נוסחת אוילר-מקלורן

נוסחת אוילר־מקלורן היא נוסחה, שמחשבת את ההפרש בין אינטגרל מסוים והטור שקשור אליו. ניתן להשתמש בה כדי לתת קירוב לאינטגרלים מסוימים על ידי סכומים סופיים, או להפך להעריך סכומים סופיים וסדרות אינסופיות באמצעות אינטגרלים ומכונות החשבון. לדוגמה, הרחבות אסימפטומטיות רבות נגזרות מהנוסחה, והנוסחה של ברנולי לסכום חזקות של מספרים עוקבים היא תוצאה מיידית. הנוסחה התגלתה באופן עצמאי על ידי לאונהרד אוילר וקולין מקלורן בסביבות 1735. אוילר נזקק לזה כדי לחשב סדרות אינסופיות המתכנסות באטיות, בעוד שמקלורן השתמש בה לחישוב אינטגרלים. מאוחר יותר הנוסחה הוכללה לנוסחה של דרבוקס מכיוון ששניהם לא הצליחו לבטא את שארית השגיאה. אינטגרל מסוים I = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle I=\int _{a}^{b}f(x)dx} מחשב את השטח שמתחת לגרף של פונקציה f ( x ) {\displaystyle f(x)} כאשר f ( x ) {\displaystyle f(x)} היא פונקציה אינטגרבלית. בשביל לקבל קירוב לשטח נחלק את השטח למלבנים קטנים שפאה אחת של כל מלבן תהיה תת־קטע של הקטע [a,b] והפאה האנכית לה תהיה הערך של הפונקציה באחד הערכים שנמצאים בתת־הקטע שבחרנו. ניקח כל מלבן שיצרנו נחשב את שטחו שזה פשוט אורך כפול רוחב ונסכום את השטחים. בעזרת השיטה הזאת שנקראת סכומי דארבו אפשר להגדיר אינטגרל מסוים (להרחבה אינטגרל מסוים) אנחנו נתמקד רק בקירוב שיצרנו ובמקרה בו a וb הם שלמים. במקרה הזה נבחר לחלק את הקטע [a,b] לתת קטעים כאשר לכל x > a , x + 1 < b , x ∈ N {\displaystyle x>a,x+1<b,x\in \mathrm {N} } , [x,x+1] הוא תת־קטע שלנו. אם נבחר את x להיות הערך עבורו נחשב את גובה המלבן אז יצא לנו שסכום דארבו שקיבלנו יהיה הסכום הבא: ∑ x = a b − 1 f ( x ) {\displaystyle \sum _{x=a}^{b-1}f(x)} ואם נבחר בכל מלבן דווקא את הערך ב־x+1 נקבל את הסכום הבא: ∑ x = a + 1 b f ( x ) {\displaystyle \sum _{x=a+1}^{b}f(x)} . אם m,n הם מספרים טבעיים ו־ f ( x ) {\displaystyle f(x)} היא פונקציה ממשית או מורכבת רציפה לכל מספר ממשי הגדול מ־n וקטן מ־m אז האינטגרל: I = ∫ m n f ( x ) {\displaystyle I=\int _{m}^{n}f(x)} יכול להיות מקורב לפי הטור (או הטור לפי האינטגרל): S = f ( m + 1 ) + f ( m + 2 ) . . . + f ( n − 1 ) + f ( n ) = ∑ x = m + 1 n f ( x ) {\displaystyle S=f(m+1)+f(m+2)...+f(n-1)+f(n)=\sum _{x=m+1}^{n}f(x)} נוסחת אוילר־מקלורן נותנת בצורה מפורשת את ההפרש בין הטור S לאינטגרל בעזרת הנגזרות של f ( x ) {\displaystyle f(x)} . משמעות הנוסחה היא, שעבור p {\displaystyle p} מספר שלם חיובי ופונקציה f ( x ) {\displaystyle f(x)} הניתנת לגזירה ברציפות p {\displaystyle p} פעמים בקטע [ m , n ] {\displaystyle [m,n]} , מתקיים: S − I = ∑ k = 1 p B k k ! ( f ( k − 1 ) ( n ) − f ( k − 1 ) ( m ) ) + R p , {\displaystyle S-I=\sum _{k=1}^{p}{{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(m))}+R_{p},} כאשר B k {\displaystyle {B_{k}}} הוא מספר ברנולי ה־k (כאשר B 1 = 0.5 {\displaystyle B_{1}=0.5} ) f ( k − 1 ) {\displaystyle f^{(k-1)}} היא הנגזרת מסדר k-1 של f ( x ) {\displaystyle f(x)} ו־ R p {\displaystyle R_{p}} הוא שארית השגיאה והוא תלוי ב־n,p,m. מפני שמספרי ברנולי במקומות האי זוגיים שווים ל־0 (חוץ מ־ B 1 {\displaystyle B_{1}} ) אפשר לרשום את הנוסחה גם בצורות הבאות: ∑ i = m n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) + f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p / 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)+f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}} או ∑ i = m + 1 n f ( i ) = ∫ m n f ( x ) d x + f ( n ) − f ( m ) 2 + ∑ k = 1 ⌊ p / 2 ⌋ B 2 k ( 2 k ) ! ( f ( 2 k − 1 ) ( n ) − f ( 2 k − 1 ) ( m ) ) + R p {\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}f(i)=\int _{m}^{n}f(x)\,dx+{\frac {f(n)-f(m)}{2}}+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(n)-f^{(2k-1)}(m))+R_{p}} R p = ( − 1 ) p + 1 ∫ m n f ( p ) ( x ) P p ( x ) p ! d x {\displaystyle R_{p}=(-1)^{p+1}\int _{m}^{n}f^{(p)}(x){\frac {P_{p}(x)}{p!}}\,dx} כאשר P k ( x ) = B k ( x − ⌊ x ⌋ ) {\displaystyle {P_{k}}(x)={B_{k}}(x-\lfloor x\rfloor )} ו־ B k {\displaystyle B_{k}} הוא פולינום ברנולי. נוסחת אוילר-מקלורן, באתר MathWorld (באנגלית) Kuat Yessenov, Euler-Maclaurin Formula