משוואת החום

משוואת החום (או משוואת הולכת החום וכן משוואת הדיפוזיה) היא משוואה דיפרנציאלית חלקית, המתארת את האופן שבו זורם חום בגוף מרחבי לאורך זמן. המשוואה הוצגה לראשונה על ידי ז'אן-בטיסט ז'וזף פורייה בתחילת המאה ה-19. המשוואה נקראת גם משוואת הדיפוזיה שכן היא מתארת באופן כללי פעפוע של חומר בזמן ובמרחב. כמשוואה דיפרנציאלית חלקית, ניתן להגדיר פונקציה או משטח u {\displaystyle u} ולו תנאי שפה ותנאי התחלה מתאימים, כלומר: מהם מקורות החום בזמן t = 0 {\displaystyle t=0} (תחילת התהליך) ומהם מקורות החום הקבועים על שפות הפונקציה. לאחר מכן, על ידי פתרון משוואת החום, ניתן לדעת מהו פילוג החום המתקבל בזמן עתידי כלשהו לפי הצורך. לדוגמה, אם נרצה לתאר את פילוג החום עבור לוח בגודל L × L {\displaystyle L\times L} אשר בצלעו הימנית נמצא מקור חום קבוע, וברגע t = 0 {\displaystyle t=0} בפינה השמאלית העליונה ישנו מקור חום נקודתי, ראשית נגדיר את המשטח u ( x , y , t ) {\displaystyle u(x,y,t)} . כעת נציב את תנאי השפה u ( L , y , t ) = h {\displaystyle u(L,y,t)=h} ואת תנאי ההתחלה u ( x , y , 0 ) = δ ( x , y ) {\displaystyle u(x,y,0)=\delta (x,y)} כאשר h {\displaystyle h} הוא עצמת מקור החום הקבוע ו- δ ( x , y ) {\displaystyle \delta (x,y)} היא פונקציית דלתא של דיראק. עם קבלת פתרון המשוואה, נוכל למשל לדעת מהו פילוג החום ברגעים t = 1 , t = 2 {\displaystyle t=1,t=2} , וכן הלאה. בעוד שלמשוואת החום מקורות פיזיקליים, הצורה המתמטית של המשוואה היא בעלת יישומים בתחומים מדעיים מגוונים. בתורת ההסתברות, משוואת החום קשורה לתאוריה של הילוכים מקריים; מן המשוואה ניתן לקבל את ההתפתחות בזמן של פונקציית צפיפות ההסתברות המייצגת את מיקומו של חלקיק המהלך אקראית. במתמטיקה פיננסית נעשה בה שימוש כדי לפתור את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית של מודל בלק ושולס. וריאנט של משוואת החום שימש אף ככלי מרכזי להוכחת השערת פואנקרה בטופולוגיה. משוואת החום היא דוגמה מיוחדת למשפחה של משוואות דיפרנציאליות, משוואות פרבוליות. בצורתה המלאה, המשוואה נכתבת כך: ∂ u ∂ t = ∇ ⋅ ( α ( u , r → ) ∇ u ( r → , t ) ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot {\bigg (}\alpha (u,{\vec {r}})\,\nabla u({\vec {r}},t){\bigg )}} כאשר: t {\displaystyle \,t} – הזמן r → {\displaystyle \,{\vec {r}}} – וקטור המתאר מקום במרחב. u {\displaystyle \,u} – הטמפרטורה כפונקציה של המיקום בגוף והזמן α – מקדם הדיפוזיה התרמית של החומר ∇ – אופרטור הגזירה הווקטורי, דל. בדרך כלל מתייחסים למקדם הדיפוזיה כאל קבוע במרחב ובטמפרטורה, ואז אפשר לכתוב: ∂ u ∂ t = α ∇ 2 u ( r → , t ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u({\vec {r}},t)} כאשר 2∇ הוא אופרטור הלפלסיאן, המשתנה כתלות המערכת הצירים. לדוגמה, במערכת צירים קרטזית, משוואת הולכת החום נראית כך: ∂ u ∂ t = α ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ) = α ( u x x + u y y + u z z ) {\displaystyle {\partial u \over \partial t}=\alpha \left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}\right)=\alpha (u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})\quad } כאשר   u = u ( x , y , z , t ) {\displaystyle \ u=u(x,y,z,t)} היא פונקציית הטמפרטורה, ו־α הוא מקדם הדיפוזיה התרמי של החומר. משוואה כללית יותר, למצב בו יש יצור (או איבוד) של חום בחומר: ρ c p ∂ u ∂ t − ∇ ⋅ ( k ∇ u ) = q ˙ v {\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial u}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla u\right)={\dot {q}}_{v}} כאשר: k {\displaystyle k} – מקדם מוליכות חום של החומר ρ {\displaystyle \rho } – צפיפות המסה של החומר c p {\displaystyle c_{p}} – קיבול החום הסגולי q ˙ v {\displaystyle {\dot {q}}_{v}} – קצב יצור החום (באיבוד חום – שלילי) ומקדם הדיפוזיה התרמית של החומר מוגדר במשוואה: α = k c p ρ {\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c_{p}\rho }}} גם כאן, אם כל תכונות החומר קבועות, המשוואה הופכת לפשוטה יותר: ρ c p ∂ u ∂ t − k ∇ 2 u = q ˙ v {\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}u={\dot {q}}_{v}} על אף השוני הפיזיקלי המהותי והמשמעותי ביניהן, משוואת חום ומשוואת דיפוזיה זהות מבחינה מתמטית, כאשר במשוואת הדיפוזיה, את מקומה של הטמפרטורה תופסת הצפיפות החומר, ϕ ( r , t ) {\displaystyle \phi \left(\mathbf {r} ,t\right)} , ואת מקדם הדיפוזיה התרמית מחליף מקדם הדיפוזיה של החומר, D: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = ∇ ⋅ [ D ( ϕ , r )   ∇ ϕ ( r , t ) ] {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]}} בדומה למשוואת החום, כאשר D קבוע, המשוואה הדיפרנציאלית נעשית ליניארית: ∂ ϕ ( r , t ) ∂ t = D ∇ 2 ϕ ( r , t ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t)} פתרון המשוואה, בממד אחד, על ידי הפרדת משתנים הוא:   u ( t , x ) = X ( x ) T ( t ) . {\displaystyle \ u(t,x)=X(x)T(t).\quad } T ′ ( t ) k T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) . {\displaystyle {\frac {T'(t)}{kT(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.\quad } שני הצדדים של המשוואה הם משוואות התלויות במשתנים שונים, לכן הם חייבים להיות שווים לקבוע מספרי. הקבוע חייב להיות שלילי מכיוון שאחרת הטמפרטורה תגיע לאינסוף, ונסמנו λ²-. הפתרון הסופי המתקבל הוא: T ( t ) = A e − λ 2 k t {\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda ^{2}kt}\quad } ו X ( x ) = B sin ⁡ ( λ x ) + C cos ⁡ ( λ x ) . {\displaystyle X(x)=B\sin(\lambda \,x)+C\cos(\lambda \,x).} את הפרמטר λ נקבל מתנאי השפה של הבעיה, והמשך הפתרון על ידי טור פורייה. ניקח מוט באורך L, המבודד כולו פרט לקצה אחד שלו, שם הוא מוחזק בטמפרטורה קבועה. התנאים שנקבל: תנאי התחלה: בזמן t=0 כל המוט בטמפ' החדר: u ( 0 , x ) = T 0 {\displaystyle u(0,x)=T_{0}} תנאי שפה א': הטמפרטורה במקום x=0 קבועה תמיד: u ( t , 0 ) = T m a x {\displaystyle u(t,0)=T_{max}} תנאי שפה ב': כל המוט מבודד, כך שנוכל לכתוב לגבי קצה המוט: ∂ u ∂ x ( t , L ) = 0 {\displaystyle {\partial u \over \partial x}(t,L)=0} מכיוון שבמשוואה הגדלים דיפרנציאליים, נוכל לבחור את נקודת האפס כרצוננו. נבחר את נקודת האפס של הטמפרטורה ב- T m a x {\displaystyle T_{max}} . למרות שהטמפרטורה במוט תמיד שלילית בסקלה זו, היא הטובה ביותר להתייחס בה לבעיה. נאלץ את תנאי שפה א': u ( t , 0 ) = A e − λ 2 k t ∗ C = 0 {\displaystyle u(t,0)=Ae^{-\lambda ^{2}kt}*C=0\quad } אילו A היה שווה ל-0 היה מתקבל הפתרון הטריוויאלי אשר אין לנו עניין בו. ומכאן: C = 0 {\displaystyle C=0\quad } נאלץ את תנאי ב': ∂ u ∂ x ( t , L ) = D e − λ 2 k t cos ⁡ ( λ L ) = 0 {\displaystyle {\partial u \over \partial x}(t,L)=De^{-\lambda ^{2}kt}\cos(\lambda \,L)=0} כאשר D כולל בתוכו מספר פרמטרים שהיו קודם. ונקבל כי λ יכול להיכתב בסדרה של ערכים אפשריים: λ n = π L ( n + 1 2 ) {\displaystyle \lambda \,_{n}={\pi \, \over L}(n+{\frac {1}{2}})} מכאן שגם הפרמטר החופשי A יכול להיות מספר ערכים אפשריים, נקבל: u ( t , x ) = ∑ n = 0 ∞ A n e − λ n 2 k t   sin ⁡ ( λ n x ) {\displaystyle u(t,x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}e^{-\lambda _{n}^{2}kt}\ \sin(\lambda _{n}\,x)} כשנשאר לנו למצוא את An. נאלץ את תנאי השפה באמצעות טור פורייה, וכפל בפונקציה sin ⁡ ( λ m x ) {\displaystyle \sin(\lambda _{m}\,x)} עבור מספר שלם כלשהו m. אחרי ביצוע אינטגרל על כל המוט, נקבל: A n = 4   ( T 0 − T m a x ) π ( 2 n + 1 ) {\displaystyle A_{n}={\frac {4\ (T_{0}-T_{max})}{\pi \,(2n+1)}}} כך שהפתרון למקרה אחרי אילוץ כל התנאים הוא: u ( t , x ) = T m a x − 4   ( T m a x − T 0 ) π   ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1   sin ⁡ ( π   ( n + 1 2 )   x L )   exp ⁡ ( − k   π 2 L 2   ( n + 1 2 ) 2   t ) {\displaystyle u(t,x)=T_{max}-{\frac {4\ (T_{max}-T_{0})}{\pi }}\ \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\ \sin \left(\pi \ (n+{\frac {1}{2}})\ {\frac {x}{L}}\right)\ \exp \left(-{\frac {k\ \pi ^{2}}{L^{2}}}\ (n+{\frac {1}{2}})^{2}\ t\right)} בנוסף לשימוש הקלאסי עבור זרימת חום בחומר, משוואת החום (או משוואת הדיפוזיה) משמשת בגרסתה הבסיסית או בגרסאות מוכללות בתחומים רבים. ניתן להראות כי עבור תנאי שפה מסוימים, פתרון משוואת החום הוא גרעין החלקה גאוסיאני בעל שונות הגדלה עם הזמן. דבר זה הופך את המשוואה רלוונטית לתחום של עיבוד תמונה, שכן כאשר מתייחסים לתמונה כמשטח מתאים, מקבלים כי הפעלת משוואת הדיפוזיה משמעותה החלקת התמונה במידה הולכת וגדלה עם הזמן, וכך ניתן לסנן רעש מתמונה. בתחום זה, מגדירים גם דיפוזיה לא ליניארית, בה מקדם הדיפוזיה k ( u , r → ) {\displaystyle k(u,{\vec {r}})} אינו קבוע אלא תלוי בגרדיאנט התמונה. באופן זה ניתן לבצע סינון לא ליניארי ובכך לסנן רעש אך לשמר את השפות בתמונה, וזוהי תוצאה רצויה שכן השפות הן פרטים חשובים בהבנת התמונות ויש לשמרן. עם זאת, במקרים אלו אין בדרך כלל רצון למצוא פתרון סגור למשוואה אלא רק לבצע מספר מועט של צעדים בזמן. משוואת החום, באתר MathWorld (באנגלית) במקרה של הילוך מקרי בסריג חד-ממדי בעל הסתברות שווה לפנות ימינה או שמאלה, הסיכוי למצוא את החלקיק במרחק x מנקודת ההתחלה ובזמן t (שנסמנו Φ ( x , t ) {\displaystyle \Phi (x,t)} ) הוא ממוצע הסיכויים למצוא אותו במיקומים x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} ו- x + x 0 {\displaystyle x+x_{0}} בזמן t − t 0 {\displaystyle t-t_{0}} . לכן, "מקדם ההולכה" יהיה x 0 2 2 t 0 {\displaystyle {\frac {x_{0}^{2}}{2t_{0}}}} , כאשר x 0 {\displaystyle x_{0}} הוא גודל הצעד ו- t 0 {\displaystyle t_{0}} הוא פרק הזמן מצעד לצעד.