היפרבולה

במתמטיקה, הִיפֶּרְבּוֹלָה היא צורה גאומטרית המהווה חתך חרוט, המורכבת משתי עקומות נפרדות הקרויות זרועות ההיפרבולה. ההיפרבולה ניתנת להגדרה כמקום הגאומטרי של הנקודות שמקיימות שהערך המוחלט של ההפרש בין המרחקים שבין כל אחת מהן לשתי נקודות קבועות (נקודות המוקד) הוא קבוע. ההיפרבולה ניתנת לייצוג על פני מישור קרטזי כעקום, באמצעות המשוואה האלגברית הבאה: A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle \,Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0} כאשר B 2 > 4 A C {\displaystyle \,B^{2}>4AC} . ניתן להגדיר היפרבולה גם כמקום הגאומטרי של הנקודות שהיחס בין מרחקן מנקודה קבועה – אחד ממוקדי ההיפרבולה – למרחקן מישר נתון – אחד משני מדריכי (directrix) ההיפרבולה – הוא קבוע גדול מ-1, הנקרא אקסצנטריות ההיפרבולה. אמצע הקטע שבין שני המוקדים נקרא מרכז ההיפרבולה. להיפרבולה שתי אסימפטוטות שנחתכות במרכזה. תהליך למציאת מרכז היפרבולה מתואר באנימציה. היפרבולה שציריה מאונכים זה לזה נקראת היפרבולה שוות שוקיים (או ישרה). היפרבולה שמרכזה בראשית הצירים נקראת היפרבולה קנונית. מרכז ההיפרבולה: ( h , k ) {\displaystyle (h,k)} ( x − h ) 2 a 2 − ( y − k ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2}}}=1} ( y − k ) 2 a 2 − ( x − h ) 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {(y-k)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(x-h)^{2}}{b^{2}}}=1} בשתי משוואות אלה, a {\displaystyle a} הוא הציר הראשי ו- b {\displaystyle b} הוא הציר המשני, אולם ייתכן ש- b {\displaystyle b} יהיה גדול מ- a {\displaystyle a} . במקרה הפרטי של היפרבולה קנונית (כלומר, שהמרכז נמצא בראשית הצירים – ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} ), מתקבלת הנוסחה: x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ניתן להבחין בדמיון הרב בין נוסחה זו לנוסחתה של אליפסה קנונית ( x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} ). האקסצנטריות נקבעת על פי המשוואה: e = 1 + b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} . מוקדי ההיפרבולה הקנונית נמצאים בנקודות ( a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} ו־ ( − a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle (-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} . ניתן לכתוב את המוקדים גם כפונקציה של האקסצנטריות, e {\displaystyle e} :‏ ( a e , 0 ) {\displaystyle (ae,0)} ו־ ( − a e , 0 ) {\displaystyle (-ae,0)} . היפרבולה בה צירי הקואורדינטות זהים לצירי ההיפרבולה: ( x − h ) ( y − k ) = c {\displaystyle (x-h)(y-k)=c\,} משוואות האסימפטוטות הן: y = b a x {\displaystyle y={\frac {b}{a}}x} y = − b a x {\displaystyle y=-{\frac {b}{a}}x} r 2 =     a sec ⁡ 2 t {\displaystyle r^{2}=\ \ \,a\,\sec 2t} r 2 = − a sec ⁡ 2 t {\displaystyle r^{2}=-a\,\sec 2t} r 2 =     a csc ⁡ 2 t {\displaystyle r^{2}=\ \ \,a\,\csc 2t} r 2 = − a csc ⁡ 2 t {\displaystyle r^{2}=-a\,\csc 2t} x = a cosh ⁡ θ ; y = b sinh ⁡ θ {\displaystyle x=a\,\cosh \theta ;\;y=b\,\sinh \theta } x = a tan ⁡ θ ;     y = b sec ⁡ θ {\displaystyle x=a\,\tan \theta ;\ \ y=b\,\sec \theta } האינטגרל של ההיפרבולה "הפשוטה" מהצורה: y 2 − x 2 = 1 {\displaystyle y^{2}-x^{2}=1} הוא: ∫ 1 + x 2 d x = 1 2 ln ⁡ ( x + 1 + x 2 ) + x 1 + x 2 2 = sinh − 1 ⁡ ( x ) + x 1 + x 2 2 {\displaystyle \int {\sqrt {1+x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\ln \left(x+{\sqrt {1+x^{2}}}\right)+{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{2}}=\sinh ^{-1}(x)+{\frac {x{\sqrt {1+x^{2}}}}{2}}} . ניתן להגיע לתוצאה זאת באמצעות טכניקה אלגנטית של שינוי מערכת קואורדינטות מ- ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} למערכת קואורדינטות ( x ∗ , y ∗ ) {\displaystyle (x^{*},y^{*})} המסובבת בזווית 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} ביחס למערכת הצירים ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ומקיימת y ∗ = C x ∗ {\displaystyle y^{*}={\frac {C}{x^{*}}}} . טרנספורמציית קואורדינטות זאת מתאפשרת אודות לעובדה שהפונקציה y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} היא למעשה היפרבולה, מה שמסביר את הופעת הלוגריתם בתוצאת האינטגרציה של השטח תחת ההיפרבולה (האינטגרל של y = 1 x {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} הוא ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} ). האיבר הנוסף בתוצאה נובע מכך שהשטח תחת ההיפרבולה מורכב גם ממשולש ישר-זווית "שאריתי" שניצביו x {\displaystyle x} ו- 1 + x 2 {\displaystyle {\sqrt {1+x^{2}}}} . זווית היפרבולית פונקציה היפרבולית מסלול היפרבולי מבנה היפרבולי מדיה וקבצים בנושא היפרבולה בוויקישיתוף היפרבולה, באתר mathworld היפרבולה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) היפרבולה, באתר MathWorld (באנגלית) היפרבולה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)