ערך עצמי

באלגברה ליניארית, ערך עצמי (eigenvalue) של העתקה ליניארית או של מטריצה הוא סקלר כלשהו, המסומן לרוב כ- λ {\displaystyle \lambda } , כך שקיים וקטור שונה מווקטור האפס (הנקרא וקטור עצמי) שהפעלת ההעתקה עליו, או הכפלתו במטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של העתקה או מטריצה הוא וקטור שעבורו ההעתקה או המטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת ההעתקה על וקטור עצמי היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו. בשל הקשר ההדוק בין מטריצות והעתקות, שמאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן. יהי V {\displaystyle V} מרחב וקטורי ותהא T : V → V {\displaystyle T\colon V\to V} העתקה ליניארית. אם קיים וקטור v ∈ V {\displaystyle v\in V} השונה מאפס וסקלר λ {\displaystyle \lambda } כך ש- T ( v ) = λ v {\displaystyle T(v)=\lambda v} , אזי נקרא ל־ λ {\displaystyle \lambda } ערך עצמי (eigenvalue) של T {\displaystyle T} , ול־ v {\displaystyle v} נקרא וקטור עצמי (eigenvector) של T {\displaystyle T} השייך לערך העצמי λ {\displaystyle \lambda } . בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות: תהי A {\displaystyle A} מטריצה ריבועית מסדר n {\displaystyle n} מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } ויהי v ∈ F n {\displaystyle v\in \mathbb {F} ^{n}} וקטור השונה מאפס. אם קיים סקלר λ ∈ F {\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} } כך ש- A v = λ v {\displaystyle Av=\lambda v} , אז v {\displaystyle v} יקרא וקטור עצמי של A {\displaystyle A} השייך לערך העצמי λ {\displaystyle \lambda } . עבור מטריצה A {\displaystyle A} אשר מוכפלת בווקטור v {\displaystyle v} , אם התוצאה היא אותו הווקטור ( v {\displaystyle v} ), רק מוכפל בסקלר דהיינו A v = λ v {\displaystyle Av=\lambda v} , כפי שתואר לעיל, ניתן לכנות את הווקטור וקטור עצמי של המטריצה A {\displaystyle A} , ואת λ {\displaystyle \lambda } ערך עצמי של המטריצה. על מנת למצוא את הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר λ {\displaystyle \lambda } , ניתן לבטא את λ {\displaystyle \lambda } בצורה מטריציונית באמצעות הכפלתו במטריצת היחידה I {\displaystyle I} כך שהשוויון נשמר: A v = λ I v {\displaystyle Av=\lambda Iv} . העברת אגפים וקיבוץ הגורמים המוכפלים ב- v {\displaystyle v} מובילים למשוואה הבאה: ( A − λ I ) v = 0 {\displaystyle \left(A-\lambda I\right)v={\boldsymbol {0}}} , אשר מייצגת מערכת משוואות הומוגנית. פתרון המערכת הזו תוביל למציאת הערכים העצמיים של A {\displaystyle A} , אם קיימים. למשוואה זו יהיה פתרון שאינו טריוויאלי (כלומר, v ≠ 0 {\displaystyle v\neq {\boldsymbol {0}}} ) אם ורק אם הדטרמיננטה של אגף שמאל תהיה שווה לאפס det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det(A-\lambda I)={\boldsymbol {0}}} . אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של λ {\displaystyle \lambda } , והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים, אז λ {\displaystyle \,\lambda } הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה ממדו של המרחב קרוי הריבוי הגאומטרי של הסקלר (ראו להלן). וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים ליניארית זה בזה. לעיתים קרובות, משתמשים בקיצור ו"ע עבור "וקטור עצמי", וכן בקיצור ע"ע עבור "ערך עצמי". מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. הריבוי האלגברי (או הריבוב האלגברי) הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כשורש של הפולינום האופייני; הריבוי הגאומטרי (או הריבוב הגאומטרי) הוא מספר הווקטורים העצמיים הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, ממד המרחב העצמי של הערך העצמי או ממד מרחב הפתרונות של המשוואה ( A − λ I ) v = 0 {\displaystyle \left(A-\lambda I\right)v=0} . הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה. מטריצה ניתנת ללכסון אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה. ערכים עצמיים מסייעים להצגת העתקות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית בתהליכי לכסון מטריצות. ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים. השיטה התאורטית הנפוצה ביותר היא באמצעות הפולינום האופייני של המטריצה, שכן הערכים העצמיים הם שורשיו. שיטה להערכה של הערכים העצמיים מבלי למצוא אותם במדויק נתונה על ידי עיגולי גרשגורן. הערכים העצמיים של מטריצה אלכסונית הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי הבסיס הסטנדרטי הם וקטורים עצמיים שלה. למטריצות דומות יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי. סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה לעקבה שלה. מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה לדטרמיננטה שלה. עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות ממעלה חמישית ויותר. נילס הנריק אבל ופאולו רופיני הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש בשיטות נומריות המבוססות על שיטות איטרטיביות. שיטות אלה מחשבות קירוב לערכים העצמיים ולוקטורים העצמיים, אבל הקירוב יכול להיות בכל דיוק רצוי. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא אלגוריתם QR. ערך מורחב – ספקטרום של אופרטור עבור אופרטורים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל ממד סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות t {\displaystyle t} בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל־   A − t I {\displaystyle \ A-tI} . קבוצה זו נקראת ספקטרום של אופרטור ותכונותיה נלמדות במסגרת האנליזה הפונקציונלית. לכסון מטריצות משפט קיילי המילטון פולינום אופייני פולינום מינימלי צורת ז'ורדן משפט פרון-פרובניוס מחשבון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים (בגרמנית) ערך עצמי, באתר MathWorld (באנגלית) ערך עצמי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", The Computer Journal, vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) online at oxfordjournals.org; J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" The Computer Journal, vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) online at oxfordjournals.org. Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki, vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).