פונקציית בסל

במתמטיקה, פונקציית בסל היא פתרון   y ( x ) {\displaystyle \ y(x)} למשוואה דיפרנציאלית הנקראת משוואת בסל: x 2 d 2 y d x 2 + x d y d x + ( x 2 − p 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-p^{2})y=0} כאשר p הוא קבוע (ממשי או מרוכב) הנקרא הסדר של פונקציית בסל. ברוב המקרים במדע הוא מספר שלם או חצי-שלם. משוואת בסל מופיעה בתחומים רבים בפיזיקה בהן תופעה בעלת סימטריה גלילית או כדורית מתוארת על ידי משוואה דיפרנציאלית הכוללת את אופרטור הלפלסיאן. בין אלה ניתן למנות את משוואת לפלס באלקטרומגנטיות, משוואת החום המתארת זרימת חום, משוואת שרדינגר במכניקת הקוונטים ובתיאור תבנית עקיפה המתקבלת דרך מיפתח עגול. פונקציית בסל הוגדרה לראשונה על ידי המתמטיקאי דניאל ברנולי והוכללה על ידי פרידריך בסל. בפתרון משוואת בסל כטור חזקות (לפי שיטת (טור) פרובניוס) מתקבלת פונקציית בסל מהסוג הראשון J p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( n + 1 ) Γ ( n + p + 1 ) ( x 2 ) 2 n + p {\displaystyle J_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n+p+1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n+p}} כאשר p, הקבוע במשוואת בסל, הוא דרגת פונקציית בסל ו- Γ ( z ) {\displaystyle \,\Gamma (z)} היא פונקציית גמא. פתרון נוסף מתקבל בשיטה זו על ידי החלפה של p ב-p-: J − p ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n Γ ( n + 1 ) Γ ( n − p + 1 ) ( x 2 ) 2 n − p {\displaystyle J_{-p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\Gamma (n+1)\Gamma (n-p+1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2n-p}} אם p איננו מספר שלם,   J p ( x ) {\displaystyle \ J_{p}(x)} ו   J − p ( x ) {\displaystyle \ J_{-p}(x)} הם שני פתרונות בלתי תלויים למשוואת בסל, שהיא משוואה דיפרנציאלית מסדר שני, ולכן צירוף ליניארי שלהם הוא הפתרון הכללי למשוואת בסל. אך כאשר p הוא מספר שלם, ניתן להראות שמתקיים הקשר:   J − p ( x ) = ( − 1 ) p J p ( x ) {\displaystyle \ J_{-p}(x)=(-1)^{p}J_{p}(x)} במקרה כזה הפתרונות אינם בלתי תלויים, והפתרון הנוסף הוא פונקציית בסל מהסוג השני.   J p ( x = 0 ) = 0 {\displaystyle \ J_{p}(x=0)=0} לכל p, למעט   J 0 ( x = 0 ) = 1 {\displaystyle \ J_{0}(x=0)=1} . עבור p חצי שלם,   J p ( x ) {\displaystyle \ J_{p}(x)} ניתנת להבעה באמצעות פונקציות טריגונומטריות. כך, למשל:   J 1 / 2 ( x ) = 2 π x sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \ J_{1/2}(x)={\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin(x)} שורשי פונקציית בסל, u p , n {\displaystyle u_{p,n}} , הם הנקודות בהן פונקציית בסל מדרגה p מתאפסת. אין נוסחה אנליטית לקבלתם, אך בפיזיקה ובתחומי ההנדסה נוהגים להניח מספר הנחות לגביהם שטרם הוכחו באופן פורמלי: שורשי פונקציות בסל אינם מחזוריים. עבור p טבעי, לפונקציה יש מספר אינסופי של שורשים. לפונקציות בעלות דרגות p שונות אין שורשים משותפים מלבד זה שב-x=0. יחסי נסיגה: J p − 1 ( x ) + J p + 1 ( x ) = 2 p x J p ( x ) {\displaystyle J_{p-1}(x)+J_{p+1}(x)={\frac {2p}{x}}J_{p}(x)} J p − 1 ( x ) − J p + 1 ( x ) = 2 d d x J p ( x ) {\displaystyle J_{p-1}(x)-J_{p+1}(x)=2{\frac {d}{dx}}J_{p}(x)} יחסי אורתוגונליות: ∫ 0 1 x J p ( x u p , m ) J p ( x u p , n ) d x = δ m , n 2 [ J p + 1 ( u p , m ) ] 2 = δ m , n 2 [ J p ′ ( u p , m ) ] 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{p}(xu_{p,m})J_{p}(xu_{p,n})dx={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{p+1}(u_{p,m})]^{2}={\frac {\delta _{m,n}}{2}}[J_{p}'(u_{p,m})]^{2}} כאשר δ m , n {\displaystyle \delta _{m,n}} היא הדלתא של קרונקר. פונקציית בסל מהסוג השני, הנקראת גם פונקציית נוימן או פונקציית וובר, היא פתרון שני של משוואת בסל מדרגה p שהיא מספר לא-שלם, והיא מתבדרת ב-x=0. הפונקציה מסומנת בדרך כלל   N p ( x ) {\displaystyle \ N_{p}(x)} והיא מוגדרת: N p ( x ) = J p ( x ) cos ⁡ ( p π ) − J − p ( x ) sin ⁡ ( p π ) {\displaystyle N_{p}(x)={\frac {J_{p}(x)\cos(p\pi )-J_{-p}(x)}{\sin(p\pi )}}} עבור דרגה p=n שהיא מספר שלם מגדירים את פונקציית בסל מהסוג השני להיות הגבול: N n ( x ) = lim p → n N p ( x ) {\displaystyle N_{n}(x)=\lim _{p\to n}N_{p}(x)} הפתרון הכללי למשוואת בסל מדרגה p יכול אם כן להיכתב בצורה הבאה:   y p ( x ) = A J p ( x ) + B N p ( x ) {\displaystyle \ y_{p}(x)=AJ_{p}(x)+BN_{p}(x)} מדיה וקבצים בנושא פונקציית בסל בוויקישיתוף פונקציית בסל, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) פונקציית בסל, באתר MathWorld (באנגלית) topic/Bessels-equation פונקציית בסל, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) פונקציית בסל, דף שער בספרייה הלאומית