לשון ארנולד

במתמטיקה, במיוחד במערכות דינמיות, לשונות ארנולד (על שם ולדימיר ארנולד ) הן תופעה ציורית המתרחשת כאשר מדמיינים כיצד תדירות הסיבוב של מערכת דינמית, או תכונה בלתי משתנה קשורה אחרת שלה, משתנה לפי שניים או יותר מהפרמטרים של המערכת. כאשר צופים באזורים המתאפיינים ב"מספר סיבוב" קבוע, מגלים צורות גאומטריות הדומות ללשון, ובמקרה זה הן נקראות לשונות ארנולד. לשונות ארנולד נצפות במגוון גדול של תופעות טבע המודדות גדלים משתנים, כמו ריכוז אנזימים וסובסטרטים בתהליכים ביולוגיים או במודלים של פעילות הלב. לפעמים תדירות התנודה תלויה או מוגבלת (למשל, תחת סף מסוים לפאזה) על ידי גורם כלשהו, כך שלעיתים חוקרים מתעניינים בקשר הזה. למשל, גידול סרטני מעורר סדרה של תהליכים באזור הרלוונטי הכולל שינויים בכמויות חלבונים המקיימות אינטראקציה זו עם זו; סימולציות מראות שאינטראקציות אלו גורמות ללשונות ארנולד להופיע, כלומר, התדירות של תנודות מסוימות מגבילות את התנודות האחרות, וניתן להשתמש בהן כדי לשלוט בצמיחת הגידול. דוגמאות אחרות שבהן ניתן למצוא לשונות ארנולד כוללות חוסר הרמוניה בין כלי נגינה, תהודה מסלולית ונעילת גאות של ירחים, נעילת מצב בסיבים אופטיים ובלולאות נעולות פאזה ומתנדים אלקטרוניים אחרים, כמו גם בקצב לב, הפרעות קצב לב, ומחזור התא. אחד הדגמים הפיזיים הפשוטים ביותר לתופעה שנקראת "נעילת מצב" מורכב משני דיסקים מסתובבים המחוברים ביניהם על ידי קפיץ חלש. לדיסק אחד מותר להסתובב בחופשיות, והשני מונע על ידי מנוע. נעילת מצב מתרחשת כאשר הדיסק אשר מסתובב בחופשיות מסתובב בתדר שהוא כפול בערכו מזה של המסובב המונע. המודל המתמטי הפשוט ביותר שמציג נעילת מצבים הוא מוד של מפת המעגל, אשר מתאר את תנועת הדיסקים המסתובבים (כפי שתואר לעיל) במרווחי זמן נפרדים. לשונות ארנולד מופיעות לרוב כאשר חוקרים את האינטראקציה בין מתנדים, במיוחד במקרה שבו מתנד אחד מניע אחר. כלומר, הם אינם משפיעים הדדית זה על זה (בניגוד למתרחש בדגמי Kuramoto, למשל). דוגמה לכך היא מתנדים מונעים, עם כוח מניע בעל התנהגות מחזורית. כדוגמה מעשית, תאי לב (המתנד החיצוני) מייצרים אותות חשמליים תקופתיים כדי לעורר התכווצויות לב (המתנד המונע); שימוש לנ'ל הוא קביעת היחס בין תדירות המתנדים על מנת לעצב קוצבי לב מלאכותיים טובים יותר. משפחת מפות המעגלים משמשת מודל מתמטי שימושי לתופעה ביולוגית זו, כמו גם רבות אחרות. משפחת מפות המעגל הן פונקציות (או אנדומורפיזמים ) של המעגל לעצמו. משפחת מפות המעגל ניתנת על ידי: θ i + 1 = g ( θ i ) + Ω {\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega } כאשר Ω {\displaystyle \Omega } הוא התדר ה"טבעי" של המתנד ו g {\displaystyle g} היא פונקציה מחזורית המחשבת את ההשפעה של המתנד החיצוני ( θ {\displaystyle \theta } ) בנקודה i על נקודת הזמן הבאה i+1. חשוב לשים לב שאם g ( θ ) = θ {\displaystyle g(\theta )=\theta } לכל θ {\displaystyle \theta } , החלקיק פשוט מסתובב במעגל ב Ω {\displaystyle \Omega } (התדר הטבעי) יחידות בכל פעם; בפרט, אם Ω {\displaystyle \Omega } הוא לא רציונלי המפה מצטמצמת לסיבוב לא רציונלי . מפת המעגלים הספציפית שנחקרה במקור על ידי ארנולד, ואשר עדיין משתתמשים בה גם בימינו, היא: θ i + 1 = θ i + Ω + K 2 π sin ⁡ ( 2 π θ i ) {\displaystyle \theta _{i+1}=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i})} כאשר K {\displaystyle K} נקרא חוזק צימוד, ו θ i {\displaystyle \theta _{i}} יש לפרש מודולו 1 {\displaystyle 1} . מפה זו מציגה התנהגות מגוונת מאוד בהתאם לפרמטרים K {\displaystyle K} ו Ω {\displaystyle \Omega }  ; אם נקבע את Ω = 1 / 3 {\displaystyle \Omega =1/3} ונשנה את K {\displaystyle K} , נקבל דיאגרמת ההתפצלות סביב אזור זה, בה אנו יכולים לראות מסלולים מחזוריים עם ביפורקציות והתנהגויות כאוטיות. אפשרות נוספת להציג את מפת המעגלים היא על ידי פונקציה כלשהי y ( t ) {\displaystyle y(t)} אשר יורדת באופן ליניארי עם שיפוע a {\displaystyle a} . ברגע שהפונקציה מגיעה לערך אפס, הערך שלה מתאפס לערך תדר מסוים, המתואר על ידי פונקציה z ( t ) = c + b sin ⁡ ( 2 π t ) {\displaystyle z(t)=c+b\sin(2\pi t)} . כעת, אנו מתעניינים ברצף הזמנים { t n } {\displaystyle \{t_{n}\}} שבו ערך הפונקציה y(t) מגיע לאפס. המודל הזה אומר שבזמן t n − 1 {\displaystyle t_{n-1}} מתקיים y ( t n − 1 ) = c + b sin ⁡ ( 2 π t n − 1 ) {\displaystyle y(t_{n-1})=c+b\sin(2\pi t_{n-1})} . מנקודה זו, y {\displaystyle y} קטן באופן ליניארי עד t n {\displaystyle t_{n}} , נקודה בה ערך הפונקציה y {\displaystyle y} הוא אפס. כך מקבלים: 0 = y ( t n − 1 ) − a ⋅ ( t n − t n − 1 ) 0 = [ c + b sin ⁡ ( 2 π t n − 1 ) ] − a t n + a t n − 1 t n = 1 a [ c + b sin ⁡ ( 2 π t n − 1 ) ] + t n − 1 t n = t n − 1 + c a + b a sin ⁡ ( 2 π t n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}0&=y(t_{n-1})-a\cdot (t_{n}-t_{n-1})\\[0.5em]0&=\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]-at_{n}+at_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&={\frac {1}{a}}\left[c+b\sin(2\pi t_{n-1})\right]+t_{n-1}\\[0.5em]t_{n}&=t_{n-1}+{\frac {c}{a}}+{\frac {b}{a}}\sin(2\pi t_{n-1})\end{aligned}}} ועל ידי בחירה Ω = c / a {\displaystyle \Omega =c/a} ו K = 2 π b / a {\displaystyle K=2\pi b/a} אנו משיגים את מפת המעגלים: t n = t n − 1 + Ω + K 2 π sin ⁡ ( 2 π t n − 1 ) . {\displaystyle t_{n}=t_{n-1}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi t_{n-1}).} לאון גלאס טען שהמודל הפשוט הזה ישים לכל מיני מערכות ביולוגיות כמו רגולציה על ריכוז חומרים בתא או בדם, כאשר y(t) מייצג את ריכוז החומר. בדגם זה, המשמעות של נעילת פאזה N : M {\displaystyle N:M} מתייחסת לכך ש y ( t ) {\displaystyle y(t)} מתאפס בדיוק N {\displaystyle N} פעמים כל M {\displaystyle M} מחזורים של גל הסינוס z ( t ) {\displaystyle z(t)} . מספר הסיבוב יהיה המנה N / M {\displaystyle N/M} . בהינתן המשפחה הכללית של אנדומורפיזמים במעגל: θ i + 1 = g ( θ i ) + Ω {\displaystyle \theta _{i+1}=g(\theta _{i})+\Omega } עבור מפת המעגל הסטנדרטית, מתקיים g ( θ ) = θ + ( K / 2 π ) sin ⁡ ( 2 π θ ) {\displaystyle g(\theta )=\theta +(K/2\pi )\sin(2\pi \theta )} . עם זאת, לעיתים יהיה לנו נוח יותר לייצג את מפת המעגל בעזרת מיפוי על ידי פונקציה f ( θ ) {\displaystyle f(\theta )}  : θ i + 1 = f ( θ i ) = θ i + Ω + K 2 π sin ⁡ ( 2 π θ i ) . {\displaystyle \theta _{i+1}=f(\theta _{i})=\theta _{i}+\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sin(2\pi \theta _{i}).} כעת נמשיך לפרט כמה מהמאפיינים של אנדומורפיזמים אשר מתרחשים במעגלים אלה. P1. הפונקציה f {\displaystyle f} גדלה באופן מונוטוני עבור K < 1 {\displaystyle K<1} , כך שעבור ערכים אלה של K {\displaystyle K} האיטרציות θ i {\displaystyle \theta _{i}} רק נעות קדימה במעגל, אך לעולם לא אחורה. כדי לראות זאת, נשים לב שהנגזרת של f {\displaystyle f} היא: f ′ ( θ ) = 1 + K cos ⁡ ( 2 π θ ) {\displaystyle f'(\theta )=1+K\cos(2\pi \theta )} שהיא גודל חיובי כל עוד K < 1 {\displaystyle K<1} . P2. כאשר מרחיבים את היחס מקבלים נוסחה עבור θ n {\displaystyle \theta _{n}}  : θ n = θ 0 + n Ω + K 2 π ∑ i = 0 n − 1 sin ⁡ ( 2 π θ i ) . {\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}+n\Omega +{\frac {K}{2\pi }}\sum _{i=0}^{n-1}\sin(2\pi \theta _{i}).} P3. נניח ש θ n = θ 0 mod 1 {\displaystyle \theta _{n}=\theta _{0}{\bmod {1}}} , הן נקודות קבועות מחזוריות בעלות מחזור n {\displaystyle n} . כיוון שגל הסינוס מתנודד בתדר של הרץ אחד, מספר התנודות של הגל לכל מחזור θ i {\displaystyle \theta _{i}} יהיה M = ( θ n − θ 0 ) ⋅ 1 {\displaystyle M=(\theta _{n}-\theta _{0})\cdot 1} . כך, הוא מאופיין על ידי נעילת פאזה של n : M {\displaystyle n:M} . P4. לכל p ∈ N {\displaystyle p\in \mathbb {N} } , מתקיים f ( θ + p ) = f ( θ ) + p {\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta )+p} , כך ש f ( θ + p ) = f ( θ ) mod 1 {\displaystyle f(\theta +p)=f(\theta ){\bmod {1}}} . לכן, ביישומים רבים אין זה משנה אם האיטרציות θ i {\displaystyle \theta _{i}} מתבצעות עם מודולוס 1 {\displaystyle 1} או בלעדיו. P5 (סימטרית תרגום). נניח שעבור Ω {\displaystyle \Omega } נתון יש נעילת פאזה בגודל n : M {\displaystyle n:M} במערכת. אז, עבור Ω ′ = Ω + p {\displaystyle \Omega '=\Omega +p} עם מספר שלם p {\displaystyle p} , n : ( M + n p ) {\displaystyle n:(M+np)} גם יקיים נעילת פאזה.   P6. עבור K = 0 {\displaystyle K=0} נעילת שלב תתרחש בכל פעם ש Ω {\displaystyle \Omega } הוא מספר רציונלי. בנוסף, עבור Ω = p / q ∈ Q {\displaystyle \Omega =p/q\in \mathbb {Q} } , נעילת הפאזה היא q : p {\displaystyle q:p} .   Arnol'd, V.I. (1961). "Small denominators. I. Mapping the circle onto itself". Izvestiya Rossiiskoi Akademii Nauk. Seriya Matematicheskaya. 25 (1): 21–86. Section 12 in page 78 has a figure showing Arnold tongues. Translation to english of Arnold's paper: S. Adjan; V. I. Arnol'd; S. P. Demuškin; Ju. S. Gurevič; S. S. Kemhadze; N. I. Klimov; Ju. V. Linnik; A. V. Malyšev; P. S. Novikov. Eleven Papers on Number Theory, Algebra and Functions of a Complex Variable. Vol. 46. American Mathematical Society Translations Series 2. Jensen, M.H.; Krishna, S. (2012). "Inducing phase-locking and chaos in cellular oscillators by modulating the driving stimuli". FEBS Letters. 586 (11): 1664–1668. arXiv:1112.6093. doi:10.1016/j.febslet.2012.04.044. PMID 22673576. Gérard, C.; Goldbeter, A. (2012). "The cell cycle is a limit cycle". Mathematical Modelling of Natural Phenomena. 7 (6): 126–166. doi:10.1051/mmnp/20127607. Glass, L. (2001). "Synchronization and rhythmic processes in physiology". Nature. 410 (6825): 277–284. Bibcode:2001Natur.410..277G. doi:10.1038/35065745. PMID 11258383. Glass, L.; Perez, R. (1982). "Fine structure of phase locking". Physical Review Letters. 48 (26): 1772. Bibcode:1982PhRvL..48.1772G. doi:10.1103/PhysRevLett.48.1772. Guevara, M.R.; Glass, L. (1982). "Phase locking, period doubling bifurcations and chaos in a mathematical model of a periodically driven oscillator: A theory for the entrainment of biological oscillators and the generation of cardiac dysrhythmias". Journal of Mathematical Biology. 14 (1): 1–23. CiteSeerX 10.1.1.476.8649. doi:10.1007/BF02154750. PMID 7077182. Weisstein, Eric W. "Circle Map". MathWorld. Boyland, P.L. (1986). "Bifurcations of circle maps: Arnol'd tongues, bistability and rotation intervals". Communications in Mathematical Physics. 106 (3): 353–381. Bibcode:1986CMaPh.106..353B. doi:10.1007/BF01207252. Gilmore, R.; Lefranc, M. (2002). The Topology of Chaos: Alice in Stretch and Squeezeland. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-40816--6. - Provides a brief review of basic facts in section 2.12. Glass, L.; Guevara, M.R.; Shrier, A.; Perez, R. (1983). "Bifurcation and chaos in a periodically stimulated cardiac oscillator". Physica D: Nonlinear Phenomena. 7 (1–3): 89–101. Bibcode:1983PhyD....7...89G. doi:10.1016/0167-2789(83)90119-7. - Performs a detailed analysis of heart cardiac rhythms in the context of the circle map. McGuinness, M.; Hong, Y.; Galletly, D.; Larsen, P. (2004). "Arnold tongues in human cardiorespiratory systems". Chaos. 14 (1): 1–6. Bibcode:2004Chaos..14....1M. doi:10.1063/1.1620990. PMID 15003038. לשון ארנולד, באתר MathWorld (באנגלית)