סדרת פונקציות

סדרת פונקציות היא סדרה של פונקציות. לסדרות של פונקציות יישומים במספר תחומים במתמטיקה, לרבות מספר תחומים באנליזה - חשבון אינפיניטסימלי, אנליזה מרוכבת, אנליזת פורייה, תורת המידה ועוד. באופן פורמלי, סדרה של פונקציות היא פונקציה מקבוצת הטבעיים אל מרחב פונקציות מסוים, המתאימה לכל מספר טבעי פונקציה, שמסמנים   f n ( x ) {\displaystyle \ f_{n}(x)} . כך מתקבלת סדרה אינסופית של פונקציות:   { f n } n = 1 ∞ = f 1 , f 2 , f 3 . . . {\displaystyle \ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }=f_{1},f_{2},f_{3}...} . דוגמה: נגדיר את הסדרה הבאה , { f n } n = 1 ∞ : N → R R {\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} , על ידי   f n ( x ) = x n − 1 {\displaystyle \ f_{n}(x)=x^{n-1}} . זוהי למעשה סדרת המונומים   1 , x , x 2 , x 3 , ⋯ {\displaystyle \ 1,x,x^{2},x^{3},\cdots } . בסדרות פונקציות ממשיות, בניגוד לסדרות מספרים ממשיים, יש מספר סוגי התכנסות: התכנסות נקודתית, התכנסות במידה שווה, התכנסות בנורמה, התכנסות במידה. ערך מורחב – התכנסות נקודתית אומרים שהסדרה   { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת נקודתית ב־   x = x 0 {\displaystyle \ x=x_{0}} אם הסדרה   { f n ( x 0 ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}(x_{0})\}_{n=1}^{\infty }} (שימו לב שמדובר בסדרת מספרים ממשיים) מתכנסת. אומרים שסדרת פונקציות מתכנסת נקודתית בכל תחום הגדרתן אם לכל נקודה   x {\displaystyle \ x} בתחום זה, הסדרה   { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת. בלשון פורמלית:   ∀ ε > 0     ∀ x ∈ A     ∃ N x > 0     such that   ∀ n , m > N x : | f n ( x ) − f m ( x ) | < ε {\displaystyle \ \forall \varepsilon >0\ \ \forall x\in A\ \ \exists N_{x}>0\ \ {\mbox{such that}}\ \forall n,m>N_{x}:|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon } (זהו למעשה קריטריון קושי להתכנסות הסדרה   { f n ( x ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }} לכל   x {\displaystyle \ x} . בגלל שמרחב הממשיים הוא שלם, סדרת קושי היא גם סדרה מתכנסת.) את פונקציית הגבול, נסמן ב־   f {\displaystyle \ f} והיא מוגדרת באופן הבא -   ∀ x ∈ A   :   f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle \ \forall x\in A\ :\ f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} שאלות מרכזיות בחשבון אינפיניטסימלי ואנליזה מרוכבת הן חקר פונקציית הגבול בהינתן תכונות על פונקציות הסדרה. ערך מורחב – התכנסות במידה שווה זהו סוג חזק יותר של התכנסות סדרת פונקציות. בעוד שבהתכנסות נקודתית כל נקודה יכולה (ליתר דיוק, בכל נקודה סדרת הפונקציות יכולה) להתכנס בקצב משלה, הרי שבהתכנסות במידה שווה, קצב ההתכנסות חייב להיות אחיד לכל הנקודות בתחום ההגדרה. במילים אחרות, לכל אפסילון קיים   N > 0 {\displaystyle \ N>0} גדול מספיק שעבורו כל הפונקציות בסדרה שהאינדקס שלהן גדול ממנו מרוחקות עד כדי אפסילון מהערכים שבפונקציית הגבול בכל הנקודות בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה. כלומר: במילים אחרות, החסם העליון של הפרשי הפונקציות שואף לאפס כאשר N שואף לאינסוף. באופן פורמלי, תהא   { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה של פונקציות ממשיות. נאמר כי הסדרה מתכנסת במידה שווה (במ"ש) לפונקציית הגבול בקבוצה   A {\displaystyle \ A} אם ורק אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} קיים   N {\displaystyle \ N} טבעי כך שלכל   x ∈ A {\displaystyle \ x\in A} ולכל   n > N {\displaystyle \ n>N} מתקיים   | f n ( x ) − f ( x ) | < ε {\displaystyle \ |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon } . דרישה שקולה לכך היא ש   sup x ∈ A | f n ( x ) − f ( x ) | → 0 {\displaystyle \ \sup _{x\in A}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0} כאשר n שואף לאינסוף. התכנסות במידה שווה היא למעשה התכנסות בנורמה כאשר הנורמה כאן היא נורמת סופרמום:   ‖ g ‖ ≡ sup x ∈ A | g ( x ) | {\displaystyle \ \|g\|\equiv \sup _{x\in A}|g(x)|} . לכן התכנסות זאת נקראת גם "התכנסות בנורמת סופרמום", או התכנסות בנורמת אינסוף. זהו סוג התכנסות חלש יותר מהתכנסות במידה שווה, ושונה מהתכנסות נקודתית. זוהי למעשה התכנסות תחת סימן האינטגרל ולכן היא מחליקה פונקציות ואף מתעלמת מסינגולריות שמידתן היא אפס. נאמר שסדרת פונקציות   { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל־   f {\displaystyle \ f} בממוצע אם:   ∫ A | f n ( x ) − f ( x ) | d x → 0 {\displaystyle \ \int _{A}{|f_{n}(x)-f(x)|dx}\to 0} כאשר n שואף לאינסוף. בצורה יותר ריגורוזית, מגדירים את האינטגרל כאן באמצעות אינטגרל לבג המבוסס על תורת המידה. הגדרה קרובה היא התכנסות בריבוע הממוצע, כלומר - סדרת פונקציות   { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל- f {\displaystyle \,f} בריבוע הממוצע אם   ∫ A | f n ( x ) − f ( x ) | 2 d x → 0 {\displaystyle \ \int _{A}{|f_{n}(x)-f(x)|^{2}dx}\to 0} כאשר n שואף לאינסוף. למעשה, שתי ההגדרות נובעת מהתכנסות בנורמה במרחב Lp, שהוא מרחב בנך יסודי באנליזה פונקציונלית. יהי   F {\displaystyle \ F} מרחב מרחב בנך פונקציונלי, ותהי   { f n } n = 1 ∞ ⊂ F {\displaystyle \ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset F} סדרת פונקציות. נאמר ש-   f n ⟶ w f {\displaystyle \ f_{n}{\stackrel {w}{\longrightarrow }}f} - מתכנסת באופן חלש - אם לכל פונקציונל רציף וחסום מעל   F {\displaystyle \ F} , כלומר: לכל   ϕ ∈ F ∗ {\displaystyle \ \phi \in F^{*}} , מתקיים ש   ϕ ( f n ) → ϕ ( f ) {\displaystyle \ \phi (f_{n})\to \phi (f)} כאשר   n {\displaystyle \ n} שואף לאינסוף. זוהי למעשה התכנסות בטופולוגיה חלשה. סדרה (מתמטיקה) גבול (מתמטיקה) פונקציה טור פונקציות