פונקציית גל

פונקציית גל היא פתרון של משוואת גלים. זוהי פונקציה של מיקום במרחב ובזמן והיא משמשת לתאר מערכת המתנהגת כמו גל. שימוש נפוץ ביותר במושג פונקציית גל הוא במכניקת הקוונטים, שם משוואת התנועה היא תמיד משוואת שרדינגר שהיא סוג של משוואת גלים. את פונקציית הגל נהוג לסמן כ- ψ ( r → , t ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)} או לעיתים פשוט כ- ψ {\displaystyle \psi } . גובה פני נוזל עומד ללא תנועה יהיה אחיד במרחב ולא ישתנה בזמן. אם תיווצר תנועה (למשל על ידי זריקת אבן) יהיה גובה הנוזל שונה בנקודות שונות וישתנה עם הזמן. תנועה כזאת נקראת גל והפונקציה המתארת את גובה פני הנוזל, ביחס לגובה האחיד, בכל מיקום ובכל זמן, נקראת פונקציית הגל. דוגמה נוספת להתנהגות של פונקציית גל היא צפיפות האוויר כשנוצרים גלי קול. במכניקת הקוונטים המצב של מערכת כלשהי מתואר על ידי וקטור במרחב הילברט הנקרא וקטור מצב. פעמים רבות מתייחסים לווקטור זה כאל פונקציית גל. במקרים כאלה, פונקציית הגל היא פתרון למשוואת הגלים של שרדינגר והיא אינה מיצגת גודל פיזיקלי מדיד, אך הערך המוחלט שלה בריבוע מייצג את ההסתברות, או צפיפות הסתברות, למצוא את המערכת במצב מסוים. כשהמערכת מתוארת על ידי גדלים כמו מיקום ותנע, לדוגמה המיקום והתנע של אלקטרון יחיד, יש לפונקציית הגל צורה דומה לזו של גלים אחרים ("קלאסיים") הנזכרים למעלה. ערך זה דן בסוג זה של פונקציית גל. לעובדה שפונקציית גל יכולה לתאר חלקיקים יש קשר לדואליות גל-חלקיק כמו גם לעובדה שלפונקציית הגל של האור ניתן ליחס תכונות חלקיקיות כמו תנע ומיקום ומכאן נובע המושג פוטון. פונקציית הגל יכולה להיות פונקציה של המיקום (והזמן) ואז נהוג לכתוב אותה כ- ψ ( r → , t ) {\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)} . כאן r → {\displaystyle {\vec {r}}} - וקטור המקום ו- t {\displaystyle t} הוא הזמן. ערך הפונקציה, שנקרא לפעמים משרעת, הוא מרוכב, באופן כללי. צפיפות הסתברות נתונה על ידי | ψ | 2 {\displaystyle |\psi |^{2}} לכן אם נרצה לחשב את ההסתברות של המערכת (לדוגמה חלקיק) להימצא בתחום V כלשהו, נצטרך לסכום על צפיפות ההסתברות בתוך התחום כלומר: Prob ( r → ∈ V ) = ∫ V | ψ ( r → ) | 2 d V = ∫ V | ψ ( r → ) | 2 d 3 r {\displaystyle {\mbox{Prob}}({\vec {r}}\in V)=\int _{V}|\psi ({\vec {r}})|^{2}dV=\int _{V}|\psi ({\vec {r}})|^{2}d^{3}r} מכיוון שהמערכת חייבת להיות במיקום כלשהו, חייב להתקיים ∫ | ψ ( r → ) | 2 d V = ∫ | ψ ( r → ) | 2 d 3 r = 1 {\displaystyle \int |\psi ({\vec {r}})|^{2}dV=\int |\psi ({\vec {r}})|^{2}d^{3}r=1} כשהאינטגרל הוא על כל המרחב. תנאי זה נקרא הנירמול של פונקציית הגל. תמונה פשוטה יותר מתקבלת אם נתבונן בחלקיק היכול לנוע רק בכיוון אחד, נאמר ציר ה- x {\displaystyle x} . זוהי מערכת חד־ממדית, כלומר כדי לתאר את המערכת כל שצריך הוא להגיד מה המיקום של החלקיק על ציר ה- x {\displaystyle x} . תיאור קלאסי של המערכת יינתן על ידי x ( t ) {\displaystyle x(t)} , המיקום של החלקיק כפונקציה של הזמן. התיאור הקוונטי הוא דרך פונקציית הגל: ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} . אם נרצה לדעת איפה החלקיק בזמן כלשהו, נוכל לחשב את ההסתברות שלו להיות בכל נקודה. מכיוון ש x {\displaystyle x} הוא רציף יש אינסוף ( ℵ {\displaystyle \aleph } ) נקודות בכל תחום והסיכוי של החלקיק להיות בנקודה מסוימת שואף לאפס, אך הסיכוי של החלקיק להיות בתחום b > x > a {\displaystyle b>x>a} הוא סופי ונתון על ידי Prob ( a ≤ x ≤ b ) = ∫ a b | ψ ( x ) | 2   d x {\displaystyle {\mbox{Prob}}(a\leq x\leq b)=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\ dx} כשתנאי הנירמול הוא: 1 = ∫ − ∞ ∞ | ψ ( x ) | 2   d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\ dx} גל מישורי במימד אחד נתון על ידי: ψ ( x ) = e i k x {\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}} כאשר k {\displaystyle k} הוא מספר הגל ו- λ = 2 π k {\displaystyle \lambda ={2\pi \over k}} הוא אורך הגל. לפי השערת דה ברויי תנע הגל הוא p = ℏ k = ℏ 2 π λ {\displaystyle p=\hbar k=\hbar {2\pi \over \lambda }} ניתן לרשום את פונקציית הגל כסופרפוזיציה של גלים מישוריים: ψ ( x ) = 1 2 π ℏ ∫ ψ ~ ( p ) e i ℏ p x   d p {\displaystyle \psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int {{\tilde {\psi }}(p)e^{{i \over \hbar }px}\ dp}} כש- ψ ~ ( p ) {\displaystyle {\tilde {\psi }}(p)} היא התמרת פוריה של ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} . לכן, הפונקציה ψ ~ ( p ) {\displaystyle {\tilde {\psi }}(p)} נותנת גם היא תיאור שלם של המערכת כשההסתברות למצוא את המערכת עם תנע בתחום p 1 > p > p 2 {\displaystyle p_{1}>p>p_{2}} נתונה על ידי Prob ( p 1 > p > p 2 ) = ∫ p 1 p 2 | ψ ~ ( p ) | 2   d p {\displaystyle {\mbox{Prob}}(p_{1}>p>p_{2})=\int _{p_{1}}^{p_{2}}|{\tilde {\psi }}(p)|^{2}\ dp} כשתנאי הנירמול הוא: 1 = ∫ − ∞ ∞ | ψ ~ ( p ) | 2   d p {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {\psi }}(p)|^{2}\ dp} כתיבה של x {\displaystyle x} ו-k כווקטורים מכלילה את הרעיון לשלושה ממדים. אם נרצה לתאר חלקיק הנמצא במיקום מאוד מדויק, נכתוב את פונקציית הגל, במרחב המיקום, כפונקציית דלתא ולכן במרחב התנע הפונקציה תהיה קבועה (התמרת פורייה של פונקציית דלתא). משמעות הדבר שתנע החלקיק אינו מוגדר מכיוון שהוא יכול לקבל כל ערך באותה הסתברות. ובאותו אופן, לחלקיק בעל תנע מאוד מדויק לא יהיה מיקום מוגדר. זוהי המחשה של עקרון אי הוודאות. התפתחות מושג פונקציית הגל באה מההתנהגות הכמו-גלית של חלקיקים, שנצפתה בניסויים. בניסויים אלה נראה שהאלקטרון מתנהג כאילו מיקומו "מרוח" על כל המרחב והוא נמצא במספר רב של מקומות בו-זמנית כל עוד לא מודדים באיזה מקום הוא נמצא. בעקבות ניסוי שני הסדקים ועבודתו של לואי דה ברויי נוסח הרעיון שאת מיקומו של חלקיק ניתן לתאר כהרכבה של גלים שתיצור חבורת גלים הממורכזת סביב מיקומו ה"קלאסי" של החלקיק. שיקולים סמי-קלאסיים על תכונות של גלים הביאו להצעת הצורה הכללית של פונקציית הגל של חלקיק חופשי: ψ ( r → ) = 1 2 π ℏ ∫ ϕ ( p → ) e i ℏ p → ⋅ r →   d p {\displaystyle \psi ({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int {\phi ({\vec {p}})e^{{i \over \hbar }{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}\ dp}} כמו גל, גם הפתרון הכללי הוא בעצם טרנספורם פורייה על מרחב דואלי שלא תלוי במיקום - זהו מרחב התנע (ראה מכניקה המילטוניאנית). תיאור החלקיק על ידי פונקציית גל הסביר מדוע אלקטרונים יכלו לבצע התאבכות. כדי לקבל את התפתחות פונקציית הגל בזמן, הפעיל שרדינגר שוב שיקול סמי-קלאסי. עבור גל אור מקוונטט A = e i ( k x − ω t ) {\displaystyle A=e^{i(kx-\omega t)}} מתקיימים הקשרים הבאים: E = p c {\displaystyle E=pc} כאשר E אנרגיה, p הוא תנע ו-c מהירות האור. E = ℏ ω ; ℏ k = p {\displaystyle E=\hbar \omega \quad \quad ;\quad \quad \hbar k=p} אך עבור חלקיק חופשי מתקיים ש E = p → 2 2 m = p 2 2 m {\displaystyle E={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}={\frac {p^{2}}{2m}}} ולכן ψ ( t , r → ) = 1 2 π ℏ ∫ ϕ ( p → ) e i ℏ ( p → ⋅ r → − E p t )   d p = 1 2 π ℏ ∫ ϕ ( p → ) e i ℏ ( p → ⋅ r → − p 2 2 m t )   d p {\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int {\phi ({\vec {p}})e^{{i \over \hbar }({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-E_{p}t)}\ dp}={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int {\phi ({\vec {p}})e^{{i \over \hbar }({\vec {p}}\cdot {\vec {r}}-{p^{2} \over 2m}t)}\ dp}} בבסיס המקום (r), אופרטור התנע מוצג כ p = ℏ i ∇ → {\displaystyle p={\frac {\hbar }{i}}{\vec {\nabla }}} ולכן משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי היא: i ℏ ∂ ψ ( t , r → ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( t , r → ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})} (ניתן לראות זאת על ידי חישוב מפורש של שני אגפי המשוואה ושימוש בתכונות של נגזרות חלקיות). כדי להכליל עבור מקרה בו החלקיק איננו חופשי, אלא נתון תחת השפעת פוטנציאל, מוסיפים את הפוטנציאל למשוואה באופן הבא: i ℏ ∂ ψ ( t , r → ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ ( t , r → ) + V ( r → ) ψ ( t , r → ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (t,{\vec {r}})}{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (t,{\vec {r}})+V({\vec {r}})\psi (t,{\vec {r}})} הביטוי באגף ימין הוא ההמילטוניאן H שפועל על פונקציית הגל ומכך ניתן להסיק את הצורה הכללית של משוואת שרדינגר. ערך מורחב – קריסת פונקציית הגל קריסת פונקציית הגל היא תיאור שניתן על פי פרשנות לא מוכחת של תורת הקוונטים, פרשנות קופנהגן. זוהי התופעה שבה בכל עת שמבצעים מדידה, פונקציית הגל עוברת ממצב של סופרפוזיציה קוונטית למצב עצמי מובחן. קריסת פונקציית הגל היא תוספת חיצונית למכניקת הקוונטים ולא חלק מהפורמליזם של שרדינגר, ונילס בוהר הוסיף אותה על מנת להסביר את התופעה הניסיונית שבה כאשר מבצעים מדידה כלשהי על חלקיק קוונטי (כגון אלקטרון), אחרי שנמדד ערך מסוים, מדידות חוזרות יראו רק את הערך הזה ולא שום ערך אחר. בסימון דיראק אפשר לבטא את קריסת פונקציית הגל כך: נניח שלפני המדידה קיים חלקיק בסופרפוזיציה של שלושה מצבים עצמיים (בלי הגבלת כלליות, שווי הסתברות): | ψ ⟩ = 1 3 ( | 1 ⟩ + | 2 ⟩ + | 3 ⟩ ) {\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(|1\rangle +|2\rangle +|3\rangle \right)} נניח שמבצעים עליו מדידה, שמבדילה בין שלושת המצבים העצמיים הללו (מדידה כזאת אפשר לייצג על ידי אופרטור השלכה שהוא אינו יוניטרי). אם במדידה מקבלים את הערך העצמי "2", אזי אחרי המדידה מצב החלקיק הוא | 2 ⟩ {\displaystyle |2\rangle } והתוצאה של כל מדידה נוספת תהיה תמיד "2". קריסת פונקציית הגל מתרחשת רק לפי פרשנות קופנהגן. קיימים פירושים אחרים למכניקת הקוונטים, שבהם פונקציית הגל איננה קורסת, אחד מהם הוא פירוש העולמות המרובים. סימון דיראק משוואת הגלים משוואת שרדינגר מכניקת הקוונטים מדיה וקבצים בנושא פונקציית גל בוויקישיתוף science/symmetric-wave-function פונקציית גל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)