מספר p-אדי

בתורת המספרים וענפים שונים במתמטיקה, מספר p-אדי הוא פיתוח פורמלי לפי בסיס ראשוני p {\displaystyle p} , שהוא סופי בצד החזקות השליליות p − N {\displaystyle p^{-N}} , ועשוי להיות אינסופי בצד החזקות החיוביות. במובן זה, המספרים ה-p-אדיים הפוכים לשברים העשרוניים הרגילים, שהם סופיים מצד החזקות החיוביות, ועשויים להמשיך לאינסוף בצד החזקות השליליות. אוסף המספרים ה-p-אדיים תלוי במספר p {\displaystyle p} , וכך קיימים מספרים 2-אדיים, 3-אדיים, 5-אדיים, וכן הלאה. במספר p-אדי, שצורתו הכללית a − N p − N + ⋯ + a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ⋯ {\displaystyle a_{-N}p^{-N}+\cdots +a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots } עשויים המקדמים a − N , … , a 0 , a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{-N},\ldots ,a_{0},a_{1},a_{2},\ldots } להיות מספרים שלמים כלשהם. אולם, כל מספר p-אדי ניתן להציג גם באופן כזה שהמקדמים יהיו בטווח 0 ≤ a i ≤ p − 1 {\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1} , והצגה זו היא יחידה. על כן מקובל להניח שתנאי זה מתקיים עבור המקדמים. מבין מספרים ה-p-אדיים, השלמים ה-p-אדיים הם הביטויים a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ⋯ {\displaystyle a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots } , שבהם אין חזקות שליליות של p {\displaystyle p} . בין מספרים ה-p-אדיים a , b {\displaystyle a,b} מגדירים מרחק לפי חזקת p {\displaystyle p} הגדולה ביותר המחלקת את ההפרש – ככל שהחזקה גדולה יותר, המספרים קרובים יותר. באופן פורמלי, אם a = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ⋯ {\displaystyle a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots } אזי | a | p = p − k {\displaystyle |a|_{p}=p^{-k}} , כאשר k = min { n ∈ N : a n ≠ 0 } {\displaystyle k=\min\{n\in \mathbb {N} :a_{n}\neq 0\}} . כמו כן מגדירים | 0 | p = 0 {\displaystyle |0|_{p}=0} . המטריקה היא d ( a , b ) = | a − b | p {\displaystyle d(a,b)=|a-b|_{p}} . תחת הגדרה זו, כל מספר p-אדי מהווה טור מתכנס, משום שהגורמים a n p n {\displaystyle a_{n}p^{n}} הולכים ונעשים קטנים יותר. בין המספרים ה-p-אדיים, הסדרה 1 , p , p 2 , … {\displaystyle 1,p,p^{2},\ldots } שואפת לאפס, בעוד שבמספרים הממשיים דווקא הסדרה ההפוכה 1 , p − 1 , p − 2 , … {\displaystyle 1,p^{-1},p^{-2},\ldots } היא השואפת לאפס. היפוך תפקידים זה בין המספרים הממשיים למספרים ה-p-אדיים הוא המאפשר לחקור את המספרים הרציונליים דרך התבוננות במספרים הממשיים ובמספרים ה-p-אדיים בעת ובעונה אחת. לפי ההגדרה, המקדמים 0 ≤ a i ≤ p − 1 {\displaystyle 0\leq a_{i}\leq p-1} בהצגה כטור חזקות הם חיוביים, ולכאורה אי אפשר להציג מספרים שליליים בתור מספרים p-אדיים. אך ההפך הוא הנכון. לדוגמה: יהי p = 3 {\displaystyle p=3} ונתבונן במספר … 222 = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 2 + ⋯ {\displaystyle \ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots } נחבר לו את המספר 1, ונקבל … 2 1 2 1 2 + … 001 … 000 {\displaystyle {\begin{array}{r}\ldots {\stackrel {1}{2}}{\stackrel {1}{2}}{\stackrel {}{2}}\\^{+}\ldots 001\\\hline \ldots 000\end{array}}} שכן 1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3} ולכן מקבלים 0 בעמודה הראשונה ומוסיפים 1 בתור נשא (carry) לעמודה השנייה, אך גם שם 1 + 2 = 3 {\displaystyle 1+2=3} ולכן גם שם מקבלים 0 ומוסיפים 1 לעמודה הבאה, וכך הלאה. בסופו של דבר מקבלים: … 222 + 1 = 0 {\displaystyle \ldots 222+1=0} ולכן − 1 = … 222 = 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 2 + ⋯ {\displaystyle -1=\,\ldots 222=2\cdot 1+2\cdot 3+2\cdot 3^{2}+\cdots } במקרה הכללי מתקיים כי − 1 = ∑ n = 0 ∞ ( p − 1 ) p n {\displaystyle -1=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(p-1)p^{n}} . אפשר להוכיח זאת כמו בדוגמה של p = 3 {\displaystyle p=3} אך יש הוכחה אלגנטית יותר המשתמשת בנוסחה לסכום של טור הנדסי אינסופי (שהרי טור בחזקות הולכות וגדלות של p {\displaystyle p} מתכנס במטריקה ה-p-אדית). כאן a 0 = p − 1 , q = p {\displaystyle a_{0}=p-1,q=p} ולכן S = a 0 1 − q = p − 1 1 − p = − 1 {\displaystyle S={\frac {a_{0}}{1-q}}={\frac {p-1}{1-p}}=-1} כעת, כל מספר שלילי m {\displaystyle m} ניתן להציג כמכפלה של ההצגה ה-p-אדית של | m | {\displaystyle |m|} בהצגה ה-p-אדית של − 1 {\displaystyle -1} . כל מספר רציונלי ניתן להציג באופן יחיד בתור מספר p-אדי, שהוא לעולם מחזורי (ולהפך: מספר p-אדי הוא רציונלי אם ורק אם ההצגה שלו מחזורית). לדוגמה, בשדה המספרים ה-5-אדיים, 2 3 = 4 + 1 ⋅ 5 + 3 ⋅ 5 2 + 1 ⋅ 5 3 + 3 ⋅ 5 4 + ⋯ {\displaystyle {\frac {2}{3}}=4+1\cdot 5+3\cdot 5^{2}+1\cdot 5^{3}+3\cdot 5^{4}+\cdots } אכן, חזקות של המספר 5 שואפות לאפס (ולא לאינסוף), ולכן הטור S = 1 + 5 2 + 5 4 + 5 6 + ⋯ {\displaystyle S=1+5^{2}+5^{4}+5^{6}+\cdots } מתכנס, וסכומו על פי הנוסחה הידועה לסיכום טורים הנדסיים S = 1 1 − 5 2 = − 1 24 {\displaystyle S={\frac {1}{1-5^{2}}}=-{\frac {1}{24}}} . לכן הסכום לעיל מתכנס ל- 4 + 5 ⋅ S + 3 ⋅ 5 2 ⋅ S = 4 − 80 24 = 2 3 {\displaystyle 4+5\cdot S+3\cdot 5^{2}\cdot S=4-{\frac {80}{24}}={\frac {2}{3}}} . השבר המצומצם a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} הוא שלם p-אדי, אם ורק אם p {\displaystyle p} אינו מחלק את המכנה b {\displaystyle b} . למספרים שלמים רבים יש שורש p-אדי. למשל, 7 = 1 + 3 + 3 2 + 2 ⋅ 3 4 + 2 ⋅ 3 7 + 3 8 + ⋯ {\displaystyle {\sqrt {7}}=1+3+3^{2}+2\cdot 3^{4}+2\cdot 3^{7}+3^{8}+\cdots } (ביטוי זה אינו מחזורי). כאשר p ≠ 2 {\displaystyle p\neq 2} , ו- a {\displaystyle a} הוא מספר שלם זר ל- p {\displaystyle p} ללא גורמים ריבועיים שלמים, יש ל- a {\displaystyle a} שורש p-אדי אם ורק אם a {\displaystyle a} הוא שארית ריבועית מודולו p {\displaystyle p} . בין המספרים ה-p-אדיים לא ניתן להגדיר יחס סדר, מאחר שלמספר השלילי 1 − p 3 {\displaystyle 1-p^{3}} תמיד יש שורש p-אדי. חשיבותם של המספרים ה-p-אדיים היא בכך שניתן להגדיר ביניהם פעולות של חיבור וכפל המחקות את אלה של המספרים הרציונליים. הרחבה זו של הפעולות אפשרית מכיוון שהביטוי ה-p-אדי נמשך לאינסוף רק בכיוון אחד. על ביטויים מאותו סוג הנמשכים לאינסוף לשני הכיוונים לא ניתן להגדיר פעולת כפל סבירה, והם חסרי ערך מתמטי. ניתן להגדיר מספר p-אדי כסדרה הבאה: x = ( … , x n , … , x 1 ) = ( x n ) n = 1 ∞ {\displaystyle x=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=(x_{n})_{n=1}^{\infty }} כך שלכל n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} מתקיים x n ∈ Z / p n Z {\displaystyle x_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } (כלומר: כל איבר או רכיב בסדרה שייך לחוג הסופי של השלמים מודולו p {\displaystyle p} ). כמו כן, על רכיביה להתאים אחד לשני באופן הבא: הם מקיימים ∀ n ≤ m : x n = x m   mod   p n {\displaystyle \forall n\leq m:x_{n}=x_{m}\ {\text{mod}}\ p^{n}} או באופן שקול, המעבר מ- x n {\displaystyle x_{n}} ל- x n − 1 {\displaystyle x_{n-1}} נעשה על ידי x + p n ↦ x + p n − 1 {\displaystyle x+p^{n}\mapsto x+p^{n-1}} . נסתכל בקבוצת כל הסדרות הנ"ל, קבוצה זו נקראת גבול הפוך או גבול פרויקטיבי. עבור p {\displaystyle p} ראשוני נתון, הגבול ההפוך הוא קבוצת המספרים ה-p-אדיים Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} . אפשר להפוך קבוצה זו לחוג על ידי הגדרת פעולות חיבור וכפל. זה נעשה באופן הבא: חיבור: x + y = ( … , x n , … , x 1 ) + ( … , y n , … , y 1 ) = ( … , x n + y n , … , x 1 + y 1 ) {\displaystyle x+y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})+(\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}+y_{n},\ldots ,x_{1}+y_{1})} כפל: x ⋅ y = ( … , x n , … , x 1 ) ⋅ ( … , y n , … , y 1 ) = ( … , x n y n , … , x 1 y 1 ) {\displaystyle x\cdot y=(\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})\cdot (\ldots ,y_{n},\ldots ,y_{1})=(\ldots ,x_{n}y_{n},\ldots ,x_{1}y_{1})} למעשה, מחברים וכופלים מספרים p-אדיים על ידי חיבור וכפל איבר-איבר (לפי רכיבים: x n + y n , x n ⋅ y n ∈ Z / p n Z {\displaystyle x_{n}+y_{n},x_{n}\cdot y_{n}\in \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } ). זהו חוג עם אפס 0 = ( … , 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle 0=(\ldots ,0,0,0)} ויחידה 1 = ( … , 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle 1=(\ldots ,1,1,1)} . יתרה מזו, זהו גם תחום שלמות ולכן ניתן לבנות את שדה השברים על ידי לוקליזציה. שדה זה נקרא "שדה המספרים ה-p-אדיים" ומסומן Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} . גישה זו שימושית באלגברה מופשטת ובתורת המספרים, למשל בחישוב פתרון של משוואה פולינומית מעל חוג ה-p-אדיים באמצעות הלמה של הנזל. נתון p ראשוני, ונרשום שלם p-אדי כטור חזקות וכסדרה של גבול הפוך: ( … , x n , … , x 1 ) = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ⋯ {\displaystyle (\ldots ,x_{n},\ldots ,x_{1})=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots } כדי לעבור מטור חזקות לסדרה יש לקחת סכומים חלקיים באופן הבא: x n + 1 = ∑ k = 0 n a k p k {\displaystyle x_{n+1}=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}} בכיוון השני, אפשר להשתמש בחישוב רקורסיבי באופן הבא: a 0 = x 1 a 1 = x 2 − x 1 p a 2 = x 3 − x 2 p 2 a 3 = x 4 − x 3 p 3 ⋮ a n = x n + 1 − x n p n ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{rcl}a_{0}&=&x_{1}\\a_{1}&=&{\dfrac {x_{2}-x_{1}}{p}}\\a_{2}&=&{\dfrac {x_{3}-x_{2}}{p^{2}}}\\a_{3}&=&{\dfrac {x_{4}-x_{3}}{p^{3}}}\\&\vdots &\\a_{n}&=&{\dfrac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}\\&\vdots &\end{array}}} או בנוסחה מפורשת: a n = x n + 1 − x n p n = x n + 1   div   p n {\displaystyle a_{n}={\frac {x_{n+1}-x_{n}}{p^{n}}}=x_{n+1}\ {\text{div}}\ p^{n}} כאשר div הוא חילוק שלם, כלומר לקיחת החלק השלם וזריקת השארית (למשל 8   div   3 = ( 2 + 3 ⋅ 2 )   div   3 = 2 {\displaystyle 8\ {\text{div}}\ 3=(2+3\cdot 2)\ {\text{div}}\ 3=2} ). קבוצת המספרים ה-p-אדיים מרכיבה שדה, הנקרא שדה המספרים ה-p-אדיים. אוסף השלמים ה-p-אדיים, שמסמנים ב- Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} , מהווה חוג מקומי בשם חוג השלמים ה-p-אדיים, המתייחס אל שדה המספרים ה-p-אדיים באותו יחס שיש בין חוג המספרים השלמים לשדה המספרים הרציונליים. לשדה המספרים ה-p-אדיים ולחוג השלמים המתאים לו יש תפקיד מרכזי בחקר האריתמטיקה של המספרים הרציונליים והמספרים השלמים. למשל, כדי להוכיח כי למשוואה דיופנטית אין פתרונות שלמים, די להוכיח כי אין לה פתרונות p-אדיים; בגלל המבנה האריתמטי הייחודי של המספרים ה-p-אדיים, זוהי לעיתים קרובות משימה קלה בהרבה. כחבורה חיבורית, חוג השלמים ה-p-אדיים הוא גבול פרויקטיבי של החבורות הציקליות מסדר p n {\displaystyle p^{n}} . אוסף ההעתקות הרציפות מ- Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} למעגל היחידה המרוכב הוא החבורה החליקה Z [ 1 / p ] / Z = ∪ n = 1 ∞ p − n Z / Z {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} =\cup _{n\,=\,1}^{\infty }p^{-n}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} } . שדה המספרים ה-p-אדיים מדיה וקבצים בנושא מספר p-אדי בוויקישיתוף מספר p-אדי, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) אלכסנדר לובוצקי, שימושים ממשיים למספרים לא ממשיים, איגרת 37, דצמבר 2015 אנדרו בייקר, הרצאות בקורס על מבוא למספרים p-אדים, אוניברסיטת גלאזגו, סקוטלנד, 2011 מספר p-אדי, באתר MathWorld (באנגלית)