התפלגות חצי המעגל של ויגנר

התפלגות חצי המעגל של ויגנר, הקרויה על שם הפיזיקאי זוכה-הנובל יוג'ין ויגנר, היא התפלגות על הקטע [ − R , R ] {\displaystyle [-R,R]\!} כך שפונקציית הצפיפות שלה מתארת חצי מעגל ״מכווץ״ (או ״מנופח״), כלומר חצי אליפסה הממורכזת בראשית הצירים ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} : f ( x ) = { 2 π R 2 R 2 − x 2 if  | x | ≤ R 0 if  | x | > R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}&{\text{if }}|x|\leq R\\[1ex]0&{\text{if }}|x|>R\end{cases}}} הפרמטר   R {\displaystyle \ R} לרוב נקרא הרדיוס של ההתפלגות. פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות היא: F ( x ) = { 0 if  x < − R 1 2 + x R 2 − x 2 π R 2 + arcsin ( x R ) π if  | x | ≤ R , 1 if  x > R . {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-R\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}&{\text{if }}|x|\leq R,\\1&{\text{if }}x>R.\end{cases}}} התפלגות זו מתארת את אחת התכונות הבסיסיות של מטריצות אקראיות לפיה לערכים העצמיים של מטריצה סימטרית ממשית (או הרמיטית במקרה המרוכב) אקראית (תחת תנאים מסוימים) התפלגות של חצי המעגל של ויגנר בגבול, כאשר המימד של המטריצה האקראית שואף לאינסוף. פונקציית הצפיפות של התפלגות חצי המעגל של ויגנר היא סימטרית אשר מקבלת ערך מקסימלי ב-0. לפיכך, התוחלת, החציון והערך השכיח של ההתפלגות שווים לאפס. מטעמי סימטריה, כל המומנטים מסדר אי-זוגי שווים לאפס. המומנטים מסדר זוגי הם: μ 2 k = E [ X 2 k ] = ( 2 k ) ! k ! ( k + 1 ) ! R 2 k 2 2 k = ( R 2 ) 2 k C k {\displaystyle \mu _{2k}=E[X^{2k}]={\frac {(2k)!}{k!(k+1)!}}{\frac {R^{2k}}{2^{2k}}}=({\tfrac {R}{2}})^{2k}C_{k}} כאשר C k {\displaystyle C_{k}} הם מספרי קטלן. בפרט במקרה שבו R = 2 {\displaystyle R=2} המומנטים הזוגיים הם בדיוק מספרי קטלן: μ 2 k = 1 2 π ∫ − 2 2 x 2 k 4 − x 2 d x = 1 π ∫ 0 2 x 2 k 4 − x 2 d x ( sub:  x = 2 y ) = 2 2 k + 1 π ∫ 0 1 y k − 1 / 2 ( 1 − y ) 1 / 2 d y = 2 2 k + 1 π B ( k + 1 / 2 , 3 / 2 ) = 2 2 k + 1 π Γ ( k + 1 / 2 ) ⋅ Γ ( 3 / 2 ) Γ ( k + 2 ) = 1 k + 1 ( 2 k k ) = C k {\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{2k}&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2}^{2}x^{2k}{\sqrt {4-x^{2}}}dx\\&={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2}x^{2k}{\sqrt {4-x^{2}}}dx\\({\text{sub: }}x=2{\sqrt {y}})&={\frac {2^{2k+1}}{\pi }}\int _{0}^{1}y^{k-1/2}(1-y)^{1/2}dy\\&={\frac {2^{2k+1}}{\pi }}B(k+1/2,3/2)\\&={\frac {2^{2k+1}}{\pi }}{\frac {\Gamma (k+1/2)\cdot \Gamma (3/2)}{\Gamma (k+2)}}\\&={\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\\&=C_{k}\end{aligned}}} במעברים נעשה שימוש בתכונות של פונקציית בטא ופונקציית גמא. למומנטים הללו חשיבות רבה כאשר מוכיחים התכנסות בהתפלגות של סדרת משתנים מקריים להתפלגות חצי המעגל של ויגנר באמצעות שיטת המומנטים. הפונקציה יוצרת מומנטים עבור ההתפלגות נתונה על ידי: g ( t ) = E [ e t X ] = 2 I 1 ( R t ) R t {\displaystyle g(t)=E[e^{tX}]=2{\frac {I_{1}(Rt)}{Rt}}} , כאשר I 1 {\displaystyle I_{1}} היא פונקציית בסל מותאמת מהסוג הראשון. הפונקציה האופיינית של ההתפלגות נתונה על ידי: ϕ ( t ) = E [ e i t X ] = 2 J 1 ( R t ) R t {\displaystyle \phi (t)=E[e^{itX}]=2{\frac {J_{1}(Rt)}{Rt}}} כאשר J 1 {\displaystyle J_{1}} היא פונקציית בסל מהסוג הראשון. טרנספורמציית סטילטיס של ההתפלגות נתונה על ידי: s ( z ) = − 2 R 2 ( z − z 2 − R 2 ) {\displaystyle s(z)=-{\frac {2}{R^{2}}}(z-{\sqrt {z^{2}-R^{2}}})} עבור z מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי והקונבנציה שבשורש ריבועי מרוכב נלקח הערך עם החלק המדומה החיובי. בעזרת הטרנספורמציה, בנוסף לשיטת המומנטים, נעשה שימוש על מנת להוכיח התכנסות סדרת התפלגויות להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. אחת הבעיות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות, שזכתה לתשומת הלב הרבה ביותר, היא הבנת הערכים העצמיים של מטריצות אקראיות. אין זו באמת בעיה יחידה, אלא מחלקה רחבה של בעיות: ישנן דרכים רבות לבנות מטריצה אקראית (מה שמוביל להתפלגויות ערכים עצמיים שונות באופן דרסטי), וישנם הרבה היבטים שונים להבנת הערכים העצמיים בכל מודל מטריצה אקראית נתון. רוב היישומים המוקדמים של תורת המטריצות האקראיות עסקו בהתנהגות הגבולית של הספקטרום כאשר גודל המטריצה שואף לאינסוף, בין אם לפיתוח הבנה סטטיסטית של מטריצות "גדולות מאוד", או שימוש במטריצות גדולות כדי לקרב אופרטורים ממימד אינסופי. מאז סוף שנות ה-50 של המאה ה-20, המחקר על ניתוח ספקטרלי גבולי של מטריצות אקראיות בממדים גבוהים מושך עניין רב בקרב מתמטיקאים, חוקרי הסתברות וסטטיסטיקאים. כלי חשוב להבנת הערכים העצמיים של מטריצה אקראית הוא ההתפלגות הספקטרלית האמפירית (ESD): עבור מטריצה אקראית M {\displaystyle M} בעלת ערכים עצמיים λ 1 , λ 2 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}} ה-ESD של M {\displaystyle M} , המסומנת μ M {\displaystyle \mu _{M}} , מוגדרת כך: μ M = 1 n ∑ j = 1 n δ λ j {\displaystyle \mu _{M}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\delta _{\lambda _{j}}} עבור מטריצה אקראית הרמיטית (או סימטרית, במקרה הממשי) הערכים העצמיים שלה כולם ממשיים (על סמך משפט הפירוק הספקטרלי) ולכן ה-ESD של המטריצה תהיה התפלגות חד-ממדית ממשית. במאמר פורץ דרך, הוכיח ויגנר כי עבור מטריצות אקראיות, ממשיות וסימטריות M n {\displaystyle M_{n}} , ממימד n {\displaystyle n} , תחת האילוצים הבאים (עבור סימון איברי המטריצות בתור v i j {\displaystyle v_{ij}} ): איברי המטריצה על האלכסון הראשי ומעליו ( v i j {\displaystyle v_{ij}} עבור i ≤ j {\displaystyle i\leq j} ) מתפלגים באופן בלתי-תלוי. v i j {\displaystyle v_{ij}} מתפלגים באופן סימטרי. ל- v i j {\displaystyle v_{ij}} קיימים כל המומנטים והם חסומים (לא תלויים ב- i , j {\displaystyle {i,j}} ). בפרט, מסימטריות, כל המומנטים האי-זוגיים מתאפסים. v i j {\displaystyle v_{ij}} בעלי מומנט שני השווה לקבוע: m 2 {\displaystyle m^{2}} . ה-ESD של סדרת המטריצות המנורמלות W n := 1 n M n {\displaystyle W_{n}:={\frac {1}{\sqrt {n}}}M_{n}} מתכנס בתוחלת להתפלגות חצי המעגל. תוצאה זו, הקרויה, חוק חצי המעגל של ויגנר, מהווה את אחת התוצאות האוניברסליות המרכזיות בתורת המטריצות האקראיות. עבודתו המקורית של ויגנר הוכללה והורחבה רבות לאורך השנים ולהלן ״שיפור״ ל-התכנסות כמעט תמיד (קרוי לפעמים חוק חצי המעגל החזק): נניח כי { x i j } 1 ≤ i ≤ j {\displaystyle \{x_{ij}\}_{1\leq i\leq j}} אוסף אינסופי של משתנים מקריים ממשיים כך ש- { x i j } 1 ≤ i < j {\displaystyle \{x_{ij}\}_{1\leq i<j}} הם בלתי תלויים ושווי התפלגות ( i i d {\displaystyle iid} ) עם שונות 1 ומומנט רביעי סופי וכן { x i i } 1 ≤ i {\displaystyle \{x_{ii}\}_{1\leq i}} הם i i d {\displaystyle iid} . יהיו X n {\displaystyle X_{n}} המטריצות האקראיות הסימטריות המורכבות מהאיברים { x i j } 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle \{x_{ij}\}_{1\leq i,j\leq n}} וכן μ n {\displaystyle \mu _{n}} ה-ESD של המטריצות המנורמלות: 1 n X n {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}} . אז, כאשר n {\displaystyle n} שואף לאינסוף, μ n {\displaystyle \mu _{n}} מתכנסת כמעט תמיד להתפלגות חצי המעגל של ויגנר. למעשה, עבור ערך עצמי אקראי λ {\displaystyle \lambda } במטריצה X n {\displaystyle X_{n}} מסדר n {\displaystyle n} :   lim n → ∞ P ( λ < t n ) = ∫ − 2 t 1 2 π 4 − x 2 d x {\displaystyle \ \lim _{n\rightarrow \infty }P(\lambda <t{\sqrt {n}})=\int _{-2}^{t}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}}dx} . הסתברות חופשית (אנ') היא ענף מתמטי תחת תורת ההסתברות, המהווה הרחבה של תורת ההסתברות, שעוסק במשתנים מקריים ״לא קומוטטיביים״. בהסתברות חופשית, להתפלגות חצי המעגל של ויגנר תפקיד המקביל לזה של ההתפלגות הנורמלית בהסתברות הקלאסית. בתורת ההסתברות החופשית, תפקידם של הקומולנטים (אנ') נתפס על ידי "קומולנטים חופשיים" ובדיוק כפי שהקומולנטים מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא נורמלית, כך גם ה״קומולנטים החופשיים״ מדרגה גבוהה מ-2 של התפלגות הם כולם אפס אם ורק אם ההתפלגות היא התפלגות חצי המעגל של ויגנר. מטריצות אקראיות התפלגות טרייסי-וידום התפלגות מרצ'נקו-פסטור כלל המעגל יוג'ין ויגנר Mathworld Wolfram - Wigner's Semicircle Law Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices - Bai & Silverstein 2010 Wolfram Language & System Documentation Center WignerSemicircleDistribution The Eigenvalues of Random Matrices - Elizabeth Meckes Topics in random matrix theory - Terence Tao ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 2.1.1 עמוד 16 ״Moments of the Semicircular Law״ ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 1.3 עמוד 9 ״Methodologies״ ספרם של Zhidong Bai ו-Jack W. Silverstein ״Spectral Analysis of Large Dimensional Random Matrices״https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4419-0661-8 פרק 2.3.1 עמוד 31 ״Stieltjes Transform of the Semicircular Law״ מאמר של Elizabeth Meckes - ״The Eigenvalues of Random Matrices״ https://arxiv.org/abs/2101.02928 עמוד 1 - ״Introduction״ מאמר של יוג'ין ויגנר מ-1958 על התפלגות הערכים העצמיים במטריצות אקראיות מסוימות https://www.jstor.org/stable/1970008 ״On the Distribution of the Roots of Certain Symmetric Matrices״ ספרו של טרנס טאו ״Topics in random matrix theory״ - https://terrytao.wordpress.com/wp-content/uploads/2011/02/matrix-book.pdf פרק 2.4 ״The semicircular law״ עמוד 159 מאמר של L. Arnold מ-1971 עם הכללה של חוק חצי המעגל של ויגנר https://link.springer.com/article/10.1007/BF00534107 ״On Wigner's semicircle law for the eigenvalues of random matrices״