משפט שטולץ

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות lim n → ∞ a n b n {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} ו- lim n → ∞ a n + 1 − a n b n + 1 − b n {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}} שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (אנ') (1842–1905) וארנסטו צזארו (אנ') (1859–1906). תהא { x n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהא { y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף. אם הסדרה { x n + 1 − x n y n + 1 − y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \textstyle \left\{{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול L = lim n → ∞ x n + 1 − x n y n + 1 − y n {\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\textstyle {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}} , אז גם הסדרה { x n y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \textstyle \left\{{\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת לאותו הגבול. נוכיח את המקרה בו L {\displaystyle \,L} סופי. יהי ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים N {\displaystyle N\,} טבעי, כך שלכל n > N {\displaystyle n>N\,} מתקיים L − ε 2 < x n + 1 − x n y n + 1 − y n < L + ε 2 {\displaystyle L-\textstyle {\varepsilon \over 2}<{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}<L+\textstyle {\varepsilon \over 2}} . כיוון שהסדרה { y n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מונוטונית עולה ממש, y n + 1 > y n {\displaystyle y_{n+1}>y_{n}\,} , כלומר y n + 1 − y n > 0 {\displaystyle y_{n+1}-y_{n}>0\,} וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל: ( L − ε 2 ) ( y n + 1 − y n ) < x n + 1 − x n < ( L + ε 2 ) ( y n + 1 − y n ) {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)<x_{n+1}-x_{n}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{n+1}-y_{n}}\right)} יהא k > N {\displaystyle k>N\,} טבעי כלשהו כך ש- y k > 0 {\displaystyle y_{k}>0\,} (בהכרח קיים k {\displaystyle k\,} כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל N + 1 ≤ n ≤ k {\displaystyle N+1\leq n\leq k} נקבל את האי שוויון הבא: ( L − ε 2 ) ∑ i = N + 1 k ( y i + 1 − y i ) < ∑ i = N + 1 k ( x i + 1 − x i ) < ( L + ε 2 ) ∑ i = N + 1 k ( y i + 1 − y i ) {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}<\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({x_{i+1}-x_{i}}\right)}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\sum \limits _{i=N+1}^{k}{\left({y_{i+1}-y_{i}}\right)}} ⇕ {\displaystyle \Updownarrow } ( L − ε 2 ) ( y k + 1 − y N + 1 ) < x k + 1 − x N + 1 < ( L + ε 2 ) ( y k + 1 − y N + 1 ) {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)<x_{k+1}-x_{N+1}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({y_{k+1}-y_{N+1}}\right)} נחלק את אי השוויון ב- y k + 1 > 0 {\displaystyle y_{k+1}>0\,} ונקבל ( L − ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) < x k + 1 y k + 1 − x N + 1 y k + 1 < ( L + ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)<\textstyle {\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)} ⇕ {\displaystyle \Updownarrow } ( L − ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) + x N + 1 y k + 1 < x k + 1 y k + 1 < ( L + ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) + x N + 1 y k + 1 {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-{\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+{\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}} ברור כי lim k → ∞ ( ( L + ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) + x N + 1 y k + 1 ) = L + ε 2 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L+\textstyle {\varepsilon \over 2}} . לכן קיים M {\displaystyle M\,} טבעי כך שלכל k > M {\displaystyle k>M\,} מתקיים ( L + ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) + x N + 1 y k + 1 < L + ε {\displaystyle \left({L+\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}<L+\varepsilon } . כן ברור כי lim k → ∞ ( ( L − ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) + x N + 1 y k + 1 ) = L − ε 2 {\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left({\left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)=L-\textstyle {\varepsilon \over 2}} לכן קיים A {\displaystyle A\,} טבעי כך שלכל k > A {\displaystyle k>A\,} מתקיים ( L − ε 2 ) ( 1 − y N + 1 y k + 1 ) + x N + 1 y k + 1 > L − ε {\displaystyle \left({L-\textstyle {\varepsilon \over 2}}\right)\left({1-\textstyle {\frac {y_{N+1}}{y_{k+1}}}}\right)+\textstyle {\frac {x_{N+1}}{y_{k+1}}}>L-\varepsilon } . לפיכך, אם נבחר Q = max { A , M , N } {\displaystyle Q=\max\{A,M,N\}\,} , נקבל שלכל k > Q {\displaystyle k>Q\,} יתקיים: L − ε < x k + 1 y k + 1 < L + ε {\displaystyle L-\varepsilon <{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}<L+\textstyle \varepsilon } , כלומר - | x k + 1 y k + 1 − L | < ε {\displaystyle \left|{{\frac {x_{k+1}}{y_{k+1}}}-L}\right|<\textstyle \varepsilon } ולפיכך, lim n → ∞ x n y n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}=L} . נחשב את הגבול lim n → ∞ a n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} כאשר a n = 2 + ( 3 2 ) 2 + ( 4 3 ) 3 + . . . + ( n + 1 n ) n n {\displaystyle a_{n}={\frac {2+{({3 \over 2})}^{2}+{({4 \over 3})}^{3}+...+{({n+1 \over n})}^{n}}{n}}} . נסמן x n = ∑ k = 1 n ( k + 1 k ) k {\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}\textstyle {\left({k+1 \over k}\right)}^{k}} , ו־ y n = n {\displaystyle y_{n}=n\,} . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: y n {\displaystyle y_{n}\,} עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן: lim n → ∞ ∑ k = 1 n + 1 ( k + 1 k ) k − ∑ k = 1 n ( k + 1 k ) k n + 1 − n = lim n → ∞ ( n + 2 n + 1 ) n + 1 = lim n → ∞ ( 1 + 1 n + 1 ) n + 1 = e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}-\sum _{k=1}^{n}{\left({k+1 \over k}\right)}^{k}}{n+1-n}}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left({\frac {n+2}{n+1}}\right)^{n+1}}=\lim _{n\to \infty }{\textstyle \left(1+{1 \over n+1}\right)^{n+1}}=e} ולכן, לפי המשפט, lim n → ∞ a n = lim n → ∞ x n y n = lim n → ∞ x n + 1 − x n y n + 1 − y n = e {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}=e} . נחשב את הגבול lim n → ∞ a 1 + e ⋅ a 2 + e 2 ⋅ a 3 + . . . + e n − 1 ⋅ a n e n {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}} כאשר a n → e {\displaystyle a_{n}\rightarrow e} . נסמן x n = ∑ k = 1 n e k − 1 a k {\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}} , ו־ y n = e n {\displaystyle y_{n}=e^{n}\,} . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: y n {\displaystyle y_{n}\,} עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן: lim n → ∞ ∑ k = 1 n + 1 e k − 1 a k − ∑ k = 1 n e k − 1 a k e n + 1 − e n = lim n → ∞ e n ( a n + 1 ) e n ( e − 1 ) = lim n → ∞ a n + 1 e − 1 = lim n → ∞ a n e − 1 = e e − 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\textstyle {\frac {\sum _{k=1}^{n+1}e^{k-1}a_{k}-\sum _{k=1}^{n}e^{k-1}a_{k}}{e^{n+1}-e^{n}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{n}(a_{n+1})}{e^{n}(e-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{e-1}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{e-1}}={\frac {e}{e-1}}} השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות. ולכן, לפי המשפט, lim n → ∞ a 1 + e ⋅ a 2 + e 2 ⋅ a 3 + . . . + e n − 1 ⋅ a n e n = lim n → ∞ x n y n = lim n → ∞ x n + 1 − x n y n + 1 − y n = e e − 1 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{1}+e\cdot a_{2}+e^{2}\cdot a_{3}+...+e^{n-1}\cdot a_{n}}{e^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n} \over y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}}={\frac {e}{e-1}}} . הוכחת כלל לופיטל. בהינתן { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה מתכנסת: הממוצעים המשוקללים של a n {\displaystyle a_{n}} מתכנסים לאותו גבול כמו { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} (זאת בתנאי שסדרת המשקולות { α n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{\alpha _{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מקיימת α 1 + α 2 + ⋯ + α n → ∞ {\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\to \infty } ). הממוצע החשבוני של a n {\displaystyle a_{n}} מתכנס לאותו גבול כמו { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל). הממוצע ההרמוני של a n {\displaystyle a_{n}} מתכנס לאותו גבול כמו { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} . משתי הטענות האחרונות, מאי שוויון הממוצעים ומכלל הסנדוויץ' נובע כי גם הממוצע הגאומטרי של a n {\displaystyle a_{n}} מתכנס לאותו גבול כמו { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} .