קריטריון המהירות הקריטית של לנדאו

קריטריון המהירות הקריטית של לנדאו (Landau’s critical velocity criterion) נוסח על ידי הפיזיקאי היהודי-סובייטי זוכה פרס נובל לב לנדאו. קריטריון זה מתאר את המהירות הקריטית שמעליה הפרעה שנעה בנוזל על תיצור בו עירורים שיגרמו להיווצרות של צמיגות, ולפיכך יציאה מפאזת נוזלות על. בהרבה מובנים, נוזל על מתנהג כמו ריק, כיוון שכל אטומי הנוזל מצויים במצב היסוד, והוא מאופיין באפס צמיגות. לנוזל העל אין אנרגיה כלל כל עוד הוא נמצא במנוחה ביחס למערכת המעבדה. הפרעה במסה M {\displaystyle M} אשר מתקדמת בנוזל במהירות v {\displaystyle v} , כגון כדור מתכת, לא תגרום לאיבוד או החלפת תנע עם הנוזל, ובהתאם אף אטום בנוזל על לא יעורר לרמה אחרת מרמת היסוד. רק כאשר ההפרעה תנוע במהירות מספיק גבוהה היא תגרום לעירור אטומי הנוזל מרמת היסוד ולפיכך לא תחוש יותר אפס צמיגות. לפיכך המהירות הקריטית v c {\displaystyle v_{c}} שעבורה הפרעה הנעה במהירות גדולה ממנה תיצור עירורים באטומי הנוזל, ומתחתיה לא תיצור, מהווה קריטריון לפאזת נוזלות על. נניח הפרעה במסה M {\displaystyle M} אשר מתקדמת בנוזל במהירות יחסית v → {\displaystyle {\vec {v}}} . אם תגרום לעירור אלמנטרי באטום יחיד כך שיהיה בעל תנע ℏ k → {\displaystyle \hbar {\vec {k}}} ואנרגיה ϵ k {\displaystyle \epsilon _{k}} (עם יחס נפיצה מתאים), הרי שאפשר למצוא תנאי על המהירות כך שמתאפשר עירור כזה עבור יחס נפיצה נתון. בהינתן כי ההפרעה מעוררת את האטום, הרי שכתוצאה מכך תאבד ממהירותה, שתהיה כעת u → {\displaystyle {\vec {u}}} . דבר אשר בתמונה המאקרוסקופית מתואר על ידי צמיגות הנוזל, שכעת אינה אפס. משיקולי שימור אנרגיה נקבל: 1 2 M v 2 = 1 2 M u 2 + ϵ k {\displaystyle {\frac {1}{2}}Mv^{2}={\frac {1}{2}}Mu^{2}+\epsilon _{k}} ומשימור תנע: M v → = M u → + ℏ k → {\displaystyle M{\vec {v}}=M{\vec {u}}+\hbar {\vec {k}}} לאחר העברת אגפים: M v → − ℏ k → = M u → {\displaystyle M{\vec {v}}-\hbar {\vec {k}}=M{\vec {u}}} לאחר העלאה בריבוע נקבל: M 2 v 2 + ℏ 2 k 2 − 2 M ℏ v → ⋅ k → = M 2 u 2 {\displaystyle M^{2}v^{2}+\hbar ^{2}k^{2}-2M\hbar {\vec {v}}\cdot {\vec {k}}=M^{2}u^{2}} כפל בביטוי 1 2 M {\displaystyle {\frac {1}{2M}}} יאפשר לנו להגיע לביטוי דומה לשימור אנרגיה: 1 2 M v 2 + 1 2 M ℏ 2 k 2 − ℏ v → ⋅ k → = 1 2 M u 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}Mv^{2}+{\frac {1}{2M}}\hbar ^{2}k^{2}-\hbar {\vec {v}}\cdot {\vec {k}}={\frac {1}{2}}Mu^{2}} ולאחר הצבת הקשר של שימור האנרגיה נקבל: ℏ v → ⋅ k → = ϵ k + 1 2 M ℏ 2 k 2 {\displaystyle \hbar {\vec {v}}\cdot {\vec {k}}=\epsilon _{k}+{\frac {1}{2M}}\hbar ^{2}k^{2}} ניתן לראות כי בהינתן תנע ℏ k → {\displaystyle \hbar {\vec {k}}} , הערך המינימלי של המהירות v {\displaystyle v} אשר עדיין מקיים שימור אנרגיה ותנע, כלומר את המשוואה שהתקבלה, יתקבל כאשר v → ∥ k → {\displaystyle {\vec {v}}\parallel {\vec {k}}} . כלומר, המינימום הכללי של המהירות אשר אינו מפר שימור תנע ואנרגיה הוא: v c = min k ϵ k + 1 2 M ℏ 2 k 2 ℏ k {\displaystyle v_{c}=\min _{k}{\frac {\epsilon _{k}+{\frac {1}{2M}}\hbar ^{2}k^{2}}{\hbar k}}} או באופן שקול, במונחי התנע ( p → = ℏ k → {\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}} ): v c = min p ϵ p + p 2 2 M p {\displaystyle v_{c}=\min _{p}{\frac {\epsilon _{p}+{\frac {p^{2}}{2M}}}{p}}} כאשר כיוון המהירות הוא כאמור ככיוון וקטור הגל. לפיכך, הפרעה שנעה במהירות v < v c {\displaystyle v<v_{c}} לא תוכל, משיקולי שימור תנע ואנרגיה, לגרום לעירור של ולו אטום בודד בנוזל ולכן הנוזל יהיה נוזל על. מנגד, עבור הפרעה שנעה במהירות v > v c {\displaystyle v>v_{c}} ייתכנו עירורים של מצב היסוד ולכן יתרחש מעבר פאזה מנוזלות על. בהרבה מקרים, נוח להסתכל על הקירוב עבורו מסת ההפרעה מאוד גדולה ביחס לשאר גודלי המערכת, כלומר M >> ℏ 2 k 2 ϵ k {\displaystyle M>>{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{\epsilon _{k}}}} , עבורו מתקיים: v c = min k ϵ k ℏ k {\displaystyle v_{c}=\min _{k}{\frac {\epsilon _{k}}{\hbar k}}} או באופן שקול, במונחי התנע: v c = min p ϵ p p {\displaystyle v_{c}=\min _{p}{\frac {\epsilon _{p}}{p}}} זהו קירוב סביר כאשר מדובר בנוזל בתוך צינור אשר נע במהירות יחסית ביחס למערכת הצינור. הוא נע ללא חיכוך עד אשר מהירותו על דפנות הצינור עוברת את המהירות הקריטית, שם הצמיגות של השכבה החיצונית נהית גדולה מאפס. יחס הנפיצה של חלקיק חופשי הוא ϵ p = p 2 2 M {\displaystyle \epsilon _{p}={\frac {p^{2}}{2M}}} . ולכן המהירות הקריטית של חלקיק חופשי היא v c = min p p 2 M p = min p p M = 0 {\displaystyle v_{c}=\min _{p}{\frac {p^{2}}{Mp}}=\min _{p}{\frac {p}{M}}=0} . לפיכך חלקיקים חופשיים אינם יכולים להגיע לפאזת נוזלות על. באנרגיות נמוכות, יחס הנפיצה של פונונים הוא בקירוב ליניארי - ϵ p = p v s {\displaystyle \epsilon _{p}=pv_{s}} , כאשר v s {\displaystyle v_{s}} היא מהירות הקול. לפיכך, עבור הפרעה מאסיבית, המהירות הקריטית היא v c = min p p v s p = v s {\displaystyle v_{c}=\min _{p}{\frac {pv_{s}}{p}}=v_{s}} . לפיכך, הפרעה שנעה במהירות הקטנה ממהירות הקול לא תיצור עירורים בחומר. בפועל, בנוזלי על כגון הליום נוזלי, קיימים עירורים נוספים, הרוטונים, כך שיחס הנפיצה שונה במקצת ובהתאם המהירות הקריטית נמוכה יותר ממהירות הקול. נוזל-על עיבוי בוז-איינשטיין נוזלות-על בהליום-4 (אנגלית) ריק כנוזל על (אנגלית) Langer, J. S., & Fisher, M. E. (1967). Intrinsic Critical Velocity of a Superfluid. Physical Review Letters, 19(10), 560–563. P. Kapitza. Viscosity of liquid helium below the λ-point. Nature, 141:74, 1938 J. F. Allen and A. D. Misener. Flow of liquid helium II. Nature, 141:75–75, 1938 L.D. Landau, The Theory of Superfluidity of Helium II, J. Phys. USSR, 1941, עמ' 5-71 Charles Kittel and Herbert Kroemer, 7, Thermal Physics, 2nd edition, W. H. Freeman, 1980 CalTech, Week 1 - Superfluidity Yoshihisa Yamamoto, Superfluidity D.G. Henshaw and A.D.B. Woods, Modes of Atomic Motions in Liquid Helium by Inelastic Scattering of Neutrons, Physical Review 121, 1961, עמ' 1266-1274