התייחסות עצמית

התייחסות עצמית היא תופעה, בשפה טבעית או מתוכננת, שבה משפט מתייחס אל עצמו, במישרין או בעקיפין. התייחסות עצמית עומדת בבסיסם של פרדוקסים רבים, שלחלק מהם תפקיד חשוב בפילוסופיה ובמתמטיקה. התייחסות עצמית ממלאת תפקיד חשוב במדעי המחשב, הן בצד התאורטי והן בצד התכנותי (רקורסיה), היא עומדת בבסיסם של פרקטלים רבים, וממלאת תפקיד מרכזי גם באמנות, וכן בשעשועים לשוניים ומתמטיים רבים. באמנות המונח "ארס פואטיקה" מתאר יצירות המתייחסות לעצמן או לאמנות באופן כללי, וישנן דוגמאות רבות לכך בשירה, בפרוזה, בציור ובפיסול. פרדוקס השקרן סובב סביב המשפט: "המשפט הזה הוא שקר". הפרדוקס טמון בכך שהמשפט הנ"ל לא יכול להיות אמת (שכן אז לפי המשפט הוא שקר), ולא יכול להיות שקר. לפרדוקס זה חשיבות רבה בלוגיקה, משום שהוא מצריך בחינה מחודשת של המושגים 'משפט', 'אמת' ו'שקר'. דרך אחת לפתור את הפרדוקס היא להגדיר בצורה מדוקדקת מהם משפטים בצורה של שלבים: משפטים רגילים מדברים על עצמים, ישנם מטה-משפטים: שהם משפטים שמדברים על משפטים רגילים, מטה-מטה משפטים: משפטים שמדברים על מטה-משפטים וכך הלאה. בבנייה כזאת לא ניתן לבנות משפט המתייחס לעצמו ולכן הפרדוקס נמנע. אפשרות אחרת להתמודדות עם המשפט היא בלוגיקה עמומה: למונח 'אמת' מייחסים את הערך 1, למונח 'שקר' מייחסים את הערך 0, וערך של משפט יכול להיות 0,1 או כל מספר ביניהם. כך, למשל, הערך של "המשפט הזה הוא שקר" הוא 0.5. לפרדוקס השקרן וריאציות רבות בלוגיקה, במתמטיקה ובמדעי המחשב. הפילוסופיה המודרנית בכלל והפילוסופיה של המדע בפרט מבוססת במידה רבה על שיטתו הפילוסופית של רנה דקארט. השלב הראשון של משנתו היה ניסיון להטיל ספק בכל דבר, על מנת שיוכל לבסס את הפילוסופיה על הנחות יסוד ודאיות. הדבר היחיד שבו לא היה יכול להטיל ספק, הייתה העובדה שהוא מטיל ספק; מכאן המשיך דקארט והסיק את קיומו הוא. את המהלך הלוגי ניסח דקארט באמרתו הידועה 'קוגיטו ארגו סום' ('אני חושב, משמע אני קיים'; מכונה בקיצור ה'קוגיטו' של דקארט). משפט זה מכיל התייחסות עצמית עקיפה, שכן הטענה 'אני חושב' נגזרת מעצם יכולתו של דקארט לנסח את הטענה. ערך מורחב – קיומו של אלוהים הטיעון האונטולוגי הוא סוגיה חשובה בפילוסופיה, העוסקת בשאלת קיומו או אי קיומו של אלוהים. במשך השנים הובאו "הוכחות" רבות לכאן ולכאן, ובחלק מהן נעשה שימוש בהתייחסות עצמית. להלן דוגמה להוכחה כזו לאי קיומו של אלוהים: "אלוהים הוא כל יכול, מכאן שהוא יכול לברוא אבן שאותה הוא לא יכול לשבור. אבל זאת סתירה - שכן מכאן משתמע שאלוהים איננו כל יכול: או שהוא לא יכול לברוא אבן כזאת, או שקיימים דברים שאלוהים איננו יכול לשבור." הוכחה זו משתמשת בהתייחסות עצמית, שכן הגדרת האובייקט שיוצר את הסתירה (אבן שאלוהים לא יכול לשבור) מתבססת על התכונה שמנסים לסתור (היותו של אלוהים כל יכול). במסורת הקבלית עצם מציאות העולם המוחשי בתוך הווייתו של אלוהים מצריך את צמצומו של אלוהים. כלומר, עצם קיום היקום כולו או כל חלק ממנו, מהווה חלק מפרדוקס הטיעון האונטולוגי. פתרון פרדוקס זה 'לא מובן, ולא יכול להיות מובן' לאדם, ועם זאת העובדה היא שהיקום אכן קיים (לפחות לפי רוב מביני התפיסה הקבלית), וקיום זה נעשה על ידי "סוד הצמצום" ויצירת 'החלל הפנוי'.. צמצום זה לא נעשה רק פעם אחת, אלא בכל רגע ורגע קיים הפרדוקס, והוא נפתר שוב ושוב על ידי המשך קיום הצמצום, ובריאה מחודשת בין רגע כל הזמן. התייחסות עצמית משמשת לעיתים ככלי ביקורת כנגד תאוריות רלטיביסטיות. המשותף לתאוריות אלה היא הטענה כי לא קיים ערך אחיד של אמת או נכונות. הטענה הבסיסית של רלטיביזם מוסרי, לדוגמה, היא כי אין ערכים מוסריים נכונים, וכי הערכים המוסריים המצויים בתרבות מסוימת הם אלה הנכונים לתרבות זו. השימוש בהתייחסות עצמית ככלי ביקורתי מראה כי הטענה הבסיסית של רלטיביזם מוסרי כלל אינה רלטיביסטית אלא אובייקטיבית. מסקנה כזו מובילה לסתירה בין הבסיס של התאוריה ובין תוצאותיה. ביקורת כזו אפשר להפעיל על כל משפחת התאוריות הרלטיביסטיות. ערך מורחב – תורת הקבוצות בשנת 1901 הציג הפילוסוף והמתמטיקאי האנגלי ברטרנד ראסל את הפרדוקס של ראסל: נבנה קבוצה המכילה את כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן. בנייה זאת היא פרדוקסלית מכיוון שקבוצה זו איננה יכולה להכיל את עצמה, ואיננה יכולה שלא להכיל את עצמה, ומכאן שקבוצה זו אינה יכולה להתקיים. פרדוקס זה הביא לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית שבה המושג קבוצה מוגדר בצורה שיטתית ולא מאפשר לקבוצה להכיל את עצמה. ערך מורחב – משפטי האי-שלמות של גדל העיסוק בשאלה 'מהי אמת' העסיק את הפילוסופיה במשך אלפי שנים, וסביבו מבוסס ענף הלוגיקה. בתחילת המאה ה-20 נוסתה גישה מתמטית לשאלה העתיקה הזאת, בניסיון לזהות משפט מתמטי המבטא אמת (אמיתי) כמשפט בר הוכחה. הרעיון, הנקרא 'הפרוגרמה של הילברט', היה לנסח בצורה מתמטית מדויקת את האקסיומות הבסיסיות (משפטים המקובלים כאמיתיים ללא צורך בהוכחה) ואת הדרכים המותרות לנסח משפט אמיתי חדש על סמך משפטים אמיתיים קודמים. באופן זה ניתן, למשל באמצעות תוכנת מחשב, לייצר משפטים אמיתיים בזה אחר זה, ובאופן תאורטי לפחות, לקבל את כל המשפטים האמיתיים, ולזהות משפט שקרי בכך שאינו נמצא ברשימת המשפטים האמיתיים. כך ניתן יהיה להחליט חד-משמעית אם משפט נתון הוא אמיתי או שקרי. הפרוגרמה הזאת נחלה מפלה ניצחת בזכות עבודותיו של הלוגיקאי קורט גדל. גדל הצליח להראות שישנם משפטים שלא ניתן להוכיח אותם ואף לא לסתור אותם, ועל כן אי אפשר לקבוע אם הם אמיתיים או שקריים. הוכחתו של גדל – הנקראת משפטי האי-שלמות של גדל – מבוססת על וריאציה של פרדוקס השקרן. היא מבוססת על כך שניתן להצמיד לכל משפט מספר. באופן זה משפטים במתמטיקה המתייחסים למספרים, ניתן לראות אותם גם כמשפטים המתייחסים למשפטים אחרים, ובפרט ניתן ליצור משפט המתייחס לעצמו. באופן זה הצליח גדל ליצור מקבילה מתמטית לאמירה 'המשפט הזה אינו בר הוכחה', וליצור פרדוקס: אם המשפט אמיתי אז אכן אין דרך להוכיחו, מה שהופך אותו לשקרי. כדי להימנע מהפרדוקס חייבים להכיר בכך שקיימת אפשרות שלישית – משפט שאינו אמיתי ואינו שקרי. למשפטי האי שלמות של גדל יש השלכות החורגות מתחום תורת המספרים: כל מערכת סופית של חוקים וכללים המאפשרת התייחסות עצמית, מביאה בהכרח למצבים שאי אפשר לקבוע אם הם ״חוקיים״ או לא. ערך מורחב – הגדרה רקורסיבית במתמטיקה, הגדרה רקורסיבית מגדירה משפחה של אובייקטים באמצעות אובייקטים מהמשפחה עצמה. הגדרה כזו זקוקה לרוב ל"תנאי עצירה", כלומר אובייקטים ראשוניים המוגדרים ישירות. דוגמה להגדרה רקורסיבית היא הגדרת סדרת פיבונאצ'י, בה כל איבר בסדרה הוא סכום שני הקודמים לו, מלבד שני האיברים הראשונים, להם מוגדר "תנאי עצירה":   F 0 = 0 {\displaystyle \ F_{0}=0}   F 1 = 1 {\displaystyle \ F_{1}=1}   F n > 1 = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle \ F_{n>1}=F_{n-1}+F_{n-2}} . ערך מורחב – פרקטל פרקטלים הם צורות בעלות דמיון עצמי. לדוגמה משולש שרפינסקי (הנראה באיור) מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו (וכל אחד מהם מכיל שלושה עותקים מוקטנים של עצמו, עד אינסוף). אלו החלו להתגלות לקראת סוף המאה ה-19, ושמם ניתן להם על ידי בנואה מנדלברוט. אחת התכונות המעניינות בצורות הללו היא שהממד שלהן אינו שלם. לצורות רבות בטבע, כגון עלים, קווי חוף, פסגות הרים ועוד, יש מבנה פרקטלי. לפרקטלים ודמיון עצמי שלהם חשיבות רבה בתחומים שונים של הפיזיקה. תורת הרנורמליזציה המשמשת בעיקר לתיאור מעברי פאזה, מבוססת על מערכות המציגות דמיון עצמי. על פי התורה, כאשר למערכת יש דמיון עצמי, ניתן לתאר התנהגויות שונות של המערכת באמצעות כללי חזקה. דמיון עצמי ופרקטלים משחקים תפקיד חשוב גם בתורת הכאוס. ערך מורחב – העיקרון האנתרופי במשך שנים רבות שאפו פיזיקאים תאורטיים רבים למצוא הסבר פשוט המסביר את הקבועים הרבים הקיימים במודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים. מטרה זאת הייתה אחת המטרות המרכזיות של תורת המיתרים, יחד עם הניסיון לאחד את תורת הקוונטים ותורת היחסות הכללית. כיום בקרב פיזיקאים רבים, מהמובילים בתחומם, טוענים שתורת המיתרים אומנם מצליחה לאחד את תורת הקוונטים ואת תורת היחסות הכללית, אך מאפשרת את קיומם של עולמות רבים, שבהם הקבועים היסודיים של הטבע, ואף מספר הממדים והמושגים הבסיסיים של זמן ומרחב, שונים מאלו שבעולם שלנו - ואנחנו פשוט נמצאים על אחד משלל העולמות האפשריים. ההסבר היחיד לפי תפיסה זאת לקבועים היסודיים של הטבע הוא טיעון הנקרא 'העיקרון האנתרופי' שמבוסס על התייחסות עצמית, ולפיו רק הצירוף של הקבועים היסודיים הקיימים בעולם שלנו מאפשר את יצירתם של הכוכבים והגלקסיות והחיים כפי שאנחנו מכירים אותם. רק בעולם שלנו הקיום שלנו אפשרי, ולכן הקיום שלנו הוא הסיבה לכך שהקבועים של הטבע הם כפי שהם. ערך מורחב – רקורסיה בתכנות, רקורסיה מתארת שגרת מחשב (פונקציה או פרוצדורה) הקוראת לעצמה. דוגמה נפוצה לשימוש ברקורסיה היא פתרון חידת מגדלי האנוי. כדי להעביר מגדל של n דיסקיות השגרה קוראת לעצמה על מנת להעביר את n-1 הדיסקיות העליונות מהמגדל הראשון לשלישי, אחר כך מעבירה את הדיסקית התחתונה מהמגדל הראשון לשני, ולבסוף קוראת לעצמה על מנת להעביר את n-1 הדיסקיות מהמגדל השלישי אל המגדל השני. בשיטות רקורסיביות נעשה שימוש רב גם בציור של צורות פרקטליות. ערך מורחב – בעיית העצירה המתמטיקאי האנגלי אלן טיורינג, שהניח את היסודות לתורת החישוביות, השתמש בהתייחסות עצמית על מנת להראות שבעיית העצירה איננה פתירה. תורת החישוביות עוסקת במודלים לחישוב ובפונקציות הניתנות לחישוב במסגרתם. בעיית העצירה היא אחת הבעיות המרכזיות בתחום, והיא שואלת האם בהינתן תוכנת מחשב, יכולה תוכנת מחשב אחרת לבדוק אותה בזמן סופי ולקבוע האם התוכנה אי פעם תעצור. טיורינג הצליח לבנות אנלוג של פרדוקס השקרן לבעיה הזאת, ובכך להראות שלא ניתן לקבוע לכל תוכנה אם היא תיעצר או לא. התייחסות עצמית משמשת ככלי חשוב בתחומי אמנות רבים, בדרך כלל למילוי אחת משתי מטרות: יצירת דיון פילוסופי בשאלות הנוגעות לאמנות, או יצירת אפקט הומוריסטי או מבדר. התייחסות עצמית ברמה גבוהה יותר היא הארס פואטיקה בה יצירות אמנות עוסקות באמנות באופן כללי, ובכך הן מתייחסות בעקיפין לעצמן. באמנות מודרנית, במיוחד אמנות מופשטת, דנים רבות בסוגיית הגדרת האמנות ובשאלה מה הופך יצירה לאמנות, בין השאר בעקבות אמני רדי מייד, שנטלו חפצים פרוזאיים והציבו אותם במוזיאון. יש מבקרים הטוענים שבכך שהיצירה מעלה את השאלה, "האם אני אמנות?" הופכת היצירה לאמנות. הצייר מאוריץ קורנליס אשר עסק רבות בנושא ההתייחסות העצמית. אחת התמונות המפורסמות ביותר שלו בהקשר זה, "ידיים רושמות", מתארת ידיים שכל אחת מהן אוחזת בעיפרון ומשרטטת את קווי המתאר של היד האחרת, ושתיהן ביחד מציירות את היצירה "ידיים רושמות". בתמונות אחרות שלו ניתן לראות השתקפות בראי של האמן בעודו מצייר את עצמו משתקף בראי. בציור בגידת הדימויים של רנה מגריט מופיע בתחתית ציור של מקטרת המשפט 'זו אינה מקטרת'. ניתן לראות משפט זה כהתייחסות עצמית לפיה האמן מזכיר שזו אינה מקטרת אלא ציור של מקטרת. ברמה הבאה, גם המשפט עצמו הוא חלק מהציור, ועל כן הוא אינו משפט אלא ציור של משפט. בחלקו השני של דון קיחוטה לסרוונטס מוצא עצמו דון קיחוטה מתהלך בעולם כשהוא כבר מוכר על ידי הבריות כגיבור ספרותי לאחר פרסום חלקו הראשון של הספר. באמצעות דיאלוגים בין קיחוטה לדמויות אחרות אודות הספר וגיבורו, דן המחבר בסוגיות ההשפעה הספרותית של סוגת הרומן וגיבורה. הברקה זאת של סרוונטס היא אחת הסיבות לכך שהספר נחשב לרומן המודרני הראשון. ספרו של איטלו קאלווינו "אם בלילה חורפי עובר אורח" מתחיל בפנייה לקורא, המתייחסת ישירות לספר עצמו. ספריו האחרונים של רוברט היינליין כוללים התייחסויות של דמויות אליו, כסופר הכותב אודותיהן. סדרת הספרים מדריך הטרמפיסט לגלקסיה מכילה מקרים רבים של התייחסות עצמית. בין השאר, על גב הספר הראשון מופיעות המילים 'בלי פאניקה', מכיוון שהן מופיעות על גב הספר שנקרא 'מדריך הטרמפיסט לגלקסיה' המתואר בסדרה. בסרט "אדפטיישן" מתואר ניסיונו של התסריטאי צ'ארלי קאופמן לכתוב תסריט לסרט, שהתברר כסרט "אדפטיישן" עצמו. בסרט "שיגעון בחלל" נעשה מספר פעמים שימוש בהתייחסות עצמית: בין השאר, צופים ה'רעים' בקלטת של הסרט עצמו כדי לאתר את הגיבורים הנמלטים, והדמות 'יוגורט' מציגה סדרה של מוצרי צריכה המשתמשים בסרט כמנוף לפרסום. מוטיב זה של התייחסות עצמית חוזר ונשנה בכל סרטיו של מל ברוקס, למן אוכפים לוהטים (שבו הגיבורים נכנסים לקולנוע כדי לראות את סוף הסרט), ועד רובין הוד: גברים בגטקעס (שבו באמצע הסרט הגיבורים פותחים את ספרי התסריט כדי לגלות מה ההמשך). בסרט "סודי ביותר" אומרת אחת הדמויות כי נראה כאלו הם נמצאים בסצנה הלקוחה מסרט גרוע, ואז מביטים היא ובן שיחה אל המצלמה ומשפילים את המבט, כמו מתוך הבנה כי זהו אכן המצב. גרסה לסצנה זו מופיעה גם בסרט "ג'יי ובוב השקט מכים שנית". בסצנת הפתיחה של סרט הקולנוע "משפחת סימפסון", המשפחה יושבת בבית קולנוע וצופה בסרט קולנוע המבוסס על סדרת הטלוויזיה האהובה עליהם, כאשר לפתע קם הומר סימפסון ומוחה על כך שהם שילמו מחיר מלא של כרטיס קולנוע בשביל לראות סדרה שאותה הם רואים חינם על מסך הטלוויזיה שלהם בבית מדי ערב. סימפסון ״פונה אל המצלמה״ וטוען כלפי הצופים בסרט כי הם ״פראיירים״. הסרט Oh Lucky Man, בבימויו של לינדסי אנדרסון מסתיים בסצנה שבה אדם בשם לינדסי אנדרסון מבשר לגיבור הסרט כי נבחר לשחק בתפקיד הראשי בסרט בשם Oh Lucky Man. שירם של שב"ק ס' "תתקעו בחצוצרה" (מתוך אלבומם בעטיפה של ממתק) רווי התייחסויות עצמיות, כגון: "אתם מאזינים לשיר מקום ראשון במצעד הפזמונים"; "כן זהו השיר החדש של השבק"; "זה שיר ממש גדול". "שיר אהבה פשוט" מאת איה כורם ובביצועה, מעיד על עצמו: "זה שיר אהבה פשוט, פשוט שיר אהבה". בסרט "ילדים סורגים" של יוצרי סדרת הטלוויזיה פלטפוס הופיע השיר: "כתבתי שיר מאד נחמד רק עם תו אחד, כולי תקווה שהוא לא יפריע לאף אחד וכו'" שאכן מנוגן בתו אחד בלבד. באלבום "שירים במיץ עגבניות" של מתי כספי מסתיים שיר הנושא במילים: "לשיר הזה אין מטרות ואין שום כוונה מעבר לשורות, רק להשלים שלוש דקות שמסתיימות ברגע זה - להתראות". בשיר "חיילים יצאו לדרך" של נעמי שמר, החיילים שנשכח מהם הזמר, מחליטים לשיר את פזמון השיר: "חיילים יצאו לדרך..." בשיר "בים בם בום" ("שני חברים יצאו לדרך") של יורם טהרלב, בבית האחרון, טהרלב ממליץ על דרך להביא לסיומו של השיר: "אם תרצו לשים לו גמר... תדחפו לאוזן צמר". בשיר טיפש חכם של מאיר אריאל, בסוף כל בית, אריאל תוהה מה יהיה המשכו של השיר. השיר גולית של להקת כוורת מתחיל כך: "זהו שיר מאוד עצוב..." בפזמון שירו של אביב גפן, "השיר שלנו" ("שדות ביקשו אל הגשם"), מופיע המשפט הבא: "לא זה לא יהיה השיר שלנו". "שיר לא מזרחי" מאת קובי לוריא כולו התייחסות עצמית, החל משמו. בסרטון הווידאו לשיר Bachelorette של ביורק מתקיימת התייחסות עצמית של סרטון הווידאו לעצמו. "אני סבא של עצמי"(אנ') שיר-סיפור מאת דוויט לת'ם ומו יפה המגולל שרשרת אירועים משפחתיים ואילן יוחסין המביאים את המספר לכדי המסקנה בפזמון חוזר שהוא אינו אלא הסבא של עצמו. למדען המחשב דאגלס הופשטטר מיוחס משפט שהוא פועל יוצא של חוקי מרפי, הקרוי חוק הופשטטר - ולפיו כל פעולה תיקח יותר זמן ממה שמתוכנן בשבילה, אפילו אם התכנון לקח בחשבון את חוק הופשטטר. הזמר הפארודי וירד אל ינקוביק יצר פרדוקס באמצעות התייחסות עצמית בשיר ההומוריסטי This song is just six words long (שבע מילים). "המוציא דבר קללה מפיו, ינעל אבי אבי אביו" (מתוך המערכון "שוק הספרים" של הגשש החיוור). "מיליון פעם אמרתי: 'לא להגזים'" - קביעתו של הדובר "מיליון פעם אמרתי" היא הגזמה, הנמצאת בסתירה להמשך דבריו "לא להגזים". תאמין לי, אל תאמין לאף אחד. תעשה לי טובה, אל תעשה לי טובות. "תודה, אבל לא תודה". נוסף על התחומים החשובים שבהם התייחסות עצמית משחקת תפקיד, ריתק הנושא מאז ומתמיד חידונאים ואנשים העוסקים בשעשועים לשוניים ומתמטיים. כתוצאה נוצרו מגוון משפטים הומוריסטיים וחידות המשתמשים בהתייחסות עצמית כדי ליצור פרדוקסים משעשעים. במקרים רבים, מדובר ביישום כלשהו של אחד הפרדוקסים הלוגיים או המתמטיים העוסקים בהתייחסות עצמית (כגון פרדוקס השקרן או הפרדוקס של ראסל). לדוגמה: פרדוקס בוחן הפתע המורה מכריזה "בשבוע הבא יתקיים בוחן והוא יבוא בהפתעה". התלמידים חושבים, ומגיעים למסקנה שבוחן הפתע לא יכול להתרחש ביום שישי, מכיוון שאחרת כאשר יום חמישי ועדיין לא היה להם בוחן, אזי הוא צריך להתקיים למחרת ולכן הוא לא יבוא כהפתעה. מכאן שהבוחן גם לא יכול להתרחש ביום חמישי, אחרת ביום רביעי בערב הם יוכלו לדעת שמכיוון שהבוחן לא קרה עד עכשיו, ומכיוון שהוא לא יכול להתרחש ביום שישי, אזי הוא חייב להתרחש ביום חמישי, אבל אז אם הוא אכן מתרחש ביום חמישי אזי הבוחן לא מגיע כהפתעה. מכאן שהבוחן לא יכול להתרחש ביום חמישי. ניתן להמשיך את ההוכחה ולהראות שהבוחן לא יכול להתקיים באף יום אחר בשבוע. לכן התלמידים מגיעים למסקנה שהבוחן לא יכול להתרחש בשבוע הבא, וכאשר המורה נותנת להם בוחן ביום שלישי, הם מופתעים! הפרדוקס של ברי: "מהו המספר הקטן ביותר שאינו ניתן לתיאור באמצעות פחות ממאה אותיות?", ההגדרה הזאת מהווה תיאור של אותו מספר בפחות ממאה אותיות! בדומה לפרדוקס של ברי ניתן להוכיח שכל המספרים הטבעיים הם מיוחדים. מתמטיקאים אוהבים מספרים המקיימים תכונות מיוחדות, כך לדוגמה המספר 6 הוא מספר מיוחד מכיוון שהוא המספר המושלם (מספר השווה לסכום מחלקיו: 6=1+2+3) הקטן ביותר. ניתן להוכיח שכל המספרים הם מיוחדים, וההוכחה מתבצעת על דרך השלילה. נניח שישנם מספרים שאינם מיוחדים ונביט על המספר הקטן ביותר בקבוצה הזאת. מספר זה הוא מעניין מכיוון שהוא המספר הלא מיוחד הקטן ביותר, מה שהופך אותו למספר מיוחד בפני עצמו. פתרון אפשרי הוא להגדיר היטב את המושג "מספר מיוחד". "לכל כלל יש יוצא מן הכלל"- חוץ מהכלל הזה, שאין לו יוצא מן הכלל, וזהו הכלל היוצא מן הכלל (עצמו) "כל ההכללות שגויות" או "כולם עושים הכללות". דף שמצדו האחד כתוב "המשפט על צדו האחר של הדף שגוי" ועל צדו השני "המשפט על צדו האחר של הדף נכון". ערך זה עוסק בהתייחסות עצמית ומשפט זה מתייחס אליו. לא ניתן לדעת שום דבר בוודאות, כולל טענה זו. רקורסיה פרדוקס התלויות האינסופיות לולאה מוזרה חוק הופשטטר דאגלס הופשטטר, Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid‏ , 1980. מדיה וקבצים בנושא התייחסות עצמית בוויקישיתוף הקדמת המגיד מלוצק לספרו של המגיד ממזריטש (מגיד דבריו ליעקב) המשך ההקדמה במגיד דבריו ליעקב