מודל הקשירה ההדוקה

מודל הקשירה ההדוקה (באנגלית: Tight Binding Method) הוא מודל בפיזיקת המצב המוצק המתאר את פסי האנרגיה של אלקטרונים במתכת על ידי שימוש בקירוב של פונקציות הגל (פו"ג) שמתבסס על סופרפוזיציה של פו"ג של אטומים מבודדים הממוקמים בסריג. השימוש במודל זה נפוץ עבור מגוון של מוצקים. על אף היותו מודל המתאר אלקטרון יחיד, המודל משמש כבסיס עבור חישובים מתקדמים יותר כגון בעיות רב גופיות וחישוב קוואזי-חלקיקים. מודל הקשירה ההדוקה הוא מודל במכניקת הקוונטים שמתאר את תכונותיהם של אלקטרונים הכבולים בחוזקה אל האטומים שאליהם הם שייכים בחומר מוצק. השפעתם של פוטנציאלים ומצבים אחרים בסביבת האלקטרון - זניחה. כתוצאה מכך פו"ג של האלקטרון תהיה דומה למדי לאורביטל האטומי של האטום אליו הוא שייך והאנרגיה של האלקטרון תהיה קרובה לאנרגיית היינון של האלקטרון מאטום בודד. באופן כללי יש מספר רמות אנרגיה המעורבות במודל. יהיו φ m ( r ) {\displaystyle \varphi _{m}(\mathbf {r} )} פונקציות הגל של האורביטלים האטומיים של ההמילטוניאן H a t o m {\displaystyle H_{atom}} המתאר אטום מבודד. כאשר האטום ממוקם בגביש, פו"ג של מיקומי אטומים סמוכים חופפות חלקית זו לזו, ולכן תיאור זה אינו התיאור של הפונקציות העצמיות של המערכת כולה. החפיפה קטנה יותר כאשר האלקטרונים קשורים בחוזקה אל האטומים, וזהו מקור הביטוי "קשירה הדוקה". כדי לקבל את התיאור הנכון עבור המערכת כולה נוסיף איבר פוטנציאל Δ U {\displaystyle \Delta U} להמילטוניאן של המערכת שמבטא את התיקונים לפוטנציאל של אטום יחיד לעומת הפוטנציאל בגביש. H ( r ) = ∑ R n H a t o m ( r − R n ) + Δ U ( r ) {\displaystyle H(r)=\sum _{R_{n}}H_{atom}(r-R_{n})+\Delta U(r)} קירוב לפונקציית הגל ψ r {\displaystyle \psi _{r}} של אלקטרון יחיד המתואר על ידי המילטוניאן זה נתון כצירוף ליניארי של פונקציות הגל המתארות את האורביטלים האטומיים φ m ( r − R n ) {\displaystyle \varphi _{m}(r-R_{n})} : ψ ( r ) = ∑ m , R n b m ( R n ) φ m ( r − R n ) {\displaystyle \psi (r)=\sum _{m,R_{n}}b_{m}(R_{n})\varphi _{m}(r-R_{n})} . כאשר m היא רמת האנרגיה האטומית ו R n {\displaystyle R_{n}} מיקום האטום בסריג. פונקציות הגל הן פונקציות בלוך בסריג, ולכן הן מהצורה ψ ( r + R ℓ ) = e i k ⋅ R ℓ ψ ( r ) {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r+R_{\ell }}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{\ell }}}}\psi ({\boldsymbol {r}})} , כלומר, השינוי בפונקציית הגל הוא בפאזה בלבד. k {\displaystyle \mathbf {k} } הוא וקטור הגל של הפונקציה. כתוצאה מכך, הפרישה של פונקציית הגל על ידי האורביטלים האטומיים מקיימת, ∑ m , R n b m ( R n )   φ m ( r − R n + R ℓ ) = e i k ⋅ R ℓ ∑ m , R n b m ( R n )   φ m ( r − R n ) {\displaystyle \sum _{m,{\boldsymbol {R_{n}}}}b_{m}({\boldsymbol {R_{n}}})\ \varphi _{m}({\boldsymbol {r-R_{n}+R_{\ell }}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{\ell }}}}\sum _{m,{\boldsymbol {R_{n}}}}b_{m}({\boldsymbol {R_{n}}})\ \varphi _{m}({\boldsymbol {r-R_{n}}})} נציב R p = R n − R ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {R_{p}}}={\boldsymbol {R_{n}}}-{\boldsymbol {R_{\ell }}}} , ונקבל b m ( R p + R ℓ ) = e i k ⋅ R ℓ b m ( R p ) {\displaystyle b_{m}({\boldsymbol {R_{p}+R_{\ell }}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{\ell }}}}b_{m}({\boldsymbol {R_{p}}})} או b m ( R l ) = e i k ⋅ R l b m ( 0 ) {\displaystyle b_{m}({\boldsymbol {R_{l}}})=e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{l}}}}b_{m}({\boldsymbol {0}})} מתכונת הנרמול של פונקציית הגל ∫ d 3 r   ψ ∗ ( r ) ψ ( r ) = 1 {\displaystyle \int d^{3}r\ \psi ^{*}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}})=1} נובע: ∫ d 3 r   ψ ∗ ( r ) ψ ( r ) = ∑ R n b ∗ ( R n ) ∑ R ℓ b ( R ℓ ) ∫ d 3 r   φ ∗ ( r − R n ) φ ( r − R ℓ ) {\displaystyle \int d^{3}r\ \psi ^{*}({\boldsymbol {r}})\psi ({\boldsymbol {r}})=\sum _{\boldsymbol {R_{n}}}b^{*}({\boldsymbol {R_{n}}})\sum _{\boldsymbol {R_{\ell }}}b({\boldsymbol {R_{\ell }}})\int d^{3}r\ \varphi ^{*}({\boldsymbol {r-R_{n}}})\varphi ({\boldsymbol {r-R_{\ell }}})} = b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) ∑ R n e − i k ⋅ R n ∑ R ℓ e i k ⋅ R ℓ   ∫ d 3 r   φ ∗ ( r − R n ) φ ( r − R ℓ ) {\displaystyle =b^{*}(0)b(0)\sum _{\boldsymbol {R_{n}}}e^{-i{\boldsymbol {k\cdot R_{n}}}}\sum _{\boldsymbol {R_{\ell }}}e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{\ell }}}}\ \int d^{3}r\ \varphi ^{*}({\boldsymbol {r-R_{n}}})\varphi ({\boldsymbol {r-R_{\ell }}})} = N b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) ∑ R p e − i k ⋅ R p   ∫ d 3 r   φ ∗ ( r − R p ) φ ( r )   {\displaystyle =Nb^{*}(0)b(0)\sum _{\boldsymbol {R_{p}}}e^{-i{\boldsymbol {k\cdot R_{p}}}}\ \int d^{3}r\ \varphi ^{*}({\boldsymbol {r-R_{p}}})\varphi ({\boldsymbol {r}})\ } = N b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) ∑ R p e i k ⋅ R p   ∫ d 3 r   φ ∗ ( r ) φ ( r − R p )   = 1 {\displaystyle =Nb^{*}(0)b(0)\sum _{\boldsymbol {R_{p}}}e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{p}}}}\ \int d^{3}r\ \varphi ^{*}({\boldsymbol {r}})\varphi ({\boldsymbol {r-R_{p}}})\ =1} נקבל ביטוי עבור b ( 0 ) {\displaystyle b(0)} : b ∗ ( 0 ) b ( 0 ) = 1 N   ⋅   1 1 + ∑ R p ≠ 0 e − i k ⋅ R p α ( R p ) {\displaystyle b^{*}(0)b(0)={\frac {1}{N}}\ \cdot \ {\frac {1}{1+\sum _{\boldsymbol {R_{p}\neq 0}}e^{-i{\boldsymbol {k\cdot R_{p}}}}\alpha ({\boldsymbol {R_{p}}})}}} כאשר α (Rp ) היא פונקציית החפיפה האטומית. נהוג להזניח איבר זה ולהניח α (Rp ) =1 במקרה כזה: b n ( 0 ) ≈ 1 N {\displaystyle b_{n}(0)\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\,} ולכן פונקציית הגל בקירוב הקשירה ההדוקה היא מהצורה ψ ( r ) ≈ 1 N ∑ m , R n e i k ⋅ R n   φ m ( r − R n )   . {\displaystyle \psi ({\boldsymbol {r}})\approx {\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{m,{\boldsymbol {R_{n}}}}e^{i{\boldsymbol {k\cdot R_{n}}}}\ \varphi _{m}({\boldsymbol {r-R_{n}}})\ .} מבנה פסים מדיה וקבצים בנושא מודל הקשירה ההדוקה בוויקישיתוף