חוג השלמים של גאוס

חוג השלמים של גאוס הוא אוסף המספרים   Z [ i ] = { a + b i : a , b ∈ Z } {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \}} (כאשר   i {\displaystyle \ i} היא היחידה המדומה:   i 2 = − 1 {\displaystyle \ i^{2}=-1} ), דהיינו, מספרים מרוכבים בעלי קואורדינטות שלמות. אוסף זה, שהוא חוג השלמים בשדה   Q [ i ] {\displaystyle \ \mathbb {Q} [i]} , הוא חוג אוקלידי, ולכן יש בו פירוק יחיד לגורמים. הנורמה מוגדרת על החוג הזה לפי הנוסחה   N ( a + b i ) = ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 {\displaystyle \ N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}} , זוהי פונקציה כפלית, השווה לריבוע הערך המוחלט של מספרים מרוכבים. חוג השלמים של גאוס הוא אוקלידי ביחס לנורמה: לכל   x {\displaystyle \ x} ולכל   y ≠ 0 {\displaystyle \ y\neq 0} יש   r {\displaystyle \ r} כך ש-   N ( x − r y ) < N ( y ) {\displaystyle \ N(x-ry)<N(y)} . בזכות האוקלידיות אפשר לחשב מחלק משותף מקסימלי באמצעות אלגוריתם אוקלידס, ולכל מספר יש פירוק יחיד לגורמים ראשוניים. כמו בכל תחום שלמות, איבר אי-פריק הוא איבר x שאי-אפשר לפרק בלי שאחד הגורמים יהיה הפיך. מכיוון שזהו תחום פריקות יחידה, כל איבר אי-פריק   π {\displaystyle \ \pi } הוא גם ראשוני (הוא אינו מחלק מכפלה בלי לחלק את אחד הגורמים שלה). לא כל מספר ראשוני במובן הרגיל של המלה נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. למשל,   5 = ( 2 + i ) ( 2 − i ) {\displaystyle \ 5=(2+i)(2-i)} , ולכן 5 פריק ואינו ראשוני. עם זאת, אם   π {\displaystyle \ \pi } ראשוני אז הנורמה שלו   π π ¯ {\displaystyle \ \pi {\bar {\pi }}} היא או מספר ראשוני, במובן הרגיל של המלה, או ריבוע של מספר כזה (אכן,   π {\displaystyle \ \pi } מחלק את אחד הגורמים הראשוניים של המספר השלם   π π ¯ {\displaystyle \ \pi {\bar {\pi }}} , נאמר   π | p {\displaystyle \ \pi |p} , ואז גם   π ¯ | p {\displaystyle \ {\bar {\pi }}|p} ולכן   π π ¯ | p 2 {\displaystyle \ \pi {\bar {\pi }}|p^{2}} ). מכאן מתקבלת חלוקה של הראשוניים, עד כדי כפל באיבר הפיך, לשלוש קבוצות: אלו המחלקים את 2: זהו הראשוני   1 + i {\displaystyle \ 1+i} (הגורם השני,   1 − i {\displaystyle \ 1-i} , נוצר מהכפלה של הראשון באיבר הפיך – − i {\displaystyle -i} ). אלו המחלקים ראשוני טבעי p השקול ל-1 מודולו 4: לפי משפט של פרמה, כל ראשוני כזה הוא סכום של שני ריבועים   p = a 2 + b 2 {\displaystyle \ p=a^{2}+b^{2}} , ואז   a ± b i {\displaystyle \ a\pm bi} הם שני הגורמים הראשוניים של p. הראשוניים הטבעיים השקולים ל-3 מודולו 4. תורת המספרים האלגברית חוקרת בין השאר את הפירוק של אידיאלים ראשוניים של Z {\displaystyle \mathbb {Z} } בחוג הגדול יותר   Z [ i ] {\displaystyle \ \mathbb {Z} [i]} . בהתאמה לשלוש הקבוצות של ראשוניים שהוזכרו לעיל, 2 הוא ראשוני מסועף, עם "e=2" (ראו e, f ו-g); לראשוניים השקולים ל-1 מודולו 4 יש g=2; ולראשוניים הנותרים יש f=2. למשוואה   x 2 + 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle \ x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}} יש פתרון אם ורק אם f=1, כלומר בשני המקרים הראשונים. בהינתן שלם גאוסי z0, שייקרא מודולוס, שני שלמים גאוסיים z1,z2 הם קונגרואנטיים מודולו z0 אם ההפרש ביניהם הוא כפולה של z0, כלומר אם קיים שלם גאוסי q כך ש-z1 − z2 = qz0. הקונגרואנציה מודולו z0 היא יחס שקילות, שמגדיר חלוקה של השלמים הגאוסיים למחלקות שקילות, אשר נקראות מחלקות קונגרואנציה או מחלקות שאריות. מחלקת שאריות של שלם גאוסי a היא הקבוצה a ¯ := { z ∈ Z [ i ] ∣ z ≡ a ( mod z 0 ) } {\displaystyle {\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}} של כל השלמים הגאוסיים הקונגרואנטיים ל-a ביחס ל-z0. חיבור וכפל עבור קונגרואנציות ביחס לשלמים גאוסיים נעשים בדומה לקונגרואנציות בשלמים ממשיים. פירוש הדבר שאם a1 ≡ b1 (mod z0) ו-a2 ≡ b2 (mod z0) אז a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod z0) ו-a1a2 ≡ b1b2 (mod z0). ישנן בדיוק שתי מחלקות שארית עבור המודולוס 1 + i, שהן : 0 ¯ = { 0 , ± 2 , ± 4 , . . . , ± 1 ± i , ± 3 ± i , . . . } {\displaystyle {\bar {0}}=\left\{0,\pm 2,\pm 4,...,\pm 1\pm i,\pm 3\pm i,...\right\}} (כפולות שלמות של 1+i) ו- 1 ¯ = { ± 1 , ± 3 , ± 5... , ± i , ± 2 ± i , . . . } {\displaystyle {\bar {1}}=\left\{\pm 1,\pm 3,\pm 5...,\pm i,\pm 2\pm i,...\right\}} , אשר יוצרות תבנית של לוח שחמט במישור המרוכב. שתי מחלקות השקילות יוצרות חוג עם שני איברים, שהוא למעשה שדה, השדה היחיד (עד כדי איזומורפיזם) בעל שני איברים, ולכן יכול להיות מזוהה עם השלמים מודולו 2. שתי מחלקות אלו יכולות להיחשב להכללה של החלוקה של השלמים הממשיים לזוגיים ואי-זוגיים, ולכן מאפשרות לדבר על שלמים גאוסיים זוגיים ואי-זוגיים. בעבור המודולוס 2 ישנן ארבע מחלקות שקילות, היוצרות שאריות של 0 , 1 , i , 1 + i {\displaystyle 0,1,i,1+i} . אלו יוצרות חוג עם ארבעה איברים, שבו 1=x = –x בעבור כל x. לפיכך החוג הזה אינו איזומורפי לחוג השלמים מודולו 4, חוג אחר עם ארבעה איברים. בעבור המודולוס 2+2i ישנן שמונה מחלקות שקילות. בהינתן מודולוס z0 לכל האיברים של אותה מחלקת שאריות יש אותה שארית בעבור חילוק אוקלידי ב-z0, ולכן גם שני איברים באותה מחלקת שקילות הם קונגרואנטיים מודולו z0. משום כך, ניתן לבנות סריג במישור המרוכב (ראו איור משמאל), אשר וקטור אחד בתא היסודי שלו הוא הווקטור המחבר את הראשית עם z0, והווקטור היוצר השני של התא היסודי ניצב לו ובאותו אורך (דהיינו סריג ריבועי). ההיגיון מאחורי הבנייה הזאת הוא שכפל של z0 בשלם ממשי מתורגם לתנועה בוקטור שבכיוון z0 ובקפיצות של אורך הווקטור, בעוד שכפל בשלם מדומה טהור יתורגם למעשה לתנועה בכיוון ניצב לו וגם כן בקפיצות של אורך הווקטור. לפי אותו ההיגיון מספר מחלקות השקילות שווה למספר נקודות הסריג בתא יחידה של הסריג, דהיינו הנורמה N(z0) = a2 + b2. חוג השלמים של גאוס הוצג על ידי קרל פרידריך גאוס במאמרו השני על הדדיות ממעלה רביעית (1832). משפט ההדדיות הריבועית (אשר הוא הצליח להוכיח אותו לראשונה ב-1796) מקשר בין הפתירות של הקונגרואנציה (x2 ≡ q (mod p לזו של הקונגרואנציה (x2 ≡ p (mod q. בדומה לכך, הדדיות ממעלה שלישית מקשרת בין הפתירות של (x3 ≡ q (mod p לזו של (x3 ≡ p (mod q, והדדיות דו-ריבועית (ממעלה רביעית) מספקת קשר בין (x4 ≡ q (mod p ל-(x4 ≡ p (mod q. גאוס גילה שחוק ההדדיות הדו-ריבועית והמשפטים המשלימים שלו מנוסחים בצורה בהירה יותר כטענות על "מספרים שלמים מרוכבים" (השלמים הגאוסיים) מאשר כטענות על שלמים רגילים. בהערת שוליים למאמרו הוא מדגיש שהשלמים של אייזנשטיין הם התחום הטבעי לניסוח והוכחת תוצאות על הדדיות ממעלה שלישית, ומציין שהכללות דומות של השלמים הם התחומים המתאימים לחקר חוקי הדדיות גבוהים יותר. המאמר הזה לא רק הציג את השלמים הגאוסיים והוכיח שהם תחום פריקות יחידה, אלא שהוא גם טבע כמה מונחים שנחשבים סטנדרטיים כיום בתורת המספרים האלגברית. מרבית הבעיות הפתוחות על חוג זה קשורות להתפלגות של הראשוניים של גאוס במישור: בעיית המעגל של גאוס לא דנה בשלמים הגאוסיים במובן הישיר, אלא מבקשת לדעת מה מספר נקודות הסריג בתוך מעגל ברדיוס נתון שמרכזו בראשית. זה שקול לקביעת מספר השלמים הגאוסיים עם נורמה הקטנה מערך נתון. על הציר הממשי והמדומה ישנם אינסוף ראשוניים גאוסיים (למשל ...,3,7,11,19). האם ישנם קווים ישרים אחרים המכילים אינסוף ראשוניים גאוסיים עליהם? בפרט, האם ישנם אינסוף ראשוניים גאוסיים מהצורה 1 + k i {\displaystyle 1+ki} ? האם אפשר לצעוד אל האינסוף תוך שימוש בראשוניים הגאוסיים כתחנות עצירה בעזרת צעדים באורך חסום? עבור ראשוניים רגילים (ממשיים) זה אינו אפשרי כי ניתן למצוא מרווחים גדולים באופן שרירותי בין ראשוני לראשוני. בעיה זו ידועה בשם בעיית התעלה הגאוסית (Gaussian moat problem); היא הוצעה ב-1962 בידי Basil Gordon ועודנה פתוחה. חוג השלמים של אייזנשטיין מדיה וקבצים בנושא חוג השלמים של גאוס בוויקישיתוף חוג השלמים של גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)