זנק הידראולי

זנק הידראולי (באנגלית: Hydraulic Jump), הוא תופעה המתרחשת בזרימה בתעלות פתוחות כאשר גובה הזורם עולה באופן פתאומי (מזנק) ללא שינוי גאומטרי בממדי התעלה. חלק מחידתיות התופעה נעוצה בהפסדי האנרגיה (דיסיפציה) העוברת למערבולות המתפתחות בזרימה, ובהן מומרת האנרגיה הקינטית להפסדים של אנרגיית חום. אופי הזרימה נקבע באמצעות מספר פראוד המבטא את היחס בין מהירות התקדמות הזורם לבין מהירות גל הכובד: F r = v g h {\displaystyle F_{r}={\frac {v}{\sqrt {gh}}}} ומסווג לשלושה תחומי זרימה; על-קריטית ( F r > 1 {\displaystyle F_{r}>1} ), קריטית ( F r = 1 {\displaystyle F_{r}=1} ) ותת קריטית ( F r < 1 {\displaystyle F_{r}<1} ). קיים דמיון רב בין תופעת הזנק בנוזלים ובין תופעת גל הלם בזרימה דחיסה במובן של השינוי הפתאומי ואי הרציפות הנוצרת בתווך החומרי, ובמובן של חזית הגל המתקדמת ששונה משמעותית בלחץ ובצפיפותה. על כן, בשל הפסדי האנרגיה הרבים החלים במערכת, נהוג לחשב את שינויי המערכת לפי שימור תנע תוך שימוש בנפח בקרה מבודד, ולא לפי משוואת שימור אנרגיה רגילה. פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. כאשר זורם במהירות גבוהה מספיק (מעל מהירות קריטית מסוימת) זולג לתוך אזור שמאפשר רק מהירות זרימה נמוכה יותר, שינוי פתאומי מתחולל בגובה פני הזורם. הנוזל הזורם במהירות מאט בפתאומיות ומגדיל את גובהו, ובכך ממיר חלק מהאנרגיה הקינטית ההתחלתית של הזורם לגידול באנרגיה הפוטנציאלית שלו, יחד עם כמות מסוימת של אנרגיה שאובדת באופן בלתי הפיך לחום דרך טורבולנציה. תופעה זו מתרחשת למשל בתעלה בעלת תחתית עם שיפוע משתנה, בה במורד הזרם, כוחות החיכוך והצמיגות מכריחים את הזרימה להיות איטית, אך במעלה זרם היכן שהשיפוע גבוה יותר, מהירות הזרימה היא על-קריטית. כגון בסרטון למעלה, בו נראה הזנק ההידראולי ביציאה ממחליף החום ברדינג, היכן שתחתית התעלה משנה את שיפועה. או בתמונה בהמשך הערך בו נצפה הזנק ההידראולי מים אחרי מפל. בעבור מהירויות זרימה התחלתיות שאינן משמעותית מעל המהירות הקריטית, המעבר מופיע כגל נייח קטן על פני המים. כשמהירות הזרימה ההתחלתית גדלה עוד יותר, המעבר נעשה פתאומי יותר, עד אשר במהירויות גבוהות מספיק, חזית המעבר נשברת ומתערבלת בחזרה על עצמה. כאשר זה קורה, הקפיצה יכולה להיות מלווה בטורבולנציה אלימה, ערבוב של האוויר והמים המופיע כתצורות של בועות במים, גלי שטח (אדוות - גלי מתח פנים), וגלי מים. ישנן שתי תופעות עיקריות בהם מתגלמת תופעת הזנק ההידראולי, ומבחינה היסטורית נעשה שימוש בטרמינולוגיה שונה לכל תופעה. אף על פי כן, המכניזמים מאחורי כל תופעה דומים, ושתי התופעות הן פשוט וריאציות אחת של השנייה הנצפות ממערכת ייחוס שונה, ולכן אותן טכניקות אנליטיות משמשות לניתוח שלהן. שני הסוגים הם: הזנק ההידראולי הנייח - מים הזורמים במהירות הופכים בקפיצה נייחת למים הזורמים באיטיות. הזנק ההידראולי הנע - שנקרא גם נחשול גאות (אף שתופעת הגאות והשפל אינה הגורם היחידי המחולל אותו) - קיר של מים שנע ביחד עם הזרם. אם עוברים למערכת הייחוס של הקיר, התופעה נראית כזנק ההידראולי הנייח. למעשה, התקדמות גל צונאמי באוקיינוס הפתוח נעשית כמו הזנק ההידראולי הנע (מתחת לגל, הים כולו נמצא בתנועה אופקית), וניתן להיעזר באותם כלים אנליטיים המשמשים לניתוח הזנק ההידראולי כדי להסיק שמהירות התקדמות הצונאמי באוקיינוס בעומק H היא v = g H {\displaystyle v={\sqrt {gH}}} . גודל הקפיצה בגובה המים בזנק הידראולי בתעלות נגזר מיישום משוואות הרציפות ומשוואות שימור התנע לזרימה אי-דחיסה בעלת חתך משתנה (גובה הזורם משתנה). במכניקת הזורמים, עקרון הרציפות הוא ניסוח שקול לשימור המסה. בהינתן משטח סגור התוחם במלואו זורם, הזורם זורם לתוך הנפח שלו בחלק מהמשטח והחוצה מהמשטח בחלק אחר ממנו, אך סך הזרימה אליו היא אפס, שכן צפיפות הזורם קבועה. במקרה של תעלה מלבנית, השוויון בין שטף הזרימה פנימה ( ρ v 0 h 0 L {\displaystyle \rho v_{0}h_{0}L} ) והחוצה ( ρ v 1 h 1 L {\displaystyle \rho v_{1}h_{1}L} ) אל אזור המעבר (האזור בו גובה הזורם משתנה) מניב: v 0 h 0 L = v 1 h 1 L = q {\displaystyle v_{0}h_{0}L=v_{1}h_{1}L=q} או v 1 = v 0 h 0 h 1 {\displaystyle v_{1}=v_{0}{h_{0} \over h_{1}}} כאשר ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות הזורם, v 0 {\displaystyle v_{0}} ו- v 1 {\displaystyle v_{1}} הם המהירויות האופקיות הממוצעות של פרודות הזורם משני צידי הזנק ההידראולי, L {\displaystyle L} הוא רוחב התעלה, ו- h 0 {\displaystyle h_{0}} ו- h 1 {\displaystyle h_{1}} עומק המים משני צידיו. כדי להבין כיצד מהירות הזורם משתנה משני צידי הקפיצה, נביט בעמודות מים משני צידי הזנק. המתקף שעמודת מים יוצרת שווה למכפלת משך הזמן באינטגרל על הכוח ההידרוסטטי שהיא יוצרת בכל העומקים. הכוח ההידרוסטטי הוא מכפלת הלחץ בשטח החתך d A = L d h {\displaystyle dA=Ldh} , כאשר הלחץ ההידרוסטטי בעמוד מאזן את הכבידה ומקיים p = ρ g h {\displaystyle p=\rho gh} . כלומר: J = T ⋅ ∫ p d A = T L ρ g ⋅ ∫ 0 h h d h = 1 2 T L ρ g h 2 {\displaystyle J=T\cdot \int pdA=TL\rho g\cdot \int _{0}^{h}hdh={\frac {1}{2}}TL\rho gh^{2}} . בסיטואציה של זנק הידראולי בתעלה מלבנית, הזורם מאבד תנע בקצב קבוע ששווה להפרש בין סך הכוחות ההידרוסטטיים משני צידיו, כאשר קצב איבוד התנע מיוצג על ידי מכפלת ספיקת הזרימה בהפרש המהירויות משני צידיו. מתמטית, קשר זה מניב משוואה נוספת: ρ v 0 2 h 0 + 1 2 ρ g h 0 2 = ρ v 1 2 h 1 + 1 2 ρ g h 1 2 . {\displaystyle \rho v_{0}^{2}h_{0}+{1 \over 2}\rho gh_{0}^{2}=\rho v_{1}^{2}h_{1}+{1 \over 2}\rho gh_{1}^{2}.} . כעת, אם נחלק את שני האגפים ב- ρ {\displaystyle \rho } וניעזר בתוצאה של משוואת הרציפות, נקבל את הביטוי: v 0 2 ( h 0 − h 0 2 h 1 ) + g 2 ( h 0 2 − h 1 2 ) = 0. {\displaystyle v_{0}^{2}\left(h_{0}-{h_{0}^{2} \over h_{1}}\right)+{g \over 2}(h_{0}^{2}-h_{1}^{2})=0.} שלאחר מספר מניפולציות אלגבריות הופך ל-: 1 2 h 1 h 0 ( h 1 h 0 + 1 ) − F r 2 = 0 , {\displaystyle {1 \over 2}{h_{1} \over h_{0}}\left({h_{1} \over h_{0}}+1\right)-Fr^{2}=0,} . כאשר F r 2 = v 0 2 g h 0 {\displaystyle Fr^{2}={v_{0}^{2} \over gh_{0}}} . כאן F r {\displaystyle Fr} הוא מספר פראוד חסר הממדים, המקשר בין כוחות גרביטציוניים לכוחות אינרציה בזרימה. פתירת המשוואה הריבועית הזאת מניבה: h 1 h 0 = − 1 ± 1 + 8 v 0 2 g h 0 2 {\displaystyle {h_{1} \over h_{0}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+{\frac {8v_{0}^{2}}{gh_{0}}}}}}{2}}} . האפשרויות השליליות אינן מציגות פתרונות פיזיקליים בעלי משמעות, לכן: h 1 h 0 = − 1 + 1 + 8 v 0 2 g h 0 2 {\displaystyle {h_{1} \over h_{0}}={\frac {-1+{\sqrt {1+{\frac {8v_{0}^{2}}{gh_{0}}}}}}{2}}} h 1 h 0 = 1 + 8 F r 2 − 1 2 , {\displaystyle {h_{1} \over h_{0}}={\frac {{\sqrt {1+{8Fr^{2}}}}-1}{2}},} קשר זה ידוע כמשוואת Bélanger. ניתן לראות כי קיימים שלושה סוגי פתרונות: כאשר v 0 2 g h 0 = 1 {\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{gh_{0}}}=1} , אז h 1 h 0 = 1 {\displaystyle {h_{1} \over h_{0}}=1} (כלומר אין קפיצה). כאשר v 0 2 g h 0 < 1 {\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{gh_{0}}}<1} , אז h 1 h 0 < 1 {\displaystyle {h_{1} \over h_{0}}<1} (כלומר יש קפיצה שלילית בגובה. אף על פי שמשוואות הרציפות והתנע מאפשרות פתרון כזה, הוא לא ייתכן פיזיקלית - מבחינה אנרגטית שטף האנרגיה היוצאת גדול משטף האנרגיה הנכנס. ניתן להסביר זאת ישירות גם מבלי להשתמש במשוואות, כתוצא ישיר של תהליכי השחיקה הטורבולנטיים הבלתי-הפיכים. כלומר, אם קפיצה שלילית הייתה יכולה להתקיים, ניתן היה להפוך את כיוון הזרימה ולקבל ששטף האנרגיה לתוך אזור הזנק גדול משטף האנרגיה החוצה מהזנק). כאשר v 0 2 g h 0 > 1 {\displaystyle {\frac {v_{0}^{2}}{gh_{0}}}>1} , אז h 1 h 0 > 1 {\displaystyle {h_{1} \over h_{0}}>1} (כלומר יש קפיצה חיובית בגובה). לסיכום, זנק הידראולי ייתכן רק אם מהירות הזורם היא על-קריטית, כאשר   F r > 1 {\displaystyle \ Fr>1} , כלומר כאשר מהירות הזורם עולה על מהירות גל הכבידה בעומק כזה של הזורם. תנאי זה שקול לאמירה שמהירות הזורם לפני הזנק היא על-קריטית ואחרי הזנק היא תת-קריטית. קצב אובדן האנרגיה שווה לספיקה המסית של התעלה Q M {\displaystyle Q_{M}} כפול השינוי הממוצע באנרגיה הסגולית (אנרגיה ליחידת מסה) הכוללת (קינטית + פוטנציאלית + הידרוסטטית). אם נסתכל בנפח מים הפרוש לרוחב התעלה בעל עובי ℓ {\displaystyle \ell } ומסה כוללת m = ρ L h ℓ {\displaystyle m=\rho Lh\ell } לפני הזנק. נראה שאחרי הזנק, הוא מתכווץ ברוחב ומתרחב בגובה. מרכז המסה של העמוד עולה מגובה של h 0 2 {\displaystyle {\frac {h_{0}}{2}}} לגובה של h 1 2 {\displaystyle {\frac {h_{1}}{2}}} , לכן האנרגיה הפוטנציאלית של העמוד גדלה ב- m g ( h 1 − h 0 ) 2 {\displaystyle m{\frac {g(h_{1}-h_{0})}{2}}} ., הלחץ ההידרוסטטי אוצר אנרגיה הידרוסטטית המקיימת E = ∫ V p d V = ρ g ℓ L ∫ 0 h h d h = ρ g ℓ L h h 2 {\displaystyle E=\int _{V}pdV=\rho g\ell L\int _{0}^{h}hdh=\rho g\ell Lh{\frac {h}{2}}} , לכן האנרגיה ההידרוסטטית גדלה גם היא ב- m g ( h 1 − h 0 ) 2 {\displaystyle m{\frac {g(h_{1}-h_{0})}{2}}} . לעומת זאת, האנרגיה הקינטית של העמוד קטנה ב-: 1 2 m ( v 0 2 − v 1 2 ) = 1 2 m v 0 2 ( 1 − h 0 2 h 1 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}m\left(v_{0}^{2}-v_{1}^{2}\right)={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\left(1-{\frac {h_{0}^{2}}{h_{1}^{2}}}\right)} . לפיכך קצב השחיקה נתון בביטוי: Δ E Δ T = Q M [ 1 2 v 0 2 ( 1 − h 0 2 h 1 2 ) − g ( h 1 − h 0 ) ] = g ⋅ Q M ( h 1 − h 0 ) 3 4 h 0 h 1 {\displaystyle {\frac {\Delta E}{\Delta T}}=Q_{M}\left[{\frac {1}{2}}v_{0}^{2}\left(1-{\frac {h_{0}^{2}}{h_{1}^{2}}}\right)-g(h_{1}-h_{0})\right]=g\cdot Q_{M}{\frac {(h_{1}-h_{0})^{3}}{4h_{0}h_{1}}}} עד כה הראנו מהן תוצאות הזנק ההידראולי, כעת נפנה להדגים את הגורמים לזנק הידראולי באמצעות ניתוח פשטני של שתי דוגמאות בהן הוא מופיע. בדו-מימד, משוואות הזרימה במים רדודים בתנאים בהם כוח קוריוליס וכוחות הצמיגות זניחים הן: ∂ t u + u ⋅ ∂ x u + g ⋅ ∂ x h = 0 ∂ t h + u ⋅ ∂ x h + h ⋅ ∂ x u = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+u\cdot \partial _{x}u+g\cdot \partial _{x}h&=0\\\partial _{t}h+u\cdot \partial _{x}h+h\cdot \partial _{x}u&=0\end{aligned}}} כאשר h {\displaystyle h} הוא גובה פני המים ו- u {\displaystyle u} המהירות האופקית שלהם, ושני המשתנים האלה תלויים בזמן ובמקום. נגדיר c = g h {\displaystyle c={\sqrt {gh}}} , באמצעות מניפולציות אלגבריות ניתן להראות שמשוואות הזרימה נותנות: [ ∂ t + ( u + c ) ⋅ ∂ x ] ( u + 2 c ) = 0 [ ∂ t + ( u − c ) ⋅ ∂ x ] ( u − 2 c ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left[\partial _{t}+(u+c)\cdot \partial _{x}\right](u+2c)&=0\\\left[\partial _{t}+(u-c)\cdot \partial _{x}\right](u-2c)&=0\end{aligned}}} בצורה זו נוח להבין את המשוואות באמצעות שיטת הקרקטריסטיקות, ומשמעותן היא שהגדלים u ± 2 c {\displaystyle u\pm 2c} קבועים לאורך עקומות עליהן d x d t = u ± c {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u\pm c} . נתבונן כעת במצב מופשט, בו מערכת דו-ממדית נמצאת במנוחה כאשר מהירות הזרימה היא 0 וגובה המים הוא h 0 {\displaystyle h_{0}} ומהירות הגל היא c 0 = g h 0 {\displaystyle c_{0}={\sqrt {gh_{0}}}} . נניח כעת שבזמן t = 0 {\displaystyle t=0} הקצה השמאלי של הזורם מתחיל להאיץ באופן קבוע, כך שמהירותו היא u = a t {\displaystyle u=at} . המערכת עבור x > c 0 t {\displaystyle x>c_{0}t} נמצאת במנוחה. בסביבה של נקודה זו, מניתוח הקרקטריסטיקה השלילית נקבל ש- u − 2 c = − 2 c 0 {\displaystyle u-2c=-2c_{0}} ולכן לאורך הקרקטריסטיקה החיובית ∂ t u + ( 3 u / 2 + c 0 ) ∂ x u = 0 {\displaystyle \partial _{t}u+(3u/2+c_{0})\partial _{x}u=0} כלומר u = f ( x − ( 3 u / 2 + c 0 ) t ) {\displaystyle u=f(x-(3u/2+c_{0})t)} עבור פונקציה כלשהי f {\displaystyle f} . באמצעות תנאי השפה לפיו u = a t {\displaystyle u=at} בנקודה x = 1 2 a t 2 {\displaystyle x={\frac {1}{2}}at^{2}} ניתן למצוא את הפונקציה f {\displaystyle f} ולקבל ש: c = c 0 − 1 4 ( c 0 − 3 a t / 2 ) + 1 4 ( c 0 − 3 a t / 2 ) 2 − 4 a ( x − c 0 t ) {\displaystyle c=c_{0}-{\frac {1}{4}}(c_{0}-3at/2)+{\frac {1}{4}}{\sqrt {(c_{0}-3at/2)^{2}-4a(x-c_{0}t)}}} עבור x < c 0 t {\displaystyle x<c_{0}t} . מכאן קל לקבל: ∂ x c = − a 2 [ ( c 0 − 3 a t / 2 ) 2 − 4 a ( x − c 0 t ) ] − 1 / 2 {\displaystyle \partial _{x}c=-{\frac {a}{2}}\left[(c_{0}-3at/2)^{2}-4a(x-c_{0}t)\right]^{-1/2}} ובפרט ∂ x c {\displaystyle \partial _{x}c} אינסופי בנקודה t c = 2 c 0 3 a ; x = c 0 t {\displaystyle t_{c}={\frac {2c_{0}}{3a}};x=c_{0}t} . כלומר בנקודה זו הקפיצה בגובה היא אינסופית, בנקודה זו מתחיל זנק הידראולי והמשוואות הדיפרנציאליות כבר לא מתארות את הזרימה. במקומן הקפיצה מאופיינת לפי התנאים של הזנק ההידראולי. המצב המופשט המובא כאן יכול לתאר היווצרות נחשול גאות, כאשר מסתכלים על הזרימה במערכת הייחוס של הנהר, ומתייחסים לכוח הגאות ככוח קבוע שפועל על שפך הנהר (הכוח של הגאות על הנהר עצמו זניח, רק בנקודה בה הנהר נשפך לים גדול הגאות רלוונטית). הזנק ההידראולי בכיור, כפי שמודגם באיור בראשית הדף, מתאפיין בכך שבאזור סביב לזרם מהברז הזרימה נמוכה ומהירה, וברדיוס מסוים מסביב לנקודה זו מתבצעת קפיצה הידראולית, והזרימה נעשית גבוהה ואיטית. המשוואות שמתארות את הזרימה מסובכות, וכוללות חיכוך של הזורם עם הכיור, השפעה של מתח הפנים של הנוזל, והשפעת הכבידה. התוצאה של משוואות אלו עם תנאי השפה של הזרימה נותן: ∂ r u s = − u s r h d p d r + γ u s + 1 2 ρ g h 2 u s − τ r u s ( C 2 − γ ρ u s 2 h − g h 2 u s 2 ) ρ u s 2 h r {\displaystyle \partial _{r}u_{s}={\frac {-u_{s}rh{\frac {dp}{dr}}+\gamma u_{s}+{\frac {1}{2}}\rho gh^{2}u_{s}-\tau ru_{s}}{\left(C_{2}-{\frac {\gamma }{\rho u_{s}^{2}h}}-{\frac {gh}{2u_{s}^{2}}}\right)\rho u_{s}^{2}hr}}} כאשר u s {\displaystyle u_{s}} הוא מאפיין של המהירות הרדיאלית, C 2 ≈ 0.48 {\displaystyle C_{2}\approx 0.48} , p {\displaystyle p} הוא הלחץ, γ {\displaystyle \gamma } מתח הפנים, ו- τ {\displaystyle \tau } מתאר את החיכוך עם הכיור. פתרון זה נעשה אינסופי בנקודה בה W e − 1 + F r − 2 = 1 {\displaystyle We^{-1}+Fr^{-2}=1} כאשר W e = C 2 ρ u s h γ {\displaystyle We={\frac {C_{2}\rho u_{s}h}{\gamma }}} הוא מספר ובר בבעיה, ו- F r = 2 C 2 u s 2 g h {\displaystyle Fr={\sqrt {\frac {2C_{2}u_{s}^{2}}{gh}}}} הוא מספר פראוד של הבעיה. בנקודה זו יתקיים זנק הידראולי. בהנדסת מים, זנק הידראולי יזום הוא הדרך הנפוצה ביותר "לבזבז" את האנרגיה של זרימה מהירה של מים. זנק הידראולי שמתוכנן היטב יכול לבזבז עד 60% - 70% מהאנרגיה של הזרימה, ובכך להגביל את הנזק שנגרם למבנים העומדים בדרכה של הזרימה. ספרות מדעית ענפה פותחה לסוג זה של הנדסה. גל הלם נחשול גאות Acheson, D. J., Elementary fluid dynamics, Oxford, 2006, עמ' 97-102 Rajesh K. Bhagat, N. K. Jha, P. F. Linden, D. Ian Wilson, On the origin of the circular hydraulic jump in a thin liquid film, Journal of Fluid Mechanics 851, 2018-09 doi: 10.1017/jfm.2018.558 מדיה וקבצים בנושא זנק הידראולי בוויקישיתוף זנק הידראולי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)