תורת הקבוצות - מונחים

תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה. תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים. תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל. קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. תת קבוצה: קבוצה B {\displaystyle B} היא תת קבוצה של הקבוצה A {\displaystyle A} אם כל איבר של B {\displaystyle B} שייך גם ל- A {\displaystyle A} . נסמן זאת בצורה: B ⊆ A {\displaystyle B\subseteq A} . הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה איברים, והיא מסומנת בסימן ∅ {\displaystyle \emptyset } (שמקורו באות הנורווגית "Ø" ) או בצורה {}. יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה שמכילה איבר אחד בלבד. פעולות על קבוצות: איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את איברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד. איחוד מסומן בדרך כלל כך: A ∪ B {\displaystyle A\cup B} . הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית). חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך. חיתוך מסומן בדרך כלל כך: A ∩ B {\displaystyle A\cap B} . הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית. מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) {\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)} ו- A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) {\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)} הפרש: ההפרש בין A {\displaystyle A} ל־ B {\displaystyle B} הוא קבוצה המכילה את כל האיברים השייכים ל־ A {\displaystyle A} ולא שייכים ל־ B {\displaystyle B} . פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית. הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} הוא הקבוצה המורכבת מכל איברי A {\displaystyle A} שלא שייכים ל- B {\displaystyle B} וכל איברי B {\displaystyle B} שלא שייכים ל־ A {\displaystyle A} - כלומר, כל האיברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות. הפעולה הפרש סימטרי היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית. מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות A , B {\displaystyle A,B} היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאיברם הראשון שייך ל- A {\displaystyle A} והשני שייך ל- B {\displaystyle B} . ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות. הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית. בחירה קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה. קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה. עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר איבריה. עוצמה של קבוצה A {\displaystyle A} תסומן | A | {\displaystyle \left|A\right|} . ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (אָלֶף אֶפֶס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים. ℵ {\displaystyle \aleph } או c {\displaystyle {\mathfrak {c}}} : עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, נקראת גם עוצמת הרצף. השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ו- ℵ {\displaystyle \aleph } , זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC). קבוצה בת מנייה: קבוצה סופית או אינסופית שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים (אלף אפס). קבוצה שאינה בת מנייה: קבוצה שעוצמתה גדולה מאלף אפס ולכן לא ניתן לספור את כל איבריה. קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תת-הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה A {\displaystyle A} תסומן P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} . יחס (בינארי): קבוצה שמכילה זוגות סדורים, כך שהאיבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת - A {\displaystyle A} , והאיבר השני בא מקבוצה נוספת - B {\displaystyle B} (לא בהכרח שונה מ- A {\displaystyle A} ). בכתיב פורמלי: קבוצה R {\displaystyle R} תיקרא יחס מ- A {\displaystyle A} ל- B {\displaystyle B} אם R ⊆ A × B {\displaystyle \!\,R\subseteq A\times B} . פונקציה: יחס בו לכל איבר של A {\displaystyle A} קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האיבר הראשון שלו. פונקציה חד-חד ערכית: פונקציה f : X → Y {\displaystyle \!\,f:X\rightarrow Y} תקרא חד-חד ערכית (חח"ע) אם לכל y {\displaystyle y} בטווח Y {\displaystyle Y} קיים לכל היותר x {\displaystyle x} אחד בתחום X {\displaystyle X} המקיים f ( x ) = y {\displaystyle \!\,f(x)=y} . פונקציה על: פונקציה f : X → Y {\displaystyle \!\,f:X\rightarrow Y} תקרא על אם לכל y {\displaystyle y} בטווח Y {\displaystyle Y} קיים לפחות x {\displaystyle x} אחד בתחום X {\displaystyle X} המקיים f ( x ) = y {\displaystyle \!\,f(x)=y} . פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל y {\displaystyle y} קיים x {\displaystyle x} יחיד כך ש- f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל). יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה A {\displaystyle A} המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות. סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי סימטריות וטרנזיטיביות. סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני איברים בקבוצה ניתנים להשוואה. סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת-קבוצה יש איבר מינימלי. שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא). קבוצת כל הפונקציות מקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצה B {\displaystyle B} : קבוצה המסומנת B A {\displaystyle B^{A}} והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה A {\displaystyle A} אל תוך הקבוצה B {\displaystyle B} . הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית. ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת. משפטים: משפט קנטור (לקבוצת החזקה): משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שהעוצמה של כל קבוצה קטנה מהעוצמה של קבוצת התת-קבוצות שלה. האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצה B {\displaystyle B} , וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה B {\displaystyle B} לקבוצה A {\displaystyle A} , אז שתי הקבוצות שקולות.