שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה ליניארית, שחלוף (לפעמים גם חילוף; אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i, j) שלה נמצא האיבר ה-(j, i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית. תהא A {\displaystyle \!\,A} מטריצה מסדר n × m {\displaystyle n\times m} . המטריצה המשוחלפת שלה, A ⊤ {\displaystyle A^{\top }} (מקובלים גם הסימונים   A T , A t , t A , A t r , A ′ {\displaystyle \ A^{T},A^{t},{}^{t}A,A^{tr},A'} ) היא מטריצה מסדר m × n {\displaystyle \!\,m\times n} שמוגדרת כך: ( A ⊤ ) i j = ( A ) j i {\displaystyle \!\,(A^{\top })_{ij}=(A)_{ji}} , עבור כל 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle \!\,1\leq i\leq m,1\leq j\leq n} . דוגמאות: [ 1 2 3 4 ] ⊤ = [ 1 3 2 4 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}\qquad } [ 1 2 3 4 5 6 ] ⊤ = [ 1 3 5 2 4 6 ] {\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\top }\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}\;} פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2: ( A + B ) ⊤ = A ⊤ + B ⊤ {\displaystyle \!\,(A+B)^{\top }=A^{\top }+B^{\top }} . ( λ A ) t = λ ( A ⊤ ) {\displaystyle \!\,(\lambda A)^{t}=\lambda (A^{\top })} . ( A B ) ⊤ = B ⊤ A ⊤ {\displaystyle \!\,(AB)^{\top }=B^{\top }A^{\top }} ( A ⊤ ) ⊤ = A {\displaystyle \!\,(A^{\top })^{\top }=A} מן התכונות האלה נובע גם שאם A {\displaystyle \!\,A} הפיכה אז גם   A ⊤ {\displaystyle \ A^{\top }} הפיכה ו- ( A ⊤ ) − 1 = ( A − 1 ) ⊤ {\displaystyle \!\,(A^{\top })^{-1}=(A^{-1})^{\top }} . הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של   A t {\displaystyle \ A^{t}} שווה לזה של   A {\displaystyle \ A} , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה. מטריצה ריבועית   A {\displaystyle \ A} נקראת סימטרית אם A ⊤ = A {\displaystyle A^{\top }=A} , כלומר   A {\displaystyle \ A} שווה למטריצה המשוחלפת שלה.   A {\displaystyle \ A} נקראת אנטי-סימטרית אם A ⊤ = − A {\displaystyle A^{\top }=-A} . אם   A {\displaystyle \ A} היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים   A − 1 = A ⊤ {\displaystyle \ A^{-1}=A^{\top }} , אז   A {\displaystyle \ A} נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית   A {\displaystyle \ A} היא אורתוגונלית אם ורק אם   A A ⊤ = A ⊤ A = I {\displaystyle \ AA^{\top }=A^{\top }A=I} , כאשר   I {\displaystyle \ I} היא מטריצת היחידה. בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה   A {\displaystyle \ A} מסומן   A ∗ {\displaystyle \ A^{*}} וכאמור מוגדר לפי   ( A ∗ ) i j = A j i ¯ {\displaystyle \ (A^{*})_{ij}={\overline {A_{ji}}}} . אם   A {\displaystyle \ A} מקיימת   A ∗ = A {\displaystyle \ A^{*}=A} , היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי. ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה ליניארית אם   V {\displaystyle \ V} ו-   W {\displaystyle \ W} הם מרחבים וקטוריים מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } ו- T : V → W {\displaystyle T:V\to W} היא העתקה ליניארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה T ⊤ : W ∗ → V ∗ {\displaystyle T^{\top }:W^{*}\to V^{*}} בין המרחבים הדואליים של   W {\displaystyle \ W} ו-   V {\displaystyle \ V} המוגדרת באופן הבא: ( T ⊤ g ) ( v ) = g ( T ( v ) ) {\displaystyle \left(T^{\top }g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right)} לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} ולכל g ∈ W ∗ {\displaystyle g\in W^{*}} . זוהי העתקה ליניארית ודרגתה שווה לדרגת   T {\displaystyle \ T} . הפונקציונל   T ⊤ g {\displaystyle \ T^{\top }g} מכונה לעיתים המשיכה לאחור של   g {\displaystyle \ g} במקביל ל-   T {\displaystyle \ T} . אם   V {\displaystyle \ V} ו-   W {\displaystyle \ W} הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, B {\displaystyle {\mathfrak {B}}} הוא בסיס סדור ל-   V {\displaystyle \ V} עם בסיס דואלי B ∗ {\displaystyle {\mathfrak {B}}^{*}} , B ′ {\displaystyle {\mathfrak {B}}'} הוא בסיס סדור ל-   W {\displaystyle \ W} עם בסיס דואלי B ′ ∗ {\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{*}} ו-   A {\displaystyle \ A} היא המטריצה המייצגת של   T {\displaystyle \ T} ביחס לבסיסים B , B ′ {\displaystyle {\mathfrak {B}},{\mathfrak {B}}'} , אז המטריצה המייצגת של   T ⊤ {\displaystyle \ T^{\top }} ביחס לבסיסים B ′ ∗ , B ∗ {\displaystyle {\mathfrak {B}}'^{*},{\mathfrak {B}}^{*}} היא בדיוק   A ⊤ {\displaystyle \ A^{\top }} . שחלוף, באתר MathWorld (באנגלית)