מספר מרסן

מספרי מרסן, הנקראים על שם המתמטיקאי האב מרן מרסן, הם מספרים שהם חזקה של שתיים פחות 1, כלומר, בתבנית:   M n = 2 n − 1 {\displaystyle \ M_{n}=2^{n}-1} . חמשת מספרי מרסן הטבעיים הראשונים הם 1, 3, 7, 15 ו-31. בתצוגה בינארית, מספר מרסן הוא יחידה חוזרת המורכבת מ-n מופעים של הספרה 1. לדוגמה: המספר 31, השווה ל-   2 5 − 1 {\displaystyle \ 2^{5}-1} , מוצג בבסיס בינארי כמספר 11111. למספרי מרסן ראשוניים יש קשר הדוק למספרים משוכללים, שהם מספרים השווים לסכום מחלקיהם. מבחינה היסטורית, המחקר על מספרי מרסן בא מקשר זה: אוקלידס הראה במאה ה-4 לפנה"ס שאם   M n {\displaystyle \ M_{n}} הוא מספר מרסן ראשוני אז M n ( M n + 1 ) 2 = 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) {\displaystyle {\frac {M_{n}(M_{n}+1)}{2}}=2^{n-1}(2^{n}-1)} הוא מספר משוכלל. כעבור כאלפיים שנה, במאה ה-18, הראה אוילר שכל המספרים המשוכללים הזוגיים הם בתבנית זו. לא ידוע האם יש אינסוף מספרי מרסן ראשוניים. הפירוק ( 2 a − 1 ) ⋅ ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + ⋯ + 2 ( b − 1 ) a ) = 2 a b − 1 {\displaystyle (2^{a}-1)\cdot (1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a})=2^{ab}-1} מראה ש-   M n {\displaystyle \ M_{n}} יכול להיות ראשוני רק אם   n {\displaystyle \ n} עצמו ראשוני, מה שמקל במידה ניכרת על חיפוש מספרי מרסן ראשוניים. אך ההפך אינו נכון:   M n {\displaystyle \ M_{n}} יכול להיות פריק כאשר   n {\displaystyle \ n} ראשוני. לדוגמה,   2 11 − 1 = 23 ⋅ 89 {\displaystyle \ 2^{11}-1=23\cdot 89} . נכון ל-2019 מספר מרסן הראשוני הגדול ביותר שהתגלה הוא מספר מרסן הראשוני ה-51,   2 82 , 589 , 933 − 1 {\displaystyle \ 2^{82,589,933}-1} . למספר זה 24,862,048 ספרות עשרוניות והוא התגלה על ידי מיזם GIMPS. קיימים אלגוריתמים מהירים למציאת מספרי מרסן ראשוניים (כמו מבחן לוקאס-להמר למספרי מרסן), וכתוצאה מכך המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים היום הם מספרי מרסן. החל מסוף המאה ה-20 התפתח מאוד התחום של חישוב מבוזר קהילתי. מציאת מספר ראשוני גדול כרוכה בפעולות חישוביות רבות, אך ניתן לחלק את כלל המספרים לבדיקה בין משתמשים רבים כך שכל אחד בודק מספר אחר, ובדרך כלל יוקצה מספר זהה לשני בודקים שונים. בדרך זו גדלים הסיכויים למצוא מספרים אלה, אם כי בהחלט ייתכן שמספר גדול יותר יימצא לפני מספרים קטנים ממנו. למעשה, נכון ליוני 2021, נבדקו כל מספרי מרסן ברצף עד המספר   2 102 , 887 , 301 − 1 {\displaystyle \ 2^{102,887,301}-1} לפחות פעם אחת. המיזם שנטל על עצמו את ניהול המספרים, הקצאתם לבדיקה ובדיקת התוצאות החוזרות הוא GIMPS. גוף זה גם מכריז על מספרי מרסן ראשוניים חדשים שנתגלו, מעת לעת. ב-23 באוגוסט 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-47,   2 43 , 112 , 609 − 1 {\displaystyle \ 2^{43,112,609}-1} . מספר זה, שהתגלה במחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, הוא בן 12,978,189 ספרות עשרוניות. מספר זה הוכרז כמנצח הפרס בן $100,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית. ב-6 בספטמבר 2008 התגלה מספר מרסן הראשוני ה-45,   2 37 , 156 , 667 − 1 {\displaystyle \ 2^{37,156,667}-1} . למספר זה 11,185,272 ספרות עשרוניות והוא התגלה על ידי משתמש גרמני מעיר ליד קלן בגרמניה. זה היה מספר מרסן הראשוני הראשון שנתגלה באופן בלתי רציף מאז 1988. ב-17 בספטמבר 2015 נשלחה ממחשבו של קורטיס קופר הודעה לשרת מיזם GIMPS על גילוי מספר מרסן הראשוני ה-49. אולם, בגלל באג תוכנתי, ההודעה לא התקבלה. כך נשאר מספר זה עלום עד עבודות התחזוקה השוטפות של השרת, כשלושה חודשים וחצי לאחר מכן. ב-7 בינואר 2016 הוכרז המספר באופן רשמי אך, תאריך הגילוי הקובע הוא היום בו נשלחה לראשונה (17 בספטמבר 2015) ההודעה לשרת. קביעה זו באה בעקבות המקרה שאירע ב-3 בנובמבר 1961. ביום זה קרא אלכסנדר הורביץ את תדפיס המחשב שלו מהסוף להתחלה (מאחר שזו הדרך שבה נערם. בדומה למדפסת המפיקה דו"ח מההתחלה לסוף כך שהדף הראשון של הדו"ח יימצא בתחתית הערמה) והבחין במספר מרסן הראשוני ה-20,   2 4 , 423 − 1 {\displaystyle \ 2^{4,423}-1} מספר שניות לפני מספר מרסן הראשוני ה-19,   2 4 , 253 − 1 {\displaystyle \ 2^{4,253}-1} , אף על פי שהמספר הקטן התגלה מוקדם יותר. מכאן ש-   2 4 , 253 − 1 {\displaystyle \ 2^{4,253}-1} נחשב ל"מספר מרסן הראשוני שמעולם לא היה הגדול ביותר" כשהתגלה. GIMPS העניקו $50,000 למחלקה למתמטיקה של אוניברסיטת קליפורניה בלוס אנג'לס, $25,000 מיועדים לצדקה ורוב שאר הכסף יועבר למגלים של ששת מספרי מרסן הראשוניים האחרונים. למגלי המספר הראשוני הראשון שלו מאה מיליון ספרות ממתין פרס בן $150,000 מטעם קרן החזית האלקטרונית. קבוע ארדש-בורוויין מרסן (אסטרואיד) פרנק נלסון קול מספר פרמה מדיה וקבצים בנושא מספר מרסן בוויקישיתוף אתר GIMPS - המרכז את החיפוש אחר מספרי מרסן חדשים. מספרי מרסן/טיפוסי מספרים בתורת המספרים באתר של המרכז לתכנון לימודים במכללת קיי, באר-שבע מספר מרסן, באתר MathWorld (באנגלית) מספר מרסן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) סדרת מספרי מרסן באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים https://www.mersenne.org/primes/press/M82589933.html GIMPS Milestones Report, www.mersenne.org The Largest Known prime by Year: A Brief History, primes.utm.edu EFF Cooperative Computing Awards 23 מיליון ספרות: אותר המספר הראשוני הכי גדול, באתר ynet, 10 בינואר 2018