צפיפות (תורת המספרים)

תורת המספרים עוסקת בין השאר בקבוצות אינסופיות של מספרים טבעיים, ובהשוואה ביניהן. למשל, "מובן מאליו" שיש "יותר" מספרים זוגיים, מאשר מספרים ריבועיים; בקבוצת המספרים הטבעיים שעד מיליון יש חצי-מיליון מספרים זוגיים, ורק אלף מספרים ריבועיים (המילה "יותר" נתונה במירכאות משום שלשתי הקבוצות עוצמה זהה, ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} ). טיפול מתמטי מסודר בשאלות כאלה נעשה בעזרת מושג הצפיפות, שאפשר להגדיר בכמה דרכים. ההגדרה הפשוטה ביותר היא של צפיפות טבעית: תהי A {\displaystyle A} קבוצת מספרים טבעיים. את הרישות שלה מסמנים A ( n ) = A ∩ { 1 , … , n } {\displaystyle A(n)=A\cap \{1,\ldots ,n\}} . העוצמה של הרישא מקיימת 0 ≤ | A ( n ) | ≤ n {\displaystyle 0\leq |A(n)|\leq n} , וההשוואה בין הקבוצה A {\displaystyle A} לקבוצת כל המספרים נעשית דרך הסדרה | A ( n ) | n {\displaystyle {\frac {|A(n)|}{n}}} . הגבול של סדרה זו (אם הוא קיים) נקרא בשם "הצפיפות הטבעית של הסדרה". צפיפות זו (אם קיימת) היא בהכרח מספר בין 0 ל-1. אם הגבול אינו קיים, אין לקבוצה צפיפות טבעית. במקרה זה אפשר להשתמש בגבול העליון ובגבול התחתון של הסדרה שקיימים תמיד, לתיאור הצפיפות; אולם מערכי גבולות אלה קשה יותר להסיק על תכונות הקבוצה. בתורת המספרים האנליטית שכיחה יותר צפיפות דיריכלה, המכלילה את הצפיפות הטבעית: אם לקבוצה יש צפיפות טבעית, אז יש לה גם צפיפות דיריכלה, והן שוות. בתורת המספרים האדיטיבית נעזרים במושג אחר של צפיפות, הנקרא צפיפות שנירלמן. תהי A {\displaystyle A} תת-קבוצה של קבוצת המספרים הטבעיים N = { 1 , 2 , … } {\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}} . לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } נגדיר A ( n ) = A ∩ { 1 , … , n } {\displaystyle A(n)=A\cap \{1,\ldots ,n\}} , ו- 0 ≤ | A ( n ) | ≤ n {\displaystyle 0\leq |A(n)|\leq n} הוא מספר האיברים של A {\displaystyle A} . נגדיר צפיפות עליונה של A {\displaystyle A} : d ¯ ( A ) = lim sup n → ∞ | A ( n ) | n {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {|A(n)|}{n}}} כאשר lim sup הוא גבול עליון. נגדיר צפיפות תחתונה של A {\displaystyle A} : d _ ( A ) = lim inf n → ∞ | A ( n ) | n {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\to \infty }{\frac {|A(n)|}{n}}} כאשר lim inf הוא גבול תחתון. לקבוצה A {\displaystyle A} יש צפיפות d ( A ) {\displaystyle d(A)} כאשר d _ ( A ) = d ¯ ( A ) {\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)} , ובמקרה זה d ( A ) {\displaystyle d(A)} שווה לערך משותף זה. ניתן לנסח הגדרה זו באופן הבא: d ( A ) = lim n → ∞ | A ( n ) | n {\displaystyle d(A)=\lim _{n\to \infty }{\frac {|A(n)|}{n}}} כאשר גבול זה קיים. נסמן את הצפיפות של קבוצה A {\displaystyle A} ב- d ( A ) {\displaystyle d(A)} . מתקיימות התכונות הבאות: לכל קבוצה סופית F {\displaystyle F} של מספרים טבעיים מתקיים d ( F ) = 0 {\displaystyle d(F)=0} . אם d ( A ) {\displaystyle d(A)} קיים לקבוצה מסוימת A {\displaystyle A} ו- A c {\displaystyle A^{c}} מסמן את המשלים שלה ב- N {\displaystyle \mathbb {N} } , מתקיים d ( A c ) = 1 − d ( A ) {\displaystyle d(A^{c})=1-d(A)} . מסקנה: אם F ⊂ N {\displaystyle F\subset \mathbb {N} } היא קבוצה סופית (כולל המקרה F = ∅ {\displaystyle F=\emptyset } ), מתקיים d ( N ∖ F ) = 1 {\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1} . אם קיימים d ( A ) , d ( B ) , d ( A ∪ B ) {\displaystyle d(A),d(B),d(A\cup B)} , אז מתקיים max { d ( A ) , d ( B ) } ≤ d ( A ∪ B ) ≤ min { d ( A ) + d ( B ) , 1 } {\displaystyle \max {\bigl \{}d(A),d(B){\bigr \}}\leq d(A\cup B)\leq \min {\bigl \{}d(A)+d(B),1{\bigr \}}} אם A = { n 2 : n ∈ N } {\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}} היא קבוצת כל המספרים הריבועיים, אז d ( A ) = 0 {\displaystyle d(A)=0} . אם A = { 2 n : n ∈ N } {\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}} היא קבוצת כל המספרים הזוגיים, אז d ( A ) = 0.5 {\displaystyle d(A)=0.5} . באופן דומה, לכל סדרה חשבונית A = { a n + b : n ∈ N } {\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}} נקבל d ( A ) = 1 a {\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}} . לסדרה P {\displaystyle P} של כל המספרים הראשוניים נקבל לפי משפט המספרים הראשוניים כי d ( P ) = 0 {\displaystyle d(P)=0} . לקבוצת המספרים השופעים יש צפיפות גדולה מ-0. מרק דלגליז (Marc Deléglise) הראה ב-1998 שהצפיפות של קבוצה זו היא בין 0.2474 ל-0.2480. הקבוצה A = ⋃ n = 0 ∞ { 2 2 n , … , 2 2 n + 1 − 1 } {\displaystyle A=\bigcup _{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}} של המספרים שהייצוג הבינארי שלהם כולל מספר אי-זוגי של ספרות היא דוגמה לקבוצה שאין לה צפיפות טבעית, משום שהצפיפות העליונה שלה היא d ¯ ( A ) = lim m → ∞ 1 + 2 2 + ⋯ + 2 2 m 2 2 m + 1 − 1 = lim m → ∞ 2 2 m + 2 − 1 3 ( 2 2 m + 1 − 1 ) = 2 3 {\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}} ואילו הצפיפות התחתונה שלה היא: d _ ( A ) = lim m → ∞ 1 + 2 2 + ⋯ + 2 2 m 2 2 m + 2 − 1 = lim m → ∞ 2 2 m + 2 − 1 3 ( 2 2 m + 2 − 1 ) = 1 3 {\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}} לקבוצת המספרים שהייצוג העשרוני שלהם מתחיל בספרה 1 אין צפיפות טבעית: הצפיפות התחתונה היא 1/9 והצפיפות העליונה היא 5/9. (ראו: חוק בנפורד.) Nathanson, Melvyn B. (2000). Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 195. Springer-Verlag. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002. pp.256–257 Deléglise, Marc (1998). "Bounds for the density of abundant integers". Experimental Mathematics. 7 (2): 137–143. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. Tenenbaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press. Zbl 0831.11001. p. 261