פונקציה אופיינית (הסתברות)

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה אופיינית של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את ההתפלגות שלו. בעזרתה ניתן לנתח את ההתפלגות של משתנה אקראי באופן מלא מבלי להשתמש בפונקציית צפיפות ההסתברות או בפונקציית ההצטברות. הפונקציה האופיינית שימושית במיוחד לתיאור ההתפלגות של צירוף ליניארי של משתנים אקראיים. הפונקציה האופיינית של משתנה אקראי X היא פונקציה מרוכבת המוגדרת כתוחלת של eitX, כאשר i הוא היחידה המדומה ו־t מספר ממשי שמהווה את המשתנה של הפונקציה האופיינית: φ X ( t ) = E ⁡ [ e i t X ] {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} [\,e^{itX}\,]} בחישוב התוחלת כאינטגרל, הפונקציה האופיינית מתקבלת כצמוד של התמרת פורייה של פונקציית צפיפות ההסתברות: φ X ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x d F X ( x ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x f X ( x ) d x {\displaystyle \varphi _{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx} לפונקציה האופיינית קשר פשוט לפונקציה יוצרת המומנטים (אם מרחיבים את תחום ההגדרה שלה למרוכבים): φ X ( − i t ) = M X ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(-it)=M_{X}(t)} בניגוד לפונקציה יוצרת מומנטים, הפונקציה האופיינית תמיד קיימת וממנה ניתן לקבל את פונקציית צפיפות ההסתברות ואת המומנטים או להסיק על אי קיומם. הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי ממשי תמיד קיימת, כיוון שהיא אינטגרל של פונקציה חסומה ורציפה על מרחב שהמידה שלו סופית. פונקציה אופיינית היא פונקציה רציפה במידה שווה בכל המרחב. פונקציה אופיינית אינה מתאפסת בסביבה הנקודה אפס, שכן מההגדרה φ(0) = 1. פונקציה אופיינית היא הרמיטית: φ(−t) = φ(t) . בפרט, הפונקציה האופיינית של משתנה מקרי סימטרי (סביב הראשית) היא ממשית וזוגית. קיים יחס חד-חד ערכי בין התפלגויות הסתברות לבין פונקציות אופייניות. כלומר לשני משתנים מקריים X1, X2 אותה התפלגות אם ורק אם יש להם אותה פונקציה אופיינית φ X 1 = φ X 2 {\displaystyle \varphi _{X_{1}}=\varphi _{X_{2}}} . אם המומנטים של משתנה מקרי X מוגדרים עד סדר k, אזי לפונקציה האופיינית φX יש k נגזרות רציפות על כל הישר הממשי. במקרה זה E ⁡ [ X k ] = i − k φ X ( k ) ( 0 ) {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=i^{-k}\varphi _{X}^{(k)}(0)} אם הנגזרת ה-k של פונקציה אופיינית φX מוגדרת באפס, אזי אם כל המומנטום של המשתנה המקרי X מוגדרים עד המומנט ה-k אם k זוגי, ועד המומנט ה- k – 1 אם k אי-זוגי φ X ( k ) ( 0 ) = i k E ⁡ [ X k ] {\displaystyle \varphi _{X}^{(k)}(0)=i^{k}\operatorname {E} [X^{k}]} הפונקציה האופיינית של סכום של שני משתנים אקראיים בלתי תלויים סטטיסטית היא מכפלת הפונקציות האופייניות שלהם: φ X + Y ( t ) = E ( e i t ( X + Y ) ) = E ( e i t X e i t Y ) = E ( e i t X ) E ( e i t Y ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=E\left(e^{it(X+Y)}\right)=E\left(e^{itX}e^{itY}\right)=E\left(e^{itX}\right)E\left(e^{itY}\right)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)} יהי Y = a X + b {\displaystyle Y=aX+b} משתנה המקרי המתקבל על ידי טרנספורמציה ליניארית של X {\displaystyle X} עם פרמטרים קבועים a ו-b. הפונקציה האופיינית של Y {\displaystyle Y} היא φ Y ( t ) = e i t b φ X ( a t ) {\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{itb}\varphi _{X}(at)} . עבור וקטורים מקריים X {\displaystyle X} ו- Y = A X + B {\displaystyle Y=AX+B} (כאשר A מטריצה קבועה ו-B וקטור קבוע) φ Y ( t ) = e i t ⊤ B φ X ( A ⊤ t ) {\displaystyle \varphi _{Y}(t)=e^{it^{\top }B}\varphi _{X}(A^{\top }t)} . פונקציות אופייניות שימושיות במיוחד לטיפול בפונקציות ליניאריות של משתנים אקראיים בלתי תלויים. לדוגמה, אם X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} היא סדרה של משתנים אקראיים בלתי תלויים (ולא בהכרח שווי-התפלגות), ואם S n = ∑ i = 1 n a i X i , {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},\,\!} כאשר a i {\displaystyle a_{i}} הם קבועים, אז הפונקציה האופיינית של S n {\displaystyle S_{n}} היא φ S n ( t ) = φ X 1 ( a 1 t ) φ X 2 ( a 2 t ) ⋯ φ X n ( a n t ) {\displaystyle \varphi _{S_{n}}(t)=\varphi _{X_{1}}(a_{1}t)\varphi _{X_{2}}(a_{2}t)\cdots \varphi _{X_{n}}(a_{n}t)\,\!} בפרט, עבור שני משתנים מקריים בלתי תלויים X {\displaystyle X} ו Y {\displaystyle Y} Y {\displaystyle Y} φ X + Y ( t ) = φ X ( t ) φ Y ( t ) {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)} . כדי להראות זאת מספיק להשתמש בהגדרה של הפונקציה האופיינית φ X + Y ( t ) = E ⁡ [ e i t ( X + Y ) ] = E ⁡ [ e i t X e i t Y ] = E ⁡ [ e i t X ] E ⁡ [ e i t Y ] = φ X ( t ) φ Y ( t ) {\displaystyle \varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left[e^{it(X+Y)}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}e^{itY}\right]=\operatorname {E} \left[e^{itX}\right]\operatorname {E} \left[e^{itY}\right]=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)} אי התלות של X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} מבטיחה שהביטוי השלישי והרביעי שווים. מקרה פרטי חשוב הוא כאשר X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} הם משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות וכאשר a i = 1 / n {\displaystyle a_{i}=1/n} . אם נסמן X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} את ממוצע n {\displaystyle n} המשתנים המקריים אז הפונקציה של X ¯ {\displaystyle {\overline {X}}} תהיה φ X ¯ ( t ) = φ X ( t n ) n {\displaystyle \varphi _{\overline {X}}(t)=\varphi _{X}\!\left({\tfrac {t}{n}}\right)^{n}} . ניתן להשתמש בפונקציה האופיינית כדי לחשב את המומנטים של משתנה מקרי. בהנחה שהמומנט ה-n קיים E ⁡ [ X n ] = i − n [ d n d t n φ X ( t ) ] t = 0 = i − n φ X ( n ) ( 0 ) , {\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=i^{-n}\left[{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\varphi _{X}(t)\right]_{t=0}=i^{-n}\varphi _{X}^{(n)}(0),\!} פונקציה אופיינית, באתר MathWorld (באנגלית) Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon, Statistical and Adaptive Signal Processing: Spectral Estimation, Signal Modeling, Adaptive Filtering, and Array Processing, Artech House, 2005, ISBN 978-1-58053-610-3. (באנגלית) Lukacs, E, Characteristic functions, London: Griffin, 1970 "Joint characteristic function". www.statlect.com. נבדק ב-7 באפריל 2018. {{cite web}}: (עזרה)