Sinc

במתמטיקה, sinc, שמסומנת s i n c ( x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)\,} , היא פונקציה המוגדרת בדרך כלל כך: s i n c ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}} בעיבוד אותות דיגיטלי ותורת האינפורמציה, נעשה לרוב שימוש בפונקציית ה-sinc המנורמלת, המוגדרת כך: s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}} בשני המקרים, ערך הפונקציה בנקודת אי-הרציפות הסליקה   x = 0 {\displaystyle \ x=0} נקבע לעיתים קרובות כערך הגבול שאליו שואפת הפונקציה, כלומר, ל-1. ראו עוד בנושא: הגבול של sin(x)/x. המונח sinc הוא קיצור של שמה המלא של הפונקציה "sine cardinal". לפונקציית ה-sinc המנורמלת יש תכונות שהופכות אותה לאידיאליות ביחס לאינטרפולציות ופונקציות בעלות רוחב פס מוגבל (Bandlimited functions): s i n c ( 0 ) = 1 {\displaystyle \mathrm {sinc} (0)=1\,} ו s i n c ( k ) = 0 {\displaystyle \mathrm {sinc} (k)=0\,} עבור k ≠ 0 {\displaystyle k\neq 0\,} and ו k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,} (כלומר: k מספר שלם שונה מאפס); כלומר, זו פונקציית אינטרפולציה. הפונקציות x k ( t ) = s i n c ( t − k )   {\displaystyle x_{k}(t)=\mathrm {sinc} (t-k)\ } יוצרות בסיס אורתונורמלי עבור פונקציות בעלות רוחב פס מוגבל במרחב הפונקציות L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )} עם תדירות זוויתית מקסימלית ω H = π {\displaystyle \omega _{\mathrm {H} }=\pi \,} (כלומר התדירות המקסימלית היא f H = 1 / 2 {\displaystyle f_{\mathrm {H} }=1/2\,} ). תכונות נוספות של פונקציית ה-sinc: נקודות הקיצון של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\,} מתאימות לנקודות החיתוך של הפונקציה עם פונקציית הקוסינוס. כלומר sin ⁡ ( x ) x = cos ⁡ ( x ) {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\cos(x)\,} לכל נקודה בה הנגזרת של sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}\,} היא 0. פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת היא פונקציית בסל כדורית מסדר 0 והסוג הראשון, j 0 ( x ) = sin ⁡ ( x ) x {\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}\,} . פונקציית ה-sinc המנורמלת מקיימת j 0 ( π x ) {\displaystyle j_{0}(\pi x)\,} . האפסים של פונקציית ה-sinc הלא-מנורמלת הם כפולות (שונות מאפס) של פאי ( π {\displaystyle \pi \,} ). האפסים של פונקציית ה-sinc המנורמלת s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,} הם מספרים שלמים השונים מאפס. התמרת פורייה הרציפה של פונקציית ה-sinc המנורמלת s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,} הוא r e c t ( f ) {\displaystyle \mathrm {rect} (f)\,} . ∫ − ∞ ∞ s i n c ( t ) e − 2 π i f t d t = r e c t ( f ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (t)\,e^{-2\pi ift}\,\mathrm {d} t=\mathrm {rect} (f)} , כאשר פונקציית המלבן היא 1 עבור ארגומנט בין 1/2 ל 1/2- ואפס אחרת. אינטגרל פורייה לעיל, כולל את המקרה הפרטי ∫ − ∞ ∞ sin ⁡ ( π x ) π x d x = r e c t ( 0 ) = 1 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {rect} (0)=1} הוא אינטגרל לא-אמיתי. זהו אינו אינטגרל לבג כיוון ש-: ∫ − ∞ ∞ | sin ⁡ ( π x ) π x | d x = ∞ {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,\mathrm {d} x=\infty } s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − x 2 n 2 ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)} s i n c ( x ) = sin ⁡ ( π x ) π x = 1 Γ ( 1 + x ) Γ ( 1 − x ) {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}} כאשר Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} היא פונקציית גמא. ∫ 0 x sin ⁡ ( θ ) θ d θ = S i ( x ) {\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\mathrm {Si} (x)} כאשר (Si(x הוא אינטגרל סינוס (sine integral). לפי נוסחת אוילר: s i n c ( x ) = e i x − e − i x 2 i x {\displaystyle \mathrm {sinc} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}}\,} אף על פי שהיא אינה התפלגות, פונקציית ה-sinc המנורמלת יכולה לשמש לייצוג פונקציית דלתא של דיראק   δ ( x ) {\displaystyle \ \delta (x)} כך: lim a → 0 1 a sinc ( x / a ) = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)=\delta (x)} זה אינו גבול רגיל, משום שאגף שמאל לא מתכנס. עם זאת, מתקיים: lim a → 0 ∫ − ∞ ∞ 1 a sinc ( x / a ) φ ( x ) d x = φ ( 0 ) , {\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}{\textrm {sinc}}(x/a)\varphi (x)\,\mathrm {d} x=\varphi (0),} לכל פונקציה חלקה φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} עם תומך קומפקטי. בביטוי לעיל, כש-a שואף לאפס, מספר התנודות עבור אורך יחידה של פונקציית ה-sinc שואף לאינסוף. אף על פי כן, הביטוי תמיד מתנודד בתוך מעטפת של   ± 1 / ( π x ) {\displaystyle \ \pm 1/(\pi x)} , ללא תלות בערך של a, והוא שואף לאפס עבור כל ערך של x השונה מאפס. דבר זה מסבך את התמונה הלא-פורמלית של   δ ( x ) {\displaystyle \ \delta (x)} כשווה לאפס עבור כל x למעט הנקודה x=0, וממחיש את הבעיה שבהתייחסות לפונקציית הדלתא כפונקציה ולא כהתפלגות. פתרון דומה נמצא בתופעת גיבס. הגבול של sin(x)/x אנטי אליאסינג (Anti-aliasing) מסנן sinc (Sinc filter) נוסחת האינטרפולציה של ויטאקר-שאנון (Whittaker–Shannon interpolation formula) מדיה וקבצים בנושא Sinc בוויקישיתוף sinc באתר MathWorld Sinc, באתר MathWorld (באנגלית)