משפט ההישנות של פואנקרה

משפט ההישנות של פואנקרה הוא משפט מתמטי העוסק במערכות דינמיות, בעל שימושים בסטטיסטיקה ובפרט בתהליכים מקריים, וכן בפיזיקה סטטיסטית. במילים פשוטות המשפט קובע כי בתנאים מסוימים, חלקיק הנע בצורה אקראית בתוך תיבה, יחזור קרוב ככל שנרצה למיקומו המקורי לאחר פרק זמן סופי כלשהו. למשפט היה תפקיד חשוב בהתפתחות הפיזיקה הסטטיסטית בסופה של המאה ה-19, והוא הביא את הפיזיקאים לנסח מחדש את הנחת הארגודיות. המשפט קרוי על-שמו של המתמטיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה שדן בו בשנת 1890. המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי היווני-גרמני קונסטנטין קרתאודורי בשנת 1919, תוך שימוש בכלים מתורת המידה. מאז הוכחת הגרסה הבסיסית של המשפט, פותחו גרסאות נוספות והכללות נוספות שלו, בין השאר גם מנקודות מבט טופולוגיות או גאומטריות. למשל גרסאות העוסקות ב"הישנות מְרוּבָּה". באופן כללי, המשפט עוסק במרחב הסתברות ( X , F , P ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)} , יחד עם העתקה מדידה T : X → X {\displaystyle T:X\to X} שהיא שומרת מידה, כלומר, P ( E ) = P ( T − 1 E ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(E\right)=\mathbb {P} \left(T^{-1}E\right)} לכל מאורע E ∈ F {\displaystyle E\in {\mathcal {F}}} . גרסה הסתברותית יהי E ∈ F {\displaystyle E\in {\mathcal {F}}} מאורע בעל הסתברות חיובית. לכל x ∈ E {\displaystyle x\in E} , נגדיר n ( x ) = inf { n ∈ N ∣ T n x ∈ E } {\displaystyle n(x)=\inf \left\{n\in \mathbb {N} \mid T^{n}x\in E\right\}} . אזי מתקיים כי n ( x ) < ∞ {\displaystyle n(x)<\infty } בהסתברות 1. דוגמה לכך שהדרישה כי מידת המרחב תהיה סופית, כלומר שהמרחב יהיה מרחב הסתברות, היא הדוגמה של ההעתקה T : R → R {\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } המוגדרת T x = x + 1 {\displaystyle Tx=x+1} . קל לראות כי זו העתקה מדידה ושומרת מידה, ובכל זאת אף נקודה אינה חוזרת לעצמה. גרסה מטרית נניח עוד כי ( X , d ) {\displaystyle \left(X,d\right)} מרחב מטרי קומפקטי, וכי T {\displaystyle T} היא גם פונקציה רציפה שהיא הומאומורפיזם. אזי קיימת נקודה x ∈ X {\displaystyle x\in X} כך שלכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} קיים n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } שעבורו d ( x , T n x ) < ϵ {\displaystyle d\left(x,T^{n}x\right)<\epsilon } . גרסה טופולוגית נניח עוד כי X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי האוסדורף המקיים את אקסיומת המנייה השנייה. תהי Σ {\displaystyle \Sigma } טופולוגיה המכילה את סיגמא-אלגברת בורל, שביחס אליה T {\displaystyle T} היא פונקציה רציפה. אזי בהסתברות 1, עבור x ∈ X {\displaystyle x\in X} , לכל סביבה פתוחה U ∈ Σ {\displaystyle U\in \Sigma } של x {\displaystyle x} , קיים n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } שעבורו T n x ∈ U {\displaystyle T^{n}x\in U} . נוכיח להלן את הגרסה ההסתברותית של המשפט. לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } נגדיר E n = { x ∈ E ∣ n ( x ) = n } {\displaystyle E_{n}=\left\{x\in E\mid n(x)=n\right\}} . כמו כן נגדיר E ∞ = { x ∈ E ∣ T n x ∉ E ,   ∀ n ∈ N E } {\displaystyle E_{\infty }=\left\{x\in E\mid T^{n}x\notin E,~\forall n\in \mathbb {N} E\right\}} . ברור כי E = E ∞ ∪ ⋃ n = 1 ∞ E n {\displaystyle E=E_{\infty }\cup \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}} וכי הצגה זו היא איחוד זר. כמו כן אלה קבוצות מדידות, שכן מתקיים E 1 = E ∩ T − 1 E {\displaystyle E_{1}=E\cap T^{-1}E} וכן ניתן להראות באינדוקציה כי E n = E ∩ T − n E ∩ ⋂ j = 1 n − 1 T − j ( X ∖ E ) {\displaystyle E_{n}=E\cap T^{-n}E\cap \bigcap _{j=1}^{n-1}T^{-j}\left(X\backslash E\right)} לכל n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} . נשים לב כי עבור כל x ∈ E ∞ {\displaystyle x\in E_{\infty }} בהכרח T n x ∉ E ∞ {\displaystyle T^{n}x\notin E_{\infty }} לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } . נובע מכך כי הסדרה { T − i E ∞ } i = 1 ∞ {\displaystyle \left\{T^{-i}E_{\infty }\right\}_{i=1}^{\infty }} היא סדרה של קבוצות זרות. מהיות T {\displaystyle T} שומרת מידה נובע כי P ( E ∞ ) = P ( T − i E ∞ ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(E_{\infty }\right)=\mathbb {P} \left(T^{-i}E_{\infty }\right)} לכל i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } , ולכן נובע כי, 1 = P ( X ) ≥ P ( ⋃ i = 1 ∞ T − i E ) = ∑ i = 1 ∞ P ( T − i E ) = ∑ i = 1 ∞ P ( E ∞ ) {\displaystyle 1=\mathbb {P} \left(X\right)\geq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }T^{-i}E\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(T^{-i}E\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(E_{\infty }\right)} ומכאן כי בהכרח P ( E ∞ ) = 0 {\displaystyle \mathbb {P} \left(E_{\infty }\right)=0} , כפי שנדרש. H. Poincaré: Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique, Acta Math. 13 1890 1-270; Œuvres VII 262-490 (theorem 1 section 8) C. Carathéodory: Über den Wiederkehrsatz von Poincaré. Berl. Sitzungsber. 1919, 580-584; Ges. math. Schr. IV 296-301 Terence Tao, 254A, Lecture 4: Multiple recurrence, What's new Poincar'e recurrence theorem, PlanetMath MICHAEL BOSHERNITZAN & ELI GLASNER, ON TWO RECURRENCE PROBLEMS, in: Fundamenta Math. 206 (2009), 113-130 Terence Tao, 254A, Lecture 3: Minimal dynamical systems, recurrence, and the Stone-Čech compactification, What's new