מודול אינג'קטיבי

בתורת החוגים, מודול אינג'קטיבי הוא מודול Q {\displaystyle Q} מעל חוג R {\displaystyle R} , כך שלכל מודול M {\displaystyle M} ותת-מודול N {\displaystyle N} , כל הומומורפיזם מ- N {\displaystyle N} ל- Q {\displaystyle Q} ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל M {\displaystyle M} . הדוגמה הקלאסית למודול כזה היא אוסף המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } מעל חוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . חשיבותם של המודולים האלה נובעת בעיקר מכך שמבחינה קטגורית, מושגי האינג'טיביות והפרויקטיביות של מודולים דואליים זה לזה. לצד הקשר ההדוק שיש למודולים אינג'קטיביים עם חוג המקדמים (המתבטא למשל בכך שכל מודול אינג'קטיבי הוא בפרט חליק), כל מודול מוכל במודול אינג'קטיבי מינימלי, הנקרא "הסגור האינג'קטיבי" שלו. את התכונה אפשר להגדיר בכל קטגוריה (לאו דווקא של מודולים). עם זאת, לא בכל קטגוריה קיימים אובייקטים אינג'קטיביים. לדוגמה, בקטגוריה של חבורות רק החבורה הטריוויאלית היא אינג'קטיבית [1]. מודול שמאלי Q {\displaystyle Q} מעל חוג R {\displaystyle R} הוא אינג'קטיבי אם הוא מקיים אחד התנאים השקולים הבאים: כל סדרה מדויקת מהצורה 0 ⟶ Q ⟶ M ⟶ N ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0} מתפצלת. לכל מודול שמאלי M {\displaystyle M} , אם Q {\displaystyle Q} הוא תת-מודול של M {\displaystyle M} אז הוא מחובר ישר של M {\displaystyle M} , כלומר קיים ל- M {\displaystyle M} תת-מודול N {\displaystyle N} כך ש- Q ⊕ N = M {\displaystyle Q\oplus N=M} . Q {\displaystyle Q} אינו תת-מודול גדול באף מודול. עבור R {\displaystyle R} מודולים שמאליים X {\displaystyle X} ו- Y {\displaystyle Y} ופונקציה חח"ע f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} , כל פונקציה g : X → Q {\displaystyle g:X\rightarrow Q} ניתנת להרחבה ל- Y {\displaystyle Y} , כלומר קיימת פונקציה h : Y → Q {\displaystyle h:Y\rightarrow Q} כך ש- h ∘ f = g {\displaystyle h\circ f=g} . לחלופין, אם השורה העליונה בדיאגרמה הבאה מדויקת, אז ניתן למצוא פונקציה h {\displaystyle h} כך שהדיאגרמה תהיה קומוטטיבית קריטריון Baer: בהגדרה לעיל מספיק להניח ש- Y {\displaystyle Y} הוא החוג R {\displaystyle R} , ו- X {\displaystyle X} אידיאל שמאלי שלו. הפונקטור   Hom ⁡ ( − , Q ) {\displaystyle \ \operatorname {Hom} (-,Q)} מקטגוריית ה- R {\displaystyle R} מודולים השמאליים לקטגוריית החבורות האבליות הוא פונקטור מדויק. מודול אינג'טיבי ימני מוגדר באופן אנלוגי. מודול האפס תמיד אינג'קטיבי. מכפלה ישרה של מודולים אינג'קטיביים היא אינג'קטיבית. מחובר ישר במודול אינג'קטיבי הוא אינג'קטיבי. מעל שדה כל מודול הוא אינג'קטיבי, כפי שאפשר להוכיח על ידי השלמת בסיס לתת-מודול לבסיס של המודול כולו. המודול Q {\displaystyle \mathbb {Q} } של המספרים הרציונליים מעל החוג Z {\displaystyle \mathbb {Z} } של השלמים הוא אינג'קטיבי. גם מודול המנה Q / Z {\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} } הוא אינג'קטיבי. מעל חוג דדקינד R {\displaystyle R} , לכל אידיאל ראשוני P {\displaystyle P} (שאינו אפס), הגבול הישר E P = lim → R / P n {\displaystyle E_{P}=\lim _{\rightarrow }R/P^{n}} הוא מודול אינג'קטיבי אי-פריד (indecomposable), וכל מודול אינג'קטיבי אי-פריד הוא כזה. לפי משפט Matlis (1958), מעל כל חוג קומוטטיבי נתרי יש התאמה בין אידיאלים ראשוניים למודולים אינג'קטיביים אי-פרידים. אפילו כאשר החוג לא קומוטטיבי, לכל מודול אינג'קטיבי אי-פריד M {\displaystyle M} אפשר להתאים ראשוני באופן הבא: הראשוני P {\displaystyle P} מתאים ל- M {\displaystyle M} אם יש ל- M {\displaystyle M} תת-מודול N {\displaystyle N} , כך ש- P {\displaystyle P} הוא המאפס של כל תת-מודול שונה מאפס של N {\displaystyle N} . מודול שמאלי M {\displaystyle M} הוא חליק אם לכל סקלר r {\displaystyle r} בחוג ולכל וקטור m {\displaystyle m} , התכונה   a r = 0 ⟹ a m = 0 {\displaystyle \ ar=0\implies am=0} שקולה ל-   m ∈ r M {\displaystyle \ m\in rM} . כל מודול אינג'קטיבי M {\displaystyle M} הוא חליק. מעל מחלקות מסוימות של חוגים, כגון מעל תחומי שלמות או באופן כללי יותר מעל כל תת-חוג של חוג עם חילוק, כל מודול חסר פיתול חליק הוא אינג'קטיבי. מעל תחום אידיאלים שמאליים ראשי (PLID), כל מודול חליק הוא אינג'קטיבי. כל מודול מעל חוג R {\displaystyle R} ניתן לשיכון במכפלה ישרה של עותקים של המודול האינג'קטיבי   Hom ⁡ ( R , Q / Z ) {\displaystyle \ \operatorname {Hom} (R,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )} . התכונות הבאות שקולות עבור מודול M {\displaystyle M} המוכל במודול E {\displaystyle E} : M {\displaystyle M} הוא תת-מודול גדול של E {\displaystyle E} , אבל לא של אף מודול המכיל את E {\displaystyle E} ; M {\displaystyle M} הוא תת-מודול גדול של E {\displaystyle E} , ו- E {\displaystyle E} אינג'קטיבי; E {\displaystyle E} אינג'קטיבי ואין לו אף תת-מודול אינג'קטיבי המכיל את M {\displaystyle M} . סגור אינג'קטיבי (injective hull) של M {\displaystyle M} הוא מודול E {\displaystyle E} המקיים את התכונות לעיל. לכל מודול יש סגור אינג'קטיבי יחיד. לדוגמה, הסגור האינג'קטיבי של השלמים (כמודול מעל עצמם) הוא מודול המספרים הרציונליים. הסגור האינג'קטיבי של חוג המטריצות 2x2 המשולשיות-עליונות מעל חוג עם חילוק D {\displaystyle D} , הוא חוג כל המטריצות בגודל זה מעל החוג. הסגור האינג'קטיבי של R / P {\displaystyle R/P} , כאשר R {\displaystyle R} חוג דדקינד ו- P {\displaystyle P} ראשוני, הוא המודול E P {\displaystyle E_{P}} שהוגדר לעיל. כל המודולים מעל R {\displaystyle R} אינג'קטיביים אם ורק אם R {\displaystyle R} חוג פשוט למחצה ארטיני (כלומר, סכום ישר סופי של מטריצות מעל חוגי חילוק); לשם כך מספיק שכל המודולים הציקליים מעל R {\displaystyle R} יהיו אינג'קטיביים (Osofsky). סכום ישר סופי של מודולים אינג'קטיביים הוא אינג'קטיבי, אבל טענה זו אינה נכונה לסכום ישר כלשהו. תכונה זו מתקיימת (למודולים שמאליים) אם ורק אם החוג נתרי (שמאלי). בדומה לזה, כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של מודולים אי-פריקים אם ורק אם החוג נתרי. כל מודול אינג'קטיבי מתפרק לסכום ישר של סגורים אינג'קטיביים של מודולים פשוטים, אם ורק אם החוג ארטיני. באופן כללי תמונה הומומורפית של מודול אינג'קטיבי אינה בהכרח אינג'קטיבית. תכונה זו מתקיימת אם ורק אם החוג תורשתי. לכל מודול יש תת-מודול אינג'קטיבי גדול ביותר, אם ורק אם החוג תורשתי ונתרי. חוג נקרא אינג'קטיבי לעצמו (self injective) אם הוא אינג'קטיבי כמודול מעל עצמו. כל מודול אינג'קטיבי הוא פרויקטיבי, אם ורק אם כל מודול פרויקטיבי הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג אינג'קטיבי לעצמו מימין ומשמאל וארטיני (חוג כזה נקרא חוג קוואזי-פרובניוס). חוג R {\displaystyle R} נקרא לא-סינגולרי (שמאלי) אם לכל איבר שונה מאפס x {\displaystyle x} יש איבר שונה מאפס y {\displaystyle y} , כך שאם a y x = 0 {\displaystyle ayx=0} אז a y = 0 {\displaystyle ay=0} . כל חוג כזה משוכן בחוג רגולרי פון-נוימן (החוג End ⁡ ( Q ) {\displaystyle \operatorname {End} (Q)} כאשר Q {\displaystyle Q} הסגור האינג'קטיבי של R {\displaystyle R} כמודול מעל עצמו). חוג לא-סינגולרי שהוא אינג'קטיבי לעצמו (שמאלי) הוא בעצמו רגולרי פון-נוימן. כאשר R {\displaystyle R} חוג קומוטטיבי, כל המודולים הפשוטים שלו אינג'קטיביים אם ורק אם הוא רגולרי פון-נוימן. מודול Q {\displaystyle Q} הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אם לכל תת-מודול שלו, N {\displaystyle N} , כל הומומורפיזם מ- N {\displaystyle N} ל- Q {\displaystyle Q} ניתן להרחבה כך שיהיה מוגדר על כל Q {\displaystyle Q} . כל מודול אינג'קטיבי הוא קוואזי-אינג'קטיבי, אבל ההפך אינו נכון (החבורה הציקלית מסדר 4 קוואזי-אינג'קטיבית אבל לא אינג'קטיבית). כל מודול פשוט-למחצה הוא קוואזי-אינג'קטיבי. מודול הוא M {\displaystyle M} קוואזי-אינג'קטיבי אם ורק אם הוא אינווריאנטי לחלוטין בסגור האינג'קטיבי שלו (כלומר, כל אנדומורפיזם של הסגור האינג'קטיבי נושא את M {\displaystyle M} לעצמו). אם A ⊕ B {\displaystyle A\oplus B} קוואזי-אינג'קטיבי אז גם המחוברים A , B {\displaystyle A,B} כאלה (אבל ההפך אינו בהכרח נכון). למודולים קוואזי-אינג'קטיביים יש חוג אנדומורפיזמים מעניין: רדיקל ג'ייקובסון שלו כולל את האנדומורפיזמים שהגרעין שלהם עיקרי, וחוג המנה ביחס אליו הוא רגולרי, אינג'קטיבי לעצמו, ואפשר להרים ממנו מערכות בנות-מניה של אידמפוטנטים אורתוגונליים בחזרה אל חוג האנדומורפיזמים. למודול קוואזי-אינג'קטיבי אי-פריק יש חוג אנדומורפיזמים מקומי יוניפורמי (היינו כל שני אידיאלים שמאליים שונים מאפס - נחתכים). חוג האנדומורפיזמים של מודול קוואזי-אינג'קטיבי ולא-סינגולרי הוא רגולרי ואינג'קטיבי לעצמו. מודול הוא skew-injective אם כל אנדומורפיזם של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו. כל מודול קוואזי-איג'קטיבי הוא skew-injective, וההפך נכון עבור מודולים ארטיניים למחצה (מודול הוא ארטיני למחצה אם לכל מנה לא טריוויאלית שלו יש תת-מודול עיקרי שהוא פשוט למחצה). תכונה חלשה עוד יותר נקראת π {\displaystyle \pi } -אינג'קטיביות. מודול הוא π {\displaystyle \pi } -אינג'קטיבי אם כל אנדומורפיזם אידמפוטנטי של תת-מודול שלו, ניתן להרחבה לאנדומורפיזם של המודול כולו. בחבורות אבליות, תכונה זו שקולה ל-skew-injectiveness. מודול הוא יוניפורמי (כל שני תת-מודולים שונים מאפס - נחתכים) אם ורק אם הוא אי-פריק ו- π {\displaystyle \pi } -אינג'קטיבי. מעל חוג נתרי, כל מודול π {\displaystyle \pi } -אינג'קטיבי הוא סכום ישר של מודולים יוניפורמיים. אם כל מודול מעל R {\displaystyle R} הנוצר על ידי שני איברים הוא π {\displaystyle \pi } -אינג'קטיבי, אז R {\displaystyle R} פשוט למחצה ארטיני. אם כל מודול ציקלי מעל R {\displaystyle R} הוא π {\displaystyle \pi } -אינג'קטיבי, אז R {\displaystyle R} הוא מכפלה ישרה של חוג פשוט למחצה ארטיני, וחוג יוניפורמי. Joseph J. Rotman, An Introduction to Homological Algebra The Concise Handbook of Algebra, C.21: Injective Modules, A.A.Tuganbaev. מודול אינג'קטיבי, באתר MathWorld (באנגלית) Shalom Feigelstock, "Divisible is Injective", Soochow J. of Math. Vol 32(2), 241--243, (2006)