משפט ארדש-צ'באטאל

בתורת הגרפים, משפט ארדש-צ'באטאל הוא משפט המספק תנאי מספיק לקיום מעגל המילטון בגרף נתון. את המשפט הוכיחו פאול ארדש וווצלאב צ'באטאל(אנ'), במאמר שפרסמו יחדיו. יהי G = ( V , E ) {\displaystyle G={\big (}V,E{\big )}} גרף פשוט עם לפחות 3 קודקודים. יהי α ( G ) {\displaystyle \alpha (G)} מספר האי תלות של G {\displaystyle G} (גודל הקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר) ויהי K ( G ) {\displaystyle K\left(G\right)} הקשירות הקודוקדית של G (המספר הקטן ביותר של קודקודים שיש להסיר מG על מנת להפוך אותו לגרף לא קשיר). המשפט אומר שאם מתקיים α ( G ) ≤ K ( G ) {\displaystyle \alpha \left(G\right)\leq K\left(G\right)} , אז G {\displaystyle G} מכיל מעגל המילטון. נסמן k = K ( G ) {\displaystyle k=K\left(G\right)} , n = | V | {\displaystyle n=\left|V\right|} . אז אם k = 1 {\displaystyle k=1} נקבל כי α ( G ) ≤ 1 {\displaystyle \alpha \left(G\right)\leq 1} ולכן α ( G ) = 1 {\displaystyle \alpha \left(G\right)=1} . לכן בין כל שני קודקודים ב G {\displaystyle G} יש צלע ולכן G {\displaystyle G} קליקה. אבל אז k = K ( G ) = n − 1 {\displaystyle k=K\left(G\right)=n-1} , סתירה. לכן נוכל להניח כי k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2} . יהי C {\displaystyle C} המעגל בעל האורך הגדול ביותר ב G {\displaystyle G} . נטען כי C {\displaystyle C} מעגל המילטון. מאחר ש k = K ( G ) ≤ δ ( G ) {\displaystyle k=K\left(G\right)\leq \delta \left(G\right)} (כאשר δ ( G ) {\displaystyle \delta \left(G\right)} הדרגה המזערית ב G {\displaystyle G} ), מתקיים כי C {\displaystyle C} מכיל לפחות k + 1 {\displaystyle k+1} קודקודים. נסתכל בגרף G ( V ∖ V ( C ) ) {\displaystyle G\left(V\setminus V\left(C\right)\right)} (כלומר ב G {\displaystyle G} בלי הקודקודים של C {\displaystyle C} והצלעות שנוגעות בקודוקדים אלה). נניח בשלילה כי הוא אינו ריק. יהי U {\displaystyle U} רכיב קשירות בגרף זה. אז בגרף המקורי G {\displaystyle G} , קבוצת קודקודי U {\displaystyle U} מחוברת ל k {\displaystyle k} שכנים שונים ב C {\displaystyle C} - אחרת נוכל לנתק את U {\displaystyle U} מהמעגל C {\displaystyle C} על ידי הסרת פחות מ k {\displaystyle k} קודקודים, בסתירה לכך שהקשירות הקודקודית של G {\displaystyle G} היא k {\displaystyle k} . נכוון את צלעות המעגל C {\displaystyle C} לכיוון אחיד. תהי a 1 , a 2 , … , a k {\displaystyle a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{k}} סדרת k {\displaystyle k} השכנים השונים שיש ל U {\displaystyle U} על המעגל C {\displaystyle C} , מסודרים לפי סדר הופעתם במעגל. לכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} נסמן ב u i {\displaystyle u_{i}} את השכן של a i {\displaystyle a_{i}} ב U {\displaystyle U} וב b i {\displaystyle b_{i}} את האיבר המופיע מיד אחרי a i {\displaystyle a_{i}} במעגל C {\displaystyle C} . נשים לב כי איברי b i {\displaystyle b_{i}} שונים אחד מהשני, מכיוון שאיברי a i {\displaystyle a_{i}} שונים אחד מהשני. יהי u ∈ U {\displaystyle u\in U} כלשהו. נטען כי הקבוצה { b 1 , b 2 , … , b k } ∪ { u } {\displaystyle \left\{b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{k}\right\}\cup \left\{u\right\}} היא קבוצה בלתי תלויה. זה יגרור סתירה, כי זו קבוצה בלתי תלויה בגודל k + 1 {\displaystyle k+1} , כאשר הנחנו שהקבוצה הבלתי תלויה הגדולה ביותר היא בגודל לכל היותר k {\displaystyle k} . נראה ראשית שאין צלע בין b i {\displaystyle b_{i}} ל b j {\displaystyle b_{j}} כאשר i < j {\displaystyle i<j} . לו הייתה כזו, יכולנו ליצור מעגל באורך גדול יותר ב G {\displaystyle G} בצורה הבאה: נתחיל ב b j {\displaystyle b_{j}} , נמשיך לאורך C {\displaystyle C} עד שנגיע ל a i {\displaystyle a_{i}} , משם נמשיך ל u i {\displaystyle u_{i}} וממנו ל u j {\displaystyle u_{j}} (זה אפשרי כי u i {\displaystyle u_{i}} ו u j {\displaystyle u_{j}} באותו רכיב קשירות) ומ u j {\displaystyle u_{j}} נמשיך ל a j {\displaystyle a_{j}} משם נלך על C {\displaystyle C} בכיוון הנגדי עד ל b i {\displaystyle b_{i}} ומשם לבסוף ניקח את הצלע b i b j {\displaystyle b_{i}b_{j}} כדי לחזור ל b j {\displaystyle b_{j}} . בנוסף, נראה שאין צלע בין b i {\displaystyle b_{i}} ל- u {\displaystyle u} , לו הייתה כזאת יכולנו לקבל מעגל ארוך יותר באופן הבא: נתחיל ב b i {\displaystyle b_{i}} , נמשיך לאורך C {\displaystyle C} עד אשר נגיע ל a i {\displaystyle a_{i}} נמשיך ל u i {\displaystyle u_{i}} ומשם ל u {\displaystyle u} (זה אפשרי כי u , u i {\displaystyle u,u_{i}} באותו רכיב קשירות) ולבסוף ניקח את הצלע u b i {\displaystyle ub_{i}} כדי לחזור ל b i {\displaystyle b_{i}} . לכן קיבלנו כי הקבוצה { b 1 , b 2 , … , b k } ∪ { u } {\displaystyle \left\{b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{k}\right\}\cup \left\{u\right\}} היא קבוצה בלתי תלויה באורך k + 1 {\displaystyle k+1} , סתירה. "A note on Hamiltonian circuits