האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים (באנגלית: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, בראשי תיבות: OEIS) היא מאגר נתונים מקוון, המכיל סדרות של מספרים שלמים. באתר יש כ-370,000 סדרות. לכל סדרה ניתן "מספר זהות" ויש לה דף מיוחד, בו אפשר למצוא מידע על הסדרה כגון: היסטוריה, הפניה למקורות רלוונטיים, שימושים מתמטיים, נוסחה (אם יש), הערות מתמטיות שנוספו על ידי משתמשי האתר, וכן הלאה. בנוסף, האנציקלופדיה מקטלגת אותן לפי מילים שמורות שונות המיוחדות לה. כל סדרה ניתנת להצגה בכמה צורות ובהן: רשימה, גרף, מעקב היסטורי, וישנה אף אפשרות 'לשמוע את הסדרה', על ידי המרת המספרים לצלילים. האתר כולל מנוע חיפוש המאפשר לחפש סדרה באמצעות ערכים שלה (או של תת-סדרה שלה), וכן באמצעות שמה. הדבר מאפשר למתמטיקאי הנתקל בסדרה במהלך עבודתו לאתר מופעים נוספים שלה. האתר מפעיל דף להצעות ודיונים בממשק ויקי. לאתר קדמו ספרים שהוציא סלואן: "A Handbook of Integer Sequences" ‏(1973) שהכיל 2372 סדרות, ו-"The Encyclopedia of Integer Sequences"‏ (1995) שהכיל 5,488 סדרות. לאחר פרסום ספרים אלה מתמטיקאים שלחו לסלואן מעל 16,000 סדרות, שספר צר מלהכילן, ומשום כך הקים סלואן בשנת 1996 אתר אינטרנט שיכיל את הסדרות. דף השער של האתר מופיע בכ-50 שפות, ובכללן עברית. בהיותו סטודנט לתואר שני במתמטיקה, החל ניל סלואן ללקט סדרות כחלק מעבודתו בקומבינטוריקה. מסד הנתונים תחילה אוכסן על כרטיסי ניקוב. הסדרות שאסף נאגרו לתוך שני כרכים, ולאחר שכמות הסדרות נהייתה מורכבת מדי לניהול כסט כרכים, החליט להעביר את כל המידע באופן מקוון, תחילה דרך מייל ואז בתצורת אתר ייעודי (1996). ב-1998 יצר סלואן מגזין ייעודי. בנוסף לסדרות של מספרים שלמים, האתר מקטלג סדרות של שברים, ספרות של מספרים טרנסצנדנטים, מספרים מרוכבים וכן הלאה, על ידי המרתן לסדרות של שלמים. סדרות של שברים מיוצגות על ידי זוג סדרות, סדרת המונים וסדרת המכנים. לדוגמה, סדרת פרי מסדר חמש: 1 5 , 1 4 , 1 3 , 2 5 , 1 2 , 3 5 , 2 3 , 3 4 , 4 5 {\displaystyle \textstyle {1 \over 5},{1 \over 4},{1 \over 3},{2 \over 5},{1 \over 2},{3 \over 5},{2 \over 3},{3 \over 4},{4 \over 5}} מקוטלגת כסדרת מונים: 4, 3, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 1 וסדרת מכנים: 5, 4, 3, 5, 2, 5, 3, 4, 5. מספרים אי-רציונלים חשובים, כגון π = 3.1415926535897...‎ מקוטלגים על פי הספרות בייצוג העשרוני. סדרה זו נבחרה משום שהיא מכילה את כל השדות האפשריים. A046970 Dirichlet inverse of the Jordan function J_2 (A007434). 1, -3, -8, -3, -24, 24, -48, -3, -8, 72, -120, 24, -168, 144, 192, -3, -288, 24, -360, 72, 384, 360, -528, 24, -24, 504, -8, 144, -840, -576, -960, -3, 960, 864, 1152, 24, -1368, 1080, 1344, 72, -1680, -1152, -1848, 360, 192, 1584, -2208, 24, -48, 72, 2304, 504, -2808, 24, 2880, 144, 2880, 2520, -3480, -576 OFFSET 1,2 COMMENTS B(n+2) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4*Pi^2))*z(n+2)/z(n) = -B(n)*((n+2)*(n+1)/(4*Pi^2)) * Sum_{j>=1} a(j)/j^(n+2). Apart from signs also Sum_{d|n} core(d)^2*mu(n/d) where core(x) is the squarefree part of x. - Benoit Cloitre, May 31 2002 REFERENCES M. Abramowitz and I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1965, pp. 805-811. T. M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, 1986, p. 48. LINKS Reinhard Zumkeller, Table of n, a(n) for n = 1..10000 M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, 1972 [alternative scanned copy]. P. G. Brown, Some comments on inverse arithmetic functions, Math. Gaz. 89 (516) (2005) 403-408. Paul W. Oxby, A Function Based on Chebyshev Polynomials as an Alternative to the Sinc Function in FIR Filter Design, arXiv:2011.10546 [eess.SP], 2020. Wikipedia, Riemann zeta function. FORMULA Multiplicative with a(p^e) = 1 - p^2. a(n) = Sum_{d|n} mu(d)*d^2. abs(a(n)) = Product_{p prime divides n} (p^2 - 1). - Jon Perry, Aug 24 2010 From Wolfdieter Lang, Jun 16 2011: (Start) Dirichlet g.f.: zeta(s)/zeta(s-2). a(n) = J_{-2}(n)*n^2, with the Jordan function J_k(n), with J_k(1):=1. See the Apostol reference, p. 48. exercise 17. (End) a(prime(n)) = -A084920(n). - R. J. Mathar, Aug 28 2011 G.f.: Sum_{k>=1} mu(k)*k^2*x^k/(1 - x^k). - Ilya Gutkovskiy, Jan 15 2017 EXAMPLE a(3) = -8 because the divisors of 3 are {1, 3} and mu(1)*1^2 + mu(3)*3^2 = -8. a(4) = -3 because the divisors of 4 are {1, 2, 4} and mu(1)*1^2 + mu(2)*2^2 + mu(4)*4^2 = -3. E.g., a(15) = (3^2 - 1) * (5^2 - 1) = 8*24 = 192. - Jon Perry, Aug 24 2010 G.f. = x - 3*x^2 - 8*x^3 - 3*x^4 - 24*x^5 + 24*x^6 - 48*x^7 - 3*x^8 - 8*x^9 + ... MAPLE Jinvk := proc(n, k) local a, f, p ; a := 1 ; for f in ifactors(n)[2] do p := op(1, f) ; a := a*(1-p^k) ; end do: a ; end proc: A046970 := proc(n) Jinvk(n, 2) ; end proc: # R. J. Mathar, Jul 04 2011 MATHEMATICA muDD[d_] := MoebiusMu[d]*d^2; Table[Plus @@ muDD[Divisors[n]], {n, 60}] (Lopez) Flatten[Table[{ x = FactorInteger[n]; p = 1; For[i = 1, i <= Length[x], i++, p = p*(1 - x[[i]][[1]]^2)]; p}, {n, 1, 50, 1}]] (* Jon Perry, Aug 24 2010 *) a[ n_] := If[ n < 1, 0, Sum[ d^2 MoebiusMu[ d], {d, Divisors @ n}]] (* Michael Somos, Jan 11 2014 *) a[ n_] := If[ n < 2, Boole[ n == 1], Times @@ (1 - #[[1]]^2 & /@ FactorInteger @ n)] (* Michael Somos, Jan 11 2014 *) PROG (PARI) A046970(n)=sumdiv(n, d, d^2*moebius(d)) \\ Benoit Cloitre (Haskell) a046970 = product . map ((1 -) . (^ 2)) . a027748_row -- Reinhard Zumkeller, Jan 19 2012 (PARI) {a(n) = if( n<1, 0, direuler( p=2, n, (1 - X*p^2) / (1 - X))[n])} /* Michael Somos, Jan 11 2014 */ CROSSREFS Cf. A007434, A027641, A027642, A063453, A023900. Cf. A027748. Sequence in context: A144457 A220138 A146975 * A322360 A058936 A280369 Adjacent sequences: A046967 A046968 A046969 * A046971 A046972 A046973 KEYWORD sign,easy,mult AUTHOR Douglas Stoll, dougstoll(AT)email.msn.com EXTENSIONS Corrected and extended by Vladeta Jovovic, Jul 25 2001 Additional comments from Wilfredo Lopez (chakotay147138274(AT)yahoo.com), Jul 01 2005 מדיה וקבצים בנושא האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים בוויקישיתוף אתר האינטרנט הרשמי של האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים (באנגלית) העמוד הראשי של הוויקי Journal of Integer Sequences