משוואה דיפרנציאלית הומוגנית

ישנן שתי הגדרות למשוואת דיפרנציאלית הומוגנית: ההגדרה הראשונה היא שמשוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת הומוגנית אם אפשר לכתוב אותה בצורה: f ( x , y ) d y = g ( x , y ) d x {\displaystyle f(x,y)\,dy=g(x,y)\,dx} כאשר f {\displaystyle f} ו־ g {\displaystyle g} הן פונקציות הומוגניות (מאותו סדר) של x {\displaystyle x} ו־ y {\displaystyle y} . במקרה זה, החלפת המשתנה y = u x {\displaystyle y=ux} מובילה למשוואה מהצורה: d x x = h ( u ) d u {\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h(u)\,du} שניתן לפתור אותה על ידי אינטגרציית על שני האגפים. ההגדרה השנייה היא שמשוואה דיפרנציאלית נקראת הומוגנית אם היא פונקציה הומוגנית של הפונקציה הנעלמת ונגזרותיה. במקרה של משוואות דיפרנציאליות ליניאריות, משוואה הומוגנית היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית שאין בה איברים קבועים. ניתן להסיק את הפתרונות של כל משוואת דיפרנציאלית רגילה ליניארית מכל סדר שהוא על ידי אינטגרציה מהפתרון של המשוואה ההומוגנית המתקבלת על ידי הסרת האיבר הקבוע. המונח הומוגניות הוזכר לראשונה בהקשר של משוואות דיפרנציאליות על ידי יוהאן ברנולי בפסקה 9 במאמרו De integraionibus aequationum differentialium (על אינטגרציית משוואות דיפרנציאליות) משנת 1726. משוואת דיפרנציאלית רגילה מסדר ראשון היא משוואה דיפרנציאלית מהצורה: M ( x , y ) d x + N ( x , y ) d y = 0 {\displaystyle M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0} היא הומוגנית אם שתי הפונקציות M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} ו־ N ( x , y ) {\displaystyle N(x,y)} הן פונקציות הומוגניות מאותו סדר n {\displaystyle n} . כלומר, בהכפלת כל משתנה בפרמטר λ {\displaystyle \lambda } , יתקבל: M ( λ x , λ y ) = λ n M ( x , y ) and N ( λ x , λ y ) = λ n N ( x , y ) {\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)\quad {\text{and}}\quad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)\,} לכן: M ( λ x , λ y ) N ( λ x , λ y ) = M ( x , y ) N ( x , y ) {\displaystyle {\frac {M(\lambda x,\lambda y)}{N(\lambda x,\lambda y)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}\,} במנה M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( x , y ) N ( x , y ) {\textstyle {\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}} , ניתן להגדיר t = 1 x {\displaystyle t={\frac {1}{x}}} על מנת לפשט את המנה לפונקציה של משתנה יחיד y x {\displaystyle {\frac {y}{x}}} . M ( x , y ) N ( x , y ) = M ( t x , t y ) N ( t x , t y ) = M ( 1 , y / x ) N ( 1 , y / x ) = f ( y / x ) {\displaystyle {\frac {M(x,y)}{N(x,y)}}={\frac {M(tx,ty)}{N(tx,ty)}}={\frac {M(1,y/x)}{N(1,y/x)}}=f(y/x)\,} ולכן: d y d x = − f ( y / x ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-f(y/x)} באמצעות החלפת המשתנה y = u x {\displaystyle y=ux} וגזירה באמצעות כלל המכפלה, יתקבל: d y d x = d ( u x ) d x = x d u d x + u d x d x = x d u d x + u {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u} כך המשוואה הדיפרנציאלית המקורית הופכת לצורה בה ניתן לבצע בה הפרדת משתנים: x d u d x = − f ( u ) − u {\displaystyle x{\frac {du}{dx}}=-f(u)-u} או: 1 x d x d u = − 1 f ( u ) + u {\displaystyle {\frac {1}{x}}{\frac {dx}{du}}={\frac {-1}{f(u)+u}}} כעת ניתן לבצע אינטגרציה ישירות: ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} היא הפונקציה הקדומה של הצד השמאלי של המשוואה. משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון מהצורה ( a {\displaystyle a} ,‏ b {\displaystyle b} ,‏ c {\displaystyle c} ,‏ d {\displaystyle d} ,‏ e {\displaystyle e} ו־ f {\displaystyle f} הם קבועים): ( a x + b y + c ) d x + ( e x + f y + g ) d y = 0 {\displaystyle \left(ax+by+c\right)dx+\left(ex+fy+g\right)dy=0} כאשר a f ≠ b e {\displaystyle af\neq be} ניתן להפוך אותה להומוגנית על ידי העתקה ליניארית של שני המשתנים ( α {\displaystyle \alpha } ו־ β {\displaystyle \beta } הם קבועים): t = x + α ; z = y + β {\displaystyle t=x+\alpha ;\;\;z=y+\beta } משוואה דיפרנציאלית ליניארית היא הומוגנית אם היא משוואה ליניארית הומוגנית שהפונקציה הנעלמת ונגזרותיה הן הנעלמים בה. מכאן נובע שאם φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} הוא פתרון של המשוואה, כך גם c φ ( x ) {\displaystyle c\varphi (x)} , עבור כל קבוע c {\displaystyle c} השונה מאפס. כדי שתנאי זה יתקיים, כל איבר שאינו אפס של המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית חייב להיות תלוי בפונקציה הנעלמת או בנגזרת כלשהי שלה. משוואה דיפרנציאלית ליניארית שלא מקיימת תנאי זה נקראת לא הומוגנית (inhomogeneous). ניתן לייצג משוואה דיפרנציאלית ליניארית כאופרטור ליניארי הפועל על y ( x ) {\displaystyle y(x)} כאשר x {\displaystyle x} הוא בדרך כלל המשתנה הבלתי תלוי ו־ y {\displaystyle y} הוא המשתנה התלוי. לכן, הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית הומוגנית ליניארית היא: L ( y ) = 0 {\displaystyle L(y)=0} כאשר L {\displaystyle L} הוא אופרטור דיפרנציאלי ליניארי, כלומר סכום של נגזרות (כאשר "הנגזרת ה-0" מוגדרת כפונקציה המקורית, ללא גזירה) שכל אחת מהן מוכפלת בפונקציה f i {\displaystyle f_{i}} של x {\displaystyle x} : L = ∑ i = 0 n f i ( x ) d i d x i {\displaystyle L=\sum _{i=0}^{n}f_{i}(x){\frac {d^{i}}{dx^{i}}}\,} כאשר הפונקציה f i {\displaystyle f_{i}} יכולה להיות קבוע, אבל לא כל f i {\displaystyle f_{i}} יכולה להיות אפס. לדוגמה, המשוואה הדיפרנציאלית הליניארית הבאה היא הומוגנית: sin ⁡ ( x ) d 2 y d x 2 + 4 d y d x + y = 0 {\displaystyle \sin(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4{\frac {dy}{dx}}+y=0\,} ואילו השתיים הבאות אינן הומוגניות: 2 x 2 d 2 y d x 2 + 4 x d y d x + y = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+4x{\frac {dy}{dx}}+y=\cos(x)\,} 2 x 2 d 2 y d x 2 − 3 x d y d x + y = 2 {\displaystyle 2x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-3x{\frac {dy}{dx}}+y=2\,} קיומו של איבר קבוע הוא תנאי מספיק כדי שמשוואה תהיה לא הומוגנית, כמו בדוגמה לעיל. הפרדת משתנים Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th ed.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.) Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.) Andrei D. Polyanin; Valentin F. Zaitsev (15 בנובמבר 2017). Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. CRC Press. ISBN 978-1-4665-6940-9. {{cite book}}: (עזרה) Matthew R. Boelkins; Jack L. Goldberg; Merle C. Potter (5 בנובמבר 2009). Differential Equations with Linear Algebra. Oxford University Press. pp. 274–. ISBN 978-0-19-973666-9. {{cite book}}: (עזרה) משוואות דיפרנציאליות הומוגניות ב־MathWorld ספרי ויקי: משוואות דיפרנציאליות רגילות/הצבה 1 Dennis G. Zill (15 במרץ 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2. {{cite book}}: (עזרה)     f ( x , y ) d y = g ( x , y ) d x {\displaystyle \ \ f\left(x,y\right)dy=g\left(x,y\right)dx} y   =   u x {\displaystyle y\ =\ ux} d y = u   d x + x   d u {\displaystyle dy=u\ dx+x\ du} f ( x , u x ) ( u d x + x d u ) = g ( x , u x ) d x {\displaystyle f\left(x,ux\right)\left(udx+xdu\right)=g\left(x,ux\right)dx} x n f ( 1 , u ) ( u d x + x d u ) = x n g ( 1 , u ) d x {\displaystyle x^{n}f\left(1,u\right)\left(udx+xdu\right)=x^{n}g\left(1,u\right)dx} f ( 1 , u ) ( u d x + x d u ) = g ( 1 , u ) d x {\displaystyle f\left(1,u\right)\left(udx+xdu\right)=g\left(1,u\right)dx} f ( 1 , u ) u d x + f ( 1 , u ) x d u = g ( 1 , u ) d x {\displaystyle f\left(1,u\right)udx+f\left(1,u\right)xdu=g\left(1,u\right)dx} f ( 1 , u ) x d u = ( g ( 1 , u ) − f ( 1 , u ) u ) d x {\displaystyle f\left(1,u\right)xdu=\left(g\left(1,u\right)-f\left(1,u\right)u\right)dx} f ( 1 , u ) g ( 1 , u ) − f ( 1 , u ) u d u = d x x {\displaystyle {\frac {f\left(1,u\right)}{g\left(1,u\right)-f\left(1,u\right)u}}du={\frac {dx}{x}}} h ( u ) = f ( 1 , u ) g ( 1 , u ) − f ( 1 , u ) u {\displaystyle h\left(u\right)={\frac {f\left(1,u\right)}{g\left(1,u\right)-f\left(1,u\right)u}}} d x x = h ( u ) d u {\displaystyle {\frac {dx}{x}}=h\left(u\right)du} "De integraionibus aequationum differentialium". Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1: 167–184. ביוני 1726. {{cite journal}}: (עזרה) Ince 1956, p. 18