גז אולטרה-יחסותי

גז אולטרה-יחסותי (באנגלית: Ultra-relativistic Gas) הוא גז המורכב מחלקיקים בגבול האולטרה-יחסותי. באופן כללי, אנרגיה של חלקיק יחסותי נתונה על ידי הקשר: ε 2 = ( p c ) 2 + ( m 0 c 2 ) 2 {\displaystyle \varepsilon ^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}} כאשר p {\displaystyle p}  הוא התנע של החלקיק, m 0 {\displaystyle m_{0}}  מסת המנוחה שלו, ו- c {\displaystyle c} מהירות האור. חלקיק אולטרה-יחסותי הוא חלקיק שמקיים p c >> m 0 c 2 {\displaystyle pc>>m_{0}c^{2}} , ועל כן האנרגיה שלו היא: ε ≈ p c = ℏ k c {\displaystyle \varepsilon \approx pc=\hbar kc} כאשר ℏ {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם. נתבונן בגז אולטרה-יחסותי בעל N {\displaystyle N}  חלקיקים בנפח V {\displaystyle V} , המצומד למאגר חום בטמפרטורה τ {\displaystyle \tau } (כאשר τ = k B T {\displaystyle \tau =k_{B}T} , ו- k B {\displaystyle k_{B}} הוא קבוע בולצמן). מספר המצבים הנמצאים בטווח האנרגיות d ε {\displaystyle d\varepsilon } הוא g ( ε ) d ε {\displaystyle g(\varepsilon )d\varepsilon } , כאשר g ( ε ) {\displaystyle g(\varepsilon )}  צפיפות המצבים ליחידת אנרגיה. עבור הגז האולטרה יחסותי צפיפות המצבים היא: g ( ε ) = V 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ε 2 {\displaystyle g(\varepsilon )={\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar c)^{3}}}\varepsilon ^{2}} מכאן ניתן למצוא את פונקציית החלוקה הקנונית של חלקיק בודד: Z s i n g l e = ∫ 0 ∞ g ( ε ) e − β ε d ε = V 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ ε 2 e − β ε d ε = V π 2 ( ℏ c β ) 3 {\displaystyle Z_{single}=\int _{0}^{\infty }{g\left(\varepsilon \right)e^{-\beta \varepsilon }d\varepsilon }={\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\varepsilon ^{2}e^{-\beta \varepsilon }d\varepsilon }={\frac {V}{\pi ^{2}\left(\hbar c\beta \right)^{3}}}} כאשר β = 1 τ = 1 k B T {\displaystyle \beta ={\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{k_{B}T}}} . פונקציית החלוקה הקנונית הכוללת היא: Z = ( Z s i n g l e ) N N ! = [ V π 2 ( ℏ c β ) 3 ] N N ! {\displaystyle Z={\frac {\left(Z_{single}\right)^{N}}{N!}}={\frac {\left[{\frac {V}{\pi ^{2}\left(\hbar c\beta \right)^{3}}}\right]^{N}}{N!}}} מכאן ניתן לגזור את המשתנים התרמודינמיים של המערכת: האנרגיה הפנימית: U = − ∂ ∂ β ln ⁡ ( Z ) = 3 N β = 3 N τ {\displaystyle U=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {\left(Z\right)}={\frac {3N}{\beta }}=3N\tau } האנרגיה החופשית של הלמהולץ: F = − 1 β ln ⁡ ( Z ) = − N τ ln ⁡ [ V τ 3 π 2 ( ℏ c ) 3 ] + τ l n ( N ! ) ≅ N τ { ln ⁡ [ N π 2 ( ℏ c ) 3 V τ 3 ] − 1 } {\displaystyle F=-{\frac {1}{\beta }}\ln {\left(Z\right)}=-N\tau \ln {\left[{\frac {V\tau ^{3}}{\pi ^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}}\right]}+\tau ln{\left(N!\right)}\cong N\tau \left\{\ln {\left[{\frac {N\pi ^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}{V\tau ^{3}}}\right]}-1\right\}} כאשר בשוויון האחרון נעשה שימוש בקירוב סטירלינג. האנטרופיה: σ = − ( ∂ F ∂ τ ) V , N = N { ln ⁡ [ V τ 3 N π 2 ( ℏ c ) 3 ] + 4 } {\displaystyle \sigma =-\left({\frac {\partial F}{\partial \tau }}\right)_{V,N}=N\left\{\ln {\left[{\frac {V\tau ^{3}}{{N\pi }^{2}\left(\hbar c\right)^{3}}}\right]}+4\right\}} הלחץ: p = − ( ∂ F ∂ V ) τ , N = N τ V {\displaystyle p=-\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{\tau ,N}={\frac {N\tau }{V}}} ניתן לשים לב שמתקיים: p u = 1 3 {\displaystyle {\frac {p}{u}}={\frac {1}{3}}} (כאשר u = U V {\displaystyle u={\frac {U}{V}}} ) בסעיפים הבאים יידונו מערכות של בוזונים או פרמיונים בגבול האולטרה-יחסותי. במקרים אלו, ניתן למצוא את הגדלים התרמודינמיים של הגז על ידי שימוש בהתפלגות בוז-איינשטיין או פרמי-דיראק בהתאמה. צפיפות המצבים היא כמו זו שחושבה קודם לכן, ו- g s {\displaystyle g_{s}} הוא ניוון הספין, שתלוי בסוג החלקיק היחסותי. הוא שווה ל-2 עבור אלקטרונים, פוזיטרונים, ניוטרינו ואנטי-ניוטרינו, ול-3 עבור פוטונים (בהנחה שכל מצבי הספין אפשריים) . לצורך חישוב המשתנים התרמודינמיים, יעשה שימוש בתוצאה: ∫ 0 ∞ x n − 1 z − 1 e x ± 1 d x = ∓   Γ ( n ) L i n ( ∓ z ) {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{n-1}}{{z^{-1}e}^{x}\pm 1}}dx}=\mp \ \Gamma \left(n\right)Li_{n}(\mp z)} כאשר Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)}  היא פונקציית גמא, L i n ( z ) {\displaystyle Li_{n}(z)}  הוא פונקציית הפולילוגריתם, ו- z ≡ e μ / τ {\displaystyle z\equiv e^{\mu /\tau }} . בגבול זה, כל מצבי האנרגיה עד לאנרגיה מסוימת, שהיא אנרגיית פרמי ( ε F {\displaystyle \varepsilon _{F}} ) יאוכלסו, וכל המצבים באנרגיה גבוהה יותר לא יאוכלסו. לכן ניתן לכתוב: N = ∫ 0 ε F g ( ε ) d ε {\displaystyle N=\int _{0}^{\varepsilon _{F}}g\left(\varepsilon \right)d\varepsilon } כאשר g ( ε ) {\displaystyle g(\varepsilon )}  היא פונקציית צפיפות המצבים. לפני הצבת פונקציה ספציפית, ניתן להשתמש בעובדה ש- g ( ε ) = g s V 2 π 2 ℏ 3 p 2 d p d ε {\displaystyle g\left(\varepsilon \right)={\frac {g_{s}V}{{2\pi ^{2}\hbar }^{3}}}p^{2}{\frac {dp}{d\varepsilon }}} . לכן: N = g s V 2 π 2 ℏ 3 ∫ 0 p F p 2 d p = g s V 6 π 2 ℏ 3 p F 3   ⟹ p F = ( 6 π 2 N g s V ) 1 3 ℏ {\displaystyle N={\frac {g_{s}V}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{p_{F}}{p^{2}dp}={\frac {g_{s}V}{6\pi ^{2}\hbar ^{3}}}p_{F}^{3}\ \Longrightarrow p_{F}=\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g_{s}V}}\right)^{\frac {1}{3}}\hbar } כאשר תנע פרמי p F {\displaystyle p_{F}}  הוא התנע החד חלקיקי המתאים לאנרגיה ε F {\displaystyle \varepsilon _{F}} . עבור גז אולטרה-יחסותי מתקיים: ε F = p F c = ( 6 π 2 N g s V ) 1 3 ℏ c {\displaystyle \varepsilon _{F}=p_{F}c=\left({\frac {6\pi ^{2}N}{g_{s}V}}\right)^{\frac {1}{3}}\hbar c} ניתן להביע גם את האנרגיה והלחץ במונחי אנרגיית פרמי: U = ∫ 0 ε F ε g ( ε ) d ε = g s V c 2 π 2 ℏ 3 ∫ 0 p F p 3 d p = g s V c 8 π 2 ℏ 3 p F 4 = 3 4 N ε F {\displaystyle U=\int _{0}^{\varepsilon _{F}}\varepsilon g\left(\varepsilon \right)d\varepsilon ={\frac {g_{s}Vc}{2\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{p_{F}}{p^{3}dp}={\frac {g_{s}Vc}{8\pi ^{2}\hbar ^{3}}}p_{F}^{4}={\frac {3}{4}}N\varepsilon _{F}} p = 1 3 U V = 1 4 N ε F {\displaystyle p={\frac {1}{3}}{\frac {U}{V}}={\frac {1}{4}}N\varepsilon _{F}} האנרגיה הפנימית מתקבלת מסכימה של כל מצבי האנרגיה החד-חלקיקיים עבור תחום אנרגיות d ε {\displaystyle d\varepsilon } , כל מצב מוכפל באכלוס הממוצע שלו (התפלגות פרמי-דיראק), ולאחר מכן באנרגיה שלו ולבסוף בניוון הספין המתאים. הביטוי להתפלגות פרמי-דיראק הוא f F D ( ε ) = 1 e ( ε − μ ) / τ + 1 = 1 z − 1 e ε / τ + 1 {\displaystyle f_{FD}\left(\varepsilon \right)={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/\tau }+1}}={\frac {1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }+1}}} U = ∫ 0 ∞ g s g ( ε ) ε f F D ( ε ) d ε = ∫ 0 ∞ g s V 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ε 2 ε z − 1 e ε / τ   + 1 d ε = g s V τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 3 z − 1 e x + 1 d x = − g s V τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 Γ ( 4 ) L i 4 ( − z ) = − 3 g s V τ 4 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 4 ( − z ) {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\varepsilon f_{FD}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {\varepsilon }{z^{-1}e^{\varepsilon /\tau \ }+1}}d\varepsilon }={\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(-z\right)=-{\frac {3g_{s}V\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(-z\right)} מספר החלקיקים: N = ∫ 0 ∞ g s g ( ε ) f F D ( ε ) d ε = ∫ 0 ∞ g s V 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ε 2 1 z − 1 e ε τ + 1 d ε = g s V τ 3 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 2 z − 1 e x + 1 d x = − g s V τ 3 2 π 2 ( ℏ c ) 3 Γ ( 3 ) L i 3 ( − z ) = − g s V τ 3 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 3 ( − z ) {\displaystyle N=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)f_{FD}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {1}{{z^{-1}e}^{\frac {\varepsilon }{\tau }}+1}}d\varepsilon }={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{2}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(3\right)Li_{3}\left(-z\right)=-{\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{3}\left(-z\right)} בנוסף, נשתמש בקשר עבור פרמיונים: p V τ = ln ⁡ Q = ∑ i ln ⁡ ( 1 + e − ε i / τ   ) {\displaystyle {\frac {pV}{\tau }}=\ln {\mathcal {Q}}=\sum _{i}\ln {\left({1+e}^{-\varepsilon _{i}/\tau \ }\right)}} ( Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית) לכן, מאותם שיקולים שנלקחו בחשבון בחישוב האנרגיה הפנימית, נקבל ביטוי ללחץ: p = τ V ∫ 0 ∞ g s g ( ε ) ln ⁡ ( 1 + e − ε τ ) d ε = g s τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 2 ln ⁡ ( 1 + e − x ) d x = g s τ 4 6 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 3 z − 1 e x + 1 d x = − g s τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 Γ ( 4 ) L i 4 ( − z ) = − g s τ 4 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 4 ( − z ) {\displaystyle p={\frac {\tau }{V}}\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\ln {\left({1+e}^{-{\frac {\varepsilon }{\tau }}}\right)}d\varepsilon }={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{x^{2}\ln {\left(1+e^{-x}\right)}dx}={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}+1}}dx}=-{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(-z\right)=-{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(-z\right)} כמו כן, באמצעות שימוש במשוואת גיבס-דוהם N d μ = − σ d τ + V d p {\displaystyle Nd\mu =-\sigma d\tau +Vdp} , ניתן לקבל את הקשר σ V = ( ∂ p ∂ τ ) μ {\displaystyle {\frac {\sigma }{V}}=\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)_{\mu }} , כאשר σ = S k B {\displaystyle \sigma ={\frac {S}{k_{B}}}} היא האנטרופיה. מכאן: σ = V ( ∂ p ∂ τ ) μ = − 4 g s V τ 3 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 4 ( − z ) {\displaystyle \sigma =V\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)_{\mu }=-{\frac {4g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(-z\right)} לאנרגיה הפנימית ניתן להגיע מאותם שיקולים שנעשו עבור פרמיונים, אך כעת האכלוס הממוצע נתון על ידי התפלגות בוז-איינשטיין. הביטוי להתפלגות בוז-איינשטיין הוא: f B E ( ε ) = 1 e ε − μ τ − 1 = 1 z − 1 e ε / τ − 1 {\displaystyle f_{BE}\left(\varepsilon \right)={\frac {1}{e^{\frac {\varepsilon -\mu }{\tau }}-1}}={\frac {1}{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }-1}}} U = ∫ 0 ∞ g s g ( ε ) ε f B E ( ε ) d ε = ∫ 0 ∞ g s V 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ε 2 ε z − 1 e ε / τ − 1 d ε = g s V τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 3 z − 1 e x − 1 d x = g s V τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 Γ ( 4 ) L i 4 ( z ) = 3 g s V τ 4 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 4 ( z ) {\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\varepsilon f_{BE}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {\varepsilon }{{z^{-1}e}^{\varepsilon /\tau }-1}}d\varepsilon }={\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g_{s}V\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(z\right)={\frac {{3g}_{s}V\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(z\right)} כאשר בוצעה החלפת משתנים x = ε τ {\displaystyle x={\frac {\varepsilon }{\tau }}} . באותו אופן ניתן להגיע לביטוי עבור מספר החלקיקים: N = ∫ 0 ∞ g s g ( ε ) f B E ( ε ) d ε = ∫ 0 ∞ g s V 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ε 2 1 z − 1 e ε τ − 1 d ε = {\displaystyle N=\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)f_{BE}\left(\varepsilon \right)}d\varepsilon =\int _{0}^{\infty }{g_{s}{\frac {V}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\varepsilon ^{2}{\frac {1}{{z^{-1}e}^{\frac {\varepsilon }{\tau }}-1}}d\varepsilon }=} = g s V τ 3 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 2 z − 1 e x − 1 d x = g s V τ 3 2 π 2 ( ℏ c ) 3 Γ ( 3 ) L i 3 ( z ) = g s V τ 3 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 3 ( z ) {\displaystyle ={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{2}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(3\right)Li_{3}\left(z\right)={\frac {g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{3}\left(z\right)} נשתמש בקשר המקביל עבור בוזונים: p V τ = ln ⁡ Q = − ∑ i ln ⁡ ( 1 − z e − ε i / τ   ) {\displaystyle {\frac {pV}{\tau }}=\ln {\mathcal {Q}}=-\sum _{i}\ln {\left({1-ze}^{-\varepsilon _{i}/\tau \ }\right)}} ( Q {\displaystyle {\mathcal {Q}}} היא פונקציית החלוקה הגרנד-קנונית) כדי לקבל את הלחץ: p = − τ V ∫ 0 ∞ g s g ( ε ) ln ⁡ ( 1 − z e − ε τ ) d ε = − g s τ 4 2 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 2 ln ⁡ ( 1 − z e − x ) d x = g s τ 4 6 π 2 ( ℏ c ) 3 ∫ 0 ∞ x 3 z − 1 e x − 1 d x = g s τ 4 6 π 2 ( ℏ c ) 3 Γ ( 4 ) L i 4 ( z ) = g s τ 4 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 4 ( z ) {\displaystyle p=-{\frac {\tau }{V}}\int _{0}^{\infty }{g_{s}g\left(\varepsilon \right)\ln {\left({1-ze}^{-{\frac {\varepsilon }{\tau }}}\right)}d\varepsilon }=-{\frac {g_{s}\tau ^{4}}{2\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{x^{2}\ln {\left(1-{ze}^{-x}\right)}dx}={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{{z^{-1}e}^{x}-1}}dx}={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{6\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}\Gamma \left(4\right)Li_{4}\left(z\right)={\frac {g_{s}\tau ^{4}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(z\right)} וכפי שהוסבר לגבי פרמיונים, ממשוואת גיבס דוהם ניתן לקבל: σ = V ( ∂ p ∂ τ ) μ = 4 g s V τ 3 π 2 ( ℏ c ) 3 L i 4 ( z ) {\displaystyle \sigma =V\left({\frac {\partial p}{\partial \tau }}\right)_{\mu }={\frac {4g_{s}V\tau ^{3}}{\pi ^{2}(\hbar {c)}^{3}}}Li_{4}\left(z\right)} למודל הגז היחסותי, וספציפית האולטרה-יחסותי, חשיבות בתיאור שלבים מוקדמים בהיווצרות היקום, שכן ברגעים מוקדמים מסוימים ביקום, החלקיקים שנוצרו היו חלקיקים יחסותיים. בנוסף, בתנאים ששררו אז ניתן להניח μ = 0 {\displaystyle \mu =0} , וכן שהחלקיקים היו בשיווי משקל תרמודינמי אחד עם השני. מנתונים אלו ניתן לקבל: כאשר ζ ( x ) {\displaystyle \zeta (x)} היא פונקציית זטא של רימן. היקום ביצע התפשטות אדיאבטית (כי התהליך היה הפיך, ולא נכנס חום מכיוון שמתוך הגדרה, אין לחום מאין להיכנס), ובה התקיים σ = c o n s t {\displaystyle \sigma =const} . כפי שניתן לראות מהחישובים למעלה, בתנאים אלו האנטרופיה פרופורציונית לנפח ולחזקה השלישית של הטמפרטורה, כלומר V τ 3 = c o n s t {\displaystyle V\tau ^{3}=const} . מכאן ניתן לרשום: τ ( t ) a ( t ) = c o n s t {\displaystyle \tau \left(t\right)a\left(t\right)=const} כאשר a ( t ) {\displaystyle a(t)} הוא פרמטר ליניארי המתאר את הנפח המתפשט. נושא בו יש חשיבות למודל של גז פרמיונים אולטרה-יחסותי הוא ניתוח הנוגע לננסים לבנים- כוכבים שהגורם המונע את קריסתם הוא לחץ ניוון של אלקטרונים. לפי הביטוי שנראה קודם, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים מנוונים מתקבל: p = ℏ c 4 ( 3 π 2 ) 1 3   n 4 / 3 {\displaystyle p={\frac {\hbar c}{4}}\left(3\pi ^{2}\right)^{\frac {1}{3}}\ n^{4/3}} (כאשר n = N V {\displaystyle n={\frac {N}{V}}} ) פיתוח דומה עבור אלקטרונים לא יחסותיים מביא לתוצאה: p = ℏ 2 5 m e ( 3 π 2 ) 2 3   n 5 / 3   {\displaystyle p={\frac {\hbar ^{2}}{5m_{e}}}\left(3\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}\ n^{5/3}\ } מכיוון ש- n ≈ Z ρ A m p {\displaystyle n\approx {\frac {Z\rho }{Am_{p}}}} (כאשר Z {\displaystyle Z}  המספר האטומי של האטומים בכוכב, A {\displaystyle A}  מספר המסה שלהם, ρ {\displaystyle \rho }  הצפיפות של הננס הלבן ו- m p {\displaystyle m_{p}}  מסת פרוטון), ניתן להגיע לתלות של הלחץ הפנימי בצפיפות הכוכב, עבור אלקטרונים לא יחסותיים ועבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים: p n o n − r e l a t i v i s t i c ∝ ρ 5 / 3 {\displaystyle p_{non-relativistic}\propto \rho ^{5/3}} p u l t r a − r e l a t i v i s t i c ∝ ρ 4 / 3 {\displaystyle p_{ultra-relativistic}\propto \rho ^{4/3}} הלחץ הכבידתי (הלחץ החיצוני) נתון על ידי הביטוי: p g r a v i t a t i o n = − G 5 ( 4 π 3 ) 1 3 M 2 3   ρ 4 / 3 {\displaystyle p_{gravitation}=-{\frac {G}{5}}\left({\frac {4\pi }{3}}\right)^{\frac {1}{3}}M^{\frac {2}{3}}\ \rho ^{4/3}} כלומר, עבור אלקטרונים אולטרה-יחסותיים, הלחץ החיצוני והפנימי תלויים בצפיפות באותו אופן, וזה מצב שאינו יציב (בניגוד למצב עבור האלקטרונים הלא-יחסותיים, שהוא יציב). עניין זה מרמז על קיומה של מסה מעליה הננס הלבן אינו יציב. טיפול מדויק בנושא מוביל לגבול צ'נדראסקאר - המסה המקסימלית בה ננס לבן יציב. Pathria, R.K; Beale, Paul D., Statistical Mechanics, Ed. 3 (2011), Elsevier Science & Technology Blundell, S.; Blundell, K., Concepts in Thermal Physics (2006), Oxford University Press גז פרמי