זרימה פוטנציאלית

במכניקת הזורמים ובפרט בהידרודינמיקה ואווירודינמיקה, זרימה פוטנציאלית היא זרימה בה שדה המהירות יכול להיכתב כגרדיאנט של שדה סקלרי המתאר את פוטנציאל המהירות. כל זרימה פוטנציאלית היא זרימה לא-רוטציונית, מאחר שהרוטור של הגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל תמיד שווה לאפס. במרחב פשוט קשר, כל זרימה אי-רוטציונית היא זרימה פוטנציאלית; במרחב שאינו פשוט קשר, קיימים שדות אי-רוטציונית שאינם יכולים להיכתב כשדה סקלרי. ביישומים רבים ניתן ההנחה שהזרימה היא אי-רוטציונית מהווה קירוב טוב. איבר הצמיגות במשוואות נאוויה סטוקס כולל נגזרות מסדר שני של שדה המהירות, ולכן הוא כולל נגזרות מסדר שלישי של שדה הפוטנציאל. עובדה זו מקשה מאוד על פתרון המשוואות. לכן, שימוש בזרימה פוטנציאלית נעשה בעיקר בזרימות המאופיינות במספרי ריינולדס גבוהים ( R e ≫ 1 {\displaystyle Re\gg 1} ). כלומר, זרימה פוטנציאלית מזניחה השפעות של חיכוך שנגרמת כתוצאה מצמיגות הזורם, כך שאין איברים הכוללים נגזרת מסדר שלישי. מקרה מיוחד הוא זרימת הלה שו בה הזרימה ניתנת לקירוב כזרימה דו־ממדית פוטנציאלית עקב קיומו של איבר הצמיגות. עבור זרימה בלתי דחיסה, פוטנציאל המהירות מקיים את משוואת לפלס ומאפשר פתרון אנליטי של הזרימה. זרימה פוטנציאלית יכולה לשמש לעיתים גם כדי לתאר זרימה דחיסה. זרימה פוטנציאלית יכולה לשמש במידול של זרימות תמידיות כמו גם במידול של זרימות לא תמידיות. על אף שזרימה פוטנציאלית היא קירוב שלא מתקיים במציאות, יש לה יישומים רבים בתיאור של זרימות שונות. לדוגמה: שדה זרימה סביב כנף דקה, גלי מים, זרימה אלקטרו-אוסמוטית ועוד. חסרונו של התיאור הפוטנציאלי הוא בתיאור זרימה (או מקרים מסוימים בתוך זרימה) שיש בה אפקטים ערבוליים חזקים, ובפרט בזרימה בשכבת גבול. בדינמיקת זורמים זרימה פוטנציאלית מתוארת על ידי פונקציית פוטנציאל φ {\displaystyle \varphi } שבמקרה הכללי היא פונקציה של המרחב והזמן. מהירות הזרימה מתוארת על ידי השדה הווקטורי u {\displaystyle \mathbf {u} } ששווה לגרדיאנט של פונקציית הפוטנציאל: u = ∇ φ {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi } מחשבון וקטורי ניתן לקבל שהרוטור של הגרדיאנט שווה לאפס, ובפרט עבור זרימה פוטנציאלית הערבוליות שווה לאפס. ω = ∇ × u = ∇ × ∇ φ = 0 {\displaystyle \omega =\nabla \times \mathbf {u} =\nabla \times \nabla \varphi =0} משתמע מכך שזרימה פוטנציאלית היא זרימה אי-רוטציונית. לתוצאה זו יש השלכות ישירות עבור המקרים שבהם ניתן (או לא ניתן) ליישם זרימה פוטנציאלית. באזורים בזרימה שבהם ידוע שהערבוליות חשובה, כמו שבלים במים או שכבות גבול, הזרימה הפוטנציאלית לא מצליחה לספק תחזיות סבירות על הזרימה. עם זאת, ישנם אזורים רבים בשדה זרימה שבהם ההנחה של זרימה אי רוטציונית תקפה, ובשל כך נעשה שימוש בזרימה פוטנציאלית ביישומים רבים, למשל: בזרימות מסביב כנף דקה, בעיות אקוסטיות, גלי מים ובזרימה אלקטרו-אוסמוטית. עבור המקרה של זרימה בלתי דחיסה - למשל עבור נוזל, או גז במספרי מאך נמוכים (בהזנחת גלי הקול), דיברגנץ המהירות שווה לאפס ∇ ⋅ u = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0} כתוצאה מכך מתקבל שפונקציית פוטנציאל המהירות צריכה לקיים את משוואת לפלס ∇ 2 φ = 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =0} כאשר ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}} הוא הלפלסיאן (לעיתים מסומן ב- Δ {\displaystyle \Delta } ). במקרה זה הזרימה נקבעת באופן מוחלט משדה המהירויות. לאחר פתרון שדה המהירויות ניתן לחשב את הלחצים במערכת על ידי שימוש בעקרון ברנולי. שיטת פתרון זו משמשת לדוגמה עבור זרימה מסביב לכנף דקה. ראשית מחושב שדה המהירויות, ממנו מוציאים את שדה הלחץ שממנו ניתן לחשב את כוח עילוי שיעבוד על הכנף. במקרה הדו-ממדי, הבעיה של זרימה פוטנציאלית מצטמצמת לבעיה פשוטה שמנותחת על ידי שימוש באנליזה מרוכבת. כל זרימה אי רוטציונית יכולה להיות מתוארת כזרימה פוטנציאלית, ובפרט גם זרימה דחיסה. עבור זרימה תמידית, משוואת הזרימה נתונה על ידי: ( 1 − M x 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ x 2 + ( 1 − M y 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ y 2 + ( 1 − M z 2 ) ∂ 2 ϕ ∂ z 2 − 2 M x M y ∂ 2 ϕ ∂ x ∂ y − 2 M y M z ∂ 2 ϕ ∂ y ∂ z − 2 M z M x ∂ 2 ϕ ∂ z ∂ x = 0 {\displaystyle (1-M_{x}^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+(1-M_{y}^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+(1-M_{z}^{2}){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial x}}=0} כאשר רכיבי מספר מאך הם: M z = 1 a ∂ ϕ ∂ z {\displaystyle M_{z}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}} , M y = 1 a ∂ ϕ ∂ y {\displaystyle M_{y}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}} , M x = 1 a ∂ ϕ ∂ x {\displaystyle M_{x}={\frac {1}{a}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}} a {\displaystyle a} היא מהירות הקול הלוקאלית, ו- ϕ {\displaystyle \phi } היא פונקציית פוטנציאל המהירות. תיאור זה תקף עבור זרימה תת-קולית, זרימה במהירות קרובה למהירות הקול, זרימה על קולית וזרימה היפר קולית, ועבור כל זווית התקפה, ובלבד שההנחה של זרימה אי רוטציונית נשמרת. במקרה של זרימה תת-קולית או על-קולית בזוויות התקפה קטנות ועבור גופים דקים, ניתן לפשט את משוואת הזרימה באמצעות פיצול הפוטנציאל לפוטנציאל המתאר זרימה מציפה בכיוון x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} , במהירות V ∞ {\displaystyle V_{\infty }} , ולהפרעות קטנות מסביב לפוטנציאל זה φ {\displaystyle \varphi } כלומר: ϕ = V ∞ x + φ {\displaystyle \phi =V_{\infty }x+\varphi } . לאחר קירוב לסדר ראשון ב- φ {\displaystyle \varphi } , מתקבל שמשוואת הזרימה היא: ( 1 − M ∞ 2 ) ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle (1-M_{\infty }^{2}){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0} כאשר V ∞ a ∞ = M ∞ {\displaystyle {\frac {V_{\infty }}{a_{\infty }}}=M_{\infty }} הוא מספר המאך של הזרימה המציפה. משוואה המפושטת נוחה לפתרון מאחר שניתן לצמצמה למשוות לפלס על ידי שינוי הקואורדינטות x ′ = x 1 − M x 2 {\displaystyle x'={\frac {x}{\sqrt {1-M_{x}^{2}}}}} . כאשר הזרימה איננה תמידית, הנגזרות לפי הזמן לא מתאפסות. במקרה זה, משוואת הפוטנציאל המלאה המתארת את הזרימה היא: − 1 a 2 [ ∂ ∂ t ( ∇ Φ ⋅ ∇ Φ ) + ∂ 2 Φ ∂ t 2 ] + ( 1 − M x 2 ) ∂ 2 Φ ∂ x 2 + ( 1 − M y 2 ) ∂ 2 Φ ∂ y 2 + ( 1 − M z 2 ) ∂ 2 Φ ∂ z 2 − 2 M x M y ∂ 2 Φ ∂ x ∂ y − 2 M y M z ∂ 2 Φ ∂ y ∂ z − 2 M z M x ∂ 2 Φ ∂ z ∂ x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}-&{\frac {1}{a^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi )+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial t^{2}}}\right]\\+&\left(1-M_{x}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{2}}}+\left(1-M_{y}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y^{2}}}+\left(1-M_{z}^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}-2M_{x}M_{y}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x\,\partial y}}-2M_{y}M_{z}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial y\,\partial z}}-2M_{z}M_{x}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z\,\partial x}}=0\end{aligned}}} כאשר רכיבי מספר מאך מוגדרים באופן דומה לזרימה התמידית. גם במקרה זה, המשוואה נכונה לכל מהירות זרימה ולכל זווית התקפה, כל עוד ניתן להניח זרימה אי רוטציונית. באופן דומה למקרה הזרימה התמידי, ניתן לפשט את המשוואה במקרה של זרימה תת-קולית או על-קולית, בזווית התקפה קטנות על ידי פיצול הפוטנציאל לפי Φ = V ∞ x + φ {\displaystyle \Phi =V_{\infty }x+\varphi } . במקרה הלא תמידי ליניארזציה של משוואת הפוטנציאל נותנת: − 1 a 2 [ 2 V ∞ ∂ 2 φ ∂ x ∂ t + ∂ 2 φ ∂ t 2 ] + ( 1 − M ∞ 2 ) ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 = 0 {\displaystyle -{\frac {1}{a^{2}}}\left[2V_{\infty }{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}\right]+\left(1-M_{\infty }^{2}\right){\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial z^{2}}}=0} כאשר V ∞ a ∞ = M ∞ {\displaystyle {\frac {V_{\infty }}{a_{\infty }}}=M_{\infty }} הוא מספר המאך של הזרימה המציפה. ערכים מורחבים – קול, אקוסטיקה, משוואת הגלים ניתן לקרב גלי קול בעלי אמפליטודה נמוכה על ידי מודל זרימה פוטנציאלית בצורה הבאה: ∂ 2 φ ∂ t 2 = a ¯ 2 ∇ 2 φ {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}={\bar {a}}^{2}\nabla ^{2}\varphi } שהיא משוואת גלים ליניארית לגבי פוטנציאל המהירות φ {\displaystyle \varphi } , כאשר a ¯ {\displaystyle {\bar {a}}} היא מהירות הקול הממוצעת בתווך הומוגני. החלק האוסצילטורי של וקטור המהירות V {\displaystyle V} קשור לפוטנציאל המהירות על ידי V = ∇ φ {\displaystyle V=\nabla \varphi } . בקירוב זה גם החלקים האוסצילטורים של הלחץ P {\displaystyle P} והצפיפות ρ {\displaystyle \rho } מקיימים באופן עצמאי את משוואת הגלים. זרימה פוטנציאלית לא כוללת בתוכה את כל המאפיינים שזרימות שונות כוללות בתוכן בעולם האמיתי. למשל, זרימה פוטנציאלית לא כוללת בתוכה טורבולנציה, שהיא צורה שכיחה של זרימה בטבע.בנוסף, זרימה פוטנציאלית לא יכולה לתאר זרימות פנימיות צמיגות. מזרימה פוטנציאלית גם מתקבלות כמה תחזיות שלא תואמות את המציאות, כמו פרדוקס ד'אלמבר, שאומר שכח הגרר שפועל על גוף נח בשדה זרימה אינסופי הוא אפס. (פרדוקס זה ייושב על ידי הצגת הרעיון של שכבות גבול). או אם נדייק, זרימה פוטנציאלית לא לוקחת בחשבון התנהגות של זרימות שכוללות בתוכן שכבות גבול. למרות זאת, הבנה של זרימה פוטנציאלית חשובה בהרבה ענפים של מכניקת זורמים. במיוחד זרימות פוטנציאליות פשוטות (נקראות זרימות אלמנטריות) כמו, מערבול או מקור\בור אשר קיים עבורם פתרון אנליטי סגור. את הפתרונות הללו ניתן לשלב על ידי עקרון הסופרפוזיציה על מנת ליצור זרימות יותר מסובכות אשר מקיימות מגוון של תנאי שפה שונים (כמו למשל מידול של השפעת פיצוץ על קיר ועוד). בנוסף, זרימות אלו תואמות (אף על פי שלעיתים לא במדויק) זרימות בחיים האמיתיים בכל התחומים של מכניקת זורמים; בנוסף, ניתן לקבל תובנות רבות וחשובות כאשר מתחשבים בסטייה (שלפעמים יכולה להיות קטנה מאד) בין תצפיות של זרימה והזרימה הפוטנציאלית התואמת. ישנם יישומים רבים של זרימה פוטנציאלית למשל בעיצוב מטוסים. לדוגמה, בדינמיקת זורמים חישובית, טכניקה אחת היא לחבר פתרון של זרימה פוטנציאלית מחוץ לשכבת הגבול לפתרון לשדה הזרימה בתוך שכבת הגבול. התוצאה של היעדר שכבות גבול היא שניתן להחליף כל קו זרם בקו של חומר לכאורה ללא הפרעה לשדה הזרימה, וזאת מכיוון שהתאוריה הפוטנציאלית מזניחה את השפעות החיכוך (שנגרם עקב צמיגותו של הזורם) מה שמתברר כהנחה טובה לרוב שדה הזרימה חוץ מבתוך שכבת הגבול. ערך מורחב – זרימה פוטנציאלית דו-ממדית במקרה של זרימה פוטנציטלית דו־ממדית בלתי דחיסה, בנוסף לפונקציית הפוטנציאל קיימת פונקציית זרם סקלרית ψ {\displaystyle \psi } כך ש- u = ∇ × ( ψ k ^ ) {\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \times (\psi {\hat {\mathbf {k} }})} . קיומה של פונקציית הזרם מאפשרת להגדיר את הזרימה באמצעות העתקה קונפורמית לפונקציה מרוכבת הולומורפית או מרומורפית. נגדיר את ההעתקה הממפה את המישור הפיזיקלי ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} אל מישור ההעתקה ( φ , ψ ) {\displaystyle (\varphi ,\psi )} באמצעות פונקציה מרוכבת f {\displaystyle f} (פונקציה זאת נקראת פונקציית הפוטנציאל המרוכבת) הממפה את הגדלים המרוכבים: z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} w = φ + i ψ {\displaystyle w=\varphi +i\psi } לפי: f ( z ) = w ⟺ f ( x + i y ) = φ + i ψ {\displaystyle f(z)=w\iff f(x+iy)=\varphi +i\psi } שדה המהירויות נתון על ידי: d f ¯ d z = u + i y {\displaystyle {\frac {d{\bar {f}}}{dz}}=u+iy} Batchelor, G.K. (1973), An intorduction to fluid dynamics, Cambridge Universiry Press, ISBN 0-521-09817-3 Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows, CRC Press, Taylor&Francis Group, Leiden, The Nethterlands, 478 pages, ISBN 0-486-68970-0 Lamb, H. (1994)[1932], Hydrodynamics (6th ed.), Cambdridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9 Milne - Thomson, L.M. (1996) [1968], Theoretical hydrodynamics (5th ed.), Dover, ISBN 0-486-68970-0 מכניקת הזורמים העתקה קונפורמית פונקציה הרמונית זרימה פוטנציאלית דו-ממדית Aerodynamic potential-flow code Darwin drift Flownet Stream function Chanson, H. "Le potentiel de vitesse pour les ecoulements de fluides reels: la contribution de Joseph-Louis Lagrange", La Houille Blanche (5): 127-131,doi: [http://www.shf-lhb.org/articles/lhb/abs/2007/05/lhb2007072/lhb2007072.html 10.1051/lhb:2007072 (French). Wehausen, J.V.; Laitone, E.V. (1960), "Surface waves", in Flugge, S. ; Truesdell, C., Encyclopedia of Physics, IX, Springer Verlag, pp. 446-778 מדיה וקבצים בנושא זרימה פוטנציאלית בוויקישיתוף "Irrotational flow of an inviscid fluid" University of Genoa, Faculty of Engineering. Retrieved 2009-03-29 "Conformal Maps Gallery". 3D-XplorMath. Retrieved 2009-03-29 - Java applets for exploring conformal maps. Batchelor (1973) pp. 99–101. יש שמגדירים את הפוטנציאל כך שמתקיים v = − ∇ φ {\displaystyle v=-\nabla \varphi } , אבל מלבד זאת שאר החישובים כמעט זהים. Batchelor (1973) pp. 378–380. Kirby, B.J. (2010), Micro - and Nanoscale Fluid Mechanics: Transport in Microfluidic Devices Cambbridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0 Anderson, J.D. (2002), Modern compressible flow, McGraw-Hill, ISBN 0-07-242443-5, pp. 358–359. Lamb(1994)§287,pp. 492-495.