שופר גבריאל

שופר גבריאל (מכונה גם חצוצרת טוריצ'לי) הוא אובייקט מתמטי בעל שטח פנים אינסופי, אך נפח סופי. אובייקט זה הומצא על ידי אוונג'ליסטה טוריצ'לי אשר עסק בחישוב שטחים בחשבון האינטגרלי. שם האובייקט מושפע מהמלאך גבריאל אשר לפי האמונה הנוצרית יתקע בשופר ביום הדין, ברמיזה על תכונותיו המופלאות של האובייקט. ניתן לחשוב על השופר כעל גרסה תלת-ממדית של פתית השלג של קוך, אשר שטחו סופי אך היקפו אינסופי. שופר גבריאל נוצר על ידי ציור העקום f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} בקטע [ 1 , ∞ ) {\displaystyle [1,\infty )} , וסיבובו סביב ציר x. על ידי שימוש באינטגרלים ניתן לחשב את נפח ואת שטח פניו של הגוף הנוצר. נפחו של השופר מתקבל לפי הנוסחה Volume = ∫ 1 ∞ π ( 1 x ) 2 d x = π {\displaystyle {\mbox{Volume}}=\int _{1}^{\infty }\pi \left({\frac {1}{x}}\right)^{2}dx=\pi } חישוב זה למעשה סוכם גלילים קטנטנים. "גובה" כל גליל הוא d x {\displaystyle dx} ורדיוס הבסיס שלו הוא 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} , כלומר נפח הגליל האינפיניטסימלי הוא π 1 x 2 d x {\displaystyle \pi {\frac {1}{x}}^{2}dx} . שטח הפנים של השופר נתון על ידי הנוסחא Surface = ∫ 1 ∞ 2 π 1 x 1 + 1 x 4 d x → ∞ {\displaystyle {\mbox{Surface}}=\int _{1}^{\infty }2\pi {\frac {1}{x}}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{4}}}}}dx\to \infty } חישוב זה למעשה סוכם את ה"אורך" של העקום f ( x ) = 1 x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} ומכפיל אותו ב"היקף" הסיבוב אשר נתון על ידי 2 π 1 x {\displaystyle 2\pi {\frac {1}{x}}} קיומו של השופר מעורר את הפרדוקס (לכאורה) הבא: כיוון שנפחו של השופר הוא π {\displaystyle \pi } , ניתן למלא את חלקו הפנימי בצבע מתוך דלי המכיל צבע בנפח π {\displaystyle \pi } מטרים מעוקבים (יחידות הנפח כמובן שרירותיות, ותלויות בבחירת היחידות של מערכת הצירים שעליה הוגדרה הפונקציה). מצד שני, שטח פניו של השופר הוא אינסופי, כלומר על מנת לצבוע את שטח פניו נדרשת כמות אינסופית של צבע, אך זהו פרדוקס, כי בעזרת דלי של π {\displaystyle \pi } מטרים מעוקבים צבע, מילאנו את כל נפח השופר ובכך גם את כל "דפנותיו". כלומר בעזרת צבע בכמות סופית הצלחנו לצבוע שטח אינסופי. יישובו של הפרדוקס נובע מההבדלים בין תכונות של חומרים ב"עולם האמיתי" לבין תכונות של מושגים מופשטים במתמטיקה. עוביו של ה"צבע המתמטי" בו השתמשנו למילוי שופר גבריאל הלך וקטן (עד אינסוף) ככל שעוביו של שופר גבריאל הלך וקטן. עם זאת, צבע "אמיתי" לא ניתן לחלוקה אינסופית וקיימת נקודה כלשהי (הניתנת לחישוב) בה עוביו של שופר גבריאל לא יהיה עבה מספיק אפילו בשביל מולקולת צבע אחת ולכן כלל לא ניתן למלא את שופר גבריאל בצבע. ניתן לבנות דוגמאות רבות לעצמים בעלי נפח סופי ושטח פנים אינסופי. למשל, גוף הסיבוב אשר נוצר מהפונקציה f ( x ) = sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)} כאשר x ∈ ( 0 , 1 ] {\displaystyle x\in (0,1]} , הוא בעל נפח סופי (הוא חסום בקוביה עם צלע באורך 1), אך שטח פניו אינסופי, שכן אורך הפונקציה f ( x ) = sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)} בקטע x ∈ ( 0 , 1 ] {\displaystyle x\in (0,1]} אינו מתכנס, ורדיוס הסיבוב אינו דועך לאפס. ג'ון שניידר, הדמיה של בניית שופר גבריאל שופר גבריאל, באתר MathWorld (באנגלית) אורך של גרף הפונקציה   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} בקטע   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} הוא   ∫ a b 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \ \int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}\,dx} , ולכן שטח הפנים של גוף הסיבוב נתון על ידי   2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle \ 2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left(f'(x)\right)^{2}}}\,dx} ראו אינטגרל#שימושי האינטגרל.