מטריצה הפיכה

באלגברה ליניארית, מטריצה ריבועית תיקרא הפיכה אם קיימת מטריצה ריבועית אחרת, כך שמכפלתן היא מטריצת היחידה. שמות נוספים למטריצה הפיכה הם מטריצה רגולרית ומטריצה לא סינגולרית. תהי   A {\displaystyle \ A} מטריצה מסדר   n × n {\displaystyle \ n\times n} . המטריצה תיקרא "הפיכה" אם קיימת מטריצה אחרת, שתסומן   A − 1 {\displaystyle \ A^{-1}} ותיקרא המטריצה ההופכית של   A {\displaystyle \ A} , כך שמתקיים   A A − 1 = A − 1 A = I n {\displaystyle \ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}} , כאשר   I n {\displaystyle \ I_{n}} היא מטריצת היחידה מסדר   n × n {\displaystyle \ n\times n} , בפעולת כפל מטריצות סטנדרטי. מטריצה שאינה הפיכה תיקרא סינגולרית (או לא הפיכה). קיימות מספר שיטות יעילות לחישוב מטריצה הופכית כשהנפוצות ביותר הן דירוג מטריצות (אלימינציית גאוס-ז'ורדן) ושיטת ניוטון-רפסון. לפי ההגדרה, כדי להראות שמטריצה מסוימת היא הפיכה, מספיק למצוא מטריצה נוספת כך שמכפלתן היא מטריצה היחידה. לכן, דוגמה טריוויאלית למטריצה הפיכה היא מטריצת היחידה עצמה,   I n {\displaystyle \ I_{n}} . דוגמה נוספת היא המטריצה:   A = [ 0 1 1 0 ] {\displaystyle \ A={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}} מטריצה זו הפוכה לעצמה:   A 2 = I 2 {\displaystyle \ A^{2}=I_{2}} . מטריצת האפס היא לא הפיכה, כי תוצאת המכפלה של כל מטריצה עם מטריצת האפס היא שוב מטריצת האפס, ואף פעם לא   I n {\displaystyle \ I_{n}} . באופן כללי יותר, אם AB=0 (כאשר   B ≠ 0 {\displaystyle \ B\neq 0} ) אז A אינה הפיכה. זוהי תכונה כללית של הכפל בחוגים: מחלק אפס אינו יכול להיות הפיך. בחוג המטריצות מעל שדה מתקיים גם הכיוון ההפוך: אם A אינה הפיכה, אז יש   B ≠ 0 {\displaystyle \ B\neq 0} כך ש-AB=0. את המטריצה ההופכית של מטריצה הפיכה מסדר 2 ניתן להציג באופן כללי על ידי הנוסחה הבאה: A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\,} A − 1 = 1 a d − b c (   d − b − c a )   , {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\ d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\,\ ,} זהו מקרה פרטי של הנוסחה הנכונה לכל מטריצה:   A ⋅ a d j ( A ) = det A ⋅ I {\displaystyle \ A\cdot \mathrm {adj} (A)=\det A\cdot I} כאשר   adj ( A ) {\displaystyle \ {\mbox{adj}}(A)} היא המטריצה המצורפת ל-   A {\displaystyle \ A} ו-   I {\displaystyle \ I} היא מטריצת היחידה. כאשר הדטרמיננטה אינה אפס מתקבל מהנוסחה, על ידי העברת אגפים, שהמטריצה ההופכית היא המטריצה המצורפת חלקי הדטרמיננטה:   A − 1 = a d j ( A ) det A ,   det ( A ) ≠ 0 {\displaystyle \ A^{-1}={\frac {\mathrm {adj} (A)}{\det A}},\ \det(A)\neq 0} דרך נוספת למציאת מטריצה הפיכה היא לשרשר את מטריצת   I {\displaystyle \ I} מימין למטריצה (מטריצה כזו נקראת לפעמים מטריצה מורחבת)   A {\displaystyle \ A} ולמצוא קומבינציה ליניארית של השורות אשר תניב את המטריצה   I | A − 1 {\displaystyle \ I|A^{-1}} . לדוגמה את המטריצה A = [ 1 − 1 − 2 2 − 3 − 5 − 1 3 5 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&-1&-2\\2&-3&-5\\-1&3&5\end{bmatrix}}} נרשום את המטריצה: A : I = [ 1 − 1 − 2 1 0 0 2 − 3 − 5 0 1 0 − 1 3 5 0 0 1 ] {\displaystyle A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\2&-3&-5&0&1&0\\-1&3&5&0&0&1\end{array}}\right]} ונדרגה: חיסור השורה הראשונה כפול 2 מהשורה השנייה, וחיבור השורה הראשונה לשורה השלישית: [ 1 − 1 − 2 1 0 0 0 − 1 − 1 − 2 1 0 0 2 3 1 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&-1&-1&-2&1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]} הכפלת השורה השנייה ב-1-: [ 1 − 1 − 2 1 0 0 0 1 1 2 − 1 0 0 2 3 1 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-2&1&0&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&2&3&1&0&1\end{array}}\right]} חיבור השורה השנייה לראשונה, וחיסור השורה השנייה כפול 2 מהשורה השלישית: [ 1 0 − 1 3 − 1 0 0 1 1 2 − 1 0 0 0 1 − 3 2 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&-1&3&-1&0\\0&1&1&2&-1&0\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]} חיבור השורה השלישית לשורה הראשונה, וחיסור השורה השלישית מהשורה השנייה: [ 1 0 0 0 1 1 0 1 0 5 − 3 − 1 0 0 1 − 3 2 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&0&1&1\\0&1&0&5&-3&-1\\0&0&1&-3&2&1\end{array}}\right]} ולכן A − 1 = [ 0 1 1 5 − 3 − 1 − 3 2 1 ] {\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}0&1&1\\5&-3&-1\\-3&2&1\end{bmatrix}}} יש להדגיש כי לא כל המטריצות הפיכות ואפשר לראות זאת באמצעות השיטה הזו. למשל A = [ 1 1 5 1 2 7 2 − 1 4 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&5\\1&2&7\\2&-1&4\end{bmatrix}}} נרשום: A : I = [ 1 1 5 1 0 0 1 2 7 0 1 0 2 − 1 4 0 0 1 ] {\displaystyle A:I=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&1&5&1&0&0\\1&2&7&0&1&0\\2&-1&4&0&0&1\end{array}}\right]} ונדרג [ 1 1 5 1 0 0 0 1 2 − 1 1 0 0 − 3 − 6 − 2 0 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&1&5&1&0&0\\0&1&2&-1&1&0\\0&-3&-6&-2&0&1\end{array}}\right]} [ 1 0 3 2 − 1 0 0 1 2 − 1 1 0 0 0 0 − 5 3 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|ccc}1&0&3&2&-1&0\\0&1&2&-1&1&0\\0&0&0&-5&3&1\end{array}}\right]} המטריצה האחרונה אליה הגענו אינה ניתנת להפיכה למטריצה מן הסוג   I : A − 1 {\displaystyle \ I:A^{-1}} ועל כן המטריצה   A {\displaystyle \ A} היא בלתי הפיכה. הוכחה לשיטת הבלוקים: נשים לב שביצוע סדרת פעולות על שורות מטריצה (דירוג מטריצות) שקול לכפל במטריצה הפיכה B. מאחר שמבצעים את אותן פעולות על A ו-I מקבלים: B A : B I {\displaystyle BA:BI} אבל אם מגיעים ל- B A = I {\displaystyle BA=I} הרי ש- B = A − 1 {\displaystyle B=A^{-1}} וזו בדיוק המטריצה המתקבלת בבלוק הימני (כלומר: I : B = I : A − 1 {\displaystyle I:B=I:A^{-1}} ).‏ תהא   A {\displaystyle \ A} מטריצה מסדר   n × n {\displaystyle \ n\times n} . כל התנאים הבאים שקולים. כלומר אם אחד מתקיים, כולם מתקיימים:   A {\displaystyle \ A} היא מטריצה הפיכה. קיימת מטריצה   B {\displaystyle \ B} כך ש-   B A = I {\displaystyle \ BA=I} . (כלומר,   A {\displaystyle \ A} הפיכה משמאל) קיימת מטריצה   B {\displaystyle \ B} כך ש-   A B = I {\displaystyle \ AB=I} . (כלומר,   A {\displaystyle \ A} הפיכה מימין)   A {\displaystyle \ A} אינה מחלק אפס בחוג המטריצות הריבועיות. (כלומר, לכל מטריצה   B ≠ 0 {\displaystyle \ B\neq 0} , מתקיים   A B , B A ≠ 0 {\displaystyle \ AB,BA\neq 0} )   det ( A ) ≠ 0 {\displaystyle \ \det(A)\neq 0} (כלומר, דטרמיננטת המטריצה שונה מ-0).   rank ( A ) = n {\displaystyle \ {\mbox{rank}}(A)=n} (כלומר, דרגת המטריצה שווה ל-n).   A {\displaystyle \ A} שקולת שורות ל-   I n {\displaystyle \ I_{n}} (כלומר, ניתן להגיע מ   A {\displaystyle \ A} אל   I n {\displaystyle \ I_{n}} באמצעות פעולות אלמנטריות).   A {\displaystyle \ A} היא מכפלה של מטריצות אלמנטריות. למערכת המשוואות הליניאריות   A x = 0 {\displaystyle \ Ax=0} קיים רק פתרון אחד והוא הפתרון הטריוויאלי, כלומר   x = 0 ⇐ A x = 0 {\displaystyle \ x=0\Leftarrow Ax=0} (בניסוח אחר: מרחב הפתרונות מנוון). למערכת המשוואות הליניאריות   A x = b {\displaystyle \ Ax=b} קיים פתרון לכל וקטור עמודה b {\displaystyle \,b} מסדר n {\displaystyle \,n} (פתרון זה יהיה יחיד). עמודות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית. שורות המטריצה הן בלתי תלויות ליניארית. 0 אינו ערך עצמי של המטריצה. ההעתקה הליניארית   T ( x ) = A x {\displaystyle \ T(x)=Ax} מעבירה בסיס לבסיס. ההעתקה הליניארית   T ( x ) = A x {\displaystyle \ T(x)=Ax} היא חד חד ערכית. באופן שקול, הגרעין טריוויאלי ( ker ⁡ ( A ) = { 0 } {\displaystyle \ker(A)=\{0\}} ) ההעתקה הליניארית   T ( x ) = A x {\displaystyle \ T(x)=Ax} היא על. ממד מרחב השורות של A הוא n. ממד מרחב העמודות של A הוא n. A {\displaystyle A} מאפסת פולינום עם מקדם חופשי שונה מ-0. יהיו A ו-B מטריצות הפיכות. ( A − 1 ) − 1 = A {\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A} ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T {\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}} כאשר A T {\displaystyle A^{T}} היא המטריצה המשוחלפת. לכל סקלר k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0} מתקיים ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 {\displaystyle (kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}} ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 {\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}} det ( A − 1 ) = ( det A ) − 1 {\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}} (דטרמיננטה) אם A ( t ) {\displaystyle A(t)} מטריצה הפיכה גזירה לכל t ∈ J {\displaystyle t\in J} (זוהי מטריצה התלויה בפרמטר t) אזי d A − 1 d t = − A − 1 d A d t A − 1 {\displaystyle {\frac {dA^{-1}}{dt}}=-A^{-1}{\frac {dA}{dt}}A^{-1}} אם ϵ {\displaystyle \epsilon } מספר קטן, אזי ( A + ϵ X ) − 1 = A − 1 − ϵ A − 1 X A − 1 + O ( ϵ 2 ) {\displaystyle (A+\epsilon X)^{-1}=A^{-1}-\epsilon A^{-1}XA^{-1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})} לפי מה שכתוב לעיל, ניתן להציג את קבוצת כל המטריצות ההפיכות כקבוצת המטריצות שהדטרמיננטה שלהן לא מתאפסת:   G L n ( F ) = { A ∈ F n × n |     det   A ≠ 0 } {\displaystyle \ \mathbf {GL} _{n}(F)=\left\{A\in F^{n\times n}|\ \ \det \ A\neq 0\right\}} מתכונות הכפליות של הדטרמיננטה (דטרמיננטה של מכפלה היא מכפלת הדטרמיננטות), או משיקולים כללים לגבי הפיכות בחוגים, מכפלת שתי מטריצות הפיכות היא מטריצה הפיכה - כלומר קבוצה זו סגורה תחת כפל. לעומת זאת, חיבור וחיסור מטריצות הפיכות לא יניב בהכרח מטריצה הפיכה. מסמנים את קבוצת כל המטריצות ההפיכות   G L n ( F ) {\displaystyle \ \mathbf {GL} _{n}(F)} והיא נקראת החבורה הליניארית הכללית מעל השדה   F {\displaystyle \ F} (ביחס לכפל מטריצות). קבוצה זו היא אכן חבורה, לא קומוטטיבית, עם פעולת כפל מטריצות. מבחינה טופולוגית קבוצה זו היא קבוצה פתוחה, כיוון שהיא מתקבלת כהעתקה ההפוכה של פונקציית הדטרמיננטה (שהיא פונקציה רציפה), של הקבוצה הפתוחה   F − { 0 } {\displaystyle \ F-\left\{0\right\}} . קבוצה זו צפופה במרחב המטריצות. בגאומטריה דיפרנציאלית, קבוצה זו היא יריעה חלקה, ואף אנליטית מממד   n 2 {\displaystyle \ n^{2}} כאשר F = R {\displaystyle F=\mathbb {R} } או F = C {\displaystyle F=\mathbb {C} } . בנוסף, יחד עם פעולת כפל מטריצות, קבוצה זו מהווה חבורת לי. מטריצה A {\displaystyle A} נקראת הפיכה משמאל אם קיימת מטריצה P {\displaystyle P} כך ש P A = I {\displaystyle PA=I} . ההופכית השמאלית P {\displaystyle P} אינה נקבעת ביחידות אם A {\displaystyle A} אינה ריבועית. בדומה, מטריצה A {\displaystyle A} נקראת הפיכה מימין אם קיימת מטריצה Q {\displaystyle Q} כך ש A Q = I {\displaystyle AQ=I} . מטריצה שהפיכה גם מימין וגם משמאל היא מטריצה הפיכה, ובפרט היא ריבועית. מטריצה שהפיכה רק מצד אחד אינה ריבועית. מושג המטריצה ההופכית הוכלל על ידי אליקים מור ורוג'ר פנרוז עבור מטריצות שאינן בהכרח ריבועיות; ראו (Moore–Penrose pseudoinverse). נוסחת וודברי מטריצה הפיכה, באתר MathWorld (באנגלית)