פונקציה רציפה במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, פונקציה ממשית המוגדרת בקטע או קרן I {\displaystyle I} היא רציפה במידה שווה שם, אם לכל 0 < ε {\displaystyle 0<\varepsilon } קיים 0 < δ {\displaystyle 0<\delta } כך שאם x 1 , x 2 ∈ I {\displaystyle x_{1},x_{2}\in I} מקיימים | x 1 − x 2 | < δ {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta } , אז | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | < ε {\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon } . כל פונקציה רציפה במידה שווה היא רציפה בכל נקודה בקטע, אבל ההפך אינו נכון. עם זאת, פונקציה רציפה בקטע סגור (וחסום) היא רציפה במידה שווה לפי משפט קנטור. ההגדרה של רציפות במידה שווה דומה במידה מטעה לזו של רציפות. ההבדל המהותי בין השתיים הוא שרציפות היא תכונה נקודתית (בכל נקודה, הפונקציה רציפה או שאינה רציפה, ואם היא רציפה בכל נקודה, אז היא רציפה בכל הקטע), בעוד שלרציפות במידה שווה אין משמעות בנקודה אחת - זוהי תכונה של הפונקציה בכל הקטע. נזכיר שפונקציה היא רציפה בכל נקודה של קטע I {\displaystyle I} , אם: לכל x 1 ∈ I {\displaystyle x_{1}\in I} ולכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שאם x 2 ∈ I {\displaystyle x_{2}\in I} ומתקיים | x 1 − x 2 | < δ {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta } , אז | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | < ε {\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon } . בהגדרה הזו, בהינתן ε {\displaystyle \varepsilon } , הערך המתאים של δ {\displaystyle \delta } עשוי להיות תלוי בנקודה x 1 {\displaystyle x_{1}} . לעומת זאת, אם על הפונקציה להיות רציפה במידה שווה, ל- δ {\displaystyle \delta } מותר להיות תלוי ב- ε {\displaystyle \varepsilon } אבל לא ב- x 1 {\displaystyle x_{1}} . אפשר לנסח הבדל זה בסדר הכמתים גם כך: הפונקציה רציפה אם כדי להבטיח ש- f ( y ) {\displaystyle f(y)} יהיה קרוב ל- f ( x ) {\displaystyle f(x)} , די לדרוש ש- y {\displaystyle y} יהיה קרוב ל- x {\displaystyle x} , אבל מידת הקרבה עשויה להיות תלויה בנקודה x; והיא רציפה במידה שווה אם מידת הקרבה בין y {\displaystyle y} ל- x {\displaystyle x} הדרושה על-מנת להבטיח מרחק מסוים בין f ( y ) {\displaystyle f(y)} ל- f ( x ) {\displaystyle f(x)} היא אחידה על-פני כל הקטע, ואינה תלויה ב- x {\displaystyle x} . כמובן, כל פונקציה רציפה במידה שווה, מוכרחה להיות רציפה בכל נקודה של הקטע. משפט חשוב של קנטור קובע שבקטע סגור, גם ההפך נכון: אם פונקציה רציפה בכל נקודה של קטע סגור, אז היא רציפה שם במידה שווה. משום כך, רציפות במידה שווה היא תכונה מעניינת בעיקר בקטעים פתוחים ובקרניים אינסופיות כגון [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} . כאמור לעיל, על פי משפט קנטור, פונקציה רציפה בקטע סגור היא רציפה בו במידה שווה. בהינתן קטע פתוח סופי ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} שבו הפונקציה רציפה, תנאי מספיק והכרחי לכך שהפונקציה תהיה רציפה במידה שווה שם הוא שקיימים גבולות סופיים (חד-צדדיים) בנקודות הקצה של הקטע (משום שאז אפשר להשלים את הגדרת הפונקציה באופן רציף אל הקטע הסגור). פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה. בפרט, פונקציה גזירה שהנגזרת שלה חסומה, היא רציפה במידה שווה. ההפך אינו נכון: הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} רציפה במידה שווה בקטע ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} , אבל היא אינה מקיימת שם את תנאי ליפשיץ (והנגזרת שלה אינה חסומה בקטע). הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f\left(x\right)=x} רציפה במידה שווה בכל הישר הממשי, משום שהיא מקיימת את תנאי ליפשיץ. נוכיח זאת לפי ההגדרה. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . נבחר δ = ε {\displaystyle \delta =\varepsilon } , נקבל כי לכל x 1 , x 2 ∈ R {\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} } אם | x 1 − x 2 | < δ {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta } , אז | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | = | x 1 − x 2 | < δ = ε {\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|=\left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta =\varepsilon } כלומר | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | < ε {\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right|<\varepsilon } כרצוי. נעיין בפונקציה f ( x ) = x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}} בקטע מהצורה [ 0 , b ] {\displaystyle [0,b]} . מאחר שהקטע [ 0 , b ] {\displaystyle [0,b]} סגור, ניתן להסיק את הרציפות במידה שווה ישירות ממשפט קנטור. נראה שפונקציה זו רציפה במידה שווה על-פי ההגדרה. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , ויהיו x 1 , x 2 ∈ [ 0 , b ] {\displaystyle x_{1},x_{2}\in [0,b]} . ראשית, נשים לב לכך ש- | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | = | x 1 2 − x 2 2 | = | x 1 − x 2 | | x 1 + x 2 | ≤ {\displaystyle \left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|=\left|x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right|=\left|{x_{1}-x_{2}}\right|\left|{x_{1}+x_{2}}\right|\leq } , ו- ≤ | x 1 − x 2 | ( | x 1 | + | x 2 | ) ≤ 2 b | x 1 − x 2 | {\displaystyle \leq \left|{x_{1}-x_{2}}\right|\left({\left|{x_{1}}\right|+\left|{x_{2}}\right|}\right)\leq 2b\left|{x_{1}-x_{2}}\right|} . על פי הערכה זו נבחר δ = ε 2 b {\displaystyle \delta ={\frac {\varepsilon }{2b}}} . ואכן (לפי אי-השוויון האחרון) לכל | x 1 − x 2 | < ε 2 b {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<{\frac {\varepsilon }{2b}}} יתקיים | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | = | x 1 2 − x 2 2 | ≤ 2 b | x 1 − x 2 | < 2 b ⋅ ε 2 b = ε {\displaystyle \left|{f\left({x_{1}}\right)-f\left({x_{2}}\right)}\right|=\left|{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}\right|\leq 2b\left|{x_{1}-x_{2}}\right|<2b\cdot {\varepsilon \over {2b}}=\varepsilon } . לעומת זאת, הפונקציה f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} אינה רציפה במידה שווה בקרן [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . על מנת לעשות זאת, יש למצוא ε 0 > 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}>0} שעבורו לא קיים δ {\displaystyle \delta } מתאים, כלומר, לכל δ > 0 {\displaystyle \delta >0} קיימים x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} כך ש- | x 1 − x 2 | < δ {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta } אולם | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | ≥ ε 0 {\displaystyle \left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|\geq \varepsilon _{0}} . נבחר ε 0 = 1 {\displaystyle \varepsilon _{0}=1} , ויהי δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כלשהו. עבור x 1 = 1 δ , x 2 = 1 δ + δ 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{\delta }},x_{2}={\frac {1}{\delta }}+{\frac {\delta }{2}}} יתקיים | x 1 − x 2 | = δ 2 < δ {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|={\frac {\delta }{2}}<\delta } , בעוד ש- | x 1 2 − x 2 2 | = | x 1 − x 2 | | x 1 + x 2 | = δ 2 ⋅ | 2 δ + δ 2 | = 1 + δ 2 4 > 1 = ε 0 {\displaystyle \left|{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}\right|=\left|{x_{1}-x_{2}}\right|\left|{x_{1}+x_{2}}\right|={\delta \over 2}\cdot \left|{{2 \over \delta }+{\delta \over 2}}\right|=1+{\delta ^{2} \over 4}>1=\varepsilon _{0}} . לסיכום, עבור ε 0 = 1 {\displaystyle \varepsilon _{0}=1} לכל δ > 0 {\displaystyle \delta >0} קיימים x 1 , x 2 ∈ [ 0 , ∞ ) {\displaystyle x_{1},x_{2}\in [0,\infty )} כך ש- | x 1 − x 2 | < δ {\displaystyle \left|x_{1}-x_{2}\right|<\delta } ובכל זאת | f ( x 1 ) − f ( x 2 ) | ≥ ε 0 {\displaystyle \left|f(x_{1})-f(x_{2})\right|\geq \varepsilon _{0}} , ולכן, הפונקציה f ( x ) = x 2 {\displaystyle f\left(x\right)=x^{2}} אינה רציפה במידה שווה בקטע [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . הסכום של שתי פונקציות שהן רציפות במידה שווה, גם הוא רציף במידה שווה. אם f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} רציפות במידה שווה בקטע I {\displaystyle I} ושתיהן חסומות שם, אזי המכפלה f g {\displaystyle fg} רציפה במידה שווה ב- I {\displaystyle I} . התנאי הוא תנאי מספיק לרציפות במידה שווה של פונקציית המכפלה אך אינו תנאי הכרחי. להלן מספר דוגמאות: הפונקציה f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} היא מכפלה של שתי פונקציות רציפות במידה שווה (שאינן חסומות), אך אינה רציפה במידה שווה בכל הישר. הפונקציה x sin ⁡ ( x ) {\displaystyle x\sin(x)} היא מכפלה של שתי פונקציות רציפות במידה שווה על כל הישר, שאחת מהן חסומה, אולם x sin ⁡ ( x ) {\displaystyle x\sin(x)} אינה רציפה במידה שווה על כל הישר. אם הפונקציה f {\displaystyle f} רציפה במידה שווה בקטע I {\displaystyle I} וקיים קבוע c > 0 {\displaystyle c>0} כך ש- f ( x ) ≥ c {\displaystyle f(x)\geq c} לכל x {\displaystyle x} בקטע, אזי גם הפונקציה 1 / f {\displaystyle 1/f} רציפה במידה שווה בקטע I {\displaystyle I} . דוגמה לכך שלא מספיק לדרוש ש- f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} לכל x {\displaystyle x} בקטע, היא הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} בקטע ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} . הרכבת שתי פונקציות שהן רציפות במידה שווה, גם היא רציפה במידה שווה. פונקציה רציפה במידה שווה בקטע, רציפה במידה שווה בכל קטע חלקי לו. (מכאן שאם פונקציה מוגדרת ורציפה בקטע פתוח, ויש לה גבולות חלקיים בקצות הקטע, אז היא רציפה במידה שווה בקטע הסגור לפי משפט קנטור, ולכן גם בקטע הפתוח). פונקציה רציפה במידה שווה במספר סופי של קטעים, רציפה במידה שווה באיחוד הקטעים. פונקציה רציפה בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} ושואפת לגבול סופי ב- ∞ {\displaystyle \infty } היא רציפה במידה שווה בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} . ברור כי התנאי אינו הכרחי: הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} רציפה במידה שווה, אך אינה שואפת לגבול סופי ב- ∞ {\displaystyle \infty } . ניתן להרחיב מעט את התנאי הקודם: f {\displaystyle f} פונקציה רציפה בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} וקיים קבוע b {\displaystyle b} כך שהפונקציה f ( x ) − b x {\displaystyle f(x)-bx} שואפת לגבול סופי ב- ∞ {\displaystyle \infty } , אזי f {\displaystyle f} רציפה במידה שווה בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} . f {\displaystyle f} פונקציה רציפה בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} וגזירה בקטע ( b , ∞ ) {\displaystyle (b,\infty )} , עבור a < b {\displaystyle a<b} . אם f ′ {\displaystyle f'} שואפת לגבול סופי ב- ∞ {\displaystyle \infty } אזי f {\displaystyle f} רציפה במידה שווה בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} . דוגמה: הפונקציה f ( x ) = x 2 sin ⁡ 1 x {\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x}}} רציפה במידה שווה בקטע ( 0 , ∞ ) {\displaystyle (0,\infty )} . הפונקציה sin ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle \sin(x^{2})} רציפה על כל הישר, חסומה, אך אינה רציפה במידה שווה על כל הישר. פונקציה מחזורית ורציפה על כל הישר היא רציפה במידה שווה. ניתן להרחיב את ההגדרה למרחבים מטריים באופן הבא: בהינתן שני מרחבים מטריים X , Y {\displaystyle X,Y} עם המטריקות d X , d Y {\displaystyle d_{X},d_{Y}} בהתאמה ופונקציה f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} , הפונקציה תקרא רציפה במידה שווה אם ורק אם לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} עבורם d X ( a , b ) < δ {\displaystyle d_{X}(a,b)<\delta } מתקיים d Y ( f ( a ) , f ( b ) ) < ϵ {\displaystyle d_{Y}(f(a),f(b))<\epsilon } . במקרה שבו המרחב המטרי הוא שדה הממשיים R {\displaystyle \mathbb {R} } עם הנורמה האוקילידית הסטנדרטית, ההגדרה לעיל שקולה להגדרה זו. ניתן להראות שכל פונקציה רציפה במידה שווה בין מרחבים מטריים היא גם רציפה במשמעות זו, זאת באופן זהה למרחב המספרים הממשיים. קיימת גרסה שקולה למשפט קנטור עבור מרחבים מטריים אשר קובעת שפונקציה רציפה ממרחב מטרי קומפקטי K {\displaystyle K} למרחב מטרי כלשהו, היא רציפה במידה שווה. ניתן להרחיב את ההגדרה של פונקציה רציפה במידה שווה עבור חבורות טופולוגיות באופן הבא: בהינתן החבורות הטופולוגיה X , Y {\displaystyle X,Y} עם הטופולוגיות T X , T Y {\displaystyle {\mathcal {T}}_{X},{\mathcal {T}}_{Y}} בהתאמה ופונקציה f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} הפונקציה f {\displaystyle f} תקרא רציפה במידה שווה אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה B ∈ T Y {\displaystyle B\in {\mathcal {T}}_{Y}} קיימת קבוצה פתוחה A ∈ T X {\displaystyle A\in {\mathcal {T}}_{X}} כך שלכל a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} כך ש- a b − 1 ∈ A {\displaystyle ab^{-1}\in A} מתקיים בהכרח כי f ( a ) ( f ( b ) ) − 1 ∈ B {\displaystyle f(a)(f(b))^{-1}\in B} . מאחר שכל מרחב וקטורי טופולוגי הוא גם חבורה טופולוגית תחת פעולת החיבור, הגדרה זו תקפה גם למרחבים כאלו. פונקציה רציפה ממרחב קומפקטי היא רציפה במידה שווה. תכונה זו אינה מאפיינת מרחבים קומפקטיים. מרחב מטרי שכל פונקציה רציפה ממנו (למרחב מטרי אחר) היא רציפה במידה שווה, נקרא מרחב Atsuji. התכונות הבאות שקולות: כל פונקציה רציפה מ- K {\displaystyle K} למרחב מטרי היא רציפה במידה שווה. לכל שתי קבוצות סגורות זרות ב- K {\displaystyle K} יש מרחק חיובי. לכל כיסוי פתוח של K {\displaystyle K} יש מספר לבג. לפי משפט קושי, כל מרחב קומפקטי הוא Atsuji. כל מרחב Atsuji הוא שלם. בדומה לאפיון של מרחבים שלמים באמצעות משפט החיתוך של קנטור, אפשר לאפיין מרחבי Atsuji באופן הבא: מרחב מטרי X {\displaystyle X} הוא Atsuji אם ורק אם לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות A n {\displaystyle A_{n}} שעבורה lim n → ∞ d _ ( A n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\underline {d}}(A_{n})=0} , יש נקודה משותפת; כאן d _ ( A ) = inf a ∈ A { d ( a , X − { a } } {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\inf _{a\in A}\{d(a,X-\{a\}\}} . תנאי ליפשיץ פונקציה רציפה בהחלט מדיה וקבצים בנושא פונקציה רציפה במידה שווה בוויקישיתוף פונקציה רציפה במידה שווה, באתר MathWorld (באנגלית) John K. Hunter, Continuous Functions on Metric Spaces, University of California, Davis, ‏2016-10-28 (באנגלית) Uniform continuity, ‏2020-6-6 (באנגלית) Tanvi Jain, S. Kundu, Atsuji completions: Equivalent characterisations, ‏2005-10-27 (באנגלית)