הרמוניות ספריות

הרמוניות ספריות הן משפחה של פונקציות של שני משתנים: הזוויות θ ו-φ בקואורדינטות ספריות (כדוריות). הרמוניות ספריות חשובות ליישומים תאורטיים ומעשיים רבים, בעיקר בפיזיקה. דוגמאות ליישומים אלה הם אורביטלים באטום ופתרון בעיות אלקטרוסטטיות עם סימטריה כדורית. ניתן להשתמש בהן לייצוג צורתו של שדה כבידה, צורה של גאואיד וצורת שדה מגנטי בגופים פלנטריים, וכן באפיון קרינת הרקע הקוסמית. בגרפיקה ממוחשבת תלת-ממדית, הרמוניות ספריות ממלאות תפקיד מיוחד במגוון רחב של נושאים הכוללים תאורה לא ישירה והכרת צורות תלת-ממדיות. מתמטית, ההרמוניות הספריות הן כלי לפתרון משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות. כאשר מחפשים פתרון למשוואה, שצורתו היא מכפלה של פונקציה שתלויה רק במרחק מראשית הצירים ושל פונקציה שתלויה רק בזוויות, ניתן לקבל משוואות דיפרנציאליות לחלק הרדיאלי (התלוי רק במרחק) ולחלק הזוויתי. ההרמוניות הספריות הן פתרון המשוואה הזוויתית, והן אוסף אורתוגונלי של פונקציות. הרמוניות ספריות נחקרו לראשונה בהקשר של הפוטנציאל הניוטוני הנובע מחוק הכבידה העולמי בשלושה ממדים. ב-1782, פייר סימון לפלס בספרו "מכניקה שמיימית" עסק בבעיה של קביעת הפוטנציאל הכבידתי R 3 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } בנקודה כלשהי x, שיוצרות אוסף של מסות נקודתיות mi המוצבות בנקודות xi, שנתון על ידי: V ( x ) = ∑ i m i | x i − x | . {\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.} כל אחד מהאיברים בסכום לעיל הוא הפוטנציאל הניוטוני היחידני שיוצרות אחת מהמסות הנקודתיות. כמעט באותו זמן, ומעט לפני לפלס, אדריאן-מארי לז'נדר חקר את הפיתוח של הפוטנציאל הניוטוני היחידני של מסה נקודתית לחזקות של המרחק r של הנקודה x מהראשית ושל המרחק r 1 {\displaystyle r_{1}} של הנקודה x 1 {\displaystyle x_{1}} מהראשית. הוא גילה שאם r ≤ r1, אז: 1 | x 1 − x | = P 0 ( cos ⁡ γ ) 1 r 1 + P 1 ( cos ⁡ γ ) r r 1 2 + P 2 ( cos ⁡ γ ) r 2 r 1 3 + ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots } כאשר γ היא הזווית בין הווקטורים x ו-x1, והפונקציות P i : [ − 1 , 1 ] → R {\displaystyle P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R} } הן פולינומי לז'נדר (ראו גם פיתוח לפלס למולטיפולים אלקטרוסטטיים). שימו לב שאם הנקודה x מוגדרת להיות הראשית אז r=0, כך שקיבלנו את הביטוי הרגיל לפוטנציאל של מסה נקודתית. חשיבות פיתוחו של לז'נדר היא שהוא המפתח לתיאור הפוטנציאל של התפלגויות מסה כלליות, בין אם הן בדידות ובין אם הן רציפות. בעקבות כך, במאמרו מ-1782 לפלס חקר את המקדמים הללו תוך שהוא משתמש בקואורדינטות כדוריות כדי לייצג את הזווית γ בין x1 ל-x. ב-1867, ויליאם תומסון ופטר גונטרי טייט הציגו את ההרמוניות הספריות המרחביות בחיבור משותף, שבו גם טבעו את המונח "הרמוניות ספריות" עבור הפונקציות הללו. ההרמוניות המרחביות היו פתרונות פולינומיים הומוגניים R 3 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } למשוואת לפלס: ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 = 0. {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.} באמצעות חקירה של משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות, תומסון וטייט פיתחו את ההרמוניות הספריות של לפלס. הפיתוח של טורי פורייה במהלך המאה ה-19 אפשר את הפתרון של מגוון בעיות פיזיקליות בתחומים מלבניים, כמו משוואת החום או משוואת הגלים במיתר או בתוף מלבני. בעיות אלו נפתרו באמצעות פיתוח הפונקציות לטור של פונקציות טריגונומטריות. בדיוק כשם שהפונקציות הטריגונומטריות בטור פורייה מייצגות את אופני התנודה הבסיסיים של מיתר תונד, הסתבר שההרמוניות הספריות מייצגות את אופני התנודה הבסיסיים של תנודות משטח כדורי, כמו למשל בלון כדורי הנתון במתיחות משטחית (כוח מתיחות ליחידת אורך, בדומה למתח פנים בנוזלים) קבועה מסוימת - כלומר רק כאשר פני הבלון יהיו בצורת אחת מההרמוניות הספריות אז כל נקודה על הבלון תבצע תנודה מחזורית בתדירות זהה מסוימת ω {\displaystyle \omega } . רבים מההיבטים של התורה של טורי פורייה, כמו למשל האורתוגונליות של אופני תנודה, ניתנים להכללה באמצעות פיתוחים להרמוניות ספריות במקום לפונקציות טריגונומטריות. השכיחות של השימוש בהרמוניות ספריות בתחום הפיזיקה בתחילת המאה ה-20 הציבן כמועמדות טבעיות חשובות לפתרון חלק מהבעיות שצצו בתקופת חבלי הלידה של מכניקת הקוונטים. ההרמוניות הספריות (המרוכבות) S 2 → C {\displaystyle S^{2}\to \mathbb {C} } מופיעות שם כפונקציות העצמיות של ריבוע אופרטור התנע הזוויתי − i ℏ r × ∇ , {\displaystyle -i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,} כך שהן מייצגות אורביטלים אטומיים שונים. משוואת לפלס בקואורדינטות כדוריות היא ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0} עבור הפרדת משתנים   f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Θ ( θ ) Φ ( φ ) {\displaystyle \ f(r,\theta ,\varphi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\varphi )} החלק הזוויתי של משוואת לפלס מקיים: Φ ( φ ) sin ⁡ θ d d θ ( sin ⁡ θ d Θ d θ ) + Θ ( θ ) sin 2 ⁡ θ d 2 Φ d φ 2 + λ Θ ( θ ) Φ ( φ ) = 0. {\displaystyle {\Phi (\varphi ) \over \sin \theta }{d \over d\theta }\left(\sin \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{\Theta (\theta ) \over \sin ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\varphi ^{2}}+\lambda \Theta (\theta )\Phi (\varphi )=0.} באמצעות הפרדת משתנים מקבלים ממשוואה דיפרנציאלית חלקית זו שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות: 1 Φ ( φ ) d 2 Φ ( φ ) d φ 2 = − m 2 {\displaystyle {\frac {1}{\Phi (\varphi )}}{\frac {d^{2}\Phi (\varphi )}{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}} λ sin 2 ⁡ ( θ ) + sin ⁡ ( θ ) Θ ( θ ) d d θ [ sin ⁡ ( θ ) d Θ d θ ] = m 2 {\displaystyle \lambda \sin ^{2}(\theta )+{\frac {\sin(\theta )}{\Theta (\theta )}}{\frac {d}{d\theta }}\left[\sin(\theta ){\frac {d\Theta }{d\theta }}\right]=m^{2}} עבור m {\displaystyle m} ו- λ {\displaystyle \lambda } מרוכבים כלשהם. מכיוון ש- d θ = − d ( c o s θ ) s i n θ {\displaystyle d\mathbb {\theta } =-{\frac {d(\mathbb {cos\theta } )}{\mathbb {sin\theta } }}} ניתן לזהות את האופרטור d d θ {\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}} עם האופרטור − s i n θ d d ( c o s θ ) {\displaystyle -\mathbb {sin\theta } {\frac {d}{d(\mathbb {cos\theta } )}}} , ולכן אם נציב x = c o s θ {\displaystyle x=\mathbb {cos\theta } } ו- s i n 2 θ = 1 − x 2 {\displaystyle \mathbb {sin^{2}\theta } =1-x^{2}} נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית הבאה עבור Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)} : d d x [ ( 1 − x 2 ) d Θ d x ] + ( λ − m 2 1 − x 2 ) Θ ( x ) = 0 {\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d\Theta \over dx}\right]+\left(\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\Theta (x)=0} וזוהי "משוואת לז'נדר" עם λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} עבור l {\displaystyle l} מרוכב כלשהו (מכיוון שלמשוואה λ = l ( l + 1 ) {\displaystyle \lambda =l(l+1)} תמיד קיים פתרון, הנחה זאת לא מגבילה את הכלליות). מכך נובע שהפתרון לחלק הזוויתי ניתן להצגה כמכפלה של פונקציות טריגונומטריות ופולינומי לז'נדר הנלווים: Y ℓ m ( θ , φ ) = N e i m φ P ℓ m ( cos ⁡ θ ) , {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=N\,e^{im\varphi }\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta }),} כאשר Y ℓ m {\displaystyle Y_{\ell }^{m}} נקראת הרמוניה ספרית ממעלה ℓ {\displaystyle \ell } וסדר m ו- P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{m}} הוא פונקציית לז'נדר הנלווית (ידועה גם כפולינומי לז'נדר הנלווים). הפקטור N הוא קבוע נרמול והזוויות θ ו-φ מייצגות את זווית הגובה (   0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle \ 0\leq \theta \leq \pi } , היא שווה לאפס בקוטב הצפוני של הכדור, ל π / 2 {\displaystyle \pi /2} בקו המשווה של הכדור ולפאי בקוטב הדרומי שלו) ואת הזווית המישורית 0 ≤ ϕ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi } . הקואורדינטות הספריות שמשמשות בערך זה עקביות עם אלה המשמשות פיזיקאים אך שונות מאלה המשמשות מתמטיקאים. כאשר פותרים את משוואת לפלס על פני השטח של כדור (על הספירה שלו), תנאי השפה המחזוריים על φ ותנאי רגולריות בקטבים, מבטיחות שהמעלה ℓ {\displaystyle \ell } והסדר m הם מספרים שלמים המקיימים ℓ {\displaystyle \ell } ≥ 0 ו-|m| ≤ ℓ {\displaystyle \ell } . תנאי הרגולריות בקטבים הכרחי לצורך הקביעה כי l מספר שלם, שכן למשוואת לז'נדר נקודות סינגולריות רגולריות ב- x = ± 1 {\displaystyle x=\pm 1} , ורק כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא מהצורה l ( l + 1 ) {\displaystyle l(l+1)} עבור l שלם כלשהו מובטח כי פתרון המשוואה בשיטת פרובניוס ייתן טור חזקות סופי של x (כלומר פולינום) המתכנס אל הפתרון עצמו. ברם, אם הפונקציה f מוגדרת רק עבור θ ≤ θ0, אז ההרמוניות הספריות הקטועות שיתקבלו היו מוגדרות לכל סדר שלם, אך למעלה שאיננה מספר שלם. הפתרון הכללי למשוואת לפלס הוא צירוף ליניארי של הרמוניות ספריות מוכפלות בפתרון הרדיאלי   R ( r ) {\displaystyle \ R(r)} : f ( r , θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ r − 1 − ℓ f ℓ m Y ℓ m ( θ , φ ) + ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ r ℓ f ℓ m ′ Y ℓ m ( θ , φ ) , {\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }r^{-1-\ell }\,f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )+\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }r^{\ell }\,f_{\ell }^{m'}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),} כאשר f ℓ m {\displaystyle f_{\ell }^{m}} ו- f ℓ m ′ {\displaystyle f_{\ell }^{m'}} הם קבועים. האיברים בסכום הראשון שואפים לאפס כאשר r שואף לאינסוף, בעוד שהאיברים בסכום השני שואפים לאפס בראשית. ישנם מספר נרמולים שונים הנמצאים בשימוש עבור הרמוניות ספריות. בפיזיקה וסייסמולוגיה, פונקציות אלה מוגדרות בדרך כלל כ: Y ℓ m ( θ , φ ) = ( 2 ℓ + 1 ) 4 π ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos ⁡ θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }} כך שהן אורתונורמליות ביחס למכפלה פנימית: ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ ∗ d ϕ sin ⁡ θ d θ = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ , {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\Omega =\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\phi \sin \theta d\theta =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},} כאשר הדלתא היא דלתא של קרונקר המקיימת: δaa = 1, δab = 0 אם a ≠ b ו-dΩ = sinθ dφ dθ. בחקר הגאודזות והניתוח הספקטרלי משתמשים בנרמול אחר: Y ℓ m ( θ , φ ) = ( 2 ℓ + 1 ) ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos ⁡ θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }} שמקיים 1 4 π ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ . {\displaystyle {1 \over 4\pi }\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.} בחקר המגנטיות, משתמשים בחצי-נרמול שמידט Y ℓ m ( θ , φ ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos ⁡ θ ) e i m φ {\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }} שמקיים ∫ θ = 0 π ∫ φ = 0 2 π Y ℓ m Y ℓ ′ m ′ ∗ d Ω = 4 π ( 2 ℓ + 1 ) δ ℓ ℓ ′ δ m m ′ . {\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}d\Omega ={4\pi \over (2\ell +1)}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.} גם במכניקת הקוונטים משתמשים לעיתים קרובות בנרמול זה, והוא נקרא על שם הפיזיקאי הישראלי יואל רקח. כאשר משתמשים בזהות הבאה (ראו פונקציות לז'נדר הנילוות) P ℓ − m = ( − 1 ) m ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m {\displaystyle P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}} ניתן להראות שכל ההרמוניות המנורמלות מקיימות Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) = ( − 1 ) m Y ℓ − m ( θ , φ ) , {\displaystyle Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),} כאשר הכוכבית מסמנת לקיחת צמוד מרוכב. משוואה זו נובעת גם מהיחס בין ההרמוניות הספריות עם מטריצת D של ויגנר (ראו: Wigner D-matrix#Relation with spherical harmonic functions). מקור אחד לבלבול בהגדרה של הרמוניות ספריות עוסק בפקטור פאזה של m‏(1-) שבדרך כלל קוראים לו "פאזת קונדון-שורטלי" (Condon-Shortley) בספרות העוסקת במכניקת הקוונטים. בקרב החוקרים העוסקים בפיזיקה קוונטית, ישנה פרקטיקה נפוצה או לכלול את הפאזה בהגדרת פונקציות לז'נדר הנלווים, או לבלוע אותה בהגדרה של ההרמוניות הספריות. אין דרישה להשתמש בפאזת קונדון-שורטלי בהגדרת ההרמוניות הספריות, אך כלילתה יכולה לפשט מספר פעולות קוונטיות, ובפרט העלאה והורדה של אופרטורי תנע זוויתי. חוקרים העוסקים בגאודזות ומגנטיות לא כוללות את פאזת קונדון-שורטלי בהגדרות שלהם עבור הרמוניות ספריות. ההרמוניות הספריות הן אוסף שלם ואורתוגונלי של פונקציות ובכך פורשות מרחב וקטורי באופן אנלוגי לוקטורי בסיס ליניארי. על ספירת היחידה, כל פונקציה אינטגרבילית בריבוע ניתן לפתח כצירוף ליניארי של הרמוניות ספריות: f ( θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ f ℓ m Y ℓ m ( θ , φ ) . {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).} פיתוח זה מדויק כל עוד ℓ {\displaystyle \ell } הולך לאינסוף. שגיאות קטיעה יצוצו אם נקטע את הטור האינסופי ונהפוך אותו לסכום עד ℓ {\displaystyle \ell } סופי כלשהו. את מקדמי הפיתוח ניתן לחשב על ידי כפילת הטור בצמוד המרוכב של הרמוניה ספרית ולבצע אינטגרציה על זווית מרחבית Ω {\displaystyle \Omega \!\,} , תוך ניצול יחסי האורתוגונליות בין הפונקציות. עבור הנרמול האורתונורמלי, מקבלים: f ℓ m = ∫ Ω f ( θ , φ ) Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) d Ω = ∫ 0 2 π d φ ∫ 0 π d θ sin ⁡ θ f ( θ , φ ) Y ℓ m ∗ ( θ , φ ) . {\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).} ניתן להשתמש באוסף חלופי של הרמוניות ספריות, שהן פונקציות ממשיות, בעזרת ההגדרה הבאה: Y ℓ m = { Y ℓ 0  if  m = 0 1 2 ( Y ℓ m + ( − 1 ) m Y ℓ − m ) = 2 N ( l , m ) P ℓ m ( cos ⁡ θ ) cos ⁡ m φ if  m > 0 1 i 2 ( Y ℓ − m − ( − 1 ) m Y ℓ m ) = 2 N ( l , m ) P ℓ − m ( cos ⁡ θ ) sin ⁡ m φ  if  m < 0. {\displaystyle Y_{\ell m}={\begin{cases}Y_{\ell }^{0}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \quad {\mbox{ if }}m=0\\{1 \over {\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)={\sqrt {2}}N_{(l,m)}P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi \qquad \quad \quad {\mbox{if }}m>0\\{1 \over i{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)={\sqrt {2}}N_{(l,m)}P_{\ell }^{-m}(\cos \theta )\sin m\varphi \quad {\mbox{ if }}m<0.\end{cases}}} כאשר N ( l , m ) {\displaystyle N_{(l,m)}} הוא קבוע הנירמול של הפונקציה עבור l {\displaystyle l} ו- m {\displaystyle m} . לפונקציות אלה יש את תכונות הנרמול כמו של ההרמוניות הספריות המרוכבות. בסימונים אלה, ניתן לפתח כל פונקציה ממשית אינטגרבילית בריבוע כטור אינסופי של הרמוניות ספריות ממשיות: f ( θ , φ ) = ∑ ℓ = 0 ∞ ∑ m = − ℓ ℓ f l m Y l m ( θ , φ ) . {\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{lm}\,Y_{lm}(\theta ,\varphi ).} ראו גם רשימת הרמוניות ספריות ממשיות עד ל-l = 5. פונקציות אלה נבדלות בפאזה של (-1)m מאלה הניתנות בערך זה. ההספק (power) הכולל של הפונקציה f {\displaystyle f} מוגדרת בספרות של עיבוד אותות כאינטגרל של הפונקציה בריבוע, חלקי השטח אותו היא פורשת. על ידי שימוש בתכונת האורתונורמליות של ההרמוניה הספרית הממשית על ספירת היחידה, אפשר לוודא על ידי חישוב ישיר שההספק הכולל של פונקציה המוגדרת על ספירת היחידה קשור למקדמים הספקטרלים שלה באמצעות הכללה של משפט פרסוול: 1 4 π ∫ Ω f ( Ω ) 2 d Ω = ∑ l = 0 ∞ S f f ( l ) , {\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )^{2}\,d\Omega =\sum _{l=0}^{\infty }S_{f\!f}(l),} כאשר S f f ( l ) = ∑ m = − l l f l m 2 {\displaystyle S_{f\!f}(l)=\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}^{2}} מוגדר כספקטרום ההספק הזוויתי. באופן דומה ניתן להגדיר את ההספק המשותף (cross-power) של 2 פונקציות כ: 1 4 π ∫ Ω f ( Ω ) g ( Ω ) d Ω = ∑ l = 0 ∞ S f g ( l ) , {\displaystyle {\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g(\Omega )\,d\Omega =\sum _{l=0}^{\infty }S_{fg}(l),} כאשר S f g ( l ) = ∑ m = − l l f l m g l m {\displaystyle S_{fg}(l)=\sum _{m=-l}^{l}f_{lm}g_{lm}} מוגדר כספקטרום ההספק המשותף. אם הפונקציות f ו-g הן בעלות ממוצע אפס (כלומר, המקדמים הספרים f00 ו-g00 הם אפס) אזי   S f f ( l ) {\displaystyle \ S_{ff}(l)} ו-   S f g ( l ) {\displaystyle \ S_{fg}(l)} מייצגות את התרומה של השונות והשונות המשותפת (covariance) עבור מעלה ℓ {\displaystyle \ell } , בהתאמה. בדרך כלל מקרבים את ספקטרום ההספק (המשותף) על ידי חוק חוזקה S f f ( l ) = C ℓ β . {\displaystyle S_{f\!f}(l)=C\,\ell ^{\beta }.} וזה קירוב טוב בדרך כלל. כאשר β = 0 הספקטרום "לבן" כאשר כל מעלה היא בעלת הספק שווה. כאשר β < 0, אומרים שהספקטרום "אדום" ויש יותר הספק במעלות הנמוכות עם אורכי גל ארוכים מאשר במעלות הגבוהות. כאשר β > 0 אומרים שהספקטרום "כחול". תוצאה מתמטית מעניינת נקרא "משפט החיבור" עבור הרמוניות ספריות. שני וקטורים r → {\displaystyle {\vec {r}}} ו- r ′ → {\displaystyle {\vec {r'}}} עם קואורדינטות ספריות ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} ו- ( r ′ , θ ′ , φ ′ ) {\displaystyle (r',\theta ',\varphi ')} , בהתאמה, כאשר הזווית ביניהם היא γ {\displaystyle \,\!\gamma } הנתונה על ידי cos ⁡ γ = cos ⁡ θ cos ⁡ θ ′ + sin ⁡ θ sin ⁡ θ ′ cos ⁡ ( φ − φ ′ ) {\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')} . משפט החיבור מבטא פולינום לז'נדר מסדר l {\displaystyle l} בזווית γ {\displaystyle \,\!\gamma } כמכפלה של 2 הרמוניות ספריות עם קואורדינטות זוויתיות ( θ , φ ) {\displaystyle (\theta ,\varphi )} ו- ( θ ′ , φ ′ ) {\displaystyle (\theta ',\varphi ')} כ: P l ( cos ⁡ γ ) = 4 π 2 l + 1 ∑ m = − l l Y l m ∗ ( θ ′ , φ ′ ) Y l m ( θ , φ ) {\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\theta ,\varphi )} . ביטוי זה תקף הן עבור הרמוניות ספריות מרוכבות והן ממשיות. לעומת זאת, יש להדגיש שהצורה המוצגת לעיל תקפה רק עבור הרמוניות ספריות אורתונורמליות מנורמלות. עבור הרמוניות עם הספק יחידה יש להסיר את הפקטור של   4 π {\displaystyle \ 4\pi } . ביטויים אנליטיים עבור ההרמוניות הספריות הראשונות שמשתמשות במוסכמת פאזת קונדון-שורטלי. Y 0 0 ( θ , φ ) = 1 2 1 π = 1 4 π {\displaystyle Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}} Y 1 − 1 ( θ , φ ) = 1 2 3 2 π sin ⁡ θ e − i φ {\displaystyle Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }} Y 1 0 ( θ , φ ) = 1 2 3 π cos ⁡ θ {\displaystyle Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\,\cos \theta } Y 1 1 ( θ , φ ) = − 1 2 3 2 π sin ⁡ θ e i φ {\displaystyle Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }} Y 2 − 2 ( θ , φ ) = 1 4 15 2 π sin 2 ⁡ θ e − 2 i φ {\displaystyle Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }} Y 2 − 1 ( θ , φ ) = 1 2 15 2 π sin ⁡ θ cos ⁡ θ e − i φ {\displaystyle Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }} Y 2 0 ( θ , φ ) = 1 4 5 π ( 3 cos 2 ⁡ θ − 1 ) {\displaystyle Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\,(3\cos ^{2}\theta -1)} Y 2 1 ( θ , φ ) = − 1 2 15 2 π sin ⁡ θ cos ⁡ θ e i φ {\displaystyle Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )={-1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }} Y 2 2 ( θ , φ ) = 1 4 15 2 π sin 2 ⁡ θ e 2 i φ {\displaystyle Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }} Y 3 0 ( θ , φ ) = 1 4 7 π ( 5 cos 3 ⁡ θ − 3 cos ⁡ θ ) {\displaystyle Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\,(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )} ראו גם: הרמוניות ספריות נוספות (עד l=10) ניתן לראות את ההרמוניות הספריות כהצגה של חבורת הסימטריה של הסיבובים סביב נקודה (SO(3)) או החבורה עם האלגברה הזהה לה SU(2). ככאלה, חבורות אלה תופסות את הסימטריה של ספירה דו-ממדית. כל סט של הרמוניות ספריות עם l נתון ממפות את החבורה להצגה אי-פריקה (irreducible representation) של SO(3). בנוסף לכך, הספירה הדו-ממדית שקולה לספירת רימן. קבוצת הסימטריות השלמה של ספירת רימן מתוארת על ידי חבורת העתקות מביוס   PSL 2 ⁡ ( C ) {\displaystyle \ \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {C} )} , שהיא איזומורפית כחבורת לי ממשית לחבורת לורנץ. האנלוג עבור ההרמוניות ספריות עבור חבורת לורנץ הם טורים היפרגאומטריים; ואכן, ניתן לבטא את ההרמוניות הספריות במונחים של טורים היפרגאומטריים, כשם ש-SO(3) היא תת-חבורה של PSL(2,C). באופן כללי יותר, טורים היפרגאומטריים ניתנים להכללה כדי לתאר את הסימטריה של כל מרחב סימטרי. בפרט, טורים היפרגאומטריים ניתנים לפיתוח עבור כל חבורת לי. תנע זוויתי מקדמי קלבש-גורדן חבורת הסיבובים פונקציה הרמונית תורת שטורם-ליוביל אורביטלים באטום A.R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, (1957) Princeton University Press, ISBN 0-691-07912-9. E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, ISBN 0-521-09209-4, See chapter 3. J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, ISBN 0-471-30932-X Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. ISBN 0-486-40924-4. D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN 9971-5-0107-4 מדיה וקבצים בנושא הרמוניות ספריות בוויקישיתוף הרמוניות ספריות, באתר MathWorld (באנגלית) Spherical harmonics applied to Acoustic Field analysis on Trinnov Audio's research page Spherical harmonics on Mathworld Spherical Harmonic Models of Planetary Topography Spherical harmonics generator in OpenGL OpenGL Spherical harmonics demo General Solution to LaPlace's Equation in Spherical Harmonics (Spherical Harmonic Analysis). Solid Earth Geophysics. SHTOOLS: Fortran 95 software archive HEALPIX: Fortran 90 and C++ software archive SpherePack: Fortran 77 software archive SpharmonicKit: C software archive Frederik J Simons: Matlab software archive NFFT: C subroutine library (fast spherical Fourier transform for arbitrary nodes) Shansyn: spherical harmonics package for GMT/netcdf grd files N. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations, Am. Math. Soc. Transl., vol. 22, (1968). J. D. Talman, Special Functions, A Group Theoretic Approach, (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968). W. Miller, Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley, Reading (1977). A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions, Polish Scientific Publishers. Warszawa (1984).