חוג (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, חוג הוא מבנה אלגברי בעל שתי פעולות בינאריות, המקיימות מספר אקסיומות (שיפורטו להלן), המכלילות כמה תכונות בסיסיות של חוג המספרים השלמים ושל חוג המטריצות מעל שדה. תורת החוגים, העוסקת במבנה של חוגים שונים, היא מן התחומים המרכזיים באלגברה. חוג הוא מבנה הכולל קבוצה R {\displaystyle R} עם שתי פעולות בינאריות המסומנות " + {\displaystyle +} " ו-" ⋅ {\displaystyle \cdot } ", המקיימות מספר אקסיומות: R {\displaystyle R} היא חבורה אבלית ביחס לחיבור, כלומר: החיבור אסוציאטיבי וקומוטטיבי (חילופי), יש איבר אפס, ולכל איבר יש נגדי; R {\displaystyle R} הוא מונואיד ביחס לכפל, כלומר: הכפל אסוציאטיבי ויש לו איבר יחידה; הכפל דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור (כלומר x ⋅ ( y + z ) = x ⋅ y + x ⋅ z {\displaystyle x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z} וכן ( x + y ) ⋅ z = x ⋅ z + y ⋅ z {\displaystyle (x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z} ). אם פעולת הכפל גם היא חילופית (קומוטטיבית), החוג נקרא "חוג חילופי" (או: "קומוטטיבי"). לדוגמה, חוג המספרים השלמים חילופי, אך חוג המטריצות אינו חילופי. מבנה אלגברי שבו מתקיימות כל האקסיומות, פרט לקיומו של איבר יחידה, נקרא "חוג בלי יחידה". לעיתים משתמשים בטרמינולוגיה הפוכה, וחוג מציין מבנה המקיים את האקסיומות לעיל ללא איבר היחידה. באנגלית מקובל גם הסימון rng לציון חוג-בלי-יחידה (לעומת ring לציון חוג). ייתכן שבחוג-בלי-יחידה תהיה "יחידה-משמאל" (איבר e {\displaystyle e} המקיים e x = x {\displaystyle ex=x} לכל x {\displaystyle x} ), ואף יחידות-משמאל רבות; או יחידה-מימין, ואף יחידות-מימין רבות; אבל אם יש גם יחידה-מימין וגם יחידה-משמאל, אז יש לחוג איבר יחידה אחד ויחיד. חוג האפס, הכולל רק איבר אחד, הוא חוג בלי יחידה. הגדרה אקסיומטית ראשונה של חוג ניתנה בשנת 1914 על ידי אברהם הלוי פרנקל, בהשפעת הגישה האקסיומטית של שטייניץ לשדות, האסכולה האמריקאית של א.ה. מור, ובעיקר עבודתו תחת קורט הנזל על שדה המספרים ה-p-אדיים. האקסיומות של פרנקל תארו מה שמוכר היום כחוג עם יחידה, שבו כל איבר רגולרי הוא הפיך ("חוג קלאסי"), וכך שלכל שני איברים a , b {\displaystyle a,b} יש איברים רגולריים u , v {\displaystyle u,v} כך ש- a b = b a u = v b a {\displaystyle ab=bau=vba} . ב-1921 פרסמה אמי נתר מאמר פורץ דרך, ובו נתנה את ההגדרה המקובלת כיום לחוג חילופי. אחד ההבדלים בין פרנקל לנתר הוא בשאלה האם נדרש איבר יחידה לכפל. פרנקל דרש זאת, ואילו נתר לא דרשה זאת. עד לשנות ה־60 של המאה ה־20 הייתה מקובלת במרבית ספרי האלגברה גישתה של נתר, אך החל ממועד זה הלכו והתרבו הספרים, בפרט ספרים מתקדמים מאת מחברים נודעים כאמיל ארטין, מייקל עטיה ואיאן מקדונלד, ניקולא בורבאקי וסרז' לאנג, שקיבלו את גישתו של פרנקל. עם זאת, עדיין נפוצים ספרים המתבססים על גישתה של נתר. פונקציה f : A → B {\displaystyle f:A\to B} מחוג לחוג היא "הומומורפיזם של חוגים", אם היא שומרת על החיבור והכפל ועל איבר היחידה. הגרעין של הומומורפיזם הוא אידיאל של החוג A {\displaystyle A} , ו"משפט האיזומורפיזם הראשון" קושר את החוגים שהומומורפיזם מגדיר באופן טבעי: A / ker ⁡ ( f ) ≅ Im ( f ) {\displaystyle A/\ker(f)\cong {\text{Im}}(f)} . תת קבוצה של חוג S ⊂ R {\displaystyle S\subset R} שהיא חוג בפני עצמה, ביחס לאותן פעולות וקבועים, נקראת "תת-חוג". למשל, חוג המספרים השלמים הוא תת-חוג של שדה המספרים הרציונליים (המהווה שדה שברים שלו). אפשר להגדיר גם תת-חוג-בלי-יחידה, שממנו אין דורשים להכיל איבר יחידה. לדוגמה, אוסף המספרים הזוגיים הוא תת-חוג-בלי-יחידה של חוג המספרים השלמים. לדוגמה, המרכז של חוג, הכולל על-פי ההגדרה את כל האיברים c ∈ R {\displaystyle c\in R} המקיימים c ⋅ r = r ⋅ c {\displaystyle c\cdot r=r\cdot c} לכל r ∈ R {\displaystyle r\in R} , הוא תת-חוג קומוטטיבי של החוג (אם כי יכולים להיות לחוג תת-חוגים קומוטטיביים גדולים יותר). תורת החוגים עשירה בדרכים לבנות חוגים חדשים. בין הפשוטות והמוכרות ביותר: המכפלה של שני חוגים R , S {\displaystyle R,S} , היא מכפלה הקרטזית R × S {\displaystyle R\times S} עם הפעולות על הרכיבים. משפט השאריות הסיני קובע כי המנה של חוג נתון מעל מכפלת אידיאלים קו-מקסימליים שלו איזומורפית למכפלת המנות. ביתר כלליות, ניתן להגדיר מכפלה של כל משפחת חוגים { R i } i ∈ I {\displaystyle \{R_{i}\}_{i\in I}} כקבוצה ∏ i ∈ I R i {\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}} עם פעולות רכיב רכיב. מהמכפלה ניתן להגדיר הטלות p i {\displaystyle p_{i}} לכל אחד מהחוגים המשתתפים בה, אך אי אפשר לשכן אותם באופן טבעי במכפלה – ההעתקה המעבירה איבר לקואורדינטה המתאימה לו איננה הומומורפיזם, שכן איננה שומרת יחידה. המכפלה מקיימת את התכונה האוניברסלית הבאה: אם S {\displaystyle S} חוג כלשהו, ונתונות העתקות { f i : R i → S } {\displaystyle \{f_{i}:R_{i}\to S\}} , אז קיים ויחיד הומומורפיזם f : ∏ i ∈ I R i → S {\displaystyle f:\prod _{i\in I}R_{i}\to S} המקיים p i ∘ f = f i {\displaystyle p_{i}\circ f=f_{i}} . כלומר, כל הומומורפיזם מכל החוגים "עובר דרך" המכפלה. במקרה של מכפלה סופית, יש התאמה מוחלטת בין האידיאלים של החוגים לאידיאלים של המכפלה - כל אידיאל של המכפלה הוא בהכרח מהצורה I 1 × ⋯ × I t {\displaystyle I_{1}\times \cdots \times I_{t}} , כאשר I i {\displaystyle I_{i}} אידיאל של R i {\displaystyle R_{i}} . במקרה האינסופי אין זה נכון (יש עוד אידיאלים). יש גם התאמה בין הספקטרום של המכפלה הסופית לספקטרום של החוגים - אידיאל במכפלה הוא ראשוני אם ורק אם הוא מהצורה R 1 × ⋯ × R j − 1 × I j × R j + 1 × ⋯ × R t {\displaystyle R_{1}\times \cdots \times R_{j-1}\times I_{j}\times R_{j+1}\times \cdots \times R_{t}} , כאשר I j {\displaystyle I_{j}} אידיאל ראשוני של I j {\displaystyle I_{j}} . ערך מורחב – חוג פולינומים לכל חוג R {\displaystyle R} , אוסף הפולינומים במשתנה בלתי תלוי x {\displaystyle x} עם מקדמים מ- R {\displaystyle R} הוא חוג, ביחס לפעולות החיבור והכפל של פולינומים, המסומן R [ x ] {\displaystyle R[x]} . הוא מכיל את R {\displaystyle R} כתת-חוג. את הבניה הזו אפשר להכליל למספר כלשהו של משתנים- לאו דווקא סופי או בן-מניה, אך הפולינומים סופיים. אם F {\displaystyle F} הוא שדה, אז F [ x ] {\displaystyle F[x]} הוא חוג אוקלידי ותחום ראשי, וגם ההפך נכון. ערך מורחב – חוג מנה בהינתן חוג R {\displaystyle R} ואידיאל (שמאלי) I {\displaystyle I} , למנה R / I {\displaystyle R/I} יש מבנה של חוג. בדרך זו אפשר לבנות חוגים רבים נוספים. לדוגמה, כל חוג קומוטטיבי הוא מנה של חוג פולינומים במספר (אולי אינסופי) משתנים מעל חוג השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . חוגי מנה הם הבסיס בדרך להבנת משפטי האיזומורפיזם של חוגים, ויש להם תפקיד בסיסי ומרכזי בתאוריה. ערך מורחב – חוג מטריצות חוג מטריצות M n ( R ) {\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)} מורכב מן המטריצות מסדר n {\displaystyle n} שרכיביהן שייכים ל- R {\displaystyle R} , יחד עם פעולות החיבור רכיב-רכיב וכפל המטריצות, המושרות מפעולות החוג. גם כאן, אפשר לזהות את R {\displaystyle R} עם תת-החוג הכולל את המטריצות הסקלריות. החוג הזה לעולם אינו קומוטטיבי (אלא אם n = 1 {\displaystyle n=1} ), איננו חוג עם חילוק ואף בעל נילפוטנטים. יש התאמה מלאה בין האידיאלים של R {\displaystyle R} לאידיאלים של חוג המטריצות מעליו, ולכן, כאשר R {\displaystyle R} חוג פשוט, גם החוג M n ( R ) {\displaystyle {\text{M}}_{n}(R)} פשוט. אם D {\displaystyle D} הוא חוג עם חילוק, אז חוג מטריצות מעליו הוא ארטיני ופשוט. ההפך נכון לפי משפט ודרברן-ארטין. כל שדה הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה. חוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } הוא חוג קומוטטיבי. זהו תחום שלמות אוקלידי. חוג השלמים הוא חוג קומוטטיבי בסיסי ביותר, המהווה דוגמה ומוטיבציה להגדרות רבות בתורת החוגים, כמו בתורת המספרים האלגברית. חוג השלמים של גאוס מהווה אף הוא חוג קומוטטיבי עם יחידה. אוסף הפונקציות הממשיות, עם חיבור וכפל של פונקציות, מהווה חוג חילופי. איבר בו הוא הפיך אם ורק אם איננו מתאפס (כפונקציה). אוסף הפונקציות הממשיות הרציפות גם הוא חוג, המהווה תת-חוג של אוסף הפונקציות. אלגברת הקווטרניונים של המילטון היא הדוגמה הבסיסית ביותר לחוג עם חילוק (שאיננו קומוטטיבי). באופן כללי, כל אלגברה עם חילוק מממד 4 מעל שדה כלשהו היא אלגברת קווטרניונים. תורת המבנה של החוגים האסוציאטיביים התפתחה באינטנסיביות במהלך המאה ה-20, עם קפיצות מדרגה בשנות ה-30 (פיתוח תורת הרדיקלים) ושנות ה-60 (משפטי גולדי). כיום מזוהים בספרות המקצועית מאות משפחות של חוגים, שביניהן אפשר למנות: חוגים ארטיניים, נתריים, ראשוניים, פרימיטיביים ופשוטים, תחומי שלמות, ועוד רבים אחרים. מודול הרחבת חוג חוג, באתר MathWorld (באנגלית) Leo Corry, "The Origins of the Definition of Abstract Rings", Gazette des Mathématiciens, 83 (Janvier 2000), 28-47. (Reprint: Modern Logic, 8 (1-2), 1998-2000: 5-27.) topic/ring-with-unity חוג, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) חוגים (אלגברה), דף שער בספרייה הלאומית Fraenkel, A. (1914). "Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen". J. reine angew. Math. 145: 139–176. ליאו קורי, The Origins of the definition of abstract rings Noether, Emmy (1921). "Idealtheorie in Ringbereichen". Math. Annalen 83: 24–66.