אקסיומות המנייה

אקסיומות המנייה הן הנחות המתייחסות לגודל של קבוצות מיוחדות במרחב טופולוגי, ובפרט להנחה שקבוצות אלו הן בנות מנייה. מרחבים בעלי תכונות מנייה חזקות הם, במובן מסוים, קטנים יותר, ולכן קלים יותר לטיפול. אקסיומת המנייה הראשונה קובעת שסביב כל נקודה במרחב הטופולוגי יש בסיס מקומי בן מנייה. אקסיומה זו מתקיימת, למשל, בכל מרחב מטרי. בניגוד לאופי המקומי של האקסיומה הראשונה, אקסיומת המנייה השנייה קובעת שלמרחב עצמו יש בסיס בן מנייה. האקסיומה השנייה גוררת את האקסיומה הראשונה, והיא מתקיימת במרחב מטרי חסום כליל. מצד שני, מרחב טופולוגי המקיים את האקסיומה השנייה וגם את אקסיומת ההפרדה T3 הוא מטריזבילי (כלומר, הטופולוגיה שלו מושרית ממטריקה מתאימה). מרחב המקיים את אקסיומת המנייה הראשונה מכונה גם מרחב מנייה ראשונה (first-countable space), ובאופן דומה מרחב המקיים את אקסיומת המנייה השנייה מכונה גם מרחב מנייה שנייה (second-countable space). ערך מורחב – בסיס (טופולוגיה) 'מרחב טופולוגי' כולל שני מרכיבים: מרחב, ואוסף של תת-קבוצות שלו, הנקראות 'קבוצות פתוחות'. כדי לחסוך בתיאור אוסף הקבוצות הפתוחות, אפשר להסתפק בתיאור של בסיס: אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס לטופולוגיה הנתונה, אם כל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של קבוצות מן הבסיס; במילים אחרות, סביב כל נקודה בכל קבוצה פתוחה U {\displaystyle U} , קיימת קבוצה מן הבסיס הכוללת את הנקודה ומוכלת בקבוצה. אוסף של קבוצות פתוחות הוא בסיס מקומי בנקודה p {\displaystyle p} , אם כל קבוצה פתוחה המכילה את p {\displaystyle p} מכילה קבוצה מן האוסף המכילה את p {\displaystyle p} . מכאן נובע שאוסף קבוצות פתוחות הוא בסיס אם ורק אם הוא בסיס מקומי בכל נקודה. מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה הראשונה אם לכל נקודה שלו יש בסיס מקומי בן מנייה. תכונה זו, הנקראת גם "תכונת C I {\displaystyle C_{I}} ", מתקיימת בכל מרחב מטרי (הכדורים ברדיוס 1 / n {\displaystyle 1/n} סביב נקודה מהווים בסיס מקומי), ולכן אפשר לראות בה תנאי ל"התנהגות מטרית" באופן מקומי. קיומו של בסיס בן מנייה מאפשר לסדר את אברי הבסיס, ולבנות סדרות בעלות תכונות שונות באינדוקציה. המרחב מקיים את אקסיומת המנייה השנייה אם יש לו בסיס בן מנייה. תכונה זו מסמנים גם ב- C I I {\displaystyle C_{II}} . כל מרחב C I I {\displaystyle C_{II}} הוא בפרט C I {\displaystyle C_{I}} (כדי לקבל בסיס מקומי סביב p {\displaystyle p} , מספיק לבחור את איברי הבסיס המכילים את p {\displaystyle p} ). מרחב מטרי חסום כליל הוא C I I {\displaystyle C_{II}} . לאלה אפשר להוסיף תכונה קרובה: מרחב טופולוגי הוא מרחב ספרבילי, אם יש בו קבוצה צפופה בת מנייה. כל מרחב C I I {\displaystyle C_{II}} הוא ספרבילי (כדי לקבל קבוצה צפופה בת מנייה מספיק לבחור נקודה אחת מכל קבוצה בבסיס). במרחב מטרי גם ההפך נכון, דהיינו, כל מרחב ספרבילי הוא C I I {\displaystyle C_{II}} . נזכיר שמרחב קומפקטי הוא מרחב שבו לכל כיסוי קיים תת-כיסוי סופי. יש שתי תכונות חלשות יותר: תכונת לינדלף קובעת שלכל כיסוי יש תת-כיסוי בן מנייה, ולעומתה קומפקטיות מנייתית היא הדרישה שלכל כיסוי בן מנייה יש תת-כיסוי סופי (ביחד הן כמובן שקולות לקומפקטיות). בנוסף לזה, מרחב קומפקטי בו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת נקרא לפעמים קומפקטי סדרתית. במרחב מטרי קומפקטיות סדרתית שקולה לקומפקטיות. מרחב C I {\displaystyle C_{I}} הוא קומפקטי מנייתית אם ורק אם הוא קומפקטי סדרתית (ועל כן זה נכון בפרט במרחב מטרי). כל מרחב C I I {\displaystyle C_{II}} מקיים את תכונת לינדלף (זוהי הלמה של לינדלף). במרחב מטרי גם הכיוון ההפוך נכון: תכונת לינדלוף גוררת C I I {\displaystyle C_{II}} . המשפט המרכזי על מרחבי C I I {\displaystyle C_{II}} הוא משפט המטריזציה של אוריסון, שלפיו מרחב כזה, המקיים גם את תכונת ההפרדה T3, הוא מטריזבילי. דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 6 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.