פרופיל אווירודינמי

באווירודינמיקה, פרופיל אווירודינמי הוא צורת החתך של הכנף (של פרופלור, רוטור או טורבינה). גם למפרשים מייחסים פרופיל אווירודינמי. צורת הפרופיל האווירודינמי היא אחד הפרמטרים החשובים המשפיעים על ביצועים של מטוס כמו יצירת כח העילוי וכח הגרר כתוצאה מזרימת אוויר על הפרופיל. גוף בעל פרופיל אווירודינמי אשר נע בזורם מייצר כוח אווירודינמי. כוח זה נגרם עקב תנועה יחסית בין הגוף והזורם. באופן כללי ניתן לחלק את התרומות לכוח זה לתרמה מלחץ על שפת הגוף (כוח עילוי) בכיוון הניצב אליה ותרומת גזירה עקב צמיגות (כוח גרר). פרופילים אווירודינמיים של כלים תת-קוליים בדרך כלל מתאפיינים בשפת התקפה עגולה, שפת זרימה חדה ואסימטריה בין המשטח העליון והמשטח התחתון. פרופיל בעל תפקוד דומה בו מים הם הזורם נקרא סנפירית. העילוי על גבי הפרופיל הוא תוצאה ישירה של זווית ההתקפה שלו וצורתו הגאומטרית. כאשר הפרופיל מוטה בזווית מסוימת, ומשפיע על הזרימה המגיעה אליו, פועל כוח ההפוך בכיוונו לכיוון ההסטה של הזורם. כוח זה נקרא כוח אווירודינמי. רוב הפרופילים זקוקים לזווית הטיה כלשהי כדי ליצור עילוי, אך פרופילים אי-סימטריים יכולים לעשות זאת גם ללא זווית התקפה. ההסטה של הזורם בקרבת הפרופיל גורמת לקווי זרימה מוטים. כתוצאה מכך מקבלים הפרש לחצים בין שני צידי הפרופיל (וגם הפרשי מהירויות, על פי משוואת ברנולי). על ידי שימוש בעקרון הסירקולציה, תאוריית קוטה ג'קובסקי, והפרשי המהירויות בין הצד העליון והתחתון של הפרופיל, ניתן לחשב את כוח העילוי. הכנפיים, המייצבים האופקיים והאנכיים של כלי טיס פנויים עם חתכים של פרופילים אווירודינמיים. פרופילים אווירודינמיים נמצאים בשימוש גם בפרופלורים של מסוק, במאווררים ובטורבינות. מפרשים הם פרופילים אווירודינמיים, וגם למשטחים התת-ימיים של סירות כמו השדרית תפקוד דומה. בעלי חיים רבים ואפילו צמחים מסוימים משתמשים בעקרונות הפרופילים האווירודינמיים. דוגמאות הן ציפורים, דגים וקיפודי ים. פרופיל אווירודינמי יכול לייצר כוח עילוי על כלי רכב ולעזור להנעתו. כל גוף בעל זווית התקפה הנתון לזרימה, כגון פלטה, בניין או גשר, ייצרו כוח אווירודינמי בשם עילוי, בכיוון ניצב לזרימה. בתכנון פרופילים אווירודינמיים בדרך כלל המטרה היא להגדיל את העילוי כמה שאפשר מחד גיסא ומאידך גיסא להקטין את הגרר. משמאל ניתן לראות גרף המתאר השתנות של מקדמי עילוי וגרר בניסוי מנהרת רוח. הגרף מייצג פרופיל בעל אי סימטריות ולכן עילוי מיוצר גם בזווית התקפה אפס. בהתחלה, עם עליית זווית ההתקפה, מקדם העילוי עולה ליניארית בקירוב (בשיפוע כמעט קבוע), אך בסביבות 18 מעלות ישנה הזדקרות ומקדם העילוי נופל במהירות. נפילת מקדם העילוי מתרחשת בגלל התנתקות שכבת הגבול במשטח העליון. אפקטיבית, שינוי עובי שכבת הגבול משנה את צורת הפרופיל ומוריד את האפקטיביות של אי הסימטריות של הפרופיל על ידי הורדת הסירקולציה סביבו ובעקבות כך גם את העילוי. גדילת עובי שכבת הגבול גורמת גם להוספת גרר, וניתן לראות שבסביבת נקודת ההזדקרות ישנה גדילה מהירה במקדם הגרר. עיצוב של הפרופיל האווירודינמי הוא שיקול משמעותי בתחום האווירודינמיקה. ישנם סוגי פרופילים שונים לתחומי תעופה שונים. פרופילים אי סימטריים מסוגלים לייצר כוח עילוי ללא זווית התקפה, בעוד שפרופילים סימטריים טובים יותר לטיסה הפוכה האופיינית למטוסי אווירובטיקה. פרופיל סימטרי של מאזנים וכנפי קצה תורם להגדלת תחום זוויות ההתקפה המותר ללא הזדקרות. בכך, זוויות התקפה רבות יכולות לבוא לידי שימוש ללא הפרדת שכבת הגבול במשטח העליון. פרופילים של כלי טיס על-קוליים מתאפיינים בשפת התקפה חדה, ובאופן כללי מעוגלות יותר מאשר פרופילים של כלי טיס תת-קוליים. שפת ההתקפה החדה גורמת לרגישות גבוהה לזוויות התקפה. על ידי הגדלת העובי של הפרופיל באזור שפת ההתקפה ניתן לגרום לזרימה על-קולית לעבור לתחום התת-קולי. לפרופילים המשמשים לטיסות על קוליות יש בדרך כלל עקמומיות נמוכה על מנת לאפשר טיסה מהירה יותר ללא עלייה משמעותית בגרר. בכנפי כלי טיס מודרניים, ניתן להבחין בשינוי בפרופיל האווירודינמי לאורך הכנף, וזאת כדי להתאים לכל אזור בכנף את הפרופיל המתאים לזרימה האופיינית בו. לרוב כלי הטיס מותקנים מדפים על הכנפיים. מדף בשפת הזרימה של הפרופיל יכול לשמש במאזן, אך בניגוד למאזן, המדף יכול חלקית להיכנס לכנף כאשר הוא לא בשימוש. לכנף המיועדת לזרימה למינרית יש עובי מקסימלי בקו הקימור המקסימלי באמצע הכנף. ניתן בעזרת משוואות נאויה-סטוקס להראות כי בתחום הליניארי, מפל הלחצים השלילי לאורך הזרימה שקול להורדת המהירות. לכן, עם העקמומיות המקסימלית באמצע, שמירה על זרימה למינרית בחלק גדול יותר מהכנף נהיה אפשרי עבור מהירויות שיוט גבוהות יותר. אולם, בנוכחות גורמים חיצוניים כמו גשם או הפרעות אחרות על גבי הכנף, הדבר לא עובד כי הזרימה הלמינרית כבר לא נשמרת, אלא הופכת לטורבולנטית. להלן מספר מונחים הקשורים לפרופילים אווירודינמיים: משטח עליון (upper surface): בדרך כלל נתון למהירות גדולה יותר ולחץ נמוך יותר. משטח תחתון (lower surface): בדרך כלל נתון למהירות קטנה יותר ולחץ גדול יותר. הפרש הלחצים בין המשטחים תורם לעילוי. שפת התקפה (leading edge): הנקודה בחלק הקדמי של הפרופיל בה העקמומיות מקסימלית. שפת הזרימה (trailing edge): הנקודה בחלק האחורי של הפרופיל בה העקמומיות מקסימלית (גדולה בהשוואה בשפת ההתקפה). בנקודה זו לרוב מתנתקת הזרימה. מיתר אווירודינמי (chord line): קו ישר המחבר בין שפת ההתקפה לשפת הזרימה. אורך המיתר מסומן בדרך כלל c. אורך המיתר הוא האורך האופייני של הפרופיל. קו העקימון (camber line): קו משפת ההתקפה לשפת הזרימה הנמצא במרחק שווה משני משטחי הפרופיל. צורתו תלויה בהתפלגות העובי לאורך המיתר. קו אפס-עילוי: אם כנף נעה במקביל אל הקו הזה, לא פועל עליה כח עילוי. עבור פרופיל סימטרי קו זה מתלכד עם המיתר האווירודינמי. עובי הפרופיל משתנה לאורך המיתר. ניתן להעריך עובי על סמך שתי דרכים: בניצב למיתר. נקרא "המוסכמה הבריטית". בניצב לקו העקימון. נקרא "המוסכמה האמריקאית". בנוסף, פרמטרים חשובים לתיאור התנהגות הפרופיל בתנועה בזורם הם: המרכז האווירודינמי: המרחק לאורך המיתר משפת ההתקפה, בו המומנט איננו תלוי במקדם העילוי או בזווית ההתקפה. בנקודה זו ∂ ( C M ′ ) ∂ ( C L ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial (C_{M'})}{\partial (C_{L})}}=0} . מרכז הלחץ: הנקודה בה פועל שקול כוחות הלחץ (העילוי). חישוב המומנט השקול עקב הלחץ בנקודה זו הוא אפס (המרחק לאורך המיתר משפת ההתקפה, בו המומנט מתאפס). פרופילי NACA הם פרופילים אווירודינמיים אשר פותחו על ידי הוועדה הלאומית המייעצת לאווירונאוטיקה של ארצות הברית. NACA הגדירה מספר משוואות המייצרות פרופילי כנף לפי הגדרה של 4 ספרות המתארות את צורת הפרופיל: ####NACA ספרה #1: הקימור המקסימלי באחוזים מאורך המיתר. ספרה #2: המרחק של הקימור המקסימלי בעשרות אחוזים (מאורך המיתר) משפת ההתקפה. ספרות #3,4: עובי הפרופיל המקסימלי באחוזים מאורך המיתר. בעזרת ארבעת הספרות של פרופילי NACA ניתן להגדיר את הצורה הגאומטרית של הפרופיל המדובר ולהסיק על תכונותיו האווירודינמיות. לדוגמה: פרופיל NACA0012 - הספרות 00 מעידות כי זהו פרופיל סימטרי הספרות 12 מעידות כי עובי הפרופיל הוא 12% אורך המיתר. כיום, קיימות תוכניות המיועדות לתכנון פרופילי כנף על פי דרישות, כגון PROFOIL, XFOIL, AeroFOIL. תורת הכנף הדקה פותחה על ידי המתמטיקאי הגרמני-אנגלי מקס מנק ונערכה על ידי האווירודינמאי הבריטי הרמן גלאורט ועוד אחרים, בשנות ה-20 של המאה ה-20. זוהי תאוריה פשוטה המקשרת בין זווית ההתקפה לעילוי לזרימות בלתי דחיסות ובלתי צמיגות. התאוריה עושה קירוב של הזרימה סביב הפרופיל לזרימה דו־ממדית סביב פרופיל דק. בזמן הוצאת התאוריה היא זכתה ליחס רב מהסיבה שסיפקה בסיס לתכונות חשובות של פרופילים בזרימה דו־ממדית: בפרופיל סימטרי, המרכז האווירודינמי ומרכז הלחץ נמצאים במרחק רבע מיתר משפת ההתקפה. בפרופיל עקמומי, המרכז האווירודינמי שוכן במרחק רבע מיתר משפת ההתקפה. השיפוע של גרף מקדם העילוי אל מול זווית ההתקפה הוא 2 π {\displaystyle 2\pi \!} לרדיאן. הדבר נכון כאשר זווית ההתקפה מוגדרת ביחס למיתר. תאוריית הכנף הדקה אינה לוקחת בחשבון את תופעת ההזדקרות. כתוצאה מ-3 ניתן לקבל כי מקדם העילוי עבור פרופיל עקמומי בעל מוטת כנפיים אינסופית הוא:   c L = c L 0 + 2 π α {\displaystyle \ c_{L}=c_{L_{0}}+2\pi \alpha } כאשר α {\displaystyle \alpha \!} היא זווית ההתקפה ברדיאנים,   c L 0 {\displaystyle \ c_{L_{0}}} הוא מקדם העילוי כאשר α {\displaystyle \alpha \!} אפס.   c L 0 {\displaystyle \ c_{L_{0}}} מתאפס עבור פרופיל סימטרי. נבחן פרופיל כנף דקה. על פי תאוריית קוטה-ג'קובסקי: L ′ = − ρ ∞ V ∞ Γ , {\displaystyle L^{\prime }=-\rho _{\infty }V_{\infty }\Gamma ,\,} כלומר, העילוי ליחידת אורך שווה למכפלת הצפיפויות של הזורם, מהירות הזרימה והסירקולציה, המוגדרת ע"י: Γ = ∮ C V ⋅ d s = ∮ C V cos ⁡ θ d s = ∫ C γ ( x ) d x {\displaystyle \Gamma =\oint _{C}V\cdot d\mathbf {s} =\oint _{C}V\cos \theta \;ds\,=\int _{C}\gamma (x)d{x}} לכן, על מנת להגיע לעילוי, עלינו לדעת את פילוג הערבוליות על פני הפרופיל. נניח כי תנאי השפה של אי חדירה מתקיים לא רק על שפת הכנף אלא גם על המיתר שלה. הנחה זו סבירה אם הפרופיל "דק מספיק" ומסתכלים עליו "מרחוק מספיק". נסמן ב- w {\displaystyle w} את רכיב המהירות הניצב לקו המיתר. משמעות ההנחה היא ש- w {\displaystyle w} על גבי המשטח העליון של הפרופיל ועל גבי המיתר שווים (מתאחדים). נדרוש: U n + w ( s ) = 0 {\displaystyle U_{n}+w(s)=0} , כאשר U n {\displaystyle U_{n}} הוא רכיב המהירות המציפה U {\displaystyle U} שמכתיבה הזרימה שמסביב לפרופיל, בכיוון ניצב למיתר, ו- s {\displaystyle s} הוא פרמטר אורך שמתקדם על המשטח העליון (קו העקימון y c ( x ) {\displaystyle y_{c}(x)} , x {\displaystyle x} הוא פרמטר אורך שמתקדם על המיתר). ממשואות פוטנציאליות של מקור (ראה: זרימה פוטנציאלית), מידת ההשפעה על w ( x ) {\displaystyle w(x)} של קטע d ζ {\displaystyle d\zeta } על נקודה x {\displaystyle x} : d w = − γ ( ζ ) d ζ ( x − ζ ) 2 π {\displaystyle dw=-{\frac {\gamma (\zeta )d\zeta }{(x-\zeta )2\pi }}} לכן, השפעת כל המקורות על מיתר יהיו אינטגרציה: w ( x ) = − ∫ 0 c γ ( ζ ) ( x − ζ ) 2 π d ζ {\displaystyle w(x)=-\int _{0}^{c}{\frac {\gamma (\zeta )}{(x-\zeta )2\pi }}d\zeta } נצי"ב את הנ"ל בדרישה שרשמנו ונקבל: U ( α − d y c ( x ) d x ) = 1 2 π ∫ 0 c γ ( ζ ) ( x − ζ ) d ζ {\displaystyle U(\alpha -{\frac {dy_{c}(x)}{dx}})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{c}{{\frac {\gamma (\zeta )}{(x-\zeta )}}d\zeta }} הבעיה עכשיו היא לפתור את המשוואה האינטגרלית שהתקבלה. לשם כך, נבצע החלפת משתנים: ζ = c 2 ( 1 − c o s ( ϕ ) ) {\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2}}(1-cos(\phi ))} , x = c 2 ( 1 − c o s ( θ ) ) {\displaystyle x={\frac {c}{2}}(1-cos(\theta ))} כאשר ϕ {\displaystyle \phi } הוא פרמטר משתנה ו- θ {\displaystyle \theta } הוא קבוע עבור על משוואה אינטגרלית נפרדת. הוא קבוע מכיוון שבכל משוואה, x {\displaystyle x} הוא קבוע. כלומר, המשוואה היא על משתנה דמה ζ {\displaystyle \zeta } שאיתו מגיעים ל- γ ( x ) {\displaystyle \gamma (x)} עבור x {\displaystyle x} מסוים. לאחר הצבת החלפת המשתנים נקבל: 1 2 π ∫ ϕ = 0 π γ ( θ ) s i n ( θ ) d θ c o s ( ϕ ) − c o s ( θ ) = U ( α − d y c ( x ) d x ) {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{\phi =0}^{\pi }{\frac {\gamma (\theta )sin(\theta )d\theta }{cos(\phi )-cos(\theta )}}=U(\alpha -{\frac {dy_{c}(x)}{dx}})} ומתנאי קוטה: γ ( ϕ = π ) = 0 {\displaystyle \gamma (\phi =\pi )=0} . על ידי שימוש בפתרון טורי פורייה ניתן לקבל: γ ( θ ) = 2 U ( A 0 c o t ( ϕ / 2 ) + ∑ n = 1 ∞ A n sin ⁡ ( n ϕ ) ) {\displaystyle \gamma (\theta )=2U(A_{0}cot(\phi /2)+\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\;\sin(n\phi ))} כאשר מקדמי פורייה שמתקבלים הם: A 0 = α − 1 π ∫ ϕ = 0 π d y c d x d ϕ {\displaystyle A_{0}=\alpha -{\frac {1}{\pi }}\int _{\phi =0}^{\pi }{\frac {dy_{c}}{dx}}d\phi } , A n = 2 π ∫ ϕ = 0 π d y c d x c o s ( n ϕ ) d ϕ {\displaystyle A_{n}={\frac {2}{\pi }}\int _{\phi =0}^{\pi }{\frac {dy_{c}}{dx}}cos(n\phi )d\phi } . על פי תאוריית קוטה ג'קובסקי, כוח העילוי L ′ {\displaystyle L^{\prime }} ניתן לחישוב: L ′ = ρ ∞ U ∫ 0 c γ ( x ) d x {\displaystyle L^{\prime }=\rho _{\infty }U\int _{0}^{c}{\gamma (x)dx}} המומנט ביחס לשפת ההתקפה יתקבל על ידי: M = ρ ∞ U ∫ 0 c x γ ( x ) d x {\displaystyle M=\rho _{\infty }U\int _{0}^{c}{x\gamma (x)dx}} מקדם העילוי יהיה תלוי רק בשני המקדמים הראשונים בטור: C L = 2 π ( A 0 + A 1 / 2 ) {\displaystyle C_{L}=2\pi (A_{0}+A_{1}/2)} ומקדמי המומנט סביב שפת ההתקפה ורבע מיתר הם:   C M = − 0.5 π ( A 0 + A 1 − A 2 / 2 ) {\displaystyle \ C_{M}=-0.5\pi (A_{0}+A_{1}-A_{2}/2)}   C M ( 1 / 4 c ) = − π / 4 ( A 1 − A 2 ) {\displaystyle \ C_{M}(1/4c)=-\pi /4(A_{1}-A_{2})} ערך מורחב – זווית התקפה זווית התקפה זוהי הזווית בין כיוון הזרימה החופשית של האוויר (זרימה כנגד הפרופיל) לבין מיתר הפרופיל. לזווית ההתקפה חשיבות רבה מאוד, וכל שינוי בזווית ההתקפה משפיע על התכונות האווירודינמיות של פרופיל הכנף. כאשר קו זרימת האוויר מקביל למיתר, זווית ההתקפה תהיה - 0. כאשר שפת ההתקפה תעלה מעל קו זווית - 0, זווית התקפה תהיה חיובית. כאשר שפת התקפה תרד מתחת לקו - 0, זווית התקפה תהיה שלילית. עבור כל סוג פרופיל קיימת זווית התקפה מינימלית שבה נוצר כוח עילוי שהיא בין הערכים הנמוכים של זווית חיובית (1, 2 מעלות) ועד ערכים של זווית שלילית קטנות (מינוס 1, 2 מעלות). קיימת גם זווית התקפה שעבורה העילוי הוא מרבי. הגדלת זווית התקפה מעבר לזווית של עילוי מרבי תגרום להקטנה של כוח עילוי עד להזדקרות (נתק של זרימה אוויר מהפרופיל) ואיבוד העילוי. פרופיל אווירודינמי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) סנפירים, דף שער בספרייה הלאומית Halliday, David; Resnick, Robert, Fundamentals of Physics 3rd Edition, John Wiley & Sons, עמ' 378 NASA Glenn Research Center, Lift from Flow Turning, Archived, 2011 Babinsky, Holger, How do wings work?, Physics Education, 2003 Hurt, H. H., Jr., Aerodynamics for Naval Aviators, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C.: U.S. Navy, Aviation Training Division, 1960, עמ' 21-22 Bertin, John J.; Cummings, Russel M., Aerodynamics for Engineers, 5, Pearson Prentice Hall, ed., 2009, עמ' 199 Houghton, E. L.; Carpenter, P.W., Aerodynamics for Engineering Students, 5, Butterworth Heinmann, ed, 2003, עמ' 17 Phillips, Warren F., Mechanics of Flight, 2, Wiley & Sons, 2010, עמ' 27 XFOIL, XFOIL Abbott, Ira H., and Von Doenhoff, Albert E., Theory of Wing Sections, Dover Publications Inc., New York, 1959 aerospaceweb, Aerospaceweb's information on Thin Airfoil Theory John D. Anderson, Jr., Fundamentals of Aerodynamics, 5, McGraw-Hill, עמ' 338-352