גרופואיד

במתמטיקה, גרופואיד (נקרא גם חבורואיד) הוא קטגוריה קטנה שכל המורפיזמים שלה הם איזומורפיזמים, כלומר הפיכים (מימין ומשמאל). ביתר פירוט, גרופואיד G {\displaystyle {\mathcal {G}}} הוא קטגוריה המורכבת מקבוצה של עצמים X {\displaystyle X} ואוסף מורפיזמים (הנקראים "חצים") ביניהם A {\displaystyle A} עם 2 העתקות s , t : A → X {\displaystyle s,t:A\to X} הנקראות source (מקור) ו-target (מטרה) כך שלכל חץ (מורפיזם) f : x → y {\displaystyle f:x\to y} s ( f ) = s ( x → y ) = x {\displaystyle s(f)=s(x\to y)=x} ו- t ( f ) = t ( x → y ) = y {\displaystyle t(f)=t(x\to y)=y} . לכן, אפשר לתאר חץ כמורפיזם מ- x {\displaystyle x} ל- y {\displaystyle y} . סימון מקובל לחץ הוא f : x → y {\displaystyle f:x\to y} או x ⟶ f y {\displaystyle x{\stackrel {f}{\longrightarrow }}y} . בגרופואיד, כמו כל קטגוריה, קיימת הרכבה של חצים. הרכבה של f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} מוגדרת כאשר s ( g ) = t ( f ) {\displaystyle s(g)=t(f)} ואז g ∘ f : s ( f ) → t ( g ) {\displaystyle g\circ f:s(f)\to t(g)} הוא חץ (מורפיזם) בקטגוריה. למעשה, ההרכבה היא פעולת כפל עם תחום שהוא מכפלת הסיב A × X A = { ( f , g ) ∈ A × A ∣ t ( f ) = s ( g ) } {\displaystyle A\times _{X}A=\left\{(f,g)\in A\times A\mid t(f)=s(g)\right\}} וטווח שהוא A {\displaystyle A} . הרכבה זו היא פעולה אסוציאטיבית: אם ההרכבה של f , g , h ∈ A {\displaystyle f,g,h\in A} מוגדרת אזי מתקיים h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f} . ישנו גם שיכון של X {\displaystyle X} בתוך A {\displaystyle A} המתאים לכל אובייקט x ∈ X {\displaystyle x\in X} את מורפיזם הזהות 1 x {\displaystyle 1_{x}} שמקיים את התכונות המצופות מזהות: לכל f : w → x {\displaystyle f:w\to x} מתקיים 1 x ∘ f = f {\displaystyle 1_{x}\circ f=f} ולכל g : x → y {\displaystyle g:x\to y} מתקיים g ∘ 1 x = g {\displaystyle g\circ 1_{x}=g} . לבסוף, אנו דורשים שכל חץ הוא הפיך, כלומר אם f : x → y {\displaystyle f:x\to y} הוא חץ בקטגוריה, אז קיים החץ ההפכי f − 1 : y → x {\displaystyle f^{-1}:y\to x} כך שמתקיים f − 1 ∘ f = 1 x {\displaystyle f^{-1}\circ f=1_{x}} ו- f ∘ f − 1 = 1 y {\displaystyle f\circ f^{-1}=1_{y}} . את הגרופואיד מסמנים G : A ⇉ X {\displaystyle {\mathcal {G}}:A\rightrightarrows X} או G = [ A ⇉ X ] {\displaystyle {\mathcal {G}}=\left[A\rightrightarrows X\right]} . חבורה היא גרופואיד עם עצם אחד X = { x } {\displaystyle X=\{x\}} ולכן כל חץ הוא מהצורה f : x → x {\displaystyle f:x\to x} וכל החצים ב-A ניתנים להרכבה זה עם זה. קיים איבר יחידה והוא 1 x {\displaystyle 1_{x}} . לכל חץ f {\displaystyle f} יש הפכי f − 1 {\displaystyle f^{-1}} , ולכן זהו גרופואיד. דוגמה טיפוסית: הקטגוריה שהאובייקטים שלה הם תת-הקבוצות של קבוצה קבועה, והמורמפיזמים הם התאמות חד-חד-ערכיות ועל בין תת-קבוצות. כשמקודדים את התכונות של קטגוריות כאלה לאקסיומות, מתקבלת הגדרה לאובייקט הקרוי גרופואיד אינדוקטיבי; גרופואידים אלה מתאימים באופן טבעי לחבורות למחצה הפיכות. עוד דוגמה: גרופואיד פעולה G × X ⇉ X {\displaystyle G\times X\rightrightarrows X} - האובייקטים שלו הם איברי קבוצה X {\displaystyle X} שחבורה G {\displaystyle G} פועלת עליה, והחצים ניתנים על ידי x → g ⋅ x {\displaystyle x\to g\cdot x} לכל x ∈ X , g ∈ G {\displaystyle x\in X,g\in G} , כלומר: כל חץ הוא זוג סדור ( g , x ) {\displaystyle (g,x)} כך ש- ( g , x ) : x → g ⋅ x {\displaystyle (g,x):x\to g\cdot x} . קל לראות שכל חץ הוא הפיך ו- ( g , x ) − 1 = ( g − 1 , g ⋅ x ) = g ⋅ x → g − 1 ⋅ ( g ⋅ x ) = x {\displaystyle (g,x)^{-1}=(g^{-1},g\cdot x)=g\cdot x\to g^{-1}\cdot (g\cdot x)=x} . ב-1929 הוכיח H.Brandt שכל גרופואיד קשיר הוא קטגוריה שבה האובייקטים הם קבוצה X {\displaystyle X} והמורפיזמים מ- a {\displaystyle a} ל- b {\displaystyle b} נמצאים בהתאמה לאברים של חבורה קבועה, G {\displaystyle G} . "אלגברת החבורה" של גרופואיד כזה היא אלגברת מטריצות מעל אלגברת החבורה של G {\displaystyle G} . בעבר התייחסה המלה גרופואיד לקבוצה עם פעולה בינארית כלשהי; אובייקט זה מכונה היום מאגמה. The algebraic theory of semigroups, A. H. Clifford, G. B. Preston. גרופואיד, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) גרופואיד, באתר MathWorld (באנגלית)