לגראנז'יאן

לגראנז'יאן (או לגרנג'יאן) היא פונקציה המתארת מערכת פיזיקלית (בדרך כלל חסרת חיכוך או דיסיפציה אחרת), שבעזרתה ניתן לרשום את משוואות התנועה של המערכת. משוואות אלו נקראות משוואת אוילר-לגראנז', והן שקולות לחוק השני של ניוטון. יתרונו של הפורמליזם הלגראנז'יאני בכך שהוא מאפשר גזירה פשוטה יותר של משוואות התנועה, ומדגיש את חשיבות הסימטריה של המערכת לגבי אופן התנהגותה. פורמליזם אלגנטי זה פותח על ידי ז'וזף לואי לגראנז' במאה ה-18. הלגראנז'יאן הוא פונקציה של הזמן, של קואורדינטות מוכללות ושל המהירויות. הלגראנז'יאן אינו יחיד: ישנן מספר פונקציות המתארות את אותה המערכת ומקיימות את משוואת אוילר-לגראנז'. בניגוד להמילטוניאן, הלגראנז'יאן אינו מכמת ערך פיזיקלי כלשהו, אלא מהווה תיאור מתמטי של המערכת. הדרך הפשוטה ביותר למצוא לגראנז'יאן של מערכת פיזיקלית היא בעזרת אנרגיה קינטית T ואנרגיה פוטנציאלית U של המערכת: L ( q , q ˙ , t ) = T ( q , q ˙ , t ) − U ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)=T(q,{\dot {q}},t)-U(q,{\dot {q}},t)} כאן   q {\displaystyle \ q} היא קבוצת קואורדינטות מוכללות (   q 1 , q 2 . . . q n {\displaystyle \ q_{1},q_{2}...q_{n}} ) ו   q ˙ {\displaystyle \ {\dot {q}}} הן נגזרותיהן לפי הזמן (מהירויות מוכללות). את משוואות התנועה מקבלים מתוך הלגראנז'יאן באמצעות משוואת אוילר-לגראנז': d d t ( ∂ L ∂ q ˙ ) = ∂ L ∂ q {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial q}}} לעיתים קרובות משמש הלגראנז'יאן בסיס למעבר לפורמליזם אחר, למשל המילטוניאן או משוואת המילטון-יעקובי. הלגראנז'יאן ומשוואת אוילר-לגראנז' נובעים מעקרון הפעולה המינימלית בחשבון וריאציות או מעיקרון ד'אלמבר. דוגמה נפוצה לשימוש בלגראנז'יאן היא פתרון של מטוטלת פשוטה. נבחר כקואורדינטה מוכללת את   θ {\displaystyle \ \theta } , זווית מוט המטוטלת מן האנך. האנרגיה הקינטית של המטוטלת תהיה T = 1 2 m l 2 θ ˙ 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}} והאנרגיה הפוטנציאלית (כתוצאה מהכבידה):   U = − m g l cos ⁡ θ {\displaystyle \ U=-mgl\cos \theta } (קו האפס של הפוטנציאל מוגדר כאשר המטוטלת תלויה על מישור הייחוס). הלגראנז'יאן יהיה לכן: L = T − U = 1 2 m l 2 θ ˙ 2 + m g l cos ⁡ θ {\displaystyle L=T-U={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl\cos \theta } ומשוואת אוילר-לגראנז': d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ ) = d d t ( m l 2 θ ˙ ) = m l 2 θ ¨ = ∂ L ∂ θ = − m g l sin ⁡ θ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\theta }})=ml^{2}{\ddot {\theta }}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}=-mgl\sin \theta } . את   sin ⁡ θ {\displaystyle \ \sin \theta } מקרבים בקירוב ראשון ל-   θ {\displaystyle \ \theta } ומקבלים את המשוואה הדיפרנציאלית של המטוטלת: θ ¨ = − g l θ {\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {g}{l}}\theta } . כדאי לשים לב שגם L = 1 2 m l 2 θ ˙ 2 + m g l cos ⁡ θ + θ ˙ θ {\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mgl\cos \theta +{\dot {\theta }}\theta } הוא לגראנז'יאן של המערכת כי d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ ) = d d t ( m l 2 θ ˙ + θ ) = m l 2 θ ¨ + θ ˙ = ∂ L ∂ θ = − m g l sin ⁡ θ + θ ˙ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)={\frac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\theta }}+\theta )=ml^{2}{\ddot {\theta }}+{\dot {\theta }}={\frac {\partial L}{\partial \theta }}=-mgl\sin \theta +{\dot {\theta }}} ומקבלים את אותה משוואת התנועה. המילטוניאן משוואת המילטון-יעקובי מכניקה אנליטית חשבון וריאציות קואורדינטות מוכללות Mechanics, L.D. Landau and E.M Lifshitz לגראנז'יאן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)