התמרת כוכב משולש

התמרת כוכב משולש היא שיטה מתימטית לניתוח של מעגלים חשמליים. התאוריה שמאחורי שיטה זו פורסמה על ידי ארתור אדווין קינלי (אנגלית: Arthur Edwin Kennelly) בשנת 1899 בשיטה זו נעשה שימוש נרחב בעיקר בניתוח מעגלים תלת-פאזיים. ההתמרה משמשת להדמיית מעגל חשמלי למעגל בעל שלושה הדקים. כאשר שלושה רכיבים מחוברים לאותו צומת ואף אחד מהם לא משמש כמקור אז הצומת מתבטל על ידי הפיכת העכבות. על מנת שתתקבל שקילות, העכבה החשמלית בין כל זוג הדקים חייבת להיות זהה לשני המעגלים (לפני ההתמרה ואחרי ההתמרה). הנוסחאות הנתונות כאן נכונות הן עבור עכבות מרוכבות והן עבור עכבות ממשיות. הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה של הדק מסוים בתצורת כוכב של המעגל תוך שימוש בעכבות הנתונות מתוך תצורת משולש, ולהפך. עבור עכבות R y , R 1 , R 2 {\displaystyle Ry,R_{1},R_{2}} עכבת ההדק היא: R y = R 1 R 2 ∑ R Δ {\displaystyle R_{y}={\frac {R_{1}R_{2}}{\sum R_{\Delta }}}} כאשר ∑ R Δ {\displaystyle {\sum R_{\Delta }}} הוא סכום כל העכבות בתצורת משולש. בצורה מפורשת: R 1 = R b R c R a + R b + R c R 2 = R a R c R a + R b + R c R 3 = R a R b R a + R b + R c {\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}&={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{2}&={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\\R_{3}&={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}} הרעיון הכללי הוא לחשב את העכבה R Δ {\displaystyle R_{\Delta }} בתצורת משולש על ידי הנוסחה: R Δ = R P R o p p o s i t e {\displaystyle R_{\Delta }={\frac {R_{P}}{R_{\mathrm {opposite} }}}} כאשר R p {\displaystyle Rp} הוא סכום מכפלת כל זוג עכבות בתצורת כוכב, כלומר: R P = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 {\displaystyle R_{P}=R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}} . R o p p o s i t e {\displaystyle R_{\mathrm {opposite} }} הוא העכבה בתצורת הכוכב בחיבור לצומת אשר אליו העכבה אותה אנחנו מעוניינים לחשב אינה מתחברת. ובצורה מפורשת: R a = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 1 R b = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 2 R c = R 1 R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R 3 {\displaystyle {\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{1}}}\\R_{b}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{2}}}\\R_{c}&={\frac {R_{1}R_{2}+R_{2}R_{3}+R_{3}R_{1}}{R_{3}}}\end{aligned}}} מעגל שיש בו שילוב של שתי התצורות המדוברות צריך להיות מומר לתצורת כוכב. על ידי שינוי מתוצרת משולש לתצורת כוכב, ניתן לנתח כל אלמנט במעגל בנפרד. שיטה זו נועדה לפשט את ניתוח המעגל. (הערה: ההתנהגות ההרמונית של המעגל המקורי נשמרת). ההמרה מתצורת משולש לתצורת כוכב היא כך: V LL = 3 V LN ∠ 30 I LL = 3 I LN ∠ − 30 Z Δ / 3 = Z Y S 3 Φ = | S 3 Φ | = 3 V LL I L = 3 V LN I L {\displaystyle {\begin{aligned}V_{\text{LL}}={\sqrt {3}}V_{\text{LN}}\angle 30\\I_{\text{LL}}={\sqrt {3}}I_{\text{LN}}\angle -30\\Z_{\Delta }/3=Z_{\text{Y}}\\S_{3\Phi }=|S_{3\Phi }|={\sqrt {3}}V_{\text{LL}}I_{\text{L}}=3V_{\text{LN}}I_{\text{L}}\\\end{aligned}}} רשת נגדים בין שני הדקים ניתנת לפישוט לנגד שווה ערך (ובאופן כללי יותר הדבר מתקיים גם לעכבות). שיטת חיבור נגדים בטור ושיטת חיבור נגדים במקביל הן כלים בסיסיים לפישוט רשת נגדים, אך עבור רשת הנגדים המתוארת בתמונה הן לא יספיקו. ניתן לעשות שימוש בהתמרת כוכב משולש על מנת לפשט את רשת הנגדים כמתואר בתמונה. התמרת כוכב משולש ההפוכה (מתצורת משולש לתצורת כוכב) אשר מוסיפה צומת, נועדה גם כן לפשט את המעגל. כדי לקשר את { R a , R b , R c {\displaystyle R_{a},R_{b},R_{c}} } מתצורת Δ ל { R 1 , R 2 , R 3 {\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}} } מתצורת Y, משווים את העכבה בין שני צמתים בתצורת Δ לעכבה המתאימה בין שני צמתים בתצורת Y, חוזרים על התהליך עבור כל זוג צמתים. העכבה בין הצמתים נקבעת כאשר הצומת האחר לא מחובר למעגל ובמקומו יש קצר. העכבה בין N_1 ו N_2 כאשר N_3 מקוצר, בתצורת Δ: R Δ ( N 1 , N 2 ) = R c ∥ ( R a + R b ) = = 1 1 R c + 1 R a + R b = R c ( R a + R b ) R a + R b + R c {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\Delta }(N_{1},N_{2})&=R_{c}\parallel (R_{a}+R_{b})=\\&={\frac {1}{{\frac {1}{R_{c}}}+{\frac {1}{R_{a}+R_{b}}}}}\\&={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}\end{aligned}}} כדי להקל על הרישום נקרא לסכום { R T {\displaystyle R_{T}} }, { R A , R B , R C {\displaystyle R_{A},R_{B},R_{C}} }: R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} לכן: R Δ ( N 1 , N 2 ) = R c ( R a + R b ) R T {\displaystyle R_{\Delta }(N_{1},N_{2})={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}} העכבה המתאימה בין N_1 ו N_2 בתצורת Y, היא: R Y ( N 1 , N 2 ) = R 1 + R 2 {\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{1}+R_{2}} נשווה בין העכבות שהתקבלו: R Y ( N 1 , N 2 ) = R Δ ( N 1 , N 2 ) {\displaystyle R_{Y}(N_{1},N_{2})=R_{\Delta }(N_{1},N_{2})} לכן מתקבל: R 1 + R 2 = R c ( R a + R b ) R T {\displaystyle R_{1}+R_{2}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}}   (1) נחזור על התהליך עבור R ( N 2 , N 3 ) {\displaystyle R(N_{2},N_{3})} : R 2 + R 3 = R a ( R b + R c ) R T {\displaystyle R_{2}+R_{3}={\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}}   (2) נחזור על התהליך שוב עבור R ( N 1 , N 3 ) {\displaystyle R(N_{1},N_{3})} : R 1 + R 3 = R b ( R a + R c ) R T . {\displaystyle R_{1}+R_{3}={\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}.}   (3) מכאן ניתן לקבוע את הערכים { R 1 , R 2 , R 3 {\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3}} } על ידי צירוף ליניארי. למשל מחיבור משוואות (1) ו (3) וחיסור משוואה (2) נקבל: R 1 + R 2 + R 1 + R 3 − R 2 − R 3 = R c ( R a + R b ) R T + R b ( R a + R c ) R T − R a ( R b + R c ) R T {\displaystyle R_{1}+R_{2}+R_{1}+R_{3}-R_{2}-R_{3}={\frac {R_{c}(R_{a}+R_{b})}{R_{T}}}+{\frac {R_{b}(R_{a}+R_{c})}{R_{T}}}-{\frac {R_{a}(R_{b}+R_{c})}{R_{T}}}} לכן: R 1 = R b R c R T . {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}.} כאשר, R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} לכן מתקבל: R 1 = R b R c R T {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}} (4) R 2 = R a R c R T {\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}} (5) R 3 = R a R b R T {\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}} (6) נקבע ש: R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} . אנחנו יכולים לכתוב את נוסחאות המעבר מתצורת Y לתוצרת Δ כך: R T = R a + R b + R c {\displaystyle R_{T}=R_{a}+R_{b}+R_{c}} . ומתצורת Δ לתצורת Y כך: R 1 = R b R c R T {\displaystyle R_{1}={\frac {R_{b}R_{c}}{R_{T}}}}   (1) R 2 = R a R c R T {\displaystyle R_{2}={\frac {R_{a}R_{c}}{R_{T}}}}   (2) R 3 = R a R b R T {\displaystyle R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}}{R_{T}}}}   (3) מהכפלת כל זוג משוואות, מתקבל: R 1 R 2 = R a R b R c 2 R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}}{R_{T}^{2}}}}   (4) R 1 R 3 = R a R b 2 R c R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}^{2}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}   (5) R 2 R 3 = R a 2 R b R c R T 2 {\displaystyle R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}   (6) נסכום את המשוואות שהתקבלו: R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = R a R b R c 2 + R a R b 2 R c + R a 2 R b R c R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}^{2}+R_{a}R_{b}^{2}R_{c}+R_{a}^{2}R_{b}R_{c}}{R_{T}^{2}}}}   (7) נוציא גורם משותף במונה { R a R b R c {\displaystyle R_{a}R_{b}R_{c}} }: R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = ( R a R b R c ) ( R a + R b + R c ) R T 2 {\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {(R_{a}R_{b}R_{c})(R_{a}+R_{b}+R_{c})}{R_{T}^{2}}}} R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 = R a R b R c R T {\displaystyle R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}} (8) נחלק את משוואה (8) במשוואות (1),(2) ו (3) בנפרד. חלוקה במשוואה (1): R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 = R a R b R c R T R T R b R c {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{b}R_{c}}}} R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 1 = R a {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{1}}}=R_{a}}   (9) חלוקה במשוואה (2): R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 2 = R a R b R c R T R T R a R c {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{c}}}} R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 2 = R b {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{2}}}=R_{b}}   (10) חלוקה במשוואה (3): R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 3 = R a R b R c R T R T R a R b {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}}={\frac {R_{a}R_{b}R_{c}}{R_{T}}}{\frac {R_{T}}{R_{a}R_{b}}}} R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R 3 = R c , {\displaystyle {\frac {R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}}{R_{3}}}=R_{c},}   (11) משוואות (9), (10) ו (11) שהתקבלו מקשרות בין תצורת Y לתצורת Δ. זרם חילופין מעגל חשמלי ניקולה טסלה מערכת תלת פאזית William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4 A.E. Kennelly, "Equivalence of triangles and three-pointed stars in conducting networks", Electrical World and Engineer, vol. 34, pp. 413–414, 1899.