אנליזה וקטורית

אָנָלִיזָה וֶקְטוֹרִית היא תחום של המתמטיקה העוסק באנליזה של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי. בדרך כלל, מתמקדת האנליזה הווקטורית ב- R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , הוא המרחב האוקלידי התלת-ממדי, שמתאים לתיאור המציאות הפיזיקלית שלנו ולכן שימושי ביותר בפיזיקה. האנליזה הווקטורית פותחה על ידי ג'וסיה וילארד גיבס ואוליבר הביסייד בסוף המאה ה-19. כדי להבין את מושגי היסוד באנליזה וקטורית, יש להכיר את הווקטורים ואת הפעולות האפשריות בין הווקטורים עצמם ובין סקלרים. פעולות אלה הן הכללה של פעולות החיבור והכפל המוגדרות על איברי שדה. בפרט, יש להכיר את הנושאים מאלגברה ליניארית של מרחב וקטורי ומרחב מכפלה פנימית. המרחב האוקלידי R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (ובפרט R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} ) הוא מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית שמוגדר מעל שדה המספרים הממשיים. וקטור במרחב וקטורי מממד סופי אפשר לכתוב בצורה   v → = ( v 1 , … , v n ) {\displaystyle \ {\vec {v}}=(v_{1},\dots ,v_{n})} , כאשר המספרים   v 1 , … , v n {\displaystyle \ v_{1},\dots ,v_{n}} הם הרכיבים או הקואורדינטות של   v → {\displaystyle \ {\vec {v}}} . במרחב התלת-ממדי הווקטורים   x ^ , y ^ , z ^ {\displaystyle \ {\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}}} מייצגים את וקטורי הבסיס הסטנדרטי, המתאימים למערכת הצירים הקרטזית. בכתיבה לפי רכיבים, הם שווים לווקטורים   ( 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) {\displaystyle \ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} בהתאמה. למבוא יותר אינטואיטיבי על וקטורים במרחב התלת-ממדי, ראו וקטור (פיזיקה). חיבור וקטורים: מחברים וקטורים לפי רכיבים:   ( v 1 , … , v n ) + ( w 1 , … , w n ) = ( v 1 + w 1 , … , v n + w n ) {\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})+(w_{1},\dots ,w_{n})=(v_{1}+w_{1},\dots ,v_{n}+w_{n})} . בניגוד לחיבור, יש מספר סוגים של פעולות כפל המערבים וקטורים: כפל בסקלר: אם   c ∈ R {\displaystyle \ c\in \mathbb {R} } הוא מספר ממשי ו-   v → {\displaystyle \ {\vec {v}}} וקטור, אז   c v → = ( c v 1 , … , c v n ) {\displaystyle \ c{\vec {v}}=(cv_{1},\dots ,cv_{n})} הוא הכפל של   v {\displaystyle \ v} בסקלר   c {\displaystyle \ c} . מכפלה סקלרית (Dot product): המכפלה הסקלרית של שני וקטורים היא מספר, המוגדר לפי   ( v 1 , … , v n ) ⋅ ( w 1 , … , w n ) = v 1 w 1 + ⋯ + v n w n {\displaystyle \ (v_{1},\dots ,v_{n})\cdot (w_{1},\dots ,w_{n})=v_{1}w_{1}+\dots +v_{n}w_{n}} . מספר זה הוא מכפלת האורך של הווקטור הראשון, האורך של הווקטור השני וקוסינוס הזווית שביניהם. כלומר: v → ⋅ w → = | v → | | w → | cos ⁡ θ {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=|{\vec {v}}||{\vec {w}}|\cos \theta } . המכפלה הסקלרית מתאפסת אם ורק אם הווקטורים ניצבים. מכפלה וקטורית (Cross product): במרחב התלת-ממדי   R 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}} מוגדרת פעולה נוספת, הקרויה מכפלה וקטורית. המכפלה הווקטורית של שני וקטורים   v → , w → {\displaystyle \ {\vec {v}},{\vec {w}}} היא וקטור המאונך לשניהם, שאורכו הוא כשטח המקבילית הנוצרת ביניהם, כלומר אורך הווקטור הראשון כפול אורך השני כפול סינוס הזווית שביניהם. את כללי החישוב של המכפלה הווקטורית קל לזכור באמצעות סימון הדטרמיננטה: ( v 1 , v 2 , v 3 ) × ( w 1 , w 2 , w 3 ) = | x ^ y ^ z ^ v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 | {\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3})\times (w_{1},w_{2},w_{3})={\begin{vmatrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\\\end{vmatrix}}} . כאשר x ^ y ^ z ^ {\displaystyle {\hat {x}}\,{\hat {y}}\,{\hat {z}}} הן וקטורי היחידה של הצירים X ,Y ,Z בהתאמה. בעוד ששתי הפעולות הראשונות מוגדרות בכל ממד, ובפרט בממד-1 מתכנסות לכפל הרגיל, המכפלה הווקטורית מוגדרת רק במרחב האוקלידי מממד 3. כדי שנוכל לדבר על אנליזה מתמטית במרחב האוקלידי   R n {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} עלינו להיות מצוידים במושגים של "פונקציות רציפות" ו"נקודות קרובות (באותה סביבה)". לשם כך, עלינו להגדיר על המרחב טופולוגיה. הטופולוגיה שבדרך כלל מוגדרת על   R n {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} היא הטופולוגיה המטרית המושרית מהמטריקה הבאה שאנו מגדירים על המרחב:   d ( v → , w → ) = ∑ i = 1 n ( v i − w i ) 2 {\displaystyle \ d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(v_{i}-w_{i})^{2}}}}} ניתן לראות שמטריקה זו היא בעצם ההכללה של משפט פיתגורס ולכן מהווה הכללה לפונקציית המרחק האוקלידית במישור. את המטריקה הזאת ניתן להציג באמצעות המכפלה הסקלרית שהגדרנו קודם: d ( v → , w → ) = ( v → − w → ) ⋅ ( v → − w → ) {\displaystyle d({\vec {v}},{\vec {w}})={\sqrt {({\vec {v}}-{\vec {w}})\cdot ({\vec {v}}-{\vec {w}})}}} ובכך המרחב שהגדרנו הוא למעשה מרחב מכפלה פנימית המהווה גם מרחב נורמי. יתרה מכך, המרחב   R n {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}} מהווה מרחב הילברט (מממד סופי). עבור מרחב וקטורי V נהוג בדרך כלל להסתכל על המרחב הדואלי שלו   V ∗ = { f : V → R   :   f  is linear  } {\displaystyle \ V^{*}=\{f\colon V\to \mathbb {R} \ :\ f{\mbox{ is linear }}\}} זהו מרחב הפונקציונלים הליניאריים מ-V לשדה המספרים הממשיים. המרחב הדואלי הוא תמיד מרחב וקטורי, ומאותו ממד כמו של V. כאשר עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים מצמצמים את המרחב הדואלי לאוסף הפונקציונלים הליניאריים הרציפים בלבד, אם כי עבור ממדים סופיים אין הבדל בין ההגדרות. מסתבר שביישומים רבים של האנליזה הפונקציונלית *V יותר שימושי מ-V. באמצעותו אפשר להגדיר טופולוגיה חלשה על V (פשוט קובעים שכל הפונקציונלים הליניאריים עליו נחשבים כרציפים) ונוח יותר לבצע אינטגרציה לפונקציונל מ-*V מאשר לווקטור מ-V. כאשר לא עוסקים במרחבים וקטוריים מטריים, יש חשיבות גדולה להבחנות בין המרחבים *V ל-V ולאינטראקציה ביניהם אך עבור מרחב מטרי V שני המרחבים איזומטריים וניתן להתאים לכל וקטור ב-V פונקציונל ב-*V ולהפך (באופן חח"ע ועל) באמצעות המטריקה. במקרה של מרחב הילברט תכונה זו ידועה כמשפט ההצגה של ריס. האנליזה הווקטורית עוסקת, כאמור, בווקטורים שהרכיבים שלהם הם מספרים ממשיים או פונקציות. כדי לפשט את הסימונים והחישובים, מוסיפים למערכת את אופרטורי הגזירה   ∂ x , ∂ y , ∂ z {\displaystyle \ \partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}} , המסמנים את הנגזרת החלקית לפי המשתנים   x , y , z {\displaystyle \ x,y,z} , בהתאמה. כעת אפשר לבנות וקטורים מכמה סוגים: וקטורים קבועים (כמו   ( 2 , 3 , − 2 ) {\displaystyle \ (2,3,-2)} ), וקטורים של פונקציות (כמו   ( x , x 2 , 6 ) {\displaystyle \ (x,x^{2},6)} או   ( x + y , y − z , z 2 ) {\displaystyle \ (x+y,y-z,z^{2})} ) וגם וקטורים של אופרטורים, כמו   ∇ = ( ∂ x , ∂ y , ∂ z ) {\displaystyle \ \nabla =(\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z})} . אפשר לבצע פעולות כמו כפל סקלרי או וקטורי בין וקטורים מכל הסוגים כל עוד הן מתבצעות בצורה נכונה. באופן כללי יותר, אפשר לחשוב גם על הפונקציות הסקלריות כעל אופרטורים: הפונקציה   f ( x , y , z ) = x + y {\displaystyle \ f(x,y,z)=x+y} מתאימה לפעולה של כפל ב-   x + y {\displaystyle \ x+y} . כעת אפשר להתייחס לסקלרים מכל הסוגים (פונקציות ואופרטורים דיפרנציאליים) באותו אופן: לכפל (משמאל) בפונקציה יש הפירוש הרגיל של כפל, וכפל משמאל באופרטור יש לחשב על-פי כללי הגזירה. נעיר שבהכפלת סקלרים הסדר אינו חשוב, אבל כאשר מערבים אופרטורים דיפרנציאליים ופונקציות, הסדר חשוב. לדוגמה, הכפלת הפונקציה   f {\displaystyle \ f} במשתנה   x {\displaystyle \ x} ואחר-כך בנגזרת   ∂ x {\displaystyle \ \partial _{x}} מחזירה   f + x d f d x {\displaystyle \ f+x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}} , בעוד שהכפלה בסדר הפוך מחזירה   x d f d x {\displaystyle \ x{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}} : ההפרש שווה לפונקציה המקורית. אפשר לסכם הבחנה זו בזהות   ∂ x ⋅ x − x ⋅ ∂ x = 1 {\displaystyle \ \partial _{x}\cdot x-x\cdot \partial _{x}=1} . היתרון בגישה זו הוא שהיא מאפשרת טיפול אחיד בפונקציות ובאופרטורים, כפי שנראה בהמשך. פונקציה f : R n → R {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } המתאימה לכל נקודה במרחב ערך סקלרי נקראת שדה סקלרי או בהשאלה מפיזיקה (ובייחוד אלקטרומגנטיות): פוטנציאל. דוגמאות במרחב תלת־ממדי: טמפרטורת המים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאמת הטמפרטורה באותה נקודה (סקלר). הפוטנציאל האלקטרוסטטי.   f ( x , y , z ) = x 2 + 3 y z 5 − 4 z e ( x − y ) {\displaystyle \ f(x,y,z)=x^{2}+3yz^{5}-4ze^{(x-y)}} . פונקציה f → : R n → R n {\displaystyle {\vec {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} המתאימה לכל נקודה במרחב וקטור (ליתר דיוק, וקטור מהמרחב המשיק באותה נקודה) נקראת שדה וקטורי. דוגמאות במרחב תלת־ממדי: זרימת מים בנהר - לכל נקודה בנהר (המרחב) מותאם וקטור שכיוונו ככיוון זרימת המים באותה נקודה וגודלו כמהירות הזרימה. השדה החשמלי.   f → ( x , y , z ) = ( x y + 42 ,   56 sin ⁡ ( z ) ,   e ( y 2 − x z ) ) = ( x y + 42 ) x ^   +   56 sin ⁡ ( z ) y ^   +   e ( y 2 − x z ) z ^ {\displaystyle \ {\vec {f}}(x,y,z)=\left(xy+42,\ 56\sin(z),\ e^{(y^{2}-xz)}\right)=(xy+42){\hat {x}}\ +\ 56\sin(z){\hat {y}}\ +\ e^{(y^{2}-xz)}{\hat {z}}} השדות בדרך כלל אינם ליניאריים, ואפילו לא בהכרח רציפים. למרות זאת, באנליזה וקטורית מתעניינים בעיקר בפונקציות חלקות (שיש להן נגזרות מכל סדר), או בעלות מספר סופי בלבד של נקודות סינגולריות. פרק זה דן במרחב הווקטורי (הפיזיקלי)   R 3 {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}} , שיתואר בקואורדינטות קרטזיות, אלא אם כן מצוין במפורש אחרת. האופרטור הבסיסי במרחב זה הוא אופרטור הגזירה (נקרא גם דֶל), המוגדר: ∇ → ≜ x ^ ∂ ∂ x + y ^ ∂ ∂ y + z ^ ∂ ∂ z ≜ (   ∂ x   ∂ y   ∂ z ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\triangleq {\hat {x}}{\frac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\frac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\frac {\partial }{\partial z}}\triangleq \left(\ \partial _{x}\,\ \partial _{y}\,\ \partial _{z}\right)} אפשר לקבל את האופרטורים הדיפרנציאליים היסודיים על ידי פעולות הכפל השונות בהן משתתף אופרטור הגזירה: הגרדיאנט של שדה סקלרי   f {\displaystyle \ f} הוא שדה וקטורי   ∇ → f {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}f} שרכיביו הם הנגזרות החלקיות של השדה המקורי. הדיברגנץ של שדה וקטורי   f → {\displaystyle \ {\vec {f}}} הוא שדה סקלרי   ∇ → ⋅ f → {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {f}}} המודד את קצב השינוי במאונך לצירים. הרוטור (או curl) של שדה וקטורי תלת-ממדי   f → {\displaystyle \ {\vec {f}}} הוא שדה וקטורי   ∇ → × f → {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times {\vec {f}}} המודד את כיוון השינוי של השדה המקורי. המכפלה הסקלרית של   ∇ {\displaystyle \ \nabla } עם עצמו היא אופרטור חשוב אחר, הנקרא לפלסיאן. לעיתים נקרא הסימון המשולש של האופרטור בשם "נבלא" או "נבלה", על שום דמיונו לנבל (בתחביר LaTex הוא מוצג על ידי הפקודה \nabla). בספרים רבים נהוג לכתוב את המשולש ההפוך של הדל בגופן (פונט) מודגש, במקום לרשום חץ קטן למעלה. מטרת שני הסימונים היא להדגיש שמדובר בווקטור. גרדיאנט הוא אופרטור המקבל פונקציה סקלרית (פונקציית פוטנציאל) ומחזיר פונקציה וקטורית שרכיביה הם הנגזרות החלקיות של הפונקציה המקורית. המשמעות הגאומטרית של הגרדיאנט היא שהוא מחזיר את השינוי בפוטנציאל (השדה הסקלרי) כתוצאה מ"תזוזה" במרחב. מאחר שמדובר במרחב תלת-ממדי, הכיוון משפיע על השינוי של הפונקציה בנוסף לגודל התזוזה. הכיוון של הווקטור שמחזיר הגרדיאנט הוא הכיוון בו השינוי בפונקציה מקסימלי. הגרדיאנט מוגדר באופן הבא: grad   f ( x , y , z ) ≜ ∂ f ∂ x x ^ + ∂ f ∂ y y ^ + ∂ f ∂ z z ^ {\displaystyle \!\,{\mbox{grad}}\ f(x,y,z)\triangleq {\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {z}}} באמצעות אופרטור הדל, אפשר פשוט לרשום: grad   f ≜ ∇ → f {\displaystyle {\mbox{grad}}\ f\triangleq {\vec {\nabla }}f} כלומר הפעלה של האופרטור הווקטורי דל על הפונקציה הסקלרית בצורה של כפל בסקלר, וקבלה של פונקציה וקטורית. עבור כל שדה סקלרי, אופרטור הגרדיאנט מחזיר שדה וקטורי שנקרא "Gradient Field" ובו החצים מכוונים לכיוון בו הפונקציה עולה וגודלם של החצים מייצג את השיפוע של השדה הסקלרי. הכיוון של הגרדיאנט הוא הכיוון שבו יש שינוי מקסימלי בערך של הפונקציה. דוגמה פיזיקלית: הפוטנציאל האלקטרוסטטי מסומן ב ϕ {\displaystyle \!\,\phi } , מחוקי האלקטרוסטטיקה ידוע לנו ש E → = − ∇ → ϕ {\displaystyle \!\,{\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\phi } כאשר E הוא השדה החשמלי. נגזרת כיוונית או נגזרת מכוונת של שדה סקלרי היא מספר המתאר כמה השתנתה הפונקציה כאשר הערך שהיא מקבלת השתנה בגודל אינפיניטסימלי בכיוון מסוים n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} . כמו כל נגזרת, ההגדרה הפורמלית נעשית באמצעות גבול: D n ^ f ( r → ) = lim h → 0 f ( r → + h n → ) − f ( r → ) h {\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\vec {r}}+h{\vec {n}})-f({\vec {r}})}{h}}} אם השדה או הפונקציה דיפרנציאביליים בתחום, אפשר לחשב את הנגזרת הכיוונית בקלות באמצעות הגרדיאנט, על ידי הנוסחה D n ^ f ( r → ) = n ^ ⋅ ( ∇ → f ( r → ) ) {\displaystyle D_{\hat {n}}{f({\vec {r}})}={\hat {n}}\cdot \left({\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\right)} כאשר ה ⋅ {\displaystyle \cdot } הוא סימון למכפלה סקלרית. דוגמה: נניח f ( x , y , z ) = x + y 2 + z 3 {\displaystyle \!\,f(x,y,z)=x+y^{2}+z^{3}} . אזי grad   f = ∇ f = (   1   2 y   3 z 2   ) {\displaystyle {\mbox{grad}}\ f=\nabla f=\left(\ 1\,\ 2y\,\ 3z^{2}\ \right)} ואילו הנגזרת הכיוונית שלה כאשר נעים לאורך האלכסון הראשי של קובייה, כלומר n ^ = 1 3 ( 1 , 1 , 1 ) {\displaystyle {\hat {n}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)} , היא n ^ ⋅ ∇ f = 1 3 ( 1 , 1 , 1 ) ⋅ ( 1 , 2 y , 3 z 2 ) = 1 3 ( 1 + 2 y + 3 z 2 ) {\displaystyle {\hat {n}}\cdot \nabla f={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1,1,1\right)\cdot \left(1,2y,3z^{2}\right)={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left(1+2y+3z^{2}\right)} הדיברגנץ הוא מעין מדד לכמות השטף של שדה וקטורי שיוצא מנקודה כלשהי במרחב. יהי   F → = F x x ^ + F y y ^ + F z z ^ {\displaystyle \ {\vec {F}}=F_{x}{\hat {x}}+F_{y}{\hat {y}}+F_{z}{\hat {z}}} שדה וקטורי. אזי השטף של השדה F דרך שטח A מוגדר על ידי   flux = ∬ A F → ⋅ d A → {\displaystyle \ {\mbox{flux}}=\iint _{A}{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}} . אם השדה F קבוע אזי השטף שווה פשוט ל F → ⋅ A → {\displaystyle {\vec {F}}\cdot {\vec {A}}} כאשר A → {\displaystyle {\vec {A}}} הוא וקטור שגודלו הוא גודל השטח A ובכיוונו הוא ניצב לשטח A (נורמל). כדי להבין אינטואיטיבית את מושג השטף כדאי להשתמש באנלוגיה מתחום הנוזלים והזרימה ולהסתכל על מרחב בו זורמים מים, ובו יש "ברזים" ו"חורי ניקוז" שיכולים להוסיף או לגרוע מים מהמרחב. אם מסתכלים על קובייה דמיונית, ומודדים כמה מים זורמים דרך כל פאה ובאיזה כיוון (מים שיוצאים החוצה נספרים באופן חיובי ואילו מים שנכנסים פנימה באופן שלילי), ומחשבים את מאזן המים הכולל דרך הקוביה, אפשר לדעת מה סה"כ הספיקה של הברזים או חורי הניקוז. אם למשל יש רק ברזים שווים שמפוזרים, הרי מכל קובייה כזו יהיה שטף חיובי, ויהיה אפשר לדעת בעזרת מדידת השטף דרך דפנות הקובייה מה כמות הברזים הכלואה בה. אפשר לחשב גם את צפיפות ה"ברזים" (או "חורי ניקוז", אם השטף שלילי), על ידי חלוקה בנפח הקובייה. הדיברגנץ מודד בדיוק את אותו דבר - את צפיפות ה"ברזים"/"חורי ניקוז" - בנקודה במרחב. כדי לחשב את הגודל הזה, "בונים" סביב הנקודה קובייה אינפינטסימלית בעלת נפח V, ואז לוקחים את הגבול כאשר הנפח שלה שואף ל 0, כלומר: div F = lim V → 0 1 V ∬ F → ⋅ d A → {\displaystyle {\mbox{div}}F=\lim _{V\to 0}{{\frac {1}{V}}\iint {{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}} כאשר האינטגרל הוא על המשטח (הסגור) העוטף את הנפח V. בקואורדינטות קרטזיות, אפשר להראות שאת הדיברגנץ אפשר לחשב על ידי מכפלה סקלרית של אופרטור הדל בשדה: div F → = ∇ → ⋅ F → = ∂ F x ∂ x + ∂ F y ∂ y + ∂ F z ∂ z {\displaystyle {\mbox{div}}{\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}} כלומר על ידי מכפלה סקלרית סימבולית של האופרטור הווקטורי דל (משמאל) בפונקציה וקטורית (מימין) שנותן פונקציה סקלרית. הרוטור (או Curl), הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. הרוטור מוגדר כך: curl ⁡   F → = lim a i → 0 1 a i ∮ c i ( F → ⋅ d r → ) ⋅ n ^ i {\displaystyle \operatorname {curl} \ {\vec {F}}=\lim _{a_{i}\to 0}{{\frac {1}{a_{i}}}\oint _{c_{i}}{({\vec {F}}\cdot d{\vec {r}})\cdot {\hat {n}}_{i}}}} כאשר a i {\displaystyle a_{i}} מסמל גודל של משטחונים המחלקים שטח פנים של נפח מסוים, c i {\displaystyle c_{i}} מסמל את העקומים התוחמים כל אחד ממשטחונים אלו ו n ^ i {\displaystyle {\hat {n}}_{i}} מסמל את וקטורי היחידה המאונכים למשטחונים אלו. ניתן להראות שבקאורדינטות קרטזיות הרוטור ניתן לחישוב על ידי מכפלה וקטורית של האופרטור דל בשדה:   curl ⁡   F → = ∇ → × F → = ( ∂ F z ∂ y − ∂ F y ∂ z ) x ^ + ( ∂ F x ∂ z − ∂ F z ∂ x ) y ^ + ( ∂ F y ∂ x − ∂ F x ∂ y ) z ^ {\displaystyle \ \operatorname {curl} \ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}} צורת רישום קלה יותר לזכירה של הנוסחה לעיל היא באמצעות הדטרמיננטה של המטריצה הבאה: [ x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]} כלומר, ∇ → × F → = det [ x ^ y ^ z ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F x F y F z ] {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\det \left[{\begin{matrix}{\hat {x}}&{\hat {y}}&{\hat {z}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{matrix}}\right]} בתנאי שמפתחים לפי השורה הראשונה. יש להדגיש כי זהו סימון שגוי מבחינה מתמטית (שהרי אופרטור גזירה אינו יכול להיות איבר במטריצה). צורה אחרת היא באמצעות טנזור לוי-צ'יויטה: ∇ → × F → = ϵ i j k e ^ i ( ∂ j F k ) {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{i}(\partial _{j}F_{k})} כאשר ϵ x y z = 1 {\displaystyle \epsilon _{xyz}=1} ושומר סימן לכל תמורה ציקלית של האינדקסים, הופך סימן עבור תמורה אי-זוגית של האינדקסים ומקבל את הערך אפס אם יש שני אינדקסים זהים. כמו כן, ∂ j := ∂ ∂ r j {\displaystyle \partial _{j}:={\frac {\partial }{\partial r_{j}}}} הוא סימון מקוצר לנגזרת החלקית (למשל: ∂ r 1 = ∂ r x = ∂ x {\displaystyle \partial _{r_{1}}=\partial _{r_{x}}=\partial _{x}} היא גזירה לפי x כאשר y ו-z מוחזקים כקבועים). הלפלסיאן הכללי מוגדר בקואורדינטות קרטזיות:   ∇ 2 = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 {\displaystyle \ \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}} כיוון שזהו אופרטור סקלרי הוא יכול לפעול הן על פונקציה סקלרית (על ידי כפל סימבולי רגיל משמאל), והן על פונקציה וקטורית (על ידי כפל בסקלר סימבולי משמאל). כאשר הלפלסיאן מופעל על פונקציה סקלרית ניתן להביע אותו גם כ   ∇ 2 f = ∇ → ⋅ ∇ → f = div ⋅ grad ⁡   f {\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }}f=\operatorname {div} \cdot \operatorname {grad} \ f} כלומר הדיברגנץ של הגרדיאנט של הפונקציה. בקואורדינטות פולריות (קוטביות),   ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ r 2 + 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 {\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}} בקואורדינטות כדוריות (ספריות),   ∇ 2 f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 {\displaystyle \ \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}} ביטוי זה נכון רק כשהוא פועל על פונקציה סקלרית. פונקציה שהלפלסיאן שלה שווה לאפס בקבוצה פתוחה כלשהי נקראת פונקציה הרמונית על קבוצה זו. האינטגרל של שדה סקלרי או שדה וקטורי. ערך מורחב – אינטגרל קווי פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו לוויקיפדיה והשלימו אותו. ייתכן שתמצאו פירוט בדף השיחה. ערך מורחב – אינטגרל משטחי באנליזה וקטורית ישנם שני סוגי אינטגרל משטחי: אינטגרל משטחי מסוג ראשון: אינטגרל של שדה סקלרי: ∫ S f ( r → ) d S {\displaystyle \int _{S}f({\vec {r}})\,\mathrm {d} S} אינטגרל משטחי מסוג שני: אינטגרל של שדה וקטורי: ∫ S F → ( r → ) ⋅ d S → = ∫ S F → ( r → ) ⋅ n ^ d S {\displaystyle \int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\int _{S}{\vec {F}}({\vec {r}})\cdot {\hat {n}}\mathrm {d} S} כאשר d S → = n ^ d S {\displaystyle \mathrm {d} {\vec {S}}={\hat {n}}\,\mathrm {d} S} הוא וקטור משטח אינפיניטסימלי שגודלו כגודל השטח האיפיניטסימלי וכיווני ניצב למשטח (הווקטור n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} הוא וקטור יחידה נורמל הניצב למשטח). ערכים מורחבים – אינטגרל כפול, אינטגרל משולש זהויות של נגזרות וקטוריות   ∇ → × ( ∇ → f ) = 0 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\times ({\vec {\nabla }}f)=0}   ∇ → ⋅ ( ∇ → × F → ) = 0 {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})=0}   ∇ → ⋅ ( ∇ → f ) = ( ∇ → ⋅ ∇ → ) f = ∇ 2 f {\displaystyle \ {\vec {\nabla }}\cdot ({\vec {\nabla }}f)=({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\nabla }})f=\nabla ^{2}f} משפט הגרדיאנט אינטגרל מסלולי מנקודה a לנקודה b של גרדיאנט של פונקציה סקלרית מקיים ∫ C ∇ → f ( r → ) ⋅ d l → = f ( b → ) − f ( a → ) {\displaystyle \int _{C}{{\vec {\nabla }}f({\vec {r}})\cdot d{\vec {l}}}=f({\vec {b}})-f({\vec {a}})} משפט גאוס (משפט הדיברגנץ): האינטגרל של השטף על משטח סגור שווה לאינטגרל הנפחי של דיברגנץ השדה בתוך הנפח הכלוא על ידי המשטח. כלומר:   ∮ ∂ V F → ⋅ d A → = ∫ V ∇ → ⋅ F →   d V {\displaystyle \ \oint _{\partial V}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}=\int _{V}{{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}\ \mathrm {d} V}} משפט סטוקס האינטגרל המסלולי של פונקציה וקטורית על מסלול סגור שמהווה שפת משטח שווה לאינטגרל המשטחי של רוטור אותה פונקציה על המשטח.   ∮ ∂ A F → ⋅ d r → = ∫ A ( ∇ → × F → ) ⋅ d A → {\displaystyle \ \oint _{\partial A}{{\vec {F}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}}=\int _{A}{({\vec {\nabla }}\times {\vec {F}})\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}} פיזיקה והנדסה אלקטרומגנטיות דל במערכות צירים שונות גאומטריה דיפרנציאלית HIT אנליזה ווקטורית - וידאו עם הסברים אינטואיטיביים בעברית של כלל המושגים מורי ר. שפיגל, אנליזה וקטורית, סדרת שאום זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית - מבוא, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית – נגזרת ונגזרת חלקית, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית – תכונות בסיסיות של הנגזרת, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', אנליזה וקטורית – מציאת ערכי קיצון, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', אינטגרלים כפולים, משולשים ו-d-ממדיים, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי ("שיטת ההצבה"), באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', מידת ז'ורדן ואינטגרלים מוכללים, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', החלפת משתנים בחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי – המשפט הכללי, באתר "לא מדויק" גדי אלכסנדרוביץ', על יריעות ותבניות (מה משפט סטוקס אומר, בגדול), באתר "לא מדויק" אנליזה וקטורית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)