פונקציית גמא הלא שלמה

פונקציית גמא הלא שלמה מוגדרת על ידי אינטגרל בעל אותו אינטגרנד כמו פונקציית גמא, אך עם גבולות אינטגרציה שונים: ישנם שני סוגים של פונקציית גמא הלא שלמה: עליונה ותחתונה. פונקציית גמא הלא שלמה העליונה מוגדרת: Γ ( s , x ) = ∫ x ∞ t s − 1 e − t d t . {\displaystyle \Gamma (s,x)=\int _{x}^{\infty }t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!} פונקציית גמא הלא שלמה התחתונה מוגדרת: γ ( s , x ) = ∫ 0 x t s − 1 e − t d t . {\displaystyle \gamma (s,x)=\int _{0}^{x}t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm {d}}t.\,\!} מההגדרה אפשר להבין כי: γ ( s , x ) + Γ ( s , x ) = Γ ( s ) {\displaystyle \gamma (s,x)+\Gamma (s,x)=\Gamma (s)\!} על ידי אינטגרציה בחלקים אפשר להגיע למסקנה: Γ ( s , x ) = ( s − 1 ) Γ ( s − 1 , x ) + x s − 1 e − x {\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)\Gamma (s-1,x)+x^{s-1}e^{-x}\!} γ ( s , x ) = ( s − 1 ) γ ( s − 1 , x ) − x s − 1 e − x {\displaystyle \gamma (s,x)=(s-1)\gamma (s-1,x)-x^{s-1}e^{-x}\!} Γ ( s , x ) = ( s − 1 ) ! e − x ∑ k = 0 s − 1 x k k ! {\displaystyle \Gamma (s,x)=(s-1)!\,e^{-x}\sum _{k=0}^{s-1}{\frac {x^{k}}{k!}}} כאשר s שלם חיובי Γ ( s , 0 ) = Γ ( s ) {\displaystyle \Gamma (s,0)=\Gamma (s)\!} Γ ( 1 , x ) = e − x {\displaystyle \Gamma (1,x)=e^{-x}\!} γ ( 1 , x ) = 1 − e − x {\displaystyle \gamma (1,x)=1-e^{-x}\!} ∂ Γ ( s , x ) ∂ x = − x s − 1 e x {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial x}}=-{\frac {x^{s-1}}{e^{x}}}} הגדרת מקרה מיוחד של פונקציית "G" של ("Meijer G") מאייר: T ( m , s , x ) = G m − 1 , m m , 0 ( 0 , 0 , … , 0 s − 1 , − 1 , … , − 1 | x ) {\displaystyle T(m,s,x)=G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,0,\dots ,0\\s-1,-1,\dots ,-1\end{matrix}}\;\right|\,x\right)} T ( m , s , z ) = − ( − 1 ) m − 1 ( m − 2 ) ! d m − 2 d t m − 2 [ Γ ( s − t ) z t − 1 ] | t = 0 + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n z s − 1 + n n ! ( − s − n ) m − 1 {\displaystyle T(m,s,z)=-{\frac {(-1)^{m-1}}{(m-2)!}}{\frac {{\rm {d}}^{m-2}}{{\rm {d}}t^{m-2}}}\left[\Gamma (s-t)z^{t-1}\right]{\Big |}_{t=0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{s-1+n}}{n!(-s-n)^{m-1}}}} כאשר | z | < 1 {\displaystyle |z|<1} ∂ Γ ( s , x ) ∂ s = ln ⁡ x Γ ( s , x ) + x T ( 3 , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial \Gamma (s,x)}{\partial s}}=\ln x\Gamma (s,x)+x\,T(3,s,x)} ∂ 2 Γ ( s , x ) ∂ s 2 = ln 2 ⁡ x Γ ( s , x ) + 2 x [ ln ⁡ x T ( 3 , s , x ) + T ( 4 , s , x ) ] {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\Gamma (s,x)}{\partial s^{2}}}=\ln ^{2}x\Gamma (s,x)+2x[\ln x\,T(3,s,x)+T(4,s,x)]} ∂ m Γ ( s , x ) ∂ s m = ln m ⁡ x Γ ( s , x ) + m x ∑ n = 0 m − 1 P n m − 1 ln m − n − 1 ⁡ x T ( 3 + n , s , x ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{m}\Gamma (s,x)}{\partial s^{m}}}=\ln ^{m}x\Gamma (s,x)+mx\,\sum _{n=0}^{m-1}P_{n}^{m-1}\ln ^{m-n-1}x\,T(3+n,s,x)} וגם P j n = ( n j ) j ! = n ! ( n − j ) ! . {\displaystyle P_{j}^{n}=\left({\begin{array}{l}n\\j\end{array}}\right)j!={\frac {n!}{(n-j)!}}.} γ ( s , x ) x s → 1 s {\displaystyle {\frac {\gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow {\frac {1}{s}}} כאשר x → 0 {\displaystyle x\rightarrow 0} Γ ( s , x ) x s → − 1 s {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s}}}\rightarrow -{\frac {1}{s}}} כאשר x → 0 {\displaystyle x\rightarrow 0} וגם ℜ ( s ) < 0 {\displaystyle \Re (s)<0\,} γ ( s , x ) → Γ ( s ) {\displaystyle \gamma (s,x)\rightarrow \Gamma (s)} כאשר x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } Γ ( s , x ) x s − 1 e − x → 1 {\displaystyle {\frac {\Gamma (s,x)}{x^{s-1}e^{-x}}}\rightarrow 1} כאשר x → ∞ {\displaystyle x\rightarrow \infty } מדיה וקבצים בנושא פונקציית גמא הלא שלמה בוויקישיתוף פונקציית גמא הלא שלמה, באתר MathWorld (באנגלית) K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]