כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא משפט המשמש לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות. בניסוח מתמטי: אם הסדרות { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} { b n } {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}} ו- { c n } {\displaystyle \left\{c_{n}\right\}} מקיימות :   b n ≤ a n ≤ c n {\displaystyle \ b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}} , lim n → ∞ b n = lim n → ∞ c n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\lim _{n\to \infty }c_{n}=L} אז גם לסדרה { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} יש גבול, lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} . הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם   h ( x ) , g ( x ) , f ( x ) {\displaystyle \ h(x),g(x),f(x)} פונקציות שמקיימות:   f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) {\displaystyle \ f(x)\leq g(x)\leq h(x)} , lim x → x 0 h ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}h(x)=\lim _{x\to x_{0}}f(x)=L} אז הגבול של   g {\displaystyle \ g} בנקודה   a {\displaystyle \ a} קיים, lim x → x 0 g ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=L} מקרה פרטי ושימושי של כלל זה הוא במקרה שאחת הסדרות (או הפונקציות) הן המספר אפס, או כל מספר קבוע אחר. כלל דומה המכונה כלל הפיצה או כלל חצי סנדוויץ' תקף למקרה האינסופי: אם הסדרות { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} ו- { b n } {\displaystyle \left\{b_{n}\right\}} מקיימות:   b n ≤ a n {\displaystyle \ b_{n}\leq a_{n}} וגם lim n → ∞ b n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty } אז lim n → ∞ a n = ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty } . ברעיון שמאחורי המשפט השתמש כבר ארכימדס במאה השלישית לפני הספירה לחישוב היקף מעגל: הוא חסם אותו מבפנים ומבחוץ במצולעים משוכללים עם אותו מספר צלעות וחישב את היקפם, ועל ידי הגדלת מספר הצלעות הלך והתקרב לערך המדויק. שיטה זו קרויה שיטת המיצוי. המשפט נוסח בצורה מדויקת על ידי גאוס. נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות. יהי   ϵ > 0 {\displaystyle \ \epsilon >0} נרצה למצוא מספר טבעי   N {\displaystyle \ N} כך שעבור כל   n ≥ N {\displaystyle \ n\geq N} המרחק של   a n {\displaystyle \ a_{n}} מ-   L {\displaystyle \ L} יהיה לכל היותר   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } . הסדרה   b n {\displaystyle \ b_{n}} מתכנסת ל-   L {\displaystyle \ L} כלומר קיים   N 1 {\displaystyle \ N_{1}} כך שלכל   n > N 1 {\displaystyle \ n>N_{1}} מתקיים   | b n − L | < ϵ {\displaystyle \ |b_{n}-L|<\epsilon } ובפרט   L − ϵ < b n {\displaystyle \ L-\epsilon <b_{n}} . מצד שני הסדרה   c n {\displaystyle \ c_{n}} מתכנסת ל-   L {\displaystyle \ L} כלומר קיים   N 2 {\displaystyle \ N_{2}} כך שלכל   n > N 2 {\displaystyle \ n>N_{2}} מתקיים   | c n − L | < ϵ {\displaystyle \ |c_{n}-L|<\epsilon } ובפרט   L + ϵ > c n {\displaystyle \ L+\epsilon >c_{n}} . נסמן ב-   N {\displaystyle \ N} את המקסימום של   N 1 {\displaystyle \ N_{1}} ושל   N 2 {\displaystyle \ N_{2}} . לכל מספר טבעי שגדול מ-   N {\displaystyle \ N} גם המרחק של   b n {\displaystyle \ b_{n}} מ-L קטן מ-   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } וגם המרחק של   c n {\displaystyle \ c_{n}} מ-   L {\displaystyle \ L} קטן מ-   ϵ {\displaystyle \ \epsilon } . בנוסף ידוע שלכל מספר טבעי n מתקיים אי השוויון   b n ≤ a n ≤ c n {\displaystyle \ b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}} . נכתוב את כל אי השוויונות שקיבלנו יחד: לכל   n > N {\displaystyle \ n>N} מתקיים   L − ϵ < b n ≤ a n ≤ c n < L + ϵ {\displaystyle \ L-\epsilon <b_{n}\leq a_{n}\leq c_{n}<L+\epsilon } כלומר לכל   n > N {\displaystyle \ n>N} מתקיים   L − ϵ < a n < L + ϵ {\displaystyle \ L-\epsilon <a_{n}<L+\epsilon } . התחלנו עם מספר חיובי כלשהו והראנו שהחל ממקום מסוים בסדרה, המרחק של   a n {\displaystyle \ a_{n}} מ-   L {\displaystyle \ L} קטן מאותו מספר חיובי, כלומר lim n → ∞ a n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=L} ניתן להוכיח את הכלל עבור פונקציות בדיוק באותו אופן, או תוך שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה). נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה   a n = 5 n + 7 n n {\displaystyle \ a_{n}={\sqrt[{n}]{5^{n}+7^{n}}}} . נשים לב לאי השוויונות הבאים:   7 = 7 n n ≤ 5 n + 7 n n ≤ 7 n + 7 n n = 7 2 n {\displaystyle \ 7={\sqrt[{n}]{7^{n}}}\leq {\sqrt[{n}]{5^{n}+7^{n}}}\leq {\sqrt[{n}]{7^{n}+7^{n}}}=7{\sqrt[{n}]{2}}} כלומר הסדרות החוסמות הן-   b n = 7 {\displaystyle \ b_{n}=7} ו-   c n = 7 2 n {\displaystyle \ c_{n}=7{\sqrt[{n}]{2}}} . שתי הסדרות האלו מתכנסות ל-7 ולכן גם גבול הסדרה   a n {\displaystyle \ a_{n}} הוא 7. קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי שליליים   d 1 , d 2 , . . . , d k {\displaystyle \ d_{1},d_{2},...,d_{k}} מתקיים: lim n → ∞ d 1 n + d 2 n + . . . + d k n n = max { d 1 , d 2 , . . . , d k } {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{d_{1}^{n}+d_{2}^{n}+...+d_{k}^{n}}}=\max \left\{d_{1},d_{2},...,d_{k}\right\}} נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול: lim x → 0 x ⋅ sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}x\cdot \sin \left({\frac {1}{x}}\right)} ידוע לנו כי פונקציית הסינוס חסומה בין הישרים y = ± 1 {\displaystyle y=\pm 1} , או בכתיב פורמלי: − 1 ≤ sin ⁡ ( 1 x ) ≤ 1 {\displaystyle -1\leq \sin({\frac {1}{x}})\leq 1} נניח ללא הגבלת הכלליות כי x > 0 {\displaystyle x>0} ונכפיל את כל אי־השוויון ב־ x {\displaystyle x} . נקבל − x ≤ x sin ⁡ ( 1 x ) ≤ x {\displaystyle -x\leq x\sin({\frac {1}{x}})\leq x} לפי הגדרת כלל הסנדוויץ' הנ"ל, אנחנו רואים כי הפונקציות שלנו כאן הן f ( x ) = − x g ( x ) = x h ( x ) = x sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=-x\\g(x)&=x\\h(x)&=x\sin({\frac {1}{x}})\end{aligned}}} נחשב את הגבולות של הפונקציות החוסמות: lim x → 0 f ( x ) = lim x → 0 ( − x ) = 0 lim x → 0 g ( x ) = lim x → 0 x = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}(-x)=0\\\lim _{x\to 0}g(x)=\lim _{x\to 0}x=0\end{aligned}}} לכן לפי כלל הסנדוויץ' lim x → 0 x sin ⁡ ( 1 x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}x\sin({\frac {1}{x}})=0} ההוכחה עבור המקרה x < 0 {\displaystyle x<0} דומה מאוד. דוגמה נוספת: הגבול lim x → 0 x 2 sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)} . את הגבול הזה אי אפשר לחשב עם חוקי הגבולות הבסיסיים, באמצעות כלל הסנדוויץ'. פונקציית הסינוס חסומה בין הישרים y = ± 1 {\displaystyle y=\pm 1} , כלומר: − 1 ≤ sin ⁡ ( 1 x ) ≤ 1 {\displaystyle -1\leq \sin \left({\frac {1}{x}}\right)\leq 1} נכפיל את כל אי־השוויון ב- x 2 {\displaystyle x^{2}} (שהוא ביטוי חיובי והסימנים לא ישתנו) ונקבל: x 2 ≤ x 2 sin ⁡ ( 1 x ) ≤ x 2 {\displaystyle x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\leq x^{2}} - נותר לנו רק למצוא את הגבול של הפונקציות החוסמות כאשר x {\displaystyle x} שואף ל־0. lim x → 0 ( − x 2 ) = − 0 2 = 0 lim x → 0 x 2 = 0 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}(-x^{2})=-0^{2}=0\\\lim _{x\to 0}x^{2}=0^{2}=0\end{aligned}}} לכן לפי כלל הסנדוויץ' lim x → 0 x 2 sin ⁡ ( 1 x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=0} מדיה וקבצים בנושא כלל הסנדוויץ' בוויקישיתוף כלל הסנדוויץ', באתר MathWorld (באנגלית)