פונקציה אוניוולנטית

באנליזה מרוכבת, פונקציה אוניוולנטית (Univalent function, simple, schlicht) היא פונקציה הולומורפית חד חד ערכית. פונקציה מולטי-ולנטית היא פונקציה המקבלת כל ערך מספר סופי וחסום של פעמים. התאוריה של פונקציות אוניוולנטיות היא רחבה ומסובכת. משפט דה ברנז', אחד המשפטים החשובים בדבר פונקציות אוניוולנטיות, קובע כי המקדמים b n {\displaystyle b_{n}} בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית על עיגול היחידה מקיימים | b n | ≤ n {\displaystyle |b_{n}|\leq n} . המשפט נוסח תחילה כהשערה בשנת 1916 והיה בגדר בעיה פתוחה עד להוכחתו בשנת 1985, והוכחתו נחשבת להישג חשוב באנליזה מרוכבת. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'. פונקציה מרוכבת f : Ω → C {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {C} } תקרא אוניוולנטית (Univalent function) אם היא הולומורפית וחד חד ערכית. מולטי-ולנטית (Multivalent function) אם היא הולומורפית והיא מקבלת כל ערך מספר סופי של פעמים. עבור p {\displaystyle p} המקסימלי נקרא לה p-ולנטית. בהינתן פונקציה אוניוולנטית f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ b n z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}z^{n}}} , ניתן להגיע לצורה נורמלית שלה: קודם נשים לב שהקובע לא משנה, ולכן נשמיט אותו. ניתן גם לחלק במקדם b 1 {\displaystyle b_{1}} של z {\displaystyle z} , ולכן להניח מלכתחילה b 0 = 0 , b 1 = 1 {\displaystyle b_{0}=0,b_{1}=1} , כלומר הפונקציה מהצורה f ( z ) = z + ∑ n = 2 ∞ b n z n {\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}z^{n}}} . רוב התאוריה עוסקת בפונקציות כנ"ל מעיגול היחידה, כלומר Ω = D = { z : | z | < 1 } {\displaystyle \Omega =D=\{z:|z|<1\}} . את אוסף הפונקציות האוניוולנטית מעיגול היחידה ובעלות צורה נורמלית כנ"ל נסמן ב- S {\displaystyle S} . בהינתן פונקציה f ( z ) = z + ∑ n = 2 ∞ b n z n ∈ S {\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}z^{n}}\in S} , ניתן להביט בפונקציה f ^ : D c → C {\displaystyle {\hat {f}}:D^{c}\to \mathbb {C} } הנתונה על ידי z + ∑ n = 2 ∞ b n 1 z n {\displaystyle z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}{\frac {1}{z^{n}}}}} . מתקיים ש- 1 f ^ {\displaystyle {\frac {1}{\hat {f}}}} אוניוולנטית ב- D c {\displaystyle D^{c}} ולא מקבלת את אפס. היא נקראת פונקציה דואלית ל- f {\displaystyle f} . אוסף פונקציות המקיימות את שתי הדרישות האחרונות יסומן ב- Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} . מובן שיש התאמה 1:1 בין Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} לבין S {\displaystyle S} , הנתונה כנ"ל. הפונקציה ( 1 + z ) 2 {\displaystyle (1+z)^{2}} היא אוניוולנטית בעיגול היחידה, בעוד ש- ( 1 + z ) 3 {\displaystyle (1+z)^{3}} איננה אוניוולנטית שם. פונקציית קוב הנתונה על ידי f ( z ) = ∑ n = 1 ∞ n z n = z ( 1 − z ) 2 {\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} היו אוניוולנטית בעיגול היחידה. זוהי פונקציה חשוב מאוד בתאוריה, והיא למעשה ה"מקסימלית" מבין הפונקציות האוניוולנטית, לפי משפט דה ברנז'. אם עוברים לפונקציה ב- Σ 0 {\displaystyle \Sigma _{0}} , נקבל את הפונקציה הדואלית לפונקציית קוב - f ^ ( η ) = 1 η + η − 2 {\displaystyle {\hat {f}}(\eta )={\frac {1}{\eta }}+\eta -2} . נניח f ( z ) ∈ S {\displaystyle f(z)\in S} , ולכל | a | < 1 {\displaystyle |a|<1} נגדיר ϕ ( z ) = z + a 1 + a ¯ z {\displaystyle \phi (z)={\frac {z+a}{1+{\overline {a}}z}}} , אז גם f ( ϕ ( z ) ) − f ( a ) ) f ′ ( a ) ( 1 − | a | 2 ) ∈ S {\displaystyle {\frac {f(\phi (z))-f(a))}{f'(a)(1-|a|^{2})}}\in S} . בהינתן פונקציה f ( z ) = z + ∑ n = 2 ∞ b n z n ∈ S {\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}z^{n}}\in S} , גם הפונקציות הבאות הן ב- S {\displaystyle S} : סיבוב (Rotation) - ∀ α ∈ R : e − i α f ( e i α z ) = z + ∑ n = 2 ∞ b n e i ( n − 1 ) α z n {\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} :e^{-i\alpha }f(e^{i\alpha }z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{b_{n}e^{i(n-1)\alpha }z^{n}}} הצמדה f ( z ¯ ) ¯ = z + ∑ n = 2 ∞ b n ¯ z n {\displaystyle {\overline {f({\overline {z}})}}=z+\sum _{n=2}^{\infty }{{\overline {b_{n}}}z^{n}}} f ( z k ) k {\displaystyle {\sqrt[{k}]{f({z}^{k})}}} (כאשר בוחרים ענף). השטח של תחום המתקבל כתמונה של פונקציה אוניוולנטית מ- S {\displaystyle S} טומן בחובו נוסחאות ומשפטים רבים. משפט אם f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ b n z n {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}z^{n}}} אוניוולנטית על D r = { | z | < r } {\displaystyle D_{r}=\{|z|<r\}} , השטח של f ( D r ) ¯ {\displaystyle {\overline {f(D_{r})}}} נתון על ידי ∑ n = 1 ∞ π n | b n | 2 r 2 n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\pi n|b_{n}|^{2}r^{2n}}} . בפרט, כאשר r = 1 {\displaystyle r=1} אז f ∈ S {\displaystyle f\in S} והשטח הוא ∑ n = 1 ∞ π n | b n | 2 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\pi n|b_{n}|^{2}}} . מסקנה - אם f {\displaystyle f} אוניוולנטית על טבעת מהצורה A = { r < | z | < R } {\displaystyle A=\{r<|z|<R\}} , השטח של f ( A ) ¯ {\displaystyle {\overline {f(A)}}} הוא ∑ n = 1 ∞ π n | b n | 2 ( R 2 n − r 2 n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\pi n|b_{n}|^{2}(R^{2n}-r^{2n})}} . מסקנה - אם f {\displaystyle f} אוניוולנטית על D r c = { z : | z | > r } {\displaystyle D_{r}^{c}=\{z:|z|>r\}} . אז השטח של ( f ( D r c ) ¯ {\displaystyle ({\overline {f(D_{r}^{c})}}} הוא π ( | b 1 | r 2 − ∑ n = 1 ∞ n | b n | 2 r 2 n ) {\displaystyle \pi (|b_{1}|r^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|b_{n}|^{2}}{r^{2n}}})} . בפרט, נקבל | b 1 | r 2 − ∑ n = 1 ∞ n | b n | 2 r 2 n ≥ 0 {\displaystyle |b_{1}|r^{2}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n|b_{n}|^{2}}{r^{2n}}}\geq 0} . כעת, אם משאיפים r → 1 {\displaystyle r\to 1} במסקנה, ניתן לקבל את משפט השטח: משפט השטח (The Area Theorem, Gronwall, 1914): אם f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ b n z n ∈ Σ 0 {\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n}z^{n}}\in \Sigma _{0}} אז ∑ n = 1 ∞ | b n | 2 ≤ 1 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{|b_{n}|^{2}}\leq 1} . שוויון מתקיים אם ורק אם התמונה f ( D c ) {\displaystyle f(D^{c})} מכסה את כל המישור המרוכב, פרט לקבוצה ממידה אפס. אחד העניינים המרכזיים בתאוריה של פונקציות אוניוולנטיות הוא עניין המקדמים. לאורך כל המאה ה-20 נוסחו הרבה טענות על המקדמים, חלקן תחת הנחות נוספות על הפונקציות. הטענה המרכזית היא משפט דה ברנז', שהיה ידוע עד שנת 1985 בתור השערת ביברבך או השערת המקדמים, הטוען כי | b n | ≤ n {\displaystyle |b_{n}|\leq n} . הוכחת המשפט בשנת 1985 על ידי לואי דה ברנז' היוותה נקודת ציון חשובה. השערת גודמן על פונקציות מולטי-ולנטיות מכלילה את משפט דה ברנז'. לטענות חלקיות, שקולות והכללות ראו בספרו של גודמן בקריאה נוספת. משפט דה ברנז' השערת גודמן משפט הרבע של קוב Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co. Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 2. Mariner Pub. Co. AN INVITATION TO THE STUDY OF UNIVALENT AND MULTIVALENT FUNCTIONS, A.W. GOODMAN פונקציה אוניוולנטית, באתר MathWorld (באנגלית)