עוצמה (מתמטיקה)

המונח המתמטי עוצמה, מספר קרדינלי או מספר מונה מתאר גודל של קבוצה שאינו תלוי בתכונות האיברים בקבוצה או בקשרים ביניהם. עוצמה של קבוצה סופית מוגדרת כמספר האיברים בקבוצה.(למשל העוצמה של קבוצת המספרים {8-,2,3,7} היא 4, והעוצמה של קבוצת חודשי השנה היא 12). במילים אחרות, עוצמה היא הכללה של גודל (מספר האיברים) של קבוצה סופית לגודל של קבוצה אינסופית (למשל קבוצת כל המספרים הטבעיים). תוצאה בסיסית בתורת הקבוצות מראה כי קיימות קבוצות אינסופיות ה"גדולות" יותר מקבוצות אינסופיות אחרות. מכאן שיש עוצמות סופיות ויש עוצמות אינסופיות. העוצמות הסופיות הן המספרים הטבעיים (כולל אפס), וכאמור הן מתאימות למונח האינטואיטיבי של מספר האיברים בקבוצה. לדוגמה: העוצמה של הקבוצה הריקה היא אפס. העוצמה של קבוצת ימי השבוע היא שבע. העוצמה של קבוצת חברי הכנסת המכהנים היא 120. דוגמאות לקבוצות עם עוצמה אינסופית: כל המספרים השלמים המתחלקים בשלוש. כל המספרים (הלא שלמים) בין אפס לאחד. כל המספרים הממשיים. את העוצמה של קבוצה A {\displaystyle A} מסמנים | A | {\displaystyle |A|} ולעיתים גם ב- card ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {card} (A)} . לעיתים, מסמנים קבוצה בתור אות ישרה A {\displaystyle \mathrm {A} } , ואת העוצמה שלה בתור אות נטויה A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . ערכים מורחבים – קבוצות שקולות, מחלקת שקילות רבים מהדברים שאפשר להגיד על קבוצות נשמעים מובנים מאליהם בקבוצות סופיות, ומקבלים משמעות עמוקה, ולעיתים מפתיעה, בקבוצות אינסופיות. דוגמה לכך היא התשובה לשאלה "מתי שתי קבוצות הן באותו גודל". עבור שתי קבוצות סופיות זו שאלה פשוטה - סופרים את איבריהן, ואם מגיעים לאותו המספר, אז יש אותה עוצמה. הקושי עם הגדרה זו הוא שאין אפשרות להכליל אותה לקבוצות אינסופיות, לכן יש צורך להגדיר מושג שונה מעט. ההגדרה של עוצמה מורכבת יותר, אך גם כללית יותר ולכן חלה הן על קבוצות סופיות והן על קבוצות אינסופיות. באופן אינטואיטיבי, שתי קבוצות נקראות שקולות, אם אפשר לסדר את אבריהן בזוגות, בכל זוג יש אבר אחד מכל קבוצה, כך שכל אבר משתתף רק בזוג אחד, וכל האיברים משתי הקבוצות משתתפים בסידור. ובאופן פורמלי, שתי קבוצות שקולות עוצמה אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מקבוצה אחת לשנייה. כאשר מדובר בקבוצות סופיות, פעולת הספירה של איבריהן יוצרת התאמה חד-חד ערכית בין איבריהן. אחת התוצאות המפתיעות הראשונות של ההגדרה הזו היא שקבוצה יכולה לחפוף לתת קבוצה שלה. לדוגמה, קבוצת כל המספרים הטבעיים 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle 1,2,3,\dots } חופפת לקבוצת כל המספרים הזוגיים 2 , 4 , 6 , … {\displaystyle 2,4,6,\dots } , כאשר ההתאמה או הזיווג הוא של כל מספר טבעי n {\displaystyle n} עם המספר הזוגי 2 n {\displaystyle 2n} . ברור שההתאמה הזו מסדרת את המספרים משתי הקבוצות בזוגות, ושהזוגות ממצים את כל המספרים משתי הקבוצות. כלומר, לקבוצת המספרים הטבעיים ולקבוצת המספרים הזוגיים יש אותה עוצמה. במערכת המונחים המתמטיים לוקחים את התכונה המפתיעה הזו של קבוצות אינסופיות, שהן יכולות לחפוף לתת קבוצה ממש שלהן (כלומר, תת-קבוצה שאינה אותה קבוצה), והופכים אותה להגדרה של קבוצות אינסופיות: קבוצה אינסופית היא קבוצה החופפת לתת קבוצה ממש של עצמה. תוצאה שאינה מובנת מאליה, היא הוכחתו של גאורג קנטור שהמספרים הרציונליים החיוביים הם קבוצה בת־מנייה. כלומר, קיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בינם לבין המספרים הטבעיים. אכן, לכל מספר רציונלי r השונה מ 0 קיים זוג מספרים שלמים יחיד a, b כך ש- r = a b {\displaystyle r={\frac {a}{b}}} ו- a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} הוא שבר מצומצם (כלומר gcd(a,b)=1). נקרא ל- | a | + | b | {\displaystyle |a|+|b|} הגובה של r {\displaystyle r} . לכל n {\displaystyle n} טבעי יש מספר סופי של שברים מגובה n {\displaystyle n} , ולכן אפשר למנות את הרציונליים על ידי מעבר על השברים מגובה 1, אחר-כך על השברים מגובה 2, וכן הלאה. עוצמת כל הקבוצות האינסופיות בדוגמאות לעיל שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. אך אין זה נכון שלכל הקבוצות האינסופיות יש אותה עוצמה: משפט קנטור קובע שעוצמתה של קבוצת החזקה של A {\displaystyle A} גדולה מעוצמתה של A {\displaystyle A} , ובפרט, לכל קבוצה קיימת קבוצה בעלת עוצמה גדולה יותר. אוסף כל העוצמות הוא כה גדול עד שבתורת הקבוצות האקסיומטית הוא אינו נחשב לקבוצה אלא למחלקה (ולכן אין לו עוצמה). נימוק האלכסון של קנטור מראה כי המספרים הממשיים אינם בני מנייה. יתר על כן, כל קטע (פתוח או סגור) של מספרים ממשיים אינו בן מנייה. בנוסף, עוצמת כל קטע שווה לעוצמת הרצף, מאחר שניתן להגדיר פונקציה הפיכה מהקטע לקבוצת הממשיים. את העוצמה של המספרים הטבעיים סימן קנטור באות העברית ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} (קרי: אָלֶף אֶפֶס), ואת עוצמת הממשיים (עוצמת הרצף) סימן באות ℵ {\displaystyle \aleph } (כיום משתמשים גם בסימון c {\displaystyle c} לעוצמה זו). למעשה עוצמת המספרים הממשיים שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים, כלומר ℵ = 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph =2^{\aleph _{0}}} . אפשר להגדיר פעולות חיבור, כפל וחזקה בין עוצמות, באופן המכליל את פעולות אלה בין מספרים טבעיים. כדי לעשות פעולות אלה בין עוצמות יש לבחור קבוצות שעוצמתן שווה לעוצמות הנתונות. ניתן להוכיח שהפעולות אינן תלויות בבחירת הקבוצות, לכן הפעולות מוגדרות היטב. חיבור: הסכום | A | + | B | {\displaystyle |A|+|B|} מוגדר כעוצמת האיחוד A ∪ B {\displaystyle A\cup B} , בתנאי שהקבוצות A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} זרות. זוהי פעולה קומוטטיבית ואסוציאטיבית, אך קיומן של עוצמות אינסופיות אינו מאפשר להגדיר את פעולת החיסור: ℵ 0 + n = ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}+n=\aleph _{0}} לכל n {\displaystyle n} טבעי, ואפילו ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}+\aleph _{0}=\aleph _{0}} . הסכום של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת באותה צורה כעוצמה של האיחוד של קבוצות מעוצמות מתאימות, שזרות זו לזו בזוגות. ראו עקרון החיבור. כפל: המכפלה | A | ⋅ | B | {\displaystyle |A|\cdot |B|} מוגדרת כעוצמתה של המכפלה הקרטזית A × B {\displaystyle A\times B} . גם פעולה זו היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית, ואף דיסטריבוטיבית ביחס לחיבור. המכפלה של קבוצה כלשהי של עוצמות מוגדרת באותה צורה כעוצמת המכפלה הקרטזית של קבוצות מעוצמות מתאימות. ראו עקרון הכפל. חזקה: החזקה | A | | B | {\displaystyle |A|^{|B|}} מוגדרת כעוצמתה של קבוצת הפונקציות B → A {\displaystyle B\rightarrow A} . הפעולה מקיימת את האקסיומות הרגילות של החזקה, כדוגמת | A | | B | + | C | = | A | | B | ⋅ | A | | C | {\displaystyle |A|^{|B|+|C|}=|A|^{|B|}\cdot |A|^{|C|}} ו- | A | | B | ⋅ | C | = ( | A | | B | ) | C | {\displaystyle |A|^{|B|\cdot |C|}=(|A|^{|B|})^{|C|}} . מכיוון שיש בדיוק פונקציה אחת מן הקבוצה הריקה לכל קבוצה (הלא היא הפונקציה הריקה), מתקיים | A | 0 = 1 {\displaystyle |A|^{0}=1} לכל עוצמה; בפרט 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} . ממשפט קנטור ומההתאמה בין קבוצת החזקה לקבוצת הפונקציות מקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצה { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} מקבלים | A | < | P ( A ) | = 2 | A | {\displaystyle |A|<|P(A)|=2^{|A|}} . בהשוואה לזה, עקבי להניח את השערת הרצף 2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} , את שלילתה 2 ℵ 0 > ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}>\aleph _{1}} , ואפילו את הגרסה החזקה יותר של השלילה, 2 ℵ 1 = 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{1}}=2^{\aleph _{0}}} (ראו משפט איסטון (אנ')). אם מניחים את אקסיומת הבחירה, ולפחות אחת מהעוצמות κ , μ {\displaystyle \kappa ,\mu } היא אינסופית והשנייה שונה מ-0, אז מתקיים κ + μ = κ ⋅ μ = max { κ , μ } {\displaystyle \kappa +\mu =\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}} . לכן עיקר העניין הוא במכפלות ובסכומים אינסופיים של עוצמות. הגדרת העוצמה כמחלקת שקילות של קבוצות בעלות אותו מספר איברים (כפי שהוגדרה להלן), היא בעייתית במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית, משום שבהגדרה הזו כל עוצמה היא מחלקה ולא קבוצה. לכן, תחת ההגדרה הנאיבית, לא ניתן לדבר על קבוצות של עוצמות ומושגים דומים במסגרת השפה מסדר ראשון של ZFC. ניתן להתגבר על הבעיה הזו באופן כללי על ידי שימוש ב"טריק" של דנה סקוט, באמצעות שימוש באקסיומת היסוד - נגדיר את העוצמה של הקבוצה X להיות אוסף כל הקבוצות בעלות דרגה מינימלית שיש פונקציה חח"ע ועל ביניהן לבין X {\displaystyle X} . ניתן להראות כי אוסף זה הוא אכן קבוצה. בהנחת אקסיומת הבחירה ניתן לפתור את הבעיה באופן פשוט יותר, באמצעות הגדרת המונה של פון-נוימן: מונה הוא סודר μ {\displaystyle \mu } כך שלכל סודר α < μ {\displaystyle \alpha <\mu } אין העתקה חח"ע מ- μ {\displaystyle \mu } ל- α {\displaystyle \alpha } . אקסיומת הבחירה שקולה לכך שכל עוצמה מיוצגת על ידי מספר מונה - כלומר שלכל קבוצה X {\displaystyle X} יש מונה שעוצמתו היא | X | {\displaystyle |X|} . כיוון שהמונים הם סודרים - הם סדורים היטב, ולכל מונה יש מונה מינימלי שגדול ממנו שנקרא המונה העוקב. למשל המונה הראשון שגדול מ- ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} מסומן ב- ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} . ניתן להמשיך ולהגדיר באינדוקציה טרנספיניטית את סדרת ה"אלף" - סדרת העוצמות של המונים האינסופיים: ℵ 0 , ℵ 1 , ℵ 2 , … ℵ ω , ℵ ω + 1 , … {\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\dots \aleph _{\omega },\aleph _{\omega +1},\dots } מקובל לסמן ב- ω α {\displaystyle \omega _{\alpha }} את המספר המונה שמתאים לעוצמה ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} . אם אקסיומת הבחירה לא מתקיימת, הסדרה הזו לא ממצה את כל העוצמות ויש עוצמות שלא שוות לאף ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} - אלו העוצמות של הקבוצות אותן לא ניתן לסדר היטב. למרות זאת, אין אף עוצמה שגדולה מכל סדרת האלף, כלומר לכל קבוצה X {\displaystyle X} אפשר למצוא מספר אלף μ = ℵ β {\displaystyle \mu =\aleph _{\beta }} כך שאין פונקציה חד חד ערכית f : μ → X {\displaystyle f:\mu \rightarrow X} (זהו מספר הרטוגס של X {\displaystyle X} ). סדרת האלף היא סדרה נורמלית (כלומר היא עולה ממש ולכל סודר גבולי α {\displaystyle \alpha } מתקיים ℵ α = sup β < α ℵ β {\displaystyle \textstyle \aleph _{\alpha }=\sup _{\beta <\alpha }\aleph _{\beta }} ) ולכן יש לה נקודות שבת, כלומר יש מונים שמקיימים μ = ℵ μ {\displaystyle \mu =\aleph _{\mu }} . למשל, הגבול של הסדרה ω , ω ω , ω ω ω … {\displaystyle \omega ,\omega _{\omega },\omega _{\omega _{\omega }}\dots } הוא נקודת שבת של סדרת האלף. מונחים בתורת הקבוצות השערת הרצף מונה גדול פונקציית הזיווג של קנטור עוצמה (מתמטיקה), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) עוצמה, באתר MathWorld (באנגלית) אם הן לא, ניתן להסתכל על הקבוצות A ′ = A × { 0 } {\displaystyle A'=A\times \{0\}} ו- B ′ = B × { 1 } {\displaystyle B'=B\times \{1\}} . קבוצות אלה שוות עוצמה לקבוצות המקוריות וזרות זו לזו. זוהי ההגדרה שאימצו ראסל ווייטהד בפרינקיפיה מתמטיקה, ובגללה נדחקה ההוכחה המפורסמת שלהם לטענה 1+1=2 עד למשפט 54.43*. הם מראים שאם a,b "שייכות ל-1", כלומר הן קבוצות בנות אבר יחיד, והן זרות, אז האיחוד שלהן "שייך ל-2".