פונקציה רציפה (טופולוגיה)

בטופולוגיה, פונקציה רציפה היא פונקציה בין מרחבים טופולוגיים, שעבורה המקור של כל קבוצה פתוחה בטווח הוא קבוצה פתוחה בתחום. תכונה זו מהווה הכללה למושג הרציפות של פונקציות ממשיות, והיא מרכזית במידה כזו שלמעשה כל המשפטים הטופולוגיים על פונקציות עוסקים בפונקציות רציפות. מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} הוא מרחב דיסקרטי אם ורק אם כל פונקציה מ- X {\displaystyle X} היא רציפה. מרחב טופולוגי Y {\displaystyle Y} הוא מרחב בעלת טופולוגיה טריוויאלית אם ורק אם כל פונקציה אל Y {\displaystyle Y} היא רציפה. הדוגמה החשובה ביותר לרציפות היא זו של פונקציות ממשיות; עבורן, פונקציה רציפה בנקודה x 0 {\displaystyle x_{0}} היא פונקציה שהערכים שלה בנקודות קרובות ל- x 0 {\displaystyle x_{0}} קרובים לערך שלה בנקודה עצמה. רעיון זה, אף על פי שהוא מנוסח בלשון של 'קרבה' שיש לה משמעות רק במרחב מטרי, ניתן להכללה למרחב טופולוגי כלשהו, אם נחליף את הדרישה על המרחק בדרישה שיש "הרבה" קבוצות פתוחות שמכילות את שתי הנקודות. הכללת מושג הרציפות למרחב טופולוגי כלשהו נעשית באופן דומה להכללת מושג הגבול ממרחב מטרי למרחב טופולוגי כלשהו. יהיו X , Y {\displaystyle X,Y} מרחבים טופולוגיים, ו- f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} פונקציה. אומרים ש- f {\displaystyle f} רציפה בנקודה x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} , אם לכל קבוצה פתוחה f ( x 0 ) ∈ U ⊆ Y {\displaystyle f(x_{0})\in U\subseteq Y} קיימת קבוצה פתוחה x 0 ∈ V ⊆ X {\displaystyle x_{0}\in V\subseteq X} , כך ש- f ( V ) ⊆ U {\displaystyle f(V)\subseteq U} . הפונקציה רציפה, או רציפה בכל המרחב, אם היא רציפה בכל נקודה x 0 ∈ X {\displaystyle x_{0}\in X} . ניסוח שקול וקצר יותר: f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} היא פונקציה רציפה אם לכל קבוצה פתוחה U ⊆ Y {\displaystyle U\subseteq Y} , הקבוצה f − 1 ( U ) = { x ∈ X : f ( x ) ∈ U } ⊆ X {\displaystyle f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}\subseteq X} פתוחה. דהיינו, פונקציה היא רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה תחתיה הוא פתוח. בפרט, אם X , Y {\displaystyle X,Y} הם מרחבים מטריים עם מטריקות d , ρ {\displaystyle d,\rho } בהתאמה, פונקציה f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} היא רציפה אם לכל כדור סביב x {\displaystyle x} קיים כדור סביב f ( x ) {\displaystyle f(x)} כך ש- f {\displaystyle f} מעתיקה את הכדור הראשון אל תוך השני. כלומר, אם לכל x {\displaystyle x} ולכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך ש- f ( B δ ( x ) ) ⊆ B ε ( f ( x ) ) {\displaystyle f(B_{\delta }(x))\subseteq B_{\varepsilon }(f(x))} . במילים אחרות, אם y {\displaystyle y} מקיים d ( x , y ) < δ {\displaystyle d(x,y)<\delta } אז ρ ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε {\displaystyle \rho (f(x),f(y))<\varepsilon } . בפרט הגדרת הרציפות שהגדרנו מתלכדת עם זאת שהגדיר ויירשטראס עבור מרחבים מטריים ועם הגדרת היינה בפרט (כתוצאה ממשפט באנליזה) התכונות הבאות לגבי העתקה f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות: f {\displaystyle f} היא פונקציה רציפה. התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת בסיס של הטופולוגיה ב- Y {\displaystyle Y} . התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה". f {\displaystyle f} רציפה נקודתית בכל x {\displaystyle x} במרחב. כלומר, לכל x {\displaystyle x} , לכל סביבה V {\displaystyle V} של f ( x ) {\displaystyle f(x)} קיימת סביבה W {\displaystyle W} של x {\displaystyle x} כך ש- f ( W ) ⊆ V {\displaystyle f(W)\subseteq V} . לכל A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} מתקיים: f ( A ¯ ) ⊆ f ( A ) ¯ {\displaystyle f\!\left({\overline {A}}\right)\subseteq {\overline {f(A)}}} כאשר B ¯ = cl ⁡ ( B ) {\displaystyle {\overline {B}}=\operatorname {cl} (B)} הוא הסגור של קבוצה B {\displaystyle B} . כל פונקציה ממשית רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום. תכונה זו אינה מאפיינת קומפקטיות: מרחב שלכל פונקציה ממשית רציפה ממנו יש מקסימום נקרא מרחב פסאודו-קומפקטי. כל מרחב קומפקטי מנייתית הוא פסאודו-קומפקטי, אבל ההפך אינו נכון. התכונה הדואלית לרציפות היא היות הפונקציה פונקציה פתוחה (אנ'), דהיינו פונקציה כזו שלכל V ⊆ X {\displaystyle V\subseteq X} פתוחה, הקבוצה f ( V ) ⊆ Y {\displaystyle f(V)\subseteq Y} גם היא פתוחה. באופן דומה מגדירים גם פונקציה סגורה. יש לציין שלו היינו מחליפים את הקבוצות הפתוחות בהגדרת הרציפות בקבוצות סגורות, הייתה מתקבלת אותה הגדרה. לעומת זאת, פונקציה פתוחה אינה בהכרח סגורה, ולהפך. פונקציה הפיכה (כלומר, שהיא חד-חד-ערכית וגם על), שגם היא וגם ההפכית לה שתיהן רציפות, נקראת הומיאומורפיזם בין המרחבים הטופולוגיים. פונקציות ההטלה הן דוגמה לפונקציות פתוחות: אם X = ∏ i ∈ I X i {\displaystyle X=\prod _{i\in I}X_{i}} הוא מרחב מכפלה ו- p i : X → X i {\displaystyle p_{i}\colon X\to X_{i}} היא פונקציית היטל, אז p i {\displaystyle p_{i}} היא פונקציה פתוחה.בטופולוגיה, בכדי לבנות מרחבי מנה מתוך מרחבים טופולוגים קיימים נשתמש בפונקציית ההטלה כפונקציה רציפה בינן פונקציה רציפה טופולוגיה פונקציה הומיאומורפיזם פונקציה מדידה