אופרטור התנע

אופרטור התנע (הקווי) הוא אופרטור במכניקת הקוונטים, אשר מתאים לגודל המדיד של תנע קווי עבור חלקיק המתואר על ידי פונקציית גל. נהוג לסמן את אופרטור התנע בסימון p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} , על אף שבספרות יש גם סימונים אחרים. במרחב המיקום (החד-ממדי) אופרטור זה מוגדר להיות: p ^ := − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}:=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} זאת כאשר i {\displaystyle i} הוא היחידה המדומה, ℏ {\displaystyle \hbar } הוא קבוע פלאנק המצומצם ו- ∂ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}} היא הנגזרת החלקית של פונקציית הגל לפי משתנה המיקום x {\displaystyle x} (נגזרת זו היא נגזרת חלקית מכיוון שפונקציית הגל עשויה להיות תלויה גם בזמן). בעת ביצוע מדידת ערך התנע של חלקיק כלשהו, החלקיק יקרוס לאחד המצבים העצמיים שלו, כפי שמציע הפורמליזם של מכניקת הקוונטים. אופרטור התנע משמש לתיאור תופעות שונות במכניקת הקוונטים, כגון האנרגיה הקינטית של חלקיק, פתרון בעיית חלקיק חופשי וניסוח עקרון אי-הוודאות של הייזנברג. על-פי השערת דה ברויי, לכל חלקיק (ובפרט אלקטרון) ישנה דואליות גל-חלקיק, מה שמאפשר את הגדרתו של אלקטרון כגל ולא כחלקיק נקודתי (כפי שהוא מוגדר במכניקה הקלאסית). על-פי גישה זו, ניתן לתאר אלקטרון חד-ממדי בעל תנע קווי קבוע p {\displaystyle p} כגל מישורי: ψ ( x , t ) = e i ( p x − E t ) ℏ {\displaystyle \psi (x,t)=e^{\frac {i(px-Et)}{\hbar }}} ניסוח זה פותר את משוואת שרדינגר עבור חלקיק חופשי כאשר מתקיים הקשר הקלאסי E = p 2 2 m {\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}} . כדי לחלץ את התנע מתוך פונקציית הגל יש לבצע גזירה לפי x {\displaystyle x} : ∂ ψ ∂ x ( x , t ) = i p ℏ e i ( p x − E t ) ℏ = i p ℏ ψ ( x , t ) {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,t)={\frac {ip}{\hbar }}e^{\frac {i(px-Et)}{\hbar }}={\frac {ip}{\hbar }}\psi (x,t)} לאחר העברת אגפים מתקבל השוויון: − i ℏ ∂ ψ ∂ x ( x , t ) = p ψ ( x , t ) {\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x,t)=p\psi (x,t)} שוויון זה מרמז על כך שהאופרטור המתאים למדידה של תנע הוא p ^ = − i ℏ ∂ ∂ x {\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}} , כפי שאושש בניסוי. אופרטור התנע החד-ממדי הוא אופרטור המעביר פונקציית גל ψ : R → C {\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} } המיוצגת במרחב המיקום, לפונקציה p ^ ψ : R → C {\displaystyle {\hat {p}}\psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} } , כך שלכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } : ( p ^ ψ ) ( x ) := − i ℏ ∂ ψ ∂ x ( x ) {\displaystyle ({\hat {p}}\psi )(x):=-i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x)} באמצעות הגדרה זו ניתן לחשב את ערך התצפית של התנע של חלקיק המתואר על-ידי פונקציית גל. בשימוש בסימון ברה-קט מתקבל: ⟨ p ^ ⟩ ψ = ⟨ ψ | p ^ ψ ⟩ = ⟨ ψ | p ^ | ψ ⟩ = − i ℏ ∫ − ∞ ∞ ψ ∗ ( x ) ∂ ψ ∂ x ( x ) d x {\displaystyle \langle {\hat {p}}\rangle _{\psi }=\langle \psi |{\hat {p}}\psi \rangle =\langle \psi |{\hat {p}}|\psi \rangle =-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }{\psi ^{*}(x){\frac {\partial \psi }{\partial x}}(x)dx}} ניתן להראות כי אופרטור התנע הוא אופרטור הרמיטי מה שמאפשר את מדידתו בעולם הממשי. בשלושה ממדים אופרטור התנע הוא אופרטור וקטורי ומסומן בתור p ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} } . אופרטור זה מעביר פונקציית גל ψ : R 3 → C {\displaystyle \psi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} } המיוצגת במרחב המיקום, לפונקציה הווקטורית p ^ ψ : R 3 → C 3 {\displaystyle \mathbf {\hat {p}} \psi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}} , כך שלכל וקטור מיקום r ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}} : ( p ^ ψ ) ( r ) := − i ℏ ∇ ψ ( r ) {\displaystyle (\mathbf {\hat {p}} \psi )(\mathbf {r} ):=-i\hbar \nabla \psi (\mathbf {r} )} כאשר ∇ ψ {\displaystyle \nabla \psi } הוא הגרדיאנט של ψ {\displaystyle \psi } . ניתן לפרק את אופרטור התנע התלת־ממדי לשלושה רכיבים סקלריים p ^ x , p ^ y , p ^ z {\displaystyle {\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}} ולהשתמש בהם על-מנת לחשב את רכיב התנע בכל אחד מהצירים. כמו כן, ניתן להשתמש באופרטור הווקטורי בצורה ישירה כדי למדוד את ערך התצפית של התנע באופן הבא: ⟨ p ^ ⟩ ψ = − i ℏ ∫ ψ ∗ ( r ) ∇ ψ ( r ) d r {\displaystyle \langle \mathbf {\hat {p}} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int {\psi ^{*}(\mathbf {r} )\nabla \psi (\mathbf {r} )d\mathbf {r} }} כל p ∈ R {\displaystyle p\in \mathbb {R} } מהווה ערך עצמי של אופרטור התנע עם הפונקציה העצמית ψ p : R → C {\displaystyle \psi _{p}:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } המוגדרת כך שלכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } : ψ p ( x ) = e i p x ℏ {\displaystyle \psi _{p}(x)=e^{\frac {ipx}{\hbar }}} עובדה זו נובעת באופן ישיר מתכונת פונקציית האקספוננט אשר מהווה הנגזרת של עצמה. בכתיב ברה-קט נהוג לסמן את המצבים העצמיים של אופרור התנע החד-ממדי בסימון | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } . הקבוצה { e i p x ℏ } p ∈ R {\displaystyle \left\{e^{\frac {ipx}{\hbar }}\right\}_{p\in \mathbb {R} }}  מהווה בסיס למרחב הילברט L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}  ולכן פורסת באופן מלא את מרחב המיקום (קבוצה זו היא בסיס לפיו מתבצעת התמרת פורייה). כלומר, ניתן לייצג כל מצב קוונטי כסכום אינסופי של המצבים | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } . מכיוון שבסיס זה הוא בסיס רציף, סכום זה יהיה אינטגרל. הדבר מקביל לאופן שבו המצבים העצמיים של אופרטור המיקום פורסים את מרחב המיקום. המצבים העצמיים של אופרטור התנע, בניגוד לאופרטורים אחרים, אינם ניתנים לנרמול כפי שמציע הפורמליזם של מכניקת הקוונטים. כלומר, לכל p ∈ R {\displaystyle p\in \mathbb {R} } מתקיים ש ⟨ p | p ⟩ = ∞ {\displaystyle \langle p|p\rangle =\infty } . אחת המשמעותיות המידיות של עובדה זו היא שלא קיים ערך תצפית לאופרטור המיקום עבור מצבים קוונטים אלו (כלומר, לא ניתן למדוד את המיקום של חלקיק עם מצב עצמי כזה). ניתן להראות כי לכל p , p ′ ∈ R {\displaystyle p,p'\in \mathbb {R} } מתקיים ש ⟨ p | p ′ ⟩ = δ ( p − p ′ ) {\displaystyle \langle p|p'\rangle =\delta (p-p')} כאשר δ {\displaystyle \delta } היא פונקציית דלתא של דיראק. עבור אופרטור התנע התלת־ממדי, הערכים העצמיים שלו יהיו כל p ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}} . לכל ערך עצמי כזה מותאמת הפונקציה העצמית ψ p : R → C {\displaystyle \psi _{\mathbb {p} }:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } המוגדרת כך שלכל r ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{3}} : ψ p ( r ) = e i p ⋅ r ℏ {\displaystyle \psi _{p}(\mathbf {r} )=e^{\frac {i\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{\hbar }}} זהו גל מישורי בעל תנע קבוע p {\displaystyle \mathbf {p} } ונהוג לסמנו ב- | p ⟩ {\displaystyle |\mathbf {p} \rangle } . גם כאן, לכל p , p ′ ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {p'} \in \mathbb {R} ^{3}} מתקיים ש- ⟨ p | p ′ ⟩ = δ ( p − p ′ ) {\displaystyle \langle \mathbf {p} |\mathbf {p'} \rangle =\delta (\mathbf {p} -\mathbf {p'} )} . על פי רוב, נהוג לתאר מצב קוונטי כלשהו | ψ ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle } כפונקציית גל ψ : R → C {\displaystyle \psi :\mathbb {R} \to \mathbb {C} } המקשרת קואורדינטת מיקום x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } לצפיפות הסתברות | ψ ( x ) | 2 {\displaystyle |\psi (x)|^{2}} . ייצוג זה נקרא ייצוג במרחב המיקום. מאחר שהמצבים העצמיים של אופרטור התנע פורסים את מרחב המיקום, נגדיר לכל פונקציית גל ψ {\displaystyle \psi } שכזו פונקציה חדשה ψ ~ : R → C {\displaystyle {\tilde {\psi }}:\mathbb {R} \to \mathbb {C} } כך שלכל ערך תנע p ∈ R {\displaystyle p\in \mathbb {R} } נגדיר: ψ ~ ( p ) := ⟨ p | ψ ⟩ {\displaystyle {\tilde {\psi }}(p):=\langle p|\psi \rangle } ניתן להראות ש- ψ ~ {\displaystyle {\tilde {\psi }}} היא התמרת פורייה של ψ {\displaystyle \psi } . הלכה למעשה, ψ ~ {\displaystyle {\tilde {\psi }}} גם היא פונקציית גל המקשרת כל קוארדינטת תנע p ∈ R {\displaystyle p\in \mathbb {R} } לצפיפות הסתברות | ψ ~ ( p ) | 2 {\displaystyle |{\tilde {\psi }}(p)|^{2}} של ערכי התנע. ייצוג מסוג זה נקרא ייצוג במרחב התנע והוא שקול לייצוג במרחב המיקום. כלומר, כל מצב קוונטי ניתן לייצוג הן במרחב המיקום והן במרחב התנע ולחלופין. המעבר ההפוך ממרחב התנע למרחב המיקום מתבצע על ידי התמרת פורייה ההופכית. המצבים הקוונטיים | p ⟩ {\displaystyle |p\rangle } מקבלים את הצורה של פונקציית הדלתא של דיראק במרחב התנע בעוד המצבים העצמיים של אופרטור המיקום | x ⟩ {\displaystyle |x\rangle } מקבלים את הצורה e i p x ℏ {\displaystyle e^{\frac {ipx}{\hbar }}} , זאת באופן הפוך לאופן שבו הן הם מיוצגים במרחב המיקום. אופרטור התנע במרחב התנע מקבל את הצורה: ( p ^ ψ ~ ) ( p ) = p ψ ~ ( p ) {\displaystyle ({\hat {p}}{\tilde {\psi }})(p)=p{\tilde {\psi }}(p)} באופן דומה לכפי שמוגדר אופרטור המיקום במרחב המיקום. אחת התכונות הבסיסיות של אופרטור התנע היא אי-החילופיות שלו עם אופרטור המיקום. למעשה: [ x ^ , p ^ ] = i ℏ {\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar } כאשר [ , ] {\displaystyle [,]} הוא הקומוטטור של האופרטורים. על-אף שהפלט של פעולת הקומוטטור יכול להיות אופרטור בפני עצמו, עבור הקומוטטור של אופרטור המיקום ואופרטור התנע מתקבל ערך קבוע. עובדה זו עומדת בבסיסו של עקרון אי הודאות הקובע כי: Δ x Δ p ≥ ℏ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}} עבור ϵ ∈ R {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} } כלשהו ניתן להגדיר את אופרטור ההזזה T ^ ( ϵ ) {\displaystyle {\hat {T}}(\epsilon )} המוגדר כך שלכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } : T ^ ( ϵ ) | x ⟩ = | x + ϵ ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}(\epsilon )|x\rangle =|x+\epsilon \rangle } באופן כללי, לכל פונקציית ψ {\displaystyle \psi } המוגדרת במרחב המיקום: ⟨ x | T ^ ( ϵ ) | ψ ⟩ = ψ ( x − ϵ ) {\displaystyle \langle x|{\hat {T}}(\epsilon )|\psi \rangle =\psi (x-\epsilon )} ניתן להראות על-ידי פירוק פונקציית הגל במרחב המיקום לטור טיילור שמתקבל: T ^ ( ϵ ) = e − i ϵ p ^ ℏ {\displaystyle {\hat {T}}(\epsilon )=e^{-{\frac {i\epsilon {\hat {p}}}{\hbar }}}} ניתן על כן להגיד כי אופרטור התנע הוא האופרטור היוצר (generator) של אופרטור ההזזה. על כן, על-פי משפט נתר, במערכות קוונטיות שבהם ההמילטוניאן מתחלף עם אופרטור התנע ישנה סימטריה להזזות מרחביות. עבור ϵ ∈ R {\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} } קטן דיו ניתן להשתמש בקירוב: T ^ ( ϵ ) = 1 − i ϵ ℏ p ^ {\displaystyle {\hat {T}}(\epsilon )=1-{\frac {i\epsilon }{\hbar }}{\hat {p}}} קירוב זה שקול לקירוב הקלאסי של טרנספורמציית גליליי. הפורמליזם של מכניקת הקוונטים אופרטור אופרטור המיקום עקרון אי הודאות Prof. Mark Alford, The Essentials of Quantum Mechanics, ‏Oct 22nd, 2008 Quantum mechanics in three dimensions, Utah State University BASICS OF QUANTUM MECHANICS, Oregon State University