סכום גאוס ריבועי

בתורת המספרים, סכומי גאוס ריבועיים (באנגלית: quadratic Gauss sums) הם סכומים מסוימים של שורשי יחידה. את המונח ניתן לפרש כצירוף ליניארי של אקספוננטים מרוכבים עם מקדמים שמתקבלים מן הקרקטר הריבועי של אינדקס האיברים ביחס לסדר של שורשי היחידה. האובייקטים הללו נקראים על שם קרל פרידריך גאוס, שחקר אותם באופן שיטתי והשתמש בהם להוכחת חוק ההדדיות הריבועית, וכן לצורך מחקריו המעמיקים יותר על חוקי הדדיות ממעלה שלישית ורביעית. יהיו p מספר ראשוני אי זוגי ו-a מספר טבעי. אז סכום גאוס מודולו p, שנסמנו (g(a; p, הוא הסכום הבא של שורשי יחידה מסדר p: g ( a ; p ) = ∑ n = 0 p − 1 e 2 π i a n 2 p = ∑ n = 0 p − 1 ζ p a n 2 , ζ p = e 2 π i p . {\displaystyle g(a;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi ian^{2}}{p}}=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an^{2}},\qquad \zeta _{p}=e^{\frac {2\pi i}{p}}.} כלומר זהו סכום של חזקות של ζ {\displaystyle \zeta } עם מעריכים המהווים כפולות של ריבועים שלמים. אם p אינו מחלק את a, אז ביטוי חלופי לסכום גאוס הוא: ∑ n = 0 p − 1 ( 1 + ( n p ) ) ζ p n {\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\left(1+\left({\frac {n}{p}}\right)\right)\zeta _{p}^{n}} כאשר המעבר נובע מכך שעל פי הגדרה, סכום גאוס עובר רק על חזקות של ζ {\displaystyle \zeta } עם מעריכים המהווים שאריות ריבועיות מודולו p, ועובר דרך כל שארית ריבועית בדיוק פעמיים; כלומר הוא עובר פעמיים דרך כל שארית ריבועית ואפס פעמים דרך שאריות שאינן ריבועיות. לפיכך, הביטוי החלופי מורכב מאותם האיברים של סכום גאוס המקורי, בשינוי סדר. בנוסף, על פי הנוסחה לסיכום טור גאומטרי מתקיים ∑ n = 0 p − 1 ζ p n = 0 {\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{n}=0} ומשילוב שתי הזהויות האחרונות נובע שסכום גאוס מקבל את הצורה: G ( a , χ ) = ∑ n = 0 p − 1 χ ( n ) e 2 π i a n p {\displaystyle G(a,\chi )=\sum _{n=0}^{p-1}\chi (n)e^{\frac {2\pi ian}{p}}} כאן χ = ( n p ) {\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)} הוא סימן לז'נדר, המקבל את הערך 1+ אם n הוא שארית ריבועית מודולו p ו-1- אם n אינו שארית ריבועית מודולו p. את ההערכה של סכום גאוס ניתן לצמצם למקרה הפרטי בו a = 1, כיוון שכל הערכים האחרים שלו קשורים בסכום זה על ידי הנוסחה: g ( a ; p ) = ( a p ) g ( 1 ; p ) . {\displaystyle g(a;p)=\left({\frac {a}{p}}\right)g(1;p).} הערך המדויק של סכום גאוס, שחושב לראשונה על ידי גאוס, ניתן בנוסחה: g ( 1 ; p ) = ∑ n = 0 p − 1 e 2 π i n 2 p = { p if   p ≡ 1 ( mod 4 ) , i p if   p ≡ 3 ( mod 4 ) . {\displaystyle g(1;p)=\sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi in^{2}}{p}}={\begin{cases}{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 1{\pmod {4}},\\i{\sqrt {p}}&{\text{if}}\ p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}} העובדה ש-: g ( a ; p ) 2 = ( − 1 p ) p {\displaystyle g(a;p)^{2}=\left({\frac {-1}{p}}\right)p} הייתה קלה יחסית להוכחה והובילה לאחת מההוכחות של גאוס של ההדדיות הריבועית. עם זאת, קביעת הסימן המדויק של סכום גאוס היא בעיה קשה בהרבה: גאוס יישב אותה רק 4 שנים לאחר מכן. מאוחר יותר, יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה, לאופולד קרונקר, וישי שור מצאו הוכחות אחרות. יהיו a,b,c מספרים טבעיים (לא בהכרח ראשוניים). סכום גאוס המוכלל (G(a, b, c מוגדר כ-: G ( a , b , c ) = ∑ n = 0 c − 1 e 2 π i a n 2 + b n c , {\displaystyle G(a,b,c)=\sum _{n=0}^{c-1}e^{2\pi i{\frac {an^{2}+bn}{c}}},} סכום גאוס הקלאסי הוא הסכום (G(a, c) = G(a, 0, c. סכום גאוס (G(a,b,c תלוי רק במחלקת השאריות של a ו-b מודולו c. סכומי גאוס הם כפליים, כלומר בהינתן מספרים טבעיים a, b, c, d, המקיימים gcd(c, d) = 1, מתקיים: G ( a , b , c d ) = G ( a c , b , d ) G ( a d , b , c ) . {\displaystyle G(a,b,cd)=G(ac,b,d)G(ad,b,c).} זוהי מסקנה ישירה ממשפט השאריות הסיני. הכללת חישוב ערך סכום גאוס למספרים פריקים - נגדיר: ε m = { 1 if   m ≡ 1 ( mod 4 ) , i if   m ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle \varepsilon _{m}={\begin{cases}1&{\text{if}}\ m\equiv 1{\pmod {4}},\\i&{\text{if}}\ m\equiv 3{\pmod {4}}\end{cases}}} לכל מספר טבעי אי זוגי m. הערכים של סכום גאוס המקיים b = 0 ו-gcd(a, c) = 1 ניתנים באופן מפורש על ידי: G ( a , c ) = G ( a , 0 , c ) = { 0 if   c ≡ 2 ( mod 4 ) , ε c c ( a c ) if   c   is odd , ( 1 + i ) ε a − 1 c ( c a ) if   a   is odd , 4 ∣ c . {\displaystyle G(a,c)=G(a,0,c)={\begin{cases}0&{\text{if}}\ c\equiv 2{\pmod {4}},\\\varepsilon _{c}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {a}{c}}\right)&{\text{if}}\ c\ {\text{is odd}},\\(1+i)\varepsilon _{a}^{-1}{\sqrt {c}}\left({\dfrac {c}{a}}\right)&{\text{if}}\ a\ {\text{is odd}},4\mid c.\end{cases}}} כאשר ( a c ) {\displaystyle \left({\frac {a}{c}}\right)} הוא סימן יעקובי. זוהי הנוסחה המפורסמת של קרל פרידריך גאוס. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. סכומי גאוס ריבועיים של שורשי יחידה הוצגו לראשונה במאמר 356 שבפרק השביעי של ספרו של גאוס "מחקרים אריתמטיים", בקשר למחקריו על שדות ציקלוטומיים ובניות בסרגל ומחוגה. גאוס הציגם ככלי מתמטי המאפשר לדלות מידע אריתמטי מן התיאורים האלגבריים של שדות הרחבה שונים של שדה הרציונליים, וחישב את ערכם המוחלט במקרה הריבועי. אלא שבעוד חישוב הערך המוחלט של הסכום במקרים השונים לקח לגאוס מעט זמן, קביעת הסימן המדויק של סכום גאוס היא בעיה קשה בהרבה שטרדה את מנוחתו במשך מספר שנים נוספות, עד שלבסוף הצליח לפותרה, ב-1805, באמצעות קשר מפתיע שמצא בינה לתאוריה של פונקציות אליפטיות. הוא פרסם את הפתרון שלו במאמר "Summatio serierun quarundam singularium" מ-1811, אולם לא הציג בו את שיטותיו באופן מפורש, אלא הציגן באמצעות בנייה אלגברית מסתורית ששיקפה את שיטותיו רק באופן מרומז. במהלך הפתרון, גאוס הציג גם את המקדמים הבינומיים הגאוסיים ככלי בהבנת התנהגות סימן הסכום. סכומי גאוס "כלליים" (מסדר גבוה יותר מהסדר הריבועי) עתידים לשחק תפקיד מרכזי בהוכחה של משפט קרונקר-ובר משנת 1886 (הוכחתם של לאופולד קרונקר והיינריך ובר), מן המשפטים היסודיים והחשובים בתורת המספרים האלגברית. הם היוו תמה חוזרת בעבודתו האריתמטית של גאוס: כמה מההוכחות המאוחרות שלו לחוק ההדדיות הריבועית הדגימו את חשיבותם בכך שעשו שימוש ישיר בסכומי גאוס ריבועיים, ואילו הגילוי שלו את חוקי ההדדיות מסדרים גבוהים חב גם הוא רבות לשימוש בסכומים כאלו. המקרה של ∑ n = 0 p − 1 e 2 π i a n p = ∑ n = 0 p − 1 ζ p a n {\displaystyle \sum _{n=0}^{p-1}e^{\frac {2\pi ian}{p}}=\sum _{n=0}^{p-1}\zeta _{p}^{an}} הוא טריוויאלי; הסכום שווה לאפס בדיוק כאשר a לא מתחלק ב-p. גאוס ספג ביקורת נוקבת מצד מתמטיקאים בני התקופה, שכן פעמים רבות לא הציג את שיטותיו המקוריות, באופן שעיכב מאוד את הפצתם של רעיונות מתמטיים חדשים. נילס הנריק אבל אף תיארו כמי "שמקפיד תמיד לטשטש את עקבותיו". Emil Artin and Helmut Hasse: The Correspondence 1923-1958, p. 128 [1]