ברנהרד רימן

המונח "רימן" מפנה לכאן. אם הכוונה למשמעות אחרת, ראו רימן (פירושונים). גאורג פרידריך ברנהרד רימן (גרמנית: ‏Georg Friedrich Bernhard Riemann‏Ⓘ‏)‏ (17 בספטמבר 1826 – 20 ביולי 1866), היה מתמטיקאי גרמני, שתרם תרומות חשובות ביותר לאנליזה מתמטית, תורת המספרים וגאומטריה דיפרנציאלית. בתחום האנליזה הממשית נתן את הניסוח הריגורוזי הראשון למושג האינטגרל, הנקרא כעת אינטגרל רימן, ועבד על טורי פורייה. תרומותיו לאנליזה מרוכבת כוללות את ההצגה של משטחי רימן, שפרצה דרך במתן טיפול גאומטרי טבעי לאנליזה מרוכבת. מאמרו המפורסם מ-1859 על פונקציית המספרים הראשוניים, שנחשב לאחד המאמרים החשובים ביותר בתורת המספרים האנליטית, מכיל את הניסוח המקורי של השערת רימן, שנחשבת ל"בעיה הפתוחה החשובה ביותר במתמטיקה". דרך תרומותיו החלוציות לגאומטריה דיפרנציאלית, רימן הניח את היסודות למתמטיקה של תורת היחסות הכללית. כאחד המתמטיקאים העמוקים ועתירי הדמיון בכל הזמנים, רימן הרחיב את אופקי המתמטיקה בכמעט כל תחום שהתקיים בזמנו, ובמשך תקופת חייו הקצרה יחסית (39 שנים) ולאחריה, המתמטיקה בכללותה עברה טרנספורמציה משמעותית לכדי מתמטיקה קונספטואלית ועמוקה יותר. הוא נחשב כיום לאחד מגדולי המתמטיקאים בכל הזמנים. רימן נולד ב-17 בספטמבר 1826 בכפר קטן בממלכת הנובר, הנכללת כיום בשטחה של גרמניה. אביו, פרידריך ברנרד רימן, היה כומר לותרני עני שלחם במלחמות הנפוליאוניות. אמו, שארלוט אבל, נפטרה בטרם ילדיה הגיעו לבגרות. ברנהרד רימן היה השני מבין שישה ילדים, וסבל מביישנות ומהתמוטטויות עצבים תכופות. בילדותו גילה יכולות מתמטיות יוצאות דופן, כמו למשל יכולת חישוב מנטלי חריגה. בשנת 1840 עבר רימן להנובר, שם גר אצל סבתו ולמד בגימנסיה. אחרי מות סבתו, ב-1842, החל ללמוד בבית ספר גבוה, בו למד את התנ"ך ביסודיות, אך לעיתים קרובות הוסחה דעתו על ידי נושאים מתמטיים. מוריו נדהמו לעיתים קרובות מיכולתו הטבעית לבצע פעולות מתמטיות סבוכות, שבמהלכן הוא לעיתים קרובות הפגין אינטואיציה שעלתה על זו של בוחניו. ב-1846, בגיל 19, החל ללמוד פילולוגיה ותאולוגיה נוצרית במטרה להפוך לכומר ולסייע בענייני הכספים של משפחתו. במהלך האביב של 1846, אביו, לאחר שצבר מספיק כסף, שלח את רימן לאוניברסיטת גטינגן, שם הוא החל ללמוד לקראת תואר בתאולוגיה. בעת ששהה בגטינגן החל ללמוד מתמטיקה ולהאזין להרצאותיו של קרל פרידריך גאוס (במיוחד להרצאותיו על שיטת הריבועים הפחותים). גאוס המליץ שרימן יחדל מלימודי התאולוגיה וייכנס לתחום המתמטי; לאחר שאביו נעתר לבקשתו, רימן עבר ב-1847 לאוניברסיטת ברלין, שבה למד אצל יעקובי, דיריכלה, שטיינר ואייזנשטיין. הוא שהה בברלין במשך שנתיים וחזר לגטינגן ב-1849, שם קיבל את התואר דוקטור (בהנחיית גאוס) ב-1851 (מסופר שכאשר גאוס עצמו נוכח בהרצאת הדוקטורט של רימן, הוא האזין עד תום ולאחר מכן קם והכריז: "הבנתי", בניגוד מוחלט ליהירותו המפורסמת מאוד כלפי מתמטיקאים עד לרימן, לגביהם תמיד טען כי אין מקוריות בעבודותיהם). רימן נשא את הרצאותיו הראשונות ב-1854, הרצאות אלו הן שייסדו את ענף הגאומטריה הרימנית, שעומד ביסוד התיאור המתמטי של תורת היחסות הכללית של אלברט איינשטיין. הרצאת הפתיחה לרגל מינויו ל-פריבט-דוצנט (הדרגה האקדמית הנמוכה ביותר), באוניברסיטת גטינגן, הייתה הרצאת הפתיחה המפורסמת ביותר שניתנה אי-פעם בתולדות המתמטיקה. ההרצאה שינתה מן הקצה אל הקצה את ההשקפה הכללית של המתמטיקאים על מהותה של הגאומטריה. בשנת 1857 התמנה רימן לפרופסור בגטינגן, וכעבור שנתיים, בעקבות מותו של דיריכלה, התמנה לפרופסור מן המניין. בשנת 1862 נשא לאישה את אליזה קוך. רימן עזב את גטינגן כאשר צבאות הנובר ופרוסיה נלחמו שם ב-1866. הוא נפטר משחפת בעת מסעו השלישי לאיטליה ב-20 ביולי 1866, ונקבר בבית העלמין בעיירה ביגנזולו. רימן היה נוצרי אדוק, בנו של כומר פרוטסטנטי, וראה את חייו כמתמטיקאי כדרך נוספת לשרת את האל. במהלך חייו, הוא נאחז תמיד באמונתו הנוצרית והחשיב אותה להיבט החשוב ביותר של חייו. בעת מותו, הוא ציטט מתוך שיר תפילה נוצרי ומת לפני שסיים את התפילה. על מצבתו של רימן בביגנזולו (איטליה) מופיע פסוק מתוך הפרק השמיני של האיגרת אל הרומאים: "ואנו יודעים שכל הדברים עמלים יחדיו לטובת אלו שאוהבים את האל, אלו שנקראים לשרתו". מסופר כי עוזרת הבית שלו השליכה כמה מכתביו שנמצאו במשרדו, כולל כמות רבה של עבודה לא מפורסמת. רימן סירב לפרסם עבודה לא מוגמרת, וכמה תובנות עמוקות שלו עשויות להיות אבודות לעד.[דרוש מקור] עבודותיו של רימן יצרו קרקע פורייה להתפתחות רעיונות מתמטיים בהמשך המאה ה-19, והן הניבו ענפי מחקר מתמטי חדשים המשלבים אנליזה עם גאומטריה. ענפים אלו הפכו בסופו של דבר לחלקים העיקריים בתאוריות של גאומטריה רימנית, גאומטריה אלגברית, ותורת היריעות המרוכבות. התורה של משטחי רימן פותחה מאוחר יותר בידי פליקס קליין ובאופן מיוחד על ידי אדולף הורוויץ. תחום זה של המתמטיקה הוא חלק מיסודות הטופולוגיה, והוא עדיין מיושם בדרכים מקוריות וחדשות לפיזיקה מתמטית. ב-1853 ביקש גאוס מרימן להכין הביליטציה על יסודות הגאומטריה. במהלך החודשים הבאים, רימן פיתח את התאוריה שלו על גאומטריה בממדים גבוהים יותר ונשא בגטינגן ב-1854 את הרצאתו הנושאת את השם "על ההיפותזה העומדת ביסודות הגאומטריה". עבודתו בנושא פורסמה רק ב-1868 על ידי דדקינד, שנתיים אחרי מותו. תהליך הקבלה של הרעיונות בעבודה זו היה איטי אולם כיום היא נחשבת לאחת העבודות החשובות ביותר בהיסטוריה של הגאומטריה. רימן הציג בה את המושגים של יריעה, מטריקה רימנית, וטנזור עקמומיות, ובכך פתח צוהר לתאוריה של מרחבים רב-ממדיים. הענף המתמטי שנוסד בעקבות עבודה זאת נקרא גאומטריה רימנית. רימן מצא את הדרך הנכונה להכליל ל-n ממדים את הגאומטריה הדיפרנציאלית של משטחים, שגאוס עצמו ייסדה כאשר הוכיח את תיאורמה אגרגיום שלו. האובייקט המתמטי המרכזי הנחקר בגאומטריה זו הוא טנזור העקמומיות של רימן. במקרה הפרטי של משטח, טנזור הוא מספר (סקלר) חיובי, שלילי או אפס; כאשר המקרים הקבועים ושונים מאפס הם מודלים של גאומטריות לא-אוקלידיות. הרעיון של רימן היה להצמיד לכל נקודה במרחב אוסף של מספרים (טנזור) אשר יתארו כמה המרחב מתעוות או מתעקם באותה נקודה. לדוגמה, רימן מצא כי בארבעה ממדים מרחביים, צריך אוסף של בדיוק 10 מספרים בכל נקודה כדי לתאר את התכונות של היריעה, ללא קשר לכמה היא מעוותת. זו הבנייה המפורסמת המרכזית לגאומטריה שלו, אשר ידועה עכשיו כמטריקה רימנית. רימן היה גם הראשון להציע להשתמש ביותר משלושה או ארבעה ממדים כדי לתאר את המציאות הפיזיקלית, רעיון שהתמזג בסופו של דבר עם התרומות של איינשטיין בתחילת המאה ה-20. בעבודת הדוקטורט שלו ביסס רימן תשתית גאומטרית לאנליזה מרוכבת דרך משטחי רימן, שבאמצעותם פונקציות רב-ערכיות כמו הלוגריתם המרוכב או השורש הריבועי יהפכו לפונקציות חד-חד ערכיות. פונקציות מרוכבות הן פונקציות הרמוניות (כלומר, הן מקיימות את משוואת לפלס ולכן גם את משוואות קושי-רימן) על המשטחים הללו והן מתוארות על ידי מיקום נקודות הסינגולריות והטופולוגיה של המשטחים. ה"גנוס" הטופולוגי של משטחי רימן הוא g = w / 2 − n + 1 {\displaystyle g=w/2-n+1} , כאשר למשטח יש n {\displaystyle n} ענפים (leaves) ו- w {\displaystyle w} נקודות הסתעפות (branch points). בעבור g > 1 {\displaystyle g>1} למשטח רימן יש ( 3 g − 3 ) {\displaystyle (3g-3)} פרמטרים. בנייה זאת אפשרה לראשונה להעניק מסגרת קונספטואלית מאוחדת לאינספור התוצאות על פונקציות מרוכבות (משפט אינטגרל קושי, תוצאות רבות על אינטגרלים אליפטיים ופונקציות אליפטיות, וכו') שנצברו בעשורים הקודמים על ידי מתמטיקאים רבים. כך למשל, המקום הגאומטרי "הטבעי" לחקר פונקציות אליפטיות כפולות-מחזור במישור המרוכב הוא משטח רימן המתאים שלהן, שהוא הטורוס. תרומותיו בהקשר זה רבות מספור. משפט ההעתקה של רימן, אותו הוכיח בעבודת הדוקטורט שלו (מ-1851), עומד בליבה של התאוריה הגאומטרית המודרנית של העתקות קונפורמיות. משפט זה קובע שכל תחום פשוט קשר במישור המרוכב שאינו C {\displaystyle \mathbb {C} } שקול קונפורמית לעיגול היחידה הפתוח. ההכללה של המשפט למשטחי רימן שרירותיים היא משפט היוניפורמיזציה, שהוכח בשלהי המאה ה-19 על ידי אנרי פואנקרה ופליקס קליין. עם זאת, הוכחות ריגורוזיות ראשונות למשפט ניתנו רק אחרי הפיתוח של ארסנל כלים מתמטי עשיר יותר (במקרה זה, כלים מתחום הטופולוגיה). כדי להוכיח את הקיום של פונקציות על משטחי רימן הוא השתמש בתנאי מינימום מסוים, לו הוא קרא עקרון דיריכלה. קרל ויירשטראס מצא חלל בהוכחה: רימן לא הבחין שהנחת העבודה שלו (שהמינימום קיים) עשויה לא לעבוד; מרחב הפונקציות עשוי לא להיות שלם, ולפיכך הקיום של המינימום אינו מובטח. דרך עבודתו של דויד הילברט בחשבון הווריאציות, עקרון דיריכלה בוסס לבסוף. עם זאת, ויירשטראס התרשם עמוקות מרימן, במיוחד מעבודתו על התאוריה של פונקציות אבליות. כאשר עבודתו של רימן הופיעה, תוך זמן קצר ויירשטראס השליך את מאמרו והחליט לא לפרסמו במגזין המתמטי Crelle. הייתה להם הבנה טובה כאשר רימן ביקר אותו בברלין ב-1859. ויירשטראס עודד את תלמידו הרמן אמדאוס שוורץ למצוא חלופות לעקרון דיריכלה באנליזה מרוכבת, משימה בה הוא הצליח במידה רבה - במהלך העשורים הקרובים שוורץ הדגים בניות מפורשות רבות של העתקות קונפורמיות מתחומים שונים לעיגול היחידה, ובכך אישש את נכונות הטענה של רימן. בחיבורו משנת 1857 "התאוריה של פונקציות אבליות" (Theorie der Abelschen Functionen), שנחשב לאחד הפרסומים החשובים ביותר בגאומטריה אלגברית, רימן פיתח את הקונספט של משטחי רימן ואת התכונות הטופולוגיות שלהן מעבר לעבודת הדוקטורט שלו משנת 1851, הוכיח משפט אינדקס על הגנוס (הניסוח המקורי של נוסחת רימן-הורוויץ), הוכיח את אי שוויון רימן על הממד של מרחב פונקציות מרומורפיות עם קטבים (הניסוח המקורי של משפט רימן-רוך), דן בטרנספורמציות בירציונליות של עקום נתון ובממד של מרחב המודולו המתאים של עקומים לא שקולים בעלי גנוס נתון, ופתר בעיות אינוורסיה כלליות יותר מאלו שנחקרו על ידי אבל ויעקובי. אנדרה וייל כתב כי החיבור הזה "הוא אחת היצירות המתמטיות הדגולות ביותר שנכתבו אי פעם, אין אפילו משפט אחד בו שלא הוביל בעקבותיו להתפתחות מעמיקה חדשה". נקודות חשובות אחרות כוללות את עבודתו על פונקציות אבליות ופונקציות תטא על משטחי רימן. רימן היה נתון בתחרות עם ויירשטראס (החל מ-1857) לפתור את בעיית האינוורסיה לאינטגרלים אבליים, שהם הכללה של אינטגרלים אליפטיים. רימן נעזר בפונקציות תטא במספר משתנים והראה שניתן לצמצם את בעיית האינוורסיה לבעיה של קביעת האפסים של פונקציות תטא הללו. רימן חקר גם מטריצות מחזורים ואפיין אותן דרך "יחסי מחזורים רימניים" (Riemannian period relations). לפי פרדיננד גאורג פרובניוס ושלמה ליפשיץ התקפות של הקשר הזה שקולה לשיכון של C n / Ω {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega } (כאשר Ω {\displaystyle \Omega } הוא הסריג של מטריצת המחזורים) במרחב הפרויקטיבי באמצעים של פונקציות תטא. בעבור ערכים מסוימים של n {\displaystyle n} , זו ה-Jacobian variety של משטח רימן, דוגמה ליריעה אבלית. רימן הראה גם כיצד התאוריה של פונקציות מרוכבות מאירה את התאוריה של משטחים מינימליים (משטח מינימלי הוא המשטח בעל השטח המינימלי עם שפה נתונה; כמו הצורה שלובשות רצועות סבון). מתמטיקאים רבים כגון אלפרד קלבש חידדו את עבודתו של רימן על עקומים אלגבריים. התאוריות הללו תלויות בתכונות של הפונקציות המוגדרות על משטחי רימן. למשל, משפט רימן-רוך (רוך היה תלמיד של רימן) מספק מידע על מספר הדיפרנציאלים הבלתי תלויים ליניארית של משתנים על משטח רימן (עם תנאים ידועים על האפסים והקטבים). לפי Detlef Laugwitz, תבניות אוטומורפיות הופיעו בפעם הראשונה בחיבור שעסק במשוואת לפלס על גלילים טעונים חשמלית. אף על פי כן, רימן נעזר בפונקציות כאלו לצורך מיפויים קונפורמיים (כגון מיפוי משולשים טופולוגיים למעגל) בהרצאתו מ-1859 על פונקציות היפרגאומטריות או בחיבורו על משטחים מינימליים. בתחום האנליזה הממשית, רימן הגדיר את אינטגרל רימן במונחים של סכומי רימן, ובכך תרם לביסוסה. בין הישגים רבים, הוא הוכיח שכל פונקציה רציפה למקוטעין היא אינטגרבילית. באופן דומה, ניצני הרעיונות של אינטגרלי סטילטיס מופיעים אצל רימן, כך שהם נקראים גם על שמו. כן ביסס את תורת הטורים האינסופיים, כאשר הוכיח את משפט הטורים של רימן - תוצאה מתמטית המראה כי, בניגוד לאינטואיציה, טורים מתכנסים בתנאי אינם חילופיים - וקובעת כי ניתן לסדר מחדש את איבריו של טור מתכנס בתנאי כדי לקבל כל מספר ממשי. בעבודתו על טורי פורייה, אשר באה בהמשך ישיר לעבודתו של מורו דיריכלה, הוא הראה שפונקציות אינטגרביליות לפי רימן "ניתנות להצגה" באמצעות טורי פורייה. לפניו, דיריכלה הראה זאת בעבור פונקציות רציפות וגזירות למקוטעין (ולכן עם מספר בן מנייה של נקודות בהן הן אינן גזירות). רימן נתן דוגמה לטור פורייה שמייצג פונקציה רציפה שאינה גזירה כמעט בכל מקום, מקרה שלא טופל על ידי דיריכלה (פונקציית ויירשטראס היא פונקציה רציפה שאינה גזירה באף מקום). הוא הוכיח גם את למת רימן-לבג: אם פונקציה מיוצגת על ידי טור פורייה, אז מקדמי פורייה שואפים לאפס כש-n שואף לאינסוף. חיבורו על טורי פורייה היה נקודת ההתחלה של עבודתו של קנטור על טורי פורייה, אשר הייתה הכוח המניע מאחרי היצירה של תורת הקבוצות. בחיבורו מ-1857 רימן עבד גם עם משוואות דיפרנציאליות היפרגאומטריות באמצעות שימוש בכלים אנליטיים מורכבים והציג את הפתרונות שלהן דרך ההתנהגות של מסלולים סגורים מסביב לנקודות סינגולריות (המתוארת על ידי מטריצת המונדרונומיה). עבודתו זו על מונדרונומיה והפונקציה ההיפרגאומטרית בתחום המרוכב עשתה רושם אדיר, וביססה דרך בסיסית חדשה לעבוד עם פונקציות על ידי התחשבות רק בנקודות הסינגולריות שלהן. רימן הרים תרומות אדירות לתורת המספרים האנליטית. במאמר קצרצר שהגיש רימן כשהתקבל לאקדמיה המדעית של ברלין, "על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון", והיחיד שהוא פרסם על תורת המספרים, הוא חקר את פונקציית זטא שכעת נושאת את שמו, וביסס את החשיבות שלה להבנת התפלגותם של המספרים הראשוניים. במאמרו היה רימן הראשון לדון בהתנהגות של פונקציית זטא ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} עבור s מרוכב, ולפצח את הקשר בין מאפיינים מסוימים של התפלגות המספרים הראשוניים להתנהגות של פונקציית זטא כפונקציה מרוכבת. הוא הוכיח את המשוואה הפונקציונלית שמקיימת פונקציית זטא; משוואה זו היא הבסיס לתאוריה הענפה של פונקציה זו (משוואה זו הייתה ידועה, בצורה מעט שונה, ללאונרד אוילר). הרעיונות המהפכניים במאמר, אשר קשרו בין תורת המספרים האלמנטרית העוסקת בבדיד לבין האנליזה המרוכבת העוסקת ברציף, סללו את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים בסוף המאה ה-19. במאמרו של רימן, ישנן התפתחויות רבות מעניינות יותר. "השערת רימן" הידועה הייתה אחת מסדרת השערות שהוא ניסח על תכונות הפונקציה, והיא קובעת כי כל האפסים של פונקציית זטא, דהיינו הערכים המרוכבים עבורם ζ ( z ) = 0 {\displaystyle \zeta (z)=0} , נחים כולם על הישר R e ( z ) = 1 2 {\displaystyle Re(z)={\frac {1}{2}}} . השערה זו הפכה לאחת מהבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל. רימן עסק בבעיה בעצמו עד למותו שבע שנים מאוחר יותר, אך לא הצליח להוכיחה. בעוד שמשפט המספרים הראשוניים מספק מדד כמותי אסימפטוטי למספר הראשוניים מתחת ל-x, להשערת רימן יש קשר ישיר לחריגות של התפלגות הראשוניים מן ההתנהגות הממוצעת שמנבא משפט המספרים הראשוניים. תוך כדי שהוא מניח את נכונות השערה זו הצליח רימן, דרך הסכימה של פונקציית הקירוב כשהיא עוברת על האפסים הלא-טריוויאליים על פני הישר עם חלק ממשי 1/2, לתת נוסחה מדויקת, "מפורשת", ל- π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} . רימן היה מודע לעבודתו של פפנוטי צ'בישב על משפט המספרים הראשוניים, אך שיטותיהם היו שונות מאוד. מראשית דרכו, רימן התעניין ועסק באופן אינטנסיבי בבעיות בפיזיקה מתמטית - ביסוד עבודתו עמדה ראייה של הפיזיקה והמתמטיקה כישות מאוחדת במהותה. מתוך חמישה עשר החיבורים שרימן כתב, שישה עוסקים בבעיות פיזיקליות גרידא. חיבוריו אלו של רימן משלבים ראייה פיזיקלית רחבה יחד עם תובנה מתמטית יוצאת דופן באשר לטיבן של בעיות יסוד. בהקשר זה, ראויות לציון תרומותיו הבאות: בהמשך ישיר להצעה של גאוס לשכתב את חוקי האינטראקציה האלקטרומגנטית על פי הרעיון של פוטנציאלים המתקדמים במהירות סופית (במקום "פעולה מרחוק"), רימן ניסח תאוריה אלקטרודינמית שקדמה לסינתזה של חוקי החשמל והמגנטיות על ידי מקסוול. עבודתו הרלוונטית בנושא - "תרומה לאלקטרודינמיקה" - פורסמה ב-1867, לאחר מותו, אולם הייתה לה השפעה גם לפני כן שכן הרעיונות הוזכרו בהרצאותיו, וכמה היסטוריונים מחשיבים את התאוריה של רימן לחשובה מבחינה היסטורית. תרומתו המיידית ביותר של רימן לפיזיקה מתמטית הייתה מאמרו באקוסטיקה מ-1860 על גלי קול חד-ממדיים בעלי אמפליטודה סופית (לא אינפיניטסימלית) - "על ההתקדמות של גלי קול מישוריים בעלי משרעת סופית". מאמר זה נחשב למחקר המתמטי המשמעותי הראשון על גלי הלם, והוא החדיר שיטות אנליטיות חדשות לפיזיקה עיונית, במיוחד בחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות. תוך שהוא מתבסס על ההנחה שהלחץ p {\displaystyle p} תלוי בצפיפות ρ {\displaystyle \rho } בצורה מוגדרת, רימן הראה שהפרעה חד-ממדית התחלתית בלחץ גזי מתפצלת לשני גלים הנעים בכיוונים מנוגדים. כיוון שמהירות הגל גדלה עם הגידול בלחץ ובצפיפות, מה שקורה בפועל הוא שמופעי הגל הצפופים יותר יעקפו את אלה שלפניהם - כך שגלי הדילול יתרחבו בעוד שגלי העיבוי (בעלי הצפיפות הגבוהה) יהפכו דקים יותר - ובסופו של דבר יהפכו לגלי הלם. המאמר חשוב מאוד מתמטית והוביל לפיתוח התאוריה הכללית של משוואות דיפרנציאליות היפרבוליות. כדי לתאר את התרחיש הפיזיקלי, רימן תרגם את פונקציית גרין מהמקרה האליפטי להיפרבולי, שכעת מכונה "פונקציית רימן". בתחום המכניקה, רימן חקר בעיה שנחקרה קודם על ידי דיריכלה, והיא תיאור התנועה של מסה נוזלית הנתונה תחת השפעת כובדה העצמי, עם צורה כשל אליפסואיד בעל צירים משתנים. במאמר "תרומה לחקירת בעיית התנועה של אליפסואיד נוזלי הומוגני" (1861), רימן ניתח את ההפרעות שמתפתחות במסה הנוזלית כתוצאה מהתנודות שלה. אחת התוצאות הקלאסיות של רימן עוסקת ביציבות של אליפסואיד הסובב סביב צירו הראשי ונתון להפרעות משווניות. זו הייתה עבודה חשובה במיוחד שהובילה לפיתוח של שיטות חדשות בחקר הבעיה כגון זיהוי נקודות ועקומים קריטיים במרחב הפאזה. תגלית מרכזית אליה הגיע היא שאליפסואידי מקלורין נעשים בלתי יציבים להפרעות החל מאקסצנטריות מסוימת. לבעיה זו חשיבות רבה באסטרופיזיקה; בהבנת האבולוציה של הצורה של גופים שמימיים. הוא גם תרם תרומה מקורית אחת לפיזיקה של שמיעה - היכן ששום מתמטיקה לא מעורבת; מאמרו "Mechanick der ohrs" פורסם לאחר מותו. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. רימן הותיר אחריו הרבה קטעים פילוסופיים קצרים - כתבים אלו מכילים אבחנות מהותיות בנוגע לפילוסופיה של המדע והמתמטיקה, ובנוגע להיבטים הפסיכולוגיים של תהליך היצירה המתמטי (פילוסופיה של ההכרה). למעשה, הרהורים פילוסופיים-למחצה על יסודות המתמטיקה היוו מרכיב כה משמעותי בתהליך החשיבה שלו שהיסטוריון אחד העיר ש-: "אלמלא היה רימן מתמטיקאי, הפילוסופים היו רואים בו אחד משלהם". מכתביו עולה שרימן הושפע יותר מהפילוסוף הגרמני יוהאן פרידריך הרברט (אנ') מאשר מעמנואל קאנט. רימן האמין שהטבע האפריורי של המרחב, אם ישנו כזה, הוא טופולוגי ולא מטרי. מתמטיקה: (1851) "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse" (1857) "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F ( α , β , γ , x ) {\displaystyle F(\alpha ,\beta ,\gamma ,x)} darstellbaren Functionen (1857) "Theorie der Abel'schen Functionen" (1859) "Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" (1866) "Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen" (1868) "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe" (1868) "Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (1868) "Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung" פיזיקה: (1854) "Ueber die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderabeln Körpern, wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem Enthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebend betrachtet werden" (1855) "Zur Theorie der Nobili'schen Farbenringe" (1860) "Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite" (1860) "Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides" (1867) - "Ein Beitrag zur Elektrodynamik" גאומטריה רימאנית משטח רימן - מרחב שנראה באופן מקומי כמו המישור המרוכב, נחקר לראשונה על ידי רימן ונקרא על שמו. משפט רימן רוך - אחד ממשפטיו החשובים של רימן בנוגע לקיומן של פונקציות מסוימות על משטחי רימן. הספירה של רימן הטנזור המטרי של רימן יריעה רימנית כדור רימן השערת רימן - אחת מהבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל. משפט רימן - משפט המראה כסכומים אינסופיים אינם בהכרח חילופיים. פונקציית זטא של רימן אינטגרל רימן למת רימן-לבג מרכוס דו סוטוי, המוזיקה של המספרים הראשוניים, הוצאת ידיעות אחרונות, תרגם: אוריאל גבעון, 2006. מדיה וקבצים בנושא ברנהרד רימן בוויקישיתוף ברנהרד רימן, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה ברנהרד רימן, באתר MacTutor (באנגלית) ברנהרד רימן, באתר Semantic Scholar ‏BioCast - אלף אישים באלף שניות: לא עוד מתמטיקאי - ברנהרד רימן, באתר iCast‏, 7 בספטמבר 2011 The Mathematical Papers of Georg Friedrich Bernhard Riemann (ארכיון) ברנהרד רימן, באתר "Find a Grave" (באנגלית) ברנהרד רימן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ברנרד רימן (1826-1866), דף שער בספרייה הלאומית E. Bombieri, Problems of the Millennium: the Riemann Hypothesis, Institute for Advanced Study, Princeton, NJ 08540 ברנהרד רימן באתר www.riemanncenter.de "Riemann's Tomb". נבדק ב-13 באוקטובר 2014. {{cite web}}: (עזרה) Classic Papers on Shock Compression Science הערך הספציפי שמצא היה ϵ = 0.9529 {\displaystyle \epsilon =0.9529} . Philosophical Fragments by Bernhard Riemann [1]