laion/Wikipedia-Exotic huggingface dataset:
אקסטרנשטיינה

אקסטרנשטיינה (בגרמנית: Externsteine) היא שמורת טבע של תצורה סלעית הממוקמת ביער טויטובורג בקרבת העיר דטמולד במדינת נורדריין-וסטפאליה, גרמניה. תצורת הסלע המכונה טור (tor) מתאפיינת בגושי סלע אנכיים, הבוקעים מתוך פני קרקע רכה יחסית בעלת מתאר נוף של גבעות נמוכות ומיוערות. משמעותה של המילה היא ככל הנראה "אבני הרכס" או בדומה לכך. תצורת הסלע הקשה והעמידה לשחיקה נוצרה כתוצאה מריבוד שכבות בתקופת הקרטיקון לפני כ-120 מיליון שנה, בשוליו של ים רדוד אשר כיסה בתקופה זו את שטחה של צפון אירופה. לפני כ-70 מיליון שנה חל "קיפול" של השכבות (המכונה קמט גאולוגי), לצורה אנכית ואשר במשך השנים המשיכה צורתו להתעצב כתוצאה מתהליך של בליה. שמורת אקסטרנשטיינה הממוקמת בליבו של יער טויטבורג, כוללת חמישה עמודי אבן חול אשר הגבוה מביניהם מזדקר לגובה של 37.5 מטרים. גושי הסלע יוצרים חומה באורך כמה מאות מטרים. לאורך השנים חצבו בני אדם בסלע והשפיעו על צורתו באמצעות יצירת מערות, מעברים וקישוטים שונים. מחקרים ארכאולוגיים בסביבת האתר חשפו כלי אבן מן התקופה הפלאוליתית והמזוליתית שתוארכו לתקופה של כ-12,000 שנה לפני זמננו. למרות שכבר בתקופת השבטים הגרמאניים, ועוד בטרם הופעת הנצרות בצפון אירופה, שימש אקסטרנשטיינה כאתר לפעילות דתית, הרי שמחקרים ארכאולוגיים לא העלו ממצאים מתקופות שקדמו למאה ה-11 לפני הספירה. בני השבטים הגרמאנים האחרונים באזור בתקופה שלפני הופעת הנצרות היו הסקסונים אשר הובסו בידי קרל הגדול בשנת 772. ממצאים שונים שאינם חד משמעיים, מורים על קיומו של מנזר שהוקם באתר בשנת 815. כתובת שנמצאה על אחד הסלעים מצביעה על העובדה כי הבישוף של פדרבורן קידש את אחת המערות במקום ככנסייה נוצרית בתחילת המאה ה-12. תבליט אבן גדול מתאר את הורדת ישו מן הצלב ומסמל ככל הנראה את ניצחון הנצרות על האמונה הפגאנית ששלטה באזור עד לתקופה זו. במהלך תקופת השלטון הנאצי הצביע הארכאולוג הגרמני וילהלם טויט (Teudt), בעל הנטייה המיסטית-פולקית על האתר כמקום פולחן של הציוויליזציה הגרמאנית העתיקה, ושבה את ליבו של הימלר בעל השקפת העולם המיסטית, שעסק בחיפוש אינטנסיבי של מקורות העם הגרמני ומורשת האבות הפגאנית שלה. בראש עמוד הסלע הגבוה מוצב מעין מזבח אשר שימש במקורו ככל הנראה לצורכי הקרבת קורבנות. בקיר שמעליו חצוב חור המכוון באופן מדויק למיקום זריחת השמש ביום ההיפוך של תחילת הקיץ. מספר מערות וגומחות קטנות יותר שנחצבו בידי אדם, שימשו ככל הנראה לצרכים פולחניים שונים במהלך השנים בידי המאמינים שפקדו את האתר. במקומות שונים על פני הסלע חרוטות כתובות וסימנים בעלי משמעות דתית פולחנית כאשר הגדול והבולט מכולם הוא כאמור תחריט האבן הגדול של ישו המורד מן הצלב. גם כיום ממשיכות תנועות ניאו פגאניות המאמינות בחיזוק הקשר עם כוחות הטבע, ותנועות גרמניות בעלות מאפיינים לאומניים, לראות באתר אקסטרנשטיינה כמקום כינוס והתוועדות בעל מאפיינים פולחניים ודתיים. מדיה וקבצים בנושא אקסטרנשטיינה בוויקישיתוף
אע'לבים

האע'לבים (בערבית: أغالبة) היו שושלת אמירים מוסלמים ששלטו על ממלכה צפון אפריקאית שהקיפה את שטחי טריפולי, תוניסיה המודרנית ומזרח אלג'יריה (איפריקיה) בשנים 800–909. ממלכת האע'לבים קמה כתוצאה מהתמוטטות שלטונו של בית עבאס בחלקיה המערביים של החליפות המוסלמית. מאמצע המאה ה-8 והלאה החלו לקום בחבלים שונים בצפון אפריקה נסיכויות ח'אריג'יות שונות, שהיו למעשה עצמאיות לחלוטין מהשלטון העבאסי. במקביל, במהלך המאה ה-9, הצליח המנהיג המוסלמי אידריס בן עבדאללה לרכז סביבו ערבים וברברים כדי להקים נסיכות עצמאית באזור מרוקו של ימינו. תגובתו של הח'ליף העבאסי הארון אל רשיד הייתה בהקמתו של מחוז חדש בצפון אפריקה בעל פיקוד עצמאי. מושכות השלטון על מחוז זה, ששטחו כלל את תוניסיה המודרנית ומזרח אלג'יריה, הופקדו בידיו של אבראהים אבן אל-אע'לב. אע'לב ויורשיו שמרו על קשר רשמי עם המזרח והכירו בעבאסים כשליטים החוקיים של העולם המוסלמי, אולם למעשה שלטו בממלכתם בעצמאות גמורה. הממלכה האע'לבית הייתה המדינה המוסלמית החזקה והמשפיעה ביותר במערב במשך כל תקופת קיומה. למרות רצף של מרידות רבות שנערכו בידי השבטים הברברים, בני כיתות דתיות שונות וחלק מהחיילים הערבים, הצליחו השליטים האע'לבים לשמור על שלטונם, לשמר את צביונה הערבי והמוסלמי אורתודוקסי של המדינה ולבסס את חוזקה הצבאי והמדיני. כוחם נשען, בין השאר, על משמר פרטי שהתבסס על ילידי אפריקה. הישג נוסף שרשמו האע'לבים היה כיבושו של האי סיציליה מידי הביזנטים, במסע כיבוש שנמשך בתקופה של כ-50 שנה והקמתה של פרובינציה מוסלמית איתנה על שטח האי, סביב העיר פלרמו. תקופת שלטונם של האע'לבים הייתה תקופה של שגשוג כלכלי ותרבותי בצפון אפריקה. עיר הבירה של הממלכה, קירואן, הפכה לאחד מהמרכזים החשובים והמפוארים של האסלאם במערב ולמרכז בינלאומי גדול של סחר. הארץ עברה גם מהפכה חקלאית כאשר האע'לבים יזמו את בנייתם של מפעלי השקיה רבים ברחבי הארץ, תיקונן של תעלות השקיה ישנות והרחבתם של השטחים החקלאיים בממלכה. התעשייה המקומית פרחה, בעיקר בשל הגדלת השימוש במחצבי הארץ השונים (כגון ברזל, עופרת, אלמוגים ונחושת). הערים השונות התפתחו והוקפו במבצרים, המטבע המקומי התבסס, ושורה של מחנות מבוצרים הוקמו לאורך קו החוף. תרומה חשובה נוספת להתפתחותו של האסלאם בצפון אפריקה תחת שלטונם של האע'לבים היה בביסוס האסכולה המאליכית כאסכולת השריעה הבולטת באזור זה, אסכולה ששולטת בצפון אפריקה עד ימינו. מהלך זה הובל על ידי המשפטן המוסלמי סחנון, מתלמידיו המובהקים של מאלכ אבן אנס, מייסד האסכולה. סחנון ארגן את המערכת המשפטית בממלכה והחדיר את עיקרי האסכולה לכל ארצות המערב המוסלמיות. שלטונם של האע'לבים בצפון אפריקה הופסק על ידי הפאטימים. הללו, בעזרת קשריהם עם שבט כתאמה הברברי, ניצלו את התמרמרות האוכלוסייה המקומית בשל נטל המיסים הכבד שהטילו השליטים האע'לבים והצליחו לכבוש את הארץ מידם של האחרונים. עיר הבירה קירואן נפלה לידי הפאטימים בשנת 909 ובכך תמה תקופת שלטונם של האע'לבים בצפון אפריקה. קלוד כאהן, "האסלאם - מלידתו ועד תחילת האימפריה העות'מאנית", עמ' 276 - 280, תרגום על ידי עמנואל קופלביץ, הוצאת דביר, 1995. היו קנדי, "מחמד והח'ליפות", מוסד ביאליק, 1998. מדיה וקבצים בנושא אע'לבים בוויקישיתוף אע'לבים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
משי זהב

האם התכוונתם ל... יהודה משי זהב (1959–2022) – איש ציבור חרדי ופעיל חברתי ישראלי, ממייסדי ארגון "אשת לפידות" ומייסד ויו"ר ארגון זק"א. מנחם מנדל משי זהב ("מנחם מענדל") (1936–2021) – סופר ועיתונאי חרדי.
סורק תלת ממדי

סורק תלת ממדי הוא מכשיר האוסף מידע מפני השטח על אובייקטים, כגון הצורה, המידות והצבע של האובייקט הסרוק, ומאפשר לאחר מכן ליצור מודלים דיגיטליים תלת־ממדים של אותו האובייקט לשימושים שונים. ישנן טכנולוגיות רבות המשולבות בסורקי תלת הממד השונים. כל טכנולוגיה כרוכה במגבלות, יתרונות ועלויות משלה. ישנם לרוב מגבלות עם סוגים שונים של אובייקטים שלא ניתן לבצע דיגיטציה שלהם; למשל, טכנולוגיות אופטיות לא מאפשרות לרוב לסרוק אובייקטים מבריקים, אובייקטים בהם ישנה השתקפות או אובייקטים שקופים. איסוף נתונים תלת־ממדיים שימושי למגוון רחב של יישומים. המכשירים הללו נמצאים בשימוש נרחב על ידי תעשיית הבידור לצורך הפקה של סרטים ומשחקי וידאו. יישומים נפוצים אחרים של טכנולוגיה זו כוללים עיצוב תעשייתי, יצירת עזרים חיצוניים אורתופדיים לחלקי הגוף השונים, יצירת איברים תותבים, הינדוס לאחור, יצירת דגמי אבטיפוס, בקרת איכות, ולצורך תיעוד של יצירות תרבות. בטכנולוגיה זו נעשה שימוש כדי ליצור מודלים תלת-ממדיים של קתדרלות גותיות על מנת לאפשר, לצד לימוד האדריכלות שלהן וביצוע מדידות מדויקות (כגון גבהים), לבדוק את איכות האדריכלות ולוודא שאין נזקים מבניים ומעמסים לקתדרלות העומדות על תילן כבר מאות שנים. טופולוגיה גרפיקת תלת-ממד הדפסה תלת-ממדית Fausto Bernardini, Holly E. Rushmeier (2002). The 3D Model Acquisition Pipeline. Computer Graphics Forum 21 (2): 149–172 Song Zhang, Daniel van der Weide, and James H. Oliver (2010). Superfast phase-shifting method for 3-D shape measurement. Optics Express: 9684–9689 Marc Levoy, Kari Pulli, Brian Curless, Szymon Rusinkiewicz, David Koller, Lucas Pereira, Matt Ginzton, Sean Anderson, James Davis, Jeremy Ginsberg, Jonathan Shade, Duane Fulk (2000). The Digital Michelangelo Project: 3D Scanning of Large Statues. Proceedings of the 27th annual conference on Computer graphics and interactive techniques. pp. 131–144. ערך זה הוא קצרמר בנושא טכנולוגיה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.
רנה ואן דה קרקהוף

רנייר "רנה" למברטוס ון דה קרקהוף (נולד ב-16 בספטמבר 1951, הלמונד) הוא כדורגלן הולנדי. רנה הוא אחיו התאום של וילי ושניהם יחד היו משחקני המפתח של נבחרת הולנד במונדיאל 1974 ובמונדיאל 1978. רנה הופיע 47 פעמים בנבחרת הולנד וכבש חמישה שערים. ואן דה קרקהוף נבחר על ידי פלה לאחד מ-125 שחקני הכדורגל החיים הטובים בעולם. מדיה וקבצים בנושא רנה ואן דה קרקהוף בוויקישיתוף רנה ואן דה קרקהוף, באתר Transfermarkt רנה ואן דה קרקהוף, באתר WorldFootball.net רנה ואן דה קרקהוף, באתר National Football Teams רנה ואן דה קרקהוף, באתר FootballDatabase.eu ערך זה הוא קצרמר בנושא כדורגלנים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.
איינרו

אילאו (בטטום: Ainaru) היא עיר הבירה והעיר המרכזית במחוז איינרו השייך למדינה מזרח טימור וממוקם בחלקה הדרום־מערבי. העיר ממוקמת 78 ק"מ דרומית לדילי (הבירה הלאומית) ויש בה אוכלוסייה של 15,558 אנשים. בעיר מתגוררות קבוצות אתניות רבות (קתולים, פרוטסטנטים, מוסלמים) בשלום, והמשאבים העיקריים המגודלים בה הם שיחי קפה. במהלך הכיבוש האינדונזי (1975-1999), איינרו היה מרכז השליטה של הצבא האינדונזי (TNI). ולכן בחודשיים שקדמו ל-30 באוגוסט 1999 (תאריך קבלת העצמאות), נכנסו מליציות חמושות ופגעו בבסיס החיילים. כתוצאה מכך סבלה העיר איינרו מהרס כמעט מוחלט ויותר מ-95 אחוזים מבנייניה נהרסו. אוסטרליה באלאראט, אוסטרליה ארצות הברית מדיסון, ויסקונסין, ארצות הברית מחוזות מזרח טימור מדיה וקבצים בנושא איינרו בוויקישיתוף Direcção Nacional de Estatística: 2010 Census Wall Chart (English) Webseite des Außenministeriums Osttimors
וילי ואן דה קרקהוף

וילי ואן דה קרקהוף (בהולנדית: Willy van de Kerkhof; נולד ב-16 בספטמבר 1951) הוא כדורגלן עבר הולנדי. ואן דה קרקהוף נולד בהלמונד. הוא ואחיו התאום, רנה ואן דה קרקהוף, היו משחקני המפתח של נבחרת הולנד במונדיאל 1974 ובמונדיאל 1978. ואן דה קרקהוף הופיע 63 פעמים בנבחרת הולנד וכבש חמישה שערים. הוא נבחר על ידי פלה לאחד מ-125 שחקני הכדורגל החיים הטובים בעולם. מדיה וקבצים בנושא וילי ואן דה קרקהוף בוויקישיתוף וילי ואן דה קרקהוף, באתר Transfermarkt וילי ואן דה קרקהוף, באתר WorldFootball.net וילי ואן דה קרקהוף, באתר National Football Teams וילי ואן דה קרקהוף, באתר FootballDatabase.eu ערך זה הוא קצרמר בנושא כדורגלנים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.
באטלרס

שגיאות פרמטריות בתבנית:חברה מסחרית שימוש בפרמטרים מיושנים [ אנשי מפתח ] באטלרס (Butlers GMBH & Co KG) היא רשת שיווק גרמנית, המשווקת אביזרים לבית, פריטי עיצוב, ריהוט ומתנות המגיעים מגרמניה ומחוץ לה, בכ-150 סניפים. עם מוטו של "Made for your home" (נוצר עבור ביתך), יחד עם הצגת רעיונות עיצוביים שהחברה יוצרת בעצמה, החברה, שבסיסה בקלן, מפעילה גם חנות מקוונת לגרמניה ולאוסטריה. באטלרס נוסדה בעיר נויס (Neuss), מהעסק המשפחתי של וילהלם יוסטן ובניו, בעלי חנות הכלבו יוסטן למטבח ולמשק הבית, שנפתחה בשנת 1829. בשנת 1999, האחים וילהלם ופול יוסטן, יחד עם פרנק הולצאפפל, פתחו בקלן את הסניף הראשון של באטלרס. ב-2005, נוסף לשם תת-הכותרת באטלרס שיווק בע"מ. חנויות ראשונות נפתחו בלונדון, ציריך ווינה. הסניפים בגרמניה, אוסטריה, שווייץ, ספרד ובריטניה מתופעלים עצמאית, הסניפים בהונגריה, אוקראינה ויוון מתופעלים בזכיינות. משנת 2010, באטלרס פועלת בחמש ערים בגרמניה במתכונת של חנות-בתוך-חנות ברשת חנויות הכלבו גלריה קאופהוף. בשיתוף פעולה עם חברת הסטארט-אפ סטיקפוגל מברלין, באטלרס הובילה את השירות האישי Made by you, בסיוע הלקוחות באינטרנט. אתר האינטרנט הרשמי של באטלרס באטלרס, ברשת החברתית פייסבוק באטלרס, ברשת החברתית אינסטגרם באטלרס, ברשת החברתית LinkedIn באטלרס, סרטונים בערוץ היוטיוב
יום רביעי השחור

האם התכוונתם ל... יום רביעי השחור (1954) – 15 בספטמבר 1954 - עיכוב טיסות בחוף המזרחי של ארצות הברית בעקבות עומס בתנועה האווירית. יום רביעי השחור (1992) (אנ') – 16 בספטמבר 1992 – משבר כלכלי בבריטניה בו הממשלה איבדה שליטה על שער השטרלינג ועקב כך פרשה ממנגנון שער החליפין האירופי. יום רביעי של האפר
אסתי ירושלמי

אסתי ירושלמי (נולדה בשנת 1967) היא שחקנית קולנוע וטלוויזיה ומטפלת אלטרנטיבית ישראלית. ירושלמי נולדה בטהראן, בירת איראן. בילדותה למדה בבית ספר מוסלמי עד כיתה ג' ובמהלך המהפכה החומייניסטית אף התגוררה בסמיכות לאוניברסיטת טהראן, שבה החלה המהפכה. ירושלמי עלתה לישראל ב-1981 כשהייתה בת 14, ועברה מיד ללמוד בפנימיית הדסים. לאחר שירותה הצבאי למדה משחק בבית הספר למשחק בית צבי. במהלך שנות ה-90 ירושלמי השתתפה בסדרות הטלוויזיה הישראליות "עניין של זמן", "מרחב ירקון", "זינזאנה", "שלווה", ו"פלורנטין" והשתתפה גם בתפקיד אורח בסדרות "הפוך", ו״כסף קטלני״. כמו כן במהלך עשור זה השתתפה גם במספר סרטי קולנוע וסרטי טלוויזיה – תפקידה הקולנועי הראשון היה בסרט הטלוויזיה "נקודת תצפית". (1990) לאחר מכן היא השתתפה בסרט הקולנוע "רשימת שינדלר" (1993), בסרט הקולנוע "שחור" (1994), בסרט הטלוויזיה "הבחור של שולי" (1997), ובסרט הטלוויזיה "שלום לבן דודי" (2000). בתחילת העשור הראשון של המאה ה-21 ירושלמי לקחה פסק זמן מקריירת המשחק לטובת קריירה בתור מדריכה להתפתחות אישית על פי שיטת גרינברג. בשנת 2004 השתתפה ירושלמי בסדרת הדרמה "אשליות" ששודרה בערוץ 2. בשנת 2009 שיחקה ירושלמי בסדרה "תיבת נח", והשתתפה בתפקיד אורח בסדרה "גירושים נפלאים". בשנת 2010 השתתפה בסרט המדריך למהפכה. בשנת 2012 השתתפה בסרט הקולנוע הישראלי "מעשייה אורבנית". באותה שנה שבה ירושלמי לגלם את דמותה של גלי בסדרת הספין אוף "עניין של זמן". השתתפה בתפקיד הראשי בסרט הקולנוע של חנה אזולאי-הספרי משנת 2013, "אנשים כתומים". בשנת 2020 השתתפה בסדרה "טהרן" בתפקיד ארזו. ניהלה בעבר מערכת יחסים עם הזמר ירמי קפלן. קפלן כתב עליה את השירים "אסתי" ו"מודדת". ירושלמי הייתה נשואה במשך שנתיים. במסגרת נישואים אלו נולד לה בנה היחיד. אסתי ירושלמי, במיזם "אישים" לתיעוד היצירה הישראלית אסתי ירושלמי, במסד הנתונים הקולנועיים IMDb (באנגלית) אסתי ירושלמי, באתר "אידיבי", מאגר הידע העברי לקולנוע ישראלי ועולמי אסתי ירושלמי, ברשת החברתית אינסטגרם אסתי ירושלמי, מדף הספרים של אסתי ירושלמי, באתר nrg‏, 3 ביוני 2008 רועי בהריר, "אתה צריך להבין משהו: אני בחורה דפוקה", באתר nrg‏, 4 באוגוסט 2012 ראיון מצולם עם אסתי ירושלמי בתוכנית "העולם הבוקר" - פורסם בערוץ היוטיוב של רשת ב-5 באוגוסט 2012 רן בוקר, ראיון - אסתי ירושלמי: "עירום הוא סוג של חופש", באתר ynet, 6 במרץ 2013 אסתי ירושלמי, מדף הספרים של אסתי ירושלמי, באתר nrg‏, 3 ביוני 2008 רועי בהריר, "אתה צריך להבין משהו: אני בחורה דפוקה", באתר nrg‏, 4 באוגוסט 2012 ynet, הו, אילנה, באתר ynet, 2 באוגוסט 2001
אקסיומת קבוצת החזקה

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת קבוצת החזקה (אנ') היא אקסיומה במערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF) שמבטיחה את קיום קבוצת החזקה של כל קבוצה. באופן פורמלי: ∀ A ∃ P ∀ z [ z ∈ P ⟺ ∀ w ( w ∈ z ⇒ w ∈ A ) ] {\displaystyle \forall A\,\exists P\,\forall z\,[z\in P\iff \forall w\,(w\in z\Rightarrow w\in A)]} כלומר, לכל קבוצה A, קיימת קבוצה P (קבוצת החזקה) כך שלכל קבוצה z מתקיים: z שייכת ל-P אם ורק אם כל איבר ב-z הוא גם איבר ב-A. אקסיומת קבוצת החזקה הכרחית לבניית המספרים הממשיים, בכל בנייה שנבחר עבורם. למשל, המודל H C = H ( ω 1 ) {\displaystyle HC=H(\omega _{1})} שמורכב מכל הקבוצות שהן בנות מנייה תורשתית, מקיים את כל האקסיומות של ZFC למעט אקסיומת קבוצת החזקה. לפי משפט קנטור מודל זה לא יכול להכיל שום ייצוג של המספרים הממשיים. באופן מפתיע, גם במודל בו הממשיים מוגדרים, התכונות שלהם מושפעות מהיכולת להפעיל את אקסיומת קבוצת החזקה אינסוף פעמים. דוגמה נוספת לשימוש באקסיומת קבוצת החזקה היא בניית המכפלה הקרטזית של זוג קבוצות: עבור זוג קבוצות X,Y, אם נשתמש בהגדרה הסטנדרטית של זוג סדור: ( x , y ) = { { x } , { x , y } } {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}} נקבל ש- X × Y ⊂ P ( P ( X ∪ Y ) ) {\displaystyle X\times Y\subset {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))} . במקרה הזה השימוש באקסיומת קבוצת החזקה אינו הכרחי וניתן להמיר אותו בשימוש באקסיומת ההחלפה ובאקסיומת האיחוד: ניתן על ידי אקסיומת ההחלפה להראות כי הקבוצה X × { y } {\displaystyle X\times \{y\}} קיימת לכל y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} . שימוש נוסף באקסיומת ההחלפה יאפשר לאגד את כל הקבוצות האלו בקבוצה אחת, עליה נפעיל את אקסיומת האיחוד. אקסיומת קבוצת החזקה, באתר MathWorld (באנגלית)
אקסיומת האיחוד

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת האיחוד היא אקסיומה שמבטיחה שאיחוד האיברים של כל קבוצה הוא קבוצה. באופן פורמלי: ∀ A ∃ B ( ∀ x ( ∃ C ∈ A , x ∈ C ) ⟺ x ∈ B ) {\displaystyle \forall A\,\exists B\,(\forall x(\exists C\in A,\,x\in C)\iff x\in B)} העובדה שקיים חיתוך של כל אוסף (לא ריק) של קבוצות נובע מאקסיומת ההפרדה – נבחר איבר E {\displaystyle E} של אוסף הקבוצות A {\displaystyle A} ונקבל: ⋂ C ∈ A C = { x ∈ E : ∀ C ∈ A , x ∈ C } {\displaystyle \bigcap _{C\in A}C=\{x\in E:\forall C\in A,\,x\in C\}} אקסיומת האיחוד היא אקסיומה מקובלת מאוד וכל מערכת אקסיומות סבירה של תורת הקבוצות מכילה אותה או גוררת את נכונותה. אקסיומת האיחוד מאפשרת לאחד כל זוג קבוצות A , B {\displaystyle A,B} . לפי אקסיומת הזוג הלא-סדור { A , B } {\displaystyle \{A,B\}} היא קבוצה. הפעלת אקסיומת האיחוד על הקבוצה הזו תתן את A ∪ B {\displaystyle A\cup B} . אם אנחנו משתמשים בקונבנציה של פון נוימן להגדרת הסודרים (סודרים הן קבוצה שסדורה קווית על ידי יחס השייכות), אז אקסיומת האיחוד, יחד עם האקסיומות שמבטיחות כי כל זוג סודרים ניתן להשוואה, מבטיחה לנו שלכל קבוצת סודרים יש חסם עליון מינימלי – שהוא האיחוד שלהם. מהסיבה הזו, אוסף כל הסודרים אינו קבוצה – אחרת היה סודר מקסימלי, בסתירה לכך שקיים לו עוקב. אקסיומת האיחוד, באתר MathWorld (באנגלית)
תחנת הלוויינים עמק האלה

תחנת לוויינים עמק האלה היא תחנת ממסר לוויינית השוכנת בעמק האלה. התחנה שהייתה הראשונה מסוגה בישראל, הוקמה בשנת 1972 על ידי משרד התקשורת על מנת להעביר שידורי טלוויזיה וטלפון ושימשה כתחנת תקשורת של בזק, לנוכח הקושי להעביר כבלי תקשורת תת-ימיים, ובידודה הפוליטי של ישראל במזרח התיכון, שמנע חיבור קווי תקשורת יבשתיים לשכנותיה. אזור עמק האלה נמצא כמקום הנוח ביותר מבחינה אקלימית לתקשורת לוויינית בשל מיעוט עננות ומשקעים העלולים להפריע לקליטה. ברבות השנים, עם הנחת כבלי תקשורת תת-ימיים חדשים, ועם הקמת תחנות שידור חדשות, איבדה התחנה מחשיבותה כצומת מקומי, ובחודש נובמבר 2008 היא נמכרה תמורת 15 מיליון דולר לחברת אר.אר מדיה. בפברואר 2016, נמכרה אר.אר מדיה, תמורת 242 מיליון דולר, לתאגיד SES, במקור Société Européenne des Satellites – "חברת הלוויינים האירופית" המפעילה רשת של 70 לוויני תקשורת, ומאז תחנת הלוויינים היא בבעלותה. החברה פיתחה את האתר, הכולל כיום כ-120 צלחות לוויין בגדלים ובזויות שונות, והפכה אותו לצומת שידורים גדול המשרת גופי שידור מכל העולם, ברשת המכסה, יחד עם מרכזי שידור קרקעיים בלונדון ובארצות הברית, 95% מהעולם המאוכלס. מיקומה הגאוגרפי של ישראל מספק לה יתרונות חשובים כצומת תקשורת עולמי ומאפשר לה לתקשר עם לוויינים שמכסים את אסיה מצד אחד ואת אירופה, ואף את חלקה המזרחי של אמריקה הצפונית מצד שני. במקום נמצא מרכז שליטה וניטור (NOC), המאויש 24 שעות ביממה באנשי מקצוע שמוודאים ששידורים חיים יועברו ללא תקלות. תחנת הלוויינים במבט מתל שוכה בול דואר שהונפק לרגל הקמת התחנה מדיה וקבצים בנושא תחנת הלוויינים עמק האלה בוויקישיתוף מאיר כהן, ‏"הלו לוין, כאן ישראל!״, בטאון חיל האוויר 85, אוגוסט 1971, באתר הספרייה הדיגיטלית להיסטוריה ומורשת חיל האוויר דוד ריבל על תקשורת לווינית, סרטון באתר יוטיוב (אורך: 1:15:31) - הרצאה על ההיסטוריה של תחנת הלוויינים ארז וולברג, ‏בזק תרשום רווח הון של 50 מיליון שקל לפני מס בעקבות השלמת מכירת הפעילות הלוויינית ל-RR לווינים, באתר גלובס, 4 בנובמבר 2008 עמרי זרחוביץ', אר.אר מדיה, שעובדת עם דיסני ופלייבוי, תימכר ל-SES ב-242 מיליון דולר - 50% מעל שווי השוק, באתר TheMarker‏, 26 בפברואר 2016 שירי חביב ולדהורן, ‏רשמית: אר.אר מדיה נמכרת בפרמיה משמעותית על מחיר השוק, באתר גלובס, 26 בפברואר 2016 אמיתי זיו, קרוב לצלחת // טאצ'דאון בחלל, באתר TheMarker‏, 18 במרץ 2015
אקסיומת ההפרדה

בתורת הקבוצות האקסיומטית, אקסיומת ההפרדה היא סכימת אקסיומות שמבטיחה שכל תת קבוצה ניתנת להגדרה של קבוצה היא גם קבוצה. באופן פורמלי, סכימת האקסיומות מורכבת מאקסיומה אחת עבור כל נוסחה עם פרמטרים בשפה מסדר ראשון של תורת הקבוצות שמבטיחה כי לכל קבוצה A {\displaystyle A} יש קבוצה B {\displaystyle B} שאיבריה הם בדיוק כל איברי A {\displaystyle A} שמקיימים את הנוסחה: ∀ A ∃ B ( ( x ∈ B ) ⟺ ( ( x ∈ A ) ∧ φ ( x , u 1 , … , u n ) ) ) {\displaystyle \forall A\exists B((x\in B)\iff ((x\in A)\land \varphi (x,u_{1},\dots ,u_{n})))} כאשר u i {\displaystyle u_{i}} הוא פרמטר של הנוסחה. כלומר אקסיומת ההפרדה מורכבת מקבוצה רקורסיבית אינסופית של אקסיומות. האינטואיציה מאחורי סכימת האקסיומות היא שמחלקה (כלומר אוסף גדיר של איברים) היא גדולה ולכן לא יכולה להיות מוכלת בקבוצה. אקסיומת ההפרדה נובעת מאקסיומת ההחלפה יחד עם אקסיומת הקבוצה הריקה (ראו שם). למרות זאת יש שכוללים את אקסיומת ההפרדה ברשימת האקסיומות של ZFC משיקולים היסטוריים, או משיקולי נוחות. שיקול נוסף להכללת אקסיומת ההפרדה הוא שבבניות של מודלים של תורת הקבוצות לעיתים אם נגדיר את אקסיומות האחרות באופן רחב (למשל את אקסיומת האיחוד נגדיר רק כקיום קבוצה שמכילה לפחות את האיחוד וכו'), נקבל כי כל האקסיומות למעט אקסיומת ההפרדה נובעות מתכונת אוניברסליות של המודל שנבנה - לכל קבוצה בעולם יש קבוצה במודל שמכילה אותה, ורק הוכחת אקסיומת ההפרדה דורשת עבודה. בתורת הקבוצות הנאיבית, לכל נוסחה שהיא אוסף כל הקבוצות שמקיימות את הנוסחה הוא קבוצה. הגדרה זו מובילה לפרדוקסים רבים, למשל הפרדוקס של ראסל, כיוון שהיא מאפשרת קיום של קבוצות מאוד גדולות (למשל קבוצת כל הקבוצות). אקסיומת ההפרדה (בדומה למקבילתה החזקה יותר - אקסיומת ההחלפה), היא הגבלה של ההגדרה של תורת הקבוצות הנאיבית: אוסף האיברים שמקיים תכונה מסוימת הוא קבוצה רק במקרים בהם הוא כבר מוכל בקבוצה אחרת. באופן הזה אנחנו מונעים את היווצרותן של הקבוצות הפרדוקסליות, אך מאבדים גם את רוב היכולת של בניית האובייקטים שהתאפשרה לפני כן. קבלת אקסיומת ההפרדה במקום האקסיומה הנאיבית היוותה את תחילת הפיתוח של תורת הקבוצות האקסיומטית. למעשה רוב האקסיומות האחרות במערכת ZF נועדו להתמודד עם ההגבלה של אקסיומת ההפרדה. באותו הקשר, אקסיומת ההפרדה יכולה לשמש כדי להוכיח כי אוספים מסוימים אינם קבוצות. כך למשל אוסף כל הקבוצות איננו קבוצה, כי אילו היא הייתה קבוצה הרי שהקבוצה של ראסל (קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן) גם כן הייתה קבוצה לפי אקסיומת ההפרדה.
לירון כרקוקלי

לירון כרקוקלי (נולדה ב-23 בפברואר 1992) היא זמרת, שחקנית ומדבבת ישראלית. לירון כרקוקלי נולדה וגדלה בהוד השרון. כשהייתה בכיתה א' נרשמה ל"שרונית" ברעננה, מקהלה שהשתתפה בקלטות ילדים. בעקבות ההצטרפות למקהלה, כרקוקלי שרה בקלטות עם אמנים כגון נורית הירש, אורנה ומשה דץ. בהתחלה הכמדבבת ולאחר מכן גם שרה. בין השאר השתתפה בהקלטות: "טיף וטף", "פים פם פה", "סבא טוביה", "צופי פרצופי", "פיית הקסם". מאוחר יותר התפרסם DVD משלה שכתבה אירית תמיר בשם "מותק של בייביסיטר". הופיעה בחברות וועדי עובדים המופע הראשון הגדול שעשתה היה פסטיגל 99 בבימויו של חנוך רוזן. היא שרה את "פלפלת". עם ההופעה בפסטיגל פרצה לתודעה והופיעה בתוכנית האירוח של דודו טופז ובתוכניות אירוח נוספות בתור ילדת הפלא הבאה. לאחר פריצתה הופיעה ב"בראבו" זכתה מקום ראשון בתחרות "להיות כוכב". בשנת 2001 הופיעה בפלנובלה של פסטיגל בתפקיד ראשי "אושר". בשנת 2002 התקבלה למחזמר "קטנטנות" (נדיה) ולאחר מכן השתתפה ב"עמי ותמי", "ספר הג'ונגל", "שמלת השבת של חנה'לה" ו"קספר". בגיל 11 השתתפה בתוכנית "יש מצב" בערוץ 1 עם עדן הראל. בגיל 11 החלה ללמוד ריקוד ב"סטודיו לייף" הוד השרון וגם בהופעתיה כיום היא משלבת אלמנטים של היפ הופ וסטריט ג'אז. את אהבתה לנגינה בפסנתר רכשה גם מאמה שהיא פסנתרנית, לירון מלווה את עצמה בפסנתר בשירים שהיא כותבת. כרקוקלי היא בוגרת מגמות מוזיקה, תיאטרון וספרות בתיכון "הדרים" שבהוד השרון. במסגרת הפקות י"ב, המגמות הציגו את המחזה "שחור על גבי לבן" של אפרים קישון. בנובמבר 2013, השתתפה בתוכנית אקס פקטור ישראל יחד עם אחותה טלי, כצמד ששמו כרקוקלי, עד שהודחה ב-25 בדצמבר. בסביבות גיל 12 נרשמה כרקוקלי לסוכנות שחקנים והתחילה ללכת לאודישנים לסדרות וסרטים. התפקיד הראשון והמשמעותי שקיבלה היה בסדרת הילדים והנוער בערוץ הילדים "זומזום" (שנת 2005), בה שיחקה בתפקיד הראשי של "גילי" - נערה סנובית ושמחה. לסדרה היו שתי עונות. בשנת 2009 התקבלה לסדרה "מה שנחוץ לרווק" של עירית לינור (HOT3) סדרה המבוססת על הספר "גאווה ודעה קדומה". היא שיחקה בתפקיד גדול של זוהר שדה - ילדה מתבגרת לאם חד הורית (יעל הדר). זה היה התפקיד הדרמטי הראשון שלה. ב-2011 התקבלה לסדרת הדרמה "בלו נטלי" (Yes) בה שיחקה את מור, הבת של יפתח קליין - נערה מורדת שיוצאת עם בחור בניגוד לרצונם של הוריה. כרקוקלי מדבבת לערוץ הילדים ולערוץ הופ!. בין הסדרות שהשתתפה בהן - "רחוב סומסום", "סי ג'יי הדי ג'יי", "דובוני אכפת לי", "קריפי קריצ'ר", "אי-שרדות", "תותית", "ויפו הכלב המעופף", "חברי הארנב" ועוד. שרה את שיר הבוקר של ערוץ "הופ!" (הוקלט כשהייתה בת 6) ושירים נוספים לערוץ. למדה כתיבה והלחנה אצל אוהד חיטמן. כרקוקלי שירתה בצה"ל בתור מאבטחת מתקנים ועקב בעיות ת"ש הועברה להיות פעילת חינוך בבסיס הקריה. השתחררה בדצמבר 2012. כרקוקלי היא אחותה של הזמרת טלי כרקוקלי. כרקוקלי ניהלה זוגיות עם המנהל האומנותי והמפיק המוזיקלי של הצמד כרקוקלי, סתיו בגר. מדיה וקבצים בנושא לירון כרקוקלי בוויקישיתוף לירון כרקוקלי, סרטונים בערוץ היוטיוב לירון כרקוקלי, במיזם "אישים" לתיעוד היצירה הישראלית לירון כרקוקלי, באתר שירונט אסף נבו, ‏האחיות כרקוקלי: "החלטנו לא למכור את הגוף שלנו", באתר ‏מאקו‏, 16 בנובמבר 2014 יהל כהן, "זו תחרות ובתחרות יש גם קנאה": האחיות כרקוקלי בסינגל, באתר פרוגי, 18 בנובמבר 2014 ערן סויסה, האחיות כרקוקלי: "אין מספיק פרגון נשי בין זמרות", באתר ישראל היום, 20 באוגוסט 2020