סכמה (מתמטיקה)

במתמטיקה, סְכֶמָה היא מבנה מתמטי שמכלילה בכמה דרכים את המושג של יריעה אלגברית מהגאומטריה האלגברית הקלאסית. לדוגמה, המשוואות x = 0 {\displaystyle x=0} ו- x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}=0} מגדירות את אותן היריעות אך סכמות שונות. הסכמה מאפשרת להגדיר אנלוג של מושג היריעה מעל כל חוג קומוטטיבי (לדוגמה, עקום פרמה מוגדר מעל חוג השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ). סכמות הוצגו לראשונה על ידי אלכסנדר גרותנדיק, בשנת 1960, בספרו "יסודות הגאומטריה האלגברית". בכך גרותנדיק ניסח מחדש את הגאומטריה האלגברית. ניסוח זה הוביל בין היתר לפתרון של בעיות עמוקות וחשובות בתחום ובתחומים הקשורים, כגון השערות וויל (אנ') (שהאחרונה מביניהן נפתרה על ידי פייר דליין (אנ')). מושג הסכמה מבוסס על אלגברה קומוטטיבית, ותורת הסכמות מביאה את האפשרות להשתמש בכלים של טופולוגיה ואלגברה הומולוגית. בנוסף, סכמות מקשרות קשר הדוק בין גאומטריה אלגברית לבין תורת המספרים מה שהוביל להתקדמות גדולה בתורת המספרים (למשל, ההוכחה של אנדרו ויילס של ה"המשפט האחרון של פרמה" משתמשת רבות במושג הסכמה). מושג הסכמה פותח כגרסה כללית וגמישה יותר של מושג היריעה האלגברית. הצורך במושג הסכמה עולה מכך, שאף על פי שמושג היריעה האלגברית כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות: נדרש לקבוע את השדה k {\displaystyle k} , לכן לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים. מגבלה זו מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פתרונות של מערכת משוואות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זו מעל C {\displaystyle \mathbb {C} } . כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסצנדנטים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנריות, זאת אומרת נקודות שימצאו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי. יריעות אינן מאפשרות טיפול בפתרונות של מערכות משוואות מעל חוגים שאינם שדות. גם מגבלה זו מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משוואות דיופנטיות. יריעות אינן מאפשרות טיפול בשורשים מרובים. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה x 2 = 0 {\displaystyle x^{2}=0} זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשוואה x = 0 {\displaystyle x=0} . אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לקחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להתייחס לקבוצת השורשים של x 2 {\displaystyle x^{2}} באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של x {\displaystyle x} . התייחסות לריבוי השורשים משפרת את הניסוח והשימושיות של מספר משפטים. למשל את המשפט היסודי של האלגברה. כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה. כדי להבין את ההבדל בין סכמות ויריעות אפשר להסתכל תחילה על המקרה האפיני. סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלא בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג. לוויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקצוית הרגולריות ישנן השלכות. כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו. הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני. הבדל נוסף בין סכמות ליריעות הוא הוויתור על הדרישה שהכיסוי של סכמה על ידי סכמות אפיניות יהיה סופי. הדרישה היא רק קיום של כיסוי פתוח על ידי סכמות אפיניות. ויתור זה אינו פועל יוצא של אחת המגבלות שתוארו מעלה, אלא בא לאור העובדה שסכמות הן מושג כללי מאוד ולכן ישנו ויתור על כל ההגבלות שאינן הכרחיות. סכמות בעלות כיסוי סופי כזה נקראות סכמות קוואזי-קומפקטיות. במקרים רבים כשחוקרים סכמות מצמצמים את הדיון לסכמות קוואזי-קומפקטיות, מכיוון שמשפטים רבים אינם תקפים לסכמות שאינן קוואזי-קומפקטיות. ערך מורחב – סכמה אפינית סכמה אפינית היא מרחב מחויג מקומית ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} שאיזומורפי (כמרחב מחויג מקומית) לספקטרום של חוג קומוטטיבי. סכמה היא מרחב מחויג מקומית ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} כך שלכל נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} יש סביבה פתוחה U ⊆ X {\displaystyle U\subseteq X} , כך שהמרחב המחויג ( U , O X | U ) {\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U})} הוא סכמה אפינית. מטעמי נוחות, הסכמה ( X , O X ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})} נקראת לעיתים X {\displaystyle X} , ואת המרחב הטופולוגי של X {\displaystyle X} נסמן sp ( X ) {\displaystyle {\text{sp}}(X)} . O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} נקראת אלומת המבנה של X {\displaystyle X} . בעבר, סכמה נקראה "קדם-סכמה" והמונח סכמה התייחס לקדם-סכמה מופרדת. הטרמינולוגיה הזו כבר אינה בשימוש אך עדיין קיימת בספרים, כמו "יסודות הגאומטריה האלגברית" של גרותנדיק ו-"הספר האדום" של מאמפורד. מורפיזם של סכמות הוא מורפיזם של מרחבים מחויגים מקומית. כלומר, אם X , Y {\displaystyle X,Y} סכמות, מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} הוא הזוג ( f , f ♯ ) {\displaystyle (f,f^{\sharp })} , כאשר: f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} העתקה רציפה בין שני מרחבים טופולוגיים. f ♯ : O Y → f ∗ O X {\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} מורפיזם של אלומות כך שההומומורפיזם המושרה מ- f ♯ {\displaystyle f^{\sharp }} על הנבטים הוא הומומורפיזם מקומי של חוגים מקומיים, כלומר לכל p ∈ X {\displaystyle p\in X} , ההומומורפיזם המושרה f p ♯ : O Y , f ( p ) → O X , p {\displaystyle f_{p}^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{Y,f(p)}\to {\mathcal {O}}_{X,p}} מקיים f p ♯ ( m f ( p ) ) ⊆ m p {\displaystyle f_{p}^{\sharp }({\mathfrak {m}}_{f(p)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{p}} . f ∗ O X {\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} היא הדחיפה של האלומה O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} על Y {\displaystyle Y} , כלומר האלומה שמתאימה לכל קבוצה פתוחה V ⊆ Y {\displaystyle V\subseteq Y} את החוג Γ ( f − 1 ( V ) , O X ) {\displaystyle \Gamma (f^{-1}(V),{\mathcal {O}}_{X})} . O X , p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}} הוא הנבט של האלומה O X {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}} בנקודה p {\displaystyle p} . m p {\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}} הוא האידיאל המקסימלי היחיד בחוג המקומי O X , p {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,p}} . סכמה נקראת קשירה אם המרחב הטופולוגי שלה קשיר. סכמה נקראת אי-פריקה אם המרחב הטופולוגי שלה אי-פריק. סכמה X {\displaystyle X} נקראת מצומצמת אם לכל קבוצה פתוחה U {\displaystyle U} , החוג O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} חסר נילפוטנטים. באופן שקול, X {\displaystyle X} מצומצמת אם לכל נקודה P ∈ X {\displaystyle P\in X} החוג המקומי O X , P {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,P}} חסר נילפוטנטים. סכמה X {\displaystyle X} נקראת אינטגרלית (integral) אם לכל קבוצה פתוחה U {\displaystyle U} , החוג O X ( U ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)} הוא תחום שלמות. סכמה היא אינטגרלית אם"ם היא גם אי פריקה וגם מצומצמת. סכמה X {\displaystyle X} היא נתרית מקומית אם היא ניתנת לכיסוי על ידי קבוצות פתוחות אפיניות Spec A i {\displaystyle {\text{Spec}}A_{i}} , כשכל A i {\displaystyle A_{i}} הוא חוג נתרי. X {\displaystyle X} היא נתרית אם היא נתרית מקומית וקוואזי-קומפקטית. באופן שקול, X {\displaystyle X} היא נתרית אם היא ניתנת לכיסוי על ידי מספר סופי של קבוצות פתוחות אפיניות Spec A i {\displaystyle {\text{Spec}}A_{i}} כשכל A i {\displaystyle A_{i}} הוא חוג נתרי. הערה: המרחב הטופולוגי של סכמה נתרית הוא נתרי, אבל לא בהכרח להפך. הממד של סכמה X {\displaystyle X} , מסומן dim X {\displaystyle {\text{dim}}X} , הוא ממד קרול שלה כמרחב טופולוגי (סופרימום אורך שרשאות ההכלה של תת-קבוצות סגורות אי פריקות שונות). אם Z {\displaystyle Z} תת-קבוצה אי-פריקה סגורה של X {\displaystyle X} , אז הקו-ממד של Z {\displaystyle Z} ב- X {\displaystyle X} , המסומן codim ( Z , X ) {\displaystyle {\text{codim}}(Z,X)} הוא סופרימום אורכי השרשראות Z = Z 0 < Z 1 < . . . < Z n {\displaystyle Z=Z_{0}<Z_{1}<...<Z_{n}} של תת-קבוצות שונות סגורות אי-פריקות של X {\displaystyle X} , שמתחילות ב- Z {\displaystyle Z} . אם Y {\displaystyle Y} תת-קבוצה סגורה כלשהי של X {\displaystyle X} , מגדירים codim ( Y , X ) = inf Z ⊆ Y codim ( Z , X ) {\displaystyle {\text{codim}}(Y,X)={\text{inf}}_{Z\subseteq Y}{\text{codim}}(Z,X)} . המימד של סכמה נתרית תמיד סופי. ערך מורחב – תורת הקטגוריות לכל סכמה X {\displaystyle X} יש מורפיזם טבעי θ : X → Spec Γ ( X , O X ) {\displaystyle \theta :X\to {\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})} שהוא איזומורפיזם אם ורק אם X {\displaystyle X} סכמה אפינית. באופן שקול, אם R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי עם יחידה ו- X {\displaystyle X} סכמה, אז יש התאמה חח"ע ועל: Mor ( X , Spec R ) ≅ Hom ( R , Γ ( X , O X ) ) {\displaystyle {\text{Mor}}(X,{\text{Spec}}R)\cong {\text{Hom}}(R,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))} הוכחה: ההעתקה ϕ ↦ Spec ⁡ ( ϕ ) ∘ θ {\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta } מצד ימין לצד שמאל היא האיזומורפיזם הדרוש. יתרה מזאת, הטענה דלעיל יכולה לתת אפיון של סכמות אפיניות כך: סכמה X {\displaystyle X} היא אפינית אם ורק אם לכל סכמה S {\displaystyle S} ההעתקה Mor ( S , X ) → Hom ( Γ ( X , O X ) , Γ ( S , O S ) ) {\displaystyle {\text{Mor}}(S,X)\to {\text{Hom}}(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))} היא חח"ע ועל. הוכחה: אם ההעתקה חח"ע ועל אז Mor ( − , X ) ≃ Mor ( − , Spec Γ ( X , O X ) ) {\displaystyle {\text{Mor}}(-,X)\simeq {\text{Mor}}(-,{\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))} ולכן X {\displaystyle X} איזומורפי ל- Spec Γ ( X , O X ) {\displaystyle {\text{Spec}}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})} מהלמה של יונדה. הכיוון השני ברור. אם נסמן את קטגוריית הסכמות האפיניות ב- ASch {\displaystyle {\text{ASch}}} נקבל תוצאה חשובה: Ring op = ASch {\displaystyle {\text{Ring}}^{\text{op}}={\text{ASch}}} , כלומר קטגוריית הסכמות האפיניות שקולה לקטגוריה ההפוכה לקטגוריית החוגים. Z {\displaystyle \mathbb {Z} } הוא האובייקט ההתחלתי בקטגוריה של החוגים (הקומוטטיביים עם יחידה, Ring {\displaystyle {\text{Ring}}} ) ולכן מכך ש- Mor ( X , Spec R ) ≅ Hom ( R , Γ ( X , O X ) ) {\displaystyle {\text{Mor}}(X,{\text{Spec}}R)\cong {\text{Hom}}(R,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))} נקבל כי Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } הוא האובייקט הסופי בקטגוריית הסכמות ( Sch {\displaystyle {\text{Sch}}} ). כלומר, מכל סכמה X {\displaystyle X} יש מורפיזם יחיד X → Spec Z {\displaystyle X\to {\text{Spec}}\mathbb {Z} } . האובייקט התחילי בקטגוריית הסכמות הוא הסכמה הריקה (השווה ל- Spec 0 {\displaystyle {\text{Spec}}0} ) תהי S {\displaystyle S} סכמה, ויהיו X , Y {\displaystyle X,Y} סכמות מעל S {\displaystyle S} , כלומר סכמות עם מורפיזם ל- S {\displaystyle S} . נגדיר את המכפלה המסוייבת של X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} מעל S {\displaystyle S} , מסומנת X × S Y {\displaystyle X\times _{S}Y} , להיות סכמה, יחד עם מורפיזמים p 1 : X × S Y → X {\displaystyle p_{1}:X\times _{S}Y\to X} , p 2 : X × S Y → Y {\displaystyle p_{2}:X\times _{S}Y\to Y} , שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית יחד עם המורפיזמים הנתונים X → S {\displaystyle X\to S} , Y → S {\displaystyle Y\to S} , כך שלכל סכמה Z {\displaystyle Z} מעל S {\displaystyle S} ומורפיזמים f : Z → X {\displaystyle f:Z\to X} , g : Z → Y {\displaystyle g:Z\to Y} שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית עם המורפיזמים X → S {\displaystyle X\to S} , Y → S {\displaystyle Y\to S} , קיים מורפיזם יחיד θ : Z → X × S Y {\displaystyle \theta :Z\to X\times _{S}Y} עבורו f = p 1 ∘ θ {\displaystyle f=p_{1}\circ \theta } ו- g = p 2 ∘ θ {\displaystyle g=p_{2}\circ \theta } . המורפיזמים p 1 {\displaystyle p_{1}} ו- p 2 {\displaystyle p_{2}} נקראים הטלות (projection morphisms) של המכפלה המסוייבת על גורמי המכפלה. אם X , Y {\displaystyle X,Y} נתונות ללא סכמת בסיס S {\displaystyle S} , לוקחים S = Spec Z {\displaystyle S={\text{Spec}}\mathbb {Z} } . משפט: לכל זוג סכמות X , Y {\displaystyle X,Y} מעל סכמה S {\displaystyle S} , המכפלה המסוייבת X × S Y {\displaystyle X\times _{S}Y} קיימת. בקטגוריית הסכמות האפיניות ASch {\displaystyle {\text{ASch}}} שאיזומורפית לקטגוריה ההפוכה לקטגוריית החוגים Ring op {\displaystyle {\text{Ring}}^{\text{op}}} , המכפלה המסוייבת מקבילה למכפלה הטנזורית בקטגוריית החוגים. כלומר, אם X = Spec ( A ) , Y = Spec ( B ) , Z = Spec ( C ) {\displaystyle X={\text{Spec}}(A),Y={\text{Spec}}(B),Z={\text{Spec}}(C)} סכמות אפיניות, A , B , C {\displaystyle A,B,C} חוגים, ויש מורפיזמים X → Z , Y → Z {\displaystyle X\to Z,Y\to Z} , אזי X × Z Y ≅ Spec ( A ⊗ C B ) {\displaystyle X\times _{Z}Y\cong {\text{Spec}}(A\otimes _{C}B)} . דחיפה היא מושג דואלי למכפלה מסוייבת. כלומר דחיפה בקטגוריה C {\displaystyle {\mathcal {C}}} היא מכפלה מסוייבת בקטגוריה ההפוכה C op {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\text{op}}} . יהיו X , Y , Z {\displaystyle X,Y,Z} סכמות עם מורפיזמים f : Z → X {\displaystyle f:Z\to X} ו g : Z → Y {\displaystyle g:Z\to Y} . נגדיר את הדחיפה P := X ⊔ Z Y {\displaystyle P:=X\sqcup _{Z}Y} להיות סכמה, יחד עם מורפיזמים i 1 : X → P {\displaystyle i_{1}:X\to P} , i 2 : Y → P {\displaystyle i_{2}:Y\to P} , שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית יחד עם המורפיזמים הנתונים f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} , כך שלכל סכמה Q {\displaystyle Q} ומורפיזמים j 1 : X → Q {\displaystyle j_{1}:X\to Q} , j 2 : Y → Q {\displaystyle j_{2}:Y\to Q} שיוצרים דיאגרמה קומוטטיבית עם המורפיזמים f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} קיים מורפיזם יחיד u : P → Q {\displaystyle u:P\to Q} עבורו j 1 = u ∘ i 1 {\displaystyle j_{1}=u\circ i_{1}} ו- j 2 = u ∘ i 2 {\displaystyle j_{2}=u\circ i_{2}} . אם f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} הם שיכונים סגורים הדחיפה קיימת, והיא שווה להדבקה של X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} לאורך Z {\displaystyle Z} . בקטגוריית הסכמות הדחיפה לא תמיד קיימת. לעומת זאת, בקטגוריית הסכמות האפיניות הדחיפה קיימת תמיד: אם X = Spec A , Y = Spec B , Z = Spec R {\displaystyle X={\text{Spec}}A,Y={\text{Spec}}B,Z={\text{Spec}}R} סכמות אפיניות עם מורפיזמים שנובעים מההומומורפיזמים ψ : B → R {\displaystyle \psi :B\to R} ו- ϕ : A → R {\displaystyle \phi :A\to R} , אז הדחיפה X ⊔ Z Y {\displaystyle X\sqcup _{Z}Y} קיימת, והיא תהיה Spec D {\displaystyle {\text{Spec}}D} כאשר D = A × R B := { ( a , b ) ∈ A × B | ϕ ( a ) = ψ ( b ) } {\displaystyle D=A\times _{R}B:=\{(a,b)\in A\times B|\phi (a)=\psi (b)\}} . הדחיפה בסכמות אפיניות לא בהכרח שווה לדחיפה בסכמות. דוגמה לכך היא דחיפה של שני ישרים לאורך ישר בלי הראשית, כאשר הוא משוכן בראשון על ידי הזהות, ובשני על ידי t ↦ 1 t {\displaystyle t\mapsto {1 \over t}} . אז הדחיפה בקטגוריית הסכמות תהיה הישר הפרויקטיבי (מעגל), ובקטגוריית הסכמות האפיניות הדחיפה קורסת לסכמה אפינית - נקודה אחת. מקרה חשוב של דחיפה הוא המקרה בו ההעתקות מ- Z {\displaystyle Z} הן שיכונים פתוחים. במקרה זה הדחיפה תמיד קיימת בקטגוריית הסכמות. מקרה זה נקראה לעיתים הדבקה. יהי f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מורפיזם של סכמות (במקרה כזה נהוג להגיד ש- X {\displaystyle X} היא סכמה מעל Y {\displaystyle Y} ), ותהי y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} נקודה. יהי k ( y ) {\displaystyle k(y)} שדה השאריות של y {\displaystyle y} , ויהי Spec k ( y ) → Y {\displaystyle {\text{Spec}}k(y)\to Y} המורפיזם הטבעי. אז נגדיר את הסיב של המורפיזם f {\displaystyle f} מעל הנקודה y {\displaystyle y} להיות הסכמה X y = X × Y Spec k ( y ) {\displaystyle X_{y}=X\times _{Y}{\text{Spec}}k(y)} . מושג הסיב של מורפיזם מאפשר להתייחס למורפיזם כמשפחה של סכמות (שנקראות הסיבים שלו), שמתוארות לפי פרמטרים של נקודות בסכמת התמונה. מהצד השני, המובן הזה של משפחה של סכמות הוא דרך טובה להבין משפחות של סכמות שמשתנות אלגברית. למשל, לכל סכמה X {\displaystyle X} יש העתקה ל- Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } , כלומר כל סכמה היא סכמה מעל Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } . במקרה הזה, הסיב מעל הנקודה הגנרית נותן סכמה X Q {\displaystyle X_{\mathbb {Q} }} מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , והסיב מעל נקודה סגורה, שמתאימה למספר ראשוני p {\displaystyle p} , יהיה סכמה X p {\displaystyle X_{p}} מעל השדה הסופי F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} . נאמר כי X p {\displaystyle X_{p}} נוצרת על ידי צמצום מודולו p {\displaystyle p} של הסכמה X {\displaystyle X} . תוצאה חשובה של הגדרת המכפלה המסוייבת היא הרעיון של הרחבת בסיס. תהי S {\displaystyle S} סכמת בסיס. אם S ′ {\displaystyle S'} סכמת בסיס נוספת, ו- S ′ → S {\displaystyle S'\to S} מורפיזם, אז לכל סכמה X {\displaystyle X} מעל S {\displaystyle S} נגדיר X ′ = X × S S ′ {\displaystyle X'=X\times _{S}S'} , שהיא סכמה מעל S ′ {\displaystyle S'} . נאמר כי X ′ {\displaystyle X'} מתקבלת מ- X {\displaystyle X} על ידי הרחבת בסיס S ′ → S {\displaystyle S'\to S} . מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא קוואזי-קומפקטי אם קיים כיסוי של Y {\displaystyle Y} על ידי קבוצות פתוחות אפיניות V i {\displaystyle V_{i}} כך ש- f − 1 ( V i ) {\displaystyle f^{-1}(V_{i})} קוואזי-קומפקטי לכל i {\displaystyle i} . מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא מקומי מטיפוס סופי אם קיים כיסוי של Y {\displaystyle Y} על ידי קבוצות פתוחות אפיניות V i = Spec B i {\displaystyle V_{i}={\text{Spec}}B_{i}} כך שלכל i {\displaystyle i} , f − 1 ( V i ) {\displaystyle f^{-1}(V_{i})} ניתנת לכיסוי על ידי קבוצות פתוחות אפיניות U i , j = Spec A i , j {\displaystyle U_{i,j}={\text{Spec}}A_{i,j}} כשכל A i , j {\displaystyle A_{i,j}} הוא B i {\displaystyle B_{i}} -אלגברה נוצרת סופית. f {\displaystyle f} נקרא מטיפוס סופי אם בנוסף כל f − 1 ( V i ) {\displaystyle f^{-1}(V_{i})} ניתנת לכיסוי כנ"ל עם מספר סופי של U i , j {\displaystyle U_{i,j}} . מורפיזם ם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא סופי אם קיים כיסוי של Y {\displaystyle Y} על ידי קבוצות פתוחות אפיניות V i = Spec B i {\displaystyle V_{i}={\text{Spec}}B_{i}} כך שלכל i {\displaystyle i} , f − 1 ( V i ) {\displaystyle f^{-1}(V_{i})} אפינית, שווה ל- Spec A i {\displaystyle {\text{Spec}}A_{i}} , כאשר כל A i {\displaystyle A_{i}} הוא B i {\displaystyle B_{i}} -אלגברה שהיא B i {\displaystyle B_{i}} -מודול נוצר סופית. תת סכמה פתוחה של סכמה X {\displaystyle X} היא סכמה U {\displaystyle U} שהמרחב הטופולוגי שלה הוא תת-קבוצה פתוחה של X {\displaystyle X} ושאלומת המבנה שלה O U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}} איזומורפית לאלומה המצומצמת O X | U {\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}} . שיכון פתוח הוא מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} שמשרה איזומורפיזם מ- X {\displaystyle X} לתת סכמה פתוחה של Y {\displaystyle Y} . שיכון סגור הוא מורפיזם של סכמות f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} כך ש- f {\displaystyle f} משרה הומיאומורפיזם מ- sp ( Y ) {\displaystyle {\text{sp}}(Y)} לתת מרחב סגור של sp ( X ) {\displaystyle {\text{sp}}(X)} וההעתקה f ♯ : O X → f ∗ O Y {\displaystyle {\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}} היא על. תת סכמה סגורה של סכמה X {\displaystyle X} היא מחלקת שקילות של שיכונים סגורים, כאשר אנו אומרים שהשיכונים f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} ו f ′ : Y ′ → X {\displaystyle f':Y'\to X} שקולים אם קיים איזומורפיזם i : Y ′ → Y {\displaystyle i:Y'\to Y} כך ש- f ′ = f ∘ i {\displaystyle f'=f\circ i} יהי f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מורפיזם של סכמות. מורפיזם האלכסון הוא המורפיזם היחיד Δ : X → X × Y X {\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X} שהרכבתו עם כל אחת מההטלות p 1 , p 2 : X × Y X → X {\displaystyle p_{1},p_{2}:X\times _{Y}X\to X} היא העתקת הזהות X → X {\displaystyle X\to X} . מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא מופרד אם מורפיזם האלכסון Δ {\displaystyle \Delta } הוא שיכון סגור. במקרה זה אנו אומרים שהסכמה X {\displaystyle X} מופרדת מעל Y {\displaystyle Y} . סכמה X {\displaystyle X} היא מופרדת אם היא מופרדת מעל Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } . מורפיזם של סכמות נקרא סגור אם ההעתקה של המרחבים הטופולוגיים היא העתקה סגורה (שולחת תת-קבוצה סגורה לתת קבוצה סגורה). מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא סגור אוניברסלית אם הוא מורפיזם סגור ועבור כל מורפיזם אחר Y ′ → Y {\displaystyle Y'\to Y} המורפיזם f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f':X'\to Y'} המתקבל מהרחבת בסיס של f {\displaystyle f} גם הוא מורפיזם סגור. מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא נאות אם הוא מופרד, מטיפוס סופי וסגור אוניברסלית. במצב הזה אומרים ש- X {\displaystyle X} נאותה מעל Y {\displaystyle Y} . סכמה נקראת נאותה אם היא נאותה מעל Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } . למורפיזמים יש חשיבות רבה בתיאוריה הזאת וגרותנדיק אף אמר כי "לא צריך ללמוד סכמות, צריך ללמוד מורפיזמים".[דרוש מקור] Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } היא דוגמה חשובה ובסיסית של סכמה. ניתן לראות ב תורת המספרים האלגברית מחקר של סכמה זאת וסכמות סופיות מעליה (זאת אמרת סכמות יחד עם העתקה סופית לסכמה זאת). יהי k {\displaystyle k} שדה. פולינום f ∈ k [ x 1 , . . , x n ] {\displaystyle f\in k[x_{1},..,x_{n}]} מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב האפיני A k n {\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}} על ידי Spec ( k [ x 1 , . . . , x n ] / ( f ) ) {\displaystyle {\text{Spec}}(k[x_{1},...,x_{n}]/(f))} . סכמה כזאת נקראת היפר משטח. לדוגמה, הפולינום f = x 2 − y 2 ( y + 1 ) {\displaystyle f=x^{2}-y^{2}(y+1)} מגדיר עקומה סינגולרית ב- A C 2 {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}} . לכל חוג R {\displaystyle R} אפשר לבנות את המרחב הפרויקטיבי ה-n ממדי מעל R {\displaystyle R} על ידי "הדבקת" n+1 עותקים של המרחב Spec ( R [ x 1 , . . . , x n ] ) {\displaystyle {\text{Spec}}(R[x_{1},...,x_{n}])} לאורך הקבוצות הפתוחות. הישר עם "שני" אפסים, ניקח שני עותקים של הישר האפיני (מעל שדה k {\displaystyle k} כלשהו) ונזהה את הנקודות בקבוצה הפתוחה A C 1 − { 0 ¯ } {\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}-\{{\bar {0}}\}} עם עצמן על ידי הזהות, פורמלית: ( A C 1 ∐ A C 1 ) / ∼ {\displaystyle \left(\mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}\coprod \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{1}\right)/\sim } כאשר היחס שקילות הוא זה שתיארנו. זוהי דוגמה לסכמה לא פרידה, ובפרט לא אפינית. פולינום הומוגני f ∈ R [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle f\in R[x_{1},...,x_{n}]} ממעלה חיובית מגדיר תת-סכמה סגורה במרחב הפרויקטיבי P R n {\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}} על ידי f = 0 {\displaystyle f=0} , שנקראת היפר-משטח פרויקטיבי. פורמלית, תת-הסכמה היא Proj ( R [ x 1 , . . . x n ] / f ( x ) ) {\displaystyle {\text{Proj}}(R[x_{1},...x_{n}]/f(x))} . לדוגמה, תת-הסכמה המוגדרת על ידי x 3 + y 3 = z 3 {\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}} ב- P Q 2 {\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}} זה עקום אליפטי מעל הרציונלים. תת-קבוצה פתוחה של סכמה אפינית נקראת קוואזי-אפינית, והיא אינה בהכרח אפינית. לדוגמה, X = A n − 0 {\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}-0} מעל המרוכבים; במקרה זה, המרחב X {\displaystyle X} לא אפיני עבור n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} (עבור n = 1 {\displaystyle n=1} נקבל את הציר בלי הראשית וזה איזומורפי ל- Spec C [ x , x − 1 ] {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {C} [x,x^{-1}]} ובפרט אפיני). כדי להראות שהמרחב לא אפיני עבור n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} , צריך להראות שכל פונקציה רגולרית על המרחב ניתנת להרחבה באופן יחיד לכל המרחב האפיני (הטענה דומה ללמה של הארטוגס מאנליזה מרוכבת אך קלה יותר להוכחה). ההכלה i : X → A n {\displaystyle i:X\to \mathbb {A} ^{n}} משרה הומומורפיזם של חוגים i ♯ : O A n ( A n ) → O X ( X ) {\displaystyle i^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{\mathbb {A} ^{n}}(\mathbb {A} ^{n})\to {\mathcal {O}}_{X}(X)} . מכיוון שכל פונקציה רגולרית על X {\displaystyle X} ניתנת להרחבה על כל המרחב האפיני אז i ♯ {\displaystyle i^{\sharp }} הוא איזומורפיזם. אם X {\displaystyle X} הייתה סכמה אפינית אז i {\displaystyle i} היה איזומורפיזם של סכמות אך הוא לא על ולכן לא איזומורפיזם. סכמה פרויקטיבית אינה אפינית (אלא אם כן היא סופית). גאומטריה אלגברית יריעה אלגברית מורפיזמים מופרדים ונאותים Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 69–108, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 ורשבסקי, יעקב (2016), עומר שכטר (ed.), "מושגי יסוד בגיאומטריה אלגברית 1" (PDF), האוניברסיטה העברית Vakil, Ravi (2017), Foundations of Algebraic Geometry, ISBN 978-0821810293 מדיה וקבצים בנושא סכמה בוויקישיתוף סכמה, באתר MathWorld (באנגלית) טקסט של דוד ממפורד שמסביר את מושג הסכמה לקהל רחב. המחברים של Stacks Project, The Stacks Project Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 74, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 72, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 82–83, 86, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 87, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Karl Schwede, Gluing schemes and a scheme without closed points, Contemporary Mathematics, 2004, עמ' 10 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 89–90, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 84–85, 96, 100, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157