פונקציה אליפטית

פונקציה אליפטית היא פונקציה מרוכבת מרומורפית בעלת שני מחזורים בלתי תלויים מעל R. למשל, פונקציה אליפטית עשויה להיות בעלת מחזור ממשי טהור ומחזור מדומה טהור; בכך התורה של פונקציות אליפטיות עמוקה יותר מזו של פונקציות אלמנטריות, שעשויות להיות בעלת מחזור ממשי בלבד (למשל פונקציות טריגונומטריות מסוימות, להן מחזור ממשי 2 π {\displaystyle 2\pi } ) או מחזור מדומה בלבד (למשל פונקציית האקספוננט, לה מחזור מדומה 2 π i {\displaystyle 2\pi i} ). ניתן להתייחס לפונקציות כאלו גם כאל פונקציות ממקבילית אל המישור המרוכב, או מטורוס אל המישור המרוכב. מקור שמן הוא מכך שהן נחקרו לראשונה כשגילו פונקציה הפוכה לאינטגרל אליפטי (שעוזר בחישוב אורך קשת של אליפסה). פונקציה מרומורפית נקראת פונקציה אליפטית אם קיימים שני משתנים מרוכבים בלתי תלויים ליניארית ω 1 , ω 2 ∈ C {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C} } כך שלכל z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } f ( z + ω 1 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+\omega _{1})=f(z)} וכן f ( z + ω 2 ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+\omega _{2})=f(z)} . כלומר לפונקציות אליפטיות שני מחזורים אם f {\displaystyle f} היא פונקציה אליפטית עם מחזורים ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} יתקיים f ( z + γ ) = f ( z ) {\displaystyle f(z+\gamma )=f(z)} לכל קומבינציה ליניארית γ = m ω 1 + n ω 2 {\displaystyle \gamma =m\omega _{1}+n\omega _{2}} כאשר m , n ∈ Z {\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} } . החבורה האבלית Λ := ⟨ ω 1 , ω 2 ⟩ Z := Z ω 1 + Z ω 2 := { m ω 1 + n ω 2 ∣ m , n ∈ Z } {\displaystyle \Lambda :=\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle _{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}:=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \}} קרויה סריג מחזורי. המקבילית הנוצרת על ידי ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} ו ω 2 {\displaystyle \omega _{2}} { μ ω 1 + ν ω 2 ∣ 0 ≤ μ , ν ≤ 1 } {\displaystyle \{\mu \omega _{1}+\nu \omega _{2}\mid 0\leq \mu ,\nu \leq 1\}} היא התחום היסודי של Λ {\displaystyle \Lambda } הפועל על C {\displaystyle \mathbb {C} \,} . מבחינה גאומטרית המישור המרוכב מרוצף במקביליות. כל מה שקורה בתחום יסודי אחד חוזר על עצמו בכל האחרים. מסיבה זו אנו יכולים לראות את הפונקציה האליפטית כפונקציות שחבורת המנה C / Λ {\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda } היא התחום שלהן. ניתן להמחיש את חבורת המנה זו, הנקראת עקום אליפטי, כמקבילית שבה מדביקים את הצלעות המנוגדות, כלומר, מבחינה טופולוגית, טורוס. קבוצת הפונקציות האליפטיות מהווה שדה, שהוא בעצמו הרחבה לשדה המרוכבים (הוא מכיל אותם כפונקציות הקבועות). מאחר שטורוס הוא מרחב קומפקטי ומכיוון שכל פונקציה אנליטית היא בפרט רציפה, לפי משפטי ויירשטראס היא מקבלת מקסימום על הטורוס, ואז בגלל משפט ליוביל היא בהכרח קבועה. בעזרת משפט השאריות ניתן להראות בקלות גם כי אין פונקציה בעלת קוטב יחיד פשוט שהיא אליפטית. עובדה זו גרמה לחיפוש אחר פונקציות אליפטיות שהן לא קבועות. דרך אחת שהוצעה היא זו של פונקציית תטא של יעקובי – שהיא אנליטית אבל רק "קוואזי-מחזורית" (מחזורית עד כדי קבוע שנוסף כל מחזור), ודרך אחרת היא זו של פונקציית P של ויירשטראס שהיא לא אנליטית אבל כן מחזורית. משפט אבל-יעקובי נותן דרך פשוטה לבדוק האם יכולה להיות פונקציה אליפטית בעלת קטבים ואפסים מסוימים: ראשית – מספר הקטבים (כולל ריבוי) צריך להיות שווה למספר האפסים (כולל ריבוי). שנית – שסכום הנקודות (כנקודות במישור המרוכב) יהיה הראשית, כאשר קטבים נלקחים עם סימן מינוס ואפסים עם סימן פלוס (שניהם עם ריבוי). זמן קצר לאחר התפתחות החשבון האינפיניטסימלי, החלו המתמטיקאים די פאגנאנו ואוילר לפתח את התיאוריה של פונקציות אליפטיות. כאשר ניסו לחשב את אורך הקשת של למניסקטה, הם נתקלו בבעיות הקשורות באינטגרלים, שהכילו את השורש הריבועי של פולינומים מדרגה 3 ו-4.היה ברור שאינטגרלים אלה, שכונו אינטגרלים אליפטיים, אינם ניתנים לפתרון באמצעות פונקציות אלמנטריות. ב-1750 פרסם פאגנאנו קשר אלגברי בין אינטגרלים אליפטיים. אוילר הכליל מיד את תוצאותיו של פאגנאנו והציב את משפט החיבור האלגברי שלו לאינטגרלים אליפטיים. ב-1786, פרסם לז'נדר את המאמר Mémoires sur les intégrations par arcs d'ellipse. לאחר מכן, חקר לז'נדר את האינטגרלים האליפטיים וכינה אותם פונקציות אליפטיות. הוא סיווג אותם לשלושה סוגים, פישוט מכריע של התיאוריה המסובכת למדי באותה תקופה. במאה ה-19 חידשו המתמטיקאים אבל ויעקובי את המחקר על פונקציות אליפטיות, וגילו במהירות תוצאות חדשות. בהתחלה הם מצאו פונקציה הופכית לפונקציה האינטגרלית האליפטית. הפונקציות ההפוכות הללו נקראות כיום פונקציות אליפטיות. אחת מיצירותיו החשובות ביותר של יעקבי היא Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum שיצא לאור ב-1829. משפט ההוספה שאוילר גילה, הוצג והוכח בצורתו הכללית על ידי אבל בשנת 1829. באותם ימים נחשבו תורת הפונקציות האליפטיות ותורת הפונקציות המחזוריות הכפולות כתיאוריות שונות, והן אוחדו על ידי בריוט ובוקט ב-1856. גאוס גילה רבות מהתכונות של פונקציות אליפטיות 30 שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם דבר בנושא. אינטגרל אליפטי עקום אליפטי תבנית מודולרית פונקציית תטא מדיה וקבצים בנושא פונקציה אליפטית בוויקישיתוף מהן פונקציות אליפטיות ומה שימושן? הסבר בסיסי במדור "שאל את המומחה" באתר מכון דוידסון לחינוך מדעי. פונקציה אליפטית, באתר MathWorld (באנגלית) פונקציות אליפטיות, דף שער בספרייה הלאומית Rolf Busam (2006), Funktionentheorie 1 (בגרמנית) (4., korr. und erw. Aufl ed.), Berlin: Springer, p. 259, ISBN 978-3-540-32058-6 Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. pp. 23f. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 616–643. – Ders.: Second mémoire sur les intégrations par arcs d’ellipse, et sur la comparaison de ces arcs. In: Histoire de l’Académie royale des sciences Paris (1788), S. 644–683. Adrien-Marie Legendre: Mémoire sur les transcendantes elliptiques, où l’on donne des méthodes faciles pour comparer et évaluer ces trancendantes, qui comprennent les arcs d’ellipse, et qui se rencontrent frèquemment dans les applications du calcul intégral. Du Pont & Firmin-Didot, Paris 1792. Englische Übersetzung A Memoire on Elliptic Transcendentals. In: Thomas Leybourn: New Series of the Mathematical Repository. Band 2. Glendinning, London 1809, Teil 3, S. 1–34. Carl Gustav Jacob Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Königsberg 1829. Gray, Jeremy (2015). Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham. p. 96. ISBN 978-3-319-23715-2. OCLC 932002663.