מספר סוריאליסטי

מספר סוריאליסטי הוא מבנה קומבינטורי המייצג משחק אסטרטגיה, שאותו ניתן לעיתים לפרש כמספר. המתמטיקאי האנגלי-אמריקאי ג'ון קונוויי המציא או גילה (כדבריו של קונוויי) את המספרים הסוריאליסטים בתחילת שנות ה-70 של המאה ה-20. הם הופיעו לראשונה בנובלה פרי עטו של דונלד קנות' שאף נתן להם את שמם. מאוחר יותר הופיעה התאוריה בספרו של קונוויי On Numbers and Games. המספרים הסוריאליסטים מהווים מערכת מספרים משוכללת, המכלילה במובנים רבים את מערכות המספרים המוכרות (כגון שדה המספרים הממשיים ואוסף המספרים הסודרים). השם Surreal number רומז לאופי הסוריאלסטי-משהו של הבנייה, ולכך שמספרים אלו ניצבים (במידת-מה) מעבר למספרים הממשיים (Real numbers). מערכת המספרים הסוריאליסטיים מאפשרת פיתוח של מערכות המספרים בדרך שונה מזו המקובלת במתמטיקה (והמוצגת בערך מערכות מספרים). בנוסף לכך, היא מהווה כלי תאורטי חשוב בניתוח משחקים, במסגרת תורת המשחקים הקומבינטורית. משחקי אסטרטגיה מופשטים הם משחקים שבהם יש שני צדדים (נאמר, L ו-R), המבצעים מהלכים לסירוגין, תוך ידיעה מלאה על מצב המשחק וללא השפעה של מזל. באופן המשחק המקובל, הצד שאינו יכול לבצע עוד מהלך חוקי, מפסיד. בין הדוגמאות למשחקים כאלה: דמקה, איקס עיגול ונים. קונוויי הבחין שבמשחקים מעין אלה, אין צורך לתאר את המהלכים שיכול לבצע כל שחקן (ובוודאי שלא את כללי המשחק או חוקיו) – די לתאר את המצבים שאליהם יכול כל שחקן להגיע בתורו. הפשטה זו מביאה להגדרה של משחק סוריאליסטי כזוג סדור, שכל אחד משני רכיביו הוא קבוצה של משחקים סוריאליסטיים (ומכאן ואילך, משחקים סתם): ברכיב השמאלי מופיעים המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן L, וברכיב הימני המשחקים שאליהם יכול להגיע בתור אחד השחקן R. מקובל לסמן את הקבוצות בין סוגריים מסולסלים, ולהפריד אותן בקו ניצב:   { a , b , c , … | x , y , z , … } {\displaystyle \ \{a,b,c,\ldots |x,y,z,\ldots \}} . הגדרה זו נדמית מעגלית, אך היא מייצגת מבנה אינדוקטיבי, וניתן בנקל להפוך אותה להגדרה באינדוקציה טרנספיניטית. לדוגמה, המשחק   { | } {\displaystyle \ \{|\}} מציין משחק נטול מהלכים (ומקיים את ההגדרה באופן ריק): כל שחקן שתורו לנוע, יפסיד. נסמן (כמקובל) את המשחק הזה ב-0. במשחק   { | 0 } {\displaystyle \ \{|0\}} יש לצד R מהלך יחיד, המעביר את המשחק ל-0, ואילו לצד L אין מהלכים כלל. אם תורו של L, הוא מפסיד; ואם תורו של R, אז הוא בוחר (בלית ברירה) לעבור ל-0, ואז עובר התור לרשותו של L, המפסיד מיד. משחק זה מבטיח ניצחון לצד R והפסד לצד L. באופן דומה, המשחק   { 0 | } {\displaystyle \ \{0|\}} מבטיח ניצחון לצד L, ואילו המשחק   { 0 | 0 } {\displaystyle \ \{0|0\}} מבטיח ניצחון לשחקן הראשון (R או L). ישנם משחקים שאפשר להתאים להם ערך מספרי, האמור לייצג את "ערך המשחק" עבור השחקן L. לדוגמה,   { 0 | } {\displaystyle \ \{0|\}} הוא משחק בעל ערך 1, ו-   { 0 , { 0 | } | } , { { 0 | } | } {\displaystyle \ \{0,\{0|\}|\},\{\{0|\}|\}} שניהם בעלי ערך 2. הערך מותאם באופן כזה שאם R יכול להשוות בין המהלכים השונים האפשריים בתורו, הוא יעדיף לבחור בזה שהערך שלו הוא הנמוך ביותר, בעוד ש- L יעדיף תמיד מהלכים בהם הערך הוא הגבוה ביותר. בתנאים אלה, ההיגיון מחייב שערכו של משחק נמוך מכל הערכים שאליהם יכול R להוביל, וגבוה מכל הערכים שאליהם יכול L להוביל. ואכן, כך מוגדר מספר סוריאליסטי: משחק סוריאליסטי הוא מספר, אם כל המצבים שלו הם מספרים, וכל המצבים בימין גדולים מכל המצבים בשמאל. למשל, המשחקים בעלי ערך 2 מתאימים למספר 2, בעוד שהמשחק   { 0 | 0 } {\displaystyle \ \{0|0\}} (שבו השני מנצח) אינו בעל ערך מספרי. לצורך כך מוגדר יחס הסדר בין משחקים באופן הרקורסיבי הבא:   x ≤ y {\displaystyle \ x\leq y} אם לא קיים רכיב שמאלי   x L {\displaystyle \ x^{L}} (כלומר איבר של הצד השמאלי של x) כך ש-   y ≤ x L {\displaystyle \ y\leq x^{L}} , ולא קיים רכיב ימני   y R {\displaystyle \ y^{R}} כך ש-   y R ≤ x {\displaystyle \ y^{R}\leq x} . אם   x ≤ y {\displaystyle \ x\leq y} ו-   y ≤ x {\displaystyle \ y\leq x} אומרים שהמשחקים שווים (אף על פי שהם עשויים להיות שונים זה מזה כזוגות של קבוצות). על אוסף המספרים הסוריאליסטיים אפשר להגדיר באופן רקורסיבי פעולות של חיבור וכפל, ההופכות אותו לשדה סדור (שאינו ארכימדי). החיבור מוגדר לפי x + y = { x L + y , x + y L | x R + y , x + y R } {\displaystyle x+y=\{x^{L}+y,x+y^{L}|x^{R}+y,x+y^{R}\}} , לכל   x L , x R {\displaystyle \ x^{L},x^{R}} רכיבים שמאליים וימניים של x בהתאמה, וכן ל-y. כדוגמה, נוכיח שמתקיים x + 0 = x {\displaystyle x+0=x} : נניח שהתכונה מתקיימת לכל הרכיבים השמאליים והימניים של x, ונקבל: ל0 אין רכיבים ימניים ולא שמאליים, לכן הרכיבים השמאליים של x + 0 {\displaystyle x+0} הם x L + 0 = x L {\displaystyle x^{L}+0=x^{L}} , והרכיבים הימניים הם x R + 0 = x R {\displaystyle x^{R}+0=x^{R}} . קיבלנו x + 0 = { x L | x R } = x {\displaystyle x+0=\{x^{L}|x^{R}\}=x} . הכפל מוגדר לפי x y = { x L y + x y L − x L y L , x R y + x y R − x R y R | x L y + x y R − x L y R , x R y + x y L − x R y L } {\displaystyle xy=\{x^{L}y+xy^{L}-x^{L}y^{L},x^{R}y+xy^{R}-x^{R}y^{R}|x^{L}y+xy^{R}-x^{L}y^{R},x^{R}y+xy^{L}-x^{R}y^{L}\}} . כדוגמה, נוכיח שמתקיים x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0} : ל0 אין רכיבים ימניים ולא שמאליים, לכן הביטוי x L y + x y L − x L y L {\displaystyle x^{L}y+xy^{L}-x^{L}y^{L}} לא קיים (בשל אי קיומו של y L {\displaystyle y^{L}} ), וכן לגבי שאר הביטויים המופיעים בהגדרת x ⋅ 0 {\displaystyle x\cdot 0} . לכן x ⋅ 0 = { | } = 0 {\displaystyle x\cdot 0=\{|\}=0} . השדה מכיל מספרים כגון   ω = { 1 , 2 , 3 , … | } {\displaystyle \ \omega =\{1,2,3,\dots |\}} , אבל גם   ω 2 = { 0 , 1 , 2 , ⋯ | ω , ω − 1 , ω − 2 , ⋯ } {\displaystyle \ {\frac {\omega }{2}}=\{0,1,2,\cdots |\omega ,\omega -1,\omega -2,\cdots \}} ואף   ω = { 0 , 1 , 2 , ⋯ | ω , ω 2 , ω 4 , ⋯ } {\displaystyle \ {\sqrt {\omega }}=\{0,1,2,\cdots |\omega ,{\frac {\omega }{2}},{\frac {\omega }{4}},\cdots \}} . האוסף של כל המספרים הסוריאליסטיים גדול כל כך, עד שאינו מהווה קבוצה, אלא מחלקה (כך לפי הפרדוקס של בורלי-פורטי, משום שכל מספר סודר הוא מספר סוריאליסטי). האוסף הזה הוא "שדה סדור אוניברסלי": כל שדה סדור ניתן לשיכון (יחיד) בתוכו. J.H. Conway, "On Numbers and Games", 1976. Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, and Richard K. Guy, "Winning Ways for your Mathematical Plays", Academic Press, 1982 (אנ') E.N. Siegel, "Combinatorial Game Theory", Springer, 2013. מערכות מספרים מדיה וקבצים בנושא מספר סוריאליסטי בוויקישיתוף מספר סוריאליסטי, באתר MathWorld (באנגלית)