מומנט התמד פולרי מנורמל

מומנט התמד פולרי מנורמל (באנגלית: Normalized polar moment of inertia) או פקטור מומנט התמד (אנגלית: Moment of inertia factor) הוא גודל פיזיקלי חסר יחידות המתאר את התפלגות המסה בגרמי שמים כמו כוכבי לכת או ירחים. לגודל זה ישנו שימוש רב במדעים פלנטריים והוא מסומן לרוב כ־MoI או כ־NMoI. נניח גוף פלנטרי בעל מומנט התמד בצירים הראשיים A < B < C {\displaystyle A<B<C} , אז מומנט התמד פולרי מנורמל מוגדר כ: N M o I = C M R 2 {\displaystyle NMoI={\frac {C}{MR^{2}}}} כאשר M זו מסת הגרם ו־R זה הרדיוס הממוצע של הגרם. עבור גרם כדורי לחלוטין בעל צפיפות אחידה נקבל NMoI=0.4. בגרם שמים שעבר בידול כבידתי, תהליך בו חומר כבד יותר שוקע אל מרכז הגרם וחומרים קלים צפים למעלה מתקבלות שכבות בעלות צפיפות שונה (בדומה לגלעין כדור הארץ). בגרם כזה נקבל NMoI<0.4. לפקטור מומנט התמד ישנה חשיבות גבוהה מקביעת קיום ליבה בכוכב הלכת, כיוון שככל שיש יותר חומר צפוף במרכז הגרם, כך נקבל NMoI רחוק יותר מ־0.4. מה שחושב במיוחד בגודל זה הוא שהוא אינו מושפע כלל ממסת הגרם, אלא רק מצורתו והרכבו הפנימי. מומנט התמד פולרי מנורמל אינו נמדד ישירות, אלא מוסק על סמך מדידות ערכים של סיבוב עצמי של כוכב לכת, לרבות נטיית ציר הסיבוב ונקיפה וערכים כבידתיים (מקדמים של ספריות הרמוניות הקשורות לשדה כבידה). למומנט התמד מנורמל ישנה חשיבות גובהה כאילוץ מחייב בבניית מודלים מתמטיים המדמים את המבנה הפנימי של כוכב הלכת או ירח. פרופיל הצפיפות, כלומר צפיפות כפונקציה של רדיוס במודל צריך להיות כזה שמומנט התמד הכללי המחושב יסתדר עם הערך הנמדד במציאות. אחד הקירובים השימושיים לקביעתו של מומנט התמד מנורמל הוא משוואת דריוון־רדו (Darwin–Radau equation) הקובעת: C M R 2 = 2 3 λ = 2 3 ( 1 − 2 5 1 + η ) = 2 3 [ 1 − 2 5 ( 5 q 2 f − 1 ) 1 / 2 ] {\displaystyle {\frac {C}{MR^{2}}}={\frac {2}{3\lambda }}={\frac {2}{3}}\left(1-{\frac {2}{5}}{\sqrt {1+\eta }}\right)={\frac {2}{3}}\left[1-{\frac {2}{5}}\left({\frac {5q}{2f}}-1\right)^{1/2}\right]} כאשר λ {\displaystyle \lambda } נקרא "פרמטר ד'אלמבר", f זו פחיסות ו־ η {\displaystyle \eta } הוא פרמטר רדו הנתון על ידי: η = 5 q 2 f − 2 {\displaystyle \eta ={\frac {5q}{2f}}-2} כאשר q הוא פקטור גאודינמי הנתון על ידי: q = ω 2 R e 3 G M {\displaystyle q={\frac {\omega ^{2}R_{e}^{3}}{GM}}} ω {\displaystyle \omega } היא מהירות זוויתית של סיבוב עצמי ו־ f {\displaystyle f} היא הפחיסות הנתונה על ידי: ϵ = R e − R q R e {\displaystyle \epsilon ={\frac {R_{e}-R_{q}}{R_{e}}}} כאשר R e {\displaystyle R_{e}} הוא רדיוס בקו המשווה ו־ R p {\displaystyle R_{p}} הוא רדיוס בקוטב. J 2 {\displaystyle J_{2}} הוא אחד הפרמטרים החושבים לתיאור התפלגות המסה בכוכב לכת, והוא חיוני לתיאור הפחיסות שלו. הוא נתון על ידי: J 2 = R e − R p M R 2 {\displaystyle J_{2}={\frac {R_{e}-R_{p}}{MR^{2}}}} קיים קשר בין גודל זה לבין מומנט התמד מנורמל: N M o I = C M R 2 = 2 3 [ 1 − 2 5 ( 5 m m + 3 J 2 − 1 ) 1 / 2 ] {\displaystyle NMoI={\frac {C}{MR^{2}}}={\frac {2}{3}}\left[1-{\frac {2}{5}}\left({\frac {5m}{m+3J_{2}}}-1\right)^{1/2}\right]} כאשר m = ω 2 R 3 / G M {\displaystyle m=\omega ^{2}R^{3}/GM} נקרא "פרמטר סיבוב קטן". אחד המודלים הפשוטים ביותר לתיאור של כוכב לכת בעל ליבה ומעלה אטמוספירה משמעותית היא בתור גוף ספרי דו־שכבתי, בו השכבה הפנימית, הליבה היא בעלת צפיפות ρ 1 {\displaystyle \rho _{1}} ורדיוס r 1 {\displaystyle r_{1}} וצפיפות השכבה החיצונית, האטמוספירה היא ρ 2 {\displaystyle \rho _{2}} ורדיוס האטמוספירה (כלומר כוכב הלכת כולו) הוא r 2 {\displaystyle r_{2}} . במקרה כזה, מומנט התמד פולרי מנורמל נתון על ידי: C M r 2 2 = 2 5 [ ρ 1 ρ ¯ + ρ 1 − ρ 2 ρ ¯ ( r 1 r 2 ) 5 ] {\displaystyle {\frac {C}{Mr_{2}^{2}}}={\frac {2}{5}}\left[{\frac {\rho _{1}}{\bar {\rho }}}+{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\bar {\rho }}}\left({\frac {r_{1}}{r_{2}}}\right){}^{5}\right]} כאשר ρ ¯ {\displaystyle {\bar {\rho }}} היא הצפיפות הממוצעת. פחיסות מומנט כבידתי הכוונה היא ל I 1 , I 2 , I 3 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}} בטנזור התמד הרשום בצורה של [ Λ ] = [ I 1 0 0 0 I 2 0 0 0 I 3 ] {\displaystyle [\Lambda ]={\begin{bmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{bmatrix}}} de Pater, Imke; Lissauer, Jack J. (2010). Planetary sciences (2nd ed.). New York: Cambridge University Press Precession, nutation, and space geodetic determination of the Earth's variable gravity field Zharkov and Trubitsyn, 1978 Shapes and gravitational fields of rotating two-layer Maclaurin ellipsoids: Application to planets and satellites Contributions to the Earth's obliquity rate, precession, and nutation Interior Structure and Seasonal Mass Redistribution of Mars from Radio Tracking of Mars Pathfinder Mercury's moment of inertia from spin and gravity data Lunar moments, tides, orientation, and coordinate frames Constraining Saturn's Core Properties by a Measurement of Its Moment of Inertia - Implications to the Cassini Solstice Mission Jupiter's Moment of Inertia: A Possible Determination by JUNO