אקספוננט של מטריצות

במתמטיקה אקספוננט של מטריצות הוא פונקציה הפועלת על מטריצות ריבועיות ומקבילה לפעולת האקספוננט של מספר (ממשי או מרוכב). לפונקציה זו חשיבות רבה בתחומי המתמטיקה והפיזיקה והיא משמשת לפתרון משוואות דיפרנציאליות ליניאריות. בתורת לי ניתן להשתמש באקספוננט המטריצי כדי לקשר את אלגברת לי של המטריצות המרוכבות עם חבורת לי המתאימה לה, שהיא החבורה הליניארית הכללית. נהוג לסמן את פונקציה זו בסימונים exp ⁡ ( A ) {\displaystyle \exp(A)} או e A {\displaystyle e^{A}} , זאת על אף שאין לפעולה משמעות במובן של הכפלת המספר e בעצמו. בהינתן מטריצה ריבועית מרוכבת A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ניתן להגדיר את האקספוננט המטריצי: e A := ∑ k = 0 ∞ 1 k ! A k {\displaystyle e^{A}:=\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{k!}}A^{k}}} כאשר A k {\displaystyle A^{k}} הוא הכפלת המטריצה A {\displaystyle A} בעצמה k {\displaystyle k} פעמים ו- k ! {\displaystyle k!} היא פונקציית העצרת. הפלט של פונקציה זו יהיה מטריצה ריבועית מרוכבת בעלת אותם הממדים של A {\displaystyle A} . את איברי אותה המטריצה יש לחשב על ידי חישוב הגבול איבר-איבר. ניתן להראות שעל אף שההגדרה מכילה טור אינסופי, טור זה מתכנס לכל מטריצה A {\displaystyle A} . כלומר, הטור מתכנס לכל איברי המטריצה ולכל קלט. במקרה הפרטי שבו n = 1 {\displaystyle n=1} ההגדרה זהה לזו של אקספוננט של מספר. האקספוננט המטריצי מקיים את התכונות הבאות: e 0 = I {\displaystyle e^{0}=I} כאשר 0 {\displaystyle 0} היא מטריצת האפס ו- I {\displaystyle I} היא מטריצה היחידה. exp ⁡ ( A T ) = ( exp ⁡ ( A ) ) T {\displaystyle \exp(A^{T})=(\exp(A))^{T}} כאשר A T {\displaystyle A^{T}} היא המטריצה המשוחלפת של A {\displaystyle A} . exp ⁡ ( A ∗ ) = ( exp ⁡ ( A ) ) ∗ {\displaystyle \exp(A^{*})=(\exp(A))^{*}} כאשר A ∗ {\displaystyle A^{*}} היא המטריצה הצמודה של A {\displaystyle A} . e α A + β A = e α A e β A {\displaystyle e^{\alpha A+\beta A}=e^{\alpha A}e^{\beta A}} e A e − A = I {\displaystyle e^{A}e^{-A}=I} , כלומר e A {\displaystyle e^{A}} תמיד הפיכה, ועל כן שייכת ל- GL ⁡ ( C , n ) {\displaystyle \operatorname {GL} (\mathbb {C} ,n)} שהיא החבורה הליניארית הכללית של C {\displaystyle \mathbb {C} } . לכל B ∈ GL ⁡ ( C , n ) {\displaystyle B\in \operatorname {GL} (\mathbb {C} ,n)} (מטריצה מרוכבת הפיכה מגודל n × n {\displaystyle n\times n} ) קיימת מטריצה A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} כך ש: exp ⁡ ( A ) = B {\displaystyle \exp(A)=B} . כלומר, exp : C n × n → GL ⁡ ( C , n ) {\displaystyle \exp :\mathbb {C} ^{n\times n}\to \operatorname {GL} (\mathbf {C} ,n)} היא העתקה על ממרחב המטריצות (הכללי) למרחב המטריצות ההפיכות. בהינתן מטריצה A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} כלשהי ומטריצה הפיכה U ∈ GL ⁡ ( C , n ) {\displaystyle U\in \operatorname {GL} (\mathbb {C} ,n)} מתקיימת הזהות e U − 1 A U = U − 1 e A U {\displaystyle e^{U^{-1}AU}=U^{-1}e^{A}U} . כלומר, אם זוג מטריצות דומות אחת לשנייה, גם האקספוננטים שלהן דומים אחד לשני. הדטרמיננטה של האקספוננט ניתנת לחישוב על-ידי העקבה של המטריצה: det ( e A ) = e tr ⁡ ( A ) {\displaystyle \det(e^{A})=e^{\operatorname {tr} (A)}} עבור מטריצה נילפוטנטית A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} מסדר k {\displaystyle k} (כלומר A k {\displaystyle A^{k}} היא מטריצת האפס), הטור האינסופי בהגדרת האקספוננט המטריצי הופך להיות סכום סופי, מה שמקל על חישוב האקספוננט: exp ⁡ ( A ) = I + A + 1 2 A 2 + ⋯ + 1 ( k − 1 ) ! A k − 1 {\displaystyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2}}A^{2}+\dots +{\frac {1}{(k-1)!}}A^{k-1}} בהינתן מטריצה אלכסונית: D = ( a 1 0 ⋯ 0 0 a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n ) {\displaystyle D={\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &0\\0&a_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{n}\end{pmatrix}}} ניתן לחשב את האקספוננט המטריצי בקלות רבה יחסית על ידי חישוב האקפוננט של מספר על כל אחד מאיברי האלכסון: e D = ( e a 1 0 ⋯ 0 0 e a 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ e a n ) {\displaystyle e^{D}={\begin{pmatrix}e^{a_{1}}&0&\cdots &0\\0&e^{a_{2}}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{a_{n}}\end{pmatrix}}} בהינתן מטריצה לכסינה כלשהי A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} קיימת מטריצה הפיכה U ∈ GL ⁡ ( C , n ) {\displaystyle U\in \operatorname {GL} (\mathbb {C} ,n)} כלשהי כך ש- D := U − 1 A U {\displaystyle D:=U^{-1}AU} היא מטריצה אלכסונית. במקרה זה ניתן להשתמש בנוסחה e A = e U D U − 1 = U e D U − 1 {\displaystyle e^{A}=e^{UDU^{-1}}=Ue^{D}U^{-1}} כדי למצוא את האקספוננט של A {\displaystyle A} . בהינתן מטריצה כללית A ∈ C n × n {\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}} , על-פי פירוק ז'ורדן ניתן למצוא שתי מטריצות B , N ∈ C n × n {\displaystyle B,N\in \mathbb {C} ^{n\times n}} כך ש: A = B + N {\displaystyle A=B+N} N {\displaystyle N} מטריצה נילפוטנטית מסדר k {\displaystyle k} כלשהו B {\displaystyle B} מטריצה לכסינה B N = N B {\displaystyle BN=NB} בהינתן פירוק זה, חישוב האקספוננט המטריצי הופך פשוט: exp ⁡ ( A ) = exp ⁡ ( B ) exp ⁡ ( N ) {\displaystyle \exp(A)=\exp(B)\exp(N)} כאשר את האקספוננטים מימין קל לחשב וסדר הכפל ביניהם קומוטטיבי. בניגוד לאקספוננט של מספרים (ממשיים או מרוכבים), השוויון e A + B = e A e B {\displaystyle e^{A+B}=e^{A}e^{B}} אינו מתקיים באופן כללי ונכון אך ורק עבור מטריצות מתחלפות, כלומר אם A B = B A {\displaystyle AB=BA} . עם זאת, ישנן נוסחאות אחרות המהוות תחליף לשוויון קלאסי זה. עבור כל זוג מטריצות A , B ∈ C n × n {\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}} ניתן לחשב את e A + B {\displaystyle e^{A+B}} בעזרת חישוב הגבול: e A + B = lim n → ∞ ( e A n e B n ) n {\displaystyle e^{A+B}=\lim _{n\to \infty }{\left(e^{\frac {A}{n}}e^{\frac {B}{n}}\right)^{n}}} נוסחת זו נקראת נוסחת הכפל של לי על שם המתמטיקאי סופוס לי. עבור זוג מטריצות A , B ∈ C n × n {\displaystyle A,B\in \mathbb {C} ^{n\times n}} נרצה למצוא מטריצה כלשהי C ∈ C n × n {\displaystyle C\in \mathbb {C} ^{n\times n}} כך שמתקיים השוויון e A e B = e C {\displaystyle e^{A}e^{B}=e^{C}} . נוסחת בייקר-קמפבל-האוסדורף מאפשרת למצוא את מטריצה זו: C = A + B + 1 2 [ A , B ] + 1 12 [ A , [ A , B ] ] − 1 12 [ B , [ A , B ] ] + ⋯ {\displaystyle C=A+B+{\frac {1}{2}}[A,B]+{\frac {1}{12}}[A,[A,B]]-{\frac {1}{12}}[B,[A,B]]+\cdots } כאשר הפעולה [ , ] {\displaystyle [,]} היא פעולת הקומוטטור. כלומר, ניתן לחשב את C {\displaystyle C} על ידי סכום אינסופי של קומוטטורים של A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} . קל לשים לב כי אם A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} מתחלפים כלל רכיבי הקומוטטור מתאפסים ומתקבל C = A + B {\displaystyle C=A+B} כצפוי. הנוסחה נקראת על שמם של המתמטיקאים הנרי פרדריק בייקר, ג'ון אדוארד קמפבל ופליקס האוסדורף. בבעיות פיזיקליות רבות מתחום המכניקה יש למצוא פונקציה רציפה וחלקה f ( t ) : R → R n {\displaystyle f(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} אשר מקיימת את משוואת התנועה: d f d t = A f {\displaystyle {\frac {df}{dt}}=Af} כאשר A {\displaystyle A} מטריצה ריבועית כלשהי מגודל n × n {\displaystyle n\times n} , עם תנאי ההתחלה f ( 0 ) = y 0 {\displaystyle f(0)=y_{0}} . למעשה, משוואת התנועה הזו בנויה מ- n {\displaystyle n} משוואות דפרנציאליות. פתרון מערכת משוואות אלו הוא: f ( t ) = e t A y 0 {\displaystyle f(t)=e^{tA}y_{0}} אקספוננט קבוע אוילר אלגברת לי אקספוננט של מטריצות, באתר MathWorld (באנגלית) How (and why) to raise e to the power of a matrix, בביצוע 3blue1brown, סרטון באתר יוטיוב Brian C. Hall, Lie groups, Lie algebras, and representations : an elementary introduction, Second edition, Cham, 2015, ISBN 978-3-319-13467-3