סלילונית (חשמל)

סלילונית (קרויה לעיתים סילונית, או בשמה הלועזי סולנואיד) היא סוג של אלקטרומגנט, הנוצר על ידי סליל של תיל מוליך שבו מימד האורך גדול משמעותית מהקוטר. השדה המגנטי הנוצר בתוך סלילונית כאשר מועבר דרכה זרם חשמלי הוא אחיד בגודלו ובכיוונו (בהזנחת תופעות קצה). השם סלילונית הוא תרגום של המונח solénoïde שנטבע בשנת 1823 על ידי אנדרה-מארי אמפר ומקורו יווני. סלילונית יכולה להיות ישרה, או כפופה כך שציר מרכז הסליל אינו קו ישר. כל עוד אורך הסליל גדול משמעותית מקוטרו, השדה המגנטי יהיה מקביל לציר הסליל בכל נקודה. לדוגמה, האלקטרומגנט הראשון שהדגים ויליאם סטרג'ן בשנת 1824 היה מורכב מסלילונית בצורת פרסה. לצורך נוחות הניתוח נניח שלסלילונית יש אורך אינסופי אך קוטר סופי. "רציפה" פירושו שהסלילונית אינה בנוחה מחוטים נפרדים ברוחב סופי, אלא מחוטים דקים עד אינסוף ללא רווח ביניהם; בהפשטה זו, ניתן לחשוב על הסלילונית כעל יריעה גלילית של חומר מוליך, שהזרם בו הוא רק בכיוון המשיקי (מסביב לגליל, מסומן ב-i), ואין זרם בכיוון האורכי המסומן ב-z. השדה המגנטי בתוך סלילונית אינסופית הוא אחיד, וחוזקו אינו תלוי במרחק מהציר או בשטח החתך של הסלילונית. תוצאה זו מתקבלת מניתוח צפיפות השטף המגנטי סביב הסלילונית. באיור 1, ניתן לראות כי קווי השדה מצביעים בכיוון z החיובי בתוך הסלילונית, ובכיוון z השלילי מחוץ לה. זאת לפי כלל יד ימין עבור השדה סביב מוליך. אם נכרוך את יד ימין סביב החץ המסמן את כיוון הזרם (i) כשהאגודל מצביע לכיוון הזרם, קצות האצבעות יצביעו כלפי מעלה כאשר הן בתוך הסליל, וכלפי מטה כאשר הן מחוץ לסליל. משיקולי סימטריה, רכיבי השדה המגנטי שאינן בכיוון z מתאפסים. נבדוק את הלולאה c הנמצאת כולה בתוך הסלילונית. לפי חוק אמפר, אנו יודעים כי האינטגרל הקווי הסגור של B (וקטור צפיפות השטף המגנטי) על לולאה זו הוא אפס, כיוון שהלולאה אינה מקיפה אף מוליך ולכן הזרם העובר דרכה הוא אפס. הראינו לעיל שהשדה פונה כלפי מעלה בתוך הסלילונית, כך שהאינטגרלים על הקטעים האופקיים של הלולאה c הם אפס. לפיכך האינטגרל על הקטע השמאלי 1 חייב להיות שווה לאינטגרל על הקטע הימני 2. כיוון שתוצאה זו נכונה בלי קשר למיקום הלולאה ולאורכה, האינטגרנדים (השדות המגנטיים על שני הקטעים) חייבים להיות שווים, ומכאן שהשדה המגנטי בתוך הסלילונית האינסופית הוא אחיד רדיאלית. ניתן ליישם טיעון דומה על הלולאה a כדי להסיק שהשדה מחוץ לסלילונית הוא אחיד וקבוע רדיאלית. מכך אפשר להסיק שצפיפות השטף מחוץ לסלילונית האינסופית היא אפסית. ניתן להסביר זאת אינטואיטיבית בכך שקווי שדה מגנטי הם תמיד לולאות סגורות (ראה חוק גאוס למגנטיות). בתוך הסלילונית לקווי השדה המגנטי יש צפיפות סופית, אך כל קו נסגר ללולאה (במרחק אינסופי). מאחר שבכל מישור ניצב לציר z, השטח שבתוך הסלילונית הוא סופי בעוד שהשטח מחוץ לה הוא אינסופי, וגודל השדה בחוץ קבוע, הרי שצפיפות קווי השדה מחוץ לסלילונית קטנה "פי אינסוף" מצפיפותם בתוכה, ולכן השדה בחוץ חייב להיות אפסי. החלת חוק אמפר על מסלול סופי בתוך סלילונית (ראו איור מימין) תיתן את המשוואה לקטע סופי של סלילונית: B l = μ 0 N I {\displaystyle Bl=\mu _{0}NI} כאשר B {\displaystyle B} היא צפיפות השטף המגנטי, l {\displaystyle l} הוא אורך קטע הסלילונית, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} היא פרמאביליות הריק, N {\displaystyle N} הוא מספר הכריכות בקטע, ו- I {\displaystyle I} הוא הזרם הזורם בסלילונית. מכאן נקבל את הנוסחה לצפיפות השטף המגנטי בסלילונית: B = μ 0 N I l {\displaystyle B=\mu _{0}{\frac {NI}{l}}} משוואה זו תקפה עבור סלילונית בחלל ריק. אם הסלילונית נמצאת בתווך עם פרמאביליות יחסית μ r {\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }} , אז השדה גדל באותו יחס: B = μ 0 μ r N I l {\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {r} }{\frac {NI}{l}}} הכללת ליבה מחומר פרומגנטי, כגון ברזל, בתוך פנים הסלילונית, תגביר את צפיפות השטף המגנטי בתוך הסלילונית, אך לא מחוץ לה. כתוצאה מכך, צפיפות השטף בתוך הסלילונית תלויה הן בחומר הליבה והן בגאומטריה שלה, דבר הבא לידי ביטוי בנוסחה B = μ 0 μ e f f N I l = μ N I l {\displaystyle B=\mu _{0}\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}=\mu {\frac {NI}{l}}} כאשר μ e f f {\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }} היא הפרמאביליות האפקטיבית של הליבה, שהיא פונקציה של התכונות הגאומטריות של הליבה ושל הפרמאביליות היחסית שלה. הפרמאביליות היחסית (תכונה של החומר בלבד) והפרמאביליות האפקטיבית (תכונה של המבנה כולו) יכולות להיות שונות בסדרי גודל רבים. עבור מבנה מגנטי פתוח, הקשר בין הפרמאביליות האפקטיבית והיחסית ניתן בנוסחה הבאה: μ e f f = μ r 1 + k ( μ r − 1 ) {\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }={\frac {\mu _{r}}{1+k(\mu _{r}-1)}}} כאשר k הוא גורם הדה-מגנטיזציה של הליבה. ניתן לנתח סלילונית בעלת אורך סופי, אך רציפה במובן שהזרם אינו זורם בחוטים נפרדים אלא על חוטים דקים וצפופים עד אינסוף, היוצרים יריעת חומר מוליך. אנו מניחים שהזרם מפולג באופן אחיד על פני הסלילונית, עם צפיפות זרם K; בקואורדינטות גליליות: K → = I l ϕ ^ {\displaystyle {\vec {K}}={\frac {I}{l}}{\hat {\phi }}} ניתן למצוא את השדה המגנטי באמצעות הפוטנציאל המגנטי הווקטורי, אשר עבור סלילונית סופית עם רדיוס R ואורך l בקואורדינטות גליליות ( ρ , ϕ , z ) {\displaystyle (\rho ,\phi ,z)} הוא A ϕ = μ 0 I 2 π 1 l R ρ [ ζ k ( k 2 + h 2 − h 2 k 2 h 2 k 2 K ( k 2 ) − 1 k 2 E ( k 2 ) + h 2 − 1 h 2 Π ( h 2 , k 2 ) ) ] ζ − ζ + {\displaystyle A_{\phi }={\frac {\mu _{0}I}{2\pi }}{\frac {1}{l}}{\sqrt {\frac {R}{\rho }}}\left[\zeta k\left({\frac {k^{2}+h^{2}-h^{2}k^{2}}{h^{2}k^{2}}}K(k^{2})-{\frac {1}{k^{2}}}E(k^{2})+{\frac {h^{2}-1}{h^{2}}}\Pi (h^{2},k^{2})\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}} כאשר: ζ ± = z ± l 2 {\displaystyle \zeta _{\pm }=z\pm {\frac {l}{2}}} h 2 = 4 R ρ ( R + ρ ) 2 {\displaystyle h^{2}={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}}}} k 2 = 4 R ρ ( R + ρ ) 2 + ζ 2 {\displaystyle k^{2}={\frac {4R\rho }{(R+\rho )^{2}+\zeta ^{2}}}} K ( m ) = ∫ 0 π 2 d θ 1 − m sin 2 ⁡ θ {\displaystyle K(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}} E ( m ) = ∫ 0 π 2 1 − m sin 2 ⁡ θ d θ {\displaystyle E(m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}\,d\theta } Π ( n , m ) = ∫ 0 π 2 d θ ( 1 − n sin 2 ⁡ θ ) 1 − m sin 2 ⁡ θ {\displaystyle \Pi (n,m)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-m\sin ^{2}\theta }}}}} כאן, K ( m ) {\displaystyle K(m)} , E ( m ) {\displaystyle E(m)} , ו- Π ( n , m ) {\displaystyle \Pi (n,m)} הם אינטגרלים אליפטיים שלמים מהסוג הראשון, השני והשלישי. באמצעות המשוואה B → = ∇ × A → {\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}} מתקבלת המשוואות עבור צפיפות השטף המגנטי: B ρ = μ 0 I 4 π 2 l R ρ [ k 2 − 2 k K ( k 2 ) + 2 k E ( k 2 ) ] ζ − ζ + {\displaystyle B_{\rho }={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {2}{l}}{\sqrt {\frac {R}{\rho }}}\left[{\frac {k^{2}-2}{k}}K(k^{2})+{\frac {2}{k}}E(k^{2})\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}} B z = μ 0 I 4 π 1 l 1 R ρ [ ζ k ( K ( k 2 ) + R − ρ R + ρ Π ( h 2 , k 2 ) ) ] ζ − ζ + {\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}{\frac {1}{l}}{\frac {1}{\sqrt {R\rho }}}\left[\zeta k\left(K(k^{2})+{\frac {R-\rho }{R+\rho }}\Pi (h^{2},k^{2})\right)\right]_{\zeta _{-}}^{\zeta _{+}}} על ציר הסימטריה, הרכיב הרדיאלי נעלם, ומרכיב השדה הצירי הוא B z = μ 0 N I 2 ( l / 2 − z l R 2 + ( l / 2 − z ) 2 + l / 2 + z l R 2 + ( l / 2 + z ) 2 ) {\displaystyle B_{z}={\frac {\mu _{0}NI}{2}}\left({\frac {l/2-z}{l{\sqrt {R^{2}+(l/2-z)^{2}}}}}+{\frac {l/2+z}{l{\sqrt {R^{2}+(l/2+z)^{2}}}}}\right)} בתוך הסלילונית, רחוק מהקצוות ( l / 2 − | z | ≫ R {\displaystyle l/2-|z|\gg R} ), השדה הוא בקירוב קבוע B = μ 0 N I / l {\displaystyle B=\mu _{0}NI/l} . כפי שמוצג לעיל, צפיפות השטף המגנטי B {\displaystyle B} בתוך הסלילונית היא כמעט קבועה וניתנת על ידי B = μ e f f N I l {\displaystyle B=\mu _{\mathrm {eff} }{\frac {NI}{l}}} כאשר μ e f f {\displaystyle \mu _{\mathrm {eff} }} היא הפרמאביליות, N {\displaystyle N} מספר הסיבובים, I {\displaystyle I} הזרם ו- l {\displaystyle l} אורך הסליל. בהתעלם מהשפעות קצה, השטף המגנטי הכולל דרך הסלילונית מתקבל על ידי הכפלת צפיפות השטף B {\displaystyle B} בשטח החתך A {\displaystyle A}  : Φ = μ 0 N I A l {\displaystyle \Phi =\mu _{0}{\frac {NIA}{l}}} בשילוב עם הגדרת ההשראות, L = N Φ I {\displaystyle L={\frac {N\Phi }{I}}} , מתקבלת נוסחת השראות הסלילונית: L = μ 0 N 2 A l {\displaystyle L=\mu _{0}{\frac {N^{2}A}{l}}} עבור סלילונית עם ליבה מגנטית, ניתוח זה מתאים רק כאשר אורך הסליל גדול בהרבה ממכפלת הפרמאביליות היחסית של הליבה המגנטית והקוטר. תנאי זה מגביל את הניתוח הפשוט לליבות בעלות פרמאביליות נמוכה, או לסלילוניות דקות וארוכות במיוחד. שסתום סולנואיד סליל הלמהולץ סליל השראה סולנואיד מדיה וקבצים בנושא סלילונית בוויקישיתוף הדגמה אינטראקטיבית: שדה מגנטי של סולנואיד, באתר MagLab (המעבדה הלאומית לשדות מגנטיים גבוהים) הסבר ומחשבון לסלילוניות, המחלקה לפיזיקה ואסטרונומיה, אוניברסיטת Georgia State סלילונית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) סלילונית במילון פיזיקה: חשמל ומגנטיות (תשל"ו), באתר האקדמיה ללשון העברית או על פי הגדרה אחרת, קוטר הסליל קטן עד אינסוף: (Ampère 1823, p. 267: "des courants électriques formants de très-petits circuits autour de cette ligne, dans des plans infiniment rapprochés qui lui soient perpendiculaires"). Session of the Académie des sciences of 22 December 1823, published in print in: Ampère, "Mémoire sur la théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques", Mémoires de l'Académie royale des sciences de l'Institut de France 6 (1827), Paris, F. Didot, pp. 267ff. (and figs. 29–33). "l'assemblage de tous les circuits qui l'entourent [viz. l'arc], assemblage auquel j'ai donné le nom de solénoïde électro-dynamique, du mot grec σωληνοειδὴς, dont la signification exprime précisement ce qui a la forme d'un canal, c'est-à-dire la surface de cette forme sur laquelle se trouvent tous les circuits." (p. 267). Jiles, David. Introduction to magnetism and magnetic materials. CRC press, p. 48, 2015. Finite length Solenoid potential and field, Nuclear Physics 101, ‏17 ביולי 2011 (באנגלית) Müller, Karl Friedrich (1 במאי 1926). "Berechnung der Induktivität von Spulen" [Calculation of inductance of coils]. Archiv für Elektrotechnik (בגרמנית). 17 (3): 336–353. doi:10.1007/BF01655986. ISSN 1432-0487. {{cite journal}}: (עזרה) Callaghan, Edmund E.; Maslen, Stephen H. (1 באוקטובר 1960). "The magnetic field of a finite solenoid". NASA Technical Reports (באנגלית). NASA-TN-D-465 (E-900). {{cite journal}}: (עזרה) Caciagli, Alessio; Baars, Roel J.; Philipse, Albert P.; Kuipers, Bonny W.M. (2018). "Exact expression for the magnetic field of a finite cylinder with arbitrary uniform magnetization". Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 456: 423–432. Bibcode:2018JMMM..456..423C. doi:10.1016/j.jmmm.2018.02.003. ISSN 0304-8853.