פונקטורים צמודים

במתמטיקה, בפרט בתורת הקטגוריות, זוג פונקטורים צמודים מתאר יחס בין שתי קטגוריות שהוא מעט דומה לשקילות אך חלש ממנה. זוג הפונקטורים המקשרים בדרך זו בין שתי קטגוריות נקרא זוג פונקטורים צמודים, כאשר אחד הוא צמוד משמאל, והאחר צמוד מימין. זוגות פונקטורים צמודים מופיעים במתמטיקה בכל מקום. המושג פונקטור צמוד נוסח על-ידי דניאל קאן בשנות ה-50 של המאה ה-20. יהיו C ,   D {\displaystyle {\mathcal {C}},\ {\mathcal {D}}} שתי קטגוריות. זוג הפונקטורים F : C → D {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} ו- G : D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} נקרא זוג פונקטורים צמודים אם נתון איזומורפיזם טבעי Hom D ⁡ ( F ( x ) , y ) → ∼ Hom C ⁡ ( x , G ( y ) ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathcal {D}}(F(x),y){\stackrel {\sim }{\to }}\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(x,G(y))} בין שני פונקטורים C o p × D → S e t {\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\times {\mathcal {D}}\to {\mathit {Set}}} . פונקטור F {\displaystyle F} נקרא צמוד משמאל ואילו G {\displaystyle G} צמוד מימין. אם F {\displaystyle F} פונקטור צמוד משמאל לפונקטור G {\displaystyle G} , קיימות העתקות טבעיות η : 1 C → G ∘ F {\displaystyle \eta :1_{\mathcal {C}}\to G\circ F} 0 (יחידה) ו- ϵ : F ∘ G → 1 D {\displaystyle \epsilon :F\circ G\to 1_{\mathcal {D}}} (קו-יחידה), כך שההרכבות F ⟶ F η F ∘ G ∘ F ⟶ ϵ F F {\displaystyle F{\stackrel {F\eta }{\longrightarrow }}F\circ G\circ F{\stackrel {\epsilon F}{\longrightarrow }}F} G ⟶ η G G ∘ F ∘ G ⟶ G ϵ G {\displaystyle G{\stackrel {\eta G}{\longrightarrow }}G\circ F\circ G{\stackrel {G\epsilon }{\longrightarrow }}G} הן 1 F {\displaystyle 1_{F}} ו- 1 G {\displaystyle 1_{G}} בהתאמה. גם ההפך הוא נכון: בהינתן שתי קטוגוריות C , D {\displaystyle {\mathcal {C}},{\mathcal {D}}} , שני פונקטורים F : C → D {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} ו- G : D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} , וכן יחידה וקו-יחידה המקיימים את הזהויות ( ϵ F ) ∘ ( F η ) = 1 F ,   ( G ϵ ) ∘ ( η G ) = 1 G {\displaystyle (\epsilon F)\circ (F\eta )=1_{F},\ (G\epsilon )\circ (\eta G)=1_{G}} , זה מגדיר את זוג הפונקטורים הצמודים. תהי C = S e t {\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathit {Set}}} קטגוריה של קבוצות, D = V e c t {\displaystyle {\mathcal {D}}=\mathrm {Vect} } קטגוריה של מרחבים וקטוריים (מעל שדה כלשהו). הפונקטור G : D → C {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}} שולח כל מרחב וקטורי V {\displaystyle V} לקבוצה V {\displaystyle V} (פונקטור שוכח) ואילו F {\displaystyle F} שולח כל קבוצה X {\displaystyle X} למרחב וקטורי הנפרש על-ידי X {\displaystyle X} (זהו המרחב הווקטורי שאיברי X {\displaystyle X} מהווים בסיס שלו). העובדה שהפונקטורים F {\displaystyle F} ו- G {\displaystyle G} צמודים מבטאת את הטענה הידועה באלגברה ליניארית האומרת שכל העתקה ליניארית מוגדרת חד0משמעית על-ידי ערכיה על איברי בסיס. תהי C = S e t {\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathit {Set}}} קטגוריה של קבוצות, D = T o p {\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathit {Top}}} קטגוריה של מרחבים טופולוגיים. פונקטור G {\displaystyle G} , כמו בדיגמה הראשונה, הוא פונקטור שוכח את הטופולוגיה. הפונקטור F {\displaystyle F} מעביר כל קבוצה X {\displaystyle X} למרחב טופולוגי בדיד המוגדר על-ידי X {\displaystyle X} . לפונקטור G {\displaystyle G} קיים גם צמוד מימין: הוא מצייד של קבוצה X {\displaystyle X} בטופולוגיב טריוויאלית (זאת שאין בה תת-קבוצות פתוחות פרט ל- X {\displaystyle X} ולקבוצה ריקה). אם לפונקטור G {\displaystyle G} קיים צמוד משמאל, הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם יחיד. כנ"ל לגבי צמוד מימין. כל פונקטור F : C → D {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}} צמוד משמאל שומר על קו-גבולות שקיימים ב- C {\displaystyle {\mathcal {C}}} . כנ"ל כל פונקטור צמוד מימין שומר על גבולות קיימים. MacLane, Saunders (1998). Categories for the working mathematician. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. פונקטורים צמודים, באתר MathWorld (באנגלית)