משפט אקס-גרותנדיק

בגאומטריה אלגברית ובאנליזה מרוכבת, משפט אקס-גרותנדיק קובע כי העתקה פולינומית מ- C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ל- C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} שהיא חד חד ערכית היא גם על. באופן כללי יותר, הטענה נכונה גם אם נחליף את שדה המספרים המרוכבים בשדה (סגור אלגברית) כלשהו. את המשפט הוכיחו - באופן בלתי תלוי - ג'יימס אקס ואלכסנדר גרותנדיק. למשפט יש גרסה כללית יותר שבה מחליפים את C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ביריעה אלגברית כלשהי. רעיונות הוכחתו של גרותנדיק היו כדלקמן: הוכחת הטענה עבור שדה סופי. אם F {\displaystyle F} שדה סופי אז כל פונקציה מ- F n {\displaystyle F^{n}} לעצמו שהיא חד-חד-ערכית היא גם על. בפרט נכון הדבר עבור העתקות פולינומיות. הוכחת הטענה עבור הסגור האלגברי של שדה סופי. יהי F {\displaystyle F} שדה סופי מסדר p m {\displaystyle p^{m}} , אזי הסגור האלגברי של F {\displaystyle F} , נאמר, K {\displaystyle K} שווה לאיחוד שרשרת השדות הסופיים מסדר p l {\displaystyle p^{l}} לכל l {\displaystyle l} . כעת תהי ϕ {\displaystyle \phi } העתקה פולינומית מ- K n {\displaystyle K^{n}} לעצמו, אזי יש שדה סופי גדול דיו שמכיל את כל המקדמים של ϕ {\displaystyle \phi } . לכן על כל שדה סופי גדול דיו בשרשרת ϕ {\displaystyle \phi } מוגדרת (באמצעות צמצום טבעי) והחד חד ערכיות נשמרת, מכאן שעל פי הצעד הראשון היא על כל שדה סופי גדול דיו. לכן ϕ {\displaystyle \phi } על. הכללת הטענה עבור שדה סגור אלגברית כלשהו, תוך שימוש בעקרון ליפשיץ (על שמו של סולומון ליפשיץ). עקרון ליפשיץ הוא שם כולל לתכונות התורה מסדר ראשון של שדות סגורים אלגברית. בפרט, בתורה זו ישנו חילוץ כמתים והיא קטגורית לכל עוצמה גדולה דיה (תורה היא κ {\displaystyle \kappa } -קטגורית אם כל שני מודלים מעצמה κ {\displaystyle \kappa } שלה איזומורפיים זה לזה). את משפט אקס-גרותנדיק ניתן לנסח כסכמת פסוקים בלוגיקה מסדר ראשון. עבור כל אחד מהפסוקים האלו, אם קיימת דוגמה נגדית בשדה F סגור אלגברית ממציין p כלשהו, אז קיימת גם דוגמה נגדית בסגור האלגברי של השדה הסופי עם p איברים (שהוא תת-מודל של F, ובעזרת חילוץ הכמתים - תת-מודל אלמנטרי). לכן, הצעד השני מוכיח את משפט אקס-גרותנדיק לכל שדה סגור אלגברית ממאפיין חיובי. ממשפט הקומפקטיות נובע כי אם פסוק מסדר ראשון תקף עבור שדות סגורים אלגברית ממאפיין חיובי גדול שרירותית אז הוא תקף גם לשדה סגור אלגברית ממאפיין אפס, והדבר משלים את הוכחת משפט אקס-גרותנדיק. למשפט ניתנו הוכחות נוספות, ובין היתר ארמנד בורל הביא הוכחה טופולוגית. ההוכחה שלעיל תקפה גם כשמחליפים את C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} ביריעות אלגבריות מעל שדה כלשהו. יתר על כן ניתן להכלילה עבור סכמות תחת הגבלות מסוימות. בספרו 'יסודות הגאומטריה האלגברית' (EGA) מביא גרותנדיק שתי הכללות: אנדומורפיזם מטיפוס סופי (כזה שבו לסכמת הטווח יש כיסוי פתוח סופי של סכמות אפיניות, המשרה הומומורפיזמים של חוגי המבנה של הסכמות האפיניות ותמונותיהן ההפוכות כך שכל חוג נוצר סופית מעל התמונה של החוג המתאים לו) שהוא חד חד ערכי אוניברסלית (radicial, כלומר לכל שדה המורפיזם המושרה בין הסכמות מעל השדה הוא חד-חד-ערכי) של סכמה הוא גם על. אם הסכמה מוצגת סופית והאנדומורפיזם הוא מונומורפיזם אז הוא אוטומורפיזם. בנוסף קיימים מספר ניסוחים לטענות הפוכות (באשר להעתקות על שהופכות לחד חד ערכיות). Serre, Jean-Pierre (2009), "How to use finite fields for problems concerning infinite fields", Arithmetic, geometry, cryptography and coding theory, Contemp. Math. 487, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 183–193, arXiv:0903.0517, MR 2555994