משפט דה מואבר

משפט דה-מואבר, הקרוי על שמו של אברהם דה-מואבר, קובע שלכל מספר ממשי x {\displaystyle x} ולכל מספר שלם n {\displaystyle n} מתקיים: ( cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) ) n = cos ⁡ ( n x ) + i sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle {\big (}\cos(x)+i\sin(x){\big )}^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)} כאשר cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} מייצג את הרכיב הממשי במספר המרוכב cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)} , ו־ i sin ⁡ ( x ) {\displaystyle i\sin(x)} מייצג את הרכיב המדומה במספר זה. חשיבותו של משפט דה-מואבר היא בכך שהוא מקשר בין מספרים מרוכבים וטריגונומטריה. באופן פרקטי, המשפט מאפשר להשתמש בקשר זה כדי להעלות מספרים מרוכבים בחזקה או למצוא שורש שלהם. לנוסחה יש שני שימושים עיקריים: הוצאת שורש ממספר מרוכב, והצגת גדלים טריגונומטריים cos ⁡ ( n x ) {\displaystyle \cos(nx)} ו- sin ⁡ ( n x ) {\displaystyle \sin(nx)} כפולינומים ב- cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(x)} ו- sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(x)} , בהתאמה. כך לדוגמה, cos ⁡ ( 5 x ) = 16 cos ⁡ ( x ) 5 − 20 cos ⁡ ( x ) 3 + 5 cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(5x)=16\cos(x)^{5}-20\cos(x)^{3}+5\cos(x)} . ראו פולינומי צ'בישב. את נוסחת דה-מואבר אפשר להוכיח באינדוקציה. מן הזהות   [ cos ⁡ ( x ) + i sin ⁡ ( x ) ] [ cos ⁡ ( y ) + i sin ⁡ ( y ) ] = cos ⁡ ( x + y ) + i sin ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \ [\cos(x)+i\sin(x)][\cos(y)+i\sin(y)]=\cos(x+y)+i\sin(x+y)} , השקולה לזהויות הטריגונומטריות   cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) − sin ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) = cos ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \ \cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)=\cos(x+y)} ו-   cos ⁡ ( x ) sin ⁡ ( y ) + sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) = sin ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \ \cos(x)\sin(y)+\sin(x)\cos(y)=\sin(x+y)} . אברהם דה-מואבר היה חבר טוב של אייזק ניוטון, בשנת 1698 הוא כתב שנוסחה זו הייתה ידועה לניוטון עוד ב-1676. ניתן להגיע לנוסחה זאת בקלות מנוסחת אוילר (שהתגלתה מאוחר יותר). זאת משום שלפי נוסחת אוילר, משפט דה-מואבר היא פשוט השוויון הטריוויאלי ( e i x ) n = e i ( n x ) {\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{i(nx)}} . ניתן להשתמש בנוסחת דה-מואבר כדי לחשב את השורשים מסדר n של מספר מרוכב כלשהו. אם z {\displaystyle z} הוא מספר מרוכב שונה מאפס, ניתן לייצג אותו באופן יחיד בצורה z = A ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle z=A(\cos x+i\sin x)\,} ,   0 < A {\displaystyle \ 0<A} ו-   0 ≤ x < 2 π {\displaystyle \ 0\leq x<2\pi } . המספר   ω = B ( cos ⁡ y + i sin ⁡ y ) {\displaystyle \ \omega =B(\cos y+i\sin y)} (עם   0 < B {\displaystyle \ 0<B} ), הוא שורש מסדר n של z אם   ω n = z {\displaystyle \ \omega ^{n}=z} , כלומר, לפי נוסחת דה-מואבר,   B n ⋅ ( cos ⁡ n y + i sin ⁡ n y ) = A ⋅ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) {\displaystyle \ B^{n}\cdot (\cos ny+i\sin ny)=A\cdot (\cos x+i\sin x)} . זה קורה בדיוק כאשר :     B n = A   cos ⁡ n y + i sin ⁡ n y = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle \ \ B^{n}=A\,\ \cos ny+i\sin ny=\cos x+i\sin x} כיוון שלכל מספר חיובי קיים שורש חיובי יחיד מסדר n וכיוון שהפונקציות הטריגונומטריות מחזוריות, עם מחזור   2 π {\displaystyle \ 2\pi } (רדיאנים): ω = z n = A ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = A n { cos ⁡ ( x + 2 k π n ) + i sin ⁡ ( x + 2 k π n ) } {\displaystyle \omega ={\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{A(\cos x+i\sin x)}}={\sqrt[{n}]{A}}\left\{\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right\}} כאשר   k = 0 , 1 , … , n − 1 {\displaystyle \ k=0,1,\dots ,n-1} , ואלו בדיוק n השורשים של z. נוסחת אוילר שורשי יחידה פולינומי צ'בישב משפט דה-מואבר לזהויות הטריגונומטריות משפט דה מואבר, באתר MathWorld (באנגלית)