אלגברה ריבועית

במתמטיקה, אלגברה ריבועית היא אלגברה לא אסוציאטיבית (עם יחידה) A {\displaystyle A} שכל איבר שלה שייך להרחבה דו-ממדית של שדה הבסיס. הדוגמה הבולטת לאלגברה כזו היא אלגברת הרכב, כגון אלגברת קווטרניונים, ובפרט אלגברת המטריצות M 2 ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {M} _{2}(F)} . באופן כללי יותר, כל אלגברה המתקבלת מבניית קיילי-דיקסון היא ריבועית. ה"ריבועיות" של אלגברה אינה תלויה בשדה הבסיס, כלומר, היא נשמרת תחת הרחבת סקלרים, ואינה נולדת מהרחבה כזו. כל אלגברה ריבועית היא אלגברה בעלת חזקות אסוציאטיביות במובן החזק. כחלק מן ההגדרה, אלגברה ריבועית מצוידת במבנה נוסף: לכל איבר x ∈ A {\displaystyle x\in A} קיימים t ( x ) , n ( x ) ∈ F {\displaystyle t(x),n(x)\in F} כך ש- x 2 − t ( x ) x + n ( x ) = 0 {\displaystyle x^{2}-t(x)x+n(x)=0} . אם המאפיין של שדה הבסיס הוא 2, דורשים שהפונקציה t {\displaystyle t} תהיה ליניארית. הליניאריות הזו נובעת מן ההגדרה בכל מאפיין אחר, אבל במאפיין 2, יש אלגברות בוליאניות שכל איבר שלהן שייך להרחבה דו-ממדית, אבל אינן ריבועיות (משום שלא ניתן לבחור את t {\displaystyle t} כך שתהיה ליניארית). כשהמאפיין אינו 2, הפונקציה n {\displaystyle n} היא תבנית ריבועית כפלית: n ( x y ) = n ( x ) n ( y ) {\displaystyle n(xy)=n(x)n(y)} , ואם היא אינה מנוונת, A {\displaystyle A} נעשית אלגברת הרכב. אלגברה ריבועית אלטרנטיבית היא אלגברת הרכב אם ורק אם תבנית הנורמה אינה מנוונת. נניח שהמאפיין של שדה הבסיס אינו 2. הליניאריות של t {\displaystyle t} מפרקת את האלגברה לסכום ישר A = F ⊕ V {\displaystyle A=F\oplus V} , כאשר V = Ker ⁡ ( t ) {\displaystyle V=\operatorname {Ker} (t)} הוא אוסף הווקטורים ה"טהורים" של האלגברה. יש התאמה בין אלגברות ריבועיות A = F + V {\displaystyle A=F+V} לבין זוגות סדורים של פעולה בינארית אנטי-סימטרית η : V × V → V {\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow V} , ותבנית ביליניארית b : V × V → F {\displaystyle b:V\times V\rightarrow F} . התאמה זו לאוסף "פרוע" של אובייקטים מראה שאין טעם לנסות למיין אלגברות ריבועיות, אלא אם הן מקיימות תכונות אלגבריות נוספות. J.M. Osborn הראה שהממד של אלגברה ריבועית שבה כל האיברים הפיכים, ושבה כל שני איברים יוצרים תת-אלגברה מדרגה 2 או 4, הוא חזקת-2. יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי מעל שדה F {\displaystyle F} . נסמן ב- H ( V , b , ξ , η ) {\displaystyle H(V,b,\xi ,\eta )} את האלגברה הריבועית F + V {\displaystyle F+V} עם פעולת הכפל ( α + v ) ( α ′ + v ′ ) = ( α α ′ − b ( α , α ′ ) + ξ ( v , v ′ ) ) + ( α v ′ + α ′ v + η ( v ⊗ v ′ ) ) {\displaystyle (\alpha +v)(\alpha '+v')=(\alpha \alpha '-b(\alpha ,\alpha ')+\xi (v,v'))+(\alpha v'+\alpha 'v+\eta (v\otimes v'))} , כאשר: b : V × V → k {\displaystyle b:V\times V\rightarrow k} היא תבנית ביליניארית סימטרית; ξ : V × V → k {\displaystyle \xi :V\times V\rightarrow k} היא תבנית ביליניארית אנטיסימטרית; ו- η : V ⊗ V → V {\displaystyle \eta :V\otimes V\rightarrow V} היא פעולה אנטי-קומוטטיבית. ב-1962 הראה Osborn שבמאפיין שונה מ-2, כל אלגברת חילוק ריבועית היא מהצורה H ( V , b , ξ , η ) {\displaystyle H(V,b,\xi ,\eta )} , כאשר: ⟨ 1 ⟩ ⊥ b {\displaystyle \langle 1\rangle \perp b} אנאיזוטרופית; לכל x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} בלתי תלויים ליניארית, גם x , y , η ( x ⊗ y ) {\displaystyle x,y,\eta (x\otimes y)} בלתי תלויים. גם להפך, כל אלגברה הבנויה באופן כזה היא אלגברה ריבועית עם חילוק. האלגברה H ( V , b , ξ , η ) {\displaystyle H(V,b,\xi ,\eta )} מקיימת את הזהות הגמישה אם ורק אם ξ = 0 {\displaystyle \xi =0} ולכל x , y {\displaystyle x,y} מתקיים b ( η ( x ⊗ y ) , y ) = 0 {\displaystyle b(\eta (x\otimes y),y)=0} . Nonassociative algebra, Schafer. ב-Bourbaki, Algebra I, פרק II.2.3, השם quadratic algebra מתייחס לאלגברה דו-ממדית בלבד. McCrimmon, Nonassociative algebras with scalar involutions, 1985, Prop. 4.6 J. Marshall Osborn, Quadratic division algebras, Transactions of the AMS 105(2), 1962