פתרון קלעי סמורודינסקי

בתורת המשחקים, פתרון קלעי-סמורודינסקי ( K S {\displaystyle {\mathcal {KS}}} ) הוא פתרון למשחקי מיקוח, השונה מפתרון נאש. פתרון זה נקרא גם נקודת ההסכמה של קלעי וסמורודינסקי. פתרון זה נוצר כתוצאה מביקורת על העקרונות עליהם התבסס נאש ובראשם עיקרון האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות. המשפט המוכיח קיום ויחידות פתרון זה התפרסם על ידי אהוד קלעי ומאיר סמורודינסקי ב-1975. נגדיר משפחה F d {\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}} של משחקי מיקוח ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} המקיימים את התכונות הבאות: S {\displaystyle S} קמורה וקומפקטית. ∃ x : x ∈ S , x ≫ d {\displaystyle \exists x:x\in S,x\gg d} . כלומר, קיימת נקודה x ∈ S {\displaystyle x\in S} כך ש x 1 > d 1 , x 2 > d 2 {\displaystyle x_{1}>d_{1},x_{2}>d_{2}} . ∀ x ∈ S , [ d 1 , x 1 ] × [ d 2 , x 2 ] ⊆ S {\displaystyle \forall x\in S,[d_{1},x_{1}]\times [d_{2},x_{2}]\subseteq S} . כלומר, לכל x ∈ S {\displaystyle x\in S} , המלבן המוגדר על ידי x {\displaystyle x} ו־ d {\displaystyle d} מוכל בתוך S {\displaystyle S} . תכונה זאת נקראת קומפרהנסיביות. שתי התכונות הראשונות זהות לדרוש על ידי פתרון נאש. פתרון קלעי סמורודינסקי חולק עם פתרון נאש את שלושת העקרונות הראשונים: משחק מיקוח ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} הוא סימטרי אם הוא מקיים את התנאים הבאים: d 1 = d 2 {\displaystyle d_{1}=d_{2}} . כלומר, נקודת אי ההסכמה סימטרית. ( x 1 , x 2 ) ∈ S ⇔ ( x 2 , x 1 ) ∈ S {\displaystyle (x_{1},x_{2})\in S\Leftrightarrow (x_{2},x_{1})\in S} . כלומר, נקודה שייכת ל־ S {\displaystyle S} אם ורק אם הנקודה הסימטרית לה סביב האלכסון הראשי אף היא ב־ S {\displaystyle S} . פתרון φ {\displaystyle \varphi } מקיים את עקרון הסימטריה אם לכל משחק מיקוח סימטרי ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} הפתרון אף הוא סימטרי: φ 1 ( S , d ) = φ 2 ( S , d ) {\displaystyle \varphi _{1}(S,d)=\varphi _{2}(S,d)} . נקודה x ∈ S {\displaystyle x\in S} היא יעילה ב S {\displaystyle S} אם לא קיימת נקודה אחרת y ∈ S {\displaystyle y\in S} עבורה x ≤ y {\displaystyle x\leq y} . כלומר, עבור משחק מיקוח (S,d), נאמר כי נקודה היא יעילה ב S {\displaystyle S} אם לא קיימת נקודה אחרת ב- S {\displaystyle S} שעבורה ניתן להגדיל את התועלת של לפחות אחד השחקנים מבלי לפגוע בתועלת של השחקן השני. פתרון φ {\displaystyle \varphi } מקיים את עקרון היעילות אם לכל משחק מיקוח ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} הנקודה φ ( S , d ) {\displaystyle \varphi (S,d)} היא יעילה. פתרון φ {\displaystyle \varphi } מקיים את עקרון הקווריאנטיות תחת טרנספורמציות אפיניות חיוביות אם לכל משחק מיקוח ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} ולכל שני ווקטורים a , b ∈ R 2 {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{2}} כך ש־ a 1 , a 2 > 0 {\displaystyle a_{1},a_{2}>0} מתקיים: φ ( a S + b , a d + b ) = a φ ( S , d ) + b {\displaystyle \varphi (aS+b,ad+b)=a\varphi (S,d)+b} עיקרון רביעי, שיחד עם שלושת העקרונות הקודמים מאפיין את פתרון נאש, הוא עיקרון האי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות. כדי לאפיין את פתרון קלעי סמורודינסקי משתמשים בעיקרון המונוטוניות החלשה הבא: נגדיר נקודת אוטופיה m {\displaystyle m} במשחק ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} : m 1 ( S ) = max { x 1 : x ∈ S , x ≥ d } {\displaystyle m_{1}(S)=\max\{x_{1}:x\in S,x\geq d\}} m 2 ( S ) = max { x 2 : x ∈ S , x ≥ d } {\displaystyle m_{2}(S)=\max\{x_{2}:x\in S,x\geq d\}} כלומר, זוהי הנקודה בעלת ערכי הקואורינטות הגדולים ביותר המתקבלים על ידי נקודות ב־ S {\displaystyle S} . פתרון φ {\displaystyle \varphi } מקיים את עיקרון המונוטוניות החלשה אם לכל שני משחקי מיקוח ( S , d ) , ( T , d ) {\displaystyle (S,d),(T,d)} המקיימים: S ⊆ T {\displaystyle S\subseteq T} m 1 ( T ) = m 1 ( S ) , m 2 ( T ) = m 2 ( S ) {\displaystyle m_{1}(T)=m_{1}(S),m_{2}(T)=m_{2}(S)\!} מתקיים φ ( T , d ) ≥ φ ( S , d ) {\displaystyle \varphi (T,d)\geq \varphi (S,d)} . כלומר, אם משחק אחד מכיל את השני, הפתרון יהיה טוב לשחקנים לפחות כמו הפתרון הקודם. זהו שינוי לעומת פתרון נאש שאינו מבטיח מונוטוניות זאת. קיים פתרון יחיד K S {\displaystyle {\mathcal {KS}}} עבור משפחת המשחקים F d {\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}} המקיים את עקרונות הסימטריה, היעילות, אי תלות בטרנספורמציות אפיניות והמונוטוניות החלשה. פתרון זה מתקבל במשחק ( S , d ) {\displaystyle (S,d)} בנקודת החיתוך בין השפה של S {\displaystyle S} ובין הקטע המחבר את d {\displaystyle d} ואת נקודת האוטופיה m ( S ) {\displaystyle m(S)} . בגרסאות אחרות של הפתרון נקבעת נקודת אי ההסכמה כ־ ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,0)} , ואז מחלישים את הדרישה לאי תלות בטרנספורמציות אפיניות ומשתמשים בעיקרון אי תלות ביחידות מדידה. עיקרון זה דומה לאי תלות; הוא מאפשר לכפול ב־ a {\displaystyle a} , אך לא מאפשר להוסיף b {\displaystyle b} . מונוטוניות (משחק מיקוח) משחק מיקוח שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946 המאמר של קלעי וסמורודינסקי ב־JSTOR.