משוואת המחלקות

בתורת החבורות, משוואת המחלקות של חבורה סופית G היא השוויון: | G | = | Z ( G ) | + ∑ g ∈ I [ G : C ( g ) ] {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]} כאשר Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} הוא המרכז של G, C ( g ) {\displaystyle C(g)} הוא המְרַכֵּז של g {\displaystyle g} (תת-חבורת האיברים שמתחלפים עם g) ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב- Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} . [ G : C ( g ) ] {\displaystyle [G:C(g)]} הוא האינדקס של C ( g ) {\displaystyle C(g)} ב- G {\displaystyle G} והוא שווה ל- [ G : C ( g ) ] = | G | / | C ( g ) | {\displaystyle [G:C(g)]=|G|/|C(g)|} . שני איברים g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} נקראים איברים צמודים אם קיים x ∈ G {\displaystyle x\in G} כך ש- g = x h x − 1 {\displaystyle g=xhx^{-1}} . צמידות הוא יחס שקילות ולכן ניתן לחלק את G {\displaystyle G} למחלקות שקילות ביחס לצמידות הנקראות מחלקות צמידות. נסמן את מחלקת הצמידות המורכבת מהאיברים שצמודים ל- g {\displaystyle g} כ- A g {\displaystyle A_{g}} . המרכז של G {\displaystyle G} מוגדר Z ( G ) = { g ∈ G : ∀ x ∈ G , x g = g x } {\displaystyle Z(G)=\{g\in G:\forall x\in G,xg=gx\}} (קבוצת האיברים שמתחלפים עם כל איברי החבורה). המְרַכֵּז של איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} מוגדר C ( g ) = { x ∈ G : x g = g x } {\displaystyle C(g)=\{x\in G:xg=gx\}} (קבוצת האיברים שמתחלפים עם g). למשל המרכז של איבר במרכז הוא G כולה. בדיקה פשוטה מעלה ש- C ( g ) {\displaystyle C(g)} היא תת-חבורה של G {\displaystyle G} . תהי G {\displaystyle G} חבורה סופית ויהי g ∈ G {\displaystyle g\in G} . נשים לב לשרשרת השקילויות הבאה: x g x − 1 = y g y − 1 ⟺ ( y − 1 x ) g = g ( y − 1 x ) ⟺ y − 1 x ∈ C ( g ) ⟺ x ∈ y C ( g ) ⟺ x C ( g ) = y C ( g ) {\displaystyle xgx^{-1}=ygy^{-1}\iff (y^{-1}x)g=g(y^{-1}x)\iff y^{-1}x\in C(g)\iff x\in yC(g)\iff xC(g)=yC(g)} כאשר המעבר האחרון נובע מכך שקוסטים מהווים מחלקות שקילות. מכאן ש- x g x − 1 {\displaystyle xgx^{-1}} ו- y g y − 1 {\displaystyle ygy^{-1}} שונים אם ורק אם x {\displaystyle x} ו- y {\displaystyle y} שייכים לקוסטים שמאליים שונים של C ( g ) {\displaystyle C(g)} . לכן מתקיים: | A g | = [ G : C ( g ) ] {\displaystyle |A_{g}|=[G:C(g)]} מכיוון שמחלקות הצמידות מהוות מחלקות שקילות מתקיים: | G | = ∑ g | A g | {\displaystyle |G|=\sum _{g}|A_{g}|} כש- g {\displaystyle g} עובר על קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות. נגדיר את I {\displaystyle I} כקבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ללא איברי Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} . לכל g ∈ Z ( G ) {\displaystyle g\in Z(G)} ולכל x ∈ G {\displaystyle x\in G} מתקיים g = x x − 1 g = x g x − 1 {\displaystyle g=xx^{-1}g=xgx^{-1}} ולכן | A g | = 1 {\displaystyle |A_{g}|=1} (g צמוד רק לעצמו). מכאן שמתקיים: | G | = ∑ g ∈ Z ( G ) 1 + ∑ g ∈ I | A i | = | Z ( G ) | + ∑ g ∈ I [ G : C ( g ) ] {\displaystyle |G|=\sum _{g\in Z(G)}{1}+\sum _{g\in I}{|A_{i}|}=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]} ממשוואת המחלקות נובע שלכל חבורת p יש מרכז לא טריוויאלי. הוכחה: תהי G {\displaystyle G} חבורה מסדר p n {\displaystyle p^{n}} . אם G {\displaystyle G} אבלית Z ( G ) = G {\displaystyle Z(G)=G} אינו טריוויאלי. נניח ש- G {\displaystyle G} אינה אבלית. יהי g ∈ I {\displaystyle g\in I} , לפי משפט לגראנז' קיים k טבעי כך שמתקיים | C ( g ) | = p k {\displaystyle |C(g)|=p^{k}} . בהכרח k < n {\displaystyle k<n} , אחרת C ( g ) = G {\displaystyle C(g)=G} בסתירה לכך ש- g ∉ Z ( G ) {\displaystyle g\not \in Z(G)} . לכן: p | p n − k = [ G : C ( g ) ] {\displaystyle p|p^{n-k}=[G:C(g)]} . לפי משוואת המחלקות: | Z ( G ) | = | G | − ∑ g ∈ I [ G : C ( g ) ] {\displaystyle |Z(G)|=|G|-\sum _{g\in I}[G:C(g)]} אגף ימין הוא סכום של מספרים שמתחלקים ב-p, ולכן גם אגף שמאל מתחלק ב-p. | Z ( G ) | {\displaystyle |Z(G)|} הוא מספר חיובי (כי e ∈ Z ( G ) {\displaystyle e\in Z(G)} ) שמתחלק ב-p ולכן p ≤ | Z ( G ) | {\displaystyle p\leq |Z(G)|} . ∎ שימוש חשוב של משוואת המחלקות הוא להוכחת משפט קושי. המשוואה משמשת בחלק מההוכחות של המשפט הקטן של ודרברן. המרכז של איבר יחיד שווה לנורמליזטור שלו. אולם כאשר מרחיבים את הגדרת המרכז לקבוצה מקבלים אובייקט שונה מהנורמליזטור של קבוצה.