ספקטרום פרויקטיבי

בגאומטריה אלגברית ספקטרום פרויקטיבי הוא אנלוג פרויקטיבי של המושג ספקטרום של חוג. ספקטרום פרויקטיבי מתאים לחוג קומוטטיבי מדורג A {\displaystyle A} יריעה קוואזי-פרויקטיבית (או סכמה קוואזי-פרויקטיבית) P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} , אם A {\displaystyle A} אלגברה נוצרת סופית מעל A 0 {\displaystyle A_{0}} . למשל, אם A = k [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]} הוא חוג הפולינומים, מדורג כך שכל המשתנים בעלי דרגה 1, אז P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} הוא המרחב הפרויקטיבי P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} . בגאומטריה אלגברית קלאסית יריעה פרויקטיבית X ⊂ P k n {\displaystyle X\subset \mathbb {P} _{k}^{n}} המוגדרת על-ידי משוואות הומוגניות f i ( x 0 , … , x n ) = 0 , i = 1 , … , m {\displaystyle f_{i}(x_{0},\ldots ,x_{n})=0,i=1,\ldots ,m} מתוארת על-ידי חוג מדורג A = k [ x 0 , … , x n ] / ( f 1 , … , f m ) {\displaystyle A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})} עם הדירוג המושרה מהדירוג הסטנדרטי בחוג הפולינומים. בניית הספקטרום הפרויקטיבי משחזרת (בשפה של סכמות) את היריעה הפרויקטיבית X {\displaystyle X} מהחוג המדורג A {\displaystyle A} . יהי A = ⊕ i ≥ 0 A i {\displaystyle A=\oplus _{i\geq 0}A_{i}} חוג קומוטטיבי מדורג. אידיאל I ⊂ A {\displaystyle I\subset A} נקרא הומוגני אם I = ⊕ I i , I i = I ∩ A i {\displaystyle I=\oplus I_{i},I_{i}=I\cap A_{i}} . אוסף אברי A {\displaystyle A} בעלי דרגה חיובית A + = ⊕ i > 0 A i {\displaystyle A_{+}=\oplus _{i>0}A_{i}} הוא אידיאל הומוגני הקרוי לעיתים אידיאל לא רלוונטי (אנ'). איברי P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} הם האידיאלים הראשוניים המדורגים של A {\displaystyle A} שלא מכילים את A + {\displaystyle A_{+}} . בדומה לטופולוגיה על הספקטרום של חוג קומוטטיבי, ניתן להגדיר על P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} טופולוגיה על-ידי קביעת קבוצות V ( I ) = { p ∈ P r o j ( A ) | p ⊃ I } {\displaystyle V(I)=\{{\mathfrak {p}}\in Proj(A)|{\mathfrak {p}}\supset I\}} , כאשר I {\displaystyle I} אידיאל הומוגני, כקבוצות סגורות. זה מגדיר טופולוגיה על P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} הנקראת טופולוגיית זריצקי. בסיס של הטופולוגיה ניתן על-ידי הקבוצות הפתוחות D ( f ) = { p ∈ P r o j ( A ) | p ∌ f } {\displaystyle D(f)=\{{\mathfrak {p}}\in Proj(A)|{\mathfrak {p}}\not \ni f\}} כאשר f {\displaystyle f} איבר הומוגני ב- A {\displaystyle A} . נציין כי D ( f ) {\displaystyle D(f)} הומאומורפי לספקטרום של החוג A ( f ) {\displaystyle A_{(f)}} , לוקליזציה הומוגנית של A {\displaystyle A} המוגדרת כאוסף שברים a f k {\displaystyle {\frac {a}{f^{k}}}} ב- A f {\displaystyle A_{f}} בעלי דרגה 0 {\displaystyle 0} . כדי להגדיר מבנה של מרחב מחויג על P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} , יש להגדיר עליו את אלומת המבנה O {\displaystyle {\mathcal {O}}} , אלומת הפונקציות הרגולריות. כיוון שהקבוצות הפתוחות D ( f ) {\displaystyle D(f)} מהוות בסיס של טופולוגיה, מספיק להגדיר את חתכי אלומת המבנה רק על קבוצות אלה, וכן להגדיר את העתקות הצמצום O ( D ( f ) ) → O ( D ( f g ) ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(D(f))\to {\mathcal {O}}(D(fg))} לכל זוג איברים הומוגניים f , g {\displaystyle f,g} בחוג A {\displaystyle A} . הומאומורםיזם בין D ( f ) {\displaystyle D(f)} לבין הספקטרום של A ( f ) {\displaystyle A_{(f)}} מאפשר להגדיר O ( D ( f ) ) = A ( f ) {\displaystyle {\mathcal {O}}(D(f))=A_{(f)}} ולקבל את העתקות הצמצום באופן אוטומטי. כיוון שמרחב מחויג D ( f ) {\displaystyle D(f)} איזומורפי, לפי הבנייה, לסכמה אפינית S p e c ( A ( f ) ) {\displaystyle Spec(A_{(f)})} , P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} הוא סכמה. מורפיזם סכמות π :   P r o j ( A ) → S p e c ( A 0 ) {\displaystyle \pi :\ Proj(A)\to Spec(A_{0})} מתקבל על-ידי הדבקה של המורפיסמים S p e c ( A ( f ) ) → S p e c ( A 0 ) {\displaystyle Spec(A_{(f)})\to Spec(A_{0})} המוגדרים על-ידי מבנה של A 0 {\displaystyle A_{0}} -אלגברה על A ( f ) {\displaystyle A_{(f)}} . מורפיזם זה פרויקטיבי עם A {\displaystyle A} אלגברה נוצרת סופית מעל A 0 {\displaystyle A_{0}} . הדוגמה הראשונה של ספקטרום פרויקטיבי היא P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} כאשר A = k [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle A=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]} . הקבוצות הפתוחות D ( x i ) {\displaystyle D(x_{i})} מזוהות עם ספקטרה של חוגי הפולינומים A ( x i ) = k [ x 0 x i , … , x n x i ] {\displaystyle A_{(x_{i})}=k[{\frac {x_{0}}{x_{i}}},\ldots ,{\frac {x_{n}}{x_{i}}}]} , כך שבמקרה k {\displaystyle k} הוא שדה סגור אלגברית, הנקודות הסגורות של P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} מזוהות עם המרחב הפרויקטיבי הקלאסי P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} . באופן כללי, הספקטרום הפרויקטיבי של A [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle A[x_{0},\ldots ,x_{n}]} כאשר A {\displaystyle A} חוג קומוטטיבי כלשהו והמשתנים x i {\displaystyle x_{i}} בעלי דרגה 1 {\displaystyle 1} , נקרא המרחב הפרויקטיבי מעל A {\displaystyle A} המסומן P A n {\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}} . יהי k {\displaystyle k} שדה סגור אלגברית, A {\displaystyle A} אלגברה מדורגת הנוצרת על-ידי איברים הומוגניים בעלי דרגה 1 {\displaystyle 1} . זה גורר כי A {\displaystyle A} ניתן להציג כמנה של החוג המדורג S = k [ x 0 , … , x n ] {\displaystyle S=k[x_{0},\ldots ,x_{n}]} מודולו אידיאל הומוגני J {\displaystyle J} . זה מאפשר להציג P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} כתת-סכמה סגורה של P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} . הנקודות הסגורות של P r o j ( A ) {\displaystyle Proj(A)} הן נקודות ( x 0 : … : x n ) {\displaystyle (x_{0}:\ldots :x_{n})} של P k n {\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}} המקיימות משוואות של J {\displaystyle J} . תהי X = S p e c ( A ) {\displaystyle X=Spec(A)} סכמה אפינית ותהי Y = V ( I ) {\displaystyle Y=V(I)} תת-סכמה סגורה הניתנת על-ידי אידיאל I {\displaystyle I} . ניפוח של X {\displaystyle X} ב- Y {\displaystyle Y} אפשר לתאר כספקטרום פרויקטיבי של החוג המדורג S = A ⊕ I ⊕ I 2 ⊕ … {\displaystyle S=A\oplus I\oplus I^{2}\oplus \ldots } Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.