ספירת בלוך

במכניקת הקוונטים, ספירת בלוך היא הצגה גאומטרית של מרחב המצבים הטהורים של מערכת שתי רמות קוונטית (קיוביט), הקרויה על שם הפיזיקאי פליקס בלוך. מכניקת הקוונטים מבוססת מתמטית על מרחב הילברט. המרחב של מצבים טהורים של מערכת נתון על ידי תת-מרחב חד־ממדי של מרחב ההילברט המתאים. במרחב הילברט דו־ממדי זוהי ספירת רימן. ספירת בלוך היא ספירת יחידה דו־ממדית, בה כל שתי נקודות נגדיות מתאימות למצבים אורתוגונליים. הקטבים הצפוני והדרומי של הספירה נבחרים כמצבי הבסיס של המערכת, | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ו- | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } , המתאימים למשל לספין של אלקטרון, אך בחירה זו היא שרירותית. הנקודות על הספירה מתאימות למצבים טהורים של המערכת, בעוד נקודות בתוך הספירה מייצגות מצבים מעורבים. ספירת בלוך ניתנת להכללה למערכת קוונטית N-ממדית, אך ההצגה שלה פחות שימושית. באופטיקה, ספירת בלוך ידועה גם כספירת פואנקרה, המייצגת את הסוגים השונים של הקיטוב. בהינתן בסיס אורתונורמלי, כל מצב טהור | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } של מערכת שתי רמות קוונטית יכול להיכתב כסופרפוזיציה קוונטית של וקטורי הבסיס | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } ו- | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } , כאשר המקדמים יכולים להיות מספרים מרוכבים. היות שרק לפאזה היחסית בין המקדמים יש משמעות פיזיקלית, ניתן לקבוע כי המקדם של | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } יהיה ממשי אי-שלילי. כמו כן, מכניקת הקוונטים אומרת כי ההסתברות הכוללת של מערכת היא 1, כלומר ⟨ ψ | ψ ⟩ = | | ψ ⟩ | 2 = 1 {\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =||\psi \rangle |^{2}=1} . בהינתן מגבלה זו, ניתן לכתוב את | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } באמצעות הייצוג הבא: | ψ ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) | 0 ⟩ + e i ϕ sin ⁡ ( θ 2 ) | 1 ⟩ = cos ⁡ ( θ 2 ) | 0 ⟩ + ( cos ⁡ ϕ + i sin ⁡ ϕ ) sin ⁡ ( θ 2 ) | 1 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)|1\rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)|1\rangle } כאשר 0 ≤ θ ≤ π {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi } וכן 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 0\leq \phi <2\pi } . פרט למקרה שבו | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } היא אחת ממצבי הבסיס | 0 ⟩ {\displaystyle |0\rangle } או | 1 ⟩ {\displaystyle |1\rangle } , הייצוג הוא יחיד. ניתן לחשוב על הפרמטרים θ {\displaystyle \theta \,} ו- ϕ {\displaystyle \phi \,} כעל אפיון של הנקודה a → = ( sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , cos ⁡ θ ) {\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )} בספירת היחידה ב R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} . עבור מצב מעורב, יש צורך להתחשב באופרטור הצפיפות. כל אופרטור צפיפות דו־ממדי ρ {\displaystyle \rho } ניתן להרחבה על ידי אופרטור הזהות ומטריצות פאולי הרמיטיות וחסרות עקבה: ρ = 1 2 ( I + a → ⋅ σ → ) {\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)} כאשר a → ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}} נקרא וקטור בלוך של המערכת. זהו הווקטור שמצביע על הנקודה בספירה שמתאימה למצב המעורב. הערכים העצמיים של אופרטור הצפיפות הם 1 2 ( 1 ± | a → | ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)} . ומתכונות אופרטור הצפיפות נקבל | a → | ≤ 1 {\displaystyle |{\vec {a}}|\leq 1} . כמו כן, עבור מצב טהור מתקיים: t r ( ρ 2 ) = 1 2 ( 1 + | a → | 2 ) = 1 ⇔ | a → | = 1 {\displaystyle \mathrm {tr} (\rho ^{2})={\frac {1}{2}}\left(1+|{\vec {a}}|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}|=1} בהתאמה לתוצאה הקודמת. על כן, המשטח של ספירת בלוך מייצג את כל המצבים הטהורים של מערכת קוונטית דו־ממדית, בעוד שפנים הספירה מייצג את כל המצבים המעורבים. מדיה וקבצים בנושא ספירת בלוך בוויקישיתוף ספירת בלוך, באתר MathWorld (באנגלית) Bloch, Felix (אוק' 1946). "Nuclear induction". Phys. Rev. 70(7-8) (460). {{cite journal}}: (עזרה) Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2004). Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63503-5. http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere