משוואת דיראק

משוואת דיראק היא משוואת גלים בפיזיקה קוונטית יחסותית. את המשוואה ניסח הפיזיקאי הבריטי פול דיראק בשנת 1928, והיא מתארת חלקיקים אלמנטריים בעלי ספין 1/2, שעימם נמנים האלקטרונים. המשוואה ניבאה את קיומם של אנטי-חלקיקים עוד לפני שאלה התגלו נסיונית, והיוותה השראה לניסויים שבהם נתגלה הפוזיטרון. משוואת דיראק מתארת חלקיק בודד, ללא יצירה וחיסול של חלקיקים (בהיבט זה מטפלת תורת השדות הקוונטית). המשוואה מספקת ניבויים טובים לגבי המומנט המגנטי של האלקטרון ומסבירה תצפיות של הקווים הספקטרליים של האטום. משוואת שרדינגר איננה לוקחת בחשבון את תורת היחסות. כדי לקבל הכללה יחסותית למשוואה, היא חייבת להיות סימטרית בנגזרות, כלומר הנגזרות בזמן ובמקום צריכות להיות מאותו סדר (הדבר נובע מאחד העקרונות הבסיסיים של תורת היחסות, לפיהם המרחב והזמן הם ממדים שקולים). על פי תורת היחסות, התנע והאנרגיה הם רכיבים של 4-וקטור התנע-אנרגיה (ראה תורת היחסות הפרטית) ומקיימים את הקשר   E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 {\displaystyle \ E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}} כאשר   m {\displaystyle \ m} היא מסת המנוחה של החלקיק,   c {\displaystyle \ c} היא מהירות האור בריק, ו-   p {\displaystyle \ p} הוא התנע. משימוש בקשר זה מתקבלת משוואת קליין-גורדון: − ℏ 2 ∂ 2 ψ ∂ t 2 = ( m 2 c 4 − c 2 ℏ 2 ∇ 2 ) ψ {\displaystyle -\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=(m^{2}c^{4}-c^{2}\hbar ^{2}\nabla ^{2})\psi } הקבוע ℏ {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם. משוואה זאת היא הכללה ישירה של משוואת שרדינגר. עם זאת, הנגזרת השנייה לפי הזמן במשוואה זאת מצריכה תנאי התחלה על הנגזרת של פונקציית הגל, ולכן אי אפשר להגדיר צפיפות הסתברות שהיא גם חיובית וגם האינטגרל שלה נשמר. הבעייתיות של משוואה זאת היוותה את המוטיבציה לפיתוח משוואת דיראק, אך בהמשך נעשה במשוואת קליין-גורדון שימוש בתורת השדות בתור משוואה של חלקיקים עם ספין אפס. המשוואה בצורתה המקורית כפי שפורסמה של ידי דיראק היא: ( β m c 2 + c ( ∑ n = ⁡ 1 3 α n p n ) ) ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ψ ( x , t ) ∂ t {\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\left(\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}} כאשר   x {\displaystyle \ \mathbf {x} } ו-   t {\displaystyle \ t} הן קואורדינטות המרחב והזמן בהתאמה. ψ = ψ ( x , t ) {\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {x} ,t)} היא פונקציית הגל של אלקטרון עם מסת מנוחה m p1,p2,p3 הם רכיבי התנע, במובן של אופרטור התנע במשוואת שרדינגר c הוא מהירות האור בריק ו ħ הוא קבוע פלאנק המצומצם. האלמנטים החדשים במשוואה הם המטריצות מסדר 4 על 4: α 1 , α 2 , α 3 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}} ו- β {\displaystyle \beta } . ארבעת המטריצות הן הרמיטיות, והריבוע שלהן שווה למטריצת היחידה: α i 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}} בנוסף הן מקיימות את יחס האנטי חילופיות (אם i ו-j שונים): α i α j + α j α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0} α i β + β α i = 0 {\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0} בכתיב דיראק המשוואה נכתבת כך: [ ( α ⋅ p ) c + β m c 2 ] | ψ ⟩ = E | ψ ⟩ {\displaystyle [({\boldsymbol {\alpha \cdot p}})c+\beta mc^{2}]|\psi \rangle =E|\psi \rangle } דיראק חשב לנסות משוואה מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב. אפשר למשל, על ידי התעללות בסימון (abuse of notation), לקחת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה , E = c p 2 + m 2 c 2 {\displaystyle ,E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}} להחליף את p באופרטור מדידת התנע, ולפתוח את השורש לסדרה אינסופית של אופרטורי גזירה. רוב הפיזיקאים לא כל כך האמינו בכיוון הזה, אפילו אם טכנית היה אפשרי. האגדה מספרת, כי דיראק בהה באח הבוערת בקיימברידג', מהרהר בבעיה, כאשר הבריק לו הרעיון לקחת את השורש של אופרטור הגל: ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 = ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) {\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)} כאשר מכפילים את האגף הימני אפשר לראות שכדי שכל האיברים מהצורה ∂ x ∂ y {\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}} ייעלמו, עלינו להניח כי: A B + B A = 0 , … {\displaystyle AB+BA=0,\;\ldots } וכן ש: . A 2 = B 2 = … = 1 {\displaystyle .A^{2}=B^{2}=\ldots =1} דיראק, שהיה אז מעורב מאוד בהנחת היסודות למכניקת המטריצות של הייזנברג, הבין מייד שההנחות הללו יוכלו להתקיים אם A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} ו- D {\displaystyle D} הם מטריצות. המשמעות היא שלפונקציית הגל יש מספר רכיבים, מה שמסביר מדוע מופיעה פונקציית גל עם שני רכיבים בתאוריית הספין של פאולי, מה שעד אז אפילו פאולי בעצמו החשיב כמסתורי. עם זאת על המטריצות להיות מממדים של 4x4 לפחות, לא ניתן למצוא סט של ארבע מטריצות בלתי תלויות ממימד נמוך יותר שמקיימות את ההנחות הללו, כך שלפונקציית הגל יש 4 רכיבים ולא שניים כמו בתאוריה של פאולי או אחד כמו בתאוריה של שרדינגר. פונקציית הגל עם ארבעת הרכיבים, היא סוג חדש של אובייקט מתמטי שמופיע כאן לראשונה. באמצעות השורש של אופרטור הגל, ניתן כעת לכתוב משוואה ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t ) ψ = κ ψ {\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi } כאשר עדיין צריך לקבוע מהו . κ {\displaystyle .\kappa } אם נפעיל את האופרטור פעם נוספת על שני אגפי המשוואה נקבל: ( ∇ 2 − 1 c 2 ∂ t 2 ) ψ = κ 2 ψ . {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi .} אם נקבע ש κ = m c ℏ {\displaystyle \kappa ={\frac {mc}{\hbar }}} , נקבל שפונקציית הגל מקיימת את הקשר היחסותי בין תנע לאנרגיה. כך שהמשוואה המבוקשת שהיא מסדר ראשון הן בזמן והן במרחב היא . ( A ∂ x + B ∂ y + C ∂ z + i c D ∂ t − m c ℏ ) ψ = 0 {\displaystyle .\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0} נציב A = i β α 1 , B = i β α 2 , C = i β α 3 , D = β , {\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta \,,} ומכיוון ש , D 2 = β 2 = I 4 {\displaystyle ,D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}} מתקבלת משוואת דיראק שרשומה למעלה. את משוואות דיראק ניתן לכתוב בצורה אינווריאנטית לורנץ ובעלת סימטריה בין הזמן למרחב, באמצעות מטריצות גאמה של דיראק. המשוואה היא   ( i ℏ γ μ ∂ μ − m c ) ψ = 0 {\displaystyle \ \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0} או ביחידות בהן   ℏ = 1 = c {\displaystyle \ \hbar =1=c}   ( i γ μ ∂ μ − m ) ψ = 0 {\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0} הלגראנז'יאן של דיראק הוא   L = ψ ¯ ( i ℏ c γ μ ∂ μ − m c 2 ) ψ {\displaystyle \ {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc^{2}\right)\psi } כאשר ψ ¯ = ψ † γ 0 {\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}} . הפרשנות הפיזיקלית של α , β {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\beta } היא שהם אופרטורים הפועלים במרחב המכפלה בין אופרטורי בורגיות לבין אופרטורי הספין. קיימות הצגות שקולות לאופרטורים הללו, והמעבר בין ההצגות שקול לטרנספורמצית סיבוב במרחב הדו־ממדי של הבורגיות. בהצגה הסטנדרטית: α j = ρ 1 ⊗ σ = ( 0 σ j σ j 0 ) {\displaystyle \alpha _{j}=\rho _{1}\otimes \sigma ={\begin{pmatrix}0&{\boldsymbol {\sigma }}_{j}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{j}&0\end{pmatrix}}} β = ρ 3 ⊗ 1 = ( 1 2 0 0 − 1 2 ) {\displaystyle \beta =\rho _{3}\otimes \mathbf {1} ={\begin{pmatrix}\mathbf {1} _{2}&0\\0&-\mathbf {1} _{2}\end{pmatrix}}} הצגה נפוצה נוספת היא ההצגה הבורגית: α j = ρ 3 ⊗ σ {\displaystyle \alpha _{j}=\rho _{3}\otimes \sigma } β = − ρ 1 ⊗ 1 {\displaystyle \beta =-\rho _{1}\otimes \mathbf {1} } כאן 1 {\displaystyle \mathbf {1} } מסמל את אופרטור היחידה במרחב הדו־ממדי, והאופרטור σ = 2 ℏ S {\displaystyle \sigma ={\frac {2}{\hbar }}S} מיוצג על ידי מטריצות פאולי. הפתרונות לאנרגיה יכולים לקבל ערכים שליליים. יתרה מכך, האנרגיה של המערכת לא חסומה מלמטה כלומר למערכת כזאת אין מצב יסוד, פתרון שאיננו מתקבל על הדעת מבחינה פיזיקלית. תוצאה מוזרה זו הובילה את דיראק למסקנה כי מצב היסוד של המערכת, או מצב הריק, הוא מצב שבו כל מצבי האנרגיה השליליים מאוכלסים (הים של דיראק). במצב שבו כל הרמות השליליות מאוכלסות, עקרון האיסור של פאולי ימנע מפרמיון מלרדת לרמות האנרגיה הנמוכות. המסקנה מתיאור זה היא שכדי ליצור חור בים של דיראק יש להשקיע אנרגיה של לכל הפחות   2 m c 2 {\displaystyle \ 2mc^{2}} (פעמיים מסת המנוחה של חלקיק) ותוצאה של יצירת חור תהיה יצירת זוג של חלקיק ואנטי חלקיק. דיראק ייחס בתחילה את החלקיק החיובי החזוי לפרוטונים, שהיו אז החלקיקים החיוביים הידועים היחידים, אף על פי שלחלקיקים החזויים צריכה הייתה להיות מסה זהה למסתו של האלקטרון. עובדת קיום החלקיקים החיוביים אומתה בניסוי עם גילוי הפוזיטרון בשנת 1932. כשנשאל דיראק מדוע לא העז וחזה את קיום הפוזיטרון ענה "פחדנות לשמה!". משוואת דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)