חוק בנפורד

חוק בנפורד, או חוק הספרה הראשונה, הוא כלל היוריסטי ואמפירי אודות ההסתברות של הופעת ספרות בנתונים של אוכלוסיות טבעיות גדולות. החוק נתגלה ב-1881 על ידי המתמטיקאי והאסטרונום סיימון ניוקום. הוא נקרא על שמו של הפיזיקאי פרנק אלפרד בנפורד, שגילה אותו מחדש ב-1938. חוק בנפורד תקף, אמפירית, עבור ערכים המפוזרים על-פני כמה סדרי גודל. הוא חל על אוכלוסיות מגוונות - גובהי בניינים, אורכי כבישים, חשבונות חשמל, מחירי מניות, הוצאות בחברות גדולות ועוד. לפי הגרסה החלשה של החוק, השכיחות של הספרה 1, כספרה המובילה, גבוהה מזו של 2, וכן הלאה, עד לספרה 9 שהיא הנדירה ביותר. לדוגמה, אם רשימת גודלי האוכלוסייה ביישובים בישראל הייתה: 31,000, 48,000, 112,000, 2,500, מהתמקדות בספרות הראשונות בכל מספר - ספרות נמוכות (1 או 2) מופיעות בשכיחות גבוהה יותר מאשר ספרות גבוהות (8 או 9). גם ניוקום וגם בנפורד הגיעו להשערה מתוך בחינת אותה ראיה: ההתבלות הלא-אחידה של הדפים בטבלאות לוגריתמים. בדברים בהם המספרים גדלים באופן יחסי, קל להבין את הסיבה להתפלגות כזו, כדי שיישוב יעבור מ-100 תושבים ל-200, עליו לגדול ב-100%, אך המעבר מ-500 ל-600 דורש צמיחה של 20% בלבד. התפלגות בנפורד נובעת מהנחה שכאשר כותבים את המשתנה בבסיס b, ההסתברות של ספרה מסוימת להופיע אינה תלויה במיקום שלה בתוך המספר. מההנחות האלה נובעת גרסה חזקה של החוק, שלפיה ההסתברות לכך שמספר כלשהו באוכלוסייה יתחיל בספרה   n = 1 , … , 9 {\displaystyle \ n=1,\ldots ,9} ניתנת לחישוב, ושווה ל- P ( n ) = log 10 ⁡ ( 1 + 1 n ) {\displaystyle P(n)=\log _{10}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)} . החוק חל על הספרה הראשונה של המספרים, וכן, במידה פחותה והולכת, גם על שתי הספרות הראשונות, השלוש הראשונות, וכן הלאה. נסמן ב- S {\displaystyle S} את הפונקציה שמחזירה את הספרה המשמעותית המובילה של מספר, ונסמן ב- S {\displaystyle {\mathcal {S}}} את הסיגמא-אלגברה על החלק החיובי של הממשיים, הנוצרת על ידי הפונקציה S. לכל A ∈ S {\displaystyle A\in {\mathcal {S}}} מתקיים 10 A = A {\displaystyle 10A=A} . נוסף על כך, לכל A ∈ S {\displaystyle A\in {\mathcal {S}}} מתקיים ש- a A ∈ S {\displaystyle aA\in {\mathcal {S}}} לכל a > 0 {\displaystyle a>0} , ו- A 1 / n ∈ S {\displaystyle A^{1/n}\in {\mathcal {S}}} לכל n {\displaystyle n} טבעי וחיובי. התפלגות של משתנה מקרי חיובי X היא מטיפוס בנפורד אם Pr ⁡ ( S ( X ) ≤ s ) = log 10 ⁡ ( s + 1 ) {\displaystyle \operatorname {Pr} (S(X)\leq s)=\log _{10}(s+1)} לכל s = 1 , 2 , . . . , 9 {\displaystyle s=1,2,...,9} כל משתנה מקרי ביחס ל- S {\displaystyle {\mathcal {S}}} המקיים את התנאי שלכל a > 0 {\displaystyle a>0} יש ל- S ( a X ) {\displaystyle S(aX)} אותה התפלגות כמו של S ( X ) {\displaystyle S(X)} , הוא מטיפוס בנפורד. אם X,Y משתנים מקריים ביחס ל- S {\displaystyle {\mathcal {S}}} ובלתי תלויים, ואחד מהם הוא מטיפוס בנפורד, אז כך גם המכפלה XY. המכפלה של משתנים בלתי תלויים רבים   X 1 , … , X n {\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}} , בעלי אותה התפלגות רציפה, מתפלגת מטיפוס בנפורד. לדוגמה, משתנה מקרי חיובי X > 0 {\displaystyle X>0} המקיים l o g 10 ( X ) mod 1 ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle log_{10}(X){\bmod {1}}\sim U(0,1)} , הוא מטיפוס בנפורד. התכונה הנ"ל מתקיימת בקירוב אם X {\displaystyle X} מתפלג לוג-נורמלי או לוג-יוניפורמי עם סטיית תקן σ ≫ 1 {\displaystyle \sigma \gg 1} . התפלגות לוג-נורמלית מופיעה בצורה טבעית במקרים רבים כאשר יש הצטברות כפלית של גורמים. לדוגמה - מחירי מנייות, גודל אוכלוסייה, מספר הנדבקים במגפה וכו'. ניתן להשתמש בחוק בנפורד לצורך זיהוי הונאה באוכלוסיות מספרים שהחוק חל עליהן. לדוגמה, כדי לבצע בדיקת אמינות של דיווחי מס. בדומה, כדי לבדוק האם תוצאות הבחירות 2009 באיראן זויפו או לא, נבדקה התאמתן לצפי מחוק בנפורד. במחלת נגיף קורונה 2019 חוקרים השתמשו בחוק כדי לזהות מדינות שזייפו נתוני תחלואה ותמותה. בימים שלאחר בחירות 2020 לנשיאות ארצות הברית עלו טענות שחוק בנפורד מאותת על כך שייתכן ובוצעו שינויים, טעויות או זיופים בתוצאות הבחירות. חוק זיף מדיה וקבצים בנושא חוק בנפורד בוויקישיתוף חוק בנפורד, באתר MathWorld (באנגלית) רן לוי, על שקרים, שקרים מתועבים וסטטיסטיקה, חלק ב', במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 28 ביולי 2012 חוק בנפורד ומלחמה בהונאות, באתר מדע גדול, בקטנה What is Beford's Law, Notices of the AMS, 64(2), פברואר 2017. Arno Berger and Theodore P. Hill . An Introduction to Benford's Law. Princeton University Press; 1st edition, 2015 חוק בנפורד ומלחמה בהונאות, באתר מדע גדול, בקטנה Theodore Hill, Base-Invariance Implies Benford's law, Proc AMS, 123(3), 1995 בניסוח שקול, ההתפלגות של log 10 ⁡ S ( X ) {\displaystyle \log _{10}S(X)} "חלקה במדרגות" 0 , log 10 ⁡ 2 , log 10 ⁡ 3 , … , log 10 ⁡ 9 {\displaystyle 0,\log _{10}2,\log _{10}3,\dots ,\log _{10}9} . Does the Iranian election stand up to statistics?, מגזין פלוס (באנגלית) National COVID numbers — Benford’s law looks for errors Malcolm Sambridge & Andrew Jackson, 26 May 2020, Nature כלל בנפורד: האינדיקטור שהראה זיופים בבחירות באיראן ומראה, לכאורה, זיופים למען ביידן, באתר רוטר, ‏08.11.20