שורש של מספר

במתמטיקה, השורש ה־n-י של a הוא מספר ממשי או מרוכב, שכאשר מכפילים אותו n פעמים בעצמו, מקבלים את a. את השורש מסמנים a n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}} . שורש של מספר נקרא גם רדיקל (באנגלית root ו-radical, שמקורם ב-radix בלטינית שפירושו "שורש"). הפעולה החישובית של מציאת שורש של מספר נקראת הוצאת שורש. שורש ריבועי של מספר ממשי a כלשהו הוא מספר, אשר כשמכפילים אותו בעצמו, מקבלים את a. הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת הוצאת שורש ריבועי. התוצאה של הוצאת שורש ריבועי ממספר חיובי היא שני שורשים ממשיים. למשל, למספר 100 יש את השורשים פלוס 10 ומינוס 10, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 100. עם זאת, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר, מקובל כי סמל השורש הוא בדרך כלל חיובי בלבד (Principal square root). השורש הריבועי החיובי מסומן כך: a {\displaystyle {\sqrt {a}}} . אולם, פתרון המשוואה   x 2 = a {\displaystyle \ x^{2}=a} הוא   + a {\displaystyle \ +{\sqrt {a}}} ו-   − a {\displaystyle \ -{\sqrt {a}}} . למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה אי-שלילית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעיה זו: במספרים המרוכבים יש שורש לכל מספר (ממשי או מרוכב). שורש מעוקב של a הוא מספר שכאשר מכפילים אותו 3 פעמים בעצמו, מקבלים את a. חזקות רציונליות מוגדרות באמצעות פעולת השורש, על ידי a n = a 1 n {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}} , כאשר n {\displaystyle n} מספר חיובי שלם. לפיכך, חזקה רציונלית כללית מוגדרת כך: a m n = ( a n ) m {\displaystyle a^{\frac {m}{n}}=({\sqrt[{n}]{a}})^{m}} . אפשר להוכיח, שפעולה זאת קיימת ומוגדרת היטב (במספרים הממשיים) עבור כל מספר ממשי אי-שלילי a {\displaystyle a} . מעל שדה המספרים המרוכבים לכל מספר מרוכב יש n שורשים מסדר n. את השורש נוח לחשב בהצגה הקוטבית של מספרים מרוכבים:   z = r ( cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ ) = r e i θ {\displaystyle \ z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=re^{i\theta }} במקרה זה, השורש מסדר n נתון על ידי   z 1 / n = r 1 / n e i ( θ n + 2 π k n ) {\displaystyle \ z^{1/n}=r^{1/n}e^{i({\frac {\theta }{n}}+{\frac {2\pi k}{n}})}} כאשר k=0,1,...,n-1. לדוגמה: − 1 = ( − 1 ) 1 / 2 = ( e i π ) 1 / 2 = e i ( π / 2 + π k ) = i e i π k {\displaystyle {\sqrt {-1}}=(-1)^{1/2}=(e^{i\pi })^{1/2}=e^{i(\pi /2+\pi k)}=ie^{i\pi k}} כאשר k=0,1 ו-   e i π / 2 = i {\displaystyle \ e^{i\pi /2}=i} . עבור k=0 מקבלים   e i π ⋅ 0 = 1 {\displaystyle \ e^{i\pi \cdot 0}=1} ואילו עבור k=1 מקבלים   e i π = − 1 {\displaystyle \ e^{i\pi }=-1} ובסך הכל − 1 = ( − 1 ) 1 / 2 = ( e i π ) 1 / 2 = e i ( π / 2 + π k ) = ± i {\displaystyle {\sqrt {-1}}=(-1)^{1/2}=(e^{i\pi })^{1/2}=e^{i(\pi /2+\pi k)}=\pm i} בהצגה הקרטזית, השורש השני של מספר מרוכב   a + b i {\displaystyle \ a+bi} (   a , b ∈ R {\displaystyle \ a,b\in \mathbb {R} } ) נתון על ידי הנוסחה   a + b i = ± ( b 2 t + t i ) {\displaystyle \ {\sqrt {a+bi}}=\pm ({\frac {b}{2t}}+ti)} , כאשר   t = a 2 + b 2 − a 2 {\displaystyle \ t={\sqrt {\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}-a}{2}}}} . עוד דוגמה: שורש שלישי של 1: z 1 = 1 , z 2 = e i 2 π 3 = − 1 + i 3 2 , z 3 = e i 4 π 3 = − 1 − i 3 2 {\displaystyle z_{1}=1,\quad z_{2}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\quad z_{3}=e^{i{\frac {4\pi }{3}}}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}} . שורש ריבועי חזקה (מתמטיקה) הרחבה רדיקלית פתרון באמצעות רדיקלים שורש של מספר, באתר MathWorld (באנגלית)