חוקי לנצ'סטר

חוקי לנצ'סטר (Lanchester's Laws) הם נוסחאות מתמטיות לחישוב החוזק היחסי של זוג כוחות "טורף"/"נטרף" (לרוב בכוחות צבאיים). משוואות דיפרנציאליות שמתארות את התלות בזמן של החוזק של שני צבאות A ו-B, כך שהפונקציה המתארת את התלות בזמן תלויה רק ב-A ו-B. ב-1916, במהלך מלחמת העולם הראשונה, פרדריק לנצ'סטר תיאר סדרה של משוואות דיפרנציאליות כדי להדגים את יחסי הכוחות בין כוחות המתנגדים זה לזה. ביניהם ידועים "החוק הליניארי של לנצ'סטר" (עבור קרב עתיק) ו"החוק הריבועי של לנצ'סטר" (עבור לוחמה מודרנית עם כלי נשק ארוכי טווח כמו למשל תותחים). עבור קרב עתיק, בין פלנקסים של חיילים עם חניתות, למשל, חייל אחד יכול להילחם מול חייל אחד בלבד בזמן נתון. אם כל חייל הורג, או נהרג על ידי חייל אחד, אזי מספר החיילים הנשארים בסיום המערכה הוא הפרש כמות החיילים בין הצבא הגדול לצבא הקטן יותר, בהנחה שכלי הנשק שלהם זהים. עם כלי נשק המטווחים אחד את השני באופן ישיר עם ירי מכוון ממרחק, ניתן לתקוף מטרות מרובות ולקבל אש מכיוונים מרובים. קצב השחיקה כעת תלוי במספר כלי הנשק היורים. לנצ'סטר קבע שהעוצמה של כח צבאי כזה פרופורציונלית לא למספר היחידות שיש לו, אלא לריבוע של מספר היחידות. זה ידוע כחוק הריבועי של לנצ'סטר. ניתן להסביר באופן אינטואיטיבי את החוק הריבועי של לנצ'סטר בכך שמרגע שהתרנו לצבא כולו לפעול במערכה, אז כמות הנזק שהצבא יגרום עד להשבתתו פרופרופרציונלית למספר החיילים ולמשך הזמן שצבא שורד, שגם הוא פרופורציונלי למספר החיילים, ולכן סה"כ החוזק של כח צבאי כזה פרופורציונלי למספר החיילים בריבוע. נניח ששני צבאות, אחד אדום ואחד כחול, מתעמתים אחד עם השני במערכה. האדום יורה מטח רציף של קליעים בכחול. באותו הזמן, הכחול יורה מטח רציף של קליעים באדום. נסמן ב- A {\displaystyle A} את מספר החיילים בצבא האדום בתחילת הקרב. לכל חייל יש כוח אש התקפתי α {\displaystyle \alpha } , שהוא מספר החיילים שהוא יכול להוציא מפעולה (לפצוע או להרוג) ליחידת זמן. באותו אופן, לצבא הכחול יש B {\displaystyle B} חיילים, ולכל אחד כוח אש התקפתי β {\displaystyle \beta } . החוק הריבועי של לנצ'סטר מחשב את מספר החיילים שאובדים לכל צד באמצעות זוג המשוואות הבאות. פה, d A d t {\displaystyle {dA \over dt}} מסמל את הקצב שבו מספר החיילים של צבא A {\displaystyle A} משתנה ברגע נתון. ערך שלילי פירושו אובדן חיילים. באותו אופן, d B d t {\displaystyle {dB \over dt}} מייצג את קצב אובדן החיילים של צבא B {\displaystyle B} . מתקיים: d A d t = − β B {\displaystyle {dA \over dt}=-\beta B} d B d t = − α A {\displaystyle {dB \over dt}=-\alpha A} זהו זוג משוואות דיפרנציאליות מצומדות. נפתור במקרה ש- α = β {\displaystyle {\alpha }={\beta }} . נסמן ב- A ( t ) − B ( t ) {\displaystyle A(t)-B(t)} את הפרש הגדלים בין שני הצבאות בזמן t {\displaystyle t} . מתקיים: d d t [ A ( t ) − B ( t ) ] = α ∗ [ A ( t ) − B ( t ) ] {\displaystyle {d \over dt}[A(t)-B(t)]=\alpha *[A(t)-B(t)]} לפיכך הפרש הגדלים בזמן t מקיים: A ( t ) − B ( t ) = ( A 0 − B 0 ) e α t {\displaystyle A(t)-B(t)=(A_{0}-B_{0})e^{\alpha t}} כמו כן ברור שכמות הנזק שצבא A {\displaystyle A} גורם לצבא B {\displaystyle B} כתלות בזמן שווה לשטח (אינטגרל) מתחת לגרף של A ( t ) {\displaystyle A(t)} מוכפל ב- α {\displaystyle \alpha } . לפיכך מתקיים: B ( t ) = B 0 − α ∫ A d t {\displaystyle B(t)=B_{0}-\alpha \int {Adt}} . אבל: A ( t ) − B ( t ) + B ( t ) = A ( t ) {\displaystyle A(t)-B(t)+B(t)=A(t)} לכן: A ( t ) = B 0 − α ∫ A d t + ( A 0 − B 0 ) e α t {\displaystyle A(t)=B_{0}-\alpha \int {Adt}+(A_{0}-B_{0})e^{\alpha t}} נגזור לפי t {\displaystyle t} ונקבל: d A d t = − α A ( t ) + α ( A 0 − B 0 ) e α t {\displaystyle {dA \over dt}=-\alpha A(t)+\alpha (A_{0}-B_{0})e^{\alpha t}} וכך קיבלנו משוואה דיפרנציאלית ב- A {\displaystyle A} בלבד. ננחש פתרון מהצורה: A ( t ) = C 1 e − α t + C 2 e α t {\displaystyle A(t)=C_{1}e^{-\alpha t}+C_{2}e^{\alpha t}} הצבה במשוואה הדיפרנציאלית והתחשבות בתנאי ההתחלה A ( 0 ) = A 0 {\displaystyle A(0)=A_{0}} , נותנת , C 2 = A 0 − B 0 2 {\displaystyle ,C_{2}={A_{0}-B_{0} \over 2}} C 1 = A 0 + B 0 2 {\displaystyle C_{1}={A_{0}+B_{0} \over 2}} . זה אומר שהמערכה מסתיימת כעבור זמן: T = ln ⁡ ( A 0 + B 0 A 0 − B 0 ) / 2 α {\displaystyle T=\ln {({{A_{0}+B_{0}} \over {A_{0}-B_{0}}})}/{2\alpha }} והגודל הסופי של צבא A {\displaystyle A} (הגדול יותר) הוא: ( A 0 2 − B 0 2 ) {\displaystyle {\sqrt {(A_{0}^{2}-B_{0}^{2})}}} הווה אומר אם צבא A {\displaystyle A} כפול בגודלו מ- B {\displaystyle B} אזי יישאר ממנו B 0 3 {\displaystyle B_{0}{\sqrt {3}}} בסיום המערכה. זהו גם אישור והוכחה לחוק הריבועי של לנצ'סטר שכן הצבה חוזרת בנוסחה מראה שצבא A {\displaystyle A} יוכל להתמודד 4 מערכות מול צבא בגודל של B {\displaystyle B} לפני שיושמד. המשוואות של לנצ'סטר קשורות למודל העדכני יותר של קרבות מבוססי מטחים (Salvo Combat Model), עם שני הבדלים עיקריים. ראשית, המשוואות המקוריות של לנצ'סטר יוצרות מודל רציף בזמן, בעוד שמשוואות המטחים יוצרות מודל דיסקרטי בזמן. בקרב רובים, קליעים או פגזים נורים באופן טיפוסי בכמויות גדולות. בכל סיבוב יש לכלי הנשק סיכוי קטן יחסית לפגוע במטרה, וגם יוצר כמות קטנה יחסית של נזק. לפיכך משוואות לנצ'סטר מתארות היטב את המקרה של מטחי ירי כאלה אשר זרם אש רציף שמחליש באופן רציף את האויב. לשם השוואה, טילי שיוט נורים באופן טיפוסי בכמויות קטנות. לכל אחד יש הסתברות גבוהה לפגוע במטרה שלו, ונושא ראש קרב עוצמתי. לפיכך יותר הגיוני למדל אותם כפולס בדיד של כח אש (או מטח) במקום מודל רציף בזמן. שנית, משוואות לנצ'סטר כוללות רק כח התקפתי, בעוד משוואות המטחים כוללות גם כח הגנתי. בגלל הגודל הקטן שלהם והכמויות הגדולות שלהם, זה לא מעשי ליירט קליעים ופגזים בקרב יריות. לעומת זאת, טילי שיוט ניתנים ליירוט בידי טילי קרקע - אוויר ונשקים נגד מטוסים. מכאן שזה חשוב לכלול הגנה אקטיבית כזאת כשממדלים קרב מטחי טילים. מדיה וקבצים בנושא חוקי לנצ'סטר בוויקישיתוף