אינדוקציה מתמטית

אינדוקציה מתמטית היא שיטה המאפשרת להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. ההוכחה באינדוקציה מורכבת משני שלבים: צעד בסיס: מוכיחים כי המספר 1 מקיים את התכונה. צעד האינדוקציה: מוכיחים כי אם מספר טבעי n כלשהו מקיים את התכונה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה. שיטת האינדוקציה היא אחד מכלי ההוכחה החזקים ביותר בארגז הכלים של כל מתמטיקאי, לא רק עבור המספרים הטבעיים, אלא גם עבור קבוצות סדורות היטב. אין לבלבל בין שיטת האינדוקציה המתמטית לבין שיטת ההסקה הלוגית אינדוקציה. שיטת האינדוקציה הפורמלית, כפי שהיא מוכרת כיום התפתחה בעיקר במאה ה-19 על ידי מתמטיקאים כגון ג'ורג' בול, אוגוסטוס דה-מורגן, צ'ארלס פירס, ג'וזפה פיאנו וריכרד דדקינד. את המונח "אינדוקציה מתמטית" הציע דה-מורגן, כשכתב את הערך "אינדוקציה (מתמטיקה)" בציקלופדיית פני ב-1838. וריאציות שונות של השיטה הופיעו אצל מחברים רבים קודם לכן. מקובל לייחס את השימוש הראשון באינדוקציה באופן מפורש למתמטיקאי בלז פסקל, בעבודתו Traité du triangle arithmétique שנכתבה בשנת 1654. בעבודה זו עסק פסקל במשולש האריתמטי, הידוע כיום כמשולש פסקל, והוכיח תכונות יסוד שלו, כמו העובדה שכל מקדם שווה לסכום שני המקדמים שמעליו במשולש. לשם הוכחת התכונות הגדיר פסקל לראשונה באופן ריגורוזי את עקרון האינדוקציה. גאורג קנטור, ב-1902, מייחס את שיטתו של פסקל למאורוליקוס, שספרו "אריתמטיקה" פורסם ב-1575. מאורוליקוס בנה בספר טבלאות של מספרים "מיוחדים", כגון זוגיים, אי-זוגיים, משולשיים וריבועיים, והבחין בתכונות שונות שלהן. לאחר שהוכיח את טענה XIII בספר, ש"כל ריבוע שמוסיפים לו את המספר האי-זוגי הבא שווה לריבוע הבא" (היינו, n 2 + ( 2 n + 1 ) = ( n + 1 ) 2 {\displaystyle n^{2}+(2n+1)=(n+1)^{2}} ), הוא הוכיח את הטענה ה-XV, "סכומם של n המספרים האי-זוגיים הראשונים הוא המספר הריבועי העומד במקום n" (בלשון מודרנית, 1 + 3 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) = n 2 {\displaystyle 1+3+\cdots +(2n-1)=n^{2}} ), כך: "המספר הריבועי הראשון, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא, נותן את הריבוע הבא (4); והמספר הריבועי השני, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הבא (5), נותן את הריבוע השלישי (9); וכך, המספר הריבועי השלישי, כשהוא נוסף למספר האי-זוגי הרביעי (7), נותן את המספר הריבועי הרביעי (16); וכך באופן עוקב עד אינסוף הטענה מוכחת באמצעות הפעלה חוזרת של טענה XIII". ההיסטוריון של המתמטיקה פלוריאן קג'ורי (Florian Cajori) מצא סימנים של הוכחות עם טיעון חוזר, המזכירות את שלבי האינדוקציה הראשונים (ראו להלן) כבר אצל קמפנוס (Campanus,‏ 1260) ואצל פרוקלוס, אבל סיכם שהוכחות אלו "אינן אינדוקציה". הרב ד"ר נחום רבינוביץ' טען שרבי לוי בן גרשום (הרלב"ג, 1288–1344) היה "הכותב הראשון שהשתמש באינדוקציה באופן שיטתי, ושהכיר בה כהליך מתמטי נפרד". רבי לוי בן גרשום כתב כמה ספרי הערות על "יסודות" של אוקלידס; בספר "מעשה חושב" (1321) הוא ביאר את הספרים השביעי, השמיני והתשיעי של אוקלידס, והוכיח תוצאות קומבינטוריות משל עצמו. לשיטה של עלייה צעד אחר צעד ששימשה אותו בהוכחות הוא העניק את השם העברי "הדְרגה". הרב רבינוביץ' הציע שהרלב"ג יכול היה לשאוב את רעיונותיו מפירושו של ר' שבתאי בן אברהם דונולו (913–970) לספר יצירה, שמנה תמורות והסביר כיצד לחשב (רקורסיבית) את מספר התמורות של 3 עצמים מזה של 2 עצמים, של 4 מזה של 3, של 5 מזה של 4, וכן הלאה, עד לתמורות של 7 עצמים (אותן הוא מנה אחת לאחת). להוכחה באינדוקציה שני חלקים. ראשית, מראים שהמספר 1 מקיים את התכונה המבוקשת (זהו בסיס האינדוקציה), ושנית, שאם המספר n מקיים אותה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה (צעד האינדוקציה). בשפה פורמלית, אקסיומת האינדוקציה קובעת שלכל פסוק P, מתקיים: [ P ( 1 ) ∧ ∀ n ( P ( n ) ⟹ P ( n + 1 ) ) ] ⟹ ∀ n P ( n ) {\displaystyle \left[P(1)\wedge \forall n(P(n)\implies P(n+1))\right]\implies \forall nP(n)} כלומר, אם המספר 1 מקיים את התכונה, ומנכונותה עבור n נובעת גם נכונותה עבור n+1, אז כל המספרים הטבעיים מקיימים את התכונה. מבנה ההוכחה באינדוקציה תמיד זהה: בדיקה למקרה n=1, הנחה עבור n כללי, והוכחה שמההנחה נובעת נכונות הטענה עבור n+1. בין השגיאות הנפוצות בהוכחות באינדוקציה: הוכחת צעד האינדוקציה ללא הבסיס (צעד האינדוקציה תקף באופן ריק גם לתכונות שאף מספר אינו מקיים), או הוכחת צעד האינדוקציה עבור n>2 בלבד (כפי שמדגים פרדוקס הסוסים). הנוסח המתאר את צעד האינדוקציה בספרים אחדים "נניח שהוכחנו את הטענה עבור n, ונוכיח אותה עבור n+1", פגום: אם הוכחנו את הטענה עבור n כללי, אין עוד צורך להוכיח דבר; ואם כך, ניסוח זה של צעד האינדוקציה נכון באופן ריק, ולא ניתן להסיק ממנו דבר. כדי להוכיח באינדוקציה שטענה מסוימת נכונה לכל המספרים הטבעיים ממספר K ואילך, אפשר להוכיח שהיא נכונה עבור K, ושמן הנכונות עבור n נובעת הנכונות גם עבור n+1. כך אפשר למשל להוכיח ש- 2 n > 3 n 4 {\displaystyle 2^{n}>3n^{4}} לכל n ≥ 19 {\displaystyle n\geq 19} (אף על פי שהטענה אינה נכונה עבור n < 19 {\displaystyle n<19} ). אינדוקציה שלמה. לפעמים הנכונות של טענה Q עבור n+1 אינה נובעת מן הנכונות עבור n, אלא מן הנכונות עבור כל המספרים 1,2,3 ועד n (לדוגמה, כשרוצים להוכיח שכל מספר שלם מתפרק לגורמים ראשוניים). במקרה כזה, אפשר להחליף את התכונה Q בתכונה P, המוגדרת לפי P ( n ) ⟺ ∀ m ( m ≤ n ⟹ Q ( m ) ) {\displaystyle P(n)\iff \forall m(m\leq n\implies Q(m))} (הכוונה היא שניתן להחליף את התכונה Q בתכונה P, המוגדרת כך ש- P ( n ) {\displaystyle P(n)} אם ורק אם כל הטענות Q ( 1 ) , Q ( 2 ) , … , Q ( n ) {\displaystyle Q(1),Q(2),\dots ,Q(n)} נכונות), ולהפעיל את טיעון האינדוקציה הרגיל על P. שיטה זו נקראת "אינדוקציה שלמה" על התכונה Q. אינדוקציה כפולה (או משולשת וכן הלאה). כאשר הטענה היא על זוגות של מספרים P ( n , m ) {\displaystyle P(n,m)} , אפשר להוכיח אותה לכל n באינדוקציה (רגילה) על הפרמטר m, כאשר בסיס האינדוקציה P ( n , 1 ) {\displaystyle P(n,1)} מוכח באינדוקציה על הפרמטר n. לחלופין, אפשר להיעזר בצעד האינדוקציה P ( n − 1 , m ) ∧ P ( n , m − 1 ) ⟹ P ( n , m ) {\displaystyle P(n-1,m)\land P(n,m-1)\implies P(n,m)} , כמו בדוגמה 4 להלן. עקרון האינדוקציה חל לא רק על המספרים הטבעיים, אלא על כל קבוצה סדורה היטב. כאשר מדובר בקבוצה שהסודר שלה גדול מזה של המספרים הטבעיים, קוראים לתהליך אינדוקציה טרנספיניטית. יש הוכחות הכרוכות ב"נסיגה אינסופית": מראים שאם הטענה נכונה עבור m, היא נכונה גם עבור ערך קטן יותר, עד שבסופו של דבר מסיקים שהיא נכונה גם עבור m=1. אוילר הראה באופן כזה שאם p ראשוני השקול ל-1 מודולו 4, אז אפשר להציג את p כסכום של שני ריבועים (בסיס האינדוקציה במקרה זה הוא העובדה שאפשר להציג את m p {\displaystyle mp} כסכום כזה, אם m גדול מספיק, משום ש- − 1 {\displaystyle -1} הוא שארית ריבועית מודולו p). אינדוקציה הפוכה. מראים שהטענה נכונה עבור סדרה עולה של מספרים (כגון המספרים 2 n {\displaystyle 2^{n}} ), ואז מראים שמן הנכונות עבור m נובעת הנכונות עבור m-1. על שיטה זו מבוססת אחת ההוכחות הקלות לאי-השוויון בין הממוצע הגאומטרי והממוצע החשבוני. נוכיח באינדוקציה את הנוסחה 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}} (הנוסחה לסכום המספרים הטבעיים עד n): ראשית, ברור כי הטענה נכונה עבור n=1, משום שבמקרה זה, הערך בשני האגפים הוא 1. שנית, נניח שהטענה נכונה עבור n, כלומר, 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}} . עלינו להוכיח את השוויון 1 + 2 + ⋯ + n + ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle 1+2+\cdots +n+(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}} . אולם, לפי הנחת האינדוקציה, 1 + 2 + ⋯ + n + ( n + 1 ) = ( 1 + 2 + ⋯ + n ) + ( n + 1 ) = n ( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) = {\displaystyle 1+2+\cdots +n+(n+1)=(1+2+\cdots +n)+(n+1)={\frac {n(n+1)}{2}}+(n+1)=} ואזי ( n 2 + n ) + ( 2 n + 2 ) 2 = ( n 2 + 3 n + 2 ) 2 = ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {(n^{2}+n)+(2n+2)}{2}}={\frac {(n^{2}+3n+2)}{2}}={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}} כפי שרצינו. מגדלי האנוי היא חידה פופולרית שבה יש להעביר מגדל של דיסקיות מעמוד אחד לעמוד אחר, תוך שימוש בעמוד עזר ועל פי החוקים הבאים: בכל תור מותר להזיז דיסקית אחת בלבד, מראש עמוד אחד לראש עמוד אחר. אסור להניח דיסקית גדולה על גבי דיסקית קטנה ממנה. ניתן להוכיח באינדוקציה שניתן לפתור את החידה, לא משנה כמה דיסקיות יש במגדל. ניתן לפתור את החידה עבור מגדל בעל דיסקית אחת בלבד, בעזרת מהלך אחד. עתה נניח שניתן להעביר מגדל בעל n דיסקיות ונראה שניתן להעביר מגדל בעל n+1 דיסקיות. ההעברה מתבצעת בשלושה שלבים. ראשית נעביר את n הדיסקיות העליונות אל עמוד העזר – דבר שניתן לעשות על פי הנחת האינדוקציה, שנית נעביר את הדיסקית התחתונה – ולבסוף נעביר שוב את n הדיסקיות שעל עמוד העזר אל מעל לדיסקית התחתונה. מספר רמזי R n , m {\displaystyle R_{n,m}} (עבור n , m ≥ 2 {\displaystyle n,m\geq 2} ) הוא המספר הקטן ביותר בעל התכונה הבאה: בכל אירוע שבו נפגשים R n , m {\displaystyle R_{n,m}} אנשים, מוכרחים להיות n אנשים שכולם מכירים זה את זה, או m אנשים שאף אחד מהם אינו מכיר את רעהו. (יחס ההיכרות הוא יחס סימטרי: אם a מכיר את b, אז גם b מכיר את a). מלכתחילה לא ברור שהמספרים האלו קיימים (משום שייתכן, לכאורה, שאפשר להימנע מן הקבוצות המיוחדות גם באירועים המוניים). נוכיח שמספרי רמזי קיימים, בכך שנראה ש- R n , m ≤ ( n + m − 2 n − 1 ) {\displaystyle R_{n,m}\leq {\binom {n+m-2}{n-1}}} , כאשר ( n + m − 2 n − 1 ) = ( n + m − 2 ) ! ( n − 1 ) !   ( m − 1 ) ! {\displaystyle {\binom {n+m-2}{n-1}}={\frac {(n+m-2)!}{(n-1)!\ (m-1)!}}} הוא מקדם בינומי. ראשית, R n , 2 = n {\displaystyle R_{n,2}=n} משום שאם אין אפילו זוג אנשים שאינם מכירים זה את זה, מוכרחים כולם להכיר את כולם. מאותה סיבה גם R 2 , m = m {\displaystyle R_{2,m}=m} , ולכן הטענה נכונה כאשר n=2 או m=2. זהו בסיס האינדוקציה. כעת נניח ש- n , m ≥ 3 {\displaystyle n,m\geq 3} . נניח שבאירוע משתתפים R n − 1 , m + R n , m − 1 {\displaystyle R_{n-1,m}+R_{n,m-1}} אנשים. נתבונן במערך ההיכרויות של אחד ממשתתפי האירוע: או שהוא מכיר לפחות R n − 1 , m {\displaystyle R_{n-1,m}} משתתפים, או שהוא אינו מכיר לפחות R n , m − 1 {\displaystyle R_{n,m-1}} משתתפים. במקרה הראשון, לפי ההגדרה של R n − 1 , m {\displaystyle R_{n-1,m}} , יש בין האנשים שהוא מכיר n-1 מכרים-הדדית (ואז יש באירוע כולו קבוצה של n מכרים-הדדית), או שיש ביניהם קבוצה של m זרים-הדדית; במקרה השני, יש בין האנשים שהוא אינו מכיר קבוצה של n מכרים-הדדית, או שיש ביניהם קבוצה של m-1 זרים-הדדית (ואז יש m זרים-הדדית באירוע). הוכחנו שמספר המשתתפים גדול דיו כדי לחייב אחת משתי התוצאות שבהגדרה, ולכן R n , m ≤ R n − 1 , m + R n , m − 1 {\displaystyle R_{n,m}\leq R_{n-1,m}+R_{n,m-1}} . לפי הנחת האינדוקציה, R n , m ≤ ( n + m − 3 n − 2 ) + ( n + m − 3 m − 2 ) = ( n + m − 2 n − 1 ) {\displaystyle R_{n,m}\leq {\binom {n+m-3}{n-2}}+{\binom {n+m-3}{m-2}}={\binom {n+m-2}{n-1}}} . (הערך המדויק של מספרי רמזי ידוע רק במקרים בודדים; אפילו הערך של R 5 , 5 {\displaystyle R_{5,5}} אינו ידוע). עץ בינארי הוא עץ מכוון, שבו לכל קודקוד יש לכל היותר שני בנים, ולכל קודקוד, פרט לקודקוד מיוחס הנקרא שורש, יש אב יחיד. קודקוד של עץ כזה נקרא גם צומת. עלה הוא צומת חסר בנים. עץ לא ריק הוא עץ שקיים בו שורש. צאצאים של כל צומת בעץ יוצרים ביחד איתו תת-עץ של העץ המקורי. נגדיר "צומת מלא" כצומת שיש לו שני בנים. נוכיח באינדוקציה שבעץ בינארי לא ריק, מספר העלים בעץ גדול ב-1 ממספר הצמתים המלאים בו. עבור עץ עם צומת בודד הטענה מתקיימת: ישנו עלה אחד ואין צמתים מלאים. נניח שהטענה נכונה עבור כל עץ בינארי עם n צמתים, כאשר n חיובי. נוכיח שהטענה נכונה עבור עץ עם 1+n קודקודים: בהינתן עץ שאינו שורש עם n+1 צמתים, נסיר ממנו עלה כלשהו ונקבל עץ חדש עם n צמתים. נסמן את מספר העלים ב-N0 ואת מספר הצמתים המלאים ב-N2. על-פי הנחת האינדוקציה בעץ החדש מתקיים השוויון N0=N2+1. נחזיר חזרה לעץ את העלה שהסרנו. אם העלה שהוסר היה בן יחיד מספר העלים לאחר החזרתו לא השתנה: מצד אחד עלה אחד נוסף ומצד שני אותו הצומת שהוסיפו לו עלה הפך מעלה לאב יחיד. מספר הצמתים המלאים לא השתנה אף הוא ולכן השוויון נשמר. אם העלה שהוסר לא היה בן יחיד אז מצד אחד מספר הצמתים המלאים בעץ לאחר החזרת העלה גדל ב-1, ומצד שני מספר העלים גדל ב-1 לאחר החזרת העלה. ולכן גם במקרה זה השוויון נשמר. ערך מורחב – פרדוקס הסוסים ישנן גם הוכחות שגויות, המבוססות על גרסה שגויה של אקסיומת האינדוקציה או שיש בהן דילוג על שלב מהותי. אף על פי שברוב ההוכחות באינדוקציה הבדיקה לערך קטן של n היא קלה ומיידית, ישנם מקרים שבהם צעד האינדוקציה תקין והבעיה היא דווקא בערכים הקטנים. דוגמה מפורסמת לתופעה זו היא פרדוקס הסוסים, המתיימר להוכיח שכל הסוסים בעולם הם בעלי אותו צבע. מכיוון שמספר הסוסים בעולם סופי, אפשר להוכיח את הטענה באינדוקציה: בכל קבוצה בת n סוסים, לכולם יש אותו צבע. טענה זו נכונה כמובן עבור n=1. כעת נניח שהטענה נכונה עבור n, ונוכיח אותה עבור n+1: נבודד אחד מבין n+1 הסוסים, כך שיישארו n סוסים, שכולם בעלי אותו צבע לפי הנחת האינדוקציה. נחליף את הסוס שהוצאנו קודם לכן בסוס אחר, ושוב נקבל שלכל הסוסים בקבוצה שלפנינו אותו צבע. לכן לכל n+1 הסוסים יש אותו צבע. הטענה נכונה עבור n=1, אבל המעבר בין n לבין n+1 תקין רק בתנאי ש-n>1, משום שכדי להסיק שלכל n+1 הסוסים אותו צבע, אנו מניחים שבשתי הקבוצות בגודל n יש סוסים משותפים, שאליהם אפשר להשוות את שני הסוסים שהוצאנו בתחילת הצעד ובסופו. אם הטענה הייתה נכונה עבור n=2 (לכל שני סוסים יש אותו צבע), באמת אפשר היה להוכיח אותה לכל n. אבל המעבר בין n=1 לבין n=2 (אם לכל סוס יש הצבע שלו, אז לכל שני סוסים יש צבע משותף) שגוי, ולכן ההוכחה אינה תקפה. לכאורה, מבוססת האינדוקציה המתמטית על הפעלה חוזרת של כלל הגזירה מודוס פוננס. לדוגמה, כדי להוכיח את הטענה P ( 4 ) {\displaystyle P(4)} , די להוכיח את טענת הבסיס P ( 1 ) {\displaystyle P(1)} , ואת הגרירות P ( 1 ) ⟹ P ( 2 ) {\displaystyle P(1)\implies P(2)} , P ( 2 ) ⟹ P ( 3 ) {\displaystyle P(2)\implies P(3)} ו- P ( 3 ) ⟹ P ( 4 ) {\displaystyle P(3)\implies P(4)} : מן הגרירה הראשונה נובע (לפי טענת הבסיס) P ( 2 ) {\displaystyle P(2)} , מן הגרירה השנייה נובע כעת P ( 3 ) {\displaystyle P(3)} , ומן השלישית – P ( 4 ) {\displaystyle P(4)} . מכיוון שבצעד האינדוקציה הוכחנו את כל הגרירות P ( n ) ⟹ P ( n + 1 ) {\displaystyle P(n)\implies P(n+1)} , אפשר להוכיח באופן הזה את כל הטענות P ( n ) {\displaystyle P(n)} . אם לדייק, מצאנו, לכל n, סדרה סופית של טיעונים, המוכיחה ש- P ( n ) {\displaystyle P(n)} ; אבל מספר הצעדים בכל הוכחה הולך וגדל. זהו מעין "אפקט דומינו": כל אבן מפילה את האבן שאחריה, וכל אבן תיפול בזמן סופי, אבל אם השרשרת אינסופית, הזמן עד שיפלו כולן הוא אינסופי. עקרון האינדוקציה הופך את הסדר: הוא נותן הוכחה בסדרה סופית של טיעונים, לכל אינסוף הטענות P ( n ) {\displaystyle P(n)} . יש שתי גישות להצדקת עקרון האינדוקציה. במערכת האקסיומות המגדירה את מערכת פאנו של המספרים הטבעיים, ישנה סכימת אקסיומות מיוחדת, הקובעת את חלות האינדוקציה. במסגרת הרחבה יותר של תורת הקבוצות האקסיומטית, המבוססת על אקסיומות צרמלו-פרנקל, נובע עקרון האינדוקציה מכך שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב (ראו עקרון הסדר הטוב): אם הטענה P ( n ) {\displaystyle P(n)} אינה מתקיימת לכל n, מוכרח להיות מספר קטן ביותר שעבורו היא אינה מתקיימת; מספר זה אינו יכול להיות 1, משום שבסיס האינדוקציה מאשר את הטענה P ( 1 ) {\displaystyle P(1)} , והוא אינו יכול להיות גדול מ-1, משום שבמקרה כזה הטענה P ( n ) {\displaystyle P(n)} נובעת מן הטענה P ( n − 1 ) {\displaystyle P(n-1)} , הנכונה לפי המינימליות של n. בתורה, העובדה שקבוצת המספרים הטבעיים סדורה היטב נובעת מאקסיומת האינסוף (הקובעת שקיימת קבוצה רקורסיבית אינסופית), ומאקסיומת היסוד. אינדוקציה במדעי הטבע אינדוקציה טרנספיניטית רקורסיה אינדוקציה מתמטית, באתר MathWorld (באנגלית) אינדוקציה מתמטית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) גדי אלכסנדרוביץ', גם אני לא מאמין באינדוקציה (כי לאמונה אין קשר לזה), באתר "לא מדויק", 25 בדצמבר 2010 Florian Cajori, Origin of the name Mathematical Induction, American Mathematical Monthly, 25 (1918), pp. 197–201, in JSTOR. Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd ed., p. 364 W.H. Bussey, The Origin of Mathematical Induction, American Mathematical Monthly, 24 (1917), pp. 199–207, in JSTOR Nachum L. Rabinovitch, Rabbi Levi Ben Gershon and the Origins of Mathematical Induction, Archive for the History of Exact Sciences, Vol. 6(3), (1970), in JSTOR