צירוף (קומבינטוריקה)

צֵירוּף או קוֹמְבִּינַצְיָה הוא בחירה של פריטים מקבוצת איברים שונים, כך שסדר הבחירה אינו משנה (בניגוד לתמורה). באופן פורמלי, צירוף של k {\displaystyle k} איברים מקבוצה S {\displaystyle S} , הוא תת-קבוצה בת k {\displaystyle k} איברים שונים של S {\displaystyle S} . לכן, שני צירופים זהים אם ורק אם לכל צירוף יש אותם איברים. סדר האיברים חסר משמעות. אם בקבוצה S {\displaystyle S} יש n {\displaystyle n} איברים, מספר הצירופים בגודל k {\displaystyle k} מסומן כ- C k n {\displaystyle C_{k}^{n}} , כאשר k ≤ n {\displaystyle k\leq n} הוא שווה למקדם הבינומי: ( n k ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ⋯ 1 = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} אם k > n {\displaystyle k>n} אז ( n k ) = 0 {\displaystyle {\binom {n}{k}}=0} . הנוסחה הזאת נובעת מהעובדה שלכל צירוף עם k {\displaystyle k} איברים מקבוצה בגודל n {\displaystyle n} , יש k ! {\displaystyle k!} תמורות. אזי P k n = C k n × k ! {\displaystyle P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!} או באופן שקול: C k n = P k n / k ! {\displaystyle C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!} . קבוצת כל הצירופים בגודל k {\displaystyle k} של קבוצה S {\displaystyle S} מסומנת לעיתים קרובות ( S k ) {\displaystyle \textstyle {\binom {S}{k}}} . בהינתן 3 פירות: תפוח, תפוז ואגס, ועלינו לבחור שניים, יש שלושה צירופים אפשריים: תפוח ואגס; תפוח ותפוז; או אגס ותפוז. בדוגמה זו, הקבוצה קטנה מספיק בכדי להציג את כל הצירופים. אבל זה לא יהיה פרקטי עבור קבוצות גדולות יותר. למשל, ניתן לתאר יד פוקר כצירוף של 5 קלפים ( k = 5 {\displaystyle k=5} ) מחפיסת בת 52 קלפים ( n = 52 {\displaystyle n=52} ). 5 הקלפים ביד שונים, והסדר שלהם לא משנה. יש ( 52 5 ) = 2598960 {\displaystyle {\tbinom {52}{5}}=2598960} צירופים כאלה, והסיכוי לכל יד כזו הוא 1 2598960 {\displaystyle {\frac {1}{2598960}}} . צירוף הוא קבוצה של n {\displaystyle n} דברים שנלקחו בכל פעם ללא חזרה. כדי להתייחס לצירופים שבהם החזרה מותרת, נדרש לציין זאת. אם בדוגמה של שלושת הפירות, אפשר היה לקבל שני פירות מאותו סוג, היו נוספות עוד 3 אפשרויות: שני תפוחים; שני תפוזים; שני אגסים. צירוף k {\displaystyle k} איברים עם חזרות, מקבוצה S {\displaystyle S} בגודל n {\displaystyle n} , נתון על ידי קבוצה של k {\displaystyle k} איברים לא בהכרח שונים מהקבוצה S {\displaystyle S} . גם כאן הסדר אינו נלקח בחשבון. לכן, שני צירופים הם זהים, אם ניתן לקבל את האחד מהשני על ידי שינוי הסדר. במילים אחרות, זהו מדגם של k {\displaystyle k} איברים מקבוצה בגודל n {\displaystyle n} , המאפשרים כפילויות (כלומר, עם חזרה) אך תוך התעלמות מסדרים שונים (למשל: { 1 , 2 , 3 } = { 3 , 2 , 1 } {\displaystyle \{1,2,3\}=\{3,2,1\}} ). אם נשייך אינדקס לכל אחד מאיברי הקבוצה S {\displaystyle S} , ונתייחס לכל איבר בקבוצה כ"סוג" של אובייקט, אז נוכל לציין באמצעות x i {\displaystyle x_{i}} את מספר איברים מסוג i {\displaystyle i} בצירוף. אזי, מספר התת-קבוצות בגודל k {\displaystyle k} הוא מספר הפתרונות השלם האי-שלילי של המשוואה הדיופנטית: x 1 + x 2 + ⋯ + x n = k {\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=k} . אם בקבוצה S {\displaystyle S} יש n {\displaystyle n} איברים, מספר הצירופים בגודל k {\displaystyle k} שניתן לבנות מאיבריה עם חזרות מסומן ב- ( ( n k ) ) {\displaystyle \left(\!\!{\tbinom {n}{k}}\!\!\right)} . סימון זה מקביל למקדם הבינומי שסופר k {\displaystyle k} תת-קבוצות. הוא יכול להיכתב גם במונחים של מקדמים בינומיים: ( ( n k ) ) = ( n + k − 1 k ) {\displaystyle \left(\!\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\!\right)={\binom {n+k-1}{k}}} אם בתפריט יש ארבעה סוגי סופגניות ( n = 4 {\displaystyle n=4} ) ונרצה להזמין שלוש סופגניות ( k = 3 {\displaystyle k=3} ), ניתן לחשב את מספר הדרכים לבחירת הסופגניות עם חזרה באמצעות הנוסחה: ( ( 4 3 ) ) = ( 4 + 3 − 1 3 ) = ( 6 3 ) = 20 {\displaystyle {\bigl (}\!\!{\tbinom {4}{3}}\!\!{\bigr )}={\tbinom {4+3-1}{3}}={\tbinom {6}{3}}=20} . ניתן לאמת תוצאה זו על ידי רישום כל התת-מולטי-קבוצות בגודל של 3 של הקבוצה S = { 1 , 2 , 3 , 4 } {\displaystyle S=\{1,2,3,4\}} . כפי שמוצג בטבלה (להלן) העמודה השנייה מפרטת את הסופגניות שנבחרו, העמודה השלישית מציגה את הפתרונות המספרים השלמים האי-שליליים [ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ] {\displaystyle [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]} של המשוואה x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 3 {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=3} , העמודה האחרונה מציגה את הכוכבים והמחיצות של הפתרונות. מדיה וקבצים בנושא צירוף בוויקישיתוף צירוף, באתר MathWorld (באנגלית) Reichl, Linda E. (2016). "2.2. Counting Microscopic States". A Modern Course in Statistical Physics. WILEY-VCH. p. 30. ISBN 978-3-527-69048-0. Benjamin & Quinn 2003, p. 70 Benjamin & Quinn 2003, p. 71 Mazur 2010, p. 10 where the stars and bars are written as binary numbers, with stars=0 and bars = 1.