מקדם בינומי גאוסי

במתמטיקה, המקדמים הבינומיים הגאוסיים הם אנלוגי-q של המקדמים הבינומיים. המקדם הבינומי הגאוסי ( n k ) q {\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}_{q}} הוא פולינום ב-q עם מקדמים טבעיים, אשר, כאשר ערכו של q הוא חזקה של מספר ראשוני, סופר את מספר תת-המרחבים הליניאריים מממד k המוכלים במרחב וקטורי עם ממד n מעל שדה סופי בעל q איברים. קרל פרידריך גאוס הציג את המקדמים הללו במאמר מ-1805, בו נעזר בהם כדי לפתור בעיה בתורת המספרים שעסקה בקביעת הסימן של סכום גאוס ריבועי מסוים. המקדמים הבינומיים הגאוסיים מוגדרים בנוסחה: ( m r ) q = { ( 1 − q m ) ( 1 − q m − 1 ) ⋯ ( 1 − q m − r + 1 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) ⋯ ( 1 − q r ) r ≤ m 0 r > m {\displaystyle {m \choose r}_{q}={\begin{cases}{\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}&r\leq m\\0&r>m\end{cases}}} כאשר m ו-r הם שני מספרים שלמים אי-שליליים. כאשר r = 0 ערך המקדם הוא 1 כיוון שהמונה והמכנה שניהם מכפלות ריקות. אף על פי שהנוסחה נראית במבט ראשון כמו פונקציה רציונלית, היא מייצגת למעשה פולינום, מכיוון שפעולת החלוקה מדויקת ב-[Z[q. שים לב גם שהנוסחה תקפה גם ל- r = m + 1, ונותנת 0 אודות לגורם q0 - 1 = 0 שבמונה, בהתאמה עם ההגדרה של המקדם. כל הגורמים במונה ובמכנה מתחלקים ב-1−q, שכן: [ k ] q = ∑ 0 ≤ i < k q i = 1 + q + q 2 + ⋯ + q k − 1 = { 1 − q k 1 − q for q ≠ 1 k for q = 1 , {\displaystyle [k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},} חלוקת הגורמים הללו נותנת את הנוסחה השקולה: ( m r ) q = [ m ] q [ m − 1 ] q ⋯ [ m − r + 1 ] q [ 1 ] q [ 2 ] q ⋯ [ r ] q ( r ≤ m ) , {\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m),} אשר מאמתת את העובדה שהצבת q = 1 ב- ( m r ) q {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}} נותנת את המקדם הבינומי הרגיל ( m r ) {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}} . במונחים של q-עצרת [ n ] q ! = [ 1 ] q [ 2 ] q ⋯ [ n ] q {\displaystyle [n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}} , הנוסחה ניתנת לכתיבה מחדש גם כ-: ( m r ) q = [ m ] q ! [ r ] q ! [ m − r ] q ! ( r ≤ m ) , {\displaystyle {m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m),} צורה קומפקטית זאת מוכיחה מיד את הסימטריה ( m r ) q = ( m m − r ) q {\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}={\tbinom {m}{m-r}}_{q}} בעבור r ≤ m. בשונה מהמקדם הבינומי הרגיל, המקדם הבינומי הגאוסי מקבל ערך סופי כאשר m → ∞ {\displaystyle m\rightarrow \infty } (הגבול הוא בעל משמעות אנליטית כאשר q|<1|): ( ∞ r ) q = lim m → ∞ ( m r ) q = 1 [ r ] q ! ( 1 − q ) r {\displaystyle {\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}} למקדמים הבינומיים הגאוסיים יש פרשנות מעניינת מתחום האלגברה הליניארית, שהופכת אותם לחשובים בתאוריה של מרחבים פרויקטיביים. מקדמים אלו סופרים למעשה את מספר תת-המרחבים מממד k המוכלים במרחב וקטורי מממד n מעל שדה סופי בעל q איברים. נראה זאת. כיוון שתת-מרחב k ממדי נפרש על ידי k וקטורים בלתי תלויים ליניארית ( v 1 , . . . , v k ) {\displaystyle (v_{1},...,v_{k})} , אזי ראשית, v 1 {\displaystyle v_{1}} יכול להיות כל וקטור שונה מוקטור האפס של V. לפיכך, ייתכנו q n − 1 {\displaystyle q^{n}-1} בחירות בעבור v 1 {\displaystyle v_{1}} . בהינתן v 1 {\displaystyle v_{1}} , אז v 2 {\displaystyle v_{2}} יכול להיבחר מבין אוסף הווקטורים שאינם נמצאים בתת-מרחב הנפרש על ידי v 1 {\displaystyle v_{1}} . כיוון שלתת-מרחב זה יש q איברים, ייתכנו q n − q {\displaystyle q^{n}-q} בחירות עבור v 2 {\displaystyle v_{2}} . כשממשיכים בדרך הזו, רואים שבהינתן v 1 , . . . , v l {\displaystyle v_{1},...,v_{l}} וקטורים בלתי תלויים (כאשר k < l {\displaystyle k<l} ), ישנן q n − q l {\displaystyle q^{n}-q^{l}} בחירות אפשריות בעבור v l + 1 {\displaystyle v_{l+1}} . מספר הצירופים של k וקטורים בלתי תלויים ליניארית מ-V הוא לפיכך: ( q n − 1 ) ( q n − q ) ⋯ ( q n − q k − 1 ) {\displaystyle (q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{k-1})} . באמצעות יישום הנוסחה האחרונה למקרה הפרטי בו n = k {\displaystyle n=k} , ניתן להיווכח בכך שלכל תת-מרחב k ממדי של V יש בדיוק ( q k − 1 ) ( q k − q ) ⋯ ( q k − q k − 1 ) {\displaystyle (q^{k}-1)(q^{k}-q)\cdots (q^{k}-q^{k-1})} בסיסים. כדי לקבל את מספר תת-המרחבים ה-k ממדיים, יש לחלק את הביטוי הראשון בשני. כיוון שכך, מספר תת-המרחבים ה-k ממדיים של V הוא: ( n k ) q = ( q n − 1 ) ( q n − q ) ⋯ ( q n − q k − 1 ) ( q k − 1 ) ( q k − q ) ⋯ ( q k − q k − 1 ) {\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{k-1})}{(q^{k}-1)(q^{k}-q)\cdots (q^{k}-q^{k-1})}}} ולאחר צמצום כל ה-q-ים שבמונה ובמכנה מקבלים את הצורה הסטנדרטית של המקדם הבינומי הגאוסי. כמו המקדמים הבינומיים הרגילים, המקדמים הבינומיים הגאוסיים הם סימטריים ביחס למרכז, כלומר נשמרים תחת הפעולה r → m − r {\displaystyle r\rightarrow m-r} : ( m r ) q = ( m m − r ) q {\displaystyle {m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}} כמו כן מתקיים: ( m 0 ) q = ( m m ) q = 1 , {\displaystyle {m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,} ( m 1 ) q = ( m m − 1 ) q = 1 − q m 1 − q = 1 + q + ⋯ + q m − 1 m ≥ 1 . {\displaystyle {m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.} השם מקדם בינומי גאוסי נגזר מן העובדה שהערכה שלהם בנקודה q = 1 נותנת lim q → 1 ( m r ) q = ( m r ) {\displaystyle \lim _{q\to 1}{m \choose r}_{q}={m \choose r}} בעבור כל ערכי m ו-r. הזהויות האנלוגיות לזהויות פסקל במקרה של מקדמים בינומיים גאוסיים הן: ( m r ) q = q r ( m − 1 r ) q + ( m − 1 r − 1 ) q {\displaystyle {m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}} ו-: ( m r ) q = ( m − 1 r ) q + q m − r ( m − 1 r − 1 ) q {\displaystyle {m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}} . למקדמים הללו יש גם קשר אריתמטי מעניין לחלוקות של מספרים, כפי שגאוס עצמו הבחין במאמרו על קביעת הסימן של סכומי גאוס. כאשר מגבילים את מספרם וגודלם של החלקים של מספר טבעי נתון n, אז ניתן לשאול את השאלה כמה חלוקות שונות יש למספר זה לכדי לכל היותר M חלקים, שלכל אחד מהם גודל של לכל היותר N. באופן שקול, אלו בדיוק החלוקות שניתן לתחום את דיאגרמת יאנג שלהן במלבן בגודל M × N. אם נסמן את מספר החלוקות הללו ב-(p(N, M; n, אז ישנו יחס נסיגה p ( N , M ; n ) = p ( N , M − 1 ; n ) + p ( N − 1 , M ; n − M ) {\displaystyle p(N,M;n)=p(N,M-1;n)+p(N-1,M;n-M)} המקדם הבינומי הגאוסי מוגדר כ- ( k + ℓ ℓ ) q = ( k + ℓ k ) q = ∏ j = 1 k + ℓ ( 1 − q j ) ∏ j = 1 k ( 1 − q j ) ∏ j = 1 ℓ ( 1 − q j ) {\displaystyle {k+\ell \choose \ell }_{q}={k+\ell \choose k}_{q}={\frac {\prod _{j=1}^{k+\ell }(1-q^{j})}{\prod _{j=1}^{k}(1-q^{j})\prod _{j=1}^{\ell }(1-q^{j})}}} ולו קשר הדוק לפונקציה היוצרת של (p(N, M; n, כפי שבא לידי ביטוי בשוויון: ∑ n = 0 M N p ( N , M ; n ) q n = ( M + N M ) q {\displaystyle \sum _{n=0}^{MN}p(N,M;n)q^{n}={M+N \choose M}_{q}} . ( 0 0 ) q = ( 1 0 ) q = 1 {\displaystyle {0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1} ( 1 1 ) q = 1 − q 1 − q = 1 {\displaystyle {1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1} ( 2 1 ) q = 1 − q 2 1 − q = 1 + q {\displaystyle {2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q} ( 3 1 ) q = 1 − q 3 1 − q = 1 + q + q 2 {\displaystyle {3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}} ( 3 2 ) q = ( 1 − q 3 ) ( 1 − q 2 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) = 1 + q + q 2 {\displaystyle {3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}} ( 4 2 ) q = ( 1 − q 4 ) ( 1 − q 3 ) ( 1 − q ) ( 1 − q 2 ) = ( 1 + q 2 ) ( 1 + q + q 2 ) = 1 + q + 2 q 2 + q 3 + q 4 {\displaystyle {4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}} יריעת גרסמן מקדם בינומי גאוסי, באתר MathWorld (באנגלית) AN ALGEBRAIC INTERPRETATION OF THE q-BINOMIAL COEFFICIENTS [1]