מטריצה ריבועית

במתמטיקה, מטריצה ריבועית היא מטריצה שמספר העמודות שלה שווה למספר השורות. בניגוד לסתם מטריצות, המייצגות העתקות ליניאריות ממרחב אחד למרחב אחר, מטריצות ריבועיות יכולות לייצג העתקות ממרחב אל עצמו, ולכן האוסף   N n ( F ) {\displaystyle \ N_{n}(F)} של מטריצות ריבועיות מסדר n על n מעל שדה F, סגור לכפל, ומהווה אלגברה, הקרויה אלגברת המטריצות. מטריצת היחידה (מסדר   n × n {\displaystyle \ n\times n} ) היא המטריצה המסומנת   I {\displaystyle \ I} או   I d {\displaystyle \ Id} (ולעיתים I n {\displaystyle I_{n}} ) שאיבריה מוגדרים באופן הבא:   ( I d ) m , n = δ m , n {\displaystyle \ (Id)_{m,n}=\delta _{m,n}} כאשר   δ m , n {\displaystyle \ \delta _{m,n}} היא הדלתא של קרונקר המוגדרת כך: δ m , n = { 1 m = n 0 m ≠ n {\displaystyle \delta _{m,n}=\left\{{\begin{matrix}1&m=n\\0&m\neq n\end{matrix}}\right.} מטריצת היחידה נראית כך: ( 1 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋮ 0 ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ 1 0 0 ⋯ 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&&\cdots &0\\0&1&0&&\vdots \\&0&\ddots &\ddots &\\\vdots &&\ddots &1&0\\0&\cdots &&0&1\\\end{pmatrix}}} במטריצה כזאת, איברי האלכסון הראשי הם 1 וכל שאר איברי המטריצה הם 0. לפי הגדרת כפל המטריצות, ניתן לראות ש   I {\displaystyle \ I} מהווה איבר נייטרלי ביחס לכפל מטריצות, ומכאן שמה. כלומר, לכל   A {\displaystyle \ A} מתקיים   I A = A I = A {\displaystyle \ IA=AI=A} , והיא מהווה את איבר היחידה בחוג המטריצות. מטריצת האפס היא המטריצה שכל איבריה הם 0. מטריצה זו היא איבר האפס בחוג המטריצות. מטריצה   A {\displaystyle \ A} נקראת משולשית עליונה אם כל איבריה מתחת לאלכסון הראשי שווים 0. באופן דומה, מטריצה   A {\displaystyle \ A} נקראת משולשית תחתונה אם כל איבריה מעל לאלכסון הראשי שווים 0. מכפלה או סכום של שתי מטריצות משולשיות מאותו סוג היא גם מטריצה משולשית. לכן, קבוצת המטריצות המשולשיות סגורה לכפל וחיבור, ומהווה תת-חוג של חוג המטריצות. מטריצה   A {\displaystyle \ A} נקראת אלכסונית אם היא גם משולשית עליונה וגם משולשית תחתונה, כלומר כל איבריה מעל ומתחת לאלכסון הראשי שווים 0. מטריצה אלכסונית שכל איברי האלכסון הראשי שלה שווים נקראת מטריצה סקלרית, והיא מהצורה   λ I {\displaystyle \ \lambda I} מטריצה   A {\displaystyle \ A} תיקרא הפיכה או רגולרית אם קיימת מטריצה   B {\displaystyle \ B} כך ש   A ⋅ B = B ⋅ A = I {\displaystyle \ A\cdot B=B\cdot A=I} ואז מסמנים   B − 1 = A {\displaystyle \ B^{-1}=A} והמטריצה   B {\displaystyle \ B} תיקרא המטריצה ההפוכה או ההפכית של   A {\displaystyle \ A} . מטריצה לא הפיכה נקראת מטריצה סינגולרית. מטריצה היא הפיכה אם ורק אם הדטרמיננטה שלה שונה מאפס. המטריצה המשוחלפת של A, שמסומנת   A t {\displaystyle \ A^{t}} (מבוטא A transposed) היא המטריצה שבה שורות ועמודות A מתחלפות. (כלומר,   ( A ) k , m = ( A t ) m , k {\displaystyle \ (A)_{k,m}=(A^{t})_{m,k}} ). מושג זה רלוונטי גם למטריצות שאינן ריבועיות, אך במטריצות ריבועיות ניתן להתייחס לשני סוגים מיוחדים שלו: מטריצה   A {\displaystyle \ A} תיקרא מטריצה סימטרית אם   A = A t {\displaystyle \ A=A^{t}} , כלומר האלכסון הראשי מהווה ציר סימטריה שלה. (כלומר,   ( A ) k , m = ( A ) m , k {\displaystyle \ (A)_{k,m}=(A)_{m,k}} ) מטריצה   A {\displaystyle \ A} תיקרא מטריצה אנטי-סימטרית אם   A = − A t {\displaystyle \ A=-A^{t}} . (כלומר,   ( A ) k , m = − ( A ) m , k {\displaystyle \ (A)_{k,m}=-(A)_{m,k}} ) מטריצת ששני האלכסונים שלה הם צירי סימטריה תיקרא מטריצה ביסימטרית צמוד הרמיטי של מטריצה A מעל שדה המרוכבים, היא מטריצה המוגדרת באופן הבא:   ( A † ) i , j = a j , i ¯ {\displaystyle \ (A^{\dagger })_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}} . הסימון הוא   A † {\displaystyle \ A^{\dagger }} שמבוטא A dagger. מטריצה A שמקיימת   a i , j = a j , i ¯ {\displaystyle \ a_{i,j}={\overline {a_{j,i}}}} , כלומר   A † = A {\displaystyle \ A^{\dagger }=A} נקראת מטריצה הרמיטית. מעל הממשיים, מטריצה הרמיטית היא מטריצה סימטרית. מטריצה U שמקיימת   U − 1 = U † {\displaystyle \ U^{-1}=U^{\dagger }} נקראת מטריצה יוניטרית. זוהי מטריצה ששומרת נורמה ומכפלה פנימית. מטריצה יוניטרית ממשית נקראת מטריצה אורתוגונלית. מטריצה   A {\displaystyle \ A} תיקרא מטריצה נילפוטנטית אם קיים   q {\displaystyle \ q} טבעי כך שמתקיים   A q = 0 {\displaystyle \ A^{q}=0} (כאשר   0 {\displaystyle \ 0} היא מטריצת האפס). מההגדרה נובע שרק אפס הוא ערך עצמי שלה. מעל שדה המרוכבים היא דומה למטריצה משולשית שכל אברי האלכסון שלה הם 0. מטריצה שכל שורותיה הן וקטורי הסתברות, כלומר, כל אבריה אי-שליליים וסכום כל שורה הוא 1 נקראת מטריצה סטוכסטית. מטריצות סטוכסטיות משמשות לתיאור שרשראות מרקוב. מטריצה ריבועית, באתר MathWorld (באנגלית)