הלמה של קנטור

בחשבון אינפיניטסימלי, הלמה של קנטור היא טענה שימושית הקובעת כי בחיתוך של סדרה יורדת של קטעים סגורים בישר הממשי, שהאורך שלהם שואף לאפס, יש נקודה יחידה. זהו מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור. בניסוח אחר, הלמה אומרת כי אם שתי סדרות, עולה ויורדת, מתקרבות אחת אל השנייה מבלי לעבור אחת את השנייה, אך בצורה כזו שהמרחק ביניהן שואף לאפס, שתיהן מתכנסות לגבול משותף. בעזרת הלמה אפשר להוכיח את משפט בולצאנו ויירשטראס ומשפט היינה בורל. יהיו { a n } n = 1 ∞ , { b n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },\left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} שתי סדרות כך שלכל n {\displaystyle n} טבעי - a n ≤ a n + 1 ≤ b n + 1 ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_{n}} . אם מתקיים lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(b_{n}-a_{n}\right)=0} אז קיים c יחיד כך שלכל n {\displaystyle n} טבעי a n ≤ c ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq c\leq b_{n}} ומתקיים c = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle c=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}} . ניסוח שקול: תהא { I n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{{\displaystyle \,I_{n}}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה של קטעים סגורים I n = [ a n , b n ] {\displaystyle I_{n}=[a_{n},b_{n}]} , כך שלכל n {\displaystyle n} טבעי מתקיים I n + 1 ⊆ I n {\displaystyle I_{n+1}\subseteq I_{n}} . אם סדרת אורכי הקטעים d ( a n , b n ) {\displaystyle d(a_{n},b_{n})} שואפת לאפס, כלומר lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(b_{n}-a_{n}\right)=0} , אזי קיימת נקודה יחידה c {\displaystyle c} ששייכת לכל אחד מהקטעים I n {\displaystyle I_{n}} , כלומר ⋂ n = 1 ∞ I n = { c } {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{I_{n}}=\{c\}} , ומתקיים c = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle c=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}} . ראשית, נראה כי קיימת נקודה c המשותפת לכל הקטעים : מתנאי המשפט נובע שלכל n {\displaystyle n} טבעי [ a n + 1 , b n + 1 ] = I n + 1 ⊆ I n = [ a n , b n ] {\displaystyle [a_{n+1},b_{n+1}]=I_{n+1}\subseteq I_{n}=[a_{n},b_{n}]} ולכן a n ≤ a n + 1 ≤ b n + 1 ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_{n}} , ומכאן { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מונוטונית עולה ו- { b n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מונוטונית יורדת. נסמן A = { a n | n ∈ N } {\displaystyle A=\{a_{n}|n\in \mathbb {N} \}} ו- B = { b n | n ∈ N } {\displaystyle B=\{b_{n}|n\in \mathbb {N} \}} . מכך ש- { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} עולה נובע שלכל n {\displaystyle n} טבעי b n ≥ a n ≥ a 1 {\displaystyle b_{n}\geq a_{n}\geq a_{1}} ולכן { b n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} חסומה מלרע, ומכאן מתכנסת לאינפימום שלה, כלומר: lim n → ∞ b n = inf { B } {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\inf\{B\}} . באופן אנלוגי, מכך ש- { b n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} יורדת נובע ש- { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת לסופרימום שלה, כלומר: lim n → ∞ a n = sup { A } {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\sup\{A\}} . בנוסף, מהנתון lim n → ∞ ( b n − a n ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(b_{n}-a_{n}\right)=0} ומאריתמטיקה של גבולות נקבל כי lim n → ∞ b n = lim n → ∞ ( a n + b n − a n ) = lim n → ∞ a n + lim n → ∞ ( b n − a n ) = lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}+b_{n}-a_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}+\lim _{n\rightarrow \infty }\left(b_{n}-a_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}} נסמן c = lim n → ∞ a n = lim n → ∞ b n {\displaystyle c=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}} , אז לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים a n ≤ sup { A } = lim n → ∞ a n = c = lim n → ∞ b n = inf { B } ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq \sup\{A\}=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=c=\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=\inf\{B\}\leq b_{n}} , כלומר c ∈ [ a n , b n ] = I n {\displaystyle c\in [a_{n},b_{n}]=I_{n}} . כעת נוכיח שהנקודה c יחידה: תהי c ′ {\displaystyle c'} נקודה המקיימת לכל n {\displaystyle n} טבעי a n ≤ c ′ ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq c'\leq b_{n}} , אז לפי כלל הסנדוויץ' c ′ = lim n → ∞ c ′ = c {\displaystyle c'=\lim _{n\rightarrow \infty }c'=c} ולכן c יחידה. מצאנו אם כך נקודה c יחידה המקיימת c ∈ I n {\displaystyle c\in I_{n}} לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , ולכן ⋂ n = 1 ∞ I n = { c } {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }{I_{n}}=\{c\}} . ◼ {\displaystyle \blacksquare } ללמה יש גרסה שלא כוללת דרישה להתכנסות של סדרת הקטעים. במקרה זה קיימת נקודה c, לא בהכרח יחידה, המקיימת c ∈ I n {\displaystyle c\in I_{n}} לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , כלומר ⋂ k = 0 ∞ I n ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{k=0}^{\infty }I_{n}\neq \emptyset } . נגדיר לדוגמה c = sup ( A ) {\displaystyle c=\sup(A)} , אז מהגדרת הסופרימום לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים a n ≤ c {\displaystyle a_{n}\leq c} . כמו כן, ניתן להוכיח שללכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } האיבר b n {\displaystyle b_{n}} הוא חסם מלעיל של A {\displaystyle A} , וכיוון שהסופרימום מוגדר כחסם מלעיל המינימלי של הקבוצה מתקיים c ≤ b n {\displaystyle c\leq b_{n}} . מכאן לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מתקיים a n ≤ c ≤ b n {\displaystyle a_{n}\leq c\leq b_{n}} , כלומר c ∈ I n {\displaystyle c\in I_{n}} . למת החיתוך של קנטור נכונה בכל מרחב מטרי שלם, בנוסח הבא: לכל סדרה יורדת של קבוצות סגורות במרחב, שהקוטר שלהן שואף לאפס, יש נקודה משותפת יחידה. תכונה זו מאפיינת מרחבים מטריים שלמים. תכונת החיתוך מתקיימת במרחב מטרי קומפקטי גם ללא התנאי על הקוטר השואף לאפס, אבל במרחב מטרי שלם שאינו קומפקטי התנאי הזה נחוץ (כפי שמראה סדרת הקרניים הימניות [ n , ∞ ) {\displaystyle [n,\infty )} ). הלמה של קנטור, באתר MathWorld (באנגלית)