קוואזי-חבורה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורה (מאנגלית: Quasigroup) (אנ') או כמו-חבורה היא מבנה אלגברי בעל פעולה בינארית אחת, שבו פעולות הכפל באיבר מימין ומשמאל הן הפיכות. לוח הכפל של קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני הוא לוח הכפל של קוואזי-חבורה. קוואזי-חבורה עם יחידה נקראת לולאה. כל קוואזי-חבורה אסוציאטיבית היא חבורה. כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה. אם לולאה איזוטופית לחבורה אז היא איזומורפית אליה. קבוצה Q {\displaystyle Q} עם פעולה בינארית ⋅ {\displaystyle \cdot } נקראת קוואזי-חבורה אם לכל a , b ∈ Q {\displaystyle a,b\in Q} קיימים פתרונות יחידים למשוואות a ⋅ x = b , y ⋅ a = b {\displaystyle a\cdot x=b,\quad y\cdot a=b} . פתרונות אלו מסומנים כ- x = a / b , y = a ∖ b {\displaystyle x=a/b,\quad y=a\setminus b} . בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: x ⋅ ( x / y ) = x ∖ ( x ⋅ y ) = y , ( x / y ) ⋅ y = ( x ⋅ y ) / y = x {\displaystyle x\cdot (x/y)=x\setminus (x\cdot y)=y,\quad (x/y)\cdot y=(x\cdot y)/y=x} . מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q {\displaystyle Q} עם שלוש פעולות בינאריות ( ⋅ , / , ∖ ) {\displaystyle (\cdot ,/,\setminus )} אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה. דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל n × n {\displaystyle n\times n} בו מסודרים n {\displaystyle n} איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים). קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר e ∈ Q {\displaystyle e\in Q} המקיים x e = e x = x {\displaystyle xe=ex=x} , נקראת לולאה. שתי קוואזי-חבורות Q , Q ′ {\displaystyle Q,Q'} הן איזוטופיות זו לזו אם קיימות שלוש העתקות הפיכות α , β , γ : Q → Q ′ {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma :Q\to Q'} כך ש- γ ( a ⋅ b ) = α ( a ) ⋅ β ( b ) {\displaystyle \gamma (a\cdot b)=\alpha (a)\cdot \beta (b)} (הכפל בקוואזי-חבורות Q {\displaystyle Q} ו- Q ′ {\displaystyle Q'} בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה Q = Q ′ {\displaystyle Q=Q'} , ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה. כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים Q ∼ Q ( ∘ ) {\displaystyle Q\sim Q(\circ )} , כאשר Q ( ∘ ) {\displaystyle Q(\circ )} היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים a , b ∈ Q {\displaystyle a,b\in Q} והגדרת הפעולה ∘ {\displaystyle \circ } על אותה הקבוצה Q {\displaystyle Q} , כך שמתקיים x ⋅ y = x b ∘ a y {\displaystyle x\cdot y=xb\circ ay} . האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי ( R b , L a , id ) {\displaystyle (R_{b},L_{a},\operatorname {id} )} . מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה. קבוצת המספרים השלמים עם פעולת החיסור היא קוואזי-חבורה. קבוצת הרציונליים וקבוצת הממשיים השונים מאפס עם פעולת החילוק הן קוואזי-חבורות. קבוצת האוקטוניונים השונים מאפס יחד עם פעולת הכפל היא לולאה. האוקטוניונים מהווים לולאת מופן. קבוצת האיברים ההפיכים בכל אלגברה לא אסוציאטיבית מהווים קוואזי-חבורה. אם לאלגברה יש יחידה, קוואזי-חבורה זו הנה גם לולאה. מאגמה חבורה למחצה חבורה Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems. קוואזי-חבורה, באתר MathWorld (באנגלית) כְּמוֹ-חֲבוּרָה במילון מתמטיקה (תשמ"ה, 1985), באתר האקדמיה ללשון העברית