סטטיסטי הסדר

בסטטיסטיקה, סטטיסטי הסדר ה - k {\displaystyle k} של מדגם מקרי שווה לערך ה- k {\displaystyle k} בגודלו של המדגם. סטטיסטים הממבוססים על דרגות ועל סטטיסטי הסדר הם בין הכלים הבסיסיים ביותר בסטטיסטיקה א-פרמטרית. דוגמאות חשובות לסטטיסטי סדר ולסטטיסטים המבוססים עליהם הם המינימום והמקסימום של המדגם, החציון ורבעונים אחרים. לדוגמה, נניח שנתון לנו מדגם אקראי עם ארבעה ערכים 8 , 3 , 9 , 6 {\displaystyle 8,3,9,6} סטטיסטי הסדר הם x ( 1 ) = 3 ,     x ( 2 ) = 6 ,     x ( 3 ) = 8 ,     x ( 4 ) = 9 {\displaystyle x_{(1)}=3,\ \ x_{(2)}=6,\ \ x_{(3)}=8,\ \ x_{(4)}=9\,} כאשר X ( i ) {\textstyle X_{(i)}} מסמן את סטטיסטי הסדר ה-i של המדגם. סטטיסטי הסדר הראשון (או סטטיסטי הסדר הקטן) הוא המינימום של המדגם, X ( 1 ) = min { X 1 , … , X n } {\displaystyle X_{(1)}=\min\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}} כאשר, בהתאם למוסכמות, אנחנו מסמנים משתנים מקריים באותיות גדולות ותוצאות נתונות של המדגם באותיות קטנות. באופן דומה, עבור מדגם בגודל n {\displaystyle n} , סטטיסטי הסדר ה- n {\displaystyle n} -י (או סטטיסטי הסדר הגדול ביותר) הוא המקסימום של המדגם, X ( n ) = max { X 1 , … , X n } . {\displaystyle X_{(n)}=\max\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}.} הטווח של המדגם הוא ההפרש בין המקסימום למינימום. הטווח הוא פונקציה של סטטיסטי הסדר: R a n g e { X 1 , … , X n } = X ( n ) − X ( 1 ) . {\displaystyle {\rm {Range}}\{\,X_{1},\ldots ,X_{n}\,\}=X_{(n)}-X_{(1)}.} חציון המדגם הוא סטטיסטי סדר כאשר גודל המדגם אי זוגי מאחר שיש ערך אמצעי יחיד בין ערכי המדגם. כלומר, אם n = 2 m + 1 {\displaystyle n=2m+1} עבור מספר שלם לא שלילי m {\displaystyle m} , אז חציון המדגם הוא X ( m ) {\displaystyle X_{(m)}} ואז הוא גם סטטיסטי סדר. לעומת זאת אם n {\displaystyle n} הוא זוגי, n = 2 m {\displaystyle n=2m} ( m {\displaystyle m} מספר טבעי) וישנם שני ערכי אמצע, X ( m ) {\displaystyle X_{(m)}} ו- X ( m + 1 ) {\textstyle X_{(m+1)}} , ואז חציון המדגם הוא פונקציה של שני הערכים (בדרך כלל הממוצע) והחציון עצמו אינו סטטיסטי סדר. הערות דומות נכונות לשאר שברוני המדגם. דוגמה חשובה בסטטיסטיקה תיאורית הוא הטווח הבין רבעוני שגם הוא פונקציה של סטטיסטי סדר. בהינתן מדגם מקרי, X 1 , . . . , X n {\displaystyle X_{1},...,X_{n}} , של משתנים מקריים בלתי תלויים רציפים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} , פונקציית ההתפלגות של סטטיסטי הסדר ה- k {\displaystyle k} -י היא: F X ( k ) ( x ) = ∑ j = k n ( n j ) [ F X ( x ) ] j [ 1 − F X ( x ) ] n − j {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}} אם בנוסף, F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} רציפה בהחלט ולכן גזירה, קיימת פונקציית צפיפות: f X ( x ) = F X ′ ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)=F'_{X}(x)} במקרה כזה פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה- k {\displaystyle k} -י היא: f X ( k ) ( x ) = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! f X ( x ) [ F X ( x ) ] k − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − k {\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}} הוכחה: לכל משתנה מקרי X i {\displaystyle X_{i}} נגדיר משתנה מקרי I i {\displaystyle I_{i}} שמקיים I i = 1 {\displaystyle I_{i}=1} כאשר X i ≤ x {\displaystyle X_{i}\leq x} ואחרת I i = 0 {\displaystyle I_{i}=0} . נגדיר משתנה מקרי נוסף, Y = ∑ i = 0 n I i {\displaystyle Y=\sum _{i=0}^{n}I_{i}} . המשתנה המקרי Y {\displaystyle Y} סופר כמה ממשתני המדגם קטנים או שווים ל- x {\displaystyle x} ולכן Y ≥ k {\displaystyle Y\geq k} אם ורק אם X ( k ) ≤ x {\displaystyle X_{(k)}\leq x} . המשתנה המקרי Y {\displaystyle Y} הוא משתנה בינומי, Y ∼ B i n ( n , F X ( x ) ) {\displaystyle Y\sim \mathrm {Bin} (n,F_{X}(x))} כאשר F X ( x ) = Pr ( X i ≤ x ) {\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X_{i}\leq x)} . לכן, פונקציית ההתפלגות של סטטיסטי הסדר ה- k {\displaystyle k} היא: F X ( k ) ( x ) = Pr ( X ( k ) ≤ x ) = Pr ( Y ≥ k ) = ∑ j = k n ( n j ) [ F X ( x ) ] j [ 1 − F X ( x ) ] n − j {\displaystyle F_{X_{(k)}}(x)=\Pr(X_{(k)}\leq x)=\Pr(Y\geq k)=\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j}} אם F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} רציפה בהחלט נוכל לקבל את פונקציית הצפיפות של סטטיסטי הסדר ה- k {\displaystyle k} , אם נגזור את פונקציית ההתפלגות: F X ( k ) ′ ( x ) = f X ( x ) [ ∑ j = k n ( n j ) j [ F X ( x ) ] j − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − j − ∑ j = k n − 1 ( n j ) ( n − j ) [ F X ( x ) ] j [ 1 − F X ( x ) ] n − j − 1 ] {\displaystyle F'_{X_{(k)}}(x)=f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\binom {n}{j}}j[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k}^{n-1}{\binom {n}{j}}(n-j)[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j-1}\right]} נציב את נוסחת הבינום בשני הסכומים, = f X ( x ) [ ∑ j = k n n ! ( j − 1 ) ! ( n − j ) ! [ F X ( x ) ] j − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − j − ∑ j = k n − 1 n ! j ! ( n − j − 1 ) ! [ F X ( x ) ] j [ 1 − F X ( x ) ] n − j − 1 ] {\displaystyle =f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k}^{n-1}{\frac {n!}{j!(n-j-1)!}}[F_{X}(x)]^{j}[1-F_{X}(x)]^{n-j-1}\right]} נרשום בסכום מימין j − 1 {\displaystyle j-1} במקום j {\displaystyle j} ונשנה את גבולות הסכום בהתאם, = f X ( x ) [ ∑ j = k n n ! ( j − 1 ) ! ( n − j ) ! [ F X ( x ) ] j − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − j − ∑ j = k + 1 n n ! ( j − 1 ) ! ( n − j ) ! [ F X ( x ) ] j − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − j ] {\displaystyle =f_{X}(x)\left[\sum _{j=k}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}-\sum _{j=k+1}^{n}{\frac {n!}{(j-1)!(n-j)!}}[F_{X}(x)]^{j-1}[1-F_{X}(x)]^{n-j}\right]} הכל מצטמצם פרט לאיבר הראשון בסכום השמאלי, = n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! f X ( x ) [ F X ( x ) ] k − 1 [ 1 − F X ( x ) ] n − k {\displaystyle ={\frac {n!}{(k-1)!(n-k)!}}f_{X}(x)[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}} מ.ש.ל שלדון רוס, תרגום: מיכל גולן, אורה מאור, הסתברות-קורס ראשון, מהדורה חמישית (תרגום פרקים 1–8 בלבד), האוניברסיטה הפתוחה, 2001 סטטיסטי הסדר, באתר MathWorld (באנגלית)