משפט דונסקר

בתורת ההסתברות, משפט דונסקר (הידוע גם כעקרון האינווריאנטיות של דונסקר, או משפט הגבול המרכזי הפונקציונלי), על שם מונרו ד' דונסקר, הוא הרחבה פונקציונלית של משפט הגבול המרכזי עבור פונקציות התפלגות אמפיריות. המשפט קובע כי גרסה ממורכזת ובקנה מידה מותאם של פונקציית ההתפלגות האמפירית מתכנסת לתהליך גאוסי. נתונה סדרת משתנים מקריים X 1 , X 2 , X 3 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } בלתי תלויים ושווי התפלגות עם תוחלת 0 ושונות 1. נסמן S n := ∑ i = 1 n X i {\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}} . התהליך הסטוכסטי S := ( S n ) n ∈ N {\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }} נקרא הילוך מקרי. נגדיר לכל t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle t\in [0,1]} , . W ( n ) ( t ) := S ⌊ n t ⌋ n {\displaystyle .W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}}} ממשפט הגבול המרכזי נובע כאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , הסדרה W ( n ) ( 1 ) {\displaystyle W^{(n)}(1)} מתכנסת בהתפלגות למשתנה מקרי נורמלי תקני W ( 1 ) {\displaystyle W(1)} . עקרון האינווריאנטיות של דונסקר מרחיב את ההתכנסות הזו לכל הפונקציה W ( n ) := ( W ( n ) ( t ) ) t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}} . ליתר דיוק, בצורתו המודרנית, מעקרון האינווריאנטיות של דונסקר נובע שכפונקציות מקריות השייכות למרחב סקורוקוד D [ 0 , 1 ] {\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]} , כאשר n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } , הפונקציות W ( n ) {\displaystyle W^{(n)}} מתכנסות בהתפלגות לתנועה בראונית סטנדרטית W := ( W ( t ) ) t ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}} . נתונה סדרה F n {\displaystyle F_{n}} של פונקציות ההתפלגות האמפיריות הנבנית מתוך סדרה של משתנים מקריים X 1 , X 2 , X 3 , … {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } בלתי תלויים ושווי התפלגות מהתפלגות F {\displaystyle F} . נגדיר G n ( x ) = n ( F n ( x ) − F ( x ) ) {\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))} לכל x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . לפי משפט הגבול המרכזי הקלאסי, עבור x {\displaystyle x} נתון, כאשר n {\displaystyle n} שואף לאינסוף, המשתנה המקרי G n ( x ) {\displaystyle G_{n}(x)} מתכנס בהתפלגות למשתנה מקרי נורמלי G ( x ) {\displaystyle G(x)} עם תוחלת 0 {\displaystyle 0} ושונות F ( x ) ( 1 − F ( x ) ) {\displaystyle F(x)(1-F(x))} . הסדרה של G n ( x ) {\displaystyle G_{n}(x)} , כפונקציות קדלג מקריות של מרחב סקורוקוד D ( − ∞ , ∞ ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )} , מתכנסת בהתפלגות לתהליך גאוסי G {\displaystyle G} עם תוחלת 0 {\displaystyle 0} ושונות משותפת; . cov ⁡ [ G ( s ) , G ( t ) ] = E [ G ( s ) G ( t ) ] = min { F ( s ) , F ( t ) } − F ( s ) F ( t ) {\displaystyle .\operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)F(t)} ניתן לכתוב G ( x ) = B ( F ( X ) ) {\displaystyle G(x)=B(F(X))} כאשר B {\displaystyle B} הוא גשר בראוני סטנדרטי. קולמוגורוב (1933) הראה שכאשר התפלגות F {\displaystyle F} היא רציפה, החסם העליון sup x G n ( x ) {\displaystyle \sup _{x}G_{n}(x)} והחסם העליון של הערך המוחלט, sup x | G n ( x ) | {\displaystyle \sup _{x}|G_{n}(x)|} מתכנס בהתפלגות לגשר בראוני B ( x ) {\displaystyle B(x)} (ראה מבחן קולמוגורוב-סמירנוב). בשנת 1949 שאל דוב האם ההתכנסות בהתפלגות מתקיימת עבור פונקציונלים כלליים יותר, ובכך ניסח בעיה של התכנסות חלשה של פונקציות מקריות במרחב פונקציות מתאים. ב-1952 דונסקר הצהיר והוכיח (לא לגמרי נכון) הרחבה כללית התואמת לגישה היוריסטית של דוב-קולמוגורוב. במאמר המקורי, דונסקר הוכיח שההתכנסות של G ( x ) {\displaystyle G(x)} לגשר בראוני מתקיימת עבור התפלגות אחידה U ( 0 , 1 ) {\displaystyle U(0,1)} ביחס להתכנסות במידה שווה על פני הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} . אולם כאמור, הניסוח של דונסקר לא היה ממש נכון, בגלל בעיית המדידות של פונקציונלים של תהליכים בלתי רציפים. בשנת 1956 הגדירו סקורוקוד וקולמוגורוב מטריקה d {\displaystyle d} ניתנת להפרדה, הנקראת מטריקת סקורוקוד, על המרחב D [ 0 , 1 ] {\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]} של פונקציות קדלג על- [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} והראו כי במרחב זה G n {\displaystyle G_{n}} מתכנס ב - D [ 0 , 1 ] {\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]} לגשר הבראוני. מאוחר יותר דאדלי ניסח מחדש והוכיח את התוצאה של דונסקר תוך כדי עקיפת הצורך להשתמש במטריקת סקורוקוד. גרסה משופרת של תוצאה זו, המספקת פרטים נוספים על קצב ההתכנסות, נקראת קירוב קומלוס-מייג'ור-טוסנאדי. משפט גליבנקו-קנטלי Donsker, .M.D (1951). "An invariance principle for certain probability limit theorems". Memoirs of the American Mathematical Society (6). Donsker, M. D. (1952). "Justification and extension of Doob's heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems". Annals of Mathematical Statistics. 23 (2): 277–281. doi:10.1214/aoms/1177729445. Doob, Joseph L. (1949). "Heuristic approach to the Kolmogorov–Smirnov theorems". Annals of Mathematical Statistics. 20 (3): 393–403. doi:10.1214/aoms/1177729991. Dudley, .R.M (1999). Uniform Central Limit Theorems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46102-3.