פוטנציאל מעוכב

באלקטרודינמיקה, פוטנציאלים מעוכבים (retarded potentials) הם פוטנציאלים אלקטרומגנטיים בשדה אלקטרומגנטי שנוצר על ידי זרם חשמלי משתנה בזמן או צפיפות מטען משתנה בזמן - בעבר. השדות מתפשטים במהירות האור c, ולכן ההשהיה של השדות המחברים סיבה ותוצאה בזמנים מוקדמים ומאוחרים הוא גורם חשוב: לאות לוקח זמן סופי להתפשט מנקודה בתוך התפלגות המטען או הזרם (נקודת ה"סיבה") לנקודה אחרת במרחב (שם ההשפעה נמדדת), ראו איור למטה. נקודת המוצא היא משוואות מקסוול בגישת שדה הפוטנציאל שלהן, בעזרת כיול לורנץ: ◻ φ = ρ ϵ 0 , ◻ A = μ 0 J {\displaystyle \Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} } כאשר φ( r, t ) הוא הפוטנציאל החשמלי ו- A ( r, t ) הוא הפוטנציאל הווקטורי המגנטי, עבור מקור שרירותי של צפיפות המטען ρ( r, t ) וצפיפות הזרם J ( r, t ), וכן ◻ {\displaystyle \Box } הוא הד'אלמבריאן. פתרון משוואות אלו נותן את הפוטנציאלים המעוכבים למטה (כולם ביחידות SI). עבור שדות תלויי זמן, הפוטנציאלים המעוכבים הם: φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.} כאשר r הוא נקודה במרחב, t הוא הזמן, ו- t r = t − | r − r ′ | c {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}} הוא הזמן המעוכב, ו- d 3 r ′ {\displaystyle d^{3}\mathbf {r'} } הוא גורם האינטגרציה לפי r ′ {\displaystyle \mathbf {r'} } . מ-φ( r, t) ו- A ( r, t ), ניתן לחשב את השדות E ( r, t ) ו- B ( r, t ) באמצעות הגדרת הפוטנציאלים: − E = ∇ φ + ∂ A ∂ t , B = ∇ × A . {\displaystyle -\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.} במקרה שהשדות אינם תלויי זמן (שדות אלקטרוסטטיים ומגנטוסטטיים), נגזרות הזמן של האופרטור ◻ {\displaystyle \Box } מתאפסות, והמשוואות של מקסוול מצטמצמות ל: ∇ 2 φ = − ρ ϵ 0 , ∇ 2 A = − μ 0 J , {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,} כאשר ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} הוא הלפלסיאן. המשוואות מקבלות צורה של משוואות פואסון בארבעה רכיבים (אחד עבור φ ושלושה עבור A), והפתרונות שלהן הם: φ ( r ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r ) = μ 0 4 π ∫ J ( r ′ ) | r − r ′ | d 3 r ′ . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.} אלה גם נובעים ישירות מהפוטנציאלים המעוכבים. במקרה הפרטי שבו השדה החשמלי נגרם עקב מטען נקודתי בודד שמסלולו r s ( t ) {\displaystyle \mathbf {r_{s}} (t)} , הפוטנציאלים המעוכבים המתקבלים בכיול לורנץ הם פוטנציאלי ליאנארד-ויקרט, על שמם של אלפרד-מארי לינארד ואמיל ויקרט. פוטנציאלים אלו הם: φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ( q ( 1 − n s ⋅ β s ) | r − r s | ) t r {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot \mathbf {\beta } _{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}} A ( r , t ) = μ 0 c 4 π ( q β s ( 1 − n s ⋅ β s ) | r − r s | ) t r {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {\beta } _{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot \mathbf {\beta } _{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}} זאת כאשר: β s = 1 c d r s d t {\displaystyle \mathbf {\beta } _{s}={\frac {1}{c}}{\frac {d\mathbf {r} _{s}}{dt}}} היא מהירות המטען המנורמלת למהירות האור | r − r s | {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|} הוא המרחק בין נקודת המדידה של הפוטנציאל לבין מיקום המקור n s = r − r s | r − r s | {\displaystyle \mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}} הוא וקטור היחידה המקשר מהמקור אל נקודת המדידה הסימן ( . . . ) t r {\displaystyle (...)_{t_{r}}} משמעותו חישוב הערך שבתוך הסוגריים בזמן המעוכב t r = t − 1 c | r − r s | {\displaystyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|} נשים לב שכדי למצוא את הזמן המעוכב עלינו לפתור את המשוואה: | r − r s ( t r ) | = c ( t − t r ) {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|=c(t-t_{r})} בכיול קולון, משוואות מקסוול הן ∇ 2 φ = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}} ∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A ∂ t 2 = − μ 0 J + 1 c 2 ∇ ( ∂ φ ∂ t ) , {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,} הפתרונות המתקבלים בכיול זה שונים מהפתרונות המתקבלים בכיול לורנץ מכיוון ש-A הוא פוטנציאל מעוכב אך φ משתנה באופן מיידי, לפי: φ ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ∫ ρ ( r ′ , t ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = 1 4 π ε 0 ∇ × ∫ d 3 r ′ ∫ 0 | r − r ′ | / c d t r t r J ( r ′ , t − t r ) | r − r ′ | 3 × ( r − r ′ ) . {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.} התוצאה מציגה יתרון וחיסרון של כיול קולון: φ ניתן לחישוב בקלות מהתפלגות המטען ρ אך לא ניתן לחשב את A מההתפלגות הנוכחית j. עם זאת, בתנאי שאנו דורשים שהפוטנציאלים יתאפסו באינסוף, הם יכולים לבוא לידי ביטוי בצורה מסודרת במונחים של השדות: φ ( r , t ) = 1 4 π ∫ ∇ ⋅ E ( r ′ , t ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} A ( r , t ) = 1 4 π ∫ ∇ × B ( r ′ , t ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} ({r}',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} הפוטנציאל המעוכב בגרסה הליניארית של תורת היחסות הכללית דומה מאוד למקרה האלקטרומגנטי. הטנזור בעל העקבה ההפוכה h ~ μ ν = h μ ν − 1 2 η μ ν h {\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h} ממלא את התפקיד של פוטנציאל ארבעת הווקטורים, הכיול ההרמוני h ~ μ ν , μ = 0 {\displaystyle {\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0} מחליף את כיול לורנץ האלקטרומגנטי, משוואות השדה הן ◻ h ~ μ ν = − 16 π G T μ ν {\displaystyle \Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }} , ופתרון הגל המעוכב הוא: h ~ μ ν ( r , t ) = 4 G ∫ T μ ν ( r ′ , t r ) | r − r ′ | d 3 r ′ {\displaystyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '} . משוואות מקסוול זמן מאוחר חוק לנץ Rohrlich, F (1993). "Potentials". In Parker, S.P. (ed.). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). New York. p. 1072. ISBN 0-07-051400-3. Garg, A., Classical Electromagnetism in a Nutshell, 2012, p. 129 Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-471-92712-9 Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 Andrew T. Hyman, Non-Uniqueness of the Lienard-Wiechert Potential, arXiv:1206.0931 [physics], 2019-03-15 J. M. Aguirregabiria, A. Hernández, M. Rivas, The Liénard–Wiechert potential and the retarded shape of a moving sphere, American Journal of Physics 60, 1992-07-01, עמ' 597–599 doi: 10.1119/1.17112 Sean M. Carroll, "Lecture Notes on General Relativity" (arXiv:gr-qc/9712019), equations 6.20, 6.21, 6.22, 6.74