משפט לסקר-נתר

המונח "הפירוק הפרימרי" מפנה לכאן. לערך העוסק במשפט באלגברה ליניארית, ראו תת-מרחב שמור. משפט לסקר-נתר או משפט הפירוק הפרימרי הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידיאל של חוג קומוטטיבי נתרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידיאלים פרימריים. הפירוק שבו מספר האידיאלים מינימלי הוא יחיד מבחינת הרדיקלים של האידיאלים הפרימריים המשתתפים בו. את המשפט הוכיח עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נתרי. יהי A {\displaystyle A} חוג נתרי וקומוטטיבי. כל אידיאל I {\displaystyle I} של A {\displaystyle A} הוא חיתוך I = Q 1 ∩ Q 2 ∩ . . . ∩ Q n {\displaystyle I=Q_{1}\cap Q_{2}\cap ...\cap Q_{n}} , עבור אידיאלים פרימריים Q 1 , Q 2 , . . . Q n {\displaystyle Q_{1},Q_{2},...Q_{n}} . בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את I {\displaystyle I} כחיתוך כזה עם n {\displaystyle n} מינימלי, מתקבלים אותם רדיקלים Q 1 , Q 2 , . . . , Q n {\displaystyle {\sqrt {Q_{1}}},{\sqrt {Q_{2}}},...,{\sqrt {Q_{n}}}} (עד כדי סדר). למה ראשונה: בחוג נתרי כל אידיאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים (אידיאל אי-פריק הוא אידיאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידיאלים אחרים). הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידיאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים. על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נתריים, ניתן להניח שיש אידיאל M {\displaystyle M} שהוא מקסימלי מבין האידיאלים בעלי תכונה זו. M {\displaystyle M} בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום M = A ∩ B {\displaystyle M=A\cap B} כאשר M ⊊   A , B {\displaystyle M\subsetneq \ A,B} . מתוך המקסימליות של M {\displaystyle M} נובע ש- A , B {\displaystyle A,B} הם חיתוכים של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, M {\displaystyle M} , הוא כזה – בסתירה להנחה. למה שנייה: בחוג קומוטטיבי נתרי A {\displaystyle A} , כל אידיאל אי פריק Q {\displaystyle Q} הוא פרימרי. הוכחה: נניח ש- Q {\displaystyle Q} אינו פרימרי ונוכיח שהוא פריק. מכיוון ש- Q {\displaystyle Q} אינו פרימרי, קיימים איברים b , c ∈ A {\displaystyle b,c\in A} כך ש- c ∉ Q {\displaystyle c\not \in Q} וגם ∀ n :   b n ∉ Q {\displaystyle \forall n:\ b^{n}\not \in Q} . נסמן I k = { x ∈ A | x b k ∈ Q } {\displaystyle I_{k}=\{x\in A|xb^{k}\in Q\}} . מכיוון ש- Q {\displaystyle Q} הוא אידיאל, אם x b k ∈ Q {\displaystyle xb^{k}\in Q} אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידיאל ולכן גם x b k + 1 ∈ Q {\displaystyle xb^{k+1}\in Q} . מבנייה זו מתקבלת השרשרת העולה Q = I 0 ⊂ I 1 ⊂ I 2 ⊂ … {\displaystyle Q=I_{0}\subset I_{1}\subset I_{2}\subset \dots } . מכיוון שהחוג נתרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים l {\displaystyle l} כך ש- I l = I l + 1 {\displaystyle I_{l}=I_{l+1}} . לכן, אם x b l + 1 ∈ Q {\displaystyle xb^{l+1}\in Q} אזי x b l ∈ Q {\displaystyle xb^{l}\in Q} . כעת נסתכל על הקבוצות M = Q + A b l {\displaystyle M=Q+Ab^{l}} ו- N = Q + A c {\displaystyle N=Q+Ac} . הן בוודאי שונות מ- Q {\displaystyle Q} מכיוון ש- b l ∉ Q {\displaystyle b^{l}\not \in Q} ו- c ∉ Q {\displaystyle c\not \in Q} . נוכיח ש- ( Q + A b l ) ∩ ( Q + A c ) = Q {\displaystyle (Q+Ab^{l})\cap (Q+Ac)=Q} . ברור ש- Q ⊂   M ∩ N {\displaystyle Q\subset \ M\cap N} מכיוון ש- Q ⊊   M {\displaystyle Q\subsetneq \ M} וגם Q ⊊   N {\displaystyle Q\subsetneq \ N} . נראה ש- M ∩ N ⊂   Q {\displaystyle M\cap N\subset \ Q} . ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: q + a b l = q ′ + a ′ c {\displaystyle q+ab^{l}=q'+a'c} כאשר q , q ′ ∈ Q {\displaystyle q,q'\in Q} ו- a , a ′ ∈ A {\displaystyle a,a'\in A} . נכפול את שני צידי המשוואה ב- b {\displaystyle b} ונקבל q b + a b l + 1 = q ′ b + a ′ b c {\displaystyle qb+ab^{l+1}=q'b+a'bc} . עכשיו, נתון ש- b c ∈ Q {\displaystyle bc\in Q} ומכיוון ש- Q {\displaystyle Q} הוא אידיאל, אז a ′ b c ∈ Q {\displaystyle a'bc\in Q} . מכיוון ש- Q {\displaystyle Q} אידיאל גם q b , q ′ b ∈ Q {\displaystyle qb,q'b\in Q} . זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל- Q {\displaystyle Q} , דהיינו: a b l + 1 ∈ Q {\displaystyle ab^{l+1}\in Q} . אבל הראנו שזה גורר ש- a b l ∈ Q {\displaystyle ab^{l}\in Q} . ולכן q + a b l ∈ Q {\displaystyle q+ab^{l}\in Q} , כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל- Q {\displaystyle Q} ולכן M ∩ N ⊂   Q {\displaystyle M\cap N\subset \ Q} . אם כן, M ∩ N = Q {\displaystyle M\cap N=Q} כלומר הצלחנו לפרק את Q {\displaystyle Q} ל- M {\displaystyle M} ו- N {\displaystyle N} ולכן Q {\displaystyle Q} פריק כפי שרצינו. משתי הלמות מתקבל פירוק סופי של כל אידיאל לאידיאלים פרימריים.