קואורדינטות גליליות

קואורדינטות גליליות הן מערכת קואורדינטות המתארות את המרחב האוקלידי   R 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}} . מערכת זאת מתבססת על חלוקה "אינסופית" של המרחב לפרוסות בגבהים שונים. כל פרוסה מתוארת בקואורדינטות קוטביות (פולאריות): מרחק וזווית. בהרבה מקרים ובעיות פיזיקליות בהן יש סימטריה גלילית נוח לתאר את המרחב באמצעות קואורדינטות גליליות. בקואורדינטות אלה מחליפות ρ , θ , h {\displaystyle \!\,\rho ,\theta ,h} את x, y, z. הגדרת הקואורדינטות הגלילות נעשית באמצעות אינטואיציה גאומטרית. נמתח חץ מן הראשית (0,0,0) אל הנקודה (x,y,z) ולחץ זה נקרא וקטור. אזי הקואורדינטות הגלילות מוגדרות באופן הבא (ראו איור). הקואורדינטה ρ {\displaystyle \rho } : קואורדינטה זו מייצגת את המרחק שבין ההיטל של הווקטור במישור x-y לראשית. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך ממשי לא-שלילי (כולל אפס). קואורדינטה זו מסומנת לעיתים קרובות (כאשר אין חשש לבלבול עם קואורדינטות כדוריות) גם באותיות r או s. הקואורדינטה הזוויתית θ {\displaystyle \theta } : אזימוט, מייצגת את הזווית שבין היטל הווקטור במישור x-y לציר ה-x, כאשר בזווית אפס היטל הווקטור מקביל לציר ה-x (כלומר: הווקטור מוכל כולו במישור x-z). קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפעמיים פאי. קואורדינטה זאת מסומנת לעיתים גם באות היוונית φ {\displaystyle \varphi } . הקואורדינטה h: גובה, מייצגת את ההיטל של הווקטור על ציר z. כלומר: מהו הגובה של הנקודה. קואורדינטה זו שווה לשיעור z שלה בקואורדינטות קרטזיות. לכן, אם נתון לנו גוף ששיעוריו הגליליים הם ρ , θ , h {\displaystyle \!\,\rho ,\theta ,h} אזי שיעוריו הקרטזיים הם: x = ρ cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ θ z = h {\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\rho \cos \theta \\y&=&\rho \sin \theta \\z&=&h\end{matrix}}} מסיבה זו נהוג בדרך כלל לקרוא לגובה h בשם המקורי z. כמו כן, כמצוין לעיל, לקואורדינטות מרחק ההיטל ( ρ {\displaystyle \rho } ) והזווית נהוג לסמן במספר אותיות. מאחר שקואורדינטות אלו שונות בתכלית זו מזו אין חשש לבלבול גם כאשר משתמשים במוסכמות סימונים שונות, וזאת כי יש רק זווית אחת בבעיה. בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל נקודה או וקטור כ   A → = A x e ^ x + A y e ^ y + A z e ^ z = A x x ^ + A y y ^ + A z z ^ {\displaystyle \ {\vec {A}}=A_{x}{\hat {e}}_{x}+A_{y}{\hat {e}}_{y}+A_{z}{\hat {e}}_{z}=A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}} כאשר   e ^ i   i = { x , y , z } {\displaystyle \ {\hat {e}}_{i}\,\ i=\{x,y,z\}} הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטור היחידה x הוא וקטור המצביע בכיוון החיובי של ציר x ואורכו הוא 1 (ליתר דיוק נכון לומר שהנורמה שלו שווה ל-1), באותו אופן לגבי וקטורי היחידה בצירים y ו-z. אנו נרצה להציג באותה צורה את הנקודה שלנו גם בקואורדינטות גליליות:   A → = A ρ e ^ ρ + A θ e ^ θ + A z e ^ z {\displaystyle \ {\vec {A}}=A_{\rho }{\hat {e}}_{\rho }+A_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }+A_{z}{\hat {e}}_{z}} כאשר לווקטורים   e ^ j   j = { ρ , θ , z } {\displaystyle \ {\hat {e}}_{j}\,\ j=\{\rho ,\theta ,z\}} נקרא "וקטורי היחידה הגליליים". אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב ולקבל שהם נתונים על ידי ρ ^ = e ^ ρ = ( cos ⁡ θ ) x ^ + ( sin ⁡ θ ) y ^ + ( 0 ) z ^ θ ^ = e ^ θ = ( − sin ⁡ θ ) x ^ + ( cos ⁡ θ ) y ^ + ( 0 ) z ^ z ^ = z ^ ϕ = ( 0 ) x ^ + ( 0 ) y ^ + ( 1 ) z ^ {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {\rho }}={\hat {e}}_{\rho }&=&(\cos \theta ){\hat {x}}&+(\sin \theta ){\hat {y}}&+(0){\hat {z}}\\{\hat {\theta }}={\hat {e}}_{\theta }&=&(-\sin \theta ){\hat {x}}&+(\cos \theta ){\hat {y}}&+(0){\hat {z}}\\{\hat {z}}={\hat {z}}_{\phi }&=&(0){\hat {x}}&+(0){\hat {y}}&+(1){\hat {z}}\end{matrix}}} כלומר: וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה. למרות זאת, וקטורים אלה עדיין שומרים על אורתונורמליות ומהווים שלשה אורתוגונלית ימנית:   ρ ^ × θ ^ = z ^ {\displaystyle \ {\hat {\rho }}\times {\hat {\theta }}={\hat {z}}} . יש לשים לב שעבור וקטור המיקום (ווקטור שיוצא מראשית הצירים), אף על פי שבקואורדינטות קרטזיות, הרכיבים שלו הן הקואורדינטות שלו, כלומר:   ρ → = x e ^ x + y e ^ y + z e ^ z {\displaystyle \ {\vec {\rho }}=x{\hat {e}}_{x}+y{\hat {e}}_{y}+z{\hat {e}}_{z}} או במפורש:   ρ x ( x , y , z ) = x {\displaystyle \ {\rho }_{x}(x,y,z)=x} ,   ρ y ( x , y , z ) = y {\displaystyle \ {\rho }_{y}(x,y,z)=y} ,   ρ z ( x , y , z ) = z {\displaystyle \ {\rho }_{z}(x,y,z)=z} , הרי, זה מקרה פרטי, ובמערכת קואורדינטות גליליות, וקטור המיקום ייוצג ללא θ {\displaystyle \theta } :   ρ → = ρ e ^ ρ + z e ^ z {\displaystyle \ {\vec {\rho }}=\rho {\hat {e}}_{\rho }+z{\hat {e}}_{z}} ההסבר לכך הוא ש- e ^ ρ {\displaystyle {\hat {e}}_{\rho }} הוא פונקציה של θ {\displaystyle \theta } , אך לווקטור המיקום אין רכיב בכיוון של θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} המטריקה (כלומר: המרחק בין כל שתי נקודות) בקואורדינטות אלה נקבע על ידי הטנזור המטרי שנותן את אלמנט האורך הדיפרנציאלי. הטנזור המטרי כאן הוא מטריצה אלכסונית, שהאלמנטים השונים מאפס שלה הם:   g ρ ρ = 1   g θ θ = ρ 2   g z z = 1 {\displaystyle \ g_{\rho \rho }=1\,\ g_{\theta \theta }={\rho }^{2}\,\ g_{zz}=1} ולכן אלמנט האורך הדיפרנציאלי הוא   d l → = ( d ρ ) ρ ^ + ( ρ d θ ) θ ^ + ( d z ) z ^ {\displaystyle \ d{\vec {l}}=(d\rho ){\hat {\rho }}+(\rho d\theta ){\hat {\theta }}+(dz){\hat {z}}} מכיוון שמדובר במערכת צירים "עקומה", אלמנט הנפח האינפיניטסימלי כאן הוא לא פשוט מכפלה של d ρ , d ϕ , d z {\displaystyle \!\,d\rho ,d\phi ,dz} . נסתכל על אלמנט נפח אינפיניטסימלי שמונח על קליפה עבה של גליל, שהוא כל כך קטן עד שבקירוב טוב הוא די קובייתי. עוביו הוא   d ρ {\displaystyle \ d\rho } , גובהו הוא   d z {\displaystyle \ dz} ואילו אורכו (ההיקף) הוא   ρ d θ {\displaystyle \ \rho d\theta } ולכן הנפח של אלמנט הנפח האינפיניטסימלי יהיה d V = ρ   d ρ   d θ   d z {\displaystyle \!\,dV=\rho \ d\rho \ d\theta \ dz} . באותו אופן אפשר לחשב גם את השטח של אלמנט השטח. שטח של אלמנט שטח כשאר: משטח ρ קבוע d a ρ = ρ d φ d z {\displaystyle da_{\rho }=\rho d\varphi dz} משטח φ קבוע d a φ = d ρ d z {\displaystyle da_{\varphi }=d\rho dz} משטח z קבוע d a z = ρ d ρ d φ {\displaystyle da_{z}=\rho d\rho d\varphi } אנליזה וקטורית היא כלי שימושי בבעיות פיזיקליות, לרבות בעיות פיזיקליות בעלות סימטריה כדורית. תחום זה מטפל בשינוי של שדות סקלריים ווקטוריים בזמן ובמרחב. מובאות כאן הנוסחאות השימושיות של נגזרות וקטוריות (גרדיאנט, דיברגנץ, רוטור ולפלסיאן) בקואורדינטות גליליות: גרדיאנט: ∇ → f = ∂ f ∂ ρ ρ ^ + 1 ρ ∂ f ∂ ϕ ϕ ^ + ∂ f ∂ z z ^ {\displaystyle {\vec {\nabla }}f={\partial f \over \partial \rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{1 \over \rho }{\partial f \over \partial \phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{\partial f \over \partial z}{\boldsymbol {\hat {z}}}} דיברגנץ: ∇ → ⋅ F → = 1 ρ ∂ ( ρ F ρ ) ∂ ρ + 1 ρ ∂ F ϕ ∂ ϕ + ∂ F z ∂ z {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={1 \over \rho }{\partial \left(\rho F_{\rho }\right) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial F_{\phi } \over \partial \phi }+{\partial F_{z} \over \partial z}} רוטור: ∇ → × F → = ( 1 ρ ∂ F z ∂ ϕ − ∂ F ϕ ∂ z ) ρ ^ + ( ∂ F ρ ∂ z − ∂ F z ∂ ρ ) ϕ ^ + 1 ρ ( ∂ ( ρ F ϕ ) ∂ ρ − ∂ F ρ ∂ ϕ ) z ^ {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({1 \over \rho }{\partial F_{z} \over \partial \phi }-{\partial F_{\phi } \over \partial z}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\partial F_{\rho } \over \partial z}-{\partial F_{z} \over \partial \rho }\right){\boldsymbol {\hat {\phi }}}+{1 \over \rho }\left({\partial \left(\rho F_{\phi }\right) \over \partial \rho }-{\partial F_{\rho } \over \partial \phi }\right){\boldsymbol {\hat {z}}}} לפלסיאן: ∇ 2 f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ ϕ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 {\displaystyle \nabla ^{2}f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}} במערכת קואורדינטות גליליות, המיקום של גוף יכול להכתב בצורה הבאה: r = ρ ρ ^ + z z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}=\rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+z\,{\boldsymbol {\hat {z}}}} בניגוד לקואורדינטות קרטזיות, שם הצירים אינם משתנים עם הזמן (ולכן ניתן לגזור רכיב רכיב), במערכת הגלילית הצירים עצמם משתנים בזמן כיוון שהם מוגדרים יחסית לגוף הנע. לכן כאשר נגזור לפי הזמן, נצטרך לגזור גם את וקטורי היחידה המרכיבים את וקטור המיקום. אם כן המהירות, שהיא נגזרת של המיקום, יכולה להכתב: v = d r d t = ρ ˙ ρ ^ + ρ φ ˙ φ ^ + z ˙ z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {v}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,{\dot {\varphi }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\dot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}} והתאוצה תהיה הנגזרת השנייה של המיקום: a = d v d t = ( ρ ¨ − ρ φ ˙ 2 ) ρ ^ + ( 2 ρ ˙ φ ˙ + ρ φ ¨ ) φ ^ + z ¨ z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {v}}}{\mathrm {d} t}}=\left({\ddot {\rho }}-\rho \,{\dot {\varphi }}^{2}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left(2{\dot {\rho }}\,{\dot {\varphi }}+\rho \,{\ddot {\varphi }}\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}+{\ddot {z}}\,{\hat {\boldsymbol {z}}}} גליל אנליזה וקטורית גאומטריה דיפרנציאלית מדיה וקבצים בנושא קואורדינטות גליליות בוויקישיתוף HIT קואורדינטות גליליות – הסבר אינטואיטיבי על קואורדינטות גליליות קואורדינטות גליליות, באתר MathWorld (באנגלית) Taylor, John R. (2005). Classical Mechanics. Sausalito, California: University Science Books. p. 29.