מרחב פסאודו-מטרי

בטופולוגיה, מרחב פסאודו-מטרי הוא קבוצה עם פונקציית מרחק שבה ייתכן מרחק 0 בין שני איברים השונים זה מזה. פונקציית מרחק כזו נקראת .פסאודו-מטריקה. מרחב פסאודו-מטרי מהווה הרחבה של המרחב המטרי. להגדיר פסאודו-מטריקה על קבוצה X {\displaystyle X} שקול ללתת יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } על X {\displaystyle X} ולהגדיר מטריקה על מרחב המנה X / ∼ {\displaystyle X/\sim } (ראו להלן). כך שהמושג מרחב פסאודו-מטרי לא מספק אובייקטים מתמטיים השונים באופן מהותי ממרחבים מטריים. עם זאת, המושג נוח כאשר טבעי יותר לדבר על אברי הקבוצה X {\displaystyle X} מאשר על מחלקות השקילות בה (ראו דוגמאות להלן). מרחבים פסאודו-מטרים הוגדרו לראשונה על ידי המתמטיקאי הסרבי דורו קורפה בשנת 1934. בהינתן קבוצה M {\displaystyle M} ופונקציה d : M × M → R ≥ 0 {\displaystyle d:M\times M\to \mathbb {R} _{\geq 0}} , כאשר R ≥ 0 {\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}} היא קבוצת המספרים הממשיים האי-שליליים, הפונקציה d {\displaystyle d} תקרא פסאודו-מטריקה אם ורק אם היא מקיימת את התנאים הבאים: לכל x ∈ M {\displaystyle x\in M} מתקיים d ( x , x ) = 0 {\displaystyle d(x,x)=0} לכל x , y ∈ M {\displaystyle x,y\in M} מתקיים d ( x , y ) = d ( y , x ) {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)} (כלומר, d {\displaystyle d} פונקציה סימטרית) לכל x , y , z ∈ M {\displaystyle x,y,z\in M} מתקיים d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)} (כלומר, d {\displaystyle d} מקיימת את אי השוויון המשולש) הזוג ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} נקרא "מרחב פסאודו-מטרי". הגדרה זו זהה להגדרה של מרחב מטרי למעט התנאי הראשון, בו עבור מרחבי מטרי מתקיים ש- d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} אם ורק אם x = y {\displaystyle x=y} . על כן, כל מרחב מטרי הוא מרחב פסאודו-מטרי. בצורה דומה למרחבים מטריים, ניתן להגדיר מרחב טופולוגי באמצעות הפסאודו-מטריקה על ידי לקיחת כל הכדורים הפתוחים B r ( x 0 ) := { x ∈ M ∣ d ( x , x 0 ) < r } {\displaystyle B_{r}(x_{0}):=\{x\in M\mid d(x,x_{0})<r\}} ולהשתמש בהם כבסיס לטופולוגיה. בטופולוגיה זו, הפסאודו-מטריקה d {\displaystyle d} היא בהכרח פונקציה רציפה בשני המשתנים שלה. ניתן להוכיח כי המרחב הטופולוגי הנוצר באמצעות הפסאודו-מטריקה יהיה בהכרח מרחב רגולרי לחלוטין. כמו כן, ניתן להראות כי אם הטופולוגיה מקיימת את אקסיומת ההפרדה T 0 {\displaystyle T_{0}} אז בהכרח הפסאודו-מטריקה היא בעצם מטריקה. בהינתן מרחב פסאודו-מטרי ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} , ניתן להגדיר על M {\displaystyle M} יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } כך ש- x ∼ y {\displaystyle x\sim y} אם ורק אם d ( x , y ) = 0 {\displaystyle d(x,y)=0} . ניתן להראות כי אם x 1 ∼ x 2 {\displaystyle x_{1}\sim x_{2}} ו- y 1 ∼ y 2 {\displaystyle y_{1}\sim y_{2}} אז בהכרח d ( x 1 , y 1 ) = d ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle d(x_{1},y_{1})=d(x_{2},y_{2})} . מסיבה זו ניתן להגדיר פונקציה d ∗ : ( M / ∼ ) × ( M / ∼ ) → R ≥ 0 {\displaystyle d^{*}:(M/\sim )\times (M/\sim )\to \mathbb {R} _{\geq 0}} כך שלכל [ x ] , [ y ] ∈ M / ∼ {\displaystyle [x],[y]\in M/\sim } מתקיים d ∗ ( [ x ] , [ y ] ) := d ( x , y ) {\displaystyle d^{*}([x],[y]):=d(x,y)} . פונקציה זו מוגדרת היטב מכיוון שערך המרחק בין מחלקות שקילות אינו תלוי בנציג. ניתן להוכיח כי d ∗ {\displaystyle d^{*}} היא מטריקה ולכן ( M / ∼ , d ∗ ) {\displaystyle (M/\sim ,d^{*})} הוא מרחב מטרי. d ∗ {\displaystyle d^{*}} תקרא מטריקת הזיהוי. כלומר, על-ידי זיהוי נקודות בעלות מרחק 0 זו מזו כאותה נקודה ניתן להפוך את המרחב הפסאודו-מטרי למרחב מטרי. הטופולוגיה על מרחב מטרי זה מהווה את אותה הטופולוגיה של המרחב הפסאודו-מטרי המקורי עד כדי זיהוי נקודות. כלומר, אם U ⊆ M {\displaystyle U\subseteq M} היא קבוצה פתוחה לפי הטופולוגיה של הפסאודו-מטריקה, אז U ′ := { [ x ] ∣ x ∈ U } {\displaystyle U':=\{[x]\mid x\in U\}} היא קבוצה פתוחה לפי מטריקת הזיהוי. בהינתן מרחב מטרי ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} ניתן להגדיר מרחב ( P ( M ) , h ) {\displaystyle (P(M),h)} כאשר P ( M ) {\displaystyle P(M)} היא קבוצת כל התת-קבוצות של M {\displaystyle M} (לאו דווקא פתוחות או סגורות) ו- h {\displaystyle h} הוא מרחק האוסדורף המוגדר כך שלכל X , Y ∈ P ( M ) {\displaystyle X,Y\in P(M)} מתקיים ש- h ( X , Y ) := sup m ∈ M | inf x ∈ X d ( x , m ) − inf y ∈ Y d ( y , m ) | {\displaystyle h(X,Y):=\sup _{m\in M}{|\inf _{x\in X}{d(x,m)}-\inf _{y\in Y}{d(y,m)}|}} . המרחב ( P ( M ) , h ) {\displaystyle (P(M),h)} הוא מרחב פסאודו-מטרי. בהינתן מרחב וקטורי V {\displaystyle V} ונורמה למחצה עליו ρ {\displaystyle \rho } , ניתן להגדיר פסואודו-מטריקה d {\displaystyle d} על V {\displaystyle V} כך ש- d ( v , u ) := ρ ( v − u ) {\displaystyle d(v,u):=\rho (v-u)} . בהינתן מרחב מידה ( Ω , A , μ ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )} ניתן להגדיר פסאודו-מטריקה d {\displaystyle d} על A {\displaystyle {\mathcal {A}}} כך שלכל A , B ∈ A {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} מתקיים ש- d ( A , B ) := μ ( A △ B ) {\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)} . מרחב מטרי נורמה למחצה Lothar Collatz, Functional Analysis and Numerical Mathematics, Academic Press, 2014-05-12, ISBN 978-1-4832-6400-4. (באנגלית) Pseudo-metric - Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org metric space in nLab, ncatlab.org (באנגלית)