אריתמטיקה (ספר)

אריתמטיקה הוא חיבור מתמטי מתקופת יוון העתיקה, שנכתב על ידי המתמטיקאי דיופנטוס במאה ה-3. הספר כולל אוסף בן 130 בעיות מעין אלגבריות. במקור החיבור חולק לשלושה עשר כרכים, אך רק שישה מתוכם השתמרו עד היום. "אריתמטיקה" הוא ספר פורץ דרך, שנחשב לאחת הדוגמאות הבולטות ביוון העתיקה לאלגברה מוקדמת. הבעיות ב"אריתמטיקה" הן בעיות הדורשות טיפול במשוואות ליניאריות וריבועיות. הפתרונות שדיופנטוס החשיב, כמקובל בזמנו, הם רק מספרים רציונליים וחיוביים. משוואה דיופנטית הוא שם שניתן בעקבות הספר למשוואות המקבלות פתרון מסוג שונה דווקא: מספרים שלמים – בין אם חיוביים ובין אם שליליים, אך לא שברים. מרבית המשוואות בספרו של דיופנטוס תוארו בצורה מספרית ולא גאומטרית, והיה בכך חריגה מהמסורת היוונית של ביסוס המתמטיקה כולה על הגאומטריה. במקום זאת, הוצגו בו בעיקר מקרים ספציפיים, עם נתונים מספריים המיוחדים לבעיה הנתונה. כמקובל בזמנו, הצגת הנתונים נעשתה בצורה מילולית בעיקרה. למרות זאת, היה לו סימון מתמטי מתקדם מאוד ביחס לתקופתו, הכולל סימנים למשתנה (ϛ), לחזקה ריבועית ( Δ T {\displaystyle \!\,\Delta ^{T}} ), שלישית ( K T {\displaystyle K^{T}} ) וכך עד השישית, לחיסור (Ψ הפוך) ולשוויון (ι). חיבור סומן בהצמדת שני המחוברים, ואם אחד המחוברים הוא "איבר חופשי" (לא ידוע) סימנו דיופנטוס ב-M. לפיכך, היה זה שלב ביניים בין כתיבה רטורית (מילולית) לבין אלגברה סימבולית מודרנית. דיופנטוס סימן, בכל תרגיל, רק משתנה אחד. את הבעיות שבהן נדרש דיופנטוס למצוא יותר ממשתנה אחד הוא צמצם לבעיות של משתנה אחד, מה שהפך את הבעיה לקשה בהרבה, ואף ציין יחסים בין משתנים שלא מחויבים מהגדרת השאלה, מה שצמצם את מספר הפתרונות. כדוגמה נביא את הבעיה ה-17 מהספר השלישי: "מצא שני מספרים, כך שאם מחברים את מכפלתם, מקבלים לכל אחד מהם או לסכומם ריבוע שלם [מכפלתם בתוספת כל אחד מהמספרים או בתוספת סכומם היא ריבוע של מספר שלם]". כדי להימנע משני משתנים, הוא הגדיר את המשתנים (בלשון אלגברית מודרנית) כ- x {\displaystyle x} ו- 4 x − 1 {\displaystyle 4x-1} . הגדרה זו מבטיחה שייתקיים אחד התנאים, שכן   x ( 4 x − 1 ) + x = 4 x 2 = ( 2 x ) 2 {\displaystyle \ x(4x-1)+x=4x^{2}=(2x)^{2}} . הנחת יסוד זו הובילה אותו בסופו של דבר לפתרון לפיו x {\displaystyle x} שווה ל-36/224 ו- 4 x − 1 {\displaystyle 4x-1} ל-65/224. פתרון זה הוא, למעשה, רק פתרון אפשרי אחד מתוך אינסוף פתרונות. בספר נכללים גם מספר משפטים השייכים, בחלוקה מודרנית, לתורת המספרים; כך המשפט שקובע שאפשר לפרק כל מכפלה של שני מספרים שניתן להציגם כסכום של שני ריבועים לשני ריבועים בשתי צורות שונות. את הבעיה הבסיסית יותר, של מציאת מספרים השווים לסכום של שני ריבועים, הציג דיופנטוס, שהשתמש בגאומטריה במקרים מסוימים, כמציאת משולש ישר-זווית שאורך יתרו הוא x {\displaystyle x} (עבור כל x {\displaystyle x} שלם או רציונלי). ספרו של דיופנטוס לא עורר הדים מיוחדים במערב בזמנו, וזכה להצלחה גבוהה יחסית דווקא במזרח. בבית החוכמה שבבגדאד, שפעל בתור הזהב של האסלאם, למשל, תרגמו את הספר. השפעתו הגדולה ביותר של הספר היא דווקא על תקופת ה"תחייה" המתמטית ברנסאנס. ב-1621 תרגם המלומד הצרפתי קלוד באשה, שהתעניין במתמטיקה ובחידות מתמטיות, את הספר ללטינית. תרגום זה הגיע לידיהם של מתמטיקאים חשובים מן התקופה, בהם פייר דה פרמה. פרמה, שהיה סקרן ובעל כישורים מתמטיים מבריקים אך לא התעניין בהשתלבות בקהילה המתמטית והתפרנס כמשפטן, כתב את חשובי משפטיו על שולי העותק של "אריתמטיקה" שהיה בידו, משפטים שקיבלו השראה מהכתוב בספר. בנו של פרמה, קלמנט סמואל, פרסם את הערותיו בשולי העותק ביחד עם מכתביו והערותיו האחרות. משפטיו לא לוו, בדרך כלל, בהוכחות, ולכן כשהוציא קלמנס את הספר המתמטיקאים החלו במאמץ קדחתני להוכיח את משפטיו, שהאחרון בהם, המכונה "המשפט האחרון של פרמה" (עבור n טבעי גדול מ-2, לא קיימים מספרים טבעיים x ,y ,z המקיימים את המשוואה: x n + y n = z n {\displaystyle \!\,x^{n}+y^{n}=z^{n}} ), הוכח בכלים מתמטיים מודרניים רק ב-1995. למשפט הגיע עקב סקירה של שלשות פיתגוריות (   X 2 + Y 2 = Z 2 {\displaystyle \ X^{2}+Y^{2}=Z^{2}} ), לאחר שהציב בחזקה במקום 2 n טבעי גדול משתיים. הערתו בשולי הספר, "גיליתי הוכחה נפלאה למשפט זה, אך שוליים אלו צרים מהכילה", הפכה ברבות הדורות לאחד המשפטים המפורסמים ביותר שכתב מתמטיקאי בעולם. במשך שנים נראה באופן ודאי ששבעה משלושה עשר ספרי "אריתמטיקה" אבדו בשריפת הספרייה הגדולה של אלכסנדריה. אחת ההשערות הייתה שהיפאטיה כתבה פרשנות רק לששת הספרים הראשונים, והשאר נשכחו ואחר כך אבדו. אך ב-1968 החוקר פ. זסקין גילה 4 ספרים ערביים שעליהם נכתב שהם תרגום לכרכים 4–7 של "אריתמטיקה". חוקר אחר, ר. ראשאד, השווה את הספרים היווניים לערביים והגיע למסקנה שמדובר בתרגום של 4 ספרים שלא נמצאו עד היום. על פרשנות זו לא שוררת הסכמה כללית, וטענה אחרת היא שמדובר בפרשנות לספרים, אולי של היפאטיה. יסודות, ספרו של אוקלידס שהשוו את "אריתמטיקה" אליו במבנה ובמידת ההשפעה מדיה וקבצים בנושא אריתמטיקה בוויקישיתוף ביוגרפיה של דיופנטוס, הכוללת סקירה מקיפה של "אריתמטיקה", באתר MacTutor (באנגלית) שבתאי אונגורו, ‏מבוא לתולדות המתמטיקה, חלק א: הזמן העתיק וימי הביניים, סדרת אוניברסיטה משודרת, בהוצאת משרד הביטחון – ההוצאה לאור, 1989, עמ' 97 בנו ארבל, קיצור תולדות המתמטיקה, מכון מופ"ת, 2005, עמ' 157–158 סיימון סינג, המשפט האחרון של פרמה, הוצאת ידיעות אחרונות, 2000, עמ' 85–95, ועל התהליך של הפיכת המשפט למפורסם ופתירתו לאורך כל הספר