אינפיניטסימל

במתמטיקה, אינפיניטסימל הוא גודל חיובי קטן לאין שיעור ("קטן כרצוננו"). הרעיון היה מובלע בעבודתם הגאומטרית של היוונים, שיחק תפקיד מרכזי בחשבון האינפיניטסימלי של המאה ה-18 ואיבד את מקומו לטובת הפיתוח המסודר של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי במאה ה-19. כיום יש תורות של אנליזה לא סטנדרטית העושות בו שימוש. במערכת מספרים היפר-ממשיים קיימים מספרים אינפיניטסימלים. מקור השם הוא בביטוי בלטינית חדשה מהמאה ה-17, infinitesimus, שהתייחס לאיבר ה"אחרון" בסדרה אינסופית. בשפת היומיום, גודל אינפיניטסימלי הוא דבר קטן מעבר ליכולת המדידה, ותהי זו מדידה של זמן, מרחק, ריכוז כימי, או כל דבר אחר. המתמטיקאי הראשון שעשה שימוש באינפיניטסימלים (בלי להשתמש במושג זה) היה ארכימדס (בערך בשנת 250 לפני הספירה), אף על פי שלא שיער את קיומם של אינפיניטסימלים פיזיקליים. תכונת ארכימדס, שהוגדרה בסוף המאה ה-19 על ידי אוטו שטולץ, מאפיינת מבנה סדור, שבו כל גודל קטן מכפולה של כל גודל אחר, ולכן אין בו אינפינטיסימלים שאינם משמרים תכונות חשבוניות. בהודו, בתקופה שבין המאה ה-12 עד המאה ה-16, המתמטיקאי ההודי בהשקרה ומספר מתמטיקאים שעבדו בבית הספר המתמטי של מדינת קרלה בדרום הודו עשו שימוש באינפיניטסימלים במסגרת גרסה ראשונית של חשבון דיפרנציאלי. האינפיניטסימל כרעיון עומד ביסוד עקרון קאוואליירי, הגדרת המשיק באמצעים אלגבריים, משפט פרמה, כלל לופיטל, תיאור קו השרשרת, בעיות הברכיסטוכרון והטאוטכרון. גם קפלר נעזר באינפינטסימלים לצורך מציאת שטח מעגל-תרבוע המעגל (כאמור עקרון קאוואליירי). כאשר אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ פיתחו באופן בלתי תלוי זה בזה את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, על אף מערכת הסימונים השונה שניהם עשו שימוש באינפיניטסימלים. טענה טיפוסית הכוללת גדלים כאלה: נניח שגוף נמצא בכל זמן t במרחק   X ( t ) = t 2 {\displaystyle \ X(t)=t^{2}} מן הראשית. כדי למצוא את מהירותו של הגוף (שהיא הנגזרת של X), יהי   d t {\displaystyle \ dt} אינפיניטסימל. בזמן   t + d t {\displaystyle \ t+dt} הגוף נמצא במרחק   ( t + d t ) 2 {\displaystyle \ (t+dt)^{2}} , ומכאן שבמשך הזמן   d t {\displaystyle \ dt} שמהזמן t, הוא הספיק לעבור מרחק של   ( t + d t ) 2 − t 2 = 2 t ⋅ d t + d t ⋅ d t {\displaystyle \ (t+dt)^{2}-t^{2}=2t\cdot dt+dt\cdot dt} . אם נחלק את המרחק בזמן נקבל   2 t + d t {\displaystyle \ 2t+dt} . אבל   d t {\displaystyle \ dt} קטן כרצוננו, ולכן היחס שווה ל-   2 t {\displaystyle \ 2t} . בעקבות זאת יצא חוצץ הבישוף והפילוסוף ג'ורג' ברקלי, בחיבורו "האנליסט", נגד עצם השימוש באינפיניטסימלים. ברקלי טען שהטענה הזו, אף על פי שהיא מעניינת במבט ראשון, ונותנת את התוצאה הנכונה, מבוססת על הנחות הסותרות זו את זו: אנו מחלקים ב-   d t {\displaystyle \ dt} משום שזהו גודל חיובי שונה מאפס, ואז מחליפים אותו באפס, משום שהוא אינפיניטסימלי. בין המאה ה-17 ועד המחצית השנייה של המאה ה-19, נעשה במערב שימוש מעשי בשיטות שהפכו לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי שבסיסן עקרון שנוי במחלוקת זה. רק אז ניתן לחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי בסיס מתמטי פורמלי באמצעות הגדרת מושג הגבול ”לפונקציה f {\displaystyle \,f} יש גבול   L {\displaystyle \ L} בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} אם לכל   ε > 0 {\displaystyle \ \varepsilon >0} (קטן ככל שיהיה) קיים   δ > 0 {\displaystyle \ \delta >0} מתאים כך שלכל x {\displaystyle x} , אם -   0 < | x − x 0 | < δ {\displaystyle \ 0<|x-x_{0}|<\delta } אז | f ( x ) − L | < ε {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon } .”. באופן דומה ניתן להמשיך ולהגדיר את יתר מושגי היסוד של החדו"א: רציפות, משפט ערך הביניים והכללותיו, גזירות, נגזרת ואינטגרל. במאה ה-20 נמצא שניתן לטפל באינפיניטסימלים ישירות, באופן ריגורוזי, במסגרת האנליזה הלא-סטנדרטית. בין המספרים הממשיים, לכל מספר שלם n יש מספר חיובי h קטן מ-   1 / n {\displaystyle \ 1/n} . משפט הקומפקטיות מאפשר להפוך את סדר הכמתים, ולהסיק שקיימת מערכת מתמטית עם מספר חיובי h, הקטן מכל המספרים מהצורה   1 / n {\displaystyle \ 1/n} גם יחד. מערכת זאת הנקראת שדה המספרים ההיפר-ממשיים, מרחיבה את שדה המספרים הממשיים, והיא מהווה "מודל לא סטנדרטי" שלהם, שבו מתקיימות כל הטענות מסדר ראשון הנכונות עבור מספרים ממשיים. המספרים הממשיים הרגילים מהווים "איברים סטנדרטיים" של המודל, ויש בו בנוסף גם איברים לא סטנדרטיים. באיבר הלא-סטנדרטי h של המערכת החדשה אפשר לראות אינפיניטיסימל, משום שהוא קטן מכל הממשיים החיוביים. (באותה מידה המספר   1 / h {\displaystyle \ 1/h} "גדול לאינסוף" - הוא גדול מכל המספרים הממשיים). גישה זו היא פיתוח של אברהם רובינזון, שיצר ב-1960 את האנליזה הלא-סטנדרטית. בגישה אחרת מרחיבים את השפה, כלומר את מערכת האקסיומות, המתארת את המספרים הממשיים. מערכת אקסיומות כזו פותחה ב-1977 על ידי אדוארד נלסון, והיא נקראת IST, על-שם שלוש האקסיומות שהיא מוסיפה: Idealization, Standardization ו- Transfer. באופן הזה אפשר להגדיר אינפיניטסימלים, שהם קטנים בערכם המוחלט מכל מספר חיובי ממשי סטנדרטי. יש גם גישות אחרות, שבהן רמות שונות של אינפיניטסימלים. כל הגישות הללו עקביות מבחינה מתמטית (במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל). כדי לחקות את התכונות האלגבריות המופשטות של האינפיניטסימלים של החשבון הדיפרנציאלי, אפשר ליצור מערכת חדשה שבה יש איבר "קטן לאין שיעור" במובן שונה מזה שהוצע עד כה - האיבר הזה הוא נילפוטנט, וריבועו אפס, אף על פי שהוא שונה מאפס. באינפיניטיסמל כזה אמנם אי-אפשר לחלק, אבל נגזרות אפשר עדיין לחשב, באמצעות גזירה אלגברית. J. Keisler "Elementary Calculus" (200) University of Wisconsin Elementary Calculus, www.math.wisc.edu K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993) [1] Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer. Robert Goldblatt, Lectures on the Hyperreals: An Introduction to Nonstandard Analysis, New York: Springer-Verlag, 1998, Graduate Texts in Mathematics. (באנגלית) "Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic. [2] "The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.The Strength of Nonstandard Analysis, Wien: Springer-Verlag, 2007. (באנגלית) אינפיניטסימל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Archimedes, The Method of Mechanical Theorems, see the Archimedes palimpsest כתביו של דקארט מכילים חידושים באשר לשימושיות ולממשות שיטות אלגבריות ושימוש באינפיניטסימלים בתקופה שבה גאומטריה הייתה למעשה ה"מתמטיקה" היחידה כיוון שרק זו נשענה על הנחות ומושגי יסוד באופן מוקפד, ידוע כי ניוטון בנעוריו למד את כתביו של דקארט, השפעה זו ניכרת בשיטותיו של ניוטון שפורסמו בחייו באריתמטיקה אוניברסלית ולאחר מותו, ובמפעלו למיון עקומים ממעלה שלישית, ככל הנראה בהשראת שאיפתו הלא מושגת של דקארט. להבנת ההגדרה ראו גם גבול של פונקציה