משפט בלסיוס

במכניקת הזורמים, משפט בלסיוס הוא משפט המקשר בין פונקציית הפוטנציאל המרוכבת של זרימה פוטנציאלית דו-ממדית, לכוח אותו יחוש גוף מוצק המונח בתוך הזרימה. המשפט הוכח בשנת 1911 על ידי פול בלסיוס וקרוי על שמו. המשפט משמש לחישוב כוחות בשדה זרימה דו-ממדית ובפרט משמש להוכחת משפט קוטה–ז'וקובסקי המחשב את כוח העילוי המופעל על כנף הנעה במהירות קבועה. זרימה פוטנציאלית דו-ממדית היא זרימה אידיאלית, בלתי דחיסה, הומגנית ואי רוטציונית. נתבונן בזרימה כזו בעלת צפיפות זורם ρ {\displaystyle \rho } , המתוארת על ידי פוטנציאל מרוכב w ( z ) = w ( x + i y ) {\displaystyle w(z)=w(x+iy)} המקיים: u x − i u y = u ¯ = d w d z {\displaystyle u_{x}-iu_{y}={\bar {u}}={\frac {dw}{dz}}} . גוף מוצק בזרימה כזו מוגדר על ידי לולאה C {\displaystyle C} כאשר מתקיים u ⋅ n ^ = 0 {\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}=0} על C {\displaystyle C} . המשפט קובע שהכוח אותו יחוש הגוף נתון על ידי: F ¯ = i ρ 2 ∮ C ( d w d z ) 2 d z {\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}dz} נבצע פרמטרזציה של C {\displaystyle C} באמצעות הפרמטר s {\displaystyle s} , ונציין ב- θ ( s ) {\displaystyle \theta (s)} את הזווית בין ציר ה- x {\displaystyle x} למשיק ל- C {\displaystyle C} בנקודה s {\displaystyle s} . הכוח על אלמנט אינפינטיסמלי δ s {\displaystyle \delta s} הוא δ F = ( − sin ⁡ θ , cos ⁡ θ )   p   δ s {\displaystyle \delta \mathbf {F} =(-\sin \theta ,\cos \theta )\ p\ \delta s} ולכן מתקיים: δ F ¯ = − p ( sin ⁡ θ + i cos ⁡ θ ) δ s = − p i e − i θ δ s {\displaystyle \delta {\bar {F}}=-p(\sin \theta +i\cos \theta )\delta s=-pie^{-i\theta }\delta s} . מצד שני, על C {\displaystyle C} מתקיים : u ⋅ n ^ = − u x sin ⁡ θ + u y cos ⁡ θ = 0 ⟹ u x = | u | cos ⁡ θ ; u y = | u | sin ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\hat {n}}=-u_{x}\sin \theta +u_{y}\cos \theta =0\implies u_{x}=|u|\cos \theta ;u_{y}=|u|\sin \theta } . ולכן d w d z = u x − i u y = | u | e − i θ {\displaystyle {\frac {dw}{dz}}=u_{x}-iu_{y}=|u|e^{-i\theta }} . משוואת ברנולי מקשרת בין הלחץ למהירות על קו זרם וקובעת ש: − p = 1 2 ρ | u | 2 + c {\displaystyle -p={\frac {1}{2}}\rho |u|^{2}+c} עבור קבוע כלשהו c {\displaystyle c} . C {\displaystyle C} הוא קו זרם ולכן מתקיים: δ F ¯ = − p i e − i θ δ s = ( 1 2 ρ | u | 2 − c ) i e − i θ δ s = i ρ 2 ( d w d z ) 2 e i θ δ s − c i e − i θ δ s {\displaystyle \delta {\bar {F}}=-pie^{-i\theta }\delta s=\left({\frac {1}{2}}\rho |u|^{2}-c\right)ie^{-i\theta }\delta s={\frac {i\rho }{2}}\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}e^{i\theta }\delta s-cie^{-i\theta }\delta s} כעת: δ z = e i θ δ s {\displaystyle \delta z=e^{i\theta }\delta s} והאיבר הקבוע מתאפס כאשר מבצעים את האינטגרל על C {\displaystyle C} ולכן: F ¯ = ∮ C δ F = i ρ 2 ∮ C ( d w d z ) 2 d z {\displaystyle {\bar {F}}=\oint _{C}\delta F={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}dz} ערך מורחב – פרדוקס ד'אלמבר עבור זרימה מציפה בכיוון ה- x {\displaystyle x} מסביב לגליל בעל רדיוס a {\displaystyle a} שמרכזו בראשיות מתקיים: w = U ( z + a 2 z ) ⟹ d w d z = U ( 1 − a 2 z 2 ) {\displaystyle w=U\left(z+{\frac {a^{2}}{z}}\right)\implies {\frac {dw}{dz}}=U\left(1-{\frac {a^{2}}{z^{2}}}\right)} לכן: F ¯ = i ρ 2 ∮ C ( d w d z ) 2 d z = i ρ U 2 2 ∮ C [ 1 − 2 a 2 z 2 + a 4 z 4 ] d z = 0 {\displaystyle {\bar {F}}={\frac {i\rho }{2}}\oint _{C}\left({\frac {dw}{dz}}\right)^{2}dz={\frac {i\rho U^{2}}{2}}\oint _{C}\left[1-{\frac {2a^{2}}{z^{2}}}+{\frac {a^{4}}{z^{4}}}\right]dz=0} כאשר השוויון האחרון מתקבל לפי משפט השארית. כלומר קיבלנו שלא פועל כוח על גליל המוצב בזרימה מציפה, זאת בניגוד לתופעה הנצפית בניסוי ובה עצמים המונחים בזרימה מציפה חווים כוח גרר משמעותי ונסחפים. הניגוד בין התוצאה הנצפית בניסוי לתוצאה הנחזית מהתיאוריה הפוטנציאלית נקראת פרדוקס ד'אלמבר. פתרון של הפרדוקס הוצג על ידי פרנטל באמצעות תאוריית שכבת הגבול. לפי תיאוריה זו, בסמוך לגליל מתפתחת שכבות גבול טורבולנטית, בה כוחות הצמיגות הם משמעותיים והתיאוריה הפוטנציאלית לא מתקיימת. ביצוע החישוב כולל שכבת הגבול מאפשרת מציאת כוח הגרר המופעל על הגליל. Acheson, D. J.,, Elementary fluid dynamics, Oxford: Clarendon Press, 1990, עמ' 140-141, ISBN 0-19-859660-X