נורמה (אלגברה)

באלגברה מופשטת, הנורמה של אלגברה A {\displaystyle A} מעל שדה F {\displaystyle F} היא פונקציה כפלית מסוימת, המוגדרת בעזרת הפולינום האופייני של איברים באלגברה. בין הדוגמאות המוכרות ביותר: הפונקציה N ( x + y i ) = x 2 + y 2 {\displaystyle N(x+yi)=x^{2}+y^{2}} , שהיא הנורמה של מספרים מרוכבים בהרחבה C / R {\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} } של המרוכבים מעל הממשיים, והדטרמיננטה, שהיא הנורמה עבור אלגברת המטריצות מעל שדה הבסיס. בניגוד לנורמה האנליטית, הנורמה האלגברית יכולה במקרים רבים לקבל את הערך 0 {\displaystyle 0} גם באיברים שאינם 0 {\displaystyle 0} . אם A {\displaystyle A} אלגברה מממד סופי מעל שדה F {\displaystyle F} , אפשר לבחור לה בסיס   b 1 , … , b n {\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}} , ולהתבונן באיבר X = x 1 b 1 + ⋯ + x n b n {\displaystyle X=x_{1}b_{1}+\cdots +x_{n}b_{n}} של האלגברה A ⊗ F F ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle A\otimes _{F}F(x_{1},\dots ,x_{n})} המתקבלת מהרחבת סקלרים מ- F {\displaystyle F} לשדה הפונקציות F ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{n})} . ל- X {\displaystyle X} יש פולינום מינימלי מתוקן הנקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A {\displaystyle A} , והמעלה שלו, m {\displaystyle m} , היא הדרגה של האלגברה. המקדם האחרון של הפולינום המינימלי, שהוא פולינום הומוגני ( − 1 ) m − 1 N {\displaystyle (-1)^{m-1}N} ממעלה m {\displaystyle m} במקדמים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} , הוא הנורמה של איברים מ- A {\displaystyle A} . הנורמה מקיימת את התנאי N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\displaystyle N(xy)=N(x)N(y)} , ואם   α ∈ F {\displaystyle \ \alpha \in F} אז N ( α ) = α m {\displaystyle N(\alpha )=\alpha ^{m}} . אם מעלת הפולינום המינימלי של איבר שווה לדרגה (וזה כך "כמעט לכל איבר" – ראו טופולוגיית זריצקי), אז אפשר לקרוא את הנורמה מתוך המקדם החופשי של הפולינום המינימלי עצמו (ללא צורך בבניית הפולינום הגנרי). הנורמה של כל מחלק אפס היא אפס. אם K / F {\displaystyle K/F} הרחבת גלואה של שדות, אפשר לראות ב- K {\displaystyle K} אלגברה מעל השדה F {\displaystyle F} , ולהגדיר עבורו נורמה על-פי ההגדרה הכללית לעיל. נסמן ב- { σ 1 , … , σ n } {\displaystyle \{\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\}} את האיברים בחבורת גלואה של ההרחבה (כאשר n {\displaystyle n} שווה לממד ההרחבה). כל איבר a ∈ K {\displaystyle a\in K} מאפס את הפולינום f ( λ ) = ( λ − σ 1 ( a ) ) ⋯ ( λ − σ n ( a ) ) {\displaystyle f(\lambda )=(\lambda -\sigma _{1}(a))\cdots (\lambda -\sigma _{n}(a))} , שמקדמיו שייכים לשדה השֶבת F {\displaystyle F} , ופולינום זה (עבור a {\displaystyle a} גנרי) הוא הפולינום המינימלי הגנרי של K {\displaystyle K} . מכאן מתקבלת הנוסחה N K / F ( a ) = σ 1 ( a ) ⋯ σ n ( a ) {\displaystyle N_{K/F}(a)=\sigma _{1}(a)\cdots \sigma _{n}(a)} . לדוגמה, אם K = F [ d ] {\displaystyle K=F\left[{\sqrt {d}}\right]} , אז האוטומורפיזם הלא-טריוויאלי מוגדר לפי הנוסחה σ ( a + b d ) = a − b d {\displaystyle \sigma (a+b{\sqrt {d}})=a-b{\sqrt {d}}} , ואז הנורמה היא N ( a + b d ) = a 2 − d b 2 {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}} . את הנוסחה הזו אפשר להכליל לכל מקרה שבו ההרחבה K / F {\displaystyle K/F} ספרבילית, משום שאז קיים "סגור גלואה" K ⊆ E {\displaystyle K\subseteq E} , היינו שדה E {\displaystyle E} המהווה הרחבת גלואה של F {\displaystyle F} . במקרה זה אפשר לבחור אוטומורפיזמים σ 1 , … , σ n {\displaystyle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}} של E {\displaystyle E} המשרים פעולות שונות על K {\displaystyle K} , ולהגדיר את הנורמה באותה צורה. הנורמה של הרחבות ספרביליות היא טרנזיטיבית, כלומר, אם F ⊆ L ⊆ K {\displaystyle F\subseteq L\subseteq K} , אז N L / F ∘ N K / L = N K / F {\displaystyle N_{L/F}\circ N_{K/L}=N_{K/F}} . אפשר להגדיר נורמה של אידיאלים בתחום שלמות D {\displaystyle D} , לפי גודלו של חוג המנה N ( I ) = | D / I | {\displaystyle N(I)=|D/I|} . ההגדרה שימושית בעיקר בחוגים שכל המנות שלהם סופיות. ההגדרה מכלילה את הערך המוחלט המקובל במספרים שלמים, משום שהנורמה של האידיאל   n Z {\displaystyle \ n\mathbb {Z} } בחוג המספרים השלמים היא | Z / n Z | = n {\displaystyle |\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} |=n} . עבור אידיאלים ראשיים הנוסחה כפלית בכל תחום שלמות: | D / D a b | = | D / D a | ⋅ | D / D b | {\displaystyle |D/Dab|=|D/Da|\cdot |D/Db|} . אם D = O K {\displaystyle D={\mathcal {O}}_{K}} הוא חוג השלמים של שדה מספרים K {\displaystyle K} , אז הנורמה היא פונקציה כפלית לכל האידיאלים, כלומר, N ( I J ) = N ( I ) N ( J ) {\displaystyle N(IJ)=N(I)N(J)} . יתרה מזו, הנורמה מכלילה את זו של איברים שלמים ב- K {\displaystyle K} : N ( a O K ) = N K / F ( a ) {\displaystyle N(a{\mathcal {O}}_{K})=N_{K/F}(a)} . אם P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} הוא אידיאל ראשוני של חוג השלמים, ומתקיים Z ∩ P = p Z {\displaystyle \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {P}}=p\mathbb {Z} } עבור ראשוני שלם p {\displaystyle p} , אז N ( P ) = p f {\displaystyle N({\mathfrak {P}})=p^{f}} , כאשר f {\displaystyle f} הוא "מקדם הממד" של P {\displaystyle {\mathfrak {P}}} (השווה לממד של O K / P {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {P}}} מכל Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } ). נורמה (אנליזה)