השיטה העשרונית

השיטה העשרונית (נקראת גם בסיס דצימלי) היא שיטה מבוססת מיקום להצגת מספרים (שלמים, ובהרחבה גם ממשיים), לפי בסיס 10. בשיטה זו, הרישום   61.3 {\displaystyle \ 61.3} מתפרש כסכום   6 ⋅ 10 1 + 1 ⋅ 10 0 + 3 ⋅ 10 − 1 {\displaystyle \ 6\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}+3\cdot 10^{-1}} . השיטה הומצאה בהודו, החליפה את הכתיבה בספרות רומיות באירופה בסוף ימי הביניים, והיא מקובלת כיום בכל העולם. השיטה המשלבת שימוש בבסיס 10 עם חשיבות לפי מיקום הספרה במספר פותחה בהודו במאה ה-6. הערבים אימצו אותה והשתמשו בה החל מהמאה ה-9 בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי מוחמד אבן מוסא אל-ח'ואריזמי בשנת 825, שבו סקר את השיטה והשימוש בה. אברהם אבן עזרא, ואחריו פיבונאצ'י, הביאו את השיטה לאירופה, בה אומצה במהירות כתחליף לשיטה הרומית, וזכתה לשימוש נרחב במסחר ולאחר מכן במדע. שיטת ייצוג זו נראית כיום טבעית ופשוטה, מאחר שלאדם יש עשר אצבעות; ספירה תוך שימוש בעשרות, מאות ואלפים התקיימה עוד קודם לכן, כפי שמעידים שמות המספרים וכתיבתם במילים (לדוגמה "וַיִּהְיוּ חַיֵּי שָׂרָה מֵאָה שָׁנָה וְעֶשְׂרִים שָׁנָה וְשֶׁבַע שָׁנִים", בראשית, כ"ג, א'; "מֵהֹדּוּ וְעַד כּוּשׁ שֶׁבַע וְעֶשְׂרִים וּמֵאָה מְדִינָה", אסתר, א', א'). אך השיטה העשרונית היא מבוססת-מיקום (פוזיציונלית) ובה מיקום הסיפרה קובע את חשיבותה (החזקה של 10 בה היא מוכפלת), רעיון שאינו מובן מאליו. שיטה פוזיציונלית הייתה נהוגה גם בבבל, על פי בסיס 60, עם ספרות אחרות וללא סימן מיוחד ל-0, אך זו לא התפשטה ולא השפיעה על השיטה ההודית. רוב שיטות הרישום האחרות שהיו בשימוש לאורך ההיסטוריה (ביניהן ספרות מצריות, ספרות רומיות, וספרות עבריות) אינן פוזיציונליות, וביצוע חישובים אריתמטיים בעזרתן הוא מסובך בהרבה. הספרות 0 עד 9 מסמנות מספרים טבעיים עוקבים: 0 הוא מספר האיברים בקבוצה ריקה, 1 היא היחידה, 2=1+1, 3=2+1, וכן הלאה, עד 9=8+1. מספרים גדולים מ-9 מוצגים כרצף של ספרות, אותו מבינים כסכום של חזקות של המספר 10 (השווה ל-9+1), המוכפלות כל-אחת בספרה המתאימה. לדוגמה,   23 = 2 ⋅ 10 1 + 3 ⋅ 10 0 = 2 ⋅ 10 + 3 ⋅ 1 {\displaystyle \ 23=2\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}=2\cdot 10+3\cdot 1} . לכל מספר טבעי יש הצגה יחידה באופן כזה, והקשר בין ההצגה לבין המספר הוא יסודי כל-כך, עד שדרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להבדיל ביניהם. להצגת מספרים לא שלמים, משתמשים גם בחזקות השליליות של 10 (למשל,   10 − 1 = 1 10 {\displaystyle \ 10^{-1}={\tfrac {1}{10}}} ,   10 − 2 = 1 10 2 {\displaystyle \ 10^{-2}={\tfrac {1}{10^{2}}}} ), המופרדות מן החזקות החיוביות באמצעות נקודה עשרונית. כך למשל, המספר 25.3 פירושו   2 ⋅ 10 + 5 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 10 {\displaystyle \ 2\cdot 10+5\cdot 1+3\cdot {\tfrac {1}{10}}} . את אותו מספר אפשר להציג גם כ־25.300, שפירושו 25.3, ועוד אפס עשיריות ואפס מאיות. עם זאת, מקובל להשמיט אפסים מסוף הביטוי, וכך מתקבלת שוב הצגה יחידה, לכל מספר שאפשר להציג באופן כזה. בשיטה העשרונית אפשר להציג כשבר עשרוני סופי את המספרים השווים למנה   a 10 n {\displaystyle \ {\frac {a}{10^{n}}}} של מספר טבעי a וחזקה של 10. רצף הספרות הסופי   0. a 1 a 2 … a n {\displaystyle \ 0.a_{1}a_{2}\dots a_{n}} מובן כסכום   a 1 10 + a 2 100 + ⋯ + a n 10 n {\displaystyle \ {\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{100}}+\dots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}} השווה למנה זו. מספרים אחרים, כגון 1/3, לא ניתן להציג באופן זה (משום ש- 3 אינו מחלק אף חזקה של 10). ניתן לקרב מספרים כאלה בעזרת שברים עשרוניים סופיים בקירוב טוב כרצוננו, אך הייצוג המדויק ידרוש אינסוף ספרות. שברים כאלה נכתבים בעזרת קירוב סופי ואחריו שלוש נקודות ( … {\displaystyle \dots } ). לדוגמה, הסימון 0.33 … {\displaystyle 0.33\dots } מציין כי הכוונה למספר שלייצוגו המדויק נדרשות ספרות 3 נוספות, עד אינסוף. מתברר, שכל מספר רציונלי, ואף כל מספר ממשי x, אפשר להציג כסכום אינסופי של חזקות (שליליות) של 10, הנקרא "הפיתוח העשרוני" של x. עובדה זו אינה מובנת מאליה, והיא נובעת מן הארכימדיות של שדה המספרים הממשיים. כמעט לכל מספר ממשי יש פיתוח עשרוני אחד ויחיד. יוצאי הדופן הם המספרים הרציונליים שיש להם פיתוח עשרוני סופי - למספר כזה יש גם פיתוח אינסופי, המתקבל מהחלפת הספרה האחרונה בפיתוח, נאמר a, בספרה a-1, שאחריה רצף אינסופי של תשיעיות. בחיי המעשה לא ניתן לטפל בביטויים אינסופיים, ולעיתים מסתפקים בקירוב המתקבל מן הספרות הראשונות של המספר העשרוני. במחשבון כיס שרמת הדיוק שלו מגיעה לשמונה ספרות עשרוניות, יופיע הביטוי 0.33333333 במקום 1/3. במספרים ארוכים, אפשר ליצור קבוצות מספרים ולהפריד ביניהם, כדי לאפשר קריאה מהירה ללא צורך בספירת הספרות. לדוגמה, בעברית, אפשר לכתוב 1,000,000,000 במקום 1000000000. סימן ההפרדה ודרך החלוקה תלוי בשפה. בעברית ובשפות אירופאיות מפרידים כל שלוש ספרות משמאל לנקודה העשרונית (הנקרא "מפריד האלפים"). בעברית ובאנגלית נהוג להשתמש בפסיק כמפריד האלפים (10,000), ובמדינות אירופה נהוג להשתמש בנקודה (10.000) או במרווח (000 10). בכל השפות, הסימן המפריד בין הקבוצות שונה מהסימן של "הנקודה העשרונית" כדי למנוע בלבול. לאחדות במסמכים בינלאומיים, התקן ISO 31-0 ממליץ להשתמש ברווח, בעוד הלשכה הבינלאומית למידות ולמשקלות ו-IUPAC ממליצים להשתמש ב"חצי רווח" (יוניקוד U+2009, ו-;&#8201 ב-HTML). פעולות החשבון חיבור וחיסור במספרים עשרוניים נעשות בדיוק כמו במספרים השלמים, אלא שכאן מבדילים בנקודה בין השלמים לחלקים העשרוניים. בפתרון במאונך יש להקפיד שהנקודה העשרונית של שני המספרים תהיה באותו המקום, לצורך כך ניתן להוסיף אפסים למספר בו ישנן פחות ספרות אחרי הנקודה. לדוגמה: את התרגיל 12.36 + 45.098, ניתן לרשום גם 12.360 + 45.098 על מנת למנוע טעויות בזמן החישוב. המצב שונה מעט עבור פעולות הכפל והחילוק. בכפל, כאשר אחד המספרים הוא עשרוני אפשר להכפיל אותם כשלמים ולהוסיף במכפלה נקודה עשרונית לפי מספר הספרות אחרי הנקודה בנכפל ובכופל. בחילוק, כאשר המונה עשרוני והמכנה שלם, ניתן לחלק כמספרים שלמים ולהוסיף נקודה עשרונית לפי מספר הספרות העשרוניות במונה. שיטת ספירה בסיס בינארי בסיס אוקטלי בסיס הקסדצימלי מדיה וקבצים בנושא השיטה העשרונית בוויקישיתוף יורם שורק, ‏דברים שיורמים יודעים: למה אנחנו חיים בבסיס 10?, באתר "הידען" המחשה אינטראקטיבית של ספירה בבסיס עשרוני, בינארי והקסדצימלי מתוך אתר לילדים המלמד מושגים במדעי המחשב TED Ed - A brief history of numerical systems - Alessandra King, סרטון באתר יוטיוב כולל כתוביות בעברית השיטה העשרונית, באתר MathWorld (באנגלית)