פוטנציאל דלתא

במכניקת הקוונטים, פוטנציאל דלתא הוא בור פוטנציאל המתואר מתמטית על ידי פונקציית דלתא של דיראק - פונקציה מוכללת. איכותית, המודל מתאר פוטנציאל שערכו אפס בכל מקום, למעט נקודה בודדת שבה הוא מקבל ערך אינסופי. מודל זה משמש כדי לתאר תרחישים שבהם חלקיק חופשי לנוע בשני אזורים של המרחב ביניהם מפריד מחסום פוטנציאל צר וגבוה מאוד. לדוגמה, אלקטרון יכול לנוע בחופשיות כמעט מוחלטת בחומר מוליך, כך שאם המוליך בו הוא נע יוצמד למוליך שני, הממשק ביניהם יפעל עבור האלקטרון כמחסום פוטנציאל המפריד בין אזורים בעלי פוטנציאל קבוע - מחסום שיכול להיות מקורב על ידי פונקציית דלתא. פוטנציאל הדלתא הוא גבול של בור פוטנציאל סופי, וניתן לקבלו מבור הפוטנציאל הסופי אם שומרים על מכפלת עומק (או גובה) הבור ורוחבו על ערך קבוע כאשר מקטינים את הרוחב בהדרגה לאפס. משוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן לפונקציית הגל (ψ(x של חלקיק בממד אחד בפוטנציאל (V(x היא: − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x )   , {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)~,} כאשר ħ הוא קבוע פלנק המצומצם ו-E היא האנרגיה של החלקיק. פוטנציאל הדלתא הוא הפוטנציאל V ( x ) = λ δ ( x )   , {\displaystyle \displaystyle V(x)=\lambda \delta (x)~,} כאשר (δ(x הוא פונקציית דלתא של דיראק. הוא ייקרא בור פוטנציאל דלתא אם λ שלילי ומחסום פוטנציאל דלתא אם λ חיובי. הפוטנציאל מפצל את המרחב לשני חלקים (x < 0 ו-x > 0). בכל אחד מהחלקים האלו האנרגיה הפוטנציאלית היא אפס, ומשוואת שרדינגר מצומצמת למשוואה d 2 ψ d x 2 = − 2 m E ℏ 2 ψ   ; {\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ~;} זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית עם מקדמים קבועים אשר פתרונותיה הם צירופים ליניאריים של eikx ו-e−ikx, כאשר מספר הגל k קשור לאנרגיה על ידי: k = 2 m E ℏ   {\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}~} . באופן כללי, עקב נוכחותו של פוטנציאל הדלתא בראשית, מקדמי הפתרון לא חייבים להיות זהים בשני חצאי המרחב: ψ ( x ) = { ψ L ( x ) = A r e i k x + A l e − i k x ,  if  x < 0 ; ψ R ( x ) = B r e i k x + B l e − i k x ,  if  x > 0 , {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\mathrm {L} }(x)=A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0;\\\psi _{\mathrm {R} }(x)=B_{\mathrm {r} }e^{ikx}+B_{\mathrm {l} }e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}} כאשר, במקרה של אנרגיות חיוביות (k ממשי), eikx מייצג גל שמתקדם ימינה, ו-e−ikx מייצג גל שמתקדם שמאלה. ניתן לקבל קשר ראשון בין המקדמים באמצעות הכפפת פונקציית הגל לתנאי הרציפות בראשית, כלומר: ψ ( 0 ) = ψ L ( 0 ) = ψ R ( 0 ) = A r + A l = B r + B l   , {\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}~,} קשר שני מתקבל מאפיון הקפיצה בנגזרת של פונקציית הגל בראשית. לכאורה ניתן לטעון גם לגזירות פונקציית הגל בראשית, אך יש לזכור שאמנם פוטנציאל הדלתא הוא גבול של מלבנים הנעשים צרים יותר ויותר, אך הוא גם גבול של מלבנים הנעשים גבוהים יותר ויותר (פונקציית דלתא מתקבלת מסדרת מלבנים בעלי שטח קבוע), כך שאם החלקיק ממנהר דרך מחסום הפוטנציאל אז באזור המלבן הגבולי מספר הגל שלו יהיה אינסופי - לכן עדיין מתקבל הפרש מופע. כדי לקבל את הקפיצה בנגזרת נבצע אינטגרציה של משוואת שרדינגר מסביב ל- x = 0 על פני האינטרוול [ε,+ε-]: − ℏ 2 2 m ∫ − ϵ + ϵ ψ ″ ( x ) d x + ∫ − ϵ + ϵ V ( x ) ψ ( x ) d x = E ∫ − ϵ + ϵ ψ ( x ) d x . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx.} בגבול שבו ε→ 0, אגף ימין של המשוואה הזאת מתאפס, ואגף שמאל הופך ל-: − ℏ 2 2 m [ ψ R ′ ( 0 ) − ψ L ′ ( 0 ) ] + λ ψ ( 0 ) , {\displaystyle \textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi '_{R}(0)-\psi '_{L}(0)]+\lambda \psi (0),} זאת מפני ש-: ∫ − ϵ + ϵ ψ ″ ( x ) d x = [ ψ ′ ( + ϵ ) − ψ ′ ( − ϵ ) ] . {\displaystyle \int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '({+\epsilon })-\psi '({-\epsilon })].} לפיכך מקבלים: − ℏ 2 2 m i k ( − A r + A l + B r − B l ) + λ ( A r + A l ) = 0   . {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0~.} לסיכום, תנאי השפה מספקים את האילוצים הבאים על המקדמים: { A r + A l − B r − B l = 0 ; − A r + A l + B r − B l = 2 m λ i k ℏ 2 ( A r + A l )   . {\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0;\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l})~.\end{cases}}} בכל פוטנציאל מושך חד־ממדי יהיה מצב קשור. כדי למצוא את האנרגיה שלו, יש לשים לב שבעבור E<0 מתקבל k = i 2 m | E | ℏ 2 {\displaystyle k=i{\sqrt {\frac {2m|E|}{\hbar ^{2}}}}} מדומה ופונקציות הגל אשר היו אוסצילטוריות בעבור אנרגיות חיוביות בחישוב שמקודם, הן כעת מעריכיות דועכות או עולות כפונקציה של x (ראו איור). הדרישה שפונקציות הגל אינן מתבדרות באינסוף גוררת התאפסות של האקספוננטים המתבדרים, כך שפונקציית הגל המתקבלת היא: ψ ( x ) = { ψ L ( x ) = A l e κ x ,  if  x < 0 ; ψ R ( x ) = B r e − κ x ,  if  x > 0. {\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{l}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x<0;\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{r}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x>0.\end{cases}}} מתנאי השפה ותנאי הנרמול נובע ש-: { A l = B r = κ ; κ = − m λ ℏ 2   ; {\displaystyle {\begin{cases}A_{l}=B_{r}={\sqrt {\kappa }};\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}}~;\end{cases}}} כלומר מקבלים שמצב קשור יכול להתקיים רק עבור בור (λ חייב להיות שלילי) ולא עבור מחסום. טרנספורם פורייה של פונקציית הגל הזאת הוא התפלגות קושי. בשונה מהסיטואציה בבור פוטנציאל סופי, בבור דלתא תמיד יש רק מצב קשור אחד, והאנרגיה של המצב הקשור נגזרת מהקבועים של הזנבות האקספוננציאליים: E = − ℏ 2 κ 2 2 m = − m λ 2 2 ℏ 2 . {\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.} בעבור אנרגיות חיוביות, החלקיק חופשי לנוע בכל אחד מחצאי המרחב, אך הוא עשוי להיות מפוזר מפוטנציאל הדלתא בראשית. את המקרה הקוונטי ניתן לחקור באופן הבא: חלקיק מתקרב פוגע במחסום מצד שמאל (Ar); הוא עשוי להיות מוחזר (Al) או מועבר (Br). כדי למצוא את האמפליטודה המוחזרת והמועברת בעבור פגיעה מצד שמאל, נציב במשוואות לעיל Ar = 1 (חלקיק מגיע), Al = r (החזרה), Bl = 0 (אף חלקיק לא מגיע מצד ימין) ו-Br = t (העברה), ונפתור בעבור r ו-t. התוצאה המתקבלת היא: t = 1 1 − m λ i ℏ 2 k {\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}}\,\!} r = 1 i ℏ 2 k m λ − 1 {\displaystyle r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!} מקדם ההעברה הוא מרוכב כי בנוסף על ההבדל בין משרעת פונקציית הגל המועברת לעומת זו הפוגעת, ישנו גם שינוי מופע המקושר לפוטנציאל. אודות לסימטריית הראי של המודל, האמפליטודות של הגל הפוגע מימין זהות לאלו שמשמאל. התוצאה שמתקבלת היא שיש הסתברות גדולה מאפס R = | r | 2 = 1 1 + ℏ 4 k 2 m 2 λ 2 = 1 1 + 2 ℏ 2 E m λ 2 . {\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}.\,\!} שהחלקיק יוחזר. הסיכוי להחזרה זאת אינו תלוי בסימן של λ, כלומר, לבור יש אותו סיכוי לפזר את החלקיק כמו למחסום. זהו הבדל משמעותי מהמכניקה הקלאסית, שבה הסתברות ההחזרה תהיה 1 עבור מחסום (החלקיק פשוט מקפץ חזרה) ו-0 עבור בור (החלקיק חולף דרך הבור באין מפריע). לסיכום, הסתברות המעבר היא: T = | t | 2 = 1 − R = 1 1 + m 2 λ 2 ℏ 4 k 2 = 1 1 + m λ 2 2 ℏ 2 E {\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!} . החישוב לעיל עשוי להיראות בתחילה כהפשטה חסרת שימוש. אף על פי כן, הוא הוכיח את עצמו כמודל מתאים למגוון מערכות פיזיקליות אמיתיות. דוגמה אחת כזאת נוגעת לממשקים שבין חומרים מוליכים. בתוך המוליכים, תנועת האלקטרונים היא קוואזי-חופשית וניתנת לתיאור בעזרת האיבר הקינטי בהמילטוניאן לעיל עם מסה אפקטיבית m. לעיתים קרובות, פני השטח של חומרים כאלו מכוסים בשכבות מחמצנות או אינם אידיאליים מסיבות אחרות. השכבה הדקה ובלתי-מוליכה הזאת ניתנת למידול על ידי פוטנציאל דלתא כמקודם. אלקטרונים עשויים למנהר מחומר אחד לאחר, מה שמביא ליצירת זרם חשמלי בממשק. הפעולה של מיקרוסקופ מנהור סורק מתבססת על אפקט המנהור הזה. במקרה זה, המחסום הוא עקב האוויר בין קצה המיקרוסקופ והגוף הנחקר. חוזק המחסום קשור בהפרדה והוא חזק יותר ככל שהשניים רחוקים יותר. לדיון כללי יותר בסיטואציה המתקבלת, ראו גם מחסום פוטנציאל סופי. המודל לעיל הוא חד-ממדי בעוד המרחב הסובב הוא תלת-ממדי, כך שלמעשה, יש לפתור את משוואת שרדינגר בשלושה ממדים. מצד שני, מערכות רבות משתנות רק לאורך קואורדינטה אחת ואינווריאנטיות להזזות בכיוונים האחרים. משוואת שרדינגר מצומצמת אז למקרה שנידון כאן באמצעות הפרדת משתנים: Ψ ( x , y , z ) = ψ ( x ) ϕ ( y , z ) {\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!} . המודל של פוטנציאל דלתא הופך שימושי במיוחד במקרה של בור פוטנציאל דלתא כפול אשר מייצג גרסה חד-ממדית של מולקולת מימן מיוננת, כפי שמתואר בחלק הבא. במקרה זה, הפוטנציאל החשמלי שחווה האלקטרון (היחיד) של מולקולת H 2 + {\displaystyle H_{2}^{+}} הוא מהצורה: V ( r → ) = − ( k e 2 | r 1 − r | + k e 2 | r − r 2 | ) {\displaystyle V({\vec {r}})=-({\frac {ke^{2}}{|r_{1}-r|}}+{\frac {ke^{2}}{|r-r_{2}|}})} , ולכן יכול להיות מקורב בצורה גסה על ידי זוג בורות דלתא. פתרון משוואת שרדינגר במקרה זה מראה שישנם שני מצבים קשורים (אחד סימטרי והשני אנטי-סימטרי) ושההסתברות למצוא את החלקיק בכל אחד מהמצבים שווה. הפירוש הפיזיקלי של הפתרון הוא שהאלקטרון מבלה זמן שווה בקרבת כל פרוטון, וזהו בדיוק מה שנקרא בכימיה "קשר קוולנטי טהור" - בו שני אטומים חולקים זוג אחד או יותר של אלקטרוני ערכיות, ופונקציית הגל המתאימה לאותם אלקטרונים אופפת את שני האטומים במידה שווה (הצפיפות של ענן האלקטרונים בסביבת כל אחד מהאטומים זהה). בור הדלתא הכפול ממדל מולקולת מימן דו-אטומית בעזרת משוואת שרדינגר המתאימה: − ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 ( x ) + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x)} כאשר הפוטנציאל כעת הוא: V ( x ) = − q λ [ δ ( x + R 2 ) + δ ( x − R 2 ) ] {\displaystyle V(x)=-q\lambda \left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right]} כאשר 0 < R < ∞ {\displaystyle 0<R<\infty } הוא המרחק הבין גרעיני והפוטנציאל הוא למעשה פונקציית דלתא של דיראק עם שני שיאים שליליים הממוקמים ב-x =±R/2 (מוראים בחום בדיאגרמה). נעבוד ביחידות אטומיות ונציב ℏ = m = 1 {\displaystyle \hbar =m=1} . כאן 0 < λ < 1 {\displaystyle 0<\lambda <1} הוא פרמטר פורמלי ניתן לשינוי. מהפתרון לבור פוטנציאל דלתא יחיד, נוכל לבצע "ניחוש מושכל" ולהסיק שהפתרון הוא מהצורה: ψ ( x )   =   A e − d | x + R 2 | + B e − d | x − R 2 | {\displaystyle \psi (x)~=~Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}} מתפירת חלקי פונקציית הגל בשיאי הדלתא נקבל את הדטרמיננטה: | q − d q e − d R q λ e − d R q λ − d | = 0 where E = − d 2 2   . {\displaystyle \left|{\begin{array}{cc}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{array}}\right|=0\quad {\mbox{where}}\quad E=-{\frac {d^{2}}{2}}~.} לפיכך, d {\displaystyle d} נשלט על ידי המשוואה "הפסאודו-ריבועית": d ± ( λ )   =   1 2 q ( λ + 1 ) ± 1 2 { q 2 ( 1 + λ ) 2 − 4 λ q 2 [ 1 − e − 2 d ± ( λ ) R ] } 1 / 2 {\displaystyle d_{\pm }(\lambda )~=~{\textstyle {\frac {1}{2}}}q(\lambda +1)\pm {\textstyle {\frac {1}{2}}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\,\lambda q^{2}\lbrack 1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}]\right\}^{1/2}} אשר לה יש שני פתרונות d = d ± {\displaystyle d=d_{\pm }} . בעבור המקרה של מטענים שווים (שני גרעינים זהים), λ = 1 והמשוואה הפסאודו-ריבועית מצומצמת ל-: d ± = q [ 1 ± e − d ± R ] {\displaystyle d_{\pm }=q[1\pm e^{-d_{\pm }R}]} מקרה ה-"+" מתאים לפונקציית גל סימטרית סביב נקודת האמצע (פתרון זה מוראה באדום באיור לעיל). בהתאמה, מקרה ה-"-" מייצג פונקציית גל אנטי-סימטרית מסביב לנקודת האמצע (מוראה בירוק באיור). הם מייצגים קירוב של שתי רמות האנרגיה הנמוכות ביותר של מולקולת H 2 + {\displaystyle H_{2}^{+}} תלת-ממדית והם שימושיים באנליזה שלה. פתרונות אנליטיים לערכים העצמיים של האנרגיה במקרה של מטענים סימטריים ניתן על ידי: d ± = q   +   W ( ± q R e − q R ) / R {\displaystyle d_{\pm }=q~+~W(\pm qRe^{-qR})/R} כאשר W היא פונקציית W של למברט. שימו לב שהאנרגיה הנמוכה ביותר מתאימה לפתרון הסימטרי d + {\displaystyle d_{+}} . במקרה של מטענים לא שווים ומודל מולקולרי תלת-ממדי, הפתרונות ניתנים על ידי הכללה של פונקציית W של למברט. בור פוטנציאל סופי חלקיק בקופסה מדיה וקבצים בנושא פוטנציאל דלתא בוויקישיתוף