התפלגות וייבול

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות וייבול היא התפלגות הסתברות רציפה. היא נקראת על שם המתמטיקאי השוודי וולודי וייבול, שתיאר אותה בפירוט בשנת 1951, על אף שהיא זוהתה לראשונה על ידי רנה מוריס פרשה ויושמה לראשונה על ידי רוזין ורמלר לתיאור התפלגות גודל חלקיקים. פונקציית צפיפות ההסתברות של משתנה מקרי וייבול היא: f ( x ; λ , k ) = { k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k x ≥ 0 , 0 x < 0 , {\displaystyle f(x;\lambda ,k)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}} כאשר k > 0 הוא פרמטר הצורה ו-λ > 0 הוא פרמטר הפיזור של ההתפלגות. הפונקציה המצטברת המשלימה של ההתפלגות היא פונקציה מעריכית מתוחה. התפלגות וייבול קשורה למספר התפלגויות הסתברות אחרות; בפרט, זה אינטרפולציה בין ההתפלגות מעריכית (k = 1) והתפלגות ריילי (k = 2 ו- λ = 2 σ {\displaystyle \lambda ={\sqrt {2}}\sigma } ). אם הפרמטר x הוא "זמן הכישלון", התפלגות וייבול נותנת התפלגות שפונקציית הסיכון שלה הוא יחסי לחזקה של הזמן. פרמטר הצורה, k, הוא החזקה הזו בתוספת אחת, כך שהוא יכול להתפרש כלדקמן: ערך של k < 1 מצביע על כך שפונקציית הסיכון פוחתת עם הזמן. דבר זה קורה אם יש "תמותת תינוקות" משמעותית, או שפריטים פגומים קורסים מוקדם ופונקציית הסיכון יורדת לאורך זמן כשפריטים פגומים ממופים מהאוכלוסייה. ערך של k = 1 מצביע על כך שפנקציית הסיכון היא קבועה לאורך זמן. דבר זה עשוי להצביע על אירועים חיצוניים אקראיים שגורמים תמותה, או קריסה. ערך של k > 1 מצביע על כך שפונקציית הסיכון עולה עם זמן. דבר זה קורה אם יש תהליך של "הזדקנות", או שיש חלקים שהסיכוי שלהם לקרוס גובר עם הזמן. בתחום הנדסת חומרים, פרמטר הצורה k של התפלגות נקודות החוזק ידוע כמודולוס וייבול. הצורה של פונקציית הצפיפות של התפלגות וייבול משתנה באופן דרסטי עם הערך של k. עבור 0 < k < 1 {\displaystyle 0<k<1} פונקציית הצפיפות יורדת ממש, והיא שואפת ל- ∞. כש-x שואף לאפס (מלמעלה). עבור k = 1 {\displaystyle k=1} פונקציית הצפיפות יורדת ממש ושואפת מלמעלה ל- 1/λ. עבור k > 1 {\displaystyle k>1} , פונקציית הצפיפות שואפת לאפס כש-x שואף ל-0 מלמעלה, עולה עד לערך השכיח של התפלגות, ואחר כך יורדת אסימפטוטית לאפס. כאשר k שואף לאינסוף, התפלגות וייבול מתכנסת לפונקציית דלתא של דיראק סביב x = λ. הצידוד והיחס בין התוחלת וסטיית התקן של ההתפלגות תלויים רק בפרמטר הצורה k. הפונקציה המצטברת עבור התפלגות וייבול היא: F ( x ; k , λ ) = 1 − e − ( x / λ ) k {\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,} ל-x ≥ 0, ו-F(x; k; λ) = 0 עבור x < 0. פונקציית השברון (הפונקציה ההופכית להתפלגותהמצטברת) להתפלגות וייבול היא: Q ( p ; k , λ ) = λ ( − ln ⁡ ( 1 − p ) ) 1 / k {\displaystyle Q(p;k,\lambda )=\lambda {(-\ln(1-p))}^{1/k}} ל- 0 ≤ p < 1 {\displaystyle 0\leq p<1} . פונקציית הסיכון, h, ניתנת על ידי: h ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) k − 1 . {\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.} הזמן הממוצע בין כישלונות, MTBF, הוא MTBF ( k , λ ) = λ Γ ( 1 + 1 / k ) {\displaystyle {\text{MTBF}}(k,\lambda )=\lambda \Gamma (1+1/k)} . הפונקציה יוצרת מומנטים של הלוגריתם של משתנה המקרי של התפלגות וייבול ניתנת על ידי: E [ e t log ⁡ X ] = λ t Γ ( t k + 1 ) {\displaystyle E\left[e^{t\log X}\right]=\lambda ^{t}\Gamma \left({\frac {t}{k}}+1\right)} כאשר Γ הוא פונקציית גמא. כמו כן, הפונקציה האופיינית של log X ניתנת על ידי: E [ e i t log ⁡ X ] = λ i t Γ ( i t k + 1 ) . {\displaystyle E\left[e^{it\log X}\right]=\lambda ^{it}\Gamma \left({\frac {it}{k}}+1\right).} בפרט, המומנט ה-nי של X ניתן על ידי: m n = λ n Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).} התוחלת והשונות של המשתנה המקרי וייבול יכולים לבוא לידי ביטוי כ: E ( X ) = λ Γ ( 1 + 1 k ) {\displaystyle \mathrm {E} (X)=\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,} וכ- var ( X ) = λ 2 [ Γ ( 1 + 2 k ) − ( Γ ( 1 + 1 k ) ) 2 ] . {\displaystyle {\textrm {var}}(X)=\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,.} הצידוד ניתן על ידי: γ 1 = Γ ( 1 + 3 k ) λ 3 − 3 μ σ 2 − μ 3 σ 3 {\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\Gamma \left(1+{\frac {3}{k}}\right)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}} כאשר μ הוא התוחלת ו-σ היא סטיית התקן. הגבנוניות העודפת ניתנת על ידי: γ 2 = − 6 Γ 1 4 + 12 Γ 1 2 Γ 2 − 3 Γ 2 2 − 4 Γ 1 Γ 3 + Γ 4 [ Γ 2 − Γ 1 2 ] 2 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {-6\Gamma _{1}^{4}+12\Gamma _{1}^{2}\Gamma _{2}-3\Gamma _{2}^{2}-4\Gamma _{1}\Gamma _{3}+\Gamma _{4}}{[\Gamma _{2}-\Gamma _{1}^{2}]^{2}}}} כאשר Γ i = Γ ( 1 + i / k ) {\displaystyle \Gamma _{i}=\Gamma (1+i/k)} . את הגבנוניות העודפת ניתן גם לבטא כ: γ 2 = λ 4 Γ ( 1 + 4 k ) − 4 γ 1 σ 3 μ − 6 μ 2 σ 2 − μ 4 σ 4 − 3 {\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\lambda ^{4}\Gamma (1+{\frac {4}{k}})-4\gamma _{1}\sigma ^{3}\mu -6\mu ^{2}\sigma ^{2}-\mu ^{4}}{\sigma ^{4}}}-3} מגוון רחב של ביטויים זמינים עבור הפונקציה יוצרת מומנטים של X. כטור חזקות, מאחר שהמומנטים כבר ידועים: E [ e t X ] = ∑ n = 0 ∞ t n λ n n ! Γ ( 1 + n k ) . {\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma \left(1+{\frac {n}{k}}\right).} לחלופין, אפשר לבטא את הפונקציה יוצרת המומנטים כאינטגרל: E [ e t X ] = ∫ 0 ∞ e t x k λ ( x λ ) k − 1 e − ( x / λ ) k d x . {\displaystyle E\left[e^{tX}\right]=\int _{0}^{\infty }e^{tx}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,dx.} אם מניחים שהפרמטר k הוא מספר רציונלי מהצורה k = p/q, כאשר p ו-q הם מספרים שלמים, ניתן לחשב אינטגרל זה באופן אנליטי. אם נחליף את t ב- t-, מתקבל E [ e − t X ] = 1 λ k t k p k q / p ( 2 π ) q + p − 2 G p , q q , p ( 1 − k p , 2 − k p , … , p − k p 0 q , 1 q , … , q − 1 q | p p ( q λ k t k ) q ) {\displaystyle E\left[e^{-tX}\right]={\frac {1}{\lambda ^{k}\,t^{k}}}\,{\frac {p^{k}\,{\sqrt {q/p}}}{({\sqrt {2\pi }})^{q+p-2}}}\,G_{p,q}^{\,q,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1-k}{p}},{\frac {2-k}{p}},\dots ,{\frac {p-k}{p}}\\{\frac {0}{q}},{\frac {1}{q}},\dots ,{\frac {q-1}{q}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {p^{p}}{\left(q\,\lambda ^{k}\,t^{k}\right)^{q}}}\right)} כש-G הוא ה-Meijer G-function(אנ'). האנטרופיה נתונה על ידי: H ( λ , k ) = γ ( 1 − 1 k ) + ln ⁡ ( λ k ) + 1 {\displaystyle H(\lambda ,k)=\gamma \left(1\!-\!{\frac {1}{k}}\right)+\ln \left({\frac {\lambda }{k}}\right)+1} כש- γ {\displaystyle \gamma } הוא קבוע אוילר-מסקרוני. הנראות המקסימלית של הפרמטר λ {\displaystyle \lambda } בהינתן k {\displaystyle k} הוא: λ ^ k = 1 n ∑ i = 1 n x i k {\displaystyle {\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}} הנראות המקסימלית של הפרמטר k {\displaystyle k} הוא: k ^ − 1 = ∑ i = 1 n x i k ln ⁡ x i ∑ i = 1 n x i k − 1 n ∑ i = 1 n ln ⁡ x i {\displaystyle {\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}\ln x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}}}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln x_{i}} זאת היא פונקציה סמויה, ולכן יש בדרך כלל לפתור את המשוואה עבור k כמספר שלם. כש- x 1 > x 2 > . . . > x N {\displaystyle x_{1}>x_{2}>...>x_{N}} כש- N {\displaystyle N} הם הדגימות הכי גדולות מבסיס נתונים הגדול מ- N {\displaystyle N} דגימות, הנראות המקסימלית של הפרמטר λ {\displaystyle \lambda } בהינתן הפרמטר k {\displaystyle k} הוא: λ ^ k = 1 N ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) {\displaystyle {\hat {\lambda }}^{k}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})} כמו כן, בהינתן אותם תנאים הנראות המקסימלית של הפרמטר k {\displaystyle k} הוא: k ^ − 1 = ∑ i = 1 N ( x i k ln ⁡ x i − x N k ln ⁡ x N ) ∑ i = 1 N ( x i k − x N k ) − 1 N ∑ i = 1 N ln ⁡ x i {\displaystyle {\hat {k}}^{-1}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}\ln x_{i}-x_{N}^{k}\ln x_{N})}{\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{k}-x_{N}^{k})}}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln x_{i}} שוב, זאת היא פונקציה סמויה, ולכן יש לפתור אותה עבור k כמספר שלם. ההתאמה של הנתונים להתפלגות וייבול ניתן להעריך מבחינה ויזואלית באמצעות תרשים וייבול. תרשים וייבול הוא תרשים של כפונקציית התפלגות מצטברת אמפירית F ^ ( x ) {\displaystyle {\hat {F}}(x)} של נתונים על תרשים מסוג Q-Q. הצירים הם ln ⁡ ( − ln ⁡ ( 1 − F ^ ( x ) ) ) {\displaystyle \ln(-\ln(1-{\hat {F}}(x)))} מול ln ⁡ ( x ) {\displaystyle \ln(x)} . הסיבה לשינוי זה של משתנים היא שפונקציית ההתפלגות המצטברת יכולה להיות ליניארית: F ( x ) = 1 − e − ( x / λ ) k − ln ⁡ ( 1 − F ( x ) ) = ( x / λ ) k ln ⁡ ( − ln ⁡ ( 1 − F ( x ) ) ) ⏟ 'y' = k ln ⁡ x ⏟ 'mx' − k ln ⁡ λ ⏟ 'c' {\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\\-\ln(1-F(x))&=(x/\lambda )^{k}\\\underbrace {\ln(-\ln(1-F(x)))} _{\textrm {'y'}}&=\underbrace {k\ln x} _{\textrm {'mx'}}-\underbrace {k\ln \lambda } _{\textrm {'c'}}\end{aligned}}} אשר ניתן לראות להיות בצורה סטנדרטית של קו ישר. לכן אם הנתונים הגיעו מהתפלגות וייבול אז יופיע קו ישר על תרשים הווייבול. ישנן גישות שונות להשגת פונקציית ההתפלגות האמפירית מהנתונים: שיטה אחת היא להשיג תיאום אנכי לכל נקודה באמצעות F ^ = i − 0.3 n + 0.4 {\displaystyle {\hat {F}}={\frac {i-0.3}{n+0.4}}} כאשר i {\displaystyle i} היא בדרגה של נקודת נתונים ו- n {\displaystyle n} הוא המספר של נקודת הנתונים. גם רגרסיה ליניארית יכולה לשמש כדי להעריך את טיב ההתאמה ולהעריך את הפרמטרים של התפלגות וייבול. השיפוע משפיע ישירות על פרמטר הצורה k {\displaystyle k} וניתן להסיק גם את קנה המידה של הפרמטר λ {\displaystyle \lambda } . התפלגות וייבול משמשת ב: בניתוח הישרדות. בניתוח הנדסה וניתוח כשל. בהנדסת חשמל לייצוג מתח יתר המתרחש במערכת חשמלית. בהנדסת תעשייה לייצוג כמות הייצור והאספקה. בתיאורית הערך הקיצוני. בחיזוי מזג האוויר. כדי לתאר את פיזור מהירות רוח, מכיוון שפיזור הטבעי תואם לעיתים קרובות את צורת וייבול. בהנדסת מערכות תקשורת. במערכות מכ"ם למודל הפיזור של רמת האותות על ידי סוגים מסוימים של אי-סדר. מודל לדהיית ערוצים בתקשורת אלחוטית, כפי שנראה עד כה מודל דהיית וייבול מהפגין התאמה טובה למדידות דהיית ערוץ תקשורת ניסיוני. בביטוח אלמנטרי לייצירת מודל לגודל של תביעות ביטוח שנה, והפיתוח המצטבר של הפסדי אזבסטוזיס. בחיזוי שינויים טכנולוגיים (הידוע גם כמודל שריף-אסלאם). בהידרולוגיה התפלגות וייבול מוחלת על אירועים קיצוניים כגון גשמים מרביים ליום אחד ושחרור נהר. התמונה הכחולה ממחישה דוגמה של התאמה של התפלגות וייבול לכמות הגשמים המקסימלית של גשמים ביום אחד וגם רווח בר-סמכה של 90% המבוסס על ההתפלגות הבינומית. נתוני הגשם מיוצגים על ידי התוויית עמדות כחלק מניתוח התדירות המצטבר. התפלגות וייבול מתורגמת (או וייבול בעל 3 פרמטרים) מכיל פרמטר נוסף. פונקציית צפיפות ההסתברות היא: f ( x ; k , λ , θ ) = k λ ( x − θ λ ) k − 1 e − ( x − θ λ ) k {\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,} ל- x ≥ θ {\displaystyle x\geq \theta } ו-f(x; k, λ, θ) = 0 ל-x < θ, כאשר k > 0 {\displaystyle k>0} הוא פרמטר הצורה, λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} הוא פרמטר הפיזור ו- θ {\displaystyle \theta } הוא פרמטר המיקום. כאשר θ=0, דבר זה מפחית את ההתפלגות לשני פרמטרים. את התפלגות וייבול ניתן להתפלגות של משתנה מקרי W כך שהמשתנה: X = ( W λ ) k {\displaystyle X=\left({\frac {W}{\lambda }}\right)^{k}} הוא ההתפלגות מעריכית סטנדרטית בעוצמה 1. משמעות הדבר הוא כי התפלגות וייבול יכולה גם להיות מאופיינת במונחים של התפלגות אחידה: אם U מפוזר באופן אחיד על (0,1),אז המשתנה האקראי W = λ ( − ln ⁡ ( U ) ) 1 / k {\displaystyle W=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,} הוא התפלגות וייבול עם הפרמטרים k ו-λ. (לא ש- − ln ⁡ ( U ) {\displaystyle -\ln(U)} כאן שווה ל- X {\displaystyle X} אלא הוא מעליו.) דבר זה מוביל לתוכנית מספרית המיושמת בקלות להדמיית התפלגות וייבול. התפלגות וייבול מהווה אינטרפולציה בין ההתפלגות מעריכית עם עוצמה intensity 1/λ כאשר k = 1 והתפלגות ריילי מסוג σ = λ / 2 {\displaystyle \sigma =\lambda /{\sqrt {2}}} כאשר k = 2. התפלגות וייבול היא מקרה מיוחד של חלוקת הערך הקיצונית הכללית. קשר זה זוהה לראשונה על ידי מוריס פרוג'קט בשנת 1927. התפלגות פרוג'קט קשורה באופן הדוק עם פונקציית צפיפות ההסתברות: f F r e c h e t ( x ; k , λ ) = k λ ( x λ ) − 1 − k e − ( x / λ ) − k = ∗ f W e i b u l l ( x ; − k , λ ) . {\displaystyle f_{\rm {Frechet}}(x;k,\lambda )={\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{-1-k}e^{-(x/\lambda )^{-k}}=*f_{\rm {Weibull}}(x;-k,\lambda ).} חלוקת משתנה מקרי שמוגדרת כמינימום של מספר משתנה מקרי, כשכל אחד מן ההתפלגויות וייבול הן שונות, היא התפלגות פולי-וייבול. התפלגות וייבול יושמה לראשונה על ידי רוזין ורמלר (1933) לתיאור התפלגות גודל חלקיקים. בהתפלגות נעשה שימוש נרחב בעיבוד מינרלים לתאר התפלגות גודל חלקיקים בתהליכי ריסוק. בהקשר זה ההתפלגות המצטברת ניתנת על ידי: f ( x ; P 80 , m ) = { 1 − e l n ( 0.2 ) ( x P 80 ) m x ≥ 0 , 0 x < 0 , {\displaystyle f(x;P_{\rm {80}},m)={\begin{cases}1-e^{ln\left(0.2\right)\left({\frac {x}{P_{\rm {80}}}}\right)^{m}}&x\geq 0,\\0&x<0,\end{cases}}} כאשר: x {\displaystyle x} : גודל החלקיק. P 80 {\displaystyle P_{\rm {80}}} : האחוזון ה-80 של התפלגות גודל החלקיקים. m {\displaystyle m} : פרמטר המתאר את ההתפשטות של התפלגות בגלל זמינותו בגיליונות האלקטרוניים, הוא משמש גם איפה שההתנהגות הבסיסית מדוגמת טוב יותר על ידי התפלגות ארלנג. התפלגות לוגיסטית מדיה וקבצים בנושא התפלגות וייבול בוויקישיתוף התפלגות וייבול, באתר MathWorld (באנגלית) Rosin, P., Rammler, E., The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal, Journal of the Institute of Fuel 7, 1933 Papoulis, Athanasios Papoulis; Pillai, S. Unnikrishna (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-366011-6. Kizilersu, Ayse; Kreer, Markus; Thomas, Anthony W. (2018). "The Weibull distribution". Significance. 15 (2): 10–11. doi:10.1111/j.1740-9713.2018.01123.x. "Rayleigh Distribution – MATLAB & Simulink – MathWorks Australia". www.mathworks.com.au. Jiang, R.; Murthy, D.N.P. (2011). "A study of Weibull shape parameter: Properties and significance". Reliability Engineering & System Safety. 96 (12): 1619–26. doi:10.1016/j.ress.2011.09.003.