קשר טורוס

בתורת הקשרים, קשר טורוס (Torus Knot) הוא סוג של קשר עליו ניתן לחשוב כמסתובב סביב הצירים האנכי והאופקי בתוך טורוס. למשל, קשר התלתן (trefoil knot) הוא ( 2 , 3 ) {\displaystyle (2,3)} קשר. קשר טורוס מוגדר מטיפוס נתון ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} , עבור שני מספרים זרים p , q {\displaystyle p,q} . אינטואיטיבית, ניתן להגדיר קשר טורוס בתור קשר היושב בתוך טורוס, ועושה p {\displaystyle p} ליפופים בכיוון הציר האופקי של הטורוס ו- q {\displaystyle q} ליפופים בכיוון הציר האנכי שלו. פורמלית, אם נשתמש בכך שמתקיים S 3 ≅ S 1 ∗ S 1 = S 1 × S 1 × I / { ( x 0 , y , 0 ) ∼ ( x 0 , y ′ , 0 ) , ( x , y 0 , 1 ) ∼ ( x ′ , y 0 , 1 ) } {\displaystyle S^{3}\cong S^{1}*S^{1}=S^{1}\times S^{1}\times I/\{(x_{0},y,0)\sim (x_{0},y',0),(x,y_{0},1)\sim (x',y_{0},1)\}} , ניתן להגדיר T p , q : S 1 → S 3 {\displaystyle T_{p,q}:S^{1}\to S^{3}} על ידי t ↦ ( p t , q t , 1 2 ) {\displaystyle t\mapsto (pt,qt,{\frac {1}{2}})} . ניתן גם לתת הצגה פרמטרית לקשר הטורוס: x = r cos ⁡ ( p ϕ ) {\displaystyle x=r\cos(p\phi )} y = r sin ⁡ ( p ϕ ) {\displaystyle y=r\sin(p\phi )} z = − sin ⁡ ( q ϕ ) {\displaystyle z=-\sin(q\phi )} כאשר r = c o s ( q ϕ ) + 2 {\displaystyle r=cos(q\phi )+2} , ותחום הפרמטר הוא 0 ≤ ϕ < 2 π {\displaystyle 0\leq \phi <2\pi } . במקרה של קשרי טורוס, חבורת הקשר מאפשרת לבצע מיון מלא. חבורת הקשר של קשר הטורוס מטיפוס ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} היא G p , q = ⟨ x , y ∣ x p = y q ⟩ {\displaystyle G_{p,q}=\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle } . ניתן לראות זאת באמצעות משפט ואן קמפן - לוקחים את הסביבות U 1 , U 2 {\displaystyle U_{1},U_{2}} להיות טורוס מלא בלי הקשר (יושבים בתוך S 3 {\displaystyle S^{3}} ). הקשר יושב על השפה של הטורוס המלא, ולכן החבורה של כל אחת מהסביבות - היא החבורה של המשלים של הקשר בתוך הטורוס המלא - היא Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , כחבורה של הטורוס המלא. כעת, ההעתקות שיש להבין מהחיתוך (שהוא שוב מעגל) אל כל אחת מהסביבות הן בדיוק הליפוף p {\displaystyle p} פעמים סביב החלק האופקי ו- q {\displaystyle q} ליפופים סביב החלק האנכי, ולכן לפי המשפט החבורה היא G p , q = ⟨ x , y ∣ x p = y q ⟩ {\displaystyle G_{p,q}=\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle } . יתרה מזאת, החבורה הזו גם קובעת את קשר הטורוס - שתי חבורות G p , q , G p ′ , q ′ {\displaystyle G_{p,q},G_{p',q'}} הן איזומורפיות אם ורק אם הטיפוס בערך המוחלט זהה (פרט למקרה שבו אחד המספרים הוא ± 1 {\displaystyle \pm 1} , ואז הקשר הוא טריוויאלי). כדי לראות זאת, יש להביט בתת-הקבוצה C = ⟨ x p ⟩ ⊆ G p , q {\displaystyle C=\langle x^{p}\rangle \subseteq G_{p,q}} - היא במרכז והיא תת-חבורה נורמלית, ומתקיים G p , q / C ≅ Z / p Z ∗ Z / q Z {\displaystyle G_{p,q}/C\cong \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} *\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} } (המכפלה החופשית של החבורות). היות שלחבורה Z / p Z ∗ Z / q Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} *\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} } בעלת מרכז טריוויאלי, נובע כי C {\displaystyle C} שווה למרכז של החבורה. כעת, אם G p , q ≅ G p ′ , q ′ {\displaystyle G_{p,q}\cong G_{p',q'}} אז גם Z / p Z ∗ Z / q Z ≅ Z / p ′ Z ∗ Z / q ′ Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} *\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /p'\mathbb {Z} *\mathbb {Z} /q'\mathbb {Z} } , ולכן הזוגות שווים עד כדי סימן. כדי להשלים את המיון יש לדבר על קשרי טורוס עם אוריינטציה - כאן יש להבדיל גם בין הקשרים משוקפים ( p , q ) , ( p , − q ) {\displaystyle (p,q),(p,-q)} (וכנ"ל ברכיב השני). טיפוס קשר הטורוס חייב לכלול שני מספרים זרים - אחרת יש לצורה הגאומטרית המתקבלת מספר רכיבים ולכן היא מהווה שזר (Link). קשרי טורוס הם הדוגמה היחידה לקשרים עבורם חבורת הקשר היא בעלת מרכז לא טריוויאלי. כל קשר טורוס לא טריוויאלי הוא ראשוני (כלומר לא ניתן לכתוב אותו כסכום קשיר של שני קשרים לא טריוויאליים) וכירלי (כלומר לא שקול לשיקוף של עצמו). כל קשר טורוס ניתן להציג כצמה עם p {\displaystyle p} יוצרים: ( σ 1 ⋅ ⋯ ⋅ σ p − 1 ) q − 1 {\displaystyle (\sigma _{1}\cdot \dots \cdot \sigma _{p-1})^{q-1}} . מספר ה-crossings של קשר טורוס הוא min ( q ( p − 1 ) , p ( q − 1 ) ) {\displaystyle \min {(q(p-1),p(q-1))}} . הגנוס של קשר טורוס הוא 1 2 ( p − 1 ) ( q − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(p-1)(q-1)} . פולינום אלכסנדר שלו הוא ( t p q − 1 ) ( t − 1 ) ( t p − 1 ) ( t q − 1 ) {\displaystyle {\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}}} , ופולינום ג'ונס שלו הוא t ( p − 1 ) ( q − 1 ) / 2 1 − t p + 1 − t q + 1 + t p + q 1 − t 2 {\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}} . Rolfsen, Dale (1990), Knots and links, Mathematics Lecture Series, vol. 7, Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-16-4 קשר טורוס, באתר MathWorld (באנגלית)