ניתוב אנוכי

בחקר ביצועים, ניתוב אנוכי הוא אופן ניתוב שבו מזרימים כל יחידה בגרף בדרך היעילה ביותר עבורה, בלי להתחשב בהשלכות שיש לכך על יחידות זורמות אחרות. ניתוב אנוכי גורר רמת ביצועים ממוצעת קטנה או שווה לביצועים בניתוב מתוכנן. בעת בחירת נתיב נסיעה אחד השיקולים המרכזיים הוא רמת העומס בנתיבים השונים. הנטייה הטבעית היא לבחור את הנתיב הפחות עמוס ללא התייחסות להשפעת הבחירה על העומס שיכול להיווצר. בחירה כזו נקראת אנוכית שכן כל אחד מהפרטים במערכת בוחר את הנתיב על פי רווח אישי וללא שיקולים מערכתיים. תכנון מערכתי של הנתיבים בהם כל נוסע ייסע הייתה מקטינה את זמן הנסיעה הכולל של הנוסעים. באופן אינטואיטיבי ניתן לצפות שהוספת נתיב נסיעה משפרת את הביצועים הממוצעים. אולם פרדוקס ברס קובע כי כאשר התנועה של הפרטים במערכת נעשית בניתוב אנוכי, הוספת נתיב יכולה דווקא לפגוע ברמת הביצועים הממוצעת. יהי G = ( V , E ) {\displaystyle G=(V,E)} גרף מכוון עם זוגות מקור ויעד ( s i , t i ) {\displaystyle (s_{i},t_{i})} . נסמן ב P i {\displaystyle P_{i}} את קבוצת המסלולים מ- s i {\displaystyle s_{i}} ל- t i {\displaystyle t_{i}} , וב- P = ⋃ P i {\displaystyle P=\bigcup P_{i}} את קבוצת כל המסלולים בגרף. תהי f : V × V → R {\displaystyle f:V\times V\rightarrow \mathbb {R} } פונקציית הזרימה. עבור f זרימה נתונה נסמן f P = ∑ P : e ∈ P f e {\displaystyle f_{P}=\sum _{P:e\in P}{f_{e}}} . נסמן ב r i {\displaystyle r_{i}} את כמות הזרימה במסלול מ- s i {\displaystyle s_{i}} ל- t i {\displaystyle t_{i}} . זרימה f היא פיזבילית אם לכל i מתקים ∑ p ∈ P i f ( p ) = r i {\displaystyle \sum _{p\in P_{i}}{f(p)}=r_{i}} ולבסוף לכל e ∈ E {\displaystyle e\in E} נתונה פונקציית עלות l e ( ) {\displaystyle \,l_{e}()} ונניח שהיא איננה שלילית, דיפרנציאבילית ולא יורדת. f מוגדרת כסכום העלויות של צלעות המסלול ונסמן l p ( f ) = ∑ e ∈ P l e ( f e ) {\displaystyle \,l_{p}(f)=\sum _{e\in P}{l_{e}(f_{e})}} נגדיר עלות C ( f ) {\displaystyle C(f)} של זרימה f בגרף G כסך העלויות ב f כלומר: C ( f ) = ∑ p ∈ P l P ( f ) f P {\displaystyle C(f)=\sum _{p\in P}{l_{P}(f)f_{P}}} על ידי סכימה על צלעות במסלול P נוכל גם לכתוב C ( f ) = ∑ e ∈ E l e ( f e ) f e {\displaystyle C(f)=\sum _{e\in E}{l_{e}(f_{e})f_{e}}} . נרצה לדבר על מחיר האנרכיה במשחק מסוג זה ולהבין מה החסמים על חוסר ההתחשבות מסוג זה. נבחן מקרה ספציפי בו C e ( x ) = x {\displaystyle C_{e}(x)=x} כאשר יחידת התעבורה היא אטומית כלומר לא ניתנת לחלוקה וננסה לחסות את מחיר האנרכיה עבור מקרה זה. יהי s שיוויי משקל נאש נתון ו- p i {\displaystyle p_{i}} מסלול של שחקן i ב-S נגדיר s ∗ {\displaystyle s^{*}} להיות פתרון אופטימלי לשם כך נגדיר פונקציית מטרה במקרה זה טבעי להגדיר את הפונקציה כסכום כלל העלויות ועל כן נרצה להביא למינימום את ∑ i ∑ e ∈ P i C e ( x ) r i {\displaystyle \sum _{i}{\sum _{e\in P_{i}}{C_{e}(x)r_{i}}}} בהסתמך על העובדה שs הוא שיוויי משקל נאש ומניפולציה אלגברית מתקבל חסם והוא: P o A ≤ 3 + ( 5 ) 2 {\displaystyle PoA\leq {\frac {3+{\sqrt {(}}5)}{2}}} החסם כלל לא תלוי במספר השחקנים. למעשה הוא מספר קבוע. על מנת להראות שהחסם הדוק, מספיק להביא דוגמה למשחק בו PoA הוא בדיוק כנ"ל. Algorithmic Game Theory, Edited by Noam Nisan, Tim Roughgarden, Eva Tardos, Vijay V. Vazirani, Cambridge University Press Selfish Routing and the Price of Anarchy - Tim Roughgarden "Selfish Routing and the Price of Anarchy". אורכב מ-המקור ב-2009-08-23. נבדק ב-2010-01-10. "How Bad is Selfish Routing?" (PDF).