מרחב מכפלה

בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם, עם טופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה", המוגדרת כך שההטלות על הרכיבים הן פונקציות רציפות. תהיה { X n } n ∈ Λ {\displaystyle \left\{X_{n}\right\}_{n\in \Lambda }} משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם X = ∏ n ∈ Λ X n {\displaystyle X=\prod _{n\in \Lambda }X_{n}} . עבור כל קואורדינטה n {\displaystyle n} קיימת פונקציית ההטלה p n : X → X n {\displaystyle p_{n}:X\rightarrow X_{n}} שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקואורדינטה n {\displaystyle n} שלה. טופולוגיית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות. ניתן לאפיין בקלות יחסית תת-בסיס של טופולוגיה זו: התת-בסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה V N ⊂ X N {\displaystyle V_{N}\subset X_{N}} בשאר המרחבים. כלומר, U N = V N × ∏ n ≠ N X n {\displaystyle U_{N}=V_{N}\times \prod _{n\neq N}X_{n}} . קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות. כלומר, אם קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה אז ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה לכמעט כל המרחבים היא המרחב כולו. כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת-הבסיס הוא קבוצות גליליות, ואם קבוצה היא פתוחה אז ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה. כדאי לשים לב כי גרירה זו נכונה רק בכיוון אחד - גם אם כל ההטלות של קבוצה לכל המרחבים היא פתוחה, אין זה אומר שהקבוצה היא פתוחה. ההטלות הן תמיד העתקות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת-מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - אם הן היו סגורות אז קבוצות במרחב המכפלה היו פתוחות אם ורק אם ההטלה שלהן לכל רכיב הייתה פתוחה, וזה לא מתקיים. ניתן לקחת כדוגמה נגדית פשוטה את ההטלות של גרף פונקציה ההפכית: { ( x , 1 x ) | x ≠ 0 } ⊂ R 2 {\displaystyle \{(x,{\frac {1}{x}})|x\neq 0\}\subset \mathbb {R} ^{2}} . הגרף סגור ב- R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} (קל לראות כי המשלים שלו פתוח) אך ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה. ניתן לאפיין מרחבי מכפלה גם בצורה הבאה: אם Y {\displaystyle Y} הוא מרחב טופולוגי, ולכל i {\displaystyle i} ההטלה f i : Y → X i {\displaystyle f_{i}:Y\to X_{i}} היא רציפה, אז קיימת העתקה רציפה יחידה, f : Y → X {\displaystyle f:Y\to X} כך שלכל n {\displaystyle n} מתקיים כי f i = p i ∘ f {\displaystyle f_{i}=p_{i}\circ f} . אומרים על תכונה שהיא נשמרת תחת מכפלה אם מתקיים שלכל אוסף של מרחבים X n {\displaystyle X_{n}} המקיימים את התכונה, גם מרחב המכפלה ∏ X n {\displaystyle \prod X_{n}} מקיים את התכונה. תכונות נשמרות: T 0 {\displaystyle T_{0}} T 1 {\displaystyle T_{1}} T 2 {\displaystyle T_{2}} (האוסדורף) T 3 1 2 {\displaystyle T_{3{\frac {1}{2}}}} (טיכונוף) רגולריות לעומת זאת, נורמליות לא בהכרח נשמרת תחת מכפלה. משפט טיכונוף מראה כי מכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית (עובדה זו מוליכה להגדרת חוג האדלים של שדה גלובלי, שהוא כן קומפקטי מקומית). קשירות וגם קשירות מסילתית- שתיהן תכונות הנשמרות תחת מכפלה כל שהיא. ניתן גם להגדיר טופולוגיה שונה על מרחב מכפלה, שבסיסה הוא אוסף כל המכפלות של קבוצות פתוחות ב- X n {\displaystyle X_{n}} בכל אורך. זוהי טופולוגיה עדינה יותר מטופולוגיית המכפלה והיא פחות נפוצה. כאשר מדובר בטופולוגיית התיבות, חלק מן הטענות האמורות בערך זה, כגון משפט טיכונוף או שימור של אקסיומות הפרדה, אינן תקפות. מרחב מכפלה, באתר MathWorld (באנגלית)