פונקציות ברילואן ולנז'וון

פונקציות ברילואן ולנז'וון הן זוג פונקציות מיוחדות [דרושה הבהרה] המשמשות לחקר חומר פאראמגנטי אידיאלי במכניקה סטטיסטית. פונקציית ברילואן (על שמו של לאון ברילואן) היא פונקציה מיוחדת המוגדרת על ידי המשוואה הבאה: B J ( x ) = 2 J + 1 2 J coth ⁡ ( 2 J + 1 2 J x ) − 1 2 J coth ⁡ ( 1 2 J x ) {\displaystyle B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)} הפונקציה מיושמת בדרך כלל (ראה להלן) בהקשר שבו x הוא משתנה ממשי ו-J הוא מספר חיובי שלם או חצי-שלם. במקרה זה, הפונקציה משתנה מ-1 עד 1, מתקרבת ל-1 כאשר x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } ול-1- כאשר x → − ∞ {\displaystyle x\to -\infty } . הפונקציה ידועה בעיקר בשל השימוש שנעשה בה לצורך חישוב המגנוט של פאראמגנט אידיאלי. ליתר פירוט, היא מתארת את התלות של המגנטיזציה M בשדה המגנטי B ובתנע הזוויתי הקוונטי הכולל J של המומנטים המגנטיים המיקרוסקופיים של החומר. המגנטיזציה ניתנת על ידי: M = N g μ B J ⋅ B J ( x ) {\displaystyle M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)} כאשר: N {\displaystyle N} הוא מספר האטומים ליחידת נפח. g {\displaystyle g} הוא פקטור g. μ B {\displaystyle \mu _{B}} הוא מגנטון בוהר. x {\displaystyle x} הוא היחס בין אנרגיית זימן של המומנט המגנטי בשדה החיצוני לבין האנרגיה התרמית k B T {\displaystyle k_{B}T} : x = g μ B J B k B T {\displaystyle x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}} k B {\displaystyle k_{B}} הוא קבוע בולצמן ו- T {\displaystyle T} היא הטמפרטורה. במערכת היחידות SI, השדה המגנטי B {\displaystyle B} נמדד ביחידות טסלה ו- B = μ 0 H {\displaystyle B=\mu _{0}H} כאשר H {\displaystyle H} הוא השדה המגנטי בריק הנמדד ביחידות A/m ו- μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} הוא קבוע הפרמאביליות בריק. בגבול הקלאסי, כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי, והתנע הזוויתי J → + ∞ {\displaystyle J\to +\infty } . אזי, ניתן לפשט את פונקציית ברילואן לפונקציית לנז'וון, (על שמו של פול לנז'וון): L ( x ) = coth ⁡ ( x ) − 1 x {\displaystyle L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}} עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון על ידי חיתוך טור טיילור: L ( x ) = 1 3 x − 1 45 x 3 + 2 945 x 5 − 1 4725 x 7 + … {\displaystyle L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots } חלופה טובה יותרכאש לקירוב עבור פונקציית לנז'וון ניתן לקבל מהצגת tanh ⁡ ( x ) {\displaystyle \tanh(x)} כשבר משולב על פי למברט: L ( x ) = x 3 + x 2 5 + x 2 7 + x 2 9 + … {\displaystyle L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}} פונקציית לנז'וון ההפוכה L − 1 ( x ) {\displaystyle L^{-1}(x)} , מוגדרת במרווח הפתוח (1, 1-).עבור ערכים קטנים של x, ניתן לקבל קירוב לפונקציית לנז'וון ההפוכה על ידי חיתוך טור טיילור: L − 1 ( x ) = 3 x + 9 5 x 3 + 297 175 x 5 + 1539 875 x 7 + … {\displaystyle L^{-1}(x)=3x+{\tfrac {9}{5}}x^{3}+{\tfrac {297}{175}}x^{5}+{\tfrac {1539}{875}}x^{7}+\dots } כאשר x ≪ 1 {\displaystyle x\ll 1} , כלומר, כאשר μ B B / k B T {\displaystyle \mu _{B}B/k_{B}T} קטן מאוד - בגבול טמפרטורה T {\displaystyle T} גבוהה, ערך המגנטיזציה ניתן לקירוב על ידי חוק קירי: M = C ⋅ B T {\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}}} כאשר, C = N g 2 J ( J + 1 ) μ B 2 3 k B {\displaystyle C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}} הוא קבוע ומגנטון בוהר האפקטיבי הוא g J ( J + 1 ) μ B {\displaystyle g{\sqrt {J(J+1)}}\mu _{B}} . כאשר x → + ∞ {\displaystyle x\to +\infty } פונקציית ברילואן שואפת ל-1. אזי, המגנטיזציה מגיעה לרוויה כאשר כל המומנטים המגנטיים מיושרים בכיוון השדה המגנטי: M = N g μ B J {\displaystyle M=Ng\mu _{B}J} מדיה וקבצים בנושא פונקציות ברילואן ולנז'וון בוויקישיתוף C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 8th Edition, .John Wiley & Sons, Inc, 2004, עמ' 303-304, ISBN 978-0-471-41526-8 .Darby, M.I, "Tables of the Brillouin function and of the related function for the spontaneous magnetization", Brit. J. Appl. Phys. 18, 1967, עמ' 1415–1417 Johal, A. S.; Dunstan, D. J., "Energy functions for rubber from microscopic potentials", Journal of Applied Physics 101, 2007