תבנית דיפרנציאלית

במתמטיקה, תבנית דיפרנציאלית (באנגלית: Differential form) היא סוג מסוים של טנזור שבעזרתו מכלילים את המושגים של אינטגרל קווי ואינטגרל משטחי לממדים גבוהים. תבניות דיפרנציאליות הוגדרו בעבודות של ויטו וולטרה ואנרי קרטן ויש להן שימושים רבים בכל תחומי הגאומטריה ובפיזיקה. בתורת האלקטרומגנטיות של פאראדיי, השדה החשמלי והשדה המגנטי מתוארים לא על ידי שדות וקטוריים אלא כאוסף של עקומים מכוונים (קוי כוח, במינוח של פאראדיי) שהצפיפות שלהם ליד נקודה במרחב פרופורציונית לחוזק השדה. בתיאור הזה, השטף של קוי הכוח דרך משטח מכוון הוא, אינטואיטיבית, מספר קוי הכוח שחותכים אותו בכוון התואם לכוון המשטח פחות מספר קוי הכוח שחותכים אותו בכוון הלא תואם. שטף זה הוא סוג מסוים של אינטגרל. כדי להכליל את התמונה לממדים גבוהים, וולטרה שינה את נקודת המבט והתבונן בפונקציה ששולחת משטח S לשטף של קוי הכוח דרך S. פונקציה זו נקבעת לפי הערכים שלה על מקביליות אינפיניטסימליות במרחב. ליתר דיוק, אם x היא נקודה במרחב, v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} הם ווקטורים, Π x , v 1 , v 2 {\displaystyle \Pi _{x,v_{1},v_{2}}} היא המקבילית עם קדקוד ב-x וצלעות v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} , ו- F ( Π x , ϵ v 1 , ϵ v 2 ) {\displaystyle F(\Pi _{x,\epsilon v_{1},\epsilon v_{2}})} הוא השטף של קוי הכוח דרך המקבילית Π x , v 1 , v 2 {\displaystyle \Pi _{x,v_{1},v_{2}}} , אז מידיעת הערכים A x ( v 1 , v 2 ) := lim ϵ → 0 F ( Π x , ϵ v 1 , ϵ v 2 ) ϵ 2 {\displaystyle A_{x}(v_{1},v_{2}):=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {F(\Pi _{x,\epsilon v_{1},\epsilon v_{2}})}{\epsilon ^{2}}}} אפשר לחשב את השטף של קוי הכוח לכל משטח. וולטרה שם לב לכך שהפונקציה A {\displaystyle A} מקיימת את התכונות הבאות: לכל x, הפונקציה ( v 1 , v 2 ) ↦ A x ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle (v_{1},v_{2})\mapsto A_{x}(v_{1},v_{2})} היא ביליניארית ומתחלפת. לכל v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},v_{2}} הפונקציה x ↦ A x ( v 1 , v 2 ) {\displaystyle x\mapsto A_{x}(v_{1},v_{2})} היא חלקה. ההגדרה הכללית של תבנית דיפרנציאלית היא ההכללה של שתי תכונות אלה. עבור שני מספרים טבעיים k ≤ n {\displaystyle k\leq n} , נגדיר תבנית k {\displaystyle k} -דיפרנציאלית במרחב R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} , שתחומה הוא Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}} . נאמר שפונקציה f : ( R n ) k → R {\displaystyle f:{({\mathbb {R} }^{n})}^{k}\rightarrow \mathbb {R} } היא חילופית, אם לכל v 1 , … , v k ∈ R n {\displaystyle {v}_{1},\dots ,{v}_{k}\in {\mathbb {R} }^{n}} ולכל 1 ≤ i < j ≤ k {\displaystyle 1\leq i<j\leq k} מתקיים f ( v 1 , … , v i , … , v j , … , v k ) = − f ( v 1 , … , v j , … , v i , … , v k ) {\displaystyle f({v}_{1},\dots ,{v}_{i},\dots ,{v}_{j},\dots ,{v}_{k})=-f({v}_{1},\dots ,{v}_{j},\dots ,{v}_{i},\dots ,{v}_{k})} . נאמר ש- f {\displaystyle f} היא פונקציה מולטילינארית, אם לכל v 1 , … , v k , w ∈ R n ; a , b ∈ R {\displaystyle {v}_{1},\dots ,{v}_{k},w\in {\mathbb {R} }^{n};a,b\in \mathbb {R} } ולכל 1 ≤ i ≤ k {\displaystyle 1\leq i\leq k} מתקיים f ( v 1 , … , a v i + b w , … , v k ) = a f ( v 1 , … , v i , … , v k ) + b f ( v 1 , … , w , … , v k ) {\displaystyle f({v}_{1},\dots ,a{v}_{i}+bw,\dots ,{v}_{k})=af({v}_{1},\dots ,{v}_{i},\dots ,{v}_{k})+bf({v}_{1},\dots ,w,\dots ,{v}_{k})} . נסמן את מרחב הפונקציות ה-k מולטילינאריות ומתחלפות ב- Λ k ( R n ) {\displaystyle {\Lambda }^{k}({\mathbb {R} }^{n})} . קבוצה זו היא מרחב וקטורי מעל הממשיים. אם כן, תבנית k-דיפרנציאלית ב- R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} בעלת התחום Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {R} }^{n}} היא פונקציה ω : Ω → Λ k ( R n ) {\displaystyle \omega :\Omega \rightarrow {\Lambda }^{k}({\mathbb {R} }^{n})} . ההגדרה לעיל נראית מסובכת ולא פרקטית. אך בפועל, לתבניות יש מבנה נוח למדי. לצורך מציאת מבנה זה, נכליל את ההטלות ממשתנה אחד לכמה משתנים, באופן הבא: לכל אינדקסים 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n {\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k}\leq n} נגדיר תבנית k : π i 1 , i 2 , … , i k ( v 1 , … , v k ) = det ( v 1 i 1 … v k i 1 … … … v 1 i k … v k i k ) {\displaystyle \pi _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}(v^{1},\dots ,v^{k})=\det {\begin{pmatrix}{{v}^{1}}_{i_{1}}&\dots &{{v}^{k}}_{i_{1}}\\\dots &\dots &\dots \\{{v}^{1}}_{i_{k}}&\dots &{{v}^{k}}_{i_{k}}\end{pmatrix}}} (כאשר det היא הדטרמיננטה), שתקרא ההטלה לפי האינדקסים i 1 , i 2 , … , i k {\displaystyle i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}} ב- R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} . נהוג גם לסמן תבנית זו על ידי d x i 1 ∧ d x i 2 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle {dx}_{i_{1}}\wedge {dx}_{i_{2}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}} , כאשר ∧ {\displaystyle \wedge } מכונה "wedge product" (ראו "פעולות על תבניות" בהמשך). ניתן להוכיח כי הקבוצה { π i 1 , i 2 , … , i k : 1 ≤ i 1 < i 2 < ⋯ < i k ≤ n } {\displaystyle \{\pi _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}:1\leq i_{1}<i_{2}<\dots <i_{k}\leq n\}} היא בסיס ל Λ k ( R n ) {\displaystyle \Lambda ^{k}({\mathbb {R} }^{n})} , ובפרט ממדו הוא המקדם הבינומי ( n k ) {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} . אם כן, כל תבנית k ניתן לרשום מהצורה ω = ∑ ω i 1 , i 2 , … , i k π i 1 , i 2 , … , i k = ∑ ω i 1 , i 2 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum {\omega _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}\pi _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}=\sum {\omega _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}}} כאשר הסכום הוא על כל האינדקסים הסדורים, ו- ω i 1 , i 2 , … , i k {\displaystyle {\omega }_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}}} פונקציות ממשיות שתחומן הוא Ω {\displaystyle \Omega } . במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה f d x {\displaystyle fdx} , כאשר f פונקציה ממשית. תבנית-1 כללית ב R n {\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}} היא מהצורה f 1 d x 1 + ⋯ + f n d x n {\displaystyle f_{1}d{x}_{1}+\dots +f_{n}d{x}_{n}} , כאשר f 1 , … , f n {\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}} פונקציות ממשיות. תבנית-2 כללית ב R 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} היא מהצורה p ( x , y , z ) d y ∧ d z + Q ( x , y , z ) d z ∧ d x + R ( x , y , z ) d x ∧ d y {\displaystyle p(x,y,z)dy\wedge dz+Q(x,y,z)dz\wedge dx+R(x,y,z)dx\wedge dy} , כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות. סכום – אם ω = ∑ ω i 1 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ; τ = ∑ τ i 1 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}};\tau =\sum {\tau _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}} שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי – ω + τ = ∑ ( ω i 1 , … , i k + τ i 1 , … , i k ) d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega +\tau =\sum {(\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}+\tau _{i_{1},\dots ,i_{k}}){dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}} . מכפלה – אם ω = ∑ ω i 1 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}} תבנית- k {\displaystyle k} ו- τ = ∑ τ j 1 , … , j l d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j l {\displaystyle \tau =\sum {\tau _{j_{1},\dots ,j_{l}}{dx}_{j_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{j_{l}}}} תבנית- l {\displaystyle l} , אז מכפלת התבניות היא תבנית- k + l {\displaystyle k+l} המוגדרת כך: ω ∧ τ = ∑ ω i 1 , … , i k τ j 1 , … , j l d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k ∧ d x j 1 ∧ ⋯ ∧ d x j l {\displaystyle \omega \wedge \tau =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}\tau _{j_{1},\dots ,j_{l}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}\wedge {dx}_{j_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{j_{l}}} למשל, ב- R 3 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}} מתקיים ( x d y + z d x ) ∧ d z = x d y ∧ d z + z d x ∧ d z {\displaystyle (xdy+zdx)\wedge dz=xdy\wedge dz+zdx\wedge dz} . דיפרנציאל – פעולה זו מכלילה את הדיפרנציאל של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות. נאמר שתבנית ω = ∑ ω i 1 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}} היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות ω i 1 , … , i k {\displaystyle \omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}} כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפרנציאל של התבנית להיות ה- k + 1 {\displaystyle k+1} תבנית הבאה: d ω = ∑ d ω i 1 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k = ∑ ∑ t = 1 n ∂ ω i 1 , … , i k ∂ x t d x t ∧ d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle d\omega =\sum {d{\omega }_{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}=\sum {\sum _{t=1}^{n}{{\frac {{\partial \omega }_{i_{1},\dots ,i_{k}}}{\partial {x}_{t}}}{dx}_{t}\wedge {dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}}} . תבנית נקראת מדויקת, אם היא דיפרנציאל של תבנית אחרת. תבנית נקראת סגורה, אם הדיפרנציאל שלה שווה זהותית לאפס. משיכה לאחור – בהינתן תבנית דיפרנציאלית ω = ∑ ω i 1 , … , i k d x i 1 ∧ ⋯ ∧ d x i k {\displaystyle \omega =\sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}{dx}_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {dx}_{i_{k}}}} על U {\displaystyle U} ופונקציה דיפרנצאבילית ברציפות φ : U → R m {\displaystyle \varphi \colon U\to \mathbb {R} ^{m}} . מגדירים את המשיכה לאחור של ω {\displaystyle \omega } על ידי φ {\displaystyle \varphi } להיות תבנית דיפרנציאלית חדשה φ ∗ ω = ∑ ω i 1 , … , i k ∘ φ d φ i 1 ∧ ⋯ ∧ d φ i k {\displaystyle \varphi ^{*}\omega ={\displaystyle \sum {\omega _{i_{1},\dots ,i_{k}}\circ \varphi {d\varphi }_{i_{1}}\wedge \dots \wedge {d\varphi }_{i_{k}}}}} כאשר d φ i = Σ j = 1 n ∂ φ i ∂ x j d x j {\displaystyle d\varphi _{i}=\Sigma _{j=1}^{n}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}} . אינטגרציה – עבור תבנית דיפרנציאלית ω {\displaystyle \omega } מעל קבוצה פתוחה U 1 ⊂ R n {\displaystyle U_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}} , ופונקציה חלקה והפיכה φ : U → U 1 {\displaystyle \varphi \colon U\to U_{1}} עבור U ⊂ R k {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{k}} , נגדיר ∫ φ ( U ) ω = ∫ U φ ∗ ω {\displaystyle \int _{\varphi (U)}\omega =\int _{U}\varphi ^{*}\omega } , ועבור η = f d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x k {\displaystyle \eta =fdx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{k}} נגדיר ∫ V η = ∫ V f {\displaystyle \int _{V}\eta =\int _{V}f} . חילופיות החיבור – ω + τ = τ + ω {\displaystyle \omega +\tau =\tau +\omega } . אנטי סימטריות הכפל – d x i ∧ d x j = − d x j ∧ d x i {\displaystyle {dx}_{i}\wedge {dx}_{j}=-{dx}_{j}\wedge {dx}_{i}} . לכן: d x i ∧ d x i = 0 {\displaystyle {dx}_{i}\wedge {dx}_{i}=0} . אם ω {\displaystyle \omega } תבנית-k ו- τ {\displaystyle \tau } תבנית-l, אז ω ∧ τ = ( − 1 ) k l τ ∧ ω {\displaystyle \omega \wedge \tau ={(-1)}^{kl}\tau \wedge \omega } . בפרט, אם k=l מספר אי זוגי, מתקבל ω 2 = 0 {\displaystyle {\omega }^{2}=0} . אם ω {\displaystyle \omega } תבנית-k ו- τ {\displaystyle \tau } תבנית-l שתיהן דיפרנציאביליות, מתקיים כלל לייבניץ המוכלל לתבניות – d ( ω ∧ τ ) = τ d ω + ( − 1 ) k ω d τ {\displaystyle d(\omega \wedge \tau )=\tau d\omega +{(-1)}^{k}\omega d\tau } . אם ω {\displaystyle \omega } תבנית-k גזירה ברציפות פעמיים, מתקיים d ( d ( ω ) ) = 0 {\displaystyle d(d(\omega ))=0} . כל תבנית דיפרנציאבילית מדויקת היא סגורה. ההפך נכון בתחום כוכבי, לפי למת פואנקרה. אנליזה וקטורית משפט סטוקס תבנית דיפרנציאלית, באתר MathWorld (באנגלית)