חוג פשוט

בתורת החוגים, חוג פשוט הוא חוג שאין לו אידיאלים לא טריוויאליים. בהיותם האובייקטים היסודיים בתורת המבנה, נודעת חשיבות רבה להכרת החוגים הפשוטים במחלקות שונות של חוגים. החוגים הפשוטים הקומוטטיביים אינם אלא שדות. החוגים הפשוטים הארטיניים הם, לפי משפט ודרברן-ארטין, אלגברות מטריצות מעל חוגים עם חילוק. המבנה של חוגים פשוטים נתריים מסובך למדי, וידועות שם כמה וכמה דוגמאות פתולוגיות. המרכז של חוג פשוט הוא תמיד שדה, ולכן אפשר לראות את החוג כאלגברה מעל המרכז של עצמו. כל אלגברה מעל שדה אפשר לשכן באלגברה פשוטה (Bokut). תפקידם של החוגים הפשוטים בתורת החוגים אינו חד-משמעי כזה של החבורות הפשוטות בתורת החבורות: האחרונות משמשות דרך סדרות ההרכב אבני יסוד שאפשר לבנות מהן את כל החבורות הסופיות (וגם חבורות רבות אחרות). בתורת החוגים, למרות שלכל חוג (עם יחידה) יש מנות פשוטות, ולמרות קיומו של רדיקל בראון-מקוי המודד עד כמה המנות האלה רחוקות מלתאר את החוג כולו, הפירוק של חוג למרכיבים פשוטים - במידה שהוא אפשרי - נעשה דווקא דרך מודולים פשוטים. כל חוג עם חילוק הוא חוג פשוט, וכל חוג פשוט הוא חוג פרימיטיבי, ולכן ראשוני. אף אחת מן הגרירות הלוגיות הללו אינה דו-כיוונית. לכל חוג פשוט R {\displaystyle R} ממאפיין 0, אם d : R → R {\displaystyle d:R\rightarrow R} היא גזירה (כלומר, העתקה ליניארית המקיימת את כלל לייבניץ d ( a b ) = a d ( b ) + d ( a ) b {\displaystyle d(ab)=ad(b)+d(a)b} ; ראו אלגברה דיפרנציאלית) שאינה פנימית (כלומר, היא אינה מהצורה d ( a ) = a t − t a {\displaystyle d(a)=at-ta} עבור t {\displaystyle t} קבוע), אז הרחבת אור R [ x ; d ] {\displaystyle R[x;d]} (הכוללת את הפולינומים מעל R {\displaystyle R} , עם כלל הכפל x a = a x + d ( a ) {\displaystyle xa=ax+d(a)} ) היא חוג פשוט (עמיצור). חזרה איטרטיבית על בניה זו מביאה (כאשר F {\displaystyle F} שדה ממאפיין 0) לאלגברת וייל A n ( F ) = F [ x 1 , … , x n , y 1 , … , y n ] {\displaystyle A_{n}(F)=F[x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}]} , שבה כל x i {\displaystyle x_{i}} וכל y j {\displaystyle y_{j}} מתחלפים זה עם זה, למעט y i x i = x i y i + 1 {\displaystyle y_{i}x_{i}=x_{i}y_{i}+1} . זוהי דוגמה ידועה לאלגברה פשוטה נתרית. חוג הוא פשוט אם האידיאל (הדו-צדדי) שיוצר כל איבר שונה מאפס, מכיל את איבר היחידה. לפיכך ניתן להגדיר חוג n-פשוט בתור חוג שעבורו לכל a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} קיימים x 1 , … , x n , y 1 , … , y n {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}} כך ש- ∑ i = 1 n x i a y i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}ay_{i}=1} . חוג מטריצות מסדר n מעל שדה (או חוג עם חילוק) הוא n-פשוט. דוגמה חשובה מממד אינסופי היא המנה של חוג האופרטורים הליניאריים על מרחב וקטורי אינסוף ממדי (מממד בן-מנייה), באידיאל של העתקות שדרגתן סופית - מנה זו היא חוג 1-פשוט. ההגדרה לחוג פשוט אינה מבטיחה, א-פריורי, את קיומו של אבר יחידה (לדוגמה, חוג המטריצות הסופיות מסדר לא חסום מעל שדה) ומכאן שניתן לתהות האם קיימים חוגים פשוטים במחלקות של חוגים ללא יחידה - כמו חוגים השווים לרדיקל ג'ייקובסון של עצמם או חוגים ניליים (כפי ששאלו לויצקי, ג'ייקובסון, קפלנסקי ואחרים). בשנת 1961 נמצאה דוגמה לחוג פשוט השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו (Sasiada), ובשנת 2002 נמצאה דוגמה לחוג פשוט ונילי (Smoktunowicz). יצוין, כי אלגברה פשוטה נוצרת סופית אינה יכולה להיות רדיקל ג'ייקובסון, בגלל הלמה של נקאימה (בגרסתה הלא-קומוטטיבית). לכל חוג אסוציאטיבי R {\displaystyle R} נלווים חוג לי R − {\displaystyle R^{-}} וחוג ז'ורדן R + {\displaystyle R^{+}} הבנויים על אותם איברים ואותה פעולת חיבור, עם הכפל [ x , y ] = x y − y x {\displaystyle [x,y]=xy-yx} במקרה הראשון ו- x ∘ y = x y + y x {\displaystyle x\circ y=xy+yx} במקרה השני. באופן טיפוסי לאחרונים יש "יותר" אידיאלים מאשר ל- R {\displaystyle R} , משום שהפעולה שלהם סימטרית יותר. אם R {\displaystyle R} חוג פשוט ממאפיין שאינו 2, אז R + {\displaystyle R^{+}} הוא חוג ז'ורדן פשוט, וכל אידיאל של חוג לי R − {\displaystyle R^{-}} מוכל במרכז של R {\displaystyle R} או מכיל את כל הקומוטטורים שלו. חוג המנה [ R , R ] / Cent ⁡ ( R ) {\displaystyle [R,R]/\operatorname {Cent} (R)} הוא חוג לי פשוט. חוג פשוט, באתר MathWorld (באנגלית) חוג בלי יחידה A {\displaystyle A} הוא פשוט אם אין לו אידיאלים לא טריוויאליים, ובנוסף A 2 ≠ 0 {\displaystyle A^{2}\neq 0} . מן ההנחות האלה נובע שלמעשה A 2 = A {\displaystyle A^{2}=A} ; שוויון זה מובטח בכל מקרה בחוגים עם יחידה.