אלגוריתם אוקלידס

אלגוריתם אוקלידס הוא אלגוריתם אריתמטי המאפשר למצוא, בהינתן שני מספרים טבעיים, את המחלק המשותף המקסימלי שלהם. התיעוד הקדום ביותר של האלגוריתם הוא בספר יסודות של אוקלידס, בסביבות שנת 300 לפני הספירה. זהו אחד האלגוריתמים העתיקים ביותר הנמצאים בשימוש היום. האלגוריתם הוא אחד מהכלים המרכזיים בתורת המספרים ויש לו שימושים רבים, לדוגמה בצופן RSA. המחלק המשותף המקסימלי של מספרים, המסומן gcd { a , b } {\displaystyle \gcd\{a,b\}} , היא פעולה המקבלת שני מספרים טבעיים, ומחזירה את המספר הגדול ביותר שמחלק את שניהם. לדוגמה, המחלק המשותף המקסימלי של 36 ו-24 הוא 12, מאחר שהמספר מחלק את שניהם ואין מספר גדול יותר בעל תכונה זאת. תמיד יש מספר כזה כיוון שהמספר אחד מחלק כל מספר. ואכן המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים ראשוניים (כלומר זרים) הוא אחד. דרך אפשרית למציאת המחלק המשותף המקסימלי היא פירוק שני המספרים לגורמים ראשוניים, והכפלת הגורמים המשותפים. בדוגמה הנ"ל, הפירוק לראשוניים של 36 הוא ‎2×2×3×3 ושל 24 הוא ‎2×2×2×3, הגורמים המשותפים הם 2, 2 ו-3, ומכפלתם היא 12. דרך זו היא אינטואיטיבית, אך אינה שימושית עבור מספרים גדולים, כי פירוק לגורמים הוא פעולה מורכבת ואין שיטה פשוטה לחישובו. אלגוריתם אוקלידס מאפשר את מציאת המחלק המשותף המקסימלי ללא פירוק לגורמים, בדרך פשוטה יחסית. למעשה, שיטות מתקדמות לפירוק לגורמים (לדוגמה אלגוריתם נפת שדה מספרים) משתמשות באלגוריתם אוקלידס. האלגוריתם מבוסס על העיקרון הבא: הוספת כפולה של אחד המספרים למספר השני, אינה משנה את המחלק המשותף הגדול ביותר. בניסוח מתמטי, אם a , b , q {\displaystyle a,b,q} מספרים טבעיים אז מתקיים: gcd { a , b } = gcd { a , b + q a } {\displaystyle \gcd\{a,b\}=\gcd\{a,b+qa\}} . בתכונה זו ניתן להשתמש בכיוון ההפוך – במקום להגדיל את אחד המספרים, מקטינים אותו: לכל זוג מספרים a > b {\displaystyle a>b} , ניתן לחשב את השארית r {\displaystyle r} מחלוקת a {\displaystyle a} ב- b {\displaystyle b} , כאשר a = q b + r , 0 ≤ r ≤ b − 1 {\displaystyle a=qb+r,0\leq r\leq b-1} . מכאן מתקבל השוויון gcd { a , b } = gcd { b , r } {\displaystyle \gcd\{a,b\}=\gcd\{b,r\}} , שבו הוחלף המספר הגדול a {\displaystyle a} במספר r {\displaystyle r} קטן יותר משני המספרים המקוריים, בלי לשנות את המחלק המשותף. אפשר להמשיך בתהליך שוב ושוב עם מספרים קטנים יותר ויותר, עד שמגיעים לזוג שאחד המספרים בו הוא 0; gcd { c , 0 } = c {\displaystyle \gcd\{c,0\}=c} , ולפיכך נמצא המחלק המשותף הגדול ביותר. באופן רקורסיבי ניתן להגדיר את האלגוריתם בצורה הבאה: לחישוב gcd { a , b } {\displaystyle \gcd\{a,b\}} כאשר a > b {\displaystyle a>b} , אם b הוא 0, התוצאה היא a. אחרת, חלק את a {\displaystyle a} ב- b {\displaystyle b} ומצא את השארית r {\displaystyle r} ; התוצאה היא gcd { b , r } {\displaystyle \gcd\{b,r\}} (שאותה יש לחשב בעזרת אותו אלגוריתם עצמו). באופן כללי, ניתן להשתמש באלגוריתם בכל חוג אוקלידי. כך לדוגמה ניתן להשתמש באלגוריתם כדי למצוא את המחלק המשותף המקסימלי של שני פולינומים מעל שדה. ראשית יש להוכיח את השוויון gcd { a , b } = gcd { a , b + q a } {\displaystyle \gcd\{a,b\}=\gcd\{a,b+qa\}} . נניח כי d {\displaystyle d} מחלק את a , b {\displaystyle a,b} . אז קיימים n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} טבעיים עבורם a = n 1 d , b = n 2 d {\displaystyle a=n_{1}d,b=n_{2}d} . מכאן b + q a = n 2 d + q n 1 d = ( n 2 + q n 1 ) d {\displaystyle b+qa=n_{2}d+qn_{1}d=(n_{2}+qn_{1})d} כלומר d {\displaystyle d} מחלק את b + q a {\displaystyle b+qa} , ומכאן שהוא מחלק משותף של a , b + q a {\displaystyle a,b+qa} . נניח כי d {\displaystyle d} מחלק את a , b + q a {\displaystyle a,b+qa} . אז קיימים n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} טבעיים עבורם a = n 1 d , b + q a = n 2 d {\displaystyle a=n_{1}d,b+qa=n_{2}d} . מכאן b = ( b + q a ) − q a = n 2 d − q n 1 d = ( n 2 − q n 1 ) d {\displaystyle b=(b+qa)-qa=n_{2}d-qn_{1}d=(n_{2}-qn_{1})d} כלומר d {\displaystyle d} מחלק את b {\displaystyle b} , ומכאן שהוא מחלק משותף של a , b {\displaystyle a,b} . קיבלנו שמספר הוא מחלק משותף של a , b {\displaystyle a,b} אם ורק אם הוא מחלק משותף של a , b + q a {\displaystyle a,b+qa} . לכן קבוצת המחלקים המשותפים של הזוגות זהה, ובפרט האיבר המקסימלי שלהם זהה. מכאן gcd { a , b } = gcd { a , b + q a } {\displaystyle \gcd\{a,b\}=\gcd\{a,b+qa\}} . נחשב את המחלק המשותף המקסימלי של 1071 ו-462, או gcd { 1071 , 462 } {\displaystyle \gcd\{1071,462\}} : 462 נכנס ב-1071 פעמיים, והשארית היא 147. לפיכך עלינו למצוא את gcd { 462 , 147 } {\displaystyle \gcd\{462,147\}} . 147 נכנס ב-462 שלוש פעמים, והשארית היא 21. לפיכך עלינו למצוא את gcd { 147 , 21 } {\displaystyle \gcd\{147,21\}} . 21 נכנס ב-147 7 פעמים בדיוק, כלומר בשארית 0. לפיכך עלינו למצוא את gcd { 21 , 0 } {\displaystyle \gcd\{21,0\}} . מאחר שהמספר הקטן הוא 0, התשובה היא 21, וזו גם התשובה לשאלה המקורית. לפתרון ניתן לתת משמעות גאומטרית כמודגם באיור: 21 הוא אורך הצלע של האריח הריבועי הגדול ביותר שמאפשר לרצף במדויק את המלבן שצלעותיו הן 1071 ו-462. דוגמה למימוש האלגוריתם בצורה רקורסיבית בקוד (פייתון) def gcd(a, b): if b == 0: return a return gcd(b, a % b) מבחינת סיבוכיות חישובית, האלגוריתם יעיל. מספר הפעולות הנדרשות לביצוע אינו עולה על log φ ⁡ ( a ) {\displaystyle \log _{\varphi }(a)} ( φ {\displaystyle \varphi } הוא יחס הזהב). על כן הסיבוכיות שלו היא לוגריתמית. ניתן להגיד שמספר הפעולות אינו עולה על פי-5 ממספר הספרות. המקרה הגרוע ביותר (worst case) הוא כאשר מדובר בשני מספרי פיבונאצ'י עוקבים; זאת, כיוון שככל שהמנה המתקבלת בפעולות החילוק קטנה יותר, המספר קָטֵן פחות, ויש צורך ביותר פעולות. במספרי פיבונאצ'י כל המנות הן 1, ועל כן התהליך הוא הארוך ביותר. תכונה זו נתגלתה על ידי גבריאל לאמה. אחת התכונות החשובות של המחלק המשותף המקסימלי היא שניתן להציג אותו בצורה הבאה: gcd { a , b } = n 1 a + n 2 b {\displaystyle \gcd\{a,b\}=n_{1}a+n_{2}b} , כאשר n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} שלמים. ניתן לחשב את n 1 , n 2 {\displaystyle n_{1},n_{2}} באמצעות אלגוריתם אוקלידס בעזרת התכונה שאם כל פעם השתמשנו ב- a = r + q b {\displaystyle a=r+qb} , אז r = a − q b {\displaystyle r=a-qb} . לפיכך, אם אנחנו יודעים בשלב מסוים איך להציג את שני המספרים a , b {\displaystyle a,b} בצורה n 1 a + n 2 b {\displaystyle n_{1}a+n_{2}b} (ההתחלה פשוטה: n 1 = 1 , n 2 = 0 {\displaystyle n_{1}=1,n_{2}=0} או להפך) ניתן להציב בביטוי r = a − q b {\displaystyle r=a-qb} ולהתקדם בשלבי האלגוריתם עד להצגה הרצויה. לדוגמה, נמצא בדוגמה להלן את ההצגה של 10 כ- 100 n 1 + 230 n 2 {\displaystyle 100n_{1}+230n_{2}} : 230 = 0 ⋅ 100 + 1 ⋅ 230 {\displaystyle 230=0\cdot 100+1\cdot 230} 100 = 1 ⋅ 100 + 0 ⋅ 230 {\displaystyle 100=1\cdot 100+0\cdot 230} 30 = 230 − 2 ⋅ 100 = − 2 ⋅ 100 + 1 ⋅ 230 {\displaystyle 30=230-2\cdot 100=-2\cdot 100+1\cdot 230} 10 = 100 − 3 ⋅ 30 = 100 − 3 ⋅ ( − 2 ⋅ 100 + 1 ⋅ 230 ) = 7 ⋅ 100 − 3 ⋅ 230 {\displaystyle 10=100-3\cdot 30=100-3\cdot (-2\cdot 100+1\cdot 230)=7\cdot 100-3\cdot 230} לפיכך: n 1 = 7 , n 2 = − 3 {\displaystyle n_{1}=7,n_{2}=-3} . האלגוריתם המורחב שימושי בחשבון מודולרי, למשל לצורך מציאת הופכי כפלי מודולרי, עבור שני מספרים זרים. מידת סיבוכיות האלגוריתם המורחב היא מאותו סדר גודל של הרגיל, מאחר שאין צורך לבצע איטרציות נוספות אלא רק חישובים בסיסיים. מחלק משותף מקסימלי מדיה וקבצים בנושא אלגוריתם אוקלידס בוויקישיתוף אלגוריתם אוקלידס, באתר MathWorld (באנגלית) מימוש האלגוריתם רקורסיבית בשפת C# או C או ++C מימוש האלגוריתם רקורסיבית ב-Python מימוש האלגוריתם רקורסיבית ב-JS אלגוריתם אוקלידס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) הסבר אלגוריתם אוקלידס המורחב (אנגלית )