ממוצע מוכלל

במתמטיקה, ממוצע מוכלל (נקרא גם ממוצע חזקות, או ממוצע הולדר על שם המתמטיקאי אוטו הולדר), הוא משפחה של ממוצעים אשר מכלילה את הממוצעים הפיתגוריים (ממוצע חשבוני, ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני) וכן ממוצעים נוספים כגון שורש ממוצע הריבועים. בהינתן מספר טבעי n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , אוסף מספרים חיוביים x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} ומספר ממשי p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} , הממוצע המוכלל של x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} מדרגה p {\displaystyle p} מוגדר להיות: M p ( x ¯ ) := ( ∑ i = 1 n x i p n ) 1 p {\displaystyle M_{p}({\bar {x}}):=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}} באופן דומה, בהינתן משקולות w ¯ = ( w 1 … , w n ) {\displaystyle {\bar {w}}=(w_{1}\dots ,w_{n})} , הממוצע המשוקלל של x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} מדרגה p {\displaystyle p} עם המשקולות w ¯ {\displaystyle {\bar {w}}} מוגדר להיות: M p , w ¯ ( x ¯ ) := ( ∑ i = 1 n w i x i p ∑ i = 1 n w i ) 1 p {\displaystyle M_{p,{\bar {w}}}({\bar {x}}):=\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}^{p}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\right)^{\frac {1}{p}}} שתי ההגדרות מתלכדות עבור המשקולות האחידות w ¯ = ( 1 / n , … , 1 / n ) {\displaystyle {\bar {w}}=(1/n,\dots ,1/n)} הממוצע המוכלל מקיים את התכונות הבאות: חסימות - עבור כל x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} מתקיים min ( x ¯ ) ≤ M p ( x ¯ ) ≤ max ( x ¯ ) {\displaystyle \min({\bar {x}})\leq M_{p}({\bar {x}})\leq \max({\bar {x}})} . כלומר, הממוצע המוכלל חסום בין האיבר המינימלי למקסימלי ב- x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} . סימטריות - עבור כל x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} ו- σ : { 1 , … , n } → { 1 , … , n } {\displaystyle \sigma :\{1,\dots ,n\}\to \{1,\dots ,n\}} תמורה כלשהי, מתקיים כי M p ( x 1 , … , x n ) = M p ( x σ ( 1 ) , … , x σ ( n ) ) {\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})} . כלומר, הפונקציה M p {\displaystyle M_{p}} סימטרית לסדר איברים. הומוגניות - עבור כל x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} ו- α > 0 {\displaystyle \alpha >0} כלשהו, ניתן להוכיח כי M p ( α x 1 , … , α x n ) = α M p ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle M_{p}(\alpha x_{1},\dots ,\alpha x_{n})=\alpha M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})} . כלומר, M p {\displaystyle M_{p}} היא פונקציה הומוגנית. ערך בשוויון איברים - עבור x > 0 {\displaystyle x>0} מתקיים כי M p ( x , x , … , x ) = x {\displaystyle M_{p}(x,x,\dots ,x)=x} . כלומר, הממוצע של איברים זהים הוא האיבר עצמו. מונוטוניות באיברים - עבור x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} ו- y ¯ = ( y 1 , … , y n ) {\displaystyle {\bar {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})} כך ש- x i ≤ y i {\displaystyle x_{i}\leq y_{i}} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , מתקיים כי M p ( x ¯ ) ≤ M p ( y ¯ ) {\displaystyle M_{p}({\bar {x}})\leq M_{p}({\bar {y}})} . כלומר, הממוצע עולה כאשר הערכים עולים. מונוטוניות לפי p {\displaystyle p} - עבור x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} כלשהו ו- p 1 ≤ p 2 {\displaystyle p_{1}\leq p_{2}} מתקיים כי M p 1 ( x ¯ ) ≤ M p 2 ( x ¯ ) {\displaystyle M_{p_{1}}({\bar {x}})\leq M_{p_{2}}({\bar {x}})} . כלומר, הממוצע עולה ככל שהדרגה שלו עולה. זוהי גרסה כללית של אי שוויון הממוצעים. קיבוציות - עבור n , m ∈ N {\displaystyle n,m\in \mathbb {N} } , x ¯ = ( x 11 , x 12 , … , x i j , … , x n m ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{11},x_{12},\dots ,x_{ij},\dots ,x_{nm})} ו- y i = M p ( x i 1 , … , x i m ) {\displaystyle y_{i}=M_{p}(x_{i1},\dots ,x_{im})} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , מתקיים M p ( y 1 , … , y n ) = M p ( x ¯ ) {\displaystyle M_{p}(y_{1},\dots ,y_{n})=M_{p}({\bar {x}})} . כלומר, ניתן לחשב את הממוצע המוכלל בשלבים על-ידי שימוש בקיבוץ איברים לקבוצות שוות גודל. רציפות לפי ערכים - עבור x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} כלשהו מתקיים כי lim y ¯ → x ¯ M p ( y ¯ ) = M p ( x ¯ ) {\displaystyle \lim _{{\bar {y}}\to {\bar {x}}}{M_{p}({\bar {y}})}=M_{p}({\bar {x}})} . כלומר, הפונקציה M p {\displaystyle M_{p}} רציפה ב- n {\displaystyle n} ממדים. רציפות לפי p {\displaystyle p} - עבור x ¯ = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\bar {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})} ו- p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} כלשהם מתקיים כי lim p ′ → p M p ′ ( x ¯ ) = M p ( x ¯ ) {\displaystyle \lim _{p'\to p}{M_{p'}({\bar {x}})}=M_{p}({\bar {x}})} . כלומר, הממוצע המוכלל רציף לפי הפרמטר p {\displaystyle p} . כלל התכונות (למעט סימטריות) נכונות גם עבור המקרה המשוקלל. ניתן להוכיח כי lim p → ∞ M p ( x ¯ ) = max ( x ¯ ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{M_{p}({\bar {x}})}=\max({\bar {x}})} . כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המקסימלי ככל ש- p {\displaystyle p} שואף לאינסוף. על כן נהוג להגדיר M ∞ ( x ¯ ) := max ( x ¯ ) {\displaystyle M_{\infty }({\bar {x}}):=\max({\bar {x}})} . מניחים בלי הגבלת הכלליות כי x 1 > x 2 ≥ ⋯ ≥ x n {\displaystyle x_{1}>x_{2}\geq \dots \geq x_{n}} . מסמנים: M = lim p → ∞ M p ( x ¯ ) = lim p → ∞ ( ∑ i = 1 n x i p n ) 1 p {\displaystyle M=\lim _{p\to \infty }{M_{p}({\bar {x}})}=\lim _{p\to \infty }{\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}} מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל: ln ⁡ ( M ) = lim p → ∞ ln ⁡ ( ∑ i = 1 n x i p ) − ln ⁡ ( n ) p = lim p → ∞ ∑ i = 1 n ln ⁡ ( x i ) x i p ∑ i = 1 n x i p = lim p → ∞ ln ⁡ ( x 1 ) x 1 p + ∑ i = 2 n ln ⁡ ( x i ) x i p x 1 p + ∑ i = 2 n x i p = lim p → ∞ ln ⁡ ( x 1 ) + ∑ i = 2 n ln ⁡ ( x i ) ( x i / x 1 ) p ⏞ → 0 1 + ∑ i = 2 n ( x i / x 1 ) p ⏟ → 0 = ln ⁡ ( x 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(M)=\lim _{p\to \infty }{\frac {\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}\right)-\ln(n)}{p}}\\=\lim _{p\to \infty }{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\ln(x_{i})x_{i}^{p}}}{\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}}\\=\lim _{p\to \infty }{\frac {\ln(x_{1})x_{1}^{p}+\sum _{i=2}^{n}{\ln(x_{i})x_{i}^{p}}}{x_{1}^{p}+\sum _{i=2}^{n}{x_{i}^{p}}}}\\=\lim _{p\to \infty }{\frac {\ln(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\ln(x_{i})\overbrace {\left(x_{i}/x_{1}\right)^{p}} ^{\to 0}}}{1+\sum _{i=2}^{n}{\underbrace {\left(x_{i}/x_{1}\right)^{p}} _{\to 0}}}}\\=\ln(x_{1})\end{aligned}}} על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני הסעיפים מקבלים: lim p → ∞ M p ( x ¯ ) = M = x 1 {\displaystyle \lim _{p\to \infty }{M_{p}({\bar {x}})}=M=x_{1}} מש"ל. במקרה שבו p = 2 {\displaystyle p=2} מתקבל כי: M 2 ( x ¯ ) = ∑ i = 1 n x i 2 n {\displaystyle M_{2}({\bar {x}})={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2}}}{n}}}} זהו שורש ממוצע הריבועים. במקרה שבו p = 1 {\displaystyle p=1} מתקבל כי: M 1 ( x ¯ ) = ∑ i = 1 n x i n {\displaystyle M_{1}({\bar {x}})={\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}}{n}}} זהו הממוצע החשבוני. על אף שהממוצע המוכלל אינו מוגדר עבור p = 0 {\displaystyle p=0} , ניתן להוכיח כי lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = x 1 ⋯ x n n {\displaystyle \lim _{p\to 0}{M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}} , וזה הממוצע ההנדסי. על כן, טבעי להגדיר את הממוצע המוכלל ב- p = 0 {\displaystyle p=0} להיות הממוצע ההנדסי. מסמנים: M = lim p → 0 M p ( x ¯ ) = lim p → 0 ( ∑ i = 1 n x i p n ) 1 p {\displaystyle M=\lim _{p\to 0}{M_{p}({\bar {x}})}=\lim _{p\to 0}{\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}{n}}\right)^{\frac {1}{p}}}} מבצעים את פונקציית הלוגריתם על שני הסעיפים ומשתמשים בכלל לופיטל כדי לקבל: ln ⁡ ( M ) = lim p → 0 ln ⁡ ( ∑ i = 1 n x i p ) − ln ⁡ ( n ) p = lim p → 0 ∑ i = 1 n ln ⁡ ( x i ) x i p ∑ i = 1 n x i p = ∑ i = 1 n ln ⁡ ( x i ) ∑ i = 1 n 1 = ln ⁡ ( x 1 ⋯ x n n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\ln(M)=\lim _{p\to 0}{\frac {\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}\right)-\ln(n)}{p}}\\=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}{\ln(x_{i})x_{i}^{p}}}{\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{p}}}}\\={\frac {\sum _{i=1}^{n}{\ln(x_{i})}}{\sum _{i=1}^{n}{1}}}\\=\ln \left({\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}\right)\\\end{aligned}}} על ידי הפעלת פונקציית האקפוננט על שני הסעיפים מקבלים: lim p → 0 M p ( x 1 , … , x n ) = M = x 1 ⋯ x n n {\displaystyle \lim _{p\to 0}{M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}=M={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}} במקרה שבו p = − 1 {\displaystyle p=-1} מתקבל כי: M − 1 ( x ¯ ) = n ∑ i = 1 n 1 x i {\displaystyle M_{-1}({\bar {x}})={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}} זהו הממוצע ההרמוני. ניתן להוכיח כי lim p → − ∞ M p ( x ¯ ) = min ( x ¯ ) {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }{M_{p}({\bar {x}})}=\min({\bar {x}})} . כלומר, הממוצע המוכלל שואף לערך המינימלי ככל ש- p {\displaystyle p} שואף למינוס אינסוף. על כן נהוג להגדיר M − ∞ ( x ¯ ) := min ( x ¯ ) {\displaystyle M_{-\infty }({\bar {x}}):=\min({\bar {x}})} . ניתן להראות כי: lim p → − ∞ M p ( x 1 , … , x n ) = 1 lim p → ∞ M p ( 1 / x 1 , … , 1 / x n ) = 1 max ( 1 / x 1 , … , 1 / x n ) = min ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{p\to -\infty }{M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}={\frac {1}{\lim _{p\to \infty }{M_{p}(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}}\\={\frac {1}{\max(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}\\=\min(x_{1},\dots ,x_{n})\end{aligned}}} מש"ל. ממוצע מוכלל, באתר MathWorld (באנגלית) Eric W. Weisstein, Power Mean, mathworld.wolfram.com (באנגלית) P. S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities, Springer Science & Business Media, 2013-04-17, ISBN 978-94-017-0399-4. (באנגלית)