פסוק (לוגיקה)

הפסוק הוא מאבני היסוד של תורת השפה, ואף על פי כן קשה ביותר להגדירו. הקושי העיקרי הוא להבחין אותו מחלקיו (מילים, מונחים וכדומה). ככלל, הפסוק הוא אוסף של סימנים (אידיאליים) אשר קיימת בדרך כלל הסכמה על משמעותו. במובחן מחלקיו (המילה, הצירוף השמני וכדומה) הפסוק מבטא בדרך כלל משפט או פעולת דיבור שלמה, כגון שאלה, פקודה, טענה, הצעה וכדומה. פסוק חיווי הוא אוסף סימנים המבטא טענה. טענה היא תוכן היכול להיות אמיתי או שקרי, כלומר תיאור של עובדה אפשרית. ישנן לוגיקות שונות המתייחסות לתוכנם של פסוקים שונים (לדוגמה הלוגיקה המודלית המתייחסת להיתכנות), אך הלוגיקה המודרנית מטפלת בעיקר בתוכנם של פסוקי חיווי (כגון "יורד גשם"). המתמטיקה למשל, עוסקת כמעט אך ורק בטענות אודות ישים מתמטיים ועל כן הלוגיקה המתמטית מטפלת כמעט אך ורק בטענות, תנאי האמת שלהן, תנאי ההוכחה שלהן וכדומה, בעוד פעולות דיבור אחרות, כגון שאלות (העולות במהלך החיפוש המתמטי) אינן מטופלות במסגרתה. פסוק חיווי מבטא טענה גם אם אין שום דרך לקבוע אם היא אמיתית או שקרית, כל עוד התוכן יכול להיות אמיתי או שקרי. לדוגמה, הפסוק "ישנו חד-קרן מחייך על כוכב צדק" מבטא טענה, על אף שאין לנו שום דרך לברר את אמיתותה או שקריותה. תהי L {\displaystyle {\mathcal {L}}} שפה, ותהא ϕ {\displaystyle \phi } נוסחה בשפה L {\displaystyle {\mathcal {L}}} . אם ϕ {\displaystyle \phi } אינה מכילה משתנים חופשיים, נאמר כי ϕ {\displaystyle \phi } היא פסוק. ההגדרה הבסיסית ביותר של פסוק ניתנת במסגרת תחשיב הפסוקים. השפה של תחשיב פסוקים כוללת אינסוף סימנים, P 1 , P 2 , P 3 , … {\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3},\ldots } , הנקראים "פסוקים יסודיים". יתר הפסוקים נבנים מתוכם באופן רקורסיבי לפי הכללים הבאים: לכל n {\displaystyle n} טבעי, הפסוק היסודי P n {\displaystyle P_{n}} הוא פסוק. לכל פסוק A {\displaystyle A} , הביטוי ¬ ( A ) {\displaystyle \neg (A)} הוא פסוק, כאשר ¬ {\displaystyle \neg } הוא הקשר הלוגי "לא". לכל שני פסוקים A , B {\displaystyle A,B} , הביטוי ( A ) ◻ ( B ) {\displaystyle (A)\,\Box \,(B)} הוא פסוק, כאשר ◻ {\displaystyle \Box } הוא אחד מבין הסימנים ∧ {\displaystyle \land } ("וגם"), ∨ {\displaystyle \lor } ("או"), → {\displaystyle \to } ("אם-אז"), ↔ {\displaystyle \leftrightarrow } ("אם ורק אם"). כל פסוק מתקבל מרצף פעולות סופיות של הכללים הללו. למשל ( P 1 ) → ( ( ¬ ( P 2 ) ) ∨ ( P 1 ) ) {\displaystyle (P_{1})\to ((\neg (P_{2}))\lor (P_{1}))} הוא פסוק. האופי הרקורסיבי של בניית פסוקים מאפשר להוכיח עליהם משפטים באינדוקציה מבנית (המבוססת על אינדוקציה של מספרים טבעיים), לפי בניית הפסוק. אם טענה כלשהי מתקיימת לכל הפסוקים היסודיים, ואם בהינתן שהיא מתקיימת לפסוקים A , B {\displaystyle A,B} , היא מתקיימת גם לפסוקים ¬ ( A ) {\displaystyle \neg (A)} ו- ( A ) ◻ ( B ) {\displaystyle (A)\,\Box \,(B)} (לכל קשר לוגי), אז בהכרח הטענה מתקיימת לכל הפסוקים. למשל, כך ניתן להוכיח שאורכו של כל פסוק (מספר הסימנים שבו) משאיר שארית 1 בחלוקה ב-3. משפט הקריאה היחידה, שמוכח באינדוקציה על בניית פסוק, מבטיח שכל פסוק ניתן לקרוא באופן יחיד, כלומר שיש רק דרך אחת לבנות אותו לפי הכללים הללו. כאשר אין חשש לבלבול בקריאה, נהוג להשתמש בכתיב בלתי פורמלי ולהשמיט סוגריים מהפסוק. ערך האמת של פסוק נקבע על פי ערכי האמת של הפסוקים היסודיים המופיעים בו, ולפי טבלת האמת של כל קשר לוגי. למשל אם P 1 {\displaystyle P_{1}} אמיתי ו- P 2 {\displaystyle P_{2}} שקרי, אז הפסוק ( P 1 ) ∧ ( ¬ ( P 2 ) ) {\displaystyle (P_{1})\land (\neg (P_{2}))} (שמשמעו " P 1 {\displaystyle P_{1}} וגם לא P 2 {\displaystyle P_{2}} ") הוא אמיתי. התאמה המתאימה ערך אמת לכל פסוק יסודי נקראת מבנה, והיא שקובעת את ערכי האמת של כל הפסוקים האפשריים בתחשיב פסוקים. פסוק שהוא אמיתי תמיד, ללא תלות בערכי האמת של הפסוקים היסודיים המופיעים בו (כלומר אמיתי בכל מבנה; למשל P 1 → P 1 {\displaystyle P_{1}\to P_{1}} שאמיתי בין אם P 1 {\displaystyle P_{1}} אמיתי ובין אם הוא שקרי) קרוי טאוטולוגיה. פסוק שתמיד שקרי, ללא תלות בערכי האמת של הפסוקים היסודיים המופיעים בו, נקרא סתירה. תחשיב פסוקים אינו עשיר מספיק כדי לבטא את מרבית התורות המתמטיות. לכן משתמשים בתחשיב יחסים ששפתו עשירה יותר. פסוק הוא נוסחה ללא משתנים חופשיים. מצופה שלפסוקים יהיה ערך אמת יחיד וקבוע, אך לא כל הנוסחאות עונות לתנאי הזה. למשל אמיתות הנוסחה x ≈ 1 {\displaystyle x\approx 1} תלויה בערך של x. היא אמיתית אם x הוא הקבוע 1, ושקרית אחרת. כדי לאפיין מבין הנוסחאות את אלו שהן פסוקים יש צורך להגדיר את המושג "משתנה חופשי". נאמר על כמת שהוא כימות של משתנה x {\displaystyle x} בנוסחה, אם x {\displaystyle x} מופיע כתו הראשון מימין לכמת (למשל ∃ x {\displaystyle \exists x} ). בכל נוסחה, לאחר כימות של משתנה נפתחים סוגריים. משתנה x {\displaystyle x} בנוסחה נקרא "משתנה מכומת" אם הוא מופיע כתו הראשון מימין לכמת, או שהוא בתוך הסוגריים שנפתחים על ידי כמת המכמת אותו. משתנה שאינו מכומת נקרא "משתנה חופשי". נוסחה שבה אין משתנים חופשיים נקראת פסוק. באופן אינטואיטיבי, פסוק הוא נוסחה שמייצגת טענה כללית כלשהי, שאמיתותה אינה תלויה בערכים שמקבלים המשתנים שבה, מאחר שלא ניתן להציב ערכים במשתנים מכומתים. הנוסחה x ≈ 1 {\displaystyle x\approx 1} , למשל, אינה פסוק, כי המשתנה x {\displaystyle x} המופיע בה הוא משתנה חופשי. לעומת זאת ∃ x ( x ≈ 1 ) {\displaystyle \exists x(x\approx 1)} הוא פסוק. הפסוק אמיתי במבנה הסטנדרטי של המספרים הטבעיים (או גם של הממשיים), שכן הוא טוען שקיים x {\displaystyle x} כלשהו ששווה ל-1. גם הנוסחה ∀ x ( x ≈ 1 ) {\displaystyle \forall x(x\approx 1)} היא פסוק. פסוק זה שקרי במבנה הסטנדרטי, שכן הוא קובע שכל מספר שווה ל-1. ∀ x ∀ y ( x × y = y × x ) {\displaystyle \forall x\forall y(x\times y=y\times x)} – פסוק זה קובע שכפל הוא פעולה קומוטטיבית. הפסוק נכון במספרים הממשיים. הוא לא נכון, למשל, באלגברת הקווטרניונים של המילטון. ∀ x ∀ y ∃ z ( x < y → x < z < y ) {\displaystyle \forall x\forall y\exists z(x<y\to x<z<y)} – הפסוק קובע שהסדר בקבוצה הוא סדר צפוף. הפסוק נכון במספרים הממשיים. הוא לא נכון במספרים השלמים. ∀ x ( x = x ) {\displaystyle \forall x(x=x)} – פסוק זה נכון בכל מודל. בהגדרת הפסוק הנ"ל מודגש כי הפסוק הוא אוסף אידיאלי של סימנים. הסיבה לכך היא אבחנת יסוד חשובה אך חמקמקה בתורת השפה: בין תקרית פסוק ותבניתו. על-מנת להכיר הבחנה זו יש להבחין כי בכל פעם שמבוטא פסוק, למשל בעל פה או בכתב, התוצאה אינה הפסוק עצמו אלא מקרה פרטי שלו. הפסוק, על כן, אינו זהה עם כתמי הדיו (או צירופי הפיקסלים המהבהבים) המשמשים לביטויו, אלא הוא המשותף לכל כתמי הדיו הללו, הוא זהה עם הסימנים האידיאלים המבטאים אותו. כל פסוק זהה עם תבנית אפלטונית שמשותפת לכל תקריות הפסוק שלו. למשל, כאשר נכתב "יורד גשם", "יורד גשם", אותו הפסוק נכתב פעמיים, ולכן אף אחד ממופעי תקרית הפסוק אינו זהה עם הפסוק. נוסחה (לוגיקה) תחשיב הפסוקים קשר לוגי פסוק, באתר MathWorld (באנגלית)