אליפסואיד פואנסו

במכניקה קלאסית, אליפסואיד פואנסו (נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי לואי פואנסו) הוא שיטה גאומטרית להדמיה של התנועה של גוף קשיח מסתובב בהיעדר מומנט חיצוני. לתנועה זאת יש ארבעה קבועי תנועה: האנרגיה הקינטית הסיבובית של הגוף ושלושת הרכיבים של התנע הזוויתי שלו במערכת המעבדה. וקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} של הגוף איננו קבוע, אלא שהוא מקיים את משוואות הדינמיקה של אוילר. מבלי לפתור את המשוואות הללו באופן מפורש, לואי פואנסו היה מסוגל לדמיין את התנועה של נקודת הקצה של וקטור המהירות הזוויתית. למטרה זאת הוא נעזר בשימור האנרגיה הקינטית והתנע הזוויתי כאילוצים על התנועה של וקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} . אם הגוף המסתובב הוא סימטרי (בעל שני מומנטי התמד ראשיים שווים), אז הווקטור ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} יתאר חרוט (ונקודת הקצה שלו תתאר מעגל). זוהי התופעה הידועה כנקיפה בהיעדר מומנט חיצוני של ציר הסיבוב של הגוף. בהינתן גוף בעל צורה שרירותית, מומנטי ההתמד ביחס לצירים שונים שעוברים דרך מרכז המסה של הגוף לא יהיו שווים בהכרח. פיתוח מתמטי העושה שימוש בהגדרת התנע הזוויתי כמכפלה וקטורית מראה שבהינתן מהירות זוויתית ביחס לציר סיבוב מסוים, וקטורי התנע הזוויתי והמהירות הזוויתית לא יצביעו בהכרח באותו כיוון, אלא שהתנע הזוויתי מתקבל מן המהירות הזוויתית באמצעות טרנספורמציה ליניארית המתוארת כמטריצה סימטרית מסדר 3x3 המכונה טנזור ההתמד. אחד המשפטים המרכזיים של האלגברה הליניארית מראה שכל מטריצה סימטרית ממשית ניתנת ללכסון אורתוגונלי; עובדה זאת מפשטת את הטיפול בגופים כלליים במידה ניכרת, משום שהיא מראה שאת תכונות האינרציה הסיבובית של כל גוף, תהיה צורתו והתפלגות המסה אשר תהיה, ניתן לתאר בעזרת מערכת צירים קרטזית שציריה הם הוקטורים העצמיים של המטריצה המקורית. הווקטורים העצמיים הללו מכונים "צירים ראשיים" של הגוף והערכים העצמיים המתאימים להם מכונים "מומנטי התמד ראשיים". חוק שימור האנרגיה גורר שבהיעדר דיסיפציה של אנרגיה או מומנטים מופעלים, האנרגיה הקינטית הסיבובית T   {\displaystyle T\ } נשמרת, כך ש- d T d t = 0 {\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0} . האנרגיה הקינטית הסיבובית ניתנת לתיאור בעזרת תבנית ריבועית המערבת את טנזור ההתמד I {\displaystyle \mathbf {I} } ווקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} : T = 1 2 ω T ⋅ I ⋅ ω = 1 2 I 1 ω 1 2 + 1 2 I 2 ω 2 2 + 1 2 I 3 ω 3 2 {\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}^{T}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}} כאשר ω k   {\displaystyle \omega _{k}\ } הם רכיבי וקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} במערכת הצירים הראשיים, ו- I k   {\displaystyle I_{k}\ } הם מומנטי ההתמד הראשיים. לפיכך, שימור האנרגיה הקינטית מטיל אילוץ על וקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} ; במערכת הצירים הראשיים, הקצה שלו חייב להימצא על האליפסואיד המוגדר על ידי המשוואה לעיל, המכונה "אליפסואיד האינרציה". המסלול שמשרטט קצה וקטור המהירות הזוויתית על האליפסואיד מכונה polhode (מונח שנטבע בידי פואנסו משורשים יוונים בעבור הביטוי "מסלול קוטב") והוא עשוי להיות מעגלי או בעל צורה של טאקו. חוק שימור התנע הזוויתי קובע שבהיעדר מומנט חיצוני, וקטור התנע הזוויתי L {\displaystyle \mathbf {L} } נשמר במערכת ייחוס אינרציאלית, כך ש- d L d t = 0 {\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0} . וקטור התנע הזוויתי L {\displaystyle \mathbf {L} } ניתן לביטוי במונחי טנזור האינרציה I {\displaystyle \mathbf {I} } ווקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} : L = I ⋅ ω {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}} מה שמוביל למשוואה: T = 1 2 ω ⋅ L . {\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} .} מאחר שהמכפלה הסקלרית של ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} ו- L {\displaystyle \mathbf {L} } קבועה, ו- L {\displaystyle \mathbf {L} } בעצמו קבוע, לוקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} יש רכיב קבוע בכיוון וקטור התנע הזוויתי L {\displaystyle \mathbf {L} } . עובדה זו מטילה אילוץ שני על הווקטור ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} ; במרחב המוחלט (כלומר במערכת המעבדה), הוא חייב להימצא על מישור בלתי משתנה (באנגלית: invariable plane) המוגדר על ידי המכפלה הפנימית שלו עם הווקטור השמור L {\displaystyle \mathbf {L} } . הווקטור הנורמלי למישור הבלתי משתנה מקביל ל- L {\displaystyle \mathbf {L} } . המסלול שמשרטט וקטור המהירות הזוויתית על המישור הבלתי משתנה מכונה herpolhode. שני האילוצים שתוארו מקודם פועלים במערכות ייחוס שונות; האילוץ האליפסואידי תקף במערכת הצירים הראשיים (הסובבת) של הגוף, בעוד שהאילוץ של המישור הבלתי משתנה תקף במערכת המעבדה. כדי לקשור בין האילוצים האלה, נשים לב שוקטור הגרדיאנט של האנרגיה הקינטית ביחס לוקטור המהירות הזוויתית ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} שווה לוקטור התנע הזוויתי L {\displaystyle \mathbf {L} } : d T d ω = I ⋅ ω = L . {\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .} לפיכך, הווקטור הנורמלי לאליפסואיד האנרגיה הקינטית ב- ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} הוא פרופורציונלי ל- L {\displaystyle \mathbf {L} } , מה שנכון גם בעבור המישור הבלתי משתנה. מכיוון שהווקטורים הנורמליים שלהם מצביעים באותו הכיוון, שני המשטחים הללו יחתכו אחד את השני בצורה משיקית (כלומר, ייפגשו בנקודה אחת בלבד). כשמשלבים אותן יחדיו, תוצאות אלו מראות שבמערכת המעבדה, קצה וקטור המהירות הזוויתית הרגעי ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} הוא נקודת החיתוך בין מישור קבוע ואליפסואיד אנרגיה קינטית המשיק לו ומתגלגל עליו ללא החלקה. מכיוון שהאוריינטציה של האליפסואיד מתארת את האוריינטציה של הגוף, בנייה זאת מתארת את כל האוריינטציות האפשריות של הגוף במרחב. זוהי בניית פואנסו. במערכת הצירים הראשיים של הגוף (אשר מסתובבת ביחס למרחב המוחלט), וקטור התנע הזוויתי אינו נשמר אפילו בהיעדר מומנטים מופעלים, אלא משתנה בהתאם למשוואות אוילר. עם זאת, בהיעדר מומנטים חיצוניים, הגודל L   {\displaystyle L\ } של וקטור התנע הזוויתי והאנרגיה הקינטית T   {\displaystyle T\ } נשמרים שניהם: L 2 = L 1 2 + L 2 2 + L 3 2 T = L 1 2 2 I 1 + L 2 2 2 I 2 + L 3 2 2 I 3 {\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}} כאשר L k   {\displaystyle L_{k}\ } הם הרכיבים של וקטור התנע הזוויתי לאורך הצירים הראשיים של הגוף. חוקי שימור אלו שקולים לשני אילוצים על וקטור התנע הזוויתי התלת-ממדי L {\displaystyle \mathbf {L} } . שמירות האנרגיה הקינטית מאלצת את L {\displaystyle \mathbf {L} } להימצא על אליפסואיד, בעוד שאילוץ התנע הזוויתי מאלץ את L {\displaystyle \mathbf {L} } להימצא על ספירה. שני המשטחים הללו נחתכים לאורך שתי עקומות המעוצבות בצורה של טאקו, המגדירות את כל הפתרונות האפשריים בעבור L {\displaystyle \mathbf {L} } . זה מראה ש- L {\displaystyle \mathbf {L} } משרטט עקומה סגורה על האליפסואיד במערכת הייחוס המסתובבת של הגוף. לאוריינטציה של הגוף יש לפיכך שתי דרגות חופש. ראשית, נקודה כלשהי על היקף הטאקו צריכה להיבחר כדי לייצג את L {\displaystyle \mathbf {L} } , שהוא וקטור קבוע במרחב המוחלט. שנית, כאשר הווקטור במערכת הייחוס של הגוף שעובר דרך הנקודה הזאת מקובע, לגוף יכולה להיות כל זווית סיבוב ביחס לוקטור הזה. כך שבעקרון, אוריינטציית הגוף היא נקודה כלשהי על יריעה טורית דו-ממדית בתוך היריעה התלת-ממדית של כל האוריינטציות. באופן כללי, העצם יתאר מסלול לא מחזורי על הטורוס הזה (אך הוא עשוי גם לתאר מסלול מחזורי). אליפסואיד האינרציה של הגוף עשוי להיות כדור (כאשר כל מומנטי ההתמד הראשיים של הגוף שווים), ספרואיד (כאשר שניים מהם שווים והשלישי שונה) ואליפסואיד כללי (כאשר שלושתם שונים). במקרה הכללי ביותר, ניתן לתת תיאור איכותי לאופנים השונים שבהם ספירת התנע הזוויתי (האילוץ הראשון בפרק הקודם) יכולה לחתוך את אליפסואיד האנרגיה הקינטית: כאשר רדיוס ספירת התנע הזוויתי (גודל התנע הזוויתי) קרוב מספיק לאורך חצי הציר הראשי של האליפסואיד, עקומות החיתוך של הספירה והאליפסואיד יהיו לולאות קטנות מסביב לקצות הציר הראשי. בדומה לכך, אילו רדיוס ספירת התנע הזוויתי יהיה קטן מספיק, היא תחתוך את האליפסואיד בלולאה קטנה מסביב לציר המשני. העובדה שכאשר וקטור התנע הזוויתי סמוך לאחד מקצוות הציר הראשי או המשני נוצרות לולאות קטנות, ממחישה שאלו הם כיוונים יציבים. לעומת זאת, בעבור תחום ביניים של רדיוס ספירת התנע הזוויתי, כזה שעבורו אורך הרדיוס קרוב לאורך "ציר הביניים" של האליפסואיד (התואם למומנט ההתמד I 2 {\displaystyle I_{2}} כאשר I 1 < I 2 < I 3 {\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}} ), הספירה והאליפסואיד ייחתכו לאורך עקומות ארוכות המקיפות את האליפסואיד, ללא קשר למידת הקרבה של רדיוס ספירת התנע הזוויתי לאורך ציר הביניים (בשונ מהמצב בשני המקרים הקודמים, שם גודל הלולאה יחסי לסטייה של כיוון התנע הזוויתי מכיוון הציר המתאים). פירוש הדבר שכיוון ציר הביניים הוא כיוון לא יציב של וקטור התנע הזוויתי, כך שכל סטייה קטנה ממנו תתפתח לסטייה גדולה מכיוון התנע הזוויתי ההתחלתי. מכיוון שכיוון התנע הזוויתי קבוע במערכת המעבדה בעוד שאוריינטציית האליפסואיד קובעת למעשה את אוריינטציית הגוף במערכת המעבדה, בעבור וקטורי תנעים זוויתיים הסמוכים לציר הביניים תתפתח תופעה של מעין התנדנדות של הגוף, המכונה "אפקט דזניבקוב". הסרטון משמאל, מתאר ניסוי בתנאי כבידה אפסיים שנערך בחלל, המדגים את האפקט. אחד היישומים של בניית פואנסו הוא לצורך הדמיה של הסיבובים של רכב חלל במעופו. נקיפה טנזור התמד מכניקה של גוף קשיח