מידה מסומנת

במתמטיקה, מידה מסומנת (signed measure) היא העתקה המכלילה את רעיון המידה, באפשרה ערכים שליליים. יהא ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} מרחב מדיד. מידה מסומנת על המרחב היא העתקה מהצורה ν : Σ → R ¯ {\displaystyle \nu :\Sigma \rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}} (כאשר R ¯ = R ∪ { − ∞ , + ∞ } {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{{-\infty ,+\infty }\}} ) המקיימת את התכונות הבאות: ν ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \nu (\emptyset )=0} ההעתקה ν {\displaystyle \nu } רשאית לקבל רק אחד מהערכים + ∞ {\displaystyle +\infty } או − ∞ {\displaystyle -\infty } . ההעתקה ν {\displaystyle \nu } היא σ {\displaystyle \sigma } ־אדיטיבית. כלומר, לכל סדרה של קבוצות מדידות וזרות ( A n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }} מתקיים ש־ ν ( ⨆ n = 1 ∞ A n ) = ∑ n = 1 ∞ ν ( A n ) {\displaystyle \nu (\bigsqcup _{n=1}^{\infty }A_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})} . כמו כן, אנחנו דורשים שלכל ( A n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }} הטור ∑ n = 1 ∞ ν ( A n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})} חייב להתכנס בהחלט. על מנת למנוע בלבול מיותר בהמשך המאמר, מעתה ואילך (במאמר זה) העתקת המידה "הרגילה" תקרא מידה חיובית. תהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת על מרחב מדיד ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} . נאמר ש־ A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } היא קבוצה ν {\displaystyle \nu } ־חיובית אם לכל Σ ∋ B ⊆ A {\displaystyle \Sigma \ni B\subseteq A} מתקיים ש־ ν ( B ) ≥ 0 {\displaystyle \nu (B)\geq 0} . באופן אנלוגי אנחנו נגדיר את הקבוצה A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } להיות קבוצה ν {\displaystyle \nu } ־שלילית אם לכל Σ ∋ B ⊆ A {\displaystyle \Sigma \ni B\subseteq A} מתקיים ש־ ν ( B ) ≤ 0 {\displaystyle \nu (B)\leq 0} . נאמר שהקבוצה A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } היא ν {\displaystyle \nu } ־אפסית אם היא ν {\displaystyle \nu } ־חיובית וגם ν {\displaystyle \nu } ־שלילית. ערך מורחב – פונקציה רציפה בהחלט תהא μ {\displaystyle \mu } מידה חיובית ותהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת על אותו מרחב מדיד ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} . נאמר ש־ ν {\displaystyle \nu } היא רציפה בהחלט ביחס ל־ μ {\displaystyle \mu } , ונסמן זאת על ידי ν ≪ μ {\displaystyle \nu \ll \mu } , אם לכל A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } קבוצה מדידה מתקיים: μ ( A ) = 0 ⟹ ν ( A ) = 0 {\displaystyle \mu (A)=0\Longrightarrow \nu (A)=0} . ערך מורחב – מידה סינגולרית יהיו ν , μ {\displaystyle \nu ,\mu } מידות מסומנות על המרחב המדיד ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} . נאמר ש־ ν {\displaystyle \nu } ו־ μ {\displaystyle \mu } הן סינגולריות אחת ביחס לשניה ונסמן זאת על ידי ν ⊥ μ {\displaystyle \nu \perp \mu } אם קיימות שתי תת־קבוצות A , B ⊆ X {\displaystyle A,B\subseteq X} מדידות המהוות פירוק זר ל־ X {\displaystyle X} וגם A {\displaystyle A} היא μ {\displaystyle \mu } ־אפסית ו־ B {\displaystyle B} היא ν {\displaystyle \nu } ־אפסית. נזכר כי מידה מסומנת נועדה להכליל את המושג מידה "רגילה" (או מידה חיובית), לכן זה הגיוני שמידה מסומנת תקיים חלק מהתכונות הרגילות שמקיימת מידה חיובית. חלק מהתכונות הללו הן תכונות הרציפות. תהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת ותהא ( B n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (B_{n})_{n=1}^{\infty }} סדרה של קבוצות עולות (ביחס להכלה) אזי מתקיים ν ( ⋃ n = 1 ∞ B n ) = lim n → ∞ ν ( B n ) {\displaystyle \nu (\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n})=\lim _{n\to \infty }\nu (B_{n})} תהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת ותהא ( B n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (B_{n})_{n=1}^{\infty }} סדרה של קבוצות יורדות (ביחס להכלה) וגם | ν ( B 1 ) | < ∞ {\displaystyle |\nu (B_{1})|<\infty } אזי ν ( ⋂ n = 1 ∞ B n ) = lim n → ∞ ν ( B n ) {\displaystyle \nu (\bigcap _{n=1}^{\infty }B_{n})=\lim _{n\to \infty }\nu (B_{n})} תהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת ויהיו ( B n ) n = 1 ∞ {\displaystyle (B_{n})_{n=1}^{\infty }} סדרה של קבוצות ν {\displaystyle \nu } חיוביות. אזי, B = ⋃ n = 1 ∞ B n {\displaystyle B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}} היא קבוצה ν {\displaystyle \nu } ־חיובית. ערך מורחב – משפט הפירוק של האן תהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת על מרחב מדיד ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} . אזי, קיימות שתי קבוצות זרות P , N ⊆ X {\displaystyle P,N\subseteq X} שכך שמתקיימים התנאים הבאים: הקבוצות P {\displaystyle P} ו־ N {\displaystyle N} מהוות פירוק זר של X {\displaystyle X} . כלומר, X = P ⊔ N {\displaystyle X=P\sqcup N} . הקבוצה P {\displaystyle P} היא ν {\displaystyle \nu } ־חיובית. הקבוצה N {\displaystyle N} היא ν {\displaystyle \nu } ־שלילית. הפירוק הוא יחיד במובן הבא: אם P ′ , N ′ ⊆ X {\displaystyle P',N'\subseteq X} הן גם פירוק Hahn של X {\displaystyle X} אזי הקבוצות P ′ − P , P − P ′ , N − N ′ , N ′ − N {\displaystyle P'-P,P-P',N-N',N'-N} הן קבוצות אפסיות ביחס ל־ ν {\displaystyle \nu } . ערך מורחב – משפט הפירוק של ז'ורדן תהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת על מרחב מדיד ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} . אזי קיימות מידות חיוביות ν + {\displaystyle \nu ^{+}} ו־ ν − {\displaystyle \nu ^{-}} כך שמתקיימים התנאים הבאים: המידות ν + {\displaystyle \nu ^{+}} ו־ ν − {\displaystyle \nu ^{-}} מהוות פירוק של המידה ν {\displaystyle \nu } . כלומר, ν = v + − v − {\displaystyle \nu =v^{+}-v^{-}} . המידות ν + {\displaystyle \nu ^{+}} ו־ ν − {\displaystyle \nu ^{-}} הן מידות סינגולריות אחת ביחס לשנייה. אם ν {\displaystyle \nu } היא מידה מסומנת, ו־ ν + {\displaystyle \nu ^{+}} וגם ν − {\displaystyle \nu ^{-}} מהוות פירוק של ν {\displaystyle \nu } , אז העתקה | ν | = ν + + ν − {\displaystyle |\nu |=\nu ^{+}+\nu ^{-}} היא מידה חיובית הנקראת פונקציית ההשתנות הכללית של ν {\displaystyle \nu } . יהא ( X , Σ , μ ) {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )} מרחב מידה כאשר μ {\displaystyle \mu } היא מידה חיובית, ותהא f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } אינטגרבילית באופן מוחלט. אזי, העתקה שמוגדרת על קבוצה A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } באופן הבא ν : A → ∫ A f ⋅ d μ {\displaystyle \nu :A\to \int _{A}f\cdot d\mu } היא מידה מסומנת. יתרה מכך, אם f ∈ L 1 ( μ ) {\displaystyle f\in L^{1}(\mu )} אזי ν {\displaystyle \nu } היא מידה סופית וגם ν ≪ μ {\displaystyle \nu \ll \mu } . ערך מורחב – משפט רדון־ניקודים יהא ( X , Σ ) {\displaystyle (X,\Sigma )} מרחב מדיד. תהא μ {\displaystyle \mu } מידה חיובית ו־ σ {\displaystyle \sigma } ־סופית ותהא ν {\displaystyle \nu } מידה מסומנת ו־ σ {\displaystyle \sigma } ־סופית. אזי קיימות λ {\displaystyle \lambda } מידה חיובית ו־ ρ {\displaystyle \rho } מידה מסומנת המקיימות את התנאים הבאים: המידות λ {\displaystyle \lambda } ו־ ρ {\displaystyle \rho } מהוות פירוק של המידה ν {\displaystyle \nu } . כלומר, ν = λ + ρ {\displaystyle \nu =\lambda +\rho } . המידות λ {\displaystyle \lambda } ו־ μ {\displaystyle \mu } הן סינגולריות אחת ביחס לשנייה. כלומר, λ ⊥ μ {\displaystyle \lambda \perp \mu } . המידה ρ {\displaystyle \rho } רציפה בהחלט ביחס למידה μ {\displaystyle \mu } . כלומר, ρ ≪ μ {\displaystyle \rho \ll \mu } . בפרט, קיימת f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } אינטגרבילית באופן מוחלט כך ש־ ρ ( A ) = ∫ A f ⋅ d μ {\displaystyle \rho (A)=\int _{A}f\cdot d\mu } . אם ν ≪ μ {\displaystyle \nu \ll \mu } אזי λ = 0 {\displaystyle \lambda =0} ולכן ν ( A ) = ∫ A f ⋅ d μ {\displaystyle \nu (A)=\int _{A}f\cdot d\mu } . במקרה הזה, הפונקציה f {\displaystyle f} נקראת נגזרת רדון־נקודים ונהוג לסמן d ν ( A ) = f ⋅ d μ ⟹ f = d ν d μ {\displaystyle d\nu (A)=f\cdot d\mu \Longrightarrow f={d\nu \over d\mu }} כמו כן, f {\displaystyle f} הנ״ל יחידה עד כדי מידה 0. Signed Measures, באתר של אוניברסיטת ווטרלו (באנגלית) מידה מסומנת, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)