היטל למברט אזימוטלי משמר שטח

בקרטוגרפיה, היטל למברט אזימוטי משמר שטח (באנגלית: Lambert azimuthal equal-area projection) הוא מיפוי מסוים מהספירה לדיסק (כלומר לתחום התחום על ידי מעגל) מישורי. הוא מייצג נכונה את השטח בכל האזורים של הספירה, אבל אינו מייצג באופן מדויק זוויות (במינוח מתמטי, הוא אינו קונפורמי). הוא נקרא על שם המתמטיקאי השווייצרי יוהאן היינריך למברט, אשר גילה אותו ב-1772, ומאז ועד היום הוא נמצא בשימוש נרחב ביישומים קרטוגרפיים מסוימים. כדי להגדיר את היטל למברט האזימוטי, נדמיין מישור שמשיק לספירה בנקודה כלשהי S {\displaystyle S} על הספירה. תהי P {\displaystyle P} כל נקודה אחרת על הספירה חוץ מהאנטיפודה של S {\displaystyle S} . יהי d {\displaystyle d} המרחק בין S {\displaystyle S} ל- P {\displaystyle P} במרחב תלת-ממדי (לא המרחק לאורך משטח הספירה). אז ההיטל שולח את P {\displaystyle P} לנקודה P ′ {\displaystyle P'} במישור שהיא במרחק d {\displaystyle d} מ- S {\displaystyle S} . בניסוח מדויק יותר, ישנו מעגל יחידי שממורכז ב- S {\displaystyle S} , העובר דרך P {\displaystyle P} , ושניצב למישור למישור. הוא חותך את המישור בשתי נקודות; תהי P ′ {\displaystyle P'} הנקודה הקרובה יותר ל- P {\displaystyle P} . זאת הנקודה המוטלת (ראו איור). האנטיפודה של S {\displaystyle S} אינה נכללת בהיטל שכן המעגל הנדרש אינו יחידי. המקרה של S {\displaystyle S} הוא מנוון; S {\displaystyle S} מועתקת לעצמה, לאורך מעגל ברדיוס 0. נוסחאות מפורשות נדרשות כדי לבצע את ההטלה הזאת באמצעות מחשב. נתייחס להיטל שממורכז בנקודה S = ( 0 , 0 , − 1 ) {\displaystyle S=(0,0,-1)} על פני ספירת היחידה, שהיא אוסף הנקודות ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} במרחב תלת-ממדי R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} שמקיימות x 2 + y 2 + z 2 = 1 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} . במערכת צירים קרטזית ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} על הספירה ו- ( X , Y ) {\displaystyle (X,Y)} במישור, ההיטל והפונקציה ההופכית לו מתוארות על ידי הקשרים: ( X , Y ) = ( 2 1 − z x , 2 1 − z y ) ( x , y , z ) = ( 1 − X 2 + Y 2 4 X , 1 − X 2 + Y 2 4 Y , − 1 + X 2 + Y 2 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}y\right)\\(x,y,z)&=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right)\end{aligned}}} בקואורדינטות כדוריות ( φ , θ ) {\displaystyle (\varphi ,\theta )} על הספירה (כאשר φ {\displaystyle \varphi } זווית הגובה ו- θ {\displaystyle \theta } האזימוט) ובקואורדינטות גליליות ( R , Θ ) {\displaystyle (R,\Theta )} על הדיסק, ההעתקה וההופכית לה ניתנות על ידי: ( R , Θ ) = ( 2 cos ⁡ ( φ 2 ) , θ ) ( φ , θ ) = ( 2 arccos ⁡ ( R 2 ) , Θ ) {\displaystyle {\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right),\theta \right)\\(\varphi ,\theta )&=\left(2\arccos \left({\frac {R}{2}}\right),\Theta \right)\end{aligned}}} כאשר בנוסחאות האחרונות ניתן להשתמש כדי להוכיח ביתר קלות את תכונת שימור השטח של ההטלה. שים לב שההטלה יכולה להיות ממורכזת גם בנקודות אחרות, ולהיות מוגדרת על ספירות בעלות רדיוס גדול מ-1 (באמצעות נוסחאות דומות). כפי שהוגדר מקודם, היטל למברט אזימוטי אינו מוגדר ב- ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} . הוא שולח את שאר הספירה לדיסק פתוח ברדיוס 2 שמרכזו בראשית ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} במישור. הוא שולח את הנקודה ( 0 , 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,0,-1)} לנקודה ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} , את קו המשווה z = 0 {\displaystyle z=0} למעגל ברדיוס 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} שמרכזו ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} , ואת ההמיספירה התחתונה z < 0 {\displaystyle z<0} לדיסק הפתוח המוכל במעגל הזה. היטל למברט הוא דיפאומורפיזם (פונקציה חד-חד-ערכית ועל וגזירה אינסוף פעמים בכל הכיוונים) בין הספירה (ללא הנקודה ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle (0,0,1)} ) לדיסק הפתוח ברדיוס 2. זוהי העתקה משמרת-שטח, וניתן לראות זאת לפי חישוב אלמנט השטח על הספירה והדיסק. בקואורדינטות קרטזיות אלמנט השטח של הדיסק הוא: d A = d X d Y {\displaystyle dA=dX\,dY} פירוש הדבר הוא הוא שמדידת שטח של תחום על הספירה שקולה למדידת שטח של התחום המתאים בדיסק. מצד שני, ההיטל אינו משמר יחסים זוויתיים בין עקומים על הספירה. אף מיפוי בין חלק של הספירה למישור יכול לשמר גם זוויות וגם שטחים (אם היה קיים מיפוי כזה, אז הוא היה איזומטריה מקומית ולכן היה משמר את עקמומיות גאוס של הנקודות המתאימות; אולם לספירה ולמישור יש עקמומיות שונה, ולכן מיפוי כזה אינו בגדר האפשר). עובדה זאת, שצורות שטוחות אינן יכולות לייצג באופן מושלם אזורים של הספירה, היא הבעיה היסודית של הקרטוגרפיה. כתוצאה, אזורים על הספירה עשויים להיות מועתקים למישור עם עיוות גדול בצורות שלהם. העיוות הזה משמעותי במיוחד רחוק ממרכז ההיטל ( 0 , 0 , − 1 ) {\displaystyle (0,0,-1)} . לכן, משתמשים בדרך כלל בהיטל להמיספירה שמכילה את הנקודה הזאת; את ההמיספירה האחרת ניתן למפות בנפרד, באמצעות היטל שני שמרכזו בנקודה האנטיפודית. קרטוגרפיה