מערכת ליניארית

מערכת ליניארית היא מערכת הניתנת לתיאור על ידי אופרטור ליניארי. פונקציה אחת, הנקראת מוצא המערכת, שווה להעתקה ליניארית של פונקציה אחרת, הנקראת הכניסה למערכת. פעמים רבות המשתנה התלוי של הפונקציה הוא הזמן. במקרה כזה מערכות ליניאריות בזמן רציף מתוארות על ידי משוואות דיפרנציאליות ליניאריות ומערכות בזמן בדיד על ידי משוואות הפרשים ליניאריות. הליניאריות של מערכת מתבטאת בעקרון הסופרפוזיציה. אם המערכת מתוארת על ידי:   y ( t ) = O ( x ( t ) ) {\displaystyle \ y(t)=O(x(t))} כאשר O אופרטור ליניארי, אזי לכל שתי כניסות   x 1 ( t ) {\displaystyle \ x_{1}(t)} ו-   x 2 ( t ) {\displaystyle \ x_{2}(t)} ולכל שני סקלרים c1 ו-c2 מתקיים:   O ( c 1 x 1 ( t ) + c 2 x 2 ( t ) ) = c 1 O ( x 1 ( t ) ) + c 2 O ( x 2 ( t ) ) = c 1 y 1 ( t ) + c 2 y 2 ( t ) {\displaystyle \ O(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t))=c_{1}O(x_{1}(t))+c_{2}O(x_{2}(t))=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)} פונקציית התגובה להלם של מערכת ליניארית היא יציאת המערכת עבור כניסה בצורת פונקציית דלתא של דיראק, הנקראת הלם: x ( t ) = δ ( t − t 1 ) {\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})\,} h ( t 1 , t 2 ) ≡ y ( t ) | t = t 2 = O ( δ ( t − t 1 ) ) t = t 2 {\displaystyle h(t_{1},t_{2})\equiv y(t)|_{t=t_{2}}=O(\delta (t-t_{1}))_{t=t_{2}}} זוהי פונקציית גרין של המערכת, ולפי משפט גרין היא קובעת את מוצא המערכת לכל כניסה   x ( t ) {\displaystyle \ x(t)} , לפי: y ( t ) = ∫ − ∞ ∞ h ( t , s ) x ( s ) d s {\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,s)x(s)ds} מערכת ליניארית בלתי משתנה בזמן (באנגלית: Linear Time-Invariant, ובקיצור: מערכת LTI) היא מערכת ליניארית שבה גם מתקיים:   y ( t + τ ) = O ( x ( t + τ ) ) {\displaystyle \ y(t+\tau )=O(x(t+\tau ))} לכל τ {\displaystyle \tau } . האופרטור O בהכרח בלתי תלוי מפורשות בזמן (כלומר, אינו תלוי במשתנה t אלא דרך   x ( t ) {\displaystyle \ x(t)} ). מערכת כזו יכולה להיות המתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית ליניארית מהצורה: d n y d t n + A n − 1 d n − 1 y d t n − 1 + ⋯ + A 1 d y d t + A 0 y ( t ) = B m d m x d t m + B m − 1 d m − 1 x d t m − 1 + ⋯ + B 1 d x d t + B 0 x ( t ) {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dt^{n}}}+A_{n-1}{\frac {d^{n-1}y}{dt^{n-1}}}+\cdots +A_{1}{\frac {dy}{dt}}+A_{0}y(t)=B_{m}{\frac {d^{m}x}{dt^{m}}}+B_{m-1}{\frac {d^{m-1}x}{dt^{m-1}}}+\cdots +B_{1}{\frac {dx}{dt}}+B_{0}x(t)} כאשר המקדמים A 1 . . . A n , B 0 . . . B m {\displaystyle A_{1}...A_{n},B_{0}...B_{m}} הם קבועים שאינם תלויים בזמן, בניגוד למערכת ליניארית כללית המתוארת על ידי משוואה שיכולה להשתנות בזמן. במערכת ליניארית בלתי משתנה בזמן, התגובה להלם תלויה רק בהפרש הזמנים מרגע כניסת ההלם ולא ברגע ההלם עצמו. כתוצאה מכך, תגובת ההלם היא פונקציה רק של ההפרש בין שני המשתנים שלה, כלומר של משתנה אחד. מוצא המערכת הוא קונבולוציה בין תגובת ההלם לכניסה: y ( t ) = x ( t ) ∗ h ( t ) =   ∫ − ∞ ∞ x ( t − τ ) ⋅ h ( τ ) d ⁡ τ {\displaystyle y(t)=x(t)*h(t)=\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )\cdot h(\tau )\,\operatorname {d} \tau } תכונה זו הופכת מערכות LTI לנוחות במיוחד לניתוח במישור המרוכב. לפי משפט הקונבולוציה, מתקיים:   Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) {\displaystyle \ Y(s)=H(s)X(s)} כאשר הפונקציות המסומנות באותיות הגדולות הן התמרת לפלס של הפונקציות המסומנות באותיות הקטנות. המכפלה שלהן פשוטה לחישוב הרבה יותר מאשר הקונבולוציה. הפונקציה   H ( s ) {\displaystyle \ H(s)} נקראת פונקציית התמסורת של המערכת והיא ניתנת לחישוב בקלות על ידי לקיחת התמרת לפלס של שני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, שהופכת כך למשוואה אלגברית. במידה וקיימת התמרת פורייה מתכנסת, ההתמרה של תגובת ההלם, הנקראת תגובת התדר של המערכת, מסומנת   H ( ω ) {\displaystyle \ H(\omega )} וניתנת לחישוב גם על ידי הצבת s = i ω {\displaystyle s=i\omega } בפונקציית התמסורת. תיאור כזה של מערכת ליניארית נקרא תיאור במישור התדר, לעומת תיאור המערכת באמצעות תגובת ההלם שלה, הנקרא תיאור במישור הזמן. מערכות בזמן בדיד מתוארות על ידי סדרות המקיימות משוואת הפרשים. פונקציית ההלם בזמן בדיד מוגדרת:   δ [ n ] = { 1 n = 0 0 n ≠ 0 {\displaystyle \ \delta [n]={\begin{cases}1&n=0\\0&n\neq 0\end{cases}}} ופונקציית התמסורת של מערכת ליניארית בלתי משתנה בזמן היא התמרת Z של סדרת התגובה להלם, השווה ליחס בין התמרות Z של סדרת המוצא והכניסה:   H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) {\displaystyle \ H(z)={Y(z) \over X(z)}} מערכות ליניאריות, דף שער בספרייה הלאומית