תת-מרחב שמור

באלגברה ליניארית, תת-מרחב שמור (או תת-מרחב אינוַריאנטי) של העתקה ליניארית T {\displaystyle T} , הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה T {\displaystyle T} שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. אם W {\displaystyle W} תת-מרחב שמור של T {\displaystyle T} אז ניתן לצמצם את T {\displaystyle T} לתת-המרחב W {\displaystyle W} ולקבל: T | W : W → W {\displaystyle {T|}_{W}\colon W\to W} יהי W {\displaystyle W} תת-מרחב ב- V {\displaystyle V} ותהי : T : V → V {\displaystyle T:V\to V} העתקה ליניארית. נאמר ש W {\displaystyle W} תת-מרחב שמור T {\displaystyle T} של V {\displaystyle V} אם   T ( W ) ⊆ W {\displaystyle \ T(W)\subseteq W} . תהי A {\displaystyle A} מטריצה ריבועית מסדר n {\displaystyle n} מעל שדה   F {\displaystyle \ \mathbb {F} } . נאמר ש־ W {\displaystyle W} הוא תת-מרחב שמור A {\displaystyle A} של   F n {\displaystyle \ \mathbb {F} ^{n}} אם לכל   w ∈ W {\displaystyle \ w\in W} מתקיים A w ∈ W {\displaystyle Aw\in W} . נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא: T ( x , y , z ) = ( x + 2 y + z , 3 x + 4 y − z , 5 z ) {\displaystyle T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z)} אזי תת-המרחב W := span ⁡ { ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) } {\displaystyle W:=\operatorname {span} \{(1,0,0),(0,1,0)\}} הוא תת-מרחב שמור T {\displaystyle T} , וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של T {\displaystyle T} עליו באופן הבא: T | W ( x , y ) = ( x + 2 y , 3 x + 4 y ) {\displaystyle {T|}_{W}(x,y)=(x+2y,3x+4y)} . יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי ו־ T : V → V {\displaystyle T:V\to V} העתקה ליניארית, אזי: V {\displaystyle V} עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי T {\displaystyle T} . אם λ {\displaystyle \lambda } ערך עצמי של T {\displaystyle T} , אזי המרחב העצמי של λ {\displaystyle \lambda } הוא שמור T {\displaystyle T} . I m T {\displaystyle \mathrm {Im} T} וגם K e r T {\displaystyle \mathrm {Ker} T} תתי-מרחב שמורי T {\displaystyle T} . יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי בעל ממד סופי, T : V → V {\displaystyle T:V\to V} העתקה ליניארית ויהי p {\displaystyle p} הפולינום המינימלי של T {\displaystyle T} , נוכל להציג את p {\displaystyle p} כמכפלה של גורמים אי פריקים ∏ i = 1 n p i r i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}p_{i}^{r_{i}}} . אזי V = K e r   p 1 r 1 ⊕ ⋯ ⊕ K e r   p n r n {\displaystyle V=Ker~{p_{1}}^{r_{1}}\oplus \cdots \oplus Ker~{p_{n}}^{r_{n}}} פירוק ישר של V {\displaystyle V} לתתי-מרחב שמורי T {\displaystyle T} . בנוסף אם T {\displaystyle T} לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של T {\displaystyle T} . יהי U , W {\displaystyle U,W} תתי-מרחב שמורים T {\displaystyle T} של V {\displaystyle V} , אזי: U ∩ W {\displaystyle U\cap W} תת-מרחב שמור T {\displaystyle T} . U ⊕ W {\displaystyle U\oplus W} תת-מרחב שמור T {\displaystyle T} . אם W {\displaystyle W} מרחב עצמי של T {\displaystyle T} , אזי כל תת-מרחב של W {\displaystyle W} , הוא תת-מרחב שמור T {\displaystyle T} . יהי v ∈ V {\displaystyle v\in V} וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו־ T : V → V {\displaystyle T:V\to V} העתקה ליניארית. אזי קיים k {\displaystyle k} מקסימלי, כך ש B = { v , T v , T 2 v , . . . , T k − 1 v } {\displaystyle B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\}} קבוצה של וקטורים בלתי תלויים. תת-המרחב W {\displaystyle W} אשר B {\displaystyle B} הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של V {\displaystyle V} ביחס ל- T {\displaystyle T} ול- v {\displaystyle v} , והוא תת-מרחב שמור ה־ T {\displaystyle T} הקטן ביותר המכיל את v {\displaystyle v} . ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה) יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי בעל ממד n {\displaystyle n} המחולק לסכום ישר של k ≤ n {\displaystyle k\leq n} תתי-מרחב, לכל תת-מרחב W i {\displaystyle W_{i}} נצמיד הטלה E i {\displaystyle E_{i}} , אזי W i {\displaystyle W_{i}} הם שמורי T {\displaystyle T} אם ורק אם T E i = E i T {\displaystyle TE_{i}=E_{i}T} לכל i {\displaystyle i} .