ספקטרום של חוג

במתמטיקה, ספקטרום של חוג R {\displaystyle R} הוא מרחב טופולוגי שהנקודות שלו הן האידיאלים הראשוניים של החוג. המרחב הזה, במיוחד כאשר R {\displaystyle R} קומוטטיבי, מגשר בין המבנה האלגברי של החוג למבנים גאומטריים המתאימים לו, והוא מוביל להגדרה של סכמות, שהן מושא המחקר הבסיסי של הגאומטריה האלגברית המודרנית. הספקטרום הוא תמיד מרחב קומפקטי המקיים את תכונת ההפרדה T0. את אוסף האידיאלים הראשוניים של R {\displaystyle R} מסמנים ב- Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Spec} (R)} . הקבוצות הסגורות במרחב הזה הן הקבוצות V I = { P : I ⊆ P } {\displaystyle V_{I}=\{P:I\subseteq P\}} , לכל אידיאל I {\displaystyle I} של החוג (זוהי אכן טופולוגיה, משום שהאוסף הזה סגור לאיחוד סופי ולחיתוך כלשהו:   V I ∪ V J = V I J {\displaystyle \ V_{I}\cup V_{J}=V_{IJ}} ו- ⋂ V I i = V ∑ I i {\displaystyle \bigcap V_{I_{i}}=V_{\sum I_{i}}} ). הטופולוגיה רחוקה מלהיות מטרית. לדוגמה, היא מקיימת את תכונת ההפרדה T1 רק כאשר כל אידיאל ראשוני הוא אידיאל מקסימלי. הסגור של { P } {\displaystyle \{P\}} שווה ל- V P {\displaystyle V_{P}} (ולכן P {\displaystyle P} היא "נקודה גנרית" של V P {\displaystyle V_{P}} ). הקבוצות הראשיות הפתוחות D ( x ) = { p ∈ Spec ⁡ ( R )   :   p ∌ x } {\displaystyle D(x)=\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)\ :\ {\mathfrak {p}}\not \ni x\right\}} מהוות בסיס לטופולוגיה. אם P 1 , P 2 , … {\displaystyle P_{1},P_{2},\dots } סדרה של ראשוניים, Q = lim n → ∞ P n {\displaystyle Q=\lim _{n\rightarrow \infty }P_{n}} אם ורק אם ⋂ m = 1 ∞ ⋃ n = m ∞ P n ⊆ Q {\displaystyle \bigcap _{m=1}^{\infty }\bigcup _{n=m}^{\infty }P_{n}\subseteq Q} (אותה נוסחה נכונה גם לרשתות). בפרט, הסדרה הקבועה P {\displaystyle P} מתכנסת ל- Q {\displaystyle Q} אם ורק אם   P ⊆ Q {\displaystyle \ P\subseteq Q} . בחוג הפולינומים k [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]} (כאשר k {\displaystyle k} שדה סגור אלגברית), כל אידיאל I {\displaystyle I} מגדיר קבוצה אלגברית אפינית (קבוצת ה- n {\displaystyle n} -יות אשר כל הפולינומים ב- I {\displaystyle I} מאפסים). הקבוצה הזו אי-פריקה אם ורק אם האידיאל הוא ראשוני; ראו בערך יריעה אלגברית. אל היריעות אלו אפשר להתייחס כאל קבוצות ממימד גבוה במרחב האפיני k n {\displaystyle k^{n}} , בהכללה להתאמה של אידיאלים מקסימליים (לפי משפט האפסים של הילברט) לנקודות, שמימדן אפס. דבר זה מאפשר הפשטה: עבור כל חוג (חילופי) נגדיר את קבוצת ה"נקודות" של האובייקט הגאומטרי התואם לו כקבוצת האידיאלים הראשוניים בחוג. על קבוצה זו, הספקטרום, מגדירים טופולוגיה מתאימה (הכללה של טופולוגיית זריצקי), ואלומה של חוגים, כך שאנו מקבלים מבנה של מרחב מחויג מקומית. מרחב זה נקרא הספקטרום של החוג, או הסכמה האפינית התואמת לחוג, וזהו שלב ראשון בהגדרה של סכימות. התאמת חוג קומוטטיבי לספקטרום הראשוני שלו היא פונקטור קונטרה-וריאנטי מן הקטגוריה של חוגים קומוטטיביים לקטגוריה של מרחבים טופולוגיים. מתברר שאין דרך טובה להרחיב פונקטור זה לאוסף החוגים האסוציאטיביים: כל פונקטור קונטרה-וריאנטי מקטגוריית החוגים לקטגוריה של קבוצות, שצמצומו לתת-הקטגוריה של חוגים קומוטטיביים איזומורפי לפונקטור הספקטרום הראשוני שהוגדר לעיל, מוכרח להחזיר את הקבוצה הריקה עבור חוגים רבים. סכמה אפינית היא מרחב טופולוגי מחויג מקומית המצויד בטופולוגיית זריצקי עם אלומה של חוגים. סכמה אפינית ניתנת להצגה כספקטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה R {\displaystyle R} , כלומר: X = Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)} כאשר אלומת המבנה שלו מוגדרת על בסיס לטופולוגיה של קבוצות פתוחות ראשיות באופן הבא O X ( D ( f ) ) = R f {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\left(D(f)\right)=R_{f}} כאשר R f = S − 1 R {\displaystyle R_{f}=S^{-1}R} הוא הלוקליזציה של R {\displaystyle R} במערכת הכפלית S = { 1 , f , f 2 , f 3 , . . . } {\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},...\}} . הנבט של כל אלומה כזאת O X , x {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}} בכל x ∈ X {\displaystyle x\in X} היא חוג מקומי שבו אידיאל מקסימלי יחיד m x {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}} שהוא, באופן אינטואיטיבי, אוסף איברי החוג שמתאפסים בנקודה x {\displaystyle x} . למנה k x = O X , x / m x {\displaystyle k_{x}={\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}_{x}} קוראים "שדה השארית ב- x {\displaystyle x} ". ספקטרום של חוג, באתר MathWorld (באנגלית)