חבורה למחצה

באלגברה מופשטת, חבורה למחצה (נקראת גם: אגודה) היא מבנה אלגברי הכולל קבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית. חבורה למחצה שיש לה, בנוסף, איבר יחידה, היא מונואיד. העבודות הראשונות על חבורות למחצה הן של P. Hoyer ב-1902 ו-J.A. de Seguier ב-1904 חבורות למחצה מסתתרות בתוך מבנים אלגבריים מסוגים שונים: כל מונואיד הוא חבורה למחצה, ובפרט, כל חבורה היא חבורה למחצה. אוסף האיברים בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לפעולת הכפל), גם כאשר זהו חוג בלי יחידה. כל אידיאל בחוג הוא חבורה למחצה (ביחס לכפל). יש 5 חבורות למחצה (עד כדי איזומורפיזם) מסדר 2, 24 מסדר 3, 188 מסדר 4 ו-1915 מסדר 5 [1]. בחבורה למחצה אפשר להגדיר איבר יחידה מימין (איבר e {\displaystyle e} המקיים את היחס x e = x {\displaystyle xe=x} לכל x {\displaystyle x} ) ואיבר יחידה משמאל (איבר המקיים את היחס e x = x {\displaystyle ex=x} לכל x {\displaystyle x} ). בחבורה למחצה יכולים להיות כמה איברי יחידה מימין, או כמה איברי יחידה משמאל, אבל אם יש בה איבר יחידה מימין ואיבר יחידה משמאל, אז הם מוכרחים להיות שווים זה לזה. חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת מונואיד. במונואיד אפשר למיין איברים לפי תכונות חד-צדדיות. איבר b {\displaystyle b} הוא ההפכי מימין של a {\displaystyle a} אם a b = 1 {\displaystyle ab=1} , והוא ההפכי משמאל של a {\displaystyle a} אם b a = 1 {\displaystyle ba=1} . יחסים אלה אינם נובעים זה מזה באופן כללי, ובמונואידים מסוימים יש איברים הפיכים מימין (או משמאל), שאינם הפיכים. מאידך, אם יש לאיבר a {\displaystyle a} גם הפכי מימין וגם הפכי משמאל, אז הם שווים זה לזה, והאיבר הפיך; במקרה כזה, מסמנים את ההפכי ב-   a − 1 {\displaystyle \ a^{-1}} . אוסף האיברים ההפיכים במונואיד סגור לכפל (בגלל התכונה   ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 {\displaystyle \ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}} ), והוא מהווה לכן חבורה. איבר z {\displaystyle z} המקיים x z = z x = z {\displaystyle xz=zx=z} לכל x {\displaystyle x} , נקרא איבר אפס. יחסי גרין מוליכים למיון של אברי החבורה לפי האידיאלים (הימניים, השמאליים והדו-צדדיים) שהם יוצרים. שלא כמו בחבורות או חוגים, המנה של חבורה למחצה מעל אידיאל (דו-צדדי) מתקבלת מכיווץ האידיאל לאיבר אחד, כששאר האיברים נשארים נבדלים כשהיו. איבר   e ∈ S {\displaystyle \ e\in S} בחבורה למחצה, המקיים את הזהות   e 2 = e {\displaystyle \ e^{2}=e} , נקרא אידמפוטנט. בחבורה יש רק אידמפוטנט אחד (הלא הוא איבר היחידה), אבל בחבורות למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, ואפשר ללמוד מהם רבות על המבנה שלה. את אוסף האידמפוטנטים בחבורה-למחצה S {\displaystyle S} מקובל לסמן ב-   E ( S ) {\displaystyle \ E(S)} . בין האידמפוטנטים מוגדר יחס שקילות:   e ∼ f {\displaystyle \ e\sim f} אם קיימים x , y {\displaystyle x,y} כך ש-   e = x y {\displaystyle \ e=xy} ו-   f = y x {\displaystyle \ f=yx} (היחס טרנזיטיבי משום שאם e = x y , f = y x = z u {\displaystyle e=xy,f=yx=zu} ו- g = u z {\displaystyle g=uz} , אז x z u y = x y x y = x y = e {\displaystyle xzuy=xyxy=xy=e} ו- u y x z = u z u z = u z {\displaystyle uyxz=uzuz=uz} ). אידמפוטנט e הוא פרימיטיבי אם לא קיים אידמפוטנט אחר f שעבורו fe=ef=f. אחת הדרכים לפענח את המבנה של חבורה למחצה היא דרך תת-החבורות שלהן, שהן חבורות-למחצה המוכלות במבנה המקורי, ומהוות, כשלעצמן, חבורות. איבר היחידה של כל תת-חבורה כזו הוא אידמפוטנט. כל חבורה למחצה בת-מניה אפשר לשכן בחבורה למחצה הנוצרת על ידי שלושה אידמפוטנטים. אם הראשונה סופית, אפשר להניח שגם האחרונה כזו. חבורה למחצה שכל אבריה אידמפוטנטים היא סופית-מקומית. חבורה למחצה קומוטטיבית שכל אבריה אידמפוטנטים נקראת גם סריג למחצה. במונואיד, אוסף האיברים ההפיכים מהווה חבורה. בחבורה למחצה, בהיעדר איבר יחידה, לא ניתן אפילו להגדיר את המושג 'איבר הפיך' - ועל-כן מסתפקים במושג חלש יותר: y {\displaystyle y} הוא הפכי (או הפכי חלש) של x {\displaystyle x} אם   x y x = x {\displaystyle \ xyx=x} ו-   y x y = y {\displaystyle \ yxy=y} (זהו כמובן יחס סימטרי). ייתכן שלאותו איבר יהיו הפכיים רבים. אם y {\displaystyle y} הפכי של x {\displaystyle x} , אז   x y {\displaystyle \ xy} ו-   y x {\displaystyle \ yx} שניהם אידמפוטנטים. אידמפוטנטים הפוכים זה לזה הם שקולים. כל חבורה למחצה אינסופית כוללת תת-חבורה למחצה אינסופית מאחד הטיפוסים הבאים: (1) המספרים הטבעיים ביחס לחיבור; (2) המספרים הטבעיים ביחס לפעולת המינימום; (3) המספרים הטבעיים ביחס לפעולת המקסימום; (4) חבורה מפותלת; (5) חבורה למחצה שבה כל האיברים הם אפסים מימין, או כל האיברים אפסים משמאל; (6) חבורה למחצה S שעבורה S^2 סופית; (7) קבוצה אינסופית של אידמפוטנטים עם איבר 0 כך ש-xy=0 לכל x שונה מ-y. (משפט Sevrin, 1974) ממילא, כל חבורה למחצה קומוטטיבית אינסופית כוללת תת-חבורה למחצה אינסופית מאחד הטיפוסים הנ"ל למעט (5); וכל חבורה למחצה נילית כוללת תת-חבורה למחצה אינסופית מטיפוס (6). חבורה למחצה היא רגולרית, אם לכל איבר a {\displaystyle a} קיים איבר b {\displaystyle b} , שעבורו   a b a = a {\displaystyle \ aba=a} (ראו גם חוג רגולרי פון-נוימן). במקרה כזה האיבר   c = b a b {\displaystyle \ c=bab} הוא הפכי של   a {\displaystyle \ a} , ולכן אפשר גם להגדיר: חבורה למחצה היא רגולרית, אם כל האיברים בה הפיכים. לדוגמה, החבורה למחצה של כל הפונקציות מקבוצה אל עצמה היא רגולרית. אלגברת המטריצות   M n ( F ) {\displaystyle \ M_{n}(F)} , מעל כל שדה, היא חבורה-למחצה רגולרית. אם A {\displaystyle A} אלגברה ממימד סופי, אז החבורה-למחצה של כל האיברים (ביחס לכפל) היא רגולרית אם ורק אם האלגברה פשוטה למחצה. אם   G ≤ G L n ( F ) {\displaystyle \ G\leq GL_{n}(F)} חבורה אלגברית מעל שדה סגור אלגברית F {\displaystyle F} , אז סגור זריצקי שלה, שהוא תת-חבורה-למחצה של   M n ( F ) {\displaystyle \ M_{n}(F)} , הוא רגולרי אם ורק אם החבורה רדוקטיבית. חבורה-למחצה S {\displaystyle S} שכל אבריה הם אידמפוטנטים נקראת "רצועה" (band). אם S {\displaystyle S} סופית, כל מודול אי-פריק של FS הוא חד-ממדי. כל רצועה היא רגולרית (כל איבר הפכי לעצמו). רצועה המקיימת את הזהות   x y x = x y {\displaystyle \ xyx=xy} נקראת "רצועה רגולרית משמאל" (left-regular band). לרצועות רגולריות יש שימושים בחקירת הילוכים על מבנים גאומטריים כגון אוסף התאים הנוצר מחלוקת המרחב באמצעות על-מישורים. חבורה למחצה שבה לכל איבר יש הפכי יחיד (במובן שהוגדר לעיל), נקראת חבורה למחצה הפיכה (inverse semi-group). בחבורה-למחצה כזו מקובל לסמן את ההפכי של x {\displaystyle x} בסימון   x − 1 {\displaystyle \ x^{-1}} . אם שני אידמפוטנטים e , f {\displaystyle e,f} בחבורה-למחצה כזו הם שקולים, אז קיים איבר x {\displaystyle x} כך ש-   e = x x − 1 {\displaystyle \ e=xx^{-1}} ו-   f = x − 1 x {\displaystyle \ f=x^{-1}x} . משפט. חבורה למחצה היא הפיכה אם ורק אם היא רגולרית, וכל האידמפוטנטים מתחלפים זה עם זה. יש גרסה של משפט קיילי מתורת החבורות, עבור חבורות-למחצה הפיכות: כל חבורה למחצה הפיכה ניתנת לשיכון באוסף הפונקציות החלקיות החד-חד-ערכיות   { f ⊆ X × X : ( x , y ) , ( x , y ′ ) ∈ f ⟹ y = y ′ } {\displaystyle \ \{f\subseteq X\times X:(x,y),(x,y')\in f\implies y=y'\}} של קבוצה כלשהי, X {\displaystyle X} . בחבורה למחצה הפיכה S {\displaystyle S} שהיא סופית, אם e {\displaystyle e} הוא אידמפוטנט אז   G e = { x ∈ S : x x − 1 = x − 1 x = e } {\displaystyle \ G_{e}=\{x\in S:xx^{-1}=x^{-1}x=e\}} היא תת-חבורה מקסימלית של S {\displaystyle S} (ואיבר היחידה שלה הוא e {\displaystyle e} ). את תורת ההצגות של חבורה-למחצה הפיכה אפשר לתרגם לשפה של גרופואידים: לכל חבורה-למחצה הפיכה S {\displaystyle S} , קיים גרופואיד   G ( S ) {\displaystyle \ G(S)} , ולכל שדה F {\displaystyle F} , האלגברות   F [ S ] {\displaystyle \ F[S]} ו-   F [ G ( S ) ] {\displaystyle \ F[G(S)]} איזומורפיות. תת-קבוצה לא ריקה של חבורה למחצה S היא אידיאל אם היא סגורה לכפל מימין ומשמאל באברי S. למשל, אם ב-S יש איבר אפס 0, אז {0} הוא אידיאל. חבורה למחצה היא פשוטה אם אין לה אידיאלים למעט עצמה. כל חבורה למחצה אפשר לשכן בחבורה פשוטה. את החבורה למחצה {0,1} (עם הכפל הרגיל) אי אפשר לשכן בחבורה למחצה פשוטה סופית. חבורה למחצה פשוטה היא פשוטה לחלוטין אם יש לה אידמפוטנט פרימיטיבי (לדוגמה, אם היא סופית). משפט ריס (Rees, 1940) מתאר את החבורות למחצה שהן פשוטות לחלוטין בתור אלו שמתקבלות מבניה מטריציאלית מסוימת ("Rees matrix semigroup" מעל חבורה). סריג למחצה הוא קבוצה סדורה שבה לכל שני איברים i,j יש חסם תחתון i ∧ j {\displaystyle i\wedge j} . במונחי החבורות למחצה, סריג למחצה הוא רצועה קומוטטיבית. אם Y הוא סריג למחצה, ולכל i ב-Y מתאימה חבורה למחצה S i {\displaystyle S_{i}} כך ש- S i S j ⊂ S i ∧ j {\displaystyle S_{i}S_{j}\subset S_{i\wedge j}} , קיבלנו פירוק של S = ∪ i ∈ Y S i {\displaystyle S=\cup _{i\in Y}S_{i}} . כל סריג אפשר לפרק באופן כזה, כאשר המרכיבים S i {\displaystyle S_{i}} הם בלתי פריקים. הסריג Y מהווה מנה של S לגבי קונגוראנציה מתאימה. הקונגרואנציה הקטנה ביותר היא זו שבה x y ≡ y x ≡ x y x {\displaystyle xy\equiv yx\equiv xyx} ו- x ≡ x 2 {\displaystyle x\equiv x^{2}} . אוטומט הוא מנגנון בסיסי במדעי המחשב התאורטיים, המתואר בדרך כלל כגרף מכוון עם מידע נוסף על הקשתות, כגון אותיות הקלט והפלט של האוטומט. אפשר לתאר אוטומט דטרמיניסטי עם מרחב מצבים Q ואלפבית   Σ {\displaystyle \ \Sigma } גם כצמד פעולות: של המונויד   Σ ∗ {\displaystyle \ \Sigma ^{*}} (אוסף המלים הסופיות, עם פעולת ההדבקה) על Q, ושל Q על   Σ ∗ {\displaystyle \ \Sigma ^{*}} , באופן הבא. מגדירים פעולה חלקית של   Σ {\displaystyle \ \Sigma } על Q לפי   q ⋅ a = p {\displaystyle \ q\cdot a=p} כאשר האות a מעבירה מן המצב q למצב p. הפעולה מוגדרת באופן חד-ערכי מכיוון שהאוטומט דטרמיניסטי (היינו יש לכל היותר חץ אחד מ-q שהקלט שלו הוא a), והיא שלמה כאשר האוטומט שלם (יש לכל הפחות חץ אחד מ-q שהקלט שלו הוא a). פעולה זו מומשכת לפעולה (ימנית) של   Σ ∗ {\displaystyle \ \Sigma ^{*}} על ידי   q ⋅ ( a w ) = ( q ⋅ a ) ⋅ w {\displaystyle \ q\cdot (aw)=(q\cdot a)\cdot w} . בדומה לזה מגדירים פעולה חלקית של Q על   Σ {\displaystyle \ \Sigma } לפי   q ∘ a = b {\displaystyle \ q\circ a=b} כאשר המעבר מן המצב q עם הקלט a מחזיר את הקלט b. גם פעולה זו מוגדרת באופן חד-ערכי כאשר האוטומט דטרמיניסטי, והיא שלמה כאשר האוטומט שלם. פעולת Q מורחבת לפעולה   Σ ∗ {\displaystyle \ \Sigma ^{*}} לפי   q ∘ ( a w ) = ( q ∘ a ) [ ( q ⋅ a ) ∘ w ] {\displaystyle \ q\circ (aw)=(q\circ a)[(q\cdot a)\circ w]} . הפעולות q : w ↦ q ∘ w {\displaystyle q\,:\,w\mapsto q\circ w} מהוות כעת פונקציות חלקיות ממרחב המלים לעצמו. החבורה למחצה הנוצרת על ידי הפונקציות האלה היא חבורה למחצה אוטומטית (לפעמים מגבילים את המונח הזה לאוטומט דטרמיניסטי שלם דווקא). החבורה למחצה הנוצרת על ידי אוטומט בי-דטרמיניסטי (אוטומט דטרמיניסטי שנותר דטרמיניסטי גם כשהופכים את תפקידי הקלט והפלט) היא חבורה למחצה הפיכה [2]. החבורה למחצה הנוצרת על ידי אוטומט בי-דטרמיניסטי ובי-שלם (אוטומט שלם, הנותר שלם בהחלפת תפקידי הקלט והפלט) היא חבורה. חבורה כזו נקראת חבורה אוטומטית. בעיית המלה פתירה בחבורות אוטומטיות. חבורה למחצה, באתר MathWorld (באנגלית) חבורות-למחצה, דף שער בספרייה הלאומית The History of Combinatorial Group Theory: A case study in the history of ideas, Chandler and Magnus, 1980; p. 49