נקודת הצטברות

בטופולוגיה ובאנליזה מתמטית, x {\displaystyle x} היא נקודת הצטברות של קבוצה A {\displaystyle A} אם בכל סביבה של x {\displaystyle x} קיימת לפחות נקודה אחת פרט ל- x {\displaystyle x} השייכת ל- A {\displaystyle A} . לדוגמה, נקודות ההצטברות של קטע הן נקודות הקטע וכן הקצוות שלו. במרחבים מטריים, אם נקודה כלשהי היא נקודת הצטברות של קבוצה, אז בכל סביבה שלה קיימים אינסוף איברים מהקבוצה, והנקודה היא גם נקודת גבול של הקבוצה. תכונה זו מתקיימת במרחב טופולוגי המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה, אבל לא בכל מרחב טופולוגי. תהי A {\displaystyle A} קבוצה במרחב טופולוגי X {\displaystyle X} . נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} היא נקודת הצטברות של A {\displaystyle A} , אם היא שייכת לסגור של הקבוצה A − { x } {\displaystyle A-\{x\}} . פירושו של דבר הוא שבכל קבוצה פתוחה U {\displaystyle U} המכילה את x {\displaystyle x} מצויה נקודה נוספת אחת לפחות של A {\displaystyle A} . את אוסף נקודות ההצטברות של A {\displaystyle A} מסמנים ב- A ′ {\displaystyle A'} ; בשל סימון זה, אוסף נקודות ההצטברות נקרא לפעמים הקבוצה הנגזרת של A {\displaystyle A} . נקודות הצטברות מופיעות כאפיון נוח לקבוצות סגורות: קבוצה A {\displaystyle A} היא סגורה אם ורק אם היא כוללת את כל נקודות ההצטברות שלה. הוכחה: כיוון אחד: תהי A {\displaystyle A} קבוצה המכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. יש להוכיח שהמשלים הוא קבוצה פתוחה. תהי x {\displaystyle x} נקודה במשלים, אז x {\displaystyle x} איננה נקודת הצטברות של A {\displaystyle A} , ולכן יש לה סביבה שאינה מכילה אף נקודה של A {\displaystyle A} . סביבה זו מוכלת במשלים, ולכן הנקודה x {\displaystyle x} שייכת לפנים של המשלים. הוכחנו שכל הנקודות במשלים שייכות לפנים שלו, ולכן המשלים הוא קבוצה פתוחה. בכיוון ההפוך, נניח ש- A {\displaystyle A} סגורה, ותהי x {\displaystyle x} נקודת הצטברות של A {\displaystyle A} ; נניח בשלילה שאינה שייכת ל- A {\displaystyle A} . מכיוון שהקבוצה המשלימה של A {\displaystyle A} היא קבוצה פתוחה, זוהי סביבה של x {\displaystyle x} , ולכן החיתוך בין A {\displaystyle A} לבין הקבוצה המשלימה אינו ריק - אבל זו סתירה להגדרה של קבוצה משלימה. מכאן שנקודת ההצטברות שייכת ל- A {\displaystyle A} . עבור כל קבוצה, הסגור שלה ניתן לייצוג על ידי Cl ( A ) = A ¯ = A ∪ A ′ {\displaystyle {\mbox{Cl}}(A)={\overline {A}}=A\cup A'} . נוכיח זאת תוך שימוש בתכונה שהראינו לעיל: כיוון ראשון: תהי F {\displaystyle F} קבוצה סגורה שמכילה את A {\displaystyle A} . נראה ש- F {\displaystyle F} מכילה גם את A ′ {\displaystyle A'} . ברור כי כל נקודת הצטברות של A {\displaystyle A} היא גם נקודת הצטברות של F {\displaystyle F} (כי A {\displaystyle A} מוכלת ב- F {\displaystyle F} ) ומכיוון ש- F {\displaystyle F} סגורה היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה, לכן A ′ ⊂ F {\displaystyle A'\subset F} . מכיוון שהסגור היא חיתוך כל הקבוצות הסגורות שמכילות את A {\displaystyle A} , נקבל A ∪ A ′ ⊂ A ¯ {\displaystyle A\cup A'\subset {\overline {A}}} . כיוון שני: ברור כי A ∪ A ′ {\displaystyle A\cup A'} קבוצה סגורה (כי היא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה), והרי הסגור של A {\displaystyle A} מוכל בכל קבוצה סגורה שמכילה את A {\displaystyle A} . קיבלנו כי: A ¯ ⊂ A ∪ A ′ {\displaystyle {\overline {A}}\subset A\cup A'} . משתי ההכללות נובע השוויון המבוקש A ¯ = A ∪ A ′ {\displaystyle {\overline {A}}=A\cup A'} . צורת הצגה זו שימושית ונוחה יותר לחישוב הסגור יותר מאשר באמצעות הגדרתו (כקבוצה הסגורה הקטנה ביותר שמכילה את A {\displaystyle A} ). סגור (טופולוגיה) שפה (טופולוגיה) נקודת גבול נקודת הצטברות, באתר MathWorld (באנגלית)