קבוצה מאוזנת

באלגברה ליניארית, קבוצה מאוזנת היא תת-קבוצה של מרחב וקטורי כלשהו מעל שדה הממשיים או שדה המרוכבים אשר סגורה לכפל בסקלר בעל ערך מוחלט קטן מ-1. לקבוצות מאוזנות חשיבות גדולה באנליזה פונקציונלית ובפרט עבור מרחבים וקטוריים טופולוגיים. לעיתים קרובות ניתן לצמצם או להרחיב קבוצה נתונה כלשהי לכדי קבוצה מאוזנת, תוך שימור תכונותיה. בערך זה נסמן ב- V {\displaystyle V} מרחב וקטורי כלשהו. כמו כן, נסמן ב- K {\displaystyle \mathbb {K} } את השדה מעליו פועל V {\displaystyle V} כאשר K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } (שדה הממשיים) או K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } (שדה המרוכבים). לבסוף, עבור A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} , v ∈ V {\displaystyle v\in V} ו- λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } נסמן: A + B := { a + b ∣ a ∈ A , b ∈ B } {\displaystyle A+B:=\{a+b\mid a\in A,b\in B\}} A + v = v + A := { a + v ∣ a ∈ A } {\displaystyle A+v=v+A:=\{a+v\mid a\in A\}} λ A := { λ a ∣ a ∈ A } {\displaystyle \lambda A:=\{\lambda a\mid a\in A\}} קבוצה A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} תקרא קבוצה מאוזנת אם ורק אם לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} ולכל c ∈ K {\displaystyle c\in \mathbb {K} } עבורו | c | ≤ 1 {\displaystyle |c|\leq 1} מתקיים כי c a ∈ A {\displaystyle ca\in A} . במקרה שבו K = R {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {R} } , ההגדרה שקולה לכך ששני התנאים הבאים מתקיימים: A {\displaystyle A} סגורה לכיווץ: לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} ולכל 0 ≤ c ≤ 1 {\displaystyle 0\leq c\leq 1} מתקיים c a ∈ A {\displaystyle ca\in A} A {\displaystyle A} סימטרית: לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} מתקיים כי − a ∈ A {\displaystyle -a\in A} . במקרה שבו K = C {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} } , ההגדרה שקולה לכך ששני התנאים הללו מתקיימים ובנוסף מתקיים התנאי: A {\displaystyle A} סגורה לסיבוב מרוכב: לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} ולכל 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } מתקיים e i θ a ∈ A {\displaystyle e^{i\theta }a\in A} . בעוד שכל קבוצה מאוזנת היא בהכרח סימטרית, ההפך איננו בהכרח נכון. אין להתבלבל בין קבוצה מאוזנת לקבוצה פתוחה או סגורה. למעשה, קבוצות מאוזנות יכולות שלא להיות פתוחות (סגורות) וקבוצות פתוחות (סגורות) יכולות שלא להיות מאוזנות. בהינתן קבוצה A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} כלשהי (לאו דווקא מאוזנת), ניתן להגדיר: Bal ⁡ ( A ) := ⋃ c ∈ K , | c | ≤ 1 c A {\displaystyle \operatorname {Bal} (A):=\bigcup _{c\in \mathbb {K} ,|c|\leq 1}{cA}} Balcore ⁡ ( A ) := ⋂ c ∈ K , | c | ≥ 1 c A {\displaystyle \operatorname {Balcore} (A):=\bigcap _{c\in \mathbb {K} ,|c|\geq 1}{cA}} הקבוצה Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Bal} (A)} נקראת הקליפה המאוזנת של A {\displaystyle A} (balanced hull) והקבוצה Balcore ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Balcore} (A)} נקראת הליבה המאוזנת של A {\displaystyle A} (balanced core). ניתן להוכיח כי Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Bal} (A)} ו- Balcore ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Balcore} (A)} שתיהן קבוצות מאוזנות ומתקיים Balcore ⁡ ( A ) ⊆ A ⊆ Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Balcore} (A)\subseteq A\subseteq \operatorname {Bal} (A)} . כלומר, ניתן להרחיב או לצמצם כל קבוצה על-מנת שתהיה קבוצה מאוזנת. יתרה מכך, Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Bal} (A)} היא הקבוצה המאוזנת המינימלית המכילה את A {\displaystyle A} בעוד Balcore ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Balcore} (A)} היא הקבוצה המאוזנת המקסימלית המוכלת ב- A {\displaystyle A} . ניתן להוכיח כי התנאים הבאים שקולים: A {\displaystyle A} קבוצה מאוזנת A = Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle A=\operatorname {Bal} (A)} A = Balcore ⁡ ( A ) {\displaystyle A=\operatorname {Balcore} (A)} עבור מרחב וקטורי V {\displaystyle V} , V {\displaystyle V} עצמו הוא קבוצה מאוזנת, { 0 } {\displaystyle \{0\}} היא קבוצה מאוזנת (באופן טריוויאלי) וכן הקבוצה הריקה ∅ {\displaystyle \emptyset } היא קבוצה מאוזנת באופן ריק. כל קבוצה מאוזנת ולא ריקה מכילה את הראשית. כלומר, אם ∅ ≠ A ⊆ V {\displaystyle \emptyset \neq A\subseteq V} היא קבוצה מאוזנת אז 0 ∈ A {\displaystyle 0\in A} . אם A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} היא קבוצה מאוזנת ו- 0 ≠ λ ∈ K {\displaystyle 0\neq \lambda \in \mathbb {K} } אז λ A {\displaystyle \lambda A} היא קבוצה מאוזנת. אם A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} היא קבוצה מאוזנת ו- λ ∈ K {\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} } כך ש- | λ | = 1 {\displaystyle |\lambda |=1} , אז בהכרח λ A = A {\displaystyle \lambda A=A} . הדבר נכון בפרט עבור − A {\displaystyle -A} . אם A , B ⊆ V {\displaystyle A,B\subseteq V} שתיהן קבוצות מאוזנות אז הקבוצות A + B {\displaystyle A+B} , A ∪ B {\displaystyle A\cup B} ו- A ∩ B {\displaystyle A\cap B} כולן מאוזנות. בהינתן מרחב נורמי, כל כדור פתוח או סגור סביב הראשית הוא קבוצה מאוזנת. במקרה שבו V {\displaystyle V} הוא מרחב וקטורי טופולוגי ו- A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} קבוצה פתוחה כלשהי, Bal ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Bal} (A)} היא קבוצה פתוחה (נובע מרציפות הכפלה בסקלר). אם לחלופין A ⊆ V {\displaystyle A\subseteq V} היא קבוצה סגורה, אז Balcore ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {Balcore} (A)} היא קבוצה סגורה. קבוצה בולעת קבוצה חסומה קבוצה קומפקטית קבוצה פתוחה קבוצה סגורה קבוצה מאוזנת, באתר MathWorld (באנגלית) קבוצה מאוזנת, באתר MathWorld (באנגלית) Lawrence Narici, Edward Beckenstein, Topological vector spaces, 2. ed, Boca Raton: CRC Press, 2011, Monographs and textbooks in pure and applied mathematics, ISBN 978-1-58488-866-6 יש_בדף_תבנית_MathWorld_טקס