העתק (פיזיקה)

במכניקה קלאסית, וקטור ההעתק הוא הווקטור הקצר ביותר המחבר בין נקודת מדידה התחלתית לנקודת מדידה סופית של מיקומו של גוף. כיוונו של וקטור ההעתק הוא ככיוון ישר דמיוני המחבר את שתי נקודות המדידה, וגודלו כאורך הישר. מתמטית, העתק מוגדר כהפרש בין וקטור מיקום הגוף בסוף התנועה לווקטור מיקומו בתחילת התנועה. מהגדרה זו ניתן להסיק כי וקטור ההעתק אינו מושפע מהדרך אותה הגוף עבר בין נקודות המדידה, אלא רק ממיקומו הסופי וההתחלתי. כלומר אם מיקום הגוף בזמן t 1 {\displaystyle t_{1}} היה x 1 → {\displaystyle {\vec {x_{1}}}} וב- t 2 {\displaystyle t_{2}} היה x 2 → {\displaystyle {\vec {x_{2}}}} הרי שווקטור ההעתק Δ x → {\displaystyle \Delta {\vec {x}}} הוא Δ x → = d e f x 2 → − x 1 → {\displaystyle \Delta {\vec {x}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;{\vec {x_{2}}}-{\vec {x_{1}}}} . בהקשר זה האות היוונית Δ {\displaystyle \Delta } (דלתא) משמשת לציון הפרש, שימוש נפוץ בה. על בסיס ההעתק ניתן להגדיר מהירות של גוף - אפשר למדוד את מיקום הגוף בשתי נקודות סמוכת בזמן לרגע המבוקש, ולחשב את וקטור ההעתק על סמך שתי מדידות אלו. הממוצע ליחידת זמן של וקטור ההעתק יוגדר כווקטור המהירות הממוצעת על המקטע המחבר את שתי הנקודות v → ¯ = Δ x → Δ t {\displaystyle {\bar {\vec {v}}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}} . בהנחה ותנועת הגוף רציפה, אזי ככל שהמדידות יהיו סמוכות יותר, כך גודל זה יתקרב למספר מסוים. מספר זה, אשר מבטא את הגבול כאשר Δ t {\displaystyle \Delta t} שואף לאפס מוגדר כווקטור המהירות הרגעית בנקודה (Velocity), וגודלו הוא המהירות (Speed) בנקודה. דרך נפוצה להתייחסות למיקום גוף במרחב היא באמצעות פונקציה וקטורית x → ( t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)} המחזירה עבור כל נקודה בזמן את וקטור מיקום הגוף. במקרה זה ניתן להציב בפונקציה שתי נקודות זמן t i + 1 {\displaystyle t_{i+1}} , t i {\displaystyle t_{i}} אשר ההפרש בין שני הערכים המוחזרים ייתן את וקטור ההעתק. באופן דומה לחישוב לעיל, ההעתק הממוצע ליחידת זמן יוגדר כווקטור המהירות הממוצעת: v → ¯ = d e f x → ( t i + 1 ) − x → ( t i ) t i + 1 − t i = Δ x → Δ t {\displaystyle \,{\bar {\vec {v}}}\;{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\;{\frac {{\vec {x}}(t_{i+1})-{\vec {x}}(t_{i})}{t_{i+1}-t_{i}}}={\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}} . ופונקציית המהירות תוגדר באמצעות הגבול בו Δ t {\displaystyle \Delta t} שואף ל- 0 {\displaystyle 0} : v → ( t ) = d e f lim Δ t → 0 Δ x → Δ t = lim Δ t → 0 x → ( t + Δ t ) − x → ( t ) Δ t {\displaystyle {\vec {v}}(t){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta {\vec {x}}}{\Delta t}}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {x}}(t+\Delta t)-{\vec {x}}(t)}{\Delta t}}} , כלומר פונקציית המהירות היא הנגזרת של פונקציית וקטור המיקום. באופן דומה וקטור התאוצה מוגדר כווקטור שינוי המהירות הרגעית של הגוף ביחס לזמן. a → ( t ) = lim Δ t → 0 v → ( t + Δ t ) − v → ( t ) Δ t {\displaystyle {\vec {a}}(t)=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {{\vec {v}}(t+\Delta t)-{\vec {v}}(t)}{\Delta t}}} בתהליך ההופכי כדי למצוא את וקטור המהירות מבצעים סכימה (אינטגרציה) על וקטור התאוצה, וכדי למצוא את ההעתק מבצעים סכימה על וקטור המהירות. ∫ a → d t = v → ; ∫ v → d t = Δ x → {\displaystyle \int {\vec {a}}dt={\vec {v}}\;\;;\int {\vec {v}}dt={\vec {\Delta x}}} הגדרת וקטור ההעתק בין שתי נקודות אינה מאפשרת לחשב את אורך הדרך שעבר גוף בין שתי נקודות במקרה בו הגוף לא נע בצורה ישרה בין שתי הנקודות. לפיכך, כאשר רוצים לחשב את אורך הדרך אותה עבר הגוף, יש לחלק את תנועתו למקטעים קטנים ככל שניתן, ולחבר את אורכי ההעתקים המחושבים על סמך מדידות בתחילת ובסוף כל קטע. S = ‖ Δ x → 1 ‖ + ‖ Δ x → 2 ‖ ⋯ ‖ Δ x → n − 1 ‖ + ‖ Δ x → n ‖ = ∑ i = 1 n ‖ Δ x → i ‖ {\displaystyle S=\lVert \Delta {\vec {x}}_{1}\rVert +\lVert \Delta {\vec {x}}_{2}\rVert \cdots \lVert \Delta {\vec {x}}_{n-1}\rVert +\lVert \Delta {\vec {x}}_{n}\rVert =\sum _{i=1}^{n}\lVert \Delta {{\vec {x}}_{i}}\rVert } בהנחה והתנועה של הגוף רציפה, ככל שהחלוקה תהיה מעודנת יותר, כלומר תכיל מקטעים קצרים יותר, כך כל מקטע יתקרב לקו ישר וחישוב אורך הדרך יהיה מדויק יותר. באופן דומה, כאשר נתונה פונקציה x → ( t ) {\displaystyle {\vec {x}}(t)} המקבלת ערכים בטווח של t 1 < t < t 2 {\displaystyle t_{1}<t<t_{2}} ומחזירה עבור כל נקודה בזמן את ווקטור המיקום של גוף הנע על מסלול S {\displaystyle S} , ניתן לחלק את מסלול הגוף S {\displaystyle S} למספר סופי n {\displaystyle n} של מקטעי תנועה המוגדרים על ידי נקודת התחלה בזמן ונקודת סוף בזמן [ t i , t i + 1 ] {\displaystyle [t_{i},t_{i+1}]} . בכל מקטע זמן שכזה, ניתן לבחור בנקודה t i ∗ {\displaystyle t_{i}^{*}} השייכת לקטע, לחשב את גודל וקטור המהירות הרגעית באותה הנקודה ‖ v ( t i ∗ ) ‖ {\displaystyle \left\Vert v(t_{i}^{*})\right\Vert } , ולהכפיל בהפרש הזמנים Δ t i = t i + 1 − t i {\displaystyle \Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}} . כלומר לחשב את הביטוי ‖ v → ( t i ∗ ) ‖ Δ t i {\displaystyle \left\Vert {{\vec {v}}(t_{i}^{*})}\right\Vert \Delta t_{i}} השווה בקירוב לווקטור ההעתק המוגדר על המקטע. כאשר נסכום את כל המקטעים, נקבל את הסכום הבא: S = ∑ i = 1 n ‖ v → ( t i ∗ ) ‖ Δ t i {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}\left\Vert {{\vec {v}}(t_{i}^{*})}\right\Vert \Delta t_{i}} , אם קיים לפונקציה גבול כאשר אורך המקטעים Δ t {\displaystyle \Delta t} שואף ל- 0 {\displaystyle 0} אז נגדיר גבול זה כאורך הדרך או העקומה אותה עבר הגוף. על מנת לחשב את גודל הסכום, נזהה כי סכום זה מהווה סכום רימן. תכונתו של סכום רימן היא שאם הוא מתכנס כאשר אורך המקטעים Δ t {\displaystyle \Delta t} שואף ל- 0 {\displaystyle 0} , אזי הוא הופך לאינטגרל, ובפרט במקרה זה הוא מקבל את הביטוי: ∫ t 1 t 2 ‖ v → ( t ) ‖ d t {\displaystyle \int _{t1}^{t2}{\left\Vert {{\vec {v}}(t)}\right\Vert dt}} . כאשר פותחים את פונקציית המהירות הווקטורית לרכיבי ווקטורי היחידה x , y , z {\displaystyle x,y,z} מקבלים את הביטוי הבא: S = ∑ i = 1 n ‖ v → ( t i ∗ ) ‖ Δ t i = ∫ t 1 t 2 v x 2 x ^ + v y 2 y ^ + v z 2 z ^ d t = ∫ t 1 t 2 x ˙ x 2 ( t ) x ^ + x ˙ y 2 ( t ) y ^ + x ˙ z 2 ( t ) z ^ d t {\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}\left\Vert {{\vec {v}}(t_{i}^{*})}\right\Vert \Delta t_{i}=\int _{t1}^{t2}{\sqrt {v_{x}^{2}{\hat {x}}+v_{y}^{2}{\hat {y}}+v_{z}^{2}{\hat {z}}}}dt=\int _{t1}^{t2}{\sqrt {{\dot {x}}_{x}^{2}(t){\hat {x}}+{\dot {x}}_{y}^{2}(t){\hat {y}}+{\dot {x}}_{z}^{2}(t){\hat {z}}}}dt} . כאשר מנתחים תנועה של גוף קשיח וקטור ההעתק צריך להכיל גם את התנועה הסיבובית אותה עבר הגוף, ולכן במקרה כזה ההעתק לאורך הדרך יקרא ההעתק הליניארי של הגוף, ההעתק הסיבובי (המתאר את הזווית אותה עבר הגוף) יקרא העתק זוויתי וההעתק הכולל יהיה הצירוף הליניארי של שניהם. עקרון היחסות של גלילאו קובע שחוקי הפיזיקה הם זהים בכל שתי מערכות ייחוס הזזות במהירות קבועה זו יחסית לזו, ולכן אין אפשרות להבדיל בין מערכות הייחוס מי מהן נעה ומי מהן ניצבת, אלא ניתן לדבר רק על הפרש המהירויות בין שתי המערכות. מכאן שאין שום משמעות למיקום ללא מערכת ייחוס, ובהתאמה אין משמעות להעתק ללא מערכת ייחוס. לדוגמה: רכבת נעה במהירות u → {\textstyle {\vec {u}}} ונוסע הולך בתוך הרכבת במהירות v → {\textstyle {\vec {v}}} , אם מערכת הייחוס היא הרכבת עצמה, ההעתקו של האדם יבוטא לפי סכימה של מהירות הליכתו כלומר, . ∫ ( v → ) d t = v → t {\textstyle .\int ({\vec {v}})dt={\vec {v}}t} אך אם מערכת הייחוס היא מערכת אינרציאלית יחסית לרכבת אזי וקטור העתקו יבוטא על ידי סכימה של מהירות הרכבת בנוסף למהירות הנוסע כלומר, . ∫ ( u → + v → ) d t = u → t + v → t {\textstyle .\int ({\vec {u}}+{\vec {v}})dt={\vec {u}}t+{\vec {v}}t} מכאן שבמערכות ייחוס שונות יהיו העתקים שונים לאותו הגוף שנע, ושיש חשיבות רבה לבחירת מערכת הייחוס ממנה מודדים את המיקום וההעתק של הגוף. באופן דומה ניתן להראות זאת תוך שימוש בעקרונות היחסות הפרטית המכליל את עקרון היחסות של גלילי למהירויות הקרובות למהירות האור. מדיה וקבצים בנושא העתק בוויקישיתוף העתק, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) הרצאה על חישוב אורך עקומת תנועת גוף מתוך הקורס חדווא 2מ של הטכניון