משפט ערך הביניים

משפט ערך הביניים אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל כל ערך שביניהם. המשפט מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". עוד קודם ההוכחה הפורמלית למשפט ערך הביניים נעשה שימוש בתכונת ערך הביניים, וסיימון סטאבין אף הוכיח את קיום התכונה עבור פולינומים. לפני ההגדרה הפורמלית של רציפות, היו שעשו שימוש בתכונת ערך הביניים כדי להגדיר אותה, אולם ברנרד בולצאנו (בשנת 1817) ואוגוסטן לואי קושי (בשנת 1821) הבינו שכדי לנסח את משפט ערך הביניים באופן מדויק יש להגדיר רציפות באופן המוכר לנו כיום. תהי f {\displaystyle f} פונקציה ממשית רציפה בקטע סגור [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . יהי t {\displaystyle t} מספר ממשי בין f ( a ) {\displaystyle f(a)} ל- f ( b ) {\displaystyle f(b)} (כלומר f ( a ) ≤ t ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq t\leq f(b)} או f ( b ) ≤ t ≤ f ( a ) {\displaystyle f(b)\leq t\leq f(a)} ). אזי קיים c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} כך ש- f ( c ) = t {\displaystyle f(c)=t} . ניסוח שקול: תהי f {\displaystyle f} פונקציה רציפה בקטע הסגור [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , ויהי γ {\displaystyle \gamma } מספר ממשי שנמצא בין f ( a ) {\displaystyle f(a)} ל- f ( b ) {\displaystyle f(b)} . אזי למשוואה f ( x ) = γ {\displaystyle f(x)=\gamma } יש פתרון c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} . קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, המשתמש במונחים שקל יותר להכליל אותם למרחב טופולוגי כללי (ראו להלן): תהי f : I → R {\displaystyle f:I\rightarrow \mathbb {R} } פונקציה רציפה המוגדרת על קטע סגור I = [ a , b ] ⊆ R {\displaystyle I=[a,b]\subseteq \mathbb {R} } . אז התמונה f ( I ) {\displaystyle f(I)} של הקטע תחת הפונקציה היא בעצמה קטע. הוכחה א' נניח ללא הגבלת הכלליות ש- f ( a ) ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(b)} (ההוכחה למקרה f ( b ) ≤ f ( a ) {\displaystyle f(b)\leq f(a)} זהה). אנו רוצים למצוא מספר c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} כך ש- f ( c ) = t {\displaystyle f(c)=t} עבור t ∈ ( f ( a ) , f ( b ) ) {\displaystyle t\in (f(a),f(b))} . נגדיר את הקבוצה הבאה: A = { x ∈ [ a , b ] ∣ f ( x ) ≤ t } {\displaystyle A=\left\{x\in [a,b]\mid f(x)\leq t\right\}} . זוהי קבוצה לא ריקה (כי a ∈ A {\displaystyle a\in A} ) וחסומה (על ידי b {\displaystyle b} ), מכאן שיש לה חסם עליון, על פי אקסיומת החסם העליון של המספרים הממשיים. נסמן חסם עליון זה c {\displaystyle c} , וכעת נוכיח כי f ( c ) = t {\displaystyle f(c)=t} . לשם כך נפריך את שתי הטענות הבאות: f ( c ) > t {\displaystyle f(c)>t} ו- f ( c ) < t {\displaystyle f(c)<t} . נניח בשלילה כי f ( c ) > t {\displaystyle f(c)>t} , אז f ( c ) − t > 0 {\displaystyle f(c)-t>0} , ולכן, מרציפות f {\displaystyle f} נובע שקיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל | x − c | < δ {\displaystyle |x-c|<\delta } מתקיים | f ( x ) − f ( c ) | < f ( c ) − t {\displaystyle |f(x)-f(c)|<f(c)-t} , כלומר f ( x ) > f ( c ) − ( f ( c ) − t ) = t {\displaystyle f(x)>f(c)-(f(c)-t)=t} . אבל מאחר ש- c {\displaystyle c} הוא חסם עליון של A {\displaystyle A} , בכל סביבה שלו יש איבר מתוך A {\displaystyle A} , ובפרט קיים x ∈ A {\displaystyle x\in A} כך ש- | x − c | < δ {\displaystyle |x-c|<\delta } , אבל זו סתירה, כי מהגדרת A {\displaystyle A} נובע ש- f ( x ) ≤ t {\displaystyle f(x)\leq t} . נניח בשלילה כי f ( c ) < t {\displaystyle f(c)<t} , אז t − f ( c ) > 0 {\displaystyle t-f(c)>0} ולכן קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל | x − c | < δ {\displaystyle |x-c|<\delta } מתקיים | f ( x ) − f ( c ) | < t − f ( c ) {\displaystyle |f(x)-f(c)|<t-f(c)} , כלומר f ( x ) < f ( c ) + ( t − f ( c ) ) = t {\displaystyle f(x)<f(c)+(t-f(c))=t} . כלומר, מצאנו איבר x > c {\displaystyle x>c} שעבורו f ( x ) < t {\displaystyle f(x)<t} , בסתירה להיות c {\displaystyle c} חסם עליון. מאחר ששללנו את האפשרויות f ( c ) > t , f ( c ) < t {\displaystyle f(c)>t,f(c)<t} , בהכרח f ( c ) = t {\displaystyle f(c)=t} , כמבוקש. הוכחה ב' אפשר להציע הוכחה שונה למשפט, הנסמכת על אלגוריתם שיטת החצייה במקום על אקסיומת החסם העליון: נניח ללא הגבלת הכלליות ש- f ( a ) ≤ f ( b ) {\displaystyle f(a)\leq f(b)} (ההוכחה למקרה f ( b ) ≤ f ( a ) {\displaystyle f(b)\leq f(a)} זהה). עלינו למצוא מספר c ∈ ( a , b ) {\displaystyle c\in (a,b)} כך ש- f ( c ) = t {\displaystyle f(c)=t} עבור t ∈ ( f ( a ) , f ( b ) ) {\displaystyle t\in (f(a),f(b))} . ראשית נגדיר a = a 1 , b = b 1 {\displaystyle a=a_{1},b=b_{1}} . נתבונן בקטע [ a 1 , b 1 ] {\displaystyle [a_{1},b_{1}]} , ונסמן את נקודת האמצע e 1 = a 1 + b 1 2 {\displaystyle e_{1}={\frac {a_{1}+b_{1}}{2}}} . אם f ( e 1 ) = t {\displaystyle f(e_{1})=t} סיימנו, אחרת נניח ללא הגבלת הכלליות כי t < f ( e 1 ) {\displaystyle t<f(e_{1})} , ונסמן a 1 = a 2 , e 1 = b 2 {\displaystyle a_{1}=a_{2},e_{1}=b_{2}} . נשים לב כי a 1 , e 1 ∈ [ a 1 , b 1 ] {\displaystyle a_{1},e_{1}\in [a_{1},b_{1}]} ולכן [ a 2 , b 2 ] ⊆ [ a 1 , b 1 ] {\displaystyle [a_{2},b_{2}]\subseteq [a_{1},b_{1}]} . נמשיך באופן אינדוקטיבי, כך שלכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathrm {N} } הגדרנו כבר את הקטע [ a n , b n ] {\displaystyle [a_{n},b_{n}]} , ונסמן את נקודת האמצע e n = a n + b n 2 {\displaystyle e_{n}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}} . אם f ( e n ) = t {\displaystyle f(e_{n})=t} סיימנו, אחרת נניח ללא הגבלת הכלליות כי t < f ( e n ) {\displaystyle t<f(e_{n})} , ונסמן a n = a n + 1 , e n = b n + 1 {\displaystyle a_{n}=a_{n+1},e_{n}=b_{n+1}} . נשים לב כי a n , e n ∈ [ a n , b n ] {\displaystyle a_{n},e_{n}\in [a_{n},b_{n}]} ולכן [ a n + 1 , b n + 1 ] ⊆ [ a n , b n ] {\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]} . קיבלנו סדרה של קטעים [ a n , b n ] {\displaystyle [a_{n},b_{n}]} המקיימת את התכונות הבאות: כל הקטעים סגורים. כל קטע מוכל בקטעים הקודמים לו. סדרת אורכי הקטעים שואפת לאפס. שתי התכונות הראשונות נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים. כדי להיווכח בשלישית נשים לב שמכיוון שאורכו של כל קטע הוא חצי מאורכו של הקטע הקודם לו, הרי שהנוסחה הכללית לאורכם של הקטעים היא b − a 2 n − 1 {\displaystyle {\frac {b-a}{2^{n-1}}}} עבור הקטע ה- n {\displaystyle n} , וזו סדרה ששואפת לאפס. אם כן, מתקיימים כל תנאי הלמה של קנטור ולכן קיימת c {\displaystyle c} יחידה כך שלכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathrm {N} } , a n ⩽ c ⩽ b n {\displaystyle a_{n}\leqslant c\leqslant b_{n}} . לפי הגדרת הסדרה, לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathrm {N} } , f ( a n ) ⩽ t ⩽ f ( b n ) {\displaystyle f(a_{n})\leqslant t\leqslant f(b_{n})} . נתון כי f ( x ) {\displaystyle f(x)} היא פונקציה רציפה וגם lim n → ∞ a n = c , lim n → ∞ b n = c {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=c,\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=c} ולכן לפי הגדרת הרציפות של היינה lim n → ∞ f ( a n ) = f ( c ) = lim n → ∞ f ( b n ) {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }f(a_{n})=f(c)=\lim _{n\rightarrow \infty }f(b_{n})} . אזי לפי כלל הסנדוויץ' t = f ( c ) {\displaystyle t=f(c)} כנדרש. הטענה כי "אם לכל מספר ממשי y ∈ [ c , d ] {\displaystyle y\in \left[c,d\right]} קיים x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in \left[a,b\right]} המקיים f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} , אז f {\displaystyle f} רציפה", אינה נכונה. דוגמה נגדית למשפט היא הפונקציה f ( x ) = sin ⁡ ( 1 / x ) {\displaystyle f(x)=\sin(1/x)} שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x = 0 {\displaystyle x=0} (שם מגדירים f ( x ) = 0 {\displaystyle f(x)=0} ). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא פונקציית בסיס 13 של קונוויי. אומרים שמרחב טופולוגי X {\displaystyle X} ניחן בתכונת ערך הביניים אם לכל פונקציה רציפה f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } , לכל a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} ולכל t {\displaystyle t} בין f ( a ) {\displaystyle f(a)} ל- f ( b ) {\displaystyle f(b)} , קיים c ∈ X {\displaystyle c\in X} כך ש- f ( c ) = t {\displaystyle f(c)=t} . או בנוסח אחר, לכל f : X → R {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} } רציפה, f ( X ) {\displaystyle f(X)} הוא קטע. זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת הומיאומורפיזם. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים. מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים אם ורק אם הוא מרחב קשיר - מרחב שאינו איחוד זר של שתי קבוצות פתוחות לא ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת"). אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא ריקות A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} , ואז הפונקציה f ( x ) = { 1 if  x ∈ A 0 if  x ∈ B {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}x\in A\\0&{\mbox{if }}x\in B\end{matrix}}\right.} היא רציפה וסותרת את תכונת ערך הביניים. בכיוון השני, אם מרחב הוא קשיר, תמונתו קשירה (כי אם A , B {\displaystyle A,B} קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן f ( X ) {\displaystyle f(X)} , f − 1 ( A ) , f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(A),f^{-1}(B)} הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן X {\displaystyle X} ). וקבוצה קשירה ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } היא תמיד קטע. למשל קבוצת המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } אינה קשירה, וקיימות בה פונקציות רציפות שאינן מקיימות את תכונת ערך הביניים, כפי שמעידה לדוגמה הפונקציה הרציפה על הרציונליים: f : Q → R , f ( x ) = { 1 if  x < 2 0 if  x > 2 {\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} ,\quad f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}x<{\sqrt {2}}\\0&{\mbox{if }}x>{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right.} . משפט דארבו מדיה וקבצים בנושא משפט ערך הביניים בוויקישיתוף משפט ערך הביניים, באתר MathWorld (באנגלית) 35 - משפט ערך הביניים, נבדק ב-2023-10-18