משפט השאריות הסיני

משפט השאריות הסיני הוא שמם של מספר משפטים בתורת המספרים ובתורת החוגים, הקשורים זה לזה. בצורתו הבסיסית והמקורית המשפט עוסק במערכת של משוואות מודולריות ומבטיח קיום של פתרון למערכת תחת תנאים מסוימים. מקורו של המשפט בספר מהמאה ה-3 של המתמטיקאי הסיני סן-צו, ומכאן שמו. המשפט פורסם פעם נוספת במאה ה-13 על ידי מתמטיקאי סיני נוסף, צ'ין ג'יו-האו. יהיו n 1 , … , n k {\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}} מספרים טבעיים זרים בזוגות (כלומר המחלק המשותף המקסימלי של כל שניים מהם הוא 1). יהיו a 1 , … , a k {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}} מספרים שלמים כאשר 0 ≤ a i ≤ n i − 1 {\displaystyle 0\leq a_{i}\leq n_{i}-1} . אזי למערכת המשוואות x ≡ a i ( mod n i ) : i = 1 , … , k {\displaystyle x\equiv a_{i}\!\!\!\!{\pmod {\!n_{i}}}\quad :i=1,\ldots ,k} קיים פתרון יחיד מודולו n = n 1 ⋯ n k {\displaystyle n=n_{1}\cdots n_{k}} . בניסוח אחר, מופשט יותר, המשפט קובע שהחוג Z / ( n 1 ⋯ n k ) Z {\displaystyle \mathbb {Z} /(n_{1}\cdots n_{k})\mathbb {Z} } איזומורפי לסכום הישר של החוגים Z / n 1 Z ⊕ ⋯ ⊕ Z / n k Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /n_{k}\mathbb {Z} } . רעיון ההוכחה הוא למצוא בסיס בו מודולו n i {\displaystyle n_{i}} הם 1 ומודולו n j {\displaystyle n_{j}} (כאשר i ≠ j {\displaystyle i\neq j} ) הם 0. תוצאות אלה בונות בסיס למרחב הפתרונות, והפתרון המבוקש הוא צירוף ליניארי של איברי בסיס עם המקדמים החופשיים במשוואות המודולריות. נגדיר N i = n n i {\displaystyle N_{i}={\frac {n}{n_{i}}}} ואז מתקיים כי n i , N i {\displaystyle n_{i},N_{i}} זרים (מאחר ש- n i {\displaystyle n_{i}} זר לכל גורם במכפלה N i {\displaystyle N_{i}} ). לכן לקונגרואנציה הליניארית N i x ≡ 1 ( mod n i ) {\displaystyle N_{i}x\equiv 1\!\!\!\!{\pmod {\!n_{i}}}} קיים פתרון יחיד x i {\displaystyle x_{i}} . N i x i ≡ 1 ( mod n i ) N i x i ≡ 0 ( mod n j ) : i ≠ j {\displaystyle {\begin{aligned}&N_{i}x_{i}\equiv 1\!\!\!\!{\pmod {\!n_{i}}}\\&N_{i}x_{i}\equiv 0\!\!\!\!{\pmod {\!n_{j}}}\quad :i\neq j\end{aligned}}} בנינו בסיס למערכת המשוואות. נסכם בעזרת הדלתא של קרונקר: N i x i ≡ δ i j ( mod n j ) x = ∑ i = 1 k a i N i x i ≡ ∑ i = 1 k a i δ i j ≡ a j ( mod n j ) {\displaystyle {\begin{aligned}N_{i}x_{i}\equiv \delta _{ij}\!\!\!\!{\pmod {\!n_{j}}}\\x=\sum _{i\,=\,1}^{k}a_{i}N_{i}x_{i}\equiv \sum _{i\,=\,1}^{k}a_{i}\delta _{ij}\equiv a_{j}\!\!\!\!{\pmod {\!n_{j}}}\end{aligned}}} לסיום, יהי y {\displaystyle y} פתרון אחר. אזי לכל i {\displaystyle i} מתקיים כי n i ∣ ( x − y ) {\displaystyle n_{i}\mid (x-y)} ומאחר שכל ה- n i {\displaystyle n_{i}} זרים נובע שגם n ∣ ( x − y ) {\displaystyle n\mid (x-y)} , ומכאן ששני הפתרונות שקולים מודולו n {\displaystyle n} . בכך הסתיימה ההוכחה, שמציגה גם אלגוריתם מהיר לפתרון מערכת קונגרואנציות. ◼ {\displaystyle \blacksquare } נפתור את מערכת המשוואות הבאה: x ≡ 1 ( mod 3 ) x ≡ 2 ( mod 4 ) x ≡ 3 ( mod 5 ) N 1 = 4 ⋅ 5 = 20 N 2 = 3 ⋅ 5 = 15 N 3 = 3 ⋅ 4 = 12 N 1 x 1 = 20 ⋅ 2 = 40 ≡ 1 ( mod 3 ) N 2 x 2 = 15 ⋅ 3 = 45 ≡ 1 ( mod 4 ) N 3 x 3 = 12 ⋅ 3 = 36 ≡ 1 ( mod 5 ) x = 1 ⋅ 20 ⋅ 2 + 2 ⋅ 15 ⋅ 3 + 3 ⋅ 12 ⋅ 3 = 238 ≡ 58 ( mod 60 ) {\displaystyle {\begin{matrix}\color {blue}x\equiv 1\!{\pmod {\!3}}\\\color {blue}x\equiv 2\!{\pmod {\!4}}\\\color {blue}x\equiv 3\!{\pmod {\!5}}\\\\N_{1}=4\cdot 5=20\\N_{2}=3\cdot 5=15\\N_{3}=3\cdot 4=12\\\\N_{1}x_{1}=20\cdot 2=40\equiv 1\!{\pmod {\!3}}\\N_{2}x_{2}=15\cdot 3=45\equiv 1\!{\pmod {\!4}}\\N_{3}x_{3}=12\cdot 3=36\equiv 1\!{\pmod {\!5}}\\\\x=1\cdot 20\cdot 2+2\cdot 15\cdot 3+3\cdot 12\cdot 3=238\equiv 58\!{\pmod {\!60}}\end{matrix}}} נוודא שזהו אכן פתרון: 58 ≡ 1 ( mod 3 ) 58 ≡ 2 ( mod 4 ) 58 ≡ 3 ( mod 5 ) {\displaystyle {\begin{matrix}58\equiv 1\!{\pmod {\!3}}\\58\equiv 2\!{\pmod {\!4}}\\58\equiv 3\!{\pmod {\!5}}\end{matrix}}} מסקנה של המשפט היא כי Z / ( n 1 ⋯ n k ) Z ≅ Z / n 1 Z ⊕ ⋯ ⊕ Z / n k Z {\displaystyle \mathbb {Z} /(n_{1}\cdots n_{k})\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /n_{k}\mathbb {Z} } . יהי x ∈ Z / ( n 1 ⋯ n k ) Z {\displaystyle x\in \mathbb {Z} /(n_{1}\cdots n_{k})\mathbb {Z} } , אפשר לשכן אותו ב- Z / n 1 Z ⊕ ⋯ ⊕ Z / n k Z {\displaystyle \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /n_{k}\mathbb {Z} } על ידי x ↦ ( x mod n 1 , … , x mod n k ) {\displaystyle x\mapsto (x{\bmod {n}}_{1},\ldots ,x{\bmod {n}}_{k})} ובכיוון ההפוך, יהי ( a 1 , … , a k ) ∈ Z / n 1 Z ⊕ ⋯ ⊕ Z / n k Z {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} /n_{k}\mathbb {Z} } . לפי משפט השאריות הסיני קיים x ∈ Z / ( n 1 ⋯ n k ) Z {\displaystyle x\in \mathbb {Z} /(n_{1}\cdots n_{k})\mathbb {Z} } כך שמתקיים ∀ j = 1 , … , k : x ≡ a j ( mod n j ) {\displaystyle \forall j=1,\ldots ,k:x\equiv a_{j}{\pmod {n_{j}}}} , ולכן נתאים ( a 1 , … , a k ) ↦ x {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})\mapsto x} כאשר x הוא זה שמתקבל ממשפט השאריות הסיני והוא יחיד עד כדי מודולו n = n 1 ⋯ n k {\displaystyle n=n_{1}\cdots n_{k}} . שתי ההתאמות הללו הן הומומורפיזמים הופכיים אחד של השני ולכן מגדירות איזומורפיזם בין שני החוגים. יהי R {\displaystyle R} חוג עם יחידה (לאו דווקא קומוטטיבי). נניח כי האידיאלים I 1 , … , I k {\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}} זרים בזוגות (או "מקסימליים הדדית"), כלומר I i + I j = R {\displaystyle I_{i}+I_{j}=R} לכל i ≠ j {\displaystyle i\neq j} . אז חוג המנה R / ( I 1 ∩ ⋯ ∩ I k ) {\displaystyle R/(I_{1}\cap \cdots \cap I_{k})} איזומורפי, לפי ההטלה הטבעית, לסכום הישר של החוגים R / I 1 ⊕ ⋯ ⊕ R / I k {\displaystyle R/I_{1}\oplus \cdots \oplus R/I_{k}} . בפרט, אם R {\displaystyle R} קומוטטיבי והאידיאלים I 1 , … , I k {\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}} כולם אידיאלים מקסימליים ושונים זה מזה, אז R / ( I 1 ∩ ⋯ ∩ I k ) {\displaystyle R/(I_{1}\cap \cdots \cap I_{k})} הוא מכפלה ישרה של שדות. משפט השאריות הסיני באתר howMath גדי אלכסנדרוביץ', משפט השאריות הסיני, באתר "לא מדויק", 12 בספטמבר 2012 משפט השאריות הסיני, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) משפט השאריות הסיני, באתר MathWorld (באנגלית) משפט השאריות הסיני, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)