אינטגרל קווי

במתמטיקה, אינטגרל קווי (לעיתים גם אינטגרל לאורך עקום, אינטגרל מסלולי או אינטגרל מסילתי) הוא אינטגרל המחושב לאורך מסילה במרחב, ולאו דווקא לאורך קטע ממשי. כמו האינטגרל הרגיל, האינטגרל הקווי מסכם ערכים של פונקציה נתונה ומשקלל אותם לפי אורך המסילה, באופן המכליל סיכום של מספר סופי של ערכים. הפונקציה שאת האינטגרל שלה מחשבים עשויה לקבל ערכים ממשיים, או ערכים וקטוריים בכל מרחב בנך (ובכלל זה המרחב האוקלידי). האינטגרל נקרא לפעמים מסוג ראשון כאשר הוא מסכם פונקציה סקלרית (ממשית או מרוכבת), או מסוג שני כאשר הוא מסכם פונקציה וקטורית. האינטגרל מהסוג השני הוא למעשה סכום של רכיבים של וקטור, שרכיביו הם בעצמם אינטגרלים מהסוג הראשון. לשני הסוגים ישנן משמעויות פיזיקליות שונות, ולכן לעיתים דרך הטיפול בהם שונה. הצורך באינטגרל קווי עולה בעת ניתוח גדלים הקשורים בתנועה במסלול שאינו ישר, או בתכונות פיזיקליות של גוף עקום, כגון חוט דק. בדרך זו, ניתן לחשב גדלים כדוגמת אורך, מסה, או מטען חשמלי. האינטגרל הקווי מחשב כוח הפועל על גוף המיוצג על ידי עקום, או עבודה של כוח המניע מסה לאורכו, כמו גם התנהגות של שדות פיזיקליים (למשל, שדה חשמלי) על פני מסלולים. לאינטגרלים קוויים של פונקציות אנליטיות או הרמוניות ישנן תכונות מתמטיות הקושרות אותם לערכי הפונקציה במשטח שאותו סוגר העקום. בקשרים אלה עוסקים כמה משפטים באנליזה מרוכבת, באנליזה וקטורית ובאנליזה הרמונית. נהוג לסמן אינטגרל קווי לאורך מסלול C {\displaystyle C} בסימן   ∫ C {\displaystyle \ \int _{C}} . אם C {\displaystyle C} הוא מסלול סגור, מסמנים אותו לעיתים   ∮ C {\displaystyle \ \oint _{C}} . לעיתים מסמנים אינטגרל קווי באופן זהה לזה של אינטגרל לא מסוים או בדומה לאינטגרל מסוים, כאשר בתחתית ה-S הארוכה מציינים את נקודת התחלת המסלול ובראשה את נקודת סיומו, בשני המקרים תוך ציון מילולי כי האינטגרציה נעשית לאורך העקום. ערך מורחב – אינטגרל אינטגרציה היא שיטה לחישוב גדלים על ידי סכימת אלמנטים קטנים, שגודלם שואף לאפס ומספרם שואף לאינסוף. האינטגרל המסוים של פונקציה בקטע נתון מחושב על ידי חלוקת הקטע לתת-קטעים קטנים, וסיכום כל המכפלות של ערכי הפונקציה ב"נקודה יציגה" שנבחרת בכל תת-קטע באורכי תת-הקטעים המתאימים. סכום כזה נקרא "סכום רימן", על שמו של המתמטיקאי ברנהרד רימן. לעיתים קרובות מתברר שאם מעדנים את החלוקה כך שתת-הקטעים נעשים קטנים יותר ויותר, סכומי רימן הולכים ומתקרבים לערך קבוע, ללא תלות באופן החלוקה ובנקודות שנבחרו בתת-הקטעים. במקרה כזה נקרא הערך המתקבל - "אינטגרל רימן" של הפונקציה בקטע. האינטגרל מחשב שטח: אם הפונקציה חיובית, האינטגרל שלה שווה לשטח הכלוא בין גרף הפונקציה לבין הציר של המשתנה שעל פיו מחושב האינטגרל. באופן דומה, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות המחושבות הן שונות. בפרט, ניתן להגדיר אינטגרלים שבהם המכפלות הנסכמות הן מכפלות של ערכי פונקציה מסוימת באורכי חלקים קטנים של עקום נתון, או בהיטליהם על הצירים. בחישוב אינטגרלים מסוג זה מתעורר קושי בחישוב אורכו של עקום, או חלק ממנו (ללא כלים של חשבון אינפיניטסימלי), משום שהגאומטריה הקלאסית אינה מספקת כלים לחישוב אורך עקום כלשהו במקרה הכללי. לצורך ניתוח בעיית חישוב האורך, מבוצע על עקום רציף (כלומר – בשפה פשוטה – עקום שניתן לציירו "מבלי להרים את העיפרון מהדף") ההליך הבא: על העקום מוקצות מספר נקודות וכל שתי נקודות סמוכות מחוברות זו לזו על ידי מיתרים (ראו איור שני מלמעלה). כך, מתקבל קו שבור שמהווה קירוב לעקום. ככל שהחלוקה היא לנקודות צפופות יותר ויותר, כך מתקבל קו שבור אשר מקורב לעקום בצורה טובה יותר. כשאורך המיתר הארוך ביותר שואף לאפס, מתקבל קו שבור המקרב את העקומה בצורה מיטבית. ניתן להשתמש בקירוב זה של העקום על מנת לחשב אינטגרל עבור ערכים של פונקציה המוגדרת לאורך העקום. מבחינת הנדסית, כשם שבבניית האינטגרל המסוים מחושב השטח המכוון שבין גרף הפונקציה לציר ה- x {\displaystyle x} , כך המשמעות ההנדסית של האינטגרל הקווי היא השטח שבין גרף הפונקציה לעקום, כשאת תפקידו של ציר ה- x {\displaystyle x} ממלא בבנייה זו הקו העקום. סימון:   x → = ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \ {\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})} – זהו וקטור המקום המציג את שיעוריה של נקודה כלשהי במרחב. הפונקציה ρ ( x → ) ∈ R {\displaystyle \rho ({\vec {x}})\in \mathbb {R} } היא שדה סקלרי במרחב בעל מספר ממדים כלשהו, המוגדר וחסום בתחום האינטגרציה. על פונקציה זו מתבצעת האינטגרציה. לעיתים נקראת פונקציה זו "פונקציית הצפיפות" שכן עבור שימושים רבים של האינטגרל הקווי מסוג זה, היא מבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי מסוים. העקומה עליה תתבצע האינטגרציה תסומן באות C. על עקומה זו להיות חלקה למקוטעין, כלומר - מספר הנקודות בו נגזרת הפונקציה המתארת את המסילה איננה קיימת – נקודות בהן גרף הפונקציה "מחודד" – הוא סופי. ראו איור שלישי מלמעלה להמחשה. המסילה מתוארת על ידי פרמטריזציה p → : [ a , b ] → R n , p → ( t ) = ( x 1 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ) {\displaystyle {\vec {p}}\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n},{\vec {p}}(t)=(x_{1}(t),\cdots ,x_{n}(t))} כאשר   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} מבטא את קטע המסילה C עליו אנו מבצעים את האינטגרציה. כלומר, העקום מתואר על ידי משוואה פרמטרית המתאימה ערכים של הפרמטר   t {\displaystyle \ t} לשיעורי נקודות על העקום. משמעות היותה של C "חלקה למקוטעין" היא שבקטע   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} הפונקציה המתארת את העקום רציפה וגזירה ברציפות בתחום האינטגרציה, למעט במספר סופי של נקודות. על הפרמטריזציה של העקומה להיות חד-חד ערכית ובעלת נורמה (בהקשר זה "גודל") שונה מאפס. במקרה זה, משמעות הפרמטריזציה היא התאמה בין ערכי הפרמטר   t {\displaystyle \ t} לבין נקודות על העקום. כלומר, לכל ערך של   t {\displaystyle \ t} בתחום האינטגרציה   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} מתאימה נקודה על העקום ולהפך - לכל נקודה על העקום מתאים ערך של   t {\displaystyle \ t} בתחום   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} . כך, ישנה התאמה בין כל הערכים של   t {\displaystyle \ t} בתחום   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} לבין כל הנקודות של העקום. בשפה פשוטה, העקום מתואר בשלמותו על ידי ערכים של   t {\displaystyle \ t} בתחום   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} . על העקומה   C {\displaystyle \ C} מבוצע ההליך של חלוקה למספר כלשהו של קטעים על ידי בחירה שרירותית של נקודות ומתיחת קווים ישרים ביניהן. הצורה המתקבלת היא קו שבור המורכב ממיתרים ומקרב את העקום. בכל חלק של הקו השבור נבחרת באופן שרירותי נקודה אשר תסומן   ξ i → {\displaystyle \ {\vec {\xi _{i}}}} . זוהי "נקודה מייצגת". הערך שמקבלת הפונקציה באותה נקודה הוא   ρ ( ξ i → ) {\displaystyle \ \rho ({\vec {\xi _{i}}})} . זהו "ערך מייצג" של הפונקציה באותו הקטע. קירוב "סכום הערכים" שמקבלת הפונקציה בכל קטע נתון על ידי המכפלה   ρ ( ξ i → ) Δ ℓ i {\displaystyle \ \rho ({\vec {\xi _{i}}})\Delta \ell _{i}} כאשר   Δ ℓ i {\displaystyle \ \Delta \ell _{i}} הוא אורך הקטע המקרב את הקשת עליה הוא נשען. סכימת כל המכפלות באותו הקטע, ∑ i ρ ( ξ i → ) Δ ℓ i {\displaystyle \sum _{i}\rho ({\vec {\xi _{i}}})\Delta \ell _{i}} , נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של הפונקציה על העקום המקורי. את החלוקה מעדנים יותר ויותר על ידי בחירת נקודות נוספות ובנייה מחודשת של קטעים על פי כל הנקודות שנבחרות על העקום. ככל שהליך זה נמשך, עולה רמת הדיוק של קירוב הקשת על ידי אוסף מיתרים. עתה, מפעילים גבול במצב שבו אורך כל קטע ישר המקרב את העקום שואף לאפס: lim max Δ ℓ i → 0 ∑ i ρ ( ξ i → ) Δ ℓ i {\displaystyle \lim _{\max \Delta \ell _{i}\rightarrow 0}\sum _{i}\rho ({\vec {\xi _{i}}})\Delta \ell _{i}} . זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור ∫ C ρ ( x → ) d ℓ {\displaystyle \int _{C}\rho ({\vec {x}})\,\mathrm {d} \ell } ונקרא "אינטגרל קווי מסוג ראשון". הערה: באופן דומה, במקום לחלק את הקטע, ניתן לפנות ישירות אל הגדרת האינטגרל על פי רימן ולפיכך להגדיר   ∫ C f d ℓ = ∫ 0 Length ( C ) f ( γ ( ℓ ) ) d ℓ {\displaystyle \ \int _{C}f\,\mathrm {d} \ell =\int _{0}^{{\text{Length}}(C)}f(\gamma (\ell ))\,\mathrm {d} \ell } כאשר γ ( ℓ ) {\displaystyle \gamma (\ell )} היא הפרמטריזציה של העקום לפי האורך. חישובו של סכום זה ישירות איננו מעשי מפאת מורכבותו ולכן מקרבים אותו על ידי סכום אחר אשר חישובו ידוע, זהו הסכום האינטגרלי של רימן המגדיר את האינטגרל המסוים, אותו קל יותר לחשב בעזרת נוסחת ניוטון לייבניץ או בעזרת שיטות נומריות שונות. בעזרת הפרמטריזציה הנתונה של הישר, ניתן להציג את הפונקציה בצורה ρ ( x 1 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ) {\displaystyle \rho (x_{1}(t),\cdots ,x_{n}(t))} . אורך הקטע המקרב את הקשת   Δ ℓ i {\displaystyle \ \Delta \ell _{i}} מחושב ידי הכללה של משפט פיתגורס בצורה   Δ ℓ i = ( Δ x 1 ( t ) ) 2 + ⋯ + ( Δ x n ( t ) ) 2 {\displaystyle \ \Delta \ell _{i}={\sqrt {(\Delta x_{1}(t))^{2}+\cdots +(\Delta x_{n}(t))^{2}}}} כאשר   Δ x i {\displaystyle \ \Delta x_{i}} הוא שינוי קטן של אחד ממשתני הפרמטריזציה המגדירים את הקשת. לאחר כפל וחילוק של כל שינוי כזה ב-   Δ t {\displaystyle \ \Delta t} ולאחר ארגון מחדש מתקבל Δ ℓ i = ( Δ x 1 ( t ) Δ t ) 2 + ⋯ + ( Δ x n ( t ) Δ t ) 2 | Δ t | {\displaystyle \Delta \ell _{i}={\sqrt {\left({\frac {\Delta x_{1}(t)}{\Delta t}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\Delta x_{n}(t)}{\Delta t}}\right)^{2}}}|\Delta t|} . בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר   t {\displaystyle \ t} . כמו כן, הערך   | Δ t | {\displaystyle \ |\Delta t|} מוחלף בדיפרנציאל, המבטא שינוי קטן בערכו של   t {\displaystyle \ t} . כך, מתקבל Δ ℓ i ≈ ( d x 1 ( t ) d t ) 2 + ⋯ + ( d x n ( t ) d t ) 2 d t {\displaystyle \Delta \ell _{i}\approx {\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\mathrm {d} x_{n}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t} . הערך של Δ ℓ i {\displaystyle \Delta \ell _{i}} שהתקבל הוא אמנם קירוב, אך ניתן להוכיח כי הגבול המתקבל עבור הערך המקורב והמקורי זהים, ולכן לצורך חישובים מעשיים ניתן להחליף את הערך המקורי בערך המקורב. באופן זה, אם בקצוות תחום האינטגרציה מקבל הפרמטר t {\displaystyle t} את הערכים a {\displaystyle a} ו- b {\displaystyle b} , ניתן לחשב את האינטגרל הקווי על ידי הנוסחה הבאה: ∫ C ρ ( x → ) d l = ∫ a b ρ ( x 1 ( t ) , ⋯ , x n ( t ) ) ( d x 1 ( t ) d t ) 2 + ⋯ + ( d x n ( t ) d t ) 2 d t = ∫ a b ρ ( x → ( t ) ) ‖ x → ′ ( t ) ‖ d t {\displaystyle \int _{C}\rho ({\vec {x}})\,\mathrm {d} l=\int _{a}^{b}\rho (x_{1}(t),\cdots ,x_{n}(t)){\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\cdots +\left({\frac {\mathrm {d} x_{n}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}\rho ({\vec {x}}(t))\|{\vec {x}}'(t)\|\,\mathrm {d} t} . ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג ראשון אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה. אינטגרל קווי מסוג שני מתבצע על שדה וקטורי. סימון: F → ( x → ) ∈ R n {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {x}})\in \mathbb {R} ^{n}} – זוהי פונקציה במרחב בעל n ממדים עליה מבוצעת האינטגרציה. ניתן לחשוב על פונקציה זו כעל אוסף של n פונקציות סקלריות. תחת ההנחה כי פונקציה זו רציפה, כאמור לעיל, נניח כי המסילה   C {\displaystyle \ C} היא מסילה חלקה למקוטעין המוגדרת בקטע   [ a , b ] {\displaystyle \ [a,b]} . כיוון הסכימה חיובי מוגדר מ-   a {\displaystyle \ a} עד   b {\displaystyle \ b} . כאמור לעיל, חוזרים על הליך חלוקת העקום למיתרים, כך שכל נקודה מייצגת מסומנת   ξ i → {\displaystyle \ {\vec {\xi _{i}}}} . עבור כל היטל של השדה הווקטורי על הצירים, כופלים את ערכה של הפונקציה הווקטורית בנקודה המייצגת באורך ההיטל. עבור ההיטל של הרכיב ה-   k {\displaystyle \ k} (   k = 1 ⋯ n {\displaystyle \ k=1\cdots n} ) של הפונקציה הווקטורית ועבור הציר ה-   k {\displaystyle \ k} , מתקבל   F k ( ξ i → ) Δ x k , i {\displaystyle \ F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}} . סכימת כל החלקים,   ∑ i F k ( ξ i → ) Δ x k , i {\displaystyle \ \sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}} , נותנת בקירוב את "סכום הערכים" של היטלי הרכיב ה-   k {\displaystyle \ k} של הפונקציה   F → ( x → ) {\displaystyle \ {\vec {F}}({\vec {x}})} באותו הקטע. באופן דומה, לאחר הטלת כל רכיבי הפונקציה על כל הצירים וסכימת הערכים המתקבלים, מתקבל ∑ k = 1 n ∑ i F k ( ξ i → ) Δ x k , i {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}} . בהשאפת אורך החלק המוטל הגדול ביותר לאפס, מתקבל lim max Δ x i → 0 ∑ k = 1 n ∑ i F k ( ξ i → ) Δ x k , i {\displaystyle \lim _{\max \Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}} . לפי הגדרת המכפלה הסקלרית, סכום זה לזהה לביטוי lim max Δ x i → 0 ∑ i F → ( x → ) i ⋅ Δ x i {\displaystyle \lim _{\max \Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum _{i}{\vec {F}}({\vec {x}})_{i}\cdot \Delta x_{i}} . זהו סכום רימני אשר מסומן בקיצור ∫ C F → ( x → ) ⋅ d l → {\displaystyle \int _{C}{\vec {F}}({\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}} , כאשר d l = ( d x 1 , ⋯ , d x n ) {\displaystyle \mathrm {d} {l}=(\mathrm {d} x_{1},\cdots ,\mathrm {d} x_{n})} הוא אלמנט אורך וקטורי. סכום זה נקרא "אינטגרל קווי מסוג שני". הערה: על הסכום ∑ k = 1 n ∑ i F k ( ξ i → ) Δ x k , i {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\sum _{i}F_{k}({\vec {\xi _{i}}})\Delta x_{k,i}} , לאחר הפעלת הגבול, ניתן להסתכל גם כעל תבנית דיפרנציאלית כללית מדרגה ראשונה ולא כעל אוסף רכיבים של וקטור. הגם שהפונקציה עליה מתבצעת האינטגרציה היא וקטורית, התוצאה היא סקלרית, שכן החישוב מתבצע על ידי סכימת המכפלות לעיל בכל אחד מהיטליה של הפונקציה הווקטורית, שהוא סקלר. כאמור, ניתן להציג הסכומים האינטגרליים על ידי מכפלה סקלרית, אשר תוצאתה סקלר. על מנת לחשב סכום זה, ננקטת גישה דומה לזו אשר יושמה בעת חישוב האינטגרל הקווי מהסוג הראשון. על ידי שימוש בפרמטריזציה הנתונה של הישר, מבוטא כל רכיב של אלמנט האורך בצורה Δ x i Δ t Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta x_{i}}{\Delta t}}{\Delta t}} . השדה הווקטורי מיוצג באופן F → ( x → ( t ) ) {\displaystyle {\vec {F}}({\vec {x}}(t))} . הסכום ייכתב עתה ∑ i F → ( x → ) i ⋅ Δ x i Δ t Δ t {\displaystyle \sum _{i}{\vec {F}}({\vec {x}})_{i}\cdot {\frac {\Delta x_{i}}{\Delta t}}{\Delta t}} . בהפעלת הגבול בו ערכה של החלוקה הגדולה ביותר שואף לאפס, השברים שואפים לנגזרות של המשתנים המגדירים את העקומה לפי הפרמטר   t {\displaystyle \ t} . כמו כן, את   Δ t {\displaystyle \ \Delta t} ניתן להחליף בדיפרנציאל. כך, מתקבל אלמנט האורך הווקטורי d l → = ( ( d x 1 ( t ) d t ) , ⋯ , ( d x n ( t ) d t ) ) d t = x → ′ ( t ) d t {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {l}}=\left(\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\right),\cdots ,\left({\frac {\mathrm {d} x_{n}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)\right)\,\mathrm {d} t={\vec {x}}'(t)\,\mathrm {d} t} והנוסחה לחישוב מקבלת את הצורה ∫ C F → ( x → ) ⋅ d l → = ∫ a b F → ( x 1 ( t ) , … , x n ( t ) ) ⋅ ( ( d x 1 ( t ) d t ) , ⋯ , ( d x n ( t ) d t ) ) d t = ∫ a b F → ( x → ( t ) ) ⋅ x → ′ ( t ) d t {\displaystyle \int _{C}{\vec {F}}({\vec {x}})\cdot \mathrm {d} {\vec {l}}=\int _{a}^{b}{\vec {F}}(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))\cdot \left(\left({\frac {\mathrm {d} x_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\right),\cdots ,\left({\frac {\mathrm {d} x_{n}(t)}{\mathrm {d} t}}\right)\right)\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}{\vec {F}}({\vec {x}}(t))\cdot {\vec {x}}'(t)\,\mathrm {d} t} . גם כאן, ניתן להראות כי ערך האינטגרל הקווי מסוג שני אינו תלוי בפרמטריזציה שנבחרה. ההקפה (בלעז, סירקולציה) של שדה וקטורי F → {\displaystyle {\vec {F}}} , המסומנת לרוב באות   Γ {\displaystyle \ \Gamma } , מוגדרת בתור Γ = ∮ C F → ⋅ d ℓ → {\displaystyle \Gamma =\oint _{C}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {\ell }}} , קרי: אינטגרל קווי של השדה על פני מסלול סגור. להקפה שימושים רבים בפיזיקה, ובפרט היא מופיעה בניסוח האינטגרלי של משוואות מקסוול. ראו הרחבה בנושא בהמשך, בפרק הדן בשימושים הפיזיקליים של האינטגרל הקווי. יש לחשב את האינטגרל   ∫ C z 2 d ℓ {\displaystyle \ \int _{C}z^{2}\,\mathrm {d} \ell } כאשר המסלול   C {\displaystyle \ C} מתואר על ידי C : { x = cos ⁡ ( t ) y = sin ⁡ ( t ) z = e t , t ∈ [ 0 , π 2 ] {\displaystyle C:\left\{{\begin{matrix}x=\cos \left(t\right)\\y=\sin \left(t\right)\\z=e^{t}\end{matrix}}\right.,t\in [0,{\frac {\pi }{2}}]} . לפי הנוסחה לחישוב מפורש, ניתן לחשב אינטגרל זה על ידי חישוב האינטגרל המסוים   ∫ 0 π 2 ( e t ) 2 ( d cos ⁡ ( t ) d t ) 2 + ( d sin ⁡ ( t ) d t ) 2 + ( d e t d t ) 2 d t = ∫ 0 π 2 e 2 t e 2 t + 1 d t {\displaystyle \ \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\left(e^{t}\right)^{2}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} \cos \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} \sin \left(t\right)}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} e^{t}}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{2t}{\sqrt {e^{2t}+1}}\,\mathrm {d} t} . התקבל אינטגרל מסוים אשר ניתן לחשב על ידי החלפת   e 2 t {\displaystyle \ e^{2t}} במשתנה אחר. התוצאה המתקבלת היא   38.5942 {\displaystyle \ 38.5942} . יש לחשב את האינטגרל   ∫ C ( x 3 + y 3 ) d x + y d y {\displaystyle \ \int _{C}\left(x^{3}+y^{3}\right)\,\mathrm {d} x+y\,\mathrm {d} y} כאשר   C {\displaystyle \ C} הוא העקום   y = 1 x {\displaystyle \ y={\frac {1}{x}}} עבור   x ∈ [ 1 , 5 ] {\displaystyle \ x\in [1,5]} . ניתן לכתוב הצגה זו גם בצורה C : { x = t y = 1 t , t ∈ [ 1 , 5 ] {\displaystyle C:\left\{{\begin{matrix}x=t\\y={\frac {1}{t}}\end{matrix}}\right.,t\in [1,5]} . בצורה זו, הפרמטר אשר על פיו מבוצעת האינטגרציה הוא   t {\displaystyle \ t} (באותה המידה, ניתן היה גם לכתוב   x {\displaystyle \ x} במקומו, או כל אות אחרת – לשמו של משתנה האינטגרציה אין כל משמעות מתמטית). על פי הנוסחה לחישוב ישיר, מתקבל האינטגרל המסוים   ∫ 1 5 [ ( t 3 + ( 1 t ) 3 ) d ( x ( t ) ) d t + ( 1 t ) ( d ( y ( t ) ) d t ) ] d t = ∫ 1 5 [ t 3 + 1 t 3 − 1 t 3 ] d t {\displaystyle \ \int _{1}^{5}\left[\left(t^{3}+\left({\frac {1}{t}}\right)^{3}\right){\frac {\mathrm {d} (x(t))}{\mathrm {d} t}}+\left({\frac {1}{t}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} (y(t))}{\mathrm {d} t}}\right)\right]\,\mathrm {d} t=\int _{1}^{5}\left[t^{3}+{\frac {1}{t^{3}}}-{\frac {1}{t^{3}}}\right]\,\mathrm {d} t} . זהו אינטגרל מיידי שלאחר חישובו מתקבל   156 {\displaystyle \ 156} . האינטגרל הקווי מקיים תכונות של אדיטיביות וליניאריות כמו האינטגרל המסוים, זאת ניתן לראות מהגדרתו של כסכום. להרחבה ראו ערך אינטגרל. בהינתן פונקציה חיובית, האינטגרל הקווי מהסוג הראשון איננו תלוי בכיוון ביצוע הסכימה כך שסכימה "מההתחלה אל הסוף" ו"מהסוף אל ההתחלה" תניב תוצאות זהות. ניתן לתת לדבר אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה שאורך או מסה של עקום אינם תלויים בכיוון מהם אנו "מרכיבים" אותם. בנוסחת החישוב המפורשת, הדבר מתבטא בכך שהסכום המופיע בה הוא של שלושה גורמים חיוביים: פונקציה חיובית, שורש ריבועי (חיובי בהכרח כאשר השדה מעליו עובדים הוא שדה המספרים הממשיים) והערך המוחלט של   Δ t {\displaystyle \ \Delta t} . לעומת כך, בהינתן אינטגרל קווי מסוג שני, החלפת סדר הסכימה תגרור החלפת סימן של האינטגרל. לכך ניתן לתת אינטואיציה פיזיקלית בדמות העובדה כי עבודה של כוח, למשל, תהיה שלילית אם הוא נע בכיוון הפוך לכיוון המוגדר כ"חיובי". בנוסחה הדבר מתבטא בהחלפת הסימן של   Δ t {\displaystyle \ \Delta t} . באופן כללי, ערכו של אינטגרל קווי הוא תלוי מסלול, כך שעבור מסלולים שונים יתקבלו ערכי אינטגרל שונים. אינטואיציה פיזיקלית לכך ניתנת, עבור אינטגרל מסוג ראשון, למשל, בדמות העובדה כי עבור צפיפות נתונה, גוף ארוך ישקול יותר מגוף קצר. עבור אינטגרל קווי מסוג שני ניתן לתת אינטואיציה על סמך העובדה, למשל, שעבודתו של כוח החיכוך גדולה יותר בערכה המוחלט ככל שהמסלול ארוך יותר. ייתכן מקרה מיוחד בו ערכו של אינטגרל מסוג שני לא יהיה תלוי בצורת מסלול האינטגרציה אלא בקצוות הקטע בלבד. נושא זה נדון בהרחבה בפרק קשר בין אינטגרל קווי לשדה משמר בהמשך ערך זה. בהינתן פרמטריזציה מסוימת המתארת את העקום שעל פניו מתבצעת האינטגרציה, ניתן לכתוב את האינטגרל הקווי גם על ידי פרמטריזציה אחרת המתארת גם היא את העקום הנתון, בלא שינוי בתוצאה המתקבלת. באופן מעשי, כאמור, חישוב האינטגרל הקווי מתבצע על ידי החלפתו באינטגרל מסוים. בהינתן שתי פרמטריזציות המתארות את אותו העקום, ניתן להחליף את הפרמטריזציות שעל פי הן נעשה החישוב על ידי הכללים המקובלים להחלפת משתנה בשלב חישוב האינטגרל המסוים. ראו שיטת ההצבה להרחבה. כיוון שאינטגרל מסילתי מסוג שני הוא תלוי כיוון, ישנה חשיבות לכיוון שבו תתבצע האינטגרציה בעזרת הפרמטריזציה החדשה. פרמטריזציה אשר שומרת על כיוון האינטגרציה המקורי נקראת "פרמטריזציה שומרת כיוון". פרמטריזציה היא שומרת כיוון אם ורק אם מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית עולה. אם הפונקציה מונוטונית יורדת, אזי לאחר ביצוע האינטגרציה תתקבל תוצאה הפוכת סימן. במקרים אחרים, מקובל לחלק את העקומה שעל פיה מתבצעת האינטגרציה למספר חלקים שבכל אחד מהם הפרמטריזציה מתוארת על ידי פונקציה מונוטונית. משפטי סטוקס הם קבוצת משפטים המהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. משפטים אלו מאפשרים החלפה של אינטגרלים על תחום באינטגרלים מממד נמוך יותר על שפתם. אחד ממשפטי סטוקס הוא משפט גרין המאפשר החלפת חישוב של אינטגרל כפול באינטגרל קווי על ידי נוסחה הנקראת "נוסחת גרין". הנוסחה היא ∮ C ( L d x + M d y ) = ∬ D ( ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y ) d A {\displaystyle \oint _{C}(L\,\mathrm {d} x+M\,\mathrm {d} y)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A} . נוסחה זו מתקיימת עבור תחום פשוט קשר   D {\displaystyle \ D} המוקף על ידי מסילה   C {\displaystyle \ C} חלקה למקוטעין, סגורה, אשר לא חותכת את עצמה ובהינתן אוריינטציה חיובית המוגדרת כנגד כיוון השעון. להרחבה ראו משפט גרין. בעזרת נוסחה זו ניתן להמיר אינטגרלים קוויים במשטחיים ולהפך ובכך לפשט בעיות שונות. נוסחת גרין היא מקרה פרטי של משפט סטוקס במרחב, על פיו במרחב הווקטורי R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , מתקיים: ∮ ∂ A F → ⋅ d ℓ → = ∬ A ( ∇ → × F → ) ⋅ d n ^ {\displaystyle \oint _{\partial A}{\vec {F}}\cdot {\vec {\mathrm {d} \ell }}=\iint _{A}({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\hat {n}}} , כאשר A היא יריעה אוריינטבילית דו-ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל קווי של השדה על שפת A, והאגף הימני הוא אינטגרל קווי על השטף של רוטור השדה דרך A. להרחבה ראו משפט סטוקס. בעזרת משפט גרין ניתן להוכיח את המשפט הבא, אשר נקרא לעיתים "המשפט היסודי של האינטגרל הקווי" ומהווה הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי: משפט: שתי הטענות הבאות שקולות זו לזו – קרי, אם האחת מתקיימת, אזי מתקיימת גם השנייה, ולהפך: ערכו של אינטגרל קווי מסוג שני של שדה וקטורי F → {\displaystyle {\vec {F}}} בין שתי נקודות, איננו תלוי בצורת המסלול המחבר אותן. השדה הווקטורי F → {\displaystyle {\vec {F}}} הוא שדה פוטנציאלי – או, בשם אחר, "שדה משמר" – כלומר, קיימת פונקציה   U {\displaystyle \ U} , הנקראת "פוטנציאל סקלרי", כך שהשדה הווקטורי הוא גרדיאנט שלה. ערכו של האינטגרל שווה להפרש ערכי הפוטנציאל בקצוות הקטע עליו מתבצעת האינטגרציה. משילובן של שתי טענות אלו, עולה מסקנה חשובה: עבור שדה פוטנציאלי, האינטגרל על כל מסילה סגורה מתאפס, שכן הוא שווה להפרש הפוטנציאלים בין קצוות הקטע. כיוון שקצוות הקטע מתלכדים, ההפרש הוא זהותית אפס. למסקנה זו שימושים רבים בעת דיון על כוחות משמרים. הערה: בעת דיון באינטגרל קווי מסוג שני בהקשר של תבניות דיפרנציאליות, מוחלפת שאלת קיומו של שדה משמר בשאלה "האם התבנית הדיפרנציאלית מדויקת?" (קרי – קיימת פונקציה אחרת שתבנית זו היא הדיפרנציאל השלם שלה). אם כן, אזי הפונקציה אשר התבנית הדיפרנציאלית שלה היא זו עליה מתבצעת אינטגרציה, מחליפה בהקשר זה את הפוטנציאל. האינטגרל הקווי הוא כלי בסיסי באנליזה מרוכבת. בהינתן עקומה סופית   U ⊂ C {\displaystyle \ U\subset \mathbb {C} } במישור המרוכב ובהינתן   γ : [ a , b ] → U {\displaystyle \ \gamma :[a,b]\rightarrow U} היא ו-   f : U → C {\displaystyle \ f:U\rightarrow \mathbb {C} } פונקציה מרוכבת, אם   γ {\displaystyle \ \gamma } גזירה ברציפות, ניתן לחשב את האינטגרל הקווי כאינטגרל של פונקציה של משתנה ממשי:   ∫ γ f ( z ) d z = ∫ a b f ( γ ( t ) ) γ ′ ( t ) d t {\displaystyle \ \int _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=\int _{a}^{b}f(\gamma (t))\gamma '(t)\,\mathrm {d} t} . משפטים חשובים על אינטגרלים קוויים הם משפט אינטגרל קושי ונוסחת אינטגרל קושי, הקובעת כי מתקיים f ( z 0 ) = 1 2 π i ∮ ∂ D f ( z ) z − z 0 d z {\displaystyle f(z_{0})={1 \over 2\pi i}\oint _{\partial D}{f(z) \over z-z_{0}}\,\mathrm {d} z} עבור   f : U → C {\displaystyle \ f:U\rightarrow \mathbb {C} } פונקציה הולומורפית בעיגול   D {\displaystyle \ D} המוכל בתחום (קבוצה פתוחה וקשירה)   U {\displaystyle \ U} במישור המרוכב, כאשר מגמת האינטגרל היא נגד כיוון השעון. כתוצאה של משפט השאריות, מאפשר לעיתים קרובות להשתמש באינטגרל על עקומה סגורה במישור המרוכב כדי למצוא אינטגרלים של פונקציות ממשיות של משתנה ממשי. לדוגמה ניתן לקבל בשיטה זו את התוצאה: ∫ 0 2 π 1 1 + sin ⁡ x d x = π 2 2 {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{1+\sin x}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}} . מהתבוננות בהגדרת האינטגרל הקווי מסוג ראשון, ניתן לראות כי בבחירת פונקציה השווה זהותית לאחד, מתקבל הסכום lim max Δ ℓ i → 0 ∑ i Δ ℓ i {\displaystyle \lim _{\max \Delta \ell _{i}\rightarrow 0}\sum _{i}\Delta \ell _{i}} . משמעותו של סכום זה היא אורך העקומה עליה מתבצעת האינטגרציה. כך, בהינתן עקום ניתן לחשב את אורכו בעזרת אינטגרל קווי. בהינתן הגדרה אקסיומטית של מושג האורך של קו ישר, ניתן להשתמש בסכום זה על מנת להגדיר את המושג "אורך של עקום". בהינתן פונקציה המבטאת צפיפות של גודל פיזיקלי כלשהו כפי שהיא משתנה לאורך העקום, כאשר העקום הוא מודל לגוף כלשהו (למשל, חוט) ניתן לחשב את כמות הגודל הכוללת לאורך אותו גוף על ידי אינטגרל קווי מסוג ראשון. כך, למשל, בהינתן צפיפות מסה קוית, ניתן לחשב את מסתו של גוף ובהינתן צפיפות מטען קווית, ניתן לחשב את המטען המפוזר לאורכו של גוף. אחת הדוגמאות הבולטות לשימוש באינטגרל קווי מסוג שני היא חישוב עבודה. עבודתו של כוח קבוע המניע מסה לאורך קו ישר מוגדרת כמכפלת היטלו של הכוח לאורך ציר התנועה במרחק שגרם למסה לנוע. בכתיב מתמטי, מיוצגת העבודה לפי הנוסחה W = F → ⋅ r → {\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}\,} כאשר   F → {\displaystyle \ {\vec {F}}} הוא הכוח המניע ו-   r → {\displaystyle \ {\vec {r}}} הוא וקטור ההעתק. במקרה הכללי ביותר, כאשר הכוח הוא כוח משתנה והמסלול איננו בהכרח קו ישר, ניתן לקרב את המסלול על ידי חלוקתו לחלקים קטנים בהם המסלול הוא בקירוב ישר והכוח הוא בקירוב קבוע, לחשב את העבודה בכל אחד מהם ולסכום את סך כל העבודות המתבצעות בקטעים לעיל. בכך, מתקבלת העבודה הכוללת. הלכה למעשה, חישוב זה זהה במהותו לחישובו של אינטגרל קווי מסוג שני ולכן, בהינתן מסילה   γ {\displaystyle \ \gamma } , מוגדרת העבודה לאורכה על ידי הנוסחה   W = ∫ γ F → ⋅ d r → {\displaystyle \ W=\int _{\gamma }{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}} . כיוון שאינטגרל של שדה משמר לאורך מסילה סגורה הוא אפסי, עולה מכך שתנועתו של גוף הנע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר, איננה משנה את הפוטנציאל שלו, כאשר המשמעות הפיזיקלית של פוטנציאל זה היא אנרגיה. קרי – אנרגיה של גוף לא משתנה כאשר הוא נע במסלול סגור תחת השפעת כוח משמר. למשפט זה חשיבות פיזיקלית רבה. אינטגרלים קוויים מופיעים, בין היתר, במקומות בהם מערכות פיזיקליות נידונות מתוארות על ידי פונקציות שדה. אינטגרלים מסוג זה משמשים בתורה האלקטרומגנטית ומופיעים בניסוחים האינטגרליים של משוואות מקסוול, שם הם מתארים את הקפת השדה המגנטי והחשמלי. חוק ביו-סבר, המהווה גרסה של חוק אמפר, מאפשר חישוב של שדות מגנטיים על ידי שימוש באינטגרל קווי. מכניקת הזורמים, אשר בחלק מענפיה מתקיימת סימטריה מסוימת בין הניסוחים המתמטיים המתארים אותה לבין אלו של התורה האלקטרומגנטית, היא ענף פיזיקלי נוסף בו נעשה שימוש באינטגרלים קוויים. כדוגמה, לחוק ביו-סבר שהוזכר לעיל, שימושים גם באווירודינמיקה, שם הוא משמש לחישובים של מהירות המושרית מקווי מערבולת. כדוגמה נוספת, משפט קוטה-ז'וקובסקי קושר בין הקפת שדה המהירות של נוזל לבין כוח העילוי שהוא מפעיל. על ידי שימוש במשפטי סטוקס, ובפרט במשפט גרין ובמשפט סטוקס במרחב, ניתן להחליף את חישוביהם של אינטגרלים משטחיים באינטגרלים קוויים על שפתם ולהפך. כך, ניתן לפשט מספר חישובים. כך, למשל, על סמך משפט גרין, עבור זוג פונקציות   M {\displaystyle \ M} ו-   L {\displaystyle \ L} המקיימות ∂ M ∂ x − ∂ L ∂ y = 1 {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1} , האינטגרל הקווי ∮ C ( L d x + M d y ) {\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)} נותן את השטח שכולאת העקומה   C {\displaystyle \ C} . לעיתים, חישוב זה נוח יותר מחישוב השטח באמצעות כלים אחרים (למשל, אינטגרל כפול). כאמור, לאינטגרלים קוויים שימושים רבים גם באנליזה מרוכבת. George Cain & James Herod, Multivariable Calculus Kenneth Kuttler, Calculus, Applications and Theory Kittel, Mechanics, Berkeley Physics Course Tom M. Postol, Calculus, Volume II אינטגרל קווי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) מבוא מפושט לנושא מתוך פרויקט Maths for the masses (באנגלית) אינטגרל קווי, באתר MathWorld (באנגלית) סיכומים נוספים באנגלית מבוא לאינטגרלים קוויים דף הסבר על אינטגרלים קווים הסבר על אינטרלים קווים של שדה ווקטורי, מלווה בהמחשות גרפיות הסבר על אינטרלים קווים של שדה סקלרי, מלווה בהמחשות גרפיות סיכום של חומר באנליזה וקטורית מאת ניר ארד המתייחס גם לאינטרגלים קוויים דף עם דוגמאות חישוביות (באנגלית) יישום המדגים מהו אינטגרל קווי (אורכב 27.10.2008 בארכיון Wayback Machine) (באנגלית) ווייז (waze), שבת ואינטגרל - מה הקשר?, סרטון באתר יוטיוב