הומיאומורפיזם

הומיאומורפיזם (נקרא גם שקילות טופולוגית) הוא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין שני מרחבים טופולוגיים השומרת על הטופולוגיה. באופן אינטואיטיבי יותר, זוהי פונקציה שרק מעקמת/מותחת/מעוותת את המרחב באופן רציף אך לא יוצרת בו קרעים או חורים. יהיו ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,\mathbb {O} _{Y})} ו- ( X , O X ) {\displaystyle (X,\mathbb {O} _{X})} מרחבים טופולוגיים. נאמר שהעתקה f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} היא רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה הוא בעצמו קבוצה פתוחה. בניסוח פורמלי: לכל V Y ∈ O Y {\displaystyle V_{Y}\in \mathbb {O} _{Y}} הקבוצה V X = f − 1 ( V Y ) = { x ∈ X   |   f ( x ) ∈ V Y } {\displaystyle V_{X}=f^{-1}(V_{Y})=\{x\in X\ |\ f(x)\in V_{Y}\}} היא קבוצה פתוחה ב- X {\displaystyle X} , כלומר: V X ∈ O X {\displaystyle V_{X}\in \mathbb {O} _{X}} . הגדרה זו היא הכללה של מושג הרציפות ממרחבים מטריים. התכונות הבאות לגבי העתקה f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות: f {\displaystyle f} היא פונקציה רציפה. התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת בסיס של הטופולוגיה ב- Y {\displaystyle Y} . התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה". f {\displaystyle f} רציפה נקודתית בכל x {\displaystyle x} במרחב. כלומר, לכל x {\displaystyle x} , לכל סביבה V {\displaystyle V} של f ( x ) {\displaystyle f(x)} קיימת סביבה W {\displaystyle W} של x {\displaystyle x} כך ש- f ( W ) ⊆ V {\displaystyle f(W)\subseteq V} . לכל A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} מתקיים: f ( A ¯ ) ⊆ f ( A ) ¯ {\displaystyle f\!\left({\overline {A}}\right)\subseteq {\overline {f(A)}}} כאשר B ¯ = cl ⁡ ( B ) {\displaystyle {\overline {B}}=\operatorname {cl} (B)} הוא הסגור של קבוצה B {\displaystyle B} . הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה. יהיו ( Y , O Y ) {\displaystyle (Y,\mathbb {O} _{Y})} ו- ( X , O X ) {\displaystyle (X,\mathbb {O} _{X})} מרחבים טופולוגיים. נאמר שהעתקה f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} היא הומיאומורפיזם אם: ההעתקה f {\displaystyle f} היא חד-חד-ערכית ועל, כלומר קיימת f − 1 {\displaystyle f^{-1}} . ההעתקה f {\displaystyle f} היא רציפה. ההעתקה ההפוכה f − 1 {\displaystyle f^{-1}} רציפה גם כן. נשים לב שגם ההעתקה ההפוכה f − 1 {\displaystyle f^{-1}} היא הומיאומורפיזם בין הטופולוגיות. מרחבים X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} שקיים ביניהם הומיאומורפיזם נקראים הומיאומורפיים (או שקולים טופולוגית). תכונה טופולוגית הנשמרת תחת הומיאומורפיזם נקראת שמורה טופולוגית. דוגמה לשמורה טופולוגית היא קומפקטיות. כדי להראות ש- f {\displaystyle f} חח"ע ועל היא הומיאומורפיזם מספיק להראות ש: ההעתקה f {\displaystyle f} רציפה. ההעתקה f {\displaystyle f} פתוחה: לכל V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} קבוצה פתוחה ב- X {\displaystyle X} , התמונה שלה f ( V ) ⊆ Y {\displaystyle f(V)\subseteq Y} פתוחה ב- Y {\displaystyle Y} . או ש: ההעתקה f {\displaystyle f} רציפה. ההעתקה f {\displaystyle f} סגורה: לכל F ⊆ X {\displaystyle F\subseteq X} קבוצה סגורה ב- X {\displaystyle X} , התמונה שלה f ( F ) ⊆ Y {\displaystyle f(F)\subseteq Y} סגורה ב- Y {\displaystyle Y} . הומיאומורפיזם בין שני מרחבים טופולוגיים אומר שמבחינה טופולוגית הם זהים, עד כדי מתן שמות שונים לאיברי כל מרחב. ההומיאמורפיות של הפונקציה מספקת גם התאמה חח"ע ועל בין הטופולוגיות של כל מרחב ומערכת הסביבות של כל נקודה. מקובל לכנות תכונה הנשמרת תחת הומיאומורפיזם בשם "תכונה טופולוגית" או "אינווריאנט טופולוגי". דוגמאות לתכונות טופולוגיות בסיסיות הן קשירות, קשירות מסילתית, האוסדורפיות וקומפקטיות. באופן אינטואיטיבי יותר, זוהי פונקציה שרק מעקמת/מותחת/מעוותת את המרחב באופן רציף אך לא יוצרת בו קרעים או חורים. משמעות זו רלוונטית הרבה יותר כאשר עוסקים בטופולוגיה אלגברית ולא רק בטופולוגיה קבוצתית. איזומטריה הומומורפיזם (אלגברה) מדיה וקבצים בנושא הומיאומורפיזם בוויקישיתוף הומיאומורפיזם, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) הומיאומורפיזם, באתר MathWorld (באנגלית) science/topological-equivalence הומיאומורפיזם, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)