פונקציית טריגמא

במתמטיקה, פונקציית הטריגמא, המסומנת ψ1(z) או ψ(1)(z), היא השנייה מבין פונקציות הפוליגמא, והיא מוגדרת על ידי ψ 1 ( z ) = d 2 d z 2 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)} . מהגדרה זו עולה כי ψ 1 ( z ) = d d z ψ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)} כאשר ψ(z) היא פונקציית הדיגמא. ניתן להגדיר את פונקציית הטריגמא גם כסכום הטור ψ 1 ( z ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( z + n ) 2 , {\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},} מה שהופך את פונקציית הטריגמא למקרה מיוחד של פונקציית הזטה של הורביץ(אנ') ψ 1 ( z ) = ζ ( 2 , z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)} שתי הנוסחאות האחרונות תקפות רק כאשר 1 − z אינו מספר טבעי. כחלופה לייצוג לעיל, ניתן לייצג את פונקציית טריגמא בעזרת אינטגרל כפול ψ 1 ( z ) = ∫ 0 1 ∫ 0 x x z − 1 y ( 1 − x ) d y d x {\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{y(1-x)}}\,dy\,dx} האינטגרציה על y נותנת ψ 1 ( z ) = − ∫ 0 1 x z − 1 ln ⁡ x 1 − x d x {\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx} על ידי גזירת הפיתוח האסימפטוטי של פונקציית דיגמה ניתן לקבל את טור לורן הבא: ψ 1 ( z ) ∼ d d z ( ln ⁡ z − ∑ n = 1 ∞ B n n z n ) = 1 z + ∑ n = 1 ∞ B n z n + 1 = ∑ n = 0 ∞ B n z n + 1 = 1 z + 1 2 z 2 + 1 6 z 3 − 1 30 z 5 + 1 42 z 7 − 1 30 z 9 + 5 66 z 11 − 691 2730 z 13 + 7 6 z 15 ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}(z)&\sim {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!z}\left(\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{z^{n+1}}}\\&={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+{\frac {1}{6z^{3}}}-{\frac {1}{30z^{5}}}+{\frac {1}{42z^{7}}}-{\frac {1}{30z^{9}}}+{\frac {5}{66z^{11}}}-{\frac {691}{2730z^{13}}}+{\frac {7}{6z^{15}}}\cdots \end{aligned}}} כאשר Bn הוא מספר ברנולי ה- n, ובוחרים B 1 = 1 / 2 {\displaystyle B_{1}=1/2} . פונקציית טריגמא מקיימת את נוסחת הנסיגה ψ 1 ( z + 1 ) = ψ 1 ( z ) − 1 z 2 {\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}} ונוסחת ההשתקפות ψ 1 ( 1 − z ) + ψ 1 ( z ) = π 2 sin 2 ⁡ π z {\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,} מביטוי זה קל לראות בהצבת z = 1 / 2 {\displaystyle z=1/2} כי ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 {\displaystyle \psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}} . בערכים חיוביים חצי שלמים מתקבל ψ 1 ( n + 1 2 ) = π 2 2 − 4 ∑ k = 1 n 1 ( 2 k − 1 ) 2 . {\displaystyle \psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.} לפונקציית טריגמא הערכים המיוחדים הבאים: ψ 1 ( 1 4 ) = π 2 + 8 G ψ 1 ( 1 2 ) = π 2 2 ψ 1 ( 1 ) = π 2 6 ψ 1 ( 3 2 ) = π 2 2 − 4 ψ 1 ( 2 ) = π 2 6 − 1 ψ 1 ( n ) = π 2 6 − ∑ k = 1 n − 1 1 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}} כאשר G מייצג קבוע קטלן ו- n הוא מספר שלם חיובי. אך יש אינסוף זוגות שורשים z n , z n ¯ {\displaystyle z_{n}\,,{\overline {z_{n}}}} עם חלק ממשי שלילי ( R e z < 0 {\displaystyle {\mathrm {R} e}\,z<0} ). כל זוג שורשים כזה מתקרב במהירות ל R e z n = − n + 1 / 2 {\displaystyle {\mathrm {R} e}\,z_{n}=-n+1/2} , והחלק הדמיוני שלהם גדל לוגריתמית כפונקציה של n. פונקציית טריגמא מופיעה בנוסחת הסכום: ∑ n = 1 ∞ n 2 − 1 2 ( n 2 + 1 2 ) 2 ( ψ 1 ( n − i 2 ) + ψ 1 ( n + i 2 ) ) = − 1 + 2 4 π coth ⁡ π 2 − 3 π 2 4 sinh 2 ⁡ π 2 + π 4 12 sinh 4 ⁡ π 2 ( 5 + cosh ⁡ π 2 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).} פונקציית גמא פונקציית דיגמא פונקציית פוליגמא קבוע קטלן מדיה וקבצים בנושא פונקציית טריגמא בוויקישיתוף פונקציית טריגמא, באתר MathWorld (באנגלית) Eric W. Weisstein, Trigamma Function, mathworld.wolfram.com (באנגלית) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Courier Corporation, 1965-01-01, ISBN 978-0-486-61272-0. (באנגלית)