משפט קרנו (תרמודינמיקה)

משפט קרנו בתרמודינמיקה קובע חסם עליון לנצילות התאורטית של מנוע חום. המשפט קובע שבין כל מכונות החום שפועלות בין אמבט חם לאמבט קר, מכונת קרנו הפועלת בין שני המאגרים היא בעלת הנצילות המרבית, וערכה של נצילות מרבית זאת תלוי רק בטמפרטורות של המאגר החם והקר. נצילות זאת אינה תלויה בפרטים המדוקדקים של מחזור העבודה או בסוג המרכיב החומרי באמצעותו מתבצעת עבודה. המשפט פותח ב-1824 על ידי הפיזיקאי הצרפתי סאדי קרנו. הנצילות המרבית היא היחס בין הפרש הטמפרטורות של המאגרים לטמפרטורה של המאגר החם, ומבוטאת במשוואה η max = 1 − T C T H {\displaystyle \eta _{\text{max}}=1-{\frac {T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}}} , כאשר TC ו-TH הן הטמפרטורות המוחלטות של המאגר הקר והחם, בהתאמה, והנצילות η {\displaystyle \eta } מוגדרת להיות היחס בין העבודה המכנית שביצע המנוע לחום שנמסר מהמאגר החם. משפט קרנו הוא מסקנה מן החוק השני של התרמודינמיקה. מבחינה היסטורית, המשפט פותח על סמך הקונספציה של תאוריית הקלוריק (השקפה שהייתה רווחת בתקופתו של קרנו), והקדים את ניסוח החוק השני. ההוכחה של משפט קרנו היא הוכחה על דרך השלילה: האסטרטגיה המרכזית שלה היא להראות שהנחת קיומה של מכונת חום היפותטית בעלת נצילות גבוהה מהחסם של קרנו מאפשרת לבנות מכונת חום מורכבת המזרימה חום ממאגר קר למאגר חם ללא התערבות אנרגטית חיצונית. באיור מופיעים שני מנועי חום מצומדים הפועלים בין שני מאגרים בטמפרטורות שונות. מנוע החום בעלת הנצילות הגבוהה יותר ( η M {\displaystyle \eta _{M}} ) מניע מנוע חום עם נצילות נמוכה יותר ( η L {\displaystyle \eta _{L}} ), ולמעשה גורם לאחרון לפעול כמשאבת חום. צמד המנועים לא מקבל שום אנרגיה ממקור חיצוני, ופועל לגמרי באמצעות האנרגיה המשתחררת כאשר חום מועבר מהמאגר החם לתוך המאגר הקר. אף על פי כן, אם מתקיים η M > η L {\displaystyle \eta _{M}>\eta _{L}} , אז זרימת החום השקולה תהיה אחורנית, כלומר מהמאגר הקר לחם ובניגוד לכיוון ההתרחשות הטבעי של תהליכים: Q hot out = Q < η M η L Q = Q hot in . {\displaystyle Q_{\text{hot}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=Q_{\text{hot}}^{\text{in}}.} מצב שאינו אפשרי אודות לחוק השני של התרמודינמיקה. החום Q {\displaystyle Q} שזורם מהמאגר החם מומר לעבודה W = η M Q {\displaystyle W=\eta _{M}Q} ולחום ( 1 − η M ) Q {\displaystyle (1-\eta _{M})Q} שזורם אל המאגר הקר. מכונת החום השנייה היא משאבת חום, כך שהעבודה W שהפעיל המנוע הראשון משמשת כדי לשאוב חום מהמאגר הקר למאגר החם. מכיוון שמשאבת החום היא למעשה מנוע קרנו הפוך, החום Q ′ {\displaystyle Q'} שהיא תמסור למאגר החם יקיים: η L Q ′ = W = η M Q ⟹ Q ′ = η M η L Q {\displaystyle \eta _{L}Q'=W=\eta _{M}Q\implies Q'={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q} . מכיוון שהנחת המוצא שלנו היא ש- η M > η L {\displaystyle \eta _{M}>\eta _{L}} , קיבלנו איפה ש- Q ′ > Q {\displaystyle Q'>Q} , כלומר שזרם חום מהמאגר הקר למאגר החם ללא עזרה חיצונית, בסתירה לחוק השני. מנקודת המבט שנוצרה אחרי ניסוח משפט קרנו, מעגל קרנו הוא הדרך היעילה ביותר להמיר מפל חום (ממאגר חם למאגר קר) לעבודה מכנית משום שזהו המעגל התרמודינמי היחידי שהוא גם תהליך הפיך - כלומר כזה שהאנטרופיה הכוללת של היקום (האנטרופיה של המערכת ועוד האנטרופיה של הסביבה) בסיום התהליך שווה לזו שבתחילתו. מעגל קרנו הוא מעגל הפיך משום שכל אחד מארבעת השלבים שמרכיבים אותו (התפשטות איזותרמית, התפשטות אדיאבטית, דחיסה איזותרמית ודחיסה אדיאבטית) נעשה באופן הפיך: בכל אחד מהשלבים האיזותרמיים, הטמפרטורה של המערכת שונה רק באופן אינפיניטסימלי מהמאגר אליו היא מצומדת, כך שמעבר חום מן המאגר אל המערכת גורע מהמאגר אותה כמות אנטרופיה שמתווספת למערכת, וסך האנטרופיה של היקום אינה משתנה. השלבים האדיאבטיים הם למעשה הדרך היחידה לתווך בין הטמפרטורה של המאגר החם לטמפרטורה של המאגר הקר באופן הפיך - מכיוון שעל מנת לבצע על המערכת תהליך איזותרמי בצמוד למאגר החם/קר יש תחילה להביא את המערכת לטמפרטורת המאגר אליו היא מצומדת, המערכת צריכה לעבור שלבי ביניים של הפחתה והעלאת הטמפרטורה. הדרך היחידה לבצע את שלבי הביניים הללו באופן שאינו מפיק אנטרופיה (כלומר באופן הפיך) היא בעזרת תהליכים אדיאבטיים איטיים - זאת שכן בתהליך אדיאבטי הנעשה באופן איטי אין מעבר חום ואין שינויים פתאומיים בלחץ, כך שהאנטרופיה נותרת קבועה. כאשר מבינים בדרך זו את החשיבות העקרונית של כל אחד מהשלבים במעגל קרנו, ניתן להבין באופן אינטואיטיבי יותר מדוע זהו התהליך היעיל ביותר: עלייה באנטרופיה של היקום מקושרת לתהליכים ספונטניים ובזבזניים מבחינה אנרגטית, המעלים את אי-הסדר הכולל, ולכן, מכיוון שבמעגל קרנו אין שינוי באנטרופיה הכוללת, זהו גם התהליך בעל הנצילות המרבית. בלשון ציורית, תהליך בזבזני מבחינה אנרגטית משול למנוע חורק, שרכיביו מבצעים תנועות עודפות ומיותרות, ואשר צורך בכללותו יותר אנרגיה מזו הנדרשת לפעולתו. חשוב להבין שמשפט קרנו מספק חסם עליון תאורטי בלבד על הנצילות של מנועי חום; מעגל קרנו הפיך ניתן למימוש רק כאשר כל אחד משלבי המעגל נעשים באופן איטי במידה אינסופית, אחרת תתפתח עד מהרה סטייה בין המיקום התרמודינמי של המערכת במישור P-V למיקום המצופה שלה על פי המודל של מעגל קרנו. מטבע הדברים, מנועי חום משמשים דווקא במקום שבו נדרשת מהירות עבודה רבה (למשל במנועי רכב), כך שהנצילויות שמושגות בפועל רחוקות מחסם קרנו. המסקנה המתבקשת ממשפט קרנו היא: לכל מכונות החום ההפיכות הפועלות בין שני מאגרי חום נתונים יש אותה נצילות. זוהי תוצאה חשובה משום שהיא עוזרת לבסס את משפט קלאוזיוס, אשר קובע שהשינוי באנטרופיה הוא ייחודי עבור כל התהליכים ההפיכים: Δ S = ∫ a b d Q rev T , {\displaystyle \Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}},} בעבור כל המסלולים (בין a ל-b במישור V-T). אם האינטגרל הזה לא היה בלתי תלוי מסלול, אז האנטרופיה S הייתה מאבדת את מעמדה כפונקציית מצב. מנוע קרנו