חבורת בראואר

באלגברה מופשטת, חבורת בראואר (Brauer group) של שדה נתון היא חבורת אוסף מחלקות האלגברות הפשוטות המרכזיות הסוף ממדיות עם פעולת המכפלה הטנזורית, בה איבר ההופכי הוא (המחלקה של) האלגברה המנוגדת. היא נקראת על שם המתמטיקאי ריכרד בראואר. מטרתה היא לאפיין ולמיין את האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל השדה. אלגברה פשוטה מרכזית (Central simple algebra) מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } היא אלגברה פשוטה סוף ממדית שמרכזה הוא השדה F {\displaystyle \mathbb {F} } . אלגברת חילוק מרכזית (Central division algebra) היא אלגברה פשוטה מרכזית עם חילוק. לפי משפט ודרברן-ארטין, כל אלגברה פשוטה מרכזית סוף-ממדית איזומורפית לאלגברת מטריצות מעל חוג עם חילוק; חוג זה וגם סדר אלגברת המטריצות יחידים עד כדי איזומורפיזם. אלגברת החילוק הזו נקראת האלגברה הבסיסית (היא בבסיס האלגברה המקורית). נאמר ששתי אלגברות פשוטות מרכזיות R 1 , R 2 {\displaystyle {R}_{1},{R}_{2}} הן שקולות בראואר אם לשתיהן אותה אלגברה בסיסית. נסמן זאת R 1 ∼ B r R 2 {\displaystyle {R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}} . בשקילות, R 1 ∼ B r R 2 {\displaystyle {R}_{1}{\sim }_{Br}{R}_{2}} כאשר קיימים n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} כך ש- M n 1 ( R 1 ) ≅ M n 2 ( R 2 {\displaystyle M_{n_{1}}({R}_{1})\cong M_{n_{2}}({R}_{2}} . קל לבדוק שזהו אכן יחס שקילות, ואת המחלקה של אלגברה פשוטה מרכזית R {\displaystyle R} נסמן על ידי [ R ] {\displaystyle [R]} . למשל, מתקיים [ F ] = { M n ( F ) : n ≥ 1 } {\displaystyle [\mathbb {F} ]=\{{M}_{n}(\mathbb {F} ):n\geq 1\}} . חבורת בראואר היא החבורה הבאה: * האיברים הם אוסף מחלקות השקילות כנ"ל. * הפעולה היא [ R 1 ] ⋅ [ R 2 ] = [ R 1 ⊗ R 1 ] {\displaystyle [{R}_{1}]\cdot [{R}_{2}]=[{R}_{1}\otimes {R}_{1}]} , כאשר ⊗ {\displaystyle \otimes } היא המכפלה הטנזורית. * איבר היחידה הוא [ F ] {\displaystyle [\mathbb {F} ]} . * האיבר ההופכי של [ R ] {\displaystyle [R]} הוא [ R o p ] {\displaystyle [{R}^{op}]} , האלגברה המנוגדת. אוסף זה כפי שהוגדר מהווה חבורה קומוטטיבית, הנקראת חבורת בראואר של השדה F {\displaystyle \mathbb {F} } , אותה מסמנים B r ( F ) {\displaystyle Br(\mathbb {F} )} . אם F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה סגור אלגברית, אז B r ( F ) = { [ F ] } {\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}} (חבורה עם איבר אחד). טענה זו נובעת מכך שמעל שדה סגור אלגברית, כל אלגברה עם חילוק היא F {\displaystyle \mathbb {F} } בעצמו, ולכן האלגברות הפשוטות המרכזיות מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } סגור אלגברית הן רק M n ( F ) {\displaystyle {M}_{n}(\mathbb {F} )} . לפי משפט Tsen, אם F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה סגור אלגברית אז B r ( F ( t ) ) {\displaystyle Br(\mathbb {F} (t))} , חבורת בראואר של שדה הפונקציות הרציונליות במשתנה אחד מעליו, טריוויאלית אף היא. במקרה F = R {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } שדה הממשיים, מתקיים B r ( F ) = { [ R ] , [ H ] } {\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {R} ],[\mathbb {H} ]\}} , כאשר H {\displaystyle \mathbb {H} } היא אלגברת הקווטרניונים של המילטון. זה נכון לפי משפט של פרובניוס, הקובע כי אלגברת החילוק היחידה מעל הממשיים היא אלגברת הקווטרניונים . לפי המשפט הקטן של ודרברן, כל חוג סופי עם חילוק הוא שדה. לכן, אם F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה סופי, אז B r ( F ) = { [ F ] } {\displaystyle Br(\mathbb {F} )=\{[\mathbb {F} ]\}} . תהי L / F {\displaystyle \mathbb {L} /\mathbb {F} } הרחבת שדות. ההעתקה B r ( F ) → B r ( L ) {\displaystyle Br(\mathbb {F} )\rightarrow Br(\mathbb {L} )} הנתונה על ידי [ R ] ↦ [ R ⊗ F L ] {\displaystyle [R]\mapsto [R{\otimes }_{\mathbb {F} }\mathbb {L} ]} מוגדרת היטב, ומהווה הומומורפיזם חבורות. העתקה זו מכונה הצמצום (Restriction) ומסומנת r e s L / F {\displaystyle {res}_{\mathbb {L} /\mathbb {F} }} . הגרעין שלה נקרא חבורת בראואר היחסית (relative Brauer group), המסומנת B r ( L / F ) {\displaystyle Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )} . אם [ R ] ∈ B r ( L / F ) {\displaystyle [R]\in Br(\mathbb {L} /\mathbb {F} )} אז R ⊗ L ∼ B r L {\displaystyle R\otimes \mathbb {L} {\sim }_{Br}\mathbb {L} } , ובמקרה זה L {\displaystyle \mathbb {L} } נקרא שדה מפצל של האלגברה R {\displaystyle R} . הסגור האלגברי F ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}} של F {\displaystyle \mathbb {F} } תמיד שדה מפצל של כל F {\displaystyle \mathbb {F} } -אלגברה R {\displaystyle R} , ולכן קיים מספר טבעי n {\displaystyle n} כך ש- R ⊗ F ( F ¯ ) ∼ B r M n ( F ¯ ) {\displaystyle R{\otimes }_{\mathbb {F} }({\overline {\mathbb {F} }}){\sim }_{Br}{M}_{n}({\overline {\mathbb {F} }})} , ולכן ממדו הוא n 2 {\displaystyle {n}^{2}} . המספר n {\displaystyle n} נקרא הדרגה של R {\displaystyle R} , ומסמנים n = d e g ( R ) {\displaystyle n=deg(R)} . האינדקס של R = M t ( D ) {\displaystyle R={M}_{t}(D)} הוא הדרגה של D {\displaystyle D} מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , מסומן i n d ( R ) {\displaystyle ind(R)} , ומתקיים d e g ( R ) = t ⋅ i n d ( R ) {\displaystyle deg(R)=t\cdot ind(R)} . לתת-שדות מקסימליים של האלגברה מקום מרכזי בתאוריה: משפט:שדה L {\displaystyle \mathbb {L} } מפצל את R {\displaystyle R} אם ורק אם L {\displaystyle \mathbb {L} } תת-שדה מקסימלי של איזושהי אלגברה R ′ {\displaystyle R'} השקולה ל- R {\displaystyle R} בחבורה. האקספוננט של אלגברה R {\displaystyle R} הוא הסדר של [ R ] ∈ B r ( F ) {\displaystyle [R]\in Br(\mathbb {F} )} , ומסומן e x p ( R ) {\displaystyle exp(R)} . תמיד מתקיים e x p ( R ) | d e g ( R ) , e x p ( R ) | i n d ( R ) {\displaystyle exp(R)|deg(R),exp(R)|ind(R)} , וכל ראשוני המחלק את i n d ( R ) {\displaystyle ind(R)} מחלק את e x p ( R ) {\displaystyle exp(R)} . בפרט, חבורת בראואר היא חבורה מפותלת, כלומר חבורה בה לכל איבר סדר סופי. לכל מספר m {\displaystyle m} , מגדירים את החבורה B r ( F ) m {\displaystyle {Br(\mathbb {F} )}_{m}} להיות תת-החבורה המכילה את כל האלגברות מאקספוננט המחלק את m {\displaystyle m} . אם g c d ( [ L : F ] , m ) = 1 {\displaystyle gcd([\mathbb {L} :\mathbb {F} ],m)=1} העתקת הצמצמום מ- B r ( F ) m {\displaystyle {Br(\mathbb {F} )}_{m}} ל- B r ( L ) m {\displaystyle {Br(\mathbb {L} )}_{m}} היא שיכון. דרך הגדרה שקולה לחבורת בראואר היא בעזרת חבורת הקוהומולוגיה הראשונה של החבורה הליניארית הכללית הפרויקטיבית - P G L n ( K ) = G L n ( K ) / Z ( G L n ( K ) ) {\displaystyle {PGL}_{n}(\mathbb {K} )={GL}_{n}(\mathbb {K} )/Z({GL}_{n}(\mathbb {K} ))} . תהי K / F {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת שדות עם חבורת גלואה G = G a l ( K / F ) {\displaystyle G=Gal(\mathbb {K} /\mathbb {F} )} . נסמן ב C S A K ( n ) {\displaystyle CSA_{\mathbb {K} }(n)} את ה F {\displaystyle \mathbb {F} } -אלגברות הפשוטות המרכזיות מדרגה n {\displaystyle n} המתפצלות על ידי K {\displaystyle \mathbb {K} } (עד כדי איזומורפיזם). ישנה פעולה C S A K ( m ) × C S A K ( n ) → C S A K ( m n ) {\displaystyle CSA_{\mathbb {K} }(m)\times CSA_{\mathbb {K} }(n)\rightarrow CSA_{\mathbb {K} }(mn)} הנתונה על ידי המכפלה טנזורית, היות ששדה פיצול של שתי אלגברות הוא גם שדה פיצול של המכפלה הטנזורית שלהן. יחס השקילות שקולים בראואר שהוצג לעיל הוא יחס על ⋃ n ∈ N C S A K ( n ) {\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }{{CSA}_{\mathbb {K} }(n)}} , ואוסף מחלקות השקילות הוא בדיוק חבורת בראואר היחסית B r ( K / F ) {\displaystyle Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )} , וחבורת בראואר היא ⋃ K B r ( K / F ) {\displaystyle \bigcup _{\mathbb {K} }{Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )}} , כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה הסופיות. כעת, נצטט את המשפט החשוב הבא: משפט: יש התאמה חד-חד-ערכית: C S A n ( K ) ↔ H 1 ( G , P G L n ( K ) ) {\displaystyle {CSA}_{n}(\mathbb {K} )\leftrightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb {K} ))} . ממשפט זה יחד עם הפעולה C S A K ( m ) × C S A K ( n ) → C S A K ( m n ) {\displaystyle CSA_{\mathbb {K} }(m)\times CSA_{\mathbb {K} }(n)\rightarrow CSA_{\mathbb {K} }(mn)} לעיל, נובע שיש פעולה מתאימה λ m n : C S A K ( n ) × H 1 ( G , P G L m ( K ) ) → H 1 ( G , P G L m n ( K ) ) {\displaystyle {\lambda }_{mn}:{CSA}_{\mathbb {K} }(n)\times {H}^{1}(G,{PGL}_{m}(\mathbb {K} ))\rightarrow {H}^{1}(G,{PGL}_{mn}(\mathbb {K} ))} . משפט: λ m n {\displaystyle {\lambda }_{mn}} חד-חד-ערכיות. כלומר, אפשר לשכן חבורות קוהומולוגיה כנ"ל, ולכן נגדיר H 1 ( G , P G L ∞ ( K ) ) = ⋃ n ∈ N H 1 ( G , P G L n ( K ) ) {\displaystyle {H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{{H}^{1}(G,{PGL}_{n}(\mathbb {K} ))}} (זהו למעשה גבול ישר ביחס להכלה כנ"ל). כעת, נגדיר H 1 ( F , P G L ∞ ) = ⋃ K H 1 ( G , P G L ∞ ( K ) ) {\displaystyle {H}^{1}(\mathbb {F} ,{PGL}_{\infty })=\bigcup _{\mathbb {K} }{{H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))}} , כאשר האיחוד הוא על כל הרחבות הגלואה K {\displaystyle \mathbb {K} } המוכלות בתוך סגור ספרבילי של F {\displaystyle \mathbb {F} } . המשפט המרכזי הוא: משפט: B r ( K / F ) ≅ H 1 ( G , P G L ∞ ( K ) ) {\displaystyle Br(\mathbb {K} /\mathbb {F} )\cong {H}^{1}(G,{PGL}_{\infty }(\mathbb {K} ))} ו- B r ( F ) ≅ H 1 ( F , P G L ∞ ) {\displaystyle Br(\mathbb {F} )\cong {H}^{1}(\mathbb {F} ,{PGL}_{\infty })} . אלגברה פשוטה מרכזית אלגברת אזומיה Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, AMS, 447-461 Central Simple Alge~~~~ and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 29-33 The Brauer group is Torsion, David J. Saltman ,AMS ,1981 חבורת בראואר, באתר MathWorld (באנגלית)