מערכת מכוונת

מערכת מכוונת או מערכת מכוונת ישירה בקטגוריה מסוימת היא אוסף עצמים באותה קטגוריה (קבוצות, חבורות או חוגים למשל). באופן אינטואיטיבי אפשר לראות אותה כמעין עץ של עצמים מקוננים, שבו כל שני איברים נחשבים לשווים אם הם שווים בעצם כלשהו המכיל את שניהם. היא מוגדרת כאיחוד הזר של העצמים במערכת עם יחס השקילות הבא: שני איברים בעצמים A ו-B נקראים שקולים אם קיים עצם C ה"מכיל" את A ו-B שבו שני האיברים שווים. למנה של האיחוד הזר של אוסף העצמים ביחס ליחס שקילות זה קוראים "הגבול הישר" של המערכת המכוונת. מערכות מכוונות משמשות בין היתר באלגברה הומולוגית וטופולוגיה אלגברית. למשל: קוהומולוגיית צ'ך מוגדר כגבול הישר של מערכת מכוונת של עידונים של כיסויים פתוחים של מרחב טופולוגי. קבוצה מכוונת (directed set) היא קבוצה שמוגדר עליה סדר חלקי ( I , ≤ ) {\displaystyle (I,\leq )} , ומקיימת: לכל שני אינדקסים i ו-j קיים אינדקס שלישי k כך ש- i ≤ k ,   j ≤ k {\displaystyle i\leq k,\ j\leq k} . מערכת מכוונת ישירה של קבוצות, חבורות או חוגים (נקרא להם עצמים) היא אוסף של עצמים ( X i ) i ∈ I {\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i\in I}} בקטגוריה המתאימה בעלת קבוצת אינדקסים שהיא קבוצה מכוונת, ביחד עם פונקציות שיכון μ i j : X i → X j {\displaystyle \mu _{ij}:X_{i}\to X_{j}} המהוות מורפיזמים בקטגוריה המתאימה, שמקיימות את התכונות הבאות: זהות עצמית: μ i i = i d X i {\displaystyle \mu _{ii}=\mathrm {id} _{X_{i}}} , שיכון של עצם בעצמו היא הזהות. הרכבה טרנזיטיבית: לכל i , j , k ∈ I {\displaystyle i,j,k\in I} שמקיימים i ≤ j ≤ k {\displaystyle i\leq j\leq k} מתקיים μ j k ∘ μ i j = μ i k {\displaystyle \mu _{jk}\circ \mu _{ij}=\mu _{ik}} , כלומר: לשכן את X i {\displaystyle X_{i}} ב- X k {\displaystyle X_{k}} שקול לשכן את X i {\displaystyle X_{i}} ב- X j {\displaystyle X_{j}} ואת שיכון זה לשכן ב- X k {\displaystyle X_{k}} באמצעות השיכון של X j {\displaystyle X_{j}} ב- X k {\displaystyle X_{k}} . נסתכל על איברי הקו-מכפלה X = ∐ i ∈ I X i {\displaystyle X=\coprod _{i\in I}X_{i}} שהיא בעצם איחוד זר של כל העצמים במערכת. כעת נגדיר יחס שקילות ∼ {\displaystyle \sim } על שני איברים בסדרה: יהיו x i ∈ X i , x j ∈ X j {\displaystyle x_{i}\in X_{i},x_{j}\in X_{j}} . נאמר שהם שקולים x i ∼ x j {\displaystyle x_{i}\sim x_{j}} אם קיים k כך ש- i ≤ k ,   j ≤ k {\displaystyle i\leq k,\ j\leq k} ומתקיים בנוסף μ i k ( x i ) = μ j k ( x j ) {\displaystyle \mu _{ik}(x_{i})=\mu _{jk}(x_{j})} . במילים אחרות, שני איברים הם שקולים אם הם נהיים שווים "בסופו של דבר" (כלומר: בתוך עצם גדול יותר). הגבול הישר (direct limit או injective limit) ‏ lim ⟶ X i {\displaystyle \lim _{\longrightarrow }X_{i}} של מערכת מכוונת ישירה בקטגוריה מסוימת היא עצם באותה קטגוריה המורכב מעצם המנה של האיחוד הזר של כל העצמים במערכת ביחס ליחס השקילות שהוגדר לעיל. בנוסחה lim ⟶ X i = ( ∐ i ∈ I X i ) / ∼ {\displaystyle \lim _{\longrightarrow }X_{i}=\left(\coprod _{i\in I}X_{i}\right)/\sim } . הוכחת קיומו של סגור אלגברי של שדה: אחת הדרכים להוכחת קיומו של סגור אלגברי היא באמצעות בניית מערכת מכוונת של הרחבות שדות אלגבריות והגדרת שני איברים בשני שדות הרחבה כלשהם להיות שקולים אם הם שווים בהרחבת שדות כלשהי של שני השדות הללו, אזי הסגור האלגברי הוא הגבול הישר של מערכת זו. הנבט (stalk) של אלומה (מתמטיקה) F {\displaystyle {\mathcal {F}}} בנקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} הוא הגבול הישר של הזוגות ( U , F ( U ) ) {\displaystyle (U,{\mathcal {F}}(U))} כאשר U ∋ x {\displaystyle U\ni x} סביבה פתוחה של x {\displaystyle x} , ביחס להומומורפיזמי הצמצום. שני חתכים σ ∈ U {\displaystyle \sigma \in U} ו- τ ∈ V {\displaystyle \tau \in V} נחשבים לשקולים אם קיימת x ∈ W ⊂ U , V {\displaystyle x\in W\subset U,V} כך ש- σ | W = τ | W {\displaystyle \sigma |_{W}=\tau |_{W}} . קוהומולוגיית צ'ך מוגדרת כגבול הישר של כל הקוהומולוגיות שמוגדרות על ידי כיסויים פתוחים על מרחב טופולוגי. כאן יחס הסדר הוא היותו של כיסוי פתוח אחד עידון של כיסוי פתוח אחר. גבולות ישרים מופיעים בתאוריה של קוהומולוגיית גלואה. Gregory Berhuy, Introduction to Galois Cohomology and its Applications, The London Mathematical Society. מערכת פרויקטיבית