אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס. לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות. תהי K / F {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה G = G a l ( K / F ) = ⟨ σ ⟩ {\displaystyle G=Gal(\mathbb {K} /\mathbb {F} )=\langle \sigma \rangle } מסדר n {\displaystyle n} , ויהי β ∈ F × {\displaystyle \beta \in \mathbb {F} ^{\times }} . נגדיר A = K ⊕ K z ⊕ . . . ⊕ K z n − 1 {\displaystyle A=\mathbb {K} \oplus \mathbb {K} z\oplus ...\oplus \mathbb {K} {z}^{n-1}} (כמרחב וקטורי עם בסיס { 1 , z , . . . , z n − 1 } {\displaystyle \{1,z,...,{z}^{n-1}\}} ), עם פעולת הכפל: ( a z i ) ( b z j ) = { a σ i ( b ) z i + j i + j < n β a σ i ( b ) z i + j − n i + j ≥ n {\displaystyle (a{z}^{i})(b{z}^{j})={\begin{cases}a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j}\quad \quad \quad i+j<n\\\beta a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j-n}\quad i+j\geq n\end{cases}}} בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת ( K , σ , β ) {\displaystyle (\mathbb {K} ,\sigma ,\beta )} . (להוכחת טענות אלו ראו [Row]). תהי A {\displaystyle A} אלגברה פשוטה מרכזית מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } . נאמר ש- A {\displaystyle A} אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי) F ⊆ K ⊆ A {\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \mathbb {K} \subseteq A} המהווה הרחבת גלואה ציקלית. אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: A = ⟨ K , y | y m = β , a y = y σ ( a ) ∀ a ∈ K ⟩ {\displaystyle A=\langle \mathbb {K} ,y|{y}^{m}=\beta ,ay=y\sigma (a)\quad \forall a\in \mathbb {K} \rangle } . ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט: משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית A {\displaystyle A} היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית. סקירת ההוכחה: בכיוון ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } , תהי G = ⟨ σ ⟩ {\displaystyle G=\langle \sigma \rangle } חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש z {\displaystyle z} כך ש- z a z − 1 = σ ( a ) {\displaystyle za{z}^{-1}=\sigma (a)} , ולכן גם ∀ i : z i a = σ i ( a ) z i {\displaystyle \forall i:{z}^{i}a=\sigma ^{i}(a){z}^{i}} . לכן ∀ a ∈ K : z n a = σ n ( a ) z n = a z n {\displaystyle \forall a\in \mathbb {K} :z^{n}a=\sigma ^{n}(a)z^{n}=az^{n}} , כלומר z n {\displaystyle z^{n}} שייך למרכז שהוא K {\displaystyle \mathbb {K} } , כלומר z n = β {\displaystyle {z}^{n}=\beta } , ומתקיים A ≅ ( K , σ , β ) {\displaystyle A\cong (\mathbb {K} ,\sigma ,\beta )} . שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט: משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית A {\displaystyle A} היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה A = ⟨ K , y | y m = β , a y = σ ( a ) y ∀ a ∈ K ⟩ {\displaystyle A=\langle \mathbb {K} ,y|{y}^{m}=\beta ,ay=\sigma (a)y\quad \forall a\in \mathbb {K} \rangle } (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה). סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם σ {\displaystyle \sigma } של K הוא הצמדה באיבר כלשהו y {\displaystyle y} : ∀ x ∈ K : y − 1 x y = σ ( x ) {\displaystyle \forall x\in \mathbb {K} :{y}^{-1}xy=\sigma (x)} . נגדיר β = y m {\displaystyle \beta =y^{m}} , ונוכיח כי y m ∈ F {\displaystyle y^{m}\in \mathbb {F} } : משום ש- x = σ m ( x ) = y − m x y m {\displaystyle x=\sigma ^{m}(x)=y^{-m}xy^{m}} , כלומר y m ∈ K {\displaystyle y^{m}\in K} ; הפעלת ההצמדה על y m {\displaystyle y^{m}} מראה כי σ ( y m ) = y m {\displaystyle \sigma (y^{m})=y^{m}} , ולכן y m ∈ F {\displaystyle y^{m}\in \mathbb {F} } . כעת, קל לבדוק כי 1 , . . . , y m − 1 {\displaystyle 1,...,y^{m-1}} בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש. יהי F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה, ויהי m {\displaystyle m} הפיך בשדה. עוד נניח כי F {\displaystyle \mathbb {F} } מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר m {\displaystyle m} , נסמנו ω {\displaystyle \omega } . נגדיר ( a , b ) ω = ⟨ x , y | x m = a , y m = b , x y = ω y x ⟩ {\displaystyle (a,b)_{\omega }=\langle x,y|x^{m}=a,y^{m}=b,xy=\omega yx\rangle } . מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר m = 2 , ω = − 1 {\displaystyle m=2,\omega =-1} . לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה F ( a m ) {\displaystyle \mathbb {F} ({\sqrt[{m}]{a}})} . כל האלגברות הציקליות עבור b ∈ F × {\displaystyle b\in \mathbb {F} ^{\times }} הן בדיוק ( a , b ) ω {\displaystyle (a,b)_{\omega }} , עבור כל שורש יחידה m {\displaystyle m} -פרימיטיבי ω {\displaystyle \omega } . יהי F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה ממאפיין ראשוני p {\displaystyle p} , ויהי m = p {\displaystyle m=p} . עבור a , b ∈ F × {\displaystyle a,b\in \mathbb {F} ^{\times }} , נביט ב- [ a , b ) = ⟨ x , y | x p − x = a , y p = b , x y = y ( x + 1 ) ⟩ {\displaystyle [a,b)=\langle x,y|x^{p}-x=a,y^{p}=b,xy=y(x+1)\rangle } . קל לראות שכל שורש של הפולינום x p − x − a {\displaystyle x^{p}-x-a} מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה F [ α ] {\displaystyle \mathbb {F} [\alpha ]} עבור אלפא עם שורש מינימלי x p − x − a = 0 {\displaystyle x^{p}-x-a=0} . מעבר לכך, בתנאים הנ"ל, כל האלגברות הציקליות עבור b {\displaystyle b} הן מהצורה [ a , b ) {\displaystyle [a,b)} . אלגברה פשוטה מרכזית משפט סקולם-נתר [Row]; Graduate Algebra: Noncommutative View, Louis Halle Rowen, 448-449;462-464 [GS]; Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Gille and Szamuely, 33-37]