משפט קנטור

משפט קנטור הוא משפט מתמטי בתורת הקבוצות, הקובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת החזקה שלה. בפרט, לכל קבוצה, גם אם היא אינסופית, יש קבוצה גדולה ממנה (במובן מדויק שיוגדר בהמשך). מזה נובע כי אין אינסוף גדול ביותר, ולכן יש אינסוף גדלים אינסופיים השונים זה מזה. את המשפט הוכיח אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, בשנת 1891. טיעון האלכסון אותו המציא כדי להוכיח את המשפט ותוצאות דומות, מנצל את הסתירות שביסוד פרדוקס הספר ופרדוקס השקרן, ומשמש בתחומים רבים החורגים מתורת הקבוצות. קבוצה היא עצם יסודי במתמטיקה שניתן לתארו כאוסף כלשהו של איברים. לגבי כל איבר וכל קבוצה ייתכנו שתי אפשרויות: האיבר שייך לקבוצה או שאינו שייך לקבוצה. פונקציה מקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצה B {\displaystyle B} מתאימה לכל איבר ב- A {\displaystyle A} איבר יחיד ב- B {\displaystyle B} . ייתכן שלכמה איברים ב- A {\displaystyle A} מותאם אותו איבר ב- B {\displaystyle B} , וייתכן שיש איברים של B {\displaystyle B} שאף איבר של A {\displaystyle A} אינו מותאם להם. על פונקציה מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} נאמר שהיא חד-חד-ערכית, אם לכל שני איברים שונים ב- A {\displaystyle A} מותאמים איברים שונים ב- B {\displaystyle B} . נאמר שהפונקציה היא על B {\displaystyle B} אם לכל איבר ב- B {\displaystyle B} יש איבר ב- A {\displaystyle A} שהותאם לו. פונקציה ששתי התכונות מתקיימות בה יחדיו נקראת חד-חד-ערכית ועל. פונקציה חד-חד-ערכית ועל מתאימה את שתי הקבוצות זו לזו, כך שלכל איבר באחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד בקבוצה השנייה. קיומה של פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה סופית A {\displaystyle A} לקבוצה B {\displaystyle B} מראה שלשתי הקבוצות יש אותו מספר איברים, משום שלכל איבר מכל אחת מן הקבוצות יש בן זוג יחיד שהותאם לו מהקבוצה השנייה. אפשר לספור את איברי שתי הקבוצות יחד. קנטור הבין שניתן להשתמש ברעיון הזה כדי להשוות גם בקבוצות אינסופיות בגודלן. נניח כי A , B {\displaystyle A,B} הן קבוצות כלשהן (אולי אינסופיות). אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} נאמר שהקבוצות האלה שקולות, ונסמן A ∼ B {\displaystyle A\sim B} . השקילות בין הקבוצות מבטאת, על-פי קנטור, את הרעיון שיש להן אותו מספר של איברים. אם שתי קבוצות A , B {\displaystyle A,B} הן שקולות, מסמנים | A | = | B | {\displaystyle |A|=|B|} . על הסימן | A | {\displaystyle |A|} חושבים כאילו הוא מסמן את מספר האיברים בקבוצה A {\displaystyle A} , שיכול להיות אינסופי. זוהי העוצמה של A {\displaystyle A} . מן המקרה של קבוצות סופיות ידוע לנו שהעוצמה של קבוצה אחת יכולה להיות גדולה מן העוצמה של קבוצה אחרת. למשל, בקבוצה עם ארבעה איברים יש יותר איברים מאשר בקבוצה עם איבר אחד. רעיון זה מתבטא בעובדה שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית שאינה על מהקבוצה השנייה לראשונה. באופן כללי לכל שתי קבוצות A , B {\displaystyle A,B} נאמר כי | A | ≤ | B | {\displaystyle |A|\leq |B|} , אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית (שאינה בהכרח על) מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} . כלומר B {\displaystyle B} גדולה (או שווה) מ- A {\displaystyle A} אם אפשר להתאים לכל איבר ב- A {\displaystyle A} בן זוג יחיד ב- B {\displaystyle B} , גם אם נשארים איברים של B {\displaystyle B} שלא הותאם להם בן זוג. אם מתקיים | A | ≤ | B | {\displaystyle |A|\leq |B|} וגם | A | ≠ | B | {\displaystyle |A|\neq |B|} , אז נאמר כי | A | < | B | {\displaystyle |A|<|B|} . משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין קובע שאם | A | ≤ | B | {\displaystyle |A|\leq |B|} וגם | A | ≥ | B | {\displaystyle |A|\geq |B|} , אז | A | = | B | {\displaystyle |A|=|B|} (המשפט הזה אינו מובן מאליו: הוא טוען שאם יש פונקציה חד-חד-ערכית מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} , ופונקציה חד-חד-ערכית מ- B {\displaystyle B} ל- A {\displaystyle A} , אז יש גם פונקציה שהיא בו-זמנית חד-חד-ערכית ועל). קבוצה C {\displaystyle C} תקרא תת-קבוצה של A {\displaystyle A} , אם כל איבר של C {\displaystyle C} הוא גם איבר של A {\displaystyle A} . קבוצת כל התת-קבוצות של A {\displaystyle A} נקראת קבוצת החזקה של A {\displaystyle A} , אשר לה ניתן הסימון P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} (אם כי לפעמים משתמשים גם בסימון 2 A {\displaystyle 2^{A}} ). קבוצה מסמנים על פי רוב באות לטינית גדולה. אם רוצים לפרט את איברי הקבוצה כותבים אותם בתוך סוגריים מסולסלים, כשהם מופרדים בפסיקים. למשל { a , b , c } {\displaystyle \{a,b,c\}} היא קבוצה שאיבריה הם a , b , c {\displaystyle a,b,c} . דרך נוספת לציון קבוצה היא ציון תנאי שאיברי הקבוצה מקיימים. למשל { x : 1 < x < 3 } {\displaystyle \{x:1<x<3\}} היא קבוצת המספרים שבין 1 ל-3, ואילו { p 2 : p  is prime } {\displaystyle \{p^{2}:p{\text{ is prime}}\}} היא קבוצת המספרים שהם ריבועים של המספרים הראשוניים. אם a {\displaystyle a} הוא איבר של הקבוצה A {\displaystyle A} מסמנים זאת a ∈ A {\displaystyle a\in A} , ואם הוא אינו איבר של A {\displaystyle A} מסמנים זאת a ∉ A {\displaystyle a\notin A} . פונקציה מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} מסמנים f : A → B {\displaystyle f:A\to B} . את האיבר ב- B {\displaystyle B} שהפונקציה מתאימה לאיבר a {\displaystyle a} ב- A {\displaystyle A} מסמנים f ( a ) {\displaystyle f(a)} . למשל הפונקציה f {\displaystyle f} שמתאימה לכל מספר טבעי את העוקב שלו מוגדרת לפי החוק f ( n ) = n + 1 {\displaystyle f(n)=n+1} , אבל ישנן פונקציות מסובכות, שלא ניתן לכתוב להן חוקים מסוג זה. אם C {\displaystyle C} תת-קבוצה של A {\displaystyle A} , כלומר כל איבר של C {\displaystyle C} הוא גם איבר של A {\displaystyle A} , מסמנים C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} . הקבוצה הריקה היא קבוצה שאין בה אף איבר והיא מסומנת כך ∅ = {   } {\displaystyle \emptyset =\{\ \}} . לכל קבוצה שהיא A מתקיים ∅ ⊆ A {\displaystyle \emptyset \subseteq A} . לפי הסימונים שהצגנו עתה, ניתן להגדיר את קבוצת החזקה של A {\displaystyle A} כך: P ( A ) = { C : C ⊆ A } {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{C:C\subseteq A\}} . משפט קנטור. לכל קבוצה A {\displaystyle A} (סופית או אינסופית), מתקיים | A | < | P ( A ) | {\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|} . לבו של המשפט בטענה שהקבוצות A {\displaystyle A} ו- P ( A ) {\displaystyle P(A)} אינן שקולות זו לזו, אפילו כאשר A {\displaystyle A} אינסופית. הוא מראה שלא כל הקבוצות האינסופיות הן שוות עוצמה, ושלמעשה לכל קבוצה אינסופית ניתן למצוא קבוצה עם עוצמה גדולה יותר. הוספה נאיבית של איברים לקבוצה אינסופית A {\displaystyle A} אינה משנה את העוצמה גם אם ניקח שתי קבוצות אינסופיות מעוצמה זהה, ונאחד אותן, עוצמת האיחוד תהיה שווה לעוצמה של כל אחת מהקבוצות בנפרד. אפילו עוצמתה של קבוצת המספרים הרציונלים (הכוללת את כל השברים) זהה לעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים לבדם (להוכחה ראו כאן וכאן). עם זאת, טוען המשפט, קבוצת החזקה היא בעלת עוצמה גדולה יותר. תהי A {\displaystyle A} קבוצה כלשהי. הפונקציה g ( a ) = { a } {\displaystyle g(a)=\{a\}} לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- A {\displaystyle A} ל- P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} , ולכן | A | ≤ | P ( A ) | {\displaystyle |A|\leq |{\mathcal {P}}(A)|} . נותר אם כך להוכיח כי | A | ≠ | P ( A ) | {\displaystyle |A|\neq |{\mathcal {P}}(A)|} . נניח בשלילה כלומר כי | A | = | P ( A ) | {\displaystyle |A|=|{\mathcal {P}}(A)|} , ונראה כי הדבר מוביל לסתירה. אם | A | = | P ( A ) | {\displaystyle |A|=|{\mathcal {P}}(A)|} , הרי שקיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל f : A → P ( A ) {\displaystyle f:A\to {\mathcal {P}}(A)} (למעשה אין צורך בהנחה שהפונקציה חד-חד-ערכית; ההוכחה מראה שאפילו פונקציה על בלבד אינה אפשרית). f {\displaystyle f} מתאימה לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} תת-קבוצה של A {\displaystyle A} , ומכסה באופן הזה את כל התת-קבוצות. לכן לכל a ∈ A {\displaystyle a\in A} ייתכנו שתי אפשרויות: או שהוא איבר של התת-קבוצה המתאימה לו, או שלא. נגדיר קבוצה D = { a ∈ A : a ∉ f ( a ) } {\displaystyle D={\bigl \{}a\in A:a\notin f(a){\bigr \}}} , המורכבת מכל אותם איברי A {\displaystyle A} שאינם איברי התת-קבוצה המתאימה להם. מכאן D ⊆ A {\displaystyle D\subseteq A} . לפי ההנחה קיים d ∈ A {\displaystyle d\in A} עבורו f ( d ) = D {\displaystyle f(d)=D} . עתה נשאלת השאלה האם d ∈ f ( d ) = D {\displaystyle d\in f(d)=D} ? אם נניח d ∈ D {\displaystyle d\in D} אז d {\displaystyle d} איבר בקבוצה שהותאמה לו, ולכן d ∉ D {\displaystyle d\notin D} . אם נניח d ∉ D {\displaystyle d\notin D} אז d {\displaystyle d} אינו איבר בקבוצה שהותאמה לו, ולכן d ∈ D {\displaystyle d\in D} . בשני המקרים הגענו לסתירה, ולכן ההנחה הראשית שלנו חייבת להיות שגויה. מכאן | A | ≠ | P ( A ) | {\displaystyle |A|\neq |{\mathcal {P}}(A)|} ולכן | A | < | P ( A ) | {\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|} . הפילוסוף והחידונאי ריימונד סמוליאן, בספרו "מה שמו של ספר זה?", מציג גרסה אינטואיטיבית להוכחה. הגרסה המופיעה כאן מבוססת על גרסה זו. כל קבוצה אפשרית של תושבים ביקום (שגודלו עשוי להיות אינסופי) יוצרת לה מועדון (התושבים הם איברי A {\displaystyle A} , והמועדונים הם איברי P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} ). נניח שכל מועדון נקרא על שם אחד התושבים (זוהי ההנחה שקיימת פונקציה על בין הקבוצות). נקים את המועדון שחבריו הם כל התושבים שאינם חברים במועדון הקרוי על שמם. מועדון זה, ככל מועדון אחר, חייב להיקרא על שם אחד התושבים – למשל גראוצ'ו. אם גראוצ'ו חבר במועדון, הרי שהוא חבר במועדון הנקרא על שמו, בסתירה להגדרת המועדון; אבל אם הוא לא חבר במועדון, הרי שהוא מקיים את תנאי הקבלה היחיד למועדון, ונעשה בו חבר באופן אוטומטי. סתירה זו מעידה כי ההנחה שאפשר לקרוא כל מועדון על שם תושב, מוטעית. האינסוף של המועדונים גדול יותר מן האינסוף של התושבים. לפונקציה f : A → { 0 , 1 } {\displaystyle f\colon A\to \{0,1\}} (כלומר פונקציה שמתאימה לכל איבר ב- A {\displaystyle A} את המספר 0 או 1) קוראים פונקציה מציינת. מקובל לסמן את קבוצת כל הפונקציות מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} בסימון B A {\displaystyle B^{A}} . על כן קבוצת הפונקציות המציינות של קבוצה A {\displaystyle A} היא { 0 , 1 } A {\displaystyle \{0,1\}^{A}} . נשים לב כי { 0 , 1 } A ∼ P ( A ) {\displaystyle \{0,1\}^{A}\sim {\mathcal {P}}(A)} . זאת משום שלכל פונקציה מציינת ניתן להתאים את התת-קבוצה של A {\displaystyle A} שהפונקציה המציינת מתאימה לאיבריה (ורק לאיבריה) את המספר 1, ולשאר האיברים היא מתאימה 0. לכן משפט קנטור קובע כי | A | < | { 0 , 1 } A | {\displaystyle |A|<|\{0,1\}^{A}|} (למעשה זהו הנוסח של קנטור במקור). מגדירים את פעולת החזקה בין עוצמות באופן הבא: | B | | A | = | B A | {\displaystyle |B|^{|A|}=|B^{A}|} . הגדרה זו מכלילה את ההגדרה הרגילה לחזקה בין מספרים טבעיים, ומתלכדת עימה כאשר היא מופעלת על טבעיים (ראו חזקה: קבוצות ועצמות). בהתאם להגדרה זו: | { 0 , 1 } A | = | { 0 , 1 } | | A | = 2 | A | {\displaystyle |\{0,1\}^{A}|=|\{0,1\}|^{|A|}=2^{|A|}} . על כן נוכל לנסח את משפט קנטור גם באופן הבא: לכל עוצמה | A | {\displaystyle |A|} מתקיים: | A | < 2 | A | {\displaystyle |A|<2^{|A|}} . אם A {\displaystyle A} היא קבוצה סופית בעלת n {\displaystyle n} איברים ( | A | = n {\displaystyle |A|=n} ), אז | P ( A ) | = 2 n {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{n}} . תוצאה זו מתקבלת משיקול קומבינטורי פשוט: בהינתן תת-קבוצה שרירותית של A {\displaystyle A} , לגבי כל איבר ב- A {\displaystyle A} יש שתי אפשרויות: או שהוא איבר של התת-קבוצה או שהוא לא. מעקרון הכפל מקבלים שיש: 2 ⋅ 2 ⋯ 2 = 2 n {\displaystyle 2\cdot 2\cdots 2=2^{n}} אפשרויות לכל n {\displaystyle n} האיברים יחדיו, ולכן זהו מספר התת-קבוצות (כאמור בפרק הקודם, תוצאה זו נכונה אפילו לעוצמות אינסופיות). לכן משפט קנטור לקבוצות סופיות קובע את האי-שוויון הידוע   n < 2 n {\displaystyle \ n<2^{n}} , לכל n {\displaystyle n} טבעי. אי-שוויון זה ניתן להוכחה בפשטות באינדוקציה, ולכן עיקר העניין במשפט קנטור הוא בהשלכותיו לגבי קבוצות אינסופיות. ערך מורחב – האלכסון של קנטור ישנו עניין מיוחד במשפט קנטור כאשר הוא מופעל על קבוצת המספרים הטבעיים, { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots \}} . הסימון לקבוצת המספרים הטבעיים הוא N {\displaystyle \mathbb {N} } . קנטור בחר לסמן את העוצמה של N {\displaystyle \mathbb {N} } , שהיא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר, בסימון אָלֶף אֶפֶס: | N | = ℵ 0 {\displaystyle |\mathbb {N} |=\aleph _{0}} . משפט קנטור מראה כי | N | < | P ( N ) | {\displaystyle |\mathbb {N} |<|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|} , או באופן שקול: ℵ 0 < 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}<2^{\aleph _{0}}} . במקרה הזה ניתן להציג את הוכחת משפט קנטור באופן מוחשי יותר, שממנו גם ברור השם "לכסון". הוכחת המשפט נפתחת בהנחה שקיימת פונקציה חד חד ערכית ועל f : N → P ( N ) {\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} . ניתן להציג פונקציה שכזו כסדרה אינסופית של איברי P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} , כך: A 0 , A 1 , A 2 , … {\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\ldots } . כאשר מוסכם ש- f ( n ) = A n {\displaystyle f(n)=A_{n}} (למעשה זוהי ההגדרה הפורמלית של סדרה). כעת מגדירים את הקבוצה הבעייתית D = { n ∈ N ∣ n ∉ A n } {\displaystyle D=\{n\in \mathbb {N} \mid n\not \in A_{n}\}} . לפי ההנחה קיים m {\displaystyle m} כך ש- A m = D {\displaystyle A_{m}=D} , אך זה לא ייתכן, כי כזכור, נובע מכך שמתקיים בו זמנית m ∈ A m {\displaystyle m\in A_{m}} ו- m ∉ A m {\displaystyle m\not \in A_{m}} . את הטיעון הנ"ל ניתן גם להציג כך: נציג כל A {\displaystyle A} שהוא איבר של P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} כסדרה אינסופית של ספרות באופן הבא: הספרה ה- n {\displaystyle n} בסדרה (החל מ-0) תהיה 1 אם n ∈ A {\displaystyle n\in A} , ואילו אם n ∉ A {\displaystyle n\not \in A} היא תהיה 0. למשל הקבוצה { 0 , 1 , 2 , 4 , 8 , … } {\displaystyle \{0,1,2,4,8,\ldots \}} תוצג בצורה: 1   1   1   0   1   0   0   0   1 … {\displaystyle 1\ 1\ 1\ 0\ 1\ 0\ 0\ 0\ 1\ldots } . את הסדרה A 0 , A 1 , A 2 , … {\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\ldots } ניתן להציג כרשימה אינסופית של הייצוגים של כל אחד מאיברי הסדרה כסדרת ספרות. למשל את: A 0 = { 1 } , A 1 = { 1 , 3 , … } , A 2 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , … } , A 3 = { 2 , 4 } , A 4 = { 0 , 4 } , … {\displaystyle A_{0}=\{1\},A_{1}=\{1,3,\ldots \},A_{2}=\{0,1,2,3,4,\ldots \},A_{3}=\{2,4\},A_{4}=\{0,4\},\ldots } נציג בצורה: A n Representation A 0 0   1   0   0   0 … A 1 0   1   0   1   0 … A 2 1   1   1   1   1 … A 3 0   0   1   0   1 … A 4 1   0   0   0   1 … ⋮ ⋮ {\displaystyle {\begin{matrix}A_{n}&{\text{Representation}}\\\hline A_{0}&0\ 1\ 0\ 0\ 0\ldots \\A_{1}&0\ 1\ 0\ 1\ 0\ldots \\A_{2}&1\ 1\ 1\ 1\ 1\ldots \\A_{3}&0\ 0\ 1\ 0\ 1\ldots \\A_{4}&1\ 0\ 0\ 0\ 1\ldots \\\vdots &\vdots \end{matrix}}} כעת נשים לב כיצד נבנה D {\displaystyle D} . לפי ההגדרה, אם n ∉ A n {\displaystyle n\not \in A_{n}} , אז הספרה ה- n {\displaystyle n} בייצוג של D {\displaystyle D} היא 1. ואילו אם n ∈ A n {\displaystyle n\in A_{n}} אז הספרה ה- n {\displaystyle n} בייצוג של D {\displaystyle D} היא אפס. במילים אחרות, הספרה ה- n {\displaystyle n} של D {\displaystyle D} היא בדיוק ההפך מהספרה ה- n {\displaystyle n} של A n {\displaystyle A_{n}} . במסגרת הדוגמה שלנו נוכל להמחיש זאת כך: A n Representation A 0 0   1   0   0   0 … A 1 0   1   0   1   0 … A 2 1   1   1   1   1 … A 3 0   0   1   0   1 … A 4 1   0   0   0   1 … ⋮ ⋮ D 1   0   0   1   0 … {\displaystyle {\begin{matrix}A_{n}&{\text{Representation}}\\\hline A_{0}&{\color {Red}0}\ 1\ 0\ 0\ 0\ldots \\A_{1}&0\ {\color {Red}1}\ 0\ 1\ 0\ldots \\A_{2}&1\ 1\ {\color {Red}1}\ 1\ 1\ldots \\A_{3}&0\ 0\ 1\ {\color {Red}0}\ 1\ldots \\A_{4}&1\ 0\ 0\ 0\ {\color {Red}1}\ldots \\\vdots &\vdots \\\hline D&{\color {blue}1\ 0\ 0\ 1\ 0\ldots }\\\end{matrix}}} לא ייתכן כי קיים A m {\displaystyle A_{m}} כך ש- A m = D {\displaystyle A_{m}=D} , כי D {\displaystyle D} בהכרח נבדל מ- A m {\displaystyle A_{m}} בספרה ה- m {\displaystyle m} בייצוג שלו. טיעון האלכסון שהוצג זה עתה קרוי האלכסון של קנטור. הוא הוצג על ידי קנטור באותו מאמר בו הציג את משפט קנטור, וחשיבותו חורגת מהיותו מקרה פרטי של משפט קנטור. זאת משום שהסדרות של הספרות המייצגות כאן תת-קבוצות של N {\displaystyle \mathbb {N} } , יכולות באותה מידה לייצג מספרים ממשיים בין 0 ל-1, שסדרת הספרות היא הכתיב הבינארי (אחרי הנקודה) שלהם (למשל 10000 … {\displaystyle 10000\ldots } מייצג את 0.1 שהוא חצי בכתיב בינארי). כאשר מציגים את האלכסון של קנטור כהוכחה לאי-שקילות קבוצת המספרים הטבעיים N {\displaystyle \mathbb {N} } לקבוצת המספרים הממשיים R {\displaystyle \mathbb {R} } (עובדה שיכולה להפתיע, שכן N {\displaystyle \mathbb {N} } שקולה ל- Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , שהיא קבוצת המספרים הרציונליים) נהוג, לשם הנוחות, להשתמש בהצגה של המספרים בבסיס עשרוני (מבחינה היסטורית, קנטור הוכיח לראשונה את האי-שקילות של הטבעיים והממשיים 17 שנה קודם, בשיטה מוכרת פחות). עוצמת המספרים הממשיים (השווה גם לעוצמת הממשיים שבין 0 ל-1 בלבד) קרויה עוצמת הרצף, ומקובל לסמנה ℵ {\displaystyle \aleph } . העובדה שהן את הממשיים והן את התת-קבוצות של N {\displaystyle \mathbb {N} } ניתן לבטא כרצפי ספרות אינסופיים, מעידה כי R {\displaystyle \mathbb {R} } ו- P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} שקולות. לכן 2 ℵ 0 = ℵ {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph } . בתורת הקבוצות הנאיבית ניתן להגדיר את "קבוצת כל הקבוצות" U {\displaystyle U} שכל קבוצה שהיא היא איבר שלה (כולל היא עצמה). באמצעות משפט קנטור ניתן להראות שהגדרה זו מובילה לפרדוקסים. כדי לפתור את הפרדוקסים פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית שבמסגרתה בלתי אפשרי להגדיר קבוצות בעייתיות כגון U {\displaystyle U} . שני הפרדוקסים הידועים ביותר הם: הפרדוקס של קנטור, שהתגלה על ידי קנטור עצמו מעט לאחר שפרסם את משפט קנטור. הפרדוקס נוצר מניסיון להפעיל את משפט קנטור על U {\displaystyle U} . הקבוצה P ( U ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(U)} היא קבוצה שכל איבריה הם קבוצות. בפרט היא תת-קבוצה של U {\displaystyle U} . לכן הפונקציה החד-חד-ערכית f : P ( U ) → U {\displaystyle f:{\mathcal {P}}(U)\to U} המוגדרת f ( A ) = A {\displaystyle f(A)=A} קיימת ומוגדרת היטב. מכאן ש- | P ( U ) | ≤ | U | {\displaystyle |P(U)|\leq |U|} . מצד שני, לפי משפט קנטור מתקיים להפך | P ( U ) | > | U | {\displaystyle |P(U)|>|U|} . הפרדוקס של ראסל, שהוצג על ידי המתמטיקאי ברטראנד ראסל בשנת 1901 ושואב השראה מהוכחת משפט קנטור. ואכן, ניתן לראות בפרדוקס של ראסל מקרה פרטי של הוכחת משפט קנטור לגבי הקבוצה U {\displaystyle U} . כאמור, הפונקציה f ( A ) = A {\displaystyle f(A)=A} היא פונקציה חד-חד-ערכית מ- P ( U ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(U)} ל- U {\displaystyle U} . אולם מעקב אחרי שלבי הוכחת קנטור יוביל אותנו למסקנה שפונקציה שכזו לא תיתכן. נגדיר את D = { a ∈ U ∣ a ∉ f ( a ) } = { a ∣ a ∉ a } {\displaystyle D=\{a\in U\mid a\not \in f(a)\}=\{a\mid a\not \in a\}} . כעת נקבל שאם D ∈ D {\displaystyle D\in D} אז D ∉ D {\displaystyle D\not \in D} , ואילו אם D ∉ D {\displaystyle D\not \in D} אז D ∈ D {\displaystyle D\in D} . מעבר לשימוש בתורת הקבוצות כתחום מחקר בפני עצמו, משפט קנטור משמש גם בתחומים אחרים של המתמטיקה. נביא דוגמה ממדעי המחשב ודוגמה מאנליזה מתמטית. תורת החישוביות היא תחום יסודי במדעי המחשב החוקר את היכולות והמגבלות של כל המחשבים באשר הם. בעיית הכרעה היא שאלה, שבהינתן קלט כלשהו, יש לה תשובה של "כן" או "לא" (למשל האם מספר טבעי נתון הוא מספר זוגי). שאלה מרכזית בתורת החישוביות היא האם כל בעיית הכרעה ניתנת לפתרון על ידי תוכנית מחשב כלשהי. בהסתמך על משפט קנטור ניתן להראות שהתשובה שלילית. כל קלט (סופי) אפשרי הנתון בשפה כלשהי ניתן לקודד (לייצג) כמספר טבעי. קידוד שכזה נקרא מספור גדל ומחשבים מודרניים מיישמים אותו על ידי קידוד בינארי. בהינתן קידוד שכזה, לכל בעיית הכרעה ניתן להגדיר את הקבוצה A {\displaystyle A} הכוללת את כל המספרים הטבעיים שמקודדים קלטים שלגביהם התשובה לבעיה היא "כן". ולהפך, לכל קבוצה של מספרים טבעיים A {\displaystyle A} ניתן להגדיר בעיית הכרעה שמשיבה "כן" על כל הקלטים המקודדים על ידי מספר טבעי שנמצא ב- A {\displaystyle A} . במילים אחרות, את קבוצת כל בעיות ההכרעה ניתן לזהות עם קבוצת כל התת-קבוצות של הטבעיים, P ( N ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} . מצד שני, כל תוכנית מחשב היא רצף סופי של סימנים של שפת תכנות. לכן כל תוכנית מחשב ניתן לקודד כמספר טבעי יחיד (ואכן בפועל כל תוכנית מחשב בשפה מסוימת מתרגמת לקידוד בינארי שונה בשפת מכונה). מכאן שקבוצת כל תוכניות המחשב שקולה ל- N {\displaystyle \mathbb {N} } . משפט קנטור קובע ש- | N | < | P ( N ) | {\displaystyle |\mathbb {N} |<|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|} , ולכן יש הרבה יותר בעיות הכרעה מאשר תוכניות מחשב. מכאן שישנן בעיות הכרעה (ולמעשה, כמעט כל בעיות ההכרעה) שאינן ניתנות לפתרון על ידי אף תוכנית מחשב. הדוגמה המוכרת ביותר לבעיית הכרעה שאין תוכנית הפותרת אותה היא בעיית העצירה. אלן טיורינג הוכיח זאת בשנת 1936 בשיטת האלכסון. דוגמאות רבות נוספות מגיעות ממשפט רייס. טיעון דומה קובע שמרבית המספרים הממשיים אינם ניתנים לחישוב. זאת מכיוון שעוצמת החישובים האפשריים היא | N | {\displaystyle |\mathbb {N} |} (שכן כל חישוב יכול להעשות על ידי תוכנית מחשב), ואילו לפי האלכסון של קנטור, עוצמה זו קטנה מעוצמת הממשיים. פונקציה רציפה היא פונקציה ממשית f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } (פונקציה מקבוצת המספרים הממשיים לעצמה) שיש לה את התכונה שככל שמתקרבים לנקודה (מספר ממשי) כלשהי x {\displaystyle x} , ערכי הפונקציה הולכים וקרבים ל- f ( x ) {\displaystyle f(x)} , שהוא ערך הפונקציה בנקודה x {\displaystyle x} (הגרף של פונקציות רציפות הוא קו רציף, ומכאן שמן). את קבוצת הפונקציות הרציפות מקובל לסמן C {\displaystyle C} , ואילו קבוצת הפונקציות הממשיות כולן היא R R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} . נראה כי | C | < | R R | {\displaystyle |C|<|\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|} , כלומר כמעט כל הפונקציות הממשיות אינן רציפות. ראשית נמצא את | C | {\displaystyle |C|} . הערכים שפונקציה רציפה מקבלת בכל נקודה בישר הממשי נקבעים על ידי הערכים שהיא מקבלת בנקודות הרציונליות. זאת משום שהמספרים הרציונליים צפופים בישר, ולכן ניתן לקבל את הערך בכל נקודה אי-רציונלית כגבול של סדרת הערכים בנקודות רציונליות המתקרבת לנקודה (פורמלית: לכל a {\displaystyle a} ממשי, בהינתן סדרת רציונליים x n → a {\displaystyle x_{n}\to a} , מתקיים f ( a ) = lim n → ∞ f ( x n ) {\displaystyle f(a)=\lim _{n\to \infty }f(x_{n})} ). מכאן שיש פונקציה חד-חד-ערכית מ- C {\displaystyle C} לקבוצת הפונקציות מהרציונליים לממשיים R Q {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }} , ולכן | C | ≤ | R Q | {\displaystyle |C|\leq |\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }|} . קבוצת הרציונליים שקולה לקבוצת הטבעיים, ולכן בעזרת כללי אריתמטיקה של עוצמות (ומהזהות ℵ 0 ⋅ ℵ 0 = ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}} הנובעת מפונקציית הזיווג של קנטור) נקבל: | C | ≤ | R Q | = ℵ ℵ 0 = ( 2 ℵ 0 ) ℵ 0 = 2 ℵ 0 ⋅ ℵ 0 = 2 ℵ 0 = ℵ {\displaystyle |C|\leq |\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }|=\aleph ^{\aleph _{0}}=\left(2^{\aleph _{0}}\right)^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}=\aleph } מצד שני, לכל מספר ממשי a {\displaystyle a} ניתן להתאים את הפונקציה הקבועה f ( x ) = a {\displaystyle f(x)=a} שהיא רציפה. מכאן ש- | C | ≥ | R | = ℵ {\displaystyle |C|\geq |\mathbb {R} |=\aleph } . ממשפט קנטור-שרדר-ברנשטיין נקבל | C | = ℵ {\displaystyle |C|=\aleph } . נעבור ל- R R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} . קבוצה זו כוללת בין השאר כל פונקציה מציינת של R {\displaystyle \mathbb {R} } . קבענו כבר כי עוצמת קבוצת הפונקציות המציינות של R {\displaystyle \mathbb {R} } היא 2 | R | = 2 ℵ {\displaystyle 2^{|\mathbb {R} |}=2^{\aleph }} . לכן | R R | ≥ 2 ℵ {\displaystyle |\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|\geq 2^{\aleph }} (למעשה מתקיים | R R | = 2 ℵ {\displaystyle |\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|=2^{\aleph }} ,,). לפי משפט קנטור ℵ < 2 ℵ {\displaystyle \aleph <2^{\aleph }} , ולכן | C | < | R R | {\displaystyle |C|<|\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|} . תוצאה זו תקפה, באותה מידה ומאותם שיקולים, לקבוצת הפונקציות שיש להן לכל היותר מספר בן מנייה של נקודות אי רציפות. שיקולי עוצמות הם גסים מידי מכדי להראות שרוב הפונקציות אינן רציפות באף נקודה. לשם כך דרושים כלים עדינים יותר מתחום הטופולוגיה. ממשפט קנטור מגיעה המוטיבציה להגדרת סדרה של עוצמות הקרויה מספרי ב'. איברי הסדרה הם:   ℶ 0 = ℵ 0 ,   ℶ 1 = 2 ℵ 0 = ℵ ,   ℶ 2 = 2 2 ℵ 0   ℶ 3 = 2 2 2 ℵ 0   … {\displaystyle \ \beth _{0}=\aleph _{0},\ \beth _{1}=2^{\aleph _{0}}=\aleph ,\ \beth _{2}=2^{2^{\aleph _{0}}}\ \beth _{3}=2^{2^{2^{\aleph _{0}}}}\ \ldots } כלומר זוהי סדרת העוצמות: | N | ,   | P ( N ) | ,   | P ( P ( N ) ) | ,   | P ( P ( P ( N ) ) ) | ,   … {\displaystyle |\mathbb {N} |,\ |P(\mathbb {N} )|,\ |P(P(\mathbb {N} ))|,\ |P(P(P(\mathbb {N} )))|,\ \ldots } משפט קנטור מבטיח כי כל העוצמות הללו שונות. בהגדרה רקורסיבית, מספרי ב' מוגדרים: ℶ 0 = ℵ 0   ;   ℶ α + 1 = 2 ℶ α {\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}\ ;\ \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}} מספרי ב' מוגדרים גם לאינדקסים סודרים, ולא רק טבעיים. לשם כך יש להוסיף להגדרה הרקורסיבית את המקרה של סודר גבולי: ℶ λ = sup { ℶ α ∣ α < λ } {\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup\{\beth _{\alpha }\mid \alpha <\lambda \}} למשל ℶ ω {\displaystyle \beth _{\omega }} הוא העוצמה הקטנה ביותר שגדולה מכל העוצמות ℶ n {\displaystyle \beth _{n}} לכל n {\displaystyle n} טבעי. בנוסף קנטור הגדיר את הסדרה (המוכללת) ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} כסדרת כל העוצמות ( ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} הוא העוצמה ה- α {\displaystyle \alpha } בגודלה). קנטור שיער ש- ℶ 1 = ℵ 1 {\displaystyle \beth _{1}=\aleph _{1}} (כלומר שאין עוצמה בין עוצמת הטבעיים לעוצמת הממשיים). ובאופן כללי יותר ש- ℶ α = ℵ α {\displaystyle \beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }} . השערות אלו ידועות כהשערת הרצף והשערת הרצף המוכללת בהתאמה. חרף מאמציו הרבים, קנטור מעולם לא הצליח להוכיח או להפריך את ההשערה עד יום מותו. התקדמות ראשונה בנושא הושגה על ידי קורט גדל שהוכיח בשנת 1937 כי השערת הרצף אינה סותרת את האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות. גורלה של ההשערה הוכרע סופית בשנת 1963 כאשר פול כהן הוכיח כי גם שלילתה של השערת הרצף אינה סותרת את האקסיומות של תורת הקבוצות. מכאן שהשערת הרצף היא טענה עצמאית (והיא הדוגמה המפורסמת ביותר לטענה שכזו), שאין אפשרות להוכיחה או להפריכה. הוכחת משפט קנטור יחד עם טיעון האלכסון של קנטור שהוצג לצדה הולידו שיטה כללית להוכחת טענות המשמשת בתחומים רבים במתמטיקה. השיטה נקראת אלכסון, והיא משמשת בעיקר במדעי המחשב ובלוגיקה מתמטית. הרעיון הכללי בשיטת האלכסון הוא לבנות אובייקט מתמטי קביל המתייחס לעצמו באופן עקיף. אופי ההתייחסות תלוי בטענה שאותה רוצים להוכיח. הוכחה כללית בשיטה זו בנויה כך: בהינתן אוסף של איברים Λ {\displaystyle \Lambda } ואוסף של אובייקטים מהצורה ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} , לכל α ∈ Λ {\displaystyle \alpha \in \Lambda } . נניח שכל אובייקט ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} פועל בצורה כלשהי על איברי Λ {\displaystyle \Lambda } . נסמן את הפעולה של ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} על β ∈ Λ {\displaystyle \beta \in \Lambda } כ- ϕ α ( β ) {\displaystyle \phi _{\alpha }(\beta )} (ניתן לחשוב על ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} כפונקציה של איברי Λ {\displaystyle \Lambda } ). מגדירים אובייקט ϕ D {\displaystyle \phi _{D}} שנקרא ה"אלכסון", כך שתוצאת הפעולה ϕ D ( β ) {\displaystyle \phi _{D}(\beta )} נקבעת על פי תוצאת הפעולה ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} . אם קיים γ ∈ Λ {\displaystyle \gamma \in \Lambda } כך ש- ϕ γ = ϕ D {\displaystyle \phi _{\gamma }=\phi _{D}} , אז הכרח שהוא מתייחס לעצמו, שכן לפי ההגדרה, ϕ D ( γ ) {\displaystyle \phi _{D}(\gamma )} נקבע על פי ϕ γ ( γ ) {\displaystyle \phi _{\gamma }(\gamma )} , כלומר על פי עצמו. השם "אלכסון" מקורו בהמחשה הוויזואלית של שיטת ההוכחה, כפי שהיא מודגמת בטיעון האלכסון של קנטור. הרעיון הוא לדמיין טבלה (אינסופית לרוב) שכל שורה בה מייצגת איבר α {\displaystyle \alpha } וכל עמודה בה מייצגת אובייקט ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} (באותו הסדר). בהצטלבות בין השורה של β {\displaystyle \beta } לעמודה של ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} מופיע ϕ α ( β ) {\displaystyle \phi _{\alpha }(\beta )} . אובייקט ה"אלכסון" ϕ D {\displaystyle \phi _{D}} נבנה על סמך התאים בטבלה שהם מהצורה ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} , שמסודרים בקו אלכסוני לאורך ורוחב הטבלה. להלן דוגמאות חשובות להוכחה בשיטת האלכסון: הוכחת משפט קנטור היא מקרה כללי של הוכחה בשיטת האלכסון. נדגים זאת עם נוסח ההוכחה לפונקציות מציינות, שנוח יותר לשימוש במקרה הזה. האוסף Λ {\displaystyle \Lambda } הוא הקבוצה A {\displaystyle A} . מניחים בשלילה כי לכל פונקציה מציינת של A {\displaystyle A} ניתן להתאים איבר של A {\displaystyle A} . האובייקט ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} הוא הפונקציה המציינת שהותאמה לאיבר α ∈ A {\displaystyle \alpha \in A} . הפעולה ϕ α ( β ) {\displaystyle \phi _{\alpha }(\beta )} היא פשוט הפעולה הרגילה של הפונקציה ϕ α {\displaystyle \phi _{\alpha }} על האיבר β {\displaystyle \beta } . אובייקט האלכסון ϕ D {\displaystyle \phi _{D}} הוא פונקציה מציינת כך ש- ϕ D ( β ) {\displaystyle \phi _{D}(\beta )} מוגדר כהיפך מ- ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} (0 אם הוא 1, ו-1 אם הוא 0). לפי ההנחה קיים γ ∈ A {\displaystyle \gamma \in A} כך ש- ϕ γ = ϕ D {\displaystyle \phi _{\gamma }=\phi _{D}} , ולכן ϕ γ ( γ ) ≠ ϕ D ( γ ) = ϕ γ ( γ ) {\displaystyle \phi _{\gamma }(\gamma )\neq \phi _{D}(\gamma )=\phi _{\gamma }(\gamma )} . זוהי סתירה, ולכן ההנחה שגויה ומשפט קנטור נכון. כאמור, אלן טיורינג הוכיח בלכסון כי בעיית העצירה אינה ניתנת להכרעה. כלומר לא קיימת תוכנית מחשב שבהינתן כל תוכנית מחשב וקלט אפשרי, תכריע האם התוכנית הנתונה תסיים את פועלה על הקלט הנתון, או שתכנס ללולאה אינסופית. במקרה הזה Λ {\displaystyle \Lambda } היא קבוצת כל תוכניות המחשב (בשפה כלשהי). נניח שקיימת תוכנית ϕ {\displaystyle \phi } שבהינתן תוכנית α {\displaystyle \alpha } וקלט β {\displaystyle \beta } מכריעה האם α {\displaystyle \alpha } עוצרת על β {\displaystyle \beta } . הביטוי ϕ α ( β ) {\displaystyle \phi _{\alpha }(\beta )} יהיה "כן" אם α {\displaystyle \alpha } עוצרת על β {\displaystyle \beta } , ו"לא" אם α {\displaystyle \alpha } נכנסת ללולאה אינסופית בהינתן β {\displaystyle \beta } . נגדיר תוכנית D {\displaystyle D} שבהינתן קלט β {\displaystyle \beta } , מריצה את ϕ {\displaystyle \phi } כדי לגלות מהו ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} (תוכנית יכולה לקבל כקלט את עצמה, שכן כל תוכנית היא בסך הכל רצף של סימנים בשפה) - אם ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} הוא "לא" אז D {\displaystyle D} משיבה "כן", ואם ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} הוא "לא", אז D {\displaystyle D} לא עוצרת. מכאן ש- ϕ D ( β ) {\displaystyle \phi _{D}(\beta )} הוא "כן" אם ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} הוא "לא", והוא "לא" אם ϕ β ( β ) {\displaystyle \phi _{\beta }(\beta )} הוא "כן". כמסקנה נקבל ש- ϕ D ( D ) {\displaystyle \phi _{D}(D)} הוא ההפך מעצמו. סתירה זו מראה כי ההנחה שלנו כי קיימת תוכנית ϕ {\displaystyle \phi } שמסוגלת להכריע את בעיית העצירה היא שגויה. משפט האי-שלמות הראשון, שהוכח על ידי קורט גדל בשנת 1931, הוא משפט מרכזי בלוגיקה מתמטית. המשפט קובע שבכל תורה העונה לתנאים מסוימים, קיימות טענות עצמאיות שלא ניתנות להוכחה או להפרכה. השלב העיקרי בהוכחת גדל מתבצע בלכסון. במסגרת ההוכחה מתעניינים בכל התכונות שניתן לנסח בתורה הנוגעות למספרים טבעיים. את התכונה שמספרה הוא n {\displaystyle n} (מספור גדל מראה כיצד להצמיד לכל תכונה מספר משלה) נסמן ϕ n {\displaystyle \phi _{n}} . הביטוי ϕ n ( k ) {\displaystyle \phi _{n}(k)} הוא הטענה שהמספר k {\displaystyle k} מקיים את התכונה ϕ {\displaystyle \phi } (הטענה עשויה להיות נכונה או שגויה). גדל הראה כיצד ניתן לבנות בשפה תכונה ϕ m {\displaystyle \phi _{m}} (זוהי ϕ D {\displaystyle \phi _{D}} ) שמתקיימת רק לאותם מספרים טבעיים שלגביהם לא קיימת הוכחה לטענה ϕ n ( n ) {\displaystyle \phi _{n}(n)} . כלומר הטענה ϕ m ( n ) {\displaystyle \phi _{m}(n)} נכונה אם ורק אם אין הוכחה לטענה ϕ n ( n ) {\displaystyle \phi _{n}(n)} . כעת נפרש את המשמעות של הטענה ϕ m ( m ) {\displaystyle \phi _{m}(m)} . לפי הבניה, זוהי טענה שנכונה אם ורק אם אין הוכחה ל- ϕ m ( m ) {\displaystyle \phi _{m}(m)} . כלומר זוהי טענה שאומרת "אני נכונה אם ורק אם אי אפשר להוכיח אותי". הפרדוקסים שנתגלו בגישתו של קנטור לתורת הקבוצות – גישה שלימים נקראה תורת הקבוצות הנאיבית – הביאו לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. התורה האקסיומטית מסתמכת על מערכת של אקסיומות בסיסיות ומוגדרות היטב, כדי למנוע את הופעתם של פרדוקסים. המערכת המקובלת היא מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל (ZF). במערכת זו משפט קנטור תקף לגבי כל קבוצה. אקסיומת קבוצת החזקה מבטיחה את קיומה של קבוצת החזקה ואקסיומת ההחלפה מבטיחה את קיומה של הקבוצה D {\displaystyle D} הנדרשת בהוכחה. אקסיומת האינסוף קובעת את קיומה של קבוצה אינסופית, ולכן המסקנה ממשפט קנטור כי יש אינסוף עוצמות אינסופיות שונות, אף היא תקפה. הפרדוקסים אינם מופיעים ב-ZF, כי במערכת זו אוסף כל הקבוצות ואוספים דומים לו אינם קבוצות. בגישות חלופיות לתורת הקבוצות משפט קנטור עשוי שלא להיות תקף. בתורות טיפוסים שונות להוכחת משפט קנטור אין משמעות, כי לא ניתן להשוות בין A {\displaystyle A} ל- P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} שלהן טיפוסים שונים. כדי להתגבר על כך מגדירים קבוצה P 1 ( A ) = { { a } ∣ a ∈ A } {\displaystyle {\mathcal {P}}_{1}(A)=\{\{a\}\mid a\in A\}} שיש לה טיפוס זהה ל- P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} , ולגביה אכן מתקיים | P 1 ( A ) | < | P ( A ) | {\displaystyle |{\mathcal {P}}_{1}(A)|<|{\mathcal {P}}(A)|} בהתאם למשפט קנטור. לאור העובדה שבתורת הטיפוסים קיימת קבוצת כל הקבוצות U {\displaystyle U} , נשאלת השאלה כיצד בתורה זו נמנעים הפרדוקסים של קנטור ושל ראסל. התשובה היא שבתורת הטיפוסים הפונקציה f : P ( U ) → U {\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(U)\to U} המוגדרת f ( A ) = A {\displaystyle f(A)=A} אינה קיימת. למעשה בתורה זו | P 1 ( U ) | < | P ( U ) | < | U | {\displaystyle |{\mathcal {P}}_{1}(U)|<|{\mathcal {P}}(U)|<|U|} . בתורת הטיפוסים, כאשר מתקיים | P 1 ( A ) | = | A | {\displaystyle |{\mathcal {P}}_{1}(A)|=|A|} , הקבוצה נקראת "קבוצה קנטורית" ולגביה מתקיים משפט קנטור במובנו הרגיל. אסכולת הקונסטרוקטיביזם בפילוסופיה של המתמטיקה לא מכירה בקיומם של אובייקטים שלא ניתן לבנות אותם במפורש ובאופן סופי. בפרט, חברי האסכולה אינם מכירים בקבוצות שאינן בנות מנייה ולכן משפט קנטור לא יכול להיות נכון. לשיטתם, הוכחת המשפט אינה תקפה משום שהיא נעשית בדרך השלילה, בעוד שהם אינם מכירים בכלל השלישי מן הנמנע. ב-1922 הציג תוראלף סקולם את פרדוקס סקולם שעוסק בסתירה לכאורה בין משפט קנטור לבין קיום מודל בן מנייה של תורת הקבוצות האקסיומטית, כפי שנובע ממשפט לוונהיים-סקולם. סקולם הציג גם פתרון לפרדוקס, המראה שסתירה אינה קיימת באמת. משפט קניג, שהוכח על ידי המתמטיקאי ההונגרי דיולה קניג (נודע גם כיוליוס קניג; 1849-1913) הוא הכללה מרחיקת לכת של משפט קנטור. המשפט קובע שלכל קבוצה A {\displaystyle A} , אם לכל i ∈ A {\displaystyle i\in A} נתונות זוג עוצמות κ i {\displaystyle \kappa _{i}} ו- μ i {\displaystyle \mu _{i}} , כך שמתקיים κ i < μ i {\displaystyle \kappa _{i}<\mu _{i}} , אז: ∑ i ∈ A κ i < ∏ i ∈ A μ i {\displaystyle \sum _{i\in A}\kappa _{i}<\prod _{i\in A}\mu _{i}} אגף שמאל הוא סכום העוצמות κ i {\displaystyle \kappa _{i}} , ואילו אגף ימין הוא מכפלת העוצמות μ i {\displaystyle \mu _{i}} . האי-שוויון טריוויאלי כאשר העוצמות והקבוצה סופיים, אבל כלל אינו ברור מאליו למקרים אינסופיים. אם למשל תוחלף המכפלה באגף ימין בסכום, עשוי להתקיים שוויון (מה שבוודאי לא נכון במקרה הסופי). משפט קנטור מתקבל כמקרה פרטי של משפט קניג. אם לכל i ∈ A {\displaystyle i\in A} בוחרים κ i = 1 {\displaystyle \kappa _{i}=1} ו- μ i = 2 {\displaystyle \mu _{i}=2} , אז ממשפט קניג נקבל: | A | = ∑ i ∈ A 1 < ∏ i ∈ A 2 = 2 | A | {\displaystyle |A|=\sum _{i\in A}1<\prod _{i\in A}2=2^{|A|}} משפט קניג מניח את אקסיומת הבחירה, ולמעשה שקול לה. מגדירים את הקופינליות של עוצמה κ {\displaystyle \kappa } בתור העוצמה הקטנה ביותר | I | {\displaystyle |I|} שמקיימת את התנאי הבא: לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} קיימת עוצמה λ i < κ {\displaystyle \lambda _{i}<\kappa } כך שמתקיים: κ = ∑ i ∈ I λ i {\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}\lambda _{i}} . מסמנים את הקופינליות של κ {\displaystyle \kappa } בסימון c f ( κ ) {\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )} . נשים לב שתמיד ניתן לבחור | I | = κ {\displaystyle |I|=\kappa } , ואז κ = ∑ i ∈ I 1 {\displaystyle \kappa =\sum _{i\in I}1} . לכן תמיד מתקיים c f ( κ ) ≤ κ {\displaystyle \mathrm {cf} (\kappa )\leq \kappa } . ממשפט קניג נובע מיד ש- κ < κ c f ( κ ) {\displaystyle \kappa <\kappa ^{\mathrm {cf} (\kappa )}} (בוחרים את A {\displaystyle A} ממשפט קניג להיות I {\displaystyle I} מהגדרת הקופינליות). מהזהות האחרונה נקבל שלכל קבוצה אינסופית A {\displaystyle A} מתקיים | A | < c f ( 2 | A | ) {\displaystyle |A|<\mathrm {cf} \left(2^{|A|}\right)} . ההוכחה נעשית בדרך השלילה: נניח בשלילה | A | ≥ c f ( 2 | A | ) {\displaystyle |A|\geq \mathrm {cf} \left(2^{|A|}\right)} . אז לפי הזהות האחרונה נקבל את הסתירה: 2 | A | < ( 2 | A | ) c f ( 2 | A | ) ≤ ( 2 | A | ) | A | = 2 | A | ⋅ | A | = 2 | A | {\displaystyle 2^{|A|}<\left(2^{|A|}\right)^{cf\left(2^{|A|}\right)}\leq \left(2^{|A|}\right)^{|A|}=2^{|A|\cdot |A|}=2^{|A|}} קיבלנו שלקבוצות אינסופיות מתקיים האי-שוויון החזק | A | < c f ( 2 | A | ) {\displaystyle |A|<\mathrm {cf} \left(2^{|A|}\right)} . זהו אי-שוויון חזק יותר מאשר משפט קנטור משום ש- c f ( 2 | A | ) ≤ 2 | A | {\displaystyle \mathrm {cf} \left(2^{|A|}\right)\leq 2^{|A|}} , וייתכנו מקרים בהם c f ( 2 | A | ) < 2 | A | {\displaystyle \mathrm {cf} \left(2^{|A|}\right)<2^{|A|}} . תוצאות אנלוגיות למשפט קנטור מראות אי קיום איזומורפיזם בין מבנים מסוימים לבין מבנים המורכבים מתת-מבנים שלהם (למשל קבוצות סדורות). משפט קנטור מתקבל לעיתים כמקרה פרטי של משפטים כאלה, כאשר נבחר מבנה טריוויאלי, כך שאוסף התת-מבנים הוא קבוצת החזקה וכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא איזומורפיזם. ראשיתה של תורת הקבוצות בתגליות של גאורג קנטור מראשית שנות השבעים של המאה ה-19, בעת שעסק במחקר בתחום האנליזה המתמטית. ב-1874 הוכיח קנטור לראשונה שישנה יותר מעוצמה אינסופית אחת בכך שהראה שאין פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת המספרים הממשיים לקבוצת המספרים הטבעיים. כיוון שחקר האינסוף לא נחשב עיסוק מתמטי באותם ימים, קנטור התייחס לתגליתו בעיקר כהוכחה לכך שמרבית המספרים הממשיים הם טרנסצנדנטיים (שכן המספרים האלגבריים הם בני מנייה). בשנים שלאחר מכן פרסם קנטור סדרת מאמרים שהרחיבה את התורה. ב-1891 פרסם קנטור מאמר בגרמנית בשם "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre" ("על שאלה אלמנטרית בתורת הקבוצות"). במאמר מופיע האלכסון של קנטור, ומיד לאחריו כתב קנטור: הוכחה זו מופלאה לא רק בשל פשטותה, אלא במיוחד משום שניתן להרחיב מיד את העקרון שבבסיסה למשפט כללי, שלחזקות של קבוצות מוגדרות היטב אין מקסימום, או, באופן שקול, שלצד כל קבוצה נתונה L, תמיד ניתן לשים קבוצה אחרת M שעוצמתה גדולה יותר מזו של L. בהמשך המאמר, פונה קנטור להוכחת המשפט. ההוכחה המקורית של קנטור זהה במהותה לנוסח המודרני של ההוכחה, אך היא נוסחה בצורה שונה במעט. במקור קנטור הראה שאין התאמה חד-חד-ערכית ועל בין A {\displaystyle A} לבין קבוצת הפונקציות המציינות של A {\displaystyle A} (כאמור, נוסח זה שקול לנוסח על קבוצת החזקה). קנטור טען שאילו הייתה התאמה כזו, הרי שהייתה קיימת פונקציה דו-מקומית ϕ ( a , x ) {\displaystyle \phi (a,x)} , כך שלכל פונקציה מציינת f ( x ) {\displaystyle f(x)} שהותאם לה האיבר a {\displaystyle a} מתקיים: ϕ ( a , x ) = f ( x ) {\displaystyle \phi (a,x)=f(x)} . כעת קנטור בונה פונקציה מציינת g ( x ) {\displaystyle g(x)} שמוגדרת כהיפך מ- ϕ ( x , x ) {\displaystyle \phi (x,x)} (ניתן להגדיר כך: g ( x ) = 1 − ϕ ( x , x ) {\displaystyle g(x)=1-\phi (x,x)} ). לפי ההנחה קיים d ∈ A {\displaystyle d\in A} כך ש- ϕ ( d , x ) = g ( x ) {\displaystyle \phi (d,x)=g(x)} , ולכן מקבלים סתירה: ϕ ( d , d ) = g ( d ) ≠ ϕ ( d , d ) {\displaystyle \phi (d,d)=g(d)\neq \phi (d,d)} .‏ לנוסח המודרני של ההוכחה אחראי ארנסט צרמלו. משפט קנטור והוכחתו מופיעים במאמר של צרמלו משנת 1908 שבו ייסד את תורת הקבוצות האקסיומטית. צרמלו הוא גם זה שקרא למשפט על שמו של קנטור. תורת הקבוצות - מונחים הפרדוקס של קנטור Nikolai Konstantinovich Vereshchagin, Alexander Shen, Basic set theory, p. 24-30, American Mathematical Soc., 2002, ISBN 0-8218-2731-6 Robert Lawson Vaught, Set theory: an introduction, p. 53-54, Springer, 2001, ISBN 0-8176-4256-0 מדיה וקבצים בנושא משפט קנטור בוויקישיתוף גדי אלכסנדרוביץ', הפרדוקס של ראסל ומשפט קנטור, באתר "לא מדויק", 20 בנובמבר 2010 Arindama Singh, Cantor's Little Theorem משפט קנטור, באתר MathWorld (באנגלית) משפט קנטור, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ההגדרה המעורפלת של קבוצה בערך זה שייכת לתורת הקבוצות הנאיבית. הגדרה זו בעייתית (כמוסבר בהמשך הערך), והיא הוחלפה בהגדרה מדויקת במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית. בכל זאת, בערך זה נשתמש בגישה הנאיבית משום שהיא פשוטה יותר להבנה. כל התוצאות בערך זה נכונות גם בתורת הקבוצות האקסיומטית, למעט דקויות שידונו במהלך הערך. שקילות היא תכונה רפלקסיבית, סימטרית, וטרנזיטיבית, אבל מסיבות פורמליות שלא נכנס אליהן כאן, היא אינה יחס שקילות (או יחס בכלל). כמקודם, תכונה זו מקיימת את האקסיומות המגדירות יחס סדר, אבל פורמלית היא אינה יחס. אחת ההגדרות למושג "קבוצה אינסופית" היא שזו קבוצה שהוספה של איבר אחד אינה משנה את העוצמה שלה; ראו אינסופיות לפי דדקינד. כבר בשלב הזה מתקבלת סתירה במקרה שבו A {\displaystyle A} היא הקבוצה הריקה, שכן לא ייתכן שהאיבר d {\displaystyle d} קיים. ואכן קבוצת החזקה של הקבוצה הריקה כוללת איבר אחד (הקבוצה הריקה עצמה), בעוד הקבוצה הריקה לא כוללת איברים כלל. על שם גראוצ'ו מרקס, שאמר "אינני מוכן להיות חבר במועדון המוכן לקבל אנשים כמוני". המספר 0 נחשב למספר טבעי במסגרת ערך זה. ישנו קושי אחד המעיב על ההתאמה הזו: אמנם כל סדרת ספרות בינאריות מייצגת תת-קבוצה אחת ויחידה של N {\displaystyle \mathbb {N} } , אולם בממשיים המצב מעט שונה. לכל מספר ממשי שיש לו פיתוח סופי בבסיס בינארי, ישנם שני ייצוגים שונים כסדרות של ספרות. אחד הנגמר באינסוף אפסים, ואחר הנגמר באינסוף אחדות (ראו 0.999... להסבר התופעה). קושי זה אינו מהווה מכשול אמיתי שכן הופעות כפולות הן זניחות בהתאמות אינסופיות (אם | A | {\displaystyle |A|} עוצמה אינסופית, אז 2 | A | = | A | {\displaystyle 2|A|=|A|} ). קיומו של הקידוד נובע למעשה מהעובדה שקבוצת המילים האפשריות בשפה כלשהי היא קבוצה בת-מנייה. ניתן להראות זאת בעזרת אריתמטיקה של עוצמות בצורה דומה למקרה | R Q | = 2 ℵ 0 {\displaystyle |\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} }|=2^{\aleph _{0}}} . דרך אחרת היא להבחין כי הגרף הקרטזי של כל פונקציה f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } הוא תת-קבוצה של המישור האוקלידי R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , ולכן | R R | ≤ | P ( R 2 ) | = 2 ℵ {\displaystyle |\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }|\leq |{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{2})|=2^{\aleph }} . לרוב מוסיפים למערכת גם את אקסיומת הבחירה, אך זו אינה רלוונטית לדיוננו. M. Randall Holmes, Elementary Set Theory with a Universal Set A generalized Cantor theorem Complete Lattices and the Generalized Cantor Theorem מילולית, המילה "Mannigfaltigkeitslehre" שבה משתמש קנטור במובן של "תורת הקבוצות" משמעה "תורת היריעות". השימוש של קנטור במונח מעיד ככל הנראה על ההשראה ששאב מעבודתו של ברנהרד רימן. קנטור מתחיל להשתמש במונח "Mengenlehre" שמשמעו "קבוצה" רק ב-1895. להרחבה ראו Labyrinth of thought: a history of set theory and its role in modern mathematics, עמודים 39 ו-72, ISBN 3-7643-8349-6. Georg Cantor, "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre"‏, Jahresbericht der Deutschen Math. Vereinigung I, 278-281, 1891 הקטע הרלוונטי מתוך המאמר E. Zermelo "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I",‏ Mathematische Annalen 65 (2), 276,‏ 1908 הקטע הרלוונטי מתוך המאמר