משפט קרונקר-ובר

משפט קרונקר-ובר הוא אחד המשפטים המרכזיים בתורת המספרים האלגברית. המשפט קובע שכל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי, כלומר שדה מהצורה   Q [ ζ n ] {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta _{n}]} כאשר   ζ n {\displaystyle \ \zeta _{n}} הוא שורש יחידה מסדר n. לאופולד קרונקר הציע את הרעיונות המרכזיים של ההוכחה בשנת 1853, אבל את המשפט הוכיח בסופו של דבר היינריך ובר בשנת 1886. עובדה בסיסית בתורת גלואה קובעת כי חבורת גלואה של הרחבה מן הדגם   Q [ ζ n ] {\displaystyle \ \mathbb {Q} [\zeta _{n}]} איזומורפית לחבורת אוילר המתאימה לְ־n ומכאן שהיא אבלית. כך, אפשר לראות את משפט קרונקר-ובר כתשובה - חיובית - לשאלה ההפוכה (האם כל הרחבה אבלית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית) בתיאור שהוא מעניק להרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים. נעיר שכל חבורה אבלית סופית ניתנת למימוש כחבורת גלואה של הרחבת גלואה של הרציונליים. הדבר נעשה באמצעות בחירת שדה שבת מתאים של הרחבות ציקלוטומיות ודרך עיון בתורת המבנה של חבורות אוילר. משפט קרונקר-ובר מבטיח, אם כן, שהדרך היחידה לממש אותן היא אכן בתור חבורות גלואה של הרחבות שמוכלות בהרחבות ציקלוטומיות. באמיתות המשפט במקרה של הרחבות ריבועיות ניתן להשתכנע באופן הבא: כל הרחבה ריבועית של הרציונליים באה מסיפוח שורש של מספר שלם חופשי מריבועים, ולכן מספיק לדון במקרה של סיפוח שורש של ראשוני (אי־זוגי). כאמור, כל הרחבה p־ציקלוטומית היא אבלית (מממד זוגי) ולכן מכילה הרחבה ריבועית יחידה (היא שדה השבת המתאים לתת־החבורה היחידה מאינדקס 2 של החבורה הציקלית מסדר p-1). הדיסקרימיננטה של הרחבה p־ציקלוטומיות היא חזקה של p, ולכן כך גם הדיסקרימיננטה של הרחבת הביניים הריבועית; אבל באמצעות חישוב הדיסקרימיננטה להרחבות ריבועיות (עבור   Q [ d ] {\displaystyle \ \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} הדיסקרימיננטה היא d אם d שקול לְ־1 מודולו 4 וְ־4d אחרת) מקבלים כי d מוכרח להיות - עד כדי סימן - הראשוני שסיפחנו שורש של היחידה מן הסדר שלו (את הסימן ניתן 'לתקן' בעזרת סיפוח   − 1 {\displaystyle \ {\sqrt {-}}1} ) . מכאן שכל הרחבה ריבועית מוכלת בהרחבה ציקלוטומית. כשקובעים ראשוני p ושורש היחידה   ζ q {\displaystyle \ \zeta _{q}} באשר q חזקה של p ניתן להתאים לכל אוטומורפיזם בחבורת גלואה האבסולוטית סדרה שבה במקום ה־n־י כתובה החזקה של   ζ q {\displaystyle \ \zeta _{q}} שאליה שולח אותו האוטומורפיזם. כשנותנים למעריך של p לשאוף לאינסוף מתקבל אבר בחבורה הכפלית של חוג השלמים ה־p־אדיים, וההומומורפיזם המושרה משליחת כל אוטומורפיזם לסדרה המתאימה לו נקרא הקרקטר ה־p־אדי ציקלוטומי. כעת ניתן 'להדביק' את כל הקרקטרים הללו ביחד ולקבל (באמצעות מכפלה ישרה של הקרקטרים) הומומורפיזם מן החבורה האבסולוטית למכפלת החבורות הכפליות של חוגי השלמים ה־p־אדיים, שאיזומורפית בתורה - כמעין הכללה למשפט השאריות הסיני - לחבורה הכפלית של החבורה הפרו־ציקלית (הגבול ההפוך של מערכת החבורות הציקליות הסופיות). כעת, כדי להבין טוב יותר את ההרחבה האבלית המקסימלית של הרציונליים, עוברים לנסות לתאר את חבורת הגלואה שלהם. היא נתונה באמצעות האבליניזציה של חבורת הגלואה האבסולוטית של הרציונליים, כלומר המנה של החבורה האבסולוטית בתת-החבורה הסגורה הנורמלית הנוצרת על ידי תת-חבורת הקומוטטורים (כאשר הטופולוגיה היא הטופולוגיה הפרו־סופית הרגילה). אכן, מאחר שתמונת ההומומורפיזם שהוגדר קודם (דרך מכפלת הקרקטרים) אבלית, הוא מוגדר כהומומורפיזם מן האבליניזציה, היא חבורת גלואה של ההרחבה האבלית המקסימלית. משפט קרונקר־ובר קובע אפוא שההומומורפיזם המושרה מן האבליניזציה הוא למעשה איזומורפיזם. כך, התנהגות החלק האבלי של ההרחבות האלגבריות של הרציונליים נקבעת אך ורק על־פי ההתנהגות של ההרחבות ה־p־ציקלוטומיות ומכאן ניסוחו השני של המשפט: כל הרחבת גלואה אבלית סופית של שדה המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי. בשנים 1965 וְ־1966 הוכיחו ג'ונתן לובין וג'ון טייט מעין גרסה של משפט קרונקר-ובר לשדות מקומיים, לפיה כל הרחבה אבלית של שדה מקומי מוכלת בהרחבה הנוצרת דרך הרחבות ציקלוטומיות ודרך הרחבות לובין-טייט (שהן הרחבות של שדות מקומיים המתקבלות מפולינומי אייזנשטיין באופן מסוים; להרחבות כאלה חבורת גלואה שהיא מנה קנונית של חבורת היחידות של חוג השלמים של השדה המקומי). מאידך, בעזרת למת הנזל ניתן להוכיח שכל הרחבה לא מסועפת של ההשלמה ה־p־אדית של   Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} } מתקבלת באמצעות סיפוח שורש היחידה מתאים.