משפט גולדבך-אוילר

משפט גולדבך-אוילר הוא משפט הקובע כי הסכום האינסופי של כל המספרים מהצורה   1 s − 1 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{s-1}}} כאשר s הוא חזקה מושלמת (ראה למטה), שווה 1. המשפט פורסם על ידי לאונרד אוילר במאמר "Variae observationes circa series infinitas" משנת 1737. אוילר מייחס את גילוי המשפט לכריסטיאן גולדבך, שכתב על התוצאה במכתב לאוילר. המכתב מעולם לא נמצא. חזקה מושלמת הוא מספר טבעי מהצורה   m k {\displaystyle \ m^{k}} כאשר m ו-k מספרים טבעיים גדולים מ-1 (במקרה הזה איננו כוללים בהגדרה את המספר 1). למשל מספר ריבועי הוא מקרה פרטי של חזקה מושלמת בו k=2. החזקות המושלמות הראשונות הם: 2 2 = 4 ,   2 3 = 8 ,   3 2 = 9 ,   2 4 = 4 2 = 16 ,   5 2 = 25 , 3 3 = 27 ,   2 5 = 32 ,   6 2 = 36 ,   7 2 = 49 ,   2 6 = 4 3 = 8 2 = 64 , … {\displaystyle {\begin{aligned}&2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\\&3^{3}=27,\ 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=4^{3}=8^{2}=64,\dots \end{aligned}}} נסמן את קבוצת החזקות המושלמות ב-S. משפט גולדבך-אוילר קובע כי: ∑ s ∈ S 1 s − 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 26 + 1 31 + ⋯ = 1 {\displaystyle \sum _{s\in S}{\frac {1}{s-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1} חשוב להדגיש כי בטור לא מופיעים איברים כפולים. למשל על אף ש-16 ניתן לכתיבה בשתי דרכים שונות כחזקה מושלמת (   2 4 = 4 2 = 16 {\displaystyle \ 2^{4}=4^{2}=16} ), המספר   1 15 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{15}}} מופיע בסכום רק פעם אחת. כמו מרבית ההוכחות בתחום הטורים האינסופיים בנות התקופה, הוכחתו של אוילר אינה ריגורוזית מספיק כדי להיחשב הוכחה קבילה בימנו. במהלך ההוכחה אוילר מייחס "ערך" לטור ההרמוני, ומבצע עליו פעולות אריתמטיות, על אף שידע כי טור זה מתבדר לאינסוף. ראשית מסמן אוילר ב-x את סכום הטור ההרמוני: x = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ⋯ {\displaystyle x=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\cdots } כעת הוא מחסיר מהשוויון את איברי הטור ההנדסי 1 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle \textstyle 1={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots } הכולל את כל ההופכיים של החזקות של 2: x − 1 = 1 + 1 3 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 9 + 1 10 + 1 11 + ⋯ {\displaystyle x-1=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+\cdots } באופן דומה מחסירים את הופכיי החזקות של 3, 1 2 = 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 + ⋯ {\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{81}}+\cdots } , ומקבלים: x − 1 − 1 2 = 1 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 10 + 1 11 + 1 12 + ⋯ {\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}=1+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+\cdots } נמשיך לפי בתהליך הזה למספרים גדולים יותר. לא נחסיר את הטור ההנדסי של הופכיי 4, כי אלו כבר הוסרו עם הופכיי 2. נמשיך ונסיר את הופכיי 5, 6, 7, אך לא נחסיר את הופכיי 8, 9 כי אלו כבר הוחסרו עם הופכיי 2 והופכיי 3 בהתאמה. וכך באופן כללי בכל שלב מסירים איברים רק במקרים שאינם חזקה מושלמת, ואילו על המקרים של החזקות המושלמות מדלגים, משום שהם כבר הוסרו בשלבים של שורשיהם. בסוף התהליך, לאחר אינסוף שלבים, יוחסרו כל האיברים באגף ימין מלבד האיבר הראשון 1. באגף שמאל מוחסר בשלב ה-t, שאינו חזקה מושלמת, סכום הטור ההנדסי שהוא   1 t − 1 = 1 t + 1 t 2 + 1 t 3 + 1 t 4 + ⋯ {\displaystyle \ \textstyle {\frac {1}{t-1}}={\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t^{3}}}+{\frac {1}{t^{4}}}+\cdots } . האיברים שיעדרו מההחסרה הם בדיוק האיברים   1 s − 1 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{s-1}}} כאשר s חזקה מושלמת. כלומר בסוף התהליך מקבלים את השוויון: x − 1 − 1 2 − 1 4 − 1 5 − 1 6 − 1 9 − ⋯ = 1 {\displaystyle x-1-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{9}}-\cdots =1} מעבירים אגפים ומקבלים: x − 1 = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 9 + ⋯ {\displaystyle x-1=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{9}}+\cdots } נחסיר מהשוויון שממנו התחלנו את השוויון האחרון ונקבל: 1 = 1 3 + 1 7 + 1 8 + 1 15 + 1 24 + 1 26 + 1 31 + ⋯ {\displaystyle 1={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}+\cdots } כרצוי. ניתן להפוך את הוכחת אוילר להוכחה קבילה אם מחליפים את הטור ההרמוני האינסופי בסכומים החלקיים שלו (הידועים כמספרים הרמוניים   H n {\displaystyle \ H_{n}} ), חוזרים על הוכחת אוילר במקרה הסופי הזה, ומראים שההפרש בין 1 לסכום הטור בכל מקרה סופי שואף לאפס כאשר n שואף לאינסוף. כהכנה להוכחת המשפט נוכיח תוצאה העומדת בפני עצמה: טור ההופכיים של החזקות המושלמות עם חזרות מתכנס ל-1. במקרה הזה אנו מתירים חזרות של איברים בטור. למשל   1 16 {\displaystyle \ {\tfrac {1}{16}}} יופיע פעמיים, פעם אחת לכל הצגה כחזקה מושלמת. הוכחת הטענה פשוטה ומתבססת על הצגת הטור כטור טלסקופי: ∑ m = 2 ∞ ∑ k = 2 ∞ 1 m k = ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ∑ k = 0 ∞ 1 m k = ∑ m = 2 ∞ 1 m 2 ( m m − 1 ) = ∑ m = 2 ∞ 1 m ( m − 1 ) = ∑ m = 2 ∞ ( 1 m − 1 − 1 m ) = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}&=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)\\&=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\end{aligned}}} בשוויון השני השתמשנו בנוסחה לסכום טור הנדסי. נסמן ב-   T {\displaystyle \ T} את קבוצת המספרים הטבעיים, מלבד 1, שאינם חזקה מושלמת. נבחין כי כל חזקה מושלמת s ניתנת להצגה בצורה יחידה כ-   s = t k {\displaystyle \ s=t^{k}} כאשר   t ∈ T {\displaystyle \ t\in T} ו-k טבעי גדול מ-1 (k הוא המחלק המשותף המקסימלי של החזקות בפירוק של s לגורמים). לכן:   ∑ s ∈ S 1 s − 1 = ∑ k = 2 ∞ ∑ t ∈ T 1 t k − 1 = ∑ k = 2 ∞ ∑ t ∈ T ∑ i = 1 ∞ 1 t k i {\displaystyle \ \sum _{s\in S}{\frac {1}{s-1}}=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{t\in T}{\frac {1}{t^{k}-1}}=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{t\in T}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{t^{ki}}}} בשוויון האחרון השתמשנו שוב בנוסחה לסכום טור הנדסי. כל מספר טבעי m, מלבד 1, ניתן להצגה בצורה יחידה כ-   m = t i {\displaystyle \ m=t^{i}} כאשר t אינו חזקה מושלמת ו-i טבעי (כולל 1). מכאן:   ∑ t ∈ T ∑ i = 1 ∞ 1 t k i = ∑ m = 2 ∞ 1 m k {\displaystyle \ \sum _{t\in T}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{t^{ki}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}} . קיבלנו:   ∑ s ∈ S 1 s − 1 = ∑ k = 2 ∞ ∑ m = 2 ∞ 1 m k = 1 {\displaystyle \ \sum _{s\in S}{\frac {1}{s-1}}=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1} טור ההופכיים של החזקות המושלמות ללא חזרות מתכנס לערך:   ∑ s ∈ S 1 s = ∑ m = 2 ∞ ∑ p  prime 1 m p = ∑ n = 2 ∞ μ ( n ) ( 1 − ζ ( n ) ) ≈ 0.874464365 … {\displaystyle \ \sum _{s\in S}{\frac {1}{s}}=\sum _{m=2}^{\infty }\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{m^{p}}}=\sum _{n=2}^{\infty }\mu (n)(1-\zeta (n))\approx 0.874464365\dots } כאשר p מספר ראשוני,   ζ ( n ) {\displaystyle \ \zeta (n)} היא פונקציית זטא של רימן ו-   μ ( n ) {\displaystyle \ \mu (n)} היא פונקציית מביוס. טור ההופכיים של המספרים הראשוניים On a series of Goldbach and Euler