טווח של פונקציה

במתמטיקה, טווח של פונקציה אחד משלושת המרכיבים של פונקציה, לצד תחום וכלל התאמה. הטווח, הוא קבוצת כל הפלטים שהפונקציה מחזירה. בסימון f : X → Y {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} הטווח של הפונקציה f {\displaystyle f} הוא הקבוצה Y {\displaystyle Y} . באופן פורמלי, טווח הוא חלק מפונקציה f {\displaystyle f} , אם f {\displaystyle f} מוגדרת על ידי השלשה הסדורה ( X , Y , G ) {\displaystyle (X,Y,G)} כאשר X {\displaystyle X} הוא התחום של f {\displaystyle f} , Y {\displaystyle Y} הטווח שלה ו- G {\displaystyle G} כלל ההתאמה ביניהם. טווח של פונקציה הוא מונח שונה מתמונה של פונקציה. התמונה מוגדרת להיות קבוצת כל האיברים מהצורה f ( x ) {\displaystyle f(x)} , כאשר x {\displaystyle x} נע על פני איברי התחום X {\displaystyle X} , נקרא התמונה של f {\displaystyle f} . באופן בלתי פורמלי, הטווח הוא קבוצת כל האיברים שהפונקציה יכולה להגיע אליהם, ואילו התמונה היא קבוצת כל האיברים שהפונקציה אכן מגיעה אליהם. היות שתמונה של פונקציה היא תת-קבוצה של הטווח שלה, היא לא בהכרח שווה לטווח. כלומר, ייתכן שקיימים איברים בטווח שלמשוואה f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} אין פתרון עבורם. אם התמונה והטווח של f {\displaystyle f} שווים, אז f {\displaystyle f} היא פונקציה על. עבור הפונקציה f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } המוגדרת על ידי כלל ההתאמה f ( x )   =   x 2 {\displaystyle f(x)\ =\ x^{2}} הטווח של f {\displaystyle f} הוא R {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} } , אבל f {\displaystyle f} לא מגיעה לשום מספר שלילי. לפיכך התמונה של f {\displaystyle f} היא הקבוצה R 0 + {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}} ; כלומר, הקטע [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . דוגמה נוספת היא הפונקציה g {\displaystyle g} : g : R → R 0 + {\displaystyle g\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}} עם כלל ההתאמה g ( x )   =   x 2 {\displaystyle g(x)\ =\ x^{2}} . אף על פי שהפונקציות f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} מתאימות לכל x {\displaystyle x} בתחום את אותו ה- y {\displaystyle y} בטווח, הן פונקציות שונות, מכיוון שיש להן טווחים שונים. נגדיר פונקציה שלישית h {\displaystyle h} על ידי כלל ההתאמה h ( x ) = x {\displaystyle h(x)={\sqrt {x}}} . התחום של h {\displaystyle h} לא יכול להיות R {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} } , אבל ניתן להגדיר בתור תחום את R 0 + {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} _{0}^{+}} : h : R 0 + → R {\displaystyle h\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\rightarrow \mathbb {R} } . נבדוק את ההרכבות h ∘ f {\displaystyle h\circ f} ו- h ∘ g {\displaystyle h\circ g} . h ∘ f {\displaystyle h\circ f} אינו שימושי. התמונה של f {\displaystyle f} אינה ידועה; ידוע רק שהיא תת-קבוצה של R {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} } . מסיבה זו, ייתכן ש- h {\displaystyle h} , כאשר היא מורכבת עם f {\displaystyle f} , עשויה לקבל ארגומנט שלא מוגדר עבורו פלט. שהרי מספרים שליליים אינם איברים בתחום של h {\displaystyle h} , שהיא פונקציית השורש הריבועי. לכן הרכבה של פונקציה היא מושג שימושי רק כאשר הטווח של הפונקציה f {\displaystyle f} היא תת-קבוצה של התחום של הפונקציה g {\displaystyle g} . הטווח משפיע על האם הפונקציה היא פונקציה על. הפונקציה היא על אם ורק אם הטווח שלה שווה לתמונה שלה. בדוגמה, g {\displaystyle g} פונקציה על בעוד f {\displaystyle f} לא. הטווח אינו משפיע על האם פונקציה היא חד חד ערכית. דוגמה שנייה להבדל בין טווח לתמונה מודגמת על ידי העתקות הליניאריות בין שני מרחבים וקטוריים. בפרט, כל העתקות הליניאריות מ- R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} לעצמו, שיכולות להיות מיוצגות על ידי מטריצות 2×2 עם מקדמים ממשיים. כל מטריצה מייצגת מפה עם תחום R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} וטווח R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} . עם זאת, התמונה אינה ודאית. לחלק מההעתקות עשויות להיות תמונה שווה לכל הטווח (במקרה זה המטריצות מדרגה 2) אך רבות לא. במקום זאת ממפות לתת-מרחב קטן יותר (מטריצות מדרגה 1 או 0). למשל, המטריצה: T = ( 1 0 1 0 ) {\displaystyle T={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}} מייצגת העתקה ליניארית הממפה את הנקודה ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} ל- ( x , x ) {\displaystyle (x,x)} . הנקודה ( 2 , 3 ) {\displaystyle (2,3)} אינה בתמונה של T {\displaystyle T} אבל היא עדיין בטווח, שכן ההעתקות הליניאריות הן מ- R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} ל- R 2 {\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}} . בדיוק כמו כל המטריצות בגודל 2×2, T {\displaystyle T} מייצגת איבר בקבוצה זו. בחינת ההבדלים בין התמונה לטווח יכולה לעיתים קרובות להיות שימושית לגילוי מאפיינים של הפונקציה המדוברת. לדוגמה, ניתן להסיק של- T {\displaystyle T} אין דרגה מלאה, מאחר שהתמונה שלה קטנה יותר מהטווח. בתורת הקבוצות רצוי לאפשר לתחום של פונקציה להיות מחלקה נאותה X {\displaystyle X} , ובמקרה אלו, אין דבר כזה שלשה סדורה ( X , Y , G ) {\displaystyle (X,Y,G)} . עם הגדרה כזו אין לפונקציות טווח, אף על פי שחלק מהכותבים עדיין משתמשים בו באופן לא רשמי, לאחר הצגת פונקציה בצורה f : X → Y {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} . אביב צנזור, קורס הכנה – מבוא לפונקציות, "הטכניון מלמדים", בעמוד היוטיוב של הטכניון, ‏18 בנובמבר 2020 טווח של פונקציה, באתר MathWorld (באנגלית) אלי לוין, אלגברה לינארית I (עמ' 128), האוניברסיטה הפתוחה, הגדרה 10.I, ‏1993 אלי לוין, אלגברה לינארית I (עמ' 128), האוניברסיטה הפתוחה, הגדרה 12.I, ‏1993