בעיית המעגל של גאוס

בעיית המעגל של גאוס, היא הבעיה של ההערכה המדויקת של מספר נקודות הסריג (כלומר נקודות ששיעוריהן הם מספרים שלמים) הנמצאות בתוך מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו r. הראשון שעסק בבעיה ועשה התקדמות לקראת פתרון היה קרל פרידריך גאוס, ומכאן שמה. נסתכל על מעגל ב- R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} עם מרכז בראשית ורדיוס r ≥ 0. בעיית המעגל של גאוס מבקשת לדעת כמה נקודות יש בתוך המעגל הזה עם הצורה (m,n) כאשר m ו-n שניהם מספרים שלמים. מכיוון שהמשוואה של המעגל הזה בקוארדינטות קרטזיות היא x2 + y2 = r2, הבעיה שקולה לשאלה כמה זוגות של מספרים שלמים m ו-n יש כך ש-: m 2 + n 2 ≤ r 2 {\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}} . אם התשובה עבור r נתון תסומן ב- N ( r ) {\displaystyle N(r)} אזי הרשימה הבאה מראה את הערכים הראשונים של N ( r ) {\displaystyle N(r)} עבור r טבעי בין 0 ל-10: 1,5,13,29,49,81,113,149,197,253,317 (סדרה A000328 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים) השטח בתוך מעגל בעל רדיוס r הוא πr2, ומכיוון שריבוע בעל צלע 1 משמעותו נקודת סריג אחת, אזי התשובה המצופה אמורה להיות לכאורה בערך πr2. למעשה התוצאה ברוב המקרים גבוהה במקצת מזו, מכיוון שמעגלים יותר יעילים בתחימת שטח מאשר ריבועים. אפשר לבטא את התשובה בצורה: N ( r ) = π r 2 + E ( r ) {\displaystyle N(r)=\pi r^{2}+E(r)\,} כאשר E ( r ) {\displaystyle E(r)} היא פונקציית שגיאה לא ידועה כלשהי. מציאת חסמים נכונים ל- E ( r ) {\displaystyle E(r)} תביא לפתרון הבעיה. גאוס הוכיח : E ( r ) ≤ 2 2 π r {\displaystyle E(r)\leq 2{\sqrt {2}}\pi r} . ג.ה. הארדי, ובאופן בלתי תלוי לנדאו, מצאו חסם תחתון נמוך יותר והראו: E ( r ) ≠ o ( r 1 / 2 ( log ⁡ r ) 1 / 4 ) , {\displaystyle E(r)\neq o\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}\right),} . באמצעות סימן o הקטן, קיימת השערה שהחסם הנכון הוא: E ( r ) = O ( r 1 / 2 + ε ) {\displaystyle E(r)=O\left(r^{1/2+\varepsilon }\right)} . אם נכתוב | E ( r ) ≤ C ⋅ r t {\displaystyle |E(r)\leq C\cdot r^{t}} , החסמים העכשוויים על t הם : 1 2 < t ≤ 131 208 = 0.6298 … {\displaystyle {\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}=0.6298\ldots } כאשר החסם התחתון נמצא על ידי הארדי ולנדאו בשנת 1915 ואילו החסם העליון הוכח על ידי מרטין הוקסלי בשנת 2000. הערך של N ( r ) {\displaystyle N(r)} ניתן לביטוי באמצעות מספר טורים. במונחים של סכום שכולל בתוכו את פונקציית הרצפה הוא ניתן לביטוי כ-: N ( r ) = 1 + 4 ∑ k = 0 ∞ ( ⌊ r 2 4 k + 1 ⌋ − ⌊ r 2 4 k + 3 ⌋ ) {\displaystyle N(r)=1+4\sum _{k=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+3}}\right\rfloor \right)} . סכום הרבה יותר פשוט מופיע אם פונקציית סכום הריבועים r 2 ( n ) {\displaystyle r_{2}(n)} מוגדרת כמספר הדרכים לרשום את n כסכום של שני ריבועים: N ( r ) = ∑ n = 0 r 2 r 2 ( n ) {\displaystyle N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)} . אף על פי שהבעיה המקורית עוסקת במניית נקודות הסריג שבתוך מעגל, טבעי להכליל את הבעיה לשאר חתכי החרוט ועקומים נוספים. בעיית המחלקים של דיריכלה היא למעשה הבעיה השקולה לבעיה הזו אלא שהמעגל מוחלף בהיפרבולה ישרה. ניתן גם להכליל את הבעיה משני ממדים לממדים גבוהים יותר, ולשאול מהי כמות נקודות הסריג שבתוך כדור או אובייקטים אחרים. הכללה אחרת היא לנסות ולמצוא את מספר הזוגות המספרים הזרים m ו-n כך ש- : m 2 + n 2 ≤ r 2 . {\displaystyle m^{2}+n^{2}\leq r^{2}.\,} . בעיה זו נקראת בעיית המעגל הפרימיטיבית ומכיוון שהיא עוסקת במציאת הפתרונות הפרימיטיביים בלבד לבעיה המקורית. אם מספר הזוגות הנ"ל יסומן (V(r אזי הערכים של (V(r עבור הערכים הטבעיים הראשונים של r הם: 0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (סדרה A175341 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים) באמצעות אותם הרעיונות כמו אלו שבבעיית המעגל של גאוס ובאמצעות העובדה שההסתברות ששני מספרים טבעיים יהיו זרים היא   6 / π 2 {\displaystyle \ 6/\pi ^{2}} , ניתן להסיק כי: V ( r ) = 6 π r 2 + O ( r 1 + ε ) . {\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon }).} . כמו בבעיית המעגל הרגילה, החלק הבעייתי בבעיית המעגל הפרימיטיבית הוא הורדת האקספוננט שבאיבר השגיאה. נכון לעכשיו האקספוננט הידוע הכי טוב הוא 221/304 + ε אם מניחים כי השערת רימן נכונה. אם לא מניחים את השערת רימן, החסם העליון הידוע הטוב ביותר הוא: V ( r ) = 6 π r 2 + O ( r exp ⁡ ( − c ( log ⁡ r ) 3 / 5 ( log ⁡ log ⁡ r ) − 1 / 5 ) ) {\displaystyle V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r\exp(-c(\log r)^{3/5}(\log \log r)^{-1/5}))} עבור קבוע חיובי c. מסכת כלאיים פרק ה' משנה ה'. בעיית המעגל של גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)