אורתוגונליות

אוֹרְתּוֹגוֹנָלִיּוֹּת היא הכללה של תכונת הניצבות המוכרת מגאומטריה. בגאומטריה, שני ישרים במישור האוקלידי ניצבים זה לזה אם הזווית הנוצרת בנקודת החיתוך שלהם היא זווית ישרה (בת 90 מעלות). מושג האורתוגונליות מנסה לתפוס תכונה זו גם עבור ההכללות של המישור האוקלידי - המרחבים הווקטוריים שאבריהם אינם בהכרח ישרים אלא וקטורים, שהם מושג כללי יותר. על מנת להכליל את מושג הניצבות יש ראשית להכליל את מושג הזווית בין שני וקטורים. לשם כך משתמשים בפונקציה שמקבלת שני וקטורים ומחזירה גודל שניתן לחשוב עליו כעל מכפלת אורכי הווקטורים זה בזה ובקוסינוס הזווית ביניהם. פונקציה זו נקראת "מכפלה פנימית" (מקרה מסוים שלה זה מכפלה סקלרית). ישנן מכפלות פנימיות רבות שניתן להגדיר על מרחב וקטורי, ולכן גם מושגי האורך והזווית של וקטורים יכולים לקבל משמעויות רבות, אבל יש כמה תכונות בסיסיות שאנו מצפים שיתקיימו תמיד, ואלו התכונות שמאפיינות את המכפלה הפנימית. מכיוון שקוסינוס של זווית בין שני ישרים ניצבים שווה ל-0 מתבקש להגדיר שני וקטורים כאורתוגונליים אם המכפלה הפנימית שלהם שווה ל-0. לווקטורים אורתוגונליים חשיבות רבה כאשר חוקרים מרחבים וקטוריים. לבסיס של מרחב וקטורי יש מספר תכונות נוחות כאשר הוא אורתונורמלי (כל אבריו אורתוגונליים זה לזה ובעלי אורך 1). יתר על כן, מתברר שבהינתן בסיס כלשהו למרחב וקטורי ניתן לקבל ממנו בסיס חדש שכל אבריו אורתוגונליים זה לזה, כך שתמיד ניתן למצוא בסיס נוח שכזה. דבר זה נעשה על ידי תהליך גרם-שמידט. לכאורה, אורתוגונליות וניצבות הן מילים נרדפות. מיוונית, אורתו - ישר, גוניה - זווית. אבל ניצבות היא רק מקרה פרטי של אורתוגונליות במרחב האוקלידי התלת-ממדי - שני ישרים החותכים זה את זה בזווית ישרה הם אורתוגונליים זה לזה. באופן כללי, שני וקטורים u , v {\displaystyle \,u,v} במרחב מכפלה פנימית הם אורתוגונליים זה לזה אם ורק אם מכפלתם הפנימית שווה ל-0. הסימון המקובל לכך הוא u ⊥ v {\displaystyle \,u\perp v} . (בפרט, שני ישרים אורתוגונליים זה לזה אם המכפלה הסקלרית שלהם שווה ל-0, כלומר אם הם מאונכים זה לזה) אם u ⊥ v {\displaystyle \,u\perp v} , אז v ⊥ u {\displaystyle \,v\perp u} . אם u ⊥ v {\displaystyle \,u\perp v} , אזי לכל סקלר λ {\displaystyle \,\lambda } גם λ u ⊥ v {\displaystyle \,\lambda u\perp v} . אם u ⊥ v {\displaystyle \,u\perp v} וגם w ⊥ v {\displaystyle \,w\perp v} , אזי   ( w + u ) ⊥ v {\displaystyle \ (w+u)\perp v} . אם וקטור אורתוגונלי לקבוצה של וקטורים אזי הוא גם אורתוגונלי לכל צירוף ליניארי שלהם. זוהי מסקנה ישירה משתי התכונות הקודמות. יהי U {\displaystyle \,U} , תת-מרחב של V {\displaystyle \,V} , ויהי v ∈ V {\displaystyle \,v\in V} . v {\displaystyle \,v} יקרא אורתוגונלי ל- U {\displaystyle \,U} , ויסומן v ⊥ U {\displaystyle \,v\perp U} , אם v {\displaystyle \,v} אורתוגונלי לכל אחד מאיברי U {\displaystyle \,U} . על כן, (לפי המסקנות לעיל) v ⊥ U {\displaystyle \,v\perp U} אם ורק אם v {\displaystyle \,v} אורתוגונלי לקבוצה הפורשת את U {\displaystyle \,U} , ובפרט לבסיס של U {\displaystyle \,U} . תת מרחב משלים אורתוגונלי (או תת מרחב מאונך) של תת-מרחב אוקלידי נתון, הוא תת-מרחב שכל וקטור בו אורתוגונלי לכל וקטור בתת-המרחב הנתון. במילים אחרות, V {\displaystyle \,V} הוא תת-מרחב מאונך של U {\displaystyle \,U} מעל מכפלה פנימית ⟨ − , − ⟩ : V × V → F {\displaystyle \langle -,-\rangle :V\times V\to F} אם מתקיים כי: ∀ u ∈ U , v ∈ V . ⟨ u , v ⟩ = 0 {\displaystyle \forall u\in U,v\in V.\langle u,v\rangle =0} . לכל תת-מרחב אוקלידי יש תת-מרחב משלים אורתוגונלי. לדוגמה, במרחב אוקלידי דו־ממדי, המשלים האורתוגונלי של כל ישר הוא פשוט הישר המאונך לו. במרחב אוקלידי תלת־ממדי, תת-המרחב המשלים האורתוגונלי של כל ישר הוא המישור המאונך לו, ותת המרחב המשלים האורתוגונלי של כל מישור הוא הישר המאונך לו (כמובן, מדובר רק על ישרים ומישורים המהווים תת מרחבים, כלומר עוברים דרך ראשית הצירים). קבוצת וקטורים תקרא אורתוגונלית אם כל זוג וקטורים מהקבוצה אורתוגונליים זה לזה. קבוצת וקטורים תקרא אורתונורמלית אם בנוסף לדרישה הקודמת כל וקטור בקבוצה הוא מנורמל, כלומר: הנורמה שלו שווה ל-1. את התנאי לאורתונורמליות אפשר להציג באופן אלגנטי באמצעות הדלתא של קרונקר: קבוצה A {\displaystyle \,A} היא אורתונורמלית אם ורק אם ∀ v n , v m ∈ A : ⟨ v n , v m ⟩ = δ n , m {\displaystyle \forall v_{n},v_{m}\in A:\langle v_{n},v_{m}\rangle =\delta _{n,m}} . דוגמאות: הבסיס הסטנדרטי הוא בסיס אורתונורמלי תחת המכפלה הפנימית הסטנדרטית. כל אופרטור סיבוב הוא מטריצה אורתונורמלית. בהינתן בסיס כלשהו של מרחב מכפלה פנימית (סופי או מעוצמת אלף אפס), ניתן להפיק ממנו בסיס אורתונורמלי באמצעות תהליך גרם-שמידט. ב- R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} הבסיס הסטנדרטי e → 1 = ( 1 , 0 , 0 ) ,   e → 2 = ( 0 , 1 , 0 ) ,   e → 3 = ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle {\vec {e}}_{1}=(1,0,0),\ {\vec {e}}_{2}=(0,1,0),\ {\vec {e}}_{3}=(0,0,1)} הוא סדרה אורתונורמלית ביחס למכפלה הסקלרית. באופן כללי, ב- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} הבסיס הסטנדרטי הוא סדרה אורתונורמלית ביחס למכפלה הסקלרית. ב- R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} הסדרה v → 1 = ( 1 , 1 ) ,   v → 2 = ( 1 , − 1 ) {\displaystyle {\vec {v}}_{1}=(1,1),\ {\vec {v}}_{2}=(1,-1)} היא אורתוגונלית ביחס למכפלה הסקלרית (כי ⟨ v 1 , v 2 ⟩ = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( − 1 ) = 0 {\displaystyle \langle v_{1},v_{2}\rangle =1\cdot 1+1\cdot (-1)=0} ) אבל לא אורתונורמלית, כי למשל ⟨ v 1 , v 1 ⟩ = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2 ≠ 1 {\displaystyle \langle v_{1},v_{1}\rangle =1\cdot 1+1\cdot 1=2\neq 1} . קיימים מספר פולינומים אורתוגונליים ביחס למכפלתם הפנימית: פולינומי לז'נדר אורתוגונליים ביחד למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הפולינומים. פולינומי צ'בישב פולינומי הרמיט פולינומי לגר תהליך גרם-שמידט פולינומי לז'נדר אורתוגונליות, באתר MathWorld (באנגלית) אורתוגונליות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)