אלגוריתם Lemke-Howson

אלגוריתם Lemke-Howson, שפותח על ידי C. E. Lemke ו J. T. Howson בשנת 1964 הוא האלגוריתם הקומבינטורי השימושי ביותר כיום למציאת שיווי משקל נאש במשחקי Nondegenerate Bitmatrix בשני שחקנים. האלגוריתם פותר בעיה המהווה מקרה פרטי של בעיית LPC. קלט: משחק Nondegenerate Bitmatrix. פלט: אחד משיווי משקל נאש של המשחק. נגדיר משחק Bitmatrix בשני שחקנים על ידי מטריצות התועלות A m x n {\displaystyle A_{mxn}} ו B m x n {\displaystyle B_{mxn}} . יהיו {M = {1,...,m ו {N = {m+1,m+2,...,m+n ותהי M ∪ N קבוצת התוויות. 1 Define labeling 2 Choose K ∈ M ∪ N called the missing label 3 Let (x,y) = (0,0) ∈ P X Q. Drop label K from (x,y) (from x ∈ P if K ∈ M, from y ∈ Q if K ∈ N). 4 Let (x,y) be the current vertex. Let L be the label that is picked up by dropping label K. If L = K finish and (x,y) is the Nash equilibrium. Else drop L in the other polytope and repeat this step. האלגוריתם מוצא שווי משקל נאש אחד ומהווה הוכחה לקיומו של שווי משקל זה. האלגוריתם עוקב אחר מסלול של זוגות קודקודים ב P X Q עבור ה polytopes P,Q המתחיל בנקודה (0,0) הנקראת Artificial equilibrium ונגמר בנקודת שיווי משקל נאש. המסלול עוקב אחר צלעות ב P ו Q לסירוגין תוך שמירה על הקודקוד ב polytope השני קבוע. מכיוון שהמשחק הוא Nondegenerate קודקוד של P נתון על ידי m - 1 תוויות. זריקת תווית L של קודקוד X ב P מוגדרת על ידי מעבר על הצלע הייחודית שיש לה את כל התוויות של X פרט ל L. הבחירה הראשונית של האלגוריתם תהיה אסטרטגיה טהורה K של שחקן (כל תווית ב M ∪ N) הנקראת missing label. תחילה (0,0) = (x,y) התווית K נזרקת. בסוף הצלע המתאימה הצלע החדשה שנבחרת היא שכפול שכן היא הייתה נוכחת ב polytope השני. כעת הצלע המשוכפלת נזרקת ב polytope השני ונבחרת צלע חדשה. אם הצלע שנבחרה היא ה missing label האלגוריתם מסתיים והוא מצא את השיווי משקל נאש. אחרת חוזר על עצמו על ידי זריקת הצלע המשוכפלת ב polytope השני וכן הלאה... האלגוריתם מסתיים ומוצא את שיווי משקל נאש מכיוון שב P X Q יש מספר סופי של זוגות קודקודים. זוג הקודקודים הבא במסלול תמיד ייחודי ולכן לא מבקרים באותו זוג קודקודים פעמיים שכן אז הייתה אפשרות נוספת להמשך מלכתחילה. מכיוון שמספר הקודקודים ב P X Q אקספוננציאלי ב n ו m זמן הריצה של האלגוריתם אקספוננציאלי. לא מזמן הוכח שהאלגוריתם שייך למחלקת הסיבוכיות PPAD_(מחלקת_סיבוכיות). קיימים מספר שיפורים של האלגוריתם המנצלים יוריסטיקות שונות על מנת לשפר את זמן הריצה בפועל: BFS-Lemke-Howson Porter, Nudelman and Shoham heuristic Novel heuristics Algorithmic Game Theory by Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos and Vijay V. Vazirani, Cambridge Press, 2007 B Von Stengel: Computing equilibria for two-person games, 1996 Lemke, C. E., Howson, Jr., J. T.: Equilibrium Points of Bimatrix Games, 1964 PPAD_(מחלקת_סיבוכיות) שיווי משקל נאש תורת_המשחקים Polytopes List of PPAD-complete problems Lemke, C. E., Howson, Jr., J. T.: Equilibrium Points of Bimatrix Games, Journal of the Society of Industrial and Applied Mathematics, 1964 X. Chen, X. Deng, Settling the Complexity of 2-Player Nash-Equilibrium. Electronic Colloquium on Computational Complexity (ECCC), 2005. R.Porter, E. Nudelman, Y. Shoham. Simple Search Methods for Finding a Nash Equilibrium. Proceedings of the National Conference on Artificial Intelligence, 2004 B Codenotti, S De Rossi, M Pagan: An experimental analysis of Lemke-Howson algorithm, Arxiv preprint arXiv:0811.3247, 2008