מחלקה מונוטונית

מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות. משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקות מונוטוניות לבין סיגמא-אלגברות, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני. תהי X {\displaystyle X} קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות M ⊂ P ( X ) {\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)} נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא סגורה לאיחוד וחיתוך שרשראות מונוטוניות בנות-מניה, כלומר: לכל סדרה { E i } i = 1 ∞ ⊂ M {\displaystyle \left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}} המקיימת E 1 ⊂ E 2 ⊂ E 3 ⊂ . . . {\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset E_{3}\subset ...} , מתקיים כי ⋃ i = 1 ∞ E i ∈ M {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}} . לכל סדרה { E i } i = 1 ∞ ⊂ M {\displaystyle \left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}} המקיימת E 1 ⊃ E 2 ⊃ E 3 ⊃ . . . {\displaystyle E_{1}\supset E_{2}\supset E_{3}\supset ...} , מתקיים כי ⋂ i = 1 ∞ E i ∈ M {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}} . תהי X {\displaystyle X} קבוצה ותהי P ⊂ P ( X ) {\displaystyle P\subset {\mathcal {P}}(X)} משפחה כלשהי של תתי-קבוצות. נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי P {\displaystyle P} להיות C ( P ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(P)} , ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי P {\displaystyle P} להיות σ ( P ) {\displaystyle \sigma (P)} . לא קשה לראות כי C ( P ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(P)} היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את P {\displaystyle P} וכי σ ( P ) {\displaystyle \sigma (P)} היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את P {\displaystyle P} . משפט: תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} אלגברה של קבוצות על קבוצה X {\displaystyle X} (כלומר A {\displaystyle {\mathcal {A}}} משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי C ( A ) = σ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {A}})} . ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי C ( A ) ⊂ σ ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset \sigma ({\mathcal {A}})} . כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי C ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(A)} מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה. לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי C ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(A)} היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים. תהי E ∈ C ( A ) {\displaystyle E\in {\mathcal {C}}(A)} . נגדיר R ( E ) = { F ∈ C ( A ) | F ∩ E , F ∩ E ∁ , F ∁ ∩ E ∈ C ( A ) } {\displaystyle {\mathcal {R}}(E)=\left\{F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})|F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\right\}} . לא קשה לראות כי R ( E ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(E)} מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי ∅ , E ∈ R ( E ) {\displaystyle \emptyset ,E\in {\mathcal {R}}(E)} מהיות A {\displaystyle {\mathcal {A}}} אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל E 1 , E 2 ∈ C ( A ) {\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מתקיים E 1 ∈ R ( E 2 ) ⟺ E 2 ∈ R ( E 1 ) {\displaystyle E_{1}\in {\mathcal {R}}(E_{2})\iff E_{2}\in {\mathcal {R}}(E_{1})} . לכל E ∈ A {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}} , לכל B ∈ A {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}} מתקיים כי B ∈ R ( E ) {\displaystyle B\in {\mathcal {R}}(E)} מהיות A {\displaystyle {\mathcal {A}}} אלגברה. לכן נובע כי A ⊂ R ( E ) {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {R}}(E)} . נזכור כי R ( E ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(E)} מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי C ( A ) ⊂ R ( E ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E)} . אם כך לכל F ∈ C ( A ) {\displaystyle F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מתקיים F ∈ R ( E ) {\displaystyle F\in {\mathcal {R}}(E)} , ובאופן שקול E ∈ R ( F ) {\displaystyle E\in {\mathcal {R}}(F)} , ולכן נובע כי גם C ( A ) ⊂ R ( F ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(F)} לכל F ∈ R ( E ) {\displaystyle F\in {\mathcal {R}}(E)} . אם כך לכל E , F ∈ C ( A ) {\displaystyle E,F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מתקיים C ( A ) ⊂ R ( E ) , R ( F ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E),{\mathcal {R}}(F)} , כלומר F ∩ E , F ∩ E ∁ , F ∁ ∩ E ∈ C ( A ) {\displaystyle F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} , ולכן C ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} סגורה למשלים. לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן C ( A ) {\displaystyle {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})} מהווה אלגברה. משפט: תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} מערכת-π ותהי Ω {\displaystyle \Omega } קבוצה השייכת ל- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , ותהי H {\displaystyle {\mathcal {H}}} משפחה של פונקציות Ω → R {\displaystyle \Omega \to \mathbb {R} } , המקיימת את שלוש התכונות הבאות: לכל A ∈ A {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} מתקיים 1 A ∈ H {\displaystyle 1_{A}\in {\mathcal {H}}} , כאשר 1 A {\displaystyle 1_{A}} היא הפונקציה המציינת. אם f , g ∈ H {\displaystyle f,g\in {\mathcal {H}}} אז f + g ∈ H {\displaystyle f+g\in {\mathcal {H}}} וכן c f ∈ H {\displaystyle cf\in {\mathcal {H}}} לכל c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } . לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות { f i } i = 1 ∞ ⊂ H {\displaystyle \left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {H}}} המתכנסת לפונקציה גבולית f {\displaystyle f} , מתקיים f ∈ H {\displaystyle f\in {\mathcal {H}}} . אזי H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ. ההנחה כי Ω ∈ A {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}} יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה G = { A | 1 A ∈ H } {\displaystyle {\mathcal {G}}=\left\{A|1_{A}\in {\mathcal {H}}\right\}} מהווה מערכת-λ. מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי σ ( A ) ⊂ G {\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {G}}} . תכונה 2 מראה כי H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות.