חבורה אוניפוטנטית

במתמטיקה ובפרט בגאומטריה אלגברית חבורות אוניפוטנטיות מהוות משפחה חשובה של חבורות אלגבריות ליניאריות. דוגמה לחבורה אוניפוטנטית היא החבורה U n {\displaystyle U_{n}} של מטריצות משולשיות עליונות n × n {\displaystyle n\times n} שכל איברי האלכסון שלהן שווים ל-1. חבורה נקראת אוניפוטנטית אם ורק אם היא איזומורפית לתת חבורה אלגברית סגורה של U n {\displaystyle U_{n}} . חבורות אוניפוטנטיות סגורות לגבי תת-מנות והרחבות. אם המציין של שדה ההגדרה הוא -0, אז כל חבורה אוניפוטנטית היא קשירה ופשוטת קשר. החבורה U 1 {\displaystyle U_{1}} איזומורפית לחבורה החיבורית של שדה ההגדרה G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} . אפשר לראות בדוגמה זו את הדוגמה הפשוטה ביותר לחבורה אוניפוטנטית. במובן מסוים כל החבורות האוניפוטנטיות מורכבות ממנה. לכל חבורה אוניפוטנטית יש מרכז לא טריוויאלי. אם מרכז זה אינו סופי אז הוא מכיל תת-חבורה איזומרפית ל- G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} . אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין - 0, אז מרכז זה הוא חזקה של החבורה G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} . מכאן ניתן להסיק, שבמציין - 0, עבור חבורה אלגברית G {\displaystyle G} הדברים הבאים שקולים: G {\displaystyle G} אוניפוטנטית. ל - G {\displaystyle G} סדרה מרכזית שגורמיה הם G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} . ל - G {\displaystyle G} סדרה נורמלית שגורמיה הם G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} . אם מציין שדה ההגדרה הוא מספר p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} אז חבורת רכיבי הקשירות של חבורה אוניפוטנטית היא חבורת p. כמו כן ניתן להראות כי אם שדה ההגדרה סגור אלגברית וממציין p {\displaystyle p} , אז עבור חבורה אלגברית G {\displaystyle G} הדברים הבאים שקולים: G {\displaystyle G} אוניפוטנטית. ל - G {\displaystyle G} סדרה מרכזית שגורמיה הם G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} והחבורה הציקלית בעלת p {\displaystyle p} איברים C p {\displaystyle C_{p}} . ל - G {\displaystyle G} סדרה נורמלית שגורמיה הם G a {\displaystyle \mathbb {G} _{a}} ו - C p {\displaystyle C_{p}} . לחבורת אוניפוטנטיות תפקיד חשוב בתורת המיון והמבנה של חבורות אלגבריות ליניאריות. כל חבורה אלגברית ליניארית היא הרחבה של חבורה רדוקטיבית וחבורה אוניפוטנטית. אם מציין שדה ההגדרה הוא 0 אז ההרחב הזאת היא מכפלה חצי ישרה. Springer, Tonny A. (1998) [1981], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4021-5, MR 1642713 Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2nd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, MR 1102012 Humphreys, James E. (1975), Linear Algebraic Groups, Springer, ISBN 0-387-90108-6, MR 0396773 De Medts, Tom (2019), Linear Algebraic Groups (course notes) (PDF), Ghent University כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת אנו דורשים שהחבורה תהיה קומוטטיבית, דרישה זו נובעת מהפרויקיטיביות/שלמות עבור חבורות קשירות, אך לא במקרה הכללי. כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. למושג "חבורה קלאסית" יש מספר משמעויות מקובלות. כל המשפחות שמופעות בדיאגרמה כאן תחת "חבורה קלאסית" נחשבות לכאלה על פי כל המשמעוית המוקובלות כאן אנו מתייחסים למוסכמה המרחיבה, לפיה אין דרישה שהחבורה תהיה קשירה. עם זאת, מעל שדה ממציין 0, חבורה אוניפוטנטית היא תמיד קשירה (ופשוטת קשר), גם אם לא דרשים זאת בהגדרה. לעיתים מושג זה נקרא "חבורה פשוטה". כאן אנו משתמשים במוסכמה המצמצמת, שדורשת מחבורה פשוטה להיות חסרת מרכז. המושג ללא דרישה זו נקרא כאן "חבורה כמעט פשוטה". ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.