פונקציית סילבסטר

באלגברה, ובמיוחד בתורת החוגים, פונקציית סילבסטר (Sylvester rank function) היא פונקציה ממשית על אוסף המטריצות מעל חוג נתון, המחקה דרגה של מטריצה מעל חוג. לפיכך, מעל חוג המצויד בפונקציית סילבסטר, ניתן לבסס תורת אלגברה ליניארית. חשיבות מבנית נודעת לקיומה של פונקציית סילבסטר: הוא שקול לקיומו של הומומורפיזם לחוג פשוט ארטיני, וקיומה של פונקציית סילבסטר 'נאמנה' המקבלת ערכים שלמים שקול לקיומו של שיכון לתוך חוג עם חילוק. המחקר השיטתי של פונקציות סילבסטר בהקשרי שיכון לתוך חוגים עם חילוק נעשה על ידי Cohn ו-Malcolmson, ובהקשר הנרחב יותר של שיכון לחוגים פשוטים ארטיניים על ידי Schofield. יהי R {\displaystyle R} חוג. פונקציה ρ : ⋃ n , m = 1 ∞ M n × m ( R ) → R ≥ 0 {\displaystyle \rho \colon \bigcup _{n,m=1}^{\infty }M_{n\times m}(R)\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}} היא פונקציית סילבסטר אם מתקיימות האקסיומות הבאות: לכל מטריצת אפס O {\displaystyle O} , מתקיים ρ ( O ) = 0 {\displaystyle \rho (O)=0} . למטריצת היחידה מסדר n, מתקיים: ρ ( I n ) = n {\displaystyle \rho (I_{n})=n} לכל שתי מטריצות מסדרים עבורם המכפלה מוגדרת, מתקיים: ρ ( A B ) ≤ min { ρ ( A ) , ρ ( B ) } {\displaystyle \rho (AB)\leq \min\{\rho (A),\rho (B)\}} לכל שתי מטריצות A , B {\displaystyle A,B} מתקיים: ρ ( A 0 0 B ) = ρ ( A ) + ρ ( B ) {\displaystyle \rho {\Bigl (}{\begin{array}{cc}A&0\\0&B\end{array}}{\Bigr )}=\rho (A)+\rho (B)} לכל שלוש מטריצות A , B , C {\displaystyle A,B,C} מסדרים עבורם המטריצה הבאה מוגדרת, מתקיים: ρ ( A C 0 B ) ≥ ρ ( A ) + ρ ( B ) {\displaystyle \rho {\Bigl (}{\begin{array}{cc}A&C\\0&B\end{array}}{\Bigr )}\geq \rho (A)+\rho (B)} ישנה הגדרה דואלית, של פונקציית סילבסטר למודולים. זוהי פונקציה ממשית אי-שלילית ρ {\displaystyle \rho } המוגדרת על אוסף המודולים המוצגים סופית מעל R {\displaystyle R} ומקיימת את האקסיומות הבאות: ρ ( R ) = 1 {\displaystyle \rho (R)=1} (כאשר חושבים על R {\displaystyle R} כמודול חופשי מעל עצמו) ρ ( M ⊕ N ) = ρ ( M ) + ρ ( N ) {\displaystyle \rho (M\oplus N)=\rho (M)+\rho (N)} לכל סדרה מדויקת 0 → N → M → K → 0 {\displaystyle 0\rightarrow N\rightarrow M\rightarrow K\rightarrow 0} מתקיים: ρ ( K ) ≤ ρ ( M ) ≤ ρ ( N ) + ρ ( K ) {\displaystyle \rho (K)\leq \rho (M)\leq \rho (N)+\rho (K)} לכל פונקציית סילבסטר (על מטריצות) ישנה המשכה יחידה לפונקציית סילבסטר למודולים: כל מודול מוצג סופית M {\displaystyle M} ניתן לכתיבה כקו-גרעין של הומומורפיזם של מודולים חופשיים, שלו מטריצה מייצגת, נאמר A : R m → R n {\displaystyle A\colon R^{m}\rightarrow R^{n}} . מגדירים אפוא את הדרגה של M {\displaystyle M} בתור n − ρ ( A ) {\displaystyle n-\rho (A)} . יהי R {\displaystyle R} חוג. ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל R {\displaystyle R} המקבלות ערכים שלמים להומומורפיזמים φ : R → D {\displaystyle \varphi \colon R\rightarrow D} כאשר D {\displaystyle D} חוג עם חילוק. ישנה התאמה חד חד ערכית בין פונקציות סילבסטר מעל R {\displaystyle R} המקבלות ערכים בתת-חבורה מהצורה 1 n Z {\displaystyle {\frac {1}{n}}\mathbb {Z} } להומומורפיזמים φ : R → M n ( D ) {\displaystyle \varphi \colon R\rightarrow M_{n}(D)} כאשר D {\displaystyle D} חוג עם חילוק. ההתאמות הללו נותרות כאשר מצטמצמים לפונקציות סילבסטר נאמנות (כאלה שאינן מעניקות דרגה אפס לאף איבר שונה מאפס בחוג, בהיותו מטריצה מגודל 1), ומנגד לשיכונים לתוך חוגים עם חילוק (או חוגים פשוטים ארטיניים). כאשר R {\displaystyle R} הוא שדה (או באופן כללי יותר, חוג עם חילוק), הדרגה של מטריצה (במובן ממד מרחב העמודות) מהווה פונקציית סילבסטר, והממד של מרחב וקטורי מהווה פונקציית סילבסטר למודולים. כאשר R {\displaystyle R} חוג ארטיני, האורך של סדרת הרכב של מודול נוצר סופית מעל R {\displaystyle R} , מנורמל באורך של R {\displaystyle R} כמודול מעל עצמו, מהווה פונקציית סילבסטר נאמנה למודולים; מכאן שכל חוג ארטיני משוכן בחוג פשוט ארטיני. קיימים חוגים נתריים שאינם ניתנים לשיכון באף חוג ארטיני, וממילא אין להם אף פונקציית סילבסטר נאמנה (ראו בערך חוג ארטיני). P. Malcolmson, Determining homomorphisms to skew fields, J. Algebra 64 (2), 399-413, 1980 A. H. Schofield, Representations of rings over skew fields, Lond. Math. Soc. Lecture Note Series 92: Cambridge University Press, 1985