תשואה לגודל

בכלכלה, תשואה לגודל הוא מונח המשמש להשוואה בין שיעור הגידול בתפוקת הייצור של הפירמה, לבין שיעור הגידול בתשומות (בכמויות גורמי הייצור). אם בהינתן הגדלה בכמות כל אחת מהתשומות בשיעור של %‏X, שיעור הגידול בתפוקה גבוה מ-%‏X, נאמר שלפירמה יש תשואה עולה לגודל. אם שיעור הגידול בתפוקה שווה בדיוק ל-%‏X, נאמר שלפירמה יש תשואה קבועה לגודל, ואם שיעור הגידול בתפוקה קטן מ-%‏X, נאמר שיש לה תשואה יורדת לגודל. לדוגמה: אם חברה העוסקת בייצור נייר, ומשתמשת לשם כך בחשמל ובעץ בלבד (אלו הן התשומות היחידות שלה), יכולה להגדיל את תפוקתה פי 2.5 על ידי הגדלת כמות החשמל פי 2 וכמות העץ פי 2 - היא מקיימת תשואה עולה לגודל (כי 2.5 > 2). אם הגדלת כמויות החשמל והעץ פי 2 תגרום לתפוקה לגדול רק פי 1.5, אז היא מקיימת תשואה יורדת לגודל, ואם התפוקה תגדל בדיוק פי 2 - החברה מקיימת תשואה קבועה לגודל. פירמה מסוימת יכולה לקיים תכונות שונות עבור רמות ייצור או עבור כמויות שונות של תשומות; היא יכולה לקיים תשואה עולה לגודל עבור רמות ייצור מסוימות, תשואה יורדת עבור רמות ייצור אחרות, ותשואה קבועה עבור רמות ייצור אחרות. פירמה מייצרת באמצעות שתי תשומות: א ו-ב. הטבלה הבאה מסכמת את הכמות שהפירמה יכולה לייצר בהינתן שילובים שונים של כמויות של שתי התשומות: במעבר מהאפשרות של 1 מכל אחת משתי התשומות לאפשרות של 2 מכל אחת מהן, מתקיימת תשואה עולה לגודל - הכמות מכל אחת מהתשומות גדלה פי 2 (מ-1 ל-2), בעוד התפוקה גדלה פי 3 (מ-1 ל-3). לעומת זאת, במעבר מהאפשרות של 2 מכל אחת משתי התשומות לאפשרות של 3 מכל אחת מהן, מתקיימת תשואה יורדת לגודל - הכמות של כל אחת מהתשומות גדלה פי 1.5 (3/2), בעוד התפוקה גדלה רק פי 1.333 (4/3). יש לציין שגם אם נניח שמחירי שתי התשומות הם זהים - כך שהפירמה יכלה באותה עלות (כמו של 3 יחידות מכל תשומה) לרכוש יחידת א אחת ו-5 יחידות ב ולהשיג תפוקה של 6 (במקום של 4), עדיין זה לא היה משפיע על התשואה לגודל, כי זו אינה תלויה כלל במחירי התשומות. נניח שפונקציית הייצור של הפירמה היא: F ( x , y ) = x a y b {\displaystyle F(x,y)=x^{a}y^{b}} כש-a ו-b מספרים חיוביים כלשהם (פונקציית ייצור מטיפוס קוב דאגלס (אנ')). הגדלת כמות כל אחת מהתשומות פי k {\displaystyle k} תגרום לתפוקה לגדול פי k ( a + b ) {\displaystyle k^{(a+b)}} . לכן: אם a + b > 1 {\displaystyle a+b>1} , פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל בכל תחום הגדרתה; אם a + b < 1 {\displaystyle a+b<1} , פונקציית הייצור מקיימת תשואה יורדת לגודל בכל תחום הגדרתה; ואם a + b = 1 {\displaystyle a+b=1} , פונקציית הייצור מקיימת תשואה קבועה לגודל בכל תחום הגדרתה. בחלק זה נניח שפונקציית הייצור של פירמה נתונה על ידי: F ( X , Y ) {\displaystyle F(X,Y)} , כלומר בהנחה של פונקציית ייצור עם שני משתנים (שתי תשומות), שני תשומות הנפוצות (לפחות בספרי הלימוד) הן כוח אדם L {\displaystyle L} והון K {\displaystyle K} ולכן נפוץ לראות את הפונקציה כ F ( K , L ) {\displaystyle F(K,L)} ניתן באופן דומה להכליל את הנוסחאות וההגדרות עבור פונקציות ייצור עם מספר רב יותר של משתנים: F ( X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , . . . ) {\displaystyle F(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4},X_{5},...)} . פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל בכל תחום הגדרתה, אם F ( k X , k Y ) > k F ( X , Y ) {\displaystyle F(kX,kY)>kF(X,Y)} - לכל k {\displaystyle k} גדול מ-1 ולכל X , Y {\displaystyle X,Y} בתחום הגדרתה. פונקציית הייצור מקיימת תשואה יורדת לגודל בכל תחום הגדרתה, אם F ( k X , k Y ) < k F ( X , Y ) {\displaystyle F(kX,kY)<kF(X,Y)} - לכל k {\displaystyle k} גדול מ-1 ולכל X , Y {\displaystyle X,Y} בתחום הגדרתה. פונקציית הייצור מקיימת תשואה קבועה לגודל בכל תחום הגדרתה, אם F ( k X , k Y ) = k F ( X , Y ) {\displaystyle F(kX,kY)=kF(X,Y)} - לכל k {\displaystyle k} חיובי ולכל X , Y {\displaystyle X,Y} בתחום הגדרתה. בהתייחס לנקודה מסוימת ( X 0 , Y 0 {\displaystyle X_{0},Y_{0}} מסוימים): נגדיר תחילה פונקציה: Q ( k ) = F ( k X 0 , k Y 0 ) {\displaystyle Q(k)=F(kX_{0},kY_{0})} . אם פונקציה זו היא גזירה, ניתן להגדיר תשואה לגודל נקודתית באופן הבא: נתבונן על הגמישות הנקודתית בין התפוקה ( Q {\displaystyle Q} ) לבין k {\displaystyle k} בנקודה k = 1 {\displaystyle k=1} , כלומר נתבונן על E Q , k {\displaystyle E_{Q,k}} בנקודה k = 1 {\displaystyle k=1} : אם הגמישות גדולה מ-1 ( E Q , k > 1 {\displaystyle E_{Q,k}>1} ) - פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה לגודל בנקודה X 0 , Y 0 {\displaystyle X_{0},Y_{0}} . אם הגמישות קטנה מ-1 ( E Q , k < 1 {\displaystyle E_{Q,k}<1} ) - פונקציית הייצור מקיימת תשואה יורדת לגודל בנקודה X 0 , Y 0 {\displaystyle X_{0},Y_{0}} . אם הגמישות שווה ל-1 ( E Q , k = 1 {\displaystyle E_{Q,k}=1} ) - פונקציית הייצור מקיימת תשואה קבועה לגודל בנקודה X 0 , Y 0 {\displaystyle X_{0},Y_{0}} . פונקציית ייצור המקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל באופן נקודתי עבור כל נקודה בתחום הגדרתה, בהכרח מקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל בכל תחום הגדרתה. יתרון לגודל וחיסרון לגודל הם מונחים המקבילים לתשואה עולה או יורדת לגודל בהתאמה, אם כי הם אינם זהים להם בהגדרה. יתרון או חיסרון לגודל משווים את שיעור השינוי בתפוקה ביחס לשיעור השינוי בהוצאות, ולכן הם תלויים בין היתר במחירי התשומות, בניגוד לתשואה לגודל שאינה תלויה בהם. מסיבה זו, בדוגמה א לעיל אם מחירי שתי התשומות זהים זה לזה (ונניח שווים שניהם ל-1 ש"ח ליחידה), מתקיים יתרון לגודל במעבר מתפוקה של 3 לתפוקה של 6; משום שהעלות גדלה פי 1.5 (מ-4 ש"ח לרכישת 2 יחידות מכל תשומה, ל-6 ש"ח לרכישת 1 יח' א ו-5 יח' ב), בעוד התפוקה גדלה פי 2. מאמרים אקדמיים שפורסמו במהלך השנים הוכיחו שבהינתן שמחירי התשומות הם קבועים, קיים בפועל קשר הדוק בין יתרון לגודל לבין תשואה לגודל: הוכח שבנקודת ייצור מסוימת (כלומר, עבור כמויות מסוימות מדויקות של תשומות) מתקיימת תשואה עולה לגודל אם-ורק-אם מתקיים יתרון לגודל, ובאופן דומה הוכח לגבי תשואה יורדת לגודל וחיסרון לגודל. הוכח שאם בין שתי נקודות ייצור (שתי כמויות של תשומות, שכל אחת מהן מייצגת את האופציה הזולה ביותר לייצור הכמות המיוצרת) מתקיימת תכונת יתרון (חיסרון) לגודל, בהכרח פונקציית הייצור מקיימת תשואה עולה (יורדת) לגודל בחלק מתחום הגדרתה. עם זאת, בהינתן שמחירי התשומות אינם קבועים, אלא לפירמה יש השפעה עליהם (ייתכן שעקב עלייה בביקוש, בחירת הפירמה לרכוש כמות גדולה יותר תגרום לעלייה במחירם, או ייתכן שדווקא אם היא תרכוש כמות גדולה היא תוכל לקבל הנחת כמות) - הקשר בין שני המושגים כבר אינו כל כך הדוק. תשואה עולה או קבועה לגודל אינה עומדת בסתירה לתפוקה שולית פוחתת; זאת משום שתפוקה שולית פוחתת מתייחסת לשינוי בכמות של תשומה (גורם ייצור) אחת בעוד האחרות נשארות קבועות, בעוד התשואה לגודל נבדקת על ידי שינוי כמויות כל התשומות ביחד באותו שיעור. למשל, בדוגמה ב לעיל, אם a + b > 1 {\displaystyle a+b>1} , אבל a < 1 {\displaystyle a<1} ו- b < 1 {\displaystyle b<1} , אז מתקיימת תשואה עולה לגודל על אף שעבור כל אחת משתי התשומות מתקיימת תפוקה שולית פוחתת. מצד שני, אם עבור כל אחת מהתשומות התפוקה השולית היא עולה בכל תחום הגדרתה, בהכרח מתקיימת תשואה עולה לגודל. איתן אבניאון, יאיר זימון ואשר הלפרין, לקסיקון לכלכלה (עמוד 482), תל אביב: איתאב, מהדורה שנייה, 2004 אורי בן ציון ודינה רותם, מבוא לכלכלה בגישה כמותית : יסודות מיקרו-כלכלה (עמודים 83-79), הוצאת מכלול, 1981 מדיה וקבצים בנושא תשואה לגודל בוויקישיתוף תשואה לגודל, במילון אתר "מעות" תשואה לגודל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אנו מניחים כך לצורך פשטות הדוגמה, אך זוהי הנחה לא מציאותית, שכן גם מפעל הייצור, המכונות והעובדים הם חלק מהתשומות הנדרשות לתהליך הייצור Gregory M. Gelles and Dougals W. Mitchell, "Returns to Scale and Economies of Scale: Further Observations", Journal of Economic Education, 27 (3), 1996 Lila J. Truett and Dale B. Truett, "Region of the Production Function, Returns, and Economies of Scale: Further Considerations", Journal of Economic Education, 21 (4), 1990 Elchanan Cohn, "Return to Scale and Economies of Scale Revisited", Journal of Economic Education, 23 (2), 1992