הבינום של ניוטון

במתמטיקה, הבינום של ניוטון היא נוסחה לפיתוח חזקות של סכום של שני איברים (בינום): ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}} . על פי נוסחת הבינום, ניתן לפתח את החזקה   ( x + y ) n {\displaystyle \ (x+y)^{n}} לסכום הכולל ביטויים מהצורה   a   x b   y c {\displaystyle \ a\ x^{b}\ y^{c}} , כאשר החזקות b {\displaystyle b} ו־ c {\displaystyle c} הן מספרים טבעיים המקיימים b + c = n {\displaystyle b+c=n} , והמקדם a {\displaystyle a} של כל ביטוי הוא מספר שלם חיובי ספציפי התלוי ב־ b {\displaystyle b} וב־ c {\displaystyle c} . לדוגמה: ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 . {\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.} המקדם a {\displaystyle a} בביטוי   a   x b   y c {\displaystyle \ a\ x^{b}\ y^{c}} מכונה מקדם בינומי: ( n b ) {\displaystyle {n \choose b}} או ( n c ) {\displaystyle {n \choose c}} (לשניהם יש אותו הערך). על פי הבינום של ניוטון ניתן לפתח כל חזקה שלמה של x + y {\displaystyle x+y} לסכום בצורה הזו: ( x + y ) n = ( n 0 ) x n y 0 + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n}} נוח להגדיר חזקת אפס כשווה ל־1 תמיד, משום ש:   a 0 = a n − n = a n a n = 1 {\displaystyle \ a^{0}=a^{n-n}={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=1} . בנוסף, המספר 1 הוא איבר יחידה ביחס לכפל כך ש: 1 ⋅ x = x ⋅ 1 = x {\displaystyle 1\cdot x=x\cdot 1=x} . כלומר, כל מספר כפול אחד שווה למספר עצמו ולכן גם מכפלה במספר כלשהו בחזקת אפס שווה למספר עצמו, כך ש: a 0 ⋅ x = x ⋅ a 0 = x {\displaystyle a^{0}\cdot x=x\cdot a^{0}=x} . בהתאם לכך, נהוג לעיתים לכתוב בנוסחת הבינום גם ( n 0 ) x n + … {\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}+\ldots } במקום ( n 0 ) x n y 0 + … {\displaystyle {\binom {n}{0}}x^{n}y^{0}+\ldots } , תוך השמטת הביטוי   y 0 {\displaystyle \ y^{0}} – שהרי כל מספר שיוכפל בו יהיה שווה לעצמו. מכאן שניתן לכתוב את נוסחת הבינום גם בדרך זו: ( x + y ) n = ( n 0 ) x n + ( n 1 ) x n − 1 y 1 + ( n 2 ) x n − 2 y 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x 1 y n − 1 + ( n n ) y n {\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}y^{n}} בעזרת סימן הסכום סיגמא גדולה (Σ), ניתן לסמן את נוסחת הבינום בדרך מקוצרת. כך שאם n מספר שלם, אז לכל x {\displaystyle x} ו־ y {\displaystyle y} מתקיים: ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x n − k y k = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}} , כאשר הביטוי האחרון נובע מקודמו, עקב הסימטריה בין x {\displaystyle x} ל־ y {\displaystyle y} בביטוי הראשון. ערך מורחב – מקדם בינומי המקדמים של x n − k y k {\displaystyle x^{n-k}y^{k}} המופיעים בביטויים של נוסחת הבינום הם מספרים שלמים חיוביים המכונה מקדמי הבינום. לכל 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} נגדיר: ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} הסימן "!" מציין עצרת, שהיא מכפלת כל המספרים הטבעיים מ-1 ועד למספר נתון. כלומר:   n ! = 1 × 2 × ⋯ × n {\displaystyle \ n!=1\times 2\times \cdots \times n} ובאופן דומה:   k ! = 1 × 2 × ⋯ × k {\displaystyle \ k!=1\times 2\times \cdots \times k} ,   ( n − k ) ! = 1 × 2 × ⋯ × ( n − k ) {\displaystyle \ (n-k)!=1\times 2\times \cdots \times (n-k)} כמו כן,   0 ! = 1 {\displaystyle \ 0!=1} . ניתן לכתוב את הנוסחה של מקדם הבינום גם כך: ( n k ) = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − ( k − 1 ) ) k ! = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 1 ) k ( k − 1 ) ⋯ 1 = ∏ ℓ = 1 k n − ℓ + 1 ℓ = ∏ ℓ = 0 k − 1 n − ℓ k − ℓ {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-(k-1))}{k!}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}} אף על פי שנוסחת הבינום מורכבת משבר, הערכים של המקדמים הבינומיים הם תמיד מספרים שלמים. ניתן לסדר את המקדמים הבינומיים כך שירכיבו יחדיו את משולש פסקל. זהו סידור של מספרים בצורת משולש, שקודקודו העליון מכיל את המספר 1 וכל מספר במשולש מהווה את סכום שני המספרים שנמצאים מעליו, כאשר המספרים שנמצאים על שוקי המשולש הם כולם 1. למקדמי הבינום שימושים רבים בקומבינטוריקה והסתברות. זאת משום שהמקדם הבינומי ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} הוא מספר תת-הקבוצות בגודל k שניתן לבחור מתוך קבוצה בגודל n. כלומר, זהו מספר האפשרויות לבחור   k {\displaystyle \ k} איברים מתוך   n {\displaystyle \ n} , ללא חזרות וללא חשיבות לסדר. תכונה מעניינת של מקדמי הבינום מתקבלת על ידי הצבה של x = y = 1 {\displaystyle x=y=1} בנוסחת הבינום: ( x + y ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k y n − k {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}} במקרה זה כל החזקות של X ושל Y בבינום הופכות ל-1, וכעת הבינום מבטא למעשה את סכום המקדמים בלבד: ( 2 ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) {\displaystyle (2)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}} ניתן לראות כי סכום המקדמים (כלומר הסכום של כל שורה ושורה במשולש פסקל) יהיה שווה תמיד לחזקה שלמה של 2. המקרים הראשונים של הנוסחה הם:   ( x + y ) 1 = x + y {\displaystyle \ (x+y)^{1}=x+y}   ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle \ (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}   ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 {\displaystyle \ (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}   ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 {\displaystyle \ (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}   ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 {\displaystyle \ (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}}   ( x + y ) 6 = x 6 + 6 x 5 y + 15 x 4 y 2 + 20 x 3 y 3 + 15 x 2 y 4 + 6 x y 5 + y 6 {\displaystyle \ (x+y)^{6}=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6}}   ( x + y ) 7 = x 7 + 7 x 6 y + 21 x 5 y 2 + 35 x 4 y 3 + 35 x 3 y 4 + 21 x 2 y 5 + 7 x y 6 + y 7 {\displaystyle \ (x+y)^{7}=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}} ראשית, נשים לב כי   ( x + y ) n = ( x + y ) ⋅ ( x + y ) ⋅ ⋯ ⋅ ( x + y ) {\displaystyle \ (x+y)^{n}=(x+y)\cdot (x+y)\cdot \dots \cdot (x+y)} . באגף ימין מופיעים   n {\displaystyle \ n} ביטויים המוכפלים זה בזה. התוצאה היא סכום של כל המכפלות האפשריות שבהן נבחר איבר אחד מכל אחד מהסוגריים. למשל,   ( x + y ) 2 = ( x + y ) ⋅ ( x + y ) = x ⋅ x + x ⋅ y + y ⋅ x + y ⋅ y = x 2 + 2 x y + y 2 {\displaystyle \ (x+y)^{2}=(x+y)\cdot (x+y)=x\cdot x+x\cdot y+y\cdot x+y\cdot y=x^{2}+2xy+y^{2}} , כשבוחרים את האיבר x מהסוגריים הראשונים ו-x מהשניים, x מהסוגריים הראשונים ו-y מהשניים, וכן הלאה. מכיוון שהסדר בהכפלת המשתנים אינו חשוב, הביטוי   x k y j {\displaystyle \ x^{k}y^{j}} מופיע בכל פעם שבוחרים k פעמים ב-x ו-j פעמים ב-y, ובהכרח k+j=n. לקביעת k המקומות מתוך n שבהם נבחר דווקא x יש   ( n k ) {\displaystyle \ {n \choose k}} אפשרויות, ולכן זהו המקדם של   x k y n − k {\displaystyle \ x^{k}y^{n-k}} . צריך להוכיח: ( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a k b n − k {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}} בדיקה עבור n=1 (ניתן לבדוק גם החל מ-n=0): ( a + b ) 1 = ∑ k = 0 1 ( 1 k ) a k b 1 − k {\displaystyle (a+b)^{1}=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{k}b^{1-k}} . ∑ k = 0 1 ( 1 k ) a k b 1 − k = ( 1 0 ) a 0 b 1 + ( 1 1 ) a 1 b 0 = b + a {\displaystyle \sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}a^{k}b^{1-k}={1 \choose 0}a^{0}b^{1}+{1 \choose 1}a^{1}b^{0}=b+a} . הנחת האינדוקציה: נניח נכונות עבור n=i : ( a + b ) i = ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k {\displaystyle (a+b)^{i}=\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}} . ונוכיח נכונות עבור n=i+1: ( a + b ) i + 1 = ∑ k = 0 i + 1 ( i + 1 k ) a k b i + 1 − k {\displaystyle (a+b)^{i+1}=\sum _{k=0}^{i+1}{i+1 \choose k}a^{k}b^{i+1-k}} . הוכחה:   ( a + b ) i + 1 = ( a + b ) i ( a + b ) {\displaystyle \ (a+b)^{i+1}=(a+b)^{i}(a+b)} . נשתמש בהנחת האינדוקציה ונחליף את   ( a + b ) i {\displaystyle \ (a+b)^{i}} ב- ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k {\displaystyle \sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}} . אזי ( a + b ) ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k = a ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k + b ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k = = ∑ k = 0 i ( i k ) a k + 1 b i − k + ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k + 1 = = ∑ k = 1 i + 1 ( i k − 1 ) a k b i − k + 1 + ∑ k = 0 i ( i k ) a k b i − k + 1 = = ( i i ) a i + 1 b 0 + ∑ k = 1 i ( i k − 1 ) a k b i − k + 1 + ( i 0 ) a 0 b i + 1 + ∑ k = 1 i ( i k ) a k b i − k + 1 = = a i + 1 + b i + 1 + ∑ k = 1 i ( ( i k − 1 ) + ( i k ) ) a k b i − k + 1 = a i + 1 + b i + 1 + ∑ k = 1 i ( i + 1 k ) a k b i − k + 1 = ∑ k = 0 i + 1 ( i + 1 k ) a k b i − k + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b)\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}&=a\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}+b\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k}=\\&=\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k+1}b^{i-k}+\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\\&=\sum _{k=1}^{i+1}{i \choose k-1}a^{k}b^{i-k+1}+\sum _{k=0}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\\&={i \choose i}a^{i+1}b^{0}+\sum _{k=1}^{i}{i \choose k-1}a^{k}b^{i-k+1}+{i \choose 0}a^{0}b^{i+1}+\sum _{k=1}^{i}{i \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\\&=a^{i+1}+b^{i+1}+\sum _{k=1}^{i}\left({i \choose k-1}+{i \choose k}\right)a^{k}b^{i-k+1}\\&=a^{i+1}+b^{i+1}+\sum _{k=1}^{i}{i+1 \choose k}a^{k}b^{i-k+1}=\sum _{k=0}^{i+1}{i+1 \choose k}a^{k}b^{i-k+1}\end{aligned}}} כאשר השתמשנו בזהות ( i k − 1 ) + ( i k ) = ( i + 1 k ) {\displaystyle {i \choose k-1}+{i \choose k}={i+1 \choose k}} ממשולש פסקל. בכך הושלמה הוכחת צעד האינדוקציה. מ.ש.ל. גרסה פשוטה של נוסחת הבינום מתקבלת על ידי הצבת המספר 1 במשתנה y, כך שהיא תכיל רק משתנה יחיד. בגרסה זו הנוסחה תראה כך: ( 1 + x ) n = ( n 0 ) x 0 + ( n 1 ) x 1 + ( n 2 ) x 2 + ⋯ + ( n n − 1 ) x n − 1 + ( n n ) x n , {\displaystyle (1+x)^{n}={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n},} או כך: ( 1 + x ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) x k . {\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.} הנוסחה עבור חזקה שלמה הייתה ידועה זמן רב לפני ניוטון. בלז פסקל חקר אותה במהלך המאה ה-17, אך הייתה ידועה גם למתמטיקאים שקדמו לו, ובהם הסיני יאנג חווי בן המאה ה-13, הפרסי עומר ח'יאם בן המאה ה-11, וההודי פינגלה בן המאה ה-3. את הגרסה הכללית, שבה החזקה יכולה להיות מספר כלשהו, פיתח ניוטון בעזרת השיטות של החשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי שהמציא (במקביל לגוטפריד וילהלם לייבניץ). ניוטון הראה שלכל r ממשי מתקיים   ( 1 + x ) r = ∑ j = 0 ∞ ( r j ) x j {\displaystyle \ (1+x)^{r}=\sum _{j=0}^{\infty }{r \choose j}x^{j}} , כאשר   ( r j ) = r ( r − 1 ) ⋯ ( r − j + 1 ) j ! {\displaystyle \ {r \choose j}={\frac {r(r-1)\cdots (r-j+1)}{j!}}} . זהו טור אינסופי, המתכנס אל הערך הנכון לכל x, ותקף גם כאשר r מרוכב. את המקרה הכללי אפשר לחשב לפי ( x + y ) r = x r ( 1 + y x ) r {\displaystyle (x+y)^{r}=x^{r}(1+{\tfrac {y}{x}})^{r}} . אם r טבעי, רק r+1 המקדמים הראשונים שונים מאפס, והטור הוא למעשה סכום סופי. עבור r=1/2, מתקבלת הנוסחה השימושית:   ( 1 + x ) 1 2 = 1 + x = 1 + 1 2 x − 1 8 x 2 + … {\displaystyle \ (1+x)^{\frac {1}{2}}={\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots } עבור r=-1 מתקבל הטור הגאומטרי:   ( 1 + x ) − 1 = 1 1 + x = 1 − x + x 2 − x 3 + … {\displaystyle \ (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+\dots } הוכחת הנוסחה נעשית באמצעות פיתוח טור טיילור עבור הפונקציה המרוכבת   f ( z ) = ( 1 + z ) r {\displaystyle \ f(z)=(1+z)^{r}} . התפלגות בינומית משפט המולטינום נוסחאות הכפל המקוצר גדי אלכסנדרוביץ', הבינום של ניוטון, באתר "לא מדויק", 22 ביוני 2010 הבינום של ניוטון, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) הבינום של ניוטון, באתר MathWorld (באנגלית) הבינום של ניוטון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)