משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט אַרְצֶלָה-אַסְקוֹלִי (Arzelà–Ascoli, נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס. אם K {\displaystyle K} הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב- C ( K ) {\displaystyle C(K)} את מרחב הפונקציות הרציפות f : K → C {\displaystyle f\colon K\to \mathbb {C} } , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת נורמת L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} : ‖ f ‖ ∞ = sup x ∈ K | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in K}|f(x)|} . כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A {\displaystyle A} של C ( K ) {\displaystyle C(K)} היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה. משפט ארצלה אסקולי: תהי A ⊆ C ( K ) {\displaystyle A\subseteq C(K)} קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב- A {\displaystyle A} קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם A {\displaystyle A} רציפה במידה אחידה. מסקנה: אם A ⊆ C ( K ) {\displaystyle A\subseteq C(K)} סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A {\displaystyle A} קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה. הוכחה: ממשפט ארצלה-אסקולי נובע כי אם A {\displaystyle A} חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש- A {\displaystyle A} סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A {\displaystyle A} . מכאן ש- A {\displaystyle A} מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט. מסקנה: אופרטור האינטגרל T : C ( K ) → C ( K ) {\displaystyle T\colon C(K)\to C(K)} המוגדר   T ( f ) = ∫ a b k ( s , t ) f ( t ) d t {\displaystyle \ T(f)=\int _{a}^{b}k(s,t)f(t)\,\mathrm {d} t} , כאשר k {\displaystyle k} גרעין רציף על K × K {\displaystyle K\times K} , הוא אופרטור קומפקטי. תהי A ⊆ C ( K ) {\displaystyle A\subseteq C\left(K\right)} קבוצה חסומה ונניח שאיברי A {\displaystyle A} רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב- A {\displaystyle A} יש תת-סדרה מתכנסת. תהי { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרת פונקציות ב- A {\displaystyle A} . תהי { x k } k = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }} סדרה צפופה ב- K {\displaystyle K} (קיימת כזאת כי K {\displaystyle K} מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי). נתבונן בסדרה { f n ( x 1 ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}\left(x_{1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} . זוהי סדרה חסומה ב- C {\displaystyle \mathbb {C} } בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב- { f n 1 ( x 1 ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}^{1}\left(x_{1}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} ואת גבולה ב- ξ 1 {\displaystyle \xi _{1}} . כעת נתבונן בסדרה { f n 1 ( x 2 ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}^{1}\left(x_{2}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} . גם זו סדרה חסומה ב- C {\displaystyle \mathbb {C} } לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב- { f n 2 ( x 2 ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}^{2}\left(x_{2}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} ואת גבולה ב- ξ 2 {\displaystyle \xi _{2}} . וכך בתהליך איטרטיבי לכל m ∈ N {\displaystyle m\in \mathbb {N} } נגדיר את הסדרה { f n m ( x m ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}^{m}\left(x_{m}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} להיות תת-סדרה מתכנסת של { f n m − 1 ( x m ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}^{m-1}\left(x_{m}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} ואת גבולה נסמן ב- ξ m {\displaystyle \xi _{m}} . אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון { g n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} המוגדרת לכל n {\displaystyle n} כך g n := f n n {\displaystyle g_{n}:=f_{n}^{n}} (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה- n {\displaystyle n} -י שלה הוא האיבר ה- n {\displaystyle n} -י בסדרה ה- n {\displaystyle n} -ית). זוהי תת-סדרה של { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} . לכל k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } הסדרה { g n ( x k ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{g_{n}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל- ξ k {\displaystyle \xi _{k}} שכן הזנב שלה, { g n ( x k ) } n = k ∞ {\displaystyle \left\{g_{n}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=k}^{\infty }} , הוא תת-סדרה של { f n k ( x k ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}^{k}\left(x_{k}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} . יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . אברי A {\displaystyle A} רציפים במידה אחידה לכן קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל x , y ∈ K {\displaystyle x,y\in K} ולכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , אם d ( x , y ) < δ {\displaystyle d\left(x,y\right)<\delta } אזי | g n ( x ) − g n ( y ) | < ε 3 {\displaystyle |g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(y\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}} (כאשר d {\displaystyle d} היא פונקציית המטריקה ב- K {\displaystyle K} ). אבל K {\displaystyle K} קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר δ {\displaystyle \delta } שנסמנם ב- O 1 , … , O l {\displaystyle O_{1},\dots ,O_{l}} . לכל 1 ≤ i ≤ l {\displaystyle 1\leq i\leq l} קיים k i ∈ N {\displaystyle k_{i}\in \mathbb {N} } כך ש- x k i ∈ O i {\displaystyle x_{k_{i}}\in O_{i}} (כי { x k } k = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }} צפופה ב- K {\displaystyle K} ). כמו כן הסדרה { g n ( x k i ) } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת ל- ξ k i {\displaystyle \xi _{k_{i}}} לכן לפי תנאי קושי קיים N i {\displaystyle N_{i}} כך שלכל n , m > N i {\displaystyle n,m>N_{i}} מתקיים | g n ( x k i ) − g m ( x k i ) | < ε 3 {\displaystyle |g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)-g_{m}\left(x_{k_{i}}\right)|<{\frac {\varepsilon }{3}}} . נסמן N := max ( N i ) {\displaystyle N:=\max(N_{i})} . כעת, לכל n , m > N {\displaystyle n,m>N} ולכל x ∈ K {\displaystyle x\in K} קיים 1 ≤ i ≤ l {\displaystyle 1\leq i\leq l} כך ש- x ∈ O i {\displaystyle x\in O_{i}} ומתקיים מאי שוויון המשולש | g n ( x ) − g m ( x ) | ≤ | g n ( x ) − g n ( x k i ) | + | g n ( x k i ) − g m ( x k i ) | + | g m ( x k i ) , g m ( x ) | < ε {\displaystyle |g_{n}\left(x\right)-g_{m}\left(x\right)|\leq |g_{n}\left(x\right)-g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)|+|g_{n}\left(x_{k_{i}}\right)-g_{m}\left(x_{k_{i}}\right)|+|g_{m}\left(x_{k_{i}}\right),g_{m}\left(x\right)|<\varepsilon } . לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה { g n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{g_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת במידה שווה. דניאלה ליבוביץ, 7: קומפקטיות, טופולוגיה קבוצתית, בית ההוצאה לאור של האוניברסיטה הפתוחה, 2007, עמ' 159–160 (הקישור אינו פעיל, 2020-06-11) (אורכב 11.06.2020 בארכיון Wayback Machine). הספר מתוך "פא"ר – פתיחת אוצרות רוח", אתר הספרים הדיגיטליים של האוניברסיטה הפתוחה.