אינוורסיה (גאומטריה)

בגאומטריה, אינוורסיה או היפוך היא העתקה של המישור אל עצמו, המחליפה את הפנים והחוץ של מעגל נתון C {\displaystyle C} . העתקה זו, שיש לה חשיבות מרכזית במודלים אוקלידיים של הגאומטריה הפרויקטיבית, נחקרה לראשונה על ידי הגאומטריקן יעקב שטיינר בסוף המאה התשע-עשרה. אם מרכזו של המעגל C {\displaystyle C} הוא הנקודה O {\displaystyle O} ורדיוסו r {\displaystyle r} , אז האינוורסיה מוגדרת כך שתעביר נקודה P {\displaystyle P} אל הנקודה P ′ {\displaystyle P'} המצויה על הקרן המחברת את המרכז O {\displaystyle O} אל P {\displaystyle P} , באופן שמכפלת המרחקים של P {\displaystyle P} ושל P ′ {\displaystyle P'} מ- O {\displaystyle O} שווה לריבוע הרדיוס:   | O P | r = r | O P ′ | {\displaystyle \ {\frac {|OP|}{r}}={\frac {r}{|OP'|}}} . מן ההגדרה נובע שהאינוורסיה מחזירה את הנקודה P ′ {\displaystyle P'} אל הנקודה P ′ {\displaystyle P'} . הנקודות P ′ {\displaystyle P'} ו- P ′ {\displaystyle P'} צמודות זו לזו ביחס למעגל. על-פי תיאור זה, תמונתה של הנקודה O {\displaystyle O} אינה מוגדרת, ולכן מקובל להוסיף למישור את "הנקודה באינסוף", שהיא זוגתה של O {\displaystyle O} . ניתן להגדיר באופן דומה גם אינוורסיה ביחס לכדור, במרחב תלת-ממדי, או ביחס לכדור n ממדי. במישור המרוכב, כאשר המעגל הוא מעגל היחידה, אינוורסיה של מספר מרוכב z {\displaystyle z} היא ההופכי של הצמוד (כלומר הנקודה z {\displaystyle z} עוברת ל- 1 z ¯ {\displaystyle {\frac {1}{\bar {z}}}} ) האינוורסיה היא העתקה אנטיקונפורמית, כלומר, היא שומרת על זוויות בין ישרים ומעגלים (ועקומות בכלל), אך הופכת את האוריינטציה. כך יעברו מעגלים משיקים למעגלים (או ישרים) משיקים, ומעגלים מאונכים למעגלים (או ישרים) מאונכים. אם P {\displaystyle P} נמצאת על שפת המעגל, אז היא צמודה לעצמה, כלומר P ′ = P {\displaystyle P'=P} ; בכל מקרה אחר, אחת משתי הנקודות הצמודות נמצאת מחוץ למעגל, ואחת בתוכו. אם P {\displaystyle P} היא הנקודה שמחוץ למעגל ו- Q {\displaystyle Q} הנקודה על המעגל שבה נוגע המשיק P Q {\displaystyle PQ} , אז P ′ {\displaystyle P'} היא הנקודה שבה פוגש הגובה היורד מ- Q {\displaystyle Q} במשולש O P Q {\displaystyle OPQ} , את היתר O P {\displaystyle OP} . תכונתה החשובה ביותר של האינוורסיה, שהיא שומרת על מעגלים וישרים: כל מעגל וכל ישר עובר תחת העתקה זו למעגל או לישר. עם זאת, מרכזו של מעגל E {\displaystyle E} העובר למעגל E ′ {\displaystyle E'} , בדרך כלל אינו עובר למרכזו של E ′ {\displaystyle E'} . מעגל שאינו עובר דרך O {\displaystyle O} , עובר למעגל אחר שאינו עובר דרך O {\displaystyle O} . ישר העובר דרך O {\displaystyle O} , מועתק אל עצמו, ומעגל העובר דרך O {\displaystyle O} , עובר לישר שאינו עובר דרך O {\displaystyle O} . ישר או מעגל E {\displaystyle E} החותך את C {\displaystyle C} , יעבור לישר או מעגל E ′ {\displaystyle E'} החותך את C {\displaystyle C} . מעגל המוכל ב- C {\displaystyle C} , שאינו עובר דרך O {\displaystyle O} , עובר למעגל מחוץ ל- C {\displaystyle C} ; מעגל המקיף את O {\displaystyle O} עובר למעגל המכיל את C {\displaystyle C} , ולהפך. אם האינוורסיה במעגל O {\displaystyle O} מעבירה את המעגל E {\displaystyle E} למעגל E ′ {\displaystyle E'} , אז לשלושת המעגלים האלו יש אותו ציר רדיקלי (במילים אחרות, המעגל E {\displaystyle E} עובר למעגל מן המניפה הקואקסלית של O {\displaystyle O} ו- E {\displaystyle E} ). כל מעגל אפשר להעביר לכל מעגל אחר, באמצעות אינוורסיה במעגל מתאים (יחיד אם הם זרים או משיקים, שניים אם הם נחתכים). כל שני מעגלים שאינם נחתכים אפשר להעביר לזוג מעגלים בעלי מרכז משותף באמצעות אינוורסיה במעגל מתאים. הטלה סטריאוגרפית אינוורסיה, באתר MathWorld (באנגלית) דוד פרייברט, חידושים בגיאומטריה אוקלידית – תיאוריה של מרובע קמור ומעגל היוצר נקודות פסקל על צלעותיו, נספח א', הוצאת אקדמון, 2021