משוואת ולסוב

משוואת ולסוב היא משוואה דיפרנציאלית המתארת את ההתפתחות בזמן של פונקציית ההתפלגות של פלזמה המכילה חלקיקים טעונים עם אינטראקציה רחוקת-טווח (למשל, קולונית). המשוואה הוצעה לראשונה לתיאור פלזמה על ידי הפיזיקאי הרוסי אנטולי ולסוב בשנת 1938. ולסוב טען כי המודל הקינטי המבוסס על משוואת בולצמן מתקשה בתיאור פלזמה, מכיוון שהמערכת כוללת אינטראקציות רחוקות-טווח כמו האינטראקציה הקולונית. ולסוב ציין את הבעיות הבאות העולות בניסיון להחיל את המודל הקינטי המבוססת על התנגשות של זוג חלקיקים לדינמיקה של פלזמה: התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים נמצאת בסתירה לגילויים של ריילי, אירווינג לאנגמיור ולואי טונקס על תנודות טבעיות בפלזמת אלקטרונים. התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים לא ניתנת ליישום עבור אינטראקציה קולונית מכיוון שהאיברים הקינטיים מתבדרים. התאוריה של התנגשויות בין זוג חלקיקים לא מסוגלת להסביר את הניסויים שבוצעו על ידי האריסון מריל והארולד ווב בנושא פיזור אנומלי של אלקטרונים בפלזמה גזית. ולסוב העלה השערה כי האופי ארוך-הטווח של האינטראקציה הקולונית הוא המקור לקשיים האלו. ולסוב החל לפתח את משוואת בולצמן עבור מקרה ללא התנגשויות, המוצגת בקואורדינטות מוכללות: d f ( q ¯ , p ¯ , t ) d t = 0 , {\displaystyle {\frac {{\text{d}}f({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{{\text{d}}t}}=0,} ובמפורש, כמשוואה דיפרנציאלית חלקית: ∂ f ∂ t + ∂ q ¯ ∂ t ⋅ ∂ f ∂ q ¯ + ∂ p ¯ ∂ t ⋅ ∂ f ∂ p ¯ = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {q}}}{\partial t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\bar {q}}}}+{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\bar {p}}}}=0,} התאים אותה למקרה של פלזמה, וקיבל את מערכת המשוואות המפורטות להלן. במקום התאוריה הקינטית, המבוססת על התנגשויות, ולסוב השתמש בשדה קולקטיבי עקבי הנוצר על ידי חלקיקי הפלזמה הטעונים על-מנת לתאר את האינטראקציה בין חלקיקי הפלזמה. בתיאור זה מתבצע שימוש בפונקציות ההתפלגות f e ( r → , p → , t ) {\displaystyle f_{e}({\vec {r}},{\vec {p}},t)} ו- f i ( r → , p → , t ) {\displaystyle f_{i}({\vec {r}},{\vec {p}},t)} עבור האלקטרונים והיונים. פונקציית ההתפלגות f α ( r → , p → , t ) {\displaystyle f_{\alpha }({\vec {r}},{\vec {p}},t)} עבור חלקיק מסוג כללי α {\displaystyle \alpha } , בעל תנע p → {\displaystyle {\vec {p}}} בקרבת מקום r → {\displaystyle {\vec {r}}} בזמן t {\displaystyle t} . בתיאור זה, במקום משוואת בולצמן, מתקבלת המערכת הבאה של משוואות לתיאור הפלזמה (ביחידות cgs): ∂ f e ∂ t + v → e ⋅ ∇ f e − e [ E → + 1 c ( v → × B → ) ] ⋅ ∂ f e ∂ p → = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+{\vec {v}}_{e}\cdot \nabla f_{e}-e\left[{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial {\vec {p}}}}=0} ∂ f i ∂ t + v → i ⋅ ∇ f i − e [ E → + 1 c ( v → × B → ) ] ⋅ ∂ f i ∂ p → = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+{\vec {v}}_{i}\cdot \nabla f_{i}-e\left[{\vec {E}}+{\frac {1}{c}}\left({\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\right]\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial {\vec {p}}}}=0} ∇ × B → = 4 π j → c + 1 c ∂ E → ∂ t ,     ∇ × E → = − 1 c ∂ B → ∂ t {\displaystyle \nabla \times {\vec {B}}={\frac {4\pi {\vec {j}}}{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}},~~\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial {t}}}} ∇ ⋅ E → = 4 π ρ ,     ∇ ⋅ B → = 0 {\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}=4\pi \rho ,~~\nabla \cdot {\vec {B}}=0} ρ = e ∫ ( f i − f e ) d 3 p ,     j → = e ∫ ( f i − f e ) v → d 3 p ,     v → α = p → / m α [ 1 + p 2 / ( m α c ) 2 ] 1 / 2 {\displaystyle \rho =e\int \left(f_{i}-f_{e}\right)d^{3}p,~~{\vec {j}}=e\int \left(f_{i}-f_{e}\right){\vec {v}}d^{3}p,~~{\vec {v}}_{\alpha }={\frac {{\vec {p}}/m_{\alpha }}{\left[1+p^{2}/\left(m_{\alpha }c\right)^{2}\right]^{1/2}}}} כאשר e {\displaystyle e} מטען האלקטרון, c {\displaystyle c} מהירות האור, m α {\displaystyle m_{\alpha }} מסת חלקיק מסוג α {\displaystyle \alpha } , E → ( r → , t ) {\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)} ו- B → ( r → , t ) {\displaystyle {\vec {B}}({\vec {r}},t)} השדות החשמלי והמגנטי בנקודה r → {\displaystyle {\vec {r}}} בזמן t {\displaystyle t} , בהתאמה. ההבדל הבסיסי בין מערכת המשוואות האלו ומערכת משוואות המתארת חלקיקים בהשפעת שדה אלקטרומגנטי חיצוני נעוץ בעובדה שהשדות במשוואת ולסוב מקיימים אינטראקציה דו-כיוונית עם החלקיקים מכיוון שהתפלגות החלקיקים הטעונים משפיעה על השדה האלקטרומגנטי, ולהפך. משוואות ולסוב-פואסון הן קירוב למשוואות ולסוב-מקסוול עבור מקרה לא-יחסותי ללא שדה מגנטי: ∂ f α ∂ t + v → ⋅ ∂ f α ∂ x → + q a E → m α ⋅ ∂ f α ∂ v → = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {x}}}}+{\frac {q_{a}{\vec {E}}}{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial {\vec {v}}}}=0,} ומשוואת פואסון עבור השדה החשמלי: ϵ ∇ 2 ϕ + ρ = 0. {\displaystyle \epsilon \nabla ^{2}\phi +\rho =0.} כאשר q α {\displaystyle q_{\alpha }} מטען החלקיק, m α {\displaystyle m_{\alpha }} מסת החלקיק, E → ( x → , t ) {\displaystyle {\vec {E}}({\vec {x}},t)} השדה החשמלי, ϕ ( x → , t ) {\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)} הפוטנציאל החשמלי ו- ρ {\displaystyle \rho } צפיפות המטען החשמלי. משוואות ולסוב-פואסון משמשות לתיאור תופעות רבות בפלזמה בעלות מאפיינים לא-מקסווליאנים בולטים, למשל דעיכת לנדאו ושכבות כפולות, אשר לא ניתן לתאר באמצעות מודלים קינטיים. במודל נוזלי לתיאור פלזמה, למשל מגנטו-הידרודינמיקה (MHD), התפלגות המהירויות איננה מחושבת. עובדה זו מושגת על ידי החלפת f ( r → , v → , t ) {\displaystyle f({\vec {r}},{\vec {v}},t)} במומנטים של הפלזמה כמו צפיפות מספרית, n {\displaystyle n} , מהירות ממוצעת, u {\displaystyle \mathbf {u} } , וצפיפות, p {\displaystyle \mathbf {p} } . גדלים אלו מכונים מומנטים מכיוון שהמומנט מסדר n של f {\displaystyle f} מתקבל על ידי אינטגרציה של v n f {\displaystyle v^{n}f} לפי המהירות. המשתנים המתקבלים תלויים במיקום ובזמן בלבד, כלומר מידע מסוים אבד. בתאוריה מרובת-נוזלים, כל סוג חלקיקים מתואר כנוזל נפרד עם ערכים של לחץ, צפיפות ומהירות זרימה. המשוואות המתארות את מומנטי הפלזמה מכונות משוואות מומנט או משוואות זרימה. שתי משוואות המומנט הנפוצות ביותר מוצגות בהמשך (במערכת היחידות הבינלאומית). קבלת משוואות המומנט ממשוואת ולסוב לא מצריכה הנחות לגבי פונקציית ההתפלגות. משוואת הרציפות מתארת את שינוי הצפיפות עם הזמן. ניתן לקבלה על ידי אינטגרציה של משוואת ולסוב על-פני מרחב המהירויות כולו. ∫ d d t f d 3 v = ∫ [ ∂ ∂ t f + ( v → ⋅ ∇ r ) f + ∇ v ⋅ ( a → f ) ] d 3 v = 0 {\displaystyle \int {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}fd^{3}v=\int \left[{\frac {\partial }{\partial t}}f+({\vec {v}}\cdot \nabla _{r})f+\nabla _{v}\cdot ({\vec {a}}f)\right]d^{3}v=0} לאחר חישובים, ניתן לקבל ∂ ∂ t n + ∇ ⋅ ( n u ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0} צפיפות החלקיקים, n {\displaystyle n} , והמהירות הממוצעת, u {\displaystyle \mathbf {u} } , הם המומנטים מסדר אפס וסדר ראשון: n = ∫ f d 3 v {\displaystyle n=\int fd^{3}v} u = ∫ v → f d 3 v ∫ f d 3 v = 1 n ∫ v → f d 3 v {\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\int {\vec {v}}fd^{3}v}{\int fd^{3}v}}={\frac {1}{n}}\int {\vec {v}}fd^{3}v} קצב השינוי בתנע של חלקיק ניתן על ידי הצבת כוח לורנץ במשוואת החוק השני של ניוטון: m d v → d t = q ( E → + v → × B → ) {\displaystyle m{\frac {{\text{d}}{\vec {v}}}{{\text{d}}t}}=q\left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)} על ידי שימוש במשוואה זו ומבשוואת ולסוב, משוואת התנע עבור כל נוזל מתקבלת כ: m n d d t u = − ∇ ⋅ p + q n E → + q n u × B → , {\displaystyle mn{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\textbf {u}}=-\nabla \cdot \mathbf {p} +qn{\vec {E}}+qn\mathbf {u} \times {\vec {B}},} כאשר p {\displaystyle \mathbf {p} } הוא טנזור הלחץ. הנגזרת המלאה לפי הזמן מתקבלת: d d t = ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ . {\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .} טנזור הלחץ מוגדר כצפיפות המסה כפול מטריצת הקו-וריאנס של המהירות: p i j = m ∫ ( v i − u i ) ( v j − u j ) f d 3 v . {\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})fd^{3}v.} בדומה למקרה של MHD-אידיאלי, ניתן להתייחס את הפלזמה כאל "קשורה" לקווי השדה המגנטי בתנאים מסוימים. ניתן לומר שקווי השדה המגנטי "קפואים" בתוך הפלזמה. ניתן לפתח את התנאים לקירוב זה ממשוואת ולסוב. נגדיר את הסקלות L , T {\displaystyle \mathbf {L,T} } ו- V {\displaystyle \mathbf {V} } עבור זמן, מרחק ומהירות, בהתאמה. סקלות אלו מייצגות מדד לפרמטרים השונים המביאים לשינוי גדול ב- f {\displaystyle f} , כאשר שינוי גדול משמעותו ∂ f ∂ t T ∼ f ,     | ∂ f ∂ r → | L ∼ f ,     | ∂ f ∂ v → | V ∼ f . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f,~~\left|{\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}}}\right|L\sim f,~~\left|{\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}\right|V\sim f.} ניתן לכתוב: t ′ = t T     ,     r →   ′ = r → L     ,     v →   ′ = u → V . {\displaystyle t'={\frac {t}{T}}~~,~~{\vec {r}}~'={\frac {\vec {r}}{L}}~~,~~{\vec {v}}~'={\frac {\vec {u}}{V}}.} כעת ניתן להציג את משוואת ולסוב כך: 1 T ∂ f ∂ t ′ + V L v →   ′ ⋅ ∂ f ∂ r → + q m V ( E → + V v →   ′ × B → ) ⋅ ∂ f ∂ v →   ′ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}{\vec {v}}~'\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}}}+{\frac {q}{mV}}\left({\vec {E}}+V{\vec {v}}~'\times {\vec {B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}~'}}=0} עד כה לא בוצעו קירובים. כעת נקבע V = R ω g {\displaystyle V=R\omega _{g}} , כאשר ω g = q B / m {\displaystyle \omega _{g}=qB/m} היא תדירות הגירו ו- R {\displaystyle R} הוא רדיוס הגירו (ראה פרמטרים של פלזמה). על ידי חלוקת המשוואה ב- ω g {\displaystyle \omega _{g}} נקבל 1 ω g T ∂ f ∂ t ′ + R L v →   ′ ⋅ ∂ f ∂ r →   ′ + ( E → V B + v →   ′ × B → B ) ⋅ ∂ f ∂ v →   ′ = 0 {\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}{\vec {v}}~'\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {r}}~'}}+\left({\frac {\vec {E}}{VB}}+{\vec {v}}~'\times {\frac {\vec {B}}{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}~'}}=0} בקירוב בו 1 / ω g ≪ T {\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T} ו- R ≪ L {\displaystyle R\ll L} , שני האיברים הראשונים יהיו קטנים הרבה יותר מ- f {\displaystyle f} , מכיוון ש- ∂ f / ∂ t ′ ∼ f   ,   v ′ ≲ 1   ,   ∂ f / ∂ r →   ′ ∼ f {\displaystyle \partial f/\partial t'\sim f~,~v'\lesssim 1~,~\partial f/\partial {\vec {r}}~'\sim f} . האיבר האחרון הוא מסדר-גודל של f {\displaystyle f} , ולכן ניתן להזניח את שני האיברים הראשונים ולקבל ( E → V B + v →   ′ × B → B ) ⋅ ∂ f ∂ v →   ′ ≈ 0 ⇒ ( E → + v → × B → ) ⋅ ∂ f ∂ v → ≈ 0 {\displaystyle \left({\frac {\vec {E}}{VB}}+{\vec {v}}~'\times {\frac {\vec {B}}{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}~'}}\approx 0\Rightarrow \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}}}\approx 0} ניתן לפרק את המשוואה לחלקים מקביל וניצב: E → ∥ ∂ f ∂ v → ∥ + ( E → ⊥ + v → × B → ) ⋅ ∂ f ∂ v → ⊥ ≈ 0 {\displaystyle {\vec {E}}_{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}_{\parallel }}}+\left({\vec {E}}_{\perp }+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}_{\perp }}}\approx 0} כעת נשים לב לכך ש- v → = v → 0 + Δ v → {\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+\Delta {\vec {v}}} , כאשר v → 0 × B → = − E → ⊥ {\displaystyle {\vec {v}}_{0}\times {\vec {B}}=-{\vec {E}}_{\perp }} וכעת ניתן לקבל E → ∥ ∂ f ∂ v → ∥ + ( Δ v → ⊥ × B → ) ⋅ ∂ f ∂ v → ⊥ ≈ 0 {\displaystyle {\vec {E}}_{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}_{\parallel }}}+\left(\Delta {\vec {v}}_{\perp }\times {\vec {B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}_{\perp }}}\approx 0} עבור שדה מקביל קטן נקבל ( Δ v → ⊥ × B → ) ⋅ ∂ f ∂ v → ⊥ ≈ 0 {\displaystyle \left(\Delta {\vec {v}}_{\perp }\times {\vec {B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial {\vec {v}}_{\perp }}}\approx 0} המשמעות של משוואה זו היא שההתפלגות היא גירו-טרופית. המהירות הממוצעת של התפלגות גירו-טרופית היא אפס, ולכן v → 0 {\displaystyle {\vec {v}}_{0}} שווה זהותית למהירות הממוצעת, u {\displaystyle \mathbf {u} } , ונקבל E → + u × B → ≈ 0 {\displaystyle {\vec {E}}+\mathbf {u} \times {\vec {B}}\approx 0} לסיכום, זמן המחזור של תנועת הגירו ורדיוס הגירו קטנים הרבה יותר, בהתאמה, מסקלות הזמן והמרחק שיגרמו לשינויים גדולים בפונקציית ההתפלגות. יש לחשב את התנאים לקירוב השדה הקפוא לכל סוג חלקיקים בנפרד. מכיוון שלאלקטרונים זמן מחזור גירו ורדיוס גירו קצרים יותר מאשר ליונים, התנאים יתקיימו עבורם לעיתים קרובות יותר. פלזמה (מצב צבירה) פרמטרים של פלזמה משוואות מקסוול המשוואה הקינטית של לנדאו A. A. Vlasov (1938). "On Vibration Properties of Electron Gas". J. Exp. Theor. Phys. (ברוסית). 8 (3): 291. A. A. Vlasov (1968). "The Vibrational Properties of an Electron Gas". Soviet Physics Uspekhi. 10 (6): 721. Bibcode:1968SvPhU..10..721V. doi:10.1070/PU1968v010n06ABEH003709. A. A. Vlasov (1945). Theory of Vibrational Properties of an Electron Gas and Its Applications. H. J. Merrill and H. W. Webb (1939). "Electron Scattering and Plasma Oscillations". Physical Review. 55 (12): 1191. Bibcode:1939PhRv...55.1191M. doi:10.1103/PhysRev.55.1191.