חשבון אינפיניטסימלי שברי

במתמטיקה, חשבון אינפיניטסימלי שברי הוא תחום החוקר את הדרכים בהן ניתן להגדיר חזקה ממשית או מרוכבת לאופרטור דיפרנציאלי כגון אופרטור הנגזרת ואופרטור האינטגרל. התחום הוצע לראשונה במכתב שכתב המרקיז דה לופיטל לגוטפריד וילהלם לייבניץ בשנת 1695, בו העלה את השאלה האם כפי שניתן להגדיר את d n f d x n {\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}} להיות הנגזרת ה- n {\displaystyle n} -ית (עבור n {\displaystyle n} טבעי) של הפונקציה f {\displaystyle f} , ניתן גם להגדיר את d 1 2 f d x 1 2 {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}f}{dx^{\frac {1}{2}}}}} . במילים אחרות, האם ניתן להוציא שורש ריבועי לאופרטור הנגזרת. לחשבון אינפיניטסימלי שברי שימושים רבים בפיזיקה, כלכלה ולמידת מכונה. עבור p ≥ 1 {\displaystyle p\geq 1} ותחום קמור U ⊆ R {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} } ( U {\displaystyle U} קטע סופי, חצי אינסופי או R {\displaystyle \mathbb {R} } כולו) מסמנים ב- L p ( U ) {\displaystyle L^{p}(U)} את מרחב Lp של פונקציות ממשיות המוגדרות על U {\displaystyle U} . עבור אופרטור A : L p ( U ) → L p ( U ) {\displaystyle A:L^{p}(U)\to L^{p}(U)} כלשהו ומספר טבעי n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מסמנים ב- A n {\displaystyle A^{n}} הרכבה של A {\displaystyle A} עם עצמו n {\displaystyle n} פעמים. נשאלת השאלה האם עבור n {\displaystyle n} טבעי כלשהו קיים אופרטור B : L p ( U ) → L p ( U ) {\displaystyle B:L^{p}(U)\to L^{p}(U)} כך ש- B n = A {\displaystyle B^{n}=A} . כלומר, האם ניתן למצוא שורש n {\displaystyle n} -י לאופרטור A {\displaystyle A} . במידה וקיים שורש כזה לכל n {\displaystyle n} טבעי, ניתן להגדיר את האופרטור A α {\displaystyle A^{\alpha }} לכל α ∈ Q {\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} } רציונלי. על ידי רציפות לפי נורמה אופרטורית ניתן להרחיב את ההגדרה לכל α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } ממשי, ובהמשך לכל α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } מרוכב. ניתן להוכיח כי קיים אופרטור כזה עבור אופרטור הנגזרת D := d d x {\displaystyle D:={\frac {d}{dx}}} וכן עבור אופרטור האינטגרל: J f ( x ) := ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle Jf(x):=\int _{a}^{x}{f(t)dt}} ( a ∈ U {\displaystyle a\in U} כלשהו או a = ± ∞ {\displaystyle a=\pm \infty } במקרה שבו U {\displaystyle U} אינו חסום מלמעלה או מלמטה). ישנן דרכים רבות להגדיר את אופרטור הנגזרת השברית, ולאורך ההיסטוריה הוצעו דרכים רבות לעשות כן. נהוג לסמן את אופרטור הנגדרת השברית ב- D a α {\displaystyle D_{a}^{\alpha }} כאשר α {\displaystyle \alpha } הוא סדר הנגזרת ו- a {\displaystyle a} הוא מטא-פרמטר כלשהו (לרוב a ∈ U {\displaystyle a\in U} כלשהו שמייצג את ראשית האינטגרל שבשימוש ההגדרה). באופן דומה מסמנים ב- J a α {\displaystyle J_{a}^{\alpha }} את האינטגרל השברי. במקרים מסוימים נחקרים במסגרת החשבון האינפיניטסימלי השברי חזקות ממשיות ומרוכבות לאופרטורים נוספים מלבד אופרטורי הנגזרת והאינטגרל, כמו למשל אופרטור הנגרת המופרע: D s := d d x + s {\displaystyle D_{s}:={\frac {d}{dx}}+s} כאשר s ∈ R {\displaystyle s\in \mathbb {R} } מייצג את ההפרעה. על אף שניתן להגדיר את האופרטור השברי במגוון דרכים, מרביתם מקיימים תכונות משותפות. עבור אופרטור A : L p ( U ) → L p ( U ) {\displaystyle A:L^{p}(U)\to L^{p}(U)} ומספר מרוכב α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } , החזקה השברית A α {\displaystyle A^{\alpha }} של האופרטור נדרשת לקיים את התכונות הבאות: ערך עבור חזקה 0: A 0 = I {\displaystyle A^{0}=I} , כאשר I {\displaystyle I} הוא אופרטור הזהות. התלכדות ההגדרה עם חזקות טבעיות: עבור α = n {\displaystyle \alpha =n} כאשר n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מספר טבעי, נדרש כי A α = A n = A ∘ A ∘ ⋯ ∘ A ⏟ n  times {\displaystyle A^{\alpha }=A^{n}=\underbrace {A\circ A\circ \cdots \circ A} _{n{\text{ times}}}} כאשר ∘ {\displaystyle \circ } מסמל הרכבה. כלומר, ההגדרה לסדר שברי נדרשת לקיים את האינטואיציה עבור סדר טבעי. רציפות: לכל פונקציה f ∈ L p ( U ) {\displaystyle f\in L^{p}(U)} ולכל α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } מתקיים lim β → α ‖ A β f − A α f ‖ p = 0 {\displaystyle \lim _{\beta \to \alpha }{\lVert A^{\beta }f-A^{\alpha }f\rVert _{p}}=0} , כלומר הפונקציות A β f {\displaystyle A^{\beta }f} שואפות ל- A α f {\displaystyle A^{\alpha }f} כמעט בכל מקום כאשר β → α {\displaystyle \beta \to \alpha } . חיבוריות: לכל α , β ∈ C {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } מתקיים A α ∘ A β = A α + β {\displaystyle A^{\alpha }\circ A^{\beta }=A^{\alpha +\beta }} . כלומר, החזקות המרוכבות של A {\displaystyle A} מהוות חבורה למחצה. ערך מורחב – אינטגרל רימן-ליוביל עבור אופרטור האינטגרל J a {\displaystyle J_{a}} ולכל α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } עם חלק ממשי חיובי ( Re ⁡ ( α ) > 0 {\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0} ) מגדירים את אופרטור החזקה לפי רימן-ליוביל J a α {\displaystyle J_{a}^{\alpha }} כך שלכל f ∈ L p ( U ) {\displaystyle f\in L^{p}(U)} : ולכל x ∈ U {\displaystyle x\in U} : J a α f ( x ) := 1 Γ ( α ) ∫ a x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle J_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt}} כאשר Γ {\displaystyle \Gamma } היא פונקציית גמא. הגדרה זו מהווה הרחבה לנוסחת האינטגרל החוזר של קושי. אינטגרל זה נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל. מגדירים את האופרטור H a : L p ( U ) → L p ( U ) {\displaystyle H_{a}:L^{p}(U)\to L^{p}(U)} כך שלכל f ∈ L p ( U ) {\displaystyle f\in L^{p}(U)} ולכל x ∈ U {\displaystyle x\in U} : H a f ( x ) := ∫ a x f ( t ) d t t {\displaystyle H_{a}f(x):=\int _{a}^{x}{\frac {f(t)dt}{t}}} אינטגרל אדמר מרחיב את החזקות השבריות של אופרטור זה כך שלכל α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } עם חלק ממשי חיובי: H a α f ( x ) := 1 Γ ( α ) ∫ a x ( ln ⁡ ( x t ) ) α − 1 f ( t ) d t t {\displaystyle H_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{\left(\ln \left({\frac {x}{t}}\right)\right)^{\alpha -1}f(t){\frac {dt}{t}}}} אינטגרל אדמר נוסח על-ידי ז'אק אדמר בשנת 1892. למרות שפעולת הנגזרת ופעולת האינטגרל הן פעולות הופכיות על פי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטרלי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים שליליים לסדר האינטגרל α {\displaystyle \alpha } ולקבל נגזרת. למעשה, עבור ערכים שליליים אינטגרל רימן-ליובל לרוב מתבדר. עם זאת, ניתן להגדיר חזקה שברית לפעולת הנגזרת על-ידי שימוש באינטגרל רימן ליוביל. חזקה זו מסומן ב- D a α {\displaystyle D_{a}^{\alpha }} ומקיימת עבור כל f ∈ L p ( U ) {\displaystyle f\in L^{p}(U)} ו- x ∈ U {\displaystyle x\in U} D a α f ( x ) := d ⌈ α ⌉ d x ⌈ α ⌉ J a ⌈ α ⌉ − α f ( x ) {\displaystyle D_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)} זאת כאשר ⌈ ⋅ ⌉ {\displaystyle \lceil \cdot \rceil } היא פונקציית התקרה ו- J a ⌈ α ⌉ − α {\displaystyle J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }} הוא אינטגרל רימן-ליוביל מסדר ⌈ α ⌉ − α {\displaystyle \lceil \alpha \rceil -\alpha } . נגזרת קפוטו מבוססת אף היא על אינטגרל-רימן ליוביל, אך בניגוד לגזרת רימן-ליוביל היא מבצעת ראשית את פעולת הנגזרת ולאחר מכן את פעולת האינטגרציה לפי רימן-ליוביל. כלומר, אם C a α {\displaystyle C_{a}^{\alpha }} הוא אופרטור הנגזרת לפי קפוטו ו- f {\displaystyle f} ו- x {\displaystyle x} מוגדרים כמקודם: C a α f ( x ) := J a ⌈ α ⌉ − α d ⌈ α ⌉ d x ⌈ α ⌉ f ( x ) {\displaystyle C_{a}^{\alpha }f(x):=J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}f(x)} ניתן להראות שבמקרים מסוימים נגזרת קפוטו שונה מנגזרת רימן-ליוביל. כלומר, הסדר שבו מתבצע האינטגרל לעומת הנגזרת משפיע על תוצאת הנגזרת השברית. עבור f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} כאשר n {\displaystyle n} טבעי, ידוע כי מתקיים: d d x f ( x ) = n x n − 1 d 2 d x 2 f ( x ) = n ( n − 1 ) x n − 2 ⋮ d k d x k f ( x ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) x n − k = n ! k ! x n − k {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}f(x)=nx^{n-1}\\{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=n(n-1)x^{n-2}\\\vdots \\{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}f(x)=n(n-1)\cdots (n-k+1)x^{n-k}={\frac {n!}{k!}}x^{n-k}\\\end{aligned}}} בגלל הקשר בין פונקציית גמא לפונקציית העצרת, ניתן לכתוב: d k d x k x n = Γ ( n + 1 ) Γ ( n − k + 1 ) x n − k {\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{n}={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n-k+1)}}x^{n-k}} באופן טבעי, ניתן להרחיב את תוצאה זו למספרים שאינם טבעיים. כלומר, עבור α , β ∈ C {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } : d α d x α x β := Γ ( β + 1 ) Γ ( β − α + 1 ) x β − α {\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }:={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta -\alpha +1)}}x^{\beta -\alpha }} הגדרה זו מתיישבת עם תוצאת פעולת הנגזרת כפי שהיא מוגדרת עבור נגזרת רימן-ליוביל ונגזרת קפוטו עם a = 0 {\displaystyle a=0} . כלומר: D 0 α x β = C 0 α x β = Γ ( β + 1 ) Γ ( β − α + 1 ) x β − α {\displaystyle D_{0}^{\alpha }x^{\beta }=C_{0}^{\alpha }x^{\beta }={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta -\alpha +1)}}x^{\beta -\alpha }} בפרט, לשאלתו של לופיטל, מתקבל ששורש הנגזרת של חזקה פשוטה היא: d 1 2 d x 1 2 x β = Γ ( β + 1 ) Γ ( β + 1 2 ) x β − 1 2 {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x^{\beta }={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta +{\frac {1}{2}})}}x^{\beta -{\frac {1}{2}}}} תוצאה זו מתיישבת עם הציפייה משורש הנגזרת, זאת מכיוון ש: d 1 2 d x 1 2 d 1 2 d x 1 2 x β = Γ ( β + 1 2 ) Γ ( β ) Γ ( β + 1 ) Γ ( β + 1 2 ) x β − 1 = Γ ( β + 1 ) Γ ( β ) x β − 1 = β x β − 1 {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x^{\beta }={\frac {\Gamma (\beta +{\frac {1}{2}})}{\Gamma (\beta )}}{\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta +{\frac {1}{2}})}}x^{\beta -1}={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\beta )}}x^{\beta -1}=\beta x^{\beta -1}} כצפוי. יש לציין כי עבור בחירה של a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} מתקבלת תוצאה אחרת עבור רימן-ליוביל וקפוטו, וכן תוצאות הנגזרת של השתיים שונות זו מזו. פעולת הנגזרת היא פעולה מקומית. כלומר, בהינתן פונקציה f ∈ L p ( U ) {\displaystyle f\in L^{p}(U)} ו- x ∈ U {\displaystyle x\in U} , הנגזרת של f {\displaystyle f} בנקודה x {\displaystyle x} איננה תלויה בערך הפונקציה f {\displaystyle f} הרחק מ- x {\displaystyle x} . במילים אחרות, בהינתן סביבה מנוקבת V {\displaystyle V} של x {\displaystyle x} , כל שינוי לפונקציה f {\displaystyle f} מחוץ ל- V {\displaystyle V} אינו משפיע על ערך הנגזרת ב- x {\displaystyle x} . הדבר נכון לכל נגזרת שלמה d n d x n {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}} ( n {\displaystyle n} טבעי). עם זאת, הדבר איננו נכון לנגזרת השברית עם סדר שאיננו שלם. כלומר, פעולת הנגזרת איננה מקומית ומושפעת מכל שינוי של הפונקציה f {\displaystyle f} , גם אם הוא רחוק מהנקודה x {\displaystyle x} שבה גוזרים. חשבון אינפיניטסימלי שברי, באתר MathWorld (באנגלית) Joseph M. Kimeu, Fractional Calculus: Definitions and Applications, TopSchular, ‏2009 (באנגלית) Rudolf Hilfer, Applications Of Fractional Calculus In Physics, World Scientific, 2000-03-02, ISBN 978-981-4496-20-9. (באנגלית) Sergei Rogosin, Maria Karpiyenya, Fractional models for analysis of economic risks, Fractional Calculus and Applied Analysis, 2023-09-27 doi: 10.1007/s13540-023-00202-y Rafał Walasek, Janusz Gajda, Fractional differentiation and its use in machine learning, International Journal of Advances in Engineering Sciences and Applied Mathematics 13, 2021-09-01, עמ' 270–277 doi: 10.1007/s12572-021-00299-5 Alexander I. Zhmakin, A Compact Introduction to Fractional Calculus, 2022 (באנגלית) Nazek A. Obeidat, Daniel E. Bentil, New theories and applications of tempered fractional differential equations, Nonlinear Dynamics 105, 2021-07-01, עמ' 1689–1702 doi: 10.1007/s11071-021-06628-4 Hafiz Muhammad Fahad, et el, Tempered and Hadamard-type fractional calculus with respect to functions, 2019 (באנגלית) Hadamard, J., Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4, 1892, עמ' 101–186 (בצרפתית)