דרגה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, דרגת העמודות   ρ C ( A ) {\displaystyle \ \rho _{C}(A)} של מטריצה A {\displaystyle A} מוגדרת להיות ממד מרחב העמודות שלה, כלומר, המספר המקסימלי של וקטורי עמודה בלתי תלויים ליניארית מבין עמודות המטריצה. באופן דומה, דרגת השורות   ρ R ( A ) {\displaystyle \ \rho _{R}(A)} של   A {\displaystyle \ A} היא ממד מרחב השורות שלה. דרגת העמודות שווה תמיד לדרגת השורות של המטריצה, ולכן מקובל לקרוא לערך המשותף שלהן דרגת המטריצה   A {\displaystyle \ A} ולסמנו   rank ( A ) {\displaystyle \ {\mbox{rank}}\left(A\right)} . הדרגה של מטריצה m × n {\displaystyle m\times n} היא לכל היותר min ( m , n ) {\displaystyle \min(m,n)\,\!} . מטריצה שדרגתה שווה לערך זה נקראת מטריצה מדרגה מלאה. מטריצה שדרגתה נמוכה יותר נקראת מטריצה מדרגה חסרה. דרך פשוטה למצוא דרגה של מטריצה היא לדרג אותה לצורה הקנונית שלה ואז לספור את כל השורות שהן לא שורות אפסים. שיטה זו עובדת כיוון שפעולות שורה לא משפיעות על המרחב הנפרש של השורות (span) ולכן אחרי דירוג נוכל לראות בדיוק כמה שורות בלתי תלויות ליניארית זו בזו, זה ייתן את מימד מרחב השורות שזהו כמובן הדרגה של המטריצה. כיוון שממד מרחב הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות קשור באופן ישיר בדרגה של המטריצה המייצגת אותה, ניתן להבין אינטואיטיבית את מושג הדרגה כמדד ל-"חוסר הניוון" של המערכת. העובדה שדרגת העמודות ודרגת השורות של כל מטריצה הן שוות מהווה חלק חשוב של המשפט היסודי של האלגברה הליניארית. להלן מוצגת הוכחה לטענה זו, התקפה מעל כל שדה. תהי A {\displaystyle A} מטריצה מסדר m × n {\displaystyle m\times n} (עם m {\displaystyle m} שורות ו- n {\displaystyle n} עמודות). תהי r {\displaystyle r} דרגת העמודות של A {\displaystyle A} ויהיו הווקטורים c 1 , … , c r {\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}} בסיס כל שהוא למרחב העמודות של A {\displaystyle A} . נפעיל Rank factorization על המטריצה A {\displaystyle A} : נייצג את וקטורי הבסיס למרחב העמודות של A {\displaystyle A} בצורה סכמטית כמטריצה C {\displaystyle C} מסדר m × r {\displaystyle m\times r} . כל עמודה של A {\displaystyle A} ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של r {\displaystyle r} העמודות של C {\displaystyle C} . פירוש הדבר הוא שקיימת מטריצה R {\displaystyle R} מסדר r × n {\displaystyle r\times n} כך ש- A = C R {\displaystyle A=CR} . בשפה של העתקות ליניאריות, הצגנו את ההעתקה הליניארית מ- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ל- R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} (המיוצגת על ידי A {\displaystyle A} ) כהרכבה של העתקה מ- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ל- R r {\displaystyle \mathbb {R} ^{r}} עם העתקה מ- R r {\displaystyle \mathbb {R} ^{r}} ל- R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . המטריצה R {\displaystyle R} היא המטריצה שבה העמודה ה- i {\displaystyle i} נוצרת מהמקדמים שמייצגים את העמודה ה- i {\displaystyle i} של A {\displaystyle A} כצירוף ליניארי של r {\displaystyle r} העמודות של C {\displaystyle C} . כעת, כל שורה j {\displaystyle j} של A {\displaystyle A} ניתנת להצגה כצירוף ליניארי של r {\displaystyle r} השורות של R {\displaystyle R} , עם מקדמים ששווים למקדמי השורה ה- j {\displaystyle j} של C {\displaystyle C} . לפיכך, השורות של R {\displaystyle R} פורשות את מרחב השורות של A {\displaystyle A} , ולפי למת ההחלפה של שטייניץ, דרגת השורות של A {\displaystyle A} לא יכולה לעלות על r {\displaystyle r} . זה מוכיח שדרגת השורות של A {\displaystyle A} קטנה או שווה לדרגת העמודות. את תוצאה זו ניתן ליישם לכל מטריצה, כך שנפעיל אותה על המטריצה המשוחלפת של A {\displaystyle A} . כיוון שדרגת השורות של המטריצה המשוחלפת של A {\displaystyle A} שווה לדרגת העמודות של A {\displaystyle A} ודרגת העמודות של המטריצה המשוחלפת של A {\displaystyle A} שווה לדרגת השורות של A {\displaystyle A} , ניתן להקיש גם את האי-שוויון ההפוך ומשניהם יחד את השוויון של דרגת השורות ודרגת העמודות של A {\displaystyle A} . במטריצה ריבועית מסדר n × n {\displaystyle n\times n} : דרגת המטריצה קטנה מ-   n {\displaystyle \ n} אם ורק אם הדטרמיננטה שווה לאפס. דרגת המטריצה שווה ל-   n {\displaystyle \ n} אם ורק אם המטריצה מטריצה רגולרית (הפיכה). הרכבה של מטריצה מסדר n × m {\displaystyle n\times m} ומטריצה הפיכה ריבועית n × n {\displaystyle n\times n} , לא משנה את דרגת המטריצה. למערכת משוואות ליניאריות קיים פתרון, אם ורק אם דרגת מטריצת המקדמים שלה שווה לדרגת מטריצת המקדמים המצומצמת שלה. יהי   P {\displaystyle \ P} מרחב הפתרונות של מערכת משוואות ליניאריות הומוגנית A ב-   n {\displaystyle \ n} משתנים, אז   rank ( A ) = n − dim ⁡ ( P ) {\displaystyle \ {\mbox{rank}}\left(A\right)=n-\dim \left(P\right)} (משפט זה ידוע כ"משפט הדרגה") אם V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} הם מרחבים וקטוריים מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } ו- T : V → W {\displaystyle T:V\to W} היא העתקה ליניארית, מגדירים את הדרגה של T {\displaystyle T} להיות הממד של התמונה שלה: rank ( T ) = dim ⁡ Im ( T ) {\displaystyle {\mbox{rank}}\left(T\right)=\dim {\mbox{Im}}\left(T\right)} . אם V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים ו- A {\displaystyle A} היא המטריצה המייצגת של T {\displaystyle T} ביחס לבחירה כלשהי של בסיסים על V {\displaystyle V} ו- W {\displaystyle W} , אז מתקיים rank ( T ) = rank ( A ) {\displaystyle {\mbox{rank}}\left(T\right)={\mbox{rank}}\left(A\right)} , ללא תלות בבסיסים שנבחרו. לכן במקרה הסוף-ממדי, דרגה של מטריצה ודרגה של העתקה ליניארית הם מושגים שקולים. אי שוויון סילבסטר: אם A {\displaystyle A} מטריצה מסדר m × n {\displaystyle m\times n} ו- B {\displaystyle B} מטריצה מסדר n × k {\displaystyle n\times k} אז: rank ⁡ ( A ) + rank ⁡ ( B ) − n ≤ rank ⁡ ( A B ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB)} כאשר שוויון מתקבל רק אם הגרעין של A {\displaystyle A} מוכל כולו בתמונה של B {\displaystyle B} . בהינתן A {\displaystyle A} ו- B {\displaystyle B} שתי מטריצות מאותו סדר, אז rank ⁡ ( A + B ) ≤ rank ⁡ ( A ) + rank ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A+B)\leq \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)} אם A {\displaystyle A} מטריצה מסדר m × n {\displaystyle m\times n} ו- B {\displaystyle B} מטריצה מסדר n × k {\displaystyle n\times k} אז min { rank ⁡ ( A ) , rank ⁡ ( B ) } ≥ rank ⁡ ( A B ) {\displaystyle \min \left\{\operatorname {rank} \left(A\right),\operatorname {rank} \left(B\right)\right\}\geq \operatorname {rank} \left(AB\right)} . לכל מטריצה A {\displaystyle A} מעל המספרים הממשיים מתקיים שוויון בין הדרגה שלה לזו של הגרמיאן המתאים לה: rank ⁡ ( A T A ) = rank ⁡ ( A A T ) = rank ⁡ ( A ) = rank ⁡ ( A T ) {\displaystyle \operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} }A)=\operatorname {rank} (AA^{\mathrm {T} })=\operatorname {rank} (A)=\operatorname {rank} (A^{\mathrm {T} })} דרגה, באתר MathWorld (באנגלית)