קואורדינטות מוכללות

במכניקה אנליטית, קואורדינטות מוכללות הן סט של פרמטרים המתארים את המיקומים של כל החלקיקים במערכת באופן חד־ערכי ביחס למצב ידוע מראש. המהירויות המוכללות הן הנגזרות של הקואורדינטות המוכללות לפי הזמן. ישנן אפשרויות רבות לתיאור מערכת באמצעות קואורדינטות מוכללות, ומתוכן נעשה ניסיון לבחור קואורדינטות המפשטות את תיאור המערכת ואת פתרון משוואות התנועה. מספר הקוארדינטות המוכללות שאינן תלויות אחת בשנייה הוא מספר דרגות החופש של המערכת. ניתן לתאר את תנועת המערכת באמצעות מספר גבוה יותר של קואורדינטות מוכללות, אולם במקרה כזה, הקואורדינטות תהיינה תלויות אחת בשנייה. השילוב של קואורדינטות מוכללות עם התנעים הקנוניים הצמודים להם מניב סט של קואורדינטות קנוניות במרחב הפאזה. במערכת פיזיקלית המורכבת מ- N {\displaystyle N} חלקיקים נקודתיים, ובה כל חלקיק רשאי לנוע במרחב בעל d {\displaystyle d} ממדים נדרשים n = N d {\displaystyle n=Nd} פרמטרים כדי לתאר את מיקומם של כל החלקיקים במערכת. תיאור כזה יכול להתבצע לדוגמה במערכת צירים קרטזית בה מיקומו של החלקיק ה- i {\displaystyle i} מיוצג על ידי הווקטור r → i = ( x i 1 , x i 2 , . . . , x i d ) {\displaystyle {\vec {r}}_{i}=(x_{i1},x_{i2},...,x_{id})} ובסה"כ המערכת מתוארת באמצעות ה-n-יה הסדורה r = { r → i } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {r} =\{{\vec {r}}_{i}\}_{i=1}^{n}} . עם זאת, r {\displaystyle \mathbf {r} } איננו הדרך היחידה לתאר את מיקום החלקיקים במערכת. באופן שקול, ניתן להשתמש ב-n-יה סדורה אחרת q = { q i } i = 1 m {\displaystyle \mathbf {q} =\left\{q_{i}\right\}_{i=1}^{m}} (כאשר m ≥ n {\displaystyle m\geq n} ) כאשר קיים קשר בין ה-n-יה החדשה לוקטורי המיקום של החלקיקים r → i = r → i ( q ( t ) ) {\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(\mathbf {q} (t))} . הסט q {\displaystyle \mathbf {q} } נקרא סט קואורדינטות מוכללות. לפעמים, נוח יותר לכתוב את משוואות התנועה באמצעות שימוש במספר קואורדינטות מוכללות גדול יותר ממספר דרגות החופש במערכת. במקרה כזה, בו מתבצע שימוש ב- m > n {\displaystyle m>n} קואורדינטות, יהיה ניתן לכתוב m − n {\displaystyle m-n} משוואות המגבילות את הקשרים בין הקואורדינטות המוכללות, ועדיין לתאר את המצבים האפשריים במערכת במלואם. ערך מורחב – אילוצים הולונומים אילוץ הולונומי על מערכת פיזיקלית הוא משוואה מהצורה f ( r , t ) = 0 {\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=0} . משוואה כזו מקשרת בין הקואורדינטות השונות של החלקיקים, כך שהן אינן בלתי תלויות. צורת האילוץ יכולה להשתנות עם הזמן, שמופיע באופן מפורש במשוואת האילוץ. כל משוואה הולונומית מהווה אילוץ אחד. אם קיימים C {\displaystyle C} אילוצים הולונומיים בלתי תלויים, תהיינה C {\displaystyle C} משוואות אילוצים { f i ( r , t ) } i = 1 C {\displaystyle \{f_{i}{\mathbf {(} r,t)}\}_{i=1}^{C}} . במערכת של חלקיקים נקודתיים, מספר דרגות החופש של המערכת הוא מספר הממדים כפול מספר החלקיקים פחות מספר האילוצים n = N d − C {\displaystyle n=Nd-C} . במצב כזה, מספר הקואורדינטות הנדרשות לתיאור המערכת הוא לפחות n {\displaystyle n} והוא קטן יותר ממספר הקואורדינטות הנדרשות עבור התיאור באמצעות r {\displaystyle \mathbf {r} } , תיאור כזה יכול להתבצע על ידי שימוש בסט של קואורדינטות מוכללות המכיל בדיוק את מספר דרגות החופש q = { q i } i = 1 n {\displaystyle \mathbf {q} =\left\{q_{i}\right\}_{i=1}^{n}} והקשרים r → i = r → i ( q ( t ) , t ) {\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}(\mathbf {q} (t),t)} . לאחר שימוש בקואורדינטות מוכללות כאלו, אין צורך להשתמש במשוואות האילוצים, שכן הן מוכתבות על ידי הקשרים בין הקואורדינטות המוכללות לוקטורי המיקום. ערך מורחב – מכניקה של גוף קשיח במכניקה קלאסית, גוף קשיח הוא אוסף נקודות עבורן המרחק בין כל זוג נקודות נשאר קבוע לאורך התנועה. אם נתאר את מיקומי כל הנקודות על הגוף לפי r = { r → i } i = 1 N d {\displaystyle \mathbf {r} =\{{\vec {r}}_{i}\}_{i=1}^{Nd}} , ניתן לרשום N ( N − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {N(N-1)}{2}}} משוואות אילוצים מהצורה | r → i − r → j | = r i j {\displaystyle \left|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}\right|=r_{ij}} . לכאורה, יכול להיווצר מצב בו מספר האילוצים גדול ממספר הנקודות, אולם במקרה זה, משוואות האילוצים תלויות אחת בשנייה. מספר דרגות החופש המתקבל עבור גוף קשיח, הוא n = d + d ( d − 1 ) 2 {\displaystyle n=d+{\frac {d(d-1)}{2}}} ואיננו תלוי במספר הנקודות על הגוף הקשיח. את הגוף הקשיח ניתן לתאר באמצעות מערכת של n {\displaystyle n} קואורדינטות מוכללות, לדוגמה בתלת־ממד ניתן להשתמש במיקום של מרכז המסה של הגוף (3 קואורדינטות) וב-3 זוויות אוילר כדי לתאר את האוריינטציה של הגוף במרחב. המהירויות המוכללות של המערכת מוגדרות לפי הנגזרת המלאה של הקואורדינטות המוכללות לפי הזמן q ˙ j = d q j d t {\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {dq_{j}}{dt}}} . המהירות של חלקיק במערכת היא הנגזרת המלאה לפי הזמן של וקטור המיקום, והיא מתקשרת למהירויות המוכללות לפי הנוסחה v → i = d r → i d t = ∑ i = j m ∂ r → i ∂ q j q ˙ j + ∂ r → i ∂ t {\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}=\sum _{i=j}^{m}{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial t}}} . בתיאור לעיל הנגזרות החלקיות ∂ r → i ∂ q j {\displaystyle {\frac {\partial {\vec {r}}_{i}}{\partial q_{j}}}} הן פונקציות של הקואורדינטות המוכללות והזמן, ולא של המהירויות המוכללות. אם הקשרים לא תלויים ישירות בזמן אז הנגזרות החלקיות הן פונקציות של הקואורדינטות המוכללות בלבד. במערכת קואורדינטות קרטזיות, האנרגיה הקינטית מקיימת T = 1 2 ∑ i = 1 N m i v → i 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{2}} והיא פונקציה של המסות והמהירויות בלבד, ולא של הקואורדינטות הקרטזיות. לעומת זאת, במערכת קואורדינטות מוכללת בה הקשרים לא תלויים ישירות בזמן מתקיים: T = 1 2 ∑ i = 1 N m i v → i 2 = 1 2 ∑ i m i ∑ j , k ( d r → i d q j d r → i d q k ) q ˙ j q ˙ k {\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}\sum _{j,k}\left({\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dq_{j}}}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dq_{k}}}\right){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}} כך שהאנרגיה הקינטית היא פונקציה של המסות, הקואורדינטות המוכללות ופונקציה הומוגנית מסדר שני של המהירויות המוכללות. אם הקשרים בין הקואורדינטות תלויים בזמן אז האנרגיה הקינטית היא פונקציה כללית של המסות, הקואורדינטות המוכללות, המהירויות המוכללות והזמן. הלגראנז'יאן של המערכת הפיזיקלית מוגדר על ידי L = T − V {\displaystyle L=T-V} ובמקרה הכללי הוא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, המהירויות המוכללות והזמן. הנגזרות החלקיות של הלגראנז'יאן לפי המהירויות המוכללות ∂ L ∂ q ˙ {\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}} הן התנעים המוכללים. משוואות אוילר-לגראנז' מקשרות בין הנגזרות לפי הזמן של התנעים המוכללים לנגזרות של הלארנז'יאן לפי המיקום d p i d t = ∂ L ∂ q i {\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}} . ההמילטוניאן של המערכת הוא התמרת לז'נדר של הלגרנז'יאן ביחס למהירויות המוכללות, והיא פונקציה של הקואורדינטות המוכללות, התנעים המוכללים והזמן. הקואורדינטות המוכללות יחד עם התנעים המוכללים יוצרים סט של קואורדינטות קנוניות ביחס להמילטוניאן. ערך מורחב – מטוטלת מתמטית מטוטלת מתמטית מורכבת ממסה M {\displaystyle M} הנעה במרחב דו-ממדי, המחוברת באמצעות כבל באורך L {\displaystyle L} , לנקודה שניתן לסמנה בראשית הצירים. בצורה זו, המטוטלת שהיא מערכת עם דרגת חופש אחת, מתוארת באמצעות שתי קואורדינטות. האילוץ לפיו הכבל באורך קבוע ניתן להיכתב באמצעות המשוואה f ( x , y ) = x 2 + y 2 − L 2 = 0 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-L^{2}=0} . ניתן להסתכל על הזווית בין המטוטלת לציר ה- y {\displaystyle y} . בתיאור זה, הקואורדינטות מקיימות ( x , y ) = q = ( L sin ⁡ θ , − L cos ⁡ θ ) {\displaystyle (x,y)=\mathbf {q} =\left(L\sin \theta ,-L\cos \theta \right)} והמיקום של המטוטלת מתואר באמצעות קואורדינטה מוכללת יחידה - θ {\displaystyle \theta } . דסקה היא דוגמה לגוף קשיח דו־ממדי. תנועתה הכללית יכולה להיות מתוארת באמצעות שלוש קואורדינטות - ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} הקואורדינטות הקרטזיות של מרכז הדסקה, ו- θ {\displaystyle \theta } הזווית שקו מסוים על הדסקה מקיים עם ציר ה- x {\displaystyle x} . כשהדסקה מונחת על מדרון בעל שיפוע קבוע, היא מקיימת משוואת אילוץ מהצורה f ( x , y , θ ) = y x − tan ⁡ α = 0 {\displaystyle f(x,y,\theta )={\frac {y}{x}}-\tan \alpha =0} , וניתן לתאר את תנועת הדסקה באמצעות שתי קואורדינטות, לדוגמה - הזווית θ {\displaystyle \theta } והמרחק r = x 2 + y 2 {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} שהדסקה עברה מנקודת תחילת התנועה, כאשר מתקיים x = r cos ⁡ α ; y = r sin ⁡ α {\displaystyle x=r\cos \alpha ;y=r\sin \alpha } . אם תנועת של הדסקה היא גלגול ללא החלקה, קיים אילוץ נוסך המקשר בין הזווית למרחק שהדסקה עברה: r = θ R {\displaystyle r=\theta R} (כאשר R {\displaystyle R} הוא רדיוס הדסקה).