משפט ארבעת הריבועים של יעקובי

משפט ארבעת הריבועים של יעקובי (באנגלית: Jacobi's four squares theorem) נותן נוסחה לגבי מספר הדרכים בהן מספר n ניתן להצגה כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הוא הרחבה של משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' בכך שהוא מראה לא רק שהצגה כזאת תמיד קיימת, אלא גם מניב מידע על מספר ההצגות של מספר כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הוכח ב-1834 על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי. שתי הצגות נחשבות לשונות אם הסדר של האיברים בהן שונה או אם המספרים השלמים שמעלים בריבוע שונים (לא רק ערך הריבוע עצמו); למשל, אלו הן 3 מתוך 8 ההצגות האפשריות של 1 כסכום של ארבעה ריבועים: 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2 0 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 ( − 1 ) 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}&1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}\\&0^{2}+1^{2}+0^{2}+0^{2}\\&(-1)^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}.\end{aligned}}} המשפט של יעקובי קובע שמספר ההצגות של n כסכום של ארבעה ריבועים שווה לשמונה פעמים סכום המחלקים של n אם n אי-זוגי ול-24 פעמים סכום המחלקים האיזוגיים של n אם n זוגי: r 4 ( n ) = { 8 ∑ m | n m if  n  is odd 24 ∑ m | n m  odd m if  n  is even . {\displaystyle r_{4}(n)={\begin{cases}8\sum \limits _{m|n}m&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\[12pt]24\sum \limits _{\begin{smallmatrix}m|n\\m{\text{ odd}}\end{smallmatrix}}m&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}} באופן שקול, זהו 8 פעמים סכום המחלקים של n שלא מתחלקים ב-4,כלומר : r 4 ( n ) = 8 ∑ m : 4 ∤ m | n m . {\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{m\,:\,4\nmid m|n}m.} ההוכחה בקווים כללים: ההוכחה עושה שימוש בשיטות מתורת הפונקציות האליפטיות כדי להראות שפונקציית תטא המקושרת לסריג Z4 היא תבנית מודולרית מרמה מסוימת, ולכן שווה לצירוף ליניארי של טורי איזנשטיין. הטכניקות הללו אפשרו ליעקובי לגזור את הזהות הקריטית ( 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ q n 2 ) 4 = 1 + 8 ∑ n = 1 ∞ n q n 1 + ( − 1 ) n q n {\displaystyle (1+2\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}})^{4}=1+8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1+(-1)^{n}q^{n}}}} , כאשר הפונקציה היוצרת (אגף ימין של הזהות) של החזקה הרביעית של פונקציית תטא (אגף שמאל של הזהות) היא כזו שהמקדם ה-i בה שווה למספר ההצגות של i כסכום של ארבעה ריבועים r 4 ( i ) {\displaystyle r_{4}(i)} . קבלת הנוסחה המפורשת של יעקובי מן הזהות: כאשר מקבלים זהות זאת כנכונה, התוצאה של יעקובי נובעת אז מביצוע מניפולציות מסוימות על אגף ימין; מתקיים: ∑ n = 1 ∞ n q n 1 + ( − 1 ) n q n = ∑ n = 1 ∞ n ( ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) ( k + 1 ) ( n + 1 ) q k n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1+(-1)^{n}q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }n(\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{(k+1)(n+1)}q^{kn})} , כאשר המעבר נובע מנוסחת הסכימה לטור הנדסי אינסופי (כאשר q < 1). המקדם של החזקה ה-i בטור המתקבל מתקבל כמובן מכל אותם מחוברים מהצורה: b ⋅ q i {\displaystyle b\cdot q^{i}} כאשר b מספר שלם כלשהו. כעת נבחין כי עבור כל n, הביטוי n ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) ( k + 1 ) ( n + 1 ) q k n {\displaystyle n\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{(k+1)(n+1)}q^{kn}} מניב רק מחוברים שהמעריך שלהם מתחלק ב-n. זה מרמז על כך שהתרומות למקדם של q i {\displaystyle q^{i}} נעשות רק על ידי מחוברים מהצורה ( − 1 ) ( k + 1 ) ( n + 1 ) n q i {\displaystyle (-1)^{(k+1)(n+1)}nq^{i}} כאשר n מחלק את i (שכן i = k n {\displaystyle i=kn} ). לכן מתקבל שבשקלול שתי הסכימות, המקדם של q i {\displaystyle q^{i}} שווה ל-: 8 ∑ d = 1 d = i ( − 1 ) 1 + d + i d + i d {\displaystyle 8\sum _{d=1}^{d=i}(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}d} . כעת נראה כי הביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת שהופיעה לעיל. נוכיח באינדוקציה על p שהביטוי הזה נותן את הנוסחה המפורשת של יעקובי עבור i = 2 p m {\displaystyle i=2^{p}m} כאשר m אי זוגי. כאשר i אי זוגי כל מחלקיו אי זוגיים, לכן תמיד ( − 1 ) 1 + d + i d + i = 1 {\displaystyle (-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}=1} ולפיכך הסכום הוא על כל המחלקים של i, ובכך תמו הוכחת החלק הראשון של הנוסחה של יעקובי ובדיקת בסיס האינדוקציה (p = 0). עבור כל מחלק אי זוגי o של i ניתן לייצר מחלקים זוגיים של i על ידי הכפלתו בחזקות של 2 עם מעריך שקטן או שווה ל-p. מבדיקת זוגיות המעריך של 1- נקבל, שפרט למקרים של d = 1 , i {\displaystyle d=1,i} , עבור כל המחלקים הזוגיים שנוצרים על ידי מחלק אי זוגי פרימיטיבי o המעריך של 1- הוא אי זוגי, לכן מתקבלת התוצאה למספר ההצגות: 8 ∑ d = 1 d = i ( − 1 ) 1 + d + i d + i d = 8 ∑ o = 1 o = i 2 p o ( 1 + 2 p − 2 p − 1 − . . . − 2 ) = 8 ∑ o = 1 o = i 2 p o ( 1 + 2 ) = 24 ∑ o = 1 o = i 2 p o {\displaystyle 8\sum _{d=1}^{d=i}(-1)^{1+d+{\frac {i}{d}}+i}d=8\sum _{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o(1+2^{p}-2^{p-1}-...-2)=8\sum _{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o(1+2)=24\sum _{o=1}^{o={\frac {i}{2^{p}}}}o} . משפט ארבעת הריבועים של יעקובי, באתר MathWorld (באנגלית)