מרחב מנה (אלגברה ליניארית)

באלגברה ליניארית, מרחב מנה של מרחב וקטורי V {\displaystyle V} המתקבל מתת-מרחב W {\displaystyle W} , הוא מרחב וקטורי המתקבל כתוצאה מ"דחיסת" W {\displaystyle W} ל-0. המרחב המתקבל בצורה זו מסומן V / W {\displaystyle V/W} . הגדרה זו יצר פאול הלמוס בשנת 1947 בספרו "Finite dimensional vector spaces". יהא V {\displaystyle V} מרחב וקטורי מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } , ויהי W {\displaystyle W} תת-מרחב שלו. נגדיר יחס שקילות על ידי v ∼ u ⇔ v − u ∈ W {\displaystyle v\sim u\Leftrightarrow v-u\in W} עבור כל v , u ∈ V {\displaystyle v,u\in V} . לא קשה להיווכח כי זה אכן יחס שקילות. נסמן את מחלקת השקילות של וקטור v ∈ V {\displaystyle v\in V} להיות [ v ] = { u ∈ V ∣ u ∼ v } {\displaystyle \left[v\right]=\left\{u\in V\mid u\sim v\right\}} , ונתבונן באוסף מחלקות השקילות הללו, שנסמן V / W {\displaystyle V/W} . ניתן להגדיר באופן טבעי על V / W {\displaystyle V/W} מבנה של מרחב וקטורי מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , על ידי פעולת חיבור [ v ] + [ u ] = [ v + u ] {\displaystyle \left[v\right]+\left[u\right]=\left[v+u\right]} וכפל בסקלר λ ⋅ [ v ] = [ λ ⋅ v ] {\displaystyle \lambda \cdot \left[v\right]=\left[\lambda \cdot v\right]} . ניתן להראות כי אם V {\displaystyle V} מרחב וקטורי מממד סופי, אז dim ⁡ ( V / W ) = dim ⁡ ( V ) − dim ⁡ ( W ) {\displaystyle \dim \left(V/W\right)=\dim \left(V\right)-\dim \left(W\right)} . אם נתבונן במרחב הווקטורי V = R 2 {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}} ובתת המרחב W = { ( x , y ) ∣ x = y } {\displaystyle W=\left\{\left(x,y\right)\mid x=y\right\}} (הישר העובר בראשית בשיפוע 1), מרחב המנה שיתקבל V / W {\displaystyle V/W} הוא אוסף כל הישרים בשיפוע 1 ב- R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , ומרחב זה איזומורפי באופן טבעי למרחב R {\displaystyle \mathbb {R} } . באופן כללי יותר, אם נתבונן במרחב הווקטורי R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ובתת מרחב שלו R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} לאיזה m < n {\displaystyle m<n} המשוכן בו באופן טבעי, אז נקבל כי מרחב המנה R n / R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}} איזומורפי באופן טבעי למרחב R n − m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}} . באופן עוד יותר כללי, אם V = W ⊕ U {\displaystyle V=W\oplus U} , אז מרחב המנה V / U {\displaystyle V/U} איזומורפי באופן טבעי למרחב W {\displaystyle W} . יהי ( X , F , μ ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)} מרחב מידה. נקבע 1 ≤ p < ∞ {\displaystyle 1\leq p<\infty } כלשהו, ויהי L p {\displaystyle L^{p}} אוסף הפונקציות המדידות מהצורה X → R {\displaystyle X\to \mathbb {R} } או X → C {\displaystyle X\to \mathbb {C} } , המקיימות ‖ f ‖ p ≡ ( ∫ X | f | p d μ ) 1 / p < ∞ {\displaystyle \|f\|_{p}\equiv \left(\int _{X}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty } . מאי-שוויון מינקובסקי נובע כי ‖ ‖ p {\displaystyle \|\|_{p}} מקיימת את אי-שוויון המשולש, ולכן היא סמי-נורמה של L p {\displaystyle L^{p}} . כדי להפוך את ‖ ‖ p {\displaystyle \|\|_{p}} לנורמה, התכונה החסרה היא כי f ≠ g ⟹ ‖ f − g ‖ p ≠ 0 {\displaystyle f\neq g\Longrightarrow \|f-g\|_{p}\neq 0} . כדי לתקן זאת, ניתן להתבונן בתת-המרחב W = ker ⁡ ‖ ‖ p = { f ∈ L p ∣ ‖ f ‖ p = 0 } {\displaystyle W=\ker \|\|_{p}=\left\{f\in L^{p}\mid \|f\|_{p}=0\right\}} (נשים לב כי מרחב זה אינו תלוי ב- p {\displaystyle p} ), ונקבל כי על המרחב L p / W {\displaystyle L^{p}/W} , מתקבלת על ידי ‖ ‖ p {\displaystyle \|\|_{p}} נורמה טבעית. מרחב מנה, באתר MathWorld (באנגלית)