מטריצת סיבוב

מטריצת סיבוב היא מטריצת מעבר שכאשר מכפילים אותה בווקטור אחד או יותר היא משנה את כיוונם מבלי לשנות את גודלם. מטריצות סיבוב מכונה DCM (Direct Cosine Matrix) ונהוג לסמן באותיות: M {\displaystyle M} (קיצור של Matrix), R {\displaystyle R} (קיצור של Rotation) ו- C {\displaystyle C} (קיצור של Cosine). נהוג לצרף סימן תחתון וסימן עליון המתאר את מערכות הצירים ביניהן מתבצע הסיבוב. לדוגמה סיבוב ממערכת צירים a {\displaystyle a} למערכת צירי b {\displaystyle b} : C a b {\displaystyle C_{a}^{b}} נדגים את השימוש במטריצה זו, נגדיר וקטור v a {\displaystyle v^{a}} במערכת a, כדי למצוא את הווקטור במערכת צירים b, נכפול ב C a b {\displaystyle C_{a}^{b}} : v b = C a b v a {\displaystyle v^{b}=C_{a}^{b}v^{a}} לדוגמה סיבוב ממערכת צירים a {\displaystyle a} למערכת צירי c {\displaystyle c} דרך מערכת צירי b {\displaystyle b} : C a c = C b c ∙ C a b {\displaystyle C_{a}^{c}=C_{b}^{c}\bullet C_{a}^{b}} נדגים את השימוש במטריצה זו, נגדיר וקטור v a {\displaystyle v^{a}} במערכת a, כדי למצוא את הווקטור במערכת צירים c, נכפול ב C a c {\displaystyle C_{a}^{c}} : v c = C a c v a {\displaystyle v^{c}=C_{a}^{c}v^{a}} דרך נוספת לפירוש פעולת מטריצת סיבוב על וקטור (מעבר להעברת הווקטור בין מערכות צירים) היא סיבוב הווקטור באותה מערכת הצירים. מטריצת הסיבוב מגדירה את "וקטור הסיבוב" סביבו מסובב הווקטור, ואת גודל זווית הסיבוב של הווקטור סביב "וקטור הסיבוב". נסמן מטריצת סיבוב לפי פירוש זה על ידי C a {\displaystyle C^{a}} , כלומר מטריצה שמשנה כיוון של ווקטור במערכת צירים a. והשימוש הוא: v 2 a = C a v 1 a {\displaystyle v_{2}^{a}=C^{a}v_{1}^{a}} כלומר, וקטור v 1 {\displaystyle v_{1}} במערכת צירים a, מסובב עי C a {\displaystyle C^{a}} כך שמתקבל וקטור v 2 {\displaystyle v_{2}} במערכת צירים a. תהי M {\displaystyle M} מטריצת סיבוב מסדר   n × n {\displaystyle \ n\times n} . מטריצת סיבוב מוגדרת כמטריצה אורתוגונלית בעלת דטרמיננטה 1. לכן: המטריצה משמרת את המכפלה הסקלרית: A ⋅ B = M A ⋅ M B {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =M\mathbf {A} \cdot M\mathbf {B} } המטריצה ההפוכה של מטריצת הסיבוב היא המטריצה המשוחלפת שלה: M M − 1 = M M ⊤ = I {\displaystyle {M}\,{M}^{-1}={M}\,{M}^{\top }={I}} כאשר I {\displaystyle {I}} היא מטריצת היחידה. ניתן להציג מטריצת סיבוב כאקספוננט של מטריצה אנטיסימטרית A: M = exp ⁡ ( A ) = ∑ n = 0 ∞ A n n ! {\displaystyle {\mathcal {M}}=\exp(\mathbf {A} )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\mathbf {A} ^{n}}{n!}}} כאשר את האקספוננט נפתח בעזרת טור טיילור ואת A n {\displaystyle \mathbf {A} ^{n}} נגדיר בעזרת כפל מטריצות. בדו-ממד, ניתן להגדיר את מטריצת הסיבוב בעזרת זווית θ {\displaystyle \theta } , כאשר מוסכם כי זווית חיובית מסובבת נגד כיוון השעון. המטריצה לסיבוב וקטור בזווית θ {\displaystyle \theta } היא: R ( θ ) = [ cos ⁡ θ − sin ⁡ θ sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&-\sin {\theta }\\\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}} כיוון סיבוב הווקטור הוא נגד כיוון השעון אם θ חיובי (למשל 90°), ועם כיוון השעון אם θ שלילי (למשל 90°-). לפיכך מטריצת הסיבוב עם כיוון השעון היא: R ( − θ ) = [ cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ] {\displaystyle R(-\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{bmatrix}}} ניתן גם להוכיח כי כל מטריצה 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} אורתוגונלית עם דטרמיננטה 1 היא מצורה זו. מטריצות סיבוב נפוצות: R ( 90 ∘ ) = [ 0 1 − 1 0 ] R ( 180 ∘ ) = [ − 1 0 0 − 1 ] R ( 270 ∘ ) = [ 0 − 1 1 0 ] {\displaystyle {\begin{aligned}R(90^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&1\\[3pt]-1&0\\\end{bmatrix}}\\R(180^{\circ })&={\begin{bmatrix}-1&0\\[3pt]0&-1\\\end{bmatrix}}\\R(270^{\circ })&={\begin{bmatrix}0&-1\\[3pt]1&0\\\end{bmatrix}}\end{aligned}}} מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - x {\displaystyle x} בזווית ϕ {\displaystyle \phi } היא: R x ( ϕ ) = [ 1 0 0 0 cos ⁡ ϕ − sin ⁡ ϕ 0 sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ] = exp ⁡ ( [ 0 0 0 0 0 − ϕ 0 ϕ 0 ] ) {\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\phi }&-\sin {\phi }\\0&\sin {\phi }&\cos {\phi }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-\phi \\0&\phi &0\end{bmatrix}}\right)} מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - y {\displaystyle y} בזווית θ {\displaystyle \theta } היא: R y ( θ ) = [ cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ 0 1 0 − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ ] = exp ⁡ ( [ 0 0 θ 0 0 0 − θ 0 0 ] ) {\displaystyle {\mathcal {R}}_{y}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos {\theta }&0&\sin {\theta }\\0&1&0\\-\sin {\theta }&0&\cos {\theta }\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&0&\theta \\0&0&0\\-\theta &0&0\end{bmatrix}}\right)} מטריצת הסיבוב סביב ציר ה - z {\displaystyle z} בזווית ψ {\displaystyle \psi } היא: R z ( ψ ) = [ cos ⁡ ψ − sin ⁡ ψ 0 sin ⁡ ψ cos ⁡ ψ 0 0 0 1 ] = exp ⁡ ( [ 0 − ψ 0 ψ 0 0 0 0 0 ] ) {\displaystyle {\mathcal {R}}_{z}(\psi )={\begin{bmatrix}\cos {\psi }&-\sin {\psi }&0\\\sin {\psi }&\cos {\psi }&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}0&-\psi &0\\\psi &0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\right)} כל סיבוב סביב כל ציר אחר ניתן להצגה כהרכבה של מטריצות מהסוג הזה. מטריצת סיבוב תלת־ממדית סביב שלושת הצירים בסדר z-y-x: R = R z ( ψ ) R y ( θ ) R x ( ϕ ) = [ cos ⁡ θ cos ⁡ ψ − cos ⁡ ϕ sin ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ sin ⁡ ϕ sin ⁡ ψ + cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ cos ⁡ ψ cos ⁡ θ sin ⁡ ψ cos ⁡ ϕ cos ⁡ ψ + sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ ϕ cos ⁡ ψ + cos ⁡ ϕ sin ⁡ θ sin ⁡ ψ − sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ cos ⁡ θ ] {\displaystyle \mathbf {R} =R_{z}(\psi )R_{y}(\theta )R_{x}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\\end{bmatrix}}} עבור סדר הסיבוב הנ"ל, נשים לב שאחרי הסיבוב של מערכת הצירים סביב ציר x, הכיוון של ציר y השתנה, נהוג לסמן אותו כ y' , כך שהסיבוב השני הוא סביב ציר y' ולא y. באותו אופן נהוג לסמן שהסיבוב השלישי הוא סביב z'' . מכאן ניתן להבין שסדר סיבוב שונה עם אותן זוויות, יכול לתת תוצאה שונה. ערכים עצמיים ועקבה המטריצה מסובבת בזווית θ {\displaystyle \theta } כלשהי סביב וקטור עצמי כלשהו המתאים לערך העצמי 1. ושני הערכים העצמיים האחרים הם   e i θ , e − i θ {\displaystyle \ e^{i\theta },e^{-i\theta }} ומאחר והעקבה היא סכום הערכים העצמיים, מתקבל שהעקבה היא tr ⁡ ( R ) = 1 + 2 cos ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {tr} (R)=1+2\cos \theta } באמצעות שימוש בפונקציות טריגונומטריות הפוכות ניתן לחלץ ממטריצת הסיבוב את זוויות אוילר המיצגות את אותו סיבוב. למשל אם סדר הסיבוב יוגדר z-y-x, המטריצה R תוגדר כפי המצוין לעיל ואז זוויות אויילר יהיו: ϕ = a t a n 2 ( R ( 2 , 1 ) , R ( 1 , 1 ) ) {\displaystyle \phi =atan2(R(2,1),R(1,1))} θ = a r c s i n ( − R ( 3 , 1 ) ) {\displaystyle \theta =arcsin(-R(3,1))} ψ = a t a n 2 ( R ( 3 , 2 ) , R ( 3 , 3 ) ) {\displaystyle \psi =atan2(R(3,2),R(3,3))} מטריצה אורתוגונלית זוויות אוילר מטריצות פאולי מטריצת סיבוב, באתר MathWorld (באנגלית) סיבוב ראשון סביב ציר x, לאחר מכן סיבוב סביב ציר y ולבסוף סיבוב סביב ציר z