גאורג קנטור

גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור (בגרמנית: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor;‏ 3 במרץ 1845 – 6 בינואר 1918) היה מתמטיקאי גרמני, אבי תורת הקבוצות העומדת בבסיס המתמטיקה המודרנית. גאורג קנטור נולד בסנקט פטרבורג, בירת האימפריה הרוסית, כבן בכור מבין שישה ילדים. אביו, גאורג ווֹלדמר קנטור, היה אזרח דני, בן של הסוחר יעקב אברהם קנטור מהקהילה היהודית פורטוגזית בקופנהגן שהמיר את דתו לפרוטסטנטיות לותרנית. אמו, מריה אנה בוהם, הייתה מוזיקאית קתולית ששורשיה מצד אביה במשפחה יהודית מהונגריה. סבו של קנטור מצד האם היה הכנר יליד הונגריה פרנץ לודוויג בהם, ודודה של אמו היה יוזף בהם, גם כן כנר ומנהל הקונסרבטוריון למוזיקה בווינה. עד שהגיע לגיל 11 התגוררה משפחת קנטור בסנקט פטרבורג, בה היה האב סוחר ואחר כך ברוקר מצליח וגאורג גדל כלותרן. עקב בעיות בריאות של אביו, עברה המשפחה ב-1856 לגרמניה, בהתחלה לוויסבאדן ומאוחר יותר לפרנקפורט ולדרמשטאדט. בשנות לימודיו בבית הספר הריאלי ואחר כך בבית הספר למסחר בדרמשטאדט, הצטיין קנטור במתמטיקה, במיוחד בטריגונומטריה, אך גם גילה עניין בתאולוגיה ובפילוסופיה. ב-1862 סיים בהצטיינות את בית הספר. לאור בקשת אביו שילמד הנדסה הוא החל ללמוד בפוליטכניקום של ציריך. לאחר סמסטר אחד החליט ללמוד מתמטיקה באוניברסיטת ברלין, שם למד, בין השאר, אצל קארל ויירשטראס, אצל ארנסט קומר ואצל לאופולד קרונקר. במשך סמסטר אחד בקיץ 1866 למד באוניברסיטת גטינגן. הוא השלים דוקטורט בתורת המספרים ב-1867. ב-1869 הצטרף לסגל אוניברסיטת הַאלֶה (Halle) בגרמניה, שם עבד עד שנת 1913. ב-9 באוגוסט 1874 נישא לוואלי גוטמן, ידידה יהודיה של אחותו, ולזוג נולדו שישה ילדים. קנטור סבל מאפיזודות של אופוריה ודיכאון. התקפי הדיכאון שהיו משמעותיים יותר, היו פורצים בדרך כלל בסתיו ומסתיימים באביב או בקיץ. קרוב לוודאי הוא סבל מסוג של הפרעה דו-קוטבית. ב-1884 חווה התקף דיכאון, התקף מתועד ראשון בסדרה של התקפי דיכאון שימשיכו לייסרו במשך שארית חייו. בין התקף אחד למשנהו המשיך לפתח תאוריות מתמטיות מזהירות. עם זאת, הדיכאונות פגעו בעבודתו המתמטית. ב-1894 פרסם מאמר מוזר למדי, בו וידא את נכונותה של השערת גולדבך עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-1,000. היות שכארבעים שנה קודם לכן ההשערה כבר נבדקה עבור המספרים הזוגיים הקטנים מ-10,000, עבודה זו מעידה כפי הנראה על מצבו הנפשי של קנטור באותה תקופה. בשנותיו האחרונות הידרדרה בריאותו הנפשית של קנטור, והוא אושפז מדי פעם בבתי חולים לחולי נפש. עבודתו המתמטית כמעט ופסקה, והוא עסק בעיקר בפילוסופיה, בתאולוגיה ובספרות. בין השאר, ניסה להוכיח כי מחזותיו של ויליאם שייקספיר נכתבו למעשה על ידי פרנסיס בייקון (ראו שאלת זהותו של מחבר מחזות שייקספיר). הוא פרש ממשרתו ב-1913, ונפטר מהתקף לב בעת שהיה מאושפז בבית חולים בהאלה בשנת 1918. בתחילה, התמקד מחקרו של קנטור בסדרות טריגונומטריות. ב-1872 פרסם מאמר בו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות "חתכי דדקינד" פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה, ובמאמר המתאר אותה מוזכר מאמרו של קנטור. ב-1873 הוכיח קנטור כי הן המספרים הרציונליים והן המספרים האלגבריים הם בני-מנייה, דהיינו, קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל ביניהם לבין המספרים הטבעיים. בדצמבר 1873 פרסם את הוכחת האי-מנייה הראשונה שלו, לפיה המספרים הממשיים אינם בני מנייה, ופרסם את תגליתו ב-1874. משתי הוכחות אלה נובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים טרנסצנדנטיים, שעצם קיומם הוכח רק כעשרים שנה קודם לכן. כמו-כן קנטור הוכיח כי מספר הנקודות על קו ישר "גדול" מאשר מספרם של המספרים הטבעיים, שהוא המספר האינסופי ה"קטן" ביותר. ב-1877 הוכיח את התוצאה נוגדת-האינטואיציה, כי קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין קבוצת המספרים הממשיים שבקטע [0,1] לבין המרחב הממשי ה-n ממדי (כאן n מייצג מספר טבעי כלשהו). על כך קנטור אמר: "אני רואה זאת, אך איני מאמין!". ב-1891 פרסם לראשונה את הוכחת האלכסון של קנטור ואת משפט קנטור. השיטה אותה הגה לצורך ההוכחה קרויה לכסון, ונעשה בה שימוש מרובה מאז, בעיקר במדעי המחשב (למשל להוכחת אי-כריעות בעיית העצירה). ב-1895 וב-1897 פרסם את שני מאמריו החשובים האחרונים. אף על פי שחלפו רק שישה חודשים בין זמני כתיבתם של מאמרים אלה, קנטור עיכב את פרסום המאמר השני משום שקיווה לכלול בו הוכחה של השערת הרצף עליה עבד, ללא הצלחה, במשך שנים רבות. הוא לא מצא הוכחה זו (כיום ידוע כי השערת הרצף היא עצמאית ביחס למערכת שבה עבד קנטור, ולכן לא קיימת לה הוכחה במסגרתה), אך המאמר השני תיאר את תורתו בדבר קבוצות סדורות היטב ומספרים סודרים. בשנת 1897 פרסם את ספרו החשוב ביותר על אודות קבוצות המספרים האינסופיים. הוא פיתח חשבון של מספרים אינסופיים בדומה לחשבון הקיים בקבוצות של מספרים סופיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן באות העברית ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הרצף סימן באות ℵ {\displaystyle \aleph } , שהם הסימונים המקובלים בקרב המתמטיקאים עד היום. הוכחתו של קנטור, לפיה יש גדלים שונים של אינסוף וכי קבוצות שמספר איבריהן אינסופי יכולות להיות שונות זו מזו ב"מספר איבריהן", הייתה תחילתה של פעילות ענפה בתחום זה. עבור המתמטיקאים בני זמנו היה האינסוף דבר מה מעורפל, שהבנתו בלתי ניתנת להשגה. כתב העת שאליו שלח את מאמרו שהתפרסם בשנת 1874 סירב לפרסמו וקנטור נתקל בהתנגדות עזה מצד מתמטיקאים רבים בני זמנו, ובמיוחד מצד לאופולד קרונקר. לבסוף ראו אור כל רעיונותיו בדבר האינסוף, אולם אלה נותרו שנויים במחלוקת עוד שנים אחדות, בטענה שנושא זה חורג מן המתמטיקה אל המטאפיזיקה. ההתנגדות גרמה לכך שהוא נאלץ להסתפק כל חייו במשרה אקדמית באוניברסיטה מהדרג השלישי (אוניברסיטת האלה). רק בערוב ימיו הוכרה תרומתו האדירה למתמטיקה, עליה אמר המתמטיקאי דויד הילברט: "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור יצר". על אופי המחלוקת בין קנטור לבני דורו עמד אי"י פוזננסקי: "המחלוקת שפרצה בין אנשי האין-סוף הפוטנציאלי לבין קאנטור הייתה חריפה ביותר ולא-אחת קיבלה צביון של ויכוח תאולוגי מימי-הביניים. אמנם לא הייתה צפויה לקאנטור הסכנה להישרף חיים, אבל הוא נפגע אישית קשות, נתקל במכשולים בפרסום עבודותיו, הוחרם על ידי חלק בלתי מבוטל של ציבור המתימטיקנים (וביניהם גדולי המקצוע), ונמנעה ממנו קתדרה באוניברסיטה מרכזית, בה היה יכול לנצל את כל האפשרויות של עבודה מדעית וחינוכית. מלחמת חורמה זו, שנוהלה נגדו בכל האמצעים המותרים והאסורים, כמעט שהעבירה את קאנטור על דעתו, הביאה אותו עד לסף מחלת רוח, ולבסוף גרמה להפסקת פעילותו המתמטית עשרים שנה לפני פטירתו." משפט קנטור לרציפות במידה שווה - משפט הקובע שפונקציה רציפה בקטע סגור רציפה בו במידה שווה. משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין - משפט הקובע שאם קיימות שתי התאמות חד-חד ערכיות מקבוצה   A {\displaystyle \ A} לקבוצה   B {\displaystyle \ B} ומקבוצה   B {\displaystyle \ B} לקבוצה   A {\displaystyle \ A} , אזי עוצמת שתי הקבוצות שווה. האלכסון של קנטור - ההוכחה שקבוצת המספרים הממשיים אינה בת מנייה. משפט קנטור - משפט הקובע שעוצמת כל קבוצה קטנה מעוצמת קבוצת החזקה שלה. משפט החיתוך של קנטור - משפט המגדיר תנאי מספיק והכרחי לכך שמרחב מטרי נתון יהיה מרחב מטרי שלם. הלמה של קנטור - מקרה פרטי של משפט החיתוך של קנטור עבור   R {\displaystyle \ \mathbb {R} } . משפט קנטור-בנדיקסון - משפט הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה. הפרדוקס של קנטור - סתירה שהתגלתה בתורת הקבוצות הנאיבית. קבוצת קנטור - דוגמה לפרקטל בעל תכונות טופולוגיות מעניינות. פונקציית קנטור - פונקציה פתולוגית המבוססת על קבוצת קנטור. 1889 - מונה לחבר באקדמיה לאופולדינה בעיר האלה. 1904 - קיבל את מדליית סילבסטר של החברה המלכותית בלונדון. היה היושב-ראש הראשון של איגוד המתמטיקאים הגרמנים. 1990 - איגוד המתמטיקאים הגרמנים DMV התחיל להעניק כל שנתיים מדליית קנטור על תרומות מדעיות יוצאות דופן בתחום המתמטיקה. 2011 - על בית הולדתו של קנטור בסנקט פטרבורג הוצב לוח זיכרון. בעיר האלה רחוב וגימנסיה נקראו על שמו. אמיל פוירשטיין, יהודים מפורסמים במדע, 1956. עמ' 248–255. Joseph W. Dauben Georg Cantor's Creation of Transfinite Set Theory: Personality and Psychology in the History of Mathematics, Annals of the New York Academy of Sciences, vol. 321 Papers in Mathematics p.27-44 מדיה וקבצים בנושא גאורג קנטור בוויקישיתוף גאורג קנטור, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה גאורג קנטור, באתר MacTutor (באנגלית) גאורג קנטור, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) גיאורג קנטור (1845-1918), דף שער בספרייה הלאומית I. Grattan-Guinness, The search for mathematical roots, 1870-1940, page 75 באתר הגנאלוגי geni J.Dauben עמ' 30 I. Grattan-Guinness עמ' 76 I. Grattan-Guinness עמ' 77 אי"י פוזננסקי, "על יסודות המתמטיקה", נספח לספר: יהושע בר-הלל, הגיון לשון ושיטה, ספרית פועלים, 1970.