הרכבת פונקציות

במתמטיקה, ההרכבה של פונקציות היא פונקציה המתקבלת מהפעלת פונקציות בזו אחר זו. ובאופן פורמלי: אם f {\displaystyle f} פונקציה מ- X {\displaystyle X} ל- Y {\displaystyle Y} ו- g {\displaystyle g} פונקציה מ- Y {\displaystyle Y} ל- Z {\displaystyle Z} , אז ההרכבה g ∘ f {\displaystyle g\circ f} (בסדר זה, קרי: g {\displaystyle g} מורכבת על f {\displaystyle f} ) היא הפונקציה מ- X {\displaystyle X} ל- Z {\displaystyle Z} המוגדרת לפי   ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) {\displaystyle \ (g\circ f)(x)=g(f(x))} . ההרכבה מוגדרת בתנאי שהתמונה של הפונקציה הראשונה ( f {\displaystyle f} ) מוכלת בתחום של הפונקציה השנייה ( g {\displaystyle g} ). התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא האסוציאטיביות של הפעולה: אם אפשר להרכיב את h {\displaystyle h} על g {\displaystyle g} ואת g {\displaystyle g} על f {\displaystyle f} , אז h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f} . בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות במבנים אלגבריים, ובראשם החבורות, הם אסוציאטיביים. לדוגמה, אוסף כל הפונקציות מקבוצה X {\displaystyle X} לעצמה הוא מונויד. פונקציה f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} שהיא פונקציה חד-חד-ערכית ועל היא הפיכה: קיימת g : Y → X {\displaystyle g\colon Y\to X} כך ש- g ∘ f = id X {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}} וגם f ∘ g = id Y {\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}} (דהיינו, ההרכבה g ∘ f {\displaystyle g\circ f} היא פונקציית הזהות על X {\displaystyle X} , ובנוסף ההרכבה f ∘ g {\displaystyle f\circ g} היא פונקציית הזהות על Y {\displaystyle Y} ). למעשה, אם קיימת פונקציה g {\displaystyle g} שכזו היא יחידה, ולכן מכונה "הפונקציה ההופכית של f {\displaystyle f} " ולרוב מסומנת ב- f − 1 {\displaystyle f^{-1}} . הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות פונקציות אלמנטריות. למשל, הפונקציה   f ( x ) = e sin ⁡ ( x 2 ) {\displaystyle \ f(x)=e^{\sin(x^{2})}} היא ההרכבה f = exp ∘ sin ∘ s {\displaystyle f={\mathord {\exp }}\circ {\mathord {\sin }}\circ s} כאשר s ( x ) = x 2 {\displaystyle s(x)=x^{2}} ו- exp ⁡ ( x ) = e x {\displaystyle \exp(x)=e^{x}} . ניתן לדון גם בגבול של הרכבת פונקציות ממשיות: אם f {\displaystyle f} ו- g {\displaystyle g} פונקציות שעבורן lim x → x 0 f ( x ) = y 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}} וכן גם קיים הגבול lim y → y 0 g ( y ) = L {\displaystyle \lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L} (עבור x 0 , y 0 {\displaystyle x_{0},y_{0}} כלשהם), אז הגבול של הרכבת הפונקציות g ∘ f {\displaystyle g\circ f} כאשר x → x 0 {\displaystyle x\to x_{0}} קיים ושווה ל- lim x → x 0 ( g ∘ f ) ( x ) = lim y → y 0 g ( y ) = L {\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}}(g\circ f)(x)=\lim _{y\rightarrow y_{0}}g(y)=L} . אם מתקיים לפחות אחד משני התנאים הבאים, אז גם g ( lim x → x 0 f ( x ) ) = L {\displaystyle g\left(\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)\right)=L} מתקיים: g {\displaystyle g} רציפה ב- y 0 {\displaystyle y_{0}} (כלומר L = g ( y 0 ) {\displaystyle L=g(y_{0})} ) או שקיימת סביבה מנוקבת של x 0 {\displaystyle x_{0}} שבה f ( x ) ≠ y 0 {\displaystyle f(x)\neq y_{0}} . שני תנאים אלו מספיקים אך לא הכרחיים. כלל השרשרת קובע את הנגזרת של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים. מדיה וקבצים בנושא הרכבת פונקציות בוויקישיתוף הרכבת פונקציות, באתר MathWorld (באנגלית)