גרף מיתרי

בתורת הגרפים, גרף מיתרי הוא גרף שבו כל מעגל באורך 4 או יותר מכיל מיתר, שהוא צלע המחברת בין שני צמתים לא-רצופים במעגל. בניסוח אחר, G הוא גרף מיתרי אם אין לו תת גרף מושרה שהוא מעגל באורך 4 או יותר. משפחת הגרפים המיתריים היא תת-משפחה של הגרפים המושלמים. צומת סימפליקלי (simplicial) הוא צומת שקבוצת השכנים שלו מהווה קליקה. גרף מיתרי תמיד מכיל קודקוד סימפליקלי . למעשה, גרף מיתרי הוא או קליקה או שהוא מכיל לפחות שני צמתים סימפליקליים שאינם שכנים. סדר הסרה מושלם (perfect elimination ordering) של גרף, הוא תמורה π {\displaystyle \pi } של קדקדי הגרף כך שלכל קדקד v {\displaystyle v} מתקיים כי v {\displaystyle v} והשכנים של v {\displaystyle v} שמופיעים לאחריו ב- π {\displaystyle \pi } מהווים קליקה. כלומר, π = ⟨ v 1 , v 2 , ⋯ , v n ⟩ {\displaystyle \pi =\left\langle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right\rangle } הוא סדר הסרה מושלם אם לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} מתקיים כי הצומת v i {\displaystyle v_{i}} הוא סימפליקלי בתת הגרף המושרה על { v i , v i + 1 , ⋯ , v n } {\displaystyle \{v_{i},v_{i+1},\cdots ,v_{n}\}} . משפט: גרף הוא מיתרי אם ורק אם יש לו סדר הסרה מושלם. בהסתמך על כך שבגרף מיתרי שאינו קליקה יש שני צמתים סימפליקליים שאינם שכנים, ניתן לזהות גרפים מיתריים על ידי אלגוריתם איטרטיבי שמסיר צמתים מהגרף ויוצר את סדר ההסרה המושלם לאחור. גרפים מיתריים הם בפרט מושלמים וככאלה, יש מגוון של בעיות שניתנות לפתרון בזמן פולינומי על גרפים מיתריים. אלא שאלגוריתמים אלו אינם בעלי אופי קומבינטורי, אלא מבוססים על תכנון ליניארי ואלגוריתם האליפסואידים. עבור גרפים מיתריים, ידועים אלגוריתמים קומבינטוריים יעילים מאוד. להלן מספר אלגוריתמים יעילים עבור בעיות שידועות כ-NP-קשה על גרפים כלליים. אלגוריתמים אלו מסתמכים על כך שלגרף מיתרי קיים סדר הסרה מושלם. בהינתן גרף מיתרי G {\displaystyle G} עם סדר הסרה מושלם π = ⟨ v 1 , v 2 , ⋯ , v n ⟩ {\displaystyle \pi =\left\langle v_{1},v_{2},\cdots ,v_{n}\right\rangle } , אזי לפי ההגדרה לכל צומת v i {\displaystyle v_{i}} מתקיים כי v i {\displaystyle v_{i}} ביחד עם השכנים שלו שמופיעים אחריו ב- π {\displaystyle \pi } , מהווים קליקה. אם כן, האלגוריתם סורק את צומתי הגרף וכאשר הוא מטפל בצומת v i {\displaystyle v_{i}} הוא סופר את מספר השכנים של v i {\displaystyle v_{i}} אשר מופיעם אחריו ב- π {\displaystyle \pi } , ובוחר את הקליקה הגדולה ביותר מבין כל אלו שנסרקו. בהינתן גרף מיתרי G {\displaystyle G} עם סדר הסרה מושלם π = ⟨ v i , v i + 1 , ⋯ , v n ⟩ {\displaystyle \pi =\left\langle v_{i},v_{i+1},\cdots ,v_{n}\right\rangle } , האלגוריתם סורק את צומתי הגרף בסדר הפוך (כלומר מתחיל ב- v n {\displaystyle v_{n}} ומסיים ב- v 1 {\displaystyle v_{1}} ), וצובע את צומתי הגרף באופן חמדני. ביתר פירוט- כאשר האלגוריתם מטפל בצומת v i {\displaystyle v_{i}} הוא צובע אותו בצבע k {\displaystyle k} המינימלי כך שאף אחד משכניו של v i {\displaystyle v_{i}} אינו צבוע בצבע שמספרו k {\displaystyle k} . קל לראות שאלגוריתם זה מוביל לצביעה במספר מינימלי של צבעים. נניח בשלילה שלא כך הוא, ונתבונן בגרף מיתרי G {\displaystyle G} ובפעם הראשונה שהאלגוריתם משתמש ביותר צבעים מאשר המינימום ההכרחי. כעת, מאחר ש- G {\displaystyle G} מיתרי, הוא בפרט מושלם ולכן מספר הצביעה של G {\displaystyle G} (כלומר המספר המינימלי של צבעים שבאמצעותם ניתן לצבוע את G {\displaystyle G} ) הוא בדיוק כגודל הקליקה המקסימלית ב- G {\displaystyle G} . אבל אז, משמעות הדבר היא שבחרנו עבור צומת כלשהו את הצבע המינמאלי שאינו בשימוש על ידי אף אחד משכניו, ומספר זה גדול יותר מאשר גודל הקליקה המקסימלית ב- G {\displaystyle G} . זה כמובן לא ייתכן, כי מספר שכניו בהכרח קטן (בלפחות 1) מגודל הקליקה המקסימלית. גרף מושלם גרף קטעים Martin Charles Golumbic, Algorithmic graph theory and perfect graphs, Elsevier, 1980. מדיה וקבצים בנושא גרף מיתרי בוויקישיתוף גרף מיתרי, באתר MathWorld (באנגלית) C. Lekkerkerker, J. Boland, Representation of a finite graph by a set of intervals on the real line, Fund. Math. 51 (1962) 45-64. G.A. Dirac., On rigid circuit graphs, ‏1961 (באנגלית) D. R. Fulkerson and O. A. Gross, Incidence matrices and interval graphs, ‏: Pacific J. Math. Volume 15, Number 3 (1965), 835-855 Fănică Gavril, Algorithms for Minimum Coloring, Maximum Clique, Minimum Covering by Cliques, and Maximum Independent Set of a Chordal Graph, SIAM J. Comput. 1, pp. 180-187 (8) pages, ‏1972