מהירות חבורה

מהירות החבורה של גל או של חבילת גלים היא המהירות שבה מתקדמת מעטפת הגל במרחב. מהירות החבורה נקבעת על ידי יחס הנפיצה של משוואת הגלים המתארת את הגל. מהירות החבורה של גל נגזרת מיחס הנפיצה שלו, שהוא הקשר בין התדירות הזוויתית לבין מספר הגל שלו: v g ≡ ∂ ω ∂ k {\displaystyle v_{g}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}} או, במרחב התלת־ממדי, מהקשר בין התדירות הזוויתית לבין וקטור הגל: v → g = ∇ → k ω {\displaystyle {\vec {v}}_{g}={\vec {\nabla }}_{k}\omega } אם יחס הנפיצה הוא ליניארי, כלומר קיים יחס ישר בין התדירות הזוויתית ומספר הגל: ω = c k {\displaystyle \omega =ck} (כאשר c {\displaystyle c} קבוע), אז מהירות החבורה שווה למהירות הפאזה, המוגדרת: v p = ω k {\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}} . אם מדובר בחבילת גלים בעלת רוחב סרט צר, מהירות החבורה היא המהירות שבה מתקדמת מעטפת הגל במרחב. עבור גל שמורכב מגלים סינוסיים בתחום רחב של תדרים בתווך דיספרסיבי תתרחש נפיצה: גלים בתדרים שונים יתקדמו במהירויות פאזה שונות, ולכן הצורה הכוללת של הגל תשתנה לאורך זמן כך שקשה להגדיר במדויק את מהירות החבורה. המשוואה המתארת סכום של שני גלים סינוסיים במימד אחד בעלי אותה משרעת ובעלי תדירויות זוויתיות ומספרי גל שונים במעט היא: A sin ⁡ ( ω t − k x ) + A sin ⁡ ( ( ω + Δ ω ) t − ( k + Δ k ) x ) = 2 A cos ⁡ ( Δ ω 2 t − Δ k 2 x ) sin ⁡ ( ( ω + Δ ω 2 ) t − ( k + Δ k 2 ) x ) {\displaystyle A\sin(\omega t-kx)+A\sin((\omega +\Delta \omega )t-(k+\Delta k)x)=2A\cos({\frac {\Delta \omega }{2}}t-{\frac {\Delta k}{2}}x)\sin((\omega +{\frac {\Delta \omega }{2}})t-(k+{\frac {\Delta k}{2}})x)} כאשר A {\displaystyle A} משרעת הגלים, ω {\displaystyle \omega } התדירות הזוויתית של הגל האחד, Δ ω {\displaystyle \Delta \omega } ההפרש בין התדירויות הזוויתיות של הגלים, k {\displaystyle k} מספר הגל של הגל האחד ו- Δ k {\displaystyle \Delta k} ההפרש בין מספרי הגל. אם הפרשי התדירויות ומספרי הגל קטנים, הסכום הוא סינוס בעל תדירות שהיא ממוצע התדירויות, מספר גל שהוא ממוצע מספרי הגל ומעטפת שמשתנה כקוסינוס בתדירות שהיא מחצית הפרש תדירויות הגלים ומספר גל שהוא מחצית הפרש מספרי הגל. תופעה זו נקראת פעימה והיא נפוצה באקוסטיקה. מהירות הפאזה של הגל הנושא היא בקירוב מהירות הפאזה של הגלים הנפרדים: v p = ω + Δ ω 2 k + Δ k 2 {\displaystyle v_{p}={\frac {\omega +{\frac {\Delta \omega }{2}}}{k+{\frac {\Delta k}{2}}}}} מהירות הפאזה של הגל הנישא: v = Δ ω Δ k {\displaystyle v={\frac {\Delta \omega }{\Delta k}}} זהו קירוב מסדר ראשון למהירות החבורה, ולכן הגל הנישא נע בקירוב במהירות החבורה. נהוג לחשוב על מהירות החבורה כמהירות שבה הגל מעביר אנרגיה או מידע. ההשערה שתיתכן מהירות חבורה שונה ממהירות הפאזה הועלתה לראשונה על ידי ויליאם רואן המילטון ב-1839 ונחקרה על ידי ג'ון ויליאם סטראט ריילי בספרו מ-1877 שעסק בגלי קול. אבן המוטלת למרכז בריכה יוצרת גלי מים מעגליים שמתרחבים ומתרחקים ממקום הפגיעה, ומקום הפגיעה הופך שקט. הגלים המעגליים הם חבילת גלים המורכבת מתחום של אורכי גל. יחס הנפיצה של גלים כאלו הוא: ω 2 = ( g k + σ k 3 ρ ) tanh ⁡ ( k h ) {\displaystyle \omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma k^{3}}{\rho }}\right)\tanh(kh)} כאשר g {\displaystyle g} הוא תאוצת הכובד, h {\displaystyle h} הוא עומק הבריכה, ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות המים, ו- σ {\displaystyle \sigma } מתח הפנים של המים. מכאן שהגלים בעלי אורכי גל גדולים יותר נעים מהר יותר מהגלים בעלי אורכי הגל הקצרים יותר. עם זאת, כאשר הגלים הארוכים משיגים את חבילת הגלים ומתקדמים לפניה, הם דועכים בהדרגה. באופן דומה, כאשר הגלים הקצרים מפגרים ומתרחקים מהחבילה, גם הם דועכים, כך שהחבילה כמכלול שומרת על צורתה ומתקדמת במהירות קבועה - מהירות החבורה. יחס הנפיצה של גל אלקטרומגנטי בריק הוא ω = c k {\displaystyle \omega =ck} , כאשר c {\displaystyle c} מהירות האור ששווה הן למהירות הפאזה והן למהירות החבורה: v p = ω k = ∂ ω ∂ k = v g = c ; {\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}=v_{g}=c;} יחס הנפיצה של גל במיתר מתוח הוא: ω = k T μ {\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}}} כאשר T המתיחות במיתר ו-μ מסת המיתר ליחידת אורך. מכאן, שמהירות החבורה של גל במיתר שווה למהירות הפאזה שלו: v g = v p = T μ {\displaystyle v_{g}=v_{p}={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}} יחס הנפיצה של גלי גרביטציה על פני מים עמוקים הוא: ω = g k , {\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},} מהירות החבורה של גלים כאלו שווה למחצית מהירות הפאזה: v g = 1 2 g k = ω 2 k = v p 2 {\displaystyle v_{g}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {g}{k}}}={\frac {\omega }{2k}}={\frac {v_{p}}{2}}} יחס הנפיצה של גל דה ברויי של חלקיק חופשי לא יחסותי הוא: ω = ℏ k 2 2 m . {\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}.} מהירות החבורה שלו שווה לכפליים מהירות הפאזה: v g = ℏ k m = 2 v p {\displaystyle v_{g}={\frac {\hbar k}{m}}=2v_{p}} מהירות פאזה נפיצה מדיה וקבצים בנושא מהירות חבורה בוויקישיתוף