מטריצת אולם

בתורת הקבוצות, מטריצת אוּלַם (באנגלית: Ulam matrix) היא מערך של תתי קבוצות של מונה עם תכונות מסוימות. מטריצות אולם הוצגו על ידי סטניסלב אולם והן שימושיות למספר הוכחות, בהן ההוכחה שמונה מדיד ממשית הוא אי-נשיג חלש. נניח כי λ , κ {\displaystyle \lambda ,\kappa } הם מונים. יהי F {\displaystyle F} מסנן על λ {\displaystyle \lambda } . מטריצת אולם היא אוסף של תתי קבוצות של λ {\displaystyle \lambda } , ⟨ A α β | α < κ ∧ β < λ ⟩ {\displaystyle \langle A_{\alpha \beta }|\alpha <\kappa \land \beta <\lambda \rangle } , כך שמתקיים: לכל α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } ו- β ≠ γ {\displaystyle \beta \neq \gamma } , חיתוך הקבוצות A α β , A α γ {\displaystyle A_{\alpha \beta },A_{\alpha \gamma }} ריק ("כל שורה מורכבת מקבוצות זרות בזוגות"). לכל β < λ {\displaystyle \beta <\lambda } מתקיים ⋃ A α β ∈ F {\displaystyle \bigcup A_{\alpha \beta }\in F} ("איחוד הקבוצות לאורך עמודה הוא גדול"). הדוגמה הסטנדרטית למטריצת אולם מתקבלת במקרה שבו λ = κ + {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} , ו- F {\displaystyle F} מסנן כך ש- F ⊇ { X ⊆ λ : | λ ∖ X | < λ } {\displaystyle F\supseteq \{X\subseteq \lambda \colon |\lambda \setminus X|<\lambda \}} . לכל סודר ξ < λ {\displaystyle \xi <\lambda } נקבע פונקציה על f ξ : κ → ξ {\displaystyle f_{\xi }\colon \kappa \to \xi } . כעת, נגדיר A α β = { ξ < λ : f ξ ( α ) = β } {\displaystyle A_{\alpha \beta }=\{\xi <\lambda \colon f_{\xi }(\alpha )=\beta \}} . נבדוק שמתקבלת מטריצת אולם: התנאי הראשון מתקיים: נניח α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } ו- β , γ < λ {\displaystyle \beta ,\gamma <\lambda } . אם קיים ξ ∈ A α β ∩ A α γ {\displaystyle \xi \in A_{\alpha \beta }\cap A_{\alpha \gamma }} , אז, מההגדרה, γ = f ξ ( α ) = β {\displaystyle \gamma =f_{\xi }(\alpha )=\beta } . התנאי השני מתקיים: נניח β < λ {\displaystyle \beta <\lambda } . לכל סודר ξ {\displaystyle \xi } בין β {\displaystyle \beta } ל- λ {\displaystyle \lambda } , קיים α < κ {\displaystyle \alpha <\kappa } כך ש- f ξ ( α ) = β {\displaystyle f_{\xi }(\alpha )=\beta } . לפיכך ξ ∈ ⋃ α < κ A α β {\displaystyle \xi \in \bigcup _{\alpha <\kappa }{A_{\alpha \beta }}} . זה מראה ש- λ ∖ ⋃ α < κ A α β ⊆ β {\displaystyle \lambda \setminus \bigcup _{\alpha <\kappa }{A_{\alpha \beta }}\subseteq \beta } ולכן ⋃ α < κ A α β ∈ F {\displaystyle \bigcup _{\alpha <\kappa }{A_{\alpha \beta }}\in F} . נניח λ = κ + {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} והמסנן F {\displaystyle F} הוא λ {\displaystyle \lambda } -שלם (כלומר, סגור לחיתוך של פחות מ- λ {\displaystyle \lambda } קבוצות) ומרחיב את המסנן { X ⊆ λ : | λ ∖ X | < λ } {\displaystyle \{X\subseteq \lambda \colon |\lambda \setminus X|<\lambda \}} . תהי ⟨ A α β | α < κ ∧ β < λ ⟩ {\displaystyle \langle A_{\alpha \beta }|\alpha <\kappa \land \beta <\lambda \rangle } מטריצת אולם. לכל β < λ {\displaystyle \beta <\lambda } נתבונן בעמודה המתאימה לו. יש בעמודה זו κ {\displaystyle \kappa } קבוצות, ואיחודן במסנן; מה- λ {\displaystyle \lambda } -שלמות, יש אינדקס α ( β ) < κ {\displaystyle \alpha (\beta )<\kappa } כך ש- A α ( β ) β ∈ F + {\displaystyle A_{\alpha (\beta )\beta }\in F^{+}} , כלומר A α ( β ) β {\displaystyle A_{\alpha (\beta )\beta }} נחתכת באופן לא ריק עם כל קבוצה מ- F {\displaystyle F} . מאחר ש- λ = κ + {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} , קיים α ∗ < κ {\displaystyle \alpha ^{*}<\kappa } כך ש- S = { β < λ : α ( β ) = α ∗ } {\displaystyle S=\{\beta <\lambda \colon \alpha (\beta )=\alpha ^{*}\}} מעוצמה λ {\displaystyle \lambda } . קיבלנו קבוצה { A α ∗ β : β ∈ S } {\displaystyle \{A_{\alpha ^{*}\beta }\colon \beta \in S\}} של קבוצות זרות ב- F + {\displaystyle F^{+}} . לעובדה זו יש מספר יישומים: כל מונה מדיד ממשית הוא אי נשיג חלש: נניח λ {\displaystyle \lambda } מונה מדיד ממשית, כלומר קיימת עליו מידה μ : P ( λ ) → [ 0 , 1 ] {\displaystyle \mu \colon {\mathcal {P}}(\lambda )\to [0,1]} שהיא λ {\displaystyle \lambda } -אדיטיבית. לא קשה להראות ש- λ {\displaystyle \lambda } מונה סדיר. לכן מספיק להוכיח שאינו עוקב. נניח בשלילה שיש מונה κ {\displaystyle \kappa } כך ש- λ = κ + {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} . יהי F = { X ⊆ λ : μ ( X ) = 1 } {\displaystyle F=\{X\subseteq \lambda \colon \mu (X)=1\}} . זה מסנן λ {\displaystyle \lambda } -שלם. מהאמור לעיל, קיימת קבוצה של λ {\displaystyle \lambda } קבוצות זרות בזוגות ממידה חיובית, סתירה. משפט סולוביי למונים עוקבים: נניח λ = κ + {\displaystyle \lambda =\kappa ^{+}} ו- S ⊆ λ {\displaystyle S\subseteq \lambda } קבוצה שבת. נוכיח שניתן לחלק את S {\displaystyle S} ל- λ {\displaystyle \lambda } קבוצות שבת זרות בזוגות. נבנה מטריצת אולם עבור המסנן ה- λ {\displaystyle \lambda } שלם F = { X ⊆ λ :  for some club  C ⊆ λ , C ∩ S ⊆ X } {\displaystyle F=\{X\subseteq \lambda \colon {\mbox{ for some club }}C\subseteq \lambda ,C\cap S\subseteq X\}} . נובע שקיימת קבוצה מעוצמה λ {\displaystyle \lambda } של קבוצות זרות בזוגות ששייכות ל- F {\displaystyle F} . נקבל חלוקה של (תת קבוצה של) S {\displaystyle S} ל- λ {\displaystyle \lambda } קבוצות שבת זרות בזוגות.