משפט הפירוק הספקטרלי

במתמטיקה, ובפרט באלגברה ליניארית ואנליזה פונקציונלית, משפט הפירוק הספקטרלי (הנקרא לעיתים משפט הלכסון האוניטרי) הוא שורה של תוצאות הנוגעות לאופרטורים ליניאריים או למטריצות. במונחים רחבים, המשפט הספקטרלי מספק תנאים שתחתיהם אופרטור ליניארי או מטריצה ניתנים ללכסון (כלומר, ניתן להציגם כמטריצה אלכסונית ביחס לבסיס כלשהו). מושג הלכסון הוא מוגדר למדי עבור אופרטור על מרחב סוף-ממדי, אך הוא דורש התאמה מסוימת עבור המקרה של אופרטור על מרחב אינסוף-ממדי. באופן כללי, המשפט הספקטרלי מזהה מחלקה של אופרטורים ליניאריים אשר ניתנים להצגה כאופרטורי הכפלה ואופרטורים שכאלה הם יחסית קלים להבנה. בשפה יותר מופשטת, המשפט הספקטרלי הוא טענה על אלגבראות סי כוכב קומוטטיביות. למשפט יש שימושים באנליזת פורייה ובתחומים רבים אחרים. בגרסתו הפשוטה ביותר, המשפט אומר שכל מטריצה הרמיטית (מעל שדה המספרים המרוכבים או שדה המספרים הממשיים) היא לכסינה אוניטרית מעל אותו שדה וכל ערך עצמי שלה הוא ממשי. כלומר, אם   A = A ∗ {\displaystyle \ A=A^{*}} , אז קיימות מטריצה אוניטרית   U {\displaystyle \ U} ומטריצה אלכסונית ממשית   D {\displaystyle \ D} כך ש-   A = U D U ∗ {\displaystyle \ A=UDU^{*}} . את המשפט ניתן להכליל למטריצות נורמליות ובאופן כללי יותר, לאופרטורים נורמליים על מרחב הילברט. גרסה מתוחכמת יותר של המשפט אף אומרת שבהינתן משפחה של אופרטורים נורמליים מתחלפים בכפל (כלומר T ∘ S = S ∘ T {\displaystyle T\circ S=S\circ T} לכל שני אופרטורים T , S {\displaystyle T,S} במשפחה), ניתן ללכסן את כל האופרטורים במשפחה "סימולטנית". המשפט הספקטרלי מספק בנוסף פירוק קנוני של המרחב הווקטורי עליו האופרטור פועל. פירוק זה ידוע בתור הפירוק הספקטרלי. נניח ש- A {\displaystyle A} היא מטריצה הרמיטית מרוכבת מסדר n {\displaystyle n} (ניתן להסתכל באופן שקול על אופרטור הרמיטי על מרחב מכפלה פנימית סוף-ממדי, אך למען הפשטות נציג את המשפט במקרה המטריציוני). תנאי ההרמיטיות אומר ש- ⟨ A x , y ⟩ = ⟨ x , A y ⟩ {\displaystyle \left\langle Ax,y\right\rangle =\left\langle x,Ay\right\rangle } לכל שני וקטורים x , y ∈ V {\displaystyle x,y\in V} , או באופן שקול ש- A = A ∗ {\displaystyle A=A^{*}} , כאשר A ∗ {\displaystyle A^{*}} מסמן את הצמוד ההרמיטי של A {\displaystyle A} . אם A {\displaystyle A} היא מטריצה ממשית, זה שקול לכך ש- A = A t {\displaystyle A=A^{t}} (כלומר, A {\displaystyle A} מטריצה סימטרית). נזכיר כי וקטור עצמי של A {\displaystyle A} הוא וקטור (שונה מאפס) x {\displaystyle x} כך ש- A x = λ x {\displaystyle Ax=\lambda x} לאיזשהו סקלר λ {\displaystyle \lambda } . במקרה זה λ {\displaystyle \lambda } נקרא הערך העצמי המתאים ל- x {\displaystyle x} . משפט הפירוק הספקטרלי: קיים בסיס אורתונורמלי של C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} המורכב מווקטורים עצמיים של A {\displaystyle A} וכל ערך עצמי של A {\displaystyle A} הוא ממשי. הוכחה: על פי המשפט היסודי של האלגברה, לכל פולינום (מעל שדה המספרים המרוכבים) יש לפחות שורש אחד. בפרט, לפולינום האופייני של   A {\displaystyle \ A} יש שורש שהוא ערך עצמי של   A {\displaystyle \ A} . נסמן ערך עצמי זה ב-   λ {\displaystyle \ \lambda } . נסמן ב-   v 1 , . . . , v k {\displaystyle \ v_{1},...,v_{k}} את הווקטורים העצמיים המתאימים לערך העצמי   λ {\displaystyle \ \lambda } . בהסתמך על תהליך גרם-שמידט, נוכל להניח, ללא הגבלת הכלליות, שהווקטורים   v 1 , . . . , v k {\displaystyle \ v_{1},...,v_{k}} אורתוגונליים זה לזה ולנרמל אותם כך שיהוו בסיס אורתונורמלי למרחב העצמי המתאים לערך העצמי   λ {\displaystyle \ \lambda } . נשים לב שתת-המרחב span { v 1 , . . . , v k } {\displaystyle {\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}} אינווריאנטי תחת   A {\displaystyle \ A} . מההרמיטיות של A {\displaystyle A} נובע ש- span { v 1 , . . . , v k } ⊥ {\displaystyle {\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}^{\perp }} גם הוא אינווריאנטי תחת     A {\displaystyle \ \ A} (כלומר ניתן להביא את המטריצה לצורת מטריצת בלוקים אלכסונית כך שיש בלוק שמתאים ל- span { v 1 , . . . , v k } {\displaystyle {\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}} ויש בלוק אחר שמתאים ל- span { v 1 , . . . , v k } ⊥ {\displaystyle {\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}^{\perp }} ). כעת מאותו שיקול עבור תת-המרחב span { v 1 , . . . , v k } ⊥ {\displaystyle {\mbox{span}}\left\{v_{1},...,v_{k}\right\}^{\perp }} נובע שקיים ערך עצמי ומרחב עצמי מתאימים עבור הבלוק המתאים לו. כך ניתן להמשיך עד שהמרחב הניצב למרחב העצמי המתקבל הוא מרחב האפס. בכך נקבל בסיס אורתונורמלי ל- C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} המורכב מווקטורים עצמיים של A {\displaystyle A} . הערכים העצמיים שהתקבלו בתהליך זה הם ממשיים, כי אם λ {\displaystyle \lambda } הוא ערך עצמי של A {\displaystyle A} המתאים לווקטור עצמי x {\displaystyle x} , אז A x = λ x {\displaystyle Ax=\lambda x} ואז λ ⟨ x , x ⟩ = ⟨ λ x , x ⟩ = ⟨ A x , x ⟩ = ⟨ x , A x ⟩ = ⟨ x , λ x ⟩ = λ ¯ ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \lambda \left\langle x,x\right\rangle =\left\langle \lambda x,x\right\rangle =\left\langle Ax,x\right\rangle =\left\langle x,Ax\right\rangle =\left\langle x,\lambda x\right\rangle ={\bar {\lambda }}\left\langle x,x\right\rangle } . מאחר ש- x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} , ניתן לצמצם ולקבל ש- λ = λ ¯ {\displaystyle \lambda ={\bar {\lambda }}} ולכן λ {\displaystyle \lambda } הוא ממשי. זה מסיים את ההוכחה. מסקנה: כל מטריצה הרמיטית היא לכסינה אוניטרית. כלומר, אם   A = A ∗ {\displaystyle \ A=A^{*}} , אז קיימות מטריצה אוניטרית   U {\displaystyle \ U} ומטריצה אלכסונית   D {\displaystyle \ D} כך ש-   A = U D U ∗ {\displaystyle \ A=UDU^{*}} . הוכחה: הייצוג של A {\displaystyle A} כמטריצה אלכסונית התקבל בהוכחת המשפט לעיל. כמו כן, בהינתן בסיס אורתונורמלי למרחב כפי שמובטח לנו מהמשפט, נסמן את המטריצה המלכסנת (קרי, המטריצה ששורותיה הם הווקטורים העצמיים של A {\displaystyle A} ) ב- U {\displaystyle U} ונשים לב שכיוון שהווקטורים העצמיים אורתונורמליים, זוהי מטריצה אוניטרית. אי לכך, A {\displaystyle A} לכסינה אוניטרית. נסמן כעת ב- λ 1 , … λ m {\displaystyle \lambda _{1},\dots \lambda _{m}} את הערכים העצמיים השונים של A {\displaystyle A} וב- P λ j {\displaystyle P_{\lambda _{j}}} את ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי המתאים ל- λ j {\displaystyle \lambda _{j}} . אז מהמשפטים לעיל נובע שניתן לכתוב את A {\displaystyle A} באופן הבא: A = λ 1 P λ 1 + ⋯ + λ m P λ m {\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}} . זהו הפירוק הספקטרלי של A {\displaystyle A} . בנוסף מתקיים I = P λ 1 + ⋯ + P λ m {\displaystyle I=P_{\lambda _{1}}+\cdots +P_{\lambda _{m}}} (שהרי הווקטורים העצמיים מהווים בסיס למרחב) וכן P λ i P λ j = 0 {\displaystyle P_{\lambda _{i}}P_{\lambda _{j}}=0} לכל i ≠ j {\displaystyle i\neq j} (מכיוון שהמרחבים העצמיים המתאימים לערכים עצמיים שונים הם אורתוגונליים זה לזה, לפי ההוכחה). קיימת גם גרסה של משפט הפירוק הספקטרלי עבור מטריצות הרמיטיות ממשיות (קרי, מטריצות סימטריות). בגרסה זו המשפט אומר שכל מטריצה סימטרית ניתנת ללכסון אורתוגונלי, כלומר אם   A = A t {\displaystyle \ A=A^{t}} , אז קיימות מטריצה אורתוגונלית ממשית   Q {\displaystyle \ Q} ומטריצה אלכסונית ממשית   D {\displaystyle \ D} כך ש-   A = Q D Q t {\displaystyle \ A=QDQ^{t}} . טענה זו אינה נובעת באופן מיידי מהמשפט לעיל כי משפט זה רק מבטיח שיש למטריצה וקטורים עצמיים מעל שדה המרוכבים ואילו כאן אנו מעוניינים בלכסון מעל הממשיים. המשפט נכון באופן כללי גם למטריצות נורמליות (או באופן אנלוגי, לאופרטורים נורמליים). כלומר, אם A {\displaystyle A} מטריצה מרוכבת המקיימת A A ∗ = A ∗ A {\displaystyle AA^{*}=A^{*}A} , אז היא לכסינה אוניטרית. זוהי המחלקה הגדולה ביותר של מטריצות מרוכבות עבורן המשפט תקף - ניתן להראות שכל מטריצה לכסינה אוניטרית היא נורמלית. את השקילות בין נורמליות ללכסינות אוניטרית ניתן להראות למשל באמצעות פירוק שור למטריצות. עבור מטריצה נורמלית הערכים העצמיים אינם חייבים להיות ממשיים. אם A 1 , A 2 , … , A r {\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{r}} הן מטריצות נורמליות מתחלפות בכפל (כלומר A i A j = A j A i {\displaystyle A_{i}A_{j}=A_{j}A_{i}} לכל i , j {\displaystyle i,j} ), אז ניתן ללכסן את כולן סימולטנית. כלומר, קיימת מטריצה אוניטרית U {\displaystyle U} כך ש- U A j U − 1 {\displaystyle UA_{j}U^{-1}} היא מטריצה אלכסונית לכל j {\displaystyle j} . במצב זה יש פירוק ספקטרלי משותף לכל המטריצות. כלומר, קיימות הטלות אורתוגונליות P 1 , … , P r {\displaystyle P_{1},\dots ,P_{r}} וסקלרים λ i j {\displaystyle \lambda _{ij}} (עבור 1 ≤ i ≤ r , 1 ≤ j ≤ s {\displaystyle 1\leq i\leq r,1\leq j\leq s} ) כך ש- A j = ∑ i = 1 r λ i j P i {\displaystyle A_{j}=\sum _{i=1}^{r}\lambda _{ij}P_{i}} לכל j {\displaystyle j} . כמו קודם, ההטלות P i {\displaystyle P_{i}} מקיימות ∑ i P i = I {\displaystyle \sum _{i}P_{i}=I} ו- P i P j = 0 {\displaystyle P_{i}P_{j}=0} עבור i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , כלומר הן מכסות את כל המרחב וניצבות זו לזו. משפט הפירוק הספקטרלי מקל בצורה משמעותית על ביצוע חישובים על המטריצה. למשל, אם p ( x ) {\displaystyle p(x)} הוא פולינום מרוכב ו- A {\displaystyle A} היא מטריצה בעלת פירוק ספקטרלי A = λ 1 P λ 1 + ⋯ + λ m P λ m {\displaystyle A=\lambda _{1}P_{\lambda _{1}}+\cdots +\lambda _{m}P_{\lambda _{m}}} , ההצבה של A {\displaystyle A} בפולינום p {\displaystyle p} שווה ל- p ( A ) = p ( λ 1 ) P λ 1 + ⋯ + p ( λ m ) P λ m {\displaystyle p\left(A\right)=p\left(\lambda _{1}\right)P_{\lambda _{1}}+\cdots +p\left(\lambda _{m}\right)P_{\lambda _{m}}} זה נובע מכך ש- P λ 1 , … , P λ m {\displaystyle P_{\lambda _{1}},\dots ,P_{\lambda _{m}}} הן הטלות אורתוגונליות אשר פורשות את המרחב וניצבות זו לזו. בפרט הדבר מאפשר חישוב מהיר במיוחד של חזקות טבעיות של המטריצה. ניתן להשתמש בפירוק גם כדי לחשב שורש ואקספוננט של מטריצה. במרחב הילברט כללי, משפט הפירוק הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים צמודים עצמית בעיקרו זהה לנוסח הסוף-ממדי של המשפט. המושגים של וקטור עצמי, ערך עצמי, מרחב עצמי ואופרטור צמוד עצמית מוגדרים במקרה האינסוף-ממדי באותו האופן כמו במקרה הסוף-ממדי. משפט: יהי A {\displaystyle A} אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט (מרוכב או ממשי) H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . אז קיים בסיס אורתונורמלי של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} המורכב מווקטורים עצמיים של A {\displaystyle A} וכל ערך עצמי של A {\displaystyle A} הוא ממשי. קבוצת הערכים העצמיים של A {\displaystyle A} מורכבת כולה מנקודות מבודדות, פרט אולי ל- 0 {\displaystyle 0} (אם הוא בכלל ערך עצמי) והיא בפרט בת מנייה. המרחב העצמי המתאים לכל ערך עצמי שונה מאפס הוא סוף-ממדי. כמו בהוכחה של המשפט הספקטרלי במקרה הסוף-ממדי, גם כאן הרעיון המרכזי הוא להוכיח את קיומו של לפחות וקטור עצמי אחד של A {\displaystyle A} . מרגע שעשינו זאת, ניתן לקבל באופן אינדוקטיבי מערכת אורתונורמלית של וקטורים עצמיים של A {\displaystyle A} ובעזרת הקומפקטיות של A {\displaystyle A} ניתן להראות שמערכת זו היא בסיס אורתונורמלי למרחב. במקרה כללי זה, לא ניתן להשתמש במשפט היסודי של האלגברה כדי להוכיח את קיומו של וקטור עצמי (שהרי הפולינום האופייני כלל לא מוגדר עבור אופרטורים במרחב הילברט כללי). על ידי שימוש בכופלי לגרנז', ניתן להוכיח שעבור אופרטור הרמיטי T {\displaystyle T} על מרחב הילברט סוף-ממדי, הערך העצמי הגדול ביותר שלו שווה ל- sup ‖ x ‖ = 1 ⟨ T x , x ⟩ {\displaystyle \sup _{\left\Vert x\right\Vert =1}\left\langle Tx,x\right\rangle } . מכאן ניתן לשער שעבור אופרטור קומפקטי צמוד עצמית על מרחב הילברט שרירותי, המספר sup ‖ x ‖ = 1 ⟨ A x , x ⟩ {\displaystyle \sup _{\left\Vert x\right\Vert =1}\left\langle Ax,x\right\rangle } יהיה ערך עצמי שלו גם אם המרחב הוא אינסוף-ממדי. השערה זו מסתברת כנכונה וזוהי תמצית ההוכחה לגרסה זו של המשפט הספקטרלי. הפירוק הספקטרלי ל- A {\displaystyle A} אשר ניתן על ידי המשפט הוא A x = ∑ k λ k ⟨ x , φ k ⟩ φ k {\displaystyle Ax=\sum _{k}\lambda _{k}\left\langle x,\varphi _{k}\right\rangle \varphi _{k}} כאשר φ k {\displaystyle \varphi _{k}} הם וקטורים עצמיים של A {\displaystyle A} עם ערכים עצמיים מתאימים λ k {\displaystyle \lambda _{k}} . הסכום באגף ימין אינו חייב להיות אינסופי (ייתכן של- A {\displaystyle A} יש רק מספר סופי של ערכים עצמיים) אך כאשר הוא אינסופי, מתקיים בהכרח λ k → 0 {\displaystyle \lambda _{k}\to 0} כאשר k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } . במקרה זה, האופרטור שמגדיר אגף ימין בשוויון לעיל לא רק מתכנס נקודתית ל- A {\displaystyle A} אלא גם מתכנס אליו בנורמה האופרטורית. הצגה אחרת לפירוק הספקטרלי של A {\displaystyle A} היא כדלקמן: A = ∑ i λ i P i {\displaystyle A=\sum _{i}\lambda _{i}P_{i}} כאשר P i {\displaystyle P_{i}} היא ההטלה האורתוגונלית על המרחב העצמי של λ i {\displaystyle \lambda _{i}} וההתכנסות באגף ימין (אם מדובר בסכום אינסופי) היא בנורמה האופרטורית. בנוסף, מתקיים גם I = ∑ i P i {\displaystyle I=\sum _{i}P_{i}} ו- P i P j = 0 {\displaystyle P_{i}P_{j}=0} עבור i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , באופן אנלוגי למשפט הפירוק הספקטרלי הסוף-ממדי. אם { φ b } b ∈ B {\displaystyle \left\{\varphi _{b}\right\}_{b\in B}} הוא בסיס אורתונורמלי ל- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} כפי שמובטח במשפט (כלומר, φ b {\displaystyle \varphi _{b}} הוא וקטור עצמי של A {\displaystyle A} עם ערך עצמי מתאים λ b {\displaystyle \lambda _{b}} ) אז ניתן להגדיר העתקה אוניטרית U : H → ℓ 2 ( B ) {\displaystyle U:{\mathcal {H}}\to \ell _{2}\left(B\right)} (ראו מרחב Lp) על ידי U x = ( ⟨ x , φ b ⟩ ) b ∈ B {\displaystyle Ux=\left(\left\langle x,\varphi _{b}\right\rangle \right)_{b\in B}} . לפי הגדרה, A {\displaystyle A} דומה אוניטרית לאופרטור U A U − 1 {\displaystyle UAU^{-1}} על ℓ 2 ( B ) {\displaystyle \ell _{2}\left(B\right)} וקל לבדוק שמתקיים U A U − 1 ( ( x b ) b ∈ B ) = ( λ b x b ) b ∈ B {\displaystyle UAU^{-1}\left(\left(x_{b}\right)_{b\in B}\right)=\left(\lambda _{b}x_{b}\right)_{b\in B}} . כלומר, A {\displaystyle A} דומה אוניטרית לאופרטור "אלכסוני" על ℓ 2 ( B ) {\displaystyle \ell _{2}\left(B\right)} או "לכסינה". בדרך כלל H {\displaystyle {\mathcal {H}}} הוא ספרבילי ואז ניתן לזהות את B {\displaystyle B} עם N {\displaystyle \mathbb {N} } ולהציג את האופרטור U A U − 1 {\displaystyle UAU^{-1}} בתור המטריצה האינסופית ( λ i δ i j ) i , j = 1 ∞ {\displaystyle \left(\lambda _{i}\delta _{ij}\right)_{i,j=1}^{\infty }} , באנלוגיה מוחלטת למקרה הסוף-ממדי. נוסחי המשפט לעיל נכונים באופן כללי לאופרטורים נורמליים (אם כי להם יכולים להיות ערכים עצמיים מרוכבים) וכמו במקרה הסוף-ממדי, גם כאן ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף עבור משפחה של אופרטורים קומפקטיים נורמליים מתחלפים בכפל (ההצגות המתקבלות הן דומות לאלה שבמקרה הסוף-ממדי). כמו כן, בהינתן פונקציה מרוכבת חסומה ϕ : C → C {\displaystyle \phi :\mathbb {C} \to \mathbb {C} } , ניתן להגדיר אופרטור קומפקטי נורמלי חדש לפי: ϕ ( A ) = ∑ i ϕ ( λ i ) P i {\displaystyle \phi \left(A\right)=\sum _{i}\phi \left(\lambda _{i}\right)P_{i}} בכך מתקבל תחשיב פונקציונלי עבור משפחת האופרטורים הקומפקטיים הנורמליים, בדומה למקרה הסוף-ממדי. יהי H = L 2 ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}\left(\left[0,1\right]\right)} מרחב הפונקציות המרוכבות האינטגרביליות לבג בריבוע על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left[0,1\right]} (ראו מרחב Lp). זהו מרחב הילברט עם המכפלה הפנימית ⟨ f , g ⟩ = ∫ 0 1 f ( x ) g ( x ) ¯ d x {\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle =\int _{0}^{1}f\left(x\right){\overline {g\left(x\right)}}dx} . בהינתן פונקציה K ∈ L 2 ( [ 0 , 1 ] 2 ) {\displaystyle K\in L^{2}\left(\left[0,1\right]^{2}\right)} , ניתן להגדיר אופרטור ליניארי על H {\displaystyle {\mathcal {H}}} באופן הבא: ( T K f ) ( x ) = ∫ 0 1 K ( x , y ) f ( y ) d y ∀ x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle \left(T_{K}f\right)\left(x\right)=\int _{0}^{1}K\left(x,y\right)f\left(y\right)dy\quad \forall x\in \left[0,1\right]} זהו אופרטור ליניארי חסום על H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . קל לבדוק שהצמוד ההרמיטי של T K {\displaystyle T_{K}} הוא האופרטור T K ′ {\displaystyle T_{K^{'}}} , כאשר K ′ ( x , y ) := K ( y , x ) ¯ {\displaystyle K^{'}\left(x,y\right):={\overline {K\left(y,x\right)}}} . מכאן נובע בקלות ש- T K {\displaystyle T_{K}} הוא אופרטור נורמלי ובעזרת משפט ארצלה-אסקולי ניתן להראות שהוא אופרטור קומפקטי. לכן ניתן להפעיל את המשפט הספקטרלי לאופרטורים קומפקטיים נורמליים ולקבל את ההצגה הבאה עבור T K {\displaystyle T_{K}} : ( T K f ) ( x ) = ∑ i ( λ i ∫ 0 1 f ( t ) φ i ( t ) ¯ d t ) φ i ( x ) {\displaystyle \left(T_{K}f\right)\left(x\right)=\sum _{i}\left(\lambda _{i}\int _{0}^{1}f\left(t\right){\overline {\varphi _{i}\left(t\right)}}dt\right)\varphi _{i}\left(x\right)} כאשר φ i {\displaystyle \varphi _{i}} הם הווקטורים העצמיים של T K {\displaystyle T_{K}} (בהקשר זה, יותר מקובל לקרוא להם פונקציות עצמיות) ו- λ i {\displaystyle \lambda _{i}} הם הערכים העצמיים המתאימים להם. הסכום באגף ימין (אם הוא אינסופי) מתכנס ביחס לנורמה של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} , כלומר lim n → ∞ ∫ 0 1 | ( T K f ) ( x ) − ∑ i = 1 n λ i ⟨ f , φ i ⟩ φ i ( x ) | 2 d x = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}\left|\left(T_{K}f\right)\left(x\right)-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\left\langle f,\varphi _{i}\right\rangle \varphi _{i}\left(x\right)\right|^{2}dx=0} T K {\displaystyle T_{K}} הוא דוגמה לאופרטור הילברט-שמידט. באותו נושא, ראו משפט מרסר. כעת נדון במקרה של אופרטור חסום וצמוד עצמית A {\displaystyle A} על מרחב הילברט כלשהו H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . במקרה זה, הנוסח המקורי של משפט הפירוק הספקטרלי (במקרה הסוף-ממדי או במקרה של אופרטור קומפטי) אינו בהכרח מתקיים. למשל, אופרטור ההכפלה ( T f ) ( x ) = x f ( x ) {\displaystyle \left(Tf\right)\left(x\right)=xf\left(x\right)} על L 2 ( 0 , 1 ) {\displaystyle L^{2}\left(0,1\right)} הוא חסום וצמוד עצמית אבל כלל אין לו ערכים עצמיים. הפתרון לבעיה זו הוא להחליף את קבוצת הערכים העצמיים בספקטרום של A {\displaystyle A} (אשר בניגוד לקבוצת הערכים העצמיים, מובטח לנו שהוא תמיד אינו ריק). בצורה זו ניתן לקבל הכללות לנוסחים האחרים של המשפט הספקטרלי. במקרה זה, האופרטור לא יתפרק לסכום בן מניה של הטלות, אלא לאינטגרל ביחס למעין מידה על הספקטרום של האופרטור. גם הנוסח השני של המשפט ניתן להכללה בהקשר זה: האופרטור יהיה דומה אוניטרית לאופרטור הכפלה על L 2 ( Ω , M , μ ) {\displaystyle L^{2}\left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)} (עבור מרחב מידה מתאים ( Ω , M , μ ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)} ). כמו במקרים הקודמים, גם כאן המשפט ניתן להכללה לאופרטורים נורמליים. כמו כן, אם T {\displaystyle {\mathcal {T}}} היא משפחה של אופרטורים חסומים ונורמליים אשר מתחלפים בכפל זה עם זה, ניתן למצוא פירוק ספקטרלי משותף לכל משפחת האופרטורים. במקרה זה אלגברת האופרטורים הנוצרת על ידי T {\displaystyle {\mathcal {T}}} היא אלגברת סי כוכב קומוטטיבית והדבר מאפשר שימוש בטכניקות החזקות של תורת גלפנד כדי לקבל הוכחה קצרה לגרסה כללית זו של המשפט הספקטרלי. לפני הצגת גרסה זו של המשפט, אנו צריכים מספר מושגים מקדימים. למען הפשטות, נניח ש- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} הוא מרחב הילברט מעל שדה המספרים המרוכבים. תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} (אוסף האופרטורים הליניאריים החסומים על H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ). A {\displaystyle {\mathcal {A}}} נקראת לא מנוונת אם היא מפרידה נקודות ב- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . כלומר, אם T v = 0 {\displaystyle Tv=0} לכל T ∈ A {\displaystyle T\in {\mathcal {A}}} אז v {\displaystyle v} הוא וקטור האפס ב- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . דרישה זו מתקיימת למשל אם אופרטור היחידה I {\displaystyle I} שייך ל- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . הספקטרום של A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , אשר מסומן ב- Σ := σ ( A ) {\displaystyle \Sigma :=\sigma \left({\mathcal {A}}\right)} , הוא אוסף כל הפונקציונלים הליניאריים הכפליים על A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . כלומר, איבר ב- σ ( A ) {\displaystyle \sigma \left({\mathcal {A}}\right)} הוא הומומורפיזם של אלגבראות בנך מ- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ל- C {\displaystyle \mathbb {C} } אשר אינו הומומורפיזם האפס. ניתן לצייד את הספקטרום בטופולוגיה החלשה-* וכאשר האלגברה A {\displaystyle {\mathcal {A}}} היא לא מנוונת, מתקבל מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית. אם T ∈ A {\displaystyle T\in {\mathcal {A}}} , T ^ {\displaystyle {\widehat {T}}} מסמן את התמרת גלפנד (נקרא גם טרנספורם גלפנד) של T {\displaystyle T} . זוהי פונקציה מרוכבת רציפה המוגדרת על הספקטרום של A {\displaystyle {\mathcal {A}}} באופן הבא: T ^ ( h ) = h ( T ) {\displaystyle {\widehat {T}}\left(h\right)=h\left(T\right)} . משפט גלפנד-נאימרק אומר שההעתקה T ↦ T ^ {\displaystyle T\mapsto {\widehat {T}}} היא איזומורפיזם של אלגבראות סי כוכב מ- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ל- C 0 ( Σ ) {\displaystyle C_{0}\left(\Sigma \right)} (הסימון האחרון מתייחס לאוסף הפונקציות המרוכבות הרציפות על Σ {\displaystyle \Sigma } המתאפסות באינסוף). לכן התמרת גלפנד ההפוכה f ↦ T f {\displaystyle f\mapsto T_{f}} (המוגדרת להיות פשוט ההעתקה ההפוכה להעתקה T ↦ T ^ {\displaystyle T\mapsto {\widehat {T}}} ) היא מוגדרת היטב. B ( Σ ) {\displaystyle B\left(\Sigma \right)} הוא אוסף כל הפונקציות המרוכבות על Σ {\displaystyle \Sigma } אשר חסומות ומדידות בורל. גם זו היא אלגברת סי כוכב ביחס לפעולות האלגבריות הנקודתיות, הצמדה קומפלקסית ונורמת הסופרמום. נוסח המשפט משתמש במושג של מידה H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -הטלתית, שהיא העתקה על מרחב מדיד אשר מחזירה הטלות אורתוגונליות על מרחב ההילברט H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ומקיימת אקסיומות דומות לאלה של מידה חיובית. ניתן להגדיר את האינטגרל של פונקציה מרוכבת חסומה ביחס לכל מידה הטלתית. לפרטים, ראו את הערך על מידות הטלתיות. כעת אנו יכולים לנסח את המשפט הספקטרלי בהקשר הנוכחי. משפט: תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב- Σ {\displaystyle \Sigma } את הספקטרום שלה. אזי קיימת מידה H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -הטלתית רגולרית יחידה P {\displaystyle P} על Σ {\displaystyle \Sigma } כך שמתקיים T = ∫ Σ T ^ d P {\displaystyle T=\int _{\Sigma }{\widehat {T}}\,dP} לכל T ∈ A {\displaystyle T\in {\mathcal {A}}} . בנוסף, אם S ∈ L ( H ) {\displaystyle S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} הוא אופרטור חסום כלשהו, התנאים הבאים שקולים: S {\displaystyle S} מתחלף עם כל T ∈ A {\displaystyle T\in {\mathcal {A}}} . S {\displaystyle S} מתחלף עם P ( E ) {\displaystyle P(E)} עבור כל קבוצת בורל E ⊆ Σ {\displaystyle E\subseteq \Sigma } . S {\displaystyle S} מתחלף עם ∫ Σ f d P {\displaystyle \int _{\Sigma }f\,dP} עבור כל f ∈ B ( Σ ) {\displaystyle f\in B\left(\Sigma \right)} . המידה P {\displaystyle P} במשפט מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . ההעתקה f ↦ T f {\displaystyle f\mapsto T_{f}} מציגה את האלגברה C 0 ( Σ ) {\displaystyle C_{0}\left(\Sigma \right)} כאוסף של אופרטורים חסומים על H {\displaystyle {\mathcal {H}}} (ספציפית, בתור האלגברה A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ). ניתן להרחיב הצגה זו ל- B ( Σ ) {\displaystyle B\left(\Sigma \right)} באופן הבא. אם u , v ∈ H {\displaystyle u,v\in {\mathcal {H}}} , ההעתקה f ↦ ⟨ T f u , v ⟩ {\displaystyle f\mapsto \left\langle T_{f}u,v\right\rangle } היא פונקציונל ליניארי חסום על C 0 ( Σ ) {\displaystyle C_{0}\left(\Sigma \right)} בעל נורמה החסומה מלעיל על ידי ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert } . ממשפט ההצגה של ריס לפונקציונלים ליניאריים חסומים על C 0 ( ⋅ ) {\displaystyle C_{0}(\cdot )} נובע שקיימת מידת בורל מרוכבת רגולרית יחידה μ u , v {\displaystyle \mu _{u,v}} על Σ {\displaystyle \Sigma } כך ש- ⟨ T f u , v ⟩ = ∫ Σ f d μ u , v {\displaystyle \left\langle T_{f}u,v\right\rangle =\int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v}} לכל u , v ∈ H {\displaystyle u,v\in {\mathcal {H}}} וכך ש- ‖ μ u , v ‖ ≤ ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \left\Vert \mu _{u,v}\right\Vert \leq \left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert } . μ u , v {\displaystyle \mu _{u,v}} מכונה לעיתים המידה הספקטרלית המתאימה ל- u {\displaystyle u} ו- v {\displaystyle v} . כעת בהינתן f ∈ B ( Σ ) {\displaystyle f\in B\left(\Sigma \right)} , מתקיים | ∫ Σ f d μ u , v | ≤ ‖ f ‖ sup ‖ μ u , v ‖ ≤ ‖ f ‖ sup ‖ u ‖ ‖ v ‖ {\displaystyle \left|\int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v}\right|\leq \left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}\left\Vert \mu _{u,v}\right\Vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}\left\Vert u\right\Vert \left\Vert v\right\Vert } לכל u , v ∈ H {\displaystyle u,v\in {\mathcal {H}}} . קל לבדוק שהתבנית ( u , v ) ↦ ∫ Σ f d μ u , v {\displaystyle \left(u,v\right)\mapsto \int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v}} היא ססקווילינארית ואי-השוויון לעיל מראה שהיא חסומה, לכן לפי משפט ההצגה לתבניות ססקווילינאריות חסומות על מרחב הילברט, קיים אופרטור חסום יחיד T f ∈ L ( H ) {\displaystyle T_{f}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} כך ש- ⟨ T f u , v ⟩ = ∫ Σ f d μ u , v {\displaystyle \left\langle T_{f}u,v\right\rangle =\int _{\Sigma }f\,d\mu _{u,v}} לכל u , v ∈ H {\displaystyle u,v\in {\mathcal {H}}} וכך ש- ‖ T f ‖ ≤ ‖ f ‖ sup {\displaystyle \left\Vert T_{f}\right\Vert \leq \left\Vert f\right\Vert _{\mbox{sup}}} . בכך הרחבנו את התמרת גלפנד ההפוכה f ↦ T f {\displaystyle f\mapsto T_{f}} להצגה של האלגברה B ( Σ ) {\displaystyle B\left(\Sigma \right)} כתת-אלגברת סי כוכב של L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} (המכילה את A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ). זהו המפתח להוכחת נוסח זה של המשפט הספקטרלי, שכן כעת ניתן פשוט להגדיר P ( E ) = T χ E {\displaystyle P\left(E\right)=T_{\chi _{E}}} לכל קבוצת בורל E ⊆ Σ {\displaystyle E\subseteq \Sigma } , כאשר χ E {\displaystyle \chi _{E}} היא הפונקציה המציינת של E {\displaystyle E} . בכך מתקבלת מידה H {\displaystyle {\mathcal {H}}} -הטלתית P {\displaystyle P} אשר מקיימת את כל התכונות במשפט. לכן P {\displaystyle P} מקיימת גם את השוויון T f = ∫ Σ f d P {\displaystyle T_{f}=\int _{\Sigma }f\,dP} לכל f ∈ B ( Σ ) {\displaystyle f\in B\left(\Sigma \right)} . כעת נציג את ההכללה של הנוסח השני של משפט הפירוק הספקטרלי, אשר מדבר על דמיון אוניטרי של אופרטור (או באופן כללי יותר, אלגברת אופרטורים) לאופרטור הכפלה על L 2 {\displaystyle L^{2}} (או באופן כללי, אלגברה של אופרטורי הכפלה). משפט: תהי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} ונניח שהיא לא מנוונת. נסמן ב- Σ {\displaystyle \Sigma } את הספקטרום שלה. אזי קיים מרחב מידה פריק וסמי-סופי ( Ω , M , μ ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)} , העתקה אוניטרית U : H → L 2 ( μ ) {\displaystyle U:{\mathcal {H}}\to L^{2}\left(\mu \right)} והומומורפיזם איזומטרי של אלגבראות סי כוכב T ↦ ϕ T {\displaystyle T\mapsto \phi _{T}} מ- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} ל- L ∞ ( μ ) {\displaystyle L^{\infty }\left(\mu \right)} כך ש- U T U − 1 ψ = ϕ T ψ {\displaystyle UTU^{-1}\psi =\phi _{T}\psi } לכל ψ ∈ L 2 ( μ ) {\displaystyle \psi \in L^{2}\left(\mu \right)} ולכל T ∈ A {\displaystyle T\in {\mathcal {A}}} . ניתן לבחור את Ω {\displaystyle \Omega } להיות איחוד זר של עותקים של תתי-קבוצות מסוימות של Σ {\displaystyle \Sigma } כך ש- μ {\displaystyle \mu } היא סופית על כל קבוצה באיחוד ומתקיים ϕ T = T ^ {\displaystyle \phi _{T}={\widehat {T}}} על כל קבוצה באיחוד. אם H {\displaystyle {\mathcal {H}}} הוא ספרבילי, ניתן לבחור את μ {\displaystyle \mu } להיות מידה סופית. יש חיסרון מסוים בנוסח זה של המשפט הספקטרלי ביחס לנוסח שניתן קודם לכן - מרחב המידה ( Ω , M , μ ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)} וההעתקה האוניטרית U {\displaystyle U} , בניגוד למידה ההטלתית P {\displaystyle P} , אינם נקבעים באופן יחיד על ידי A {\displaystyle {\mathcal {A}}} . הדבר מקשה על מציאת קריטריון לדמיון אוניטרי בין שני אופרטורים נורמליים חסומים שרירותיים. עם זאת, המשפט עודנו שימושי בנוסח זה. נעיר שלמרות חוסר היחידות במשפט, קיימת בחירה קנונית של מרחב המידה וההעתקה U {\displaystyle U} , אשר ניתנת על ידי תורת האן-הלינגר של ריבויים ספקטרליים. נצמצם כעת את כל התאוריה הכללית לעיל למקרה של אופרטור נורמלי יחיד T {\displaystyle T} על מרחב הילברט H {\displaystyle {\mathcal {H}}} . במקרה זה, תהי A T {\displaystyle {\mathcal {A}}_{T}} האלגברה הנוצרת על ידי T , T ∗ {\displaystyle T,T^{*}} ו- I {\displaystyle I} . זוהי אלגברת סי כוכב קומוטטיבית ולא מנוונת (הקומוטטיביות נובעת מהנורמליות של T {\displaystyle T} ) וניתן להפעיל עליה את המשפטים הקודמים. יתרה מזאת, תורת גלפנד אומרת שבמקרה זה ניתן לזהות את הספקטרום של A T {\displaystyle {\mathcal {A}}_{T}} עם σ ( T ) ⊂ C {\displaystyle \sigma \left(T\right)\subset \mathbb {C} } (הספקטרום של האופרטור T {\displaystyle T} ) כך שהתמרת גלפנד של T {\displaystyle T} מזוהה עם הפונקציה ι ( λ ) = λ {\displaystyle \iota \left(\lambda \right)=\lambda } על σ ( T ) {\displaystyle \sigma \left(T\right)} . לכן קיימת מידה הטלתית P T {\displaystyle P_{T}} על σ ( T ) {\displaystyle \sigma \left(T\right)} כך ש- T = ∫ σ ( T ) λ d P T ( λ ) {\displaystyle T=\int _{\sigma \left(T\right)}\lambda \,dP_{T}\left(\lambda \right)} . התכונות הסטנדרטיות של מידות הטלתיות (ובפרט אינטגרציה ביחס להן) הופכות הצגה זו של האופרטור לנוחה במיוחד. למשל, היא מאפשרת לזהות בקלות את הערכים העצמיים של האופרטור T: אם λ 0 ∈ σ ( T ) {\displaystyle \lambda _{0}\in \sigma \left(T\right)} אז התמונה של ההטלה P T ( { λ 0 } ) {\displaystyle P_{T}\left(\left\{\lambda _{0}\right\}\right)} שווה לגרעין של המרחב העצמי המתאים ל- λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} , כלומר ל- ker ⁡ ( T − λ 0 I ) {\displaystyle \ker \left(T-\lambda _{0}I\right)} . לכן λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}} הוא ערך עצמי של T {\displaystyle T} אם ורק אם תמונת ההטלה P T ( { λ 0 } ) {\displaystyle P_{T}\left(\left\{\lambda _{0}\right\}\right)} היא שונה ממרחב האפס. בפרט, ל- T {\displaystyle T} אין ספקטרום נקודתי (כלומר, אין לו ערכים עצמיים) אם ורק אם המידה P T {\displaystyle P_{T}} היא לא אטומית. אם p ( λ ) {\displaystyle p\left(\lambda \right)} הוא פולינום מרוכב ב- λ {\displaystyle \lambda } ו- λ ¯ {\displaystyle {\overline {\lambda }}} , ההצבה הפורמלית של T {\displaystyle T} בפולינום (במקום המשתנה λ {\displaystyle \lambda } ) שווה לאופרטור ∫ σ ( T ) p ( λ ) d P T ( λ ) {\displaystyle \int _{\sigma \left(T\right)}p\left(\lambda \right)\,dP_{T}\left(\lambda \right)} . מסיבה זו טבעי להגדיר את האופרטור f ( T ) {\displaystyle f\left(T\right)} (עבור f ∈ B ( σ ( T ) ) {\displaystyle f\in B\left(\sigma \left(T\right)\right)} שרירותית) באופן הבא: f ( T ) = ∫ σ ( T ) f d P T {\displaystyle f\left(T\right)=\int _{\sigma \left(T\right)}f\,dP_{T}} בצורה זו מתקבל תחשיב בורל פונקציונלי עבור האופרטור T {\displaystyle T} . שימוש טיפוסי בתחשיב זה הוא לצורך הגדרת שורש של אופרטור חיובי חסום. קל להראות שהספקטרום של אופרטור חיובי מכיל רק מספרים ממשיים אי-שליליים ולכן ניתן להגדיר את T {\displaystyle {\sqrt {T}}} לפי הנוסחה הנ"ל. לפני הצגת התכונות של התחשיב הפונקציונלי, נגדיר מושג של התכנסות אשר מופיע באופן שכיח בהקשר זה. אם f 1 , f 2 , … {\displaystyle f_{1},f_{2},\dots } היא סדרה של פונקציות מרוכבות על קבוצה כלשהי S {\displaystyle S} , נאמר ש- f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} נקודתית ובחסימות אם f n ( s ) → f ( s ) {\displaystyle f_{n}(s)\to f(s)} לכל s ∈ S {\displaystyle s\in S} ו- sup { | f n ( s ) | : s ∈ S , n ≥ 1 } < ∞ {\displaystyle \sup \left\{\left|f_{n}\left(s\right)\right|:s\in S,\,n\geq 1\right\}<\infty } . משפט (תחשיב בורל פונקציונלי לאופרטורים נורמליים חסומים): יהי T ∈ L ( H ) {\displaystyle T\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} אופרטור נורמלי. אזי קיים הומומורפיזם יחיד של אלגבראות כוכב f ↦ f ( T ) {\displaystyle f\mapsto f(T)} מ- B ( σ ( T ) ) {\displaystyle B\left(\sigma \left(T\right)\right)} ל- L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} עם התכונות הבאות: אם f ( λ ) = λ {\displaystyle f(\lambda )=\lambda } לכל λ ∈ σ ( T ) {\displaystyle \lambda \in \sigma (T)} , אז f ( T ) = T {\displaystyle f(T)=T} . אם f n → f {\displaystyle f_{n}\to f} נקודתית ובחסימות, אז f n ( T ) → f ( T ) {\displaystyle f_{n}\left(T\right)\to f\left(T\right)} בטופולוגיה האופרטורית החזקה. והוא מוגדר כנזכר לעיל. בנוסף יש לו את התכונות הבאות: אם A {\displaystyle {\mathcal {A}}} היא תת-אלגברת סי כוכב קומוטטיבית של L ( H ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} המכילה את T {\displaystyle T} , T ^ {\displaystyle {\widehat {T}}} היא התמרת גלפנד של T {\displaystyle T} ביחס לאלגברה A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , ו- P A {\displaystyle P_{\mathcal {A}}} היא המידה הספקטרלית המתאימה ל- A {\displaystyle {\mathcal {A}}} , אז f ( T ) = ∫ σ ( A ) f ∘ T ^ d P A {\displaystyle f\left(T\right)=\int _{\sigma \left({\mathcal {A}}\right)}f\circ {\widehat {T}}\,dP_{\mathcal {A}}} . אם S ∈ L ( H ) {\displaystyle S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} מתחלף עם T {\displaystyle T} , אז S ∈ L ( H ) {\displaystyle S\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {H}}\right)} מתחלף עם f ( T ) {\displaystyle f\left(T\right)} , לכל f ∈ B ( σ ( T ) ) {\displaystyle f\in B\left(\sigma \left(T\right)\right)} . נדגים את התחשיב הפונקציונלי עבור אופרטור הכפלה. יהי ( Ω , M , μ ) {\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)} מרחב מידה ויהי H = L 2 ( Ω , M , μ ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}\left(\Omega ,{\mathcal {M}},\mu \right)} . נניח ש- T {\displaystyle T} הוא אופרטור של הכפלה בפונקציה ϕ ∈ L ∞ ( μ ) {\displaystyle \phi \in L^{\infty }\left(\mu \right)} (כלומר T f = ϕ f {\displaystyle Tf=\phi f} לכל f ∈ L 2 ( μ ) {\displaystyle f\in L^{2}\left(\mu \right)} ). אז קל להראות שהספקטרום של T {\displaystyle T} הוא הטווח העיקרי של ϕ {\displaystyle \phi } , כלומר קבוצת הנקודות λ ∈ C {\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} } עבורן הקבוצה { ω : | ϕ ( ω ) − λ | < ε } {\displaystyle \left\{\omega :\left|\phi \left(\omega \right)-\lambda \right|<\varepsilon \right\}} היא ממידה חיובית לכל בחירה של ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} . מכאן נובע ש- ϕ ( ω ) ∈ σ ( T ) {\displaystyle \phi \left(\omega \right)\in \sigma \left(T\right)} לכמעט כל ω ∈ Ω {\displaystyle \omega \in \Omega } (ביחס למידה μ {\displaystyle \mu } ). מאחר ש- L ∞ ( μ ) {\displaystyle L^{\infty }\left(\mu \right)} הוא מרחב של מחלקות שקילות (אנו מזהים פונקציות אשר שוות זו לזו μ {\displaystyle \mu } -כב"מ), ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות ש- Im ( ϕ ) ⊆ σ ( T ) {\displaystyle {\mbox{Im}}\left(\phi \right)\subseteq \sigma \left(T\right)} . אז ניתן להראות ש- f ( T ) {\displaystyle f\left(T\right)} הוא אופרטור הכפלה ב- f ∘ ϕ {\displaystyle f\circ \phi } עבור כל בחירה של f ∈ B ( σ ( T ) ) {\displaystyle f\in B\left(\sigma \left(T\right)\right)} . קיימת גם גרסה של המשפט הספקטרלי לאופרטורים ליניאריים נורמליים אשר אינם בהכרח חסומים. למשל, על פי רוב, אופרטורים דיפרנציאליים הם לא חסומים. גרסה זו של המשפט הספקטרלי משמשת בהוכחת משפט סטון על חבורות חד-פרמטריות אוניטריות. התמרת גלפנד מידה הטלתית אלגברת סי כוכב ספקטרום (מתמטיקה) צורת ז'ורדן Linear Algebra, K. Hoffman & R. Kunze, Prentice-Hall, Inc., 1971 Functional Analysis, Walter Rudin, McGraw-Hill Science, 1991 A Course in Functional Analysis, John B. Conway, Springer, Inc., 1994 A Course in Abstract Harmonic Analysis, Gerald B. Folland, CRC-Press, 1995 Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity, Paul R. Halmos, Chelsea Pub Co, 1998 משפט הפירוק הספקטרלי, באתר MathWorld (באנגלית)