התפלגות ריילי

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות ריילי היא התפלגות רציפה, המתקבלת כאורך של וקטור דו-ממדי ששני רכיביו מתפלגים נורמלית, עם תוחלת אפס ואותה סטיית תקן. למשל, אם הסטיות של קליע מן המטרה מתפלגות נורמלית בציר X ובציר Y, ובלתי תלויות זו בזו, אז מרחק הקליע מן המטרה מתפלג לפי התפלגות ריילי. ההתפלגות תלויה בפרמטר   σ {\displaystyle \ \sigma } , המציין את סטיית התקן של הרכיבים בווקטור. פונקציית הצפיפות היא f ( x | σ ) = x exp ⁡ ( − x 2 2 σ 2 ) σ 2 {\displaystyle f(x|\sigma )={\frac {x\exp \left({\frac {-x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}{\sigma ^{2}}}} . המומנטים נתונים על ידי μ k = σ k 2 k / 2 Γ ( 1 + k / 2 ) {\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,} , כאשר   Γ {\displaystyle \ \Gamma } מסמנת את פונקציית גמא. בפרט, מתקבלים: התוחלת σ π 2 {\displaystyle \sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}} , השונות 4 − π 2 σ 2 {\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}} , הצידוד 2 π ( π − 3 ) ( 4 − π ) 3 / 2 {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}} והגבנוניות − 6 π 2 − 24 π + 16 ( 4 − π ) 2 {\displaystyle -{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}} . בהינתן מדגם בן N ערכים בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות ריילי עם פרמטר σ {\displaystyle \sigma } (שאינו ידוע), אומד הנראות המקסימלית של הפרמטר נתון על ידי הנוסחה σ ^ = 1 2 N ∑ i = 1 N x i 2 . {\displaystyle {\hat {\sigma }}={\sqrt {{\frac {1}{2N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}}}.} בהינתן שיש בידינו משתנה מקרי u מהתפלגות אחידה רציפה סטנדרטית (בין 0 ל-1), אז למשתנה X המוגדר על ידי: X = σ − 2 ln ⁡ ( u ) {\displaystyle X=\sigma {\sqrt {-2\ln(u)}}\,} יש התפלגות ריילי עם פרמטר σ {\displaystyle \sigma } . תוצאה זו מושגת על ידי שימוש בשיטת דגימת ההעתקה ההופכית (ITS). אם   X , Y ∼ N ( 0 , σ 2 ) {\displaystyle \ X,Y\sim N(0,\sigma ^{2})} משתנים נורמליים בלתי תלויים, אז   R = X 2 + Y 2 ∼ R a y l e i g h ( σ ) {\displaystyle \ R={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )} מתפלג לפי התפלגות ריילי (מכאן הפרמטר סיגמא). אם   R ∼ R a y l e i g h ( 1 ) {\displaystyle \ R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)} , אז   R 2 {\displaystyle \ R^{2}} מתפלג התפלגות כי בריבוע עם שתי דרגות חופש. אם   X {\displaystyle \ X} מתפלג התפלגות אקספוננציאלית,   X ∼ E x p o n e n t i a l ( x | λ ) {\displaystyle \ X\sim \mathrm {Exponential} (x|\lambda )} , אז   Y = 2 X σ 2 λ ∼ R a y l e i g h ( y | σ ) {\displaystyle \ Y={\sqrt {2X\sigma ^{2}\lambda }}\sim \mathrm {Rayleigh} (y|\sigma )} . אם   R ∼ R a y l e i g h ( σ ) {\displaystyle \ R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )} אז לסכום הריבועים   ∑ i = 1 N R i 2 {\displaystyle \ \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}} יש התפלגות גמא עם הפרמטרים N ו- 2 σ 2 {\displaystyle 2\sigma ^{2}} :   [ Y = ∑ i = 1 N R i 2 ] ∼ Γ ( N , 2 σ 2 ) {\displaystyle \ [Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}]\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})} . התפלגות כי בריבוע, התפלגות רייס, התפלגות וייבול מהוות כולן הכללות של התפלגות ריילי. התפלגות מקסוול-בולצמן היא התפלגות האורך של וקטור נורמלי תלת-ממדי, בדומה להתפלגות ריילי, המתאימה למקרה הדו-ממדי. פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות ריילי היא ליניארית, וערכה הוא h ( x ) = x σ 2 {\displaystyle h(x)={\frac {x}{\sigma ^{2}}}\!} . התפלגות נורמלית התפלגות רייס Papoulis, A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, 2nd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 104 and 148, 1984 מדיה וקבצים בנושא התפלגות ריילי בוויקישיתוף התפלגות ריילי, באתר MathWorld (באנגלית)