תורת ההסתברות

תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המשמש לניתוח כמותי של מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות ייצא הצירוף 6/6. לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים. ערך מורחב – היסטוריה של תורת ההסתברות באמצע המאה ה-16 החלו מתמטיקאים בתהליך שהוביל להתפתחותה של תורת ההסתברות, המטפלת באקראיות באופן מתמטי. בשלביה המוקדמים נעשו חישובים הסתברותיים נאיביים באופן אינטואיטיבי, עד לביסוסה המתמטי במאות ה-19 וה-20, בהן היא הפכה לתורה מתמטית נפוצה ונחקרת העומדת על בסיס אקסיומטי איתן. לכל אורך ההיסטוריה של תורת ההסתברות היא הייתה בעלת השפעה גדולה על ענפי מדע שונים. בתחילה היא השפיעה על ענפים כמו דמוגרפיה, אפידמיולוגיה ואסטרונומיה, בהמשך התרחבה השפעתה גם על מתמטיקה וסטטיסטיקה, במידה ניכרת גם על אלגוריתמיקה ומדעי המחשב, וכן על ענפי מדעי הטבע, כמו פיזיקה ובפרט פיזיקה סטטיסטית ומכניקת הקוונטים. להתפתחות תורת ההסתברות הייתה השפעה מכריעה על התפתחותם של תחומים יסודיים בתוך כל ענפי המדע הללו, ותמצית השפעתה הייתה המסגרת הפורמלית שהיא סיפקה כדי לכמת גדלים שאינם ידועים; גדלים נצפים-אמפיריים, גדלים חישוביים וגדלים תאורטיים. במקרים רבים גם לענפי המדע הללו הייתה השפעה על התפתחותה של תורת ההסתברות. מושג בסיסי בתורת ההסתברות הוא מאורע פשוט, שהוא תוצאה אפשרית אחת מתוך כלל התוצאות האפשריות במרחב המדגם. מאורע הוא קבוצה כלשהי של תוצאות (תת-קבוצה מתאימה של מרחב המדגם). בהטלת מטבע בודד מרחב המדגם כולל שתי תוצאות אפשריות: "עץ" או "פלי". כל הטלה של מטבע היא מאורע פשוט, שניתן לשייך לו הסתברות. אם נניח שמרחב המדגם הוא סימטרי, נקבל שההסתברות למאורע הפשוט בו המטבע נופל על הצד "עץ" היא בדיוק חצי. בהטלת קובייה יש שש תוצאות אפשריות (הערכים 1 עד 6 המתקבלים בצד העליון של הקובייה). במקרה זה תוצאות אלה הן מאורעות זרים (כלומר אינם יכולים להתרחש בבת אחת) ושווי הסתברות, בהנחה שהקובייה סימטרית. מאורעות נחשבים כבלתי תלויים אם ההסתברות להתרחשות של כל אחד מהם אינה מושפעת מהעובדה שהאחר כבר קרה. שתי הטלות נפרדות של קובייה, למשל, הן מאורעות בלתי תלויים. אחת התכונות הבסיסיות של מרחבי הסתברות היא שההסתברות של איחוד מאורעות זרים שווה לסכום ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. תכונה זו מתאימה להנחה האינטואיטיבית שהסיכוי שלפחות אחד משני מאורעות יתרחש הוא סכום הסיכויים שכל אחד מהם יתרחש בנפרד, כל עוד אין ביניהם חפיפה. לדוגמה, בהטלת קובייה סימטרית ההסתברות לכל תוצאה אפשרית היא שישית. למאורע "תתקבל תוצאה זוגית", שהוא איחוד של המאורעות הזרים, שיתקבל 2, 4, או 6, יש הסתברות של חצי – שלוש שישיות. ההסתברות של חיתוך של מאורעות בלתי תלויים, כלומר ההסתברות שכל המאורעות הללו יקרו יחדיו, שווה למכפלת ההסתברויות של כל אחד מהמאורעות. דוגמה: מה ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת? המאורע המשלים למאורע זה הוא שבכל שלוש הזריקות הופיעה התוצאה "פלי". ההסתברות של מאורע זה שווה למכפלת ההסתברויות של התוצאה "פלי" בכל אחת משלוש הזריקות, כלומר ההסתברות של המאורע המשלים היא חצי כפול חצי כפול חצי, שהיא שמינית. לפיכך ההסתברות שבשלוש הטלות רצופות של מטבע התוצאה "עץ" תופיע לפחות פעם אחת היא שבע שמיניות. הסיכויים שהקובייה תיפול על המספר 6, הם 1/6. הסיכוי שבשתי קוביות יתקבל המספר 6 הוא 1/36 והסיכוי שבשלוש קוביות יתקבל 6 הוא 1/216. כלומר, ככל שמספר הקוביות גדל, הסיכוי שכולן יפלו על אותו המספר קטן. לצורך חישוב הסתברויות של מאורעות מורכבים יותר במרחבים בדידים וסימטריים, נעשה שימוש בשיטות קומבינטוריות. הצגה לא מדויקת של בעיות בהסתברות עלולה להביא לתוצאות פרדוקסליות. דוגמה בולטת לכך היא פרדוקס המעטפות. פרופ' רוס פינסקי, תורת ההסתברות - הרצאה 1, בערוץ יוטיוב של הטכניון יובל קפלן, סיכום הרצאות פרופ‘ יורי קיפר בקורס "תורת ההסתברות 1" באוניברסיטה העברית, 8–2007, באתר {limsoup}. המושגים הבסיסיים בהסתברות, באתר "הלומדה" תורת ההסתברות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Gerhard Gerlich, The Role of Probability and Statistics in Physics, in: "Probability and Bayesian Statistics" (1987), pages 193-201. Youssef Marzouk and Karen Wilcox, Uncertainty Quantification, chapter II.34 in: "The Princeton Companion to Applied Mathematics" (page 131), Editor: Nicholas J. Higham, Princeton University Press (2015)