משפט הפירוק של הלמהולץ

בפיזיקה ובמתמטיקה, ובפרט בתחום של אנליזה וקטורית, משפט הפירוק של הלמהולץ, הידוע גם בשם המשפט היסודי של האנליזה הווקטורית, קובע שכל שדה וקטורי תלת-ממדי, גזיר ברציפות פעמיים, הדועך מהר מספיק באינסוף, יכול להיות מוצג כסכום של שדה סולנואידי ושדה משמר. פירוק כזה ידוע כפירוק הלמהולץ. המשפט נקרא על שמו של הפיזיקאי הרמן פון הלמהולץ. מאחר שלכל שדה סולונואידי קיים פוטנציאל וקטורי, ולכל שדה משמר קיים פוטנציאל סקלרי, משפט הפירוק קובע שכל שדה המקיים את תנאי המשפט יכול להיות מוצג על ידי: F = − ∇ ϕ + ∇ × A {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} } . כאשר ϕ {\displaystyle \phi } הוא הפוטנציאל הסקלרי ו- A {\displaystyle \mathbf {A} } הוא הפוטנציאל הווקטורי. יהי F {\displaystyle \mathbf {F} } שדה וקטורי גזיר ברציפות פעמיים המוגדר בתחום V ⊆ R 3 {\displaystyle \mathbf {V} \subseteq \mathbb {R} ^{3}} ויהי S {\displaystyle \mathbf {S} } המשטח התוחם את V {\displaystyle V} . אזי קיימים שדה סולונואידי R = ∇ × A {\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} } ושדה משמר D = − ∇ ϕ {\displaystyle \mathbf {D} =-\nabla \phi } . כך ש- F = D + R = − ∇ ϕ + ∇ × A {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {D} +\mathbf {R} =-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} } . כאשר מתקיים: ϕ ( r ) = 1 4 π ∭ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ − 1 4 π ∯ S ⁡ n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d S ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '-{\frac {1}{4\pi }}\oiint _{S}{\hat {n}}'\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {S} '} A ( r ) = 1 4 π ∭ V ∇ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ − 1 4 π ∯ S ⁡ n ^ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d S ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '-{\frac {1}{4\pi }}\oiint _{S}{\hat {n}}'\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {S} '} כאשר ∇ ′ {\displaystyle \nabla '} הוא אופרטור הדל ביחס ל- r ′ {\displaystyle \mathbf {r} '} . פירוקים אלו אינם ייחודיים מכיוון שאם ϕ , A {\displaystyle \phi ,\mathbf {A} } מקיימים את הפירוק ו- Φ {\displaystyle \Phi } הוא שדה הרמוני (כלומר שדה המקיים: ∇ 2 Φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0} כאשר ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} הוא לפלסיאן וקטורי) אז מתקיים: − ∇ ( ϕ + ∇ Φ ) + ∇ × ( A + ∇ × Φ ) = − ∇ ϕ + ∇ × A − ∇ ( ∇ Φ ) + ∇ × ( ∇ × Φ ) = − ∇ ϕ + ∇ × A − ∇ 2 Φ = F {\displaystyle -\nabla (\phi +\nabla \Phi )+\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \times \Phi )=-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} -\nabla (\nabla \Phi )+\nabla \times (\nabla \times \Phi )=-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} -\nabla ^{2}\Phi =\mathbf {F} } אם V = R 3 {\displaystyle \mathbf {V} =\mathbb {R} ^{3}} , ו- F {\displaystyle \mathbf {F} } דועכת מהר יותר מ- 1 r {\displaystyle {\frac {1}{r}}} בגבול r → ∞ {\displaystyle \mathbf {r} \to \infty } אזי מתקיים: ϕ ( r ) = 1 4 π ∭ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '} A ( r ) = 1 4 π ∭ V ∇ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\iiint _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '} במקרה זה הפירוק המתקבל הוא הפירוק היחידי עבורו ϕ , A {\displaystyle \phi ,\mathbf {A} } דועכים לאפס בגבול r → ∞ {\displaystyle \mathbf {r} \to \infty } . הפיתוח של פירוק הלמהולץ מסתמך על חישוב באמצעות פונקציית גרין של אופרטור הלפלסיאן: δ 3 ( r − r ′ ) = ∇ 2 ( − 1 4 π 1 | r − r ′ | ) {\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=\nabla ^{2}\left(-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)} מתקיים: F ( r ) = ∫ V F ( r ′ ) δ 3 ( r − r ′ ) d V ′ = = ∫ V F ( r ′ ) ( − 1 4 π ∇ 2 1 | r − r ′ | ) d V ′ = = − 1 4 π ∇ 2 ∫ V F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ = ∇ 2 V = ∇ ( ∇ ⋅ V ) − ∇ × ( ∇ × V ) = − 1 4 π [ ∇ ( ∇ ⋅ ∫ V F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ ) − ∇ × ( ∇ × ∫ V F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ ) ] = = − 1 4 π [ ∇ ( ∫ V F ( r ′ ) ⋅ ∇ 1 | r − r ′ | d V ′ ) + ∇ × ( ∫ V F ( r ′ ) × ∇ 1 | r − r ′ | d V ′ ) ] = ∇ 1 | r − r ′ | = − ∇ ′ 1 | r − r ′ | = − 1 4 π [ − ∇ ( ∫ V F ( r ′ ) ⋅ ∇ ′ 1 | r − r ′ | d V ′ ) − ∇ × ( ∫ V F ( r ′ ) × ∇ ′ 1 | r − r ′ | d V ′ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'=\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'=_{\nabla ^{2}\mathbf {V} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {V} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {V} )}\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]=\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]=_{\nabla {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}=-\nabla '{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}} כאשר הלפלסיאן בשורה השנייה הוא לפלסיאן סקלרי, ובשלישית הוא לפלסיאן וקטורי. כעת לפי הזהויות הווקטוריות: a ⋅ ∇ ψ = − ψ ( ∇ ⋅ a ) + ∇ ⋅ ( ψ a ) a × ∇ ψ = ψ ( ∇ × a ) − ∇ × ( ψ a ) {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}} נקבל: F ( r ) = − 1 4 π [ − ∇ ( − ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ + ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ ) − ∇ × ( ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ − ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ ) ] = − 1 4 π [ − ∇ ( − ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ + ∮ S n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d S ′ ) − ∇ × ( ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ − ∮ S n ^ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d S ′ ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}=\\-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}{\hat {n}}'\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}{\hat {n}}'\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\end{aligned}}} ולכן: F = − ∇ ϕ + ∇ × A {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A} } . כאשר מתקיים: ϕ ( r ) = 1 4 π ∫ V ∇ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ ⋅ F ( r ′ ) | r − r ′ | d S ′ {\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}{\hat {n}}'\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {S} '} A ( r ) = 1 4 π ∫ V ∇ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d V ′ − 1 4 π ∮ S n ^ ′ × F ( r ′ ) | r − r ′ | d S ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {V} '-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}{\hat {n}}'\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d\mathbf {S} '} אם V = R 3 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}} ו- F ( r ′ ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ')} האינטגרלים המשטחיים מתאפסים. במקרה דו-ממדי ניתן להחליף את פונקציית גרין התלת-ממדית G = ( − 1 4 π 1 | r − r ′ | ) {\displaystyle G=\left(-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)} בפונקציית גרין הדו-ממדית G = 1 2 π ln ⁡ ( | r − r ′ | ) {\displaystyle G={\frac {1}{2\pi }}\ln(|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)} ולקבל פיתוח דומה למקרה הדו-ממדי. George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92–101 Rutherford Aris, Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Prentice-Hall (1962), OCLC 299650765, pp. 70–72 משפט הפירוק של הלמהולץ, באתר MathWorld (באנגלית)