סריג (גאומטריה)

בגאומטריה ויישומיה הפיזיקליים, סריג הוא מבנה אינסופי מחזורי, המתאפיין בכך שהזזות בכיוונים שונים מותירות אותו בעינו. מלבד העניין הגאומטרי, הקושר בין סריגים לבין ריצופים מחזוריים של המרחב, סריגים מופיעים בתחומים שונים של המתמטיקה, כגון תורת המספרים, תורת החבורות וטופולוגיה. לסריגים יש גם יישומים חשובים בפיזיקה, ובפרט בקריסטלוגרפיה. עולם המעשה סופי מטבעו ואינו יכול להכיל סריגים אמיתיים, אולם תהליכים טבעיים ותהליכי ייצור ממוכנים מעדיפים במקרים רבים פעילות מחזורית, ולכן אנו מוקפים בחלקי סריגים מסוגים שונים. נקודות המפגש של הקווים בדף משבצות הן דוגמה לסריג מישורי. מרכזיהם של תפוזים המסודרים בערימה מהווים חלק מסריג מרחבי, ונקודות ההשקה של התפוזים הן חלק מסריג מרחבי אחר. סריג במרחב האוקלידי ה-n-ממדי הוא קבוצה המקיימת אחת מן ההגדרות השקולות הבאות: תת חבורה דיסקרטית של המרחב (ביחס לטופולוגיה המטרית הרגילה, ופעולת החיבור הווקטורי הרגיל), שאינה מוכלת באף תת-מרחב שלו (מלבד המרחב כולו). תת-חבורה נוצרת סופית, שאינה מוכלת באף תת-מרחב. הגדרות אלה מתאימות להכללות שונות של מושג הסריג: ההגדרה הראשונה מתארת סריגים בחבורה הטופולוגית   R n {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} . במקרה שהשיעורים של כל הנקודות בסריג הם רציונליים, מתקבל סריג במרחב הווקטורי   Q n {\displaystyle \ \mathbb {Q} ^{n}} מעל חוג המספרים השלמים. להלן הגדרה שלישית, ומפורשת יותר: סריג הוא קבוצה מהצורה   { a 1 v 1 + ⋯ + a n v n : a 1 , … , a n ∈ Z } {\displaystyle \ \{a_{1}v_{1}+\dots +a_{n}v_{n}:a_{1},\dots ,a_{n}\in \mathbb {Z} \}} , כאשר   { v 1 , … , v n } {\displaystyle \ \{v_{1},\dots ,v_{n}\}} הוא בסיס של המרחב האוקלידי מעל הממשיים. הסריג מורכב, אם כך, מן הצירופים הליניאריים בעלי מקדמים שלמים של וקטורי הבסיס. וקטורי הבסיס של הסריג,   v 1 , … , v n {\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}} , מתארים מקבילון n-ממדי, הנקרא מקבילון יסודי של הסריג. הזזות של המקבילון היסודי בוקטורי הסריג יוצרות ריצוף של המרחב. קבוע הרמיט מתאר את היחס בין אורך הצלע הקצרה במקבילון היסודי (ה"קצר" ביותר) של סריג לבין הנפח שלו. מהגדרות אלה נובע שכל סריג כולל את נקודת האפס של המרחב. לעיתים נחשבת גם הזזה של סריג כזה לסריג, ואז מתקבלת הגדרה כללית מעט יותר. באופן כללי, סריג, בתוך חבורת לי או חבורה אלגברית, מוגדר כתת-חבורה דיסקרטית מקו-נפח סופי, בפרט אם התת-חבורה היא קו-קומפקטית היא סריג. אם הסריג הוא קוקומפקטי, הוא נקרא גם בשם סריג אוניפורמי. כתוצאה מכך, ישנם סריגים לא קוקומפקטיים, למשל ניתן להראות כי S L n ( Z ) {\displaystyle SL_{n}(\mathbb {Z} )} היא סריג לא אוניפורמי בתוך S L n ( R ) {\displaystyle SL_{n}(\mathbb {R} )} , לסריג זה משמעויות חשובות בדינמיקה ובתורת המספרים. באופן כללי, תורת בורל-האריש-צ'אנדרה קובעת כי אם G {\displaystyle G} חבורה אלגברית פשוטה למחצה, אזי הנקודות השלמות G ( Z ) {\displaystyle G(\mathbb {Z} )} מהוות סריג בתוך הנקודות הממשיות G ( R ) {\displaystyle G(\mathbb {R} )} . משפט הקשיחות של מרגוליס קובע כי בחבורות "נחמדות מספיק", כל הסריגים הם אריתמטיים, כלומר דומים מאוד ל- G ( Z ) {\displaystyle G(\mathbb {Z} )} , עבור חבורה כזאת. אם A היא מטריצה שעמודותיה   v 1 , … , v n {\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}} מן ההגדרה השלישית, ו- x וקטור עמודה, שרכיביו   a 1 , … , a n {\displaystyle \ a_{1},\dots ,a_{n}} , אז המכפלה   A x {\displaystyle \ Ax} מייצגת איבר כללי של הסריג הנפרש על ידי   v 1 , … , v n {\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}} . אם כך, הסריג הוא אוסף הנקודות   Λ = L Z n {\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}} , כאשר   Z n {\displaystyle \ \mathbb {Z} ^{n}} הוא אוסף וקטורי העמודה באורך n עם רכיבים שלמים. זהו סריג אם ורק אם L היא מטריצה הפיכה (מעל הממשיים). תיאור זה אינו יחיד: אם מחליפים את המטריצה L במכפלה LP, כאשר P מטריצה הפיכה מעל השלמים, אז מתקבל בדיוק אותו סריג, עם מקבילון יסודי אחר (אך בעל אותו נפח). עובדה זו מאפשרת לתאר את מרחב כל הסריגים כמרחב הקוסטים השמאליים   GL n ⁡ ( R ) / GL n ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )} . הדטרמיננטה של L שווה לנפחו של מקבילון יסודי בסריג ש- L מגדיר. חשיבותם הרבה של סריגים היא בסימטריות שלהם. בדומה לסימטריות של המרחב האוקלידי כולו, הסימטריות של הסריג מורכבות מסימטריות של הזזה, סימטריות של סיבוב, וההרכבות של שני סוגים אלו. סימטריות של הזזה הן אלו המתקבלות מהוספת וקטור קבוע לכל נקודות הסריג. ההזזה ב- v היא סימטריה של סריג   Λ {\displaystyle \ \Lambda } אם ורק אם   v ∈ Λ {\displaystyle \ v\in \Lambda } , ומכאן נובע שחבורת סימטריות ההזזה של סריג איזומורפית לסריג עצמו. סימטריות של סיבובים הן אלו השומרות על נקודת האפס של הסריג במקומה. כל סריג עובר לעצמו תחת שיקוף, ולכן חבורת סימטריות הסיבוב כוללת לפחות שני איברים (השיקוף, והפעולה הטריוויאלית). אפשר לתאר סימטריה של סיבוב כפעולת כפל (משמאל) במטריצה אורתוגונלית, כלומר, מטריצה השייכת לחבורה הקומפקטית   O n ( R ) = { A ∈ GL n ⁡ ( R ) : A t A = I } {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )=\{A\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} ):A^{t}A=I\}} . כפל במטריצה A כזו שומר על הסריג   Λ = L Z n {\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}} , אם ורק אם קיימת מטריצה הפיכה מעל השלמים,   P ∈ GL n ⁡ ( Z ) {\displaystyle \ P\in \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )} , כך ש-   A L = L P {\displaystyle \ AL=LP} , דהיינו, אם   A ∈ L ⋅ GL n ⁡ ( Z ) ⋅ L − 1 {\displaystyle \ A\in L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}} . מכאן שחבורת הסימטריות הנקודתיות של   Λ = L Z n {\displaystyle \ \Lambda =L\mathbb {Z} ^{n}} שווה לחיתוך   O n ( R ) ∩ L ⋅ GL n ⁡ ( Z ) ⋅ L − 1 {\displaystyle \ O_{n}(\mathbb {R} )\cap L\cdot \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cdot L^{-1}} . זהו חיתוך של תת-חבורה דיסקרטית של   GL n ⁡ ( R ) {\displaystyle \ \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )} עם תת-חבורה קומפקטית, ולכן חבורת סימטריות הסיבוב של סריג היא חבורה סופית. חבורת הסימטריות הכללית היא הרחבה של חבורת סימטריות הסיבוב בחבורת סימטריות ההזזה. סריג (תורת החבורות) סריג (אלגברה) חבורת סימטריות סריגי בראבה - מיון של הסריגים במרחב התלת-ממדי A. Borel and Harish-Chandra, Arithmetic subgroups of algebraic groups, July 22, 1961.