מבחן קוקראן-ארמיטאז'

מבחן קוקראן-ארמיטאז' הוא וריאציה של מבחן חי-בריבוע המתאימה להערכת מגמת הקשר (trend) בין שני משתנים איכותיים, שאחד מהם נמדד בסולם מדידה סודר, והשני מקבל שני ערכים בלבד. בניגוד למבחן חי בריבוע, מבחן זה לוקח בחשבון את העובדה שקיים סדר בין ערכי המשתנה הסודר. מבחן זה הוא מקרה פרטי של מבחן M בריבוע. כשמשתנה נמדד בסולם סודר וערכיו מקודדים במספרים, אין משמעות לערכים המספריים האלה. לדוגמה, משתנה המתאר את המצב הסוציואקונומי של משפחה יכול לקבל את הערכים המילוליים "נמוך", "בינוני" או "גבוה", וניתן לקודד את הערכים המילוליים על ידי הערכים 1, 2, 3 או 4, 18, 21. על פי הגדרת סולם הסדר, כל שלושת הקידודים האלה שקולים. עם זאת, ייתכן וניתן לקודד מחדש את הערכים של משתנה הסדר בערכים כמותיים. לדוגמה, המשתנה עשירוני שכר מקבל את הערכים 1 עד 10, וזהו משתנה סדר. אבל אפשר להחליף כל דרגה בסולם זה בשכר החציוני של העשירון, ובכך "לשדרג" אותו למשתנה כמותי. שדרוג זה יאפשר הפעלת שיטות סטטיסטיות המתאימות למשתנים כמותיים. יהיו X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} שני משתנים מקריים איכותיים כאשר המשתנה X {\displaystyle X} מקבל שני ערכים בלבד והמשתנה Y {\displaystyle Y} נמדד בסולם סדר. נניח ללא הגבלת הכלליות כי המשתנה X {\displaystyle X} מקבל את הערכים 1 {\displaystyle 1} ו- 2 {\displaystyle 2} , וכי המשתנה Y {\displaystyle Y} מקבל את הערכים 1 ,   2 , . . . ,   J {\displaystyle 1,\ 2,...,\ J} כאשר 1   <   2 < . . . <   J {\displaystyle 1\ <\ 2<...<\ J} . נתבונן במדגם בגודל n {\displaystyle n} מתוך אוכלוסייה כלשהי, ונסמן ב- n i j {\displaystyle n_{ij}} את מספר הפרטים במדגם עבורם X = i {\displaystyle X=i} ו- Y = j {\displaystyle Y=j} . נאמר כי n i j {\displaystyle n_{ij}} היא השכיחות של התצפיות במדגם עבורן X = i {\displaystyle X=i} ו- Y = j {\displaystyle Y=j} . בטבלה זו יש 2 {\displaystyle 2} שורות ו- J {\displaystyle J} עמודות, כאשר בהצטלבות השורה ה- i {\displaystyle i} והעמודה ה- j {\displaystyle j} נמצא המספר n i j {\displaystyle n_{ij}} נקראת לוח השכיחות של המשתנים X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} . לוח השכיחות הוא למעשה הנתונים שיש לנתח. כן נסמן ב- n i . {\displaystyle n_{i.}} את מספר הפרטים במדגם עבורם X = i {\displaystyle X=i} , וב- n . j {\displaystyle n_{.j}} נסמן את מספר הפרטים במדגם עבורם Y = j {\displaystyle Y=j} . מבחן קוקראן-ארמיטאז', T {\displaystyle T} , מוגדר על ידי: T = ∑ j = 1 J w j ( n 1 j ⋅ n 2. − n 2 j ⋅ n 1. ) {\displaystyle T=\sum _{j=1}^{J}w_{j}(n_{1j}\cdot n_{2.}-n_{2j}\cdot n_{1.})} כאשר w j {\displaystyle w_{j}} הם ציונים מספריים עבור ערכי המשתנה Y {\displaystyle Y} , המקיימים w 1 ≤ w 2 ≤ . . . ≤ w J {\displaystyle w_{1}\leq w_{2}\leq ...\leq w_{J}} . ציונים אלה העשויים להיקבע על ידי המשתמש על סמך ידע קודם אודות המשתנה Y {\displaystyle Y} , או על סמך השערה ספציפית על הקשר בין המשתנים. לדוגמה, אם Y {\displaystyle Y} מקבל את הערכים 1 , 2 , 3 {\displaystyle 1,2,3} , ואנו מצפים כי השכיחויות של הערכים 1 {\displaystyle 1} ו- 2 {\displaystyle 2} יהיו דומות (עבור כל אחד משני הערכים של X {\displaystyle X} , אך השכיחויות של הערך 3 {\displaystyle 3} יהיו שונות, משקלות מתאימים יכולים להיות w 1 = 1 ,   w 2 = 1 ,   w 3 = 0 {\displaystyle w_{1}=1,\ w_{2}=1,\ w_{3}=0} . אם לעומת זאת אנו מצפים כי השכיחויות של Y {\displaystyle Y} עבור X = 1 {\displaystyle X=1} יעלו כאשר j {\displaystyle j} גדל, משקלות מתאימים יכולים להיות w 1 = 1 ,   w 2 = 2 ,   w 3 = 3 {\displaystyle w_{1}=1,\ w_{2}=2,\ w_{3}=3} . לסקירה נרחבת על אופן בחירת הציונים עיינו בספרו של אלן אגרסטי. השערת האפס של המבחן היא ההשערה כי לא קיימת מגמה כלשהי בשכיחויות של ערכי המשתנה Y {\displaystyle Y} . ניתן לבטא השערה זו באופן הבא: H 0 :     P ( X = 1 | Y = 1 ) = p ( X = 1 | Y = 2 ) = . . . = P ( X = 1 | Y = J ) {\displaystyle H_{0}:\ \ P(X=1|Y=1)=p(X=1|Y=2)=...=P(X=1|Y=J)} תחת השערת האפס ניתן להראות כי E ( T ) = 0 {\displaystyle E(T)=0} וכי השונות של T {\displaystyle T} שווה ל-: V a r ( T ) = n 1. n 2. n [ ∑ j = 1 J w j 2 n . j ( n − n . j ) − 2 ∑ j = 1 J − 1 ∑ k = j + 1 J w j w k n . j n . k ] {\displaystyle Var(T)={\frac {n_{1.}n_{2.}}{n}}[\sum _{j=1}^{J}w_{j}^{2}n_{.j}(n-n_{.j})-2\sum _{j=1}^{J-1}\sum _{k=j+1}^{J}w_{j}w_{k}n_{.j}n_{.k}]} כאשר גודל המדגם n {\displaystyle n} מספיק גדול, אזי תחת השערת האפס ל- T {\displaystyle T} יש בקירוב התפלגות נורמלית: T V a r ( T ) ∼   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {T}{Var(T)}}\sim \ N(0,1)} . הדוגמה הבאה מבוססת על הדוגמה שהובאה בספרו של אגרסטי שהוזכר קודם. במחקר תצפיתי פרוספקטיבי, נלקח מדגם של כ-32000 נשים בשלבים המוקדמים של הריון. כל אישה ענתה על שאלון שתיאר את הרגלי שתיית האלכוהול שלה בשלושת החודשים הראשונים של ההריון, ועל סמך שאלונים אלה חושב ממוצע מנות האלכוהול ליום ("drinks") של כל אישה. נתונים אלה קובצו לקטגוריות שיצרו משתנה איכותי בסולם סדר. בסיום ההריון ולאחר הלידה, נרשם האם התינוק שנולד סובל ממום מולד. הנתונים מוצגים בטבלה הבאה: נבחן 3 אפשרויות למתן ציונים למשתנה צריכת האלכוהול היומית: ציון ליניארי: הציונים יהיו המספרים 1 עד 4. זוהי גישה נאיבית, המניחה כי ההבדלים בין כל הערכים של משתנה זה שווים, וכך ה-"שדרוג" הוא למשתנה הנמדד בסולם רווח. אמצע הטווח: לכל ערך לש המשתנה נבחר את הממצע בין הגבול התחתון של הערך והגבול העליון שלו. הציון של "לא שתתה" יהיה לכן 0, הציון של "פחות ממנה אחת" יהיה 0.5, שהוא הממוצע של 0 ו-1. באופן דומה הציון של "בין מנה אחת לשתיים יהיה 1.5. לקטגוריה העליונה "שלוש מנות או יותר" אין גבול עליון, ולכן ניאלץ לקבוע עבורה ציון שרירותי, למשל 5. שימו לב כי כאן המרווחים בין ציוני הערכים אינם שווים דרגה ממוצעת: נדרג את ערכי המשתנה בדומה לדירוג שנעשה במבחן ספירמן, ונקבע את הדרגה הממוצעת כציון לערך האיכותי. לדוגמה, הדרגות של התצפיות בערך "לא שתתה" הן 1 עד 17114, ולכן הדרגה הממוצעת היא הממוצע של 1 ו-17114, כלומר 8557.5. באופן דומה, הדרגות של הערך "פחות ממנה אחת" הן 17115 עד 31616, ולכן הדרגה הממוצעת של ערך זה היא הממוצע של ו-31616, כלומר 24365.5. בתוכנת R ניתן לבצע את מבחן קוקראן-ארמיטאג' בעזרת הפונקציה prop.trend.test מחבילת stat. נגדיר תחילה את טבלת הנתונים: > dugma=matrix(c(17066, 48, 14464, 38, 788, 5, 163, 2), nrow=2) > dugma [,1] [,2] [,3] [,4] [1,] 17066 14464 788 163 [2,] 48 38 5 2 > למעשה, כדי לבצע את המבחן הפונקציה צריכה לקבל את אחת השורות בטבלה: "לא קיים מום בלידה" (absent) או "קיים מום בלידה" (present). כן יש להזין לפונקציה את שורת סך הכל. > absent=dugma[1,] > absent [1] 17066 14464 788 163 > present=dugma[2,] > present [1] 48 38 5 2 > total=apply(dugma,2,sum) > total [1] 17114 14502 793 165 > הפרמטר השלישי שיש להזין לפונקציה הוא ציוני השורות: > # scores > # 1) linear scores > linear_scores=1:4 > linear_scores [1] 1 2 3 4 > # midrange scores > midrange_scores=c(0, 0.5, 1.5, 5) > midrange_scores [1] 0.0 0.5 1.5 5.0 > > # midrank scores > nj=apply(dugma,2,sum) > vstart=c(1, cumsum(nj)[1:3]+1) > vend=cumsum(nj) > midrank_scores=(vstart+vend)/2 > midrank_scores [1] 8557.5 24365.5 32013.0 32492.0 > כעת נוכל לבצע את המבחן. עבור הציונים הליניאריים נבצע אותו פעמיים: פעם אחת עבור השורה/משתנה absent, ופעם עבור השורה. משתנה present: > prop.trend.test(absent, total, linear_scores) Chi-squared Test for Trend in Proportions data: absent out of total , using scores: 1 2 3 4 X-squared = 1.4516, df = 1, p-value = 0.2283 > prop.trend.test(present, total, linear_scores) Chi-squared Test for Trend in Proportions data: present out of total , using scores: 1 2 3 4 X-squared = 1.4516, df = 1, p-value = 0.2283 > כצפוי מתקבלת אותה התוצאה. שימו לב שהפונקציה מסתמכת על התפלגות חי בריבוע לחישוב ערך ה-p. זאת מכיוון שאם ל- T {\displaystyle T} יש בקירוב התפלגות נורמלית סטנדרטית, הרי של- T 2 {\displaystyle T^{2}} יש בקירוב התפלגות חי בריבוע עם דרגת חופש אחת. נבצע את המבחן גם עבור ציוני אמצע הטווח וציוני הדרגה הממוצעת: > prop.trend.test(present, total, midrange_scores) Chi-squared Test for Trend in Proportions data: present out of total , using scores: 0 0.5 1.5 5 X-squared = 5.1389, df = 1, p-value = 0.0234 > prop.trend.test(present, total, midrank_scores) Chi-squared Test for Trend in Proportions data: present out of total , using scores: 8557.5 24365.5 32013 32492 X-squared = 0.35077, df = 1, p-value = 0.5537 > דוגמה זו ממחישה את הרגישות של המבחן לבחירת ציוני הדרגות. הציונים הליניאריים של שתי הקטגוריות העליונות בסולם (בין מנה אחת לשתיים ושלוש או יותר) קרובים יחסית, וגם ציוני הדרגה הממוצעת. הם מבטאים הנחה מוסתרת כי אין הבדל משמעותי בין צריכה של עד 2 מנות וצריכה גבוהה יותר. ייתכן מאוד כי הנחה זו אינה סבירה, כיוון ששלוש מנות או יותר יכולות להיות 3 מנות, 54 מנות, ואף יותר מכך. בהנחה כי בחרנו מראש רמת מובהקות α = 0.05 {\displaystyle \alpha =0.05} (ובהתעלמות מבעיית ההשוואות המרובות), נדחה את ההשערה כי לא קיימת מגמת עליה בשיעור המומים המולדים בתינוקות ביחס לאמצע הטווח של קטגוריות צריכת האלכוהול, אך לא נוכל לדחות את ההשערות האחרות. בשפת R קיימת חבילה (Package) בשם CATT שיש בה את הפקודה (פונקציה) CATT שמבצעת את מבחן מבחן קוקראן-ארמיטאז'. משתנה איכותי סולם מדידה מבחן חי בריבוע מבחן M בריבוע Agresti, Alan (2007). An introduction to categorical data analysis, 2nd Edition. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-22618-5. Agresti, Alan (2002). Categorical data analysis, 2nd Edition. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-36093-7. Cochran-Armitage Trend Test Using SAS - Hui Liu, Merck Research Labs, Merck & Co., Inc, Rahway, NJ. כאן מוגדר המבחן על פי הגדרת מבחן M בריבוע ומובאת דוגמה ליישום המבחן בתכנת SAS. Agresti, Alan, 2.5.1, An Introduction to Categorical Data Analysis, 2nd edition, Hoboken, New Jersey: JohnWiley & Sons, Inc., 2007, עמ' 41, ISBN 978-0-471-22618-5