אלגברת הרכבה

באלגברה מופשטת, אלגברת הרכבה היא מבנה אלגברי הכולל אלגברה, שאינה בהכרח אסוציאטיבית מעל שדה F, עם תבנית ריבועית לא מנוונת N, המקיימת את תנאי ההרכבה   N ( x y ) = N ( x ) N ( y ) {\displaystyle \ N(xy)=N(x)N(y)} . בגלל תכונת הכפל, התבנית N נקראת גם נורמה. הדוגמה המוכרת ביותר לאלגברה כזו היא שדה המספרים המרוכבים, כאלגברה מעל הממשיים, שם התבנית היא   N ( x + i y ) = x 2 + y 2 {\displaystyle \ N(x+iy)=x^{2}+y^{2}} . ידוע שהממדים האפשריים לאלגברת הרכב, בין אם יש לה איבר יחידה ובין אם אין איבר כזה, הם 1, 2, 4 או 8. (זוהי תוצאה של משפט הורוויץ על תבניות ריבועיות כפליות). יתרה מזו, ידוע שכל אלגברת הרכבה עם איבר יחידה היא אחד מן הבאים: שדה הבסיס, סכום ישר של שני עותקים שלו, הרחבה ריבועית של שדה הבסיס, אלגברת קווטרניונים, או אלגברת קיילי. בפרט, אלגברת הרכבה עם יחידה היא אלטרנטיבית וריבועית. מן התבנית הריבועית N אפשר לחשב תבנית בי-ליניארית סימטרית   B ( x , y ) = N ( x + y ) − N ( x ) − N ( y ) {\displaystyle \ B(x,y)=N(x+y)-N(x)-N(y)} , הנקראת התבנית הפולרית של N. במאפיין שונה מ-2 אפשר לשחזר את N מתוך B, באמצעות הנוסחה   N ( x ) = 1 2 B ( x , x ) {\displaystyle \ N(x)={\frac {1}{2}}B(x,x)} . התנאים הבאים שקולים זה לזה, עבור אלגברה עם יחידה: C מממד 2 או יותר, וקיימת תבנית ביליניארית N ההופכת את C לאלגברת הרכבה; C היא אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מדרגה 2; C היא אלגברה אלטרנטיבית, עם אינוולוציה   x ↦ x ∗ {\displaystyle \ x\mapsto x^{*}} כך ש-   x + x ∗ ∈ F {\displaystyle \ x+x^{*}\in F} ,   N ( x ) = x x ∗ ∈ F {\displaystyle \ N(x)=xx^{*}\in F} , והתבנית הריבועית N אינה מנוונת. אם C אלגברת הרכבה עם יחידה, אפשר להגדיר את האינוולוציה האמורה לפי הנוסחה   x ∗ = B ( x , 1 ) 1 − x {\displaystyle \ x^{*}=B(x,1)1-x} , כאשר B התבנית הפולרית של N. אלגברות הרכבה עם יחידה מתקבלות מן הצעדים הראשונים בתהליך קיילי-דיקסון. כל אלגברת הרכבה עם יחידה מעל שדה F היא אחת מן האלגברות הבאות: השדה F עצמו (עם הנורמה   N ( x ) = x 2 {\displaystyle \ N(x)=x^{2}} ) (ממד 1); הסכום הישר   F ⊕ F {\displaystyle \ F\oplus F} , עם הנורמה   N ( x , y ) = x y {\displaystyle \ N(x,y)=xy} (ממד 2); הרחבת שדות ריבועית ספרבילית (ממד 2); אלגברת קווטרניונים שמרכזה F (ממד 4); או אלגברת קיילי שמרכזה F (ממד 8). אלגברות אלו נקראות אלגברות הורוויץ. אלגברת הרכבה היא אלגברת חילוק אם ורק אם תבנית הנורמה שלה אנאיזוטרופית. תבנית הנורמה של אלגברת הורוויץ היא תבנית פיסטר, כלומר, תבנית ריבועית עם מקדמים   < 1 , a > {\displaystyle \ <1,a>} בממד 2, מקדמים   < 1 , a , b , a b > {\displaystyle \ <1,a,b,ab>} בממד 4, ומקדמים   < 1 , a , b , c , a b , a c , b c , a b c > {\displaystyle \ <1,a,b,c,ab,ac,bc,abc>} בממד 8. אם תבנית כזו היא איזוטרופית (היינו, מייצגת את 0 באופן לא טריוויאלי), אז היא תבנית ריבועית היפרבולית. שתי אלגברות הורוויץ הן איזומורפיות אם ורק אם יש איזומטריה בין תבניות הנורמה שלהן. מכאן נובע שיש בדיוק אלגברת קווטרניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - הלוא היא אלגברת המטריצות   M 2 ( F ) {\displaystyle \ M_{2}(F)} ; כמו כן, יש בדיוק אלגברת אוקטוניונים אחת שאינה אלגברת חילוק - אלגברת האוקטוניונים המפוצלת. כרגיל בתורת החוגים, "אלגברה הרכבה בלי יחידה" היא מערכת המקיימת את כל האקסיומות שהוזכרו במבוא, למעט הדרישה לקיום איבר יחידה. בסעיף זה נכתוב "אלגברת הרכבה", ונתכוון לכאלו שבהן אין מניחים קיומו של איבר יחידה. כל אלגברת הרכבה מממד סופי איזוטופית לאלגברת הרכבה עם יחידה, במובן הבא: אם M אלגברת הרכבה עם תבנית ריבועית N, אז קיים איבר   u ∈ M {\displaystyle \ u\in M} כך ש-   N ( u ) = 1 {\displaystyle \ N(u)=1} ; אז פעולות הכפל מימין ומשמאל   L u ( x ) = u x {\displaystyle \ L_{u}(x)=ux} ו-   R u ( x ) = x u {\displaystyle \ R_{u}(x)=xu} הפיכות, והפעולה   x ⋆ y = ( R u − 1 ( x ) ) ( L u − 1 ( y ) ) {\displaystyle \ x\star y=(R_{u}^{-1}(x))(L_{u}^{-1}(y))} הופכת את M לאלגברת הרכבה עם יחידה (ביחס לאותה נורמה N). מכאן נובע שהממד של אלגברת הרכבה מממד סופי (גם ללא איבר יחידה) הוא 1, 2, 4 או 8. כל איזומורפיזם בין אלגברות הרכבה עם יחידה הוא גם איזומטריה של תבניות הנורמה, ומכאן נובע שכל אלגברות ההרכבה עם יחידה הדומות ל-M, איזומורפיות זו לזו. עם זאת, יש אלגברות הרכבה בלי יחידה מממד אינסופי. אלגברת הרכבה (בלי יחידה) היא סימטרית, אם התבנית   B ( x , y ) = N ( x + y ) − N ( x ) − N ( y ) {\displaystyle \ B(x,y)=N(x+y)-N(x)-N(y)} היא אסוציאטיבית, כלומר,   B ( x y , z ) = B ( x , y z ) {\displaystyle \ B(xy,z)=B(x,yz)} . תכונה זו מתקיימת אם ורק אם האלגברה מקיימת את האקסיומה   x ( y x ) = ( x y ) x = N ( x ) y {\displaystyle \ x(yx)=(xy)x=N(x)y} (השוויון באגף שמאל הוא הזהות הגמישה). כל אלגברת הרכבה המקיימת את הזהות הגמישה היא סימטרית או בעלת איבר יחידה. מעל שדה בן יותר מ-2 איברים, אפילו האקסיומה   x ( x x ) = ( x x ) x {\displaystyle \ x(xx)=(xx)x} מספיקה לשם כך. אלגברות הרכבה סימטריות כמעט לעולם אינן בעלות חזקה אסוציאטיבית (פרט לשדה F עצמו, הדוגמה היחידה היא מממד 2 מעל השדה הסופי F 2 {\displaystyle \mathbb {F} _{2}} ). למעשה, באלגברת הרכבה סימטרית מממד 2 ומעלה אין איבר יחידה. אם C אלגברת הורוויץ עם אינוולוציה   x ↦ x ∗ {\displaystyle \ x\mapsto x^{*}} , אפשר להגדיר עליה פעולת כפל חדשה   x ⋆ y = x ∗ y ∗ {\displaystyle \ x\star y=x^{*}y^{*}} . ביחס לפעולה זו, C הופכת להיות אלגברת הרכבה סימטרית (ומאבדת את איבר היחידה שלה). האלגברה המתקבלת באופן זה נקראת אלגברת פָּרה-הורוויץ (וכך מוגדרות, בפרט, אלגברות פרה-קווטרניונים ואלגברות פרה-קיילי). אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת פרה-הורוויץ אם ורק אם יש בה אידמפוטנט e המקיים   e x = x e = − x {\displaystyle \ ex=xe=-x} לכל איבר x כך ש-   B ( x , e ) = 0 {\displaystyle \ B(x,e)=0} . כהכללה של הבניה הקודמת, אם   φ {\displaystyle \ \varphi } הוא אוטומורפיזם של אלגברת הורוויץ C המקיים   φ 3 = 1 {\displaystyle \ \varphi ^{3}=1} , אז אפשר להגדיר פעולת כפל חדשה לפי   x ⋆ y = φ ( x ∗ ) φ 2 ( y ∗ ) {\displaystyle \ x\star y=\varphi (x^{*})\varphi ^{2}(y^{*})} (אם   φ = 1 {\displaystyle \ \varphi =1} , מתקבלת אלגברת פרה-הורוויץ). גם אלו אלגברות הרכבה סימטריות, הנקראות אלגברות Petersson. אלגברת הרכבה סימטרית היא אלגברת Petersson אם ורק אם יש בה אידמפוטנט. בכל אלגברת הרכבה סימטרית אפשר למצוא אידמפוטנט לאחר הרחבת סקלרים מממד 3. תהי R אלגברה אלטרנטיבית ספרבילית (עם יחידה), ונניח ש-   λ 3 − T R ( x ) λ 2 + S R ( x ) λ − N R ( x ) {\displaystyle \ \lambda ^{3}-T_{R}(x)\lambda ^{2}+S_{R}(x)\lambda -N_{R}(x)} הוא הפולינום המינימלי הגנרי של R. בפרט, R היא אלגברה מדרגה 3. אם יש בשדה הבסיס F שורשי יחידה מסדר 3, אפשר להגדיר על האוסף   R 0 {\displaystyle \ R^{0}} של איברים בעלי עקבה 0 ב- R, פעולת כפל חדשה,   x ⋆ y = 1 − ρ 3 x y + 1 − ρ 2 3 y x − 1 3 T R ( x y ) {\displaystyle \ x\star y={\frac {1-\rho }{3}}xy+{\frac {1-\rho ^{2}}{3}}yx-{\frac {1}{3}}T_{R}(xy)} . האלגברה המתקבלת היא אלגברת הרכבה סימטרית, עם תבנית הנורמה   n ( x ) = − 1 3 S R ( x ) {\displaystyle \ n(x)=-{\frac {1}{3}}S_{R}(x)} . אם אין ב- F שורשי יחידה מסדר 3, מחליפים את R באוסף האיברים הסימטריים באלגברה אלטרנטיבית ספרבילית מעל ההרחבה הריבועית   F [ ρ ] {\displaystyle \ F[\rho ]} , ביחס לאינוולוציה אוניטרית. מתברר שבניות אלה מכסות את כל אלגברות ההרכבה הסימטריות: מעל שדה ממאפיין שונה מ-3, כל אלגברת הרכבה סימטרית שייכת לאחת המחלקות הבאות:   L 0 {\displaystyle \ L^{0}} , כאשר L שדה הרחבה ספרבילי מממד 3, או   F × K {\displaystyle \ F\times K} כאשר K ריבועי ספרבילי, או   F × F × F {\displaystyle \ F\times F\times F} ; אלגברת פרה-קווטרניונים; אלגברת פרה-קיילי; אם יש ב- F שורשי יחידה מסדר 3 - האלגברה   A 0 {\displaystyle \ A^{0}} , כאשר A אלגברה ציקלית מדרגה 3 מעל F; אם אין ב- F שורשי יחידה מסדר 3 - האלגברה   S y m ( B , τ ) 0 {\displaystyle \ Sym(B,\tau )^{0}} , כאשר   B {\displaystyle \ B} אלגברה ציקלית מדרגה 3 מעל   F [ ρ 3 ] {\displaystyle \ F[\rho _{3}]} ,   τ {\displaystyle \ \tau } אינוולוציה אוניטרית של B, ו-   S y m ( B , τ ) {\displaystyle \ Sym(B,\tau )} אוסף האיברים הסימטריים (שהוא מממד 9 מעל F). מאלה, האלגברות בקבוצה הראשונה הן מממד 2, האלגברות בקבוצה השנייה מממד 4, והאחרונות מממד 8. Rings that are nearly associative, פרק 2. M.A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost and J.-P. Tignol, The book of Involutions, פרק 8. J.H. Conway and D.A. Smith, On Quaternions and Octonions, פרק 6. R.D. Schafer, An introduction to Nonassociative Algebras, פרק III.7.