פונקציית בסיס 13 של קונוויי

פונקציית בסיס-13 של קונוויי היא פונקציה ממשית המקבלת כל ערך ממשי בכל קטע. הפונקציה המבוססת על הצגת ערכים בבסיס 13 ובבסיס 10, תוארה על ידי המתמטיקאי ג'ון הורטון קונוויי. כמו הפתרונות הלא רציפים של המשוואה הפונקציונלית של קושי, הגרף של הפונקציה צפוף במישור הממשי, והיא אינה רציפה באף נקודה. פונקציות רציפות נתפסות באופן אינטואיטיבי (ולא מדויק) כפונקציות שניתן לצייר את הגרף שלהן בלי להרים את העיפרון מהדף. לפי תפיסה אינטואיטיבית זו, אם פונקציה רציפה מקבלת בשתי נקודות שונות שני ערכים שונים, אז בדרכה מערך אחד לאחר היא תעבור גם דרך כל ערך שביניהם. זהו אכן התוכן של משפט ערך הביניים. נשאלת השאלה האם גם הכיוון ההפוך נכון: האם פונקציה העוברת בדרכה מערך אחד לאחר דרך כל ערך שביניהם, היא בהכרח רציפה? בניסוח מתמטי מגדירים פונקציה f {\displaystyle f} כ"פונקציית דארבו" אם לכל שתי נקודות a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} המקיימות f ( a ) < f ( b ) {\displaystyle f(a)<f(b)} ולכל r {\displaystyle r} המקיים   f ( a ) < r < f ( b ) {\displaystyle \ f(a)<r<f(b)} קיים c {\displaystyle c} בין a {\displaystyle a} ל- b {\displaystyle b} כך ש-   f ( c ) = r {\displaystyle \ f(c)=r} . בעזרת מושג זה ניתן לנסח את משפט ערך הביניים בתור הטענה "כל פונקציה רציפה היא פונקציית דארבו". השאלה שנוסחה קודם היא למעשה השאלה "האם כל פונקציית דארבו היא פונקציה רציפה?" התשובה לשאלה שלילית. לפי משפט דארבו כל פונקציה שיש לה פונקציה קדומה (כלומר היא הנגזרת של פונקציה כלשהי) היא פונקציית דארבו, אף שישנן פונקציות שיש להן פונקציה קדומה והן אינן רציפות. הדוגמה הטיפוסית לטענה כי לא כל פונקציית דארבו רציפה היא הפונקציה f ( x ) = sin ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle f(x)=\sin(1/x)} (כשמוסכם כי f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} ). פונקציה זו היא פונקציית דארבו בכל קטע שהוא, עם זאת היא אינה רציפה בנקודה x = 0 {\displaystyle x=0} (הפונקציה "משתוללת" בנקודה זו, ראו עקומת הסינוס של הטופולוגים). על אף שדוגמה זו מספיקה כדי להפריך את המשפט ההפוך למשפט ערך הביניים ולתת תשובה שלילית לשאלה ששאלנו, היא אינה דוגמה חזקה במיוחד. זאת משום שהפונקציה שבדוגמה אינה רציפה בנקודה יחידה בלבד, ורציפה בכל נקודה אחרת. ניתן לעדן את המשפט ההפוך כך שהדוגמה הזו לא תספיק: נשאל את השאלה, "האם פונקציית דארבו מוכרחה להיות רציפה כמעט בכל נקודה?". הפונקציה f {\displaystyle f} שהצגנו רציפה בכל נקודה פרט לאפס, ולכן אין היא מספיקה כדי לשלול את הטענה בשאלה החדשה. לשם כך הציג קונוויי פונקציה מתוחכמת מעט יותר, שהיא פונקציית דארבו לכל דבר, ובכל זאת, אינה רציפה באף נקודה. פונקציית בסיס-13 של קונוויי היא פונקציה f : ( 0 , 1 ) → R {\displaystyle f\colon (0,1)\to \mathbb {R} } המוגדרת לכל x ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle x\in (0,1)} כך: מציגים את x {\displaystyle x} בבסיס 13 בעזרת הספרות 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , S + , S − , D {\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,S^{+},S^{-},D} , כאשר S + , S − , D {\displaystyle S^{+},S^{-},D} הן הספרות המייצגות את 10,11,12 העשרוניים בהתאמה (ונמנעים מחזרה אינסופית על הספרה D {\displaystyle D} בדומה לבסיס עשרוני בו נמנעים מהייצוג 0.999... למספר 1). נניח שבייצוג של x {\displaystyle x} בבסיס 13 יש רק מספר סופי של ספרות לא עשרוניות ( S + , S − , D {\displaystyle S^{+},S^{-},D} ), ומביניהן האחרונה היא D {\displaystyle D} וזו שלפניה היא S ± {\displaystyle S^{\pm }} (כלומר S + {\displaystyle S^{+}} או S − {\displaystyle S^{-}} ). אז אפשר לכתוב x = 0. … S ± a 1 a 2 … a n D b 1 b 2 … {\displaystyle x=0.\ldots S^{\pm }a_{1}a_{2}\ldots a_{n}Db_{1}b_{2}\ldots } , כאשר שלוש הנקודות הראשונות מסמלות ספרות כלשהן, ו- a i , b i {\displaystyle a_{i},b_{i}} הן ספרות עשרוניות. במקרה כזה מגדירים f ( x ) = ± a 1 a 2 … a n . b 1 b 2 … {\displaystyle f(x)=\pm a_{1}a_{2}\ldots a_{n}.b_{1}b_{2}\ldots } , בכתיב העשרוני בו הסימן נקבע לפי הסימן של S והנקודה באמצע (במקום של D) היא נקודה עשרונית. אם הייצוג של x אינו כזה, אז f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . (הבחירה בבסיס 13 נעשתה מטעמי נוחות, כדי שהתוצאה הסופית תתקבל בבסיס עשרוני. ניתן להפעיל אותה הגדרה לכל בסיס בן 5 ספרות ומעלה, ולקבל פונקציה בעלת אותן תכונות.) דוגמאות: f ( 12345 S + 3 D 14.159 … 13 ) = f ( S + 3 D 14.159 … 13 ) = 3.14159 … {\displaystyle f(\mathrm {12345S^{+}3D14.159} \dots _{13})=f(\mathrm {S^{+}3D14.159} \dots _{13})=3.14159\dots } f ( S − 1 D 234 13 ) = − 1.234 {\displaystyle f(\mathrm {S^{-}1D234} _{13})=-1.234} f ( 1 D 234 S + 567 13 ) = 0 {\displaystyle f(\mathrm {1D234S^{+}567} _{13})=0} הפונקציה מקבלת כל ערך ממשי בכל קטע המוכל בתחום ההגדרה שלה. אכן, יהי [ c , d ] ⊆ ( 0 , 1 ) {\displaystyle [c,d]\subseteq (0,1)} קטע (המכיל יותר מנקודה אחת), ויהי r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } מספר ממשי. נבנה c < e < d {\displaystyle c<e<d} כך ש- f ( e ) = r {\displaystyle f(e)=r} . נייצג את c , d {\displaystyle c,d} בבסיס 13 ואת r {\displaystyle r} בבסיס עשרוני:   r = ± A 1 A 2 … A n . B 1 B 2 … ;     c = 0. X 1 X 2 … X m C 1 C 2 … ;     d = 0. X 1 X 2 … X m D 1 D 2 … {\displaystyle \ r=\pm A_{1}A_{2}\ldots A_{n}.B_{1}B_{2}\ldots ;\ \ c=0.X_{1}X_{2}\ldots X_{m}C_{1}C_{2}\ldots ;\ \ d=0.X_{1}X_{2}\ldots X_{m}D_{1}D_{2}\ldots } כאשר X i {\displaystyle X_{i}} הם האיברים המשותפים בתחילת ההצגה של c {\displaystyle c} ו- d {\displaystyle d} (אם ישנם כאלו). נשים לב כי קיים N > 1 {\displaystyle N>1} כך ש- C N ≠ D {\displaystyle C_{N}\neq D} (כי נמנענו מהצגות בהן יש חזרה אינסופית על D {\displaystyle D} ). עתה נבנה את e {\displaystyle e} :   e = 0. X 1 X 2 … X m C 1 C 2 … C N − 1 D S ± A 1 A 2 … A n D B 1 B 2 … {\displaystyle \ e=0.X_{1}X_{2}\ldots X_{m}C_{1}C_{2}\ldots C_{N-1}DS^{\pm }A_{1}A_{2}\ldots A_{n}DB_{1}B_{2}\ldots } e {\displaystyle e} קטן מ- d {\displaystyle d} כי הייצוג שלו זהה לשל d {\displaystyle d} עד הנקודה בה מתקיים D 1 > C 1 {\displaystyle D_{1}>C_{1}} (מכיוון ש- d > c {\displaystyle d>c} ), והוא גדול מ-c כי הייצוג שלו זהה לו עד הנקודה בה מתקיים C N < D {\displaystyle C_{N}<D} . לפי הגדרת הפונקציה, התמונה של e {\displaystyle e} היא f ( e ) = ± A 1 A 2 … A n . B 1 B 2 … = r {\displaystyle f(e)=\pm A_{1}A_{2}\ldots A_{n}.B_{1}B_{2}\ldots =r} , כפי שרצינו. מכאן נובעת מיד תכונת דארבו, והפונקציה אינה יכולה להיות רציפה באף נקודה: היא מקבלת ערכים לא חסומים בכל סביבה. התומך של פונקציית הבסיס-13 של קונוויי, דהיינו, קבוצת הנקודות S {\displaystyle S} שבהן היא מקבלת ערך שונה מאפס, היא קבוצה מעניינת בפני עצמה, הדומה בתכונותיה לקבוצת קנטור. העוצמה של S {\displaystyle S} היא עוצמת הרצף (כי f {\displaystyle f} מתאימה אותה על הרצף) והיא צפופה בקטע ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} . מידת לבג של S {\displaystyle S} היא 0, כי היא חלקית לקבוצת המספרים שאינם נורמליים (כי בייצוג של כל איבר ב- S {\displaystyle S} בבסיס 13 הספרות   S + , S − , D {\displaystyle \ S^{+},S^{-},D} מופיעות רק מספר סופי של פעמים), שלפי הלמה של בורל-קנטלי מידתה אפס. מהגדרת הפונקציה נובע ש- S {\displaystyle S} היא קבוצת בורל. פונקציית ויירשטראס - פונקציה רציפה שאינה גזירה באף נקודה.