משפט בורסוק-אולם

בטופולוגיה, משפט בורסוק-אוּלַם הוא משפט מתמטי הקובע שכל פונקציה רציפה מהספירה ה-n ממדית למרחב האוקלידי ה-n ממדי מעתיקה שתי נקודות אנטיפודיות כלשהן לאותה נקודה. למשפט שימושים רבים בטופולוגיה ובתחומים אחרים, כגון בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב. הוכחה ראשונה של המשפט פורסמה ב-1933 על ידי המתמטיקאי הפולני קרול בורסוק. במאמרו ציין בורסוק שסטניסלב אולם שיער את המשפט. ישנן שתי דרכים נפוצות להמחיש את המשפט במקרה הדו-ממדי (n=2). דרך אחת היא לקחת כדור ים, להוציא ממנו את האוויר, למעוכו, לעוותו ולשטחו על הרצפה. משפט בורסוק-אולם קובע שהיו שתי נקודות מנוגדות זו לזו (אנטיפודיות) על הכדור המנופח שכעת נמצאות זו על גבי זו על הרצפה. דרך שנייה להמחיש את המשפט היא לומר שבכל רגע נתון יש על פני כדור הארץ שתי נקודות אנטיפודיות שיש בהן אותה טמפרטורה ואותו לחץ אוויר. זאת בהנחה שטמפרטורה ולחץ אוויר משתנים באופן רציף על פני הכדור. קל להשתכנע בנכונות המקרה האפס-ממדי והמקרה החד-ממדי. במקרה האפס-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה מהקבוצה { − 1 , 1 } {\displaystyle \{-1,1\}} לקבוצה { 0 } {\displaystyle \{0\}} מעבירה נקודות אנטיפודיות לאותה נקודה. במקרה הזה זה נכון באופן טריוויאלי גם ללא דרישת הרציפות. במקרה החד-ממדי המשפט טוען שפונקציה רציפה ממעגל (שאפשר להניח ללא הגבלת הכלליות שהוא מעגל היחידה) לישר הממשי מעתיקה זוג נקודות אנטיפודיות לאותו מספר. אם נניח בשלילה ש- f {\displaystyle f} היא פונקציה רציפה שסותרת את המשפט, אז לכל זוג נקודות אנטיפודיות x , − x {\displaystyle x,-x} מתקיים f ( x ) − f ( − x ) ≠ 0 {\displaystyle f(x)-f(-x)\neq 0} . לכן הפונקציה g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) | f ( x ) − f ( − x ) | {\displaystyle g(x)={\frac {f(x)-f(-x)}{|f(x)-f(-x)|}}} רציפה. אולם פונקציה זו יכולה לקבל רק את הערכים ± 1 {\displaystyle \pm 1} והיא מקבלת את שניהם בכל זוגות נקודות אנטיפודיות ( g ( − x ) = − g ( x ) {\displaystyle g(-x)=-g(x)} ), בסתירה למשפט ערך הביניים. למשפט בורסוק-אולם גרסאות רבות שכולן נכונות וכולן שקולות זו לזו. נביא כמה מהן: לכל f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} רציפה קיימת נקודה x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} כך ש- f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle f(x)=f(-x)} . לכל f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} אנטיפודית (ראו מסגרת בצד שמאל) קיימת נקודה x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} כך ש- f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . לא קיימת f : S n → S n − 1 {\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}} אנטיפודית. לא קיימת f : B n → S n − 1 {\displaystyle f:B^{n}\to S^{n-1}} אנטיפודית על השפה S n − 1 = ∂ B n {\displaystyle S^{n-1}=\partial B^{n}} . משפט לוסטרניק-שנירלמן: כל כיסוי של S n {\displaystyle S^{n}} באמצעות n+1 קבוצות שכל אחת מהן פתוחה או סגורה מכיל קבוצה אחת שיש בה זוג נקודות אנטיפודיות. נוכיח כי כל הגרסאות שקולות: (1) גורר את (2): תהי f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} פונקציה אנטיפודית. לפי (1) והאנטיפודיות קיימת נקודה x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} כך ש- f ( x ) = f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)} , ולכן f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . (2) גורר את (1): תהי f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} פונקציה רציפה. נגדיר g ( x ) = f ( x ) − f ( − x ) {\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)} . זוהי פונקציה אנטיפודית ולכן לפי (2) קיימת נקודה x ∈ S n {\displaystyle x\in S^{n}} כך ש- g ( x ) = 0 {\displaystyle g(x)=0} , כלומר f ( x ) = f ( − x ) {\displaystyle f(x)=f(-x)} . (2) גורר את (3): S n − 1 ⊆ R n {\displaystyle S^{n-1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}} , ולכן אם קיימת f : S n → S n − 1 {\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}} אנטיפודית, אז היא בפרט פונקציה אנטיפודית S n → R n {\displaystyle S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} שאינה מתאפסת, בסתירה ל-(2). (3) גורר את (2): נניח בשלילה ש- f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} אנטיפודית ולא מתאפסת. אז g ( x ) = f ( x ) / ‖ f ( x ) ‖ {\displaystyle g(x)=f(x)/\|f(x)\|} סותרת את (3). (3) גורר את (4): הפונקציה h ( x 0 , … , x n ) = ( x , 1 , … , x n ) {\displaystyle h(x_{0},\ldots ,x_{n})=(x,_{1},\ldots ,x_{n})} היא הומאומורפיזם של ההמיספירה הימנית של S n {\displaystyle S^{n}} על הכדור B n {\displaystyle B^{n}} ("שיטוח" של ההמיספירה על מישור). נניח בשלילה ש- f {\displaystyle f} מקיימת את (4). נגדיר: g : S n → S n − 1 {\displaystyle g:S^{n}\to S^{n-1}} כך: בהמיספירה הימנית g ( x ) = f ( h ( x ) ) {\displaystyle g(x)=f(h(x))} ובהמיספירה השמאלית g ( x ) = − f ( h ( − x ) ) {\displaystyle g(x)=-f(h(-x))} . הפונקציה מוגדרת היטב בחיתוך בין ההמיספרות ("קו המשווה") כי זהו שפת B n {\displaystyle B^{n}} שם f {\displaystyle f} אנטיפודית. g {\displaystyle g} סותרת את (3). (4) גורר את (3): נניח בשלילה ש- f {\displaystyle f} מקיימת את (3). אז g ( x ) = f ( h − 1 ( x ) ) {\displaystyle g(x)=f(h^{-1}(x))} סותרת את (4). שקילות עם (5): ראו בערך משפט לוסטרניק-שנירלמן. ידועות הוכחות רבות למשפט בורסוק-אולם. ההוכחה הסטנדרטית עושה שימוש בהומולוגיה. ידועות גם הוכחות קומבינטוריות, למשל באמצעות הלמה של טאקר השקולה למשפט בורסוק-אולם. נתאר כאן גישה הומולוגית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (3) שלו). נניח בשלילה כי f : S n → S n − 1 {\displaystyle f:S^{n}\to S^{n-1}} העתקה אנטיפודית. אם מזהים את המרחב הפרויקטיבי R P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}} כמרחב מנה של הספירה S n {\displaystyle S^{n}} על ידי זיהוי נקודות אנטיפודליות, זיהוי זה משרה העתקה f ¯ : R P n → R P n − 1 {\displaystyle {\bar {f}}:\mathbb {RP} ^{n}\to \mathbb {RP} ^{n-1}} . ניתן להראות כי ההעתקה f ¯ {\displaystyle {\bar {f}}} בתורה משרה איזומורפיזם של החבורות היסודיות המתאימות. ההומומורפיזם הוא זה המושרה מפנקטור החבורה היסודית, וניתן להראות כי הוא איזומורפיזם על ידי שימוש בכך שהחבורה היסודית של המרחב הפרויקטיבי נוצרת על ידי איבר יחיד, והעתקה זו מעבירה יוצר ליוצר. עבור המקרה n = 2 {\displaystyle n=2} ההוכחה מסתיימת כאן, כי ידוע π 1 ( R P 2 ) ≅ Z / 2 ≠ Z ≅ π 1 ( R P 1 ) {\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\right)\cong \mathbb {Z} /2\neq \mathbb {Z} \cong \pi _{1}\left(\mathbb {RP} ^{1}\right)} ולכן מתקבלת סתירה. עבור n > 2 {\displaystyle n>2} , ניתן להראות כי מושרה איזומורפיזם על חוגי הקוהומולוגיות של המרחבים הפרויקטיביים המתאימים. הסתירה מתקבלת על ידי שימוש בעובדה הלא-טריוויאלית כי המבנה החוגי של הקוהומולוגיה במקדמים מהשדה בעל שני האיברים F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} של המרחב הפרויקטיבי, הוא H ∗ ( R P n ; F 2 ) ≅ F 2 [ x ] / x n {\displaystyle H^{*}\left(\mathbb {RP} ^{n};\mathbb {F} _{2}\right)\cong \mathbb {F} _{2}\left[x\right]/x^{n}} . נתאר כאן גישה גאומטרית להוכחת משפט בורסוק-אולם (גרסה (2) שלו). תהי f : S n → R n {\displaystyle f:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} פונקציה אנטיפודית. תהי g : S n → R n {\displaystyle g:S^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} ההטלה צפון-דרום המוגדרת לפי g ( x 0 , … , x n ) = ( x 0 , … , x n − 1 ) {\displaystyle g(x_{0},\ldots ,x_{n})=(x_{0},\ldots ,x_{n-1})} . נסתכל על המרחב X = S n × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X=S^{n}\times [0,1]} - פני השטח של "גליל" שבסיסו הספירה S n {\displaystyle S^{n}} (גאומטרית, הוא משוכן במרחב R n + 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+2}} ). נגדיר פונקציה F : X → R n {\displaystyle F:X\to \mathbb {R} ^{n}} לפי F ( x , t ) = ( 1 − t ) f ( x ) + t g ( x ) {\displaystyle F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x)} . על בסיס הגליל F ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle F(x,0)=f(x)} . ככל שעולים במעלה הגליל F משתנה באופן ליניארי מ-f ל-g עד שבסיס העליון F ( x , 1 ) = g ( x ) {\displaystyle F(x,1)=g(x)} . מכיוון ש-f ו-g אנטיפודיות F מקיימת F ( − x , t ) = − F ( x , t ) {\displaystyle F(-x,t)=-F(x,t)} (כלומר היא אנטיפודית על כל חתך שמקביל לבסיס). נניח בשלילה ש-f לא מתאפסת. נחקור את הקבוצה F − 1 ( 0 ) {\displaystyle F^{-1}(0)} המורכבת מכל הנקודות ב-X שעוברות ל-0. אם f {\displaystyle f} מתנהגת "נחמד" מספיק, מצופה שהקבוצה הזו תורכב מעקומות (יריעות חד-ממדיות) המטיילות על פני הגליל (האפסים של F ( x , t ) {\displaystyle F(x,t)} מתווים קו רציף כש-t משתנה). העקומות הללו צריכות להיסגר על עצמן או שנקודות הקצה שלהן נמצאות על הבסיסים. ל- g {\displaystyle g} יש שני אפסים בדיוק: הקוטב הצפוני והדרומי: ( 0 , … , ± 1 ) {\displaystyle (0,\ldots ,\pm 1)} . ל-f אין אפסים כלל. לכן העקומה שיוצאת מהקוטב הצפוני של הבסיס העליון (שחייבת להסתיים בנקודת קצה אחרת על בסיס) חייבת להסתיים בקוטב הדרומי של הבסיס העליון. אולם F − 1 ( 0 ) {\displaystyle F^{-1}(0)} היא קבוצה סימטרית תחת אנטיפודיות ( ( x , t ) ∈ F − 1 ( 0 ) {\displaystyle (x,t)\in F^{-1}(0)} אם ורק אם ( − x , t ) ∈ F − 1 ( 0 ) {\displaystyle (-x,t)\in F^{-1}(0)} ), ולכן העקומה שמטיילת מהקוטב הצפוני לדרומי עושה זאת באופן סימטרי על פני הגליל, מה שבבירור לא ייתכן. כדי להשלים את ההוכחה לטיעון ריגורוזי יש להראות שכל פונקציה f ניתן לשנות קצת באופן שיהפוך אותה ל"נחמדה" בלי לייצר אפסים חדשים. מסקנה מיידית מהמשפט היא שהספירה ה-n-ממדית אינה הומאומרפית לתת-מרחב של המרחב האוקלידי ה-n ממדי. משפט נקודת השבת של בראואר, הקובע שלכל פונקציה רציפה f : B n → B n {\displaystyle f:B^{n}\to B^{n}} יש נקודת שבת, נובע בקלות ממשפט בורסוק-אולם. נניח בשלילה של- f {\displaystyle f} אין נקודת שבת. אז לכל x ∈ B n {\displaystyle x\in B^{n}} הקרן היוצאת מ- f ( x ) {\displaystyle f(x)} לכיוון x {\displaystyle x} מוגדרת היטב. נסמן ב- F ( x ) {\displaystyle F(x)} את הנקודה על שפת הכדור S n − 1 = ∂ B n {\displaystyle S^{n-1}=\partial B^{n}} דרכה עוברת הקרן. F : B n → S n − 1 {\displaystyle F:B^{n}\to S^{n-1}} היא העתקה רציפה ששומרת על איברי ∂ B n {\displaystyle \partial B^{n}} במקומם (רטרקט) ובפרט אנטיפודית על ∂ B n {\displaystyle \partial B^{n}} , בסתירה לגרסה (4) של משפט בורסוק-אולם. משפט נוסף הנובע ממשפט בורסוק-אולם הוא משפט הכריך (Ham sandwich theorem) הקובע כי ניתן לחצות n מסות במרחב ה-n ממדי לשני חצאים שווי מסה באמצעות על-מישור יחיד. משפט זה מאפשר לפתור את בעיית חלוקת השרשרת בקומבינטוריקה. ב-1978 הוכיח לסלו לובאס את השערת קנזר בתורת הגרפים באמצעות משפט בורסוק-אולם. הוכחה מפתיעה זו נחשבת להולדתו של תחום הקומבינטוריקה טופולוגית שמנצל כלים טופולוגיים לפתרון בעיות קומבינטוריות. Borsuk fixed-point theorem, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) משפט בורסוק-אולם, באתר MathWorld (באנגלית) Matoušek, Jiří (2003). Using the Borsuk–Ulam theorem. Berlin: Springer Verlag. doi:10.1007/978-3-540-76649-0. ISBN 3-540-00362-2