חבילת גלים

חבילת גלים היא פתרון של משוואת גלים ליניארית הבנוי כאוסף של גלים מונוכרומטיים. חבילות גלים נמצאות בשימוש כדי לתאר פתרונות פיזיקליים של משוואות גלים במרחב אינסופי, כלומר פתרונות התופסים תחום סופי במרחב. זאת בניגוד לגלים מונוכרומטיים, הנמצאים בכל המרחב. בפרט, במכניקת קוונטים, חבילות גלים משמשות לתיאור הדינמיקה של חלקיקים. חבילות גלים הן כלי שימושי בהנדסת חשמל בתחום עיבוד האותות. אם מניחים שיחס הנפיצה של משוואת הגלים שבה מדובר נתון על ידי הפונקציה:   ω = ω ( k → ) {\displaystyle \ \omega =\omega ({\vec {k}})} כאשר   ω {\displaystyle \ \omega } היא תדירות הגל, ו-   k → {\displaystyle \ {\vec {k}}} הוא וקטור הגל, אזי חבילת גלים מתוארת באופן כללי כסכום (או אינטגרל או סופרפוזיציה) של גלים מישוריים מונוכרומטיים:   ψ ( r → , t ) = ∫ d 3 k   u ( k → ) e i k → ⋅ r → − i ω ( k → ) t {\displaystyle \ \psi ({\vec {r}},t)=\int d^{3}k~u({\vec {k}})e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-i\omega ({\vec {k}})t}} כאשר   u ( k → ) {\displaystyle \ u({\vec {k}})} הוא המשקל של הגל המישורי המונוכרומטי   e i k → ⋅ r → − i ω ( k → ) t {\displaystyle \ e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}-i\omega ({\vec {k}})t}} . משקל זה ניתן לקבוע מצורת הגל בזמן   t = 0 {\displaystyle \ t=0} באמצעות טרנספורם פורייה:   u ( k → ) = 1 ( 2 π ) 3 ∫ d 3 r   ψ ( r → , 0 ) e − i k → ⋅ r → {\displaystyle \ u({\vec {k}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int d^{3}r\ \psi ({\vec {r}},0)e^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}} במקרים רבים יחס הנפיצה של משוואת הגלים מתואר על ידי פונקציה   ω ( k → ) {\displaystyle \ \omega ({\vec {k}})} שאינה חד-ערכית. לדוגמה, יחס הנפיצה של גלים אלקטרומגנטיים הוא   ω 2 = c 2 k 2 {\displaystyle \ \omega ^{2}=c^{2}k^{2}} (כאשר   c {\displaystyle \ c} היא מהירות האור) ולכן ω = ± c k {\displaystyle \omega =\pm ck} . במקרה זה הענפים השונים של יחס הנפיצה מתארים גלים הנעים בכיוונים מנוגדים, וקל להכליל את ההגדרה שלמעלה לצורך תיאורם. ברם, בדרך כלל חבילות גלים משמשות לתיאור של גלים הנעים בכיוון אחד, כיוון שתיאור של מקרים מורכבים יותר מתקבל מסופרפוזיציה שלהם. חבילת הגלים בממד אחד עם יחס הנפיצה   ω = c k {\displaystyle \ \omega =ck} כאשר   c {\displaystyle \ c} מהירות הגל, ועם הבחירה   u ( k ) = σ 2 π e − σ 2 k 2 2 {\displaystyle \ u(k)={\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}k^{2}}{2}}}} , נתונה בביטוי:   ψ ( x , t ) = e − ( x − c t ) 2 2 σ 2 {\displaystyle \ \psi (x,t)=e^{-{\frac {(x-ct)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} זהו גל בצורת גאוסיאן המתקדם במהירות קבועה במגמת הכיוון החיובי של ציר   x {\displaystyle \ x} . חבילת הגלים בממד אחד עם אותו יחס הנפיצה   ω = c k {\displaystyle \ \omega =ck} , כאשר הפעם הגלים המונוכרומטיים התורמים לחבילה מרוכזים סביב הערך   k = k 0 {\displaystyle \ k=k_{0}}  :   u ( k ) = σ 2 π e − σ 2 ( k − k 0 ) 2 2 {\displaystyle \ u(k)={\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}(k-k_{0})^{2}}{2}}}} . במקרה זה חבילת הגלים היא גל המונוכרומטי מאופנן על ידי מעטפת גאוסית (ראו איור):   ψ ( x , t ) = e i k 0 ( x − c t ) e − ( x − c t ) 2 2 σ 2 {\displaystyle \ \psi (x,t)=e^{ik_{0}(x-ct)}e^{-{\frac {(x-ct)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} יחס הנפיצה של חלקיק קוונטי חופשי (כלומר ללא השפעה של אנרגיה פוטנציאלית) הוא ω = ℏ k 2 2 m {\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}} . אם נבחר   u ( k ) = σ 2 π e − σ 2 ( k − k 0 ) 2 4 {\displaystyle \ u(k)={\sqrt {\frac {\sigma }{2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}(k-k_{0})^{2}}{4}}}} , (בחירה המבטיחה שפונקציית הגל של החלקיק מנורמלת), נקבל שצפיפות ההסתברות למציאת החלקיק היא: | ψ ( x , t ) | 2 = 2 π e − 2 σ 2 + α 2 t 2 ( x − ℏ k 0 m t ) 2 σ 2 + α 2 t 2 {\displaystyle |\psi (x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {e^{-{\frac {2}{\sigma ^{2}+\alpha ^{2}t^{2}}}\left(x-{\frac {\hbar k_{0}}{m}}t\right)^{2}}}{\sqrt {\sigma ^{2}+\alpha ^{2}t^{2}}}}} כאשר   α = 2 ℏ / m σ {\displaystyle \ \alpha =2\hbar /m\sigma } . חבילת גלים זו מתארת חלקיק המתקדם במהירות   ℏ k 0 / m {\displaystyle \ \hbar k_{0}/m} , בכיוון החיובי של ציר   x {\displaystyle \ x} , ובזמן התקדמות החלקיק חבילת הגל המגדירה את ההסתברות למצוא אותו בנקודה במרחב הולכת ומתרחבת. במילים אחרות, אי-הוודאות במיקום החלקיק הולכת וגדלה עם הזמן. נתבונן ביחס נפיצה כללי   ω = ω ( k ) {\displaystyle \ \omega =\omega (k)} , ו-   u ( k ) = σ 2 π e − σ 2 ( k − k 0 ) 2 2 {\displaystyle \ u(k)={\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {\sigma ^{2}(k-k_{0})^{2}}{2}}}} , כאשר נניח ש   σ {\displaystyle \ \sigma } מספיק גדול כך שניתן להניח שחבילת הגלים מרוכזת סביב הערך   k = k 0 {\displaystyle \ k=k_{0}} . במקרה זה אפשר לקרב את יחס הנפיצה על ידי: ω ( k ) ≃ ω ( k 0 ) + d ω ( k 0 ) d k 0 ( k − k 0 ) {\displaystyle \,\omega (k)\simeq \omega (k_{0})+{\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}(k-k_{0})} וחבילת הגלים המתקבלת תחת קירוב זה היא:   ψ ( x , t ) = e i k 0 ( x − ω ( k 0 ) k 0 t ) e − ( x − d ω ( k 0 ) d k 0 t ) 2 2 σ 2 {\displaystyle \ \psi (x,t)=e^{ik_{0}\left(x-{\frac {\omega (k_{0})}{k_{0}}}t\right)}e^{-{\frac {\left(x-{\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}t\right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} חבילת גל זו, כמו בדוגמה 2, מתארת גל נושא מאופנן על ידי מעטפת גאוסית. אולם כאן, בשונה מדוגמה 2, מהירות ההתקדמות של הגל הנושא ושל המעטפת אינן בהכרח זהות. כאשר תחום אורכי הגל ממנו מרכבת החבילה קטן ביחס לסקלה האופיינית של השינויים ביחס הנפיצה, אפשר לאפיין את חבילת הגלים בעזרת שתי מהירויות. מהירויות אלו נובעות מהפיתוח של יחס הנפיצה לטור מסביב לאורך הגל המרכזי,   k 0 {\displaystyle \ k_{0}} המרכיב את החבילה:   .   ω ( k ) ≃ ω ( k 0 ) + d ω ( k 0 ) d k 0 ( k − k 0 ) {\displaystyle \ .\ \omega (k)\simeq \omega (k_{0})+{\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}(k-k_{0})} פיתוח זה מגדיר שתי מהירויות: מהירות הפאזה מוגדרת בתור:   v p h = ω ( k 0 ) k 0 {\displaystyle \ v_{ph}={\frac {\omega (k_{0})}{k_{0}}}} זוהי מהירותו של גל מונוכרומטי בעל אורך גל   k 0 {\displaystyle \ k_{0}} ותדירות   ω ( k 0 ) {\displaystyle \ \omega (k_{0})} , וזוהי גם מהירותו של הגל הנושא של חבילת הגלים. מהירות החבורה מוגדרת בתור:   v g = d ω ( k 0 ) d k 0 {\displaystyle \ v_{g}={\frac {d\omega (k_{0})}{dk_{0}}}} והיא מהירות ההתקדמות של מעטפת הגל. ניתן לזהות מהירויות אלו בדוגמה (4) שלמעלה. מהירות החבורה היא המהירות שבה ניתן להעביר אותות (כלומר מידע) והיא קטנה ממהירות האור. כדוגמה למהירות חבורה ומהירות פאזה נסתכל על יחס הנפיצה של גלי רדיו ביונוספירה:   ω 2 = Ω 2 + c 2 k 2 {\displaystyle \ \omega ^{2}=\Omega ^{2}+c^{2}k^{2}} כאשר   Ω {\displaystyle \ \Omega } היא תדירות קבועה הנקראת תדירות הפלזמה ו-   c {\displaystyle \ c} היא מהירות האור. מהירות הפאזה ומהירות החבורה במקרה זה הן:   v p h = ω k = Ω 2 k 2 + c 2 > c {\displaystyle \ v_{ph}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {{\frac {\Omega ^{2}}{k^{2}}}+c^{2}}}>c}   v g = d ω d k = c 2 v p h < c {\displaystyle \ v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {c^{2}}{v_{ph}}}<c} דוגמה זו מראה כי אף על פי שמהירות הפאזה יכולה להיות גדולה ממהירות האור, מהירות החבורה, שהיא המהירות בה ניתן להעביר מידע, קטנה ממהירות האור. הדוגמאות לעיל מראות שככל שחבילת הגלים מרוכזת במרחב מספרי הגל, כך היא רחבה יותר במרחב המקום. בפרט, אם התחום שחבילת הגלים תופסת במרחב המקום הוא מסדר גודל של   σ {\displaystyle \ \sigma } , אזי רוחב התחום של אורכי הגל שתורם לחבילה הוא מתכונתי הפוך לרוחבה והוא מסדר גודל של   1 / σ {\displaystyle \ 1/\sigma } (למעשה, החסם התחתון למכפלה   Δ x ⋅ Δ k {\displaystyle \ \Delta x\cdot \Delta k} מתקבל עבור חבילת גל גאוסיאנית). עקרון אי-הוודאות של הייזנברג נובע מתכונה זו. נפיצה מדיה וקבצים בנושא חבילת גלים בוויקישיתוף