סימן לוי-צ'יוויטה

במתמטיקה ובפיזיקה, סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה (באנגלית: Levi-Civita symbol, על שמו של המתמטיקאי טוליו לוי-צ'יוויטה) הוא פונקציה אנטי־סימטרית על אינדקסים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות היוונית אפסילון (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים. סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר לשלשה של אינדקסים ( i , j , k ) {\displaystyle (i,j,k)} באופן הבא: ϵ i j k = { + 1 , ( i , j , k )  is  ( 1 , 2 , 3 ) , ( 2 , 3 , 1 )  or  ( 3 , 1 , 2 ) − 1 , ( i , j , k )  is  ( 3 , 2 , 1 ) , ( 1 , 3 , 2 )  or  ( 2 , 1 , 3 ) 0 , otherwise:  i = j  or  j = k  or  k = i {\displaystyle \epsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1,&(i,j,k){\mbox{ is }}(3,2,1),(1,3,2){\mbox{ or }}(2,1,3)\\0,&{\mbox{otherwise: }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}} סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את זוגיות התמורה ( 1 , 2 , 3 ) ↦ ( i , j , k ) {\displaystyle \left(1,2,3\right)\mapsto \left(i,j,k\right)} : הוא שווה ל־(‎+1) אם התמורה זוגית, ל־(‎-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה). מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל n-יה סדורה של אינדקסים (אם n > 3 {\displaystyle n>3} ): הוא שווה ל־(‎+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של   ( 1 , 2 , 3 , ⋯ , n ) {\displaystyle \ \left(1,2,3,\cdots ,n\right)} . הוא שווה ל־(‎-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של ( 1 , 2 , 3 , ⋯ , n ) {\displaystyle \left(1,2,3,\cdots ,n\right)} . הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים. עבור n = 3 {\displaystyle n=3\!} , סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם הדלתא של קרונקר: ∑ i = 1 3 ϵ i j k ϵ i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} ∑ i , j = 1 3 ϵ i j k ϵ i j n = 2 δ k n {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\epsilon _{ijn}=2\delta _{kn}} ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים ∑ i , j , k , ⋯ = 1 n ϵ i j k … ϵ i j k … = n ! {\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\epsilon _{ijk\dots }\epsilon _{ijk\dots }=n!} באנליזה וקטורית במרחב תלת-ממדי, משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת מכפלה וקטורית: a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ i , j , k = 1 3 ϵ i j k e i a j b k {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}} ביתר פשטות, אם a × b = c {\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} } , אז c i = ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k a j b k {\displaystyle c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} או בכתיב מקוצר, לפי הסכם הסכימה של איינשטיין: ( a × b ) i = ϵ i j k a j b k {\displaystyle \left(\mathbf {a\times b} \right)_{i}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}} באופן דומה, אם מסמנים ( x , y , z ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x,y,z)=\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)} , אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את הרוטור: ( curl ⁡   a ) i = ( ∇ × a ) i = ∑ j , k = 1 3 ϵ i j k ∂ a k ∂ x j {\displaystyle \left(\operatorname {curl} \ \mathbf {a} \right)_{i}=\left(\nabla \times \mathbf {a} \right)_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial a_{k}}{\partial x_{j}}}} תמורה (מתמטיקה) חבורת התמורות S n {\displaystyle S_{n}} טנזור הדלתא של קרונקר סימן לוי-צ'יוויטה, באתר MathWorld (באנגלית)