שבר מחזורי

במתמטיקה, שבר מחזורי הוא ביטוי אינסופי הכתוב כשבר עשרוני על-פי השיטה העשרונית או שיטת ספירה אחרת, שבו הספרות שמימין לנקודה העשרונית חוזרות על עצמן ממקום מסוים ואילך. לדוגמה,   42.3718181818... {\displaystyle \ 42.3718181818...} . ביטוי כזה מייצג מספר רציונלי, כלומר, מנה של שני מספרים שלמים (הקרויה גם שבר). את המחזור מקובל לציין בקו מחבר מעל לספרות החוזרות: כותבים   42.37 18 ¯ {\displaystyle \ 42.37{\overline {18}}} במקום   42.3718181818... {\displaystyle \ 42.3718181818...} , ו-   0. 3 ¯ {\displaystyle \ 0.{\overline {3}}} במקום   0.333... {\displaystyle \ 0.333...} . לכל מספר רציונלי חיובי n m {\displaystyle {\tfrac {n}{m}}} יש הצגה כביטוי עשרוני   a 0 . a 1 a 2 … {\displaystyle \ a_{0}.a_{1}a_{2}\dots } , שבו   a 0 {\displaystyle \ a_{0}} הוא מספר שלם, ואילו   a 1 , a 2 , … {\displaystyle \ a_{1},a_{2},\dots } המופיעים אחרי הנקודה הם ספרות מהקבוצה   { 0 , 1 , 2 , … , 9 } {\displaystyle \ \{0,1,2,\dots ,9\}} . בהנחה שהשבר n m {\displaystyle {\tfrac {n}{m}}} מצומצם, יש לו הצגה סופית (כזו שבה הספרות   a i {\displaystyle \ a_{i}} שוות לאפס ממקום מסוים ואילך) אם ורק אם   m {\displaystyle \ m} מחלק חזקה כלשהי של 10; בכל מקרה אחר, יש לו הצגה (יחידה) כשבר מחזורי. טענה זו נכונה בכל בסיס: הפיתוח הוא סופי אם ורק אם המכנה מחלק חזקה כלשהי של הבסיס, ואחרת הפיתוח מחזורי (השבר 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} , למשל הוא שבר מחזורי בשיטה העשרונית, אך יש לו הצגה סופית בבסיס טרנרי, שבו ערכו 0.1). את השבר המחזורי   0.999 … {\displaystyle \ 0.999\dots } אפשר להציג גם כביטוי עשרוני סופי - הוא שווה ל-1. כך הדבר בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה 9 (ובבסיס b, בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה b-1). להרחבה בנושא ראו 0.999.... המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית - השבר 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} , למשל, נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה. נקח לדוגמה את השבר המחזורי ...0.166666, אפשר להציב אותו במשתנה X, כך: X = 0.1 6 ¯ {\displaystyle X=0.1{\overline {6}}} לזה נקרא 1# את 1# עכשיו נכפיל ב-10, כך: 10 X = 1. 6 ¯ {\displaystyle 10X=1.{\overline {6}}} ולזה נקרא 2# כאן פשוט נחסר את 1# מ-2# ונקבל 10 X − X = 9 X = 1. 6 ¯ − 0.1 6 ¯ = 1.5 {\displaystyle 10X-X=9X=1.{\overline {6}}-0.1{\overline {6}}=1.5} X = 1.5 9 = 1 6 {\displaystyle X={\tfrac {1.5}{9}}={\tfrac {1}{6}}} במקרים שונים צריך להכפיל את X במספר שונה, העיקרון הוא להכפיל אותו פי [מספר הספרות שיחזרו על עצמן]^10. דוגמה שתסייע להבנת ההליך הכללי שמופיע בהמשך: ניקח למשל את השבר העשרוני האינסופי x = 0.37373737... = 0.37 ¯ {\displaystyle x=0.37373737...={\overline {0.37}}} אורך המחזור הוא 2 ספרות. נכפיל בעשר בחזקת אורך המחזור ונקבל x ⋅ 10 2 = x ⋅ 100 = 37 + 0. 37 ¯ {\displaystyle x\cdot 10^{2}=x\cdot 100=37+0.{\overline {37}}} נחסיר את המשוואה הראשונה מהשנייה ונפשט את הביטוי: 100 ⋅ x − x = 37. 37 ¯ − 0. 37 ¯ ⟹ 99 x = 37 ⟹ x = 37 / 99 {\displaystyle 100\cdot x-x=37.{\overline {37}}-0.{\overline {37}}\implies 99x=37\implies x=37/99} מצאנו שהשבר הרציונלי הוא 37/99. הוכחה כללית עבור כל שבר עשרוני מחזורי. אותה שיטת הוכחה ניתנת ליישום בכל בסיס, לאו דווקא בבסיס 10: על-פי ההגדרה, השבר   a 0 . a 1 a 2 … {\displaystyle \ a_{0}.a_{1}a_{2}\dots } שווה לסכום האינסופי   x = a 0 + a 1 10 + a 2 10 2 + … {\displaystyle \ x=a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\dots } , שהוא מספר ממשי. נראה שאם הספרות   a 1 , a 2 , … , {\displaystyle \ a_{1},a_{2},\dots ,} חוזרות על עצמן (ממקום מסוים ואילך), התוצאה היא מספר רציונלי. ראשית, אפשר להכפיל את המספר הנתון בחזקה גבוהה של 10, ואז לחסר את החלק השלם - כך שיתקבל שבר "מחזורי טהור", היינו ביטוי מהצורה   x = 0. a 1 a 2 … a k ¯ {\displaystyle \ x=0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{k}}}} . אם נראה שמספר זה הוא רציונלי, יתברר שגם המספר המקורי רציונלי. ואכן, לפי הגדרת המחזוריות   10 k x = 10 k − 1 a 1 + 10 k − 2 a 2 + ⋯ + 10 a k − 1 + a k + x {\displaystyle \ 10^{k}x=10^{k-1}a_{1}+10^{k-2}a_{2}+\dots +10a_{k-1}+a_{k}+x} , ולכן   x = 10 k − 1 a 1 + 10 k − 2 a 2 + ⋯ + 10 a k − 1 + a k 10 k − 1 {\displaystyle \ x={\frac {10^{k-1}a_{1}+10^{k-2}a_{2}+\dots +10a_{k-1}+a_{k}}{10^{k}-1}}} . נתון מספר רציונלי חיובי   x = n m {\displaystyle \ x={\frac {n}{m}}} (כאשר n ו-m שלמים). נפרק את m למכפלה:   m = m 0 m 1 {\displaystyle \ m=m_{0}m_{1}} , כאשר   m 0 {\displaystyle \ m_{0}} מורכב מן החזקות הגבוהות ביותר של 2 ו- 5 המחלקות את m, ואילו   m 1 {\displaystyle \ m_{1}} זר ל-10. כעת קיים k כך ש-   m 0 {\displaystyle \ m_{0}} מחלק את   10 k {\displaystyle \ 10^{k}} , ואפשר לכתוב   x = n ( 10 k / m 0 ) 10 k m 1 {\displaystyle \ x={\frac {n(10^{k}/m_{0})}{10^{k}m_{1}}}} . לפי משפט אוילר, קיים מספר t כך ש-   10 t − 1 {\displaystyle \ 10^{t}-1} יתחלק ב-   m 1 {\displaystyle \ m_{1}} (למעשה t מחלק את   ϕ ( m 1 ) {\displaystyle \ \phi (m_{1})} , כאשר   ϕ {\displaystyle \ \phi } היא פונקציית אוילר). נסמן   N = n 10 k m 0 10 t − 1 m 1 {\displaystyle \ N=n{\frac {10^{k}}{m_{0}}}{\frac {10^{t}-1}{m_{1}}}} , ונחלק עם שארית:   N = a 0 ( 10 t − 1 ) + A {\displaystyle \ N=a_{0}(10^{t}-1)+A} . כעת   x = 1 10 k ⋅ ( a 0 + A 10 t − 1 ) {\displaystyle \ x={\frac {1}{10^{k}}}\cdot \left(a_{0}+{\frac {A}{10^{t}-1}}\right)} . אבל   A < 10 t − 1 {\displaystyle \ A<10^{t}-1} , ולכן אפשר לכתוב   A = 10 t − 1 a 1 + ⋯ + a t {\displaystyle \ A=10^{t-1}a_{1}+\dots +a_{t}} , כאשר   a 1 , … , a t {\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{t}} הן ספרות (בטווח 0 עד 9). מכאן ש-   10 k x = a 0 . a 1 a 2 … a t ¯ {\displaystyle \ 10^{k}x=a_{0}.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{t}}}} . זוהי ההוכחה עבור בסיס 10; להוכחה של אותה טענה בבסיס כללי, B, יש לפרק את m למרכיב המחלק חזקה גבוהה של B, כפול מרכיב זר ל-B, ולהמשיך באותו אופן. יהי p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} שבר מצומצם כאשר p , q ∈ N {\displaystyle p,q\in \mathbb {N} } (מספרים טבעיים שונים מאפס). נבצע חילוק ארוך של p ב-q. אזי "נוסיף אפסים" מימין במידת הצורך (ראו הסבר למה הכוונה בהמשך ובדוגמה), ונקבל שכל השאריות האפשריות הן { 0 , 1 , . . . , q − 1 } {\displaystyle \{0,1,...,q-1\}} . אם נגיע בשלב כלשהו לשארית 0 סיימנו (אם רוצים להפוך את הביטוי למחזורי, אפשר להחסיר 1 מהספרה האחרונה ולהוסיף אינסוף ספרות 9 מימין לה. למשל: 1 = 0.999...). אם לא, מתישהו נבצע q+1 פעולות חילוק. מאחר שיש יותר פעולות חילוק מאשר שאריות אפשריות, נובע לפי עיקרון שובך היונים, שמתישהו השארית חוזרת על עצמה, ועל כן כל סדרת השאריות הנובעת ממנה חוזרת באופן אינסופי. בפועל, כדי לחלק את p ב-q, בכל פעם שהשארית קטנה מ-q ושונה מאפס, מוסיפים עוד אפס מימין ואז מבצעים חילוק עם שארית (יש לזכור לטפל נכון בחזקות של ה-10). סכום המנות (או סדרת המנות, כאשר כל מנה מוכפלת בחזקה מתאימה של 10) נותן את תוצאת החילוק. ◼ {\displaystyle \blacksquare } נחשב את 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} . כדי להקל על המעקב נצבע את 6 בירוק, ואת המנה של החלוקה ב-6 בכל שלב נצבע בכחול. נתחיל לפי האלגוריתם של אוקלידס:   1 = 0 × 6 + 1 {\displaystyle \ 1={\color {blue}0}\times {\color {OliveGreen}6}+1} 1.0 = 0.1 × 6 + 0.4 {\displaystyle 1.0={\color {blue}0.1}\times {\color {OliveGreen}6}+0.4} (כאן הוספנו 0 מימין ל-1 כי 1 < 6 {\displaystyle 1<6} ) 0.4 = 0 × 6 + 0.4 {\displaystyle 0.4=0\times {\color {OliveGreen}6}+0.4} 0.40 = 0.06 × 6 + 0.04 {\displaystyle 0.40={\color {blue}0.06}\times {\color {OliveGreen}6}+0.04} (כאן הוספנו 0 מימין ל-4 כי 4 < 6 {\displaystyle 4<6} ) (נשים לב כי 0.06 × 6 = 0.36 {\displaystyle 0.06\times 6=0.36} ) 0.040 = 0.006 × 6 + 0.004 {\displaystyle 0.040={\color {blue}0.006}\times {\color {OliveGreen}6}+0.004} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-4, כי 4 < 6 {\displaystyle 4<6} ) 0.0040 = 0.0006 × 6 + 0.0004 {\displaystyle 0.0040={\color {blue}0.0006}\times {\color {OliveGreen}6}+0.0004} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-4, כי 4 < 6 {\displaystyle 4<6} ) וקל לראות שמכאן ואילך הספרה 6 חוזרת על עצמה (למעשה היה ניתן לראות זאת בשלב מוקדם יותר של החילוק, אך המשכנו לבצע חילוק עם שארית במפורש כדי להדגים את השיטה ולהראות ישירות שהספרה 6 מתחילה לחזור על עצמה). נאסוף את כל המנות שצברנו (הן מודגשות בכחול): 0 + 0.1 + 0.06 + 0.006 + 0.0006 + . . . {\displaystyle 0+0.1+0.06+0.006+0.0006+...} ונקבל 1 6 = 0.1666... {\displaystyle {\frac {1}{6}}=0.1666...} וזהו אכן ביטוי עשרוני מחזורי. נחשב את 1 7 {\displaystyle {\tfrac {1}{7}}} . כדי להקל על המעקב נצבע את 7 בירוק, ואת המנה של החלוקה ב-7 בכל שלב נצבע בכחול. נתחיל לפי האלגוריתם של אוקלידס:   1 = 0 × 7 + 1 {\displaystyle \ 1={\color {blue}0}\times {\color {OliveGreen}7}+1} 1.0 = 0.1 × 7 + 0.3 {\displaystyle 1.0={\color {blue}0.1}\times {\color {OliveGreen}7}+0.3} (כאן הוספנו 0 מימין ל-1 כי 1 < 7 {\displaystyle 1<7} ) 0.3 = 0 × 7 + 0.3 {\displaystyle 0.3=0\times {\color {OliveGreen}7}+0.3} 0.30 = 0.04 × 7 + 0.02 {\displaystyle 0.30={\color {blue}0.04}\times {\color {OliveGreen}7}+0.02} (כאן הוספנו 0 מימין ל-3 כי 3 < 7 {\displaystyle 3<7} ) (נשים לב כי 0.04 × 7 = 0.28 {\displaystyle 0.04\times 7=0.28} ) 0.020 = 0.002 × 7 + 0.006 {\displaystyle 0.020={\color {blue}0.002}\times {\color {OliveGreen}7}+0.006} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-2, כי 2 < 7 {\displaystyle 2<7} ) 0.0060 = 0.0008 × 7 + 0.0004 {\displaystyle 0.0060={\color {blue}0.0008}\times {\color {OliveGreen}7}+0.0004} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-6, כי 6 < 7 {\displaystyle 6<7} ) 0.00040 = 0.00005 × 7 + 0.00005 {\displaystyle 0.00040={\color {blue}0.00005}\times {\color {OliveGreen}7}+0.00005} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-4, כי 4 < 7 {\displaystyle 4<7} ) 0.000050 = 0.000007 × 7 + 0.000001 {\displaystyle 0.000050={\color {blue}0.000007}\times {\color {OliveGreen}7}+0.000001} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-5, כי 5 < 7 {\displaystyle 5<7} ) 0.0000010 = 0.0000001 × 7 + 0.0000003 {\displaystyle 0.0000010={\color {blue}0.0000001}\times {\color {OliveGreen}7}+0.0000003} (גם כאן הוספנו 0 מימין ל-1, כי 1 < 7 {\displaystyle 1<7} ) וקל לראות שמכאן ואילך התהליך חוזר על עצמו. נאסוף את כל המנות שצברנו (הן מודגשות בכחול): 0 + 0.1 + 0.04 + 0.002 + 0.0008 + 0.00005 + 0.000007 + 0.0000001 + . . . {\displaystyle 0+0.1+0.04+0.002+0.0008+0.00005+0.000007+0.0000001+...} ונקבל 1 7 = 0.1428571... = 0.142857... = 0. 142857 ¯ {\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.1428571...=0.142857...=0.{\overline {142857}}} וזהו אכן ביטוי עשרוני מחזורי. ‎0.999...‎ מספר p-אדי שבר מחזורי, באתר MathWorld (באנגלית)