יחסי קרמרס–קרוניג

יחסי קרמרס-קרוניג הם תכונות מתמטיות המקשרות את החלק הממשי והחלק המדומה של פונקציה מרוכבת שהיא אנליטית בחצי המישור העליון. יחסים אלה משמשים לעיתים קרובות לקשר בין החלק הממשי והמדומה של פונקציית היגב (response function) במערכת פיזיקלית מכיוון שסיבתיות מבטיחה שפונקציית ההיגב היא אנליטית, ולהפך, אנליטיות מבטיחה סיבתיות במערכת הפיזיקלית. היחסים קרויים על שם ראלף קרוניג והנדריק אנתוני קרמרס. עבור פונקציה מרוכבת   χ ( ω ) = χ 1 ( ω ) + i χ 2 ( ω ) {\displaystyle \ \chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )} של משתנה מרוכב ω {\displaystyle \omega } , שהיא פונקציה אנליטית בחצי מישור העליון של ω {\displaystyle \omega } ושדועכת מהר יותר לאפס מאשר   1 / | ω | {\displaystyle \ 1/|\omega |} בגבול | ω | → ∞ {\displaystyle |\omega |\rightarrow \infty } , יחסי קרמרס-קרוניג הם: χ 1 ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ {\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '} ו- χ 2 ( ω ) = − 1 π P ∫ − ∞ ∞ χ 1 ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ , {\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',} כאשר P {\displaystyle {\mathcal {P}}} מציין את הערך העיקרי של קושי (Cauchy principal value). אנו רואים שהחלק הממשי והחלק המדומה אינם בלתי-תלויים, כך שאפשר לשחזר אחד מהם על סמך ידיעת השני. ההוכחה מתחילה ביישום משפט השארית לאינטגרציה מרוכבת. בהינתן פונקציה אנליטית   χ ( ω ′ ) {\displaystyle \ \chi (\omega ')} בחצי המישור העליון, הפונקציה   χ ( ω ′ ) / ( ω ′ − ω ) {\displaystyle \ \chi (\omega ')/(\omega '-\omega )} , כאשר ω {\displaystyle \omega } הוא מספר ממשי, תהיה גם היא אנליטית בחצי המישור העליון. ממשפט השארית נובע ש- ∮ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ = 0 {\displaystyle \oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0} לכל מסילה בתוך אזור זה. אנו בוחרים את המסילה לעקוב אחרי הישר הממשי (real axis), ואז לעקוף מלמעלה את הקוטב ב- ω = ω ′ {\displaystyle \omega =\omega '} , ואז לעבור בקשת חצי-מעגלית בחצי המישור העליון כאשר רדיוסה שואף לאינסוף. אזי אנו מפרקים את האינטגרל לחלקיו השונים ותרומותיו לאורך כל חלק משלושת חלקי המסילה. אורך המסילה הקשתית באינסוף פרופורציונלי ל-   | ω | {\displaystyle \ |\omega |} , אך תרומתה מתאפסת אם   χ ( ω ) {\displaystyle \ \chi (\omega )} דועכת יותר מהר מאשר   1 / | ω | {\displaystyle \ 1/|\omega |} . לכן אנו נשארים עם הקטע על הישר הממשי וחצי העיגול סביב הקוטב: ∮ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ = P ∫ − ∞ ∞ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ − i π χ ( ω ) = 0. {\displaystyle \oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.} את האיבר השני באמצע הביטוי מוצאים לפי משפט השארית. עם קצת אלגברה, מקבלים ביטוי קומפקטי שנותן את יחסי קרמרס-קרוניג χ ( ω ) = 1 i π P ∫ − ∞ ∞ χ ( ω ′ ) ω ′ − ω d ω ′ . {\displaystyle \chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.} הפקטור i {\displaystyle i} (מספר היחידה הדמיוני i2=-1) במכנה מרמז לקשר בין החלק הממשי לחלק המדומה של הפונקציה. לבסוף, רושמים את χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )} כחלק ממשי וחלק מדומה, ומהביטוי לעיל מקבלים את יחסי קרמרס-קרוניג כפי שהם נתונים בסעיף "הגדרה". ניתן ליישם את הפורמליזם של קרמרס-קרוניג לפונקציות היגב ליניאריות. בפיזיקה, פונקציית ההיגב χ ( t − t ′ ) {\displaystyle \chi (t-t')} מתארת כיצד תכונה מסוימת P ( t ) {\displaystyle P(t)\!} של המערכת הפיזיקלית מגיבה לשינוי חיצוני או "כוח" חיצוני F ( t ′ ) {\displaystyle F(t')\!} , כך ש P ( t ) = ∫ − ∞ ∞ χ ( t − t ′ ) F ( t ′ ) d t ′ = ∫ − ∞ t χ ( t − t ′ ) F ( t ′ ) d t ′ {\displaystyle P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t')F(t')dt'=\int _{-\infty }^{t}\chi (t-t')F(t')dt'} , השיויון האחרון נכון מכיוון ש χ ( t − t ′ ) = 0 {\displaystyle \chi (t-t')=0\!} עבור t < t ′ {\displaystyle t<t'\!} . זוהי המשמעות של סיבתיות, הכח F ( t ′ ) {\displaystyle F(t')\!} יכול להשפיע רק על העתיד של P ( t ) {\displaystyle P(t)\!} . על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה הביטוי יכתב במרחב התדר כ P ( ω ) = χ ( ω ) F ( ω ) {\displaystyle P(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )\!} . כדוגמה לשימוש בביטוי P ( t ) {\displaystyle P(t)\!} יכולה להיות זווית של מטוטלת ו- F ( t ) {\displaystyle \!F(t)} הכוח שמפעיל מנוע המניע את המטוטלת וכך פונקציית ההיגב χ ( t − t ′ ) {\displaystyle \chi (t-t')} מתאפסת עבור t < t ′ {\displaystyle t<t'\!} שכן המטוטלת לא יכולה להגיב לפני שההכח החיצוני פעל עליה. ניתן להראות שמתנאי הסיבתיות, נובע שטרנספורם פורייה של χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )\!} הוא אנליטי בחצי מישור העליון. הוכחה זו ניתן להתחיל מהטיעון הפשוט הבא מכיוון שהפונקציה סיבתית χ ( τ < 0 ) = 0 {\displaystyle \chi (\tau <0)=0} הביטוי הבא הוא טריוויאלי : χ ( τ ) = χ ( τ ) Θ ( τ ) {\displaystyle \chi (\tau )=\chi (\tau )\Theta (\tau )} כאשר Θ ( τ ) {\displaystyle \Theta (\tau )} היא פונקציית המדרגה. כעת ניקח טרנספורם פורייה של שני צידי המשוואה על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה ונקבל כי χ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ Θ ~ ( ω − ω ′ ) χ ( ω ′ ) d ω ′ 2 π {\displaystyle \chi (\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {\Theta }}(\omega -\omega ')\chi (\omega '){\frac {d\omega '}{2\pi }}} כאשר הגדרנו את Θ ~ ( ω ) {\displaystyle {\tilde {\Theta }}(\omega )} כטרנספורם פורייה של Θ ( τ ) {\displaystyle \Theta (\tau )} . על מנת לבצע את הטרנספורם יש להוסיף מקדם אינפיניטסימלי ϵ {\displaystyle \epsilon } : Θ ~ ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ Θ ( τ ) e i ω τ d τ = ∫ 0 ∞ e i ω τ − ϵ τ d τ = i ω + i ϵ {\displaystyle {\tilde {\Theta }}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\Theta (\tau )e^{i\omega \tau }d\tau =\int _{0}^{\infty }e^{i\omega \tau -\epsilon \tau }d\tau ={\frac {i}{\omega +i\epsilon }}} נציב את הביטוי ונקבל את יחס קרמרס קרוניג. את האינטגרל עם הקוטב האינפיטיסימלי ניתן לרשום באמצעות הביטוי לאינטגרל לא שלם P ∫ {\displaystyle {\mathcal {P}}\int } . כאשר יש לזכור כי הקוטב נמצא בחצי השלילי של המישור המרוכב. אם אנו משעבדים את המערכת לכוח מחזורי עם תדירות הגבוהה בהרבה מתדירות התהודה (resonance) הגבוהה ביותר שלה, למערכת לא יהיה זמן להגיב לפני שהאילוץ החליף כיוון, ולכן χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )\!} מתאפסת כש- ω {\displaystyle \omega \!} נהיה מאוד גדול. משיקולים פיזיקליים אלה, אנו רואים ש- χ ( ω ) {\displaystyle \chi (\omega )\!} מספקת את התנאים עבור קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג. החלק המדומה של פונקציית ההיגב מתאר כיצד המערכת מאבדת אנרגיה, שכן היא לא באותו מופע עם הכוח המאלץ. מיחסי קרמרס-קרוניג נובע שמספיק לדעת את איבוד האנרגיה של המערכת כדי לקבוע את תגובתה שבאותן מופע, ולהפך. נוסחאות אלה לא שימושיות בשחזור פונקציית ההיגב שכן האינטגרלים נעים מ- − ∞ {\displaystyle -\infty } עד ל- ∞ {\displaystyle \infty } , ובכך מרמזים שאנו יודעים את ההיגב בתדירויות שליליות. ברוב המערכות, התגובה לתדירויות חיוביות קובעת גם את התגובה לתדירויות שליליות שכן   χ ( ω ) {\displaystyle \ \chi (\omega )} היא טרנספורם פורייה של פונקציה ממשית   χ ( t − t ′ ) {\displaystyle \ \chi (t-t')} , ולכן   χ ( − ω ) = χ ∗ ( ω ) {\displaystyle \ \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )} . זה אומר ש-   χ 1 ( ω ) {\displaystyle \ \chi _{1}(\omega )} היא פונקציה זוגית של התדירות ו-   χ 2 ( ω ) {\displaystyle \ \chi _{2}(\omega )} היא פונקציה אי-זוגית של התדירות. על ידי שימוש בתכונות אלה, אפשר לצמצם את טווח האינטגרציה לקטע [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} . באמצעות היחס הראשון שנותן את החלק הממשי   χ 1 ( ω ) {\displaystyle \ \chi _{1}(\omega )} נהפוך את האינטגרל לאינטגרל עם זוגיות מוגדרת על ידי הכפלת המונה והמכנה של האינטגרנד ב- ω ′ + ω {\displaystyle \omega '+\omega } ונפריד χ 1 ( ω ) = 1 π P ∫ − ∞ ∞ ω ′ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ + ω π P ∫ − ∞ ∞ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ . {\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '+{\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.} מאחר ש-   χ 2 ( ω ) {\displaystyle \ \chi _{2}(\omega )} היא פונקציה אי-זוגית, האינטגרל השני מתאפס ואנו נותרים עם χ 1 ( ω ) = − 2 π P ∫ 0 ∞ ω ′ χ 2 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ . {\displaystyle \chi _{1}(\omega )=-{2 \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{0}^{\infty }{\omega '\chi _{2}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.} פיתוח דומה עבור החלק המדומה נותן χ 2 ( ω ) = 2 π P ∫ 0 ∞ ω χ 1 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ = 2 ω π P ∫ 0 ∞ χ 1 ( ω ′ ) ω ′ 2 − ω 2 d ω ′ . {\displaystyle \chi _{2}(\omega )={2 \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{0}^{\infty }{\omega \chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '={2\omega \over \pi }{\mathcal {P}}\int \limits _{0}^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '^{2}-\omega ^{2}}\,d\omega '.} אלו הם יחסי קרמרס-קרוניג השימושיים עבור פונקציית היגב פיזיקלית. באלקטרומגנטיות ואופטיקה, חומר דיאלקטרי הוא חומר מבודד בעל מקדם דיאלקטרי יחסי, המתאר כיצד הוא מגיב לשדה חשמלי ויוצר פולריזציה (קיטוב) בחומר. למקדם הדיאלקטרי גם חלק מדומה, הקובע את הבליעה של קרינה אלקטרומגנטית בחומר. יחסי קרמרס-קרוניג מאפשרים לחשב את בליעת החומר (החלק המדומה) בהינתן מקדם דיאלקטרי כתלות בתדר (החלק הממשי), ולהפך. המקדם הדיאלקטרי היחסי נתון על ידי   ε r = 1 + χ {\displaystyle \ \varepsilon _{r}=1+\chi } כאשר   χ {\displaystyle \ \chi } היא הסוספטיביליות החשמלית (מניחות) של החומר, המתארת את היחס בין הקיטוב שנוצר בחומר לבין השדה החשמלי:   P → = ϵ 0 χ E → {\displaystyle \ {\vec {P}}=\epsilon _{0}\chi {\vec {E}}} מאחר שהשפעת השדה החשמלי על המטענים בחומר איננה מיידית, יש לקחת קונבולוציה של המניחות עם השדה החשמלי כדי לקבל את הקיטוב:   P → = ϵ 0 ∫ − ∞ t χ ( t − t ′ ) E → ( t ′ ) {\displaystyle \ {\vec {P}}=\epsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}{\chi (t-t'){\vec {E}}(t')}} גבולות האינטגרציה הן עד זמן t כי החומר לא מגיב לפני שהופעל עליו שדה (   t − t ′ < 0 {\displaystyle \ t-t'<0} ואז   χ ( t − t ′ < 0 ) = 0 {\displaystyle \ \chi (t-t'<0)=0} ). תכונה זו - הסיבתיות - מבטיחה אנליטיות של טרנספורם פורייה של המניחות למרחב התדר, ולכן את קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג, מהם ניתן לחלץ את המניחות והמקדם הדיאלקטרי כתלות בתדר. הול והק מציגים הוכחה קשורה ליחסים אלה שלא מערבת אינטגרל מסילתי. היא מבוססת על העובדות הבאות: ניתן לבנות תגובת הלם סיבתית מפונקציה זוגית ועוד אותה פונקציה מוכפלת בפונקציית הסימן. חלקים זוגיים ואי-זוגיים של פונקציית הגל במרחב הזמן מתאימים לאינטגרלי פורייה הממשיים והמדומים בהתאמה. הכפלה בפונקציית הסימן במרחב הזמן מתאימה לקונבולוציה עם גרעין הילברט (Hilbert kernel) במרחב התדר. הוכחה זו שונה מזו שלמעלה בזה שהיא מקשרת את החלקים הממשי והמדומה של כל פונקציה במרחב התדר שהיא סיבתית במרחב הזמן, ועוקפת את התנאי שעל הפונקציה להיות אנליטית בחצי המישור העליון במרחב התדר. ניתן למצוא גרסה מורחבת ויותר ציורית של הוכחה זו, למשל בלינק זה.. משפט השארית טרנספורם הילברט פונקציית היגב ליניארית נפיצה Mansoor Sheik-Bahae: Nonlinear Optics Basics. Kramers–Kronig Relations in Nonlinear Optics, in: Robert D. Guenther (Ed.): Encyclopedia of Modern Optics, Academic Press, Amsterdam 2005, ISBN 0-12-227600-0 Valerio Lucarini, Jarkko J. Saarinen, Kai-Erik Peiponen, and Erik M. Vartiainen : Kramers-Kronig relations in Optical Materials Research, Springer, Heidelberg, 2005, ISBN 3-540-23673-2 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd edition, Wiley, New York (1975), Sec. 7.10, ISBN 0-471-43132-X. John S. Toll, Causality and the Dispersion Relation: Logical Foundations, Physical Review, vol. 104, pp. 1760 - 1770 (1956). R. de L. Kronig, On the theory of the dispersion of X-rays, J. Opt. Soc. Am., vol. 12, pp. 547-557 (1926). H.A. Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Intern. Fisica, (Transactions of Volta Centenary Congress) Como, vol. 2, p. 545-557 (1927) . Mathematical Methods for Physicists G. Arfken (Academic Press, Orlando 1985) John David Jackson (1999). Classical Electrodynamics. Wiley. pp. 332-333. ISBN 0-471-43132-X. Stephen H. Hall, Howard L. Heck. (2009). Advanced signal integrity for high-speed digital designs. Hoboken, N.J.: Wiley. pp. 331–336. ISBN 0470192356. "Kramers-Kronig in Pictures".(הקישור אינו פעיל)