I (מספר)

המספר i, ידוע גם כיחידת המספר המדומה או היחידה המדומה, הוא אחד מפתרונות המשוואה הריבועית (לצד המספר i-): x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} . מכיוון שאין מספר ממשי שמקיים את זהות זו, ותחת הנחת סגירות לחיבור וכפל בסקלר של היחידה הדמיונית, ניתן להרחיב את המישור הממשי על ידי הכללת היחידה הדמיונית במישור חדש, אשר כולל את היחידה הדמיונית – מישור המספרים המרוכבים. החשיבות העיקרית של הוספת היחידה הדמיונית היא בעובדה שעל ידי הכללת היחידה הדמיונית כצירוף ליניארי שלה עם המספר 1 (מישור גאוס), לכל פולינום מדרגה n יהיו n שורשים (המשפט היסודי של האלגברה). יצירתו של המספר i, ביחד עם המספרים המרוכבים הייתה בתחילת המאה ה־16, ומיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהגדרתם לצורך פתרון של המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, וצירוף ליניארי שלהם עם מספרים ממשים (כלומר, כל מספר מהצורה a + b i {\displaystyle a+bi} , כאשר a {\displaystyle a} ו־ b {\displaystyle b} הם ממשיים) נקרא מספר מרוכב. המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס. היחידה המדומה i מוגדרת כמספר שמקיים את המשוואה x 2 = − 1 {\displaystyle x^{2}=-1} , או, באופן שקול, בתור שורש של הפולינום x 2 + 1 {\displaystyle x^{2}+1} . לגבי הבחירה בין שני השורשים השונים, ראו בהמשך. אף על פי שהמבנה נקרא "מדומה", ועל אף שתפיסתית קשה אולי להבין את מהות ההגדרה, המבנה המתמטי הוא תקף לחלוטין, ממש כמו המספרים הממשיים. יתרה מכך, רוב הפעולות שתקפות למספרים ממשיים, תקפות גם למספרים מרוכבים (מספרים שמכילים צירוף ליניארי של i ואחד). כמו כל מספר מרוכב, i יכול להיות מיוצג על ידי חלק ממשי וחלק מדומה: R e ( i ) = 0 {\displaystyle Re(i)=0} , I m ( i ) = 1 {\displaystyle Im(i)=1} . בהצגה לפי גודל וזווית (הצגה קוטבית) – כלומר, אם נבקש לכתוב: i = R exp ⁡ ( i θ ) {\displaystyle i=R\operatorname {exp} (i\theta )} , כך ש-R הוא גודלו, ו-θ היא הפאזה שלו – אז R = 1 {\displaystyle R=1} , ו- θ = π / 2 {\displaystyle \theta =\pi /2} . במילים אחרות, i נמצא על מעגל היחידה של מישור גאוס בזווית של 90 מעלות ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי – כפי שמתואר באיור למעלה. i 3 = i 2 i = ( − 1 ) i = − i {\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i} i 4 = i 3 i = ( − i ) i = − ( i 2 ) = − ( − 1 ) = 1 {\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1} i 5 = i 4 i = ( 1 ) i = i {\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i} ומכאן שקיימת מחזוריות, וניתן להכליל באינדוקציה את ההתנהגות של i בחזקת k טבעי כלשהו: i 4 k = 1 {\displaystyle i^{4k}=1} i 4 k + 1 = i {\displaystyle i^{4k+1}=i} i 4 k + 2 = − 1 {\displaystyle i^{4k+2}=-1} i 4 k + 3 = − i {\displaystyle i^{4k+3}=-i} בדומה ניתן לומר: i 0 = i 1 − 1 = i 1 i − 1 = i 1 1 i = i 1 i = i i = 1 {\displaystyle i^{0}=i^{1-1}=i^{1}i^{-1}=i^{1}{\frac {1}{i}}=i{\frac {1}{i}}={\frac {i}{i}}=1\,} בהתאם לנאמר נוכל לקבוע זהות נוספת ביחס ל-i: i k = i k ( mod 4 ) {\displaystyle i^{k}=i^{k{\pmod {4}}}\,} דרך אחרת לקבל תוצאות אלו היא באמצעות נוסחת אוילר i n = cos ⁡ ( n π / 2 ) + i sin ⁡ ( n π / 2 ) {\displaystyle i^{n}=\cos(n\pi /2)+i\sin(n\pi /2)} כאשר מעלים את i בחזקת עצמו: i i = ( e i ( π / 2 + 2 k π ) ) i = e i 2 ( π / 2 + 2 k π ) = e − ( π / 2 + 2 k π ) {\displaystyle i^{i}=\left(e^{i(\pi /2+2k\pi )}\right)^{i}=e^{i^{2}(\pi /2+2k\pi )}=e^{-(\pi /2+2k\pi )}} מעצם היותם שני שורשים של אותה המשוואה הריבועית: x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} הם נקראים צמודים מרוכבים, ומתקיים: i ¯ = − i {\displaystyle {\bar {i}}=-i} (קרי: i צמוד שווה מינוס i). בנוסף, שני המספרים הם גם נגדיים וגם הופכים אחד של השני, תכונה הכרחית לקיום תת־מרחב וקטורי המדומה: − i = 1 / i {\displaystyle -i=1/i} , i = − ( − i ) {\displaystyle i=-(-i)} . מאחר שלמשוואה x 2 + 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+1=0} , אשר מגדירה את היחידה המדומה, יש שני פתרונות, קיימת בעייתיות מסוימת בהגדרה. עם זאת, אם בוחרים באחד מהם להיות i, אז האחר הוא בהכרח המספר הנגדי (וההופכי) לו. לאור זאת, אין שוני אלגברי בהגדרתם הבסיסית, אך בהינתן בחירה של אחד מהם, נוכל להגדיר את יחסי הגומלין לעיל. מהסעיף הקודם נובע שנדרשת זהירות כאשר מבקשים להוציא שורש של מספר מרוכב בכלל, ובפרט של היחידה המדומה: במספרים הממשיים, הטווח של השורש מוגדר להיות המספרים האי־שליליים, אבל במספרים המרוכבים אין דרך לשמור על העיקרון בצורה פשוטה. למשל, אילו היה ניתן להגדיר את השורש בצורה עקבית עם המקובל במספרים הממשיים, היה מתקבל: − 1 = i ⋅ i = − 1 ⋅ − 1 = ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) = 1 = 1 {\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1} שהיא סתירה. במקום זאת, לפונקציות מרוכבות רבות (ביניהן: שורש, לוגריתם ולפעמים אפילו חזקה) מוגדרים ענפים שונים, כך שכל אחד מהם הוא פונקציה רציפה. בפרט, לכל מספר יכולים להיות כמה שורשים שונים. ל- i {\displaystyle i} יש שני שורשים ריבועיים שהם: ± ( 2 2 + 2 2 i ) = ± 2 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle \pm \left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).} הוכחה ( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2   = ( ± 2 2 ) 2 ( 1 + i ) 2   = 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) = 1 2 ( 1 + 2 i − 1 )   = i .   {\displaystyle {\begin{aligned}\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ &=\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ \\&={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\\&={\frac {1}{2}}(1+2i-1)\ \\&=i.\ \\\end{aligned}}} שלושת השורשים ממעלה שלישית של i {\displaystyle i} הם: − i {\displaystyle -i} , + 3 2 + i 2 {\displaystyle +{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}} , − 3 2 + i 2 {\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}} . לפי המשפט היסודי של האלגברה, לכל מספר מרוכב יש בדיוק n שורשים ממעלה n. עבור i, השורשים ממעלה n הם n מספרים המפוזרים באופן אחיד על פני מעגל היחידה, כך שההפרש בארגומנט בין כל שני מספרים סמוכים הוא 2 π / n + 2 π m {\displaystyle 2\pi /n+2\pi m} (כאשר m {\displaystyle m} הוא מספר שלם). בצורה מדויקת יותר, אם מסדרים את n השורשים לפי הארגומנט שלהם, אז השורש ה-k ממעלה n של i הוא e i π ( 1 + 4 k ) / 2 n {\displaystyle e^{i\pi (1+4k)/2n}} , כאשר k ∈ { 0 , 1 , … , n − 1 } {\displaystyle k\in \left\{0,1,\dots ,n-1\right\}} . כפל של i במספר מרוכב i ( a + b i ) = a i + b i 2 = − b + a i . {\displaystyle i\,(a+bi)=ai+bi^{2}=-b+ai.} הופכי של i 1 i = 1 i ⋅ i i = i i 2 = i − 1 = − i . {\displaystyle {\frac {1}{i}}={\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{-1}}=-i.} חילוק ב-i a + b i i = − i ( a + b i ) = − a i − b i 2 = b − a i . {\displaystyle {\frac {a+bi}{i}}=-i\,(a+bi)=-ai-bi^{2}=b-ai.} שקול לסיבוב המספר המרוכב בפאזה של 90 מעלות. עצרת i ! = Γ ( 1 + i ) ≈ 0.4980 − 0.1549 i . {\displaystyle i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.} וכן | i ! | = π sinh ⁡ π {\displaystyle |i!|={\sqrt {\pi \over \sinh \pi }}} x n i = cos ⁡ ( n ln ⁡ x ) + i sin ⁡ ( n ln ⁡ x ) . {\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).} x n i = cos ⁡ ( ln ⁡ x n ) − i sin ⁡ ( ln ⁡ x n ) . {\displaystyle {\sqrt[{ni}]{x}}=\cos \left({\frac {\ln x}{n}}\right)-i\sin \left({\frac {\ln x}{n}}\right).} log i ⁡ ( x ) = 2 ln ⁡ x i π . {\displaystyle \log _{i}(x)={{2\ln x} \over i\pi }.} cos ⁡ ( i ) = cosh ⁡ ( 1 ) = e + 1 / e 2 = e 2 + 1 2 e ≈ 1.54308064.... {\displaystyle \cos(i)=\cosh(1)={{e+1/e} \over 2}={{e^{2}+1} \over 2e}\approx 1.54308064....} sin ⁡ ( i ) = i sinh ⁡ ( 1 ) = e − 1 / e 2 i = e 2 − 1 2 e i ≈ 1.17520119 i . . . . {\displaystyle \sin(i)=i\sinh(1)\,={{e-1/e} \over 2}\,i={{e^{2}-1} \over 2e}\,i\approx 1.17520119\,i....} נשים לב שכל הפעולות האלו נבחרו ביחס לענף הראשי של הפונקציות הרב ערכיות במישור המרוכב. בענפי מדע רבים, כגון הנדסת חשמל, נוהגים להחליף את השם של היחידה המדומה מ־i ל־j, עקב החשש לבלבול בסימון בין היחידה הדמיונית והזרם החשמלי שגם הוא מסומן ב־i קטנה. בהתאם לכך, שפת התכנות "פייתון" מסמנת את היחידה המדומה ב־j, ושפת התכנות MATLAB מקבלת את שני הסימונים. חלק מספרי הלימוד משתמשים באות היוונית יוטא: ( ι ) {\displaystyle (\iota )} כדי למנוע בלבול עם אינדקסים שמסומנים באות הלטינית i. Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials at Convergence סרטון הסבר על המספר i ביוטיוב I, באתר MathWorld (באנגלית) abs(i!)", באתר WolframAlpha