זהות המכפלה המשולשת של יעקובי

באנליזה מתמטית, זהות המכפלה המשולשת של יעקובי היא הזהות המתמטית: ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 2 m ) ( 1 + x 2 m − 1 y 2 ) ( 1 + x 2 m − 1 y 2 ) = ∑ n = − ∞ ∞ x n 2 y 2 n , {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},} כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים המקיימים x| < 1| ו-y ≠ 0. הזהות הוצגה לראשונה על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי (1829) בחיבורו Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum. זהות המכפלה המשולשת של יעקובי כוללת כמקרים פרטיים זהויות רבות אחרות, כמו משפט המספרים המחומשים של לאונרד אוילר וההצגה של פונקציות תטא של יעקובי כמכפלה אינסופית. למשל, אם נציב x = q q {\displaystyle x=q{\sqrt {q}}} ו- y 2 = − q {\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}} , אז נקבל את משפט המספרים המחומשים: ϕ ( q ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − q m ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q 3 n 2 − n 2 . {\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.} זהות המכפלה המשולשת מאפשרת לכתוב את פונקציית תטא כמכפלה אינסופית. נניח כי x = e i π τ {\displaystyle x=e^{i\pi \tau }} ו- y = e i π z {\displaystyle y=e^{i\pi z}} . אז פונקציית תטא היא: ϑ ( z ; τ ) = ∑ n = − ∞ ∞ e π i n 2 τ + 2 π i n z {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}} והיא ניתנת לרישום כמכפלה אינסופית באופן הבא: ϑ ( z ; τ ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − e 2 m π i τ ) [ 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ + 2 π i z ] [ 1 + e ( 2 m − 1 ) π i τ − 2 π i z ] . {\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].} בפרט, הצבת y = 1 {\displaystyle y=1} נותנת את הזהות: ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 2 m ) ( 1 + x 2 m − 1 ) 2 = ∑ n = − ∞ ∞ x n 2 {\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1})^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}} . תהי f x ( y ) = ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 2 m ) ( 1 + x 2 m − 1 y 2 ) ( 1 + x 2 m − 1 y − 2 ) {\displaystyle f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1}y^{2})(1+x^{2m-1}y^{-2})} פונקציה של המשתנה y (כאן x נלקח כקבוע). אזי f x ( x y ) = ( ∏ m = 1 ∞ ( 1 − x 2 m ) ) ( 1 + x 3 y 2 ) ( 1 + 1 x y 2 ) ( 1 + x 5 y 2 ) ( 1 + x y 2 ) ⋯ = 1 + x − 1 y − 2 1 + x y 2 f x ( y ) = x − 1 y − 2 f x ( y ) {\displaystyle f_{x}(xy)=(\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m}))(1+x^{3}y^{2})(1+{\frac {1}{xy^{2}}})(1+x^{5}y^{2})(1+{\frac {x}{y^{2}}})\cdots ={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)} . מכיוון ש-fx היא מרומורפית בעבור y| > 0|, יש לה פיתוח לטור לורן f x ( y ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( x ) y 2 n {\displaystyle f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}} , פיתוח המקיים: ∑ n = − ∞ ∞ c n ( x ) x 2 n + 1 y 2 n = x f x ( x y ) = y − 2 f x ( y ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n + 1 ( x ) y 2 n {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}} ולכן גם c n + 1 ( x ) = c n ( x ) x 2 n + 1 = c 0 ( x ) x ( n + 1 ) 2 {\displaystyle c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}} . קיבלנו איפה את הצורה הכללית של ההצגה של המכפלה האינסופית שבאגף שמאל של זהות יעקובי כטור אינסופי. לעומת זאת, הוכחה ש- c 0 ( x ) = 1 {\displaystyle c_{0}(x)=1} היא טכנית יותר ועושה שימוש בתאוריה של פונקציות מודולריות. Jacobi, C. G. J. (1829), Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (בלטינית), Königsberg: Borntraeger, ISBN 978-1-108-05200-9, Reprinted by Cambridge University Press 2012 Wolfram Mathworld - Jacobi Triple Product משפט המספרים המחומשים זהות המכפלה המשולשת של יעקובי, באתר MathWorld (באנגלית)