תנועה מעגלית

בפיזיקה, תנועה מעגלית (או תנועה סיבובית) היא תנועה של עצם דו או תלת-ממדי במסלול מעגלי, סביב נקודה או סביב ציר סיבוב. עצם המסתובב סביב מרכז המסה שלו נקרא מסתובב סביב עצמו או סביב צירו. תנועה מעגלית נפוצה מאוד בטבע. דוגמאות למערכות המתוארות על ידי תנועה מעגלית: לוויין המקיף את כדור הארץ, מסה מסתובבת הקשורה לחוט מתוח, מטען חשמלי בשדה מגנטי וכוס שמסתובבת, אפילו כשמסובבים אותה בעוצמה חלשה מאוד. תנועה מעגלית קצובה היא תנועה בה גודל המהירות לא משתנה אלא רק הכיוון שלה. מאחר שמהירות היא גודל וקטורי, תנועה זו איננה תנועה שוות מהירות. המהירות הזוויתית של הגוף היא קבועה: ω = d θ d t = 2 π T   {\displaystyle \omega ={\frac {d\theta }{dt}}={\frac {2\pi }{T}}\ } , כאשר T הוא זמן המחזור של התנועה. כמו כן, המהירות הקווית של הגוף, שכיוונה משיק למעגל, קבועה והיא: v = d ( θ R ) d t = 2 π R T = ω R {\displaystyle v\,={\frac {d(\theta R)}{dt}}={\frac {2\pi R}{T}}=\omega R} . גודל התאוצה המקיימת תנועה מעגלית קצובה הוא a R = ω 2 R = v 2 R {\displaystyle a_{R}=\omega ^{2}R={\frac {v^{2}}{R}}} וכיוונה כלפי ציר הסיבוב (מרכז המעגל). תאוצת הגוף אנכית למהירותו, כך שגודל המהירות בכיוון המשיק למעגל אינה משתנה, אלא רק כיוונה. מהחוק השני של ניוטון נובע שגודל הכוח הדרוש לשמור על תנועה מעגלית קצובה הוא: F r = m a R = m ( r ¨ − r ( θ ˙ ) 2 ) = m ω 2 R = m v 2 R {\displaystyle F_{r}=ma_{R}=m({\ddot {r}}-r({\dot {\theta }})^{2})=m\omega ^{2}R={\frac {mv^{2}}{R}}} . כיוונו ככיוון התאוצה, כלומר לכיוון מרכז המעגל, והוא נקרא כוח צנטריפטלי. היות שהכח השקול פועל בניצב למהירות הגוף, הוא אינו מבצע עבודה והאנרגיה נשמרת. ההעתק הזוויתי שעבר הגוף לאחר זמן t הוא: θ = 2 π t T = ω t {\displaystyle \theta =2\pi {\frac {t}{T}}=\omega t\,} . תנועה מעגלית מתאפשרת גם כאשר גודל המהירות אינו קבוע. דוגמה לתנועה מסוג זה היא תנועת מטוטלת אנכית בהשפעת כח הכבידה. בתנועה זו המהירות הזוויתית ω ( t ) = d θ d t {\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}} משתנה ולכן קיימת תאוצה זוויתית: α = d ω d t = d 2 θ d t 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}} . לכן, גודל המהירות הזוויתית הוא ω ( t ) = ω 0 + ∫ 0 t α ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\int _{0}^{t}\alpha (t')dt'} ובפרט כאשר התאוצה הזוויתית קבועה: ω ( t ) = ω 0 + α t {\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\alpha t} . גודל המהירות הקווית, שכיוונה משיק למעגל, משתנה בזמן: v = ω ( t ) R {\displaystyle v=\omega (t)R} . תאוצת הגוף בתנועה זו מורכבת מרכיב רדיאלי: a R = ω ( t ) 2 R {\displaystyle a_{R}=\omega (t)^{2}R} המשנה את כיוון המהירות המשיקית ומרכיב משיקי: a T = ω ˙ R {\displaystyle a_{T}={\dot {\omega }}R} המשנה את גודל המהירות המשיקית. באותו אופן, הכח השקול הפועל על הגוף הנע גם כן שווה לסכום וקטורי של שני רכיבים - רכיב רדיאלי המכוון למרכז המעגל, האחראי על קיום התנועה המעגלית ועל השינוי בכיוון מהירות הגוף; ורכיב משיקי, האחראי על השינוי במהירות הגוף. נוח לתאר תנועה מעגלית בקואורדינטות קוטביות (על ידי הגדלים r ו-θ), כך שהגוף נמצא במרחק R קבוע ממרכז המעגל ונטוי בזווית משתנה θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} יחסית לציר מסוים. על מנת למקם את הגוף במישור נעזר בווקטורי היחידה הפולריים המשתנים בזמן:   r ^ ( t ) = e ^ r ( t ) = cos ⁡ ( θ ( t ) ) x ^ + sin ⁡ ( θ ( t ) ) y ^ θ ^ ( t ) = e ^ θ ( t ) = − sin ⁡ ( θ ( t ) ) x ^ + cos ⁡ ( θ ( t ) ) y ^ {\displaystyle \ {\begin{matrix}{\hat {r}}(t)={\hat {e}}_{r}(t)&=&\cos(\theta (t)){\hat {x}}&+&\sin(\theta (t)){\hat {y}}\\{\hat {\theta }}(t)={\hat {e}}_{\theta }(t)&=&-\sin(\theta (t)){\hat {x}}&+&\cos(\theta (t)){\hat {y}}\\\end{matrix}}} לפיכך, וקטור היחידה r ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {r}}(t)} כיוונו ממרכז המעגל כלפי הגוף, כלומר כיוונו הוא רדיאלי, ווקטור היחידה θ ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {\theta }}(t)} כיוונו הוא ככיוון המשיק למעגל, כלומר כיוונו משיקי. וקטור המיקום r → ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}(t)} הוא וקטור ממרכז המעגל למיקום הגוף ברגע t: r → ( t ) = R r ^ ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}(t)=R{\hat {r}}(t)} המהירות היא נגזרת וקטור המיקום לפי הזמן: v → = d d t r → ( t ) = d R d t r ^ + R d r ^ d t {\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)={\frac {dR}{dt}}{\hat {r}}+R{\frac {d{\hat {r}}}{dt}}} מכיוון שרדיוס התנועה R קבוע, נגזרתו שווה לאפס, לעומתו וקטור הכיוון r ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {r}}(t)} משתנה בזמן: d r ^ d t = − d θ d t sin ⁡ θ x ^ + d θ d t cos ⁡ θ y ^ = d θ d t ( − sin ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ ) = d θ d t θ ^ {\displaystyle {\frac {d{\hat {r}}}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta {\hat {x}}+{\frac {d\theta }{dt}}\cos \theta {\hat {y}}={\frac {d\theta }{dt}}(-\sin \theta {\hat {x}}+\cos \theta {\hat {y}})={\frac {d\theta }{dt}}{\hat {\theta }}} נגדיר מהירות זוויתית ω ( t ) {\displaystyle \omega (t)} כשינוי של הזווית לפי הזמן: ω ( t ) = d θ d t {\displaystyle \omega (t)={\frac {d\theta }{dt}}} ולכן: d r ^ d t = ω ( t ) θ ^ {\displaystyle {\frac {d{\hat {r}}}{dt}}=\omega (t){\hat {\theta }}} . וקטור המהירות המתקבל הוא: v → = ω ( t ) R θ ^ {\displaystyle {\vec {v}}=\omega (t)R{\hat {\theta }}} כלומר, לגוף אין מהירות בכיוון הרדיאלי אלא רק בכיוון המשיקי, את מהירות זו נכנה המהירות המשיקית ונסמנה v {\displaystyle v} כך ש- v = ω ( t ) R {\displaystyle v=\omega (t)R} . התאוצה היא נגזרת וקטור המהירות לפי הזמן: a → = d d t v → ( t ) = d ω d t R θ ^ + ω ( t ) R d θ ^ d t {\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}(t)={\frac {d\omega }{dt}}R{\hat {\theta }}+\omega (t)R{\frac {d{\hat {\theta }}}{dt}}} נחשב את הנגזרת של θ ^ ( t ) {\displaystyle {\hat {\theta }}(t)} : d θ ^ d t = − d θ d t cos ⁡ θ x ^ − d θ d t sin ⁡ θ y ^ = − d θ d t ( cos ⁡ θ x ^ + sin ⁡ θ y ^ ) = − d θ d t r ^ = − ω ( t ) r ^ {\displaystyle {\frac {d{\hat {\theta }}}{dt}}=-{\frac {d\theta }{dt}}\cos \theta {\hat {x}}-{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta {\hat {y}}=-{\frac {d\theta }{dt}}(\cos \theta {\hat {x}}+\sin \theta {\hat {y}})=-{\frac {d\theta }{dt}}{\hat {r}}=-\omega (t){\hat {r}}} נגדיר תאוצה זוויתית α {\displaystyle \alpha } כשינוי של המהירות הזוויתית לפי הזמן: α = d ω d t = d 2 θ d t 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}} . וקטור התאוצה המתקבל הוא: a → = − ω ( t ) 2 R r ^ + α R θ ^ {\displaystyle {\vec {a}}=-\omega (t)^{2}R{\hat {r}}+\alpha R{\hat {\theta }}} כלומר, לגוף יש תאוצה שכיוונה כלפי מרכז המעגל וגודלה a R = ω ( t ) 2 R {\displaystyle a_{R}=\omega (t)^{2}R} , שגורמת לשינוי בכיוון המהירות המשיקית ותאוצה משיקית שגודלה a T = α R {\displaystyle a_{T}=\alpha R} , שגורמת לשינוי בגודל המהירות המשיקית. כמו כן, מתוך המשוואה הדיפרנציאלית: d θ = ω ( t ) d t {\displaystyle d\theta =\omega (t)dt} , ניתן לבטא את ההעתק הזוויתי של הגוף: θ ( t ) = θ 0 + ∫ 0 t ω ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}+\int _{0}^{t}\omega (t')dt'} . לסיכום, מתקבלות שלוש משוואות המתארות תנועה בקואורדינטות פולריות. הראשונה, וקטור המיקום: r → = r r ^ {\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {r}}} , השנייה, וקטור המהירות: v → = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ = r ˙ r ^ + r ω θ ^ {\displaystyle {\vec {v}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}={\dot {r}}{\hat {r}}+r\omega {\hat {\theta }}} , והשלישית וקטור התאוצה: a → = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) θ ^ = ( r ¨ − r ω 2 ) r ^ + ( 2 r ˙ ω + r α ) θ ^ {\displaystyle {\vec {a}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}){\hat {\theta }}=({\ddot {r}}-r\omega ^{2}){\hat {r}}+(2{\dot {r}}\omega +r\alpha ){\hat {\theta }}} , כאשר: r → {\displaystyle {\vec {r}}} וקטור המיקום r {\displaystyle r} מייצג את המרחק מראשית הצירים שהגדרנו r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} וקטור יחידה בכיוון r {\displaystyle r} ˙ {\displaystyle {\dot {}}} מייצג את נגזרות הגודל מעליו הוא נמצא (נקודה אחת מסמלת נגזרת ראשונה, ושתי נקודות, את הנגזרת השנייה) θ ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}} וקטור יחידה בכיוון θ {\displaystyle \theta } v → {\displaystyle {\vec {v}}} וקטור המהירות ω {\displaystyle \omega } המהירות הזוויתית a → {\displaystyle {\vec {a}}} וקטור התאוצה α {\displaystyle \alpha } התאוצה הזוויתית ניתן לתאר תנועה מעגלית בעזרת שימוש במספרים מרוכבים, כאשר ציר x {\displaystyle x} יבטא את הציר הממשי וציר y {\displaystyle y} יבטא את הציר המדומה, כך שמיקום הגוף המסתובב יתואר על ידי "וקטור" מרוכב z {\displaystyle z} . z = x + i y = R ( cos ⁡ [ θ ( t ) ] + i sin ⁡ [ θ ( t ) ] ) = R e i θ ( t )   {\displaystyle z=x+iy=R(\cos[\theta (t)]+i\sin[\theta (t)])=Re^{i\theta (t)}\ } כאשר i {\displaystyle i} הוא היחידה המדומה ו θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} זו הזווית של המספר המרוכב כפונקציה של הזמן, t {\displaystyle t} . מכיוון שגודל הרדיוס קבוע: R ˙ = R ¨ = 0   {\displaystyle {\dot {R}}={\ddot {R}}=0\ } כאשר dot מציין לגזירה לפי הזמן. המהירות תהיה: v = z ˙ = d ( R e i θ [ t ] ) d t = R d ( e i θ [ t ] ) d t = R e i θ ( t ) d ( i θ [ t ] ) d t = i R θ ˙ ( t ) e i θ ( t ) = i ω R e i θ ( t ) = i ω z {\displaystyle v={\dot {z}}={\frac {d\left(Re^{i\theta [t]}\right)}{dt}}=R{\frac {d\left(e^{i\theta [t]}\right)}{dt}}=Re^{i\theta (t)}{\frac {d(i\theta [t])}{dt}}=iR{\dot {\theta }}(t)e^{i\theta (t)}=i\omega Re^{i\theta (t)}=i\omega z} והתאוצה תהיה: a = v ˙ = i ω ˙ z + i ω z ˙ = ( i ω ˙ − ω 2 ) z = i ω ˙ z − ω 2 z   . {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\dot {v}}=i{\dot {\omega }}z+i\omega {\dot {z}}=\left(i{\dot {\omega }}-\omega ^{2}\right)z&=i{\dot {\omega }}z-\omega ^{2}z\ .\end{aligned}}} כך שכמו שכבר ראינו כיוון וקטור המהירות מאונך לכיוון ווקטור המיקום, ובמידה והמהירות הזוויתית משתנה בזמן אז ישנה תאוצה משיקית בנוסף על התאוצה צנטריפטלית. תנועה מעגלית קצובה היא תופעה מחזורית והיא מתאפיינת בזמן מחזור T (פרק הזמן בו מבצע הגוף מחזור שלם) ובתדירות f (מספר המחזורים בשנייה): T = 2 π R v = 1 f {\displaystyle T={\frac {2\pi R}{v}}={\frac {1}{f}}} במקרה של תנועה מעגלית קצובה, התדירות הזוויתית, המוגדרת ω = 2 π T = 2 π f {\displaystyle \omega ={{2\pi } \over T}={2\pi f}} , שווה למהירות הזוויתית ω = v R {\displaystyle \omega ={\frac {v}{R}}} . מהירות זוויתית מומנט כוח מומנט התמד קואורדינטות קוטביות מספרים מרוכבים ארז גרטי, כוחות המעורבים בתנועה מעגלית, במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 2 ביולי 2011