תופעת העולם הקטן

תופעת העולם הקטן היא תופעה משוערת שהגה סטנלי מילגרם בשנת 1967‏, לפיה כל אדם יכול ליצור קשר עם כל אדם אחר בעולם דרך מספר קטן של מתווכים. השערה זו היוותה את הבסיס לביטוי המפורסם "שש דרגות של הפרדה", שמקורו בניסוי של מילגרם, שהראה שהמספר החציוני כדי ליצור קשר בין כל שני אנשים בארצות הברית הוא חמישה מתווכים. ההשערה עודנה שנויה במחלוקת גם כיום בתחום של ניתוח רשתות חברתיות, ומחקר מועט מאוד ומוגבל מאוד נעשה בתחום זה מאז פרסום תוצאות ניסויו של מילגרם ב-1969‏. מאז שנת 2002 מתנהל באוניברסיטת קולומביה מחקר בנושא, שלטענת החוקרים יהווה בדיקה ראשונה של ההשערה בקנה מידה גלובלי. בשנות ה-50 החלו איתיאל דה סולה פול מ-MIT ומנפרד קוכן מ-IBM לעבוד על בעיית העולם הקטן, כפי שניסחו אותה: בהינתן אוסף של   N {\displaystyle \ N} אנשים, מהי ההסתברות שכל אדם בקבוצה מקושר לכל אדם אחר באוסף בעזרת   1 , 2 , 3 , . . . , N {\displaystyle \ 1,2,3,...,N} אנשים (או מספר כזה של אנשים לכל היותר)? הם הפיצו במשך שנים כתבי יד העוסקים בבעיית העולם הקטן, ואף שהצליחו לספק ניסוח מתמטי של הבעיה, מעולם לא פרסמו את עבודותיהם מאחר שהרגישו ש"לא הצליחו לפצח את הבעיה". לבסוף פרסמו מאמר בנושא בשנת 1978, 10 שנים לאחר שמילגרם, שהושפע רבות מעבודתם, פרסם את תוצאותיו. ב-1967 ביקש סטנלי מילגרם, פרופסור מאוניברסיטת ניו יורק, לבחון מה תהיה אורך השרשרת האנושית שתוכל לקשר שני אנשים רנדומליים בארצות הברית. כדי לבדוק זאת ביצע מילגרם מערך ניסויי שכלל שני ניסויים. בשניהם נבחרו אנשי יעד מסוימים, ונשלחו חבילות לתושבים אקראיים לכאורה באזורים שונים בארצות הברית בהן ביקש מהם להשתתף במחקר. החבילות כללו תקציר של המחקר, מידע על אנשי היעד, גלויות וסדרת הוראות. בהוראות התבקשו האנשים שקיבלו את הגלויות לשלוח גלוית מעקב להרווארד כדי לעקוב אחר החבילות ולנסות לקרב את החבילה לאנשי היעד באופן הבא: אם האדם שקיבל את הגלויה מכיר את איש היעד באופן אישי, עליו לשלוח לו את החבילה ישירות. אחרת, עליו לשלוח את החבילה לאדם שיש לו עמו היכרות אישית, ושלדעתו הוא יוכל לקרב את החבילה לאיש היעד. טכניקה זו קיבלה את השם "שיטת העולם הקטן", והיא (או וריאציות שלה) ששימשה במחקרים המועטים שנעשו בנושא. בניסוי הראשון נבחרה אשתו של בוגר לימודי תאולוגיה מהעיר קיימברידג' שבמסצ'וסטס, והתושבים היו מויצ'יטה שבמדינת קנזס. בניסוי השני איש היעד היה ברוקר מבוסטון, והמשתתפים בניסוי היו מאומהה שבמדינת נברסקה. האמונה המקורית שלו הייתה שעשויים להידרש מאות אנשים כדי להעביר את החבילות, ומילגרם עצמו אף ציין ש"לאחרונה שאלתי אדם אינטליגנטי כמה צעדים דרושים לדעתו, והוא אמר שהוא מעריך כי יידרשו מאה אנשי ביניים, או יותר, כדי להגיע מנברסקה לשרון". במצב כזה היו לניסוי סיכויי הצלחה נמוכים, כי מספיק רק אדם אחד שלא ישתף פעולה, כדי לשבור את השרשרת. מילגרם ציין שבתוך ימים אחדים בלבד כבר הגיעה חבילה אחת לאשת היעד של הניסוי הראשון כשהיא עוברת דרך שני אנשי קשר בלבד. בסופו של דבר הגיעו 42 מ-160 החבילות של הניסוי השני ליעדיהן. באמצעות גלויות המעקב ידע מילגרם כמה אנשים דרושים היו כדי להעביר את החבילות. כך הוא מצא שהמספר החציוני של המתווכים שנדרשו כדי להעביר את החבילות ליעדיהן הוא 5.5. על הניסוי של מילגרם נמתחה ביקורת, מאז פרסומו ועד היום. אחת הטענות המקובלות היא שהחישוב של מילגרם מוטה לטובת המסלולים שהושלמו, בכך שלא כלל את המסלולים שלא הושלמו בחישוב: אחת המבקרות החריפות של הניסוי של מילגרם היא ג'ודית' קליינפלד. קליינפלד סקרה את עבודותיו המקוריות של מילגרם, כולל המידע שלא פורסם על ידיו, כפי שהוא נמצא בארכיוני אוניברסיטת ייל. היא מציינת שהמידע שפורסם על ידי מילגרם היה מגמתי, מוטה ומטעה. לדוגמה: בניסוי הראשון פנו ל-60 אנשים דרך מודעה בעיתון, 50 שרשראות נוצרו, אך רק שלוש מהן הצליחו להגיע לאשת היעד, כשממוצע אנשי הקשר הוא 8. בנוסף, קליינפלד ציינה שמילגרם לא בחר עבור הניסוי קבוצת מדגם מייצגת, אלא אנשים שמלכתחילה היו בעלי יכולת גבוהה יחסית להעביר את המסרים: המודעות בעיתון ביקשו אנשים הגאים ביכולותיהם החברתיות, ו-296 המשתתפים בניסוי השני הורכבו ממאה מחזיקי מניות מנברסקה, 96 משתתפים "אקראיים" מנברסקה שנבחרו מרשימת דיוור, ומאה משתתפים "אקראיים" מבוסטון שנבחרו דרך מודעה בעיתון - כולם אנשים שמלכתחילה עשויים להיות קשורים בקלות לברוקר מבוסטון. למרות הבחירה הזו, מתוך 296 המשתתפים הראשוניים שנבחרו עבור הניסוי, 217 החלו שרשראות, אך 64 בלבד הושלמו. כלומר, כמו בניסוי הראשון, רוב-רובם של האנשים לא יכלו ליצור קשר לאיש היעד. באופן כללי יותר, לשיטתה של קליינפלד, הניסוי של מילגרם איננו מהווה ראיה אמפירית לנכונותה של השערת העולם הקטן שלו. בתגובה לדברים אלו, טוען תומאס בלאס שסיבה נוספת לאי-השלמת השרשראות יכולה למעשה להיות רק אי-שיתוף פעולה מצד משתתפי הניסוי ולא היעדרו של עולם קטן, כפי שטען מילגרם במאמרו. כמו כן, הוא קובע שטענתה של קליינפלד כי אנשים מרשימות הדיוור המדוברות נוטים להיות בעלי הכנסה גבוהה היא "ספקולציה טהורה". באשר להסבר המוצע לסיבה לאי-השלמת השרשראות טוענת קליינפלד כי בלתי-סביר שאנשים "לא יטרחו" לשלוח גלויות רשמיות למראה שנשאו את הלוגו של אוניברסיטת הרווארד, כאלה ששלח מילגרם בניסוי השני, שאכן הציג אחוז השלמת שרשראות גבוה יותר, כלומר 20% השלמה לעומת 7.5% השלמה בניסוי הראשון.. ניסויים שניסו לשחזר את הניסוי של מילגרם לא התקרבו לאחוזי ההשלמה של השרשראות בניסויים המקוריים והגיעו לכעד אחוז בלבד. יש לציין שיש פער בין מה שניסה מילגרם לבדוק לעומת מה שבדק. הטענה כי אנשים נמצאים במרחק של 6 דרגות הפרדה זה מזה קשורה לבטופולוגיית הרשת (כלומר, בין חברים ברשת שמהווים קשרים יציבים ברשת), ואילו הניסוי בדק זרימה של מידע (במקרה זה, מכתב) על הטופולוגיה הרשתית, ולא את עצם הקשרים בה. מסלול זרימה ברשת יהיה הרבה פחות יציב מטופולוגיית הרשת בדומה להבדל בין דינאמיות התעבורה בכביש ליציבות של רשת הכבישים עצמה. כאמור, מחקר אמפירי מועט מאוד נעשה בתחום מאז מילגרם, והמחקרים שנעשו היו מוגבלים מאוד בכך שחקרו אזורים קטנים (כמו קמפוס אוניברסיטה או אזור אורבני בודד), ולכן היו חסרי משמעות מבחינת אישוש ההשערה לגבי ארצות הברית, לא כל שכן לגבי העולם כולו. עם זאת, למחקרים מצומצמים אלו אודות הקישוריות בין אנשים ישנן השלכות לגבי השערת העולם הקטן: בניסוי אחר של מילגרם התבקשו משתתפים לבנים ושחורים שאותרו מרשימות דיוור מלוס אנג'לס להגיע לאנשי יעד שחורים ולבנים בניו יורק. מתוך 270 השרשראות שכוונו לאנשי יעד שחורים הושלמו רק 13% בניגוד ל-33% מתוך 270 השרשראות שכוונו לאנשי יעד לבנים. בניסוי עולם קטן אחר, בו נבדק רק אזור אורבני בודד, נשלחו 596 חבילות ל-298 משתתפים, התחילו 375 שרשראות ומהן 112 הושלמו. עורכי הניסוי סיכמו במאמרם ש"תקשורת זורמת בעיקר בתוך קבוצות אתניות. ניסיון חצייה של המחסום הגזעי יהיה נדיר למדי, וסיכויי ההצלחה שלו קטנים". בניסוי עולם קטן שנשלח למילגרם עצמו כדי להוות ביקורת, אך לא פורסם (הניסוי נמצא על ידי ג'ודית' קליינפלד בארכיון ייל), חולקו 151 משתתפים מקרסטליין שבאוהיו לשלוש קבוצות לפי הכנסה. המשתתפים התבקשו לשלוח חבילה לאנשי יעד בעלי הכנסה נמוכה, בינונית, או גבוהה. אחוז השרשראות שהושלמו (18%) היה קטן מכדי לאפשר ניתוח מורכב של התוצאות, אך המחברים שמו לב לכך שאף משתתף מקבוצת ההכנסה הנמוכה לא הצליח להגיע לאיש יעד בעל הכנסה שאינה נמוכה, בעוד שמשתתפים משתי הקבוצות האחרות הצליחו להגיע לאנשי יעד מכל קטגוריית הכנסה. ניסויים אלה ואחרים מצביעים על כך שלא כל האנשים מקושרים במידה שווה וקרובה לממוצע, אלא להפך - הם מראים שאנשים מסוימים מקושרים יותר ואחרים פחות, כשהכנסה וגזע מפרידים בין האנשים באופן משמעותי ביותר. קבוצת הדינמיקה הקיבוצית היא קבוצת מחקר באוניברסיטת קולומביה, בהנחיית דאנקן וואטס, המוקדשת ל"יישום כלים מתמטיים וחישוביים מודרניים לבעיות במדעי החברה". החל משנת 2002 עורכת הקבוצה ניסוי עולם קטן דרך הדואר האלקטרוני שמתעתד להיות "האימות הראשון להשערת העולם הקטן בקנה מידה גדול, כלל-עולמי". בשנת 2003 נגמר החלק הראשון של הניסוי, בו השתתפו מעל 60,000 איש שניסו להגיע ל-18 אנשי יעד מ-13 מדינות, ותוצאותיו פורסמו בכתב העת "Science"‏. לפי החוקרים, רמת ההפרדה נעה בין 5 מתווכים, כשאיש היעד והמשתתף שמתחיל את השרשרת נמצאים באותה מדינה, לבין 7 מתווכים, כשהם נמצאים במדינות שונות. בניגוד לניתוח התוצאות בניסוי של מילגרם, במחקר זה התחשבו בשרשראות שלא הושלמו בעת חישוב רמת ההפרדה. עם זאת, בדומה לניסוי של מילגרם, לא ברורה מידת ההתחשבות בכך שנבחרה מלכתחילה אוכלוסייה שאיננה בהכרח מייצגת: המשתתפים בניסוי עשויים להיות פרטים מקושרים יותר (משתמשים בעלי גישה לדואר אלקטרוני) וקרובים יותר אל אנשי היעד (שגם להם גישה לדואר האלקטרוני), דבר שעשוי להוות גורם למתן תוצאה נמוכה מהנתון הממשי. מבצעי המחקר כתבו שאוכלוסיית המשתמשים בדואר האלקטרוני גדולה מאוד ולכן מספיקה לביצוע ניתוחים סטטיסטיים, אך אין זה אומר בהכרח שהיא מייצגת את כלל האוכלוסייה האנושית. החוקרים אף ציינו שבניסוי שלהם לא נצפה שימוש ב"רכזות" מצד המשתתפים, ושבחיפוש כזה ברשת חברתית אחר יעד מסוים יש להן משמעות מוגבלת בלבד. ערך מורחב – תורת הרשתות האקראיות לפי מודל הגרפים האקראיים שפיתחו פול ארדש ואלפרד רניי, כאשר הדרגה הממוצעת של גרף מגיעה ל-1 ייווצר צביר (רכיב קשירות) שכולל את רוב הצמתים בגרף. במילים אחרות, ברגע שבו לכל צומת יהיה קישור אחד בממוצע, רוב הצמתים יהיו מקושרים לרוב הצמתים האחרים. התפלגות הדרגות של צומת במודל זה היא התפלגות פואסון, בה יש מקסימום ראשי, ומשני צדדיו ההסתברות צונחת במהירות. משמעות הדבר היא שאם נחיל את המודל של ארדש ורניי על החברה האנושית, לרוב האנשים יהיה אותו מספר של חברים בקירוב, וההסתברות למצוא אדם שסוטה מהממוצע קטנה באופן מעריכי ביחס למרחק מהממוצע. אף על פי שהרשת החברתית האנושית איננה גרף אקראי, תופעה זו של הופעת הצביר מספקת קנה מידה לשם השוואה. לפי ההערכות המקובלות, כיום רוב האנשים בעולם מכירים בין 200 ל-5,000 אנשים באופן אישי - הרשת החברתית האנושית עוברת בהפרזה את הדרגה הנדרשת ליצירת צביר. בסוף שנות ה-60 של המאה ה-20 החל מארק גרנובטר, סטודנט לתואר שלישי באוניברסיטת הרווארד, לחקור רשתות חברתיות, לאחר שנחשף לרעיון בסדרת הרצאות של הריסון וייט, מחלוצי הסוציולוגיה המתמטית. במאי 1973 פורסם מאמרו של גרנובטר "עוצמתם של קשרים חלשים", לאחר שנדחה ב-1969 בידי ה-"American Sociological Review" ("בשל סדרה אינסופית של סיבות שבולטות מיד לעין", כפי שנוסח בידי אחד הבודקים האנונימיים שדחו את כתב היד), וחולל מהפכה בתחום. גרנובטר בדק כיצד 282 עובדי "צווארון לבן" (עובדים בתפקידים טכניים, תפקידי ניהול וכדומה; בניגוד ל"צווארון כחול" - תפקידי ייצור) הגיעו לעבודותיהם הנוכחיות. הוא גילה שיותר ממחציתם (56%) הגיעה לעבודה הזו דרך היכרויות אישיות, בעוד רק 19% התקבלו לעבודה דרך פרסומים וסוכנויות העסקה, 19% נוספים דרך פנייה ישירה לחברה, ו-7% באופנים אחרים. גרנובטר המשיך ובדק את חוזק הקשרים בין העובדים למכרים שעזרו להם להשיג את עבודותיהם. לצורך זה הוא חילק את הקשרים לשלוש קטגוריות לפי תדירות המפגשים בין העובדים למכרים: נפגשים באופן תדיר ("קשרים חזקים") - נפגשים לפחות פעמיים בשבוע נפגשים מפעם לפעם ("קשרים בינוניים") - נפגשים יותר מפעם בשנה, אך פחות מפעמיים בשבוע נפגשים לעיתים רחוקות ("קשרים חלשים") - נפגשים פעם בשנה או פחות גרנובטר ריאיין 100 מהעובדים וגילה תוצאה מפתיעה לכאורה הנוגדת את האינטואיציה. מתוך העובדים שמצאו עבודה דרך מכרים רוב של מעל ארבע חמישיות מהעובדים השתמש ב"קשרים הבינוניים" וב"קשרים החלשים" כדי להשיג את העבודה: 16.7% מצאו אותה דרך "קשרים חזקים" 55.6% מצאו אותה דרך "קשרים בינוניים" 27.8% מצאו אותה דרך "קשרים חלשים" כלומר, מעל ארבע חמישיות מהעובדים השיגו את העבודות שלהם בעזרת מכרים שאיתם הם נפגשים פחות מפעמיים בשבוע, ו"קשרים חלשים" תרמו למציאת העבודות יותר מאשר "הקשרים החזקים". גרנובטר גם בדק את הקשרים של המכרים עם המעסיק, וגילה ש-39.1% מהמכרים הכירו ישירות את המעסיק, 45.3% הכירו אדם שהכיר את המעסיק, 12.5% קושרו למעסיק דרך שני אנשי קשר, ורק 3.1% מהמכרים היו רחוקים מהמעסיק שני אנשי קשר ומעלה. לתופעה ביטויים רבים בתרבות הפופולרית: ערך מורחב – שש דרגות של הפרדה על פי אלברט לאסלו ברבאשי, עוד לפני שאנשי המדע בדקו את התופעה היא הופיעה בסיפור הקצר בהונגרית בשם "שרשראות" שנכתב על ידי פרידיש קארינתי בשנת 1929. גיבור הסיפור מעלה את הטענה שהוא יכול למצוא קשר לכל אחד מתושבי כדור הארץ, באמצעות שרשרת של חמישה מכרים לכל היותר. בעקבות הניסוי של מילגרם, הופיע מחזה בשם "שש דרגות של הפרדה", ולאחר הצלחה רבה שלו הופק גם סרט קולנוע בשם זה. מאז צבר המונח "שש דרגות של הפרדה" פופולריות רבה, והפך לביטוי שמתאר את האמונה שהיום החברה האנושית צפופה מאוד, והפרטים בה קרובים מאוד זה לזה. ערך מורחב – מספרי ארדש פול ארדש נחשב למתמטיקאי הפורה ביותר שחי אי-פעם, מלבד לאונרד אוילר, מבחינת מספר המאמרים המדעיים שפרסם. הוא פרסם מעל ל-1,500 מאמרים, רובם הגדול עם מחברים-עמיתים: 509 במספר. בעקבות כך, הפך ארדש לנקודת מוקד בפולקלור המתמטי במה שמכונה "גרף המאמרים", גרף המכיל מתמטיקאים כצמתים, ומקשר ביניהם לפי פרסום מאמרים משותפים. מרחקו של אדם מארדש בגרף זה מכונה "מספר ארדש" שלו. המחברים שפרסמו יחד עם ארדש מאמר, נחשבים בעלי "מספר ארדש 1". אלו שפרסמו מאמר עם מתמטיקאי שפרסם עם ארדש מאמר (כלומר אלה שפרסמו מאמר עם מישהו שהוא בעל "מספר ארדש 1") הם בעלי "מספר ארדש 2" (כאלו יש כ-7,000), וכן הלאה. ערך מורחב – שש דרגות של קווין בייקון שש דרגות של קווין בייקון (פרפרזה על שש דרגות של הפרדה) הוא משחק בו צריכים המשתתפים למצוא את הקשר של כל שחקן לקווין בייקון, על ידי מציאת סרטים משותפים שבהם שיחק עמו. "מספר הבייקון" מוגדר בדומה למספר ארדש - מרחקו של שחקן מקווין בייקון, כשהקשרים הם סרטים משותפים. באוניברסיטת וירג'יניה הוקם אתר שדרכו יכול הגולש למצוא את מספר הבייקון של כל שחקן. קיימים מעט מאוד שחקנים בעלי מספר בייקון אינסופי, דהיינו שאי אפשר לקשרם לקווין בייקון דרך אף שחקן משותף. לפי האתר, המבוסס על נתוני IMDb, וכולל כמעט 800 אלף שחקנים, מספר הבייקון הגבוה ביותר שהתגלה עד היום (מלבד האינסוף) הוא 8, ומספר הבייקון הממוצע הוא 2.950. משמעות הדבר היא שניתן ליצור קשר בין שחקנים רבים בכשישה צעדים, מאחר ששש הוא המרחק הממוצע מקווין בייקון כפול שתיים - הדרך משחקן פלוני לקווין בייקון, וממנו לשחקן אלמוני. בנוסף, ניתן ליצור קשר בין כל שני שחקנים שמספר בייקון שלהם איננו אינסופי ב-16 צעדים (המקסימום כפול שתיים). קווין בייקון איננו המרכז הטוב ביותר, כלומר איננו השחקן עם ממוצע המרחקים הנמוך ביותר לשאר חברי הרכיב הקשיר שלו. השחקנים המרכזיים משתנים לעיתים תכופות עקב הוספת סרטים חדשים, וידוע כי דונלד סתרלנד, רוד סטייגר ודניס הופר היו מרכזיים בשלב מסוים. ערך מורחב – מספר ארדש-בייקון לאנשים מעטים יחסית ניתן לחשב מספר ארדש-בייקון - סכום מספר ארדש ומספר בייקון שלהם. רוב בעלי מספר ארדש-בייקון הם מתמטיקאים ומדענים שהשתתפו בסרטים כניצבים או בתפקידי אורח. ניתוח רשתות חברתיות פסיכולוגיה חברתית סוציולוגיה גלובליזציה הכפר הגלובלי חוק דתיים שלובים פיצוחים (משחק חברתי) אלברט-לסלו ברבאשי, קישורים - המדע החדש של רשתות, בתרגום דרורה בלישה, הוצאת פרוזה, ידיעות אחרונות ספרי חמד 2004. The Small World Problem, Stanley Milgram, Psychology Today, 1967 http://measure.igpp.ucla.edu/GK12-SEE-LA/Lesson_Files_09/Tina_Wey/TW_social_networks_Milgram_1967_small_world_problem.pdf An Experimental Study of the Small World Problem, Jeffrey Travers, Stanley Milgram, Sociometry, 1969 Small World Project באתר אוניברסיטת קולומביה The Small World, Manfred Kochen, Norwood, 1989. Contacts and Influence, Ithiel de Sola Pool, Manfred Kochen, Social Networks, 1978. Could It Be A Big World?, Judith S. Kleinfeld, Society, 2002‏ (html) Blass, Thomas Comment on Kleinfeld's "Could it be a big world after all?", HTP Prints ,28 January 2002‏ (html) Six Degrees: Urban Myth?, Judith S. Kleinfeld, Psychology Today, Mar/Apr 2002‏ (html) אסף שפירא, הרחבות לפרק 2: באמת עולם קטן? האמת על עולם הרשת, באתר NETfrix, ‏2020-02-09 Acquaintance links between white and negro populations: Application of the small world method, Charles Korte, Stanley Milgram, Journal of Personality and Social Psychology, 1970 The urban communication network and social stratification: a “small world experiment”, Lin Nan, Paul W. Dayton, Peter Greenwald, Communication Yearbook, 1977 Collective Dynamic Group An Experimental Study of Search in Global Social Networks, Peter Sheridan Dodds, Roby Muhamad, Duncan J. Watts, Science, 8 August 2003‏ (pdf) Degree Sequences of Random Graphs, Béla Bollobás, Discrete Math, 1981 The Strength of Weak Ties, Mark Granovetter, American Journal of Sociology, 1973‏ (pdf) The Oracle of Bacon at Virginia