פונקציה רציפה בהחלט

בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה ממשית, המקיימת תכונת "חֲלָקוּת" בקטע, שהיא חזקה יותר מרציפות במידה שווה, וממילא גם מרציפות נקודתית. המושג של רציפות בהחלט מאפשר להכליל את הקשר בין שתי הפעולות המרכזיות של החדו״א – גזירה ואינטגרציה. מערכת יחסים זו מתוארת בדרך כלל (במשפט היסודי של החדו״א) במסגרת אינטגרל רימן, אך בעזרת רציפות בהחלט אפשר לנסח אותה במונחים של אינטגרל לבג. בהקשר של פונקציות ממשיות שמוגדרות על הישר הממשי, קיימים שני מושגים הקשורים זה בזה: רציפות בהחלט של פונקציות ורציפות בהחלט של מידות. ניתן להכליל את שני המושגים האלה בכיוונים שונים. לדוגמה, הנגזרת הרגילה של פונקציה קשורה לנגזרת רדון־ניקודים של מידה. בתת־קבוצה קומפקטית של הישר הממשי מתקיימת שרשרת ההכלות הבאה למחלקות של פונקציות: רציפה בהחלט ⊆ רציפה במידה שווה ⊆ רציפה ואילו בקטע סגור, גזירה ברציפות ⊆ ליפּשיצית ⊆ רציפה בהחלט ⊆ בעלת השתנות חסומה ⊆ גזירה כמעט בכל מקום פונקציה רציפה f {\textstyle f} אינה רציפה בהחלט אם היא אינה רציפה במידה שווה, מה שעשוי לקרות אם התחום שבו מוגדרת הפונקציה אינו קומפקטי – דוגמאות לפונקציות שכאלה: f ( x ) = tan ⁡ ( x ) {\textstyle f(x)=\tan(x)} בקטע [ 0 , 2 π ) {\textstyle [0,2\pi )} ; f ( x ) = x 2 {\textstyle f(x)=x^{2}} בכל הישר; f ( x ) = sin ⁡ ( 1 x ) {\textstyle f(x)=\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}} בקטע ( 0 , 1 ] {\textstyle (0,1]} . עם זאת, פונקציה רציפה f {\textstyle f} עשויה לא להיות רציפה בהחלט אפילו בקטע סגור. ייתכן שהיא אינה גזירה כמעט בכל מקום (כמו פונקציית ויירשטראס שאינה גזירה באף נקודה). ייתכן שהיא דווקא גזירה כמעט בכל מקום ואף ש־ f ′ {\textstyle f'} היא אינטגרבילית לבג, אך ההפרש בין האינטגרל הלא־מסוים של f ′ {\textstyle f'} ל־ f {\textstyle f} עצמה אינו קבוע. זה קורה למשל בפונקציית קנטור. יהי I ⊆ R {\textstyle I\subseteq \mathbb {R} } קטע מוכלל. נאמר ש־ f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } היא רציפה בהחלט ב־ I {\displaystyle I} אם לכל מספר חיובי ε {\displaystyle \varepsilon } , קיים מספר חיובי δ {\displaystyle \delta } כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות ( x k , y k ) {\displaystyle (x_{k},y_{k})} שֶׁל I {\displaystyle I} שמקיימת ∑ k | y k − x k | < δ {\displaystyle \sum _{k}|y_{k}-x_{k}|<\delta } מקיימת גם ∑ k | f ( y k ) − f ( x k ) | < ε {\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\varepsilon } אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט ב־ I {\displaystyle I} מסומן AC ⁡ ( I ) {\displaystyle \operatorname {AC} (I)} . התנאים הבאים בפונקציה ממשית f {\textstyle f} בקטע סגור [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} שקולים: f {\textstyle f} רציפה בהחלט; f {\textstyle f} גזירה כמעט בכל מקום, f ′ {\textstyle f'} אינטגרבילית לבג, וּמתקיים f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x f ′ ( t ) d t {\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt} לכל x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ; קיימת פונקציה g {\textstyle g} אינטגרבילית לבג ב־ [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} כך שמתקיים f ( x ) = f ( a ) + ∫ a x g ( t ) d t {\displaystyle f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt} לכל x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} . אם תנאים שקולים אלה מתקיימים, אזי בְּהֶכְרֵחַ g = f ′ {\textstyle g=f'} כמעט בכל מקום. השקילות בין (1) ל־(3) ידועה גם בתור הכללת לבג למשפט היסודי של החדו״א או המשפט היסודי של החדו״א לאינטגרל לבג. להגדרה שקולה בהקשר של מידות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט. הסכום וההפרש של שתי פונקציות רציפות בהחלט גם הם רציפים בהחלט. אם שתי הפונקציות מוגדרות בקטע סגור, אז גם המכפלה שלהן רציפה בהחלט. אם f {\textstyle f} רציפה בהחלט ואינה מתאפסת בקטע סגור, אז גם 1 f {\textstyle {\tfrac {1}{f}}} רציפה בהחלט. כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט. אם f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־ [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . אם f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } רציפה בהחלט, אז ניתן לכתוב אותה כהפרש של שתי פונקציות עולות במובן החלש וּרציפות בהחלט ב־ [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} . אם f : [ a , b ] → R {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } רציפה בהחלט, אז היא מקיימת את תכונת לוזין (כלומר, לכל N ⊆ [ a , b ] {\textstyle N\subseteq [a,b]} כך ש־ λ ( N ) = 0 {\textstyle \lambda (N)=0} מתקיים λ ( f ( N ) ) = 0 {\textstyle \lambda (f(N))=0} , כאשר λ {\textstyle \lambda } היא מידת לבג ב־ R {\textstyle \mathbb {R} } ). f : I → R {\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} } רציפה בהחלט אם ורק אם היא רציפה, בעלת השתנות חסומה וּמקיימת את תכונת לוזין. הפונקציות הבאות רציפות במידה שווה אך אינן רציפות בהחלט: פונקציית קנטור ב־ [ 0 , 1 ] {\textstyle [0,1]} (היא בעלת השתנות חסומה, אך אינה רציפה בהחלט); הפונקציה f ( x ) = { 0 , if  x = 0 x sin ⁡ ( 1 / x ) , if  x ≠ 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\x\sin(1/x),&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}} בקטע סופי שכולל את 0 {\textstyle 0} . הפונקציה הבאה רציפה בהחלט אך אינה מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־ α {\textstyle \alpha } : הפונקציה f ( x ) = x β {\textstyle f(x)=x^{\beta }} ב־ [ 0 , c ] {\textstyle [0,c]} , לכל 0 < β < α < 1 {\textstyle 0<\beta <\alpha <1} . הפונקציה הבאה רציפה בהחלט וגם מקיימת את תנאי הלדר ביחס ל־ α {\textstyle \alpha } , אך אינה ליפּשיצית: הפונקציה f ( x ) = x {\textstyle f(x)={\sqrt {x}}} ב־ [ 0 , c ] {\textstyle [0,c]} , לכל α ≤ 1 2 {\textstyle \alpha \leq {\tfrac {1}{2}}} . יהי ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} מרחב מטרי, ויהי I ⊆ R {\textstyle I\subseteq \mathbb {R} } קטע מוכלל. נאמר ש־ f : I → X {\textstyle f\colon I\to X} היא רציפה בהחלט ב־ I {\textstyle I} אם לכל מספר חיובי ε {\displaystyle \varepsilon } , קיים מספר חיובי δ {\displaystyle \delta } כך שכל סדרה סופית של תת־קטעים זרים בזוגות [ x k , y k ] {\textstyle [x_{k},y_{k}]} שֶׁל I {\displaystyle I} שמקיימת ∑ k | y k − x k | < δ {\displaystyle \sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta } מקיימת גם ∑ k d ( f ( y k ) , f ( x k ) ) < ε {\displaystyle \sum _{k}d\left(f(y_{k}),f(x_{k})\right)<\varepsilon } אוסף כל הפונקציות הרציפות בהחלט מ־ I {\textstyle I} ל־ X {\textstyle X} מסומן AC ⁡ ( I ; X ) {\textstyle \operatorname {AC} (I;X)} . הכללה נוספת היא המרחב A C p ⁡ ( I ; X ) {\textstyle \operatorname {{AC}^{\mathit {p}}} (I;X)} של העקומות γ : I → X {\textstyle \gamma \colon I\to X} כך שלכל [ s , t ] ⊆ I {\textstyle [s,t]\subseteq I} d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) ≤ ∫ s t m ( τ ) d τ {\displaystyle d\left(\gamma (s),\gamma (t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau } עבור m ∈ L p ( I ) {\textstyle m\in L^{\mathit {p}}(I)} כלשהי (מרחב Lp). כל פונקציה רציפה בהחלט היא רציפה במידה שווה ולכן רציפה; כל פונקציה שמקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה בהחלט. אם f : [ a , b ] → X {\textstyle f\colon [a,b]\to X} רציפה בהחלט, אז היא בעלת השתנות חסומה ב־ [ a , b ] {\textstyle [a,b]} . עבור f ∈ A C p ⁡ ( I ; X ) {\textstyle f\in \operatorname {{AC}^{\mathit {p}}} (I;X)} הנגזרת המטרית של f {\textstyle f} קיימת כמעט בכל מקום ב־ I {\textstyle I} , והיא ה־ m ∈ L p ( I ; R ) {\textstyle m\in L^{\mathit {p}}(I;\mathbb {R} )} הקטנה ביותר כך שלכל [ s , t ] ⊆ I {\textstyle [s,t]\subseteq I} מתקיים d ( f ( s ) , f ( t ) ) ≤ ∫ s t m ( τ ) d τ {\displaystyle d\left(f(s),f(t)\right)\leq \int _{s}^{t}m(\tau )\,d\tau } נאמר שמידה μ {\textstyle \mu } על קבוצות בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג λ {\textstyle \lambda } (או נשלטת על ידי λ {\textstyle \lambda } ) אם לכל קבוצה מדידה A {\textstyle A} , λ ( A ) = 0 {\textstyle \lambda (A)=0} גורר μ ( A ) = 0 {\textstyle \mu (A)=0} , וּנסמן: μ ≪ λ {\textstyle \mu \ll \lambda } . ברוב היישומים, אם נאמר שמידה על הישר הממשי רציפה בהחלט – מבלי לציין ביחס לאיזו מידה היא רציפה בהחלט – נתכוון שהיא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג. אותו עיקרון תקף לגבי מידות על קבוצות בורל של R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}} כאשר n ≥ 2 {\textstyle n\geq 2} . התנאים הבאים עבור מידה סופית μ {\textstyle \mu } בקבוצות בורל של הישר הממשי שקולים: μ {\textstyle \mu } רציפה בהחלט; לכל מספר חיובי ε {\textstyle \varepsilon } קיים מספר חיובי δ {\textstyle \delta } כך ש־ μ ( A ) < ε {\textstyle \mu (A)<\varepsilon } לכל קבוצה A {\textstyle A} שמידת לבג שלה קטנה מ־ δ {\textstyle \delta } ; קיימת פונקציה g {\textstyle g} אינטגרבילית לבג בישר הממשי כך שלכל קבוצת בורל A {\textstyle A} מתקיים μ ( A ) = ∫ A g d λ {\displaystyle \mu (A)=\int _{A}g\,d\lambda } להגדרה שקולה בהקשר של פונקציות, עיינו בפסקה הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט. כל פונקציה אחרת שמקיימת את (3) שווה ל־ g {\textstyle g} כמעט בכל מקום. פונקציה כזו נקראת נגזרת רדון־ניקודים, או צפיפות, של המידה הרציפה בהחלט μ {\textstyle \mu } . השקילות בין (1), (2) ו־(3) מתקיימת גם ב־ R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}} לכל n ∈ N + {\textstyle n\in \mathbb {N} ^{+}} . לפיכך, המידות הרציפות בהחלט ב־ R n {\textstyle \mathbb {R} ^{n}} הן בדיוק אלה שיש להן צפיפות; כמקרה פרטי, מידות ההסתברות הרציפות בהחלט הן בדיוק אלה שיש להן פונקציית צפיפות. אם μ {\textstyle \mu } ו־ ν {\textstyle \nu } הן שתי מידות באותו מרחב מדיד ( X , A ) {\textstyle (X,{\mathcal {A}})} , נאמר ש־ μ {\textstyle \mu } היא רציפה בהחלט ביחס ל־ ν {\textstyle \nu } אם μ ( A ) = 0 {\textstyle \mu (A)=0} לכל קבוצה A {\textstyle A} שעבורה ν ( A ) = 0 {\textstyle \nu (A)=0} , וּנסמן: μ ≪ ν {\textstyle \mu \ll \nu } . כלומר: μ ≪ ν ⟺ ∀ A ∈ A . ν ( A ) = 0   ⟶   μ ( A ) = 0 {\displaystyle \mu \ll \nu \iff \forall A\in {\mathcal {A}}.\,\nu (A)=0\ \longrightarrow \ \mu (A)=0} רציפות בהחלט של מידות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית, אבל אינה אנטי־סימטרית, ולכן היא קדם־סדר אך לא סדר חלקי. במקום זאת, אם μ ≪ ν {\textstyle \mu \ll \nu } וגם ν ≪ μ {\textstyle \nu \ll \mu } , נאמר שהמידות μ {\textstyle \mu } ו־ ν {\textstyle \nu } שקולות. לפיכך רציפות בהחלט משרה סדר חלקי של מחלקות שקילות כאלה. אם μ {\textstyle \mu } היא מידה מסומנת או מרוכבת, נאמר ש־ μ {\textstyle \mu } היא רציפה בהחלט ביחס ל־ ν {\textstyle \nu } אם ההשתנות הכללית שלה | μ | {\textstyle |\mu |} מקיימת | μ | ≪ ν {\textstyle |\mu |\ll \nu } או, באופן שקול, אם כל קבוצה A {\textstyle A} שעבורה ν ( A ) = 0 {\textstyle \nu (A)=0} היא μ {\textstyle \mu } ־אפסית. משפט רדון־ניקודים קובע כי אם μ {\textstyle \mu } היא רציפה בהחלט ביחס ל־ ν {\textstyle \nu } , וּשתי המידות הן σ {\textstyle \sigma } ־סופיות, אז ל־ μ {\textstyle \mu } יש צפיפות, או נגזרת רדון־ניקודים, ביחס ל־ ν {\textstyle \nu } , כלומר קיימת פונקציה ν {\textstyle \nu } ־מדידה f {\textstyle f} שמקבלת ערכים ב־ R ≥ 0 {\textstyle \mathbb {R} _{\geq 0}} וּמסומנת f = d μ d ν {\textstyle f={\tfrac {d\mu }{d\nu }}} , כך שלכל קבוצה ν {\textstyle \nu } ־מדידה A {\textstyle A} מתקיים μ ( A ) = ∫ A f d ν {\displaystyle \mu (A)=\int _{A}f\,d\nu } בעזרת משפט הפירוק של לבג, ניתן לפרק כל מידה לסכום של מידה רציפה בהחלט ומידה סינגולרית. מידה סופית μ {\textstyle \mu } בקבוצת בורל של הישר הממשי היא רציפה בהחלט ביחס למידת לבג אם ורק אם פונקציית הנקודה F ( x ) = μ ( ( − ∞ , x ] ) {\textstyle F(x)=\mu ((-\infty ,x])} היא פונקציה ממשית רציפה בהחלט. באופן כללי יותר, פונקציה היא רציפה בהחלט מקומית (כלומר בכל קטע סופי) אם ורק אם הנגזרת של פונקציית ההצטברות שלה היא מידה רציפה בהחלט ביחס למידת לבג. אם מתקיימת רציפות בהחלט, אז נגזרת רדון־ניקודים של μ {\textstyle \mu } שווה כמעט בכל מקום לנגזרת של F {\textstyle F} . באופן כללי יותר, מניחים ש־ μ {\textstyle \mu } היא סופית מקומית (ולא סופית) וש־ F ( x ) {\textstyle F(x)} מוגדרת כ־ μ ( ( 0 , x ] ) {\textstyle \mu \left((0,x]\right)} עבור x > 0 {\textstyle x>0} , כ־ 0 {\textstyle 0} עבור x = 0 {\textstyle x=0} וכ־ − μ ( [ x , 0 ) ) {\textstyle -\mu \left([x,0)\right)} עבור x < 0 {\textstyle x<0} . במקרה זה μ {\textstyle \mu } היא מידת לבג־סטילטיס שנוצר על ידי F {\textstyle F} , וגם פה קיים הקשר בין שני המושגים של רציפות בהחלט. פונקציה רציפות רציפות במידה שווה רציפות ליפּשיץ Luigi Ambrosio, Nicola Gigli, Giuseppe Savaré, Gradient Flows: In Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Boston: Birkhäuser Verlag, 2005, Lectures in Mathematics ETH Zurich, ISBN 3-7643-2428-7. (באנגלית) (אורכב 07.05.2021 בארכיון Wayback Machine) Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri, Measure Theory and Probability Theory, New York: Springer, 2006, Springer Texts in Statistics, ISBN 0-387-32903-X. (באנגלית) (אורכב 16.06.2021 בארכיון Wayback Machine) Giovanni Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2009, Graduate studies in mathematics, Vol. 105, ISBN 0-8218-4768-6. (באנגלית) (אורכב 16.06.2021 בארכיון Wayback Machine) Ole A. Nielsen, An Introduction to Integration and Measure Theory, New York: Wiley-Interscience, 1997, Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts, Vol. 17, ISBN 0-471-59518-7. (באנגלית) Halsey L. Royden, Real Analysis, 3rd Edition, New York: Collier Macmillan, 1988, ISBN 0-02-404151-3. (באנגלית) (אורכב 16.06.2021 בארכיון Wayback Machine) מדיה וקבצים בנושא סוגי רציפויות בוויקישיתוף רציפות בהחלט, באתר MathWorld (באנגלית) רציפות בהחלט, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) רוידן, פסקה 5.4, עמוד 108; נילסן, הגדרה 15.6 בעמוד 251; אתרֶיה ולהירי, הגדרות 4.4.1 ו־4.4.2 בעמודים 128–129; בשני הספרים הראשונים מניחים ש־ I {\displaystyle I} הוא קטע סגור. רוידן, פסקה 5.4, עמוד 110; נילסן, משפט 20.8 בעמוד 354; אתרֶיה ולהירי, משפטים 4.4.1 ו־4.4.2 בעמודים 129–130. אתרֶיה ולהירי, לפני משפט 4.4.1 בעמוד 129. רוידן, בעיות 5.14a ו־5.14c בעמוד 111. רוידן, בעיה 5.14c בעמוד 111. רוידן, בעיה 5.20a בעמוד 112. רוידן, משפט עזר 5.11 בעמוד 108. אמברוזיו, ג׳ילי וסווארה, הגדרה 1.1.1 בעמוד 23. אמברוזיו, ג׳ילי וסווארה, משפט 1.1.2 בעמוד 24. השקילות בין (1) ל־(2) היא מקרה פרטי של טענה 15.5 בעמוד 251, נילסן (שאינה נכונה עבור מידות σ {\displaystyle \sigma } ־סופיות); השקילות בין (1) ל־(3) היא מקרה פרטי של משפט רדון־ניקודים, שנכון גם עבור מידות σ {\displaystyle \sigma } ־סופיות. רוידן, פסקה 11.6, עמוד 276; נילסן, הגדרה 15.3 בעמוד 250; אתרֶיה ולהירי, הגדרה 4.1.1 בעמוד 113. רוידן, משפט 11.23 בעמוד 276; נילסן, משפט 15.4 בעמוד 251; אתרֶיה ולהירי, פריט (ii) של משפט 4.1.1 בעמוד 115. רוידן, טענה 11.24 בעמוד 278; נילסן, משפט 15.14 בעמוד 262; אתרֶיה ולהירי, פריט (i) של משפט 4.1.1 בעמוד 115. רוידן, בעיה 12.17b בעמוד 303. אתרֶיה ולהירי, פסקה 1.3.2, עמוד 26. רוידן, בעיה 12.17a בעמוד 303; נילסן, טענה 15.7 בעמוד 252; אתרֶיה ולהירי, משפט 4.4.3 בעמוד 131.