שדה המספרים ה-p-אדיים

במתמטיקה, שדה המספרים ה-p-אדיים הוא שדה, שאבריו הם המספרים ה-p-אדיים. יש שדה p {\displaystyle p} -אדי אחד לכל מספר ראשוני p {\displaystyle p} , ומקובל לסמן אותו באות Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} . כל הרחבה סופית של שדה המספרים ה- p {\displaystyle p} -אדיים נקראת "שדה p {\displaystyle p} -אדי". על שדה המספרים ה- p {\displaystyle p} -אדיים מוגדרת הערכה בדידה, ההופכת אותו לשדה מקומי, שהוא בעל עוצמת הרצף, ואינו ניתן לסידור. לפי משפט אוסטרובסקי, כל שדה מקומי ממאפיין אפס (עם ערך מוחלט לא ארכימדי) הוא p {\displaystyle p} -אדי לאיזשהו p {\displaystyle p} . את המספרים ה- p {\displaystyle p} -אדיים פיתח קורט הנזל בתחילת המאה העשרים, והם הפכו במהירות לאחד הכלים ומושאי המחקר הבסיסיים באריתמטיקה המודרנית ובתורת השדות. כל מספר p {\displaystyle p} -אדי אפשר לכתוב באופן יחיד בצורה ∑ i = − N ∞ a i p i {\displaystyle \sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i}} כאשר N {\displaystyle N} שלם, ו- a i ∈ { 0 , 1 , … , p − 1 } {\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\dots ,p-1\}} . החיבור והכפל מוגדרים כאילו היה מדובר בטורי חזקות במשתנה אחד. המספרים מהצורה ∑ i = 0 ∞ a i p i {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}} נקראים "שלמים p {\displaystyle p} -אדיים"; כקבוצה, הם מרכיבים את חוג השלמים ה-p-אדיים Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} , שהוא תת-חוג מקומי וראשי (חוג ההערכה הדיסקרטית המתקבל מההערכה הדיסקרטית שתוצג בתת-הפסקה הבאה) של Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ; כדי לקבל את השדה די להפוך את האיבר p {\displaystyle p} : Q p = Z p [ p − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}[p^{-1}]} . חוג השלמים ה- p {\displaystyle p} -אדיים הוא גבול הפוך של חוגי המנה Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } . על שדה המספרים ה- p {\displaystyle p} -אדיים מוגדרת הערכה דיסקרטית ν ( ∑ i = − N ∞ a i p i ) = − N {\displaystyle \nu (\sum _{i=-N}^{\infty }a_{i}p^{i})=-N} (בהנחה ש- a − N ≠ 0 {\displaystyle a_{-N}\neq 0} ), וזו מגדירה ערך מוחלט לפי | f | = p − ν ( f ) {\displaystyle |f|=p^{-\nu (f)}} ומטריקה ( d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} ), המגדירה טופולוגיה. תחת הטופולוגיה הזו, חוג השלמים ה- p {\displaystyle p} -אדיים, שהוא כדור היחידה הסגור בשדה, הוא קבוצה קומפקטית, הומיאומורפית לקבוצת קנטור. השדה אינו קומפקטי, אבל הוא קומפקטי מקומית. שורשי היחידה ב- Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} הם אלו שסדרם מחלק את p − 1 {\displaystyle p-1} . כאשר p {\displaystyle p} אי-זוגי, לשלם רציונלי a {\displaystyle a} שאינו מתחלק ב- p {\displaystyle p} יש שורש p {\displaystyle p} -אדי אם ורק אם יש לו שורש מודולו p {\displaystyle p} (כך למשל − 1 , 11 , 19 ∈ Q 5 {\displaystyle {\sqrt {-1}},{\sqrt {11}},{\sqrt {19}}\in \mathbb {Q} _{5}} ); עבור p = 2 {\displaystyle p=2} התנאי הוא שיהיה ל- a {\displaystyle a} שורש מודולו 8, ולדוגמה 3 ∉ Q 2 {\displaystyle {\sqrt {3}}\not \in \mathbb {Q} _{2}} . הלמה של הנזל מאפשרת לפתור משוואות פולינומיות בשדה המספרים ה- p {\displaystyle p} -אדיים, ובאופן כללי יותר, לפרק פולינומים לגורמים, על ידי הרמה, כביכול, של הבעיה מן המנות הסופיות Z / p n Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} } . בניגוד לשדה המספרים הממשיים, שיש לו הרחבה אלגברית אחת ויחידה - המרוכבים - לשדה המספרים ה- p {\displaystyle p} -אדיים יש הרחבות אלגבריות מכל מימד, ומספרן (בכל מימד) סופי. אם p {\displaystyle p} אי זוגי יש בדיוק שלוש הרחבות ריבועיות, ולשדה המספרים ה-2-אדיים יש שבע הרחבות ריבועיות. מבין ההרחבות האלה, יש הרחבה לא מסועפת יחידה מכל מימד. הסגור האלגברי Q p ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}} אינו שלם ביחס לטופולוגיה המושרה; את הסגור השלם מסמנים ב- C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} , ושדה זה הוא סגור גם אלגברית וגם מטרית. מבחינה אלגברית (וללא המבנה המטרי), C p {\displaystyle \mathbb {C} _{p}} איזומורפי לשדה המספרים המרוכבים, C {\displaystyle \mathbb {C} } . חבורת גלואה של כל הרחבה סופית של Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} היא פתירה, ולכן חבורת גלואה האבסולוטית Gal ( Q ¯ p / Q p ) {\displaystyle {\text{Gal}}({\overline {\mathbb {Q} }}_{p}/\mathbb {Q} _{p})} היא פרו-פתירה. חוג האדלים משפט גרונוולד-ואנג