טור פונקציות

במתמטיקה, טור פונקציות הוא סכום, בדרך כלל אינסופי, של פונקציות שמסודרות בסדרה. טורי פונקציות משמשים רבות באנליזה מתמטית. כך לדוגמה פונקציית ויירשטראס ופונקציית זטה של רימן מוגדרות באמצעות טורים. הם משמשים גם בקירובים נומריים לערך של פונקציה בנקודה מסוימת, בפתרון של משוואות דיפרנציאליות, ובפיתוח פשוט יותר של נגזרות ואינטגרלים. טורי פונקציות נפוצים הם טורי חזקות, טורי טיילור וטורי פורייה. את העקרונות של בניית טורים אלה, אפשר לנצל כדי לבנות תורה שתאפשר פריסה של פונקציה כללית באמצעות פונקציות עצמיות. ההגדרה הפורמלית של התכנסות טורי פונקציות מתבסס על הגדרת התכנסות טור מספרים רגיל: תהי   { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \ \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרת פונקציות ממשיות. נאמר שהטור   ∑ n = 0 ∞ f n {\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}} מתכנס בקבוצה   A ⊂ R {\displaystyle \ A\subset \mathbb {R} } וסכומו הוא הפונקציה   S {\displaystyle \ S} אם לכל x {\displaystyle x} ב- A {\displaystyle A} הטור המספרי   ∑ n = 0 ∞ f n ( x ) {\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)} מתכנס ושווה ל-   S ( x ) {\displaystyle \ S(x)} . ניתן להרחיב את ההגדרה כך שהפונקציות יהיו מקבוצה כלשהי למרחב נורמי. כמו בטור מספרי, התכנסות הטור לא תלויה בפונקציות הראשונות שלו וניתן לשנות אותן כרצוננו בלי להשפיע על ההתכנסות (אם כי שינוי פונקציות אלו ישנה את תוצאת הטור). התכנסות הטור תלויה רק בזנב הטור – הסכום האינסופי של הפונקציות החל ממקום מסוים והלאה. לפי הגדרת הטור, התכנסות הטור היא למעשה התכנסות סדרת הסכומים החלקיים. אלו הסכומים:   S n ( x ) = ∑ k = 1 n f k ( x ) {\displaystyle \ S_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}f_{k}(x)} . סכומים אלו מוגדרים תמיד, כי הם חיבור של מספר סופי של פונקציות. טור מתכנס במידה שווה אם הוא מתכנס, ולכל ε {\displaystyle \varepsilon } קיים מספר טבעי N {\displaystyle N} כך שניתן לחסום את הערך המוחלט של ערך זנב הטור עד ידי ε {\displaystyle \varepsilon } , בלי תלות ב- x {\displaystyle x} . התכנסות במידה שווה היא תכונה יותר חזקה מהתכנסות, והיא מבטיחה שאם כל פונקציות הטור היו רציפות – גם סכום הטור יהיה פונקציה רציפה. לטורי פונקציות יש תכונות משותפות רבות עם סדרות פונקציות, כך טור של סכום הוא סכום הטורים וכן גם מכפלת טור בפונקציה שקולה להכפלת כל אחד באיברי הטור באותה פונקציה. כמו כן, התכנסות נקודתית איננה מבטיחה שימור תכונות כמו רציפות או גזירות. התכונות המשותפות אינן מקרה. כל סדרת פונקציות ניתן להציג כטור, כאשר יוצרים ממנה טור טלסקופי:   a n ( x ) = f n + 1 ( x ) − f n ( x ) {\displaystyle \ a_{n}(x)=f_{n+1}(x)-f_{n}(x)} ∑ k = 1 n a k ( x ) = f n + 1 ( x ) − f 1 ( x ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}(x)=f_{n+1}(x)-f_{1}(x)} ולכן מתקבל ∑ n = 1 ∞ a n ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) − f 1 ( x ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)-f_{1}(x)} ההעברה הזו אפשרית גם בכיוון השני על ידי סדרת הסכומים החלקיים. השקילות הזו בין סדרות פונקציות לטורי פונקציות מאפשרת להעביר כל תוצאה או הגדרה מתחום אחד לתחום שני. במקרים רבים נוח לבצע פעולות של גזירה ואינטגרציה על טורים, יותר מאשר על סדרות, בגלל האפשרות לגזור או לבצע אינטגרציה איבר-איבר. בצורה כזו ניתן למשל ליצור פיתוח מיידי של פונקציית הלוגריתם הטבעי לטור חזקות. הרעיון הבסיסי הוא שבתנאים מסוימים תכונת הליניאריות של הנגזרת ושל האינטגרל יכולה להתרחב גם לסכומים אינסופיים: ∫ a b ∑ n = 1 ∞ f n ( t ) d t = ∑ n = 1 ∞ ∫ a b f n ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{b}\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(t)dt=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{a}^{b}f_{n}(t)dt} ( ∑ n = 1 ∞ f n ( t ) ) ′ = ∑ n = 1 ∞ f n ′ ( t ) {\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(t)\right)'=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}'(t)} עבור פעולת האינטגרציה, תנאי מספיק לקיום השוויון הוא שהפונקציות הנסכמות יהיו רציפות, ושהטור יתכנס במידה שווה. במצב הזה סכום הטור הוא פונקציה רציפה (ובפרט אינטגרבילית) וטור האינטגרלים מתכנס במידה שווה לאינטגרל הטור. עבור פעולת הגזירה התנאי המספיק הוא הפוך – טור הנגזרות צריך להתכנס במידה שווה, בעוד שמספיק שהטור עצמו יתכנס נקודתית. במצב כזה מתקבל השוויון. הסיבה להיפוך הוא שאת תכונת טור הנגזרות מוכיחים על סמך ההוכחה, של טור האינטגרלים על ידי היפוך התפקידים – מסכמים את טור הנגזרות ועליו מפעילים את האינטגרציה. ניתן להראות, על סמך התכונה של האינטגרציה, שחזרנו אל הטור המקורי (עד כדי תוספת של קבוע). התוצאה המבוקשת מתקבלת על ידי גזירת השוויון. בתורת המידה, משפט ההתכנסות המונוטונית הוא משפט בסיסי לגבי הפעלת אינטגרל לבג על טורי פונקציות (או על סדרה עולה של פונקציות). לפי משפט זה אם { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרת פונקציות מדידות לבג אי שליליות, ו-E קבוצה מדידה מתקיים השוויון: ∫ E ( ∑ n = 1 ∞ f n ) d μ = ∑ n = 0 ∞ ∫ E f n d μ {\displaystyle \int _{E}(\sum _{n=1}^{\infty }f_{n})d\mu =\sum _{n=0}^{\infty }\int _{E}f_{n}d\mu } כאשר הערכים הן של הסכום והן של האינטגרל יכולים להיות אינסופיים, והשיויון ישמר. טור חזקות טור פורייה