משפט קנטור-בנדיקסון

משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה. המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף. קבוצה P {\displaystyle P} היא קבוצה מושלמת אם היא הקבוצה הנגזרת של עצמה. בנוסח שקול, P {\displaystyle P} מושלמת אם ורק אם היא סגורה ואין לה נקודות מבודדות. משפט קנטור-בנדיקסון. לכל X ⊆ R {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} } סגורה קיימת P {\displaystyle P} מושלמת ו- C {\displaystyle C} בת-מנייה, כך ש- X = P ∪ C {\displaystyle X=P\cup C} ו- P ∩ C = ∅ {\displaystyle P\cap C=\emptyset } . ההוכחה המקורית של המשפט עושה שימוש בדרגת קנטור-בנדיקסון של הקבוצה. אם X {\displaystyle X} קבוצה סגורה בישר שדרגתה α {\displaystyle \alpha } אז X α {\displaystyle X^{\alpha }} קבוצה מושלמת. מכך שהישר הוא מרחב מנייה שנייה נובע ש- X ∖ X α {\displaystyle X\setminus X^{\alpha }} בת-מנייה. נציג כאן הוכחה אלמנטרית יותר. תהי X ⊆ R {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} } סגורה. נתייחס ל- X {\displaystyle X} כמרחב טופולוגי עם הטופולוגיה המושרית מהישר. נקודת עיבוי של X {\displaystyle X} היא נקודה שכל סביבה שלה (ב- X {\displaystyle X} ) אינה בת-מנייה. תהי P {\displaystyle P} קבוצת נקודות העיבוי של X {\displaystyle X} . נוכיח כי C = X ∖ P {\displaystyle C=X\setminus P} בת-מנייה. B = { X ∩ ( p , q ) : p , q ∈ Q } {\displaystyle B=\{X\cap (p,q):p,q\in \mathbb {Q} \}} הוא בסיס בן-מנייה של X {\displaystyle X} . תהי { U n } n {\displaystyle \{U_{n}\}_{n}} קבוצת כל איברי B {\displaystyle B} שהן קבוצות בנות-מנייה. כל x ∈ U n {\displaystyle x\in U_{n}} אינה נקודת עיבוי, כי U n {\displaystyle U_{n}} סביבה בת-מנייה, ולכן x ∈ C {\displaystyle x\in C} . מצד שני, לכל x ∈ C {\displaystyle x\in C} יש סביבה בת-מנייה, המכילה תת-סביבה בסיסית כלשהי שהיא בת-מנייה, ולכן C = ∪ n ∈ N U n {\displaystyle C=\cup _{n\in \mathbb {N} }U_{n}} . מכאן ש- C {\displaystyle C} בת-מנייה כאיחוד בן-מנייה של קבוצות בנות-מנייה. נוכיח כי ל- P {\displaystyle P} אין נקודות מבודדות. תהי x ∈ P {\displaystyle x\in P} ותהי U {\displaystyle U} סביבה שלה. מכיוון ש- x {\displaystyle x} נקודת עיבוי U {\displaystyle U} אינה בת-מנייה. C {\displaystyle C} בת-מנייה ולכן U ∖ C {\displaystyle U\setminus C} מכילה אינסוף נקודות. אולם U ∖ C ⊆ X ∖ C = P {\displaystyle U\setminus C\subseteq X\setminus C=P} , ולכן U {\displaystyle U} מכילה אינסוף נקודות של P {\displaystyle P} , כלומר x {\displaystyle x} לא מבודדת ב- P {\displaystyle P} . כדי להוכיח ש- P {\displaystyle P} מושלמת נותר להוכיח כי היא סגורה ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } . P {\displaystyle P} סגורה ב- X {\displaystyle X} כי C {\displaystyle C} פתוחה ב- X {\displaystyle X} כאיחוד של קבוצות פתוחות. לפי הגדרת הטופולוגיה המושרית קיימת Y {\displaystyle Y} סגורה ב- R {\displaystyle \mathbb {R} } כך ש- P = X ∩ Y {\displaystyle P=X\cap Y} . לכן P {\displaystyle P} סגורה בישר כחיתוך של קבוצות סגורות. כל קבוצה מושלמת היא ריקה או מעוצמת הרצף. לכן ממשפט קנטור-בנדיקסון נובע שכל קבוצה סגורה היא בת-מנייה (במקרה P = ∅ {\displaystyle P=\emptyset } ) או מעוצמת הרצף. כל קבוצה פתוחה לא ריקה מכילה גם היא קבוצה מושלמת לא ריקה (כי היא מכילה קטע סגור שהוא מושלם). קנטור קיווה להוכיח שכל קבוצה שאינה בת-מנייה מכילה קבוצה מושלמת ובכך להוכיח את השערת הרצף. אם מניחים את אקסיומת הבחירה, טענה זו אינה נכונה וניתן לבנות בלכסון דוגמה נגדית.