השערת הרצף

השערת הרצף היא טענה שהעלה אבי תורת הקבוצות, גאורג קנטור, לפיה עוצמת הרצף (מסומנת: 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} או | R | {\displaystyle |\mathbb {R} |} ) היא העוצמה הקטנה ביותר האפשרית של קבוצה שאינה בת מנייה (אומגה אחת). במילים אחרות, שכל קבוצה אינסופית שאינה בת מנייה, היא לפחות בעלת עוצמת הרצף. מן ההשערה עולה שהעוצמה של תת-קבוצה של המספרים ממשיים יכולה להיות בדיוק אחת משלוש אפשרויות: סופית, אלף אפס או עוצמת הרצף. השערה זו הייתה הראשונה ב־23 הבעיות של הילברט. אחרי עשרות שנים בהן הייתה בעיה פתוחה, הוכיחו קורט גדל ופול כהן כי היא אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, אקסיומות צרמלו-פרנקל (העקביות של תורת הקבוצות לא תינזק אם נוסיף אקסיומה הקובעת שההשערה נכונה, וגם לא אם נוסיף אקסיומה הקובעת שהיא אינה נכונה). עוצמה היא דרך מדויקת להתייחס ל'גודל' של קבוצות אינסופיות. לשתי קבוצות יש אותה עוצמה אם אפשר לזווג את האיברים שלהן בזוגות: כל איבר בקבוצה אחת מתאים לאיבר בקבוצה השנייה. קנטור הראה כי עוצמתה של קבוצת המספרים הטבעיים, שמסומנת ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} , היא העוצמה האינסופית הקטנה ביותר. עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים, המכונה עוצמת הרצף ומסומנת ℵ {\displaystyle \aleph } (או c {\displaystyle c} ), שווה לעוצמה של קבוצת כל תתי הקבוצות של N {\displaystyle \mathbb {N} } (קבוצת המספרים הטבעיים), אותה מסמנים 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} . קנטור הראה באמצעות שיטת האלכסון שפיתח, כי העוצמה 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} גדולה יותר מ- ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} . אף על פי שניסה, לא הצליח קנטור לבנות קבוצה שעוצמתה גדולה מ- ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} וקטנה מ- 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} , ולכן העלה את השערת הרצף שלפיה קבוצה כזו אינה קיימת. קנטור לא הצליח להוכיח השערה זו. אות לחשיבות שהייתה לבעיה זו בקרב המתמטיקאים ניתן לראות בכך שהבעיה הייתה הראשונה מבין 23 הבעיות הפתוחות שהילברט הציג בשנת 1900 בתור הבעיות המתמטיות החשובות של המאה ה-20. בשנת 1935 פיתח קורט גדל את מושג הקבוצות הניתנות לבנייה, ושנתיים אחר-כך, ב-1937, הוא מצא דרך להיעזר במושג הזה כדי לפתור באופן חלקי את השערת הרצף: גדל הראה שאם מניחים שתורת הקבוצות (בניסוח המקובל שלה, צרמלו-פרנקל ובתוספת אקסיומת הבחירה) עקבית, אז התורה הכוללת בנוסף את השערת הרצף כאקסיומה, גם היא עקבית. מצד שני, בשנת 1963 הוכיח פול כהן שגם הוספת אקסיומה השוללת את השערת הרצף אינה מביאה למערכת לא עקבית, ולכן השערת הרצף עצמאית במסגרת תורת הקבוצות - אין אפשרות להוכיח אותה או את שלילתה על פי האקסיומות של תורה זו. כדי להוכיח משפט זה פיתח פול כהן את שיטת הכפייה (Forcing). ב-1943 הוכיחו פאול ארדש ושיזו קקוטני שהשערת הרצף נכונה אם ורק אם אפשר לפרק את הממשיים למספר בן-מנייה של קבוצות, שכל אחת מהן היא קבוצה בלתי תלויה מעל הרציונליים. תכונה זו אפשר לנסח גם כך: השערת הרצף שקולה לכך שקיימת צביעה של הממשיים במספר בן-מנייה של צבעים, כך שלמשוואה w + x = y + z {\displaystyle w+x=y+z} לא קיים פתרון במספרים ממשיים שווי-צבע ושונים. השערת הרצף נחקרת בין השאר באמצעות עוצמות מוגדרות, שערכן תלוי במערכת האקסיומות. כמה עוצמות כאלה מוגדרות באמצעות המבנה של אוסף תת-הקבוצות האינסופיות של המספרים הטבעיים. למשל, אומרים שתת-קבוצה אינסופית A {\displaystyle A} מפצלת תת-קבוצה אינסופית B {\displaystyle B} , אם גם החיתוך וגם ההפרש B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} הם אינסופיים. האינווריאנט s {\displaystyle {\mathfrak {s}}} מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות, שיש בו חבר המפצל כל תת-קבוצה אינסופית נתונה. האינווריאנט r {\displaystyle {\mathfrak {r}}} מוגדר כעוצמה הקטנה ביותר של אוסף תת-קבוצות אינסופיות שאין אף תת-קבוצה אינסופית המפצלת את כולן. ברור ש- ℵ 0 ≤ r , s ≤ 2 ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {r}},{\mathfrak {s}}\leq 2^{\aleph _{0}}} . יש מודל של ZFC שבו ℵ 1 = r < s = c = ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{1}={\mathfrak {r}}<{\mathfrak {s}}={\mathfrak {c}}=\aleph _{2}} . השערת הרצף המוכללת (GCH) אומרת שבין עוצמה אינסופית | S | {\displaystyle |S|} לעוצמת קבוצת החזקה 2 | S | {\displaystyle 2^{|S|}} (הגדולה ממנה לפי משפט קנטור), אין אף עוצמות אחרות. השערת הרצף המוכללת חזקה די הצורך לגרור גם את אקסיומת הבחירה. ההוכחה מתבססת על מספרי הרטוג. השערת הרצף המוכללת מתקיימת במודל הקבוצות הניתנות לבנייה ולכן במובן מסוים "קל" להראות את העקביות שלה. בנוסף, עבור מודל התחלתי כלשהו של ZFC, קיימת כפייה שמובילה למודל שמקיים את השערת הרצף. במונים סדירים, משפט איסטון מראה כי ניתן באמצעות כפייה להפר את השערת הרצף כרצוננו כאשר האילוצים היחידים שצריכים להתקיים הם: המונוטוניות של פונקציית הרצף: אם κ < λ {\displaystyle \kappa <\lambda } אז 2 κ ≤ 2 λ {\displaystyle 2^{\kappa }\leq 2^{\lambda }} משפט קניג: cf ( 2 κ ) > κ {\displaystyle {\mbox{cf}}(2^{\kappa })>\kappa } כאשר c f {\displaystyle cf} היא הקופינליות של הסודר. הוכחת העקביות של הפרת השערת הרצף המוכללת, באופן לא טריוויאלי, במונים חריגים היא קשה בהרבה ודורשת הנחת מונים גדולים. למשל כדי לבנות מודל בו מתקיים 2 ℵ ω > ℵ ω + 1 , ∀ n < ω 2 ℵ n < ℵ ω {\displaystyle 2^{\aleph _{\omega }}>\aleph _{\omega +1},\forall n<\omega \,\,2^{\aleph _{n}}<\aleph _{\omega }} חייבים להניח קיום מונה חזק יותר ממונה מדיד. ראו השערת המונה החריג. אקסיומת הבנייה משפט קנטור-בנדיקסון השערת הרצף, באתר MathWorld (באנגלית) השערת הרצף, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) On non-denumerable graphs, Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943). 457–461. מאמר המתאר את ההוכחה שהשערת הרצף המוכללת גוררת את אקסיומת הבחירה (אנגלית)