מיוריזציה

במתמטיקה, מיוֹריזציה, מג'וֹריזציה או מיוּר הוא קדם סדר חלקי בין שני וקטורים (או סדרות) של מספרים ממשיים, בו וקטור אחד "חוסם" את השני ובמובן מסוים "גדול יותר" ממנו. בהינתן מספר טבעי d ∈ N {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ווקטור a ∈ R d {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}} , אומרים כי a {\displaystyle a} הוא וקטור לא-עולה אם ורק אם לכל 1 ≤ i ≤ n − 1 {\displaystyle 1\leq i\leq n-1} מתקיים ש- a i ≥ a i + 1 {\displaystyle a_{i}\geq a_{i+1}} . עבור זוג וקטורים לא-עולים a , b ∈ R d {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}} אומרים כי a {\displaystyle a} ממייר את b {\displaystyle b} (או a {\displaystyle a} גובר על b {\displaystyle b} ) אם ורק אם מתקיימים שני התנאים הבאים: ∑ i = 1 d a i = ∑ i = 1 d b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{d}a_{i}=\sum _{i=1}^{d}b_{i}} לכל 1 ≤ k ≤ d − 1 {\displaystyle 1\leq k\leq d-1} מתקיים כי ∑ i = 1 k a i ≥ ∑ i = 1 k b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}\geq \sum _{i=1}^{k}b_{i}} ומסמנים a ⪰ b {\displaystyle a\succeq b} . עבור a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} כלליים (לא בהכרח לא-עולים) אומרים כי a {\displaystyle a} או גובר על b {\displaystyle b} אם ורק אם a ↓ ⪰ b ↓ {\displaystyle a^{\downarrow }\succeq b^{\downarrow }} כאשר a ↓ {\displaystyle a^{\downarrow }} ו- b ↓ {\displaystyle b^{\downarrow }} הם הווקטורים הנוצרים על-ידי סידור a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} בסדר לא-עולה בהתאמה. ניתן להוכיח כי בהינתן d ∈ N {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ו- a , b ∈ R d {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}} , a ⪰ b {\displaystyle a\succeq b} לפי ההגדרה לעיל אם ורק אם קיימת מטריצה דו-סטוכסטית D ∈ R d × d {\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{d\times d}} כך ש- b = D a {\displaystyle b=Da} . כמו כן, a ⪰ b {\displaystyle a\succeq b} אם ורק אם ניתן לייצג את b {\displaystyle b} כצירוף קמור של תמורות על איברי a {\displaystyle a} . כלומר, קיימות מטריצות תמורה P 1 , … , P k ∈ R d × d {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{k}\in \mathbb {R} ^{d\times d}} ומקדמים c 1 , … , c k ∈ R {\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}\in \mathbb {R} } כך ש- c i > 0 {\displaystyle c_{i}>0} לכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} ∑ i = 1 k c i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}=1} ∑ i = 1 k c i P i a = b {\displaystyle \sum _{i=1}^{k}c_{i}P_{i}a=b} משמעות ההגדרה האחרונה היא ש- b {\displaystyle b} נמצא בתוך הפאון הרב-ממדי הקמור הנוצר מתמורות על איברי a {\displaystyle a} . הוכחת שקילות ההגדרה האחרונה לקודמותיה מתבצעת באמצעות משפט בירקהוף-פון נוימן. בהינתן שני אופרטורים הרמיטיים H {\displaystyle H} ו- H ′ {\displaystyle H'} נאמר כי H {\displaystyle H} גובר על H ′ {\displaystyle H'} אם וקטור הערכים העצמיים של H {\displaystyle H} גובר על זה של H ′ {\displaystyle H'} . אי-שוויון קאמאראטה: בהינתן שתי סדרות של מספרים ממשיים אי-שליליים a , b ∈ R d {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}} , מתקיים: a {\displaystyle a} גובר על b {\displaystyle b} אם ורק אם לכל פונקציה קמורה h : R → R {\displaystyle h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ‏, ∑ i = 1 d h ( a i ) ≥ ∑ i = 1 d h ( b i ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{d}h(a_{i})\geq \sum _{i=1}^{d}h(b_{i})} . אי-שוויון מוירהד: בהינתן a , b ∈ R d {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{d}} כך ש- a ⪰ b {\displaystyle a\succeq b} , לכל x 1 , x 2 , … , x d > 0 {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{d}>0} מתקיים: ∑ σ ∈ S d x σ 1 b 1 x σ 2 b 2 ⋯ x σ d b d ≤ ∑ σ ∈ S d x σ 1 a 1 x σ 2 a 2 ⋯ x σ d a d {\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{d}}{x_{\sigma 1}^{b_{1}}x_{\sigma 2}^{b_{2}}\cdots x_{\sigma d}^{b_{d}}}\leq \sum _{\sigma \in S_{d}}{x_{\sigma 1}^{a_{1}}x_{\sigma 2}^{a_{2}}\cdots x_{\sigma d}^{a_{d}}}} כאשר S d {\displaystyle S_{d}} היא החבורה הסימטרית על d {\displaystyle d} . מיוריזציה, באתר MathWorld (באנגלית) שי גירון ורן טסלר, מיוריזציה ואי שוויון קאמאראטה Rajendra Bhatia, Matrix Analysis, Springer Science & Business Media, 2013-12-01, ISBN 978-1-4612-0653-8. (באנגלית)