עקומת בודה

עקומת בּוֹדֶה היא דרך להצגת פונקציית תמסורת כפונקציה של התדירות, כאשר התדירות מוצגת בציר האופקי בסולם לוגריתמי. לרוב, פונקציית התמסורת היא פונקציה מרוכבת ולכן הצגתה מורכבת משתי עקומות: עקומת הגבר ועקומת מופע (או פאזה), שיחד מרכיבות את תגובת התדר של המערכת. עקומת בודה קרויה על שם המהנדס האמריקאי הנדריק וייד בודה (Hendrik Wade Bode) שהגה שיטה פשוטה אך מדויקת זו לציור גרפים של הגבר והסטת מופע, כשעבד במעבדות בל בשנות ה-30. עקום ההגבר הוא גרף של הגבר עוצמת המתח בדציבלים – לוגריתם הערך המוחלט של פונקציית התמסורת מוכפל ב-20 כפונקציה של התדר בסולם לוגריתמי. ניתן לתאר את הגרף גם כריבוע היחס בין משרעת מוצא המערכת לבין משרעת הכניסה בדציבלים כתלות בתדירות בסולם לוגריתמי: | H ( j ω ) | = 20 log 10 ⁡ | H ( j ω ) |   [ d B ] = 10 log 10 ⁡ | y ( t ) x ( t ) | 2   [ d B ] {\displaystyle \left|H\left(j\omega \right)\right|=20\log _{10}{\left|H\left(j\omega \right)\right|}\ [dB]=10\log _{10}{\left|{\frac {y\left(t\right)}{x\left(t\right)}}\right|^{2}}\ [dB]} עקום המופע הוא הפרש המופע בין המוצא לכניסה כתלות בתדירות (גם כן בסולם לוגריתמי) והוא לרוב מופיע תחת עקום ההגבר באותו קנה מידה. עקומת בודה משמשת לתיאור תגובת התדר של מסננים ושל מערכות משוב. מאחר שההגבר מוצג בדציבלים, מחוקי הלוגריתמים נובע שהן עקום ההגבר והן עקום המופע ליניאריים למקוטעין, והשינויים בשיפוע העקומות מתרחשים סביב הקטבים והאפסים של פונקציית התמסורת. תדרים אלה נקראים תדרי ברך, תדרי קיטעון או תדרי סינון. עקומת בודה אסימפטוטית היא עקומה המשורטטת כליניארית למקוטעין. עקומה המייצגת את תגובת התדר המדויקת נקראת עקומת בודה מתוקנת. ניתן לכתוב את פונקציית התמסורת של רוב המערכות הליניאריות בצורה: H ( s ) = A ∏ ( s + x n ) a n ( s + y n ) b n {\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}} כאשר s = j ω {\displaystyle s=j\omega } הוא המשתנה של התמרת לפלס ( ω {\displaystyle \omega } היא התדירות הזוויתית), x n {\displaystyle x_{n}} ו- y n {\displaystyle y_{n}} הם קבועים המייצגים את האפסים והקטבים בהתאמה, a n {\displaystyle a_{n}} ו- b n {\displaystyle b_{n}} הם מספרים טבעיים ו- A {\displaystyle A} הוא קבוע. הפעלת לוגריתם על שני אגפי המשוואה נותנת סכום של הקטבים והאפסים: log ⁡ ( H ( s ) ) = log ⁡ ( A ) + ∑ a n log ⁡ ( s + x n ) − ∑ b n log ⁡ ( s + y n ) {\displaystyle \log(H(s))=\log(A)+\sum a_{n}\log(s+x_{n})-\sum b_{n}\log(s+y_{n})} עקומת ההגבר האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס ( ω = x n {\displaystyle \omega =x_{n}} ) ישנה עלייה בשיפוע של 20 a n {\displaystyle 20a_{n}} דציבל לדקאדה, ובכל קוטב ( ω = y n {\displaystyle \omega =y_{n}} ) ישנה ירידה בשיפוע של 20 b n {\displaystyle 20b_{n}} דציבל לדקאדה. ההגבהה של הגרף תלויה ב- A {\displaystyle A} וניתן לחשב אותה על ידי הצבת ω = 0 {\displaystyle \omega =0} ב- | H ( j ω ) | {\displaystyle |{H(j\omega )}|} . עקומת ההגבר המתוקנת עוברת 3 a n d B {\displaystyle 3a_{n}\mathrm {dB} } מעל העקומה האסימפטוטית בכל אפס ו- 3 b n d B {\displaystyle 3b_{n}\mathrm {dB} } מתחת לעקומה האסימפטוטית בכל קוטב. עקומת המופע מתחילה מהזווית של A בהצגה קוטבית בהמישור המרוכב. אם A {\displaystyle A} ממשי וחיובי העקומה המופע מתחילה ב-0 מעלות ואם הוא שלילי היא מתחילה מ-180 מעלות. בכל אפס יציב ( ω = x n , R e ( x n ) < 0 {\displaystyle \omega =x_{n},Re(x_{n})<0} ) בעקומת המופע האסימפטוטית ישנה עלייה בשיפוע של 45 a n {\displaystyle 45a_{n}} מעלות לדקאדה, ובכל קוטב ( ω = y n , R e ( y n ) < 0 {\displaystyle \omega =y_{n},Re(y_{n})<0} ) ישנה ירידה בשיפוע של 45 b n {\displaystyle 45b_{n}} מעלות לדקאדה. עבור קטבים ואפסים בלתי יציבים, השינוי הוא הפוך. השינוי בשיפוע מתחיל דקאדה אחת לפני הקוטב או האפס ומסתיים דקאדה אחת אחריו, כך שכל שינוי הוא של 90 מעלות. עקום נייקוויסט