איבר פרובניוס

בתורת המספרים האלגברית, איבר פרובניוס היא איבר מיוחד בחבורת גלואה של הרחבה של שדות מספרים, הנקבע על-פי אידיאל ראשוני בלתי מסועף. את קיומם של איברים מסוג זה הוכיח פרדיננד פרובניוס. משפט הצפיפות של צ'בוטרב מראה שכל איבר בחבורה עשוי להיות איבר פרובניוס, אם בוחרים את הראשוני המתאים. איבר פרובניוס מוגדר עבור הרחבת גלואה K/F של שדות מספרים, בנוכחות אידיאל ראשוני p של חוג השלמים   O F {\displaystyle \ O_{F}} של F. האידיאל p מתפרק למכפלה של אידיאלים ראשוניים בחוג השלמים   O K {\displaystyle \ O_{K}} של K:   p = P 1 e 1 ⋯ P g e g {\displaystyle \ p=P_{1}^{e_{1}}\cdots P_{g}^{e_{g}}} . מכיוון שזו הרחבת גלואה, כל גורמי הסיעוף   e i {\displaystyle \ e_{i}} שווים זה לזה. ההנחה שהאידיאל אינו מסועף פירושה שגורמי הסיעוף שווים ל-1, כלומר   p = P 1 ⋯ P g {\displaystyle \ p=P_{1}\cdots P_{g}} . שדה השאריות של F ביחס ל-p הוא חוג המנה   F ¯ = O F / p {\displaystyle \ {\bar {F}}=O_{F}/p} . זהו שדה סופי, נאמר מסדר q. שדות השאריות ביחס לגורמים   P i {\displaystyle \ P_{i}} של p הם   K ¯ i = O K / P i {\displaystyle \ {\bar {K}}_{i}=O_{K}/P_{i}} : גם כאן, מכיוון שזו הרחבת גלואה, כולם איזומורפיים זה לזה. המימד   f = [ K ¯ i : F ¯ ] {\displaystyle \ f=[{\bar {K}}_{i}:{\bar {F}}]} מקיים   n = [ K : F ] = f g {\displaystyle \ n=[K:F]=fg} . כל האוטומורפיזמים בחבורת גלואה   G = Gal ⁡ ( K / F ) {\displaystyle \ G=\operatorname {Gal} (K/F)} שומרים על חוג האיברים השלמים, כקבוצה. חבורת ההרכבה   G ( P i ) {\displaystyle \ G(P_{i})} של הגורם   P i {\displaystyle \ P_{i}} כוללת את האוטומורפיזמים בחבורת גלואה השומרים את P, כלומר,   G ( P i ) = { σ ∈ G : σ ( P i ) = P i } {\displaystyle \ G(P_{i})=\{\sigma \in G:\sigma (P_{i})=P_{i}\}} (כל החבורות   G ( P i ) {\displaystyle \ G(P_{i})} צמודות זו לזו). האיברים בחבורה   G ( P i ) {\displaystyle \ G(P_{i})} מתאימים לאלו בחבורת גלואה של הרחבת השדות הסופיים   K ¯ i / F ¯ {\displaystyle \ {\bar {K}}_{i}/{\bar {F}}} , וזו האחרונה נוצרת על ידי אוטומורפיזם פרובניוס - פעולת ההעלאה בחזקת q. כך מוגדר איבר פרובניוס - האיבר היחיד של   G ( P i ) {\displaystyle \ G(P_{i})} המקיים   σ ( x ) − x q ∈ P i {\displaystyle \ \sigma (x)-x^{q}\in P_{i}} . לכל אידיאל לא מסועף של K יש איבר פרובניוס יחיד, F r ( K / F , P i ) {\displaystyle Fr_{(K/F,P_{i})}} , כפי שהוגדר לעיל. לכל אידיאל ראשוני לא מסועף p ⊂ O F {\displaystyle p\subset O_{F}} , כל איברי פורובניוס המתאימים לאידיאלים P i ⊂ O K {\displaystyle P_{i}\subset O_{K}} המופיעים בפרוק של p O K {\displaystyle pO_{K}} צמודים זה לזה. מכאן שניתן להגדיר מחלקת צמידות ב G a l ( K / F ) {\displaystyle Gal(K/F)} המתאימה לאידיאל p ⊂ O F {\displaystyle p\subset O_{F}} . מחלקת צמידות זאת נקראת מחלקת פרובניוס של   ( K / F , p ) {\displaystyle \ (K/F,p)} . נתבונן בהרחבה של   F = Q {\displaystyle \ F=\mathbb {Q} } על ידי השורשים a ו-b של   a 2 = 1 + 3 , b 2 = 1 − 3 {\displaystyle \ a^{2}=1+{\sqrt {3}},b^{2}=1-{\sqrt {3}}} , בהתאמה (המכפלה ab היא שורש של 2-). ההרחבה של   K = Q [ a , b ] {\displaystyle \ K=\mathbb {Q} [a,b]} מעל F היא הרחבת גלואה ממימד 8, עם חבורת גלואה דיהדרלית, עם איבר   σ {\displaystyle \ \sigma } מסדר 4 המקיים   σ ( a ) = b , σ ( b ) = − a {\displaystyle \ \sigma (a)=b,\sigma (b)=-a} , ואיבר   τ {\displaystyle \ \tau } המקיים   τ ( a ) = a , τ ( b ) = − b {\displaystyle \ \tau (a)=a,\tau (b)=-b} . האידיאל הראשוני   p = ⟨ 5 ⟩ {\displaystyle \ p=\langle 5\rangle } מתפרק למכפלה   ⟨ 5 ⟩ = P P ′ {\displaystyle \ \langle 5\rangle =PP'} כאשר   P = ⟨ 5 , a b ( a 2 − 1 ) − 2 ⟩ {\displaystyle \ P=\langle 5,ab(a^{2}-1)-2\rangle } ו-   P ′ = ⟨ 5 , a b ( a 2 − 1 ) + 2 ⟩ {\displaystyle \ P'=\langle 5,ab(a^{2}-1)+2\rangle } . האוטומורפיזם   τ {\displaystyle \ \tau } מחליף בין האידיאלים, ואילו   σ {\displaystyle \ \sigma } שומר על שניהם. לכן חבורת ההרכבה של שני האידיאלים היא אותה חבורה - זו הנוצרת על ידי   σ {\displaystyle \ \sigma } . שדה השאריות   F ¯ {\displaystyle \ {\bar {F}}} מסדר 5, וההרחבה   K ¯ / F ¯ {\displaystyle \ {\bar {K}}/{\bar {F}}} היא ממימד 4. אפשר לחשב שאיבר פרובניוס ביחס ל-P הוא   σ {\displaystyle \ \sigma } , ואיבר פרובניוס ביחס ל-'P הוא   σ − 1 {\displaystyle \ \sigma ^{-1}} .