מספר קוונטי ספיני שניוני

במכניקת הקוונטים, מספר קוונטי ספיני שניוני (secondary spin quantum number) אשר מסומן ב- m s {\displaystyle m_{s}} , הוא הרביעי מתוך 4 מספרים קוונטיים אלקטרוניים המתארים אלקטרון באטום. מספר זה המכונה גם מספר קוונטי ספיני היטלי, מתאר את הספין (תנע זוויתי פנימי) של האלקטרון בתוך אורביטל אטומי ומבטא את היטלו לאורך ציר z {\displaystyle z} . ערך מורחב – ניסוי שטרן-גרלך בשנת 1922, ביצעו הפיזיקאים הגרמנים אוטו שטרן ווולטר גרלך ניסוי שהדגים את קווינטוט האוריינטציה המרחבית של התנע הזוויתי. בניסוי נודפו אטומי כסף על ידי חימום כסף בתנור, ולאחר מכן הם הוכוונו כאלומה דרך שדה מגנטי לא אחיד. בכניסה לשדה המגנטי האוריינטציה המרחבית של אטומי הכסף הייתה אקראית. ביציאה מהשדה המגנטי הוצבה כגלאי לוחית, ועליה הצטברו אטומי הכסף בהתאם למקום פגיעתם. מהרישום שהותירו החלקיקים בגלאי התברר כי התנע הזוויתי שלהם מתפלג סביב שני ערכים בלבד, ± ℏ 2 {\displaystyle \pm {\frac {\hbar }{2}}} במקום סביב רצף ערכים המתבקש על פי המכניקה הקלאסית. המסקנה מתוצאה זו היא שהתנע הזוויתי אינו רציף, ומקבל ערכים בדידים.  ב-1927 הפעילו פיפס וטיילור מערך ניסוי הדומה לזה של שטרן וגרלך, על אלומת אטומי מימן. גם בניסוי זה התפלג התנע הזוויתי סביב שני ערכים בדידים. מניסוי זה התברר כי מקור התנע הזוויתי ב-2 הניסויים (שטרן-גרלך ופיפס-טיילור) הוא אלקטרון ערכיות בודד ומכאן שלאלקטרון יש ספין (תנע זוויתי פנימי). ערך מורחב – עקרון האיסור של פאולי ב-1924 הציע הפיזיקאי האוסטרי, וולפגנג פאולי דרגה קוואנטית חדשה, כדי לפתור אי-עקביויות בין ספקטרומים מולקולריים נצפים לבין מכניקת הקוונטים המתפתחת. ב-1925 ניסח את עקרון האיסור שלו, ככל הנראה עבודתו החשובה ביותר, אשר קבעה ששני אלקטרונים לא יכולים להיות באותו מצב קוואנטי. רעיון הספין אשר פותח שנה לאחר מכן בידי ראלף קרוניג, ג'ורג' אולנבק וסמואל חאודסמיט זיהה אותה דרגת חופש כספין של האלקטרון. ב-1926, זמן קצר לאחר שהייזנברג פרסם את תאוריית המטריצה של מכניקת הקוונטים המודרנית, השתמש בה פאולי כדי להסיק את הספקטרום של אטום המימן, וכך עזר רבות לביסוס התאוריה. ב-1927 הוא הציג את מטריצות פאולי, כבסיס לאופרטורים של הספין, ובכך טווה את התאוריה הלא-יחסית של הספין. ערך מורחב – משוואת דיראק בשנת 1928 פיתח פול דיראק משוואת גל יחסותית, שחזתה את המומנט המגנטי של הספין בצורה נכונה, ובמקביל התייחסה לאלקטרון כאל חלקיק דמוי נקודה. פתרון משוואת דיראק (בניגוד למשוואת שרדינגר המקורית) עבור רמות האנרגיה של האלקטרון באטום המימן, כולל את כל 4 המספרים הקוונטיים האלקטרוניים ותואם את תוצאות הניסויים. כפתרון למשוואה דיפרנציאלית חלקית מסוימת, ניתן לבטא את התנע הזוויתי המקוונטט: ‖ S → ‖ = s ( s + 1 ) ℏ {\displaystyle \Vert {\vec {S}}\Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar } כאשר: ‖ s ‖ {\displaystyle \Vert \mathbf {s} \Vert } היא הנורמה של וקטור הספין S → {\displaystyle {\vec {S}}} , s {\displaystyle s} הוא המספר הקוונטי (הראשוני והעיקרי) של וקטור הספין S → {\displaystyle {\vec {S}}} , ℏ {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם. בהינתן כיוון שרירותי z {\displaystyle z} (בדרך כלל מוגדר על ידי שדה מגנטי חיצוני) היטל הספין על ציר z {\displaystyle z} הוא: S z = m s ℏ {\displaystyle S_{z}=m_{s}\hbar } כאשר m s {\displaystyle m_{s}} הוא המספר הקוונטי הספיני השניוני המשתנה בטווח { − s . . s } {\displaystyle \{-s..s\}} במרווחים שלמים: m s = − s , − s + 1 , − s + 2 , . . . , s − 2 , s − 1 , s {\displaystyle m_{s}=-s,-s+1,-s+2,...,s-2,s-1,s} ובסה"כ עבור כל ערך ספין, s {\displaystyle s} , קיימים 2 s + 1 {\displaystyle 2s+1} מצבים קוונטיים אשר כל אחד מהם מתואר על ידי מספר קוונטי ספיני שניוני, m s {\displaystyle m_{s}} שונה. ערך הספין, s {\displaystyle s} , הוא מספר חיובי שלם עבור בוזונים (כגון פוטון ומזון) וחצי שלם עבור פרמיונים (כגון: אלקטרון, פרוטון ונייטרון). לאלקטרון בודד יש מספר ספין s = 1 2 {\displaystyle s={\frac {1}{2}}} וכתוצאה מכך המספר הקוונטי הספיני השניוני שלו הוא m s = ± 1 2 {\displaystyle m_{s}=\pm {\frac {1}{2}}} שמשמעותו פיצול לרמות אנרגיה או למצבים עצמיים: ספין "מעלה" ("spin up") ( | ↑ ⟩ ) {\displaystyle \left(\left|\uparrow \right\rangle \right)} - מתאים לערך m s = + 1 2 {\displaystyle m_{s}=+{\frac {1}{2}}} ספין "מטה" ("spin down") ( | ↓ ⟩ ) {\displaystyle \left(\left|\downarrow \right\rangle \right)} - מתאים לערך m s = − 1 2 {\displaystyle m_{s}=-{\frac {1}{2}}} עקב עיקרון האיסור של פאולי, האלקטרונים המאכלסים אורביטל יחיד חייבים להיות במצבים קוונטים שונים זה מזה. לכן, כל אורביטל יכול להכיל רק 2 אלקטרונים (עם מצבים עצמיים שונים) לכל היותר. באנלוגיה לאופרטור התנע הזוויתי, L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} , ניתן לחשב את גודלו של אופרטור הספין, S ^ {\displaystyle {\hat {S}}} : ‖ S → ‖ = s ( s + 1 ) ℏ = ℏ 1 2 ( 1 2 + 1 ) = 3 2 ℏ {\displaystyle \Vert {\vec {S}}\Vert ={\sqrt {s\,(s+1)}}\,\hbar =\hbar {\sqrt {{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}+1\right)}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\hbar } וכן את גודלו של היטל אופרטור הספין על ציר z {\displaystyle z} : S z = m s ℏ = ± 1 2 ℏ {\displaystyle S_{z}=m_{s}\hbar =\pm {\frac {1}{2}}\hbar } תנע זוויתי מכניקת הקוונטים משוואת שרדינגר אטום המימן רמת אנרגיה אורביטל אטומי קונפיגורציה אלקטרונית Full treatment of Spin--including origins, evolution of Spin Theory, and details of the Spin equations Quantum Mechanics (2nd edition), Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur, E. Hecht, Schuam's Outlines, McGraw Hill (USA), 2010, ISBN 978-0-07-162358-2