משפט מוררה

משפט מוררה הוא משפט באנליזה מרוכבת הנותן תנאי שימושי וחשוב להוכחת הולומורפיות של פונקציה. המשפט נקרא על שם ג'אצ'ינטו מוררה (אנ'), שהוכיח אותו בשנת 1886. תהי f : D → C {\displaystyle f:D\to \mathbb {C} } פונקציה רציפה על תחום פשוט וקשיר D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } . אם לכל משולש △ {\displaystyle \triangle } המוכל יחד עם פנימו ב- D {\displaystyle D} מתקיים ∮ ∂ △ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint \limits _{\partial \triangle }f(z)dz=0} , אזי f {\displaystyle f} הולומורפית ב- D {\displaystyle D} . ראשית נוכיח שלפונקציה f {\displaystyle f} קיימת פונקציה קדומה ב- D {\displaystyle D} . תהי z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} נקודה בתחום. מכיוון ש- D {\displaystyle D} קבוצה פתוחה, קיים עיגול B ( z 0 , r ) ⊂ D {\displaystyle B(z_{0},r)\subset D} . לכל z ∈ B ( z 0 , r ) {\displaystyle z\in B(z_{0},r)} נגדיר F ( z ) = ∫ [ z 0 , z ] f ( w ) d w {\displaystyle F(z)=\int \limits _{[z_{0},z]}f(w)dw} . יהי △ = [ z 0 , z , z + h , z 0 ] {\displaystyle \triangle =[z_{0},z,z+h,z_{0}]} משולש המוכל בעיגול B ( z 0 , r ) {\displaystyle B(z_{0},r)} (מתקיים בעבור h {\displaystyle h} קטן מספיק כיוון שהעיגול הוא קבוצה פתוחה), מהנתון נובע ∮ ∂ △ f ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint \limits _{\partial \triangle }f(z)dz=0} . נוכל לרשום את השוויון כך: 0 = ∮ ∂ △ f ( z ) d z = ∫ [ z 0 , z ] f ( z ) d z + ∫ [ z , z + h ] f ( z ) d z + ∫ [ z + h , z 0 ] f ( z ) d z {\displaystyle 0=\oint \limits _{\partial \triangle }f(z)dz=\int \limits _{[z_{0},z]}f(z)dz+\int \limits _{[z,z+h]}\!\!\!f(z)dz+\int \limits _{[z+h,z_{0}]}\!\!\!f(z)dz} ולאחר העברת אגפים נקבל ∫ [ z , z + h ] f ( z ) d z = ∫ [ z 0 , z + h ] f ( z ) d z − ∫ [ z 0 , z ] f ( z ) d z {\displaystyle \int \limits _{[z,z+h]}\!\!\!f(z)dz=\int \limits _{[z_{0},z+h]}\!\!\!f(z)dz-\int \limits _{[z_{0},z]}f(z)dz} ולאחר הצבת ההגדרה נקבל את השוויון ∫ [ z , z + h ] f ( w ) d w = F ( z + h ) − F ( z ) {\displaystyle \int \limits _{[z,z+h]}\!\!\!f(w)dw=F(z+h)-F(z)} . כעת, נוכיח שהפונקציה F {\displaystyle F} היא פונקציה קדומה של f {\displaystyle f} . כלומר מתקיים lim h → 0 | F ( z + h ) − F ( z ) h − f ( z ) | = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}\left|{\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}-f(z)\right|=0} . נשתמש בשוויון שהוכחנו קודם ונקבל: | F ( z + h ) − F ( z ) h − f ( z ) | = | 1 h ∫ [ z , z + h ] f ( w ) d w − f ( z ) | = 1 h | ∫ [ z , z + h ] ( f ( w ) − f ( z ) ) d w | ≤ 1 h ∫ [ z , z + h ] | f ( w ) − f ( z ) | d w ≤ 1 h ⋅ h ⋅ sup ζ ∈ ( z , z + h ) | f ( ζ ) − f ( z ) | {\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}-f(z)\right|&=\left|{\frac {1}{h}}\int \limits _{[z,z+h]}f(w)dw-f(z)\right|={\frac {1}{h}}\left|\int \limits _{[z,z+h]}(f(w)-f(z))dw\right|\\\\&\leq {\frac {1}{h}}\int \limits _{[z,z+h]}|f(w)-f(z)|dw\leq {\frac {1}{h}}\cdot h\cdot \sup _{\zeta \in (z,z+h)}|f(\zeta )-f(z)|\end{aligned}}} מרציפות f {\displaystyle f} נקבל שכאשר h {\displaystyle h} שואף לאפס גם הביטוי 1 h ⋅ h ⋅ sup ζ ∈ ( z , z + h ) | f ( ζ ) − f ( z ) | {\displaystyle {\frac {1}{h}}\cdot h\cdot \sup _{\zeta \in (z,z+h)}|f(\zeta )-f(z)|} שואף לאפס, כלומר מתקיים lim h → 0 | F ( z + h ) − F ( z ) h − f ( z ) | = 0 {\displaystyle \lim _{h\to 0}\left|{\frac {F(z+h)-F(z)}{h}}-f(z)\right|=0} , ולכן F {\displaystyle F} פונקציה קדומה של f {\displaystyle f} . ומכיוון ש- F {\displaystyle F} הולומורפית ב- D {\displaystyle D} נובע שגם נגזרתה f {\displaystyle f} הולומורפית ב- D {\displaystyle D} . משפט מוררה ביחד עם משפט פוביני או מבחן M של ויירשטראס יכול לסייע בהוכחת אנליטיות של פונקציות שמוגדרות על ידי סכום או אינטגרל. דוגמה: נוכיח את האנליטיות של פונקציית גמא Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} על ידי כך שנוכיח את השוויון ∮ C Γ ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint \limits _{C}\Gamma (z)dz=0} לכל מסילה סגורה C {\displaystyle C} . מהגדרת פונקציית גמא מתקיים ∮ C Γ ( z ) d z = ∮ C ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x d z {\displaystyle \oint \limits _{C}\Gamma (z)dz=\oint \limits _{C}\int \limits _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx\,dz} . ולאחר שימוש במשפט פוביני כדי להחליף את סדר האינטגרציה נקבל: ∮ C ∫ 0 ∞ x z − 1 e − x d x d z = ∫ 0 ∞ ∮ C x z − 1 e − x d z d x = ∫ 0 ∞ e − x ∮ C x z − 1 d z d x {\displaystyle \oint \limits _{C}\int \limits _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx\,dz=\int \limits _{0}^{\infty }\oint \limits _{C}x^{z-1}e^{-x}dz\,dx=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-x}\oint \limits _{C}x^{z-1}dz\,dx} הפונקציה f ( z ) = x z − 1 {\displaystyle f(z)=x^{z-1}} אנליטית, ולכן מתקיים ∮ C x z − 1 d z = 0 {\displaystyle \oint \limits _{C}x^{z-1}dz=0} (נובע ממשפט קושי-גורסה). כלומר ∮ C Γ ( z ) d z = 0 {\displaystyle \oint \limits _{C}\Gamma (z)dz=0} לכל מסילה סגורה C {\displaystyle C} , ולכן פונקציית גמא אנליטית בכל המישור. פונקציות מרוכבות (כרך ג' יחידות 5–6), האוניברסיטה הפתוחה, 2009 משפט מוררה, באתר MathWorld (באנגלית) משפט מוררה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)