מכניקת הרצף

מכניקת הרצף היא ענף במכניקה העוסק בהתנהגות של חומרים הממודלים כחומר ומסה רציפים, ולא כאל חלקיקים בדידים. המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטן לואי קושי היה הראשון שגיבש מודלים כאלה במאה ה19. ענף זה עוסק בתחומים רחבים הכוללים מוצק וזורם (כלומר, גז ונוזל). מכניקת הרצף עוסקת בגבול שבו ניתן להתעלם מהמבנה ההטרוגני של החומר, (גבול קנודסן), כלומר - מהיותו מורכב ממולקולות ומאטומים. בגבול זה ניתן לתאר את תכונות החומר באמצעות משוואות דיפרנציאליות ועל ידי פתרונן לדעת את התנהגותן של מערכות גדולות, שבהן לא ניתן לפתור באופן מעשי את משוואות התנועה של כל חלקיק. במכניקת הרצף נכללות מכניקת הזורמים, ההידרודינמיקה, ותורת האלסטיות. מידול אובייקט/רכיב כחומר רציף מניח כי החומר ממלא לחלוטין את המרחב בו הוא קיים. מידול אובייקטים באופן הנ"ל מתעלם מהעובדה כי החומר מורכב מאטומים ולכן אינו רציף; אולם בממדים הגדולים בהרבה מהממדים הבין-אטומים, מודלים אלו מדויקים מאוד. חוקי פיזיקה יסודיים כמו שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה משמשים במודלים אלו, כך שניתן להפיק מהם משוואות דיפרנציאליות המתארות את התנהגות האובייקטים ויעניקו מידע בנוגע לחומרים ומשוואות קונסטיטיביות (אנ') בין הגדלים הפיזיקליים השונים. מכניקת הרצף עוסקת במאפיינים פיזיקליים של מוצקים וזורמים שאינם תלויים במערכת הקואורדינטות שבה הם נצפים. התכונות הפיזיקליות הללו מיוצגות על ידי טנזורים, שהם אובייקטים מתמטיים בעלי מאפיינים הדרושים לכך שהם בלתי תלויים במערכת הקואורדינטות. טנזורים אלו יכולים לבוא לידי ביטוי והצגה במערכות קואורדינטות מתאימות לבעיה, כך שיהיו נוחים וקלים לחישוב. חומרים, כמו מוצקים, זורמים וגזים מורכבים ממולקולות כך שקיימים מרווחים ביניהן. בקנה מידה מיקרוסקופי, בחומרים ישנם סדקים ואי רציפויות. אולם תופעות פיזיקליות מסוימות ניתן למדל בהנחה שהחומר רציף, זאת אומרת שהחומר המרכיב את החלק/גוף כלשהו רציף וממלא את כל השטח המרחבי (אם זה נפח ואם זה שטח מסוים) שבו הוא קיים. אלמנט רציף הוא אלמנט שניתן לחלוקה לאלמנטים אינפיניטסימליים קטנים כרצוננו, אך עם אותן תכונות המאפיינות את החלק בשלמותו. תוקף הנחה הרצף יכול להתאמת על ידי ניתוח תאורטי, שבה מזוהה מחזוריות ברורה או אחידות סטטיסטית וארוגודיות של המיקרו מבנים הקיימים. באופן ספציפי יותר, הנחת הרצף מבוססת על ייצוג אלמנטים נפחיים והפרדה של קנה המידה המבוסס ועל מצב היל-מנדל. מצב היל-מנדל מספק קשר בין נקודת המבט הניסויית לבין נקודת המבט התאורטית (קשרים ליניארים ולא ליניארים של אלסטיות או משוואות מצומדות) וכן בין הצורה המרחבית לבין המבנה הסטטיסטי הממוצע של מבנים מיקרוסקופיים. כאשר לא ניתן להבחין בין סדרי הגודל או כאשר רוצים ליצור רצף הנוגע לרזולוציה עדינה יותר של האלמנט הייצוגי (RVE= representative volume element), יש צורך להשתמש בגישה סטטיסטית (SVE= statistical volume element) אשר בתורו מוביל לשדות רציפים אקראיים. שדות אלו גורמים לבסס מיקרו-מכניקה של אלמנטים סופיים סטוכסטי (SFE=stochastic finite elements). רמות האקראיות (SFE) והייצוגיות (RVE) מקשרות בין מכניקת הרצף לבין מכניקה סטטיסטית. את הייצוגיות ניתן להעריך באמצעים מוגבלים על ידי ניסויים, כאשר התגובה הקונסטיטיבית עוברת למרחב הומוגני. באופן ספציפי עבור זורמים מספר קנודסון משמש כדי להעריך את עד כמה ההמשכיות קיימת בזורם ועד כמה ניתן לנתח אותו במבט-על. נביט בתנועת כלי רכב המתקדמים בכביש מהיר, בעל נתיב יחיד עבור פישוט הבעיה. באופן מפתיע וביעילות רבה, מכניקת הרצף מתארת את תנועת כלי הרכב באמצעות משוואה דיפרנציאלית חלקית (מד"ח) עבור צפיפות הרכבים. ההיכרות של הסיטואציה הנ"ל מאפשרת להבין במעט את הדיכוטומיה בין הרציפות לבדידות ואת המידול הרציף באופן כללי. במכניקת הרצף אנו מעוניינים להביט על תנועת כלי הרכב בכללותה ולא על תנועת כלי רכב בודד. עבור מודל זה נגדיר, x {\displaystyle x} כך שימדוד מרחק (ק"מ) לאורך הכביש המהיר. t {\displaystyle t} - זמן (בדקות). ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho (x,t)} יסמן את צפיפות כלי הרכב בכביש המהיר, (מכוניות לקילומטר לאורך נתיב יחיד). u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} - מהירות הזרימה (מהירות ממוצעת), של המכוניות במיקום x {\displaystyle x} . מכונות לא יכולות להופיע או להיעלם. נביט בכל קבוצה של מכוניות: מהמכונית הממוקמת בחלק האחורי של הקבוצה ב x = a ( t ) {\displaystyle x=a(t)} עד המכונית הספציפית הנמצאת בחלק הקדמי של הקבוצה ב x = b ( t ) {\displaystyle x=b(t)} . הכמות הכוללת של המכוניות בקבוצה היא: N = ∫ a ( t ) b ( t ) ρ ( x , t ) d x {\displaystyle N=\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx} . כיוון שתמיד יהיו מכונית ראשונה ואחרונה (גם במקרה של עקיפה, אז המכונית הקדמית או האחורית מתחלפת) ניתן לומר כי: d N / d t = 0 {\displaystyle dN/dt=0} , נשתמש בכלל לייבניץ עבור אינטגרלים: d N d t = d d t ∫ a ( t ) b ( t ) ρ ( x , t ) d x = ∫ a b ∂ ρ ∂ t d x + ρ ( b , t ) d b d t − ρ ( a , t ) d a d t = ∫ a b ∂ ρ ∂ t d x + ρ ( b , t ) u ( b , t ) − ρ ( a , t ) u ( a , t ) = ∫ a b [ ∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ( ρ u ) ] d x     =     0 {\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dN}{dt}}&=&{\frac {d}{dt}}\int _{a(t)}^{b(t)}\rho (x,t)\,dx\\&=&\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t){\frac {db}{dt}}-\rho (a,t){\frac {da}{dt}}\\&=&\int _{a}^{b}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dx+\rho (b,t)u(b,t)-\rho (a,t)u(a,t)\\&=&\int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)\right]dx\ \ =\ \ 0\end{array}}} האינטגרל מתאפס לכל קבוצת מכוניות, עבור כל האינטרוואלים [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . האפשרות היחידה שתוצאת אינטגרל שווה זהותית לאפס לכל אינטרוול היא שהאינטגראד שווה לאפס לכל x {\displaystyle x} . כתוצאה מכך, נוצר שימור של מד"ח לא-ליניארית מסדר ראשון. ∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x ( ρ u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}(\rho u)=0} עבור כל הנקודות לאורך הכביש המהיר. חוק השימור עבור מד"ח חל לא רק על תנועת כלי-רכב אלא גם על זורמים, מוצקים, קהלים, בעלי חיים, סוחרים פיננסיים וכו'. המד"ח הקודמת היא משוואה אחת עם שני נעלמים, יש צורך במשוואה נוספת על מנת שהבעיה תהיה מוצגת היטב (אנ'). משוואה נוספת כזו נדרשת על פי רוב במכניקת הרצף, משוואה כזו מופקת בדרך כלל מניסויים. במקרה תנועת כלי רכב ניתן לקבוע כי מכוניות בדרך כלל נוסעות בהתאם לצפיפות, u = V ( ρ ) {\displaystyle u=V(\rho )} . במספר ניסויים נמצא כי הפונקציה V {\displaystyle V} היא פונקציה של צמצום הצפיפות. לדוגמה, ניסויים במנהרת לינקולן מצאו כי ישנה הלימה (חוץ מבמקרים של צפיפות נמוכה) טובה עבור המשוואה הבאה: u = V ( ρ ) = 27.5 ln ⁡ ( 142 / ρ ) {\displaystyle u=V(\rho )=27.5\ln(142/\rho )} (ק"מ לשעה יחסית ל מכוניות/ק"מ). לפיכך, המודל הרציף הבסיסי עבור תנועת כלי רכב הוא המד"ח הבאה: ∂ ρ ∂ t + ∂ ∂ x [ ρ V ( ρ ) ] = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[\rho V(\rho )]=0} עבור צפיפות כלי רכב ρ ( x , t ) {\displaystyle \rho (x,t)} בכביש מהיר. תחום נוסף של מכניקת הרצף כולל קצף אלסטומרי, אשר מציג קשר מאמץ-מעוות היפרבולי מעניין. האלסטומר רציף אבל חלוקה הומוגנית של חללים מעניקה לו תכונות בלתי רגילות. הגדרת מודל במכניקת הרצף מתחילה בהגדרת מרחב אוקלידי בעל שלושה ממדים עבור גוף חומרי B {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {B}}}} . הנקודות שקיימות בתוך אזור זה נקראות חלקיקים או נקודות חומר. תצורות שונות של הגוף מתאימות לאזורים שונים בחלל האוקלידי. האזור המתאים עבור תצורה כלשהי של הגוף בזמן t {\displaystyle t} יסומן בצורה הבאה: κ t ( B ) {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})} . חלקיק מסוים בתוך הגוף עבור תצורה מסוימת יסומן על ידי וקטור מיקום: x = ∑ i = 1 3 x i e i , {\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{3}x_{i}\mathbf {e} _{i},} כאשר e i {\displaystyle {e}_{i}} הן קואורדינטות באותה מערכת צירים/סביבת ייחוס, עבור הבעיה (ראו איור מס' 1). את הווקטור ניתן להציג כפונקציה של מיקום החלקיקים X {\displaystyle \mathbf {X} } בתצורת התייחסות מסוימת. לדוגמה התצורה בה ניתן לבטא את המיקום ההתחלתי היא: x = κ t ( X ) {\displaystyle \mathbf {x} =\kappa _{t}(\mathbf {X} )} . פונקציה זו נדרשת למגוון מאפיינים, כך שהמודל צריך להיות פיזיקלי. הפונקציה κ t ( ⋅ ) {\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )} נדרשת לקיים את התנאים הבאים: רציפה בזמן, כך שהגוף משתנה בצורה ריאליסטית. הפיכה בכללותה, כך שהגוף לא יכול לחצות את עצמו. אוריינטציה יחידה/שימור אוריינטציה, כיוון שהשינויים הנוצרים מהשתקפות במראה אינם פיזיקליים. עבור ניסוח מתמטי של המודל, κ t ( ⋅ ) {\displaystyle \kappa _{t}(\cdot )} היא פונקציה רציפה ודיפרנציאבילית פעמיים, כך שבאמצעות מניפולציות דיפרנציאליות ניתן לתאר את תנועת הגוף במרחב באופן מתמטי. מכניקת הרצף עוסקת בגופים הניתנים לעיוות, בניגוד לגופים קשיחים. גוף מוצק הוא גוף הניתן לעיוות, שיכול לשאת במאמצי גזירה (הנובעים מכוחות הפועלים על פני שטח מסוים במקביל לו). לעומת זאת זורמים אינם יכולים לשאת מאמצי גזירה. כאמור, לצורך לימוד והבנה של המאפיינים המכניים של מוצקים וזורמים יש להניח כי מדובר בגופים רציפים בלי התייחסות למבנה המולקולרי של הגוף. הדינמיקה הקלאסית ע"פ ניוטון ואוילר, גורסת כי תנועת גוף חומרי היא תוצאה של הפעלת כח חיצוני, אשר ניתן לסווג לשני סוגים שונים: כוחות שטח F C {\displaystyle {F}_{C}} וכוחות גוף F B {\displaystyle {F}_{B}} . כך שסכום הכוחות הכולל F {\displaystyle {\mathcal {F}}} הפועל על גוף או חלק מגוף ניתן לידי ביטוי כך: F = F C + F B {\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {F} _{C}+\mathbf {F} _{B}} כוחות שטח (או כוחות מגע) יכולים לפעול על משטחי הגבול של הגוף כתוצאה מקשר מכני עם גופים אחרים, או על משטחים פנימיים דמיוניים שגובלים חלק מהגוף, כתוצאה מאינטראקציה מכנית בין חלקי הגוף לבין צדדים אחרים של המשטח (עיקרון המאמצים של אוילר וקושי). כאשר מופעל על גוף כוח חיצוני, כוחות מגע פנימיים נוצרים בפנים הגוף מנקודה לנקודה על מנת לאזן את הכוח, על פי חוק התנועה השלישי של ניוטון, כך שמתקיים שימור תנע קווי ותנע זוויתי (עבור גופים רציפים, חוק זה נכלל במשוואות התנועה של אוילר). הכוחות הפנימיים בגוף מיוחסים למעוותי גוף על פי המשוואות הקונסטיטוטיביות. ניתן לתאר את כוחות המגע הפנימיים באופן מתמטי ואת הקשר ביניהם לבין תנועת הגוף, ללא תלות במאפיינים החומריים של הגוף. את כוחות השטח נהוג לתאר ביחידות של לחץ, כלומר כוח ליחידת שטח. פילוג כוחות המגע הפנימיים בכל נפח הגוף מניח שהוא רציף, לכן גם קיימת צפיפות כוח מגע או שדה הטרחה של קושי T ( n , x , t ) {\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)} אשר מציג את פילוג הכוחות והמאמצים בכיוון, במיקום ובזמן מסוימים. זהו אינו שדה וקטורי כיוון שהוא לא תלוי רק במיקום x {\displaystyle \mathbf {x} } של נקודה חומרית מסוימת, אלא גם בכיוון המקומי של אלמנט השטח כפי שהוגדר על ידי הווקטור הנורמלי שלו n {\displaystyle \mathbf {n} } . כל שטח דיפרנציאלי d S {\displaystyle dS\,\!} בעל וקטור נורמלי n {\displaystyle \mathbf {n} } עבור שטח פנימי נתון S {\displaystyle S\,\!} , הגובל עם חלק מהגוף, חווה כוחות מגע d F C {\displaystyle d\mathbf {F} _{C}\,\!} הנובע מהמגע בין שני חלקי הגוף מכל צד של השטח S {\displaystyle S\,\!} , וניתן לידי ביטוי ע"י: d F C = T ( n ) d S {\displaystyle d\mathbf {F} _{C}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS} כאשר T ( n ) {\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}} הוא וקטור ההטרחה (וקטור מאמץ שטחי), או וקטור המאמצים. וקטור המאמצים הוא וקטור אשר לא תלוי במערכות הייחוס (עקרון המאמצים של אוילר וקושי). כלל כוחות המגע הפועלים על משטח פנימי מסוים S {\displaystyle S\,\!} באים לידי ביטוי על ידי סכום (אינטגרל משטחי) של כוחות המגע על פני שטח המגע הדיפרנציאלי d S {\displaystyle dS\,\!}  : F C = ∫ S T ( n ) d S {\displaystyle \mathbf {F} _{C}=\int _{S}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dS} במכניקת הרצף, גוף נחשב כגוף חופשי אם הכוחות היחידים הפועלים עליו הם כוחות בין אטומיים (כוחות יוניים, מתכתיים וואן דר ואלס) הנדרשים עבור גיבוש הגוף כמקשה אחת ושמירה על צורתו בהיעדר השפעות חיצוניות (כולל כוח משיכה). מאמצים הנוצרים במהלך ייצור הגוף לתצורתו הדרושה/רצויה, אינם נכללים בחישובי מאמצים מאוחרים יותר שמתבצעים על גוף כלשהו. לכן המאמצים שנלקחים בחשבון במכניקת הרצף הם אך ורק המאמצים שנוצרים על ידי עיוות של הגוף. זאת אומרת רק שינויים יחסיים שנוצרים על הגוף נחשבים, ולא הערכים המוחלטים של אותם מאמצים. כוחות גוף הם כוחות שמקורם נובע במקורות מחוץ לגוף, שפועלים על נפח (או מסה) של גוף מסוים. ניתן לומר כי כאשר קיימים כוחות גוף הנובעים ממקורות חיצוניים, האינטראקציה בין חלקים שונים בגוף (כוחות פנימיים) באה לידי ביטוי באמצעות כוחות המגע בלבד. כוחות אלו נובעים מעצם היותו של הגוף נתון לשדות כח, למשל: שדה כבידה (כוחות כבידה), שדה אלקטרומגנטי (כוחות אלקטרומגנטים) או מכוחות אינרציה הנובעים כאשר הגוף בתנועה. כאשר ניתן להניח כי מסה של גוף רציף מפוזרת בצורה אחידה/רציפה, כל כוח שמקורו נובע מעצם המסה מופץ גם הוא ברציפות. לכן, כוחות גוף מוגדרים על ידי שדות וקטוריים אשר מניחים כי הם רציפים עבור נפח הגוף כולו, כלומר פועלים על כל נקודה בו. כוחות הגוף מיוצגים על ידי צפיפות כוח הגוף b ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)} (עבור יחידת מסה) שהוא שדה וקטורי אדיש למערכות ייחוס (frame-indifferent). במקרה של כוחות כבידה, עוצמת כוח הכבידה תלויה או פרופציונלית לצפיפות המסה ρ ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {\rho } (\mathbf {x} ,t)\,\!} של החומר, והוא מוגדר במונחים של כח ליחידת מסה ( b i {\displaystyle b_{i}\,\!} ) או ליחידת נפח ( p i {\displaystyle p_{i}\,\!} ). לשתי הגדרות יש מקדם פרופורציה בדמות צפיפות החומר כך שניתן לקשר בין שתיהן על ידי המשוואה הבאה: ρ b i = p i {\displaystyle \rho b_{i}=p_{i}\,\!} . באופן דומה עוצמת הכוחות האלקטרומגנטים תלויה בעוצמת (מטען חשמלי) השדה האלקטרומגנטי. כלל כוחות הגוף הפועלים על גוף רציף מיוצגים על ידי המשוואה הבאה: F B = ∫ V b d m = ∫ V ρ b d V {\displaystyle \mathbf {F} _{B}=\int _{V}\mathbf {b} \,dm=\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV} כוחות גוף וכוחות מגע הפועלים על הגוף, מובילים למומנטי כוח תואמים יחסית לנקודה נתונה. לפיכך המומנט הכולל M {\displaystyle {\mathcal {M}}} המופעל על גוף כלשהו נובע ממונטי מגע ומומנטי גוף: M = M C + M B {\displaystyle {\mathcal {M}}=\mathbf {M} _{C}+\mathbf {M} _{B}} במצבים מסוימים, שאינם נכללים בדרך כלל בניתוח התנהגות מכנית של חומרים. יש הכרח לכלול שני סוגים נוספים של כוחות: צמדי מאמצים (צמדים משטחיים, מומנטי מגע) ומומנטי גוף. צמדי מאמצים (Couple stresses) הם מומנטים ליחידת שטח הפועלים על משטח. מומנטי גוף או צמדי גוף (body couples) הם מומנטים ליחידת נפח או יחידת מסה הפועלת על נפח גוף. שני הסוגים חשובים בניתוח מאמצים בגופים מקוטבים דיאלקטרים (polarized dielectric) תחת השפעת שדה חשמלי, חומרים שיש צורך להתחשב במבנה המולקולרי שלהם, למשל: עצמות. כמו כן מוצקים/גופים תחת השפעת שדה מגנטי חיצוני ומתכות המושפעות מתורת הנקעים. חומרים המציגים צמדי גוף או צמדי מאמצים בנוסף למומנטים הנוצרים על ידי כוחות חיצוניים נקראים חומרים קוטביים. חומרים לא קוטביים הם חומרים עם מומנטי כח בלבד. בענפים הקלאסיים של מכניקת הרצף פיתוח תאוריות עבור מאמצים נעשים על בסיס חומרים לא-קוטביים בלבד. לפיכך, סכום הכוחות והמומנטים (ביחס לראשית מערכת הצירים) הפועלים על גוף הם: F = ∫ V a d m = ∫ S T d S + ∫ V ρ b d V {\displaystyle {\mathcal {F}}=\int _{V}\mathbf {a} \,dm=\int _{S}\mathbf {T} \,dS+\int _{V}\rho \mathbf {b} \,dV} M = ∫ S r × T d S + ∫ V r × ρ b d V {\displaystyle {\mathcal {M}}=\int _{S}\mathbf {r} \times \mathbf {T} \,dS+\int _{V}\mathbf {r} \times \rho \mathbf {b} \,dV} שינוי תצורה של גוף רציף מוביל לתזוזה. תזוזת גוף מורכבת משני רכיבים: תזוזת גוף קשיח ומעוותים. תזוזת גוף קשיח מורכבת מתזוזה וסיבוב בו זמנית (תנועה בשש דרגות החופש האפשריות) זאת מבלי לשנות את צורתו או גודלו. מעוות הוא השינוי בצורה או בממדי הגוף יחסית לתצורת הגוף ההתחלתית. מתצורה התחלתית κ 0 ( B ) {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})} לתצורה מוזזת κ t ( B ) {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})} כמתואר באיור מס' 2. תנועת גוף רציף משמעותה סכימת רצף התזוזות של הגוף בזמן. לכן, הגוף החומרי יתפוס תצורות שונות בזמנים שונים, כך שניתן לתאר את חלקיקי הגוף על ידי סדרת נקודות בחלל המתארות קו מסלול. קיימת המשכיות לתנועה או דפורמציה של גוף רציף במובנים הבאים: נקודות החומר יוצרות עקומה סגורה בכל רגע נתון כך שגם בצעד הזמן הבא ניתן ליצור עקומה סגורה מנקודות החומר. נקודות החומר היוצרות משטח סגור בכל רגע, ייצרו משטח סגור בכל זמן עוקב והחומר הכלוא בתוך המשטח הסגור תמיד יישאר בתוכו. ניתן לזהות תצורה ראשונית או תנאי התחלה כך שכל מצב עתידי יוכל להתייחס לתצורה הראשונית או כנובע מתנאי ההתחלה. התצורה הראשונית היא תצורה התייחסותית בלבד כך שאין חובה שתצורה עתידית תקיים את התנאים הראשוניים. לעיתים קרובות התצורה ב t = 0 {\displaystyle t=0} נחשבת כתצורת הייחוס κ 0 ( B ) {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})} . הרכיב     X i {\displaystyle {\displaystyle \ }\ X_{i}} של וקטור מיקום החלקיק   X {\displaystyle {\displaystyle \ \mathbf {X} }} נמדד יחסית לתצורה הראשונית, כלומר יחסית לראשית הצירים המקורית. כאשר מנתחים את התנועה או הדפורמציה של מוצרים או זרימה של זורמים, יש צורך לתאר את השינוי וההתפתחויות של התצורות כתלות בזמן. אחד מתיאורי התנועה של החומר ביחס לקואורדינטות הראשוניות נקרא תיאור חומרי או תיאור לגראנז'י. תיאור לגראנז'י מציג את התכונות הפיזיקליות של החלקיקים במובני חומר או ביחס לקואורדינטות ולזמן. במקרה זה תצורת הייחוס מתייחסת לתצורה בזמן   t = 0 {\displaystyle {\displaystyle \ t=0}} . בתיאור זה הצופה בוחן את השינויים במיקום ובתכונות הפיזיקליות של הגוף החומרי הנע במרחב לאורך הזמן. התוצאות המתקבלות אינן תלויות בזמן הראשוני ותצורת הייחוס, κ 0 ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}} . תיאור זה נפוץ במכניקת מוצקים. בתיאור לגראנז'י, תנעת גוף רציף מיוצגת על ידי הפונקציה   χ ( ⋅ ) {\displaystyle {\displaystyle \ \chi (\cdot )}} (איור מס' 2).   x = χ ( X , t ) {\displaystyle \ \mathbf {x} =\chi (\mathbf {X} ,t)} תיאור זה מציג את המעבר מהתצורה הראשונית κ 0 ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}} אל התצורה הנוכחית κ t ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}} . תיאור גאומטרי של המעבר בין שני המצבים. כלומר וקטור המיקום   x = x i e i {\displaystyle {\displaystyle \ \mathbf {x} =x_{i}\mathbf {e} _{i}}} של חלקיק   X {\displaystyle {\displaystyle \ X}} , בנוסף לוקטור המיקום   X {\displaystyle {\displaystyle \ \mathbf {X} }} בתצורה הלא מעוותת או בתצורה היחסותית הראשונית κ 0 ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}} , יציג את התצורה הנוכחית או התצורה המוזזת κ t ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}} בזמן   t {\displaystyle {\displaystyle \ t}} . רכיבי הווקטור   x i   {\displaystyle {\displaystyle \ x_{i}}\ } נקראים הקואורדינטות המרחביות. תכונות פיזיקליות וקינימטיות   P i j … {\displaystyle {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}} כמו גם תכונות תרמודינמיות ומהירות זרימה, המתארים תכונות ומאפיינים של גוף חומרי מוצגות כפונקציות רציפות של מיקום וזמן:   P i j … = P i j … ( X , t ) {\displaystyle {\displaystyle \ P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)}} . הנגזרת החומרית של כל תכונה רציפה   P i j … {\displaystyle {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}} העשויה להיות סקלר, וקטור או טנזור. היא קצב השינוי בזמן של התכונה עבור קבוצת חלקיקים (או של הגוף החומרי כולו) של הגוף הרציף הנע בין מצבים שונים. הנגזרת החומרית ידועה גם כנגזרת חלקית. שינוי זה הוא הקצב בו המאפיין משתנה כאשר הוא נמדד במערכת הייחוס של הגוף, כלומר השינוי נמדד על ידי צופה הנע עם אותה קבוצת חלקיקים מדוברת. בתיאור לגראנז'י, הנגזרת החומרית של הפונקציות הפיזיקליות   P i j … {\displaystyle {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}} היא פשוט הנגזרת החלקית ביחס לזמן, כאשר וקטור המיקום   X {\displaystyle {\displaystyle \ \mathbf {X} }} נשאר קבוע ולא משתנה בזמן כך שמתקבל כי:   d d t [ P i j … ( X , t ) ] = ∂ ∂ t [ P i j … ( X , t ) ] {\displaystyle {\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)]}} המיקום הרגעי   x {\displaystyle {\displaystyle \ \mathbf {x} }} הוא תכונה של חלקיק, הנגזרת החלקית של התכונה היא מהירות הזרימה הרגעית   v {\displaystyle {\displaystyle \ \mathbf {v} }} של החלקיק. לכן שדה הזרימה של החלקיק הרציף הוא:   v = x ˙ = d x d t = ∂ χ ( X , t ) ∂ t {\displaystyle \ \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}={\frac {d\mathbf {x} }{dt}}={\frac {\partial \chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}} באופן דומה, שדה ההאצה של החלקיק:   a = v ˙ = x ¨ = d 2 x d t 2 = ∂ 2 χ ( X , t ) ∂ t 2 {\displaystyle \ \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {x} }}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\chi (\mathbf {X} ,t)}{\partial t^{2}}}} רציפות בתיאור הלגראנז'י באה לידי ביטוי על ידי המרחב ורציפות ה'רגעים' כך שניתן לעבור מתצורת הייחוס לתצורה העכשווית של הנקודות החומריות. כל הרכיבים הפיזיקליים המאפיינים את החומר מתוארים בצורה הזו, על ידי פונקציות רציפות. לכן הפונקציה χ ( ⋅ ) {\displaystyle {\displaystyle \chi (\cdot )}} והפונקציה   P i j … ( ⋅ ) {\displaystyle {\displaystyle \ P_{ij\ldots }(\cdot )}} הם פונקציות חד ערכיות ורציפות וכך גם נגזרותיהם (בכל סדר שזהוא, בדרך כלל עד לסדר שני ושלישי) ביחס למרחב ולזמן. הרציפות מאפשרת הפיכה של הווקטור χ ( ⋅ ) {\displaystyle {\displaystyle \chi (\cdot )}} כך שיהיה ניתן לשחזר את מיקומו של החלקיק במרחב כך שניתן למצוא את x {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {x} }} עבור התצורה ההתחלתית κ 0 ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{0}({\mathcal {B}})}} . במקרה זה תיאור התנועה מתבצע במונחים של קואורדינטות מרחביות. במקרים כאלו התיאור נקרא: התיאור המרחבי או התיאור האוילרי כך שהתצורה הנוכחית נלקחת כתצורה הייחוס. התיאור האוילרי, הוצג על ידי ד'אלמבר, התמקד בתצורה הנוכחית κ t ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}} κ t ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}} . התיאור מתייחס למתרחש בנקודה מסוימת במרחב למשך זמן, במקום להתמקד בחלקיקים בודדים הנעים במרחב ובזמן. גישה זו נוחה ליישום במחקרי זרימת נוזלים, כאשר המאפיין הקינמטי המעניין ביותר הוא הקצב בו מתרחש שינוי ולא צורת גוף הנוזל בזמן מסוים. התנועה הרציפה בתיאור אוילרי מיוצגת על ידי פונקציית מיפוי: X = χ − 1 ( x , t ) {\displaystyle \mathbf {X} =\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t)} -חסר יושלם בהמשך   J = | ∂ χ i ∂ X J | = | ∂ x i ∂ X J | ≠ 0 {\displaystyle \ J=\left|{\frac {\partial \chi _{i}}{\partial X_{J}}}\right|=\left|{\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{J}}}\right|\neq 0} בתיאור אוילר, המאפיינים והתכונות הפיזיקליות   P i j … {\displaystyle {\displaystyle \ P_{ij\ldots }}} מוצגים כך:   P i j … = P i j … ( X , t ) = P i j … [ χ − 1 ( x , t ) , t ] = p i j … ( x , t ) {\displaystyle \ P_{ij\ldots }=P_{ij\ldots }(\mathbf {X} ,t)=P_{ij\ldots }[\chi ^{-1}(\mathbf {x} ,t),t]=p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)} האופן הפונקציונלית של   P i j … {\displaystyle \ P_{ij\ldots }} בתיאור הלגראנז'י שונה מצורת ההצגה   p i j … {\displaystyle \ p_{ij\ldots }} בתיאור האוילרי. הנגזרת החומרית של התכונות הפיזיקליות   p i j … ( x , t ) {\displaystyle \ p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)} , משתמשת בכלל השרשרת כך:   d d t [ p i j … ( x , t ) ] = ∂ ∂ t [ p i j … ( x , t ) ] + ∂ ∂ x k [ p i j … ( x , t ) ] d x k d t {\displaystyle \ {\frac {d}{dt}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]={\frac {\partial }{\partial t}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]+{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}[p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)]{\frac {dx_{k}}{dt}}} האיבר הראשון בצד ימין של המשוואה מייצג את שיעור השינוי המקומי של המאפיין   p i j … ( x , t ) {\displaystyle {\displaystyle \ p_{ij\ldots }(\mathbf {x} ,t)}} המתרחש במיקום   x {\displaystyle \ \mathbf {x} } . האיבר השני בצד הימני של המשוואה מבטא את קצב השינוי ותרומתו של קצב שינוי המיקום (התנועה) של החלקיק במרחב. רציפות בתיאור האוילרי באה לידי ביטוי על ידי המרחב, רציפות ה'רגעים' ורציפות דיפרנציאבלית של שדה מהירות הזרימה. כל הרכיבים הפיזיקליים מוגדרים בצורה הזו בכל רגע בזמן, בתצורה הנוכחית κ t ( B ) {\displaystyle {\displaystyle \kappa _{t}({\mathcal {B}})}} כפונקציה של וקטור המיקום   x {\displaystyle \ \mathbf {x} } . מספר ריינולדס משוואות אוילר (מכניקת הזורמים) משפט ברנולי משוואות נאוויה-סטוקס דמיות ריאולוגיה מדיה וקבצים בנושא מכניקת הרצף בוויקישיתוף M.Ostoja-Starzewski, 7-10, Microstructural randomness and scaling in mechanics of materials, CRC Press, 2008, ISBN 978-1-58488-417-0 A. J. Roberts, A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics, World Scientific, 1994 J. K. Diens, J. C. Solem, Nonlinear behavior of some hydrostatically stressed isotropic elastomeric foams, Acta Mechanica 138, 1999, עמ' 155–162 doi: 10.1007/BF01291841 Smith & Truesdell p.97 Slaughter Lubliner Liu