חלוקה מקרית של קבוצה

בתורת ההסתברות חלוקה מקרית של קבוצה היא משתנה מקרי המקבל את ערכיו בקבוצת החלוקות של קבוצה. חלוקות מקריות משמשות ביישומים בגנטיקה. לדוגמה, נגדיר חלוקה מקרית Π 3 {\displaystyle \Pi _{3}} של N 3 = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle N_{3}=\{1,2,3\}} באמצעות מתן ההסתברות של כל אחת מחמש ההחלוקות של N 3 {\displaystyle N_{3}} להתקבל: Pr ( Π 3 = { { 1 } , { 2 } , { 3 } } ) = 1 2 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{2}}} , Pr ( Π 3 = { { 1 , 2 } , { 3 } } ) = 1 6 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{6}}} , Pr ( Π 3 = { { 1 , 2 , 3 } } ) = 1 3 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2,3\}\}\right)={\frac {1}{3}}} , Pr ( Π 3 = { { 1 , 3 } , { 2 } } ) = Pr ( Π 3 = { { 1 } , { 2 , 3 } } ) = 0 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)=0} . סדרה אינסופית של חלוקות מקריות Π 1 , Π 2 , . . . {\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2},...} כך ש- Π i {\displaystyle \Pi _{i}} חלוקה מקרית של N i {\displaystyle N_{i}} לכל i = 1 , 2 , . . . {\displaystyle i=1,2,...} , תקרא חלוקה מקרית של N {\displaystyle \mathbb {N} } (קבוצת כל המספרים הטבעיים) אם לכל שני מספרים טבעיים m < n {\displaystyle m<n} מתקיים שהצמצום של Π n {\displaystyle \Pi _{n}} ל- N m {\displaystyle N_{m}} נותן את Π m {\displaystyle \Pi _{m}} . נניח ש- Π 2 {\displaystyle \Pi _{2}} מתקבלת מהצמצום של Π 3 {\displaystyle \Pi _{3}} מהדוגמה למעלה ל- N 2 = { 1 , 2 } {\displaystyle N_{2}=\{1,2\}} . נחשב את Π 2 {\displaystyle \Pi _{2}} : ממחיקת המספר 3 מכל אחת מהחלוקות { { 1 } , { 2 } , { 3 } } , { { 1 , 3 } , { 2 } } , { { 1 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\}\},\{\{1,3\},\{2\}\},\{\{1\},\{2,3\}\}} מקבלים את החלוקה { { 1 } , { 2 } } {\displaystyle \{\{1\},\{2\}\}} ולכן Pr ( Π 2 = { { 1 } , { 2 } } ) = Pr ( Π 3 = { { 1 } , { 2 } , { 3 } } ) + Pr ( Π 3 = { { 1 , 3 } , { 2 } } ) + Pr ( Π 3 = { { 1 } , { 2 , 3 } } ) = 1 2 {\displaystyle \Pr(\Pi _{2}=\{\{1\},\{2\}\})=\Pr(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi _{3}=\{\{1,3\},\{2\}\})+\Pr(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2,3\}\})={\frac {1}{2}}} באופן דומה מקבלים ש- Pr ( Π 2 = { { 1 , 2 } } ) = Pr ( Π 3 = { { 1 , 2 } , { 3 } } ) + Pr ( Π 3 = { { 1 , 2 , 3 } } ) = 1 2 {\displaystyle \Pr(\Pi _{2}=\{\{1,2\}\})=\Pr(\Pi _{3}=\{\{1,2\},\{3\}\})+\Pr(\Pi _{3}=\{\{1,2,3\}\})={\frac {1}{2}}} חלוקה מקרית חילופית Π n {\displaystyle \Pi _{n}} של N n = { 1 , . . . , n } {\displaystyle N_{n}=\{1,...,n\}} היא חלוקה מקרית של N n {\displaystyle N_{n}} כך שלכל חלוקה A {\displaystyle A} של N n {\displaystyle N_{n}} ולכל תמורה θ {\displaystyle \theta } על N n {\displaystyle N_{n}} מתקיים Pr ( Π n = A ) = Pr ( Π n = θ ( A ) ) {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=A\right)=\Pr \left(\Pi _{n}=\theta (A)\right)} . כלומר, ההסתברות לקבלת חלוקה נשמרת תחת תמורות. החלוקה המקרית בדוגמה למעלה איננה חילופית. כדי לראות זאת נבחר את התמורה θ ( 1 ) = 3 , θ ( 2 ) = 2 , θ ( 3 ) = 1 {\displaystyle \theta (1)=3,\theta (2)=2,\theta (3)=1} ואת החלוקה A = { { 1 , 2 } , { 3 } } {\displaystyle A=\{\{1,2\},\{3\}\}} . מצד אחד Pr ( Π n = A ) = 1 6 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=A\right)={\frac {1}{6}}} ומהצד השני θ ( A ) = { { θ ( 1 ) , θ ( 2 ) } , { θ ( 3 ) } } = { { 3 , 2 } , { 1 } } = { { 1 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \theta (A)=\{\{\theta (1),\theta (2)\},\{\theta (3)\}\}=\{\{3,2\},\{1\}\}=\{\{1\},\{2,3\}\}} ו- Pr ( Π n = θ ( A ) ) = 0 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=\theta (A)\right)=0} . ראינו ש- Pr ( Π n = A ) ≠ Pr ( Π n = θ ( A ) ) {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{n}=A\right)\neq \Pr \left(\Pi _{n}=\theta (A)\right)} ולכן החלוקה המקרית אינה חילופית. אם לעומת זאת נגדיר את Π 3 {\displaystyle \Pi _{3}} באופן הבא: Pr ( Π 3 = { { 1 } , { 2 } , { 3 } } ) = 1 2 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\right)={\frac {1}{2}}} , Pr ( Π 3 = { { 1 , 2 } , { 3 } } ) = Pr ( Π 3 = { { 1 , 3 } , { 2 } } ) = Pr ( Π 3 = { { 1 } , { 2 , 3 } } ) = 1 18 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2\},\{3\}\}\right)=\Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,3\},\{2\}\}\right)=\Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1\},\{2,3\}\}\right)={\frac {1}{18}}} , Pr ( Π 3 = { { 1 , 2 , 3 } } ) = 1 3 {\displaystyle \Pr \left(\Pi _{3}=\{\{1,2,3\}\}\right)={\frac {1}{3}}} , נקבל חלוקה מקרית חילופית. אם סדרה אינסופית של חלוקות מקריות Π 1 , Π 2 , . . . {\displaystyle \Pi _{1},\Pi _{2},...} כך ש- Π i {\displaystyle \Pi _{i}} חלוקה מקרית חילופית של N i {\displaystyle N_{i}} לכל i = 1 , 2 , . . . {\displaystyle i=1,2,...} , היא גם חלוקה מקרית של N {\displaystyle \mathbb {N} } אז היא חלוקה מקרית חילופית של N {\displaystyle \mathbb {N} } . בתהליך המסעדה הסינית הלקוחות הממוספרים i = 1 , 2 , . . . {\displaystyle i=1,2,...} נכנסים למסעדה בזה אחר זה. הלקוח ה- n {\displaystyle n} שנכנס בוחר אם להתיישב ליד שולחן שכבר יושבים לידו בהסתברות שהיא בגודל יחסי למספר האנשים היושבים ליד השולחן או יושב ליד שולחן ריק מאנשים בהסתברות 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} . בתהליך זה ניתן להראות שהחלוקה של n {\displaystyle n} הלקוחות הראשונים לשולחנות היא חלוקה מקרית חילופית של N n {\displaystyle N_{n}} , והסדרה האינסופית של החלוקות המקריות החילופיות עבור n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle n=1,2,...} היא חלוקה מקרית חילופית של N {\displaystyle \mathbb {N} } . Pitman, Jim (1995). "Exchangeable and Partially Exchangeable Random Partitions". Probability Theory and Related Fields. 102 (2): 145–150. doi:10.1007/BF01213386.