משוואת המילטון-יעקובי

במכניקה אנליטית, משוואת המילטון-יעקובי היא ניסוח חלופי של המכניקה הקלאסית. המשוואה שקולה לניסוחים אחרים כגון חוקי התנועה של ניוטון, המכניקה הלגראנז'ית והמכניקה ההמילטונית. המשוואה נקראת על שמם של ויליאם רואן המילטון וקרל גוסטב יעקובי שפתחו אותה בראשית המאה ה-19. משוואת המילטון־יעקובי שימושית במיוחד במציאת גדלים נשמרים במערכות בהן מציאת הפתרון המלא של המערכת איננה אפשרית. במהלך סוף המאה ה-17 ותחילת המאה ה-18 נסוב ויכוח בין מדענים שדגלו בכך שהאור הוא חלקיק הנע במסלולים מוגדרים - הקרניים המופיעות באופטיקה גאומטרית, ובין אלו שטענו שהאור הוא גל, וכל נקודה אליה מגיע חזית הגל היא מקור של גל כדורי - עקרון הויגנס. ב-1818 הראה פרנל שניתן להסביר גם את האופטיקה הגאומטרית וגם את תופעות העקיפה באמצעות תיאוריה גלית של האור. האופטיקה הגאומטרית והתיאור החלקיקי של האור יכול להתבצע בהסתמך על עקרון פרמה. לפי עיקרון זה, קרן אור גאומטרית תטייל בין נקודה A {\displaystyle A} לנקודה B {\displaystyle B} לאורך המסלול בו זמן התנועה של הקרן יהיה מינימלי. מאחר שמהירות האור בתווך היא v = c / n {\displaystyle v=c/n} כאשר n {\displaystyle n} הוא מקדם השבירה של החומר הרי שהקרן תנוע לאורך המסלול בו ∫ A B n   d s {\displaystyle \int _{A}^{B}n\ ds} מינימלי. מצד שני, לפי התיאור הגלי של האור, האור מקיים משוואת גלים מהצורה ∇ 2 Ψ = n 2 c 2 ∂ Ψ ∂ t {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi ={\frac {n^{2}}{c^{2}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}} , גל אור מונוכרומטי יכול להיכתב בצורה Ψ = a ( x , y , z ) exp ⁡ [ 2 π i ( f t − φ ( x , y , z ) ) ] {\displaystyle \Psi =a(x,y,z)\exp[2\pi i(ft-\varphi (x,y,z))]} כאשר a {\displaystyle a} האמפליטודה של הגל, φ {\displaystyle \varphi } הפאזה ו- f {\displaystyle f} התדירות. במקרה כזה, משוואת הגלים הופכת להיות: ∇ 2 Ψ = 4 π 2 f 2 c 2 Ψ {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi ={\frac {4\pi ^{2}f^{2}}{c^{2}}}\Psi } . אם אורך הגל λ = n f c {\displaystyle \lambda ={\frac {nf}{c}}} , קטן אז הפאזה גדולה, a {\displaystyle a} משתנה לאט ביחס להשתנות הפאזה, וניתן להזניח את הנגזרות של a {\displaystyle a} . בנוסף ניתן להזניח את הנגזרת השנייה של הפאזה ביחס לנגזרת של הפאזה בריבוע. מתקבלת המשוואה הבאה עבור הפאזה: | ∇ φ | 2 = f 2 n 2 c 2 = 1 λ 2 ( x , y , z ) {\displaystyle |\nabla \varphi |^{2}={\frac {f^{2}n^{2}}{c^{2}}}={\frac {1}{\lambda ^{2}(x,y,z)}}} משוואה זו ידועה בתור משוואת האייקונל. קווים עליהם φ = C {\displaystyle \varphi =C} נקראים קווים שווי פאזה, או חזית הגל. האופטיקה הגאומטרית מתקבלת מהאופטיקה הגלית בקירוב זה, וקרן אור גאומטרית תנוע במאונך לקווים שווי פאזה. ב-1833 הצביע המילטון על העובדה שקיימת הקבלה בין תנועה של מערכת במכניקה קלאסית לתנועה של קרן אור גאומטרית. בשני המקרים קיים פונקציונל שמקבל ערך מינימום לאורך מסלול, במקרה האופטי הפונקציונל הוא זמן התנועה לאורך המסלול ובמקרה המכני הפונקציונל הוא הפעולה. משוואת המילטון־יעקובי מחפשת למצוא את המקבילה המכנית לתיאור הגלי. היא עושה זאת באמצעות חיפוש משטחים שווי "פעולה" שמהווים את חזית הגל המכנית. מרגע שקווים אלו נמצאו, קיים קשר ביניהם לבין המסלול בו המערכת תמשיך להתקדם. ההקבלה הזו מצביעה על מאפיין גלִי של המערכת המכנית, ובכך מהווה בסיס נוח לפיתוח מכניקת הקוונטים. בהינתן סט של קואורדינטות קנוניות { q i , p i } i = 1 n {\displaystyle \{q_{i},p_{i}\}_{i=1}^{n}} והמילטוניאן H ( q ; p ; t ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ;\mathbf {p} ;t)} עבור מערכת פיזיקלית כך שמתקיימים משוואות המילטון q i ˙ = ∂ H ∂ p i , p i ˙ = − ∂ H ∂ q i {\displaystyle {\dot {q_{i}}}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},{\dot {p_{i}}}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}} הפונקציה המנהלת של המילטון S ( q ; α 1 . . . , α n ; t ) {\displaystyle S(\mathbf {q} ;\alpha _{1}...,\alpha _{n};t)} (Hamilton's principal function, פירוט בהמשך) הפותרת את משוואת המילטון-יעקובי: ∂ S ∂ t + H ( q ; ∂ S ∂ q 1 , . . . , ∂ S ∂ q n ; t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(\mathbf {q} ;{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},...,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}};t\right)=0} מקיימת p i = ∂ S ∂ q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}} ו- d β i d t = d d t ∂ S ∂ α i = 0 {\displaystyle {\frac {d\beta _{i}}{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}=0} . כלומר הגדלים β i = ∂ S ∂ α i {\displaystyle \beta _{i}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}} הם גדלים נשמרים. גם הגדלים α i {\displaystyle \alpha _{i}} הם קבועים במהלך התנועה. אם ידועים הערכים הללו בזמן t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} ניתן להפוך את סט המשוואות f i ( q ; α 1 , . . . α n ; t ) = ∂ S ∂ α i = β i {\displaystyle f_{i}(\mathbf {q} ;\alpha _{1},...\alpha _{n};t)={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}=\beta _{i}} ולקבל q i = q i ( α , β , t ) {\displaystyle q_{i}=q_{i}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},t)} . אם ההמילטוניאן לא תלוי ישירות בזמן H ( q ; p ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ;\mathbf {p} )} הפונקציה המאפיינת של המילטון W ( q ; γ 1 , . . . , γ n ) {\displaystyle W(\mathbf {q} ;\gamma _{1},...,\gamma _{n})} (Hamilton's characteristic function) הפותרת את משוואת המילטון-יעקובי הלא תלויה בזמן: f ( γ 1 , . . . , γ n ) = H ( q ; ∂ W ∂ q 1 , . . . , ∂ W ∂ q n ) {\displaystyle f(\gamma _{1},...,\gamma _{n})=H\left(\mathbf {q} ;{\frac {\partial W}{\partial q_{1}}},...,{\frac {\partial W}{\partial q_{n}}}\right)} מקיימת p i = ∂ W ∂ q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}} וכן d d t ∂ W ∂ γ i = ∂ f ∂ γ i = v i ⟹ ∂ W ∂ γ i = v i t + β i {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial W}{\partial \gamma _{i}}}={\frac {\partial f}{\partial \gamma _{i}}}=v_{i}\implies {\frac {\partial W}{\partial \gamma _{i}}}=v_{i}t+\beta _{i}} . הפונקציה f {\displaystyle f} ניתנת לבחירה כדי לפשט את הביטויים בפתרון, ובחירות שונות לא ישנו את פתרון הבעיה. אם נעשה שימוש בפונקציה f ( α 1 , . . . , α n ) = α 1 {\displaystyle f(\alpha _{1},...,\alpha _{n})=\alpha _{1}} , מתקיים ∂ W ∂ α i = { t + β 1 i = 1 β i i ≠ 1 {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial \alpha _{i}}}=\left\{{\begin{matrix}t+\beta _{1}&i=1\\\beta _{i}&i\neq 1\end{matrix}}\right.} ומתקיים הקשר הבא בין הפונקציה המנהלת לפונקציה המאפיינת S ( q ; α 1 , . . . , α n ; t ) = W ( q ; α 2 , . . . , α n ) − α 1 t {\displaystyle S(\mathbf {q} ;\alpha _{1},...,\alpha _{n};t)=W(\mathbf {q} ;\alpha _{2},...,\alpha _{n})-\alpha _{1}t} , אם הלגרנז'יאן המקורי יכול להיכתב בצורה L ( q , q ˙ ) = L 0 ( q ) + ∑ i , j = 1 n L 2 i j ( q ) q i ˙ q j ˙ {\displaystyle L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )=L_{0}(\mathbf {q} )+\sum _{i,j=1}^{n}L_{2}^{ij}(\mathbf {q} ){\dot {q_{i}}}{\dot {q_{j}}}} אז α 1 = E {\displaystyle \alpha _{1}=E} היא האנרגיה של המערכת . טרנספורמציות קנוניות מאפשרות לעבור ממערכת אחת של קואורדינטות קנוניות ( q , p ) {\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )} המקיימת את משוואת המילטון עבור ההמילטוניאן H ( q , p , t ) {\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)} , לסט אחר ( Q , P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )} המקיים את משוואת המילטון עבור המילטוניאן אחר K ( Q , P , t ) {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)} . ניתן לפתח טרנספורמציה קנונית באמצעות שימוש בפונקציה יוצרת מסוג שני G ( q , P , t ) {\displaystyle G(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)} כך שיתקיים p i = ∂ G ∂ q i ; Q i = ∂ G ∂ P i ; K = H + ∂ G ∂ t {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial G}{\partial q_{i}}};Q_{i}={\frac {\partial G}{\partial P_{i}}};K=H+{\frac {\partial G}{\partial t}}} . משוואת המילטון־יעקובי מגיעה מטרנספורמציה קנונית שמטרתה ליצור מצב בו ההמילטוניאן החדש שווה זהותית ל-0 K ( Q , P , t ) = 0 {\displaystyle K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=0} . במצב כזה, מתקיים Q ˙ i = ∂ K ∂ P i = 0 ; P ˙ i = − ∂ K ∂ Q i = 0 {\displaystyle {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}}=0;{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}}=0} כלומר הקואורדינטות החדשות ( Q , P ) {\displaystyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )} הן קבועות במהלך התנועה, ותנועת המערכת במרחב הפאזה כפי שהוא מתואר על ידי הקואורדינטות האלו הוא נקודה (בניגוד למסלול חד־ממדי המתאר את התנועה במרחב הפאזה כפי שהוא נפרש על ידי קואורדינטות אחרות). בהתאם למשוואות של הפונקציה היוצרת נקבל 0 = K = H ( q , p , t ) + ∂ G ( q , P , t ) ∂ t {\displaystyle 0=K=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial G(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial t}}} אבל לפי המשוואות הללו מתקיים גם p i = ∂ G ∂ q i {\displaystyle p_{i}={\frac {\partial G}{\partial q_{i}}}} ולכן 0 = H ( q ; ∂ G ∂ q 1 . . . , ∂ G ∂ q n ; t ) + ∂ G ( q , P , t ) ∂ t {\displaystyle 0=H\left(\mathbf {q} ;{\frac {\partial G}{\partial q_{1}}}...,{\frac {\partial G}{\partial q_{n}}};t\right)+{\frac {\partial G(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}{\partial t}}} שהיא משוואת המילטון־יעקובי עבור הפונקציה היוצרת G {\displaystyle G} . התוצאה לפיה d d t ∂ G ∂ P i = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial G}{\partial P_{i}}}=0} מתקבלת מהמשוואות Q i = ∂ G ∂ P i ; Q ˙ i = 0 {\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial G}{\partial P_{i}}};{\dot {Q}}_{i}=0} . הנגזרת המלאה לפי הזמן של הפונקציה המנהלת של המילטון מקיימת: d S ( q , α , t ) d t = ∂ S ∂ t + ∑ i = 1 n ∂ S ∂ q i q ˙ i + ∂ S ∂ α i α ˙ i = ∂ S ∂ t + ∑ i = 1 n ∂ S ∂ q i q ˙ i = − H + ∑ i = 1 n p i q ˙ i = L {\displaystyle {\frac {dS(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial S}{\partial \alpha _{i}}}{\dot {\alpha }}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=-H+\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L} כלומר מתקיים S ( q ; α ; t ) = ∫ L   d t + c {\displaystyle S(\mathbf {q} ;{\boldsymbol {\alpha }};t)=\int L\ dt+c} כאשר L {\displaystyle L} הוא הלגראנז'יאן. משוואה זו מזכירה את הגדרת הפעולה של המערכת S a c t i o n [ q ( t ) ] = ∫ t 0 t 1 L ( q ( t ) ; q ˙ ( t ) ; t )   d t {\displaystyle S_{action}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\mathbf {q} (t);{\dot {\mathbf {q} }}(t);t)\ dt} המשמשת בעקרון הפעולה המינימלית כדי לפתח את משוואות אוילר־לגראנז'. על אף שהפונקציה המנהלת והפעולה מזכירות אחת את השנייה, הן אובייקטים מתמטיים שונים - הפונקציה המנהלת היא פונקציה בעלת תחום במרחב הפאזה והזמן, לעומתה הפעולה היא פונקציונל בעלת תחום במרחב המסלולים הפיזיקליים במרחב הקונפיגורציות. הקשר בין הפונקציה המנהלת לפעולה נובע מכך שאם נסתכל במערכת, שהתחילה בזמן t = t 0 {\displaystyle t=t_{0}} בנקודה במרחב הקונפיגורציות q = q 0 {\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} _{0}} והמקיימת q ˙ ( t 0 ) = v 0 {\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}(t_{0})=\mathbf {v} _{0}} המסלול q ( t ) {\displaystyle \mathbf {q} (t)} המייצר נקודת אקסטרמום לפעולה נקבע באופן יחיד מתנאי ההתחלה. בנוסף, אם הפרש הזמנים בין שתי נקודות קטן מספיק, קיים רק מתנאי התחלה אחד (ולפיכך רק מסלול אחד) שיכול להביא את המערכת מהנקודה q ( t 0 ) = q 0 {\displaystyle \mathbf {q} (t_{0})=\mathbf {q_{0}} } לנקודה q ( t ) = q {\displaystyle \mathbf {q} (t)=\mathbf {q} } כך שהפעולה תקבל ערך אקסטרימום. לפיכך, בהינתן נקודת התחלה במרחב הקונפיגורציות, ניתן להגדיר פונקציה של הקוארדינטות בסיום המסלול q {\displaystyle \mathbf {q} } כך ש- S ( q , t ; q 0 , t 0 ) = S a c t i o n [ q ( t ) ] = ∫ t 0 t 1 L ( q , q ˙ , t )   d t {\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q_{0}} ,t_{0})=S_{action}[\mathbf {q} (t)]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\ dt} , כאשר המסלול הוא המסלול היחיד בו הפעולה מקבלת ערך אקסטרימום. הפונקציה הזו מקיימת את משוואת המילטון-יעקובי, והיא למעשה הפונקציה המנהלת של המילטון. בפיתוח זה, התנעים הקנוניים α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} שהפונקציה המנהלת תלויה בהן מופיעים כקבועי אינטגרציה של פתרון משוואת המילטון-יעקובי. הקואורדינטות הראשוניות והסופיות q 0 , q {\displaystyle \mathbf {q} _{0},\mathbf {q} } קובעות את המהירויות הראשוניות ובאמצעותן את הערכים של α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} . באופן דומה, הנגזרת המלאה לפי הזמן של הפונקציה המאפיינת מקיימת: d W ( q , α ) d t = ∑ i = 1 n ∂ W ∂ q i q ˙ i + ∂ W ∂ α i α ˙ i = ∑ i = 1 n ∂ W ∂ q i q ˙ i = ∑ i = 1 n p i q ˙ i {\displaystyle {\frac {dW(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }})}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial W}{\partial \alpha _{i}}}{\dot {\alpha }}_{i}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial W}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}} ולכן מתקיים W = ∫ ∑ i = 1 n p i q i ˙   d t = ∫ ∑ i = 1 n p i   d q i {\displaystyle W=\int \sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q_{i}}}\ dt=\int \sum _{i=1}^{n}p_{i}\ dq_{i}} הביטוי הזה נקרא קשור לפעולה המקוצרת W [ q ( t ) ] = ∫ q 0 q 1 p   d q {\displaystyle W[\mathbf {q} (t)]=\int _{\mathbf {q} _{0}}^{\mathbf {q} _{1}}\mathbf {p} \ d\mathbf {q} } באופן דומה לאופן בו הפונקציה המנהלת קשור לפעולה. מתנד הרמוני חד־ממדי מתואר על ידי ההמילטוניאן: H ( q , p , t ) = 1 2 m ( p 2 + m 2 ω 2 q 2 ) {\displaystyle H(q,p,t)={\frac {1}{2m}}\left(p^{2}+m^{2}\omega ^{2}q^{2}\right)} לכן משוואת המילטון יעקובי הלא תלויה בזמן עבור המתנד היא: 1 2 m [ ( ∂ W ∂ q ) 2 + m 2 ω 2 q 2 ] = α {\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left[\left({\frac {\partial W}{\partial q}}\right)^{2}+m^{2}\omega ^{2}q^{2}\right]=\alpha } לאחר אלגברה נקבל W = ∫ 2 m α − m 2 ω 2 q 2   d q {\displaystyle W=\int {\sqrt {2m\alpha -m^{2}\omega ^{2}q^{2}}}\ dq} ומכאן t + β ′ = ∂ W ∂ α = m ∫ 1 2 m α − m 2 ω 2 q 2   d q = m 2 α ∫ 1 1 − m ω 2 q 2 2 α   d q = 1 ω arcsin ⁡ ( q m ω 2 2 α ) {\displaystyle t+\beta '={\frac {\partial W}{\partial \alpha }}=m\int {\frac {1}{\sqrt {2m\alpha -m^{2}\omega ^{2}q^{2}}}}\ dq={\sqrt {\frac {m}{2\alpha }}}\int {\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {m\omega ^{2}q^{2}}{2\alpha }}}}}\ dq={\frac {1}{\omega }}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m\omega ^{2}}{2\alpha }}}\right)} ומכאן q = 2 α m ω 2 sin ⁡ ( ω t + β ) {\displaystyle q={\sqrt {\frac {2\alpha }{m\omega ^{2}}}}\sin(\omega t+\beta )} וכן p = ∂ W ∂ q = 2 m α − m ω 2 q 2 = 2 m α cos ⁡ ( ω t + β ) {\displaystyle p={\frac {\partial W}{\partial q}}={\sqrt {2m\alpha -m\omega ^{2}q^{2}}}={\sqrt {2m\alpha }}\cos(\omega t+\beta )} . α {\displaystyle \alpha } היא האנרגיה הנשמרת של המערכת, ו- β {\displaystyle \beta } היא הפאזה הנשמרת אף היא. נכתוב את משוואת המילטון־יעקובי הלא תלויה בזמן עבור מערכת קואורדינטות קרטזיות: 1 2 m | ∇ W ( x , y , z ) | 2 + V ( x , y , z ) = E ⟹ | ∇ W ( x , y , z ) | 2 = 2 m ( E − V ( x , y , z ) ) {\displaystyle {\frac {1}{2m}}|\nabla W(x,y,z)|^{2}+V(x,y,z)=E\implies |\nabla W(x,y,z)|^{2}=2m(E-V(x,y,z))} משוואה זו, היא משוואת האייקונל עבור הפונקציה W {\displaystyle W} . לכן, באופן מקביל לתיאוריה האופטית, אם נניח שתנועת החלקיק היא תנועה של גל, והפונקציה Ψ = a exp ⁡ [ i ℏ ( E t − W ( x , y , z ) ) ] {\displaystyle \Psi =a\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}(Et-W(x,y,z))\right]} מתארת את הגל המונוכרומטי, נקבל שמשוואת הגלים שמקיימת הפונקציה Ψ {\displaystyle \Psi } היא: | ∇ Ψ | 2 = 2 m ( E − V ) ℏ 2 Ψ {\displaystyle |\nabla \Psi |^{2}={\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}\Psi } וזוהי משוואת שרדינגר הלא תלויה בזמן. המשוואה התלויה בזמן יכולה להתקבל על ידי ההחלפה של E Ψ = i ℏ ∂ Ψ ∂ t {\displaystyle E\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}} . לחלופין, ניתן להתחיל ממשואת שרדינגר ולהשתמש בהצבה Ψ = a exp ⁡ [ i S ( x , y , z , t ) ℏ ] {\displaystyle \Psi =a\exp \left[{\frac {iS(x,y,z,t)}{\hbar }}\right]} . שימוש זה יניב: | ∇ S | 2 2 m + i ℏ ∇ 2 S 2 m + V = − ∂ S ∂ t {\displaystyle {\frac {|\nabla S|^{2}}{2m}}+{\frac {i\hbar \nabla ^{2}S}{2m}}+V=-{\frac {\partial S}{\partial t}}} , משוואת המילטון־יעקובי מתקבלת בגבול הקלאסי ℏ → 0 {\displaystyle \hbar \to 0} , בו מתקבל | ∇ S | 2 2 m + V = H = − ∂ S ∂ t {\displaystyle {\frac {|\nabla S|^{2}}{2m}}+V=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}} גבול זה מקביל לגבול של האופטיקה הגאומטרית בו אורך הגל קטן והפאזה גדולה. משוואת המילטון-יעקובי היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עם n + 1 {\displaystyle n+1} משתנים - n {\displaystyle n} קואורדינטות מוכללות והזמן. ולכן לפתרון המלא שלה יש n + 1 {\displaystyle n+1} קבועי אינטגרציה. אולם מאחר שבמשוואת המילטון-יעקובי לא מופיעה הפונקציה עצמה, אלא רק נגזרות חלקיות שלה, קבוע אינטגרציה אחד יכול להיות קבוע אדטיבי, כלומר אם S {\displaystyle S} פתרון אז גם S + c {\displaystyle S+c} פתרון. קבוע זה חסר כל משמעות פיזיקלית ולכן ניתן להתעלם מקיומו, כך שלפתרון הנדרש קיימים n {\displaystyle n} קבועי אינטגרציה שאף אחד מהם איננו אדדטיבי