חוק אמפר

חוק אמפר הוא חוק פיזיקלי מתחום האלקטרומגנטיות, אחד ממשוואות מקסוול, שנתגלה על ידי אנדרה מרי אמפר (André-Marie Ampère), פיזיקאי צרפתי צעיר בתחילת המאה ה-19. על פי חוק אמפר, מקורות השדות המגנטיים הם זרמים חשמליים. מבחינה זו הוא מקביל לחוק גאוס, הקושר את עוצמתו של שדה חשמלי לעוצמת המטען שיוצר אותו. החוק הוכלל כעבור כמה עשרות שנים עבור זרמים חשמליים משתנים, על ידי הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול. מקסוול הכליל את הנוסח המוקדם של אמפר שזרם חשמלי הוא מקור לשדה מגנטי, לאמירה כללית יותר לפיה מקור של שדה מגנטי הוא שדה חשמלי המשתנה בזמן. חוק אמפר מהווה הכללה כלשהי לחוק ביו-סבר כשם שחוק גאוס מהווה הכללה כלשהי לחוק קולון. חוק אמפר המקורי קובע כי קיים יחס ישר בין הזרם החשמלי I {\displaystyle I} העובר דרך עקומה סגורה לבין השדה המגנטי המשיק לעקומה הנוצר כתוצאה מהזרם הזה: ( B ‖ ) {\displaystyle (B_{\|})} : ∑ B ‖ Δ l = μ 0 I {\displaystyle \sum B_{\|}\Delta l=\mu _{0}I} . בהצגה אינטגרלית, ניתן לנסח את החוק כך: האינטגרל המסלולי של השדה המגנטי לאורך מסלול סגור שווה לזרם (סך השטף של צפיפות הזרם) העובר דרך כל משטח הנשען על מסלול זה. בניסוח מתמטי: ∮ B → ⋅ d l → = μ 0 I = μ 0 ∬ J → ⋅ d A → {\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{0}I=\mu _{0}\iint {\vec {J}}\cdot d{\vec {A}}} כאשר μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} הוא קבוע פרמאביליות הריק. על ידי שימוש במשפט סטוקס מקבלים את הצורה הדיפרנציאלית: ∇ → × B → = μ 0 J → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}} במקרה בו יש סימטריה גלילית, והזרם במקביל לציר הסימטריה (כגון זרם הזורם בתיל ישר ואינסופי), נוח לבחור מעגל ברדיוס r {\displaystyle r} שמרכזו עובר בציר הסימטריה, ולחשב סביבו את השדה המגנטי המשיק. את כיוון השדה אפשר למצוא באמצעות כלל יד ימין. משיקולי סימטריה נובע שבכל נקודה סביב המעגל השדה קיים אותו שדה, ובפרט גודלו שווה. לכן, ∮ B → ⋅ d l → = B ⋅ 2 π r {\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=B\cdot 2\pi r} , ומכאן: B → = μ 0 I 2 π r φ ^ {\displaystyle {\vec {B}}={\frac {\mu _{0}I}{2\pi r}}{\hat {\varphi }}} ביחידות cgs: B → = 2 I c r φ ^ {\displaystyle {\vec {B}}={\frac {2I}{cr}}{\hat {\varphi }}} האמור לעיל נכון כל עוד השדה החשמלי איננו משתנה בזמן (או ששינויו קטן ביותר – הקירוב האלקטרוסטטי). כאשר השדה החשמלי משתנה בזמן, נוצר שדה מגנטי כתוצאה מהשראה אלקטרומגנטית, בנוסף לזה הנוצר על ידי הזרם. במקרה זה, יש לתקן את החוק. הצורך בתיקון, כמו גם התיקון עצמו, נתגלה על ידי הפיזיקאי הסקוטי ג'יימס קלרק מקסוול, אשר שם לב לבעיה בחוק אמפר המקורי כאשר משתמשים בו לתיאור טעינה או פריקה של קבל. מקסוול שם לב שהחוק (בצורתו האינטגרלית) מוביל לסתירה כאשר משתמשים בו עבור משטחים שונים הנשענים על אותו מסלול סגור: אם נבחר את המסלול שלנו כך שיקיף קטע של חוט ליד הקבל, והמשטח שדרכו אנחנו מחשבים את שטף צפיפות הזרם עובר דרך אמצע הקבל (המשטח S 2 {\displaystyle S_{2}} באיור), אז שום קו שזורם בו זרם לא יעבור דרך המשטח, ולכן צד ימין של חוק אמפר יהיה 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} . לעומת זאת, אם נבחר את המשטח שדרכו אנחנו מחשבים את שטף שיעבור דרך התייל (המשטח S 2 {\displaystyle S_{2}} באיור), אז, כאשר קבל נטען או נפרק יעבור זרם דרך המשטח, וזה יצור שדה מגנטי עם רוטור לא-אפסי, והרי לנו סתירה. דרך נוספת להציג סתירה זאת היא באמצעות משפטי האנליזה הווקטורית: אם ניקח דיברגנץ משני צידי הנסוח הדיפרנציאלי של החוק, הדיברגנץ של הרוטור שבצד שמאל של יהיה 0 (על פי הזהות ∇ → ⋅ ( ∇ → × A → ) = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {A}})=0} ), אך הדיברגנץ של צפיפות הזרם (צד ימין של החוק) לא בהכרח שווה לאפס. כתוצאה משיקולים אלה ומניתוח מתמטי תוך שימוש במודל מכני, קיבל מקסוול את חוק אמפר המתוקן, הנקרא גם חוק אמפר-מקסוול: ∇ → × B → = μ 0 J → + μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} ובצורתו האינטגרלית: ∮ ∂ S B → ⋅ d l → = μ 0 I + μ 0 ε 0 d Φ E d t = ∬ S ( μ 0 J → + μ 0 ε 0 ∂ E → ∂ t ) ⋅ d S → {\displaystyle \oint _{\partial S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{0}I+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {d\Phi _{E}}{dt}}=\iint _{S}\left(\mu _{0}{\vec {J}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\cdot d{\vec {S}}} הגודל ε 0 ∂ E → ∂ t {\displaystyle \varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} נקרא צפיפות זרם העתקה (כמו ש־ J → {\displaystyle {\vec {J}}} הוא צפיפות זרם "רגיל"), זכר למודל המכני של מקסוול, ומסומן לעיתים J → d {\displaystyle {\vec {J}}_{d}} . תוך שימוש בסימון זה, חוק אמפר-מקסוול בצורתו הדיפרנציאלית נראה כך: ∇ → × B → = μ 0 ( J → + J → d ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {J}}+{\vec {J}}_{d})} גילוי זה של השראת שדה מגנטי על ידי השתנות של השדה החשמלי חתם את משוואות מקסוול וסלל את הדרך לגילויים של גלים אלקטרומגנטיים, ובפרט להסברת אופיו הגלי של האור, אשר התגלה בניסוי יאנג ב-1802. הסטיה מחוק אמפר המקורי נובעת מהצטברות של מטען (כמו למשל במקרה של הקבל המתואר מעלה). לכן סטיה זאת היא משמעותית רק כאשר יש הצטברות משמעותית של מטען. בעוד שבמעגלים חשמליים עובר מטען רב, המטען המצטבר במקום מסוים הוא בדרך כלל קטן בהרבה. לכן קשה למדוד את הסטיה מהחוק. הדבר גם מתאים לכך שהמקדם של איבר התיקון בנוסחה ( ε 0 μ 0 = 1 c 2 {\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}={\frac {1}{c^{2}}}} ) קטן מאוד ביחס לשאר הגדלים שבנוסחה. מקסוול הגיע לחוק המתוקן משיקולים תאורטיים, ולא באמצעות ניסוי. אישור חוק מקסול באמצעות ניסוי היה אתגר משמעותי בגלל שהתיקון קטן מאוד. ביחידות cgs, זוהי הצורה הדיפרנציאלית של החוק, כולל התיקון של מקסוול: ∇ → × B → = 4 π c J → + 1 c ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} c {\displaystyle c} היא מהירות האור בריק. זוהי הצורה האינטגרלית של החוק (כולל התיקון של מקסוול): ∮ B → ⋅ d l → = 4 π c I + 1 c d Φ E d t {\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}={\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d\Phi _{E}}{dt}}} משוואות מקסוול חשמל מגנטיות חוק ביו-סבר חוק גאוס למגנטיות חוק פאראדיי חוק גאוס מדיה וקבצים בנושא חוק אמפר בוויקישיתוף חוק אמפר חוק אמפר הגרסה הכללית של מקסוול עוד על חוק אמפר קבועים בחשמל ומגנטיות חוק אמפר כנגזרת של משוואות מקסוול השנייה חוק אמפר, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)