משפט קוטה-ז'וקובסקי

משפט קוטה-ז'וקובסקי (לעיתים: תורת קוטה ז'וקובסקי) הוא משפט יסודי באווירודינמיקה ובאופן כללי יותר במכניקת הזורמים המשמש לחישוב כוח העילוי הפועל על כנף דו-ממדית הנעה במהירות מספקת כך ששדה הזרימה סביבה הוא תמידי, למינרי וצמוד לכנף. המשפט מקשר בין העילוי, צפיפות הזורם והסירקולציה מסביב לכנף. התורה פותחה בראשית המאה ה-20 על ידי מרטין קוטה וניקולאי ז'וקובסקי וקרויה על שמם. הנחת התיאוריה לפיה הזרימה למינרית על שפת הכנף מזניחה את צמיגות האוויר שגורמת להיווצרות שכבת גבול טורבולנטית דקה על שפת הכנף. למרות זאת התורה מהווה קירוב מדויק למדי עבור תעופה במהירות גבוהה מספיק ובזווית תקיפה נמוכה מספיק. עבור זרימה דו-ממדית מסביב לכנף קבועה, הנעה במהירות קבועה בתווך בו הצמיגות והדחיסות זניחה, כוח העילוי ליחידת אורך של מוטת הכנף מקיים: L ′ = Γ ρ ∞ V ∞ {\displaystyle L'=\Gamma \rho _{\infty }V_{\infty }} , כאשר ρ ∞ {\displaystyle \rho _{\infty }} צפיפות הזורם, V ∞ {\displaystyle V_{\infty }} מהירות הזרימה המציפה ו- Γ = ∮ C u ⋅ d ℓ → {\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {u} \cdot d{\vec {\ell }}} היא הסירקולציה מסביב לכנף. כוח העילוי יהיה מאונך לכיוון הזרימה המציפה. הלולאה C {\displaystyle C} עליה מחושבת הסירקולציה צריכה להיות בתחום בו ניתן להניח שהזרימה היא זרימה פוטנציאלית, ולא בתחום שכבת הגבול על שפת הכנף. ערך מורחב – תנאי קוטה תורת קוטה ז'וקובסקי מאפשת לחשב את העילוי בהנחה שהסירקולציה נתונה; היא לא מסבירה מדוע הסירקולציה נוצרת ולא מציגה דרך לחשב את הסירקולציה עבור צורת כנף, זווית התקפה ומהירות זרימה ידועות. בכנף קבועה, היווצרות הסירקולציה נובעת מקיום תנאי קוטה, לפי תנאי זה, בזרימה מסביב לכנף עם קצה אחורי חד, נקודת הסטגנציה של הזרימה תהיה בקצה החד של הכנף. המשמעות של תנאי זה הוא שזרימה העוברת תחת הכנף לא נעה מסביב לקצה הכנף כדי לזרום מעל לכנף. כשמסתכלים על כל הזרימה כזרימה פוטנציאלית, הסיבה לקיום התנאי היא שאי קיומו גורר שמהירות הזרימה בקצה הכנף היא אינסופית. במציאות, על שפת הכנף נוצרת שכבת גבול, והזרימה בשכבה הזו היא שמזיזה את נקודת הסטנגציה תוך יצירת מערבולת התחלתית. סוג מיוחד של כנף הוא כנף ז'וקובסקי המתקבלת באמצעות מיפוי קונפורמי של המרחב המרוכב לפי z = 1 ζ + ζ {\displaystyle z={\frac {1}{\zeta }}+\zeta } . במיפוי זה, כל מעגל מהצורה | ζ − ζ 0 | = R {\displaystyle |\zeta -\zeta _{0}|=R} יוצר כנף במישור z {\displaystyle z} (שהוא המישור הפיזיקלי) המוגדר על ידי העתקת ז'וקובסקי, כשמיקום המרכז ζ 0 {\displaystyle \zeta _{0}} והרדיוס R {\displaystyle R} , קובעים את צורת הכנף. מאחר שההעתקה היא קונפורמית, קווי זרם במישור ζ {\displaystyle \zeta } מועתקים לקווי זרם במישור z {\displaystyle z} . הפתרונות האפשריים לזרימה במישור ζ {\displaystyle \zeta } ידועים, מאחר שהם מתארים זרימה מסביב לגליל עם סירקולציה. את הפוטנציאל המרוכב במישור ζ {\displaystyle \zeta } ניתן להעתיק למישור הפיזי z {\displaystyle z} ובמישור זה ישנו ערך יחיד לסירקולציה המאפשר את קיום תנאי קוטה. זוהי הסירקולציה שתתקבל מסביב לכנף. קל לפתח את משפט קוטה ז'וקובסקי באמצעות תיאור הזרימה על ידי פוטנציאל מרוכב. בתיאור כזה, לפי משפט בלסיוס, הכוח הפועל על אזור המוקף בלולאה C {\displaystyle C} מקיים: F ¯ = i ρ 2 ∮ C ( d w d z ) 2 d z {\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}dz} כאשר ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות הזורם ו- w {\displaystyle w} הפוטנציאל המרוכב. מאידך, d w d z {\displaystyle {\frac {dw}{dz}}} היא פונקציה הולמורפית וחסומה באינסוף, לכן הפיתוח של לטור לורן מקיים w ′ ( z ) = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + . . . {\displaystyle w'(z)=a_{0}+{\frac {a_{1}}{z}}+{\frac {a_{2}}{z^{2}}}+...} . מצד שני, מתכונות הפוטנציאל נקבל: u ¯ = d w d z {\displaystyle {\bar {u}}={\frac {dw}{dz}}} ולכן a 0 = V x ∞ − i V y ∞ {\displaystyle a_{0}=V_{x\infty }-iV_{y\infty }} . את a 1 {\displaystyle a_{1}} ניתן לחשב לפי משפט השארית: a 1 = 1 2 π i ∮ C d w d z d z = 1 2 π i ( ∮ C u ⋅ d ℓ + i ∮ C u x d y − u y d x ) = Γ 2 π i {\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {dw}{dz}}dz={\frac {1}{2\pi i}}\left(\oint _{C}\mathbf {u} \cdot d\ell +i\oint _{C}u_{x}dy-u_{y}dx\right)={\frac {\Gamma }{2\pi i}}} כאשר האינטגרל השני מתאפס מכיוון ש: ∮ C u x d y − u y d x = ∮ C d ψ d x d x + d ψ d y d y = ∮ C d ψ = 0 {\displaystyle \oint _{C}u_{x}dy-u_{y}dx=\oint _{C}{\frac {d\psi }{dx}}dx+{\frac {d\psi }{dy}}dy=\oint _{C}d\psi =0} . כעת ניתן להציב את שני האיברים האלו בטור ולקבל: ( d w d z ) 2 = a 0 2 + 2 a 0 a 1 z = a 0 2 + ( V x ∞ − i V y ∞ ) Γ π z i {\displaystyle \left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}=a_{0}^{2}+{\frac {2a_{0}a_{1}}{z}}=a_{0}^{2}+{\frac {(V_{x\infty }-iV_{y\infty })\Gamma }{\pi zi}}} כל שנותר הוא לחשב את הכוח לפי משפט בלסיוס: F x − i F y = F ¯ = i ρ 2 ∮ C ( d w d z ) 2 d z = ρ ( i V x ∞ + V y ∞ ) Γ {\displaystyle F_{x}-iF_{y}={\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}dz=\rho (iV_{x\infty }+V_{y\infty })\Gamma } ולכן: F x = ρ V y ∞ Γ ;     F y = − ρ V x ∞ Γ {\displaystyle F_{x}=\rho V_{y\infty }\Gamma ;\ \ F_{y}=-\rho V_{x\infty }\Gamma } כלומר כוח העילוי ליחידת אורך מקיים F = ρ V Γ {\displaystyle F=\rho V\Gamma } והוא מאונך למהירות המציפה. נשים לב שבמערכת צירים רגילה, בה x {\displaystyle x} מצביע ימינה, ו- y {\displaystyle y} למעלה, נקבל כוח עילוי חיובי עבור סירקולציה שלילית, כלומר סירקולציה עם כיוון השעון. G. K. Batchelor, An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 2000-02-28, עמ' 406, ISBN 978-0-521-66396-0 Acheson, D. J.,, Elementary fluid dynamics, Oxford: Clarendon Press, 1990, עמ' 143-146, ISBN 0-19-859660-X