גאומטריית נהגי המוניות

גאומטריית נהגי המוניות הוא כינוי למרחב מטרי, שבו מודדים את המרחקים על-פי אילוצי הנסיעה של נהג מונית, במקום ב"מעוף הציפור". מקור שמה של גאומטריית נהגי המוניות (הידועה גם בשם "גאומטריית מנהטן") בתנועתו של נהג הנוסע בעיר הבנויה כולה מגושי בניינים מלבניים (כמנהטן), שכל כבישיה מאונכים ומקבילים אלה לאלה. מאחר שלא יוכל לעבור דרך הבניינים, יאלץ הנהג לנסוע תמיד בכיוון צפון-דרום או מזרח-מערב. לכן, אורך המסלול אותו יעבור נהג כזה יהיה שווה בדיוק לסכום המרחקים אותם עבר בנסיעה מערבה והמרחקים אותם עבר בנסיעה צפונה. האנלוגיה למנהטן מטעה במקצת, משום שבמנהטן הנהג יכול להגיע רק לנקודות מסוימות – אלה הנמצאות על הכביש. בגאומטריית נהגי המוניות ניתן להגיע לכל נקודה במישור, וההגבלה היחידה היא שהתנועה היא במקביל לאחד משני הצירים. מרחק בין שתי נקודות ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} הוא אורכו של המסלול הקצר ביותר המחבר ביניהן. ההבדל הבסיסי בין גאומטריית נהגי המוניות לגאומטריה האוקלידית הוא בהגדרת המרחק בין שתי נקודות. בגאומטריה אוקלידית, מסלול זה הוא של הקו הישר המחבר ביניהן, שאורכו, לפי משפט פיתגורס: ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 {\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}} בגאומטריית נהגי המוניות, "התנועה" נעשית רק במקביל לאחד משני הצירים – על מנת לעבור מנקודה אחת לאחרת, יש לנוע מרחק מסוים ימינה (במקביל לציר ה- x {\displaystyle x} ) ומרחק מסוים מעלה (במקביל לציר ה- y {\displaystyle y} ), כך שהמסלול שנבחר כקצר ביותר בגאומטריה האוקלידית (אלכסון) אינו חוקי כאן. לכן, המרחק בין שתי הנקודות ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})} יהיה: | x 1 − x 2 | + | y 1 − y 2 | {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|+|y_{1}-y_{2}|} (האיבר המחובר מימין מייצג את התנועה במקביל לציר ה- y {\displaystyle y} , וזה משמאל את התנועה במקביל לציר ה- x {\displaystyle x} ). במתמטיקה מקובלת הכללה למושג המרחק, הקרויה מטריקה: זוהי פונקציה m {\displaystyle m} , המקבלת שתי נקודות ומחזירה את המרחק ביניהן, ומקיימת מספר תכונות: אי שליליות: המרחק בין כל שתי נקודות שונות תמיד חיובי, והמרחק בין נקודה לעצמה שווה ל-0. סימטריה: המרחק בין שתי נקודות לא תלוי בכיוון התנועה: m ( a , b ) = m ( b , a ) {\displaystyle m(a,b)=m(b,a)} . אי-שוויון המשולש: לא ניתן לקצר את הדרך בין שתי נקודות באמצעות מעבר דרך שלישית: m ( a , b ) ≤ m ( a , c ) + m ( c , b ) {\displaystyle m(a,b)\leq m(a,c)+m(c,b)} . ניתן לראות שגם המרחק הרגיל (זה של הגאומטריה האוקלידית) וגם המרחק בגאומטריית נהגי המוניות (שאותו נכנה "מטריקת מנהטן") מקיימים דרישות אלה – כלומר, כל אחד מהם הוא מטריקה. מהגדרתה של מטריקת מנהטן ניתן לראות, שהמרחק בין שתי נקודות תלוי בכיוון של מערכת הצירים שבה הן נמצאות, אך אינו תלוי בהזזה של מערכת הצירים או בהחלפתה בתמונת ראי שלה. בכל גאומטריה (מטרית) אפשר להגדיר את המעגל כמקום הגאומטרי של הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה לגודל נתון (רדיוס המעגל). המעגל בגאומטריית נהגי המוניות הוא ריבוע (נקודות אדומות בתרשים) שמרחקן קבוע מן המרכז (נקודה כחולה). אם נצופף את הריבועים עוד ועוד נקבל מעגל ריבועי השואף לרציפות (תרשים תחתון). בגאומטריה אוקלידית אורכה של צלע הריבוע הוא r ∗ s q r t 2 {\displaystyle r*sqrt{2}} (היתר במשולש ישר-זווית שאורך שני ניצביו r), ובגאומטרית נהגי מוניות אורך הצלע הוא r ∗ 2 {\displaystyle r*2} (עקב האילוץ ללכת לאורך הרשת). באופן דומה היקף העיגול בגאומטריה אוקלידית הוא 2 π r {\displaystyle 2\pi r} , אולם בגאומטרית נהגי מוניות היקף העיגול הוא 8 r {\displaystyle 8r} . מכאן שהיחס בין ההיקף לקוטר בגאומטריה זו הוא 4 {\displaystyle 4} בעוד שבגאומטריה אוקלידית הוא π {\displaystyle \pi } . תנועתו של הצריח בשחמט מתבצעת במאונך ובמאוזן בלבד, ולכן, מרחקו מכל משבצת בלוח נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות. בדומה, גם תנועתו של הרץ (בסריג המשבצות מצבע נתון) מתבצעת גם היא בשני כיוונים המאונכים זה לזה. לכל שתי מחרוזות בינאריות x , y {\displaystyle x,y} מאורך זהה, מוגדר 'מרחק המינג' כמספר המקומות בהן נבדלות שתי המחרוזות. למשל, מרחק המינג בין שתי המחרוזות:   x = 10 0 1 0 01 {\displaystyle \ x=10\mathbf {\color {Blue}0} 1\mathbf {\color {Blue}0} 01}   y = 10 1 1 1 01 {\displaystyle \ y=10\mathbf {\color {Blue}1} 1\mathbf {\color {Blue}1} 01} הוא 2 {\displaystyle 2} . (המקומות בהן נבדלות שתי המחרוזות מסומנים בכחול) מרחק זה נמדד כבגאומטריית נהגי המוניות במרחב ( { 0 , 1 } ) n {\displaystyle (\{0,1\})^{n}} (אוסף כל הסדרות הבינאריות מאורך n {\displaystyle n} ). במודל אוטומט תאי, הגודל של סביבת פון נוימן נמדד באמצעות מטריקת מנהטן. מרחב מטרי מטריקה מרחב נורמי נורמה מרחק צ'בישב גאומטריית נהגי המוניות, באתר MathWorld (באנגלית)