צמוד מרוכב

במתמטיקה, הצמוד המורכב של מספר מרוכב הוא המספר עם רכיב ממשי שווה ורכיב מדומה שווה בגודלו אך מנוגד בסימנו. כלומר, אם a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} הם מספרים ממשיים אז הצמוד המורכב של z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} הוא z ¯ = z ∗ = a − b i {\displaystyle {\overline {z}}=z^{*}=a-bi} . בייצוג קוטבי, ניתן להראות באמצעות נוסחת אוילר שאם r {\displaystyle r} ו- φ {\displaystyle \varphi } הם מספרים ממשיים אז הצמוד של r e i φ {\displaystyle re^{i\varphi }} הוא r e − i φ {\displaystyle re^{-i\varphi }} . המכפלה של מספר מרוכב והצמוד שלו היא מספר ממשי: a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} (אוֹ r 2 {\displaystyle r^{2}} בקואורדינטות קוטביות). הצמוד המורכב של מספר מרוכב z {\displaystyle z} מסומן כ- z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} אוֹ z ∗ {\displaystyle z^{*}} . הסימון הראשון, קו מחבר, דומה לסימון למטריצה צמודה, שהיא מעין הכללה של הצמוד המרוכב למטריצות. הסימון השני, כוכבית, מועדף בפיזיקה, שם המטריצה הצמודה מסומנת בדקר (†), וכן בהנדסת חשמל והנדסת מחשבים, בהן סימון הקו המחבר עלול לבלבל עם סימון השלילה הלוגית ("NOT") באלגברה בוליאנית. אם מספר מרוכב מיוצג כמטריצה מסדר 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} , הסימונים זהים והצמוד המורכב מתאים למטריצה המשוחלפת. התכונות הבאות מתקיימות לכל המספרים המרוכבים z {\displaystyle z} ו- w {\displaystyle w} , אלא אם צוין אחרת, וניתן להוכיחן על ידי כתיבת z {\displaystyle z} ו- w {\displaystyle w} בצורה a + b i {\displaystyle a+bi} . הצמוד שומר על חיבור, חיסור, כפל וחילוק: z + w ¯ = z ¯ + w ¯ {\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}} , z − w ¯ = z ¯ − w ¯ {\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}} , z w ¯ = z ¯ ⋅ w ¯ {\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}} ו- ( z w ) ¯ = z ¯ w ¯ ( w ≠ 0 ) {\displaystyle {\overline {({\frac {z}{w}})}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}(w\neq 0)} . מספר מרוכב שווה לצמוד המורכב שלו אם ורק אם הרכיב המדומה שלו הוא אפס, כלומר אם הוא מספר ממשי. במילים אחרות, המספרים הממשיים הם נקודות השבת היחידות של הצמוד. הצמוד אינו משנה את הערך המוחלט של מספר מרוכב: | z ¯ | = | z | {\displaystyle |{\overline {z}}|=|z|} . הצמוד הוא אינוולוציה, כלומר צמוד של צמוד של מספר מרוכב z {\displaystyle z} הוא z {\displaystyle z} ( z ¯ ¯ = z {\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z} ). מכפלה של מספר מרוכב עם הצמוד שלו שווה לריבוע הערך המוחלט שלו: z z ¯ = | z | 2 {\textstyle z{\overline {z}}=|z|^{2}} . תכונה זו מאפשרת חישוב קל של ההופכי הכפלי של מספר מרוכב: z − 1 = z ¯ | z | 2 {\textstyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{|z|}^{2}}}} לכל z ≠ 0 {\textstyle z\neq 0} . הצמוד הוא קומוטטיבי כבסיס לחזקה שלמה ועם פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי: z n ¯ = ( z ¯ ) n , n ∈ Z {\displaystyle {\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n},n\in \mathbb {Z} } , exp ⁡ ( z ) ¯ = exp ⁡ ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {\exp(z)}}=\exp({\overline {z}})} , ln ⁡ ( z ) ¯ = ln ⁡ ( z ¯ ) {\displaystyle {\overline {\ln(z)}}=\ln({\overline {z}})} אם z {\textstyle z} אינו אפס או מספר שלילי ממשי. אם שורש של פולינום במשתנה אחד עם מקדמים ממשיים הוא מרוכב, אז גם הצמוד המרוכב שלו הוא שורש של הפולינום. כלומר אם p {\displaystyle p} הוא פולינום כזה ו- p ( z ) = 0 {\displaystyle p(z)=0} אז p ( z ¯ ) = 0 {\displaystyle p({\overline {z}})=0} . לפיכך, שורשים מרוכבים של פולינומים ממשיים מתרחשים בזוגות צמודים (אנ'). באופן כללי, אם φ {\displaystyle \varphi } היא פונקציה הולומורפית שהצמצום שלה למספרים הממשיים היא בעלת ערך ממשי, ו- φ ( z ) {\displaystyle \varphi (z)} ו- φ ( z ¯ ) {\displaystyle \varphi ({\overline {z}})} מוגדרים, אז φ ( z ¯ ) = φ ( z ) ¯ {\textstyle \varphi ({\overline {z}})={\overline {\varphi (z)}}} . המפה (אנ') σ ( z ) = z ¯ {\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}} מ- C {\displaystyle \mathbb {C} } ל- C {\displaystyle \mathbb {C} } היא הומיאומורפיזם (שבו הטופולוגיה על C {\displaystyle \mathbb {C} } נחשבת לטופולוגיה הסטנדרטית) ואנטי-ליניארית (אנ'), אם לוקחים בחשבון את C {\displaystyle \mathbb {C} } כמרחב וקטורי מרוכב מעל עצמו. המפה היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל ותואמת את הפעולות האריתמטיות, ומכאן שהוא אוטומורפיזם שדה. מכיוון שהיא שומרת על המספרים הממשיים קבועים, הוא מרכיב בחבורת גלואה של הרחבת השדה C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } . בחבורת גלואה שני איברים, σ {\displaystyle \sigma } והזהות על C {\displaystyle \mathbb {C} } , ולפיכך שני האוטומורפיזמים היחידים של C {\displaystyle \mathbb {C} } שמותירים את המספרים הממשיים קבועים הם מפת הזהות והצמוד המורכב. כשנתון מספר מרוכב z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} אוֹ z = r e i θ {\displaystyle z=re^{i\theta }} , הצמוד שלו מספיק כדי לשחזר את רכיבי המשתנה: רכיב ממשי: x = Re ⁡ ( z ) = z + z ¯ 2 {\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}} רכיב מדומה: y = Im ⁡ ( z ) = z − z ¯ 2 i {\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}} מודולוס (ערך מוחלט): r = | z | = z z ¯ {\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}} ארגומנט: e i θ = e i arg ⁡ z = z z ¯ , {\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},} , כלומר θ = arg ⁡ z = 1 i ln ⁡ z z ¯ = ln ⁡ z − ln ⁡ z ¯ 2 i {\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}} הצמוד מסייע גם לבצע חילוק מספרים מרוכבים, ולכל z = a + b i , w = c + d i ≠ 0 {\displaystyle z=a+bi,w=c+di\neq 0} מתקיים w z = w ⋅ z ¯ z ⋅ z ¯ = w ⋅ z ¯ | z | 2 {\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{z\cdot {\bar {z}}}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{|z|^{2}}}} , או בצורה מפורשת a + b i c + d i = ( a + b i ) ⋅ ( c − d i ) ( c + d i ) ⋅ ( c − d i ) = ( a + b i ) ⋅ ( c − d i ) | c + d i | 2 = a c + b d c 2 + d 2 + b c − a d c 2 + d 2 i {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{|c+di|^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i} בנוסף, ניתן להשתמש ב- z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} כדי לציין ישרים במישור: הקבוצה { z : z r ¯ + z ¯ r = 0 } {\displaystyle \{z:z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\}} מייצגת ישר דרך ראשית הצירים המאונך ל- r {\displaystyle r} , מכיוון שהרכיב הממשי של z ⋅ r ¯ {\displaystyle z\cdot {\overline {r}}} הוא אפס רק כאשר קוסינוס הזווית בין z {\displaystyle z} ו- r {\displaystyle r} הוא אפס. באופן דומה, עבור יחידה מורכבת קבועה u = e i b {\displaystyle u=e^{ib}} , המשוואה z − z 0 z ¯ − z 0 ¯ = u 2 {\textstyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}} קובעת את ישר דרך z 0 {\displaystyle z_{0}} המקביל לישר דרך הראשית ו- u {\displaystyle u} . שימושים אלה בצמוד של z {\displaystyle z} כמשתנה מומחשים בספרו של פרנק מורלי (אנ') Inversive Geometry מ-1933, שנכתב עם בנו פרנק ויגור מורלי. עבור מטריצות של מספרים מרוכבים, A B ¯ = ( A ¯ ) ( B ¯ ) {\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=({\overline {\mathbf {A} }})({\overline {\mathbf {B} }})} , כש- A ¯ {\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}} היא המטריצה המורכבת מהצמוד של כל איבר ב- A {\displaystyle \mathbf {A} } . מטריצה צמודה של מטריצות מרוכבות היא הכללה של הצמוד המרוכב. כללי עוד יותר הוא הרעיון של אופרטור צמוד לאופרטורים במרחבי הילברט מרוכבים. כל אלו נכללים בפעולות הכוכב של אלגברות סי כוכב. אפשר גם להגדיר צמוד גם לקווטרניונים: הצמוד של a + b i + c j + d k {\textstyle a+bi+cj+dk} הוא a − b i − c j − d k {\textstyle a-bi-cj-dk} . קיים גם מושג מופשט של הצמוד למרחב וקטורי V {\textstyle V} מעל המספרים המרוכבים. בהקשר זה, כל מפה אנטי-ליניארית φ : V → V {\textstyle \varphi :V\to V} המקיימת: φ 2 = id V {\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}} כש- φ 2 = φ ∘ φ {\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi } ו- id V {\displaystyle \operatorname {id} _{V}} היא מפת הזהות על V {\displaystyle V} . φ ( z v ) = z ¯ φ ( v ) {\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)} לכל v ∈ V , z ∈ C {\displaystyle v\in V,z\in \mathbb {C} } . φ ( v 1 + v 2 ) = φ ( v 1 ) + φ ( v 2 ) {\displaystyle \varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})} לכל v 1 , v 2 ∈ V {\displaystyle v_{1},v_{2}\in V} נקראת הצמדה מרוכבת. מכיוון שהאינוולוציה φ {\displaystyle \varphi } היא אנטי ליניארית היא לא יכולה להיות מפת הזהות על V {\displaystyle V} . מדיה וקבצים בנושא צמוד מרוכב בוויקישיתוף מספר מרוכב שדה המספרים המרוכבים מטריצה צמודה אופרטור צמוד צמוד מרוכב, באתר MathWorld (באנגלית)