משוואת הגלים

משוואת הגלים היא משוואה דיפרנציאלית חלקית מסדר שני שמתארת באופן כללי את התנהגותם של גלים שונים בהתאם למרחב ולזמן. משוואת הגלים היא הדוגמה הפשוטה ביותר למשוואה דיפרנציאלית היפרבולית. הצורה הכללית של המשוואה היא:   ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( r → , t ) = c 2   ∇ 2 ψ ( r → , t ) {\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi ({\vec {r}},t)=c^{2}\ \nabla ^{2}\psi ({\vec {r}},t)} זוהי משוואה דיפרנציאלית, שבה הסימונים: r → {\displaystyle {\vec {r}}} מייצג את המיקום במרחב.   t {\displaystyle \ t} מייצג זמן. הפונקציה   ψ ( r → , t ) {\displaystyle \ \psi ({\vec {r}},t)} היא פונקציית הגל, המתארת מהי משרעת הגל בכל נקודה ובכל זמן.   c {\displaystyle \ c} מייצג מהירות התקדמות הגל. לפעמים מסומן ב- v {\displaystyle v} .   ∇ 2 {\displaystyle \ \nabla ^{2}} הוא האופרטור לפלסיאן. כל פונקציה שהיא פתרון של המשוואה, מתנהגת כגל. עם זאת, משוואה זו אינה משוואת הגלים היחידה, אלא רק הנפוצה והפשוטה ביותר. משוואה זו מתארת גלים עם יחס נפיצה ליניארי וללא איבודי אנרגיה. דוגמאות נפוצות לגלים כאלה הם גלים אלקטרומגנטיים בריק או תנודות של מיתר מתוח. לגלים אחרים, כגון גלי קול, גלי מים או תנודות בסריג (כמו פונונים) ייתכנו משוואות גל שונות. עבור גל חד־ממדי המשוואה פשוטה יותר, והיא:   ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( x , t ) = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) {\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)} כאשר   x {\displaystyle \ x} הוא המיקום במרחב החד־ממדי. אפשר לכתוב את המשוואה החד-ממדית גם בסימון מקוצר:   ψ t t ( x , t ) = c 2 ψ x x ( x , t ) {\displaystyle \ \psi _{tt}(x,t)=c^{2}\psi _{xx}(x,t)} . הפתרון הכללי של המשוואה נתגלה על ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר והוא:   ψ ( x , t ) = F ( x − c t ) + E ( x + c t ) {\displaystyle \ \psi (x,t)=F(x-ct)+E(x+ct)} כאשר F, E הן פונקציות כלשהן. F מייצג גל שנע עם כיוון ציר ה-x ואילו E מייצג גל שנע בכיוון ההפוך. על פי תורת המשוואות הדיפרנציאליות החלקיות, ניתן לראות שפתרון זה תקף לכל זוג פונקציות F, E (גזירות פעמיים ברציפות), וגם הכיוון ההפוך נכון: כל פתרון של משוואת הגלים ניתן להצגה בצורה זו. פתרון שהוא גל מחזורי ניתן להצגה באמצעות הפתרונות הבסיסיים:   ψ k ( x , t ) = a k e i ( ω t − k x ) + b k e i ( ω t + k x ) {\displaystyle \ \psi _{k}(x,t)=a_{k}e^{i(\omega t-kx)}+b_{k}e^{i(\omega t+kx)}} כאשר   k {\displaystyle \ k} מוגדר להיות מספר גל (ביחידות של אחד חלקי מרחק) והתדירות הזוויתית היא   ω = c k {\displaystyle \ \omega =ck} . משוואת הגלים היא משוואה ידועה שנחקרה רבות, משום שהיא מופיעה באופן טבעי בהרבה משוואות תנועה שמתארות גלים בתחומים שונים: גלים אלקטרומגנטיים בואקום, קווי תמסורת, גלי קול, ועוד. ברוב המקרים, על מנת להגיע למשוואת הגלים הפשוטה המתוארת בערך זה יש לבצע כל מיני קירובים, ואכן במקרים אלו כאשר תנאי הקירובים לא נכונים, משוואת הגלים כבר לא מתארת נכון את הפיזיקה. בחלק זה תודגם ההגעה למשוואה הגלים בכמה תחומים שונים. נסתכל על צורת החבל מחוץ לשיווי משקל ונגדיר אותו להיות ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} , לדוגמה ברגע t = 0 {\displaystyle t=0} צורת החבל יכולה להראות כמו באיור מטה. כשנתקרב על חתיכות החבל קצת יותר מקרוב, נראה הרבה חתיכות שכל אחת נמשכת על ידי החתיכות שמשני הצדדים, כפי שניתן לראות בחלק השמאלי של האיור. נניח שמסת כל חתיכת חבל היא d m {\displaystyle dm} , ולפי החוק השני של ניוטון הדינמיקה של חתיכת החבל הזו תהיה קשורה לכוחות שהיא מרגישה לפי F = m a = m ⋅ ∂ 2 ψ ∂ t 2 {\displaystyle F=ma=m\cdot {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}} . הכוחות שהמסה מרגישה הם כוחות המתיחות מחתיכות החבל הסמוכות משני צידיה (ראו באיור). על מנת למצוא את שקול הכוחות, נסתכל על המתיחות שהמסה מרגישה משני צידיה: עבור תנועה בכיוון y (הכיוון המעניין של גל בחבל) שקול הכוחות יהיה F = T sin ⁡ α 1 − T sin ⁡ α 2 {\displaystyle F=T\sin \alpha _{1}-T\sin \alpha _{2}} כאשר T מתיחות החבל ו־ α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} הזוויות בין חתיכת המסה לשתי החתיכות מצידיה. זוויות אלו תלויות בגובה החבל ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} בחתיכות החבל השונות. ספציפית, אם המרחק בין שתי חתיכות חבל סמוכות הוא d L {\displaystyle dL} אז sin ⁡ α 1 = ψ ( x + d x , t ) − ψ ( x , t ) d L {\displaystyle \sin \alpha _{1}={\frac {\psi (x+dx,t)-\psi (x,t)}{dL}}} sin ⁡ α 2 = ψ ( x , t ) − ψ ( x − d x , t ) d L {\displaystyle \sin \alpha _{2}={\frac {\psi (x,t)-\psi (x-dx,t)}{dL}}} כאשר dx הוא ההפרש בין קוארדינאטת x של חתיכות חבל סמוכות. נציב זאת במשוואת שקול הכוחות ונקבל: d m ⋅ ∂ 2 ψ ∂ t 2 = T ψ ( x + d x , t ) + ψ ( x − d x , t ) − 2 ψ ( x , t ) d L {\displaystyle dm\cdot {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=T{\frac {\psi (x+dx,t)+\psi (x-dx,t)-2\psi (x,t)}{dL}}} הביטוי במונה באגף ימין שווה לנגזרת השנייה כפול d x 2 {\displaystyle dx^{2}} (עבור d x → 0 {\displaystyle dx\to 0} ) ונקבל d m ⋅ ∂ 2 ψ ∂ t 2 = T d x 2 d L ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle dm\cdot {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=T{\frac {dx^{2}}{dL}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}} אם נחלק ב־ d m {\displaystyle dm} ונגדיר שצפיפות מסת החבל היא ρ = d m d x {\displaystyle \rho ={\frac {dm}{dx}}} נקבל ∂ 2 ψ ∂ t 2 = T ρ d x d L ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}={\frac {T}{\rho }}{\frac {dx}{dL}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}} אם הגל בחבל קטן והזוויות קטנות, ניתן לומר ש־ d x d L = cos ⁡ ( α ) ≈ 1 {\displaystyle {\frac {dx}{dL}}=\cos(\alpha )\approx 1} וכך מתקבלת משוואת הגלים: ∂ 2 ψ ∂ t 2 = T ρ ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}={\frac {T}{\rho }}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}} כלומר אם נגדיר v = T ρ {\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\rho }}}} נקבל ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( x , t ) = v 2 ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)=v^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)} זוהי משוואת הגלים, כשבנוסף זיהינו שמהירות הגל קשורה לפרמטרי הבעיה: מתיחות החבל וצפיפותו. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. משוואת הגלים באלקטרומגנטיות נובעת ישירות מתוך משוואות מקסוול. לצורך הפיתוח נניח שמדובר בתווך נייטרלי, כלומר חסר מטענים   ρ = 0 {\displaystyle \ \rho =0} וחסר זרמים   J → = 0 {\displaystyle \ {\vec {J}}=0} . כך נקבל את משוואות מקסוול בריק בצורה הבאה: מהפעלת רוטור על חוק פאראדיי נקבל:   ∇ → × ( ∇ → × E → ) = ∇ → × ( − ∂ B → ∂ t ) = − ∂ ∂ t ( ∇ → × B → ) {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})={\vec {\nabla }}\times \left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}({\vec {\nabla }}\times {\vec {B}})} נציב בסוגריים את חוק אמפר המתוקן ללא זרמים, כפי שהנחנו:   ∇ → × ( ∇ → × E → ) = − ∂ ∂ t ( μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t ) = − μ 0 ε 0 ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}} מצד שני, לפי הזהויות של אנליזה וקטורית:   ∇ → × ( ∇ → × E → ) = ∇ → ( ∇ → ⋅ E → ) − ( ∇ → ⋅ ∇ → ) E → = 0 − ∇ → 2 E → {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}\times {\vec {E}})={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {E}}=0-{\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}} כאשר הרכיב הראשון מתאפס בגלל חוק גאוס ללא מטענים. בהשוואת שני הצדדים קיבלנו את משוואת הגלים:   ∇ → 2 E → = μ 0 ε 0 ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {E}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}} כאשר   1 c 2 = μ 0 ε 0 {\displaystyle \ {\frac {1}{c^{2}}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}} עבור מהירות הגל c {\displaystyle c} , שהיא למעשה מהירות האור. תהליך זהה ניתן לעשות עבור השדה המגנטי ולקבל משוואת גלים זהה:   ∇ → 2 B → = μ 0 ε 0 ∂ 2 B → ∂ t 2 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}^{2}{\vec {B}}=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}} עבור משוואת הגלים החד־ממדית, ניתן להראות שכל פתרון הוא סכום של שני גלים נעים (Traveling Waves) ששומרים על צורתם ונעים שמאלה וימינה במהירות קבועה. חלק זה מוכיח שכל פונקציה ששומרת על צורתה ונעה במהירות קבועה אכן מקיימת את משוואת הגלים, ולבסוף גם הסכום שלהם יקיים את המשוואה: נניח כי הפונקציה ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} מתארת מידת ההפרעה משיווי משקל בנקודה x {\displaystyle x} ברגע t {\displaystyle t} . אם נניח כי מהירות הגל, v {\displaystyle v} , קבועה בגודלה, אזי לאחר זמן t {\displaystyle t} , הגל מוזז ב־ v t {\displaystyle vt} יחידות מהנקודה הקודמת וערך הפונקציה המתארת את הגל הוא x {\displaystyle x} . אם נניח כי הגל שומר על צורתו (כלומר, מידת הסטייה משיווי משקל נשארת קבועה) נוכל לשים לב שמתקיים הקשר ψ ( x , t ) = ψ ( x ± v t ) {\displaystyle \psi (x,t)=\psi (x\pm vt)} . קשר זה נובע ממשפטי הזזת הצירים. נגזור את ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} על פי קואורדינטת המיקום x {\displaystyle x} : ∂ ψ ∂ x = ∂ ψ ∂ ( x ± v t ) ∂ ( x ± v t ) ∂ x = d ψ d ( x ± v t ) {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {\partial \psi }{\partial (x\pm vt)}}{\frac {\partial (x\pm vt)}{\partial x}}={\frac {d\psi }{d(x\pm vt)}}{}} על ידי גזירה פעם נוספת של אותו הביטוי נקבל: ∂ 2 ψ ∂ x 2 = d 2 ψ d ( x ± v t ) 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {d^{2}\psi }{d(x\pm vt)^{2}}}} כעת נגזור את ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi (x,t)} על פי הזמן: ∂ ψ ∂ t = ∂ ψ ∂ ( x ± v t ) ∂ ( x ± v t ) ∂ t = ± v d ψ d ( x ± v t ) {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {\partial \psi }{\partial (x\pm vt)}}{\frac {\partial (x\pm vt)}{\partial t}}=\pm v{\frac {d\psi }{d(x\pm vt)}}} ופעם נוספת לפי הזמן: ∂ 2 ψ ∂ t 2 = v 2 d 2 ψ d ( x ± v t ) 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=v^{2}{\frac {d^{2}\psi }{d(x\pm vt)^{2}}}} ניתן לראות בבירור כי מתקיים ∂ 2 ψ ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}} . יתר על כן, זוהי משוואה דיפרנציאלית ליניארית ולכן סכום של פתרונות למשוואה גם הוא פתרון למשוואה. בפרט, עבור גל שנע ימינה ψ R ( x , t ) = f ( x − v t ) {\displaystyle \psi _{R}(x,t)=f(x-vt)} ועבור גל שנע שמאלה ψ L = g ( x + v t ) {\displaystyle \psi _{L}=g(x+vt)} גם הסכום שלהם יקיים את משוואת הגלים: ψ ( x , t ) = ψ R ( x , t ) + ψ L ( x , t ) = f ( x − v t ) + g ( x + v t ) {\displaystyle \psi (x,t)=\psi _{R}(x,t)+\psi _{L}(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)} הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת־ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא   ψ k → ( t , r → ) = A ( k → ) e i ( ω t − k → ⋅ r → ) {\displaystyle \ \psi _{\vec {k}}(t,{\vec {r}})=A({\vec {k}})e^{i\left(\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\right)}} אופן הכתיבה הזה נקרא פאזור, ויש לו שתי דרגות חופש לכל תדר בתוך המקדם A שהוא מספר מרוכב. אפשר לפתור בצורה דומה בעזרת טורים של סינוס וקוסינוס, בהם יש לקוסינוס ולסינוס מקדם ממשי עצמאי כך שנשמרות שתי דרגות החופש, או בעזרת טורי סינוסים עם פאזות, שם המקדם מהווה דרגת חופש אחת והשנייה היא הפאזה (דוגמה של פתרון כזה ראו בערך מתנד הרמוני). כאשר: הגודל   ω = 2 π f {\displaystyle \ \omega =2\pi f} הוא התדירות הזוויתית של הגל. הווקטור k → {\displaystyle {\vec {k}}} הוא וקטור הגל, כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל, | k → | = k = 2 π λ {\displaystyle |{\vec {k}}|=k={\frac {2\pi }{\lambda }}} . הקשר בין התדירות הזוויתית לווקטור הגל במקרה זה הוא ω = v k {\displaystyle \omega =vk\!\,} , במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-ליניארי והפונקציה   ω ( k ) {\displaystyle \ \omega (k)} נקראת יחס נפיצה. הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא סופרפוזיציה של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה ω = v k {\displaystyle \omega =vk\!\,} , כאשר פונקציית המשרעת   A ( k → ) {\displaystyle \ A({\vec {k}})} נקבעת על פי תנאי ההתחלה של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים שווקטור הגל k יכול לקבל, אזי הפתרון הכללי נתון על ידי התמרת פורייה של פונקציית המשרעת:   ψ ( t , r → ) = 1 ( 2 π ) 3 ∫ k → ∈ R 3 ψ k → ( t , r → )   d 3 k {\displaystyle \ \psi (t,{\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int _{{\vec {k}}\in \mathbb {R} ^{3}}{\psi _{\vec {k}}(t,{\vec {r}})\ d^{3}k}} עבור גלים לא אידיאליים יש להוסיף למשוואת הגלים תיקונים המייצגים חיכוך, כוחות מאלצים ועוד. ערך מורחב – נוסחת ד'אלמבר על ידי מעבר לצורה הקנונית של משוואת הגלים, וכאשר נתון תנאי התחלה, ניתן לקבל פתרון אנליטי עבור בעיית הגלים החד־ממדית (בקטע אינסופי) הנתונה בצורה הבאה:   u t t − c 2 u x x = G ( x , t ) {\displaystyle \ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=G(x,t)} תנאי התחלה:   u ( x , 0 ) = f ( x ) , u t ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle \ u(x,0)=f(x),u_{t}(x,0)=g(x)} עבור משוואה הומוגנית: u ( x , t ) = f ( x − c t ) + f ( x + c t ) 2 + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g ( s ) d s {\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds} עבור משוואה אי הומוגנית: u ( x , t ) = f ( x − c t ) + f ( x + c t ) 2 + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g ( s ) d s + 1 2 c ∫ 0 t ∫ x − c ( t − τ ) x + c ( t − τ ) G ( s , τ ) d s d τ {\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)ds+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-\tau )}^{x+c(t-\tau )}G(s,\tau )dsd\tau } נוסחה זו נקראת נוסחת ד'אלמבר והיא עובדת רק כאשר תחום הפתרון הוא אינסופי (או לפחות חצי אינסופי). כאשר התחום סופי, הנוסחה אינה מתקיימת עבור זמנים גדולים, ולכן היא לא פתרון. במקרים סופיים נשתמש בפתרון בעזרת הפרדת משתנים. ערך מורחב – הפרדת משתנים כאשר נתונה לנו משוואת הגלים כבעיית התחלה כמו במקרה של ד'אלמבר, אך הבעיה היא בתחום סופי   x ∈ [ 0 , L ] {\displaystyle \ x\in [0,L]} נצטרך תנאי שפה נוסף על קצות הקטע, 0 ו-L. אם נתון תנאי כזה, ניתן להשתמש בשיטת הפרדת משתנים. הבעיה במקרה כזה נראית למשל כך:   u t t − c 2 u x x = 0 {\displaystyle \ u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0} תנאי התחלה:   u ( x , 0 ) = f ( x ) , u t ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle \ u(x,0)=f(x),u_{t}(x,0)=g(x)} תנאי שפה:   ∂ u ∂ x ( x = 0 , t ) = u ( x = L , t ) = 0 {\displaystyle \ {\frac {\partial u}{\partial x}}(x=0,t)=u(x=L,t)=0} בשיטת הפרדת משתנים מניחים שהפתרון הוא מהצורה של מכפלת פונקציות של משתנה יחיד:   u ( x , t ) = X ( x ) ⋅ T ( t ) {\displaystyle \ u(x,t)=X(x)\cdot T(t)} ואז אפשר לפתור את המשוואה באמצעות כלים של משוואה דיפרנציאלית רגילה. באופן כללי פתרון בצורה של הפרדת משתנים הוא פתרון פרטי, משום שאי אפשר להניח שהפתרון הכללי הוא בצורה מופרדת, אבל כאן ניתן להשתמש בתורת שטורם-ליוביל, שבעזרתה נקבל אינסוף פתרונות פרטיים, שהם למעשה הפונקציות העצמיות של המשוואה, וכך נוכל לפרוס כל פתרון כצירוף ליניארי של פונקציות אלה. מבחינה פיזיקלית ניתן לחשוב על תנאי השפה ההומוגני כחבל שקשור לשני קירות, כאשר הפתרונות העצמיים של המשוואה יהיו אופני התנודה העצמיים של המיתר. במקרה זה הפתרונות יהיו גלים עומדים, כאשר הם משתנים רק לפי מספר המחזורים של הגל לאורך המיתר. פתרון הדוגמה: תחילה נציב את הפתרון במשוואת הגלים:   X ( x ) T ¨ ( t ) = c 2 X ″ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \ X(x){\ddot {T}}(t)=c^{2}X''(x)T(t)} ונחלק במכפלת הפונקציות: T ¨ ( t ) c 2 T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) {\displaystyle {\frac {{\ddot {T}}(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}} מכיוון ששני האגפים שווים וכל אחד מהם פונקציה של משתנה אחר, נובע בהכרח שהם שווים שניהם למספר קבוע, ולכן אפשר לפתור כל אגף בנפרד. T ¨ ( t ) c 2 T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) = λ {\displaystyle {\frac {{\ddot {T}}(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}=\lambda } נתחיל מפתרון עבור הפונקציה של x:‏   X ″ ( x ) = λ X ( x ) {\displaystyle \ X''(x)=\lambda X(x)} בהנחה ש- λ < 0 {\displaystyle \lambda <0} נסמן λ = − k 2 {\displaystyle \lambda =-k^{2}} . זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה, שמפורסמת בשם מתנד הרמוני, ופתרונה הוא:   X ( x ) = A cos ⁡ ( k x ) + B sin ⁡ ( k x ) {\displaystyle \ X(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)} נציב את תנאי השפה: עבור התנאי ב-x=0 מתקבל: B+0=0, מה שמותיר רק את A כמשתנה חופשי. נציב את התנאי השני:   0 = X ( L ) = A cos ⁡ ( k L ) {\displaystyle \ 0=X(L)=A\cos(kL)} אם A=0 נקבל שוב את הפתרון הטריוויאלי, ולכן נדרוש שדווקא הקוסינוס יתאפס, כלומר: k L = π ( n + 1 2 ) {\displaystyle kL=\pi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)} ואלה למעשה הערכים העצמיים של בעיית שטורם ליוביל: k n = π ( 2 n + 1 ) 2 L {\displaystyle k_{n}={\frac {\pi \left(2n+1\right)}{2L}}} נחזור לפתרון החלק הזמני, שמשועבד לערכים העצמיים שכבר מצאנו: T ¨ ( t ) = − k n 2 c 2 T ( t ) {\displaystyle {\ddot {T}}(t)=-k_{n}^{2}c^{2}T(t)} גם זו משוואת מתנד הרמוני שפתרונה:   T ( t ) = A n cos ⁡ ( c k n t ) + B n sin ⁡ ( c k n t ) {\displaystyle \ T(t)=A_{n}\cos(ck_{n}t)+B_{n}\sin(ck_{n}t)} כלומר הפונקציות העצמיות של הבעיה הן:   u n ( x , t ) = [ A n cos ⁡ ( c k n t ) + B n sin ⁡ ( c k n t ) ] cos ⁡ ( k n x ) {\displaystyle \ u_{n}(x,t)=[A_{n}\cos(ck_{n}t)+B_{n}\sin(ck_{n}t)]\cos(k_{n}x)} והפתרון הכללי של הבעיה הוא הטור האינסופי:   u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ [ A n cos ⁡ ( π c ( 2 n + 1 ) 2 L t ) + B n sin ⁡ ( π c ( 2 n + 1 ) 2 L t ) ] cos ⁡ ( π ( 2 n + 1 ) 2 L x ) {\displaystyle \ u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[A_{n}\cos \left({\frac {\pi c\left(2n+1\right)}{2L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\frac {\pi c\left(2n+1\right)}{2L}}t\right)\right]\cos \left({\frac {\pi \left(2n+1\right)}{2L}}x\right)} את המקדמים A n , B n {\displaystyle A_{n},B_{n}} אפשר למצוא באמצעות ההטלה של תנאי ההתחלה על פונקציות הבסיס. משוואת התוף היא כינוי למשוואת הגלים הדו־ממדית, כאשר תנאי השפה הומוגניים כמו בדוגמה הקודמת, רק בשני ממדים. ניתן לחשוב על תנאי השפה מבחינת פיזיקלית כמסגרת של תוף שתפוסה, ורק היריעה הפנימית מתנודדת ועוברים בה גלים. פתרון הבעיה הדו־ממדית דומה לפתרון הבעיה החד־ממדית שהובאה, והפתרון בהפרדת המשתנים יראה כך:   u ( x , y , t ) = R ( x , y ) T ( t ) {\displaystyle \ u(x,y,t)=R(x,y)T(t)} . מהצבה של ההפרדה במשוואת הגלים נקבל את השוויון הבא: T ¨ ( t ) c 2 T ( t ) = ∇ 2 R ( x , y ) R ( x , y ) = − k 2 {\displaystyle {\frac {{\ddot {T}}(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {\nabla ^{2}R(x,y)}{R(x,y)}}=-k^{2}} כאן החלק המרחבי נותן את משוואת הלמהולץ, שהפתרון שלה תלוי בסימטריה של הבעיה. עבור סימטריה מלבנית, תנאי השפה יראו כך:   u ( x = 0 , y , t ) = u ( x = L x , y , t ) = 0 {\displaystyle \ u(x=0,y,t)=u(x=L_{x},y,t)=0}   u ( x , y = 0 , t ) = u ( x , y = L y , t ) = 0 {\displaystyle \ u(x,y=0,t)=u(x,y=L_{y},t)=0} הפרדת המשתנים הבאה פותרת את הבעיה:   u ( x , y , t ) = X ( x ) Y ( y ) T ( t ) {\displaystyle \ u(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t)} ממנו נקבל את המשוואה: T ¨ ( t ) c 2 T ( t ) = X ″ ( x ) X ( x ) + Y ″ ( y ) Y ( y ) = − k 2 {\displaystyle {\frac {{\ddot {T}}(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}+{\frac {Y''(y)}{Y(y)}}=-k^{2}} המשך הפתרון נעוץ בעובדה שגם כאן הפונקציות X , Y {\displaystyle X,Y} חייבות להיות קבועות, משום שסכום של פונקציות ממשתנים שונים הוא קבוע רק אם הפונקציות קבועות. ההבדל הוא שכעת שתי הפונקציות לא שוות לאותו קבוע, אלא לקבועים שונים − λ 2 , − μ 2 {\displaystyle -\lambda ^{2},-\mu ^{2}} כך ש- λ 2 + μ 2 = k 2 {\displaystyle \lambda ^{2}+\mu ^{2}=k^{2}} . פתרון המשוואה בכל ציר בנפרד יתן פתרון דומה לשני הצירים, וכמו במקרה החד-ממדי. (רק שכאן תנאי השפה שונה, והמקדם A מתאפס)   X ( x ) = sin ⁡ ( λ n x ) = sin ⁡ ( π n L x x ) {\displaystyle \ X(x)=\sin(\lambda _{n}x)=\sin \left({\frac {\pi n}{L_{x}}}x\right)}   Y ( y ) = sin ⁡ ( μ m y ) = sin ⁡ ( π m L y y ) {\displaystyle \ Y(y)=\sin(\mu _{m}y)=\sin \left({\frac {\pi m}{L_{y}}}y\right)} המשוואה הזמנית משועבדת לערכים העצמיים שנמצאו בחלק המרחבי: k n , m 2 = λ n 2 + μ m 2 = ( π n L x ) 2 + ( π m L y ) 2 {\displaystyle k_{n,m}^{2}=\lambda _{n}^{2}+\mu _{m}^{2}=\left({\frac {\pi n}{L_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi m}{L_{y}}}\right)^{2}} ולכן הפתרון של הבעיה הוא טור אינסופי על שני משתנים:   u ( x , y , t ) = ∑ n = 1 ∞ ∑ m = 1 ∞ [ A n , m cos ⁡ ( c k n , m t ) + B n , m sin ⁡ ( c k n , m t ) ]   sin ⁡ ( π n x L x ) ⋅ sin ⁡ ( π m y L y ) {\displaystyle \ u(x,y,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }\left[A_{n,m}\cos \left(ck_{n,m}t\right)+B_{n,m}\sin \left(ck_{n,m}t\right)\right]\ \sin \left({\frac {\pi nx}{L_{x}}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\pi my}{L_{y}}}\right)} עבור תוף בעל סימטריה מעגלית, הפונקציות העצמיות והפתרונות של משוואת הלמהולץ הם פונקציית בסל. משוואת הגל האלקטרומגנטי מדיה וקבצים בנושא משוואת הגלים בוויקישיתוף משוואת הגלים, באתר MathWorld (באנגלית) על פי פיתוח טור טיילור מסדר שני על פונקציית הגל (לפי המשתנה x) פעמיים: ψ ( x + d x , t ) = ψ ( x , t ) + d x ∂ ψ ( x , t ) ∂ x + 1 2 d x 2 ∂ 2 ψ ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle \psi (x+dx,t)=\psi (x,t)+dx{\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}dx^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}} ψ ( x − d x , t ) = ψ ( x , t ) − d x ∂ ψ ( x , t ) ∂ x + 1 2 d x 2 ∂ 2 ψ ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle \psi (x-dx,t)=\psi (x,t)-dx{\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}dx^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}} חיבור המשוואות מבטל את הרכיב של הנגזרת הראשונה: ψ ( x + d x , t ) + ψ ( x − d x , t ) = 2 ψ ( x , t ) + d x 2 ∂ 2 ψ ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle \psi (x+dx,t)+\psi (x-dx,t)=2\psi (x,t)+dx^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}} ומכאן לביטוי המונה אצלנו: ψ ( x + d x , t ) + ψ ( x − d x , t ) − 2 ψ ( x , t ) = d x 2 ∂ 2 ψ ( x , t ) ∂ x 2 {\displaystyle \psi (x+dx,t)+\psi (x-dx,t)-2\psi (x,t)=dx^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}} לשם כך נדרשים תנאי שפה הומוגניים, כפי שאכן נתונים כאן, אבל אפשר גם להביא תנאי שפה אי הומוגניים להיות הומוגניים באופן עקרוני צריך לחלק לשלושה מקרים, למדא חיובי, שלילי או שווה לאפס. בהינתן תנאי השפה ההומוגניים שנתונים לנו, כל הפתרונות האחרים מתאפסים, כלומר הם מהויים את הפתרון הטריוויאלי. עבור למדא חיובי פתרון המשוואה הוא:   X ( x ) = A e λ x + B e − λ x {\displaystyle \ X(x)=Ae^{{\sqrt {\lambda }}x}+Be^{-{\sqrt {\lambda }}x}} וכדי לקיים את תנאי השפה מוכרח ש-A=B=0. עבור למדא מתאפס, פתרון המשוואה הוא אינטגרל פשוט על אפס   X ( x ) = A x + B {\displaystyle \ X(x)=Ax+B} , ובהצבת תנאי השפה, גם כאן A=B=0.