לוגריתם

לוגריתם (Logarithm) הוא פונקציה הפוכה לפונקציה המעריכית. הפונקציה מסומנת באותיות log {\displaystyle \log } . פעולה זו מוצאת את המעריך בהינתן בסיס ותוצאה, כלומר היא עונה על השאלה: "באיזו חזקה יש להעלות את הבסיס b כדי לקבל את התוצאה a?". לוגריתם של a לפי בסיס b נכתב log b ⁡ a {\displaystyle \log _{b}a} . כאמור, הלוגריתם של x {\displaystyle x} בבסיס נתון   b {\displaystyle \ b} (הגדול מאפס ושונה מ-1 ובהתאם x חיובי), הוא החזקה שבה יש להעלות את   b {\displaystyle \ b} כדי לקבל את   x {\displaystyle \ x} . אם   b > 0 {\displaystyle \ b>0} וגם   b y = x {\displaystyle \ b^{y}=x} , נאמר ש־   y {\displaystyle \ y} הוא לוגריתם של   x {\displaystyle \ x} לפי בסיס   b {\displaystyle \ b} , ונכתוב זאת:   y = log b ⁡ x {\displaystyle \ y=\log _{b}x} . כך, הזהות הלוגריתמית היסודית היא:   b l o g b x = x {\displaystyle \ b^{log_{b}x}=x} . דוגמה:   log 10 ⁡ 100 = 2 {\displaystyle \ \log _{10}100=2} , משום ש-   100 = 10 2 {\displaystyle \ 100=10^{2}} . ובמילים: הלוגריתם של   100 {\displaystyle \ 100} לפי בסיס   10 {\displaystyle \ 10} הוא   2 {\displaystyle \ 2} , משום ש־   10 {\displaystyle \ 10} בחזקת   2 {\displaystyle \ 2} שווה ל־   100 {\displaystyle \ 100} . בסיס ברירת המחדל: שימוש בסימון   log {\displaystyle \ \log } ללא ציון הבסיס עלול לבלבל מעט, משום שמשמעותו משתנה לפי ההקשר: בטקסטים מתמטיים משמעותו   log e {\displaystyle \ \log _{e}} (הלוגריתם הטבעי, שבסיסו מספר אוילר). נהוג לכתוב פונקציה זו בקיצור   ln {\displaystyle \ \ln } . בטקסטים הנדסיים משמעותו   log 10 {\displaystyle \ \log _{10}} , לעיתים נכתב בקיצור   lg {\displaystyle \ {\mbox{lg}}} . בטקסטים שעוסקים במדעי המחשב משמעותו   log 2 {\displaystyle \ \log _{2}} , לעיתים נכתב בקיצור   lb {\displaystyle \ {\mbox{lb}}} . הלוגריתמים הוכנסו לשימוש בתחילת המאה ה-17 על ידי ג'ון נפייר בספריו. עד להחלפתם על ידי המחשב והמחשבון, בחצי השני של המאה ה-20, היו הלוגריתמים כלי עזר עיקרי לחישוב, באמצעות לוח לוגריתמים ובאמצעות סרגל חישוב. הרעיון הבסיסי מאחורי שני עזרי חישוב אלה הוא הכלל לפיו לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים של כל אחד מאיברי המכפלה. כלל זה מאפשר להחליף פעולת כפל, שהיא פעולה מורכבת יחסית, בפעולת החיבור הפשוטה יותר. בכלים אלה נעשה שימוש בלוגריתמים לפי בסיס   10 {\displaystyle \ 10} . החוקים המפורטים להלן נכונים לכל   a , b , c , d {\displaystyle \ a,b,c,d} ממשיים חיוביים, ובתנאי שבסיס הלוגריתמים שונה מ־1. ריצ'רד פיינמן המציא אלגוריתם המאפשר לחשב לוגריתמים בקלות יחסית באמצעות שימוש בתהליך שדומה מאוד לחילוק ארוך ובטבלת ערכים לוגריתמיים מוכנים, שהוא שימושי מאוד במכונות חישוב בינאריות. הרעיון של האלגוריתם מתבסס על העובדה שכל מספר ממשי בטווח בין 1 ל-2 ניתן לפירוק לגורמים מהצורה ( 1 + 2 − k ) {\displaystyle (1+2^{-k})} באופן יחיד. האלגוריתם בונה מכפלות P {\displaystyle P} באופן סדרתי: אם P ⋅ ( 1 + 2 − k ) < x {\displaystyle P\cdot (1+2^{-k})<x} , אז משנים את P ל- P ∗ = P ⋅ ( 1 + 2 − k ) {\displaystyle P^{*}=P\cdot (1+2^{-k})} . לאחר מכן בוחנים אם הגורם הבא בפיתוח של המספר הממשי לפירוק לגורמים הוא מהצורה ( 1 + 2 − ( k + 1 ) ) {\displaystyle (1+2^{-(k+1)})} . אם P ∗ ⋅ ( 1 + 2 − ( k + 1 ) ) < x {\displaystyle P^{*}\cdot (1+2^{-(k+1)})<x} אז גילינו עוד גורם בפירוק של x לגורמים. האלגוריתם מפסיק כאשר k גדול מספיק כדי להשיג את הדיוק הדרוש. כיוון ש- log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} הוא סכום של איברים מהצורה log ⁡ ( 1 + 2 − k ) {\displaystyle \log(1+2^{-k})} אשר הופיעו בפירוק לגורמים של x, אז log ⁡ ( x ) {\displaystyle \log(x)} ניתן לחישוב בעזרת חיבור פשוט, בעזרת טבלת ערכים של log ⁡ ( 1 + 2 − k ) {\displaystyle \log(1+2^{-k})} עבור כל ערכי k. הערה: האלגוריתם אינו תחליף לשיטות האנליטיות הרגילות (למשל טורים אינסופיים), שכן אינו מספק שיטה לחשב את הערכים הלוגריתמיים היסודיים, כך שלא ניתן "לדלג" על פיתוח טכניקות "עמוקות" יותר. הממוצע האריתמטי-גאומטרי מספק קירובים מהירים ועתירי דיוק ללוגריתם הטבעי. החוקרים Sasaki ו-Kanada הראו ב-1982 שקירובים המבוססים על הממוצע האריתמטי גאומטרי מהירים במיוחד עבור דיוק בין 400 ל-1000 ספרות עשרוניות, בעוד ששיטות המבוססות על טור טיילור הן מהירות יותר כאשר נדרש פחות דיוק. בעבודתם (ln(x מקורב לדיוק של 2 − p {\displaystyle 2^{-p}} בעזרת הנוסחה הבאה (הודות לקרל פרידריך גאוס): ln ⁡ ( x ) ≈ π 2 M ( 1 , 2 2 − m / x ) − m ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2)} כאשר m נבחר כך ש- x 2 m > 2 p / 2 {\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}\,} כדי להבטיח את הדיוק הדרוש. סקאלה לוגריתמית לוגריתם חוזר פונקציה מעריכית צחי אבנור, לוגריתם - הגדרות, תכונות והוכחות (קובץ PDF על שרת ויקיפדיה) גדי אלכסנדרוביץ', מה זה לוגריתמים ובשביל מה זה טוב?, באתר "לא מדויק", 8 ביוני 2020 How I Feel About Logarithms – סרטון הסבר של Vi Hart על לוגריתמים (באנגלית) לוגריתם, באתר MathWorld (באנגלית) לוגריתם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) לוגריתמים, דף שער בספרייה הלאומית