מרחב הילברט

מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית שהוא מרחב מטרי שלם ביחס לנורמה שמשרה המכפלה הפנימית שלו, בדרך כלל מממד אינסופי. מרחבי הילברט קרויים על שם המתמטיקאי הנודע דויד הילברט ונודעת להם חשיבות רבה במסגרת תורת האנליזה הפונקציונלית. מרחבי הילברט מאפשרים יישום של מושגים גאומטריים בסיסיים כגון הטלה ושינוי בסיס, על מרחבים בעלי ממדים אינסופיים כדוגמת המרחבים הפונקציונליים. הם מספקים הקשר איתו ניתן לעצב ולהכליל את המושגים של טור פורייה במונחים של פולינומים אורתוגונליים שרירותיים ושל התמרת פורייה. כמו כן, מרחבי הילברט הם בעלי חשיבות מכרעת בניסוח מכניקת הקוונטים. מרחב הילברט הוא מרחב מכפלה פנימית (מרחב וקטורי בעל מכפלה פנימית) שהוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה d ( x , y ) = ⟨ x − y , x − y ⟩ {\displaystyle d(x,y)={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}} שמשרה המכפלה הפנימית. בפרט, מרחב הילברט חייב להיות מרחב וקטורי מעל לשדה שלם כמו שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. לדוגמה, R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} הוא מרחב הילברט (ביחס לכל מכפלה פנימית), בעוד ש- Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} איננו כזה. המרחב L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} כאשר X ⊂ R {\displaystyle X\subset \mathbb {R} } הוא אחד מהמרחבים הפונקציונליים ומרחבי הילברט החשובים ביותר. מרחב L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} מוגדר להיות כקבוצת כל ה"פונקציות" f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } שהן אינטגרביליות לבג בריבוע על הקבוצה X {\displaystyle \,X} (ראו הערה בהמשך). כלומר, האינטגרל לפי לבג קיים ומתקיים ∫ X | f | 2 d μ = ∫ X | f ( t ) | 2 d t < ∞ {\displaystyle \int _{X}{|f|^{2}d\mu }=\int _{X}{|f(t)|^{2}dt}<\infty } (כאשר μ {\displaystyle \,\mu } היא מידת לבג). אז מסמנים ש f ∈ L 2 ( X ) {\displaystyle f\in L^{2}(X)} . מרחב זה, עם פעולת חיבור פונקציות וכפל בסקלר הוא מרחב וקטורי. יתרה מכך, הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית הבאה: ⟨ f , g ⟩ = ∫ X f ( t ) g ∗ ( t ) d t = ∫ X f ( t ) g ( t ) ¯ d t {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}{f(t)g^{*}(t)dt}=\int _{X}{f(t){\overline {g(t)}}dt}} כאשר * (או קו עליון) מסמנים צמוד מרוכב. הערה לגבי איברי L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} : לפי בניית אינטגרל לבג, עולה שאין שום דרך להבחין בין שתי פונקציות f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה ממידה אפס באמצעות המכפלה הפנימית או הנורמה. לכן, הנורמה של כל פונקציה ששונה מאפס רק על קבוצה ממידה אפס היא אפס. מצב זה עומד בניגוד לאקסיומות הנורמה שדורשות: ‖ f ‖ = 0 ⟺ f = 0 {\displaystyle \|f\|=0\iff f=0} . כדי לתקן מצב זה, מרחב L 2 ( X ) {\displaystyle L^{2}(X)} אינו מוגדר על פונקציות אלא על מחלקות השקילות שלהן, שנקבעות לפי יחס השקילות הבא: f = g     a.e.     ≡ f ∼ g ⟺ μ ( { x ∈ X | f ( x ) ≠ g ( x ) } ) = 0 {\displaystyle f=g\ \ {\mbox{a.e.}}\ \ \equiv f\sim g\iff \mu \left(\left\{x\in X|f(x)\neq g(x)\right\}\right)=0} כלומר: כל שתי פונקציות f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} הנבדלות אחת מהשנייה רק על קבוצה ממידה אפס הן שקולות ומחלקת השקילות שלהן היא איבר במרחב זה. ניתן להגדיר את כל הפעולות הליניאריות על המחלקות באמצעות ביצוע פעולות אלה על הנציגים של כל מחלקה. הגדרה זו טובה והמרחב שמתקבל הוא מוגדר היטב והוא מרחב הילברט. המרחב האוקלידי R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} עם הנורמה האוקלידית הוא מרחב הילברט. המרחב C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} עם המכפלה הפנימית: ⟨ z , w ⟩ = ∑ k = 1 n z k w k ¯ {\displaystyle \langle z,w\rangle =\sum _{k=1}^{n}{{z_{k}}{\overline {w_{k}}}}} הוא מרחב הילברט. מרחב הסדרות האינסופיות: ℓ 2 = { ( x n ) n = 1 , … | x n ∈ C , ∑ n ∈ N | x n | 2 < ∞ } {\displaystyle \ell _{2}=\left\{(x_{n})_{n=1,\dots }|x_{n}\in \mathbb {C} ,\sum _{n\in \mathbb {N} }\left|x_{n}\right|^{2}<\infty \right\}} , מצויד במכפלה הפנימית ⟨ x , y ⟩ = ∑ n ∈ N x n y n ¯ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{n\in \mathbb {N} }x_{n}{\overline {y_{n}}}} , הוא מרחב הילברט. אם H 1 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}} ו- H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}} הם מרחבי הילברט, ניתן ליצור מהם מרחב וקטורי חדש הקרוי הסכום הישר שלהם ומסומן H 1 ⊕ H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2}} . כקבוצה, מרחב זה הוא המכפלה הקרטזית H 1 × H 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\times {\mathcal {H}}_{2}} . החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית והמכפלה הפנימית מוגדרת באופן הבא: ⟨ ( x 1 , x 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ⟩ H 1 ⊕ H 2 = ⟨ x 1 , y 1 ⟩ H 1 + ⟨ x 2 , y 2 ⟩ H 2 {\displaystyle \langle (x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\rangle _{{\mathcal {H}}_{1}\oplus {\mathcal {H}}_{2}}=\langle x_{1},y_{1}\rangle _{{\mathcal {H}}_{1}}+\langle x_{2},y_{2}\rangle _{{\mathcal {H}}_{2}}} . כאמור, המרחב המתקבל הוא מרחב הילברט. באופן כללי, אם { H i } i ∈ I {\displaystyle \left\{{\mathcal {H}}_{i}\right\}_{i\in I}} היא משפחה כלשהי של מרחבי הילברט, סכומם הישר מוגדר באופן הבא: ⨁ i ∈ I H i = { ( x i ) i ∈ I : x i ∈ H i   ∀ i ,   ∑ i ∈ I ‖ x i ‖ 2 < ∞ } ⊆ ∏ i ∈ I H i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}{\mathcal {H}}_{i}=\left\{\left(x_{i}\right)_{i\in I}:x_{i}\in {\mathcal {H}}_{i}\ \forall i,\ \sum _{i\in I}\left\Vert x_{i}\right\Vert ^{2}<\infty \right\}\subseteq \prod _{i\in I}{\mathcal {H}}_{i}} . כאן הסכום ∑ i ∈ I ‖ x i ‖ 2 {\displaystyle \sum _{i\in I}\left\Vert x_{i}\right\Vert ^{2}} מפורש כסופרמום של ∑ j ∈ J ‖ x j ‖ 2 {\displaystyle \sum _{j\in J}\left\Vert x_{j}\right\Vert ^{2}} על פני כל תת-הקבוצות הסופיות J ⊆ I {\displaystyle J\subseteq I} . התנאי ∑ i ∈ I ‖ x i ‖ 2 < ∞ {\displaystyle \sum _{i\in I}\left\Vert x_{i}\right\Vert ^{2}<\infty } גורר בפרט ש- x i = 0 {\displaystyle x_{i}=0} לכל i {\displaystyle i} פרט למספר בן מנייה של אינדקסים ב- I {\displaystyle I} . כמו קודם, החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית והמכפלה הפנימית מוגדרת לפי ⟨ x , y ⟩ = ∑ i ∈ I ⟨ x i , y i ⟩ H i {\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{{\mathcal {H}}_{i}}} כאשר ⟨ x i , y i ⟩ H i {\displaystyle \left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{{\mathcal {H}}_{i}}} היא המכפלה הפנימית על H i {\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}} . בכך מקבלים מרחב הילברט שכל אחד מהמרחבים H i {\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}} משוכן בו כתת-מרחב סגור. בנוסף לכך, תתי-מרחבים אלה הם אורתוגונליים זה לזה. קיים גם מושג של "סכום ישר פנימי". אם H {\displaystyle {\mathcal {H}}} הוא מרחב הילברט ונתונה משפחה של תתי-מרחבים { V i } i ∈ I {\displaystyle \left\{V_{i}\right\}_{i\in I}} סגורים ואורתוגונליים זה לזה כך ש- span ( ⋃ i ∈ I V i ) {\displaystyle {\mbox{span}}\left(\bigcup _{i\in I}V_{i}\right)} היא קבוצה צפופה ב- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} , אז אומרים ש- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} הוא סכום ישר פנימי של המרחבים { V i } i ∈ I {\displaystyle \left\{V_{i}\right\}_{i\in I}} ובמקרה זה הוא איזומורפי באופן קנוני לסכום הישר החיצוני שלהם. כל סכום ישר (חיצוני או פנימי) מצויד במשפחה של הטלות אורתוגונליות P i {\displaystyle P_{i}} , כאשר P i {\displaystyle P_{i}} היא ההטלה על המרחב ה-i-י בסכום, H i {\displaystyle {\mathcal {H}}_{i}} . הטלות אלה הן אופרטורים חסומים, הרמיטיים ואידמפוטנטיים והן מקיימות את יחס האורתוגונליות: P i P j = 0 {\displaystyle P_{i}P_{j}=0} לכל i ≠ j {\displaystyle i\neq j} . אם H {\displaystyle {\mathcal {H}}} הוא מרחב הילברט ו- M {\displaystyle M} הוא תת-מרחב סגור שלו, מרחב המנה H / M {\displaystyle {\mathcal {H}}/M} הוא מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית ⟨ x + M , y + M ⟩ = ⟨ P ( x ) , P ( y ) ⟩ H {\displaystyle \left\langle x+M,y+M\right\rangle =\left\langle P\left(x\right),P\left(y\right)\right\rangle _{\mathcal {H}}} , כאשר P {\displaystyle P} היא ההטלה האורתוגונלית על המשלים הניצב M ⊥ {\displaystyle M^{\bot }} . באופן זה מתקבל מרחב הילברט אשר איזומורפי איזומטרית למרחב M ⊥ {\displaystyle M^{\bot }} . הנורמה המושרית מהמכפלה הפנימית על H / M {\displaystyle {\mathcal {H}}/M} היא ‖ x + M ‖ = d ( x , M ) = inf m ∈ M ‖ x − m ‖ {\displaystyle \left\Vert x+M\right\Vert =d\left(x,M\right)=\inf _{m\in M}\left\Vert x-m\right\Vert } . אלגברה ליניארית אנליזה פונקציונלית מרחב בנך משפט ההצגה של ריס טור פורייה התמרת פורייה תורת שטורם-ליוביל סימון דיראק שדה הילברטי התכנסות חלשה מדיה וקבצים בנושא מרחב הילברט בוויקישיתוף מרחב הילברט, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) מרחב הילברט, באתר MathWorld (באנגלית) מרחבי הילברט, דף שער בספרייה הלאומית