תיאור לגראנז'י ואוילרי של שדה זרימה

בתורת הזרימה הקלאסית, התיאור הלגראנז'י של שדה זרימה הוא צורת הסתכלות על תנועת זורם בה הצופה מביט על חלקיק בודד, או קבוצת חלקיקים בודדים של הזורם בתנועתם כתלות במיקום ובזמן. בהינתן מיקום של חלקיק בודד או מספר חלקיקים כתלות בזמן, יתקבל קו מסלול לפי התיאור הלגראנז'י. ניתן לדמות את התיאור הלגראנג'י לצופה שיושב על סירה ושט במורד נהר. התיאור האוילרי של שדה זרימה הוא צורת הסתכלות על תנועת הזורם כך שמסתכלים על נקודה במרחב ומתמקדים בחלקיקי הזורם שעוברים בנקודה כתלות בזמן. ניתן לדמות את התיאור האוילרי לצופה שעומד על סכר של נהר ומסתכל על הזורם שעובר מתחתיו. התיאור הלגראנז'י והאוילרי של שדה זרימה לעיתים מוגדרים גם כנקודות ייחוס לגראנז'ית ואוילרית. התיאור של שדה הזרימה, הן הלגראנז'י והן האוילרי, יכולים להיות מיוחסים עבור כל נקודת ייחוס שנבחר, ובכל מערכת קואורדינטות שנבחר (קרטזית, גלילית או קוטבית).  בתיאור אוילרי של שדה, השדה מיוצג על ידי פונקציה של המיקום x → {\displaystyle {\vec {x}}} ושל הזמן t {\displaystyle t} . לדוגמה, מהירות הזרימה מיוצגת על ידי הפונקציה: u → ( x → , t ) {\displaystyle {\vec {u}}\left({\vec {x}},t\right)} לעומת זאת, בתיאור הלגראנז'י של שדה, תכונה של חלקיק בודד מיוצגת כתלות בזמן. החלקיק מיוצג על ידי שדה וקטורי  x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}_{0}} שאינו תלוי בזמן (לרוב, x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}_{0}} יבטא את מיקום מרכז המסה של החלקיק בזמן t 0 {\displaystyle t_{0}} כלשהו, כאשר הוא נבחר באופן מסוים על מנת לחשב את השינויים האפשריים כתלות בזמן. לכן מרכז המסה הוא פרמטר טוב לייצוג מהירות הזרימה u → {\displaystyle {\vec {u}}} של החלקיק). בתיאור הלגראנז'י, הזרימה מיוצגת על ידי הפונקציה: U → ( x → 0 , t ) {\displaystyle {\vec {U}}\left({\vec {x}}_{0},t\right)} אשר נותנת את מיקום החלקיק המסומן ב־ x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}_{0}}  בזמן t {\displaystyle t} . הקשר בין התיאור הלגראנז'י והתיאור האיולרי של שדה נתון על ידי: u → ( U → ( x → 0 , t ) , t ) = ∂ U → ∂ t ( x → 0 , t ) {\displaystyle {\vec {u}}\left({\vec {U}}({\vec {x}}_{0},t),t\right)={\frac {\partial {\vec {U}}}{\partial t}}\left({\vec {x}}_{0},t\right)} מכיוון ששני האגפים של השוויון מתארים את מהירות החלקיק x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}_{0}} בזמן t {\displaystyle t} . במערכת הצירים שנבחרה, x → 0 {\displaystyle {\vec {x}}_{0}}  ו־ x → {\displaystyle {\vec {x}}}  מתארים את הקואורדינאטות הלגראנז'יות, והקואורדינאטות האוילריות של הזורם. ערך מורחב – נגזרת חומרית התיאור הלגראנז'י והתיאור האוילרי של קינמטיקת ודינמיקת שדה הזרימה באים לידי ביטוח על ידי הנגזרת החומרית (נקראת גם נגזרת מלווה או נגזרת לגראנז'ית). נניח שנתון שדה זרימה u → {\displaystyle {\vec {u}}} , וכמו כן נתונה תכונה כלשהי הנתונה בתיאור אוילרי F → ( x → , t ) {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {x}},t)} השינוי הכולל של התכונה F → {\displaystyle {\vec {F}}} שחווה חלקיק זורם ספציפי מבוטא על ידי:  D F → D t = ∂ F → ∂ t + u → ⋅ ∇ F → {\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\vec {F}}}{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial {\vec {F}}}{\partial t}}+{\vec {u}}\cdot \nabla {\vec {F}}} כאשר ∇ F → {\displaystyle \nabla {\vec {F}}} הוא הגרדיאנט של F → {\displaystyle {\vec {F}}} , והאופרטור ∇ ⋅ u → {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {u}}} מופעל על כל איבר של F → {\displaystyle {\vec {F}}} ). הביטוי הנ"ל מראה את השינוי של השדה F → {\displaystyle {\vec {F}}} כאשר חלקיקי זורם נעים דרך שדה זרימה המבוטא בצורתו האוילרית u → {\displaystyle {\vec {u}}} . הביטוי מתקבל באגף ימין של המשוואה מתקבל כתוצאה מכלל השרשרת מכיוון שהפונקציה F → ( U → ( x → 0 , t ) t ) {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {U}}({\vec {x}}_{0},t)t)} היא פונקציה של t {\displaystyle t} . שדה (פיזיקה) מכניקת הזורמים קווי זרם, קווי סימון וקווי מסלול נגזרת חומרית מערכת ייחוס Batchelor, G.K. (1973), An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3 Landau, Lev; Lifshitz, E.M. (1987), Fluid Mechanics, 2nd Edition (Course of Theoretical Physics, Volume 6), Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0750627672 Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamics (6th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9 Falkovich, Gregory (2011), Fluid Mechanics (A short course for physicists), Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00575-4