פונקציית סכום הריבועים

בתורת המספרים, פונקציית סכום הריבועים היא פונקציה אריתמטית, שסופרת את מספר ההצגות של מספר טבעי נתון n כסכום של k ריבועים, כאשר הצגות עם סדר מחוברים שונה או סימן הפוך של המספרים המועלים בריבוע נספרות כהצגות שונות, והיא מסומנת (rk(n. הפונקציה מוגדרת באופן הבא: r k ( n ) = | { ( a 1 , a 2 , … , a k ) ∈ Z k   :   n = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a k 2 } | {\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k})\in \mathbb {Z} ^{k}\ :\ n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|} כאשר |   | {\displaystyle |\,\ |} מסמל את הגודל של הקבוצה. במילים אחרות, (rk(n הוא מספר הדרכים שבהן n ניתן לכתיבה כסכום של k ריבועים. לדוגמה, r 2 ( 1 ) = 4 {\displaystyle r_{2}(1)=4} מכיוון ש- 1 = 0 2 + ( ± 1 ) 2 = ( ± 1 ) 2 + 0 2 {\displaystyle 1=0^{2}+(\pm 1)^{2}=(\pm 1)^{2}+0^{2}} , ו- r 2 ( 2 ) = 4 {\displaystyle r_{2}(2)=4} מכיוון ש- 2 = ( ± 1 ) 2 + ( ± 1 ) 2 {\displaystyle 2=(\pm 1)^{2}+(\pm 1)^{2}} (יש ארבעה צירופי סימנים). כדוגמה נוספת - r 2 ( 3 ) = 0 {\displaystyle r_{2}(3)=0} , שכן אין דרך להציג את 3 כסכום של שני ריבועים. ערך מורחב – סכום של שני ריבועים את מספר הדרכים לכתוב מספר טבעי כסכום של שני ריבועים סופרת הפונקציה (r2(n. יש לה נוסחה מפורשת: r 2 ( n ) = 4 ( d 1 ( n ) − d 3 ( n ) ) {\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n))} כאשר (d1(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 1 בחלוקה ב-4 ו- (d3(n הוא מספר המחלקים של n המשאירים שארית 3 בחלוקה ב-4. באמצעות סימן הסכימה, הביטוי הזה ניתן לכתיבה גם כ-: r 2 ( n ) = 4 ∑ d ∣ n d ≡ 1 , 3 ( mod 4 ) ( − 1 ) ( d − 1 ) / 2 {\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n \atop d\,\equiv \,1,3{\pmod {4}}}(-1)^{(d-1)/2}} פירוק לגורמים ראשוניים n = 2 g p 1 f 1 p 2 f 2 ⋯ q 1 h 1 q 2 h 2 ⋯ {\displaystyle n=2^{g}p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}\cdots q_{1}^{h_{1}}q_{2}^{h_{2}}\cdots } , כאשר p i {\displaystyle p_{i}} הם הגורמים הראשוניים מהצורה p i ≡ 1 ( mod 4 ) {\displaystyle p_{i}\equiv 1{\pmod {4}}} , ו- q i {\displaystyle q_{i}} הם הגורמים הראשוניים מהצורה q i ≡ 3 ( mod 4 ) {\displaystyle q_{i}\equiv 3{\pmod {4}}} , מניב נוסחה שקולה נוספת: r 2 ( n ) = 4 ( f 1 + 1 ) ( f 2 + 1 ) ⋯ {\displaystyle r_{2}(n)=4(f_{1}+1)(f_{2}+1)\cdots } התקפה אם כל המעריכים h 1 , h 2 , ⋯ {\displaystyle h_{1},h_{2},\cdots } הם זוגיים. אם אחד או יותר מהמעריכים הללו הוא אי-זוגי, אז r 2 ( n ) = 0 {\displaystyle r_{2}(n)=0} . גאוס הוכיח שעבור מספר ללא גורמים ריבועיים n > 4: r 3 ( n ) = { 24 h ( − n ) , if  n ≡ 3 ( mod 8 ) , 0 if  n ≡ 7 ( mod 8 ) , 12 h ( − 4 n ) otherwise , {\displaystyle r_{3}(n)={\begin{cases}24h(-n),&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {8}},\\0&{\text{if }}n\equiv 7{\pmod {8}},\\12h(-4n)&{\text{otherwise}},\end{cases}}} כאשר (h(m מסמל את מספר המחלקות (class number) של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה m. ערך מורחב – משפט ארבעת הריבועים של יעקובי מספר הדרכים להציג את n כסכום של ארבעה ריבועים תמיד חיובי (בהתאם למשפט ארבעת הריבועים של לגראנז'), והוא מחושב בהתאם לנוסחה המפורשת של קרל גוסטב יעקב יעקובי, לפיה הוא שווה לשמונה פעמים סכום כל המחלקים של n שאינם מתחלקים ב-4, כלומר: r 4 ( n ) = 8 ∑ d ∣ n ,   4 ∤ d d . {\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{d\,\mid \,n,\ 4\,\nmid \,d}d.} אם מפרקים את m לגורם זוגי וגורם אי-זוגי, כלומר כותבים אותו בצורה n = 2km, כאשר m מספר אי-זוגי, אז ניתן להציג את r 4 ( n ) {\displaystyle r_{4}(n)} במונחי פונקציית סכום המחלקים באופן הבא: r 4 ( n ) = 8 σ ( 2 min { k , 1 } m ) . {\displaystyle r_{4}(n)=8\sigma (2^{\min\{k,1\}}m).} יעקובי מצא גם נוסחה מפורשת עבור המקרה k = 8: r 8 ( n ) = 16 ∑ d ∣ n ( − 1 ) n + d d 3 . {\displaystyle r_{8}(n)=16\sum _{d\,\mid \,n}(-1)^{n+d}d^{3}.} הפונקציה היוצרת של הסדרה r k ( n ) {\displaystyle r_{k}(n)} בעבור k קבוע ניתנת לביטוי במונחי פונקציית תטא של יעקובי: ϑ ( 0 ; q ) k = ϑ 3 k ( q ) = ∑ n = 0 ∞ r k ( n ) q n , {\displaystyle \vartheta (0;q)^{k}=\vartheta _{3}^{k}(q)=\sum _{n=0}^{\infty }r_{k}(n)q^{n},} כאשר ϑ ( 0 ; q ) = ∑ n = − ∞ ∞ q n 2 = 1 + 2 q + 2 q 4 + 2 q 9 + 2 q 16 + ⋯ . {\displaystyle \vartheta (0;q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}=1+2q+2q^{4}+2q^{9}+2q^{16}+\cdots .} 30 הערכים הראשונים של r k ( n ) , k = 1 , … , 8 {\displaystyle r_{k}(n),\;k=1,\dots ,8} נתונים בטבלה למטה: מדיה וקבצים בנושא פונקציית סכום הריבועים בוויקישיתוף Sum of Squares Function, באתר MathWorld (באנגלית)