קואורדינטות קוטביות

קואורדינטות קוטביות או קואורדינטות פולריות הן תיאור של המישור באמצעות שני משתנים: r – המרחק מראשית הצירים. θ – הזווית שיוצר הווקטור המחבר בין הנקודה לראשית הצירים, עם הכיוון החיובי של ציר ה-x. זאת בניגוד לקואורדינאטות קרטזיות, בהן כל נקודה מתוארת על ידי כמה היא "ימינה" מראשית הצירים (x) וכמה היא "למעלה" מראשית הצירים (y). תמיד ניתן להציג כל נקודה בדו מימד גם בקוארדינאטות קרטזיות וגם בקוארדינאטות קוטביות, אך נהוג להשתמש בקוארדינאטות קוטביות בסיטואציות שקשורות לדברים מסתובבים. לדוגמה, מיקום השמש בשמיים יהיה נוח יותר להצגה במרחק מכדור הארץ (שהוא פחות או יותר קבוע) והזווית שלה ביחס לאופק מאשר בקוארדינאטות קרטזיות. קואורדינטות קוטביות הן מקרה פרטי של קואורדינטות גליליות עבור גובה = 0, ומקרה פרטי של קואורדינטות כדוריות עבור זווית לטידיוד = 90 מעלות. עבור נקודה כללית (x,y) ניתן להמיר לקואורדינטות קוטביות על ידי:   r = x 2 + y 2 {\displaystyle \ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}   θ = arctan ⁡ ( y x ) {\displaystyle \ \theta =\arctan({\frac {y}{x}})} (להמרה מדויקת יותר, ראו בהמשך). לחלופין, כאשר נתונים (r,θ) אפשר להמיר לקואורדינטות קרטזיות על ידי:   x = r cos ⁡ θ {\displaystyle \ x=r\cos \theta }   y = r sin ⁡ θ {\displaystyle \ y=r\sin \theta } קל למצוא את הזווית באופן גרפי, אך חישובה באופן אלגברי מסובך יותר. ראשית, יש לקבוע אילו ערכים הזווית יכולה לקבל, כאשר עלינו לזכור שישנה מחזוריות של   2 π {\displaystyle \ 2\pi } מכיוון ש-θ מייצגת זווית. בדרך כלל בוחרים לעבוד בקטע   [ 0 , 2 π ) {\displaystyle \ [0,2\pi )} , כלומר, הזווית מקבלת ערכים בין 0 ל-2π (לא כולל 2π). אזי ניתן למצוא את הזווית לפי הנוסחה הבאה:   θ = arctan ⁡ ( y x ) = { arctan ⁡ ( y x ) if  x > 0  and  y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) + 2 π if  x > 0  and  y < 0 arctan ⁡ ( y x ) + π if  x < 0 π 2 if  x = 0  and  y > 0 3 π 2 if  x = 0  and  y < 0 {\displaystyle \ \theta =\operatorname {arctan} \left({\tfrac {y}{x}}\right)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{if }}x>0{\mbox{ and }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}}} כאשר arctan היא הפונקציה ההופכית לפונקציה הטריגונומטרית טנגנס. אם עובדים באינטרוול   ( − π , π ] {\displaystyle \ (-\pi ,\pi ]} , יש להשתמש בנוסחה הבאה:   θ = atan2 ⁡ ( y x ) = { arctan ⁡ ( y x ) if  x > 0 arctan ⁡ ( y x ) + π if  x < 0  and  y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x ) − π if  x < 0  and  y < 0 π 2 if  x = 0  and  y > 0 − π 2 if  x = 0  and  y < 0 {\displaystyle \ \theta =\operatorname {atan2} \left({\tfrac {y}{x}}\right)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\end{cases}}} הפונקציה המפוצלת הזאת נקראת לעיתים קרובות atan2 ("ארכטנגס 2") ורושמים θ = atan2 ⁡ ( y / x ) {\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y/x)} . בקואורדינטות קרטזיות אפשר לרשום את מיקומה של כל נקודה או וקטור כ:   A → = A x e ^ x + A y e ^ y + A z e ^ z = A x x ^ + A y y ^ + A z z ^ {\displaystyle \ {\vec {A}}=A_{x}{\hat {e}}_{x}+A_{y}{\hat {e}}_{y}+A_{z}{\hat {e}}_{z}=A_{x}{\hat {x}}+A_{y}{\hat {y}}+A_{z}{\hat {z}}} כאשר   e ^ i {\displaystyle \ {\hat {e}}_{i}} ‏( i = { x , y } {\displaystyle i=\{x,y\}} ) הם וקטורי היחידה הקרטזיים (וקטורים אלה קבועים). באופן גאומטרי, וקטורי היחידה x ו־y הם וקטורים המצביעים בכיוון החיובי של ציר x ו־y, בתאמה, וגודלם הוא 1. אנו נרצה להציג באותה צורה את הנקודה שלנו גם בקואורדינטות קוטביות:   A → = A r e ^ r + A θ e ^ θ {\displaystyle \ {\vec {A}}=A_{r}{\hat {e}}_{r}+A_{\theta }{\hat {e}}_{\theta }} כאשר הווקטורים   e ^ j {\displaystyle \ {\hat {e}}_{j}} ‏ ( j = { r , θ } {\displaystyle j=\{r,\theta \}} ) נקראים "וקטורי היחידה הקוטביים". אפשר לחשבם בכל נקודה במרחב (פרט לראשית) ולקבל שהם נתונים על ידי: r ^ = e ^ r = ( cos ⁡ θ ) x ^ + ( sin ⁡ θ ) y ^ {\displaystyle {\hat {r}}={\hat {e}}_{r}=(\cos \theta ){\hat {x}}+(\sin \theta ){\hat {y}}} θ ^ = e ^ θ = ( − sin ⁡ θ ) x ^ + ( cos ⁡ θ ) y ^ {\displaystyle {\hat {\theta }}={\hat {e}}_{\theta }=(-\sin \theta ){\hat {x}}+(\cos \theta ){\hat {y}}} כלומר, וקטורים אלה אינם קבועים במרחב, אלא כיוונם משתנה בהתאם לנקודה. כל מספר מרוכב ניתן לייצג כנקודה במישור המרוכב ולכן ניתן לבטאו באמצעות קואורדינטות קרטזיות:   z = x + i y {\displaystyle \ z=x+iy} או באמצעות קואורדינטות קוטביות   z = r cos ⁡ θ + i r sin ⁡ θ = r e i θ {\displaystyle \ z=r\cos \theta +ir\sin \theta =re^{i\theta }} כאשר המעבר האחרון נעשה לפי נוסחת אוילר:   e i θ = cos ⁡ θ + i sin ⁡ θ {\displaystyle \ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta } והזווית נמדדת ברדיאנים. באמצעות ההצגה הקוטבית קל לבצע כפל, חילוק וחזקות של מספרים מרוכבים. כפל:   r 0 e i θ 0 ⋅ r 1 e i θ 1 = r 0 r 1 e i ( θ 0 + θ 1 ) {\displaystyle \ r_{0}e^{i\theta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\theta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\theta _{0}+\theta _{1})}\,} חילוק:   r 0 e i θ 0 r 1 e i θ 1 = r 0 r 1 e i ( θ 0 − θ 1 ) {\displaystyle \ {\frac {r_{0}e^{i\theta _{0}}}{r_{1}e^{i\theta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\theta _{0}-\theta _{1})}\,} חזקה (נוסחת דה-מואבר):   ( r e i θ ) n = r n e i n θ {\displaystyle \ (re^{i\theta })^{n}=r^{n}e^{in\theta }\,} לעיתים שימוש בקואורדינטות קוטביות יכול לפשט בעיות בפיזיקה. למשל, תנועה מעגלית מנותחת בקלות רבה על ידי הקואורדינטות הקוטביות. הפשטות והפתרון האלגנטי של בעיית שני הגופים, היא במידה רבה בזכות ההמרה של השאלה לבעיה בציר אחד במערכת הקואורדינטות הקוטביות. בקינמטיקה, ניתן לתאר את וקטור ההעתק של גוף על ידי: r → = r r ^ {\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {r}}} על ידי גזירה לפי הזמן נקבל תיאור גם למהירות ולתאוצה באופן הבא: v → = r → ˙ = r ˙ r ^ + r r ^ ˙ {\displaystyle {\vec {v}}={\dot {\vec {r}}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\hat {r}}}} לפי כלל הגזירה למכפלה. כאשר נשים לב שלפי כלל השרשרת נקבל: r ^ ˙ = θ ˙ ( − sin ⁡ θ , cos ⁡ θ ) = θ ˙ θ ^ {\displaystyle {\dot {\hat {r}}}={\dot {\theta }}(-\sin \theta ,\cos \theta )={\dot {\theta }}{\hat {\theta }}} θ ^ ˙ = θ ˙ ( − cos ⁡ θ , − sin ⁡ θ ) = − θ ˙ r ^ {\displaystyle {\dot {\hat {\theta }}}={\dot {\theta }}(-\cos \theta ,-\sin \theta )=-{\dot {\theta }}{\widehat {r}}} לכן נוכל לקבל תיאור קוטבי עבור מיקום, מהירות ותאוצה כך: r → = r r ^ {\displaystyle {\vec {r}}=r{\hat {r}}} v → = r ˙ r ^ + r θ ˙ θ ^ {\displaystyle {\vec {v}}={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\theta }}{\hat {\theta }}} a → = ( r ¨ − r θ ˙ 2 ) r ^ + ( 2 r ˙ θ ˙ + r θ ¨ ) θ ^ {\displaystyle {\vec {a}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {r}}+(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}){\hat {\theta }}} המשוואה המגדירה עקומה אלגברית המבוטאת בקואורדינטות קוטביות נקראת "משוואה קוטבית" (Polar equation). במקרים רבים, ניתן לתארה בפשטות על ידי הגדרת   r {\displaystyle \ r} כפונקציה של הזווית θ. העקומה המתקבלת מורכבת מנקודות מהצורה   ( r ( θ ) , θ ) {\displaystyle \ \left(r\left(\theta \right),\theta \right)} ואפשר להתייחס אליה כאל הגרף של הפונקציה הקוטבית   r {\displaystyle \ r} . ניתן להסיק צורות שונות של סימטריה מהמשוואה של הפונקציה הקוטבית   r {\displaystyle \ r} . אם   r ( θ ) = r ( − θ ) {\displaystyle \ r(\theta )=r(-\theta )} אזי העקומה תהיה סימטרית סביב ציר-x (הקרן (0°/180°)). אם   r ( π − θ ) = r ( θ ) {\displaystyle \ r(\pi -\theta )=r(\theta )} אזי העקומה תהיה סימטרית סביב ציר y (הקרן (90°/270°)). אם   r {\displaystyle \ r} (θ−α°) =   r {\displaystyle \ r} (θ) העקומה תהיה סימטרית סביב הציר בזווית °α כנגד כיוון השעון. בגלל הטבע המעגלי של מערכת קואורדינטות קוטביות, עקומות רבות ניתן לתאר באמצעות משוואה קוטבית די פשוטה, כאשר הצורה הקרטזית היא הרבה יותר מסובכת. בין העקומות הידועות מסוג זה נמנות הספירלה הארכימדית, השושן הקוטבי, הלמניסקטה של ברנולי, הלימצון והקרדיואיד. עבור מעגל, קו ושושן קוטבי, אין הגבלה על התחום והטווח של העקומה. המשוואה הכללית עבור מעגל שמרכזו נמצא ב-(   {\displaystyle \ } r0, φ) ורדיוסו a היא:   r 2 − 2 r r 0 cos ⁡ ( θ − φ ) + r 0 2 = a 2 {\displaystyle \ r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}\,} . ניתן לפשט משוואה זו עבור מקרים פרטיים, כמו:   r ( θ ) = a {\displaystyle \ r(\theta )=a\,} עבור מעגל שמרכזו בראשית הצרים ורדיוס a. ישר העובר דרך ראשית הצירים ניתן לייצג באמצעות המשוואה:   θ = φ {\displaystyle \ \theta =\varphi \,} , כאשר φ היא זווית השיפוע של הקו (בנוסחה m = tan ⁡ φ {\displaystyle m=\tan \varphi } כאשר m הוא השיפוע במשוואה בקואורדינטות קרטזיות). המשוואה של ישר שאינו עובר דרך ראשית הצירים שניצב לישר θ = φ וחותך אותו בנקודה (   r 0 {\displaystyle \ r_{0}} , φ) היא:   r ( θ ) = r 0 sec ⁡ ( θ − φ ) {\displaystyle \ r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )\,} . שושן קוטבי הוא עקומה מתמטית מפורסמת שנראית כמו עלי כותרת של פרח, וניתן לבטאה באמצעות משוואה קוטבית פשוטה:   r ( θ ) = a cos ⁡ ( k θ + ϕ 0 ) {\displaystyle \ r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,} לכל קבוע   ϕ 0 {\displaystyle \ \phi _{0}} , כולל 0. אם k הוא מספר טבעי, המשוואה תיצור פרח עם k עלי כותרת כאשר k אי-זוגי ופרח עם 2k עלי כותרת כאשר k זוגי. אם k מספר רציונלי לא שלם, ייווצר פרח דמוי ורד שבו עלי הכותרת חופפים זה את זה. המשוואות לעולם לא מגדירות ורד עם 2, 6, 10, 14 וכו' עלי כותרת. המשתנה a מייצג את אורך עלי הכותרת של השושן. הספירלה הארכימדית היא ספירלה מפורסמת שהתגלתה בידי ארכימדס, אותה ניתן לבטא באמצעות משוואה קוטבית פשוטה. היא מתוארת על ידי המשוואה:   r ( θ ) = a + b θ . {\displaystyle \ r(\theta )=a+b\theta .\,} שינוי הפרמטר a {\displaystyle a} יסובב את הספירלה ואילו שינוי הפרמטר b {\displaystyle b} ישנה את המרחק בין הזרועות, שעבור ספירלה נתונה הוא תמיד קבוע. לספירלת ארכימדס יש 2 זרועות, אחת עבור   θ > 0 {\displaystyle \ \theta >0} ואחת עבור   θ < 0 {\displaystyle \ \theta <0} . שתי הזרועות מתחברות באופן חלק בחלק. לקיחת תמונת המראה של זרוע אחת מעבר לקו תיצור את הזרוע השנייה. מקרה פרטי של הספירלה הוא ההיפרבולה הקוטבית, ערך מורחב – חתכי חרוט חתך חרוטי עם מוקד אחד על ראשית הצירים והשני במקום אחר על הקרן 0° (כך שחצי הציר הראשי נמצא על ציר ה-x) מתוארת על ידי המשוואה:   r = ℓ 1 + e cos ⁡ θ {\displaystyle \ r={\ell \over {1+e\cos \theta }}} כאשר e היא האקסצנטריות ו-   ℓ {\displaystyle \ \ell } הוא חצי הלטוס רקטום (המרחק בציר y מהמוקד שנמצא על הציר הראשי אל העקומה). אם e > 1, המשוואה מגדירה היפרבולה, אם e = 1, היא מגדירה פרבולה, ואם e < 1 היא מגדירה אליפסה. המקרה הפרטי שבו e = 0 מגדיר מעגל עם רדיוס   ℓ {\displaystyle \ \ell } . קואורדינטות זווית שדה המספרים המרוכבים מדיה וקבצים בנושא קואורדינטות קוטביות בוויקישיתוף קואורדינטות קוטביות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) קואורדינטות קוטביות, באתר MathWorld (באנגלית)