אינטגרל לא אמיתי

בחשבון אינפיניטסימלי, אינטגרל לא אמיתי או אינטגרל מוכלל מהווה הכללה מתמטית של האינטגרל המסוים לקטעים לא סופיים ולפונקציות בלתי-חסומות בקטעים פתוחים או חצי פתוחים. באופן אינטואיטיבי, ברור ששטח של פונקציה לא חסומה או של פונקציה בקטע אינסופי, הוא שטח שמכסה קבוצה לא חסומה ולכן ברור שלא מדובר בשטח המוכר לנו מחיי היומיום, אלא בגבול שמוגדר להיות השטח. אם הגבול הנ"ל קיים, האינטגרל מתכנס. אחרת, האינטגרל מתבדר. כל ההגדרות שנביא כאן עבור אינטגרלים לא אמיתיים בקטעים חצי פתוחים מימין, אנלוגיים להגדרות עבור קטעים חצי פתוחים משמאל. תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ובלתי חסומה שם. אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ואם קיים הגבול lim t → b − ∫ a t f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{t\to b^{-}}\int _{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,} , אז נאמר כי f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של f {\displaystyle f\,} בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} וסימונו יהיה ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\,} . כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר. דוגמה: חישוב האינטגרל הרחק מאפס מראה כי ∫ 0 1 d x x t {\displaystyle \int _{0}^{1}{{\,\mathrm {d} x} \over {x^{t}}}} מתכנס אם ורק אם t < 1 {\displaystyle t<1\,} . תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ובלתי חסומה שם. אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית לפי רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ואם האינטגרל ∫ a b | f ( x ) | d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x} מתכנס, אז נאמר ש- f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס בהחלט. קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית. (במובן המוכלל). תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\,} . אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\,} ואם קיים b > d > a {\displaystyle b>d>a\,} כך שהאינטגרלים ∫ a d f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{d}f(x)\,\mathrm {d} x} , ∫ d b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{d}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנסים, נאמר ש- f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית במובן המוכלל בקטע ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\,} . באופן כללי מגדירים אינטגרביליות במובן המוכלל בקטע אם ורק אם ניתן לחלקו לקטעים חצי פתוחים בהם הפונקציה אינטגרבילית במובן המוכלל לפי ההגדרה הראשונה. תכונת האדיטיביות של האינטגרל המסוים מאפשרת לבחון התכנסות אינטגרל על ידי מבחן קושי לקיום גבול של פונקציה: תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} . אז ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אם ורק אם לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0\,} כך שלכל w > v {\displaystyle w>v\,} ממשיים בקטע ( b − δ , b ) {\displaystyle (b-\delta ,b)\,} מתקיים: | ∫ v w f ( x ) d x | < ε {\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon } מתכונת המונוטוניות של האינטגרל וממבחן קושי נובע המבחן הבא: תהיינה f , g {\displaystyle f,g\,} פונקציות המוגדרת בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ובלתי חסומות שם. אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ואם קיימת סביבה שמאלית של b {\displaystyle b\,} שבה מתקיים 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)} אז: אם ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. אם ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר אז גם ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר. קיימות הכללות למשפט זה עבור ( a , b ] {\displaystyle (a,b]\,} , [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )\,} ועבור ( − ∞ , b ] {\displaystyle (-\infty ,b]\,} . תהיינה f , g {\displaystyle f,g\,} פונקציות חיוביות המוגדרת בקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ובלתי חסומות שם. אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , b ) {\displaystyle [a,b)\,} ואם קיים הגבול lim x → b − f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to b^{-}}\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}} והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} ו- ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדרים ומתכנסים יחדיו. במידה והגבול שווה ל-0 אז: אם ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. ואם הגבול הוא אינסוף אז: אם ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} , ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע הנ"ל. אז אם קיים הגבול lim t → ∞ ∫ a t f ( x ) d x {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{a}^{t}f(x)\,\mathrm {d} x\,} , אז נאמר כי f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} והגבול הנ"ל יקרא האינטגרל המוכלל או האינטגרל הלא אמיתי של f {\displaystyle f\,} בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} וסימונו יהיה ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x\,} . כמו כן, נאמר גם כי אינטגרל זה מתכנס. אחרת, אם גבול זה לא קיים, נאמר שהוא מתבדר. דוגמה: האינטגרל ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}} מתכנס, שכן lim t → ∞ ∫ 0 t d x 1 + x 2 = lim t → ∞ arctan ⁡ t = π 2 , {\displaystyle \lim _{t\to \infty }\int _{0}^{t}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=\lim _{t\to \infty }\arctan {t}={\frac {\pi }{2}},} . תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע לעיל, ואם האינטגרל ∫ a ∞ | f ( x ) | d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x} מתכנס, אז נאמר ש- f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית בהחלט בקטע. כמו כן נאמר שהאינטגרל ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס בהחלט. גם פה קל להוכיח בעזרת מבחן קושי כי אם פונקציה אינטגרבילית בהחלט אז היא גם אינטגרבילית (במובן המוכלל). תהי f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור. אם קיים a {\displaystyle a} ממשי כך שהאינטגרלים ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} , ∫ − ∞ a f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנסים, נאמר ש- f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } . תהא f {\displaystyle f\,} פונקציה המוגדרת בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )\,} בלתי חסומה שם ואינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )\,} . אז ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אם ורק אם לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים   M > a {\displaystyle \ M>a\,} כך שלכל w > v > M {\displaystyle w>v>M\,} ממשיים מתקיים: | ∫ v w f ( x ) d x | < ε {\displaystyle \left|\int _{v}^{w}f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon } תהיינה f , g {\displaystyle f,g\,} פונקציות המוגדרת בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )\,} . אם f {\displaystyle f\,} אינטגרבילית רימן בכל קטע סגור החלקי לקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )\,} ואם קיים b ∈ [ a , ∞ ) {\displaystyle b\in [a,\infty )} כל שלכל x > b {\displaystyle x>b} מתקיים 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) {\displaystyle 0\leq f(x)\leq g(x)} אז: אם ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. אם ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר אז גם ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר. תהיינה f , g {\displaystyle f,g\,} פונקציות רציפות ואי-שליליות בקטע [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )\,} . אם קיים הגבול lim x → ∞ f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to \infty }\textstyle {{f(x)} \over {g(x)}}} והוא שונה מאפס, אז האינטגרלים ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} ו- ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדרים ומתכנסים יחדיו. במידה והגבול שווה ל-0 אז: אם ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס אז גם ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. ואם הגבול הוא אינסוף אז: אם ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר אז גם ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x} מתבדר. מבחן דיריכלה מאפשר לבדוק התכנסות של פונקציות גם כאשר הן משנות סימן, ובזה כוחו. תהיינה f , g {\displaystyle f,g\,} פונקציות בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . אם מתקיים: f {\displaystyle f\,} מונוטונית בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . lim x → ∞ f ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0} . g {\displaystyle g\,} אינטגרבילית בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . הפונקציה G ( x ) = ∫ a x g ( t ) d t {\displaystyle \textstyle G(x)=\int _{a}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t} חסומה בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . בתנאים אלו האינטגרל ∫ a ∞ f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. מבחן אבל הוא מסקנה מיידית ממבחן דיריכלה. תהיינה f , g {\displaystyle f,g\,} פונקציות בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . אם מתקיים: f {\displaystyle f\,} מונוטונית בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} . lim x → ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L} כאשר L {\displaystyle L} קיים וסופי. g {\displaystyle g\,} אינטגרבילית בקטע [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} ו- ∫ a ∞ g ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(t)\,\mathrm {d} t} מתכנס. בתנאים אלו האינטגרל ∫ a ∞ f ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס. על פי הנתונים נקבל כי: ∫ a ∞ f ( x ) g ( x ) d x = ∫ a ∞ g ( x ) ( f ( x ) − L + L ) d x = ∫ a ∞ g ( x ) ( f ( x ) − L ) d x + L ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)g(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L+L)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x+L\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} כעת כפי שניתן לראות, ∫ a ∞ g ( x ) ( f ( x ) − L ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }g(x)(f(x)-L)\,\mathrm {d} x} מתכנס על פי מבחן דיריכלה ו- L ∫ a ∞ g ( x ) d x {\displaystyle L\int _{a}^{\infty }g(x)\,\mathrm {d} x} מתכנס על פי הגדרה. מדיה וקבצים בנושא אינטגרל לא אמיתי בוויקישיתוף אינטגרל לא אמיתי, באתר MathWorld (באנגלית)