יחס נפיצה

בפיזיקה, יחס נפיצה (או יחס דיספרסיה) הוא הקשר המתמטי בין התדירות הזוויתית של גל ω {\displaystyle \omega } לווקטור הגל k → {\displaystyle {\vec {k}}} או מספר הגל k {\displaystyle k} , כלומר: הפונקציה ω ( k ) {\displaystyle \omega (k)} . יחס הנפיצה נקבע על ידי משוואת הגלים המתארת את התופעה הפיזיקלית. לעיתים מכונה כך גם הקשר בין האנרגיה E {\displaystyle E} של המערכת לתנע p → {\displaystyle {\vec {p}}} שלה. במכניקת הקוונטים ומכניקה סטטיסטית מדברים גם על יחס נפיצה בין האנרגיה לווקטור הגל. כיוון שמתקיימים הקשרים E = ℏ ω {\displaystyle E=\hbar \omega } ו ω = c | k → | {\displaystyle \omega =c|{\vec {k}}|} , ההגדרות שקולות עד כדי פקטור כפלי של קבוע פיזיקלי. עבור חלקיק חופשי יחס הנפיצה הוא: E = 1 2 m v 2 = p 2 2 m = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}} כלומר: האנרגיה תלויה בתנע בצורה ריבועית. למערכות מורכבות יותר יהיה יחס נפיצה מורכב יותר או שונה. עבור חלקיק יחסותי בעל מסה שונה מאפס, יחס הנפיצה הוא E = c 2 p 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+m^{2}c^{4}}}} . יחס זה מתקבל מהגדרת 4-וקטור התנע (שרכיבו הזמני הוא האנרגיה) וגם ממשוואת קליין-גורדון. עבור גל אלקטרומגנטי בריק, האנרגיה פרופורציונלית לתדירות ( E = ℏ ω {\displaystyle E=\hbar \omega } ) והתנע פרופורציוני לווקטור הגל ( p → = ℏ k → {\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}} ). במקרה זה, משוואות מקסוול מגלות לנו שיחס הנפיצה הוא ליניארי: ω = c | k → | = c k {\displaystyle \omega =c|{\vec {k}}|=ck} כאשר הסתמכנו על יחס הנפיצה היחסותי לפוטון, חלקיק חסר מסה, E = c p {\displaystyle E=cp} . ניתן להסיק את מהירות הגל באמצעות יחס הנפיצה: v = ∂ E ∂ p = ∂ ω ∂ k = c . {\displaystyle v={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}=c.} וזוהי מהירות האור. השם יחס נפיצה בא במקור מאופטיקה, בה מתקיימת תופעה של נפיצה בתווך אופטי: מהירות הגל תלויה באורך הגל ( λ = 2 π / k {\displaystyle \lambda =2\pi /k} ), כלומר: יחס הנפיצה איננו ליניארי. תופעה זו מתרחשת כאשר האור עובר בתווך ולו מקדם שבירה לא קבוע התלוי באורך הגל או כאשר האור עובר דרך תווך לא-אחיד כגון מוליך גלים. במקרה זה, חזית הגל תימרח בזמן וכך פולס צר יהפך לפולס ארוך, כלומר: ינפץ. בחומרים אלה, הגודל ∂ ω ∂ k {\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}} ידוע כמהירות חבורה ומאפיין את התקדמות השיא או המידע שנושא הגל, ולה ערך שונה ממהירות הפאזה. כאשר חוקרים מוצקים, מחקר יחס הנפיצה של אלקטרונים הוא בעל חשיבות גדולה. משמעות המחזוריות של הגביש היא שעבור תנע נתון, ישנן הרבה רמות אנרגיה אפשריות, ושייתכן שמספר אנרגיות לא יהיו אפשריות עבור כל תנע. האוסף של כל האנרגיות האפשריות והתנעים האפשריים ידוע כמבנה פסים של החומר. תכונות מבנה הפסים קובעות האם החומר מוליך או מבודד. יחס הנפיצה של פונונים גם הוא חשוב ולא-טריוויאלי. רוב המערכות מציגות שני פסים נפרדים בהם פונונים. פונונים בפס החוצה את ראשית הצירים ידועים כפונונים אקוסטיים והענף ביחס הנפיצה ידוע בתור הענף האקוסטי, ואילו הענפים האחרים נקראים ענפים אופטיים. לדוגמה: גלי קול בגביש מקיימים את יחס הנפיצה הבא: ω = 2 Ω sin ⁡ ( k a 2 ) {\displaystyle \omega =2\Omega \sin \left({\frac {ka}{2}}\right)} עבור ka<<1 מתקבל יחס נפיצה ליניארי: ω = Ω   a k = v k {\displaystyle \omega =\Omega \ ak=vk} כאשר המהירות v = Ω a {\displaystyle v=\Omega a} היא מהירות הקול בחומר. גל/פונון עם יחס נפיצה ליניארי נקרא גל קול. ω 2 = ( g k + σ k 3 ρ ) tanh ⁡ ( k h ) {\displaystyle \omega ^{2}=\left(gk+{\frac {\sigma k^{3}}{\rho }}\right)\tanh(kh)} כאשר g {\displaystyle g} הוא קבוע הגרביטציה, h {\displaystyle h} הוא עומק הנוזל, ρ {\displaystyle \rho } היא צפיפות הנוזל, ו- σ {\displaystyle \sigma } הוא מתח הפנים. בגלבו (מוליך גלים) מלבני, אופן התנודה TE01: ω = k ⋅ c 1 − ( k c / k ) 2 {\displaystyle \omega ={\frac {k\cdot c}{\sqrt {1-\left(k_{c}/k\right)^{2}}}}} כאשר k c = π a {\displaystyle k_{c}={\frac {\pi }{a}}} הוא מספר הגל הנמוך ביותר שיכול להתקיים בגלבו, a {\displaystyle a} הוא רוחב הגלבו ו- c {\displaystyle c} היא מהירות האור בריק. תכונות פיזיקליות רבות של המערכת, כגון מהירות, ניתן להרחיב למערכות אחרות אם הן מבוטאות במונחים של יחס נפיצה. במערכת מכנית קלאסית, המהירות ניתנת להגדרה כ: v = ∂ E ∂ p = p m {\displaystyle v={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {p}{m}}} (זוהי בעצם אחת ממשוואות המילטון: r ˙ = ∂ H ∂ p {\displaystyle {\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial p}}} ). עבור גז אידיאלי (גז קלאסי, גז פרמי או גז בוזה) D-ממדי בעל יחס נפיצה E ∼ | k → | σ {\displaystyle E\sim |{\vec {k}}|^{\sigma }} מתקיים הקשר הבא בין הלחץ P, הנפח V והאנרגיה U: P V = σ D U {\displaystyle PV={\frac {\sigma }{D}}U} כך למשל, עבור גז אידיאלי קלאסי תלת-ממדי D=3 ו- σ = 2 {\displaystyle \sigma =2} מקבלים : P V = 2 3 U = N K b T {\displaystyle PV={\frac {2}{3}}U=NK_{b}T} (משוואת המצב של גז אידיאלי) כאשר השתמשנו בקשר U = ( 3 / 2 ) N K b T {\displaystyle U=(3/2)NK_{b}T} . עבור קרינת גוף שחור או קרינת פוטונים תרמית D=3 ו- σ = 1 {\displaystyle \sigma =1} ומקבלים: P V = 1 3 U {\displaystyle PV={\frac {1}{3}}U} . נפיצה מהירות חבורה גל יחס נפיצה, באתר MathWorld (באנגלית)