מספר עגול

בתורת המספרים, מספר עגול הוא מספר שלם, שמספר הגורמים הראשוניים שלו גדול בהרבה מן הצפוי למספרים באותו גודל. בשפת היומיום מקובל לייחס את התכונה של מספר עגול בעיקר למספרים המתחלקים בחזקה של 10, כלומר למספרים שהצגתם מסתיימת באפס אחד או יותר. מקובל לסמן ב- ω ( n ) {\displaystyle \omega (n)} את מספר הגורמים הראשוניים השונים של מספר טבעי n {\displaystyle n} , וב- Ω ( n ) {\displaystyle \Omega (n)} את המספר הכולל של גורמים ראשוניים. כלומר, אם p 1 , … , p r {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{r}} ראשוניים שונים ו- n = p 1 a 1 ⋯ p r a r {\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{r}^{a_{r}}} , אז ω ( n ) = r {\displaystyle \omega (n)=r} ו- Ω ( n ) = a 1 + ⋯ + a r {\displaystyle \Omega (n)=a_{1}+\cdots +a_{r}} . הערך הממוצע (במובן של פונקציות אריתמטיות) של שתי הפונקציות הוא log ⁡ log ⁡ ( n ) {\displaystyle \log \log(n)} (הלוגריתם הוא הלוגריתם הטבעי). יתרה מזו, לכל δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , הצפיפות של קבוצת המספרים המקיימים | ω ( n ) − log ⁡ log ⁡ ( n ) | > ( log ⁡ log ⁡ ( n ) ) 1 / 2 + δ {\displaystyle |\omega (n)-\log \log(n)|>(\log \log(n))^{1/2+\delta }} היא 0; כך גם עבור Ω ( n ) {\displaystyle \Omega (n)} . לכן, מספר n {\displaystyle n} שיש לו הרבה יותר מ- log ⁡ log ⁡ ( n ) {\displaystyle \log \log(n)} גורמים ראשוניים, עשוי להחשב "עגול". בשפת היומיום מקובל לייחס את התכונה של מספר עגול בעיקר למספרים המתחלקים בחזקה גבוהה יחסית של 10, כלומר למספרים שהצגתם מסתיימת בכמה אפסים (בדר"כ לפחות מחצית ממספר הספרות). פעולת העיגול מחליפה מספר נתון, במספר קרוב המתחלק ב-10 פעמים רבות יותר. דוגמה: אפשר לעגל את 3178 ל-3180, ל-3200, ל-3000 ואף ל-0 (כאשר העיגול הוא לעשרות אלפים או לחזקה גבוהה יותר של 10). לבני אדם יש נטייה להשתמש במספרים עגולים, גם כאשר הם מתבקשים לציין מספר מדויק. כך למשל, במפקדי אוכלוסין בארצות הברית נמצא דיווח יתר לגילאים המתחלקים ב-5 וב-10, כמו גם לגילאים זוגיים. בעת מנייה, הגעה למספר עגול נחשבת משמעותית יותר. כך, יום הולדת המתחלק ב-10 נחשב חגיגי יותר, ויום הולדת 100 נחשב חגיגי במיוחד. נוסף על כך ימי נישואים עגולים או כל כמה שנים נחשבים מיוחדים יותר, כך יום נישואים 50 נחשב "יובל" ויום נישואים 25 הוא "חצי יובל". גם ימי זיכרון שנתיים זוכים ליתר תשומת לב ציבורית בחלוף מספר שנים עגול. נהוג לציין גם מספרים עגולים אחרים, כגון התייר המיליון. גם בספירת השנים, שנה שמספרה מתחלק ב-100, ועוד יותר מכך שנה שמספרה מתחלק ב-1000, נחשבת לציון דרך מיוחד. הרא"ש סבור כי גם התורה מעדיפה לכתוב מספר עגול, כאשר המנין האמיתי הוא פחות אחד: לא קשיא מידי שכן דרך המקרא כשמגיע המנין לסכום עשירית פחות אחת מונה אותו בחשבון עשירית ואינו משגיח על חסרון האחד. כיוצא בו "כל הנפש לבית יעקב הבאה מצרימה שבעים", וכן "ארבעים יכנו". — רא"ש על מסכת פסחים פרק י, מ שיטת הספירה הנפוצה היא השיטה העשרונית, אך למספר עגול יש משמעות גם בשיטות ספירה אחרות. בקרב מתכנתים, למשל, הרגילים גם לשיטה הבינארית, יום הולדת 32 הוא יום הולדת חגיגי, משום שבכתיב בינארי 32 הם 100,000. שתי המשמעויות, זו של תורת המספרים וזו של שפת היומיום, אינן מתלכדות. בתורת המספרים, המספר 648, למשל, שלו שישה גורמים ראשוניים, עגול יותר מ-700, שלו רק חמישה גורמים ראשוניים, ואילו בשפת היומיום המצב הפוך: 700 הוא מספר עגול (מתחלק ב-100), ואילו 648 אינו עגול. מספר חלק An Introduction to the Theory of Numbers, Hardy and Wright, משפט 430. שם, משפט 431 Mortimer Spiegelman, Introduction to Demography, Harvard Uiversity Press, 1969, page 68