משוואת המשאבה והטורבינה של אוילר

משוואות המשאבה והטורבינה של אוילר הן המשוואות הבסיסיות ביותר בתחום תכנון הטורבינות. משוואות אלו מושלות בהספק, בנצילות ובגורמים אחרים המכתיבים את התכנון של טורבינות. בעזרתן של משוואות אלו העומד ההידראולי שיוצרת משאבה או טורבינה ניתן לחישוב בקלות. הן נוסחו על ידי לאונרד אוילר באמצע המאה ה-18. המומנט הפועל על הלהבים הוא: τ s h a f t = ρ ⋅ Q ( r 2 V t 2 − r 1 V t 1 ) {\displaystyle \tau _{shaft}=\rho \cdot Q(r_{2}V_{t2}-r_{1}V_{t1})} ההספק הוא: P = ω ⋅ τ s h a f t = ρ ⋅ Q ( u 2 V t 2 − u 1 V t 1 ) {\displaystyle P=\omega \cdot \tau _{shaft}=\rho \cdot Q(u_{2}V_{t2}-u_{1}V_{t1})} והעומד ההידראולי המתפתח הוא: H = P ρ g Q = u 2 V t 2 − u 1 V t 1 g {\displaystyle H={\frac {P}{\rho gQ}}={\frac {u_{2}V_{t2}-u_{1}V_{t1}}{g}}} כאשר ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות הזורם, Q {\displaystyle Q} היא הספיקה הנפחית של המשאבה, r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} הם הרדיוס הפנימי והחיצוני של המשאבה, V t 1 , V t 2 {\displaystyle V_{t1},V_{t2}} הם המהירויות המשיקיות של הזורם בכניסה (כלומר ברדיוס הפנימי) וביציאה (ברדיוס החיצוני) מהמשאבה, ω {\displaystyle \omega } היא המהירות הזוויתית של הלהבים, ו- u 1 , u 2 {\displaystyle u_{1},u_{2}} הן המהירויות הקוויות של סיבוב הלהבים בחלקם הפנימי והחיצוני בהתאמה. מבט ראשוני במשוואות עשוי ליצור רושם שאין במשוואות אלו מספיק מידע כדי לנבא את פרמטרי העבודה של המשאבה, שכן הספיקה הנפחית Q {\displaystyle Q} אינה נתונה, אולם תאוריית אוילר מתארת גם כיצד ניתן לנבא את הספיקה בתלות במאפיינים הגאומטריים של הלהבים. נמחיש זאת עם דוגמה חישובית. נחשב את ההספק הנדרש ממדחף אונייה, המורכב מלהבים המסתובבים במהירות זוויתית ω {\displaystyle \omega } , בעלי רדיוס פנימי וחיצוני r 1 , r 2 {\displaystyle r_{1},r_{2}} בעלי עובי b {\displaystyle b} (כלומר הלהבים המסתובבים מגדירים גליל בגובה b {\displaystyle b} ), וזווית להב פנימית וחיצונית β 1 , β 2 {\displaystyle \beta _{1},\beta _{2}} , כאשר זוויות הלהב מוגדרות ביחס לכיוון המשיקי. נניח כי המים אינם דחיסים וכי צמיגותם אינה משמעותית. נחשב את הספיקה הנפחית Q {\displaystyle Q} . במערכת הייחוס של הלהב המסתובב, אם הזוויות של משטח הלהב הן כאלה שהזווית בין כיוון המהירות הקווית שלו לבין הכיוון המקביל למשטח היא קטנה מזווית ההזדקרות, אז הזרימה המציפה את הלהב (במערכת הייחוס של הלהב המסתובב, הזורם הוא שנע) תצליח לעקוב אחרי המתאר הגאומטרי של הלהב. לכן, הקשר בין המהירות הרדיאלית של הזורם ברדיוס הפנימי של המשאבה, שנסמנה V r 1 {\displaystyle V_{r1}} , לבין המהירות המשיקית שלו (אותה סימנו V t 1 {\displaystyle V_{t1}} ), הוא משיקולים קינמטיים: V r 1 = V t 1 ⋅ t a n β 1 {\displaystyle V_{r1}=V_{t1}\cdot \mathbb {tan} \beta _{1}} קשר זה נובע מכך שבמערכת הייחוס של הלהב, לאחר שהזרימה המציפה פוגעת בו היא עוקבת במדויק אחרי המתאר שלו, ולכן במערכת הייחוס האבסולוטית (במערכת המעבדה) הזרימה תתקדם בכיוון הרדיאלי באותו קצב כמו נקודה הנעה במעלה הלהב תוך כדי שהיא נעה בכיוון המשיקי במהירות V t 1 {\displaystyle V_{t1}} . מכיוון ש- V t 1 = u 1 = ω ⋅ r 1 {\displaystyle V_{t1}=u_{1}=\omega \cdot r_{1}} , נקבל שהספיקה הנפחית היא: Q = 2 π r 1 b V r 1 = 2 π r 1 2 b ω ⋅ t a n β 1 {\displaystyle Q=2\pi r_{1}bV_{r1}=2\pi r_{1}^{2}b\omega \cdot \mathbb {tan} \beta _{1}} המומנט שפועל על המדחף הוא: τ = ρ ⋅ Q ( r 2 V t 2 − r 1 V t 1 ) = ρ ⋅ 2 π r 1 2 b ω t a n β 1 ⋅ ω ( r 2 2 − r 1 2 ) = 2 π ρ b ω 2 t a n β 1 r 1 2 ( r 2 2 − r 1 2 ) {\displaystyle \tau =\rho \cdot Q(r_{2}V_{t2}-r_{1}V_{t1})=\rho \cdot 2\pi r_{1}^{2}b\omega \mathbb {tan} \beta _{1}\cdot \omega (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})=2\pi \rho b\omega ^{2}\mathbb {tan} \beta _{1}r_{1}^{2}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})} וההספק הוא: P = τ ⋅ ω = 2 π ρ b ω 3 t a n β 1 r 2 2 ( r 2 2 − r 1 2 ) {\displaystyle P=\tau \cdot \omega =2\pi \rho b\omega ^{3}\mathbb {tan} \beta _{1}r_{2}^{2}(r_{2}^{2}-r_{1}^{2})} מדחף ראו: Euler (1752) "Maximes pour arranger le plus avantageusement les machines destinées à élever de l'eau par moyen des pompes" (Maxims for arranging most advantageously machines intended to raise water by means of pumps), Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres à Berlin, 8 : 185-232. Here, Euler presents his results for maximizing the outputs of windmills and water wheels, among other means of powering pumps. Euler (1754) "Théorie plus complette des machines qui sont mises en mouvement par la réaction de l'eau" (More complete theory of machines that are set in motion by reaction with water), Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres à Berlin, 10 : 227-295. An analysis of Segner's wheel. Euler (1756) "Recherches plus exactes sur l'effect des moulins à vent" (More exact research on the effect [i.e., work output] of windmills), Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et des Belles Lettres à Berlin, 12 : 166-234.