פונקציה עצמית

במתמטיקה, פונקציה עצמית של העתקה ליניארית D המוגדרת על מרחב פונקציות כלשהו היא כל פונקציה f, שאינה פונקציית האפס במרחב זה, שכאשר מופעלת על ידי ההעתקה D, היא רק מוכפלת בסקלר, המכונה ערך עצמי. ניתן להציג תנאי זה על ידי המשוואה Df = λf עבור ערך עצמי סקלרי λ . פתרונות המשוואה הזו אף עשויים להיות מוגדרים על ידי תנאי שפה, אשר מגבילים את הערכים האפשריים של הערכים העצמיים ושל הפונקציות העצמיות. פונקציה עצמית היא מקרה פרטי של וקטור עצמי. באופן כללי, וקטור עצמי של האופרטור הליניארי D מוגדר במרחב וקטורי הוא וקטור, אשר כאשר ההעתקה D פועלת עליו הוא אינו משנה את כיוונו, אלא גודלו מוכפל בערך סקלרי הנקרא ערך עצמי. במקרה המיוחד בו D מוגדר על מרחב פונקציות, הווקטורים העצמיים מכונים פונקציות עצמיות. כלומר, הפונקציה f היא פונקציה עצמית של D, אם היא מקיימת את המשוואה Df = λf, כאשר λ הוא סקלר. כאמור לעיל, פתרונות המשוואה עשויים להיות כפופים לתנאי שפה. משום כך, אוסף הערכים האפשריים של λ בדרך כלל מוגבל לסט ערכים בדידים ... λ1, λ2, או רצף ערכים בטווח מסוים. קבוצת הערכים העצמיים האפשריים של D מכוּנה לפעמים ספקטרום הערכים, אשר עשוי להיות בדיד, רציף, או שילוב של שניהם. כל ערך של λ מתאים לאחת או יותר פונקציות עצמיות. אם מספר פונקציות עצמיות בלתי תלויות ליניארית בעלות ערך עצמי זהה, אזי הערך העצמי הנ"ל נקרא מנַוון והמספר המרבי של פונקציות עצמיות בלתי תלויות ליניארית הקשורות באותו ערך עצמי הוא דרגת הניוון של הערך העצמי או "הריבוי הגאומטרי". מחלקה נפוצה לדוגמה היא אופרטורים דיפרנציאליים במרחב ∞C של פונקציות אמתיות או מדומות, הגזירות אינסוף פעמים המהווים מחלקה של אופרטורים ליניאריים על ארגומנט ממשי או מרוכב t. לדוגמה, נבחן את אופרטור הגזירה  d d t {\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}} עם משוואת ערך עצמי d d t f ( t ) = λ f ( t ) . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).} המשוואה הדיפרנציאלית שלמעלה, ניתנת לפתרון על ידי הכפלת שני הצדדים ב d t f ( t ) {\displaystyle {\tfrac {dt}{f(t)}}} ואז ביצוע אינטגרציה. הפתרון שלה, הפונקציה המעריכית f ( t ) = f 0 e λ t , {\displaystyle f(t)=f_{0}e^{\lambda t},} הוא פונקציה עצמית של אופרטור הנגזרת, כאשר f0 הוא פרמטר התלוי בתנאי הגבול. נשים לב כי במקרה זה הפונקציה העצמית היא בעצמה הפונקציה של הערך העצמי המשויך אליה λ, אשר יכול לקבל כל ערך אמיתי או מרוכב. בפרט, נשים לב כי עבור λ = 0 את הפונקציה העצמית (f(t קבועה. נניח בדוגמה ש (f(t נתון לתנאי השפה (א) f(0) = 1, (ב) 2 = d f d t | t = 0 {\displaystyle {\tfrac {df}{dt}}|_{t=0}} אם כך אנו מוצאים ש f ( t ) = e 2 t , {\displaystyle f(t)=e^{2t},} כאשר λ = 2 הוא הערך העצמי היחיד של המשוואה הדיפרנציאלית שגם עונה על תנאי הגבול. ניתן להביע פונקציות עצמיות כעמודה וקטורית ואופרטורים ליניאריים ניתנים להבעה כמטריצות, אולם הם יכולים להיות בעלי ממדים אינסופיים. כתוצאה מכך, רבים מהמושגים הקשורים לווקטורים עצמיים של מטריצות דורשים מחקר של פונקציות עצמיות. להגדיר את המכפלה הפנימית בתוך מרחב הפונקציות כל D מוגדר ⟨ f , g ⟩ = ∫ Ω d t   f ∗ ( t ) g ( t ) , {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\Omega }dt\ f^{*}(t)g(t),} אינטגרל על טווח של t הנקרא Ω. נניח שלמרחב הפונקציות בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {(u1(t), u2(t), ..., un(t}, כאשר n יכול להיות אינסופי. עבור בסיס אורתונורמלי ⟨ u i , u j ⟩ = ∫ Ω d t   u i ∗ ( t ) u j ( t ) = δ i j = { 1 i = j 0 i ≠ j , {\displaystyle \langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},} כאשר δij היא הדלתא של קרונקר , ויכולה להיחשב כאלמנטים של מטריצת היחידה. פונקציות יכולות להיכתב כצרוף ליניארי של פונקציות הבסיס, f ( t ) = ∑ j = 1 n b j u j ( t ) , {\displaystyle f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),} לדוגמה בעזרת התמרת פורייה של (f(t. המקדמים bj יכולים להערם לוקטור עמודה (n על 1), כלומר b = [b1 b2 ... bn]T. במקרים מיוחדים, כגון המקדמים של סדרת פורייה של פונקציית סינוס, לוקטור העמודה יש מימד סופי. בנוסף, נגדיר ייצוג מטריציוני של האופרטור הליניארי D עם אלמנטים A i j = ⟨ u i , D u j ⟩ = ∫ Ω d t   u i ∗ ( t ) D u j ( t ) . {\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).} אנחנו יכולים לכתוב את הפונקציה (Df(t כצירוף ליניארי של פונקציות הבסיס או כ D הפועל על ההרחבה של (f(t, D f ( t ) = ∑ j = 1 n c j u j ( t ) = ∑ j = 1 n b j D u j ( t ) . {\displaystyle Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).} אם לוקחים את החלק הפנימי של כל צד של המשוואה עם בסיס שרירותי של פונקציות (ui(t, ∑ j = 1 n c j ∫ Ω d t   u i ∗ ( t ) u j ( t ) = ∑ j = 1 n b j ∫ Ω d t   u i ∗ ( t ) D u j ( t ) , c i = ∑ j = 1 n b j A i j . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t),\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}} זהו כפל מטריצה Ab = c הכתוב כסכימה והוא המקביל המטריצי של האופרטור D הפועל על הפונקציה (f(t ומובע בעזרת הבסיס האורתונורמלי. אם (f(t היא פונקציה עצמית של D עם ערך עצמי λ, אז Ab = λb. רבים מהאופרטורים שפוגשים בפיזיקה הם הרמיטיים. נניח את אופרטור ליניארי D הפועל על מרחב פונקציות המהווה מרחב הילברט עם בסיס אורתונורמלי הנתון על ידי קבוצת פונקציות {u1(t), u2(t), ..., un(t}, כאשר n יכול להיות אינסופי. בבסיס זה, לאופרטור D יש מטריצת ייצוג A עם אלמנטים A i j = ⟨ u i , D u j ⟩ = ∫ Ω d t   u i ∗ ( t ) D u j ( t ) . {\displaystyle A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t).} אינטגרל על טווח של t הנקרא Ω. באנלוגיה עם מטריצות הרמיטיות, D הוא אופרטור הרמיטי אם *Aij = Aji, או ⟨ u i , D u j ⟩ = ⟨ D u i , u j ⟩ , ∫ Ω d t   u i ∗ ( t ) D u j ( t ) = ∫ Ω d t   u j ( t ) [ D u i ( t ) ] ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}\langle u_{i},Du_{j}\rangle &=\langle Du_{i},u_{j}\rangle ,\\\int _{\Omega }dt\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)&=\int _{\Omega }dt\ u_{j}(t)[Du_{i}(t)]^{*}\end{aligned}}} נשקול את האופרטור ההרמיטי D עם ערכים עצמיים ... ,λ1, λ2, הפונקציות העצמיות המקבילות ... ,(f1(t), f2(t. לאופרטור ההרמיטי יש את התכונות הבאות: הערכים העצמיים שלו אמיתיים, λi* = λi הפונקציות העצמיות שלו מקיימות תנאי אורתוגונליות תנאי, 0= ⟨ f i , f j ⟩ {\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle } אם i≠j התנאי השני תמיד טומן בחובו λi ≠ λj . בשביל פונקציות עצמיות מנוונות עם אותו ערך עצמי λi, ניתן תמיד למצוא פונקציות עצמיות אורתוגונליות שיפרשו את המרחב העצמי הקשור ל λi, למשל באמצעות תהליך גרם-שמידט. כתלות ברציפות או בדידות הספקטרום, הפונקציות העצמיות יכולות להיות מנורמלות על ידי הגדרת תוצר פנימי של פונקציות עצמיות השווה לדלתא של קרונקר או פונקציית הדלתא של דיראק, בהתאמה. עבור אופרטורים הרמיטיים רבים, כגון אופרטורים של שטורם-ליוביל, תכונה שלישית היא הפונקציות העצמיות יוצרות בסיס של מרחב הפונקציות שבו האופרטור מוגדר כתוצאה מכך, במקרים חשובים רבים, הפונקציות העצמיות של אופרטור הרמיטי יוצרות בסיס אורתונורמלי. במקרים אלו, פונקציה שרירותית יכולה צירוף ליניארי של הפונקציות העצמיות של האופרטור ההרמיטי. אחד היישומים העיקריים של פונקציות עצמיות בפיזיקה והנדסה היא במשוואות דיפרנציאליות חלקיות. משוואות אלו מתארות קשרים בין השינויים של הפונקציה בפרמטרים שונים, לדוגמה, התפלגות חום על מוט לרוב תקיים את משוואת החום: ∂ ψ ∂ t − D ∂ 2 ψ ∂ x 2 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}-D{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=0} כש- D {\displaystyle D} מקדם הדיפוזיה, וסטיית הטמפרטורה משיווי משקל בכל נקודה נתונה על ידי ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} . אחת השיטות הנפוצות לפתירת משוואות מסוג זה נקראת הפרדת משתנים, בה לרוב מנסים להגיע להפרדה של כל הגורמים התלוי במשתנה אחד באגף אחד של המשוואה משאר האגפים (במשוואת החום העברת אגף פשוטה מספיקה: ∂ ψ ∂ t = D ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}} ). אחרי שעושים זאת, באגף המופרד קיים אופרטור ליניארי שעל ידי מציאת הפונקציות העצמיות שלו ניתן לקבל הורדה של אחת הנגזרות מהמשוואה. הפונקציות העצמיות של D ∂ 2 ∂ x 2 {\displaystyle D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}} הן cos ⁡ k x , sin ⁡ k x {\displaystyle \cos kx,\sin kx} עבור k כלשהו (משום שגזירה פעמיים של הפונקציות האלו נותנות אותן פונקציות עד כדי כפל ב- − D k 2 {\displaystyle -Dk^{2}} ). כלומר, עבור התפלגות חום שהיא כפל של הפונקציה העצמית המרחבית בפונקציה זמנית כלשהי: ψ ( x , t ) = cos ⁡ k x ⋅ T ( t ) {\displaystyle \psi (x,t)=\cos kx\cdot T(t)} , נקבל משוואה פשוטה על החלק הזמני: d T d t = − D k 2 T {\displaystyle {\frac {dT}{dt}}=-Dk^{2}T} , לה קיים פתרון: T ( t ) = A e − D k 2 t {\displaystyle T(t)=Ae^{-Dk^{2}t}} . כלומר, מציאת הפונקציות העצמיות של האופרטור נתנו לנו תיאור פשוט של ההתנהגות שלהן בזמן. השיטה נפוצה במשוואות דיפרנציות חלקיות רבות כמו משוואת הגלים, משוואת לפלס, משוואת שרדינגר ועוד. אם h ( x , t ) {\displaystyle h(x,t)}  מציין את המרחק האנכי של מיתר אלסטי מתוח, כגון מיתרים רוטטים של כלי מיתר, כפונקציה של המיקום x לאורך החוט, ושל הזמן t. החלת חוקי המכניקה לחלקים האינפיניטסימליים של המיתר, הפונקציה h עונה על המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ∂ 2 h ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 h ∂ x 2 , {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},} הנקראת משוואת הגלים (בחד־ממד). כאן c היא מהירות קבועה, התלויה במתח ומסת החוט. בעיה זו פועלת על פי עקרונות ההפרדת משתנים. אם נניח כי h ( x , t ) {\displaystyle h(x,t)} יכול להיכתב כתוצר מהצורה X ( x ) T ( t ) {\displaystyle X(x)T(t)} , אנו יכולים ליצור זוג משוואות דיפרנציאליות רגילות: d 2 d x 2 X = − ω 2 c 2 X , d 2 d t 2 T = − ω 2 T . {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.} כל אחת היא משוואת ערך עצמי עם ערכים עצמיים  − ω 2 c 2 {\displaystyle -{\tfrac {\omega ^{2}}{c^{2}}}} ו־ω2, בהתאמה. עבור כל הערכים של ω ו־c, המשוואות מקוימות על ידי הפונקציות X ( x ) = sin ⁡ ( ω x c + φ ) , T ( t ) = sin ⁡ ( ω t + ψ ) , {\displaystyle X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),} כאשר זוויות הפאזה φ ו־ψ הם קבועים שרירותיים אמיתיים. אם נכפה תנאי סף, לדוגמה שקצות המיתר מקובעים ב x = 0, וב x = L כלומר X(0) = X(L) = 0 וגם ש T(0) = 0 מקבעים את הערכים העצמיים. עבור תנאי סף אלו, sin(φ) = 0 וגם sin(ψ) = 0 לכן זוויות הפאזה φ = ψ = 0 וגם  sin ⁡ ( ω L c ) = 0. {\displaystyle \sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.} תנאי הגבול האחרון מחייב את ω לקחת את הערך ω n = n c π L {\displaystyle \omega _{n}={\frac {nc\pi }{L}}} , שבו n הוא כל מספר שלם. לפיכך, המיתר המהודק תומך במשפחה של גלים עומדים של מהצורה h ( x , t ) = sin ⁡ ( n π x L ) sin ⁡ ( ω n t ) . {\displaystyle h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).} בדוגמה של כלי זמר בעלי מיתרים, התדירות ω n {\displaystyle \omega _{n}} הוא התדירות של ההרמוניה ה- nth, אשר נקראת הצליל העילי הצליל עילי ה n − 1)th). ערך מורחב – משוואת שרדינגר במכניקת הקוונטים, משוואת שרדינגר i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( r , t ) = H Ψ ( r , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)} עם אופרטור המילטוניאן H = − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( r , t ) {\displaystyle H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)} ניתנת לפתרון על ידי הפרדת משתנים, אם ההמילטוניאן אינו תלוי במפורש בזמן. במקרה זה, פונקציית הגל (Ψ(r,t) = φ(r)T(t מובילה לשתי משוואות דיפרנציאליות, שתי המשוואות הדיפרנציאליות הן משוואות עצמיות, עם ערך עצמי E. כפי שמוצג בדוגמה הקודמת, את הפתרון של המשוואה הוא מעריכי: T ( t ) = e − i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{\tfrac {-iEt}{\hbar }}} משוואת שרדינגר שאינה תלויה בזמן. הפונקציות העצמיות φ של אופרטור ההמילטוניאן הן מצבים יציבים של המערכת הקוונטית, כל אחד עם המקבילה האנרגטית Ek. הם מייצגים ערכים מותרים מצבים אנרגטיים של המערכת, ועשויים להיות מוגבלים על ידי תנאי השפה. אופרטור ההמילטוניאן H הוא דוגמה של אופרטור הרמיטי שלו פונקציות עצמיות היוצרים בסיס אורתונורמלי. כאשר ההמילטוניאן אינו תלוי מפורשות בזמן, פתרונות כלליים של משוואת שרדינגר הם קומבינציה ליניארית המצבים היציבים מוכפלים באוסילטור (T(t), Ψ ( r , t ) = ∑ k c k φ k ( r ) e − i E k t ℏ {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{\tfrac {-iE_{k}t}{\hbar }}} או, עבור מערכת עם ספקטרום רציף, Ψ ( r , t ) = ∫ d E c E φ E ( r ) e − i E t ℏ {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dEc_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{\tfrac {-iEt}{\hbar }}} ההצלחה של משוואת שרדינגר להסביר את מאפייני הספקטרום של מימן נחשב לאחד ההישגים הגדולים ביותר של הפיזיקה במאה ה-20. במחקר של אותות ומערכות, פונקציה עצמית של מערכת היא אות (f(t, אשר כאשר נקלט למערכת, מייצר תגובה (y(t) = λf(t, כאשר λ הוא ערך עצמי מרוכב סקלרי. התמרת פורייה Courant, R.; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics. ISBN 0471504475 (Volume 1 Paperback), ISBN 0471504394 (Volume 2 Paperback), ISBN 0471179906 (Hardback) Davydov, A. S. (1976). Quantum Mechanics. Translated, edited, and with additions by D. ter Haar (2nd ed.). Oxford: Pergamon Press. ISBN 0080204384. Girod, Bernd; Rabenstein, Rudolf; Stenger, Alexander (2001). Signals and systems (2nd ed.). Wiley. ISBN 0471988006. Kusse, Bruce; Westwig, Erik (1998). Mathematical Physics. New York: Wiley Interscience. ISBN 0471154318. תמונות נוספות (לא GPL) ב אטום בקופסה פונקציה עצמית, באתר MathWorld (באנגלית) Davydov 1976, p. 20. Kusse 1998, p. 435. Wasserman, Eric W. (2016). "Eigenfunction". MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. נבדק ב-12 באפריל 2016. {{cite web}}: (עזרה) Davydov 1976, p. 21. Kusse 1998, p. 437. Kusse 1998, p. 436. Davydov 1976, p. 24. Davydov 1976, p. 29. Davydov 1976, p. 25. Davydov 1976, p. 51. Davydov 1976, p. 52. Girod 2001, p. 49.