נוסחת מספר המחלקה של דדקינד

בתורת המספרים נוסחת מספר המחלקה של דדקינד היא נוסחה המקשרת בין מספר מחלקה של שדה מספרים K {\displaystyle K} ושארית של פונקציית ζ {\displaystyle \zeta } של דדקינד המתאימה לשדה - K {\displaystyle K} ב-1. את הנוסחה הוכיח דדקינד. במחצית השנייה של המאה ה-19 כתב ריכרד דדקינד את הספר הרצאות בתורת המספרים (Vorlesungen über Zahlentheorie). הספר סיכם את עבודותיו של דיריכלה על תורת המספרים האנליטית והכיל עבודות של דדקינד. בספר זה הוא ניסח מחדש את הוכחת משפט דיריכלה על מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית בצורה מודרנית וקונספטואלית יותר. חלק חשוב בהכחתו של דיריכלה הייתה נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. דדקינד ניסח מחדש את הנוסחה ואת הוכחתה במונחים קונספטואליים ומודרניים יותר. דבר זה אפשר לו לנסח ולהוכיח נוסחה כללית בהרבה שנקראת נוסחת מספר המחלקה של דדקינד. נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה נותנת קשר בין מספר המחלקה של מספר שלם ובין ערך של פונקציית L של דיריכלה מתאימה. נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת קשר בין מספר המחלקה של שדה מספרים ולבין הקוטב בנקודה 1 של פונקציית זטא של דדקינד מתאימה. קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מזאת של דדקינד (ראו להלן). הן מספר המחלקה של שדה מספרים והן פונקציית זטא שלו קשורות לחוג השלמים של השדה. ערך מורחב – חוג השלמים בשדה מספרים בהינתן שדה מספרים K {\displaystyle K} חוג השלמים O K {\displaystyle O_{K}} ב- K {\displaystyle K} הוא אוסף האיברים ב- K {\displaystyle K} שמקיימים משוואה פולינומית מתוקנת עם מקדמים ב- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } . באופן מפורש: O K = { x ∈ K | ∃ a 0 , … a n ∈ Z  s.t.  x n + 1 + a n x n + ⋯ + a 0 = 0 } {\displaystyle O_{K}=\{x\in K|\exists a_{0},\dots a_{n}\in \mathbb {Z} {\text{ s.t. }}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\dots +a_{0}=0\}} החוג O K {\displaystyle O_{K}} הוא תחום דדקינד. ערך מורחב – מספר מחלקה (תורת המספרים) בהינתן שדה מספרים K {\displaystyle K} נסמן ב- O K {\displaystyle O_{K}} את חוג השלמים ב- K {\displaystyle K} . זה הוא תחום דדקינד. חבורת מחלקות האידיאלים של K {\displaystyle K} מוגדת להיות חבורת מחלקות האידיאלים של החוג O K {\displaystyle O_{K}} . מספר המחלקה h ( K ) {\displaystyle h(K)} של K {\displaystyle K} מוגדר להיות הסדר של חבורה זאת. ערך מורחב – פונקציית זטא של דדקינד פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים K {\displaystyle \,K} היא ההמשכה האנליטית של ζ K ( s ) = ∑ I ⊂ O K ( N Q K ( I ) ) − s , {\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{I\subset {\mathcal {O}}_{K}}{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(I){\big )}^{-s},} כאשר I {\displaystyle \,I} עובר על האידיאלים (הלא טריוויאליים) של חוג השלמים O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} , ו- N Q K ( I ) := [ O K : I ] := | O K / I | {\displaystyle N_{\mathbb {Q} }^{K}(I):=[{\mathcal {O}}_{K}:I]:=|{\mathcal {O}}_{K}/I|} הנורמה של I {\displaystyle \,I} . אם K {\displaystyle \,K} הוא שדה המספרים הרציונליים, מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור   Re ( s ) > 1 {\displaystyle \ {\mbox{Re}}(s)>1} , וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב-   s = 1 {\displaystyle \ s=1} . בנוסחת מספר המחלקה מופיעה השארית של ζ K {\displaystyle \zeta _{K}} בקוטב זה. אולם למעשה אין צורך באנליזה מרוכבת כדי לנסח או להוכיח את נוסחת מספר המחלקה. לצורך העינין ניתן להגדיר את השארית בתור lim s → 1 ( s − 1 ) ζ K ( s ) . {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s).} נקבע שדה מספרים K {\displaystyle K} מלבד שארית פונקציית זטא של דדקינד ומספר המחלקה, הנוסחה מכילה גדלים נוספים: מספר השיכונים r 1 ( K ) {\displaystyle r_{1}(K)} של K {\displaystyle K} לתוך R {\displaystyle \mathbb {R} } . מספר השיכונים 2 r 2 ( K ) {\displaystyle 2r_{2}(K)} של K {\displaystyle K} לתוך C {\displaystyle \mathbb {C} } שתמונתם לא ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } . נשים לב שזהו מספר זוגי מכיוון שעבור כל שיכון כזה יש גם את הצמוד המרוכב שלו. הרגולטור R e g ( K ) {\displaystyle Reg(K)} של K {\displaystyle K} . זהו גודל שקשור לחבורת ההפיכים O K × {\displaystyle O_{K}^{\times }} בחוג השלמים O K {\displaystyle O_{K}} של K {\displaystyle K} חבורת שורשי היחידה μ ∞ ( K ) {\displaystyle \mu _{\infty }(K)} ב- K {\displaystyle K} . הסדר | μ ∞ ( K ) | {\displaystyle |\mu _{\infty }(K)|} של חבורה זו. הדיסקרימיננטה D ( K ) {\displaystyle D(K)} של K {\displaystyle K} . הנוסחה היא: lim s → 1 ( s − 1 ) ζ K ( s ) = 2 r 1 ( K ) ⋅ ( 2 π ) r 2 ( K ) ⋅ Reg ⁡ ( K ) ⋅ h ( K ) | μ ∞ ( K ) | ⋅ | D ( K ) | {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}(K)}\cdot (2\pi )^{r_{2}(K)}\cdot \operatorname {Reg} (K)\cdot h(K)}{|\mu _{\infty }(K)|\cdot {\sqrt {|D(K)|}}}}} ההוכה מתבססת על "חישוב" הטור ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} . החישוב איננו מדויק אלא מקורב, אך הקירוב מספיק טוב כדי לא להשפיע על הגבול lim s → 1 ( s − 1 ) ζ K ( s ) {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)} . החישוב הוא במונחים של הגדלים הגדלים r 1 ( K ) {\displaystyle r_{1}(K)} , r 2 ( K ) {\displaystyle r_{2}(K)} , h ( K ) {\displaystyle h(K)} , R e g ( K ) {\displaystyle Reg(K)} , | μ ∞ ( K ) | {\displaystyle |\mu _{\infty }(K)|} ו - D ( K ) {\displaystyle D(K)} ולכן הם נמצאים באגף ימין של הנוסחה. החישוב מתבסס על השלבים הבאים: קירוב הסכימה על כל האידיאלים בסכימה על אידיאליים ראשיים בלבד. החלפת הסכימה על כל האידיאלים הראשיים בסכמה על חלק מאיברי חוג השלמים O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} . קירוב הסכימה באינטגרל. חישוב של האינטגרל. הסכום ב- ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} הוא סכום על פני כל האידיאלים. נגדיר ζ K 0 ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}^{0}(s)} באופן דומה, אלא שהסכום ירוץ רק על האידיאלים הראשיים. באופן מפורש: ζ K 0 ( s ) = ∑ ⟨ a ⟩ ⊂ O K ( N Q K ( ⟨ a ⟩ ) ) − s . {\displaystyle \zeta _{K}^{0}(s)=\sum _{\langle a\rangle \subset {\mathcal {O}}_{K}}{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(\langle a\rangle ){\big )}^{-s}.} מכיוון שלפי ההגדרה 1 h ( K ) {\displaystyle {\frac {1}{h(K)}}} הוא "החלק של האידיאלים הראשיים בין כל האידיאלים", ניתן להראות כי היחס בין ζ K ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}(s)} ל- ζ K 0 ( s ) {\displaystyle \zeta _{K}^{0}(s)} הוא בקירוב h ( K ) {\displaystyle h(K)} . באופן מדויק יותר: lim s → 1 ζ K ( s ) ζ K 0 ( s ) = h ( K ) . {\displaystyle \lim _{s\to 1}{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{K}^{0}(s)}}=h(K).} מכאן שדי לחשב את lim s → 1 ( s − 1 ) ζ K 0 ( s ) . {\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}^{0}(s).} נשים לב ששלב רדוקציה זה הוא המקום היחיד בו מופיע מספר המחלקה. יתר השלבים אחראיים לשאר הגדלים הקשורים לשדה. לצורך חישוב הגבול האחרון נשים לב שהנורמה N Q K ( ⟨ a ⟩ ) {\displaystyle N_{\mathbb {Q} }^{K}(\langle a\rangle )} של אידיאל ראשי ⟨ a ⟩ {\displaystyle \langle a\rangle } שווה לנורמת גלואה N Q K ( a ) {\displaystyle N_{\mathbb {Q} }^{K}(a)} של היוצר a {\displaystyle a} . לכאורה ניתן להסיק מכאן ש: ζ K 0 ( s ) = ∑ a ∈ O K ∖ 0 ( N Q K ( a ) ) − s . {\displaystyle \zeta _{K}^{0}(s)=\sum _{a\in {\mathcal {O}}_{K}\smallsetminus 0}{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(a){\big )}^{-s}.} אולם הסקה כזאת היא שגויה מכיוון שהסכום צריך להיות רק על האידיאלים עצמם ואיברים שונים יכולים ליצור אותו אידיאל, לכן כשאנו סוכמים על האיברים אנחנו סוכמים אותו אידיאל מספר רב של פעמים. שני איברים יוצרים את אותו אידיאל אםם היחס בינבהם הוא איבר הפיך (ז"א איבר ב- O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} ). לכן, אם - O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} סופי אז מקבלים ζ K 0 ( s ) = 1 | O K × | ∑ a ∈ O K ∖ 0 ( N Q K ( a ) ) − s . {\displaystyle \zeta _{K}^{0}(s)={\frac {1}{|{\mathcal {O}}_{K}^{\times }|}}\sum _{a\in {\mathcal {O}}_{K}\smallsetminus 0}{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(a){\big )}^{-s}.} באופן כללי יותר יש לבחור קבוצה Λ ⊂ O K ∖ 0 {\displaystyle \Lambda \subset {\mathcal {O}}_{K}\smallsetminus 0} של נציגים של קבוצת המנה ( O K ∖ 0 ) / O K × {\displaystyle ({\mathcal {O}}_{K}\smallsetminus 0)/{\mathcal {O}}_{K}^{\times }} ואז מקבלים ζ K 0 ( s ) = ∑ a ∈ Λ ( N Q K ( a ) ) − s . {\displaystyle \zeta _{K}^{0}(s)=\sum _{a\in \Lambda }{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(a){\big )}^{-s}.} כדי לבחור קבוצה Λ {\displaystyle \Lambda } נוחה משתמשים במשפט היחידות של דיריכלה (והוכחתו). משפט היחידות של דיריכלה מספק תיאור מפורש לחבורה O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} . בהשתמש בתיאור זה אפשר להציג את Λ {\displaystyle \Lambda } בתור חיתוך S ∩ L {\displaystyle S\cap L} כאשר L {\displaystyle L} הוא סריג ב- R r 1 ( K ) + 2 r 2 ( K ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{r_{1}(K)+2r_{2}(K)}} (איזומורפי ל- O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} ) ו - S {\displaystyle S} הוא תחום ב- R r 1 ( K ) + 2 r 2 ( K ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{r_{1}(K)+2r_{2}(K)}} . יתר על כן לפנוקציה N Q K {\displaystyle N_{\mathbb {Q} }^{K}} יש הרחבה טבעית לפונקציה n {\displaystyle n} על R r 1 ( K ) + 2 r 2 ( K ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{r_{1}(K)+2r_{2}(K)}} . כעת ניתן לקרב את הטור ∑ a ∈ Λ ( N Q K ( a ) ) − s {\displaystyle \sum _{a\in \Lambda }{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(a){\big )}^{-s}} באמצעות האינטגרל: ∫ S n ( x ) − s d x {\displaystyle \int _{S}n(x){-s}dx} באופן מפורש מקבלים שההפרש: ∑ a ∈ Λ N Q K ( a ) − s − ∫ S n ( x ) − s d x {\displaystyle \sum _{a\in \Lambda }N_{\mathbb {Q} }^{K}(a)^{-s}-\int _{S}n(x)^{-s}dx} חסום בסביבת s = 1 {\displaystyle s=1} . מכאן שדי לחשב את lim s → 1 ∫ S n ( x ) − s d x . {\displaystyle \lim _{s\to 1}\int _{S}n(x)^{-s}dx.} זוהי מסימה פשוטה יחסית. הגדלים R e g ( K ) {\displaystyle Reg(K)} , | μ ∞ ( K ) | {\displaystyle |\mu _{\infty }(K)|} ו- D ( K ) {\displaystyle D(K)} מאפינים את התחום S {\displaystyle S} והפונקציה n {\displaystyle n} , לכן הם באים לידי ביתוי בחישוב האינטגאל האחרון. המקרה K = Q {\displaystyle K=\mathbb {Q} } פשוט בהרבה מהמקרה הכללי. במקרה זה r 2 ( K ) = 0 {\displaystyle r_{2}(K)=0} , ו - r 1 ( K ) = h ( K ) = R e g ( K ) = | μ ∞ ( K ) | = D ( K ) = 1 {\displaystyle r_{1}(K)=h(K)=Reg(K)=|\mu _{\infty }(K)|=D(K)=1} . לכן אגף ימין של הנוסחה הוא 1. כמו כן פונקציית זטא של דדקינד במקרה זה היא פשוט פונקציית זטא של רימן. מכאן שהנוסחה נובעת מהוכחה הסטנדרטית לקיים המשחת פונקציית פונקציית זטא של רימן לחצי המישור ℜ ( s ) > 0 {\displaystyle \Re (s)>0} . אם בוחנים את סכמת ההוכחה למעלה למקרה זה, ראוים ששלבים 1 ו- 2 מיותרים, שכן פונקציית זטא של רימן מוגדרת מלכתחילה כסכום על הטבעיים. שלב 3 פשוט למדי, ומתבטה בהחלפת הסכום בפונקציית זטה של רימן באינטגרל ∫ 1 ∞ x − s d x {\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-s}dx} . חישוב אינטגרל זה (שלב 4) גם הוא פשוט. שנ השלבים האחרונים מהווים למעשה את מהוכחה הסטנדרטית לקיים המשחת פונקציית פונקציית זטא של רימן לחצי המישור החיובי. המקרה K = Q ⟨ d ⟩ {\displaystyle K=\mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle } מסובך יותר, אולם עדיין פשוט יותר מהמקרה הכללי. מצד שני הוא מכיל את רוב הרעיונות של ההוכחה של המקרה הכללי (אם כי את חלקם בצורה מנוונת). מקרה זה מתחלק לשני מקרים: המקרה השללי - d < 0 {\displaystyle d<0} המקרה החיבי - d > 0 {\displaystyle d>0} המקרה השלילי פשוט יותר, מכיוון שבמקרה זה הרגולטור לא משחק תפקיד. במקרה זה R e g ( K ) = r 2 ( K ) = 1 {\displaystyle Reg(K)=r_{2}(K)=1} , r 1 ( K ) = 0 {\displaystyle r_{1}(K)=0} , ו - D ( K ) = d {\displaystyle D(K)=d} . כמו כן, במקרה זה חבורת ההפיכים O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} היא סופית ולכן O K × = μ ∞ ( K ) {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }=\mu _{\infty }(K)} . מכאן, שכמו שהוסבר בסכמת ההוכחה למעלה די לקרב את הסכום: ∑ a ∈ O K ∖ 0 ( N Q K ( a ) ) − s . {\displaystyle \sum _{a\in {\mathcal {O}}_{K}\smallsetminus 0}{\big (}N_{\mathbb {Q} }^{K}(a){\big )}^{-s}.} זהו למעשה סכום על סריג במישור. קל לקרב סכום זה על ידי אינטגרל של פונקציה על המישור (כמו במקרה K = Q {\displaystyle K=\mathbb {Q} } ), ואותו קל לחשב על ידי מעבר לקואורדינטות פולריות. במקרה זה r 2 ( K ) = 0 {\displaystyle r_{2}(K)=0} , r 1 ( K ) = 1 {\displaystyle r_{1}(K)=1} , D ( K ) = d {\displaystyle D(K)=d} , ו - | μ ∞ ( K ) | = 2 {\displaystyle |\mu _{\infty }(K)|=2} . כמו כן, במקרה זה חבורת ההפיכים O K × {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }} היא המכפלה של μ ∞ ( K ) {\displaystyle \mu _{\infty }(K)} והחבורה ( N Q K ) − 1 ( 1 ) {\displaystyle (N_{Q}^{K})^{-1}(1)} של האיברים של O K {\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}} הנורמה שלהם היא 1. חבורה זאת היא חבורה ציקלית חופשית והיא מתוארת על ידי ניתוח הפתרונות של משוואת פל. ניתוח זה הוא למעשה מקרה פרטי פשוט יחסית של משפט היחידות של דיריכלה והוא משחק תפקיד מקביל למשפט זה במקרה של הרחבה ריבועית של Q {\displaystyle \mathbb {Q} } עם דיסקרימיננטה חיובית. את הרגולטור של ההרחבה אפשר להביעה באמצעות הפתרון הפרימיטיבי של משוואת פל (זאת אומרת יוצר של החבורה ( N Q K ) − 1 ( 1 ) {\displaystyle (N_{Q}^{K})^{-1}(1)} ). ערך מורחב – נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה עבור מספר שלם d {\displaystyle d} , מספר המחלקה של השדה Q ⟨ d ⟩ {\displaystyle \mathbb {Q} \langle {\sqrt {d}}\rangle } הוא מספר מחלקה של המספר d {\displaystyle d} . כמו שנוסחת מספר המחלקה של דדקינד מספקת נוסחה למספר המחלקה של שדה מספרים, נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מספקת נוסחה למספר המחלקה של מספר שלם. קל להסיק את נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד עבור הרחבה ריבועית של Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . באופן מפורש יותר נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מתקבלת ממנה של 2 נוסחאות מחלקה של דדקינד. האחת בשביל הרחבה ריבועית של Q {\displaystyle \mathbb {Q} } והשניה בשביל Q {\displaystyle \mathbb {Q} } עצמו. המנה ζ K ζ {\displaystyle {\frac {\zeta _{K}}{\zeta }}} היא פונקציית L של דיריכלה עבור קרקטר מתאים. בהתאם אגף שמאל של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה הוא הערך של פונקציית L של דיריכלה ב- s = 1 {\displaystyle s=1} . אגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה זהה לאגף ימין של נוסחת מספר המחלקה של דדקינד (עבור הרחבה ריבועית מתאימה). נוסחת מספר המחלקה של דדקינד פותחה כהרחבה של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. הוכחתה סיפקה הוכחה אלגנטית וקונספטואלית לנוסחת מספר המחלקה של דיריכלה. השימוש הראשון של נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה היה אי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1 עבור קרקטר דיריכלה ממשי. נוסחת מספר המחלקה של דדקינד נותנת הוכחה לאי־התאפסות של פונקציית L של דיריכלה ב-1 עבור קרקטר דיריכלה כלשהו. זאת לא הייתה תוצאה חדשה כיוון שדיריכלה הוכיח זאת באמצעים אחרים, אך מדובר בהוכחה קונספטואלית ומפורשת יותר. באופן כללי יותר, ניתן להסיק מנוסחת מספר המחלקה של דדקינד את אי-ההתאפסות ב-1 של פונקציית L של ארטין במקרים מסוימים. אי־התאפסות זאת עומדת בבסיס ההוכחות של משפט הצפיפות של צ'בוטרב. השימושים האלה משתמשים בנוסחה כדי לקבל מידע על אגף שמאל באמצעות מידע על אגף ימין. רוב השימושים המאוחרים יותר לנוסחת מספר המחלקה של דדקינד הם דווקה בכיוון ההפוך. ליתר דיוק, על-ידי העברת אגפים מקבלים נוסחה שמביעה את מספר המחלקה באמצעות השארית של פונקציית זטא של דדקינד בנקודה 1 ובאמצעות יתר הגורמים בנוסחה. את יתר הגורמים קל יחסית לחשב (במקרים מסוימים). את השארית קשה לחשב במדויק אך ניתן לחשב בקירוב. מכאן אפשר לקבל קירוב למספר המחלקה. אולם, מספר המחלקה הוא מספר שלם. לכן, כשדיוק הקירוב טוב יותר מ- 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} אפשר לגלות מספר זה במדויק (וכך גם את השארית לפונקציית זטא של דדקינד). נוסחת מספר המחלקה של דיריכלה מספר מחלקה (תורת המספרים) משפט דיריכלה פונקציית זטא של דדקינד The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood נוסחת מספר המחלקה של דדקינד באתר PlanetMath. ראו The Development of Prime Number Theory From Euclid to Hardy and Littlewood פרק 184 ב-התוספת ה-11 של דדקינד לספר הרצאות בתורת המספרים תרגום לאנגלית של הרצאות בתורת המספרים דיון ב-mathOverflow על המקור של נוסחת מספר המחלקה של דדקינד Eric W. Weisstein, Class Number, mathworld.wolfram.com (באנגלית)