גבול של סדרה

בחשבון אינפיניטסימלי, גבול של סדרה ממשית הוא מספר, שאיברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו כך שהמרחק בין האיברים לגבול קטן כרצוננו. מושג זה מהווה אבן פינה באנליזה המתמטית, בכך שהוא מאפשר לנסח ולחקור בכלים סופיים את ההתנהגות של סדרות, פונקציות ותהליכים אינסופיים אחרים. סדרה שיש לה גבול נקראת סדרה מתכנסת. סדרה שאין לה גבול (אינה מתכנסת) נקראת סדרה מתבדרת. באופן כללי יותר, אפשר להגדיר גבול לסדרה גם אם אבריה אינם דווקא מספרים ממשיים: ראו גבול בטופולוגיה. את הטענה "הגבול של הסדרה { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} הוא L {\displaystyle L} " ניתן לכתוב באופן lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} או a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} (ולפעמים גם a n → n → ∞ L {\displaystyle a_{n}\xrightarrow {n\to \infty } L} ). הצירוף lim הוא קיצור של המילה הלטינית limes שפירושה "גבול". בסימון a n {\displaystyle a_{n}} , האות a {\displaystyle a} מציינת את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו- n {\displaystyle n} הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. הסמל ∞ {\displaystyle \infty } מסמל את מושג האינסוף. החץ → {\displaystyle \to } מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } מציין ש- n {\displaystyle n} שואף לאינסוף. אינטואיטיבית, מספר ממשי הוא גבול של סדרת מספרים אם אברי הסדרה הולכים ומתקרבים אליו. עם זאת הגדרה זו מעורפלת ואינה שימושית. כדי לתת הגדרה מדויקת יותר יש להשתמש במושגים של סביבה ומרחק, שיחולו על אברי הסדרה ממקום מסוים ואילך. קבוצת המספרים שמרחקם מערך נתון a {\displaystyle a} אינו עולה על גודל קבוע (כלשהו), נקראת סביבה של a {\displaystyle a} . בהקשר זה, מקובל להשתמש באות היוונית אפסילון ( ε {\displaystyle \varepsilon } ) כדי לייצג את רדיוס הסביבה. רדיוס הסביבה הוא מספר חיובי ( ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ), אשר יכול להיות קטן כרצוננו. סביבה זו כוללת את כל המספרים x {\displaystyle x} המקיימים את התנאי | x − a | < ε {\displaystyle |x-a|<\varepsilon } . במסגרת מושגים אלו ניתן להגדיר את אברי הסדרה ה"קרובים" אל הגבול בצורה מדויקת יותר כנמצאים בסביבה של הגבול, כך שהמרחק של a n {\displaystyle a_{n}} מ- L {\displaystyle L} יהיה קטן מ- ε {\displaystyle \varepsilon } ; כלומר | a n − L | < ε {\displaystyle \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon } . משום ש- ε {\displaystyle \varepsilon } יכול להיות קטן כרצוננו, על אברי הסדרה לענות על תנאי זה עבור כל ε {\displaystyle \varepsilon } . הסימון המתמטי של "לכל" הוא ∀ {\displaystyle \forall } . על כן, נכתוב את התנאי "לכל רדיוס סביבה חיובי אברי הסדרה נמצאים בסביבת הגבול" בצורה הבאה: ∀ ε > 0 , | a n − L | < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\,|a_{n}-L|<\varepsilon } . עם זאת, משום שהגדרנו את אברי הסדרה כ"הולכים ומתקרבים" לגבול ולא כ"קרובים" אליו, אין צורך שכל אברי הסדרה יהיו בסביבת הגבול כדי לענות להגדרה זו. כלומר, מספיק שכמעט כל האיברים יהיו בסביבת הגבול, החל ממקום מסוים שאותו נהוג לסמן באות N {\displaystyle N} גדולה או N 0 {\displaystyle N_{0}} . על כך יורחב בהמשך. הגדרה מדויקת של מושג הגבול תדרוש כי עבור כל סביבה של הגבול, ניתן למצוא מקום מסוים המסומן באות N {\displaystyle N} גדולה או N 0 {\displaystyle N_{0}} , שהחל ממנו כל אברי הסדרה מצויים בתוך סביבה זו. דהיינו, עבור כל מרחק "קטן כרצוננו" מהגבול, קיים מספר טבעי N 0 = N 0 ( ε ) ∈ N {\displaystyle N_{0}=N_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} } (שיכול להיות גדול מאוד, ותלוי בבחירה של ε {\displaystyle \varepsilon } ), כך שכל איברי הסדרה מעבר לאותו מספר נמצאים בתוך מרחק זה מהגבול (הסימן של "קיים" הוא ∃ {\displaystyle \exists } ). כיוון ש- n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } עד N 0 {\displaystyle N_{0}} יש רק מספר סופי של אינדקסים וממנו והלאה יש מספר אינסופי של אינדקסים. לכן אפשר לומר שעבור כל ε {\displaystyle \varepsilon } , כמעט כל אברי הסדרה נמצאים במרחק שקטן מ- ε {\displaystyle \varepsilon } מהגבול - כלומר לא משנה עד כמה נצמצם את הסביבה של הגבול, עדיין כמעט כל הסדרה תישאר בתוך אותה סביבה. הגדרה: תהא { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי = L {\displaystyle =L} , או ש- L {\displaystyle L} הוא הגבול של הסדרה, ונסמן זאת lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} או בקיצור a n → L {\displaystyle a_{n}\to L} אם לכל מספר ממשי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי N 0 {\displaystyle N_{0}} כך שלכל n {\displaystyle n} המקיים n > N 0 {\displaystyle n>N_{0}} מתקיים | a n − L | < ε {\displaystyle \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon } . צורת כתיבה נוספת היא: L = lim n → ∞ a n ⟺ ∀ ε > 0 , ∃ N 0 > 0 , ∀ n > N 0 , | a n − L | < ε {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }a_{n}\iff \forall \varepsilon >0,\,\exists N_{0}>0,\,\forall n>N_{0},\,|a_{n}-L|<\varepsilon } יש לשים לב שהאינדקס N 0 {\displaystyle N_{0}} תלוי ב - ε {\displaystyle \varepsilon } . ככל ש ε {\displaystyle \varepsilon } יהיה קטן יותר, N 0 {\displaystyle N_{0}} המתאים לו, עשוי להיות גדול יותר. לעיתים מסמנים N ε {\displaystyle N_{\varepsilon }} או N 0 ( ε ) {\displaystyle N_{0}(\varepsilon )} במקום N 0 {\displaystyle N_{0}} כדי להדגיש עובדה זו. כמו כן, יש לזכור שהאינדקס N 0 {\displaystyle N_{0}} הוא מספר טבעי ( N 0 ∈ N {\displaystyle N_{0}\in \mathbb {N} } ). כלומר, על פי הגדרת הגבול עליו להיות מספר שלם חיובי. לעיתים במהלך החישוב או ההוכחה של גבול של סדרה מסוימת יתקבל מספר ממשי חיובי שאינו שלם. במקרה זה האינדקס N 0 {\displaystyle N_{0}} יהיה הערך השלם העליון של המספר שהתקבל בחישוב. שכן משום שהוא גדול יותר מהמספר שהתקבל, גם ממנו והלאה אברי הסדרה יתכנסו לעבר הגבול. כדי להדגיש שמדובר בערך העליון (פונקציית התקרה) הוא יסומן כך: ⌈ N ⌉ {\displaystyle \lceil N\rceil } . תנאי קושי הוא אפיון שקול לכך שסדרה ממשית מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול. הגדרה: תהא { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מקיימת את תנאי קושי אם לכל מספר ממשי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי N 0 {\displaystyle N_{0}} כך שלכל m , n {\displaystyle m,n} המקיימים m , n > N 0 {\displaystyle m,n>N_{0}} מתקיים | a n − a m | < ε {\displaystyle \left|a_{n}-a_{m}\right|<\varepsilon } . אומרים שסדרה a n {\displaystyle a_{n}} שואפת לאינסוף (או שאינסוף הוא גבול הסדרה), אם לכל מספר ממשי M {\displaystyle M} קיים מספר טבעי N 0 {\displaystyle N_{0}} כך שלכל n {\displaystyle n} המקיים n > N 0 {\displaystyle n>N_{0}} מתקיים a n > M {\displaystyle a_{n}>M} . ההגדרה של שאיפה למינוס אינסוף דומה. כך למשל סדרה כמו 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … {\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots } שואפת לאינסוף, כי ה"זנב" שלה גדול מכל מספר ממשי שנרצה, אולם הסדרה 1 , 2 , 1 , 3 , 1 , 4 … {\displaystyle 1,2,1,3,1,4\ldots } אינה שואפת לאינסוף, כי היא אמנם גדולה כרצוננו, אולם לא כל איברי ה"זנב" גדולים כרצוננו. בתוך המרחב הווקטורי של כל הסדרות הממשיות, שאותו מסמנים ב- R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} או R ω {\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }} , אוסף הסדרות המתכנסות מהווה אלגברה, שעליה מוגדר אופרטור הגבול: האופרטור מחזיר, עבור סדרה מתכנסת a n {\displaystyle a_{n}} , את גבולה lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} , שהוא מספר ממשי. לפי אריתמטיקה של גבולות, בהינתן שתי סדרות מתכנסות a n {\displaystyle a_{n}} ו- b n {\displaystyle b_{n}} וקבוע α {\displaystyle \alpha } מתקיים   lim n → ∞ ( a n + b n ) = lim n → ∞ a n + lim n → ∞ b n {\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}}   lim n → ∞ ( a n ⋅ b n ) = lim n → ∞ a n ⋅ lim n → ∞ b n {\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}}   lim n → ∞ ( α ⋅ b n ) = α ⋅ lim n → ∞ b n {\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }(\alpha \cdot b_{n})=\alpha \cdot \lim _{n\to \infty }b_{n}}   lim n → ∞ ( a n b n ) = lim n → ∞ a n lim n → ∞ b n {\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim _{n\to \infty }a_{n}}{\lim _{n\to \infty }b_{n}}}} כאשר בסעיף האחרון נדרש ש- lim n → ∞ b n ≠ 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0} וש- b n ≠ 0 {\displaystyle b_{n}\neq 0} לכל n {\displaystyle n} . כאשר סדרה אינה מתכנסת, אין לה גבול במובן שהוגדר למעלה, ואז נדרשים כלים מעט אחרים. ההרחבה הטבעית הראשונה היא לסדרות שגבולן אינסוף או מינוס אינסוף, והן "מתכנסות במובן הרחב", כפי שהוסבר לעיל. גבול של תת-סדרה נקרא גבול חלקי של הסדרה המקורית. כאשר סדרה מתכנסת כל הגבולות החלקיים שלה שווים. אוסף כל הגבולות החלקיים מתאר במובן ידוע את הסדרה המקורית; הגבול החלקי הקטן ביותר נקרא גבול תחתון, והגדול ביותר הוא גבול עליון. גבול (מתמטיקה) גבול של פונקציה גבול (טופולוגיה) מבחני התכנסות לסדרות