זרימת טיילור-קואט

במכניקת הזורמים, זרימת טיילור-קואט (Taylor-Couette) מתייחסת למצב בו זורם צמיג כלוא בין שני גלילים מסתובבים. עבור מהירויות זוויתיות נמוכות, (בהן מתקבל מספר ריינולדס נמוך) הזרימה תמידית ואזימוטלית. המצב הבסיסי ידוע כזרימת קואט מעגלית, על שם מ.מ. אלפרד קואט, אשר בנה מערכת כזו על מנת למדוד את הצמיגות של הזורם. סר גפרי טיילור חקר את היציבות של זרימה זו במאמר שהיווה את אבן הבסיס של הבנת יציבות במכניקת הזורמים. (הרחבה בהמשך) נמצא את שדה המהירות תחת ההנחות הבאות: מצב מתמיד ∂ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0} נוזל בלתי דחיס ρ = c o n s t . {\displaystyle \rho =const.} בעיה דו־ממדית עם אקסיסימטריה: ∂ ∂ ϕ = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \phi }}=0} כוחות גוף זניחים. משוואות נאוויה-סטוקס בקואורדינטות גליליות: r ^ : ρ ( ∂ u r ∂ t + u r ∂ u r ∂ r + u ϕ r ∂ u r ∂ ϕ + u z ∂ u r ∂ z − u ϕ 2 r ) = − ∂ p ∂ r + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u r ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 u r ∂ ϕ 2 + ∂ 2 u r ∂ z 2 − u r r 2 − 2 r 2 ∂ u ϕ ∂ ϕ ] + ρ g r {\displaystyle {\hat {r}}:\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{r}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{r}}{\partial z}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial z^{2}}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}\right]+\rho g_{r}} ϕ ^ : ρ ( ∂ u ϕ ∂ t + u r ∂ u ϕ ∂ r + u ϕ r ∂ u ϕ ∂ ϕ + u z ∂ u ϕ ∂ z + u r u ϕ r ) = − 1 r ∂ p ∂ ϕ + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ϕ ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 u ϕ ∂ ϕ 2 + ∂ 2 u ϕ ∂ z 2 + 2 r 2 ∂ u r ∂ ϕ − u ϕ r 2 ] + ρ g ϕ {\displaystyle {\hat {\phi }}:\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial z}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}\right)=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial p}{\partial \phi }}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial z^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {u_{\phi }}{r^{2}}}\right]+\rho g_{\phi }} z ^ : ρ ( ∂ u z ∂ t + u r ∂ u z ∂ r + u ϕ r ∂ u z ∂ ϕ + u z ∂ u z ∂ z ) = − ∂ p ∂ z + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u z ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 u z ∂ ϕ 2 + ∂ 2 u z ∂ z 2 ] + ρ g z . {\displaystyle {\hat {z}}:\;\;\rho \left({\frac {\partial u_{z}}{\partial t}}+u_{r}{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}+{\frac {u_{\phi }}{r}}{\frac {\partial u_{z}}{\partial \phi }}+u_{z}{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial z^{2}}}\right]+\rho g_{z}.} משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות: ∂ ρ ∂ t + 1 r ∂ ∂ r ( ρ r u r ) + 1 r ∂ ( ρ u ϕ ) ∂ ϕ + ∂ ( ρ u z ) ∂ z = 0. {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (\rho u_{\phi })}{\partial \phi }}+{\frac {\partial (\rho u_{z})}{\partial z}}=0.} תחת ההנחות לעיל: r ^ : ρ ( u r ∂ u r ∂ r − u ϕ 2 r ) = − ∂ p ∂ r + μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u r ∂ r ) − u r r 2 ] {\displaystyle {\hat {r}}:\;\;\rho \left(u_{r}{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }^{2}}{r}}\right)=-{\frac {\partial p}{\partial r}}+\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\right)-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right]} ϕ ^ : ρ ( u r ∂ u ϕ ∂ r + u r u ϕ r ) = μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ϕ ∂ r ) − u ϕ r 2 ] {\displaystyle {\hat {\phi }}:\;\;\rho \left(u_{r}{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}+{\frac {u_{r}u_{\phi }}{r}}\right)=\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)-{\frac {u_{\phi }}{r^{2}}}\right]} משוואת הרצף : 1 r ∂ ∂ r ( r u r ) = 0 {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(ru_{r}\right)=0} תנאי השפה המתאימים: אי חדירה: u r ( r = R 1 ) = 0 ;   u r ( r = R 2 ) = 0 {\displaystyle u_{r}(r=R_{1})=0;\;\ u_{r}(r=R_{2})=0} אי החלקה: u ϕ ( r = R 1 ) = Ω 1 R 1 ;   u ϕ ( r = R 2 ) = Ω 2 R 2 {\displaystyle u_{\phi }(r=R_{1})=\Omega _{1}R_{1};\;\ u_{\phi }(r=R_{2})=\Omega _{2}R_{2}} מפתרון משוואת הרצף והצבת תנאי שפה של אי חדירה מתקבל כי R 1 ≤ r ≤ R 2     u r = 0 {\displaystyle R_{1}\leq r\leq R_{2}\ \ u_{r}=0} נציב זאת למשוואות ונתמקד בכיוון המשיקי: ϕ ^ : 0 = μ [ 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ϕ ∂ r ) − u ϕ r 2 ] {\displaystyle {\hat {\phi }}:\;\;0=\mu \left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)-{\frac {u_{\phi }}{r^{2}}}\right]} נשים לב כי ניתן לכתוב גם כך: 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ u ϕ ∂ r ) − u ϕ r 2 = ∂ ∂ r ( 1 r ∂ ( r u ϕ ) ∂ r ) {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}\right)-{\frac {u_{\phi }}{r^{2}}}={\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial (ru_{\phi })}{\partial r}}\right)} כעת ניתן לפתור על ידי אינטגרציה פשוטה והעברת אגפים ולקבל: u ϕ ( r ) = C 1 r + C 2 r {\displaystyle u_{\phi }(r)=C_{1}r+{\frac {C_{2}}{r}}} הצבת תנאי שפה של אי החלקה: u ϕ ( r = R 1 ) = Ω 1 R 1 ;   u ϕ ( r = R 2 ) = Ω 2 R 2 {\displaystyle u_{\phi }(r=R_{1})=\Omega _{1}R_{1};\;\ u_{\phi }(r=R_{2})=\Omega _{2}R_{2}} נותנת: C 1 = R 1 2 Ω 1 − R 2 2 Ω 2 R 1 2 − R 2 2   ;     C 2 = R 1 2 R 2 2 ( Ω 2 − Ω 1 ) R 1 2 − R 2 2 {\displaystyle C_{1}={\frac {{R_{1}}^{2}\Omega _{1}-{R_{2}}^{2}\Omega _{2}}{{R_{1}}^{2}-{R_{2}}^{2}}}\ ;\ \ C_{2}={\frac {{R_{1}}^{2}{R_{2}}^{2}(\Omega _{2}-\Omega _{1})}{{R_{1}}^{2}-{R_{2}}^{2}}}} טיילור הראה במאמרו, שכאשר המהירות הזוויתית עולה מעל מהירות סף מסוימת, זרימת קואט הופכת לא יציבה, ועוברת למצב שיווי אחר, המאופיין על ידי ערבולים אקסיסימטרים טבעתיים, הידועה כזרימת ערבולי טיילור. במקביל לעליה במהירות הזוויתית, נוצרת אי יציבות שגוררת מצבים עם יותר מורכבות במרחב ובזמן, ולמצב הזה קוראים זרימה ערבולית גלית. אם שני הגלילים מסתובבים בכיוונים מנוגדים, אז יש זרימה עם ערבולים ספירליים. מעל מספר ריינולדס מסוים (תלוי גאומטריה) מתחילה להיווצר טורבולנציה. לזרימת קואט מעגלית יש המון יישומים החל מהתפלת מים עד מגנטו-הידרודינמיקה ולמדידת צמיגות. מעבר לכך, כשהנוזל זורם במרווח הטבעתי שבין גלילים מסתובבים תוך הפעלת מפל לחץ אז נוצרת זרימת טיילור-דין. במהלך השנים סווגו משטרי זרימה הכוללים את TVF, WVF, MWV, TTV, ועוד. הנושא נחקר ותועד בהרחבה בדינמיקת הזורמים. נקראים ע"ש סר טיילור, הם ערבולים הנוצרים בזרימת טיילור-קואט כאשר מספר טיילור ( T a {\displaystyle \mathrm {Ta} } ) עובר ערך קריטי T a c {\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} } . בזרימה שבה T a < T a c {\displaystyle \mathrm {Ta} <\mathrm {Ta_{c}} } , לא מופיעות תופעות אי יציבות, כלומר, הפרעות בזורם מדוכאות על ידי כוחות צמיגות, והזרימה תמידית. אך כאשר T a > T a c {\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} } נוצרות אי-יציבויות אקסיסימטירות. ההתנהגות של אי היציבויות הנ"ל הן החלפה בין מצבי שיווי משקל (ולא שיווי משקל עודף. כלומר מספר פתרונות אפשריים לא נותן יציבות עודפת אלא יש קפיצה בין מצבי שיווי משקל), והתוצאה היא אינה טורבולנציה, אלא תבנית של זרימה שניונית, בה נוצרים ערבולים טבעתיים גדולים זה מעל זה בשדה הזרימה. אלו הם ערבולי טיילור. אמנם תכונות הזורם בזרימה המקורית לא יציבות כאשר T a > T a c {\displaystyle \mathrm {Ta} >\mathrm {Ta_{c}} } , הזרימה החדשה, זרימת טיילור קואט, המאופיינת בערבולי טיילור, יציבה עד הגעה למספר ריינולדס גבוה, ואז הזרימה משתנה לזרימת ערבולים גליים לא יציבה, שלכאורה מצביעה על קיום אי יציבות שאינה אקסי-סימטרית. זרימת קואט מעגלית מאופיינת גאומטרית על ידי שני פרמטרים: μ = Ω 2 / Ω 1 {\displaystyle \mu =\Omega _{2}/\Omega _{1}} η = R 1 / R 2 {\displaystyle \eta =R_{1}/R_{2}} כאשר אינדקס "1" מתייחס לגליל הפנימי ו"2" לחיצוני. הבעיה המתמטית הטהורה המתקבלת על ידי בחירת ערכים מסוימים ל μ {\displaystyle \mu } , η {\displaystyle \eta } , ו T a {\displaystyle \mathrm {Ta} } . כאשר η → 1 {\displaystyle \eta \rightarrow 1} ו μ → 1 {\displaystyle \mu \rightarrow 1} אז מספר טיילור הקריטי T a c ≃ 1708 {\displaystyle \mathrm {Ta_{c}} \simeq 1708} . אחד המאפיינים הייחודיים של זרימת טילור-קואט נובע משינויי במשטרי הזרימה המובילים לטורבולנציה. ישנה תקווה שע"י מחקר מקיף של המערכות הנ"ל תתקבל הבנה כללית יותר של מעבר לטורבולנציה. הרבה ממשטרי הזרימה נחקרו במספר ניסויים רב ועקב כך נוצרה שיטה לסיווגם לפי שמותם. לדוג': TVF – Taylor vortex flow WVF – wavy vortex flow MWV – modulated wavy vortices TTV – turbulent Taylor vortices TUR – featureless turbulent flow ועוד רבים אחרים. המינוח 'גלי' בהקשר שלנו מתייחס להתקדמות בשינויים בזרימה בכיוון המשיקי. מיפוי משטרי הזרימה טרם הושלם; מחקרים מתבצעים מפעם לפעם על מנת לברר תחומי עניין מסוימים, אך נותרו פערי ידע. לדוג' זוהה משטר העלול להיות שונה, הנקרא "טורבולנציה רכה". ניסויי טיילור-קואט לעיתים כוללים תוספות מערכתיות, כגון זרימה צירית כפויה, זרימה בהפעמה (תחת פעימות, פולסים), וכו'. שתוכנו על מנת להבין מעברים מסוימים בצורה טובה יותר. מדיה וקבצים בנושא זרימת טיילור-קואט בוויקישיתוף כאשר רדיוסי הגלילים גדול מאד ביחס להפרשם, מקבלים קירוב טוב לתנועת לוחות מקבילים הפתרון שמופיע בזרימת קואט במודל טיילור האידיאלי שהרי גל מוגדר כהתקדמות של הפרעה בתווך במרחב