משפט נפוליאון

משפט נפוליאון הוא משפט גאומטרי הקובע כי לכל משולש שעל צלעותיו יבנו משולשים שווי-צלעות (כולם פנימה או כולם החוצה), יצרו מרכזי הכובד (מפגשי התיכונים) של המשולשים האלה משולש שווה-צלעות. משולשים אלו, שקודקודיהם הם מרכזי הכובד של המשולשים שנבנו על הצלעות, מכונים משולשי נפוליאון (הפנימי והחיצוני, בהתאמה). הקונפיגורציה המתקבלת מן המשפט מקיימת תכונות מעניינות נוספות. למשל, שלושת המעגלים החוסמים את המשולשים שנבנו על צלעות המשולש המקורי נפגשים בנקודה אחת. קודקודיו של משולש נפוליאון הפנימי נמצאים על המעגלים החוסמים את המשולשים שווי הצלעות החיצוניים (ולהפך). ההפרש בין שטח משולש נפוליאון החיצוני לבין שטח משולש נפוליאון הפנימי שווה לשטח המשולש המקורי. אף על פי שמשפט זה מיוחס לנפוליאון בונפרטה, ואף נושא את שמו, אין כל ערובה לכך שהוא גילה או הוכיח אותו. נסמן את צלעות המשולש: BC=a, AC=b, AB=c עקרון ההוכחה: נביע צלע שרירותית, NM, באמצעות שלוש הצלעות a,b,c. נראה כי הנוסחה היא "חילופית", כלומר לכל תמורה של {a, b, c}, ערך הנוסחה זהה. היחס החשוב בין הצלע שבחרנו לבין צלעות המשולש ABC הוא: האם הצלע שבחרנו נמצאת מול צלע נתונה ב-ABC? הצלע ב-ABC שנמצאת מול הצלע שבחרנו היא הצלע הראשונה בתמורה. משום שלכל 6 התמורות התוצאה זהה, ינבע מכך כי 3 הצלעות של משולש LMN שוות. התמורה עבור NM היא: (a, b, c), התמורה עבור LN היא: (b, a, c) והתמורה עבור LM היא: (c, a, b). סדר האיברים השני והשלישי אינו משנה, האיבר הראשון בתמורה מייצג את הצלע במשולש ABC שנמצאת "מול" הצלע המתאימה לה ב-LMN. גוף ההוכחה: נוכיח 2 משפטי עזר פשוטים אשר יפשטו את ההסברים בהמשך: 1. במשולש שצלעותיו הן a,b,c, מתקיים: cos ⁡ ∠ A = A B 2 + A C 2 − B C 2 2 A B A C {\displaystyle \cos \angle A={\frac {{AB}^{2}+{AC}^{2}-{BC}^{2}}{2ABAC}}} . נוסחה זו נובעת באופן ישיר ממשפט הקוסינוסים, על ידי העברת אגפים וחילוק. 2. במשולש, סינוס של זווית שווה למנת החילוק של הצלע שמול הזווית בקוטר המעגל החוסם את המשולש. נוסחה זו נובעת באופן ישיר ממשפט הסינוסים. ההוכחה: נסמן: BC = a, AC = b, AB = c. נחבר את A עם N ועם M. כעת, נחשב את AN ואת AM. במשולש שווה-צלעות שצלעו K התיכון מתלכד עם הגובה, ששווה ל- 3 2 k {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}k} . במשולש AYC, נקודה M נמצאת על התיכון מ-A ל-YC. היא גם נמצאת על נקודת מפגש התיכונים, כך שהיא מחלקת את התיכון ביחס של 1:2 כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול יותר. זאת אומרת, הקטע AM שווה ל- 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} מהתיכון. היות שאנו יודעים שאורך התיכון הוא 3 2 b {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}b} (צלע המשולש היא b), נסיק כי A M = b 3 {\displaystyle AM={\frac {b}{\sqrt {3}}}} . באופן אנלוגי ניתן להוכיח ש- A N = c 3 {\displaystyle AN={\frac {c}{\sqrt {3}}}} . כעת, נשתמש במשפט נוסף: במשולש שווה-צלעות, התיכון מתלכד עם חוצה הזווית, כלומר מקצה על הזווית 2 זוויות של 30 מעלות. נשתמש בעובדה זו כדי לחשב את זווית המשולש MAN. נחבר 30 מעלות ממשולש AYC, את זווית BAC מהמשולש המקורי, ו-30 מעלות ממשולש AZB. חיברנו 30 מעלות מ-2 המשולשים האלו משום שכל תיכון מקצה על זווית המשולש זוג זוויות של 30 מעלות, ורק אחת מהן היא חלק מזווית MAN. זאת אומרת, ∠ M A N = ∠ B A C + 60 {\displaystyle \angle MAN=\angle BAC+60} . כעת, נוכל להביע את MN בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש MAN: M N = A M 2 + A N 2 − 2 A M A N cos ⁡ ∠ M A N {\displaystyle MN={\sqrt {{AM}^{2}+{AN}^{2}-2AMAN\cos {\angle MAN}}}} . נציב את זווית MAN בביטוי: M N = A M 2 + A N 2 − 2 A M A N cos ⁡ ( ∠ B A C + 60 ) {\displaystyle MN={\sqrt {{AM}^{2}+{AN}^{2}-2AMAN\cos({\angle BAC+60}}})} . נשתמש בנוסחה לחישוב קוסינוס של סכום: cos ⁡ x + y = cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y {\displaystyle \cos {x+y}=\cos x\cos y-\sin x\sin y} . נעזר בעובדה שקוסינוס של 60 מעלות שווה לחצי, וסינוס של 60 מעלות שווה לחצי שורש שלוש: M N = A M 2 + A N 2 − 2 A M A N ( 1 2 cos ⁡ ∠ B A C − 3 2 sin ⁡ ∠ B A C ) {\displaystyle MN={\sqrt {{AM}^{2}+{AN}^{2}-2AMAN\left({\frac {1}{2}}\cos {\angle BAC}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\sin {\angle BAC}\right)}}} . כעת, נפתח את הסוגריים: M N = A M 2 + A N 2 − A M A N cos ⁡ ∠ B A C + 3 A M A N sin ⁡ ∠ B A C {\displaystyle MN={\sqrt {{AM}^{2}+{AN}^{2}-AMAN\cos {\angle BAC}+{\sqrt {3}}AMAN\sin {\angle BAC}}}} . נציב את AM ואת AN: M N = ( b 3 ) 2 + ( c 3 ) 2 − b 3 c 3 cos ⁡ ∠ B A C + 3 b 3 c 3 sin ⁡ ∠ B A C {\displaystyle MN={\sqrt {\left({\frac {b}{\sqrt {3}}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{\sqrt {3}}}\right)^{2}-{\frac {b}{\sqrt {3}}}{\frac {c}{\sqrt {3}}}\cos {\angle BAC}+{\sqrt {3}}{\frac {b}{\sqrt {3}}}{\frac {c}{\sqrt {3}}}\sin {\angle BAC}}}} . בחלק הראשון, נחשב את השברים, ובחלק השני נצמצם גורמים משותפים: M N = b 2 3 + c 2 3 − b c 3 cos ⁡ ∠ B A C + b c 3 sin ⁡ ∠ B A C {\displaystyle MN={\sqrt {{\frac {b^{2}}{3}}+{\frac {c^{2}}{3}}-{\frac {bc}{3}}\cos {\angle BAC}+{\frac {bc}{\sqrt {3}}}\sin {\angle BAC}}}} . נפתח את הקוסינוס לפי משפט העזר הראשון, ונצמצם בגורם 2bc: M N = b 2 3 + c 2 3 − 1 2 b 2 + 1 2 c 2 − 1 2 a 2 3 + b c 3 sin ⁡ ∠ B A C {\displaystyle MN={\sqrt {{\frac {b^{2}}{3}}+{\frac {c^{2}}{3}}-{\frac {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}}{3}}+{\frac {bc}{\sqrt {3}}}\sin {\angle BAC}}}} . בחלק הראשון של הנוסחה, נחבר ונחסר את 3 השברים, ובחלק השני - נפתח את הסינוס לפי משפט העזר השני: M N = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 + 1 2 c 2 3 + b c 3 ⋅ a 2 R {\displaystyle MN={\sqrt {{\frac {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}}{3}}\qquad +{\frac {bc}{\sqrt {3}}}\cdot {\frac {a}{2R}}}}} . שים לב ש-2R הוא קוטר המעגל החוסם את משולש ABC. לבסוף, נותר לאחר את 2 המכפלות ולקבל את הנוסחה הסופית: M N = 1 2 a 2 + 1 2 b 2 + 1 2 c 2 3 + a b c 2 3 R {\displaystyle MN={\sqrt {{\frac {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}}{3}}+{\frac {abc}{2{\sqrt {3}}R}}}}} . קל לראות שגם החלק הראשון, וגם החלק השני, הם חילופיים ב-a,b,c, ולכן גם ההפרש שלהם חילופי ב-a,b,c. משום שהוכחנו שצלע שרירותית של משולש LMN ניתנת להבעה על ידי 3 הצלעות של המשולש המקורי, כך שגם אם מחליפים את סדר הצלעות (ובעיקר - איזו צלע של ABC נמצאת מול הצלע שבחרנו), התוצאה זהה, היא תהיה זהה לכל שאר הצלעות במשולש LMN. מכאן, שמשולש LMN הוא שווה-צלעות. מדיה וקבצים בנושא משפט נפוליאון בוויקישיתוף משפט נפוליאון, באתר MathWorld (באנגלית) משולש נפוליאון הפנימי, באתר MathWorld (באנגלית) משולש נפוליאון החיצוני, באתר MathWorld (באנגלית) MathPages.com Napoleon's Theorem and Generalizations