אנטרופיה (סטטיסטיקה)

בסטטיסטיקה ובתחומים נוספים, ובעיקר בתורת האינפורמציה, אנטרופיה (באנגלית: Entropy) היא מדד לגודלו האפקטיבי של מרחב הסתברות. האנטרופיה של התפלגות אחידה בדידה על n מצבים היא   log 2 ⁡ n {\displaystyle \ \log _{2}n} . את מושג האנטרופיה המתמטית פיתח אבי תורת האינפורמציה קלוד שאנון ב־1948. לדוגמה, הטלת מטבע מחזירה אחת מבין שתי אפשרויות, והטלת קובייה מחזירה אחת מבין שש אפשרויות. ברור שאת התוצאה של הטלת הקוביה קשה יותר לחזות מאשר את זו של המטבע. חיבור התוצאות של שתי קוביות מחזיר אחת מבין 11 אפשרויות, שבהן 7 היא השכיחה ביותר, ואילו 2 או 12 נדירות ביחס. כאן לא די לומר שגודל מרחב ההסתברות הוא 11 – ההסתברויות אינן אחידות, ולכן לא ניתן במבט ראשון לקבוע האם תוצאת החיבור קשה יותר לחיזוי מאשר, נאמר, בחירה של ספרה אקראית בין 1 ל־9 (בהתפלגות אחידה בדידה). הצורך להשוות באופן מדויק בין מרחבי התפלגות שונים קיים בכל תחומי המדע, ומדידת האנטרופיה באופן שיוצג להלן שכיחה בפיזיקה, בתורת האינפורמציה בביולוגיה (שם היא נקראת מדד שאנון-ויבר) ובתחומים נוספים. אם X הוא מרחב הסתברות סופי, עם הסתברויות הבאות p 1 , … , p n {\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}} המייצגות את המאורעות השונים במרחב, אזי האנטרופיה שלו מוגדרת לפי הנוסחה H ( X ) = − ∑ i p i log 2 ⁡ ( p i ) {\displaystyle H(X)=-\sum _{i}p_{i}\log _{2}(p_{i})} זהו ערך אי-שלילי, המקיים H ( X ) ≤ log 2 ⁡ ( n ) {\displaystyle H(X)\leq \log _{2}(n)} , עם שוויון רק כאשר ההסתברויות שוות כולן זו לזו. במובן זה, האנטרופיה מייצגת את הלוגריתם של גודל המרחב, ולא את הגודל עצמו. על־פי אותה נוסחה בדיוק אפשר לחשב את האנטרופיה של משתנה מקרי (המקבל מספר סופי של ערכים). בשני המקרים, האנטרופיה אינה מתחשבת בטיבם של המאורעות השונים במרחב, אלא בהסתברות שהם יתרחשו. את "מספר האפשרויות" שמייצג X אפשר למדוד בדרכים נוספות, כגון ספירת מצבים נאיבית (n, במקרה שלנו), ממוצע הרמוני של ההסתברויות ( ( ∑ p i − 1 / n ) − 1 {\displaystyle (\sum p_{i}^{-1}/n)^{-1}} ), ועוד. ניתן להסתכל על מזווית קצת שונה. אם אנו מסתכלים על מספר מאורעות בלתי תלויים וזרים מתקיים השוויון p ( A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n ) = ∑ 1 n p ( n ) {\displaystyle p(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})=\sum _{1}^{n}p(n)} וכאשר ממשקלים את ההסתברות בערך המאורעות עצמם מתקבלת התוחלת של המשתנה המקרי E ⁡ ( X ) = ∑ i x i P ( X = x i ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}x_{i}P(X=x_{i})} מנקודת מבט זו ניתן לראות את התוחלת על משתנה מקרי i.i.d כמדד כללי שמייחס להסתברות שאחד מהמאורעות יקרה. A 1 ∪ A 2 ∪ ⋯ ∪ A n {\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n}} לעומת זאת אנטרופיה היא מדד להסתברות שכל המאורעות יקרו ביחד A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \dots \cap A_{n}} וזאת בשל העובדה שפונקציית הלוגריתם הופכת כפל לסכום. H ( X ) = E ( x ) = ∑ ( − p ⋅ ln ⁡ ( p ) ) = ln ⁡ ( ∏ p i − p i ) {\displaystyle H(X)=E(x)=\sum (-p\cdot \ln(p))=\ln(\prod {\sqrt[{-p_{i}}]{p_{i}}})} שזהו למעשה ממוצע הנדסי משוקלל על ההסתברות. הסיבה לכך שמדד האנטרופיה נחשב למדד המתאים בהקשרים רבים כל־כך קשורה לכמה תכונות יסודיות שהוא מקיים. כדי שניתן יהיה להסביר תכונות אלה, עלינו להזכיר מושג יסודי אחר בסטטיסטיקה: התפלגות מותנית. אם X ו־Y שני משתנים מקריים, אז עבור כל ערך אפשרי y של Y, אפשר לבנות משתנה מקרי חדש X ∣ Y = y {\displaystyle X\mid Y=y} , "המשתנה המותנה", המייצג את הערכים שיכול לקבל X אם ידוע ש־Y קיבל את הערך y. כאשר הערך של Y אינו ידוע, מסמנים את המשתנה המותנה בסימון X ∣ Y {\displaystyle X\mid Y} ; זהו, אם כך, משתנה מקרי, שהתפלגותו המדויקת תלויה בערך שיקבל Y. פונקציית האנטרופיה H מקיימת את ארבע התכונות הבאות: אדיטיביות: אם X ו־Y שני משתנים מקריים בלתי תלויים, אז H ( X , Y ) = H ( X ) + H ( Y ) {\displaystyle H(X,Y)=H(X)+H(Y)} . במילים אחרות, האנטרופיה של מכפלה ישרה של מרחבי התפלגות שווה לסכום האנטרופיות של שני המרחבים. פיצול: אם X משתנה מקרי ו־Y פונקציה של X, אז H ( X ) = H ( X ∣ Y ) + H ( Y ) {\displaystyle H(X)=H(X\mid Y)+H(Y)} , כאשר H ( X ∣ Y ) {\displaystyle H(X\mid Y)} מייצג את התוחלת של H ( X ∣ Y = y ) {\displaystyle H(X\mid Y=y)} במעבר על כל הערכים האפשריים של Y. רציפות: האנטרופיה של התפלגות ברנולי b ( p ) {\displaystyle b(p)} היא פונקציה רציפה של p. נורמליות: האנטרופיה של ההתפלגות האחידה על שני מצבים, היא 1. משפט: פונקציית האנטרופיה H היא הפונקציה היחידה המקיימת את ארבע התכונות לעיל. הוכחה: נניח ש-H היא פונקציה המוגדרת על משתנים מקריים, ומקיימת את תכונות האדיטיביות, הפיצול, הרציפות והנורמליות. ראשית נחשב את H ( p ) {\displaystyle H(p)} , שהוא הערך של H במשתנה ברנולי b ( p ) {\displaystyle b(p)} . יהיו X , Y ∼ b ( p ) {\displaystyle X,Y\sim b(p)} משתני ברנולי בלתי תלויים. נסמן ב-Z את המשתנה המוגדר להיות 0 אם X=Y ו-1 אחרת. Z הוא פונקציה של הזוג הסדור (X,Y), ולפי אקסיומות הפיצול והאדיטיביות, 2 H ( p ) = H ( X ) + H ( Y ) = H ( X , Y ) = H ( X , Y | Z ) + H ( Z ) {\displaystyle 2H(p)=H(X)+H(Y)=H(X,Y)=H(X,Y|Z)+H(Z)} . אבל Z עצמו מתפלג ברנולי, עם הסתברות 2pq להיות 1 (כאשר q=1-p). בהינתן Z=1, הזוג (X,Y) מקבל את הערכים (0,1) ו-(1,0) בהסתברויות שוות; ובהינתן Z=0 (מאורע שהסתברותו א-פריורי היא p^2+q^2), ההסתברות ל-(1,1) היא q^2/(p^2+q^2). אם כך, לפי ההגדרה,   H ( X , Y | Z ) = ( p 2 + q 2 ) H ( p 2 p 2 + q 2 ) + 2 p q H ( 1 2 ) {\displaystyle \ H(X,Y|Z)=(p^{2}+q^{2})H\left({\frac {p^{2}}{p^{2}+q^{2}}}\right)+2pqH\left({\frac {1}{2}}\right)} . לכן 2 H ( p ) = ( p 2 + q 2 ) H ( p 2 p 2 + q 2 ) + 2 p q H ( 1 2 ) + H ( 2 p q ) {\displaystyle 2H(p)=(p^{2}+q^{2})H\left({\frac {p^{2}}{p^{2}+q^{2}}}\right)+2pqH\left({\frac {1}{2}}\right)+H\left(2pq\right)} . זוהי משוואה פונקציונלית, שהפתרון היחיד שלה הוא   H ( p ) = − p log ⁡ p − q log ⁡ q {\displaystyle \ H(p)=-p\log p-q\log q} , עד כדי קבוע; הנורמליות קובעת שהלוגריתם הוא בבסיס 2. עבור משתנה המקבל n ערכים, אפשר לחשב את H באינדוקציה, על ידי התניה בקבלת הערך האחרון:   H ( p 1 , … , p n ) = ( 1 − p n ) H ( p 1 1 − p n , … , p n − 1 1 − p n ) + H ( p n ) {\displaystyle \ H(p_{1},\dots ,p_{n})=(1-p_{n})H({\frac {p_{1}}{1-p_{n}}},\dots ,{\frac {p_{n-1}}{1-p_{n}}})+H(p_{n})} . נפתור את הדוגמה שבפתיח (מה יותר קשה לחיזוי – סכום הטלת שתי קוביות או התפלגות אחידה בין 9 תוצאות): למרחב אחיד בגודל 9 יש 9 תוצאות שלכל אחת מהן הסתברות 1 9 {\displaystyle {1 \over 9}} , ולכן האנטרופיה היא 9 ⋅ ( − 1 9 log 2 ⁡ ( 1 9 ) ) = log 2 ⁡ ( 9 ) ≈ 3.17 {\displaystyle 9\cdot (-{1 \over 9}\log _{2}\left({1 \over 9}\right))=\log _{2}(9)\approx 3.17} , ואילו האנטרופיה של מרחב התוצאות האפשריות של סכום שתי קוביות היא   − ∑ p i log 2 ⁡ ( p i ) = − [ 2 ⋅ ( 1 36 log 2 ⁡ ( 1 36 ) ) + 2 ⋅ ( 1 18 log 2 ⁡ ( 1 18 ) ) + 2 ⋅ ( 1 12 log 2 ⁡ ( 1 12 ) ) + 2 ⋅ ( 1 9 log 2 ⁡ ( 1 9 ) ) + 2 ⋅ ( 5 36 log 2 ⁡ ( 5 36 ) ) + ( 1 6 log 2 ⁡ ( 1 6 ) ) ] ≈ 3.27. {\displaystyle {\begin{aligned}\ -\sum p_{i}\log _{2}(p_{i})=-\left[2\cdot \left({1 \over 36}\log _{2}\left({1 \over 36}\right)\right)+2\cdot \left({1 \over 18}\log _{2}\left({1 \over 18}\right)\right)+2\cdot \left({1 \over 12}\log _{2}\left({1 \over 12}\right)\right)+2\cdot \left({1 \over 9}\log _{2}\left({1 \over 9}\right)\right)\right.+\\\left.2\cdot \left({5 \over 36}\log _{2}\left({5 \over 36}\right)\right)+\left({1 \over 6}\log _{2}\left({1 \over 6}\right)\right)\right]\approx 3.27.\end{aligned}}} כלומר, מעט קשה יותר לחזות את התוצאה של סכום שתי קוביות מאשר את התוצאה של בחירה אקראית מתוך 9 אפשרויות. לאנטרופיה של שאנון קשר הדוק ליכולת לדחוס אינפורמציה וליכולת ללמוד מהאינפורמציה באמצעות אלגוריתמים של למידת מכונה. מושגים נוספים הקשורים לאנטרופיה קשר הדוק הם אינפורמציה הדדית ואנטרופיה מותנית. לאנטרופיה יש גם קשר עמוק למושג סיבוכיות קולמוגורוב. אנטרופיה מרחק לוינשטיין מדיה וקבצים בנושא אנטרופיה בוויקישיתוף אנטרופיה (סטטיסטיקה), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) אנטרופיה, באתר MathWorld (באנגלית) אנטרופיה (תורת האינפורמציה), דף שער בספרייה הלאומית C.E. Shannon, "A Mathematical Theory of Communication", Bell System Technical Journal, vol. 27, pp. 379–423, 623–656, July, October, 1948