מדרג BBGKY

בפיזיקה סטטיסטית, מדרג BBGKY (מדרג בוגוליובוב-בורן-גרין-קירקוווד-איבון, לעיתים נקראת מדרג בוגוליובוב) הוא סט משוואות, המתארות את הדינמיקה של מערכת בעלת מספר רב של חלקיקים הנמצאים באינטראקציה זה עם זה. במסגרת מערכת משוואות זו, פונקציית ההתפלגות הפיזיקלית (פונקציית צפיפות הסתברות) של s חלקיקים כוללת בתוכה את פונקציית ההתפלגות של s+1 חלקיקים, כך שנוצרת שרשרת משוואות מצומדות. מדרג BBGKY נקראת על שמם של ניקוליי בוגוליובוב, מקס בורן, הרברט ס. גרין, ג'ון גמבל קירקווד, וז'אק איבון. ההתפתחות של מערכת בעלת N חלקיקים בהיעדר פלקטואציות קוונטיות נתונות על ידי משוואת ליוביל עבור פונקציית צפיפות ההסתברות F N = f N ( q → 1 . . . q → N , p → 1 . . . p → N , t ) {\displaystyle F_{N}=f_{N}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{N},t)} במרחב פאזה 6N-ממדי (3 קואורדינטות מרחביות ו-3 קואורדינטות תנע עבור כל חלקיק): ∂ f N ∂ t + ∑ i = 1 N p i → m ∂ f N ∂ q i → + ∑ i = 1 N F i → ∂ f N ∂ q i → = 0 {\displaystyle {\partial \!f_{N} \over \partial \!t}+\sum _{i=1}^{N}{{\overrightarrow {p_{i}}} \over \!m}{\partial \!f_{N} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}+\sum _{i=1}^{N}{\overrightarrow {F_{i}}}{\partial \!f_{N} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}=0} כאשר q i → {\displaystyle {\overrightarrow {q_{i}}}} הן הקואורדינטות ו- p i → {\displaystyle {\overrightarrow {p_{i}}}} הם המומנטים של החלקיק ה-i בעל מסה m. סך הכוח הפועל על החלקיק ה-i הוא: F i = − ∑ j = 1 ≠ i N ∂ Φ i j ∂ q i → − ∂ Φ i e x t ∂ q i → {\displaystyle F_{i}=-\sum _{j=1\neq i}^{N}{\partial \!\Phi _{ij} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}-{\partial \!\Phi _{i}^{ext} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}} , כאשר Φ i j ( q → i , p → i ) {\displaystyle \Phi _{i}j({\overrightarrow {q}}_{i},{\overrightarrow {p}}_{i})} היא האנרגיה הפוטנציאלית בין זוג חלקיקים, ו- Φ e x t ( q → i ) {\displaystyle \Phi ^{ext}({\overrightarrow {q}}_{i})} הוא פוטנציאל חיצוני. על ידי אינטגרציה על חלק מהמשתנים, ניתן להפוך את משוואת ליוביל לשרשרת משוואות שהראשונה שבהן קושרת את ההתפתחות של פונקציית צפיפות ההסתברות של חלקיק בודד לפונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, המשוואה השנייה קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של שני חלקיקים, עם זו של שלושה חלקיקים וכן הלאה. באופן כללי, המשוואה ה-s קושרת בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים - f s ( q → 1 . . . q → s , p → 1 . . . p → s , t ) = ∫ f N ( q → 1 . . . q → N , p → 1 . . . p → N , t ) d q → s + 1 . . . d q → N d p → s + 1 . . . d p → N {\displaystyle f_{s}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{s},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{s},t)=\int f_{N}({\overrightarrow {q}}_{1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{1}...{\overrightarrow {p}}_{N},t)\,d{\overrightarrow {q}}_{s+1}...d{\overrightarrow {q}}_{N}d\,{\overrightarrow {p}}_{s+1}...d{\overrightarrow {p}}_{N}} לבין פונקציית צפיפות ההסתברות של (s+1) חלקיקים. הקשר בין פונקציית צפיפות ההסתברות של s חלקיקים לזו של (s+1) חלקיקים נתון ע"י: ∂ f s ∂ t + ∑ i = 1 s p → i m ∂ f s ∂ q → i − ∑ i = 1 s ( ∑ j = 1 ≠ i s ∂ Φ i j ∂ q i → − ∂ Φ i e x t ∂ q i → ) ∂ f s ∂ p → i = ( N − s ) ∑ i = 1 s ∫ ∂ Φ i   s + 1 ∂ q → i ∂ f s + 1 ∂ p → i d q → s + 1 d p → s + 1 {\displaystyle {\partial \!f_{s} \over \partial \!t}+\sum _{i=1}^{s}{{\overrightarrow {p}}_{i} \over \!m}{\partial \!f_{s} \over \partial \!{\overrightarrow {q}}_{i}}-\sum _{i=1}^{s}(\sum _{j=1\neq i}^{s}{\partial \!\Phi _{ij} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}-{\partial \!\Phi _{i}^{ext} \over \partial \!{\overrightarrow {q_{i}}}}){\partial \!f_{s} \over \partial \!{\overrightarrow {p}}_{i}}=(N-s)\sum _{i=1}^{s}\int {{\partial \!\Phi _{i\ s+1} \over \partial \!{\overrightarrow {q}}_{i}}{\partial \!f_{s+1} \over \partial \!{\overrightarrow {p}}_{i}}d{\overrightarrow {q}}_{s+1}d{\overrightarrow {p}}_{s+1}}} . קשר זה עבור פונקציית צפיפות הסתברות של s חלקיקים מתקבל על ידי ביצוע אינטגרציה על משוואת ליוביל על-פי המשתנים q → s + 1 . . . q → N , p → s + 1 . . . p → N {\displaystyle {\overrightarrow {q}}_{s+1}...{\overrightarrow {q}}_{N},{\overrightarrow {p}}_{s+1}...{\overrightarrow {p}}_{N}} . הבעיותיות במשוואה המתארת את הקשר בין פונקציות צפיפות ההסתברות f s {\displaystyle f_{s}} ו- f s + 1 {\displaystyle f_{s+1}} , היא שהמשוואה איננה סגורה - כדי לפתור את f s {\displaystyle f_{s}} יש לדעת קודם מה היא f s + 1 {\displaystyle f_{s+1}} , שבתורה דורשת לדעת מה היא f s + 2 {\displaystyle f_{s+2}} , וכן הלאה עד שמקבלים שוב את משוואת ליוביל השלמה. עם זאת, אם ישנה אפשרות למדל את f s + 1 {\displaystyle f_{s+1}} , יהיה ניתן לפתור את f s {\displaystyle f_{s}} . דוגמה למקרה כזה היא משוואת בולצמן עבור הפונקציה f 1 ( q → 1 , p → 1 , t ) {\displaystyle f_{1}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{1},t)} , שבמסגרתה נעשה מידול ל- f 2 ( q → 1 , q → 2 , p → 1 , p → 2 , t ) {\displaystyle f_{2}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {q}}_{2},{\overrightarrow {p}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{2},t)} בהתבסס על הנחת הכאוס המולקולרי. למעשה, במשוואת בולצמן f 2 ( q → 1 , p → 2 , t ) {\displaystyle f_{2}({\overrightarrow {q}}_{1},{\overrightarrow {p}}_{2},t)} התהליך המוגבל של קבלת משוואת בולצמן מתוך משוואות ליוביל מוכר כגבול בולצמן-גראד. סכמטית, משוואת ליוביל נותנת לנו את ההתפתחות בזמן של מערכת שלמה בעלת N חלקיקים החל מ- D f n = 0 {\displaystyle Df_{n}=0} - ביטוי לזרם הבלתי-דחיס של צפיפות ההסתברות במרחב הפאזה. לאחר מכן, ניתן להגדיר באופן הדרגתי את פונקציות ההתפלגות המופחתות על ידי ביצוע אינטגרציה על דרגת חופש נוספת של החלקיק f s ∼ ∫ f s + 1 {\displaystyle f_{s}\thicksim \int f_{s+1}} . משוואה במדרג BBGKY מספרת לנו שההתפתחות בזמן של  f s {\displaystyle f_{s}} ניתנת כתוצאה ממשוואת ליוביל, אבל עם תיקון המייצג את השפעת הכוח של N-s החלקיקים העצורים: D f s ∝ d i v p ⟨ g r a d q Φ i   s + 1 ⟩ f s + 1 {\displaystyle Df_{s}\varpropto div_{p}{\langle \!grad_{q}\Phi _{i\ s+1}\rangle }_{f_{s+1}}} . הבעיה העיקרית עם פתרון מדרג BBGKY עבור מקרים שונים, היא שהמדרג קשה לפתירה כמעט כמו פתרון משוואת ליוביל המקורית. עם זאת, ניתן בצע קירובים למדרג BBGKY בקלות, וקירובים אלו מאפשרים קיטוע של שרשרת המשוואות, כך שמתקבלת מערכת משוואות סופית. הערך של קירובים אלו הוא שמשוואות התפלגות מסדרים גבוהים יותר - f s + 2 , f s + 3 , . . . {\displaystyle f_{s+2},f_{s+3},...} ישפיעו על ההתפתחות בזמן של f s {\displaystyle f_{s}} באופן מרומז בלבד, על ידי f s + 1 {\displaystyle f_{s+1}} . קיטוע של שרשרת BBGKY הוא נקודת התחלה שכיחה ליישומים רבים של תאוריה קינטית שניתן להשתמש בהם על מנת לגזור את משוואות הקינמטיקה הקלאסיות או הקוונטיות. בפרט, באמצעות קיטוע ההירכייה במשוואה הראשונה, או בשתי המשוואות הראשונות ניתן לגזור את משוואות בולצמן הקלאסיות או הקוונטיות. קירובים נוספים, כמו ההנחה שפונקציית צפיפות ההסתברות תלויה רק במרחק היחסי בין החלקיקים, או ההנחה של שליטת ההידרודינמיקה, יכולים גם כן להפוך את שרשרת BBGKY לנגישה לפתרון. פונקציות התפלגות של s חלקיקים הוצגו לראשונה במכניקה סטטיסטית קלאסית על ידי ז'אק איבון בשנת 1935. מדרג BBGKY של משוואות התפלגות נכתבה ויושמה עבור גזירת משוואות קינטיות על ידי בוגוליובוב, התקבלה בשנת 1945 ופורסמה בשנת 1946 ברוסית ובאנגלית. תיאורית הטרנספורטציה הקינטית הוצגה על ידי קירקווד במאמר שהתקבל באוקטובר 1946, ופורסם במרץ 1946. כמו כן, פורסמו מאמרים עוקבים בנושא זה. המאמר הראשון שפרסמו בורן וגרין עסק בתיאוריות קינטיות כלליות של נוזלים, פורסם בדצמבר 1946. משוואת פוקר פלאנק משוואת ולסוב Harold Grad, On the kinetic theory of rarefied gases, Communications on Pure and Applied Mathematics 2, 1949-12, עמ' 331–407 doi: 10.1002/cpa.3160020403 N. N. Bogoliubov, "Kinetic Equations", Journal of Experimental and Theoretical Physics (in Russian), עמ' 691–702 N. N. Bogoliubov, "Kinetic Equations", Journal of Physics USSR (265-274) N. N. Bogoliubov, K. P. Gurov (1947), "Kinetic Equations in Quantum Mechanics", Journal of Experimental and Theoretical Physics (in Russian) Harris, S., An introduction to the theory of the Boltzmann equation. Courier Corporation., 2004 J. Yvon (1935), La théorie statistique des fluides et l'équation d'état (in French), Actual. Sci. & Indust. № 203 (Paris, Hermann) John G. Kirkwood (March 1946), "The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes I. General Theory, The Journal of Chemical Physics John G. Kirkwood (January 1947), "The Statistical Mechanical Theory of Transport Processes II. Transport in Gases", The Journal of Chemical Physics M. Born and H. S. Green (31 December 1946), "A General Kinetic Theory of Liquids I. The Molecular Distribution Functions", Proc. Roy. Soc. A. 188