היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות

משוואה פולינומית היא משוואה בה מופיעים אך ורק מקדמים וחזקות של משתנה מסוים (וכן מספרים קבועים, שהם למעשה מקדמים של   x 0 = 1 {\displaystyle \ x^{0}=1} ) כמו   7 x 2 − 13 x + 2 = 0 {\displaystyle \ 7x^{2}-13x+2=0} או   14 y 8 + 5 y 3 = 8 {\displaystyle \ 14y^{8}+5y^{3}=8} . משוואות פולינומיות נקראות כך משום שלמעשה באופן כללי, פולינום במשתנה אחד,   x {\displaystyle \ x} , הוא הצירוף   p ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 {\displaystyle \ p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}} כאשר המקדמים   a i {\displaystyle \ a_{i}} הם מספרים, והחזקות הן מספרים טבעיים (לרבות אפס). באופן כללי, הבעיה של פתרון משוואה פולינומית   a n x n + a n − 1 x n − 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 {\displaystyle \ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0} זהה למציאת שורש של פולינום מתאים. החזקה הגבוהה ביותר של המשתנה נקראת "מעלת המשוואה", "דרגת המשוואה" או "סדר המשוואה". כך, למשל, המשוואה a x = b {\displaystyle ax=b} או a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} כאשר   a , b {\displaystyle \ a,b} פרמטרים (אם אין הגבלה על ערכם, שתי המשוואות זהות למעשה, כי ניתן לקבל מהאחת את השנייה על ידי החלפת הסימן של   b {\displaystyle \ b} ) היא משוואה ממעלה ראשונה, בעוד המשוואות שהובאו בראש הפרק הן ממעלה שנייה ושמינית בהתאמה. פתרונן של משוואות ממעלה ראשונה הוא פשוט מאוד ( x = b a {\displaystyle x={\frac {b}{a}}} בניסוח הראשון, או x = − b a {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}} בניסוח השני), אך מעבר להן הפתרון כבר איננו מיידי. הרעיון שעומד בבסיס הפתרון של משוואה ממעלה שנייה היה ידוע כבר לבבלים ולאנשי יוון העתיקה, אך הפתרון של משוואה ממעלה שלישית נמצא רק במאה ה-16, ומעט לאחריו נמצא הפתרון של משוואה ממעלה רביעית. פתרון המשוואה ממעלה שלישית היה בין ההשגים הגדולים של המדע בתקופת הרנסאנס וסימן, במידה מסוימת, את סיום תקופת ה"עצירה" שניכרה בעולם המתמטי במהלך ימי הביניים (והאימפריה הרומית). פתרון משוואות מסדר גבוה יותר, חמישי ומעלה, היה אתגר למתמטיקאים במשך שנים רבות, עד אשר הובן במהלך המאה ה-19, בעזרת כלים מתמטיים מתוחכמים יחסית (ומתקדמים יותר מאשר האלגברה הבסיסית שבעזרתה נפתרו הבעיות של המשוואות ממעלה שלישית ורביעית), כי לא ניתן להגיע לפתרון של משוואות אלו בעזרת ארבע פעולות חשבון ושימוש בשורשים. "משוואה ממעלה שנייה" או "משוואה ריבועית" היא משוואה מהצורה   a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0} כאשר   a , b , c {\displaystyle \ a,b,c} הם פרמטרים. רעיון המשוואה כפי שאנו מכירים אותו כיום היה זר לתרבויות העתיקות, כך שדיון ב"פתרון משוואות" בהקשרן איננו מדויק. עם זאת, כבר הבבלים (כארבע מאות שנים לפני הספירה) ידעו לפתור בעיות שהיום, בכתיב מתמטי מודרני, היה פתרונן מתרגם למשוואות ריבועיות. הבבלים ידעו להשתמש בשיטת ההשלמה לריבוע (ראו הסבר בערך משוואה ממעלה שנייה) על מנת למצוא פתרונות של מספר בעיות. הבבלים לא הכירו בקיומם של מספרים שליליים ותשובותיהם היו לרוב חיוביות, כאשר לרוב פתרונות אלו היו למעשה אורכים שונים. בדומה לכך, כמאה שנים לאחר מכן, גם אוקלידס פתר בעיות שבמובן המודרני מתקשרות למשוואות ריבועיות, אך למעשה עסק בפתרון בעיות גאומטריות. ראשית העיסוק בנושא בצורה שקרובה מאוד למודרנית הגיע עם המתמטיקה ההינדית, כאשר בראהמגופטה (598–668) שכלל את השיטות הבבליות בנותנו סימונים לנעלמים וכשהוא מכיר בקיומם של מספרים שליליים. המתמטיקה המוסלמית בימיו של אל-ח'ואריזמי לא הכירה במספרים שליליים או באפס, כך שעבורו "התפצלה" הבעיה למספר מקרים פרטיים. כך, למשל, המשוואות   a x 2 = b x + c {\displaystyle \ ax^{2}=bx+c} ו-   a x 2 + b x = c {\displaystyle \ ax^{2}+bx=c} עבור מקדמים חיוביים היו מבחינתו שתי בעיות נפרדות, אף על פי ששתיהן מקרים פרטיים של המשוואה הכללית בראשית פרק זה, כאשר מאפשרים לפרמטרים לקבל ערכים שליליים. אל-ח'ואריזמי מנה בספרו (התפרסם בשנת 830) שישה סוגים של משוואות ריבועיות ופרט אלגוריתמים לפתרונן כולל הוכחות גאומטריות המתבססות על השלמה לריבוע. פתרון מלא של הבעיה התפרסם באירופה בספרו של אברהם בר חייא "חיבור המשיחה והתשבורת" (תאריך הפרסום המדויק איננו ברור, בערך בשנת 1140, להרחבה ראו אברהם בר חייא). משוואה ממעלה שלישית היא משוואה מהצורה   x 3 + a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle \ x^{3}+ax^{2}+bx+c=0} , ומשוואה ממעלה רביעית היא משוואה מהצורה   x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle \ x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} , כאשר המקדמים a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} הם פרמטרים (באופן כללי, ניתן להפוך כל משוואה אחרת מסדר שלישי או רביעי למשוואה מסוג זה על ידי העברת כל האיברים לאגף שמאל וחילוק במקדם של החזקה הגבוהה ביותר). בשנים 1501–1502 כיהן לוקה פאצ'ולי באוניברסיטת בולוניה. בספרו Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita פרסם סיכום של ידע מתמטי חשוב עד זמנו, כתוב בצורה הדומה מאוד למודרנית. בספר פרסם דעה לפיה לא ניתן למצוא פתרון למשוואה ממעלה שלישית. אולי בדירבון כתוצאה ממאמר זה, הראשון לפתור משוואה ממעלה שלישית היה שיפיונה דל פרו, שהיה אף הוא מרצה באוניברסיטת בולוניה, לערך בשנת 1515. פתרונו לא היה מושלם עקב היעדר ידע מתאים על שימוש במספרים שליליים. על אף מנהגו לשמור על עבודתיו בסוד ולחלוק אותן עם קומץ חברים וסטודנטים בלבד, שמר דל פרו רישום של עבודותיו במחברת. לאחר מותו בשנת 1525, עברה הבעלות על המחברת לידי יורשו, בעלה של בתו של דל פרו, אניבאל דלה נאווה, שהיה מתמטיקאי אף הוא, תלמידו של דל פרו ומחליפו לאחר מותו. בשנת 1535 התמנה ניקולו טרטליה לראש הפקולטה למתמטיקה בוונציה. באופן בלתי תלוי, בנפרד מעבודתו של דל פרו, טרטליה התפרסם בשנת 1535 לאור הצלחתו בפתרון משוואה ממעלה שלישית, אך נמנע מלגלות את שיטת הפתרון לאחרים. לאור פרסום זה, אחד מתלמידיו של דל פרו, אנטוניו פיור שמו, החליט להזמין את טרטליה לתחרות בפתרון משוואות, בה ניצח טרטליה שהצליח לשכלל את שיטת הפתרון של דל פרו גם למשוואות שלגביהן לא הייתה תקפה. בשנת 1539, לאחר ניסיונות שכנוע רבים, הצליח ג'ירולמו קרדאנו, שעבד על נושא זה בעצמו, לשכנע את ניקולו טרטליה לגלות לו את שיטת הפתרון שלו לפתרון משוואה ממעלה שלישית, בתמורה להבטחתו שלא לפרסם אותו לפני שטרטליה יפרסמו בעצמו. קרדאנו ולודוביקו פרארי תלמידו עבדו על הכללת שיטתו של טרטליה, ותוך כדי מחקרם, בהיעזר בשיטתו של טרטליה לפתרון משוואה ממעלה שלישית, גילה פרארי את השיטה לפתרון משוואה ממעלה רביעית. קרדאנו ופרארי נקלעו לבעיה, שכן לא יכולים היו לפרסם את הפתרון מבלי להפר את ההבטחה שניתנה לטרטליה. בסופו של דבר, נפתרה, לכאורה, בעיה זו לאחר שבפגישה עם דלה נאווה, יורשו של דל פרו, נוכחו קרדאנו ופרארי שלמעשה דל פרו פתר את המשוואה ממעלה שלישית עוד לפני טרטליה אך פשוט שמר את הפתרון בסוד, ולכן הבטחתו של קרדאנו לטרטליה, לכאורה, בטלה. פתרונו של פרארי לבעיה התפרסם בספרו של קרדאנו "האומנות הגדולה" בשנת 1545. עם צאת הספר "האומנות הגדולה", טרטליה זעם על פרסום הפתרון למשוואה ממעלה שלישית. הסכסוך קיבל היבט אישי כשטרטליה החל בחלופת מכתבים מעליבים עם קרדאנו ובהמשך פרארי, שבשלב מסוים הפכה פומבית. העימות הגיע לכדי תחרות פתרון משוואות בשנת 1548, ככל הנראה לאחר שטרטליה רצה להפגין את כישוריו כראוי למשרת מרצה בעירו ברשה. טרטליה הגיע למילאנו, שם נערכה התחרות באחת הכנסיות, כאשר מושל העיר שימש כשופט. פרארי, שהייתה לו זו תחרות ראשונה מסוג זה, הביא עמו קהל גדול שיצפה בו בתחרות ואילו טרטליה, שהיה מנוסה ובטוח בניצחונו, הביא עמו רק את אחיו כצופה. אנשים רבים נקהלו לצפות בתחרות. בסוף יומה הראשון החליט טרטליה, שידו הייתה בבירור על התחתונה, לעזוב עם לילה וכך זכה פרארי בתחרות. מתמטיקאים רבים, ובהם פרנסואה וייט, לאונרד אוילר, תומאס הריוט, גוטפריד וילהלם לייבניץ ורנה דקארט, המשיכו לעסוק בנושא כדי לשכלל את שיטות הפתרון, ללמוד מהן ולהוכיח את הנוסחאות הרלוונטיות בצורה אלגברית. תומאס הריוט (1560–1621) הראה שמשוואה ממעלה שלישית מקיימת   ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = 0 {\displaystyle \ (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0} כאשר   x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle \ x_{1},x_{2},x_{3}} הם פתרונות המשוואה. בעזרת הוכחה זו הוכיח לייבניץ את הנוסחה לפתרון המשוואה ממעלה שלישית בצורה אלגברית-אנליטית, לראשונה ללא שימוש בכלים גאומטריים. למעשה, ניתן "להעלים" את האיבר הריבועי מכל משוואה כללית ממעלה שלישית x 3 + a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0\,} על ידי החלפת משתנה   x → x + a 3 {\displaystyle \ x\rightarrow x+{\frac {a}{3}}} (הסבר לדרך קביעת ערכו של   a {\displaystyle \ a} נמצא בערך משוואה ממעלה שלישית). אם כך, נדרשו המתמטיקאים של אותה התקופה, ששליטתם בעבודה עם מספרים שליליים הייתה מוגבלת, לפתור את המשוואות הבאות, המצומצמות, עבור ערכים חיוביים של הפרמטרים p ו-q: x 3 + p x = q {\displaystyle x^{3}+px=q\,} x 3 = p x + q {\displaystyle x^{3}=px+q\,} כשתי משוואות שונות, אף על פי שלמעשה שתיהן זהות אם הפרמטר p יכול לקבל ערכים שליליים. עקב אותה אי-ההבנה של היכולת להשתמש במספרים שליליים, דן קרדאנו בספרו "האומנות הגדולה" ב-13 סוגים שונים של משוואות ממעלה שלישית. בהינתן שהפתרון למשוואה מהצורה x 3 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{3}+px+q=0\,} הוא, בכתיב מודרני, − q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + − q 2 − q 2 4 + p 3 27 3 , {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}},} מספרים מרוכבים צצים באופן טבעי בעת העיסוק במשוואות מסדר שלישי, גם כאשר הפתרונות שמתקבלים בסופו של דבר הם ממשיים. כשניסה קרדאנו לפתור את המשוואה x 3 = 15 x + 4 {\displaystyle x^{3}=15x+4} , הגיע לביטוי שכלל את המספר − 121 {\displaystyle {\sqrt {-121}}} . בספרו לעיל פרסם פתרון הכולל התייחסות ראשונה לרעיון כי ייתכן מספר שהוא שורש ריבועי של מספר שלילי, אך קרדאנו לא הבין את גודל תגליתו וראה במספרים אלו "חסרי תועלת". למרות זאת, העיסוק בפתרון משוואות ממעלה גבוהה הוביל לדיון משמעותי ראשון במספרים מרוכבים. ישנן משוואות ממעלה חמישית שפתרונן פשוט, כמו   x 5 − 2 = 0 {\displaystyle \ x^{5}-2=0} שפתרונה הממשי הוא   2 5 {\displaystyle \ {\sqrt[{5}]{2}}} או המשוואה   x 5 − x 4 − x + 1 = 0 {\displaystyle \ x^{5}-x^{4}-x+1=0} שניתן לכתוב בצורה ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+1)(x+1)(x-1)^{2}=0\,} ובכך לפתור בקלות (משום שאם מכפלת מספר גורמים מתאפסת, אזי הפתרונות הם הערכים שמאפסים כל אחד מהגורמים לפי המשפט הקטן של בזו). בצורה דומה, ניתן לפתור גם מקרים פרטיים של משוואות פולינומיות מדרגה גבוהה יותר. לאחר ההצלחה בפתרון בעיית המשוואה הפולינומית הכללית עבור משוואות ממעלה שלישית ורביעית עד אמצע המאה ה-16, מתמטיקאים רבים ניסו למצוא פתרון לבעיה הכללית של משוואה פולינומית ממעלה הגבוהה או שווה לחמש, המבוסס על ארבע פעולות חשבון ושימוש בשורשים (פתרון כזה מכונה פתרון בעזרת רדיקלים), אך ללא הצלחה. ספרו של אייזק ניוטון, אריתמטיקה אוניברסלית (1707), תיאר את הקשר בין מקדמי המשוואה לפולינומים סימטריים של שורשיה, אבל לא הרחיק לכת מעבר לכך. הגישה השתנה ב-1771, עם פרסום עבודתו של לגרנאז', שבו תיאר הבדלים מהותיים בין משוואות ממעלה שלישית ורביעית למשוואות ממעלה גבוהה יותר. בפרק זמן של ארבעים שנה עברה הקהילה המתמטית מוודאות שקיימת שיטה כזו וחיפוש אחריה להבנה ששיטה כזו אינה אפשרית, זאת תוך כדי פרסום של הוכחות חלקיות ומלאות שיצרו תחומים חדשים במתמטיקה וקידמוה רבות. בשנת 1771 פרסם ז'וזף לואי לגראנז' את מאמרו החלוצי Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("על התאוריה האלגברית של משוואות") ובו ניסה להבין מדוע הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית הצליחו, אך למעלה מכך לא. בשיטה של המעלה השלישית יש שימוש בהשלמה והצבה שעוזרות להעלים את הגורם של x 2 {\displaystyle x^{2}} , שאפשרי גם במשוואה ממעלה רביעית. לגראנז' הראה שלא ניתן להשתמש בצורה זו עבור משוואה ממעלה חמישית, שכן הם רק מסבכים את המשוואה ומעבירים אותנו לעבודה עם משוואה ממעלה שישית. לגראנז' שם לב לחשיבות שורשי היחידה המרוכבים והעלה טיעון מפתיע: אם נסתכל על R = ( ξ 1 x 1 + ξ 2 x 2 + ξ 3 x 3 ) 3 {\displaystyle R=\left(\xi _{1}x_{1}+\xi _{2}x_{2}+\xi _{3}x_{3}\right)^{3}} כאשר ξ i {\displaystyle \xi _{i}} הם שורשי היחידה המרוכבים ו־ x i {\displaystyle x_{i}} הם שורשי משוואה ממעלה שלישית, אזי בחירת השמות ( x 1 {\displaystyle x_{1}} במקום x 2 {\displaystyle x_{2}} לדוגמה) היא שרירותית. אנו יכולים לבצע תמורה על השמות, ויש בדיוק 3 ! = 6 {\displaystyle 3!=6} דרכים לעשות כן. לגראנז' בחן את כל 6 האפשרויות האלו וגילה כי הן מובילות בסופו של דבר רק ל־2 תוצאות שונות, והן R {\displaystyle R} ו־ R ′ = ( ξ 1 x 1 + ξ 3 x 2 + ξ 2 x 3 ) 3 {\displaystyle R'=\left(\xi _{1}x_{1}+\xi _{3}x_{2}+\xi _{2}x_{3}\right)^{3}} בדיוק. לדבר זה התייחס לגראנז' בטענה שהוא "בעל ערך". באופן דומה בדק לגראנז' את 4 ! = 24 {\displaystyle 4!=24} התמורות על פתרונות משוואה ממעלה רביעית וראה שהן מניבות בדיוק 3 ערכים שונים. ל־ R {\displaystyle R} הוא קרא "רזולבנטה" ולטענתו ניכר שכאשר הרזולבנטה מקבלת פחות ערכים מאשר מעלת המשוואה – ניתן לפתור את המשוואה. כאשר ניגש לגראנז' לבדוק את הרזולבנטה של משוואה ממעלה 5 הוא גילה כי היא מקבלת 6 ערכים שונים, מספר הגדול יותר ממעלת המשוואה. מכאן הסיק לגראנז' שהדרכים הישנות לא תעבודנה בפתרון המשוואה ממעלה חמישית ושיש לנסות בדרכים אחרות לפותרה. למסקנה הפוכה הגיע קרל פרידריך גאוס, שבעבודת הדוקטורט שלו משנת 1799 טען כי לא קיימת שיטה כללית לפתרון משוואה ממעלה חמישית על ידי רדיקלים, זאת למרות ההתקדמות שהצליח להשיג אחרי הוכחתו הראשונה למשפט היסודי של האלגברה. גאוס כתב על כך: אחרי עבודה של גיאומטריקנים (בתקופה זו "גאומטריקן" ו"מתמטיקאי" שימשו כמלים נרדפות) רבים, נותרה תקווה מועטה להגעה לדרך כללית לפתרון אלגברי של משוואות. ככל שחולף הזמן נראה שהולך ופוחת הסיכוי שפתרון כזה אפשרי. אולי לא יהיה זה כה קשה להוכיח, בריגורוזיות מלאה, את האי-פתירות של משוואה ממעלה חמישית גאוס עצמו הדגים בספרו מחקרים אריתמטיים כי המשוואות הציקלוטומיות פתירות על ידי רדיקלים, זאת כחלק מניסיונו להראות אפשרות בנייה בסרגל ומחוגה של מצולעים משוכללים שונים. היות שגאוס כאמור לא האמין כי קיימת שיטה כללית לפתור משוואות ממעלות גבוהות, הוא נתן את המשוואות הציקלוטומיות האלה כדוגמה מיוחדת ומעניינת למשוואות ממעלה גבוהה שלהן כן קיימת נוסחה לפתרון. פאולו רופיני פרסם שש הוכחות לאי־פתירות משוואה ממעלה חמישית, הראשונה ב־1799 והאחרונה ב־1813. כל אחת מוסיפה על קודמתה ומנסה להיאבק בביקורת שהועלתה עליה. את מאמרו הראשון פתח רופיני בפסקה: פתרון אלגברי כללי למשוואה ממעלה גדולה מ־4 הוא תמיד בלתי אפשרי. להלן משפט חשוב ביותר ... לגראנז' הדגול סיפק את הבסיס להוכחתי רופיני כתב את מאמרו בסגנון ארוך, מעל 500 עמוד, ולא־ברור. סגנונו הקשה על מתמטיקאים בתקופתו לקבלה. הוא שלח את מאמרו שלוש פעמים בשלוש שנים שונות ללגראנז' שלא השיב לו לאף אחד מהם. בשנת 1810 ביקש רופיני מהאקדמיה בפריז שתכריז על נכונות הוכחתו. המתמטיקאים לגראנז', לז'נדר ולקרואה מונו לבדוק אותה, והפיקו דו"ח שכלל את האמירה ש"לגראנז' טען שעבודה זו לא ממש ראויה להתייחסות". רופיני שלח בקשה דומה לאקדמיה המלכותית בבריטניה, שהשיבה בצורה טובה יותר בטענה שהם אינם מצרפים אישור לכך שהעבודה אכן מוכיחה את מה שהיא מתיימרת, אבל חברי ועדת הבדיקה אכן חושבים שהיא עושה כן. התייחסות חיובית אחת למאמרו של רופיני הייתה של המתמטיקאי הצרפתי החשוב אוגוסטן לואי קושי שהכליל חלק מגילויו של רופיני בנושא חבורות תמורות ב־1813 ו־1815 (במיוחד המאמר Memoire sur le nombre des valuers qu'une fonction peut acquerir). המאמרים היוו פריצת דרך בכל הנוגע לתורת החבורות וכללו לראשונה את הסימון המקובל לתמורה – (לדוגמה, ( 1 2 3 4 2 3 4 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}} לתמורה המזיזה כל איבר לבא אחריו מתוך ארבעה איברים) וגם הוכחה מופשטת למה שהיום מוכר כמשפט לגראנז' על חלוקת סדר של תת-חבורה בסדר החבורה. מאמריו אלה של קושי נקראו על ידי נילס אבל, וכך התוודע באופן עקיף לעבודותיו של רופיני. במכתב של קושי לרופיני, חצי שנה לפני מותו של השני, כתב לו: מאמרך על הפתרון הכללי למשוואות הוא עבודה שראויה לתשומת לב של מתמטיקאים, ולדעתי היא מוכיחה ללא כל צל של ספק את האי־פתירות של משוואה כללית ממעלה גדולה מארבע. למרות תמיכתו של קושי, עבודתו של רופיני עדיין לא זכתה להערכה או פרסום בקרב הקהילה המתמטית. על השאלה מדוע עבודתו של רופיני נדחתה, אך בערך 20 שנה אחריה עבודתו של אבל התקבלה טוב יותר יחסית כתב ההיסטוריון של המתמטיקה ריימונד איוב: הקהילה המתמטית לא הייתה מוכנה לקבל רעיון מהפכני כזה: שפולינום לא יכול להיפתר על ידי רדיקלים. בנוסף נושא התמורות היה אקזוטי ולא מאוד בשימוש, ומאמריו המוקדמים של רופיני היו לא פשוטים לקריאה. ... בין 1800 לבין 1820, השתנתה התפישה בקהילה המתמטית ... מניסיון לפתור את המשוואה ממעלה חמישית לניסיון להוכיח את אי-פתירותה נילס אבל הצעיר, בעידוד מורו למתמטיקה בתיכון קרא את עבודותיהם של לגראנז' וקושי על תמורות ופתרון משוואות. מאמרו של קושי משנת 1815 היה מבוסס על עבודתו של רופיני, אך לפי הידוע אבל מעולם לא קרא את רופיני, שעבודותיו היו קשות להבנה ובאיטלקית. לאחר ניסיונות כושלים רבים למצוא שיטה כללית לפתרון משוואה ממעלה חמישית, שינה אבל את דעתו לגבי קיום פתרון ופרסם בשנת 1824, שנתיים אחרי מות רופיני, את ההוכחה המלאה הראשונה לאי־פתירות משוואה כללית ממעלה חמישית, הוכחה שסגרה את הפערים בעבודותיו של רופיני. ההוכחה נכתבה בקיצור נמרץ, לאורך 6 עמודים בלבד, שכן הודפסה על חשבון המחבר. שנתיים לאחר מכן, ב־1826 קרא אבל מאמר המסכם את עבודתו של רופיני וכתב על כך: הראשון, ואם אינני טועה היחיד, שניסה לפני להראות אי-פתירות של משוואה אלגברית כללית הוא הגיאומטריקן (קרי, מתמטיקאי) רופיני. אבל מאמרו כה מסובך שקשה לברר את נכונות טענותיו. נראה לי שההסברים לא תמיד מספקים כאשר פורסם מאמרו הראשון של אבל בשנת 1824 הוא לא התקבל בהערכה רבה. אבל שלח עותק לגאוס בגטינגן, אך גאוס לא התלהב ממנו כלל. ההשפעה הראשונית הגיעה בשנת 1826 עם פרסום המאמר בכרך הראשון של כתב־העת המשפיע של המתמטיקאי הגרמני אוגוסט לאופולד קרל בברלין – Journal für die reine und angewandte Mathematik, פרסום זה הוא שהחל להביא את אבל והוכחתו לידיעת הקהילה המתמטית העולמית. אבל שלח את מאמרו לגאוס, שדעותיו בנושא מתאימות להוכחת אי־פתירות, אך מכתבו של אבל נמצא חתום וסגור ברשותו של גאוס לאחר מותו במכתב של אבל ללז'נדר משנת 1828 הוא הפציר בו לפרסם את תגליתו: אדוני, פרסמתי עבודה יפה מאוד על פתרונות אלגבריים למשוואות ... אני מזמינך לפרסם את התיאוריה הזו במהירות האפשרית; זה יביא לך כבוד רב וייחשב כתגלית הגדולה ביותר שנותרה באנליזה לאופולד קרונקר הוא זה שהכניס את משפט אבל-רופיני לתוכנית הלימודים האוניברסיטאית. הוא הוכיח מחדש את משפט אבל ללא שימוש בחלקים הבעייתיים בהוכחה בצורה פשוטה יותר ופרסם אותם בשנת 1879 ב־Academie der Wissenschaften. קרונקר לא ביקר את הוכחתו של אבל אך נתן לה צורה פשוטה יותר. שאלה שנותרה פתוחה לאחר הוכחתם של רופיני ואבל היא "מה הופך משוואות מסוימות (כמו אלו שהובאו לעיל) לפתירות ואילו אחרות – לא?". התשובה ניתנה על ידי המתמטיקאי הצרפתי אווריסט גלואה ותורת גלואה שפיתח. גלואה ככל הנראה הכיר חלק מכתביו של אבל בדרכו לפתח את מה שידוע היום בשם "תורת גלואה" המספקת, בין היתר, הסבר שלם לפתירות של משוואות פולינומיות. למעשה, גלואה פעל ועבד כמתמטיקאי בפריז בזמן שנילס אבל עצמו ביקר בעיר. גלואה הכיר את עבודותיהם של לגראנז' וקושי בנושא, וגם את המאמר של אבל בכתב־העת של קרל. גלואה הכחיש כל תלות בעבודותיו של אבל, אך היה מודע לעבודתו ולעבודתו של רופיני, כפי שהוא מצוטט: ידוע כיום כי משוואה כללית ממעלה גבוהה מ־4 אינה פתירה על ידי רדיקלים... זהו ידע שנהפך למצוי למרות התעלמותם של הגיאומטריקנים (קרי, מתמטיקאים) מהוכחותיהם של אבל ורופיני גלואה פנה לחקור פתרונות של משוואות על ידי חקירת אובייקט שלו הוא קרא "חבורה" (groupe), שאותו הוא התאים לכל משוואה. החבורה הכילה תמורות מסוימות על שורשי המשוואה, וגלואה הראה, על ידי חקירת המשוואות ובהינתן החבורה המתאימה לה, האם המשוואה שהיא מייצגת פתירה על ידי רדיקלים, מה שלעתיד ייקרא "חבורה פתירה". גלואה השתמש רבות באינווריאציה של צמידות (מה שעתיד להיקרא "תת-חבורה נורמלית") כדי לאפיין את הפתרון. עבודותיו של גלואה כמעט ולא התפרסמו בחייו בקצרים, היות שכמו עמיתו אבל הוא מת בגיל צעיר. הוא העלה חלקים נכבדים מעבודתו בלילה לפני מותו מדו־קרב ואותם שלח לידידו אוגוסט שבליה יחד עם מכתב המסביר את תכנם. שבליה פרסם את המכתב כבר בספטמבר 1832, אבל את רשימותיו האחרות של גלואה הוא העתיק ומסר לעיונו של ז'וזף ליוביל רק ב־1843. ליוביל פרסם את עבודתו העיקרית של גלואה ב־1846 בכתב העת שלו Journal de mathématiques pures et appliquées לאחר שבדק את תכנם. הוכחה מלאה המתבססת על תורת גלואה התפרסמה בשנת 1885, לאחר שהושלמה על ידי אמיל ארטין והינריך ובר. בהינתן שלמשוואות מסדר גבוה אין פתרון בעזרת רדיקלים, עסקו המתמטיקאים בחקר פתרונות מורכבים יותר, הנעזרים בפונקציות מתאימות. כך, למשל, פליקס קליין מצא פתרון לבעיית המשוואה ממעלה חמישית במונחים של פונקציות היפרגאומטריות מוכללות התלויות בשני פרמטרים המתקבלים לאחר מניפולציות אלגבריות על המשוואה. משוואה כללית ממעלה שישית ניתנת לפתרון במונחים של פונקציות קמפה דה פרייט. ישנן משוואות ממעלה שישית הניתנות לפתרון על ידי פונקציה היפרגאומטרית כללית במשתנה אחד, באמצעות הגישה של פליקס קליין לפתרון משוואה ממעלה חמישית. ניסוח פשטני ופרטי של הבעיה השלוש-עשרה של הילברט הוא השאלה "האם ניתן למצוא פתרון כללי של משוואה פולינומית ממעלה שביעית בעזרת שני פרמטרים בלבד?" תשובה חיובית ניתנה על ידי ולדימיר ארנולד בשנת 1957. שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק ב: הרנסנס והזמן החדש, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989, פרק ב': משוואות קוביות וקוורטיות, עמ' 19–26 בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005, עמ' 212–214 Peter Pesic, Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability, The MIT Press (2007) Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations, Appendix of progress report, Institut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet, Aarhus (1999) R G Ayoub, Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic, Archive for History of Exact Science 23 (1980) 253–277 J J O'Connor and E F Robertson, Quadratic, cubic and quartic equations Jim Brown, Abel and the insolvability of the quintic Ian Stewart, Galois Theory, Third Edition, Chapman & Hall/CRC Mathematics (2003) pp. 12 Quoted in R G Ayoub, Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic, Archive for History of Exact Science 23 (1980), pp. 262 Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations, Appendix of progress report, Institut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet, Aarhus (1999) pp. 35 Paolo Ruffini, Teoria Generale delle Equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto ("תיאוריה כללית על משוואות, שבהן פתרון אלגברי למשוואות כלליות מדרגה גבוהה מארבע הוא בלתי-אפשרי") J J O'Connor and E F Robertson, Paolo Ruffini Biography, on MacTutor, School of mathematics and statistics, University of St Andrews, Scotland R G Ayoub, Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic, Archive for History of Exact Science 23 (1980), pp. 274 Niels Henrik Abel, OEuvres, pp. 218 Quoted in Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations, Appendix of progress report, Institut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet, Aarhus (1999) pp. 64 Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations,Appendix of progress report, Institut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet, Aarhus (1999) pp. 69 Henrik Kragh Sørensen, Niels Henrik Abel and the theory of equations,Appendix of progress report, Institut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet, Aarhus (1999) pp. 44 R G Ayoub, Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic, Archive for History of Exact Science 23 (1980), pp. 275 Niels Henrik Abel, OEuvres, part 2 pp. 279 Quoted in Niels Henrik Abel and the theory of equations, pp. 70 B. M. Kiernan, The development of Galois theory from Lagrange to Artin, Archive for History of Exact Sciences 8 (1971), pp. 90 R G Ayoub, Paolo Ruffini's Contributions to the Quintic, Archive for History of Exact Science 23 (1980), pp. 253