שיטת פרובניוס

שיטת פרובניוס היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית. במתמטיקה, ישנן מספר דרכים להגיע לפתרון של משוואה דיפרנציאלית רגילות מסדר שני, סביב נקודה סינגולרית. אחת השיטות הנפוצות ביותר היא פיתוח טורי חזקות סביב נקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} בה אנו מעוניינים. כאשר מעוניינים בפיתוח טור חזקות סביב נקודה סינגולרית־רגולרית (רגילה) במערכת משוואות, משתמשים בשיטת פרובניוס, הקרויה על שם פרדיננד גאורג פרובניוס, מתמטיקאי גרמני בן המאה ה-19. פרובניוס, בוגר אוניברסיטת ברלין, כתב את תזת הדוקטורט שלו על משוואות דיפרנציאליות ומנחה הדוקטורט שלו היה קארל תיאודור וילהלם ויירשטראס הנודע, בין היתר, במשפטי ויירשטראס ונחשב לאבי האנליזה המודרנית. באמצעות השיטה ניתן לפתור בעיות הכוללות מציאת פתרונות למשוואות דיפרנציאליות המתארות תופעות פיזיקליות כגון תנודות, גלים ודיפוזיה, ובעיות מתמטיות הכוללות פונקציות מיוחדות ותמרות אינטגרליות. השיטה שימשה גם בחקר הפיזיקה המתמטית, מכניקת הקוונטים ותורת המשוואות הדיפרנציאליות. טרם ניגש לפתרון המשוואה הרצויה, צריך לבדוק האם ישנה סינגולריות במערכת ואם ישנה - מהי סוגה. נתבונן במשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני הבאה: f ( x ) y ″ + g ( x ) y ′ + h ( x ) y = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x)y''+g(x)y'+h(x)y&=0\end{alignedat}}} ערך של המשתנה x 0 {\displaystyle x_{0}} המאפס את הפונקציה f ( x 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x_{0})=0\end{alignedat}}} יקרא נקודה סינגולרית של המשוואה (מערכת) ולמעשה מאפס את הסדר המוביל של המשוואה הדיפרנציאלית. נקודה סינגולרית, תקרא רגולרית, או רגילה, באם מתקיימים התנאים הבאים: | lim x → x 0 ( x − x 0 ) g ( x ) f ( x ) | < ∞ {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\Bigl |}\lim _{x\to x_{0}}(x-x_{0}){\frac {g(x)}{f(x)}}{\Bigl |}<\infty \end{alignedat}}} | lim x → x 0 ( x − x 0 ) 2 h ( x ) f ( x ) | < ∞ {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\Bigl |}\lim _{x\to x_{0}}(x-x_{0})^{2}{\frac {h(x)}{f(x)}}{\Bigl |}<\infty \end{alignedat}}} כלומר, נקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} תקרא נקודה סינגולרית רגולרית אם הגבולות קיימים וחסומים. אלו התנאים על מקדמי הפונקציה y ( x ) {\displaystyle y(x)} ונגזרותיה, במשוואות דיפרנציאליות מסדר שני. תנאי חסימות הוא עיקרון מאוד דומיננטי בפתרון משוואות דיפרנציאליות בכלל ועם תנאי שפה בפרט במערכות פיזיקליות. נסתכל על הצורה הכללית של משוואה דיפרנציאלית מסדר שני הבאה: x 2 y ″ + x p ( x ) y ′ + q ( x ) y = 0 p ( x ) = x g ( x ) f ( x ) , q ( x ) = x 2 h ( x ) f ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x^{2}y''+xp(x)y'+q(x)y&=0\\\\p(x)=x{\frac {g(x)}{f(x)}},\qquad q(x)=x^{2}{\frac {h(x)}{f(x)}}\end{alignedat}}} , כאשר x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} הפונקציות p ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p(x)\end{alignedat}}} ו q ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}q(x)\end{alignedat}}} הן פונקציות אנליטיות בתחום הנתון, סביב הנקודה f ( x 0 ) = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}f(x_{0})=0\end{alignedat}}} שהיא סינגולרית רגולרית. על מנת למצוא את מרחב הפתרונות הכולל, עלינו למצוא 2 פתרונות בלתי תלויים ליניארית (בת"ל) שיקיימו את המשוואה, או במילים אחרות, הצבת הפתרון במשוואה המקורית תיתן את הפתרון 0. הפתרונות שיתקבלו יהיו טורים סופיים, או אינסופיים, בהתאם למשוואה הנתונה. תחילה, נחשב את ערכי הפונקציות p ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p(x)\end{alignedat}}} ו q ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}q(x)\end{alignedat}}} סביב הסינגולריות x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} : p 0 = lim x → 0 p ( x ) q 0 = lim x → 0 q ( x ) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}p_{0}=\lim _{x\to 0}p(x)\\\\q_{0}=\lim _{x\to 0}q(x)\end{alignedat}}} והמשוואה האופיינית/קרקטריסטית תראה כך: s ( s − 1 ) + p 0 s + q 0 = 0 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}s(s-1)+p_{0}s+q_{0}=0\end{alignedat}}} זוהי משוואה ריבועית, אשר פתרונותיה (השורשים s 1 ,   s 2 {\displaystyle s_{1},\ s_{2}} ) קובעות את אופי 2 הפתרונות הבלתי תלויים של המשוואה הדיפרנציאלית. נבדיל בין ארבעה מקרים על מנת לקבוע את צורת הפתרון: 1. אם s 1 ,   s 2 ∈ R {\displaystyle s_{1},\ s_{2}\in \mathbb {R} } וגם s 1 − s 2 ∉ Z {\displaystyle s_{1}-s_{2}\not \in \mathbb {Z} } : y 1 = ∑ n = 0 ∞ a n x n + s 1 y 2 = ∑ n = 0 ∞ b n x n + s 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+s_{1}}\\\\y_{2}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+s_{2}}\end{alignedat}}} . 2. אם s 1 ,   s 2 ∈ R {\displaystyle s_{1},\ s_{2}\in \mathbb {R} } וגם s 1 − s 2 ∈ Z {\displaystyle s_{1}-s_{2}\in \mathbb {Z} } : y 1 = ∑ n = 0 ∞ a n x n + s 1 y 2 = k ⋅ ln ⁡ | x | y 1 + ∑ n = 0 ∞ b n x n + s 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+s_{1}}\\\\y_{2}=k\cdot {\ln \left\vert x\right\vert }y_{1}+\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+s_{2}}\end{alignedat}}} כאשר k = 0 ,   1 {\displaystyle k=0,\ 1} כאשר פותרים פונקציית בסל (Bessel), נתבונן בסדר המשוואה υ {\displaystyle \upsilon } . אם υ ∈ Z {\displaystyle \upsilon \in \mathbb {Z} } שלם, k = 1 {\displaystyle k=1} . אם לא υ ∉ Z {\displaystyle \upsilon \not \in \mathbb {Z} } , k = 0 {\displaystyle k=0} . 3. אם s 1 = s 2 ≡ S {\displaystyle s_{1}=s_{2}\equiv S} : y 1 = ∑ n = 0 ∞ a n x n + S y 2 = ln ⁡ | x | y 1 + ∑ n = 1 ∞ b n x n + S {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+S}\\\\y_{2}={\ln \left\vert x\right\vert }y_{1}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}x^{n+S}\end{alignedat}}} נשים לב שכאן, בפתרון של y 2 {\displaystyle y_{2}} , הסכום מתחיל מ- n = 1 {\displaystyle n=1} ולא מ- n = 0 {\displaystyle n=0} . 4. אם s 1 ,   s 2 ∈ C {\displaystyle s_{1},\ s_{2}\in \mathbb {C} } וגם s 1 = s 2 ¯ {\displaystyle s_{1}={\bar {s_{2}}}} , כאשר s 1 , 2 = x ± i y {\displaystyle s_{1,2}=x\pm iy} : U = ∑ n = 0 ∞ a n x n + s 1 V = ∑ n = 0 ∞ b n x n + s 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}U=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n+s_{1}}\qquad V=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n+s_{2}}\end{alignedat}}} y 1 = R e ( U ) = U + U ¯ 2 {\displaystyle y_{1}=Re(U)={\frac {U+{\bar {U}}}{2}}} y 2 = R e ( V ) = V + V ¯ 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{2}=Re(V)={\frac {V+{\bar {V}}}{2}}\end{alignedat}}} או y 2 = I m ( U ) = U − U ¯ 2 i {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}y_{2}=Im(U)={\frac {U-{\bar {U}}}{2i}}\end{alignedat}}} פונקציית הלוגריתם הטבעי ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} בפתרון השני מבטיחה ששני הפתרונות, y 1 {\displaystyle y_{1}} ו־ y 2 {\displaystyle y_{2}} , יהיו בלתי תלויים ליניארית. חשבון אינפיניטסימלי סינגולריות תלות ליניארית פונקציית בסל טור לורן המישור המרוכב Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering - by S.I Hayek. ISBN 9781420081978. Published June 22, 2010 by Chapman and Hall/CRC. Advanced Engineering Mathematics. ERWIN KREYSZIG, HERBERT KREYSZIG, EDWARD J. NORMINTON.JOHN WILEY & SONS, INC. ISBN 978-0-470-45836-5 https://soaneemrana.org/onewebmedia/ADVANCED%20ENGINEERING%20MATHEMATICS%20BY%20ERWIN%20ERESZIG1.pdf Saff, Edward B., Arthur David Snider, and E. B. Saff. Fundamentals of complex analysis. Prentice Hall, 2000. ISBN 0-12-017968-X. Tyn Myint U., Ordinary Differential Equations, Elsevier, 1978. ISBN 9780444002334, 0444002332