משוואה ליניארית

במתמטיקה, משוואה ליניארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה ליניארית היא זאת:   α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α n x n = b {\displaystyle \ \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+...+\alpha _{n}x_{n}=b} . משוואה כזו נקראת "משוואה ליניארית ב-n נעלמים". פתרון של המשוואה הוא n-יה   a 1 , a 2 , . . . , a n {\displaystyle \ {a_{1},a_{2},...,a_{n}}} כך שהצבת הערכים המספריים   a i {\displaystyle \ a_{i}} במקום הנעלמים   x i {\displaystyle \ x_{i}} תניב את השוויון המבוקש. האיברים   x i {\displaystyle \ x_{i}} נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים   α i {\displaystyle \ \alpha _{i}} נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר. בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ואילו למשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא ליניאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה ליניארית, או לפחות לקרב באופן ליניארי מצבים מורכבים יותר. רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה. משוואתו הכללית של קו ישר במישור היא a x + b y = c {\displaystyle ax+by=c} , בתנאי שאחד המקדמים a,b אינו אפס. אם b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} הקו הוא גרף הפונקציה   y = ( − a / b ) x + ( c / a ) {\displaystyle \ y=(-a/b)x+(c/a)} . הקו מקביל לציר ה-x אם a=0 ומקביל לציר ה-y אם b=0. האופן הנפוץ לכתוב משוואת קו ישר הוא y = m x + n {\displaystyle y=mx+n} כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור x=0 מקבלים y=n). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש- m = Δ y Δ x = tan ⁡ θ {\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan \theta } כאשר θ {\displaystyle \theta } היא הזווית בין הישר לציר ה-x. משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי y − b = m ⋅ ( x − a ) {\displaystyle y-b=m\cdot (x-a)} או באופן שקול y = m x + b − a m {\displaystyle y=mx+b-am} . משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות ( a 1 , b 1 )   ( a 2 , b 2 ) {\displaystyle (a_{1},b_{1})\,\ (a_{2},b_{2})} (בהנחה ש- a 1 ≠ a 2 {\displaystyle a_{1}\neq a_{2}} , המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא y = b 2 − b 1 a 2 − a 1 ( x − a 2 ) + b 2 = b 2 − b 1 a 2 − a 1 ⋅ x − a 2 b 2 − b 1 a 2 − a 1 + b 2 {\displaystyle y={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}(x-a_{2})+b_{2}={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}\cdot x-a_{2}{\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}+b_{2}} . פיתוח הנוסחה: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת a = a 2 , b = b 2 {\displaystyle a=a_{2},b=b_{2}} והשיפוע m שנתון על ידי m = b 2 − b 1 a 2 − a 1 {\displaystyle m={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}} . הצבת כל אלה תיתן y − b 2 = b 2 − b 1 a 2 − a 1 ⋅ ( x − a 2 ) {\displaystyle y-b_{2}={\frac {b_{2}-b_{1}}{a_{2}-a_{1}}}\cdot (x-a_{2})} ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל. במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו v → , u → ∈ V {\displaystyle {\vec {v}},{\vec {u}}\in V} שני וקטורים כאשר v → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {v}}\neq {\vec {0}}} : ישר שכיוונו v → {\displaystyle {\vec {v}}} העובר דרך הנקודה u → {\displaystyle {\vec {u}}} ("ישר אפיני") מתואר על ידי { u → + t v → ∣ t ∈ F } {\displaystyle \{{\vec {u}}+t{\vec {v}}\mid t\in F\}} . ישר העובר דרך הראשית ( u → = 0 → {\displaystyle {\vec {u}}={\vec {0}}} ) מתואר בפשטות על ידי S p a n F { v → } = { t v → ∣ t ∈ F } {\displaystyle \mathrm {Span} _{F}\{{\vec {v}}\}=\{t{\vec {v}}\mid t\in F\}} . הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות (שונות), המיוצגות על ידי הווקטורים v → 1 , v → 2 ∈ V {\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V} L = { v → 1 t + ( 1 − t ) v → 2 | t ∈ F } = { v → 2 + t ( v → 1 − v → 2 ) ∣ t ∈ F } {\displaystyle L=\{{\vec {v}}_{1}t+(1-t){\vec {v}}_{2}|t\in F\}=\{{\vec {v}}_{2}+t({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}}_{2})\mid t\in F\}} . ערך מורחב – מערכת משוואות ליניאריות במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות ליניארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות ליניאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:   α 11 x 1 + α 12 x 2 + . . . + α 1 n x n = b 1 {\displaystyle \ \alpha _{11}x_{1}+\alpha _{12}x_{2}+...+\alpha _{1n}x_{n}=b_{1}}   α 21 x 1 + α 22 x 2 + . . . + α 2 n x n = b 2 {\displaystyle \ \alpha _{21}x_{1}+\alpha _{22}x_{2}+...+\alpha _{2n}x_{n}=b_{2}} : :   α m 1 x 1 + α m 2 x 2 + . . . + α m n x n = b m {\displaystyle \ \alpha _{m1}x_{1}+\alpha _{m2}x_{2}+...+\alpha _{mn}x_{n}=b_{m}} זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם. מערכת משוואות שבה   b 1 = b 2 = . . . = b m = 0 {\displaystyle \ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}=0} תיקרא מערכת משוואות הומוגנית. את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה x → {\displaystyle {\vec {x}}} מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר   m × n {\displaystyle \ m\times n} ואילו m-ית המקדמים החופשיים b → {\displaystyle {\vec {b}}} מוצגת כוקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בוקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר:   A x → = b → {\displaystyle \ A{\vec {x}}={\vec {b}}} . באופן מפורש: ( α 11 ⋯ α 1 n ⋮ ⋱ ⋮ α m 1 ⋯ α m n ) ( x 1 ⋮ x n ) = ( b 1 ⋮ b m ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{m1}&\cdots &\alpha _{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}} משוואה דיפרנציאלית ליניארית מבוא לאלגברה ליניארית, פרק ב', אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון משוואה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית) משוואה ליניארית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)