משפט החיתוך של קנטור

בטופולוגיה, משפט החיתוך של קנטור נותן תנאי שקול לשלמות של מרחב מטרי. משפט זה מהווה הכללה של הלמה של קנטור מחשבון אינפיניטסימלי, וקרוי על שמו של גאורג קנטור. סדרה יורדת של קבוצות היא סדרת קבוצות מהצורה A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ … {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \dots } . קוטר של קבוצה A {\displaystyle A} במרחב מטרי ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} הוא diam ( A ) = sup { d ( a , b ) ∣ a , b ∈ A } {\displaystyle {\text{diam}}(A)=\sup \left\{d(a,b)\mid a,b\in A\right\}} . המשפט קובע כי מרחב מטרי הוא שלם אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות ולא ריקות במרחב בעלות קוטר ששואף לאפס, חיתוך כל קבוצות הסדרה אינו ריק. קל לראות שבמקרה כזה, החיתוך מכיל נקודה יחידה. דוגמה לשימוש במשפט זה היא העובדה שכל קבוצה סגורה ובת מניה של מספרים ממשיים, מכילה נקודה מבודדת. זאת כי אם A = { a 1 , a 2 , … } {\displaystyle A=\left\{a_{1},a_{2},\dots \right\}} קבוצה כזאת, באינדוקציה ניתן להראות שיש סדרה יורדת של קטעים סגורים I 1 ⊇ I 2 ⊇ … {\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \dots } , כך שהקטע I n {\displaystyle I_{n}} נחתך עם A {\displaystyle A} אך לא מכיל את הנקודה a n {\displaystyle a_{n}} . ממשפט החיתוך של קנטור עבור I 1 ∩ A ⊇ I 2 ∩ A ⊇ … {\displaystyle I_{1}\cap A\supseteq I_{2}\cap A\supseteq \dots } יש נקודה של A {\displaystyle A} בחיתוך, מה שמוביל לסתירה. יהי X {\displaystyle X} מרחב שלם. משפט החיתוך קובע שאם הקבוצות הסגורות A n {\displaystyle A_{n}} מהוות סדרה יורדת שבה הקוטר שואף לאפס, אז יש נקודה משותפת לכולן. ממבט ראשון נראה שהדרישה על הקוטר מיותרת, שהרי אם מרשים לקבוצות להיות 'גדולות יותר', יהיה קל להן יותר להחזיק נקודה משותפת. אכן, זה המצב אם מניחים שהקבוצות קומפקטיות: אם נבחר נקודה מכל קבוצה, תהיה לסדרה הנוצרת תת-סדרה מתכנסת בגלל הקומפקטיות, ונקודת הגבול משותפת לכל הקבוצות. במקרה זה אין צורך להניח שהקוטר שואף לאפס. אגב, מספיק להניח שהקבוצה הראשונה בסדרה היא קומפקטית, משום שקבוצות סגורות יורשות תכונה זו מן המרחב העוטף אותן. גם ההנחה שהקבוצות חסומות כליל תספיק, משום שהמרחב X {\displaystyle X} שלם על-פי ההנחה. מאידך, לסתם סדרה יורדת של קבוצות סגורות יכול להיות חיתוך ריק. לדוגמה, הקטעים A n = [ n , ∞ ) {\displaystyle A_{n}=[n,\infty )} על הישר הממשי. אפילו אם הקבוצות חסומות, החיתוך יכול להיות ריק; לדוגמה, הקבוצות A n = { e n , e n + 1 , … } {\displaystyle A_{n}=\{e_{n},e_{n+1},\dots \}} במרחב בנך ℓ p {\displaystyle \ell _{p}} , כאשר e n {\displaystyle e_{n}} הם אברי הבסיס הסטנדרטי - זו סדרה יורדת של קבוצות סגורות וחסומות, שאין להן אף נקודה משותפת. כאשר המרחב שלם ו- { A n } {\displaystyle \{A_{n}\}} היא סדרה יורדת של קבוצות סגורות, אפשר לבחור נקודה x n ∈ A n {\displaystyle x_{n}\in A_{n}} בכל קבוצה. מכך שקוטר הקבוצות שואף לאפס נובע שהסדרה היא סדרת קושי, ולכן מתכנסת. מכיוון שכל הקבוצות סגורות, נקודת הגבול שייכת לכולן ולכן לחיתוך שלהן. בכיוון ההפוך, תהי { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} סדרת קושי נתונה. לכל k {\displaystyle k} קיים מקום שממנו והלאה המרחק בין שני איברים בסדרה אינו עולה על 2 − ( k + 1 ) {\displaystyle 2^{-(k+1)}} ; נבחר את הקבוצה A k {\displaystyle A_{k}} להיות הכדור הסגור ברדיוס 2 − k {\displaystyle 2^{-k}} סביב נקודה רחוקה מספיק. קל להיווכח שסדרת הכדורים יורדת, ולפי ההנחה יש נקודה משותפת לכולם. זוהי נקודת גבול של הסדרה. נניח כי X {\displaystyle X} מרחב מטרי שלם, ותהא { A n } n {\displaystyle \left\{A_{n}\right\}_{n}} סדרת קבוצות המקיימת את התנאים של המשפט. נבנה את הסדרה { x n } n {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n}} על ידי זה שנבחר מכל A n {\displaystyle A_{n}} איבר x n {\displaystyle x_{n}} כלשהו. נראה כי זוהי סדרת קושי: יהא ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} כלשהו. בגלל שמתקיים lim n → ∞ diam ⁡ ( A n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {diam} (A_{n})=0} קיים N {\displaystyle N} כך שהחל ממנו לכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים diam ⁡ ( A n ) < ϵ {\displaystyle \operatorname {diam} (A_{n})<\epsilon } . כעת יהיו m , n > N {\displaystyle m,n>N} כלשהם, ונניח ללא הגבלת הכלליות שמתקיים m ≤ n {\displaystyle m\leq n} . אז A m ⊇ A n {\displaystyle A_{m}\supseteq A_{n}} ולכן x n , x m ∈ A m {\displaystyle x_{n},x_{m}\in A_{m}} . על כן d ( x n , x m ) ≤ diam ⁡ ( A m ) < ϵ {\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq \operatorname {diam} (A_{m})<\epsilon } וזאת לכל m , n > N {\displaystyle m,n>N} , ולכן הסדרה היא סדרת קושי, ומכיוון שהמרחב X {\displaystyle X} שלם היא מתכנסת. נסמן x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} . נראה כי x {\displaystyle x} שייך לכל הקבוצות. תהא A k {\displaystyle A_{k}} כלשהי, אז לכל m ≥ k {\displaystyle m\geq k} מתקיים x m ∈ A k {\displaystyle x_{m}\in A_{k}} , כלומר הזנב של הסדרה x n {\displaystyle x_{n}} , החל מהאיבר k {\displaystyle k} , שייך לקבוצה A k {\displaystyle A_{k}} . על כן, האיבר x {\displaystyle x} הוא נקודת גבול של A k {\displaystyle A_{k}} (כי הוא הגבול של סדרה המוכלת החל ממקום מסוים בקבוצה A k {\displaystyle A_{k}} ). מכיוון ש- A k {\displaystyle A_{k}} היא קבוצה סגורה, הרי שהיא מכילה את כל נקודות הגבול שלה, ולכן x ∈ A k {\displaystyle x\in A_{k}} , וזאת לכל k {\displaystyle k} , ולכן x ∈ ⋂ n A n {\displaystyle x\in \bigcap _{n}A_{n}} . נראה כעת כי בחיתוך יש בדיוק איבר יחיד: נניח כי x , y ∈ ⋂ n A n {\displaystyle x,y\in \bigcap _{n}A_{n}} ,אז לכל k {\displaystyle k} מתקיים x , y ∈ A k {\displaystyle x,y\in A_{k}} . יהא ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} כלשהו, אז קיים N {\displaystyle N} כלשהו כך ש- diam ⁡ ( A N ) < ϵ {\displaystyle \operatorname {diam} (A_{N})<\epsilon } , ומכיוון ש- x , y ∈ A N {\displaystyle x,y\in A_{N}} , ולכן d ( x , y ) ≤ diam ⁡ ( A N ) < ϵ {\displaystyle d(x,y)\leq \operatorname {diam} (A_{N})<\epsilon } . כלומר d ( x , y ) < ϵ {\displaystyle d(x,y)<\epsilon } לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ולכן בהכרח d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} ומכאן, על פי תכונות המטריקה, x = y {\displaystyle x=y} . נניח כי X {\displaystyle X} הוא מרחב המקיים את התכונה שלכל סדרת קבוצות שעונה על הקריטריונים שלעיל יש חיתוך לא ריק, ונוכיח כי המרחב שלם (ההוכחה שונה מעט מזו שניתנה לעיל). תהא { x n } {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}} סדרת קושי במרחב, ונוכיח שהיא מתכנסת. לכל איבר x n {\displaystyle x_{n}} בסדרה נגדיר את הקבוצה הבאה: A n = { x m ∣ m ≥ n } ¯ {\displaystyle A_{n}={\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}} - הסגור של הזנב של סדרת הקושי שמתחיל באיבר x n {\displaystyle x_{n}} . זוהי קבוצה סגורה (שכן סגור הוא תמיד קבוצה סגורה), ובבירור מתקיים A 1 ⊇ A 2 ⊇ A 3 ⊇ … {\displaystyle A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \dots } וזאת על פי דרך הגדרת הקבוצות. אנו רוצים להוכיח כי lim n → ∞ diam ⁡ ( A n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {diam} (A_{n})=0} . לשם כך נוכיח קודם כל כי לכל קבוצה A {\displaystyle A} מתקיים diam ⁡ ( A ) = diam ⁡ ( A ¯ ) {\displaystyle \operatorname {diam} (A)=\operatorname {diam} ({\bar {A}})} . ברור כי diam ⁡ ( A ) ≤ diam ⁡ ( A ¯ ) {\displaystyle \operatorname {diam} (A)\leq \operatorname {diam} ({\bar {A}})} (כי A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} מכילה את A {\displaystyle A} ). יהיו a , b ∈ A ¯ {\displaystyle a,b\in {\bar {A}}} , אז קיימות סדרות { a n } , { b n } {\displaystyle \{a_{n}\},\{b_{n}\}} שכל איבריהן שייכים לקבוצה A {\displaystyle A} כך ש- a n → a , b n → b {\displaystyle a_{n}\to a,b_{n}\to b} זאת מהגדרת הסגור (נשים לב שהסדרות יכולות להיות קבועות). מכיוון שאברי הסדרות שייכים כולם ל- A {\displaystyle A} , מתקיים d ( a n , b n ) ≤ diam ⁡ ( A ) {\displaystyle d(a_{n},b_{n})\leq \operatorname {diam} (A)} לכל n {\displaystyle n} . לכן נקבל d ( a , b ) ≤ diam ⁡ ( A ) {\displaystyle d(a,b)\leq \operatorname {diam} (A)} , וזאת לכל a , b ∈ A ¯ {\displaystyle a,b\in {\bar {A}}} , כלומר diam ⁡ ( A ¯ ) ≤ diam ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {diam} ({\bar {A}})\leq \operatorname {diam} (A)} , וקיבלנו משני אי השוויונות את השוויון diam ⁡ ( A ) = diam ⁡ ( A ¯ ) {\displaystyle \operatorname {diam} (A)=\operatorname {diam} ({\bar {A}})} המבוקש. כעת, מכיוון ש- x n {\displaystyle x_{n}} סדרת קושי, הרי שלכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} קיים N {\displaystyle N} כך שלכל m , n > N {\displaystyle m,n>N} מתקיים d ( x n , x m ) < ϵ 2 {\displaystyle d(x_{n},x_{m})<{\frac {\epsilon }{2}}} . לכן diam ⁡ ( { x k | k ≥ N } ) ≤ ϵ 2 {\displaystyle \operatorname {diam} (\{x_{k}|k\geq N\})\leq {\frac {\epsilon }{2}}} , ולכן diam ⁡ ( A n ) = diam ⁡ ( { x k ∣ k ≥ N } ¯ ) ≤ ϵ 2 < ϵ {\displaystyle \operatorname {diam} (A_{n})=\operatorname {diam} ({\overline {\{x_{k}\mid k\geq N\}}})\leq {\frac {\epsilon }{2}}<\epsilon } , וקיבלנו lim n → ∞ diam ⁡ ( A n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {diam} (A_{n})=0} . כעת הראינו כי הסדרה A n {\displaystyle A_{n}} מקיימת את כל התכונות הדרושות, ולכן ⋂ n A n ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{n}A_{n}\neq \emptyset } . יהא x ∈ ⋂ n A n {\displaystyle x\in \bigcap _{n}A_{n}} , אז לכל n {\displaystyle n} מתקיים x ∈ A n {\displaystyle x\in A_{n}} , ולכן d ( x , x n ) ≤ diam ⁡ ( A n ) → 0 {\displaystyle d(x,x_{n})\leq \operatorname {diam} (A_{n})\to 0} , כלומר x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} , והראינו שסדרת קושי הנ"ל מתכנסת.