מורפיזמים מופרדים ונאותים

בגאומטריה אלגברית, הפרדה (separatedness) ונאותות (properness) מתארות תכונות של מורפיזמים בין סכמות. התכונות הפרדה ונאותות מקבילות לתכונות מוכרות של מרחבים טופולוגיים: הפרדה מתאימה לאקסיומת האוסדורף של מרחב טופולוגי, ואילו נאותות מתאימה למושג הרגיל של העתקה נאותה בין מרחבים טופולוגיים (תמונה הפוכה של תת-מרחב קומפקטי היא קומפקטית). אולם, ההגדרות הטופולוגיות המצויות אינן מתאימות בגאומטריה אלגברית מופשטת, מכיוון שטופולוגיית זריצקי לעולם אינה האוסדורף, והטופולוגיה של הסכמה לא משקפת במדויק את כל התכונות של הסכמה. לכן נשתמש בהגדרות המשקפות את ההתנהגות הפונקטוריאלית של המורפיזם בקטגוריה של סכמות. במקרה של סכמות מטיפוס סופי מעל C {\displaystyle \mathbb {C} } , ניתן להראות כי הפרדה ונאותות של מורפיזמים זהים למושגים הרגילים של האוסדורף ונאותות כשמסתכלים על הסכמות כמרחבים מרוכבים אנלטיים במובן הרגיל של טופולוגיה. המוטיבציה להגדרה היא הטענה הבאה: מרחב טופולוגי X {\displaystyle X} הוא האוסדורף אם ורק אם העתקת האלכסון Δ : X → X × X {\displaystyle \Delta :X\to X\times X} היא העתקה סגורה. המושג 'סכמה פרידה' אנלוגי למושג 'מרחב טופולוגי האוסדורף', והמושג מורפיזם פריד הוא המושג המתאים בגרסה היחסית. יהי f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מורפיזם של סכמות. מורפיזם האלכסון הוא המורפיזם היחיד Δ : X → X × Y X {\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X} שהרכבתו עם כל אחת מההטלות p 1 , p 2 : X × Y X → X {\displaystyle p_{1},p_{2}:X\times _{Y}X\to X} היא העתקת הזהות X → X {\displaystyle X\to X} . המורפיזם f {\displaystyle f} נקרא מופרד אם מורפיזם האלכסון Δ {\displaystyle \Delta } הוא שיכון סגור. במקרה זה אנו אומרים שהסכמה X {\displaystyle X} מופרדת מעל Y {\displaystyle Y} . סכמה X {\displaystyle X} היא מופרדת אם היא מופרדת מעל Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } . מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} בין סכמות אפיניות הוא מופרד. הוכחה: נסמן X := Spec A , Y := Spec B {\displaystyle X:={\text{Spec}}A,Y:={\text{Spec}}B} . אז X × Y X ≅ Spec ( A ⊗ B A ) {\displaystyle X\times _{Y}X\cong {\text{Spec}}(A\otimes _{B}A)} . מורפיזם האלכסון Δ {\displaystyle \Delta } מושרה על ידי ההומומורפיזם a ⊗ a ′ → a a ′ {\displaystyle a\otimes a'\to aa'} , הומומורפיזם זה הוא על ולכן מורפיזם הסכמות המושרה ממנו ( Δ {\displaystyle \Delta } ) הוא שיכון סגור, כלומר f {\displaystyle f} מופרד. עבור שדה K {\displaystyle K} , נגדיר את הסכמה X {\displaystyle X} להיות A K 1 ∐ Spec ( k [ t , t − 1 ] ) A K 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}\coprod _{{\text{Spec}}(k[t,t^{-1}])}\mathbb {A} _{K}^{1}} , סכמה זאת נקראת "הישר עם שני אפסים" זאת בעצם הדבקה של שני ישרים A K 1 {\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}} לאורך הקבוצה הפתוחה שהיא המשלים של הראשית. הסכמה X {\displaystyle X} אינה מופרדת מעל Spec K {\displaystyle {\text{Spec}}K} . ואכן X × K X {\displaystyle X\times _{K}X} הוא המישור האפיני עם צירים כפולים וארבע "ראשיות צירים". התמונה של Δ {\displaystyle \Delta } הוא האלכסון במובן הרגיל עם שתיים מבין ה"ראשיות" האלה. אבל תמונה זו היא לא סגורה, כי ארבע ה"ראשיות" נמצאות בסגור של Δ ( X ) {\displaystyle \Delta (X)} . יהי f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מורפיזם של סכמות עבור X {\displaystyle X} סכמה נתרית. המורפיזם f {\displaystyle f} הוא מופרד אם ורק אם התנאי הבא מתקיים: עבור שדה כלשהו K {\displaystyle K} ותחום הערכה R {\displaystyle R} ששדה השברים שלו הוא K {\displaystyle K} , נסמן T := Spec R {\displaystyle T:={\text{Spec}}R} , U := Spec K {\displaystyle U:={\text{Spec}}K} ו- i : U → T {\displaystyle i:U\to T} הוא המורפיזם המושרה מההכלה R ⊆ k {\displaystyle R\subseteq k} . בהינתן מורפיזם מ- T {\displaystyle T} ל- Y {\displaystyle Y} ומורפיזם מ- U {\displaystyle U} ל- X {\displaystyle X} ההופכים את הדיאגרמה הבאה לחלופית (קומוטטיבית): קיים לכל היותר מורפיזם אחד מ- T {\displaystyle T} ל- X {\displaystyle X} ההופך את הדיאגרמה כולה לקומוטטיבית (החץ המקווקו). בטענות הבאות נניח כי כל הסכמות נתריות. שיכונים סגורים ופתוחים הם מופרדים. הרכבה של שני מורפיזמים מופרדים היא מורפיזם מופרד. מורפיזמים מופרדים הם יציבים תחת הרחבת בסיס. אם f : X → Y , f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f:X\to Y,f':X'\to Y'} מורפיזמים מופרדים של סכמות מעל סכמת בסיס S {\displaystyle S} , אז מורפיזם המכפלה f × f ′ : X × S X ′ → Y × S Y ′ {\displaystyle f\times f':X\times _{S}X'\to Y\times _{S}Y'} גם הוא מופרד. אם f : X → Y , g : Y → Z {\displaystyle f:X\to Y,g:Y\to Z} מורפיזמים כך ש- g ∘ f {\displaystyle g\circ f} מופרד, אזי f {\displaystyle f} מופרד. מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מופרד אם"ם Y {\displaystyle Y} ניתן לכיסוי על ידי תת-קבוצות פתוחות V i {\displaystyle V_{i}} כך ש- f − 1 ( V i ) → V i {\displaystyle f^{-1}(V_{i})\to V_{i}} מופרד לכל i {\displaystyle i} . בקטגוריה של מרחבים טופולוגיים (שבה כל מורפיזם הוא פונקציה רציפה) תת-מרחב קומפקטי עובר למרחב קומפקטי. הצד השני לא בהכרח מתקיים, אבל העתקה f {\displaystyle f} שמקיימת את הצד השני (תמונה הפוכה של תת-מרחב קומפקטי היא קומפקטית) נקראת העתקה נאותה. נאותות של מורפיזמים של סכמות היא תכונה אנלוגית. לדוגמה, יריעות נאותות (proper varieties) מעל C {\displaystyle \mathbb {C} } יהיו יריעות קומפקטיות כשמסתכלים בטופולגיה הרגילה של C {\displaystyle \mathbb {C} } . המוטיבציה להגדרה היא הטענה הבאה: תהי C {\displaystyle C} הקטגוריה של מרחבי האוסדורף קומפקטיים מקומית בעלי בסיס בן מנייה לטופולוגיה. אז ההעתקה f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} בקטגוריה C {\displaystyle C} היא סגורה אוניברסלית אם ורק אם היא העתקה נאותה (לכל תת-מרחב קומפקי V ⊆ Y {\displaystyle V\subseteq Y} התמונה ההפוכה f − 1 ( V ) {\displaystyle f^{-1}(V)} היא קומפקטית). מוטיבציה נוספת להגדרה היא העובדה שמורפיזמים פרויקטיבים הם נאותים. מורפיזמים פרויקטיבים הם מורפיזמים מרכזיים ביותר בגאומטריה אלגברית, ואפשר לראות בנאותות תכונה נחמדה שהם מקיימים. אפשר אף להסתכל על מורפזמים נאותים כהרחבה של מורפיזמים פרויקטיבים. מורפיזם של סכמות נקרא סגור אם ההעתקה של המרחבים הטופולוגיים היא העתקה סגורה (שולחת תת-קבוצה סגורה לתת קבוצה סגורה). מורפיזם של סכמות f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נקרא סגור אוניברסלית אם הוא מורפיזם סגור ועבור כל מורפיזם אחר Y ′ → Y {\displaystyle Y'\to Y} המורפיזם f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f':X'\to Y'} המתקבל מהרחבת בסיס של f {\displaystyle f} גם הוא מורפיזם סגור. מורפיזם נקרא נאות אם הוא מופרד, מטיפוס סופי וסגור אוניברסלית. במצב הזה אומרים כי X {\displaystyle X} נאותה מעל Y {\displaystyle Y} . סכמה נקראת נאותה אם היא נאותה מעל Spec Z {\displaystyle {\text{Spec}}\mathbb {Z} } . יריעה שנאותה מעל השדה שלה נקראת שלמה. כל סכמה פרויקטיבית היא נאותה. ניתן להוכיח את זה באמצעות קריטריון ההערכה לנאותות להלן. קיימות העתקות נאותות שאינן פרויקטיביות, אבל לא קל לבנות דוגמה כזאת. יהי k {\displaystyle k} שדה, ויהי X {\displaystyle X} הישר האפיני מעל k {\displaystyle k} . אז X {\displaystyle X} הוא סכמה מופרדת ומטיפוס סופי מעל k {\displaystyle k} , אבל לא נאותה מעל k {\displaystyle k} . אכן, נסתכל על הרחבת הבסיס X → k {\displaystyle X\to k} . ההעתקה X × k X → X {\displaystyle X\times _{k}X\to X} שמתקבלת היא ההטלה של המישור על הישר האפיני. זאת לא העתקה סגורה. למשל, ההיפרבולה הנתונה על ידי x y = 1 {\displaystyle xy=1} היא תת-קבוצה סגורה של המישור, אבל התמונה שלה תחת ההטלה מכילה את הישר האפיני בלי הראשית, וזה לא סגור. לכן X → k {\displaystyle X\to k} לא סגורה אוניברסלית, ולכן X {\displaystyle X} אינה נאותה מעל k {\displaystyle k} . יהי f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} מורפיזם של סכמות מטיפוס סופי עבור X {\displaystyle X} סכמה נתרית. המורפיזם f {\displaystyle f} הוא נאות אם ורק אם התנאי הבא מתקיים: עבור שדה כלשהו K {\displaystyle K} ותחום הערכה R {\displaystyle R} ששדה השברים שלו הוא K {\displaystyle K} , נסמן T := Spec R {\displaystyle T:={\text{Spec}}R} , U := Spec K {\displaystyle U:={\text{Spec}}K} ו- i : U → T {\displaystyle i:U\to T} הוא המורפיזם המושרה מההכלה R ⊆ k {\displaystyle R\subseteq k} . בהינתן מורפיזם מ- T {\displaystyle T} ל- Y {\displaystyle Y} ומורפיזם מ- U {\displaystyle U} ל- X {\displaystyle X} ההופכים את הדיאגרמה הבאה לקומוטטיבית: קיים ויחיד מורפיזם מ- T {\displaystyle T} ל- X {\displaystyle X} ההופך את הדיאגרמה כולה לקומוטטיבית (החץ המקווקו). (נשים לב שזה דומה מאוד לקריטריון ההערכה של מופרדות, פרט להבדלים: f {\displaystyle f} נדרש להיות מטיפוס סופי. החץ המקווקו קיים ויחיד, לא רק "קיים לכל היותר חץ מקווקו אחד"). בטענות הבאות נניח כי כל הסכמות נתריות. שיכון סגור הוא נאות. הרכבה של מורפיזמים נאותים היא מורפיזם נאות. מורפיזמים נאותים יציבים תחת הרחבת בסיס. אם f : X → Y , f ′ : X ′ → Y ′ {\displaystyle f:X\to Y,f':X'\to Y'} מורפיזמים נאותים של סכמות מעל סכמת בסיס S {\displaystyle S} , אז מורפיזם המכפלה f × f ′ : X × S X ′ → Y × S Y ′ {\displaystyle f\times f':X\times _{S}X'\to Y\times _{S}Y'} גם הוא נאות. אם f : X → Y , g : Y → Z {\displaystyle f:X\to Y,g:Y\to Z} מורפיזמים כך ש- g ∘ f {\displaystyle g\circ f} נאות, אזי f {\displaystyle f} נאות. מורפיזם f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} נאות אם"ם Y {\displaystyle Y} ניתן לכיסוי על ידי תת-קבוצות פתוחות V i {\displaystyle V_{i}} כך ש- f − 1 ( V i ) → V i {\displaystyle f^{-1}(V_{i})\to V_{i}} נאות לכל i {\displaystyle i} . מורפיזם פרויקטיבי הוא נאות. סכמה (מתמטיקה) גאומטריה אלגברית Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 95–108, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 ורשבסקי, יעקב (2016), עומר שכטר (ed.), "מושגי יסוד בגיאומטריה אלגברית 1" (PDF), האוניברסיטה העברית Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 95–96, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 96, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 97, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 99, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 100, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 103, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 101–102, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, p. 102, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157