מספר אור

במתמטיקה, מספר מחלק-הרמוני, או מספר אור (Ore), ולעיתים אף מספר אור-הרמוני, על-שם המתמטיקאי הנורווגי אייסטיין אור (Øystein Ore) שהגדיר את המספרים הללו בשנת 1948, הוא מספר טבעי חיובי שהממוצע ההרמוני של המחלקים שלו הוא מספר שלם. הראשונים מבין מספרי אור הם: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190. לדוגמה, 6 הוא מספר אור, משום שיש לו ארבעה מחלקים, 1, 2, 3, ו-6 עצמו, שהממוצע ההרמוני שלהם הוא מספר שלם: 4 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 6 = 2 {\displaystyle {\frac {4}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}}}=2} ל-140 יש שנים-עשר מחלקים והם 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, ו-140 עצמו. הממוצע ההרמוני שלהם הוא: 12 1 + 1 2 + 1 4 + 1 5 + 1 7 + 1 10 + 1 14 + 1 20 + 1 28 + 1 35 + 1 70 + 1 140 = 5 {\displaystyle {\frac {12}{1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{20}}+{\frac {1}{28}}+{\frac {1}{35}}+{\frac {1}{70}}+{\frac {1}{140}}}}=5} גם כאן התוצאה היא מספר שלם, ולכן גם 140 הוא מספר אור. אור הבחין שלכל מספר שלם כלשהו M {\displaystyle M} , מכפלת הממוצע ההרמוני והממוצע החשבוני של מחלקיו שווה ל- M {\displaystyle M} עצמו. מכאן נובע ש- M {\displaystyle M} הוא מספר אור-הרמוני אם ורק אם הממוצע (החשבוני) של מחלקיו מחלק את M {\displaystyle M} . אור הראה שכל מספר מושלם הוא גם אור-הרמוני. כדי להיווכח בכך, נשים לב שסכום כל המחלקים של מספר מושלם M {\displaystyle M} הוא בדיוק 2 M {\displaystyle 2M} . לכן, הממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא 2 M d ( M ) {\displaystyle 2M \over d(M)} , כאשר d ( M ) {\displaystyle d(M)} ‎ הוא מספר המחלקים של M {\displaystyle M} . לכל M {\displaystyle M} , d ( M ) {\displaystyle d(M)} הוא מספר אי-זוגי אם ורק אם M {\displaystyle M} הוא מספר ריבועי, מכיוון שאחרת ניתן לזווג לכל מחלק m {\displaystyle m} של M {\displaystyle M} , מחלק שונה ממנו - M m {\displaystyle M \over m} . אך מספר מושלם אינו יכול להיות מספר ריבועי. הדבר נובע מהצורה הידועה של מספרים מושלמים זוגיים ומהעובדה שלמספרים מושלמים אי-זוגיים (אם הם קיימים) חייב להיות גורם מהצורה q α {\displaystyle q^{\alpha }} , כאשר α ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle \alpha \equiv 1{\pmod {4}}} . לכן, עבור מספר מושלם כלשהו M {\displaystyle M} , d ( M ) {\displaystyle d(M)} הוא זוגי והממוצע (החשבוני) של המחלקים הוא 2 M d ( M ) {\displaystyle {\frac {2M}{d(M)}}} . לכן, M {\displaystyle M} הוא מספר אור-הרמוני. אור שִׁיער ש-1 הוא המספר האי-זוגי היחיד שהוא גם אור-הרמוני. אם ההשערה נכונה, פירוש הדבר הוא שלא קיימים מספרים מושלמים אי-זוגיים. W. H. Mills הראה שלכל מספר אור אי-זוגי הגדול מ-1 חייב להיות גורם ראשוני שחזקתו גדולה מ-107, ו-Graeme L. Cohen הראה שלכל מספר כזה יש לפחות שלושה גורמים ראשוניים שונים. Cohen,‏ Takeshi Goto ואחרים, כולל אור עצמו, החלו להשתמש במחשבים כדי לחפש מספרי אור קטנים. תוצאות החיפושים הללו הם רשימות של כל מספרי אור עד לבערך 2×109, ושל כל מספרי אור שהממוצע ההרמוני של מחלקיהם הוא 300 לכל-היותר. אם M {\displaystyle M} הוא מספר אור-הרמוני שאינו מתחלק בשום מספר ריבועי, אז M = 1 {\displaystyle M=1} או M = 6 {\displaystyle M=6} . אם M {\displaystyle M} הוא מספר שקול ל-3‎ (mod 4)‎, אז M {\displaystyle M} הוא לא אור-הרמוני. אם M {\displaystyle M} הוא מספר אור-הרמוני וגם מכפלה של שתי חזקות של מספרים ראשוניים, אז M {\displaystyle M} הוא מספר מושלם זוגי. שבר יסודי מספר אור, באתר MathWorld (באנגלית) סדרת מספרי אור באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים Goto, Takeshi. (Ore's) Harmonic Numbers. Retrieved on 2006-09-10 Cohen, Graeme L. (1997). "Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean". Mathematics of Computation 66: 883–891 אם d {\displaystyle d} הוא מספר המחלקים והסכום עובר על כל המחלקים m {\displaystyle m} של M {\displaystyle M} , אז d ∑ 1 m ⋅ ∑ m d = ∑ m ⋅ M ∑ M m = ∑ m ⋅ M ∑ m = M {\displaystyle {\frac {d}{\sum {\frac {1}{m}}}}\cdot {\frac {\sum m}{d}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum {\frac {M}{m}}}}=\sum m\cdot {\frac {M}{\sum m}}=M} אך לא פרסם. Muskat, Joseph B. (1966). "On Divisors of Odd Perfect Numbers". Mathematics of Computation 20 (93): 141–144. doi:10.2307/2004277 Ore, Øystein (1948). "On the averages of the divisors of a number". American Mathematical Monthly 55: 615–619 M. Garcia, "On numbers with integral harmonic mean". American Mathematical Monthly 61 (1954), 89-96 C. Pomerance, Abstract 709-A5, Notices American Mathematical Monthly 20 (1913) A-648.