זרימת דה לאוואל

במכניקת הזורמים, זרימת דה לאוואל היא זרימה של גזים דרך נחיר מתכנס־מתבדר (convergent-divergent nozzle), כלומר נחיר בעל שטח חתך ההולך וקטן עד לנקודה מינימלית הנקראת צוואר הנחיר (Throat) ומתרחב ממנה והלאה. צורת זרימה זו נקראת על שם המהנדס השוודי גוסטף דה לאוואל (Gustaf de Laval) אשר עסק בפיתוח טורבינות קיטור והיא נפוצה בעיקר כיישום ליצירת דחף בהנעה רקטית והנעה סילונית. בזרימה מסוג זה, כאשר הזורם הוא גז, הזורם מאיץ כאשר הוא עובר באזור המתכנס עד אשר הוא מגיע למהירות הקול (מאך 1) בצוואר הנחיר, ולחצו קטן. לאחר מכן, עקב מעבר מהירות הקול והיווצרות זרימה חנוקה, הוא ממשיך להאיץ גם באזור שבו שטח החתך הולך וגדל ולחצו ממשיך לקטון. התנהגות זו היא הפוכה בזורם בלתי דחיס (נוזל) אשר מאט עם הגדלת שטח החתך. המשוואות והפיתוחים הקשורים בזרימת דה לאוואל עושים שימוש במספר גדלים פיזיקליים מתחומי תורת הזרימה ותורת מעבר החום: T {\displaystyle T} – טמפרטורה (K) ρ {\displaystyle \rho } – צפיפות הגז (Kg/m³) R {\displaystyle R} – קבוע הגזים האוניברסלי – 8314.5 (J/(kmol·K p {\displaystyle p} – לחץ הגז (Pa) M w {\displaystyle M_{w}} – המסה המולקולרית של הגז (kg/kmol) c p {\displaystyle c_{p}} – קיבול חום (החום הסגולי) של הגז בלחץ קבוע (J/K) c v {\displaystyle c_{v}} – קיבול חום של הגז בנפח קבוע (J/K) γ {\displaystyle \gamma } – c p c v {\displaystyle {\frac {c_{p}}{c_{v}}}} – יחס החומים הסגוליים של הזורם a {\displaystyle a} – מהירות הקול באוויר – γ R T {\displaystyle {\sqrt {\gamma RT}}} M {\displaystyle M} – מספר המאך של הזרימה – u a {\displaystyle {\frac {u}{a}}} A {\displaystyle A} – שטח החתך המקומי של הנחיר (m²) לצורך פישוט החישובים, נהוג לבצע מספר הנחות והפשטות: הזרימה מתרחשת במצב מתמיד, כלומר כל החישובים אינם תלויים בזמן. הזרימה היא אדיאבטית וחסרת חיכוך, לכן מתקיים שימור אנרגיה עבור המערכת הנבחנת, ובפרט עבור הזורם. תוצאה נוספת של תנאי היא שהזרימה היא איזנטרופית. הזרימה היא, בקירוב, קוואזי־חד־ממדית. משמעות הנחה זו היא שמאפייני הזרימה תלויים רק בחתך הנבחן לאורך צירו של הנחיר, ולא במיקום הנבחן בחתך עצמו. הזרימה מקיימת את משוואת הרציפות עבור זורם, ועל כן הספיקה המסית העוברת בכל חתך היא זהה. הזורם חסר צמיגות. הזורם דחיס, כלומר צפיפותו משתנה כתלות במצבו. הזורם מתנהג כגז אידיאלי, כלומר מקיים את המשוואה: P = ρ R T {\displaystyle P=\rho RT} . הזורם פועל תחת כבידה חיצונית זניחה. הנחה זו היא סבירה עקב צפיפותם הנמוכה של הגזים. הזרימה קפואה – כלומר לא מתרחשות ריאקציות כימיות נוספות בזמן המעבר דרך הנחיר (הנחה זו רלוונטית במיוחד עבור נחירים הנמצאים בסמיכות לתא בעירה). המשוואות המשמשות לתיאור זרימה בנחיר מתכנס־מתבדר לקוחות מתורת הזרימה הדחיסה, אשר נועדה לתאר התנהגות של זורמים (בעיקר גזים) בעלי צפיפות משתנה, באופן ספציפי המשוואות מתארות זרימה בתעלה בעל חתך משתנה. מאחר שמתאפשר מעבר חומר רק דרך חתך הכניסה והיציאה שלו הספיקה המסית חייבת להיות זהה עבור כל חתך וחתך (כמות החומר הנכנסת בזמן נתון חייבת להיות שווה לכמות היוצאת באותו פרק זמן). לכן ניתן לכתוב: m ˙   = ρ ⋅ v ⋅ A = c o n s t {\displaystyle {\dot {m}}\ =\rho \cdot v\cdot A=const} כאשר שטח החתך, מהירות הזרימה והצפיפות יכולים להשתנות, אך מכפלתם נשארת קבועה. 1 ρ d ρ d x = − M 2 u d u d x {\displaystyle {\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dx}}=-{\frac {M^{2}}{u}}{\frac {du}{dx}}} ממשוואת שימור התנע ושימור הספיקה המסית מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית עבור מהירות הזרימה: d u d x = − u A ( 1 − M 2 ) d A d x {\displaystyle {\frac {du}{dx}}={\frac {-u}{A(1-M^{2})}}{\frac {dA}{dx}}} c p ( T − T 0 ) − v 2 2 = 0 {\displaystyle c_{p}(T-T_{0})-{\frac {v^{2}}{2}}=0} ניתן לנסח משוואה זו גם במונחים של אנתלפיה: h 0 = h + 1 2 v 2 {\displaystyle h_{0}=h+{\frac {1}{2}}v^{2}} אחד השימושים הנפוצים עבור נחירים, ונחיר מתכנס־מתבדר בפרט, הוא כיציאה מתא בעירה של מנוע רקטי. נחירים אלה הם בדרך כלל בעלי צורה קונית או פעמונית. במצב זה ניתן להניח כי מהירות הגז בכניסה לנחיר היא נמוכה מאוד, ולמעשה תכונות הגז קרובות לתכונות מצב הקיפאון שלו, אשר יסומן ב־0. ממשוואות שימור המסה, התנע והאנרגיה ניתן לקבל קשרים עבור הלחץ, הטמפרטורה והצפיפות בכל חתך בנחיר, כתלות במספר המאך: P P 0 = ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) γ 1 − γ {\displaystyle {\frac {P}{P_{0}}}={\bigg (}1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}{\bigg )}^{\frac {\gamma }{1-\gamma }}} T T 0 = 1 1 + γ − 1 2 M 2 {\displaystyle {\frac {T}{T_{0}}}={\frac {1}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}} ρ ρ 0 = ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) 1 1 − γ {\displaystyle {\frac {\rho }{\rho _{0}}}={\bigg (}1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}{\bigg )}^{\frac {1}{1-\gamma }}} יתרונם של הקשרים הנ"ל הוא בכך שהם תלויים בפרמטר יחיד – מספר המאך. לכן נוח לרכז את היחסים המתקבלים בטבלאות מוכנות מראש עבור גזים נפוצים. בנוסף, על ידי הצבת M = 1 {\displaystyle M=1} במשוואות אלו ניתן לקבל את ערכי הגדלים בצוואר הנחיר ρ ∗ , P ∗ , T ∗ , a ∗ {\displaystyle \rho ^{*},P^{*},T^{*},a^{*}} . בעזרת משוואת שימרו הספיקה ניתן לקבל קשר בין מספר המאך בחתך כללי A לבין שטח צוואר הנחיר: A A ∗ = 1 M [ ( 2 γ + 1 ) ( 1 + γ − 1 2 M 2 ) ] γ + 1 2 ( γ − 1 ) {\displaystyle {\frac {A}{A*}}={\frac {1}{M}}{\bigg [}{\bigg (}{\frac {2}{\gamma +1}}{\bigg )}{\bigg (}1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}{\bigg )}{\bigg ]}^{\frac {\gamma +1}{2(\gamma -1)}}} בעזרת משוואת ברנולי ניתן לקבל ביטוי עבור מהירות הזרימה של הגז בחתך כללי בנחיר: v = T R M ⋅ 2 γ γ − 1 ⋅ [ 1 − ( p p 0 ) ( γ − 1 ) γ ] {\displaystyle v={\sqrt {\;{\frac {T\;R}{M}}\cdot {\frac {2\;\gamma }{\gamma -1}}\cdot {\bigg [}1-{\bigg (}{\frac {p}{p_{0}}}{\bigg )}^{({\frac {\gamma -1)}{\gamma }}}{\bigg ]}}}} בפרט, ניתן לקבל את מהירות היציאה v e {\displaystyle v_{e}} על ידי הצבת p = p e {\displaystyle p=p_{e}} . משמעות חשובה של קשר זה היא שמהירות הזרימה ביציאה תהיה מקסימלית כאשר הלחץ החיצוני הוא 0 (בריק החלל): v e m a x = T R M ⋅ 2 γ γ − 1 {\displaystyle v_{e}max={\sqrt {\;{\frac {T\;R}{M}}\cdot {\frac {2\;\gamma }{\gamma -1}}}}} על ידי בניית נפח בקרה העוטף את הנחיר ניתן לקבל את משוואת הדחף הנוצר כתוצאה משטף התנע אל מחוץ למערכת בנוסף ללחץ על פנים הנחיר: F = m ˙ v e + ( p e − p o ) A e = m ˙ [ v e + ( p e − p o m ˙ ) A e ] {\displaystyle F=\,{\dot {m}}\,v_{e}+(p_{e}-p_{o})\,A_{e}=\,{\dot {m}}\,{\bigg [}v_{e}+{\bigg (}{\frac {p_{e}-p_{o}}{\dot {m}}}{\bigg )}A_{e}{\bigg ]}} משוואה זו היא קירוב בלבד עבור נחירים בעלי זוויות התפשטות קטנות. למעשה יש צורך לכפול את הדחף המתקבל ב c o s ( θ ) {\displaystyle cos(\theta )} . ניתן לחלק את סוגי הנחירים לשלושה סוגים בהתאם לנקודת הפעולה בפועל: נחיר מתואם – במצב זה לחץ היציאה מהנחיר שווה ללחץ הסביבה P a = P e {\displaystyle P_{a}=P_{e}} . במצב זה הדחף המתקבל מהנחיר הוא מקסימלי – ניתן לראות זאת ישירות ממשוואת הדחף. נחיר בתת־התפשטות (Underexpanded Nozzle) – במצב זה שטח החתך ביציאה מהנחיר אינו גדול דיו להשגת מצב מתואם והלחץ גבוה מלחץ הסביבה. נחיר בהתפשטות־יתר (Overexpanded Nozzle) – במצב זה שטח החתך ביציאה מהנחיר גדול מהנדרש כך שלחץ היציאה קטן מלחץ הסביבה. במצב זה עלול להתרחש ניתוק והיווצרות גלי הלם משופעים. קריטריון אמפירי נפוץ למצב זה הוא קריטריון ניתוק הזרימה של Summerfield, לפיו ניתוק יתרחש בנקודה בנחיר שבה P = 0.4 P a {\displaystyle P=0.4P_{a}} . ללא כל שינוי בזרימה המתרחשת בנחיר (Pe=const), מכיוון שלחץ הסביבה (Pa) הולך וקטן עם העלייה בגובה, מנוע שנחירו במצב התפשטות־יתר (Pe<Pa) בגובה פני הים יכול להפוך למתואם עם העלייה בגובה, ולאחר עלייה נוספת להפוך לנחיר בתת־התפשטות. מכיוון שמאפייני הזרימה תלויים במספר המאך בלבד שבעצמו תלוי רק ביחס בין שטח החתך המקומי לשטח צוואר הנחיר, נהוג סימון נפוץ ליחס השטחים: ϵ = A e A t {\displaystyle \epsilon ={\frac {A_{e}}{A_{t}}}} . נוח לבחון את יעילות הנחיר בעזרת היחס בין הדחף הנוצר לבין השימוש בדלק ליחידת זמן – גודל זה נקרא המתקף הסגולי של המנוע (בשניות): I S P = F m ˙ g 0 {\displaystyle I_{SP}={\frac {F}{{\dot {m}}g_{0}}}} , כאשר g 0 {\displaystyle g_{0}} הוא קבועה התאוצה על כדור הארץ והוא משמש לנרמול יחידות בלבד. במקרה של נחיר מתואם ( p e = p 0 {\displaystyle p_{e}=p_{0}} ) התקף הסגולי הוא I S P = v e g 0 {\displaystyle I_{SP}={\frac {v_{e}}{g_{0}}}} זהו פרמטר נוסף המאפשר להשוואות בין נקודות תכן שונות של הנחיר בצורה אל־ממדית: C F = F A t P 0 {\displaystyle C_{F}={\frac {F}{A_{t}P_{0}}}} Sutton, George P. (2001). Rocket Propulsion Elements: An Introduction to the Engineering of Rockets (7th Edition ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-32642-9 Anderson, John D. Fundamentals Of Aerodynamics (5th Edition).McGraw-Hill. ISBN 978-007-128908-5 Anderson, John D. Modern Compressible Flow (3rdEdition).McGraw-Hill. ISBN 0-07-242443-5 מדיה וקבצים בנושא זרימת דה לאוואל בוויקישיתוף הסבר באנגלית על יחס החומים הסגוליים