התפלגות אחידה רציפה

התפלגות אחידה רציפה (באנגלית: Continuous Uniform distribution) היא התפלגות רציפה בה כל הקטעים בעלי אותו אורך, הנמצאים בתומך שלה, הם בעלי הסתברות שווה. תומך ההתפלגות האחידה הרציפה הוא קטע, ההתפלגות נתונה בעזרת שני פרמטרים, הקרויים לרוב a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} , ומציינים את קצוות הקטע המהווה התומך, ותסומן לרוב על ידי U ( a , b ) {\displaystyle U(a,b)} . בהינתן משתנה מקרי X ∼ U ( a , b ) {\displaystyle X\sim U(a,b)} פונקציית צפיפות ההסתברות שלו היא: f X ( x ) = { 1 b − a f o r   a ≤ x ≤ b , 0 f o r   x < a   o r   x > b {\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}} פונקציית ההתפלגות המצטברת של המשתנה המקרי היא: F ( x ) = { 0 for  x < a x − a b − a for  a ≤ x < b 1 for  x ≥ b {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x<b\\[8pt]1&{\text{for }}x\geq b\end{cases}}} תוחלתו ושונותו של המשתנה המקרי X {\displaystyle X} נתונות על ידי הנוסחאות: E X = a + b 2 {\displaystyle \mathbb {E} X={\frac {a+b}{2}}} V a r ( X ) = ( b − a ) 2 12 {\displaystyle Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}} הנוסחא למומנט מסדר n {\displaystyle n} של המשתנה המקרי היא: E X n = b n + 1 − a n + 1 ( n + 1 ) ( b − a ) {\displaystyle \mathbb {E} X^{n}={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}} המומנט הממרוכז ה- n {\displaystyle n} -י הוא: E ( X − E X ) n = ( b − a ) n ⋅ ( 1 + ( − 1 ) n ) 2 n + 1 ( n + 1 ) {\displaystyle \mathbb {E} (X-\mathbb {E} X)^{n}={\frac {(b-a)^{n}\cdot (1+(-1)^{n})}{2^{n+1}(n+1)}}} בפרט ניתן לראות כי המומנטים הממורכזים מסדר אי-זוגי מתאפסים. עובדה זו נובעת בקלות מהיות X {\displaystyle X} סימטרי סביב הממוצע. הפונקציה יוצרת המומנטים של המשתנה המקרי נתונה על ידי: M X ( t ) = E e x p ( t X ) = { e t b − e t a t ( b − a ) f o r   t ≠ 0 1 f o r   x < a   o r   x > b {\displaystyle M_{X}(t)=\mathbb {E} exp(tX)={\begin{cases}{\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}&\mathrm {for} \ t\neq 0\\[8pt]1&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}} בדומה, הפונקציה האופיינית של המשתנה המקרי היא: ϕ X ( t ) = E e x p ( i t X ) = { e i t b − e i t a i t ( b − a ) f o r   t ≠ 0 1 f o r   x < a   o r   x > b {\displaystyle \phi _{X}(t)=\mathbb {E} exp(itX)={\begin{cases}{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}&\mathrm {for} \ t\neq 0\\[8pt]1&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}} מתוך משתנה מקרי אחיד U ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle U\sim U(0,1)} ניתן לייצר כל התפלגות - עקרון דגימת ההעתקה ההופכית (באנגלית: Inverse transform sampling) גורס שאם F {\displaystyle F} היא פונקציית התפלגות, ומגדירים את הפונקציה ההופכית המוכללת של F {\displaystyle F} על ידי F − 1 ( t ) = inf { x : F ( x ) ≥ t } {\displaystyle F^{-1}(t)=\inf\{x:F(x)\geq t\}} ,אז למשתנה F − 1 ( U ) {\displaystyle F^{-1}(U)} יש פונקציית התפלגות השווה ל- F {\displaystyle F} . שימוש בשיטה זו יכול להיות קשה במקרים בהם F − 1 {\displaystyle F^{-1}} קשה לחישוב. לדוגמה, אם U ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle U\sim U(0,1)} אז המשתנה λ − 1 ⋅ ln ⁡ ( 1 U ) {\displaystyle \lambda ^{-1}\cdot \ln({\frac {1}{U}})} מתפלג אקספוננציאלית עם פרמטר λ {\displaystyle \lambda } . אם U ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle U\sim U(0,1)} אז המשתנה U n {\displaystyle U^{n}} מתפלג בטא - U n ∼ B e t a ( 1 / n , 1 ) {\displaystyle U^{n}\sim Beta(1/n,1)} . התפלגות משולשת היא התפלגות של סכום של שני משתנים מקריים רציפים בלתי תלויים המתפלגים אחיד. התפלגות אירווין-הול היא ההתפלגות של סכום של n {\displaystyle n} משתנים מקריים בלתי-תלויים, כל אחד מתפלג U ( 0 , 1 ) {\displaystyle U(0,1)} . אם U , V ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle U,V\sim U(0,1)} , אז גם למשתנה המקרי | U − V | {\displaystyle |U-V|} יש התפלגות משולשת. ניתן להשתמש בטרנספורמציית בוקס-מולר כדי לקבל משתנים אקראיים נורמליים מתוך משתנים אקראיים רציפים המתפלגים אחיד. בסטטיסטיקה, כשמשתמשים במבחן ערך-p לבדיקת השערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז ערך ה-p מתפלג אחיד בין 0 ל-1 כאשר השערת האפס נכונה. לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספרים פסבדו-אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית, וזאת תוך שימוש במחולל מספרים פסבדו-אקראיים. שימוש בעקרון דגימת ההעתקה ההופכית מאפשר כך למתכנת לקבל ערך אקראי המתפלג כרצונו. כך למשל יכול מתכנת לסמלץ פעולות כמו הטלת מטבע או קובייה. נניח שנתונה לנו פונקציה אינטגרבילית f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } , ורוצים לחשב את האינטגרל ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} . אם לפונקציה f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} } יש פונקציה קדומה ידועה, ניתן לחשב את האינטגרל תוך שימוש במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. כשאין זה המקרה, ניתן לחשב את האינטגרל על ידי האבחנה הבאה - האינטגרל שווה ל־ ( b − a ) E ( f ( U ) ) {\displaystyle (b-a)\mathbb {E} (f(U))} כאשר U ∼ U ( a , b ) {\displaystyle U\sim U(a,b)} . את ערך התוחלת ניתן לקרב תוך שימוש בחוק המספרים הגדולים - מגרילים סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים U 1 , . . . , U N ∼ U ( a , b ) {\displaystyle U_{1},...,U_{N}\sim U(a,b)} ומחשבים את הממוצע האמפירי M = 1 N ∑ i = 1 N f ( U i ) {\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}f(U_{i})} . אי-שוויון צ'בישב גורר ש: P { | M − E f ( U ) | ≥ t } ≤ V a r ( M ) t 2 = V a r ( f ( U ) ) N t 2 {\displaystyle \mathbb {P} \{|M-\mathbb {E} f(U)|\geq t\}\leq {\frac {Var(M)}{t^{2}}}={\frac {Var(f(U))}{Nt^{2}}}} בשיטה זו נהוג להשתמש בסימולציה של מערכות מורכבות בפיזיקה, כימיה והנדסה. לדוגמה, כאשר יש צורך להבין מהי ההסתברות שמערכת הנדסית תכשל, ניתן להריץ סימולציה של המערכת מספר רב של פעמים ולראות מה יחס מספר הפעמים בה המערכת נכשלה. בעיבוד אותות שגיאת קוונטיזציה היא שגיאה הנובעת מקירוב של אות אנלוגי על ידי אות דיגיטלי. עקב מספר הביטים הסופי באות הדיגיטלי, חייבת להיות שגיאה בקירוב זה - שגיאה הנובעת מעיגול או השמטה של הספרות האחרונות. כאשר עוצמת האות המקורי גדולה הרבה יותר מהביט הזניח ביותר, הקורלציה בין השגיאה לגודל האות המקורי קטנה מאוד, וכתוצאה מכך השגיאה מתפלגת, בקירוב, בצורה אחידה. המקרה הפרטי המתקבל מהגבלת הפרמטרים a = 0 {\displaystyle a=0} b = 1 {\displaystyle b=1} , נקראת התפלגות אחידה סטנדרטית, המסומנת על ידי   X ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle \ X\sim U\left(0,1\right)} . עקרון דגימת ההעתקה ההופכית גורס כי מתוך התפלגות אחידה סטנדרטית ניתן להגיע לכל התפלגות שהיא, בהנחה ופונקציית ההתפלגות המצטברת ידועה. התפלגות אחידה בדידה התפלגות אחידה רציפה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) התפלגות אחידה רציפה, באתר MathWorld (באנגלית)