המנורה של תומסון

פרדוקס המנורה של תומסון הוא חידה פילוסופית שהיא וריאציה לפרדוקסים של זנון. נהגתה ב-1954 על ידי הפילוסוף הבריטי ג'יימס פ. תומסון, זאת על מנת לחקור את האפשרות של ביצוע סופר-משימה (אנ') - הרכבה של מספר אינסופי של משימות. הפרדוקס מתייחס למנורה בעלת מתג אחד - לחיצה אחת על המתג תדליק את המנורה, השנייה מכבה אותו וכן הלאה. נניח שבתחילה המנורה כבויה, ברגע t=0 לוחצים על המתג ומדליקים את המנורה, כעבור דקה (t=60) לוחצים שנית על המתג, והמנורה כבית, לאחר חצי דקה לוחצים שוב, ואז לאחר רבע דקה לוחצים שוב, וכך ממשיכים ללחוץ על המנורה במרווח זמן הולך ומתקצר, זו סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, לכן לאחר 2 דקות התהליך יפסק, השאלה היא מה מצב המנורה בתום התהליך? האם המנורה כבויה או דולקת? תומסון הסיק מכך שאפשרות הביצוע של סופר-משימות יוצרת סתירה: זה נראה בלתי אפשרי לענות על השאלה הזו. לא ייתכן שהמנורה דולקת, כיוון שלעולם לא מדליקים את המנורה מבלי שנכבה אותה לאחר מכן. והמנורה גם לא יכולה להיות כבויה, כיוון שלעולם לא מכבים את המנורה מבלי להדליק אותה לאחר מכן. אבל המנורה בהכרח נמצאת באחד המצבים - דלוקה או כבויה. וזו סתירה. השאלה קשורה להתנהגות טור גרנדי - כלומר הטור S = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k = 1 − 1 + 1 − 1 + 1... {\displaystyle S=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}=1-1+1-1+1...} הדמיון ברור כאשר מסתכלים על סדרת הסכומים החלקיים - עבור n זוגי נקבל ש s n = 1 {\displaystyle s_{n}=1} ועבור n אי- זוגי נקבל ש s n = 0 {\displaystyle s_{n}=0} , כלומר נקבל את הסדרה: 1 , 0 , 1 , 0 , 1... {\displaystyle 1,0,1,0,1...} - שכמובן לא מתכנסת. אם נתייחס ל'1' כמנורה דולקת ול'0' כמנורה כבויה, נקבל בדיוק את סדרת המצבים של המנורה, ובדיוק באותו אופן נקבל שהיא "לא מתכנסת" - אין לדעת באיזה מצב יסתיים התהליך. אפשר להתבונן בטור גם באופן אחר: S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1... = 1 − ( 1 − 1 + 1 − 1... ) = 1 − S {\displaystyle S=1-1+1-1+1...=1-(1-1+1-1...)=1-S} הפתרון למשוואה זו, בהנחה שהסכום מוגדר, הוא S = 1 2 {\displaystyle S={\frac {1}{2}}} , ואכן קיימות שיטות סכימה שונות, המכלילות את הדרך המקובלת של גבול הסכומים חלקיים, כדוגמת סכומי צזארו, בהן הטור מתכנס לערך זה. מובן שלפתרון זה אין ערך בפתרון הפרדוקס, שכן אין משמעות לנורה שהיא חצי דולקת וחצי כבויה, כיוון שחלק מהנחות הבסיס בפרדוקס היו שקיימת דיכוטומיה לגבי מצב המנורה - המנורה בכל רגע דולקת או כבויה. במאמר של אירמן ונורטון (Earman and Norton) מ-1965 נטען כי הבעיה איננה פרדוקס כיוון שמהגדרת השאלה נגזרים קטעי זמן בהם המנורה דולקת ונגזרים קטעי זמן בהם המנורה כבויה. בשאלה מתייחסים למנורה אידיאלית, לכן אפשר לטעון שהיא דולקת בדיוק ברגעים: A = [ 0 , 1 ) ∪ [ 3 2 , 7 4 ) ∪ [ 15 8 , 31 16 ) ∪ ⋯ {\displaystyle A=[0,1)\cup [{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}})\cup [{\frac {15}{8}},{\frac {31}{16}})\cup \cdots } וכבויה בדיוק ברגעים: B = [ 1 , 3 2 ) ∪ [ 7 4 , 15 8 ) ∪ [ 31 16 , 63 32 ) ∪ ⋯ {\displaystyle B=[1,{\frac {3}{2}})\cup [{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}})\cup [{\frac {31}{16}},{\frac {63}{32}})\cup \cdots } הנחת האידיאליות של המנורה באה לידי ביטוי בכך שאנחנו מניחים שהלחיצה משנה את המצב בו המנורה נמצאת בין רגע. אם כך קיבלנו פונקציה המתארת בהינתן נקודת זמן את מצב המנורה בנקודת הזמן: f ( t ) = { O N , if  t ∈ A O F F , if  t ∈ B {\displaystyle f(t)={\begin{cases}ON,&{\text{if }}t\in A\\OFF,&{\text{if }}t\in B\end{cases}}} אם כך מניסוח השאלה לא מוגדר מה הערך של f ( 2 ) {\displaystyle f(2)} , כלומר תיאור הפרדוקס נותן מידע על מצב הנורה רק בקטע [ 0 , 2 ) {\displaystyle [0,2)} , וניתן להגדיר כרצוננו את f ( 2 ) {\displaystyle f(2)} , בכל אופן כבר אין סתירה, ושללנו את ההוכחה לאי-יכולת ביצוע של סופר-משימות. החתול של שרדינגר הפרדוקסים של זנון המנורה של תומסון, באתר MathWorld (באנגלית) Thomson 1954, p. 5. אם קיים זמן, קטן ככל שיהיה, בו המנורה "עוברת" ממצב אחד לשני, הרי שהפרדוקס נפתר כיוון שקיים רק מספר סופי של שינויי מצב בפרק זמן נתון