קדם-מידה

בתורת המידה, קדם-מידה (באנגלית: Pre-measure) היא פונקציה שהיא "כמעט" פונקציית מידה, במובן זה שמשפחת הקבוצות שהיא מודדת אינה מהווה סיגמא-אלגברה. חשיבותה של קדם-מידה היא שכאשר היא מוגדרת על משפחת קבוצות המקיימת תכונות מסוימות, אז היא יכולה להתרחב לכדי פונקציית מידה על סיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי משפחת הקבוצות הזו, לעיתים אף באופן יחיד. תכונה חשובה זו מכונה משפט ההרחבה, שלו שתי גרסאות: גרסת קרתאודורי עבור קדם-מידה המוגדרת על חוג למחצה של קבוצות, וגרסת האן-קולמוגורוב עבור קדם-מידה המוגדרת על אלגברה של קבוצות. שיטה זו של בניית מידה על ידי בניית קדם-מידה היא חשובה ויסודית בתורת המידה, וכך למשל יש לה תפקיד מרכזי בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. תהי X {\displaystyle X} קבוצה, ותהי S {\displaystyle {\mathcal {S}}} אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות מעל X {\displaystyle X} . פונקציה μ 0 : S → R + {\displaystyle \mu _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} _{+}} נקראת קדם מידה, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות: μ 0 ( ∅ ) = 0 {\displaystyle \mu _{0}\left(\emptyset \right)=0} אם A = A 1 ∪ A 2 ∪ … {\displaystyle A=A_{1}\cup A_{2}\cup \dots } איחוד סופי או בן-מניה של קבוצות זרות בזוגות מתוך S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , המקיים גם כי A ∈ S {\displaystyle A\in {\mathcal {S}}} , אז μ 0 ( A ) = μ 0 ( A 1 ) + μ 0 ( A 2 ) + … {\displaystyle \mu _{0}\left(A\right)=\mu _{0}\left(A_{1}\right)+\mu _{0}\left(A_{2}\right)+\dots } הסיבה לסימון μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} היא כי קדם-מידה מיועדת להפוך למידה, כפי שמראה משפט ההרחבה, אותה מסמנים בדרך כלל μ {\displaystyle \mu } . נסמן ב- σ ( S ) {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי אלגברה של קבוצות או חוג למחצה של קבוצות S {\displaystyle {\mathcal {S}}} . לכל קדם-מידה μ 0 : S → R + {\displaystyle \mu _{0}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} _{+}} , קיימת מידה μ : σ ( S ) → R + {\displaystyle \mu :\sigma \left({\mathcal {S}}\right)\to \mathbb {R} _{+}} המרחיבה את μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} . כלומר, לכל A ∈ S {\displaystyle A\in {\mathcal {S}}} מתקיים μ ( A ) = μ 0 ( A ) {\displaystyle \mu \left(A\right)=\mu _{0}\left(A\right)} . כמו כן, במצב בו μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} היא סיגמא-סופית, אז μ {\displaystyle \mu } יחידה. במצב זה, כמובן גם μ {\displaystyle \mu } היא סיגמא-סופית. ניתן להבחין כי אין כל הבדל בין אם קדם המידה מוגדרת על חוג למחצה של קבוצות או על חוג של קבוצות הנוצר על-ידה, שכן חוג של קבוצות הנוצר על ידי חוג למחצה של קבוצות הוא בדיוק אוסף כל האיחודים הסופיים של קבוצות זרות בזוגות מהחוג למחצה. לכן מאדיטיביות של קדם-מידה, היא מתרחבת באופן יחיד לכדי קדם-מידה על החוג הנוצר. הגרסה של משפט ההרחבה עבור חוג למחצה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של קרתאודורי על-שם המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתיאודורי. הגרסה של משפט ההרחבה עבור אלגברה של קבוצות נקראת משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, על-שמם של המתמטיקאי האוסטרי האנס האן והמתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב. כאמור במשפט, היחידות מובטחת רק כאשר המרחב הוא סיגמא-סופי ביחס לקדם המידה הנתונה. כאשר דרישה זו לא מתקיימת, אפילו אם המרחב כן סיגמא-סופי ביחס למידה המרחיבה, היחידות אינה מובטחת. להלן דוגמה לכך. נתבונן במרחב X = Q ∩ [ 0 , 1 ] {\displaystyle X=\mathbb {Q} \cap \left[0,1\right]} , ותהי S {\displaystyle {\mathcal {S}}} האלגברה של קבוצות הנוצרת על ידי הקטעים החצי-פתוחים במרחב, מהצורה [ a , b ) {\displaystyle \left[a,b\right)} . נתבונן בקדם-מידה טריוויאלית על S {\displaystyle {\mathcal {S}}} המקיימת μ 0 ( [ a , b ) ) = ∞ {\displaystyle \mu _{0}\left(\left[a,b\right)\right)=\infty } לכל קטע. כמו כן נגדיר על הסיגמא-אלגברה σ ( S ) {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} מידה μ ( A ) = | A | {\displaystyle \mu \left(A\right)=\left|A\right|} ועוד מידה ν ( A ) = 2 ⋅ | A | {\displaystyle \nu \left(A\right)=2\cdot \left|A\right|} , כאשר | A | {\displaystyle \left|A\right|} הוא הגודל של הקבוצה A {\displaystyle A} , והוא ∞ {\displaystyle \infty } בכל מצב בו הקבוצה אינה סופית. אלו שתי מידות שמקבלות ערכים שונים על כל קבוצה סופית של σ ( S ) {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} (יש קבוצות סופיות בסיגמא-אלגברה זו), וכמו כן ברור ששתיהן מרחיבות את הקדם-מידה μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} , שכן כל קטע [ a , b ) {\displaystyle \left[a,b\right)} במרחב מכיל אינסוף איברים, ולכן μ ( [ a , b ) ) = ν ( [ a , b ) ) = ∞ {\displaystyle \mu \left(\left[a,b\right)\right)=\nu \left(\left[a,b\right)\right)=\infty } . ערך מורחב – מידת לבג היישום החשוב ביותר של משפט ההרחבה הוא בבניית מידת לבג על המספרים הממשיים. בבנייה זו מתחילים מהחוג למחצה או האלגברה הנוצרים על ידי S = { ( a , b ] : a < b } {\displaystyle {\mathcal {S}}=\left\{\left(a,b\right]:a<b\right\}} , כאשר b {\displaystyle b} יכול להיות גם אינסופי, ומגדירים עליו קדם-מידה להיות הנפח, כלומר μ 0 ( ( a , b ] ) = b − a {\displaystyle \mu _{0}\left(\left(a,b\right]\right)=b-a} . כאשר מדובר בקטע אינסופי, ערכה של הקדם-מידה יהיה ∞ {\displaystyle \infty } . ממשפט ההרחבה נובע שקיימת מידה על σ ( S ) {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} המרחיבה את μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} . מידה זו מכונה "מידת בורל". מידת לבג עצמה מתקבלת על ידי עוד הרחבה של מידת בורל, המוגדרת על סיגמא-אלגברה גדולה יותר המכילה את σ ( S ) {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {S}}\right)} . כפי שנובע מהחלק הנוסף של משפט ההרחבה, היות שהמספרים הממשיים מהווים מרחב מדיד סיגמא-סופי ביחס לקדם-מידת הנפח, הרי שמידת לבג היא המידה היחידה על סיגמא-אלגברת בורל, שמקיימת את התכונה האינטואיטיבית שמידתו של כל קטע ( a , b ] {\displaystyle \left(a,b\right]} היא האורך שלו, b − a {\displaystyle b-a} . Real Analysis, H. L. Royden, 1963, 219-224 קדם-מידה, באתר MathWorld (באנגלית) משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, באתר PlanetMath משפט ההרחבה של קרתאודורי באתר PlanetMath Outer measures, pre-measures, and product measures בבלוג "What's new" An alternate approach to the Carathéodory extension theorem בבלוג "What's new" כלומר, ניתן להציג את X {\displaystyle X} כאיחוד בן-מניה של קבוצות מתוך S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , שקדם המידה של כל אחת מהן היא סופית.