פונקציה מדידה

במתמטיקה, בתחום תורת המידה, פונקציה מדידה היא פונקציה שהתחום והטווח שלה הם מרחבים מדידים, והמקור תחת הפונקציה של קבוצה מדידה, הוא קבוצה מדידה. בניסוח פורמלי, אם   ( X , M X ) , ( Y , M Y ) {\displaystyle \ (X,{\mathcal {M}}_{X}),(Y,{\mathcal {M}}_{Y})} הם מרחבים מדידים, אז   f : ( X , M X ) → ( Y , M Y ) {\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})} היא פונקציה מדידה אם   ∀ V ∈ M y   :   f − 1 ( V ) ∈ M x {\displaystyle \ \forall V\in {\mathcal {M}}_{y}\ :\ f^{-1}(V)\in {\mathcal {M}}_{x}} . אם נתון מרחב טופולוגי   X {\displaystyle \ X} , ניתן להתייחס אליו בתור מרחב מידה עם אלגברת בורל, כלומר, קבוצת הפונקציות המדידות היא ה   σ {\displaystyle \ \sigma } -אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות. לפונקציות אלה חשיבות רבה בתורת המידה ובאנליזה מתמטית, מכיוון שהן המועמדות היחידות להיות אינטגרביליות, ומסיבות דומות - גם בתורת ההסתברות (משתנים מקריים הם פונקציות מדידות ביחס למרחב הסתברות ולישר הממשי, בהתאמה). ההרכבה של פונקציה מדידה על פונקציה רציפה, היא פונקציה מדידה. פונקציה מדידה   f : ( X , B X ) → ( Y , B Y ) {\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {B}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {B}}_{Y})} נקראת מדידת בורל כאשר   B X , B Y {\displaystyle \ {\mathcal {B}}_{X},{\mathcal {B}}_{Y}} הן אלגבראות בורל. כל פונקציה רציפה היא מדידת בורל, אך לא כל פונקציה מדידת בורל היא פונקציה רציפה. פונקציה מדידה   f : ( R n , L n ) → ( R , B ) {\displaystyle \ f:(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {L}}_{n})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} נקראת מדידת לבג אם B {\displaystyle {\mathcal {B}}} אלגברת בורל ו L n {\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}} היא סיגמה אלגברה של לבג. תהא f פונקציה   f : ( X , M X ) → ( R , B ) {\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} , אז הפונקציה מדידה אם מתקיים אחד התנאים הבאים לכל t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } הקבוצה { x ∈ X ∣ f ( x ) > t } {\displaystyle \{x\in X\mid f(x)>t\}} מדידה לכל t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } הקבוצה { x ∈ X ∣ f ( x ) ≥ t } {\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\geq t\}} מדידה לכל t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } הקבוצה { x ∈ X ∣ f ( x ) < t } {\displaystyle \{x\in X\mid f(x)<t\}} מדידה לכל t ∈ R {\displaystyle t\in \mathbb {R} } הקבוצה { x ∈ X ∣ f ( x ) ≤ t } {\displaystyle \{x\in X\mid f(x)\leq t\}} מדידה לכל U ∈ B {\displaystyle U\in {\mathcal {B}}} הקבוצה   f − 1 ( U ) {\displaystyle \ f^{-1}(U)} מדידה אם הפונקציות   g : ( Y , M Y ) → ( Z , M Y ) {\displaystyle \ g:(Y,{\mathcal {M}}_{Y})\rightarrow (Z,{\mathcal {M}}_{Y})} ,   f : ( X , M X ) → ( Y , M Y ) {\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})} מדידות, אז ההרכבה שלהן g ∘ f {\displaystyle g\circ f} היא פונקציה מדידה. אם   f , g : ( X , M X ) → ( R , B ) {\displaystyle \ f,g:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} מדידות, אז הסכום והכפל שלהן מדיד. אם ∀ x ∈ X , g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \forall x\in X,g(x)\neq 0} אז גם הפונקציה f g {\displaystyle {\frac {f}{g}}} מדידה. אם   f n : ( X , M X ) → ( R , B ) {\displaystyle \ f_{n}:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} מדידות אז גם sup n f n , inf n f n , lim sup n f n , lim inf n f n {\displaystyle \sup _{n}f_{n},\;\inf _{n}f_{n},\;\limsup _{n}f_{n},\;\liminf _{n}f_{n}} מדידות. אם קיים הגבול, אז גם lim n f n {\displaystyle \lim _{n}f_{n}} מדידה. אם   f : ( X , M X ) → ( Y , M Y ) {\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (Y,{\mathcal {M}}_{Y})} ו- C {\displaystyle C} קבוצת תת-קבוצות של Y {\displaystyle Y} עבורה σ ( C ) = M Y {\displaystyle \sigma (C)={\mathcal {M}}_{Y}} , אז f {\displaystyle f} מדידה אם ורק אם ∀ A ∈ C : f − 1 ( A ) ∈ M X {\displaystyle \forall A\in C:{f}^{-1}(A)\in {\mathcal {M}}_{X}} . במילים, מספיק לבדוק מדידות ל"קבוצה פורשת" של הסיגמא-אלגברה. פונקציה פשוטה היא פונקציה המקבלת מספר סופי של ערכים. יהא   X {\displaystyle \ X} מרחב ו { A k } 1 n {\displaystyle \{A_{k}\}_{1}^{n}} קבוצות זרות במרחב, אז פונקציה ממשית פשוטה היא פונקציה מהצורה   s ( x ) = ∑ 1 n α k χ A k ( x ) {\displaystyle \ s(x)=\sum _{1}^{n}\alpha _{k}\chi _{A_{k}}(x)} כאשר χ A k {\displaystyle \chi _{A_{k}}} היא הפונקציה מציינת. אם   ( X , M X ) {\displaystyle \ (X,{\mathcal {M}}_{X})} מרחב מדיד ו   A k {\displaystyle \ A_{k}} קבוצות מדידות, אז   s ( x ) {\displaystyle \ s(x)} נקראת פונקציה מדידה פשוטה. משפט: לכל פונקציה מדידה   f : ( X , M X ) → ( R , B ) {\displaystyle \ f:(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} , קיימת סדרה   s n   : ( X , M X ) → ( R , B ) {\displaystyle \ s_{n}\ :(X,{\mathcal {M}}_{X})\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})} של פונקציות פשוטות מדידות, כך ש   lim n → ∞ s n = f {\displaystyle \ \lim _{n\rightarrow \infty }s_{n}=f} נקודתית. אם   f ≥ 0 {\displaystyle \ f\geq 0} ניתן לבחור את הסדרה כך ש 0 ≤ s n ≤ s n + 1 {\displaystyle 0\leq s_{n}\leq s_{n+1}} ובאופן כללי ניתן לבחור את הסדרה כך ש 0 ≤ | s n | ≤ | s n + 1 | {\displaystyle 0\leq |s_{n}|\leq |s_{n+1}|} תורת המידה סיגמא-אלגברה מידה (מתמטיקה) השווה גם הגדרה של פונקציה רציפה במרחב טופולוגי. פונקציה מדידה, באתר MathWorld (באנגלית)