תבנית פיסטר

במתמטיקה, תבנית פיסטר (Pfister form) היא תבנית ריבועית הנתונה על ידי מכפלת מספר סופי של תבניות בעלות צורה אלכסונית ⟨ 1 , − a ⟩ {\displaystyle \langle 1,-a\rangle } . כך מתקבלת תבנית מממד חזקת 2, שיש לה תפקיד מרכזי בחקר המרחבים הריבועיים והמבנה שלהם. תבניות פיסטר יוצרות בחוג ויט את האידיאלים I n ( F ) {\displaystyle I^{n}(F)} , ולכן יוצרות את המנות I n ( F ) / I n + 1 ( F ) {\displaystyle I^{n}(F)/I^{n+1}(F)} , ומתקשרות דרכן ל-תורת K של חוגים. תבניות פיסטר יוצרות את אידיאל הפיתול בחוג ויט. התבניות מממד נמוך מופיעות גם כנורמות באלגברות הרכבה. יהי F {\displaystyle F} שדה ממאפיין שאינו 2. עבור a ∈ F × {\displaystyle a\in F^{\times }} , התבנית הריבועית בעלת הצורה האלכסונית ⟨ 1 , − a ⟩ {\displaystyle \langle 1,-a\rangle } נקראת תבנית פיסטר מסדר ראשון, ומסומנת ⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \langle a\rangle \rangle } . תבנית פיסטר מסדר n {\displaystyle n} היא מכפלה טנזורית של n {\displaystyle n} תבניות מסדר ראשון, כלומר מהצורה ⟨ ⟨ a 1 , . . . , a n ⟩ ⟩ = ⟨ ⟨ a 1 ⟩ ⟩ ⊗ . . . ⊗ ⟨ ⟨ a n ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle =\langle \langle a_{1}\rangle \rangle \otimes ...\otimes \langle \langle a_{n}\rangle \rangle } , עבור a i ∈ F {\displaystyle a_{i}\in F} . התבנית מהצורה ⟨ ⟨ 1 , . . , 1 ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \langle 1,..,1\rangle \rangle } היא מרחב היפרבולי. לתבניות פיסטר תכונות שימושיות רבות, המראות עד כמה חשוב המבנה שלהן. ראשית, מתקיימת "כמעט אדטיביות", כלומר ⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ ⊥ ⟨ ⟨ b ⟩ ⟩ ≅ ⟨ ⟨ a b ⟩ ⟩ ⊥ ⟨ ⟨ a , b ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \langle a\rangle \rangle \perp \langle \langle b\rangle \rangle \cong \langle \langle ab\rangle \rangle \perp \langle \langle a,b\rangle \rangle } . תכונה זו מראה כי הדיסקרימיננטה היא הומומורפיזם של חבורות d i s c : I / I 2 → F × / F × 2 {\displaystyle disc:I/I^{2}\rightarrow F^{\times }/F^{\times ^{2}}} . בפרט, מתקיים d i s c ( ⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ ) = a {\displaystyle disc(\langle \langle a\rangle \rangle )=a} ו- d i s c ( ⟨ ⟨ a 1 , a 2 , . . . , a n ⟩ ⟩ ) ) = 1 {\displaystyle disc(\langle \langle a_{1},a_{2},...,a_{n}\rangle \rangle ))=1} לכל n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} . באופן כללי, תבניות פיסטר מסדר n {\displaystyle n} יוצרות (כחבורה אדיטיבית) את האידיאלים I n ( F ) {\displaystyle I^{n}(F)} , משום שכל תבנית מסדר 2 ניתן לכתוב כתבנית פיסטר ⟨ a , b ⟩ = ⟨ 1 , b a ⟩ = ⟨ ⟨ − b a ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle a,b\rangle =\langle 1,{\frac {b}{a}}\rangle =\langle \langle {\frac {-b}{a}}\rangle \rangle } . התבנית ⟨ ⟨ − 1 , . . . , − 1 ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \langle -1,...,-1\rangle \rangle } היא סכום של ריבועים; משפט הורוויץ קובע כי תבנית כאלו הן כפליות אם ורק אם ממדן הוא 1 , 2 , 4 , 8 {\displaystyle 1,2,4,8} . בממד 2, כל התבניות הכפליות הן תבניות פיסטר ורק הן. נציג מספר משפטי מפתח חשובים על תבניות פיסטר המובילים למסקנות מעניינות. משפט - תהי ϕ {\displaystyle \phi } תבנית פיסטר, אז ניתן לכתוב ϕ = ⟨ 1 ⟩ ⊥ ϕ ′ {\displaystyle \phi =\langle 1\rangle \perp \phi '} . אז מתקיים ⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ | ϕ {\displaystyle \langle \langle a\rangle \rangle |\phi } אם ורק אם − a {\displaystyle -a} מתקבל כערך של ϕ ′ {\displaystyle \phi '} . כמסקנה מקבלים: משפט: אם תבנית פיסטר איזוטרופית, אז היא היפרבולית. המשפט הבא מראה כי אוסף הערכים שמקבלת תבנית פיסטר סגור למכפלה. משפט - נסמן ב- D ( q ) {\displaystyle D(q)} את אוסף הערכים שהתבנית מקבלת, וב- G ( q ) {\displaystyle G(q)} את החבורה G ( q ) = { t ∈ F × : ⟨ t ⟩ ⊗ q ≅ q } {\displaystyle G(q)=\{t\in F^{\times }:\langle t\rangle \otimes q\cong q\}} . אם q = ϕ {\displaystyle q=\phi } תבנית פיסטר מתקיים G ( q ) = D ( q ) {\displaystyle G(q)=D(q)} . כמסקנה, נובע כי אם ϕ {\displaystyle \phi } תבנית פיסטר אז D ( ϕ ) {\displaystyle D(\phi )} סגורה לכפל . תכונה זו נקראת תכונת הכפליות של תבניות פיסטר. משפט: התכונות הבאות שקולות: q {\displaystyle q} היא תבנית פיסטר. לכל הרחבת שדות K / F {\displaystyle \mathbb {K} /F} , אוסף הערכים של התבנית מעל ההרחבה, המסומן D K ( q ) {\displaystyle D_{\mathbb {K} }(q)} , הוא חבורה. q ( λ 1 , . . . , λ n ) ∈ G F ( λ 1 , . . . , λ n ) ( q ) {\displaystyle q(\lambda _{1},...,\lambda _{n})\in G_{F(\lambda _{1},...,\lambda _{n})}(q)} . המשפט הבא נותן מידע על הממד של תבניות. משפט: הממד של תבנית לא היפרבולית ב- I n ( F ) {\displaystyle I^{n}(F)} הוא לפחות 2 n {\displaystyle 2^{n}} . אם הוא שווה ל- 2 n {\displaystyle 2^{n}} , התבנית היא בהכרח תבנית פיסטר. מסקנה: ∩ n ∈ N I n ( F ) = { 0 } {\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {N} }I^{n}(F)=\{0\}} לתבנית פיסטר קשר הדוק לתורת K. הן מספקות העתקה f n : K n ( F ) → I n ( F ) / I n + 1 ( F ) {\displaystyle f_{n}:K_{n}(F)\rightarrow I^{n}(F)/I^{n+1}(F)} , הנתונה על ידי f n ( a 1 , . . . , a n ) = ⟨ ⟨ a 1 , . . . , a n ⟩ ⟩ {\displaystyle f_{n}(a_{1},...,a_{n})=\langle \langle a_{1},...,a_{n}\rangle \rangle } . לפי השערת מילנור, ההעתקה המהווה אפימורפיזם, ובעלת גרעין 2 K n ( F ) {\displaystyle 2K_{n}({F})} , ולכן מתקבל איזומורפיזם k n ( F ) ≅ I n ( F ) / I n + 1 ( F ) {\displaystyle k_{n}(F)\cong I^{n}(F)/I^{n+1}(F)} , כאשר k n ( F ) = K n ( F ) / 2 K n ( F ) {\displaystyle k_{n}(F)=K_{n}(F)/2K_{n}(F)} . תבנית ריבועית חוג ויט משפט הורוויץ רמה של שדה עוזי וישנה, מבוא לתבניות ריבועיות, 2014.