יאקוב ברנולי

יאקוב ברנולי (בגרמנית: Jakob Bernoulli; בצרפתית: Jacques Bernoulli;‏ 27 בדצמבר 1654 – 16 באוגוסט 1705) היה מתמטיקאי שווייצרי, ראשון המתמטיקאים בני משפחת ברנולי. קידם את הפצת החשבון האינפיניטסימלי באירופה, וביחד עם אחיו יוהאן ברנולי נמנה עם מייסדי חשבון הווריאציות. בתורת ההסתברות ניסח גרסה ראשונה של חוק המספרים הגדולים. ברנולי נולד בבזל לניקולאוס ברנולי, סוחר בעל השפעה, ואחד מאזרחיה החשובים של העיר. אביו הפרוטסטנטי רצה שבנו ילמד תאולוגיה, אך ברנולי הצעיר נמשך כבר מקטנותו אחרי מתמטיקה ואסטרונומיה. ברנולי למד פילוסופיה ותאולוגיה באוניברסיטת בזל ובמקביל למד מתמטיקה ואסטרונומיה. בשנת 1676 קיבל תואר בתאולוגיה ועבר לז'נבה, שם שהה 20 חודשים, היה מורה לילדה עיוורת והשתתף בוויכוחים תאולוגיים. ביוני 1678 עבר למשך שנתיים לצרפת, שם למד עם ממשיכי דרכו של דקארט ובראשם ניקולא מלבראנש. מצרפת עבר להולנד (לאמסטרדם ולליידן) ולמד על חידושים בתחומי המתמטיקה והמדע, בין השאר מיוהנס הודה. באפריל 1681 המשיך במסעו לאנגליה, שם שהה עד אוקטובר 1682 ופגש את רוברט בויל ורוברט הוק. בהמשך למסעותיו אלה המשיך לקיים עד סוף ימיו קשרי מכתבים עם הבולטים שבמדעני אירופה. ב-1682 החל לפרסם מאמרים קצרים בכתב העת "Journal des savants" (אנ'), תחילה במדעי הטבע ומ-1685 במתמטיקה. ב-1683 החל ללמד מכניקה באוניברסיטת בזל, וב-1684 הגיש שם את עבודת הדוקטורט שלו. בשנת 1687 נתמנה לפרופסור למתמטיקה באוניברסיטת בזל, משרה שהחזיק עד מותו בשנת 1705. הוא לימד מתמטיקה את אחיו יוהאן, הצעיר ממנו ב-13 שנים, והשניים החלו להתעמק בחיבורו של לייבניץ על החשבון הדיפרנציאלי, שהתפרסם בכתב העת Acta Eruditorum (בהמשך פרסם גם יאקוב ברנולי מאמרים בכתב עת זה). האחים שיתפו פעולה בפיתוח יישומי החשבון האינפיניטסימלי, אך בהמשך הפכו ליריבים, וב-1697 נותקו הקשרים ביניהם. תרומותיו של ברנולי בענפי המתמטיקה והפיזיקה רבות. בין השאר בענפי חשבון אינפיניטסימלי, טורים אינסופיים ותורת ההסתברות. ברנולי חקר גם עקומות חשובות בתחומי הפיזיקה והגאומטריה, שהבולטת בהן הייתה הספירלה הלוגריתמית. הוא גילה אחדות מתכונותיה המתמטיות הייחודיות של הספירלה, והוקסם מאחת מהן: כאשר מגדילים את הספירלה פי גורם כלשהו, הצורה שלה נותרת בלתי משתנה, תכונה שידועה כעת כדמיון עצמי. ברנולי ציווה לחרות ספירלה לוגריתמית על מצבתו (אך במקומה נחרתה על מצבתו ספירלת ארכימדס). בשנת 1684 נישא ליהודית סטופנוס ונולדו להם בן ובת. ברנולי נפטר ב-16 באוגוסט 1705 ונקבר בקתדרלה של בזל. בשנים 1682–1704 פרסם ברנולי מאמרים אחדים בנושאי טורים אינסופיים, ובהם חידושים רבים. הוא הוכיח שהטור ∑ 1 n {\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}} מתבדר, בלי שידע שתוצאה זו הוצגה 40 שנה קודם לכן על ידי פייטרו מנגולי. ברנולי לא הצליח לחשב את סכום הטור ∑ 1 n 2 {\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}} , אך הוכיח שהוא מתכנס לגבול קטן מ-2. בעיה זו, שנודעה בשם בעיית בזל, נפתרה על ידי אוילר בשנת 1737. בשנת 1683 עסק בבעיה של ריבית דריבית, והגיע למסקנה שהגבול lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} הוא מספר שבין 2 ל-3. מספר זה נודע בהמשך בשם e. בשנת 1689 פרסם, במאמרו "“Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis", את אי-שוויון ברנולי, הקובע כי   ( 1 + x ) n ≥ 1 + n x {\displaystyle \ (1+x)^{n}\geq 1+nx} לכל מספר שלם   n ≥ 0 {\displaystyle \ n\geq 0} ולכל מספר ממשי   x > − 1 {\displaystyle \ x>-1} (אם כי אייזק בארו פרסם אי-שוויון זה עוד ב-1670). במאמר עשה ברנולי שימוש נרחב באי-שוויון זה. ברנולי קידם את ביסוס החשבון האינפיניטסימלי והפצתו באירופה. במחלוקת בין לייבניץ לניוטון בנושא זה התייצבו האחים ברנולי לצדו של לייבניץ. במאי 1690 פרסם מאמר שבו הראה שבעיית הטאוטוכרון, למציאת העקומה שהזמן שלוקח לכל חפץ המחליק עליה להגיע לנקודה התחתונה שלה יהיה בלתי תלוי בנקודת ההתחלה שלו, שקולה לפתרון משוואה דיפרנציאלית ממעלה ראשונה, ופתר את המשוואה בטכניקה של הפרדת משתנים. במאמר זה טבע את המונח "אינטגרל", ובעקבות זאת הסכים לייבניץ לקרוא ליצירתו "חשבון אינטגרלי". בשנת 1696 פתר את המשוואה y ′ = p ( x ) y + q ( x ) y n {\displaystyle y'=p(x)y+q(x)y^{n}} , המוכרת כיום בשם משוואת ברנולי או בשם המשוואה הדיפרנציאלית של ברנולי (אנ') (כדי להבחין בינה ובין משוואת ברנולי הקרויה על שם אחיינו, דניאל ברנולי). בשנת 1694 תיאר לראשונה את העקומה הקרויה הלמניסקטה של ברנולי - עקומה שבקואורדינטות פולריות משוואתה היא r 2 = a 2 cos ⁡ 2 θ {\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta \,} . בשנת 1695 פרסם את הגרסה הלטינית לספרו של דקרט, "La Géométrie", ובה הערות ותיקונים של ברנולי. בשנת 1713, שמונה שנים לאחר מותו, יצא לאור ספרו Ars Conjectandi, שלו השפעה גדולה על תורת ההסתברות (ראו בהרחבה בערך היסטוריה של תורת ההסתברות#ברנולי). בספר סקר ברנולי את עבודותיהם של הויגנס, פסקל ואחרים, והוא ספר היסוד המוקדם ביותר לתורת ההסתברות שהיה מוגדר ככזה וכחיבור מחקרי מתמטי של ממש. הספר כולל הצגה שיטתית של הקומבינטוריקה, ודוגמאות רבות של תוחלת הזכייה במשחקי מזל שונים. בין השאר הספר מציג את סדרת מספרי ברנולי, והמושג "ניסוי ברנולי" (אנ') מקורו בספר זה. זהו עץ משפחה חלקי, שמוצגים בו בעיקר מתמטיקאים בני המשפחה. יוהאן ברנולי, למשל, היה הילד העשירי במשפחתו. אי-שוויון ברנולי מספרי ברנולי מדיה וקבצים בנושא יאקוב ברנולי בוויקישיתוף יאקוב ברנולי, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה יאקוב ברנולי, באתר MacTutor (באנגלית) יאקוב ברנולי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Jeanne Pfeiffer, Jacob Bernoulli, teacher and rival of his brother Johann, Journal Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique, November 2006 כך על פי הלוח היוליאני שנהג בשווייץ באותה עת; על פי הלוח הגרגוריאני: 6 בינואר 1655 J J O'Connor and E F Robertson. "The number e". St Andrews University.{{cite web}}: תחזוקה - ציטוט: שימוש בפרמטר authors (link) Ian Hacking, "Jacques Bernoulli's Art of Conjecturing", The British Journal for the Philosophy of Science Vol. 22, No. 3, August 1971, pp. 209-229 (המאמר זמין לצפייה במאגר JSTOR לאחר הרשמה)