תת-חבורה נורמלית

באלגברה, תת חבורה נורמלית היא תת חבורה הסגורה תחת פעולת ההצמדה באיברי החבורה החיצונית. חשיבותן העיקרית של תת-חבורות נורמליות היא בכך שניתן להשתמש בהן כדי ליצור חבורת מנה, וכך לפרק את החבורה לשני מרכיבים: תת-החבורה הנורמלית, והמנה ביחס אליה. הרכבת החבורה בחזרה משני מרכיבים אלה נקראת הרחבה של חבורות. תהא G {\displaystyle G} חבורה ותהא N ≤ G {\displaystyle N\leq G} תת-חבורה שלה. לכל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} , הקבוצה g − 1 N g = { g − 1 x g : x ∈ N } {\displaystyle g^{-1}Ng=\left\{g^{-1}xg:x\in N\right\}} היא ה"הצמדה" של N {\displaystyle N} על ידי g {\displaystyle g} . אם לכל איבר g {\displaystyle g} מתקיים g − 1 N g ⊆ N {\displaystyle g^{-1}Ng\subseteq N} , אז N {\displaystyle N} היא תת חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} , ומסמנים N ⊴ G {\displaystyle N\trianglelefteq G} . אם בנוסף N ≠ G {\displaystyle N\neq G} אז מסמנים N ⊲ G {\displaystyle N\vartriangleleft G} . קבוצה מהצורה N g = { x g : x ∈ N } {\displaystyle Ng=\{xg:x\in N\}} או g N = { g x : x ∈ N } {\displaystyle gN=\{gx:x\in N\}} נקראת "מחלקה" (ימנית או שמאלית, בהתאמה), או "קוסט" של N {\displaystyle N} . תת-החבורה N {\displaystyle N} נורמלית אם ורק אם לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} מתקיים g N = N g {\displaystyle gN=Ng} . במקרה כזה, לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} ולכל n 1 ∈ N {\displaystyle n_{1}\in N} קיים n 2 ∈ N {\displaystyle n_{2}\in N} כך ש- g n 1 = n 2 g {\displaystyle gn_{1}=n_{2}g} . מכאן גם רואים ישירות כי בחבורה קומוטטיבית כל תת-חבורה היא נורמלית, כי לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} ולכל n ∈ N {\displaystyle n\in N} מתקיים n g = g n {\displaystyle ng=gn} . בהינתן חבורה G {\displaystyle G} ותת חבורה N ≤ G {\displaystyle N\leq G} , חבורת המנה G / N {\displaystyle G/N} מוגדרת היטב אם ורק אם N ⊴ G {\displaystyle N\trianglelefteq G} . הסיבה לכך היא שהנורמליות היא הדרישה השקולה לכך שכפל נציגי הקוסטים השונים יהיה מוגדר היטב: תהי H {\displaystyle H} תת-חבורה של G {\displaystyle G} ויהיו g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G} . אנו רוצים שהכפל בין הקוסטים יהיה מוגדר היטב באמצעות נציגים, כלומר ( g 1 H ) ( g 2 H ) = g 1 g 2 H {\displaystyle (g_{1}H)(g_{2}H)=g_{1}g_{2}H} . נוכיח זאת: יהיו g 1 , g 2 ∈ G {\displaystyle g_{1},g_{2}\in G} איברים כלשהם ב- G {\displaystyle G} . השוויון ( g 1 H ) ( g 2 H ) = g 1 g 2 H {\displaystyle (g_{1}H)(g_{2}H)=g_{1}g_{2}H} מתקיים רק אם קיימים h 1 , h 2 , h 3 ∈ H {\displaystyle h_{1},h_{2},h_{3}\in H} כך ש- g 1 h 1 g 2 h 2 = g 1 g 2 h 3 {\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}=g_{1}g_{2}h_{3}} , ובאמצעות אלגברה נקבל h 1 g 2 = g 2 h 3 h 2 − 1 {\displaystyle h_{1}g_{2}=g_{2}h_{3}h_{2}^{-1}} , ואם נסמן g = g 2 ∈ G ,   n 1 = h 1 ,   n 2 = h 3 h 2 − 1 ∈ H {\displaystyle g=g_{2}\in G,\ n_{1}=h_{1},\ n_{2}=h_{3}h_{2}^{-1}\in H} נקבל n 1 g = g n 2 {\displaystyle n_{1}g=gn_{2}} לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} וקיום תנאי זה אומר ש- H {\displaystyle H} היא חבורה נורמלית. ניתן להראות כי גרעין של הומומורפיזם שתחומו G {\displaystyle G} הוא תמיד תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} . יותר מכך, ניתן להראות גם כי כל תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} היא גרעין של הומומורפיזם כלשהו שתחומו G {\displaystyle G} . אם G {\displaystyle G} חבורה ו- H {\displaystyle H} תת-חבורה, המנרמל (או: הנורמליזטור) של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} הוא תת-החבורה N G ( H ) = { x ∈ G : x H x − 1 = H } {\displaystyle N_{G}(H)=\{x\in G:xHx^{-1}=H\}} . זוהי תת-החבורה הגדולה ביותר של G {\displaystyle G} שבתוכה H {\displaystyle H} נורמלית. המְרכז של H {\displaystyle H} , C G ( H ) = { x ∈ G : ∀ h ∈ H , x h x − 1 = h } {\displaystyle C_{G}(H)=\{x\in G:\forall h\in H,xhx^{-1}=h\}} , בוודאי מוכל בנורמליזטור, ואף מתקיים C G ( H ) ⊴ G {\displaystyle C_{G}(H)\trianglelefteq G} . האינדקס של הנורמליזטור ב- G {\displaystyle G} שווה למספר תת-החבורות השונות מהצורה x H x − 1 {\displaystyle xHx^{-1}} (היינו, תת-החבורות הצמודות ל- H {\displaystyle H} ). אם H ≤ G {\displaystyle H\leq G} תת-חבורה (שאינה בהכרח נורמלית), הליבה של H {\displaystyle H} מוגדרת כחיתוך כל תת-החבורות הצמודות לה: Core G ⁡ ( H ) = ⋂ g ∈ G g H g − 1 {\displaystyle \operatorname {Core} _{G}(H)=\bigcap _{g\in G}gHg^{-1}} . זוהי תמיד תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- H {\displaystyle H} (ראו גם העידון של משפט קיילי). מכיוון שבחישוב החיתוך די לקחת נציג אחד g {\displaystyle g} מכל קוסט ימני של H {\displaystyle H} , אם H {\displaystyle H} תת-חבורה מאינדקס סופי, אז הליבה שלה היא חיתוך של מספר סופי של חבורות צמודות. מכאן נובע שכל תת-חבורה מאינדקס סופי מכילה גם תת-חבורה נורמלית מאינדקס סופי. חבורה G {\displaystyle G} אשר תת-החבורות הנורמליות היחידות שלה הן G {\displaystyle G} עצמה ו- { e } {\displaystyle \left\{e\right\}} נקראת חבורה פשוטה. לחבורות פשוטות חשיבות רבה, שכן הן מהוות את "אבני הבנייה" הבסיסיות של כל החבורות הסופיות, בצורה דומה לזו שבה המספרים הראשוניים מהווים אבני בנייה של המספרים הטבעיים. תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} היא, כאמור, תת-חבורה הנשמרת תחת פעולת ההצמדה בכל איבר של G {\displaystyle G} . סוג חזק במיוחד של תת-חבורה כזו נקרא תת-חבורה אופיינית (או קרקטריסטית): זוהי תת-חבורה הנשמרת תחת כל אוטומורפיזם של G {\displaystyle G} (ולא רק אוטומורפיזם פנימי). באופן כללי, תת-חבורות כאלה מתקבלות מהפעלת שיקולים מבניים (שאינם תלויים בהצגה מסוימת של G {\displaystyle G} ). לדוגמה, המרכז של G {\displaystyle G} הוא תת-חבורה אופיינית. גם תת-חבורת הקומוטטורים והאיברים האחרים של הסדרה המרכזית היורדת והסדרה המרכזית העולה הם תת-חבורות אופייניות. לתכונת האופייניות יש יתרון בולט על-פני נורמליות: זוהי תכונה טרנזיטיבית. אם A {\displaystyle A} תת-חבורה נורמלית של B {\displaystyle B} ו- B {\displaystyle B} נורמלית (ואפילו אופיינית) של C {\displaystyle C} , אז A {\displaystyle A} עשויה שלא להיות תת-חבורה נורמלית של C {\displaystyle C} . לעומת זאת, אם A {\displaystyle A} אופיינית ב- B {\displaystyle B} , אז התכונות של B {\displaystyle B} עוברות בירושה ל- A {\displaystyle A} : אם B {\displaystyle B} נורמלית ב- C {\displaystyle C} אז כך גם A {\displaystyle A} , ואם B {\displaystyle B} אופיינית ב- C {\displaystyle C} אז כך גם A {\displaystyle A} . אם קיימת שרשרת של תת-חבורות G t ≤ ⋯ ≤ G 1 ≤ G {\displaystyle G_{t}\leq \cdots \leq G_{1}\leq G} כך שכל G i + 1 ⊴ G i {\displaystyle G_{i+1}\trianglelefteq G_{i}} , אז אומרים ש- G t {\displaystyle G_{t}} תת-חבורה תת-נורמלית של G {\displaystyle G} . לדוגמה, כל תת-חבורה של חבורת-p סופית היא תת-נורמלית. לכל חבורה H {\displaystyle H} אפשר לבנות את השרשרת H ⊆ N G ( H ) ⊆ N G ( N G ( H ) ) ⊆ N G ( N G ( N G ( H ) ) ) ⊆ ⋯ {\displaystyle H\subseteq N_{G}(H)\subseteq N_{G}(N_{G}(H))\subseteq N_{G}(N_{G}(N_{G}(H)))\subseteq \cdots } ; בחבורות סופיות, השרשרת נעצרת כאשר מתקבל שוויון בפעם הראשונה; H {\displaystyle H} תת-נורמלית אם ורק אם שרשרת הנורמליזטורים מגיעה לחבורה G {\displaystyle G} . חבורה היא כמעט תת-נורמלית אם יש שרשרת כנ"ל, שבה כל צעד הוא או סופי או נורמלי. אם החיתוך של תת-חבורה עם כל תת-חבורה צמודה לה הוא טריוויאלי, אומרים שיש לה "חיתוך טריוויאלי"; תכונה זו נמצאת בקוטב המנוגד לנורמליות. חבורה שכל תת-החבורות שלה הן בעלות חיתוך טריוויאלי נקראת "חבורה בעלת חיתוך טריוויאלי", או חבורת TI ‏. תת חבורה H {\displaystyle H} של G {\displaystyle G} נקראת מלנורמלית אם כל הצמדה שלה על ידי איבר שאינו שייך ל- H {\displaystyle H} נחתכת עם H {\displaystyle H} רק באיבר היחידה. זהו טיפוס קיצוני של תת-חבורה עם חיתוך טריוויאלי. בכל חבורה אבלית כל תת-חבורה היא נורמלית. A n {\displaystyle A_{n}} תת-חבורה נורמלית של S n {\displaystyle S_{n}} , כאשר S n {\displaystyle S_{n}} היא החבורה הסימטרית מסדר n {\displaystyle n} ואילו A n {\displaystyle A_{n}} היא חבורת התמורות הזוגיות מסדר n {\displaystyle n} . החבורה הציקלית שנוצרת על ידי הסיבוב ב- 2 π n {\displaystyle {\tfrac {2\pi }{n}}} היא תת-חבורה נורמלית של החבורה הדיהדרלית מסדר n {\displaystyle n} . את שתי הדוגמאות האחרונות ניתן להכליל: כל תת-חבורה מאינדקס 2 היא נורמלית. זאת מכיוון שאם [ G : N ] = 2 {\displaystyle [G:N]=2} , אז לכל g ∉ H {\displaystyle g\not \in H} , הן g H {\displaystyle gH} והן H g {\displaystyle Hg} הם הקוסט הלא טריוויאלי היחיד של H {\displaystyle H} . עבור n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} אין ל- S n {\displaystyle S_{n}} תת-חבורות נורמליות פרט ל- A n {\displaystyle A_{n}} . תת-חבורה נורמלית, באתר MathWorld (באנגלית) למידע נוסף: Trivial intersection groups, Gary Walls, Archiv der Matheamatic, Vol. 32, pp. 1-4, 1979