תורת הקבוצות הנאיבית

תורת הקבוצות הנאיבית הוא שמה של גישה אלמנטרית לתורת הקבוצות, שאותה פיתח גאורג קנטור בסוף המאה ה-19. התורה עוסקת במושג הקבוצה, שהיא אוסף מופשט של איברים, והיא מאפשרת טיפול מתמטי מדויק במושגי יסוד במתמטיקה, כגון יחס, פונקציה, מספר ואינסוף. תורת הקבוצות המודרנית מבוססת על גישה אקסיומטית מדוקדקת (ראו אקסיומות צרמלו-פרנקל). הטיפול במושג הקבוצה באופן ישיר קרוי "תורת הקבוצות הנאיבית". את תורת הקבוצות החל לפתח גאורג קנטור ב-1870, בעקבות קשיים שהתעוררו בתורת הפונקציות הממשיות. קנטור חקר קבוצות של נקודות אי-רציפות, ואחר-כך קבוצות כלליות יותר. את מחקריו סיכם בשני מאמרים, שפורסמו ב-1895 וב-1897 תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור – בגרמנית), בכתב-העת "Mathematische Annalen". הגדרתו של קנטור לקבוצה הייתה: "בשם קבוצה נקרא כל צירוף של עצמים מסוימים ומובדלים המצורפים לחטיבה אחת; העצמים אשר מקורם בהסתכלות (בנסיון) או במחשבה, נקראים איברי הקבוצה." על הגדרה זו העיר אברהם הלוי פרנקל: "יש לראות את הגדרת קנטור כביאור בעלמא. הרבותא שבביאור זה נמצאת בכלליותו, ללא כל הגבלה בהיקף הקבוצה ובמהות איבריה. תקפה זה של הגדרת הקבוצה הוא מקום תורפתה." בתחילת המאה ה-20 התגלו בתורת הקבוצות פרדוקסים, שנבעו מהיותה מתירנית מידי וחסרת ביסוס אקסיומטי נאות. לשם פתרון בעיות אלה פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, ובעקבות צעד זה, תורת הקבוצות ללא הביסוס האקסיומטי הקפדני נקראת תורת הקבוצות הנאיבית. תורת הקבוצות הנאיבית עוֹדֶנָה נלמדת כקורס בסיסי באוניברסיטאות, שכן היא פשוטה יותר להבנה, ומרבית רעיונותיה נכונים גם בגרסה האקסיומטית. הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר פרדוקסים. ערך מורחב – הפרדוקס של ראסל קודם להצגת הפרדוקס, נבהיר: בדרך כלל, קבוצה אינה איבר של עצמה. איבריה של הקבוצה A, שהגדרתה "קבוצת כל המספרים השלמים" הם מספרים, ולכן, הקבוצה A, שאינה מספר, אינה אחד מן האיברים של A. יש גם קבוצות שהן איבר של עצמן: למשל, הקבוצה B, שהגדרתה "קבוצת כל הקבוצות שיש להן הגדרה בת תשע מילים". הגדרתה של B היא בת תשע מילים, ולכן היא איבר של עצמה. הפרדוקס עוסק בקבוצה D המוגדרת להלן: הקבוצה D היא קבוצה, שנכללת בה (כאיבר) כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה. כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-D אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. לגבי הדוגמאות שהבאנו לעיל מתקיים: A היא איבר ב-D, ואילו B אינה איבר ב-D. נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה D היא איבר ב-D? אם כן, אז בהתאם להגדרתה של D היא אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, הקבוצה D היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית, בכך שהוכחנו טענה והיפוכה מאותה מערכת לוגית. ערך מורחב – הפרדוקס של קנטור פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הפרדוקס של קנטור עוסק בהגדרת "קבוצת כל הקבוצות" וקבוצת החזקה שלה ועל ההשלכות הסותרות על "מספר האיברים" (העוצמה) של כל קבוצה. ערך מורחב – הפרדוקס של בורלי-פורטי פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. הפרדוקס של בורלי-פורטי עוסק ב"הגדרת קבוצה (של מספר סודרים)", אשר אינה יכולה להיות קבוצה (בתורת הקבוצות (הנאיבית)). ערך מורחב – תורת הקבוצות בעקבות הסתירות הללו, ובעיות נוספות שהתגלו, נוצר הצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי. בעקבות כך, פותחה תורת הקבוצות האקסיומטית, שהיא למעשה התורה אליה לרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל (אקסיומות צרמלו-פרנקל) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות, כדי להימנע מהסתירות האפשריות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי. אי"י פוזננסקי, "על יסודות המתמטיקה", נספח לספר הגיון לשון ושיטה מאת יהושע בר-הלל, ספרית פועלים, 1970. תורת הקבוצות הנאיבית, באתר MathWorld (באנגלית) תרגומו של אברהם הלוי פרנקל, מבוא למתמטיקה, כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, הוצאת מסדה, 1953, עמ' 5