טנגנס

טנגנס (מסומן כ- tan {\displaystyle \tan } או tg {\displaystyle {\text{tg}}} ) היא פונקציה טריגונומטרית בסיסית. בהגדרתה הבסיסית ביותר, פונקציית הטנגנס מציינת, כפונקציה של זווית, את היחס במשולש ישר-זווית בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 ל-90 מעלות או π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} רדיאנים. משולשים עם זוויות זהות דומים ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הטנגנס של זווית מוגדר היטב. כמו כן, נפוץ מאוד השימוש בפונקציית הטנגנס כמנה של סינוס וקוסינוס בעלי אותה זווית. קל להגיע לזהות זו באמצעות הצבת היחסים שמייצגות פונקציות הסינוס והקוסינוס: { sin ⁡ x = a c cos ⁡ x = b c tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x ⟺   tan ⁡ x = a / c b / c = a b {\displaystyle {\begin{cases}\sin x={a \over c}\\\cos x={b \over c}\\\tan x={\sin x \over \cos x}\end{cases}}\Longleftrightarrow \ \tan x={a/c \over b/c}={a \over b}} ניתן להרחיב את הטנגנס לכל זווית ממשית באמצעות מעגל היחידה, כאשר הרדיוס "מסתובב" נגד כיוון השעון כמספר הזווית (אם היא שלילית אז עם כיוון השעון). קיימות שתי דרכים לעשות זאת: טנגנס הזווית שווה ליחס בין שיעור ה-y של קצה הרדיוס (הסינוס של הזווית) לשיעור ה-x שלה (הקוסינוס של הזווית): tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x {\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}} . מעבירים למעגל משיק מהנקודה (1,0), וממשיכים את הרדיוס. שיעור ה-y של הנקודה בה הם נחתכים שווה לטנגנס הזווית. פונקציה הטנגנס אינה מוגדרת עבור   x = π 2 + π k {\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k} כאשר   k {\displaystyle \ k} מספר שלם, כיוון שבדרך הראשונה, הקוסינוס שווה ל-0 (ומתקבלת חלוקה באפס), ובדרך השנייה הרדיוס מקביל למשיק ולא חותך אותו. ניתן להגדיר את הפונקציה באמצעות טור טיילור: tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1  for  | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad {\mbox{ for }}\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}} כאשר   B n {\displaystyle \ B_{n}} הוא מספר ברנולי ה-n. הצגה מפורשת לתחילת הטור: tan ⁡ x = x + 1 3 x 3 + 2 15 x 5 + 17 315 x 7 + ⋯ , for  | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}} בדומה לפונקציית הקוסינוס שמתקבלת מפונקציית הסינוס על ידי הזווית המשלימה לזווית ישרה, ניתן גם להגדיר את פונקציית הקוטנגנס: cot ⁡ x = tan ⁡ ( π 2 − x ) {\displaystyle \cot x=\tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)} , אלא שפונקציה זאת שימושית הרבה פחות בגלל הזהות tan ⁡ ( π 2 − x ) = 1 tan ⁡ x {\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)={\frac {1}{\tan x}}} , לפיה במקום השימוש בקוטנגנס אפשר פשוט להשתמש בהופכי של הטנגנס. פונקציית הטנגנס היא פונקציה אי זוגית, משום שמתקיים tan ⁡   ( − x ) = − tan ⁡   ( x ) {\displaystyle \tan \ (-x)=-\tan \ (x)} . לפונקציה יש מחזור של   π {\displaystyle \ \pi } . הפונקציה מוגדרת לכל x, מלבד   x = π 2 + π k {\displaystyle \ x={\frac {\pi }{2}}+\pi k} כאשר   k {\displaystyle \ k} מספר שלם. נקודות אלו הן גם אסימפטוטות אנכיות של הפונקציה. הפונקציה רציפה, גזירה ואינטגרבילית בכל נקודה שבה היא מוגדרת. הפונקציה עולה בכל קטע שבו היא מוגדרת, ואין לה נקודות קיצון. לפונקציה אינסוף שורשים מהצורה   x = π k {\displaystyle \ x=\pi k} , כאשר   k {\displaystyle \ k} מספר שלם. לפי כלל המנה, נגזרת הפונקציה היא: d d x tan ⁡ x = d d x ( sin ⁡ x cos ⁡ x ) = sin ⁡ x ⋅ sin ⁡ x + cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x {\displaystyle {\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!x}\tan x={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!x}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)={\frac {\sin x\cdot \sin x+\cos x\cdot \cos x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} הקדומה של הפונקציה היא: ∫ tan ⁡ x d x = − ln ⁡ | cos ⁡ x | + C {\displaystyle \int \tan x\,dx=-\ln |\cos x|+C} ערך מורחב – זהויות טריגונומטריות פונקציית הטנגנס מקיימת:   tan ⁡ ( − θ ) = − tan ⁡ θ {\displaystyle \ \tan(-\theta )=-\tan \theta } וכן   tan ⁡ ( π − θ ) = − tan ⁡ θ {\displaystyle \ \tan(\pi -\theta )=-\tan \theta } בעזרת פונקציית הטנגנס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): sin ⁡ θ = tan ⁡ θ 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} ‏, cos ⁡ θ = 1 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}} ‏, cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta ={1 \over \tan \theta }} ‏, csc ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ tan ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta ={{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }} \over \tan \theta }} ‏, sec ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta ={\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}} סכום זוויות: tan ⁡ ( θ ± φ ) = tan ⁡ θ ± tan ⁡ φ 1 ∓ tan ⁡ θ tan ⁡ φ {\displaystyle \tan(\theta \pm \varphi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \varphi }{1\mp \tan \theta \tan \varphi }}} זווית כפולה: tan ⁡ 2 θ = 2 tan ⁡ θ 1 − tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}\,} ‏, tan ⁡ 3 θ = 3 tan ⁡ θ − tan 3 ⁡ θ 1 − 3 tan 2 ⁡ θ {\displaystyle \tan 3\theta ={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}} חצי זווית: tan ⁡ θ 2 = csc ⁡ θ − cot ⁡ θ = ± 1 − cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = sin ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ = 1 − cos ⁡ θ sin ⁡ θ {\displaystyle \tan {\tfrac {\theta }{2}}=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}} ממוצע זוויות: tan ⁡ ( α + β 2 ) = sin ⁡ α + sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β = − cos ⁡ α − cos ⁡ β sin ⁡ α − sin ⁡ β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}} אם x, y, ו-z הן שלוש זוויות של משולש כלשהו, כלומר אם   = π = x + y + z {\displaystyle \ =\pi =x+y+z} חצי מעגל (180°), אזי:   tan ⁡ ( x ) + tan ⁡ ( y ) + tan ⁡ ( z ) = tan ⁡ ( x ) tan ⁡ ( y ) tan ⁡ ( z ) {\displaystyle \ \tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)} ערך מורחב – פונקציות טריגונומטריות הפוכות הפונקציה ההפוכה לפונקציית הטנגנס נקראת ארקטנגנס ומסומנת   arctan {\displaystyle \ \arctan } או   tan − 1 {\displaystyle \ \tan ^{-1}} . הפונקציה מוגדרת ועולה לכל x, וכיוון שפונקציית הטנגנס אינה חד-חד-ערכית, ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים   ( − π 2 , π 2 ) {\displaystyle \ (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})} . הנגזרת שלה היא d d x arctan ⁡ x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arctan x={1 \over 1+x^{2}}} . ערך מורחב – משפט הטנגנסים משפט הטנגנסים הוא משפט המציין תכונה של צלעות וזוויות במשולש. אם שתיים מהצלעות הן   a , b {\displaystyle \ a,b} והזוויות שמולן הן   α , β {\displaystyle \ \alpha ,\beta } בהתאמה, אז מתקיים: a − b a + b = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}} . סינוס קוסינוס טריגונומטריה מדיה וקבצים בנושא טנגנס בוויקישיתוף טנגנס, באתר MathWorld (באנגלית)