משפט טיכונוף

בטופולוגיה, משפט טיכונוב קובע שאם { ( X i , τ i ) } i ∈ I {\displaystyle \left\{(X_{i},\tau _{i})\right\}_{i\in I}} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוב בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20. כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה. אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוב). משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות. מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוב מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה { X i } i ∈ I {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in I}} אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה. הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה. עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה). ישנן מספר הוכחות למשפט טיכונוב. בעזרת משפט אלכסנדר לתת בסיסים: לטופולוגיית המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} יש תת-בסיס טבעי שהוא B = ⋃ i ∈ I B i {\displaystyle B=\bigcup _{i\in I}B_{i}} כאשר B i = { ∏ j ≠ i X j × U i : U i ∈ τ i } {\displaystyle B_{i}=\left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}:U_{i}\in \tau _{i}\right\}} . לפי משפט אלכסנדר, כדי להוכיח קומפקטיות מספיק להתבונן בכיסוי U {\displaystyle {\mathcal {U}}} של מרחב המכפלה על ידי קבוצות מ- B {\displaystyle B} . בלי הגבלת הכלליות, המרחב עצמו אינו שייך ל- U {\displaystyle {\mathcal {U}}} . עבור i ∈ I {\displaystyle i\in I} מסוים, נסתכל על כל הקבוצות מהצורה { ∏ j ≠ i X j × U i } {\displaystyle \left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\right\}} שמשתתפות בכיסוי הנתון. אם ה- U i {\displaystyle U_{i}} האלה מכסים את X i {\displaystyle X_{i}} אז יש מספר סופי מהם שמכסה את X i {\displaystyle X_{i}} בגלל הקומפקטיות שלו, ולכן יש גם מספר סופי של { ∏ j ≠ i X j × U i } {\displaystyle \left\{\prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}\right\}} שמכסה את כל מרחב המכפלה וסיימנו. נניח בשלילה כי לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} הקבוצות מהכיסוי שמהצורה ∏ j ≠ i X j × U i {\displaystyle \prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}} מקיימות כי ה U i {\displaystyle U_{i}} אינן מכסים את X i {\displaystyle X_{i}} . מאקסיומת הבחירה ניתן לבחור לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} איבר x i ∈ X i {\displaystyle x_{i}\in X_{i}} שאינו ב- U i {\displaystyle U_{i}} הנ"ל. טענה: ( x i ) {\displaystyle (x_{i})} אינו מכוסה על ידי הכיסוי (וזו סתירה!). הוכחה: אחרת קיימת קבוצה מהצורה ∏ j ≠ i X j × U i {\displaystyle \prod _{j\neq i}X_{j}\times U_{i}} שהוא שייך אליה אבל לפי הבחירה x i ∉ U i {\displaystyle x_{i}\not \in U_{i}} . בעזרת שקילות להתכנסות על מסננים: יהא F {\displaystyle F} על מסנן של ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} אזי { P i ( A ) : A ∈ F } {\displaystyle \{P_{i}(A):A\in F\}} הוא על מסנן של X i {\displaystyle X_{i}} (כאשר P i {\displaystyle P_{i}} היא ההטלה על רכיב i {\displaystyle i} ). ולכן קיים לו גבול שנסמנו a i {\displaystyle a_{i}} . כעת, נראה כי ( a i ) ∈ ∏ i ∈ I X i {\displaystyle (a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}} הוא גבול של F {\displaystyle F} וסיימנו. אכן כל סביבה של ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} מכילה קבוצה פתוחה בסיסית ∏ i ∈ I ∖ J X i ∏ j ∈ J U j {\displaystyle \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}} עבור J {\displaystyle J} קבוצה סופית. ולכן לכל j ∈ J {\displaystyle j\in J} קיימת A j ∈ F {\displaystyle A_{j}\in F} כך ש- P j ( A j ) ⊆ U j {\displaystyle P_{j}(A_{j})\subseteq U_{j}} ואז A = ⋂ j ∈ J A j ∈ F {\displaystyle A=\bigcap _{j\in J}A_{j}\in F} (חיתוך סופי) מקיימת A ⊆ ∏ i ∈ I ∖ J X i ∏ j ∈ J U j {\displaystyle A\subseteq \prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}} . הוכחה בעזרת חיתוך של קבוצות סגורות: יהי F {\displaystyle {\mathcal {F}}} אוסף של קבוצות סגורות שכל חיתוך סופי מתוכו אינו ריק. נראה כי החיתוך של כולן אינו ריק. לפי הלמה של צורן קיימת H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מקסימלית (ביחס להכלה) שמכילה את F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ומקיימת שכל חיתוך סופי של קבוצות מ- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} לא ריק ומניחים בשלילה כי ⋂ H ∈ H H ¯ ≠ ∅ {\displaystyle \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}\neq \emptyset } . כיוון ש- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} מקסימלית אזי כל חיתוך סופי של קבוצות מ- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} גם הוא ב- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} (אחרת נוכל להוסיף את החיתוך ל- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ). ומכאן שכל קבוצה A {\displaystyle A} שנחתכת עם כל איבר ב- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} גם היא ב- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} (אחרת נוכל להוסיף אותה ל- H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ). כעת, לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} הקבוצה { P i ( H ) : H ∈ H } {\displaystyle \{P_{i}(H):H\in {\mathcal {H}}\}} מקיימת כי כל חיתוך סופי של קבוצות ממנה לא ריק ולכן זה נכון גם עבור { P i ( H ) ¯ : H ∈ H } {\displaystyle \left\{{\overline {P_{i}(H)}}:H\in {\mathcal {H}}\right\}} ולכן בגלל קומפקטיות של X i {\displaystyle X_{i}} קיים a i ∈ ⋂ H ∈ H P i ( H ) ¯ {\displaystyle a_{i}\in \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {P_{i}(H)}}} . נסיים בכך שנראה ש- ( a i ) ∈ ∏ i ∈ I X i {\displaystyle (a_{i})\in \prod _{i\in I}X_{i}} נמצא ב- ⋂ H ∈ H H ¯ {\displaystyle \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}} . לשם כך תהא סביבה פתוחה בסיסית O = ∏ i ∈ I ∖ J X i ∏ j ∈ J U j = ⋂ j ∈ J P j − 1 ( U j ) {\displaystyle O=\prod _{i\in I\setminus J}X_{i}\prod _{j\in J}U_{j}=\bigcap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})} (עבור J {\displaystyle J} קבוצה סופית) של ( a i ) {\displaystyle (a_{i})} ויהא j ∈ J {\displaystyle j\in J} ו- H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} . אזי מתקיים כי U j ∩ P j ( H ) ≠ ∅ {\displaystyle U_{j}\cap P_{j}(H)\neq \emptyset } (בגלל ש- a j ∈ P j ( H ) ¯ {\displaystyle a_{j}\in {\overline {P_{j}(H)}}} ו- a j ∈ U j {\displaystyle a_{j}\in U_{j}} סביבה פתוחה שלה ב- X j {\displaystyle X_{j}} ) ולכן P j − 1 ( U j ) ∩ H ≠ ∅ {\displaystyle P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset } . לכן לכל H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} מתקיים כי P j − 1 ( U j ) ∩ H ≠ ∅ {\displaystyle P_{j}^{-1}(U_{j})\cap H\neq \emptyset } ולכן P j − 1 ( U j ) ∈ H {\displaystyle P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}}} (בגלל המקסימליות של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} ). ומכאן נקבל כי O = ⋂ j ∈ J P j − 1 ( U j ) ∈ H {\displaystyle O=\bigcap _{j\in J}P_{j}^{-1}(U_{j})\in {\mathcal {H}}} (בגלל המקסימליות של H {\displaystyle {\mathcal {H}}} וזהו חיתוך סופי של קבוצות משם) ולכן מהגדרת H {\displaystyle {\mathcal {H}}} נקבל כי לכל H ∈ H {\displaystyle H\in {\mathcal {H}}} מתקיים O ∩ H ≠ ∅ {\displaystyle O\cap H\neq \emptyset } מה שאומר כי ( a i ) ∈ H ¯ {\displaystyle (a_{i})\in {\overline {H}}} ולכן גם בחיתוך של כולם ( a i ) ∈ ⋂ H ∈ H H ¯ {\displaystyle (a_{i})\in \bigcap _{H\in {\mathcal {H}}}{\overline {H}}} . יהא X {\displaystyle X} מרחב טופולוגי עם תת בסיס B {\displaystyle B} . אם לכל כיסוי של המרחב על ידי קבוצות מ- B {\displaystyle B} יש תת-כיסוי סופי, אז X {\displaystyle X} קומפקטי. הוכחה: נניח בשלילה כי X {\displaystyle X} אינו קומפקטי אזי יש לו כיסוי שאין לו תת-כיסוי סופי. לפי הלמה של צורן נוכל לבחור כיסוי מקסימלי (ביחס להכלה) C {\displaystyle C} שאין לו תת-כיסוי סופי, בה"כ C {\displaystyle C} הוא אוסף של קבוצות פתוחות בסיסיות. כלומר לכל קבוצה פתוחה V {\displaystyle V} שלא נמצאת ב- C {\displaystyle C} מתקיים כי לכיסוי C ∪ { V } {\displaystyle C\cup \{V\}} יש תת-כיסוי סופי. מהגדרת C {\displaystyle C} ולפי הנחת המשפט מתקיים כי C ∩ B {\displaystyle C\cap B} אינו כיסוי של המרחב (אחרת היה לו תת-כיסוי סופי לפי הנתון, בסתירה להגדרת C {\displaystyle C} ) לכן קיים x ∈ X {\displaystyle x\in X} שאינו מכוסה על ידי אף אחת מהקבוצות C ∩ B {\displaystyle C\cap B} . כיוון ש- C {\displaystyle C} כיסוי קיימת קבוצה בסיסית U = ⋂ i = 1 n O i ⊆ V ∈ C {\displaystyle U=\bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\subseteq V\in C} (כאשר O i ∈ B {\displaystyle O_{i}\in B} ) כך ש- x ∈ U ⊆ V {\displaystyle x\in U\subseteq V} . כיוון שאף קבוצה ב- B ∩ C {\displaystyle B\cap C} אינה מכסה את x {\displaystyle x} נקבל כי O i ∉ C {\displaystyle O_{i}\not \in C} לכל i {\displaystyle i} . מהמקסימליות של C {\displaystyle C} נקבל כי לכיסוי C ∪ { O i } {\displaystyle C\cup \{O_{i}\}} יש תת-כיסוי סופי. נסמן את תת-הכיסוי הסופי הזה ללא הקבוצה O i {\displaystyle O_{i}} ב- C i {\displaystyle C_{i}} , נגדיר C F = ⋃ i = 1 n C i {\displaystyle C_{F}=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}} ונקבל כי C F ∪ { O i } {\displaystyle C_{F}\cup \{O_{i}\}} הוא כיסוי סופי לכל i {\displaystyle i} ולכן גם C F ∪ { ⋂ i = 1 n O i } {\displaystyle C_{F}\cup \left\{\bigcap _{i=1}^{n}O_{i}\right\}} כיסוי סופי ולכן גם C F ∪ { V } {\displaystyle C_{F}\cup \{V\}} כיסוי סופי. אבל כיסוי סופי זה מוכל ב- C {\displaystyle C} ולכן הוא תת-כיסוי סופי של C {\displaystyle C} בסתירה להגדרה C {\displaystyle C} . במסגרת אקסיומות ZF משפט טיכונוב שקול לאקסיומת הבחירה. כלומר מספיק להניח רק אחד מהם כדי להוכיח את השני. נניח שמשפט טיכונוב נכון. תהי { X i } i ∈ I {\displaystyle \left\{X_{i}\right\}_{i\in I}} משפחה של קבוצות לא ריקות, ונוכיח כי המכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} אינה ריקה. לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} נגדיר את הקבוצה Y i {\displaystyle Y_{i}} להיות האיחוד הזר Y i = X i ⊔ { i } {\displaystyle Y_{i}=X_{i}\sqcup \{i\}} (פורמלית, ניתן להגדיר Y i = ( { 0 } × X i ) ∪ ( { 1 } × { i } ) {\displaystyle Y_{i}=\left(\{0\}\times X_{i}\right)\cup \left(\{1\}\times \{i\}\right)} ). על Y i {\displaystyle Y_{i}} נגדיר מבנה של מרחב טופולוגי, שבו אוסף הקבוצות הפתוחות הוא { ϕ , Y i , { i } } {\displaystyle \{\phi ,Y_{i},\{i\}\}} . כיוון שב- Y i {\displaystyle Y_{i}} יש מספר סופי של קבוצות פתוחות, Y i {\displaystyle Y_{i}} מרחב קומפקטי. נגדיר מרחב טופולוגי Y = ∏ i ∈ I Y i {\displaystyle Y=\prod _{i\in I}Y_{i}} לפי טופולוגיית המכפלה. לכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} נגדיר U i = ∏ j ≠ i Y j × { i } {\displaystyle U_{i}=\prod _{j\neq i}Y_{j}\times \{i\}} , שהיא קבוצה פתוחה ב- Y {\displaystyle Y} . נניח בשלילה כי האוסף { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} מכסה את Y {\displaystyle Y} . לפי משפט טיכונוב, קיים תת-כיסוי סופי { U i j } j = 1 n {\displaystyle \left\{U_{i_{j}}\right\}_{j=1}^{n}} . כיוון שכל הקבוצות X i {\displaystyle X_{i}} אינן ריקות, ניתן לבחור לכל 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} איבר x i j ∈ X i j {\displaystyle x_{i_{j}}\in X_{i_{j}}} . נשים לב כי בחרנו מספר סופי של איברים ולכן אין צורך להשתמש באקסיומת הבחירה. כעת נגדיר איבר y = ( y i ) i ∈ I {\displaystyle y=\left(y_{i}\right)_{i\in I}} לפי y i = { x i if  i ∈ { i j } j = 1 n i if  i ∉ { i j } j = 1 n {\displaystyle y_{i}=\left\{{\begin{matrix}x_{i}&{\mbox{if }}i\in \left\{i_{j}\right\}_{j=1}^{n}\\i&{\mbox{if }}i\notin \left\{i_{j}\right\}_{j=1}^{n}\end{matrix}}\right.} , כאשר כאן לא נעשתה שום בחירה. בבירור y ∉ U i j {\displaystyle y\notin U_{i_{j}}} לכל 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle 1\leq j\leq n} ולכן y ∉ ⋃ j = 1 n U i j {\displaystyle y\notin \bigcup _{j=1}^{n}U_{i_{j}}} , סתירה לכך ש- { U i j } j = 1 n {\displaystyle \left\{U_{i_{j}}\right\}_{j=1}^{n}} כיסוי של Y {\displaystyle Y} . מכאן שהנחת השלילה, כי { U i } i ∈ I {\displaystyle \{U_{i}\}_{i\in I}} מכסה את Y {\displaystyle Y} , אינה נכונה. לכן קיים איבר ( x i ) i ∈ I ∈ Y ∖ ⋃ i ∈ I U i {\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}\in Y\setminus \bigcup _{i\in I}U_{i}} . מכאן שלכל i ∈ I {\displaystyle i\in I} מתקיים כי x i ≠ i {\displaystyle x_{i}\neq i} ולכן x i ∈ X i {\displaystyle x_{i}\in X_{i}} . בכך הוכחנו שהמכפלה ∏ i ∈ I X i {\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}} אינה ריקה, כנדרש. למת הצינור משפט טיכונוף, באתר MathWorld (באנגלית)