משפט ההרחבה של קולמוגורוב

בתורת ההסתברות ובפרט בתהליכים המקריים, משפט ההרחבה של קולמוגורוב או משפט הקיום של קולמוגורוב או משפט העקביות של קולמוגורוב הוא משפט המאפשר הרחבה של משפחת התפלגויות סוף-ממדיות המקיימות תכונות עקביוּת מסוימות לכדי התפלגות של תהליך מקרי. חשיבותו של המשפט היא בכך שלא ניתן כמעט אף פעם לתאר במפורש התפלגות של תהליך מקרי, אך קל יחסית לתאר התפלגויות על פני מרחבים סוף-ממדיים. למשפט קשר הדוק עם משפט ההרחבה של האן-קולמוגורוב, ולמעשה ניתן להסיק אותו מהמשפט האחרון. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הרוסי אנדריי קולמוגורוב, שתיאר אותו בהקשר של תהליכים מקריים. גרסה אחרת של המשפט התגלתה במקביל על ידי המתמטיקאי הבריטי פרסי ג'ון דניאל, בהקשר של תורת האינטגרציה. המשפט בגרסתו לתהליכים מקריים מוצגת עבור תהליך מקרי המקבל ערכים במרחב האוקלידי R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . קיימת גרסה כללית יותר עבור כל מרחב. יהי Ω {\displaystyle \Omega } מרחב מדיד כלשהו. תהי T {\displaystyle T} קבוצה כלשהי המתארת את ההתפתחות בזמן (עבור זמן בדיד היא יכולה להיות המספרים הטבעיים או המספרים השלמים, ועבור זמן רציף היא יכולה להיות קטע ממשי). נניח כי לכל סדרה סופית של איברים שונים ( t 1 , … , t k ) ⊂ T {\displaystyle \left(t_{1},\dots ,t_{k}\right)\subset T} קיימת התפלגות ν t 1 , . . . , t k {\displaystyle \nu _{t_{1},...,t_{k}}} על Ω k {\displaystyle \Omega ^{k}} , כך שמשפחת כל ההתפלגויות מטיפוס זה מקיימים את שני תנאי העקביות הבאים: אינווריאנטיות לתמורות: לכל תמורה π {\displaystyle \pi } של { 1 , . . . , k } {\displaystyle \left\{1,...,k\right\}} ולכל אוסף קבוצות מדידות F 1 , . . . , F k ⊂ Ω {\displaystyle F_{1},...,F_{k}\subset \Omega } , ν π ( t 1 ) , . . . , π ( t k ) ( F π ( 1 ) , . . . , F π ( k ) ) = ν t 1 , . . . , t k ( F 1 , . . . , F k ) {\displaystyle \nu _{\pi (t_{1}),...,\pi (t_{k})}\left(F_{\pi (1)},...,F_{\pi (k)}\right)=\nu _{t_{1},...,t_{k}}\left(F_{1},...,F_{k}\right)} לכל m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } ולכל אוסף קבוצות מדידות F 1 , . . . , F k ⊂ Ω {\displaystyle F_{1},...,F_{k}\subset \Omega } , ν t 1 , . . . , t k ( F 1 × . . . × F k ) = ν t 1 , . . . , t k , t k + 1 , … , t k + m ( F 1 × ⋯ × F k × ( Ω ) m ) {\displaystyle \nu _{t_{1},...,t_{k}}\left(F_{1}\times ...\times F_{k}\right)=\nu _{t_{1},...,t_{k},t_{k+1},\dots ,t_{k+m}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\times \left(\Omega \right)^{m}\right)} אזי קיים מרחב הסתברות ( Ω ~ , F , P ) {\displaystyle \left({\tilde {\Omega }},{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} , ניתן להניח פשוט כי Ω ~ = Ω T {\displaystyle {\tilde {\Omega }}=\Omega ^{T}} , יחד עם תהליך מקרי { X t ∣ t ∈ T } {\displaystyle \left\{X_{t}\mid t\in T\right\}} מהצורה X t : Ω ~ → Ω {\displaystyle X_{t}:{\tilde {\Omega }}\to \Omega } , כך שמתקיים באופן כללי, ν t 1 , … , t k ( F 1 × ⋯ × F k ) = P ( X t 1 ∈ F 1 , … , X t k ∈ F k ) {\displaystyle \nu _{t_{1},\dots ,t_{k}}\left(F_{1}\times \dots \times F_{k}\right)=\mathbb {P} \left(X_{t_{1}}\in F_{1},\dots ,X_{t_{k}}\in F_{k}\right)} יש לשים לב כי המידה P {\displaystyle \mathbb {P} } מוגדרת מעל סיגמא-אלגברת בורל המכפלה של Ω ~ {\displaystyle {\tilde {\Omega }}} , שאינה עשירה כמו סיגמא-אלגברת לבג של המרחב. ניתן לראות שכל תהליך מקרי מקיים את שני תנאי העקביות המופיעים במשפט. כך למשל אם נתבונן בתהליך מקרי בדיד המקבל ערכים ממשיים { X n } n {\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n}} , אז ההסתברות P ( X 1 > 0 , X 2 < 0 ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{1}>0,X_{2}<0\right)} שווה הן ל- ν 1 , 2 ( R + × R − ) {\displaystyle \nu _{1,2}\left(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-}\right)} והן ל- ν 2 , 1 ( R − × R + ) {\displaystyle \nu _{2,1}\left(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+}\right)} . לכן עבור כל התפלגות סוף-ממדית שהיא עקבית, בהכרח מתקיים ν 1 , 2 ( R + × R − ) = ν 2 , 1 ( R − × R + ) {\displaystyle \nu _{1,2}\left(\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{-}\right)=\nu _{2,1}\left(\mathbb {R} _{-}\times \mathbb {R} _{+}\right)} . תנאי העקביות הראשון פשוט מכליל את הדרישה היסודית הזאת. תנאי העקביות השני, בהמשך לדוגמה זו, אומר כי P ( X 1 > 0 ) = P ( X 1 > 0 , X 2 ∈ R ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(X_{1}>0\right)=\mathbb {P} \left(X_{1}>0,X_{2}\in \mathbb {R} \right)} . גם זו דרישה יסודית שתנאי העקביות השני הוא הכללה שלה. במילים אחרות, היות שאין אף תהליך מקרי שלא מקיים את שני תנאי העקביות, הרי שהמשפט מבטיח גם את הכיוון השני: כל משפחת התפלגויות סוף-ממדיות עקביות, מתארת תהליך מקרי. שימוש מיידי למשפט זה הוא הבנייה של מידת מכפלה במערכות דינמיות, ובפרט הזזת ברנולי. אם למשל Ω {\displaystyle \Omega } הוא מרחב מצבים כלשהו, אז ניתן להגדיר התפלגות על Ω Z {\displaystyle \Omega ^{\mathbb {Z} }} באופן הבא: לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } יש את סיגמא-אלגברת הצילינדרים שהיא מבוססת על קבוצות מהצורה C ( ω − n , … , ω n ) = { ( x k ) k ∈ Z ∣ x − n = ω − n , … , x n = ω n } {\displaystyle C\left(\omega _{-n},\dots ,\omega _{n}\right)=\left\{\left(x_{k}\right)_{k\in \mathbb {Z} }\mid x_{-n}=\omega _{-n},\dots ,x_{n}=\omega _{n}\right\}} עבור כל בחירה של ω − n , … , ω n ∈ Ω {\displaystyle \omega _{-n},\dots ,\omega _{n}\in \Omega } . על סיגמא אלגברה זו ניתן להגדיר התפלגות מתאימה, נאמר כי היא ν n {\displaystyle \nu _{n}} . תנאי האינווריאנטיות שבמשפט ההרחבה מיתרגם לכך שלכל n < m {\displaystyle n<m} יתקיים כי ( ν m ) ∣ n = ν n {\displaystyle \left(\nu _{m}\right)\mid _{n}=\nu _{n}} , כלומר שההתפלגויות "יסכימו" זו עם זו. אם אכן מתקיימים תנאים אלה, אז יש התפלגות יחידה μ {\displaystyle \mu } על כל Ω Z {\displaystyle \Omega ^{\mathbb {Z} }} שמרחיבה את ההתפלגויות ν n {\displaystyle \nu _{n}} . שימוש קשה יותר הוא אחת הבניות של תנועה בראונית. לאחר שמגדירים את ההתפלגויות הסוף-ממדיות להיות התפלגות רב-נורמלית, ניתן להראות כי מתקיימים תנאי העקביות, וההתפלגות המתקבלת היא זו של תנועה בראונית. עם זאת, משפט ההרחבה אינו מבטיח את הרציפות של התהליך המקרי המתקבל. לשם כך ניתן להשתמש במשפט הרציפות של קולמוגורוב, המבטיח כי מתוך התהליך המתקבל ממשפט ההרחבה ניתן לבנות תהליך חדש שהוא אכן רציף. Bernt Øksendal, Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.), Berlin: Springer (2003), page 11. John Aldrich, But you have to remember PJ Daniell of Sheffield, in: Electronic Journal for History of Probability and Statistics, Vol. 3, number 2, 2007 טרנס טאו, An Introduction to Measure Theory, בתוך: Graduate Studies in Mathematics. 126‏ (2011), עמוד 195