מספר טרסקי

מספר טרסקי של חבורה G {\displaystyle G} הוא מדד מספרי למרחק של החבורה מתכונת האמנביליות, המכמת ומכליל את פרדוקס בנך-טרסקי. מספר טרסקי מוגדר כמספר הקטן ביותר של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה (ראו להלן). לחבורה סופית, ובאופן כללי יותר לחבורה קומפקטית, אין פירוקים פרדוקסליים. על-פי משפט טרסקי, לחבורה G {\displaystyle G} קיימת חלוקה פרדוקסלית אם ורק אם G {\displaystyle G} אינה אמנבילית; לכן מספר טרסקי הוא סופי אם ורק אם החבורה אינה אמנבלית. תהי G {\displaystyle G} חבורה. פירוק של G לקבוצות זרות A 1 , … , A m , B 1 , … , B n ⊆ G {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m},B_{1},\dots ,B_{n}\subseteq G} נקרא פירוק פרדוקסלי אם יש איברים g 1 , … , g m , h 1 , … , h n ∈ G {\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m},h_{1},\dots ,h_{n}\in G} כך ש G = ⋃ i = 1 m A i g i = ⋃ j = 1 n B j h j {\displaystyle G=\bigcup _{i=1}^{m}A_{i}g_{i}=\bigcup _{j=1}^{n}B_{j}h_{j}} . אם ל- G {\displaystyle G} קיים פירוק פרדוקסלי, מספר טרסקי של G {\displaystyle G} , המסומן T ( G ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(G)} , מוגדר להיות המספר המינימלי של חלקים m + n {\displaystyle m+n} בחלוקה פרדוקסלית שלה. אם אין פירוק כזה, מספר טרסקי של G {\displaystyle G} מוגדר להיות אינסוף. קיימת בספרות הגדרה נוספת של פירוק פרדוקסלי של חבורה. בהגדרה זו, מתווספת הדרישה ש A 1 , … , A m , B 1 , … , B n {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m},B_{1},\dots ,B_{n}} יהוו חלוקה של G {\displaystyle G} והדרישה שהאיחודים ⋃ i = 1 m A i g i {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}A_{i}g_{i}} ו- ⋃ j = 1 n B j h j {\displaystyle \bigcup _{j=1}^{n}B_{j}h_{j}} יהיו איחודים זרים. השוני בהגדרה לא משפיע על הערך המספרי של מספר טרסקי, המוגדר בשני המקרים להיות המספר המינימלי של חלקים בפירוק פרדוקסלי של החבורה. מכיוון שהזזה של תת-קבוצה אמיתית אינה יכולה לכסות את החבורה, בכל חלוקה פרדוקסלית מספרי החלקים מקיימים m , n ≥ 2 {\displaystyle m,n\geq 2} . לכן, מספר טרסקי של חבורה הוא לכל הפחות ארבע. ב-2013 הוכיח מרק ספיר כי קיימות חבורות בעלות מספרי טרסקי סופיים גדולים כרצוננו. יתר על כן, לכל n {\displaystyle n} גדול מספיק, קיימת חבורה בעלת מספר טרסקי בין n {\displaystyle n} ל 2 n {\displaystyle 2n} . למרות זאת, המספרים היחידים המהווים בוודאות מספרי טרסקי של חבורות הם 5 , 4 {\displaystyle 5,4} ו- 6 {\displaystyle 6} . תהי F = ⟨ a , b ⟩ {\displaystyle F=\langle a,b\rangle } חבורה חופשית מדרגה 2. לכל אות c ∈ { a , a − 1 , b , b − 1 } {\displaystyle c\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}} , נגדיר את הקבוצה X c {\displaystyle X_{c}} להיות קבוצת כל המילים המצומצמות ב F {\displaystyle F} הנגמרות ב c {\displaystyle c} . אזי, X a , X a − 1 , X b , X b − 1 {\displaystyle X_{a},X_{a^{-1}},X_{b},X_{b^{-1}}} הן תתי קבוצות זרות של F {\displaystyle F} . כמו כן F = X a a − 1 ∪ X a − 1 = X b b − 1 ∪ X b − 1 {\displaystyle F=X_{a}a^{-1}\cup X_{a^{-1}}=X_{b}b^{-1}\cup X_{b^{-1}}} . לכן, מספר טרסקי של F {\displaystyle F} הוא לכל היותר 4. לפי האמור לעיל, T ( F ) = 4 {\displaystyle {\mathcal {T}}(F)=4} . מכאן נתן להסיק (בעזרת תכונה 1 למטה) כי אם לחבורה G {\displaystyle G} יש תת-חבורה חופשית לא אבלית אז מספר טרסקי של G {\displaystyle G} הוא 4 {\displaystyle 4} . על פי משפט של ג'ונסון ודקר ההפך גם נכון: אם מספר טרסקי של חבורה G {\displaystyle G} הוא 4 {\displaystyle 4} אז ל G {\displaystyle G} יש תת-חבורה חופשית לא אבלית. השערת וון ניומן-דיי, שהופרכה ב 1980 על ידי אולשנסקי, טענה כי כל חבורה לא אמנבילית מכילה תת-חבורה חופשית לא אבלית. במונחים של מספרי טרסקי, ההשערה טענה כי לא קיימות חבורות לא אמנביליות בעלות מספר טרסקי 4 < {\displaystyle 4<} . לכן, חבורות לא אמנביליות בעלות מספרי טרסקי גדולים יכולות להיחשב דוגמאות נגדיות חזקות להשערה. תהי G {\displaystyle G} חבורה. אם H {\displaystyle H} היא תת-חבורה או תמונה הומומורפית של G {\displaystyle G} , אז T ( G ) ≤ T ( H ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\leq {\mathcal {T}}(H)} . אם H ≤ G {\displaystyle H\leq G} היא תת-חבורה מאינדקס סופי. אז T ( H ) − 2 ≤ [ G : H ] ( T ( G ) − 2 ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(H)-2\leq [G:H]({\mathcal {T}}(G)-2)} . אם H ◃ G {\displaystyle H\triangleleft G} היא תת-חבורה נורמלית אמנבילית אז T ( G ) = T ( G / H ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}(G/H)} . אם G {\displaystyle G} חבורה מפותלת, אז T ( G ) ≥ 6 {\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\geq 6} . באופן כללי יותר, אם כל תת-חבורה נוצרת- k {\displaystyle k} של G {\displaystyle G} היא סופית, אז T ( G ) ≥ 2 k + 4 {\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\geq 2k+4} . אם כל תת-חבורה נוצרת- k {\displaystyle k} של G {\displaystyle G} היא אמנבילית, אז T ( G ) ≥ k + 3 {\displaystyle {\mathcal {T}}(G)\geq k+3} . ניתן להכליל את ההגדרות של חלוקה פרדוקסלית ומספר טרסקי למקרה של פעולת חבורה על קבוצה. הגדרה: תהי G ↷ X {\displaystyle G\curvearrowright X} פעולה של חבורה על קבוצה. נגיד כי ל G ↷ X {\displaystyle G\curvearrowright X} קיימת חלוקה פרדוקסלית אם קיימים m , n {\displaystyle m,n} טבעיים, תתי קבוצות זרות A 1 , … , A m , B 1 , … , B n ⊂ X {\displaystyle A_{1},\dots ,A_{m},B_{1},\dots ,B_{n}\subset X} ואיברים g 1 , … , g m , h 1 , … , h n ∈ G {\displaystyle g_{1},\dots ,g_{m},h_{1},\dots ,h_{n}\in G} כך ש- X = ⋃ i = 1 m g i A i = ⋃ j = 1 n h j B j {\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{m}g_{i}A_{i}=\bigcup _{j=1}^{n}h_{j}B_{j}} . מספר טרסקי של הפעולה, המסומן T ( G ↷ X ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(G\curvearrowright X)} , הוא המספר המינימלי של חלקים m + n {\displaystyle m+n} המשתתפים בחלוקה פרדוקסלית שלה. כך, מספר טרסקי של חבורה G {\displaystyle G} , הוא למעשה מספר טרסקי של הפעולה של G {\displaystyle G} על עצמה באמצעות כפל מימין. אם   G ↷ X {\displaystyle \ G\curvearrowright X} והמייצב של כל x ∈ X {\displaystyle x\in X} הוא אמנבילי, אז T ( G ↷ X ) = T ( G ) {\displaystyle {\mathcal {T}}(G\curvearrowright X)={\mathcal {T}}(G)} . בשנת 2014, הוכיחה גילי גולן שכל מספר n ≥ 4 {\displaystyle n\geq 4} הוא מספר טרסקי של פעולה טרנזיטיבית נאמנה של חבורה חופשית לא אבלית. S. Wagon, The Banach-Tarski paradox, Cambridge University Press, (1985). T. Ceccherini-Silberstein, R. Grigorchuk and P. de la Harpe, Amenability and paradoxical decompositions for pseudogroups and discrete metric spaces, Proc. Steklov Inst. Math. 224 (1999), no. 1, 57 –97. M. Ershov, G. Golan and M. Sapir, The Tarski numbers of groups, http://arxiv.org/abs/1401.2202. G. Golan, Tarski numbers of group actions, preprint (2014), http://arxiv.org/abs/1406.5689 N. Ozawa and M. Sapir, Non-amenable groups with arbitrarily large Tarski number?, mathoverflow question 137678. הפרדוקס של בנך-טרסקי מספרי טרסקי של חבורות - הרצאה מאת מרק ספיר (באנגלית)