תורת הקטגוריות

תורת הקטגוריות היא תורה מתמטית המנתחת בצורה מופשטת מבנים מתמטיים ואת היחסים ביניהם. הרעיון המרכזי בה הוא להציג ולפתח רעיונות אקסיומטיים המצויים במבנים מתמטיים מוכרים רבים, וכך להוכיח טענות פרטניות בעזרת כלים מופשטים. בבסיסה נמצאים אובייקטים ומורפיזמים, שהם מעברים בין האובייקטים בעלי תכונות שונות. הוכחות רבות נעשות על דיאגרמות קומוטטיביות תוך מעקב אחרי מורפיזמים שונים. בפיתוחה של תורת הקטגוריות החלו סמואל איילנברג (Samuel Eilenberg) וסאונדרס מקליין (Saunders MacLane) בשנים 1945–1942. לתורת הקטגוריות יישומים גם בתחומים כמו מדעי המחשב ופיזיקה. ערך מורחב – קטגוריה (מתמטיקה) המונחים הבסיסיים ביותר בתורת הקטגוריות הם הקטגוריה, בהם יש אובייקטים ומורפיזמים. קטגוריה היא אוסף של אובייקטים, כך שמתקיים: לכל שני אובייקטים X , Y {\displaystyle X,Y} יש קבוצת מורפיזמים, המסומנת Hom ( X , Y ) {\displaystyle {\mbox{Hom}}(X,Y)} . לכל f ∈ Hom ( X , Y ) {\displaystyle f\in {\mbox{Hom}}(X,Y)} מסמנים f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} . לכל אובייקטים X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} יש פעולת הרכבה אסוציאטיבית ∘ : Hom(X,Y) × Hom(Y,Z) → Hom(X,Z) {\displaystyle \circ :{\mbox{Hom(X,Y)}}\times {\mbox{Hom(Y,Z)}}\to {\mbox{Hom(X,Z)}}} . לכל אובייקט A {\displaystyle A} קיים I A ∈ Hom(A,A) {\displaystyle I_{A}\in {\mbox{Hom(A,A)}}} , כך שלכל אובייקט B {\displaystyle B} ולכל f ∈ Hom(A,B) {\displaystyle f\in {\mbox{Hom(A,B)}}} ולכל g ∈ Hom(B,A) {\displaystyle g\in {\mbox{Hom(B,A)}}} מתקיים f ∘ I A = f , I A ∘ g = g {\displaystyle f\circ I_{A}=f,I_{A}\circ g=g} . מורפיזם f : a → b {\displaystyle f\colon a\rightarrow b} נקרא מונומורפיזם אם יש צמצום מימין: כאשר   f ∘ g 1 = f ∘ g 2 {\displaystyle \ f\circ g_{1}=f\circ g_{2}} אז מתקיים g 1 = g 2 {\displaystyle g_{1}=g_{2}} . הוא נקרא אפימורפיזם אם יש צמצום משמאל, ואיזומורפיזם אם קיים לו הפכי - כלומר קיים מורפיזם כך ש- f ∘ g = I , g ∘ f = I {\displaystyle f\circ g=I,g\circ f=I} . תכונות אלו של מורפיזמים מכלילות תכונות מוכרות מתחומים אחרים, כמו תורת הקבוצות, טופולוגיה אלגברית, אלגברה ועוד. הן מהוות את הבסיס המשותף למורפיזמים אלו בקטגוריות השונות. ערך מורחב – פונקטור קטגוריה היא בעצמה מבנה מתמטי, ולכן ניתן לחפש תהליכים אשר משמרים את מבנה הקטגוריה. תהליך כזה מכונה פונקטור (functor). פונקטור בין קטגוריות F : C → D {\displaystyle F\colon C\to D} מתאים לכל אובייקט X ∈ C {\displaystyle X\in C} אובייקט F ( X ) ∈ D {\displaystyle F(X)\in D} , ולכל מורפיזם בקטגוריה הראשונה f : X 1 → X 2 {\displaystyle f\colon X_{1}\to X_{2}} מורפיזם בקטגוריה שנייה F ( f ) : F ( X 1 ) → F ( X 2 ) {\displaystyle F(f)\colon F(X_{1})\to F(X_{2})} , כך שההרכבה נשמרת: F ( f 1 ∘ f 2 ) = F ( f 1 ) ∘ F ( f 2 ) {\displaystyle F(f_{1}\circ f_{2})=F(f_{1})\circ F(f_{2})} . פונקטור המשמר את ההרכבה נקרא פונקטור קו-וריאנטי, ופונקטור שהופך את סדר ההרכבה נקרא פונקטור קונטרא-וריאנטי. דוגמאות לפונקטורים מיוחדים הן פונקטור צמוד, פונקטור חופשי, פונקטור מדויק. לפונקטורים תפקיד חשוב בתחומים שונים במתמטיקה. הם מהווים התאמות בין סוגים שונים של אובייקטים, העוזרים לחקור את המבנה של האובייקטים הללו. רעיון זה הוא בסיסי, והוא צץ לראשונה בתחום הטופולוגיה האלגברית. באופן זה בעיות טופולוגיות קשות מיתרגמות לבעיות אלגבריות, שלעיתים פשוט יותר לפתור. לעיתים מחפשים התאמות שהן במובן מסוים טבעיות. המונח הפורמלי לכך הוא העתקה טבעית בין פונקטורים - זוהי התאמה ששומרת על פעולות ביחס לפונקטורים. ערך מורחב – אוניברסליות (תורת הקטגוריות) אוניברסליות היא תכונה של אובייקט כללי ביותר בקטגוריה מסוימת. אובייקט אוניברסלי המקיים תכונה מסוימת, מתקשר בעזרת מורפיזם יחיד לכל האובייקטים האחרים המקיימים תכונה זו. קיומו לא תמיד מובטח, אך אם הוא קיים - הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם. זוהי דוגמה להגדרה קטגורית טהורה, המסתמכת אך ורק על מבנה קטגוריה ולא על המבנה הפנימי של קטגוריה ספציפית. בעזרת רעיון זה ניתן למשל להגדיר מכפלת אובייקטים, כך שתקיים תכונה אוניברסלית מתאימה. במבנים מתמטיים 'רגילים' שואלים לעיתים קרובות מתי שני מבנים הם "שקולים" - כלומר הם הלכה למעשה אותו המבנה. גם בתורת הקטגוריות יש מינוח דומה - שתי קטגוריות C , D {\displaystyle C,D} הן קטגוריות שקולות, אם יש פונקטורים F : C → D , G : D → C {\displaystyle F\colon C\to D,G\colon D\to C} כך שיש העתקה טבעית F G → I D {\displaystyle FG\to I_{D}} , G F → I C {\displaystyle GF\to I_{C}} . שקילות בין קטגוריות פירושה שטענה על כל אחת מהקטגוריות ניתן לתרגם בהתאמה מלאה לטענה על השנייה. תורת הקבוצות היא תחום קרוב לתורת הקטגוריות. בשני התחומים הבסיס הוא חקר העתקות ותכונות שלהם. תורת הקטגוריות לוקחת רעיונות מתורת הקבוצות, כמו זה של פונקציה (מורפיזם), פונקציה חד-חד-ערכית (מונומורפיזם) ואיזומורפיזם, ונותנת להן מינוח כללי. פורמלית, אוסף כל הקבוצות הוא קטגוריה המסומנת Set. המורפיזמים בה הם פונקציות בין קבוצות. ההגדרה של המורפיזמים השונים במובן הקטגורי מתאימה להגדרה של פונקציות ותכונותיהן בתורת הקבוצות. היות שקבוצות הן אובייקט בסיסי במתמטיקה, יש חשיבות רבה מאוד לפונקטורים מהן לקטגוריות אחרות ולהפך. למשל, אובייקט חופשי נבנה מעל קבוצת יוצרים. המחלקה Grp המורכבת מכל החבורות הקיימות - אלו הן קבוצות שמשויכות להן פעולות בינאריות בין עצמי הקבוצה. במקרה זה המורפיזמים הם ההומומורפיזמים של החבורות. ההומומורפיזם של חבורה משמר את מבנה החבורה באופן מאוד מסוים: זהו "תהליך" הממפה חבורה אחת לשנייה באופן המעביר לחבורה השנייה אינפורמציה על מבנה החבורה הראשונה, בכך שתוצאה של הפעולה של החבורה האחת על איברים שלה תמיד עוברת אל תוצאת הפעולה של החבורה השנייה על "תמונות" האיברים בחבורה השנייה. חקר ההומומורפיזמים משמש כלי לחקר תכונות כלליות של חבורות והשלכותיהן של אקסיומות החבורות. תורת הקטגוריות נפוצה במיוחד בטופולוגיה אלגברית. בפועל, תורת הקטגוריות התפתחה מטופולוגיה אלגברית, בה הבינו לראשונה את הקשרים בין מבנים שונים, כמו מרחבים טופולוגיים וחבורה. כאשר מנסים להוכיח ששני מרחבים טופולוגיים הומיאומורפיים, ישנן מספר דרכים להפריך קיום הומיאומורפיזם: לבדוק האם שני המרחבים קשירים (קשירות נשמרת תחת הומיאומורפיזם), לבדוק את עוצמת הקבוצות, לבדוק קומפקטיות. אלו הם תנאים הכרחיים ולא מספיקים, ולעיתים לא נראית לעין תכונה המפרידה שני מרחבים. כאן נכנסת תורת הקטגוריות - על ידי פונקטור אנו מתאימים לכל מרחב טופולוגי חבורה, כמו החבורה היסודית - שלוקחת כל מרחב טופולוגי לחבורה המורכבת מכל הלולאות הסגורות שניתן ליצור במרחב עד כדי הומוטופיה ביחס לקצוות. כך, קיבלנו עוד תנאי הכרחי לקיום הומיאומורפיזם בין מרחבים טופולוגיים - היות שמדובר בפונקטור - כלומר התאמה השומרת על איזומורפיזמים - אם החבורות היסודיות שלהם לא איזומורפיות אז הם לא הומיאומורפיים. פונקטורים נוספים בטופולוגיה אלגברית הם חבורות ההומולוגיה וחבורות ההומוטופיה מסדרים גבוהים יותר. דיאגרמה (תורת הקטגוריות) מכפלה (תורת הקטגוריות) מערכת מכוונת מדיה וקבצים בנושא תורת הקטגוריות בוויקישיתוף תורת הקטגוריות, באתר MathWorld (באנגלית)