משפט ההתכנסות של ויטלי

באנליזה מתמטית ותורת המידה,  משפט ההתכנסות של ויטלי הוא תוצאה חשובה של המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה ויטלי. משפט זה מהווה הכללה של משפט ההתכנסות הנשלטת של אנרי לבג, והוא עושה שימוש בתכונה של אינטגרביליות במידה שווה. משפט זה שימושי כאשר לא קיימת פונקציה בעלת אינטגרל סופי ששולטת על כל פונקציות הסדרה. כאשר כן קיימת פונקציה כזאת, משפט ההתכנסות הנשלטת נובע ממשפט זה כמקרה פרטי. יהי ( X , F , μ ) {\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}},\mu \right)} מרחב מידה. תהי { f n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} סדרה של פונקציות אינטגרביליות. אזי סדרה זו היא מתכנסת בממוצע לפונקציה מדידה f {\displaystyle f} אם ורק אם מתקיימים התנאים הבאים: הסדרה מתכנסת במידה ל- f {\displaystyle f} . הסדרה אינטגרבילית במידה שווה. לכל ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} קיימת קבוצה מדידה E {\displaystyle E} ובעלת מידה סופית, שעבורה ∫ X ∖ E | f n | d μ < ϵ {\displaystyle \int _{X\backslash E}\left|f_{n}\right|d\mu <\epsilon } . כמו כן, במצב זה מתקיים כי f {\displaystyle f} היא בעלת אינטגרל סופי. עבור מרחב מידה בעל מידה סופית, ללא הגבלת הכלליות מרחב הסתברות, נובעות ממשפט זה שתי מסקנות יסודיות: מסקנה ראשונה היא כי אם הסדרה אינטגרבילית במידה שווה ומתכנסת בהסתברות ל- f {\displaystyle f} , אז התנאי השלישי מתקיים מאליו, ולכן ניתן להסיק כי הסדרה מתכנסת בממוצע ל- f {\displaystyle f} . מסקנה שנייה היא בכיוון ההפוך, ולפיה אם לכל קבוצה מדידה E {\displaystyle E} קיים הגבול lim n → ∞ ∫ E f n d μ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{E}f_{n}d\mu } , אזי הסדרה אינטגרבילית במידה שווה. נראה כי אכן f {\displaystyle f} היא בעלת אינטגרל סופי. תחילה מהלמה של פאטו נובע כי ∫ X | f | d μ ≤ lim inf n → ∞ ∫ X | f n | d μ {\displaystyle \int _{X}\left|f\right|d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}\left|f_{n}\right|d\mu } . מההנחה כי מתקיימת אינטגרביליות במידה שווה, יש δ > 0 {\displaystyle \delta >0} שעבורה לכל קבוצה מדידה E {\displaystyle E} שמקיימת μ ( E ) < δ {\displaystyle \mu (E)<\delta } , מתקיים ∫ E | f n | d μ ≤ 1 {\displaystyle \int _{E}\left|f_{n}\right|d\mu \leq 1} . עבור קבוצה כזאת, על ידי משפט אגורוף הסדרה מתכנסת במידה שווה על הקבוצה E c {\displaystyle E^{c}} . אם כך נובע כי קיים N {\displaystyle N} שעבורו לכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים ∫ E c | f N − f n | d μ ≤ 1 {\displaystyle \int _{E^{c}}\left|f_{N}-f_{n}\right|d\mu \leq 1} , ועל ידי אי-שוויון המשולש נובע ∫ E c | f n | d μ ≤ ∫ E c | f N | d μ + 1 {\displaystyle \int _{E^{c}}\left|f_{n}\right|d\mu \leq \int _{E^{c}}\left|f_{N}\right|d\mu +1} . מאי השוויון שהראינו מהלמה של פאטו נובע כי האינטגרל המבוקש הוא סופי. נניח כי הסדרה מתכנסת בממוצע ל- f {\displaystyle f} , ונראה כי מתקיימים שלושת התנאים שבמשפט: נקבע t > 0 {\displaystyle t>0} ונגדיר E m , n := { | f n − f m | > t } {\displaystyle E_{m,n}:=\left\{\left|f_{n}-f_{m}\right|>t\right\}} . אז מתקיים: μ ( E m , n ) = 1 t ⋅ ∫ E m , n t d μ ( x ) ≤ 1 t ⋅ sup ∫ | f m − f n | d μ ⟶ m , n → ∞ 0 {\displaystyle \mu \left(E_{m,n}\right)={\frac {1}{t}}\cdot \int _{E_{m,n}}td\mu (x)\leq {\frac {1}{t}}\cdot \sup \int \left|f_{m}-f_{n}\right|d\mu {\underset {\scriptstyle m,n\to \infty }{\longrightarrow }}0} יהי ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} . נקבע N {\displaystyle N} מספיק גדול כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים ∫ | f n − f N | d μ < ϵ {\displaystyle \int \left|f_{n}-f_{N}\right|d\mu <\epsilon } . משפחת הפונקציות { f 1 , f 2 … , f N } {\displaystyle \left\{f_{1},f_{2}\dots ,f_{N}\right\}} היא סופית, ולכן אינטגרבילית במידה שווה. כלומר יש δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שלכל קבוצה מדידה E {\displaystyle E} המקיימת μ ( E ) < δ {\displaystyle \mu \left(E\right)<\delta } מתקיים ∫ E f m d μ < ϵ {\displaystyle \int _{E}f_{m}d\mu <\epsilon } עבור m = 1 , 2 , . . . , N {\displaystyle m=1,2,...,N} . מצד שני עבור כל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים: ∫ E f n d μ ≤ ∫ E | f n − f N | d μ + ∫ E | f N | d μ < 2 ϵ {\displaystyle \int _{E}f_{n}d\mu \leq \int _{E}\left|f_{n}-f_{N}\right|d\mu +\int _{E}\left|f_{N}\right|d\mu <2\epsilon } וקיבלנו אינטגרביליות במידה שווה של כל הסדרה. יהי ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} . נקבע N {\displaystyle N} מספיק גדול כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} מתקיים ∫ | f n − f N | d μ < ϵ {\displaystyle \int \left|f_{n}-f_{N}\right|d\mu <\epsilon } . נניח ללא הגבלת הכלליות כי f N = φ {\displaystyle f_{N}=\varphi } פונקציה פשוטה (שכן כל פונקציה מדידה היא גבול בממוצע של פונקציות פשוטות). תהי S {\displaystyle S} התומך של φ {\displaystyle \varphi } , שמהיותה פונקציה פשוטה נובע כי S {\displaystyle S} בעלת מידה סופית. לא קשה להראות כי ∫ X ∖ S f n d μ < 4 ϵ {\displaystyle \int _{X\backslash S}f_{n}d\mu <4\epsilon } . באופן דומה, לכל m = 1 , 2 , . . . , N {\displaystyle m=1,2,...,N} ניתן למצוא קבוצה S m {\displaystyle S_{m}} בעלת מידה סופית המקיימת ∫ X ∖ S m f m d μ < 4 ϵ {\displaystyle \int _{X\backslash S_{m}}f_{m}d\mu <4\epsilon } . אם כך נובע כי הקבוצה E := S 1 ∪ S 2 ∪ ⋯ ∪ S N ∪ A {\displaystyle E:=S_{1}\cup S_{2}\cup \dots \cup S_{N}\cup A} היא בעלת מידה סופית ומקיימת ∫ X ∖ E f n d μ < 4 ϵ {\displaystyle \int _{X\backslash E}f_{n}d\mu <4\epsilon } . נניח כי מתקיימים שלושת התנאים שבמשפט. תהי A {\displaystyle A} קבוצה המתקבלת מתנאי 3. כמו כן נקבע t > 0 {\displaystyle t>0} , ותהי E m , n := { | f m − f n | > t } {\displaystyle E_{m,n}:=\left\{\left|f_{m}-f_{n}\right|>t\right\}} . כעת מתקיים באופן כללי: ∫ | f m − f n | d μ ≤ ∫ A ∖ E m , n | f m − f n | d μ + ∫ E m , n | f m − f n | d μ + ∫ X ∖ A | f m − f n | d μ {\displaystyle \int \left|f_{m}-f_{n}\right|d\mu \leq \int _{A\backslash E_{m,n}}\left|f_{m}-f_{n}\right|d\mu +\int _{E_{m,n}}\left|f_{m}-f_{n}\right|d\mu +\int _{X\backslash A}\left|f_{m}-f_{n}\right|d\mu } כעת נשים לב כי כל אחד מביטויים אלה קטן כרצוננו: הביטוי השלישי קטן כרצוננו מתנאי 3. עבור הביטוי השני, נתבונן ב- t = ϵ μ ( A ) > 0 {\displaystyle t={\frac {\epsilon }{\mu \left(A\right)}}>0} , ומתנאי 2 נובע שיש δ > 0 {\displaystyle \delta >0} כך שאם μ ( E ) < δ {\displaystyle \mu \left(E\right)<\delta } אז ∫ E f n d μ < ϵ {\displaystyle \int _{E}f_{n}d\mu <\epsilon } . מתנאי 1 יש N {\displaystyle N} מספיק גדול שעבור כל m , n > N {\displaystyle m,n>N} מתקיים μ ( E m , n ) < δ {\displaystyle \mu \left(E_{m,n}\right)<\delta } . מכך נובע כי הביטוי השני קטן כרצוננו. עבור הביטוי השלישי, נשים לב כי על הקבוצה A ∖ E m , n {\displaystyle A\backslash E_{m,n}} מתקיים | f m − f n | ≤ t {\displaystyle \left|f_{m}-f_{n}\right|\leq t} , ולכן נובע כי ∫ A ∖ E m , n | f m − f n | d μ ≤ t ⋅ μ ( A ) = ϵ {\displaystyle \int _{A\backslash E_{m,n}}\left|f_{m}-f_{n}\right|d\mu \leq t\cdot \mu \left(A\right)=\epsilon } . כלומר גם הביטוי הראשון קטן כרצוננו. נציג כאן דוגמה בה לא ניתן להשתמש במשפט ההתכנסות הנשלטת, אלא רק במשפט ההתכנסות של ויטלי. ומכך יחד עם העובדה כי משפט ההתכנסות הנשלטת נובע ממשפט ההתכנסות של ויטלי, ינבע גם כי משפט ההתכנסות של ויטלי חזק יותר. נסמן A n = [ 2 − ( n + 1 ) , 2 − n ] {\displaystyle A_{n}=\left[2^{-(n+1)},2^{-n}\right]} , ונחלק קטע זה ל- n {\displaystyle n} תת-קטעים באורכים שווים של 1 n ⋅ 2 n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{n\cdot 2^{n+1}}}} , אותם נסמן A n 1 , A n 2 , . . . , A n n {\displaystyle A_{n}^{1},A_{n}^{2},...,A_{n}^{n}} . לכל i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle i=1,2,...,n} נגדיר f n i = 1 x ⋅ 1 A n i {\displaystyle f_{n}^{i}={\frac {1}{x}}\cdot 1_{A_{n}^{i}}} (כאשר באופן כללי 1 E {\displaystyle 1_{E}} היא הפונקציה המציינת של הקבוצה E {\displaystyle E} ), ונתבונן בסדרת הפונקציות ( f 1 1 , f 2 1 , f 2 2 , f 3 1 , f 3 2 , f 3 3 , f 4 1 , … ) {\displaystyle \left(f_{1}^{1},f_{2}^{1},f_{2}^{2},f_{3}^{1},f_{3}^{2},f_{3}^{3},f_{4}^{1},\dots \right)} סדרה זו אינטגרבילית במידה שווה היות שלכל n {\displaystyle n} נוכל לבחור δ = 1 n ⋅ 2 n + 1 {\displaystyle \delta ={\frac {1}{n\cdot 2^{n+1}}}} , ואז לכל קבוצה E {\displaystyle E} עם μ ( E ) < δ {\displaystyle \mu \left(E\right)<\delta } ולכל m ≥ n {\displaystyle m\geq n} ולכל i = 1 , 2 , . . . , m {\displaystyle i=1,2,...,m} מתקיים ∫ E | f m i | ≤ ∫ A m i | f m i | ≤ 2 m + 1 ⋅ 1 m ⋅ 2 m + 1 = 1 m ≤ 1 n {\displaystyle \int _{E}\left|f_{m}^{i}\right|\leq \int _{A_{m}^{i}}\left|f_{m}^{i}\right|\leq 2^{m+1}\cdot {\frac {1}{m\cdot 2^{m+1}}}={\frac {1}{m}}\leq {\frac {1}{n}}} מאידך, גם עבור כל k < n {\displaystyle k<n} וכל i = 1 , 2 , . . . , k {\displaystyle i=1,2,...,k} מתקיים: ∫ E | f k i | ≤ δ ⋅ 2 k + 1 = 2 k + 1 n ⋅ 2 n + 1 < 1 n {\displaystyle \int _{E}\left|f_{k}^{i}\right|\leq \delta \cdot 2^{k+1}={\frac {2^{k+1}}{n\cdot 2^{n+1}}}<{\frac {1}{n}}} ולכן הסדרה אינטגרבילית במידה שווה, וברור כי הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקציה הקבועה 0 {\displaystyle 0} , ולכן ממשפט ההתכנסות של ויטלי נובע כי היא מתכנסת בממוצע לפונקציה הקבועה 0 {\displaystyle 0} . מאידך, נשים לב כי לא ניתן להשתמש במשפט ההתכנסות הנשלטת, כי לו הייתה בשלילה פונקציה g {\displaystyle g} בעלת אינטגרל סופי המקיימת | f n i | ≤ g {\displaystyle \left|f_{n}^{i}\right|\leq g} לכל n , i {\displaystyle n,i} , אז היה מתקיים | 1 x | ≤ g {\displaystyle \left|{\frac {1}{x}}\right|\leq g} , בסתירה לעובדה הידועה כי הפונקציה 1 x {\displaystyle {\frac {1}{x}}} בעלת אינטגרל שאינו סופי. הלמה של פאטו משפט ההתכנסות הנשלטת משפט ההתכנסות המונוטונית * Walter Rudin, Real and Complex Analysis (1986) page 133 Vitali convergence theorem באתר planetmath