חבורה (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, חבורה (Group) היא מבנה אלגברי המורכב מקבוצה ופעולה בינארית אסוציאטיבית (קיבוצית). החבורות הופיעו במחקר המתמטי במהלך המאה ה-19, במסגרת הניסיונות לפתור משוואות פולינומיות ממעלה גבוהה, כדוגמת הפתרונות למשוואה ממעלה שלישית ורביעית שהתגלו במאה ה-16. החבורות שבהן עסקו החוקרים הראשונים, ובראשם גלואה, היו חבורות ספציפיות שאיבריהן הם תמורות. מאוחר יותר ניסח ארתור קיילי את מערכת האקסיומות המגדירה חבורה באופן מופשט, וייסד בכך את תורת החבורות. לתורת החבורות יש שימושים רבים במתמטיקה עצמה, כאמור, אך גם בפיזיקה, כמו בחקר מבנה הגבישים והמולקולות, ובחקר מושג הסימטריה. חבורה G {\displaystyle G} היא מבנה אלגברי בסיסי הכולל קבוצה עם פעולה בינארית ∗ {\displaystyle *} ("סגורה": לכל a , b ∈ G {\displaystyle a,b\in G} מתקיים כי a ∗ b ∈ G {\displaystyle a*b\in G} ), אשר מקיימת את התכונות הבאות: אסוציאטיביות (קיבוציות): לכל a , b , c ∈ G {\displaystyle a,b,c\in G} מתקיים a ∗ ( b ∗ c ) = ( a ∗ b ) ∗ c {\displaystyle a*(b*c)=(a*b)*c} . קיום איבר יחידה: קיים איבר e ∈ G {\displaystyle e\in G} כך שלכל a ∈ G {\displaystyle a\in G} מתקיים a ∗ e = e ∗ a = a {\displaystyle a*e=e*a=a} . כל האיברים הפיכים: לכל a ∈ G {\displaystyle a\in G} קיים b ∈ G {\displaystyle b\in G} עבורו a ∗ b = b ∗ a = e {\displaystyle a*b=b*a=e} . (מהאקסיומות נובע שיש רק איבר יחידה אחד, ושלכל איבר יש הופכי אחד; די להניח שכל איבר הפיך משמאל). חבורה אבלית (חילופית) היא חבורה שבה מתקיים, בנוסף, תנאי הקומוטטיביות (חילופיות) a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle a*b=b*a} לכל a , b ∈ G {\displaystyle a,b\in G} . חוג המספרים השלמים עם פעולת החיבור הוא חבורה אבלית הנקראת החבורה הציקלית האינסופית. זו אינה חבורה ביחס לכפל, משום שיש מספרים שאין להם הפכי שלם. קבוצת הסימטריות של מצולע משוכלל (פעולות שיקוף וסיבוב שלא משנות אותו) עם פעולת ההרכבה (ביצוע הפעולות בזה אחרי זה). חבורה זו נקראת החבורה הדיהדרלית. S n {\displaystyle S_{n}} , חבורת התמורות על n {\displaystyle n} איברים, ביחס לפעולת ההרכבה. זוהי חבורה לא אבלית לכל n > 2 {\displaystyle n>2} . קבוצת המטריצות ההפיכות מסדר n {\displaystyle n} מעל שדה F {\displaystyle F} , המסומנת GL n (F) {\displaystyle {\text{GL}}_{n}{\text{(F)}}} , היא חבורה ביחס לפעולת כפל מטריצות. חבורה זו נקראת החבורה הליניארית הכללית. חבורת שורשי היחידה מסדר n {\displaystyle n} , כלומר השורשים המרוכבים של המשוואה z n = 1 {\displaystyle z^{n}=1} עם פעולת הכפל של מספרים מרוכבים. חבורה זו היא חבורה ציקלית מסדר n {\displaystyle n} . גם מעגל היחידה ב- C {\displaystyle \mathbb {C} } , כלומר { z ∈ C : | z | = 1 } {\displaystyle \{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}} , הוא חבורה ביחס לכפל. איבר היחידה של חבורה הוא האידמפוטנט היחיד בה. בחבורה למחצה יש בדרך כלל אידמפוטנטים רבים, והקשרים ביניהם מאפשרים לבנות במדורג משפחות של חבורות למחצה שיש להן דמיון מסוים לחבורות. למשל, חבורה למחצה הפיכה היא חבורה למחצה שבה לכל x {\displaystyle x} קיים y {\displaystyle y} יחיד עבורו x y x = x , y x y = y {\displaystyle xyx=x,yxy=y} ; במקרה זה מסמנים x − 1 = y {\displaystyle x^{-1}=y} . בחבורה למחצה סופית S {\displaystyle S} , לכל אידמפוטנט e {\displaystyle e} , קבוצת האיברים המקיימים x x − 1 = x − 1 x = e {\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=e} היא תת-החבורה המקסימלית של S {\displaystyle S} אשר e {\displaystyle e} הוא איבר היחידה שלה. במונואיד, שהוא חבורה למחצה עם איבר יחידה 1, אפשר לדרוש שאיבר a {\displaystyle a} יהיה "הפיך מימין" (קיים b {\displaystyle b} עבורו a b = 1 {\displaystyle ab=1} ) או "הפיך משמאל" (קיים b {\displaystyle b} עבורו b a = 1 {\displaystyle ba=1} ). איבר a {\displaystyle a} שהוא הפיך גם מימין וגם משמאל הוא הפיך, כלומר, קיים b {\displaystyle b} המקיים בו-זמנית a b = b a = 1 {\displaystyle ab=ba=1} . בכל מונואיד, אוסף האיברים ההפיכים סגור לכפל (בגלל התכונה ( a b ) − 1 = b − 1 a − 1 {\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}} ), והוא מהווה לכן חבורה. אם כל איבר של המונואיד הוא הפיך משמאל, אז כולם הפיכים, והמונואיד הוא חבורה. לעומת זאת קיימים מונואידים שאינם חבורות שבהם לכל a {\displaystyle a} קיימים x , y {\displaystyle x,y} עבורם x a y = 1 {\displaystyle xay=1} . מונואיד שבו מהשוויון a x = a y {\displaystyle ax=ay} תמיד נובע x = y {\displaystyle x=y} , נקרא "מונואיד עם צמצום משמאל"; כל מונואיד הניתן לשיכון בחבורה הוא בעל צמצום (מימין ומשמאל), אבל ההפך אינו נכון. מונואיד סופי עם צמצום משמאל הוא חבורה. תת-קבוצה של חבורה G {\displaystyle G} המהווה בעצמה חבורה (ביחס לאותה פעולה בינארית אסוציאטיבית ולאותו איבר יחידה), נקראת תת-חבורה. כל תת-קבוצה הכוללת יחד עם כל איבר את ההפכי שלו, ויחד עם כל שני איברים את מכפלתם, היא תת-חבורה. החיתוך של תת-חבורות הוא תמיד תת-חבורה. כל תת-חבורה H {\displaystyle H} מחלקת את החבורה למחלקות שקילות, הנקראות קוסטים, בשני אופנים: מימין, המחלקות הן מהצורה g H = { g h : h ∈ H } {\displaystyle gH=\{gh:h\in H\}} , ומשמאל, המחלקות הן מהצורה H g = { h g : h ∈ H } {\displaystyle Hg=\{hg:h\in H\}} . מספר האיברים בכל מחלקה (ימנית או שמאלית) שווה למספר האיברים בתת-החבורה, ומכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של תת-חבורה של חבורה סופית, מחלק את הסדר של החבורה. מספר המחלקות (השמאליות או הימניות) של תת-חבורה נקרא האינדקס של תת-החבורה ומסומן [ G : H ] {\displaystyle [G:H]} . כאשר החבורות סופיות מתקיים [ G : H ] = | G | | H | {\displaystyle [G:H]={\frac {|G|}{|H|}}} . מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את משפט קושי על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת משפטי סילו על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני. בין תת-החבורות, חשובות במיוחד תת-החבורות הנורמליות, שהן תת-חבורות הכוללות, יחד עם כל איבר, את כל האיברים הצמודים לו. במילים אחרות, תת-חבורה H {\displaystyle H} היא תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} אם לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} מתקיים g H g − 1 ⊂ H {\displaystyle gHg^{-1}\subset H} ; לכן g H = H g {\displaystyle gH=Hg} לכל g {\displaystyle g} . מכאן נובע שהמחלקות הימניות והשמאליות של תת-חבורה נורמלית שוות זו לזו. על אוסף המחלקות ביחס לתת-חבורה נורמלית H {\displaystyle H} אפשר להגדיר פעולת כפל, ההופכת אותו לחבורה; חבורה זו נקראת חבורת המנה של G {\displaystyle G} ביחס ל- H {\displaystyle H} , וגודלה הוא האינדקס של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} . החבורה עצמה, ותת-החבורה הכוללת את איבר היחידה בלבד, הן תמיד נורמליות. חבורה שאין לה תת-חבורות נורמליות אחרות נקראת חבורה פשוטה. חבורה שאינה פשוטה אפשר לבנות מתת-חבורה נורמלית ומחבורת המנה, באמצעות תהליך הנקרא הרחבה של חבורות. נורמליות אינה עוברת בתורשה (כלומר, ייתכן ש- N {\displaystyle N} תת-חבורה נורמלית של H {\displaystyle H} , ו- H {\displaystyle H} תת-חבורה נורמלית של G {\displaystyle G} , בעוד כי N {\displaystyle N} אינה נורמלית ב- G {\displaystyle G} ). המכפלה של תת-חבורות מוגדרת לפי הכפלת האיברים, H 1 H 2 = { h 1 h 2 : h 1 ∈ H 1 , h 2 ∈ H 2 } {\displaystyle H_{1}H_{2}=\{h_{1}h_{2}:h_{1}\in H_{1},h_{2}\in H_{2}\}} . זוהי תת-חבורה אם ורק אם H 1 H 2 = H 2 H 1 {\displaystyle H_{1}H_{2}=H_{2}H_{1}} . מכיוון שתת-חבורה נורמלית N {\displaystyle N} מקיימת את הזהות x N = N x {\displaystyle xN=Nx} , המכפלה שלה עם כל תת-חבורה מהווה תת-חבורה. בפרט, המכפלה של שתי תת-חבורות נורמליות היא תת-חבורה (נורמלית). אומרים שאיברים a , b {\displaystyle a,b} בחבורה מתחלפים, אם a b = b a {\displaystyle ab=ba} . אוסף האיברים המתחלפים עם כל אברי החבורה הוא תת-חבורה שלה, הנקראת מֶרְכָּז החבורה; את המרכז של G {\displaystyle G} מקובל לסמן ב- Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} , על-פי המלה הגרמנית למרכז, Zentrum. המרכז הוא תת-חבורה נורמלית, ובחבורה אבלית הוא שווה לחבורה כולה. יש חבורות, כגון החבורה הסימטרית, שבהן המרכז כולל רק את איבר היחידה. המרכז מוכל בכל תת-חבורה אבלית מקסימלית של החבורה. באופן כללי יותר, לכל תת-חבורה H {\displaystyle H} של חבורה G {\displaystyle G} מסמנים ב- C G ( H ) {\displaystyle C_{G}(H)} את אוסף האיברים של G {\displaystyle G} , המתחלפים עם כל אברי H {\displaystyle H} . תת-חבורה זו נקראת המְרַכֵּז של H {\displaystyle H} . בפרט, Z ( G ) = C G ( G ) {\displaystyle Z(G)=C_{G}(G)} . אם H ⊆ H 1 {\displaystyle H\subseteq H_{1}} שתי תת-חבורות של G {\displaystyle G} , אז C G ( H 1 ) ⊆ C G ( H ) {\displaystyle C_{G}(H_{1})\subseteq C_{G}(H)} . לכל תת-חבורה מתקיים H ⊆ C G ( C G ( H ) ) {\displaystyle H\subseteq C_{G}(C_{G}(H))} , ו- C G ( H ) = C G ( C G ( C G ( H ) ) ) {\displaystyle C_{G}(H)=C_{G}(C_{G}(C_{G}(H)))} . באופן דומה, מגדירים את המנרמל של H {\displaystyle H} , כתת-החבורה { g ∈ G : g H g − 1 = H } {\displaystyle \{g\in G:gHg^{-1}=H\}} . תת-חבורה זו מכילה את H {\displaystyle H} , והיא תת-החבורה הגדולה ביותר של G {\displaystyle G} שבה H {\displaystyle H} נורמלית. ראו גם: תת-חבורת הקומוטטורים, סדרה נורמלית. ערך מורחב – ייצוג של חבורה קבוצה S {\displaystyle S} של איברים בחבורה G {\displaystyle G} היא קבוצת יוצרים של G {\displaystyle G} , אם תת-החבורה הקטנה ביותר המכילה את S {\displaystyle S} היא G {\displaystyle G} עצמה. חבורה שיש לה קבוצת יוצרים ובה איבר יחיד, נקראת חבורה ציקלית; כל חבורה נוצרת סופית היא בת-מנייה. היוצרים של חבורה יכולים לקיים ביניהם יחסים; למשל, חבורת התמורות של שלושה עצמים נוצרת על ידי התמורות σ = ( 123 ) , τ = ( 12 ) {\displaystyle \sigma =(123),\tau =(12)} , המקיימות את היחסים σ 3 = τ 2 = ( σ τ ) 2 = 1 {\displaystyle \sigma ^{3}=\tau ^{2}=(\sigma \tau )^{2}=1} . חבורה שבין היוצרים שלה אין יחסים כלל נקראת חבורה חופשית; כל חבורה היא חבורת מנה של חבורה חופשית. את האופן שבו החבורה מכוסה על ידי מילים הולכות ומתארכות מודד קצב הגידול של החבורה. לקצב זה יש קשרים הדוקים למבנה של החבורה. לחבורות יש מעמד מרכזי במתמטיקה בגלל היכולת שלהן לפעול על קבוצות שונות. כמעט בכל מקרה, אוסף הפונקציות ההפיכות ממרחב נתון אל עצמו, השומרות על תכונות מסוימות של המרחב, מהווה חבורה. פעולה של חבורה על קבוצה X {\displaystyle X} מציגה את אברי החבורה כפונקציות הפיכות מן הקבוצה X {\displaystyle X} לעצמה, וכך מאפשרת לחקור תכונות מעניינות של X {\displaystyle X} מחד, ולנתח ביתר קלות את המבנה של החבורה, מאידך. כל חבורה פועלת על עצמה בשתי דרכים חשובות: על ידי פעולת הכפל (משמאל או מימין), ועל ידי פעולת ההצמדה. פעולת הכפל משמאל מוגדרת באופן שאיבר x {\displaystyle x} שולח את האיבר y {\displaystyle y} לאיבר x y {\displaystyle xy} . בדרך זו הופך האיבר x {\displaystyle x} לתמורה על אברי החבורה, וכך מתקבלת הוכחה של משפט קיילי: כל חבורה היא תת-חבורה של חבורת תמורות. בפעולת ההצמדה, האיבר x {\displaystyle x} שולח את y {\displaystyle y} ל- x y x − 1 {\displaystyle xyx^{-1}} ; פעולה זו מחלקת את החבורה G {\displaystyle G} למחלקות שקילות מן הצורה { x y x − 1 : x ∈ G } {\displaystyle \{xyx^{-1}:x\in G\}} , הקרויות "מחלקות צמידות". פעולת ההצמדה היא גם אוטומורפיזם של החבורה עצמה, ולכן היא יוצרת הצגה של החבורה, כתת-חבורה של חבורת האוטומורפיזמים של עצמה. הצגה זו היא נאמנה אם ורק אם לחבורה יש מרכז טריוויאלי. מונואיד חוג חבורה חבורה טופולוגית חבורה אלגברית חבורה ציקלית מדיה וקבצים בנושא חבורה בוויקישיתוף Euler's formula with introductory group theory - סרטון הנפשה חבורה, באתר MathWorld (באנגלית) חבורה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)