טור טיילור

טור טיילור הוא טור חזקות המשויך לפונקציה חלקה ולנקודה כלשהי x 0 {\displaystyle x_{0}} פנימית לתחום הגדרתה, שמקדמיו מחושבים על ידי ערכי הנגזרות של הפונקציה ב"נקודת הפיתוח" x 0 {\displaystyle x_{0}} של הטור. לעיתים טור טיילור של הפונקציה מתכנס אליה בסביבה כלשהי של נקודת הפיתוח, ובמקרה זה הסכומים החלקיים של הטור, כלומר פולינומים, מקרבים את הפונקציה בסביבה זו. זוהי למעשה הכללה של הקירוב הליניארי (קירוב מסדר ראשון) f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( c ) ( x − x 0 ) ≈ f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(c)(x-x_{0})\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})} שמתקבל על ידי משפט הערך הממוצע של לגראנז'. היתרון העיקרי של טור טיילור הוא האפשרות לחשב באופן מקורב את הערכים של פונקציות מסובכות (כגון סינוס) באמצעות פולינומים, כלומר באמצעות פעולות חיבור וכפל בין מספרים ממשיים. לעיתים ניתן גם לחשב באופן מקורב את הנגזרת והאינטגרל של פונקציות אלה באמצעות חישוב הנגזרות והאינטגרלים של הפולינומים בטור. תורה זו העסיקה מתמטיקאים כמו ברוק טיילור וקולין מקלורן. שאיפתם הייתה למצוא קירוב באמצעות פולינומים לפונקציות כמו האקספוננט, הלוגריתם והקוסינוס. כדי לבצע קירוב זה, מנסים למצוא את הפולינום שקרוב מספיק לפונקציה בתחום מסוים, כזה שאת ההפרש (השגיאה) בינו לבין הפונקציה עצמה ניתן להקטין כרצוננו, כך שההבדל בין הפונקציה לפולינום ילך ויהפוך זניח. את המטרה הזו משרתים טורי טיילור, שמתברר כי הפולינומים שמרכיבים אותם מוגדרים באופן יחיד לכל פונקציה ולקירוב מכל סדר. הטור נקרא על שמו של ממציאו ברוק טיילור. טור טיילור המפותח בנקודה   x 0 = 0 {\displaystyle \ x_{0}=0} נקרא טור מקלורן (הדמיון בין שם זה לשמו של טור לורן, שהוא הכללה של טור טיילור, הוא מקרי). טור טיילור (המפותח בנקודה מסוימת x 0 {\displaystyle x_{0}} ) מתכנס לפונקציה בסביבה מסוימת של x 0 {\displaystyle x_{0}} אם ורק אם סדרת השאריות שבפיתוח טיילור של הפונקציה אפסה בכל נקודה בסביבה הנ"ל. במקרה כזה, נאמר שהפונקציה היא אנליטית בנקודה   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} . טור טיילור מאפשר לחשב פונקציה על פי התנהגות הפונקציה בנקודה מסוימת. נביט, לדוגמה, בפונקציה f ( t ) {\displaystyle f(t)} המתארת את מיקומה של מכונית כפונקציה של הזמן, t. אם ידוע המיקום של המכונית בזמן מסוים, כלומר אם אנחנו יודעים את הערך של f ( t 0 ) {\displaystyle f(t_{0})} , אז הקרוב הבסיסי ביותר הוא שזהו המיקום של המכונית בכל זמן שהוא, כלומר f ( t ) ≃ f ( t 0 ) {\displaystyle f(t)\simeq f(t_{0})} . הקרוב הזה מדויק אם המכונית חונה, כלומר אם המהירות שלה היא אפס, והתאוצה שלה אפס. הקירוב הבא למיקומה של המכונית הוא זה שמתחשב במהירות המכונית. הביטוי המתמטי למהירות הוא הנגזרת של פונקציית המיקום בזמן:   f ′ ( t 0 ) = v {\displaystyle \ f'(t_{0})=v} , ואם מתחשבים במהירות המכונית מקבלים קירוב מסדר ראשון למיקום המכונית: f ( t ) = f ( t 0 ) + v ( t − t 0 ) {\displaystyle f(t)=f(t_{0})+v(t-t_{0})} . קירוב זה הוא מדויק כאשר המהירות של המכונית קבועה, כלומר התאוצה שלה היא אפס. באופן מתמטי פירושו של דבר שהנגזרות מסדרים גבוהים מאחד (הנגזרת מסדר אחד היא המהירות) מתאפסות כולן. באופן דומה אפשר להמשיך ולהכניס תיקונים לפונקציית המיקום של המכונית המתחשבים בסדרים גבוהים יותר: התיקון מסדר שני מתייחס לתאוצה של המכונית, התיקון מסדר שלישי מתייחס לקצב שבו התאוצה משתנה וכך הלאה. הדרך לתיקונים תהיה: מכיוון שהפונקציה הקדומה מסדר n של הקבוע f ( n ) ( x 0 ) {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})} היא f ( n ) ( x 0 ) x n n ! {\displaystyle f^{(n)}(x_{0}){\frac {x^{n}}{n!}}} (מכיוון ש- ( x n ) ( n ) = n ! {\displaystyle (x^{n})^{(n)}=n!} ), נוסיף כל פעם את האיבר f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! {\displaystyle f^{(n)}(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}} . מבחינה מתמטית, המשמעות של טור טיילור היא שניתן לשחזר באופן מלא התנהגות של פונקציה אם יש לנו מידע מלא על ההתנהגות שלה בנקודה מסוימת - כלומר אם ידועות לנו הנגזרות של הפונקציה מכל סדר שהוא בנקודה. בבעיות פיזיקליות לעיתים קרובות התרומה העיקרית להתנהגות פונקציה מגיעה מהאיברים הראשונים בטור – ולכן אפשר להזניח את האיברים הגבוהים יותר. לדוגמה, חוק הוק הקובע שהכוח שמפעיל קפיץ פרופורציונלי לאורך המתיחה של הקפיץ, למעשה איננו מתאר במדויק את התנהגותם של קפיצים אמיתיים – הוא רק קירוב מסדר ראשון (קירוב ליניארי) להתנהגות זו, אך במקרים רבים קירוב זה טוב מספיק. הקירוב מסדר שני, שגם בו נעשה שימוש רב בפיזיקה, נקרא הקירוב ההרמוני. טור טיילור של פונקציה ממשית במשתנה יחיד f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } , הגזירה אינסוף פעמים סביב הנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} , הוא טור החזקות T f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) n n ! = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + 1 2 ! f ″ ( x 0 ) ( x − x 0 ) 2 + 1 3 ! f ( 3 ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) 3 + ⋯ {\displaystyle T_{f}(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }f^{(n)}(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2!}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+{\frac {1}{3!}}f^{(3)}(x_{0})(x-x_{0})^{3}+\cdots } כאשר f ( n ) ( x 0 ) {\displaystyle f^{(n)}(x_{0})} היא הנגזרת מסדר n {\displaystyle n} של f {\displaystyle f} בנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} , (נהוג לסמנה גם d n f d x n | x = x 0 {\displaystyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\Bigg |}_{x=x_{0}}} ), ומוסכם שעבור n = 0 {\displaystyle n=0} מתקבל f ( 0 ) ( x 0 ) = f ( x 0 ) {\displaystyle f^{(0)}(x_{0})=f(x_{0})} . הסכומים החלקיים של טור טיילור נקראים פולינומי טיילור ובפרט הסכום החלקי ∑ k = 0 n f ( k ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) k k ! {\displaystyle \sum _{k\,=\,0}^{n}f^{(k)}(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{k}}{k!}}} נקרא פולינום טיילור מסדר n {\displaystyle n} של f {\displaystyle f} סביב הנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} . טור טיילור מוגדר, כאמור, כאשר הפונקציה גזירה אינסוף פעמים בנקודה. עבור הפונקציות האלמנטריות אקספוננט, סינוס וקוסינוס, הטור מתכנס בכל הישר. מאידך, ייתכן שהטור יתכנס רק בקטע מסוים (עם או בלי קצות הקטע). אם הטור מתכנס אל הפונקציה בקטע פתוח כלשהו, היא נקראת אנליטית. לא תמיד טור טיילור של פונקציה מתכנס אליה, גם אם היא גזירה אינסוף פעמים. קושי הציע את הדוגמה הבאה: הפונקציה f ( x ) = { e − 1 x 2 : x ≠ 0 0 : x = 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&:x\neq 0\\0&:x=0\end{cases}}} שהגרף שלה מוצג משמאל, גזירה אינסוף פעמים על כל הישר, וערכי הנגזרות באפס הם אפס, כך שטור טיילור שלה מתכנס זהותית לאפס, אף על פי שהפונקציה מקבלת ערך זה רק בנקודה אחת. הטור מהווה כלי חשוב באנליזה נומרית על מנת להעריך את ערכה הנומרי של פונקציה על ידי חישוב סדרת חזקות בלבד. שימוש בטור טיילור הוא אחת הדרכים בה יכולים מחשבים להחזיר ערכים מספריים של פונקציות דוגמת סינוס, אם כי ישנן שיטות קירוב נוספות, שחלקן יעילות יותר במקרים מסוימים. עם זאת, לטור טיילור, פרט לחשיבותו בחישובים מספריים יש גם חשיבות תאורטית רבה בזכות העובדה שהוא מתאר פונקציה שיכולה להיות מסובכת באמצעות טור של פונקציות פשוטות. נוסחת אוילר, לדוגמה, מוכחת באמצעות פיתוח טיילור של פונקציית האקספוננט. אם טור טיילור של פונקציה מתכנס בכל הישר הממשי, הוא מאפשר להרחיב את ההגדרה של הפונקציה לכל אלגברת סי כוכב. למשל באופן זה ניתן להגדיר את האקספוננט של מטריצה ממשית או מרוכבת. ערך מורחב – שארית של טור טיילור לאחר חישוב הסכום של מספר סופי של איברים בטור טיילור של פונקציה, עדיין קיים לרוב הפרש בין ערך הפונקציה בנקודה שבה מחשבים את הטור ובין הסכום שהתקבל. לכן פותחו מספר נוסחאות שמיועדות לתת הערכה של גודל השארית. זו הערכה בלבד ולא מספר מדויק – הרי אם היינו יודעים בכמה בדיוק הסכום שלנו רחוק מערך הפונקציה, היינו יודעים מהו ערך הפונקציה. שתי צורות מקובלות להערכת השארית הן השארית לפי לגראנז' והשארית לפי קושי. צורות הערכה אלו מניחות כי אם הקירוב נעשה עד האיבר ה- n {\displaystyle n} בטור טיילור, הפונקציה צריכה להיות גזירה n + 1 {\displaystyle n+1} פעמים. הביטוי של השארית המתקבלת לאחר סכימת n {\displaystyle n} איברים בצורת לגראנז' הוא בדיוק R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n + 1 ) ! ⋅ ( x − x 0 ) n + 1 {\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{n+1}} , ובצורת קושי הוא בדיוק R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( c ) ( n ) ! ⋅ ( x − x 0 ) ⋅ ( x − c ) n {\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(c)}{(n)!}}\cdot (x-x_{0})\cdot (x-c)^{n}} , כאשר בשתי הצורות c {\displaystyle c} היא נקודה לא ידועה ששייכת לקטע שבין x 0 {\displaystyle x_{0}} ל- x {\displaystyle x} . מכיוון שאיננו יודעים בדיוק מהי נקודת ביניים זו, איננו יכולים לדעת במדויק את גודל השארית אלא רק להעריכה. הערכות השארית בצורה זו נובעת ממשפט הערך הממוצע של לגראנז' או באופן שקול מההכללה שלו – משפט הערך הממוצע של קושי. הפיתוח הלא-טריוויאלי הפשוט ביותר של טור טיילור הוא של פונקציית האקספוננט, e x {\displaystyle e^{x}} סביב הנקודה x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} . פשטות הפיתוח נובעת מכך שנגזרת האקספוננט היא הפונקציה עצמה, כלומר f ( x ) = f ′ ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=f'(x)=e^{x}} . לכן כל הנגזרות בנקודה x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} הן e 0 = 1 {\displaystyle e^{0}=1} . על ידי הצבה בנוסחה מקבלים מיידית את הטור הבא: e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} . את השוויון ניתן לכתוב משום שפונקציית האקספוננט היא אנליטית, ולכן טור טיילור שלה מתכנס אליה. להלן מספר טורי טיילור ומקלורן של פונקציות נפוצות. כל הפיתוחים נכונים גם עבור ארגומנטים מרוכבים. כמקובל,   x 0 {\displaystyle \ x^{0}} מקבל את הערך 1 לכל x. אקספוננט: e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! : ∀ x ∈ R {\displaystyle e^{x}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad :\forall x\in \mathbb {R} } לוגריתם טבעי: ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n x n : | x | < 1 {\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}\quad :|x|<1} סדרה הנדסית (טור גאומטרי): x m 1 − x = ∑ n = m ∞ x n : | x | < 1 {\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum _{n\,=\,m}^{\infty }x^{n}\quad :|x|<1} הבינום של ניוטון: לכל מספר מרוכב α {\displaystyle \alpha } , הטור ( 1 + x ) α = 1 + α x + α ( α − 1 ) 2 ! x 2 + α ( α − 1 ) ( α − 2 ) 3 ! x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ ( α n ) x n {\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots =\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}} מתכנס לכל | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} . אם α {\displaystyle \alpha } טבעי, יש בטור רק מספר סופי של מקדמים שונים מאפס, ובמקרה הזה הטור סופי ולכן מתכנס לכל x {\displaystyle x} . ובפרט, שורש ריבועי: 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n − 1 ( 2 n n ) ( 2 n − 1 ) 4 n x n : | x | < 1 {\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {\binom {2n}{n}}{(2n-1)4^{n}}}x^{n}\quad :|x|<1} כמו כן: 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) 4 n x n : | x | < 1 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{4^{n}}}x^{n}\quad :|x|<1} סינוס: sin ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! ± ⋯ : ∀ x ∈ R {\displaystyle \sin(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\pm \cdots \quad :\forall x\in \mathbb {R} } קוסינוס: cos ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! ± ⋯ : ∀ x ∈ R {\displaystyle \cos(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\pm \cdots \quad :\forall x\in \mathbb {R} } טנגנס: tan ⁡ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n − 1 ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 : | x | < π 2 {\displaystyle \tan(x)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n-1}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad :|x|<{\frac {\pi }{2}}} סקאנט: sec ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n E 2 n ( 2 n ) ! x 2 n : | x | < π 2 {\displaystyle \sec(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad :|x|<{\frac {\pi }{2}}} ארקסינוס: arcsin ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n n ) ( 2 n + 1 ) 4 n x 2 n + 1 : | x | < 1 {\displaystyle \arcsin(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{(2n+1)4^{n}}}x^{2n+1}\quad :|x|<1} ארקטנגנס: arctan ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n + 1 x 2 n + 1 : | x | ≤ 1 {\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad :|x|\leq 1} סינוס היפרבולי: sinh ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! : ∀ x ∈ R {\displaystyle \sinh(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\quad :\forall x\in \mathbb {R} } קוסינוס היפרבולי: cosh ⁡ ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n ( 2 n ) ! : ∀ x ∈ R {\displaystyle \cosh(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\quad :\forall x\in \mathbb {R} } טנגנס היפרבולי: tanh ⁡ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ B 2 n 4 n ( 4 n − 1 ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 : | x | < π 2 {\displaystyle \tanh(x)=\sum _{n\,=\,1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad :|x|<{\frac {\pi }{2}}} ארקסינוס היפרבולי: arsinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n n ) ( 2 n + 1 ) 4 n x 2 n + 1 : | x | < 1 {\displaystyle {\text{arsinh}}(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\binom {2n}{n}}{(2n+1)4^{n}}}x^{2n+1}\quad :|x|<1} ארקטנגנס היפרבולי: artanh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x 2 n + 1 2 n + 1 : | x | < 1 {\displaystyle {\text{artanh}}(x)=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}\quad :|x|<1} כאשר B n {\displaystyle B_{n}} מספרי ברנולי ו- E n {\displaystyle E_{n}} מספרי אוילר. את טור טיילור של פונקציה f ( x 1 , … , x d ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{d})} ב- d {\displaystyle d} משתנים סביב הנקודה ( a 1 , … , a d ) {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{d})} ניתן למצוא באמצעות הפעלת כלל השרשרת על המקרה החד־ממדי, והוא: T ( x 1 , … , x d ) = ∑ n 1 = 0 ∞ ⋯ ∑ n d = 0 ∞ ∂ n 1 ∂ x 1 n 1 ⋯ ∂ n d ∂ x d n d f ( a 1 , … , a d ) ( x 1 − a 1 ) n 1 ⋯ ( x d − a d ) n d n 1 ! ⋯ n d ! {\displaystyle T(x_{1},\ldots ,x_{d})=\sum _{n_{1}\,=\,0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}\,=\,0}^{\infty }{\frac {\partial ^{n_{1}}}{\partial x_{1}^{n_{1}}}}\cdots {\frac {\partial ^{n_{d}}}{\partial x_{d}^{n_{d}}}}f(a_{1},\ldots ,a_{d}){\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}} לדוגמה, עבור פונקציה התלויה בשני משתנים x , y {\displaystyle x,y} , פולינום טיילור מסדר שני סביב הנקודה ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} יהיה: f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + f x ( a , b ) ( x − a ) + f y ( a , b ) ( y − b ) + 1 2 ! [ f x x ( a , b ) ( x − a ) 2 + 2 f x y ( a , b ) ( x − a ) ( y − b ) + f y y ( a , b ) ( y − b ) 2 ] {\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)+{\frac {1}{2!}}\left[f_{xx}(a,b)(x-a)^{2}+2f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{yy}(a,b)(y-b)^{2}\right]} כאשר הסימון f x y {\displaystyle f_{xy}} מציין גזירה חלקית לפי המשתנה x {\displaystyle x} ולאחריו לפי המשתנה y {\displaystyle y} (או להפך), ואילו הסימונים f x x , f y y {\displaystyle f_{xx},f_{yy}} מציינים גזירה חלקית פעמיים לפי אחד מהמשתנים. את פיתוח טיילור מסדר שני של פונקציה סקלרית של יותר ממשתנה אחד ניתן לרשום בצורה קומפקטית כך: T ( x ) = f ( a ) + D f ( a ) T ( x − a ) + 1 2 ! ( x − a ) T D 2 f ( a ) ( x − a ) + ⋯ {\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+{\text{D}}f(\mathbf {a} )^{T}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{T}{\text{D}}^{2}f(\mathbf {a} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots } כאשר D f ( a ) {\displaystyle {\text{D}}f(\mathbf {a} )} הוא הגרדיאנט ו- D 2 f ( a ) {\displaystyle D^{2}f(\mathbf {a} )} היא מטריצת הסיאן. באמצעות סימון מרובה אינדקסים ניתן לרשום את פיתוח טיילור עבור מספר משתנים כך: T ( x ) = ∑ | α | ≥ 0 D α f ( a ) α ! ( x − a ) α {\displaystyle T(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {{\text{D}}^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }} באנלוגיה מלאה למקרה הפרטי של משתנה אחד. ערך מורחב – טור לורן באנליזה מרוכבת, טור לורן (Laurent) הוא הכללה של טור טיילור לטור מהצורה ∑ n = − ∞ ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n\,=\,-\infty }^{\infty }a_{n}x^{n}} , כלומר טור לורן טור חזקות שבו מופיעות גם חזקות שליליות. הטור נקרא על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר אלפונס לורן. מדיה וקבצים בנושא טור טיילור בוויקישיתוף מחשבון נומרי לטור טיילור טור טיילור, באתר MathWorld (באנגלית) טור טיילור, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) ראו נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)#באמצעות טור טיילור שלא מתאר בעצמו פולינום