פונקציה יוצרת מומנטים

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי היא פונקציה יוצרת, שממנה אפשר לקרוא את המומנטים של המשתנה. חשיבותה התאורטית בכך שבתנאים מסוימים אפשר לשחזר ממנה את ההתפלגות של המשתנה, והיא מאפשרת לבנות התפלגות מתוך המומנטים בלבד. הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי X {\displaystyle X} היא פונקציה על משתנה ממשי t {\displaystyle t} המוגדרת כתוחלת M X ( t ) = E [ e t X ] {\displaystyle M_{X}(t)=\mathrm {E} \left[e^{tX}\right]} , כאשר זו קיימת. באופן אנלוגי מוגדרת הפונקציה האופיינית, כתוחלת E [ e i t X ] {\displaystyle \mathrm {E} \left[e^{itX}\right]} . אם הפונקציה יוצרת המומנטים גזירה n {\displaystyle n} פעמים בקטע הכולל את הנקודה t = 0 {\displaystyle t=0} , אז המומנט ה- n {\displaystyle n} -י של המשתנה הוא הנגזרת ה- n {\displaystyle n} -ית של הפונקציה בנקודה זו, כלומר E [ X n ] = M X ( n ) ( 0 ) {\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=M_{X}^{(n)}(0)} . לדוגמה, M X ( 0 ) = 1 {\displaystyle M_{X}(0)=1} , M X ′ ( 0 ) = E [ X ] {\displaystyle M_{X}'(0)=\mathrm {E} [X]} ו- M X ″ ( 0 ) = E ( X 2 ) {\displaystyle M_{X}''(0)=\mathrm {E} (X^{2})} . אם הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בסביבה של 0 {\displaystyle 0} , אפשר לפתח את הפונקציה יוצרת המומנטים לטור טיילור: M X ( t ) = ∑ n = 0 ∞ E [ X n ] n ! t n {\displaystyle M_{X}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathrm {E} [X^{n}]}{n!}}t^{n}} . כאשר למשתנה יש התפלגות המוגדרת על ידי פונקציית צפיפות, M X ( − t ) {\displaystyle M_{X}(-t)} היא התמרת לפלס דו-צדדית של פונקציית הצפיפות. בתנאים מסוימים אפשר לשחזר את ההתפלגות כולה מן הפונקציה יוצרת המומנטים, ולכן גם מתוך המקדמים בפיתוח טיילור שלה, שהם כאמור המומנטים (מחולקים ב- n ! {\displaystyle n!} ). הפונקציה יוצרת המומנטים של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי Z {\displaystyle Z} היא M Z ( t ) = e t 2 / 2 {\displaystyle M_{Z}(t)=e^{t^{2}/2}} , שהרי M Z ( t ) = E [ e t Z ] = ∫ − ∞ ∞ e t z 1 2 π e − z 2 2 d z = e t 2 2 ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − 1 2 ( z − t ) 2 d z = e t 2 2 {\displaystyle M_{Z}(t)=\mathrm {E} \left[e^{tZ}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tz}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {z^{2}}{2}}}\,\mathrm {d} z=e^{\frac {t^{2}}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z-t)^{2}}\,\mathrm {d} z=e^{\frac {t^{2}}{2}}} והאינטגרל לפני השוויון האחרון הוא 1 {\displaystyle 1} , כאינטגרל של פונקציית צפיפות של משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי מוזז t {\displaystyle t} יחידות (ניתן לראות שהאינטגרל הוא 1 {\displaystyle 1} גם מהחלפת משתנים). למשתנה מקרי X {\displaystyle X} בעל התפלגות אקספוננציאלית שתוחלתו θ {\displaystyle \theta } יש פונקציה יוצרת מומנטים המוגדרת עבור   t < 1 θ {\displaystyle \ t<{\frac {1}{\theta }}} , שהיא M X ( t ) = 1 1 − θ t {\displaystyle M_{X}(t)={\frac {1}{1-\theta t}}} . הנגזרת ה- n {\displaystyle n} -ית היא M X ( n ) ( t ) = n ! ⋅ θ n ( 1 − θ t ) n + 1 {\displaystyle M_{X}^{(n)}(t)={\frac {n!\cdot \theta ^{n}}{(1-\theta t)^{n+1}}}} , והצבת t = 0 {\displaystyle t=0} נותנת E [ X n ] = M X ( n ) ( 0 ) = n ! θ n {\displaystyle \mathrm {E} [X^{n}]=M_{X}^{(n)}(0)=n!\theta ^{n}} . אם   a , b {\displaystyle \ a,b} מספרים ממשיים ו- Y = a X + b {\displaystyle Y=aX+b} משתנה מקרי, אז M Y ( t ) = E [ e t ( a X + b ) ] = e b t M X ( a t ) {\displaystyle M_{Y}(t)=\mathrm {E} \left[e^{t(aX+b)}\right]=e^{bt}M_{X}(at)} מליניאריות התוחלת. אם   X 1 , … , X n {\displaystyle \ X_{1},\dots ,X_{n}} משתנים בלתי תלויים ו- S = X 1 + ⋯ + X n {\displaystyle S=X_{1}+\dots +X_{n}} סכומם, אז M S ( t ) = M X 1 ( t ) ⋯ M X n ( t ) {\displaystyle M_{S}(t)=M_{X_{1}}(t)\cdots M_{X_{n}}(t)} . אפשר להוכיח שאם המשתנים הם שווי התפלגות, ובעלי תוחלת אפס ושונות 1, אז   M S / n ( t ) → e t 2 / 2 {\displaystyle \ M_{S/n}(t)\rightarrow e^{t^{2}/2}} , הפונקציה יוצרת המומנטים של התפלגות נורמלית סטנדרטית; זוהי, בעקרון, הוכחה של משפט הגבול המרכזי. Sheldon Ross, A First Course in Probability, Pearson Prentice Hall (8th edition, January 7, 2019), p. 354-365 Hossein Pishro-Nik, Introduction to Probability, Statistics, and Random Processes, Kappa Research, LLC (August 24, 2014), p. 324-328 פונקציה יוצרת מומנטים, באתר MathWorld (באנגלית)