יריעת גרסמן

בגאומטריה אלגברית, יריעת גראסמן (או גראסמניאן) היא יריעה אלגברית פרויקטיבית חלקה Gr ⁡ ( k , V ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (k,V)} , שהנקודות שלה נמצאות בהתאמה למרחבים מממד (אפיני) קבוע k {\displaystyle k} במרחב וקטורי V {\displaystyle V} . לדוגמה, Gr ⁡ ( 1 , V ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (1,V)} אינו אלא המרחב הפרויקטיבי P V {\displaystyle {\mathbb {P} }V} . אם V {\displaystyle V} מרחב מממד n {\displaystyle n} , יריעת גראסמן, שמקובל לסמן אותה גם ב- G n , k {\displaystyle {\mathbb {G} }^{n,k}} , משוכנת (על ידי שיכון פלוקר) במרחב הפרויקטיבי P ( n k ) − 1 {\displaystyle {\mathbb {P} }^{{\binom {n}{k}}-1}} . נקראת על שם הרמן גראסמן. יריעות גראסמן מופיעות באופן טבעי במחקר של יריעות חלקות, משום שאם M {\displaystyle M} היא היריעה מממד k {\displaystyle k} ומשוכנת במרחב האפיני ה- n {\displaystyle n} ממדי, אז המרחב המשיק בכל נקודה הוא תת-מרחב k {\displaystyle k} ממדי של R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} , כך שהמרחב המשיק מגדיר העתקה רציפה מ- M {\displaystyle M} אל יריעת גראסמן Gr ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (k,n)} . את הרעיון הזה אפשר להכליל לאגד משיק כללי. הדואליות בין מרחבים מממד k {\displaystyle k} למרחבים מממד n − k {\displaystyle n-k} (שהיא הדואליות בין קבוצות משוואות למרחבי פתרונות), מראה כי Gr ⁡ ( n − k , n ) ≅ Gr ⁡ ( k , n ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (n-k,n)\cong \operatorname {Gr} (k,n)} . כאמור, אם k = 1 {\displaystyle k=1} , אז Gr ⁡ ( 1 , n ) ≅ P n − 1 {\displaystyle \operatorname {Gr} (1,n)\cong {\mathbb {P} }^{n-1}} . בפרט, אם k = 1 {\displaystyle k=1} ו- n = 3 {\displaystyle n=3} , היריעה מקודדת את הישרים דרך הראשית במרחב התלת־ממדי, ואינה אלא המישור הפרויקטיבי. הדוגמה הפשוטה ביותר שאינה מרחב פרויקטיבי, היא היריעה Gr ⁡ ( 2 , 4 ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (2,4)} של המישורים דרך הראשית במרחב הארבעה ממדי. החבורה הליניארית הכללית GL n ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)} פועלת טרנזיטיבית על אוסף התת-מרחבים מממד k {\displaystyle k} . המייצב של תת-מרחב הוא התת-חבורה הפרבולית של מטריצות הבלוקים H k = ( ∗ ∗ 0 ∗ ) {\displaystyle H_{k}=\left({\begin{array}{cc}*&*\\0&*\end{array}}\right)} (עם בלוקים אלכסוניים בגודל k × k {\displaystyle k\times k} ו- ( n − k ) × ( n − k ) {\displaystyle (n-k)\times (n-k)} ), וכך מתקבלת הזהות Gr ⁡ ( k , F n ) = GL n ⁡ ( F ) / H k {\displaystyle \operatorname {Gr} (k,F^{n})=\operatorname {GL} _{n}(F)/H_{k}} . בפרט, הממד של יריעת גראסמן הוא k ( n − k ) {\displaystyle k(n-k)} . אם F n {\displaystyle F^{n}} מצויד במכפלה פנימית (או ביתר כלליות בתבנית ריבועית אנאיזוטרופית), אז הפעולה על תת-קבוצות אורתוגונליות מספקת את הזהות Gr ⁡ ( k , F n ) = O n ( F ) / ( O k ( F ) × O n − k ( F ) ) {\displaystyle \operatorname {Gr} (k,F^{n})=O_{n}(F)/(O_{k}(F)\times O_{n-k}(F))} . המעבר לחבורת האיזומטריות המיוחדות SO n {\displaystyle \operatorname {SO} _{n}} מגדיר את יריעת גראסמן המכוונת SO n ⁡ ( F ) / ( SO k ⁡ ( F ) × SO n − k ⁡ ( F ) ) {\displaystyle \operatorname {SO} _{n}(F)/(\operatorname {SO} _{k}(F)\times \operatorname {SO} _{n-k}(F))} , שהיא כיסוי כפול של יריעת גראסמן מאותם ממדים. מעל המרוכבים, הצגה דומה באמצעות חבורת המטריצות האוניטריות שהיא חבורה קומפקטית, מראה שיריעת גראסמן (הממשית או המרוכבת) היא קומפקטית. נוכחות המכפלה הפנימית הופכת את יריעת גראסמן למרחב מטרי, אם מגדירים d ( W , U ) = ‖ P W − P U ‖ , {\displaystyle d(W,U)=\lVert P_{W}-P_{U}\rVert ,} , המרחק בין ההטלות של W {\displaystyle W} על U {\displaystyle U} ושל U {\displaystyle U} על W {\displaystyle W} , לפי הנורמה האופרטורית. קואורדינטות פלוקר של יריעת גראסמן מתקבלות מבחירת בסיס למרחב ה- n {\displaystyle n} -ממדי, על ידי מעבר על כל התת-קבוצות בגודל k {\displaystyle k} . הצגה בקואורדינטות אלה מספקת את השיכון Gr ⁡ ( k , F n ) ⊂ P ( n k ) − 1 F {\displaystyle \operatorname {Gr} (k,F^{n})\subset {\mathbb {P} }^{{\binom {n}{k}}-1}F} , המוגדר על ידי משוואות ריבועיות. כך למשל, Gr ⁡ ( 2 , F 4 ) ≅ { ( y 01 : y 02 : y 03 : y 12 : y 13 : y 23 ) ∈ P 5 ⁡ F | y 01 y 23 − y 02 y 13 + y 03 y 12 = 0 } {\displaystyle \operatorname {Gr} (2,F^{4})\,\cong \,\{(y_{01}:y_{02}:y_{03}:y_{12}:y_{13}:y_{23})\in \operatorname {P} ^{5}F\,|\,y_{01}y_{23}-y_{02}y_{13}+y_{03}y_{12}=0\}} . דגל יריעת גרסמן, באתר MathWorld (באנגלית)