תורת לנדאו

תורת לנדאו היא תאוריה פיזיקלית הנותנת תיאור איכותי למעברי פאזה. תאוריה זו, שנהגתה על ידי לב לנדאו בשנת 1937, היא תאוריה פנומנולוגית הבוחנת מערכות בהן ישנו תהליך של שבירת סימטריה ספונטנית ביחס לפרמטר סדר כלשהו ומנסה לתת תיאור איכותי לתהליך זה. פרמטר סדר הוא מדד המייצג את מידת הסדר באזור מעבר הפאזה. במערכת בה יש סימטריה ביחס לפרמטר הסדר ערכו של פרמטר הסדר נע בין אפס עבור הפאזה המתקבלת בטמפרטורות גבוהות (בהן אי הסדר גדול יותר, אין הכרח לטמפרטורה, אלא כל שני פרמטרים, שדה מגנטי, לחץ וכדומה) לערך שונה מאפס בפאזה המתקבלת בטמפרטורות נמוכות. ערכו של פרמטר הסדר יכול להיות מיוצג בדרכים שונות ביניהן סקלר, מספר מרוכב, וקטור וטנזור, כאשר ייצוג פרמטר הסדר תלוי במערכת המדוברת ובסוג מעבר הפאזה. דוגמה מייצגת עבור פרמטר הסדר היא המגנטיזציה במערכת פרומגנטית בסמוך לטמפרטורת קירי. לנדאו הציע שכאשר מערכת מסוימת נמצאת בטמפרטורה הקרובה לטמפרטורה הקריטית ניתן יהיה לתאר את האנרגיה החופשית של המערכת כטור טיילור בפרמטר הסדר, כאשר בהיעדר שדה מסדר (כלומר כאשר המערכת סימטרית ביחס לפרמטר הסדר) הטור יכלול רק חזקות זוגיות של פרמטר הסדר ומכיוון שקרוב לטמפרטורה הקריטית פרמטר הסדר קטן, ניתן להסתכל רק על האיברים הראשונים בטור: G ( m , t ) = a ( t ) + b ( t ) 2 m 2 + c ( t ) 4 m 4 + d ( t ) 6 m 6 {\displaystyle G(m,t)=a(t)+{\frac {b(t)}{2}}m^{2}+{\frac {c(t)}{4}}m^{4}+{\frac {d(t)}{6}}m^{6}} כאשר t = T − T c T c {\displaystyle t={\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}} , | t | << 1 {\displaystyle |t|<<1} , G {\displaystyle G} היא האנרגיה החופשית, m {\displaystyle m} הוא פרמטר הסדר, T {\displaystyle T} היא הטמפרטורה, T c {\displaystyle T_{c}} היא הטמפרטורה הקריטית ו- a , b , c , d {\displaystyle a,b,c,d} הם פרמטרים התלויים במערכת. במצב של שיווי משקל האנרגיה החופשית מינימלית ולכן נוכל למצוא את m ( t ) {\displaystyle m(t)} על ידי מציאת נקודות המינימום של המשוואה. עבור מודל זה ההנחה של לנדאו הייתה שערכו של c ( t ) {\displaystyle c(t)} הוא קבוע חיובי וש- b ( t ) {\displaystyle b(t)} פרופורציונלי ל- t {\displaystyle t} , כלומר: b = b 0 t c = c o {\displaystyle b=b_{0}t\qquad c=c_{o}} כאשר b 0 {\displaystyle b_{0}} ו- c 0 {\displaystyle c_{0}} קבועים חיוביים. בעקבות הנחה זו מתקבל כי המינימום הגלובלי של האנרגיה החופשית מתקבל בנקודות (כאשר האיבר d ( t ) 6 m 6 {\displaystyle {\frac {d(t)}{6}}m^{6}} מוזנח): | m | = { 0 t ≥ 0 ( b 0 | t | c 0 ) 1 / 2 t < 0 {\displaystyle |m|={\begin{cases}0&t\geq 0\\({\frac {b_{0}|t|}{c_{0}}})^{1/2}&t<0\end{cases}}} ניתן לראות מהתוצאה הנ"ל כי פרמטר הסדר משתנה בצורה רציפה אך לא גזירה בטמפרטורה הקריטית ולכן מודל זה מתאר מעבר פאזה מסדר שני. מסקנה נוספת המתקבלת מהפיתוח הנ"ל היא כי האקספוננט הקריטי הוא 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ללא תלות בפרמטרים c 0 , b 0 {\displaystyle c_{0},b_{0}} , כלומר ישנה אוניברסליות המצביעה על כך שישנה מחלקה של מערכות בעלות אותה התנהגות קריטית למרות ההבדלים המבניים ביניהן. יש לשים לב כי תורת לנדאו מניחה כי ישנו רק רכיב אחד לפרמטר הסדר וכן מתעלמת ממספר הממדים של המערכת ולכן נותנת תיאור של מספר מערכות מצומצם יחסית. ישנם תופעות רבות (שאינן מתחום הטמפרטורה) אשר מתבצעות בהן מעברי פאזה מסדר שני. כאשר אנו מתעסקים בחומרים, כלל האנרגיות רציפות, כאשר מתקבלת סבירת סימטרייה תחת מעוות (החומר עדיין מוצק) תתקבל שינוי בפונקציית האנרגיה ויתקבל מעבר פאזה. מעבר פאזה מסוג שונה מתקבל כאשר ההנחה היא כי c ( t ) {\displaystyle c(t)} משנה סימן כאשר שאר האיברים חיוביים (מניחים כי b {\displaystyle b} הוא פונקציה יורדת בטמפרטורה אך הוא מתאפס בטמפרטורה נמוכה יותר מ- c {\displaystyle c} ). עבור מקרה זה מקבלים פרמטר סדר ספונטני: m ± 2 = − 3 c ± 3 c 2 − 16 b d / 3 4 d {\displaystyle m_{\pm }^{2}={\frac {-3c\pm 3{\sqrt {c^{2}-16bd/3}}}{4d}}} כאשר על מנת שהפתרון יהיה אפשרי נדרש כי c < 0 {\displaystyle c<0} וכי c 2 > 16 b d 3 {\displaystyle c^{2}>{\frac {16bd}{3}}} , כלומר הטמפרטורה הקריטית מתקבלת מהתנאי: c 2 ( T c ) = 16 b ( T c ) d ( T c ) 3 c ( T c ) < 0 {\displaystyle c^{2}(T_{c})={\frac {16b(T_{c})d(T_{c})}{3}}\qquad c(T_{c})<0} עבור ערך זה נקבל כי מעט מתחת לטמפרטורה הקריטית: m ± 2 = − 3 c ( T c ) 4 d ≠ 0 {\displaystyle m_{\pm }^{2}={\frac {-3c(T_{c})}{4d}}\neq 0} כלומר ישנה קפיצה פתאומית בפרמטר הסדר מאפס לערך סופי, מעבר פאזה מסוג זה נקרא מעבר פאזה לא רציף וזהו מעבר פאזה מסדר ראשון. כאשר ישנן תנודות מרחביות בשדה המגנטי תורת לנדאו הסטנדרטית אינה מספיקה והיא מוכללת לתאוריה כללית יותר בעזרת מתן תלות מרחבית לפרמטר הסדר, כלומר m → m ( r ) {\displaystyle m\to m(r)} . במצב זה מתייחסים לפרמטר הסדר כפונקציה חלקה במרחב, ניתן לעשות זאת מכיוון שלרוב לתנודות קצרות תווך ישנה עלות אנרגטית גבוהה, ולכן הן נדירות ביותר. המסקנה היא כי השתנות פרמטר הסדר נגרמת בעיקר מקשרים לא מקומיים. בהקבלה לתורה הסטנדרטית האנרגיה החופשית היא: G ( m ( r ) , T ) = ∫ { − h ( r ) m ( r ) + a ( T ) + b ( T ) 2 m 2 ( r ) + c ( T ) 4 m 4 ( r ) + . . . + f 2 [ ∇ m ( r ) ] 2 } d r {\displaystyle G(m({\boldsymbol {r}}),T)=\int {\left\{-h({\boldsymbol {r}})m({\boldsymbol {r}})+a(T)+{\frac {b(T)}{2}}m^{2}({\boldsymbol {r}})+{\frac {c(T)}{4}}m^{4}({\boldsymbol {r}})+...+{\frac {f}{2}}[\nabla m({\boldsymbol {r}})]^{2}\right\}}d{\boldsymbol {r}}} כאשר h ( r ) {\displaystyle h({\boldsymbol {r}})} הוא שדה מגנטי חיצוני וכעת נוסף איבר הגרדיאנט של פרמטר הסדר הלוקח בחשבון את הגדלת האנרגיה החופשית בעקבות ההשתנות המרחבית של פרמטר הסדר. כדי למצוא את m ( r ) {\displaystyle m({\boldsymbol {r}})} הממזער את האנרגיה החופשית יש לדרוש שהנגזרת הפונקציונלית של G {\displaystyle G} תקיים δ G = 0 {\displaystyle \delta G=0} לכן נקבל: δ G ( m ( r ) , T ) = ∫ { − h ( r ) δ m ( r ) + b ( T ) m ( r ) δ m ( r ) + c ( T ) m 3 ( r ) δ m ( r ) + . . . + f ∇ m ( r ) ∇ δ m ( r ) } d r {\displaystyle \delta G(m({\boldsymbol {r}}),T)=\int {\left\{-h({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})+b(T)m({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})+c(T)m^{3}({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})+...+f\nabla m({\boldsymbol {r}})\nabla \delta m({\boldsymbol {r}})\right\}}d{\boldsymbol {r}}} בעזרת אינטגרציה בחלקים ושימוש בכך ש- δ m ( r ) = 0 {\displaystyle \delta m({\boldsymbol {r}})=0} בשפת המערכת מתקבלת המשוואה: δ G ( m ( r ) , T ) = ∫ { − h ( r ) δ m ( r ) + b ( T ) m ( r ) δ m ( r ) + c ( T ) m 3 ( r ) δ m ( r ) + . . . − f ∇ 2 m ( r ) δ m ( r ) } d r {\displaystyle \delta G(m({\boldsymbol {r}}),T)=\int {\left\{-h({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})+b(T)m({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})+c(T)m^{3}({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})+...-f\nabla ^{2}m({\boldsymbol {r}})\delta m({\boldsymbol {r}})\right\}}d{\boldsymbol {r}}} מכיוון שמשוואה זו נכונה לכל δ m ( r ) {\displaystyle \delta m({\boldsymbol {r}})} נקבל מהתנאי על הנגזרת הפונקציונלית של האנרגיה החופשית את משוואת גינזבורג-לנדאו: h ( r ) = b ( T ) m ( r ) + c ( T ) m 3 ( r ) + . . . − f ∇ 2 m ( r ) {\displaystyle h({\boldsymbol {r}})=b(T)m({\boldsymbol {r}})+c(T)m^{3}({\boldsymbol {r}})+...-f\nabla ^{2}m({\boldsymbol {r}})} כאשר עבור h ( r ) = 0 {\displaystyle h(r)=0} נקבל כצפוי את תאוריית לנדאו הסטנדרטית. במקרים רבים פרמטר סדר סקלרי אינו מספיק כדי לתאר מערכת פיזיקלית. למשל, עבור נוֹזְלוּת-על של הליום-4 וכן עבור מוליכי על נדרש פרמטר סדר בעל שני רכיבים (המיוצג על ידי מספר מרוכב), מודל פוץ (potts model) מסדר q {\displaystyle q} דורש q − 1 {\displaystyle q-1} רכיבים ובגבישים נוזליים פרמטר הסדר מיוצג על ידי טנזור סימטרי וחסר עקבה. בדומה למקרה הסקלרי, הדרישה במקרה זה היא כי האנרגיה החופשית בהיעדר שדה מסדר תשמור על הסימטריה של הבעיה המקורית. כאשר פרמטר הסדר הוא וקטורי וישנה סימטריה ביחס לכיוון הווקטור, נדרש שהאנרגיה החופשית תהיה תלויה רק בגודלו של הווקטור. כלומר ניתן להציב: m 2 = ∑ k = 1 N m k 2 {\displaystyle m^{2}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}^{2}} כאשר m k {\displaystyle m_{k}} הוא הרכיב ה- k {\displaystyle k} של פרמטר הסדר ו- N {\displaystyle N} הוא מספר הרכיבים. עבור פרמטר סדר טנזורי Q α β {\displaystyle Q_{\alpha \beta }} האנרגיה החופשית תתואר על ידי גדלים הנשמרים תחת טרנספורמציות למערכת הצירים. מכיוון שעקבה של מטריצה נשמרת תחת טרנספורמציות כאלו, נהוג לתאר את האנרגיה החופשית באמצעות: T r ( Q 2 ) = ∑ α , β Q α β Q β α {\displaystyle Tr(Q^{2})=\sum _{\alpha ,\beta }Q_{\alpha \beta }Q_{\beta \alpha }} T r ( Q 3 ) = ∑ α , β , γ Q α β Q β γ Q γ α {\displaystyle Tr(Q^{3})=\sum _{\alpha ,\beta ,\gamma }Q_{\alpha \beta }Q_{\beta \gamma }Q_{\gamma \alpha }} עבור פרמטר סדר בעל מספר פרמטרים, מציאת מצב שיווי המשקל תתבצע על ידי מינימיזציה של האנרגיה החופשית ביחס לכל הפרמטרים של פרמטר הסדר. לב לנדאו מעבר פאזה תרמודינמיקה אקספוננט קריטי מרחב פאזה פרומגנטיות נוזל-על מוליכות-על גביש נוזלי תורת שדה ממוצע Landau L.D.(1969). Collected Papers Nauka, Moscow Michael C. Cross, Landau theory of second order phase transitions, (Caltech statistical mechanics lecture notes) Yukhnovskii, I R, Phase Transitions of the Second Order - Collective Variables Method, World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6 Landau L.D., Zh. Eksp. Teor. Fiz. 7, pp. 19–32 (1937) Plischke Michael, Birger Bergersen(1994). Equilibrium statistical physics. 2nd ed. Singapore, World Scientific. R.K Pathria, Paul D. Beale (1972). Statistical Mechanics 3rd Ed., oxford University Press Chaikin P. M., Lubensky T. C.(1995). Principles of condensed matter physics, Cambridge University Press R.K Pathria & Paul D. Beale, Statistical Mechanics 3rd Ed. ch 12.9 Plischke ,Michael, Birger Bergersen(1994). Equilibrium statistical physics. 2nd ed. Singapore, World Scientific p.107-109.