הוכחה שגויה

בשעשועי מתמטיקה, הוכחה שגויה היא "הוכחה" המובילה לסתירה ברורה, וזאת משום שהיא מכילה שגיאות. כרגיל בהטעיות, השגיאה אינה מוצגת באופן גלוי, והיא עשויה להיות חבויה היטב בין פרטים רבים, עד שמציאתה מהווה אתגר, המנוצל לצרכים פדגוגיים או לשם שעשוע. בנוסף, ההוכחות השגויות מראות את חשיבותה של כתיבה ריגורוזית במתמטיקה. שימו לב: ה"הוכחות" המופיעות כאן אינן נכונות מבחינה מתמטית. בכולן ישנה טעות באחד או יותר משלבי ההוכחה, ולכן השימוש במילה "הוכחה" בהמשך אינו נאמן להגדרתו הלוגית. נפוצות מספר רב של הוכחות, לכאורה, המבוססות על פעולות אלגבריות שגויות (אסורות בנסיבות מסוימות). המשותף להוכחות בתחום זה הוא שלאורך ההוכחה מתבצעת פעולה שגויה, אך היא מוחבאת, כך שמקריאת רצף ההוכחה קשה להבחין בה. להלן מספר דוגמאות לפעולות שגויות כאלו ולשימוש בהן בהוכחות שגויות: הוצאת שורש: באלגברה, לכל מספר ממשי חיובי a {\displaystyle a} יש שני שורשים: ± a {\displaystyle \pm {\sqrt {a}}} , ואולם לפונקציית השורש הריבועי יש רק ערך אחד – חיובי. תוך ניצול עובדה זו באופן שגוי, ניתן להוכיח, לדוגמה, כי:   − 1 = ( − 1 ) 2 = 1 2 = 1 {\displaystyle \ -1={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1^{2}}}=1} (בפועל, − 1 ≠ ( − 1 ) 2 {\displaystyle -1\neq {\sqrt {(-1)^{2}}}} , משום ש־   a 2 {\displaystyle \ a^{2}} תמיד אי־שלילי עבור a {\displaystyle a} ממשי). להלן הוכחה שגויה נוספת הקשורה בשורש ריבועי: − 1 = − 1 {\displaystyle -1=-1\,} − 1 1 = − 1 1 {\displaystyle -{\frac {1}{1}}=-{\frac {1}{1}}} 1 − 1 = − 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{-1}}={\frac {-1}{1}}} 1 − 1 = − 1 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{-1}}}={\sqrt {\frac {-1}{1}}}} 1 − 1 = − 1 1 {\displaystyle {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {-1}}}={\frac {\sqrt {-1}}{\sqrt {1}}}} 1 ⋅ 1 = − 1 ⋅ − 1 {\displaystyle {\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}} 1 2 = − 1 2 {\displaystyle {\sqrt {1}}^{2}={\sqrt {-1}}^{2}} 1 = − 1 {\displaystyle \displaystyle {1=-1}} הטעות הראשונה בהוכחה נמצאת במעבר הלוגי מהשורה השלישית לשורה הרביעית. כאשר אנו נמצאים בתחום המספרים הממשיים, פונקציית השורש (הריבועי) אינה מוגדרת על מספרים שליליים. לכן, פעולת הוצאת השורש הריבועי לכל אחד משני אגפי השוויון אינה תקפה ואינה חוקית. אף על פי שדי במציאת טעות אחת בהוכחה כדי להפריכה, טעות ברורה נוספת נמצאת במעבר בין השורה הלפני־אחרונה לשורה האחרונה. כל מספר ריבועי (בתחום המספרים הממשיים) הוא אי־שלילי, ולכן, לא הגיוני בעליל ש־ − 1 2 = − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}=-1} (וזאת, מבלי להיכנס בכלל לכך, שהביטוי − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} אינו מוגדר בתחום המספרים הממשיים). אילו היינו נמצאים בתחום המספרים המרוכבים, הטעות הראשונה בהוכחה הייתה המעבר הלוגי מהשורה הרביעית לשורה החמישית – שכן חוקי חֲזָקות ושורשים אינם נכונים באופן כללי כאשר הבסיס אינו מספר ממשי חיובי, ולכן אין להניח שהשורש של המנה שווה לִמנת השורשים. זהויות שגויות: ישנן זהויות הנכונות למקרים פרטיים מוכרים, אך לא למקרה הכללי. לדוגמה, הזהות   ( a b ) r = a r b r {\displaystyle \ (ab)^{r}=a^{r}b^{r}} עבור r {\displaystyle r} ממשי, נכונה רק כאשר a {\displaystyle a} ו־ b {\displaystyle b} ממשיים חיוביים (בגלל התלות בענף הלוגריתם המוגדר). חלוקה באפס: הכפלה של כל מספר ב־0 היא 0, ולכן הפעולה ההפוכה של חילוק באפס איננה מוגדרת (היא אינה חד־ערכית). אחרת, ניתן היה להסיק שכל שני מספרים שווים – a = b {\displaystyle a=b} , מכיוון שכאשר כופלים את שני צדי השוויון ב־0 מתקבל השוויון 0 = 0 {\displaystyle 0=0} , שהוא נכון (פסוק אמת – טאוטולוגיה). גם במקרה זה, בהוכחות שקריות, נהוג להסוות את פעולת החלוקה באפס, כדי שהשגיאה בהוכחה לא תהיה ברורה מאליה; לדוגמה, בהוכחה הבאה לכך ש־ 2 = 1 {\displaystyle 2=1} : ניקח שני מספרים שווים a , b {\displaystyle a,b} . a = b {\displaystyle a=b} a ⋅ a = a ⋅ b {\displaystyle a\cdot a=a\cdot b} a 2 = a b {\displaystyle a^{2}=ab\,} a 2 − b 2 = a b − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,} ( a − b ) ( a + b ) = b ( a − b ) {\displaystyle (a-b)(a+b)=b(a-b)\,} a + b = b {\displaystyle a+b=b\,} מכיוון ש־ a = b {\displaystyle a=b} : b + b = b {\displaystyle b+b=b\,} 2 b = b {\displaystyle 2b=b\,} 2 = 1 {\displaystyle 2=1\,} הטעות הראשונה בהוכחה נמצאת במעבר הלוגי מהשורה החמישית לשורה השישית. מאחר שהתחלנו וקבענו מראש ש־ a = b {\displaystyle a=b} , אזי a − b = 0 {\displaystyle a-b=0} , ולכן, הצמצום / החלוקה ב־ a − b {\displaystyle a-b} היא חלוקה אסורה ב־0. אף על פי שדי במציאת טעות אחת בהוכחה כדי להפריכה, טעות ברורה נוספת נמצאת במעבר בין השורה הלפני־אחרונה לשורה האחרונה. מהשורה הלפני־אחרונה ניתן להסיק באופן מיידי, על ידי העברת אגפים, ש־ b = 0 {\displaystyle b=0} , ויחד עם זאת, אנחנו מחלקים בו (שוב, חלוקה אסורה ב־0). בחידות חיתוך והרכבה, העוסקות בחיתוך צורה אחת והרכבתה לצורה אחרת, מתקיים "חוק שימור השטח": השטח של הצורה המקורית חייב להיות שווה לשטחה של הצורה החדשה. יחד עם זאת, ישנם חיתוכים רבים שבהם לכאורה חוק זה לא מתקיים. בספרות שעשועי המתמטיקה מתייחסים לחיתוכים אלו בתור "קסמים" או פרדוקסים – כלומר, הוכחות הסותרות את חוק שימור השטח, אך בחינה מדוקדקת של החיתוכים מראה שלמעשה אלו הוכחות שקריות – הן מבוססות על טעות (קשה לזיהוי) בחישוב השטחים. באיור משמאל ניתן לראות דוגמה קלאסית לחיתוכים מסוג זה, שהומצאה על ידי סם לויד. החיתוך מראה כיצד לחלק ריבוע 8x8 לארבעה חלקים (שני משולשים ושני טרפזים) שמהם ניתן, לכאורה, להרכיב מלבן בגודל 5x13. אולם, שטח הריבוע המקורי הוא 64 יח' ושטח המלבן הוא 65 יח' – ומכאן, שעל ידי חיתוך והרכבה הצלחנו, לכאורה, להגדיל את שטח הצורה. הטעות בחיתוך היא, שהשיפועים של המשולש ושל הטרפז אינם זהים. השיפוע של המשולש הוא 0.375=3/8, ואילו שיפוע הטרפז הוא 0.4=2/5. מכאן שהטרפז והמשולש לא "מתחברים" באופן חלק כדי ליצור מלבן (יש "חור" דקיק לאורך כל אלכסון המלבן, שאינו שייך לאף צורה, ושטחו שווה בדיוק לשטח (המזויף) שהתווסף למלבן של 1 יח') . באיור ניתן לראות גם הרכבה נוספת של אותם חיתוכים ממש, שנתגלתה על ידי בנו של סם לויד, היוצרת צורה, שלכאורה, השטח שלה הוא 63 יח'. גם כאן, הסיבה נעוצה בהבדלי השיפועים של הצורות המרכיבות את הצורה. במתמטיקה, טור אינסופי הוא סכום עם מספר אינסופי של מחוברים. קיימים טורים אינסופיים שסכומם מספר סופי. לדוגמה, הטור ∑ i = 1 ∞ 1 2 i {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}} : 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ = 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =1} . טורים אינסופיים נעדרים מספר תכונות אינטואיטיביות המיוחסות לסכומים (כמו שתמיד הסכום הוא קבוע אחד ויחיד), ולכן, הם עומדים בבסיסן של הוכחות שגויות רבות. סכום מופרך: הסכום של טור אינסופי של מספרים אינו בהכרח מספר (סופי או אינסופי). ייחוס תוצאה מספרית לסכום הטור והפעלת כלים אלגבריים פשוטים ומוכרים מעולם המספרים עליהם, עשוי להוביל לתוצאות מופרכות. לדוגמה: נסמן:   1 + 2 + 4 + 8 ⋯ = S {\displaystyle \ 1+2+4+8\cdots =S} . אז:   2 + 4 + 8 ⋯ = S − 1 {\displaystyle \ 2+4+8\cdots =S-1}   2 ( 1 + 2 + 4 ⋯ ) = S − 1 {\displaystyle \ 2(1+2+4\cdots )=S-1}   2 S = S − 1 {\displaystyle \ 2S=S-1}   S = − 1 {\displaystyle \ S=-1} 1 + 2 + 4 + 8 ⋯ = − 1 {\displaystyle 1+2+4+8\cdots =-1} (ראו גם סכום המספרים הטבעיים). קיבוציות: תכונה מוכרת ומאפיינת של פעולת החיבור היא תכונת הקיבוציות. כאשר נתון סכום סופי של מספרים, אין צורך לחברם לפי סדר הופעתם, אלא ניתן לחבר את האיברים לפי איזה סדר שנחפוץ בו. כלל זה לא בהכרח תקף לסכומים אינסופיים, ושימוש בו עלול להוביל לתוצאות שגויות. לדוגמה: מצד אחד: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 ⋯ = ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) ⋯ = 0 + 0 + 0 ⋯ = 0 {\displaystyle 1-1+1-1+1-1\cdots =(1-1)+(1-1)+(1-1)\cdots =0+0+0\cdots =0} מצד שני: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 ⋯ = 1 − [ 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯ ] = 1 − [ ( 1 + 1 ) − ( 1 + 1 ) − ( 1 + 1 ) ⋯ ] = 1 − 0 = 1 {\displaystyle 1-1+1-1+1-1\cdots =1-[1-1+1-1+1\cdots ]=1-[(1+1)-(1+1)-(1+1)\cdots ]=1-0=1} למעשה אף אחת מן התוצאות אינה נכונה. לאמיתו של דבר, מתנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי, הטור הזה אינו מתכנס לשום מספר ממשי. למעשה, מתחבא פה חיבור אינסופי של אפסים, אז מחוק הפילוג מתקבל שהביטוי הוא מהצורה ∞ ⋅ 0 {\displaystyle \infty \cdot 0} שהיא בלתי מוגדרת. חילופיות: תכונה מוכרת ומאפיינת נוספת של פעולת החיבור היא תכונת החילופיות. כאשר יש סכום סופי של מספרים, ניתן להחליף את סדר הופעתם והסכום יישאר זהה. גם כלל זה אינו בהכרח תקף לגבי טורים אינסופיים. תוצאה זו קרויה משפט רימן. פרדוקס כשל לוגי פרדוקס הסוס טרחן כפייתי מדיה וקבצים בנושא הוכחה שגויה בוויקישיתוף הוכחות שגויות באתר Cut-the-knot (באנגלית) הוכחות שגויות באתר AhaJokes.com (באנגלית) הוכחות שגויות באתר Jokes-funblog.com (באנגלית) גדי אלכסנדרוביץ', למה פאי לא שווה 4?, באתר "לא מדויק"