חוק קירי

חוק קירי (באנגלית: Curie's law) הוא חוק פיזיקלי המקשר בין מגנטיזציה של חומר פאראמגנטי לבין השדה המגנטי המופעל עליו והטמפרטורה. הנוסחה המתארת את החוק היא: M = C H T {\displaystyle \mathbf {M} =C{\frac {\mathbf {H} }{T}}} כאשר: M היא המגנטיזציה שנוצרת כתוצאה מהפעלת השדה המגנטי H הוא השדה המגנטי T היא הטמפרטורה (המוחלטת) C הוא קבוע קירי שייחודי לכל חומר מילולית ניתן לתאר את החוק כך: "סוספטיביליות מגנטית של חומר פאראמגנטי נמצאת ביחס הפוך לטמפרטורה". כלומר, χ ∝ 1 T {\displaystyle \chi \propto {\frac {1}{T}}} , כאשר χ = ∂ M ∂ H {\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}} היא הסוספטיביליות המגנטית. החוק התגלה באופן ניסויי (על ידי התאמת התוצאות למודל שנחזה בהצלחה) על ידי פייר קירי. חוק קירי אינו תקף לכל החומרים הפאראמגנטיים אלא רק לחלקם (בעיקר מבודדים), ורק בתנאים מסוימים (טמפרטורה גבוהה או שדה מגנטי חלש). ניתן לקבל את חוק קירי מתוך המודל הבא של פאראמגנט. במודל זה מתייחסים לחומר כמורכב מחלקיקים בעלי מומנט מגנטי μ → {\displaystyle {\vec {\mu }}} . החלקיקים קבועים במקום ואין ביניהם אינטראקציה. בהנחות אלו האנרגיה של המומנט המגנטי בתוך השדה נתונה על ידי E = − μ → ⋅ H → {\displaystyle E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {H}}} במקרה פשוט של מומנט מגנטי בעל שני מצבים אפשריים (ספין 1/2) המומנט המגנטי יכול בכיוון השדה המגנטי או בכיוון המנוגד לשדה בלבד. אנרגיות מצבים אלו הן E0=-μH ו E1=μH פונקציית החלוקה של החלקיק במקרה זה תהיה: Z = ∑ n = 0 , 1 e − β E n = e β μ H + e − β μ H = 2 cosh ⁡ ( β μ H ) {\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-\beta E_{n}}=e^{\beta \mu H}+e^{-\beta \mu H}=2\cosh \left(\beta \mu H\right)} כאשר β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}} ו- k B {\displaystyle k_{B}} הוא קבוע בולצמן. את המומנט המגנטי הממוצע (=המגנטיזציה הממוצעת לחלקיק) ניתן למצוא באופן ישיר על ידי: ⟨ μ ⟩ = μ P ( + μ ) − μ P ( − μ ) = 1 Z ( μ e β μ H − μ e − β μ H ) , {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(+\mu \right)-\mu P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\beta \mu H}-\mu e^{-\beta \mu H}\right),} או על ידי גזירה של פונקציית החלוקה: ⟨ μ ⟩ = 1 H ∂ ∂ β log ⁡ Z . {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle ={1 \over H}{\frac {\partial }{\partial \beta }}\log Z.} התוצאה המתקבלת בכל אחת מדרכים אלו היא ⟨ μ ⟩ = μ tanh ⁡ ( β μ H ) {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\beta \mu H\right)} זו המגנטיזציה של ספין יחיד. כדי לקבל את המגנטיזציה של כל החומר יש להכפיל במספר החלקיקים N {\displaystyle N} . באופן זה מקבלים: M = N ⟨ μ ⟩ = N μ tanh ⁡ ( μ H k B T ) {\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu H \over k_{B}T}\right)} חוק קירי מתקבל מכאן בגבול של שדה מגנטי חלש וטמפרטורה גבוהה, כלומר במקרה בו מתקיים μ H k B T ≪ 1 {\displaystyle {\frac {\mu H}{k_{B}T}}\ll 1} . בגבול זה ניתן לקרב את ה-tanh לסדר ראשון ולקבל: M = N μ 2 k B H T {\displaystyle \mathbf {M} ={N\mu ^{2} \over k_{B}}{\mathbf {H} \over T}} וזה בדיוק חוק קירי, עם הקבוע C = N μ 2 k B {\displaystyle C={\frac {N\mu ^{2}}{k_{B}}}} . עבור מקרה של ספין J כללי קיימים יותר משני מצבים. חישוב דומה נותן:   M = N g μ B J B J ( x ) {\displaystyle \ M=Ng\mu _{B}JB_{J}(x)} כאשר g הוא מקדם לנדה, μ B {\displaystyle \mu _{B}} הוא מגנטון בוהר,   x = g μ B J H k B T {\displaystyle \ x={\frac {g\mu _{B}JH}{k_{B}T}}} ו-   B J ( x ) {\displaystyle \ B_{J}(x)} היא פונקציית ברילואן המוגדרת על ידי: B J ( x ) = 2 J + 1 2 J coth ⁡ ( 2 J + 1 2 J x ) − 1 2 J coth ⁡ ( 1 2 J x ) {\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)} גם כאן בגבול של טמפרטורות גבוהה ושדה חלש ניתן לקרב ולקבל:   M = N J ( J + 1 ) g 2 μ B 2 H 3 k B T {\displaystyle \ M={\frac {NJ(J+1)g^{2}\mu _{B}^{2}H}{3k_{B}T}}} ושוב קיבלנו את חוק קירי (עם קבוע שונה במקצת). מומנט מגנטי קלאסי יכול להסתובב באופן חופשי. במקרה זה האנרגיה של כל חלקיק תהיה: E = − μ H cos ⁡ ϕ , {\displaystyle E=-\mu H\cos \phi ,} כאשר φ היא הזווית בין המומנט המגנטי והשדה המגנטי. פונקציית החלוקה המתאימה היא Z = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ sin ⁡ ϕ exp ⁡ ( μ H β cos ⁡ ϕ ) . {\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi }d\phi \sin \phi \exp(\mu H\beta \cos \phi ).} ניתן לראות כי אין כל תלוי בזווית θ, וניתן להמיר את המשתנים לצורה y = cosφ על מנת להשיג Z = 2 π ∫ − 1 1 d y exp ⁡ ( μ H β y ) = 2 π exp ⁡ ( μ H β ) − exp ⁡ ( − μ H β ) μ H β = 4 π sinh ⁡ ( μ H β ) μ H β . {\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu H\beta y)=2\pi {\exp(\mu H\beta )-\exp(-\mu H\beta ) \over \mu H\beta }={4\pi \sinh(\mu H\beta ) \over \mu H\beta .}} בעקבות זאת, ערך התצפית של רכיב z של המגנטיזציה (כאשר מתייחסים לרכיבים האחרים כשווים לאפס) יהיה לפי הנוסחה ⟨ μ z ⟩ = 1 Z ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π d ϕ sin ⁡ ϕ μ cos ⁡ ϕ exp ⁡ ( μ H β cos ⁡ ϕ ) . {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi }d\phi \sin \phi \mu \cos \phi \exp(\mu H\beta \cos \phi ).} שוב, תוצאה זו ניתן לקבל גם על ידי גזירת פונקציית החלוקה: ⟨ μ z ⟩ = 1 Z H ∂ β Z . {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over ZH}\partial _{\beta }Z.} אם ממשיכים בתהליך הגזירה, מוצאים כי ⟨ μ z ⟩ = μ L ( μ H β ) , {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle =\mu L(\mu H\beta ),} כאשר L היא פונקציית לנז'בן: L ( x ) = coth ⁡ x − 1 x . {\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.} הפונקציה הזו אינה סינגולרית עבור x קטן. מבחינה מעשית, ההתנהגות שלה עבור ארגומנטים קטנים דומה לזו של הפונקציה tanh, כך שנוסחת הגבול שלמעלה מיושמת גם במקרה זה. חוק קירי הוא הבסיס להפעלה של תרמומטרים מגנטיים, המשמשים למדידת טמפרטורות מאוד נמוכות. Propriétés magnétiques des corps à diverses températures התזה של פייר קירי בה מופיע חוק קירי (בצרפתית)