בעיית שני הגופים

בעיית שני הגופים היא בעיה פיזיקלית העוסקת בתיאור תנועתם של שני גופים המפעילים כוח כלשהו זה על גבי זה וללא כוחות חיצוניים. בעיה זו היא אחת הבעיות המרכזיות בפיזיקה, בגלל היישומים החשובים שלה וגם מכיוון שהיא אחת הבעיות היחידות הניתנת לפתרון אנליטי (עבור כוחות מסוימים), במכניקה קלאסית, בתורת הקוונטים, ולפתרון מקורב בתורת היחסות. דוגמאות ליישומים של הבעיה הדו-גופית הם בתיאור תנועת כוכבי לכת מסביב לשמש, בתיאור תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באטום המימן, תנועת מולקולה דו אטומית ועוד. דוגמאות נוספות לכך כוללות מקרים בהם התנועה אינה חסומה (הגופים מתרחקים למרחק אינסופי זה מזה), כגון אסטרואיד העובר סמוך לשמש, מוסט על ידיה, וממשיך במסלולו מבלי לחזור. מקרים אלו נקראים התנגשויות אלסטיות, והחקר שלהם הוא הבסיס לתורת הפיזורים (scattering theory). להתנגשויות אלסטיות שימושים רבים, החל בתנועת גופים שמימיים, המשך בתיאור תנועת כדורים בביליארד, וכלה בניסויים המנגשים חלקיקים אלמנטריים במאיצים. יש לציין שבפועל הבעיה הדו-גופית משמשת קירוב למציאות, כיוון שמוזנחים כוחות חיצוניים (לדוגמה השפעת מאדים על תנועת כדור-הארץ סביב השמש), והמבנה הפנימי של שני הגופים (כגון גאות ושפל על פני כדור הארץ, התנגשויות פלסטיות). הבעיה הדו-גופית במכניקה קלאסית, עבור כח הכבידה, נפתרה לראשונה בצורה אנליטית על ידי אייזק ניוטון, ואפשרה לתת הסבר תאורטי לחוקי קפלר שתיארו את תנועת הכוכבים סביב השמש. הישג זה היווה את גולת הכותרת של המכניקה הניוטונית. הבעיה הדו-גופית באלקטרודינמיקה, תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באטום המימן, שיחקה תפקיד חשוב בהתפתחות תורת הקוונטים: ניתוח ספקטרום הפליטה של אטום המימן הוביל למודל האטום של בוהר, ומאוחר יותר למשוואת שרדינגר. תורת הפיזורים שימשה את ארנסט רתרפורד להסיק את מבנה האטום, מתוך פיזורים של קרינת אלפא על אטומי זהב, ובכך הולידה את הפיזיקה הגרעינית. מאז הניסוי של רתרפורד ניסויי התנגשויות הפכו לכלי מרכזי בפיזיקה גרעינית ובפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים. פיזורים משחקים תפקיד רב גם בהתפתחות האסטרופיזיקה. בשנת 1977, הצליחה נאס"א למצוא שימוש מקורי בפיזורים: היא הצליחה לשלוח שתי חלליות, וויאג'ר 1 ווויאג'ר 2, אל כוכבי הלכת הרחוקים ביותר של מערכת השמש באמצעות פיזור של החללית מכוכב אחד לכוכב הבא אחריו בתהליך שנקרא מקלעת כבידתית. בספר היסודות המתמטיים של פילוסופיית הטבע של אייזק ניוטון, המוקדש ברובו לפתרון הבעיה הדו-גופית, ניוטון מראה את פתרון הבעיה בעזרת פיתוחים גאומטריים מסובכים ואפילו איננו עושה שימוש בחשבון אינפינטיסמלי שאותו המציא על מנת לפתור בעיות מעין זה. אלא שבעזרת חוקי שימור ניתן להגיע לפתרון הבעיה באופן פשוט. הפתרון מבוסס על שני שלבים: פירוק הבעיה לשתי בעיות חד-גופיות: תיאור תנועת מרכז המסה של שני הגופים, שהיא למעשה תנועה חופשית; ותיאור התנועה היחסית של שני הגופים. הפירוק הזה מתאפשר בזכות חוק שימור התנע, והפיתוח המתמטי שלו מוצג בסעיף הבא. בעת שאחד הגופים כבד הרבה יותר מהשני, כמו במקרה של תנועת כדור-הארץ סביב השמש, אזי מרכז המסה נמצא סמוך לגוף המסיבי, ולכן הגוף המסיבי כמעט ואיננו נע. במקרה זה הבעיה מצטמצמת לבעיה של תנועת הגוף הקטן סביב הגוף הגדול. צמצום הבעיה משלושה ממדים למימד אחד: בעזרת חוק שימור האנרגיה והתנע הזוויתי, ניתן לצמצם את הבעיה לפתרון משוואה המתארת רק את המרחק בין שני הגופים. התנע הזוויתי הוא המכפלה הווקטורית של המיקום והתנע הקווי. מכאן, שכיוונו של התנע הזוויתי הוא הכיוון המאונך למישור המוגדר על ידי המיקום והמהירות. מתוך שימור התנע הזוויתי ניתן לראות מיד שתנועת החלקיק תמיד תהיה במישור המאונך לוקטור התנע הזוויתי. שימור תנע זוויתי גם נותן הבנה אינטואיטיבית מדוע שני גופים המושכים זה את זה לא יתקרבו לגמרי אחד לשני: ככל ששני הגופים קרובים יותר אחד לשני כך מהירותם תגדל, ולכן הם לבסוף יתרחקו זה מזה. הרדוקציה הזאת תתואר בפסקה הרביעית. הרדוקציות הללו הן כלליות: פירוק לשתי בעיות חד-גופיות, ניתן לביצוע תמיד וצמצום לבעיה חד־ממדית ניתן לביצוע עבור כוח מרכזי. כוח גרוויטציוני, וכן כוח קולון (הכוח החשמלי האלקטרוסטטי) בין שני גופים הם מהצורה C r 2 {\displaystyle {\frac {C}{r^{2}}}} , ובמקרה זה הבעיה נקראת בעיית קפלר. הפתרונות של בעיה זאת הם חתכים קוניים: המסלולים החסומים הם בעלי צורה של אליפסה (כך לדוגמה נע כדור-הארץ סביב השמש) או מעגל, והמסלולים הלא-חסומים הם בעלי צורה של היפרבולה (כך לדוגמה נעים אסטרואידים החולפים בקרבת השמש) או פרבולה. בתיאור תנועתם של גרעינים בתוך מולקולות דו אטומיות, ניתן להשתמש בעקרונות של הבעיה הדו-גופית, אלא שהכוחות בין הגרעינים הם מורכבים יותר ונגרמים מתנועתם של האלקטרונים הקושרים אותם. במקרים אלו ניתן לקרב את הפוטנציאל בין שני הגרעינים על ידי פוטנציאל מורס (Morse Potential). נסמן את מסת הגופים ב-   m 1 , m 2 {\displaystyle \ m_{1},m_{2}} ואת מיקומם ב- r → 1 , r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}} . משוואות התנועה הכלליות עבור שני גופים הן: m 1 r → ¨ 1 = F → 21 + F → 1 e x t {\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}={\vec {F}}_{21}+{\vec {F}}_{1}^{ext}} m 2 r → ¨ 2 = F → 12 + F → 2 e x t {\displaystyle m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}={\vec {F}}_{12}+{\vec {F}}_{2}^{ext}} כאשר F → i j {\displaystyle {\vec {F}}_{ij}} הוא הכוח שגוף i מפעיל על גוף j, ו- F i e x t {\displaystyle F_{i}^{ext}} הוא כוח חיצוני שפועל על גוף i. על פי החוק השלישי של ניוטון F → 12 = − F → 21 = F → {\displaystyle {\vec {F}}_{12}=-{\vec {F}}_{21}={\vec {F}}} ועבור בעיה דו-גופית מניחים שאין כוחות חיצוניים, כלומר עבור בעיה דו-גופית ניתן לכתוב: m 1 r → ¨ 1 = F → {\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}={\vec {F}}} m 2 r → ¨ 2 = − F → {\displaystyle m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}=-{\vec {F}}} על ידי חיבור וחיסור המשוואות הנ"ל ניתן לקבל משוואות המתארות את תנועת מרכז המסה ואת התנועה היחסית בין הגופים: על ידי חיבור המשוואות מקבלים: m 1 r → ¨ 1 + m 2 r → ¨ 2 = 0 {\displaystyle m_{1}{\ddot {\vec {r}}}_{1}+m_{2}{\ddot {\vec {r}}}_{2}=0} משוואה זו היא משוואת תנועה עבור מרכז המסה, אשר הקואורדינטות שלו נתונות על ידי r → c . m = 1 M [ m 1 r → 1 + m 2 r → 2 ] {\displaystyle {\vec {r}}_{c.m}={\frac {1}{M}}[m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}]} (כאשר M = m 1 + m 2 {\displaystyle M=m_{1}+m_{2}} היא המסה הכוללת). כלומר את המשוואה האחרונה ניתן לכתוב כ:   M R → ¨ = 0 {\displaystyle \ M{\ddot {\vec {R}}}=0} . על מרכז המסה לא פועלים כוחות (כיוון שאין כוחות חיצוניים) ולכן על פי החוק הראשון של ניוטון היא נעה במהירות קבועה. משוואות התנועה של שני הגופים   m 1 , m 2 {\displaystyle \ m_{1},m_{2}} , ניתנות לכתיבה כ: r → ¨ 1 = F → ( r → 1 − r → 2 ) m 1 {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}_{1}={\frac {{\vec {F}}({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})}{m_{1}}}} r → ¨ 2 = − F → ( r → 1 − r → 2 ) m 2 {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}_{2}=-{\frac {{\vec {F}}({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})}{m_{2}}}} כאשר כאן נכתבה באופן מפורש העובדה שבשל אינווריאנטיות להזזה הכוח F → {\displaystyle {\vec {F}}} הפועל בין שני הגופים הוא פונקציה של r → 1 − r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}} בלבד ולא של r → 1 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} או r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} בנפרד. נגדיר קואורדינטה יחסית r → = r → 1 − r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}} , המודדת את מיקום הגוף הראשון יחסית למיקום הגוף השני. על ידי חיסור המשוואות עבור r → 1 , r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2}} מקבלים משוואה עבור הקואורדינטה היחסית: r → ¨ = ( 1 m 1 + 1 m 2 ) F → ( r → ) = m 1 + m 2 m 1 m 2 F → ( r → ) {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right){\vec {F}}({\vec {r}})={\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{1}m_{2}}}{\vec {F}}({\vec {r}})} נהוג להגדיר מסה מצומצמת μ = m 1 m 2 m 1 + m 2 {\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} בעזרתה ניתן לכתוב: μ r → ¨ = F → ( r → ) {\displaystyle \mu {\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}({\vec {r}})} כלומר זו פשוט משוואת תנועה של גוף בעל מסה   μ {\displaystyle \ \mu } עליו פועל כוח F → {\displaystyle {\vec {F}}} . בבעיית שני הגופים שקולה מתמטית לשתי בעיות בלתי תלויות פשוטות יותר: תנועת מרכז המסה - כיוון שעל מרכז המסה לא פועל כל כוח, זוהי בעיה טריוויאלית. תנועה יחסית סביב מרכז המסה - זו בעיה השקולה לבעיה של גוף יחיד הנע בהשפעת כוח נתון. במקרים רבים הכוח הנ"ל הוא כוח מרכזי. במקרים אלו הבעיה פשוטה יחסית. לאחר פתרון שתי הבעיות הנ"ל, ניתן לשלבן באופן הבא על מנת לקבל את תנועת שני הגופים: r → 1 ( t ) = R → ( t ) + m 2 m 1 + m 2 r → ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}_{1}(t)={\vec {R}}(t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)} r → 2 ( t ) = R → ( t ) − m 1 m 1 + m 2 r → ( t ) {\displaystyle {\vec {r}}_{2}(t)={\vec {R}}(t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}(t)} ניתן לראות שכאשר אחת המסות גדולה בהרבה מהמסה השנייה, כמו במקרה של כדור-הארץ והשמש, המסה הכבדה יותר מבצעת תנועה קטנה מאוד, בקירוב טוב היא נשארת נייחת, וכן ניתן לראות שהמסה המצומצמת כמעט שווה למסה הקטנה יותר. האפקט של תנועת המסה הקטנה על המסה הגדולה אומנם נראה זניח, אך הוא שימש לתצפיות הראשונות של כוכבי לכת חוץ-שמשיים. בגלל המרחק הרב אל הכוכבים הללו לא ניתן לראות אותם בצורה ישירה, אך באמצעות הסחת דופלר ניתן למדוד את מהירות הכוכב המרכזי בדיוק גדול מספיק כך שניתן לראות תנודות הנובעות מקיומו של כוכב לכת קטן במסלול מסביב לכוכב הגדול. ערך מורחב – חוק שימור התנע הזוויתי בהינתן גוף הנע בהשפעת שדה כוחות מרכזי במרחב (זאת אומרת שדה כוח שמפעיל בכל נקודה כוח על הגוף בכיון ראשית הצירים), ניתן להראות, באמצעות חוק שימור התנע הזוויתי, שהגוף נע במישור קבוע. התנע הזוויתי (של גוף נקודתי ביחס לראשית) נתון על ידי הנוסחה: L → = r → × m v → {\displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}\times m{\vec {v}}} , כאשר: r → {\displaystyle {\vec {r}}} - הווקטור המחבר מהראשית לגוף v → {\displaystyle {\vec {v}}} - מהירות הגוף m {\displaystyle m} - מסת הגוף × {\displaystyle \times } - מכפלה וקטורית מהחוק השני של ניטון נובע כי קצב השינוי של התנע הזוויתי הוא מומנט הכוח הפועל על הגוף: L → ˙ = d d t ( r → × m v → ) = r → ˙ × m v → + r → × m v → ˙ = 0 + r → × F → = r → × F → {\displaystyle {\dot {\vec {L}}}={\frac {d}{dt}}({\vec {r}}\times m{\vec {v}})={\dot {\vec {r}}}\times m{\vec {v}}+{\vec {r}}\times m{\dot {\vec {v}}}=0+{\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}} לכן, אם הכוח הוא מרכזי (ז"א מקביל ל- r → {\displaystyle {\vec {r}}} ) אז התנע הזוויתי לא משתנה. מאידך הווקטור r → {\displaystyle {\vec {r}}} תמיד מאונך לתנע הזוויתי. לכן הגוף נמצא תמיד במשור המאונך ל- L → {\displaystyle {\vec {L}}} . ערך מורחב – כוח מרכזי אם הכוח הפועל על הגוף תלוי רק במרחק בין הגוף לראשית, ניתן לפשט את הבעיה על ידי מעבר לקואורדינטות קוטביות במישור. ניתן להביע את גודל התנע הזוויתי על ידי: L = μ r 2 θ ˙ {\displaystyle L=\mu r^{2}{\dot {\theta }}} ואת האנרגיה הכוללת על ידי: E = 1 2 μ r ˙ 2 + L 2 2 μ r 2 + V ( r ) {\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}+V(r)} בביטוי האחרון שני האיברים הראשונים הם האנרגיה הקינטית (המתאימים לתנועה הרדיאלית והסיבובית) והשלישי הוא האנרגיה הפוטנציאלית. כיוון שהתנע הזוויתי L {\displaystyle L} קבוע ניתן להתייחס אל L 2 2 μ r 2 {\displaystyle {\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}} כאל חלק מהאנרגיה הפוטנציאלית, ולהתייחס לגוף כנע במימד אחד (הקואורדינטה r) בהשפעת פוטנציאל אפקטיבי V e f f ( r ) = V ( r ) + L 2 2 μ r 2 {\displaystyle V_{eff}(r)=V(r)+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}} . ניתן לראות שהפוטנציאל הנובע מהתנע הזוויתי הולך לאין-סוף כאשר r הולך ל-0 ולכן הגופים המושכים זה את זה לא יכולים להתקרב עד למרחק 0 אחד לשני. משוואת התנועה עבור הקואורדינטה r תהיה: μ d 2 r d t 2 = − d V e f f d r {\displaystyle \mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=-{\frac {dV_{eff}}{dr}}} באיור ישנה המחשה של הפוטנציאל עבור בעיית קפלר, שעקרונותיו נכונים לכל הבעיות בהם ישנו כוח מושך בין שני הגופים. הקו הכחול מסמן את הפוטנציאל הצנטריפטלי שהוא תוצאה של התנע הזוויתי, והקו הירוק הוא הפוטנציאל המושך הנובע מכוח הגרביטציה. הקו האדום הוא סה"כ הפוטנציאל האפקטיבי. ניתן לראות שישנו מינימום של הפוטנציאל: כלומר אם הגופים נמצאים במרחק זה אחד מהשני, אזי המרחק ביניהם לא ישתנה ולכן נקבל תנועה מעגלית. עבור האזור שליד המינימום, נקבל שתנועת הגופים תתנדנד סביב המינימום ונקבל תנועה אליפטית של הגופים זה סביב זה. ניתן לראות גם שכאשר האנרגיה הפוטנציאלית גדולה מספיק אזי התנועה לא תהיה סגורה ונקבל תנועה היפרבולית. כאמור בפתיחה הבעיה הדו-גופית שיחקה תפקיד חשוב בהתפתחות תורת הקוונטים, תוך הניסיון להבין את תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באטום המימן. ניסויים ספקטרוסקופיים הראו שאטום המימן בולע ופולט אור רק בסדרה של אורכי גל מאוד מסוימים. בניסיון להסביר תופעה זאת, נילס בוהר הציג מודל לאטום, לפיו האלקטרון נע בתנועה קפלריאנית קלאסית סביב הגרעין, אבל רק באותם מסלולים שעבורם התנע הזוויתי הוא כפולה שלמה של קבוע פלאנק. אורכי הגל שבהם האטום בולע ופולט אור הם מתאימים למעברים בין המסלולים. הרעיון הבסיסי מאחורי המודל היה שהאלקטרון מתנהג באופן דומה לגלים עומדים במיתר. המודל של בוהר לא התקבל על כלל הקהילה המדעית מכיוון שאלקטרון הנע בתנועה מעגלית אמור לשדר קרינה ולכן לקרוס לכיוון הגרעין. בתורת הקוונטים המקובלת היום, לפי הניסוח שלה על ידי משוואת שרדינגר (או משוואת הייזנברג), ניתן לפתור את הבעיה הדו-גופית באופן דומה לאופן שבה היא נפתרת במכניקה הקלאסית: פירוק הבעיה לשתי בעיות חד-גופיות, צמצום הבעיה למימד אחד, ולבסוף פתרון משוואת הגל במימד הנותר. ההמילטוניאן של בעיה דו-גופית (עם פוטנציאל מרכזי וללא התחשבות בספין) יהיה מן הצורה: H = p → 1 2 2 m 1 + p → 2 2 2 m 2 + V ( | r → 1 − r → 2 | ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}_{1}^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {{\vec {p}}_{2}^{2}}{2m_{2}}}+V(|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|)} נגדיר אופרטורים חדשים המתאימים למיקום ולתנע של מרכז המסה: R → = m 1 r → 1 + m 2 r → 2 m 1 + m 2   P → = p → 1 + p → 2 {\displaystyle {\vec {R}}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\,\ {\vec {P}}={\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}} ולמיקום והתנע היחסיים: r → = r → 1 − r → 2   p → = m 2 p → 1 − m 1 p → 2 m 1 + m 2 {\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\,\ {\vec {p}}={\frac {m_{2}{\vec {p}}_{1}-m_{1}{\vec {p}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}} האופרטורים הנ"ל מקיימים יחסי חילוף קנוניים ובעזרתם ניתן לכתוב את ההמילטוניאן כ: H = H c m + H r e l {\displaystyle {\mathcal {H}}=H_{cm}+H_{rel}} , כאשר: H c m = P → 2 2 M {\displaystyle H_{cm}={\frac {{\vec {P}}^{2}}{2M}}} הוא החלק המתאר את מרכז המסה (המתנהג כחלקיק חופשי). H r e l = p → 2 2 m + V ( r ) {\displaystyle H_{rel}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V(r)} הוא החלק המתאר את התנועה היחסית, הנע בהשפעת הפוטנציאל המרכזי   V ( r ) {\displaystyle \ V(r)} . האופרטורים   H c m {\displaystyle \ H_{cm}} ו-   H r e l {\displaystyle \ H_{rel}} חילופיים ולכן ניתן לטפל בהם בנפרד. בדומה למקרה הקלאסי, החלק של מרכז המסה הוא טריביאלי. השלב השני (המוסבר בפירוט רב יותר כאן), רדוקציה לבעיה חד־ממדית, שוב מתאפשר הודות לשימור תנע זוויתי, או ליתר דיוק מכך שהבעיה סימטרית לסיבובים. משום כך ניתן להפריד את משוואת שרדינגר לשתי משוואות, אחת עבור המרחק בין הגרעינים, r, ואחת עבור החלק הזוויתי. הרדוקציה מתבצעת על ידי הפרדת משתנים: כותבים את פונקציית הגל באופן   ψ ( r → ) = R ( r ) Y l , m ( θ , ϕ ) {\displaystyle \ \psi ({\vec {r}})=R(r)Y_{l,m}(\theta ,\phi )} ואזי משוואת שרדינגר נפרדת לשתי משוואות: משוואה עבור החלק הזוויתי:   L 2 = 1 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ) + 1 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 {\displaystyle \ L^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}} פתרון משוואה זאת הן ההרמוניות הספריות   Y l , m {\displaystyle \ Y_{l,m}} . משוואה עבור החלק הרדיאלי:   1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r R ( r ) ) + ℏ 2 l ( l + 1 ) 2 m r 2 R ( r ) + V ( r ) R ( r ) = E   R ( r ) {\displaystyle \ {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}\left(rR(r)\right)+{\frac {\hbar ^{2}l(l+1)}{2mr^{2}}}R(r)+V(r)R(r)=E\ R(r)} פתרון המשוואה הרדיאלית לגבי   u ( r ) = r R ( r ) {\displaystyle \ u(r)=rR(r)} מערב בדרך כלל פונקציות בסל. בעיית קפלר - בעיה דו-גופית עם כוח ריבועי הפוך (כגון כוח הכבידה) בעיית שלושת הגופים משפט ברטראן כוח מרכזי שיטת החתכים הטלואים מדיה וקבצים בנושא בעיית שני הגופים בוויקישיתוף לרוב כוח מרכזי