שלמות (לוגית)

בלוגיקה מתמטית, מערכת פורמלית T נקראת שלמה ביחס לתכונה α אם כל נוסחה β ∈ T {\textstyle \beta \in T} בעלת α התכונה יכולה להיגזר באמצעות אותה מערכת, כלומר היא אחד ממשפטיה - אחרת המערכת נחשבת לא שלמה. באופן אינטואיטיבי, מערכת נקראת שלמה במובן המסוים הזה, אם היא יכולה לגזור כל נוסחה שהיא נכונה. התכונה הפוכה לשלמות נקראת תקינות : מערכת היא: sundness ביחס לתכונה (בעיקר תוקף סמנטי) אם לכל אחד מהמשפטים שלה יש תכונה זו. שפה פורמלית היא שלמה באופן אקספרסיבי אם היא יכולה לבטא את הנושא שלשמו היא מיועדת. קבוצה של חיבורים לוגיים הקשורים למערכת פורמלית מלאה מבחינה פונקציונלית אם היא יכולה לבטא את כל פונקציות ההצעה(אנ'). שלמות סמנטית היא ההפך לתקינות-soundness (אנ') עבור מערכות פורמליות. מערכת פורמלית היא שלמה ביחס לטאוטולוגיות או "שלמה מבחינה סמנטית" כאשר כל הטאוטולוגיות שלה הן משפטים, ואילו מערכת פורמלית היא "soundness (אנ')" כאשר כל המשפטים הם טאוטולוגיות (כלומר, הם נוסחאות תקפות מבחינה סמנטית: נוסחאות שנכונות תחת כל פרשנות שפת המערכת התואמת את כללי המערכת). כלומר, מערכת פורמלית שלמה מבחינה סמנטית אם ⊨ S φ   →   ⊢ S φ . {\displaystyle \models _{\mathcal {S}}\varphi \ \to \ \vdash _{\mathcal {S}}\varphi .} לדוגמה, משפט השלמות של גדל קובע שלמות סמנטית עבור לוגיקה מסדר ראשון. מערכת פורמלית S היא מאוד שלמה או שלמה במובן החזק אם עבור כל קבוצה של הנחות Γ, כל נוסחה הנובעת סמנטית מ-Γ ניתנת לגזירה מ-Γ. זה: Γ ⊨ S φ   →   Γ ⊢ S φ . {\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {S}}\varphi \ \to \ \Gamma \vdash _{\mathcal {S}}\varphi .} מערכת S פורמלית היא השלמה של הפרכה אם היא מסוגלת להפיק שקר מכל קבוצה בלתי מספקת של נוסחאות. היא, Γ ⊨ S ⊥ →   Γ ⊢ S ⊥ . {\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {S}}\bot \to \ \Gamma \vdash _{\mathcal {S}}\bot .} כל מערכת שלמה מאוד היא גם השלמה של הפרכה. אינטואיטיבית, שלמות חזקה פירושה, בהינתן ערכת נוסחאות Γ {\displaystyle \Gamma } , אפשר לחשב כל תוצאה סמנטית φ {\displaystyle \varphi } שֶׁל Γ {\displaystyle \Gamma } , בעוד שלמות ההפרכה פירושה זאת, בהינתן ערכת נוסחאות Γ {\displaystyle \Gamma } ונוסחה φ {\displaystyle \varphi } , אפשר לבדוק האם φ {\displaystyle \varphi } הוא תוצאה סמנטית של Γ {\displaystyle \Gamma } . דוגמאות למערכות השלמות להפרכה כוללות: רזולוציית SLD על סעיפי הורן-Horn clauses, סופרפוזיציה-Superposition calculus על לוגיקה סתמית משוואה-clausal (אנ') מסדר ראשון, רזולוציית רובינסון על קבוצות סעיפים. האחרון אינו שלם מאוד: למשל { a } ⊨ a ∨ b {\displaystyle \{a\}\models a\lor b} מתקיים אפילו בתת-קבוצה של לוגיקה מסדר ראשון, אבל a ∨ b {\displaystyle a\lor b} לא ניתן לגזור ממנו { a } {\displaystyle \{a\}} לפי החלטה. למרות זאת, { a , ¬ ( a ∨ b ) } ⊢ ⊥ {\displaystyle \{a,\lnot (a\lor b)\}\vdash \bot } ניתן לגזור. מערכת פורמלית S היא שלמה תחבירית או שלמה באופן דדוקטיבי או שלמה מקסימלית אם עבור כל משפט (נוסחה סגורה) φ של שפת המערכת או φ או ¬φ הוא משפט של S. זה נקרא גם השלמות שלילה, והוא חזק יותר משלימות סמנטית. במובן אחר, מערכת פורמלית שלמה מבחינה תחבירית אם ורק אם לא ניתן להוסיף לה משפט בלתי ניתן להוכחה מבלי להכניס חוסר עקביות. לוגיקה פרופוזיציונית פונקציונלית של אמת ולוגיקת פרדיקט מסדר ראשון הן שלמות מבחינה סמנטית, אך אינן שלמות מבחינה תחבירית (לדוגמה, ההצהרה הלוגית הטענתית המורכבת ממשתנה טענה יחיד A אינה משפט, וגם שלילתו). משפט חוסר השלמות של גדל מראה שכל מערכת ניתנת לחישוב בעלת עוצמה מספקת, כגון אריתמטיקה של Peano, אינה יכולה להיות עקבית וגם שלמה מבחינה תחבירית. בלוגיקה על-אינטואיציונית-Superintuitionistic logic ומודאלית-modal logics (אנ'), היגיון מושלם מבחינה מבנית אם כל כלל קביל ניתן לגזירה. שלמות, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Press, 1971 David A. Duffy (1991). Principles of Automated Theorem Proving. Wiley. Here: sect. 2.2.3.1, p.33 Stuart J. Russell, Peter Norvig (1995). A Modern Approach. Prentice Hall. Here: sect. 9.7, p.286 ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים בוויקיפדיה שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "שלמות (לוגית)".