מספרים גדולים

המונח מספר גדול מתייחס לרוב למספר טבעי הגדול משמעותית ממספרים בהם נתקלים לרוב בחיי היום-יום, ולרוב הכוונה למספרים עם עשרות ספרות ויותר. המונח אינו ניתן להגדרה טובה בצורה ריגורוזית ולכן הוא חסר משמעות מבחינה מתמטית. מספרים גדולים מופיעים במגוון תחומים מתמטיים ומדעיים ויש להם שימושים מעשיים בקריפטוגרפיה ובהסתברות. אולם בטיפול בהם נתקלים גם בקשיים שונים, כגון הקושי לייצגם ביעילות ובדיוק והקושי בהערכת גודלם המוחלט והיחסי. בכתבי הוודות העתיקים של ההינדים מופיעים טקסטים המתוארכים בין המאה ה-13 לפנה"ס למאה ה-6 לפנה"ס, בהם מופיעים שמות בסנסקריט לכל החזקות של עשר עד ‎1062‎. במאה ה-3 לפנה"ס כתב המתמטיקאי היווני ארכימדס את החיבור מחשב החול (Ο Ψαμμίτης). החיבור כולו עוסק בניסיון לתת חסם למספר גרגרי החול שהיקום מסוגל להכיל. בהסתמך על מודל היקום המקובל בזמנו, הגיע ארכימדס לתוצאה כי מספר הגרגרים הדרושים אינו עולה על ‎1063‎. כדי לדון בסוגיה פיתח ארכימדס שיטה לייצוג מספרים גדולים, שכן שיטות הספירה של היוונים לא היו מסוגלות לכך. השיטה של ארכימדס אפשרה לו לייצג חזקות של עשר עד ל-   10 8 ⋅ 10 16 {\displaystyle \ 10^{8\cdot 10^{16}}} בסוטרה של המהאיאנה המתוארכת למאה הראשונה לספירה מתוארת תחרות בין גאוטמה בודהה לבין מתמטיקאי, בה מגלה בודהה כישורים אריתמטיים מרשימים, ומונה את שמות כל החזקות של עשר עד ל-‎10421‎. בדרך מחליף בודהה תשע שיטות ספירה ומסביר שסדרת החזקות היא סדרה הנדסית. האגדה מספרת שבעקבות המצאת השחמט פנה המלך אל הממציא ושאל איזה פרס הוא רוצה בתמורה להמצאתו הנפלאה. הממציא אמר שהוא מבקש גרגר חיטה במשבצת הראשונה של לוח השחמט, 2 גרגרים בשנייה, 4 גרגרים בשלישית, 8 ברביעית וכן הלאה, בטור הנדסי. המשימה נראתה בעיני המלך כעניין של מה בכך, והוא פקד על משרתיו למלאה, אך מהר מאוד גילה שכל מחסני התבואה בממלכה התרוקנו, בזמן שמילוי משאלתו של הממציא רחוק מלהתגשם (כבר במשבצת ה-32 נדרשו יותר משני מיליארד גרגרים). בתנ"ך ניתן למצוא את המונחים מאה, אלף, רבבה (רבוא, רבו). כך למשל מסופר בספר יונה (פרק ד', פסוק י"א) כי בנינוה היו שנים-עשר רבו אדם, שהם 120,000 נפש. זו העיר עם מספר האוכלוסין הגדול ביותר הנזכרת במקרא. מתברר שבמקרא נדרשו לבטא מספרים עוד יותר גדולים. כך מופיע הצירוף אלף אלפים (שהם מיליון בלשון ימינו) כדי לציין את מספר הנפשות בכל ישראל (דברי הימים א', כ"א, ה') ואת מספר החיילים בצבא זרח הכושי (דברי הימים ב', י"ד, ח'), או לציין כמות גדולה של ככרות כסף (דברי הימים א', כ"ב, י"ד). דומה שהמספר הגדול ביותר הנזכר בתנ"ך מופיע בספר דניאל (ז', י'), ככתוב בארמית: "נהר די-נור נגד ונפק מן קדמוהי, אלף אלפים ישמשונה ורבו רבבן קדמוהי יקומון", ובתרגום לעברית: נהר של אש נובע ויוצא מלפניו. אלף אלפים ישמשוהו ורבוא ריבואות לפניו יעמדו. אם אלף אלפים שווי-ערך למיליון בלשוננו, אזי רבוא רבבות שווים למאה מיליון - 100,000,000. בדומה למאה, אלף ורבבה שבמקורותינו, השתמשו היוונים בשמות הבאים לערכים הגדולים ביותר: הֵקָטוֹן (מאה), וממנו נגזר המונח הקטומבה, המצוי הרבה באפוסים היווניים איליאדה ואודיסיאה, והוא מציין קרבן יוצא דופן בגודלו ובחשיבותו, והוא של מאה פרים; חיליאה (אלף), ממנו נגזר המונח קילו שהוא אלף ו- מיריאה (רבבה). מספרים גדולים בלתי נמנים: בתנ"ך מופיעים מספר פעמים אזכורים המלמדים שלאדם הייתה תחושה, ואולי אף ידיעה, כי מצויים עצמים המופיעים בכמויות גדולות מאוד שאין ביכולתו לדעת את מספרם. חול הים, העשוי מגרגרים בודדים רבים, סיפק מטפורה מפורסמת לכמות גדולה מאוד, עצומה: "כחול אשר על שפת הים לרוב" (יהושע, י"א, ד'; שמואל א', י"ג, ה'; מלכים א', ה', ט'; שופטים, ז', י"ב; שמואל ב', י"ז, י"א; מלכים א', ד', כ'); " כחול הים אשר לא יספר מרב" (בראשית, ל"ב, י"ב). יש כאן, אולי, ביטוי קדום למושג המתמטי-לוגי המכונה בפינו אינסוף. ודומה שכבר בעת העתיקה נקבע שיש ערכים שהם גדולים מן האינסוף (או לחלופין שזהו אינסוף גדול יותר) כפי שמבטא ספר תהילים: "אספרם, מחול ירבון" (תהילים, קל"ט, י"ח). ביטוי אחר הוא "צבא השמים" (דברים, ד', י"ט) או "צבא המרום" (ישעיהו, כ"ד, כ"א), וידוע האתגר שהציב האל בפני אברהם אבינו (בראשית, ט"ו, ה') לאמור: "ויוצא אותו החוצה ויאמר, הבט נא השמימה וספר הכוכבים, אם תוכל לספור אותם..". אברהם ככל הנראה לא התחיל במשימה, שנראית מלכתחילה בלתי אפשרית לביצוע. לעומתו, מסופר על יוסף, כי לאחר שעלה לגדולה במצרים, נאמר "ויצבור יוסף בר כחול הים הרבה מאוד עד כי חדל לספור כי אין מספר" (בראשית, מ"א, מ"ט). יש להניח כי מדובר כאן בגרגרי הדגן ממש, שנראים, שעה שהם צבורים לערימות גדולות, כגרגרי חול. גם הארבה מהווה דוגמה לתופעה שבאה בכמויות עצומות. כאשר מתאר המקרא את נוכחות המדיינים בימי גדעון, נאמר "הם ומקניהם יעלו ואהליהם ובאו כדי ארבה לרב ולהם ולגמליהם אין מספר" (שופטים, ו', ה'). הכתיב העשרוני בו משתמשים בחיי היום-יום, אינו נוח לכתיבת מספרים גדולים, מכיוון שמספר הספרות שלהם גדול ולעיתים הוא אף מספר גדול בעצמו. לכן בעולם המדע מקובל לכתוב מספרים בכתיב מדעי שהוא מהצורה a ⋅ 10 b {\displaystyle a\cdot 10^{b}} כש-a הוא מספר ממשי כלשהו שקטן בערכו המוחלט מ-10 וגדול או שווה ל-1, ו-b מספר טבעי. לכל מספר קיים ייצוג בדרך זו. למשל   123 , 000 , 000 , 000 {\displaystyle \ 123,000,000,000} ייכתב כ- 1.23 × 10 11 {\displaystyle 1.23\times 10^{11}} . כתיב מדעי מקצר משמעותית את אורך הייצוג של המספר, בעיקר אם מעוניינים רק בסדר גודל של המספר ואז ניתן לכתוב בכתיב מדעי קירוב פשוט ברמת העיגול הרצויה. אולם המספרים הגדולים המופיעים במתמטיקה הם לעיתים קרובות גדולים מדי גם מכדי לייצגם בצורה נוחה בשיטה המדעית. לכן פותחו לשם ייצוג מספרים גדולים במיוחד כמה שיטות. לעיתים נוח להציג מספר גדול כ"מגדל חזקות" מהצורה a b . . . c {\displaystyle a^{b^{.^{.^{.{^{c}}}}}}} . לדוגמה מספר פרמה ה-100 הוא F 100 = 2 2 100 + 1 {\displaystyle F_{100}=2^{2^{100}}+1} . כשם שכפל הוא חיבור חוזר, פעמים אחדות, של מספר נתון, וחזקה היא כפל חוזר, פעמים אחדות, של מספר נתון; כך ניתן להגדיר פעולה שנקראת טטרציה (Tetration), שהיא הפעלה חוזרת, פעמים אחדות, של חזקה על מספר. או בסימנים: a a ⋅ ⋅ a ⏟ n {\displaystyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}} - a בחזקת עצמו n פעמים. את הפעולה מסמנים ב-   n a {\displaystyle \ {^{n}a}} . לדוגמה   4 2 = 2 2 2 2 = 65 , 536 {\displaystyle \ {^{4}2}=2^{2^{2^{2}}}=65,536} . יש לשים לב שחזקה אינה פעולה קיבוצית ולכן חשוב לבצע קודם את החזקות העליונות ביותר כדי לקבל את התוצאה הנכונה. חסרונה של השיטה היא שיש מספרים בעלי שימוש, הגדולים מדי אף להצגה בשיטה זו. ניתן להמשיך את סדרת הפעולות "חיבור-כפל-חזקה-טטרציה..." עד אינסוף. הפעולה הבאה היא פנטציה (Pentation) והיא הפעלה חוזרת של טטרציה של מספר על עצמו מספר כלשהו של פעמים. לסימון פעולות אלו הציג דונלד קנות' בשנת 1976 את סימון החץ שלו: ↑ {\displaystyle \uparrow } . מגדירים: a ↑ b = a b {\displaystyle a\uparrow b=a^{b}} , a ↑ 2 b = a ↑↑ b = b a {\displaystyle a\uparrow ^{2}b=a\uparrow \uparrow b={^{b}a}} ובאופן כללי: a ↑ n b = a ↑ n − 1 ( a ↑ n − 1 ( ⋯ ↑ n − 1 a ) ) ⏟ b  copies of  a {\displaystyle {\begin{matrix}a\uparrow ^{n}b=&\underbrace {a_{}\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n-1}(\dots \uparrow ^{n-1}a))} \\&b{\mbox{ copies of }}a\end{matrix}}} או בהגדרה רקורסיבית: a ↑ n b = a ↑ n − 1 ( a ↑ n ( b − 1 ) ) {\displaystyle a\uparrow ^{n}b=a\uparrow ^{n-1}(a\uparrow ^{n}(b-1))} , עם תנאי התחלה a ↑ 1 b = a b {\displaystyle a\uparrow ^{1}b=a^{b}} וגם a ↑ n 0 = 1 {\displaystyle a\uparrow ^{n}0=1} לדוגמה: 3 ↑ 3 2 = 3 ↑ 2 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3\uparrow ^{3}2=3\uparrow ^{2}3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} המתמטיקאי ג'ון קונוויי הציג סימון משלו לייצוג מספרים גדולים, ושיטתו קרויה "סימון החץ המשורשר של קונוויי" (Conway chained arrow notation), או בקיצור "שרשרת קונוויי". זו שיטה חזקה במיוחד המסוגלת להציג מספרים גדולים מאוד במחרוזת קצרה, אך חסרונה הוא בכך שהיא אינה אינטואיטיבית וקשה להעריך את הגודל של מספר המיוצג על ידה. שרשרת קונוויי היא מספר טבעי שנקבע על פי הכללים הבאים כאשר   a , b {\displaystyle \ a,b} הם מספרים טבעיים ו-   X {\displaystyle \ X} היא שרשרת קונוויי: השרשרת   a {\displaystyle \ a} היא המספר   a {\displaystyle \ a} . השרשרת a → b {\displaystyle a\to b} היא המספר   a b {\displaystyle \ a^{b}} . השרשרת X → a → 1 {\displaystyle X\to a\to 1} שקולה לשרשרת X → a {\displaystyle X\to a} . השרשרת X → 1 → a {\displaystyle X\to 1\to a} שקולה לשרשרת   X {\displaystyle \ X} . השרשרת X → a → b {\displaystyle X\to a\to b} שקולה לשרשרת X → ( X → ( a − 1 ) → b ) → ( b − 1 ) {\displaystyle X\to (X\to (a-1)\to b)\to (b-1)} (לכל   a , b > 1 {\displaystyle \ a,b>1} ). כדי למצוא את המספר אותו מייצגת שרשרת יש לעשות שימוש חוזר בכלל האחרון, כדי לקבל שרשראות ארוכות יותר שכוללות מספרים קטנים יותר, עד שמתקבלים המקרים הפרטיים הפשוטים המפורטים בשאר הכללים, שניתן למצוא את ערכם בקלות. ניתן להוכיח באינדוקציה כי במקרה הפרטי של שרשרת עם שלושה מספרים מתקבלת הזהות: a → b → n = a ↑ n b {\displaystyle a\to b\to n=a\uparrow ^{n}b} ובכך למעשה מהווה החץ של קונוויי הכללה לחץ של קנות'. דוגמה לשימוש בחץ של קונוויי היא השרשרת הבאה: 3 → 2 → 2 → 2 = 3 → 2 → ( 3 → 2 ) → 1 = 3 → 2 → 9 = 3 ↑ 9 2 = 3 ↑ 8 3 {\displaystyle 3\to 2\to 2\to 2=3\to 2\to (3\to 2)\to 1=3\to 2\to 9=3\uparrow ^{9}2=3\uparrow ^{8}3} בדוגמה, השוויון הראשון נובע מהכללים החמישי והרביעי, השוויון השני נובע מהכללים השני והשלישי, השוויון השלישי נובע מהזהות בין החץ של קונוויי לחץ של קנות' והשוויון האחרון נובע מהגדרת החץ של קנות'. המספר שמתקבל גדול מדי עבור הצגתו בסימון אחר. תכונת ארכימדס מבטיחה שבמערכות המספרים המקובלות והמוכרות אין מספר גדול ביותר. לכל מספר גדול ככל שיהיה יש אינסוף מספרים גדולים ממנו, ועל כן הגדרה מתמטית של "מספר גדול" תהיה שרירותית וחסרת צידוק מתמטי. בנוסף, היא תגרור תוצאות בלתי רצויות, כגון "המשפט הטיפשי של האריתמטיקה", שבהינתן הגדרה למספר גדול קובע כי כמעט כל המספרים הם מספרים גדולים. לכן במערכות המספרים המקובלות אין מגדירים את המונח "מספר גדול" ולא מתעסקים בו. שדה המספרים המרוכבים בפרט, אינו ניתן לסידור ולכן לא ניתן להשוות בו בין מספרים וליחס להם גודל. עם זאת, קיימים במתמטיקה מבנים סדורים אחרים, בהם ניתן לתת משמעות מתמטית מדויקת למונח "מספר גדול". בכל קבוצה סדורה בסדר מלא שהיא סופית קיים איבר גדול ביותר. ניתן להוסיף למערכות המספרים השונות, כגון שדה המספרים הממשיים, את אינסוף (אותו מסמנים   ∞ {\displaystyle \ \infty } ) כאיבר של הקבוצה ולהגדיר עליו את פעולות החשבון. במקרה כזה המספר   ∞ {\displaystyle \ \infty } מקיים את התכונה, שכל מספר אחר בקבוצה קטן ממנו ולכן ניתן להגדירו כמספר גדול. אולם, הוספת אינסוף כאיבר במבנה, גורמת לאיבוד רבות מהתכונות המועילות שלו, ובפרט, היא גורמת שהקבוצה מפסיקה להיות שדה, ולכן לא מרבים להגדיר את אינסוף כאיבר. באנליזה לא סטנדרטית עוסקים במודל דומה למספרים הממשיים, שבו קיים מספר ממשי גדול מכל שאר המספרים הממשיים. בתורת הקבוצות מוגדרים מספרים מונים ומספרים סודרים כהכללה של המספרים הטבעיים, והם כוללים אינסוף מספרים אינסופיים שכל אחד מהם גדול מהקודמים לו ומכל המספרים הטבעיים. בספרו "On Numbers and Games" תיאר ג'ון קונוויי מבנה, הנקרא שדה המספרים הסוריאליסטיים, והוא שדה סדור המכיל בתוכו את כל השדות האפשריים וגם את כל הסודרים. זהו אוסף כה גדול עד שהוא גדול מדי בשביל להיות קבוצה. קיימים תחומים במתמטיקה בהם משתמשים ברעיונות דומים לרעיון המספר הגדול, כדי לקבל תוצאות מתמטיות מדויקות. בחשבון אינפיניטסימלי מגדירים גבול ורעיונות מרכזיים נוספים, בעזרת מספרים גדולים וקטנים כרצוננו. לדוגמה, מתקיים lim x → x 0 f ( x ) = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\infty } (הגבול של הפונקציה   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} כש-   x {\displaystyle \ x} שואף ל-   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} הוא אינסוף) אם ורק אם לכל מספר נבחר גדול כרצוננו קיימת סביבה של   x 0 {\displaystyle \ x_{0}} כך שלכל   x {\displaystyle \ x} בסביבה   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} גדול יותר מהמספר הנבחר. כשהכוונה ב"מספר גדול כרצוננו" היא שניתן לבחור כל מספר שהוא ללא הגבלה על גודלו, ועדין הסביבה המבוקשת תתקיים. בתורת הקירובים הדיוק של קירובים רבים הולך וגדל ככל שערך הפונקציה שמקרבים גדול יותר. לדוגמה נוסחת סטירלינג המקרבת את פונקציית העצרת אינה שימושית למספרים קטנים אך למספרים גדולים היא קרובה מאוד לערך האמיתי. בתורת הסיבוכיות יש צורך לכמת את הזמן הדרוש לפתרון בעיה ולקבוע מתי היא ניתנת לפתרון באופן יעיל. כיוון שאין רוצים להגביל את כלליות התורה כך שתחול רק על גבולות שרירותיים התואמים את כוח המחשוב, במקום להגדיר מספרים גדולים שמהווים גבול יעילות הביצוע של מחשב, מגדירים מושג בשם סיבוכיות זמן. סיבוכיות הזמן של בעיה הוא מספר הצעדים הנחוצים לפתרונה כפונקציה של גודל הקלט שלה. בתור חסם ליעילות קובעים שכל בעיה שהסיבוכיות זמן שלה גדלה בקצב פולינומי או תת-פולינומי ניתנת לפתרון יעיל. לדוגמה, בהינתן קלט בגודל   n {\displaystyle \ n} , בעיה שהזמן הדרוש לפתרונה הוא   n 2 {\displaystyle \ n^{2}} נחשבת לבעלת פתרון יעיל שכן זהו פולינום. לעומת זאת לבעיה שהזמן הדרוש לפתרונה הוא   2 n {\displaystyle \ 2^{n}} נחשבת לחסרת פתרון יעיל שכן פונקציה מעריכית גדלה מהר מאוד וערכיה הם מספרים גדולים מאוד ביחס ל-   n {\displaystyle \ n} . מספר קטן הוא מונח המתייחס לרוב למספרים שהם הופכיים למספרים גדולים. כלומר מספרים חיוביים קרובים מאוד לאפס. כאשר ניוטון ולייבניץ פיתחו את החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-17 הם השתיתו אותו על המושג "אינפיניטסימל" ("זעירון", בעברית) – מספר חיובי שקטן יותר מכל מספר חיובי אחר. הגדרה זו מובילה לסתירות במסגרת מערכת המספרים הממשיים, ולכן כאשר בוסס החשבון האינפיניטסימלי בצורה ריגורוזית על ידי אוגוסטן לואי קושי וקארל ויירשטראס במאה ה-19, הוצא ממנו מושג האינפיניטסימל (ראו היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי). אולם הוא הוחזר לשימוש באופן מדויק במאה ה-20 במסגרת האנליזה הלא-סטנדרטית. בתורת המספרים מופיעים מספרים גדולים כחסמים לקבוצות המקיימות תכונות אריתמטיות כלשהן. לדוגמה, קרל פרידריך גאוס וברנהרד רימן שיערו שלכל x גדול מספיק מתקיים   π ( x ) < L i ( x ) {\displaystyle \ \pi (x)<Li(x)} , כאשר   π ( x ) {\displaystyle \ \pi (x)} הוא מספר המספרים הראשוניים הקטנים או שווים ל-   x {\displaystyle \ x} ו-   L i ( x ) {\displaystyle \ Li(x)} הוא האינטגרל הלוגריתמי ההפוך (ראו משפט המספרים הראשוניים). אולם ליטלווד הוכיח כי האי-שוויון אינו תמיד מתקיים, ובשנת 1933 הוכיח סטנלי סקיוז (בהנחה שהשערת רימן נכונה) כי האי-שוויון מתהפך לפני המספר (שנודע מאז כ"מספר סקיוז") e e e 79 {\displaystyle e^{e^{e^{79}}}} (e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי). מספרים גדולים הם עצמים מרכזיים הנחקרים במסגרת תורת המספרים החישובית. תחום זה עוסק במציאת אלגוריתמים לחקר התכונות האריתמטיות של מספרים. יעילות האלגוריתמים נבחנת לרוב ביכולת שלהם לעסוק במספרים גדולים. למשל, חשיבותו של אלגוריתם מילר-רבין היא בכך שהוא מאפשר לגלות במהירות האם מספרים בני מאות ספרות הם ראשוניים, כלי יעיל מאוד בקריפטוגרפיה. בשנות האלפיים, כוחות מחשוב רבים מופנים לעיסוק במציאת מספרים גדולים בעלי תכונות מסוימות. דוגמה לכך היא המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע נכון ל-2013 שהוא   2 82 , 589 , 933 − 1 {\displaystyle \ 2^{82,589,933}-1} , מספר מרסן בן 24,862,048 ספרות, אולם יש אינסוף ראשוניים גדולים ממנו. בקריפטוגרפיה יש חשיבות רבה לפונקציות חד-כיווניות. אלו הן פונקציות שקל לחשב את הפלט שלהן אך קשה מאוד להפוך את פעולתן ולחשב את הקלט המקורי שלהן בעזרת הפלט. פונקציות אלו משמשות להצפנה א-סימטרית, לחתימה דיגיטלית, להוכחה באפס ידע ועוד. ברוב הפונקציות החד-כיווניות, כדי שבאמת יהיה קשה לשחזר את הקלט המקורי, יש לבחר בקלט שהוא מספר גדול. לדוגמה, בשיטת ההצפנה המרכזית RSA נעשה שימוש בשני מספרים ראשוניים גדולים בני מאות ספרות כקלט ומכפלתם היא הפלט. יעילות השיטות מבוססת על כך שקל מאוד לבצע את פעולת הכפל, אך בהינתן התוצאה שלה קשה מאוד לפרק חזרה לגורמים את המספר הגדול. הצפנת רבין מבוססת על מכפלה דומה, ועל העובדה שקשה מאוד להוציא שורש ריבועי מודולו פריק למספר גדול. ב-1991 הכריזו מעבדות RSA על אתגר נושא פרסים לפירוק לגורמים של מספרים גדולים מתוך רשימה מוגדרת של מספרים שהם מכפלת שני ראשוניים ולהם מספר ספרות שנע בין 100 ל-617. מבין מספרים אלו הגדול ביותר שפורק בהצלחה נכון ל-2010 הוא RSA-768, מספר בן 232 ספרות, שפורק בשנת 2009. קומבינטוריקה עוסקת בספירת עצמים, ולכן באופן טבעי נוטים להופיע בה מספרים גדולים. אם ישנה קבוצה סופית של עצמים, כל סידור של העצמים בסדר כלשהו נקרא תמורה. לכל קבוצה בגודל n מספר התמורות השונות הוא מכפלת n בכל המספרים הקטנים ממנו עד ל-1. שמה של הפעולה הוא עצרת ומסמנים אותה   n ! {\displaystyle \ n!} . עצרת היא פונקציה מרכזית בקומבינטוריקה וערכיה גדלים במהירות. לדוגמה   4 ! = 24 {\displaystyle \ 4!=24} , לעומתו   10 ! = 3 , 628 , 800 {\displaystyle \ 10!=3,628,800} והמספר   52 ! {\displaystyle \ 52!} , השווה למספר הדרכים השונות לסדר חפיסת קלפים, הוא כבר בן 68 ספרות. תורת רמזי היא תחום קומבינטורי שחוקר את מספר האיברים שצריכים להיות למבנה כדי שיהיו לו תכונות מסוימות. תוצאה טיפוסית בתורה זו היא משפט רמזי שעוסק בקיומם של מספרי רמזי. בשנת 1977 הציג מרטין גרדנר את מספר גרהאם, מספר ששימש את רונלד גרהאם כחסם עליון לפתרון של בעיה מתורת רמזי. מספר גרהאם הוא מספר גדול מידי מכדי להציגו בכתיב עשרוני, כמגדל חזקות או אפילו באופן ישיר על ידי החץ של קנות', גם אם משתמשים בנפח היקום הנראה כולו. עם זאת, ניתן להגדירו בקלות בעזרת נוסחת נסיגה: אם מגדירים g 1 = 3 ↑ 4 3 {\displaystyle g_{1}=3\uparrow ^{4}3} ובנוסף מגדירים g n = 3 ↑ g n − 1 3 {\displaystyle g_{n}=3\uparrow ^{g_{n-1}}3} אז מספר גרהאם הוא   g 64 {\displaystyle \ g_{64}} . מספר גרהאם הוכר במהדורת 1980 של ספר השיאים של גינס בתור המספר הגדול ביותר שאי-פעם נעשה בו שימוש (בהוכחה מתמטית רצינית). אולם מאז הופיעו מספרים גדולים אף יותר בהוכחות מתמטיות אחרות. במסגרת מחקריו של המתמטיקאי הארווי פרידמן הוא הגדיר את הפונקציה   T R E E ( n ) {\displaystyle \ TREE(n)} , הסופרת את האורך המקסימלי של סדרות מסוימות של עצים. הפונקציה גדלה במהירות גדולה כך ש-   T R E E ( 3 ) {\displaystyle \ TREE(3)} הוא מספר עצום שמספר גרהאם קטן ממנו משמעותית. אם מגדירים   B ( n ) = 2 ↑ n − 1 n {\displaystyle \ B(n)=2\uparrow ^{n-1}n} , אז מספר גרהאם הוא מסדר גודל של   B 64 ( 4 ) {\displaystyle \ B^{64}(4)} . לעומת זאת המספר הענק   B B ( 187196 ) ( 1 ) {\displaystyle \ B^{B(187196)}(1)} הוא רק חסם תחתון חלש של   T R E E ( 3 ) {\displaystyle \ TREE(3)} . בתורת המשחקים הקומבינטורית מגדירים מושג של "סיבוכיות משחק" המודד את המורכבות של משחק. ישנן כמה דרכים שונות להגדיר סיבוכיות משחק, לדוגמה, מספר המצבים האפשריים בהם הוא יכול להימצא או מספר הדרכים השונות בהן משחק יכול להיות משוחק. בשחמט, למשל, ידוע שמספר המצבים האפשריים של הלוח הוא בין ‎1043‎ ל-‎1047‎. מספר המשחקים השונים שניתן לשחק מוערך בכיותר מ-‎10123‎, מספר הידוע כ"מספר שאנון" על שם קלוד שאנון, שהעריך אותו לראשונה ב-1950 במאמר שהתווה את הדרך לבנייתן של תוכנות שחמט. מורכבות משחק השחמט הסיני גדולה באופן משמעותי. חוק המספרים הגדולים הוא משפט בתורת ההסתברות הקובע שכשחוזרים על תהליך אקראי מספר גדול של פעמים התוצאה הממוצעת תהיה בערך הממוצע המשוקלל של כל התוצאות האפשריות. או בניסוח מדויק יותר, כאשר גודל המדגם שואף לאינסוף, הממוצע שואף לתוחלת. לדוגמה, אם נטיל קוביית משחק הוגנת מספר גדול של פעמים, הערך הממוצע של כל ההטלות יהיה קרוב מאוד ל-3.5 (הממוצע של המספרים מ-1 עד 6, שהוא התוחלת של הטלת קובייה) וככל שמספר ההטלות יהיה גדול יותר הקרבה ל-3.5 תלך ותגדל. משפט הקוף המקליד קובע שבהינתן רצף גדול מספיק של תווים אקראיים, יופיע כל רצף שנחפש בסופו של דבר בתוך הרצף הגדול. לדוגמה, אם נחפש את הרצף 123456789 בפיתוח העשרוני האינסופי של פאי, שנדמה אקראי, אנו צפויים למצוא את הרצף בסופו של דבר (ואכן הרצף מופיע כחצי מיליארד ספרות לאחר הנקודה העשרונית). המשפט קרוי על שם דוגמה פופולרית שלו שניתנה על ידי אמיל בורל, לפיה קוף שמקליד תווים באופן אקראי במשך זמן בלתי מוגבל יקליד בסופו של דבר את כל כתבי שייקספיר. אם ניקח לדוגמה קוף שמקליד באופן אקראי אותיות מתוך האלפבית האנגלי, הוא צפוי לכתוב במקרה את כל הטקסט המלא של המלט ברצף (כ-130,000 תווים ללא פיסוק ורווחים) לאחר שהקליד בממוצע בערך   26 130 , 000 {\displaystyle \ 26^{130,000}} אותיות, מספר בן 183,947 ספרות. תוצאה דומה למשפט הקוף המקליד היא חוק המספרים הגדולים באמת, שמבטא את הרעיון שכשיש מספר גדול מאוד של מאורעות, צפוי שיקרו גם דברים מאוד בלתי סבירים. גוגול הוא שמו של המספר   10 100 {\displaystyle \ 10^{100}} , כלומר אחד ואחריו מאה אפסים. המספר חסר חשיבות מתמטית אך עושים בו שימוש בהוראת המתמטיקה כדי להבדיל בין מספר גדול מעבר לכל דמיון לבין אינסוף, שקרוב לגוגול בדיוק באותה מידה שהוא קרוב לאחד. המספר גוגולפלקס הוא המספר   10 10 100 {\displaystyle \ 10^{10^{100}}} , כלומר אחד ואחריו גוגול אפסים. מספר זה כה גדול עד שלא ניתן לכתוב אותו בכתיב עשרוני גם אם עושים שימוש בכל האטומים ביקום כספרות. משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות, הוא משפט בתורת החבורות, העוסק במיון חבורות פשוטות סופיות לקבוצות. המשפט ממיין את כל אינסוף החבורות הפשוטות הסופיות לשלוש קבוצות עיקריות, אולם קיימת קבוצה יוצאת דופן של 26 חבורות בלבד שאינן נכנסות לאף אחת מן הקבוצות. מבין היוצאות דופן הללו ישנה חבורה אחת גדולה במיוחד שנקראת "המפלצת" וכוללת כ-   8 ⋅ 10 53 {\displaystyle \ 8\cdot 10^{53}} איברים. בעיית הבקר של ארכימדס היא בעיה יוונית עתיקה המופיעה בשיר, שנטען כי מקורו במכתב ששלח ארכימדס לארטוסתנס (טענה שאמיתותה מוטלת בספק). הבעיה עוסקת במציאת מספר הפרטים בעדר שורי השמש של הליוס. בבעיה מופיעים אילוצים ויחסים שונים שמספר הפרטים צריך לקיים, אותם ניתן לתרגם למערכת של משוואות דיופנטיות. למשוואות נמצא פתרון מקורב רק בשנת 1880, והתוצאה המדויקת חושבה בעזרת מחשב ב-1965. הפתרון המינימלי המתקבל הוא שמספר הפרטים בעדר הוא בקירוב   7.76 ⋅ 10 206 , 544 {\displaystyle \ 7.76\cdot 10^{206,544}} . בלוגיקה, מספור גדל היא שיטה להתאים לכל מילה בשפה פורמלית מספר טבעי ייחודי. המספור קרוי על שם קורט גדל שפיתח אותו וביסס עליו את ההוכחה למשפטי האי-שלמות שלו. לכל סימן   a i {\displaystyle \ a_{i}} באלפבית של השפה מתאימים מספר טבעי משלו   x i {\displaystyle \ x_{i}} , ולמילה a 1 a 2 … a n {\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}} מתאימים את המספר 2 x 1 ⋅ 3 x 2 ⋯ p n x n {\displaystyle 2^{x_{1}}\cdot 3^{x_{2}}\cdots p_{n}^{x_{n}}} , כאשר   p i {\displaystyle \ p_{i}} הוא הראשוני ה-i בסדרת הראשוניים. המשפט היסודי של האריתמטיקה מבטיח שכל מספר מייצג מילה אפשרית יחידה. בשיטה זו גם מילים פשוטות וקצרות נוטות להיות מיוצגות על ידי מספרים גדולים. פונקציית אקרמן היא פונקציה רקורסיבית המסומנת ב-   A {\displaystyle \ A} ובעלת שימושים במדעי המחשב. קצב הגידול של ערכיה גדול מאוד, והיא מחזירה מספרים גדולים כבר למספרים קטנים. לדוגמה,   A ( 4 , 4 ) = 7 2 − 3 = 2 2 2 65 , 536 − 3 {\displaystyle \ A(4,4)={^{7}2}-3={2^{2^{2^{65,536}}}}-3} . עם זאת, יש שימושים לפונקציות הגדלות אף מהר יותר מפונקציית אקרמן, למשל,   Σ ( n ) {\displaystyle \ \Sigma (n)} מבעיית הבונה העסוק שגדלה מהר יותר מכל פונקציה רקורסיבית שהיא. בתחומים שונים במדעי הטבע מופיעים מספרים גדולים ביחס לטווח האנושי היום-יומי במספר הקשרים. דוגמה אחת היא כמויות של עצמים המרכיבים את העולם שסביבנו. ביקום יש כ-‎1011‎ גלקסיות שבהן יש כ-‎5×1022‎ כוכבים, כאשר השמש "שלנו" היא כוכב אחד כזה בגלקסיית שביל החלב. כדור הארץ מתאפיין בעושר ביולוגי רב וכך, לדוגמה, מספר החרקים בעולם מוערך בכ-‎1019‎‏. ברמה המיקרוסקופית, כל עצם מקרוסקופי מורכב ממספר רב של אטומים וכך, למשל, מספר האטומים בגופו של גבר ממוצע מוערך בכ-‎7×1027‎‏. מספר החלקיקים היסודיים ביקום מעורך בסביבות ה-‎1080‎ חלקיקים. מספרם של עצמים הוא גודל חסר ממד. לעומת כך, ייצוגם המספרי של גדלים כמו אורך, זמן או מסה תלוי במערכת היחידות הרלוונטית, כאשר מערכות יחידות שונות משמשות במדע ובהנדסה בהקשרים המתאימים. מערכת היחידות הבינלאומית SI היא שימושית במיוחד לתיאור גדלים מחיי היום יום, בהם אנו פוגשים תדיר עצמים בעלי מסה מסדר גודל של קילוגרמים או מעט יותר או פחות, ובדומה אורכים מסדר גודל של מטר וזמנים מסדר גודל של שנייה. עם זאת, מספרים גדולים או קטנים צצים כאשר משתמשים במערכות יחידות לתיאור גדלים פיזיקליים שלא מסדרי הגודל האופייניים להן. האם כמות האנרגיה הדרושה כדי להרים ספה במסה של 100 kg למרפסת בגובה 15m מעל הרצפה היא "גדולה"? במערכת SI התוצאה היא 14kJ בערך, מספר בן חמש ספרות. לעומת כך, אם נציג תוצאה זו ביחידות שימושיות בפיזיקה אטומית, הרי שמדובר ב-‎1023 eV‎ – זהו כבר מספר "גדול" בן עשרים וארבע ספרות. מאידך, המרחק לפרוקסימה קנטאורי, הכוכב הקרוב ביותר לארץ אחרי השמש, הוא ‎4×1016 m‎ ביחידות SI או ‎4×1031 fm‎, כאשר פרמי היא יחידה שימושית ב-בפיזיקה גרעינית ובפיזיקת חלקיקים. ביחידות אלו המספרים הם גדולים, אבל ביחידה שימושית מתחום האסטרונומיה, הפרסק, אורך זה הוא מסדר גודל של יחידה. באופן כללי, ערכים אופייניים רבים מתחומי האסטרונומיה והקוסמולוגיה הם "גדולים" באמות המידה של יום-יום, בעוד שגדלים מתחומי הפיזיקה העוסקים במולקולות ובעצמים קטנים יותר צפויים להיות קטנים במונחים יום-יום. פיזיקה סטטיסטית עוסקת במערכות שבהן כמות החלקיקים היא מספר גדול, מסדר גודל של מספר אבוגדרו, שהיא כמות החלקיקים במול חומר. כך, לדוגמה, בכוס מים בנפח 250ml יש כ-‎8×1024‎ מולקולות. גודלן של מערכות הנידונות בפיזיקה הסטטיסטית מצריך שימוש בכלים מתמטיים מתאימים, כמו אלו שתוארו בחלקיו הקודמים של ערך זה. כך, למשל, חוק המספרים הגדולים הוא שימושי מאוד במסגרת הפיזיקה הסטטיסטית משום שהוא מאפשר להניח שבמערכות פיזיקליות מרובות גופים מאפיינים סטטיסטיים של המערכת, כמו טמפרטורה למשל, יהיו קרובים לערכי התוחלת שלהם. בהקשרים מסוימים משמש חוק זה כהצדקה לקירוב שבו מתעלמים מכך שתכונה סטטיסטית של מערכת מסוימת יכולה לקבל ערכים שונים ועורכים חישוב עם ערך התוחלת של אותו התכונה באותה המערכת. כך, למשל, מודל דרודה לתיאור מוליכות חשמלית של מתכות מניח שלכל אלקטרון ישנה אנרגיה של   3 2 k B T {\displaystyle \ {\frac {3}{2}}k_{B}T} משום שזו האנרגיה הממוצעת לפי חוק החלוקה השווה, אף על פי שלכל אלקטרון יש, בפועל, אנרגיה אחרת. האופי ההסתברותי של הפיזיקה הסטטיסטית מחייב ביצוע של חישובים קומבינטוריים (למשל, כדי למצוא את גודל מרחב המדגם של מערכת נתונה) עם מערכות שיש בהן מספר עצמים רב. כפי שתואר בפרק הדן בנושא, בקומבינטוריקה נוטים להופיע מספרים גדולים באופן טבעי, וכאשר המערכת גדולה נטייה זו היא חזקה אף יותר. קירובים ושיטות חישוב האופייניים לעיסוק במספרים גדולים בתחום הקומבינטוריקה הם לכן שימושיים מאוד בהקשר של פיזיקה סטטיסטית. קירובים שונים האופייניים לעיסוק במספרים גדולים הם שימושיים מאוד בפיזיקה סטטיסטית. לדוגמה, מושג האנטרופיה, שהוא מושג בסיסי מאוד בפיזיקה סטטיסטית, מתואר מבחינה מתמטית על ידי הנוסחה   S = k B ln ⁡ Ω {\displaystyle \ S=k_{\!B}\ln \Omega } כאשר kB הוא קבוע בולצמן ו-   Ω {\displaystyle \ \Omega } היא גודל קומבינטורי שמאפיין כמות מצבים של מערכת פיזיקלית מסוימת. חישובו של   Ω {\displaystyle \ \Omega } כולל פעמים רבות פונקציית עצרת (שמופיעה בנוסחאות קומבינטוריות רבות) ולכן הלוגריתם בנוסחה זו מקורב פעמים רבות על ידי קירוב סטירלינג. חוק המספרים הגדולים באמת מסביר מדוע מתרחשים בטבע גם אירועים שהסתברותם נמוכה. כך, למשל, בצבר גדול מספיק של אטומים בשיווי משקל תרמודינמי ימצאו בוודאות גבוהה גם אטומים שמהירותם רחוקה מאוד מהממוצעת. כדוגמה נוספת, אם באטום או מולקולה רמת האנרגיה הראשונה היא כזו שהדעיכה ממנה אל מצב היסוד אסורה, כלומר – הסתברותה נמוכה מאוד, אטום ברמה זו ידעך בסופו של דבר אל רמת היסוד אם נחכה "מספיק זמן". בשנת 1937 שם לב הפיזיקאי הבריטי פול דיראק לצירוף מקרים בלתי מוסבר. יחסים בין קבועים פיזיקליים מסדר גודל של ‎1042‎ שלכאורה אינם קשורים היו מאוד קרובים זה לזה. דיראק העלה השערה הנקראת "השערת המספרים הגדולים של דיראק" המסתמכת על צירוף המקרים ונותנת תוצאות חדשות בפיזיקה. אולם להשערה לא נמצאו תימוכין נוספים, וכדי לקיים אותה נזקק דיראק להשתנותם בזמן של קבועים בסיסיים (כגון קבוע הכבידה) ולכן היא אינה נחשבת רלוונטית. צירוף המקרים מוסבר בכך שיש גמישות רבה במשחק עם יחסים וקבועים שונים ולכן סביר להיתקל במקרים כאלה לעיתים. צירופי מקרים דומים נמצאו גם לסדרי הגודל ‎1060‎ ו-‎10120‎. בתורת המיתרים יש מספר רב של ממדים ופרמטרים אשר מאפשרים מספר רב מאוד של צירופים פיזיקליים אפשריים, כ-‎10500‎. כל צירוף אפשרי כזה נקרא "ואקום", כמו הוואקום של תורת השדות הקוונטית, שמכיל את כל השדות הקיימים וממנו כל החלקיקים נוצרים. ואקום כזה הוא מינימום של ה"פעולה" של תורת המיתרים והוא סט של חוקים פיזיקליים אפשריים, ומתוכם היקום שלנו הוא אולי אחד. אם מתייחסים לתאוריה הזו בצורתה הכללית ביותר, בעיה מרכזית היא כיצד ולמה הטבע בחר דווקא את האחד הזה מכל המינימה האפשריים. ערך מורחב – שמות מספרים גדולים בעברית קדומה השתמשו בצירופים של אלף וריבוא לתיאור מספרים גדולים. לדוגמה, "ריבוא רבבות" הוא ‎108‎ ו"אלף אלפי אלפים" הוא ‎109‎. מאוחר יותר חדרו לשפה העברית הסיומת '-ליון' והסיומת '-ליארד' לציון מספרים גדולים. לדוגמה, מיליון הוא ‎106‎ ומיליארד הוא ‎109‎. שתי השיטות העיקריות לנתינת שמות למספרים גדולים הן השיטה האמריקאית והשיטה האירופאית. השיטה האמריקאית מבוססת על נתינת שמות לפי קידומות המייצגות חזקות של אלף, בעוד השיטה האירופאית מבוססת על מתן שמות על פי קידומות המייצגות חזקות של מיליון. בעזרת שתי השיטות ניתן לדבר על מספרים גדולים מאוד. לדוגמה המילה "Centillion" מתארת בשיטה האמריקאית את ‎10303‎ ובשיטה האירופאית את ‎10600‎. בשפת הדיבור בעברית, באנגלית ובשפות נוספות נפוץ השימוש במילה "זיליון" כמספר גדול. על אף שאין למונח משמעות מדויקת, הרעיון בשימוש בו הוא רק שמדובר במספר מעבר לכל לדמיון וערכו אינו הדבר החשוב. כמו כן, נהוג באופן דומה לדבר על "מספר אסטרונומי" (וגם "גודל אסטרונומי" או "סכום אסטרונומי") כמספר עצום, בדומה למספרים הגדולים באסטרונומיה. באנגלית משמשת המילה "Sagan" באופן הומוריסטי לתיאור מספר גדול, כמחווה לאסטרונום והסופר קרל סגן שנהג להתייחס לגדלים האסטרונומיים בעזרת הביטוי הלא מוגדר "ביליונים וביליונים" (ואף קרא כך לספרו האחרון). היפר-פעולות אינפיניטסימל איאן סטיוארט, מטמון האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת, זמורה-ביתן, 2016, הפרק "מספרים גדולים", עמ' 61–66 מספרים גדולים, באתר MathWorld (באנגלית) יובל דרור, הבעיה של עידן המספרים המפלצתיים, באתר הארץ, 23 באוגוסט 2018 בלדד השוחי, כמה זה 10,000,000,000,000,000,000,000?, באתר כלכליסט, 14 באוקטובר 2014 דורון פישלר, ‏המספר הגדול בעולם, באתר "אלכסון", 22 באפריל 2013 Donald E. Knuth, "Coping With Finiteness", Science vol. 194 n. 4271 (Dec 1976), pp. 1235–1242. המספרים על הציר מייצגים את הלוגריתם הטבעי של הפונקציות ולכן המספרים למעשה גדולים בהרבה. למעשה, המספרים הסוריאליסטיים אינם בדיוק שדה מכיוון שהם אינם קבוצה. אולם הם מקיימים את כל הדרישות על איברי שדה ראו הפרדוקס של ראסל והפרדוקס של בורלי-פורטי מעולם לא הוכח כי קיימות פונקציות חד-כיווניות אמיתיות, אולם הפונקציות הקיימות טובות מספיק לצרכים מעשיים. זוהי גרסה מיושנת של פונקציית אקרמן. כדי שהביטוי יהיה מוגדר לכל טבעי מגדירים:   B ( 1 ) = 2 {\displaystyle \ B(1)=2} . כאשר הסימון   B m ( n ) {\displaystyle \ B^{m}(n)} משמעו הרכבת   B ( n ) {\displaystyle \ B(n)} על עצמה m פעמים:   B m ( n ) = B ( B m − 1 ( n ) ) {\displaystyle \ B^{m}(n)=B(B^{m-1}(n))} . למעשה "סיבוכיות משחק" מוגדרת לרוב רק למשחקים שיש להם עץ מינימקס. במקור העריך שאנון את המספר כיותר מ-10‎10120‎. חיפוש רצפים בפיתוח העשרוני של פאי בעיית הבקר של ארכימדס באתר MathWorld ראו, למשל, במאמר הזה שאלות נפוצות באתר החברה אנטומולוגית האמריקאית הערכת מספר החלקיקים בגוף האדם באתר של Foresight Institute הערך "sagan" באתר dictionary.com