מערכת קוונטית בעלת שני מצבים

בפיזיקה קוונטית, מערכת שתי רמות או מערכת שני מצבים (באנגלית: Two-state quantum system) היא מערכת היכולה להמצא באחד משני מצבים נפרדים, או בסופרפוזיציה קוונטית שלהם. מערכת שתי רמות היא המערכת הקוונטית הפשוטה ביותר האפשרית, שכן מערכת בעלת רמה אחת היא בעלת פתרון בעל אופי דינאמי טריוויאלי, ולא קוונטי לפי הגדרה. את מערכת שתי הרמות מגדירים כאמור שני מצבים קוונטיים, ולכן מרחב הילברט של המערכת נפרש על ידי בסיס בעל שני מצבים בלבד: | ψ 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle } . לכן מערכת שתי רמות אינה יכולה לתאר נאמנה בעיות בעלות ספקטרום רציף כמו בעיות אוסצילטור הרמוני למיניהן. מערכת שתי רמות מוכרת היא זו של חלקיקים בעלי ספין חצי שלם ± 1 2 {\displaystyle \pm {\frac {1}{2}}} כמו המערכת ששימשה בניסוי המפורסם של שטרן-גרלך. נציג את המצב הכללי במערכת זו כסופרפוזיציה של שני המצבים האורתונורמליים: | ψ ⟩ = c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle } כאשר המקדמים c 1 , c 2 ∈ C {\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {C} } מרוכבים. מכיוון שהמצבים אורתונורמליים, מתקיים התנאי ⟨ ψ i | ψ j ⟩ = δ i j {\displaystyle \langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij}} , כש δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} היא הדלתא של קרונקר. ההסתברות למדידת מצב | ψ i ⟩ {\displaystyle |\psi _{i}\rangle } נתונה על ידי P i = | ⟨ ψ i | ψ ⟩ | 2 = | ⟨ ψ i | c 1 | ψ 1 ⟩ + ⟨ ψ i | c 2 | ψ 2 ⟩ | 2 = | c i | 2 {\displaystyle P_{i}=|\langle \psi _{i}|\psi \rangle |^{2}=|\langle \psi _{i}|c_{1}|\psi _{1}\rangle +\langle \psi _{i}|c_{2}|\psi _{2}\rangle |^{2}=|c_{i}|^{2}} . אמפליטודת ההסתברות מוגדרת כ a α β = ⟨ ψ α | ψ β ⟩ {\displaystyle a_{\alpha \beta }=\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle } כך ש P α β = | a α β | 2 {\displaystyle P_{\alpha \beta }=|a_{\alpha \beta }|^{2}} היא ההסתברות למדידת המצב הקוונטי | ψ α ⟩ {\displaystyle |\psi _{\alpha }\rangle } בהינתן המצב | ψ β ⟩ {\displaystyle |\psi _{\beta }\rangle } . חשוב לשים לב כי מכיוון שיכול להמדד רק אחד מהמצבים האורתונורמליים, הרי שלכל סופרפוזיציה | ψ ⟩ = c 1 | ψ 1 ⟩ + c 2 | ψ 2 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle } חייב להתקיים תנאי הנרמול P 1 + P 2 = 1 ⇒ | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle P_{1}+P_{2}=1\Rightarrow |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} . לצורך נוחות החישוב והקריאה נסמן | ψ 1 ⟩ = | 1 ⟩ , | ψ 2 ⟩ = | 2 ⟩ {\displaystyle |\psi _{1}\rangle =|1\rangle ,|\psi _{2}\rangle =|2\rangle } . כדי למצוא בצורה אנליטית את הגדלים המדידים של המערכת, יש למצוא את האופרטורים ההרמיטיים המייצגים אותם. לדוגמה, עבור האנרגיות של מערכת שתי רמות יש לרשום את האופרטור ההרמיטי H {\displaystyle {\mathcal {H}}} עבור ההמילטוניאן של המערכת בצורה הבאה: H i j = ⟨ i | H | j ⟩ {\displaystyle {\mathcal {H}}_{ij}=\langle i|H|j\rangle } כך ש H i j {\displaystyle {\mathcal {H}}_{ij}} הוא אלמנט מטריצה של האופרטור ההרמיטי H = ( ⟨ 1 | H | 1 ⟩ ⟨ 1 | H | 2 ⟩ ⟨ 2 | H | 1 ⟩ ⟨ 2 | H | 2 ⟩ ) = ( H 11 H 12 H 12 ∗ H 22 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}\langle 1|H|1\rangle &\langle 1|H|2\rangle \\\langle 2|H|1\rangle &\langle 2|H|2\rangle \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\mathcal {H}}_{11}&{\mathcal {H}}_{12}\\{\mathcal {H}}_{12}^{*}&{\mathcal {H}}_{22}\end{pmatrix}}} . האנרגיות העצמיות והמצבים העצמיים של המערכת יתקבלו על ידי ליכסון של האופרטור H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . משימה זו קלה יחסית מכיוון שאופרטור הרמיטי זה, כדי לקיים את הדרישה H † = H {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\dagger }={\mathcal {H}}} , יהיה מהצורה: H = ( ϵ 1 β − i γ β + i γ ϵ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\begin{pmatrix}\epsilon _{1}&\beta -i\gamma \\\beta +i\gamma &\epsilon _{2}\end{pmatrix}}} , כאשר הקבועים במטריצה ממשיים ϵ 1 , ϵ 2 , β , γ ∈ R {\displaystyle \epsilon _{1},\epsilon _{2},\beta ,\gamma \in \mathbb {R} } עם יחידות של אנרגיה, ו - i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} הוא המספר המדומה. ניתן לפרק את H {\displaystyle {\mathcal {H}}} על ידי שימוש באופרטורי פאולי כדי לקבל צורה מוכרת: H = ϵ 1 + ϵ 2 2 ⋅ σ 0 + β ⋅ σ x + γ ⋅ σ y + ϵ 1 − ϵ 2 2 ⋅ σ z {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {\epsilon _{1}+\epsilon _{2}}{2}}\cdot \sigma _{0}+\beta \cdot \sigma _{x}+\gamma \cdot \sigma _{y}+{\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{2}}\cdot \sigma _{z}} . σ 0 = [ 1 0 0 1 ] = I , σ x = [ 0 1 1 0 ] , σ y = [ 0 − i i 0 ] , σ z = [ 1 0 0 − 1 ] {\displaystyle \sigma _{0}=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right]=\mathbb {I} \quad ,\sigma _{x}=\left[{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right]\quad ,\quad \sigma _{y}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}\right]\quad ,\quad \sigma _{z}=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\quad } הן מטריצות פאולי והן אופרטורים הרמיטיים. ולכן H = ϵ 1 + ϵ 2 2 ⋅ σ 0 + r → ⋅ σ → {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {\epsilon _{1}+\epsilon _{2}}{2}}\cdot \sigma _{0}+{\vec {r}}\cdot {\vec {\sigma }}} . האנרגיות העצמיות של מערכת המוגדרת כך הן: E ± = α ± | r → | {\displaystyle \mathop {E_{\pm }} =\alpha \pm |{\vec {r}}|} כאשר: α = ϵ 1 + ϵ 2 2 , r → = ( β , γ , ϵ 1 − ϵ 2 2 ) {\displaystyle \alpha ={\frac {\epsilon _{1}+\epsilon _{2}}{2}}\quad ,\quad {\vec {r}}=(\beta ,\gamma ,{\frac {\epsilon _{1}-\epsilon _{2}}{2}})} . המצבים העצמיים המתאימים מסומנים | + ⟩ , | − ⟩ {\displaystyle |+\rangle ,|-\rangle } בהתאמה. עבור מערכת סטציונרית ההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן, ולכן משוואת שרדינגר i ℏ ∂ t | ψ ⟩ = H | ψ ⟩ {\displaystyle i\hbar \partial _{t}|\psi \rangle ={\mathcal {H}}|\psi \rangle } היא מד"ר פשוטה שפתרונה | ψ ( t ) ⟩ = e − i H ℏ t | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i{\frac {\mathcal {H}}{\hbar }}t}|\psi (0)\rangle } . האופרטור e − i H ℏ t {\displaystyle e^{-i{\frac {\mathcal {H}}{\hbar }}t}} מכונה אופרטור ההתפתחות בזמן, והוא מתאר את הפאזה שצובר המצב | ψ ( 0 ) ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle } כתלות בזמן. נשים לב כי אם המצב ההתחלתי הוא מצב עצמי של המערכת | ψ ( 0 ) ⟩ = | ± ⟩ {\displaystyle |\psi (0)\rangle =|\pm \rangle } , ההתפתחות בזמן תהיה: | ψ ( t ) ⟩ = e − i H ℏ t | ψ ( 0 ) ⟩ = e − i E ± ℏ t | ± ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =e^{-i{\frac {\mathcal {H}}{\hbar }}t}|\psi (0)\rangle =e^{-i{\frac {\mathop {E_{\pm }} }{\hbar }}t}|\pm \rangle } וההסתברות למדוד את המצב העצמי הנ"ל בזמן t כלשהו היא: P ± ± ( t ) = | ⟨ ± | ψ ( t ) ⟩ | 2 = | ⟨ ± | e − i E ± ℏ t | ± ⟩ | 2 = | e − i E ± ℏ t | 2 ⋅ | ⟨ ± | ± ⟩ | 2 = 1 {\displaystyle P_{\pm \pm }(t)=|\langle \pm |\psi (t)\rangle |^{2}=|\langle \pm |e^{-i{\frac {\mathop {E_{\pm }} }{\hbar }}t}|\pm \rangle |^{2}=|e^{-i{\frac {\mathop {E_{\pm }} }{\hbar }}t}|^{2}\cdot |\langle \pm |\pm \rangle |^{2}=1} , ולכן המצבים העצמיים של מערכת כזאת מכונים גם מצבים סטציונריים. מערכת שתי רמות מהווה את הבסיס למחשוב קוונטי. קיוביטים, שהם הביטים של מחשבים קוונטים, הם מערכת שתי רמות. כל פעולת חישוב קוונטית היא למעשה הפעלת אופרטור אוניטרי על קיוביט שמסובבת את המצב הקוונטי של הקיוביט על ספירת בלוך. נקיפות לרמור קוונטיות הן פתרון של בעיית שתי רמות בשדה מגנטי משתנה בזמן, המכונה תהודה מגנטית גרעינית (NMR). מכשיר הMRI פועל על בסיס עיקרון זה. מבחינה פדגוגית, מערכת שתי רמות היא אחת מהבעיות הקוונטיות הפשוטות ביותר מתמטית לפתרון אנליטי, ויכולה להציג בעיות יסוד פשוטות כמו ניסוי שטרן-גרלך ובעיות מורכבות כמו אוסצילציות ניוטרינו. מדיה וקבצים בנושא מערכת קוונטית בעלת שני מצבים בוויקישיתוף Griffiths, David, Introduction to Quantum Mechanics, 2nd ed., 2005, עמ' 353