פונקציית חלוקה (פיזיקה)

פונקציית החלוקה (מסומנת בדרך כלל Z {\displaystyle Z} ) היא מושג בפיזיקה, ובייחוד בתרמודינמיקה ומכניקה סטטיסטית. מקור פונקציה זו היא בגורם נרמול של התפלגויות סטטיסטיות של מצבי מערכת פיזיקלית. פונקציה זו מכילה מידע סטטיסטי רב על המערכת הפיזיקלית ובעזרתה ניתן לחשב גדלים תרמודינמיים רבים. הפונקציה תלויה בטמפרטורה ובמאפיינים שונים של המערכת הפיזיקלית. הפונקציה מסומנת באות Z, שהיא האות הראשונה של שמה הגרמני Zustandssumme (מילולית - סכום על מצבים). פונקציית החלוקה עבור מערכת קנונית (מערכת עם מספר חלקיקים, טמפרטורה ונפח קבועים) מוגדרת על ידי: Z = ∑ i exp ⁡ ( − E i k B T ) {\displaystyle Z=\sum _{i}\exp \left(-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}}\right)} כאשר הסכום הוא על כל המצבים האפשריים של המערכת. E i {\displaystyle E_{i}} היא האנרגיה במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו-   k B {\displaystyle \ k_{B}} הוא קבוע בולצמן. פונקציה זו משמשת גורם נרמול עבור התפלגות בולצמן, לפיה הסיכוי שמערכת תמצא במצב בעל אנרגיה E i {\displaystyle E_{i}} פרופורציוני ל- exp ⁡ ( − E i / k B T ) {\displaystyle \exp \left(-E_{i}/k_{B}T\right)} , או בכתיב מתמטי: P ( E i ) = 1 Z exp ⁡ ( − E i k B T ) {\displaystyle P(E_{i})={\frac {1}{Z}}\exp(-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}})} כאשר Z (פונקציית החלוקה) היא מקדם פרופורציה. על מנת שההתפלגות תהיה מנורמלת, סכום ההסתברויות עבור כל המצבים צריך להיות שווה ל-1, ולכן : P ( E ) = ∑ i 1 Z exp ⁡ ( − E i k B T ) = 1 {\displaystyle P(E)=\sum _{i}{\frac {1}{Z}}\exp(-{\frac {E_{i}}{k_{B}T}})=1} עבור מערכת קוונטית, ניתן לכתוב את פונקציית החלוקה גם כ Z = tr ⁡ ( e − H / k B T ) {\displaystyle Z=\operatorname {tr} (e^{-H/k_{B}T})} כאשר H הוא אופרטור ההמילטוניאן ו- tr {\displaystyle \operatorname {tr} } היא העקבה. עבור מערכת קלאסית בעלת רצף של אנרגיות, פונקציית החלוקה נתונה על ידי: Z = 1 N ! h 3 N ∫ exp ⁡ [ − β H ( p 1 ⋯ p N , x 1 ⋯ x N ) ] d 3 p 1 ⋯ d 3 p N d 3 x 1 ⋯ d 3 x N {\displaystyle Z={\frac {1}{N!h^{3N}}}\int \,\exp[-\beta H(p_{1}\cdots p_{N},x_{1}\cdots x_{N})]\;\mathrm {d} ^{3}p_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}p_{N}\,\mathrm {d} ^{3}x_{1}\cdots \mathrm {d} ^{3}x_{N}} כאשר האינטגרציה מתבצעת על הקואורדינטות והתנעים של כל N החלקיקים ו- h הוא קבוע פלאנק פונקציית חלוקה של מערכת הכוללת חלקיק יחיד, מכונה פונקציית חלוקה חד חלקיקית ומסומנת לרוב באות   ζ {\displaystyle \ \zeta } . אם המערכת מורכבת מ-N חלקיקים זהים ללא אינטראקציה ביניהם, פונקציית החלוקה של כלל המערכת קשורה לפונקציית החלוקה החד חלקיקית באופן הבא: Z = 1 N ! ζ N {\displaystyle Z={\frac {1}{N!}}\zeta ^{N}} הגורם 1 N ! {\displaystyle {\frac {1}{N!}}} נדרש במידה ומדובר בחלקיקים (קלאסיים) זהים שאינם ברי הבחנה (פרדוקס גיבס). במידה והחלקיקים ברי הבחנה   Z = ζ N {\displaystyle \ Z=\zeta ^{N}} . 1. פונקציית החלוקה של גז אידיאלי של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות: Z = 1 N ! [ V h 3 ( 2 π m k B T ) 3 / 2 ] N {\displaystyle Z={\frac {1}{N!}}\left[{\frac {V}{h^{3}}}(2\pi mk_{B}T)^{3/2}\right]^{N}} כאשר: N מספר החלקיקים m מסת החלקיקים h קבוע פלאנק V נפח המערכת 2. פונקציית החלוקה של ספין 1/2 בשדה מגנטי H (בהנחה שהספין קבוע למקום): ζ = 2 cosh ⁡ ( μ B g H 2 k B T ) {\displaystyle \zeta =2\cosh \left({\frac {\mu _{B}gH}{2k_{B}T}}\right)} כאשר: g הוא מקדם לנדה   μ B {\displaystyle \ \mu _{B}} הוא מגנטון בוהר 3. פונקציית חלוקה של אוסצילטור הרמוני קוונטי בעל תדירות ω {\displaystyle \omega } : ζ = 1 sinh ⁡ ( ℏ ω 2 k B T ) {\displaystyle \zeta ={\frac {1}{\sinh({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}})}}} מפונקציית החלוקה ניתן לקבל את האנרגיה החופשית, שהיא הפוטנציאל התרמודינמי הקובע את התנהגות המערכת:   F = − k B T ln ⁡ Z {\displaystyle \ F=-k_{B}T\ln Z} כעת, על ידי גזירת האנרגיה החופשית (או לחלופין פונקציית החלוקה), ניתן לקבל את כל הגדלים התרמודינמיים המאפיינים את המערכת. לדוגמה: האנרגיה הפנימית:   U = − T 2 ∂ ∂ T ( F T ) {\displaystyle \ U=-T^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\left({\frac {F}{T}}\right)} קיבול החום:   c V = − T ∂ 2 F ∂ T 2 {\displaystyle \ c_{V}=-T{\frac {\partial ^{2}F}{\partial T^{2}}}} הלחץ:   P = − ∂ F ∂ V {\displaystyle \ P=-{\frac {\partial F}{\partial V}}} המגנטיזציה   M = − ∂ F ∂ H {\displaystyle \ M=-{\frac {\partial F}{\partial H}}} ניתן גם לחשב את הפלוקטואציות בגדלים הנ"ל. לדוגמה : ⟨ ( δ E ) 2 ⟩ ≡ ⟨ ( E − ⟨ E ⟩ ) 2 ⟩ = ∂ 2 ln ⁡ Z ∂ β 2 {\displaystyle \langle (\delta E)^{2}\rangle \equiv \langle (E-\langle E\rangle )^{2}\rangle ={\frac {\partial ^{2}\ln Z}{\partial \beta ^{2}}}} כאשר : β ≡ 1 k B T {\displaystyle \beta \equiv {\frac {1}{k_{B}T}}} פונקציית החלוקה עבור מערכת גרנדקנונית (מערכת עם טמפרטורה ונפח קבועים, אך מספר החלקיקים המערכת משתנה), מסומנת לרוב על ידי אות Z מסולסלת ומוגדרת על ידי: Z = ∑ i exp ⁡ ( − E i − μ n i k B T ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{i}\exp \left(-{\frac {E_{i}-\mu n_{i}}{k_{B}T}}\right)} כאשר   μ {\displaystyle \ \mu } הוא הפוטנציאל הכימי של המערכת,   n i {\displaystyle \ n_{i}} הוא מספר החלקיקים במערכת במצב ה-i. כמו קודם, הסכימה היא על כל מצבי המערכת האפשריים, E i {\displaystyle E_{i}} היא האנרגיה במצב ה-T, i היא הטמפרטורה ו-   k B {\displaystyle \ k_{B}} הוא קבוע בולצמן. קיים הקשר הבא בין פונקציות החלוקה הגרנדקנונית והקנונית: Z = ∑ N e x p ( μ N k B T ) Z c a n ( N ) {\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum _{N}exp\left({\frac {\mu N}{k_{B}T}}\right)Z_{can}(N)} כאשר Z c a n ( N ) {\displaystyle Z_{can}(N)} היא פונקציית חלוקה קנונית עם N חלקיקים. פונקציית החלוקה של גז אידיאלי של חלקיקים קלאסיים ללא דרגות חופש פנימיות: exp ⁡ [ e μ k B T V ( 2 π m k B T h 2 ) 3 / 2 ] {\displaystyle \exp \left[e^{\frac {\mu }{k_{B}T}}V\left({\frac {2\pi mk_{B}T}{h^{2}}}\right)^{3/2}\right]} מפונקציית החלוקה הגראנד קנונית. ניתן לקבל את הפוטנציאל הגראנד קנוני Ω = − k B T ln ⁡ Z {\displaystyle \Omega =-k_{B}T\ln {\mathcal {Z}}} ומנגזרות הפוטנציאל הגראנד קנוני את כל הגדלים התרמודינמיים הרלוונטיים למערכת.