גל הדף

במכניקת הזורמים, גל הדף הוא גל לחץ בזורם (בדרך כלל, נוזל או גז) הנוצר כתוצאה מפליטת אנרגיה רבה מנפח מרוכז וקטן יחסית. הגל מאופיין במידה רבה כרתע, ולכן מחושב בקירוב כמו גל הלם של החומר הנתון. במהלך מלחמת העולם השנייה, הגו הפיזיקאים ג'ון פון נוימן וג'פרי אינגראם טיילור פתרון מתמטי להתפשטות הדף פיצוץ, שזכה לשם "פתרון הזהות". לאחר המלחמה, פרסמו שלושה מדענים פתרון דומה, באופן בלתי תלוי: לאוניד י. סדוב (אנ'), ריצ'רד לאטר (אנ') וג'ים לוקווד-טיילור. כחלק ממחקר שהתנהל בפרויקט פצצת האטום הבריטי (MAUD Committee), הצליח טיילור להעריך בקירוב טוב את כמות האנרגיה שעשויה להשתחרר לאוויר מפיצוץ אטומי. הוא הניח כי עבור נקודה נתונה של מקור אנרגיה, ההתפלגות המרחבית של משתני הזרימה יהיו זהים זה לזה בכל רגע נתון בכל פרק זמן במהלך הפיצוץ, ונבדלים רק בקנה מידה. ומכאן ניתן השם "פתרון הזהות". השערה זו אפשרה לקשור בין נגזרות לפי הזמן של משתני הזרימה לנגזרות לפי המקום שלהן, ובכך אפשרה מעבר ממשוואה דיפרנציאלית חלקית שהייתה נהוגה עד אז, למשוואה דיפרנציאלית רגילה במשתנה r 5 ρ o t 2 E {\displaystyle {\frac {r^{5}\rho _{o}}{t^{2}E}}} , כאשר • r - רדיוס הפיצוץ • ρ o {\displaystyle \rho _{o}} - מקדם צפיפות האוויר • t - משך הזמן • E {\displaystyle E} - סך האנרגיה הנפלטת בפיצוץ. הצגה זו איפשרה לטיילור להעריך את סדר גודל ניסוי האטום שנערך בניו מקסיקו ב-1945, תוך הסתמכות על התמונות משערי העיתונים ומגזינים. גודל השדה הוגדר באמצעות המשוואה: E = ( ρ o t 2 ) ( r C ) 5 {\displaystyle E=\left({\frac {\rho _{o}}{t^{2}}}\right)\left({\frac {r}{C}}\right)^{5}} , כאשר C {\displaystyle C} הוא קבוע חסר ממדים המורכב מהיחס בין טמפ' האוויר בלחץ קבוע לבין טמפ' האוויר בנפח קבוע. ב-1950, טיילור פרסם שני מאמרים בהם תיאר אומדן לאנרגיה שנפלטה בניסוי האטומי ובכך עורר הדים בקרב הקהילה המדעית. בעוד הצורה הכללית של הפתרון נתונה, נותר לחשב את ערך הקבוע חסר הממדים C, וזוהי המשימה הקשה ביותר. מתחילים את החישוב תוך כתיבת משוואות רנקין-הוגוניו על שפת הכדור, מהן ניתן לחלץ תנאי שפה על שפת הכדור. משוואות רנקין הוגוניו מאפשרות להסיק שצפיפות האוויר בחזית גל ההלם היא 6 פעמים צפיפות האוויר באטמוספירה ומהירות התקדמות החזית היא 6 p 2 5 ρ 1 {\displaystyle {\sqrt {\frac {6p_{2}}{5\rho _{1}}}}} . הפונקציות הנעלמות כעת הן פרופיל המהירות (מהירות זרימת האוויר) לפי הרדיוס ופרופיל הלחץ לפי הרדיוס. למעשה, פרופיל הצפיפות בתוך הכדור תלוי בפרופיל הלחץ שכן מותר להניח שבתוך מעטפת הפיצוץ, בניגוד לעל שפת הפיצוץ, דחיסת האוויר היא אדיאבטית, וכך ניתן לקשור בין הצפיפות ללחץ האוויר בתוך הכדור. בהינתן שתי הפונקציות שהוזכרו קודם ניתן לקבוע את ערך הקבוע C באמצעות נרמול, שכן האנרגיה הכוללת של האוויר בתוך הכדור (תרמית + קינטית) שווה E, או מתמטית: ∫ 0 R 4 π r 2 ( ϵ ( r ) + 1 2 ρ V ( r ) 2 ) d r = E {\displaystyle \int _{0}^{R}4\pi r^{2}(\epsilon (r)+{\frac {1}{2}}\rho V(r)^{2})dr=E} , כאשר ϵ ( r ) = P ( r ) γ − 1 {\displaystyle \epsilon (r)={\frac {P(r)}{\gamma -1}}} . משוואות אוילר מאפשרות לדמות את ההתפתחות בזמן של שדה הזרימה, ולבצע מעיין סימולציה נומרית של האבולוציה של משתני הזרימה בתוך גל ההדף הכדורי. כיוון שמשוואות אוילר מתארות את ההתפתחות בזמן של הזרימה (כל משוואה מכילה נגזרת זמנית אחת), ואינן מניבות מידע על המצב הזמני של שדה זרימה, נחוצה משוואה נוספת כדי "לסגור מעגל". משוואה זו מסופקת על ידי הנחת הזהות - ההנחה שההתפלגות המרחבית של משתני הזרימה זהה בכל זמן ונבדלת רק בקנה מידה. הנחה זו מאפשרת לגזור זהות הקושרת נגזרות זמניות של משתני הזרימה עם נגזרות מרחביות שלהם, ובכך משלימה את משוואות אוילר. מכלול הקשרים המתמטיים מוביל למערכת של משוואות דיפרנציאליות מצומדות. לאחר שהשיג תיאור מתמטי מלא של הבעיה, טיילור פתר את המשוואות הדיפרנציאליות באמצעים נומריים. התוצאה לקבוע חסר הממדים C הייתה 1.033. הצעת "סדוב-טיילור" למודלים של פיצוץ אומצה עד מהרה בענף האסטרופיזיקה לשם חישובים כמותיים של תוצרי סופרנובות, שזהים במידה רבה לפיצוצי האטום. הנוסחה, שידועה גם כמופע של גל הדף, היא תיאור של תהליך אדיאבטי במחזורי חייו של פיצוץ סופרנובה. אמנם טמפרטורת מעטפת הפיצוץ קטנה עם הזמן, אבל האנרגיה הפנימית נשארת תמיד 72% מהאנרגיה הראשונית (E0). אסטרופיזיקאים רבים מצאו נוסחה זו מועילה לחישוב התנהגויות של שיירי סופרנובות. הרדיוס R של גל ההדף נתון לפי R = 14 ( E 0 n ) 1 / 5 t 2 / 5 p c {\displaystyle R=14\left({\frac {E_{0}}{n}}\right)^{1/5}t^{2/5}pc} , כאשר: E0 - האנרגיה ההתחלתית t - גיל הסופרנובה n - צפיפות התווך בו הפיצוץ מתרחש טמפרטורת מעטפת הפיצוץ, נתונה אפוא לפי: T = 1.0×1010(E0/n) R−3 K התאוריה הקינטית של הגזים Neumann, John von, "The point source solution," John von Neumann. Collected Works, edited by A. J. Taub, Vol. 6 [Elmsford, N.Y.: Permagon Press, 1963], pages 219 - 237. Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "The formation of a blast wave by a very intense explosion. I. Theoretical discussion," Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 201, No. 1065, pages 159 - 174 (22 March 1950). Sedov, L. I., "Propagation of strong shock waves," Journal of Applied Mathematics and Mechanics, Vol. 10, pages 241 - 250 (1946). Latter, R., "Similarity solution for a spherical shock wave," Journal of Applied Physics, Vol. 26, pages 954 - 960 (1955). Batchelor, George, The Life and Legacy of G. I. Taylor, [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1996], pages 202 - 207. Lockwood-Taylor, J., "An exact solution of the spherical blast wave problem," Philosophical Magazine, Vol. 46, pages 317 - 320 (1955). Discussion of similarity solutions, including G. I. Taylor's Derivation of G. I. Taylor's similarity solution: http://www.atmosp.physics.utoronto.ca/people/codoban/PHY138/Mechanics/dimensional.pdf Discussion of G. I. Taylor's research, including his similarity solution: http://www.deas.harvard.edu/brenner/taylor/physic_today/taylor.htm Taylor, Sir Geoffrey Ingram, "The formation of a blast wave by a very intense explosion. II. The atomic explosion of 1945," Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 201, No. 1065, pages 175 - 186 (22 March 1950). Exploring the X-ray Universe, Philip A. Charles, Frederick D. Seward