הוכחה בדרך השלילה

בלוגיקה ובמתמטיקה הוכחה בדרך השלילה או הוכחה עקיפה היא שיטת הוכחה לפיה אם הפרכת טיעון מסוים מובילה לסתירה לוגית — הטיעון נכון. במילים אחרות: אם הנחת טיעון מסוים מובילה לסתירה לוגית, אזי ניגודה של הנחה זו בהכרח נכון. בלטינית מכונה Reductio ad absurdum – רֶדּוּקְצְיוֹ אַדּ אַבְּסוּרְדּוּם - רדוקציה לאבסורד ("צמצום לאבסורד"), כלומר טענה שמובילה למצב לא-הגיוני. שיטה זו מבוססת על כלל השלישי מן הנמנע בלוגיקה, לפיו או שמשהו הוא נכון או שהוא אינו נכון, כלומר בהכרח רק אחד מהשניים הבאים מתקיימים: הטענה נכונה או שהטענה ההופכית לה נכונה. עם זאת, ישנם זרמים במתמטיקה דוגמת האינטואיציוניזם שאינם מקבלים שיטה זו. בפרט הם דוחים את הטיעון ששלילה של הטענה ההפוכה גוררת שהטענה נכונה. על כן הם אינם מקבלים הוכחה בדרך השלילה כהוכחה קבילה. בתחום של לוגיקה מתמטית ותורת המודלים, הוכחה בדרך השלילה מסתמכת על ההנחה שבתוך מודל מתמטי ספציפי טענה מתמטית היא נכונה או לא נכון (ואין מצבי ביניים). הוכחה בדרך השלילה היא כלי חזק ושימושי מאוד במתמטיקה. על מנת להוכיח ישירות טענה - צריך לבנות היסק לוגי שבונה את הטענה המפורשת, ולעומת זאת על מנת להוכיח בשלילה מספיק לבנות היסק לוגי שמתחיל בטענה הנגדית ונגמר בטענה לא נכונה כלשהי וכך יש יותר אפשרויות לכוון אליהן בבנייה של ההיסק. קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים - ההוכחות של אוקלידס, אוילר ופורסטנברג מסתמכות כולן על הנחה בשלילה. שורש 2 אינו מספר רציונלי - אחת ההוכחות שידועה מן הזמן העתיק ומופיע בכתבי אריסטו. משפט קנטור - מתורת הקבוצות שעוסק בעוצמות של קבוצות וקבוצות חזקה. משפט ליוביל - מאנליזה דיאופנטית שעוסק בקירוב שורשים של פולינום עם מקדמים שלמים. למשפט היסודי של האלגברה - יש מספר הוכחות שרובן מסתמכות על הנחה בשלילה. e אינו מספר רציונלי - ההוכחה הראשונה לאי רציונליות של e {\displaystyle e} של אוילר מסתמכת על הנחה בשלילה ההוכחה הראשונה על דרך השלילה בפילוסופיה מיוחסת לפילוסופים האלאטים, אף על פי כן, נראה שכבר הפיתגוראים השתמשו בה. יש הטוענים[דרוש מקור] כי ראשון המשתמשים בה היה זנון מאליאה, שכן הוא הוכיח את טענת מוֹרוֹ פארמנידס באמצעות 'רדוקציה אד אבסורדום' של טענות מתנגדיו. הטענות אותן הפריך באופן זה הן: ישנה תנועה בעולם. וכן: ישנו ריבוי בעולם. היסטוריון המתמטיקה סזאבו סבור כי כבר בשירו של פארמנידס ניכר מבנה הרדוקציה אד אבסורדום. פארמנידס מניח כי ישנו 'אין' (שהוא מזהה עם חלל ריק) ומוכיח כי מדובר בסתירה עצמית. כך הוא מוכיח כי אין בעולם ריק, לכן העולם מלא, ומכאן שהתנועה בו אינה אפשרית. הוכחת טענה בדרך השלילה נפוצה בוויכוחים ובדיבייטינג לשם השגת ניצחון על היריב הרעיוני. עם זאת, היא יכולה לשמש כדרך לבירור האמת, שכן ניתן להצביע בה על כשלים רעיוניים בדברי הדובר השני, כפי שתראינה שתי הדוגמאות הבאות: אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן כל הדעות תקפות במידה שווה ולא ניתן להכחישן. בני: מה לגבי דעתו של דוד? (כאשר דוד מחזיק בדעה שיש בדיון קונצנזוס על אי-נכונותה). אבי: אני מסכים שניתן להכחיש את דעתו של דוד. בני: אם ניתן להכחיש את דעותיו של דוד, הרי שלא נכון שלא ניתן להכחיש אף דעה. על כן, ניתן להכחיש את דעותיו של גדי, ואני יכול לעשות זאת עם נימוקים מספיקים. דוגמה פשוטה יותר ללא צורך באזכור דעתו של דוד: אבי: עליך לכבד את דעותיו של גדי, שכן כל הדעות תקפות במידה שווה ולא ניתן להכחישן. בני: אני מכחיש דעתך וטוען שהיא שגויה. לפי הטיעון שלך, דעה 1 תקפה כמו כל שאר הדעות. מצד שני, הדעה שלך גם נוגדת וסותרת את 1, שכן היא ההפך הגמור ממנה. מסקנות 2 ו־3 סותרות זו את זו, ולכן ההנחה הבסיסית שלך שגויה ופסולה. דוגמאות נוספות להוכחה בדרך השלילה ניתן למצוא בדיוני דת ומדע. בקרב דתיים לעיתים נשמעת הטענה כי במקרה של אמונה דתית שאי אפשר להפריכה, נטל ההוכחה עובר אל הספקן ועליו להוכיח שהאמונה לא נכונה. טענות מסוג זה ניתן לצמצם עד לאבסורד. כך, קנקן התה של ראסל הוא אנלוגיה שטבע הפילוסוף הבריטי ברטראנד ראסל, ונועדה לדחות את הרעיון כי יש משמעות לכך שאין אפשרות להפריך את קיומו של אלוהים. ב-1958 הציג זאת כך: איש אינו יכול להוכיח שאין בין כדור הארץ ומאדים קנקן תה מחרסינה הנע בתנועה אליפטית, אבל איש אינו חושב שהדבר מסתבר דיו כדי לייחס חשיבות כלשהי לטענה. אני חושב שהאל הנוצרי בלתי מסתבר באותה מידה. כהמשך לדבריו של ראסל, צצו דתות פארודיות המשתמשות בהוכחה על דרך השלילה כדי להגחיך את הדתות. כך קמו 'כנסיות' של מפלצת הספגטי המעופפת והחד-קרן הוורודה הבלתי נראית. בדומה, נפוצה טענת יום חמישי האחרון הקוראת תיגר על הבריאתנות. בריאתנים כגון פיליפ הנרי גוס והרב מנחם מנדל שניאורסון טענו כי הסימנים לקדמותו של היקום נוצרו עם בריאתו, והיקום רק נראה עתיק, בעוד הוא רק בן אלפי שנים בודדות. במענה לכך, הטענה מצמצמת עד אבסורד את הטיעון הבריאתני, וקובעת כי גיל היקום למעשה אינו מוקדם מיום חמישי שעבר; כל הידוע לנו על מה שקדם ליום חמישי האחרון אינו אלא אשליה, שכן באותו יום נוצרו כל העדויות לקדמותו של העולם, כולל הזכרונות האנושיים והרישומים הפיזיים לכך. הפרכה חוק אי הסתירה עקרון השלישי הנמנע Proof by contradiction, Art of Problem Solving (באנגלית) The Definitive Glossary of Higher Math Jargon, Math Vault (באנגלית) ניקולס רשר, Reductio ad Absurdum, באנציקלופדיה האינטרנטית לפילוסופיה (באנגלית) הוכחה בדרך השלילה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) הוכחה בדרך השלילה, באתר MathWorld (באנגלית) תלמה לויתן, 8.1, יסודות החשיבה המתמטית : צעדים ראשונים במתמטיקה מתקדמת, מכון מופ"ת, תשע"ג 2012. (בעברית) Dr Jack Dikian, The problem with last Thursday (thursdayism) פיליפ הנרי גוס, בספרו "אומפלוס" (Omphalos) מכתב הרבי מליובאוויטש, טבת תשכ"ב - נדפס באמונה ומדע עמ' 89. מאנגלית