למת הצינור

בטופולוגיה, למת הצינור היא לֶמה שבעזרתה ניתן להוכיח כי מכפלה של מספר סופי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, מבלי להידרש למשפט טיכונוף (הגורס זאת לאוסף כלשהו של מרחבים קומפקטיים). למת הצינור: יהיו X , Y {\displaystyle X,Y} שני מרחבים טופולוגיים כך ש- Y {\displaystyle Y} קומפקטי. תהי נקודה x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} ונניח שקיימת קבוצה פתוחה O ⊂ X × Y {\displaystyle O\subset X\times Y} המכילה את החתך { x 0 } × Y {\displaystyle \{x_{0}\}\times Y} . אזי O {\displaystyle O} מכילה קבוצה מהצורה W × Y {\displaystyle W\times Y} כאשר W {\displaystyle W} היא סביבה פתוחה של x 0 {\displaystyle x_{0}} , ז"א מתקיים { x 0 } × Y ⊂ W × Y ⊂ O {\displaystyle \{x_{0}\}\times Y\subset W\times Y\subset O} . את הקבוצה W × Y {\displaystyle W\times Y} מכנים לעיתים צינור (tube). ניתן להראות כי ניסוח שקול של הלמה בעזרת העתקות סגורות הוא כדלקמן: אם X , Y {\displaystyle X,Y} זוג מרחבים טופולוגיים כך ש- Y {\displaystyle Y} קומפקטי, אז ההטלה π : X × Y → X {\displaystyle \pi \colon X\times Y\to X} , π : ( x , y ) ↦ x {\displaystyle \pi \colon (x,y)\mapsto x} היא סגורה. הלמה ניתנת להרחבה באופן הבא: הרחבת למת הצינור: יהיו X , Y {\displaystyle X,Y} שני מרחבים טופולוגיים, ונניח כי A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} ו- B ⊂ Y {\displaystyle B\subset Y} תתי-קבוצות קומפקטיות. אם קיימת O ⊂ X × Y {\displaystyle O\subset X\times Y} פתוחה כך ש- A × B ⊂ O {\displaystyle A\times B\subset O} , אז קיימות קבוצות פתוחות U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} ו- V ⊂ Y {\displaystyle V\subset Y} כך ש- A × B ⊂ U × V ⊂ O {\displaystyle A\times B\subset U\times V\subset O} . ראשית, נעיין בכיסוי של החתך { x 0 } × Y {\displaystyle \{x_{0}\}\times Y} בידי קבוצות בסיסיות: { U α , V α } α ∈ I {\displaystyle \{U_{\alpha },V_{\alpha }\}_{\alpha \in I}} כך שלכל α ∈ I {\displaystyle \alpha \in I} , U α ⊂ X {\displaystyle U_{\alpha }\subset X} ו- V α ⊂ Y {\displaystyle V_{\alpha }\subset Y} פתוחות בטופולוגיות המתאימות. נוכל להניח שכל הקבוצות האלו מוכלות ב- O {\displaystyle O} (ניתן הרי לחתוך כל אחת מהן עם O {\displaystyle O} הפתוחה, שניתנת גם לרישום כאיחוד קבוצות בסיסיות). החתך { x 0 } × Y {\displaystyle \{x_{0}\}\times Y} קומפקטי, שכן הוא הומיאומורפי ל- Y {\displaystyle Y} , שקומפקטי לפי הנחת המשפט. מכאן, הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי { U i × V i } i = 1 n {\displaystyle \{U_{i}\times V_{i}\}_{i=1}^{n}} . נוכל להניח שכל אחת מקבוצות אלו חותכת את { x 0 } × Y {\displaystyle \{x_{0}\}\times Y} , שכן אחרת נוכל להשמיטה מהכיסוי. נגדיר W = ⋂ i = 1 n U i {\displaystyle W=\bigcap _{i=1}^{n}U_{i}} . זו קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות, והיא גם מכילה את x 0 {\displaystyle x_{0}} כי הוא שייך ל- U i {\displaystyle U_{i}} לכל i ∈ [ n ] {\displaystyle i\in [n]} (מההנחה שכל קבוצה בכיסוי חותכת את החתך). אם כן, { x 0 } × Y ⊂ W × Y {\displaystyle \{x_{0}\}\times Y\subset W\times Y} , ונותר לוודא כי O {\displaystyle O} מכילה את W × Y {\displaystyle W\times Y} . זה נכון מכיוון ש- { U i × V i } i = 1 n {\displaystyle \{U_{i}\times V_{i}\}_{i=1}^{n}} מהווה גם כיסוי של W × Y {\displaystyle W\times Y} . אכן, בהינתן נקודה ( x , y ) ∈ W × Y {\displaystyle (x,y)\in W\times Y} נוכל לעיין בנקודה ( x 0 , y ) ∈ { x 0 } × Y {\displaystyle (x_{0},y)\in \{x_{0}\}\times Y} . מהגדרת הכיסוי קיים i 0 ∈ [ n ] {\displaystyle i_{0}\in [n]} עבורו ( x 0 , y ) ∈ U i 0 × V i 0 {\displaystyle (x_{0},y)\in U_{i_{0}}\times V_{i_{0}}} , ולכן בפרט y ∈ V i 0 {\displaystyle y\in V_{i_{0}}} . מתקיים כי x ∈ U i 0 {\displaystyle x\in U_{i_{0}}} שכן למעשה x ∈ U i {\displaystyle x\in U_{i}} לכל i ∈ [ n ] {\displaystyle i\in [n]} מהגדרת W {\displaystyle W} כחיתוך כל ה- U i {\displaystyle U_{i}} -ים. לכן ( x , y ) ∈ U i 0 × V i 0 {\displaystyle (x,y)\in U_{i_{0}}\times V_{i_{0}}} ואזי W × Y ⊂ ⋃ i = 1 n ( U i × V i ) ⊂ O {\displaystyle W\times Y\subset \bigcup _{i=1}^{n}(U_{i}\times V_{i})\subset O} (הרי U i × V i ⊂ O {\displaystyle U_{i}\times V_{i}\subset O} לכל i ∈ [ n ] {\displaystyle i\in [n]} ). הדרישה בלמת הצינור ש- Y {\displaystyle Y} קומפקטי היא הכרחית. למשל ב- R 2 = R × R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} } (בוחרים X = Y = R {\displaystyle X=Y=\mathbb {R} } ), הקבוצה הפתוחה O = { ( x , y ) : | x y | < 1 } {\displaystyle O=\{(x,y):|xy|<1\}} מכילה את החתך { 0 } × R {\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} } , אך היא אינה מכילה אף צינור סביבו. אכן, אם קיים בשלילה צינור W × Y {\displaystyle W\times Y} המכיל את החתך { 0 } × R {\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} } ומוכל ב- O {\displaystyle O} , נובע כי W ⊂ ( − 1 / y , 1 / y ) {\displaystyle W\subset (-1/y,1/y)} לכל y > 0 {\displaystyle y>0} , מה שגורר כי W = { 0 } {\displaystyle W=\{0\}} , בסתירה להיותו קבוצה פתוחה ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } . כאמור, מלמת הצינור ניתן להוכיח שמכפלה סופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, באופן הבא (ההוכחה היא למכפלה של שני מרחבים קומפקטיים, וההכללה למספר סופי כלשהו באינדוקציה): יהיו X , Y {\displaystyle X,Y} זוג מרחבים קומפקטיים, ונראה שמכפלתם X × Y {\displaystyle X\times Y} קומפקטית אף היא. יהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} כיסוי פתוח של X × Y {\displaystyle X\times Y} , ויש להראות שקיים לו תת-כיסוי סופי. לכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} , החתך { x } × Y {\displaystyle \{x\}\times Y} קומפקטי (הוא הומיאומורפי ל- Y {\displaystyle Y} ), ומכיוון ש- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} מכסה אותו הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי { A i } i = 1 m {\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{m}} . הקבוצה O = ⋃ i = 1 m A i {\displaystyle O=\bigcup _{i=1}^{m}A_{i}} פתוחה (כאיחוד של פתוחות) ומכילה את החתך { x } × Y {\displaystyle \{x\}\times Y} . לכן מלמת הצינור קיימת W x ⊂ X {\displaystyle W_{x}\subset X} פתוחה כך ש- { x } × Y ⊂ W x × Y ⊂ O {\displaystyle \{x\}\times Y\subset W_{x}\times Y\subset O} . נסיק כי { A i } i = 1 m {\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{m}} הוא תת-כיסוי סופי גם של W x × Y {\displaystyle W_{x}\times Y} . האוסף { W x } x ∈ X {\displaystyle \{W_{x}\}_{x\in X}} מהווה כיסוי פתוח של X {\displaystyle X} הקומפקטי, ולכן קיים לו תת-כיסוי סופי { W x i } i = 1 n {\displaystyle \{W_{x_{i}}\}_{i=1}^{n}} . מכאן { W x i × Y } i = 1 n {\displaystyle \{W_{x_{i}}\times Y\}_{i=1}^{n}} הוא כיסוי סופי של X × Y {\displaystyle X\times Y} , וכפי שהוצג קודם כל אחד מאיבריו מכוסה על ידי מספר סופי של איברי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . מכאן נסיק שיש ל- X × Y {\displaystyle X\times Y} תת-כיסוי סופי מאיברי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . אין די בלמת הצינור בכדי להוכיח את משפט טיכונוף, המכליל את התוצאה הקודמת למכפלות אינסופיות של קבוצות קומפקטיות. James R. Munkres, Topology, Prentice Hall, 2000, p. 167-169