גאומטריה ביוון העתיקה

המקור למידע אודות תולדות הגאומטריה ביוון העתיקה הם טקסטים מתמטיים העוסקים בגאומטריה, שנכתבו במקור בין השנים 624–200 לפנה"ס ביוון העתיקה. מפתחי התחום הנודעים והמשפיעים ביותר מאותה תקופה הם תאלס, פיתגורס, אפולוניוס, אוקלידס וארכימדס. עבודתם המתמטית־גאומטרית הובילה להתהוות התחום, והניחה את התשתיות לתחומים נוספים כמו הנדסה, פיזיקה ואסטרונומיה. ליוונים מיוחסת התרומה המשמעותית ביותר לתחום עד זמנם, משום שהם שקבעו לראשונה כי יש לבססו על אקסיומות, ועיגנו את רעיון ההוכחה המתמטית הריגורוזית והסדורה כתנאי הכרחי לתקפות המשפטים שמפותחים על גביהן. ערכים מורחבים – תאלס, משפט תאלס תאלס היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני שחי בין השנים 624 לפנה"ס ו-546 לפנה"ס. על אף שהוכחותיו המקוריות לא שרדו, מוכרות מספר בעיות שפתר. הבעיה הראשונה שפתר הייתה בעיית מדידת מרחקה של ספינה מחוף הים על ידי שימוש במשפט צלע-זווית-צלע לחפיפת משולשים. הבעיה השנייה שפתר הייתה מדידת גובה הפירמידות שבמצרים באמצעים הנדסיים, באמצעות מדידת אורך צל הפירמידה והשוואתו לאורך הצל של מקל שאורכו ידוע. תאלס פיתח משפט גאומטרי העוסק בדמיון משולשים אשר נקרא משפט תאלס, שכלל שתי הרחבות. בנוסף, הוא הוכיח שזוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות. תרומה נוספת לגאומטריה הייתה העיסוק בשוויון זוויות והקביעה שכל הזוויות האנכיות שוות זו לזו. תאלס הוכיח ששוויון זוויות הוא תכונה רפלקסיבית. כמו כן, הוא הוכיח שכל קוטר של מעגל חוצה את המעגל לשני חלקים שווי שטח. ערכים מורחבים – פיתגורס, השורש הריבועי של 2#הוכחת אי רציונליות במהלך חייו של פיתגורס - שחי בשנים 572-497 לפנה"ס - נאספו סביבו תלמידים שנקראו "הפיתגוראים". הפיתגוראים נחשבו לקבוצה דתית אשר יצרה אסכולה פילוסופית והאמינה כי המספרים הם הבסיס לכל. בנוסף, האמינו הפיתגוראים כי לכל אובייקט ביקום יש מספר ייחודי המתאר אותו. מכיוון שהפיתגוראים האמינו שהמספרים הם הבסיס ליקום, הם האמינו כי ניתן למדוד הכול, כולל אורכים. כדי למדוד אורכים, נדרשת מידה מסוימת. לכן, הפיתגוראים הגדירו "מידה" שבעזרתה ניתן למדוד הכל כיחידה אשר אינה ניתנת לחלוקה. הפיתגוראים הניחו כי ניתן למצוא מידה משותפת לצלע הריבוע ולאלכסון הריבוע. כלומר שצריכה להיות יחידת אורך (מספר טבעי) הנכנסת n {\displaystyle n} פעמים באלכסון ו m {\displaystyle m} פעמים בצלע. הפיתגוראים גילו שהטענה שגויה, והסיקו כי צלע ואלכסון הריבוע הם גדלים חסרי מידה משותפת (incommensurable magnitude). בשפה המודרנית, התוצאה שקולה לכך ש- 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}  הוא מספר אי רציונלי. בכתיבה מתמטית, אם נתבונן במשולש שווה-שוקיים וישר-זווית שאורך השוק שלו הוא a {\displaystyle a} , נקבל ממשפט פיתגורס a 2 + a 2 = c 2 {\displaystyle {a}^{2}+{a}^{2}={c}^{2}} כלומר c = 2 a {\displaystyle c={\sqrt {2}}a} והמשמעות היא שאין מספרים טבעיים n , k , m {\displaystyle n,k,m} כך ש a = n k {\displaystyle a=nk} וגם c = m k {\displaystyle c=mk} . בנוסף, איננו יודעים כיצד הפיתגוראים גילו תגלית זו, אך לפי אריסטו אנו יודעים כי הפיתגוראים פעלו בשיטה הבאה: "כך, למשל, מוכיחים את אי קיומה של מידה משותפת בין הצלע לאלכסון, על ידי כך שמניחים את המידה המשותפת ומוכיחים שהמספרים האי-זוגיים הופכים לזוגיים". ההוכחה המקובלת כיום היא להניח בשלילה כי 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} הוא מספר רציונלי ולהגיע לסתירה. ההוכחה מתחילה בהנחה שהשורש של 2 הוא רציונלי, ולכן ניתן לכתוב p q = 2 {\displaystyle {\frac {p}{q}}={\sqrt {2}}} כאשר ל- p , q {\displaystyle p,q} אין גורמים משותפים. מכאן מסיקים ש- p = 2 q {\displaystyle p={\sqrt {2}}q}  ומקבלים ש- p 2 = 2 q 2 {\displaystyle p^{2}=2q^{2}} , לכן p 2 {\displaystyle p^{2}} הוא זוגי ו- p {\displaystyle p}  הוא זוגי, משמע p = 2 k {\displaystyle p=2k} . מכאן 4 k 2 = 2 q 2 {\displaystyle 4k^{2}=2q^{2}} ולכן 2 k 2 = q 2 {\displaystyle 2k^{2}=q^{2}} ולכן q 2 {\displaystyle q^{2}} זוגי ולכן גם q {\displaystyle q}  זוגי וגם p {\displaystyle p} זוגי בסתירה לכך ש ל- p , q {\displaystyle p,q} אין גורמים משותפים. ישנם היסטוריונים שטוענים כי זה אכן מה שהפיתגוראים עשו, אולם בבחינה ביקורתית היסטורית עולות שתי בעיות. הבעיה הראשונה היא שאין סימוכין טקסטואליים לכך – אין טקסט במתמטיקה היוונית המראה כי זו אכן הייתה דרך ההוכחה. הבעיה השנייה היא שסגנון ההוכחה הזה לא מקובל במתמטיקה היוונית. במתמטיקה היוונית לא היו משוואות, לא הייתה העברת אגפים, ולא היה מקובל לסמן משתנים באותיות. כתוצאה מהבעיות הוצעה אינטרפרטציה חלופית להוכחה, שמתאימה לסוג המתמטיקה שבו השתמשו היוונים, אולם אין סימוכין טקסטואליים המראים שזו אכן הייתה דרך ההוכחה. ההוכחה מתחילה בהנחה ש- D H {\displaystyle DH} ו- B D {\displaystyle BD}  הם גדלים בעלי מידה משותפת, ולכן השטח של A G F E {\displaystyle AGFE} הוא פעמיים השטח של D B H I {\displaystyle DBHI} , ומכאן ש- A G F E {\displaystyle AGFE} הוא מספר זוגי. כמו כן, מתקיים ש- A G = D H {\displaystyle AG=DH} . צלע זו מייצגת מספר זוגי ולכן הריבוע A G F E {\displaystyle AGFE} הוא כפולה של 4. אבל D B H I {\displaystyle DBHI}  שטחו חצי מריבוע A G F E {\displaystyle AGFE} , אז שטחו הוא כפולה של 2 ולכן D B H I {\displaystyle DBHI} זוגי. מכאן הצלע B D {\displaystyle BD} חייבת להיות זוגית. אבל זו סתירה להנחת היסוד ש- D H {\displaystyle DH} או B D {\displaystyle BD} אי זוגי ולכן שני הישרים חסרי מידה משותפת. קורט פון פריץ, היסטוריון גרמני בן המאה ה-20, נתן השערה לדרך שבה הפיתגוראים גילו את הגדלים חסרי מידה משותפת. ההשערה מסתמכת על אלגוריתם אוקלידס כדי למצוא את המכנה המשותף הגדול ביותר בין שני גדלים A , B {\displaystyle A,B} ומניחה שהאלגוריתם תמיד עובד עבור מספרים טבעיים. כמו כן, ההשערה מסתמכת על "חתך הזהב" - בהינתן גודל מסוים, ניתן לחתוך את הגודל כך שהגודל יהיה הממוצע הגאומטרי בין B {\displaystyle B} ל- A + B {\displaystyle A+B} כלומר ( A + B ) : A :: A : B {\displaystyle (A+B):A::A:B} , השקול ל- A + B A = A B ⟶ A = ( A + B ) B {\displaystyle {\frac {A+B}{A}}={\frac {A}{B}}\longrightarrow A={\sqrt {(A+B)B}}} . פון פריץ טען כי סביר שהמתמטיקאים היוונים הניחו שהיחס בין צלע מחומש לבין אלכסון המחומש הוא גודל בעל מידה משותפת. לכן, בהינתן מחומש ניתן להראות את הדברים הבאים: C B {\displaystyle CB} הוא חתך הזהב של A B {\displaystyle AB} . כמו כן, B C = B D {\displaystyle BC=BD} , ומכאן מסיקים ש- A D {\displaystyle AD} הוא חתך זהב של A E {\displaystyle AE} ואז D E {\displaystyle DE} הוא חתך הזהב של D F {\displaystyle DF} . כלומר מביצוע של תהליך אינסופי כזה ניתן להסיק שאין מידה משותפת בין צלע המחומש לאלכסון שלו. ערך מורחב – אוקלידס אוקלידס היה מתמטיקאי שחי בין השנים 365 לפנה"ס ו-275 לפנה"ס. אוקלידס נחשב לאבי הגאומטריה. הוא פרסם ספר בשם "היסודות" או "האלמנטים של אוקלידס" המורכב מ-13 כרכים. כרכים 1–6 ו-10–13 עוסקים בגאומטריה וכרכים 7–9 עוסקים באריתמטיקה. ערכים מורחבים – יסודות (ספר), משפט פיתגורס בספרו הראשון בנה אוקלידס את יסודות הגאומטריה, והוא נפתח ברשימה של עשרים ושלוש הגדרות המהוות בסיס לגאומטריה כולה. אוקלידס ממשיך על ידי הנחת עשר אקסיומות שחמש מהן אקסיומות גאומטריות וחמש הן דעות מקובלות. לאחר שאוקלידס ניסח את האקסיומות ואת הדעות המקובלות, הוא הוכיח טענות אשר מתבססות זו על גבי קודמתה, ולבסוף הוא הוכיח את משפט פיתגורס בהתבסס על הטענות שהוכיח לאורך הספר. אוקלידס מגדיר, לדוגמה: הגדרה 1: לנקודה אין חלקים. הגדרה 2: לקו אין רוחב. הגדרה 3: הקצוות של קווים הם נקודות. הגדרה 10: כאשר קו ישר ניצב לקו ישר אחר, אז הזוויות הסמוכות שוות זו לזו וכל זווית היא 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} ונאמר כי הישרים ניצבים. הגדרה 11: זווית קהה היא זווית הגדולה מ 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} . הגדרה 12: זווית חדה היא זווית הקטנה מ 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} . חמש האקסיומות שהניח אוקלידס בספר: אפשר להעביר קו ישר מכל נקודה לכל נקודה אחרת. אפשר ליצור קו ישר סופי באופן רציף. בשפה מודרנית: ניתן להאריך ישר ללא הגבלה. אפשר לתאר מעגל על ידי מרכז ומרחק. בשפה מודרנית: ניתן לשרטט מעגל באמצעות בחירת נקודה כלשהי כמרכז ואורך רדיוס כלשהו. כל שתי זוויות ישרות שוות זו לזו. אם ישר חותך שני ישרים אחרים אז הזוויות הפנימיות מאותו צד קטנות או שוות לשתי זוויות ישרות, ואם נמשיך את הישירים לנצח הם יפגשו בצד של הזוויות שסכומן קטן משתי זוויות ישרות. חמש הדעות המקובלות שהתבסס עליהן לאורך הספר: אובייקטים השווים לדבר אחר, שווים ביניהם. בשפה מודרנית – כלל המעבר, או טרנזיטיביות השוויון. אם מוסיפים גדלים שווים לגדלים שווים, מקבלים גדלים שווים. בשפה מודרנית – a = b → a + c = b + c {\displaystyle a=b\rightarrow a+c=b+c} . אם מחסירים גדלים שווים מגדלים שווים, מקבלים גדלים שווים. בשפה מודרנית - a = b → a − c = b − c {\displaystyle a=b\rightarrow a-c=b-c} . אובייקטים חופפים זה לזה שווים זה לזה. בשפה מודרנית - a = b → b = a {\displaystyle a=b\rightarrow b=a} . השלם גדול מכל אחד מחלקיו. בשפה מודרנית - a + b > a , ( a , b ∈ N ) {\displaystyle a+b>a,(a,b\in N)} . בספרו הראשון של אוקלידיס יש 48 הוכחות, כאשר הוכחה מספר 47 היא הוכחה למשפט פיתגורס והוכחה מספר 48 היא משפט פיתגורס ההפוך. ערך מורחב – הספר השני של יסודות בספרו השני אוקלידס בונה את יסודות תחום האלגברה הגאומטרית, כלומר מסביר ומדגים הוכחת זהויות אלגבריות באמצעים גאומטרים. ספרו השני מכיל שתי הגדרות: נאמר כי כל מקבילית מלבנית מוכלת על ידי שני הקווים הישרים המכילים את הזווית הישרה. בכל אזור מקבילי תקרא כל אחת מהמקביליות בקוטר שלו עם שני המשלימים: 'גנומון' (מילה יוונית שפירושה 'משבצת הנגר', כלי בצורת L {\displaystyle L} ). כמו כן, מופיעים בספר ארבעה עשר משפטים שכולם עוסקים באלגברה גאומטרית. לדוגמה, המשפט הראשון בספר קובע שאם קו ישר נחתך באופן אקראי, המלבן המוכל על ידי השלם ואחד מהקטעים שווה למלבן המוכל על ידי הקטעים והריבוע על הקטע לעיל, כלומר מתקיים ש- a ( b + c + . . . . ) = a b + a c + . . . {\displaystyle a(b+c+....)=ab+ac+...} . בספרו השלישי של אוקלידס בונה את יסודות הגאומטריה במישור המכילה מעגלים, כלומר בספר ניתנת הוכחות המתבססות במלואן על תכונות המעגל. ספרו השלישי מכיל אחת עשרה הגדרות ושלושים ושבע טענות. הגדרה 1: מעגלים שווים אלו מעגלים שהקוטר שלהם שווה והמרחק של המעגלים ממרכז המעגל להיקף המעגל שווה. הגדרה 2: משיק למעגל הוא קו ישר אשר פוגש את המעגל בנקודה אחת ולא חותך אותו. הגדרה 10: גזרה של מעגל היא צורה אשר תחומה על ידי קווים ישרים ועל ידי היקף מעגל, כאשר הזווית יוצאת ממרכז המעגל. בספרו הרביעי אוקלידס מפתח את יסודות התחום, ועוסק בבניית צורות גאומטריות בתוך מעגל ומסביבו בעזרת סרגל ומחוגה בלבד. ספרו הרביעי מכיל שבע הגדרות ושש עשרה טענות. הגדרה 1: בהינתן צורה המאופיינת על ידי קווים ישרים, נאמר שצורה זו נחסמת על ידי צורה אחרת המאופיינת על ידי קווים ישרים אם הזוויות של הצורה החסומה נוגעות בהתאמה בצלעותיו של הצורה החוסמת. הגדרה 2: בהינתן צורה המאופיינת על ידי קווים ישרים, נאמר שצורה זו חוסמת צורה אחרת המאופיינת על ידי קווים ישרים אם הצלעות של הצורה החוסמת נוגעת בזוויות הצורה הנחסמת בהתאמה. הגדרה 7: נאמר שקו ישר הוא מיתר אם קצותיו מסתיימים על היקף המעגל. בספרו החמישי אוקלידס עוסק בפרופורציות בין קטעים. ספר זה מכיל שמונה עשרה הגדרות ועשרים וחמש טענות. הגדרה 1: גודל הוא שבר או חלק של גודל אחר כאשר הוא משמש למדידת הגודל הגדול יותר. במילים אחרות נאמר ש a {\displaystyle a} הוא חלקי ל- b {\displaystyle b} אם מתקיים ש b = m a {\displaystyle b=ma} . הגדרה 6: גדלים שיש להם את אותו היחס נקראים פרופורציונליים. אם ל- a , b {\displaystyle a,b}  יש את אותו היחס כמו ל- c , d {\displaystyle c,d}  והם פרופורציונליים אז a : b :: c : d {\displaystyle a:b::c:d} . הגדרה 13: יחס הפוך הוא היחס של הגדלים הנתונים שהופכים אותו. אם נתון לנו יחס a : b {\displaystyle a:b}  אז היחס ההפוך הוא b : a {\displaystyle b:a} . הספר החמישי עוסק בתורת הפרופורציה המיוחסת בדרך כלל לאאודוקסוס מקנידוס. החידוש של הספר החמישי הוא בכך שהוא מציע תיאוריה המתמודדת עם גדלים לא רציונליים, שהיו עד אז מחסום משמעותי עבור המתמטיקאים היוונים. בספרו השישי, אוקלידס עוסק בדמיון צורות ובמציאת יחסים בין צורות דומות. למשל, היחס בין שטחי משולשים דומים הוא יחס ריבועי. כמן כן, אוקלידס קובע בספרו שדמיון של צורות הבנויות מקווים ישרים הוא תכונה טרנזיטיבית. כלומר אם מתקיים { △ A B C ∼△ D E F △ A B C ∼△ G H I {\displaystyle {\begin{cases}\vartriangle ABC\thicksim \vartriangle DEF\\\vartriangle ABC\thicksim \vartriangle GHI\end{cases}}} אז נוכל להסיק ש- △ D E F ∼△ G H I {\displaystyle \vartriangle DEF\thicksim \vartriangle GHI} . הספר השישי של אוקלידס עוסק בתכנים אשר דומים באופיין לספר החמישי, אך ההתייחסות אליהן היא באופן גאומטרי. ספר זה מכיל שלוש הגדרות ושלושים ושלוש טענות. הגדרה 1: צורות שבנויות מישרים הן דומות רק אם יש לצורות אותן זוויות וכל הצלעות שלהן פרופורציונליות. הגדרה 2: קו ישר נחתך באופן חד כאשר שני קטעיו של הישר יוצרים יחס ביניהם כך שקטע אחד גדול והקטע השני קטן. הגדרה 3: הגובה של כל צורה הוא קו ישר שיוצא מקודקוד ומגיע לבסיס. המשפט ה-13 בספר עוסק במציאת ישר המתאר את הממוצע הגאומטרי של שני ישרים נתונים. יהיו A B , B C {\displaystyle AB,BC} שני קווים ישרים, ויש לבנות ישר אשר מייצג את הממוצע הגאומטרי שלהם כלומר ישר באורך A B ∗ B C {\displaystyle {\sqrt {AB*BC}}} . ההוכחה כוללת בניות גאומטריות: מציירים את A B , B C {\displaystyle AB,BC} על אותו הישר, ואת חצי המעגל כך ש- A C {\displaystyle AC} הוא קוטר המעגל. מורידים אנך מחצי מעגל ל- B {\displaystyle B} ומסמנים את הנקודה על המעגל שממנה יצא האנך ב- D {\displaystyle D} . מתקיים כי ∡ A D C = 90 ∘ {\displaystyle \measuredangle ADC=90^{\circ }} , שכן היא זווית היקפית לקוטר. מתקיים { ∡ D A B = ∡ B A C ∡ B D A = ∡ B C D ∡ A B D = ∡ D B C {\displaystyle {\begin{cases}\measuredangle DAB=\measuredangle BAC\\\measuredangle BDA=\measuredangle BCD\\\measuredangle ABD=\measuredangle DBC\end{cases}}} ולכן △ A B D ∼△ B D C {\displaystyle \vartriangle ABD\thicksim \vartriangle BDC} . מכאן A B B D = B D B C → B D 2 = A B ∗ B C → B D = A B ∗ B C {\displaystyle {\frac {AB}{BD}}={\frac {BD}{BC}}\rightarrow BD^{2}=AB*BC\rightarrow BD={\sqrt {AB*BC}}} כנדרש. בספרו האחד עשר עוסק אוקלידס בגאומטריה תלת־ממדית ובחישוב נפחים. אוקלידס פותח את הספר בכך שהוא מגדיר מה זו צורה גאומטרית תלת־ממדית. בספר זה הוא מגדיר את כל הצרות ההנדסיות המוכרות, בין היתר חרוט, פרמידה ואת הגופים האפלטוניים. ספר זה מכיל עשרים ושמונה הגדרות ושלושים ותשע טענות. הגדרה 1: לגוף תלת־ממדי יש אורך, רוחב ועומק. הגדרה 2: השפה של גוף תלת־ממדי היא משטח. הגדרה 26: אוקטהדרון הוא גוף תלת־ממדי המוכל על ידי שמונה משולשים שווי צלעות. הגדרה 27: איקוסהדרון הוא גוף תלת־ממדי המוכל על ידי 20 משולשים שווי צלעות. הגדרה 28: דודקהדרון הוא גוף תלת־ממדי המוכל על ידי 12 מחומשים רגולריים. בספרו השנים עשר אוקלידס עוסק ביחסים בין גופים תלת־ממדיים, וביחס השטחים בין גופים תלת־ממדים. בספר אין הגדרות ויש בו שמונה עשרה טענות. המשפט הראשון בספר קובע כי יחס השטחים בין מצולעים שחסומים במעגל הוא יחס ריבוע הקטרים. ההוכחה למשפט נמצאת בספרו: יהיו A B C {\displaystyle ABC}  ו F G H {\displaystyle FGH}  שני מעגלים ויהיו A B C D E {\displaystyle ABCDE}  ו- F G H K L {\displaystyle FGHKL}  פוליגונים דומים החסומים במעגל ויהיו B M , G N {\displaystyle BM,GN}  הקטרים של המעגלים בהתאמה. יש להראות ש- B M 2 G N 2 = S A B C D E S F G H K L {\displaystyle {\frac {BM^{2}}{GN^{2}}}={\frac {S_{ABCDE}}{S_{FGHKL}}}} מחברים את הישרים B M , A M , G L , F N {\displaystyle BM,AM,GL,FN} , ומכיוון שהפוליגונים דומים אז מתקיים ש- ∡ B A E = ∡ G F L {\displaystyle \measuredangle BAE=\measuredangle GFL} וגם B A = A E {\displaystyle BA=AE} וגם G F = F L {\displaystyle GF=FL}  וכן הלאה. כמו כן, △ A B E ∼△ G F L {\displaystyle \vartriangle ABE\thicksim \vartriangle GFL} בנוסף, ∡ B M E = ∡ B E A = ∡ F N G = ∡ G L F {\displaystyle \measuredangle BME=\measuredangle BEA=\measuredangle FNG=\measuredangle GLF} מדמיון משולשים ומכך שזוויות היקפיות שוות. כמו כן, מתקיים גם  △ G N F ∼△ B M A {\displaystyle \vartriangle GNF\thicksim \vartriangle BMA} ולכן B M G N = A B G F = A M F N {\displaystyle {\frac {BM}{GN}}={\frac {AB}{GF}}={\frac {AM}{FN}}} . היחס B M 2 G N 2 {\displaystyle {\frac {BM^{2}}{GN^{2}}}}  זהה ליחסי הריבועים הנוצרים מהקטרים. לכן היחס A B 2 G F 2 = S A B C D E S F G H K L {\displaystyle {\frac {AB^{2}}{GF^{2}}}={\frac {S_{ABCDE}}{S_{FGHKL}}}} הוא פסוק אמת וניתן להסיק כי B M 2 G N 2 = A B 2 G F 2 → B M 2 G N 2 = S A B C D E S F G H K L {\displaystyle {\frac {BM^{2}}{GN^{2}}}={\frac {AB^{2}}{GF^{2}}}\rightarrow {\frac {BM^{2}}{GN^{2}}}={\frac {S_{ABCDE}}{S_{FGHKL}}}} כנדרש. בספרו השלושה עשר עוסק אוקלידס בגופים אפלטוניים. בספר אין הגדרות, ומופיעות שמונה עשרה טענות. חמשת הגופים הרגולריים: הקובייה, הטטרהדרון (פירמידה), האוקטהדרון, האיקוסהדרון והדודקהדרון התגלו ככל הנראה על ידי הפיתגוראים. גופים אלו נקראים גופים "אפלטוניים" מכיוון שהם מופעים בדיאלוג המפורסם של אפלטון ששמו טימאיוס. כמו כן, מרבית המשפטים בספר מיוחסים לתאטטוס מאתונה. אוקלידס מסיים את הספר בהוכחה כי פרט לחמשת הגופים האפלטוניים אין עוד גוף שניתן לבנותו בתוך צורה שוות צלעות ושוות זוויות. לטענה זו ניתנת הוכחה ארוכה בספר וניתן להוכיח אותה בצורה מודרנית ישירה בעזרת משפט הקוסינוסים ולקבל: a 2 = r 2 + r 2 − 2 r 2 c o s ( 120 ∘ ) = 3 r 2 {\displaystyle a^{2}=r^{2}+r^{2}-2r^{2}cos(120^{\circ })=3r^{2}} . ערך מורחב – ארכימדס ארכימדס היה מתמטיקאי יווני שחי בין השנים 287 לפנה"ס ו-212 לפנה"ס. במהלך חייו ארכימדס פיתח שיטות ורעיונות מתמטיים בולטים שבניהם: חוק ארכימדס, שיטת המיצוי וחישוב טורים אינסופיים באופן גאומטרי. ארכימדס עסק לראשונה בחוק המנוף בספרו "מישורים בשיווי משקל". בספר זה יש שבע אקסיומות וחמישה עשר משפטים. האקסיומות בספרו עוסקות ביחס בין גדלים המאוזנים זה ביחס לזה. בין היתר, ניתן למצוא בספר אקסיומות הקובעות כי גדלים שווים מתאזנים במרחקים שווים מנקודת המשען, גדלים שווים במרחקים שונים אינם מתאזנים, והגדול המרוחק ביותר יטה את קצה המנוף כלפי מטה. אקסיומה נוספת קובעת שאם במצב של שני גדלים מאוזנים מוסיפים דבר-מה לאחד הגדלים, האיזון מופר, וקצה המנוף יטה לכיוון המשקל שהוסף. כמו כן, אם במצב של שני גדלים מאוזנים מורידים דבר-מה מאחד הגדלים, האיזון מופר. הגודל שממנו לא נלקח הדבר יטה כלפי מטה. ארכימדס הוכיח בספרו כי בהינתן גדלים מאוזנים במרחק שווה מנקודת המשען אז משקלם שווה, וכי גדלים שוני משקל ושווי מרחק מנקודת המשען לא יתאזנו, והמנוף יטה לצד הגודל עם המשקל הגדול יותר. המשפט השלישי בספרו היה חוק המנוף. החוק עוסק באיזון של גדלים A , B {\displaystyle A,B}  לא שווים. אם (בה"כ) A > B {\displaystyle A>B} , והגופים מתאזנים בנקודה משען C {\displaystyle C} , ומסמנים את אורכי הקטעים A C = a , B C = b {\displaystyle AC=a,BC=b} , אז על פי החוק - a < b {\displaystyle a<b} . בכיוון השני של החוק, אם הגדלים מתאזנים וגם a < b {\displaystyle a<b} אז A > B {\displaystyle A>B} . ארכימדס גם הוכיח את המשפט: מניחים בשלילה כי a ≮ b {\displaystyle a\nless b} . לאחר החסרה של הגודל A − B {\displaystyle A-B} מ- A {\displaystyle A} , לפי האקסיומה השלישית, המנוף יטה לצד B {\displaystyle B} . אבל אם a = b {\displaystyle a=b}  אז הגדלים שנותרו יאזנו את המנוף, ואם b < a {\displaystyle b<a} המנוף יטה לצד A {\displaystyle A} לפי האקסיומה הראשונה. שני אלה סותרים ולכן a < b {\displaystyle a<b} . ההוכחה בכיוון ההפוך זהה. בנוסף לעיסוקו של ארכימדס במנופים, הוא גם מצא קירוב לפאי - היחס בין היקף המעגל לקוטר שלו מקיים את היחס הבא: 3 10 71 < c i r c u m f e r e n c e d i a m e t e r < 3 1 7 {\displaystyle 3{\frac {10}{71}}<{\frac {circumference}{diameter}}<3{\frac {1}{7}}} . ארכימדס הוכיח את הטענה הזו בעזרת שיטת המיצוי. למעשה, ארכימדס פיתח אלגוריתם רקורסיבי המתבסס על בנית מצולעים חוסמים וחסומים וחישב את ההיקף שלהם, ובכך בנה סדרת קירובים ליחס בין היקף המעגל לקוטרו. שיטת ההוכחה הזו נקראת שיטת המיצוי. בעזרת שיטת ההוכחה הזו ניתן להוכיח גם את הטענות הבאות: השטח החסום על ידי קו ישר החוצה פרבולה הוא 4 / 3 {\displaystyle 4/3} משטח המשולש שיש לו אותו בסיס ואותו גובה. שטח אליפסה יחסי לשטח מלבן שצלעותיו שוות לציר הראשי והציר המשני של האליפסה. נפח כדור הוא 4 פעמים נפח החרוט שגובהו ורדיוס בסיסו שווים לרדיוס הכדור. נפח גליל שגובהו שווה לקוטרו הוא 1.5 פעמים נפח כדור בעל אותו קוטר. השטח החסום על ידי קטע ישר וסיבוב אחד של ספירלה הוא 1 / 3 {\displaystyle 1/3} משטח העיגול בו הרדיוס שווה לאורך הקטע. ערך מורחב – אפולוניוס מפרגה אפולוניוס חי בין השנים 250 לפנה"ס ו-175 לפנה"ס בפרגה שביוון. תחום עיסוקו המרכזי של אפולוניוס בגאומטריה היה חתכי חרוט. אפולוניוס פרסם שמונה ספרים אשר עוסקים בחתכי חרוט. ספרים 1–4 השתמרו ביוונית, ספרים 5–7 השתמרו בערבית והספר השמיני אבד. המושג של "חתכי חרוט" היה ידוע עוד לפני אפולוניוס, וגם ארכימדס הכיר את המושג. בנוסף, בבעיית הכפלת הקובייה, היפוקרטס צמצם את הבעיה למציאת יחסים בין x , y {\displaystyle x,y} ל- a , 2 a {\displaystyle a,2a} כך ש a : x = x : y = y : 2 a {\displaystyle a:x=x:y=y:2a} . בכתיבה מודרנית, מערכת המשוואות שהתייחס אליה, { x 2 = a y y 2 = 2 a x x y = 2 a 2 {\displaystyle {\begin{cases}x^{2}=ay\\y^{2}=2ax\\xy=2a^{2}\end{cases}}} , מייצגת פרבולה והיפרבולה עובדה שעשויה להצביע על כך שהוא הכיר את המושג "חתכי חרוט". בספריו, אפולוניוס עוסק בתכונות היסודיות של החתכי החרוט, ביצירת החתכים (מעגל, אליפסה, פרבולה והיפרבולה), ובתכונות יסודיות של קטרים ומשיקים. ספרים נוספים שכתב מתמקדים בתכונות היסודיות של החתכים, של משיקים ושל אסימפטוטות, במציאת מקום גאומטרי, במשמעות של קונפיגורציה גאומטרית בבעיות מינימום ומקסימום בגאומטריה ובאיזומטריות של חתכי חרוט. לבסוף עוסק אפולוניוס בייצוג של חתכי חרוט בעזרת מערכת קואורדינטות. ההגדרות המובאות בספריו של אפולוניוס הן מורכבות מאוד. לדוגמה, ההגדרה הראשונה בספרו הראשון - "אם מחברים באמצעות קו ישר נקודה להיקף של מעגל נתון, שאיננו במישור אחד עם הנקודה, והקו מוארך בשני הכיוונים, ואם הנקודה נותרת קבועה והקו הישר מסתובב סביב המעגל וחוזר לנקודת ההתחלה, אזי המשטח שנוצר, אשר מורכב משני חלקים שניצבים זה מול זה וגדלים ללא הגבלה ככל שהקו גדל ללא הגבלה, ייקרא משטח חרוטי, והנקודה תיקרא קדקוד, והקו הישר המחבר את מרכז המעגל והקדקוד ייקרא ציר". דוגמה ראשונה: יהא חרוט בעל קדקוד A {\displaystyle A} ובסיס B C {\displaystyle BC} , ויהא החרוט חתוך דרך הציר כדי ליצור חתך משולש A B C {\displaystyle ABC} (משולש הציר). בנוסף, יהא החרוט חתוך גם על ידי מישור שני Z D H E {\displaystyle ZDHE} , כך שהישר D E {\displaystyle DE} , המשותף לו ולמישור הבסיס, ניצב לישר B C {\displaystyle BC} , המשותף למשולש הציר ולבסיס (או ל- B C {\displaystyle BC} מאורך). אזי, אם M {\displaystyle M} היא נקודה כלשהי על חתך החרוט M Z O {\displaystyle MZO} , ומ- M {\displaystyle M} נמתח ישר M L O {\displaystyle MLO} , המקביל ל- D E {\displaystyle DE} , הרי ש M L O {\displaystyle MLO} יפגוש את הישר Z H {\displaystyle ZH} (המונח על המישור Z D H E {\displaystyle ZDHE} ), ואם הישר M L O {\displaystyle MLO} נמשך עד O {\displaystyle O} בצד השני של החתך, הרי ש- Z H {\displaystyle ZH} חוצה את M L O {\displaystyle MLO} . מכאן ש- Z H {\displaystyle ZH} הוא קוטר של החתך. דוגמה שנייה: אם C {\displaystyle C} היא נקודה על הפרבולה C E T {\displaystyle CET} , והמיתר C D T {\displaystyle CDT} נחצה על ידי הקוטר E B {\displaystyle EB} (לא בהכרח בניצב לו), ואם מאריכים את הקוטר עד A {\displaystyle A} , כאשר A E = E D {\displaystyle AE=ED} , אזי הישר A C {\displaystyle AC} משיק לפרבולה ב- C {\displaystyle C} . הוכחה: A C {\displaystyle AC} אינו משיק. אזי A C {\displaystyle AC} הוא חותך את הפרבולה שוב ב- K {\displaystyle K} כמו כן A D C {\displaystyle ADC} ו- A B F {\displaystyle ABF} הם משולשים דומים. B F : C D :: A B : A D {\displaystyle BF:CD::AB:AD} אבל B G > B F {\displaystyle BG>BF} , ומכאן: B G 2 : C D 2 > B F 2 : C D 2 :: A B 2 : A D 2 {\displaystyle BG^{2}:CD^{2}>BF^{2}:CD^{2}::AB^{2}:AD^{2}} C ו-G הן נקודות על הפרבולה. B G 2 = E B {\displaystyle BG^{2}=EB} וגם C D 2 = E D {\displaystyle CD^{2}=ED}  ו- B G 2 : C D 2 :: B E : D E {\displaystyle BG^{2}:CD^{2}::BE:DE} . B E : D E > A B 2 : A D 2 {\displaystyle BE:DE>AB^{2}:AD^{2}} . 4 B E × E A : 4 D E × E A > A B 2 : A D 2 {\displaystyle 4BE\times EA:4DE\times EA>AB^{2}:AD^{2}} או 4 B E × E A : A B 2 > 4 D E × E A : A D 2 {\displaystyle 4BE\times EA:AB^{2}>4DE\times EA:AD^{2}} . לפי הטענה החמישית בספר השני של האלמנטים של אוקלידס, ידוע ש- a b < ( a + b ) 2 4 {\displaystyle ab<{\frac {(a+b)^{2}}{4}}}  כלומר 4 a b < ( a + b ) 2 {\displaystyle 4ab<(a+b)^{2}} ומתקיים שיווין רק כאשר a = b {\displaystyle a=b} . ובמקרה המדובר, A E = D E {\displaystyle AE=DE} ולכן 4 D E ∗ E A = A D 2 {\displaystyle 4DE*EA=AD^{2}} אבל A E < B E {\displaystyle AE<BE}  ולכן 4 B E ∗ E A < A B 2 {\displaystyle 4BE*EA<AB^{2}}  ומתקבלת סתירה. ביוון העתיקה, הגאומטריה לא נלמדה רק בגלל היישומים הפרקטים שלה, אלא גם עקב החשיבות הפילוסופית שהיוונים יחסו לה. היוונים ראו בגאומטריה כלי אשר באמצעותו ניתן להבין את המתרחש ביקום. הכללים הגאומטרים שגילו ביוון העתיקה השפיעו על תחומים אחרים, למשל על תחום הקרטוגרפיה - גאומטריה היה הכלי המרכזי של היוונים במיפוי הקרקע והשטח. מדידה מדויקת של השטח שיחקה תפקיד מרכזי ביוון העתיקה, מחקלאות ועד לתכנון מבנים. המהנדסים היוונים השתמשו בגאומטריה כדי למדוד זוויות ושטחים. גם האדריכלים התבססו על הגאומטריה היוונית במקצועם. היוונים היו ידועים בהישגיהם הארכיטקטים שהיה בהם שימוש נרחב בגאומטריה. מבנה הפרתנון התבסס על יחס גאומטרי - יחס הזהב. בנוסף לכך, הגאומטריה שיחקה תפקיד מרכזי גם בתחום האסטרונומיה והקוסמולוגיה. אסטרונומים יוונים חקרו את תנועותיהם של גרמי השמיים ופיתחו תיאוריות על היקום. בעזרת הגאומטריה הם יכלו למפות את תנועת הכוכבים ולחזות אירועים אסטרונומים. כך למשל תאלס חזה את ליקוי החמה שהתרחש ב-585 לפנה"ס. הגאומטריה שנמצאת בשימוש כיום התפתחה באופן משמעותי ביחס לגאומטריה היוונית, הן בהיקף המושגים, והן בתיאוריות החדשות שפותחו. ביוון העתיקה הגאומטריה המרכזית הייתה הגאומטריה האוקלידית, אולם במאה ה-19 התפתח תחום הגאומטריה הלא-אוקלידית אשר מאתגר את אקסיומת המקבילים שעליה מתבססת הגאומטריה האוקלידית. עקב כך התפתחו מערכות גאומטריות חדשות כמו גאומטריה היפרבולית וגאומטריה אליפטית. נוסף על כך, ביוון העתיקה, תחום האלגברה הגאומטרית שעוסק בהסקת זהויות אלגבריות בעזרת הגאומטריה, נעשה רק באמצעים גאומטרים. לעומת זאת, במתמטיקה המודרנית הוטמעו טכניקות ורעיונות אלגברים אשר מאפשרים לחקור גאומטריה באמצעים אלגברים, למשל על ידי הגדרת פולינומים ושורשיהם. כמו כן, כיום ישנם נושאים גאומטרים רבים אשר לא היו קיימים ביוון העתיקה כמו טופולוגיה, גאומטריה חישובית, גאומטריה דיפרנציאלית ועוד. מתמטיקה ביוון העתיקה אאודוקסוס מקנידוס היסטוריה של המתמטיקה הספר השני של יסודות Victor J. Katz A history of mathematics: an introduction, Third Edition. University of the District of Columbia 2009 Thomas L. Heath, The Thirteen Books of the Elements, Vol. 1: Books 1-2 2nd ed. Edition, Dover publications inc. New York, 1956 Szabó, Árpád. 1969. The beginnings of Greek mathematics, Synthese historical library 17, Reidel, 1978 Leo Corry. A Brief History of Numbers Oxford University Press; Illustrated edition 2015 הספר השני של האלמנטים של אוקלידס גרסה עברית מלאה, בתוספת הערות והסברים תולדות המתמטיקה: מיוון העתיקה ועד אוילר, באתר YouTube. פיתגורס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית). אוקלידס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) תאלס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אפולוניוס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ארכימדס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) אאודוקסוס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) How can you measure a ship's distance from the shore?, נבדק ב-2023-05-18 Aristotle, A.J.Jenkinson, Prior Analytics: Aristotle, כרך I, Createspace Independent Pub, 2016, עמ' 23, ISBN 978-1537382944 Euclid's Elements, Book II, Definitions Richard Fitzpatrick, Eucild's Elements Of Geometry, 2008, עמ' 129, ISBN 978-0-6151-7984-1 Teziste Dukazy, Planes in Equilibrium