משפט ארטין-שרייר (הרחבות ציקליות)

בתורת השדות, משפט ארטין שרייר נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך שחבורת גלואה של הרחבה סופית מעל שדה ממציין p {\displaystyle p} תהיה ציקלית מסדר p {\displaystyle p} . בכך הוא מצטרף למשפט קומר שעושה זאת על הרחבות מסדר זר למציין השדה. תהי L / K {\displaystyle L/K} הרחבת שדות לא טריוויאלית, כאשר char ⁡ K = p {\displaystyle \operatorname {char} K=p} . אז היא גלואה וחבורת גלואה שלה מעגלית מסדר p {\displaystyle p} אם ורק אם L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} עבור α ∈ L ∖ K {\displaystyle \alpha \in L\setminus K} המקיים α p − α ∈ K {\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha \in K} . כיוון אחד: נניח G = Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle G=\operatorname {Gal} (L/K)} מעגלית מסדר p {\displaystyle p} . יהי σ {\displaystyle \sigma } יוצר שלה. אז Tr ⁡ ( − 1 ) = − 1 + σ ( − 1 ) . . . + σ p − 1 ( − 1 ) = p ⋅ ( − 1 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Tr} (-1)=-1+\sigma (-1)...+\sigma ^{p-1}(-1)=p\cdot (-1)=0} ולכן ממשפט 90 של הילברט, יש α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} כך ש- α − σ ( α ) = − 1 {\displaystyle \alpha -\sigma (\alpha )=-1} . מכאן σ ( α ) = α + 1 {\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha +1} ומכאן σ j ( α ) = α + j {\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha )=\alpha +j} . אז α ∉ K {\displaystyle \alpha \notin K} כי σ ( α ) ≠ α {\displaystyle \sigma (\alpha )\neq \alpha } , וכיוון ש- [ K ( α ) : K ] = p {\displaystyle [K(\alpha ):K]=p} אז [ K ( α ) : K ] | p {\displaystyle [K(\alpha ):K]|p} ולכן p = | G | = [ L : K ] = [ L : K ( α ) ] ⋅ [ K ( α ) : K ] = [ L : K ( α ) ] ⋅ p {\displaystyle p=|G|=[L:K]=[L:K(\alpha )]\cdot [K(\alpha ):K]=[L:K(\alpha )]\cdot p} ובסך הכל [ L : K ( α ) ] = 1 {\displaystyle [L:K(\alpha )]=1} ולכן L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} . כמו כן לכל j ∈ F p ⊆ K {\displaystyle j\in \mathbb {F} _{p}\subseteq K} מתקיים σ j ( α p − α ) = σ j ( α ) p − σ j ( α ) = ( α + j ) p − α + j = α p − α {\displaystyle \sigma ^{j}(\alpha ^{p}-\alpha )=\sigma ^{j}(\alpha )^{p}-\sigma ^{j}(\alpha )=(\alpha +j)^{p}-\alpha +j=\alpha ^{p}-\alpha } ולכן α p − α {\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha } נמצא בשדה השבת L G = K {\displaystyle L^{G}=K} , כלומר: α p − α ∈ K {\displaystyle \alpha ^{p}-\alpha \in K} . כיוון שני: נניח L = K ( α ) {\displaystyle L=K(\alpha )} . נסמן f = x p − x − α p + α {\displaystyle f=x^{p}-x-\alpha ^{p}+\alpha } . אז לכל j מתקיים f ( α + j ) = ( α + j ) p − α − j − α p + α = j p − j = 0 {\displaystyle f(\alpha +j)=(\alpha +j)^{p}-\alpha -j-\alpha ^{p}+\alpha =j^{p}-j=0} לפי המשפט הקטן של פרמה. לכן f {\displaystyle f} מתפצל ב- L {\displaystyle L} . הוא גם פולינום ספרבילי כי הוא זר לנגזרת שלו (שהיא 1-) ולכן L / K {\displaystyle L/K} הרחבת גלואה. כל איבר בה, σ {\displaystyle \sigma } , הוא K-אוטומורפיזם של L {\displaystyle L} ולכן מעביר את α {\displaystyle \alpha } לשורש כלשהו של f {\displaystyle f} , α + j {\displaystyle \alpha +j} . לכן אפשר להגדיר פונקציה ω : Gal ⁡ ( L / K ) → F p {\displaystyle \omega :\operatorname {Gal} (L/K)\to \mathbb {F} _{p}} המקיימת σ ( α ) = α + ω ( σ ) {\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha +\omega (\sigma )} . כאן F p = Z / p Z {\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } הוא השדה הראשוני מסדר p אבל אנו מסתכלים עליו כעל החבורה האבלית Z / p Z = { 0 , 1 , . . . , p − 1 } {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\{0,1,...,p-1\}} עם חיבור מודולו p. נראה ש- ω {\displaystyle \omega } הוא איזומורפיזם של חבורות: יהיו σ , τ ∈ Gal ⁡ ( L / K ) {\displaystyle \sigma ,\tau \in \operatorname {Gal} (L/K)} . אז ω ( σ τ ) = ( σ τ ) ( α ) − α = σ ( α + ω ( τ ) ) − α = σ ( α ) + ω ( τ ) − α = ω ( σ ) + ω ( τ ) {\displaystyle \omega (\sigma \tau )=(\sigma \tau )(\alpha )-\alpha =\sigma (\alpha +\omega (\tau ))-\alpha =\sigma (\alpha )+\omega (\tau )-\alpha =\omega (\sigma )+\omega (\tau )} ולכן ω {\displaystyle \omega } הומומורפיזם. תמונתו היא תת-חבורה של F P {\displaystyle \mathbb {F} _{P}} , לכן טריוויאלית או כולה. אבל אם היא הייתה טריוויאלית גם ההרחבה הייתה טריוויאלית, בסתירה להנחה. כמו כן הגרעין של ω {\displaystyle \omega } הוא { σ | σ ( α ) = α } = { Id } {\displaystyle \{\sigma |\sigma (\alpha )=\alpha \}=\{\operatorname {Id} \}} לכן הוא איזומורפיזם. לכן החבורה מעגלית מסדר p {\displaystyle p} כרצוי. מ.ש.ל.