מטריקת שוורצשילד

במסגרת תורת היחסות הכללית מטריקת שוורצשילד היא פתרון של משוואות השדה של איינשטיין המתארות את שדה הכבידה של התפלגות חומר, המעמיד תיאור של שדה הכבידה מחוץ להתפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית. כמו כן, פתרון זה משמש לתיאור שדה הכבידה בתוך חורים שחורים נטולי מטען חשמלי ותנע זוויתי. פתרון זה פורסם בשנת 1916 על ידי הפיזיקאי היהודי-גרמני, קרל שוורצשילד, והיה לפתרון המדויק הראשון למשוואות השדה של איינשטיין. בקואורדינטות שוורצשילד, האינטרוול d s 2 {\displaystyle ds^{2}} עבור מטריקת שוורצשילד הוא: d s 2 = − ( 1 − 2 m G r c 2 ) d t 2 + d r 2 1 − 2 m G r c 2 + r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-(1-{\frac {2mG}{rc^{2}}})dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {2mG}{rc^{2}}}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} כאשר: c היא מהירות האור. m היא מסת המקור. G קבוע הכבידה. הקואורדינטה t מייצגת את הזמן שנמדד על ידי שעון הנמצא במרחק אינסופי מהמקור, בתחום בו המרחב-זמן בקירוב שטוח. הקואורדינטה r מייצגת את מנת היקפו של כדור שהמקור במרכזו עם 2 π {\displaystyle 2\pi } (קואורדינטה זו אינה מייצגת את המרחק מהראשית). הקואורדינטה θ {\displaystyle \theta } מייצגת את הזווית שבין הווקטור לציר z (בדומה לקו רוחב), כאשר בזווית אפס הווקטור פונה כלפי מעלה. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 לפאי ביחידות של רדיאנים. הקואורדינטה ϕ {\displaystyle \phi } היא זווית אזימוטלית: היא מייצגת את הזווית שבין ההיטל של הווקטור על מישור x-y לבין ציר x. קואורדינטה זו יכולה לקבל כל ערך בין 0 ל- 2 π {\displaystyle 2\pi } ביחידות של רדיאנים. בשנת 1916, מעט יותר מחודש לאחר שפרסם אלברט איינשטיין את תורת היחסות הכללית, פרסם קרל שוורצשילד את מאמר בו מתואר פתרון מדויק שהוא מצא, בעודו משרת בצבא הגרמני בעת מלחמת העולם הראשונה. היה זה הפתרון המדויק הראשון למשוואות השדה של איינשטיין והוא היווה פריצת דרך משמעותית בהבנה של מושגי יסוד בתורת היחסות הכללית, כפי שהיא מוכרת כיום. זמן קצר לאחר פרסום מאמר זה, הלך קרל שוורצשילד לעולמו. נדרשה תקופה ממושכת על-מנת להפיג את הבלבול שהתעורר בעקבות גילוי נקודות הסינגולריות במטריקת שוורצשילד ובפתרונות שנמצאו לאחר מכן למשוואות איינשטיין. אמנם במהרה הובן כי הסינגולריות ב- r = 0 {\displaystyle r=0} היא אכן סינגולריות של עקמומיות, אך נדרש מאמץ רב להתהוות ההבנה כי הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד, r s = 2 m G c 2 {\displaystyle r_{s}={\frac {2mG}{c^{2}}}} , היא סינגולריות קואורדינטית שניתנת להסרה על ידי החלפת מערכת קואורדינטות, וכי משטח זה מהווה אופק אירועים של חור-שחור. בשנת 1924, מצא ארתור אדינגטון טרנספורמציית קואורדינטות מקואורדינטות שוורצשילד לקואורדינטות אדינגטון-פינקלשטיין אשר הראתה שמקור הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד הוא בבחירת מערכת הקואורדינטות. בשנת 1939, הראה הווארד פרסי רוברטסון שצופה בנפילה חופשית במטריקת שוורצשילד יחצה את רדיוס שוורצשילד בזמן עצמי סופי, אף-על-פי שיידרש זמן אינסופי כפי שנמדד על ידי הקואורדינטה t. בשנת 1950, הציג ג'ון לייטון סינג' את ההמשכה האנליטית המקסימלית של מטריקת שוורצשילד ובכך הראה שוב את הרגולריות של רדיוס שוורצשילד ואת העובדה שרדיוס זה מהווה את אופק האירועים של חור-שחור. עשור אחריו, בשנת 1960, הגיע מרטין קרוסקל לתוצאה דומה. בשנות ה-60 של המאה ה-20, התבסס השימוש בכלים של גאומטריה דיפרנציאלית בתורת היחסות הכללית, ובעקבות כך זוקקה באופן סופי ההבנה כי רדיוס שוורצשילד אינו מהווה נקודה סינגולרית פיזיקלית, אלא אופק אירועים של חור-שחור. מכאן והלאה, לשם הקיצור, המשוואות מוצגות ביחידות טבעיות, בהן c = G = 1 {\displaystyle c=G=1} . תורת היחסות הכללית של איינשטיין מתארת את שדה הכבידה שנוצר כתוצאה מהתפלגות חומר וכיצד שדה הכבידה הזה משפיע על תנועת החומר וחוזר חלילה. במסגרת התורה, שדה הכבידה אינו כוח פיזיקלי כשאר הכוחות, אלא הוא מבוטא על ידי עקמומיות ביריעת המרחב-זמן. תנועת חלקיקים במרחב-זמן עקום בהיעדר כוחות חיצוניים (למשל כוחות אלקטרומגנטיים) היא לאורך גאודזיות, שהן הכללת מושג הקו הישר ליריעה בעלת עקמומיות. התפלגות התוכן החומרי, אשר מבוטאת באמצעות טנזור תנע-אנרגיה, מכתיבה את הגאומטריה של המרחב-זמן דרך משוואות השדה של איינשטיין, שבצורה קומפקטית ניתנות לרישום באופן הבא: (1) G μ ν = 8 π T μ ν {\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }} באגף שמאל נמצא טנזור איינשטיין ובאגף ימין טנזור התנע-אנרגיה מוכפל בקבוע. בריק, משוואות איינשטיין מצטמצמות למערכת המשוואות הסגורה: R μ ν = 0 {\displaystyle R_{\mu \nu }=0} , כאשר R μ ν {\displaystyle R_{\mu \nu }} הוא טנזור ריצ'י. בנוכחות חומר, לעומת זאת, משוואות השדה של איינשטיין אינן מהוות מערכת סגורה, ולשם הסגירות נחוצות גם משוואות החומר המתאימות, למשל, משוואות מקסוול בנוכחות שדות אלקטרומגנטיים או משוואת קליין-גורדון בנוכחות שדה סקלרי. בשנת 1916, חודש לאחר פרסום משוואות השדה של איינשטיין, פרסם קרל שוורצשילד את הפתרון המדויק למשוואות השדה של איינשטיין בסימטריה כדורית בריק. שדה כבידה בעל סימטריה כדורית מתקבל כתוצאה מכל התפלגות חומר בעלת סימטריה כדורית ושתנועתו שומרת על הסימטריה. למשל, ניתן לחשוב על כדור סטטי או כוכב בעל תנועות פעימה כדוריות. תוך שימוש בקואורדינטות הכדוריות ( r , θ , ϕ ) {\displaystyle (r,\theta ,\phi )} , האינטרוול הכללי ביותר שמתאים למקרה של סימטריה כדורית היא: (2) d s 2 = g T T d T 2 + g R R d R 2 + g R , T d R d T + r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=g_{TT}dT^{2}+g_{RR}dR^{2}+g_{R,T}dRdT+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} מהשרירותיות בבחירת מערכת קואורדינטות בתורת היחסות הכללית נובע כי ניתן לבצע כל טרנספורמציית קואורדינטות שתשמר את הסימטריה הכדורית. נוח להשתמש בבחירה של הילברט ולעבור לקואורדינטות חדשות t = t ( T , R ) {\displaystyle t=t(T,R)} ו- r 1 ( R , T ) {\displaystyle r_{1}(R,T)} , כך ש- r 1 ( R , T ) = r {\displaystyle r_{1}(R,T)=r} ו- g r t = 0 {\displaystyle g_{rt}=0} . בדרישה זו הותרנו חופש כיול שיורי לטרנספורמציות t ↦ T ( t ) {\displaystyle t\mapsto \mathrm {T} (t)} , מכיוון שהתאפסות g r t {\displaystyle g_{rt}} גוררת את התאפסות g r T {\displaystyle g_{r\mathrm {T} }} על ידי משוואות הטרנספורמציה g r T = g r t T , t {\displaystyle g_{r\mathrm {T} }=g_{rt}\mathrm {T} _{,t}} . האינטרוול המתקבל הוא: (3) d s 2 = g t t ( r , t ) d t 2 + g r r ( r , t ) d r 2 + r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=g_{tt}(r,t)dt^{2}+g_{rr}(r,t)dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} נבחר להניח כי g r r > 0 {\displaystyle g_{rr}>0} ו- g t t < 0 {\displaystyle g_{tt}<0} , כלומר ש- r {\displaystyle r} הוא קואורדינטה מרחבית ו- t {\displaystyle t} קואורדינטה זמנית. תחת הנחה זו, נוח לסמן: g r r = e λ {\displaystyle g_{rr}=e^{\lambda }} ו- g t t = − e ν {\displaystyle g_{tt}=-e^{\nu }} כאשר λ {\displaystyle \lambda } ו- ν {\displaystyle \nu } הן פונקציות כלשהן של r {\displaystyle r} ו- t {\displaystyle t} . הביטוי הבא לאינטרוול מתקבל: (4) d s 2 = − e ν d t 2 + e λ d r 2 + r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-e^{\nu }dt^{2}+e^{\lambda }dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} עבור המטריקה המתאימה לאינטרוול זה, משוואות השדה של איינשטיין בריק הן: (5) e − λ ( r ν r + 1 ) − 1 = 0 {\displaystyle e^{-\lambda }(r\nu _{r}+1)-1=0} (6) e − λ ( 1 − r λ r ) − 1 = 0 {\displaystyle e^{-\lambda }(1-r\lambda _{r})-1=0} (7) e − λ λ ˙ = 0 {\displaystyle e^{-\lambda }{\dot {\lambda }}=0} (8) e − λ ( ν r r + ν r 2 2 + ν r − λ r r − λ r ν r 2 ) − e − ν ( λ t t + λ t 2 2 − λ t ν t 2 ) = 0 {\displaystyle e^{-\lambda }(\nu _{rr}+{\nu _{r}^{2} \over 2}+{\nu _{r}-\lambda _{r} \over r}-{\lambda _{r}\nu _{r} \over 2})-e^{-\nu }(\lambda _{tt}+{\lambda _{t}^{2} \over 2}-{\lambda _{t}\nu _{t} \over 2})=0} משוואה (8) נובעת ממשוואות (5) ו-(6). ממשוואה (7) ניתן להסיק מיידית כי λ = λ ( r ) {\displaystyle \lambda =\lambda (r)} . נחסר את משוואה (6) ממשוואה (5) ונקבל: e − λ r ( ν r + λ r ) = 0 {\displaystyle e^{-\lambda }r(\nu _{r}+\lambda _{r})=0} , כלומר ( ν + λ ) r = 0 {\displaystyle (\nu +\lambda )_{r}=0} , על-כן: ν = f ( t ) − λ ( r ) {\displaystyle \nu =f(t)-\lambda (r)} כאשר f {\displaystyle f} היא פונקציה של t {\displaystyle t} בלבד. כזכור, נותר עוד חופש כיול שיורי, על-כן נבצע טרנספורמציה t ↦ T ( t ) {\displaystyle t\mapsto \mathrm {T} (t)} שמקיימת את התנאי: d T d t = e 1 2 f ( t ) {\displaystyle {d\mathrm {T} \over dt}=e^{{1 \over 2}f(t)}} ונקבל: e ν = g T T = g t t ( d t d T ) 2 = e ν ( e − 1 2 f ( t ) ) 2 = e f ( t ) − λ ( r ) e f ( t ) = e − λ ( r ) {\displaystyle e^{\nu }=g_{\mathrm {T} \mathrm {T} }=g_{tt}({dt \over d\mathrm {T} })^{2}=e^{\nu }(e^{-{1 \over 2}f(t)})^{2}=e^{f(t)-\lambda (r)}e^{f(t)}=e^{-\lambda (r)}} כלומר קיבלנו ν = − λ ( r ) {\displaystyle \nu =-\lambda (r)} . נציב תוצאה זו במשוואה (5) ונקבל: e − λ ( 1 − r λ r ) = 1 {\displaystyle e^{-\lambda }(1-r\lambda _{r})=1} , כלומר ( r e − λ ) r = 1 {\displaystyle (re^{-\lambda })_{r}=1} , לכן e ν = e − λ = 1 + c o n s t a n t r {\displaystyle e^{\nu }=e^{-\lambda }=1+{constant \over r}} . מטריקה זו מתאפיינת בשטיחות אסימפטוטית, כלומר הרחק ממקור הכבידה המטריקה מתכנסת למטריקה הגלילאית השטוחה. lim r → ∞ e λ = 1 , lim r → ∞ ( − e ν ) = − 1 {\displaystyle \lim _{r\to \infty }e^{\lambda }=1,\lim _{r\to \infty }(-e^{\nu })=-1} . מהשוואה עם הגבול הניוטוני, היינו מהדרישה לקיום משטר ניוטוני בשדה חלש בו g t t = − ( 1 − 2 ϕ ) , ϕ = − m r {\displaystyle g_{tt}=-(1-2\phi ),\phi =-{m \over r}} כאשר m {\displaystyle m} היא המסה הכוללת של מקורות הכבידה, נקבל את ערך הקבוע c o n s t a n t = 2 m ≡ r s {\displaystyle \mathrm {constant} =2m\equiv r_{s}} אשר מכונה רדיוס שוורצשילד. האינטרוול המתקבל (ביחידות גאומטריות, כזכור) הוא: (9) d s 2 = − ( 1 − 2 m r ) d t 2 + d r 2 ( 1 − 2 m r ) + r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-(1-{2m \over r})dt^{2}+{dr^{2} \over (1-{2m \over r})}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} קיבלנו משפחה חד-פרמטרית של פתרונות עם פרמטר m {\displaystyle m} , פתרונות אלו הם סטטיים ומתאפיינים בשטיחות אסימפטוטית. זוהי מטריקת שוורצשילד מבוטאת בקואורדינטות שוורצשילד. בשנת 1923 הוכיח המתמטיקאי האמריקני, ג'ורג' דייוויד בירקהוף, משפט יחידות לפיו בהינתן גאומטריה של תחום כלשהו במרחב-זמן בעלת סימטריה כדורית ומהווה פתרון למשוואות השדה של איינשטיין בריק, אזי גאומטריה זו היא פיסה מגאומטריית שוורצשילד. משפט זה מוכר כמשפט בירקהוף (Birkhoff). השדה החיצוני של כל כוכב כדורי נייטרלי חשמלית, בין אם הוא סטטי, פועם או קורס, מקיים את תנאי משפט בירקהוף, על-כן, השדה החיצוני מהווה פיסה מגאומטריית שוורצשילד. כוכב בעל סימטריה כדורית שפועם אינו פולט גלי כבידה, מכיוון שהפתרון הוא סטטי. עובדה זו היא ביטוי למשפט בירקהוף. דבר דומה מתרחש באלקטרודינמיקה, שם מטען פועם בעל סימטריה כדורית אינו פולט גלים אלקטרומגנטיים, שכן משוואות מקסוול אוסרות על קרינת מונופול. במקרה של כוכב בקריסה כבידתית, פני השטח שלו נעים במסלול של ערכי r {\displaystyle r} שהולכים וקטנים, עד אשר הם חוצים את רדיוס שוורצשילד. חציית רדיוס שוורצשילד וכניסה לתחומים בהם r < 2 m {\displaystyle r<2m} היא תהליך בלתי הפיך שמוביל לנפילת החומר אל עבר הסינגולריות ובכך נוצר חור שחור. בבואנו לחקור את תנועתם של חלקיקים בגאומטריית שוורצשילד, בדומה לגאומטריות אחרות, ניטיב אם נתבונן תחילה בסימטריות הקיימות. מהתבוננות באינטרוול d s 2 {\displaystyle ds^{2}} של פתרון שוורצשילד, ניתן להיווכח כי המטריקה בלתי תלויה בקואורדינטות t {\displaystyle t} ו- ϕ {\displaystyle \phi } . קואורדינטה x K {\displaystyle x^{K}} שמקיימת g μ ν , K = 0 {\displaystyle g_{\mu \nu ,K}=0} נקראת קואורדינטה ציקלית. קואורדינטה זו מגדירה שדה קילינג על ידי ξ μ = δ K μ {\displaystyle \xi ^{\mu }=\delta _{K}^{\mu }} . תנועה לאורך גאודזיה כלשהי משמרת את המכפלה הפנימית של הווקטור המשיק לגאודזיה עם וקטור קילינג, כלומר: (10) p K = p ⋅ ξ = c o n s t a n t {\displaystyle p_{K}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\xi } =\mathrm {constant} } כאשר p K {\displaystyle p_{K}} הוא התנע הצמוד לקואורדינטה x K {\displaystyle x^{K}} והוא גודל נשמר. במקרה של שוורצשילד, הגדלים הנשמרים הם: p t = − m u t ≡ e {\displaystyle p_{t}=-mu_{t}\equiv e} ו- p ϕ = m u ϕ ≡ l {\displaystyle p_{\phi }=mu_{\phi }\equiv l} . הגודל הראשון הוא האנרגיה, מכיוון שבתחומי שדה חלש, מטריקת שוורצשילד מתכנסת למטריקת מינקובסקי, שם: (11) e = γ m c 2 = γ m = m u t = m g t t u t = − m u t {\displaystyle e=\gamma mc^{2}=\gamma m=mu^{t}=mg^{tt}u_{t}=-mu_{t}} . באופן דומה, הגודל השני הוא התנע-הזוויתי. מעקרון השקילות, ידוע כי חלקיקי בחן נעים לאורך קווי עולם זהים, ללא תלות במסה שלהם, על-כן טבעי יותר לעבוד עם הגדלים הבאים: (12) E = e m {\displaystyle E={e \over m}} - אנרגיה ליחידת מסה (13) L = l m {\displaystyle L={l \over m}} - תנע-זוויתי ליחידת מסה כעת נוכל בעזרת דרישת הנרמול g μ ν u μ u ν = − 1 {\displaystyle g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=-1} לקבל את המשוואה הרדיאלית: − 1 = g μ ν u μ u ν = g t t u t 2 + g r r r ˙ 2 + g ϕ ϕ u ϕ 2 = g t t E 2 + g r r r ˙ 2 + g ϕ ϕ L 2 = 1 1 − 2 m r ( r ˙ 2 − E 2 ) + L 2 r 2 {\displaystyle -1=g_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=g^{tt}u_{t}^{2}+g_{rr}{\dot {r}}^{2}+g^{\phi \phi }u_{\phi }^{2}=g^{tt}E^{2}+g_{rr}{\dot {r}}^{2}+g^{\phi \phi }L^{2}={1 \over 1-{2m \over r}}({\dot {r}}^{2}-E^{2})+{L^{2} \over r^{2}}} לכן המשוואה הרדיאלית היא: r ˙ 2 = E 2 − U e f f e c t i v e {\displaystyle {\dot {r}}^{2}=E^{2}-U_{\mathrm {effective} }} כאשר הפוטנציאל האפקטיבי הוא U e f f e c t i v e ( r ) = ( 1 − 2 m r ) ( 1 + L 2 r 2 ) {\displaystyle U_{\mathrm {effective} }(r)=(1-{2m \over r})(1+{L^{2} \over r^{2}})} . נפתח את הסוגריים בביטוי לפוטניאל האפקטיבי ונקבל: U e f f e c t i v e ( r ) = 1 − 2 m r + L 2 r 2 − 2 m L 2 r 3 {\displaystyle U_{\mathrm {effective} }(r)=1-{2m \over r}+{L^{2} \over r^{2}}-{\color {Red}{2mL^{2} \over r^{3}}}} , כאשר האיבר האחרון המופיע באדום אינו מופיע בתורה הניוטונית. הבדל זה מוביל לכך שבשונה מהתורה הניוטונית בה ישנו מסלול מעגלי יציב בלבד, בפתרון שוורצשילד קיים בנוסף גם מסלול מעגלי בלתי-יציב. כמו כן, חלקיק בעל תנע-זוויתי כלשהו, יכול עבור אנרגיה מספיק גדולה להגיע ל- r = 0 {\displaystyle r=0} . בנוסף, ישנה נקיפה של מסלולים אליפטיים, כפי שהודגם עבור כוכב חמה. כאשר אנו עוסקים בגאודזיות דמויות-אור, במקום זמן-עצמי ישנו פרמטר אפיני λ {\displaystyle \lambda } , כלומר מסלול הפוטון מתואר על ידי: x α = x α ( λ ) {\displaystyle x^{\alpha }=x^{\alpha }(\lambda )} . הווקטור המשיק למסלול זה הוא: k α = d x α d λ {\displaystyle k^{\alpha }={dx^{\alpha } \over d\lambda }} . נורמת וקטור דמוי-אור היא אפס, כלומר מתקיים: g μ ν k μ k ν = 0 {\displaystyle g_{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=0} . כעת הגדלים הנשמרים, היינו התנעים הצמודים, הם: k ϕ = L , k t = E {\displaystyle k_{\phi }=L,k_{t}=E} . באופן דומה לפיתוח עבור גאודזיות דמויות-זמן נקבל את המשוואה הרדיאלית מדרישת הנרמול: 0 = g μ ν k μ k ν = g r r r ˙ 2 + g t t E 2 + g ϕ ϕ L 2 = 1 1 − 2 m r ( r ˙ 2 − E 2 ) + L 2 r 2 {\displaystyle 0=g_{\mu \nu }k^{\mu }k^{\nu }=g_{rr}{\dot {r}}^{2}+g^{tt}E^{2}+g^{\phi \phi }L^{2}={1 \over 1-{2m \over r}}({\dot {r}}^{2}-E^{2})+{L^{2} \over r^{2}}} לכן המשוואה הרדיאלית היא: r ˙ 2 = E 2 − U e f f e c t i v e ( r ) {\displaystyle {\dot {r}}^{2}=E^{2}-U_{\mathrm {effective} }(r)} כאשר U e f f e c t i v e = ( 1 − 2 m r ) L 2 r 2 {\displaystyle U_{\mathrm {effective} }=(1-{2m \over r}){L^{2} \over r^{2}}} . שוב נקבל דיאגרמת אנרגיה שממנה ניתן ללמוד שלפוטון קיים מסלול מעגלי בלתי יציב ב- r = 3 m {\displaystyle r=3m} . מהתבוננות באינטרוול שקיבלנו בפתרון שוורצשילד: d s 2 = − ( 1 − 2 m r ) d t 2 + d r 2 ( 1 − 2 m r ) + r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d ϕ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=-(1-{2m \over r})dt^{2}+{dr^{2} \over (1-{2m \over r})}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})} ניתן להיווכח כי ישנם שני ערכי r {\displaystyle r} עבורם המטריקה סינגולרית: ב- r = 0 {\displaystyle r=0} וב- r = 2 m {\displaystyle r=2m} , כלומר רדיוס שוורצשילד. די מהר נתחוור כי הסינגולריות ב- r = 0 {\displaystyle r=0} היא סינגולריות של עקמומיות. אולם נדרש זמן רב על-מנת לעמוד על טיבה של הסינגולריות ברדיוס שוורצשילד. התברר שבבחירה מתאימה של מערכת קואורדינטות חדשה, המטריקה המתקבלת רגולרית ברדיוס שוורצשילד. הרגולריזציה של האופק, אדינגטון-פינקלשטיין, קרוסקל-זקרס. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. דיאגרמת פנרוז, הקרויה על-שם הפיזיקאי והמתמטיקאי הבריטי, רוג'ר פנרוז, היא הצגה קונפורמית דו-ממדית של המרחב-זמן. היא משמרת את המבנה הסיבתי של המרחב-זמן ומבצעת קומפקטיפיקציה כך שהמרחב-זמן האינסופי ממופה לתחום הסופי של הדיאגרמה. דיאגרמת פנרוז עבור מרחב-זמן שוורצשילד מתקבלת באופן פשוט מדיאגרמת קרוסקל. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. פתרון רייזנר-נורדסטרום פתרון קר-ניומן Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. (1970). Gravitation. W.H. Freeman. Chapters 31 and 32. ISBN 0-7167-0344-0 Stehphen Hawking and George Ellis, "The Large-Scale Structure of Spactime Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1951). The Classical Theory of Fields. Course of Theoretical Physics 2 (4th Revised English ed.). Pergamon Press. Chapter 12. ISBN 0-08-025072-6 Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons. Chapter 8. ISBN 0-471-92567-5 סיכומי הרצאות על של שון קרול בנושא פתרון שוורצשילד וחורים שחורים, באתר של קרול (Sean M. Carroll)