מספר רציונלי

מספר רציונלי הוא מספר אשר ניתן להצגה כמנה של מספרים שלמים, הנקראים מונה ומכנה. לדוגמה, כל מספר שלם z הוא מספר רציונלי, משום שאפשר לכתוב אותו בצורה z 1 {\displaystyle {\frac {z}{1}}} . אפשר להציג כל מספר רציונלי כשבר בדרכים רבות. למשל, המספר 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} יכול להיכתב גם בתור 2 4 {\displaystyle {\tfrac {2}{4}}} או 16 32 {\displaystyle {\tfrac {16}{32}}} . עם זאת, לכל מספר יש הצגה מצומצמת אחת ויחידה, שבה המונה והמכנה זרים זה לזה, והמכנה חיובי. הקבוצה הכוללת את כל המספרים הרציונליים עם פעולות החיבור והכפל שלהם היא מבנה אלגברי, הנקרא שדה. לשדה זה קוראים שדה המספרים הרציונליים, ומקובל לסמן אותו באות Q {\displaystyle \mathbb {Q} } . שני מספרים רציונליים a b , c d {\displaystyle {\tfrac {a}{b}},{\tfrac {c}{d}}} שווים זה לזה אם   a d = b c {\displaystyle \ ad=bc} . פעולות החיבור והכפל עבור מספרים רציונליים מוגדרות לפי הנוסחאות הבאות: a b + c d = a d + b c b d {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}+{\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ad+bc}{bd}}} (זהו חיבור על פי מכנה משותף). a b ⋅ c d = a c b d {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}\cdot {\tfrac {c}{d}}={\tfrac {ac}{bd}}} . לכל מספר רציונלי a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} קיים הופכי חיבורי: − a b {\displaystyle -{\tfrac {a}{b}}} . לכל מספר רציונלי a b {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} שונה מאפס (   a ≠ 0 {\displaystyle \ a\neq 0} ) קיים הופכי כפלי: b a {\displaystyle {\tfrac {b}{a}}} . על כן, על המספרים הרציונליים מוגדרות גם פעולות החיסור והחילוק. שדה המספרים הרציונליים הוא מערכת מספרים, שאותה אפשר לבנות מתוך המספרים השלמים באמצעות שימוש בזוגות סדורים. ראשית, נתחיל מהקבוצה של כל הזוגות הסדורים   ( a , b ) {\displaystyle \ (a,b)} בהם האיבר הראשון שלם, והשני טבעי, כלומר,   ( a , b ) ∈ Z × N {\displaystyle \ (a,b)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N} } . על קבוצה זו נגדיר פעולות של כפל וחיבור, תוך הסתמכות על הגדרתם בקבוצת המספרים השלמים:   ( a , b ) + ( c , d ) = ( a d + b c , b d ) {\displaystyle \ (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)}   ( a , b ) × ( c , d ) = ( a c , b d ) {\displaystyle \ (a,b)\times (c,d)=(ac,bd)} . כעת, כדי שהמספרים שהגדרנו יקיימו את התכונה שמספרים בעלי אותו צמצום הם שווים, נגדיר את יחס השקילות   ∼ {\displaystyle \ \sim } על הקבוצה:   ( a , b ) ∼ ( c , d ) ⇔ a d = b c {\displaystyle \ (a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow ad=bc} . נראה כי זהו באמת יחס שקילות: רפלקסיביות:   a b = b a {\displaystyle \ ab=ba} (כי כפל בשלמים הוא קומוטטיבי ולכן   ( a , b ) ∼ ( a , b ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (a,b)} . סימטריות: אם   a d = b c {\displaystyle \ ad=bc} אז   b c = a d {\displaystyle \ bc=ad} (כי שוויון הוא סימטרי) ולכן אם   ( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (c,d)} אז   ( c , d ) ∼ ( a , b ) {\displaystyle \ (c,d)\sim (a,b)} . טרנזיטיביות: נניח כי   ( a , b ) ∼ ( c , d ) , ( c , d ) ∼ ( e , f ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (c,d),(c,d)\sim (e,f)} אז   a d = b c , c f = d e {\displaystyle \ ad=bc,cf=de} . נכפול את השוויון השני ב   b {\displaystyle \ b} ונקבל   b c f = b d e {\displaystyle \ bcf=bde} . נציב את השוויון הראשון בשני ונקבל   a d f = b d e {\displaystyle \ adf=bde} . כעת,   d ≠ 0 {\displaystyle \ d\neq 0} ולכן ניתן לצמצם בו, ונקבל   a f = b e {\displaystyle \ af=be} , כלומר   ( a , b ) ∼ ( e , f ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (e,f)} . כעת נגדיר את קבוצת המספרים הרציונליים Q {\displaystyle \mathbb {Q} } בתור קבוצת המנה של יחס השקילות. כלומר: כל מספר רציונלי הוא אוסף הזוגות הסדורים שמקיימים   ( a , b ) ∼ ( c , d ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (c,d)} זה עם זה. נותר להראות כי החיבור והכפל שהגדרנו נותרים מוגדרים היטב גם על קבוצת המנה - כלומר, שניתן לכפול ולחבר מחלקות שקילות באמצעות נציגים בלי חשיבות לבחירת הנציג. חיבור: נניח כי   ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) , ( c , d ) ∼ ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (a',b'),(c,d)\sim (c',d')} . צריך להראות כי   ( a , b ) + ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) + ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \ (a,b)+(c,d)\sim (a',b')+(c',d')} . כלומר, יש להראות   ( a d + b c , b d ) ∼ ( a ′ d ′ + b ′ c ′ , b ′ d ′ ) {\displaystyle \ (ad+bc,bd)\sim (a'd'+b'c',b'd')} . כלומר, יש להראות   ( a d + b c ) ( b ′ d ′ ) = b d ( a ′ d ′ + b ′ c ′ ) {\displaystyle \ (ad+bc)(b'd')=bd(a'd'+b'c')} . כעת:   ( a d + b c ) ( b ′ d ′ ) = a d b ′ d ′ + b c b ′ d ′ = a ′ b d d ′ + c ′ d b b ′ = b d ( a ′ d ′ + b ′ c ′ ) {\displaystyle \ (ad+bc)(b'd')=adb'd'+bcb'd'=a'bdd'+c'dbb'=bd(a'd'+b'c')} וזה מה שרצינו להוכיח (הסתמכנו על כך שעל פי הנתון,   a b ′ = b a ′ , c d ′ = d c ′ {\displaystyle \ ab'=ba',cd'=dc'} ). כפל: נניח כי   ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) , ( c , d ) ∼ ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \ (a,b)\sim (a',b'),(c,d)\sim (c',d')} . צריך להראות כי   ( a , b ) × ( c , d ) ∼ ( a ′ , b ′ ) × ( c ′ , d ′ ) {\displaystyle \ (a,b)\times (c,d)\sim (a',b')\times (c',d')} . כלומר, יש להראות   ( a c , b d ) ∼ ( a ′ c ′ , b ′ d ′ ) {\displaystyle \ (ac,bd)\sim (a'c',b'd')} . כלומר, יש להראות   a c b ′ d ′ = b d a ′ c ′ {\displaystyle \ acb'd'=bda'c'} . וזה ברור מיידית מכך ש   a b ′ = b a ′ , c d ′ = d c ′ {\displaystyle \ ab'=ba',cd'=dc'} . ניתן גם להגדיר סדר מלא על קבוצת המספרים הרציונליים:   ( a , b ) ≤ ( c , d ) ⇔ a d ≤ b c {\displaystyle \ (a,b)\leq (c,d)\Leftrightarrow ad\leq bc} . ניתן להראות על ידי בדיקה ישירה של האקסיומות כי קבוצת המספרים הרציונליים יחד עם פעולות החיבור והכפל שמוגדרות עליה מהווה שדה - זהו שדה המספרים הרציונליים. בצורה זו נבנה שדה מקבוצת המספרים השלמים, שהיא חוג בלבד. בניית המספרים הרציונליים היא מקרה פרטי של בניית שדה שברים מתחום שלמות (תחום שלמות הוא חוג קומוטטיבי שאין בו מחלקי אפס). כקבוצה סדורה, המספרים הרציונליים מהווים קבוצה צפופה: עבור כל שני מספרים רציונליים, ניתן למצוא מספר רציונלי שגדול מהקטן יותר וקטן מהגדול יותר (למעשה, יש אינסוף כאלו). כמו כן, כאשר מסתכלים על הישר הממשי בתור מרחב מטרי, ניתן להתקרב כרצוננו לכל מספר ממשי באמצעות מספרים רציונליים, כלומר, המספרים הרציונליים הם קבוצה צפופה בממשיים. קיומו של סידור כמו זה הנראה בתמונה מוכיח שניתן לכתוב את קבוצת הזוגות הסדורים של מספרים טבעיים כסדרה. זה מוכיח כי קבוצת הרציונליים האי-שליליים היא בת מנייה, משום שיש התאמה עליהם מאוסף הזוגות של מספרים טבעיים (ניתן לדלג על שבר שהמספרים שבמונה ובמכנה שלו אינם זרים). אם נבצע את אותו התהליך עם הזוגות הסדורים של מספר טבעי ומספר שלילי נקבל שגם קבוצה זו בת מנייה. בסך הכול נקבל פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין השלמים לרציונליים. היות שיש התאמה חד-חד-ערכית ועל בין השלמים לטבעיים, הסידור דלעיל מהווה הוכחה שקיימת התאמה חד-חד ערכית ועל בין קבוצת המספרים הטבעיים לקבוצת המספרים הרציונליים, ועל כן המספרים הרציונליים הם קבוצה בת מנייה (ראו הוכחה נוספת בערך קבוצה בת מנייה). ההתאמה בין קבוצת הזוגות הסדורים של מספרים טבעיים למספרים הטבעיים, המתוארת בתמונה לעיל, ניתנת באופן מפורש על ידי פונקציית ה"זיווג" של קנטור, אשר אותה אנו יכולים להגדיר בשני אופנים, כיוון שאנחנו יכולים להניח כי אפס הוא מספר טבעי או להניח שלא. π : N × N → N : π ( x , y ) = ( x + y 2 ) − ( x − 1 ) = 1 2 ( x + y − 1 ) ( x + y ) − ( x − 1 ) {\displaystyle \pi :\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N} :\pi (x,y)={{x+y} \choose 2}-(x-1)={\tfrac {1}{2}}(x+y-1)(x+y)-(x-1)} π : N ∪ { 0 } × N ∪ { 0 } → N ∪ { 0 } : π ( x , y ) = ( x + y + 1 2 ) + x = 1 2 ( x + y ) ( x + y + 1 ) + x {\displaystyle \pi :\mathbb {N} \cup \{0\}\times \mathbb {N} \cup \{0\}\to \mathbb {N} \cup \{0\}:\pi (x,y)={{x+y+1} \choose 2}+x={\tfrac {1}{2}}(x+y)(x+y+1)+x} התאמה זו, כפי שמראה הסידור בתמונה (המתאים לפונקציה העליונה), היא אכן חד-חד-ערכית ועל. דרך פשוטה להוכיח זאת פורמלית היא להראות שהיא הפיכה, כלומר שלכל מספר טבעי המתקבל על ידיה, ניתן למצוא זוג סדור יחיד של מספרים טבעיים אשר עבורו הפונקציה נותנת מספר זה. שבר שבר מחזורי מספר אי-רציונלי מספר ממשי מספר רציונלי, באתר MathWorld (באנגלית) הוכחה לכך שפונקציית ה"זיווג" של קנטור היא הפיכה מספר רציונלי, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) כאן אנו מסכימים ש- N = { 1 , 2 , 3 , . . . } {\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}} (כלומר: אפס לא נחשב למספר טבעי לצורך ההגדרה).