פנטציה

במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, 2 [ 5 ] 3 {\displaystyle 2[5]3} פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) {\displaystyle 2[4](2[4]2)} . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל 2 [ 4 ] ( 2 2 ) = 2 [ 4 ] 4 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65 , 536. {\displaystyle 2[4](2^{2})=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536.} את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות. אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים. אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: a [ 5 ] b {\displaystyle a[5]b} = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה. בסימון החץ למעלה, a [ 5 ] b {\displaystyle a[5]b} מיוצג כ a ↑↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow b} אוֹ a ↑ 3 b {\displaystyle a\uparrow ^{3}b} . בסימון זה, a ↑ b {\displaystyle a\uparrow b} מייצג חזקה ו- a ↑↑ b {\displaystyle a\uparrow \uparrow b} מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים. בסימון חץ משורשר, a [ 5 ] b = a → b → 3 {\displaystyle a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3} . סימון מוצע נוסף הוא b a {\displaystyle {_{b}a}} , אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר. ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם A ( n , m ) {\displaystyle A(n,m)} מוגדר על ידי הישנות אקרמן A ( m − 1 , A ( m , n − 1 ) ) {\displaystyle A(m-1,A(m,n-1))} עם התנאים ההתחלתיים A ( 1 , n ) = a n {\displaystyle A(1,n)=an} ו A ( m , 1 ) = a {\displaystyle A(m,1)=a} , לאחר מכן a [ 5 ] b = A ( 4 , b ) {\displaystyle a[5]b=A(4,b)} . כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation a [ 5 ] b {\displaystyle a[5]b} מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו: 1 [ 5 ] b = 1 {\displaystyle 1[5]b=1} a [ 5 ] 1 = a {\displaystyle a[5]1=a} a [ 5 ] 2 = a [ 4 ] a {\displaystyle a[5]2=a[4]a} a [ 5 ] 0 = 1 {\displaystyle a[5]0=1} a [ 5 ] ( − 1 ) = 0 {\displaystyle a[5](-1)=0} a [ 5 ] ( − 2 ) = − 1 {\displaystyle a[5](-2)=-1} a [ 5 ] ( b + 1 ) = a [ 4 ] ( a [ 5 ] b ) {\displaystyle a[5](b+1)=a[4](a[5]b)} מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן: 2 [ 5 ] 2 = 2 [ 4 ] 2 = 2 2 = 4 {\displaystyle 2[5]2=2[4]2=2^{2}=4} 2 [ 5 ] 3 = 2 [ 4 ] ( 2 [ 5 ] 2 ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) = 2 [ 4 ] 4 = 2 2 2 2 = 2 2 4 = 2 16 = 65 , 536 {\displaystyle 2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^{2}}}=2^{2^{4}}=2^{16}=65,536} 2 [ 5 ] 4 = 2 [ 4 ] ( 2 [ 5 ] 3 ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 4 ) = 2 [ 4 ] 65 , 536 = 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2  (a power tower of height 65,536)  ≈ exp 10 65 , 533 ⁡ ( 4.29508 ) {\displaystyle 2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 65,536) }}\approx \exp _{10}^{65,533}(4.29508)} (מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה exp 10 ⁡ ( n ) = 10 n {\displaystyle \exp _{10}(n)=10^{n}} ) 2 [ 5 ] 5 = 2 [ 4 ] ( 2 [ 5 ] 4 ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 2 ) ) ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 4 ) ) = 2 [ 4 ] ( 2 [ 4 ] 65 , 536 ) = 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2  (a power tower of height 2[4]65,536)  ≈ exp 10 2 [ 4 ] 65 , 536 − 3 ⁡ ( 4.29508 ) {\displaystyle 2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{2}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 2[4]65,536) }}\approx \exp _{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)} 3 [ 5 ] 2 = 3 [ 4 ] 3 = 3 3 3 = 3 27 = 7 , 625 , 597 , 484 , 987 {\displaystyle 3[5]2=3[4]3=3^{3^{3}}=3^{27}=7,625,597,484,987} 3 [ 5 ] 3 = 3 [ 4 ] ( 3 [ 5 ] 2 ) = 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 3 ) = 3 [ 4 ] 7 , 625 , 597 , 484 , 987 = 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3  (a power tower of height 7,625,597,484,987)  ≈ exp 10 7 , 625 , 597 , 484 , 986 ⁡ ( 1.09902 ) {\displaystyle 3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)} 3 [ 5 ] 4 = 3 [ 4 ] ( 3 [ 5 ] 3 ) = 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 3 ) ) = 3 [ 4 ] ( 3 [ 4 ] 7 , 625 , 597 , 484 , 987 ) = 3 3 3 ⋅ ⋅ ⋅ 3  (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987)  ≈ exp 10 3 [ 4 ] 7 , 625 , 597 , 484 , 987 − 1 ⁡ ( 1.09902 ) {\displaystyle 3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{3}}}}}}{\mbox{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }}\approx \exp _{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)} 4 [ 5 ] 2 = 4 [ 4 ] 4 = 4 4 4 4 = 4 4 256 ≈ exp 10 3 ⁡ ( 2.19 ) {\displaystyle 4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^{4}}}=4^{4^{256}}\approx \exp _{10}^{3}(2.19)} (מספר עם יותר מ-10 153 ספרות) 5 [ 5 ] 2 = 5 [ 4 ] 5 = 5 5 5 5 5 = 5 5 5 3125 ≈ exp 10 4 ⁡ ( 3.33928 ) {\displaystyle 5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^{5}}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx \exp _{10}^{4}(3.33928)} (מספר עם יותר מ-10 10 2184 ספרות) פונקציית אקרמן מספרים גדולים המספר של גרהם Perstein, Millard H. (ביוני 1962), "Algorithm 93: General Order Arithmetic", Communications of the ACM, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160 {{citation}}: (עזרה). Goodstein, R. L. (1947), "Transfinite ordinals in recursive number theory", The Journal of Symbolic Logic, 12 (4): 123–129, doi:10.2307/2266486, JSTOR 2266486, MR 0022537. Conway, John Horton; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, p. 61, ISBN 9780387979939. "Tetration.org - Tetration". www.tetration.org. נבדק ב-2022-09-12. Nambiar, K. K. (1995), "Ackermann functions and transfinite ordinals", Applied Mathematics Letters, 8 (6): 51–53, doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4, MR 1368037.