משפט התיכון

בגאומטריית המישור, משפט התיכון קובע שסכום ריבועי שתי צלעות במשולש, שווה לסכום מחצית ריבוע הצלע השלישית, ופעמיים ריבוע התיכון לה. כלומר, אם במשולש ABC הנקודה D היא אמצע BC, מתקיים: A B 2 + A C 2 = 2 A D 2 + B C 2 2 {\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}} משפט התיכון הוא מקרה פרטי של משפט אפולוניוס הקובע: אם במשולש ABC הנקודה D נמצאת על BC ומחלקת אותו ביחס n:m (כלומר mBD = nDC), מתקיים:   m A B 2 + n A C 2 = m B D 2 + n D C 2 + ( m + n ) A D 2 {\displaystyle \ mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}} במקרה של משפט התיכון, הנקודה D מחלקת את BC ביחס של 1:1. נסמן את היטל AB על BC ב-p (אם ∠ A B C > π 2 {\displaystyle \angle ABC>{\frac {\pi }{2}}} אז p<0) במשולש ABC, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: A C 2 = A B 2 + B C 2 − 2 p ⋅ B C {\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2p\cdot BC} נעביר אגפים, ונקבל: 2 p ⋅ B C = A B 2 + B C 2 − A C 2 {\displaystyle 2p\cdot BC=AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}} במשולש ABD, נקבל, על פי משפט הקוסינוסים: A D 2 = A B 2 + B D 2 − 2 p ⋅ B D {\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+BD^{2}-2p\cdot BD} נציב B D = B C 2 {\displaystyle BD={\frac {BC}{2}}} , ונקבל: A D 2 = A B 2 + B C 2 4 − p ⋅ B C {\displaystyle AD^{2}=AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{4}}-p\cdot BC} נעביר אגפים ונכפיל ב-2, ונקבל: 2 p ⋅ B C = 2 A B 2 + B C 2 2 − 2 A D 2 {\displaystyle 2p\cdot BC=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}} על פי כלל המעבר, נקבל: A B 2 + B C 2 − A C 2 = 2 A B 2 + B C 2 2 − 2 A D 2 {\displaystyle AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}=2AB^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}-2AD^{2}} לאחר העברת אגפים, נקבל: 2 A D 2 + B C 2 2 = A B 2 + A C 2 {\displaystyle 2AD^{2}+{\frac {BC^{2}}{2}}=AB^{2}+AC^{2}} נסמן A B = a , A C = b , B C = c {\displaystyle AB=a,AC=b,BC=c} . כמו כן נסמן A D = x {\displaystyle AD=x} אם a = b {\displaystyle a=b} , המשולש שווה-שוקיים והתוצאה מתקבלת מידית מהפעלת משפט פיתגורס. אחרת, a ≠ b {\displaystyle a\neq b} , נחשב את שטח המשולש Δ A B D {\displaystyle \Delta ABD} לפי נוסחת הרון: S Δ A B D = ( x + a + c 2 2 ) ⋅ ( x + a + c 2 2 − x ) ⋅ ( x + a + c 2 2 − a ) ⋅ ( x + a + c 2 2 − c 2 ) = {\displaystyle S_{\Delta ABD}={\sqrt {{\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-x{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-a{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+a+{\frac {c}{2}}}{2}}-{\frac {c}{2}}{\Bigl )}}}=} ( ( a + c 2 ) + x 2 ) ⋅ ( ( a + c 2 ) − x 2 ) ⋅ ( x − ( a − c 2 ) 2 ) ⋅ ( x + ( a − c 2 ) 2 ) = {\displaystyle {\sqrt {{\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})+x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {(a+{\frac {c}{2}})-x}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x-(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}{\frac {x+(a-{\frac {c}{2}})}{2}}{\Bigl )}}}=} 1 4 ⋅ ( ( a + c 2 ) 2 − x 2 ) ⋅ ( x 2 − ( a − c 2 ) 2 ) = 1 4 ⋅ − x 4 + x 2 ⋅ ( 2 a 2 + c 2 2 ) − ( a 2 − c 2 4 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {{\Bigl (}(a+{\frac {c}{2}})^{2}-x^{2}{\Bigl )}\cdot {\Bigl (}x^{2}-(a-{\frac {c}{2}})^{2}{\Bigl )}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}} נחשב את שטח המשולש Δ A C D {\displaystyle \Delta ACD} ונקבל באותו אופן את התוצאה הבאה: S Δ A C D = 1 4 ⋅ − x 4 + x 2 ⋅ ( 2 b 2 + c 2 2 ) − ( b 2 − c 2 4 ) 2 {\displaystyle S_{\Delta ACD}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}} התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כלומר S Δ A B D = S Δ A C D {\displaystyle S_{\Delta ABD}=S_{\Delta ACD}} . נשווה ביניהם ונמצא את x {\displaystyle x} 1 4 ⋅ − x 4 + x 2 ⋅ ( 2 a 2 + c 2 2 ) − ( a 2 − c 2 4 ) 2 = 1 4 ⋅ − x 4 + x 2 ⋅ ( 2 b 2 + c 2 2 ) − ( b 2 − c 2 4 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}={\frac {1}{4}}\cdot {\sqrt {-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}}}} נכפיל פי 4 ונעלה את שני האגפים בריבוע: − x 4 + x 2 ⋅ ( 2 a 2 + c 2 2 ) − ( a 2 − c 2 4 ) 2 = − x 4 + x 2 ⋅ ( 2 b 2 + c 2 2 ) − ( b 2 − c 2 4 ) 2 {\displaystyle -x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}=-x^{4}+x^{2}\cdot {\Bigl (}2b^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}} נסדר את המשוואה: x 2 ⋅ ( 2 a 2 + c 2 2 − 2 b 2 − c 2 2 ) = ( a 2 − c 2 4 ) 2 − ( b 2 − c 2 4 ) 2 {\displaystyle x^{2}\cdot {\Bigl (}2a^{2}+{\frac {c^{2}}{2}}-2b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}-{\Bigl (}b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}{\Bigl )}^{2}} 2 ( a 2 − b 2 ) x 2 = ( a 2 − c 2 4 − ( b 2 − c 2 4 ) ) ⋅ ( a 2 − c 2 4 + ( b 2 − c 2 4 ) ) {\displaystyle 2(a^{2}-b^{2})x^{2}={\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}-(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}\cdot {\Bigl (}a^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}+(b^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}){\Bigl )}} 2 ( a 2 − b 2 ) x 2 = ( a 2 − b 2 ) ⋅ ( a 2 + b 2 − c 2 2 ) {\displaystyle 2(a^{2}-b^{2})x^{2}=(a^{2}-b^{2})\cdot {\Bigl (}a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}{\Bigl )}} נצמצם ב a 2 − b 2 {\displaystyle a^{2}-b^{2}} (זו פעולה חוקית מכיוון שהנחנו כי a ≠ b {\displaystyle a\neq b} ) ונקבל את התוצאה: 2 x 2 = a 2 + b 2 − c 2 2 {\displaystyle 2x^{2}=a^{2}+b^{2}-{\frac {c^{2}}{2}}}