משתני גרסמן

בפיזיקה מתמטית, משתני גרסמן או מספרי גרסמן (נקראים גם anticommuting c-number), הם סוג של מספרים או איברים באלגברה שתכונתם העיקרית היא שהם אנטי-מתחלפים ביניהם, כלומר: החלפה בסדר ביניהם משנה את הסימן (מוסיפה עוד מינוס). המספרים והאלגברה קרויים על שם הרמן גראסמן, שהציע את האלגברה החיצונית כתשתית לנושאים רחבים במתמטיקה ב-1844. מספרי גרסמן   θ i {\displaystyle \ \theta _{i}} הם אנטי-מתחלפים עם מספרי גרסמן אחרים   θ j {\displaystyle \ \theta _{j}} באלגברה אך מתחלפים עם מספרים רגילים x: θ i θ j = − θ j θ i θ i x = x θ i {\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}\qquad \theta _{i}x=x\theta _{i}} . בפרט, ריבוע של מספר גרסמן (כלומר: מספר גרסמן כפול עצמו) מתאפס ( θ i ) 2 = 0 {\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0\,} , שכן   θ i θ i = − θ i θ i {\displaystyle \ \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}} . אינטגרציה של מספרי גרסמן מקיימת את הדרישות הבאות: ליניאריות ∫ d θ [ a f ( θ ) + b g ( θ ) ] = a ∫ d θ f ( θ ) + b ∫ d θ g ( θ ) {\displaystyle \int d\theta \,[af(\theta )+bg(\theta )]=a\int d\theta \,f(\theta )+b\int d\theta \,g(\theta )} אינטגרל של נגזרת חלקית ∫ d θ [ ∂ ∂ θ f ( θ ) ] = 0 {\displaystyle \int d\theta \,\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]=0} דרישות אלה מובילות לחוקים הבאים באינטגרציה על מספרי גרסמן: ∫ d θ 1 = 0 {\displaystyle \int d\theta \,1=0} ∫ d θ θ = 1 {\displaystyle \int d\theta \,\theta =1} בפרט אפשר להסיק מכך שפעולות אינטגרציה וגזירה של משתני גרסמן הם אותו הדבר. באינטגרלי מסלול בתורת שדות קוונטית האינטגרלים הגאוסיאנים הבאים נדרשים עבור שדות פרמיונים אנטי-מתחלפים: ∫ d θ d η exp ⁡ [ θ T A η ] = det A {\displaystyle \int \,d\theta \,d\eta \exp \left[\theta ^{T}A\eta \right]=\det A} כאשר A {\displaystyle A} היא מטריצה ריבועית N × N {\displaystyle N\times N} . האלגברה שנוצרת על ידי קבוצה של מספרי גרסמן נקראת "אלגברת גרסמן". אלגברת גרסמן נוצרת על ידי n משתני גרסמן בלתי-תלויים והיא מממד 2n. אלגברות גרסמן הם מקרה פרטי של סופר אלגברה - אלגברה עם משתנים ("זוגיים") שמתחלפים ומשתנים ("אי-זוגיים") שאנטי-מתחלפים. אלגברת גרסמן היא אלגברה חיצונית של המרחב הווקטורי הנפרש על ידי היוצרים. האלגברה החיצונית מוגדרת ללא תלות בבחירת הבסיס (אלגברה). מספרי גרסמן ניתנים לייצוג על ידי מטריצות. ניקח לדוגמה את אלגברת גרסמן הנוצרת על ידי שני מספרי גרסמן   θ 1 {\displaystyle \ \theta _{1}} ו-   θ 2 {\displaystyle \ \theta _{2}} . מספרי גרסמן אלה ניתן להציג באמצעות שתי מטריצות 4 על 4: θ 1 = [ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ] θ 2 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 − 1 0 0 ] θ 1 θ 2 = − θ 2 θ 1 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ] {\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{bmatrix}}} באופן כללי, אלגברת גרסמן עם n יוצרים ניתן להציג על ידי מטריצות ריבועיות 2n × 2n. באופן פיזיקלי ניתן לחשוב על מטריצות אלה כאופרטורי יצירה והשמדה הפועלים על מרחב הילברט של n פרמיונים זהים בסיס מספרי האכלוס. מאחר שמספרי האכלוס של פרמיונים הם רק 0 או 1 יש 2n מצבי בסיס אפשריים. באופן מתמטי, ניתן לפרש מטריצות אלה כאופרטור המתאימים לכפלה חיצונית שמאלית על אלגברת גרסמן. בתורת שדות קוונטית, מספרי גרסמן הם האנלוג הקלאסי לאופרטורים אנטי-מתחלפים. הם משמשים בהגדרה אינטגרלי מסלול של שדות פרמיונים. למטרה זו זה הכרחי להגדיר אינטגרלים על משתני גרסמן, שנקראים אינטגרל ברזין. מספרי גרסמן משחקים תפקיד חשוב בהגדרה של סופר יריעה (או סופר מרחב) כאשר הם משמשים כקואורדינטות אנטי-מתחלפות.