טור אייזנשטיין

טורי אייזנשטיין, באנליזה מרוכבת, הם תבניות מודולריות בעלות פיתוחים לטורים אינסופיים שניתנים לרישום ישיר, וקרויים על שם המתמטיקאי היהודי-גרמני פרדיננד אייזנשטיין. מבחינה היסטורית, טורי אייזנשטיין הם מן הדוגמאות המפורשות הראשונות לתבניות מודולריות. למרות שבמקור הם הוגדרו עבור החבורה המודולרית, ניתן להכליל אותם לחבורות כלליות יותר במסגרת התורה של תבניות אוטומורפיות. הפיתוח לטורי אייזנשטיין של פונקציות מרוכבות מסוימות צמח מתוך התאוריה של פונקציות אליפטיות, שפותחה במהלך העשורים הראשונים של המאה ה-19. כפי שאייזנשטיין עצמו הדגיש במאמרו מ-1847 המציג את הטורים הללו, התקדים המתמטי שלהם היה הפיתוחים האינסופיים של הפונקציות המעגליות לשברים חלקיים שנתגלו על ידי לאונרד אוילר במהלך המאה ה-18, למשל: π c o t ( π x ) = ∑ n = − ∞ ∞ 1 x + n {\displaystyle \pi \mathbb {cot} (\pi x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x+n}}} מן הצורה של הטור נובע מיידית שערך הסכום באגף ימין נותר ללא שינוי כאשר x {\displaystyle x} מוחלף ב- x + 1 {\displaystyle x+1} ; ולפיכך המחזור 1 של הפונקציה π c o t ( π x ) {\displaystyle \pi \mathbb {cot} (\pi x)} מתגלה ישירות כבר ממבט על הפיתוח לטור שלה. אייזנשטיין הראה שפונקציות אליפטיות, אשר הן פונקציות בעלות שתי מחזורים בלתי תלויים (מעל R) במישור המרוכב, ניתנות לכתיבה על ידי ביטויים אנלוגיים לביטוי שתואר מקודם, כמו למשל: ∑ m , n = − ∞ ∞ 1 ( z + m ω 1 + n ω 2 ) 2 k {\displaystyle \sum _{m,n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2k}}}} כאשר k {\displaystyle k} מספר טבעי ו- ω 1 , ω 2 {\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}} הם מספרים מרוכבים כלשהם. בדומה למקרה החד-ממדי (שתואר מקודם), טור זה נותר ללא שינוי כאשר מחליפים את z {\displaystyle z} ב- z + ω 1 {\displaystyle z+\omega _{1}} או ב- z + ω 2 {\displaystyle z+\omega _{2}} . מאוחר יותר במהלך המאה ה-19 נתגלה שטור אייזנשטיין עם חזקה 2 k {\displaystyle 2k} הוא תבנית מודולרית ממשקל 2 k {\displaystyle 2k} . יהי τ {\displaystyle \tau } מספר מרוכב עם חלק מדומה חיובי. נגדיר את טור אייזנשטיין ההולומורפי G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )} ממשקל 2 k {\displaystyle 2k} על ידי הטור הבא: G 2 k ( τ ) = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m + n τ ) 2 k . {\displaystyle G_{2k}(\tau )=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.} טור זה מתכנס בהחלט לפונקציה הולומורפית של τ {\displaystyle \tau } בחצי המישור העליון. זוהי עובדה מפתיעה שטור אייזנשטיין הוא תבנית מודולרית. למעשה, תכונת המפתח שלו היא שסכומו מותמר באופן מסוים תחת פעולת S L ( 2 , Z ) {\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )} . באופן מפורש יותר, אם a , b , c , d ∈ Z {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} } ומתקיים a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} , אז: G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )} נרשום את טור אייזנשטיין החדש, שבו τ {\displaystyle \tau } מוחלף ב- τ ′ = a τ + b c τ + d {\displaystyle \tau '={\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}} : G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m + n a τ + b c τ + d ) 2 k = ∑ ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( c τ + d ) 2 k ( m d + n b + ( m c + n a ) τ ) 2 k = ∑ ( m ′ , n ′ ) = ( m , n ) ( d     c b     a ) ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } ( c τ + d ) 2 k ( m ′ + n ′ τ ) 2 k {\displaystyle {\begin{aligned}G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m+n{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)^{2k}}}\\&=\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{(md+nb+(mc+na)\tau )^{2k}}}\\&=\sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {(c\tau +d)^{2k}}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}\end{aligned}}} אם a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} אז: ( d c b a ) − 1 = 1 a d − b c (   a − c − b   d ) = (   a − c − b   d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ a&-c\\-b&\ d\end{pmatrix}}} כלומר לכל זוג סדור ( m ′ , n ′ ) {\displaystyle (m',n')} יש מקור יחיד ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} , כך ש- ( m , n ) ↦ ( m , n ) ( d c b a ) {\displaystyle (m,n)\mapsto (m,n){\begin{pmatrix}d&c\\b&a\end{pmatrix}}} היא התאמה חד-חד ערכית ועל Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} → Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}} . כלומר: ∑ ( m ′ , n ′ ) = ( m , n ) ( d     c b     a ) ( m , n ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m ′ + n ′ τ ) 2 k = ∑ ( m ′ , n ′ ) ∈ Z 2 ∖ { ( 0 , 0 ) } 1 ( m ′ + n ′ τ ) 2 k = G 2 k ( τ ) {\displaystyle \sum _{\left(m',n'\right)=(m,n){\begin{pmatrix}d\ \ c\\b\ \ a\end{pmatrix}} \atop (m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{\left(m'+n'\tau \right)^{2k}}}=\sum _{\left(m',n'\right)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m'+n'\tau )^{2k}}}=G_{2k}(\tau )} כך שבסיכום הכל, אם a d − b c = 1 {\displaystyle ad-bc=1} אז: G 2 k ( a τ + b c τ + d ) = ( c τ + d ) 2 k G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G_{2k}(\tau )} ו- G 2 k ( τ ) {\displaystyle G_{2k}(\tau )} הוא על כן תבנית מודולרית ממשקל 2 k {\displaystyle 2k} . הערה: נשים לב גם שהוכחה זאת מצביעה למעשה שטורי אייזנשטיין מן הצורה G n ( i ) {\displaystyle G_{n}(i)} מתאפסים זהותית עבור משקלים שאינם כפולה שלמה של 4; G n ( τ ) {\displaystyle G_{n}(\tau )} הוא תבנית מודולרית ממשקל n {\displaystyle n} במשתנה τ {\displaystyle \tau } , ולכן טרנספורמציה של τ = i {\displaystyle \tau =i} אל עצמו על ידי ההצבה τ ′ = − 1 τ {\displaystyle \tau '={\frac {-1}{\tau }}} (טרנספורמציה זאת משתייכת לחבורה המודולרית) מתמירה את ערך טור אייזנשטיין באופן הבא: G n ( τ ′ ) = τ n G n ( τ ) {\displaystyle G_{n}(\tau ')=\tau ^{n}G_{n}(\tau )} . מכיוון ש- τ ′ = τ = i {\displaystyle \tau '=\tau =i} מקבלים שטרנספורמציה זו מותירה את ערך הטור בעינו, כך ש- G n ( τ ) = C ⋅ G n ( τ ) {\displaystyle G_{n}(\tau )=C\cdot G_{n}(\tau )} . עבור n ≠ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle n\neq 0{\pmod {4}}} מקבלים C ≠ 1 {\displaystyle C\neq 1} , מה שגורר מיידית G n ( i ) = 0 {\displaystyle G_{n}(i)=0} . על אף שעבודתו זו כלל לא פורסמה בזמנו, קרל פרידריך גאוס היה הראשון לחשב סכומים של טורי אייזנשטיין, כפי שעולה מהערה 61 מיומנו. באנלוגיה לפתרון בעיית בזל, שם הקבוע π = 2 ∫ 0 1 d x 1 − x 2 {\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}} משחק תפקיד מרכזי בחישוב ערכי פונקציית זטא ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} עבור ערכים זוגיים של s {\displaystyle s} , גילה גאוס שקבוע הלמניסקטה ϖ = 2 ∫ 0 1 d x 1 − x 4 {\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}} משחק תפקיד מרכזי בסכימה של טורי אייזנשטיין. גאוס מצא שהערכים של G 4 k ( i ) {\displaystyle G_{4k}(i)} , המייצגים את הטור: ∑ z ∈ Z [ i ] ∖ { 0 } 1 z 4 k = G 4 k ( i ) {\displaystyle \sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4k}}}=G_{4k}(i)} (כאשר Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} הם השלמים הגאוסיים ו- G 4 k ( τ ) {\displaystyle G_{4k}(\tau )} הוא טור אייזנשטיין ממשקל 4 k {\displaystyle 4k} ) שווים לקבוע רציונלי כפול חזקה מתאימה של קבוע הלמניסקטה - ϖ 4 k {\displaystyle \varpi ^{4k}} . באמצעות התאוריה שלו על פונקציות אליפטיות, הוא סכם מקרים פרטיים של טורי אייזנשטיין, ומצא למשל כי: G 4 ( i ) = ∑ z ∈ Z [ i ] ∖ { 0 } 1 z 4 = ϖ 4 15 {\displaystyle G_{4}(i)=\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}={\frac {\varpi ^{4}}{15}}} G 8 ( i ) = ∑ z ∈ Z [ i ] ∖ { 0 } 1 z 8 = ϖ 8 525 {\displaystyle G_{8}(i)=\sum _{z\in \mathbb {Z} [i]\setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{8}}}={\frac {\varpi ^{8}}{525}}} וכו'. אולם, המתמטיקאי הראשון שהגיע לממצאים אלו (באופן בלתי תלוי) וגם פרסם אותם היה אדולף הורוויץ, לקראת סוף המאה ה-19. הורוויץ מצא ש-: G 4 k ( i ) = ( 2 ϖ ) 4 k ( 4 k ) ! H 4 k {\displaystyle G_{4k}(i)={\frac {(2\varpi )^{4k}}{(4k)!}}H_{4k}} כאשר H 4 k {\displaystyle H_{4k}} נקראים מספרי הורוויץ וערכיהם הראשונים הם: H 4 = 1 10 , H 8 = 3 10 {\displaystyle H_{4}={\frac {1}{10}},H_{8}={\frac {3}{10}}} . מספרי הורוויץ H n {\displaystyle H_{n}} מתאפסים עבור ערכים של n {\displaystyle n} שאינם כפולות שלמות של 4 בגלל תכונות הסימטריה והמודולריות של טורי אייזנשטיין (הוכחה לכך הובאה מקודם). תבנית מודולרית