רמה של שדה

בתורת השדות, הרמה של שדה F, המסומנת s ( F ) {\displaystyle s(F)} , היא המספר הקטן ביותר ℓ {\displaystyle \ell } כך ש- − 1 {\displaystyle -1} הוא סכום של ℓ {\displaystyle \ell } ריבועים. לפי משפט ארטין-שרייר, שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם הרמה שלו אינסופית. חישוב הרמה של שדה הוא בדרך כלל בעיה אריתמטית קשה. יהי F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה. האורך של כל a ∈ F {\displaystyle a\in \mathbb {F} } הוא המספר המינימלי ℓ {\displaystyle \ell } עבורו a {\displaystyle a} הוא סכום של ℓ {\displaystyle \ell } ריבועים. אם אין מספר כזה, נאמר שהאורך הוא אינסופי. הרמה של השדה היא האורך של − 1 {\displaystyle -1} , ומסמנים אותה s ( F ) {\displaystyle s(\mathbb {F} )} אלברט פיסטר הוכיח שהרמה של שדה היא או אינסוף או חזקה של 2. לכל חזקת 2 אכן קיים שדה שזו הרמה שלו, לפי המשפט הבא של פיסטר: משפט (Pfister): שדה הפונקציות הרציונליות של היריעה הפרויקטיבית האלגברית הנתונה על ידי המשוואה x 0 2 + . . . + x 2 n 2 = 0 {\displaystyle x_{0}^{2}+...+x_{2n}^{2}=0} הוא מרמה s ( F ) = 2 n {\displaystyle s(\mathbb {F} )=2^{n}} . שדות מסוג זה היו הדוגמאות הראשונות לשדות מרמה שגדולה מ-4, ובמובן מסוים הם השדות היחידים מרמה גדולה מ-4 הידועים עד היום. משפט ארטין-שרייר קובע כי שדה הוא ניתן לסידור אם ורק אם − 1 {\displaystyle -1} איננו סכום של ריבועים, כלומר הרמה שלו אינסופית. הרמה של שדה סופי מסדר n {\displaystyle n} היא 1 {\displaystyle 1} אם n = 1 ( mod 4 ) {\displaystyle n=1({\bmod {4}})} ו- 2 {\displaystyle 2} אם n = 3 ( mod 4 ) {\displaystyle n=3({\bmod {4}})} . הרמה של שדה מספרים מהצורה Q [ − d ] {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]} כאשר d {\displaystyle d} מספר טבעי שהוא סכום של שלושה ריבועים היא 4. האורך של סכום ריבועים בשדה גלובלי הוא לכל היותר 4, ולכן הרמה היא 1,2 או 4 או אינסוף. מתקיים s ( F ) = s ( F ( t ) ) = s ( F ( ( t ) ) ) {\displaystyle s(\mathbb {F} )=s(\mathbb {F} (t))=s(\mathbb {F} ((t)))} . אם הרמה של שדה לא ממשי היא 2 r {\displaystyle 2^{r}} , אז חוג ויט W ( F ) {\displaystyle W(\mathbb {F} )} הוא בעל פיתול 2 r + 1 {\displaystyle 2^{r+1}} . הרמה של הרחבה לא-ממשית סופית של R ( ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle \mathbb {R} ((x_{1},\dots ,x_{n}))} היא לכל היותר 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} . יהי F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה ו- q {\displaystyle q} תבנית ריבועית מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } . הרמה של השדה ביחס לתבנית היא המספר המינימלי ℓ {\displaystyle \ell } עבורו − 1 {\displaystyle -1} הוא סכום של ℓ {\displaystyle \ell } ערכים של q {\displaystyle q} , כלומר − 1 = q ( x 1 ) + . . . + q ( x l ) {\displaystyle -1=q(x_{1})+...+q(x_{l})} (ואינסוף אם אין ערכים כאלה). הרמה של השדה היא הרמה ביחס לתבנית q ( x ) = x 2 {\displaystyle q(x)=x^{2}} , והאורך של איבר a {\displaystyle a} הוא הרמה ביחס לתבנית q ( x ) = a − 1 x 2 {\displaystyle q(x)=a^{-1}x^{2}} . את הרמה ביחס לתבנית נסמן s q ( F ) {\displaystyle s_{q}(\mathbb {F} )} . מתקיימות התכונות הבסיסיות הבאות: 1 ≤ s q ( F ) ≤ s ( F ) + 1 {\displaystyle 1\leq s_{q}(\mathbb {F} )\leq s(\mathbb {F} )+1} . אם K / F {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת שדות אז s q ( F ) ≥ s q ( K ) {\displaystyle s_{q}(\mathbb {F} )\geq s_{q}(\mathbb {K} )} , לכל תבנית משדה הבסיס. אם ההרחבה לעיל מממד אי-זוגי, אז יש שוויון - s q ( F ) = s q ( K ) {\displaystyle s_{q}(\mathbb {F} )=s_{q}(\mathbb {K} )} בדומה לרמה הרגילה, אם K / F {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבה טרנסצנדנטית אז s q ( F ) = s q ( K ) = s q ( K ( ( t ) ) ) {\displaystyle s_{q}(\mathbb {F} )=s_{q}(\mathbb {K} )=s_{q}(\mathbb {K} ((t)))} . אם K / F {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } הרחבת שדות ריבועית, ונניח K = F [ a ] {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]} , אז מתקיים s ( K ) = s ⟨ 1 , − a ⟩ ( F ) = s ⟨ ⟨ a ⟩ ⟩ ( F ) {\displaystyle s(K)=s_{\langle 1,-a\rangle }(\mathbb {F} )=s_{\langle \langle a\rangle \rangle }(\mathbb {F} )} , כאשר ⟨ ⟨ ⋅ ⟩ ⟩ {\displaystyle \langle \langle \cdot \rangle \rangle } היא תבנית פיסטר. ביתר כלליות, אם Q = ( a , b ) 2 {\displaystyle Q=(a,b)_{2}} אלגברת קווטרניונים מעל F {\displaystyle \mathbb {F} } אז s ( Q ) = s ⟨ ⟨ a , b ⟩ ⟩ ( F ) {\displaystyle s(Q)=s_{\langle \langle a,b\rangle \rangle }(\mathbb {F} )} . אם ϕ {\displaystyle \phi } תבנית פיסטר אז s ϕ ( F ) {\displaystyle s_{\phi }(\mathbb {F} )} הוא או אינסוף או חזקת 2. במקרה של הרחבת שדות ריבועית K / F {\displaystyle \mathbb {K} /\mathbb {F} } עם K = F [ a ] {\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {F} [{\sqrt {a}}]} , אז ℓ ϕ ( − a ) ≤ 2 s ϕ ( K ) {\displaystyle \ell _{\phi }(-a)\leq 2s_{\phi }(\mathbb {K} )} . שאלת הרמה (The level question) שואלת האם קיים שדה בעל מספר מחלקות ריבועים q ( F ) = | F × / F × 2 | {\displaystyle q(\mathbb {F} )=|\mathbb {F} ^{\times }/\mathbb {F} ^{\times ^{2}}|} סופי, שהרמה שלו 4 < s ( F ) < ∞ {\displaystyle 4<s(\mathbb {F} )<\infty } . שאלה זו נשארה פתוחה עד היום. בכל זאת, ישנן מספר תוצאות משניות (למקור ראו בקריאה נוספת). משפט (Djokovic): אם F {\displaystyle \mathbb {F} } שדה בעל רמה 8 ≤ s < ∞ {\displaystyle 8\leq s<\infty } אז מתקיים: q ( F ) ≥ 2 ∑ i = 1 s / 2 1 s − i + 2 ⋅ ( s + 1 i ) > 2 s + 2 s {\displaystyle q(\mathbb {F} )\geq 2\sum _{i=1}^{s/2}{\frac {1}{s-i+2}}\cdot {{s+1} \choose i}>{\frac {2^{s+2}}{s}}} עבור s = 8 , 16 {\displaystyle s=8,16} מתקבלות תוצאות טובות יותר: משפט: אם s ( F ) = 8 {\displaystyle s(\mathbb {F} )=8} אז q ( F ) ≥ 2 9 {\displaystyle q(\mathbb {F} )\geq 2^{9}} . אם s ( F ) = 16 {\displaystyle s(\mathbb {F} )=16} אז q ( F ) ≥ 2 15 {\displaystyle q(\mathbb {F} )\geq 2^{15}} . משפט ארטין-שרייר Level of a field and the number of square classes, Dragomir Ž. Djoković, 1974 On the Number of Square Classes of a Field of Finite Level, Karim Johannes Becher, 2011 Sums of values represented by a quadratic form, G. Berhuy, N. Grenier-Boley, M. G. Mahmoudi, 2011