כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל

כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה ∫ a ( y ) b ( y ) f ( x , y ) d x {\displaystyle \int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx} . תהי f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} פונקציה רציפה במלבן [ a , b ] × [ α , β ] {\displaystyle [a,b]\times [\alpha ,\beta ]} , וגזירה ברציפות לפי y {\displaystyle y} ( ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות a ( y ) , b ( y ) {\displaystyle a(y),b(y)} גזירות בקטע [ α , β ] {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} . אזי d d y ∫ a ( y ) b ( y ) f ( x , y ) d x = ∫ a ( y ) b ( y ) ∂ f ∂ y ( x , y ) d x + f ( b ( y ) , y ) b ′ ( y ) − f ( a ( y ) , y ) a ′ ( y ) {\displaystyle {\frac {d}{dy}}\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y)} מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות a ( y ) , b ( y ) {\displaystyle a(y),b(y)} קבועות, כלומר a ( y ) ≡ a , b ( y ) ≡ b {\displaystyle a(y)\equiv a,b(y)\equiv b} . אז נקבל כי d d y ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y ) d x {\displaystyle {\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx} תהי g ( x , y ) {\displaystyle g(x,y)} רציפה. נגדיר G ( y ) = ∫ a b g ( x , y ) d x {\displaystyle G(y)=\int \limits _{a}^{b}g(x,y)dx} ונטען שהיא רציפה. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . לפי משפט קנטור, כיוון ש- g {\displaystyle g} רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שאם d ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ) < δ {\displaystyle d{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}<\delta } אז | g ( x 1 , y 1 ) − g ( x 2 , y 2 ) | < ε {\displaystyle {\bigl |}g(x_{1},y_{1})-g(x_{2},y_{2}){\bigr |}<\varepsilon } . יהיו y 1 , y 2 ∈ [ α , β ] {\displaystyle y_{1},y_{2}\in [\alpha ,\beta ]} המקיימים | y 1 − y 2 | < δ {\displaystyle |y_{1}-y_{2}|<\delta } . אבל d ( ( x , y 1 ) , ( x , y 2 ) ) = | y 1 − y 2 | < δ {\displaystyle d{\bigl (}(x,y_{1}),(x,y_{2}){\bigr )}=|y_{1}-y_{2}|<\delta } ולכן | G ( y 1 ) − G ( y 2 ) | = | ∫ a b g ( x , y 1 ) d x − ∫ a b g ( x , y 2 ) d x | = | ∫ a b ( g ( x , y 1 ) − g ( x , y 2 ) ) d x | ≤ ∫ a b | g ( x , y 1 ) − g ( x , y 2 ) | d x < ∫ a b ε d x = ε ( b − a ) {\displaystyle |G(y_{1})-G(y_{2})|=\left|\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{1})dx-\int \limits _{a}^{b}g(x,y_{2})dx\right|=\left|\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr )}dx\right|\leq \int \limits _{a}^{b}{\bigl |}g(x,y_{1})-g(x,y_{2}){\bigr |}dx<\int \limits _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a)} מכאן ש- G {\displaystyle G} אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה). בפרט אם נבחר G ( y ) = ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y ) d x {\displaystyle G(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx} היא רציפה מההנחה כי ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} רציפה. כעת, נביט בהפרש: Δ G = G ( x , y + Δ y ) − G ( x , y ) = ∫ a b f ( x , y + Δ y ) d x − ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b ( f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) ) d x {\displaystyle \Delta G=G(x,y+\Delta y)-G(x,y)=\int \limits _{a}^{b}f(x,y+\Delta y)dx-\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\bigl (}f(x,y+\Delta y)-f(x,y){\bigr )}dx} כיוון ש- f {\displaystyle f} רציפה וגזירה לפי y {\displaystyle y} , נוכל להיעזר במשפט לגראנז' ולקבל שקיימת 0 < θ < 1 {\displaystyle 0<\theta <1} עבורה f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) = ∂ f ∂ y ( x , y + θ Δ y ) ⋅ Δ y {\displaystyle f(x,y+\Delta y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\cdot \Delta y} (זאת כי קיבענו את x {\displaystyle x} ). לכן: Δ G Δ y = ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y + θ Δ y ) d x = G ( y + θ Δ y ) → Δ y → 0 G ( y ) = ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y ) d x {\displaystyle {\frac {\Delta G}{\Delta y}}=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)dx=G(y+\theta \Delta y)\,\xrightarrow {\Delta y\to 0} \,G(y)=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx} כי G {\displaystyle G} רציפה. כלומר הראנו כי G ′ ( y ) = d d y ∫ a b f ( x , y ) d x = ∫ a b ∂ f ∂ y ( x , y ) d x {\displaystyle G'(y)={\frac {d}{dy}}\int \limits _{a}^{b}f(x,y)dx=\int \limits _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx} . אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה F ( y ) = ∫ a ( y ) b ( y ) f ( x , y ) d x {\displaystyle F(y)=\int \limits _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)dx} . לשם כך נגדיר פונקציה חדשה ϕ ( s , t , y ) = ∫ s t f ( x , y ) d x {\displaystyle \phi (s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}f(x,y)dx} ונבחין כי F ( y ) = ϕ ( a ( y ) , b ( y ) , y ) {\displaystyle F(y)=\phi (a(y),b(y),y)} . מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של ϕ {\displaystyle \phi } לפי s , t {\displaystyle s,t} בהתאמה הן ∂ ϕ ∂ t ( s , t , y ) = f ( t , y ) , ∂ ϕ ∂ s ( s , t , y ) = − f ( s , y ) {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}(s,t,y)=f(t,y),\quad {\frac {\partial \phi }{\partial s}}(s,t,y)=-f(s,y)} ואלה רציפות מההנחה כי f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של ϕ {\displaystyle \phi } לפי y {\displaystyle y} היא ∂ ϕ ∂ y ( s , t , y ) = ∫ s t ∂ f ∂ y ( x , y ) d x {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial y}}(s,t,y)=\int \limits _{s}^{t}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx} וזו פונקציה רציפה מההנחה כי ∂ f ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}} רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של ϕ {\displaystyle \phi } קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם F {\displaystyle F} דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים F ′ ( y ) = ∂ ϕ ∂ s ( a ( y ) , b ( y ) , y ) ⋅ a ′ ( y ) + ∂ ϕ ∂ t ( a ( y ) , b ( y ) , y ) ⋅ b ′ ( y ) + ∂ ϕ ∂ y ( a ( y ) , b ( y ) , t ) = − f ( a ( y ) , y ) a ′ ( y ) + f ( b ( y ) , y ) b ′ ( y ) + ∫ a ( y ) b ( y ) ∂ f ∂ y ( x , y ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int \limits _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)dx\end{aligned}}} כנדרש. נחשב את הנגזרת הבאה ( x > 0 {\displaystyle x>0} ): d d x ∫ x x 2 cos ⁡ ( t ) t d t = cos ⁡ ( x 2 ) x 2 ⋅ d d x ( x 2 ) − cos ⁡ ( x ) x ⋅ d d x ( x ) = cos ⁡ ( x 2 ) x 2 ⋅ 2 x − cos ⁡ ( x ) x ⋅ 1 = 2 cos ⁡ ( x 2 ) − cos ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int \limits _{x}^{x^{2}}{\frac {\cos(t)}{t}}dt={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {d}{dx}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}}} נחשב את האינטגרל ∫ 0 1 x 2 − 1 ln ⁡ ( x ) d x {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}dx} . לשם כך נסמן f ( α ) = ∫ 0 1 x α − 1 ln ⁡ ( x ) d x {\displaystyle f(\alpha )=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx} עבור α ≥ 0 {\displaystyle \alpha \geq 0} והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא f ( 2 ) {\displaystyle f(2)} . נגזור ונקבל f ′ ( α ) = d d α ∫ 0 1 x α − 1 ln ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 1 1 ln ⁡ ( x ) ∂ ∂ α ( e α ln ⁡ ( x ) − 1 ) d x = ∫ 0 1 1 ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( x ) ⋅ e α ln ⁡ ( x ) d x = ∫ 0 1 x α d x = x α + 1 α + 1 | 0 1 = 1 α + 1 {\displaystyle f'(\alpha )={\frac {d}{d\alpha }}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}(e^{\alpha \ln(x)}-1)dx=\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}dx=\int \limits _{0}^{1}x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}{\Bigg |}_{0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}}} מכאן f ( α ) = ∫ 1 α + 1 d α = ln ⁡ ( α + 1 ) + C {\displaystyle f(\alpha )=\int {\frac {1}{\alpha +1}}d\alpha =\ln(\alpha +1)+C} . נבחין כי f ( 0 ) = ∫ 0 1 0 d x = 0 {\displaystyle f(0)=\int \limits _{0}^{1}0\,dx=0} . אזי f ( 0 ) = ln ⁡ ( 0 + 1 ) + C = C = 0 {\displaystyle f(0)=\ln(0+1)+C=C=0} , כלומר f ( α ) = ln ⁡ ( α + 1 ) {\displaystyle f(\alpha )=\ln(\alpha +1)} ולכן ∫ 0 1 x 2 − 1 ln ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ ( 3 ) {\displaystyle \int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}dx=\ln(3)} . כלל האינטגרל של לייבניץ, באתר MathWorld (באנגלית) על הכלל באתר Brilliant Leibniz integral rule, סרטון באתר יוטיוב