תהליך ברנולי

בהסתברות ובסטטיסטיקה, תהליך ברנולי (על שם יאקוב ברנולי) הוא רצף סופי או אינסופי של ניסויי ברנולי זהים, כלומר ניסויים שיש להם שתי תוצאות אפשריות. לעיתים קרובות מתייחסים לתהליך ברנולי כאל תהליך סטוכסטי בדיד המורכב ממשתנים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות ברנולי זהה. ניתן להמחיש תהליך ברנולי באמצעות הטלת מטבע חוזרת ונשנית, אולי עם מטבע לא הוגן (יש להשתמש בכל ההטלות באותו המטבע). ניתן להכליל תהליך ברנולי גם ליותר משתי תוצאות (כגון התהליך של קובייה בעלת שישה צדדים); הכללה זו ידועה בשם סכמת ברנולי (אנ'). תהליך ברנולי הוא רצף סופי או אינסופי של משתנים מקריים בלתי תלויים, X 1 , X 2 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},...} , כך ש- לכל i {\textstyle i} , המשתנה המקרי X i {\displaystyle X_{i}} יכול לקבל שני ערכים: a {\displaystyle a} או b {\displaystyle b} . (בדרך כלל ערכים 1 {\displaystyle 1} או 0 {\displaystyle 0} ); לכל i {\textstyle i} , X i = a {\displaystyle X_{i}=a} בהסתברות p {\displaystyle p} . מאי תלות המשתנים המקריים המרכיבים את התהליך, נובע שהתהליך הוא חסר זיכרון. בהינתן שההסתברות p {\displaystyle p} ידועה, תוצאות העבר אינן מספקות מידע על תוצאות עתידיות. (אם p {\displaystyle p} אינו ידוע, העבר יכול לספק ידע על העתיד בעקיפין, באמצעות אמידה של p {\displaystyle p} .) אם התהליך הוא אינסופי, אז סדרת המשתנים X i , X i + 1 , . . . {\displaystyle X_{i},X_{i+1},...} מהווה תהליך ברנולי הזהה לתהליך המקורי. שני הערכים האפשריים של כל משתנה מקרי X i {\displaystyle X_{i}} נקראים לעיתים קרובות "הצלחה" ו"כישלון". פרשנות נוספת יכולה להיות "אמת" או "שקר". המשתנים המקריים יכולים להיקרא גם ניסויי ברנולי עם פרמטר p {\displaystyle p} . ביישומים רבים האינדקס i {\displaystyle i} מבטא נקודה בזמן וסדרת המשתנים המקריים מקבלת ערכים תוך התקדמות בזמן. עם זאת, הזמן והמושגים הקשורים ל"עבר" ו"עתיד" אינם הכרחיים לתהליך ברנולי. תהליך ברנולי יכול להיות סדרה של משתנים מקריים אשר לאינדקסים שלהם אין קשר לזמן. ישנם כמה משתנים אקראיים והתפלגויות שניתן לקבל מתוך תהליך ברנולי: מספר ההצלחות ב- n {\displaystyle n} ניסויי ברנולי הראשונים, הוא משתנה מקרי אשר יש לו התפלגות בינומית B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} . מספר ניסיונות ברנולי הדרושים כדי להשיג הצלחה אחת, הוא משתנה מקרי שיש לו התפלגות גאומטרית G ( p ) {\displaystyle G(p)} . מספר ניסיונות ברנולי הדרושים כדי לקבל r {\displaystyle r} הצלחות, הוא משתנה מקרי שיש לו התפלגות בינומית שלילית N B ( r , p ) {\displaystyle NB(r,p)} , הכללה של התפלגות גאומטרית. נתון תהליך ברנולי X 1 , X 2 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},...} כך שמתקיים לכל i = 1 , 2 , . . . {\displaystyle i=1,2,...} , P ( X i = 1 ) = p {\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=1)=p} ו- P ( X i = 0 ) = 1 − p {\displaystyle \mathbb {P} (X_{i}=0)=1-p} . לכן מתקיים שהתוחלת של המשתנים המקריים היא E [ X i ] = p {\displaystyle \mathbb {E} [X_{i}]=p} . חוק המספרים הגדולים קובע שהממוצע X ¯ n := 1 n ∑ i = 1 n X i {\displaystyle {\bar {X}}_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}} , מתכנס ל- p {\displaystyle p} כמעט בוודאות. או באופן שקול, X ¯ n → p   p {\displaystyle {\bar {X}}_{n}{\overset {p}{\rightarrow }}\ p} . כלומר, למאורע שגבול סדרת הממוצעים המתקבלת הוא p {\displaystyle p} , יש הסתברות 1 {\displaystyle 1} . לכן, למאורע המשלים שגבול הסדרת הממוצעים המתקבלת שונה מ- p {\displaystyle p} יש הסתברות 0 {\displaystyle 0} . חוק המספרים הגדולים קשור גם לחוק האפס-אחד של קולמוגורוב. כאשר p {\displaystyle p} אינו ידוע X ¯ n {\displaystyle {\bar {X}}_{n}} הוא אומד נראות מקסימלית עבור p {\displaystyle p} . מאחר שמתקיים גם לכל i = 1 , 2 , . . . {\displaystyle i=1,2,...} , V a r ( X ¯ n ) = p ( 1 − p ) n {\displaystyle \mathbb {Var} ({\bar {X}}_{n})={\frac {p(1-p)}{n}}} , ממשפט הגבול המרכזי נובע שההתפלגויות של הממוצעים המנורמלים Z n = n p ( 1 − p ) ( X ¯ n − p ) {\displaystyle Z_{n}={\sqrt {\frac {n}{p(1-p)}}}\left({\bar {X}}_{n}-p\right)} מתכנסת בהתפלגות להתפלגות נורמלית תקנית. כלומר, Z n → d   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z_{n}{\overset {d}{\rightarrow }}\ {\mathcal {N}}(0,1)} . נגדיר תהליך ברנולי X 1 , X 2 , . . . {\displaystyle X_{1},X_{2},...} כאשר הפעם המשתנים יכולים לקבל ערכים 1 {\displaystyle 1} בהסתברות p {\displaystyle p} או − 1 {\displaystyle -1} בהסתברות 1 − p {\displaystyle 1-p} . נגדיר את סדרת הסכומים החלקיים: S n := ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} סדרת משתנים מקריים זו היא תהליך סטוכסטי הנקרא הילוך מקרי על ציר המספרים השלמים ( Z ) {\displaystyle \left(\mathbb {Z} \right)} . Eric W. Weisstein, Galton Board, mathworld.wolfram.com (באנגלית) 11.1: Introduction to Bernoulli Trials, Statistics LibreTexts, ‏2020-05-05 (באנגלית) Law of large numbers | Probability, Sampling & Estimation | Britannica, www.britannica.com, ‏2024-03-28 (באנגלית)