אקסיטון-פולריטון

בפיזיקה, אקסיטון-פולריטון הוא קוואזי-חלקיק ששייך למשפחת הפולריטונים. האקסיטון-פולריטון מתואר כצימוד חזק בין אקסיטונים (זוג אלקטרון-חור) לבין פוטונים או בין בור פוטנציאל קוונטי לבין פוטון. אחד המקרים הנפוצים ביותר להיווצרות אקסיטון-פולריטון הוא במוליכים למחצה שניתנים לתיאור כסדרה של בורות קוונטים המצומדים לפוטונים. במקרה כזה המערכת ניתנת לתיאור באופן קוונטי מלא. אקסיטון-פולריטונים הם בוזונים ולכן הם יכולים לעבור עיבוי בוז-איינשטיין. הניסוי הראשון שאימת את קיומם של אקסיטון-פולריטונים באופן מלא נערך בשנת 1992 על ידי הפיזיקאי Claude Weisbuch. בניסוי שנערך ניתן היה לראות כי בצימוד חזק בין גל אלקטרומגנטי בהתקן מהוד אופטי לבין אקסיטון נוצרו שני מצבי אנרגיה עצמיים חדשים עם אנרגיות שונות משל הגל האלקטרומגנטי והאקסיטון. בשנת 1998 נצפתה לראשונה לזירה בהתקן של אקסיטון-פולריטונים. ובשנת 2013 הושג לראשונה עיבוי בוז-איינשטיין בטמפרטורת החדר בניסוי בו אקסיטון-פולריטונים עברו עיבוי בתוך פולימרים. בהווה ישנן מאות קבוצות מחקר ברחבי העולם החוקרות את התנהגותם של האקסיטון-פולריטונים ותחום זה נכלל בפיזיקה של חומר מעובה, אופטיקה קוונטית וכימיה פיזיקלית. הפולריטונים הם בוזונים, כמו הפוטונים. הרעיון שפולריטונים עלולים לעבור לזירה כמו כל חלקיק בוזוני הוצע באופן תאורטי בשנת 1996. במקרה כזה מספר רב מאוד של פולריטון-אקסיטונים יהיו במצב היסוד ותווצר פליטה ספונטנית של פוטונים. המודל חוזה שהפוטונים יהיו קוהרנטיים ומונוכרומטים ולכן מדובר בלזירה. רעיון זה תפס את תשומת הלב של מדענים רבים וכבר בשנת 1998 נצפתה לראשונה לזירה במערכת של אקסיטון-פולריטונים המבוססת על מהוד אופטי מיקרוני שעשוי מ GaAs. אקסיטון-פולריטון במיקרו-מהוד אופטי זו מערכת פיזיקלית בוזונית בה ניתן לראות התנהגות קוונטית מלאה בטמפרטורות גבוהות מאוד (מסדר גודל של טמפרטורת החדר), דוגמה למערכת כזו ניתן לראות באיור 2 ו-3. במערכת זו ניתן למדוד עיבוי בוז-איינשטיין ונוזליות על, לזירת פולריטונים (איור 3), היפוך ספינים, פיזורים, אפקט הול קוונטי של ספין ומערבולות קוונטית (באנגלית: Quantised vortices). ניתן לתאר צימוד בין גל אלקטרומגנטי לבין אקסיטון במהוד אופטי באופן קלאסי על ידי מודל של צימוד בין שני אוסילטורים הרמונים. מתקבלת המשוואה הידועה של צימוד בין שני אוסילטורים הרמוניים: ( ω 0 − ω − i γ ) ( ω c − ω − i γ c ) = V 2 {\displaystyle (\omega _{0}-\omega -i\gamma )(\omega _{c}-\omega -i\gamma _{c})=V^{2}} (1) כאשר ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} היא תדירות האקסיטון, γ {\displaystyle \gamma } הוא קבוע הריסון הלא רדיאטיבי של האקסיטון, ω c − i γ c {\displaystyle \omega _{c}-i\gamma _{c}} היא התדירות העצמית של המהוד האופטי ללא צימוד ו V 2 {\displaystyle V^{2}} הוא קבוע הצימוד בין האוסילטורים (בין הגל האלקטרומגנטי לבין האקסיטון). עבור מקרה של רזוננס ω 0 = ω c {\displaystyle \omega _{0}=\omega _{c}} נקבל שהפתרון יהיה: ω = 2 V 2 − ( γ − γ c 2 ) 2 {\displaystyle \omega =2{\sqrt {V^{2}-({\frac {\gamma -\gamma _{c}}{2}})^{2}}}} (2) למשוואה זו שני פתרונות אפשריים. הפתרון הראשון יהיה עבור המקרה בו: V > | ( γ − γ c ) 2 | {\displaystyle V>|{\frac {(\gamma -\gamma _{c})}{2}}|} נקבל כי אנו נמצאים בתחום של צימוד חזק (strong-coupling regime). בתחום זה, ניתן לראות פיצול ברמות האנרגיה (ראה איור 1). שתי רמות האנרגיה החדשות של רואים שייכות לשני סוגי הפולריטון-אקסיטון שמאפיינים את המערכת. הפולריטון העליון (LPB) והפולריטון התחתון (UPB). תוצאה זו אינה מפתיעה היות שהיא קוראת גם כאשר מצמדים בין שני מתנדים הרמוניים מכנים פשוטים, כמו שתי מטוטלות מתמטיות מצומדות. באזור הצימוד החזק זמן החיים האופייני של פולריטון-אקסיטון הוא כ 1ps-5ps. הפתרון השני יהיה עבור המקרה בו: V < | ( γ − γ c ) 2 | {\displaystyle V<|{\frac {(\gamma -\gamma _{c})}{2}}|} נקבל כי עבור פתרון זה אנו נמצאים בתחום של צימוד חלש (weak-coupling regime). בתחום זה, לא ייווצרו אקסיטון-פולריטונים אך ניתן למדוד תופעות פיזיקליות אחרות, כמו שינוי בזמן החיים של האקסיטון שמעידות שאנו אכן נמצאים בתחום זה ועדיין יש אינטראקציה בין השדה האלקטרומגנטי לבין האקסיטון. ניתן להכליל את משוואה (1) לקירוב קוונטי סמי קלאסי עבור התדירויות העצמיות של המערכת ולהביע אותן באמצעות וקטור הגל הדו־ממדי k x y {\displaystyle k_{xy}} ולקבל: ω c = ℏ k x y 2 2 m p {\displaystyle \omega _{c}={\frac {\hbar k_{xy}^{2}}{2m_{p}}}} ω 0 = ℏ k x y 2 2 M e x {\displaystyle \omega _{0}={\frac {\hbar k_{xy}^{2}}{2M_{ex}}}} כאשר M e x {\displaystyle M_{ex}} היא המסה האפקטיבית של האקסיטון ו- m p {\displaystyle m_{p}} היא המסת האפקטיבית של הפוטון. ידוע כי במהוד אופטי אידיאלי: k z = 2 π L c {\displaystyle k_{z}={\frac {2\pi }{L_{c}}}} כאשר L c {\displaystyle L_{c}} הוא רוחב המהוד. לכן ניתן לכתוב את התדירות העצמית כך: ω c = c n c k x y 2 + k z 2 ≈ 2 π c n c L c + ℏ k x y 2 2 m p {\displaystyle \omega _{c}={\frac {c}{n_{c}}}{\sqrt {k_{xy}^{2}+k_{z}^{2}}}\approx {\frac {2\pi c}{n_{c}L_{c}}}+{\frac {\hbar k_{xy}^{2}}{2m_{p}}}} ומכאן נובע המסה האפקטיבית של הפוטון במערכת זו תהיה: m p = h n c c L c {\displaystyle m_{p}={\frac {hn_{c}}{cL_{c}}}} תוצאה זו חשובה כי זו המסה של החלקיק האפקטיבי שנוצר במערכת והיא קטנה בכמה סדרי גודל ממסה אופיינית של אקסיטון במנוחה. ניתן לפתור את הבעיה הפיזיקלית של צימוד אוסילטורים גם באופן קוונטי מלא. ללא קירוב סמי קלאסי, באמצעות מודל ג'יינס קומינגס (JMC). המודל פותר באופן מדויק צימוד בין מערכת קוונטית בעלת שתי רמות, אשר מתוארת על ידי אקסיטון במקרה זה. המצומדת למהוד אופקי קוונטי אידיאלי, אשר מתואר על ידי הפוטון במערכת של צימוד חזק בין אקסיטון לפוטון. המערכת תתואר על ידי ההמילטוניאן הבא: H ^ = H ^ photon + H ^ exciton + H ^ int {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}_{\text{photon}}+{\hat {H}}_{\text{exciton}}+{\hat {H}}_{\text{int}}} כאשר האיברים מוגדרים כך: H ^ photon = ℏ ω c a ^ † a ^ H ^ exciton = ℏ ω a σ ^ z 2 H ^ int = ℏ Ω 2 E ^ S ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{\text{photon}}&=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}\\{\hat {H}}_{\text{exciton}}&=\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\\{\hat {H}}_{\text{int}}&={\frac {\hbar \Omega }{2}}{\hat {E}}{\hat {S}}.\end{aligned}}} עבור הפיתוח של המילטוניאן האינטראקציה H ^ int {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}} נניח כי מדובר במצב של שדה בוזוני עם אופרטור השדה E ^ = a ^ + a ^ † {\displaystyle {\hat {E}}={\hat {a}}+{\hat {a}}^{\dagger }} כאשר a ^ † {\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }} ו- a ^ {\displaystyle {\hat {a}}} הם אופרטורי היצירה וההשמדה הבוזונים. האקסיטון יצומד לשדה הפוטונים באמצעות אופרטור הקיטוב: S ^ = σ ^ + + σ ^ − {\displaystyle {\hat {S}}={\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {\sigma }}_{-}} כאשר האופרטורים σ ^ + = | e ⟩ ⟨ g | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|} ו σ ^ − = | g ⟩ ⟨ e | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|} הם אופרטורי הסולם של האקסיטון. בתמונת האינטראקציה נקבל שההמילטוניאן יראה כך: H 0 = H ^ field + H ^ atom {\displaystyle H_{0}={\hat {H}}_{\text{field}}+{\hat {H}}_{\text{atom}}} H ^ int ( t ) = ℏ Ω 2 ( a ^ σ ^ − e − i ( ω c + ω a ) t + a ^ † σ ^ + e i ( ω c + ω a ) t + a ^ σ ^ + e i ( − ω c + ω a ) t + a ^ † σ ^ − e − i ( − ω c + ω a ) t ) . {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{int}}(t)={\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}e^{i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}e^{-i(-\omega _{c}+\omega _{a})t}\right).} ולפי קירוב הגל המסתובב (Rotating wave approximation) הביטוי המתקבל הוא: H ^ JC = ℏ ω c a ^ † a ^ + ℏ ω a σ ^ z 2 + ℏ Ω 2 ( a ^ σ ^ + + a ^ † σ ^ − ) . {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega _{c}{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{a}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right).} לעיתים נוח להגדיר את ההמילטוניאן של המערכת כשני גדלים: H ^ JC = H ^ I + H ^ I I {\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}={\hat {H}}_{I}+{\hat {H}}_{II}} כאשר H ^ I = ℏ ω c ( a ^ † a ^ + σ ^ z 2 ) H ^ I I = ℏ δ σ ^ z 2 + ℏ Ω 2 ( a ^ σ ^ + + a ^ † σ ^ − ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}_{I}&=\hbar \omega _{c}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}\right)\\{\hat {H}}_{II}&=\hbar \delta {\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+{\frac {\hbar \Omega }{2}}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)\end{aligned}}} ולהגדיר את הגודל δ = ω a − ω c {\displaystyle \delta =\omega _{a}-\omega _{c}} , תדירות ההפרש בין שדה הבוזונים (הפוטונים) לבין תדירות האקסיטונים. נסמן את הפתרונות ב : | n , ± ⟩   {\displaystyle |n,\pm \rangle ~} ונקבל שהפתרון הוא: | n , + ⟩ = cos ⁡ ( α n 2 ) | ψ 1 n ⟩ + sin ⁡ ( α n 2 ) | ψ 2 n ⟩ {\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle } | n , − ⟩ = − sin ⁡ ( α n 2 ) | ψ 1 n ⟩ + cos ⁡ ( α n 2 ) | ψ 2 n ⟩ {\displaystyle |n,-\rangle =-\sin \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{1n}\rangle +\cos \left({\frac {\alpha _{n}}{2}}\right)|\psi _{2n}\rangle } כאשר הזווית α n {\displaystyle \alpha _{n}} מוגדרת כך: α n := tan − 1 ⁡ ( Ω n + 1 δ ) {\displaystyle \alpha _{n}:=\tan ^{-1}\left({\frac {\Omega {\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right)} עבור n מסוים הערכים העצמיים של המערכת (האנרגיות) יהיו: E ± ( n ) = ℏ ω c ( n + 1 2 ) ± 1 2 ℏ Ω n ( δ ) , {\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {1}{2}}\hbar \Omega _{n}(\delta ),} כאשר הגדרנו את תדירות רבי Ω n ( δ ) {\displaystyle \Omega _{n}(\delta )} באופן הבא: Ω n ( δ ) = δ 2 + Ω 2 ( n + 1 ) {\displaystyle \Omega _{n}(\delta )={\sqrt {\delta ^{2}+\Omega ^{2}(n+1)}}} באיור 4 ניתן לראות התפלגות אופיינית של תנע של פולריטון-אקסיטונים. פתרון זה שימושי במיוחד כאשר רוצים לצמד בין אקסיטון לבין שדה הוואקום. מערכת כזאת מורכבת משתי מראות מקוררות במרחק אופייני של מאות ננומטרים (על מנת שאורך הגל של הפוטון יהיה באור נראה) וגלאי אשר סופר פוטונים בודדים, במערכות מסוג זה רעשים סביבתיים של אור מהווים גורם מכשיל ולכן היא מתבצעת בחדר מוחשך. מתוך הפתרון ישנו ניבוי תאורטי כי ייווצרו פולריון-אקסיטונים גם במצב בו האקסיטונים נמצאים במהוד אופטי קוונטי ולא מוקרנים אל תוך ההתקן פוטונים מחוצו לו וכך אכן קורא במציאות. וזו דוגמה לתופעה שלא ניתנת להסברה כלל באמצעות התורה האלקטרומגנטית הקלאסית.  S.I. Pekar, Theory of electromagnetic waves in a crystal with excitons, Journal of Physics and Chemistry of Solids, 5, 11-22 (1958) "Exciton–polariton condensates". NATURE PHYSICS. 31 October 2014. arXiv:1411.6822. Bibcode:2014NatPh..10..803B. doi:10.1038/nphys3143. Exciton-polaritons in microcavities: recent discoveries and perspectives Alexey KavokinTP F * PACS 73.20.Mt, 78.30.Fs, 78.67.-n, 05.30.Rt A. A. Karatsuba, E. A. Karatsuba (2009). "A resummation formula for collapse and revival in the Jaynes–Cummings model". J. Phys. A: Math. Theor. (42): 195304, 16. D. Ellinas and I Smyrnakis, "Asymptotics of a quantum random walk driven by an optical cavity", J. Opt. B 7, S152 (2005). Room-temperature Bose–Einstein condensation of cavity exciton–polaritons in a polymer Nature Materials 13, 247–252 (2014) doi:10.1038/nmat3825 2013 Alexey Kavokin, Exciton-polaritons in microcavities:Recent discoveries and perspectives, Phys. Status Solidi B 247, No. 8, 1898–1906 (2010) / DOI 10.1002/pssb.200983955 E.T. Jaynes, F.W. Cummings (1963), Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser, Proc. IEEE 51 (1): 89–109