טבעת מערבולת

טבעת מערבולת (באנגלית: Vortex ring) היא תופעה במכניקת הזורמים, שבה הזורם מסתובב סביב ציר דמיוני הנסגר סביב עצמו. בזרימה זו, הערבוליות של הזורם מרוכזת באזור שצורתו טורוס. טבעות מערבולת הן תופעה שכיחה יחסית, מאחר שהן נוצרות באופן טבעי כאשר נוזל נדחק במהירות גבוהה דרך פתח צר. בדרך כלל, התנועה של הזורם עצמו לא ניתנת להבחנה, וכדי לצפות במערבולת נדרשים חלקיקים בזורם שתנועתם חושפת את צורת הזרימה. לדוגמה, כאשר מעשן נושף את האוויר המצוי בלועו החוצה לעבר הסביבה, הוא יוצר טבעת מערבולת, וחלקיקי העשן מהסיגריה יוצרים טבעות עשן. תופעה דומה נחזית כאשר פגז יוצא מלוע של תותח. או כאשר דולפין דוחק אוויר דרך אפו מתחת למים, ויוצר בכך טבעת מערבולת במים, הניתנת לצפייה באמצעות בועות האוויר שצמודות למרכז הטבעת. באופן כללי, טבעת מערבולת נעה במאונך למישור הטבעת, כשהטבעת נושאת איתה את הנוזל המסתובב. טבעת יכולה לנוע למרחקים גדולים בזורם בעל צמיגות נמוכה המצוי במנוחה. בטבעת מערבולת, הזורם יזרום בצורה מעגלית למדי מסביב לציר שצורתו מעגל. המעגל הווירטואלי הזה עובר דרך מרכזי המעגלים שבהם הזורם נע ומאונך לכיוון הזרימה במעגלים. הערבוליות של הנוזל מרוכזת סביב המעגל הווירטואלי, ודועכת כאשר מתרחקים ממנו. האזור בו העירבוליות גדולה מאפס נקרא ליבת המערבולת (באנגלית: the vortex core) וצורתו כצרת טורוס. הרדיוס של החתך של הטורוס נקרא רדיוס הליבה. בתנועה של טבעת מערבולת, הטבעת נושאת עמה את הנוזל הנמצא בקרבת הליבה. כלומר, טבעת זרימה נושאת עמה מסה, תנע ואנרגיה. זאת בניגוד לגלי ים, שתנועת הזורם בהם היא כמעט מחזורית, והגלים אינם נושאים עימם את הזורם. ליבת המערבולת חווה חיכוך עם הזורם כתוצאה מצמיגות, לכן לאורך זמן רדיוס הליבה גדל, הערבוליות בליבה דועכת, עד שהמערבולת מפסיקה להתקיים. עם זאת, בשל התנועה הסיבובית של הזורם בליבת המערבולת, החיכוך של הליבה עם הזורם שמחוצה לה אינו גבוה, והמערבולת יכולה להתקדם מרחקים ארוכים מבלי לשנות את צורתה או לאבד אנרגיה ותנע. בפרט, טבעת מערבולת תחזיק מעמד זמן רב יותר ותטייל מרחק רב יותר מסילון של זורם שיצא מאותה נקודה. לפיכך, טבעות עשן הנפלטות על ידי מעשנים ניתנות לצפייה זמן רב אחרי שיתר העשן הנפלט התפזר ונעלם. בקירוב של ליבה דקה, ניתן לכתוב את הערבוליות של המערבולת כ- ω ( x , r ) = γ δ ( x − x 0 ) δ ( r − R ) ϕ ^ {\displaystyle \omega (x,r)=\gamma \delta (x-x_{0})\delta (r-R){\hat {\phi }}} כאשר x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} הוא מישור הטבעת, r {\displaystyle r} ו- ϕ {\displaystyle \phi } הן קואורדינטות קוטביות במישור זה, R {\displaystyle R} הוא רדיוס הטבעת, γ = ∬ ω ϕ d x d r {\displaystyle \gamma =\iint \omega _{\phi }dxdr} היא הסירקולציה של הטבעת ו- δ {\displaystyle \delta } היא פונקציית הדלתא של דיראק. בהתאם מתקבל שהמתקף של הטבעת הוא: P → = π ∫ ω ϕ r 2 d x d r x ^ = π R 2 γ x ^ {\displaystyle {\vec {P}}=\pi \int \omega _{\phi }r^{2}dxdr{\hat {x}}=\pi R^{2}\gamma {\hat {x}}} תחת הקירוב של טבעת בעובי אפס (קירוב שמתבצע בשימוש בפונקציית הדלתא) מתקבל שמהירות ההתקדמות של הטבעת והאנרגיה הקינטית שלה מתבדרת. בעיה זו נפתרת כאשר מניחים שהערבוליות איננה מרוכזת לאורך קו אחד, אלא בליבה דקה שרדיוסה a << R {\displaystyle a<<R} . בשנת 1867 קלווין כתב שעבור ליבה כזו מתקבל שמהירות הטבעת היא: U = γ 4 π R [ ln ⁡ 8 R a − 1 4 ] x ^ {\displaystyle U={\frac {\gamma }{4\pi R}}\left[\ln {\frac {8R}{a}}-{\frac {1}{4}}\right]{\hat {x}}} והאנרגיה הקינטית היא: K = ρ γ 2 R 2 [ ln ⁡ 8 R a − 7 4 ] {\displaystyle K={\frac {\rho \gamma ^{2}R}{2}}\left[\ln {\frac {8R}{a}}-{\frac {7}{4}}\right]} בשנת 1885 היקס הראה שתוצאתו של קלווין מתקבלת עבור ההנחה לפי הערבוליות אחידה ברדיוס a {\displaystyle a} מסביב למרכז הליבה. היקס גם חישב שעבור ליבה חלולה, בה הערבוליות שונה מאפס רק על שפת הטורוס בשולי הליבה מתקיים: U = γ 4 π R [ ln ⁡ 8 R a − 1 2 ] x ^ {\displaystyle U={\frac {\gamma }{4\pi R}}\left[\ln {\frac {8R}{a}}-{\frac {1}{2}}\right]{\hat {x}}} אם הטבעת מתקדמת בנוזל צמיג (בעל צמיגות קינמטית ν {\displaystyle \nu } ), רדיוס הליבה גדל עם הזמן לפי a 2 ∝ 4 ν t {\displaystyle a^{2}\propto 4\nu t} . והערבוליות בתוך הליבה של הטבעת דועכת גאוסיאנית, כך שהסירקולציה במרחק r {\displaystyle r} ממרכז הליבה היא Γ ( r , t ) = Γ ( 1 − e − r 2 4 ν t ) {\displaystyle \Gamma (r,t)=\Gamma \left(1-e^{-{\frac {r^{2}}{4\nu t}}}\right)} . במצב כזה מהירות ההתקדמות של הטבעת היא U = γ 4 π R [ ln ⁡ 8 R a − 0.558 ] x ^ {\displaystyle U={\frac {\gamma }{4\pi R}}\left[\ln {\frac {8R}{a}}-0.558\right]{\hat {x}}} מדיה וקבצים בנושא טבעת מערבולת בוויקישיתוף William Thomson, II. On vortex atoms, The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 34, 1867-07, עמ' 15–24 doi: 10.1080/14786446708639836 W.M Hicks, Researches on the theory of vortex rings.—Part II, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 176, 1885-12-31, עמ' 725–780 doi: 10.1098/rstl.1885.0015 P. G. Saffman, Vortex Dynamics, 1, Cambridge University Press, 1993-01-29, ISBN 978-0-521-47739-0