רדיקל (תורת החוגים)

בתורת החוגים, הרדיקל של חוג הוא אידיאל מיוחד, המכיל בתוכו את כל האידיאלים ה"בעייתיים" של החוג. הרדיקל שווה לאפס בדיוק כאשר החוג נקי מן הבעיות שהרדיקל אמור למדוד. לרדיקלים השונים יש תפקיד מרכזי בארגז הכלים של חוקר החוגים והמודולים. הרדיקל של חוג מוגדר תמיד ביחס למשפחה מסוימת של חוגים או אידיאלים: אם P {\displaystyle {\mathcal {P}}} היא משפחה של חוגים הכוללת עם כל חוג גם את חוגי המנה שלו, אידיאל P {\displaystyle P} בעל התכונה P {\displaystyle {\mathcal {P}}} נקרא P {\displaystyle {\mathcal {P}}} -רדיקל של החוג R {\displaystyle R} , אם הוא מכיל כל אידיאל בעל התכונה הזו, ובחוג המנה R / P {\displaystyle R/P} אין אידיאלים לא-טריוויאליים בעלי התכונה. הרדיקל ביחס למשפחה נתונה אינו בהכרח קיים בכל חוג, ולכן אחד הצעדים הראשונים בבניה מועילה של רדיקל צריכה להיות אפיון החוגים שבהם הוא קיים. בהכללה אפשר לומר שהרדיקל שימושי ומועיל יותר ככל שהוא מוגדר עבור חוגים כלליים יותר. את הרדיקל אפשר להגדיר כאידיאל הגדול ביותר השייך למשפחה מסוימת, כחיתוך כל האידיאלים מסוג מסוים, וכדומה. פעמים רבות, כמו ברדיקל של ג'ייקובסון מתלכדות כמה הגדרות לכלי רב עוצמה יחיד. במקרה היסודי של אלגברות אסוציאטיביות מממד סופי, כל הרדיקלים החשובים שווים זה לזה. כל רדיקל שימושי מקיים את שתי התכונות הבאות: אם I {\displaystyle I} אידיאל של החוג R {\displaystyle R} המוכל ברדיקל rad ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {rad} (R)} אז rad ⁡ ( R / I ) = rad ⁡ ( R ) / I {\displaystyle \operatorname {rad} (R/I)=\operatorname {rad} (R)/I} ; ואם   rad ⁡ ( R / I ) = 0 {\displaystyle \ \operatorname {rad} (R/I)=0} , אז rad ⁡ ( R ) ⊆ I {\displaystyle \operatorname {rad} (R)\subseteq I} . לצד הרדיקל של ג'ייקובסון, יש כמה רדיקלים חשובים אחרים הקיימים בכל חוג (אסוציאטיבי), מן הקטן לגדול: הרדיקל הנילי התחתון Nil ∗ ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} _{*}(R)} (נקרא גם הרדיקל הראשוני או רדיקל Baer) הוא חיתוך כל האידיאלים הראשוניים של החוג. זהו האידיאל הראשוני למחצה הקטן ביותר של החוג. אפשר לבנות אותו באינדוקציה טרנספיניטית, כסכום כל האידיאלים הנילפוטנטיים בחוג המנה ביחס לצעד הקודם (הסכום N 1 ( R ) {\displaystyle N_{1}(R)} של כל האידיאלים הנילפוטנטיים בחוג R {\displaystyle R} שווה לסכום האידיאלים השמאליים הנילפוטנטים, אבל בדרך-כלל אינו נילפוטנטי בעצמו; בחוגי PI N 3 = N 2 {\displaystyle N_{3}=N_{2}} ). הרדיקל הזה מתאפס אם ורק אם החוג ראשוני למחצה, כלומר, אין בו אידיאלים נילפוטנטיים. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל הנילי התחתון הוא אוסף האיברים הנילפוטנטים בחוג, היינו הרדיקל של אידיאל האפס. במקרה הכללי, אברי הרדיקל הם האיברים הנילפוטנטים בחזקה ( a {\displaystyle a} הוא נילפוטנטי בחזקה אם כל סדרה a i + 1 ∈ a i R a i {\displaystyle a_{i+1}\in a_{i}Ra_{i}} המתחילה ב- a 1 = a {\displaystyle a_{1}=a} מוכרחה להתאפס). הרדיקל הנילי התחתון של תת-חוג S ⊆ R {\displaystyle S\subseteq R} מקיים S ∩ Nil ∗ ⁡ ( R ) ⊆ Nil ∗ ⁡ ( S ) {\displaystyle S\cap \operatorname {Nil} _{*}(R)\subseteq \operatorname {Nil} _{*}(S)} . רדיקל לויצקי (על-שם יעקב לויצקי) הוא סכום האידיאלים הנילפוטנטים-מקומית, השווה גם לסכום האידיאלים השמאליים הנילפוטנטיים-מקומית (והוא האידיאל הנילפוטנטי-מקומית הגדול ביותר; אידיאל הוא נילפוטנטי מקומית אם לכל קבוצה סופית של איברים בו, יש n כזה שמכפלת כל n איברים בקבוצה היא אפס). הרדיקל הנילי העליון של קתה, N ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {N} (R)} , Nil ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} (R)} או Nil ∗ ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} ^{*}(R)} , הוא סכום האידיאלים הניליים (והוא האידיאל הנילי הגדול ביותר). הרדיקל שווה לחיתוך כל האידיאלים הראשוניים שבחוג המנה ביחס אליהם אין אידיאלים ניליים. אם Nil ⁡ ( R ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Nil} (R)=0} , אז J ( R [ λ ] ) = 0 {\displaystyle J(R[\lambda ])=0} (עמיצור). N ¯ ( R ) {\displaystyle {\overline {N}}(R)} הוא סכום האידיאלים השמאליים הניליים (השווה לסכום האידיאלים הימניים הניליים). השערת קתה שואלת האם רדיקל זה שווה לרדיקל הנילי העליון (לא ידועות דוגמאות נגדיות). רדיקל ג'ייקובסון J ( R ) {\displaystyle J(R)} שווה לחיתוך האידיאלים השמאליים המקסימליים, והוא האידיאל הקוואזי-הפיך הגדול ביותר (אידיאל הוא קוואזי-הפיך אם לכל איבר x {\displaystyle x} שלו, 1 − x {\displaystyle 1-x} הפיך). רדיקל בהרנס (Behrens) של חוג, המסומן β ( R ) {\displaystyle \beta (R)} , הוא האידיאל הגדול ביותר של החוג, שלא ניתן להעתיקו הומומורפית על חוג עם אידמפוטנט שונה מאפס. רדיקל בראון-מקוי BM ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {BM} (R)} הוא חיתוך כל האידיאלים M {\displaystyle M} כך ש- R / M {\displaystyle R/M} פשוט עם יחידה (אם ב- R {\displaystyle R} יש יחידה, זה חיתוך האידיאלים המקסימליים). בין הרדיקלים האלו מתקיים תמיד היחס הבא: Nil ∗ ⁡ ( R ) ⊆ L ( R ) ⊆ Nil ⁡ ( R ) ⊆ N ¯ ( R ) ⊆ J ( R ) ⊆ BM ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} _{*}(R)\subseteq L(R)\subseteq \operatorname {Nil} (R)\subseteq {\overline {N}}(R)\subseteq J(R)\subseteq \operatorname {BM} (R)} . בחוגים ארטיניים (ובפרט באלגברות מממד סופי), כולם מתלכדים. בחוגים נותריים ובחוגים עם זהויות, Nil ∗ ⁡ ( R ) = N ¯ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} _{*}(R)={\overline {N}}(R)} . בחוג עם זהויות שהוא אפיני מעל חוג נותרי קומוטטיבי, Nil ∗ ⁡ ( R ) = Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} _{*}(R)=\operatorname {Jac} (R)} (משפט Razmyslov-Kemer-Braun). באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית מעל שדה, L ( R ) = Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle L(R)=\operatorname {Jac} (R)} אבל ייתכן ש- Nil ∗ ⁡ ( R ) ⊂ L ( R ) {\displaystyle \operatorname {Nil} _{*}(R)\subset L(R)} . הרדיקלים לעיל מתאפסים, לפי הסדר, אם: אין אידיאלים נילפוטנטיים; אין אידיאלים ניליים מקומית; אין אידיאלים ניליים; אין אידיאל שמאלי נילי; אין אידיאל קוואזי הפיך (החוג פרימיטיבי למחצה); החוג הוא מכפלה תת-ישרה של חוגים פשוטים עם יחידה. בשנות החמשים של המאה ה-20 פיתחו שמשון עמיצור ואלכסנדר קורוש (אנ') תאוריה כללית של רדיקלים, היוצקת תשתית פורמלית לגישה הרואה ברדיקל של חוג אידיאל "בעייתי" שיש לסלק. לפי תאוריה זו, מחלקה רדיקלית היא מחלקה γ {\displaystyle \gamma } של חוגים בלי יחידה, הסגורה תחת המעבר לתמונות הומומורפיות, תחת איחוד של שרשראות, ותחת הרחבות (אם I , R / I ∈ γ {\displaystyle I,R/I\in \gamma } אז R ∈ γ {\displaystyle R\in \gamma } ). בהינתן מחלקה רדיקלית γ {\displaystyle \gamma } , אפשר להגדיר את ה- γ {\displaystyle \gamma } -רדיקל γ ( R ) {\displaystyle \gamma (R)} של חוג R {\displaystyle R} להיות סכום כל האידיאלים של R {\displaystyle R} השייכים למחלקה. המחלקה מאפיינת שתי תכונות מנוגדות: חוג R {\displaystyle R} הוא γ {\displaystyle \gamma } -רדיקלי אם R = γ ( R ) {\displaystyle R=\gamma (R)} , ו- γ {\displaystyle \gamma } -פשוט-למחצה אם γ ( R ) = 0 {\displaystyle \gamma (R)=0} (את קבוצת החוגים הפשוטים למחצה ביחס ל- γ {\displaystyle \gamma } מסמנים ב- S γ {\displaystyle {\mathcal {S}}\gamma } ; מחלקה כזו נקראת מחלקה פשוטה למחצה). את הרדיקל γ ( R ) {\displaystyle \gamma (R)} אפשר גם לאפיין כחיתוך כל האידיאלים I {\displaystyle I} שעבורם γ ( R / I ) = 0 {\displaystyle \gamma (R/I)=0} , והמנה R / γ ( R ) {\displaystyle R/\gamma (R)} היא תמיד γ {\displaystyle \gamma } -פשוטה-למחצה. לכל מחלקה רדיקלית, אם I {\displaystyle I} אידיאל של חוג R {\displaystyle R} , אז גם γ ( I ) {\displaystyle \gamma (I)} אידיאל של R {\displaystyle R} (זהו משפט Anderson-Divinsky-Sulinski). מחלקה של חוגים הכוללת מנה שונה מאפס של כל חוג (בלי יחידה), נקראת מחלקה רגולרית; בפרט, כל מחלקה פשוטה למחצה היא רגולרית. בכיוון ההפוך, אם σ {\displaystyle \sigma } מחלקה רגולרית, אז המחלקה U σ {\displaystyle {\mathcal {U}}\sigma } של חוגים שאין להם אף תמונה הומומורפית ב- σ {\displaystyle \sigma } היא רדיקלית (זוהי המחלקה הרדיקלית הגדולה ביותר שאין לה אף חוג שונה מאפס משותף עם σ {\displaystyle \sigma } ). לכל מחלקה רדיקלית γ {\displaystyle \gamma } מתקיים γ = U S γ {\displaystyle \gamma ={{\mathcal {U}}S}\gamma } , כך שהמחלקות הרדיקליות מתאימות למחלקות הפשוטות-למחצה. את המחלקות הפשוטות-למחצה אפשר לאפיין ישירות, באופן הבא: מחלקה של חוגים היא פשוטה למחצה אם ורק אם היא תורשתית (אידיאל של חוג במחלקה שייך גם הוא למחלקה), קו-אינדוקטיבית (אם המנה של R {\displaystyle R} ביחס לכל אחד מהאידיאלים בשרשרת יורדת שחיתוכה 0 היא במחלקה, אז גם R {\displaystyle R} במחלקה), וסגורה להרחבות. מתברר שהשערת קתה, מן ההשערות הפתוחות החשובות בתורת החוגים שקולה לטענה הבאה: אם R {\displaystyle R} חוג נילי אז R [ x ] {\displaystyle R[x]} שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו. בעוד השערה זו עדיין פתוחה, גרסאות שונות שלה נפתרו; בפרט, ידוע כי R [ x ] {\displaystyle R[x]} לא חייב להיות נילי (גם אם R {\displaystyle R} נילי), אבל תמיד שווה לרדיקל בהרנס של עצמו. הגרסה ה'דיפרנציאלית' של השערת קתה שואלת מהי תכונת הרדיקל החזקה ביותר בחוג הפולינומים הדיפרנציאליים R [ x ; δ ] {\displaystyle R[x;\delta ]} בהינתן ש- R {\displaystyle R} מקיים תכונת רדיקלים (חזקה יותר). כאן, כל הגרירות ידועות: אם R {\displaystyle R} שווה לרדיקל הראשוני של עצמו אז R [ x ; δ ] {\displaystyle R[x;\delta ]} נילפוטנטי מקומית, אך אם R {\displaystyle R} 'רק' נילפוטנטי מקומית, החוג R [ x ; δ ] {\displaystyle R[x;\delta ]} לא מוכרח להיות רדיקל ג'ייקובסון. בכיוון ההפוך, שמשון עמיצור הוכיח כי רדיקל ג'ייקובסון של חוג הפולינומים R [ x ] {\displaystyle R[x]} שווה ל- N ( R ) [ x ] {\displaystyle N(R)[x]} , חוג הפולינומים שמקדמיהם ברדיקל הנילי של R {\displaystyle R} . תכונה זו אינה מתקיימת עבור חוג הפולינומים הדיפרנציאלי R [ x ; δ ] {\displaystyle R[x;\delta ]} : הוא יכול להיות רדיקל ג'ייקובסון מבלי ש- R {\displaystyle R} נילי; ומצד שני, לאלגברה מעל שדה אינסופי מתקיים תמיד ש- γ ( R [ x ; δ ] ) = I [ x ] {\displaystyle \gamma (R[x;\delta ])=I[x]} לאידיאל כלשהו I ◃ R {\displaystyle I\triangleleft R} (בפרט הדבר נכון עבור חוג הפולינומים, כאשר δ = 0 {\displaystyle \delta =0} ), וזאת לכל תכונה רדיקלית γ {\displaystyle \gamma } . בהיבטים תורת-מבניים שונים, מבנה מדורג מעניק לאלגברה תכונות מיוחדות. ניתן לראות זאת בראי תורת הרדיקלים. להמשך הסעיף, תהי R {\displaystyle R} אלגברה מדורגת. הרדיקל הראשוני (או: רדיקל בר-מקוי) של R {\displaystyle R} , הוא חיתוך האידיאלים הראשוניים שלה תמיד הומוגני. זאת משום שהליבה ההומוגנית של אידיאל ראשוני ראשונית בעצמה, וכך הראשוניים המינימליים הם הומוגניים. רדיקל לויצקי (או: הרדיקל הנילפוטנטי מקומית) של R {\displaystyle R} , הוא סכום האידיאלים הנילפוטנטיים מקומית של R {\displaystyle R} - הומוגני. תוצאה זו הוכחה על ידי Puczylowski. הרדיקל הנילי של R {\displaystyle R} , הוא סכום האידיאלים הניליים של R {\displaystyle R} הוא הומוגני (אגטה סמוקטונוביץ', 2013). רדיקל ג'ייקובסון של R {\displaystyle R} הוא הומוגני (Bergman). רדיקל בראון-מקוי של R {\displaystyle R} הוא הומוגני (Jespers, Puczylowski עבור אלגברה G {\displaystyle G} -מדורגת באשר G {\displaystyle G} חבורה חופשית). אומרים כי אלגברה היא מדורגת-נילית אם כל אבר הומוגני הוא נילפוטנטי. לפי משפט של Bergman, רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה מדורגת הוא מדורג-נילי. Lance Small ויפים זלמנוב שאלו האם ההפך נכון (אולי תחת הנחות מסוימות על שדה הבסיס); שאלה זו נענתה בשלילה על ידי אגטה סמוקטונוביץ', שבנתה אלגברות נוצרות סופית, מדורגות-ניליות שאינן ג'ייקובסון מעל כל שדה. תופעה זו מגיעה לכדי קיצון במובן הבא: אומרים כי אלגברה היא מדורגת-נילפוטנטית אם כל תת-חוג שנוצר על ידי איברים הומוגניים מאותה דרגה הוא נילפוטנטי. קיימות אלגברות מונומיאליות, נוצרות סופית מדורגות-נילפוטנטיות ופרימיטיביות (ולכן לא ג'ייקובסון). יצוין כי הדירוג שמושת עליהן איננו הדירוג הטבעי לפי המעלה הכוללת (הנורש מן האלגברה החופשית). הרדיקל rad ⁡ ( M ) {\displaystyle \operatorname {rad} (M)} של מודול M {\displaystyle M} שווה לחיתוך תת-המודולים המקסימליים של M {\displaystyle M} . הרדיקל מתאפס אם ורק אם המודול הוא מודול פשוט למחצה (כלומר סכום ישר סופי של מודולים פשוטים). הרדיקל של המנה M / rad ⁡ ( M ) {\displaystyle M/\operatorname {rad} (M)} הוא תמיד אפס. הרדיקל של סכום ישר שווה לסכום ישר של הרדיקלים המתאימים. כל הומומורפיזם של מודולים f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} משרה הומומורפיזם f : M / rad ⁡ ( M ) → N / rad ⁡ ( N ) → N {\displaystyle f:M/\operatorname {rad} (M)\rightarrow N/\operatorname {rad} (N)\rightarrow N} , שהוא על אם ורק אם ההומומורפיזם המקורי הוא על (זו הלמה של נקאימה למודולים). מושג הרדיקל של מודול מכליל את רדיקל ג'ייקובסון: אם R {\displaystyle R} הוא חוג, הרדיקל שלו כמודול מעל עצמו שווה ל- Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle \operatorname {Jac} (R)} . תורת המודולים הפשוטים למחצה היא למעשה תורה של מודולים מעל חוגים פרימיטיביים למחצה, משום שכל מודול פשוט למחצה מעל חוג R {\displaystyle R} מהווה מודול גם מעל המנה R / Jac ⁡ ( R ) {\displaystyle R/\operatorname {Jac} (R)} . אידיאל A {\displaystyle A} של חוג הוא אידיאל פתיר אם קיים m {\displaystyle m} כך ש- A ( m ) = 0 {\displaystyle A^{(m)}=0} , כשמגדירים A ( 0 ) = A {\displaystyle A^{(0)}=A} ו- A ( m + 1 ) = A ( m ) ⋅ A ( m ) {\displaystyle A^{(m+1)}=A^{(m)}\cdot A^{(m)}} . מכיוון שהסכום של שני אידיאלים פתירים הוא אידיאל פתיר, לכל אלגברה מממד סופי (גם אם אינה אסוציאטיבית) יש אידיאל פתיר מקסימלי יחיד, הנקרא הרדיקל הפתיר של האלגברה. רדיקל זה מכיל את כל האידיאלים הפתירים, ובחוג המנה ביחס אליו אין אידיאלים פתירים. לרדיקל הפתיר תפקיד מרכזי בתורת המבנה של אלגברות לי מממד סופי וממאפיין אפס (או, באופן כללי יותר, בתורת המבנה של אלגברות מלצב מאותו סוג), משום שהמנה ביחס אליו היא, כפי שקורה במחלקות רבות אחרות (אבל לא תמיד), אלגברה פשוטה למחצה. גם בחבורות אפשר להגדיר רדיקלים שונים; מביניהם, הרדיקל הפתיר, שהוא תת-החבורה הנורמלית הפתירה הגדולה ביותר, הוא כנראה המשמעותי מכולם. סוזוקי הראה שאת הרדיקל הפתיר של חבורה סופית אפשר לזהות מתוך סריג תת-החבורות של החבורה. הרדיקל של פשטות-למחצה מוגדר כאידיאל הקטן ביותר N ~ {\displaystyle {\tilde {N}}} שהמנה ביחס אליו מתפרקת לסכום ישר של חוגים פשוטים. הרדיקל הזה קיים בכל אלגברה (לא אסוציאטיבית) מממד סופי, והוא תמיד מכיל את הרדיקל הפתיר, גם אם אינו פתיר בעצמו. בכל המחלקות החשובות של אלגברות לא אסוציאטיביות (אלגברות אלטרנטיביות, אלגברות ז'ורדן ואלגברות מלצב, ובכלל זה אלגברות אסוציאטיביות ואלגברות לי) הרדיקל של הפשטות-למחצה שווה לרדיקל הפתיר. הרדיקל הנילפוטנטי הוא הרדיקל שהגדיר ג'וזף ודרברן כשייסד את תורת המבנה של החוגים (ראו המשפט הראשי של ודרברן). עם זאת חשיבותו משנית, משום שהוא אינו קיים בחוגים אסוציאטיביים כלליים, או אפילו באלגברות לא אסוציאטיביות מסוימות מממד סופי. אידיאל A {\displaystyle A} של חוג הוא אידיאל נילפוטנטי אם קיים n {\displaystyle n} כך ש- A n = 0 {\displaystyle A^{n}=0} , כשמגדירים A 1 = A {\displaystyle A^{1}=A} ו- A ( n + 1 ) = A 1 ⋅ A n + A 2 ⋅ A n − 1 + ⋯ + A n ⋅ A 1 {\displaystyle A^{(n+1)}=A^{1}\cdot A^{n}+A^{2}\cdot A^{n-1}+\cdots +A^{n}\cdot A^{1}} (במקרה האסוציאטיבי די בהגדרה A n + 1 = A ⋅ A n {\displaystyle A^{n+1}=A\cdot A^{n}} ). בחוג אסוציאטיבי, הסכום של שני אידיאלים נילפוטנטיים הוא נילפוטנטי, ולכן לאלגברה אסוציאטיבית מממד סופי יש אידיאל נילפוטנטי מקסימלי יחיד, שהוא הרדיקל הנילפוטנטי; כך גם באלגברות ז'ורדן ובאלגברות אלטרנטיביות מממד סופי. הרדיקל הנילפוטנטי של אלגברות ז'ורדן ואלגברות אלטרנטיביות מתלכד עם הרדיקל הפתיר. באלגברות שאינן אסוציאטיביות, ייתכן שהאידיאל I {\displaystyle I} של A {\displaystyle A} ואלגברת המנה A / I {\displaystyle A/I} יהיו שניהם נילפוטנטים, אף על פי ש- A {\displaystyle A} עצמה אינה נילפוטנטית; לכן הרדיקל הנילפוטנטי אינו קיים באלגברה לא אסוציאטיבית כללית. אכן, באלגברה לא אסוציאטיבית (ואפילו אם היא קומוטטיבית) יכולים להיות כמה אידיאלים נילפוטנטים מקסימליים שונים זה מזה. הרדיקל הנילי, שהוא האידיאל הגדול ביותר שכל אבריו נילפוטנטים, קיים בכל אלגברה עם חזקות אסוציאטיביות. הרדיקל הזה מכיל את הרדיקל הפתיר (אבל אינו בהכרח שווה לו: באלגברות לי, הרדיקל הנילי שווה לאלגברה כולה). באלגברות אלטרנטיביות ובאלגברות ז'ורדן מממד סופי, הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי, ובמקרים אלה הוא שווה לרדיקל הנילפוטנטי. בעיית אלברט (שהציע אדריאן אלברט) שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקות אסוציאטיביות. Encyclopaedia of Mathematical Scieneces, Vol 57, Algebra VI, A.I. Kostrikin and I.R. Shafarevich (eds.), Part II: non-associative structures, E.N.Kuzmin and I.P. Shestakov. The Concise Handbook of Algebra, C.19. עבור חוגים נותריים: משפט Levitzki (ראה Herstein 1961); בחוגי זהויות, ראה Noncommutative Noetherian Rings, McConnel-Robson, Cor. 13.2.6 Smoktunovitcz, On some results related to Kothe's conjecture, Serdica, 2001; p. 165