מונואיד חופשי

מונואיד חופשי הוא מבנה מתמטי, מהסוג מונואיד, המקיים את התכונה המאפיינת אובייקטים חופשיים. קיימות מספר הגדרות שונות למונואיד חופשי. מונואיד חופשי ( F , ⋅ , 1 F , S ) {\displaystyle (F,\cdot ,1_{F},S)} הוא רביעייה סדורה של קבוצה F {\displaystyle F} , פעולה ⋅ : F × F → F {\displaystyle \cdot :F\times F\rightarrow F} , איבר 1 F ∈ F {\displaystyle 1_{F}\in F} , וקבוצה נוספת S ⊂ F {\displaystyle S\subset F} כך ש ( F , ⋅ , 1 F ) {\displaystyle (F,\cdot ,1_{F})} מונואיד ומתקיים: ההגדרות הבאות שקולות: לכל ( M , ∗ , 1 M ) {\displaystyle (M,*,1_{M})} מונואיד, ולכל f : S → M {\displaystyle f:S\rightarrow M} פונקציה, קיים הומומורפיזם יחיד f ~ : F → M {\displaystyle {\tilde {f}}:F\rightarrow M} כך שמתקיים f ~ ∘ i = f {\displaystyle {\tilde {f}}\circ i=f} כאשר i {\displaystyle i} העתקת ההכלה (כלומר i : S → F , ∀ a ∈ S : i ( a ) = a {\displaystyle i:S\rightarrow F,\forall a\in S:i(a)=a} ). ניתן לראות הגדרה זו כ"חופש" של הקבוצה S {\displaystyle S} . כל ההומומורפיזמים של המונואיד F {\displaystyle F} נקבעים על ידי קבוצה זו, כלומר היא מהווה את כל ה"בשר" של המונואיד, ובנוסף כל "בחירה" של אברי S {\displaystyle S} "לאן ללכת" מייצרת הומומורפיזם, מה שניתן לראות כ"חופש" של אברי S {\displaystyle S} . S {\displaystyle S} יוצרת את F {\displaystyle F} , וגם לכל מספר טבעי n > 0 {\displaystyle n>0} ולכל { s i } i = 1 n ⊂ S {\displaystyle \left\{s_{i}\right\}_{i=1}^{n}\subset S} מתקיים: s 1 ⋅ … ⋅ s n = ∏ i = 1 n s i ≠ 1 F {\displaystyle s_{1}\cdot \ldots \cdot s_{n}=\prod _{i=1}^{n}s_{i}\neq 1_{F}} . ניתן להבין תנאי זה כחוסר ביחסים בין איברי הקבוצה S {\displaystyle S} . אם הייתה קיימת מכפלה כזו השווה ל 1 F {\displaystyle 1_{F}} יכולנו להבין מכפלה כזו כיחס שאברי הקבוצה מקיימים. הדוגמה הפשוטה ביותר למונואיד חופשי היא המספרים הטבעיים עם פעולת החיבור הרגילה, האיבר 0 {\displaystyle 0} המהווה איבר נטרלי (בערך זה קבוצת המספרים בטבעיים כוללת את המספר 0 {\displaystyle 0} ), ו { 1 } {\displaystyle \left\{1\right\}} מהווה את S {\displaystyle S} . כלומר הקבוצה F {\displaystyle F} מכילה מספרים כמו 0 , 1 , 2 , 3 , 45 , 100 , 6 {\displaystyle 0,1,2,3,45,100,6} וכו', הפעולה חיבור פועלת באופן הבא: 1 + 1 = 2 , 20 + 5 = 25 {\displaystyle 1+1=2,20+5=25} וכו'. האיבר 0 פועל באופן נטרלי: 0 + 1 = 1 , 4 + 0 = 4 , 84 + 0 = 84 {\displaystyle 0+1=1,4+0=4,84+0=84} וכו'. וניתן לוודא גם את הגדרה 1 וגם את הגדרה 2. ערך מורחב – כוכב קלין כוכב קלין של קבוצה כלשהי של תווים A {\displaystyle A} מסומן ב- A ∗ {\displaystyle A^{*}} ומהווה למעשה מונואיד חופשי ביחס לשרשור המהווה כפל, המילה הריקה המהווה 1, ו- A {\displaystyle A} המהווה את הקבוצה S {\displaystyle S} . לדוגמה אם A = { a , b , c } {\displaystyle A=\left\{a,b,c\right\}} אז A ∗ {\displaystyle A^{*}} מכיל איברים כגון a , a b a b , a a a b b c b a {\displaystyle a,abab,aaabbcba} וכו'. הפעולה שרשור פועלת לדוגמה באופן הבא: a b ∗ c a = a b c a {\displaystyle ab*ca=abca} . יהי ( M , ∗ , 1 M ) {\displaystyle (M,*,1_{M})} מונואיד. אומרים כי L {\displaystyle L} תת-מונואיד של ( M , ∗ , 1 M ) {\displaystyle (M,*,1_{M})} אם ורק אם מתקיימות הטענות הבאות: L ⊆ M {\displaystyle L\subseteq M} . אם a , b ∈ L {\displaystyle a,b\in L} אזי a ∗ b ∈ L {\displaystyle a*b\in L} . 1 M ∈ L {\displaystyle 1_{M}\in L} . משפט: יהי ( F , ⋅ , 1 F , S ) {\displaystyle (F,\cdot ,1_{F},S)} מונואיד חופשי. תהי { L α } α ∈ I {\displaystyle \left\{L_{\alpha }\right\}_{\alpha \in I}} קבוצה של תתי-מונואידים של ( F , ⋅ , 1 F , S ) {\displaystyle (F,\cdot ,1_{F},S)} כך שלכל α ∈ I {\displaystyle \alpha \in I} מתקיים כי L α {\displaystyle L_{\alpha }} מונואיד חופשי. אזי מתקיים ⋂ α ∈ I L α {\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}L_{\alpha }} מונואיד חופשי. חבורה חופשית מונואיד (מבנה אלגברי) מדיה וקבצים בנושא מונואיד חופשי בוויקישיתוף [1] words, ‏02 Group Theory AMS-ASL Joint Special Session Interactions Between Logic, Alexandre Borovik, American Mathematical Society, Ams-asl Joint Special Session on Interac, Groups, Languages, Algorithms: AMS-ASL Joint Special Session on Interactions Between Logic, Group Theory, and Computer Science, January 16-19, 2003, Baltimore, Maryland, American Mathematical Soc., 2005. (באנגלית)