אופרטור צמוד

באלגברה ליניארית והכללותיה, האופרטור הצמוד לאופרטור ליניארי T : V → W {\displaystyle T\colon V\rightarrow W} הוא אופרטור ליניארי אחר, T ∗ : W ∗ → V ∗ {\displaystyle T^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}} . בנוכחות מכפלה פנימית האופרטור הצמוד הוא אופרטור T ∗ : W → V {\displaystyle T^{*}\colon W\rightarrow V} . פעולת ההצמדה מהווה אינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים של מרחב מכפלה פנימית. הקשרים בין האופרטור לצמוד שלו מאפיינים כמה מן המשפחות החשובות ביותר של אופרטורים, ובפרט מאפשרים לזהות מתי אופרטור ניתן ללכסון. לכל מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מוגדר המרחב הדואלי V ∗ {\displaystyle V^{*}} של כל הפונקציונלים V → F {\displaystyle V\rightarrow F} . אם T : V → W {\displaystyle T\colon V\rightarrow W} העתקה ליניארית, ההעתקה הצמודה היא אופרטור T ∗ : W ∗ → V ∗ {\displaystyle T^{*}\colon W^{*}\rightarrow V^{*}} המוגדר לפי הכלל הפשוט ( T ∗ f ) ( v ) := f ( T v ) {\displaystyle (T^{*}f)(v):=f(Tv)} ; כלומר, T ∗ {\displaystyle T^{*}} פועל על פונקציונלים f : W → F {\displaystyle f:W\rightarrow F} על ידי הרכבת T {\displaystyle T} מימין. פעולת הצמוד היא ליניארית: אם T , S : V → W {\displaystyle T,S\colon V\rightarrow W} שתי העתקות ליניאריות ו- α ∈ F {\displaystyle \alpha \in F} הוא סקלר, אז ( T + S ) ∗ = T ∗ + S ∗ {\displaystyle (T+S)^{*}=T^{*}+S^{*}} ו- ( α T ) ∗ = α T ∗ {\displaystyle (\alpha T)^{*}=\alpha T^{*}} . אם U , V , W {\displaystyle U,V,W} מרחבים וקטוריים ו- T : V → W , S : W → U {\displaystyle T\colon V\rightarrow W,S\colon W\rightarrow U} העתקות, אז ( S T ) ∗ = T ∗ S ∗ {\displaystyle (ST)^{*}=T^{*}S^{*}} משום ש- ( ( S T ) ∗ g ) ( v ) = g ( S T v ) = S ∗ g ( T v ) = ( T ∗ ( S ∗ g ) ) ( v ) {\displaystyle ((ST)^{*}g)(v)=g(STv)=S^{*}g(Tv)=(T^{*}(S^{*}g))(v)} . בדומה לזה מוגדר הצמוד של הצמוד, T ∗ ∗ : V ∗ ∗ → W ∗ ∗ {\displaystyle T^{**}:V^{**}\rightarrow W^{**}} , לפי ( T ∗ ∗ φ ) ( f ) := φ ( T ∗ f ) {\displaystyle (T^{**}\varphi )(f):=\varphi (T^{*}f)} . כל מרחב וקטורי V {\displaystyle V} משוכן באופן טבעי במרחב הדואלי לדואלי שלו, V ∗ ∗ {\displaystyle V^{**}} , כאשר מפרשים וקטור v {\displaystyle v} כפעולה V ∗ → F {\displaystyle V^{*}\rightarrow F} המוגדרת לפי v ( f ) = f ( v ) {\displaystyle v(f)=f(v)} . תחת הפירוש הזה, T ∗ ∗ {\displaystyle T^{**}} מתלכד עם T {\displaystyle T} בכל מקום שבו האחרון מוגדר, משום ש- ( T ∗ ∗ v ) ( f ) = v ( T ∗ f ) = ( T ∗ f ) ( v ) = f ( T v ) = ( T v ) ( f ) {\displaystyle (T^{**}v)(f)=v(T^{*}f)=(T^{*}f)(v)=f(Tv)=(Tv)(f)} לכל f : W → F {\displaystyle f:W\rightarrow F} . כאשר מוגדרת על V {\displaystyle V} מכפלה פנימית, משפט ההצגה של ריס מאפשר לזהות את V {\displaystyle V} עם המרחב הדואלי שלו, בכך שכל וקטור x {\displaystyle x} מותאם לפונקציונל f x : y → ( y , x ) {\displaystyle f_{x}\colon y\rightarrow (y,x)} . נניח שגם על W {\displaystyle W} מוגדרת מכפלה פנימית משלו, הקובעת זיהוי של W {\displaystyle W} עם המרחב הדואלי שלו באותו אופן. אם T : V → W {\displaystyle T\colon V\rightarrow W} העתקה ליניארית, אז מגדירים T ∗ : W → V {\displaystyle T^{*}\colon W\rightarrow V} כך שיתקיים, לכל w ∈ W {\displaystyle w\in W} , f T ∗ w = T ∗ f w {\displaystyle \,f_{T^{*}w}=T^{*}f_{w}} ; כלומר, לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} , ( v , T ∗ w ) = f T ∗ w ( v ) = T ∗ f w ( v ) = f w ( T v ) = ( T v , w ) {\displaystyle (v,T^{*}w)=f_{T^{*}w}(v)=T^{*}f_{w}(v)=f_{w}(Tv)=(Tv,w)} . כך השוויון ( v , T ∗ w ) = ( T v , w ) {\displaystyle (v,T^{*}w)=(Tv,w)} מגדיר את האופרטור החדש T ∗ : W → V {\displaystyle T^{*}\colon W\rightarrow V} . במקרה של מכפלה פנימית הרמיטית, כגון מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים שבה מתקיים ( x , α y ) = α ¯ ( x , y ) {\displaystyle (x,\alpha y)={\bar {\alpha }}(x,y)} , הזיהוי של V {\displaystyle V} עם המרחב הדואלי הוא דרך פעולה צמודה של הסקלרים, ולכן במקרה זה יש לקרוא את נוסחת הכפל בסקלר שהוזכרה לעיל כך: ( α T ) ∗ = α ¯ T ∗ {\displaystyle (\alpha T)^{*}={\bar {\alpha }}T^{*}} . במקרה המיוחד בו V = W {\displaystyle V=W} , הליניאריות של פעולת ההצמדה, יחד עם חוק הכפל ( S T ) ∗ = T ∗ S ∗ {\displaystyle (ST)^{*}=T^{*}S^{*}} , הופכים את ההצמדה לאינוולוציה של חוג האנדומורפיזמים End ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {End} (V)} (שאבריו הם כל האופרטורים הליניאריים מ- V {\displaystyle V} ל- V {\displaystyle V} ). ההעתקה הצמודה (או הטרנספורמציה הצמודה) היא העתקה ליניארית אשר מקיימת ⟨ T u , v ⟩ = ⟨ u , T ∗ v ⟩ {\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle } והיא תואמת במשמעותה את המטריצה הצמודה. T ∗ {\displaystyle T^{*}} מוגדרת על ידי T ∗ v = ∑ i = 1 N ⟨ T w i , v ⟩ ¯ w i {\displaystyle T^{*}v=\sum _{i=1}^{N}{\overline {\langle Tw_{i},v\rangle }}w_{i}} . התכונות הבאות מתקיימות על ידי העתקה צמודה: ( T ∗ ) ∗ = T {\displaystyle (T^{*})^{*}=T} ( S + T ) ∗ = S ∗ + T ∗ {\displaystyle (S+T)^{*}=S^{*}+T^{*}} ( a T ) ∗ = a ¯ T ∗ {\displaystyle (aT)^{*}={\bar {a}}T^{*}} אם T {\displaystyle T} הפיכה אז גם T ∗ {\displaystyle T^{*}} הפיכה. לכל אופרטור T : V → V {\displaystyle T\colon V\rightarrow V} , כאשר V {\displaystyle V} מרחב מכפלה פנימית, יש משמעות להרכבות T T ∗ , T ∗ T {\displaystyle TT^{*},T^{*}T} , ששתיהן העתקות V → V {\displaystyle V\rightarrow V} , ולכן אפשר להשוות ביניהן. אם T T ∗ = T ∗ T {\displaystyle TT^{*}=T^{*}T} ההעתקה נקראת נורמלית. אם T T ∗ {\displaystyle TT^{*}} היא הזהות ההעתקה נקראת אוניטרית (ובהקשר מעט שונה אורתוגונלית). אם T ∗ = T {\displaystyle T^{*}=T} ההעתקה היא הרמיטית. בין מרחבים וקטוריים מממד סופי אפשר לתאר כל העתקה ליניארית באמצעות מטריצה, על ידי בחירת בסיס לכל מרחב. בפרט, עבור מרחבי הווקטורים הסטנדרטיים, בחירת הבסיס הסטנדרטי כבסיס מייצג מאפשרת לחשב את האופרטור הצמוד בקלות: ( A ∗ ) i j = A j i ¯ {\displaystyle (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}} כלומר: המטריצה של האופרטור הצמוד מתקבלת מהפעלת שחלוף והצמדה מרוכבת על המטריצה המקורית. מרחב דואלי