הלמה של דוב-דינקין

בתורת המידה ובתורת ההסתברות, הלמה של דוב-דינקין הוא משפט המאפיין מתי משתנה מקרי אחד ניתן לביטוי כפונקציה מדידה של משתנה מקרי אחר, באמצעות הסיגמא-אלגבראות הנוצרות על ידי המשתנים המקריים. למשפט זה תפקיד חשוב בפיתוח התורה של תוחלת מותנית, בכך שהוא מאפשר להכליל את מושג ההתניה במשתנה מקרי, ולהגדיר התניה בסיגמא-אלגברה. ההתניה במשתנה המקרי מתקבלת כמקרה פרטי מהגדרה זו על ידי התניה בסיגמא-אלגברה הנוצרת על-ידו. יהי ( Ω , F ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}}\right)} מרחב מדיד. נתבונן במרחב המדיד ( R n , B n ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}_{n}\right)} כאשר B n {\displaystyle {\mathcal {B}}_{n}} היא סיגמא-אלגברת בורל של R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . לכל פונקציה מדידה f : Ω → R n {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} , נגדיר את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי f {\displaystyle f} להיות התת-סיגמא-אלגברה של F {\displaystyle {\mathcal {F}}} הנוצרת על ידי כל הקבוצות מהצורה f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}\left(B\right)} עבור B ∈ B n {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{n}} . נסמן זאת, σ ( f ) = σ ( { f − 1 ( B ) ∣ B ∈ B n } ) {\displaystyle \sigma \left(f\right)=\sigma \left(\left\{f^{-1}\left(B\right)\mid B\in {\mathcal {B}}_{n}\right\}\right)} משפט: יהיו X , Y : Ω → R n {\displaystyle X,Y:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} משתנים מקריים. אז Y {\displaystyle Y} הוא מדיד ביחס לסיגמא-אלגברה σ ( X ) {\displaystyle \sigma \left(X\right)} , אם ורק אם σ ( Y ) ⊂ σ ( X ) {\displaystyle \sigma \left(Y\right)\subset \sigma \left(X\right)} , אם ורק אם קיימת פונקציה מדידה F : R n → R n {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} כך שמתקיים Y = F ∘ X {\displaystyle Y=F\circ X} . כמו כן, לכל מידת הסתברות P {\displaystyle \mathbb {P} } שנתונה על המרחב ( Ω , F ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}}\right)} , אם מתקיים התנאי שבמשפט, אז F {\displaystyle F} היא יחידה כמעט תמיד ביחס למידה μ {\displaystyle \mu } המוגדרת על ( R n , B n ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}_{n}\right)} על ידי μ ( B ) = P ( X − 1 ( B ) ) {\displaystyle \mu \left(B\right)=\mathbb {P} \left(X^{-1}\left(B\right)\right)} לכל B ∈ B n {\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{n}} . השקילות הראשונה בטענה ברורה. כמו כן הטענה כי אם Y = F ∘ X {\displaystyle Y=F\circ X} אז σ ( Y ) ⊂ σ ( X ) {\displaystyle \sigma \left(Y\right)\subset \sigma \left(X\right)} , גם היא ברורה, ונובעת מהטענה הפשוטה כי הרכבה של פונקציות מדידות היא פונקציה מדידה. עיקר האתגר במשפט הוא להוכיח כי אם σ ( Y ) ⊂ σ ( X ) {\displaystyle \sigma \left(Y\right)\subset \sigma \left(X\right)} אז Y {\displaystyle Y} הוא פונקציה מדידה של X {\displaystyle X} . תחילה נראה את היחידות כמעט תמיד של F {\displaystyle F} . נניח כי F ′ {\displaystyle F'} היא פונקציה כלשהי המקיימת Y = F ′ ∘ X = F ∘ X {\displaystyle Y=F'\circ X=F\circ X} , אז נתבונן בקבוצה המדידה B = { x ∈ Ω ∣ F ( x ) = F ′ ( x ) } {\displaystyle B=\left\{x\in \Omega \mid F(x)=F'(x)\right\}} . נשים לב כי X − 1 ( B ) = Ω {\displaystyle X^{-1}\left(B\right)=\Omega } , ולכן מידתה של B {\displaystyle B} היא 1 {\displaystyle 1} , כנדרש. כעת נראה את הקיום. ניתן להוכיח את המשפט באמצעות הוכחתו עבור פונקציות מציינות, להסיק אותו עבור פונקציות פשוטות, ועל ידי שימוש בעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, ניתן להסיק את המשפט לכל פונקציה מדידה. להלן נציג הוכחה אחרת. לצורך הפשטות, נוכיח זאת עבור קטע היחידה I = [ 0 , 1 ] {\displaystyle I=\left[0,1\right]} עם סיגמא-אלגברת בורל שלו, שהוא איזומורפי כמרחב מדיד ל- ( R , B 1 ) {\displaystyle \left(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}_{1}\right)} . ההוכחה למקרה ה- n {\displaystyle n} -ממדי תהיה כמעט זהה. נשים לב כי ניתן להציג מרחב זה על ידי מרחב מכפלה מהצורה { 0 , 1 } N {\displaystyle \left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }} , עם סיגמא-אלגברת בורל המכפלה. לכל i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } נתבונן בפונקציית ההטלה p i : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } {\displaystyle p_{i}:\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }\to \left\{0,1\right\}} המחזירה את ערך הקואורדינטה ה- i {\displaystyle i} . זו פונקציה מדידה. נשים לב שקיימת פונקציה F i : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } {\displaystyle F_{i}:\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }\to \left\{0,1\right\}} , כך שמתקיים p i ∘ Y = F i ∘ X {\displaystyle p_{i}\circ Y=F_{i}\circ X} . ניתן לראות כי F i {\displaystyle F_{i}} מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה σ ( Y ) {\displaystyle \sigma \left(Y\right)} , ואם נניח את ההנחה שבמשפט כי σ ( Y ) ⊂ σ ( X ) {\displaystyle \sigma \left(Y\right)\subset \sigma \left(X\right)} , ינבע כי היא גם מדידה ביחס לסיגמא-אלגברה σ ( X ) {\displaystyle \sigma \left(X\right)} . נגדיר לפיכך F : { 0 , 1 } N → { 0 , 1 } N {\displaystyle F:\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }\to \left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }} על ידי F = ( F 1 , F 2 , … ) {\displaystyle F=\left(F_{1},F_{2},\dots \right)} , וזו הפונקציה המבוקשת. * A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0 M. M. Rao, R. J. Swift : Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7