ת'אבת אבן קורה

ת'אבת אבן קורה (בערבית: ثابت بن قرة بن مروان, תעתיק מדויק: ת'אבִת בִן קֻרַה בִן מַרואן)‏ (826–901), היה מתמטיקאי ואסטרונום ערבי. ת'אבת נולד בחרן באשור (כיום טורקיה). הוא ותלמידיו עקרו לבגדאד, שהיה אז אחד המרכזים המדעיים החשובים בעולם, ושם למד וחקר אסטרונומיה, מתמטיקה, רפואה, תורת הנסתר ופילוסופיה. הוא למד יוונית ותרגם כתבים יווניים קדומים, בהם כתבי תלמי, אוקלידס וארכימדס. ת'אבת נולד בחרן שבמסופוטמיה, והשתייך לצאבאים של חרן. בנעורויו עבד ת'אבת כחלפן כספים בשוק, עד שנפגש עם מוחמד בן מוסא, המבוגר מבין בנו מוסא. בפגישתם ת'אבת הפגין כישורים לשוניים יוצאי דופן עד כדי כך שבן מוסא החליט לקחת אותו איתו לבגדאד על מנת שילמד מתמטיקה, אסטרונומיה ופילוסופיה בהדרכתם של בנו מוסא. קופרניקוס, שבחן טקסט בלטינית המיוחס לת'אבת, טוען כי ת'אבת קבע שאורכה של שנה הוא 365 ימים, 6 שעות, 9 דקות ו-12 שניות (טעות של 2 שניות). בפיזיקה, הוא התנגד לפיזיקה של אריסטו והציע תאוריה שלפיה תנועה כלפי מעלה וכלפי מטה נגרמת על ידי משקל וסדר היקום הוא תוצאה של שתי אינטראקציות: האחת בין גורמים שמימיים לארציים והשנייה בין כל החלקים של כל רכיב בנפרד. בתורת המספרים ידוע ת'אבת אבן קורה בגילויה של נוסחה שמגלה זוגות של מספרים ידידותיים: אם p = 3 ⋅ 2 n − 1 {\displaystyle \,p=3\cdot 2^{n}-1} q = 3 ⋅ 2 n − 1 − 1 {\displaystyle \,q=3\cdot 2^{n-1}-1} r = 9 ⋅ 2 2 n − 1 − 1 {\displaystyle \,r=9\cdot 2^{2n-1}-1} הם שלושתם מספרים ראשוניים, כאשר n > 1 {\displaystyle \,n>1} טבעי, אז המספרים 2 n r {\displaystyle \,2^{n}r} ו- 2 n p q {\displaystyle \,2^{n}pq} הם ידידים זה לזה. נוסחה זו נותנת למשל את הזוגות (220,284, n = 2 {\displaystyle n=2} ), (17296,18416, n = 4 {\displaystyle n=4} ) ו-(9363584,9437056, n = 7 {\displaystyle n=7} ), אך לא את זוג המספרים (6232,6368). כיוון ש - r {\displaystyle r} ראשוני המספרים המחלקים את 2 n r {\displaystyle 2^{n}r} הם 1 , 2 , 4 , . . . , 2 n {\displaystyle 1,2,4,...,2^{n}} ו- r , 2 r , 4 r , . . . , 2 n − 1 r {\displaystyle r,2r,4r,...,2^{n-1}r} . נחשב את סכומם: 1 + 2 + 4 + . . . + 2 n + r + 2 r + . . . + 2 n − 1 r = 2 n + 1 − 1 + ( 2 n − 1 ) r {\displaystyle 1+2+4+...+2^{n}+r+2r+...+2^{n-1}r=2^{n+1}-1+(2^{n}-1)r} זה בגלל שסכום החזקות של 2 {\displaystyle 2} עד 2 n {\displaystyle 2^{n}} הוא 2 n + 1 − 1 {\displaystyle 2^{n+1}-1} . 2 n + 1 − 1 + ( 2 n − 1 ) r = 2 n + 1 − 1 + 9 ⋅ 2 3 n − 1 − 2 n − 9 ⋅ 2 2 n − 1 + 1 = 2 n + 1 − 2 n + 9 ⋅ ( 2 3 n − 1 − 2 2 n − 1 ) = 2 n + 9 ⋅ ( 2 3 n − 1 − 2 2 n − 1 ) = 2 n p q {\displaystyle 2^{n+1}-1+(2^{n}-1)r=2^{n+1}-1+9\cdot 2^{3n-1}-2^{n}-9\cdot 2^{2n-1}+1=2^{n+1}-2^{n}+9\cdot (2^{3n-1}-2^{2n-1})=2^{n}+9\cdot (2^{3n-1}-2^{2n-1})=2^{n}pq} כלומר אכן סכום שהמחלקים של 2 n r {\displaystyle \,2^{n}r} הוא 2 n p q {\displaystyle \,2^{n}pq} . נראה שסכום המחלקים של 2 n p q {\displaystyle \,2^{n}pq} הוא 2 n r {\displaystyle \,2^{n}r} ונסיים את ההוכחה. כיוון ש - p , q {\displaystyle p,q} ראשוניים המספרים המחלקים את 2 n p q {\displaystyle \,2^{n}pq} הם 1 + 2 + . . . + 2 n = 2 n + 1 − 1 , q ⋅ ( 2 n + 1 − 1 ) , p ⋅ ( 2 n + 1 − 1 ) , p q ⋅ ( 2 n − 1 ) {\displaystyle 1+2+...+2^{n}=2^{n+1}-1,q\cdot (2^{n+1}-1),p\cdot (2^{n+1}-1),pq\cdot ({2^{n}}-1)} נחשב את סכומם: ( 2 n + 1 − 1 ) ⋅ ( p + q + 1 ) + 2 n p q − p q = ( 2 n + 1 − 1 ) ⋅ ( 3 ⋅ ( 2 n + 2 n − 1 ) − 1 ) + 9 ⋅ ( 2 3 n − 1 − 2 2 n − 1 ) + 2 n − 9 ⋅ 2 2 n − 1 + 9 ⋅ 2 n − 1 − 1 {\displaystyle (2^{n+1}-1)\cdot (p+q+1)+2^{n}pq-pq=(2^{n+1}-1)\cdot (3\cdot ({2^{n}+2^{n-1})}-1)+9\cdot (2^{3n-1}-2^{2n-1})+{2^{n}}-9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}-1} = 9 ⋅ 2 2 n − 9 ⋅ 2 n − 1 − 2 n + 1 + 1 + 9 ⋅ 2 3 n − 1 − 2 ⋅ 9 ⋅ 2 2 n − 1 + 9 ⋅ 2 n − 1 + 2 n = {\displaystyle ={9\cdot 2^{2n}-9\cdot {2^{n-1}}-2^{n+1}+1+9\cdot 2^{3n-1}-2\cdot 9\cdot 2^{2n-1}+9\cdot 2^{n-1}+{2^{n}}}=} ( 2 ⋅ 9 ⋅ 2 2 n − 1 − 2 ⋅ 9 ⋅ 2 2 n − 1 ) + ( 9 ⋅ 2 n − 1 − 9 ⋅ 2 n − 1 ) + ( 2 n − 2 ⋅ 2 n ) + 9 ⋅ 2 3 n − 1 = 9 ⋅ 2 3 n − 1 − 2 n = 2 n r {\displaystyle (2\cdot 9\cdot 2^{2n-1}-2\cdot 9\cdot 2^{2n-1})+(9\cdot 2^{n-1}-9\cdot 2^{n-1})+(2^{n}-2\cdot 2^{n})+9\cdot 2^{3n-1}=9\cdot 2^{3n-1}-2^{n}=2^{n}r} בגאומטריה, הוכיח ת'אבת משפט המכליל את משפט פיתגורס למשולש כללי: מקודקוד A של משולש ABC נעביר שני ישרים Ag ו-Ah כך ש: ∠ B A C = ∠ B g A = ∠ C h A = α {\displaystyle \angle {BAC}=\angle {BgA}=\angle {ChA}=\alpha } (בציור מימין, דוגמה עבור המקרה הפרטי שבו α {\displaystyle \alpha } היא זווית קהה). אזי A B 2 + A C 2 = B C ⋅ ( B g + C h ) {\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC\cdot (Bg+Ch)} . המשפט מתקבל לאחר הוכחה שהמשולשים AgB, CAB, ChA דומים. במקרה הפרטי, שבו הזווית α {\displaystyle \alpha } היא זווית ישרה, הנקודות g, h מתלכדות, ואז B g + C h = B C {\displaystyle Bg+Ch=BC} ומקבלים את משפט פיתגורס. ת'אבת אבן קורה, באתר MacTutor (באנגלית) ת'אבת אבן קורה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקאים. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.