למת פודור

בתורת הקבוצות, למת פודור היא טענה האומרת כי לכל מונה סדיר שאינו בן-מנייה, קבוצת שבת S ופונקציה דוחסת על S, קיימת תת-קבוצה של S כך שהפונקציה מצומצמת לתת-הקבוצה היא קבועה. הלמה הוכחה בצורתה המודרנית על ידי ג'זה פודור בשנת 1956. גרסה חלשה יותר של הלמה הוכחה בשנת 1929 על ידי אוריסון ואלכסנדרוב. יהא κ {\displaystyle \kappa } מונה סדיר שאינו בן-מנייה, תהא S {\displaystyle S} קבוצת שבת ותהא f : S → κ {\displaystyle f:S\rightarrow \kappa } פונקציה דוחסת, כלומר פונקציה שמקיימת f ( α ) < α {\displaystyle f(\alpha )<\alpha } לכל איבר בתחום הגדרתה. אז קיימים μ < κ {\displaystyle \mu <\kappa } ו- S 0 ⊆ S {\displaystyle S_{0}\subseteq S} כך ש: S 0 {\displaystyle S_{0}} היא קבוצת שבת. לכל α ∈ S 0 {\displaystyle \alpha \in S_{0}} מתקיים f ( α ) = μ {\displaystyle f(\alpha )=\mu } נניח כי κ {\displaystyle \kappa } סדיר, S ⊆ κ {\displaystyle S\subseteq \kappa } וקיימת פונקציה דוחסת f : S → κ {\displaystyle f:S\rightarrow \kappa } , כך שלכל α ∈ S {\displaystyle \alpha \in S} האוסף f − 1 ( α ) {\displaystyle f^{-1}(\alpha )} אינו קבוצת שבת. נראה כי S אינה קבוצת שבת. נבחר לכל α {\displaystyle \alpha } קבוצה סגורה ולא חסומה C α {\displaystyle C_{\alpha }} זרה ל- f − 1 ( α ) {\displaystyle f^{-1}(\alpha )} . נסתכל על הקבוצה הבאה: D = { α < κ | ∀ β < α , α ∈ D β } {\displaystyle D=\{\alpha <\kappa |\forall \beta <\alpha ,\,\alpha \in D_{\beta }\}} קבוצה זו מכונה החיתוך האלכסוני של האוסף { C α } α < κ {\displaystyle \{C_{\alpha }\}_{\alpha <\kappa }} . ניתן לוודא כי D סגורה ולא חסומה. D זרה ל-S, כי עבור איבר α {\displaystyle \alpha } בחיתוך היה מתקבל כי: α ∈ ⋂ β < α C β {\displaystyle \alpha \in \bigcap _{\beta <\alpha }C_{\beta }} ולכן ∀ β < α , f ( α ) ≠ β {\displaystyle \forall \beta <\alpha ,\,f(\alpha )\neq \beta } בסתירה לכך ש-f דוחסת. במהלך ההוכחה השתמשנו רק בעובדה שמסנן הקבוצות הסגורות ולא חסומות סגור תחת חיתוך אלכסוני (מסנן כזה נקרא נורמלי). לכן, ניתן להכליל את הטענה לכל מסנן נורמלי. תוצאה זו שימושית במיוחד כאשר יש ברשותנו על-מסנן נורמלי (למשל במונה מדיד). במקרה הזה באמצעות הלמה של פודור ניתן יהיה להסיק כי כל פונקציה דוחסת היא למעשה קבועה על פני קבוצה ממידה 1, כלומר קבוצה מעל המסנן. תומאס יך הכליל את מושג הקבוצה הסגורה ולא חסומה, ובהתאם את מושג קבוצת השבת, לתת קבוצות של P κ λ {\displaystyle P_{\kappa }\lambda } (אוסף תתי הקבוצות של λ {\displaystyle \lambda } מעוצמה קטנה מ- κ {\displaystyle \kappa } ). במקרה הזה, פונקציה דוחסת מוגדרת להיות פונקציה שהטווח שלה הוא λ {\displaystyle \lambda } והיא מקיימת f ( x ) ∈ x {\displaystyle f(x)\in x} לכל x בתחום של פונקציה#תחום ההגדרה שלה. מתקבל כי אם פונקציה דוחסת f, מוגדרת על קבוצת שבת S, אז קיימת תת-קבוצה של S שהיא שבת ועליה f קבועה. ללמת פודור יש שימושים רבים בתורת הקבוצות ובתחומים הקרובים לה (כמו טופולוגיה קבוצתית). נדגים שימוש אופייני - נוכיח שניתן לפצל את ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} (המונה הראשון שאינו בן מנייה) ל- ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} קבוצות שבת זרות. זהו מקרה פרטי של משפט סולוביי. נבחר לכל סודר גבולי α < ω 1 {\displaystyle \alpha <\omega _{1}} סדרה מונוטונית עולה f n ( α ) {\displaystyle f_{n}(\alpha )} ששואפת ל- α {\displaystyle \alpha } . קודם כל, קיים n בו לכל η {\displaystyle \eta } האוסף S η = { α | f n ( α ) > η } {\displaystyle S_{\eta }=\{\alpha |f_{n}(\alpha )>\eta \}} הוא שבת. נגדיר η 0 = 0 {\displaystyle \eta _{0}=0} . הפונקציה f n {\displaystyle f_{n}} דוחסת, ולכן לפי למת פודור קיימת קבוצת שבת T 0 ⊂ S η 0 {\displaystyle T_{0}\subset S_{\eta _{0}}} כך שלכל β ∈ T 0 {\displaystyle \beta \in T_{0}} , מתקיים f n ( β ) = η 1 {\displaystyle f_{n}(\beta )=\eta _{1}} . באותו אופן, קיימת T 1 ⊂ S η 1 {\displaystyle T_{1}\subset S_{\eta _{1}}} שבת עם ערך קבוע של f n {\displaystyle f_{n}} שבהכרח יהיה גדול יותר מ- η 0 {\displaystyle \eta _{0}} . נמשיך כך באינדוקציה טרנספיניטית לאורך ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} צעדים (כאשר בכל שלב אנחנו דואגים לכך ש- η β ≥ sup α < β η α {\displaystyle \textstyle \eta _{\beta }\geq \sup _{\alpha <\beta }\eta _{\alpha }} ) ונקבל את התוצאה הרצויה - { T β | β < ω 1 } {\displaystyle \{T_{\beta }|\beta <\omega _{1}\}} היא משפחה של ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} קבוצות שבת זרות.