שקילות אסטרטגית

שקילות אסטרטגית היא מושג בתורת המשחקים העוסק בקשר שבין משחקים שונים. שני משחקים הם שקולים אסטרטגית אם כל אחד יכול להתקבל מהשני על ידי שינוי פונקציית התועלת של השחקנים. מושג השקילות האסטרטגית תקף הן למשחקים בצורה אסטרטגית והן למשחקים בצורה קואליציונית. משחק בצורה קואליציונית הוא זוג ( N , v ) {\displaystyle \left(N,v\right)} בו קבוצת השחקנים היא N = { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle N=\{1,2,\cdots ,n\}} ו- v {\displaystyle v} היא הפונקציה הקואליציונית, או פונקציית הרווח, המתאימה לכל תת-קבוצה S {\displaystyle S} של שחקנים מספר ממשי. הפונקציה הקואליציונית v {\displaystyle v} מקיימת כי v ( ∅ ) = 0 {\displaystyle v\left(\emptyset \right)=0} . אנו חושבים על תת-קבוצות של N {\displaystyle N} כעל קואליציות. לפיכך, הפונקציה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה שווי מסוים. משחק בצורה קואליציונית ( N , v ) {\displaystyle \left(N,v\right)} שקול אסטרטגית למשחק ( N , w ) {\displaystyle \left(N,w\right)} אם קיימים מספרים a > 0 {\displaystyle a>0} ו- b 1 , ⋯ , b n ∈ R {\displaystyle b_{1},\cdots ,b_{n}\in \mathbb {R} } כך שלכל קואליציה S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq N} מתקיים: w ( S ) = a v ( S ) + ∑ i ∈ S b i {\displaystyle w\left(S\right)=av\left(S\right)+\sum _{i\in S}b_{i}} . במשחק בצורה אסטרטגית לכל שחקן i יש קבוצת פעולות אפשריות S i {\displaystyle S_{i}} . הוא מחליט על התפלגות כלשהי על קבוצת הפעולות, כלומר, באיזו הסתברות ישחק כל פעולה. לכל שחקן יש פונקיית תועלת u i {\displaystyle u_{i}} שנקבעת על ידי תוחלת התשלום תחת ההתפלגויות של כל השחקנים. משחק בצורה אסטרטגית עם פונקציות תועלת { u i } {\displaystyle \{u_{i}\}} שקול אסטרטגית למשחק עם פונקציות תועלת { v i } {\displaystyle \{v_{i}\}} , אם קיימים מספרים { a i > 0 } {\displaystyle \{a_{i}>0\}} ו- { b i } {\displaystyle \{b_{i}\}} , כך שלכל i מתקיים: u i = a i v i + b i {\displaystyle u_{i}=a_{i}v_{i}+b_{i}} . הרעיון בשקילות אסטרטגית הוא שניתן לתאר אותה סיטואציה על ידי שני משחקים שונים. לדוגמה, במשחק בצורה קואליציונית, ייתכן שהפונקציה הקואליציונית מתאימה לכל קואליציה סכום כסף בשקלים. באותה מידה ניתן להמיר את סכום הכסף הזה לדולרים. שער ההמרה בין שקל לדולר מקביל לקבוע a {\displaystyle a} בהגדרת השקילות. בנוסף, ייתכן שכל שחקן נותן חלק מהרווח שלו לצדקה, או שהוא מקבל הכנסות מסוימות ממקורות אחרים. במקרה כזה, ההכנסה של שחקן i {\displaystyle i} מקבילה לקבוע b i {\displaystyle b_{i}} . לא כל שני משחקים שקולים אסטרטגית. לדוגמה, נתבונן במשחק בצורה קואליציונית ( N , v ) {\displaystyle \left(N,v\right)} בו יש שלושה שחקנים ( N = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle N=\{1,2,3\}} ), והפונקציה הקואליציונית נתונה על ידי הערכים הבאים: (א) v ( 1 ) = v ( 2 ) = v ( 3 ) = 0 {\displaystyle v\left(1\right)=v\left(2\right)=v\left(3\right)=0} , (ב) v ( 1 , 2 ) = v ( 1 , 3 ) = v ( 2 , 3 ) = 1 {\displaystyle v\left(1,2\right)=v\left(1,3\right)=v\left(2,3\right)=1} , (ג) v ( 1 , 2 , 3 ) = 1 {\displaystyle v\left(1,2,3\right)=1} . משחק זה אינו שקול, למשל, למשחק זהה בו v ( 1 , 2 , 3 ) = 2 {\displaystyle v\left(1,2,3\right)=2} , מכיוון שתנאי השקילות מחייב שכל הקבועים b i = 0 {\displaystyle b_{i}=0} וש- a = 1 {\displaystyle a=1} . כל משחק בצורה קואליציונית ( N , v ) {\displaystyle \left(N,v\right)} שקול אסטרטגית למשחק ( N , w ) {\displaystyle \left(N,w\right)} בו w ( i ) = 0 {\displaystyle w\left(i\right)=0} , כלומר, למשחק בו השחקנים לא מרוויחים דבר אם הם לא משתפים פעולה. שקילות אסטרטגית היא יחס שקילות. משחק שיתופי שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946