קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך

בטופולוגיה, קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך היא טכניקה לבניית העתקה אוניברסלית ממרחב טופולוגי X {\displaystyle X} למרחב האוסדורף קומפקטי β X {\displaystyle \beta X} , שיש לה חשיבות אפילו כאשר X {\displaystyle X} מרחב דיסקרטי. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך β X {\displaystyle \beta X} של X {\displaystyle X} היא מרחב האוסדורף קומפקטי הגדול ביותר הנוצר על ידי X {\displaystyle X} , במובן שכל העתקה מ- X {\displaystyle X} למרחב האוסדורף קומפקטי מתפצלת באופן יחיד דרך β X {\displaystyle \beta X} . אם X {\displaystyle X} הוא מרחב רגולרי לחלוטין, אז תמונת X {\displaystyle X} ב- β X {\displaystyle \beta X} הומיאומורפית ל- X {\displaystyle X} , וכך אפשר לחשוב על X {\displaystyle X} כתת-מרחב צפוף של β X {\displaystyle \beta X} . במקרה הכללי, ההעתקה X → β X {\displaystyle X\rightarrow \beta X} אינה מוכרחה להיות חד-חד-ערכית. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, לכל מרחב טופולוגי יש קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך. בלעדיה, אפילו הטענה ש- β N ≠ N {\displaystyle \beta \mathbb {N} \neq \mathbb {N} } אינה מוכרחה להיות נכונה, ובפרט קשה לתאר נקודות של β N {\displaystyle \beta \mathbb {N} } באופן ישיר. המרחב β X {\displaystyle \beta X} והפונקציה מ- X {\displaystyle X} אליו מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל פונקציה רציפה f : X → K {\displaystyle f\colon X\to K} , כאשר K {\displaystyle K} מרחב האוסדורף קומפקטי, יש הרחבה יחידה לפונקציה רציפה β f : β X → K {\displaystyle \beta f\colon \beta X\to K} . כרגיל במקרים של אוניברסליות, תכונה זו מאפיינת את β X {\displaystyle \beta X} עד כדי הומיאומורפיזם. ההעתקה X → β X {\displaystyle X\rightarrow \beta X} היא הומיאומורפיזם אל התמונה אם ורק אם X הוא מרחב טיכונוף. ההעתקה X → β X {\displaystyle X\rightarrow \beta X} היא הומיאומורפיזם עם תמונה פתוחה אם ורק אם X {\displaystyle X} מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. תכונת ההרחבה שתוארה לעיל מאשרת כי β {\displaystyle \beta } הוא פונקטור מן הקטגוריה Top של מרחבים טופולוגיים, אל הקטגוריה CHaus של מרחבי האוסדורף קומפקטיים. נסמן ב- u : CHaus → Top {\displaystyle u\colon \operatorname {CHaus} \to \operatorname {Top} } את הפונקטור השכחן. אז כל מורפיזם β X → K {\displaystyle \beta X\to K} (עבור K ∈ Obj ⁡ ( CHaus ) {\displaystyle K\in \operatorname {Obj} (\operatorname {CHaus} )} ) מתאים באופן יחיד למורפיזם X → u K {\displaystyle X\to uK} (באמצעות צמצום ל- X {\displaystyle X} ותכונת האוניברסליות), כלומר Hom ⁡ ( β X , K ) = Hom ⁡ ( X , u K ) {\displaystyle \operatorname {Hom} (\beta X,K)=\operatorname {Hom} (X,uK)} . היינו, הפונקטור β {\displaystyle \beta } הוא פונקטור צמוד משמאל ל- u {\displaystyle u} . אם X {\displaystyle X} מרחב דיסקרטי, אפשר לבנות את β X {\displaystyle \beta X} כמרחב כל העל-מסננים על X {\displaystyle X} , עם טופולוגיית סטון. אברי X {\displaystyle X} מתאימים למסננים הראשיים. ידועות גם בניות אחרות, המתאימות למרחב טופולוגי כללי. אם S {\displaystyle S} חבורה למחצה דיסקרטית, יש הרחבה יחידה של הפעולה מ- S {\displaystyle S} ל- β S {\displaystyle \beta S} כך שהכפל מימין בכל איבר הוא רציף, והכפל משמאל בכל איבר של S {\displaystyle S} הוא רציף. הרחבה זו היא אסוציאטיבית. מתברר ש- β S {\displaystyle \beta S} אוניברסלי כחבורה למחצה קומפקטית והאוסדורף (כלומר ביחס להומומורפיזמים רציפים). אם S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} חבורות למחצה דיסקרטיות, אז β S ⊆ β T {\displaystyle \beta S\subseteq \beta T} גם היא תת-חבורה למחצה. המרכז הטופולוגי של β S {\displaystyle \beta S} (הכולל, בהגדרה, את האיברים שהכפל משמאל בהם רציף) שווה למרכז האלגברי. אם S {\displaystyle S} חבורה למחצה אינסופית ובעלת צמצום מימין או משמאל, אז S ∗ = β S − S {\displaystyle S^{*}=\beta S-S} הוא אידיאל ימני או שמאלי, בהתאמה. קומפקטיפיקציית סטון-צ'ך של המספרים הטבעיים (עם הטופולוגיה הדיסקרטית) היא אובייקט נחקר ובעל חשיבות בתורת הקבוצות. גם המבנה האלגברי של המספרים הטבעיים משך תשומת לב לא מבוטלת בהקשר זה. אלא שהמבנה האלגברי של הקומפקטיפיקציות β N {\displaystyle \beta \mathbb {N} } ו- β Z {\displaystyle \beta \mathbb {Z} } סבוך להפליא. למשל, במרכזים של ( β N , + ) {\displaystyle (\beta \mathbb {N} ,+)} , ( β N , ⋅ ) {\displaystyle (\beta \mathbb {N} ,\cdot )} ו- ( β Z , + ) {\displaystyle (\beta \mathbb {Z} ,+)} אין אף איבר שאינו שייך לקבוצה המקורית (הטבעיים בשני המקרים הראשונים, השלמים באחרון). ב- β Z {\displaystyle \beta \mathbb {Z} } כמעט ואין שלשות המקיימות את החוק הדיסטריבוטיבי. Hindman and Strauss, Algebra in the Stone-Cech compacification, 2nd ed, 2012. (mostly chapters 4 and 6).