משפט הרשל-מקסוול

במתמטיקה, ובפרט בתורת ההסתברות, משפט הרשל-מקסוול הוא משפט הקובע כי משתנה מקרי רציף רב ממדי המקיים סימטריה לסיבוב ואי-תלות בין רכיביו הוא בהכרח משתנה מקרי המתפלג רב-נורמלית כאשר כל רכיביו בעלי אותה סטיית תקן. משפט זה, ביחד עם משפט הגבול המרכזי וחוק המספרים הגדולים, מציגים את ייחודה של ההתפלגות הנורמלית על-פני התפלגויות אחרות. מעבר לכך, המשפט מאפשר אינטואיציה גאומטרית להופעתו של פאי בפונקציית צפיפות ההסתברות של ההתפלגות הנורמלית. המשפט נוסח לראשונה במאמר של ג'ון הרשל משנת 1850, ונוסח שוב במאמר של ג'יימס קלרק מקסוול משנת 1860 כטענת עזר למאמר בנושא מערכות דינמיות של גז. בהינתן מרחב הסתברות ( Ω , F , μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )} , 2 ≤ n ∈ N {\displaystyle 2\leq n\in \mathbb {N} } ומשתנה מקרי רב ממדי X → = ( X 1 , X 2 , … , X n ) {\displaystyle {\vec {X}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})} המקיים את התנאים הבאים: כל המשתנים המקריים X i {\displaystyle X_{i}} רציפים. כל המשתנים המקריים X i {\displaystyle X_{i}} בלתי-תלויים זה בזה בזוגות. פונקציית צפיפות ההסתברות של X → {\displaystyle {\vec {X}}} סימטרית לסיבוב במרחב R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . אזי כל המשתנים המקריים X i {\displaystyle X_{i}} שווי התפלגות, ובפרט כולם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן. מכיוון שהמשתנים המקריים X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} רציפים, קיימות לשניהם פונקציות צפיפות הסתברות ρ i : R → R {\displaystyle \rho _{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ( i = 1 , 2 {\displaystyle i=1,2} ). עבור X → {\displaystyle {\vec {X}}} ניתן לסמן פונקציית צפיפות הסתברות כוללת ρ : R 2 → R {\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } . מכיוון ו- X 1 , X 2 {\displaystyle X_{1},X_{2}} בלתי-תלויים מתקיים ρ ( x , y ) = ρ 1 ( x ) ρ 2 ( y ) {\displaystyle \rho (x,y)=\rho _{1}(x)\rho _{2}(y)} . לכל ( x , y ) ∈ R 2 {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} קיימים r ≥ 0 {\displaystyle r\geq 0} ו- 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } כך ש- x = r cos ⁡ θ {\displaystyle x=r\cos \theta } ו- y = r sin ⁡ θ {\displaystyle y=r\sin \theta } . בגלל תנאי הסימטריה מתקיים כי: ρ 1 ( x ) ρ 2 ( y ) = ρ ( x , y ) = ρ ( r , 0 ) = ρ 1 ( r ) ρ 2 ( 0 ) = ρ 1 ( x 2 + y 2 ) ρ 2 ( 0 ) ( 1 ) {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\rho _{1}(x)\rho _{2}(y)=\rho (x,y)=\rho (r,0)=\rho _{1}(r)\rho _{2}(0)=\rho _{1}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)\rho _{2}(0)&(1)\end{array}}} בגלל תנאי הנרמול על פונקציית צפיפות ההסתברות בהכרח מתקיים כי ρ 2 ( 0 ) ≠ 0 {\displaystyle \rho _{2}(0)\neq 0} (אחרת האינטגרל של ρ {\displaystyle \rho } על כל R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} היה מתאפס). באופן דומה ניתן להוכיח כי ρ 1 ( 0 ) ≠ 0 {\displaystyle \rho _{1}(0)\neq 0} . מטעמי סימטריה סיבובית: ρ 1 ( x ) ρ 2 ( 0 ) = ρ ( x , 0 ) = ρ ( 0 , x ) = ρ 1 ( 0 ) ρ 2 ( x ) ⟹ ρ 1 ( x ) ρ 1 ( 0 ) = ρ 2 ( x ) ρ 2 ( 0 ) =: g ( x ) {\displaystyle \rho _{1}(x)\rho _{2}(0)=\rho (x,0)=\rho (0,x)=\rho _{1}(0)\rho _{2}(x)\implies {\frac {\rho _{1}(x)}{\rho _{1}(0)}}={\frac {\rho _{2}(x)}{\rho _{2}(0)}}=:g(x)} כאשר g : R → R {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } . על ידי חילוק משוואה (1) ב- ρ 1 ( 0 ) ρ 2 ( 0 ) {\displaystyle \rho _{1}(0)\rho _{2}(0)} מתקבל: g ( x ) g ( y ) = ρ 1 ( x ) ρ 2 ( y ) ρ 1 ( 0 ) ρ 2 ( 0 ) = ρ 1 ( x 2 + y 2 ) ρ 1 ( 0 ) = g ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle g(x)g(y)={\frac {\rho _{1}(x)\rho _{2}(y)}{\rho _{1}(0)\rho _{2}(0)}}={\frac {\rho _{1}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}{\rho _{1}(0)}}=g\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)} זוהי משוואה פונקציונלית שפתרונה הוא מהצורה g ( x ) = e − a x 2 {\displaystyle g(x)=e^{-ax^{2}}} עבור a > 0 {\displaystyle a>0} כלשהו. על ידי הצבה, נרמול פונקציות ההסתברות והחלפת משתנים, מתקבל כי: ρ 1 ( x ) = ρ 2 ( x ) = 1 σ 2 π e − x 2 2 σ 2 {\displaystyle \rho _{1}(x)=\rho _{2}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} זוהי פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית עם ממוצע 0 וסטיית תקן σ {\displaystyle \sigma } , כרצוי. מ.ש.ל. קיימת הוכחה נוספת למשפט המבוססת על חוק המספרים הגדולים. בגלל שהסמטריה מתקיימת לכל סיבוב שהוא, היא מתקיימת בפרט לכל סיבוב בתת-מרחב דו-ממדי של R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . כלומר, לכל זוג משתנים מקריים X i , X j {\displaystyle X_{i},X_{j}} מתקיים תנאי המשפט הדו-ממדי, ולכן שתיהן מתפלגות נורמלית עם ממוצע 0 ואותה סטיית תקן. הדבר נכון לכל זוג משתנים מקריים, ולכן נכון לכל המשתנים המקריים במשפט. התפלגות מקסוול-בולצמן התפלגות נורמלית משפט הגבול המרכזי חוק המספרים הגדולים Why π is in the normal distribution, סרטון בערוץ "3blue1brown", באתר יוטיוב, 2023-04-02 Herschel, J. F. W., Quetelet on probabilities, Edinburgh Rev., 1850, עמ' 92 Philosophical Magazine, Taylor & Francis., 1860. (באנגלית) Somabha Mukherjee, A Proof of the Herschel-Maxwell Theorem Using the Strong Law of Large Numbers, Pi Mu Epsilon Journal 14, 2017, עמ' 383–387