עקרון האדישות

עקרון האדישות הוא עקרון מתורת המשחקים המסייע בין השאר למציאת שיווי משקל נאש, במשחק בצורה אסטרטגית. עיקרון האדישות מתייחס לשיווי משקל באסטרטגיות מעורבות במשחק בצורה אסטרטגית. העיקרון אומר כי אם, בשיווי משקל, שחקן משתמש בשתי אסטרטגיות טהורות בהסתברות חיובית, אזי תוחלת התשלום שלו, אם הוא משחק את האחת, שווה לתוחלת התשלום אם הוא משחק את השנייה, בהינתן ששאר השחקנים משחקים את שיווי המשקל. במשחק באסטרטגיות מעורבות, שימוש בעיקרון זה מאפשר למצוא שיווי משקל נאש באמצעות מציאת וקטור אסטרטגיות עם פונקציית תשלומים, שהיא תוחלת התועלת של האסטרטגיות הטהורות. יהי σ שיווי משקל בצורה אסטרטגית, ותהיינה s i {\displaystyle s_{i}} ו- s i ^ {\displaystyle {\hat {s_{i}}}} שתי אסטרטגיות טהורות של שחקן i. אם σ i ( s i ) > 0 {\displaystyle \sigma _{i}(s_{i})>0} ו- σ i ( s i ^ ) > 0 {\displaystyle \sigma _{i}({\hat {s_{i}}})>0} , אזי מתקיים: U i ( σ − i , s i ) = U i ( σ − i , s i ^ ) {\displaystyle U_{i}(\sigma _{-i},s_{i})=U_{i}(\sigma _{-i},{\hat {s_{i}}})} הסיבה לכך שהמשפט מתקיים פשוטה: אם תוחלת התשלום לשחקן i, כאשר הוא משחק את s i {\displaystyle s_{i}} , גבוהה מתוחלת התשלום כאשר הוא משחק את s i ^ {\displaystyle {\hat {s_{i}}}} , עדיף לו להגדיל את ההסתברות לשחק את s i {\displaystyle s_{i}} על חשבון ההסתברות לשחק את s i ^ {\displaystyle {\hat {s_{i}}}} . נניח בשלילה כי המשפט אינו מתקיים, ובלי הגבלת הכלליות נניח כי ( ∗ )   U i ( σ i , s i ) > U i ( σ i , s i ^ ) {\displaystyle \left(*\right)\ U_{i}(\sigma _{i},s_{i})>U_{i}(\sigma _{i},{\hat {s_{i}}})} . תהי σ i ′ {\displaystyle \sigma '_{i}} האסטרטגיה של שחקן i המוגדרת באופן הבא: σ i ′ ( t i ) := { σ i ( t i ) if  t i ∉ { s i , s i ^ } 0 if  t i = s i ^ σ i ( s i ) + σ i ( s i ^ ) if  t i = s i {\displaystyle \sigma '_{i}(t_{i}):={\begin{cases}\sigma _{i}(t_{i})&{\text{if }}t_{i}\not \in \{s_{i},{\hat {s_{i}}}\}\\0&{\text{if }}t_{i}={\hat {s_{i}}}\\\sigma _{i}(s_{i})+\sigma _{i}({\hat {s_{i}}})&{\text{if }}t_{i}=s_{i}\end{cases}}} אזי U i ( σ − i , σ i ′ )   = ∑ t i ∈ s i σ i ′ ( t i ) U i ( σ − i , t i )   = ∑ t i ∉ { s i , s i ^ } σ i ( t i ) U i ( σ − i , t i ) + ( σ i ( s i ) + σ i ( s i ^ ) ) U i ( σ − i , s i )   > ∑ t i ∉ { s i , s i ^ } σ i ( t i ) U i ( σ − i , t i ) + σ i ( s i ) U i ( σ − i , s i ) + σ i ( s i ^ ) U i ( σ − i , s i ^ )   = ∑ t i ∈ s i σ i ( t i ) U i ( σ − i , t i )   = U i ( σ i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}U_{i}(\sigma _{-i},\sigma '_{i})&\ =\sum _{t_{i}\in s_{i}}\sigma '_{i}(t_{i})U_{i}(\sigma _{-i},t_{i})\\&\ =\sum _{t_{i}\not \in {\{s_{i},{\hat {s_{i}}}\}}}\sigma _{i}(t_{i})U_{i}(\sigma _{-i},t_{i})+(\sigma _{i}(s_{i})+\sigma _{i}({\hat {s_{i}}}))U_{i}(\sigma _{-i},s_{i})\\&\ >\sum _{t_{i}\not \in \{s_{i},{\hat {s_{i}}}\}}\sigma _{i}(t_{i})U_{i}(\sigma _{-i},t_{i})+\sigma _{i}(s_{i})U_{i}(\sigma _{-i},s_{i})+\sigma _{i}({\hat {s_{i}}})U_{i}(\sigma _{-i},{\hat {s_{i}}})\\&\ =\sum _{t_{i}\in {s_{i}}}\sigma _{i}(t_{i})U_{i}(\sigma _{-i},t_{i})\\&\ =U_{i}(\sigma _{i}).\end{aligned}}} השוויונים הראשון והשלישי נובעים מהגדרת σ ′ {\displaystyle \sigma '} , והאי שוויון נובע מ - ( ∗ ) {\displaystyle \left(*\right)} , אך זוהי סתירה לכך ש σ {\displaystyle \sigma } היא שיווי משקל, שכן עבור שחקן i {\displaystyle i} הסטייה לאסטרטגיה σ i ′ {\displaystyle \sigma '_{i}} מגדילה את התשלום שלו, כלומר היא סטייה כדאית. נתבונן במשחק מלחמת המינים. שמו של המשחק בא מהתיאור הבא: זוג מתכנן בילוי לשבת. האפשרויות העומדות בפניו הן: קונצרט ( C ) {\displaystyle (C)} או צפייה במשחק כדורגל ( F ) {\displaystyle (F)} . הגבר מעדיף צפייה במשחק כדורגל, בעוד האישה מעדיפה להאזין לקונצרט. כאשר שניהם מעדיפים להיות יחד, גם אם הבילוי המשותף הוא הפחות עדיף ביניהם. במשחק זה יש אסטרטגיות ש"מ טהורות: ( F , F ) {\displaystyle (F,F)} עם תשלום ( 2 , 1 ) {\displaystyle (2,1)} , ו- ( C , C ) {\displaystyle (C,C)} עם תשלום ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} . האישה מעדיפה את ( C , C ) {\displaystyle (C,C)} , ואילו הגבר מעדיף את ( F , F ) {\displaystyle (F,F)} . כאמור שתי האפשרויות הן ש"מ באסטרטגיות טהורות. נחפש ש"מ באסטרטגיות מעורבות. נשים לב כי לא קיים שיווי משקל כאשר רק אחד מהשחקנים מערב אסטרטגיות. לכן נקבל כי שיווי המשקל יהיה באסטרטגיות מעורבות לחלוטין, אסטרטגיה שבה כל אחת משתי האסטרטגיות הטהורות נבחרות בהסתברות חיובית. נניח כי הגבר משחק ( x ( F ) , ( 1 − x ) ( C ) ) {\displaystyle \left(x(F),(1-x)(C)\right)} . אם האישה תשחק F {\displaystyle F} , התשלומים יהיו U ( x , F ) = 2 x {\displaystyle U(x,F)=2x} , ואם תשחק C {\displaystyle C} יתקיים U ( x , C ) = 1 − x {\displaystyle U(x,C)=1-x} . באותו האופן, אם האישה תשחק ( y ( F ) , ( 1 − y ) ( C ) ) {\displaystyle \left(y(F),(1-y)(C)\right)} , התשלומים יהיו U ( F , y ) = y {\displaystyle U(F,y)=y} ו- U ( C , y ) = 2 ( 1 − y ) {\displaystyle U(C,y)=2(1-y)} . לכן, מכיוון שתנאי עקרון האדישות מתקיימים (האסטרטגיות מעורבות לחלוטין), נקבל כי בשיווי משקל, בהכרח, הגבר אדיש בין F {\displaystyle F} ל- C {\displaystyle C} , וגם האישה אדישה בין F {\displaystyle F} ל- C {\displaystyle C} . לכן, אם שיווי המשקל הוא ( x ∗ , y ∗ ) {\displaystyle \left(x^{*},y^{*}\right)} נקבל: הגבר אדיש בין F {\displaystyle F} ל- C {\displaystyle C} : U ( F , y ∗ ) = U ( C , y ∗ ) ⇛ 2 y ∗ = ( 1 − y ∗ ) ⇛ y ∗ = 1 3 {\displaystyle U(F,y^{*})=U(C,y^{*})\Rrightarrow 2y^{*}=(1-y^{*})\Rrightarrow y^{*}={\frac {1}{3}}} האישה אדישה בין F {\displaystyle F} ל- C {\displaystyle C} : U ( x ∗ , F ) = U ( x ∗ , C ) ⇛ x ∗ = 2 ( 1 − x ∗ ) ⇛ x ∗ = 2 3 {\displaystyle U(x^{*},F)=U(x^{*},C)\Rrightarrow x^{*}=2(1-x^{*})\Rrightarrow x^{*}={\frac {2}{3}}} כלומר, נקבל את הש"מ הבא: y ∗ = [ 1 3 ( F ) , 2 3 ( C ) ] {\displaystyle y^{*}=\left[{\frac {1}{3}}(F),{\frac {2}{3}}(C)\right]} , x ∗ = [ 2 3 ( F ) , 1 3 ( C ) ] {\displaystyle x^{*}=\left[{\frac {2}{3}}(F),{\frac {1}{3}}(C)\right]} . בשימוש בעקרון האדישות נשים לב כי בחישוב שיווי המשקל המעורב, השחקן משחק כך שהשחקן השני יהיה אדיש בין שתי האסטרטגיות הטהורות שלו (ולכן לשחקן השני לא תהיה הסטייה כדאית). האסטרטגיה של שחקן נקבעת על ידי התשלומים של השחקן האחר, בניגוד לאסטרטגיית המקסמין של השחקן, הנקבעת על ידי התשלומים שלו עצמו. שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, מאגנס, 2008