משפט קריין-סמוליאן

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מארק קריין וויטולד סמוליאן. תהי A ⊂ X ∗ {\displaystyle A\subset X^{*}} קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר A r = A ∩ B r ∗ {\displaystyle A_{r}=A\cap B_{r}^{*}} כאשר B r ∗ {\displaystyle B_{r}^{*}} הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים: 1) A סגורה w*. 2) A r {\displaystyle A_{r}} סגורה w* לכל r > 0 {\displaystyle r>0} . 2') קיימת סדרה r n → ∞ {\displaystyle r_{n}\to \infty } כך שלכל n, A r n {\displaystyle A_{r_{n}}} סגורה w*. סימונים: נסמן ב- B r ∗ {\displaystyle B_{r}^{*}} את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב- B r {\displaystyle B_{r}} הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב- K {\displaystyle \mathbb {K} } את שדה הבסיס. ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו B r ∗ {\displaystyle B_{r}^{*}} הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם 0 < s < r {\displaystyle 0<s<r} אז A s = A r ∩ B s ∗ {\displaystyle A_{s}=A_{r}\cap B_{s}^{*}} . מכאן נקבל שקילות בין 2 ל-2'. באותו אופן ברור ש-(1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא ( 2 ) ⇒ ( 1 ) {\displaystyle (2)\Rightarrow (1)} . טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם A + ϕ , λ A ( λ > 0 , ϕ ∈ X ∗ ) {\displaystyle A+\phi ,\lambda A(\lambda >0,\phi \in X^{*})} מקיימות את (2). הוכחה: ניפוח: לכל λ , r > 0 {\displaystyle \lambda ,r>0} מתקיים ש- ( λ A ) r = λ A r / λ {\displaystyle (\lambda A)_{r}=\lambda A_{r/\lambda }} . הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש. הזזה: נקבע r > 0 , ϕ ∈ X ∗ {\displaystyle r>0,\phi \in X^{*}} . תהי { ψ λ } λ ∈ Λ ⊂ ( A + ϕ ) r {\displaystyle \{\psi _{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A+\phi )_{r}} רשת המתכנסת w* לאיבר ψ ∈ X ∗ {\displaystyle \psi \in X^{*}} . נראה ש- ψ ∈ ( A + ϕ ) r {\displaystyle \psi \in (A+\phi )_{r}} . מכיוון ש- B r ∗ {\displaystyle B_{r}^{*}} w* סגורה, מספיק להוכיח ש- ψ ∈ A + ϕ {\displaystyle \psi \in A+\phi } . מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש- | | ψ λ − ϕ | | ≤ | | ϕ | | + | | ψ λ | | ≤ | | ϕ | | + r {\displaystyle ||\psi _{\lambda }-\phi ||\leq ||\phi ||+||\psi _{\lambda }||\leq ||\phi ||+r} לכן { ψ λ − ϕ } λ ∈ Λ ⊂ ( A ) r + | | ϕ | | {\displaystyle \{\psi _{\lambda }-\phi \}_{\lambda \in \Lambda }\subset (A)_{r+||\phi ||}} רשת המתכנסת ל- ψ − ϕ {\displaystyle \psi -\phi } . מההנחה נקבל ש- ψ − ϕ ∈ A ⇒ ψ ∈ A + ϕ {\displaystyle \psi -\phi \in A\Rightarrow \psi \in A+\phi } וסיימנו. טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית. הוכחה: תהי ϕ n → ϕ , ϕ n ∈ A {\displaystyle \phi _{n}\to \phi ,\phi _{n}\in A} . בפרט יש r > 0 {\displaystyle r>0} כך ש- ϕ n ∈ A r {\displaystyle \phi _{n}\in A_{r}} . מההנחה ϕ n → ϕ {\displaystyle \phi _{n}\to \phi } ולכן ϕ n → w ϕ {\displaystyle \phi _{n}{\overset {\mathrm {w} }{\to }}\phi } ומההנחה ϕ ∈ A r ⊂ A {\displaystyle \phi \in A_{r}\subset A} . המשך הוכחת המשפט: יהי ϕ ∈ X ∗ ∖ A {\displaystyle \phi \in X^{*}\setminus A} רוצים למצוא סביבה חלשה V {\displaystyle V} של ϕ {\displaystyle \phi } כך ש- A ∩ V = ∅ {\displaystyle A\cap V=\emptyset } . על ידי טענה 1 ניתן להניח ש- ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} . נשתמש בלמה הבאה: למה: נניח ש- 0 ∉ A {\displaystyle 0\not \in A} אז יש סדרה x n ∈ X {\displaystyle x_{n}\in X} המקיימת: 1) x n → 0 {\displaystyle x_{n}\to 0} 2) לכל ϕ ∈ A {\displaystyle \phi \in A} יש n כך ש- | ϕ ( x n ) | > 1 {\displaystyle |\phi (x_{n})|>1} . הוכחת הלמה: בהינתן קבוצה M ⊂ X {\displaystyle M\subset X} נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת P ( M ) = { ϕ ∈ X ∗ : | ϕ ( x ) | ≤ 1 ∀ x ∈ M } {\displaystyle P(M)=\{\phi \in X^{*}:|\phi (x)|\leq 1\forall x\in M\}} . כיוון ש-A סגורה בנורמה, יש ρ > 0 {\displaystyle \rho >0} כך שלכל x ב-A, | | x | | ≥ ρ {\displaystyle ||x||\geq \rho } . על ידי ניפוח ניתן להניח ש- ρ > 1 {\displaystyle \rho >1} ולכן A 1 = ∅ {\displaystyle A_{1}=\emptyset } . נקבע F 0 = { 0 } {\displaystyle F_{0}=\{0\}} ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות F n ⊂ X {\displaystyle F_{n}\subset X} המקיימות לכל n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} : א. F n ⊂ B 1 / n {\displaystyle F_{n}\subset B_{1/n}} . ב. A n ∩ ( ∩ i = 0 n − 1 P ( F i ) ) = ∅ {\displaystyle A_{n}\cap (\cap _{i=0}^{n-1}P(F_{i}))=\emptyset } . כיוון ש- A 1 = ∅ {\displaystyle A_{1}=\emptyset } , רואים ש- F 0 {\displaystyle F_{0}} מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו { F i } i = 0 N − 1 {\displaystyle \{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}} נמצא את F N {\displaystyle F_{N}} . נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה K = A N + 1 ∩ ( ∩ i = 0 N − 1 P ( F i ) ) ⊂ B N + 1 ∗ {\displaystyle K=A_{N+1}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))\subset B_{N+1}^{*}} היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית G ⊂ B 1 / N {\displaystyle G\subset B_{1/N}} מתקיים K ∩ P ( G ) ≠ ∅ {\displaystyle K\cap P(G)\not =\emptyset } . מקומפקטיות נקבל ש- ∩ G ⊂ B 1 / N , | G | < ∞ ( K ∩ P ( G ) ) ≠ ∅ {\displaystyle \cap _{G\subset B_{1/N},|G|<\infty }(K\cap P(G))\not =\emptyset } . יהי ϕ {\displaystyle \phi } בחיתוך הנ"ל. אז ϕ ∈ K {\displaystyle \phi \in K} . כמו כן לכל x ∈ X , | | x | | < 1 / N {\displaystyle x\in X,||x||<1/N} מתקיים ש- | ϕ ( x ) | ≤ 1 {\displaystyle |\phi (x)|\leq 1} . מכך נקבל ש- | | ϕ | | ≤ N {\displaystyle ||\phi ||\leq N} ואז ϕ ∈ K ∩ B N ∗ = A N ∩ ( ∩ i = 0 N − 1 P ( F i ) ) {\displaystyle \phi \in K\cap B_{N}^{*}=A_{N}\cap (\cap _{i=0}^{N-1}P(F_{i}))} בסתירה להנחה שבחרנו על { F i } i = 0 N − 1 {\displaystyle \{F_{i}\}_{i=0}^{N-1}} . לכן אפשר להמשיך את הבנייה. כיוון ש- { F i } i = 0 ∞ {\displaystyle \{F_{i}\}_{i=0}^{\infty }} סופיות אז ∪ i = 0 ∞ F i {\displaystyle \cup _{i=0}^{\infty }F_{i}} בן מנייה ויהי { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי ϕ ∈ A {\displaystyle \phi \in A} . נקבע N {\displaystyle N} כך | | ϕ | | ≤ N + 1 {\displaystyle ||\phi ||\leq N+1} . מתנאי ב נקבל שיש j ≤ N {\displaystyle j\leq N} כך ש- ϕ ∉ P ( F j ) {\displaystyle \phi \not \in P(F_{j})} ולכן יש x n ∈ F j {\displaystyle x_{n}\in F_{j}} כך ש- | ϕ ( x n ) | > 1 {\displaystyle |\phi (x_{n})|>1} וקיבלנו את (2). הוכחת המשפט: נקבע סדרה x n ∈ X {\displaystyle x_{n}\in X} כמו בלמה. מ-(1) יש r > 0 {\displaystyle r>0} כך שמתקיים | | x n | | ≤ r {\displaystyle ||x_{n}||\leq r} . נתבונן באופרטור T : X ∗ → K N , T ( ϕ ) = { ϕ ( x n ) } n = 1 ∞ {\displaystyle T:X^{*}\to \mathbb {K} ^{\mathbb {N} },T(\phi )=\{\phi (x_{n})\}_{n=1}^{\infty }} . ברור ש-T ליניארי ומ-(1) נקבל כי R a n g e ( T ) ⊂ c 0 {\displaystyle Range(T)\subset c_{0}} . כמו כן ברור ש-T רציף כיוון ש- | | T ( ϕ ) n | | = | | ϕ ( x n ) | | ≤ | | ϕ | | | | x n | | ≤ | | ϕ | | r {\displaystyle ||T(\phi )_{n}||=||\phi (x_{n})||\leq ||\phi ||||x_{n}||\leq ||\phi ||r} . מקמירות A נקבל ש- T ( A ) {\displaystyle T(A)} קמורה. תהי B = { b ∈ c 0 : | | b | | ∞ < 1 } {\displaystyle B=\{b\in c_{0}:||b||_{\infty }<1\}} . אז B סגורה ומ-(2) נקבל ש- T ( A ) ∩ B = ∅ {\displaystyle T(A)\cap B=\emptyset } . ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל η ∈ ( c 0 ) ∗ {\displaystyle \eta \in (c_{0})^{*}} וכן α ∈ R {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } כך ש- ℜ ( η ( a ) ) ≥ α > ℜ ( η ( b ) ) , ∀ a ∈ T ( A ) , b ∈ B {\displaystyle \Re (\eta (a))\geq \alpha >\Re (\eta (b)),\forall a\in T(A),b\in B} . אם נציב b=0 נקבל ש- α > 0 {\displaystyle \alpha >0} . כיוון ש- ( c 0 ) ∗ ≅ l 1 {\displaystyle (c_{0})^{*}\cong l_{1}} נקבל שיש סדרה t = ( t n ) ∈ l 1 {\displaystyle t=(t_{n})\in l_{1}} כך ש- η ( y ) = ∑ i = 1 ∞ t i y i {\displaystyle \eta (y)=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}y_{i}} . מתקיים | | t n x n | | = | t n | | | x n | | ≤ | t n | r ⇒ ∑ i = 1 ∞ | | t n x n | | ≤ r ∑ i = 1 ∞ | t n | < ∞ {\displaystyle ||t_{n}x_{n}||=|t_{n}|||x_{n}||\leq |t_{n}|r\Rightarrow \sum _{i=1}^{\infty }||t_{n}x_{n}||\leq r\sum _{i=1}^{\infty }|t_{n}|<\infty } וכיוון ש-X מרחב בנך מקבלים שיש x = ∑ i = 1 ∞ t n x n {\displaystyle x=\sum _{i=1}^{\infty }t_{n}x_{n}} . לכל ϕ ∈ X ∗ {\displaystyle \phi \in X^{*}} מתקיים: η ( T ( ϕ ) ) = ∑ i = 1 ∞ t i T ( ϕ ) n = ∑ i = 1 ∞ t i ϕ ( x n ) = ϕ ( x ) {\displaystyle \eta (T(\phi ))=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}T(\phi )_{n}=\sum _{i=1}^{\infty }t_{i}\phi (x_{n})=\phi (x)} . לכן נקבל עבור ϕ ∈ A {\displaystyle \phi \in A} ש ℜ ( ϕ ( x ) ) ≥ α {\displaystyle \Re (\phi (x))\geq \alpha } . לכן אם נבחר את הסביבה V = { ϕ ∈ X ∗ | ℜ ( ϕ ) < α } {\displaystyle V=\{\phi \in X^{*}|\Re (\phi )<\alpha \}} אז היא תהייה הסביבה המבוקשת. מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*. מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*. משפט בנך אלאוגלו טופולוגיה חלשה בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962. Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5. Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience. Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091. הוכחת המשפט הרחבות של המשפט