התמרת זק

התמרת זק (נקראת גם טרנספורם זק או מיפוי גלפנד) היא פעולה מתמטית המהווה הכללה של התמרת פורייה הבדידה, המקבלת כקלט פונקציה חד־ממדית ומניבה כפלט פונקציה דו־ממדית. מבחינה יישומית, ניתן להשתמש בהתמרת זק בעיבוד אותות על מנת להפוך אות התלוי בזמן ולייצר ממנו הצגה חדשה ומעורבת התלויה בזמן ובתדירות גם יחד. האות יכול להיות ממשי או מרוכב, רציף או בדיד. ההתמרה התגלתה באופן בלתי תלוי על ידי הפיזיקאי הישראלי יהושע זק וכן על ידי המתמטיקאי היהודי-סובייטי ישראל גלפנד. בעוד זק קרא לה בשם "הצגת kq", גלפנד השתמש בה כחלק מעבודתו על הרחבות של פונקציות עצמיות. כיום ישנה הסכמה רחבה על השם "התמרת זק" שכן זק היה הראשון שחקר את הפעולה בצורה כללית יותר וזיהה את יישומיה האפשריים. נתבונן באות ממשי ורציף f ( t ) {\displaystyle f(t)} , כאשר t {\displaystyle t} מתאר זמן ממשי. התמרת זק של האות f ( t ) {\displaystyle f(t)} תהא פונקציה של שני משתנים, שאחד מהם הוא t {\displaystyle t} , ואת המשתנה השני (שמבחינה פיזיקלית יכול לתאר תדירות זוויתית) נסמן ב- ω {\displaystyle \omega } . לשם ההתמרה נידרש להגדיר פרמטר חיובי נוסף שיסומן כ- a {\displaystyle a} . להלן ההגדרה להתמרה הרציפה: Z a [ f ] ( t , ω ) = a ∑ k = − ∞ ∞ f ( a t + a k ) e − 2 π k ω i {\displaystyle Z_{a}[f](t,\omega )={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi k\omega i}} בפרט, עבור a = 1 {\displaystyle a=1} , ניתן לרשום: Z [ f ] ( t , ω ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( t + k ) e − 2 π k ω i {\displaystyle Z[f](t,\omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi k\omega i}} אם נבחר ν = 2 π ω {\displaystyle \nu =2\pi \omega } (מעבר מתדירות זוויתית לתדירות): Z [ f ] ( t , ν ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( t + k ) e − k ν i {\displaystyle Z[f](t,\nu )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}} בחזרה להגדרה הראשונית נוכל לבחור כיול "פיזיקלי" יותר, עם פרמטר T {\displaystyle T} (שניתן לתת לו פרשנות של זמן מחזור): Z T [ f ] ( t , ω ) = T ∑ k = − ∞ ∞ f ( t + k T ) e − 2 π k ω T i {\displaystyle Z_{T}[f](t,\omega )={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi k\omega Ti}} ובכתיב זה נניח כי 0 ≤ t ≤ T {\displaystyle 0\leq t\leq T} וכי 0 ≤ ω ≤ 1 / T {\displaystyle 0\leq \omega \leq 1/T} . Z [ a f ( t ) ) + b g ( t ) ] ( t , ω ) = a Z [ f ] ( t , ω ) + b Z [ g ] ( t , ω ) {\displaystyle Z[af(t))+bg(t)](t,\omega )=aZ[f](t,\omega )+bZ[g](t,\omega )} Z [ f ] ( t , ω + 1 ) = Z [ f ] ( t , ω ) {\displaystyle Z[f](t,\omega +1)=Z[f](t,\omega )} Z [ f ] ( t + 1 , ω ) = e 2 π ω i Z [ f ] ( t , ω ) {\displaystyle Z[f](t+1,\omega )=e^{2\pi \omega i}Z[f](t,\omega )} Z [ f ¯ ] ( t , ω ) = Z [ f ] ¯ ( t , − ω ) {\displaystyle Z[{\bar {f}}](t,\omega )={\overline {Z[f]}}(t,-\omega )} אם f ( t ) {\displaystyle f(t)} פונקציה זוגית אזי: Z [ f ] ( t , ω ) = Z [ f ] ( − t , − ω ) {\displaystyle Z[f](t,\omega )=Z[f](-t,-\omega )} אם f ( t ) {\displaystyle f(t)} פונקציה אי זוגית אזי: Z [ f ] ( t , ω ) = − Z [ f ] ( − t , − ω ) {\displaystyle Z[f](t,\omega )=-Z[f](-t,-\omega )} Z [ f ∗ g ] ( t , ω ) = Z [ f ] ( t , ω ) ∗ Z [ f ] ( t , ω ) {\displaystyle Z[f*g](t,\omega )=Z[f](t,\omega )*Z[f](t,\omega )} בהינתן התמרת זק של פונקציה מסוימת, ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית באמצעות הנוסחה הבאה: f ( t ) = ∫ 0 1 Z [ f ] ( t , ω ) d ω {\displaystyle f(t)=\int \limits _{0}^{1}Z[f](t,\omega )d\omega } אות הקלט של התמרת זק עשוי להיות גם פונקציה של משתנה בדיד. נגדיר את f ( n ) {\displaystyle f(n)} כפונקציה של משתנה בדיד ושלם n {\displaystyle n} . התמרת זק של האות f ( n ) {\displaystyle f(n)} תהא פונקציה של שני משתנים, שאחד מהם הוא n {\displaystyle n} , ואת המשתנה השני נסמן ב- ω {\displaystyle \omega } . להלן אחת מההגדרות עבור ההתמרה במשתנה בדיד: Z a [ f ] ( n , ω ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( n + k ) e − 2 π k ω i {\displaystyle Z_{a}[f](n,\omega )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi k\omega i}} בהינתן התמרת זק של פונקציה מסוימת, ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית באמצעות הנוסחה הבאה: f ( n ) = ∫ 0 1 Z [ f ] ( n , ω ) d ω {\displaystyle f(n)=\int \limits _{0}^{1}Z[f](n,\omega )d\omega } להתמרת זק יישומים מוכחים בתורת השדות הקוונטית, בהנדסת חשמל (באנליזת זמן-תדירות) ובהעברת מידע דיגיטלי. כמו כן, להתמרה שימושים במתמטיקה שכן יש לה יתרונות משלימים להתמרת גאבור. התמרת זק, באתר MathWorld (באנגלית) "Zak transform". Encyclopedia of Mathematics. נבדק ב-15 בדצמבר 2014. {{cite web}}: (עזרה) J. Klauder, B.S. Skagerstam (1985). Coherent States. World Scientific. J Zak, Finite Translations in Solid-State Physics, Phys. Rev. Lett., 24 19, 1967, עמ' 1385-1387 doi: 10.1103/PhysRevLett.19.1385 Alexander D. Poularikas, ed. (2010). Transforms and Applications Handbook (3rd ed.). CRC Press. pp. 16.1–16.21. ISBN 978-1-4200-6652-4.