מרטינגל (שיטת הימורים)

מרטינגל (מכונה גם "שיטת ההכפלות") היא שיטת הימורים כושלת המאפשרת כביכול רווח בטוח בהימורים מאוזנים כהטלת מטבע או קרוב לכך כהימור על צבע ברולטה. לפי השיטה מתחילים להמר על אחד הכיוונים בסכום קטן; אחרי כל הפסד מכפילים את ההימור, באופן שכאשר מגיעה הצלחה בסוף סדרת כישלונות, הרווח שהיא מניבה מכסה את כל ההפסדים שנגרמו עד כה. שיטה זו כושלת, ואינה מספקת תוחלת רווח חיובית. הוכחה מתמטית לכך שתוחלת הרווח אינה חיובית מספק משפט ברירת העצירה. באופן אינטואיטיבי, הסיבה לכישלון השיטה היא שלא ניתן להבטיח את ההצלחה בסוף סדרת הכשלונות. לכן, היות שסכום ההימור בדרך כלל חסום, נובע שלא ניתן לפצות על סדרת כישלונות ארוכה מספיק. משום כך, על הרווחים הקטנים והכמעט מובטחים, משלם המהמר בסיכון גדול מאוד המתממש בהסתברות נמוכה. בכל מקרה אין השיטה יכולה לשפר את תוחלת הרווח, הנשארת בדרך כלל שלילית. שיטה זו נתנה את שמה לתהליך המקרי "מרטינגל" בתורת ההסתברות. שיטת מרטינגל הומצאה כשיטת הימורים והייתה נפוצה בבתי הימורים במאה ה-18 בצרפת. בתי ההימורים הציעו הימורים של הטלת מטבע, ורבים ראו במרטינגל שיטה בטוחה להרוויח כסף. בשיטה זו אכן מרווחים בדרך כלל, עד להפסד גבוה המוביל לפשיטת רגל. המפסידים לא נראו יותר בבתי ההימורים, מה שהאט את התפשטות הידיעה על סיכוני השיטה. בכל סיבוב הימורים בוחר השחקן את גובה ההימור; הוא זוכה בסכום זה או מפסיד אותו, בסיכויים שווים. בשיטת המרטינגל, השחקן מהמר על יחידה אחת בסיבוב הראשון. מכאן ולהבא, אם הוא מפסיד הוא מכפיל את סכום ההימור, עד להצלחה הראשונה, שאחריה אפשר להתחיל את התהליך מההתחלה. לדוגמה, במקרה של שלושה כישלונות והצלחה, סכומי ההימורים יהיו יחידה אחת, שתי יחידות, ארבע יחידות ואז שמונה יחידות. בשלושת הסיבובים הראשונים הפסיד השחקן 1+2+4=7 יחידות, ובאחרון הרוויח 8, ובסך-הכל 8-7=1 כלומר יחידה אחת. השיטה מבטיחה רווח של יחידה אחת בכל סדרת הימורים המסתיימת בהצלחה. אם אין מגבלה על גובה ההימור, אפשר להצליח בשיטה זו בהסתברות 1. בכל יישום מעשי, גובה ההימור מוגבל, למשל על ידי סכום הכסף הזמין למהמר, או כללי בית ההימורים שבא לידי ביטוי בסכום המרבי שניתן להמר במשחק המסוים/שולחן. מכיוון שכך, סדרת הימורים שבה מוכפל גובה ההימור בכל פעם, עלולה להסתיים בכישלון כאשר המהמר אינו יכול להמר שוב. במקרה כזה מפסיד המהמר את סכום כל ההימורים בסדרה, ומכיוון שגובה ההימור עולה מעריכית, סכום זה גדל במהירות ומתרחש בהסתברות לא מבוטלת. למשל, אם לא ניתן להמר על יותר מ-1200 יחידות, המהמר ירוויח יחידה אחת אם סדרת ההימורים מסתיימת בהצלחה בסיבוב הראשון, השני (בהימור על 2 יחידות לאחר הפסד של 1), השלישי (בהימור על 4 יחידות לאחר הפסדים של 1+2), הרביעי (בהימור על 8 יחידות לאחר הפסדים של 1+2+4=7), וכן הלאה עד לסיבוב העשירי (בהימור על 512 יחידות לאחר הפסדים של 1+2+4+...+128+256=511). לעומת זאת אם גם הסיבוב העשירי ייגמר בכישלון, המהמר הפסיד בסך הכל 1+2+4+...+256+512=1023 יחידות. הסיכוי לעשרה כישלונות רצופים הוא   2 − 10 {\displaystyle \ 2^{-10}} , כך שתוחלת הרווח בסדרה כזו היא אפס, כמו בכל סדרה סופית של הימורים מאוזנים. אם ההימור אינו מאוזן, הניתוח דומה. נניח שתוחלת ההפסד לכל יחידה היא a (בדרך כלל a קטן וחיובי), והסדרה חסומה ב-n הימורים לכל היותר (בדוגמה לעיל n=10). בסדרה של k הימורים, הסכום הכולל שהמהמר מסכן הוא   1 + 2 + ⋯ + 2 k − 1 = 2 k − 1 {\displaystyle \ 1+2+\cdots +2^{k-1}=2^{k}-1} , וכאשר k<n הסיכוי לסדרה כזו (שבסופה הצלחה) הוא   2 − k {\displaystyle \ 2^{-k}} . אם הסדרה נמשכת n הימורים (ונעצרת, בין בהצלחה ובין בכישלון), הסכום הכולל שהמהמר מסכן הוא   1 + 2 + ⋯ + 2 n − 1 = 2 n − 1 {\displaystyle \ 1+2+\cdots +2^{n-1}=2^{n}-1} , בעוד שהסיכוי לתופעה כזו הוא   2 − ( n − 1 ) {\displaystyle \ 2^{-(n-1)}} . תוחלת הסכום הכולל שהמהמר מסכן היא   ∑ k = 1 n − 1 2 − k ( 2 k − 1 ) + 2 − ( n − 1 ) ( 2 n − 1 ) = n {\displaystyle \ \sum _{k=1}^{n-1}2^{-k}(2^{k}-1)+2^{-(n-1)}(2^{n}-1)=n} , ולכן תוחלת ההפסד בסדרה כולה היא na, ממש כאילו היה המהמר מסכן בכל צעד רק יחידה אחת. כמה גורמים פסיכולוגיים חוברים להכשלת המהמרים, המאמינים ששיטת המרטינגל מקנה להם יתרון. ראשית, כשל המהמר שבו המהמר סבור שהסיכוי להצליח בהגרלה עתידית תלוי בהגרלות דומות בעבר, ומתעלם מתכונת חוסר הזיכרון. שנית, המהמר לוקה בהערכת חסר של קצב הגידול של סדרה מעריכית, המביאה את ההימור תוך זמן קצר אל התקרה. ושלישית, היוריסטיקת הייצוגיות גורמת לאנשים לצפות שבסדרה אקראית של ניסיונות, לא יהיו רצפים ארוכים של הצלחות או כישלונות; רצף ארוך של כישלונות מביא לחורבן המהמר בשיטת מרטינגל. זוהי שיטת הימורים בה עושים בדיוק את ההפך משיטת מרטינגל. מתחילים גם פה בסכום קטן, לאחר ניצחונות מגדילים את ההימור עד גובה מסוים שהוחלט מראש, ולאחר הפסד חוזרים להימור הראשוני. התוצאה היא שמרוויחים סכום גבוה ברצף של הצלחות ("יד חמה" בלשון המהמרים) ומפסידים מעט ברצף של הפסדים. המחשבה מאחורי השיטה היא שיש מומנט מסוים בהימורים אלו, אולם לא כך הדבר. בהימורים בלתי תלויים האחד בשני, אין כל מומנט ולמעשה המחשבה הזו היא מקרה של כשל המהמר, לכן השיטה לא משפרת את התוחלת ובוודאי שלא הופכת תוחלת הפסד לתוחלת רווח. יש יתרון בהגדלת ההימור בבלק ג'ק למשל, כאשר ספירת קלפים נותנת יתרון למהמר על הבית. לעומת זאת יש הטוענים כי בהימורים אחרים כגון הימורי ספורט או הימורים בשוק ההון יש מומנט מסוים שניתן לנצל בשיטה זו (העלאת הסיכון לאחר רווח והורדתו לאחר הפסד) אך באופן מעשי שיטה זו לא הצליחה להשיג יתרון תוחלת מוכח על פני הימור בסכום קבוע. כשל המהמר כשל המהמר ההפוך פרדוקס סנט-פטרסבורג