נוסחת האינטגרל החוזר של קושי

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, נוסחת האינטגרל החוזר של קושי היא נוסחה המאפשרת לחשב את התוצאה של הפעלה חוזרת ונשנית של אינטגרל על פונקציה ממשית. הנוסחה קובעת כי: ∫ a x ∫ a σ 1 ∫ a σ 2 ⋯ ∫ a σ n − 1 f ( σ n ) d σ n d σ n − 1 … d σ 1 = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle \int \limits _{a}^{x}\int \limits _{a}^{\sigma _{1}}\int \limits _{a}^{\sigma _{2}}\cdots \int \limits _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})d\sigma _{n}d\sigma _{n-1}\ldots d\sigma _{1}={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt} נוסחה זו היא הבסיס להגדרת אינטגרל רימן-ליוביל. הנוסחה נוסחה לראשונה על-ידי אוגוסטן לואי קושי בשנת 1823. בהינתן שני מספרים ממשיים c < d ∈ R {\displaystyle c<d\in \mathbb {R} } מסמנים ב- L 1 ( [ c , d ] ) {\displaystyle L^{1}([c,d])} את מרחב הפונקציות הממשיות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע [ c , d ] {\displaystyle [c,d]} . עבור מספר ממשי a ∈ [ c , d ] {\displaystyle a\in [c,d]} , מגדירים אופרטור J : L 1 ( [ c , d ] ) → L 1 ( [ c , d ] ) {\displaystyle J:L^{1}([c,d])\to L^{1}([c,d])} כך שלכל f ∈ L 1 ( [ c , d ] ) {\displaystyle f\in L^{1}([c,d])} ולכל x ∈ [ c , d ] {\displaystyle x\in [c,d]} : J f ( x ) := ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle Jf(x):=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt} עבור כל בחירה של הגבול התחתון של האינטגרל a {\displaystyle a} , אם f {\displaystyle f} רציפה אז גם J ( f ) {\displaystyle J(f)} רציפה. עבור מספר טבעי n {\displaystyle n} מסמנים: J n f := J ( … J ( J ⏟ n  times f ) … ) {\displaystyle J^{n}f:=\underbrace {J(\ldots J(J} _{n{\text{ times}}}f)\ldots )} כלומר J n {\displaystyle J^{n}} מסמן את הפעלת אופרטור האינטגרציה n {\displaystyle n} פעמים. נוסחת האינטגרל החוזר של קושי קובעת כי: J n f ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle J^{n}f(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}} בכך היא מאפשרת חישוב ישיר של הפונקציה J n f {\displaystyle J^{n}f} כאינטגרל יחיד. הוכחת נוסחת האינטגרל החוזר מתבססת על שימוש באינדוקציה על המשתנה n {\displaystyle n} . עבור המקרה n = 1 {\displaystyle n=1} נכונות הנוסחה טריוויאלית: J f ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t = 1 0 ! ∫ a x ( x − t ) 0 f ( t ) d t {\displaystyle Jf(x)=\int \limits _{a}^{x}{f(t)dt}={\frac {1}{0!}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{0}f(t)dt} נניח את נכונות הנוסחה עבור n = k {\displaystyle n=k} ונוכיח עבור n = k + 1 {\displaystyle n=k+1} . באמצעות כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל ניתן להראות כי: d d x [ 1 n ! ∫ a x ( x − t ) n f ( t ) d t ] = ( x − x ) n f ( x ) ⋅ 1 + 1 n ! ∫ a x d d x [ ( x − t ) n f ( t ) ] d t = 1 n ! ∫ a x n ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t = 1 ( n − 1 ) ! ∫ a x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f(t)dt\right]&=(x-x)^{n}f(x)\cdot 1+{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{\frac {d}{dx}}\left[(x-t)^{n}f(t)\right]dt\\&={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}n(x-t)^{n-1}f(t)dt\\&={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)dt\end{aligned}}} לכן J k + 1 f ( x ) = J ( J k f ) ( x ) = ∫ a x 1 ( k − 1 ) ! ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) k − 1 f ( t ) d t d σ 1 = ∫ a x d d σ 1 [ 1 k ! ∫ a σ 1 ( σ 1 − t ) k f ( t ) d t ] d σ 1 = 1 k ! ∫ a x ( x − t ) k f ( t ) d t {\displaystyle {\begin{aligned}J^{k+1}f(x)=J(J^{k}f)(x)&=\int \limits _{a}^{x}{\frac {1}{(k-1)!}}\int \limits _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{k-1}f(t)dt\,d\sigma _{1}\\&=\int \limits _{a}^{x}{\frac {d}{d\sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{k!}}\int \limits _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{k}f(t)dt\right]d\sigma _{1}\\&={\frac {1}{k!}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{k}f(t)dt\end{aligned}}} ובכך השלמנו את צעד האינדוקציה. עבור האופרטור J {\displaystyle J} שהוגדר לעיל נהוג להגדיר כי J 0 := I {\displaystyle J^{0}:=I} כאשר I {\displaystyle I} הוא אופרטור הזהות ולכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } להגדיר J − n = D n {\displaystyle J^{-n}=D^{n}} כאשר D {\displaystyle D} הוא אופרטור הגזירה. בכך ניתן להרחיב את הגדרת J n {\displaystyle J^{n}} לכל מספר שלם n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } . אף על פי כן, נוסחת האינטגרל של קושי איננה נכונה עבור n {\displaystyle n} שלילי או 0. עם זאת, ישנה דרך להרחיב את נוסחת האינטגרל החוזר עבור חזקות מרוכבות עם חלק ממשי חיובי. כלומר, עבור α ∈ C {\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} } כאשר Re ( α ) > 0 {\displaystyle {\text{Re}}(\alpha )>0} ניתן להגדיר: J α f ( x ) := 1 Γ ( α ) ∫ a x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t {\displaystyle J^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt} כאשר Γ {\displaystyle \Gamma } היא פונקציית גמא. הגדרה זו מתלכדת עם נוסחת האינטגרל החוזר עבור ערכי α {\displaystyle \alpha } שהם מספרים טבעיים. אינטגרל מסוג זה נקרא אינטגרל רימן-ליוביל. ניתן להוכיח כי אינטגרל רימן-ליוביל מקיים חיבוריות. כלומר, לכל α , β ∈ C {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} } עם חלק ממשי חיובי מתקיים: J α ( J β f ) ( x ) = J α + β f ( x ) {\displaystyle J^{\alpha }(J^{\beta }f)(x)=J^{\alpha +\beta }f(x)} כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל נוסחת האינטגרל של קושי אינטגרל רימן-ליוביל Alan Beardon (2000). "Fractional calculus II". University of Cambridge. Maurice Mischler (2023). "About some repeated integrals and associated polynomials". Roudy El Haddad, Repeated Integration and Explicit Formula for the $n$-th Integral of $x^m (\ln x)^{m'}$, Open Journal of Mathematical Sciences 6, 2022-12-31, עמ' 51–75 doi: 10.30538/oms2022.0178 Eric W. Weisstein, Riemann-Liouville Operator, mathworld.wolfram.com (באנגלית)