הצדקה ומוטיבציה למשוואת שרדינגר

משוואת שרדינגר היא משוואה קוונטית המתארת את הדינמיקה בין חלקיקים לא יחסותיים. טיעונים תאורטיים וגילויים ניסויים סיפקו מוטיבציה לגילוי וחקירת המשוואה וסיפקו טיעונים להצדקתה. המוטיבציה הבסיסית מתחילה מפוטונים, שהם חלקיקים יחסותיים (אנ'), עם דינמיקה המתוארת על ידי משוואות מקסוול. החלקיק הקוונטי של האור נקרא פוטון. כפי שהתבהר על ידי פיזיקאים לאורך הדורות, לאור יש אופי גלי, אך גם טבע חלקיקי. במילים אחרות, האור יכול להיראות כעשוי מפוטונים (חלקיקים) בניסויים מסוימים ולהתנהג כמו גלים (גל אלקטרומגנטי) בניסויים אחרים. הדינמיקה של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים מתוארת במלואה על ידי משוואות מקסוול, המהוות את התיאור הקלאסי של האלקטרודינמיקה. בהיעדר מקורות שדה, ניתן לכתוב את משוואות מקסוול כמשוואות גלים בשדה החשמלי והמגנטי. אם כן, משוואות מקסוול מתארות, בין היתר, את התכונות דמויות הגל של האור. כאשר אור "קלאסי" (קוהרנטי או תרמי) נופל על סרט צילום או חיישן CCD, מספר ה"פגיעות" או ה"נקודות על סרט הצילום" הממוצע, ליחידת שטח ויחידת זמן, פרופורציונלי בערך לריבוע גודל השדה האלקטרומגנטי של האור. באופן אנלוגי ושקול, לשם מציאת צפיפות הפגיעות ניתן להגדיר "פונקציית גל" לחלקיק כך שצפיפות ההסתברות למדידה (לפגיעה) מתקבלת מריבוע הערך המוחלט של פונקציית הגל. בניגוד לשדות אלקטרומגנטיים, פונקציות גל קוונטיות הן מרוכבות (לעיתים קרובות נעשה שימוש במספרים מרוכבים על מנת לייצג שדות אלקטרומגנטים מטעמי נוחות, אך למעשה השדות הם ממשיים. לעומת זאת, פונקציות הגל הן מרוכבות באמת). משוואות מקסוול היו ידועות כבר בסוף המאה התשע־עשרה, כך שמשוואות הדינמיקה (הגלית) של האור היו ידועות הרבה לפני גילוי הפוטון. דבר זה אינו נכון לגבי חלקיקים אחרים, דוגמת האלקטרון. אינטראקציית האור עם אטומים היא זו שהעלתה את ההשערה שגם לאלקטרונים יש אופי הן חלקיקי והן גלי. המכניקה הניוטונית, המתארת עצמים מיקרוסקופיים כגופים קשיחים, לא הצליחה לתאר עצמים קטנים מאוד כמו אלקטרונים. כדי להבין את חוקי הדינמיקה של עצמים בעלי מסה, כגון אלקטרונים, נעזרו בחשיבה אבדוקטיבית, כלומר בהסקה להסבר הטוב ביותר שבנמצא. כך משוואת הגל האלקטרומגנטי, המשוואה שתיארה את הדינמיקה של האור, שימשה אב טיפוס לגילוי משוואת שרדינגר, המשוואה המתארת את הדינמיקה הדואלית של חלקיקים לא־יחסותיים בעלי מסה. משוואת הגלים האלקטרומגנטיים מתארת את התפשטותם של גלים אלקטרומגנטיים בתווך או בריק. הצורה ההומוגנית של המשוואה, כשהיא כתובה במונחים של השדה החשמלי E → {\displaystyle {\vec {E}}} או השדה המגנטי B → {\displaystyle {\vec {B}}} , מקבלת את הצורה: ∇ 2 E →   −   1 c 2 ∂ 2 E → ∂ t 2     =     0 {\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {E}}\ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}{\vec {E}} \over \partial t^{2}}\ \ =\ \ 0} או ∇ 2 B →   −   1 c 2 ∂ 2 B → ∂ t 2     =     0 {\displaystyle \nabla ^{2}{\vec {B}}\ -\ {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}{\vec {B}} \over \partial t^{2}}\ \ =\ \ 0} כאשר c היא מהירות האור. מהירות האור בריק מוחלט היא 299 , 792 , 458 {\displaystyle 299,792,458} מטר לשנייה. הקשר בין השדה המגנטי לשדה החשמלי מתואר באמצעות חוק פאראדיי (ביחידות cgs): ∇ → × E → = − 1 c ∂ B → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{1 \over c}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} . הפתרון הסינוסואידי המישורי לגלים אלקטרומגנטיים הנעים בכיוון החיובי של ציר z (ביחידות cgs וביחידות SI) הוא, עבור השדה החשמלי: E → ( r → , t ) = | E → | Re ⁡ { | ζ ⟩ e i ( k z − ω t ) } ≡ | E → | Re ⁡ { | ϕ ⟩ } {\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=\left|{\vec {E}}\right|\operatorname {Re} \left\{|\zeta \rangle e^{i\left(kz-\omega t\right)}\right\}\equiv \left|{\vec {E}}\right|\operatorname {Re} \left\{|\phi \rangle \right\}} ועבור השדה המגנטי: B → ( r → , t ) = z ^ × E → ( r , t ) {\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}},t)={\hat {z}}\times {\vec {E}}(\mathbf {r} ,t)} כאשר k הוא מספר הגל, ω = c k {\displaystyle \omega =ck} היא התדירות הזוויתית של הגל ו־ c {\displaystyle c} היא מהירות האור. הכובעים מעל הווקטורים מציינים שהם וקטורי יחידה בכיוונים x,‏ y ו־z בהתאמה. | E → | {\displaystyle |{\vec {E}}|} הוא משרעת הגל. בהקשר של גלים אלקטרומגנטיים קלאסיים, | ζ ⟩ {\displaystyle |\zeta \rangle } המוגדר כך: | ζ ⟩ ≡ ( ζ x ζ y ) = ( cos ⁡ ( θ ) e i α x sin ⁡ ( θ ) e i α y ) {\displaystyle |\zeta \rangle \equiv {\begin{pmatrix}\zeta _{x}\\\zeta _{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\theta )e^{i\alpha _{x}}\\\sin(\theta )e^{i\alpha _{y}}\end{pmatrix}}} , הוא וקטור ג'ונס (אנ') במישור ה־xy, כשהוא מוצג בסימון ברה־קט של פול דיראק, אשר משמש בדרך כלל בהקשר קוונטי. הבחירה להשתמש כאן בסימון קוונטי מגיעה מציפייה לפרשנות אנלוגית של וקטור ג'ונס כווקטור מצב קוונטי בהמשך. הזוויות α x , θ {\displaystyle \alpha _{x}\;,\theta \;} ו־ α y {\displaystyle \alpha _{y}} הן הזווית שיוצר השדה החשמלי עם ציר ה־x, ושתי זוויות המופע (לעיתים נקראות בקיצור "מופעים" או "פאזות") ההתחלתיות של הגל, בהתאמה. הגודל | ϕ ⟩ = e i ( k z − ω t ) | ζ ⟩ {\displaystyle |\phi \rangle =e^{i\left(kz-\omega t\right)}|\zeta \rangle } הוא וקטור המצב של הגל. הוא מתאר את קיטוב הגל ואת הגורם המרחבי והגורם הזמני של הגל. וקטור המצב של אלומת אור קוהרנטית ו"עמומה" (כלומר כזו שמספר הפוטונים הממוצע שלה ליחידת נפח קטן בהרבה מ־1) שקול בקירוב למצב הקוונטי של פוטון בודד. האנרגיה ליחידת נפח בשדות אלקטרומגנטיים קלאסיים היא (ביחידות cgs): E c = 1 8 π [ E → 2 ( r → , t ) + B → 2 ( r → , t ) ] {\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {1}{8\pi }}\left[{\vec {E}}^{2}({\vec {r}},t)+{\vec {B}}^{2}({\vec {r}},t)\right]} . עבור גל מישורי, לאחר המרה לסימון מרוכב (ומכאן חלוקה בפקטור 2), נקבל: E c = ∣ E → ∣ 2 8 π {\displaystyle {\mathcal {E}}_{c}={\frac {\mid {\vec {E}}\mid ^{2}}{8\pi }}} כאשר האנרגיה נמדדת על פני אורך גל שלם. האנרגיה של רכיב ה־x של הגל המישורי (בהנחת קיטוב ליניארי) שווה f x = ∣ E → ∣ 2 cos 2 ⁡ θ ∣ E → ∣ 2 = ϕ x ∗ ϕ x {\displaystyle f_{x}={\frac {\mid {\vec {E}}\mid ^{2}\cos ^{2}\theta }{\mid {\vec {E}}\mid ^{2}}}=\phi _{x}^{*}\phi _{x}} אפשר בקלות לקבל ביטוי דומה (עם סינוס במקום קוסינוס) עבור רכיב ה־y. וסכום החלקים של שני הרכיבים מקיים: ϕ x ∗ ϕ x + ϕ y ∗ ϕ y = ⟨ ϕ | ϕ ⟩ = 1 {\displaystyle \phi _{x}^{*}\phi _{x}+\phi _{y}^{*}\phi _{y}=\langle \phi |\phi \rangle =1} . צפיפות התנע ניתנת על ידי וקטור פוינטינג: P → = 1 4 π c E → ( r → , t ) × B → ( r → , t ) {\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}{\vec {E}}({\vec {r}},t)\times {\vec {B}}({\vec {r}},t)} . עבור גל מישורי סינוסואידי שנע בכיוון z, כיוון התנע גם הוא בכיוון החיובי של ציור ה־z וגודלו יחסי לצפיפות האנרגיה: P c = E c {\displaystyle {\mathcal {P}}c={\mathcal {E}}_{c}} . כשצפיפות התנע נמדדת בממוצע על פני אורך גל שלם. צפיפות התנע הזוויתי היא L → = r → × P → = 1 4 π c r → × [ E → ( r → , t ) × B → ( r → , t ) ] {\displaystyle {\vec {\mathcal {L}}}={\vec {r}}\times {\vec {\mathcal {P}}}={1 \over 4\pi c}{\vec {r}}\times \left[{\vec {E}}({\vec {r}},t)\times {\vec {B}}({\vec {r}},t)\right]} . עבור גל מישורי סינוסואידי התנע הזוויתי הוא בכיוון z וניתן על ידי (כשעברנו לסימון מרוכב) L = ∣ E → ∣ 2 8 π ω ( ∣ ⟨ R | ϕ ⟩ ∣ 2 − ∣ ⟨ L | ϕ ⟩ ∣ 2 ) = 1 ω E c ( ∣ ϕ R ∣ 2 − ∣ ϕ L ∣ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={{\mid {\vec {E}}\mid ^{2}} \over {8\pi \omega }}\left(\mid \langle R|\phi \rangle \mid ^{2}-\mid \langle L|\phi \rangle \mid ^{2}\right)={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\mid \phi _{R}\mid ^{2}-\mid \phi _{L}\mid ^{2}\right)} כאשר שוב, גם כאן, הצפיפות הממוצעת נמדדת על פני אורך גל שלם. וכן מוגדרים וקטורי יחידה של קוטבים מעגליים, ימיני ושמאלי: | R ⟩ ≡ 1 2 ( 1 i ) {\displaystyle |R\rangle \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}} | L ⟩ ≡ 1 2 ( 1 − i ) {\displaystyle |L\rangle \equiv {1 \over {\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}} . ערך מורחב – אופרטור אוניטרי גל יכול לעבור התמרה, למשל, על ידי מעבר דרך גביש שבירה כפולה או דרך חריצים בסריג עקיפה. אנו יכולים להגדיר את התמרת המצב מהמצב בזמן t למצב בזמן ( t + τ ) {\displaystyle (t+\tau )} כ־ | ϕ ( t + τ ) ⟩ = U ^ ( τ ) | ϕ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\phi (t+\tau )\rangle ={\hat {U}}(\tau )|\phi (t)\rangle } . כדי לשמור על שימור האנרגיה של הגל שאנו דורשים: ⟨ ϕ ( t + τ ) | ϕ ( t + τ ) ⟩ = ⟨ ϕ ( t ) | U ^ † ( τ ) U ^ ( τ ) | ϕ ( t ) ⟩ = ⟨ ϕ ( t ) | ϕ ( t ) ⟩ = 1 {\displaystyle \langle \phi (t+\tau )|\phi (t+\tau )\rangle =\langle \phi (t)|{\hat {U}}^{\dagger }(\tau ){\hat {U}}(\tau )|\phi (t)\rangle =\langle \phi (t)|\phi (t)\rangle =1} כאשר U ^ † {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }} , הצמוד של U ^ {\displaystyle {\hat {U}}} , הוא שחלוף המצמוד המורכב של המטריצה המייצגת. משום כך (מהשוויון האמצעי) אופרטור שיוצר התמרה משמרת אנרגיה חייב לקיים: U ^ † U ^ = I {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I} כאשר I {\displaystyle I} הוא אופרטור הזהות והאופרטור U ^ {\displaystyle {\hat {U}}} נקרא אופרטור אוניטרי. כלומר האוניטריות הכרחית בכדי להבטיח שימור אנרגיה בהתמרות מצב. ערך מורחב – אופרטור הרמיטי אם τ {\displaystyle \tau } גודל אינפיטיסימלי ממשי d t {\displaystyle dt} , אז ההמרה האוניטרית קרובה מאוד למטריצת הזהות (המצב הסופי קרוב מאוד למצב ההתחלתי) וניתן לכתוב אותה כך: U ^ ≈ I − i H ^ τ {\displaystyle {\hat {U}}\approx I-i{\hat {H}}\tau } ואת ההתמרה הצמודה על ידי: U ^ † ≈ I + i H ^ † τ {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }\approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau } . הגורם i {\displaystyle i} מוסף מטעמי נוחות (שכן יכולנו לבלוע אותו לתוך H). תחת מוסכמה זו, אפשר להראות כי שימור אנרגיה מחייב את H להיות אופרטור הרמיטי וכי H קשור לאנרגיה של חלקיק. שימור האנרגיה מחייב: I = U ^ † U ^ ≈ ( I + i H ^ † τ ) ( I − i H ^ τ ) ≈ I + i H ^ † τ − i H ^ τ + H ^ † H ^ τ 2 . {\displaystyle I={\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}\approx \left(I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau \right)\left(I-i{\hat {H}}\tau \right)\approx I+i{\hat {H}}^{\dagger }\tau -i{\hat {H}}\tau +{\hat {H}}^{\dagger }{\hat {H}}\tau ^{2}.} מאחר ש־ τ {\displaystyle \tau } אינפיניטסימלי, ניתן להזניח את τ 2 {\displaystyle \tau ^{2}} בייחס τ {\displaystyle \tau } , כלומר להשמיט את האיבר האחרון. ויתר על כן, אם H שווה לצמוד שלו: H ^ = H ^ † {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {H}}^{\dagger }} , נקבל "זהות" ( I ≈ I {\displaystyle I\approx I} ), ומכאן נובע: U ^ † U ^ = I {\displaystyle {\hat {U}}^{\dagger }{\hat {U}}=I} . כך שהאנרגיה אכן נשמרת (עבור העתקה אינפיניטסימלית בזמן τ = d t {\displaystyle \tau =dt\,} ). אופרטורים השווים לצמוד שלהם נקראים הרמיטיים. ההעתקה האינפיניטסימלית של מצב קיטוב היא: | ϕ ( t + d t ) ⟩ − | ϕ ( t ) ⟩ = − i H ^ d t | ϕ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\phi (t+dt)\rangle -|\phi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\phi (t)\rangle } . לפיכך, שימור אנרגיה מחייב התמרה אינפיניטסימלית של מצב קיטוב המתרחשות באמצעות הפעלת אופרטור הרמיטי. בעוד שגזרנו זאת בצורה קלאסית, הרעיון של אופרטור הרמיטי שיוצר התמרה אינפיניטסימלית משמרת אנרגיה מהווה בסיס חשוב למכניקת הקוונטים. הגזירה של משוואת שרדינגר נובעת ישירות ממושג זה. הדיון והפיתוח עד כה היה קלאסי לחלוטין. עם זאת, הפיתוח המכני־קוונטי עבור חלקיקים אנלוגי ועוקב אחר הפיתוח ממשוואות מקסוול עבור האלקטרודינמיקה. זוהי עדות חזקה לכלליות של משוואות מקסוול, שניתן להפוך את פיתוח מהן לקוונטי כמעט רק בעזרת שינויי פרשנות לגדלים הקלאסי. תחילה, האנלוגיה ל"ווקטורי המצב" הקלאסיים | ϕ ⟩ {\displaystyle \vert \phi \rangle } , בתיאור הקלאסי, הם וקטורי מצב קוונטיים בתיאור הפוטונים. בסעיפים הבאים נראה את ההנלוגיות עבור גדלים אחרים. הפרשנות המחודשת הזו, מימיה המוקדמים של התורה הקוונטית, התבססה על הניסויים של מקס פלאנק ועל הפרשנות של אלברט איינשטיין לאותם הניסויים, על־פיה קרינה אלקטרומגנטית מורכבת ממנות אנרגיה ("קוונטות") בגודל ידוע (שלא מתפצלות, נוצרות או נעלמות חוץ מכשהן נפלטות או נבלעות בחומר), המכונות פוטונים. האנרגיה של כל מנה מתכוּנתית לתדירות הזוויתית של הגל לפי הייחס ϵ = ℏ ω {\displaystyle \epsilon =\hbar \omega } כאשר ℏ {\displaystyle \hbar } הוא גודל שנקבע בניסוי ומכונה קבוע פלאנק המצומצם. כלומר, האנרגיה העצורה בשדה האלקטרומגנטי של N {\displaystyle N} פוטונים בקופסה בעלת נפח V {\displaystyle V} (בהזנחת אנרגיית האפס) היא N ℏ ω {\displaystyle N\hbar \omega } וצפיפות האנרגיה שווה N ℏ ω V . {\displaystyle {N\hbar \omega \over V}.} ניתן לקשר את האנרגיה של פוטון לשדות קלאסיים באמצעות עקרון ההתאמה הקובע, כי עבור מספר רב של פוטונים, החישוב הקוונטי והקלאסי חייבים להתכנס לערך זהה. לפיכך, עבור N {\displaystyle N} גדול מאוד, צפיפות האנרגיה הקוונטית חייבת להיות זהה לצפיפות האנרגיה הקלאסית N ℏ ω V = E c = | E → | 2 8 π . {\displaystyle {N\hbar \omega \over V}={\mathcal {E}}_{c}={\frac {\left|{\vec {E}}\right|^{2}}{8\pi }}.} אז במצב קוהרנטי המספר הממוצע של פוטונים בתיבה הוא N = V 8 π ℏ ω | E → | 2 . {\displaystyle N={\frac {V}{8\pi \hbar \omega }}\left|{\vec {E}}\right|^{2}.} עקרון ההתאמה קובע גם את התנע והתנע הזוויתי של הפוטון. צפיפות התנע היא P c = N ℏ ω c V = N ℏ k V {\displaystyle {\mathcal {P}}_{c}={N\hbar \omega \over cV}={N\hbar k \over V}} מה שמרמז שהתנע של פוטון יחיד הוא ℏ k {\displaystyle \hbar k} (או באופן שקול: h λ {\textstyle h \over \lambda } ). באופן דומה, עבור התנע הזוויתי L = 1 ω E c ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) = ℏ V ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over \omega }{\mathcal {E}}_{c}\left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right|^{2}\right)={\hbar \over V}\left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right|^{2}\right)} מה שמרמז שהתנע הזוויתי של פוטון יחיד שווה l z = ℏ ( | ψ R | 2 − | ψ L | 2 ) . {\displaystyle l_{z}=\hbar \left(\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right|^{2}\right).} הפרשנות הקוונטית של ביטוי זה היא שלפוטון יש הסתברות של | ψ R | 2 {\displaystyle \left|\psi _{R}\right|^{2}} להיות בעל תנע זוויתי השווה ℏ {\displaystyle \hbar } והסתברות של | ψ L | 2 {\displaystyle \left|\psi _{L}\right|^{2}} להיות בעל תנע זוויתי − ℏ {\displaystyle -\hbar } . כך שאנו יכולים לחשוב על התנע הזוויתי של הפוטון, כמו גם על האנרגיה, כמקוונטט. ועובדה זו אכן אומתה בניסוי – אכן נצפו רק פוטונים בעלי תנע זוויתית של ± ℏ {\displaystyle \pm \hbar } . הספין של הפוטון מוגדר כמקדם של ℏ {\displaystyle \hbar } בחישוב התנע הזוויתי. לפוטון יש ספין שערכו 1 אם הוא נמצא במצב | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } וספין שערכו − 1 {\displaystyle -1} אם הוא נמצא במצב | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } . אופרטור הספין מוגדר כמכפלה החיצונית S ^ ≡ | R ⟩ ⟨ R | − | L ⟩ ⟨ L | = ( 0 − i i 0 ) . {\displaystyle {\hat {S}}\equiv |R\rangle \langle R|-|L\rangle \langle L|={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}.} הווקטורים העצמיים של אופרטור הספין הם | R ⟩ {\displaystyle |R\rangle } ו־ | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } עם ערכים עצמיים 1 {\displaystyle 1} ו־ − 1 {\displaystyle -1} , בהתאמה. כמו כן, התוחלת של מדידת ספין של פוטון שווה ⟨ ψ | S ^ | ψ ⟩ = | ψ R | 2 − | ψ L | 2 . {\displaystyle \langle \psi |{\hat {S}}|\psi \rangle =\left|\psi _{R}\right|^{2}-\left|\psi _{L}\right|^{2}.} האופרטור S קשור לתנע הזוויתי, שהוא גודל הניתן למדידה. הערכים העצמיים של האופרטור הם הערכים שייתכן כי יתקבלו בדידה על ידי ניסוי. קביעה זו נכונה עבור מומנטום זוויתי, אבל גם באופן כללי, עבור כל גודל נצפה (כלומר גודל פיזיקלי שניתן למדוד). ישנן שתי דרכים בהן ניתן להביע בפרשנות הסתברותית את התנהגות הפוטונים; ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחשב את המספר המסתבר של פוטונים במצב מסוים, או לחלופין ניתן להשתמש בהסתברות ככלי לחישוב הסבירות של פוטון בודד להיות במצב מסוים. ההסבר הראשון נראה כמפר את שימור האנרגיה. דיראק מסביר זאת בהקשר של ניסוי שני הסדקים: זמן מה לפני גילוי מכניקת הקוונטים אנשים הבינו שהקשר בין גלי אור לפוטונים חייב להיות בעל אופי סטטיסטי. עם זאת, מה שהם לא הבינו בבירור הוא ש"פונקציית הגל" נותנת מידע על ההסתברות של פוטון יחיד להימצא במקום מסוים ולא על המספר המִסְתַּבֵּר של פוטונים שיאכלסו את אותו המקום. ניתן להבהיר את חשיבות ההבחנה בדרך הבאה. נניח שיש לנו אלומת אור המורכבת ממספר רב של פוטונים המתפצלים לשני רכיבי קרן בעלי עוצמה שווה. בהנחה שעוצמת הקרן קשורה למספר המסתבר של הפוטונים בה, יש לנו חצי מהמספר הכולל שנכנס לכל רכיב של הקרן. אם שני הרכיבים עשויים כעת להתאבך, עלינו לדרוש כי לפוטון ברכיב אחד יתאפשר להתאבך עם פוטון אחר ברכיב השני. לפעמים שני הפוטונים האלה יהרסו זה את זה ופעמים אחרות הם יתאבכו בהתאבכות בונה וייווצרו ארבעה פוטונים. זה יסתור את שימור האנרגיה. התיאוריה החדשה, המחברת את פונקציית הגל עם הסתברויות לעבור פוטון יחיד, מתגברת על הקושי הזה בכך שהיא גורמת לכל פוטון להיכנס חלקית לכל אחד משני הרכיבים. אז כל פוטון מתאבך רק עם עצמו. התאבכות בין שני פוטונים שונים לעולם איננה מתרחשת. המקור באנגלית Some time before the discovery of quantum mechanics people realized that the connection between light waves and photons must be of a statistical character. What they did not clearly realize, however, was that the "wave function" gives information about the probability of one photon being in a particular place and not the probable number of photons in that place. The importance of the distinction can be made clear in the following way. Suppose we have a beam of light consisting of a large number of photons split up into two components of equal intensity. On the assumption that the beam is connected with the probable number of photons in it, we should have half the total number going into each component. If the two components are now made to interfere, we should require a photon in one component to be able to interfere with one in the other. Sometimes these two photons would have to annihilate one another and other times they would have to produce four photons. This would contradict the conservation of energy. The new theory, which connects the wave function with probabilities for one photon gets over the difficulty by making each photon go partly into each of the two components. Each photon then interferes only with itself. Interference between two different photons never occurs. — פול דיראק, The Principles of Quantum Mechanics, מהדורה רביעית, פרק 1 הסבר זה מיושן במובן מסוים, או אפילו ארכאי. יהיה נכון יותר לומר כי הפירוש ההסתברותי הראשון (מספר הפוטונים המסתבר שיאכלסו מצב) חל על אור תרמי או על אור קוהרנטי (ראה אופטיקה קוונטית), והפירוש השני אפשרי למצב פוק של פוטון בודד. אך לעצם עניינו, ההקבלה למשוואת שדינגר (שכאמור נוגעת לחלקיקים מסיביים לא ייחסותיים), הפרשנות השנייה היא אנלוגיה מתבקשת. ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בשדות כפי שחושבו על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות: פונקציית המצב של הפוטון מתכונתית לשדה, צפיפות ההסתברות היא ריבועית ערך השדות (וכתוצאה מכך היא גם ריבוע הערך המוחלט של המצב הקוונטי של הפוטון). על כן, אפשר לומר באנלוגיה, שבמכניקת הקוונטים פונקציית המצב או משרעת ההסתברות של חלקיק בודד מכילות את מידע ההסתברות הבסיסי. באופן כללי, הכללים להרכבת משרעות הסתברות נראים מאוד כמו הכללים הקלאסיים להרכבת הסתברויות: (מתוך "Baym" לקריאה נוספת) משרעת ההסתברות עבור שתי התרחשויות הסתברותיות עוקבות, היא מכפלת המשרעות המיצגות כל אחת מהן. [...] המשרעת עבור תהליך שיכול להתרחש באחת מכמה דרכים בלתי מובחנות ביניהן, היא סכום המשרעות עבור כל אחת מהדרכים הללו. [...] ההסתברות הכוללת להתרחשות התהליך היא הערך המוחלט בריבוע של המשרעת הכוללת המחושבת לפי כללים 1 ו־2. המקור באנגלית The probability amplitude for two successive probabilities is the product of amplitudes for the individual possibilities. [...] The amplitude for a process that can take place in one of several indistinguishable ways is the sum of amplitudes for each of the individual ways. [...] The total probability for the process to occur is the absolute value squared of the total amplitude calculated by 1 and 2. — Baym, Gordon. פרק 1 – ראו לקריאה נוספת בשנת 1923 התייחס לואי דה־ברויי לשאלה האם כל החלקיקים הם בעלי אופי שָׁנוּי – גם בעלי תכונות גליות וגם בעלי תכונות חלקיקיות – בדומה לפוטון. פוטונים שונים מחלקיקים רבים אחרים בכך שהם חסרי מסה ונעים במהירות האור. בפרט, שאל דה־ברויי, האם חלקיק שיש לו אופי גלי־חלקיקי שכזה עולה בקנה אחד עם שתי התרומות הגדולות של איינשטיין משנת 1905, תורת היחסות הפרטית והקוונטיזציה של אנרגיה ותנע ובאופן עקבי. התשובה לכך התבררה כחיובית. האופי הגל־חלקיק של אלקטרונים נצפה בניסוי כבר בשנת 1927, שנתיים לאחר גילוי משוואת שרדינגר ובניסויים רבים מאוד מאז. דה־ברויי הניח שלכל חלקיק יש ביטוי גם כחלקיק וגם כגל, כך שהתדירות הזוויתית, ω {\displaystyle \omega } , ומספר גל, k {\displaystyle k} , "של הגל" קשורים לאנרגיה E ולתנע p "של החלקיק", על ידי: E = ℏ ω {\displaystyle E=\hbar \omega } p = ℏ k . {\displaystyle p=\hbar k.} בכך השאלת העקביות הכללית הצטמצמה לשאלה: האם כל צופה שהוא, בכל מערכת ייחוס אינרציאלית, יסכים על פאזת הגל. אם כן, אז תיאור הקוונטי דמוי גל של חלקיקים עשוי להתאים לתורת היחסות הפרטית. תחילה נסתכל על מערכת המנוחה של החלקיק. במערכת זו, הקשר בין התדירות הזוויתית והאנרגיה תיתן על ידי E 0 = m c 2 = ℏ ω 0 {\displaystyle E_{0}=mc^{2}=\hbar \omega _{0}} והקשר בין מספר הגל לתנע על ידי p 0 = 0 = ℏ k 0 {\displaystyle p_{0}=0=\hbar k_{0}} כאשר m היא מסת (המנוחה) החלקיק. זה מתאר גל בעל אורך גל ומהירות מופע אינסופיים v ϕ = ω 0 k 0 . {\displaystyle v_{\phi }={\omega _{0} \over k_{0}}.} הגל עשוי להיכתב כמתכונתי לפונקציה הזמנית cos ⁡ ( ω 0 t ) . {\displaystyle \cos(\omega _{0}t).} מצד שני, זהו גם פתרון מתנד הרמוני פשוט, עליו ניתן לחשוב כמעין "שעון" במסגרת המנוחה של החלקיק. אפשר בקלות לדמיין שעון ה"מתקתק" באותו תדר שבו הגל מתנודד, למשל בכל פעם שהרכיב הזמני לעיל שווה ל־1. התדירות המשותפת מאפשרת לנו גם לסנכרן את מופעי הגל והשעון. כלומר לתזמן אותם כך שזמן ה־0, זמן ההתחלה, של השעון והגל, שווים. הוצג כי מופע הגל במערכת הצופה זהה למופע הגל במערכת החלקיק, על כן גם השעונים בשתי המערכות זהים. ישנה, אם כך, עקביות של שתי נקודות המבט – הגלית והחלקיקית – בתורת היחסות הפרטית. במערכת הצופה הנע במהירות יחסית v בייחס לחלקיק, "שעון החלקיק" צפוי לתקתק בתדירות ω c = ω 0 γ {\displaystyle \omega _{c}={\omega _{0} \over \gamma }} כאשר γ = 1 1 − v 2 c 2 {\displaystyle \gamma ={1 \over {\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}} הוא גורם לורנץ המתאר את התארכות הזמן של שעון החלקיק כפי שהיא נצפת על ידי הצופה. המופע של שעון הצופה הוא ω c t = ω 0 γ ( γ t 0 ) = ω 0 t 0 {\displaystyle \omega _{c}t={\omega _{0} \over \gamma }(\gamma t_{0})=\omega _{0}t_{0}} כש־ t 0 {\displaystyle t_{0}} הוא זמן שנמדד במערכת החלקיק. כלומר שני השעונים, שעון הצופה ושעון החלקיק, "מסכימים" על המופע. במערכת הצופה התדירות ומספר הגל של הגל נתונים על ידי E = γ m o c 2 = ℏ ω = γ ℏ ω o {\displaystyle E=\gamma m_{o}c^{2}=\hbar \omega =\gamma \hbar \omega _{o}} וכן p → = γ m o v → = ℏ k → = γ ℏ ω o v → c 2 {\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m_{o}{\vec {v}}=\hbar {\vec {k}}={\frac {\gamma \hbar \omega _{o}{\vec {v}}}{c^{2}}}} עם מהירות מופע v ϕ = ω k = E p = c 2 v . {\displaystyle v_{\phi }={\omega \over k}={E \over p}={c^{2} \over v}.} המופע של הגל במערכת הצופה הוא ω t − k x = ω t − ω v ϕ v t = ω t ( 1 − v 2 c 2 ) = ω t γ 2 = 1 γ 2 γ m o c 2 ℏ ( γ t o ) = ω o t o = ω c t . {\displaystyle \omega t-kx=\omega t-{\omega \over v_{\phi }}vt=\omega t\left(1-{v^{2} \over c^{2}}\right)={\omega t \over \gamma ^{2}}={1 \over \gamma ^{2}}{\gamma m_{o}c^{2} \over \hbar }(\gamma t_{o})=\omega _{o}t_{o}=\omega _{c}t.} המופע של הגל במערכת הצופה זהה למופע במערכת החלקיק, באותו אופן שמופעי השעונים בערכת החלקיק ובמערכת הצופה זהים. נקודת המבט הגלים של חלקיקים תואמת אפוא את תורת היחסות הפרטית. למעשה, אנו יודעים כעת שניתן לכתוב את היחסים הללו בצורה תמציתית באמצעות הסימון ה־4־וקטורי, כמקובל ביחסות פרטית. ארבעת ה־4־ווקטורים הרלוונטיים הם: ארבע־המאורע/המקום X = ( c t , x → ) {\displaystyle \mathbf {X} =(ct,{\vec {x}})} ארבע־מהירויות U = γ ( c , u → ) {\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {u}})} ארבע־תנע P = ( E c , p → ) {\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)} ארבע־וקטור־גל K = ( ω c , k → ) = ( ω c , ω v ϕ n ^ ) {\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{\phi }}}{\hat {n}}\right)} היחסים בין ה־4־וקטורים הם כדלקמן: U = d X d τ {\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}} P = ℏ K = m o U {\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =m_{o}\mathbf {U} } K = ( m o ℏ ) U = ( ω o c 2 ) U {\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {m_{o}}{\hbar }}\right)\mathbf {U} =\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\mathbf {U} } המופע של הגל הוא השמורה (אינווריאנט) הייחסותי: K ⋅ X = ω t − k → ⋅ x → = ω o t o = ω o τ {\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}=\omega _{o}t_{o}=\omega _{o}\tau } השערת דה־ברויי עזרה לפתור בעיות בולטות בפיזיקה האטומית. הפיזיקה הקלאסית לא הצליחה להסביר את ההתנהגות הנצפית של אלקטרונים באטומים. ובפרט, אלקטרונים מואצים פולטים קרינה אלקטרומגנטית לפי נוסחת לרמור (באנגלית). לכן אלקטרונים המקיפים את הגרעין צריכים לאבד אנרגיה לקרינה ולקרוס לתוך הגרעין. תופעה זו לא נצפית, שכן האטומים יציבים בטווחי זמן ארוכים בסדרי גודל ממה שחוזה נוסחת לרמור הקלאסית. בנוסף לכך, נודע כי אטומים מעוררים פולטים קרינה בתדרים בדידים. איינשטיין השתמש בעובדה זו כדי לפרש את מנות אור עם אנרגיה בדידה, למעשה, כחלקיקים "אמיתיים". אולם אם החלקיקים ה"אמיתיים" הללו נפלטים מאטומים במנות אנרגיה בדידות, חייבים החלקיקים הפולטים אותם, קרי האלקטרונים, לשנות את האנרגיה שלהם במנות אנרגיה בדידות גם הם? אין שום תופעה מוכרת במכניקה הניוטונית שמסביר התנהגות שכזו. השערת דה־ברויי עזרה להסביר את התופעות הללו בכך שהגבילה את המצבים ה"מותרים" עבור כל אלקטרון הסובב באטום, רק לאותם המצבים המאפשרים גלים עומדים הקשורים לאותו האלקטרון. סדרת בלמר מציגה את התדרים של אור היכולים להיפלט מאטום מימן מעורר: ℏ ω n = R ( 1 2 2 − 1 n 2 ) n = 3 , 4 , 5 , … {\displaystyle \hbar \omega _{n}=R\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\quad n=3,4,5,\dots } כאשר R ידוע בתור קבוע רידברג ושווה ל־13.6 אלקטרון־וולט. מודל בוהר, שהוצג ב־1913, היה ניסיון לספק בסיס תאורטי לסדרת בלמר. הנחות המודל הן: האלקטרונים הסובבים את הגרעין באטום קיימים במסלולים מעגליים בעלי אנרגיות מקוונטטות בדידות. כלומר, לא כל מסלול אפשרי אלא רק מסלולים מסוימים (הנקראים גם אורביטלים). חוקי המכניקה הקלאסית אינם חלים כאשר אלקטרונים עושים קפיצה ממסלול מותר אחד לאחר. כאשר אלקטרון מבצע קפיצה ממסלול אחד למשנהו, הפרש האנרגיה נפלט (או מסופק) על ידי קוונטה אחת של אור (הנקראת פוטון) עם אנרגיה השווה להפרש האנרגיה בין שני האורביטלים. המסלולים המותרים הם אלו עם ערכים (בדידים) של תנע זוויתי מסלולי, L, לפי המשוואה: L = n ℏ {\displaystyle L=n\hbar } כאשר n = 1 , 2 , 3 , . . . {\displaystyle n=1,2,3,...} נקרא המספר הקוונטי העיקרי. התנאי לתנועה במסלול מעגלי הוא שהכוח הצנטריפוגלי מאזן את כוח המשיכה של האלקטרון לגרעין: m v 2 r = e M 2 r 2 {\displaystyle {mv^{2} \over r}={{e_{M}}^{2} \over r^{2}}} כש־m היא מסת האלקטרון, v היא מהירות האלקטרון, r הוא רדיוס המסלול והקבוע באגף ימין e M = e 4 π ϵ 0 {\displaystyle {e_{M}}={e \over {4\pi \epsilon _{0}}}} כש־e הוא המטען האלקטרון (או הפרוטון) בערך מוחלט. והאנרגיה של האלקטרון הסובב היא E = 1 2 m v 2 − e M 2 r = − 1 2 e M 2 r {\displaystyle E={1 \over 2}mv^{2}-{{e_{M}}^{2} \over r}=-{1 \over 2}{{e_{M}}^{2} \over r}} כנובע מהביטוי להכוח הצנטריפוגלי. מההנחה על התנע הזוויתי של מודל בוהר נובע כי L = m v r = n ℏ {\displaystyle L=mvr=n\hbar } ושבשילוב עם הביטוי להכוח הצנטריפוגלי, רדיוס המסלול ניתן על ידי r = n 2 ℏ 2 m e M 2 . {\displaystyle r={n^{2}\hbar ^{2} \over m{e_{M}}^{2}}.} מכך, וממשוואת האנרגיה, משתמע E n = − 1 2 e M 2 r = − 1 2 ( m e M 4 ℏ 2 ) 1 n 2 . {\displaystyle E_{n}=-{1 \over 2}{{e_{M}}^{2} \over r}=-{1 \over 2}\left({m{e_{M}}^{4} \over \hbar ^{2}}\right){1 \over n^{2}}.} וקיבלנו שההבדל בין שתי רמות האנרגיה משחזר את סדרת בלמר. הנחות המודל של בוהר משחזרות את התוצאות שצופה סדרת בלמר. אולם הנחות הבוהר עצמן אינן מבוססות על שום תיאוריה כללית יותר. מדוע, למשל, המסלולים המותרים צריכים להיות תלויים בתנע הזוויתי? השערת דה־ברויי מספקת תובנה מסוימת. אם נניח שלאלקטרון יש תנע הנתון על ידי p = m v = ℏ k {\displaystyle p=mv=\hbar k} לפי ההנחה של השערת דה ברויי, אז התנע הזוויתי ניתן על ידי L = m v r = ℏ k r = ℏ ( 2 π λ ) r {\displaystyle L=mvr=\hbar kr=\hbar \left({2\pi \over \lambda }\right)r} כאשר λ {\displaystyle \lambda } הוא אורך־הגל של גל האלקטרון. אם באטום מותרים רק גלי־אלקטרון־עומדים, אז רק מסלולים שהיקפם שווה לכפולה שלמה של אורך־הגל מותרים: λ = 2 π r n . {\displaystyle \lambda ={2\pi r \over n}.} מכך נובע שלמסלולים מותרים יש תנע זוויתי L = n ℏ {\displaystyle L=n\hbar } שזו ההנחה הרביעית של בוהר. ההנחות הראשונה והשנייה נובעות מכך גם הן. וההנחה השלישית נובעת משימור אנרגיה, שדה־ברויי הראה שתואמת את פרשנות הגלית של חלקיקים. הבעיה עם יישום של השערת דה־ברויי על אטום בוהר היא שכפינו פתרון של גל מישורי, אשר בר־תוקף בחלל הריק, למצב שבו יש פוטנציאל משיכה חזק. עדיין לא גילינו את המשוואה הדינמית הכללית לגלי אלקטרונים ולהתפתחותם בהשפעת כוחות. משוואת שרדינגר היא ההכללה היישירה להשערת דה־ברויי והדינמיקה של הפוטון. הדינמיקה של פוטון נתונה על ידי | ϕ ( t + d t ) ⟩ − | ϕ ( t ) ⟩ = − i H ^ d t | ϕ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\phi (t+dt)\rangle -|\phi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\phi (t)\rangle } כאשר H הוא אופרטור הרמיטי שנקבע על ידי משוואות מקסוול. ההרמיטיות של האופרטור מבטיחה כי האנרגיה נשמרת. ארווין שרדינגר הניח שהדינמיקה של חלקיקים מסיביים פועלת באותה הצורה כמו דינמיקת הפוטונים שומרת האנרגיה. | ψ ( t + d t ) ⟩ − | ψ ( t ) ⟩ = − i H ^ d t | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t+dt)\rangle -|\psi (t)\rangle =-i{\hat {H}}dt|\psi (t)\rangle } כאשר | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } הוא וקטור־המצב של החלקיק ו־H הוא כעת אופרטור הרמיטי לא ידוע שיש לקבוע. במקום מצבי קיטוב, כפי שהיה לנו במקרה הפוטון, שרדינגר הניח שווקטור המצב של חלקיקים תלוי במיקום החלקיק. אם נניח כי חלקיק חי במרחב חד־ממדי, אז הוא חילק את הציר של המרחב למספר אינסופי של מקטעים קטנים באורך λ {\displaystyle \lambda } והִקְצָה רכיב של וקטור־המצב לכל מקטע | ψ ( t ) ⟩ ≡ ( ⋮ ψ j − 1 ( t ) ψ j ( t ) ψ j + 1 ( t ) ⋮ ) {\displaystyle |\psi (t)\rangle \equiv {\begin{pmatrix}\vdots \\\psi _{j-1}(t)\\\psi _{j}(t)\\\psi _{j+1}(t)\\\vdots \end{pmatrix}}} . הציון התחתי j מזהה את המקטע. ניתן לכתוב את משוואת המעבר בצורת מטריצה כך ψ j ( t + d t ) − ψ j ( t ) = − i ∑ k H j k d t ψ k ( t ) {\displaystyle \psi _{j}(t+dt)^{}-\psi _{j}(t)=-i\sum _{k}^{}H_{jk}\,dt\,\psi _{k}(t)} . תנאי ההרמיטיות דורש כי H j k = H k j ∗ {\displaystyle H_{jk}=H_{kj}^{*}} . שרדינגר הניח שבמהלך מקטע זמן איפיטיסמלי אחד, dt, ההסתברות יכולה "לזלוג" רק למקטעים אינפיטיסמליים סמוכים במרחב. במילים אחרות, כל הרכיבים של H הם אפס למעט מעברים בין מקטעים שכנים: H j ± 1 , j ≠ 0 {\displaystyle H_{j\pm 1,j}^{}\neq 0} , או ממקטעים לעצמם: H j , j ≠ 0 {\displaystyle H_{j,j}^{}\neq 0} . יתרה מכך, בהנחה שהמרחב אחיד, במובן זה שכל המעברים לימין שווים H j + 1 , j = H j , j − 1 ≡ H R {\displaystyle H_{j+1,j}^{}=H_{j,j-1}^{}\equiv H_{R}} . וכן כל המעברים לשמאל גם הם שווים H j − 1 , j = H j , j + 1 ≡ H L {\displaystyle H_{j-1,j}^{}=H_{j,j+1}^{}\equiv H_{L}} . משוואת המעבר הופכת i ∂ ψ j ( t ) ∂ t = H L ψ j + 1 ( t ) − H R ψ j ( t ) + H R ψ j − 1 ( t ) − H L ψ j ( t ) + H j j ψ j ( t ) {\displaystyle i{\partial \psi _{j}(t) \over \partial t}=H_{L}\psi _{j+1}(t)-H_{R}\psi _{j}(t)+H_{R}\psi _{j-1}(t)-H_{L}\psi _{j}(t)+H_{jj}\psi _{j}(t)} . האיבר הראשון באגף ימין מייצג את התנועה של משרעת ההסתברות לתוך מקטע j מהמקטע שמימינו. האיבר השני מייצג זליגה של הסתברות ממקטע j ימינה. האיבר השלישי מייצג מעבר של הסתברות לתוך מקטע j משמאל. והאיבר הרביעי מייצג מעבר ממקטע j לשמאל. האיבר האחרון מייצג כל שינוי מופע במשרעת ההסתברות במקטע j עם עצמו. אם נפתח את משרעת ההסתברות לסדר שני של מקטעים בגודל λ {\displaystyle \lambda } , ונניח שהמרחב הוא איזוטרופי, כלומר H R = H L ≡ H 0 {\displaystyle H_{R}=H_{L}\equiv H_{0}} , משוואת המעבר מצטמצמת ל־ i ∂ ψ j ( t ) ∂ t = H 0 λ 2 ∂ 2 ψ j ( t ) ∂ x 2 + H j j ψ j ( t ) {\displaystyle i{\partial \psi _{j}(t) \over \partial t}=H_{0}{\lambda ^{2}}{\partial ^{2}\psi _{j}(t) \over \partial x^{2}}+H_{jj}\psi _{j}(t)} . משוואת המעבר חייבת להיות עקבית עם השערת דה־ברויי. במרחב הריק משרעת ההסתברות של גל דה־ברויי מתכונתית ל־ exp ⁡ [ i ( k x − ω t ) ] {\displaystyle \exp \left[i\left(kx-\omega t\right)\right]} כאשר E = ℏ ω = p 2 2 m = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E=\hbar \omega ={p^{2} \over 2m}={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}} בגבול הלא יחסותי. פתרון דה־ברויי עבור מרחב ריק הוא פתרון למשוואת המעבר אם דורשים H 0 λ 2 = − ℏ 2 m {\displaystyle H_{0}\lambda ^{2}=-{\hbar \over 2m}} וכן H j j = 0 {\displaystyle H_{jj}^{}=0^{}} . ניתן לזהות את איבר הנגזרת לפי זמן במשוואת המעבר עם האנרגיה של גל דה־ברויי. וכן, ניתן לזהות את האיבר הנגזרת המרחבית עם האנרגיה הקינטית. זה מצביע על כך איבר המכיל את H j j {\displaystyle H_{jj}} מתכונתי לאנרגיה הפוטנציאלית. ומכך מובעת משוואת שרדינגר: i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t = − ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ ( x , t ) ∂ x 2 + U ( x ) ψ ( x , t ) {\displaystyle i\hbar {\partial \psi (x,t) \over \partial t}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi (x,t)}{\partial x^{2}}}+U(x)\psi (x,t)} כאשר U היא האנרגיה הפוטנציאלית הקלאסית, ומתקיים ψ ( x , t ) ≡ 1 λ ψ j ( t ) {\displaystyle \psi (x,t)\equiv {1 \over {\sqrt {\lambda }}}\psi _{j}(t)} וכן 1 = ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( x , t ) ψ ( x , t ) d x {\displaystyle 1=\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x,t)\psi (x,t)dx} . בתלת מימד, בעזרת פיתוח דומה, הופכת משוואת שרדינגר ל: − ℏ 2 2 m ∇ 2 ψ + U ψ = i ℏ ∂ ∂ t ψ {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\nabla ^{2}\psi }+U\psi =i\hbar {\partial \over \partial t}\psi } הפתרון לאטום המימן מתאר גלים עומדים של אנרגיה שניתנים בדיוק על ידי סדרת בלמר. זה היה אימות ואישוש חזק של משוואת שרדינגר ושל ההתנהגות הגלית של החומר. מושגי יסוד של מכניקת הקוונטים היסטוריה של מכניקת הקוונטים תדירות זוויתית משוואת דיראק אינטגרלי מסלולי האפקט הפוטואלקטרי קיטוב פוטון אלקטרודינמיקה קוונטית הקשר בין משוואת שרדינגר לניסוח האינטגרלי מסלולי של מכניקת הקוונטים ניסוי שטרן־גרלך דואליות גל־חלקיק Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 047130932X. Baym, Gordon (1969). Lectures on Quantum Mechanics. W. A. Benjamin. ISBN 978-0805306675. Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics (Fourth ed.). Oxford. ISBN 0-19-851208-2. כפי שמקובל לחשוב היום, פונקציית גל של פוטון בודד היא הרעיון שנוי במחלוקת (Iwo Bialynicki-Birula, Photon wave function, arXiv e-prints, 2005-08-01, עמ' quant–ph/0508202), שההסתברות במצבים קוהרנטיים אכן מביעה את מספר הפוטונים המסתבר, הנתון על ידי התפלגות פואסונית של המצב הקוהרנטי. וכן, פוטונים שונים אכן יכולים להתאבך (Y. H. Shih, A. V. Sergienko, M. H. Rubin, T. E. Kiess, C. O. Alley, Two-photon interference in a standard Mach-Zehnder interferometer, Physical Review A 49, 1994-05-01, עמ' 4243–4246 doi: 10.1103/PhysRevA.49.4243). שוב, לייתר דיוק, בפוטונים ריבוע השדות ייתן את תוחלת של מספר הפוטונים במצב קוהרנטי באזור מוגבל של המרחב. וכן, ההסתברות של פוטון להיות במצב קיטוב מסוים תלויה בהתפלגות צפיפות ההסתברות במרחב, והיא זו שנובעת ממתפלגות השדות כפי שחושבה על ידי משוואות מקסוול הקלאסיות (בייצוג P של גלאובר־סודארשן הערך באנגלית של מצב פוק של פוטון יחיד). הפונקציה הזמנית (או הרכיב הזמני) – פרושה הקשורה בזמן, כניגוד לפנקציה המרחבית (או הרכיב המרחבי).