הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ'

במתמטיקה, הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ' מתייחס לעובדה הלא אינטואיטיבית שקיימת תת-קבוצה (לא ריקה) של המישור, אותה ניתן לפצל לשתי תת-קבוצות זרות שכל אחת מהן חופפת לקבוצה המקורית. המילה "פרדוקס" משמשת כדי לציין את חוסר האינטואיטיביות של התוצאה, ואין בכך רמיזה שישנה בעיה לוגית כלשהי בנכונותה. התוצאה הוכחה ב-1914 על ידי ואצלב שרפינסקי ותלמידו סטפן מזורקביץ', שהדגימו בנייה מפורשת של הקבוצה. הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ הוא דוגמה מוקדמת יחסית לפירוק פרדוקסלי. הוא נחשב למפתיע פחות מהפרדוקס של בנך-טרסקי, אולם בניגוד לפרדוקס של בנך-טרסקי הוא אינו מסתמך על אקסיומת הבחירה, והבנייה של הקבוצה היא קונסטרוקטיבית לחלוטין. הפרדוקס קובע כי קיים אוסף A {\displaystyle A} של נקודות במישור שניתן לחלק אותו לשתי קבוצות זרות: A 1 {\displaystyle A_{1}} ו- A 2 {\displaystyle A_{2}} , כך שמתקיימת התכונה הבאה: הזזה של A 1 {\displaystyle A_{1}} יחידה אחת שמאלה נותנת את A {\displaystyle A} המקורית. סיבוב של A 2 {\displaystyle A_{2}} רדיאן אחד בכיוון השעון סביב הראשית נותן את A {\displaystyle A} המקורית. הקבוצה A {\displaystyle A} הנבנית בהוכחה היא קבוצה אינסופית בת מנייה לא חסומה. לצורך נוחות נעבוד עם המישור המרוכב. נבחר מספר מרוכב טרנסצנדנטי (מספר שאינו שורש של אף פולינום במקדמים שלמים) c = e i θ {\displaystyle c=e^{i\theta }} שנמצא על מעגל היחידה. קיומו של מספר כזה מובטח משיקולי ספירה: עוצמת מעגל היחידה היא עוצמת הרצף, בעוד יש רק מספר בן-מנייה של מספרים שאינם טרנסצנדנטיים. נגדיר את הקבוצות: A {\displaystyle A} היא קבוצת כל הפולינומים במקדמים טבעיים ב- c {\displaystyle c} (כאשר אנו מחשיבים גם את 0 כמספר טבעי) - A = { a n c n + … + a 1 c + a 0 ∣ a n … , a 0 ∈ N } {\displaystyle A=\{a_{n}c^{n}+\ldots +a_{1}c+a_{0}\mid a_{n}\ldots ,a_{0}\in \mathbb {N} \}} A 1 {\displaystyle A_{1}} היא קבוצת כל הפולינומים במקדמים טבעיים ב- c {\displaystyle c} עם מקדם חופשי חיובי - A 1 = { a n c n + … + a 1 c + a 0 ∣ a n … , a 0 ∈ N   , a 0 > 0 } {\displaystyle A_{1}=\{a_{n}c^{n}+\ldots +a_{1}c+a_{0}\mid a_{n}\ldots ,a_{0}\in \mathbb {N} \ ,a_{0}>0\}} A 2 {\displaystyle A_{2}} היא קבוצת כל הפולינומים במקדמים טבעיים ב- c {\displaystyle c} עם מקדם חופשי אפס - A 2 = { a n c n + … + a 1 c ∣ a n … , a 1 ∈ N } {\displaystyle A_{2}=\{a_{n}c^{n}+\ldots +a_{1}c\mid a_{n}\ldots ,a_{1}\in \mathbb {N} \}} ברור כי A = A 1 ∪ A 2 {\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}} . נוכיח כי זהו איחוד זר: נניח בשלילה שקיים איבר בחיתוך. כלומר קיימים פולינומים p 1 ( t ) , p 2 ( t ) ∈ N [ t ] {\displaystyle p_{1}(t),p_{2}(t)\in \mathbb {N} [t]} כך ש- p 1 ( c ) = p 2 ( c ) {\displaystyle p_{1}(c)=p_{2}(c)} , כאשר ל- p 1 {\displaystyle p_{1}} מקדם חופשי חיובי ול- p 2 {\displaystyle p_{2}} מקדם חופשי 0. מכאן ש- ( p 1 − p 2 ) ( c ) = 0 {\displaystyle (p_{1}-p_{2})(c)=0} , אולם c {\displaystyle c} מספר טרנסצנדנטי, ולכן p 1 − p 2 {\displaystyle p_{1}-p_{2}} פולינום האפס, בסתירה לכך ש- p 1 ≠ p 2 {\displaystyle p_{1}\neq p_{2}} (מקדמים חופשיים שונים). כעת נבחין בחפיפות הבאות: הזזה של A {\displaystyle A} ב-1 נותנת את A 1 {\displaystyle A_{1}} : A + 1 = { a n c n + … + a 1 c + a 0 + 1 ∣ a n … , a 0 ∈ N } = A 1 {\displaystyle A+1=\{a_{n}c^{n}+\ldots +a_{1}c+a_{0}+1\mid a_{n}\ldots ,a_{0}\in \mathbb {N} \}=A_{1}} סיבוב של A {\displaystyle A} בזווית θ {\displaystyle \theta } נותן את A 2 {\displaystyle A_{2}} (נזכור שבמישור המרוכב סיבוב בזווית θ {\displaystyle \theta } שקול לכפל ב- c {\displaystyle c} ): c A = { a n c n + 1 + … + a 1 c 2 + a 0 c ∣ a n … , a 0 ∈ N } = A 2 {\displaystyle cA=\{a_{n}c^{n+1}+\ldots +a_{1}c^{2}+a_{0}c\mid a_{n}\ldots ,a_{0}\in \mathbb {N} \}=A_{2}} דרך נוספת להסתכל על A {\displaystyle A} היא כקבוצה הקטנה ביותר שמכילה את הראשית וסגורה לפעולת ההזזה ב-1 והסיבוב ב- θ {\displaystyle \theta } סביב הראשית. אם נבחר את c = e i {\displaystyle c=e^{i}} נקבל בדיוק את הדוגמה שניתנה בתיאור הפרדוקס (זהו מספר טרנסצנדנטי לפי משפט לינדמן). שרפינסקי הוכיח שלא קיימת קבוצה דומה בישר. למעשה נכונה גם תוצאה חזקה יותר: לא קיימת קבוצה בישר שמתפרקת לשתי קבוצות חופפות לה בחלקים (שתי קבוצות חופפות בחלקים אם ניתן לפרק אותן למספר סופי של חלקים כך שכל חלק בפירוק של אחת חופף לחלק המקביל בפירוק של האחרת). לא קיימת קבוצה חסומה במישור שמקיימת את הפרדוקס. לעומת זאת קיימת קבוצה חסומה במישור שמתפרקת לשני חלקים שחופפים לה בחלקים. סטפן בנך הוכיח שקיימת הרחבה של מידת לבג לפונקציה μ {\displaystyle \mu } המוגדרת על כל הקבוצות במישור והיא אדיטיבית (סופית) ואינווריאנטית לאיזומטריות. מכך נובע שכל קבוצה מדידה שמקיימת את הפרדוקס של שרפינסקי-מזורקביץ' היא בהכרח ממידה אפס או אינסוף (מכיוון ש- μ ( A ) = μ ( A 1 ) + μ ( A 2 ) = 2 μ ( A ) {\displaystyle \mu (A)=\mu (A_{1})+\mu (A_{2})=2\mu (A)} ). Miklós Laczkovich, Equidecomposability of sets, invariant measures, and paradoxes