שפן (משחק)

"שפן", או "צ'יקן" בלעז, הידוע גם כמשחק "הנץ והיונה", הוא מודל רב השפעה של קונפליקט בתורת המשחקים. המשחק מדגים סיטואציה שבה בעוד שכל אחד מהשחקנים מעדיף שלא לוותר, אם שניהם יתעקשו שלא לוותר התוצאה המתקבלת תהיה הגרועה ביותר עבור שניהם. השם "צ'יקן" מגיע ממשחק בו שני נהגים נוהגים אחד אל עבר השני במסלול התנגשות: אחד חייב לסטות, אחרת שניהם ימותו בהתנגשות. אבל אם אחד סוטה והשני לא, הנהג שסטה יקרא "צ'יקן", כלומר "פחדן". זוהי הטרמינולוגיה הרווחת בכלכלה. השם "הנץ והיונה" מתייחס למצב בו ישנה תחרות על משאבים משותפים, והמשתתפים צריכים לבחור בין פשרה לקונפליקט. זוהי טרמינולוגיה רווחת בביולוגיה ותורת משחקים אבולוציונית. מנקודת המבט של תורת המשחקים, שני המשחקים זהים לחלוטין. מקורו של ההבדל במונחים הוא בפיתוח במקביל של העיקרון הבסיסי בתחומים שונים. במשחק זה השתמשו גם כדי לתאר את ההשמדה ההדדית המובטחת של לוחמה גרעינית. המשחק דומה לדילמת האסיר בכך שפתרון הפשרה הסבירה לשני המשתתפים איננו יציב כי שניהם מתפתים לסטות ממנו. עם זאת, הוא שונה במחיר הסטיה. משמע, שגם במשחק איטרטיבי, נקמה איננה אפקטיבית ואסטרטגיה מעורבת עשויה להיות מועילה יותר. המשחק "צ'יקן" ממדל שני נהגים, שניהם נוסעים לכיוון גשר חד-נתיבי מכיוונים שונים. הראשון שיסטה מדרכו, יפנה את הגשר עבור השני. אם אף אחד מהשחקנים לא סוטה, התוצאה תהיה התנגשות חזיתית. לפי הגדרת המשחק, האפשרות המועדפת על כל אחד מהשחקנים היא לדבוק במסלול בעוד שהשני סוטה. בנוסף, התנגשות היא התוצאה הכי גרועה האפשרית עבור שני השחקנים. כך מתקבל מצב שבו כל שחקן, בניסיון להבטיח את התוצאה הטובה ביותר האפשרית עבורו, מסתכן בגרוע ביותר. הגרסה המתמטית של המשחק הייתה מושא למחקר רציני בתורת המשחקים. המשחק מוגדר כך שכל אחד מהשחקנים יעדיף לנצח מאשר לסיים בתיקו, וכל אחד מהם יעדיף תיקו על התנגשות חזיתית. בגלל שההפסד הכרוך בסטייה הוא כל כך פעוט ביחס להתנגשות המתרחשת כאשר איש אינו סוטה, נראה שהאסטרטגיה הסבירה היא לסטות לפני שהתנגשות מתרחשת. ברם, בידיעה זו, אם אחד המשתתפים מאמין שיריבו יהיה הגיוני ויסטה, הוא עלול להחליט לא לסטות כלל, מתוך אמונה שאם יסטה, יפנה את הדרך ויתן את הניצחון ליריבו. את מצב לא יציב זה ניתן לנסח מתמטית על ידי כך שיש יותר משיווי משקל נאש אחד. בספרות הביולוגית, מתייחסים למשחק זה כאל משחק "הנץ והיונה". הפרסום הראשון בצורה זו היה של ג'ון מיינרד סמית' וג'ורג' פרייס במאמר משנת 1973 שפורסם במגזין Nature, "הלוגיקה של קונפליקט בין בעלי חיים". גרסת "הנץ והיונה" מניחה שני שחקנים שהם בעלי חיים המתחרים על משאב. כל שחקן יכול להחליט בין שתי אסטרטגיות, האחת יותר קיצונית מהשנייה. הם יכולים לבחור בין תצוגות איום (אסטרטגית היונה) לתקיפה פיזית אחד של השני (אסטרטגית הנץ). אם שני השחקנים בוחרים את אסטרטגיית הנץ, הם נלחמים עד שאחד מהם נפצע והשני מנצח. אם רק שחקן אחד בוחר את אסטרטגיית הנץ, הוא מביס את השחקן שבחר באסטרטגיית היונה. אם שני השחקנים בוחרים באסטרטגיית היונה, אז יש תיקו, וכל שחקן מקבל תמורה שהיא קטנה מהרווח של נץ המנצח יונה. גם "צ'יקן" וגם "הנץ והיונה" אינם משחקי תיאום, היינו - לשני השחקנים עדיף לבחור באסטרטגיות הפוכות. בפוליטיקה, משתמשים במונח Brinkmanship (הליכה על סף תהום). התנהגות זו מתוארת ככניסה למצב מסוכן, על סף אסון, כדי לקבל את התוצאה המוצלחת ביותר האפשרית. גרסה זו מציגה אלמנט של סיכון שאיננו בשליטה: גם אם כל השחקנים יתנהגו בהגיון אל מול הסכנה, אירועים שמחוץ לשליטתם עלולים עדיין להביא לתוצאה קטסטרופאלית . המשחק מכיל שני שיווי משקל נאש טהורים, ואלה שני המצבים בהם אחד השחקנים מעז והשני סוטה. כמובן שלאף אחד מהם אין שום סיבה להחליף אסטרטגיה: לשחקן המעז לא כדאי לסטות, כי אז הוא מקבל 0 במקום 1. לשחקן שסוטה מהכביש לא כדאי להעז, כי אז שניהם מקבלים 5-. ישנו גם שיווי משקל מעורב יחיד במשחק זה. ידוע שאסטרטגיה מעורבת היא התגובה הטובה ביותר אם ורק אם כל אחת מהאסטרטגיות הטהורות המוגרלות באסטרטגיה הן התגובה הטובה ביותר. התועלת של שחקן העמודות לסטות: − p C 2 {\displaystyle -p_{C}^{2}} התועלת שלו אם הוא נוסע ישר: p C 2 − 5 p D 2 = 1 − 6 p D 2 {\displaystyle p_{C}^{2}-5p_{D}^{2}=1-6p_{D}^{2}} מה שגורר − p D 2 = 1 − 6 p D 2 → p D 2 = 1 5 {\displaystyle -p_{D}^{2}=1-6p_{D}^{2}\rightarrow p_{D}^{2}={\frac {1}{5}}} אז במשחק הנ"ל השיווי משקל המעורב הוא ( ( 4 5 , 1 5 ) , ( 4 5 , 1 5 ) ) {\displaystyle (({\frac {4}{5}},{\frac {1}{5}}),({\frac {4}{5}},{\frac {1}{5}}))} והתוחלת היא − 1 5 {\displaystyle -{\frac {1}{5}}} אם נסתכל על גרסה קצת שונה של אותו המשחק, למשל זו: ניתן לראות שגם בגרסה זו קיימים שני שיווי המשקל הטהורים, וכן שיווי משקל מעורב (אם כי אחר מזה שמצוין לעיל) - אבל אף אחד מהם אינו אופטימלי חברתית. אם נניח שיש גורם שלישי שמכתיב לשחקנים מה לשחק, וכן שהוא אף פעם לא מורה להם לשחק (D,D) (כלומר, הוא אף פעם לא יביא להתנגשות). אזי אפשר לראות שלשחקן 1 (ומהסימטריה גם לשני) כדאי להקשיב לו: אם המכתיב אומר לשחקן 1 לנסוע ישר, הוא בוודאות אמר לשחקן 2 לסטות. אז ברור שאין לשחקן 1 טעם לסטות, כי הוא מעדיף לקבל תועלת 4 ולא 3. אם המכתיב אומר לשחקן 1 לסטות, אזי בהסתברות 1/2 הוא אמר לשחקן 2 לנסוע ישר, ובהסתברות 1/2 הוא אמר לו לסטות. אי לכך, במקרה זה תוחלת התועלת של שחקן 1 היא: 1 + 3 2 = 2 {\displaystyle {\frac {1+3}{2}}=2} וזו בדיוק התוחלת של בחירה לנסוע ישר, ולכן אין לו סיבה להחליף את בחירתו. אפשרות זו נקראת שיווי משקל מתואם. תורת המשחקים דילמת האסיר תאוריית המשוגע מדיה וקבצים בנושא שפן בוויקישיתוף על שיווי משקל נאש: אונ' תל אביב על גבול כלכלה וחישוב: האונ' העברית Prisoner's Dilemma, Chicken, and mixedstrategy evolutionary equilibria(הקישור אינו פעיל) Rapoport and Chammah (1966) pp. 10–14 and 23–28. Maynard Smith and Price (1973). Maynard Smith and Parker (1976). Dixit and Nalebuff (1991) pp. 205–222.