משפט הרבע של קוב

באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית f {\displaystyle f} מכילה כדור ברדיוס | f ′ ( 0 ) | 4 {\displaystyle {\frac {|f'(0)|}{4}}} . פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה שממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה. המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי הגרמני פאול קוב (אנ') שתיאר אותו בשנת 1907. חשיבותו של המשפט טמונה בכך שהוא נותן הערכה תחתונה מדויקת לגבי מידת הפתיחה של פונקציות אוניוולנטיות, ומהווה כלי בסיסי להבנת ההתנהגות הגאומטרית של פונקציות אלו. מקור נוסף שמחזק את ההבנה של המשפט הוא משפט הקירוב של קוב, הקובע כי כל פונקציה אוניוולנטית במעגל היחידה יכולה להיות מקורבת במידת הרצון על ידי פונקציות אוניוולנטיות מסוג ספציפי הממקסמות את רדיוס ההכללה של התמונה. משפט הרבע של קוב הוא דוגמה לאחת מהתוצאות הרבות באנליזה מרוכבת שמחברות בין תכונות אנליטיות של פונקציות מרוכבות לבין התנהגותן הגאומטרית. תהי f : D → C {\displaystyle f:D\to \mathbb {C} } פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד חד ערכית, כאשר D = { z : | z | < 1 } {\displaystyle D=\{z:|z|<1\}} הוא מעגל היחידה. משפט הרבע של קוב טוען כי התמונה f ( D ) {\displaystyle f(D)} מכילה כדור ברדיוס | f ′ ( 0 ) | 4 {\displaystyle {\frac {|f'(0)|}{4}}} סביב f ( 0 ) {\displaystyle f(0)} . על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי a 0 = 0 , a 1 = 1 {\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1} , כלומר f ( z ) = z + ∑ n = 2 ∞ a n z n {\displaystyle f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }{a_{n}z^{n}}} . לכל w ∉ f ( D ) {\displaystyle w\not \in f(D)} , נגדיר h ( z ) = f ( z ) 1 − f ( z ) / w = z + ( a 2 + 1 w ) z 2 + … {\displaystyle h(z)={\frac {f(z)}{1-f(z)/w}}=z+(a_{2}+{\frac {1}{w}})z^{2}+\ldots } ; היא גם אוניוולנטית ב- D {\displaystyle D} . לפי משפט דה ברנז' על f , h {\displaystyle f,h} עבור n = 2 {\displaystyle n=2} , נקבל | 1 w | ≤ | a 2 | + | a 2 + 1 w | ≤ 4 {\displaystyle |{\frac {1}{w}}|\leq |a_{2}|+|a_{2}+{\frac {1}{w}}|\leq 4} , לכן d i s t ( w , 0 ) = | w | ≥ 1 4 {\displaystyle dist(w,0)=|w|\geq {\frac {1}{4}}} , כדרוש. פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית k : D → C − ( − ∞ , − 1 4 ) {\displaystyle k:D\to \mathbb {C} -(-\infty ,-{\frac {1}{4}})} הנתונה על ידי k ( z ) = ∑ n = 1 ∞ n z n = z ( 1 − z ) 2 {\displaystyle k(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n}}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} . זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב - מתקיים k ( 0 ) = 0 {\displaystyle k(0)=0} ו- − 1 4 ∉ k ( D ) {\displaystyle -{\frac {1}{4}}\not \in k(D)} . פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים b n {\displaystyle b_{n}} בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים | b n | ≤ n {\displaystyle |b_{n}|\leq n} . את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא. נביט בפונקציה u : D → J = { z : R e z > 0 } , u ( z ) = 1 + z 1 − z {\displaystyle u:D\to J=\{z:Rez>0\},u(z)={\frac {1+z}{1-z}}} . זוהי העתקה קונפורמית. הפונקציה u 2 ( z ) {\displaystyle u^{2}(z)} מעבירה את D {\displaystyle D} לכל המישור המרוכב בלי הקרן { z : R e z < 0 } {\displaystyle \{z:Rez<0\}} . כעת, נבצע את תהליך הנרמול על u 2 ( z ) {\displaystyle u^{2}(z)} ונקבל את פונקציית קוב - k ( z ) = 1 4 ( u 2 ( z ) − 1 ) = 1 4 ( ( 1 + z 1 − z ) 2 − 1 ) = z ( 1 − z ) 2 {\displaystyle k(z)={\frac {1}{4}}(u^{2}(z)-1)={\frac {1}{4}}(({\frac {1+z}{1-z}})^{2}-1)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} . במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול. פונקציה אוניוולנטית משפט דה ברנז' השערת גודמן