זרימת ריילי

זרימת ריילי מתייחסת לזרימה לא אדיאבטית בתוך צינור בעל שטח חתך קבוע כאשר מתחשבים בהוספה וסילוק חום. במקרים רבים קיימת התחשבות בדחיסות הזורם, אם כי מודל זרימת ריילי חל גם עבור זורם בלתי דחיס. עבור מודל זה שטח החתך נשאר קבוע ללא הוספת מסה בתוך הצינור. בשל הוספת החום וכתוצאה משימור אנרגיה, בניגוד לזרימת פאנו, טמפרטורת הסטגנציה משתנה. הוספת החום גורמת למפל בלחץ הסטגנציה, הידוע כאפקט ריילי וקריטי לתכנון מערכות בעירה. הוספת חום גורמת למספר מאך עבור זרימה תת-קולית וגם עבור זרימה על-קולית להתקרב למהירות קולית M=1, ולגרום לזרימה חנוקה. לעומת זאת, סילוק חום גורמת למספר מאך התת-קולי לרדת ולמספר מאך העל-קולי לעלות לאורך הצינור. ניתן לראות כי עבור זורמים אידיאלים האנטרופיה המקסימלית נוצרת ב M=1. זרימת ריילי נקראת על שמו של ג'ון ויליאם סטראט ריילי. מודל זרימת ריילי מתחיל עם משוואה דיפרנציאלית המתייחסת לשינוי במספר מאך עם השינוי בטמפרטורת סטגנציה, T0. המשוואת הדיפרנציאלי מוצגת למטה.   d M 2 M 2 = 1 + γ M 2 1 − M 2 ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) d T 0 T 0 {\displaystyle \ {\frac {dM^{2}}{M^{2}}}={\frac {1+\gamma M^{2}}{1-M^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right){\frac {dT_{0}}{T_{0}}}} פתרון המשוואה הדיפרנציאלית מוביל ליחס המוצג למטה, בו T0* היא טמפרטורת הסטגנציה במיקום צוואר של הצינור אשר דרוש לחנק של הזורם.   T 0 T 0 ∗ = 2 ( γ + 1 ) M 2 ( 1 + γ M 2 ) 2 ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) {\displaystyle \ {\frac {T_{0}}{T_{0}^{*}}}={\frac {2\left(\gamma +1\right)M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)} ערכים אלה הם משמעותיים בעיצוב של מערכות בעירה. לדוגמה, אם בתא בעירה סילוני יש טמפרטורה מרבית של T0* = 2000 K, אזי T0 ומספר מאך בכניסה לתא הבעירה חייבים להיבחר אחרת לא תהיה חניקה של הזורם, אשר יגביל את שיעור הספיקה המסית של האוויר לתוך המנוע ויפחית את הדחף. למודל זרימת ריילי, שינוי הממדים ביחס אנטרופיה מוצג למטה.   Δ S = Δ s c p = l n [ M 2 ( γ + 1 1 + γ M 2 ) γ + 1 γ ] {\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=ln\left[M^{2}\left({\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]} מהמשוואה הקודמת ניתן להציג קו ריילי של השתנות האנטרופיה האל-ממדית כפונקציה של מספר מאך, אולם היחס בין האנתלפיה האל-ממדית לאנטרופיה נמצא בשימוש רב יותר. האנתלפיה האל-ממדית כפונקציה של מספר מאך מוצגת למטה, כאשר היא מבטאת את היחס בין האנתלפיה במקום מסוים לאנתלפית חניקה. עבור גז אידיאלי יחס זה שווה ליחס הטמפרטורות התואמות כאשר cp הוא קיבול חום בלחץ קבוע. H = h h ∗ = c p T c p T ∗ = T T ∗ T T ∗ = [ ( γ + 1 ) M 1 + γ M 2 ] 2 {\displaystyle {\begin{aligned}H&={\frac {h}{h^{*}}}={\frac {c_{p}T}{c_{p}T^{*}}}={\frac {T}{T^{*}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&=\left[{\frac {\left(\gamma +1\right)M}{1+\gamma M^{2}}}\right]^{2}\end{aligned}}} מהמשוואות הנ"ל ניתן לבנות גרף (איור 1) של אנתלפיה אל-ממדית H ואנטרופיה אל-ממדית ΔS כאשר מספר מאך M הוא משתנה חופשי. איור 1 מראה כי חימום יגדיל את מספר מאך התת-קולי במעלה הזרם למהירות קולית M=1 עד לחניקה של הזורם, בניגוד למספר מאך על-קולי אשר בתוספת חום במעלה הזרם יקטן למהירות קולית M=1 עד לחניקה של הזורם. קירור יבצע פעולה הפוכה עבור כל אחד משני המקרים. מודל זרימת ריילי משיג אנטרופיה מקסימלית עבור M=1. בזרימת ריילי שטח החתך והספיקה המסית נשארים קבועים לאורך הזרימה. A = A ∗ = constant m ˙ = m ˙ ∗ = constant {\displaystyle {\begin{aligned}A&=A^{*}={\mbox{constant}}\\{\dot {m}}&={\dot {m}}^{*}={\mbox{constant}}\\\end{aligned}}} פתרון המשוואות הדפרנציאליות מניב יחסים של תכונות נוספות בזרימת ריילי ביחס לנקודת החניקה אשר מסומנת בסימון *, כגון: לחץ, צפיפות, טמפרטורה, מהירות, ולחץ סטגנציה, כפי שמוצג למטה בהתאמה. באיור 2 ניתן לראות את השתנות הערכים במקרים השונים. p p ∗ = γ + 1 1 + γ M 2 ρ ρ ∗ = 1 + γ M 2 ( γ + 1 ) M 2 T T ∗ = ( γ + 1 ) 2 M 2 ( 1 + γ M 2 ) 2 V V ∗ = ( γ + 1 ) M 2 1 + γ M 2 p 0 p 0 ∗ = γ + 1 1 + γ M 2 [ ( 2 γ + 1 ) ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) ] γ γ − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1+\gamma M^{2}}{\left(\gamma +1\right)M^{2}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)^{2}M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\\{\frac {V}{V^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)M^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\end{aligned}}} למודל זרימת ריילי שימושים אנליטיים רבים, בעיקר במנועי סילון, מכיוון שבדרך כלל תא הבעירה בעל שטח חתך קבוע, כמו כן תוספת הדלק זניחה כך שניתן להתייחס לזרימה כבעלת ספיקה קבועה. תכונות אלו הופכות את מודל זרימה ריילי ישים עבור תוספת חום בזרימה דרך תא בעירה. יצירתם גל הלם בתוך תא הבעירה כתוצאה מחניקה של הזורם מאוד לא רצויה מפני שיכולה לגרום לירידה בספיקה המסית ובכך לירידה בדחף. לכן מודל זרימת ריילי קריטי לתכנון התחלתי של הגאומטריה וטמפרטורת הבעירה של המנוע. מודל זרימה ריילי נמצא גם בשימוש נרחב במודל זרימה פאנו. שני מודלים אלה מצטלבים בנקודות על גרף האנתלפיה-אנטרופיה וגרף מספר מאך-אנטרופיה דבר המשמעותי למגוון שימושים. עם זאת, ערכי האנטרופיה עבור כל מודל אינם שווים במצב הקולי M=1. הנגזרת של האנטרופיה מתאפסת ב M=1 בשני המודלים, אך מההצהרה הקודמת ניתן להבין כי השינוי באנטרופיה מאותה נקודה שרירותית עד לנקודה הקולית M=1 שונה עבור המודלים של פאנו וריילי. אם נתונים ערכים התחלתיים של אנטרופיה Si ומספר מאך Mi, משוואה חדשה של אנטרופיה אל-ממדית כפונקציה של מספר מאך מתקבלת עבור כל מודל. משוואה זו מוצגת למטה עבור מודל זרימה פאנו וריילי, בהתאמה. Δ S F = s − s i c p = l n [ ( M M i ) γ − 1 γ ( 1 + γ − 1 2 M i 2 1 + γ − 1 2 M 2 ) γ + 1 2 γ ] Δ S R = s − s i c p = l n [ ( M M i ) 2 ( 1 + γ M i 2 1 + γ M 2 ) γ + 1 γ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]\end{aligned}}} איור 3 מציג את הצטלבות קווי ריילי ופאנו עבור תנאי התחלה Si=0 Mi=3 נקודת ההצטלבות מחושבת באמצעות השוואת משוואות האנטרופיה האל ממדית החדשות האחת עם השנייה, מתקבלת המשוואה הבאה.   ( 1 + γ − 1 2 M i 2 ) [ M i 2 ( 1 + γ M i 2 ) 2 ] = ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) [ M 2 ( 1 + γ M 2 ) 2 ] {\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]} בצורה מעניינת, ההצטלבות נוצרת במספר מאך הראשוני ובמספר מאך לאחר גל הלם מאונך. עבור איור 3, הערכים הם M=3 ו- M=0.4752 ערכים אלו ניתן למצוא בטבלאות עבור גל הלם ניצב בספרים רבים העוסקים בזרימה דחיסה. זורם נתון בשטח חתך קבוע יכול להחליף בין שני המודלים, פאנו וריילי, עבור אותן נקודות. מדיה וקבצים בנושא זרימת ריילי בוויקישיתוף מכניקת הזורמים זרימה דחיסה תהליך תרמודינמי אנטרופיה מספר מאך Zucker, Robert D.; Biblarz O. (2002). Fundamentals of Gas Dynamics. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-05967-6. Shapiro, Ascher H. (1953). The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flow, Volume 1. Ronald Press. ISBN 978-0-471-06691-0. Hodge, B. K.; Koenig K. (1995). Compressible Fluid Dynamics with Personal Computer Applications. Prentice Hall. ISBN 0-13-308552-X. Emanuel, G. (1986). Gasdynamics: Theory and Applications. AIAA. ISBN 0-930403-12-6.