תנאי ליפשיץ

תנאי ליפשיץ (Lipschitz) הוא תנאי על פונקציות רציפות המאפיין את מידת הרציפות שלהן. אינטואיטיבית, פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ מוגבלת בקצב ההשתנות שלה, או בעלת השתנות חסומה: לכל קו המחבר שתי נקודות כלשהן על גרף הפונקציה יהיה שיפוע קטן יותר ממספר מסוים, הנקרא קבוע ליפשיץ של הפונקציה. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני רודולף ליפשיץ. לפונקציות שמקיימות את תנאי ליפשיץ חשיבות גדולה במשפט הקיום והיחידות של פתרון משוואות דיפרנציאליות רגילות. משפט נקודת השבת של בנך עוסק במקרה מיוחד של פונקציות המקיימות את תנאי ליפשיץ, הנקראות "העתקה מכווצת". פונקציה f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } עבור תחום פתוח U ⊂ R {\displaystyle U\subset \mathbb {R} } מקיימת את תנאי ליפשיץ או נקראת "רציפה ליפשיץ" ביחס לקבוע   K ≥ 0 {\displaystyle \ K\geq 0} , אם לכל   x , y ∈ U {\displaystyle \ x,y\in U} מתקיים   | f ( x ) − f ( y ) | ≤ K ⋅ | x − y | {\displaystyle \ |f(x)-f(y)|\leq K\cdot |x-y|} . הקבוע   K {\displaystyle \ K} הקטן ביותר המקיים את התנאי נקרא "קבוע ליפשיץ" של   f {\displaystyle \ f} . נשים לב כי מכיוון שאי-השוויון לעיל מתקיים תמיד אם   x = y {\displaystyle \ x=y} , ניתן להגדיר פונקציה כמקיימת את תנאי ליפשיץ אם ורק אם | f ( x ) − f ( y ) | | x − y | ≤ K {\displaystyle {\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|}}\leq K} עבור כל   x ≠ y {\displaystyle \ x\neq y} . במילים אחרות, אם ורק אם קבוצת השיפועים של הקווים החותכים את הפונקציה בשתי נקודות או יותר, חסומה. באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים ( X , d X ) , ( Y , d Y ) {\displaystyle \left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)} , פונקציה f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מקיימת את תנאי ליפשיץ ביחס לקבוע K > 0 {\displaystyle K>0} , אם לכל   x , y ∈ X {\displaystyle \ x,y\in X} מתקיים d Y ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ K ⋅ d X ( x , y ) {\displaystyle d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq K\cdot d_{X}\left(x,y\right)} . אם   K < 1 {\displaystyle \ K<1} הפונקציה נקראת העתקה מכווצת. אם קיים K ≥ 1 {\displaystyle K\geq 1} כך שמתקיים 1 K d X ( x 1 , x 2 ) ≤ d Y ( f ( x 1 ) , f ( x 2 ) ) ≤ K d X ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})} , אז   f {\displaystyle \ f} נקראת בי-ליפשיץ (או ביליפשיץ). זהו איזומורפיזם בקטגוריה של העתקות ליפשיץ. תנאי ליפשיץ הוא תכונה מקומית. כלומר, קיימות פונקציות המקיימות את תנאי ליפשיץ באופן מקומי, ושאינן מקיימות את תנאי ליפשיץ. כך למשל הפונקציה   f ( x ) = x 2 {\displaystyle \ f(x)=x^{2}} עם R {\displaystyle \mathbb {R} } כתחומה אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ. היא נעשית תלולה כרצוננו כאשר   x → ∞ {\displaystyle \ x\to \infty } . לעומת זאת, היא מקיימת את תנאי ליפשיץ באופן מקומי. הפונקציה   f ( x ) = x 2 {\displaystyle \ f(x)=x^{2}} המוגדרת על   [ − 3 , 7 ] {\displaystyle \ [-3,7]} מקיימת את תנאי ליפשיץ, וקבוע ליפשיץ שלה הוא   K = 14 {\displaystyle \ K=14} , על-פי חישוב הנגזרת (ראו להלן). הפונקציה   f ( x ) = x 2 + 5 {\displaystyle \ f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}} המוגדרת עבור כל המספרים הממשיים מקיימת את תנאי ליפשיץ, עם קבוע ליפשיץ   K = 1 {\displaystyle \ K=1} . הפונקציה   f ( x ) = | x | {\displaystyle \ f(x)=|x|} המוגדרת על הממשיים מקיימת את תנאי ליפשיץ וקבוע-ליפשיץ שלה הוא 1. זוהי דוגמה לפונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ שאינה גזירה. הפונקציה f ( x ) = x {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} המוגדרת על הקטע   [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ [0,1]} אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ. הפונקציה נעשית תלולה כרצוננו עבור x → 0 {\displaystyle x\to 0} מכיוון שהנגזרת שלה שואפת לאינסוף. לעומת זאת, הפונקציה מקיימת את תנאי הולדר מהמרחב   C 0 , α {\displaystyle \ C^{0,\alpha }} , עבור כל α ≤ 1 / 2 {\displaystyle \alpha \leq 1/2} . עבור מרחב מטרי כלשהו   ( X , d ) {\displaystyle \ (X,d)} ותת קבוצה   A {\displaystyle \ A} אז הפונקציה   f ( x ) = inf { a ∈ R ≥ 0 : ∃ y ∈ A , d ( x , y ) = a } {\displaystyle \ f(x)=\inf\{a\in \mathbb {R} _{\geq 0}\colon \exists y\in A,d(x,y)=a\}} היא פונקציית ליפשיץ פונקציה   g {\displaystyle \ g} הגזירה בכל מקום מקיימת את תנאי ליפשיץ (עם   K = sup | g ′ ( x ) | {\displaystyle \ K={\mbox{sup}}|g'(x)|} ‎) אם ורק אם הנגזרת הראשונה שלה חסומה - כיוון אחד נובע ממשפט הערך הממוצע של לגראנז'. כך, כל פונקציה ב-   C 1 {\displaystyle \ C^{1}} מקיימת את תנאי ליפשיץ באופן לוקלי, מכיוון שפונקציות רציפות על מרחב קומפקטי מקומי הן חסומות באופן מקומי. תנאי ליפשיץ משתמר על ידי התכנסות במידה שווה: אם סדרה של פונקציות מקיימות את תנאי ליפשיץ   { f k } {\displaystyle \ \{f_{k}\}} מתכנסת במידה שווה ל-   f {\displaystyle \ f} , אז גם   f {\displaystyle \ f} מקיימת את תנאי ליפשיץ. פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ היא רציפה במידה שווה ולכן בפרט רציפה. ההפך לא נכון: לדוגמה, הפונקציה   f ( x ) = x {\displaystyle \ f(x)={\sqrt {x}}} רציפה במידה שווה בקטע   [ 0 , 1 ] {\displaystyle \ [0,1]} , אך אינה מקיימת את תנאי ליפשיץ שם. פונקציה בי-ליפשיץ היא פונקציה רציפה-ליפשיץ שגם הפונקציה ההופכית שלה היא רציפה-ליפשיץ. בהינתן פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ באופן לוקלי   f : X → Y {\displaystyle \ f:X\to Y} , הצמצום של   f {\displaystyle \ f} לכל קבוצה קומפקטית   U ⊆ X {\displaystyle \ U\subseteq X} הוא רציף-ליפשיץ. אם   U {\displaystyle \ U} היא תת-קבוצה של המרחב המטרי   X {\displaystyle \ X} , ו- f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } היא העתקה רציפה-ליפשיץ, קיימת העתקה רציפה-ליפשיץ המרחיבה את   f {\displaystyle \ f} ל-   X {\displaystyle \ X} בעלת אותו קבוע-ליפשיץ כמו של   f {\displaystyle \ f} (ראו גם משפט קירשבראון). משפט ראדמאכר: אם   A {\displaystyle \ A} היא תת-קבוצה פתוחה של R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , והפונקציה f : A → R m {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} ^{m}} מקיימת את תנאי-ליפשיץ, אז   f {\displaystyle \ f} גזירה כמעט בכל מקום ב- A   {\displaystyle A\ } (כלומר, היא גזירה בכל מקום למעט בקבוצה בעלת מידת לבג 0). כל פונקציה המקיימת את תנאי ליפשיץ מקיימת את תנאי הלדר. תנאי הלדר רציפות של פונקציה רציפות בהחלט תנאי ליפשיץ, באתר MathWorld (באנגלית)