יחס הופכי

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי R {\displaystyle {\mathcal {R}}} על קבוצה A {\displaystyle A} , הוא היחס המסומן R − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} ומוגדר על ידי x R − 1 y ⟺ y R x {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}x} . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס < {\displaystyle <} על R {\displaystyle \mathbb {R} } הוא היחס > {\displaystyle >} . רפלקסיביות. הוכחה: ∀ x , x R x ⇒ ∀ x , x R − 1 x {\displaystyle \forall x,x{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,\forall x,x{\mathcal {R}}^{-1}x} . אי-רפלקסיביות. הוכחה: מההגדרה x R − 1 y ⟺ y R x {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}x} נובע כי ¬ x R − 1 y ⟺ ¬ y R x {\displaystyle \neg x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff \neg y{\mathcal {R}}x} , ולכן ∀ x , ¬ x R x ⇒ ∀ x , ¬ x R − 1 x {\displaystyle \forall x,\neg x{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,\forall x,\neg x{\mathcal {R}}^{-1}x} . סימטריה. בפרט אם R {\displaystyle {\mathcal {R}}} סימטרי, אז R − 1 = R {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}={\mathcal {R}}} . הוכחה: x R − 1 y ⟺ y R x ⟺ x R y ⟺ y R − 1 x {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}x\iff x{\mathcal {R}}y\iff y{\mathcal {R}}^{-1}x} . אנטי-סימטריה וכן א-סימטריה. הוכחה: x R − 1 y ∧ y R − 1 x ⇒ y R x ∧ x R y ⇒ x = y {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}x\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x\land x{\mathcal {R}}y\,\Rightarrow \,x=y} ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: x R − 1 y ∧ y R − 1 x ⟺ y R x ∧ x R y {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}x\iff y{\mathcal {R}}x\land x{\mathcal {R}}y} ולכן אם R {\displaystyle {\mathcal {R}}} א-סימטרי אז R − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} א-סימטרי. טרנזיטיביות. הוכחה: x R − 1 y ∧ y R − 1 z ⇒ y R x ∧ z R y ⇒ z R x ⇒ x R − 1 z {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\land y{\mathcal {R}}^{-1}z\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x\land z{\mathcal {R}}y\,\Rightarrow \,z{\mathcal {R}}x\Rightarrow x{\mathcal {R}}^{-1}z} . ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: ( R − 1 ) − 1 = R {\displaystyle ({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}={\mathcal {R}}} . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ"אם ב- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} אז ב- R − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} " ל"ב- R {\displaystyle {\mathcal {R}}} אם ורק אם ב- R − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}} ". הוכחה: לכל x , y {\displaystyle x,y} מתקיים x ( R − 1 ) − 1 y ⟺ y R − 1 x ⟺ x R y {\displaystyle x({\mathcal {R}}^{-1})^{-1}y\iff y{\mathcal {R}}^{-1}x\iff x{\mathcal {R}}y} הפונקציה המתאימה לכל יחס את ההופכי שלו היא פונקציה שומרת הכלה: R ⊆ T ⟺ T ⊆ R {\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {T}}\iff {\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {R}}} . הוכחה: לכל x , y {\displaystyle x,y} מתקיים x R − 1 y ⇒ y R x ⇒ y T x ⇒ x T − 1 y {\displaystyle x{\mathcal {R}}^{-1}y\,\Rightarrow \,y{\mathcal {R}}x\,\Rightarrow \,y{\mathcal {T}}x\,\Rightarrow \,x{\mathcal {T}}^{-1}y} ולכן R − 1 ⊆ T − 1 {\displaystyle {\mathcal {R}}^{-1}\subseteq {\mathcal {T}}^{-1}} . ההופכי מתפלג מעל החיתוך: ( R ∩ T ) − 1 = R − 1 ∩ T − 1 {\displaystyle ({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {R}}^{-1}\cap {\mathcal {T}}^{-1}} . הוכחה: לכל x , y {\displaystyle x,y} מתקיים x ( R ∩ T ) − 1 y ⟺ y ( R ∩ T ) x ⟺ y R x ∧ y T x ⟺ x R − 1 y ∧ x T − 1 y ⟺ x ( R − 1 ∩ T − 1 ) y {\displaystyle x({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})^{-1}y\iff y({\mathcal {R}}\cap {\mathcal {T}})x\iff y{\mathcal {R}}x\land y{\mathcal {T}}x\iff x{\mathcal {R}}^{-1}y\land x{\mathcal {T}}^{-1}y\iff x({\mathcal {R}}^{-1}\cap {\mathcal {T}}^{-1})y} . ההופכי מתפלג מעל האיחוד: ( R ∪ T ) − 1 = R − 1 ∪ T − 1 {\displaystyle ({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {R}}^{-1}\cup {\mathcal {T}}^{-1}} . הוכחה: לכל x , y {\displaystyle x,y} מתקיים x ( R ∪ T ) − 1 y ⟺ y ( R ∪ T ) x ⟺ y R x ∨ y T x ⟺ x R − 1 y ∨ x T − 1 y ⟺ x ( R − 1 ∪ T − 1 ) y {\displaystyle x({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})^{-1}y\iff y({\mathcal {R}}\cup {\mathcal {T}})x\iff y{\mathcal {R}}x\lor y{\mathcal {T}}x\iff x{\mathcal {R}}^{-1}y\lor x{\mathcal {T}}^{-1}y\iff x({\mathcal {R}}^{-1}\cup {\mathcal {T}}^{-1})y} . ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: ( R ∘ T ) − 1 = T − 1 ∘ R − 1 {\displaystyle ({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})^{-1}={\mathcal {T}}^{-1}\circ {\mathcal {R}}^{-1}} . הוכחה: לכל x , y {\displaystyle x,y} מתקיים x ( R ∘ T ) − 1 y ⟺ y ( R ∘ T ) x ⟺ ∃ z , y R z ∧ z T x ⟺ ∃ z , z R − 1 y ∧ x T − 1 z ⟺ x ( T − 1 ∘ R − 1 ) y {\displaystyle x({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})^{-1}y\iff y({\mathcal {R}}\circ {\mathcal {T}})x\iff \exists z,y{\mathcal {R}}z\land z{\mathcal {T}}x\iff \exists z,z{\mathcal {R}}^{-1}y\land x{\mathcal {T}}^{-1}z\iff x({\mathcal {T}}^{-1}\circ {\mathcal {R}}^{-1})y} . מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר. לכל קבוצה A {\displaystyle A} , היחס ההופכי ליחס ⊆ {\displaystyle \subseteq } על P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} הוא ⊇ {\displaystyle \supseteq } . לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית. היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על". יחס (תורת הקבוצות) פונקציה הופכית תורת הקבוצות על פי הרצאות של פרופ' ענר שלו, עמוד 11.