אקספוננט קריטי

אקספוננט קריטיים (או מעריכים קריטיים) הם מספרים המאפיינים מעברי פאזה מסדר שני (מעברי פאזה רציפים) במערכות תרמודינמיות. האקספוננטים הקריטיים מתארים באמצעות חוק חזקה את ההתנהגות של גדלים פיזיקליים שונים, כגון קיבול החום, המגנטיזציה ואורך הקורלציה, בסביבת הנקודה הקריטית. מעברי פאזה ואקספוננטים קריטיים מופיעים במערכות פיזיקליות רבות כגון מעבר נוזל-גז במים, מערכות מגנטיות, מוליכות-על, זרימה טורבולנטית, חלחול ועוד. נהוג להניח כי אקספוננטים קריטיים הם אוניברסליים. כלומר, כי הם תלויים רק במאפיינים הכלליים של מערכת פיזיקלית, ולא תלויים בפרטים שמתארים את המערכת. לדוגמה, עבור מעברי פאזה במערכות פרומגנטיות, האקספוננטים הקריטיים תלויים רק בממדים של המערכת, בטווח של האינטראקציות בין חלקיקים במערכת ובספין של החלקיקים. נגיד כי שתי מערכות עם אותם מעריכים קריטיים שייכות לאותה מחלקת אוניברסליות. כלומר, כי המערכות שקולות ליד מעבר הפאזה. תכונות אלו של אקספוננטים קריטיים נתמכות על ידי תוצאות נסיוניות. ניתן לחשב את האקספוננטים הקריטיים של מערכת באופן אנליטי באמצעות תורת השדה הממוצע או במקרים שבהם המערכת פתירה אנליטית, כגון מודל איזינג הדו-ממדי. ניתוח תאורטי במקרים רבים דורש להשתמש בגישה של חבורת הנרמול מחדש (renormalization group) או בשיטות של conformal bootsrap. לאקספוננטים קריטיים יש בנוסף יישומים בגרפים אקראיים. הפרמטר הנשלט במעברי פאזה הוא לרוב הטמפרטורה, אך הוא יכול להיות גם פרמטרים אחרים כגון שדה מגנטי חיצוני ולחץ. לשם פשטות, נעבוד בדיון זה במונחי הטמפרטורה. ההמרה לפרמטר נשלט אחר היא פשוטה. נניח כי מעבר הפאזה מתרחש בטמפרטורה קריטית T C {\displaystyle T_{C}} . אנחנו רוצים לתאר את הפרמטר הפיזיקלי f {\displaystyle f} בסביבה של הטמפרטורה הקריטית באמצעות חוק חזקה. נגדיר את הטמפרטורה המצומצמת τ = T − T C T C {\displaystyle \tau ={\frac {T-T_{C}}{T_{C}}}} שהיא אפס בטמפרטורה הקריטית. באמצעותה, נגדיר את האקספונט הקריטי κ {\displaystyle \kappa } : κ = lim τ → 0 ln ⁡ | f ( τ ) | ln ⁡ | τ | {\displaystyle \kappa =\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {\ln \left|f\left(\tau \right)\right|}{\ln \left|\tau \right|}}} מכך אנו מקבלים את חוק החזקה שחיפשנו: f ( τ ) ∝ | τ | κ , τ ≈ 0 {\displaystyle f\left(\tau \right)\propto \left|\tau \right|^{\kappa },\quad \tau \approx 0} באופן כללי, האקספוננט הקריטי הוא לא בהכרח זהה עבור τ < 0 {\displaystyle \tau <0} ועבור τ > 0 {\displaystyle \tau >0} . במקרה זה, נגדיר את האקספוננטים הקריטיים באמצעות הגבולות החד-צדדיים: κ ′ = lim τ → 0 − ln ⁡ | f ( τ ) | ln ⁡ | τ | , κ = lim τ → 0 + ln ⁡ | f ( τ ) | ln ⁡ | τ | {\displaystyle \kappa '=\lim _{\tau \rightarrow 0^{-}}{\frac {\ln \left|f\left(\tau \right)\right|}{\ln \left|\tau \right|}},\quad \kappa =\lim _{\tau \rightarrow 0^{+}}{\frac {\ln \left|f\left(\tau \right)\right|}{\ln \left|\tau \right|}}} יש לזכור כי חוק החזקה מתאר רק את ההתנהגות האסימפטוטית של הגודל הפיזיקלי ליד מעבר הפאזה, ולא מתאר אותו כתלות כללית. האקספוננט הקריטי α {\displaystyle \alpha } מתאר את הקשר בין קיבול החום הסגולי לבין הטמפרטורה. כלומר, C ∝ | τ | − α {\displaystyle C\propto \left|\tau \right|^{-\alpha }} . כאשר α {\displaystyle \alpha } הוא חיובי, ולכן קיבול החום מתבדר בטמפרטורה הקריטית. התבדרות זו היא הסיבה לקיום של החום כמוס. האקספוננט הקריטי β {\displaystyle \beta } מתאר את הקשר בין פרמטר הסדר לבין הטמפרטורה. בניגוד לשאר האקספוננטים הקריטיים, פרמטר הסדר מתאפס זהותית מעל הטמפרטורה הקריטית. לכן, עבור τ < 0 {\displaystyle \tau <0} , פרמטר הסדר נתון על ידי Ψ ∝ ( − τ ) β {\displaystyle \Psi \propto \left(-\tau \right)^{\beta }} , ועבור τ ≥ 0 {\displaystyle \tau \geq 0} , Ψ ≡ 0 {\displaystyle \Psi \equiv 0} . בניגוד לרוב האקספוננטים הקריטיים, אנו מניחים כי β {\displaystyle \beta } חיובי על מנת שפרמטר הסדר יהיה רציף. האקספוננט הקריטי γ {\displaystyle \gamma } מתאר את הקשר בין ההיענות של המערכת לכוח המניע לבין הטמפרטורה. כלומר, χ ∝ | τ | − γ {\displaystyle \chi \propto \left|\tau \right|^{-\gamma }} . האקספוננט הקריטי δ {\displaystyle \delta } מקשר בין הכוח המניע לבין פרמטר הסדר בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור τ = 0 {\displaystyle \tau =0} מתקיים J ∝ Ψ δ {\displaystyle J\propto \Psi ^{\delta }} . האקספוננט הקריטי ν {\displaystyle \nu } מקשר בין אורך הקורלציה לבין הטמפרטורה. כלומר, ξ ∝ | τ | − ν {\displaystyle \xi \propto \left|\tau \right|^{-\nu }} . האקספוננט הקריטי η {\displaystyle \eta } מקשר בין פונקציית הקורלציה לבין המרחק המרחבי בטמפרטורה הקריטית. כלומר, עבור τ = 0 {\displaystyle \tau =0} מתקיים ⟨ ψ ( 0 → ) , ψ ( r → ) ⟩ ∝ r − d + 2 − η {\displaystyle \left\langle \psi \left({\vec {0}}\right),\psi \left({\vec {r}}\right)\right\rangle \propto r^{-d+2-\eta }} . ערכי האקספוננטים הקריטיים בתורת לנדאו הקלאסית (שידועה גם כתורת השדה הממוצע) עם שדה סקלרי נתונים על ידי: α = 0 , β = 1 2 , γ = 1 , δ = 3 {\displaystyle \alpha =0,\quad \beta ={\frac {1}{2}},\quad \gamma =1,\quad \delta =3} אם אנו מוסיפים איברי גזירה והופכים את התיאוריה לתורת גינזבורג-לנדאו, מתקבלים גם כן: ν = 1 2 , η = 0 {\displaystyle \nu ={\frac {1}{2}},\quad \eta =0} האקספוננטים הקריטיים שמתקבלים באמצעות תורת השדה הממוצע נכונים עבור מימד שגדול מהמימד הקריטי העליון של מערכת. המימד הקריטי העליון עבור מעבר גז-נוזל הוא 4, עבור חלחול הוא 6, ועבור טורבלנטיות הוא ככל הנראה אינסופי. קרטיריון למציאת המימד הקריטי העליון של מערכת נוסחו בידי ויטאלי גינזבורג. כאשר מודדים בניסוי את האקספוננטים הקריטיים, יש במערכת הפרעות אקראיות. כאשר מתחשבים בהשפעה של הפרעות אלו על המערכת, האקספוננטים הקריטיים המתקבלים מקיימים 0 < α < 2 3 , β = 1 3 , 1 ≤ γ < 5 3 , 3 < δ < 6 {\displaystyle 0<\alpha <{\frac {2}{3}},\quad \beta ={\frac {1}{3}},\quad 1\leq \gamma <{\frac {5}{3}},\quad 3<\delta <6} הערך של β {\displaystyle \beta } והתחומים של α , γ , δ {\displaystyle \alpha ,\gamma ,\delta } מתאימים לתוצאות ניסיוניות. מודל איזינג הוא מודל מתמטי במכניקה סטטיסטית, המשמש לתיאור פרומגנט, או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות בסריג ומבצעות אינטראקציית שכנים קרובים. מעבר הפאזה הפרומגנטי של מודל איזינג מגדיר חבורת אוניברסליות חשובה המכילה מגוון של מעברי פאזה. מודל איזינג הדו-ממדי פתיר באופן אנליטי, והאקספוננטים הקריטיים עבורו נתונים על ידי: α = 0 , β = 1 8 , γ = 7 4 , δ = 15 , ν = 1 , η = 1 4 {\displaystyle \alpha =0,\quad \beta ={\frac {1}{8}},\quad \gamma ={\frac {7}{4}},\quad \delta =15,\quad \nu =1,\quad \eta ={\frac {1}{4}}} בשלושה ממדים, מודל איזינג אינו פתיר באופן אנליטי. ניתן להעריך את הערכים של האקספוננטים הקריטיים בו באמצעות שיטות נומרית. האקספוננטים הקריטיים עבור מודל זה נתונים על ידי: α = 0 , β = 0.32653 ( 10 ) , γ = 1.2373 ( 2 ) , δ = 4.7893 ( 8 ) , ν = 0.63012 ( 16 ) , η = 0.03639 ( 15 ) {\displaystyle \alpha =0,\quad \beta =0.32653(10),\quad \gamma =1.2373(2),\quad \delta =4.7893(8),\quad \nu =0.63012(16),\quad \eta =0.03639(15)} המימד הקריטי העליון של מודל איזינג הוא 4, ולכן עבור ממדים יותר גבוהים האקספוננטים הקריטיים של מודל איזינג מזדהים עם האקספוננטים של תורת השדה הממוצע. חוקי סקיילינג הם ביטוי של עקרונות פיזיקליים באמצעות שפה של פונקציות הומוגוניות. דוגמה חשובה לחוקי סקיילינג בתרמודינמיקה הם גדלים אקסטנסיביים ואינטנסיביים. אם מגדילים מערכת תרמודינמית בפקטור λ {\displaystyle \lambda } בלי לשנות את הגדלים האינטנסיביים שלה, אז כל הגדלים האקסטנסיביים, כגון האנרגיה E {\displaystyle E} , האנטרופיה S {\displaystyle S} , הנפח V {\displaystyle V} ומספר החלקיקים N {\displaystyle N} גדלים בפקטור λ {\displaystyle \lambda } . כלומר, הפונקציה S ( E , V , N , … ) {\displaystyle S\left(E,V,N,\dots \right)} היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון. זהו חוק סקיילינג. קרוב מספיק לנקודה הקריטית, אנו יכולים להגדיר משתנים תרמודינמיים חדשים המאפיינים את המערכת והם אינווריאנטיים לשינוי בסקאלה. את משתנים אלו ניתן להגדיר באמצעות האקספוננטים הקריטיים המגדירים חוקי חזקה בין המשתנים התרמודינמיים השונים. אלו הם למעשה חוקי סקיילינג. באמצעות חוקי הסקיילינג, ניתן למצוא קשרים בין האקספוננטים הקריטיים השונים. האקספוננטים השונים מצייתים ליחסי סקיילינג. יחסי הסקיילינג מגדירים תלות פרמטרית בין האקספוננטים השונים. יחסי הסקיילינג הם: γ = β ( δ − 1 ) α + 2 β + γ = 2 ( 2 − η ) ν = γ ν − η = 2 − α = γ + 2 β d ν = 2 − α = γ + 2 β 2 − η = d δ − 1 δ + 1 {\displaystyle {\begin{matrix}\gamma =\beta \left(\delta -1\right)\\\alpha +2\beta +\gamma =2\\\left(2-\eta \right)\nu =\gamma \\\nu -\eta =2-\alpha =\gamma +2\beta \\d\nu =2-\alpha =\gamma +2\beta \\2-\eta =d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{matrix}}} ניתן לראות מיחסים אלו כי ניתן לבטא את כל האקספוננטים הקריטיים באמצעות שני אקספוננטים קריטיים בלתי-תלויים. לצורך הדיון, נפתח יחס סקיילינג יחיד עבור המקרה של נקודת קירי. ניתן לפתח את יחסי הסקיילינג האחרים באמצעות עקרונות דומים. לצורך הדיון, נתבונן על ההתנהגות הקריטית בנקודת קירי. עבור מעברי פאזה אחרים, הפיתוח הוא דומה. ליד נקודת קירי, השדה המגנטי H {\displaystyle H} נתון על כפונקציה של המגנטיזציה M {\displaystyle M} והטמפרטורה המצומצמת τ {\displaystyle \tau } על ידי הקשר H = M | M | δ − 1 j ( M | τ | β ) {\displaystyle H=M\left|M\right|^{\delta -1}j\left({\frac {M}{\left|\tau \right|^{\beta }}}\right)} כאשר j ( x ) {\displaystyle j\left(x\right)} היא פונקציה הומוגנית. עבור τ < 0 {\displaystyle \tau <0} ו H = 0 {\displaystyle H=0} , נקבל מהמשוואה את הקשר M ∝ ( − τ ) β {\displaystyle M\propto \left(-\tau \right)^{\beta }} . בנוסף, עבור τ = 0 {\displaystyle \tau =0} נקבל את הקשר H ∝ | M | δ {\displaystyle H\propto \left|M\right|^{\delta }} . מכאן נזהה את β {\displaystyle \beta } ו δ {\displaystyle \delta } כאקספוננטים הקריטיים שהגדרנו. הסוספטביליות מוגדרת על ידי χ = ( ∂ M ∂ H ) τ {\displaystyle \chi =\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{\tau }} . מאחר ש M {\displaystyle M} ו H {\displaystyle H} הן פונקציות מצב, ניתן לרשום χ − 1 = ( ∂ H ∂ M ) τ = δ M | M | δ − 2 j ( M | τ | β ) + M | M | δ − 1 | τ | − β j ′ ( M | τ | β ) {\displaystyle \chi ^{-1}=\left({\frac {\partial H}{\partial M}}\right)_{\tau }=\delta M\left|M\right|^{\delta -2}j\left({\frac {M}{\left|\tau \right|^{\beta }}}\right)+M\left|M\right|^{\delta -1}\left|\tau \right|^{-\beta }j'\left({\frac {M}{\left|\tau \right|^{\beta }}}\right)} אם נדרוש כי H = 0 {\displaystyle H=0} , וניזכר כי M ∝ ( − τ ) β {\displaystyle M\propto \left(-\tau \right)^{\beta }} , נקבל מהמשוואה לעיל כי χ ∝ | τ | − β ( δ − 1 ) {\displaystyle \chi \propto \left|\tau \right|^{-\beta \left(\delta -1\right)}} . לפי הגדרת האקספוננט הקריטי γ {\displaystyle \gamma } , χ ∝ | τ | − γ {\displaystyle \chi \propto \left|\tau \right|^{-\gamma }} . מכך נובע יחס הסקיילינג γ = β ( δ − 1 ) {\displaystyle \gamma =\beta \left(\delta -1\right)} . האקספוננטים הקריטיים שדנו בהם עד כה עסקו בגדלים בשיווי משקל תרמודינמי. אולם, בנקודה הקריטית יכולה להיות גם התנהגות קריטית של התכונות הדינמיות של המערכת. לדוגמה, הזמן האופייני של דעיכת הפרעות אקראיות במערכת τ c h a r {\displaystyle \tau _{\mathrm {char} }} מציית ליד הנקודה הקריטית לחוק החזקה τ c h a r ∝ | τ | − ν z {\displaystyle \tau _{\mathrm {char} }\propto \left|\tau \right|^{-\nu z}} . ניתן להרחיב את חבורות האוניברסליות הסטטיות כך שהן יכללו גם את האקספוננטים הקריטיים הדינמיים. עבור חבורת האוניברסליות של מודל איזינג בשלושה ממדים, הערך של האקספוננט הקריטי הדינאמי הוא z = 2.0245 ( 15 ) {\displaystyle z=2.0245(15)} . Sander Dommers, Cristian Giardinà, Remco van der Hofstad, Ising critical exponents on random trees and graphs, arXiv:1211.3005 [cond-mat, physics:math-ph], 2012-11-13 Frédéric Léonard, Bertrand Delamotte, Critical exponents can be different on the two sides of a transition: A generic mechanism, Physical Review Letters 115, 2015-11-10, עמ' 200601 doi: 10.1103/PhysRevLett.115.200601 Armin Bunde, Shlomo Havlin, Fractals and Disordered Systems, Berlin, Heidelberg: Springer, 1996, עמ' 59–114, ISBN 978-3-642-84868-1. (באנגלית) Ruikuan Liu, Tian Ma, Shouhong Wang, Jiayan Yang, DYNAMIC THEORY OF FLUCTUATIONS AND CRITICAL EXPONENTS OF THERMODYNAMIC PHASE TRANSITIONS, 2019-07, עמ' 30 Michael E. Fisher, Rigorous Inequalities for Critical-Point Correlation Exponents, Physical Review 180, 1969-04-10, עמ' 594–600 doi: 10.1103/PhysRev.180.594 Massimo Campostrini, Andrea Pelissetto, Paolo Rossi, Ettore Vicari, 25th-order high-temperature expansion results for three-dimensional Ising-like systems on the simple-cubic lattice, Physical Review E 65, 2002-06-27, עמ' 066127 doi: 10.1103/PhysRevE.65.066127 Benjamin Widom, Scaling laws, Scholarpedia 4, 2009-10-20, עמ' 9054 doi: 10.4249/scholarpedia.9054 B. Widom, Degree of the Critical Isotherm, The Journal of Chemical Physics 41, 1964-09-15, עמ' 1633–1634 doi: 10.1063/1.1726135 John W. Essam, Michael E. Fisher, Padé Approximant Studies of the Lattice Gas and Ising Ferromagnet below the Critical Point, The Journal of Chemical Physics 38, 1963-02-15, עמ' 802–812 doi: 10.1063/1.1733766 Michael E. Fisher, Correlation Functions and the Critical Region of Simple Fluids, Journal of Mathematical Physics 5, 1964-07-01, עמ' 944–962 doi: 10.1063/1.1704197 B. Widom, Surface Tension and Molecular Correlations near the Critical Point, The Journal of Chemical Physics 43, 1965-12-01, עמ' 3892–3897 doi: 10.1063/1.1696617 P G Watson, Critical behaviour of boundary susceptibility and boundary tension, Journal of Physics C: Solid State Physics 1, 1968-02-01 doi: 10.1088/0022-3719/1/1/131/meta G. Stell, Extension of the Ornstein-Zernike Theory of the Critical Region, Physical Review Letters 20, 1968-03-11, עמ' 533–536 doi: 10.1103/PhysRevLett.20.533 Martin Hasenbusch, The dynamic critical exponent $z$ of the three-dimensional Ising universality class: Monte Carlo simulations of the improved Blume-Capel model, Physical Review E 101, 2020-02-24, עמ' 022126 doi: 10.1103/PhysRevE.101.022126