עקרון הארגומנט

באנליזה מרוכבת, עקרון הארגומנט מקשר בין מספר הקטבים והאפסים של פונקציה מרומורפית בתחום מסוים ובין השינוי בארגומנט שלה בעת מעבר על שפת התחום. עיקרון זה הוא תוצאה חשובה של משפט השארית. תהא f {\displaystyle f} פונקציה מרומורפית (בעלת מספר סופי של נקודות סינגולריות שכולן קטבים) בתחום D {\displaystyle D} כלשהו ששפתו ∂ D {\displaystyle \partial D} היא מסילה פשוטה וסגורה, שעליה f {\displaystyle f} לא מקבלת אפסים וקטבים. אז מתקיים 1 2 π i ∮ ∂ D f ′ ( z ) f ( z ) d z = N − P {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=N-P} , כאשר N {\displaystyle N} הוא מספר האפסים של f {\displaystyle f} , כולל ריבוי, ואילו P {\displaystyle P} הוא מספר הקטבים של f {\displaystyle f} , כולל ריבוי. כמו כן, 2 π ( N − P ) = Δ arg ⁡ f {\displaystyle 2\pi (N-P)=\Delta \arg {f}} , כאשר Δ arg ⁡ f {\displaystyle \Delta \arg {f}} הוא גודל השינוי בארגומנט של f {\displaystyle f} כאשר היא מקיפה את התחום D {\displaystyle D} על גבי שפתו. נראה כי 1 2 π i ∮ ∂ D f ′ ( z ) f ( z ) d z = N − P {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=N-P} . לשם כך נשתמש במשפט השארית. כדי לחשב את האינטגרל, די לחשב את סכום השאריות של הפונקציה f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} בכל נקודות הסינגולריות שלה בתחום D {\displaystyle D} . מכיוון ש- f {\displaystyle f} מרומורפית, לפונקציה f ′ ( z ) f ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}} יכולים להיות רק שני סוגים של נקודות סינגולריות: קטבים של f {\displaystyle f} ואפסים של f {\displaystyle f} . באפס a ∈ D {\displaystyle a\in D} מריבוי n {\displaystyle n} של f {\displaystyle f} מתקיים f ( z ) = ( z − a ) n ⋅ g ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-a)^{n}\cdot g(z)} , כאשר g ( z ) ≠ 0 {\displaystyle g(z)\neq 0} והולומורפית בסביבה של a {\displaystyle a} . על כן: f ′ ( z ) = n ( z − a ) n − 1 g ( z ) + ( z − a ) n g ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)=n(z-a)^{n-1}g(z)+(z-a)^{n}g'(z)} ו- f ′ ( z ) f ( z ) = n z − a + g ′ ( z ) g ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {n}{z-a}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}} . המחובר הימני הוא פונקציה הולומורפית, ולכן בפיתוח לטור נקבל טור טיילור (כלומר מקדם השארית הוא 0). המחובר השמאלי הוא בדיוק האיבר שהמקדם שלו בטור לורן הוא השארית, ולכן בסך הכול השארית של הפונקציה סביב a {\displaystyle a} היא n {\displaystyle n} . כלומר: השארית סביב אפס כלשהו היא הריבוי של אותו האפס. עבור קוטב הרעיון דומה: בקוטב b ∈ D {\displaystyle b\in D} מריבוי m {\displaystyle m} של f {\displaystyle f} מתקיים f ( z ) = ( z − b ) − m ⋅ h ( z ) {\displaystyle f(z)=(z-b)^{-m}\cdot h(z)} , כאשר h ( z ) ≠ 0 {\displaystyle h(z)\neq 0} והולומורפית בסביבה של b {\displaystyle b} . מתקיים f ′ ( z ) = − m ( z − b ) − m − 1 h ( z ) + ( z − b ) − m h ′ ( z ) {\displaystyle f'(z)=-m(z-b)^{-m-1}h(z)+(z-b)^{-m}h'(z)} ועל כן f ′ ( z ) f ( z ) = − m z − b + h ′ ( z ) h ( z ) {\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}={\frac {-m}{z-b}}+{\frac {h'(z)}{h(z)}}} ולכן השארית שנקבל הפעם היא מינוס הריבוי של הקוטב. על כן, סכום השאריות בכל הקטבים והאפסים ייתן בדיוק את סכום ריבויי האפסים פחות סכום ריבויי הקטבים. תהי f ( z ) = ( z + 3 ) ( z + 1 ) z 2 {\displaystyle f(z)={\frac {(z+3)(z+1)}{z^{2}}}} , צריך לחשב את ∫ | z | = 2 f ′ ( z ) f ( z ) d z {\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz} נשים לב כי האפסים של f ( z ) {\displaystyle f(z)} הם z = − 1 {\displaystyle z=-1} ו- z = − 3 {\displaystyle z=-3} . מתוך האפסים האלו, רק z = − 1 {\displaystyle z=-1} נמצא בתוך העיגול: { z | | z | = 2 } {\displaystyle \left\{z|\left|z\right|=2\right\}} , כמו כן הוא "אפס פשוט". לכן: N = 1 {\displaystyle N=1} נשים לב גם כי יש ל: f ( z ) {\displaystyle f(z)} רק קוטב אחד והוא: z = 0 {\displaystyle z=0} . זהו קוטב מסדר שני. לכן: P = 2 {\displaystyle P=2} . מסקנה (לפי עקרון הארגומנט): ∫ | z | = 2 f ′ ( z ) f ( z ) d z = 2 π i ( N − P ) = 2 π i ( 1 − 2 ) = − 2 π i {\displaystyle \int _{|z|=2}{\frac {f'(z)}{f(z)}}dz=2\pi i(N-P)=2\pi i(1-2)=-2\pi i} משפט רושה עקרון הארגומנט, באתר MathWorld (באנגלית)