קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים

עובדת קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים הוכחה לראשונה על ידי המתמטיקאי היווני אוקלידס (יסודות, ספר IX). בשל חשיבותם המרכזית של המספרים הראשוניים בתורת המספרים, מתמטיקאים רבים השתעשעו במציאת הוכחות נוספות לאותה תוצאה. משפט: בין המספרים הטבעיים ישנם אינסוף ראשוניים. הוכחה: באינדוקציה מתמטית, אפשר לראות שכל מספר טבעי גדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני: אם הוא ראשוני, הוא מתחלק בעצמו. אחרת הוא פריק, ויש לו גורם גדול מ-1; לגורם הזה יש מחלק ראשוני לפי הנחת האינדוקציה. עתה נניח בשלילה שיש רק מספר סופי של ראשוניים: p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}} . נסתכל במספר N = p 1 p 2 ⋯ p n + 1 {\displaystyle N=p_{1}p_{2}\cdots p_{n}+1} . ברור שמספר זה לא מתחלק באף p i {\displaystyle p_{i}} כי לכל חלוקה כזאת השארית היא 1. על-כן, N {\displaystyle N} אינו מתחלק באף מספר ראשוני, בסתירה לכך ש- N > 1 {\displaystyle N>1} . הוכחה זו מציעה אלגוריתם לבניית סדרה של מספרים ראשוניים: בהינתן הראשוניים p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}} , הראשוני הבא p n + 1 {\displaystyle p_{n+1}} מוגדר בתור הגורם הראשוני הקטן ביותר של N = p 1 ⋯ p n + 1 {\displaystyle N=p_{1}\cdots p_{n}+1} . הסדרה המתקבלת, שאבריה הראשונים הם 2, 3, 7, 43, 13, 53, 5 ו-6221671, נקראת סדרת אוקלידס-מולין. מההוכחה אפשר להסיק שקיימים לפחות log 2 ⁡ ( log 2 ⁡ ( x ) ) {\displaystyle \log _{2}(\log _{2}(x))} ראשוניים הקטנים מ- x {\displaystyle x} . חסמים טובים יותר, כמו זה המתקבל ממשפט המספרים הראשוניים, דורשים מאמץ גדול בהרבה. ההוכחה המקורית הופיעה בספר "יסודות" של אוקלידס, טענה IX.20. ב-1737 ניסח אוילר את השוויון (הבעייתי, כפי שיוסבר מיד) ∑ n = 1 ∞ 1 n = ∏ p ( 1 − 1 p ) − 1 {\displaystyle \sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}} באגף שמאל מופיע הטור ההרמוני, המתבדר לאינסוף; לכן המכפלה באגף ימין (העוברת על כל הראשוניים) מוכרחה להיות אינסופית – ומכאן שיש אינסוף ראשוניים. הטעון בצורתו זאת בעיתי מכיוון שהוא משווה ביטויים אינסופיים. אחת הדרכים להתמודד עם בעיה זאת היא להניח מראש בשלילה שיש מספר סופי של ראשוניים, ואז הביטוי באגף ימין הוא מכפלה סופית של טורים הנדסיים חיוביים מתכנסים מה שגורר שהביטוי באגף שמאל צריך להתכנס. דרך נוספת להתמודד עם הבעיתיות בטיעון, שהוצגה למשל על ידי קרונקר בקורס שהעביר בשנים 1876–1875 היא להחליף את נוסחת המכפלה למעלה במכפלת אוילר של פונקציית זטא: ∑ n = 1 ∞ 1 n s = ∏ p ( 1 − 1 p s ) − 1 {\displaystyle \sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}} המתארת שוויון בין שני ביטויים מוגדרים היטב כאשר s > 1 {\displaystyle s>1} הוא פרמטר ממשי. כעת הגבול באגף שמאל, כאשר s → 1 + {\displaystyle s\to 1^{+}} , הוא אינסופי ולכן כך גם הגבול של אגף ימין. מכאן שיש אינסוף ראשוניים. ב-1899 הציע המתמטיקאי J. Braun הוכחה אחרת המבוססת על מכפלת אוילר: אם מציבים בשוויון לעיל s = 2 {\displaystyle s=2} , מתקבל באגף שמאל π 2 6 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}} (ראו בעיית בזל), ומכיוון שהמונה אינו רציונלי, המכפלה באגף ימין מוכרחה להיות אינסופית. ניתן להוכיח את המשפט משיקולי ספירה. נניח בשלילה שיש רק k {\displaystyle k} מספרים ראשוניים, נסמנם p 1 , … , p k {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}} . על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה, כל מספר n {\displaystyle n} ניתן לבטא באמצעות סדרה x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}} כאשר n = p 1 x 1 ⋯ p k x k {\displaystyle n=p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}} . לפיכך, אם נקבע מספר כלשהו N {\displaystyle N} , ניתן לחסום את כמות המספרים מ-1 עד N {\displaystyle N} (שהיא כמובן N {\displaystyle N} ) על ידי כמות הסדרות הללו שמסוגלות לבטא מספרים עד N {\displaystyle N} . בסדרה כזאת, המספר ה- i {\displaystyle i} מוכרח להיות קטן מ- log p i ⁡ ( N ) {\displaystyle \log _{p_{i}}(N)} (שהרי p i x i ≤ N {\displaystyle p_{i}^{x_{i}}\leq N} ) ולכן כמות הסדרות הכללי קטן מ- log p 1 ⁡ ( N ) ⋯ log p k ⁡ ( N ) ≤ log 2 ⁡ ( N ) k {\displaystyle \log _{p_{1}}(N)\cdots \log _{p_{k}}(N)\leq \log _{2}(N)^{k}} . קיבלנו N ≤ log 2 ⁡ ( N ) k {\displaystyle N\leq \log _{2}(N)^{k}} וזאת סתירה עבור N {\displaystyle N} גדול מספיק. דרך נוספת לנסח את הטיעון היא עם סיבוכיות קולמוגורוב: לו היו k {\displaystyle k} ראשוניים, סיבוכיות קולמוגורוב של מספר הייתה מסדר גודל של k כפול log log N (כי מספיק להציג אותו רק באמצעות סדרת המעריכים x 1 , … , x k {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}} ) וזאת סתירה לכך שייצוג חייב להיות לפחות לוגריתמי. ב-1952, בהיותו סטודנט בישיבה יוניברסיטי, מצא הלל פורסטנברג הוכחה הנעזרת במושגים בסיסיים בטופולוגיה. נתבונן בחוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } עם הטופולוגיה הפרו-סופית: הקבוצה הופכת למרחב טופולוגי על ידי בחירת הבסיס הכולל את כל הסדרות החשבוניות, a Z + b {\displaystyle a\mathbb {Z} +b} (זהו בסיס, מכיוון שהחיתוך של שתי סדרות חשבוניות הוא סדרה חשבונית). המשלים של כל סדרה חשבונית הוא איחוד של מספר סופי של סדרות חשבוניות (בעלות אותו הפרש), ולכן כל סדרה חשבונית מהווה גם קבוצה סגורה. מכיוון שלכל מספר שלם, פרט ל- ± 1 {\displaystyle \pm 1} , יש גורם ראשוני, האיחוד ⋃ p Z {\displaystyle \bigcup p\mathbb {Z} } העובר על כל הראשוניים, שווה לקבוצה Z − { ± 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} -\{\pm 1\}} . אם מספר הראשוניים היה סופי, זה היה איחוד של מספר סופי של קבוצות סגורות, ולכן הוא קבוצה סגורה; ואם כך, המשלים שלה { ± 1 } {\displaystyle \{\pm 1\}} הוא קבוצה פתוחה. אבל זו קבוצה סופית, שהיא קטנה מכדי להכיל סדרה חשבונית, ולכן אינה יכולה להיות פתוחה – בסתירה להנחה. למעשה מדובר בהוכחתו של אוקלידס (לעיל) ב"תחפושת": מעקב זהיר אחרי הקבוצה הפתוחה שנבנית ילמד שהסדרה החשבונית שהיא אמורה להכיל היא סדרה שההפרש שלה הוא מכפלת כל הראשוניים (בהנחה שיש מספר סופי שלהם). היא מכילה את 1, ולכן המספר הבא שהיא אמורה להכיל הוא מכפלת כל הראשוניים ועוד 1. המאפיין של האיברים בקבוצה הפתוחה הזאת הוא בדיוק המספרים שאינם מתחלקים באף ראשוני. הסתירה המתקבלת אם כך נובעת מכך שהנחת מספר סופי של ראשוניים הובילה לכך שמכפלתם ועוד 1 חייבת להתחלק באחד מהם – בדיוק כמו בהוכחתו של אוקלידס. ב-1737 הציג אוילר לראשונה הוכחה לכך שטור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר. ההוכחה של אוילר הייתה בעייתית מאותה סיבה שהוכחתו הישירה הייתה בעייתית. גם במקרה הזה זכתה הוכחתו לטיפול קפדני שמנע את הבעייתיות בה. תוצאה זו גוררת את קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, שכן טור עם מספר סופי של איברים לא יכול להתבדר. את ההוכחה של אוקלידס אפשר לשנות בקלות יחסית, כדי להראות שקיימים אינסוף ראשוניים בסדרות חשבוניות מסוימות. כך למשל, אם מתבוננים במספר N = 4 p 1 ⋯ p n − 1 {\displaystyle N=4p_{1}\cdots p_{n}-1} אפשר להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים המשאירים שארית 3 בחלוקה ל-4. הוכחות אלמנטריות מטיפוס זה מאפשרות לטפל בעיקר בסדרות מהצורה a n + 1 {\displaystyle an+1} או a n + ( a − 1 ) {\displaystyle an+(a-1)} (אדואר לוקאס נעזר בסדרות לוקאס כדי להוכיח שיש אינסוף מספרים ראשוניים מהצורה 5 n + 2 {\displaystyle 5n+2} ומהצורה 8 n + 5 {\displaystyle 8n+5} ). שיטות אלה אינן די חזקות להוכיח שקיימים אינסוף ראשוניים בכל סדרה חשבונית בה האיבר הראשון והפרש הסדרה הם מספרים טבעיים זרים. תוצאה זו הושגה על ידי דיריכלה ב-1837, ונקראת משפט דיריכלה. ב-1896 הוכיחו אדמר וואלה פוסן (באופן בלתי תלוי) את משפט המספרים הראשוניים הקובע כי מספר הראשוניים הקטנים מ- n {\displaystyle n} אסימפטוטי ל- n ln ⁡ ( n ) {\displaystyle {\frac {n}{\ln(n)}}} . המשפט קובע את הקצב בו עולה מספר הראשוניים לאינסוף. השערת ברטראן קובעת שלכל n {\displaystyle n} טבעי ישנו מספר ראשוני בין n {\displaystyle n} ל- 2 n {\displaystyle 2n} . את ההשערה הוכיח פפנוטי צ'בישב בשנת 1850. L.E.Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. 1, Chapter XVIII: theory of prime numbers. ארז גרטי, מספרים ראשוניים – אבני היסוד של המתימטיקה, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 11 ביולי 2011 גדי אלכסנדרוביץ', ההוכחה הטופולוגית לקיום אינסוף ראשוניים, באתר "לא מדויק", 16 במרץ 2009 גדי אלכסנדרוביץ', הוכחת אוילר לקיום אינסוף ראשוניים, באתר "לא מדויק", 17 במאי 2009 קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים, באתר MathWorld (באנגלית) Euclid's Elements Book IX Proposition 20 (באנגלית)