פונקציה מרוכבת

פונקציה מרוכבת היא פונקציה המקבלת מספר מרוכב ומחזירה מספר מרוכב. לדוגמה, הפולינום z 2 + 5 {\displaystyle z^{2}+5} מגדיר פונקציה מרוכבת, אבל אפשר לראות בו גם פונקציה ממשית. במובן הרחב יותר, המונח "פונקציה מרוכבת" עשוי להתייחס לכל פונקציה המחזירה ערכים מרוכבים, ללא חשיבות לתחום ההגדרה. בשפה מתמטית, פונקציה מרוכבת היא פונקציה משדה המספרים המרוכבים C {\displaystyle \mathbb {C} } , או תחום חלקי לו, אל קבוצת המספרים המרוכבים. בכתיב פונקציות ניתן לכתוב: f : D → C {\displaystyle f:D\to \mathbb {C} } , כאשר D ⊆ C {\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} } . מכיוון שלכל מספר מרוכב יש חלק ממשי וחלק מדומה, אפשר לתאר פונקציה f : C → C {\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } גם בצורה f ( x , y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle \!\,f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)} כאשר u , v : R 2 → R {\displaystyle u,v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } , כאשר x , y {\displaystyle x,y} ממשיים, ו- u , v {\displaystyle u,v} פונקציות ממשיות של שני משתנים. יש מספר פונקציות מרוכבות בסיסיות: אם נסתכל על C {\displaystyle \mathbb {C} } כעל R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} נקבל את הפונקציות הבסיסיות Re ⁡ ( x + i y ) = x , Im ⁡ ( x + i y ) = y {\displaystyle \operatorname {Re} (x+iy)=x,\operatorname {Im} (x+iy)=y} שהן בעצם ההטלות על הצירים. על ידי שימוש בתכונות השדה של C {\displaystyle \mathbb {C} } נוכל להגדיר פולינומים עם מקדמים מרוכבים ופונקציות רציונליות (מנות של פולינומים). פונקציה חשובה אחרת היא פונקציית האקספוננט שמוגדרת על ידי הנוסחה: f ( z ) = e z = e ( x + i y ) = e x e i y = e x ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystyle \!\,f(z)=e^{z}=e^{(x+iy)}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\left(\cos {y}+i\sin {y}\right)} (ראו נוסחת אוילר להרחבה בעניין). קל לראות שעבור כל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } מתקיימות הנוסחאות: sin ⁡ x = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} cos ⁡ x = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}} ולכן הגדירו את הפונקציות הטריגונומטריות על המרוכבים לכל z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } : sin ⁡ z = e i z − e − i z 2 i {\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}} cos ⁡ z = e i z + e − i z 2 {\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}} עבור פונקציית הלוגריתם יש בעיה של רב-ערכיות, מכיוון שהפונקציה e z {\displaystyle e^{z}} איננה חד-חד ערכית (כלומר לא ניתן להגדיר ישירות את הלוגריתם כפונקציה ההפוכה של האקספוננט) ולכן מגדירים ענפי חיתוך כדי להפוך את הפונקציה לחד-ערכית בחזרה. ענפי החיתוך הם למעשה צמצומים של e z {\displaystyle e^{z}} לרצועות בהם החלק המדומה של המספרים חסום בתחום שקטן מ 2 π {\displaystyle 2\pi } . על תחום כזה e z {\displaystyle e^{z}} חד-חד-ערכית ועל ולכן הפיכה. ניתן להגדיר בעזרת האקספוננט והלוגריתם גם חזקה מרוכבת: z w = e w ln ⁡ z {\displaystyle z^{w}=e^{w\ln z}} כאשר z , w {\displaystyle z,w} מספרים מרוכבים כלליים. הגדרת החזקה תלויה בבחירת ענף שבו מחשבים את הלוגריתם. לדוגמה בענף הסטנדרטי (שבו Im ⁡ ln ⁡ z ∈ [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \operatorname {Im} \ln z\in [0,2\pi )} ) מתקבל: ( − 1 ) i = e i ln ⁡ ( − 1 ) = e i ⋅ i π = e − π {\displaystyle (-1)^{i}=e^{i\ln(-1)}=e^{i\cdot i\pi }=e^{-\pi }} ולעומת זאת בענף שבו Im ⁡ ln ⁡ z ∈ [ − π , π ) {\displaystyle \operatorname {Im} \ln z\in [-\pi ,\pi )} ההעלאה בחזקה תתן את התוצאה: ( − 1 ) i = e i ln ⁡ ( − 1 ) = e i ⋅ ( − i π ) = e π {\displaystyle (-1)^{i}=e^{i\ln(-1)}=e^{i\cdot (-i\pi )}=e^{\pi }} כלומר יכולות להתקבל אינסוף (בעצם אלף אפס) תוצאות שונות. כאשר המעריך הוא שלם מתקבלת תוצאה יחידה. באופן יותר כללי- אם המעריך הוא מהצורה m n ∈ Q {\displaystyle {\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} } (כלומר הוא מספר רציונלי) והשבר מצומצם- מתקבלות n {\displaystyle n} תוצאות שונות מההעלאה בחזקה לפי בחירת הענף שעליו מבצעים את הלוגריתם. באותה צורה כמו שהפכנו את פונקציית האקספוננט לפונקציה מרוכבת (על ידי הצבת משתנה מרוכב בטור טיילור שלו) ניתן להרחיב כל פונקציה ממשית בעלת טור טיילור לפונקציה מרוכבת. באנליזה מרוכבת חוקרים פונקציות מרוכבות בעלות תכונות נוספות, כגון פונקציות הולומורפיות, מרומורפיות, הרמוניות. לאינטגרלים מקום מרכזי בתאוריה. כמו בפונקציות ממשיות, גם עבור הפונקציות המרוכבות אפשר להגדיר מושגים של גבול, רציפות וגזירות באופן אנלוגי לחלוטין. פונקציה שגזירה בכל תחום הגדרתה נקראת פונקציה אנליטית או פונקציה הולומורפית. פונקציה שאנליטית בכל המישור נקראת פונקציה שלמה. פונקציה היא מרומורפית אם היא הולומורפית בכל המישור פרט לקבוצת קטבים מבודדים (או בשקילות, היא הולומורפית לתוך הספירה של רימן). התנאי לגזירות של פונקציה מרוכבת מנוסח במשוואות קושי-רימן - הפונקציה f ( z ) = f ( x + y i ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=f(x+yi)=u(x,y)+iv(x,y)} (כאשר u , v {\displaystyle u,v} פונקציות ממשיות גזירות ברציפות) גזירה אם ורק אם u x = v y , u y = − v x {\displaystyle u_{x}=v_{y},u_{y}=-v_{x}} . משפט טיילור בגרסתו המרוכבת קובע כי אם פונקציה גזירה בתחום פתוח פעם אחת אזי יש טור טיילור יחיד שמתכנס אליה בסביבה מסוימת בתוך התחום, ובפרט היא גזירה שם אינסוף פעמים. היות שהחלקים הממשי והמדומה של פונקציה אנליטית הם פונקציות הרמוניות (לפי משוואות קושי-רימן), ניתן להסיק כי פונקציה הרמונית גזירה אינסוף פעמים. משפט האינטגרל של קושי קובע שכל אינטגרל מסילתי של פונקציה אנליטית על מסלול סגור שהומולוגי לאפס שווה ל-0. בפרט, כל אינטגרל על מסילה רציפה וסגורה בתחום פשוט קשר שווה לאפס, ולכן ממשפט קושי ניתן להסיק מתי מרחב איננו פשוט קשר. נוסחת האינטגרל של קושי מהווה כלי לחישוב אינטגרל קווי של פונקציה מרוכבת. באמצעות הכללה שלה אפשר לחשב את כל הנגזרות של פונקציה אנליטית, ובכך למצוא טור טיילור שלה. מחקר של נקודות סינגולריות של פונקציות מרוכבות מקנה כלים חזקים לחישוב הפונקציה עצמה, אינטגרלים קוויים ונגזרות שלה. אחד מהם הוא משפט השאריות, המאפשר לחשב אינטגרל מסילתי של פונקציה דרך נקודות הסינגולריות שלה. משפט חשוב נוסף הוא עקרון הארגומנט, המהווה גם הוא כלי לחישוב האינטגרל של פונקציה מרומורפית. אנליזה מרוכבת פונקציה הולומורפית פונקציה מרומורפית פונקציה הרמונית פונקציה מרוכבת, באתר MathWorld (באנגלית) לקריאה נוספת: Ahlfors, Lars Valerian. Complex Analysis : An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable. 3rd ed, McGraw Hill, 1979.