פולינום ברנשטיין

בתחום האנליזה הנומרית, פולינום ברנשטיין, הקרוי על שם ממציאו, סרגיי ברנשטיין, הוא פולינום בתצורת ברנשטיין, כלומר הוא מהווה צירוף ליניארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין. דרך יציבה מבחינה נומרית להעריך פולינומים בתצורת ברנשטיין היא בעזרת אלגוריתם דה-קסטלז'ו. פולינומים בתצורת ברנשטיין היו בשימוש לראשונה על ידי ברנשטיין, בהוכחה קונסטרוקטיבית למשפט הקירוב של סטון–ויירשטראס. עם כניסת הגרפיקה הממוחשבת, הפכו פולינומי ברנשטיין (על הקטע החסום [ 1 , 0 ] {\displaystyle [1,0]} ) לשימושיים וחשובים ביצירת עקומות בזייה. n + 1 פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n מוגדרים כך: b ν , n ( x ) = ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν , ν = 0 , … , n . {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n.} כאשר ( n ν ) {\displaystyle {n \choose \nu }} הוא המקדם הבינומי. פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n יוצרים בסיס למרחב הווקטורי  Π n {\displaystyle \Pi _{n}} של פולינומים בדרגה של לכל היותר n. צירוף ליניארי של פולינומי הבסיס של ברנשטיין, B n ( x ) = ∑ ν = 0 n β ν b ν , n ( x ) {\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)} נקרא פולינום ברנשטיין או פולינום בתצורת ברנשטיין מדרגה n. מקדמי β ν {\displaystyle \beta _{\nu }} נקראים מקדמי ברנשטיין או מקדמי בזייר. מספר פולינומי הבסיס הראשונים של ברנשטיין הם: b 0 , 0 ( x ) = 1 , b 0 , 1 ( x ) = 1 − x , b 1 , 1 ( x ) = x b 0 , 2 ( x ) = ( 1 − x ) 2 , b 1 , 2 ( x ) = 2 x ( 1 − x ) , b 2 , 2 ( x ) = x 2 b 0 , 3 ( x ) = ( 1 − x ) 3 , b 1 , 3 ( x ) = 3 x ( 1 − x ) 2 , b 2 , 3 ( x ) = 3 x 2 ( 1 − x ) , b 3 , 3 ( x ) = x 3 b 0 , 4 ( x ) = ( 1 − x ) 4 , b 1 , 4 ( x ) = 4 x ( 1 − x ) 3 , b 2 , 4 ( x ) = 6 x 2 ( 1 − x ) 2 , b 3 , 4 ( x ) = 4 x 3 ( 1 − x ) , b 4 , 4 ( x ) = x 4 {\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\\b_{0,4}(x)&=(1-x)^{4},&b_{1,4}(x)&=4x(1-x)^{3},&b_{2,4}(x)&=6x^{2}(1-x)^{2},&b_{3,4}(x)&=4x^{3}(1-x),&b_{4,4}(x)&=x^{4}\end{aligned}}} לפולינומי הבסיס של ברנשטיין התכונות הבאות: b ν , n ( x ) = 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0} , אם  ν < 0 {\displaystyle \nu <0} או  ν > n {\displaystyle \nu >n} . b ν , n ( 0 ) = δ ν , 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}} ו  b ν , n ( 1 ) = δ ν , n {\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}} כאשר  δ {\displaystyle \delta } היא הדלתא של קרונקר. b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} יש שורש עם כפילות  ν {\displaystyle \nu } בנקודה  x = 0 {\displaystyle x=0} (הערה: אם  ν = 0 {\displaystyle \nu =0} , אין שורש ב-0). b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} יש שורש עם כפילות ( n − ν ) {\displaystyle \left(n-\nu \right)} בנקודה  x = 1 {\displaystyle x=1} (הערה: אם  ν = n {\displaystyle \nu =n} , אין שורש ב-1). b ν , n ( x ) ≥ 0 {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)\geq 0} עבור  x ∈ [ 0 ,   1 ] {\displaystyle x\in [0,\ 1]} . b ν , n ( 1 − x ) = b n − ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x)} . הנגזרת יכולה להיכתב כצירוף של שני פולינומים מדרגה נמוכה יותר: b ν , n ′ ( x ) = n ( b ν − 1 , n − 1 ( x ) − b ν , n − 1 ( x ) ) . {\displaystyle b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).} האינטגרל קבוע עבור  n {\displaystyle n} נתון: ∫ 0 1 b ν , n ( x ) d x = 1 n + 1 ; ∀ ν = 0 , 1 … n {\displaystyle \int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}};\forall \nu =0,1\dots n} אם  n ≠ 0 {\displaystyle n\neq 0} , אז  b ν , n ( x ) {\displaystyle b_{\nu ,n}(x)} בעל מקסימום ייחודי מקומי באינטרוול  [ 0 ,   1 ] {\displaystyle [0,\ 1]} ב  x = ν n {\displaystyle x={\frac {\nu }{n}}} . המקסימום הנ"ל בעל הערך: ν ν n − n ( n − ν ) n − ν ( n ν ) . {\displaystyle \nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.} פולינומי הבסיס של ברנשטיין מדרגה n {\displaystyle n} יוצרים חלוקת יחידה: ∑ ν = 0 n b ν , n ( x ) = ∑ ν = 0 n ( n ν ) x ν ( 1 − x ) n − ν = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1. {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.} אם לוקחים את האיבר הראשון של  ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}}  כאשר y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} , ניתן להראות כי ∑ ν = 0 n ν b ν , n ( x ) = n x {\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx} האיבר השני  ( x + y ) n {\displaystyle (x+y)^{n}} כאשר  y = 1 − x {\displaystyle y=1-x} משמש להראות כי  ∑ ν = 1 n ν ( ν − 1 ) b ν , n ( x ) = n ( n − 1 ) x 2 {\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}} A פולינום ברנשטיין ניתן להיכתב כקומבינציה ליניארית של פולינומים מדרגה גבוהה יותר: b ν , n − 1 ( x ) = n − ν n b ν , n ( x ) + ν + 1 n b ν + 1 , n ( x ) . {\displaystyle b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).} נניח ש-ƒ פונקציה רציפה בקטע [0,1]. נבחן את פולינום ברנשטיין להלן: B n ( f ) ( x ) = ∑ ν = 0 n f ( ν n ) b ν , n ( x ) . {\displaystyle B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).} ניתן להראות כי: lim n → ∞ B n ( f ) ( x ) = f ( x ) {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)(x)}=f(x)\,} מתכנס במידה שווה בקטע [0,1]. זו הצהרה חזקה יותר מאשר ההנחה שהגבול קיים בנפרד בכל ערך של x; זו תהיה התכנסות נקודתית במקום התכנסות במידה שווה. באופן ספציפי, המילים "במידה שווה" מציינות: lim n → ∞ sup { | f ( x ) − B n ( f ) ( x ) | : 0 ≤ x ≤ 1 } = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup \left\{\,\left|f(x)-B_{n}(f)(x)\right|\,:\,0\leq x\leq 1\,\right\}=0.} פולינומי ברנשטיין לכן מאפשרים דרך אחת להוכיח את משפט הקירוב של ויירשטראס שכל פונקציה רציפה ממשית על הקטע הממשי [a,b] ניתנת להערכה במידה שווה על ידי פונקציות פולינום מעל R. טענה כללית יותר על פונקציה שגזירה ברציפות k פעמים היא: ‖ B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ ≤ ( n ) k n k ‖ f ( k ) ‖ ∞  and  ‖ f ( k ) − B n ( f ) ( k ) ‖ ∞ → 0 {\displaystyle {\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }{\text{ and }}\left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0} כאשר בנוסף ( n ) k n k = ( 1 − 0 n ) ( 1 − 1 n ) ⋯ ( 1 − k − 1 n ) {\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)} הוא ערך עצמי של Bn; והפונקציה העצמית המקבילה היא פולינום מדרגה k. נניח ש-K משתנה מקרי המפוזר כמספר ההצלחות מתוך n ניסויי ברנולי בלתי תלויים, עם הסתברות x של הצלחה בכל ניסוי; במילים אחרות, k מתפלג בינומית עם פרמטרים n ו-x. מכאן שערך התוחלת  E [ K / n ] = x {\displaystyle E\left[K/n\right]=x} . בעזרת הגרסה החלשה של חוק המספרים הגדולים מתורת ההסתברות, lim n → ∞ P ( | K n − x | > δ ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0} לכל  δ > 0 {\displaystyle \delta >0} . יתרה מכך, הקשר מתקיים במידה שווה ב-x, כפי שניתן להראות מההוכחה בעזרת אי-שוויון צ'בישב, אם לוקחים בחשבון שהשונות של K / n {\displaystyle K/n} , השווה ל- x ( 1 − x ) / n {\displaystyle x(1-x)/n} , חסומה מלמעלה על ידי 1 / 4 n {\displaystyle 1/4n} ללא תלות ב-x. מכיוון ש-ƒ, הרציפה על תחום סגור וחסום, חייבת להיות רציפה במידה שווה על התחום, ניתן לנסח את הטענה כי lim n → ∞ P ( | f ( K n ) − f ( x ) | > ε ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0} במידה שווה ב-x. אם לוקחים בחשבון ƒ חסום (בקטע נתון), ניתן לצפות ל: lim n → ∞ E ( | f ( K n ) − f ( x ) | ) = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{E\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0} במידה שווה ב-x. כאן אפשר לראות כי התוחלת מתחלקת לשני חלקים. בחלק אחד ההפרש אינו עולה על ε; חלק זה יכול לתרום יותר מאשר ε. בעל החלק השני ההפרש עולה על ε, אך אינו עולה על 2M, כאשר M מהווה חסם עליון ל-|(ƒ(x)|; חלק זה אינו יכול לתרום יותר מ-2M פעמים את ההסתברות הקטנה כי ההפרש גדול מ-ε. לסיכום, ראינו כי הערך המוחלט של ההפרש בין התוחלות לא עולה אף פעם על התוחלת של הערך המוחלט של ההפרש, וכן כי E [ f ( K / n ) ] {\displaystyle E\left[f\left(K/n\right)\right]}  הוא בדיוק פולינום ברנשטיין B n ( f ) ( x ) {\displaystyle B_{n}(f)(x)} . ראו לדוגמה. עקום בזייה צורת לגראנז' מדיה וקבצים בנושא פולינום ברנשטיין בוויקישיתוף פולינום ברנשטיין, באתר MathWorld (באנגלית) Natanson (1964) p.6 Natanson (1964) p.3 Koralov, Leonid; Sinai, Yakov G. (10 באוגוסט 2007). Theory of Probability and Random Processes. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-68829-7. {{cite book}}: (עזרה); see page 29, Section "Probabilistic proof of the Weierstrass theorem".