מוליכים למחצה מחוץ לשיווי משקל

בפיזיקה סטטיסטית משתמשים בניתוח מיקורסקופי של מערכות על מנת להבין תכונות ותופעות מאקרוסקופיות של המערכת. מוליכים למחצה הם חומרים בעלי תכונות הולכה מעניינות, אשר גם הם מטופלים על ידי שיטות של פיזיקה הסטטיסטית. העיסוק במוליכים למחצה מחוץ לשיווי משקל מבקש לתאר את המוליך כאשר אינו נמצא בשיווי משקל תרמודינמי, למשל מוליך למחצה הנושא זרם חשמלי (זהו אינו שיווי משקל תרמודינמי שכן ישנו מעבר של אלקטרונים דרך המערכת). העיסוק במוליכים מחוץ לשיווי משקל הוא הכרחי כל אימת שרוצים לתאר את הפיזיקה של תהליך שאינו בשיווי משקל במוליך למחצה. כיוון שמרבית התהליכים אינם סטאטיים הצורך בכלים מתאימים הוא ניכר. דוגמה נפוצה לכך היא הלייזר דיודה אשר הוא רכיב אלקטרו-אופטי העשוי מוליך למחצה. כיוון שבעת הפעלת הלייזר ישנה זרימה של מטענים, השקעת אנרגיה (הפעלת שדה) ואיבוד אנרגיה (הפוטונים הנפלטים) לא ניתן לתאר את המערכת בכלים של הסתכלות על מצב שיווי המשקל. בערך זה ננסה לתת טעימה בסיסית לכיצד מטפלים במצב זה. תחילה נציג כמה תוצאות בסיסיות עבור מוליכים למחצה (מומלץ לעבור על הערך מוליך למחצה על מנת להבין את המושגים הבסיסיים). ראשית נגדיר מספר גדלים בסיסיים עבור התיאור של מוליכים למחצה: ϵ c {\displaystyle \epsilon _{c}} – אנרגיית פס ההולכה – האנרגיה המינימלית האפשרית לאלקטרון בפס ההולכה. ϵ v {\displaystyle \epsilon _{v}} – אנרגיית פס הערכיות – האנרגיה המקסימלית האפשרית לאלקטרון בפס הערכיות. ϵ g = ϵ c − ϵ v {\displaystyle \epsilon _{g}=\epsilon _{c}-\epsilon _{v}} – פער האנרגיה בין פס ההולכה לפס הערכיות. n e {\displaystyle n_{e}} – ריכוז אלקטרוני ההולכה – האלקטרונים הנמצאים בפס ההולכה. n h {\displaystyle n_{h}} – ריכוז החורים, נושאי המטען החיובי, הנמצאים בפס הערכיות. במוליך למחצה עצמותי (intrinsic) מתקיים n e = n h {\displaystyle n_{e}=n_{h}} . n d + {\displaystyle n_{d}^{+}} – ריכוז האטומים התורמים (donors). n a − {\displaystyle n_{a}^{-}} – ריכוז האטומים הנוטלים (acceptors). ראו "אילוח וסוגי הולכה" במוליך למחצה. עבור מוליך למחצה מאולח עם הריכוזים שלעיל, התנאי עבור נייטרליות חשמלית הוא n e − n h = Δ n = n d + − n a − {\displaystyle n_{e}-n_{h}=\Delta n=n_{d}^{+}-n_{a}^{-}} . דבר זה נובע מכך שכל אטום תורם מוסיף אלקטרון לנושאי המטען החופשיים וכל אטום נוטל מוסיף חור לנושאי המטען החופשיים. μ {\displaystyle \mu } – הפוטנציאל הכימי של האלקטרונים. עבור מוליכים למחצה (לא מנוונים) מתקיים ϵ v < μ < ϵ c {\displaystyle \epsilon _{v}<\mu <\epsilon _{c}} . אלקטרוני ההולכה ניתנים לתיאור כגז פרמיונים, מכך ניתן לכתוב עבורם את התפלגות פרמי-דיראק: f e ( ϵ ) = 1 1 + e β ( ϵ − μ ) {\displaystyle f_{e}(\epsilon )={\frac {1}{1+e^{\beta \left(\epsilon -\mu \right)}}}} כאשר: μ {\displaystyle \mu } – הפוטנציאל הכימי של האלקטרונים. β {\displaystyle \beta } – הטמפרטורה ההופכית כלומר β = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{B}T}}} (כאשר k B {\displaystyle k_{B}} זהו קבוע בולצמן). f e ( ϵ ) {\displaystyle f_{e}(\epsilon )} – מספר האלקטרונים במצב בעל אנרגיה ϵ {\displaystyle \epsilon } . באותו אופן עבור החורים פונקציית האכלוס היא f h ( ϵ ) = 1 − f e ( ϵ ) {\displaystyle f_{h}(\epsilon )=1-f_{e}(\epsilon )} זאת כיוון שכל מצב שאינו מכיל אלקטרון בהכרח מכיל חור. ולכן מתקבל: f h ( ϵ ) = 1 1 + e β ( μ − ϵ ) {\displaystyle f_{h}(\epsilon )={\frac {1}{1+e^{\beta \left(\mu -\epsilon \right)}}}} על מנת להגיע לביטוי הנותן את ריכוז האלקטרונים כתלות ב־ μ {\displaystyle \mu } ו־ β {\displaystyle \beta } , נניח כי גם החורים וגם האלקטרונים נמצאים בקירוב הקלאסי, כלומר: f h ( ϵ ) ≈ e − β ( μ − ϵ ) {\displaystyle f_{h}(\epsilon )\approx e^{-\beta \left(\mu -\epsilon \right)}} ; f e ( ϵ ) ≈ e − β ( ϵ − μ ) {\displaystyle f_{e}(\epsilon )\approx e^{-\beta \left(\epsilon -\mu \right)}} דבר זה שקול לכך שההסתברות לאכלוס של רמת אנרגיה מסוימת הוא נמוך (בדומה לקירוב של גז אידיאלי). כעת נרצה לספור את אלקטרוני ההולכה, לשם כך נצטרך לסכום על כל רמות האנרגיה בפס ההולכה: N e = ∑ C B e − β ( ϵ − μ ) = e − β ( ϵ c − μ ) ∑ C B e − β ( ϵ − ϵ c ) {\displaystyle N_{e}=\sum _{CB}e^{-\beta \left(\epsilon -\mu \right)}=e^{-\beta \left(\epsilon _{c}-\mu \right)}\sum _{CB}e^{-\beta \left(\epsilon -\epsilon _{c}\right)}} נבחין כי לביטוי ∑ C B e − β ( ϵ − ϵ c ) {\displaystyle \sum _{CB}e^{-\beta \left(\epsilon -\epsilon _{c}\right)}} יש צורה של פונקציית חלוקה, ועל כן נוכל להעריך את הסכום על ידי כך שהאלקטרונים בקירוב מתנהגים כמו גז אידיאלי. לכן האנרגיה של חלקיק בודד נתונה על ידי: ϵ n = ℏ 2 π 2 2 M L 2 ( n x 2 + n y 2 + n z 2 ) {\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2ML^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2})} (ראו חלקיק בבור פוטנציאל אינסופי). לכן עלינו להעריך את הסכום: 2 ∑ n x ∑ n y ∑ n z e − β ϵ n = 2 ∑ n x e − α 2 n x 2 ∑ n y e − α 2 n y 2 ∑ n z e − α 2 n z 2 = 2 ( ∑ n e − α 2 n 2 ) 3 {\displaystyle 2\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}e^{-\beta \epsilon _{n}}=2\sum _{n_{x}}e^{-\alpha ^{2}n_{x}^{2}}\sum _{n_{y}}e^{-\alpha ^{2}n_{y}^{2}}\sum _{n_{z}}e^{-\alpha ^{2}n_{z}^{2}}=2\left(\sum _{n}e^{-\alpha ^{2}n^{2}}\right)^{3}} . כאשר α 2 = ℏ 2 π 2 β 2 M L 2 {\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}\beta }{2ML^{2}}}} . הוספת פקטור 2 היא בגלל הניוון הנובע מקיומו של ספין 1/2. תחת ההנחה שהחישוב הוא בגבול הקלאסי, ניתן לעבור לגבול הרצף שכן ההפרש בין רמות האנרגיה של המצבים הוא קטן ממש בהשוואה לאנרגיה בבעיה – τ {\displaystyle \tau } . נחשב: 2 ( ∫ 0 ∞ e − α 2 n 2 d n ) 3 = 2 1 α 3 ( ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ) 3 = 2 π 3 / 2 8 α 3 = 2 1 8 ( 2 M L 2 τ ℏ 2 π ) 3 / 2 = 2 V ( M τ 2 ℏ 2 π ) 3 / 2 {\displaystyle 2\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha ^{2}n^{2}}dn\right)^{3}=2{\frac {1}{\alpha ^{3}}}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{3}=2{\frac {\pi ^{3/2}}{8\alpha ^{3}}}=2{\frac {1}{8}}\left({\frac {2ML^{2}\tau }{\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}=2V\left({\frac {M\tau }{2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}} כלומר מתקבל: N c = 2 V ( M τ 2 ℏ 2 π ) 3 / 2 {\displaystyle N_{c}=2V\left({\frac {M\tau }{2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}} נוכל להגדיר את הצפיפות הקוונטית עבור האלקטרונים: n c = N c V = 2 V ( M τ 2 ℏ 2 π ) 3 / 2 {\displaystyle n_{c}={\frac {N_{c}}{V}}=2V\left({\frac {M\tau }{2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3/2}} ומהתפלגות פרמי-דיראק בגבול הקלאסי נקבל: n e = n c e − β ( ϵ c − μ ) {\displaystyle n_{e}=n_{c}e^{-\beta (\epsilon _{c}-\mu )}} באותו אופן מקבלים עבור החורים כי: n e = n v e − β ( μ − ϵ v ) {\displaystyle n_{e}=n_{v}e^{-\beta (\mu -\epsilon _{v})}} כאשר ההגדרה של N v {\displaystyle N_{v}} ו־ n v {\displaystyle n_{v}} אנלוגיות להגדרות של N c {\displaystyle N_{c}} ו־ n c {\displaystyle n_{c}} . משתי התוצאות שהתקבלו ניתן לראות באופן כמותי כי מוליך למחצה עם פוטנציאל כימי אשר יותר קרוב לפס ההולכה יכיל יותר אלקטרוני הולכה מאשר חורים ויתקבל מוליך למחצה מסוג n. כאשר הפוטנציאל הכימי יותר קרוב לפס הערכיות יהיו יותר חורים מאשר אלקטרוני הולכה ויתקבל מוליך למחצה מסוג p (להבהרה בעניין מוליך למחצה מסוג n ומוליך למחצה מסוג p ראו מוליכים למחצה). כאשר הפוטנציאל הכימי קבוע כתלות במיקום בתוך המוליך המערכת תשיג שיווי משקל ולא תהיה תנועת אלקטרונים, אך במקרה שהפונציאל הכימי משתנה כתלות במיקום נקבל תנועה של מטענים. אם נניח כי הפוטנציאל הכימי משתנה לאט נוכל להניח כי הזרם החשמלי פרופציונלי לגרדיאנט של הפוטנציאל הכימי, כלומר: J e ∝ ∇ μ {\displaystyle J_{e}\propto \nabla \mu } כאשר J e {\displaystyle J_{e}} הוא צפיפות הזרם (מטען ליחידת שטח ליחידת זמן) והוא שווה לצפיפות זרם האלקטרונים כפול מטען האלקטרון. כעת אם נסתכל על הגרדיאנט של הפוטנציאל הכימי ככוח הפועל על המטענים נקבל כי הזרם החשמלי פרופורציוני לצפיפות האלקטרונים, כלומר: J e = μ ~ e n e ∇ μ {\displaystyle J_{e}={\tilde {\mu }}_{e}n_{e}\nabla \mu } כאשר קבוע פרופורציה μ ~ e {\displaystyle {\tilde {\mu }}_{e}} הוא הניידות החשמלית. כעת נוכל להשתמש בקשר שפיתחנו עבור הצפיפות אלקטרוני ההולכה בחלק הקודם ועל ידי סידור מחדש לקבל: μ = ϵ c + τ ln ⁡ ( n e n c ) {\displaystyle \mu =\epsilon _{c}+\tau \ln \left({\frac {n_{e}}{n_{c}}}\right)} כעת נציב בביטוי לזרם ונקבל: J e = μ ~ e n e ∇ ϵ c + μ ~ e τ ∇ n e {\displaystyle J_{e}={\tilde {\mu }}_{e}n_{e}\nabla \epsilon _{c}+{\tilde {\mu }}_{e}\tau \nabla n_{e}} שינוי באנרגיית פס ההולכה נובע כתוצאה משינוי בפוטנציאל החשמלי במרחב, ושינוי בפוטנציאל חשמלי שווה למינוס השדה או באופן פורמלי: ∇ ϵ c = − e   ∇ φ = e E {\displaystyle \nabla \epsilon _{c}=-e\ \nabla \varphi =eE} כעת נשתמש ביחס איינשטיין, לפיו: D e = μ ~ e τ e {\displaystyle D_{e}={\frac {{\tilde {\mu }}_{e}\tau }{e}}} כאשר D e {\displaystyle D_{e}} הוא קבוע הפעפוע. J e = e μ ~ e n e E → + e D e ∇ n e {\displaystyle J_{e}=e{\tilde {\mu }}_{e}n_{e}{\vec {E}}+eD_{e}\nabla n_{e}} ניתן לראות כי לזרם שני רכיבים – הרכיב ראשון הוא זה המושפע מהפעלת שדה ותלוי בצפיפות האלקטרונים ובניידות החשמלית. הרכיב השני נובע מפעפוע האלקטרונים מריכוז גבוה לנמוך. האלקטרונים זורמים במורד הגרדיאנט אך מכיוון שמטענים שלילי, מתקבל כי הזרם הוא במעלה הגרדיאנט ולכן סימן האיבר השני הוא חיובי. ניתן לכתוב את אותה משוואה עבור החורים, ומכיוון שהם הפוכי סימן נקבל כי האיבר הפעפוע יהיה בסימן שלילי, כלומר: J h = e μ ~ h n h E → − e D h ∇ n h {\displaystyle J_{h}=e{\tilde {\mu }}_{h}n_{h}{\vec {E}}-eD_{h}\nabla n_{h}} מוליך למחצה פיזיקה סטטיסטית תרמודינמיקה לא בשיווי משקל Kittel, Charles, Thermal physics, W. H. Freeman and Company, 1980.