קרקטר (מתמטיקה)

במתמטיקה, קרקטר (כפלי) הוא הומומורפיזם מחבורה אל החבורה הכפלית C × {\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }} של שדה המספרים המרוכבים, ובאופן כללי יותר אל החבורה הכפלית של שדה כלשהו. קרקטר אל תת-החבורה הכפלית T := { z ∈ C ∣ | z | = 1 } {\displaystyle \mathbb {T} :=\left\{z\in \mathbb {C} \mid \left|z\right|=1\right\}} נקרא קרקטר אוניטרי. השימוש החשוב ביותר לקרקטרים הוא באנליזה הרמונית. כך, הדוגמה היסודית לקרקטרים הם האקספוננטים e n : R → T {\displaystyle e_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {T} } המוגדרים e n ( x ) = e 2 π i n x {\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}} לכל n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } . כפי שידוע מאנליזת פורייה הממשית, משפחת הפונקציות הזו צפופה במרחב L 2 ( R ) {\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)} ומאפשרת להגדיר התמרת פורייה מעל מרחב זה. ברוח זו, המושג הכללי של קרקטרים מאפשר להכליל את אנליזת פורייה הממשית לאנליזת פורייה מעל חבורות אחרות. שימוש חשוב נוסף לקרקטרים הוא בתורת המספרים, באמצעות בניית קרקטר דיריכלה. יש לשים לב קרקטרים של הצגות של חבורות, כפי שמופיעים בטבלת הקרקטרים הם בדרך כלל אינם קרקטרים כפליים. חשיבותם של קרקטרים נובעת בין השאר מכך שהם מהווים חבורה אבלית ביחס לכפל נקודתי. כלומר, בהינתן שדה k {\displaystyle k} , אם G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} היא משפחת כל הקרקטרים (הומומורפיזמים) מהצורה χ : G → k {\displaystyle \chi :G\to k} , אז יש עליה מבנה של חבורה כפלית באמצעות הפעולה ( χ 1 ⋅ χ 2 ) ( g ) = χ 1 ( g ) ⋅ χ 2 ( g ) {\displaystyle \left(\chi _{1}\cdot \chi _{2}\right)(g)=\chi _{1}(g)\cdot \chi _{2}(g)} . יתרה מזו, אם Hom ( G , k ) {\displaystyle {\text{Hom}}\left(G,k\right)} היא משפחת כל הפונקציות מהצורה G → k {\displaystyle G\to k} עם מבנה טבעי של מרחב וקטורי מעל k {\displaystyle k} , אז G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} היא תת-מרחב ליניארי שלו שאיבריו בלתי תלויים ליניארית, כלומר: לכל אוסף סופי של קרקטרים שונים χ 1 , … , χ n {\displaystyle \chi _{1},\dots ,\chi _{n}} , אם a 1 , … , a n ∈ k {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in k} מקיימים כי a 1 ⋅ χ 1 + ⋯ + a n ⋅ χ n = 0 {\displaystyle a_{1}\cdot \chi _{1}+\dots +a_{n}\cdot \chi _{n}=0} , אז בהכרח a 1 = ⋯ = a n = 0 {\displaystyle a_{1}=\dots =a_{n}=0} . עבור כל קרקטר χ : G → k {\displaystyle \chi :G\to k} , הערך של הקרקטר הוא 1 {\displaystyle 1} על כל איברי תת-חבורת הקומוטטורים G ′ {\displaystyle G'} של G {\displaystyle G} . לכן חבורת הקרקטרים של G {\displaystyle G} איזומורפית לחבורת הקרקטרים של החבורה האבלית G / G ′ {\displaystyle G/G'} . בהינתן חבורה ציקלית סופית ( Z / m Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,+)} , הקראקטרים של החבורה נתונים על ידי אקספוננטים e n : Z / n Z → C {\displaystyle e_{n}:\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \to \mathbb {C} } המוגדרים על ידי e n ( k ) = e 2 π i n k / m {\displaystyle e_{n}(k)=e^{2\pi ink/m}} לכל k ∈ Z / m Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } . לכן חבורת הקרקטרים של ( Z / m Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,+)} איזומורפית לחבורה ( Z / m Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} ,+)} עצמה. בדומה, בהינתן חבורה אבלית סופית G {\displaystyle G} , חבורת הקרקטרים של G {\displaystyle G} איזומורפית לחבורה G {\displaystyle G} עצמה. באופן כללי יותר, עבור כל חבורה סופית G {\displaystyle G} , כל הקארקטים הם קרקטרים אוניטריים, והחבורה G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} במקרה זה איזומורפית לחבורה האבלית G / G ′ {\displaystyle G/G'} . במקרה ש- G {\displaystyle G} היא חבורה טופולוגית, קרקטר הוא הומומורפיזם רציף מהצורה G → T {\displaystyle G\to \mathbb {T} } . ידוע כי אם G {\displaystyle G} חבורה אבלית וקומפקטית מקומית אז הקרקטרים שלה מפרידים נקודות, כלומר: לכל g , h ∈ G {\displaystyle g,h\in G} שונים, יש קרקטר רציף χ : G → T {\displaystyle \chi :G\to \mathbb {T} } שמקיים χ ( g ) ≠ χ ( h ) {\displaystyle \chi (g)\neq \chi (h)} . לכן ממשפט סטון-ויירשטראס תחת תנאים לא מחמירים נובע כי חבורת הקרקטרים G ^ {\displaystyle {\widehat {G}}} צפופה בתוך מרחב הפונקציות הרציפות מהצורה G → k {\displaystyle G\to k} שיש להן תומך קומפקטי. ערך מורחב – דואליות פונטריאגין לחבורה טופולוגית אבלית וקומפקטית מקומית מתרחשת תופעה של דואליות, לפיה חבורת הקרקטרים של חבורת הקרקטרים של G {\displaystyle G} , היא למעשה G {\displaystyle G} עצמה. כלומר יש איזומורפיזם טבעי G ^ ^ ≅ G {\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}\cong G} . איזומורפיזם זה מתקבל על ידי G → G ^ ^ {\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}} שהיא ההערכה g ↦ ( χ ↦ χ ( g ) ) {\displaystyle g\mapsto \left(\chi \mapsto \chi (g)\right)} . Artin, Emil (1966), Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lectures, number 2, Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Lectures Delivered at the University of Notre Dame קרקטר של חבורה, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) קרקטר, באתר MathWorld (באנגלית)