העתקה רציונלית

העתקה רציונלית (באנגלית rational map) היא סוג של פונקציה חלקית בין יריעות אלגבריות. כאן נניח שהיריעות הן אי-פריקות מעל שדה סגור אלגברית k {\displaystyle k} . באופן אינטואיטיבי, העתקה רציונלית היא מורפיזם של יריעות המוגדר רק על קבוצה פתוחה צפופה לא ריקה של יריעת התחום (כלומר, היא פונקציה חלקית). להעתקות רציונליות יש חשיבות בגאומטריה אלגברית והתחומים המשיקים. העתקה רציונלית f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} בין שתי יריעות X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} היא מחלקת שקילות של זוגות ( f U , U ) {\displaystyle (f_{U},U)} כך ש- f U {\displaystyle f_{U}} היא מורפיזם של יריעות מקבוצה פתוחה לא-ריקה U {\displaystyle U} (ומאחר שהיא פתוחה במרחב אי-פריק היא גם צפופה בו) ל- Y {\displaystyle Y} . שני זוגות ( f U , U ) {\displaystyle (f_{U},U)} ו- ( f U ′ ′ , U ′ ) {\displaystyle (f_{U'}',U')} נקראים שקולים אם הפונקציות שלהן מזדהות על חיתוך תחומיהן U ∩ U ′ {\displaystyle U\cap U'} (שהוא לא ריק משום ש- X {\displaystyle X} יריעה אי-פריקה), כלומר: ∀ x ∈ U ∩ U ′ : f U ( x ) = f U ′ ′ ( x ) {\displaystyle \forall x\in U\cap U':f_{U}(x)=f_{U'}'(x)} . כדי להוכיח שזה אכן יחס שקילות, מסתמכים על הלמה הבאה: אם שני מורפיזמים שווים על קבוצה פתוחה צפופה, אזי הם שווים. העתקה רציונלית f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקראת העתקה בירציונלית אם היא דומיננטית (כלומר: I m ( f ) ¯ = Y {\displaystyle {\overline {\mathrm {Im} (f)}}=Y} ) וקיימת העתקה רציונלית g : Y → X {\displaystyle g:Y\to X} כך שהרכבתן מחזירה את העתקת הזהות (על היריעה המתאימה, תלוי בסדר ההרכבה). שתי יריעות נקראות שקולות בירציונלית או איזומורפיות בירציונלית אם קיימות ביניהן העתקות בירציונליות כנ"ל. יש לציין שזו תכונה חלשה יותר מאיזומורפיזם רגיל של יריעות. החשיבות של העתקות בגאומטריה אלגברית היא הקשר בין העתקות כאלה לשדות הפונקציות של היריעות X ו-Y שנסמן k ( X ) {\displaystyle k(X)} ו- k ( Y ) {\displaystyle k(Y)} בהתאמה. פונקציה רציונלית ב- k ( x ) {\displaystyle k(x)} היא מקרה פרטי של העתקה רציונלית. כל פונקציה רציונלית ניתן להציג כמנת פולינומים f ( x ) = P ( x ) Q ( x ) {\displaystyle f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}} כך ש- P , Q ∈ k [ x ] {\displaystyle P,Q\in k[x]} ו- Q {\displaystyle Q} הוא לא פולינום האפס. קל לראות ש- f {\displaystyle f} מוגדרת על הקבוצה הפתוחה D ( Q ) = { x ∈ k | Q ( x ) ≠ 0 } ⊂ k {\displaystyle D(Q)=\left\{x\in k|Q(x)\neq 0\right\}\subset k} בטופולוגיית זריצקי. יהי A {\displaystyle A} מעגל שרדיוסו שווה ל-1 ויהי B {\displaystyle B} הישר הממשי שמורכבים כמתואר באיור 1. נתאים בין נקודות המעגל לנקודות הישר באופן הבא: נמקם את המעגל ברדיוס 1 במערכת צירים קרטזית x-y כך שמרכזו נמצא בנקודה ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} וקצהו העליון הוא ב- ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} . בנקודה הנמוכה ביותר משיק המעגל לקו ישר שנסמנו כציר ה-t. קרן יוצאת מ-(0,1) וחותכת את המעגל בנקודה ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} , שצבועה באדום, ממשיכה ואז חותכת את הישר t בנקודה t, שצבועה בכחול. באמצעות קרן זו מתאימים בין הנקודות ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} לנקודות t. אפשר לתאר התאמה זו באמצעות העתקה (בי)רציונלית. קיימת העתקה בירציונלית מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} המוגדרת על ידי a : A → B t = 2 x 1 − y {\displaystyle {\begin{aligned}a:A\to B\\t={\frac {2x}{1-y}}\end{aligned}}} העתקה זו מוגדרת לכל ( x , y ) ∈ A {\displaystyle (x,y)\in A} פרט ל- y = 1 {\displaystyle y=1} וניתן לראות ש- I m ( a ) ¯ = B {\displaystyle {\overline {\mathrm {Im} (a)}}=B} . ההעתקה הבירציונלית ההפכית היא b : B → A ( x , y ) = ( 4 t t 2 + 4   ,   t 2 − 4 t 2 + 4 ) {\displaystyle {\begin{array}{c}b:B\to A\\(x,y)=\left({\frac {4t}{t^{2}+4}}\ ,\ {\frac {t^{2}-4}{t^{2}+4}}\right)\end{array}}} (אפשר לבדוק בחישוב ישיר שבהגדרה זו אכן מתקיים x 2 ( t ) + y 2 ( t ) = 1 {\displaystyle x^{2}(t)+y^{2}(t)=1} כנדרש). בחישוב ישיר ניתן לראות ש- b ∘ a = i d A − { ( 0 , 1 ) } {\displaystyle b\circ a=\mathrm {id} _{A-\{(0,1)\}}} a ∘ b = i d B {\displaystyle a\circ b=\mathrm {id} _{B}} לכן, A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} איזומורפיים בירציונלית, אך הם לא איזומורפיים במובן הרגיל, שכן המעגל הוא קבוצה קומפקטית חסומה ואילו הישר הממשי לא.