גלי הסירה של קלווין

גלי הסירה של קלווין (Kelvin ship waves) הם גלים על פני המים שיוצרת סירה, או למשל, עוף מים, הנעים במים שקטים. גלים אלו מופיעים אחרי הגוף הנע כזוג "קרניים" שהמפתח הזוויתי ביניהם הוא בדיוק   ϕ = 2 arcsin ⁡ ( 1 / 3 ) {\displaystyle \ \phi =2\arcsin(1/3)} כלומר כ-   39 0 {\displaystyle \ 39^{0}} , וזאת ללא תלות במהירות הסירה. גלי הסירה של קלווין נובעים מיחס הנפיצה של גלי מים עמוקים בגבול של אורכי גל גדולים, ω = g k {\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}} , והם תוצאה של התאבכות גלים היוצרת קוסטיקה (בלעז caustics). קוסטיקות קשורות במגוון של תופעות נוספות, שהמוכרות בהן הן הקשת בענן וריצודי האור על קרקעית של בריכת מים. הגלים נקראים על שמו של הפיזיקאי בן המאה התשע עשרה, הלורד קלווין. עופות מים וסירות שנעים על פני המים יוצרים תבנית גלים אופיינית דמוית - נוצה, שהתיאור המתמטי שלה הוסבר לראשונה על ידי לורד קלווין, במסגרת מחקריו המעמיקים על ההידרודינמיקה של ספינות. קלווין התייחס לתנועה יחסית ישרה ובמהירות קבועה של מקור לחץ נקודתי על פני המים. כשמקור הלחץ נע, הוא מחולל גלי מים בתחום רחב של אורכי גל, אולם כל הגלים יימצאו בין זוג קרניים שנפגשות במקור הגלים ויוצרות זווית של   38.94 0 {\displaystyle \ 38.94^{0}} . מאפייני תבנית זו הם בלתי תלויים במהירות ובגודל של מקור הגלים על פני תחום רחב של ערכים שלהם. הזוויות של התבנית אינן תכונות אופייניות של מים בלבד: כל זורם איזנטרופי ובלתי דחיס עם צמיגות נמוכה יפגין אותה ההתנהגות. יותר מכך, לתופעה זו אין שום קשר לטורבולנציה. כל הפיתוח של צורת התבנית מתבסס אך ורק על התאוריה הליניארית של זורם אידיאלי, כלומר על תאוריית הגלים של איירי. בנוסף, המים לא חייבים להיות נייחים; גם במקרה של עצם נייח המונח כאשר מים זורמים על פניו, כמו במקרה של נהר זורם (כל עוד המים עמוקים ויש מהירות יחסית בין העצם למים), תיווצר תבנית זהה. אי-התלות של מאפייני התבנית נובעת ישירות מיחס הנפיצה של גלים על פני מים עמוקים ω = g k {\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}}} (בגלי מים עמוקים אורך הגל קטן בהרבה מעומק המים). כשמקור הלחץ נע, הוא מייצר גלים שמתקדמים במהירויות מופע שונות, כאשר הגלים הארוכים יותר נעים מהר יותר. הגלים הארוכים ביותר, שנעים במהירות מופע שגדולה ממהירות מקור הגלים v {\displaystyle v} , ייטמעו במים הסובבים כך שלא ניתן יהיה להבחין בהם בקלות. גלים אחרים בעלי מהירות מופע מתחת ל- v {\displaystyle v} , לעומת זאת, יוגברו דרך התאבכות בונה וייצרו גלי הלם מובחנים, המופיעים במיקום קבוע ביחס למיקום הסירה. ביחס לסירה, הזווית θ {\displaystyle \theta } בין החזית של גל באורך גל ספציפי ונתיב מקור הגלים מקיימת θ = a r c s i n ( c / v ) {\displaystyle \theta =arcsin(c/v)} (כש-c מהירות המופע של הגלים), בדומה לקונוס שנוצר מאחורי מטוס על-קולי (ראו גם בום על קולי). אם c/v > 1 או 1-> c/v, אף גל מאוחר יותר לא יוכל להתאבך באופן בונה עם גל שנוצר מוקדם יותר, וחזיתות הלם לא ייווצרו. עם זאת, חזיתות ההלם הללו יופיעו בזוויות צרות יותר מאלו שניתן לצפות, שכן המהירות שמכתיבה בפועל את אזורי ההתאבכות של חזיתות הגלים היא מהירות החבורה של הגלים, שבמים עמוקים היא חצי ממהירות המופע של הגלים! כדי למצוא את הזווית המדויקת של תבנית הגלים, ניתן להיעזר בבנייה גאומטרית הבאה: נתייחס לנקודה T באיור; זו נקודת האמצע של הניצב SQ. נקודה זו מייצגת לאן הגיעו חבילת הגלים שהתקדמה במהירות החבורה. הזווית של חזית ההלם מתקבלת כזווית המרבית שיוצר התיכון PT (עם כיוון התנועה PQ) כאשר ערכי θ {\displaystyle \theta } רצים בין 0 ל-90 מעלות. בעיה זאת שקולה למציאת נקודת קיצון לפונקציה הבאה: ϕ ( a ) = a r c t a n ( 2 a ) − a r c t a n ( a ) , ( 2 a = c v 2 − c 2 ) {\displaystyle \phi (a)=arctan(2a)-arctan(a),(2a={\frac {c}{\sqrt {v^{2}-c^{2}}}})} . גזירה נותנת: d ϕ d a = 2 1 + 4 a 2 − 1 1 + a 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d\phi }{da}}={\frac {2}{1+4a^{2}}}-{\frac {1}{1+a^{2}}}=0} , הפתרון הוא: a = 0.71 {\displaystyle a=0.71} , ערך שמתאים לזווית θ =   54.74 0 {\displaystyle \theta =\ 54.74^{0}} ולזווית ϕ =   19.47 0 {\displaystyle \phi =\ 19.47^{0}} . ניתן להראות גם שזווית זו שווה במדויק ל- a r c s i n ( 1 / 3 ) {\displaystyle arcsin(1/3)} , תוצאה שניתן לפרש אותה גם כאילו לכל העצמים שנעים ומחוללים גלי שטח על פני תווך דיספרסיבי (מים עמוקים) יש "מספר מאך אפקטיבי" 3. האבחנה שתוצאה זו חלה רק במים עמוקים מובילה ישירות גם למגבלות הפיתוח של צורת התבנית: במהירויות גבוהות מדי של מקור הגלים, גלי המים הנוצרים הופכים ארוכים מאוד, ואורך הגל שלהם הופך בר-השוואה לעומק המים - כך שיחס הנפיצה במים עמוקים אינו תקף יותר (מצב כזה לא קורה באוקיינוס הפתוח, אלא בנהרות מהירים או אגמים רדודים). בדומה לכך, במהירויות נמוכות מדי, אורכי הגל הקצרים שנוצרים הם אופייניים לגלים קפילריים, להם יחס נפיצה שונה מזה של גלי מים עמוקים, כך שהפיתוח לא תקף יותר. מדיה וקבצים בנושא גלי הסירה של קלווין בוויקישיתוף גלי הסירה של קלווין תחום התדירויות תואם בקירוב לטרנספורם פורייה של פונקציית הלחץ לפי הזמן ( P ( t ) {\displaystyle P(t)} ) במיקום קבוע, כפי שנגזרת מתאוריית הזרימה הפוטנציאלית מסביב למקור הגלים. כך למשל, במקרה של זרימה פוטנציאלית מסביב לגליל או לכדור, התדירות האופיינית המתקבלת היא מסדר גודל של v / L {\displaystyle v/L} , כאשר L הוא האורך האופייני של הגוף (קוטר במקרה של כדור). כמו בכל פירוק הרמוני של פונקציה לא סינוסואידלית, יתקבלו גם תדרים גבוהים יותר מהתדר האופייני.