משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה. תהי f ∈ C 1 ( U , R n ) {\displaystyle f\in C^{1}(U,\mathbb {R} ^{n})} (גזירה ברציפות) כאשר U ⊆ R n {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}} פתוחה ותהי נקודה a ∈ U {\displaystyle \mathbf {a} \in U} . נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים det J f ( a ) ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {J} _{f}(\mathbf {a} )\neq 0} (כלומר הדיפרנציאל בה, D f ( a ) {\displaystyle \mathrm {D} f(\mathbf {a} )} , הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה a ∈ V ⊆ U {\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U} כך ש- W = f ( V ) {\displaystyle W=f(V)} אף היא פתוחה, והפונקציה f : V → W {\displaystyle f\colon V\to W} חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית f − 1 : W → V {\displaystyle f^{-1}\colon W\to V} אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות W {\displaystyle W} מתקבל על ידי D f − 1 ( y ) = [ D f ( x ) ] − 1 {\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}} לכל x ∈ V {\displaystyle \mathbf {x} \in V} , כאשר y = f ( x ) {\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )} (צורות רישום נוספות: D f − 1 ( y ) = [ D f ( f − 1 ( y ) ) ] − 1 {\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(\mathbf {y} )=[\mathrm {D} f(f^{-1}(\mathbf {y} ))]^{-1}} או D f − 1 ( f ( x ) ) = [ D f ( x ) ] − 1 {\displaystyle \mathrm {D} f^{-1}(f(\mathbf {x} ))=[\mathrm {D} f(\mathbf {x} )]^{-1}} ). תהי הפונקציה f : R 2 → R 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} המוגדרת על ידי f ( x , y ) = ( e x cos ⁡ y , e x sin ⁡ y ) {\displaystyle f(x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)} . פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור 2 π {\displaystyle 2\pi } של ערכי y {\displaystyle y} . עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם J f ( x , y ) = ( e x cos ⁡ y − e x sin ⁡ y e x sin ⁡ y e x cos ⁡ y ) {\displaystyle \mathrm {J} _{f}(x,y)={\begin{pmatrix}e^{x}\cos y&-e^{x}\sin y\\e^{x}\sin y&e^{x}\cos y\end{pmatrix}}} ואזי היעקוביאן הוא det J f ( x , y ) = e 2 x ≠ 0 {\displaystyle \det \mathrm {J} _{f}(x,y)=e^{2x}\neq 0} . מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית. ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת f ( z ) = e z {\displaystyle f(z)=e^{z}} ולכל סביבה של נקודה קיים ענף (אנ') של פונקציית הלוגריתם המרוכבת g ( w ) = log ⁡ w {\displaystyle g(w)=\log w} המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: e z + i 2 π k = e z {\displaystyle e^{z+i2\pi k}=e^{z}} לכל k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } ). זהי הכללה של המקרה הפרטי בו n = 1 {\displaystyle n=1} : תהי f : U → R {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } גזירה ברציפות. תהי a ∈ U {\displaystyle a\in U} נקודה המקיימת f ′ ( a ) ≠ 0 {\displaystyle f'(a)\neq 0} . מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל x ∈ ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )} , f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystyle f'(x)\neq 0} . נניח כי f ′ ( a ) > 0 {\displaystyle f'(a)>0} אז מהיות   f ′ {\displaystyle \ f'} רציפה, לכל x ∈ ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle x\in (a-\delta ,a+\delta )} ,   f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle \ f'(x)>0} שהרי אחרת היה קיים x 0 ∈ ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle x_{0}\in (a-\delta ,a+\delta )} עבורו f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})=0} ממשפט ערך הביניים. לכן f {\displaystyle f} מונוטונית עולה ממש בכל ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )} , מה שגורר כי f {\displaystyle f} חד-חד-ערכית בכל ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle (a-\delta ,a+\delta )} . מכאן ניתן להגדיר f − 1 : f ( ( a − δ , a + δ ) ) → ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle f^{-1}\colon f((a-\delta ,a+\delta ))\to (a-\delta ,a+\delta )} הגזירה בכל נקודה פנימית ב- y 0 ∈ f ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle y_{0}\in f(a-\delta ,a+\delta )} (נסמן y 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})} ), שכן ניתן לחשב ולקבל כי ( f − 1 ) ′ ( y 0 ) = lim y → y 0 f − 1 ( y ) − f − 1 ( y 0 ) y − y 0 = lim y → y 0 1 y − y 0 f − 1 ( y ) − f − 1 ( y 0 ) = lim x → x 0 1 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 = 1 f ′ ( x 0 ) {\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}}}=\lim _{y\to y_{0}}{\frac {1}{\frac {y-y_{0}}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {1}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}} כלומר ( f − 1 ) ′ ( y ) = 1 f ′ ( f − 1 ( y ) ) {\displaystyle \left(f^{-1}\right)'(y)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}}} (אכן f − 1 ( x ) ∈ ( a − δ , a + δ ) {\displaystyle f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )} ובקטע זה הנגזרת של f {\displaystyle f} שונה מ- 0 {\displaystyle 0} ). גדי אלכסנדרוביץ', משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות, באתר "לא מדויק", 29 באוקטובר 2015 משפט הפונקציה ההפוכה, באתר MathWorld (באנגלית) Michael Spivak, Calculus on Manifolds, Addison-Wesley Publishing Company, 1965, p. 34-39 James R. Munkres, Analysis on Manifolds, Addison-Wesley Publishing Company, 1991, p. 62-69