בעיית קפלר

בעיית קפלר היא בעיה פיזיקלית המבקשת למצוא את המסלול שבו נעים שני גופים, כאשר פועל עליהם רק כוח אחד - כוח הדדי שעוצמתו יורדת עם ריבוע המרחק (כוח ריבועי הפוך), דוגמת כוח הכבידה או הכוח החשמלי. בעיה זו, שהיא מקרה פרטי של בעיית שני הגופים, היא אחת הבעיות החשובות בפיזיקה. היא מופיעה למשל בתיאור התנועה של כוכב לכת יחיד סביב כוכב, או בתיאור תנועת האלקטרון והפרוטון באטום המימן לפי המודל הקלאסי. בעיית קפלר היא בין הבעיות הבודדות במכניקה הניתנות לפתרון באופן מדויק, וזאת במגוון דרכים. הבעיה קרויה על שם האסטרונום הגרמני יוהאנס קפלר, אשר 'גילה' את פתרון הבעיה בעזרת ניתוח תצפיות של תנועת גרמי השמים. מאוחר יותר ניסח אייזק ניוטון את חוקי ניוטון ואת חוק המשיכה האוניברסלי, בעזרתם ניתן לקבל את החוקים שניסח קפלר באופן תאורטי מעקרונות יסודיים יותר. ערך זה עוסק בניתוח מתמטי של בעיית קפלר במכניקה קלאסית וקבלת חוקי קפלר באופן תאורטי מתוך חוקי ניוטון. תיאור מפורט של חוקי קפלר מופיע בערך חוקי קפלר. בעיית קפלר היא בעיה דו-גופית, המערבת שני גופים שמסתם   m 1 , m 2 {\displaystyle \ m_{1},m_{2}} הנמצאים במיקום r → 1 , r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}} . הגופים מפעילים זה על זה כוח ריבועי הפוך, כלומר גוף אחד מפעיל על הגוף השני כוח מן הצורה F → = k r 2 r ^ {\displaystyle {\vec {F}}={\frac {k}{r^{2}}}{\hat {r}}} , כאשר: r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} הוא וקטור יחידה המצביע בכיוון הווקטור המחבר בין מיקומי שני הגופים.   r {\displaystyle \ r} הוא המרחק בין שני הגופים.   k {\displaystyle \ k} הוא פרמטר התלוי באופי הכוח. עבור כוח הכבידה   k = − G m 1 m 2 {\displaystyle \ k=-Gm_{1}m_{2}} (כאשר   G {\displaystyle \ G} הוא קבוע הגרביטציה האוניברסלי). אם   k < 0 {\displaystyle \ k<0} הכוח מושך (דוגמת כוח הגרביטציה, או הכוח החשמלי האלקטרוסטטי בין מטענים בעלי סימן שונה). אם   k > 0 {\displaystyle \ k>0} הכוח דוחה (דוגמת הכוח החשמלי בין מטענים שווי סימן). כיוון שמדובר בבעיה דו-גופית, מרכז המסה של שני הגופים נע במהירות קבועה, ועל ידי שימוש במערכת מרכז המסה ניתן להתעלם ממנו ולטפל רק בתנועה היחסית של גוף אחד יחסית לשני סביב מרכז המסה. משוואת התנועה של הקואורדינטה היחסית r → = r → 1 − r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}} (מיקום הגוף הראשון יחסית לשני) היא:   m d 2 r → d t 2 = m r → ¨ = k r 2 r ^ {\displaystyle \ m{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=m{\ddot {\vec {r}}}={\frac {k}{r^{2}}}{\hat {r}}} כאשר   m = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \ m={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} היא המסה המצומצמת, ונקודה עילית מסמנת גזירה לפי הזמן. המשוואה האחרונה היא משוואת תנועה של גוף בעל מסה m הנע בהשפעת כוח מרכזי, ולפיכך: התנועה מוגבלת למישור קבוע, וניתן לאפיין את מסלול התנועה בעזרת קואורדינטות קוטביות   r , θ {\displaystyle \ r,\theta } במישור זה. האנרגיה   E {\displaystyle \ E} והתנע הזוויתי L → {\displaystyle {\vec {L}}} משתמרים, וגודלם נתון על ידי: L = m r 2 θ ˙                                             ( 1 ) {\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)} E = 1 2 m r ˙ 2 + L 2 2 m r 2 − k r         ( 2 ) {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}-{\frac {k}{r}}\ \ \ \ (2)} כאשר 1 2 m r ˙ 2 + L 2 2 m r 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}} היא האנרגיה הקינטית (של תנועה בכיוון הרדיאלי ותנועה סיבובית), ו- − k r {\displaystyle -{\frac {k}{r}}} היא האנרגיה הפוטנציאלית. החוק השני של קפלר גורס כי הקו המחבר בין השמש וכוכב הלכת (הווקטור r → {\displaystyle {\vec {r}}} ) מכסה שטחים שווים בפרקי זמן שווים. חוק זה נובע באופן ישיר משימור התנע הזוויתי: בפרק זמן קצר   d t {\displaystyle \ dt} הווקטור r → {\displaystyle {\vec {r}}} עובר זווית   d θ {\displaystyle \ d\theta } [ציור 1]. השטח שכיסה הווקטור בזמן זה הוא d A = 1 2 r 2 d θ {\displaystyle dA={\frac {1}{2}}r^{2}d\theta } (שטח של גזרה ברדיוס   r {\displaystyle \ r} ובזווית   d θ {\displaystyle \ d\theta } ). המהירות בה הווקטור מכסה שטח היא לפיכך: d A d t = 1 2 r 2 θ ˙ = L 2 m = const {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {L}{2m}}={\mbox{const}}} כלומר מן העובדה שהתנע הזוויתי קבוע נובע כי המהירות בה הווקטור r → {\displaystyle {\vec {r}}} מכסה שטחים קבועה ובפרקי זמן שווים הוא יכסה שטחים שווים. יש לציין כי כיוון שהחוק השני של קפלר מסתמך אך ורק על שימור תנע זוויתי, הוא נכון לכל כוח מרכזי ולא ייחודי לבעיית קפלר. את מסלול התנועה,   r ( θ ) {\displaystyle \ r(\theta )} , ניתן למצוא במספר דרכים. אחת הפשוטות בהן היא שימוש במשוואת שימור האנרגיה (2). על ידי ארגון מחדש של אברי המשוואה ניתן להפריד משתנים ולקבל: d t = d r 2 m ( E + k r − L 2 2 m r 2 ) {\displaystyle dt={\frac {dr}{\sqrt {{\frac {2}{m}}\left(E+{\frac {k}{r}}-{\frac {L^{2}}{2mr^{2}}}\right)}}}} נחליף משתנה בשני אגפי המשוואה. באגף שמאל: L = m r 2 θ ˙   ⇒   d t = m r 2 L d θ {\displaystyle L=mr^{2}{\dot {\theta }}\ \Rightarrow \ dt={\frac {mr^{2}}{L}}d\theta } ובאגף ימין נגדיר u = 1 r   ⇒   d r = − r 2 d u {\displaystyle u={\frac {1}{r}}\ \Rightarrow \ dr=-r^{2}du} . כך נקבל: d θ = − d u 2 m E L 2 + 2 m k u L 2 − u 2 {\displaystyle d\theta =-{\frac {du}{\sqrt {{\frac {2mE}{L^{2}}}+{\frac {2mku}{L^{2}}}-u^{2}}}}} כעת, ניתן לבצע אינטגרציה לשני האגפים. באגף שמאל האינטגרציה טריביאלית, ובאגף ימין האינטגרל הוא מן הצורה: ∫ d u a + b u − c u 2 = − 1 c arccos ⁡ ( 2 c u − b b 2 + 4 a c ) {\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a+bu-cu^{2}}}}=-{\frac {1}{\sqrt {c}}}\arccos \left({\frac {2cu-b}{\sqrt {b^{2}+4ac}}}\right)} שימוש בנוסחה זו עבור ערכי a,b,c המתאימים: ( a = 2 m E L 2 ,   b = 2 m k L 2 ,   c = 1 {\displaystyle a={\frac {2mE}{L^{2}}},\ b={\frac {2mk}{L^{2}}},\ c=1} ), נותן: θ = θ ′ + arccos ⁡ L 2 u m k − 1 1 + 2 E L 2 m k 2 {\displaystyle \theta =\theta '+\arccos {\frac {{\frac {L^{2}u}{mk}}-1}{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}}} כאשר   θ ′ {\displaystyle \ \theta '} קבוע אינטגרציה, אותו ניתן לקבוע כאפס על ידי סיבוב מערכת הצירים. כעת, ניתן לחלץ את   u {\displaystyle \ u} ולקבל ממנו את   r ( θ ) {\displaystyle \ r(\theta )} : r ( θ ) = L 2 m k 1 − 1 + 2 E L 2 m k 2 cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle r(\theta )={\frac {\frac {L^{2}}{mk}}{1-{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}\cos(\theta )}}} או באופן יותר קומפקטי: r ( θ ) = r 0 1 − ϵ cos ⁡ ( θ )     ( ∗ ) {\displaystyle r(\theta )={\frac {r_{0}}{1-\epsilon \cos(\theta )}}\ \ (*)} עם הקבועים: r 0 = L 2 m k , ϵ = 1 + 2 E L 2 m k 2 {\displaystyle r_{0}={\frac {L^{2}}{mk}}\,,\quad \epsilon ={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}} המשוואה   ( ∗ ) {\displaystyle \ (*)} היא משוואה כללית של חתך קוני עם אקסצנטריות   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } , וניתוח גאומטרי שלה נותן את צורת המסלולים האפשריים [ציור 2] כתלות באנרגיה ובתנע הזוויתי (תנאי התחלה): אופי המסלול נקבע על פי האנרגיה. ניתן לקבל את אופי המסלול מהתבוננות בגרף של הפוטנציאל האפקטיבי   V e f f ( r ) {\displaystyle \ V_{eff}(r)} [ציורים 3,4]. הגוף יכול לנוע רק בתחום בו האנרגיה הקינטית שלו גדולה או לחלופין:   E > V e f f ( r ) {\displaystyle \ E>V_{eff}(r)} . באיור מסומן התחום בו בגוף נע עבור ערכים שונים של האנרגיה שלו. עבור   E < 0 {\displaystyle \ E<0} ערכי   r {\displaystyle \ r} המותרים מקיימים   r m i n < r < r m a x {\displaystyle \ r_{min}<r<r_{max}} (הקו הכחול בציור 3). במקרה זה המסלול חסום (שני הגופים תמיד נמצאים במרחק סופי זה מזה), ובמקרה שלנו המסלול הוא אליפטי. אם   E {\displaystyle \ E} שווה לערך המינימלי של הפוטנציאל האפקטיבי (הנקודה הסגולה בציור 3) ל-   r {\displaystyle \ r} יש ערך מותר יחיד. דבר זה מתאים למסלול מעגלי בו המרחק קבוע. עבור   E ≥ 0 {\displaystyle \ E\geq 0} , ערכי   r {\displaystyle \ r} המותרים מקיימים   r m i n < r {\displaystyle \ r_{min}<r} . במקרה זה המסלול אינו חסום (הגופים מתרחקים למרחק אינסופי זה מזה). במקרה שלנו, המסלול יהיה פרבולי אם   E = 0 {\displaystyle \ E=0} (הקו הירוק בציור 3) והיפרבולי אם   E > 0 {\displaystyle \ E>0} (הקו האדום בציור 3 או 4). אם בין שני הגופים פועל כוח דחייה (דוגמת הכוח החשמלי בין שני מטענים שווי סימן) ניתן לקבל רק מסלולים היפרבוליים. עבור כוח משיכה ניתן לקבל את כל סוגי המסלול כתלות באנרגיה. בפרט, ניתן לקבל מצב קשור, בו הגופים סמוכים זה לזה ולא מתרחקים למרחק אינסופי, עבור כוח מושך. התנע הזוויתי משפיע על הצורה המדויקת של המסלול. כך לדוגמה, הפריהליון (המרחק המינימלי בין שני הגופים) הוא: r m i n = r 0 1 + ϵ = L 2 m k 1 + 1 + 2 E L 2 m k 2 {\displaystyle r_{min}={\frac {r_{0}}{1+\epsilon }}={\frac {\frac {L^{2}}{mk}}{1+{\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{mk^{2}}}}}}}} התנע הזוויתי מונע מן הגופים להתקרב למרחק אפס זה מזה (ה"כוח הצנטריפוגלי" דוחה את הגופים) ויחד עם האנרגיה קובע את המרחק המינימלי האפשרי. המרחק הנ"ל הוא המרחק בין מרכזי המסה של שני הגופים. כך לדוגמה אסטרואיד הנע בסמוך לשמש יתנגש בה אם   r m i n {\displaystyle \ r_{min}} המתאים למסלולו קטן מרדיוס השמש. כמו כן אם התנע הזוויתי שווה לאפס, הפתרון שתואר בסעיף הקודם אינו תקף, והגופים יתקרבו או יתרחקו זה מזה בקו ישר. ניתוח מפורט יותר של המקרה האליפטי יופיע בהמשך. הפתרון שקיבלנו הוא עבור הקואורדינטה היחסית בין שני הגופים. בעזרתו ניתן להביע את מסלול התנועה של שני הגופים במערכת מרכז המסה באופן הבא: r → 1 ( t ) = m 2 m 1 + m 2 r → ( t )     ;     r → 2 ( t ) = − m 1 m 1 + m 2 r → ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}_{1}(t)={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)\ \ ;\ \ {\vec {r}}_{2}(t)=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)} ומכאן שצורת מסלול תנועת כל אחד מהגופים (סביב מרכז המסה) דומה לצורת המסלול שקיבלנו. ההבדל היחיד הוא סקלת האורך של המסלול הנקבעת על פי הגורמים m i m 1 + m 2 {\displaystyle {\frac {m_{i}}{m_{1}+m_{2}}}} התלויים ביחס בין המסות של שני הגופים. עבור תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, כיוון שמסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, m 1 ≫ m 2 {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}} , מתקיים עבור השמש r → 1 ≈ 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}\approx 0} ועבור כוכב הלכת r → 2 ≈ r → {\displaystyle {\vec {r}}_{2}\approx {\vec {r}}} . כלומר, השמש כמעט ואינה נעה, מיקומה מתלכד (בקרוב) עם מיקום מרכז המסה וכוכב הלכת מקיף אותה במסלול אליפטי. זהו החוק הראשון של קפלר. כאמור, את מסלול התנועה עבור בעיית קפלר ניתן למצוא במגוון דרכים בנוסף לדרך שהוצגה כאן. דרכים אלו כוללות: שיטות גאומטריות - זו הדרך בה פתר אייזק ניוטון לראשונה את הבעיה. פתרון משוואת המסלול. שימוש בפורמליזם של המילטון-יעקובי. שימוש בווקטור לפלס-רונגה-לנץ - גודל שמור נוסף הייחודי לבעיית קפלר. מן המשוואה   ( ∗ ) {\displaystyle \ (*)} ניתן לקבל את מאפייני המסלול האליפטי (ציור 6): המרחק המינימלי (פריהליון) - r m i n = r 0 1 + ϵ {\displaystyle r_{min}={\frac {r_{0}}{1+\epsilon }}} המרחק המקסימלי (אפהליון) - r m a x = r 0 1 − ϵ {\displaystyle r_{max}={\frac {r_{0}}{1-\epsilon }}} אורך הציר הראשי - 2 a = r m i n + r m a x = 2 r 0 1 − ϵ 2 {\displaystyle 2a=r_{min}+r_{max}=2{\frac {r_{0}}{1-\epsilon ^{2}}}} אורך הציר המשני - 2 b = 2 a 1 − ϵ 2 = 2 r 0 1 − ϵ 2 {\displaystyle 2b=2a{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}=2{\frac {r_{0}}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}}}}} את זמן המחזור של המסלול ניתן לחשב בעזרת העובדה כי הווקטור r → {\displaystyle {\vec {r}}} מכסה את שטח האליפסה במהירות שווה (החוק השני של קפלר): v A = d A d t = L 2 m {\displaystyle v_{A}={\frac {dA}{dt}}={\frac {L}{2m}}} . כיוון ששטח האליפסה הוא   A t o t = π a b {\displaystyle \ A_{tot}=\pi ab} , הזמן שייקח לווקטור r → {\displaystyle {\vec {r}}} להשלים הקפה ולכסות את כל שטח האליפסה יהיה: T = A t o t v A = 2 π m k a 3 / 2 {\displaystyle T={\frac {A_{tot}}{v_{A}}}=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}a^{3/2}} או לחלופין: T 2 = 4 π 2 m k a 3 {\displaystyle T^{2}=4\pi ^{2}{\frac {m}{k}}a^{3}} כלומר, ריבוע זמן המחזור פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי של האליפסה. זהו החוק השלישי של קפלר. יש לציין כי מקדם הפרופורציה, α = 4 π 2 m k {\displaystyle \alpha =4\pi ^{2}{\frac {m}{k}}} , תלוי במסה של שני הגופים. עבור כוח הגרביטציה   k = G m 1 m 2 {\displaystyle \ k=Gm_{1}m_{2}} ומקדם הפרופורציה הוא α = 4 π 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 G m 1 m 2 = 4 π 2 G ( m 1 + m 2 ) {\displaystyle \alpha =4\pi ^{2}{\frac {\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{Gm_{1}m_{2}}}={\frac {4\pi ^{2}}{G(m_{1}+m_{2})}}} . במקרה של תנועת כוכבי הלכת סביב השמש, מסת השמש גדולה בהרבה ממסת כוכבי הלכת, m 1 ≫ m 2 {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}} , ומקדם הפרופורציה יהיה בקירוב α = 4 π 2 G m 1 {\displaystyle \alpha ={\frac {4\pi ^{2}}{Gm_{1}}}} , שווה עבור כל כוכבי הלכת. בעיית קפלר, בניגוד לבעיה דו-גופית כללית, ניתנת לפתרון מלא באופן אנליטי ופתרונה ניתן לביטוי על ידי פונקציות אלמנטריות. גם אופי המסלולים ייחודי ביחס לבעיה כללית, בכך שהמסלולים החסומים המתקבלים, שצורתם אליפסה, אף סגורים (מסלול ה'נסגר' על עצמו, בו הגוף חוזר על עקבותיו באופן מחזורי) עבור כל תנאי התחלה. על פי משפט ברטראן, תכונה זו ייחודית לכוח ריבועי הפוך, k r 2 {\displaystyle {\frac {k}{r^{2}}}} , ולכוח הרמוני מן הצורה   k r {\displaystyle \ kr} . כל סטייה קלה של הכוח (או הפוטנציאל) מן הצורות הנ"ל, תגרום למסלול הגנרי לשנות את אופיו (ציור 7). כך לדוגמה הכוחות שמפעילים כוכבי הלכת השונים זה על זה ואפקטים יחסותים, גורמים שהכוח הפועל על כוכבי הלכת אינו באמת כוח ריבועי הפוך. עובדה זו גורמת לנקיפה של המסלולים האליפטיים של כוכבי הלכת. תכונה זו של המסלולים בבעיית קפלר, קשורה קשר הדוק לגודל שמור נוסף הקיים עבור בעיה זו - וקטור לפלס-רונגה-לנץ. וקטור זה מוגדר על ידי: A → = m r → ˙ × L → − m k r ^ {\displaystyle {\vec {A}}=m{\dot {\vec {r}}}\times {\vec {L}}-mk{\hat {r}}} , וניתן להראות שהוא מכוון לאורך הציר הראשי של האליפסה. כיוון שהווקטור קבוע, גם כיוון הציר הראשי של האליפסה קבוע - היא אינה מבצעת נקיפה. עובדת קיומו של גודל שמור נוסף בבעיית קפלר, מעידה על הסימטריה המיוחדת שיש לבעיה זו. בעיה דו-גופית כללית עם כוח מרכזי כללי, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות סיבוב של המרחב התלת הממדי - חבורת הסימטריה   S O ( 3 ) {\displaystyle \ SO(3)} . בעיית קפלר, לעומת זאת, אינווריאנטית תחת טרנספורמציות של חבורה גדולה יותר -   S O ( 4 ) {\displaystyle \ SO(4)} . חוקי קפלר בעיה דו-גופית כוח מרכזי משפט ברטראן וקטור לפלס-רונגה-לנץ אטום המימן H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Press, 1950. מערכת ייחוס אינרציאלית הנעה עם מרכז המסה זו האנרגיה הקינטית של התנועה היחסית בין הגופים. האנרגיה הקינטית הכוללת של שני הגופים כוללת גם את האנרגיה הקינטית (הקבועה) של מרכז המסה. אם L=0, הפתרון (*) אינו תקף ומתקבל קו ישר במערכת צירים אחרת יש להוסיף את קואורדינטת מרכז המסה   R → ( t ) {\displaystyle \ {\vec {R}}(t)} במערכת זו.