חוק גרין

במכניקת הזורמים ואוקיינוגרפיה פיזיקלית, חוק גרין מתאר את ההתפתחות של גלי כבידה בלתי נשברים המתקדמים במים רדודים בעלי עומק משתנה. החוק נקרא על שם ג'ורג' גרין. בצורתו הפשוטה ביותר, החוק קובע שבעבור חזיתות גלים מישוריות, מתקיים: H 1 ⋅ h 1 4 = H 2 ⋅ h 2 4 {\displaystyle H_{1}\,\cdot \,{\sqrt[{4}]{h_{1}}}=H_{2}\,\cdot \,{\sqrt[{4}]{h_{2}}}} או ( H 1 ) 4 ⋅ h 1 = ( H 2 ) 4 ⋅ h 2 , {\displaystyle \left(H_{1}\right)^{4}\,\cdot \,h_{1}=\left(H_{2}\right)^{4}\,\cdot \,h_{2},} כאשר H 1 {\displaystyle H_{1}} ו- H 2 {\displaystyle H_{2}} הם גובהי הגל (פעמיים האמפליטודה שלו) בשני מיקומים שונים - 1 ו-2 בהתאמה - בהן הגל חולף, ואילו h 1 {\displaystyle h_{1}} ו- h 2 {\displaystyle h_{2}} הם עומק המים באזורים אלו. חוק גרין מיושם לעיתים קרובות בהנדסת חופים לצורך מידול של גלים ארוכים שחווים תהליך גידול בגובהם לקראת הגעתם לחוף. כיוון שגלי צונאמי נחשבים לגלי מים רדודים לאורך כל הנתיב שלהם (בניגוד לגלי ים רגילים שנחשבים לגלי מים רדודים רק עם התקרבותם לחוף), גלים אלו גדלים בגובהם בהתאם לחוק זה כשהם מתקדמים (והתקדמותן נשלטת על ידי אפקטים של שבירה ועקיפה) לאורך האוקיינוס ובמעלה המדף היבשתי. חוק גרין אם כן מנבא היטב את הגידול העצום בגובה הצונאמי עם ההתקרבות לחוף; יחס הגידול של הגל בפאתי החוף שווה בקירוב לשורש הרביעי של עומק האוקיינוס באזור בו נוצר הצונאמי. בהתייחס לגלי ים רגילים, יש לציין כי קרוב מאוד לחוף מתחילים להתרחש אפקטים לא-ליניאריים משמעותיים וחוק גרין אינו תקף יותר. חוק גרין תקף רק במקרה של שינוי עומק הדרגתי; במקרה של אי רציפות בעומק המים (כמו מדרגה בקרקעית) רק חלק מן האנרגיה של הגל תעבור לאזור הרדוד, בעוד החלק הנותר יוחזר מקו הגבול בין האזור העמוק לאזור הרדוד - תתרחש החזרה חלקית של גל המים מקו הגבול. לפיכך, גל מים רדודים שהגיע לחוף לאחר שחלף על פני אזור של קפיצה בעומק יגיע עם אנרגיה פחותה, ועל כן יהיה בעל גובה נמוך ממה שמנבא חוק גרין. החוקים שמנבאים מה תהיה אמפליטודת הגל המוחזר והגל העובר דומים מאוד לחוקים מתורת הגלים הנוגעים למעבר גל בן שני תווכים בעלי עכבות שונות; תחת ההנחה של גלי מים רדודים, מהירות הגל בשני האזורים תלויה רק בעומק המקומי, כך שניתן לייחס לכל אזור עכבה משלו. חוק גרין אינו תקף גם במקרה של חוף בעל תלילות גבוהה מאוד, גם אם אין קפיצה בעומק המים. ההסבר לכך מתבסס על אפקטים לא ליניאריים הקשורים בגלי מים. לפי החוק הזה, שמבוסס על ליניאריזציה של גלי כבידה במים רדודים, השינוי בממדים של גל, דהיינו גובה הגל H {\displaystyle H} , בעבור גל מתקדם במים עם עומק h {\displaystyle h} ורוחב b {\displaystyle b} (במקרה של גל בתעלה), מקיים: H b h 4 = constant , {\displaystyle H\,{\sqrt {b}}\,{\sqrt[{4}]{h}}={\text{constant}},} . באופן שקול, בהינתן שני חתכים של תעלה, שנסמנם 1 ו-2, גובה הגל בחתך 2 הוא: H 2 = b 1 b 2 h 1 h 2 4 H 1 , {\displaystyle H_{2}={\sqrt {\frac {b_{1}}{b_{2}}}}\;{\sqrt[{4}]{\frac {h_{1}}{h_{2}}}}\;H_{1},} למשל, כאשר העומק קטן בפקטור שש עשרה, הגלים נעשים גבוהים פי 2. וגובה הגלים מוכפל כאשר רוחב התעלה קטן בהדרגה לרוחב קטן פי ארבעה. כאשר כיוון התקדמות הגלים ניצב לחוף ישר, ותוואי הקרקעית הוא כזה שקווי העומק מקבילים לחוף, ניתן להתייחס ל- b {\displaystyle b} כאל קבוע. בעבור גלים ארוכים שחווים שבירה (שינוי כיוון התקדמות הגל עקב שינוי עומק המים), ניתן לפרש את הרוחב b {\displaystyle b} כמרחק בין הקרניים המייצגות את חזיתות הגלים. התעקמות הקרניים (והשינויים במרווחים ביניהן) נגזרת מקירוב האופטיקה הגאומטרית להתקדמות של גלים ליניאריים. במקרה של קווי עומק מקבילים לחוף בעיית החיזוי של כיוון התקדמות הגלים נעשית פשוטה בהרבה וניתנת לפתרון מלא בעזרת חוק סנל. אפקטים של שבירת גלים עקב תוואי הקרקעית יכולים להשפיע מאוד על התנהגות הגלים, והם בעלי חשיבות מכרעת לעוסקים בסוגים שונים של ספורט ימי. למשל, לעיתים בחוף אחורי של אי נוצר אפקט צליפה שמגביר משמעותית את גובה וחוזק הגלים, בדומה מאוד לאפקט האופטי של עדשה מרכזת על קרני אור מקבילות. המשוואה המתארת את האפקטים המשולבים של עקיפה ושבירה עקב תוואי הקרקעית נקראת משוואת Mild-slope (אנ'), והיא שימושית מאוד בהנדסת חופים לצורך חיזוי של שדה הגלים באזורי החוף, כגון בסמוך לנמלים או למכשולים מלאכותיים כמו שוברי גלים. במקרה של תעלה ברוחב קבוע, חוק גרין קובע שגובה הגל עומד ביחס ישר להופכי של השורש הרביעי של עומק המים. היוריסטיקה לקבלת חוק גרין מתבססת על הקביעות של שטף האנרגיה האופקי של גלים ארוכים (מכפלת צפיפות האנרגיה במהירות החבורה ברוחב התעלה): b c g 1 8 ρ g H 2 = b g h 1 8 ρ g H 2 = constant , {\displaystyle b\,c_{g}\,{\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}=b\,{\sqrt {gh}}\,{\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\text{constant}},} כאן c g = g h {\displaystyle c_{g}={\sqrt {gh}}} היא מהירות החבורה (ששווה למהירות המופע במים רדודים) ו- 1 8 ρ g H 2 = 1 2 ρ g a 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{8}}\rho gH^{2}={\tfrac {1}{2}}\rho ga^{2}} היא צפיפות האנרגיה הממוצעת של הגל. תאוריית הגלים של איירי