הלמניסקטה של ברנולי

הלמניסקטה של ברנולי היא עקום המבוסס על שני מוקדים, F1 ו-F2 שהמרחק ביניהם הוא 2c, והעקום הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שמקיימות PF1·PF2 = c2. קרויה על שמו של יאקוב ברנולי שחקר אותה. ב-1680 חקר קאסיני משפחה של עקומים, שכעת נקראים האובל של קאסיני, אותה הגדיר כך: המקום הגאומטרי של כל הנקודות, אשר מכפלת מרחקיהן משתי נקודות קבועות, שהן המוקדים של העקום, קבועה. כאשר מחצית המרחק בין המוקדים משתווה לשורש הריבועי של הקבוע, האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה, עקום שהתיאור הגאומטרי שלו היא חיתוך של טורוס על ידי מישור שמקביל לציר הטורוס ומשיק למשטח הפנימי של הטורוס, וההגדרה האלגברית שלו היא אוסף האפסים של הפולינום ממעלה רביעית: ( x 2 + y 2 ) 2 − c x 2 − d y 2 + e = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-cx^{2}-dy^{2}+e=0} . ב-1694 חקר יוהאן ברנולי את המקרה שבו האובל של קאסיני הופך ללמניסקטה (שכעת נקראת הלמניסקטה של ברנולי) בהקשר של "בעיית האיזוכרונות" שהוצעה קודם על ידי לייבניץ. עקומה זאת ניתנת לתיאור אנליטית על ידי המשוואה הפולינומית: ( x 2 + y 2 ) 2 − 2 a 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})=0} . כאשר a {\displaystyle a} פרמטר קבוע כלשהו המשפיע על גודל וצורת העקום. ככל ש-a גדול יותר כך העקום גדול ומתוח יותר. אחיו של יוהאן, יאקוב ברנולי, חקר גם הוא את העקומה באותה שנה, והוא שהעניק לה לראשונה את השם "למניסקטה". זהו מקרה פרטי של העקום שנוצר על ידי חיתוך של מישור בטורוס כאשר d = − c {\displaystyle d=-c} , מצב שקורה כאשר הלמניסקטה היא חתך של טורוס אשר החור הפנימי שלו והחתך המעגלי שלו (כלומר חתך ה"צינור" שכופף לכדי טורוס) הם בעלי אותו קוטר. פונקציות אליפטיות למניסקטיות (אנ') הן אנלוגיות לפונקציות הטריגונומטריות בעבור הלמניסקטה של ברנולי, וקבועי הלמניסקטה צצים באופן טבעי בחישוב אורך הקשת של עקומה זאת. הלמניסקטה של ברנולי סימטרית סביב הישר המחבר את שני מוקדים, F1 ו-F2, וסביב האנך לו בנקודה O שבמרכז הקטע F1F2. הלמניסקטה של ברנולי סימטרית סביב הנקודה O. שני המשיקים ללמניסקטה של ברנולי בנקודה O מאונכים זה לזה, ויוצרים זווית בגודל π 4 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}} עם הישר שמחבר את שני המוקדים. כאשר המרחק בין המוקדים הוא 2c: רוחב הלמניסקטה של ברנולי (כלומר המרחק בין שתי הנקודות שבהן היא פוגשת את ציר ה-x) הוא 2 c 2 {\displaystyle 2c{\sqrt {2}}\,} . חצי-גובה הלמניסקטה של ברנולי (כלומר המרחק בין הנקודה הגבוהה ביותר שלה לבין ציר ה-x) הוא c 2 {\displaystyle {\frac {c}{2}}\,} , והוא מושג בנקודות הקיצון ( c 2 3 , c 2 ) {\displaystyle ({\frac {c}{2}}{\sqrt {3}},{\frac {c}{2}})\,} ו- ( − c 2 3 , c 2 ) {\displaystyle (-{\frac {c}{2}}{\sqrt {3}},{\frac {c}{2}})\,} , שמרחק כל אחת מהן מהנקודה O שווה ל- c {\displaystyle c\,} . שטח הלמניסקטה של ברנולי הוא 2 a 2 {\displaystyle 2a^{2}} , כאשר a = c 2 {\displaystyle a=c{\sqrt {2}}} הוא חצי רוחב הלמניסקטה. אינוורסיה דרך מעגל שמרכזו נמצא בנקודה O תחליף בין הלמניסקטה של ברנולי להיפרבולה ישרה עם מרכז בנקודה O. במערכת צירים קרטזית: כאשר המוקדים נמצאים בנקודות ( − c , 0 ) {\displaystyle (-c,0)} ו- ( c , 0 ) {\displaystyle (c,0)} מתקיים, לפי הגדרת הלמניסקטה של ברנולי ומשפט פיתגורס: ( x − c ) 2 + y 2 ) ( x + c ) 2 + y 2 ) = c 2 {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2})}}{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2})}}=c^{2}\,} ומכאן: ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 c 2 ( x 2 − y 2 ) {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})\,} בתיאור פרמטרי: x = a cos ⁡ ( t ) 1 + sin 2 ⁡ ( t ) ; y = a sin ⁡ ( t ) cos ⁡ ( t ) 1 + sin 2 ⁡ ( t ) {\displaystyle x={\frac {a\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};\qquad y={\frac {a\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}}} בקואורדינטות קוטביות: r 2 = a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta \,} במישור המרוכב: | z − a | | z + a | = a 2 {\displaystyle |z-a||z+a|=a^{2}\,} הקביעה של אורך הקשת של הלמניסקטה של ברנולי מובילה לאינטגרלים אליפטיים, כפי שנתגלה במאה ה-18. בקואורדינטות קוטביות ניתן לרשום את משוואת הלמניסקטה של ברנולי בצורה: r 2 = 2 a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=2a^{2}\cos 2\theta } , וניתן להניח בלי הגבלת הכלליות שמשוואה זו היא: r 2 = cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=\cos 2\theta } . גזירה של הפונקציה הסתומה r 2 − cos ⁡ 2 θ = 0 {\displaystyle r^{2}-\cos 2\theta =0} נותנת: 2 r d r + 2 sin ⁡ 2 θ d θ = 0 {\displaystyle 2rdr+2\sin 2\theta \,\mathrm {d} \theta =0} , או: d θ d r = − r sin ⁡ 2 θ {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} r}}=-{\frac {r}{\sin 2\theta }}} . הנוסחה לאורך עקומה בקואורדינטות קוטביות היא: l = ∫ 0 s 1 + r 2 ( d θ d r ) 2 d r {\displaystyle l=\int _{0}^{s}{\sqrt {1+r^{2}\left({\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} r}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} r} , ולכן נקבל שבמקרה זה אורך קשת הלמניסקטה בין r = 0 {\displaystyle r=0} ל- r = s {\displaystyle r=s} הוא: l = ∫ 0 s 1 + r 2 ( r 2 sin 2 ⁡ ( 2 θ ) ) d r = ∫ 0 s 1 + r 4 1 − r 4 d r = ∫ 0 s 1 1 − r 4 d r {\displaystyle l=\int _{0}^{s}{\sqrt {1+r^{2}\left({\frac {r^{2}}{\sin ^{2}(2\theta )}}\right)}}\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{s}{\sqrt {1+{\frac {r^{4}}{1-r^{4}}}}}\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{s}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}\,\mathrm {d} r} . כלומר קיבלנו שכדי לחשב את אורך קשת הלמניסקטה יש לחשב אינטגרל אליפטי. בסביבות 1800, הפונקציות האליפטיות שהופכות את האינטגרלים הללו נחקרו על ידי קרל פרידריך גאוס (עבודותיו כמעט ולא פורסמו בזמנו, אולם רמזים לה ניתנו בספרו "מחקרים אריתמטיים"). סריג המחזורים של פונקציות אלו הוא בעל צורה מיוחדת מאוד, שכן נקודות הסריג הן השלמים הגאוסיים, עד כדי כפל בקבוע ממשי. פונקציית אורך הקשת arcsl ⁡ ( s ) = ∫ 0 s 1 1 − r 4 d r {\displaystyle \operatorname {arcsl} (s)=\int _{0}^{s}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}\,\mathrm {d} r} מגדירה את הסינוס הלמניסקטי כפונקציה ההפוכה   sl = arcsl − 1 {\displaystyle \ \operatorname {sl} =\operatorname {arcsl} ^{-1}} עם מחזור   2 ϖ = 4 ∫ 0 1 1 1 − r 4 d r {\displaystyle \ 2\varpi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}\,\mathrm {d} r} . בדומה לזה מוגדר הקוסינוס הלמניסקטי   cl ⁡ ( s ) = sl ⁡ ( ϖ 2 − s ) {\displaystyle \ \operatorname {cl} (s)=\operatorname {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}-s\right)} . פונקציות אלה מקיימות את היחס sl ⁡ ( x ) 2 + cl ⁡ ( x ) 2 + sl ⁡ ( x ) 2 cl ⁡ ( x ) 2 = 1 {\displaystyle \operatorname {sl} (x)^{2}+\operatorname {cl} (x)^{2}+\operatorname {sl} (x)^{2}\operatorname {cl} (x)^{2}=1} . הן מקיימות גם נוסחאות חיבור וחיסור:   sl ⁡ ( x + y ) = sl ⁡ ( x ) cl ⁡ ( y ) + sl ⁡ ( y ) cl ⁡ ( x ) 1 − sl ⁡ ( x ) sl ⁡ ( y ) cl ⁡ ( x ) cl ⁡ ( y ) {\displaystyle \ \operatorname {sl} (x+y)={\frac {\operatorname {sl} (x)\operatorname {cl} (y)+\operatorname {sl} (y)\operatorname {cl} (x)}{1-\operatorname {sl} (x)\operatorname {sl} (y)\operatorname {cl} (x)\operatorname {cl} (y)}}} ו-   cl ⁡ ( x + y ) = cl ⁡ ( x ) cl ⁡ ( y ) − sl ⁡ ( x ) sl ⁡ ( y ) 1 + sl ⁡ ( x ) sl ⁡ ( y ) cl ⁡ ( x ) cl ⁡ ( y ) {\displaystyle \ \operatorname {cl} (x+y)={\frac {\operatorname {cl} (x)\operatorname {cl} (y)-\operatorname {sl} (x)\operatorname {sl} (y)}{1+\operatorname {sl} (x)\operatorname {sl} (y)\operatorname {cl} (x)\operatorname {cl} (y)}}} . המשפט הבא על הקשר בין זוויות בלמניסקטה של ברנולי הוכח בשנת 1843 על ידי המתמטיקאי גרהרד כריסטוף הרמן וכטמן: F1 ו-F2 הם מוקדי הלמניסקטה של ברנולי, O היא הנקודה שבמרכז הקטע המחבר את המוקדים, P היא נקודה כלשהי על הלמניסקטה של ברנולי שאינה על הישר המחבר את המוקדים. הנורמל (האנך למשיק) n של הלמניסקטה בנקודה P חותך את הישר המחבר את המוקדים בנקודה R. הזווית של המשולש OPR בנקודה O היא שליש מהזווית החיצונית בנקודה R, והזווית במשולש בנקודה P כפולה מהזווית בנקודה O. מדיה וקבצים בנושא הלמניסקטה של ברנולי בוויקישיתוף הלמניסקטה של ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית) הלמניסקטה של ברנולי, באתר MathCurve (באנגלית) Joel C. Langer and David A. Singer, Reflections on the Lemniscate of Bernoulli: The Forty-Eight Faces of a Mathematical Gem