משוואת דרסי-ויסבך

משוואת דרסי-ויסבך (באנגלית :Darcy–Weisbach equation) משמשת בהידרודינמיקה לכמת את מפל העומד (Head Loss), או מפל הלחץ (Pressure Loss) בצינור, כתוצאה מחיכוך בדפנות, עבור מהירות ממוצעת של הזורם בצינור. משוואה זו נקראת על שמם של אנרי דרסי (Henry Darcy) ויוליוס ויסבך (Julius Weisbach). משוואת דרסי-ויסבך מכילה מקדם חיכוך אל-ממדי, לו קוראים מקדם החיכוך של דרסי (Darcy Friction Factor), ובנוסף ידוע גם כפקטור חיכוך דרסי-ויסבך (Darcy-Weisbach friction factor), או מקדם חיכוך מודי (Moody Friction Factor). בנוסף למקדם זה קוראים לפעמים ה-Blasius Friction Factor. אין להתבלבל בין מקדם דרסי למקדם חיכוך של פאנינג (Fanning friction factor), שהוא רבע מערכו של מקדם דרסי. ניתן לחשב את מפל הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך על פי משוואת דרסי-ויסבך לפי: Δ P = f D ⋅ L D ⋅ ρ V 2 2 {\displaystyle \Delta P=f_{D}\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho V^{2}}{2}}} כאשר: Δ P {\displaystyle \Delta P} - מפל הלחץ בצינור כתוצאה מחיכוך בדפנות (ביחידות של P a {\displaystyle Pa} ) f D {\displaystyle f_{D}} - מקדם החיכוך של דרסי – מקדם אל-ממדי (עבור זרימה למינרית או טורבולנטית) L D {\displaystyle {\frac {L}{D}}} -יחס בין אורך הצינור לקוטרו ההידראולי ρ {\displaystyle \rho } - צפיפות הנוזל (ביחידות של k g m 3 {\displaystyle {\frac {kg}{m^{3}}}} ) V {\displaystyle V} - המהירות הממוצעת של הזורם בצינור (ביחידות של m s {\displaystyle {\frac {m}{s}}} ) את המקדם f D {\displaystyle f_{D}}  ניתן למצוא מדיאגרמות מודי או על ידי פתרון ה- Modified Colebrook Equation. ניתן לעבור מתצוגה זו לתצוגת מפל העומד על ידי חלוקה ב ρ ⋅ g {\displaystyle \rho \cdot g} . כאמור לעיל, ניתן לחשב גם את מפל העומד בצינור כתוצאה מהחיכוך לפי משוואת דרסי-ויסבך, לפי: Δ P = ρ ⋅ g ⋅ h f {\displaystyle \Delta P=\rho \cdot g\cdot h_{f}} או h f = Δ P ρ ⋅ g {\displaystyle h_{f}={\frac {\Delta P}{\rho \cdot g}}} ונקבל: h f = f ⋅ L D ⋅ V 2 2 g {\displaystyle h_{f}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {V^{2}}{2g}}} כאשר: h f {\displaystyle h_{f}} – מפל העומד בצינור כתוצאה מחיכוך בדפנות (ביחידות של m {\displaystyle m} ) f D {\displaystyle f_{D}} – מקדם החיכוך של דרסי (עבור זרימה למינרית או טורבולנטית) L {\displaystyle L} – אורך הצינור (ביחידות של m {\displaystyle m} ) D {\displaystyle D} – הקוטר ההידראולי של הצינור (עבור צינור בעל חתך עגול זהו קוטרו הפנימי, עבור צורות אחרות ניתן להשתמש בקוטר אפקטיבי) (ביחידות של m {\displaystyle m} ) g {\displaystyle g} – תאוצת הכובד (ביחידות של m s 2 {\displaystyle {\frac {m}{s^{2}}}} ) V {\displaystyle V} - המהירות הממוצעת של הזורם בצינור (ביחידות של m s {\displaystyle {\frac {m}{s}}} ) מקדם החיכוך f D {\displaystyle f_{D}}  הוא מקדם אל-ממדי התלוי בגאומטריית הצינור, ובמהירות הזורם הנע בתוכו. גודלו ידוע בדיוק גבוה עבור משטרי זרימה מסוימים. ניתן להעריך את גודל מקדם החיכוך בעזרת מספר שיטות אמפיריות או קשרים תאורטיים, או בעזרת טבלאות וגרפים שפורסמו. הצורה הנפוצה ביותר למציאת מקדם זה הוא בעזרת דיאגרמת מודי (Moody Diagram), על שמו של Lewis Ferry Moody, ומסיבה זו לפעמים מקדם החיכוך נקרא על שמו של מודי ולא של דרסי-ויסבך. עבור זרימות איטיות ולמינריות, הגודל של f D {\displaystyle f_{D}}  נקבע לפי חוק פואזיל (Poiseuille's Law), ומקבלים: f D = 64 R e {\displaystyle f_{D}={\frac {64}{Re}}} כאשר: f D {\displaystyle f_{D}} – מקדם החיכוך של דרסי R e {\displaystyle Re} – מספר ריינולדס של הזורם, המחושב כאשר האורך האופייני הוא קוטר הצינור ההידראולי עבור זרימה טורבולנטית, ניתן לחשב את f D {\displaystyle f_{D}}  מתוך דיאגרמות מודי, או מפתרונות משוואות כמו משוואת קולברוק (Colebrook-White Equation),  או משוואת סוואמי-ג'יין (Swamee-Jain Equation). מקדם החיכוך של דרסי גדול פי ארבעה ממקדם החיכוך של Fanning, כלומר: f D = 4 ⋅ f {\displaystyle f_{D}=4\cdot f} בעיון בדיאגרמות מודי למציאת גודל החיכוך, יש לבדוק אם הדיאגרמה היא עבור המקדם של Darcy או Fanning. מקדם Darcy משמש בדרך כלל בתחום הנדסת המכונות וההנדסה האזרחית, לעומת מקדם Fanning המשמש יותר להנדסה כימית. נשים לב: Δ P = f D ⋅ L D ⋅ 2 ⋅ ρ ⋅ V 2 {\displaystyle \Delta P=f_{D}\cdot {\frac {L}{D}}\cdot 2\cdot \rho \cdot V^{2}} עבור זרימה למינרית, ראינו כי f D = 64 R e {\displaystyle f_{D}={\frac {64}{Re}}}  ולכן נקבל כי מקדם Fanning הוא f = 16 R e {\displaystyle f={\frac {16}{Re}}} . ניעזר בתוצאה זו כדי לזהות באיזה מקדם דיאגרמת המודי משתמשת, לפי האלגוריתם הבא: מצא את ערך מקדם החיכוך עבור זרימה למינרית בעלת מספר ריינולדס של 1000. אם ערך המקדם הוא 0.064 {\displaystyle 0.064} , ניתן להסיק שמדובר במקדם דרסי - f D {\displaystyle f_{D}} . אם ערך המקדם הוא 0.016 {\displaystyle 0.016} , ניתן להסיק שמדובר במקדם Fanning – f {\displaystyle f} . משוואת דרסי-ויסבך היא וריאציה על משוואת פרוני (Prony Equation): h f = L D ⋅ ( a V + b V 2 ) {\displaystyle h_{f}={\frac {L}{D}}\cdot (aV+bV^{2})} כאשר: h f {\displaystyle h_{f}} – מפל העומד בצינור L D {\displaystyle {\frac {L}{D}}} – יחס אורך הצינור לקוטרו V {\displaystyle V} – המהירות הממוצעת של הזורם בצינור a , b {\displaystyle a,b} – קבועים הנקבעים אמפירית וריאציה ראשונית ומשופרת פותחה על ידי אנרי דרסי, מהנדס צרפתי שחי במאה ה-19, הידוע גם בזכות גילוי חוק דרסי עבור זרימת נוזלים במצע נקבובי, ולאחר מכן שופרה שוב לצורתה הסופית על ידי יוליוס ויסבך בשנת 1845. במקור, מידע על השתנות f D {\displaystyle f_{D}}  כתלות במהירות הייתה חסר, ולכן בשנים הראשונות שאחרי הצעתו של ויסבך לתיקון המשוואה, תוצאות של Prony עדיין סיפקו דיוק יותר טוב. בשנים שאחרי, עקב קשיים בחישוב, היה נוח לרוב להשתמש בתוצאות אמפיריות התקפות למשטרי זרימה ספציפיים, כמו משוואת היזן-ויליאמס (Hazen-Williams Equation) או משאוות מנינג (Manning Equation), שהקלו על החישוב המתמטי. אך כאשר מחשבונים נהיו נגישים לציבור הרחב, משוואת דרסי-ויסבך נהפכה לדומיננטית, כתוצאה מהטווח הרחב שעבורו היא תקפה. משוואה זו פותחה בעזרת אנליזת סדרי-גודל. באזורים רחוקים מקצוות הצינור, מתקבלת זרימה מפותחת לאורך הצינור, כלומר פרופיל הזרימה ותכונותיו לא משתנות כתלות במיקום לאורך הצינור. כתוצאה מכך, הפרמטרים החשובים לחישוב הזרימה הם מפל הלחץ ליחידת אורך בצינור - Δ P L {\displaystyle {\frac {\Delta P}{L}}} , והספיקה הנפחית של הזורם בצינור. ניתן להמיר את הספיקה הנפחית למהירות ממוצעת על ידי חלוקתה בשטח הרטוב של הצינור, השקול לשטח החתך שבצינור עבור צינור מלא בנוזל. ללחץ יש יחידות של אנרגיה ליחידת נפח: [ Δ P ] = N m 2 = N m 2 ⋅ m m = N ⋅ m m 3 = J m 3 {\displaystyle [\Delta P]={\frac {N}{m^{2}}}={\frac {N}{m^{2}}}\cdot {\frac {m}{m}}={\frac {N\cdot m}{m^{3}}}={\frac {J}{m^{3}}}} לכן, מפל המתח בין 2 נקודות לאורך הצינור צריך להיות פרופורציונלי ל- 1 2 ⋅ ρ ⋅ V 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot V^{2}} , ביחידות של אנרגיה קינטית ליחידת נפח. בנוסף אנו יודעים כי מפל הלחץ פרופורציונלי לאורך הצינור, כאשר מפל הלחץ ליחידת אורך הוא קבוע. על מנת להפוך קשר זה לקשר אל-ממדי, ננרמל את L {\displaystyle L}  – אורך הצינור, לפי D {\displaystyle D}  – קוטר הצינור, כאשר גם הוא קבוע לאורך הצינור. נקבל: Δ P ∝ L D ⋅ 1 2 ⋅ ρ ⋅ V 2 {\displaystyle \Delta P\propto {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot V^{2}} את קבוע הפרופורציה נגדיר כמקדם החיכוך של דרסי אותו חיפשנו - f D {\displaystyle f_{D}} . מספר אל-ממדי זה הוא פונקציה של מספר גדלים גאומטריים וקבועים נוספים, כגון π {\displaystyle \pi } , מספר ריינולדס, ו- e {\displaystyle e}  - החספוס היחסי של הצינור (גובה החספוס חלקי הקוטר). חשוב לציין כי הגודל 1 2 ⋅ ρ ⋅ V 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot V^{2}} אינו האנרגיה הקינטית ליחידת נפח של הזורם בצינור, עקב מספר סיבות: במקרה של זרימה למינרית, שבה כל קווי הזרם מקבילים לאורך הצינור, מהירות הנוזל בצמוד לדפנות אפס כתוצאה מתנאי אי-החלקה עקב צמיגות הנוזל. לכן נקבל כי מהירות הנוזל במרכז הצינור תהיה גדולה מהמהירות הממוצעת בצינור, המתקבלת מחלוקת הספיקה הנפחית בשטח הרטוב של הצינור. לכן האנרגיה הקינטית הממוצעת תלויה בממוצע הריבועי של המהירות, שתמיד גדול מריבוע המהירות הממוצעת. במקרה של זרימה טורבולנטית, הזורם מקבל מהירויות אקראיות לכל הכיוונים, כולל בניצב לאורך הצינור, ולכן הטורבולנציה מגדילה את האנרגיה הקינטית ליחידת נפח בזורם, אך אינה מגדילה את המהירות הממוצעת של הזורם שבכיוון אורך הצינור. עבור יישומים הידראוליים בהנדסה, נוח ורצוי לבטא את מפל העומד או הלחץ כתלות בספיקה הנפחית שבצינור. לשם כך אנו נדרשים להחליף את המהירות המופיעה במשוואת דרסי-ויסבך בספיקה ובשטח הרטוב: V = Q A w {\displaystyle V={\frac {Q}{A_{w}}}} כאשר: V {\displaystyle V} – המהירות הממוצעת של הזורם לאורך הצינור (ביחידות של m s {\displaystyle {\frac {m}{s}}} ) Q {\displaystyle Q} – הספיקה הנפחית של הזורם בצינור (ביחידות של m 3 s {\displaystyle {\frac {m^{3}}{s}}} ) A w {\displaystyle A_{w}} – השטח הרטוב בצינור (ביחידות של m 2 {\displaystyle m^{2}} ) עבור המקרה הכללי, נצטרך לדעת מה השטח הרטוב בפועל, התלוי ספיקה, בשיפוע הצינור, צורת החתך, ובעוד גורמים. אם נניח שהצינור בעל פרופיל מעגלי ומלא לחלוטין בזורם, ניתן לקבל: A w 2 = ( π D 2 4 ) 2 = π 2 D 4 16 {\displaystyle A_{w}^{2}=({\frac {\pi D^{2}}{4}})^{2}={\frac {\pi ^{2}D^{4}}{16}}} כאשר D {\displaystyle D}  הוא קוטר הצינור. אם נציב תוצאה זו למשוואת מפל העומד של דרסי-ויסבך, נקבל כי: h f = 8 f D L Q 2 g π 2 D 5 {\displaystyle h_{f}={\frac {8f_{D}LQ^{2}}{g\pi ^{2}D^{5}}}} כאשר משמעות כל אחד הפרמטרים הוגדרה לעיל. ניתן גם לקבל את מפל הלחץ לפי: Δ P = 8 π 2 ⋅ f D ⋅ L D ⋅ ρ ⋅ Q 2 D 4 {\displaystyle \Delta P={\frac {8}{\pi ^{2}}}\cdot f_{D}\cdot {\frac {L}{D}}\cdot \rho \cdot {\frac {Q^{2}}{D^{4}}}} 1982 Handbook of Hydraulics by Ernest F. Brater and Horace Williams King.Sixsth Edition. McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-007243-4 פרק 6. ההיסטוריה של משוואת דרסי ויסבך, באנגלית מחשבון ברשת לחישוב מפל לחץ בצינור באנגלית מחשבון ברשת לחישוב משוואת דרסי וויסבך, באנגלית תאוריית מפלי הלחץ בצנרת, באנגלית