לוקליזציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג R {\displaystyle R} ותת קבוצה של איברי החוג, S {\displaystyle S} , רוצים לבנות חוג חדש R ∗ {\displaystyle R^{*}} והעתקת חוגים מ- R {\displaystyle R} ל- R ∗ {\displaystyle R^{*}} כך שכל אחד מאיברי S {\displaystyle S} יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב- R ∗ {\displaystyle R^{*}} . יתר על כן, דורשים כי R ∗ {\displaystyle R^{*}} יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי S − 1 R {\displaystyle \,S^{-1}R} , או אם S = R − p {\displaystyle \,S=R-{\mathfrak {p}}} , כאשר p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} הוא אידיאל ראשוני, על ידי R p {\displaystyle \,R_{\mathfrak {p}}} . יהי R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה S {\displaystyle S} ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם a , b ∈ S {\displaystyle a,b\in S} אז a ⋅ b ∈ S {\displaystyle a\cdot b\in S} , וכמו כן נניח כי 1 ∈ S {\displaystyle \,1\in S} . על הקבוצה R × S {\displaystyle \,R\times S} נחשוב כעל קבוצת שברים r s {\displaystyle \,{\frac {r}{s}}} . נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי ( r 1 , s 1 ) ∼ ( r 2 , s 2 ) {\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})} אם קיים t ∈ S {\displaystyle \,t\in S} כך ש t ( r 1 s 2 − r 2 s 1 ) = 0 ∈ R {\displaystyle \,t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0\in R} . אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- r 1 s 2 − r 2 s 1 = 0 {\displaystyle \,r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0} , בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה 0 1 {\displaystyle {\frac {0}{1}}} ואיבר היחידה יהיה 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} . (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - 0 s , s s {\displaystyle {\frac {0}{s}},{\frac {s}{s}}} , עם s ∈ S {\displaystyle s\in S} ). על קבוצת המנה R × S / ∼ {\displaystyle \,R\times S/\sim } נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי: r 1 s 1 + r 2 s 2 = r 1 s 2 + r 2 s 1 s 1 s 2 r 1 s 1 ⋅ r 2 s 2 = r 1 r 2 s 1 s 2 {\displaystyle \,{\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}}\qquad \qquad {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\cdot {\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}}} . על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב S − 1 R {\displaystyle \,S^{-1}R} מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של S {\displaystyle S} . ההעתקה ϕ : R → S − 1 R {\displaystyle \phi \colon R\to S^{-1}R} הנתונה על ידי ϕ ( r ) = r 1 {\displaystyle \phi (r)={\frac {r}{1}}} היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך. אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג R ′ {\displaystyle R'} אחר עם מונומורפיזם φ : R → R ′ {\displaystyle \varphi :R\rightarrow R'} וכך שתמונות איברי S {\displaystyle S} הפיכים ב R ′ {\displaystyle R'} , אז בהכרח קיים מונומורפיזם ψ : S − 1 R → R ′ {\displaystyle \psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'} . כך ש- φ = ψ ∘ ϕ {\displaystyle \varphi =\psi \circ \phi } , כאשר ϕ {\displaystyle \phi } הוגדרה לעיל. הוכחה: נגדיר ישירות את ψ : S − 1 R → R ′ {\displaystyle \psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'} על פי הכלל: ψ ( r s ) = φ ( r ) φ ( s ) − 1 {\displaystyle \psi \left({\frac {r}{s}}\right)=\varphi (r)\varphi (s)^{-1}} . קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - ψ ∘ ϕ ( r ) = ψ ( ϕ ( r ) ) = ψ ( r 1 ) = φ ( r ) φ ( 1 ) − 1 = φ ( r ) {\displaystyle \psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi \left({\frac {r}{1}}\right)=\varphi (r){\varphi (1)}^{-1}=\varphi (r)} . פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים S − 1 R {\displaystyle {S}^{-1}R} . יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים R , S − 1 R , R ′ {\displaystyle R,{S}^{-1}R,R'} , ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם. הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס. ראשית, אם I ≤ R {\displaystyle I\leq R} אידיאל, גם S − 1 I ≤ S − 1 R {\displaystyle S^{-1}I\leq S^{-1}R} אידיאל. בכיוון ההפוך, אם J ≤ S − 1 R {\displaystyle J\leq S^{-1}R} אידיאל, אז J = S − 1 A {\displaystyle J=S^{-1}A} עבור A = { a ∈ R : a 1 ∈ J } {\displaystyle A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}} . כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם I ≤ R {\displaystyle I\leq R} אידיאל ו- S ∩ I ≠ ϕ {\displaystyle S\cap I\neq \phi } , אז S − 1 I = S − 1 R {\displaystyle S^{-1}I=S^{-1}R} (כי יש בו איבר הפיך). אם R {\displaystyle R} חוג נותרי או ארטיני, כך גם S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} . ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים J ∈ Spec ⁡ ( S − 1 R ) {\displaystyle J\in \operatorname {Spec} (S^{-1}R)} אם ורק אם A = { a ∈ R : a 1 ∈ J } ∈ Spec ⁡ ( R ) {\displaystyle A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}\in \operatorname {Spec} (R)} . אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את S {\displaystyle S} , נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית { A ∈ Spec ⁡ ( R ) : A ∩ S = ϕ } ↔ Spec ⁡ ( S − 1 R ) {\displaystyle \{A\in \operatorname {Spec} (R):A\cap S=\phi \}\leftrightarrow \operatorname {Spec} (S^{-1}R)} . התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך. במקרה שבו S = R − p {\displaystyle S=R-{\mathfrak {p}}} עם אידיאל ראשוני p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} , מתקבל החוג R p = ( R − p ) − 1 R {\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R-{\mathfrak {p}})^{-1}R} . האידיאל המקסימלי הוא p R p = S − 1 p {\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}} . יהי R {\displaystyle R} תחום שלמות, ותהי S = R − { 0 } {\displaystyle \,S=R-\{0\}} . במקרה זה S − 1 R {\displaystyle \,S^{-1}R} הוא שדה השברים של R. אם R {\displaystyle R} תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של R [ x ] {\displaystyle R[x]} (חוג הפולינומים) מכיל עותק של ( R − { 0 } ) − 1 R {\displaystyle {(R-\{0\})}^{-1}R} , ושווה לשדה השברים של ( ( R − { 0 } ) − 1 R ) [ x ] {\displaystyle ({(R-\{0\})}^{-1}R)[x]} . אם R = Z {\displaystyle R=\mathbb {Z} } ו- S = Z − p Z {\displaystyle S=\mathbb {Z} -p\mathbb {Z} } כאשר p {\displaystyle p} ראשוני, נקבל כי S − 1 R = { a b : p ∤ b } {\displaystyle S^{-1}R=\left\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b\right\}} , והאידיאל המקסימלי שלו הוא p R p = { a b : p ∤ b , p ∣ a } {\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\left\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b,p\mid a\right\}} . אם R {\displaystyle R} חוג שלם מעל C {\displaystyle C} (כלומר, כל איבר של R {\displaystyle R} הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ- C {\displaystyle C} ) אז S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} שלם מעל S − 1 C {\displaystyle S^{-1}C} לכל S ⊆ C {\displaystyle S\subseteq C} כנ"ל. חוג השברים הקלאסי תנאי אור חוג מקומי לוקליזציה, באתר MathWorld (באנגלית)