תת-סדרה

באנליזה מתמטית, תת-סדרה של סדרה a 1 , a 2 , … {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots } היא תת-קבוצה של הסדרה, המסודרת באותו סדר. תת-סדרה מתקבלת מהסדרה המקורית על ידי בחירת איברים בסדר עולה. למשל: לסדרה   a n = 1 n {\displaystyle \ a_{n}={\frac {1}{n}}} יש תת-סדרות   b n = a 2 n = 1 2 n {\displaystyle \ b_{n}=a_{2n}={\frac {1}{2n}}} ו-   c n = a 2 n 2 + 7 = 1 2 n 2 + 7 {\displaystyle \ c_{n}=a_{2n^{2}+7}={\frac {1}{2n^{2}+7}}} . סדרה נחשבת לתת-סדרה של עצמה. תת-סדרה של תת-סדרה היא בעצמה תת-סדרה של הסדרה המקורית. תהא { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} סדרה כלשהי, ותהא { n k } k = 1 ∞ {\displaystyle \{n_{k}\}_{k=1}^{\infty }} סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה { a n k } k = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }} נקראת תת-סדרה של { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} . המספרים n 1 , n 2 , … {\displaystyle n_{1},n_{2},\dots } הם האינדקסים של תת-הסדרה. סדרת האינדקסים בתת-סדרה שואפת תמיד לאינסוף, ולכן ההתנהגות של תת-הסדרה באינסוף כרוכה בזו של הסדרה המקורית. l {\displaystyle l\,} נקרא גבול חלקי של הסדרה { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} אם קיימת תת-סדרה של { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} המתכנסת ל- l {\displaystyle l\,} . הגבולות החלקיים של סדרה נקראים נקודות הצטברות שלה. אכן, l {\displaystyle l\,} הוא גבול חלקי אם ורק אם בכל קטע פתוח סביבו ישנם אינסוף איברים של הסדרה. קבוצת נקודות ההצטברות היא קבוצה סגורה. סדרה מתכנסת (במובן הרחב) אם ורק אם כל הגבולות החלקיים שלה שווים. כך למשל הסדרה   a n = 3 + 1 n {\displaystyle \ a_{n}=3+{\frac {1}{\sqrt {n}}}} מתכנסת ל-3, ולכן כל תת-סדרה שלה, למשל   b n = a n 2 = 3 + 1 n {\displaystyle \ b_{n}=a_{n^{2}}=3+{\frac {1}{n}}} , מתכנסת לאותו מספר. הסדרה   c n = 4 + ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle \ c_{n}=4+(-1)^{n}+{\frac {1}{n}}} מתבדרת, אולם תת-הסדרה שלה   d n = c 2 n = 5 + 1 2 n {\displaystyle \ d_{n}=c_{2n}=5+{\frac {1}{2n}}} , מתכנסת ל-5. לכן, אם ידוע שסדרה מתכנסת, אז אפשר לחשב את הגבול שלה דרך חישוב הגבול של תת-סדרה. לכל סדרה יש לפחות גבול חלקי אחד, סופי או אינסופי. הסיבה לכך היא שאם הסדרה חסומה אז יש לה תת-סדרה מתכנסת לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, ואם היא אינה חסומה, אז קל לבנות מאיבריה תת-סדרה שמתכנסת לגבול אינסופי. גבול עליון של סדרה חסומה של מספרים ממשיים { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} מוגדר כחסם העליון של קבוצת הגבולות החלקיים שלה, ומסומן ב- lim sup n → ∞ a n {\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}} או lim ¯ n → ∞ a n {\displaystyle {\overline {\lim }}_{n\rightarrow \infty }a_{n}} . למעשה, ניתן להוכיח שהגבול העליון הוא בעצמו גבול חלקי ולכן הוא הגבול החלקי המקסימלי של הסדרה. באופן אנלוגי, גבול תחתון של סדרה חסומה מסומן ב- lim inf n → ∞ a n {\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}} או lim _ n → ∞ a n {\displaystyle {\underline {\lim }}_{n\rightarrow \infty }a_{n}} , והוא הגבול החלקי המינימלי שלה. עבור סדרה { a n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }} שאינה חסומה, ניתן להוכיח שיש לה תת-סדרה מתכנסת במובן הרחב ל- + ∞ {\displaystyle +\infty } או − ∞ {\displaystyle -\infty } , ולכן הגבול העליון או התחתון שלה מוגדרים במובן הרחב כאשר + ∞ {\displaystyle +\infty } הוא כגבול החלקי הגדול ביותר ו- − ∞ {\displaystyle -\infty } הוא הגבול החלקי הקטן ביותר. גבול עליון זהה לגבול של סדרת החסמים העליונים של זנבות הסדרה. באופן פורמלי: תהי   ( a n ) {\displaystyle \ (a_{n})} סדרה. נגדיר סדרה חדשה   ( b m ) {\displaystyle \ (b_{m})} באופן הבא - b m = sup { a m , a m + 1 , a m + 2 , . . . } {\displaystyle b_{m}=\sup\{a_{m},a_{m+1},a_{m+2},...\}} . הסדרה   ( b m ) {\displaystyle \ (b_{m})} יורדת, ולכן מתכנסת לגבול, שהוא הגבול העליון של   ( a n ) {\displaystyle \ (a_{n})} . משפט בולצאנו-ויירשטראס תת-סדרה, באתר MathWorld (באנגלית)