משפט נקודת השבת של קאקוטאני

באנליזה פונקציונלית, משפט נקודת השבת של קאקוטאני, הנקרא על שם המתמטיקאי שיזואו קאקוטאני (Shizuo Kakutani), אומר כי במרחב קמור מקומית לפעולה רציפה של חבורת העתקות אפיניות על קבוצה קומפקטית קמורה יש נקודת שבת. יהי X {\displaystyle X} מרחב וקטורי קמור מקומית ותהי K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} קבוצה קמורה קומפקטית. תהי G {\displaystyle G} חבורה ביחס להרכבה של העתקות אפיניות מ- K {\displaystyle K} ל- K {\displaystyle K} . נניח שההעתקות רציפות במידה אחידה, כלומר לכל סביבה W {\displaystyle W} של אפס קיימת סביבה V {\displaystyle V} של אפס כך שלכל T ∈ G , x , y ∈ K {\displaystyle T\in G,x,y\in K} אם x − y ∈ V {\displaystyle x-y\in V} אז T x − T y ∈ W {\displaystyle Tx-Ty\in W} . אז לכל העתקות שב- G {\displaystyle G} יש נקודת שבת משותפת ב- K {\displaystyle K} . נעזר בלמה הטופולוגית הבאה: למה: יהיו A , B {\displaystyle A,B} מרחבים טופולוגיים כך ש- B {\displaystyle B} קומפקטי. תהי π : A × B → A {\displaystyle \pi :A\times B\to A} ההטלה הטבעית ו- E ⊂ A × B {\displaystyle E\subset A\times B} . נניח ש p ∈ π ( A ) ¯ {\displaystyle p\in {\overline {\pi (A)}}} אז קיימת נקודה q ∈ B {\displaystyle q\in B} כך ש ( p , q ) ∈ E ¯ {\displaystyle (p,q)\in {\overline {E}}} . הוכחה: נניח שלא. לכן לכל q ∈ B {\displaystyle q\in B} קיימות סביבות q ∈ W q {\displaystyle q\in W_{q}} וכן p ∈ V q {\displaystyle p\in V_{q}} כך ש- ( V q × W q ) ∩ E = ∅ {\displaystyle (V_{q}\times W_{q})\cap E=\emptyset } . מהקומפקטיות של B ישנן { q i } 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle \{q_{i}\}_{1\leq i\leq n}} כך ש- B = ∪ i = 1 n W q i {\displaystyle B=\cup _{i=1}^{n}W_{q_{i}}} . לכן עבור p ∈ ∩ i = 1 n V i := V {\displaystyle p\in \cap _{i=1}^{n}V_{i}:=V} נקבל ש- V ∩ E = ∅ {\displaystyle V\cap E=\emptyset } סתירה לכך ש- p ∈ π ( A ) ¯ {\displaystyle p\in {\overline {\pi (A)}}} . המשך הוכחה: תהי Ω {\displaystyle \Omega } אוסף כל תתי הקבוצות H ⊂ K {\displaystyle H\subset K} הקמורות, קומפקטיות ולא ריקות המקיימות T ( H ) ⊂ H {\displaystyle T(H)\subset H} לכל T ∈ G {\displaystyle T\in G} . כיוון ש- K ∈ Ω {\displaystyle K\in \Omega } נקבל כי Ω ≠ ∅ {\displaystyle \Omega \neq \emptyset } . כמו כן אם { H i } i ∈ I ⊂ Ω {\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}\subset \Omega } אז גם החיתוך ∩ i ∈ I H i {\displaystyle \cap _{i\in I}H_{i}} נמצא ב- Ω {\displaystyle \Omega } (הוא לא ריק מקומפקטיות). מהלמה של צורן נקבל שיש ב- Ω {\displaystyle \Omega } איבר מינימלי Q {\displaystyle Q} . אם נראה ש- Q {\displaystyle Q} מכילה נקודה בודדת נסיים. נניח שלא. לכן קיימות x , y ∈ Q , x − y ∉ W {\displaystyle x,y\in Q,x-y\not \in W} עבור W {\displaystyle W} סביבה של 0. תהי V {\displaystyle V} הסביבה המתאימה ל- W {\displaystyle W} מתנאי הרציפות במידה אחידה. אם יש T ∈ G {\displaystyle T\in G} כך ש- T x − T y ∈ V {\displaystyle Tx-Ty\in V} אז נקבל x − y = T − 1 ( T x ) − T − 1 ( T y ) ∈ W {\displaystyle x-y=T^{-1}(Tx)-T^{-1}(Ty)\in W} (קיימות העתקות הופכיות כיוון ש- G {\displaystyle G} חבורה) סתירה. לכן לכל T ∈ G {\displaystyle T\in G} , T x − T y ∉ V {\displaystyle Tx-Ty\not \in V} . תהי z = x + y 2 {\displaystyle z={\tfrac {x+y}{2}}} . מקמירות z ∈ Q {\displaystyle z\in Q} . נתבונן במסלול של z {\displaystyle z} תחת הפעולה של G {\displaystyle G} , G ( z ) = { T z | T ∈ G } {\displaystyle G(z)=\{Tz|T\in G\}} . זוהי קבוצה G {\displaystyle G} אינווריינטית ולכן גם K 0 = G ( z ) ¯ {\displaystyle K_{0}={\overline {G(z)}}} וגם K 1 = c o n v ( K 0 ) ¯ {\displaystyle K_{1}={\overline {conv(K_{0})}}} קבוצות G {\displaystyle G} אינווריינטיות. K 1 {\displaystyle K_{1}} קבוצה קמורה, קומפקטית לא ריקה ו- G {\displaystyle G} אינווריינטית המוכלת ב- Q {\displaystyle Q} . ממינימליות Q {\displaystyle Q} נקבל ש- K 1 = Q {\displaystyle K_{1}=Q} . ממשפט קריין-מילמן קיימת נקודה p {\displaystyle p} קיצונית של הקבוצה Q {\displaystyle Q} . p ∈ K 0 {\displaystyle p\in K_{0}} . נתבונן בקבוצה הבאה E = { ( T x , T y , T z ) | T ∈ G } {\displaystyle E=\{(Tx,Ty,Tz)|T\in G\}} . כיוון ש- p ∈ K 0 = G ( z ) ¯ {\displaystyle p\in K_{0}={\overline {G(z)}}} וכן Q × Q {\displaystyle Q\times Q} קומפקטית נקבל מהלמה שיש נקודה x ′ , y ′ ∈ Q {\displaystyle x',y'\in Q} כך ש- ( x ′ , y ′ , p ) ∈ E ¯ {\displaystyle (x',y',p)\in {\overline {E}}} . כיוון ש- 2 T z = T x + T y ∀ T ∈ G {\displaystyle 2Tz=Tx+Ty\forall T\in G} , נקבל ש- 2 p = x ′ + y ′ {\displaystyle 2p=x'+y'} ומהקיצוניות של p {\displaystyle p} נקבל ש- x ′ = y ′ {\displaystyle x'=y'} . אבל לכל T ∈ G {\displaystyle T\in G} , T x − T y ∉ V {\displaystyle Tx-Ty\not \in V} ולכן x ′ − y ′ ∉ V ∋ 0 {\displaystyle x'-y'\not \in V\ni 0} סתירה. קיבלנו סתירה ולכן Q {\displaystyle Q} מכילה רק נקודה אחת וסיימנו.￼ משפט נקודת השבת מאפשר להוכיח את הקיום של מידת האר. משפט נקודת השבת של קאקוטאני-מרקוב: יהיו X {\displaystyle X} מרחב וקטורי טופולוגי ו- K ⊂ X {\displaystyle K\subset X} קמורה קומפקטית ולא ריקה. נניח F {\displaystyle {\mathcal {F}}} קבוצה של העתקות אפיניות מתחלפות ( S ∘ T = T ∘ S ∀ S , T ∈ F {\displaystyle S\circ T=T\circ S\forall S,T\in {\mathcal {F}}} ) מ- K {\displaystyle K} ל- K {\displaystyle K} . אז יש ל- F {\displaystyle {\mathcal {F}}} נקודת שבת משותפת. המשפט משמש להוכיח נוסח של משפט האן-בנך שבו מוסיפים גם דרישה של אינווריינטיות ביחס לקבוצה כזאת של העתקות. ישנו משפט נוסף הנקרא משפט נקודת השבת של קאקוטאני המתייחס בעיקר למרחבים מממד סופי: תהי K ⊂ R n {\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}} קבוצה קומפקטית קמורה ולא ריקה. תהי ϕ : K → P ( K ) {\displaystyle \phi :K\to P(K)} פונקציה עם גרף סגור וכן נניח שלכל x ∈ K {\displaystyle x\in K} , ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} קבוצה קמורה לא ריקה. אז יש ל- ϕ {\displaystyle \phi } נקודת שבת, כלומר קיימת נקודה a ∈ K {\displaystyle a\in K} כך ש a ∈ ϕ ( a ) {\displaystyle a\in \phi (a)} . המשפט שימושי לתורת המשחקים ולכלכלה בכך שהוא מאפשר להוכיח קיום של "מצבים יציבים": למשל קיום שיווי משקל נאש, משפט המינימקס וכו'. וולטר רודין, אנליזה פונקציונלית, 1973, Tata MacGraw-HiIl משפט נקודת השבת של קאקוטאני, באתר Wolfram סקירה של משפט נק' השבת של קאקוטאני באתר Springer (המאמר בתשלום) ראה למשל בוויקיפדיה האנגלית Kakutani fixed-point theorem.