כלל לופיטל

בחשבון אינפיניטסימלי, כלל לוֹפּיטָל (L'Hôpital) הוא כלל המסייע בחישוב גבולות שצורתם אינה מוגדרת, כגון גבולות מהצורה ∞ ∞ {\displaystyle \textstyle {\frac {\infty }{\infty }}} או 0 0 {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} , באמצעות גזירה, שמעבירה את הגבולות לצורה מוגדרת היטב. הכלל מאפשר להחליף את המונה והמכנה בנגזרת שלהם, פעולה העשויה לפשט את חישוב הגבול באופן משמעותי. טרנספורמציות שגרתיות מאפשרות לטפל בעזרת הכלל גם בגבול שבו יש מכפלה מהצורה   0 ⋅ ∞ {\displaystyle \ 0\cdot \infty } או חזקה מהצורה   1 ∞ {\displaystyle \ 1^{\infty }} או   ∞ 0 {\displaystyle \ \infty ^{0}} . כלל לופיטל התגלה על ידי יוהאן ברנולי, אולם תלמידו, המרקיז דה לופיטל, היה הראשון שפרסם אותו בספר. נניח כי f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} ו- g ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)} הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או   ± ∞ {\displaystyle \ \pm \infty } ), וש- lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0} . אם הגבול L = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} קיים, אז גם הגבול lim x → a f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}} קיים, ושווה ל L {\displaystyle L} . לכל 0 < ε {\displaystyle 0<\varepsilon } קיים 0 < δ {\displaystyle 0<\delta } כך שלכל x {\displaystyle x} המקיים 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים L − ε < f ′ ( x ) g ′ ( x ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon } ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי L − ε < f ( x 1 ) − f ( x 2 ) g ( x 1 ) − g ( x 2 ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}<L+\varepsilon } לכל x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} המקיימים | x 1 − a | < δ , | x 2 − a | < δ {\displaystyle |x_{1}-a|<\delta \,\,\,,|x_{2}-a|<\delta } . אם נשאיר את x 1 {\displaystyle x_{1}} קבוע ואת x 2 {\displaystyle x_{2}} נשאיף ל a {\displaystyle a} נקבל L − ε ≤ lim x 2 → a f ( x 1 ) − f ( x 2 ) g ( x 1 ) − g ( x 2 ) = f ( x 1 ) g ( x 1 ) ≤ L + ε {\displaystyle L-\varepsilon \leq \lim _{x_{2}\to a}{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}={\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}\leq L+\varepsilon } כלומר, L − ε < f ( x 1 ) g ( x 1 ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}<L+\varepsilon } כאשר | x 1 − a | < δ {\displaystyle |x_{1}-a|<\delta } . לכן, lim x → a f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L} . מש"ל. נניח כי f ( x ) {\displaystyle f\left(x\right)} ו- g ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)} הן שתי פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של נקודה a (ממשית, או   ± ∞ {\displaystyle \ \pm \infty } ), וש- lim x → a f ( x ) = ± ∞ , lim x → a g ( x ) = ± ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\pm \infty ,\lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty } . אם הגבול L = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \,L=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} קיים, אז גם הגבול lim x → a f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}} קיים, ושווה ל L {\displaystyle L} . לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל x {\displaystyle x} המקיים 0 < | x − a | < δ {\displaystyle 0<|x-a|<\delta } מתקיים L − ε < f ′ ( x ) g ′ ( x ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f'(x)}{g'(x)}}<L+\varepsilon } ולכן, לפי משפט הערך הממוצע של קושי מתקיים L − ε < f ( x 1 ) − f ( x 2 ) g ( x 1 ) − g ( x 2 ) < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}<L+\varepsilon } לכל x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} המקיימים 0 < | x 1 − a | < δ , 0 < | x 2 − a | < δ {\displaystyle 0<|x_{1}-a|<\delta \,\,\,,0<|x_{2}-a|<\delta } . נגדיר β ( x 1 , x 2 ) = g ( x 1 ) g ( x 1 ) − g ( x 2 ) ⋅ f ( x 1 ) − f ( x 2 ) f ( x 1 ) {\displaystyle \beta (x_{1},x_{2})={\frac {g(x_{1})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}\cdot {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{f(x_{1})}}} נשים לב ש β ( x 1 , x 2 ) ⋅ f ( x 1 ) g ( x 1 ) = f ( x 1 ) − f ( x 2 ) g ( x 1 ) − g ( x 2 ) {\displaystyle \beta (x_{1},x_{2})\cdot {\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}={\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{g(x_{1})-g(x_{2})}}} נשים לב שאם נשאיר את x 2 {\displaystyle x_{2}} קבוע ואם יהיה x 1 → a {\displaystyle x_{1}\rightarrow a} נקבל lim x 1 → a β ( x 1 , x 2 ) = 1 {\displaystyle \lim _{x_{1}\to a}\beta (x_{1},x_{2})=1} . מכאן קל להוכיח שעבור x 2 {\displaystyle x_{2}} קבוע המקיים 0 < | x 2 − a | < δ {\displaystyle 0<|x_{2}-a|<\delta } קיים δ > δ 1 {\displaystyle \delta >\delta _{1}} כך שלכל x 1 {\displaystyle x_{1}} כך ש 0 < | x 1 − a | < δ 1 {\displaystyle 0<|x_{1}-a|<\delta _{1}} מתקיים β ( x 1 , x 2 ) > 0 {\displaystyle \beta (x_{1},x_{2})>0} וכן, L − 2 ε < L − ε β ( x 1 , x 2 ) < f ( x 1 ) g ( x 1 ) < L + ε β ( x 1 , x 2 ) < L + 2 ε {\displaystyle L-2\varepsilon <{\frac {L-\varepsilon }{\beta (x_{1},x_{2})}}<{\frac {f(x_{1})}{g(x_{1})}}<{\frac {L+\varepsilon }{\beta (x_{1},x_{2})}}<L+2\varepsilon } לכן, lim x → a f ( x ) g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L} בעזרת הכלל ניתן לחשב גם גבולות מהצורה 0 ⋅ ∞ , 1 ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty ,1^{\infty }} : נניח כי   f ( x ) → 0 , g ( x ) → ∞ {\displaystyle \ f(x)\rightarrow 0,g(x)\rightarrow \infty } ואנו רוצים לחשב את lim x → a f ( x ) ⋅ g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)\cdot g(x)} אז f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x ) 1 g ( x ) → 0 0 , f ( x ) ⋅ g ( x ) = g ( x ) 1 f ( x ) → ∞ ∞ {\displaystyle f(x)\cdot g(x)={\frac {f(x)}{\frac {1}{g(x)}}}\rightarrow {\frac {0}{0}},f(x)\cdot g(x)={\frac {g(x)}{\frac {1}{f(x)}}}\rightarrow {\frac {\infty }{\infty }}} וניתן להשתמש על ביטויים אלו בכלל לופיטל. נניח כי   f ( x ) → 1 , g ( x ) → ∞ {\displaystyle \ f(x)\rightarrow 1,g(x)\rightarrow \infty } ואנו רוצים לחשב את lim x → a f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}} . אז מתקיים: lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a exp ⁡ ( ln ⁡ ( f ( x ) g ( x ) ) ) = exp ⁡ ( lim x → a g ( x ) ln ⁡ f ( x ) ) {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to a}\exp {\left(\ln(f(x)^{g(x)})\right)}=\exp {\left(\lim _{x\to a}g(x)\ln {f(x)}\right)}} וכעת יש במעריך גבול מהצורה 0 ⋅ ∞ {\displaystyle 0\cdot \infty } שבו כבר יודעים לטפל. לכל n טבעי, נחשב את הגבול x n {\displaystyle x^{n}} חלקי e x {\displaystyle e^{x}} כאשר x {\displaystyle x} שואף לאינסוף. זהו גבול של אינסוף חלקי אינסוף ולכן נחשבו באמצעות הפעלה חוזרת של כלל לופיטל נקבל:   lim x → ∞ x n e x = lim x → ∞ n x n − 1 e x = ⋯ = lim x → ∞ n ! e x = 0 {\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=\cdots =\lim _{x\to \infty }{\frac {n!}{e^{x}}}=0} זאת כי   ( e x ) ′ = e x {\displaystyle \ \left(e^{x}\right)'=e^{x}} והאקספוננט שואף לאינסוף כאשר x שואף לאינסוף. דוגמה נוספת:   lim x → 1 ( x − 1 ) 2 ln ⁡ x = lim x → 1 2 ( x − 1 ) 1 / x = 0 {\displaystyle \ \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)^{2}}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {2(x-1)}{1/x}}=0} זאת כי   ( ln ⁡ x ) ′ = 1 / x {\displaystyle \ \left(\ln x\right)'=1/x} . דוגמה נוספת:   lim x → 1 ( x − 1 ) ln ⁡ x = lim x → 1 1 1 / x = 1 {\displaystyle \ \lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{\ln x}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{1/x}}=1} בכך הוכחנו שעבור מספרים   u << 1 {\displaystyle \ u<<1} מתקיים   ln ⁡ ( 1 + u ) ≈ u {\displaystyle \ \ln(1+u)\approx u} . השימוש בכלל לופיטל לא תמיד מצליח לפשט את הביטוי הנתון, למשל בדוגמה שלהלן:   lim x → ∞ e ln ⁡ x x {\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}} מאחר ש e ln ⁡ x = x {\displaystyle e^{\ln {x}}=x} אזי ברור שהגבול שווה ל-1. אבל מאחר ש:   ( e ln ⁡ x ) ′ = e ln ⁡ x / x {\displaystyle \ \left(e^{\ln x}\right)'=e^{\ln x}/x} ו   ( x ) ′ = 1 {\displaystyle \ (x)'=1} אם נשתמש בכלל לופיטל נקבל (בגלל רציפות פונקציית האקספוננט) ש:   lim x → ∞ e ln ⁡ x x = lim x → ∞ e ln ⁡ x / x 1 = lim x → ∞ e ln ⁡ x x {\displaystyle \ \lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}/x}{1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{\ln x}}{x}}} כלומר, כלל לופיטל מחזיר אותנו לאותו גבול שהתחלנו איתו ולכן הוא לא עוזר לחשב גבול זה. יש להיזהר מהוכחות מעגליות. למשל, לעיתים קרובות נוטים לחשב את הגבול   lim x → 0 sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle \ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}} בעזרת כלל לופיטל. מכיוון שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס, מתקבל:   lim x → 0 sin ⁡ ( x ) x = lim x → 0 cos ⁡ ( x ) 1 = 1 {\displaystyle \ \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos(x)}{1}}=1} אולם, מכיוון שמקובל להוכיח שהנגזרת של סינוס היא קוסינוס בעזרת שימוש בגבול של sin(x)/x, מתקבלת הוכחה מעגלית. ניתן לפתור בעיה זו אם מגדירים את פונקציות הסינוס והקוסינוס בעזרת טורי מקלורין (טורי טיילור בנקודה 0), ומוכיחים את נכונות הנגזרות באמצעות גזירת הטורים. גבול (מתמטיקה) נגזרת משפט שטולץ מדיה וקבצים בנושא כלל לופיטל בוויקישיתוף הוכחה לכלל לופיטל באתר Planet Math (באנגלית) כלל לופיטל, באתר MathWorld (באנגלית)