מידת דיראק

במתמטיקה, ובפרט בתורת המידה, מידת דיראק היא מידה שקובעת גודל לקבוצה רק על סמך הכלה או אי-הכלה של איבר קבוע x {\displaystyle x} על ידי הקבוצה. זוהי דרך לפורמליזציה של הרעיון של פונקציית הדלתא של דיראק, כלי חשוב בפיזיקה ובתחומים הנדסיים אחרים. בהינתן מרחב מדיד ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} ואיבר x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } , מידת דיראק המתאימה ל- x {\displaystyle x} מסומנת על ידי δ x {\displaystyle \delta _{x}} ומוגדרת באופן הבא, עבור קבוצה כלשהי A ∈ Σ {\displaystyle A\in \Sigma } : δ x ( A ) = 1 A ( x ) = { 0 , x ∉ A ; 1 , x ∈ A . {\displaystyle \delta _{x}(A)=1_{A}(x)={\begin{cases}0,&x\not \in A;\\1,&x\in A.\end{cases}}} כאשר 1 A {\displaystyle 1_{A}} היא הפונקציה המציינת של A {\displaystyle A} . מידת דיראק היא מידה אטומית, ו- x {\displaystyle x} הוא האטום היחידוני היחיד בה. בנוסף, היא מידת הסתברות, המייצגת מצב של התקיימות התוצאה x {\displaystyle x} כמעט בוודאות במרחב המדגם Ω {\displaystyle \Omega } . מידות דיראק הן נקודות הקצה (אנ') של הקבוצה הקמורה של מידות ההסתברות על Ω {\displaystyle \Omega } . מידת דיראק מקבלת את שמה בעקבות פונקציית הדלתא של דיראק, בשל התנהגותן הדומה של השתיים. למשל, כאשר מבצעים אינטגרל לבג לפי מידת דיראק, מתקיים הקשר הבא: ∫ Ω f ( y ) d δ x ( y ) = f ( x ) {\displaystyle \int _{\Omega }f(y)\,\mathrm {d} \delta _{x}(y)=f(x)} אשר דומה מאוד לקשר הבא, שנחשב לפעמים לחלק מההגדרה של פונקציית הדלתא: ∫ − ∞ ∞ f ( y ) δ ( y − x ) d y = f ( x ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y)\delta (y-x)\,\mathrm {d} y=f(x)} יהי ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} מרחב מדיד ותהי δ x {\displaystyle \delta _{x}} מידת דיראק שמרכזה x ∈ Ω {\displaystyle x\in \Omega } . δ x {\displaystyle \delta _{x}} מידת הסתברות ולכן מידה סופית, ובפרט סיגמא-סופית. נניח ש- ( Ω , τ ) {\displaystyle (\Omega ,\tau )} הוא מרחב טופולוגי ושהסיגמא-אלגברה Σ {\displaystyle \Sigma } עדינה לפחות כמו סיגמא-אלגברת בורל של ( Ω , τ ) {\displaystyle (\Omega ,\tau )} (כלומר שכל קבוצת בורל היא מדידה). δ x {\displaystyle \delta _{x}} מידה חיובית ממש אם ורק אם x {\displaystyle x} שייך לכל קבוצה פתוחה (ולא ריקה) בטופולוגיה τ {\displaystyle \tau } . לדוגמה, עבור הטופולוגיה הטריוויאלית { ∅ , Ω } {\displaystyle \{\emptyset ,\Omega \}} . מכיוון ש- δ x {\displaystyle \delta _{x}} מידת הסתברות, היא מידה סופית-מקומית (אנ'). אם Ω {\displaystyle \Omega } הוא מרחב האוסדורף עם סיגמא-אלגברת בורל המתאימה, אז δ x {\displaystyle \delta _{x}} היא מידה רגולרית פנימית (אנ'), משום שיחידון כמו { x } {\displaystyle \{x\}} הוא תמיד קומפקטי. בהנחה שהטופולוגיה עדינה מספיק כך ש- { x } {\displaystyle \{x\}} קבוצה סגורה (זה המצב במקרים רבים, למשל במרחב האוסדורף), אז δ x {\displaystyle \delta _{x}} היא גם מידה רגולרית חיצונית (אנ'). במרחבים בהם שלוש התכונות האחרונות מתקיימות, מידת דיראק היא מידת רדון, ישירות מהגדרתה של זו. אם { x } {\displaystyle \{x\}} סגורה, אז התומך של δ x {\displaystyle \delta _{x}} הוא { x } {\displaystyle \{x\}} (אחרת, התומך הוא הסגור של { x } {\displaystyle \{x\}} ב- ( Ω , τ ) {\displaystyle (\Omega ,\tau )} ). בנוסף, δ x {\displaystyle \delta _{x}} היא מידת ההסתברות היחידה שהתומך שלה הוא { x } {\displaystyle \{x\}} . δ x {\displaystyle \delta _{x}} היא מידה סינגולרית ביחס למידת לבג על המרחב האוקלידי R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . מידה בדידה דומה למידת דיראק, אלא שהיא מרוכזת בקבוצה בת מנייה של נקודות במקום בנקודה יחידה. בניסוח פורמלי יותר: מידה על הישר הממשי נקראת מידה בדידה (ביחס למידת לבג) אם התומך שלה הוא לכל היותר קבוצה בת מנייה. Dieudonné, Jean (1976). "Examples of measures". Treatise on analysis, Part 2. Academic Press. p. 100. ISBN 0-12-215502-5. Benedetto, John (1997). "§2.1.3 Definition, δ". Harmonic analysis and applications. CRC Press. p. 72. ISBN 0-8493-7879-6.