העתקה נורמלית

באלגברה ליניארית, אופרטור נורמלי (בעברית: העתקה נורמלית) היא העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית לעצמו, המתחלפת עם ההעתקה הצמודה שלה. בפרט, כל העתקה אוניטרית, הרמיטית או אנטי-הרמיטית היא נורמלית. המטריצה המייצגת של העתקה נורמלית, ביחס לבסיס אורתונורמלי, היא מטריצה נורמלית. במרחב מממד סופי, העתקה היא נורמלית אם ורק אם היא ניתנת ללכסון אוניטרי. משפט הפירוק הספקטרלי מכליל עובדה זו למרחבי הילברט. העתקה ליניארית T {\displaystyle T} ממרחב מכפלה פנימית V {\displaystyle V} אל עצמו היא נורמלית, אם מתקיים T T ∗ = T ∗ T {\displaystyle TT^{*}=T^{*}T} , כאשר T ∗ {\displaystyle T^{*}} היא ההעתקה המוגדרת (על פי משפט ההצגה של ריס) על ידי הנוסחה ⟨ x , T y ⟩ = ⟨ T ∗ x , y ⟩ {\displaystyle \left\langle x,Ty\right\rangle =\left\langle T^{*}x,y\right\rangle } לכל x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} . תהי T {\displaystyle T} העתקה לכסינה ממרחב וקטורי V {\displaystyle V} לעצמו. כלומר, אפשר לפרק V = ⨁ V i {\displaystyle V=\bigoplus V_{i}} כאשר T ( x ) = λ i x {\displaystyle T(x)=\lambda _{i}x} לכל x ∈ V i {\displaystyle x\in V_{i}} , והערכים העצמיים λ i {\displaystyle \lambda _{i}} שונים זה מזה. העתקה S {\displaystyle S} מ- V {\displaystyle V} לעצמו מתחלפת עם T {\displaystyle T} אם ורק אם היא שומרת על כל אחד מהמרחבים העצמיים V i {\displaystyle V_{i}} . בפרט, נניח ש- T {\displaystyle T} העתקה לכסינה שהערכים העצמיים שלה שונים זה מזה (בסימוני הפסקה הקודמת, dim ⁡ ( V i ) = 1 {\displaystyle \dim(V_{i})=1} ). אז S {\displaystyle S} מתחלפת עם T {\displaystyle T} אם ורק אם הן לכסינות במשותף, כלומר יש בסיס של V {\displaystyle V} שאבריו הם וקטורים עצמיים של T {\displaystyle T} ושל S {\displaystyle S} גם יחד. תהי T {\displaystyle T} העתקה נורמלית. לכל סקלר α {\displaystyle \alpha } , גם T − α I {\displaystyle T-\alpha I} נורמלית. לכל v {\displaystyle v} מתקיים ‖ T v ‖ 2 = ‖ T ∗ v ‖ 2 {\displaystyle \|Tv\|^{2}=\|T^{*}v\|^{2}} (משום ש- ‖ T v ‖ 2 = ⟨ T v , T v ⟩ = ⟨ v , T ∗ T v ⟩ = ⟨ v , T T ∗ v ⟩ = ⟨ T ∗ v , T ∗ v ⟩ = ‖ T ∗ v ‖ 2 {\displaystyle \|Tv\|^{2}=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,T^{*}Tv\rangle =\langle v,TT^{*}v\rangle =\langle T^{*}v,T^{*}v\rangle =\|T^{*}v\|^{2}} ). אם T x = λ x {\displaystyle Tx=\lambda x} , אז T ∗ x = λ ¯ x {\displaystyle T^{*}x={\bar {\lambda }}x} . (אכן, לפי ההנחה ( T − λ ) x = 0 {\displaystyle (T-\lambda )x=0} , ולפי 1,2 גם ( T ∗ − λ ¯ ) x = ( T − λ ) ∗ x = 0 {\displaystyle (T^{*}-{\bar {\lambda }})x=(T-\lambda )^{*}x=0} ). וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה. (אכן, אם T x = λ x {\displaystyle Tx=\lambda x} ו- T y = μ y {\displaystyle Ty=\mu y} , אז לפי 3 λ ⟨ x , y ⟩ = ⟨ λ x , y ⟩ = ⟨ T x , y ⟩ = ⟨ x , T ∗ y ⟩ = ⟨ x , μ ¯ y ⟩ = μ ⟨ x , y ⟩ {\displaystyle \lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle =\langle Tx,y\rangle =\langle x,T^{*}y\rangle =\langle x,{\bar {\mu }}y\rangle =\mu \langle x,y\rangle } ). משפט. תהי T {\displaystyle T} העתקה ליניארית ממרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי V {\displaystyle V} לעצמו (מעל שדה המספרים המרוכבים). אז T {\displaystyle T} נורמלית אם ורק אם T {\displaystyle T} לכסינה אוניטרית (מעל המרוכבים). הוכחה. אם T {\displaystyle T} לכסינה אוניטרית אפשר לכתוב T = P D P ∗ {\displaystyle T=PDP^{*}} כאשר P ∗ = P − 1 {\displaystyle P^{*}=P^{-1}} ו- D {\displaystyle D} אלכסונית. במקרה כזה קל לחשב ש- T T ∗ = P D P ∗ ( P D P ∗ ) ∗ = P D ( P ∗ P ) D ∗ P ∗ = P D D ∗ P ∗ = P D ∗ D P ∗ = ( P D ∗ P ∗ ) ( P D P ∗ ) = T ∗ T {\displaystyle TT^{*}=PDP^{*}(PDP^{*})^{*}=PD(P^{*}P)D^{*}P^{*}=PDD^{*}P^{*}=PD^{*}DP^{*}=(PD^{*}P^{*})(PDP^{*})=T^{*}T} . בכיוון ההפוך, מכיוון שהפולינום האופייני של T {\displaystyle T} מתפצל מעל המרוכבים, T {\displaystyle T} ניתנת להצגה על ידי מטריצה משולשית, כלומר קיים בסיס v 1 , … , v n {\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}} כך שלכל i {\displaystyle i} מתקיים T v i ∈ span ⁡ { v 1 , … , v i } {\displaystyle Tv_{i}\in \operatorname {span} \{v_{1},\dots ,v_{i}\}} . הפעלה של תהליך גרם-שמידט על הבסיס הזה משאירה את T {\displaystyle T} משולשית. הצבה של ההצגה המשולשית בשוויון T T ∗ = T ∗ T {\displaystyle TT^{*}=T^{*}T} מראה שלמעשה T {\displaystyle T} פועלת עליו בצורה אלכסונית, כלומר היא אלכסונית ביחס לבסיס אורתוגונלי. בניסוח אחר, משפט. תהי A ∈ M n ⁡ ( C ) {\displaystyle A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )} . אז A {\displaystyle A} נורמלית אם ורק אם היא לכסינה אוניטרית (מעל המרוכבים). מכיוון שהערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית הם ממשיים, הוכחה דומה מוכיחה את הגרסה הממשית של המשפט: משפט. כל מטריצה סימטרית A ∈ M n ⁡ ( R ) {\displaystyle A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {R} )} היא לכסינה אוניטרית מעל הממשיים.