אי-יציבות הידרודינמית

אי-יציבות הידרודינמית היא תחום מחקר במכניקת הזורמים, החוקר התפתחות של הפרעות בזרימה. הפרעות אי-יציבות בזרימה יכולות להתפתח לטורבולנציה. התחום החל להתפתח בסוף המאה ה-19, כאשר היסודות הונחו על ידי הרמן פון הלמהולץ, לורד ריילי, אוסבורן ריינולדס ו-לורד קלווין. הדוגמאות הנפוצות ביותר לאי-יציבויות בזרימה בטבע הן בעננים ובשימושים אסטרופיזיקליים, למשל בכוכבי לכת. אי יציבות זו מתרחשת כאשר חומר קל מאיץ חומר כבד. מערכת מוגדרת כ"לא יציבה ריילי טיילור" כאשר גראדיינט הלחץ הפוך לגראדיינט הצפיפות. אי יציבות באה לידי ביטוי כאשר מנסים להחזיק נוזל כבד מעל נוזל קל (כמו מים ושמן). מערכות נוספות בהן קיימת אי יציבות זו: סופרנובות, היתוך בכליאה אינרציאלית ועוד. אי יציבות זו תוארה באופן איכותי על ידי הלמהולץ ואילו קלווין תיאר אותה באופן כמותי. ניתן לראות את אי היציבות כמקרה הדו־ממדי של זרימה טורבולנטית. נתאר כיצד מתרחשת התופעה. נדמיין שיש שתי שכבות של זורם שנעות במהירות מסוימת בכיוונים הפוכים ועם צפיפות שונה. כך נוצר ממשק שעל פניו מתקיימת קפיצה בשדה המהירות (בכיוון האנכי), כלומר שדה המהירות לא רציף על פני הממשק. זה גורם לערבוליות ולממשק לקבל מהירות בכיוון מטה או מעלה בחלקים שונים שלו. כלומר, על הממשק יש מאמץ גזירה ולכן נוצר לחץ. עבור פונקציית הגל הסינוסידיאלת בנקודות הצומת שלה לחץ זה נותן מהירות משיקית היוצרת תנועה סיבובית וזה מה שמגדיל את אי היציבות. מידת אי היציבות נקבעת על ידי פרמטרים של המערכת כמו הפרש המהירות בין שתי השכבות, הצמיגות, מאמץ הגזירה והכוחות הפועלים (למשל כבידה). הלחץ בחלקים הקעורים גדול יותר מזה בחלקים הקמורים לכן, הממשק הולך וגדל בחלקו העליון וזה מה שיוצר את הצורה של הסיבוב דווקא בחלק העליון יותר של הממשק כפי שניתן לראות באיורים. כיוון הסיבוב הוא ככיוון הערבוליות הנוצרת. ניתן להבחין בתופעה זו בטבע במקורות מים, זרמי אוויר ועננים. התופעה יחסית נדירה אך שבתה ביופייה את הדמיון של רבים. המפורסם שבהם הוא וינסטון ואן גוך שצייר אותה בציורו המפורסם ליל הכוכבים- “Etoilee La Nuit“. הממשק הדו־ממדי שלנו מאופיין להיות במצב של אי יציבות עבור מספרי ריינולדס גדולים. נסמן את הגדלים הפיזקיליים מתחת לממשק (y < 0) על ידי האינדקס 1 וב-2 את אלו שמעליו (y > 0). בנוסף נסמן את המהירות על הממשק u i n t {\displaystyle u_{int}} התפלגות המהירות האחידה בכל חלק של הממשק תסומן על ידי U i {\displaystyle U_{i}} כאשר i ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle i\in \{1,2\}} לאורך כל הפיתוח. לפי חוק שימור המשכיות השטף (אם המהירות של נוזל מסוים מכוונת במאונך למשטח מוצק אז הנוזל חייב ״להיעלם״ על המשטח עצמו) מתקיים: ( 1 ) n ⋅ u i n t = n ⋅ u 1 = n ⋅ u 2 {\displaystyle (1)n\cdot u_{int}=n\cdot u_{1}=n\cdot u_{2}} כאשר n מוגדר להיות וקטור יחידה בכיוון הממשק: n = 1 1 + ∂ η ∂ x 2 ⋅ ( ∂ η ∂ x ; 1 ) {\displaystyle n={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}^{2}}}}\cdot ({\frac {\partial \eta }{\partial x}};1)} ו- η ( x , t ) {\displaystyle \eta (x,t)} היא סטיית התקן של הממשק. הקשר בין u i {\displaystyle u_{i}} של כל אחד מהנוזלים לפוטנציאל המהירות הוא: u i = U i + ∇ ϕ i {\displaystyle u_{i}=U_{i}+\nabla \phi _{i}} נוכל לכתוב את (1) כך: ( 2 ) ∂ ϕ i ∂ y = ∂ η ∂ t + ∂ η ∂ x {\displaystyle (2){\frac {\partial \phi _{i}}{\partial y}}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} במערכת זאת גם מתקיים תנאי רציפות הלחץ ולכן בכל זמן ובכל מקום על הממשק צריך להתקיים p 1 = p 2 {\displaystyle p_{1}=p_{2}} בשילוב עם (2) נקבל: ( 3 ) ρ 1 [ ∂ ϕ 1 ∂ t + 1 2 ( ( ∂ ϕ 1 ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ 1 ∂ y ) 2 ) ] + ( ρ 1 − ρ 2 ) ⋅ g η = ρ 2 ∂ ϕ 2 t + 1 2 ( ( ∂ ϕ 2 ∂ x ) 2 + ( ∂ ϕ 2 ∂ y ) 2 ) + σ ( ∂ 2 η ∂ x 2 ) ( 1 + ( ∂ η ∂ x ) 2 ) 3 2 {\displaystyle (3)\rho _{1}[{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(({\frac {\partial \phi _{1}}{\partial x}})^{2}+{({\frac {\partial \phi _{1}}{\partial y}}})^{2})]+(\rho _{1}-\rho _{2})\cdot g\eta =\rho _{2}{\frac {\partial \phi _{2}}{t}}+{\frac {1}{2}}(({\frac {\partial \phi _{2}}{\partial x}})^{2}+{({\frac {\partial \phi _{2}}{\partial y}}})^{2})+{\frac {\sigma ({\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}})}{(1+({\frac {\partial \eta }{\partial x}})^{2})^{\frac {3}{2}}}}} כאשר ρ i {\displaystyle \rho _{i}} מייצג צפיפות, g גרוויטציה, σ היא מתח הפנים של הממשק. בלי הגבלת הכלליות נבחר: ρ 1 ≥ ρ 2 {\displaystyle \rho _{1}\geq \rho _{2}} . משוואה (3) הידועה גם כמשוואת ברנולי יחד עם משוואה (2) הן המשוואות המתארות את אי היציבות של קלווין הלמהולץ. Sharp DH, An overview of Rayleigh-Taylor instability, Physica D:Nonlinear Phenomena Susan Friedlander, Alexander Lipton-Lifschitz, in Handbook of Mathematical Fluid Dynamics, 2003 Thomas B. Gatski, Jean-Paul Bonnet, in Compressibility, Turbulence and High Speed Flow, 2009 Sciencedirect - Kelvin Helmholtz Instability Sciencedirect:  https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/kelvin-helmholtz-instability Kelvin Helmholtz Instability Sciencedirect: http://hmf.enseeiht.fr/travaux/CD0001/travaux/optmfn/hi/01pa/hyb72/kh/kh_theo.htm Scholarpedia-Kelvin-Helmholtz Instability and Roll-up: http://www.scholarpedia.org/article/Kelvin-Helmholtz_Instability_and_Roll-up AMS, Glossary of Meteorology, Kinematic Boundary Condition: https://glossary.ametsoc.org/wiki/Kinematic_boundary_condition ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.