שדה מספרים

בתורת המספרים ויישומיה המתמטיים, שדה מספרים הוא שדה, המהווה הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים. כל האיברים של שדה מספרים הם מספרים אלגבריים, וגם להפך: השדה הנוצר על ידי מספר סופי של מספרים אלגבריים הוא שדה מספרים. שדות אלה מהווים אחת משתי המחלקות של שדות גלובליים. תורת המספרים האלגברית עוסקת, במידה רבה, בהכללת תכונות של מספרים שלמים למספרים אלגבריים כלליים. מנקודת מבט זו, עניינה של תורת המספרים האלגברית הוא הכללת הידוע על שדה המספרים הרציונליים, לשדות מספרים מסובכים יותר. פעמים רבות מופעים כל שדות המספרים כרוכים יחד, בלי שניתן להבדיל באופן מהותי את המספרים הרציונליים משאר המספרים האלגבריים (לדוגמה, המבנה של סריגים אריתמטיים בחבורות לי), ובפעמים אחרות משפטים על מספרים רציונליים נכונים באותה מידה ומאותן סיבות בכל שדה מספרים. לאחר שדה המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } עצמו, שדות המספרים הקטנים ביותר הם השדות הריבועיים Q [ d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]} , שממדם מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } הוא 2. השדות הציקלוטומיים, הנוצרים על ידי סיפוח של שורשי יחידה מסדר נתון, מהווים מחלקה חשובה אחרת של דוגמאות. אוסף השלמים האלגבריים בשדה מספרים K {\displaystyle K} מהווה תת-חוג   O K {\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{K}} , שיחסו ל-K דומה לזה של חוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } לשדה המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (ואמנם ( O ) Q = Z {\displaystyle ({\mathcal {O}})_{\mathbb {Q} }=\mathbb {Z} } ). חוג השלמים הוא חוג דדקינד, ששדה השברים שלו הוא השדה K {\displaystyle K} . האידיאלים הראשוניים (הלא טריוויאליים) של חוג השלמים ממלאים את התפקיד של המספרים הראשוניים בין המספרים השלמים. השדות המקומיים המכילים את K {\displaystyle K} מוגדרים בעזרת הערכות דיסקרטיות, הנבנות מהאידיאלים הראשוניים של חוג השלמים. לשדה מספרים K {\displaystyle K} יש מספר סופי,   r 1 {\displaystyle \ r_{1}} , של שיכונים בשדה המספרים הממשיים, ועוד מספר סופי   2 r 2 {\displaystyle \ 2r_{2}} של שיכונים שאינם ממשיים בשדה המספרים המרוכבים. האחרונים מסודרים בזוגות צמודים, ומספר השיכונים הכולל מקיים   r 1 + 2 r 2 = d {\displaystyle \ r_{1}+2r_{2}=d} , כאשר d {\displaystyle d} הוא הממד של K {\displaystyle K} מעל הרציונליים. ביחד, שיכונים אלה מגדירים את   r 1 + r 2 {\displaystyle \ r_{1}+r_{2}} הערכים-המוחלטים הארכימדיים של השדה. השיכונים הממשיים מגדירים את   r 1 {\displaystyle \ r_{1}} הדרכים לסדר את השדה. אם   α {\displaystyle \ \alpha } יוצר של השדה מעל   Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} } , אז   r 1 {\displaystyle \ r_{1}} הוא מספר השורשים הממשיים בפולינום המינימלי של   α {\displaystyle \ \alpha } , בעוד ש-   2 r 2 {\displaystyle \ 2r_{2}} הוא מספר השורשים המרוכבים, שאינם ממשיים. בשפה של המכפלה הטנזורית, השיכונים הארכימדיים מתבטאים בכך ש-   K ⊗ Q R ≅ R r 1 × C r 2 {\displaystyle \ K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{r_{1}}\times \mathbb {C} ^{r_{2}}} . הדיסקרימיננטה היא כלי מרכזי בתורת המספרים האלגברית. בנוסף לדיסקרימיננטה הרגילה של הרחבת שדות, L / K {\displaystyle L/K} , שהיא איבר מוגדר היטב של חבורת המנה K × / ( K × ) 2 {\displaystyle K^{\times }/(K^{\times })^{2}} , בהרחבה של שדות מספרים אפשר לבחור בסיס של L / K {\displaystyle L/K} , שכל איבריו יבואו מחוג השלמים O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} של L {\displaystyle L} (בסיס כזה נקרא בסיס שלם). לפעמים (למשל, כאשר חוג השלמים O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} של K הוא ראשי), O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} מהווה מודול חופשי, ואז אפשר לבחור בסיס של L / K {\displaystyle L/K} שיהיה גם בסיס של O L / O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}} . במקרים אלה, הדיסקרימיננטה היא איבר מוגדר היטב של חוג השלמים, מודולו הריבועים של חבורת האיברים ההפיכים בחוג (שהיא נוצרת סופית, על-פי משפט היחידות של דיריכלה, כלומר, קטנה באופן יחסי). בפרט, הדיסקרימיננטה של שדה מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } היא מספר שלם מוגדר היטב, משום שהאיברים ההפיכים היחידים ב- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } הם ± 1 {\displaystyle \pm 1} . במקרה הכללי O L {\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}} אינו בהכרח חופשי, ואז הדיסקרימיננטה של L / K {\displaystyle L/K} מוגדרת כאידיאל הנוצר על ידי כל הדיסקרימיננטות של הבסיסים השלמים. שארל הרמיט הוכיח שמספר שדות המספרים בעלי דיסקרימיננטה נתונה (מעל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ) הוא סופי, וקיימות טבלאות מפורטות של שדות מספרים בעלי דיסקרימיננטה קטנה. אחד השימושים העיקריים של הדיסקרימיננטה היא בהגבלת ההתנהגות של אידיאלים ראשוניים תחת הרחבה: ראשוני (של K {\displaystyle K} ) הוא מסועף בהרחבה L / K {\displaystyle L/K} , אם ורק אם הוא מחלק את הדיסקרימיננטה. הרמן מינקובסקי הוכיח כי בכל הרחבה של שדה המספרים הרציונליים יש לפחות ראשוני מסועף אחד. שדה מספרים, באתר MathWorld (באנגלית)