ארגומנט (אנליזה מרוכבת)

במתמטיקה, הארגומנט (Argument) הוא פונקציה רב-ערכית הפועלת על מספרים מרוכבים שאינם אפסיים. כשהמספר המרוכב z מייצג נקודה על המישור המרוכב, הארגומנט של z הוא זווית בין הציר הממשי החיובי והקו המחבר את נקודת המוצא, כפי שמוצג כ-φ באיור 1 ומסומן כ- arg z. כדי להגדיר פונקציה בעלת ערך אחד, נשתמש בערך העיקרי של הארגומנט (לפעמים מכונה Arg z). הוא נבחר להיות ערך ייחודי של הארגומנט הזה בקטע ( − π , + π ] {\displaystyle (-\pi ,+\pi ]} . הארגומנט של המספר המרוכב z = x + i y ∈ C − { 0 } {\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {C} -\{0\}} , מכונה arg(z), מוגדר בשתי דרכים שוות ערך: מבחינה גאומטרית, במישור המרוכב, כשהזווית φ חיובית מהציר הממשי עד הווקטור המייצג את z. הערך המספרי נתון על ידי הזווית ברדיאנים, והוא חיובי אם נמדד נגד כיוון השעון. מבחינה אלגברית, כל מספר ממשי φ ∈ R {\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} } שמקיים z = r e i ϕ = r ⋅ ( cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ ) {\displaystyle z=re^{i\phi }=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )} עבור r חיובי ממשי (ראו הנוסחה של אוילר). הגודל r = | z | {\displaystyle r=|z|} הוא הערך המוחלט של z ולפעמים מכונה "מודולוס", גאומטרית זהו אורך הקו המחבר בין z לראשית הצירים (אורך הווקטור ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} ). הארגומנט, בעיקר בהקשרים פיזיקליים, מכונה לעיתים מופע (phase). תחת שתי ההגדרות, ניתן לראות כי לארגומנט של כל מספר מרוכב שאינו אפס יש הרבה ערכים אפשריים: ראשית, בתור זווית הנדסית, זה ברור כי כל סיבוב מעגל שלם לא משנה את הנקודה, אז זוויות שונות על ידי הוספת מספר של 2π ברדיאנים (מעגל שלם) הם אותו הדבר, כפי שהיא באה לידי ביטוי על ידי איור 2 מימין. באופן דומה, מן מחזוריות של סינוס וקוסינוס, גם להגדרה השנייה יש את התכונה הזאת. הארגומנט של אפס בדרך כלל נשאר לא מוגדר. הקשר בין הפונקציה הרב-ערכית של הארגומנט לערך העיקרי ("הענף הראשי") הוא arg ⁡ ( z ) = Arg ⁡ ( z ) + 2 π Z = { Arg ⁡ ( z ) + 2 π n ∣ n ∈ Z } {\displaystyle \operatorname {arg} (z)=\operatorname {Arg} (z)+2\pi \mathbb {Z} =\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}} משום שהשלמת סיבוב סביב המקור משאיר מספר מרוכב ללא שינוי, ישנן אפשרויות רבות אשר לערך ש-φ יכול לקבל על ידי המקור בכל מספר שלם של פעמים. זה מוצג באיור 4, ייצוג של הפונקציה הרב ערכית (לערך נבחר) קו אנכי (לא מוצג באיור) חותך את השטח בגובה מייצג את כל האפשרויות של זווית על הנקודה הזו. כאשר פונקציה מוגדרת היטב נדרשת אז הבחירה הרגילה, המכונה "הארגומנט הראשי" שהוא מקרה פרטי של ערך עיקרי או ענף ראשי. לשם כך יש להגדיר קטע פתוח-סגור באורך 2π שבו הארגומנט יכול לקבל ערכים. באנליזה מרוכבת מקובל לבחור בקטע החצי-סגור חצי-פתוח I 0 = ( − π , π ] = { x ∈ R ∣ − π < x ≤ π } {\displaystyle I_{0}=(-\pi ,\pi ]=\{x\in \mathbb {R} \mid -\pi <x\leq \pi \}} כקטע בו מוגדר הארגומנט הראשי. זה שקול לזווית שערכה נע בין פאי רדיאנים (כולל) למינוס פאי רדיאנים (לא כולל), במעלות זה שקול לזווית שנעה בין 180 מעלות (כולל) למינוס 180 מעלות (לא כולל). בטקסטים שונים בוחרים לעיתים בקטעים אחרים להגדרת הארגומנט הראשי, כגון [ 0 , 2 π ] {\displaystyle [0,2\pi ]} . הערך העיקרי לפעמים נכתב באותיות גדולות כמו Arg, במיוחד כאשר מתחשבים גם בגרסה גנרית של הארגומנט, בעוד שהפונקציה הרב-ערכית נכתבת arg. זהו הסימון המקובל אך במספר ספרים הסימון הפוך. קבוצת כל הערכים האפשריים של הארגומנט יכולה להיכתב במונחים של Arg : arg ⁡ ( z ) = Arg ⁡ ( z ) + 2 π Z = { Arg ⁡ ( z ) + 2 π n ∣ n ∈ Z } {\displaystyle \operatorname {arg} (z)=\operatorname {Arg} (z)+2\pi \mathbb {Z} =\{\operatorname {Arg} (z)+2\pi n\mid n\in \mathbb {Z} \}} ובאופן דומה, הארגומנט הראשי נתון על ידי Arg ⁡ ( z ) = { arg ⁡ ( z ) − 2 π n | n ∈ Z   ∧ − π < Arg ⁡ ( z ) ≤ π } = arg ⁡ ( z ) ∩ ( − π , π ] {\displaystyle \operatorname {Arg} (z)=\{\arg(z)-2\pi n\;|\;n\in \mathbb {Z} \ \land -\pi <\operatorname {Arg} (z)\leq \pi \}=\arg(z)\cap (-\pi ,\pi ]} (כאן זה נתון עבור הקטע I 0 = ( − π , π ] {\displaystyle I_{0}=(-\pi ,\pi ]} , ניתן לבחור כל קטע אחר באורך 2 פאי). בהינתן ההגדרה הגאומטרית של הארגומנט, קל לראות שמציאת הארגומנט של z = x + i y ∈ C {\displaystyle z=x+iy\in \mathbb {C} } שקולה למציאת הזווית של ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} בקואורדינטות קוטביות. אם בוחרים לעבוד באינטרוול   [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \ [0,2\pi )} , כלומר, הזווית מקבלת ערכים בין 0 ל-2π (לא כולל 2π), מוסכמה המקובלת באנליזה וקטורית, אזי ניתן למצוא את הזווית לפי הנוסחה הבאה:   φ = atan1 ⁡ ( y x ) = { arctan ⁡ ( y x ) if  x > 0  and  y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) + 2 π if  x > 0  and  y < 0 arctan ⁡ ( y x ) + π if  x < 0 π 2 if  x = 0  and  y > 0 3 π 2 if  x = 0  and  y < 0 {\displaystyle \ \varphi =\operatorname {atan1} \left({\tfrac {y}{x}}\right)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}}} כאשר arctan היא הפונקציה ההופכית לפונקציה הטריגונומטרית טנגנס. אם עובדים באינטרוול   ( − π , π ] {\displaystyle \ (-\pi ,\pi ]} , המקובל יותר באנליזה מרוכבת, יש להשתמש בנוסחה הבאה:   φ = atan2 ⁡ ( y x ) = { arctan ⁡ ( y x ) if  x > 0 arctan ⁡ ( y x ) + π if  x < 0  and  y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) − π if  x < 0  and  y < 0 π 2 if  x = 0  and  y > 0 − π 2 if  x = 0  and  y < 0 {\displaystyle \ \varphi =\operatorname {atan2} \left({\tfrac {y}{x}}\right)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}}} הפונקציה המפוצלת הזאת נקראת לעיתים קרובות atan2 ("ארכטנגס 2") ורושמים φ = atan2 ⁡ ( y / x ) {\displaystyle \varphi =\operatorname {atan2} (y/x)} . אחד המניעים העיקריים עבור הגדרת הערך העיקרי Arg הוא היכולת לכתוב מספרים מרוכבים בצורת ערך מוחלט וארגומנט. לכן עבור כל מספר מרוכב מתקיים z = | z | e i arg ⁡ ( z ) = | z | e i Arg ⁡ ( z ) {\displaystyle z=|z|e^{i\arg(z)}=|z|e^{i\operatorname {Arg} (z)}} זה תקף רק אם z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} אבל יכול להיחשב גם ב-z=0 אם קובעים Arg ⁡ ( 0 ) = c ∈ R {\displaystyle \operatorname {Arg} (0)=c\in \mathbb {R} } (מספר ממשי סופי) באופן שרירותי (שימו לב ש- | 0 | = 0 {\displaystyle |0|=0} ). עוד כמה זהויות מתקדמות יותר עוקבות. אם z 1 , z 2 ∈ C × = C − { 0 } {\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} -\{0\}} הם שני מספרים מרוכבים שונים מאפס, אז Arg ⁡ ( z 1 z 2 ) ≡ Arg ⁡ ( z 1 ) + Arg ⁡ ( z 2 ) ( mod ( − π , π ] ) {\displaystyle \operatorname {Arg} (z_{1}z_{2})\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}} , Arg ⁡ ( z 1 z 2 ) ≡ Arg ⁡ ( z 1 ) − Arg ⁡ ( z 2 ) ( mod ( − π , π ] ) {\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {z_{1}}{z_{2}}}{\biggr )}\equiv \operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2}){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}} . אם z ≠ 0 ו- n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } הוא כל מספר שלם, אז Arg ⁡ ( z n ) ≡ n Arg ⁡ ( z ) ( mod ( − π , π ] ) {\displaystyle \operatorname {Arg} \left(z^{n}\right)\equiv n\operatorname {Arg} (z){\pmod {(-\pi ,\pi ]}}} . לדוגמה: Arg ⁡ ( − 1 − i i ) = Arg ⁡ ( − 1 − i ) − Arg ⁡ ( i ) = − 3 π 4 − π 2 = − 5 π 4 {\displaystyle \operatorname {Arg} {\biggl (}{\frac {-1-i}{i}}{\biggr )}=\operatorname {Arg} (-1-i)-\operatorname {Arg} (i)=-{\frac {3\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}=-{\frac {5\pi }{4}}} Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable (3rd ed.). New York;London: McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1. Ponnuswamy, S. (2005). Foundations of Complex Analysis (2nd ed.). New Delhi;Mumbai: Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4. Beardon, Alan (1979). Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology. Chichester: Wiley. ISBN 0-471-99671-8. Borowoski, Ephraim; Borwein Jonathan (2002) [1st ed. 1989 as Dictionary of Mathematics]. Mathematics. Collins Dictionary (2nd ed.). Glasgow: HarperCollins. ISBN 0-00-710295-X. ארגומנט, באתר MathWorld (באנגלית)