קומפלקס משולשים

במתמטיקה בכלל ובאלגברה טופולוגית בפרט, קומפלקס משולשים או קומפלקס סימפליציאלי (באנגלית: Simplicial Complex) הוא קבוצה של צמתים, קשתות, פאות וההכללות לממדים גבוהים של אלה, המקיים מספר תנאים. סימפלקס יקרא קומפלקס משולשים אם הוא מקיים את התנאים הבאים: כל K ′ ⊆ K {\displaystyle {\mathcal {K}}'\subseteq {\mathcal {K}}} הוא סימפלקס בעצמו. אם σ 1 , σ 2 ⊆ K {\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\subseteq {\mathcal {K}}} הן פאות של הסימפלקס K {\displaystyle {\mathcal {K}}} , אזי σ 1 ∩ σ 2 {\displaystyle \sigma _{1}\cap \sigma _{2}} הוא סימפלקס. הצורה הקומבינטורית של קומפלקס המשולשים נקראת קומפלקס משולשים אבסטרקטי (באנגלית: Abstract Simplicial Complex) והיא אינה מתחשבת בגאומטריה של הסימפלקס בכלל. קומפלקס משולשים יקרא κ {\displaystyle \kappa } -קומפלקס אם המימד הגבוה ביותר של סימפלקס כלשהו השייך לו הוא κ {\displaystyle \kappa } . לדוגמה: הסימפלקס {{a,b,c},{a,b},{a,c},{a},{b},{c}} הוא קומפלקס משולשים כי הוא מקיים את 2 התנאים העליונים, והוא 2-קומפלקס מכיוון שהסימפלקס במימד הגבוה ביותר בו: {a,b,c} הוא ממימד 2. 0-קומפלקס יכיל רק צמתים: {{a},{b}} 1-קומפלקס יכיל גם קשתות: {{a},{b},{a,b}} 2-קומפלקס יכיל גם פאות: {{a},{b},{c},{a,b},{a,b,c}} וכן הלאה. יש לשים לב שכל חיתוך של תתי-סימפלקסים הוא סימפלקס בעצמו ומוכל בקומפלקס המקורי. קומפלקס משולשים יקרא κ {\displaystyle \kappa } -קומפלקס הומוגני אם כל סימפלקס σ d ⊂ K {\displaystyle \sigma _{d}\subset {\mathcal {K}}} במימד d < κ {\displaystyle {\mathcal {d}}<\kappa } הוא פאה של סימפלקס אחר ממימד גבוה יותר σ ⊆ K {\displaystyle \sigma \subseteq {\mathcal {K}}} . הסגוֹר (באנגלית: Closure) של קומפלקס K {\displaystyle {\mathcal {K}}} הוא קומפלקס המשולשים הקטן ביותר שמכיל את כל תתי הסימפלקסים σ ⊆ K {\displaystyle \sigma \subseteq {\mathcal {K}}} . מסומן: C l ( K ) {\displaystyle {\mathcal {Cl(K)}}} הכׂוכב (באנגלית: Star) של קומפלקס K {\displaystyle {\mathcal {K}}} הוא קבוצה המכילה את כל הסימפלקסים ש K {\displaystyle {\mathcal {K}}} הוא פאה שלהם. מסומן: S t ( K ) {\displaystyle {\mathcal {St(K)}}} . יש לשים לב שהכוכב של K {\displaystyle {\mathcal {K}}} אינו דווקא קומפלקס משולשים. הקישוּר (באנגלית: Link) של קומפלקס K {\displaystyle {\mathcal {K}}} הוא הסגור של הכוכב של K {\displaystyle {\mathcal {K}}} פחות הכוכב של K {\displaystyle {\mathcal {K}}} . מסומן: L k ( K ) = C l ( S t ( K ) ) − S t ( K ) {\displaystyle {\mathcal {Lk(K)}}={\mathcal {Cl(St(K))}}-{\mathcal {St(K)}}} . בתחום ניתוח המידע הטופולוגי (באנגלית: Topological Data Analysis או TDA) קיים שימוש נרחב לבניית קומפלקס משולשים מהמידע הנתון לרוב בצורה של ענן נקודות. בנייה זו נעשית על ידי שימוש בהומולוגיה מתמשכת ליצירת פילטרציה של קומפלקס המשולשים המייצג את ענן הנקודות. בעיבוד אותות, ניתן ליצור ענן נקודות בממדים גבוהים על ידי התמרת אות דגום f [ n ] {\displaystyle f[n]} נתון בצורה הבאה: S W { f [ n ] } = [ f [ n ] , f [ n + τ ] , f [ n + 2 τ ] , ⋯ , f [ n + d τ ] ] {\displaystyle SW\left\{f[n]\right\}=[f[n],f[n+\tau ],f[n+2\tau ],\cdots ,f[n+d\tau ]]} . ניתוח ההומולוגיה המתמשכת של קומפלקס המשולשים הנוצר מענן נקודות זה נותנת מידע רב על התכונות הזמניות של האות הנתון: חוסה פראה (Jose A. Perea) מאוניברסיטת מישיגן הוכיח כי מחזוריות זמנית של אות גוררת רכיב הומולגי מסדר ראשון בברקוד - קיום חור בקומלקס המשולשים. כריסטופר טארלי (Christopher J. Tralie) מאוניברסיטת דיוק הראה שניתן לזהות קוואזי־מחזוריות באות על ידי כך שההומולוגיה המתקבלת ממנו היא של טורוס, ולא של טבעת. הבחנה זו עמידה לשינויים קלים שאנליזת פורייה לא יכולה להבחין בהם. מדיה וקבצים בנושא קומפלקס משולשים בוויקישיתוף קומפלקס משולשים, באתר MathWorld (באנגלית) Robert Ghrist, Barcodes: The persistent topology of data, Bulletin of the American Mathematical Society 45, 2008, עמ' 61–75 doi: 10.1090/S0273-0979-07-01191-3 Jose A. Perea, PERSISTENT HOMOLOGY OF TOROIDAL SLIDING WINDOW EMBEDDINGS, 435 ICASSP Christopher J. Tralie and Jose A. Perea, (Quasi)Periodicity Quantification in Video Data, Using Topology