כמות צירית

בסטטיסטיקה, כמות צירית (באנגלית, pivot) היא פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים, אשר התפלגותה אינה תלויה בפרמטרים הבלתי ידועים. לעיתים נוטים להתבלבל בין כמות צירית לבין סטטיסטי. כמות צירית מובחנת מסטטיסטי בכך שסטטיסטי הוא פונקציה של התצפיות בלבד, ואילו כמות צירית היא פונקציה העשויה להיות תלויה בנוסף גם בפרמטרים של המודל, אולם התפלגותה אינה תלויה באותם פרמטרים. יהי X = ( X 1 , X 2 , … , X n ) {\displaystyle X=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})} מדגם אקראי מהתפלגות שתלויה בפרמטר (או וקטור של פרמטרים) θ {\displaystyle \theta } . אם g ( X , θ ) {\displaystyle g(X,\theta )} הוא משתנה מקרי אשר התפלגותו זהה לכל θ {\displaystyle \theta } , ואיננה תלויה בו, אזי g {\displaystyle g} נקרא כמות צירית. כמויות ציריות הן הכרחיות בבנייה של סטטיסטי מבחן, מאחר שהן מאפשרות לסטטיסטי להיות בלתי תלוי בפרמטר. בנוסף, כמויות ציריות הן כלי לבנייה של רווחי סמך. יהיו y 1 , y 2 , … , y n ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר σ {\displaystyle \sigma } ידוע. מתוקף היותם מתפלגים נורמלית אנו יודעים שמתקיים: Y ¯ = 1 n ∑ i = 1 n y i ∼ N ( μ , σ 2 n ) {\displaystyle {\bar {Y}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{y_{i}}\sim N\left(\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)} לכן, ניתן להחסיר μ {\displaystyle \mu } ולקבל: Y ¯ − μ ∼ N ( 0 , σ 2 n ) {\displaystyle {\bar {Y}}-\mu \sim N\left(0,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right)} . נמשיך ונחלק ב- σ 2 n {\displaystyle {\sqrt {\frac {\sigma ^{2}}{n}}}} ונקבל Y ¯ − μ σ / n ∼ N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {{\bar {Y}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)} קיבלנו ביטוי שהוא פונקציה של התצפיות ( Y ¯ , n {\displaystyle {\bar {Y}},n} ) ושל הפרמטרים ( μ , σ {\displaystyle \mu ,\sigma } ), אולם ההתפלגות שלו היא ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1. בפרט, מדובר בכמות צירית, שכן ההתפלגות של אותו הביטוי איננה תלויה בפרמטרים μ , σ {\displaystyle \mu ,\sigma } . יהיו y 1 , y 2 , . . . , y n ∼ N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים נורמלית, כאשר הפרמטר σ {\displaystyle \sigma } אינו ידוע. נשתמש באומד חסר הטיה לשונות. אנחנו יודעים ש: S 2 = ∑ ( y i − Y ¯ ) 2 n − 1 ∼ χ n − 1 2 σ 2 n − 1 {\displaystyle S^{2}={\frac {\sum (y_{i}-{\bar {Y}})^{2}}{n-1}}\sim \chi _{n-1}^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{n-1}}} . נחלק ב- σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} ונקבל S 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 n − 1 {\displaystyle {\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\chi _{n-1}^{2}}{n-1}}} . כעת, נשתמש בעובדה ש: N ( 0 , 1 ) χ n − 1 2 / ( n − 1 ) ∼ t n − 1 {\displaystyle {\frac {N(0,1)}{\sqrt {\chi _{n-1}^{2}/(n-1)}}}\sim t_{n-1}} ונקבל: ( Y ¯ − μ ) / ( σ / n ) S 2 / σ 2 = n ( Y ¯ − μ ) S ∼ t n − 1 {\displaystyle {\frac {({\bar {Y}}-\mu )/(\sigma /{\sqrt {n}})}{\sqrt {S^{2}/\sigma ^{2}}}}={\frac {{\sqrt {n}}({\bar {Y}}-\mu )}{S}}\sim t_{n-1}} . זוהי פונקציה של התצפיות ושל הפרמטרים אשר מתפלגת בהתפלגות t, ואיננה תלויה בפרמטרים ( μ , σ {\displaystyle \mu ,\sigma } ), ולכן היא כמות צירית. יהיו y 1 , y 2 , . . . , y n ∼ e x p ( θ ) {\displaystyle y_{1},y_{2},...,y_{n}\sim exp(\theta )} משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים מעריכית. נשים לב לקשר: x i ∼ e x p ( θ ) = 1 2 θ χ 2 2 = Γ ( 1 , θ ) {\displaystyle x_{i}\sim exp(\theta )={\frac {1}{2\theta }}\chi _{2}^{2}=\Gamma (1,\theta )} . לפיכך מתקבל גם כי: ∑ i = 1 n y i = 1 2 θ χ 2 n 2 = Γ ( n , θ ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{y_{i}}={\frac {1}{2\theta }}\chi _{2n}^{2}=\Gamma (n,\theta )} . נכפול ב- 2 θ {\displaystyle 2\theta } ונקבל: 2 θ ∑ i = 1 n y i = χ 2 n 2 {\displaystyle 2\theta \sum _{i=1}^{n}{y_{i}}=\chi _{2n}^{2}} . קיבלנו ש: 2 θ ∑ i = 1 n y i {\displaystyle 2\theta \sum _{i=1}^{n}{y_{i}}} היא כמות צירית, מאחר שההתפלגות שלה איננה תלויה בפרמטר θ {\displaystyle \theta } .