טופולוגיית זריצקי

במתמטיקה, טופולוגיית זריצקי היא טופולוגיה המוגדרת על המרחב האפיני, כך שהיריעות האלגבריות הן קבוצות סגורות. הכלים הטופולוגיים שטופולוגיית זריצקי מזריקה לחקר הפולינומים, הופכת אותה לטופולוגיה הסטנדרטית בגאומטריה אלגברית ובתחומים הנושקים לה, כמו חבורות אלגבריות. היא הוצגה לראשונה על ידי המתמטיקאי אוסקר זריצקי. טופולוגיית זריצקי מוגדרת על מרחב אפיני מממד סופי V = F n {\displaystyle V=F^{n}} , כאשר F {\displaystyle F} שדה כלשהו. יריעות האפסים { x ∈ V : f ( x ) = 0 } {\displaystyle \{x\in V:f(x)=0\}} עבור הפולינומים f ∈ F [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f\in F[x_{1},\dots ,x_{n}]} מהוות בסיס של קבוצות סגורות לטופולוגיה; לחלופין, הקבוצות U f = { x ∈ V : f ( x ) ≠ 0 } {\displaystyle U_{f}=\{x\in V:f(x)\neq 0\}} מהוות בסיס לטופולוגיה (וזהו אכן בסיס, משום ש- U f ∩ U g = U f g {\displaystyle U_{f}\cap U_{g}=U_{fg}} ). מכיוון שחוג הפולינומים נותרי, הקבוצות הסגורות הן קבוצות מהצורה { x : f 1 ( x ) = f 2 ( x ) = ⋯ = f m ( x ) = 0 } {\displaystyle \{x:f_{1}(x)=f_{2}(x)=\cdots =f_{m}(x)=0\}} עבור מספר סופי של פולינומים f 1 , ⋯ , f m {\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}} . מסיבה זו, כל קבוצה סגורה בטופולוגיית זריצקי היא קומפקטית. טופולוגיית זריצקי היא הטופולוגיה הקטנה ביותר שעבורה כל הפונקציות הפולינומיות f : F n → F {\displaystyle f:F^{n}\rightarrow F} הן רציפות, ביחס לטופולוגיה הקו-סופית על F {\displaystyle F} . אכן, הטופולוגיה הקו-סופית היא טופולוגיית זריצקי של F {\displaystyle F} עצמו. באופן כללי יותר כל העתקה פולינומית בין מרחבים וקטוריים היא רציפה בטופולוגיית זריצקי. תהי A = k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]} אלגברת הפולינומים מעל שדה סגור אלגברית k {\displaystyle k} , ויהי I ⊂ k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle I\subset k[x_{1},...,x_{n}]} אידיאל כלשהו. נגדיר V ( I ) = { x ∈ k n | ∀ f ∈ I : f ( x ) = 0 } {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)=\left\{x\in k^{n}|\forall f\in I:f(x)=0\right\}} אזי: V ( 0 ) = k n   V ( A ) = ∅ {\displaystyle {\mathcal {V}}(0)=k^{n}\,\ {\mathcal {V}}(A)=\emptyset } . כל הקבוצות מהצורה V ( I ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)} הן קבוצות סגורות בטופולוגיית זריצקי. "הופך סדר הכלה": I 2 ⊂ I 1 ⟹ V ( I 2 ) ⊃ V ( I 1 ) {\displaystyle I_{2}\subset I_{1}\implies {\mathcal {V}}(I_{2})\supset {\mathcal {V}}(I_{1})} . V ( I 1 I 2 ) = V ( I 1 ∩ I 2 ) = V ( I 1 ) ∪ V ( I 2 ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I_{1}I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1}\cap I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1})\cup {\mathcal {V}}(I_{2})} . V ( ∑ λ I λ ) = ⋂ λ V ( I λ ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(\sum _{\lambda }I_{\lambda }\right)=\bigcap _{\lambda }{\mathcal {V}}(I_{\lambda })} . כל נקודה a ∈ k n {\displaystyle a\in k^{n}} היא קבוצה סגורה (היא מאפסת את האידיאל המקסימלי שנוצר על ידי ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) {\displaystyle (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})} , ראו משפט האפסים של הילברט). נגדיר לכל H ⊂ k n {\displaystyle H\subset k^{n}} את I ( H ) = { f ∈ A | ∀ x ∈ H : f ( x ) = 0 } = { f ∈ A | f | H = 0 } {\displaystyle {\mathcal {I}}(H)=\left\{f\in A|\forall x\in H:f(x)=0\right\}=\left\{f\in A|\quad f|_{H}=0\right\}} זהו אידיאל ב- A {\displaystyle A} . אזי: זהו אידיאל רדיקלי: I ( H ) = I ( H ) {\displaystyle {\sqrt {{\mathcal {I}}(H)}}={\mathcal {I}}(H)} . משפט האפסים של הילברט: V ( I ( H ) ) = H ¯ {\displaystyle {\mathcal {V}}({\mathcal {I}}(H))={\overline {H}}} (הסגור של H). לכל אידיאל I ⊂ A {\displaystyle I\subset A} מתקיים I ( V ( I ) ) = I {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I))={\sqrt {I}}} . "הופך סדר הכלה": H 1 ⊂ H 2 ⟹ I ( H 1 ) ⊃ I ( H 2 ) {\displaystyle H_{1}\subset H_{2}\implies {\mathcal {I}}(H_{1})\supset {\mathcal {I}}(H_{2})} I ( V ( I 2 ) ) ⊂ I ( V ( I 1 ) ) ⟺ I 2 ⊂ I 1 ⟺ V ( I 2 ) ⊃ V ( I 1 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{2}))\subset {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{1}))\iff {\sqrt {I_{2}}}\subset {\sqrt {I_{1}}}\iff {\mathcal {V}}(I_{2})\supset {\mathcal {V}}(I_{1})} . I ( V ( I 2 ) ) = I ( V ( I 1 ) ) ⟺ I 2 = I 1 ⟺ V ( I 2 ) = V ( I 1 ) {\displaystyle {\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{2}))={\mathcal {I}}({\mathcal {V}}(I_{1}))\iff {\sqrt {I_{2}}}={\sqrt {I_{1}}}\iff {\mathcal {V}}(I_{2})={\mathcal {V}}(I_{1})} . מתכונות אלה מסיקים שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין הקבוצות הסגורות של k n {\displaystyle k^{n}} לבין האידיאלים הרדיקליים של A = k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle A=k[x_{1},...,x_{n}]} . ניתן להכליל זאת ל- k {\displaystyle k} -אלגברה כללית A {\displaystyle A} כאשר את k n {\displaystyle k^{n}} מחליפה M a x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Max} (A)} שהיא קבוצת האידיאלים המקסימליים של A {\displaystyle A} . במקרה ש- A {\displaystyle A} היא אלגברת הפולינומים k [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle k[x_{1},...,x_{n}]} ניתן להראות באמצעות משפט האפסים של הילברט (בגרסתו החלשה) ש- M a x ( k [ x 1 , . . . , x n ] ) ≅ k n {\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}} . מהאמור לעיל, M a x ( k [ x 1 , . . . , x n ] ) ≅ k n {\displaystyle \mathrm {Max} \left(k[x_{1},...,x_{n}]\right)\cong k^{n}} . במקרה הזה, ניתן לראות שההתאמה בין אידיאל מקסימלי ל"נקודה" במרחב האפיני ניתנת על ידי a → = ( a 1 , . . . , a n ) ⟷ ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},...,a_{n})\longleftrightarrow (x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n})} כאשר הסוגריים באגף ימין מסמלים את האידיאל הנוצר על ידי הפונקציות הללו. למעשה, V ( x 1 − a 1 , . . . , x n − a n ) = ( a 1 , . . . , a n ) {\displaystyle {\mathcal {V}}\left(x_{1}-a_{1},...,x_{n}-a_{n}\right)=(a_{1},...,a_{n})} . כעת, יהי I {\displaystyle I} אידיאל בחוג k [ x ] {\displaystyle k[x]} , אזי a ∈ V ( I ) {\displaystyle a\in {\mathcal {V}}(I)} אם ורק אם לכל f ∈ I {\displaystyle f\in I} מתקיים ש- f ( a ) = 0 {\displaystyle f(a)=0} , כלומר: לכל f ∈ I {\displaystyle f\in I} מתקיים ( x − a ) | f ( x ) {\displaystyle (x-a)|f(x)} , כלומר: האידיאל הנוצר על ידי f {\displaystyle f} מוכל באידיאל המקסימלי הנוצר על ידי ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} . נכליל זאת: x ∈ V ( I ) ⟺ I ⊂ M x {\displaystyle x\in {\mathcal {V}}(I)\iff I\subset M_{x}} כאשר M x {\displaystyle M_{x}} הוא האידיאל המקסימלי המתאים ל- x {\displaystyle x} . באמצעות הכללה זו אפשר להגדיר עבור k {\displaystyle k} -אלגברה A {\displaystyle A} טופולוגיית זריצקי לא רק על M a x ( A ) {\displaystyle \mathrm {Max} (A)} אלא גם על S p e c ( A ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (A)} - אוסף האידיאליים הראשוניים של A {\displaystyle A} . ההכללה נעשית באמצעות ההגדרה הבאה: יהי I {\displaystyle I} אידיאל ב- A {\displaystyle A} , אזי אידיאל ראשוני P {\displaystyle P} שייך ל- V ( I ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)} אם ורק אם I ⊂ P {\displaystyle I\subset P} , ואז מגדירים את הקבוצות מהצורה V ( I ) {\displaystyle {\mathcal {V}}(I)} להיות הקבוצות הסגורות ב- S p e c ( A ) {\displaystyle \mathrm {Spec} (A)} . הכללה זו מובילה למושג הסכמה (ראו סכמה אפינית). המרחבים הטופולוגיים המתקבלים כספקטרום של חוג קומוטטיבי נקראים מרחבים ספקטרליים (אנ'). גאומטריה אלגברית יריעה אלגברית משפט האפסים של הילברט T.A. Springer, Linear Algebraic Groups, chapter 1 טופולוגיית זריצקי, באתר MathWorld (באנגלית)