משחקים בצורה קואליציונית

משחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד (games in coalitional form with side payments(TU) games) זה הוא משחק שיתופי המוגדר על ידי הזוג ( N ; v ) {\displaystyle \left(N;v\right)} כך שמתקיים: N = { 1 , 2 , ⋯ , n } {\displaystyle N=\{1,2,\cdots ,n\}} הוא קבוצה סופית של שחקנים. v : 2 N → R {\displaystyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} } היא פונקציה המתאימה לכל תת-קבוצה S {\displaystyle S} של שחקנים מספר ממשי v ( S ) {\displaystyle v(S)} ומקיימת v ( ∅ ) = 0 {\displaystyle v(\emptyset )=0} . v {\displaystyle \!v} נקראת הפונקציה הקואליציונית של המשחק. פתרון של משחק קואליציוני עם תשלומי צד תהי U משפחת משחקים בצורה קואליציונית (על קבוצה כלשהי של שחקנים). מושג פתרון (עבור המשפחה U) הוא פונקציה φ {\displaystyle \varphi } המתאימה לכל משחק ( N ; v ) ∈ U {\displaystyle (N;v)\in U} תת-קבוצה φ ( N ; v ) {\displaystyle \varphi (N;v)} של RN. ייתכן כי עבור משחק מסוים ( N ; v ) ∈ U {\displaystyle (N;v)\in U} יתקיים φ ( N ; v ) = ∅ {\displaystyle \varphi (N;v)=\emptyset } . מושג הפתרון נקרא נקודתי אם לכל משחק ( N ; v ) ∈ U {\displaystyle (N;v)\in U} הקבוצה φ ( N ; v ) {\displaystyle \varphi (N;v)} בת איבר אחד. שקילות אסטרטגית משחקים בצורה קואליציונית ( N ; w ) {\displaystyle \left(N;w\right)} , ( N ; v ) {\displaystyle \left(N;v\right)} שקולים אסטרטגית אם קיימים מספרים a > 0 {\displaystyle a>0} ו- b 1 , ⋯ , b n ∈ R {\displaystyle b_{1},\cdots ,b_{n}\in \mathbb {R} } כך שלכל S ⊆ N {\displaystyle S\subseteq N} מתקיים: w ( S ) = a v ( S ) + ∑ i ∈ S b i {\displaystyle w\left(S\right)=av\left(S\right)+\sum _{i\in S}b_{i}} . משחק פשוט משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק פשוט אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל תת-קבוצה S של N מתקיים   v ( S ) = 0 {\displaystyle \ v(S)=0} או   v ( S ) = 1 {\displaystyle \ v(S)=1} . להרחבה ניתן לקרוא ב משחק פשוט . משחק סכום קבוע משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק סכום קבוע אם   ∀ S ⊆ N . v ( S ) + v ( N ∖ S ) = v ( N ) {\displaystyle \ \forall S\subseteq N\;.\;v(S)+v(N\smallsetminus S)=v(N)} . משחק רוב משוקלל משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק רוב משוקלל אם הוא משחק פשוט וקיימים משקלות חיוביים ( w 1 , w 2 . . . w n ) {\displaystyle \left(w_{1},w_{2}...w_{n}\right)} (אחד לכל שחקן) ומיכסה q ≥ 0 {\displaystyle q\geq 0} כך שלכל   S ⊆ N {\displaystyle \ S\subseteq N} מתקיים: V ( s ) = { 1 if   ∑ i ∈ S w i ≥ q 0 if   ∑ i ∈ S w i < q {\displaystyle V(s)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if}}\ \sum _{i\in S}w_{i}\geq q\\0&{\mbox{if}}\ \sum _{i\in S}w_{i}<q\end{matrix}}\right.} משחק סופר אדיטיבי משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק סופר אדיטיבי אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל שתי קבוצות זרות   T , S ⊆ N {\displaystyle \ T,S\subseteq N} מתקיים:   v (   T ∪ S ) ≥ v ( S ) + v ( T ) {\displaystyle \ v(\ T\cup S)\geq v(S)+v(T)} משחק קמור משחק ( N ; v ) {\displaystyle \,(N;v)} יקרא משחק קמור אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל זוג קואליציות S , T {\displaystyle \,S,\,T} מתקיים: v ( S ) + v ( T ) ≤ v ( S ∪ T ) + v ( S ∩ T ) {\displaystyle v(S)+v(T)\leq v(S\cup T)+v(S\cap T)} . (בפרט הוא משחק סופר אדיטיבי) משחק מונוטוני משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} יקרא משחק מונוטוני אם הוא משחק בצורה קואליציונית ולכל שתי קואליציות   S , T {\displaystyle \ S,T} כך ש- S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} , מתקיים: v ( S ) ≤ v ( T ) {\displaystyle v(S)\leq v(T)} משחק שוק להרחבה ניתן לקרוא במשחק שוק. משפט אם משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} הוא סופר אדיטיבי ומשחק   ( N ; w ) {\displaystyle \ (N;w)} שקול לו אסטרטגית אזי, המשחק   ( N ; w ) {\displaystyle \ (N;w)} הוא סופר אדטיבי . משפט כל משחק   ( N ; v ) {\displaystyle \ (N;v)} שקול אסטרטגית למשחק מונוטוני. פתרונות נקודתיים ערך שפלי φ i ( N ; v ) = 1 | N | ! ∑ R [   v ( P i R ∪ { i } ) −   v ( P i R ) ] {\displaystyle \varphi _{i}(N;v)={\frac {1}{|N|!}}\sum _{R}\left[\ v(P_{i}^{R}\cup \left\{i\right\})-\ v(P_{i}^{R})\right]\,\!} כאשר R הוא יחס סדר על השחקנים, הסכום רץ על כל יחסי הסדר האפשריים (קיימים !n כאלה) ו- P i R {\displaystyle P_{i}^{R}} היא קבוצת כל השחקנים שמקדימים את i ביחס הסדר R. להרחבה ניתן לקרוא בערך שפלי. גרעינון להרחבה ניתן לקרוא בגרעינון (משחק שיתופי). פתרונות קבוצתיים הליבה להרחבה ניתן לקרוא בליבה של משחק שיתופי משחק שיתופי מונחים בתורת המשחקים שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946