אוקלידס

אֵוּקלידס (ביוונית: Εὐκλείδης;‏ 365 לפנה"ס – 275 לפנה"ס) הידוע גם כאוקלידס מאלכסנדריה, היה מתמטיקאי יווני הנחשב לאבי הגאומטריה. הוא היה פעיל באלכסנדריה במהלך שלטונו של תלמי הראשון (323–283 לפני הספירה). בספרו "היסודות" ערך בצורה שיטתית את מרבית הידע המתמטי והתוצאות המתמטיות שנצברו עד לאותה תקופה. בספרו ה"יסודות" הסיק אוקלידס את העקרונות של מה שנקרא כיום בשם "גאומטריה אוקלידית" מאוסף קטן של אקסיומות. ספר זה הוא אחת היצירות המשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה, והיה ספר הלימוד המרכזי במתמטיקה (במיוחד בגאומטריה) מזמן פרסומו עד סוף המאה ה-19 או תחילת המאה ה-20. אוקלידס כתב גם על פרספקטיבה, חתכי חרוט, גאומטריה כדורית וריגורוזיות. מעט ידוע על חייו של אוקלידס, מכיוון שיש מעט אזכורים שלו בספרות. תאריך ומקום הולדתו של אוקלידס כמו גם תאריך ומקום מותו אינם ידועים, והם מוערכים בצורה גסה בצמוד לדמויות התקופתיות הנקשרות בשמו באזכורים. אין שום תיאור של מראהו החיצוני של אוקלידס אשר שרד ולכן תיאורו במסגרת יצירות אמנות מודרניות נשען אך ורק על דמיונו של האמן ולמעשה, רפאל צייר את עמיתו דונטו ברמנטה בדמותו של אוקלידס. יש גם הסוברים כי הדמות מתייחסת לארכימדס. האזכורים ההיסטוריים המעטים לאוקלידס נכתבו מאות שנים אחרי חייו, על ידי פרוקלוס ופאפוס מאלכסנדריה. פרוקלוס מציג את אוקלידס בקצרה בלבד בחיבורו מהמאה ה-5 "הערות על היסודות" כעורך של "היסודות", מציין שהוא הוזכר על ידי ארכימדס, ושהמלך תלמי שאל אותו האם יש דרך קצרה יותר ללמוד גאומטריה מאשר באמצעות יצירתו היסודות ואוקלידס השיב לו כי "אין דרך המלך ללימוד גאומטריה". אף על פי שהציטוט לכאורה של אוקלידס בידי ארכימדס נתברר בסופו של דבר כעיבוד של עורכים של עבודותיו, עדיין סביר להניח כי אוקלידס כתב את עבודותיו לפני אלו של ארכימדס. בנוסף, אמיתות אנקדוטת "שביל המלך" מוטלת בספק ומכיוון שהיא מזכירה מאוד סיפור דומה על מנכמוס ואלכסנדר הגדול. באזכור המפתח הנוסף והיחידי לאוקלידס פאפוס מציין כי אפולוניוס "בילה זמן רב מאוד בחברת תלמידיו של אוקלידס באלכסנדריה, וזאת הייתה הדרך בה רכש הרגלי חשיבה כה מדעיים". מן הממצאים ההיסטוריים עולה כי ככל הנראה שאוקלידס למד באקדמיה של אפלטון באתונה. ערך מורחב – היסודות של אוקלידס אף על פי שרבות מהתוצאות ב"יסודות" מקורן במתמטיקאים לפני אוקלידס, ההישג המרכזי של אוקלידס היה הצגתן במסגרת יחידה, עקבית לוגית, עם הגדרות, הנחות והנחות יסוד שאותן כינה אקסיומות. הספר מתקדם הוכחה אחר הוכחה, כאשר כל הוכחה מתבססת על קודמתה, והוא כלל מערכת של הוכחות מתמטיות ריגורוזיות שנשארה הבסיס של המתמטיקה עד 23 מאות מאוחר יותר. ה"יסודות" הציגה לעולם את הדוגמה הראשונה למערכת אקסיומטית ובכלל לארגון שיטתי של ידע מתמטי. בזכות יצירה זו נחשב אוקלידס לאבי הגישה האקסיומטית במתמטיקה בפרט ובמדע בכלל. המבנה השיטתי של הספר הפך אותו לנוח לשימוש ולציטוט, והוא היה מקור לרעיונות ולתובנות במשך המאות הבאות. לא קיים אזכור של אוקלידס מעותקים הקדומים ביותר של ה"יסודות", וברוב העותקים כתוב שהם מ-"העריכה של תאון" או ה-"הרצאות של תאון", בעוד שהטקסט הראשוני, שמוחזק בידי הוותיקן, אינו מציין שום כותב. האזכור היחידי שעליו מסתמכים היסטוריונים בקביעתם כי אוקלידס כתב את ה"יסודות" הוא מפרוקלוס, אשר בתמציתיות מתאר בחיבורו "הערות על היסודות" את אוקלידס כמחברו. אף על פי שהוא ידוע בעיקר בזכות התוצאות הגאומטריות שלו, ה"יסודות" כולל בתוכו גם תוצאות בתורת המספרים. הוא מתאר את הקשר בין מספרים מושלמים ומספרי מרסן, כולל הוכחה כי קיימים אינסוף מספרים ראשוניים, הלמה של אוקלידס על פירוק לגורמים (אשר מוביל למשפט היסודי של האריתמטיקה על יחידות הפירוק לגורמים ראשוניים), ואלגוריתם אוקלידס למציאת המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים. המבנה הלוגי המסודר, היוצא מהנחות מצומצמות ככל האפשר ומגיע מהן למסקנות מרחיקות לכת, הצית את דמיונם של מדענים שקראו בו במשך הדורות. גדולי המדע במאות ה-16 וה-17, בהם קופרניקוס, קפלר, גלילאו וניוטון הושפעו רבות מן ה"יסודות" ויישמו בעבודתם את גישתו של אוקלידס, ואילו אלברט איינשטיין אף כינה את ה"יסודות" בתור "הספר השמימי". במשך שנים הייתה המערכת הגאומטרית שאוקלידס הגדיר ב"יסודות" מוכרת בתור הגאומטריה (בה"א הידיעה), אולם בימינו מערכת זו נקראת גאומטריה אוקלידית, כדי להבדיל בינה לבין הגאומטריות הלא אוקלידיות אשר פותחו במאה ה-19. בנוסף ליסודות, לפחות חמש עבודות של אוקלידס שרדו עד התקופה הנוכחית. הן נבנו לפי אותו הדגם של המבנה הלוגי של היסודות, עם הגדרות וטענות מוכחות: הנתונים (Data) – מכיל בעיקר בעיות גאומטריות. על חלוקות של צורות (on Divisions of Figures), אשר שרד רק באופן חלקי בתרגום לערבית, עוסק בחלוקה של צורות גאומטריות לשניים או יותר חלקים זהים או לחלקים עם יחס פרופורציה נתון. זה דומה לעבודה מהמאה הראשונה לספירה על ידי הרון מאלכסנדריה. תורת הבבואות (catoptrics) – עוסק בתאוריה המתמטית של מראות, ובאופן ספציפי בדמויות שנוצרות על ידי מראות קמורות מישוריות וכדוריות. הפנומנה (Phaenomena) – חיבור על אסטרונומיה ספירית, עוסק ביישומים של גאומטריה כדורית לשימושם של אסטרונומים. הספר בין היתר מספק תוצאות על הזמנים שכוכבים במיקומים מסוימים יזרחו וישקעו. אופטיקה (Optics) – הספר הנרחב הראשון בנושא; עוסק בפרספקטיבה ויזואלית; כיצד עצמים נראים לעין ממרחקים שונים וזוויות שונות. עבודות נוספות המיוחסות לאוקלידס, אבדו. ביניהן: conics, עבודה על חתכי חרוט שהורחבה מאוחר יותר על ידי אפולוניוס מפרגה. מן האזכורים ההיסטוריים עולה כי ככל הנראה שמשפט דזארג הופיע בפעם הראשונה והוכח בעבודה אבודה זו. משפט יסודי זה הוא הבסיס לגאומטריה הפרויקטבית. Book Of Fallacies – טקסט אלמנטרי על טעויות בהסקת מסקנות. הספר דן בכשלים לוגיים. מספר ספרים על מכניקה מיוחסים לאוקלידס לפי מקורות ערביים. על הכבד ועל הקל מכיל, בתשע הגדרות וחמש טענות, תובנות אריסטוטליות על גופים נעים ומושג המשקל הסגולי. על שיווי המשקל עוסק בתאוריה של המנוף בסגנון אוקלידי דומה, ומכיל הגדרה אחת, שתי אקסיומות, וארבע טענות. קטע שלישי, העוסק במעגלים המתוארים על ידי קצותיו של מנוף נע, מכיל ארבע טענות. שלוש העבודות האלה משלימות כל אחת את האחרות באופן שמעורר חשד כי הם שרידים של חיבור יחיד על מכניקה של אוקלידס. מדיה וקבצים בנושא אוקלידס בוויקישיתוף אוקלידס, ברשת החברתית Goodreads אוקלידס, באתר MacTutor (באנגלית) Interactive version of Euclid's Element אוקלידס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) כתבי אוקלידס בפרויקט גוטנברג (באנגלית) כתב יד, ספר היסודות לאוקלידס, פריס, מאה 13, בפרויקט "כתיב" באתר הספרייה הלאומית אוקלידס, דף שער בספרייה הלאומית אוקלידס, באתר אנציקלופדיית ההיסטוריה העולמית (באנגלית)