חוג מנה

במתמטיקה, חוג מנה הוא בניה בתורת החוגים הדומה לבניה של חבורות מנה בתורת החבורות. בהינתן חוג R {\displaystyle R} ואידיאל דו-צדדי I {\displaystyle I} , ב- R {\displaystyle R} בונים את חוג המנה R / I {\displaystyle R/I} . מבחינה אינטואיטיבית, R / I {\displaystyle R/I} מתקבל מ- R {\displaystyle R} על ידי איפוס של כל איברי I {\displaystyle I} . בהינתן חוג R {\displaystyle R} ואידיאל דו-צדדי I {\displaystyle I} , ניתן להגדיר יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } על R {\displaystyle R} על ידי: a ∼ b {\displaystyle a\sim b} אם ורק אם b − a ∈ I {\displaystyle b-a\in I} , ואומרים כי a {\displaystyle a} שקול ל- b {\displaystyle b} מודולו I {\displaystyle I} . מחלקת השקילות של איבר a {\displaystyle a} ב- R {\displaystyle R} נתונה על ידי: [ a ] = a + I = { a + r : r ∈ I } {\displaystyle [a]=a+I=\{a+r:r\in I\}} . מחלקה זו נקראת מחלקת השקילות של a {\displaystyle a} מודולו I {\displaystyle I} . את אוסף מחלקות השקילות מסמנים ב- R / I {\displaystyle R/I} . קבוצה זו הופכת לחוג, חוג המנה R {\displaystyle R} מודולו I {\displaystyle I} על ידי הפעולות: [ a ] + [ b ] = ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I = [ a + b ] {\displaystyle [a]+[b]=(a+I)+(b+I)=(a+b)+I=[a+b]} [ a ] ⋅ [ b ] = ( a + I ) ⋅ ( b + I ) = a ⋅ b + I = [ a ⋅ b ] {\displaystyle [a]\cdot [b]=(a+I)\cdot (b+I)=a\cdot b+I=[a\cdot b]} מתכונת הבליעה של אידיאל דו-צדדי נובע כי פעולות אלה מוגדרות היטב (כלומר – הן אינן תלויות בנציגים אשר נבחרים למחלקות השקילות). איבר האפס של R / I {\displaystyle R/I} מוגדר להיות [ 0 ] = 0 + I = I {\displaystyle [0]=0+I=I} ואיבר היחידה (ביחס לכפל) מוגדר להיות [ 1 ] = 1 + I {\displaystyle [1]=1+I} . ביחס לפעולות ואיברים אלו, R / I {\displaystyle R/I} הוא חוג. ההעתקה ρ : R → R / I {\displaystyle \rho :R\rightarrow R/I} המוגדרת על ידי ρ ( x ) = [ x ] = x + I {\displaystyle \rho (x)=[x]=x+I} היא הומומורפיזם של חוגים, ומההגדרה של R / I {\displaystyle R/I} נובע כי זהו הומומורפיזם על. אם R {\displaystyle R} הוא חוג חילופי, ו- I {\displaystyle I} הוא אידיאל ב- R {\displaystyle R} , אז גם R / I {\displaystyle R/I} הוא חוג חילופי; ייתכן כי R / I {\displaystyle R/I} הוא חילופי בעוד ש- R {\displaystyle R} אינו. הגרעין של ההעתקה הטבעית ρ : R → R / I {\displaystyle \rho :R\rightarrow R/I} שווה ל- I {\displaystyle I} . כיוון שהגרעין של הומומורפיזם של חוגים הוא תמיד אידיאל (דו-צדדי), ניתן לומר כי אידיאלים הם בדיוק גרעינים של הומומורפיזמים. ביתר כלליות, ההומומורפיזמים המוגדרים על חוג המנה R / I {\displaystyle R/I} שקולים להומומורפיזמים של חוגים המוגדרים על R {\displaystyle R} ואשר מתאפסים על I {\displaystyle I} . ליתר דיוק, בהינתן אידיאל דו-צדדי I {\displaystyle I} בחוג R {\displaystyle R} והומומורפיזם של חוגים f : R → S {\displaystyle f:R\rightarrow S} אשר גרעינו מכיל את I {\displaystyle I} , קיים הומומורפיזם יחיד g : R / I → S {\displaystyle g:R/I\rightarrow S} כך ש- g ∘ ρ = f {\displaystyle g\circ \rho =f} . ההעתקה g {\displaystyle g} מוגדרת על ידי הכלל g ( [ a ] ) = f ( a ) {\displaystyle g([a])=f(a)} . כמסקנה מכך מתקבל משפט האיזומורפיזם עבור חוגים: כל הומומורפיזם של חוגים f : R → S {\displaystyle f:R\rightarrow S} משרה איזומורפיזם בין חוג המנה R / ker ⁡ ( f ) {\displaystyle R/\ker(f)} לתמונה I m ( f ) {\displaystyle Im(f)} . בחוג חילופי R {\displaystyle R} מתקיים שאידיאל I {\displaystyle I} הוא ראשוני אם ורק אם חוג המנה R / I {\displaystyle R/I} הוא תחום שלמות. יתר על כן, I {\displaystyle I} הוא אידיאל מקסימלי אם ורק אם R / I {\displaystyle R/I} הוא חוג פשוט, ובמקרה הקומוטטיבי זה שקול להיותו שדה. באמצעות ההעתקה הטבעית מ- R {\displaystyle R} ל- R / I {\displaystyle R/I} ניתן להוכיח כי ישנם קשרים רבים בין האידיאלים בחוגים אלו: ישנה התאמה חד-חד-ערכית בין האידיאלים ב- R {\displaystyle R} המכילים את I {\displaystyle I} לבין האידיאלים של R / I {\displaystyle R/I} . יתר על כן, אם J {\displaystyle J} הוא אידיאל ב- R {\displaystyle R} המכיל את I {\displaystyle I} , ו- J / I {\displaystyle J/I} היא התמונה שלו ב- R / I {\displaystyle R/I} , אז חוגי המנה R / J {\displaystyle R/J} ו- ( R / I ) / ( J / I ) {\displaystyle (R/I)/(J/I)} איזומורפיים. ולכן מתקיים ש- J {\displaystyle J} ראשוני/מקסימלי אם ורק אם J / I {\displaystyle J/I} מקסימלי/ראשוני. הדוגמאות הקיצוניות ביותר של חוגי מנה מתקבלות מה"אידיאלים הקיצוניים ביותר" בחוג – אידיאל האפס והחוג כולו. לכל חוג R {\displaystyle R} מתקיים R / { 0 } ≅ R {\displaystyle R/\{0\}\cong R} ו- R / R ≅ { 0 } {\displaystyle R/R\cong \{0\}} . עובדות אלו מתאימות לכלל האצבע לפיו ככל שהאידיאל I {\displaystyle I} "גדול יותר" כך החוג R / I {\displaystyle R/I} "קטן יותר". בחוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , נסמן ב n Z {\displaystyle n\mathbb {Z} } את האידיאל המכיל את כל הכפולות של מספר שלם נתון n {\displaystyle n} . עבור x , y ∈ Z {\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} } מתקיים x − y ∈ n Z {\displaystyle x-y\in n\mathbb {Z} } אם ורק אם ל- x , y {\displaystyle x,y} יש אותה שארית חלוקה ב- n {\displaystyle n} . לכן, חוג המנה Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } מכיל n {\displaystyle n} איברים – מחלקות השקילות תחת יחס החלוקה: { [ 0 ] , [ 1 ] , … , [ n − 1 ] } {\displaystyle \{[0],[1],\dots ,[n-1]\}} . מבנה זה מקבל מבנה של חוג המנה מפעולות החיבור והכפל במספרים השלמים, והופך לחוג בפני עצמו – זהו חוג בסיסי במתמטיקה. בחוג הפולינומים מעל שדה המספרים הממשיים R [ x ] {\displaystyle \mathbb {R} [x]} , יהי I = ⟨ x 2 + 1 ⟩ {\displaystyle I=\langle x^{2}+1\rangle } , האידיאל המכיל את כל הכפולות של הפולינום x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} . חוג המנה R [ x ] / ⟨ x 2 + 1 ⟩ {\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle } איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים. הסיבה לכך היא שהמחלקה של האיבר [ x ] {\displaystyle [x]} מקיימת ש- [ x ] 2 + [ 1 ] = [ x 2 + 1 ] = [ 0 ] {\displaystyle [x]^{2}+[1]=[x^{2}+1]=[0]} , ולכן [x] הוא שורש ריבועי של מינוס אחד. באופן יותר כללי, חוגי מנה משמשים לבניית שדות הרחבה. נניח כי K {\displaystyle K} הוא שדה וכי f {\displaystyle f} הוא פולינום אי פריק ב- K [ x ] {\displaystyle K[x]} . המנה L = K [ x ] / ⟨ f ⟩ {\displaystyle L=K[x]/\langle f\rangle } היא שדה המכיל את K {\displaystyle K} ושהאיבר [ x ] {\displaystyle [x]} שבו מקיים שהפולינום המינימלי שלו מעל K {\displaystyle K} שווה ל- f {\displaystyle f} . שימוש חשוב בדוגמה האחרונה מתעורר בבעיית הבניה של שדות סופיים. לדוגמה, עבור F 3 = Z / 3 Z {\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} } , השדה בעל 3 איברים, הפולינום f ( x ) = x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+1} הוא אי-פריק מעל F 3 {\displaystyle F_{3}} (שכן אין לו שורשים), וניתן לבנות את חוג המנה F 3 [ x ] / ⟨ f ⟩ {\displaystyle F_{3}[x]/\langle f\rangle } . זהו שדה עם 3 2 = 9 {\displaystyle 3^{2}=9} איברים. כל שדה סופי ניתן לבניה בדרך זו תוך שימוש בשדות מסדר ראשוני ופולינום אי פריק מכל מעלה. חוגי הקואורדינטות של יריעות אלגבריות מהווים דוגמה חשובה לחוגי מנה המופיעה בגאומטריה אלגברית. לדוגמה, עבור היריעה V = { ( x , y ) : x 2 = y 3 } ⊆ R 2 {\displaystyle V=\{(x,y):x^{2}=y^{3}\}\subseteq \mathbb {R} ^{2}} , ניתן לזהות את חוג הפונקציות הפולינומיות על היריעה עם חוג המנה R [ x , y ] / ( x 2 − y 3 ) {\displaystyle \mathbb {R} [x,y]/(x^{2}-y^{3})} , וזהו חוג הקואורדינטות של V {\displaystyle V} . ניתן ללמוד על הגאומטריה של V {\displaystyle V} על ידי חקירה של חוג זה. נניח כי M {\displaystyle M} היא יריעה דיפרנציאלית וכי p {\displaystyle p} היא נקודה על M {\displaystyle M} . בחוג R = C ∞ ( M ) {\displaystyle R=C^{\infty }(M)} – חוג הפונקציות החלקות על M {\displaystyle M} , יהי I {\displaystyle I} האידיאל של הפונקציות החלקות אשר מתאפסות בסביבה כלשהי של p {\displaystyle p} . חוג המנה R / I {\displaystyle R/I} נקרא חוג הנבטים של M {\displaystyle M} ב- p {\displaystyle p} . באמצעות חוג זה ניתן ללמוד על הגאומטריה של M {\displaystyle M} קרוב ל- p {\displaystyle p} . משפט השאריות הסיני חוג מנה, באתר MathWorld (באנגלית)