תיקון בסל

בסטטיסטיקה, המונח תיקון בסל מתייחס לשימוש ב-n-1 במקום ב-n בנוסחה לשונות המדגם, כאשר n הוא מספר התצפיות במדגם. תיקון בסל מפצה על ההטיה באומדן של שונות האוכלוסייה. תיקון זה נקרא על שם פרידריך בסל. כאשר אומדים את השונות של אוכלוסייה ממדגם סופי בעוד שממוצע האוכלוסייה אינו ידוע (וכך גם ההתפלגות שלה), שונות המדגם הבלתי מתוקנת היא הממוצע של ריבועי הסטיות של ערכי המדגם מממוצע המדגם. הבעייתיות בשיטה כזאת לחישוב שונות המדגם היא שהיא מניבה אומד מוטה של שונות האוכלוסייה. הכפלת שונות המדגם הלא מתוקנת בפקטור n n − 1 {\displaystyle {\frac {n}{n-1}}} נותנת אומד בלתי מוטה של שונות האוכלוסייה. ניתן להבין במידה מסוימת את הצורך בתיקון בסל כתוצאה של ההפחתה במספר דרגות החופש של וקטור השארים: ( x 1 − x ¯ , … , x n − x ¯ ) , {\displaystyle (x_{1}-{\overline {x}},\,\dots ,\,x_{n}-{\overline {x}}),} כאשר x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} הוא ממוצע המדגם. בעוד שיש n תצפיות בלתי תלויות במדגם, ישנם רק n-1 שארים בלתי תלויים במדגם, שכן השארים נסכמים ל-0. באופן כללי, תיקון בסל מאפשר להעלים את ההטיה באומדן השונות הנגרמת מגודל מדגם סופי. תיקונים של ההטיה של מדגמים סופיים נחוצים גם בעבור אומדנים סטטיסטיים אחרים כמו הצידוד והגבנוניות (שהם המומנטים המרכזיים מסדר שלוש וארבע, בהתאמה), אלא שבעבור אלו האי-דיוקים גדולים יותר. כדי להעלים לגמרי הטיות כאלו הכרחי לבצע אמידה מרובת-פרמטרים מורכבת. μ הוא הערך האמיתי של ממוצע האוכלוסייה (שאינו ידוע), x ¯ {\displaystyle {\overline {x}}} הוא ממוצע המדגם, σ2 הוא הערך האמיתי של שונות האוכלוסייה (שאינו ידוע), sn2 היא השונות המדגמית המוטה (ללא תיקון בסל), s2 היא השונות המדגמית הלא מוטה (עם תיקון בסל), ממוצע המדגם ניתן על ידי x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i . {\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.} השונות המדגמית המוטה היא s n 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 ) n − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 n 2 {\displaystyle s_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}\right)}{n}}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}{n^{2}}}} והשונות המדגמית הלא מוטה (לאחר תיקון בסל) היא: s 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 = ∑ i = 1 n ( x i 2 ) n − 1 − ( ∑ i = 1 n x i ) 2 ( n − 1 ) n = ( n n − 1 ) s n 2 . {\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\overline {x}}\right)^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}^{2}\right)}{n-1}}-{\frac {\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}}{(n-1)n}}=\left({\frac {n}{n-1}}\right)\,s_{n}^{2}.} התוחלת של אי-ההתאמה בין האומד המוטה של השונות המדגמית לבין השונות האמיתית היא: E ⁡ [ σ 2 − s n 2 ] = E ⁡ [ 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ) 2 − 1 n ∑ i = 1 n ( x i − x ¯ ) 2 ] = E ⁡ [ 1 n ∑ i = 1 n ( ( x i 2 − 2 x i μ + μ 2 ) − ( x i 2 − 2 x i x ¯ + x ¯ 2 ) ) ] = E ⁡ [ 1 n ∑ i = 1 n ( μ 2 − x ¯ 2 + 2 x i ( x ¯ − μ ) ) ] = E ⁡ [ μ 2 − x ¯ 2 + 1 n ∑ i = 1 n 2 x i ( x ¯ − μ ) ] = E ⁡ [ μ 2 − x ¯ 2 + 2 ( x ¯ − μ ) x ¯ ] = E ⁡ [ μ 2 − 2 x ¯ μ + x ¯ 2 ] = E ⁡ [ ( x ¯ − μ ) 2 ] = Var ⁡ ( x ¯ ) = σ 2 n {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\sigma ^{2}-s_{n}^{2}\right]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left((x_{i}^{2}-2x_{i}\mu +\mu ^{2})-(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\right)\right]\\&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\mu ^{2}-{\overline {x}}^{2}+2x_{i}({\overline {x}}-\mu )\right)\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mu ^{2}-{\overline {x}}^{2}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}2x_{i}({\overline {x}}-\mu )\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mu ^{2}-{\overline {x}}^{2}+2({\overline {x}}-\mu ){\overline {x}}\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mu ^{2}-2{\overline {x}}\mu +{\overline {x}}^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[({\overline {x}}-\mu )^{2}\right]\\&=\operatorname {Var} ({\overline {x}})\\&={\frac {\sigma ^{2}}{n}}\end{aligned}}} כאשר המעבר האחרון נובע מכך שהשונות של סכום המשתנים המקריים x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}} היא סכום השונויות שלהם (שכן המשתנים הללו בלתי תלויים ולכן גם בלתי מתואמים), כך ש- Var ⁡ ( x ¯ ) = n ⋅ σ 2 n 2 = σ 2 n {\displaystyle \operatorname {Var} ({\overline {x}})={\frac {n\cdot \sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}} . לפיכך, התוחלת של האומד המוטה של שונות המדגם היא: E ⁡ [ s n 2 ] = σ 2 − σ 2 n = n − 1 n σ 2 {\displaystyle \operatorname {E} \left[s_{n}^{2}\right]=\sigma ^{2}-{\frac {\sigma ^{2}}{n}}={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}} ולכן, האומד הבלתי מוטה ניתן בנוסחה: s 2 = n n − 1 s n 2 {\displaystyle s^{2}={\frac {n}{n-1}}s_{n}^{2}} . עבור האומד המוטה, כאשר עושים שימוש בממוצע המדגם במקום בממוצע האמיתי (ממוצע האוכלוסייה), לוקים בהערכת חסר בשיעור x − µ עבור כל איבר xi − µ. מכיוון שהשונות של סכום היא סכום השונויות (בעבור משתנים בלתי מתואמים), אז, כדי למצוא את אי ההתאמה בין האומד המוטה לבין השונות האמיתית, יש למצוא את התוחלת של ( x ¯ − μ ) 2 {\displaystyle ({\bar {x}}-\mu )^{2}} . גודל זה הוא בדיוק השונות של ממוצע המדגם, שהיא σ2/n. לכן, אנו מצפים שהאומד המוטה לוקה בהערכת חסר של σ2 בשיעור של σ2/n. כדי לפצות על הערכת חסר זאת, יש להפעיל את תיקון בסל, כלומר לכפול את השונות המוטה ב- n n − 1 {\displaystyle {\frac {n}{n-1}}} . Wolfram Mathworld - Bessel's Correction שונות תיקון בסל, באתר MathWorld (באנגלית)