חילוק

באריתמטיקה, חילוק היא פעולה בינארית ההפוכה לכפל. בפעולת חילוק נתונים שני מספרים. הראשון שאותו מחלקים, נקרא "מחולק". והשני, שבו מחלקים את הראשון, נקרא "מחלק". המספר המתקבל כתוצאה מהחילוק נקרא "מנה" (באנגלית: quotient) ומסומן לעיתים באות q. באופן יותר פורמלי, פעולת החילוק מוגדרת ככפל של המחולק בהופכי של המחלק. פעולת החילוק מסומנת בסימן   / {\displaystyle \ /} או בסימן : {\displaystyle :} . באופן מעשי לרוב נהוג לכתוב חילוק באמצעות שבר, כאשר המחולק הוא המונה והמחלק הוא המכנה. הבסיס ללימוד פעולת החילוק בכיתות הנמוכות של בית הספר היסודי הוא חילוק של מספרים טבעיים. בהקשר זה נלמדים שני מודלים: "חילוק לחלקים" ו"חילוק להכלה". מודלים אלו הכרחיים על מנת להמחיש את פעולת החילוק לילדים שנמצאים "שלב האופרציות המוחשיות" תאוריית ההתפתחות הקוגניטיבית של פיאז'ה. חילוק לחלקים היא פעולה של חלוקת מספר לחלקים שווים: אם מחלקים a איברים ל-b קבוצות שוות בגודלן, כמה איברים יש בכל קבוצה? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין חמישה ילדים, כמה פרוסות קיבל כל ילד? המחלק מראה פי כמה להקטין את המחולק, והמנה מציינת כמות מאותו סוג של המחולק. בתמונה מודגם חילוק לחלקים באמצעות תפוחים: קבוצה של 20 תפוחים מתחלקת ל-4 חלקים, לכן בכל חלק יהיו 5 תפוחים. בחילוק להכלה נתונים החלק והשלם ומבקשים לדעת כמה פעמים החלק מוכל בשלם. בחילוק להכלה נשאלת השאלה, אם מחלקים a איברים למספר קבוצות שוות בגודל b, לכמה קבוצות חילקנו? לדוגמה, אם חילקנו עשר פרוסות עוגה בין מספר ילדים בצורה שווה כך שכל ילד קיבל שתי פרוסות, כמה ילדים יש? בדוגמת העוגות, אנו יודעים שגודל כל חלק הוא 2 וגודל השלם הוא 10, ושואלים את עצמנו כמה פעמים נכנס (מוכל) 2 ב-10. בחילוק להכלה למחולק ולמחלק שם אחד, והמנה נכתבת בלי שם, כי היא מראה כמה פעמים כלול המחלק במחולק. בשני המקרים, ניתן לראות את החילוק כפעולה ההפוכה לכפל. במקרה של חילוק לחלקים הנכפל (החלק) הוא הנעלם ובמקרה של חילוק להכלה הנעלם הוא הכופל (מספר החלקים). יחד עם זאת, חשוב לזכור שאלה לא המודלים היחידים לחילוק ובסופו של דבר ההגדרה לחילוק היא פורמלית ולא תלויה במודלים אלו. יותר מכך, פישביין נותן לדוגמה את הפעולה ( 2 / 3 ) : ( 7 / 12 ) {\displaystyle (2/3):(7/12)} שקשה לחשוב על מודל חוץ מתמטי שמתאים עבורה. בעוד שמודלים אלה הם הכרחיים הן מבחינת סדר הלימוד והן מבחינת שלבי ההתפתחות של התלמידים, אפרים פישביין טען שעומדות מאחוריהם הנחות סמויות שמממשיכות לפעול באופן גם בשלב "האופרציות המוחשיות" לאחר התלמידים למדו חלוקה של מספרים רציונליים ואת התכונות המאפיינות אותה. זאת בסתירה לתאוריה של פיאז'ה שמדברת על התאמה של סכמות כאשר מתקבל מידע חדש אותו לא ניתן לארגן אותו במסגרת הסכמות הקיימות. למשל, במקרה של חילוק לחלקים ההנחות לפי פישביין הן שהמחלק שלם וגם שהמחולק גדול מהמחלק וההמנה. לכן לרוב נתקלים בטעות הנפוצה לפיה "חילוק מקטין" בשאלות מילוליות שמתאימות למודל של חילוק לחלקים. עבור שני מספרים טבעיים a ו-b, אומרים ש-a מחלק את b, אם קיים מספר טבעי q כך שמתקיים b = a q {\displaystyle b=aq} . בהרחבה למספרים השלמים, אומרים שמספר שלם a מחלק מספר שלם b, אם קיים מספר שלם q כך שמתקיים b = a q {\displaystyle b=aq} . פעולת החילוק אינה סגורה בקבוצת המספרים הטבעיים, וגם לא בקבוצת המספרים השלמים. למשל, 6 מחלק את 18 משום ש- 3 × 6 = 18 {\displaystyle 3\times 6=18} , אבל 3 לא מחלק את 10 כיוון שלכל q ≤ 3 {\displaystyle q\leq 3} מתקיים 3 q ≤ 9 {\displaystyle 3q\leq 9} ולכל q ≥ 4 {\displaystyle q\geq 4} מתקיים 3 q ≥ 12 {\displaystyle 3q\geq 12} . יחד עם זאת, ניתן להגדיר פעולת חילוק בשלמים שתוצאתה היא מנה q ושארית 0 ≤ r < a {\displaystyle 0\leq r<a} שלמות המקיימות b = a q + r {\displaystyle b=aq+r} . ניתן להציג את תוצאת הפעולה כמספר מעורב מהצורה q r a {\displaystyle q{\frac {r}{a}}} (לדוגמה, 10 : 3 = 3 1 3 {\displaystyle 10:3=3{\frac {1}{3}}} ). פעולה זו מוגדרת היטב, כיוון לפי "משפט החלוקה עם שארית" לכל Z ∋ a ≠ 0 {\displaystyle \mathbb {Z} \ni a\neq 0} ו- Z ∋ b {\displaystyle \mathbb {Z} \ni b} קיים זוג סדור יחיד Z × Z ∋ ( q , r ) {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \ni (q,r)} המקיים את התנאים הנ"ל. כדי לבדוק האם שני מספרים מתחלקים זה בזה, משתמשים במבחני התחלקות. חילוק של שני מספרים רציונליים מוגדר באמצעות כפל בהופכי, כלומר: p / q r / s = p q × s r = p s q r {\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}} . כדי לחלק מספרים מרוכבים, מכפילים מחלק ומחולק בצמוד של המספר. התהליך הוא כזה: a + b i c + d i = ( a + b i ) ⋅ ( c − d i ) ( c + d i ) ⋅ ( c − d i ) = ( a + b i ) ⋅ ( c − d i ) | c + d i | 2 = a c + b d c 2 + d 2 + − a d + b c c 2 + d 2 i {\displaystyle {\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{(c+di)\cdot (c-di)}}={\frac {(a+bi)\cdot (c-di)}{|c+di|^{2}}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {-ad+bc}{c^{2}+d^{2}}}i} ניתן גם להגדיר חילוק בעזרת ההצגה הקוטבית, תוך שימוש בנוסחת אוילר: p e i q r e i s = p r e i ( q − s ) {\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={p \over r}e^{i(q-s)}} . ערך מורחב – חלוקה באפס התוצאה של חלוקה באפס אינה מוגדרת היטב. זאת מכיוון שמכפלת כל מספר באפס נותנת אפס, ולכן לכל   c ≠ 0 {\displaystyle \ c\neq 0} לא קיים מספר   a {\displaystyle \ a} כך ש   a × 0 = c {\displaystyle \ a\times 0=c} , ואילו כאשר המחלק גם הוא 0 המשוואה היא   a × 0 = 0 {\displaystyle \ a\times 0=0} ואז כל מספר הוא תשובה לשאלה, ולכן התשובה איננה חד משמעית. ישנם פיתוחים מתמטיים של קבוצות המספרים כך שחלוקה באפס תתאפשר (תוך ויתור על חלק מתכונות המספרים), אך באופן כללי תוצאה של חלוקה באפס נותרה בלתי מוגדרת. ערך מורחב – חילוק מודולרי ניתן גם להגדיר חילוק בחשבון מודולרי. החילוק מוגדר היטב אם מספר המודולו הוא ראשוני. ארבע פעולות החשבון חלוקה בשתיים חילוק, באתר MathWorld (באנגלית) Fischbein. (2002). Intuition in Science and Mathematics: An Educational Approach (Vol. 5). Springer Netherlands. https://doi.org/10.1007/0-306-47237-6 Fischbein, E, Deri, M, The Role of Implicit Models in Solving Verbal Problems in Multiplication and Division., Journal for Research in Mathematics Education, 1985