קו-מכפלה (תורת הקטגוריות)

במתמטיקה, ובמיוחד בתורת הקטגוריות, קו-מכפלה של אובייקטים בקטגוריה היא הכללה של בניות שונות במתמטיקה, כגון איחוד זר של קבוצות, מכפלה חופשית של חבורות, סכום ישר של מרחבים וקטוריים וכו'. במהותה, קו-מכפלה של זוג אובייקטים היא הקונספט הדואלי למכפלה (תורת הקטגוריות). נניח כי C היא קטגוריה וכי { X j | j ∈ I } {\displaystyle \,\{X_{j}|j\in I\}} היא משפחה של אובייקטים ב-C. הקו-מכפלה של הקבוצה { X i } {\displaystyle \,\{X_{i}\}} היא אובייקט X ביחד עם אוסף מורפיזמים i j : X j → X {\displaystyle \,i_{j}:X_{j}\to X} (הנקראות השיכונים הקנוניים, שהם לעיתים קרובות, אם כי לא תמיד מונומורפיזמים) אשר מקיימים את התכונה האוניברסלית הבאה: לכל אובייקט Y ואוסף מורפיזמים f j : X j → Y {\displaystyle \,f_{j}:X_{j}\to Y} קיים מורפיזם יחיד f : X → Y {\displaystyle \,f:X\to Y} כך שלכל j ∈ I {\displaystyle \,j\in I} מתקיים f j = f ∘ i j {\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}} . במילים אחרות, לכל j הדיאגרמה הבאה היא דיאגרמה קומוטטיבית: במילים אחרות, X הוא אובייקט התחלתי בקטגוריה { X j } C = { ( Z , { g j : X j → Z } )   |   ∀ i : X , X j ∈ O b ( C )   ,   g j ∈ M o r ( Z , X j ) } {\displaystyle {}_{\{X_{j}\}}C=\left\{(Z,\{g_{j}:X_{j}\to Z\})\ |\ \forall i:X,X_{j}\in \mathrm {Ob} (C)\ ,\ g_{j}\in \mathrm {Mor} (Z,X_{j})\right\}} עם המורפיזמים המתאימים (כך שהדיאגרמה המתאימה קומוטטיבית). אם משפחת האובייקטים מכילה רק שני איברים, נהוג לסמן את המכפלה ב X 1 ∐ X 2 {\displaystyle \,X_{1}\coprod X_{2}} , ואז התכונה האוניברסלית מבוטאת על ידי הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה: המורפיזם היחיד f ההופך את הדיאגרמה לקומוטטיבית מסומן לעיתים ב-f1 ∐ f2 או f1 ⊕ f2 או f1 + f2 או [f1, f2]. באופן כללי, הקו-מכפלה של { X j | j ∈ I } {\displaystyle \,\{X_{j}|j\in I\}} מסומנת X = ∐ j ∈ I X j {\displaystyle X=\coprod _{j\in I}X_{j}} ולעיתים X = ⨁ j ∈ I X j {\displaystyle X=\bigoplus _{j\in I}X_{j}} . בקטגוריית הקבוצות, איחוד זר של קבוצות היא קו-מכפלה, כאשר השיכונים i A {\displaystyle i_{A}} ו- i B {\displaystyle i_{B}} הם פשוט ההכלות (כגון A ⊂ A ⊎ B {\displaystyle A\subset A\uplus B} ). בפרט, A ∐ B = A ⊎ B {\displaystyle A\coprod B=A\uplus B} , וזו הסיבה מדוע משתמשים לעיתים בסימן ∐ לציין איחוד זר. אפשר לבנות קו-מכפלה גם של קבוצות לא זרות באופן הבאה: אם A ∩ B ≠ ∅ {\displaystyle A\cap B\neq \emptyset } לוקחים קבוצה B ′ {\displaystyle B'} שוות עוצמה ל-B שזרה ל-A ואז בונים את האיחוד A ⊎ B ′ {\displaystyle A\uplus B'} עם שיכון i B ′ ∘ f {\displaystyle i_{B'}\circ f} כאשר f : B → B ′ {\displaystyle f:B\to B'} היא פונקציית שקילות של קבוצות. קו-מכפלה בקטגוריה של חבורות אבליות היא סכום ישר של החבורות, ומסומנת G ⊕ H {\displaystyle G\oplus H} . קו-מכפלה בקטגוריה של מרחבים וקטוריים היא סכום ישר של המרחבים, ומסומנת V = ⨁ j ∈ I V j {\displaystyle V=\bigoplus _{j\in I}V_{j}} כאשר את איבריה ניתן להציג כקבוצת כל הסכומים הסופים של איברים מ-V, כלומר: שכמעט לכל j ∈ I {\displaystyle j\in I} האיבר שבא מ- V j {\displaystyle V_{j}} שווה לאפס. למשל: v 1 + v 2 ∈ ⨁ n = 1 ∞ V n {\displaystyle v_{1}+v_{2}\in \bigoplus _{n=1}^{\infty }V_{n}} אך 0 + 0 + v 3 + v 4 + v 5 + . . . = ∑ n = 3 ∞ v j ∉ ⨁ n = 1 ∞ V n {\displaystyle 0+0+v_{3}+v_{4}+v_{5}+...=\sum _{n=3}^{\infty }v_{j}\notin \bigoplus _{n=1}^{\infty }V_{n}} . בקטגוריה של חוגים קומוטטיביים עם יחידה, המכפלה הטנזורית של A ו-B הםומנת ב A ⊗ B {\displaystyle A\otimes B} היא קו-מכפלה, ביחד עם השיכונים הקנוניים a ↦ a ⊗ 1 ∈ A ⊗ B {\displaystyle a\mapsto a\otimes 1\in A\otimes B} ו- b ↦ 1 ⊗ b ∈ A ⊗ B {\displaystyle b\mapsto 1\otimes b\in A\otimes B} . לא בכל קטגוריה C קיימת לכל משפחה { X j } {\displaystyle \,\{X_{j}\}} קו-מכפלה. אם קיימת המכפלה אז היא יחידה במובן הבא: אם i j : X j → X {\displaystyle \,i_{j}:X_{j}\to X} ו- i j ′ : X j → X ′ {\displaystyle \,i'_{j}:X_{j}\to X'} הן זוג מכפלות של המשפחה { X j } {\displaystyle \,\{X_{j}\}} אז קיים איזומורפיזם יחיד f : X → X ′ {\displaystyle \,f:X\to X'} כך ש i j ′ = f ∘ i j {\displaystyle i_{j}'=f\circ i_{j}} . מכפלה (תורת הקטגוריות) מכפלת סיב (תורת הקטגוריות) גבול ישר (תורת הקטגוריות) פונקטור מיוצג אובייקט התחלתי ואובייקט סופי מדיה וקבצים בנושא קו-מכפלה בוויקישיתוף קו-מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)