מרחב נוצר קומפקטית

בטופולוגיה, מרחב נוצר קומפקטית (Compactly generated space) הוא מרחב טופולוגי שבו תת-המרחבים הקומפקטיים קובעים את הטופולוגיה, באופן הבא: קבוצה היא סגורה אם ורק אם החיתוך שלה עם כל קבוצה קומפקטית הוא סגור. בדרך כלל מניחים גם כי המרחב הוא האוסדורף. קטגוריית המרחבים האוסדורף הנוצרים קומפקטית מסומנת על ידי C G {\displaystyle CG} . זוהי קטגוריה דיי גדולה ודיי נוחה; בתורת ההומוטופיה לעיתים מניחים כי המרחבים הם מקטגוריה זו. כל מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה וכל מרחב קומפקטי מקומית (ובפרט מרחב קומפקטי וגם מרחבי CW) הם מרחבים נוצרים קומפקטית. לכן, הקטגוריה C G {\displaystyle CG} דיי רחבה, ומכילה אובייקטים מעניינים מתחומים שונים, כמו מטופולוגיה אלגברית ובפרט מתורת ההומוטופיה. יש סגירות לתתי מרחבים מסוימים - אם X ∈ C G {\displaystyle X\in CG} , אז גם כל תת-קבוצה סגורה וכל תת קבוצה פתוחה רגולרית (קבוצה בה לכל נקודה יש סביבה סגורה המוכלת בה). ראו בדוגמאות מקרה בו תת-מרחב כלשהו איננו נשאר בקטגוריה. כדי שפונקציה ממרחב נוצר קומפקטית (למרחב האוסדורף) תהיה רציפה, מספיק לדרוש שתהיה רציפה על כל תת-קבוצה קומפקטית. כמו במרחבים רגילים, נרצה להציג פעולות בין מרחבים בקטגוריה זו. לכל מרחב האוסדורף X {\displaystyle X} , נסמן ב- K ( X ) {\displaystyle K(X)} את המרחב מעל אותה קבוצה, אך בו קבוצה היא סגורה אם ורק אם היא חותכת כל קבוצה קומפקטית בתוך קבוצה סגורה כלשהי. זהו פונקטור בין המרחבים האוסדורף למרחבים C G {\displaystyle CG} ; הוא מהווה פונקטור ימני צמוד(אנ') לפונקטור ההכלה C G → H {\displaystyle CG\to H} ( H {\displaystyle H} - מרחבי האוסודורף). זהו מרחב נוצר קומפקטית המכיל את המרחב הקודם, או במילים אחרות - פונקציית הזהות i d : K ( X ) → X {\displaystyle id:K(X)\to X} רציפה, ואם מלכתחילה X ∈ C G {\displaystyle X\in CG} אז X ≅ K ( X ) {\displaystyle X\cong K(X)} . בעזרת פונקטור זה, מגדירים את המכפלה ומרחב הפונקציות בקטגוריה. עבור המכפלה, נגדיר X × Y := K ( X × Y ) {\displaystyle X\times Y:=K(X\times Y)} , כאשר × c {\displaystyle \times _{c}} היא המכפלה הקרטזית הרגילה עם טופולוגיית המכפלה. המכפלה מקיימת את אותה התכונה האוניברסלית המקיימת המכפלה הרגילה (בקטגוריה הזו). המכפלה לא תמיד מתלכדת עם המכפלה הקטרזית, אך במקרה בו X {\displaystyle X} מרחב קומפקטי מקומית ו- Y ∈ C G {\displaystyle Y\in CG} אז X × Y ≅ X × c Y {\displaystyle X\times Y\cong X\times _{c}Y} . נסמן ב- C ( X , Y ) {\displaystyle C(X,Y)} את מרחב הפונקציות הרציפות X → Y {\displaystyle X\to Y} , ונביט בו עם הטופולוגיה הקומפקטית-פתוחה. את מרחב הפונקציות הרציפות בקטגוריה נגדיר בתור Y X := K ( C ( X , Y ) ) {\displaystyle Y^{X}:=K(C(X,Y))} . פונקציית ההרכבה Z Y × Y X → Z X {\displaystyle Z^{Y}\times Y^{X}\to Z^{X}} היא רציפה, ובפרט כאשר X {\displaystyle X} יחידון אז פונקציית ההצבה Z Y × Y → Z {\displaystyle Z^{Y}\times Y\to Z} רציפה. המרחב ( R , τ c o c ) {\displaystyle (\mathbb {R} ,\tau _{coc})} , כלומר הממשיים עם הטופולוגיה הקו-מנייתית, איננו נוצר קומפקטית, אך גם לא האוסדורף. R R {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} (עם טופולוגיית המכפלה) הוא האוסדורף אך איננו נוצר קומפקטית. לא כל תת-מרחב של מרחב נוצר קומפקטית נשאר כזה - למשל, [ 0 , 1 ] R {\displaystyle [0,1]^{\mathbb {R} }} הוא קומפקטי לפי משפט טיכונוף (והאוסדורף) ולכן נוצר קומפקטית; תת-המרחב המכיל איברים ( r i ) i ∈ R {\displaystyle (r_{i})_{i\in \mathbb {R} }} כך ש- r i ∉ { 0 , 1 } {\displaystyle r_{i}\not \in \{0,1\}} איננו נוצר קומפקטית (אך כן האוסדורף). Brayton Gray, Homotopy theory, New York-London, 1975, An introduction to algebraic topology, p. 50-61