סכום של שני ריבועים

הבעיה של הצגת מספר נתון כסכום של שני ריבועים, כלומר בצורה   a 2 + b 2 {\displaystyle \ a^{2}+b^{2}} , היא מן הבעיות הקלאסיות בתורת המספרים. הבעיה נזכרת בכתבי דיופנטוס, שניסח אותה באופן גאומטרי: בהינתן מספר x, למצוא משולש ישר-זווית בעל צלעות שלמות או רציונליות שאורך היתר שלו הוא x. פרמה טען (ללא הוכחה) שאפשר להציג מספר שלם כסכום של שני ריבועים, אם ורק אם כל גורם ראשוני מהצורה 4m-1 מופיע בחזקה זוגית. תוצאה זו, שאותה חקר והוכיח לאונרד אוילר, נקראת לפעמים משפט שני הריבועים של פרמה. במספר ההצגות הממוצע של מספר כסכום של שני ריבועים מטפלת בעיית המעגל של גאוס. ב- 1225 הציג והוכיח פיבונאצ'י את נוסחת המכפלה   ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) = ( a c ± b d ) 2 + ( a d ∓ b c ) 2 {\displaystyle \ (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac\pm bd)^{2}+(ad\mp bc)^{2}} , שהייתה מוכרת כנראה כבר לדיופנטוס, אף על פי שהלה לא ניסחה במפורש. מן הנוסחה עולה שכדי להציג מספר נתון כסכום של שני ריבועים שלמים, די להציג באופן הזה את גורמיו הראשוניים; אז אפשר להיעזר בנוסחה כדי לקבל הצגות עבור המכפלה. לדוגמה, מן ההצגות   3 2 + 2 2 = 13 {\displaystyle \ 3^{2}+2^{2}=13} ו-   1 2 + 2 2 = 5 {\displaystyle \ 1^{2}+2^{2}=5} , אפשר לקבל את   8 2 + 1 2 = 4 2 + 7 2 = 65 {\displaystyle \ 8^{2}+1^{2}=4^{2}+7^{2}=65} . ב- 1638 הציע פרמה לדקארט להוכיח שלא ניתן להציג מספר מן הצורה   4 k − 1 {\displaystyle \ 4k-1} כסכום של שני ריבועים. כעבור ימים ספורים שלח דקארט את הבעיה ופתרונה למרסן: הריבוע של כל מספר שלם הוא מן הצורה   4 m {\displaystyle \ 4m} או   8 m + 1 {\displaystyle \ 8m+1} . ב-1659 כתב פרמה לפסקל שהוא מצא הוכחה לכך שניתן להציג כל ראשוני מהצורה 4k+1 כסכום של שני ריבועים, בשיטה של נסיגה אינסופית. פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-1670 קובץ הערות על הספר "אריתמטיקה" של דיופנטוס, התייחס גם למשוואה   a 2 + b 2 = n {\displaystyle \ a^{2}+b^{2}=n} . פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם   n = p k {\displaystyle \ n=p^{k}} ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק   ⌊ k + 1 2 ⌋ {\displaystyle \ \left\lfloor {\frac {k+1}{2}}\right\rfloor } פתרונות. בעזרת נוסחת המכפלה, הציג פרמה שיטה למציאת מספרים שיש להם בדיוק m הצגות כסכום של שני ריבועים. ל-Bernard Frénicle de Bessy (אנ') מיוחסת ההבחנה שהצגת מספר כסכום של שני ריבועים בשתי דרכים שונות מאפשרת לפרק אותו לגורמים. למעשה, אם n = a 2 + b 2 = c 2 + d 2 {\displaystyle n=a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2}} הן הצגות שונות של n {\displaystyle n} כסכום של 2 ריבועים, ניתן להגדיר: l = ( a − c gcd ( a − c , d − b ) ) {\displaystyle l=\left({\frac {a-c}{\gcd(a-c,d-b)}}\right)} , m = ( d − b gcd ( a − c , d − b ) ) {\displaystyle m=\left({\frac {d-b}{\gcd(a-c,d-b)}}\right)} ואז l 2 + m 2 {\displaystyle l^{2}+m^{2}} הוא גורם לא טריוויאלי של n {\displaystyle n} . הפונקציה gcd ( a , b ) {\displaystyle \gcd(a,b)} מסמלת את המחלק המשותף המקסימלי של a ושל b. ב- 1747, במכתב לגולדבך, הוכיח לאונרד אוילר שאם a ו- b זרים, אז כל גורם של   a 2 + b 2 {\displaystyle \ a^{2}+b^{2}} ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים. ההוכחה, המתאימה לתיאורו של פרמה על נסיגה אינסופית (ראו להלן), היא הראשונה שעל קיומה יש ראיות ברורות. אוילר עסק בבעיה זו פעמים רבות, ובאחת ההזדמנויות (ספרו "אלגברה", 1770) העיר שאת נוסחת המכפלה אפשר להוכיח באמצעות חישוב הנורמה המרוכבת של המכפלה   ( a + b − 1 ) ( c + d − 1 ) {\displaystyle \ (a+b{\sqrt {-1}})(c+d{\sqrt {-1}})} . היום ידוע שאפשר להוכיח את כל התכונות הרצויות של התבנית   x 2 + y 2 {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}} בעזרת האוקלידיות של חוג השלמים של גאוס,   Z [ − 1 ] {\displaystyle \ \mathbb {Z} [{\sqrt {-1}}]} . מאוחר יותר, אדריאן-מארי לז'נדר (ב-1798) וקרל פרידריך גאוס (ב-1801) סיפקו תוצאות על מספר ההצגות של מספר כסכום של שני ריבועים, בעוד קרל גוסטב יעקב יעקובי נתן ביטוי אלגנטי יותר ב-1829, אותו הוכיח מספר שנים מאוחר יותר (ב-1834) דרך התורה החדשה של טורים אינסופיים של פונקציות אליפטיות. נוכיח שאם p מספר ראשוני השקול ל-1 מודולו 4, אז אפשר להציג אותו כסכום של שני ריבועים. ידוע ש- 1- הוא שארית ריבועית מודולו p, כלומר, קיים x כך ש-   x 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \ x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} . אם נבחר פתרון x כך ש- | x | < p / 2 {\displaystyle |x|<p/2} , מתקבלת הצגה   x 2 + 1 = m p {\displaystyle \ x^{2}+1=mp} כאשר   m = x 2 + 1 p < p / 4 {\displaystyle \ m={\frac {x^{2}+1}{p}}<p/4} . נתבונן בהצגה   x 2 + y 2 = m p {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=mp} שבה x,y אינם מתחלקים ב- p, ונניח ש-   1 < m {\displaystyle \ 1<m} . הפתרון יושג על ידי הוכחה בנסיגה אינסופית. על ידי חילוק עם שארית של x,y ב-m אפשר לכתוב   x = m c + x 1 , y = m d + y 1 {\displaystyle \ x=mc+x_{1},\,y=md+y_{1}} , כאשר   | x 1 | , | y 1 | ≤ m / 2 {\displaystyle \ |x_{1}|,|y_{1}|\leq m/2} . כך יוצא ש-   x 1 2 + y 1 2 ≡ x 2 + y 2 ≡ 0 ( mod m ) {\displaystyle \ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\equiv x^{2}+y^{2}\equiv 0{\pmod {m}}} , ומצד שני   x 1 2 + y 1 2 < m 2 {\displaystyle \ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<m^{2}} . מכאן ש-   x 1 2 + y 1 2 = m m 1 {\displaystyle \ x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=mm_{1}} עבור   1 ≤ m 1 < m {\displaystyle \ 1\leq m_{1}<m} . מנוסחת המכפלה יוצא ש-   m 2 m 1 p = ( m p ) ( m m 1 ) = ( x 2 + y 2 ) ( x 1 2 + y 1 2 ) = ( x x 1 + y y 1 ) 2 + ( x y 1 − x 1 y ) 2 {\displaystyle \ m^{2}m_{1}p=(mp)(mm_{1})=(x^{2}+y^{2})(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})=(xx_{1}+yy_{1})^{2}+(xy_{1}-x_{1}y)^{2}} , אבל שני הגורמים   x x 1 + y y 1 , x y 1 − x 1 y {\displaystyle \ xx_{1}+yy_{1},\,xy_{1}-x_{1}y} מתחלקים ב- m. לאחר שמחלקים את המשוואה ב-   m 2 {\displaystyle \ m^{2}} מתקבלת הצגה של   m 1 p {\displaystyle \ m_{1}p} כסכום של שני ריבועים. דוגמה. נציג את p=89 כסכום של שני ריבועים. פתרון המשוואה   x 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \ x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} הוא   x = ± 34 {\displaystyle \ x=\pm 34} , ואכן   34 2 + 1 = 13 ⋅ 89 {\displaystyle \ 34^{2}+1=13\cdot 89} , כלומר   m = 13 {\displaystyle \ m=13} . ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא   34 2 + 1 2 = 13 ⋅ 89 {\displaystyle \ 34^{2}+1^{2}=13\cdot 89} . נחלק את x=34 ו-y=1 עם שארית ב-m=13, ונקבל   34 = 3 ⋅ 13 + ( − 5 ) {\displaystyle \ 34=3\cdot 13+(-5)} ו-   1 = 0 ⋅ 13 + 1 {\displaystyle \ 1=0\cdot 13+1} , כלומר   x 1 = − 5 , y 1 = 1 {\displaystyle \ x_{1}=-5,y_{1}=1} . אכן,   ( − 5 ) 2 + 1 2 = 2 ⋅ 13 {\displaystyle \ (-5)^{2}+1^{2}=2\cdot 13} , כלומר   m 1 = 2 {\displaystyle \ m_{1}=2} . מנוסחת המכפלה יוצא   ( 13 ⋅ 89 ) ⋅ ( 2 ⋅ 13 ) = ( 34 1 + 1 2 ) ( ( − 5 ) 2 + 1 2 ) = ( − 169 ) 2 + ( 39 ) 2 {\displaystyle \ (13\cdot 89)\cdot (2\cdot 13)=(34^{1}+1^{2})((-5)^{2}+1^{2})=(-169)^{2}+(39)^{2}} , וכשמחלקים ב-   13 2 {\displaystyle \ 13^{2}} מקבלים את ההצגה   13 2 + 3 2 = 2 ⋅ 89 {\displaystyle \ 13^{2}+3^{2}=2\cdot 89} . נחזור לתחילת התהליך, והפעם עם m=2. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא   13 2 + 3 2 = 2 ⋅ 89 {\displaystyle \ 13^{2}+3^{2}=2\cdot 89} . נחלק את x=13 ו-y=3 ב-m=2, ונקבל   13 = 6 ⋅ 2 + 1 {\displaystyle \ 13=6\cdot 2+1} ו-   3 = 1 ⋅ 2 + 1 {\displaystyle \ 3=1\cdot 2+1} , כלומר   x 1 = y 1 = 1 {\displaystyle \ x_{1}=y_{1}=1} . אכן,   1 2 + 1 2 = 1 ⋅ 2 {\displaystyle \ 1^{2}+1^{2}=1\cdot 2} , כלומר   m 1 = 1 {\displaystyle \ m_{1}=1} . מנוסחת המכפלה יוצא   ( 2 ⋅ 89 ) ⋅ ( 1 ⋅ 2 ) = ( 13 1 + 3 2 ) ( 1 2 + 1 2 ) = ( 16 ) 2 + ( 10 ) 2 {\displaystyle \ (2\cdot 89)\cdot (1\cdot 2)=(13^{1}+3^{2})(1^{2}+1^{2})=(16)^{2}+(10)^{2}} , וכשמחלקים ב-   2 2 {\displaystyle \ 2^{2}} מקבלים את ההצגה   8 2 + 5 2 = 89 {\displaystyle \ 8^{2}+5^{2}=89} . גאוס טען, במאמר 182 של מחקרים אריתמטיים שלו, שאם M הוא מספר שנכתב בצורה M = 2 μ S a α b β ⋯ {\displaystyle M=2^{\mu }Sa^{\alpha }b^{\beta }\cdots } , כאשר a , b , . . . {\displaystyle a,b,...} הם גורמים ראשוניים מהצורה 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} , ו-S הוא מכפלת כל הגורמים הראשוניים של M מהצורה 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} (ו-S חייב להיות ריבוע), אזי ישנם: k = 1 2 ( α + 1 ) ( β + 1 ) ⋯ {\displaystyle k={\frac {1}{2}}(\alpha +1)(\beta +1)\cdots } הצגות שונות של M כסכום של שני ריבועים. אם α , β , . . . {\displaystyle \alpha ,\beta ,...} כולם זוגיים אז יש להוסיף 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} לביטוי הנ"ל כדי לקבל את מספר ההצגות. משמעות התוצאה היא שמספר ההצגות תלוי רק במעריכים של הגורמים הראשוניים מהצורה 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} ולא תלוי בכלל בגורמים מהצורה 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} (כלומר אין קשר ל-S), בשונה מהוכחת הקיום של הצגה כסכום של שני ריבועים, שם קיומה של הצגה תלוי בקיומו של שורש ריבועי טבעי ל-S. הסכום   x 2 + y 2 {\displaystyle \ x^{2}+y^{2}} הוא גם הנורמה של המספר המרוכב   x + y i {\displaystyle \ x+yi} כאשר   i = − 1 {\displaystyle \ i={\sqrt {-1}}} . כלומר, כדי להציג את n כסכום של שני ריבועים, עלינו למצוא מספר מרוכב   x + y i {\displaystyle \ x+yi} , בעל מקדמים שלמים, שהנורמה שלו היא n. את הבעיה הזו אפשר לפתור בעזרת התכונות האריתמטיות של חוג השלמים של גאוס,   Z [ i ] {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} , שהוא חוג אוקלידי ולכן תחום פריקות יחידה. את הראשוניים של החוג הזה קל למצוא: לאור ההוכחה לעיל, כל מספר ראשוני טבעי השקול ל-1 מודולו 4 אפשר להציג כנורמה (כלומר לפרק למכפלה של שני גורמים צמודים), ואילו מספר ראשוני טבעי השקול ל-3 מודולו 4 נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. לכן הראשוניים בחוג השלמים של גאוס שייכים לשלוש מחלקות: הראשוני 1+i; הראשוניים הטבעיים השקולים ל-3 מודולו 4; והאיברים x+yi כאשר x^2+y^2 ראשוני השקול ל-1 מודולו 4. כעת, כדי להציג את n כסכום של שני ריבועים, יש לפרק אותו לגורמים מעל חוג השלמים, ואחר-כך מעל חוג השלמים של גאוס. אם גורמי הפירוק מסתדרים בזוגות צמודים זה לזה, מתקבלת הצגה של n כסכום של שני ריבועים. משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' משפט הורוויץ על נוסחאות מכפלה תבנית ריבועית פונקציית סכום הריבועים History of the Theory of Numbers, Vol. II, Chapter IV: sum of two squares; L.E.Dickson, 1920. Intoroduction to the Theory of Numbers, G.H. Hardy & E.M. Wright, Chapter XX, The representation of a number by two or four squares, 1979. סכום של שני ריבועים, באתר MathWorld (באנגלית)