דמיות

במכניקת הזורמים דַּמְיוּת (נקרא גם חוק הדמיון) היא שיטה הנדסית המשתמשת באנליזה ממדית להסקת תכונות מניסויים המתבצעים בדגמים מוקטנים. נאמר כי ישנה דמיות בין שני דגמים אם קיימת ביניהם דמיות גאומטרית, דמיות קינמטית ודמיות דינמית. בהנדסה לעיתים קשה לבחון תכונות וביצועים של אבטיפוס בגודל ובתנאים מציאותיים, לכן נוח לבנות דגם, לרוב מוקטן, שישמש לניסויים. בניית דגם בקנה מידה שונה חייב להיות מלווה באנליזה שתקבע את תנאי הניסוי. בעוד הגאומטריה של הדגם משנה סקאלה, גדלים אחרים כגון: לחץ, טמפרטורה, מהירות וסוג הזורם דורשים לעיתים התאמה. כדי לקיים דמיות בין הדגם והאבטיפוס חייבים להתקיים מספר תנאים: דמיות גאומטרית - על הדגם להיות באותה צורה של האבטיפוס, לרוב בקנה מידה שונה. דמיות קינמטית - על הזרימה של הזורם בדגם לעמוד באותם קצבים ושינויי תנועה כמו בזורם של האבטיפוס, כלומר, על קווי הזרימה להיות זהים. דמיות דינמית - על יחס הכוחות הפועלים על שטח המעטפת והזורם להיות זהה בין הדגם והאבטיפוס. כדי לספק תנאים אלו נדרש לחקור את האבטיפוס והדגם: כל הפרמטרים הדרושים כדי לתאר את המערכת מתוארים באמצעות עקרונות ממכניקת הרצף. אנליזה ממדית משמשת לתאר את המערכת עם מעט משתנים ככל שניתן ועם כמה שיותר פרמטרים חסרי ממד. הפרמטרים חסרי הממד נקבעים להיות זהים בין הדגם והאבטיפוס. קביעה זו מאפשרת שמירה על דמיות דינמית בין הדגם והאבטיפוס. המשוואות המתקבלות מאפשרות לקבוע חוקים לקביעת התנאים בניסויים על המודל. לעיתים קרובות בלתי אפשרי להשיג דמיות מדויקת במהלך בדיקת מודל. ככל שקיים שוני גדול יותר בין תנאי המציאות לבין המודל המוקטן, כך קשה יותר ליצור דמיות. במקרים אלה כמה היבטים של דמיות עשויים להיות מוזנחים, כאשר מתמקדים רק בפרמטרים החשובים ביותר. העיצוב של כלי שיט נשאר יותר בתחום האמנות מאשר מדע במידה רבה משום שדמיות דינמית היא קשה במיוחד להשגה עבור כלי שקוע בחלקו: ספינה מושפעת על ידי כוחות רוח הנגרמת על ידי האוויר מעליה, על ידי כוחות הידרודינמיים במים מתחתיה, ובמיוחד על ידי תנועות גלים בממשק שבין המים והאוויר. דרישות קנה המידה לכל אחת מתופעות אלה שונות. מודלים לא יכולים לשכפל את מה שקורה לספינה בגודל מלא בצורה טובה כפי שאפשר לעשות למטוסים או צוללות, משום שכל אחד מהם פועל במדיום אחד. דמיות היא מונח המשמש באופן נרחב במכניקת שבר הנוגעת להתעייפות ולעיבורים. בתנאי העמסה, נזק התעייפות בדגמים מחורצים דומה לזו של דגמים בלתי מחורצים. דמיות מצביעה על כך שנזקי התעייפות של שני האובייקטים יהיו גם דומים. נתבונן בדגם מוקטן של צוללת בגודל של 1/40 מהדגם המקורי. הדגם המקורי ממוקם במי-ים בטמפ' 0.5 מעלות צלזיוס, ונע במהירות של 5 מטרים לשנייה. המודל יבחן במים מתוקים בטמפ' של 20 מעלות צלזיוס. יש למצוא את הכח הדרוש לצוללת לפעול במהירות הנתונה. נבנה תרשים גוף חופשי ואת מערכות היחסים הרלוונטיות של כוח ומהירות לפי שימוש בטכניקות ממכניקת רצף. המשתנים המתארים את המערכת הם: יש לדוגמה זו חמישה משתנים בלתי תלויים ושלוש יחידות בסיסיות. היחידות הבסיסיות הן: מטר, קילוגרם ושנייה. על סמך התאוריה של בקינגהאם, ניתן לתאר את המערכת על ידי שני מספרים נטולי ממדים ומשתנה אחד עצמאי. אנליזה ממדית משמשת לארגון מחדש של היחידות כדי ליצור את מספר ריינולדס (Re) ומקדם לחץ (Cp). מספרים נטולי ממדים אלה לוקחים בחשבון את כל המשתנים שצוינו לעיל, למעט F, אשר יהיה מבחן המדידה. מאחר שהפרמטרים נטולי הממדים יישארו קבועים לבדיקה והן ביישום האמיתי, הם ישמשו לגיבוש חוקי קנה מידה לבדיקה. נפתור: R e = ( ρ V L μ ) ⟶ V model = V application × ( ρ a ρ m ) × ( L a L m ) × ( μ m μ a ) C p = ( 2 Δ p ρ V 2 ) , F = Δ p L 2 ⟶ F application = F model × ( ρ a ρ m ) × ( V a V m ) 2 × ( L a L m ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&R_{e}=\left({\frac {\rho VL}{\mu }}\right)&\longrightarrow &V_{\text{model}}=V_{\text{application}}\times \left({\frac {\rho _{a}}{\rho _{m}}}\right)\times \left({\frac {L_{a}}{L_{m}}}\right)\times \left({\frac {\mu _{m}}{\mu _{a}}}\right)\\&C_{p}=\left({\frac {2\Delta p}{\rho V^{2}}}\right),F=\Delta pL^{2}&\longrightarrow &F_{\text{application}}=F_{\text{model}}\times \left({\frac {\rho _{a}}{\rho _{m}}}\right)\times \left({\frac {V_{a}}{V_{m}}}\right)^{2}\times \left({\frac {L_{a}}{L_{m}}}\right)^{2}.\end{aligned}}} הלחץ אינו אחד מ-5 המשתנים אבל הכוח כן. הפרש הלחצים הוחלף בF/L^2 במקדם הלחץ. נקבל אם כך מהירות של: V model = V application × 21.9 {\displaystyle V_{\text{model}}=V_{\text{application}}\times 21.9} . נערוך בדיקת מודל במהירות זו והכוח שנמדד במודל לאחר מכן מחושב על מנת למצוא את הכוח שניתן לצפות ליישום האמיתי. F application = F model × 3.44 {\displaystyle F_{\text{application}}=F_{\text{model}}\times 3.44} אם כך, הכוח הנדרש על ידי הצוללת הוא: P [ W ] = F application × V application = F model [ N ] × 17.2   m / s {\displaystyle P[\mathrm {W} ]=F_{\text{application}}\times V_{\text{application}}=F_{\text{model}}[\mathrm {N} ]\times 17.2\ \mathrm {m/s} } ניתן לשים לב שלמרות שהמודל בקנה מידה קטן יותר, מהירות המים צריכה להיות מוגברת לבדיקה. תוצאה זו מראה כיצד דמיות בטבע היא לעיתים קרובות לא אינטואיטיבית. דמיות מנוצלת היטב למספר רב של בעיות הנדסיות ומהווה את הבסיס של נוסחאות ספרי לימוד רבות ומספרים נטולי ממדים. נוסחאות ומספרים אלה קלים לשימוש, ללא צורך לחזור על המשימה המפרכת של אנליזה ממדית וגזירת נוסחה. פישוט של נוסחאות (על ידי הזנחת היבטים מסוימים של דמיות) הוא נפוץ, וצריך להיבדק על ידי המהנדס לכל יישום. דמיות יכולה לשמש כדי לחזות את הביצועים של עיצוב חדש המבוסס על נתונים מעיצובים דומים קיימים. במקרה זה, המודל הוא העיצוב הקיים. שימוש נוסף של דמיות ודגמים הוא באימות של סימולציות מחשב עם המטרה הסופית של ביטול הצורך במודלים פיזיים לגמרי. יישום נוסף של דמיות הוא להחליף את הנוזל הפועל עם נוזל בדיקה שונה. במנהרות רוח, למשל, יש בעיה עם אוויר בתנאים מסוימים ולכן משתמשים לעיתים בהליום. יישומים אחרים עשויים לפעול בנוזלים מסוכנים או יקרים כך שהבדיקה מתבצעת בתחליף נוח יותר. חלק מהיישומים הנפוצים של דמיות ומספרים נטולי ממדים: זרימה בלתי דחיסה - מספר ריינולדס, מקדם לחץ (מספר פרוד ומספר וובר) זרימה דחיסה - מספר ריינולדס, מספר מאך, מספר פרנטל, יחס קיבולות חום דחיסות צנטריפוגלית - מספר ריינולדס, מספר מאך, מקדם לחץ, יחס מהירויות עובי שכבות גבול - מספר ריינולדס, מספר וומרסלי, דמיות דינאמית