טווח (סטטיסטיקה)

בסטטיסטיקה, הטווח של המדגם הוא ההפרש בין הערך הגדול במדגם לערך הקטן. הוא מבוטא באותן יחידות כמו הנתונים. בסטטיסטיקה תיאורית, טווח המדגם הוא גודל המרווח הקטן ביותר המכיל את כל הנתונים ומספק אינדיקציה לפיזור סטטיסטי. עבור n {\displaystyle n} משתנים מקריים X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} נסמן ב- T {\displaystyle T} את הטווח שלהם, שמוגדר ע"י, T = M a x ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) − M i n ( X 1 , X 2 , . . . , X n ) {\displaystyle T=Max(X_{1},X_{2},...,X_{n})-Min(X_{1},X_{2},...,X_{n})} . מאחר שהמקסימום הוא סטטיסטי הסדר ה- n {\displaystyle n} והמינימום הוא סטטיסטי הסדר ה-1 ניתן לכתוב באופן שקול בקצרה, T = X ( n ) − X ( 1 ) {\textstyle T=X_{(n)}-X_{(1)}} . עבור n {\displaystyle n} משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים ושווי התפלגות X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} עם פונקציית התפלגות רציפה בהחלט F ( x ) {\displaystyle F(x)} ופונקציית צפיפות f ( x ) {\displaystyle f(x)} לטווח T {\displaystyle T} , יש את פונקציית ההתפלגות, F T ( t ) = n ∫ − ∞ ∞ f ( x ) [ F ( x + t ) − F ( x ) ] n − 1 d x {\textstyle F_{T}(t)=n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)[F(x+t)-F(x)]^{n-1}{\text{d}}x} . אם נגזור את פונקציית ההתפלגות נקבל את פונקציית הצפיפות, f T ( t ) = n ( n − 1 ) ∫ − ∞ ∞ f ( x ) f ( x + t ) [ F ( x + t ) − F ( x ) ] n − 2 d x {\displaystyle f_{T}(t)=n(n-1)\int _{-\infty }^{\infty }f(x)f(x+t)[F(x+t)-F(x)]^{n-2}\,{\text{d}}x} תוחלת הטווח ניתנת על ידי על ידי E [ T ] = n ∫ − ∞ ∞ x [ F ( x ) n − 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] f ( x ) d x {\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x} . נובע מכך שהטווח הוא ההפרש בין המקסימום (סטטיסטי הסדר ה- n {\displaystyle n} ) לבין המינימום (סטטיסטי הסדר ה-1) ולכן גם התוחלת של הטווח היא ההפרש בין התוחלות של המקסימום והמינימום. E [ T ] = E [ X ( n ) − X ( 1 ) ] = E [ X ( n ) ] − E [ X ( 1 ) ] {\displaystyle E[T]=E[X_{(n)}-X_{(1)}]=E[X_{(n)}]-E[X_{(1)}]} = n ∫ − ∞ ∞ f ( x ) F ( x ) n − 1 d x − n ∫ − ∞ ∞ f ( x ) ( 1 − F ( x ) ) n − 1 d x {\displaystyle =n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)F(x)^{n-1}dx-n\int _{-\infty }^{\infty }f(x)(1-F(x))^{n-1}dx} מכאן התוצאה מתקבלת ממיזוג האנטגרלים. כאשר פונקציית הצפיפות f {\displaystyle f} דועכת מספיק מהר בזנבות ההתפלגות, כלומר מקיימת lim x → ∞ x 2 f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(x)=0} וגם lim x → ∞ x 2 f ( − x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{2}f(-x)=0} , אז מתקיים, E [ T ] = ∫ − ∞ ∞ [ 1 − F ( x ) n − ( 1 − F ( x ) ) n ] d x {\displaystyle E[T]=\int _{-\infty }^{\infty }\left[1-F(x)^{n}-(1-F(x))^{n}\right]{\text{d}}x} הראינו כי E [ T ] = n ∫ − ∞ ∞ x [ F ( x ) n − 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] f ( x ) d x {\displaystyle E[T]=n\int _{-\infty }^{\infty }x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x} מההגדרה של אינטגרל לא אמיתי, = lim u → ∞ n ∫ − u u x [ F ( x ) n − 1 − ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] f ( x ) d x {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n\int _{-u}^{u}x[F(x)^{n-1}-(1-F(x))^{n-1}]\,f(x){\text{d}}x} אינטגרציה בחלקים, = lim u → ∞ [ x [ F ( x ) n + ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] ] − u u − lim u → ∞ ∫ − u u [ F ( x ) n + ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] d x {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}-\lim _{u\rightarrow \infty }\int _{-u}^{u}[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]{\text{d}}x} נראה שהחלק השמאלי של הביטוי מתאפס ואז החלק הימני נותן את התוצאה המבוקשת, lim u → ∞ [ x [ F ( x ) n + ( 1 − F ( x ) ) n − 1 ] ] − u u {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }\left[x[F(x)^{n}+(1-F(x))^{n}-1]\right]_{-u}^{u}} = lim u → ∞ u [ F ( u ) n + ( 1 − F ( u ) ) n − 1 ] + u [ F ( − u ) n + ( 1 − F ( − u ) ) n − 1 ] {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u[F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}-1]+u[F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}-1]} = lim u → ∞ u ( F ( u ) n + ( 1 − F ( u ) ) n + F ( − u ) n + ( 1 − F ( − u ) ) n ) {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }u\left(F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}\right)} = lim u → ∞ F ( u ) n + ( 1 − F ( u ) ) n + F ( − u ) n + ( 1 − F ( − u ) ) n 1 / u {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }{\frac {F(u)^{n}+(1-F(u))^{n}+F(-u)^{n}+(1-F(-u))^{n}}{1/u}}} נפעיל את כלל לופיטל, = lim u → ∞ n f ( u ) [ F ( u ) n − 1 − ( 1 − F ( u ) ) n − 1 ] + f ( − u ) [ F ( − u ) n − 1 − ( 1 − F ( − u ) ) n − 1 ] − 1 / u 2 {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }n{\frac {f(u)\left[F(u)^{n-1}-(1-F(u))^{n-1}\right]+f(-u)\left[F(-u)^{n-1}-(1-F(-u))^{n-1}\right]}{-1/u^{2}}}} על סמך תכונות פונקציית ההתפלגות, lim u → ∞ F ( u ) = 1 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }F(u)=1} ו- lim u → ∞ F ( − u ) = 0 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }F(-u)=0} , ועל סמך הנתון כי lim u → ∞ u 2 f ( u ) = 0 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(u)=0} ו- lim u → ∞ u 2 f ( − u ) = 0 {\displaystyle \lim _{u\rightarrow \infty }u^{2}f(-u)=0} נקבל את התוצאה המבוקשת, = lim u → ∞ n u 2 f ( u ) [ ( 1 − F ( u ) ) n − 1 − F ( u ) n − 1 ] + lim u → ∞ n u 2 f ( − u ) [ ( 1 − F ( − u ) ) n − 1 − F ( − u ) n − 1 ] = 0 {\displaystyle =\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(u)\left[(1-F(u))^{n-1}-F(u)^{n-1}\right]+\lim _{u\rightarrow \infty }nu^{2}f(-u)\left[(1-F(-u))^{n-1}-F(-u)^{n-1}\right]=0} עבור n {\displaystyle n} משתנים אקראיים X 1 , X 2 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}} עם פונקציות התפלגות רציפות בהחלט, F 1 ( x ) , F 2 ( X ) , . . . , F n ( X ) {\displaystyle F_{1}(x),F_{2}(X),...,F_{n}(X)} ופונקציות צפיפות f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , . . . , f n ( x ) {\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),...,f_{n}(x)} , לטווח T {\displaystyle T} יש פונקציית ההתפלגות: F T ( t ) = ∑ i = 1 n ∫ − ∞ ∞ f i ( x ) ∏ j = 1 , j ≠ i n [ F j ( x + t ) − F j ( x ) ] d x {\displaystyle F_{T}(t)=\sum _{i=1}^{n}\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)\prod _{j=1,j\neq i}^{n}[F_{j}(x+t)-F_{j}(x)]\,{\text{d}}x} אם המדגם לקוח מההתפלגות האחידה הבדידה, X 1 , X 2 , . . . , X n ∼ U ( 1 , N ) {\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}\sim U(1,N)} אז P ( T = t ) = { 1 N n − 1 t = 0 ( N − t ) ( [ t + 1 N ] n − 2 [ t N ] n + [ t − 1 N ] n ) t = 1 , 2 , 3 … , N − 1 {\displaystyle P(T=t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt](N-t)\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1\end{cases}}} הטווח הוא צירוף ליניארי של סטטיסטי הסדר, ולכן הוא אומד- L {\displaystyle L} . טווח בין רבעוני טווח, באתר MathWorld (באנגלית)