טור למברט

טור למברט הוא מושג במתמטיקה, הנקרא על שם יוהאן היינריך למברט, ומתאר טור אינסופי בעל הצורה: S ( q ) = ∑ n = 1 ∞ a n q n 1 − q n . {\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.} אשר ניתן לפתחו פורמלית באמצעות הנוסחה לסיכום טור הנדסי אינסופי, מה שמניב את הטור: S ( q ) = ∑ n = 1 ∞ a n ∑ k = 1 ∞ q n k = ∑ m = 1 ∞ b m q m {\displaystyle S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}} כאשר המקדמים של הטור החדש ניתנים על ידי קונבולוציית דיריכלה של an עם הפונקציה הקבועה 1(n) = 1: b m = ( a ∗ 1 ) ( m ) = ∑ n ∣ m a n . {\displaystyle b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,} לטורי למברט יש שלל הקשרים במתמטיקה, במיוחד בתורת המספרים ובאנליזה מתמטית. מכיוון שהסכום האחרון הוא סכום אריתמטי טיפוסי, כמעט כל פונקציה כפלית אריתמטית תהיה סכימה כאשר עושים בה שימוש כמקדמים של טור למברט. למשל, מתקיים ∑ n = 1 ∞ q n σ 0 ( n ) = ∑ n = 1 ∞ q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}} כאשר σ 0 ( n ) = d ( n ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)=d(n)} היא פונקציית מחלקים מסדר אפס, השווה למספר המחלקים הטבעיים של המספר n. בעבור פונקציות מחלקים מסדר גבוה יותר, מקבלים ∑ n = 1 ∞ q n σ α ( n ) = ∑ n = 1 ∞ n α q n 1 − q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}} כאשר α {\displaystyle \alpha } הוא כל מספר מרוכב ו- σ α ( n ) = ( Id α ∗ 1 ) ( n ) = ∑ d ∣ n d α {\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,} היא פונקציית מחלקים. בעבור α = 1 {\displaystyle \alpha =1} טור למברט המתקבל שווה ל- q F ′ ( q ) F ( q ) {\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}} ביטוי אשר (עד כדי פקטור q {\displaystyle q} ) שווה לנגזרת הלוגריתמית של הפונקציה היוצרת של פונקציית החלוקה F ( q ) := 1 ϕ ( q ) = ∑ k = 0 ∞ p ( k ) q k = ∏ n = 1 ∞ 1 1 − q n . {\displaystyle F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.} ניתן לזהות את השוויון בין q F ′ ( q ) F ( q ) {\displaystyle q{\frac {F'(q)}{F(q)}}} לטור למברט שתואר מקודם על סמך חוקי הלוגריתמים (לוגריתם של מכפלה אינסופית שווה לטור אינסופי של לוגריתמים) וגזירה איבר איבר של טור הלוגריתמים המתקבל, באמצעות כלל השרשרת. קשרים נוספים של טורי למברט לפונקציות אריתמטיות שונות כוללים את: בעבור פונקציית אוילר φ ( n ) {\displaystyle \varphi (n)} : ∑ n = 1 ∞ φ ( n ) q n 1 − q n = q ( 1 − q ) 2 , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}},} הסבר: את משוואה זו ניתן להסביר על סמך הזהות של אגף ימין שלה עם q ( 1 − q ) 2 = ∑ n = 1 ∞ ( ∑ k = n ∞ q k ) = ∑ n = 1 ∞ n q n {\displaystyle {\frac {q}{(1-q)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }(\sum _{k=n}^{\infty }q^{k})=\sum _{n=1}^{\infty }nq^{n}} , ולאחר מכן הפעלת הזהות הקלאסית ∑ d | n φ ( d ) = n {\displaystyle \sum _{d|n}\varphi (d)=n} על אגף שמאל; בדרך זאת מקבלים שוויון בין המקדמים של q n {\displaystyle q^{n}} משני אגפי המשוואה. בעבור פונקציית פון מנגולדט Λ ( n ) {\displaystyle \Lambda (n)} : ∑ n = 1 ∞ Λ ( n ) q n 1 − q n = ∑ n = 1 ∞ log ⁡ ( n ) q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}} בעבור פונקציית ליוביל λ ( n ) {\displaystyle \lambda (n)} : ∑ n = 1 ∞ λ ( n ) q n 1 − q n = ∑ n = 1 ∞ q n 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}} כאשר הסכום באגף ימין של הפונקציה האחרונה קשור לאחת מפונקציות תטא של יעקובי באופן הבא: 1 2 ( ϑ 3 ( q ) − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right)} . ישנם גם קשרים מעניינים של טורי למברט עם פונקציית סכום הריבועים, הבאים לידי ביטוי במגוון זהויות על הפונקציה היוצרת שלה. למשל, את הפונקציה היוצרת של r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} ניתן להציג בצורה: ∑ n = 1 ∞ 4 ⋅ ( − 1 ) n + 1 q 2 n + 1 1 − q 2 n + 1 = ∑ m = 1 ∞ r 2 ( m ) q m . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.} כלומר זהו טור למברט שבו כל המקדמים של האיברים במקומות הזוגיים מתאפסים, ומקדמי האיברים שבמקומות האי זוגיים זהים בערכם המוחלט (שהוא 4) אך מתחלפים לסירוגין בסימנם. קונבולוציית דיריכלה פונקציה אריתמטית טור למברט, באתר MathWorld (באנגלית)