סדרה (מתמטיקה)

במתמטיקה, סדרה היא קבוצה סדורה של עצמים, הנקראים איברי הסדרה. בסדרה, כל איבר נקבע בצורה יחידה על פי מיקומו בסדרה, כך שאיברים במקומות שונים יכולים להיות שווים זה לזה. סדרה יכולה להיות סופית, או אינסופית. סדרה סופית קרויה גם וקטור, או רשימה סדורה. מקובל לסמן את אברי הסדרה בסימון a 1 , a 2 , a 3 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots } ובקיצור { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} . בסימון a n {\displaystyle a_{n}} , האות a {\displaystyle a} היא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו- n {\displaystyle n} הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה. למשל, בסדרה של המספרים הטבעיים { a n } n = 1 ∞ = { 1 , 2 , 3... } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }=\left\{1,2,3...\right\}} מתקיים a 1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 , … {\displaystyle a_{1}=1,a_{2}=2,a_{3}=3,\dots } . פורמלית, ניתן להגדיר סדרה אינסופית בתור פונקציה מקבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת ערכי הסדרה. בצורה זו, לכל מספר טבעי מותאם ערך כלשהו (ניתן להתאים את אותו ערך יותר מפעם אחת). האינדקסים של סדרה הם מספרים טבעיים, אולם ניתן להכליל ולהגדיר סדרות עם אינדקסים סודרים. סדרות הן מרכיב יסודי בשפה של האנליזה המתמטית. מושג ההתכנסות של סדרה, המתאר את ההתנהגות של אבריה כאשר האינדקס גדל לאינסוף, מאפשר לתאר מושגים חשובים אחרים, כגון רציפות של פונקציות או תכונות של המרחב שממנו מגיעים אברי הסדרה. אומרים על סדרה שהיא מתכנסת אם ורק אם קיים לה גבול. סדרה שאיבריה שייכים למרחב מטרי (כגון הישר הממשי) היא סדרה חסומה אם קיים מספר ממשי R {\displaystyle R} כך שמרחקם של אברי הסדרה מנקודה x {\displaystyle x} אינו עולה על R {\displaystyle R} . הסדרה היא סדרת קושי אם המרחק בין שני איברים שואף לאפס כאשר שני האינדקסים שואפים לאינסוף. סדרה שאבריה הם מספרים ממשיים נקראת סדרה ממשית. על סדרות כאלה אפשר להחיל את מושג המונוטוניות: סדרה היא עולה ממש אם לכל אינדקס n {\displaystyle n} מתקיים a n < a n + 1 {\displaystyle a_{n}<a_{n+1}} , ועולה (או "לא יורדת") אם מתקיים a n ≤ a n + 1 {\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}} . באותו אופן אומרים שהסדרה יורדת ממש אם מתקיים a n > a n + 1 {\displaystyle a_{n}>a_{n+1}} ושהיא יורדת (או "לא עולה") אם מתקיים a n ≥ a n + 1 {\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}} . בשני המקרים הללו אומרים שהסדרה מונוטונית. סדרה שהיא גם עולה וגם יורדת מוכרחה להיות סדרה קבועה, כלומר סדרה שכל איבריה זהים. לא כל סדרה היא מונוטונית, אבל לכל סדרה קיימת תת-סדרה מונוטונית. סדרת הסכומים החלקיים של סדרה נתונה נקראת טור. ערך מורחב – תת-סדרה תת-סדרה היא סדרה המכילה, לפי הסדר, איברים השייכים לסדרה אחרת. בצורה פורמלית, אם { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} היא סדרה, וקיימת סדרה עולה ממש { n k } {\displaystyle \left\{n_{k}\right\}} שאבריה הם קבוצה חלקית לקבוצת הסודרים של הסדרה המקורית, אז { a n k } {\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}} היא תת-סדרה של { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה ממשית חסומה יש תת-סדרה מתכנסת. מנקודת מבט טופולוגית, אפשר לתרגם זאת לטענה שכל תת-קבוצה סגורה וחסומה בישר הממשי היא קומפקטית סדרתית. יש סדרות שאפשר לתאר בקלות את האיבר הכללי שלהן. סדרה חשבונית היא סדרה שבה a n = α n + β {\displaystyle a_{n}=\alpha n+\beta } , כאשר α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } קבועים; סדרה כזו מאופיינת בהפרש a n + 1 − a n {\displaystyle a_{n+1}-a_{n}} קבוע. סדרה הנדסית היא סדרה שבה a n = α q n {\displaystyle a_{n}=\alpha q^{n}} , כאשר α , q {\displaystyle \alpha ,q} קבועים; סדרה כזו מאופיינת במנה q = a n + 1 / a n {\displaystyle q=a_{n+1}/a_{n}} קבועה. סדרה פולינומית היא סדרה שבה האיבר הכללי מתואר על ידי פולינום, p ( n ) = a k n k + … + a 1 n + a 0 {\displaystyle p(n)=a_{k}n^{k}+\ldots +a_{1}n+a_{0}} . המעבר מסדרה a 1 , a 2 , a 3 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots } לסדרת ההפרשים a 2 − a 1 , a 3 − a 2 , a 4 − a 3 , … {\displaystyle a_{2}-a_{1},a_{3}-a_{2},a_{4}-a_{3},\dots } , שבה האיברים הם הפרשי האיברים העוקבים בסדרה המקורית, מוריד את מעלת הפולינום. לכן, כאשר נתונים איברים מסדרה פולינומית, ודרגת הפולינום ידועה, אפשר למצוא את הפולינום על ידי המעבר לסדרת ההפרשים, סדרת הפרשי ההפרשים וכו'. דוגמה: מצא את האיבר הכללי של הסדרה הבאה: − 2 , − 2 , 0 , 4 , 10 , … {\displaystyle -2,-2,0,4,10,\dots } . פתרון: נתבונן בסדרת ההפרשים, שהיא: 0 , 2 , 4 , 6 , . . . {\displaystyle 0,2,4,6,...} . זוהי סדרה חשבונית, שאיברה הראשון ( a 1 {\displaystyle a_{1}} ) הוא 0 {\displaystyle 0} , והפרשה ( d {\displaystyle d} ) הוא 2 {\displaystyle 2} . סכומה של סדרה כזו הוא S n = [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] ⋅ n 2 = [ 2 ⋅ 0 + ( n − 1 ) ⋅ 2 ] ⋅ n 2 = ( n − 1 ) ⋅ 2 n 2 = n 2 − n {\displaystyle S_{n}={[2a_{1}+(n-1)d]\cdot n \over 2}={[2\cdot 0+(n-1)\cdot 2]\cdot n \over 2}={(n-1)\cdot 2n \over 2}=n^{2}-n} . לכן: S n − 1 = ( n − 1 ) 2 − ( n − 1 ) = n 2 − 3 n + 2 {\displaystyle S_{n-1}=(n-1)^{2}-(n-1)=n^{2}-3n+2} . האיבר הראשון בסדרה המקורית הוא − 2 {\displaystyle -2} , ולכן a n = − 2 + n 2 − 3 n + 2 = n 2 − 3 n {\displaystyle a_{n}=-2+n^{2}-3n+2=n^{2}-3n} . אוסף הסדרות מעל שדה נתון (כלומר, הסדרות שאיבריהן הן איברים בשדה) מהוות מרחב וקטורי מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } , כאשר פעולת החיבור מוגדרת ( a + b ) n = a n + b n {\displaystyle (a+b)_{n}=a_{n}+b_{n}} ופעולת הכפל בסקלר מוגדרת ( c ⋅ a ) n = c ⋅ ( a n ) {\displaystyle (c\cdot a)_{n}=c\cdot (a_{n})} . סדרה, באתר MathWorld (באנגלית) סדרות (מתמטיקה), דף שער בספרייה הלאומית Sequences 2: Notation – סרטון הסבר של MathTV על סימונים מתמטיים של סדרות (באנגלית)