עקרון הויגנס

עקרון הויגנס (ידוע גם כעקרון הויגנס-פרנל) קובע כי ניתן להתייחס לכל נקודה בחזית גל כמקור נקודתי של גל חדש: כל נקודה שמופרעת על ידי מעבר של גל דרכה הופכת למקור של גל כדורי, וההתאבכות של כל הגלים הכדוריים היא הגל הכולל המתקדם במרחב. העיקרון נוסח על ידי כריסטיאן הויגנס ואוגוסטן ז'אן פרנל. על עיקרון זה מבוסס הניתוח המתמטי של תופעת העקיפה כמו בניסוי שני הסדקים של תומאס יאנג. באמצעות עיקרון זה ניתן גם להסביר תופעות התאבכות נוספות ושבירה. ב-1678, הויגנס הציע כי כל נקודה אליה מגיעה הפרעה אורית הופכת למקור של גלים כדוריים; הסיכום של כל הגלים המשניים האלו קובע את צורת הגל בכל רגע נתון. הוא הניח שהגלים המשניים נעים פחות או יותר רק בכיוון "חזיתי", אולם לא הסביר לפי התאוריה שלו מדוע זה כך. הוא היה מסוגל לתת הסבר איכותי להתקדמות גלים קווית וכדורית, ולגזור את חוקי ההחזרה והשבירה באמצעות העיקרון הזה, אבל לא יכול היה להסביר את הסטיות מתנועה ישרה המתרחשות כאשר אור פוגש בפינות, מפתחים ומסכים, אפקטים שזכו לשם "תופעות עקיפה". את הסיבה לשגיאה הזאת שלו הסביר דייוויד מילר ב-1991; הפתרון הוא שמקור הגלים הוא דיפול (ולא המונופול שהויגנס הניח), אשר מתקזז בכיוון המוחזר[דרושה הבהרה]. ב-1818, פרנל הראה שעקרון הויגנס יחד עם עקרון ההתאבכות שלו יכולים להסביר הן את ההתקדמות הקווית של אור והן את תופעות העקיפה. כדי להשיג התאמה עם תוצאות ניסוייות, הוא היה חייב לכלול בתאוריה שלו הנחות שרירותיות נוספות על הפאזה והמשרעת של הגלים המשניים, כמו גם גורם הטיה (obliquity factor). להנחות הללו לא היה בסיס פיזיקלי מוצק אולם הן הובילו לתחזיות שהסכימו עם תצפיות ניסוייות כמו כתם אראגו (Arago spot). כתם אראגו התגלה בעקבות רעיונו של פואסון שהיה חבר באקדמיה הצרפתית, אשר בחנה את עבודתו של פרנל. הוא נעזר בתאוריה של פרנל כדי להסיק שאמור להופיע כתם בהיר במרכז הצל של דיסקה קטנה, והסיק מכך שזה לא נצפה שהתאוריה הייתה שגויה. מאוחר יותר, אראגו, חבר אחר בוועד השופטים, ערך את הניסוי והראה שהתחזית נכונה. זו הייתה אחת החקירות שהובילו לניצחון התאוריה הגלית על פני התאוריה החלקיקית של האור, שהייתה דומיננטית במאה שעברה. נוסחת העקיפה של קירכהוף סיפקה מסגרת מתמטית ריגורוזי לעקיפה, המתבססת על משוואת הגלים. ההנחות השרירותיות אותן עשה פרנל כדי להגיע לניסוח המתמטי של עקרון הויגנס צצות באופן טבעי מהמתמטיקה של תורת העקיפה של קירכהוף. נתייחס למקרה של מקור נקודתי הממוקם בנקודה P0, המייצר גלים בתדירות f. את ההפרעה ניתן לתאר על ידי המשתנה המרוכב U0, הנקרא גם משרעת מרוכבת. הוא מפיק גלים כדוריים עם אורך גל λ ומספר גל k = 2π/λ. המשרעת המרוכבת של הגל הראשי בנקודה Q הממוקמת במרחק r0 מהנקודה P0 ניתנת בביטוי: U ( r 0 ) = U 0 e i k r 0 r 0 {\displaystyle U(r_{0})={\frac {U_{0}e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}} מכיוון שהמשרעת קטנה ביחס הפוך למרחק ממקור הגל, והפאזה משתנה לפי מכפלת מספר הגל k במרחק מהמקור. באמצעות התאוריה של הויגנס ועקרון הסופרפוזיציה של גלים, המשרעת המרוכבת בנקודה מרוחקת יותר P נמדדת על פי סיכום התרומות מכל נקודה על פני הכדור ברדיוס r0. כדי להשיג התאמה עם תצפיות ניסוייות, פרנל מצא שהתרומות מהגלים המשניים שנוצרים מנקודות על פני הכדור חייבים להיות מוכפלים בקבוע − i / λ {\displaystyle -i/\lambda } (כאשר i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} ), ובפקטור הטיה נוסף K ( χ ) {\displaystyle K(\chi )} . ההתאמה הראשונה פירושה שהגלים המשניים מאחרים ביחס לגל הראשי ברבע מחזור גל, ושהמשרעת של הגלים המשניים היא ביחס של 1 : λ {\displaystyle 1:\lambda } עם משרעת הגל הראשי. הוא הניח גם של- K ( χ ) {\displaystyle K(\chi )} יש ערך מרבי כאשר χ = 0 {\displaystyle \chi =0} (כלומר: בכיוון התקדמות הגל הראשי), וערך מאופס כאשר χ = π / 2 {\displaystyle \chi =\pi /2} (כלומר: בניצב לכיוון התקדמות הגל הראשי). על כן, המשרעת המרוכבת ב-P נתונה בנוסחה: U ( P ) = − i λ U ( r 0 ) ∫ S e i k s s K ( χ ) d S {\displaystyle U(P)=-{\frac {i}{\lambda }}U(r_{0})\int _{S}{\frac {e^{iks}}{s}}K(\chi )\,dS} כאשר S הוא המשטח של הכדור, ו-s הוא הרדיוס-וקטור (אנ') בין Q ל-P. ההנחות השונות שעשה פרנל מתקבלות באופן אוטומטי בנוסחת העקיפה של קירכהוף (אנ'), אשר ניתן לראות את עקרון הויגנס-פרנל כקירוב לה. עם זאת, התוצאה של קירכהוף נבדלת מזו של פרנל בפקטור ההטיה K ( χ ) {\displaystyle K(\chi )} :   K ( χ ) = 1 2 ( 1 + cos ⁡ χ ) {\displaystyle ~K(\chi )={\frac {1}{2}}(1+\cos \chi )} ל-K יש מקסימום ב- χ = 0 {\displaystyle \chi =0} כמו בעקרון הויגנס-פרנל; אף על פי כן, K לא שווה לאפס כאשר χ = π / 2 {\displaystyle \chi =\pi /2} . נוסחת קירכהוף מסבירה מדוע בכלל גלים מתקדמים בכיוון מוגדר מסוים: כאשר χ = π {\displaystyle \chi =\pi } , מקבלים 0 = K ( χ ) {\displaystyle K(\chi )} , כלומר הגלים המשניים כלל לא מועברים לאחור. בניסויי עקיפה, גל מישורי פוגע במחסום בעל מיפתח בצורה כלשהי (סדק יחיד, סדק כפול, שריג וכדומה), ומודדים את תבנית ההתאבכות של הגל על מסך שנמצא בעברו השני של המחסום. לפי עקרון הויגנס, התבנית המתקבלת זהה לזו שמתקבלת מאוסף אינסופי של מקורות נקודתיים הממלאים את המפתח. כתוצאה מכך מגיע הגל, מעבר למחסום, גם לאזורים שבהם הוא כביכול לא יכול להגיע על פי אופטיקה גאומטרית, העוסקת בתנועת אור בקווים ישרים בלבד. המשוואה שמקיים גל ממקור נקודתי היא משוואת הלמהולץ הלא-הומוגנית: ∇ 2 U + k 2 U ( r → , r ′ → ) = δ ( r → − r ′ → ) {\displaystyle \nabla ^{2}U+k^{2}U({\vec {r}},{\vec {r'}})=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})} כאשר δ ( r → − r ′ → ) {\displaystyle \delta ({\vec {r}}-{\vec {r'}})} היא פונקציית דלתא של דיראק התלת-ממדית, המתאפסת בכל המרחב פרט לנקודה r → = r ′ → {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r'}}} . הגל המונוכרומטי התלוי בזמן שפותר את משוואת הגלים מתקבל על ידי הכפלת U ( r → , r ′ → ) {\displaystyle U({\vec {r}},{\vec {r'}})} בפונקציה   e − i ω t {\displaystyle \ e^{-i\omega t}} . מאחר שפונקציית דלתא תלויה רק במרחק מהראשית ולא בזווית המרחבית, כי אז לאחר החלפת המשתנים: R → = r → − r ′ → {\displaystyle {\vec {R}}={\vec {r}}-{\vec {r'}}} ניתן להשתמש רק בחלק הרדיאלי של אופרטור הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות: ∇ 2 U = 1 R ∂ 2 ∂ R 2 ( R U ) {\displaystyle \nabla ^{2}U={\frac {1}{R}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial R^{2}}}(RU)} כאשר R = | R → | {\displaystyle R=|{\vec {R}}|} . המשוואה הופכת להיות: ∂ 2 ∂ R 2 ( R U ) + k 2 R U = R δ ( R → ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial R^{2}}}(RU)+k^{2}RU=R\delta ({\vec {R}})} מאחר שהפונקציה R מתאפסת בנקודה היחידה שבה פונקציית דלתא איננה מתאפסת, אגף ימין של המשוואה מתאפס באופן זהותי. פתרון המשוואה בקואורדינטות המקוריות הוא: U ( r → , r ′ → ) ∝ 1 | r → − r ′ → | e i k | r → − r ′ → | {\displaystyle U({\vec {r}},{\vec {r'}})\propto {\frac {1}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}} זוהי משוואה המתארת גל כדורי, הבוקע מהנקודה r ′ → {\displaystyle {\vec {r'}}} . את קבוע הפרופורציה ניתן למצוא באמצעות תנאי שפה. בנוסף, הפונקציה שהתקבלה היא לפי ההגדרה פונקציית גרין של המשוואה. לפי משפט גרין, משוואת הגל שנוצר ממקור דו-ממדי שאינו נקודתי ניתנת לחישוב באמצעות פונקציה זו על ידי האינטגרל המשטחי: U ( r → ) = k 2 π i ∫ ∫ U 0 ( r ′ → ) e i k | r → − r ′ → | | r → − r ′ → | cos ⁡ θ d 2 r ′ {\displaystyle U({\vec {r}})={\frac {k}{2\pi i}}\int \!\!\!\int U_{0}({\vec {r'}}){\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}\cos \theta d^{2}r'} כאשר   U 0 {\displaystyle \ U_{0}} הוא מקור הגל, θ {\displaystyle \theta } היא הזווית בין וקטור השטח האינפיניטסימלי לבין הווקטור r → − r ′ → {\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r'}}} , והאינטגרל הוא על המשטח המחולל את הגל. אינטגרל זה מבטא את הגל הנצפה כסופרפוזיציה של גלים כדוריים, הבוקעים מנקודות שונות על פני המשטח. בפרט, אם במישור z=0 ניצב מחסום שלאחריו מתקבל הגל:   U ( x , y , z = 0 ) {\displaystyle \ U(x,y,z=0)} , אז על מסך במרחק z מתקבלת תבנית העקיפה: U ( x , y , z ) = k 2 π i ∫ ∫ U ( x ′ , y ′ , z = 0 ) e i k | r → − r ′ → | | r → − r ′ → | cos ⁡ θ d x ′ d y ′ {\displaystyle U(x,y,z)={\frac {k}{2\pi i}}\int \!\!\!\int U(x',y',z=0){\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r'}}|}}\cos \theta dx'dy'} כאשר גל מישורי פוגע בגוף העשוי משני חומרים שונים, המוצמדים במישור, הגל מעורר על המישור אוסף של גלים כדוריים ממקורות נקודתיים, שממלאים את כל מישור ההפרדה. מהירות האור בחומר דיאלקטרי תלויה במקדם השבירה שלו. לכן, אם שני החומרים הם בעלי מקדמי שבירה שונים, אז חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחד יתקדם במהירות שונה מאשר חצי הכדור המתפשט לעבר החומר האחר. במקרה הכללי, שבו הגל מגיע למישור המפריד בזווית כלשהי שאינה אפס (כלומר, לא בניצב למישור), תיווצר זווית (שאינה אפס) בין הכיוון המאונך לחזית הגל הפוגע לבין זה של הגל הנשבר. תופעה זו מודגמת, למשל, במקרה של שבירה של אור במעבר הגבול בין שני חומרים. את זווית השבירה ניתן לחשב משיקולים גאומטריים, ולקבל את חוק סנל. Joseph W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, 2nd edition, McGraw-Hill, 1996, Chapter 3 ריצ'רד פיינמן (1988), אור וחומר, הוצאת הקיבוץ המאוחד עקרון הויגנס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)