הלמה של אוריסון

הלמה של אוריסון היא תוצאה בסיסית בטופולוגיה קבוצתית, שהוכחה על ידי המתמטיקאי הרוסי-יהודי פאבל סמואילוביץ' אוריסון, ממייסדי הענף. הלמה, אותה הוכיח אוריסון בתחילת שנות העשרים של המאה העשרים, נחשבת לפעמים לתוצאה הלא טריוויאלית הראשונה בתחום. הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי, אפשר להפריד בין קבוצות סגורות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל שתי קבוצות סגורות וזרות A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} , קיימת פונקציה רציפה f {\displaystyle f} מן המרחב כולו לקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , כך ש- f ( A ) = 0 {\displaystyle f(A)=0} ו- f ( B ) = 1 {\displaystyle f(B)=1} . הלמה אינה מבטיחה הפרדה מדויקת בין הקבוצות - זוהי תכונה המאפיינת מרחבים נורמליים באופן מושלם, ואינה מתקיימת בכל מרחב נורמלי. כל מרחב מטרי, וגם כל מרחב האוסדורף קומפקטי הם מרחבים נורמליים, וכך הלמה זוכה לשימושים רבים בטופולוגיה. אחד השימושים החשובים שלה הוא ההכללה הקרויה משפט טיצה. כל מרחב T4 הוא מרחב רגולרי לחלוטין (ראו אקסיומות ההפרדה). משפט אוריסון: מרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא T4 ואפילו מטריזבילי. כלומר: קיימת מטריקה שמשרה עליו את הטופולוגיה הנתונה. בין A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} בונים באופן אינדוקטיבי מעין טבעות בצל מקוננות, כאשר הטבעת שהיא A {\displaystyle A} מתאימה לערך 0 והטבעת האחרונה, שמחוץ לה יש רק את B {\displaystyle B} , מתאימה לערך 1. עבור נקודה שלא ב- A {\displaystyle A} ולא ב- B {\displaystyle B} הערך ניתן באמצעות האינדקס המינימלי של הטבעת שעדיין מכילה אותו. יהיו A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} סגורות וזרות. תהי Q ∩ [ 0 , 1 ] = { r n } n = 1 ∞ {\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]=\{r_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מניה של המספרים הרציונליים בין 0 ל 1 (כולל). אנו נבנה סדרת קבוצות ("טבעות")   { V r } r ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ \{V_{r}\}_{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]}} שמקיימות:   V 0 = A   ,   V 1 = B c {\displaystyle \ V_{0}=A\ ,\ V_{1}=B^{c}} . לכל זוג רציונלים   V r ¯ ⊂ V q ⇐ r < q {\displaystyle \ {\overline {V_{r}}}\subset V_{q}\Leftarrow r<q} . האפשרות לבנות כזאת קבוצה נובעת מהנורמליות של המרחב, שכן לכל שתי קבוצות F {\displaystyle F} סגורה ו- G {\displaystyle G} פתוחה כך ש   F ⊂ G {\displaystyle \ F\subset G} קיימת קבוצה פתוחה V {\displaystyle V} כך ש   F ⊂ V ⊂ V ¯ ⊂ G {\displaystyle \ F\subset V\subset {\overline {V}}\subset G} (אנו אומרים שבמקרה זה אפשר להשחיל "טבעת" בין קבוצה סגורה לקבוצה פתוחה המכילה אותה). הוכחת הבנייה עצמה נעשית באינדוקציה. פונקציית אוריסון f {\displaystyle f} מוגדרת באופן הבא: לכל x ∈ A {\displaystyle x\in A} , f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} . לכל x ∈ V r {\displaystyle x\in V_{r}} , נגדיר f ( x ) = inf { r ∈ Q ∩ [ 0 , 1 ]   |   x ∈ V r } {\displaystyle f(x)=\inf {\left\{r\in \mathbb {Q} \cap [0,1]\ |\ x\in V_{r}\right\}}} . לכל x ∈ B {\displaystyle x\in B} ,   f ( x ) = 1 {\displaystyle \ f(x)=1} . מכאן ברור ש A ⊂ f − 1 ( 0 ) , B ⊂ f − 1 ( 1 ) {\displaystyle A\subset f^{-1}(0),B\subset f^{-1}(1)} , נותר להוכיח ש- f {\displaystyle f} אכן רציפה. תהי W {\displaystyle W} קבוצה פתוחה בקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . מתכונות של רציפות טופולוגית מספיק להוכיח שכל הקבוצות מהצורה f − 1 [ 0 , t ) {\displaystyle f^{-1}[0,t)} ו- f − 1 ( t , 1 ] {\displaystyle f^{-1}(t,1]} הן פתוחות ב- X {\displaystyle X} . ראשית, x ∈ f − 1 [ 0 , t ) {\displaystyle x\in f^{-1}[0,t)} אם ורק אם f ( x ) < t {\displaystyle f(x)<t} (הרציפות של f {\displaystyle f} בנקודה t = 1 {\displaystyle t=1} ברורה מעצם הבניה). כעת, inf { r ∣ x ∈ V r } < t {\displaystyle \inf {\{r\mid x\in V_{r}\}}<t} אם ורק אם לכל r < t {\displaystyle r<t} קיים ש x ∈ V r {\displaystyle x\in V_{r}} . לכן   f − 1 [ 0 , t ) = ⋃ r < t V r {\displaystyle \ f^{-1}[0,t)=\bigcup _{r<t}{V_{r}}} וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות. שנית,   x ∈ f − 1 ( t , 1 ] {\displaystyle \ x\in f^{-1}(t,1]} אם ורק אם t < f ( x ) {\displaystyle t<f(x)} . כעת, inf { r ∣ x ∈ V r } > t {\displaystyle \inf {\{r\mid x\in V_{r}\}}>t} אם ורק אם קיים t < r {\displaystyle t<r} כך ש ∀ q ≤ r : x ∉ V q ¯ {\displaystyle \forall q\leq r:x\notin {\overline {V_{q}}}} אך בגלל ההכלה של "טבעות" הבצל מספיק קיום קבוצה אחת כזאת. לכן f − 1 ( t , 1 ] = ⋃ t < r V r ¯ c {\displaystyle f^{-1}(t,1]=\bigcup _{t<r}{{\overline {V_{r}}}^{c}}} וזו קבוצה פתוחה כאיחוד של קבוצות פתוחות. מכאן נובע ש f {\displaystyle f} פונקציה רציפה. בכך הושלמה ההוכחה. מרחב רגולרי לחלוטין מרחב נורמלי משפט אוריסון משפט טיצה מדיה וקבצים בנושא הלמה של אוריסון בוויקישיתוף הלמה של אוריסון, באתר MathWorld (באנגלית)