שדה המספרים הרציונליים

שדה המספרים הרציונליים (או: השדה הרציונלי) הוא האוסף של כל השברים (כגון   7 4 , − 3 14 , 6 1 {\displaystyle \ {\frac {7}{4}},{\frac {-3}{14}},{\frac {6}{1}}} ), יחד עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. באופן זה, אוסף השברים מהווה שדה סדור, שאבריו הם כל המספרים הרציונליים. כיוון שכל מספר רציונלי הוא מנה של שני מספרים שלמים, מסמנים את השדה ב-   Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} } , האות הראשונה במילה Quotient (מנה באנגלית).   Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} } הוא השדה הקטן ביותר ממאפיין אפס: כל שדה שבו המספרים הטבעיים שונים זה מזה מכיל עותק של   Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} } , ולכן אפשר להתייחס לכל שדה ממאפיין אפס כאל הרחבה של השדה הרציונלי. כאשר ממד ההרחבה סופי, איבריו של השדה הם כולם אלגבריים מעל השדה הרציונלי, והוא נקרא שדה מספרים. באופן פורמלי, בונים את   Q {\displaystyle \ \mathbb {Q} } כשדה שברים של חוג המספרים השלמים (ראו מערכות מספרים). כתת-שדה של השדה הממשי, השדה הרציונלי הוא קבוצה צפופה בת מנייה. השדה הממשי, אם כך, הוא מרחב ספרבילי. נגדיר יחס שקילות על Z × ( Z ∖ { 0 } ) {\displaystyle \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})} כך: ( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle (a,b)\sim (c,d)} אם ורק אם a d = b c {\displaystyle ad=bc} . נראה שזהו אכן יחס שקילות: רפלקסיביות: a b = b a {\displaystyle ab=ba} ולכן ( a , b ) ∼ ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\sim (a,b)} סימטריה: נניח ש a d = b c {\displaystyle ad=bc} . מכיוון ששוויון הוא סימטרי וכפל הוא חילופי, נקבל c b = d a {\displaystyle cb=da} , כלומר ( c , d ) ∼ ( a , b ) {\displaystyle (c,d)\sim (a,b)} טרנזיטיביות: נניח ש a d = b c {\displaystyle ad=bc} וכן ש c f = d e {\displaystyle cf=de} . נכפול את המשוואות ונקבל a d c f = b c d e {\displaystyle adcf=bcde} . נצמצם ב c d {\displaystyle cd} ונקבל a f = b e {\displaystyle af=be} , כלומר ( a , b ) ∼ ( e , f ) {\displaystyle (a,b)\sim (e,f)} קבוצת המנה של יחס שקילות זה תסומן Q {\displaystyle \mathbb {Q} } – קבוצת המספרים הרציונליים. את מחלקת השקילות [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]} נסמן a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} . את מחלקת השקילות [ ( a , 1 ) ] {\displaystyle [(a,1)]} נזהה עם המספר השלם a {\displaystyle a} . כך קיבלנו שקבוצת המספרים השלמים חלקית לרציונליים. נגדיר פעולות חיבור וכפל: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] = [ ( a d + b c , b d ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]} [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] = [ ( a c , b d ) ] {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]} נראה שההגדרות לא תלויות בנציגים, כלומר אם ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) {\displaystyle (a,b)\sim (a',b')} וכן ( c , d ) ∼ ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle (c,d)\sim (c',d')} , אז ( a d + b c , b d ) ∼ ( a ′ d ′ + b ′ c ′ , b ′ d ′ ) {\displaystyle (ad+bc,bd)\sim (a'd'+b'c',b'd')} וכן ( a c , b d ) ∼ ( a ′ c ′ , b ′ d ′ ) {\displaystyle (ac,bd)\sim (a'c',b'd')} . חיבור: צריך להוכיח כי ( a d + b c ) b ′ d ′ = ( a ′ d ′ + b ′ c ′ ) b d {\displaystyle (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd} , כלומר כי a d b ′ d ′ + b c b ′ d ′ = a ′ d ′ b d + b ′ c ′ b d {\displaystyle adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd} . מתקיים a b ′ = a ′ b {\displaystyle ab'=a'b} . נכפול ב d d ′ {\displaystyle dd'} ונקבל a d b ′ d ′ = a ′ d ′ b d {\displaystyle adb'd'=a'd'bd} . מתקיים c d ′ = c ′ d {\displaystyle cd'=c'd} . נכפול ב b b ′ {\displaystyle bb'} ונקבל b c b ′ d ′ = b ′ c ′ b d {\displaystyle bcb'd'=b'c'bd} . נחבר את המשוואות ונקבל בדיוק את השוויון הדרוש כפל: צריך להוכיח כי a c b ′ d ′ = b d a ′ c ′ {\displaystyle acb'd'=bda'c'} . מתקיים a b ′ = b a ′ {\displaystyle ab'=ba'} וכן c d ′ = c ′ d {\displaystyle cd'=c'd} . נכפול את המשוואות ונקבל את השוויון הדרוש. נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה: אסוציאטיביות: חיבור: [ ( a , b ) ] + ( [ ( c , d ) ] + [ ( e , f ) ] ) = [ ( a , b ) ] + [ ( c f + d e , d f ) ] = [ ( a d f + b c f + b d e , b d f ) ] = [ ( a d + b c , b d ) ] + [ ( e , f ) ] = ( [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] ) + [ ( e , f ) ] {\displaystyle [(a,b)]+([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]+[(cf+de,df)]=[(adf+bcf+bde,bdf)]=[(ad+bc,bd)]+[(e,f)]=([(a,b)]+[(c,d)])+[(e,f)]} כפל: [ ( a , b ) ] ⋅ ( [ ( c , d ) ] ⋅ [ ( e , f ) ] ) = [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c e , d f ) ] = [ ( a c e , b d f ) ] = [ ( a c , b d ) ] ⋅ [ ( e , f ) ] = ( [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] ) ⋅ [ ( e , f ) ] {\displaystyle [(a,b)]\cdot ([(c,d)]\cdot [(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(ce,df)]=[(ace,bdf)]=[(ac,bd)]\cdot [(e,f)]=([(a,b)]\cdot [(c,d)])\cdot [(e,f)]} קומוטטיביות: חיבור: [ ( a , b ) ] + [ ( c , d ) ] = [ ( a d + b c , b d ) ] = [ ( c b + d a , d b ) ] = [ ( c , d ) ] + [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(ad+bc,bd)]=[(cb+da,db)]=[(c,d)]+[(a,b)]} כפל: [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] = [ ( a c , b d ) ] = [ ( c a , d b ) ] = [ ( c , d ) ] ⋅ [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac,bd)]=[(ca,db)]=[(c,d)]\cdot [(a,b)]} איבר האפס: [ ( a , b ) ] + 0 = [ ( a , b ) ] + [ ( 0 , 1 ) ] = [ ( a ⋅ 1 + b ⋅ 0 , b ⋅ 1 ) ] = [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]+0=[(a,b)]+[(0,1)]=[(a\cdot 1+b\cdot 0,b\cdot 1)]=[(a,b)]} איבר היחידה: [ ( a , b ) ] ⋅ 1 = [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( 1 , 1 ) [ = [ ( a ⋅ 1 , b ⋅ 1 ) ] = [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]\cdot 1=[(a,b)]\cdot [(1,1)[=[(a\cdot 1,b\cdot 1)]=[(a,b)]} איבר נגדי: [ ( a , b ) ] + [ ( − a , b ) ] = [ ( a b − b a , b 2 ) ] = [ ( 0 , b 2 ) ] = [ ( 0 , 1 ) ] = 0 {\displaystyle [(a,b)]+[(-a,b)]=[(ab-ba,b^{2})]=[(0,b^{2})]=[(0,1)]=0} איבר הופכי: [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( b , a ) ] = [ ( a b , b a ) ] = [ ( 1 , 1 ) ] = 1 {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(b,a)]=[(ab,ba)]=[(1,1)]=1} דיסטריבוטיביות: [ ( a , b ) ] ⋅ ( [ ( c , d ) ] + [ ( e , f ) ] ) = [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c f + d e , d f ) ] = [ ( a c f + a d e , b d f ) ] = [ ( a c b f + a d b e , b d b f ) ] = [ ( a c , b d ) ] + [ ( a e , b f ) ] = [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( c , d ) ] + [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( e , f ) ] {\displaystyle {\begin{aligned}&[(a,b)]\cdot ([(c,d)]+[(e,f)])=[(a,b)]\cdot [(cf+de,df)]=[(acf+ade,bdf)]=[(acbf+adbe,bdbf)]=[(ac,bd)]+[(ae,bf)]\\&=[(a,b)]\cdot [(c,d)]+[(a,b)]\cdot [(e,f)]\end{aligned}}} את הסדר על Q {\displaystyle \mathbb {Q} } נגדיר כך: ∀ b , d > 0 , [ ( a , b ) ] < [ ( c , d ) ] ⇔ a d < b c {\displaystyle \forall b,d>0,[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow ad<bc} . כלומר יש להציג את המספר כבעל מכנה חיובי, ואז ניתן להשוות. נראה כי ההגדרה אינה תלויה בנציגים: נניח כי b , d , b ′ , d ′ > 0 {\displaystyle b,d,b',d'>0} , וכן כי a d < b c {\displaystyle ad<bc} . נכפול בשוויון c d ′ = c ′ d {\displaystyle cd'=c'd} ונקבל a d ′ c d < b c ′ c d {\displaystyle ad'cd<bc'cd} . נצמצם ב c d {\displaystyle cd} ונקבל a d ′ < b c ′ {\displaystyle ad'<bc'} . נכפול בשוויון a ′ b = a b ′ {\displaystyle a'b=ab'} ונקבל a ′ d ′ a b < b ′ c ′ a b {\displaystyle a'd'ab<b'c'ab} . נצמצם ב a b {\displaystyle ab} ונקבל a ′ d ′ < b ′ c ′ {\displaystyle a'd'<b'c'} . נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק: אנטי-רפלקסיביות: לא מתקיים a b < a b {\displaystyle ab<ab} ולכן גם לא [ ( a , b ) ] < [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]<[(a,b)]} טרנזיטיביות: נניח כי a d < b c ∧ c f < d e {\displaystyle ad<bc\land cf<de} . נכפול את שני אי השוויונות ונקבל a d c f < b c d e {\displaystyle adcf<bcde} . נצמצם ב c d {\displaystyle cd} ונקבל a f < b e {\displaystyle af<be} , כלומר [ ( a , b ) ] < [ ( e , f ) ] {\displaystyle [(a,b)]<[(e,f)]} השוואה: נשתמש בכך שהסדר על השלמים הוא משווה, ונקבל שלכל a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} מתקיים a d = b c ∨ a d < b c ∨ a d > b c {\displaystyle ad=bc\lor ad<bc\lor ad>bc} , כלומר [ ( a , b ) ] = [ ( c , d ) ] ∨ [ ( a , b ) ] < [ ( c , d ) ] ∨ [ ( c , d ) ] < [ ( a , b ) ] {\displaystyle [(a,b)]=[(c,d)]\lor [(a,b)]<[(c,d)]\lor [(c,d)]<[(a,b)]} נראה כי ההגדרה הופכת את השדה לשדה סדור: נניח כי [ ( a , b ) ] < [ ( c , d ) ] {\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]} , וכן f > 0 {\displaystyle f>0} : צריך להוכיח כי [ ( a , b ) ] + [ ( e , f ) ] < [ ( c , d ) ] + [ ( e , f ) ] {\displaystyle [(a,b)]+[(e,f)]<[(c,d)]+[(e,f)]} , כלומר a f d f + b e d f < c f b f + d e b f {\displaystyle afdf+bedf<cfbf+debf} . מתקיים a d < b c {\displaystyle ad<bc} . נכפול ב f 2 > 0 {\displaystyle f^{2}>0} ונקבל a f d f < c f b f {\displaystyle afdf<cfbf} . נוסיף לשני האגפים b e d f {\displaystyle bedf} ונקבל את אי השוויון הרצוי. נניח בנוסף כי [ ( e , f ) ] > 0 = [ ( 0 , 1 ) ] {\displaystyle [(e,f)]>0=[(0,1)]} (כלומר e > 0 {\displaystyle e>0} לאחר שהנחנו f > 0 {\displaystyle f>0} ). צריך להוכיח [ ( a , b ) ] ⋅ [ ( e , f ) ] < [ ( c , d ) ] ⋅ [ ( e , f ) ] {\displaystyle [(a,b)]\cdot [(e,f)]<[(c,d)]\cdot [(e,f)]} , כלומר כי a e d f < b f c e {\displaystyle aedf<bfce} . מתקיים a d < b c {\displaystyle ad<bc} . נכפול ב e f > 0 {\displaystyle ef>0} ונקבל את אי השוויון הרצוי. הצעד אולי יהפוך את כיוון אי השוויון, אבל הצעד של חילוק ב c d {\displaystyle cd} יהפוך אותו שוב, כי הסימנים האלגבריים של d , d ′ {\displaystyle d,d'} שווים (כך הנחנו בהתחלה), לכן גם של c d , c d ′ {\displaystyle cd,cd'} שוב, הצעד אולי יהפוך את כיוון אי השוויון, אבל הצעד של חילוק ב c d {\displaystyle cd} יהפוך אותו שוב מאותה סיבה