מכפלת היתוך

בתורת החבורות, מכפלת היתוך (Free product with amalgamation) היא מושג קרוב למכפלה חופשית של חבורות, בה משתתפות שלוש חבורות P , G , H {\displaystyle P,G,H} ושתי העתקות α : P → G , β : P → H {\displaystyle \alpha :P\to G,\beta :P\to H} . היא מהווה פתרון לבעיה אוניברסלית כפי שיתואר בהמשך. למכפלת היתוך תפקיד מרכזי בטופולוגיה אלגברית במשפט ואן קמפן. נתחיל עם בעיה אוניברסלית. יהיו P , G , H {\displaystyle P,G,H} חבורות ויהיו α : P → G , β : P → H {\displaystyle \alpha :P\to G,\beta :P\to H} הומומורפיזמים נתונים. נרצה למצוא חבורה U {\displaystyle U} והומומורפיזמים i ′ : G → U , j ′ : H → U {\displaystyle i':G\to U,j':H\to U} שיתחלפו עם α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } (כלומר i ′ ∘ α = j ′ ∘ β {\displaystyle i'\circ \alpha =j'\circ \beta } ), כך שבהינתן חבורה K {\displaystyle K} והומומורפיזמים ϕ : G → K , ψ : H → K {\displaystyle \phi :G\to K,\psi :H\to K} , קיים ויחיד הומומורפיזם L : U → K {\displaystyle L:U\to K} כך שהדיאגרמה הבאה מתחלפת: כלומר, באובייקט האוניברסלי U {\displaystyle U} תמונות איברי P {\displaystyle P} זהים משתי נקודות ההסתכלות - איברים שבאים מ- G {\displaystyle G} או שבאים מ- H {\displaystyle H} . נסמן את החבורה הנורמלית המינימלית המכילה קבוצה A ⊆ G {\displaystyle A\subseteq G} ב- N ( A ) {\displaystyle N(A)} (זוהי תת-החבורה הנוצרת על ידי הוספת כל המכפלות, צמודים וקומוטטורים באיברי A {\displaystyle A} ). כעת, נביט במכפלה החופשית G ∗ H {\displaystyle G*H} . נגדיר A = { i ( α ( x ) ) j ( β ( x ) ) − 1 : x ∈ P } ⊆ G ∗ H {\displaystyle A=\{i(\alpha (x))j(\beta (x))^{-1}:x\in P\}\subseteq G*H} , ואת U {\displaystyle U} נגדיר על ידי המנה: U = ( G ∗ H ) / N ( A ) {\displaystyle U=(G*H)/N(A)} כאשר i : G → G ∗ H , j : H → G ∗ H {\displaystyle i:G\to G*H,j:H\to G*H} נתונות על ידי i ( g ) = ( g ) , j ( h ) = ( h ) {\displaystyle i(g)=(g),j(h)=(h)} . החבורה שהתקבלה נקראת מכפלת ההיתוך ומסומנת G ∗ P α ↖↗ β H {\displaystyle G{\underset {\overset {\alpha \nwarrow \nearrow \beta }{P}}{*}}H} , או בקיצור נמרץ G ∗ P H {\displaystyle G{\underset {P}{*}}H} . אם p {\displaystyle p} היא העתקת המנה הרלוונטית, ההעתקות i ′ , j ′ {\displaystyle i',j'} מוגדרות על ידי i ′ = p ∘ i , j ′ = p ∘ j {\displaystyle i'=p\circ i,j'=p\circ j} . ההעתקה L : G ∗ P H → K {\displaystyle L:G{\underset {P}{*}}H\to K} נתונה על ידי הכלל L ( [ ( g ) ] ) = ϕ ( g ) , L ( [ ( h ) ] ) = ψ ( h ) {\displaystyle L([(g)])=\phi (g),L([(h)])=\psi (h)} , ועל שאר האיברים היא מוגדרת בהתאם (שכן איברים אלו יוצרים את החבורה). למכפלת ההיתוך הצגה על ידי יוצרים ויחסים התלויה בהצגות של החבורות P , G , H {\displaystyle P,G,H} , העוזרת לחשב את החבורה בפועל. אם G = ⟨ S 1 ∣ R 1 ⟩ , H = ⟨ S 2 ∣ R 2 ⟩ , P = ⟨ S 3 ∣ R 3 ⟩ {\displaystyle G=\langle S_{1}\mid R_{1}\rangle ,H=\langle S_{2}\mid R_{2}\rangle ,P=\langle S_{3}\mid R_{3}\rangle } , אז מתקיים: G ∗ P α ↖↗ β H = ⟨ S 1 , S 2 ∣ R 1 , R 2 , ∀ s 3 ∈ S 3 : α ( s 3 ) β ( s 3 ) − 1 ⟩ {\displaystyle G{\underset {\overset {\alpha \nwarrow \nearrow \beta }{P}}{*}}H=\langle S_{1},S_{2}\mid R_{1},R_{2},\forall s_{3}\in S_{3}:\alpha (s_{3})\beta (s_{3})^{-1}\rangle } ערך מורחב – משפט ואן קמפן אחד השימושים הנפוצים והחשובים של מכפלת ההיתוך הוא במשפט ואן קמפן מטופולוגיה אלגברית. זהו משפט בסיסי וחשוב ביותר, הנותן דרך לחשב את החבורה היסודית של מרחב טופולוגי (ובמיוחד של מרחבי CW) בעזרת תתי מרחבים שלה, המקיימים תכונות מסוימות, ובכך לעשות רדוקציה למקרים פשוטים יותר. פורמלית, בהינתן מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} ותתי קבוצות פתוחות U , V {\displaystyle U,V} כך ש- X = U ∪ V {\displaystyle X=U\cup V} , U ∩ V {\displaystyle U\cap V} איננו ריק, ו- U , V , U ∩ V {\displaystyle U,V,U\cap V} קשירים מסילתית, אזי החבורה היסודית של X {\displaystyle X} היא מכפלת ההיתוך של החבורות של U , V {\displaystyle U,V} ביחס ל- U ∩ V {\displaystyle U\cap V} , עם הומומורפיזמי ההכלה היחסיים. מפורשות, ההעתקה L {\displaystyle L} שהוגדרה בבניית מכפלת ההיתוך היא איזומורפיזם בין מכפלת ההיתוך לחבורה היסודית של X {\displaystyle X} . מכפלה חופשית משפט ואן קמפן