למת שוורץ

באנליזה מרוכבת, למת שוורץ (Schwarz lemma) היא טענה הקובעת כי פונקציה מרוכבת אנליטית ממעגל היחידה לעצמו המתאפסת באפס נשלטת על ידי פונקציית הזהות. הלמה נובעת כמעט ישירות מעקרון המקסימום של פונקציות אנליטיות. את הלמה ניסח והוכיח הרמן שוורץ. הלמה, פשוטה ככל שתהיה, היא הבסיס לטענות רבות אחרות, חלקן מורכבות במיוחד, כמו משפט המיפוי של רימן. יהי D = { z ∈ C : | z | < 1 } {\displaystyle D=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}} עיגול היחידה ללא השפה. תהי f : D → D ¯ {\displaystyle f:D\rightarrow {\overline {D}}} פונקציה אנליטית, כך ש- f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} . מתקיים: ∀ z ∈ D : | f ( z ) | ≤ | z | {\displaystyle \forall z\in D:|f(z)|\leq |z|} . | f ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |f'(0)|\leq 1} . אם בסעיף הראשון מתקיים שוויון עבור z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} , או שמתקיים שוויון בסעיף השני, אזי קיים c ∈ C , | c | = 1 {\displaystyle c\in \mathbb {C} ,|c|=1} כך ש- ∀ z ∈ D : f ( z ) = c z {\displaystyle \forall z\in D:f(z)=cz} . נגדיר פונקציית עזר: g ( z ) = { f ( z ) z z ≠ 0 f ′ ( 0 ) z = 0 {\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)}{z}}\quad z\neq 0\\f'(0)\quad \quad z=0\end{cases}}} אז g {\displaystyle g} אנליטית על D {\displaystyle D} . לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} ולכל | z | ≤ 1 − ε {\displaystyle |z|\leq 1-\varepsilon } מתקיים לפי עקרון המקסימום: | g ( z ) | ≤ max | z | = 1 − ε | g ( z ) | = max | z | = 1 − ε | f ( z ) z | ≤ 1 1 − ε {\displaystyle |g(z)|\leq \max _{|z|=1-\varepsilon }{|g(z)|}=\max _{|z|=1-\varepsilon }{\left|{\frac {f(z)}{z}}\right|}\leq {\frac {1}{1-\varepsilon }}} אם משאיפים ε → 0 {\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0} , שוב לפי עקרון המקסימום מקבלים ∀ z ∈ D : | g ( z ) | ≤ 1 {\displaystyle \forall z\in D:|g(z)|\leq 1} , כלומר ∀ z ∈ D : | f ( z ) | ≤ | z | {\displaystyle \forall z\in D:|f(z)|\leq |z|} (הגרירה היא לכל z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} , אך ל- z = 0 {\displaystyle z=0} זה ברור). בפרט, עבור אי השוויון ל- g {\displaystyle g} ב- z = 0 {\displaystyle z=0} מקבלים | f ′ ( 0 ) | ≤ 1 {\displaystyle |f'(0)|\leq 1} . כעת, אם מתקיים שוויון כנ"ל באחד הסעיפים, הרי ש- g ( z ) = 1 {\displaystyle g(z)=1} עבור נקודה פנימית של D {\displaystyle D} , ולכן לפי עקרון המקסימום g {\displaystyle g} קבועה ושווה לקבוע עם ערך מוחלט 1, ולכן מקבלים f ( z ) = c z , | c | = 1 {\displaystyle f(z)=cz,|c|=1} . גרסה נוספת (ולמעשה שקולה) ללמת שוורץ היא למת שוורץ-פיק (על שם גאורג פיק): תהי f : D → D {\displaystyle f:D\rightarrow D} אנליטית. אז לכל z 1 , z 2 ∈ D {\displaystyle z_{1},z_{2}\in D} מתקיים: | f ( z 1 ) − f ( z 2 ) 1 − f ( z 1 ) ¯ f ( z 2 ) | ≤ | z 1 − z 2 1 − z 1 ¯ z 2 | {\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {z_{1}-z_{2}}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|} ומתקיים אי שוויון שוורץ-פיק: | f ′ ( z ) | 1 − | f ( z ) | 2 ≤ 1 1 − | z | 2 . {\displaystyle {\frac {\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^{2}}}\leq {\frac {1}{1-\left|z\right|^{2}}}.} לכל a ∈ D {\displaystyle a\in D} נגדיר ϕ a ( z ) = z − a 1 − a ¯ z {\displaystyle \phi _{a}(z)={\frac {z-a}{1-{\overline {a}}z}}} . קל לבדוק כי ϕ : D → D {\displaystyle \phi :D\to D} אנליטית והפיכה, עם הפכית ϕ − a {\displaystyle {\phi }_{-a}} . אם כן הטענה שצריך להוכיח היא | ϕ f ( z 2 ) ( f ( z 1 ) ) | ≤ | ϕ z 2 ( z 1 ) | {\displaystyle |{\phi }_{f(z_{2})}(f(z_{1}))|\leq |{\phi }_{z_{2}}(z_{1})|} . היות שהפונקציה הפיכה, אפשר להחליף z 1 → ϕ − z 2 ( z 1 ) {\displaystyle z_{1}\rightarrow {\phi }_{-z_{2}}(z_{1})} , ונקבל ששקול להוכיח | ϕ f ( z 2 ) ( f ( ϕ − z 2 ( z 1 ) ) ) | ≤ | z 1 | {\displaystyle |{\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(z_{1})))|\leq |z_{1}|} . כעת נשתמש בלמת שוורץ - נגדיר G ( z 1 ) = ϕ f ( z 2 ) ( f ( ϕ − z 2 ( z 1 ) ) ) {\displaystyle G(z_{1})={\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(z_{1})))} . אז G : D → D {\displaystyle G:D\rightarrow D} , ומתקיים G ( 0 ) = ϕ f ( z 2 ) ( f ( ϕ − z 2 ( 0 ) ) ) = ϕ f ( z 2 ) ( f ( z 2 ) ) ) = 0 {\displaystyle G(0)={\phi }_{f(z_{2})}(f({\phi }_{-z_{2}}(0)))={\phi }_{f(z_{2})}(f(z_{2})))=0} , ולכן מקבלים הדרוש. כדי להסיק את אי שוויון שוורץ-פיק, נשים לב שמהחלק הראשון נובע | f ( z 1 ) − f ( z 2 ) z 1 − z 2 | ⋅ | 1 1 − f ( z 1 ) ¯ f ( z 2 ) | ≤ | 1 1 − z 1 ¯ z 2 | {\displaystyle \left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{z_{1}-z_{2}}}\right|\cdot \left|{\frac {1}{1-{\overline {f(z_{1})}}f(z_{2})}}\right|\leq \left|{\frac {1}{1-{\overline {z_{1}}}z_{2}}}\right|} ; אי השוויון נובע כאשר משאיפים z 1 → z 2 {\displaystyle z_{1}\rightarrow z_{2}} . להלן תוצאות נוספות מלמת שוורץ. כל פונקציה אנליטית f : D → D {\displaystyle f:D\rightarrow D} בעלת שתי נקודות שבת היא הזהות. יהי H = { z : Im ⁡ z > 0 } {\displaystyle H=\{z:\operatorname {Im} z>0\}} חצי המישור המרוכב העליון. כל פונקציה f : H → H {\displaystyle f:H\rightarrow H} מקיימת את אי השוויון: ∀ z 1 , z 2 ∈ H : | f ( z 1 ) − f ( z 2 ) f ( z 1 ) ¯ − f ( z 2 ) | ≤ | z 1 − z 2 | | z 1 ¯ − z 2 | {\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in H:\left|{\frac {f(z_{1})-f(z_{2})}{{\overline {f(z_{1})}}-f(z_{2})}}\right|\leq {\frac {\left|z_{1}-z_{2}\right|}{\left|{\overline {z_{1}}}-z_{2}\right|}}} . S. Dineen (1989), The Schwarz Lemma, Oxford למת שוורץ, באתר MathWorld (באנגלית)