חוג כהן-מקולי

באלגברה קומוטטיבית, חוג כהן-מקולי הוא חוג נתרי קומוטטיבי, שמיקומיו באידיאלים מקסימליים הם בעלי סדרות רגולריות ארוכות "ככל האפשר" (ראו הגדרה בהמשך). חוגי כהן-מקולי מופיעים בהקשרים גאומטריים, קוהומולוגיים וקומבינטוריים. לדוגמה, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית הוא תמיד כהן-מקולי. ההגדרה של חוג כהן-מקולי היא טכנית למדי. במקרים רבים ניתן להחליפה על ידי הקריטריון הבא: משפט יהי R {\displaystyle R} תחום שלמות נוצר סופית מעל שדה k {\displaystyle k} . אז הדברים הבאים שקולים: R {\displaystyle R} הוא כהן-מקולי קיים תת-חוג B ⊂ R {\displaystyle B\subset R} , שאיזומורפי לחוג הפולינומים k [ x 1 , … x n ] {\displaystyle k[x_{1},\dots x_{n}]} , כך ש R {\displaystyle R} פרויקטיבי ונוצר סופית מעל B {\displaystyle B} לכל תת-חוג B ⊂ R {\displaystyle B\subset R} , שאיזומורפי לחוג הפולינומים k [ x 1 , … x n ] {\displaystyle k[x_{1},\dots x_{n}]} , כך ש R {\displaystyle R} נוצר סופית מעל B {\displaystyle B} , מתקיים ש- R {\displaystyle R} גם פרויקטיבי מעל B {\displaystyle B} לפי משפט קווילן-סוסלין (השערת סר) ניתן להחליף את המילה פרויקטיבי במילה חופשי במשפט למעלה. סדרת איברים x 1 , … , x t ∈ I {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{t}\in I} באידיאל I {\displaystyle I} של חוג קומוטטיבי R {\displaystyle R} היא סדרה רגולרית אם לכל i {\displaystyle i} , x i + 1 {\displaystyle x_{i+1}} הוא רגולרי (כלומר, אינו מחלק אפס) בחוג המנה R / ⟨ x 1 , … , x i ⟩ {\displaystyle R/\langle x_{1},\dots ,x_{i}\rangle } . לכל הסדרות הרגולריות המקסימליות אותו אורך, והוא אינו יכול לעלות על ממד קרול של החוג. למשל, בתת-החוג F [ x 4 , x 3 y , x y 3 , y 4 ] {\displaystyle F[x^{4},x^{3}y,xy^{3},y^{4}]} של חוג הפולינומים בשני משתנים מעל השדה F {\displaystyle F} , האבר x 4 {\displaystyle x^{4}} הוא רגולרי, אבל בחוג המנה כפל באיבר x 6 y 2 {\displaystyle x^{6}y^{2}} (שאינו אפס) שולח לאפס כל איבר של האידיאל המקסימלי הטבעי; לכן 1 הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית באידיאל הזה, בעוד שהחוג עצמו מממד 2. חוג נתרי קומוטטיבי מקומי הוא חוג כהן-מקולי אם יש לו סדרה רגולרית שאורכה שווה לממד שלו. חוג נתרי קומוטטיבי הוא כהן-מקולי אם כל מיקום שלו באידיאל מקסימלי מקיים תכונה זו. חוג כללי נקרא כהן-מקולי אם"ם כל הלוקליזציות שלו הן חוגי כהן-מקולי. כל חוג מקומי רגולרי הוא כהן-מקולי. כל חוג קומוטטיבי ארטיני הוא כהן-מקולי. כל תחום שלמות נתרי בעל ממד קרול 1 הוא כהן-מקולי. חוג קומוטטיבי נתרי R {\displaystyle R} הוא כהן-מקולי אם ורק אם חוג הפולינומים R [ x ] {\displaystyle R[x]} הוא כזה. כל מיקום S − 1 R {\displaystyle S^{-1}R} של חוג כהן-מקולי R {\displaystyle R} הוא כהן-מקולי בעצמו. אם R {\displaystyle R} הוא כהן-מקולי ו- I = ⟨ x 1 , … , x n ⟩ {\displaystyle I=\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle } אידיאל מגובה n {\displaystyle n} , אז הסדרה x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}} רגולרית, והמנה R / I {\displaystyle R/I} היא כהן-מקולי. ההשלמה ה- M {\displaystyle M} -אדית של חוג מקומי היא כהן-מקולי אם ורק אם החוג עצמו הוא כזה. אם R {\displaystyle R} חוג כהן-מקולי ו- G {\displaystyle G} חבורה סופית הפועלת על R {\displaystyle R} שסדרה הפיך ב- R {\displaystyle R} , אז גם חוג השמורות R G {\displaystyle R^{G}} הוא כהן-מקולי. בפרט, חוג השמורות הפולינומיות ביחס לפעולה של חבורה סופית (עם סדר זר למאפיין של שדה הבסיס) הוא כהן-מקולי. תכונה זו נכונה לכל חבורה רדוקטיבית (חבורה שכל הצגה סוף-ממדית שלה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות) הפועלת על חוג פולינומים מעל שדה סגור אלגברית. אם R {\displaystyle R} הוא כהן-מקולי ו- x ∈ R {\displaystyle x\in R} לא מחלק 0 אז R / ⟨ x ⟩ {\displaystyle R/\langle x\rangle } הוא גם כהן-מקולי. מכאן שאם אם R {\displaystyle R} הוא כהן-מקולי ו- x 1 , … , x t ∈ R {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{t}\in R} היא סדרה רגולרית אז R / ⟨ x 1 , … x t ⟩ {\displaystyle R/\langle x_{1},\dots x_{t}\rangle } הוא גם כהן-מקולי. לאורך המקסימלי של סדרה רגולרית ב- I {\displaystyle I} יש פירוש קוהומולוגי: הוא שווה לערך הקטן ביותר של i {\displaystyle i} שעבורו Ext i ⁡ ( R / I , R ) ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(R/I,R)\neq 0} . גרותנדיק הוכיח שבכל חוג קומוטטיבי נתרי מקומי, אם t {\displaystyle t} הוא האורך המקסימלי של סדרה רגולרית ו- d {\displaystyle d} הוא הממד, אז   H i = lim → Ext i ⁡ ( R / M , R ) {\displaystyle \ H^{i}=\lim _{\rightarrow }\operatorname {Ext} ^{i}(R/M,R)} שווה לאפס עבור i {\displaystyle i} מחוץ לקטע [ t , d ] {\displaystyle [t,d]} , ושונה מאפס בקצוות. דרך נוספת לאפיין חוג כהן-מקולי היא באמצעות קוהומולוגיה מקומית: בהינתן חוג נתרי מקומי ( A , m ) {\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})} , משפטי ההתאפסות ואי ההתאפסות של גרותנדיק קובעים כי sup { i : H m i ( A ) ≠ 0 } = dim ⁡ ( A ) {\displaystyle \sup\{i:\mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(A)\neq 0\}=\dim(A)} וכי inf { i : H m i ( A ) ≠ 0 } = depth ⁡ ( A ) {\displaystyle \inf\{i:\mathrm {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(A)\neq 0\}=\operatorname {depth} (A)} , כאשר depth ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {depth} (A)} מסמל את אורכה המקסימלי של הסדרה הרגולרית באידיאל המקסימלי. לפיכך, חוג כזה הוא כהן-מקולי אם ורק אם הקוהומולוגיה המקומית שלו מרוכזת במעלה בודדת, שהיא בהכרח ממד קרול של החוג. מסקנה מיידית מאפיון זה וממשפט הדואליות המקומית של גרותנדיק הוא שאם לחוג מקומי קיים קומפלס מדאל (Dualizing complex), אז החוג הוא כהן-מקולי אם ורק אם אותו קומפלס דואליזנטי מרוכז במעלה אחת, כלומר הוא Dualizing module. השערת באס (Bass), אשר הוכחה על ידי Peskine ו-Szpiro מציעה אפיון נוסף של חוגי כהן-מקולי. חוג נתרי מקומי הוא כהן-מקולי אם ורק אם קיים מעליו מודול נוצר סופית השונה מאפס ובעל ממד אינג'קטיבי סופי. חוג כהן-מקולי מקומי R {\displaystyle R} , עם אידיאל מקסימלי M {\displaystyle M} , נקרא חוג גורנשטיין אם ההשלמה ה- M {\displaystyle M} -אדית של R {\displaystyle R} שווה ל- Hom R ⁡ ( H d , E ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H^{d},E)} , כאשר E {\displaystyle E} הוא הסגור האינג'קטיבי של המודול R / M {\displaystyle R/M} ו- H d = lim → Ext d ⁡ ( R / M , R ) {\displaystyle H^{d}=\lim _{\rightarrow }\operatorname {Ext} ^{d}(R/M,R)} כדלעיל. באופן שקול, חוג נתרי מקומי הוא גורנשטיין אם ורק אם יש לו ממד אינג'קטיבי סופי מעל עצמו. כל חוג מקומי רגולרי הוא גורנשטיין. יהי F {\displaystyle F} שדה, אז חוג טורי החזקות הפורמליים F [ [ t 2 , t 3 ] ] {\displaystyle F[[t^{2},t^{3}]]} הוא גורנשטיין אבל אינו רגולרי. חוג טורי החזקות הפורמליים F [ [ t 3 , t 4 , t 5 ] ] {\displaystyle F[[t^{3},t^{4},t^{5}]]} הוא כהן-מקולי אבל אינו גורנשטיין. אם לחוג מקמי R {\displaystyle R} קיים קומפלקס מדאל, אז R {\displaystyle R} הוא גורנשטיין אם"ם הקומפלקס המדאל שלו הוא החוג R {\displaystyle R} עצמו (מוזז למקום המתאם כקומפלקס) חוג מקומי R {\displaystyle R} נקרא חוג חיתוך מלא אם קיים חוג רגולרי R ′ {\displaystyle R'} וסידרה רגולרית x 1 , … , x n ∈ R ′ {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in R'} כך ש R ^ ≅ R ′ / ⟨ x 1 , … , x n ⟩ {\displaystyle {\hat {R}}\cong R'/\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle } . כלומר ההשלמה האדית של החוג באידיאל המקסימלי היא מנה של חוג רגולרי על ידי סדרה רגולרית. כל חוג חיתוך מלא הוא גם גורנשטיין ולכן גם כהן מקולי. אם R {\displaystyle R} הוא חוג מקומי עבורו קיים קומפלקס מדאל D {\displaystyle D} אז מודול נוצר סופית M {\displaystyle M} מעל R {\displaystyle R} נקרא כהן מקולי אם R H o m ( M , D ) {\displaystyle RHom(M,D)} מרוכז במקום אחד. במקרה כזה, מקום זה הוא הממד של M {\displaystyle M} . חוג הוא כהן מקולי אם ורק אם הוא כהן מקולי כמודול מעל עצמו. במקרים רבים ניתן להסיק את היותו של מודול כהן-מקולי מעל חוג אחד מכך שהוא כהן-מקולי מעל חוג אחר. למשל: משפט: אם M {\displaystyle M} הוא מודול נוצר מעל מכפלה של חוגים A × B {\displaystyle A\times B} שנוצר סופית מעל כל אחד מהם אז הוא כהן-מקולי מעל A {\displaystyle A} אםם הוא הוא כהן-מקולי מעל B {\displaystyle B} ממשפט זה (וממשפט הנורמליזציה של נתר) קל להסיק את הקריטריון בראש הערך. שמורה פולינומית חוג כהן-מקולי, באתר MathWorld (באנגלית)