התפלגות בטא-בינומית

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, ההתפלגות הבטא-בינומית היא משפחה של התפלגויות הסתברות בדידות עם תומך סופי של מספרים שלמים לא שליליים. נתונה סדרה עם מספר קבוע מראש של ניסויי ברנולי בלתי תלויים כאשר ההסתברות ל"הצלחה" בסדרת הניסויים היא אקראית ולקוחה מההתפלגות בטא. המשתנה המקרי הבטא-בינומי הוא מספר ה"הצלחות" בסדרה. המשתנה המקרי הבטא-בינומי משמש לעיתים קרובות בסטטיסטיקה בייסיאנית, בשיטות בייס אמפיריות ובסטטיסטיקה קלאסית, כאשר יש פיזור יתר בנתונים בהשוואה למשתנה בינומי. ההתפלגות הבטא-בינומית היא גרסה חד-ממדית של התפלגות דיריכלה-מולטינומית, זאת בהמשך לכך שההתפלגויות הבינומית והביתא הן גרסאות חד-ממדיות של ההתפלגויות המולטינומית ודיריכלה בהתאמה. מקרה מיוחד שבו הפרמטרים α ו- β הם מספרים שלמים ידוע גם בתור ההתפלגות ההיפרגאומטרית השלילית. ההתפלגות הבטא-בינומית היא התפלגות מורכבת (מהתפלגות בטא והתפלגות בינומית). נניח שמשתנה מקרי Y {\displaystyle Y} לקוח מהתפלגות בטא, Y ∼ B e t a ( α , β ) {\displaystyle Y\sim {\rm {{Beta}(\alpha ,\beta )}}} ואז בהינתן Y {\displaystyle Y} , המשתנה מקרי X {\displaystyle X} לקוח מהתפלגות בינומית, X | Y ∼ B i n ( n , Y ) {\displaystyle X|Y\sim {\rm {{Bin}(n,Y)}}} . במקרה כזה X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי בטא-בינומי ונכתוב X ∼ B e t a B i n ( n , α , β ) {\displaystyle X\sim {\rm {{BetaBin}(n,\alpha ,\beta )}}} . נוכל לקבל באופן הבא את פונקציית ההסתברות של X {\displaystyle X} . p X ( x ) = Pr ( X = x ) = ∫ 0 1 Pr ( X = x | Y = p ) Pr ( Y = p ) d p = ∫ 0 1 ( n x ) p x ( 1 − p ) n − x p α − 1 ( 1 − p ) β − 1 B ( α , β ) d p = ( n x ) B ( x + α , n − x + β ) B ( α , β ) . {\displaystyle {\begin{aligned}p_{X}(x)=\Pr(X=x)&=\int _{0}^{1}\Pr(X=x|Y=p)\Pr(Y=p)\,dp\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}{\frac {p^{\alpha -1}(1-p)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dp\\[6pt]&={n \choose x}{\frac {\mathrm {B} (x+\alpha ,n-x+\beta )}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}.\end{aligned}}} נשתמש בתכונות של של פונקציית בטא, כדי לקבל p X ( x ) = Γ ( n + 1 ) Γ ( x + 1 ) Γ ( n − x + 1 ) Γ ( x + α ) Γ ( n − x + β ) Γ ( n + α + β ) Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) {\displaystyle p_{X}(x)={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (x+1)\Gamma (n-x+1)}}{\frac {\Gamma (x+\alpha )\Gamma (n-x+\beta )}{\Gamma (n+\alpha +\beta )}}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}} ניתן למדל משתנה מקרי בטא בינומי במקרה שבו הפרמטרים α ו- β הם שלמים חיוביים באמצעות המודל המכונה הכד של פוליה. נתון כד המכיל כדורי α אדומים וכדורי β שחורים, ובכל פעם מוציאים כדור אקראי מהכד. אם הוצא כדור אדום, אז שני כדורים אדומים מוחזרים לכד. באופן דומה, אם הוצא כדור שחור, אז שני כדורים שחורים מוחזרים לכד. אם חוזרים על תהליך ההוצאה וההחזרה n פעמים ומגדירים משתנה מקרי X {\displaystyle X} כמספר הפעמים שמוצא כדור אדום מהכד, אז X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי בטא-בינומי, X ∼ B e t a B i n ( n , α , β ) {\displaystyle X\sim {\rm {{BetaBin}(n,\alpha ,\beta )}}} . לעומת זאת, אם מוציאים מהכד כדורים אקראיים עם עם החזרה (מחזירים רק את הכדור שהוצא), אז מספר הפעמים שמוצא כדור אדום מהכד הוא משתנה מקרי בינומי. בנוסף, אם מוציאים את הכדורים ללא החזרה, אז מספר הכדורים האדומים שמוצא מהכד הוא משתנה היפרגאומטרי. B e t a B i n ( 1 , α , β ) ∼ B e r n o u l l i ( p ) {\displaystyle \mathrm {BetaBin} (1,\alpha ,\beta )\sim \mathrm {Bernoulli} (p)\,} כאשר p = α α + β {\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,} . B e t a B i n ( n , 1 , 1 ) ∼ U ( 0 , n ) {\displaystyle \mathrm {BetaBin} (n,1,1)\sim U(0,n)\,} כאשר U ( a , b ) {\displaystyle U(a,b)\,} היא ההתפלגות האחידה הבדידה . lim s → ∞ B e t a B i n ( n , p s , ( 1 − p ) s ) ∼ B ( n , p ) {\displaystyle \lim _{s\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,ps,(1-p)s)\sim \mathrm {B} (n,p)\,} כאשר p = α α + β {\displaystyle p={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,} ו- s = α + β {\displaystyle s=\alpha +\beta \,} ו- B ( n , p ) {\displaystyle \mathrm {B} (n,p)\,} היא ההתפלגות הבינומית . lim n → ∞ B e t a B i n ( n , α , n p ( 1 − p ) ) ∼ N B ( α , p ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\mathrm {BetaBin} (n,\alpha ,{\frac {np}{(1-p)}})\sim \mathrm {NB} (\alpha ,p)\,} כאשר N B ( α , p ) {\displaystyle \mathrm {NB} (\alpha ,p)\,} היא ההתפלגות הבינומית השלילית . הגבנוניות נתונה על ידי β 2 = ( α + β ) 2 ( 1 + α + β ) n α β ( α + β + 2 ) ( α + β + 3 ) ( α + β + n ) [ ( α + β ) ( α + β − 1 + 6 n ) + 3 α β ( n − 2 ) + 6 n 2 − 3 α β n ( 6 − n ) α + β − 18 α β n 2 ( α + β ) 2 ] {\displaystyle \beta _{2}={\frac {(\alpha +\beta )^{2}(1+\alpha +\beta )}{n\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +n)}}\left[(\alpha +\beta )(\alpha +\beta -1+6n)+3\alpha \beta (n-2)+6n^{2}-{\frac {3\alpha \beta n(6-n)}{\alpha +\beta }}-{\frac {18\alpha \beta n^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right]} Minka, Thomas P. (2003). הערכת התפלגות דיריכלה . דוח טכני של מיקרוסופט. שימוש בהתפלגות בטא-בינומית כדי להעריך את הביצועים של מכשיר זיהוי ביומטרי Fastfit מכיל קוד Matlab להתאמת התפלגויות בטא-בינומיות (בצורה של התפלגויות פוליה דו־ממדיות) לנתונים. גרפיקה אינטראקטיבית: קשרים בהתפלגות חד־ממדית פונקציות בטא-בינומיות בחבילת VGAM R התפלגות בטא-בינומית בספריית ג'אווה של Sandia National Labs Cognitive Foundry התפלגות בטא-בינומית, באתר MathWorld (באנגלית)