נוטציה (פיזיקה)

בפיזיקה, נוטציה (באנגלית: Nutation) היא תנועת התנדנדות של ציר הסיבוב של גוף בעל סימטריה צירית, כמו למשל גירוסקופ, כוכב לכת או קליע במעופו, שיכולה להיווצר כתופעת לוואי של תנועה סיבובית מסוימת או כהתנהגות רצויה ומוכוונת של מנגנון מסוים. במערכת ייחוס מתאימה, ניתן להגדיר את תנועת הנוטציה כשינוי בזווית אוילר השנייה, המכונה גם "הזווית הפולרית". אם הנוטציה אינה נגרמת על ידי כוחות החיצוניים לגוף המסתובב, אז היא נקראת נוטציה חופשית או נוטציית אוילר; נוטציה חופשית כזאת לא תיתכן עבור סביבון סימטרי אלא רק עבור סביבון אסימטרי. "נוטציה טהורה" היא תנועה של ציר הסיבוב כך שזווית אוילר הראשונה קבועה. באיור משמאל, הקו האדום המסולסל בא לתאר את השילוב של הפרצסיה (נקיפה) והנוטציה כפי שבא לידי ביטוי בתנועת ציר הסיבוב, בעוד שנוטציה בהיעדר פרצסיה תשנה רק את ההטיה של ציר הסיבוב ביחס לאנך (זווית אוילר השנייה). אם סביבון מוצב בהטיה מסוימת ביחס לאנך על משטח אופקי בעודו סובב במהירות סביב צירו, ציר הסיבוב שלו יתחיל לבצע פרצסיה ביחס לאנך. לאחר פרק זמן קצר, הסביבון מתייצב בתנועה כזאת שבה כל נקודה על ציר הסיבוב שלו מבצעת תנועה מעגלית ביחס לאנך. הכוח האנכי של הכבידה מפיק מומנט אופקי τ ביחס לנקודת המגע של הסביבון עם המשטח; ציר הסביבון יבצע תנועת פרצסיה בכיוון המומנט הרגעי הזה במהירות זוויתית Ω כך שבכל רגע מתקיים: τ = Ω × L , {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} ,} כאשר L הוא התנע הזוויתי הרגעי של הסביבון. במצב ההתחלתי של תנועת הסביבון, לעומת זאת, אין תנועת פרצסיה, כך שחלקו העליון של הסביבון נופל קודם הצידה ומטה, תנועה שבתורה מפיקה את הפרצסיה. תנאי ההתחלה גורמים לחוסר איזון במומנטים שמאתחלים את הפרצסיה. בנפילתו הצידה ומטה (ברגעים הראשונים שלאחר שחרורו), הסביבון צובר מהירות זוויתית גבוהה בכיוון הזווית הפולרית θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} , ולפיכך הוא חוצה את מפלס ההטיה שבו הוא יכול לבצע פרצסיה יציבה, כשלאחר מכן הוא מתנדנד באופן מחזורי ביחס למפלס הזה. תנודה זאת בזווית הפולרית היא שמכונה "נוטציה". אם התנועה מרוסנת, התנודות הללו ידעכו בחלוף הזמן עד אשר התנועה המתקבלת היא פרצסיה יציבה. הפיזיקה של נוטציה בסביבונים וגירוסקופים ניתנת לתיאור באמצעות המודל של סביבון סימטרי אשר קצהו הנוגע ברצפה קבוע במקומו (סביבון סימטרי הוא סביבון בעל סימטריה צירית, או באופן כללי יותר סביבון שבו שניים ממומנטי ההתמד הראשיים שווים). המנח המרחבי של הסביבון ניתן לתיאור באמצעות שלוש זוויות אוילר: זווית ההטיה θ של ציר הסימטריה של הסביבון ביחס לאנך (זווית אוילר השנייה), האזימוט φ של הסביבון ביחס לאנך (זווית אוילר הראשונה), וזווית הסיבוב ψ ביחס לציר הסיבוב העצמי שלו (זווית אוילר השלישית). לפיכך, פרצסיה היא השינוי ב-φ ונוטציה היא השינוי ב-θ. אם לסביבון יש מסה M ומרכז המסה שלו מצוי במרחק l מנקודת המשען שלו, אז האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית שלו ביחס למישור האופקי היא: V = M g l cos ⁡ ( θ ) . {\displaystyle V=Mgl\cos(\theta ).} במערכת הצירים הראשיים של הגוף, שבה נגדיר את ציר z להיות ציר הסימטריה, לסביבון יש מהירויות זוויתיות ω1, ω2, ω3 ומומנטי התמד I1, I2, I3 ביחס לצירים x,y וציר ה-z. מכיוון שאנו מתייחסים לסביבון סימטרי, מתקיים I1=I2. האנרגיה הקינטית של הסביבון היא לפיכך: E r = 1 2 I 1 ( ω 1 2 + ω 2 2 ) + 1 2 I 3 ω 3 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left(\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}.} ומכיוון שאנו מתארים את המנח המרחבי ותנועת הסביבון במערכת המעבדה בעזרת זוויות אוילר, יש "לתרגם" את תיאור תנועת הסביבון דרך זוויות אוילר למערכת הגוף של הסביבון. הקשר בין המהירויות הזוויתיות (ω1, ω2, ω3) של הסביבון סביב כל אחד מהצירים הראשיים שלו למנח המרחבי והנגזרות לפי הזמן של זוויות אוילר מאפשר לבטא את האנרגיה הקינטית של הסביבון בעזרת זוויות אוילר ונגזרותיהן לפי הזמן: E r = 1 2 I 1 ( θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 sin 2 ⁡ ( θ ) ) + 1 2 I 3 ( ψ ˙ + ϕ ˙ cos ⁡ ( θ ) ) 2 . {\displaystyle E_{\text{r}}={\frac {1}{2}}I_{1}\left({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}(\theta )\right)+{\frac {1}{2}}I_{3}\left({\dot {\psi }}+{\dot {\phi }}\cos(\theta )\right)^{2}.} ואם נפעיל את משוואות אוילר לגראנז' על כל אחת מקואורדינטות התנועה (זוויות אוילר) בלגראנז'יאן המתקבל, אז נמצא שהתנועה המתקבלת תלויה בשני קבועי תנועה a ו-b, המתקבלים כל אחד מחלוקת התנעים הקנוניים השמורים p ϕ , p ψ {\displaystyle p_{\phi },p_{\psi }} (הצמודים לקואורדינטות הציקליות ϕ , ψ {\displaystyle \phi ,\psi } ) במומנט ההתמד I 1 {\displaystyle I_{1}} . קצב הפרצסיה קשור להטיה דרך המשוואה: ϕ ˙ = b − a cos ⁡ ( θ ) sin 2 ⁡ ( θ ) . {\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {b-a\cos(\theta )}{\sin ^{2}(\theta )}}.} בעוד שההטיה נקבעת על פי משוואה דיפרנציאלית עבור המשתנה u = cos(θ) מהצורה u ˙ 2 = f ( u ) {\displaystyle {\dot {u}}^{2}=f(u)} כאשר f הוא פולינום ממעלה שלישית שמקדמיו תלויים בקבועים a ו-b כמו גם בקבועים הקשורים לאנרגיה הכוללת של המערכת ולמומנט הכבידתי. השורשים של f הן הזוויות שבהן קצב השינוי של θ הוא אפס. אחד מהם אינו קשור לזווית בעלת משמעות פיזיקלית כלשהי; השניים האחרים קובעים את החסם העליון והתחתון על זווית ההטיה, אשר ביניהם הסביבון מתנדנד. זמן המחזור של תנודת הנוטציה הוא: T = 2 ∫ u m i n u m a x d u f ( u ) {\displaystyle T=2\int _{u_{min}}^{u_{max}}{\frac {du}{\sqrt {f(u)}}}} ומכיוון ש-f הוא פולינום ממעלה שלישית, האינטגרל המתקבל הוא אינטגרל אליפטי, כך שזמן המחזור אינו ניתן לביטוי באמצעות פונקציות אלמנטריות. כפי שהוסבר מקודם, התדירות Ω של תנועת פרצסיה יציבה (ללא תנודות נוטציה) מקיימת את הקשר τ = Ω × L {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {\Omega } \times \mathbf {L} } . אולם, מכיוון שהתנע הזוויתי של הסביבון ביחס לנקודת המשען (שמסומן L) משתנה בעצמו עקב תנועת הפרצסיה, קשר זה מוביל למשוואה ריבועית בנעלם Ω במקום למשוואה ליניארית בה, וכמו כן יש תלות שלה בזווית ההטיה θ של ציר הסביבון. ניתן להביע את התנע הזוויתי הכולל הרגעי של הסביבון במערכת הסביבון באופן הבא: L = I 1 ( ω 1 x ^ + ω 2 y ^ ) + I 3 ω 3 z ^ {\displaystyle L=I_{1}(\omega _{1}{\hat {x}}+\omega _{2}{\hat {y}})+I_{3}\omega _{3}{\hat {z}}} וכדי להביע את התנע הזוויתי במערכת הסביבון באמצעות זוויות אוילר, ניתן להיעזר בכללים: ω 1 = ϕ ˙ s i n θ s i n ψ + θ ˙ c o s ψ {\displaystyle \omega _{1}={\dot {\phi }}\mathbb {sin\theta sin\psi } +{\dot {\theta }}\mathbb {cos\psi } } ω 2 = ϕ ˙ s i n θ c o s ψ − θ ˙ s i n ψ {\displaystyle \omega _{2}={\dot {\phi }}\mathbb {sin\theta cos\psi } -{\dot {\theta }}\mathbb {sin\psi } } ω 3 = ϕ ˙ c o s θ + ψ ˙ {\displaystyle \omega _{3}={\dot {\phi }}\mathbb {cos\theta } +{\dot {\psi }}} מכיוון שאנו חותרים לפתרון שמייצג פרצסיה יציבה ללא נוטציה, יש להניח θ ˙ = 0 , ϕ ˙ = Ω s t a b l e {\displaystyle {\dot {\theta }}=0,{\dot {\phi }}=\Omega _{stable}} , ולאחר פישוט של הביטויים מתקבל הביטוי הבא לתנע הזוויתי הכולל של הסביבון: L = I 1 Ω s t a b l e s i n θ ψ ^ + I 3 ( Ω s t a b l e c o s θ + ψ ˙ ) z ^ {\displaystyle L=I_{1}\Omega _{stable}\mathbb {sin\theta } {\hat {\psi }}+I_{3}(\Omega _{stable}\mathbb {cos\theta } +{\dot {\psi }}){\hat {z}}} המומנט שמפעיל כוח הכובד על הסביבון הוא τ = m g l s i n θ x ^ ′ {\displaystyle \tau =mgl\mathbb {sin\theta } {\hat {x}}'} , כך שצריך להתקיים הקשר: τ = ( I 1 Ω s t a b l e s i n θ ψ ^ + I 3 ( Ω s t a b l e c o s θ + ψ ˙ ) z ^ ) × Ω s t a b l e z ^ ′ {\displaystyle \tau =(I_{1}\Omega _{stable}\mathbb {sin\theta } {\hat {\psi }}+I_{3}(\Omega _{stable}\mathbb {cos\theta } +{\dot {\psi }}){\hat {z}})\times \Omega _{stable}{\hat {z}}'} אולם מתקיים: z ^ × z ^ ′ = s i n θ x ^ ′ , ψ ^ × z ^ ′ = − c o s θ x ^ ′ {\displaystyle {\hat {z}}\times {\hat {z}}'=\mathbb {sin\theta } {\hat {x}}',{\hat {\psi }}\times {\hat {z}}'=-\mathbb {cos\theta } {\hat {x}}'} , ולכן מקבלים את המשוואה הריבועית: m g l s i n θ = − I 1 Ω s t a b l e 2 s i n θ c o s θ + I 3 ( Ω s t a b l e 2 c o s θ s i n θ + ψ ˙ Ω s t a b l e s i n θ ) {\displaystyle mgl\mathbb {sin\theta } =-I_{1}\Omega _{stable}^{2}\mathbb {sin\theta cos\theta } +I_{3}(\Omega _{stable}^{2}\mathbb {cos\theta sin\theta } +{\dot {\psi }}\Omega _{stable}\mathbb {sin\theta } )} שלאחר פישוט הופכת ל-: m g l = ( I 3 − I 1 ) c o s θ Ω s t a b l e 2 + ( I 3 ψ ˙ ) Ω s t a b l e {\displaystyle mgl=(I_{3}-I_{1})\mathbb {cos\theta } \Omega _{stable}^{2}+(I_{3}{\dot {\psi }})\Omega _{stable}} בגבול שבו המהירות הזוויתית ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}} של סיבוב הסביבון ביחס לצירו העצמי היא גבוהה מאוד ביחס למהירות הזוויתית ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\phi }}} של פרצסיית ציר הסביבון, מקבלים שהנוטציה של ציר הסביבון זניחה. עובדה זאת מסבירה מדוע ככל שמסובבים סביבון מהר יותר, צירו נוטה להתייצב קרוב יותר לאנך וכמו כן תנודת הנוטציה שלו זעירות בהשוואה לזו של סביבון איטי. ההסבר הפיזיקלי האינטואיטיבי לכך הוא שבגבול שבו מתקיים ψ ˙ >> ϕ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}>>{\dot {\phi }}} , מהמשוואה הריבועית למהירות הפרצסיה (שנגזרה בפסקה הקודמת) עולה שערך מהירות הפרצסיה יחסי הפוך למהירות הסיבוב העצמי של הסביבון: Ω s t a b l e = m g l I 3 ψ ˙ , {\displaystyle \Omega _{stable}={\frac {mgl}{I_{3}{\dot {\psi }}}},} כך שעבור סביבון מהיר קצב הפרצסיה בהכרח קטן עם הגדלת ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}} , ולכן מרכז המסה צריך לרדת רק מעט כדי להרוויח את האנרגיה הקינטית של תנועתו המעגלית (הפרצסיה) ביחס לאנך למשטח האופקי עליו מוצב הסביבון. במילים אחרות, מרכז המסה נופל מעט כדי להמיר אנרגיה פוטנציאלית כובדית באנרגיה הקינטית הנדרשת כדי לקיים תנועת פרצסיה יציבה במהירות Ω s t a b l e {\displaystyle \Omega _{stable}} - ומכיוון שזו קטנה עם הגדלת קצב הסיבוב העצמי ψ ˙ {\displaystyle {\dot {\psi }}} , מרכז המסה צריך לרדת מעט יותר בהשוואה לסביבון איטי. בגבול שבו הסביבון סובב סביב צירו לאט יחסית, אפשר להניח שעיקר התנועה של הסביבון מורכב מפרצסיה ונוטציה, מה שבא לידי ביטוי בהנחה המתמטית ψ ˙ << Ω s t a b l e {\displaystyle {\dot {\psi }}<<\Omega _{stable}} . בגבול זה, מהמשוואה הריבועית למהירות הפרצסיה עולה ש-: Ω s t a b l e = m g l ( I 3 − I 1 ) c o s θ {\displaystyle \Omega _{stable}={\sqrt {\frac {mgl}{(I_{3}-I_{1})\mathbb {cos\theta } }}}} ובגלל מהירות הפרצסיה הגבוהה שהסביבון צריך לרכוש על מנת להגיע ליציבות, תנועת סביבון איטי תהיה מלווה בתנודות נוטציה גדולות, וניתן לחזות בכך דרך התבוננות בשלבי הדעיכה האחרונים של תנועת סביבון. הנוטציה של ציר הסיבוב של כוכב לכת נוצרת בגלל השפעות הכבידה של כוכבים אחרים. האסטרונום האנגלי ג'יימס בראדלי גילה את הנוטציה של ציר הסיבוב של כדור הארץ ב-1728. תופעת הנוטציה משנה בעדינות את נטיית ציר הסיבוב של כדור הארץ ביחס למישור המילקה, ובכך מזיזה באיטיות את קווי הרוחב העיקריים המוגדרים על ידי נטיית ציר כדור הארץ. במקרה של כדור הארץ, המקורות העיקריים לכוחות גאות הם השמש והירח, אשר משנים ברציפות את מיקומם השמיימי היחסי והשפעתן הכבידתית גורמת לנוטציה בציר כדור הארץ. לרכיב הגדול ביותר של נוטציית כדור הארץ יש זמן מחזור של 18.61 שנים, בדיוק כמו זמן המחזור של נסיגת קו הצמתים של מסלול הירח. עם זאת, ישנם איברים מחזוריים אחרים שיש צורך להתחשב בהם בתלות בדיוק הרצוי של התוצאה. בתאוריית הנוטציה של כדור הארץ, הפרמטרים שמתארים את הנוטציה עוברים התאמה באופן אד-הוקי כדי להשיג תאימות מרבית בין התאוריה לממצאים תצפיתיים. תאוריית המכניקה של גוף קשיח הפשטנית לא מניבה תאוריה שמסבירה את נוטציית כדור הארץ באופן מספק; במקומה, יש צורך לקחת בחשבון דפורמציות של כדור הארץ, כולל את האי-אלסטיות של מעטפת כדור הארץ ושינויים בקו שמפריד בין המעטפת לגלעין כדור הארץ. נקיפת ציר כדור הארץ ליברציה מדיה וקבצים בנושא נוטציה בוויקישיתוף עבור סביבון סימטרי ללא מומנט חיצוני, רק תנועת פרצסיה של ציר הסיבוב אפשרית. סביבון שכל מומנטי ההתמד הראשיים שלו שונים