משפט האפסים של הילברט

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (בגרמנית: Nullstellensatz – "משפט מקומות האפסים") הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידיאלים בשדות סגורים אלגברית. הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט. נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K – K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,K[x_{1},\dots ,x_{n}]} . היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות x = ( x 1 , … , x n ) ∈ K n {\displaystyle \,\mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})\in K^{n}} כך שלכל f ב-I מתקיים f ( x ) = 0 {\displaystyle \,f(\mathbf {x} )=0} . משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל x ∈ V ( I ) {\displaystyle x\in V(I)} מתקיים p ( x ) = 0 {\displaystyle \,p(x)=0} (כלומר p מתאפס על היריעה V(I)), אז קיים מספר טבעי r כך ש p r ∈ I {\displaystyle p^{r}\in I} . מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידיאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה V ( I ) {\displaystyle \,V(I)} אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI. מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: שכן במקרה של פולינום אחד, הדרישה שהוא אינו יוצר (כאידיאל) את החוג כולו בדיוק שקולה לכך שהוא אינו קבוע, ובמקרה כזה, לפי המשפט היסודי של האלגברה יש לפולינום שורש. בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך: I ( V ( J ) ) = J {\displaystyle \,I(V(J))={\sqrt {J}}} לכל אידיאל J. הסימון J {\displaystyle \,{\sqrt {J}}} הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J, ו-(I(Z הוא אידיאל כל הפולינומים שמתאפסים על הקבוצה Z ⊂ K n {\displaystyle Z\subset K^{n}} . הניסוח הנפוץ למשפט האפסים של הילברט הוא זה המופיע בהקדמה. יחד עם זאת, יש למשפט גרסאות נוספות אשר שימושיות בהקשרים שונים. ניתן לחלק את הגרסאות השונות לגרסאות "שקולות" ולגרסאות "חלשות". את הסוג הראשון ניתן להסיק יחסית בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, וניתן גם להסיק את המשפט המקורי מהניסוח - ולכן מכונות שקולות. את הגרסאות החלשות, לעומת זאת, ניתן להסיק מהנוסח המקורי, אך יחסית קשה יותר להסיק את המשפט מהן. אחת מהדרכים להסיק את הגרסה המקורית של המשפט מתוך הגרסאות החלשות היא הטריק של רבינוביץ', אשר מנוסח בהמשך. גרסה שקולה למשפט האפסים של הילברט היא כלהלן. נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית ויהיו f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} פולינומים כך שמערכת המשוואות f 1 ( x ) = … = f m ( x ) = 0 {\displaystyle f_{1}(\mathbf {x} )=\ldots =f_{m}(\mathbf {x} )=0} פתירה מעל K. יהיה g פולינום כך שלמערכת הבאה אין פתרון ב-K: .   { f 1 ( x ) = … = f m ( x ) = 0 g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle .~{\begin{cases}f_{1}(\mathbf {x} )=\ldots =f_{m}(\mathbf {x} )=0\\g(\mathbf {x} )\neq 0\end{cases}}} אזי, קיימים פולינומים h 1 , … , h m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{m}\in \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} ומספר טבעי r, כך ש- h 1 f 1 + … + h m f m = g r {\displaystyle h_{1}f_{1}+\ldots +h_{m}f_{m}=g^{r}} . זאת אומרת, קיים עד לכך שהמערכת הנתונה אינה פתירה. ניתן להראות כי גרסה זו שקולה לניסוח המקורי של המשפט בצורה הבאה: נשים לב שהתנאי על הפולינום g שקול לכך שלכל x ∈ V ( ⟨ f 1 , … , f m ⟩ ) {\displaystyle x\in V(\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle )} מתקיים g ( x ) = 0 {\displaystyle \,g(x)=0} . בנוסף, קיים מספר טבעי r כך ש g r ∈ I {\displaystyle g^{r}\in I} אם ורק אם קיימים פולינומים h 1 , … , h m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle h_{1},\ldots ,h_{m}\in \,K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} , כך ש- h 1 f 1 + … + h m f m = g r {\displaystyle h_{1}f_{1}+\ldots +h_{m}f_{m}=g^{r}} . לכן, גרסה זו שקולה למשפט האפסים עבור אידיאלים מהצורה I = ⟨ f 1 , … , f m ⟩ {\displaystyle I=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle } . ממשפט הבסיס של הילברט, לכל אידיאל I ◃ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle I\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} קיימים פולינומים f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} כך ש- I = ⟨ f 1 , … , f m ⟩ {\displaystyle I=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle } ולכן הגרסאות שקולות. הגרסאות הבאות מכונות "חלשות" כיוון שניתן להסיק אותן בקלות מהנוסח המקורי של המשפט, אך לא להפך. אף על פי כן, גרסאות אלו מספיקות לשימושים רבים. גרסה חלשה למשפט האפסים של הילברט, המוכרת גם כמשפט האפסים החלש היא כלהלן: משפט- יהיה K שדה סגור אלגברית, ויהי J ◃ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle J\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} כך ש- V ( J ) = ϕ {\displaystyle V(J)=\phi } . אזי, J = K [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle J=K[x_{1},...,x_{n}]} . כלומר, בשדה סגור אלגברית, לכל מערכת משוואות פולינומית בכל כמות סופית של משתנים יש פתרון כאשר אין שורת סתירה (כאשר 1 {\displaystyle 1} איננו צירוף של איברי J {\displaystyle J} ). כאמור לעיל, זוהי הכללה של המשפט היסודי של האלגברה. ניתן להסיק גרסה זו מהנוסח המקורי באופן הבא: יהי אידיאל J כך שמתקיים V ( J ) = ϕ {\displaystyle V(J)=\phi } , אזי מתקיים גם כי I ( V ( J ) ) = K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle I(V(J))=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} . ממשפט האפסים, J = K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle {\sqrt {J}}=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} , ובפרט קיים r טבעי כך ש- 1 = 1 r ∈ J {\displaystyle 1=1^{r}\in J} , ולכן J = K [ x 1 , . . . , x n ] {\displaystyle J=K[x_{1},...,x_{n}]} . גרסה חלשה נוספת מאפיינת את האידיאלים המקסימליים בשדות סגורים אלגברית. משפט - נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית, אזי האידיאלים המקסימלים של החוג K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,K[x_{1},\dots ,x_{n}]} הם בדיוק האידיאלים: ⟨ x 1 − a 1 , x 2 − a 2 , … , x n − a n ⟩ {\displaystyle \,\langle x_{1}-a_{1},x_{2}-a_{2},\dots ,x_{n}-a_{n}\rangle } . במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידיאלים המקסימליים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-n-ממדי. ניסוח זה נובע מהניסוח הקודם. אכן, יהיה J אידיאל מקסימלי ובפרט J ≠ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle J\neq K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} . מהניסוח הקודם קיים a = ( a 1 , … , a n ) ∈ V ( J ) {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(J)} . נגדיר הומומורפיזם φ a : K [ x 1 , … , x n ] → K {\displaystyle \varphi _{a}:K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\rightarrow K} על ידי הצבה בנקודה a, זאת אומרת φ a ( f ) = f ( a ) {\displaystyle \varphi _{a}(f)=f({\mathbf {a} })} . מתקיים כי Im ( φ a ) = K {\displaystyle {\text{Im}}(\varphi _{a})=K} , ולכן, ממשפט האיזומורפיזם, K [ x 1 , … , x n ] / ker ⁡ ( φ a ) ≅ K {\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\ker(\varphi _{a})\cong K} . כיוון ש-K הוא שדה, אזי ker ⁡ ( φ a ) {\displaystyle \ker(\varphi _{a})} הוא אידיאל מקסימלי, וממקסימליות J נסיק כי J = ker ⁡ ( φ a ) = ⟨ x − a 1 , … , x − a n ⟩ {\displaystyle J=\ker(\varphi _{a})=\langle x-a_{1},\ldots ,x-a_{n}\rangle } . הניסוח שורת סתירה נובע מניסוח זה באופן הבא: יהי J ≠ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle J\neq K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} אידיאל ויהי I ⊃ J {\displaystyle I\supset J} אידיאל מקסימלי המכיל אותו. מהניסוח עבור אידיאלים מקסימליים נסיק כי I = ⟨ x − a 1 , … , x − a n ⟩ {\displaystyle I=\langle x-a_{1},\ldots ,x-a_{n}\rangle } ולכן ( a 1 , … , a n ) ∈ V ( I ) ⊂ V ( J ) {\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in V(I)\subset V(J)} , ובפרט V ( J ) ≠ ϕ {\displaystyle V(J)\neq \phi } . ניסוח חלש נוסף הוא הניסוח הבא, אשר מאפיין פתרונות למערכות פולינומים: משפט - יהיה K שדה ויהיו f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K, כך שקיימים איברים y 1 , … , y n ∈ L {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in L} , עבורם f i ( y 1 , … , y n ) = 0 {\displaystyle f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})=0} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . אזי קיימת הרחבת שדות סופית K'/K ואיברים x 1 , … , x n ∈ K ′ {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in K'} כך ש- f i ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . במילים אחרות, אם קיים פתרון למערכת בהרחבת שדות כלשהי, אז קיים פתרון בהרחבה סופית. בפרט, אם השדה K סגור אלגברית, נקבל כי קיום פתרון בהרחבה כלשהי גורר קיום פתרון בשדה K. ניסוח זה נובע משורת סתירה, נראה זאת עבור המקרה בו השדה K סגור אלגברית: נניח כי לא קיים שורש משותף למערכת הפולינומים f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} . משורת סתירה, נקבל כי 1 {\displaystyle 1} הוא צירוף של הפולינומים f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} , ולכן לא קיים פתרון באף הרחבת שדות. ניתן גם להסיק את שורת סתירה ממשפט זה: יהי J אידיאל ויהיו f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} פולינומים כך ש- J = ⟨ f 1 , … , f m ⟩ {\displaystyle J=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle } . באופן מידי נקבל שקיים פתרון למערכת הפולינומים באלגברה K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,K[x_{1},\dots ,x_{n}]} . יהיה m ◃ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle m\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} אידיאל מקסימלי, אז קיים גם פתרון במנה F = R [ x 1 , … , x n ] / m {\displaystyle F=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]/m} . ממקסימליות m נקבל כי F שדה, ובנוסף הוא נוצר סופית כאלגברה, כיוון שממשפט הבסיס של הילברט K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle \,K[x_{1},\dots ,x_{n}]} מקיים תכונה זו. מהמשפט, כיוון ש-K סגור אלגברית, נקבל כי קיים פתרון למערכת הפולינומים בשדה K. הלמה הבאה, הידועה כלמה של זריצקי, שקולה לגרסאות החלשות למשפט האפסים. למה - יהיה K {\displaystyle K} שדה, לא בהכרח סגור אלגברית, ותהי F / K {\displaystyle F/K} הרחבת שדות של K. נניח כי F {\displaystyle F} נוצר סופית כאלגברה מעל K, אזי F נוצר סופית כשדה הרחבה של K. הטריק של רבינוביץ' הוא הוכחה עבור הגרסה המקורית של משפט האפסים של הילברט מתוך הגרסה החלשה - שורת סתירה. יהי K שדה סגור אלגברית, יהי I ◃ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle I\triangleleft K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} אידיאל ויהי g פולינום המתאפס בכל x ∈ V ( I ) {\displaystyle x\in V(I)} . ממשפט הבסיס של הילברט, קיימים f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} כך ש- I = ⟨ f 1 , … , f m ⟩ {\displaystyle I=\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle } . נרצה להראות כי g ∈ I {\displaystyle g\in {\sqrt {I}}} . אם g = 0, אזי התנאי מתקיים. אחרת, נוסיף משתנה חדש y, ונשים לב שלפולינומים f 1 , … , f m , 1 − y ⋅ g {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m},1-y\cdot g} , אין שורש משותף. זאת אומרת, V ( ⟨ f 1 , … , f m , 1 − y ⋅ g ⟩ ) = ϕ {\displaystyle V(\langle f_{1},\ldots ,f_{m},1-y\cdot g\rangle )=\phi } . ממשפט האפסים החלש, נקבל כי ⟨ f 1 , … , f m , 1 − y ⋅ g ⟩ = K [ x 1 , … , x n , y ] {\displaystyle \langle f_{1},\ldots ,f_{m},1-y\cdot g\rangle =K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]} , ובפרט, ,   1 = h 0 ( x 1 , … , x n , y ) ⋅ ( y ⋅ g ( x 1 , … , x n ) − 1 ) + ∑ i = 1 n h i ( x 1 , … , x n , y ) ⋅ f i ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle ,~1=h_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\cdot (y\cdot g(x_{1},\ldots ,x_{n})-1)+\sum _{i=1}^{n}h_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})} עבור פולינומים h 0 , … , h m ∈ K [ x 1 , … , x n , y ] {\displaystyle h_{0},\ldots ,h_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]} כלשהם. נתבונן בשוויון המתקבל בחוג המנה R = K [ x 1 , … , x n , y ] / ⟨ 1 − y ⋅ g ⟩ {\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]/\langle 1-y\cdot g\rangle } . כיוון שבחוג זה y = 1/g, נקבל כי .   1 = ∑ i = 1 n h i ( x 1 , … , x n , 1 / g ) ⋅ f i ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle .~1=\sum _{i=1}^{n}h_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},1/g)\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})} כיוון שבביטוי שבאגף ימין רק g מופיע במכנה, אזי עבור r טבעי ופולינומים p 1 , … , p m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} כלשהם מתקיים ,   1 = ∑ i = 1 m p i ( x 1 , … , x n ) ⋅ f i ( x 1 , … , x n ) g ( x 1 , … , x n ) r {\displaystyle ,~1={\frac {\sum _{i=1}^{m}p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})^{r}}}} ולכן בחוג R, g ( x 1 , … , x n ) r = ∑ i = 1 m p i ( x 1 , … , x n ) ⋅ f i ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})} . זאת אומרת, קיים פולינום q ∈ K [ x 1 , … , x n , y ] {\displaystyle q\in K[x_{1},\ldots ,x_{n},y]} , כך שמתקיים השוויון .   g ( x 1 , … , x n ) r = ∑ i = 1 m p i ( x 1 , … , x n ) ⋅ f i ( x 1 , … , x n ) + q ( x 1 , … , x n , y ) ⋅ ( 1 − y ⋅ g ( x 1 , … , x n ) ) {\displaystyle .~g(x_{1},\ldots ,x_{n})^{r}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})\cdot f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})+q(x_{1},\ldots ,x_{n},y)\cdot (1-y\cdot g(x_{1},\ldots ,x_{n}))} כיוון שבאגף שמאל, המקדם של המשתנה y הוא אפס, אזי q = 0, ולכן g r = ∑ i = 1 m p i ⋅ f i {\textstyle g^{r}=\sum _{i=1}^{m}p_{i}\cdot f_{i}} . זאת אומרת, g ∈ I {\displaystyle g\in {\sqrt {I}}} , כרצוי. אחת מהמסקנות הנובעות ממשפט האפסים של הילברט היא כי רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה נוצרת סופית שווה לרדיקל הנילפוטנטי. רדיקל ג'ייקובסון של אלגברה A, אשר מסומן על ידי J ( A ) {\displaystyle J(A)} , או לעיתים r a d J ( A ) {\displaystyle radJ(A)} , מוגדר להיות החיתוך של כל האידיאליים המקסימליים ב-A. לעומת זאת, הרדיקל הנילפוטנטי, אשר מסומן על ידי n i l ( A ) {\displaystyle nil(A)} , או r a d N ( A ) {\displaystyle radN(A)} , מוגדר כחיתוך של כל האידיאליים הראשוניים ב-A. כיוון שכל אידיאל מקסימלי הוא גם אידיאל ראשוני, אזי רדיקל ג'ייקובסון תמיד מוכל ברדיקל הנילפוטנטי. המסקנה מראה כי אם האלגברה A נוצרת סופית, אזי למעשה יש שוויון. על אף שמשפט האפסים של הילברט מנוסח עבור שדות סגורים אלגברית, ובפרט אינסופיים, ניתן להסיק ממנו את הגרסה הבאה עבור שדות סופיים: משפט - יהיו f 1 , … , f m ∈ Z [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in \mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]} פולינומים, אזי קיים להם שורש משותף בשדה C {\displaystyle \mathbb {C} } , אם ורק אם קיים פתרון בשדה סופי F {\displaystyle \mathbb {F} } ממאפיין p, עבור כמעט כל ראשוני p. המשפט מקשר, בצורה אשר אינה משתמעת באופן מידי, בין שדות ממאפיין אפס לכאלו עם מאפיין חיובי. ממשפט זה אפשר להסיק את ההתאמות הבאות, בין משפחות אידיאלים של חוגי פולינומים לבין עצמים גאומטריים: אידיאל רדיקלי ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } יריעה אלגברית אפינית (קבוצה סגורה בטופולוגית זריצקי) אידיאל ראשוני ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } יריעה אלגברית אפינית אי-פריקה אידיאל מקסימלי ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } נקודה במרחב האפיני התאמות אלו הן הבסיס לגאומטריה האלגברית הקלאסית. בגאומטריה האלגברית המודרנית, התאמות אלו מוכללות להתאמה החשובה הבאה: אידיאל ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } סכמה אפינית כלומר, יש התאמה מלאה בין אידיאלים של חוג הפולינומים לבין סכמות אפיניות. למשפט האפסים יש הוכחות רבות, מתוכן נציין שתי הוכחות. הראשונה היא עבור שדות גדולים, והיא קצרה יחסית; השנייה מוכיחה את המקרה הכללי ומופיעה בהמשך. בשתי ההוכחות, נוכיח את משפט האפסים של הילברט על ידי כך שנוכיח את הגרסה החלשה - פתרון למערכות פולינומים בהרחבת שדות. ניתן להסיק את הגרסה המלאה בהינתן החלשה על ידי הטריק של רבינוביץ' אשר מנוסח למעלה. שתי ההוכחות מתבססות הטיעון הבא: יהיה K שדה ויהיו f 1 , … , f m ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} פולינומים. נניח כי קיימת הרחבת שדות L/K, כך שקיימים איברים y 1 , … , y n ∈ L {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in L} , עבורם f i ( y 1 , … , y n ) = 0 {\displaystyle f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})=0} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . נסמן ב- K ¯ {\displaystyle {\overline {K}}} את הסגור האלגברי של K. מספיק להראות שקיים פתרון x 1 , … , x n ∈ K ¯ {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in {\overline {K}}} , כך ש- f i ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . אכן, אם ישנו כזה פתרון, אזי קיים פתרון בשדה K ′ = K ⟨ x 1 , … , x n ⟩ {\displaystyle K'=K\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle } , ובנוסף ההרחבה K'/K סופית, כיוון שהאיברים x 1 , … , x n {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}} אלגבריים מעל K. לכן, נניח מעתה שהשדה K סגור אלגברית. נוכיח תחילה עבור המקרה | K | > ℵ 0 {\displaystyle \left|K\right|>\aleph _{0}} , שלו יש הוכחות קצרות רבות. נציג כאן את אחת מהן: נסמן ב- a i , 1 , … , a i , ℓ i ∈ K {\displaystyle a_{i,1},\ldots ,a_{i,\ell _{i}}\in K} את מקדמי הפולינום f i {\displaystyle f_{i}} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . מתקיים שישנו פתרון למערכת המשוואות בשדה L ′ := Q ⟨ a 1 , 1 , … , a n , ℓ n , y 1 , … , y n ⟩ ⊂ L {\displaystyle L':=\mathbb {Q} \langle a_{1,1},\ldots ,a_{n,\ell _{n}},y_{1},\ldots ,y_{n}\rangle \subset L} . כיוון ש- | K | > | L ′ | {\displaystyle |K|>|L'|} , וכיוון שהשדה K סגור אלגברית, ניתן לשכן את 'L ב-K ולכן קיים פתרון ב-K. נוכיח עתה את המקרה הכללי. נניח, בלי הגבלת הכלליות, כי ההרחבה L/K היא נוצרת סופית, אחרת נבחר את ההרחבה הנוצרת סופית L ~ := K ⟨ y 1 , … , y n ⟩ / K {\displaystyle {\widetilde {L}}:=K\langle y_{1},\ldots ,y_{n}\rangle /K} , אשר מכילה גם היא פתרון. נסדר את איברי הפתרון y 1 , … , y n {\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}} כך שיתקיים התנאי הבא: האיבר y 1 {\displaystyle y_{1}} טרנסצנדנטי מעל K {\displaystyle K} , האיבר y 2 {\displaystyle y_{2}} טרנסצנדנטי מעל K ⟨ y 1 ⟩ {\displaystyle K\langle y_{1}\rangle } , ובאופן כללי האיבר y i {\displaystyle y_{i}} טרנסצנדנטי מעל K ⟨ y 1 , … , y i − 1 ⟩ {\displaystyle K\langle y_{1},\ldots ,y_{i-1}\rangle } לכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} , עבור 1 ≤ k ≤ n {\displaystyle 1\leq k\leq n} . יתר האיברים, y k + 1 , … , y n {\displaystyle y_{k+1},\ldots ,y_{n}} , הם אלגבריים מעל K ⟨ y 1 , … , y k ⟩ {\displaystyle K\langle y_{1},\ldots ,y_{k}\rangle } . נסמן L ′ := K ⟨ y 1 , … , y k ⟩ {\displaystyle L':=K\langle y_{1},\ldots ,y_{k}\rangle } ונשים לב כי ההרחבה L / L ′ {\displaystyle L/L'} היא סופית, מאופן בחירת k. כיוון ש- y i {\displaystyle y_{i}} טרנסצנדנטי מעל K ⟨ y 1 , … , y i − 1 ⟩ {\displaystyle K\langle y_{1},\ldots ,y_{i-1}\rangle } לכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} , אזי מתקיים כי L ′ = K ( y 1 , … , y k ) {\displaystyle L'=K\left(y_{1},\ldots ,y_{k}\right)} , זאת אומרת, L' הוא שדה הפונקציות הרציונליות עם k איברים ומקדמים ב-K. יהי e 1 , … , e ℓ ∈ L {\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{\ell }\in L} בסיס ל- L / L ′ {\displaystyle L/L'} ונניח נניח כי e 1 = 1 {\displaystyle e_{1}=1} , אחרת נוסיף אותו לבסיס. יהיו { a i , j , h } i , j , h = 1 ℓ , ℓ , ℓ , { b i , h } i , h = 1 n , ℓ ⊂ L ′ {\displaystyle \{a_{i,j,h}\}_{i,j,h=1}^{\ell ,\ell ,\ell },\{b_{i,h}\}_{i,h=1}^{n,\ell }\subset L'} איברים כך ש- e i ⋅ e j = ∑ h = 1 ℓ a i , j , h ⋅ e h {\displaystyle e_{i}\cdot e_{j}=\sum _{h=1}^{\ell }a_{i,j,h}\cdot e_{h}} לכל 1 ≤ i , j ≤ ℓ {\displaystyle 1\leq i,j\leq \ell } , ו- y i = ∑ h = 1 ℓ b i , h ⋅ e h {\displaystyle y_{i}=\sum _{h=1}^{\ell }b_{i,h}\cdot e_{h}} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} .בחירה זאת מאפשרת לנו להציג את המשוואות f i ( y 1 , … , y n ) = 0 {\displaystyle f_{i}(y_{1},\ldots ,y_{n})=0} כמנה של פונקציות ליניאריות באיברי הבסיס עם מקדמים ב- K ⟨ { a i , j , h } i , j , h = 1 ℓ , ℓ , ℓ , { b i , h } i , h = 1 n , ℓ ⟩ {\displaystyle K\langle \{a_{i,j,h}\}_{i,j,h=1}^{\ell ,\ell ,\ell },\{b_{i,h}\}_{i,h=1}^{n,\ell }\rangle } . נרצה למצוא איברים α 1 , … , α k ∈ K {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in K} אשר לא יאפסו את המכנה. כדי לעשות זאת, נבחר 0 ≠ p ∈ K [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle 0\neq p\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]} ככה שכל האפסים של המכנה יהיו אפסים של הפולינום p {\displaystyle p} ונבחר α 1 , … , α k ∈ K {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\in K} כך ש- p ( α 1 , … , α k ) ≠ 0 {\displaystyle p(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\neq 0} . בצורה פורמלית, נבחר 0 ≠ p ∈ K [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle 0\neq p\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]} כך ש- p ⋅ a i , j , h ∈ K [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle p\cdot a_{i,j,h}\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]} לכל 1 ≤ i , j , h ≤ ℓ {\displaystyle 1\leq i,j,h\leq \ell } ו- p ⋅ b i , h ∈ K [ x 1 , … , x k ] {\displaystyle p\cdot b_{i,h}\in K[x_{1},\ldots ,x_{k}]} לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} ולכל 1 ≤ h ≤ ℓ {\displaystyle 1\leq h\leq \ell } . כיוון ש- p ≠ 0 {\displaystyle p\neq 0} , אזי קיים α = ( α 1 , … , α k ) ∈ K k {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k})\in K^{k}} כך ש- p ( α ) ≠ 0 {\displaystyle p(\alpha )\neq 0} . מתקבל כי y i ( α ) ∈ K {\displaystyle y_{i}(\alpha )\in K} , ובפרט f i ( y 1 ( α ) , … , y n ( α ) ) = 0 {\displaystyle f_{i}(y_{1}(\alpha ),\ldots ,y_{n}(\alpha ))=0} , לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . נגדיר K-אלגברה A באופן הבא: A = K ℓ {\displaystyle A=K^{\ell }} מוגדרת על ידי הבסיס g 1 , … , g ℓ ∈ A {\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{\ell }\in A} כך שמתקיים g i ⋅ g j = ∑ h = 1 ℓ a i , j , k ( α ) ⋅ g k {\displaystyle g_{i}\cdot g_{j}=\sum _{h=1}^{\ell }a_{i,j,k}(\alpha )\cdot g_{k}} לכל 1 ≤ i , j ≤ ℓ {\displaystyle 1\leq i,j\leq \ell } . במילים אחרות, A היא האלגברה הנוצרת על ידי הצבת α {\displaystyle \alpha } בבסיס e. נגדיר z 1 , … , z n ∈ A {\displaystyle z_{1},\ldots ,z_{n}\in A} על ידי z i = ∑ h = 1 ℓ b i , h ( α ) ⋅ g h {\displaystyle z_{i}=\sum _{h=1}^{\ell }b_{i,h}(\alpha )\cdot g_{h}} . באופן זה מתקיים כי f i ( z 1 , … , z n ) = 0 ∈ A {\displaystyle f_{i}(z_{1},\ldots ,z_{n})=0\in A} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . לבסוף, יהיה m ◃ A {\displaystyle {\mathfrak {m}}\triangleleft A} אידיאל מקסימלי ולכן A / m {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}} הוא שדה. בנוסף הוא הרחבה סופית של K. כיוון ש-K סגור אלגברית, אזי A / m = K {\displaystyle A/{\mathfrak {m}}=K} . נסמן x i = z ¯ i ∈ K {\displaystyle x_{i}={\bar {z}}_{i}\in K} ההטלה לשדה המנה, לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , ונקבל כי f i ( x 1 , … , x n ) = 0 {\displaystyle f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0} לכל 1 ≤ i ≤ m {\displaystyle 1\leq i\leq m} . זאת אומרת, x 1 , … , x n ∈ K {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in K} הוא פתרון למערכת הפולינומים f 1 , … , f m {\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}} , כרצוי. בגאומטריה פרויקטיבית ניתן לנסח משפט מקביל אך מעט שונה. ראשית, במקרה הפרויקטיבי יריעה פרויקטיבית היא אוסף פתרונות של פולינומים מאידיאל הומוגני J {\displaystyle J} (אידיאל שלכל איבר בו, גם החלקים המונומיים שלו שייכים אליו), אותה נסמן גם כן V ( J ) {\displaystyle V(J)} . בכיוון ההפוך, כל תת-קבוצה X {\displaystyle X} במרחב פרויקטיבי שולחים לאידיאל שנוצר על ידי הפולינום ההומוגניים שמאפסים את כל הנקודות בה, אותו נסמן I ( X ) {\displaystyle I(X)} . נקבל טענה דומה לגרסה החלשה על שורת סתירה כלעיל: משפט - עבור אידיאל הומוגני J {\displaystyle J} , מתקיים V ( J ) = ϕ {\displaystyle V(J)=\phi } אם ורק אם J {\displaystyle J} מכיל אידיאל הומוגני J s {\displaystyle J_{s}} , בו כל מונום של כל פולינום הוא ממעלה s {\displaystyle s} לפחות. וכעת נקבל את ההתאמה: משפט האפסים בגרסה הפרויקטיבית- לכל אידיאל J {\displaystyle J} עבורו מתקיים V ( J ) ≠ ϕ {\displaystyle V(J)\neq \phi } (כלומר הוא לא מכיל אידיאל J s {\displaystyle J_{s}} כנ"ל), מתקיים I ( V ( J ) ) = R a d ( J ) {\displaystyle I(V(J))=Rad(J)} . למשפט האפסים של הילברט יש מספר תוצאות דומות מתחומים שונים במתמטיקה. נציין כאן כמה מהן. משפט בקומבינטוריקה, המוכר בשם "משפט האפסים הקומבינטורי", משמש להוכחת תוצאות שונות מתורת המספרים האדיטיבית, תורת הגרפים וקומבינטוריקה, ומנוסח כלהלן: יהיה K שדה ויהי f ∈ K [ x 1 , … , x n ] {\displaystyle f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]} פולינום ממעלה d. יהיו t 1 , … , t n > 0 {\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}>0} שלמים כך שהמקדם של המונום ∏ i = 1 n x i t i {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{t_{i}}} ב-f אינו אפס, וכן כי ∑ i = 1 d t i = d {\displaystyle \sum _{i=1}^{d}t_{i}=d} . אזי, לכל תתי קבוצות S 1 , … , S n ⊂ K {\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\subset K} המקיימות | S i | > t i {\displaystyle \left|S_{i}\right|>t_{i}} , לכל 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} , קיימים s 1 ∈ S 1 , s 2 ∈ S 2 , … , s n ∈ S n {\displaystyle s_{1}\in S_{1},s_{2}\in S_{2},\ldots ,s_{n}\in S_{n}} , כך ש- f ( s 1 , … , s n ) ≠ 0 {\displaystyle f(s_{1},\ldots ,s_{n})\neq 0} . השימוש במשפט מוכר לעיתים גם כשיטה הפולינומית שמקורה במאמר של נוגה אלון ומיכאל טרסי. השיטה פותחה לאחר מכן על ידי אלון, נתנסון ורוזה בשנים 1996-1995 ונוסחה מחדש על ידי אלון בשנת 1999. המשפט קיבל את שמו כיוון שניתן לראות בו כמקרה פרטי של משפט האפסים של הילברט. דוגמאות לשימושים של המשפט הן הוכחות פשוטות למשפט שבלי-וורנינג על אפסים של מערכות של פולינומים, ומשפט קושי-דוונפורט בקומבינטוריקה אדיטיבית. באנליזה פונקציונלית, משפט גלפנד מזור, הקרוי על שם המתמטיקאים ישראל גלפנד וסטניסלב מזור, הוא המשפט הבא: תהי A אלגברת בנך מרוכבת עם יחידה וחלוקה. אזי A איזומטרית לשדה המספרים המרוכבים. במילים אחרות, שדה המספרים המרוכבים הוא האלגברת בנך המרוכבת היחידה בה כל איבר לא אפס הוא הפיך, כאשר היחידות היא עד כדי איזומטריה. David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York: Springer-Verlag, 1999. משפט האפסים של הילברט, באתר MathWorld (באנגלית) J. L. Rabinowitsch, Zum Hilbertschen Nullstellensatz, Mathematische Annalen 102, עמ' 520–520 doi: 10.1007/BF01782361 Jean-Pierre Serre, How to use finite fields for problems concerning infinite fields, arXiv:0903.0517 [math], 2009-03-03 N. Alon, M. Tarsi, A nowhere-zero point in linear mappings, Combinatorica 9, עמ' 393–395 doi: 10.1007/BF02125351 Noga Alon, Melvyn B. Nathanson, Imre Ruzsa, The Polynomial Method and Restricted Sums of Congruence Classes, Journal of Number Theory 56, 1996-02-01, עמ' 404–417 doi: 10.1006/jnth.1996.0029 Noga Alon, Combinatorial Nullstellensatz, Combinatorics, Probability and Computing 8, 1999-01-01, עמ' 7–29