אופני תנודה עצמיים

אופני תנודה עצמיים (מלשון אֹפֶן ולא אוֹפַן, באנגלית: Normal Modes) במערכת מתנודדת (בדרך כלל אוסף של מתנדים (אוסצילטורים) הרמוניים מצומדים) הם מצבים מיוחדים בהם כל רכיבי המערכת מתנודדים באותה תדירות (הנקראת "תדירות עצמית" או "תדירות מותרת"). כל צורה אחרת של תנודות במערכת מתקבלת על ידי סופרפוזיציה של אופני תנודה, כלומר, אופני תנודה עצמיים מהווים בסיס לתנועות מורכבות יותר של המערכת. למושג אופן תנודה חשיבות רבה בתחומים שונים בפיזיקה, דוגמת תורת הגלים, אופטיקה ומכניקת הקוונטים, וכן בתחומי הנדסה, דוגמת הנדסת חשמל. מציאת אופני תנודה מנצלת את כוחה של האלגברה הליניארית המיושמת לגבי מערכת ליניארית של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. את המערכת אפשר לייצג בצורת וקטורים ומטריצה ואז ללכסן אותה, כלומר: לחפש את הווקטורים העצמיים שלה. וקטורים עצמיים אלה הם אופני התנודה של המערכת, והתדירויות העצמיות הן הערכים העצמיים המתאימים. נניח שני גופים, כל אחד בעל מסה M, מחוברים זה לזה באמצעות קפיץ בעל קבוע-קפיץ K. חיבורים מתואר באיור הבא: כאשר נקודות הקצה מקובעות ואינן יכולות לזוז. אנו נציין ב -   x 1 ( t ) {\displaystyle \ x_{1}(t)} את ההעתק של המסה השמאלית ממצב שיווי המשקל, וב   x 2 ( t ) {\displaystyle \ x_{2}(t)} נציין את ההעתק של המסה הימנית. אם נציין את הנגזרת השנייה של ההעתק   x ( t ) {\displaystyle \ x(t)} לפי הזמן בסימון   x ¨ {\displaystyle \ {\ddot {x}}} אזי משוואות התנועה הן:   M x ¨ 1 = − K ( x 1 ) + K ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle \ M{\ddot {x}}_{1}=-K(x_{1})+K(x_{2}-x_{1})}   M x ¨ 2 = − K ( x 2 ) − K ( x 2 − x 1 ) {\displaystyle \ M{\ddot {x}}_{2}=-K(x_{2})-K(x_{2}-x_{1})} מאחר שאנו מצפים לפתרון מתנודד ננחש פתרון שהוא אופן תנודה ובו שתי המסות מתנודדות באותה תדירות:   x 1 ( t ) = A 1 e i ω t {\displaystyle \ x_{1}(t)=A_{1}e^{i\omega t}}   x 2 ( t ) = A 2 e i ω t {\displaystyle \ x_{2}(t)=A_{2}e^{i\omega t}} בהצבתן במשוואות נקבל:   − ω 2 M A 1 e i ω t = − 2 K A 1 e i ω t + K A 2 e i ω t {\displaystyle \ -\omega ^{2}MA_{1}e^{i\omega t}=-2KA_{1}e^{i\omega t}+KA_{2}e^{i\omega t}}   − ω 2 M A 2 e i ω t = K A 1 e i ω t − 2 K A 2 e i ω t {\displaystyle \ -\omega ^{2}MA_{2}e^{i\omega t}=KA_{1}e^{i\omega t}-2KA_{2}e^{i\omega t}} מאחר שאיבר האקספוננט (ה"פאזה" של המערכת) שונה מאפס ומשותף לכולם, נצמצם בו. נפשט את המשוואות ונקבל:   ( ω 2 M − 2 K ) A 1 + K A 2 = 0 {\displaystyle \ (\omega ^{2}M-2K)A_{1}+KA_{2}=0}   K A 1 + ( ω 2 M − 2 K ) A 2 = 0 {\displaystyle \ KA_{1}+(\omega ^{2}M-2K)A_{2}=0} ובייצוג מטריצי: [ ω 2 M − 2 K K K ω 2 M − 2 K ] ( A 1 A 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}M-2K&K\\K&\omega ^{2}M-2K\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0} כדי שיהיה קיים למערכת זו פתרון לא-טריוויאלי (במשתנים A1 ו-A2), על הדטרמיננטה להתאפס. כלומר:   ( ω 2 M − 2 K ) 2 − K 2 = 0 {\displaystyle \ (\omega ^{2}M-2K)^{2}-K^{2}=0} נפתור עבור ω {\displaystyle \omega } , ונקבל: ω 1 = K M {\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {\frac {K}{M}}}} ω 2 = 3 K M {\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {\frac {3K}{M}}}} אלו הן התדירויות העצמיות, כעת נחפש את הווקטורים העצמיים המתאימים. אם נציב ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} במטריצה ונפתור עבור ( A 1 , A 2 {\displaystyle A_{1},A_{2}} ), נקבל את הווקטור (1, 1). אם נציב ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} , נקבל את הווקטור (1, 1-). אופן התנודה הראשון הוא ξ 1 ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ) = c 1 ( 1 1 ) cos ⁡ ( ω 1 t + ϕ 1 ) {\displaystyle \xi _{1}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\phi _{1})}} אופן התנודה השני הוא ξ 2 ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ) = c 2 ( 1 − 1 ) cos ⁡ ( ω 2 t + ϕ 2 ) {\displaystyle \xi _{2}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\phi _{2})}} הפתרון הכללי הוא סופרפוזיציה של אופני התנודה כאשר c1, c2, φ1, ו φ2, נקבעים על ידי תנאי ההתחלה של הבעיה (במקרה שלנו, ההעתק והמהירות ההתחלתית של כל מסה). התהליך שהודגם כאן גם ניתן להכללה, לניסוח ולביצוע גם בפורמליזם הלגראנז'י וההמילטוני (כלומר: מכניקה אנליטית עם לגראנז'יאן או המילטוניאן). ערך מורחב – גל עומד גל עומד הוא צורה רציפה של אופן תנודה. בגל עומד כל האלמנטים המרחביים (מיוצגים על ידי הקואורדינטות x,y,z) מתנודדים באותה תדירות ובאותה פאזה (מגיעים ביחד לנקודת שיווי המשקל), אך לכל אלמנט מרחבי אמפליטודה משלו. המשוואה הכללית המתארת גל עומד היא   Ψ ( t , r → ) = f ( x , y , z ) ( A cos ⁡ ( ω t ) + B sin ⁡ ( ω t ) ) {\displaystyle \ \Psi (t,{\vec {r}})=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))} כאשר   f ( x , y , z ) {\displaystyle \ f(x,y,z)} מייצגת את "גל המעטפת", התלות של האמפליטודה במיקום במרחב, ואילו רכיבי הסינוס והקוסינוס מייצגים את התנודות בזמן. מבחינה פיזיקלית, גלים עומדים נוצרים על ידי התאבכות: סופרפוזיציה של גלים (נוסעים) וההחזרות שלהם. חשוב לציין שאפשר לתאר זו גם להפך: גל נוסע הוא סופרפוזיציה של גלים עומדים. הצורה הגאומטרית של התווך בו מתרחשים התנודות קובעת את תבנית ההתאבכות, כלומר את צורת גל המעטפת   f ( x , y , z ) {\displaystyle \ f(x,y,z)} . פתרון רציף כזה נקרא אופן תנודה. בדרך כלל, בבעיות עם תלות רציפה בקואורדינטות x,y,z אין מספר סופי של אופני תנודה, אלא יש מספר אינסופי של אופני תנודה אפשריים. אם הבעיה חסומה (כלומר: מוגדרת על קטע סופי וקומפקטי של המרחב) אז יש מספר בן מנייה (אינסוף בדיד) של אופני תנודה (בדרך כלל מסדרים אותה בסדרה לפי הערכים העצמיים). אם הבעיה איננה חסומה יש ספקטרום רציף של אינסוף אופני תנודה. התדירויות המותרות תלויות באופני התנודה, וכן בקבועים הפיזיקליים של הבעיה (צפיפות התווך, מתיחות התווך, לחץ וכדומה) שקובעות את מהירות הפאזה של הגל. אוסף כל התדירויות המותרות נקרא ספקטרום התדירות של הבעיה. בדרך כלל, כל תדירות מדוגמת באמפליטודה (של אופן התנודה המתאים) או באנרגיה שהיא נושאת, ואז נוצר גרף של ספקטרום אנרגיה של התנודות. במוזיקה, אופני תנודה של כלים רוטטים (כלי מיתר, חלילים וכלי נשיפה, תופים ועוד) נקראות הרמוניות או צלילים עיליים. ערכים מורחבים – מכניקה קוונטית, משוואת שרדינגר במכניקת הקוונטים, מצב של מערכת מתואר על ידי פונקציית גל   | ψ ⟩ {\displaystyle \ |\psi \rangle } של (x, t) שפותרת את משוואת שרדינגר. הריבוע של הערך המוחלט של המשרעת   | ψ ⟩ {\displaystyle \ |\psi \rangle } , כלומר   P ( x , t ) = | ψ ( x , t ) | 2 {\displaystyle \ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}} היא צפיפות ההסתברות למצוא את החלקיק במקום x בזמן t. בדרך כלל, כאשר יש פוטנציאל בבעיה, פונקציית הגל מפורקת לסופרפוזיציה של מצבים עצמיים של ההמילטוניאן (מצבים עצמיים של האנרגיה), שכל אחד מהם "מתנודד" בתדירות ω = E n / ℏ {\displaystyle \omega =E_{n}/\hbar } . לכן, אפשר לכתוב | ψ ( t ) ⟩ = ∑ n | n ⟩ ⟨ n | ψ ( t = 0 ) ⟩ e − i E n t / ℏ {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }} כאן, למצב העצמי יש משמעות פיזיקלית נוספת. כאשר האנרגיה של המערכת נמדדת, פונקציית הגל קורסת לאחד המצבים העצמיים ונשארת שם. כלומר, אחרי המדידה: פונקציית הגל מתוארת על ידי מצב עצמי טהור שמתאים לאנרגיה שנמדדה. יישומים בפיזיקה גלים אופטיקה אוסצילטור הרמוני מכניקה קוונטית הרמוניה (מוזיקה) תהודה כלים מתמטיים: אלגברה ליניארית ערך עצמי משוואות דיפרנציאליות תורת שטורם-ליוביל התמרת פורייה בעיית תנאי שפה מדיה וקבצים בנושא אופני תנודה עצמיים בוויקישיתוף סימולציית ג'אווה של מתנדים מצומדים. סיכום על מציאת אופני תנודה של אוסצילטורים הרמוניים מצומדים סימולציית ג'אווה של אופני תנודה של מיתר מיתר, תוף, וקורה.