תהליך המסעדה הסינית

בתורת ההסתברות, תהליך המסעדה הסינית הוא תהליך סטוכסטי זמן בדיד, המודגם באמצעות מודל של התיישבות לקוחות ליד שולחנות במסעדה, עם אינסוף שולחנות עגולים, הממוספרים 1 , 2 , … {\displaystyle 1,2,\ldots } , שלכל אחד מהם קיבולת ישיבה אינסופית. לקוח 1 {\displaystyle 1} מתיישב על יד שולחן 1 {\displaystyle 1} . הלקוח הבא בוחר או לשבת באותו שולחן כמו לקוח 1, או בשולחן הבא. כך התהליך ממשיך, כאשר נכנס הלקוח ה- n {\displaystyle n} , הוא בוחר לשבת ליד באחד מה- m {\displaystyle m} השולחנות התפוסים בהסתברות שפרופורציונלית למספר הלקוחות שכבר שם (כלומר, יש סיכוי גבוה יותר שיתיישב בשולחן עם לקוחות רבים מאשר מעטים), או בהסתברות 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} בשולחן שמספרו m + 1 {\displaystyle m+1} ועדיין פנוי. התהליך עצמו הוא סדרה של משתנים מקריים X 1 , X 2 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots } כאשר X n {\displaystyle X_{n}} הוא מספר השולחן לידו התיישב הלקוח ה- n {\displaystyle n} . התהליך הזה הוא אמצעי חשוב ליצירה של סדרה של חלוקות מקריות חליפיות (החלוקות של הלקוחות לפי שולחנות) שהיא גם חלוקה מקרית חילופית של המספרים הטבעיים. תכונה זו מפשטת מאוד מספר בעיות בגנטיקה של אוכלוסיות, ניתוח לשוני וזיהוי תמונות. נניח שהגיעו למסעדה n {\displaystyle n} לקוחות והתיישבו ב- k {\displaystyle k} שולחנות לפי סדר מסוים (מימוש) X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n {\displaystyle X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}} , ולכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} , נתון ש- a i {\displaystyle a_{i}} התיישבו ליד השולחן ה- i {\displaystyle i} . ההסתברות שסדר כזה יתקבל, הוא Pr ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n ) = ∏ i = 1 k ( a i − 1 ) ! n ! {\textstyle \Pr \left(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)={\frac {\prod _{i=1}^{k}(a_{i}-1)!}{n!}}} . דוגמה למשל, אם ידוע לנו שהגיעו 10 {\displaystyle 10} לקוחות והתיישבו לפי הסדר הבא: 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 3 {\textstyle 1,2,1,3,1,2,3,2,3,3} . במקרה כזה a 1 = 3 {\displaystyle a_{1}=3} , a 2 = 3 {\displaystyle a_{2}=3} ו- a 3 = 4 {\displaystyle a_{3}=4} . ההסתברות לקבלת המימוש הספציפי הזה היא: Pr ( X 1 = 1 , X 2 = 2 , X 3 = 1 , X 4 = 3 , X 5 = 1 , X 6 = 2 , X 7 = 3 , X 8 = 2 , X 9 = 3 , X 10 = 3 ) = ( 3 − 1 ) ! ( 3 − 1 ) ! ( 4 − 1 ) ! 10 ! {\displaystyle \Pr(X_{1}=1,X_{2}=2,X_{3}=1,X_{4}=3,X_{5}=1,X_{6}=2,X_{7}=3,X_{8}=2,X_{9}=3,X_{10}=3)={\frac {(3-1)!(3-1)!(4-1)!}{10!}}} תכונה: רק החלוקה של n {\displaystyle n} קובעת את הסתברות המימוש. בדוגמה לעיל, ההסתברות ש- 10 {\displaystyle 10} לקוחות יגיעו בסדר - 1 , 2 , 2 , 3 , 1 , 1 , 3 , 2 , 3 , 1 {\textstyle 1,2,2,3,1,1,3,2,3,1} זהה לזו של הסדר בדוגמה - 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 3 {\textstyle 1,2,1,3,1,2,3,2,3,3} ושווה גם היא ל- ( 4 − 1 ) ! ( 3 − 1 ) ! ( 3 − 1 ) ! 10 ! {\textstyle {\frac {(4-1)!(3-1)!(3-1)!}{10!}}} . הסיבה לכך היא שבשני המימושים יש את אותה החלוקה של 10 {\displaystyle 10} והיא: 10 = 4 + 3 + 3 {\displaystyle 10=4+3+3} . מבחינת חישוב ההסתברות, אין חשיבות לכך שסדרי ההגעה שונים. למשל, בסדר ההגעה הראשון הגיעו ארבעה לשולחן 3 {\displaystyle 3} ובסדר ההגעה השני הגיעו ארבעה לשולחן 1 {\displaystyle 1} . בזכות תכונה זו ניתן להראות שתהליך המסעדה הסינית בונה חלוקה מקרית חילופית של המספרים הטבעיים. תכונה זו של תהליך המסעדה הסינית מפשטת את החישובים והיא אחת הסיבות שבגללן המודל אטרקטיבי למידול תהליכים, למשל, בגנטיקה של אוכלוסיות, בניתוח טקסטים ובעיבוד תמונות. תהליך המסעדה הסינית ניתן להכללה למודל עם שני פרמטרים, θ {\displaystyle \theta } ו - α {\displaystyle \alpha } . כאשר הלקוח ה- n {\displaystyle n} מגיע הוא מוצא m {\displaystyle m} שולחנות תפוסים ומחליט לשבת ליד שולחן ריק בהסתברות θ + m α n + θ {\displaystyle {\frac {\theta +m\alpha }{n+\theta }}} , או ליד שולחן תפוס שמספרו 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} עם a i {\displaystyle a_{i}} לקוחות שכבר יושבים לידו, בהסתברות a i − α n + θ {\displaystyle {\frac {a_{i}-\alpha }{n+\theta }}} . כדי להבטיח התפלגות תקפה (הסתברויות חיוביות), יש צורך להניח ש - 0 ≤ α < 1 {\displaystyle 0\leq \alpha <1} ו - θ > − α {\displaystyle \theta >-\alpha } , או ש - α < 0 {\displaystyle \alpha <0} ואז θ = − L α {\displaystyle \theta =-L\alpha } עבור מספר טבעי L {\displaystyle L} (במקרה כזה מספר השולחנות התפוסים לא יכול לעלות על L {\displaystyle L} ). נניח שהגיעו למסעדה n {\displaystyle n} לקוחות והתיישבו ב- k {\displaystyle k} שולחנות לפי סדר מסוים (מימוש) X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n {\displaystyle X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}} , ולכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} , נתון ש- a i {\displaystyle a_{i}} התיישבו ליד השולחן ה- i {\displaystyle i} . ההסתברות לפי המודל המוכלל שסדר כזה יתקבל, הוא Pr ( X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , … , X n = x n ) = ( θ + α ) k − 1 , α ( θ + 1 ) n − 1 , 1 ∏ i = 1 k ( 1 − α ) a i − 1 , 1 {\displaystyle \Pr \left(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},\ldots ,X_{n}=x_{n}\right)={\frac {(\theta +\alpha )_{k-1,\alpha }}{(\theta +1)_{n-1,1}}}\prod _{i=1}^{k}(1-\alpha )_{a_{i}-1,1}} , כאשר ( b ) c , d {\displaystyle (b)_{c,d}} הוא הסימן-k של פושהמר, שלפי המוסכמה מקיים, ( b ) 0 , d = 1 {\displaystyle (b)_{0,d}=1} , ועבור c > 0 {\displaystyle c>0} ( b ) c , d = ∏ i = 0 c − 1 ( b + i d ) = { b c : d = 0 םא  d c Γ ( b / d + c ) Γ ( b / d ) : תרחא {\displaystyle (b)_{c,d}=\prod _{i=0}^{c-1}(b+id)={\begin{cases}b^{c}&:d=0&{\text{םא }}\\\\{\dfrac {d^{c}\,\Gamma (b/d+c)}{\Gamma (b/d)}}&:{\text{תרחא}}\end{cases}}} . אנלוגיית המסעדה הסינית הופיעה לראשונה במאמר משנת 1985 של דייוויד אלדוס, שם היא יוחסה לג'ים פיטמן (שנתן קרדיט גם ללסטר דובין). Pitman, Jim (1995). "Exchangeable and Partially Exchangeable Random Partitions". Probability Theory and Related Fields. 102 (2): 145–158. doi:10.1007/BF01213386. MR 1337249. Pitman, Jim (2006). Combinatorial Stochastic Processes. Vol. 1875. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 9783540309901. אורכב מ-המקור ב-2012-09-25. נבדק ב-2011-05-11. Aldous, D. J. (1985). "Exchangeability and related topics". École d'Été de Probabilités de Saint-Flour XIII — 1983. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1117. pp. 1–198. doi:10.1007/BFb0099421. ISBN 978-3-540-15203-3. The restaurant process is described on page 92.