חבורת ארטין

חבורת ארטין (Artin Group) היא חבורה מוצגת סופית בעלת יחסים מסוימים המערבים מכפלות חוזרות של שני יוצרים. חבורות מסוג זה מכלילות את חבורת הצמות, ולכל חבורת ארטין ניתן להתאים חבורת קוקסטר המתקבלת כמנה שלה, בהוספת היחסים ההופכים כל איבר לאיבר מסדר 2. חבורות ארטין נחקרות במספר תחומים במתמטיקה, כמו תורת החבורות הקומבינטורית, הצפנה לא קומוטטיבית, טופולוגיה גאומטרית. החבורות נקראות על שם המתמטיקאי אמיל ארטין. חבורה נקראת חבורת ארטין אם יש לה הצגה סופית מהצורה ⟨ σ 1 , … , σ n ∣ ( σ 1 , σ 2 ) m 1 , 2 = ( σ 2 , σ 1 ) m 2 , 1 , … , ( σ n − 1 , σ n ) m n − 1. n = ( σ n , σ n − 1 ) m n , n − 1 ⟩ {\displaystyle \langle \sigma _{1},\dots ,\sigma _{n}\mid (\sigma _{1},\sigma _{2})^{m_{1,2}}=(\sigma _{2},\sigma _{1})^{m_{2,1}},\dots ,(\sigma _{n-1},\sigma _{n})^{m_{n-1.n}}=(\sigma _{n},\sigma _{n-1})^{m_{n,n-1}}\rangle } כאשר m i , j = m j , i ∈ { 2 , 3 , … , ∞ } {\displaystyle m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\dots ,\infty \}} ו- ( σ i , σ j ) m i , j {\displaystyle (\sigma _{i},\sigma _{j})^{m_{i,j}}} הוא האיבר בו מתבצעות m i , j {\displaystyle m_{i,j}} הכפלות לסירוגין של σ i , σ j {\displaystyle \sigma _{i},\sigma _{j}} המתחילות ב- σ i {\displaystyle \sigma _{i}} . כך למשל, ( σ 1 , σ 2 ) 3 = σ 1 σ 2 σ 1 {\displaystyle (\sigma _{1},\sigma _{2})^{3}=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}} . אם m i , j = ∞ {\displaystyle m_{i,j}=\infty } פירושו שלא מופיע יחס בין σ i , σ j {\displaystyle \sigma _{i},\sigma _{j}} . היות שהיחסים על האלכסון חסרי משמעות, נקבע כי m i , i = ∞ {\displaystyle m_{i,i}=\infty } . לכל חבורת ארטין ניתן להתאים טבלה ריבועית אשר במקום ה- i , j {\displaystyle i,j} מופיע האיבר m i , j {\displaystyle m_{i,j}} . מטריצה סימטרית זו נקראת מטריצת קוקסטר של החבורה, וכל חבורת קוקסטר בעלת טבלה כזו מתקבלת על ידי מנה של חבורת ארטין המקורית, בתוספת היחסים σ 1 2 = 1 , … , σ n 2 = 1 {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=1,\dots ,\sigma _{n}^{2}=1} . בפרט, מוגדר אפימורפיזם מחבורת ארטין לחבורת קוקסטר המתאימה לה, והגרעין שלו נקרא חבורת ארטין טהורה. לכל חבורת ארטין ניתן להתאים גרף מכוון (כי המטריצה סימטרית), בו הקדקודים מייצגים את איברי החבורה, וביניהם יש קשתות בעלות משקלים m i , j {\displaystyle m_{i,j}} (ובלי קשת במקרה m i , j = ∞ {\displaystyle m_{i,j}=\infty } ) - כלומר כל יחס מיוצג על ידי קשת. זהו גרף בלי קשתות כפולות ובלי לולאות. אוטומורפיזמים של גרפים משרים אוטומורפיזמים על חבורת ארטין המתאימה, ולכן בעזרת הגרף ניתן למצוא תת-חבורות של חבורת האוטומורפיזמים Aut ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Aut} (G)} . חבורת הצמות היא חבורת ארטין, בעלת מטריצה: ( ∞ 3 2 … 2 3 ⋱ 3 … … 2 ⋱ ⋱ ⋱ 2 … … ⋱ ⋱ 3 2 … 2 3 ∞ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\infty &3&2&\dots &2\\3&\ddots &3&\dots &\dots \\2&\ddots &\ddots &\ddots &2\\\dots &\dots &\ddots &\ddots &3\\2&\dots &2&3&\infty \end{pmatrix}}} חבורת קוקסטר המתאימה לה היא החבורה הסימטרית S n {\displaystyle S_{n}} , והגרעין של האפימורפיזם π : B n → S n {\displaystyle \pi :B_{n}\to S_{n}} נקראת חבורת הצמות הטהורה. במקרה בו חבורת קוקסטר המתאימה לחבורת ארטין היא סופית, חבורת ארטין נקראת מטיפוס סופי (Artin group of finite type). כך למשל, חבורת הצמות היא מטיפוס סופי. הטיפוסים האי-פריקים בקטגוריה זו מסומנים A n , B n = C n , D n , I 2 ( n ) , F 4 , E 6 , E 7 , E 8 , H 3 , H 4 {\displaystyle A_{n},B_{n}=C_{n},D_{n},I_{2}(n),F_{4},E_{6},E_{7},E_{8},H_{3},H_{4}} (ראו לקריאה נוספת לפרטים). חבורת ארטין טהורה של חבורת ארטין מטיפוס סופי ניתן לממש בתור חבורה יסודית של משלים של סידורים היפר-מישורים במרחב מרוכב C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} . בעזרת תיאור זה ניתן לחשב את המרכז של חבורת ארטין המתאימה, וכן לפתור את בעיית המילה ובעיית הצמידות שלה. חבורת ארטין נקראת ישרת-זווית (Right-angled Artin group) אם מתקיים m i , j ∈ { 2 , ∞ } {\displaystyle m_{i,j}\in \{2,\infty \}} , כלומר כל היחסים הם יחסי קומוטטיביות. במקרה זה מתאימים לכל חבורה גרף אחר: לוקחים כל גרף לא מכוון ומתאימים לו את היחסים, כך ש- m i , j = 2 {\displaystyle m_{i,j}=2} אם יש קשת בין i , j {\displaystyle i,j} , ואינסוף אחרת. כלומר, היוצרים בחבורה יתחלפו בדיוק כאשר יש בין הקודקודים המתאימים להם קשת. למשל, כל חבורה חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה הגרף הריק); כל חבורה אבלית חופשית (נוצרת סופית) היא ישרת-זווית (ומתאים לה גרף שלם); החבורה המתאימה לגרף ריבוע היא מכפלה ישרה של שתי חבורות חופשיות. כל חבורת ארטין ישרת-זווית ניתן לשכן בתור תת-חבורה מאינדקס סופי בתוך חבורת קוקסטר ישרת-זווית כלשהי. בפרט, אלו הן חבורות ליניאריות. חבורת ארטין ישרת-זווית מתקבלת כחבורה יסודית של משטח 3-ממדי אם ורק אם בגרף המתאים לה כל רכיב קשירות הוא משולש או עץ. לפרטים ותכונות נוספים ראו לקריאה נוספת. חבורת ארטין נקראת מטיפוס גדול (Artin group of large type) אם מתקיים m i , j ≥ 3 {\displaystyle m_{i,j}\geq 3} , ונקראת מטיפוס גדול במיוחד (extra-large type) אם m i , j ≥ 4 {\displaystyle m_{i,j}\geq 4} . חבורות ארטין גדולות במיוחד הן חסרות פיתול, ותת-החבורה שלהן מהצורה ⟨ σ 1 2 , … , σ n 2 ⟩ {\displaystyle \langle \sigma _{1}^{2},\dots ,\sigma _{n}^{2}\rangle } היא חופשית. הוכח גם שבחבורות מסוג זה בעיית הצמידות היא פתירה. חבורת הצמות הייתה הצעה קלאסית של מספר מחברים לשימוש במספר פרוטוקולי הצפנה, כמו Anshel-Anshel-Goldfeld ו-Ko-Lee. עם זאת, הוצעו מספר התקפות (הסתברותיות) על בעיית חיפוש המצמיד של חבורת הצמות, ולכן נדרשו חבורות אחרות. אחת ההצעות הייתה להכליל את חבורת הצמות בעזרת חבורות ארטין, ואכן הוצעו מספר חבורות ארטין בעלות יחסים מסובכים יותר, וגם בחלקן הצליחו לפרוץ בעיית חיפוש המצמיד. חבורת הצמות חבורת קוקסטר חבורה גאוסיאנית חבורת גרסייד Braid groups and Artin groups, Luis Paris, 2007 An Introduction To Right-Angled Artin Groups, Ruth Charney