הרחבה של משחק לאסטרטגיות מעורבות

בתורת המשחקים, הרחבה של משחק לאסטרטגיות מעורבות היא משחק בצורה אסטרטגית שבו קבוצת האסטרטגיות של כל שחקן היא קבוצת האסטרטגיות המעורבות שלו במשחק המקורי (התפלגות על קבוצת האסטרטגיות הטהורות) ופונקציית התשלומים היא תוחלת התועלת של האסטרטגיות הטהורות. יהי   G = ( N , ( S i ) i ∈ N , ( u i ) i ∈ N ) {\displaystyle \ G=(N,(S_{i})_{i\in N},(u_{i})_{i\in N})} משחק בצורה אסטרטגית שבו:   N {\displaystyle \ N} היא קבוצת השחקנים. לכל שחקן   S i , i ∈ N {\displaystyle \ S_{i},i\in N} היא קבוצת האסטרטגיות הטהורות שלו. קבוצה זו היא קבוצה לא ריקה וסופית.   u i {\displaystyle \ u_{i}} היא פונקציה המתאימה לכל וקטור אסטרטגיות תשלום לשחקן   i {\displaystyle \ i} . ההרחבה של   G {\displaystyle \ G} לאסטרטגיות מעורבות היא המשחק בצורה אסטרטגית   Γ = ( N , ( Σ i ) i ∈ N , ( U i ) i ∈ N ) {\displaystyle \ \Gamma =(N,(\Sigma _{i})_{i\in N},(U_{i})_{i\in N})} שבו:   N {\displaystyle \ N} היא קבוצת השחקנים. קבוצת האסטרטגיות של שחקן   i {\displaystyle \ i} היא   Σ i = Δ ( S i ) {\displaystyle \ \Sigma _{i}=\Delta (S_{i})} , כאשר   Δ ( S i ) {\displaystyle \ \Delta (S_{i})} היא קבוצת כל ההתפלגויות על   S i {\displaystyle \ S_{i}} . פונקציית התשלומים לשחקן   i {\displaystyle \ i} היא הפונקציה   U i : Σ ⟶ R {\displaystyle \ U_{i}:\Sigma \longrightarrow \mathbb {R} } המתאימה לכל וקטור אסטרטגיות   σ = ( σ 1 , … , σ n ) ∈ Σ = Σ 1 × … × Σ n {\displaystyle \ \sigma =(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\in \Sigma =\Sigma _{1}\times \ldots \times \Sigma _{n}} את התשלום   U i = E σ [ u i ( σ ) ] = ∑ ( s 1 … s n ) ∈ S u i ( s 1 … s n ) σ 1 ( s 1 ) σ 2 ( s 2 ) … σ n ( s n ) {\displaystyle \ U_{i}=E_{\sigma }[u_{i}(\sigma )]=\sum _{(s_{1}\ldots s_{n})\in S}u_{i}(s_{1}\ldots s_{n})\sigma _{1}(s_{1})\sigma _{2}(s_{2})\ldots \sigma _{n}(s_{n})} משפט נאש קובע כי לכל משחק בצורה אסטרטגית שבו מספר סופי של שחקנים ולכל שחקן יש מספר סופי של אסטרטגיות טהורות, קיים שיווי משקל באסטרטגיות מעורבות. במשחק בעיטות העונשין בכדורגל, האסטרטגיות הטהורות של הבועט הן לבעוט לצד ימין של השער (R) או לבעוט לשמאלו (L). האסטרטגיות הטהורות של השוער הן לקפוץ לצד ימין (R) או לזנק לצד שמאל של השער (L). כאשר השוער קופץ לכיוון הנגדי, הבועט מצליח להכניס את הכדור לשער ומרוויח נקודה (השוער מפסיד נקודה). כאשר השוער קופץ לכיוון הבעיטה הוא מצליח לבלום את הכדור ומרוויח נקודה (הבועט מפסיד נקודה). משחק זה יכול להיות מתואר על ידי מטריצת התשלומים הבאה: אם הבועט ישתמש תמיד באותה אסטרטגיה טהורה השוער ידע זאת ויוכל לעצור את הכדור. כאשר כל אחד מהשחקנים ישחק באסטרטגיות מעורבות, השחקן יבעט לימין בסיכוי   α {\displaystyle \ \alpha } ויבעט לשמאל בסיכוי   1 − α {\displaystyle \ 1-\alpha } והשוער יקפוץ לימין בסיכוי   β {\displaystyle \ \beta } ולשמאל בסיכוי   1 − β {\displaystyle \ 1-\beta } . פונקציית התשלום של הבועט:   U 1 ( σ ) = ( − 1 ) ⋅ α β + 1 ⋅ α ( 1 − β ) + 1 ⋅ ( 1 − α ) β + ) ( − 1 ) ⋅ ( 1 − α ) ( 1 − β ) {\displaystyle \ U_{1}(\sigma )=(-1)\cdot \alpha \beta +1\cdot \alpha (1-\beta )+1\cdot (1-\alpha )\beta +)(-1)\cdot (1-\alpha )(1-\beta )} ובדומה פונקציית התשלום של השוער:   U 2 ( σ ) = 1 ⋅ α β + ( − 1 ) ⋅ α ( 1 − β ) + ( − 1 ) ⋅ ( 1 − α ) β + 1 ⋅ ( 1 − α ) ( 1 − β ) {\displaystyle \ U_{2}(\sigma )=1\cdot \alpha \beta +(-1)\cdot \alpha (1-\beta )+(-1)\cdot (1-\alpha )\beta +1\cdot (1-\alpha )(1-\beta )} שיווי המשקל היחידי במשחק זה הוא אסטרטגיה מעורבת כאשר השוער והבועט בוחרים כל אחת מהפעולות שלהם בהסתברות   1 2 {\displaystyle \ {\frac {1}{2}}} כלומר   β = 1 2 {\displaystyle \ \beta ={\frac {1}{2}}} ,   α = 1 2 {\displaystyle \ \alpha ={\frac {1}{2}}} ותוחלת התשלום של כל שחקן היא 0. עקרון האדישות שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, מאגנס, 2008