לוגריתם גאוסיאני

במתמטיקה, משתמשים בלוגריתמי חיבור וחיסור או לוגריתמים גאוסיאנים כדי למצוא את הלוגריתמים של הסכום וההפרש של זוג מספרים שערכי הלוגריתמים שלהם ידועים, מבלי לדעת את המספרים עצמם. הבסיס המתמטי ללוגריתמים הגאוסיאנים מצוי בעבודתם של Zecchini Leonelli וקרל פרידריך גאוס משנות ה-1800 המוקדמות. פעולות החיבור והחיסור ניתנות לחישוב על ידי הנוסחה שכדלקמן: log b ⁡ ( | X | + | Y | ) = x + s b ( y − x ) {\displaystyle \log _{b}(|X|+|Y|)=x+s_{b}(y-x)} log b ⁡ ( | | X | − | Y | | ) = x + d b ( y − x ) , {\displaystyle \log _{b}(||X|-|Y||)=x+d_{b}(y-x),} כאשר x = log b ⁡ ( | X | ) , y = log b ⁡ ( | Y | ) {\displaystyle x=\log _{b}(|X|),y=\log _{b}(|Y|)} , "פונקציית הסכום" מוגדרת להיות s b ( z ) = log b ⁡ ( 1 + b z ) {\displaystyle s_{b}(z)=\log _{b}(1+b^{z})} , ו"פונקציית ההפרש" מוגדרת להיות d b ( z ) = log b ⁡ ( | 1 − b z | ) {\displaystyle d_{b}(z)=\log _{b}(|1-b^{z}|)} . הפונקציות s b ( z ) {\displaystyle s_{b}(z)} ו- d b ( z ) {\displaystyle d_{b}(z)} נקראות גם לוגריתמים גאוסיאנים, ובאמצעות חוקי הלוגריתמים ניתן להראות בנקל שהביטויים באגף ימין אכן שווים ללוגריתמים של סכום והפרש המספרים, בהתאמה. הבעיה היא חישוב "פונקציית הסכום" ו"פונקציית ההפרש". בעבור לוגריתמים טבעיים עם b = e {\displaystyle b=e} , הזהויות הבאות, הכוללות פונקציות היפרבוליות, מתקיימות: s e ( z ) = ln ⁡ 2 + z 2 + ln ⁡ ( cosh ⁡ z 2 ) {\displaystyle s_{e}(z)=\ln 2+{\frac {z}{2}}+\ln \left(\cosh {\frac {z}{2}}\right)} d e ( z ) = ln ⁡ 2 + z 2 + ln ⁡ | sinh ⁡ z 2 | {\displaystyle d_{e}(z)=\ln 2+{\frac {z}{2}}+\ln \left|\sinh {\frac {z}{2}}\right|} מה שמראה של- s e {\displaystyle s_{e}} יש פיתוח טיילור שבו כל המקדמים פרט לאיבר החופשי הם רציונליים וכל האיברים האי זוגיים פרט לאיבר הליניארי הם אפס. לוגריתמים אלו משמשים במערכת האריתמטית המכונה "מערכת המספרים הלוגריתמית" (באנגלית: LNS - Logarithmic number system). נוכיח שהמבנה החישובי של לוגריתמים גאוסיאנים שקול לחישוב לפי השיטה העקיפה (חישוב עקיף פירושו מציאה תחילה של זוג המספרים לפי ערכי הלוגריתמים שלהם, חישוב סכומם ולאחר מכן חישוב הלוגריתם של הסכום). לשם כך נרשום את "פונקציית הסכום" s e ( z ) {\displaystyle s_{e}(z)} לפי המשתנים המקוריים | X | {\displaystyle |X|} ו- | Y | {\displaystyle |Y|} : z = y − x = ln ⁡ ( | Y | | X | ) ⟹ s e ( y − x ) = ln ⁡ 2 + ln ⁡ ( | Y | | X | ) 2 + ln ⁡ ( cosh ⁡ ( ln ⁡ ( | Y | | X | ) 2 ) ) = ln ⁡ 2 + ln ⁡ ( | Y | | X | ) + ln ⁡ ( | Y | | X | + | X | | Y | 2 ) {\displaystyle z=y-x=\ln({\frac {|Y|}{|X|}})\implies s_{e}(y-x)=\ln 2+{\frac {\ln({\frac {|Y|}{|X|}})}{2}}+\ln(\cosh({\frac {\ln({\frac {|Y|}{|X|}})}{2}}))=\ln 2+\ln({\sqrt {\frac {|Y|}{|X|}}})+\ln({\frac {{\sqrt {\frac {|Y|}{|X|}}}+{\sqrt {\frac {|X|}{|Y|}}}}{2}})} לפי חוקי הלוגריתמים, סכום של לוגריתמים של משתנים שווה ללוגריתם של מכפלת המשתנים, ולכן: s e ( y − x ) = ln ⁡ ( 2 | Y | / | X | ⋅ ( | Y | / | X | + | X | / | Y | ) 2 ) = ln ⁡ ( ( | Y | / | X | ) + 1 ) {\displaystyle s_{e}(y-x)=\ln({\frac {2{\sqrt {|Y|/|X|}}\cdot ({\sqrt {|Y|/|X|}}+{\sqrt {|X|/|Y|}})}{2}})=\ln((|Y|/|X|)+1)} ולסיכום נקבל שחישוב לפי לוגריתמים גאוסיאנים מוביל לתוצאה: x + s e ( y − x ) = ln ⁡ | X | + ln ⁡ ( ( | Y | / | X | ) + 1 ) = ln ⁡ ( | Y | + | X | ) {\displaystyle x+s_{e}(y-x)=\ln |X|+\ln((|Y|/|X|)+1)=\ln(|Y|+|X|)} כאשר את הנוסחה עבור לוגריתם של הפרש מוכיחים באופן דומה. ההבדל המרכזי בין חישוב בעזרת לוגריתמים גאוסיאנים לחישוב עקיף הוא שהדרך הראשונה מאפשרת להגיע אל אותו הדיוק (הנמדד לפי כמות הספרות אחרי הנקודה העשרונית) בקביעת התוצאה בעזרת מספר מועט יותר של פעולות חישוב אלמנטריות - כיוון שבדיוק מחצית מהאיברים בטור טיילור של s e ( z ) {\displaystyle s_{e}(z)} מתאפסים, מובטחת התכנסות מהירה יותר אל ערך הלוגריתם של סכום המספרים. לשם השוואה, בחישוב בדרך העקיפה נדרש לבצע שתי העלאות של הקבוע המתמטי e בחזקה, חיבור שתי התוצאות ולאחר מכן חישוב הלוגריתם של הסכום - זאת כאשר הן בטור טיילור של פונקציית האקספוננט והן בטור טיילור של פונקציית הלוגריתם אף אחד מהמקדמים בטור טיילור אינו מתאפס. לכן, חישוב בעזרת לוגריתמים גאוסיאנים חסכוני יותר מבחינה חישובית. Logarithm: Addition and Subtraction, or Gaussian Logarithms". Encyclopædia Britannica Eleventh Edition". Leonelli, Zecchini (1803) [1802]. Supplément logarithmique. Théorie des logarithmes additionels et diductifs (in French). Gauß, Johann Carl Friedrich (1808-02-12). "LEONELLI, Logarithmische Supplemente". Allgemeine Literaturzeitung (in German). Halle-Leipzig (45): 353–356.