פונקציונל מינקובסקי

במתמטיקה, ובפרט באנליזה פונקציונלית, פונקציונל מינקובסקי הוא פונקציונל המוגדר על מרחב וקטורי מעל שדה הממשיים אשר מוגדר ביחס לקבוצה מסוימת בתוך המרחב הווקטורי. לפונקציונל מינקובסקי יש קשר הדוק למושג הנורמה-למחצה והנורמה, ולמעשה ניתן להוכיח כי כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי של קבוצה כלשהי. מעבר לכך, פונקציונל מינקובסקי משמש למספר הוכחות, בהן הוכחת גרסה מוכללת של משפט האן-בנך למרחב קמור מקומית. הפונקציונל נקרא על שמו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי. בהינתן מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מעל שדה הממשיים, B ⊆ V {\displaystyle B\subseteq V} ו- r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } , מסמנים: r B := { r v ∣ v ∈ B } {\displaystyle rB:=\{rv\mid v\in B\}} קבוצה זו מהווה הרחבה בקנה מידה שווה של קבוצה B {\displaystyle B} בסקלר r {\displaystyle r} . מגדירים את פונקציונל מינקובסקי לפי B {\displaystyle B} להיות הפונקציונל ρ B : V → [ 0 , ∞ ] {\displaystyle \rho _{B}:V\to [0,\infty ]} כך שלכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} : ρ B ( v ) := inf { r > 0 ∣ v ∈ r B } {\displaystyle \rho _{B}(v):=\inf\{r>0\mid v\in rB\}} זאת כאשר inf {\displaystyle \inf } היא פונקציית האינפירמום. כאשר לא קיים r {\displaystyle r} כזה (כלומר, הקבוצה ריקה ולכן אין לה אינפימום), מגדירים ρ B ( v ) := ∞ {\displaystyle \rho _{B}(v):=\infty } . ρ B ( 0 ) = 0 {\displaystyle \rho _{B}(0)=0} אם ורק אם 0 ∈ B {\displaystyle 0\in B} , אחרת ρ B ( 0 ) = ∞ {\displaystyle \rho _{B}(0)=\infty } . כל פונקציונל מינקובסקי הוא הומוגני חיובי. כלומר, לכל v ∈ V {\displaystyle v\in V} ולכל α > 0 {\displaystyle \alpha >0} מתקיים ρ B ( α v ) = α ρ B ( v ) {\displaystyle \rho _{B}(\alpha v)=\alpha \rho _{B}(v)} . אם הקבוצה B {\displaystyle B} היא קבוצה סימטרית ( v ∈ B ⇔ − v ∈ B {\displaystyle v\in B\Leftrightarrow -v\in B} ) אז פונקציונל מינקובסקי ρ B {\displaystyle \rho _{B}} הומוגני בהחלט ( ρ B ( α v ) = | α | ρ B ( v ) {\displaystyle \rho _{B}(\alpha v)=|\alpha |\rho _{B}(v)} ) אם הקבוצה B {\displaystyle B} היא קבוצה קמורה אז פונקציונל מינקובסקי ρ B {\displaystyle \rho _{B}} הוא פונקציונל תת-ליניארי אם הקבוצה B {\displaystyle B} היא קבוצה קמורה לחלוטין (כלומר, קבוצה קמורה ומאוזנת) אז פונקציונל מינקובסקי ρ B {\displaystyle \rho _{B}} הוא נורמה למחצה. נורמה למחצה היא פונקציונל על מרחב וקטורי המקיים תת-ליניאריות והומוגניות בהחלט. ניתן להוכיח כי כל נורמה למחצה (ובפרט כל נורמה) היא פונקציונל מינקובסקי ביחס לכדור היחידה שלה. נתון מרחב וקטורי V {\displaystyle V} מעל שדה הממשיים ועליו נורמה למחצה ρ {\displaystyle \rho } . מגדירים את B := { v ∈ V ∣ ρ ( v ) ≤ 1 } {\displaystyle B:=\{v\in V\mid \rho (v)\leq 1\}} . יש להוכיח כי ρ B = ρ {\displaystyle \rho _{B}=\rho } . בוחרים v ∈ V {\displaystyle v\in V} כלשהו. ייתכנו שני מקרים: מקרה ראשון: במקרה שבו ρ ( v ) = 0 {\displaystyle \rho (v)=0} . בגלל הומוגניות בהחלט, לכל r > 0 {\displaystyle r>0} מתקיים כי: ρ ( 1 r v ) = 1 r ρ ( v ) = 0 {\displaystyle \rho \left({\frac {1}{r}}v\right)={\frac {1}{r}}\rho (v)=0} לכן 1 r v ∈ B ⇒ v ∈ r B {\displaystyle {\frac {1}{r}}v\in B\Rightarrow v\in rB} . הדבר נכון לכל r > 0 {\displaystyle r>0} , לכן בהכרח ρ B ( v ) = 0 {\displaystyle \rho _{B}(v)=0} מקרה שני: במקרה שבו ρ ( v ) > 0 {\displaystyle \rho (v)>0} מסמנים ρ ( v ) = α {\displaystyle \rho (v)=\alpha } . מתקיים כי: ρ ( 1 α v ) = 1 α ρ ( v ) = α α = 1 {\displaystyle \rho \left({\frac {1}{\alpha }}v\right)={\frac {1}{\alpha }}\rho (v)={\frac {\alpha }{\alpha }}=1} משמע 1 α v ∈ B ⇒ v ∈ α B {\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}v\in B\Rightarrow v\in \alpha B} ובהכרח ρ B ( v ) ≤ α {\displaystyle \rho _{B}(v)\leq \alpha } . מצד שני, לכל r < α {\displaystyle r<\alpha } מתקיים כי: ρ ( 1 r v ) = 1 r ρ ( v ) = α r > 1 {\displaystyle \rho \left({\frac {1}{r}}v\right)={\frac {1}{r}}\rho (v)={\frac {\alpha }{r}}>1} כלומר 1 r v ∉ B ⇒ v ∉ r B {\displaystyle {\frac {1}{r}}v\notin B\Rightarrow v\notin rB} ולכן ρ B ( v ) ≥ α {\displaystyle \rho _{B}(v)\geq \alpha } . מכל זה יוצא כי ρ B ( v ) = α = ρ ( v ) {\displaystyle \rho _{B}(v)=\alpha =\rho (v)} . שני מקרים אלו מכסים את כל האפשרויות של v {\displaystyle v} , על כן ρ B = ρ {\displaystyle \rho _{B}=\rho } . מש"ל. נורמה-למחצה נורמה (אנליזה) משפט האן-בנך Lawrence Narici, Edward Beckenstein, Topological Vector Spaces, CRC Press, 2010-07-26, ISBN 978-1-58488-867-3. (באנגלית) H. H. Schaefer, M. P. Wolff, Topological Vector Spaces, Graduate Texts in Mathematics, 1999 doi: 10.1007/978-1-4612-1468-7