הצגה ליניארית

בתורת החבורות, הצגה ליניארית היא הצגה של חבורה נתונה כחבורת מטריצות (או, באופן כללי יותר, כחבורה של העתקות הפיכות של מרחב הילברט), באמצעות הומומורפיזם מן החבורה לחבורת ההעתקות הליניאריות של מרחב וקטורי מעל שדה כלשהו. הצגה של חבורה G {\displaystyle G} מאפשרת לייצג את איברי החבורה כטרנפסורמציות ("סימטריות") של מרחב ווקטורי כאשר פעולת החבורה מתאימה להרכבה של הטרנספורמציות, מה שהופך הצגות למקרה פרטי של פעולת חבורה על קבוצה. במקרה של פעולה על מרחב ממד סופי, הצגה מאפשרת לייצג את איברי החבורה כאוסף מטריצות, כאשר פעולת החבורה מתאימה לכפל מטריצות. את תורת ההצגות, העוסקת בהצגות ליניאריות, פיתח פרדיננד גאורג פרובניוס בסוף המאה ה-19, והיא הפכה להיות ענף מרכזי בתורת החבורות, בעל יישומים רבים במתמטיקה ומחוץ לה. חבורה שיש לה הצגה נאמנה (כזו שבה ההעתקה מן החבורה אל ההעתקות הליניאריות אינה מאבדת מידע) נקראת חבורה ליניארית. באופן פורמלי, הצגה היא הומומורפיזם ρ : G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)} , כאשר G {\displaystyle G} היא החבורה הנתונה, V {\displaystyle V} הוא מרחב וקטורי מעל שדה F {\displaystyle F} , ו- GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} היא חבורת ההעתקות הליניאריות ההפיכות של המרחב. כאשר V {\displaystyle V} הוא מרחב מממד סופי n {\displaystyle n} , אפשר לזהות את החבורה GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)} עם חבורת המטריצות ההפיכות GL n ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)} . במקרה זה n {\displaystyle n} נקרא ממד ההצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} . עבור ווקטור v → ∈ V {\displaystyle {\vec {v}}\in V} ואיבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} , לעיתים רושמים בקצרה g . v → := ρ ( g ) . v → {\displaystyle g.{\vec {v}}:=\rho (g).{\vec {v}}} . גרעין של הצגה ρ : G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \rho :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)} הוא הגרעין של ההומומופריזם ρ {\displaystyle \rho } . משמע, זו תת-חבורה נורמלית K e r ( ρ ) {\displaystyle Ker(\rho )} ב- G {\displaystyle G} המורכבת מכל האיברים שנשלחים להעתקת זהות i d V {\displaystyle id_{V}} תחת ρ {\displaystyle \rho } . הצגה נאמנה היא הצגה שהגרעין שלה הוא תת-החבורה הטריוויאלית e {\displaystyle {e}} של G {\displaystyle G} . בהינתן שתי הצגות ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} , ( ρ W , W ) {\displaystyle (\rho _{W},W)} של חבורה G {\displaystyle G} , העתקה ליניארית f : V → W {\displaystyle f:V\to W} נקראת הומומופריזם של הצגות אם לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} מתקיים f ∘ ρ V ( g ) = ρ W ( g ) ∘ f {\displaystyle f\circ \rho _{V}(g)=\rho _{W}(g)\circ f} . לעיתים מכונים הומומורפיזמים של הצגות גם העתקות של הצגות של G {\displaystyle G} או העתקות G {\displaystyle G} -אקוויוואריאנטיות. אם העתקת הצגות f : V → W {\displaystyle f:V\to W} בין שתי הצגות ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} , ( ρ W , W ) {\displaystyle (\rho _{W},W)} היא איזומורפיזם של מרחבים ליניאריים, אז גם ההעתקה ההופכית f − 1 {\displaystyle f^{-1}} היא העתקה של הצגות. במקרה זה נאמר שההעתקה f {\displaystyle f} היא איזומורפיזם של הצגות, וההצגות ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} , ( ρ W , W ) {\displaystyle (\rho _{W},W)} נקראות איזומורפיות או שקולות. במילים אחרות, שתי הצגות ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} , ( ρ W , W ) {\displaystyle (\rho _{W},W)} הן שקולות אם קיימת העתקה ליניארית f : V → W {\displaystyle f:V\to W} כך שלכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} מתקיים f ∘ ρ V ( g ) ∘ f − 1 = ρ W ( g ) {\displaystyle f\circ \rho _{V}(g)\circ f^{-1}=\rho _{W}(g)} (כלומר, האופרטורים הליניאריים שמייצגים את איברי G {\displaystyle G} בהצגות השונות מתקבלים על ידי הצמדה בעזרת אופרטור ליניארי הפיך f {\displaystyle f} ). באופן אינטואיטיבי, בהינתן הצגה ממד סופי n {\displaystyle n} של חבורה G {\displaystyle G} , כל בסיס במרחב הווקטורי המתאים נותן ייצוג של איברי החבורה בעזרת מטריצות בגודל n × n {\displaystyle n\times n} . בגישה זו, הצגות שקולות ממד n {\displaystyle n} יתאימו לבחירות שונות של בסיסים במרחב n {\displaystyle n} -ממדי. בהינתן הצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} של חבורה G {\displaystyle G} ותת-מרחב W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} שנשמר על ידי כל האופרטורים ρ ( g ) , g ∈ G {\displaystyle \rho (g),g\in G} (כלומר, ρ ( g ) ( W ) ⊆ W {\displaystyle \rho (g)(W)\subseteq W} לכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} ), ההצגה ρ : G → G L ( W ) {\displaystyle \rho :G\to GL(W)} נקראת תת-הצגה של ההצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} . במקרה זה מתקבל הומומורפיזם של הצגות ( ρ , W ) → ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,W)\to (\rho ,V)} הנתון על ידי השיכון W → V {\displaystyle W\to V} . במקרה זה על מרחב המנה V / W {\displaystyle V/W} ישנה הצגה טבעית של G {\displaystyle G} , הנקראת הצגת מנה ( ρ , V / W ) {\displaystyle (\rho ,V/W)} של ההצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} . בהצגה זו, כל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} פועל על ידי האופרטור הליניארי ρ ( g ) . ( v → + W ) = ρ ( g ) v → + W {\displaystyle \rho (g).({\vec {v}}+W)=\rho (g){\vec {v}}+W} . לכל חבורה G {\displaystyle G} מוגדרות שתי הצגות מיוחדות: הצגת האפס וההצגה הטריוויאלית. הצגת האפס היא הצגה על מרחב האפס { 0 } {\displaystyle \{0\}} בה כל איברי החבורה פועלים על ידי העתקת זהות על מרחב זה. ההצגה הטריוויאלית היא ההצגה החד-ממדית G → GL ⁡ ( F ) {\displaystyle G\rightarrow \operatorname {GL} (F)} בה כל איברי החבורה פועלים על ידי העתקת זהות על המרחב F {\displaystyle F} . הצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} של חבורה G {\displaystyle G} נקראת פריקה אם קיים תת-מרחב { 0 } ≠ W ⊊ V {\displaystyle \{0\}\neq W\subsetneq V} שנשמר על ידי כל האופרטורים ρ ( g ) , g ∈ G {\displaystyle \rho (g),g\in G} . הצגה שאין לה תת-מרחב כזה (כלומר, כל תת-הצגה שלה היא הצגת האפס או ההצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} עצמה) נקראת הצגה אי-פריקה. הצגה נקראת פריקה לגמרי אם היא איזומורפית לסכום ישר של הצגות אי-פריקות. סכום ישר של ההצגות ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} , ( ρ W , W ) {\displaystyle (\rho _{W},W)} של חבורה G {\displaystyle G} הוא הצגה ( ρ V ⊕ ρ W , V ⊕ W ) {\displaystyle (\rho _{V}\oplus \rho _{W},V\oplus W)} של G {\displaystyle G} על הסכום ישר V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} . כל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} פועל על ידי האופרטור הליניארי ρ V ( g ) ⊕ ρ W ( g ) {\displaystyle \rho _{V}(g)\oplus \rho _{W}(g)} . אופרטור זה מעביר את הווקטור v → + w → ∈ V ⊕ W {\displaystyle {\vec {v}}+{\vec {w}}\in V\oplus W} לווקטור ρ V ( v → ) + ρ W ( w → ) {\displaystyle \rho _{V}({\vec {v}})+\rho _{W}({\vec {w}})} . אם ההצגות הן ממד סופי ובכל אחת מהן נבחר בסיס, זה מגדיר בסיס יחיד במרחב V ⊕ W {\displaystyle V\oplus W} . בבסיס זה, המטריצה שמצייגת את ρ V ( g ) ⊕ ρ W ( g ) {\displaystyle \rho _{V}(g)\oplus \rho _{W}(g)} היא מרטיצת בלוקים, כאשר כל בלוק נתון על ידי המטריצות שמייצגות ρ V ( g ) , ρ W ( g ) {\displaystyle \rho _{V}(g),\rho _{W}(g)} בבסיסים המתאימים. הצגת האפס מהווה איבר אפס עבור פעולת חיבור ישר של הצגות. הצגה אשר שקולה לסכום ישר של שתי הצגות לא אפסיות נקראת הצגה פרידה. הצגה שאינה שקולה לאף סכום ישר של שתי הצגות לא אפסיות נקראת הצגה אי-פרידה. הצגה אי-פריקה היא בהכרח אי-פרידה. אם אלגברת החבורה פשוטה למחצה, אז כל הצגה אי-פרידה היא אי-פריקה, וכל הצגה מתפרקת לסכום ישר של הצגות אי-פריקות. גם במקרים אחרים אפשר לבנות מן ההצגות האי-פריקות את כל ההצגות של החבורה, אלא שהתהליך מסובך בהרבה. הצגה נקראת סופית מקומית אם היא איזומורפית לסכום ישר של הצגות ממימד סופי. מכפלה טנזורית של ההצגות ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} , ( ρ W , W ) {\displaystyle (\rho _{W},W)} של חבורה G {\displaystyle G} היא הצגה ( ρ V ⊗ ρ W , V ⊗ W ) {\displaystyle (\rho _{V}\otimes \rho _{W},V\otimes W)} של G {\displaystyle G} על המכפלה הטנזורית של מרחבים ווקטוריים V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} . כל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} פועל על ידי האופרטור הליניארי ρ V ( g ) ⊗ ρ W ( g ) {\displaystyle \rho _{V}(g)\otimes \rho _{W}(g)} . אופרטור זה מעביר את הטנזור הטהור v → ⊗ w → ∈ V ⊗ W {\displaystyle {\vec {v}}\otimes {\vec {w}}\in V\otimes W} לטנזור הטהור ρ V ( v → ) ⊗ ρ W ( w → ) {\displaystyle \rho _{V}({\vec {v}})\otimes \rho _{W}({\vec {w}})} . ההצגה הטריוויאלית מהווה איבר יחידה עבור פעולת כפל טנזורי של הצגות. בהינתן הצגה ( ρ V , V ) {\displaystyle (\rho _{V},V)} של חבורה G {\displaystyle G} , ההצגה הדואלית לה היא הצגה ( ρ V ∗ , V ∗ ) {\displaystyle (\rho _{V}^{*},V^{*})} של G {\displaystyle G} על המרחב הדואלי של V {\displaystyle V} . בהצגה זו, כל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} פועל על ידי האופרטור הליניארי ρ V ∗ ( g ) := ρ V ( g − 1 ) ∗ : V ∗ → V ∗ {\displaystyle \rho _{V}^{*}(g):=\rho _{V}(g^{-1})^{*}:V^{*}\to V^{*}} . קטגוריית ההצגות של חבורה G {\displaystyle G} היא קטגוריה בה האובייקטים הם הצגות של החבורה G {\displaystyle G} והמורפיזמים הם הומומופריזמים של הצגות של G {\displaystyle G} . קטגוריה זו היא אחד מנושאי המחקד המרכזיים בתורת ההצגות המודרנית. בהינתן בהינתן הצגה ρ : G → G L ( V ) {\displaystyle \rho :G\to GL(V)} ותת-חבורה H ≤ G {\displaystyle H\leq G} , צמצום ההצגה ( ρ , V ) {\displaystyle (\rho ,V)} לתת-חבורה H {\displaystyle H} היא ההצגה של H {\displaystyle H} הנתונה על ידי ρ | H : H → G L ( V ) {\displaystyle \rho |_{H}:H\to GL(V)} (כלומר, איברי H {\displaystyle H} פועלים על ידי אותם אופרטורים ליניאריים כמו בהצגה המקורית). את ההצגה המצומצת נהוג לסמן ( ρ ↓ H , V ) {\displaystyle (\rho \downarrow _{H},V)} או ( R e s H G ρ , V ) {\displaystyle (Res_{H}^{G}\rho ,V)} . פעולת הצמצום של הצגות מחבורה G {\displaystyle G} לתת-חבורה נתונה H ≤ G {\displaystyle H\leq G} מגדירה פונקטור מקטגוריית ההצגות של חבורה G {\displaystyle G} לקטגוריית ההצגות של חבורה H {\displaystyle H} . פנקטור זה הוא פנקטור נאמן (אך בדרך כלל לא מלא), ששומר על סכומים ישרים ומכפלות טנזוריות. כל קרקטר כפלי של חבורה G {\displaystyle G} מגדיר הצגה חד-ממדית (היא בהכרח הצגה אי-פריקה). פעולת כפל על קרקטרים כפליים של G {\displaystyle G} מתאימה לכפל טנזורי של ההצגות החד-ממדיות המתאימות ופעולת ההיפוך בחבורת הקארקטרים מתאימה לדואליות של הצגות. מעל שדה סגור אלגברית, כל ההצגות האי-פריקות של חבורה אבלית סופית הן חד-ממדיות. מעל המרוכבים, כל אלו הן קרקטרים כפליים. יהי F {\displaystyle F} שדה, G {\displaystyle G} חבורה הפועלת על קבוצה S {\displaystyle S} (פעולה זו נתונה על ידי העתקה a : G → A u t ( S ) {\displaystyle a:G\to Aut(S)} ). אז הצגת הפרמוטציה של G {\displaystyle G} על אוסף הפונקציות F [ S ] := F u n ( S , F ) {\displaystyle F[S]:=Fun(S,F)} מוגדרת על ידי g . f = f ∘ a ( g − 1 ) {\displaystyle g.f=f\circ a(g^{-1})} לכל פונקציה f : S → F {\displaystyle f:S\to F} ולכל g ∈ G {\displaystyle g\in G} . במילים אחרות, ( g . f ) ( s ) = f ( g − 1 . s ) {\displaystyle (g.f)(s)=f(g^{-1}.s)} לכל s ∈ S {\displaystyle s\in S} . ממד הצגה זו הוא העוצמה של הקבוצה S {\displaystyle S} . אם הקבוצה S {\displaystyle S} סופית, הצגה זו איזומורפית להצגה הדואלית שלה; כמו כן, במקרה זה האופרטורים הליניאריים ρ ( g ) : F [ S ] → F [ S ] {\displaystyle \rho (g):F[S]\to F[S]} מיוצגים בבסיס הסטנדרטי של F [ S ] {\displaystyle F[S]} (בסיס המורכב מפונקציות דלתא על S {\displaystyle S} ) על ידי מטריצות תמורה. מקרים פרטיים של הצגות פרמוטציה: ההצגה השמאלית הרגולרית של G {\displaystyle G} על אוסף הפונקציות F [ G ] {\displaystyle F[G]} : הצגה זו מתאימה לפעולת כפל משמאל של החבורה G {\displaystyle G} על עצמה. בהצגה זו כל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} פועל על פונקציות G → F {\displaystyle G\to F} על ידי הזזה משמאל בקלט הפונקציה. בדומה, מוגדרת ההצגה הימנית הרגולרית של G {\displaystyle G} על F [ G ] {\displaystyle F[G]} , המתאימה לפעולת כפל מימין בהופכי של החבורה G {\displaystyle G} על עצמה. ההצגה הצמודה של G {\displaystyle G} על אוסף הפונקציות F [ G ] {\displaystyle F[G]} : הצגה זו מתאימה לפעולת ההצמדה של החבורה G {\displaystyle G} על עצמה. בהצגה זו כל איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} פועל על פונקציה f : G → F {\displaystyle f:G\to F} על ידי הצמדה בקלט הפונקציה, כלומר, ( g . f ) ( h ) = f ( g − 1 h g ) {\displaystyle (g.f)(h)=f(g^{-1}hg)} לכל h ∈ G {\displaystyle h\in G} . ההצגה הרגולרית של המכפלה הישרה G × G {\displaystyle G\times G} על אוסף הפונקציות F [ G ] {\displaystyle F[G]} : הצגה זו מתאימה לפעולת כפח דו-צדדית של החבורה G × G {\displaystyle G\times G} על הקבוצה G {\displaystyle G} ; פעולה זו נתונה על ידי ( g 1 , g 2 ) . h := g 1 h g 2 − 1 {\displaystyle (g_{1},g_{2}).h:=g_{1}hg_{2}^{-1}} לכל ( g 1 , g 2 ) ∈ G × G , h ∈ G {\displaystyle (g_{1},g_{2})\in G\times G,h\in G} . צמצום של הצגה זו לתת-חבורות { e } × G {\displaystyle \{e\}\times G} , G × { e } {\displaystyle G\times \{e\}} נותן את ההצגות השמאלית והימנית הרגוליות של G {\displaystyle G} בהתאמה. צמצום של הצגה זו לחבורה G {\displaystyle G} משוכנת אלכסונית ב- G × G {\displaystyle G\times G} נותן את ההצגה הצמודה של G {\displaystyle G} . ניתן להגדיר גם הצגה של G {\displaystyle G} על המרחב הווקטורי בעל בסיס אשר מזוהה עם הקבוצה S {\displaystyle S} . מרחב ווקטורי זה מסומן בדרך כלל F S {\displaystyle FS} , והפעולה של איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} על המרחב F S {\displaystyle FS} נתונה על ידי פעולת g {\displaystyle g} על איברי הבסיס (כך שבבסיס הנתון, הפעולה של g {\displaystyle g} מיוצגת על ידי מטריצת תמורה). הצגה זו לעיתים נקראת גם היא הצגת הפרמוטציה של G {\displaystyle G} על F S {\displaystyle FS} . ההצגה הדואלית להצגה של G {\displaystyle G} על F S {\displaystyle FS} היא ההצגה של G {\displaystyle G} על מרחב הפונקציות F [ S ] {\displaystyle F[S]} . ושתי הצגות אלו איזומורפיות אם ורק אם הקבוצה S {\displaystyle S} סופית. עבור חבורה ציקלית סופית ( Z / m Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,+)} , כל הצגה ממד סופי מעל שדה המרוכבים C {\displaystyle \mathbb {C} } היא סכום ישר של הצגות חד-ממדיות (אי-פריקות) הנתונות על ידי אקספוננטים e n : Z / n Z → G L 1 ( C ) ≅ C {\displaystyle e_{n}:\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to GL_{1}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} } המוגדרים על ידי e n ( k ) = e 2 π i n k / m {\displaystyle e_{n}(k)=e^{2\pi ink/m}} לכל k ∈ Z / m Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } . עבור החבורה הציקלית האינסופית ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} , הצגה של החבורה מעל שדה F {\displaystyle F} נתונה ביחידות על ידי זוג ( T , V ) {\displaystyle (T,V)} כאשר V {\displaystyle V} מרחב ווקטורי מעל F {\displaystyle F} ואילו T : V → V {\displaystyle T:V\to V} אופרטור ליניארי הפיך. אם F {\displaystyle F} סגור אלגברית אזי כל הצגה האי-פרידה של ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} ממד סופי איזומורפית להצגה מהצורה Z → G L n ( F ) {\displaystyle \mathbb {Z} \to GL_{n}(F)} , k ↦ T k {\displaystyle k\mapsto T^{k}} כאשר T {\displaystyle T} היא מטריצת בלוק ז'ורדן עם ערך עצמי שונה מאפס. הצגה זו היא אי-פריקה אם ורק אם n = 1 {\displaystyle n=1} . יהי F {\displaystyle F} שדה בעל אופיין שונה מ- 2 , 3 {\displaystyle 2,3} . עבור החבורה הסימטרית S 3 {\displaystyle S_{3}} (חבורת תמורות על 3 איברים), הפעולה של החבורה על הקבוצה { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} מגדירה הצגת פרמוטציה S 3 → G L 3 ( F ) {\displaystyle S_{3}\to GL_{3}(F)} . הצגה זו מתפרקת לסכום ישר של ההצגה הטריוויאלית והצגה דו-ממדית אי-פריקה, המכונה הצגת שיקוף של S 3 {\displaystyle S_{3}} . מקור השם הוא במקרה בו F = R {\displaystyle F=\mathbb {R} } , אז הפעולה של S 3 {\displaystyle S_{3}} על המרחב הווקטורי R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} היא בעלת אופי גאומטרי: איברי החבורה פועלים על המישור על ידי שיקופים וסיבובים בכפולות של 2 π / 3 {\displaystyle 2\pi /3} רדיאנים. בנוסף להצגות אלו לחבורה S 3 {\displaystyle S_{3}} יש הצגה אי-פריקה נוספת יחידה (עד כדי שקילות הצגות), וזוהי הצגת הסימן s g n : S 3 → G L 1 ( F ) = F {\displaystyle sgn:S_{3}\to GL_{1}(F)=F} אשר שולחת תמורה g ∈ S 3 {\displaystyle g\in S_{3}} לסימן התמורה s g n ( g ) ∈ { ± 1 } {\displaystyle sgn(g)\in \{\pm 1\}} . ניתן לבנות הצגה זו גם כחזקה חיצונית שלישית של הצגת הפרמוטציה המקורית. אם π : G → GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)} היא הצגה ממימד סופי מעל השדה F {\displaystyle F} , אז הפונקציה χ π : G → F , χ π ( g ) = tr ⁡ ( π ( g ) ) {\displaystyle \chi _{\pi }:G\to F,\,\chi _{\pi }(g)=\operatorname {tr} (\pi (g))} המוגדרת לפי חישוב העקבה של המטריצות המתקבלות מן ההצגה, היא הקרקטר (character) של ההצגה (בדרך כלל הקרקטר הזה אינו קרקטר כפלי). העקבה אינה משתנה בהצמדה על ידי אופרטור ליניארית הפיך, ולכן להצגות שקולות יש אותה עקבה. באופן דומה, אם g , h {\displaystyle g,h} הם שני איברים צמודים בחבורה, דהיינו h = x g x − 1 {\displaystyle h=xgx^{-1}} עבור איבר x {\displaystyle x} מתאים, אז הקרקטר מקבל בשניהם את אותו ערך. מכאן שהקרקטר הוא פונקציה של מחלקות הצמידות בחבורה, ולא רק של החבורה עצמה. פעולות על הצגות מתאימות לפעולות על קרקטרים: בהינתן סכום ישר של שתי הצגות, הקרקטר של הסכום הישר הוא סכום של פונצקיות קרקטר של המחוברים. בדומה, קרקטר של מכפלה טנזורית של שתי הצגות הוא מכפלה של פונקציות קרקטר של הגורמים. בחבורה סופית (ובאופן כללי יותר, גם בחבורה קומפקטית), גם ההפך נכון: מן הקרקטר של הצגה, אפשר לשחזר את ההצגה כולה (עד כדי שקילות). כך למשל, ניתן לשחזר את הממד של ההצגה מתוך הקרקטר שלה: χ π ( e ) = tr ⁡ ( i d V ) = d i m ( V ) {\displaystyle \chi _{\pi }(e)=\operatorname {tr} (id_{V})=dim(V)} . הקרקטר של הצגת האפס הוא הפונקציה הקבועה בעלת ערך 0. הקרקטר של הצגה חד-ממדית שווה להצגה עצמה. בפרט, הקרקטר של ההצגה הטריוויאלית הוא פונקציה קבועה בעלת ערך 1. עבור חבורה סופית, הקרקטר של ההצגה השמאלית הרגולרית (ושל ההצגה הימנית הרגולרית) הוא פונקציית דלתא על החבורה: זוהי הפונקציה χ r e g ( g ) = δ e , g {\displaystyle \chi _{reg}(g)=\delta _{e,g}} . באופן כללי יותר, בהינתן פעולה של חבורה G {\displaystyle G} על קבוצה סופית S {\displaystyle S} , הקרקטר של הצגת הפרמוטציה F [ S ] {\displaystyle F[S]} הוא פונקציה G → F {\displaystyle G\to F} אשר שולחת איבר g ∈ G {\displaystyle g\in G} למספר נקודות השבת של ההעתקה g : S → S {\displaystyle g:S\to S} . עבור הצגת השיקוף של החבורה הסימטרית S 3 {\displaystyle S_{3}} מעל R {\displaystyle \mathbb {R} } , הקרקטר הוא פונקציה χ : S 3 → R , χ ( g ) = { 2  if  g = e 0  if  g ∈ { ( 12 ) , ( 23 ) , ( 13 ) } − 1  if  g ∈ { ( 123 ) , ( 132 ) } {\displaystyle \chi :S_{3}\to \mathbb {R} ,\;\chi (g)={\begin{cases}2&{\text{ if }}&g=e\\0&{\text{ if }}&g\in \{(12),(23),(13)\}\\-1&{\text{ if }}&g\in \{(123),(132)\}\end{cases}}} . יש התאמה מלאה בין הצגות של חבורה G {\displaystyle G} אל מרחבים וקטוריים מעל לשדה F {\displaystyle F} לבין מודולים מעל אלגברת החבורה F [ G ] {\displaystyle F[G]} , הנתונה על ידי הגדרת הפעולה g ⋅ v = ρ ( g ) ( v ) {\displaystyle g\cdot v=\rho (g)(v)} . לכן יש גם התאמה אל ההצגות של אלגברת החבורה. תחת התאמה זו, הצגות צמודות עוברות אל מודולים איזומורפיים, סכום של העתקות עובר אל סכום ישר של מודולים, וההצגה הרגולרית (השיכון בעזרת חבורת הסימטריה) עוברת אל F [ G ] {\displaystyle F[G]} כמודול מעל עצמו. כל הצגה של חבורה סופית מכילה תת-הצגה מממד סופי. בפרט, כל ההצגות האי-פריקות של חבורה סופית הן ממד סופי. לפי משפט משקה, אם G {\displaystyle G} חבורה סופית שהסדר שלה זר למאפיין char ⁡ ( F ) {\displaystyle \operatorname {char} (F)} , אז אלגברת החבורה היא פשוטה למחצה, הדבר מבטיח שכל הצגה של G {\displaystyle G} תהיה ניתנת לפירוק כסכום ישר של הצגות אי-פריקות. זהן פירוק יחיד עד כדי איזומורפיזם והחלפת סדר המחוברים בסכום הישר. אם G {\displaystyle G} היא חבורה סופית ומתקיים תנאי משפט משקה, ניתן לרשום (לפי משפט ודרברן-ארטין) את חוג החבורה כסכום ישר של אלגברות מטריצות מעל חוגים על חילוק: F [ G ] = ⊕ i = 1 t M n i ( D i ) {\displaystyle F[G]={\overset {t}{\underset {i=1}{\oplus }}}{M_{n_{i}}(D_{i})}} . לכל חוג מהצורה M n i ( D i ) {\displaystyle M_{n_{i}}(D_{i})} מודול אי פריק יחיד (אך המודולים ברכיבים השונים אינם איזומורפיים). מספר המחוברים t {\displaystyle t} הוא מספר המודולים הפשוטים, והוא גם שווה לממד מרכז החבורה Z ( F [ G ] ) {\displaystyle Z(F[G])} , השווה למספר מחלקות הצמידות של החבורה. את הערכים של הקרקטרים השונים, המחושבים בכל מחלקות הצמידות של החבורה, אפשר לארגן במטריצה ריבועית, הנקראת טבלת הקרקטרים של החבורה. מספר ההצגות האי-פריקות השונות (לא שקולות זו לזו) של חבורה סופית שווה למספר מחלקות הצמידות בחבורה. כמו כן, סכום ריבועי הממדים של ההצגות האי-פריקות השונות (לא שקולות) שווה לסדר החבורה. הממד של כל הצגה אי-פריקה מחלק את סדר החבורה. יתרה מזו, לפי משפט איטו, אם A {\displaystyle A} תת-חבורה אבלית נורמלית, אז הממד של הצגה אי-פריקה מחלק את האינדקס [ G : A ] {\displaystyle [G:A]} . אלגברה מממד סופי - תורת ההצגות של אלגברות מממד סופי. ייצוג חבורות, דף שער בספרייה הלאומית הצגה ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)