חוק הקוסינוס של למברט

באופטיקה, חוק הקוסינוס של למברט קובע שעוצמת האור המוקרנת בכיוונים שונים ממשטח דיפוזי אידיאלי או ממקרן דיפוזי אידיאלי עומדת ביחס ישר לקוסינוס הזווית θ שבין הקרן הנפלטת לנורמל למשטח: I = I0cos(θ). חוק זה ידוע כחוק הפליטה הקוסינוסי או כחוק הפליטה של למברט. הוא נקרא על שם יוהאן היינריך למברט, שפרסם אותו בספרו פוטומטריה מ-1760. משטח המציית לחוק למברט נקרא למברטיאני, והוא מפגין החזרה למברטיאנית. חתיכה ממשטח כזה נראית כבעלת בהירות שווה מכל זווית בה היא נצפית. יש לה אותה בהירות מכיוון שעל אף שההספק המוקרן מאלמנט שטח קטן פי קוסינוס זווית ההקרנה, הזווית המרחבית, המוגדרת כחלק היחסי של השטח המוטל על ידי אלמנט השטח (הנראה על ידי הצופה) על ספירה שמרכזה בעין הצופה משטח הספירה, קטנה גם היא באותו גורם. לפיכך, הבהירות הנראית, המוגדרת כהספק ליחידת זווית מרחבית ליחידת שטח של היטל המקור, היא קבועה. כאשר אלמנט שטח מקרין אור כתוצאה מהארתו על ידי מקור אור חיצוני, שטף האור (זמן*שטח/אנרגיה של פוטונים) הפוגע באלמנט הזה מצוי ביחס ישר לקוסינוס הזווית בין כיוון מקור האור והנורמל לאלמנט השטח. מפזר למברטיאני יפזר את האור הפוגע בו לפי אותו חוק קוסינוס כמפזר למברטיאני. פירוש הדבר שלמרות שהבהירות הנראית של פני השטח תלויה בזווית בין הנורמל לכיוון מקור האור, היא לא תלויה בזווית בין הנורמל לכיוון הצופה. לדוגמה, אילו הירח היה מפזר למברטיאני (אור הירח הוא אור שמש שפוזר מפני הירח), ניתן היה לצפות שבהירותו הייתה דועכת משמעותית במבט לשולי הדיסקה הירחית (הנקראת גם אזור הדמדומים הירחי - Lunar terminator) אודות לזווית הגדלה שבה אור השמש פוגע בפני השטח שלו, וזאת מכיוון שבהירות כל אלמנט שטח שלו הייתה תלויה אך ורק בעוצמת הקרינה הפוגעת בו ולא בכיוון הצופה. העובדה שבהירות הירח אינה חלשה יותר בשוליו ממחישה שהירח אינו מפזר למברטיאני, ולמעשה מפזר אור בזוויות חדות במידה רבה יותר מאשר מפזר למברטיאני. בדומה למפזר למברטיאני, מקרן למברטיאני מוגדר כגוף אשר קורן באופן למברטיאני ושמקורה של הקרינה בגוף עצמו. לדוגמה, אילו השמש הייתה מקרן למברטיאני, ניתן היה לצפות לראות בהירות אחידה בכל הדיסקה השמשית. העובדה שהשמש מראה האפלת שפה בתחום האור הנראה מראה שהיא אינה מקרן למברטיאני. גוף שחור הוא דוגמה למקרן למברטיאני. כמבוא לפרטים הטכניים של חוק הקוסינוס של למברט, נדון בדוגמה של הבהירות הנראית של פנס רחוב כדורי במרחקים גדולים בהרבה מרדיוסו. פנס כזה מקרין אור בהספק זהה בכל הכיוונים, כך שהמצב הפיזיקלי הוא בעל סימטריה כדורית ועוצמת האור הנופלת על עין הצופה הממוקם במרחק גדול מסוים תלויה רק במרחק הצופה r. במבט שטחי ניתן לטעון שהבהירות נופלת ביחס הפוך לריבוע המרחק (חוק ההארה של קפלר), אולם מבט מעמיק יותר במהות הגדרת הבהירות מגלה שלמעשה בהירות הפנס כלל לא משתנה עם המרחק! (זאת בהנחה שהמרחק גדול בהשוואה לרדיוס הפנס). הסיבה לכך היא שבהירות נראית, כתכונה שהיא במידה מסוימת סובייקטיבית, יחסית באופן הפוך גם לגודל הזוויתי של מקור האור, שכן שטח הדמות של מקור האור על רשתית העין, כמו גם של כל מכשיר אופטי אחר, יחסי לקוטר הזוויתי שלו בריבוע. מכיוון שאותה כמות אור נופלת על שטח קטן יותר, תאי הרשתית שבעין יחושו בצפיפות האנרגיה הגבוהה יותר, והמוח יפרש זאת כבהירות גבוהה יותר. בדוגמה האחרונה, עוצמת ההארה נופלת ביחס הפוך לריבוע המרחק מן הפנס, אך קוטרו הזוויתי בריבוע קטן גם הוא באותו היחס, כך שהבהירות הנראית של הפנס תהיה זהה בכל מרחק. המצב עבור משטח למברטיאני (קורן או מפזר) מומחש באיורים 1 ו-2. לצורך בהירות מושגית נחשוב במונחים של פוטונים במקום במונחים של צפיפות האנרגיה המוקרנת. היתדונים במעגל שבאיור 1 מייצגים זווית זהה dΩ בעלת גודל שנבחר באופן שרירותי, ואורכם מייצג את עוצמת הקרינה הנפלטת בכיוון שלהם. כמות הפוטונים ליחידת שנייה בכיוון כל יתדון יחסית לפיכך לשטחו. בהחזרה למברטיאנית, אורך כל יתדון כזה הוא מכפלת קוטר המעגל ב-cos(θ). קצב הפליטה המרבי של פוטונים ליחידת זווית מרחבית הוא לאורך הנורמל למשטח, והוא יורד לאפס כאשר θ = 90°. במונחים מתמטיים, הבהירות שאותה ימדוד צופה המוקם לאורך הנורמל היא I, ומספר הפוטונים ליחידת זמן הנפלטים בכיוון היתדון האנכי הוא I dΩ dA. מספר הפוטונים ליחידת זמן שייפלטו בכיוון יתדון בזווית θ הוא I cos(θ) dΩ dA. איור 2 מציג את מה שצופה המצוי בזווית מסוימת יראה. הצופה שבדיוק מעל אלמנט השטח יראה את הסצנה דרך מפתח בעל שטח dA0 ואלמנט השטח dA יתפוס זווית מרחבית dΩ0, המהווה נתח של שדה הראייה הכולל של הצופה. מכיוון שזווית כל יתדון dΩ נבחרה באופן שרירותי, לצורך נוחיות ניתן להניח ללא הגבלת הכלליות שזווית זו מתלכדת בגודלה עם הזווית המרחבית שתופס מפתח הצופה כאשר הוא "נצפה" מנקודת המבט של אלמנט השטח הקורן dA. לפיכך, הצופה הנורמלי ימדוד ערך זהה של I dΩ dA פוטונים לשנייה לזה שנגזר מקודם וימדוד בהירות של I 0 = I d Ω d A d Ω 0 d A 0 {\displaystyle I_{0}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}} . הצופה המוצב בזווית θ ביחס לנורמל יראה את הסצנה דרך אותו המפתח בעל השטח dA0, אולם מנקודת מבטו ה"משופעת" אלמנט השטח dA ייראה מקוצר ויתפוס זווית מרחבית קטנה יותר של dΩ0 cos(θ). צופה זה יקלוט I cos(θ) dΩ dA פוטונים לשנייה, ולכן ימדוד בהירות של I 0 = I cos ⁡ ( θ ) d Ω d A d Ω 0 cos ⁡ ( θ ) d A 0 = I d Ω d A d Ω 0 d A 0 {\displaystyle I_{0}={\frac {I\cos(\theta )\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,\cos(\theta )\,dA_{0}}}={\frac {I\,d\Omega \,dA}{d\Omega _{0}\,dA_{0}}}} כך שמתקבלת תוצאה זהה לזו של הצופה הנורמלי. באופן כללי, עוצמת האור הנפלטת מנקודה על משטח משתנה עם הכיוון; בעבור משטח למברטיאני, ההתפלגות הזאת מוגדרת על ידי חוק הקוסינוס, עם עוצמת שיא בכיוון הנורמלי. לפיכך כאשר ההנחה הלמבטריאנית תקפה ניתן לחשב את שטף האור הכולל, F tot {\displaystyle F_{\text{tot}}} , מערך השיא של עוצמת ההארה, I max {\displaystyle I_{\max }} , באמצעות אינטגרציה על חוק הקוסינוס: F tot = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ( θ ) I max sin ⁡ ( θ ) d θ d ϕ = 2 π ⋅ I max ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ( θ ) sin ⁡ ( θ ) d θ = 2 π ⋅ I max ∫ 0 π / 2 sin ⁡ ( 2 θ ) 2 d θ {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{tot}}&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\,I_{\max }\,\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}\cos(\theta )\sin(\theta )\,d\theta \\&=2\pi \cdot I_{\max }\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\sin(2\theta )}{2}}\,d\theta \end{aligned}}} כך ש- F tot = π s r ⋅ I max {\displaystyle F_{\text{tot}}=\pi \,\mathrm {sr} \cdot I_{\max }} כאשר sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle \sin(\theta )} היא הדטרמיננטה של מטריצת היעקוביאן עבור ספירת היחידה. באופן דומה, עוצמת השיא תהיה 1 / ( π s r ) {\displaystyle 1/(\pi \,\mathrm {sr} )} מסך שטף האור המוקרן. פוטומטריה (ספר) מדיה וקבצים בנושא חוק הקוסינוס של למברט בוויקישיתוף