פונקציית גאוס

פונקציית גאוס (באנגלית: Gaussian function; נקראת גם גאוסיאן) היא פונקציה מתמטית בעלת שימושים רבים במתמטיקה, פיזיקה ומדעי המחשב. פונקציה זו נקראת על שם קרל פרידריך גאוס. צורתה המתמטית היא: f ( x ) = a e − ( x − b ) 2 2 c 2 {\displaystyle f\left(x\right)=ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{2c^{2}}}}} פונקציית הגאוסיאן מכונה בשם פונקציית הפעמון כפי שניתן להיווכח מצורתה הייחודית. בפונקציה, שמיוצגת לרוב על ידי שלושה פרמטרים, הפרמטר a מבטא את הגובה של הגאוסיאן, הפרמטר b מבטא את מיקום המרכז של הגאוסיאן, ו-c מבטא את רוחבו של הגאוסיאן. הגאוסיאן משמש בהסתברות כפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית, שם מקשרים בין הפרמטרים a , c {\displaystyle a,c} לבין הממוצע של המשתנה, וכן סטיית התקן שלו. אינטגרל על גאוסיאן מבוצע באמצעות מעבר לקואורדינטות פולריות, שמפשט את האינטגרל באמצעות היעקוביאן ומקל על החישוב. גם כאשר עוסקים בהילוך שיכור הגאוסיאן מופיע, וכן במקרה הרציף של הילוך שיכור - פתרון משוואת הדיפוזיה אשר שניהם מתארים תנועה אקראית. החשיבות של הגאוסיאן, ומקור הופעתו בטבע, היא בחוק המספרים הגדולים - חוק מתמטי, אשר לפיו סכום של משתנים אקראיים רבים שאינם תלויים ישאף (באופן מסוים מאוד) לגאוסיאן. כך למשל מתקבל המופע של הגאוסיאן בהילוך שיכור. הפונקציה מופיעה במקומות רבים, כגון ציוני מבחנים ותוצאות מבחני אינטליגנציה (IQ). כאשר מתבוננים בשטח שמתחת לגאוסיאן בטווח עד סטיית תקן אחת מהממוצע, מתקבל שטח המהווה כ 68 % {\displaystyle 68\%} מתוך השטח שנמצא מתחת לגאוסיאן זה נובע מהחוק האמפירי . אם מדובר בגאוסיאן שמייצג התפלגות, אז המשמעות היא ש 68 % {\displaystyle 68\%} מהאוכלוסייה נמצאת בטווח μ ± ε {\displaystyle \mu \pm \varepsilon } . כך, למשל, ליותר ממחצית מהאוכלוסייה מנת משכל בין 85 לבין 115. חישוב האינטגרל ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx} . הוא קשה מאוד ולא נראה פתיר, מכיוון שהפונקציה הקדומה של e − x 2 {\displaystyle e^{-x^{2}}} אינה אנליטית. עם זאת, נראה חישוב עקיף של הגאוסיאן, שפותר את הבעיה. לשם כך, נעלה את האינטגרל בריבוע, ולמעשה נעביר את הפונקציה לדו־ממדית. נקבל ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ⋅ ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy} . אם נעבור לקואורדינטות פולריות, נקבל: ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ⋅ ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ( p o l a r ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π e − r 2   r d θ d r {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\cdot \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}dy=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dxdy=^{(polar)}=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-r^{2}}\ rd\theta dr} כאשר ה- r {\displaystyle r} הנוסף מגיע מהיעקוביאן של קואורדינטות פולאריות. כעת המצב שלנו טוב יותר, שכן הפונקציה הפנימית נראית כמעט כמו d d r e − r 2 {\displaystyle {\frac {d}{dr}}e^{-r^{2}}} . כלומר, נקבל ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π r ⋅ e − r 2 d θ d r = − 2 π ⋅ 1 2 ⋅ [ e − r 2 ] 0 ∞ = π {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }r\cdot e^{-r^{2}}d\theta dr=-2\pi \cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left[e^{-r^{2}}\right]_{0}^{\infty }=\pi } אבל הביטוי שהתחלנו ממנו היה ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{2}} , לכן סה"כ קיבלנו ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}} . מכיוון שהפונקציה זוגית, נוכל גם לבצע חצי מהאינטגרל: ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} . כעת, נתעניין בחישוב אינטגרל מסובך מעט יותר - ∫ − ∞ ∞ a e − ( x − b ) 2 / 2 c 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-\left(x-b\right)^{2}/2c^{2}}\,dx} . על ידי ההצבה x ↦ x + b {\displaystyle x\mapsto x+b} ניתן להיפטר מאחד הגורמים. כמו כן ה a {\displaystyle a} רק מוסיף פקטור מחוץ לאינטגרל. ההצבה הנוספת x ↦ y 2 c , d y = d x ⋅ 2 c {\displaystyle x\mapsto {\frac {y}{{\sqrt {2}}c}},dy=dx\cdot {\sqrt {2}}c} תתן אינטגרל מהצורה שכבר פתרנו, עם פקטור נוסף של 2 ⋅ c {\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot c} . סה"כ קיבלנו ∫ − ∞ ∞ a e − ( x − b ) 2 / 2 c 2 d x = 2 π | c | ⋅ a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }a\,e^{-\left(x-b\right)^{2}/2c^{2}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\left\vert c\right\vert \cdot a} . פונקציית גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)