שמורה פולינומית

במתמטיקה, שמורה פולינומית ביחס לפעולה של חבורה G על מרחב וקטורי   V = span F ⁡ { x 1 , … , x m } {\displaystyle \ V=\operatorname {span} _{F}\{x_{1},\dots ,x_{m}\}} היא פולינום   f ∈ R = F [ x 1 , … , x m ] {\displaystyle \ f\in R=F[x_{1},\dots ,x_{m}]} הנשמר תחת הפעולה:   f ( g x 1 , … , g x m ) = f ( x 1 , … , x m ) {\displaystyle \ f(gx_{1},\dots ,gx_{m})=f(x_{1},\dots ,x_{m})} לכל   g ∈ G {\displaystyle \ g\in G} . השמורות תלויות בחבורה G, ובאופן שבו היא פועלת על המשתנים   x 1 , … , x m {\displaystyle \ x_{1},\dots ,x_{m}} (המהווה הצגה ליניארית שלה על המרחב V). אוסף השמורות מהווה תת-חוג של חוג הפולינומים, שאותו מקובל לסמן ב-   R G {\displaystyle \ R^{G}} . תורת השמורות הפולינומיות סובבת סביב המבנה של חוג הפולינומים, החל ממציאת יוצרים מפורשים עבור חבורה נתונה (היינו, קבוצת שמורות שאפשר להציג בעזרתה כל שמורה אחרת), וכלה בפרטי המבנה האלגברי של החוג. התוצאה הראשונה בתחום זה היא המשפט של ניוטון, שהוכיח שכל פונקציה סימטרית, היינו, שמורה של החבורה הסימטרית בפעולה הטבעית שלה על האינדקסים, היא פולינום ב"שמורות היסודיות"   p j = ∑ i 1 < ⋯ < i j x i 1 ⋯ x i j {\displaystyle \ p_{j}=\sum _{i_{1}<\dots <i_{j}}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{j}}} , עבור   j = 1 , … , m {\displaystyle \ j=1,\dots ,m} . לדוגמה, כל פולינום בשני משתנים המקיים   f ( x 1 , x 2 ) = f ( x 2 , x 1 ) {\displaystyle \ f(x_{1},x_{2})=f(x_{2},x_{1})} הוא למעשה פולינום בשני הביטויים   p 1 = x 1 + x 2 {\displaystyle \ p_{1}=x_{1}+x_{2}} ו-   p 2 = x 1 x 2 {\displaystyle \ p_{2}=x_{1}x_{2}} . לשמורות (בעיקר של החבורה הסימטרית) היה תפקיד חשוב בפתרון משוואות פולינומיות, משום שהמקדמים של פולינום הם פונקציות סימטריות של השורשים שלו, והן מופיעות מאז כחלק טבעי בפיתוח של תורת גלואה, במיוחד עבור שדות טרנסצנדנטיים. חקר השמורות הפולינומיות היה אחד התחומים המרכזיים באלגברה של המאה ה-19, שבה התמקד המחקר במציאת שמורות ושיטות לחישובן עבור חבורות שונות. התחום שינה את פניו כאשר דויד הילברט פתר, ב-1888, את הבעיה היסודית שלו, בהראותו שכל מערכת של שמורות נוצרת על ידי בסיס סופי (בלשון מודרנית, הוא הראה שהחוג   R G {\displaystyle \ R^{G}} נוצר סופית, כחוג). תוצאה זו נתקלה בתחילת הדרך בהתנגדות (פאול גורדן, מן המתמטיקאים החשובים באותה עת, פטר אותה כ"תאולוגיה"), משום שלא הייתה קונסטרוקטיבית. אמי נתר, תלמידתו של גורדן, הובילה אמנם את האלגברה המודרנית בכיוון הלא-קונסטרוקטיבי שייסד הילברט (בפתחה למשל את החוגים הנתריים), אבל גם מצאה פתרונות קונסטרוקטיביים לאותה בעיה יסודית (ראו להלן). שמורה פולינומית היא, כאמור, איבר של חוג הפולינומים, הנשמר תחת פעולה ליניארית של חבורה (סופית) G. לחוג הפולינומים יש דירוג טבעי לפי המעלה הכוללת,   R = F [ x 1 , … , x m ] = ⨁ R n {\displaystyle \ R=F[x_{1},\dots ,x_{m}]=\bigoplus R_{n}} , והפעולה של G על כל מרכיב הומוגני מושרית מן הפעולה על המרכיב הליניארי   V = R 1 {\displaystyle \ V=R_{1}} . כל עוד G סופית, ממד קרול של חוג השמורות   R G {\displaystyle \ R^{G}} שווה לזה של R, שהוא גם דרגת הטרנסצנדנטיות של שדה השברים, m. (לכל הצגה אי-פריקה עם קרקטר   χ {\displaystyle \ \chi } אפשר להגדיר את האוסף   R χ G {\displaystyle \ R_{\chi }^{G}} של שמורות ביחס ל-   χ {\displaystyle \ \chi } ; אלו מודולים מעל חוג השמורות המוחלטות,   R G {\displaystyle \ R^{G}} ). כל שמורה של G אפשר להציג כסכום של שמורות הומוגניות, כך שחוג השמורות מתפרק   R G = ∑ n R n G {\displaystyle \ R^{G}=\sum _{n}R_{n}^{G}} , והוא למעשה תת-אלגברה מדורגת של R. קבוצת יוצרים הומוגניים של חוג השמורות נקראת לפעמים "בסיס". לאחר שהילברט הוכיח שתמיד קיים בסיס סופי, השאלה המתבקשת היא מהן הדרגות של איברים בבסיס, ומהם הקשרים האלגבריים בין אברי בסיס, בהנחה שהם תלויים אלגברית. נקודת המבט המדורגת מביאה להגדרה של סדרת הילברט-פואנקרה (נקראת גם סדרת הילברט או סדרת פואנקרה) של החוג,   F G ( λ ) = ∑ n = 0 ∞ dim ⁡ ( R n G ) λ n {\displaystyle \ F_{G}(\lambda )=\sum _{n=0}^{\infty }\dim(R_{n}^{G})\lambda ^{n}} . כמו בכל היבט אחר של תורת ההצגות, "המקרה המודולרי", שבו סדר החבורה G מתחלק במאפיין של שדה הבסיס F, מסובך בהרבה מן המקרה הלא-מודולרי; בהמשך נטפל רק במקרה האחרון. נתר הוכיחה (במקרה הלא-מודולרי) שחוג השמורות נוצר על ידי העקבות   1 | G | ∑ g ∈ G g ( h ) {\displaystyle \ {\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}g(h)} של המונומים h ממעלה לכל היותר סדר החבורה. בפרט, חוג השמורות נוצר על ידי לכל היותר   ( | G | + m ) ! | G | ! m ! {\displaystyle \ {\frac {(|G|+m)!}{|G|!m!}}} איברים. זהו ניסוח קונקרטי למשפט שהוכיח הילברט, לפיו החוג נוצר סופית. משפט מוליין (אנ') מחשב את סדרת הילברט-פואנקרה של חוג השמורות:   F G ( λ ) = 1 | G | ∑ g ∈ G det ( 1 − λ g ) − 1 {\displaystyle \ F_{G}(\lambda )={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\det(1-\lambda g)^{-1}} כאשר הדטרמיננטה מחושבת במרחב האנדומורפיזמים שבו G משוכנת (ובהכללה לשמורות יחסיות:   F G , χ ( λ ) = 1 | G | ∑ g ∈ G χ ( g − 1 ) det ( 1 − λ g ) − 1 {\displaystyle \ F_{G,\chi }(\lambda )={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi (g^{-1})\det(1-\lambda g)^{-1}} ), והוא שימושי מאוד כשמכירים כמה שמורות יסודיות, ורוצים לוודא שאין שמורות נוספות (עם זאת, סדרת הילברט-פואנקרה אינה קובעת את הדרגות של השמורות היסודיות). לפי משפט הנורמליזציה של נתר, יש בחוג השמורות קבוצה בלתי-תלויה אלגברית מקסימלית, היוצרת תת-חוג   S {\displaystyle \ S} (איזומורפי בעצמו לחוג הפולינומים ב-m משתנים), שחוג השמורות כולו הוא מודול נוצר סופית מעליו. (אברי הקבוצה הראשונה נקראים שמורות ראשיות, ואברי קבוצה פורשת של מודול השמורות מעל S נקראים שמורות משניות). השאלה המרכזית, היא, אם כך, מהו המבנה של המודול הזה. מתברר שחוג השמורות הוא חוג כהן-מקולי, כלומר, מודול חופשי מעל תת-החוג S (תכונה זו אינה תלויה בבחירה של S). את קבוצת היוצרים של S אפשר לבחור באופן הבא: בוחרים   f 1 ≠ 0 {\displaystyle \ f_{1}\neq 0} ליניארי כלשהו, ולאחר שנבחרו   f 1 , … , f j {\displaystyle \ f_{1},\dots ,f_{j}} בוחרים   f j + 1 {\displaystyle \ f_{j+1}} ליניארי שאינו באיחוד של אף תת-מרחב מהצורה   ∑ i = 1 j g i f i {\displaystyle \ \sum _{i=1}^{j}g_{i}f_{i}} . הנורמות המצומצמות   N ( f i ) {\displaystyle \ N(f_{i})} , המוגדרות כמכפלת כל הצמודים השונים זה מזה של הפולינום הנתון, מהוות קבוצת יוצרים בלתי-תלויה כדרוש. כל הדרגות   d 1 , … , d m {\displaystyle \ d_{1},\dots ,d_{m}} המתקבלות באופן זה מחלקות את סדר החבורה G, ומכאן נובע שהמכפלה   ( 1 − λ | G | ) m F G ( λ ) {\displaystyle \ (1-\lambda ^{|G|})^{m}F_{G}(\lambda )} היא פולינום; מכאן ראיה (נוספת) לכך שסדרת הילברט-פואנקרה היא פונקציה רציונלית. ממשפט מוליין אפשר אז להסיק שחוג השמורות   R G {\displaystyle \ R^{G}} נוצר, כמודול מעל S, על ידי שמורות ממעלה   ∑ ( d i − 1 ) {\displaystyle \ \sum (d_{i}-1)} לכל היותר. המבנה המוצלח ביותר שיכול להיות לחוג השמורות הוא שיהיה בעצמו חוג פולינומים (בעל בסיס חופשי, כלומר שווה ל-S). מתברר ש-   R G {\displaystyle \ R^{G}} הוא חוג פולינומים אם ורק אם G נוצרת על ידי פסאודו-שיקופים, שהם העתקות (של V) שכל הערכים העצמיים שלהן - פרט לאחד בדיוק - שווים ל-1 (פסאודו-שיקוף שהערך העצמי האחרון שלו הוא 1- הוא שיקוף). זהו משפט Shephard-Todd-Chevalley-Serre. במקרה זה   | G | = d 1 ⋯ d m {\displaystyle \ |G|=d_{1}\cdots d_{m}} , וב-G יש בדיוק   ∑ ( d i − 1 ) {\displaystyle \ \sum (d_{i}-1)} פסאודו-שיקופים. (פסאודו-שיקוף צמוד או לחבורה אלכסונית, או למטריצה   1 + e 12 {\displaystyle \ 1+e_{12}} ). משפט Kemper-Malle מספק תוצאה אנלוגית במאפיין חיובי. במקרה הכללי אין לחוג השמורות קבוצת יוצרים בלתי-תלויה אלגברית, ולכן אין מנוס מהבנת הקשרים בין היוצרים. קשרים אלו נקראים syzygy מסדר ראשון (syzygy היא מילה קשה לתרגום שמובנה האסטרונומי הוא התלכדות שלושה גרמי שמיים על קו ישר אחד). הקשרים עצמם הם פולינומים, העשויים להיות תלויים אלגברית - והקשרים ביניהם נקראים syzygy מסדר שני. משפט ה-syzygy של הילברט קובע שתהליך זה מוכרח להסתיים. בלשון מודרנית מציגים את חוג השמורות כחוג מנה של חוג פולינומים   A = F [ y 1 , … , y s ] {\displaystyle \ A=F[y_{1},\dots ,y_{s}]} (כלומר, יש בסיס בן s שמורות הומוגניות, שמהן   m ≤ s {\displaystyle \ m\leq s} בלתי תלויות, ובין כל קבוצה גדולה יותר של שמורות יש בהכרח תלות אלגברית). מערכת הקשרים והקשרים בין הקשרים וכן הלאה מבוטאת דרך רזולוציה חופשית של   R G {\displaystyle \ R^{G}} כמודול מעל A (ומשפט ה-Syzygy פירושו שיש רזולוציה חופשית סופית). למעשה, אם 0 → F n → ⋯ → F 1 → F 0 → R G → 0 {\displaystyle \,0\rightarrow F_{n}\rightarrow \dots \rightarrow F_{1}\rightarrow F_{0}\rightarrow R^{G}\rightarrow 0} היא רזולוציה שבה ה-   F i {\displaystyle \ F_{i}} הם A-מודולים חופשיים, אפשר לחשב את סדרת הילברט-פואנקרה לפי הנוסחה   F G ( λ ) = ∑ ( ( − 1 ) i ∑ λ d i j ) ∏ ( 1 − λ d i ) − 1 {\displaystyle \ F_{G}(\lambda )=\sum ((-1)^{i}\sum \lambda ^{d_{ij}})\prod (1-\lambda ^{d_{i}})^{-1}} , כאשר   d i j {\displaystyle \ d_{ij}} הן הדרגות של היוצרים של   F i {\displaystyle \ F_{i}} . יש רזולוציה יחידה שבה הדרגה של כל   F i {\displaystyle \ F_{i}} היא הנמוכה ביותר האפשרית; הדרגות של המודולים המשתתפים בה הם מספרי בטי   β i ( R G ) {\displaystyle \ \beta _{i}(R^{G})} . אורכה של רזולוציה זו (שהיא גם הקצרה ביותר האפשרית) הוא s-m (תכונה זו שקולה לכך שחוג השמורות הוא כהן-מקולי). אם המרכיב האחרון ברזולוציה הוא מדרגה 1, אז חוג השמורות הוא חוג גורנשטיין (תכונה זו אינה תלויה בבחירת היוצרים   y 1 , … , y s {\displaystyle \ y_{1},\dots ,y_{s}} , או אפילו במספרם). חוג השמורות הוא גורנשטיין אם ורק אם   λ r ∑ det ( 1 − λ g ) − 1 = ∑ det ( g ) det ( 1 − λ g ) − 1 {\displaystyle \ \lambda ^{r}\sum \det(1-\lambda g)^{-1}=\sum \det(g)\det(1-\lambda g)^{-1}} . בפרט, G מוכלת בחבורה הליניארית המיוחדת של V אם ורק אם r=0 וחוג השמורות הוא גורנשטיין. בכל מקרה מתקיים   β 1 ( R G ) ≥ s − m {\displaystyle \ \beta _{1}(R^{G})\geq s-m} ; המקרה שבו יש שוויון נקרא חיתוך שלם (גם זו תכונה של חוג השמורות שאינה תלויה בבחירת היוצרים). במקרה זה לרזולוציה המינימלית יש צורה סטנדרטית, המאפשרת גם לחשב בקלות את סדרת הילברט-פואנקרה, וממנה נובעת גם תכונת גורנשטיין. תכונה חזקה עוד יותר היא המקרה שבו   β 1 ( R G ) = 1 {\displaystyle \ \beta _{1}(R^{G})=1} , המבטיח גם שהממד ההומולוגי יהיה 1. במקרה זה   R G {\displaystyle \ R^{G}} נקרא על-משטח (hypersurface); כל על-משטח הוא חיתוך שלם. Invariants of finite groups and their applications to combinatorics, Richard Stanley, Bull. AMS. 1(3), 1979.