 0 {\displaystyle x^{3}-9x^{2}+36x-80=0} ) . בדיקת נכונות הפתרונות (שורשים) שקיבלנו: על השורשים לקיים את התנאי הבא, זוהי האינדיקציה לנכונות הפתרון: (15) ( x − x 1 ) ⋅ ( x − x 2 ) ⋅ ( x − x 3 ) = 0 ⇒ x 3 − 9 x 2 + 36 x − 80 = 0 {\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\cdot \left(x-x_{2}\right)\cdot \left(x-x_{3}\right)=0\Rightarrow x^{3}-9x^{2}+36x-80=0} . כלומר, אם נציב את x 3 {\displaystyle x_{3}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , x 1 {\displaystyle x_{1}} שקיבלנו- בצדה השמאלי של משוואה (15) - נקבל את המשוואה המקורית, הנמצאת בצדה הימני של משוואה (15) : ( x − 5 ) ⋅ ( x − ( 2 + i 2 3 ) ) ⋅ ( x − ( 2 − i 2 3 ) ) = 0 ⇒ x 3 − 9 x 2 + 36 x − 80 = 0 {\displaystyle \left(x-5\right)\cdot \left(x-\left(2+i2{\sqrt {3}}\right)\right)\cdot \left(x-\left(2-i2{\sqrt {3}}\right)\right)=0\Rightarrow x^{3}-9x^{2}+36x-80=0} (לאחר פתיחת הסוגריים ופישוט המשוואה). מ.ש.ל. תזכורת: הפתרון הסתמך על בחירה שרירותית של השורש: w 1 = 27 {\displaystyle w_{1}=27} . בחירת השורש השני, w 2 = − 1 {\displaystyle w_{2}=-1} - תניב שורשים זהים לחלוטין של x {\displaystyle x} בסופו של התהליך- לאלו שקיבלנו זה עתה. עבור המשוואה: a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,} נפתור באמצעות הצבה בנוסחה הבאה: q = 3 a c − b 2 9 a 2 {\displaystyle q={\frac {3ac-b^{2}}{9a^{2}}}} r = 9 a b c − 27 a 2 d − 2 b 3 54 a 3 {\displaystyle r={\frac {9abc-27a^{2}d-2b^{3}}{54a^{3}}}} s = r + q 3 + r 2 3 {\displaystyle s={\sqrt[{3}]{r+{\sqrt {q^{3}+r^{2}}}}}} t = − q s = r − q 3 + r 2 3 {\displaystyle t=-{\frac {q}{s}}={\sqrt[{3}]{r-{\sqrt {q^{3}+r^{2}}}}}} הפתרונות הם: x 1 = s + t − b 3 a , {\displaystyle x_{1}=s+t-{\frac {b}{3a}},} x 2 = − 1 2 ( s + t ) − b 3 a + 3 2 ( s − t ) i , {\displaystyle x_{2}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3a}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i,} x 3 = − 1 2 ( s + t ) − b 3 a − 3 2 ( s − t ) i . {\displaystyle x_{3}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3a}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i.} ראשית לפני שנציב בנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שלישית לפי שיטה זו, עלינו לחלק את המשוואה הנ"ל במקדם של   x 3 {\displaystyle \ x^{3}} כך שתתקבל לפנינו משוואה מן הצורה:   x 3 + a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ x^{3}+ax^{2}+bx+c=0} עכשיו נציב: p = b − a 2 3 {\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}} q = c + 2 a 3 − 9 a b 27 {\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}} u = − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 {\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}} x = − p 3 u + u {\displaystyle x=-{\frac {p}{3u}}+u} שימו לב:   u {\displaystyle \ u} שווה לשורש שלישי של מספר מסוים ועל כן יש לו שלושה פתרונות אפשריים, שהם   u 1 , u 2 , u 3 {\displaystyle \ u_{1},u_{2},u_{3}} . עבור כל   u {\displaystyle \ u} שנציב יתקבל פתרון שונה (ונכון) עבור   x {\displaystyle \ x} . היתרונות של השיטה הזו לעומת השיטה הקודמת שהנוסחה הרבה יותר קצרה וניתן ללמוד אותה בעל פה ביתר קלות, אולם השימוש במספרים מרוכבים בנוסחה זו מסובך יותר מבנוסחה הקודמת ועל כן יש המחשיבים נוסחה זו למסובכת מן השנייה. חבורת גלואה של פולינום אי-פריק ממעלה שלישית היא תת-חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית על שלושת השורשים, ולכן היא שווה לתת-החבורה   A 3 {\displaystyle \ A_{3}} של התמורות הזוגיות, או לחבורה הסימטרית כולה. במקרה הראשון, למשוואה הריבועית שהוזכרה להלן יש שורשים בשדה (ואז נסמן K=F), ובמקרה השני פתרון המשוואה הריבועית מצריך הרחבה ריבועית K של F. בשני המקרים, הפולינום מתפרק לגורמים ליניאריים אחרי הרחבה רדיקלית מסדר 3 של השדה K. אפשר להפריד בין שני המקרים בעזרת הדיסקרימיננטה של הפולינום, שאותה אפשר לחשב באמצעות הנוסחה   Δ ( λ 3 − a λ + b ) = 4 a 3 − 27 b 2 {\displaystyle \ \Delta (\lambda ^{3}-a\lambda +b)=4a^{3}-27b^{2}} . כאשר הפולינום f אי-פריק, הדיסקרימיננטה שלו היא ריבוע בשדה הבסיס, אם ורק אם ההרחבה   F [ x ] / F [ x ] ⋅ f {\displaystyle \ F[x]/F[x]\cdot f} היא הרחבת גלואה. לעומת זאת, הדיסקרימיננטה של פולינום פריק ממעלה 3 היא ריבועית אם ורק אם הוא מתפצל לגורמים ליניאריים (משום ש-   Δ ( ( x − α ) ⋅ g ( x ) ) = g ( α ) 2 Δ ( g ) {\displaystyle \ \Delta ((x-\alpha )\cdot g(x))=g(\alpha )^{2}\Delta (g)} ). בפרט, הדיסקרימיננטה קובעת כמה פתרונות יש למשוואה ממעלה שלישית מעל הממשיים: אם הדיסקרימיננטה חיובית יש שלושה פתרונות ממשיים, ואם היא שלילית יש למשוואה פתרון אחד ממשי ושניים מרוכבים (צמודים זה לזה). פונקציה ממעלה שלישית משוואה ממעלה שנייה משוואה ממעלה רביעית משוואה ממעלה חמישית שבתאי אונגורו, מבוא לתולדות המתמטיקה (בשני חלקים), הוצאת אוניברסיטה משודרת, 1989. An Introduction to the Theory of Groups, J.J.Rotman, פרק 5, הוצאת Springer-Verlag. ג'ודי ואריה מלמד-כץ, "הגמר הגדול של שנת 1548", גליליאו 97, ספטמבר 2006. משוואה ממעלה שלישית, באתר MathWorld (באנגלית) באנגלית: Depressed cubic equation. באנגלית: Vieta's substitution. באנגלית: Tri-quadratic equation. הוכחה לכך למידע נוסף בנושא הקשר בין רדיאנים ומעלות, ראו ערך: רדיאן. נשאף להיפטר מהמכנה, על כן נכפיל את המונה והמכנה של y 2 {\displaystyle y_{2}} בשבר נוסף, שהן במונה והן במכנה שלו נכתב המספר הצמוד של המכנה של y 2 {\displaystyle y_{2}} . למידע נוסף אודות מספרים מרוכבים, הצמודים זה לזה, ראו ערך: מספר מרוכב.