משוואות מקסוול

בפיזיקה, באלקטרומגנטיות, משוואות מקסוול (על שם הפיזיקאי ג'יימס קלרק מקסוול) הן מערכת של ארבע משוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות את תכונותיהם של השדה החשמלי והשדה המגנטי ואת הקשר ביניהם לבין מקורותיהם, צפיפות המטען וצפיפות הזרם בהתאמה. באמצעות משוואות אלה ניתן להראות גם כי האור הוא גל אלקטרומגנטי, ואף לגזור את משוואת הגל האלקטרומגנטי. ארבע משוואות מקסוול הן חוק גאוס, חוק גאוס למגנטיות, חוק פאראדיי וחוק אמפר (עם תיקון מקסוול). ארבע משוואות אלה נותנות תיאור מלא של השדה האלקטרומגנטי בהינתן המקורות של השדות, כלומר הזרמים והמטענים. הדינמיקה של המקורות נקבעת על ידי כח קולון וכוח לורנץ, והחוק השני של ניוטון (או ההכללה היחסותית שלו). ארבעת משוואות מקסוול יחד עם משואות ניוטון למקורות מהוות תיאור מתמטי שלם של תורת החשמל והמגנטיות הקלאסית. למעשה, חוק לורנץ נוסח על ידי מקסוול כאחת משמונה משוואות מקסוול המקוריות (ראו בהמשך). את המשוואות בצורתן הווקטורית המוכרת פיתח אוליבר הביסייד, שבתחילה עשה זאת עבור עצמו, כשניסה ללמוד באופן עצמאי את עבודתו של מקסוול. העבודה המקורית של מקסוול[דרוש מקור] כללה את כל הרעיונות הפיזיקליים שהמשוואות מבטאות, אך המשוואות המוכרות עצמן לא הופיעו בה. פרק זה מתאר, בצורה רעיונית ולא מתמטית, את ארבע משוואות מקסוול וכיצד הן משתלבות ביחד להסברת מקורה של קרינה אלקטרומגנטית כגון אור. המשוואות המתמטיות המדויקות מופיעות בפרק הבא. ארבע המשוואות הן תיאור של ארבעה חוקים: חוק גאוס – מתאר אחד ממקורות השדה החשמלי – המטען החשמלי. המשוואה מבטאת קשר בין שטף השדה החשמלי דרך משטח סגור (הנקרא בהקשר זה משטח גאוסי (אנ')) לכמות המטען שנמצאת בתוך הנפח התחום על ידי משטח סגור זה. לפי חוק גאוס השטף החשמלי דרך משטח גאוסי אינו קשור לצורתו או לגודלו של המשטח, אלא לכמות המטען הכלואה בתוכו בלבד. חוק גאוס למגנטיות – קובע שאין מונופולים מגנטיים ולכן השטף המגנטי דרך כל משטח גאוסי הוא אפס. הסיבה לכך היא שמטענים מגנטיים באים תמיד בזוגות (הנקראים דיפולים). כל אחד משני המטענים בדיפול יוצר שטף מגנטי בכיוון מנוגד, וכך הם מבטלים אחד את השני. מספר תאוריות פיזיקליות מניחות את קיומו של מטען מגנטי בודד, הנקרא מונופול מגנטי (הנחת מונופול מגנטי יוצרת סימטריה יפה במשוואות מקסוול). חוק פאראדיי – מתאר כיצד שינוי בשדה מגנטי גורם ליצירת שדה חשמלי. זהו העיקרון העומד מאחורי סוגים רבים של גנרטורים חשמליים, למשל. כוח מכני, כמו מים הנופלים על טורבינות בסכר הידרואלקטרי, מסובב מגנט ענק, והשדה המגנטי המשתנה יוצר שדה חשמלי אשר מזרים חשמל דרך קווי המתח. חוק אמפר־מקסוול – מתאר כי ניתן ליצור שדות מגנטיים בשתי דרכים: באמצעות זרם חשמלי (חוק אמפר המקורי) ובאמצעות שדות חשמליים משתנים (תיקון מקסוול). מתוך ארבע המשוואות ניתן לראות כי שינוי בשדה מגנטי יוצר שדה חשמלי, ושינוי בשדה חשמלי יוצר, בתורו, שדה מגנטי – זהו הבסיס לגל האלקטרומגנטי. את משוואות מקסוול אפשר לכתוב בצורות רבות. הנוסח המקורי של מקסוול, במאמרו משנת 1861, כלל מערכת של 20 משוואות. בשנת 1865, תִמצת מקסוול את המשוואות ל-8, אך גם הן כתובות בצורה סבוכה בשל היעדר האופרטורים רוטור ודיברגנץ. הכתיב הווקטורי, הנחשב לסטנדרטי, פותח על ידי אוליבר הביסייד והוא זה המשמש בניסוח הדיפרנציאלי. במערכת יחידות SI בריק, משוואות מקסוול נראות כך: t {\displaystyle t} הוא הזמן ואופרטור נַבּלה, בקואורדינטות קרטזיות, הוא ∇ → ≜ ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\triangleq ({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}})} . במערכות צירים שונות נבלה מוגדר באופן שונה. E → {\displaystyle {\vec {E}}} הוא השדה החשמלי. B → {\displaystyle {\vec {B}}} הוא השדה המגנטי. שניהם נקבעים על־פי תצורות המטענים והזרמים במרחב. אלו הם השדות הבסיסיים, כלומר שדות אלו מתארים את המצב האלקטרומגנטי. Q {\displaystyle Q} הוא המטען החשמלי. ρ {\displaystyle \rho } הוא צפיפות המטען הנפחית של המטען החשמלי. I {\displaystyle I} הוא הזרם החשמלי. J → {\displaystyle {\vec {J}}} הוא וקטור צפיפות הזרם של הזרם החשמלי ליחידת שטח. Φ B {\displaystyle \displaystyle \Phi _{B}} הוא השטף המגנטי. μ 0 {\displaystyle \displaystyle \mu _{0}} הוא פרמאביליות הריק. ε 0 {\displaystyle \displaystyle \varepsilon _{0}} הוא המקדם הדיאלקטרי של הריק. בנוסף, בעזרת כוח לורנץ, F → = q ( E → + v → × B → ) {\displaystyle {\vec {F}}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})} , ניתן, כעיקרון, לרשום את משוואות התנועה עבור כל חלקיק טעון בעל מטען q {\displaystyle q} ומסה m {\displaystyle m} . בעזרת משוואות מקסוול ניתן להסביר מגוון רב של תופעות טבע, בהן התופעות החשמליות והמגנטיות שחלקן יפורטו בהמשך, אופטיקה גאומטרית (חוק סנל), התאבכות ועקיפה, ותופעות הקשורות בקיטוב (משוואות פרנל, שבירה כפולה, פעילות אופטית ועוד). גם בתיאור הסמי־קלאסי של מכניקת הקוונטים נעשה שימוש במשוואות מקסוול כדי לתאר את האינטראקציה בין קרינה וחומר. קיימות תופעות אותן לא ניתן להסביר בתיאור הסמי־קלאסי, כמו פליטה ספונטנית. לכן פותחה אלקטרודינמיקה קוונטית, הנותנת משמעות ברורה למושג פוטון. משוואות מקסוול מתקבלות כגבול של האלקטרודינמיקה הקוונטית עבור עצמת אור חזקה. משוואות מקסוול נראות מעט שונות כאשר מדובר על תווך שעשוי מחומר דיאלקטרי. חומר דיאלקטרי הוא חומר מבודד שמגיב באופן ליניארי לשדות שמופעלים עליו וכך גם משפיע עליהם. מבחינה פורמלית, קיימים מקדם דיאלקטרי ε {\displaystyle \varepsilon } ומקדם מגנטיות μ {\displaystyle \mu } לחומר, כך ש: D → = ε E → , H → = B → μ {\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}\quad ,\quad {\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu }}} כאשר D → {\displaystyle {\vec {D}}} הוא וקטור שדה ההעתקה, ו- H → {\displaystyle {\vec {H}}} שדה החוזק המגנטי, המושפעים ישירות מהפולריזציה והמגנטיזציה של החומר בהתאמה. משוואות מקסוול בתווך כזה משתנות בהתאם לשדות החדשים והקבועים μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} ו־ ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} לא מופיעים בהן (בגלל השימוש ב־ D → {\displaystyle {\vec {D}}} וב־ H → {\displaystyle {\vec {H}}} ): כאשר ה־ f {\displaystyle f} מסמלת את צפיפות המטען החופשי ואת צפיפות הזרם החופשי, כדי להבדיל ממטען וזרם מושרים שנוצרים מתגובת החומר לשדות החיצוניים. כאשר באים לפתור את משוואות מקסוול בתווך חומרי, בהינתן התפלגות של זרמים ומטענים, יש לדעת מהם תנאי השפה בנקודות אי הרציפות של החומר, למשל בשפה של סיב אופטי בה יש מעבר בין זכוכית וריק. השדות הבסיסיים בריק במקרה זה הם E {\displaystyle E} ו־ B {\displaystyle B} , בעוד שהשדות המושרים עקב תכונות החומר הם D {\displaystyle D} ו־ H {\displaystyle H} בהתאמה עבור השדה החשמלי והמגנטי. בעזרת חוק גאוס ניתן להראות כי: אם אין מטען על השפה שבין שני החומרים אז רכיב שדה ההעתקה החשמלי D {\displaystyle D} הניצב למשטח הוא רציף, אבל קיימת אי רציפות לרכיב השדה החשמלי הניצב למשטח משום שהוא תלוי במקדם הדיאלקטרי של החומר: D 1 n − D 2 n = σ ⇒ ε 0 ε r 1 E n 1 − ε 0 ε r 2 E n 2 = σ {\displaystyle D_{1n}-D_{2n}=\sigma \Rightarrow \varepsilon _{0}\varepsilon _{r1}E_{n1}-\varepsilon _{0}\varepsilon _{r2}E_{n2}=\sigma } D 1 n − D 2 n = 0 ⇒ D 1 n = D 2 n {\displaystyle D_{1n}-D_{2n}=0\Rightarrow D_{1n}=D_{2n}} ε 0 ε r 1 E n 1 − ε 0 ε r 2 E n 2 = 0 ⇒ E n 1 = E n 2 ε r 2 ε r 1 {\displaystyle \varepsilon _{0}\varepsilon _{r1}E_{n1}-\varepsilon _{0}\varepsilon _{r2}E_{n2}=0\Rightarrow E_{n1}=E_{n2}{\frac {\varepsilon _{r2}}{\varepsilon _{r1}}}} כאשר D n 1 {\displaystyle D_{n1}} ,‏ D n 2 {\displaystyle D_{n2}} ,‏ E n 1 {\displaystyle E_{n1}} ו־ E n 2 {\displaystyle E_{n2}} הם הרכיבים הניצבים לשפה של שדה ההעתקה החשמלי והשדה החשמלי, בהתאמה; ε r 1 {\displaystyle \varepsilon _{r1}} ו־ ε r 2 {\displaystyle \varepsilon _{r2}} הם המקדמים הדיאלקטריים היחסיים של שני התווכים. אם אין מטענים חופשיים הרכיב הניצב למשטח של השדה המגנטי המושרה H {\displaystyle H} רציף. בעזרת משפט סטוקס ניתן להראות כי: הרכיב המקביל למשטח של השדה החשמלי E {\displaystyle E} רציף. בהינתן שאין זרמים הרכיב המקביל למשטח של השדה המגנטי B {\displaystyle B} רציף. ראו גם חוקי פרנל לתיאור של מקדמי ההחזרה והשבירה בשפה בין שני תווכים דיאלקטריים. משוואות מקסוול מתארות חוקי טבע שהיו ידועים, לפחות בחלקם, לפני שמקסוול רשם את המשוואות. החוקים עליהם מקסוול ביסס את המשוואות הם: חוק קולון – תיאור השדה החשמלי כתלות במטען היוצר אותו חוק גאוס – צורה גלובלית יותר של חוק קולון, שמתארת את השדה החשמלי כתלות בהתפלגות המטענים במרחב חוק אמפר – תיאור השדה המגנטי כתלות בזרמים היוצרים אותו חוק ביו-סבר – גרסה מקומית של חוק אמפר חוק פאראדיי – מתאר את תופעת ההשראה האלקטרומגנטית אין מטענים (מונופולים) מגנטיים לאלו מקסוול הוסיף את משוואת הרציפות : ∇ → ⋅ J → = − ∂ ρ ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {J}}=-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}} , שמשמעותה היא ששינויים בצפיפות הזרם במרחב יכולים לנבוע אך ורק משינויים בצפיפות המטען, כלומר חוק שימור המטען החשמלי. ערך מורחב – יחידות cgs ביחידות cgs היחידה הבסיסית שמוגדרת היא המטען החשמלי (esu), וניסוחו של חוק קולון יהיה:   F = Q q r 2 {\displaystyle \ F={\frac {Qq}{r^{2}}}} כלומר, המטען ביחידות cgs מוגדר כך שקבוע קולון הוא 1. כתוצאה מהגדרה זו השדה החשמלי והשדה המגנטי נמדדים שניהם באותה יחידה – גאוס. משוואות מקסוול ביחידות cgs נראות כך: חוק גאוס:   ∇ → ⋅ E → = 4 π ρ {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=4\pi \rho } חוק פאראדיי:   ∇ → × E → = − 1 c ∂ B → ∂ t {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} אי־קיומם של מונופולים מגנטים:   ∇ → ⋅ B → = 0 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0} חוק אמפר המתוקן:   ∇ → × B → = 4 π c J → + 1 c ∂ E → ∂ t {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}} שיטה זו מדגישה את הסימטריה במשוואות מקסוול, ולכן לרוב היא מועדפת כאשר עוסקים בפיתוחים תאורטיים. לעומת זה שיטת היחידות של SI מבוססת על היחידה הבסיסית של הזרם – אמפר, שלרוב הוא הגודל הנמדד באופן ישיר, ולכן השיטה מועדפת בעת עריכת ניסויים או תכנון מערכות מעשיות. בחומר בעל מקדם דיאלקטרי ε {\displaystyle \varepsilon } ומקדם מגנטיות μ {\displaystyle \mu } כך ש:   D → = ε E → , B → = μ H → {\displaystyle \ {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}\quad ,\quad {\vec {B}}=\mu {\vec {H}}} משוואות מקסוול במונחי הזרמים והמטענים החופשיים הן: ∇ → ⋅ D → = 4 π ρ f {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=4\pi \rho _{f}} ∇ → × E → = − 1 c ∂ B → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}} ∇ → ⋅ B → = 0 {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0} ∇ → × H → = 4 π c J → f + 1 c ∂ D → ∂ t {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}_{f}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}} בתורת היחסות מאחדים את השדה החשמלי והשדה המגנטי לישות טנזורית הנקראת טנזור השדה האלקטרומגנטי   F μ ν {\displaystyle \ F_{\mu \nu }} המוגדר על ידי:   F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ {\displaystyle \ F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }} כאשר A = ( ϕ / c , A → ) {\displaystyle A=(\phi /c,{\vec {A}})} הוא 4-וקטור הפוטנציאל האלקטרומגנטי. בצורה זו ניתן לרשום את 4 משוואות מקסוול כ־2 משוואות יחסותיות קו־ואריאנטיות:   ∂ λ F μ ν + ∂ μ F ν λ + ∂ ν F λ μ = 0 {\displaystyle \ \partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0} (זהות ביאנקי)   ∂ μ F μ ν = j ν / c {\displaystyle \ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=j^{\nu }/c} (ביחידות גאוס) או   ∂ μ F μ ν = 4 π j ν {\displaystyle \ \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=4\pi j^{\nu }} המשוואה העליונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול ההומוגניות. המשוואה התחתונה שקולה ל־2 משוואות מקסוול הלא־הומגוניות (כלומר, עם מטענים וזרמים חשמליים). מ־2 משוואות אלה נגזרות עוד 2 משוואות חשובות:   ∂ μ j μ = 0 {\displaystyle \ \partial _{\mu }j^{\mu }=0} (משוואת רציפות של המטענים והזרמים החשמליים)   ∂ 2 A = ( 1 c 2 ∂ t 2 − ∇ 2 ) A = 0 {\displaystyle \ \partial ^{2}A=\left({\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}-\nabla ^{2}\right)A=0} (משוואת הגלים) שדה חשמלי משפט פוינטינג ווקטור פוינטינג טרנספורמציות לורנץ תורת היחסות הפרטית יופי מתמטי אוליבר הביסייד רוברט פ' קריז, המשוואות הגדולות – פריצות דרך במדע מפיתגורס עד הייזנברג, כתר ספרים, 2008, עמודים 136–160. מדיה וקבצים בנושא משוואות מקסוול בוויקישיתוף אבני דרך, עשר התגליות הגדולות בפיזיקה ובאסטרונומיה קבלת משוואות מקסוול מתוך עקרונות יסוד פיזיקליים מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" משוואות מקסוול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) משוואות מקסוול, באתר MathWorld (באנגלית) On Physical Lines of Force, בוויקטקסט האנגלית A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field/Part III, בוויקטקסט האנגלית Born & Wolf, Principles of optics: electromagnetic theory of propagation, interference and diffraction of light, 6, Pergamon Press, 1980, ISBN 0-08-026482-4. (באנגלית)