פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה   X ≤ a {\displaystyle \ X\leq a} , לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף. אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי:   F X ( a ) = Pr ⁡ ( X ≤ a ) {\displaystyle \ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a)} מקיימת בהכרח ארבע תכונות: הגבול   lim a → − ∞ F X ( a ) {\displaystyle \ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a)} שווה ל-0. הגבול   lim a → ∞ F X ( a ) {\displaystyle \ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a)} שווה ל-1. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר   F X ( a ) ≤ F X ( b ) {\displaystyle \ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)} לכל   a ≤ b {\displaystyle \ a\leq b} . הפונקציה רציפה מימין. ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות   a < X < b {\displaystyle \ a<X<b} . ואכן, אם דורשים ש-   Pr ⁡ ( X ≤ a ) = F ( a ) {\displaystyle \ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a)} , נובע שהגבול משמאל   lim x → b − F ( b ) {\displaystyle \ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b)} שווה להסתברות   Pr ⁡ ( X < b ) {\displaystyle \ \operatorname {Pr} (X<b)} . מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה   a < X < b {\displaystyle \ a<X<b} ,   a < X ≤ b {\displaystyle \ a<X\leq b} ,   a ≤ X < b {\displaystyle \ a\leq X<b} ו-   a < X < b {\displaystyle \ a<X<b} . בפרט נובע ש-   P ( X = b ) = F X ( b ) − lim x → b − F X ( x ) {\displaystyle \ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x)} , כך שהסיכוי למאורעות   X = b {\displaystyle \ X=b} הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f: F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t . {\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.} נניח ש- X {\displaystyle X} הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה). אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של X {\displaystyle X} נתונה על ידי: F ( x ) = { 0 :   x < 1 1 / 6 :   1 ≤ x < 2 2 / 6 :   2 ≤ x < 3 3 / 6 :   3 ≤ x < 4 4 / 6 :   4 ≤ x < 5 5 / 6 :   5 ≤ x < 6 1 :   x ≥ 6. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&:\ x<1\\1/6&:\ 1\leq x<2\\2/6&:\ 2\leq x<3\\3/6&:\ 3\leq x<4\\4/6&:\ 4\leq x<5\\5/6&:\ 5\leq x<6\\1&:\ x\geq 6.\end{cases}}} דוגמה נוספת: נניח ש- X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי p {\displaystyle p} , ואת הערך 0 בסיכוי 1 − p {\displaystyle 1-p} (למשל: אם p = 40 % {\displaystyle p=40\%} אז 1 − p = 60 % {\displaystyle 1-p=60\%} ). אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של X {\displaystyle X} נתונה על ידי: F ( x ) = { 0 :   x < 0 1 − p :   0 ≤ x < 1 1 :   x ≥ 1. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\1-p&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}}} כי ההסתברות ש- X {\displaystyle X} יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא 1 − p {\displaystyle 1-p} . נניח ש- X {\displaystyle X} מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של X {\displaystyle X} נתונה על ידי: F ( x ) = { 0 :   x < 0 x :   0 ≤ x < 1 1 :   x ≥ 1. {\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\x&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}}} כי ההסתברות שהמשתנה המקרי X {\displaystyle X} יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע   X ≤ x {\displaystyle \ X\leq x} לכל מספר x {\displaystyle x} בין 0 ל-1 היא x {\displaystyle x} . מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף פונקציית התפלגות, באתר MathWorld (באנגלית)