שדה שברים

באלגברה, שדה השברים של תחום שלמות R {\displaystyle R} הוא שדה הנוצר מתחום שלמות R {\displaystyle R} , על ידי תהליך שהוא חיקוי ליצירת שדה המספרים הרציונליים מתוך תחום השלמות של המספרים השלמים. על ידי שדה שברים, ניתן "להשלים" כל תחום שלמות לשדה. שדה השברים הוא מקרה פרטי של מיקום (לוקליזציה) של חוג. זהו הסבר לא פורמלי לבנייה. הבניה הפורמלית בחלק הבא. נבנה את שדה השברים בדומה לתהליך הבניה הפורמלי של שדה הרציונליים מחוג המספרים השלמים. כדי ליצור שדה נבנה לכל איבר שונה מאפס בתחום השלמות הפכי, ונסגור את האובייקט שנוצר תחת פעולות החוג (חיבור וכפל). נסמן את ההפכי שבנינו לאיבר   a ∈ R {\displaystyle \ a\in R} ב- 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} . איבר זה כבר לא בהכרח שייך לחוג המקורי. כיוון שתחום שלמות הוא חוג קומוטטיבי, ההפכי של המכפלה a b {\displaystyle ab} (או a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} ) שהוא 1 a b {\displaystyle {\frac {1}{ab}}} יהיה 1 a ⋅ 1 b {\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{b}}} , כלומר: 1 a ⋅ 1 b = 1 a b {\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot {\frac {1}{b}}={\frac {1}{ab}}} . קיום ההופכיים מאפשר לנו לפתור משוואות מהצורה   a x = b {\displaystyle \ ax=b} , על ידי הכפלה משמאל בגורם 1 a {\displaystyle {\frac {1}{a}}} , ולכן פתרון המשוואה הוא המכפלה 1 a ⋅ b {\displaystyle {\frac {1}{a}}\cdot b} (כאן יש בעצם רמאות כי אנו מכפילים גורם בחוג R {\displaystyle R} עם גורם שהוא מחוץ לחוג ולכן המכפלה מראש לא מוגדרת), את המכפלה הזו נסמן כ"שבר" b a {\displaystyle {\frac {b}{a}}} . אם   a , b , c , d ∈ R {\displaystyle \ a,b,c,d\in R} אז נשים לב שהפתרון למשוואה   b d ⋅ x = a c {\displaystyle \ bd\cdot x=ac} הוא מצד אחד a c b d {\displaystyle {\frac {ac}{bd}}} ומצד שני המכפלה a b ⋅ c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}} ולכן קיבלנו כלל לביצוע מכפלה בין השברים: a b ⋅ c d = a c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}} בצורה דומה ניתן לקבל גם כלל לחיבור בין שברים, על ידי "מכנה משותף": a b + c d = a d + b c b d {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}} כיוון שזהו תחום שלמות מתקבל גם שניתן לצמצם משוואה ולכן אם   a b ⋅ x = a c {\displaystyle \ ab\cdot x=ac} ו- a {\displaystyle a} שונה מאפס, אז גם   b x = c {\displaystyle \ bx=c} או בצורת השברים: a b a c = b c {\displaystyle {\frac {ab}{ac}}={\frac {b}{c}}} ובפרט a b ⋅ b a = 1 1 = 1 {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}={\frac {1}{1}}=1} - כלומר לכל איבר שאינו אפס קיים הפכי. נבנה את שדה השברים על ידי הגדרת פעולות כפל וחיבור על מחלקות שקילות מקבוצת זוגות הסדורים R × ( R − { 0 } ) {\displaystyle R\times (R-\left\{0\right\})} , באופן שמחלקת השקילות של הזוג הסדור ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} תתאים למה שנסמן כשבר a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} . קודם כל, נרצה שיהיה אפשר לצמצם את השבר כלומר - a c b c = a b {\displaystyle {\frac {ac}{bc}}={\frac {a}{b}}} ולכן נגדיר את יחס השקילות ∼ {\displaystyle \sim } על הקבוצה   R × ( R ∖ { 0 } ) {\displaystyle \ R\times (R\setminus \left\{0\right\})} כיחס:   ( a , b ) ∼ ( a c , b c ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (ac,bc)} את מחלקת השקילות של ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} נסמן [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . נגדיר, בהתאם לבניה הלא פורמלית את הכפל ואת החיבור:   [ a , b ] ⋅ [ c , d ] = [ a c , b d ] {\displaystyle \ [a,b]\cdot [c,d]=[ac,bd]}   [ a , b ] + [ c , d ] = [ a d + c b , b d ] {\displaystyle \ [a,b]+[c,d]=[ad+cb,bd]} ניתן להראות שהפעולות מוגדרות היטב (כלומר אין תלות בבחירת הנציגים של מחלקת השקילות), והן קומוטטיביות ואסוציאטיביות, ולכן יוצרות חוג קומוטטיבי עם יחידה (הוכחה מפורשת נמצאת בערך מספר רציונלי). איבר האפס של החוג הוא   [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ [0,1]} ואיבר היחידה של החוג הוא   [ 1 , 1 ] {\displaystyle \ [1,1]} . לכל איבר   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} קיים נגדי והוא   [ − a , b ] {\displaystyle \ [-a,b]} , ואם a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} אז קיים לו גם הפכי,   [ b , a ] {\displaystyle \ [b,a]} , ולכן זהו שדה. שדה זה מכיל עותק של החוג R {\displaystyle R} , שהוא האיברים [ a , 1 ] {\displaystyle [a,1]} . אם R {\displaystyle R} הוא כבר שדה, אז שדה השברים שלו איזומורפי ל- R {\displaystyle R} עצמו. לפיכך, מכיוון שתחום שלמות סופי הוא שדה, נובע שעוצמת שדה השברים שווה תמיד לעוצמת החוג המקורי. שדה השברים של Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (השלמים) הוא שדה המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . שדה השברים של F [ t ] {\displaystyle F[t]} , חוג הפולינומים מעל שדה F {\displaystyle F} , נקרא שדה הפונקציות הרציונליות, ומסומן F ( t ) {\displaystyle F(t)} . שדה שברים, באתר MathWorld (באנגלית)