מעגל RC

מעגל RC (מאנגלית: Resistor–Capacitor circuit – מעגל נגד־קבל) הוא מעגל חשמלי המורכב מנגד וקבל שאליהם ניתן לחבר גם מקור מתח ישר או חילופין. המעגל מהווה את הדוגמה הפשוטה ביותר למסנן תדרים אנלוגי – כאשר תדירות מקור המתח גבוהה רוב המתח נופל על הנגד וכאשר תדירותו נמוכה רוב המתח נופל על הקבל. לפיכך, המתח על הנגד הוא מסנן מעביר תדרים גבוהים והמתח על הקבל הוא מסנן מעביר תדרים נמוכים. מעגל RC טורי הוא מעגל המכיל קבל ונגד שמחוברים בטור למקור מתח   V ( t ) {\displaystyle \ V(t)} . זהו החיבור הנפוץ ביותר של מעגל זה. בהנחה שהרכיבים הם ליניאריים, הם מקיימים את המשוואות הבאות: המתח על הנגד לפי חוק אוהם:   V R ( t ) = R ⋅ I ( t ) {\displaystyle \ V_{R}(t)=R\cdot I(t)} כאשר   V R ( t ) {\displaystyle \ V_{R}(t)} הוא המתח על הנגד,   R {\displaystyle \ R} הוא התנגדות הנגד, ו־   I ( t ) {\displaystyle \ I(t)} הוא הזרם העובר בנגד, שהוא הזרם העובר בכל המעגל. בנוסף, הזרם במעגל הוא השינוי לפי הזמן של המטען בקבל: Q ˙ ( t ) = I ( t ) {\displaystyle {\dot {Q}}(t)=I(t)} (כאשר הנקודה מסמלת גזירה לפי הזמן). נציב:   V R ( t ) = R ⋅ Q ˙ ( t ) {\displaystyle \ V_{R}(t)=R\cdot {\dot {Q}}(t)} המתח על הקבל לפי הגדרת הקיבול: V C ( t ) = Q ( t ) C {\displaystyle V_{C}(t)={\frac {Q(t)}{C}}} כאשר   Q ( t ) {\displaystyle \ Q(t)} הוא המטען הצבור בקבל,   C {\displaystyle \ C} הוא קיבול הקבל, ו־   V C ( t ) {\displaystyle \ V_{C}(t)} הוא המתח על הקבל. מחוק המתחים של קירכהוף נובע שסכום המתחים על הנגד ועל הקבל שווה למתח מקור המתח: V R ( t ) + V C ( t ) = V ( t ) {\displaystyle V_{R}(t)+V_{C}(t)=V(t)} . מעגל המכיל קבל ונגד המחוברים בטור למקור מתח ישר נקרא מעגל טעינה. נציב במשוואה לעיל: R ⋅ Q ˙ ( t ) + Q ( t ) C = V {\displaystyle R\cdot {\dot {Q}}(t)+{\frac {Q(t)}{C}}=V} משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון. בהינתן תנאי ההתחלה Q ( 0 ) = 0 {\displaystyle Q(0)=0} (המטען על הקבל ברגע סגירת המפסק הוא 0   C {\displaystyle 0\ C} ), פתרונה הוא: Q ( t ) = C V ( 1 − e − t R C ) {\displaystyle Q(t)=CV(1-e^{-{\frac {t}{RC}}})} מפתרון זה ניתן להגיע לנוסחאות הבאות: I ( t ) = V 0 R e − t R C {\displaystyle I(t)={\frac {V_{0}}{R}}e^{-{\frac {t}{RC}}}} V C ( t ) = V ( 1 − e − t R C ) {\displaystyle \,\!V_{C}(t)=V\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)} V R ( t ) = V e − t R C {\displaystyle \,\!V_{R}(t)=Ve^{-{\frac {t}{RC}}}} זוהי תגובת המעגל למדרגה. במקרה שבו לא מחובר מקור מתח, לאחר שימוש בזהויות הקודמות מתקבלת המשוואה המתארת את המתח על הקבל: V ˙ C ( t ) + 1 R C V C ( t ) = 0 {\displaystyle {\dot {V}}_{C}(t)+{\frac {1}{RC}}V_{C}(t)=0} משוואה זו היא משוואה דיפרנציאלית ליניארית מסדר ראשון, והפתרון שלה הוא: V C ( t ) = V C 0 e − t R C {\displaystyle V_{C}(t)=V_{C_{0}}e^{-{\frac {t}{RC}}}} כאשר V C 0 {\displaystyle V_{C_{0}}} הוא המתח ברגע t=0. זוהי דעיכה מעריכית של המתח בזמן. מפתרון זה ניתן להגיע לנוסחאות הבאות: I ( t ) = V C 0 R e − t R C {\displaystyle I(t)={\frac {V_{C_{0}}}{R}}e^{-{\frac {t}{RC}}}} Q ( t ) = C V C 0 e − t R C {\displaystyle Q(t)=C\,V_{C_{0}}\,e^{-{\frac {t}{RC}}}} למערכת מוגדר זמן דעיכה אופייני (הזמן שלוקח למתח לקטון פי e מערכו המקורי), ובמעגלי RC טוריים ערכו הוא   τ 0 = R C {\displaystyle \!\ \tau _{0}=RC} , לכן קבוע זה נקרא קבוע זמן RC. זוהי תגובת ההלם של המעגל, או התגובה לתנאי ההתחלה. כלומר, במעגל שבו מחובר קבל טעון לנגד, המתח על הקבל (שהוא גם המתח על הנגד) ידעך מעריכית. אם מקור המתח מזרים במעגל זרם חילופין בתדירות ω {\displaystyle \omega } , במצב היציב המתחים על הקבל ועל הנגד גם הם יהיו סינוסים באותה תדירות אך בעלי משרעות שונות ובהפרשי מופע, שתלויים בתדירות המקור ומחושבים באמצעות פונקציות התמסורת. היחס בין משרעת המתח על הקבל למשרעת מתח המקור: G C = | H C ( j ω ) | = | V C ( j ω ) V ( j ω ) | = 1 1 + ( ω R C ) 2 {\displaystyle G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}} היחס בין משרעת המתח על הנגד למשרעת מתח המקור: G R = | H R ( j ω ) | = | V R ( j ω ) V ( j ω ) | = ω R C 1 + ( ω R C ) 2 {\displaystyle G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}} בתדירויות נמוכות המתח על הקבל דומה לזה של מתח המקור והמתח על הנגד מונחת. ככל שתדירות המקור גדלה, המתח על הקבל מונחת והמתח על הנגד דומה לזה של המקור. כתוצאה מכך, מעגל RC מתאים לשמש הן כמסנן מעביר נמוכים והן כמסנן מעביר גבוהים. הפרש המופע עבור הקבל: ϕ C = ∠ H C ( j ω ) = tan − 1 ⁡ ( − ω R C ) {\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)} הפרש המופע עבור הנגד: ϕ R = ∠ H R ( j ω ) = tan − 1 ⁡ ( 1 ω R C ) {\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)} בחיבור קבל ונגד למקור מתח במקביל, כל המתחים במעגל שווים למתח של המקור V ולכן מעגל זה אינו מתאים לשמש כמסנן. הזרם בקבל: I C = C d V d t {\displaystyle I_{C}=C{\frac {dV}{dt}}} הזרם בנגד: I R = V R {\displaystyle I_{R}={\frac {V}{R}}} בחיבור קבל ונגד למקור זרם (I(t במקום למקור מתח, מתקבלות משוואות הדומות למעגל RC טורי עם מקור מתח. ניתן לייצג מערכת מכנית על ידי מעגל חשמלי שקול המקיים את אותן המשוואות. המערכת המכנית השקולה למעגל RC המחובר במקביל למקור זרם היא גוף הנע בהשפעת כוח חיצוני וחיכוך ליניארי (למשל חיכוך עם האוויר). במערכת כזו:   C {\displaystyle \!\ C} – מסת הגוף   I C {\displaystyle \!\ I_{C}} – הכוח השקול הפועל על הגוף   V {\displaystyle \!\ V} – מהירות הגוף 1 R {\displaystyle {\frac {1}{R}}} – מקדם החיכוך הליניארי   I {\displaystyle \!\ I} – הכוח החיצוני המופעל על הגוף בדומה לפריקת קבל, בהפעלת כוח בצורת הלם (מכה קצרה) הגוף יקבל מהירות שתדעך מעריכית בגלל החיכוך עם האוויר, ובהפעלת כוח קבוע על גוף במנוחה מהירותו תגדל עד שתגיע למהירות סופית. מעגל RLC קבוע זמן RC קבל מדיה וקבצים בנושא מעגל RC בוויקישיתוף