משוואת זריחת השמש

באסטרונומיה, משוואת זריחת השמש (באנגלית: Sunrise equation) מאפשרת לחשב את שעות הזריחה והשקיעה בעבור כל נטייה שמשית וקו רוחב: cos ⁡ ω ∘ = − tan ⁡ ϕ × tan ⁡ δ {\displaystyle \cos \omega _{\circ }=-\tan \phi \times \tan \delta } כאשר: ω ∘ {\displaystyle \omega _{\circ }} היא זווית השעה בזריחה (כאשר נלקח הערך השלילי) או בשקיעה (כאשר נלקח הערך החיובי); ϕ {\displaystyle \phi } היא קו הרוחב של הצופה על כדור הארץ; δ {\displaystyle \delta } היא זווית הנטייה השמשית. הנטייה השמשית מוגדרת כזווית המינימלית שיוצר קו הראייה מן הצופה למרכז השמש עם ישר הזנית ועבור צופה בקו המשווה; כיוון שכיוון ציר הסיבוב של כדור הארץ קבוע ביחס למישור המילקה, במהלך מסלולו השנתי סיבוב הרדיוס וקטור המחבר בינו לבין השמש גורם לשינוי הזווית המינימלית הזאת, החל מ-0° (כלומר כאשר השמש יכולה להיות בזנית) ביום השוויון ועד לזוויות המרביות של ± 23.44 ∘ {\displaystyle \pm 23.44^{\circ }} שמתקבלות ביום ההיפוך החורפי ויום ההיפוך הקיצי, בהמיספירה הצפונית והדרומית בהתאמה. אפקט זה של שינוי הנטייה השמשית הוא שגורם לשינויים בהספק שבו מחממת השמש את הקרקע, מה שמחולל את עונות השנה. ביממה נתונה, הזווית המרבית של השמש ביחס לאופק מתקבלת כאשר הרדיוס וקטור (המחבר בין השמש לארץ), כיוון ציר הסיבוב וכיוון ישר הזנית נחים כולם על מישור אחד. לכן, כדי לקבל את הביטוי לזווית הנטייה השמשית כפונקציה של הזווית β {\displaystyle \beta } של הרדיוס וקטור במישור המילקה וזווית נטיית כדור הארץ (ממנו ניתן גם לחשב את הנטייה השמשית כתלות בתאריך) יש להיעזר במכפלה סקלרית של וקטור הכיוון של ציר כדור הארץ והרדיוס וקטור שבמישור המילקה, מה שנותן: cos ⁡ ( π / 2 − δ ) = cos ⁡ β ⋅ cos ⁡ ( π / 2 − 23.44 ∘ ) {\displaystyle \cos(\pi /2-\delta )=\cos \beta \cdot \cos(\pi /2-23.44^{\circ })} או: sin ⁡ δ = sin ⁡ β ⋅ sin ⁡ ( 23.44 ∘ ) {\displaystyle \sin \delta =\sin \beta \cdot \sin(23.44^{\circ })} כאשר β {\displaystyle \beta } מכוילת כך שתהיה שווה לאפס ביום השוויון. זווית הנטייה השמשית הרגעית δ {\displaystyle \delta } מאפשרת לחלק את כדור הארץ לשלושה אזורים: קווי הרוחב π / 2 − δ ≤ ϕ ≤ π / 2 {\displaystyle \pi /2-\delta \leq \phi \leq \pi /2} (בהמיספירה הצפונית), קווי הרוחב "האמצעיים" − ( π / 2 − δ ) < ϕ < + ( π / 2 − δ ) {\displaystyle -(\pi /2-\delta )<\phi <+(\pi /2-\delta )} , וקווי הרוחב הדרומיים: − π / 2 ≤ ϕ ≤ − ( π / 2 − δ ) {\displaystyle -\pi /2\leq \phi \leq -(\pi /2-\delta )} . בהתאם לעונת השנה, כל אחד מתחומי קווי הרוחב "הקיצוניים" מתאימים לאזורים על כדור הארץ בהם יש לילה לאורך כל היממה (השמש לא זורחת) או יש יום לאורך כל היממה (השמש לא שוקעת), כאשר המצב מתהפך בין שני אזורים קיצוניים אלו. כדי לחשב את השעות המדויקת בהן מתרחשת השקיעה או הזריחה בקו רוחב ϕ {\displaystyle \phi } , יש להסתייע בדמיון מרחבי כדי להבין איך נראה המצב ההדדי של המעגל הגדול שמפריד בין חצי הכדור המואר לחצי הכדור החשוך והמעגל הקטן המתאים לקו הרוחב ϕ {\displaystyle \phi } . שני המעגלים הללו נחתכים בשתי נקודות, אשר מחלקות את המעגל הקטן לשתי קשתות: האחת מתאימה ליום והשנייה ללילה - כלומר המיקום הזוויתי של שתי הנקודות הללו הוא בדיוק זווית השעה המתאימה לזריחה ולשקיעה, בהתאמה. הזווית המרכזית של הקשת המתאימה ליום תהיה שווה ל- 2 ω o {\displaystyle 2\omega _{o}} , ולפיכך כדי למצאה יש להסתייע בטריגונומטריה כדי לחשב את אורך הקטע CP שבאיור. ברור שרדיוס המעגל הגדול שבאיור, המתאים לקו הרוחב ϕ {\displaystyle \phi } , הוא r l a r g e = R ⋅ cos ⁡ ϕ {\displaystyle r_{large}=R\cdot \cos \phi } , כאשר R הוא רדיוס כדור הארץ. לעומת זאת, מן הגאומטריה של הטלות גרפיות מקבלים, שרדיוס המעגל הקטן שבאיור שווה לרדיוס החיתוך של החרוט המתאים לקו הרוחב π / 2 − δ {\displaystyle \pi /2-\delta } עם המישור היוצר את חתך קו הרוחב ϕ {\displaystyle \phi } . הרדיוס של קו הרוחב π / 2 − δ {\displaystyle \pi /2-\delta } הוא: R ⋅ sin ⁡ δ {\displaystyle R\cdot \sin \delta } , ולכן, מדמיון משולשים מקבלים, שרדיוס המעגל הפנימי הוא: C P = r s m a l l = R ⋅ sin ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ δ cos ⁡ δ {\displaystyle CP=r_{small}={\frac {R\cdot \sin \phi \cdot \sin \delta }{\cos \delta }}} . מכאן נקבל, שקוסינוס זווית השעה המתאימה לשקיעה או לזריחה (כלומר ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} ) הוא: cos ⁡ ω 0 = C P r l a r g e = C P R ⋅ cos ⁡ ϕ = tan ⁡ ϕ ⋅ tan ⁡ δ {\displaystyle \cos \omega _{0}={\frac {CP}{r_{large}}}={\frac {CP}{R\cdot \cos \phi }}=\tan \phi \cdot \tan \delta } כאשר סימן המינוס במשוואה שבתחילת הערך הוא עניין של קונבנציה בלבד. נוסחה זאת ישימה רק לקווי הרוחב שבין החוג הארקטי והחוג האנטארקטי, שכן מצפון לראשון ומדרום לשני יש תמיד לפחות יום אחד בשנה ללא שקיעה או ללא זריחה. באופן כללי ניתן להראות שהגובה הזוויתי θ {\displaystyle \theta } של השמש מעל לאופק כפונקציה של זווית השעה ביממה ω {\displaystyle \omega } מקיים: sin ⁡ θ = − sin ⁡ δ ⋅ sin ⁡ ϕ + cos ⁡ ϕ ⋅ cos ⁡ ω ⋅ cos ⁡ δ {\displaystyle \sin \theta =-\sin \delta \cdot \sin \phi +\cos \phi \cdot \cos \omega \cdot \cos \delta } להסבר מורחב על יישומי נוסחה כללית יותר זו ראו גם זווית הזניט השמשית (אנ'). נוסחה זאת משמשת בין היתר כדי לקבל את שעות הזריחה והשקיעה המתוקנות (ראו פרק המשוואה המוכללת למטה). מן הנוסחה עולה, למשל, שבקו המשווה השקיעה והזריחה חלות כל השנה באותה שעה. משוואת זריחת השמש הסטנדרטית מזניחה את ההשפעה של שבירה אטמוספירית (אשר מרימה את הדיסקה השמשית בערך ב-0.6° כאשר היא על האופק) ואת קיומו של גודל זוויתי לדיסקה הזו (קוטר זוויתי של בערך 0.5°). זמני הזריחה והשקיעה המתוקנים באלמנכים אסטרונומיים ניתנים לחישוב מהמשוואה הכללית יותר: cos ⁡ ω ∘ = sin ⁡ a − sin ⁡ ϕ × sin ⁡ δ cos ⁡ ϕ × cos ⁡ δ {\displaystyle \cos \omega _{\circ }={\dfrac {\sin a-\sin \phi \times \sin \delta }{\cos \phi \times \cos \delta }}} כאשר (a) מייצג את הגובה הזוויתי של מרכז הדיסקה השמשית מתחת לאופק ברגע האחרון של השקיעה, ויש להציב בו את הערך 0.83°- (או 50- דקות קשת). כמו נוסחאות שימושיות רבות אחרות באסטרונומיה, המשוואה יכולה לשמש למשל, לצורכי ניווט ימי. עקרונית ניתן להיעזר בנתוני מיקום ונסיקה כלליים של השמש ולאו דווקא בערכים שלהם כאשר השמש נמצאת על האופק (זאת בעזרת שימוש בנוסחה הכללית יותר למיקום השמש לפי הזמן) אולם כאן ניצמד לתהליך המתמטי שעושה שימוש ב"משוואת זריחת השמש". בעבר הלא רחוק, כאשר מלחים נזדקקו לקבוע את מיקומם הגאוגרפי בים, הם יכלו להשתמש בקריאתו של שעון מדויק (כרונומטר) כדי למדוד מדדים זמניים שונים הקשורים בשקיעה ובזריחת השמש, וכך לדעת, בעזרתן של טבלאות נתונים מדויקים שחושבו ישירות מנוסחאות אסטרונומיות, את קו הרוחב בו הם נמצאים. עם זאת, משוואת זריחת השמש בצורתה הישירה אינה יכולה לשמש כדי לקבוע את קו הרוחב הגאוגרפי, שכן השעון שעל הספינה מראה את השעה T {\displaystyle T} בקו האורך המקורי אליו כוון, וכיוון שקו האורך הנוכחי גם הוא אינו ידוע, לא ניתן לדעת את השעה המקומית. בפועל, כדי למצוא את קו הרוחב יש להשתמש בשעון כדי למדוד את קצב שינוי הגובה הזוויתי של השמש מעל לאופק, ולא כדי למדוד את השעה. מתמטית, צריך להשתמש במשוואה הכללית יותר לגובה הזוויתי של השמש מעל לאופק כפונקציה של השעה, ולגזור אותה לפי הזמן. כך מקבלים משוואה של קצב הנסיקה הזוויתי θ ˙ ( t ) {\displaystyle {\dot {\theta }}(t)} של השמש בזריחה, אשר שילובה עם משוואת זריחת השמש מאפשר להרכיב שלוש משוואות עם נעלמים שהם קו הרוחב ϕ {\displaystyle \phi } , הנטייה השמשית δ {\displaystyle \delta } ושעת הזריחה ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} בשעון המקומי. כאשר השמש על האופק הזווית θ {\displaystyle \theta } קטנה ולכן sin ⁡ θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } , ומכאן מקבלים שקצב הנסיקה הזוויתי בזריחה הוא: cos ⁡ ϕ ⋅ sin ⁡ ω 0 = − θ ˙ ( t ) α ⋅ c o s δ {\displaystyle \cos \phi \cdot \sin \omega _{0}=-{\frac {{\dot {\theta }}(t)}{\alpha \cdot cos\delta }}} ושתי המשוואות האחרות הן: cos ⁡ ω 0 ⋅ cot ⁡ ϕ = tan ⁡ δ {\displaystyle \cos \omega _{0}\cdot \cot \phi =\tan \delta } δ = ϕ − θ m a x + 90 {\displaystyle \delta =\phi -\theta _{max}+90} כאן α = 15 ∘ / h o u r {\displaystyle \alpha =15^{\circ }/hour} הוא קצב הסיבוב הזוויתי של כדור הארץ סביב צירו, ו- θ m a x {\displaystyle \theta _{max}} הוא הגובה הזוויתי המרבי של השמש בשמיים (שנמדד בעזרת סקסטנט). לסיכום, מדידת קצב הנסיקה הזוויתי של השמש בזריחה מאפשרת להסיק את שלושת הפרמטרים הנעלמים, בעוד השוואת שעת הזריחה בשעון המקומי עם קריאת הכרונומטר מאפשרת לקבוע גם את קו האורך המקומי l {\displaystyle l} , בהתאם לקשר: l = l 0 + α ⋅ ( ω 0 − T ) {\displaystyle l=l_{0}+\alpha \cdot (\omega _{0}-T)} . אנלמה מדיה וקבצים בנושא משוואת זריחת השמש בוויקישיתוף בשונה מנטיית כדור הארץ, הנטייה השמשית אינה קבועה, ומתייחסת לשינוי בזווית המרבית של השמש ביחס לאופק כפי שנצפית בקו המשווה, אפקט שמפיק את עונות השנה. הנטייה השמשית היא פונקציה של הזמן ונטיית כדור הארץ, והערך המוחלט של ערכה המרבי שווה לזווית נטיית כדור הארץ, שהיא 23.44°. החישוב פשוט רק כאשר מניחים שמסלול כדור הארץ מעגלי בקירוב. הכרונומטר, שהומצא במאה ה-18 על ידי בונה השעונים ג'ון הריסון, הוא המכשיר שאפשר את המהפכה בניווט ימי. לפניו מכשירי הניווט העיקריים היו מד הדרך הימי והמצפן. בהנחה שהתאריך, ולפיכך גם הנטייה השמשית, ידועים, אז קיים תהליך פשוט בהרבה למציאת קו הרוחב: למדוד את הגובה הזוויתי של הנקודה הגבוהה ביותר של השמש בשמיים, להחסיר 90 ממספר זה, ולבסוף להוסיף את הנטייה השמשית. התוצאה המתקבלת היא קו הרוחב.