הקוניקה (ספר)

הקוניקה (ביוונית: Κωνικά) הוא ספר שנכתב על ידי המתמטיקאי ההלניסטי אפולוניוס מפרגה במאה השלישית לפני הספירה לערך. הספר על שמונת כרכיו עוסק בגאומטריה, בפרט בחתכי חרוט, ונחשב לאחד החיבורים המתמטיים החשובים ביותר שנכתבו ביוון העתיקה. העבודה כתובה כחיבור מדורג ודדוקטיבי שדן בתכונותיהם של מעגל, פרבולה, היפרבולה ואליפסה, הלוא הם חתכי החרוט. שבעה מתוך שמונת הכרכים נשתמרו עד ימינו - ארבעה במקור היווני ושלושה בתרגום ערבי. בספר זה אפולוניוס מראה לראשונה כי חתכי חרוט אינם מתקבלים רק מחיתוך בין מישורים אנכיים לחרוטים בעלי זוויות ראש שונות, אלא כולם יכולים להתקבל מחרוט יחיד על ידי שינוי זווית החיתוך. כנראה בשל איכותו ותרומתו, כמעט ולא נותר עוד זכר לחיבורים אחרים על חתכי חרוט מהתקופה שלפני "הקוניקה". עבודתו של אפולוניוס מכילה שמונה כרכים. כרכים אחת עד ארבע מצויים בשפת המקור, וכרכים חמש עד שבע רק בגרסתם המתורגמת לערבית של ת'אבת אבן קורה. הכרך השמיני אבד, אך פרשנים ומתמטיקאים ניסו לשחזר את תוכנו לאורך השנים. הכתבים הראשונים, כרכים אחת עד שלוש, מוקדשים לאאודמוס שהיה מורה של אפולוניוס באפסוס. לאחר מותו של אאודמוס הוקדשו הכרכים לתלמידו של אאודמוס, אטאלוס. מן ההקדמות ניתן ללמוד על הנסיבות בהן נכתב הספר וכן על תוכנו ומטרותיו של כל כרך בנפרד, כאשר ההקדמה הראשונה היא הקדמה כללית לקוניקה. לאחר כל הקדמה אפולוניוס סוקר את התוצאות המתמטיות על פי המבנה שהוטמע בספרו של אוקלידס "יסודות". הווה אומר, אפולוניוס מציג תחילה הגדרות ולאחריהן טענות - משפטים מתמטיים או בעיות. כל טענה מנוסחת בכלליות במילים בכתב נטוי, אז מוצגת פורמולציה גאומטרית ולבסוף הוכחה או פתרון. סך הכול בשבעה כרכים - 387 טענות המוצגות באופן סדור. על כך אמר איבור תומס (אנ'), פרשן ומתרגם בריטי: "אפולוניוס דבק באופן מחמיר בצורת ההוכחה האאוקלידית. כתוצאה מכך ניסוחיו הם ארוכים מאוד, ולעיתים קרובות אפשר לתרגם אותם בצורה סבירה לאנגלית רק על ידי פיצולם למשפטים קצרים. אמנם נדמה שאפולוניוס הפיק עונג מרושע מאורכם, אך הם בנויים על-פי דפוסים לוגיים מושלמים, ואין בהם מילה מיותרת". הספר הראשון מציג 60 טענות הנוגעות ליצירת חתכים ולתכונות יסודיות של קטרים ומשיקים. בתוך אלה אפולוניוס פורט את ההגדרות הבסיסיות הנוגעות לחרוטים ולחתכי חרוט. אטימולוגית, המילים המתארות בימינו חתכי חרוט נגזרו מן היווניות, אך ההגדרות אינן בהכרח חופפות להגדרות המודרניות של אותן מילים. תחילה מגדיר אפולוניוס "משטח חרוטי" - משטח הנוצר על ידי קטע קו שמסובב ביחס לנקודת קבועה (קודקוד), כך שנקודות הקצה מתארות מעגלים, כל אחת במישור משלה. הגוף המוכל בין הקודקוד, המעגל והמשטח החרוטי ייקרא חרוט. כלומר הגוף הכלוא על ידי "ענף" יחיד של המשטח החרוטי הכפול. קודקוד המשטח ייקרא גם "קודקוד החרוט", והקו הישר המחבר את הקודקוד עם מרכז המעגל ייקרא "ציר". המעגל ייקרא "בסיס החרוט". "חתך" (ביוונית: τομή), או חתך חרוט, מתקבל מחיתוך (מתמטי) של משטח חרוטי עם מישור. קו ישר שקצותיו על העקומה המתקבלת מהחיתוך הוא "מיתר", וכל ישר שמצויר מתוך העקומה וחוצה כל מיתר שמקביל למיתר נתון ייקרא "קוטר". בהתבסס על הגדרות אלה, הקוניקה מתארת את יצירת ארבעת חתכי החרוט - מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה: טענה I.3 מגדירה את "משולש הציר": "אם חרוט נחתך על ידי מישור דרך הקודקוד, החתך הוא משולש." טענה I.4 גורסת שחתכים של חרוט המקבילים לבסיס הם מעגלים שמרכזיהם על הציר: "אם אחד מהמשטחים [החרוטיים] המנוגדים אנכית נחתך על ידי מישור כלשהו המקביל למעגל שלאורכו מוזז הקו הישר שיוצר את המשטח [החרוטי], חלקו של המישור בתוך המשטח יהיה מעגל שמרכזו על הציר..." טענה I.11 מתארת פרבולה. המישור שמגדיר אותה מקביל לשוק של המשולש המתואר ב-I.3: "אם חרוט נחתך על ידי מישור דרך הציר, ואם הוא גם נחתך על ידי מישור שני שחותך את מישור בסיס החרוט בקו ישר שניצב לבסיס משולש הציר, ואם קוטר החתך שהמישור השני חותך בחרוט הוא מקביל לאחת הצלעות של משולש הציר[...]לחתך הזה קוראים פרבולה". טענה I.12 מתארת היפרבולה. המישור שמגדיר אותה מקביל לציר. מישור זה חותך את שני החרוטים שמרכיבים את המשטח החרוטי, ועל כן להיפרבולה שני ענפים נפרדים. טענה I.13 מתארת את האליפסה, אשר ניתנת על ידי חיתוך של חרוט בודד עם מישור הנוטה ביחס למישור הבסיס וחוצה את מישור הבסיס בקו שמאונך לקוטר של הבסיס (המורחב מעבר לחרוט). על זווית המישור המוטה להיות גדולה מאפס, אחרת החתך יהיה מעגל. בנוסף, עליה להיות קטנה מזווית הבסיס המתאימה של המשולש הצירי, כי במקרה זה החתך הוא פרבולה: "אם חרוט נחתך על-ידי מישור דרך צירו, ונחתך גם על-ידי מישור אחר שמצד אחד חותך את שתי צלעות משולש הציר, ומצד שני נמשך שלא במקביל לבסיס[...]ואם המישור בבסיס החרוט והמישור החותך נפגשים בקו ישר שהוא אנכי לבסיס משולש הציר או להמשכו[...]לחתך הזה קוראים אליפסה." בתיאורו את הדרכים לבנות חתכי חרוט על ידי מישורים מוטים ביחס למשטח החרוטי, אפולוניוס מעניק לחתכים תכונות מאפיינות (Symptoma). אלה מוצגות בין היתר באמצעות בדיקת יחסים בין שטחים הנבנים לאורך צלעות אנכיות של החתך (Latus Rectum) לקטרים של החתכים. על מנת לבדוק באם יחס מסוים מתקיים נבדקת "העתקת שטחים" (application of areas). בהינתן שטח וקטע, נאמר שהשטח "מועתק" (apply) אם הוא שווה לשטח של ריבוע הנבנה על הקטע, ואז מתקיימת "העתקה". אפולוניוס, בעקבות אוקלידס, שאל במילותיו האם מלבן על הקואורדינטה האופקית של כל נקודה על החתך "מועתק" על ריבוע הקואורדינטה האנכית. במושגים של ימינו, שאלה זו שקולה לקיום המשוואה y 2 = p x {\textstyle y^{2}=px} , צורה מודרנית אחת של המשוואה עבור פרבולה (למלבן יש צלעות p {\displaystyle p} ו- x {\displaystyle x} ). הוא זה שכינה את האובייקט פרבולה, או "העתקה" (application). אם כאשר מתקיימת "העתקה", מתקיים יחס מסוים y 2 = g ( x ) {\textstyle y^{2}=g(x)} (באנלוגיה לפרבולה), אז ישנן שתי אפשרויות כאשר אין "העתקה": y 2 > g ( x ) {\textstyle y^{2}>g(x)} . משמע g ( x ) {\textstyle g(x)} קטן מ- y 2 {\textstyle y^{2}} בכמות מסוימת d {\textstyle d} המכונה "אליפסיס", או "גירעון". במקרה זה ניתן להשיג "העתקה" על ידי הוספת הגירעון, y 2 = g ( x ) + d {\textstyle y^{2}=g(x)+d} . הצורה המפצה על גירעון היא האליפסה. y 2 < g ( x ) {\textstyle y^{2}<g(x)} . משמע g ( x ) {\textstyle g(x)} גדול בכמות מסוימת s {\textstyle s} המכונה "היפרבולה", או "עודף". במקרה זה ניתן להשיג "העתקה" על ידי הפחתת העודף, y 2 = g ( x ) − s {\textstyle y^{2}=g(x)-s} . הצורה המפצה על עודף היא ההיפרבולה. ואכן, את המשוואה הכללית של אליפסה קנונית ניתן לכתוב באופן הבא: A x 2 + B y 2 = C {\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=C} . באופן שקול: y 2 = A B x 2 + C B {\displaystyle y^{2}={\frac {A}{B}}x^{2}+{\frac {C}{B}}} , ואז C B {\displaystyle {\frac {C}{B}}} הוא הגירעון המתואר לעיל. באותו אופן, את המשוואה עבור ההיפרבולה: A x 2 − B y 2 = C {\displaystyle Ax^{2}-By^{2}=C} , ניתן לכתוב כך: y 2 = A B x 2 − C B {\displaystyle y^{2}={\frac {A}{B}}x^{2}-{\frac {C}{B}}} , ואז C B {\displaystyle {\frac {C}{B}}} הוא העודף. הספר השני מכיל 53 טענות. אפולוניוס מצהיר שהוא התכוון לכסות את "התכונות הקשורות לקטרים ולצירים וגם לאסימפטוטות ודברים אחרים...". ניתן לחלק את הטענות בספר בחלוקה גסה כדלהלן: טענות 1–16 עוסקות באסימפטוטות של היפרבולות. אפולוניוס מגדיר אסימפטוטה (ασυµπτώτοςc ביוונית, "not coiciding") ולמעשה מראה (במרומז ובמילותיו) שהאסימפטוטות של היפרבולה קנונית x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} הן הישרים y = ± b a x {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}x} . בהמשך הוא מראה כיצד ניתן לבנות היפרבולה בהינתן נקודה ושתי אסימפטוטות ומוכיח שאם מאריכים כל מיתר של היפרבולה הוא חותך קטעים שווים בין ההיפרבולה ושתי האסימפטוטות. טענות 17–23 דנות בהיפרבולות "צמודות" (ביוונית: συζύγεις, מקובל באנגלית: conjugate). ההיפרבולה הצמודה של ההיפרבולה הקנונית x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} היא − x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} , ואפולוניוס מוכיח כי יש להן אותן אסימפטוטות. טענות 24–43 מציגות תכונות של קטרים ומיתרים של חתכי חרוט. בסוף הספר מכוסות תכונות של משיקים וצירים. הכרך השלישי מכיל 56 טענות ועוסק במקומות גאומטריים (באנגלית: loci). אפולוניוס טוען לגילוי מקורי של משפטים שניתן "להשתמש בהם לבניית המקומות הגאומטריים[...]המקום הגאומטרי בן שלושת הקווים וארבעת קווים[...]". בעיית "המקום הגאומטרי בן שלושת הקווים" (על פי נספח של המתרגם טליאפרו (אנ') לכרך השלישי) עוסקת במציאת "המקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקיהן משלושה קווים ישרים קבועים נתונים...הם כאלה שהריבוע של אחד המרחקים הוא תמיד ביחס קבוע לשטח המלבן שמוכל על ידי שני המרחקים האחרים." זוהי למעשה ההוכחה ל"העתקת השטחים" המתארת פרבולה. בעיית ארבעת הקווים מתארת באותו אופן את האליפסה וההיפרבולה. גאומטריה אנליטית גוזרת את אותם מקומות גאומטריים מקריטריונים פשוטים יותר הנתמכים על ידי אלגברה, ולא על ידי גאומטריה, שעליהם זכה דקארט בבוא הימים לשבחים רבים. בכך דקארט החליף את אפולוניוס בשיטותיו. הכרך הרביעי מכיל 57 טענות, והוא הראשון שנשלח לאטאלוס, ולא לאאודמוס. הספר מדבר על חתכים קוניים שמשיקים ונחתכים הדדית או שחותכים מעגלים. בהקדמה לספר הנושא הייחודי מוצג כך: "המספר הרב ביותר של נקודות שבהן חתכי חרוט יכולים להיפגש זה עם זה, או לפגוש היקף של מעגל...". טענות 1–23 עוסקות בקטבים (אנ') של חתכים קוניים ושאר הטענות בחיתוך ובהשקה של קוניקות (חתכי חרוט). אפולניוס מתייחס לנושא בהתלהבות ומתייג את הטענות כ"בעלות שימוש ניכר" בפתרון בעיות. הכרך החמישי, המוכר רק מתרגום ערבי, מכיל 77 טענות - המספר הגדול ביותר מכלל הספרים. מתוכן 50 טענות עוסקות באליפסה, 22 בפרבולה ו-28 בהיפרבולה. הנושא הכללי של הכרך, כפי שמוצג בהקדמות הראשונה והחמישית, הוא "קווים מקסימליים ומינימליים". יצוין כי מונחים אלו אינם מוסברים ובניגוד לספר הראשון, הספר החמישי אינו מכיל הגדרות והסברים. העמימות שימשה אבן שואבת למפרשיו של אפולוניוס, הנדרשים לפרשנות כשאינם יודעים בבטחה מה משמעותם של המונחים המרכזיים המופיעים בספר. עד לאחרונה רווחה השקפתו של ההיסטוריון הבריטי תומאס הית'. לפיה יש להתייחס לקווים כאל "נורמליים" לחתכים. "נורמלי" במקרה זה - הניצב לעקומה בנקודת השקה. אם קטע משורטט לפי מערכת הקואורדינטות של אפולוניוס, כשהקוטר על ציר x והקודקוד בראשית, ניסוח הטענות מצביע על כך שהמינימום/מקסימום נמצאים בין החתך לציר. הית' מתבונן בנקודה קבועה p על החתך כמשמשת הן כנקודת משיק והן כקצה אחד של הקו. המרחק המינימלי בין p לנקודה כלשהי בציר חייב להיות הנורמל לחתך ב-p. במתמטיקה מודרנית, מרכז העקמומיות של עקומה בנקודה נמצא על הנורמל לעקומה בנקודה, במרחק שנקרא רדיוס העקמומיות. עבור עקומות מעגליות זהו מרכז המעגל, ועקומות שאינן מעגליות ניתן לקרב כקשת של מעגל סביב נקודה. רדיוס העקמומיות של עקומות לא מעגליות, למשל חתכי חרוט (שאינם מעגל), משתנה לאורך החתך. המיקומים של מרכזי העקמומיות כשנעים לאורך החתך נקראים האבולוט של החתך. הית' האמין שבספר החמישי אנו רואים את אפולוניוס מייסד את הבסיס הלוגי של תיאוריה המתארת נורמלים, אבולוטים ומושגים נוספים כמו מעטפות. הפירוש של הית' לספר החמישי זכה לתמיכה רחבה במאה ה-20. עם זאת, בשנת 2001 חוקרי אפולוניוס מיכאל פריד (אנ') ושבתאי אונגורו ערערו על האותנטיות ההיסטוריות של ניתוחו של הית' את הספר החמישי. בין היתר, הם טוענים כי אין אזכור של קווים מינימליים/מקסימליים כנורמלים כשלעצמם, לא בהקדמה ולא בספרים. מתוך 50 טענות שהית' מתייחס אליהן כעוסקות בנורמלים, רק שבע (V: 27–33) מציינות או מרמזות על קווים מקסימליים/מינימליים שמאונכים למשיקים. פריד מסווג את שבע טענות אלה כ"מבודדות" ואינן קשורות לטענות המרכזיות של הספר. לטענתו הן אינן מרמזות באופן כללי על נורמלים והוא אף מראה כי הדבר אינו אפשרי עבור טענות אחרות. בכך, פריד ואונגורו מציגים את אפולוניוס כממשיך של העבר ולא כצופה את העתיד. מחקרם הפילולוגי המקיף של כל ההתייחסויות לקווים מינימליים ומקסימליים מעיד על ניסוחים וטרמינולוגיה סטנדרטיים. ניתן לסווג התייחסויות אלה לשלוש קבוצות של 20–25 טענות כל אחת. הקבוצה הראשונה מכילה את הביטוי "מנקודה על הציר אל החתך", בניגוד לניסוח "מנקודה על החתך אל הציר". הראשון אינו בהכרח נורמלי לאף אחד, למרות שהוא עשוי להיות. בהינתן נקודה קבועה על הציר, מבין כל הקווים המחברים אותה לכל נקודות החתך, אחד יהיה הארוך ביותר (מקסימום) ואחד הקצר ביותר (מינימום). בראייתם של פריד ואונגורו, הנושא של הכרך החמישי הוא בדיוק מה שאפולוניוס אומר שהוא, קווים מקסימליים ומינימליים. אלו אינן מילות קוד למושגים עתידיים, אלא מתייחסות למושגים עתיקים שהיו בשימוש אז. המחברים מצטטים את הספר השלישי בעבודתו של אוקלידס, "יסודות", העוסק במעגלים ובמרחקים מקסימליים ומינימליים מנקודות פנימיות להיקף. הם ידועים גם בחידוש המונח "דמוי-נוסיס". בניית נוסיס (Neusis construction (אנ')) הייתה שיטה להתאים קטע נתון בין שתי עקומות נתונות: נתונה נקודה P וסרגל עם הקטע מסומן עליו. ניתן לסובב את הסרגל סביב P כך שהוא חותך את שתי העקומות, עד שהקטע מותאם ביניהן. בכרך החמישי, P היא הנקודה על הציר. ניתן לסובב סביבה סרגל ולגלות את המרחקים לקטע, וכך להבחין במינימום ובמקסימום. הטכניקה לא מיושמת בפועל, כך שזה לא נוסיס. המחברים משתמשים ב"דמוי-נויסיס" ורואים דמיון ארכיטיפי לשיטה העתיקה. הכרך השישי, המוכר רק מתרגומו לערבית, מכיל 33 טענות - הכי מעט מכלל הספרים. אמנם הוא סובל מפערים רבים בעקבות נזקים בטקסטים המוקדמים, אך הנושא הנידון אינו שנוי במחלוקת. ההקדמה הראשונה קובעת כי הנושא הוא "חתכים שווים ודומים של חרוטים". אפולוניוס מרחיב את המושגים של חפיפה ודמיון שהציג אוקלידס עבור אובייקטים יסודיים יותר, כגון משולשים ומרובעים, לחתכי חרוט. ההקדמה השישית מזכירה "חתכים ומקטעים" שהם "שווים ולא שווים" וכן "דומים ולא דומים" ומוסיפה מעט מידע קונסטרוקטיבי. אפולוניוס מגדיר חתכי חרוט כשווים (על פי אדמונד האלי: aequales) אם ניתן "להניחם" אחד על השני בלי עודף או גירעון. הגדרה אנלוגית לשוויון ניתנת על ידי אוקלידס בספר הראשון של "יסודות", "אמיתות כלליות", סעיף רביעי: "דברים חופפים (epharmazanta) הם שווים (isa)." בין אובייקטים שווים זה לזה לבין אלה שהם לא שווים, נמצאים אובייקטים דומים. הם לא לגמרי זהים או שונים, אך חולקים היבטים זהים ואינם חולקים היבטים שונים. אינטואיטיבית, הגאומטריקנים החזיקו בראשם קנה מידה; למשל, מפה לאזור טופוגרפי - לדמויות יכולות להיות גרסאות גדולות יותר או קטנות יותר של עצמן. הדבר יתבטא בפרופורציות בין קואורדינטות. ההיבטים הזהים באובייקטים דומים תלויים בסוג האובייקט. לדוגמה, הספר השישי של היסודות של אוקלידס מציג משולשים דומים כאלו שיש להם אותן זוויות מתאימות. למשולש עשויות להיות גרסאות קטנות כרצוננו, או גדולות כרצונו, ועדיין להיות "אותו" משולש כמו המקורי. על פי אפולוניוס בתחילת הספר השישי, חרוטים ישרים דומים הם אלה שיש להם "משולשים ציריים" (כפי שהוגדר בטענה I.3) דומים, וחתכים דומים יוגדרו עבור חרוטים דומים. אם עבור כל "קואורדינטה אופקית" של אחד קיימת קואורדינטה מתאימה ביחס נתון של השני, והקואורדינטות של אחד בעלות אותו יחס ביניהן כמו של השני, אזי החתכים דומים. ניתן לדמיין זאת כאילו החתך הוזזו מעלה או מטה לאורך החרוט כדי להשיג קנה מידה שונה. הכרך השביעי, גם הוא מתרגום ערבי, מכיל 51 טענות. אפולוניוס אינו מזכיר אותן בהקדמה הראשונה, אולי מכיוון שבזמן כתיבתה הן לא היו קיימות בצורה קוהרנטית מספיק לתיאור. על פי תרגומו של הית' את אפולוניוס הן דנות ב"משפטים הכוללים קביעה של גבולות". אולם בהקדמה השביעית מצוין כי הספר, שהושלם לקראת סוף חייו והקריירה של אפולוניוס, עוסק בקטרים ו"הצורות המתוארות עליהם". הוא מסתמך על הגדרות לקטרים ולקטרים צמודים (אנ'), אך לא מוזכר באיזה אופן יש לפרש את המונחים "גבולות" או "קביעה". קוטר והצמוד שלו, אם קיים, מוגדרים בכרך הראשון (הגדרות 4–6). המתמטיקה היוונית כמובן אינה עוסקת בשטחים בעלי צורה לא סדירה המטופלים בתקופה המודרנית, ואפולוניוס עוסק כצפוי בחתכי חרוט. את העיגול, האליפסה והפרבולה הוא מבטא לעיתים קרובות כ"עקומה באותו מישור" ואת ההיפרבולה כ"שתי עקומות באותו מישור". אקורד גאומטרי (אנ'), או מיתר, הוא קו ישר ששתי נקודות הסיום שלו נמצאות על העקומה. כלומר הוא חותך את חתך החרוט בשני מקומות. אם רשת של מיתרים מקבילים משורטטת על העקומה, אזי הקוטר מוגדר כקו החוצה את כל המיתרים ופוגש את העקומה בנקודה הנקראת "קודקוד". אין דרישה שהעקומה תהיה סגורה, כך גם לפרבולה למשל יש קוטר. הפרבולה סימטרית ביחס לקוטר היחיד שלה - סימטריה בממד אחד. משמע לאחר קיפול ביחס אליו, שני החצאים של העקומה יהיו חופפים. אותו הדבר ניתן לומר על ענף אחד של היפרבולה. ברם, צורות שלהן קטרים צמודים (מיוונית suzugeis diametroi, כאשר suzugeis "מחובר יחדיו") הן סימטריות בשני ממדים, ויש להן מרכז גאומטרי (אנ') המשמש כמרכז של סימטריה בשני כיוונים. אלו הן העיגול, האליפסה וההיפרבולה הדו-ענפית. לכל אחת מאלה יש מרכז יחיד (שלא לבלבל עם המוקדים (אנ')), וקוטר הוא למעשה מיתר שעובר דרך המרכז, אשר חוצה את המיתר. בהינתן מעגל ואליפסה, נוכל להתבונן ברשת של מיתרים מקבילים המשורטטת עליהם. המיתר הארוך ביותר הוא קוטר, והאחרים קצרים ברציפות עד שהאחרון אינו מיתר אלא נקודת השקה. המשיק חייב להיות מקביל לקוטר. קוטר צמוד חוצה את המיתרים, בעודו ממוקם בין המרכז לנקודת ההשקה. שני הקטרים צמודים זה לזה ונקראים זוג צמוד. כל זוג צמוד של קטרים של מעגל מאונכים זה לזה, אך באליפסה רק הציר הראשי והמשני מאונכים. זוג צמוד מוגדר עבור שני הענפים של היפרבולה, הנוצרים מחיתוך של משטח חרוטי על ידי מישור יחיד. שני הענפים של ההיפרבולה נקראים ענפים צמודים ויש להם אותו קוטר. למעשה, ניתן לבנות "דמוי-קוטר" אחד נוסף באמצעות רשת של קווים המקבילים לקוטר לעיל וחותכים את שני ענפי ההיפרבולה. קווים אלו הם "דמויי-מיתר" שכן אינם מתחילים ומסתיימים על אותה עקומה רציפה. ניתן לצייר קוטר צמוד מהמרכז החוצה אל הקווים דמויי-המיתר. מושגים אלה (בעיקר מתוך הכרך הראשון) באים לידי ביטוי בטענות המופיעות בכרך השביעי המגדירות בפירוט את היחסים בין חתכים, קטרים וקטרים צמודים. אפולוניוס בהקדמה השביעית מציין שהן חדשניות ושימושיות, אם כי בדומה לנושאים ייחודיים נוספים שאפולוניוס עסק בהם, תועלתן אינה בהכרח בהירה. עם זאת, מוזכר כי הטענות הללו ישמשו לפתרון בעיות בכרך השמיני שאבד. הקוניקה כתובה באופן תמציתי ובהמשגה שאינה הולמת בהכרח את זו הידועה. כמו כן, נראה כי התוכנית הסדורה שהייתה לאפולוניוס עבור כל כרך לוקה קמעה. משום כך נוצרה חשיבות רבה לפרשנים ולמתרגמים של הספר במהלך שנים. לאורך הדורות אלה ניסו להציג את אפולוניוס בבהירות ובאופן שהולם את התקופה. לכן ניתן למצוא עבודות רבות של פרשנים ומתרגמים הכוללות ביאורים על גבי הטקסט, חומרים מקדימים נרחבים, שרטוטים נוספים, ארגון מחדש של הטקסט וכיוצא באלה. פרשנות ראויה לציון היא זו של תומאס הית', שנכתבה באנגלית (חוקרים אחרים ובשנים מוקדמות יותר העדיפו את הלטינית החדשה). בעבודתו "Treatise on Conic Sections" הית' מספק פרשנות מקדימה מקיפה המכילה בין היתר לקסיקון של מונחים גאומטריים "אפולוניים" ביוונית, כולל את משמעותם ואת השימוש בהם. בהתייחסו לכך ש"החלק הארי של ה-Treatise לכאורה הרתיע רבים מלנסות להכיר אותה", הוא מבטיח להוסיף כותרות, לשנות את הארגון באופן שטחי ולהבהיר את הטקסט עם סימון מודרני. עבודתו מתייחסת אפוא לשתי מערכות ארגון, שלו ושל אפולוניוס, שאליהן ניתנות קונקורדנציות בסוגריים. עבודתו של הית' היא חיונית, אך תרגומים נוספים ונקודות מבט נוספות התפתחו לאורך השנים. ר' קטסבי טליאפרו (אנ'), מתמטיקאי אמריקאי והיסטוריון של המדע, סיפק ב-1948 תרגום משלו לקוניקה של אפולוניוס ול"אלמגסט" של תלמי. תרגומים אלה הפכו לחלק מסדרת הספרים הגדולים של העולם המערבי של האנציקלופדיה בריטניקה. רק הספרים הראשון עד השלישי של הקוניקה כלולים, עם נספח לנושאים מיוחדים. בניגוד להית', טליאפרו לא ניסה לארגן מחדש את אפולוניוס, אפילו באופן שטחי, או לשכתב אותו. התרגום שלו לאנגלית מודרנית מלווה את היוונית מקרוב. אולם, הוא משתמש בסימון גאומטרי מודרני במידה מסוימת. במקביל לעבודתו של טאליפרו, איבור בולמר-תומאס (אנ'), דון אוקספורד מתקופת מלחמת העולם השנייה, גילה עניין נרחב במתמטיקה היוונית. בחיבור Loeb Classical Library ("הספרייה קלאסית של לואב") מוקדשים שני כרכים, כולם מתורגמים על ידי תומאס, הנוגעים למתמטיקה יוונית. היוונית מופיעה בצד אחד של הדף והאנגלית בצד השני, כמקובל בסדרת Loeb. עבודתו של תומאס שימשה כמדריך לתור הזהב של המתמטיקה היוונית. עבור אפולוניוס הוא כולל בעיקר את אותם חלקים של הספר הראשון המגדירים את חתכי החרוט. הית', טליאפרו ותומאס סיפקו את הדרישה הציבורית לכתבים מתורגמים של אפולוניוס במשך רוב המאה ה-20. תרגומים ומחקרים עדכניים יותר משלבים מידע נוסף ונקודות מבט חדשות, וכן בוחנים את הישן. אחת הסוגיות המשמעותיות והשנויות במחלקות בפירוש המתמטיקה היוונית היא מידת הידע האלגברי שהיה ברשות היוונים. על פי עדויות היסטוריות, רעיונות אלגבריים נוסדו ועלו על הכתב החל מהמאה השמינית על ידי מתמטיקאים ערביים, ובקרב מתמטיקאים אירופאיים בימי הביניים המאוחרים והרנסאנס. אולם, היסטוריונים ופרשנים נהגו לעיתים לשכתב טקסטים יווניים ולצרף להם רעיונות אלגבריים. בפרט במאה ה-19 יש שהציגו את החיבורים היווניים כחיבורים אלגבריים וטענו שהמתמטיקה היוונית העתיקה היא למעשה אלגברית במסווה. לאור זאת התפתחה תפיסה היסטוריוגרפית לפיה המתמטיקה היוונית הקדומה, חרף ניסוחה הגאומטרי הגורף, היא למעשה אלגברה שמוצגת כגאומטריה מסיבות מסוימות (אולי צרכים ריגורוזיים). על כן, ניסוח הטענות במונחים אלגבריים, גם אם מודרניים, אינה חוטאת לעבודה היוונית ואף תופסת את מהותה. גישה זו באה לידי ביטוי בפירושים מסוימים של הקוניקה וכן של ספרים יווניים שונים, לדוגמה הספר השני של יסודות. היסטוריונים בולטים הדוגלים בגישה הם תומאס הית', גאורג נסלמן (אנ') ופול טנרי (אנ'), יחד עם פרשנים נוספים. למעשה, רעיון האלגברה הגאומטרית הפך ככלל למוסכם בקרב היסטוריונים במחצית השנייה של המאה ה-19. ואכן, קשה להתעלם מן הקלות בה ניתן להציג ולפרש את הטיעונים היווניים בצורה אלגברית ברורה. כך לדוגמה תיאורו של אפולוניוס בספר הראשון את הפרבולה, האליפסה וההיפרבולה שקולות למשוואות הקרטזיות הנהוגות בימינו. מקרה בוחן נוסף שמתאר את השוני בין הגישות הוא תיאורו המתקדם של הית' את הכרך החמישי בהתייחסו לנורמלים ולמושגים סמי-מודרניים, כפי שהוזכר לעיל. על כך אמרו פריד ואונוגורו, ממתנגדי הגישה האלגברית, כי הית': "מעבד מחדש את המקור כדי להפוך אותו ליותר נוח למתמטיקאי מודרני...זה מסוג הדברים שהופכים את עבודתו של הית' לבעלת ערך מפוקפק עבור ההיסטוריון, וחושפים יותר את מוחו של הית' מאשר את זה של אפולוניוס." מהרבע האחרון של המאה העשרים נסדקה התמיכה בגישה האלגברית בתואנה שהיא אנכרוניסטית ולא מבוססת. מאמרו של אונוגורו מ-1975 קרא מפורשות לשכתב מחדש את ההיסטוריה של המתמטיקה היוונית במה שהוא מכנה "על בסיס היסטורי שפוי". לטענת המתנגדים אין בסיס היסטורי מספק לגישת האלגברה הגאומטרית המקובלת, והיא מעלה קשיים בדבר המטרה לשמה נכתבו הכתבים בצורה מסורבלת; היעדר כל התייחסות לסימונים או לחשיבה אלגברית והסתמכות על דיאגרמות; הצורך בקיומו של בסיס אלגברי קדום עוד יותר עליו הסתמכו היוונים ועוד. היסטוריונים נוספים שדגלו בדעה זו הם אבל ריי (אנ'), מייקל שון האוני (אנ'), יעקוב קליין (אנ'), קן סאיטו ואחרים שסתרו וביקרו את הרעיון והמאפיינים של האלגברה הגאומטרית. כיום נראה כי הגישה "השמרנית" הדוחה את העמדה הדוגלת באלגברה גאומטרית היא הרווחת. יסודות (ספר) מנכמוס מתמטיקה ביוון העתיקה Thābit ibn Qurra; Palmeri, J. (2016). "Thābit ibn Qurra". Biographical Encyclopedia of Astronomers. Springer, New York, NY. יודגש כי המתמטיקאים היווניים לא הגדירו את המעגל, האליפסה וצורות אחרות כחתכים חרוטיים. זו תהיה הגדרה מעגלית, שכן החרוט הוגדר על ידי מעגל. לכל צורה יש הגדרה גאומטרית משלה, ובנוסף מוצגת כחתך חרוטי. Apollonius of Perga; Heath, Thomas Little (1896). Treatise on conic sections. Cambridge: University Press. יצוין כי מעגל, שהוא דוגמה נוספת של "גירעון", לעיתים מוצג כמקרה מיוחד של אליפסה. Apollonius of Perga; Taliaferro, R. Catesby (1952). "Conics Books I-III". In Hutchins, Robert Maynard (ed.). Great Books of the Western World. Vol. 11. Euclid, Archimedes, Apollonius of Perga, Nicomachus. Chicago, London, Toronto: Encyclopaedia Britannica. Heath, Thomas Little (1911). Apollonius of Perga. Vol. 2. pp. 186–188. מתרגמים ומפרשים רבים דווקא הטילו ספק בתועלתן של הטענות, ובוודאי לאור התפתחות הגאומטריה האנליטית שפותרת סוגיות אלו בפשטות יחסית. טליאפרו עוצר בכרך השלישי. הית' מנסה לעבד את הספר ולהפך אותו לקריא ונהיר יותר (הערת שוליים 3, Intersecting Conics). פריד נאמן יותר למקור, אך מספק ביאורים נרחבים: Apollonius of Perga; Fried, Michael N (2002). Apollonius of Perga's Conics, Book IV: Translation, Introduction, and Diagrams. Santa Fe, NM: Green Lion Press. Fried, Michael N.; Unguru, Sabetai (2001). Apollonius of Perga's Conica: text, context, subtext. Leiden: Brill. p. 146. Fried, Michael N.; Unguru, Sabetai (2001). Apollonius of Perga's Conica: text, context, subtext. Leiden: Brill. p. 188. ראו הערת שוליים 3, Normals as Maxima and Minima ראו הערת שוליים 3, Propositions Leading Immediately to the Determination of the Evolute כדי לתאר את "המאונך ל", המתמטיקאים היווניים השתמשו ב"הנורמל של", כאשר האובייקט יכול להיות כל צורה, בדרך כלל קו ישר. פריד טוען שלא היה שימוש סטנדרטי ב"נורמל" במשמעות של נורמל של עקומה, ואפולוניוס לא הציג אחד כזה, למרות שבכמה מקרים בודדים הוא כן תיאר אחד. פריד ואונגורו מקדישים פרק שלם לביקורתם זו. סיכום לכך ניתן ב: Fried, Michael N.; Unguru, Sabetai (2001). Apollonius of Perga's Conica: text, context, subtext. Leiden: Brill. p. 190. Fried, Michael N.; Unguru, Sabetai (2001). Apollonius of Perga's Conica: text, context, subtext. Leiden: Brill. p. 182. Fried, Michael N.; Unguru, Sabetai (2001). Apollonius of Perga's Conica: text, context, subtext. Leiden: Brill. p. 188. Apollonius of Perga; Halley, Edmund; Balsam, Paul Heinrich (1861). Des Apollonius von Perga sieben Bücher über Kegelschnitte Nebst dem durch Halley wieder hergestellten achten Buche; dabei ein Anhang, enthaltend Die auf die Geometrie der Kegelschnitte bezüglichen Sätze aus Newton's "Philosophiae naturalis principia mathematica." (בגרמנית). Berlin: De Gruyter. הסבר מתמטי ומדויק של כל טענה בספר ניתן למצוא ב: Apollonius of Perga; Toomer, GJ (1990). Conics, books V to VII: the Arabic translation of the lost Greek original in the version of the Banū Mūsā. Sources in the history of mathematics and physical sciences, 9. New York: Springer. pp. lxi–lxix. תרגומי ההגדרות משתנים במידה רבה כאשר כל מחבר מנסה לשכתב את המורכבויות באנגלית ברורה ותמציתית ככל הניתן. סיכום לסוגיה ניתן למצוא ב: Apollonius of Perga; Heath, Thomas Little (1896). Treatise on conic sections. Cambridge: University Press. p. lxx.. כותבים רבים מתייחסים לנושא, לדוגמה, Toomer, GJ (1990). Apollonius Conics Book V to VII: the Arabic Translation of the Lost Greek Original in the Version of the Banu Musa. Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences 9. Vol. I. New York: Springer. pp. lxix–lxx. we may regard the establishment of limits of solution as its main purpose. השקפתו של טומר ניתנת ללא פירוט או התייחסות לאף טקסט של הכרך השביעי מלבד ההקדמה. Apollonius of Perga; Heath, Thomas Little (1896). Treatise on conic sections. Cambridge: University Press. pp. clvii–clxx. Apollonius of Perga; Heath, Thomas Little (1896). Treatise on conic sections. Cambridge: University Press. p. vii. Apollonius of Perga; Thomas, Ivor (1953). Selections illustrating the history of greek mathematics. Loeb Classical Library. Vol. II From Aristarchus to Pappus. London; Cambridge, Massachusetts: William Heinemann, Ltd.; Harvard University Press. Leo Corry, Geometry and arithmetic in the medieval traditions of Euclid’s Elements: a view from Book II, 2013 Sabetai Unguru, On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics, Archive for History of Exact Sciences 15 (1975), 67–114 Abel Rey, Les Mathématiques en Grèce au milieu du Ve siècle, 1939 Jacob Klein, Die griechische Logistik und die Entstehung der Algebra, Springer, 1936 Ken Saito, Compounded Ratio in Euclid and Apollonius, Historia Scientiarum 30 (1986), 25–59