משפט הקיצוץ

משפט הקיצוץ (Excision theorem) הוא משפט בתורת ההומולוגיה הקובע כי קיים איזומורפיזם בין חבורות ההומולוגיה היחסיות של תתי-מרחבים מסוימים, באופן שניתן "לקצץ" מרחב היושב בצורה נוחה מספיק במרחב המקורי. למשפט יש מספר שימושים, המובילים אל הגדרת אוריינטציה בכלים מתורת ההומולוגיה. יהי X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי, ויהיו שני תתי-מרחבים שלו K ⊆ A ⊆ X {\displaystyle K\subseteq A\subseteq X} כך ש- cl ⁡ ( K ) ⊆ Int ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {cl} (K)\subseteq \operatorname {Int} (A)} . אזי העתקת ההכלה של זוגות i : ( X ∖ K , A ∖ K ) → ( X , A ) {\displaystyle i:(X\setminus K,A\setminus K)\to (X,A)} משרה איזומורפיזם על חבורות ההומולוגיה היחסיות i ∗ : H n ( X ∖ K , A ∖ K ) → H n ( X , A ) {\displaystyle i_{*}:H_{n}(X\setminus K,A\setminus K)\to H_{n}(X,A)} . נביט בכיסוי U = { A , X ∖ K } {\displaystyle U=\{A,X\setminus K\}} = הוא כיסוי טוב, כלומר מתקיים Int ⁡ ( A ) ∪ Int ⁡ ( X ∖ K ) = Int ⁡ ( A ) ∪ ( X ∖ cl ⁡ ( K ) ) = X {\displaystyle \operatorname {Int} (A)\cup \operatorname {Int} (X\setminus K)=\operatorname {Int} (A)\cup (X\setminus \operatorname {cl} (K))=X} לפי הנתון. כעת ידוע שההכלה i : C n U ( X , A ) → C n ( X , A ) {\displaystyle i:C_{n}^{U}(X,A)\to C_{n}(X,A)} משרה איזומורפיזם i ∗ : H n U ( X ) → H n ( X ) {\displaystyle i_{*}:H_{n}^{U}(X)\to H_{n}(X)} , ולכן מספיק להוכיח כי ההכלה C n ( X ∖ K , A ∖ K ) → C n U ( X , A ) {\displaystyle C_{n}(X\setminus K,A\setminus K)\to C_{n}^{U}(X,A)} משרה איזומורפיזם H n ( X ∖ K , A ∖ K ) → H n U ( X , A ) {\displaystyle H_{n}(X\setminus K,A\setminus K)\to H_{n}^{U}(X,A)} . ההעתקה על: כל סימפלקס ב- C n { X ∖ K , A } ( X , A ) {\displaystyle C_{n}^{\{X\setminus K,A\}}(X,A)} למעשה יושב ב- X ∖ K {\displaystyle X\setminus K} (כי יש מנה ביחס ל- A {\displaystyle A} ), ולכן מגיע מ- C n ( X ∖ K , A ∖ K ) {\displaystyle C_{n}(X\setminus K,A\setminus K)} . ההעתקה חח"ע: איבר מ- C n ( X ∖ K , A ∖ K ) {\displaystyle C_{n}(X\setminus K,A\setminus K)} שהולך לאפס פירושו שהוא יושב ב- A {\displaystyle A} , והוא מלכתחילה ב- X ∖ K {\displaystyle X\setminus K} כלומר לא ב- K {\displaystyle K} , לכן הוא מ- A ∖ K {\displaystyle A\setminus K} , כלומר אפס גם ב- C n ( X ∖ K , A ∖ K ) {\displaystyle C_{n}(X\setminus K,A\setminus K)} . נניח כי K ⊆ A ⊆ X {\displaystyle K\subseteq A\subseteq X} כך ש- cl ⁡ ( K ) ⊆ Int ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {cl} (K)\subseteq \operatorname {Int} (A)} . ובנוסף כי K {\displaystyle K} נסג עיוותי של A {\displaystyle A} . בתנאים אלו, מתקיים H i ( X , K ) ≅ H i ( X / K , [ K ] ) {\displaystyle H_{i}(X,K)\cong H_{i}(X/K,[K])} . היות שההומולוגיה ביחס לנקודה היא ההומולוגיה המצומצמת, נקבל H i ( X , K ) ≅ H ~ i ( X / K ) {\displaystyle H_{i}(X,K)\cong {\tilde {H}}_{i}(X/K)} . נביט ב-2-טורוס 2 T {\displaystyle 2T} ובתת-המרחב שלו K ⊂ 2 T {\displaystyle K\subset 2T} שהוא מעגל באזור החיבור בין שני הטורוסים. נרצה לחשב את H i ( 2 T , K ) {\displaystyle H_{i}(2T,K)} . ניקח את A {\displaystyle A} להיות טבעת פתוחה קטנה מסביב ל- K {\displaystyle K} . אכן מתקיים cl ⁡ ( K ) = K ⊆ A = Int ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {cl} (K)=K\subseteq A=\operatorname {Int} (A)} והמעגל נסג של הטבעת, ולכן H i ( X , K ) ≅ H i ( X / K ) {\displaystyle H_{i}(X,K)\cong H_{i}(X/K)} . כעת, זיהוי המעגל המפריד לנקודה בדיוק נותן איחוד נקודתי של שני טורוסים, והחבורה שלו היא כידוע הסכום הישר של החבורה של הטורוס עם עצמה, כלומר החבורות הן: H i ( 2 T , K ) = { Z 4 i = 1 Z 2 i = 2 0 i ≠ 1 , 2 {\displaystyle H_{i}(2T,K)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{4}&i=1\\\mathbb {Z} ^{2}&i=2\\0&i\neq 1,2\end{cases}}} ערך מורחב – אוריינטציה (מתמטיקה) ראשית, חישוב בסיסי מראה כי H i ( D n , D n ∖ { 0 } ) = { Z i = n 0 i ≠ n {\displaystyle H_{i}\left(D^{n},D^{n}\setminus \{0\}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=n\\0&i\neq n\end{cases}}} , כאשר D n {\displaystyle D^{n}} דיסק n {\displaystyle n} -ממדי. כעת, יהי M {\displaystyle M} משטח 2 {\displaystyle 2} -ממדי ותהי p ∈ M {\displaystyle p\in M} . תהי U {\displaystyle U} סביבה של p {\displaystyle p} שהומיאומורפית לדיסק. בשימוש במשפט הקיצוץ על K = M ∖ D {\displaystyle K=M\setminus D} , מתקבל כי ההומולוגיה של הזוג ( D , D ∖ { p } ) {\displaystyle (D,D\setminus \{p\})} (שנתונה לעיל), שווה ל- H i ( M , M ∖ { p } ) = { Z i = 2 0 i ≠ 2 {\displaystyle H_{i}(M,M\setminus \{p\})={\begin{cases}\mathbb {Z} &i=2\\0&i\neq 2\end{cases}}} . הטענה המקבילה ליריעה עם שפה מובילה לכך שהחבורות כולן אפס. למעשה, ידוע יותר - באיזומורפיזם H n ( S n ) ≅ H n ( D n , D n ∖ { p } ) {\displaystyle H_{n}(S^{n})\cong H_{n}(D^{n},D^{n}\setminus \{p\})} יוצר מפורש של החבורה הוא שיכון של סימפלקס ביריעה, מסביב לנקודה שהוצאנו. כעת, ל- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } יש שני יוצרים, 1 {\displaystyle 1} ו- − 1 {\displaystyle -1} ; כל אחד מהם מתאים לשיכון של סימפלקס או שיקוף של סימפלקס. בחירה של אחת האפשרויות היא בדיוק השראת אוריינטציה בנקודה. אחד האפיונים לאוריינטציה גלובלית הוא בחירה רציפה של אוריינטציות נקודתיות, ובשפה של תורת ההומולוגיה - בחירה עקבית בכל נקודה של יוצר לחבורה לעיל.