עצרת (מתמטיקה)

במתמטיקה, עֲצֶרֶת (באנגלית: Factorial) היא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ־1 ועד למספר נתון. למשל, "4 עצרת" היא המכפלה 4 ! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 {\displaystyle 4!=1\times 2\times 3\times 4=24} . לציון עצרת של n {\displaystyle n} שימש הסימן , אך סימן זה לא היה נוח למדפיסים. בעקבות הצעתו של המתמטיקאי כריסטיאן קראמפ משנת 1808, מקובל לסמן את העצרת בסימן "!", כלומר n ! = 1 × 2 × ⋯ × n {\displaystyle n!=1\times 2\times \cdots \times n} . העצרת היא פעולה אונארית שאותה אפשר להגדיר ברקורסיה לפי הנוסחה n ! = ( n − 1 ) ! ⋅ n {\displaystyle n!=(n-1)!\cdot n} ותנאי ההתחלה 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} . סדרת העצרות של המספרים הטבעיים היא סדרה A000142 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים. יש בדיוק דרך אחת לסדר 0 איברים (היינו, לא לשבץ אף איבר באף מקום), ולכן 0 ! = 1 {\displaystyle 0!=1} . תוצאה זו מתאימה למוסכמה לפיה ערכה של מכפלה ריקה הוא תמיד 1, וכן להגדרת העצרת באינדוקציה ( 1 ! = 1 ⋅ 0 ! {\displaystyle 1!=1\cdot 0!} ). הגדרה זו שימושית גם לנוסחאות שונות בקומבינטוריקה, כגון הנוסחה לבחירת k {\displaystyle k} איברים מתוך n {\displaystyle n} איברים, שעבור k = n {\displaystyle k=n} (כלומר בחירת כל האיברים) מקבלת את הצורה ( n n ) = n ! n ! 0 ! = 1 {\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1} . אפשר לקבל קירוב טוב עבור ערכים גדולים של n ! {\displaystyle n!} בעזרת הפיתוח: ln ⁡ ( n ! ) = ln ⁡ ( ∏ k = 1 n k ) = ∑ k = 1 n ln ⁡ ( k ) ≈ ∫ 1 n ln ⁡ ( x ) d x = n ln ⁡ ( n ) − n + 1 {\displaystyle \ln(n!)=\ln \left(\prod _{k\,=\,1}^{n}k\right)=\sum _{k\,=\,1}^{n}\ln(k)\approx \int \limits _{1}^{n}\ln(x)dx=n\ln(n)-n+1} . הערכה של השגיאה בפיתוח, מובילה לנוסחת סטירלינג: n ! ≈ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}} . ערכיה של הפונקציה נוסקים במהירות רבה ביחס לפונקציות נפוצות אחרות (דוגמת פולינומים ואף פונקציות מעריכיות). נוסחת סטירלינג מראה שעבור n {\displaystyle n} גדול מספיק, מתקיים a n < n ! < n n {\displaystyle a^{n}<n!<n^{n}} לכל a {\displaystyle a} קבוע. העצרת מופיעה בקומבינטוריקה על כל צעד ושעל, משום ש־ n ! {\displaystyle n!} הוא מספר התמורות של n {\displaystyle n} איברים, כלומר מספר הדרכים לסדר n {\displaystyle n} איברים ב־ n {\displaystyle n} מקומות. העצרת מופיעה גם בטור טיילור, משום שהנגזרת ה־ n {\displaystyle n} ־ית של המונום x n {\displaystyle x^{n}} שווה ל־ n ! {\displaystyle n!} . העצרת מופיעה בספר יצירה הקדום (פרק רביעי, משנה י"ב), ובעקבותיו גם במקורות רבים אחרים במיסטיקה היהודית. תפקידה שם הוא לספור את המלים השונות שאפשר להרכיב מאותיות נתונות, תוך שימוש בכל האותיות וללא חזרה, והיא נקראת "בניה" – "שתי אבנים בונות שני בתים, שלוש אבנים בונות שישה בתים, ...". הספר מגיע עד לחישוב של 7 עצרת, ו"מכאן ואילך, צא וחשוב (וחשב), מה שאין העין יכולה לראות, ואין הפה יכולה לדבר, ואין האזן יכולה לשמוע". העצרת מופיעה בהקשרים שונים באנליזה מתמטית. דוגמאות: המספר e מוגדר כסכום של טור טיילור: e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 1 + 1 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 + ⋯ {\displaystyle e=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\cdots } הפונקציה המעריכית e x {\displaystyle e^{x}} מוגדרת: e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} פונקציית גמא היא פונקציה מרוכבת המהווה מעין הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם בהכרח שלמים. הפונקציה מוגדרת על כל המישור המרוכב למעט הנקודות 0 , − 1 , − 2 , ⋯ {\displaystyle 0,-1,-2,\cdots } , לפי האינטגרל Γ ( z + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t {\displaystyle \Gamma (z+1)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}dt} . באמצעות אינטגרציה בחלקים ניתן לראות שהיא מקיימת את הזהות Γ ( z + 1 ) = z ⋅ Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)} . חישוב ישיר מראה כי Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} , ולכן n ! = Γ ( n + 1 ) {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)} לכל n {\displaystyle n} טבעי. עצרת כפולה (באנגלית: Double factorial) היא פונקציה המזכירה את העצרת, אך בה מוכפלים רק ערכים בעלי אותה זוגיות. עבור n {\displaystyle n} שלם ואי-שלילי, מוגדרת העצרת הכפולה n ! ! = ∏ k = 0 m ( n − 2 k ) = n ( n − 2 ) ( n − 4 ) ⋯ {\displaystyle n!!=\prod _{k\,=\,0}^{m}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots } , כאשר m = ⌈ 0.5 n ⌉ − 1 {\displaystyle m=\lceil 0.5n\rceil -1} . במרבית שפות התכנות פונקציה לחישוב עצרת איננה חלק מהשפה, אך קל ליצור אחת כזו, בלולאה המבצעת את פעולות הכפל הנדרשות או כפונקציה רקורסיבית. בכלי עזר לחישוב קיימת פונקציית עצרת. באקסל של מיקרוסופט, וכן ב־calc של אופן אופיס, היא נקראת Fact, קיצור של המונח האנגלי Factorial. בתצוגה המדעית של המחשבון של מערכת ההפעלה Windows מופיע כפתור לחישוב עצרת. הגידול המהיר בערך התוצאה של פונקציית העצרת גורם לכך שבמסגרת המגבלות של החומרה והתוכנה מוגבל חישוב n ! {\displaystyle n!} לערכי n {\displaystyle n} קטנים יחסית. התוצאה הגדולה ביותר שניתן לרשום במילה בת 32 סיביות היא 12 ! {\displaystyle 12!} , ובמילה בת 64 סיביות – 21 ! {\displaystyle 21!} . באקסל ניתן לחשב עד 170 ! {\displaystyle 170!} , שהיא העצרת הגדולה ביותר שקטנה מ־ 2 1024 {\displaystyle 2^{1024}} (מספר בן 1,024 סיביות), בתוכנת המחשבון של מערכת ההפעלה Windows10 (64 סיביות) ניתן לחשב עד 3248 ! ∼ 10 9997 {\displaystyle 3248!\sim 10^{9997}} ). ערכי עצרת גדולים מחושבים בדרך כלל באמצעות נוסחת סטירלינג, הנותנת קירוב של התוצאה. בתורת המספרים ובקומבינטוריקה נחוץ לעיתים חישוב עצרת לערכים גדולים מאוד. לשם כך נדרשת כתיבה של פונקציה מיוחדת, ונוצר צורך בבחירת אלגוריתם יעיל, כדי לקבל תוצאות תוך זמן סביר. נוסחת לז'נדר מספר משולשי – האנלוג החיבורי של n ! {\displaystyle n!} משפט וילסון עצרת מעריכית מקדם בינומי מחשבון לחישוב עצרת תכונות של פונקציית העצרת יפעת אדלר וארי שביב, אפס עצרת ופונקציית גמא, באתר מכון דוידסון, אפריל 2015 עצרת (מתמטיקה), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) עצרת, באתר MathWorld (באנגלית) עצרת, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ספר יצירה, וראה גם ב: Wilson, Robin; Watkins, John J.; Graham, Ronald (2013). Combinatorics: Ancient & Modern. Oxford University Press. p. 111. ISBN 978-0-19-965659-2.