דיפרנציאל (מתמטיקה)

בחשבון אינפיניטסימלי בפרט ובאנליזה מתמטית בכלל, דִּיפֵרֶנְצִיאָל של פונקציה בנקודה מסוימת הוא קירוב ליניארי של הפונקציה בנקודה זו. עבור פונקציות סקלריות במשתנה יחיד, מושג הדיפרנציאל קשור קשר הדוק למושג הנגזרת, אולם כאשר עוברים לפונקציות של כמה משתנים, או לפונקציות שמחזירות וקטור, הדיפרנציאל הוא הכללה של הנגזרת, ושונה ממושג הנגזרת החלקית. תהא f : R n → R m {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה p {\displaystyle \mathbf {p} } . מהדיפרנציאביליות של הפונקציה נובע שניתן לכתוב: f ( p + Δ p ) = f ( p ) + D p ( Δ p ) + o ( Δ p ) {\displaystyle f(\mathbf {p} +\Delta \mathbf {p} )=f(\mathbf {p} )+D_{\mathbf {p} }(\Delta \mathbf {p} )+o(\Delta \mathbf {p} )} כאשר   o {\displaystyle \ o} מסמל פונקציה המקיימת lim Δ p → 0 ‖ o ( Δ p ) ‖ ‖ Δ p ‖ = 0 {\displaystyle \lim _{\Delta \mathbf {p} \to 0}{\frac {\lVert o(\Delta \mathbf {p} )\rVert }{\lVert \Delta \mathbf {p} \rVert }}=0} , ו־ D p {\displaystyle D_{\mathbf {p} }} מסמל טרנספורמציה ליניארית מ־ R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} אל R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . הטרנספורמציה D p {\displaystyle D_{\mathbf {p} }} תיקרא הדיפרנציאל של הפונקציה f {\displaystyle f} בנקודה p {\displaystyle \mathbf {p} } , ולפעמים תסומן גם בסימונים: d f p ( Δ p ) {\displaystyle \mathrm {d} f_{\mathbf {p} }(\Delta \mathbf {p} )} , D f ( p ) ( Δ p ) {\displaystyle \mathrm {D} f(\mathbf {p} )(\Delta \mathbf {p} )} , D f | p ( Δ p ) {\displaystyle \mathrm {D} f|_{\mathbf {p} }(\Delta \mathbf {p} )} וכיוצא בזה. נשים לב כי הטרנספורמציה תלויה בנקודה p {\displaystyle p} – בכל נקודה יש לפונקציה f {\displaystyle f} קירוב ליניארי שתלוי באותה נקודה. ייתכן שהעתקת הדיפרנציאל היא שונה, וניתן להוכיח שהדיפרנציאל בנקודה מסוימת הוא יחיד, כלומר לא קיימות שתי העתקות ליניאריות שמקיימות את ההגדרה הכתובה לעיל באותה נקודה. נתבונן על וקטור היחידה e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} . זהו וקטור אפסים עם 1 {\displaystyle 1} במקום ה- i {\displaystyle i} . לדוגמה ב- R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} מתקיים ש- e 2 = ( 0 , 1 , 0 , 0 ) {\displaystyle \mathbf {e} _{2}=(0,1,0,0)} . במקרה שבו f : R n → R m {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} דיפרנציאבילית בנקודה p {\displaystyle p} אז ∀ 1 ≤ i ≤ n : d f p ( e i ) = ∂ f ∂ x i ( p ) {\displaystyle \forall 1\leq i\leq n:\mathrm {d} f_{\mathbf {p} }(e_{i})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {p} )} . מהמשפט הזה אפשר להסיק שבאופן כללי לכל וקטור Δ p = ( Δ p 1 , . . . , Δ p n ) = ∑ i = 1 n Δ p i e i {\displaystyle \Delta \mathbf {p} =(\Delta p_{1},...,\Delta p_{n})=\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}\mathrm {e} _{i}} , הדיפרנציאל בנקודה p {\displaystyle \mathbf {p} } , שהוא אופרטור ליניארי, יהיה d f p ( Δ p ) = d f p ( ∑ i = 1 n Δ p i e i → ) = ∑ i = 1 n Δ p i ⋅ d f p ( e i ) = ∑ i = 1 n Δ p i ∂ f ∂ x i ( p ) {\displaystyle \mathrm {d} f_{p}(\Delta \mathbf {p} )=\mathrm {d} f_{\mathbf {p} }\left(\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}{\vec {e_{i}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}\cdot \mathrm {d} f_{\mathbf {p} }(\mathrm {e} _{i})=\sum _{i=1}^{n}\Delta p_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(p)} . מכאן ניתן להוכיח כי הדיפרנציאל מיוצג בבסיס הסטנדרטי על ידי מטריצה ששורותיה הן הגרדיאנטים של הפונקציות הסקלריות המרכיבות את f {\displaystyle f} . מטריצה זו נקראת מטריצת יעקובי. מכיוון שאנו מדברים על "דיפרנציאל בנקודה" ניתן להסתכל על הדיפרנציאל באופן כללי בתור פונקציה, שמתאימה לכל נקודה את הדיפרנציאל המתאים לאותה נקודה. זהו המובן הכללי של דיפרנציאל של פונקציה. כשם שנגזרת של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד היא פונקציה, שמתאימה לכל נקודה מספר (המספר הנגזר), גם דיפרנציאל מתאים לכל נקודה את מטריצת יעקובי של אותה הנקודה. במקרה הפרטי של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד, y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} , אם הפונקציה גזירה בנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} פירוש הדבר הוא שקיים הגבול הבא: lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}} . בהרבה מספרי הלימוד מיצוג הערך Δ x {\displaystyle \Delta x} באמצעות המשתנה h {\displaystyle h} כדי ליצג את המרחק בין הנקודות על ציר ה x {\displaystyle x} כך שהגבול מיוצג בצורה הזו: lim h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}} אם נסמן גבול זה בתור f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} , נשים לב שמתקיים f ( x 0 + Δ x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) Δ x + o ( Δ x ) {\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\Delta x+o(\Delta x)} (ניתן לראות זאת על ידי חלוקה ב-   Δ x {\displaystyle \ \Delta x} והשאפתו לאפס), ולהפך: אם קיים קבוע A {\displaystyle A} כך ש- f ( x 0 + Δ x ) = f ( x 0 ) + A Δ x + o ( Δ x ) {\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)=f(x_{0})+A\Delta x+o(\Delta x)} אז f {\displaystyle f} גזירה ב- x 0 {\displaystyle x_{0}} ו- A = f ′ ( x 0 ) {\displaystyle A=f'(x_{0})} . מכאן שהדיפרנציאל במקרה זה D x 0 = f ′ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) {\displaystyle D_{x_{0}}=f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})} . כאן הדיפרנציאל הוא טרנספורמציה ליניארית שמיוצגת על ידי מטריצה של איבר בודד. במקרה של פונקציה סקלרית במשתנה יחיד f {\displaystyle f} , מקובל לרוב לסמן את הדיפרנציאל שלה d f {\displaystyle \mathrm {d} f} . מכאן גם ניתן להבין את פשר הסימון d f d x {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}} שמתאר נגזרת (כלומר, את d f {\displaystyle \mathrm {d} f} ) - אם נסתכל על x {\displaystyle x} , המשתנה, כפונקציה של עצמו, הרי שהדיפרנציאל שלו בנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} הוא D x 0 = 1 ( x − x 0 ) = ( x − x 0 ) {\displaystyle D_{x_{0}}=1(x-x_{0})=(x-x_{0})} . זהו סימון בלבד - דיפרנציאלים הם העתקות ליניאריות, ואין למנה שלהם משמעות מתמטית. דיפרנציאל של העתקה בין יריעות דיפרנציאל, באתר MathWorld (באנגלית)