חוג סופי באופן חלש

בתורת החוגים, חוג נקרא סופי באופן חלש (Weakly Finite או Stably finite) אם כל מטריצה ריבועית מעליו שהפיכה מימין היא גם הפיכה משמאל. תכונה זו חזקה יותר מהיותו של החוג בעל מספר בסיס קבוע. משפחות מוכרות ורחבות של חוגים מקיימות את התכונה. יהי R {\displaystyle R} חוג. נאמר ש- R {\displaystyle R} הוא סופי באופן חלש מסדר n {\displaystyle n} אם לכל שתי מטריצות ריבועיות A , B {\displaystyle A,B} עם רכיבים מ- R {\displaystyle R} המקיימות A B = I n {\displaystyle AB=I_{n}} , מתקיים גם B A = I n {\displaystyle BA=I_{n}} . החוג נקרא סופי באופן חלש אם הוא סופי באופן חלש מסדר n {\displaystyle n} לכל n {\displaystyle n} טבעי. אם חוג R {\displaystyle R} איננו סופי באופן חלש, ניתן להגדיר אידיאל J {\displaystyle J} הנוצר על ידי רכיבי כל המטריצות מהצורה I − B A {\displaystyle I-BA} עבור A , B {\displaystyle A,B} מטריצות כך ש- A B = I {\displaystyle AB=I} , ולהביט בחוג המנה R / J {\displaystyle R/J} . על תהליך זה ניתן לחזור לכל סודר α {\displaystyle \alpha } ולקבל את האידיאלים J α {\displaystyle J^{\alpha }} , ואם התהליך מסתיים אומרים שהחוג נהפך לחוג סופי באופן חלש. חוג סופי באופן חלש מסדר 1 נקרא חוג סופי-דדקינד (נקרא גם סופי ישר, directly finite). חוג שאינו סופי-דדקינד מכיל מערכת אידמפוטנטים אורתוגונלית אינסופית: אם a b = 1 {\displaystyle ab=1} אך b a ≠ 1 {\displaystyle ba\neq 1} , האיברים מהצורה e i j = b i ( 1 − b a ) a j {\displaystyle e_{ij}=b^{i}(1-ba)a^{j}} מהווים מערכת של יחידות מטריצות, ובפרט e i i {\displaystyle e_{ii}} הם אידמפוטנטים אורתוגונליים. ניתן לנסח את התנאי להיותו של חוג סופי באופן חלש בעזרת סדרה מדויקת של מודולים - אם A , B ∈ M n ( R ) {\displaystyle A,B\in M_{n}(R)} כך ש- A B = 1 {\displaystyle AB=1} , הסדרה הבאה מתפצלת: 0 → P → R n → A R n {\displaystyle 0\to P\to R^{n}{\overset {A}{\to }}R^{n}} כאשר P {\displaystyle P} הוא הגרעין. הסדרה אכן מתפצלת משום שיש להעתקה A {\displaystyle A} הפכית B {\displaystyle B} . מודול פרויקטיבי P {\displaystyle P} נקרא טריוויאלי באופן יציב מסדר n {\displaystyle n} (stably trivial) אם יש סדרה כלעיל שמפצלת, או בשקילות P ⊕ R n ≅ R n {\displaystyle P\oplus R^{n}\cong R^{n}} או בשקילות נוספת P ≅ Im ⁡ ( I − B A ) {\displaystyle P\cong \operatorname {Im} (I-BA)} . אם כן, R {\displaystyle R} הוא סופי באופן חלש אם ורק אם המודול היחיד שטריוויאלי באופן יציב (מסדר כלשהו) הוא אפס. כל חוג סופי באופן חלש הוא בעל מספר בסיס קבוע. לכן כל דוגמה לחוג שאיננו בעל מספר בסיס היא גם דוגמה לחוג שאיננו סופי באופן חלש; הדוגמה המוכרת היא חוג אנדומורפיזמים מעל מרחב וקטורי אינסוף-ממדי. Malcolmson הוכיח שתהליך הפיכת חוג לחוג סופי באופן חלש (על ידי חילוק באידיאל J {\displaystyle J} כלעיל) מסתיים אחרי פעם אחת - כלומר, החוג R / J {\displaystyle R/J} הוא כבר סופי באופן חלש. Malcolmson השתמש באידיאל העקבה (trace ideal) t ( R ) {\displaystyle t(R)} , והרים מודולים טריוויאליים באופן יציב מהמנה R / t ( R ) {\displaystyle R/t(R)} אל R {\displaystyle R} . הוא גם הראה שכל הומומורפיזם מ- R {\displaystyle R} אל חוג סופי באופן חלש עובר דרך מנות מהצורה R / J n {\displaystyle R/J_{n}} , כאשר J n = t ( S T n ( R ) ) {\displaystyle J_{n}=t(ST_{n}(R))} - אידיאל העקבה של סכום כל המודולים הטריוויאליים באופן יציב מעל R {\displaystyle R} , ולבסוף הוכיח ש- R / t ( S T ( R ) ) {\displaystyle R/t(ST(R))} (כאשר S T ( R ) = ∪ n ∈ N S T n ( R ) {\displaystyle ST(R)=\cup _{n\in \mathbb {N} }{ST_{n}(R)}} ) הוא חוג סופי חלש. כל תחום הוא סופי-דדקינד, אך קיימות דוגמות לתחומים שאינם סופיים באופן חלש (Shepherdson). כל חוג קומוטטיבי, חוג ארטיני וחוג נתרי הם סופיים באופן חלש. כל תת-חוג של חוג סופי באופן חלש גם הוא סופי באופן חלש; אם תמונה של חוג היא חוג סופי באופן חלש, כך גם החוג עצמו. אלגברת חבורה מעל שדה ממאפיין אפס היא סופית באופן חלש; זוהי שאלה פתוחה של קפלנסקי האם כל אלגברת חבורה היא סופית באופן חלש. אלגברת החבורה של חבורה סופיתית (מעל שדה שרירותי) היא סופית באופן חלש, ולמעשה חוג החבורה של חבורה סופיתית מעל כל חוג נתרי. חוג R {\displaystyle R} הוא בעל מספר יצירה לא חסום (unbounded generating number, ובקיצור מסמנים UGN) אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים: לכל n {\displaystyle n} טבעי קיים R {\displaystyle R} -מודול נוצר סופית שאי-אפשר ליצור על ידי n {\displaystyle n} איברים. לכל R {\displaystyle R} -מודול H {\displaystyle H} כך ש- R n ≅ H ⊕ R m {\displaystyle R^{n}\cong H\oplus R^{m}} נובע ש- n ≥ m {\displaystyle n\geq m} . לכל A ∈ M m , n ( R ) , B ∈ M n , m ( R ) {\displaystyle A\in M_{m,n}(R),B\in M_{n,m}(R)} המקיימות A B = I {\displaystyle AB=I} מתקיים n ≥ m {\displaystyle n\geq m} . תכונת ה-UGN היא תכונת ביניים - כל חוג סופי באופן חלש שאיננו אפס הוא בעל UGN, וכל חוג בעל UGN הוא גם בעל IBN. Cohn הוכיח כי חוג מקיים UGN אם ורק אם קיימת לו תמונה לא אפס שהיא חוג סופי באופן חלש. חוג בעל מספר בסיס קבוע P.M. Cohn, Basic algebra: Groups, Rings and Fields P. Malcolmson, On making rings weakly finite Rowen, Ring Theory I