אקסיומות ההסתברות

בתורת ההסתברות, אקסיומות ההסתברות הן תנאים שאנו דורשים כי פונקציה כלשהי תקיים כדי שנוכל לראות אותה כמתארת הסתברויות. הבנייה המקובלת של תורת ההסתברות, וזו המוצגת בערך זה, מבוססת על אקסיומות קולמוגורוב (על שם המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב שניסח אותן לראשונה), אם כי ישנן אקסיומטיזציות נוספות, דוגמת זו של קוקס. בצורה אינטואיטיבית האקסיומות מנוסחות כך: אחד מכל המאורעות האפשריים חייב להתקיים, וההסתברות שיתרחש מאורע המורכב מכמה מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של המאורעות הללו בנפרד. אלו הן דרישות שנחשבות הגיוניות כאשר מנסים לנסח בצורה פורמלית את הרעיון האינטואיטיבי של הסתברות. יהא ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} מרחב הסתברות. הקבוצה Ω {\displaystyle \Omega } נקראת מרחב המדגם וכמו כן אנו דורשים כי F {\displaystyle {\mathcal {F}}} (שדה המאורעות) תהא סיגמא-אלגברה. מהפונקציה P {\displaystyle P} אנו דורשים את התכונות הבאות: לכל E ∈ F {\displaystyle E\in {\mathcal {F}}} מתקיים 0 ≤ P ( E ) {\displaystyle 0\leq P(E)} . דרישה זו נובעת מכך שאנו תופסים הסתברות של מאורע בתור מספר ממשי בין 0 {\displaystyle 0} ל- 1 {\displaystyle 1} , ומצפים שלכל מאורע שמעניין אותנו (כלומר, ששייך לסיגמא-אלגברה) תהיה הסתברות מוגדרת וקבועה. P ( Ω ) = 1 {\displaystyle P(\Omega )=1} . דרישה זו נובעת מכך שאנו מצפים שלפחות אחד מהאירועים הבסיסיים שבמרחב המדגם יתקיים תמיד, בכל ניסוי שנערוך. לכל סדרה של מאורעות E 1 , E 2 , … {\displaystyle E_{1},E_{2},\dots } שאיבריה מקיימים   E i ∩ E j = ∅ {\displaystyle \ E_{i}\cap E_{j}=\emptyset } לכל   i ≠ j {\displaystyle \ i\neq j} (כלומר זרים בזוגות) מתקיים P ( ⋃ i = 1 ∞ E i ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E i ) {\displaystyle P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i})} . תכונה זו מכונה סיגמא-אדיטיביות ופירושה שבהינתן אוסף בן מנייה של מאורעות זרים, ההסתברות של איחודם (כלומר, ההסתברות שיתרחש אחד מהאירועים הבסיסיים שבהם) שווה לסכום של ההסתברויות שלהם בנפרד. בקצרה אפשר לנסח זאת כך: P : F → [ 0 , 1 ] {\displaystyle P\colon {\mathcal {F}}\to [0,1]} היא פונקציית מידה. מידה זו נקראת "מידת הסתברות" (Probability Measure). מהאקסיומות הללו נובעות מספר תוצאות שימושיות. רובן הן תכונות כלליות של פונקציית מידה ואפשר למצוא פירוט עליהן בערך על תורת המידה, אך חלקן ייחודיות להסתברות. הסתברות של מאורע משלים: תוצאה מיידית מהאקסיומות היא שעבור מאורע E {\displaystyle E} כלשהו מתקיים P ( E c ) = 1 − P ( E ) {\displaystyle P(E^{c})=1-P(E)} . כלומר, ההסתברות שהמאורע לא יתקיים (ולכן משלימו ביחס ל- Ω {\displaystyle \Omega } יתקיים) שווה 1 {\displaystyle 1} פחות ההסתברות שהוא כן יתקיים. כדי להיווכח בתכונה זו די לראות כי E ∩ E c = ∅ , E ∪ E c = Ω {\displaystyle E\cap E^{c}=\emptyset ,E\cup E^{c}=\Omega } ולכן על פי האקסיומות השנייה והשלישית נקבל 1 = P ( Ω ) = P ( E ∪ E c ) = P ( E ) + P ( E c ) {\displaystyle 1=P(\Omega )=P(E\cup E^{c})=P(E)+P(E^{c})} . מכאן נובע ש- P ( ∅ ) = P ( Ω c ) = 0 {\displaystyle P(\emptyset )=P(\Omega ^{c})=0} . מונוטוניות: אם A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} מאורעות, אז P ( A ) ≤ P ( B ) {\displaystyle P(A)\leq P(B)} . אכן, ניתן לרשום B = A ∪ ( B ∖ A ) {\displaystyle B=A\cup (B\setminus A)} ומכיוון שזהו איחוד זר לקבל P ( B ) = P ( A ) + P ( B ∖ A ) ≥ P ( A ) {\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A)} כי P ( B ∖ A ) ≥ 0 {\displaystyle P(B\setminus A)\geq 0} . תוצאה שימושית היא P ( A ∖ B ) = P ( A ) − P ( A ∩ B ) {\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)} . תוצאה זו ניתן לראות כאשר שמים לב כי A = ( A ∖ B ) ∪ ( A ∩ B ) {\displaystyle A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)} וזהו איחוד זר. תוצאה נוספת מהאקסיומות היא שלכל שני מאורעות (לא בהכרח זרים) A , B {\displaystyle A,B} יתקיים P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)} . תוצאה זו היא מקרה פרטי של "עקרון ההכלה וההפרדה". כדי לראות תכונה זו נשים לב כי P ( A ∪ B ) = P ( ( A ∖ ( A ∩ B ) ) ∪ ( B ∖ ( A ∩ B ) ) ∪ ( A ∩ B ) ) {\displaystyle P(A\cup B)=P\left((A\setminus (A\cap B))\cup (B\setminus (A\cap B))\cup (A\cap B)\right)} וזהו איחוד זר. כעת נקבל:   P ( A ∪ B ) = P ( A ) − P ( A ∩ B ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) {\displaystyle \ P(A\cup B)=P(A)-P(A\cap B)+P(B)-P(A\cap B)+P(A\cap B)} ומכאן קיבלנו את התוצאה. אקסיומות ההסתברות, באתר MathWorld (באנגלית)