הפרדת משתנים

הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון. משוואה שניתן לפתור בדרך זו, נקראת משוואה דיפרנציאלית פרידה או בת-הפרדה. לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך זו שיטה מרכזית ונפוצה לפתרון משוואות דיפרנציאליות, הן רגילות והן חלקיות. הוכחת הפתרון של משוואה דיפרנציאלית ליניארית, מתבססת על הפרדת משתנים. משוואות ליניאריות הן הבסיס לפתרון של משוואות דיפרנציאליות מסדרים גבוהים, ומכאן חשיבותה התאורטית הרבה של השיטה. גם משוואות פיזיקליות חשובות רבות (לדוגמה משוואת שרדינגר, משוואת הגלים, משוואת החום, משוואת הדיפוזיה ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו. אם נתונה משוואה דיפרנציאלית רגילה בצורה: d f ( x ) d x = g ( x ) h ( f ( x ) ) {\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=g(x)h(f(x))} או שאפשר להביאה למצב כזה, ניתן לבצע הפרדת משתנים. נסמן y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} ואז d y d x = g ( x ) h ( y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)} . אם h ( y ) ≠ 0 {\displaystyle h(y)\neq 0} אפשר לחלק בו את שני האגפים ולקבל 1 h ( y ) d y d x = g ( x ) {\displaystyle {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)} . כעת נבצע לשני האגפים אינטגרציה לפי x ונקבל ∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int g(x)dx} ובאמצעות שיטת ההצבה, אגף שמאל נהפך ל- ∫ 1 h ( y ) d y d x d x = ∫ 1 h ( y ) d y {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int {\frac {1}{h(y)}}dy} . באמצעות אינטגרציה על שני האגפים מקבלים בצד אחד ביטוי של y ובצד השני ביטוי של x: ∫ 1 h ( y ) d y + C 2 = ∫ g ( x ) d x + C 1 {\displaystyle \int {\frac {1}{h(y)}}dy+C_{2}=\int g(x)dx+C_{1}} . לאחר בידוד y מהמשוואה, נוכל למצוא את הפתרון של המשוואה הדיפרנציאלית, כלומר את הפונקציה y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} בהינתן משוואה דיפרנציאלית חלקית עבור הפונקציה ψ ( x → , y → ) {\displaystyle \psi ({\vec {x}},{\vec {y}})} , ניתן "לנחש" פתרון פרטי שבו הפונקציה ψ {\displaystyle \psi } ניתנת להצגה כמכפלה של שתי פונקציות ψ ( x → , y → ) = f ( x → ) ⋅ g ( y → ) {\displaystyle \psi ({\vec {x}},{\vec {y}})=f({\vec {x}})\cdot g({\vec {y}})} . כעת, ניתן לקחת את כל הנגזרות ולעבור ל ∂ ψ ∂ x i = g ⋅ ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{i}}}=g\cdot {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} וכך בדומה לנגזרות לפי y i {\displaystyle y_{i}} . כעת, השאיפה שלנו היא להפעיל על המשוואה מניפולציות אלגבריות, עד שהיא מגיעה לצורה כזו: h x ( f , ∂ f ∂ x i , ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j , ∂ 3 f ∂ x i ∂ x j ∂ x k , … ) = h y ( g , ∂ g ∂ y i , ∂ 2 g ∂ y i ∂ y j , ∂ 3 g ∂ y i ∂ y j ∂ y k , … ) {\displaystyle h_{x}(f,{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}},{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}\partial x_{k}}},\dots )=h_{y}(g,{\frac {\partial g}{\partial y_{i}}},{\frac {\partial ^{2}g}{\partial y_{i}\partial y_{j}}},{\frac {\partial ^{3}g}{\partial y_{i}\partial y_{j}\partial y_{k}}},\dots )} פעולה זו מובילה לכך שהפונקציה באגף שמאל תלויה אך ורק ב-x, והפונקציה באגף ימין תלויה אך ורק ב-y. בכך, מקבלים שאגף שמאל לא יכול להיות תלוי ב-x - הרי שינוי של x בלבד ישפיע על אגף שמאל ולא על אגף ימין, אבל אז לא ייתכן שהם יישארו שווים. לכן שני האגפים שווים שניהם לקבוע שמכונה "קבוע ההפרדה". כעת, הפרדת המשתנים העבירה ממשוואה אחת לשתי משוואות עם פחות משתנים. חזרה איטרטיבית של פעולה זו תוביל למשוואה דיפרנציאלית רגילה, שאותה קל יותר לפתור. עם זאת, שיטת הפרדת המשתנים פוגעת לרוב בכלליות הפתרונות, מכיוון שלא נכון להניח שהפתרון הכללי הוא בצורה מופרדת אלא רק פתרון פרטי (ספציפי). ישנם מקרים, שפתרון המשוואה המופרדת מחזיר את הפונקציות העצמיות של המשוואה הדיפרנציאלית, בדרך כלל כאשר המשוואה מיתרגמת לבעיית שטורם ליוביל. במקרים כאלה, אין פגיעה בכלליות הפתרון, שכן כל פתרון למשוואה המקורית ניתן להצגה כסכום של פתרונות המתקבלים מהפרדת המשתנים. לכן במקרים אלו הפרדת המשתנים מהווה דרך פתרון חשובה ומרכזית. במשוואת שרדינגר, למשל, כל פונקציית גל חוקית מקיימת את המשוואה, ואילו הפרדת משתנים מצמצמת את המשוואה לפונקציות העצמיות של ההמילטוניאן המוכפל בפונקציה זמנית. נתבונן במשוואה הבאה d y d x = y ( 1 − y ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y(1-y)} . ניתן "להעביר אגפים" ולכתוב אותה כך: d y y ( 1 − y ) = d x {\displaystyle {\frac {dy}{y(1-y)}}=dx} . כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y. ∫ d y y ( 1 − y ) = ∫ d x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx} חישוב האינטגרל נותן   ln ⁡ | y | − ln ⁡ | 1 − y | = x + C {\displaystyle \ \ln |y|-\ln |1-y|=x+C} כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא: y = 1 1 + B e − x . {\displaystyle y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}.} . נתבונן במשוואת הגלים החד-ממדית:   ∂ 2 ∂ x 2 ψ ( x , t ) = 1 v 2 ∂ 2 ∂ t 2 ψ ( x , t ) {\displaystyle \ {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)} נחפש פתרון פרטי מן הצורה המופרדת   ψ ( x , t ) = ϕ ( x ) χ ( t ) {\displaystyle \ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)} . נציב זאת למשוואה ונקבל: ϕ ″ ( x ) χ ( t ) = 1 v 2 ϕ ( x ) χ ¨ ( t ) {\displaystyle \phi ''(x)\chi (t)={\frac {1}{v^{2}}}\phi (x){\ddot {\chi }}(t)} נחלק ב   ψ ( x , t ) = ϕ ( x ) χ ( t ) {\displaystyle \ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)} ונקבל ϕ ″ ( x ) ϕ ( x ) = 1 v 2 χ ¨ ( t ) χ ( t ) {\displaystyle {\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {{\ddot {\chi }}(t)}{\chi (t)}}} במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב- λ {\displaystyle \,\lambda } . קיבלנו במקום המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות: ϕ ″ ( x ) ϕ ( x ) = λ {\displaystyle {\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}=\lambda } 1 v 2 χ ¨ ( t ) χ ( t ) = λ {\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {{\ddot {\chi }}(t)}{\chi (t)}}=\lambda } שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני). מכאן, בעזרת תנאי שפה מתאימים (הומוגניים), אפשר לתרגם את הבעיה לבעיית שטורם-ליוביל, שהפתרונות הפרטיים שמצאנו הם הפונקציות העצמיות שלה. כך יוצא שבעזרת הפתרונות הפרטיים הפשוטים האלה אפשר לפרוש את הפתרון הכללי של משוואת הגלים. פתרון זה הוא גם הפתרון היחיד למשוואת הגלים, תוצאה חשובה נוספת שנובעת מתרגום הבעיה לבעיית שטורם-ליוביל. משוואת שרדינגר היא המשוואה היסודית במכניקת הקוונטים הלא-יחסותית. הנה פתרונה, באמצעות הפרדת משתנים: מנחשים פתרון מהצורה ψ ( t , r → ) = T ( t ) ⋅ Ψ ( r ) {\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})=T(t)\cdot \Psi (r)} מציבים את הביטוי במשוואה התלויה בזמן ומקבלים i ℏ Ψ ⋅ ∂ T ∂ t = − ℏ 2 2 m T ⋅ ∇ 2 Ψ + V ( r → ) T Ψ {\displaystyle i\hbar \Psi \cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}T\cdot \nabla ^{2}\Psi +V({\vec {r}})T\Psi } מחלקים ב ψ = T ( t ) ⋅ Ψ ( r → ) {\displaystyle \psi =T(t)\cdot \Psi ({\vec {r}})} ומקבלים i ℏ 1 T ( t ) ⋅ ∂ T ∂ t = 1 Ψ ( r → ) ⋅ ℏ 2 2 m ⋅ ∇ 2 Ψ + V ( ( → r ) ) {\displaystyle i\hbar {\frac {1}{T(t)}}\cdot {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {1}{\Psi ({\vec {r}})}}\cdot {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\cdot \nabla ^{2}\Psi +V({\vec {(}}r))} אגף שמאל תלוי רק בזמן, ואגף ימין רק במרחב, והם שווים תמיד ולכן קבועים. נקרא לקבוע ההפרדה E {\displaystyle E} (שכן הוא מה שאנחנו תופסים כאנרגיה). המשוואה עבור הזמן תהיה לאחר העברת אגפים: ∂ T ∂ t = − i E ℏ T ( t ) {\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=-i{\frac {E}{\hbar }}T(t)} שפתרונה הוא האקספוננט המדומה T ( t ) = e − i E ℏ t {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {E}{\hbar }}t}} . נשים לב רק ש-E הוא קבוע עבור פתרון ספציפי, אבל קיימת סדרה של פתרונות. לפיכך נהוג לסמנו כ- E n {\displaystyle E_{n}} . כעת יש לטפל בפונקציה ψ ( t , r → ) = e − i E t / ℏ Ψ ( r → ) {\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})=e^{-iEt/{\hbar }}\Psi ({\vec {r}})} , ועבור Ψ {\displaystyle \Psi } מקבלים את משוואת שרדינגר הבלתי-תלויה בזמן: E Ψ ( r → ) = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ ( r → ) + V ( r → ) Ψ ( r → ) {\displaystyle E\Psi ({\vec {r}})={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ({\vec {r}})+V({\vec {r}})\Psi ({\vec {r}})} זוהי משוואת ערכים עצמיים שאפשר לפתור באמצעות תורת שטורם-ליוביל. למעשה יש לחפש פונקציות Ψ n {\displaystyle \Psi _{n}} כך ש:   H Ψ n = E n Ψ n {\displaystyle \ H\Psi _{n}=E_{n}\Psi _{n}} . כלומר: פעולת אופרטור ההמילטוניאן עליהן פשוט מחזירה את הפונקציה כפול האנרגיה שלה. אנרגיות אלה (שהן הערכים העצמיים של המד"ר) נקראות "האנרגיות העצמיות" ואילו הפונקציות המתאימות להן נקראות "המצבים העצמיים". את המצבים העצמיים נהוג לנרמל, כלומר - לכפול במקדם סקלרי כך ש ⟨ Ψ n | Ψ n ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle =1} . דרישת הנרמול נובעת מהפירוש ההסתברותי של מכניקת הקוונטים. מאחר שמשוואת שרדינגר התלויה בזמן היא משוואה ליניארית, את הפתרון הכללי אפשר להציג כסופרפוזיציה של המצבים העצמיים, כלומר: ψ ( t , r → ) = ∑ n A n Ψ n ( r → ) e − i ℏ E n t {\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})=\sum _{n}{A_{n}\Psi _{n}({\vec {r}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}E_{n}t}}} במקרה של משוואת שרדינגר, ניתן להשתמש בדרישה שעל ההמילטוניאן להיות אופרטור הרמיטי, ובהתאם להסיק כי צירופים ליניאריים אלו מכסים את כל הפתרונות. נשים לב שאחרי ההפרדה עדיין המשווה מכילה משתנים בשלושה ממדים - אך פעמים רבות ניתן להפריד בה משתנים שוב. הפרדת משתנים, באתר MathWorld (באנגלית) הפרדת משתנים, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אפשר להסתפק בקבוע אינטגרציה אחד, שכן C = C 1 − C 2 {\displaystyle C=C_{1}-C_{2}} .