אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי הוא אי-שוויון הקרוי על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי. אי-שוויון זה הוא וריאציה של אי-שוויון המשולש לנורמה p {\displaystyle p} במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה. עבור p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} , מגדירים את נורמת ℓ p {\displaystyle {\ell }_{p}} של וקטור x ∈ R n {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} לפי הנוסחה | | x → | | p = ∑ i = 1 n | x i p | p {\displaystyle ||{\overrightarrow {x}}||_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}}^{p}|}}}} . אי-שוויון מינקובסקי קובע כי: | | x + y | | p ≤ | | x | | p + | | y | | p {\displaystyle ||x+y||_{p}\leq ||x||_{p}+||y||_{p}} , לכל שני וקטורים x , y ∈ R n {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}} . חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת ℓ p {\displaystyle {\ell }_{p}} מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה. נוכיח את נכונות אי-השוויון. לפי אי-שוויון המשולש: | | x + y | | p p = ∑ i = 1 n | x i + y i | p = ∑ i = 1 n | x i + y i | | x i + y i | p − 1 ≤ ∑ i = 1 n ( | x i | + | y i | ) ⋅ | x i + y i | p − 1 = ∑ i = 1 n | x i | ⋅ | x i + y i | p − 1 + ∑ i = 1 n | y i | ⋅ | x i + y i | p − 1 {\displaystyle {{||x+y||}_{p}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}||{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq \sum _{i=1}^{n}{{(|{x}_{i}|+|{y}_{i}|)\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}=\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}} כעת, לפי אי-שוויון הולדר: ∑ i = 1 n | x i | ⋅ | x i + y i | p − 1 + ∑ i = 1 n | y i | ⋅ | x i + y i | p − 1 ≤ ( | | x | | p + | | y | | p ) [ ∑ i = 1 n | x i + y i | q ( p − 1 ) ] 1 q = ( | | x | | p + | | y | | p ) [ ∑ i = 1 n | x i + y i | p ] p − 1 p = ( | | x | | p + | | y | | p ) | | x + y | | p p − 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}+\sum _{i=1}^{n}{{|{y}_{i}|\cdot |{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p-1}}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{q(p-1)}}]}^{\frac {1}{q}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){[\sum _{i=1}^{n}{{|{x}_{i}+{y}_{i}|}^{p}}]}^{\frac {p-1}{p}}=({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1}} ולכן: | | x + y | | p p ≤ ( | | x | | p + | | y | | p ) | | x + y | | p p − 1 {\displaystyle {{||x+y||}_{p}}^{p}\leq ({||x||}_{p}+{||y||}_{p}){{||x+y||}_{p}}^{p-1}} , ולאחר צמצום נקבל | | x + y | | p ≤ | | x | | p + | | y | | p {\displaystyle {{||x+y||}_{p}}\leq {||x||}_{p}+{||y||}_{p}} . ערך מורחב – מרחב Lp בתורת המידה, נורמה- p {\displaystyle p} של פונקציה על מרחב מידה ( X , S , μ ) {\displaystyle (X,S,\mu )} מוגדרת כך - | | f | | p = ( ∫ X | f | p d μ ) 1 p {\displaystyle ||f||_{p}=(\int _{X}{|f|^{p}d\mu })^{\frac {1}{p}}} . המרחב L p ( X ) {\displaystyle L^{p}(X)} הוא אוסף כל הפונקציות עבורן | | f | | p < ∞ {\displaystyle ||f||_{p}<\infty } ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי). באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי שוויון מינקובסקי - | | f + g | | p ≤ | | f | | p + | | g | | p {\displaystyle ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}} , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה p = 2 {\displaystyle p=2} מתקבל מרחב הילברט L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} . המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי L p {\displaystyle L^{p}} ; הוא מתקבל עבור המרחב L p ( X n , P ( X n ) , # ) {\displaystyle L^{p}(X_{n},P(X_{n}),\#)} , כאשר X n = { 1 , . . . , n } {\displaystyle X_{n}=\{1,...,n\}} ו- # {\displaystyle \#} היא מידת הספירה (כמות האיברים בקבוצה). נורמה אי-שוויון הולדר מרחב Lp אי-שוויון מינקובסקי, באתר MathWorld (באנגלית)