קרל לודוויג זיגל

קרל לודוויג זיגל (בגרמנית: Carl Ludwig Siegel;‏ 31 בדצמבר 1896 – 4 באפריל 1981) היה מתמטיקאי גרמני שעסק בעיקר בתורת המספרים האנליטית, אנליזה מרוכבת ומכניקה שמיימית. הוא ידוע, בין היתר, בשל תרומותיו למשפט זיגל-רות' בתורת הקירובים הדיופנטיים, לתאוריית המספרים הטרנסצנדנטיים, ולנוסחת המסה של זיגל בתורת התבניות הריבועיות. אנדרה וייל הכתיר את זיגל כ"גדול המתמטיקאים של המחצית הראשונה של המאה ה-20", וגם אטלה סלברג היה מלא שבחים דומים עליו. זיגל נולד בברלין, והחל ללמוד באוניברסיטת הומבולדט בברלין ב-1915 כסטודנט למתמטיקה, אסטרונומיה ופיזיקה. בין מוריו היו מקס פלאנק ופרדיננד גאורג פרובניוס, שהשפעתם גרמה לזיגל לזנוח את תחום האסטרונומיה ובמקום זאת להקדיש את מרצו ללימוד תורת המספרים. זיגל היה אנטימיליטריסט, ובשנת 1917, במהלך מלחמת העולם הראשונה נשלח למוסד פסיכיאטרי בשל היותו סרבן מצפוני. לפי עדותו, הוא עמד בחוויה רק בזכות תמיכתו של אדמונד לנדאו, שלאביו הייתה מרפאה בשכונה הקרובה. לאחר סיום מלחמת העולם הראשונה המשיך את לימודיו באוניברסיטת גטינגן, שם כתב ב-1920 את עבודת הדוקטורט שלו בהכוונתו של לנדאו. הוא נשאר בגטינגן כעוזר לימוד ומחקר; רבות מתוצאותיו פורצות הדרך פורסמו במהלך תקופה זו. ב-1922 מונה לפרופסור באוניברסיטת גתה בפרנקפורט על המיין כמחליפו של ארתור מוריץ שנפליס. זיגל, שהתנגד עמוקות לנאציזם, היה חבר קרוב של המתמטיקאים היהודים ארנסט הלינגר ומקס דן והשתמש בהשפעתו כדי לעזור להם. יחסו למשטר מנע את מינויו כמחליפו של קונסטנטין קרתיאודורי באוניברסיטת מינכן. בפרנקפורט הוא השתתף בסמינר על ההיסטוריה של המתמטיקה, אשר נערך ברמה הגבוהה ביותר ובמהלכו נקראו רק כתבי מקור. ב-1940 היגר דרך נורווגיה לארצות הברית, שם הצטרף למכון למחקר מתקדם בפרינסטון. הוא חזר לגטינגן רק לאחר מלחמת העולם השנייה, כאשר קיבל משרה כפרופסור כ-1951, משרה בה החזיק עד פרישתו ב-1959. תלמידו הטוב ביותר היה יורגן מוזר, אחד המייסדים של תורת KAM, אשר עומדת ביסוד תורת הכאוס. ב-1968 הוא נבחר לחבר זר באקדמיה הלאומית למדעים של ארצות הברית. עבודותיו של זיגל בתורת המספרים, משוואות דיופנטיות ומכניקה שמיימית זיכו אותו בכמה פרסים. ב-1978 הוענק לו פרס וולף הראשון במתמטיקה, אחד מאותות ההוקרה הגבוהים ביותר בתחום. כאשר ועדת הפרס ביקשה לבחור את המתמטיקאי החי הגדול ביותר, הדיון סב סביב זיגל וישראל גלפנד כמועמדים המובילים. בסופו של דבר הפרס חולק בין שניהם. תוצאתו המפורסמת ביותר של זיגל בתורת המספרים היא המשפט שלו (1929) על קיומו של מספר סופי של נקודות שלמות על עקומים אלגבריים מגנוס גדול או שווה ל-1; זו הייתה תוצאה כללית חשובה על משוואות דיופנטיות בתקופה בה התחום בכללותו היה לא מפותח. למשוואות ריבועיות (להן גנוס אפס), לעומת זאת, יש באופן טבעי מספר אינסופי של פתרונות, למשל במקרה של שלשות פיתגוריות. המשפט המכליל את התוצאה של זיגל מן השלמים אל המספרים הרציונליים (שיש רק מספר סופי של נקודות רציונליות) נקרא השערת מורדל, והוא הוכח על ידי גרד פאלטינגס. זיגל הרחיב משמעותית את התאוריה של מספרים טרנסצנדנטיים, תחום שהיה מאוד לא מפותח בזמנו. ב-1929 פרסם מאמר ארוך בשני חלקים, שמתמטיקאים אחדים מחשיבים כתרומתו המעמיקה והמקורית ביותר. במאמר הוא תרם תרומה חשובה לתאוריה של מספרים טרנסצנדנטיים, וביסס טכניקות הוכחה חדשות לטרנסצנדנטיות של מספרים מסוימים. חלקו הראשון של המאמר (שפורסם כמה שנים לפני שישראל גלפנד הוכיח את הטרנסצנדנטיות של e π {\displaystyle e^{\pi }} ) מכיל תוצאה חדשה לגמרי על מספרים טרנסצנדנטיים: הוא הוכיח שאם J 0 {\displaystyle J_{0}} היא פונקציית בסל מאינדקס 0, אז J 0 ( x ) {\displaystyle J_{0}(x)} היא טרנסצנדנטית בעבור כל ערך אלגברי שונה מ-0 של x. שיטותיו פותחו ולוטשו על ידי ישראל גלפנד ותאודור שניידר, מה שהוביל בסופו של דבר למשפט גלפונד-שניידר, מן התוצאות המרכזיות בתחום. הוא עסק רבות גם בתחום "הגאומטריה של מספרים" (במובן של מינקובסקי), התאוריה של פונקציית זטא (הוא מצא תוצאות לא מוכרות בעיזבון המקצועי של ברנרד רימן והרחיב אותן), ועוד. במסגרת מחקרו על פונקציות L הוא גילה את התופעה האנליטית של אפסי זיגל. מ-1935 ואילך, רוב מאמריו של זיגל בתורת המספרים עסקו בתורה האריתמטית של תבניות ריבועיות ב-n משתנים. התאוריה פותחה על ידי ז'וזף לואי לגראנז' וקרל פרידריך גאוס עבור המקרים n=2 ו-n=3, ותרומות למקרים פרטיים של התאוריה של תבניות ריבועיות במספר שרירותי של משתנים נעשו במהלך המאה ה-19 על ידי פרדיננד אייזנשטיין, שארל הרמיט, הנרי ג'ון סמית והרמן מינקובסקי. ניתן להחשיב את עבודתו של זיגל בנושא, שכוללת את ההצגה של נוסחת המסה של זיגל, לגולת הכותרת בתאוריה של תבניות ריבועיות ב-n משתנים. בעבודותיו האנליטיות על תבניות ריבועיות כלליות, זיגל ביסס עקרון חשוב לפיו היבטים אנליטיים שונים של התורה ניתנים לקביעה באמצעות חישוב הנפח של תחומים יסודיים (ביחס לאיזושהי הכללה של החבורה המודולרית) במרחב מממד שהוא מספר משתני התבנית הריבועית הנידונה. יחד עם ריכרד בראואר, זיגל מצא תוצאה חשובה על ההתנהגות האסימפטוטית של מספר המחלקות של שדות מספרים אלגבריים. יחד עם הנס היילברון, הוא הוכיח שמספר המחלקות של שדות ריבועיים דמיוניים מתבדר בעבור דיסקרימיננטות הולכות וגדלות, תוצאה ששוערה לראשונה על ידי גאוס. הוא תרם תרומות נוספות לבעיית מספר המחלקות של גאוס. באנליזה מרוכבת, זיגל תרם רבות לתאוריה הכללית של תבניות אוטומורפיות, תורה שמאז זמנו של פואנקרה לא התפתחה מעבר לטיפול בכמה מקרים פרטיים. עבודתו זו הובילה אותו לפיתוח היריעות המודולריות של זיגל, אשר מתארות את התבניות המודולריות של זיגל (שהן האנלוג של התבניות המודולריות בעבור חצי המרחב העליון של זיגל). חצי המרחב העליון של זיגל, שהוא הציג וטיפל בתכונותיו בפירוט ב-1939, מהווה מעין הכללה של חצי המישור העליון לממד גבוה מ-2. הוא בחן גם את החבורות הבלתי רציפות העומדות ביסוד התחום, כמו גם את התחומים היסודיים שלהן, מה שלמעשה הכליל את התאוריה של פונקציות מודולריות והחבורה המודולרית של פליקס קליין ורוברט פריקה. אחרי תורת המספרים ואנליזה מרוכבת, התחום המתמטי המועדף עליו היה מכניקה שמיימית ומערכות המילטוניות. ספרו עב הכרס, "הרצאות על מכניקה שמיימית" שנכתב ביחד עם תלמידו יורגן מוזר, פורסם ב-1971. בעבודתו, זיגל חקר שאלות הנוגעות לבעיה התלת-גופית (או באופן כללי יותר לבעיית n הגופים), שאלות על הרגולריזציה של משוואות התנועה (ההיתכנות של התנגשויות בין הגופים הנידונים), הקיום של אינטגרלים אלגבריים למשוואות התנועה (בהמשך לעבודתו של ארנסט היינריך ברונס (אנ')), שיפורים לתאוריה הירחית של Hill, הקיום של מסלולים קוואזי-רגולריים ויציבותם (במונחים של מערכות דינמיות, הדבר קשור לדיסק זיגל), שאלות על ההתכנסות של פונקציית ההפרעה ("בעיית המחלקים הקטנים"), כמו גם על הצורות הנורמליות של משוואות התנועה של המילטון בסמוך לנקודות שיווי משקל. ספרו על מכניקה שמיימית שהוזכר מקודם, נחשב כעת לעבודה קלאסית בתורת ההפרעות ותורת היציבות, והוא עזר להכין את הקרקע למשפט KAM (אנ') (שנקרא על שם קולמוגורוב, ארנולד ומוזר). באופן די חריג יחסית למתמטיקאי בן המאה ה-20, זיגל היה ביקורתי כלפי הנטייה של המתמטיקה המודרנית להפשטה הולכת וגוברת ולאקסיומטיזציה של המתמטיקה. לטעמו, אסכולת בורבאקי הייתה ההתגלמות של "התפתחות קטסטרופלית", והוא הצהיר כי העריך את "הבהירות והכנות" בעבודתם של מתמטיקאים גדולים מהעבר כמו גאוס ולגראנז'. (1943) Symplectic Geometry (Lectures on the Geometry of Numbers (1945-46 (Transcendental numbers (1949 (Analytic functions of several complex variables (1949 (Lectures on Celestial mechanics (1971 מרכוס דו סוטוי, המוזיקה של המספרים הראשוניים, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, תרגם: אוריאל גבעון, 2006, עמ' 219–231. מדיה וקבצים בנושא קרל לודוויג זיגל בוויקישיתוף קרל לודוויג זיגל, באתר פרויקט הגנאלוגיה במתמטיקה קרל לודוויג זיגל, באתר MacTutor (באנגלית) קרל לודוויג זיגל, באתר "Find a Grave" (באנגלית) קארל ל. זיגל, באתר פרס וולף