מבחני התכנסות לסדרות

במתמטיקה, מבחני התכנסות לסדרות מהווים כלים לבדיקה אם סדרה מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי. גבול של סדרה מסומן כך: lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} וניתן לסמן אותו גם בצורה המקוצרת:   a n → L {\displaystyle \ a_{n}\to L} כאשר: lim - הוא קיצור של המילה הלועזית Limit שפירושה "גבול". בסימון a n {\displaystyle \!\,a_{n}} , האות a הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו-n הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. ∞ {\displaystyle \infty } מסמל את מושג האינסוף. הסימן → {\displaystyle \to } מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } מציין ש- n שואף לאינסוף. L מייצג את המספר שאליו הולכים ומתקרבים איברי הסדרה ככל ש -n גדל כמו שציינו קודם,   a n → L {\displaystyle \ a_{n}\to L} סדרה נקראת מתכנסת אם רק אם L הוא מספר ממשי שונה מאינסוף סדרה נקראת מתבדרת אם ורק אם L = ± ∞ {\displaystyle L=\pm \infty } בפרט, הגדרה רגורוזית להתכנסות היא: הגדרה: תהא { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי L {\displaystyle \!\,L} , או ש-   L {\displaystyle \ L} הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} או בקיצור   a n → L {\displaystyle \ a_{n}\to L} אם לכל מספר ממשי   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי   N 0 {\displaystyle \ N_{0}} כך שלכל   n {\displaystyle \ n} המקיים   n > N 0 {\displaystyle \ n>N_{0}} מתקיים | a n − L | < ε {\displaystyle \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon } . צורת כתיבה נוספת: L = lim n → ∞ a n {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }a_{n}} ⟺ ∀ ε > 0 , ∃ N ∈ N , ∀ n > N , | a n − L | < ε {\displaystyle \Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon \;} משפט תהי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} נסמן lim n → ∞ a n + 1 a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n_{+1}}}{a_{n}}}=L} . אם L < 1 {\displaystyle L<1} אז lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . אם L > 1 {\displaystyle L>1} אז lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } . הוכחה מקרה א': L < 1 {\displaystyle L<1} בדומה למבחן המנה של ד'אלמבר, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה. ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול lim n → ∞ a n + 1 a n = L < 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L<1} , אז המבחן קובע כי הטור ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס, אז לפי תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי גבול הסדרה הוא אפס: lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } מקרה ב': L > 1   ,   L = ∞ {\displaystyle L>1\ ,\ L=\infty } נבחר מספר r {\displaystyle r} המקיים L > r > 1 {\displaystyle L>r>1} . כיוון ש־ L > 1 {\displaystyle L>1} , קיים k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } כך שלכל n ≥ k {\displaystyle n\geq k} מתקיים a n + 1 a n > r {\displaystyle {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>r} , או באופן שקול: a n + 1 > a n ⋅ r {\displaystyle a_{n+1}>a_{n}\cdot r} לכל n ≥ k {\displaystyle n\geq k} . נציב את n {\displaystyle n} להיות k , k + 1 , k + 2 {\displaystyle k,k+1,k+2} וכו' באי־שוויון זה ונקבל: a k + 1 > a k ⋅ r a k + 2 > a k + 1 ⋅ r > a k ⋅ r 2 a k + 3 > a k + 2 ⋅ r > a k ⋅ r 3 {\displaystyle {\begin{matrix}a_{k+1}>a_{k}\cdot r\\a_{k+2}>a_{k+1}\cdot r>a_{k}\cdot r^{2}\\a_{k+3}>a_{k+2}\cdot r>a_{k}\cdot r^{3}\end{matrix}}} באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי a k + m > a k ⋅ r m {\displaystyle a_{k+m}>a_{k}\cdot r^{m}} לכל m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} . { a k ⋅ r m } m = 1 ∞ {\displaystyle {\Big \{}a_{k}\cdot r^{m}{\Big \}}_{m=1}^{\infty }} היא סדרה הנדסית עם מנה r > 1 {\displaystyle r>1} ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן מאי־השוויון לעיל נובע כי { a k + m } m = 1 ∞ {\displaystyle {\Big \{}a_{k+m}{\Big \}}_{m=1}^{\infty }} שואפת לאינסוף. לכן lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } . ◼ {\displaystyle \blacksquare } נשים לב שמבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה, כלומר ישנם מקרים בהם הגבול במבחן המנה לא יהיה קיים והגבול במבחן השורש יהיה קיים. אבל לפי משפט, אם הגבול של מנת האיברים קיים lim n → ∞ a n + 1 a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=L} . אזי הוא שווה לגבול ממבחן השורש, כלומר lim n → ∞ a n n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L} . משפט תהי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה חיובית. נסמן lim n → ∞ a n n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L} . אם L < 1 {\displaystyle L<1} אז lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . אם L = ∞ {\displaystyle L=\infty } , L > 1 {\displaystyle L>1} אז lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } . הוכחה מקרה א': L < 1 {\displaystyle L<1} בדומה למבחן השורש של קושי, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה. ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול lim n → ∞ a n n = L < 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L<1} , אז המבחן קובע כי הטור ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס, וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל lim n → ∞ a n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } מקרה ב': L > 1   ,   L = ∞ {\displaystyle L>1\ ,\ L=\infty } נבחר מספר r {\displaystyle r} המקיים L > r > 1 {\displaystyle L>r>1} . כיוון ש־ L > 1 {\displaystyle L>1} קיים N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} מתקיים a n n > r {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{n}}}>r} , או באופן שקול: a n > r n {\displaystyle a_{n}>r^{n}} לכל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} . { r n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{r^{n}\}_{n=1}^{\infty }} היא סדרה הנדסית עם מנה r > 1 {\displaystyle r>1} ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי { a n } N = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{N=1}^{\infty }} שואפת לאינסוף. לכן lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } . ◼ {\displaystyle \blacksquare } תנאי קושי הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול. הגדרה: תהי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרת מספרים ממשיים. הסדרה מקיימת את תנאי קושי אם לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים אינדקס N {\displaystyle N} כך שלכל m , n > N {\displaystyle m,n>N} מתקיים | a m − a n | < ε {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon } . הסדרה { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. הוכחה נוכיח את הכיוון הראשון. נניח כי lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} . יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . לכן קיים אינדקס N {\displaystyle N} כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים | a n − L | < ε 2 {\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . נבחר מספרים m , n > N {\displaystyle m,n>N} ונקבל לפי אי-שוויון המשולש כי: | a m − a n | = | a m − L + L − a n | ≤ | a m − L | + | a n − L | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|={\Big |}a_{m}-L+L-a_{n}{\Big |}\leq |a_{m}-L|+|a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon } אזי הסדרה היא סדרת קושי. ◼ {\displaystyle \blacksquare } נוכיח את הכיוון השני. נניח כי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיוון שהיא סדרת קושי, קיים אינדקס N {\displaystyle N} כך שלכל m , n > N {\displaystyle m,n>N} מתקיים | a m − a n | < ε {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|<\varepsilon } . אזי לכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים a N − ε < a n < a N + ε {\displaystyle a_{N}-\varepsilon <a_{n}<a_{N}+\varepsilon } אז הסדרה חסומה בקטע [ N , ∞ ) {\displaystyle [N,\infty )} . בקטע [ ε , N ] {\displaystyle [\varepsilon ,N]} יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי. על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת, לכן לסדרה { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} יש תת־סדרה מתכנסת { a m k } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{m_{k}}\}_{n=1}^{\infty }} . נסמן L = lim n → ∞ a m k {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }a_{m_{k}}} ונוכיח ש־ { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל־ L {\displaystyle L} . יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . ראשית, מהתכנסות a m k {\displaystyle a_{m_{k}}} נקבל כי קיים K {\displaystyle K} טבעי כך שלכל k > K {\displaystyle k>K} מתקיים | a m k − L | < ε 2 {\displaystyle |a_{m_{k}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . שנית, מהיות הסדרה סדרת קושי, קיים אינדקס N {\displaystyle N} כך שלכל m , n > N {\displaystyle m,n>N} מתקיים | a n − a m | < ε 2 {\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . נסמן k 0 = max { K + 1 , N + 1 } {\displaystyle k_{0}=\max \left\{K+1,N+1\right\}} , אז k 0 ≥ K + 1 > K {\displaystyle k_{0}\geq K+1>K} ולכן | a m k 0 − L | < ε 2 {\displaystyle |a_{m_{k_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . בנוסף, סדרת האנדקסים m k {\displaystyle m_{k}} מוגדרת כסדרה עולה של טבעיים וניתן להוכיח באינדוקציה שלכל k {\displaystyle k} טבעי מתקיים m k ≥ k {\displaystyle m_{k}\geq k} , ובפרט m k 0 ≥ k 0 ≥ N + 1 > N {\displaystyle m_{k_{0}}\geq k_{0}\geq N+1>N} ולכן לכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים | a n − a m k 0 | < ε 2 {\displaystyle |a_{n}-a_{m_{k_{0}}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . מכאן לכל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} מתקיים: | a n − L | = | a n − a m k 0 + a m k 0 − L | ≤ | a n − a m k 0 | + | a m k 0 − L | < ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle |a_{n}-L|={\Big |}a_{n}-a_{m_{k_{0}}}+a_{m_{k_{0}}}-L{\Big |}\leq |a_{n}-a_{m_{k_{0}}}|+|a_{m_{k_{0}}}-L|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon } לכן lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות. בניסוח מתמטי: אם a n , b n , c n {\displaystyle a_{n},b_{n},c_{n}} סדרות המקיימות: a n ≤ c n ≤ b n   ,   lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n = L {\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}\ ,\ \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L} אז גם לסדרה c n {\displaystyle c_{n}} קיים גבול, lim n → ∞ c n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L} . כלל דומה תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) השואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף. הוכחה יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . נרצה למצוא מספר טבעי N {\displaystyle N} כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} יתקיים | c n − L | < ε {\displaystyle |c_{n}-L|<\varepsilon } . קיים N 1 {\displaystyle N_{1}} כך שלכל n > N 1 {\displaystyle n>N_{1}} מתקיים L − ε < a n < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <a_{n}<L+\varepsilon } . קיים N 2 {\displaystyle N_{2}} כך שלכל n > N 2 {\displaystyle n>N_{2}} מתקיים L − ε < b n < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <b_{n}<L+\varepsilon } . נסמן N = max { N 1 , N 2 } {\displaystyle N=\max\{N_{1},N_{2}\}} . מהנתון מתקיים a n ≤ c n ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}} , לכן לכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים L − ε < a n ≤ c n ≤ b n < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}<L+\varepsilon } לכן L − ε < c n < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <c_{n}<L+\varepsilon } . כלומר lim n → ∞ c n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } תהי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהי { n k } k = 1 ∞ {\displaystyle \{n_{k}\}_{k=1}^{\infty }} סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה { a n k } k = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }} נקראת תת־סדרה של { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} . משפט תהי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה. a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} אם ורק אם כל תת־סדרה של { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} מתכנסת ל־ L {\displaystyle L} . הוכחה נניח כי a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} . אזי לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} מתקיים | a n − L | < ε {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon } . ניקח תת־סדרה שרירותית { a n k } {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}} ונראה כי היא מתכנסת ל־ L {\displaystyle L} . מתקיים n k ≥ k {\displaystyle n_{k}\geq k} (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור k ≥ N {\displaystyle k\geq N} מתקיים כי n k ≥ N {\displaystyle n_{k}\geq N} ולכן נקבל כי | a n k − L | < ε {\displaystyle |a_{n_{k}}-L|<\varepsilon } . לכן a n k → L {\displaystyle a_{n_{k}}\to L} . כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} היא תת־סדרה של עצמה שמתכנסת ל־ L {\displaystyle L} ולכן זה טריוויאלי שמתקיים a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} . למת עזר תהי { a n k } k = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }} תת־סדרה של { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} . אזי n k ≥ k {\displaystyle n_{k}\geq k} לכל k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } . הוכחה נוכיח באינדוקציה. בבירור n 1 ≥ 1 {\displaystyle n_{1}\geq 1} . נניח כי n k − 1 ≥ k − 1 {\displaystyle n_{k-1}\geq k-1} ונוכיח כי n k ≥ k {\displaystyle n_{k}\geq k} . נשים לב כי { n k } {\displaystyle \{n_{k}\}} סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת־סדרה, איננו לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואיננו לוקחים אבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן n k > n k − 1 ≥ k − 1 {\displaystyle n_{k}>n_{k-1}\geq k-1} . כלומר n k > k − 1 {\displaystyle n_{k}>k-1} ולכן n k ≥ k {\displaystyle n_{k}\geq k} . משפט (שטולץ / שטולץ־צ'זארו) תהי { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהי { y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה מונוטונית עולה ממש ומקיימת y n → ∞ {\displaystyle y_{n}\to \infty } . אם lim n → ∞ x n + 1 − x n y n + 1 − y n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=L} במובן הרחב, אזי גם lim n → ∞ x n y n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L} . הוכחה לפי הגדרת הגבול, לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים: L − ε < x n + 1 − x n y n + 1 − y n < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\varepsilon } y n {\displaystyle y_{n}} מונוטונית עולה ממש, לכן y n + 1 > y n {\displaystyle y_{n+1}>y_{n}} או y n + 1 − y n > 0 {\displaystyle y_{n+1}-y_{n}>0} וניתן להכפיל בו את אי־השוויון. נקבל: ( L − ε ) ( y n + 1 − y n ) < x n + 1 − x n < ( L + ε ) ( y n + 1 − y n ) {\displaystyle (L-\varepsilon )({y_{n+1}-y_{n}})<x_{n+1}-x_{n}<(L+\varepsilon )(y_{n+1}-y_{n})} יהי K ∈ N {\displaystyle K\in \mathbb {N} } המקיים K > N {\displaystyle K>N} . סכימת אי־השוויון לעיל תיתן לנו את אי־השוויון הבא: ( L − ε ) ∑ i = N K ( y i + 1 − y i ) < ∑ i = N K ( x i + 1 − x i ) < ( L + ε ) ∑ i = N K ( y i + 1 − y i ) ( L − ε ) ( y K + 1 − y N ) < x K + 1 − x N < ( L + ε ) ( y K + 1 − y N ) {\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle (L-\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})<\sum \limits _{i=N}^{K}(x_{i+1}-x_{i})<(L+\varepsilon )\sum \limits _{i=N}^{K}(y_{i+1}-y_{i})\\\\(L-\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})<x_{K+1}-x_{N}<(L+\varepsilon )(y_{K+1}-y_{N})\end{matrix}}} נחלק את אי־השוויון ב־ y K + 1 > 0 {\displaystyle y_{K+1}>0} ונקבל: ( L − ε ) ( 1 − y N y K + 1 ) < x K + 1 y K + 1 − x N y K + 1 < ( L + ε ) ( 1 − y N y K + 1 ) ( L − ε ) ( 1 − y N y K + 1 ) + x N y K + 1 < x K + 1 y K + 1 < ( L + ε ) ( 1 − y N y K + 1 ) + x N y K + 1 {\displaystyle {\begin{matrix}(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}-{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)\\\\(L-\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}<{\dfrac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<(L+\varepsilon )\left(1-{\dfrac {y_{N}}{y_{K+1}}}\right)+{\dfrac {x_{N}}{y_{K+1}}}\end{matrix}}} y n → ∞ {\displaystyle y_{n}\to \infty } , לכן קיים M ∈ N {\displaystyle M\in \mathbb {N} } המקיים M ≥ K {\displaystyle M\geq K} כך שיתקיים: L − ε < x K + 1 y K + 1 < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{K+1}}{y_{K+1}}}<L+\varepsilon } לכן lim n → ∞ x n y n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה y n {\displaystyle y_{n}} תהיה חיובית ומונוטונית רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה. תהי { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה המתכנסת לגבול סופי L {\displaystyle L} . אזי גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול L {\displaystyle L}  : סדרת הממוצעים החשבונית: A n = a 1 + ⋯ + a n n = 1 n ∑ k = 1 n a k {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{1}+\cdots +a_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}} סדרת הממוצעים ההנדסית: G n = a 1 × ⋯ × a n n = ∏ k = 1 n a k n {\displaystyle G_{n}={\sqrt[{n}]{a_{1}\times \cdots \times a_{n}}}={\sqrt[{n}]{\prod \limits _{k=1}^{n}a_{k}}}} אם a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} לכל n {\displaystyle n} סדרת הממוצעים ההרמונית: H n = n 1 a 1 + ⋯ + 1 a n = n ∑ k = 1 n 1 a k {\displaystyle H_{n}={\dfrac {n}{{\dfrac {1}{a_{1}}}+\cdots +{\dfrac {1}{a_{n}}}}}={\frac {n}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}} אלא אם כן L = 0 {\displaystyle L=0} והסדרה אינה שוות סימן הוכחה תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ. ברור כי { n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{n\}_{n=1}^{\infty }} היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים: lim n → ∞ ∑ k = 1 n + 1 a k − ∑ k = 1 n a k ( n + 1 ) − n = lim n → ∞ a n + 1 1 = lim n → ∞ a n + 1 = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}a_{k}-\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}}{(n+1)-n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{1}}=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}=L} אזי A n = 1 n ∑ k = 1 n a k → L {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\to L} כדרוש. ◼ {\displaystyle \blacksquare } כעת נוכיח את הטענה השלישית. אם L ≠ 0 {\displaystyle L\neq 0} אז הטענה נכונה טריוויאלית על־פי מה שהרגע הוכחנו. אם a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} נקבל כי 1 a n → 1 L {\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}\to {\frac {1}{L}}} ואז כיוון ש־ H n = n ∑ k = 1 n 1 a k = ( 1 n ∑ k = 1 n 1 a k ) − 1 {\displaystyle H_{n}={\frac {n}{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}}=\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{a_{k}}}}\right)^{-1}} ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של 1 a n {\displaystyle {\frac {1}{a_{n}}}} נקבל מהטענה הראשונה כי H n → ( 1 L ) − 1 = L {\displaystyle H_{n}\to \left({\frac {1}{L}}\right)^{-1}=L} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } המקרה הפרטי L = 0 {\displaystyle L=0} הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי a n = ( − 1 ) n n {\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}} . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } כך שלכל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} אברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי { 1 a n } {\displaystyle \left\{{\frac {1}{a_{n}}}\right\}} מתכנסת ל־ ∞ {\displaystyle \infty } או ל־ − ∞ {\displaystyle -\infty } . עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על־פי נימוק דומה למקרה בו L ≠ 0 {\displaystyle L\neq 0} . נותר לנו כעת רק להוכיח כי G n → L {\displaystyle G_{n}\to L} אם a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} לכל n {\displaystyle n} . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי־שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות: L ← H n ≤ G n ≤ A n → L {\displaystyle L\leftarrow H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\to L} לכן על־פי כלל הסנדוויץ' גם G n → L {\displaystyle G_{n}\to L} ובזאת הושלמה ההוכחה. ◼ {\displaystyle \blacksquare } הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור L = 0 {\displaystyle L=0} אך כאן a n > 0 {\displaystyle a_{n}>0} לכל n {\displaystyle n} , לכן הטענה נכונה במקרה זה כיוון שהסדרה שוות סימן. ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} , לכן קיים K ∈ N {\displaystyle K\in \mathbb {N} } כך שלכל n ≥ K {\displaystyle n\geq K} מתקיים | a n − L | < ε 4 {\displaystyle |a_{n}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}} . כעת נסתכל על תת־סדרת האיברים עד K {\displaystyle K} , כלומר: a 1 , … , a K − 1 , a K {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{K-1},a_{K}} . כיוון ש־ K {\displaystyle K} קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת־סדרה זו היא סופית ולכן סכום אבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: 1 n ∑ k = 1 K a k   → n → ∞   0 {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\ {\xrightarrow {n\to \infty }}\ 0} . אזי קיים N 1 ∈ N {\displaystyle N_{1}\in \mathbb {N} } כך שלכל n ≥ N 1 {\displaystyle n\geq N_{1}} מתקיים | 1 n ∑ k = 1 K a k | < ε 2 {\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{K}a_{k}\right|<{\frac {\varepsilon }{2}}} . כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי K {\displaystyle K} , כלומר a K + 1 , … , a n − 1 , a n {\displaystyle a_{K+1},\ldots ,a_{n-1},a_{n}} (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים | a k − L | < ε 4 {\displaystyle |a_{k}-L|<{\frac {\varepsilon }{4}}} לכל K + 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle K+1\leq k\leq n} טבעי. נסמן N 2 = ⌈ 4 K ε | L | ⌉ {\displaystyle N_{2}=\left\lceil {\frac {4K}{\varepsilon }}|L|\right\rceil } ונשים לב שהדבר גורר כי לכל n ≥ N 2 {\displaystyle n\geq N_{2}} מתקיים K n | L | < ε 4 {\displaystyle {\frac {K}{n}}|L|<{\frac {\varepsilon }{4}}} . אזי, | 1 n ∑ k = K + 1 n a k − L | = | 1 n ∑ k = K + 1 n a k − n L n | = 1 n | ∑ k = K + 1 n ( a k − L ) + ( − K L ) |   ≤   1 n ( | ∑ k = K + 1 n ( a k − L ) | + K | L | ) ≤   1 n [ ∑ k = K + 1 n | a k − L | + K | L | ] = 1 n ∑ k = K + 1 n | a k − L | + K n | L | < 1 n ∑ k = K + 1 n ε 4 + K n | L |   <   ε 4 ⋅ n − K n + ε 4   <   ε 4 + ε 4 = ε 2 {\displaystyle {\begin{matrix}\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}a_{k}-{\frac {nL}{n}}\right|={\dfrac {1}{n}}\left|\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L)+(-KL)\right|\ {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left({\bigg |}\sum \limits _{k=K+1}^{n}(a_{k}-L){\bigg |}+K|L|\right)\\\displaystyle {\color {red}\leq }\ {\dfrac {1}{n}}\left[\sum \limits _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+K|L|\right]={\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}|a_{k}-L|+{\dfrac {K}{n}}|L|<{\dfrac {1}{n}}\sum _{k=K+1}^{n}{\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {K}{n}}|L|\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}\cdot {\dfrac {n-K}{n}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}\ {\color {red}<}\ {\dfrac {\varepsilon }{4}}+{\dfrac {\varepsilon }{4}}={\dfrac {\varepsilon }{2}}\end{matrix}}} נסכם: נסמן N = max { K , N 1 , N 2 } {\displaystyle N=\max\{K,N_{1},N_{2}\}} ונקבל כי לכל n ≥ N {\displaystyle n\geq N} מתקיים: | 1 n ∑ k = 1 n a k − L | = | 1 n ∑ k = 1 K a k + 1 n ∑ m = K + 1 n a m − L |   ≤   | 1 n ∑ k = 1 K a k | + | 1 n ∑ m = K + 1 n a m − L |   <   ε 2 + ε 2 = ε {\displaystyle \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}a_{k}-L\right|=\left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}+{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}\leq }\ \left|{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{K}a_{k}\right|+\left|{\frac {1}{n}}\sum _{m=K+1}^{n}a_{m}-L\right|\ {\color {red}<}\ {\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon } אזי A n = 1 n ∑ k = 1 n a k → L {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}\to L} כדרוש. ◼ {\displaystyle \blacksquare } חשבון אינפיניטסימלי מבחני התכנסות לטורים גבול של סדרה סדרת קושי