יחס קיבולי החום

בפיזיקה תרמית (אנ') ותרמודינמיקה, יחס קיבולי החום הוא היחס בין קיבול החום בלחץ קבוע ( C P {\displaystyle C_{P}} ) לקיבול החום בנפח קבוע ( C V {\displaystyle C_{V}} ) ומסומן באות היוונית γ {\displaystyle \gamma } (גמא). יחס קיבולי החום חשוב עבור יישומים בתהליכים תרמודינמיים הפיכים, במיוחד כאלו המערבים גזים אידיאליים ובין היתר הוא משפיע גם על מהירות הקול. לגודל פיזיקלי זה כינויים נוספים ובהם: אינדקס אדיאבטי, יחס החומים הסגוליים, קבוע פואסון או מקדם ההתפשטות האיזנטרופית (עבור גז אידיאלי או κ {\displaystyle \kappa } (קאפה), המעריך האיזנטרופי לגז אידיאלי). γ = C P C V = c P c V {\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}={\frac {c_{P}}{c_{V}}}} כאשר C {\displaystyle C} הוא קיבול החום, ו- c {\displaystyle c} הוא קיבול החום הסגולי (קיבול חום ליחידת מסה) של גז. הסיומות P ו - V מתייחסות לתנאי לחץ מתמיד ונפח קבוע בהתאמה. על מנת להבין קשר זה, נבצע ניסוי מחשבתי. בוכנה פניאומטית סגורה מכילה אוויר. הבוכנה נעולה והלחץ הפנימי הוא לחץ אטמוספירי. הבוכנה מחוממת עד להגעה לטמפרטורת יעד. הבוכנה מקובעת ולכן הנפח קבוע. הטמפרטורה והלחץ עולים. כאשר מתבצעת הגעה לטמפרטורת היעד, החימום נעצר. כמות האנרגיה המושקעת בתהליך היא  E = C V Δ T {\displaystyle E=C_{V}\Delta T} , כאשר Δ T {\displaystyle \Delta T} מייצג את השינוי בטמפרטורה. כעת הבוכנה משוחררת ונעה כלפי חוץ, עוצרת רק כאשר הלחץ בתוך התא מגיע ללחץ אטמוספירי. אנו מניחים כי ההתפשטות מתרחשת ללא חילוף חום עם הסביבה מחוצה לבוכנה, כלומר התפשטות אדיאבטית. בעת ביצוע העבודה, אוויר בתוך הבוכנה יתקרר מתחת לטמפרטורת היעד. חזרה לטמפרטורת היעד (כאשר הבוכנה עדיין משוחררת לנוע בחופשיות) דורשת חימום של האוויר, אשר אינו נמצא עוד בנפח קבוע, משום שהבוכנה נעה בחופשיות כאשר הגז מחומם. בדוגמה לעיל, התהליך מתרחש בלחץ חיצוני קבוע ולכן כמות החום המתווספת למערכת בלחץ קבוע היא פרופורציונלית ל - C P {\displaystyle C_{P}} . התהליך הנ"ל מתרחש באוויר (גז דו אטומי) ולכן יחסי קיבולי החום הוא γ = 1.4 {\displaystyle \gamma =1.4} . דרך נוספת להבין את ההבדל בין C P {\displaystyle C_{P}} ו - C V {\displaystyle C_{V}} היא כאשר  C P {\displaystyle C_{P}} חל אם העבודה נעשית על המערכת, אשר גורם לשינוי בנפח (כגון על ידי הזזת הבוכנה כדי לדחוס את התוכן שבתוך התא הסגור), או אם העבודה נעשית על ידי המערכת, אשר משנה את הטמפרטורה שלה (כגון חימום גז הנמצא בבוכנה על מנת לגרום לבוכנה לנוע). C V {\displaystyle C_{V}} חל רק אם P d V {\displaystyle PdV} – כלומר, העבודה המתבצעת, היא אפס. נבחין בהבדל בין הוספת חום לגז כאשר הבוכנה מקובעת להוספת חום כאשר הבוכנה חופשית לנוע, כך שהלחץ החיצוני נשאר קבוע. במקרה השני, הגז יתחמם, יתפשט ויגרום לבוכנה לבצע עבודה מכנית על הסביבה. החום המתווסף לגז עובר רק בחלקו לחימומו ואילו השאר מומר לביצוע עבודה מכנית על ידי הבוכנה. בתהליך הראשון, בנפח קבוע ובוכנה מקובעת אין תזוזה חיצונית ולכן אין עבודה מכנית המבוצעת על הסביבה, יתבצע שימוש ב- C V {\displaystyle C_{V}} . במקרה השני, עבודה נוספת מתבצעת על ידי שינוי הנפח ולכן כמות החום הנדרשת כדי להעלות את טמפרטורת הגז (קיבול החום הסגולי) גבוהה יותר עבור מקרה של לחץ קבוע. עבור גז אידיאלי, קיבול החום קבוע עם הטמפרטורה. בהתאם לכך, אנו יכולים לבטא את האנתלפיה כ- H = C P Δ T {\displaystyle H=C_{P}\Delta T} ואת האנרגיה הפנימית כ- U = C V Δ T {\displaystyle U=C_{V}\Delta T} . לכן, ניתן להתייחס ליחס קיבולי החום כיחס בין האנתלפיה לאנרגיה הפנימית: γ = H U {\displaystyle \gamma ={\frac {H}{U}}\,} יתר על כן, את קיבולי החום ניתן לבטא במונחים של יחס קיבולי החום ( γ ) {\displaystyle (\gamma )}   וקבוע הגזים ( R ) {\displaystyle (R)} : C P = γ n R γ − 1 and C V = n R γ − 1 {\displaystyle C_{P}={\frac {\gamma nR}{\gamma -1}}\qquad {\mbox{and}}\qquad C_{V}={\frac {nR}{\gamma -1}}\,} כאשר n {\displaystyle n} הוא כמות החומר במולים. נוסחת מאייר מאפשרת להסיק את הערך של C V {\displaystyle C_{V}} מטבלאות מוכרות המאגדות את ערכי  C P {\displaystyle C_{P}} : C V = C P − n R {\displaystyle C_{V}=C_{P}-nR\,} יחס קיבולי החום ( γ ) {\displaystyle (\gamma )} עבור גז אידיאלי יכול להיות קשור לדרגות חופש ( f ) {\displaystyle (f)} של מולקולה על ידי γ = 1 + 2 f or f = 2 γ − 1 {\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}\quad {\text{or}}\quad f={\frac {2}{\gamma -1}}} לפיכך אנו צופים כי עבור גז חד - אטומי, עם 3 דרגות חופש: γ = 5 3 = 1.6666 … {\displaystyle \gamma ={\frac {5}{3}}=1.6666\ldots } כאשר עבור גז דו - אטומי, עם 5 דרגות חופש (בטמפרטורת החדר: 3 translational ו-2 מחזורי דרגות חופש;  דרגת החופש של רטט אינה מעורבת, חוץ מבטמפרטורות גבוהות): γ = 7 5 = 1.4 {\displaystyle \gamma ={\frac {7}{5}}=1.4} לדוגמה, אוויר אשר בעיקר מורכב מגזים דו-אטומיים (כ-78% חנקן ( N 2 {\displaystyle N_{2}} ) ו-21% חמצן ( O 2 {\displaystyle O_{2}} ), בתנאים סטנדרטיים הנ"ל יכול להיחשב כגז אידיאלי. הערך γ = 1.4 {\displaystyle \gamma =1.4} מאוד עקבי עם מדידות אדיאבטיות עבור אוויר יבש בטווח טמפרטורות של 0 − 200 ∘ C {\displaystyle 0-200^{\circ }C} ומציג סטייה של רק 0.2 % {\displaystyle 0.2\%} . ככל שהטמפרטורה עולה, מצבים עתירי אנרגיה סיבובית ורטט נהפכים לנגישים לגזים מולקולריים. לכן חלה עלייה במספר דרגות החופש וירידת ערכו של γ {\displaystyle \gamma } . עבור גז אמיתי,  C P {\displaystyle C_{P}} ו - C V {\displaystyle C_{V}} מתגברים עם עליית הטמפרטורה. הם נבדלים זה מזה על ידי קבוע (כאמור לעיל, C V = C P − n R {\displaystyle C_{V}=C_{P}-nR\,} ), אשר משקף את הקבוע היחסי P d V {\displaystyle PdV} , אשר מייצג את ההבדל בעבודה הנעשית במהלך התפשטות בלחץ קבוע לעומת תנאי נפח קבוע. לפיכך, היחס בין שני הערכים, γ {\displaystyle \gamma } , יורד עם עליית הטמפרטורה. ערכים מבוססי קירובים (במיוחד C V = C P − n R {\displaystyle C_{V}=C_{P}-nR\,} ) הם במקרים רבים לא מספיק מדויקים לטובת חישובים הנדסיים מעשיים, כגון זרימה דרך צינורות ושסתומים. ערך ניסיוני אמור לשמש במקום הקירוב הנ"ל, כאשר הדבר אפשרי . ערך מחמיר  ליחס  C P C V {\displaystyle {\frac {C_{P}}{C_{V}}}} יכול להיות מחושב על ידי חילוץ C V {\displaystyle C_{V}} לפי נוסחת מאייר: C P − C V = − T ( ∂ V ∂ T ) P 2 ( ∂ V ∂ P ) T = − T ( ∂ P ∂ T ) V 2 ( ∂ P ∂ V ) T {\displaystyle C_{P}-C_{V}=-T{\frac {\left({\frac {\partial V}{\partial T}}\right)_{P}^{2}}{\left({\frac {\partial V}{\partial P}}\right)_{T}}}=-T{\frac {\left({\frac {\partial P}{\partial T}}\right)_{V}^{2}}{\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}}}} ערכי C P {\displaystyle C_{P}} זמינים לקריאה ומתועדים, אבל ערכי C V {\displaystyle C_{V}} מחושבים באמצעות קשרים אלו. ניתן לראות את היחסים בין קיבולי החום מגזירה של היחסים התרמודינמים בין קיבולי החום. ההגדרה לעיל היא הגישה אשר שומשה לפיתוח ביטויים מחמירים מן משוואות המצב (כגון פנג–רובינסון), אשר תואמות ערכים ניסויים בקירוב טוב אשר מייתרים את הצורך לפתח מאגר נתונים של ערכי C V {\displaystyle C_{V}} . הערכים יכולים להיקבע על ידי שימוש בשיטת קירוב אלמנטים סופיים . ערך מורחב – תהליך אדיאבטי יחס זה נותן את הקשר החשוב עבור תהליך איזנטרופי (קוואזיסטטי, הפיך, תהליך אדיאבטי) של תהליך דחיסה פשוט עבור גז אידיאלי קלורית. p v γ = constant {\displaystyle pv^{\gamma }={\text{constant}}} כאשר p הוא הלחץ, ו-v הוא נפח הגז הסגולי. קיבול חום אנתלפיה אנרגיה פנימית מהירות הקול תרמודינמיקה Bejan, Adrian (2016). Advanced Engineering Thermodynamics (4 ed.). Wiley. Cengel, Yunus A., & Boles, Michael A. (2002). Thermodynamics - an Engineering Approach. McGraw Hill. . Dunning-Davies, Jeremy (1997). Concise Thermodynamics: Principles and Applications. Horwood Publishing. Kroemer, Herbert & Kittel, Charles (1980). Thermal Physics. W. H. Freeman Company. White, Frank M. (1994). Fluid Mechanics (4th ed.). McGraw Hill. Lange, Norbert A. Lange's Handbook of Chemistry (10th ed.). p. 1524.