ייצוג של חבורה

בתורת החבורות, ייצוג חבורה על ידי יוצרים ויחסים היא דרך הגדרה או אפיון של חבורה. בשיטה זו ישנה קבוצת יוצרים, המקיימים יחסים מסוימים. למשל, חבורה ציקלית סופית מסדר n {\displaystyle n} ניתן לייצג על ידי ⟨ a ∣ a n = 1 ⟩ {\displaystyle \langle a\mid {a}^{n}=1\rangle } . חבורה חופשית מעל קבוצה S {\displaystyle S} מוגדרת כקבוצת כל המילים (הסופיות) מחזקות של איברי S {\displaystyle S} , והפעולה היא שרשור. נסמנה F S {\displaystyle {F}_{S}} . התכונה המיוחדת של חבורה חופשית הוא שאיבריה לא מקיימים אף יחס לא טריוויאלי ביניהם, ומכאן שמה. בהינתן קבוצה כלשהי של מילים R {\displaystyle R} באיברי S {\displaystyle S} , מגדירים את החבורה הנוצרת על ידי S {\displaystyle S} עם היחסים R {\displaystyle R} בתור חבורת המנה של F S {\displaystyle {F}_{S}} עם הסגור המוצמד (אנ') שלו, שהוא תת-החבורה הנורמלית הקטנה ביותר שמכילה את R {\displaystyle R} . את הייצוג מסמנים ב- ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle \langle S\mid R\rangle } . את איברי S {\displaystyle S} נהוג לכנות יוצרי החבורה, ואילו איברי R {\displaystyle R} הם יחסי החבורה. אם לחבורה G {\displaystyle G} יש ייצוג מהצורה ⟨ S ∣ R ⟩ {\displaystyle \langle S\mid R\rangle } שבו הקבוצה S {\displaystyle S} סופית, אומרים כי G {\displaystyle G} נוצרת סופית. אם קיים ייצוג שבו S , R {\displaystyle S,R} שתיהן סופיות, נאמר כי G {\displaystyle G} מוצגת סופית. לעיתים, במקום לסמן את היחס בתור מילה w {\displaystyle w} , כותבים w = 1 {\displaystyle w=1} . כך למשל, החבורה הציקלית הסופית מקבלת את הייצוג ⟨ a ∣ a n = 1 ⟩ {\displaystyle \langle a\mid {a}^{n}=1\rangle } . ראשית, לכל חבורה יש ייצוג על ידי יוצרים ויחסים: כדי להוכיח זאת, נביט באפימורפיזם הטבעי מ F G → G {\displaystyle {F}_{G}\rightarrow G} , השולח כל יוצר של החבורה החופשית לעצמו. הגרעין K {\displaystyle K} של העתקה זו הוא ודאי קבוצה נורמלית, והיא בדיוק הקבוצה שמייצגת את היחסים של החבורה G {\displaystyle G} . אם כן, הייצוג של החבורה הוא ⟨ G ∣ K ⟩ {\displaystyle \langle G\mid K\rangle } . יש להדגיש כי ההוכחה שהוצגה לעיל איננה בעלת אופי יישומי, משום שבייצוג שהוגדר ישנו שימוש בכל איברי החבורה ובכמות גדולה של יחסים (לרוב אינסופי); מציאת ייצוג נוח עלולה להיות משימה קשה. לכל חבורה סופית יש ייצוג סופי, משום שאפשר לקחת את איברי החבורה G {\displaystyle G} כיוצרים, ואת קבוצת היחסים להיות טבלת הכפל של החבורה. ייצוג של חבורה איננו יחיד - הבעיה של לזהות שני ייצוגים לאותה החבורה היא בעיה נפוצה בתחומים שונים במתמטיקה; בעיה זו איננה כריעה, ולעיתים מתגלה כמאוד קשה ומהותית. כאמור לעיל, חבורה חופשית מעל קבוצה S {\displaystyle S} היא בעלת קבוצת יחסים ריקה, וייצוגה הוא: ⟨ S ∣ ∅ ⟩ {\displaystyle \langle S\mid \emptyset \rangle } . החבורה הדיהדרלית מסדר n {\displaystyle n} היא בעלת הייצוג D n = ⟨ s , r ∣ r n , s 2 , s − 1 r s r ⟩ {\displaystyle {D}_{n}=\langle s,r\mid r^{n},s^{2},s^{-1}rsr\rangle } . אינטואיטיבית, r {\displaystyle r} הוא סיבוב ב- 2 π n {\displaystyle {\frac {2\pi }{n}}} רדיאנים נגד השעון ו- s {\displaystyle s} הוא שיקוף. לחבורה הסימטרית ישנם מספר ייצוגים שונים, אליהם ניתן להגיע מתפישות גאומטריות שונות של החבורה. להלן אחד הייצוגים הנפוצים שלה: S n = ⟨ σ 1 , … , σ n − 1 ∣ σ i 2 = 1 , σ i σ j = σ j σ i ( i ≠ j + 1 ) , σ i σ i + 1 σ i = σ i + 1 σ i σ i + 1 ⟩ {\displaystyle S_{n}=\langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}^{2}=1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\quad (i\neq j+1),\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}\rangle } לחבורת הצמות ישנו הייצוג הבא: B n = ⟨ σ 1 , . . . , σ n − 1 | σ i σ j = σ j σ i , | i − j | ≥ 2 σ i + 1 σ i σ i + 1 = σ i σ i + 1 σ i , 1 ≤ i ≤ n − 2 ⟩ {\displaystyle B_{n}=\left\langle \sigma _{1},...,\sigma _{n-1}\left|{\begin{matrix}\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i},\quad \quad \quad \quad \quad |i-j|\geq 2\\\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}=\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i},\quad 1\leq i\leq n-2\end{matrix}}\right.\right\rangle } . חבורת הקווטרניונים מיוצגת על ידי ⟨ i , j , k ∣ i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 ⟩ {\displaystyle \langle i,j,k\mid {i}^{2}={j}^{2}={k}^{2}=ijk=-1\rangle } . לחבורת הייזנברג ייצוג ⟨ x , y , z ∣ z = x y x − 1 y − 1 , x z = z x , y z = z y ⟩ {\displaystyle \langle x,y,z\mid z=xyx^{-1}y^{-1},xz=zx,yz=zy\rangle \,\!} . חבורה חופשית חבורה מוצגת סופית ייצוג של אלגברה ייצוג של חבורה, באתר MathWorld (באנגלית)