חוק הוק

חוק הוּק (Hooke's law) הוא חוק פיזיקלי המציג את היחס הישר בין מאמץ לבין מעוות יחסי בתחום האלסטי. יחס זה נקרא באופן כללי מודול האלסטיות, ובמקרה הפרטי של קפיץ, "קבוע הקפיץ". החוק נקרא על שמו של הפיזיקאי בן המאה ה-17 רוברט הוק, וקובע כי כוח הפועל על קפיץ גורם לתזוזה יחסית לכוח ויחסית לקבוע הקפיץ. מתקיים: k = F / Δ l {\displaystyle k=F/\Delta l} תזוזת הקפיץ בהשפעת כוח/ הכוח שמופעל על הקפיץ = קבוע הקפיץ כאשר: F {\displaystyle F} הוא הכוח שמופעל על הקפיץ k {\displaystyle k} הוא קבוע הקפיץ Δ l {\displaystyle \Delta l} היא תזוזת הקפיץ בהשפעת הכוח המאמץ משמש כאן בתפקיד הכוח הפועל על הקפיץ. המעוות היחסי משמש בתפקיד התזוזה של הקפיץ ומודול האלסטיות משמש בתפקיד קבוע הקפיץ. גוף הנתון במאמץ משנה את אורכו כתלות במאמץ ובתכונת החומר. אם המאמץ הוא מאמץ מתיחה, נסמן אותו בסימן + (פלוס) והגוף יתארך. אם המאמץ הוא מאמץ לחיצה, נסמן אותו בסימן - (מינוס) והגוף יתכווץ. הקשר בין המאמץ לבין המעוות היחסי במצב מאמצים חד־ממדי מגדיר את מודול האלסטיות: E = σ ε {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\varepsilon }}} ובצורה שתאפשר דיון תלת־ממדי: ε = σ E {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}} E {\displaystyle E} - מודול האלסטיות ε {\displaystyle \varepsilon } - מעוות יחסי σ {\displaystyle \sigma } - מאמץ במוט המועמס למתיחה או לחיצה, המעוות היחסי הוא ההתארכות היחסית: ε = Δ L L {\displaystyle {\varepsilon }={\frac {\Delta L}{L}}} ההתארכות היחסית יכולה להיות חיובית או שלילית L {\displaystyle L} - אורך החלק Δ L {\displaystyle {\Delta L}} - השינוי באורך הקשר בין מודול האלסטיות (במתיחה) לבין מודול הגזירה נתון על ידי הביטוי: G = E 2 ( 1 + ν ) {\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}} G {\displaystyle G} - מודול הגזירה ν {\displaystyle \nu } - מקדם פואסון הנקודות המסומנות על גבי הדיאגרמה: 1. מאמץ מרבי 2. מאמץ בתחום הפלסטי 3. מאמץ הכניעה, גבול האלסטיות 4. מאמץ ההרס 5. מעוות שיורי תחום האלסטיות הוא התחום בו התיאור של עקומת מאמץ - מעוות בצורת קו ישר והוא בקרוב מהראשית עד אזור מאמץ הכניעה. בחומרים שאזור הכניעה איננו ברור כמו בפלדה ואיננו מוצג בצורת נזילה, מגדירים בדרך כלל את נקודת הכניעה כנקודה בה המעוות היחסי שווה למעוות בשעור 0.2%. מאמץ מתיחה בכיוון x גורם למתיחת המוט בכיוון באותו כוון X, ולהתכווצות המוט בכיוונים הניצבים Y,Z בשעור המתקבל מהמכפלה של המאמץ בכיוון X במקדם פואסון. כך גם בכוונים Y,Z. חוק הוק המוכלל למצב מאמצים תלת-ממדי, מתקבל משלוש מתיחות חד-ציריות לכל אחד מהכיוונים ושימוש בעקרון הסופרפוזיציה: ϵ x = σ x E − ν σ y E − ν σ z E = 1 E [ σ x − ν ( σ y + σ z ) ] {\displaystyle \epsilon _{x}={\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{x}-\nu (\sigma _{y}+\sigma _{z})]} ϵ y = σ y E − ν σ x E − ν σ z E = 1 E [ σ y − ν ( σ x + σ z ) ] {\displaystyle \epsilon _{y}={\frac {\sigma _{y}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{z}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{y}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{z})]} ϵ z = σ z E − ν σ x E − ν σ y E = 1 E [ σ z − ν ( σ x + σ y ) ] {\displaystyle \epsilon _{z}={\frac {\sigma _{z}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{x}}{E}}-\nu {\frac {\sigma _{y}}{E}}={\frac {1}{E}}[\sigma _{z}-\nu (\sigma _{x}+\sigma _{y})]} בחוק הוק עבור חומרים כלליים יותר מקפיץ, k {\displaystyle k} הוא טנזור והוא מיוצג על ידי מטריצה של קשיחות החומר בגודל 9x9. אם החומר הוא ליניארי, אלסטי ואיזוטרופי, נדרשים שני קבועים על מנת לקבוע את התנהגותו תחת מאמצים: מודול האלסטיות E {\displaystyle E} ומודול הגזירה G {\displaystyle G} . כאשר עוסקים במקרה של קפיץ שלא מופעלים עליו כוחות גזירה מקבלים את המקרה הפרטי בו מודול האלסטיות הוא קבוע הקפיץ k {\displaystyle k} . במונחים של אנרגיה חוק הוק הוא קירוב הרמוני של האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ עבור הפרעות קטנות ("קירוב תנודות קטנות"). קירוב בו מפתחים את האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ סביב מצב שיווי המשקל שלו. אם בנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} הקפיץ נמצא בשיווי משקל (אנרגיה פוטנציאלית מינימלית), אזי בקירוב, האנרגיה הפוטנציאלית שלו כתלות במרחק מנקודת שיווי המשקל יהיה: U = 1 2 k ( x − x 0 ) 2 {\displaystyle U={\frac {1}{2}}k(x-x_{0})^{2}} עבור קפיצים ספירליים, דמויי "סלינקי", הפרמטרים שקובעים את מקדם הקפיציות אינם מודול יאנג של החומר, אלא דווקא מודול הגזירה ופרמטרים גאומטריים שמאפיינים את הקפיץ. למעשה, מכיוון שהקפיץ הספירלי "נדחס" למצב לולייני צפוף במהלך ייצורו, כיווץ או מתיחה של הקפיץ כמעט ולא משנים את אורך התיל ממנו מורכב הקפיץ, ועובדה זאת בצירוף מודול יאנג הנמוך יחסית של הקפיצים הספירליים המשמשים כצעצועים גורסת כי מתפתח מאמץ לחיצה/מתיחה זניח בתיל המרכיב את הקפיץ. האנרגיה המכנית שמושקעת בדחיסה או מתיחה של הקפיץ נאגרת בו באמצעות מנגנון מכני אחר, זה של מאמץ הפיתול המתפתח בקפיץ. למעשה, גודל שהשינוי שלו אינו זניח במהלך כיווץ ומתיחת הקפיץ אינו אורך התיל אלא הפיתול של העקום המרחבי שמתווה תיל הקפיץ, והדבר מתבטא במאמץ פיתול אחיד לאורך תיל הקפיץ. במאמצי פיתול נמוכים, קיים קשר ידוע מדויק בין מודול הגזירה והפרמטרים הגאומטריים של הקפיץ למקדם הקפיציות (המופיע בחוק הוק) של הקפיץ, ובחלק זה נקבלו מעקרונות ראשוניים. כיוון שגם מאמצי פיתול בחומר מקיימים חוק ליניארי דמוי חוק הוק, האנרגיה המכנית שהושקעה בקפיץ 1 2 k x 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}kx^{2}} צריכה להיות שווה ל- 1 2 c ϕ t o t a l 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}c\phi _{total}^{2}} כאשר c {\displaystyle c} הוא מקדם הפרופורציה בחוק הפיתול, ו- ϕ t o t a l {\displaystyle \phi _{total}} היא זווית הפיתול הכוללת (total twist) שמתפתחת בקפיץ בין שני קצוותיו. המקדם c {\displaystyle c} ניתן לקבלה ממודול הגזירה G {\displaystyle G} , אורך התיל הכולל I {\displaystyle I} ורדיוס התיל r {\displaystyle r} . מה שנדרש כדי לקבל קשר בין פרמטרים אלו לקבוע הקפיציות k {\displaystyle k} הוא קשר בין x ל- ϕ t o t a l {\displaystyle \phi _{total}} . קשר כזה מקבלים ישירות אם מבינים ששינויים בזווית הפיתול הכוללת של העקום המרחבי שמתווה הקפיץ קשורים לגודל מהגאומטריה הדיפרנציאלית של עקומים שנקרא הפיתול של העקום. מהבנה זאת מקבלים ש- x = ϕ t o t a l ⋅ R {\displaystyle x=\phi _{total}\cdot R} . כאשר R {\displaystyle R} הוא רדיוס הקפיץ (לא רדיוס התיל אלא רדיוס הגליל עליו נעים אלמנטי הקפיץ). כיוון שמחוק הפיתול ידוע ש-: c = π G r 4 2 l {\displaystyle c={\frac {\pi Gr^{4}}{2l}}} , ואילו ידוע גם שאורך התיל I {\displaystyle I} מקיים l = 2 π R N {\displaystyle l=2\pi RN} (כאשר N {\displaystyle N} הוא מספר הליפופים של הקפיץ), מקבלים איפוא את התוצאה: k = G r 4 4 N R 3 {\displaystyle k={\frac {Gr^{4}}{4NR^{3}}}} . Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. ISBN 0882754203 Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983, ISBN 0070454868 S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970.. Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991, ISBN 1560326867 מדיה וקבצים בנושא חוק הוק בוויקישיתוף חוק הוק, קבועי Lamé, ויחסי מאמץ - מעוות (הקישור אינו פעיל) (באנגלית) מאמצים ומעוותים (הקישור אינו פעיל) (באנגלית) מאמץ, מעוות וחוק הוק (באנגלית) היחס בין מאמץ לבין מעוות (הקישור אינו פעיל) (באנגלית) מאיר ברק, מה זה חוק הוק? ומהו קבוע הכוחK , במדור "מאגר המדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 5 ספטמבר 2009 science/spring-force חוק הוק, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) בגאומטריה דיפרנציאלית, פיתול של עקומים הוא גודל המודד כמה רחוק עקום מלהיות מישורי.