סדרה מדויקת

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, סדרה מדויקת היא סדרה מהצורה ⋯ A i → f i A i + 1 → f i + 1 A i + 2 ⋯ {\displaystyle \cdots A_{i}{\stackrel {f_{i}}{\rightarrow }}A_{i+1}{\stackrel {f_{i+1}}{\rightarrow }}A_{i+2}\cdots } , שבה כל הרכבה f i + 1 ∘ f i {\displaystyle f_{i+1}\circ f_{i}} שווה לאפס באופן "מדויק", כלומר, התמונה של כל הומומורפיזם שווה לגרעין של ההומומורפיזם שבא אחריו. המבנים A i {\displaystyle A_{i}} יכולים להיות מודולים, חבורות, או כל אובייקט אחר בקטגוריה אבלית. סדרות מדויקות מאפשרות ללמוד על מבנים בסדרה, מתוך תכונות של מבנים אחרים באותה סדרה. נניח שנתונה סדרה (סופית או אינסופית) של מבנים אלגבריים G i {\displaystyle G_{i}} ביחד עם אוסף של הומומורפיזמים של חבורות f i : G i → G i + 1 {\displaystyle f_{i}:G_{i}\rightarrow G_{i+1}} . נאמר שסדרה כזו היא מדויקת ב- G i {\displaystyle G_{i}} אם מתקיים השוויון Im f i − 1 = ker ⁡ f i {\displaystyle {\mbox{Im}}f_{i-1}=\ker f_{i}} . הסדרה כולה תיקרא מדויקת אם היא מדויקת ב- G i {\displaystyle G_{i}} לכל i {\displaystyle i} . למשל: הסדרה 0 → A → f B {\displaystyle 0\rightarrow A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B} מדויקת אם ורק אם f {\displaystyle f} הוא מונומורפיזם. הסדרה A → f B → 0 {\displaystyle A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B\rightarrow 0} מדויקת אם ורק אם f {\displaystyle f} הוא אפימורפיזם. ביחד, הסדרה 0 → A → f B → 0 {\displaystyle 0\rightarrow A{\stackrel {f}{\rightarrow }}B\rightarrow 0} היא מדויקת, אם ורק אם f {\displaystyle f} הוא איזומורפיזם. כאמור לעיל, הסדרות הקצרות ביותר מספקות מידע טריוויאלי. הסדרה הראשונה שמספקת מידע מהותי היא מהצורה 0 ⟶ H ⟶ i G ⟶ p N ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow H{\stackrel {i}{\longrightarrow }}G{\stackrel {p}{\longrightarrow }}N\longrightarrow 0} . סדרה כזו, הקרויה סדרה מדויקת קצרה, כוללת שני חצים לא טריוויאליים: שיכון של H {\displaystyle H} ב- G {\displaystyle G} , והטלה מ- G {\displaystyle G} על N {\displaystyle N} , שהגרעין שלה הוא H {\displaystyle H} . לפי משפט האיזומורפיזם הראשון, אם הסדרה מדויקת ב- G {\displaystyle G} , בהכרח G / H ≅ N {\displaystyle G/H\cong N} - כלומר, הסדרה הזו מתארת מקרה של מנת חבורות. נציין גם ש- N {\displaystyle N} איזומורפי לקו-גרעין של i : H ↪ G {\displaystyle i:H\hookrightarrow G} , שהוא c o k e r ( i ) = G / I m ( i ) {\displaystyle \mathrm {coker} (i)=G/\mathrm {Im} (i)} . הסדרה המדויקת הקצרה 0 ⟶ H ⟶ i G ⟶ p N ⟶ 0 {\displaystyle 0\longrightarrow H{\stackrel {i}{\longrightarrow }}G{\stackrel {p}{\longrightarrow }}N\longrightarrow 0} . נקראת מתפצלת, אם מתקיים אחד התנאים השקולים הבאים: קיים r : G → H {\displaystyle r:G\to H} כך ש- r ∘ i = i d H {\displaystyle r\circ i=id_{H}} . קיים q : N → G {\displaystyle q:N\to G} כך ש- p ∘ q = i d N {\displaystyle p\circ q=id_{N}} קיימת תת-חבורה J ⊆ G {\displaystyle J\subseteq G} כך ש- G = i m ( i ) ⊕ J {\displaystyle G=im(i)\oplus J} . המקרה הזה ודאי חזק יותר מסדרה מדויקת רגילה. בעוד שהמקרה הקודם תיאר מנה, המקרה הזה מתאר סכום ישר. כלומר, מסדרה כזו ניתן להסיק G = H ⊕ N {\displaystyle G=H\oplus N} . כאשר האובייקט N {\displaystyle N} הוא חופשי (כמו חבורה חופשית או מודול חופשי), הסדרה המדויקת גם מתפצלת. אותה טענה על כל אחת משתי החבורות האחרות (וגם על שתיהן) לא נכונה. נתבונן בסדרה הבאה של חבורות אבליות: Z ⟶ z ↦ 2 z Z ⟶ z ↦ z ( mod 2 ) Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} {\stackrel {z\mapsto 2z}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\stackrel {z\mapsto z{\pmod {2}}}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } כאשר ההעתקה מ- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ל- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } היא הכפלה ב-2 וההעתקה מ- Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ל- Z / 2 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } היא העתקת המנה. התמונה של ההעתקה הראשונה היא תת-החבורה של המספרים הזוגיים, וזהו בדיוק הגרעין של ההעתקה השנייה. לפיכך הסדרה הנ"ל היא סדרה מדויקת של חבורות אבליות. סדרה זו איננה מתפצלת, שכן התמונה 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } איננה מחובר ישר של אף תת-חבורה. דוגמה זו שימושית במיוחד בהוכחה שהשפה של טבעת מביוס איננה נסג שלה. פונקטור (קו-וריאנטי) אדיטיבי F : A → B {\displaystyle F:A\rightarrow B} בין שתי קטגוריות אבליות הוא מדויק אם הוא מעביר סדרות מדויקות לסדרות מדויקות. במילים אחרות, F {\displaystyle F} הוא מדויק אם בהינתן סדרה מדויקת ⋯ → A i → A i + 1 → A i + 2 → … {\displaystyle \dots \rightarrow A_{i}\rightarrow A_{i+1}\rightarrow A_{i+2}\rightarrow \dots } הסדרה ⋯ → F A i → F A i + 1 → F A i + 2 → … {\displaystyle \dots \rightarrow FA_{i}\rightarrow FA_{i+1}\rightarrow FA_{i+2}\rightarrow \dots } המתקבלת לאחר הפעלת F {\displaystyle F} גם היא מדויקת. כאשר פונקטור אינו מדויק אפשר למדוד עד כמה הוא רחוק מלהיות מדויק באמצעות פונקטורים נגזרים. מדיה וקבצים בנושא סדרה מדויקת בוויקישיתוף סדרה מדויקת, באתר MathWorld (באנגלית)