מחלק

במתמטיקה, מספר שלם a {\displaystyle a} הוא מחלק (או גורם) של מספר שלם b {\displaystyle b} אם אפשר לכתוב את b {\displaystyle b} כמכפלה של a {\displaystyle a} במספר שלם c {\displaystyle c} , כלומר אם קיים c ∈ Z {\displaystyle c\in \mathbb {Z} } עבורו b = a c {\displaystyle b=ac} . במקרה כזה, השארית בחלוקה של b {\displaystyle b} ב- a {\displaystyle a} היא 0. באופן פורמלי, נהוג לרשום a ∣ b {\displaystyle a\mid b} או a ∤ b {\displaystyle a\nmid b} כדי לציין כי a {\displaystyle a} מחלק או לא מחלק את b {\displaystyle b} בהתאמה (לדוגמה, 5 ∣ 35 {\displaystyle 5\mid 35} אבל 5 ∤ 33 {\displaystyle 5\nmid 33} ). מהגדרה זו נובע באופן מיידי כי a ∣ k a {\displaystyle a\mid ka} לכל k {\displaystyle k} שלם (הומוגניות), ובפרט a ∣ a {\displaystyle a\mid a} (רפלקסיביות). כמו כן, לכל k {\displaystyle k} שלם k ∣ 0 {\displaystyle k\mid 0} ובפרט 0 ∣ 0 {\displaystyle 0\mid 0} (כי 0 = k ⋅ 0 {\displaystyle 0=k\cdot 0} ). חשוב לזכור שאמנם אפס מחלק את אפס אבל פעולת החילוק באפס לא מוגדרת. בפרט הביטוי 0:0 לא מוגדר, כיוון שהשוויון 0 = 0 ⋅ k {\displaystyle 0=0\cdot k} מתקיים עבור כל מספר טבעי k {\displaystyle k} . בנוסף, היחס "מחלק את" הוא טרנזיטיבי, כיוון שאם a ∣ b {\displaystyle a\mid b} וגם b ∣ c {\displaystyle b\mid c} אזי קיימים k 1 , k 2 ∈ Z {\displaystyle k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} } עבורם b = k 1 a , c = k 2 b {\displaystyle b=k_{1}a,c=k_{2}b} ומכאן c = k 2 k 1 a {\displaystyle c=k_{2}k_{1}a} ולכן a ∣ c {\displaystyle a\mid c} . מהרפלקסיביות והטרנזיטיביות נובע ששהיחס מהווה קדם סדר מעל השלמים. היחס אינו יחס סדר חלקי מעל השלמים, כיוון שהוא לא אנטי-סימטרי (למשל 5 ∣ − 5 {\displaystyle 5\mid -5} וגם − 5 ∣ 5 {\displaystyle -5\mid 5} ). יחד עם זאת, היחס "מחלק את" מעל הטבעיים הוא אנטי-סימטרי כיוון שלכל a , b ∈ N {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} } אם a ∣ b {\displaystyle a\mid b} וגם b ∣ a {\displaystyle b\mid a} אז a ≤ b {\displaystyle a\leq b} וגם b ≤ a {\displaystyle b\leq a} ומכאן a = b {\displaystyle a=b} . לכן הוא סדר חלקי (חלש) מעל המספרים הטבעיים. תכונה נוספת של המחלק היא ליניאריות, כלומר אם a ∣ b {\displaystyle a\mid b} וגם a ∣ c {\displaystyle a\mid c} אז לכל n 1 , n 2 ∈ Z {\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z} } מתקיים a ∣ ( b n 1 + c n 2 ) {\displaystyle a\mid (bn_{1}+cn_{2})} . לצורך הוכחת הליניאריות נוכיח תחילה את תכונת החיבור: אם a ∣ b , c {\displaystyle a\mid b,c} אז b = k 1 a , c = k 2 a {\displaystyle b=k_{1}a,c=k_{2}a} ומכאן b + c = k 1 a + k 2 a = ( k 1 + k 2 ) a {\displaystyle b+c=k_{1}a+k_{2}a=(k_{1}+k_{2})a} , לכן a ∣ ( b + c ) {\displaystyle a\mid (b+c)} . מתכונת הליניאריות ותכונת ההומוגניות שהוכחנו קודם נובעת תכונת הליניאריות, כלומר: אם a ∣ b , a ∣ c {\displaystyle a\mid b,a\mid c} אז a ∣ b n 1 , a ∣ c n 2 {\displaystyle a\mid bn_{1},a\mid cn_{2}} (הומוגניות), ומכאן a ∣ ( b n 1 + c n 2 ) {\displaystyle a\mid (bn_{1}+cn_{2})} . למושג המחלק המשותף המקסימלי של שני מספרים יש חשיבות רבה בתורת המספרים האלמנטרית. המשפט היסודי של האריתמטיקה, לפיו כל מספר טבעי יכול להיכתב כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים, פרט לשינוי הסדר של הגורמים, גורם לעניין מוגבר במספרים הראשוניים המחלקים מספר נתון, כלומר בגורמים הראשוניים שלו. נסמן d ( n ) {\displaystyle d(n)} את הפונקציה המונה את מספר המחלקים של מספר טבעי n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} , שפירוקו לגורמים מיוצג בצורה: n = p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p n k n {\displaystyle n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{n}^{k_{n}}} כאשר המספרים p 1 , p 2 , … , p n {\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}} ראשוניים, והמספרים k 1 , k 2 , … , k n {\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}} שלמים. נשים לב, שכל מחלק של n {\displaystyle n} הוא מהצורה p 1 x 1 p 2 x 2 ⋯ p n x n {\displaystyle p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}\cdots p_{n}^{x_{n}}} כאשר 0 ≤ x i ≤ k i {\displaystyle 0\leq x_{i}\leq k_{i}} . כמו כן, על פי המשפט היסודי של האריתמטיקה ייצוג זה הוא יחיד. לכן לפי עקרון הכפל: d ( n ) = ( k 1 + 1 ) ( k 2 + 1 ) ⋯ ( k n + 1 ) {\displaystyle d(n)=(k_{1}+1)(k_{2}+1)\cdots (k_{n}+1)} מכאן d ( n ) {\displaystyle d(n)} היא פונקציה כפלית. לדוגמה ניקח את המספר 12. ברור כי יש לו בדיוק ששה מחלקים טבעיים: 1,2,3,4,6,12. נציג את המספר כמכפלת ראשוניים: 12 = 2 2 ⋅ 3 1 {\displaystyle 12=2^{2}\cdot 3^{1}} , ועל פי המשפט נובע כי אכן יש לו בדיוק ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 3 ⋅ 2 = 6 {\displaystyle (2+1)(1+1)=3\cdot 2=6} מחלקים טבעיים. חשוב להדגיש שאם רוצים לספור את מספר המחלקים השלמים (לא בהכרח חיוביים) של מספר שלם n {\displaystyle n} , הם יהיו פי 2 ממספר המחלקים הטבעיים של | n | {\displaystyle |n|} . מכיוון שלכל מחלק טבעי ניתן להוסיף את הנגדי לו. לדוגמה עבור − 12 {\displaystyle -12} , המחלקים הם ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 12 {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6,\pm 12} (בדיוק 12, שהם פי 2 ממספר המחלקים הטבעיים של 12). כאשר עוסקים בחוג כלשהו, גם כן ניתן לדבר על יחס של חלוקה. נאמר כי איבר a {\displaystyle a} הוא מחלק של איבר b {\displaystyle b} אם קיים בחוג איבר c {\displaystyle c} עבורו b = a c {\displaystyle b=ac} . למשל בחוג הפולינומים במקדמים שלמים, הפולינום x + 1 {\displaystyle x+1} מחלק את x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} , כי x 3 − x = ( x + 1 ) ( x 2 − x ) {\displaystyle x^{3}-x=(x+1)(x^{2}-x)} . מושג המחלק נחוץ לצורך עיסוק בתחומי פריקות יחידה. מבחני התחלקות גורם ראשוני סדרת מחלקים מחלק, באתר MathWorld (באנגלית)