משפט רימן (תורת הטורים)

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט רימן הוא משפט הקובע שלכל טור המתכנס בתנאי ולכל מספר ממשי ניתן לשנות את סדר האיברים של הטור ולקבל טור המתכנס למספר. בנוסף ניתן לשנות את סדר איברים ולקבל טור המתבדר ל- ± ∞ {\displaystyle \,\pm \infty } או אפילו טור שאינו מתכנס גם במובן הרחב. את המשפט הוכיח ברנהרד רימן במאה ה-19. משפט רימן הוא דוגמה נפוצה לתוצאה מתמטית הנוגדת את האינטואיציה. תכונה מוכרת של פעולת החיבור היא חילופיות; כאשר נתון סכום עם מספר סופי של מחוברים, ניתן לשנות בחופשיות את סדר הסכימה של האיברים והדבר לא ישפיע על התוצאה. לעומת זאת, משפט רימן מראה שבמקרים מסוימים, תכונה זו נכשלת בסכומים עם מספר אינסופי של מחוברים, שם סדר הסכימה כן חשוב. נאמר כי טור ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס בתנאי (בניגוד למתכנס בהחלט) אם ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס אך ∑ n = 1 ∞ | a n | {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|} מתבדר. נסמן ב-   σ ( n ) {\displaystyle \ \sigma (n)} תמורה על קבוצת המספרים הטבעיים, כלומר   σ : N → N {\displaystyle \ \sigma :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} } היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל. הטור ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}} הוא הטור המתקבל מ- ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} על ידי שינוי סדר איבריו לפי התמורה   σ ( n ) {\displaystyle \ \sigma (n)} . יהי ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} טור המתכנס בתנאי. לכל מספר ממשי   L {\displaystyle \ L} , קיימת תמורה n ↦ σ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \sigma (n)} כך ש- ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) = L {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=L} . קיימת תמורה n ↦ σ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \sigma (n)} כך ש- ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) = ∞ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\infty } (או   − ∞ {\displaystyle \ -\infty } ), וקיימת תמורה n ↦ σ ( n ) {\displaystyle n\mapsto \sigma (n)} כך ש- ∑ n = 1 ∞ a σ ( n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}} אינו מתכנס גם במובן הרחב. דוגמה ידועה למשפט הוא הטור ההרמוני המתחלף: ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots } מאחר שזהו טור לייבניץ, טור זה מתכנס. לפי טור טיילור של הלוגריתם הטבעי ידוע כי סכומו של הטור הוא   ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \ \ln(2)} . מצד שני, טור הערכים המוחלטים של איבריו הוא הטור ההרמוני שידוע כי הוא מתבדר. על כן הטור ההרמוני המתחלף מתכנס בתנאי. נבחן את הטור הבא המתקבל מהטור ההרמוני המתחלף על ידי שינוי סדר איבריו: 1 − 1 2 − 1 4 + 1 3 − 1 6 − 1 8 + 1 5 − 1 10 − 1 12 + ⋯ {\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots } ברור כי זהו שינוי פשוט בסדר האיברים, כי כל איבר מהטור ההרמוני המתחלף יופיע גם בטור החדש פעם אחת ויחידה. נקבץ איברים ונקבל (מותר לקבץ את הטור לקבוצות של שלוש כי בחינה מדוקדקת של הסכומים החלקיים תגלה שההפרשים בין כל שלושה סכומים עוקבים שואף ל-0): ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n = ( 1 − 1 2 − 1 4 ) + ( 1 3 − 1 6 − 1 8 ) + ( 1 5 − 1 10 − 1 12 ) + ⋯ = = 1 2 − 1 4 + 1 6 − 1 8 + 1 10 − 1 12 + ⋯ = 1 2 − 1 2 ⋅ 1 2 + 1 2 ⋅ 1 3 − 1 2 ⋅ 1 4 + 1 2 ⋅ 1 5 − 1 2 ⋅ 1 6 + ⋯ = 1 2 ( 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + 1 5 − 1 6 + ⋯ ) = 1 2 ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=&\left(1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}\right)+\cdots =\\=&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{3}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{5}}-{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{6}}+\cdots \\=&{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2)\end{aligned}}} כלומר סכום הטור השתנה לחצי מסכום הטור לפני שינוי סדר האיברים. יהי ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} טור מתכנס בתנאי. נניח ללא הגבלת הכלליות כי אין בטור איברים השווים לאפס (הם אינם משפיעים על סכום הטור ולכן ניתן להתעלם מהם). נפריד את איברי הטור לשני טורים זרים; טור האיברים החיוביים ∑ n = 1 ∞ a n + {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{+}} וטור האיברים השליליים ∑ n = 1 ∞ a n − {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{-}} . מכיוון שהטור הכללי מתכנס בתנאי, ידוע לנו שהטורים החיובי והשלילי אינסופיים ומתבדרים לאינסוף ומינוס אינסוף בהתאמה. כמו כן מכיוון שהטור הכללי מתכנס, ידוע לנו שסדרת האיברים של כל אחד מן הטורים מתכנסת לאפס (האיבר הכללי של הטורים הולך ומתקרב לאפס). יהי   L {\displaystyle \ L} מספר ממשי חיובי (ההוכחה למספר שלילי אנלוגית), נראה כי קיימת תמורה של איברי ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} כך שהסכום מתכנס ל-   L {\displaystyle \ L} . ראשית נסכום את איברי הטור החיובי לפי הסדר עד המספר   k 1 {\displaystyle \ k_{1}} שהוא הראשון שלגביו מתקיים ∑ n = 1 k 1 a n + > L {\displaystyle \sum _{n=1}^{k_{1}}a_{n}^{+}>L} , כלומר: ∑ n = 1 k 1 − 1 a n + ≤ L < ∑ n = 1 k 1 a n + {\displaystyle \sum _{n=1}^{k_{1}-1}a_{n}^{+}\leq L<\sum _{n=1}^{k_{1}}a_{n}^{+}} . עתה נמשיך בכך שנוסיף לסכום את איברי הטור השלילי לפי הסדר עד המספר   k 2 {\displaystyle \ k_{2}} שהוא הראשון שלגביו מתקיים ∑ n = 1 k 1 a n + + ∑ n = 1 k 2 − 1 a n − ≥ L > ∑ n = 1 k 1 a n + + ∑ n = 1 k 2 a n − {\displaystyle \sum _{n=1}^{k_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{k_{2}-1}a_{n}^{-}\geq L>\sum _{n=1}^{k_{1}}a_{n}^{+}+\sum _{n=1}^{k_{2}}a_{n}^{-}} . נחזור לטור האיברים החיוביים ונמשיך לסכום עד   k 3 {\displaystyle \ k_{3}} שהוא הראשון שלגביו הטור חוזר להיות גדול מ-L, ואז עוברים לטור השלילי וכן הלאה עד אינסוף. זהו תהליך מוגדר היטב שקל לראות שהוא מגדיר תמורה על איברי הטור. בכל פעם ההפרש בין L לטור הולך וקטן, שכן מצורת הבנייה ההפרש ביניהם הוא האיבר האחרון שמוסיפים לטור, כלומר: a k + {\displaystyle a_{k}^{+}} או | a k − | {\displaystyle |a_{k}^{-}|} , ואיברי הטור הולכים וקרבים לאפס ותרומתם לסכום קטנה, ובפרט lim k → ∞ a k + = 0 = lim k → ∞ a k − {\displaystyle \lim _{k\to \infty }a_{k}^{+}=0=\lim _{k\to \infty }a_{k}^{-}} . פורמלית, לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים   N {\displaystyle \ N} כך שלכל   k N ≤ n {\displaystyle \ k_{N}\leq n} מתקיים   | a n | < ε {\displaystyle \ |a_{n}|<\varepsilon } , ולכן ההפרש בין   L {\displaystyle \ L} והסכום עד   k n {\displaystyle \ k_{n}} והלאה בהכרח קטן מהאיבר האחרון שבו חל חילוף יחס הסדר, ואיבר זה קטן מ- ε {\displaystyle \varepsilon } . לכן הטור מתכנס ל-   L {\displaystyle \ L} . כדי שהטור יתבדר לאינסוף נסכום את האיברים החיוביים עד שהסכום גדול מ-   | a 1 − | {\displaystyle \ |a_{1}^{-}|} (האיבר הראשון בטור השליליים) ואז נחבר איבר זה. נחזור לטור החיוביים ונחבר מספיק מחוברים כך שהסכום גדול מ-   1 + | a 2 − | {\displaystyle \ 1+|a_{2}^{-}|} ומחברים גם אותו. ובאופן כללי מחברים מספיק מחוברים כך שהסכום יהיה גדול מ-   ( n − 1 ) + | a n − | {\displaystyle \ (n-1)+|a_{n}^{-}|} ואז מחברים את a n − {\displaystyle a_{n}^{-}} . מכאן שבדרך זו הסכום גדול מכל מספר טבעי ולכן הטור מתבדר לאינסוף. באופן דומה ניתן להחליף בין התפקיד של החיוביים והשליליים ולקבל טור המתבדר למינוס אינסוף. נבחר שני מספרים, נניח 0 ו-1. נסכום את האיברים החיוביים עד שהסכום גדול מ-1, נוסיף את האיברים השליליים עד שהסכום קטן מ-0, ונחזור להוסיף חיוביים עד שהסכום גדול מ-1 וכן הלאה. 0 ו-1 יהיו שניהם גבולות חלקיים של סדרת הסכומים החלקיים ולכן הסכום לא יתכנס גם במובן הרחב. אם הדיון מוגבל לטורים מתכנסים, הרי שהמשפט ההפוך נכון גם הוא. טור שסכומו יכול להשתנות עם שינוי סדר הסכימה הוא בהכרח טור מתכנס בתנאי. כלומר, בטור מתכנס בהחלט ניתן לשנות את סדר הסכימה בחופשיות. גדי אלכסנדרוביץ', משפט רימן, באתר "לא מדויק", 10 באפריל 2010 משפט רימן, באתר MathWorld (באנגלית)