רצף סידון

בתורת המספרים, רצף סידון (או אשכול סידון), הקרוי על שמו של המתמטיקאי ההונגרי-יהודי שמעון סידון, הוא רצף סופי או אינסופי A = { a 0 , a 1 , a 2 , … } {\displaystyle A=\{a_{0},a_{1},a_{2},\dots \}} של מספרים טבעיים, בו כל הסכומים a i + a j   ( i ≤ j ) {\displaystyle a_{i}+a_{j}\ (i\leq j)} שונים אחד מהשני. סידון הציג את המושג בחקירותיו על טורי פורייה. המספרים { 1 , 2 , 5 , 7 } {\displaystyle \{1,2,5,7\}} יוצרים רצף סידון ועל פי ההשערה שטרם הוכחה, גם רצף המספרים הטבעיים בחזקה החמישית { 0 , 1 , 32 , 243 , … } {\displaystyle \{0,1,32,243,\dots \}} יוצרים רצף סידון. סרגל גולומב הוא קבוצת מספרים שלמים, כך שלכל זוג מהם הפרש ייחודי. כל סרגל גולומב סופי הוא רצף סידון סופי, ולהפך, כל רצף סידון סופי הוא סרגל גולומב. הוכחה: נניח בשלילה ש- S {\displaystyle S} הוא רצף סידון סופי, אך לא סרגל גולומב. מכיוון שהוא לא סרגל גולומב נובע שקיימים ארבעה איברים ברצף כך ש- a i − a j = a k − a l {\displaystyle a_{i}-a_{j}=a_{k}-a_{l}} , ולאחר העברת אגפים מתקבל a i + a l = a k + a j {\displaystyle a_{i}+a_{l}=a_{k}+a_{j}} . בסתירה לכך ש- S {\displaystyle S} הוא רצף סידון. לכן, כל רצף סידון סופי הוא סרגל גולומב. בנימוק דומה ניתן להוכיח שכל סרגל גולומב סופי הוא רצף סידון סופי. פאול ארדש ופאל טוראן העלו את השאלה כמה איברים קטנים מ- X {\displaystyle X} יכולים להיות ברצף סידון. למרות שרבים עסקו בשאלה זו, השאלה עדיין פתוחה גם בימינו. ארדש וטוראן הוכיחו שכמות האיברים ב- A {\displaystyle A} שקטנים מ- x {\displaystyle x} (המסומן A ( x ) {\displaystyle A(x)} ), הוא לכל היותר x + O ( x 4 ) {\displaystyle {\sqrt {x}}+O({\sqrt[{4}]{x}})} . לעומת זאת, אם A {\displaystyle A} הוא רצף אינסופי של רצף סידון ו- A ( x ) {\displaystyle A(x)} מציין את כמות האיברים ב- A {\displaystyle A} שקטנים מ- x {\displaystyle x} , אז לפי התוצאות של פאול ארדש: lim inf A ( x ) log ⁡ x x ≤ 1 {\displaystyle \liminf {\frac {A(x){\sqrt {\log x}}}{\sqrt {x}}}\leq 1} כלומר, רצפים אינסופיים דלילים יותר מהרצפים הסופיים הצפופים ביותר. בכיוון השני הראו ס. צ'ולה ומיאן שניתן ליצור רצף סידון אינסופי עם אלגוריתם חמדן, שעבורו A ( x ) > c x 3 {\displaystyle A(x)>c{\sqrt[{3}]{x}}} לכל x {\displaystyle x} . מיקלוש אייטאי ואנדרה סמרדי שיפרו תוצאה זו ל: A ( x ) > x log ⁡ x 3 {\displaystyle A(x)>{\sqrt[{3}]{x\log x}}} . החסם התחתון הטוב ביותר הידוע כיום ניתן על ידי אימרה רוז'ה, שהראה שיש רצף סידון שעבורו: A ( x ) > x 2 − 1 − o ( 1 ) {\displaystyle A(x)>x^{{\sqrt {2}}-1-o(1)}} . פאול ארדש ואלפרד רניי הוכיחו שיש רצף אינסופי a 0 , a 1 , … {\displaystyle a_{0},a_{1},\dots } שבו לכל n {\displaystyle n} טבעי יש לכל היותר C {\displaystyle C} פתרונות למשוואה a i + a j = n {\displaystyle a_{i}+a_{j}=n} . Moser–de Bruijn sequence Sumset רצף סידון, באתר MathWorld (באנגלית) Erdős, P.; Turán, P. (1941), "On a problem of Sidon in additive number theory and on some related problems" (PDF), J. London Math. Soc., 16: 212–215, doi:10.1112/jlms/s1-16.4.212. Addendum (אורכב 18.07.2011 בארכיון Wayback Machine) {{{תיאור}}}, בארכיון האינטרנט, 19 (1944), 208. O'Bryant, K. (2004), "A complete annotated bibliography of work related to Sidon sequences" (PDF), Electronic Journal of Combinatorics, 11: 39, אורכב מ-המקור (PDF) ב-2011-06-06, נבדק ב-2020-05-27. Ajtai, M.; Komlós, J.; Szemerédi, E. (1981), "A dense infinite Sidon sequence", European Journal of Combinatorics, 2 (1): 1–11. Ruzsa, I. Z. (1998), "An infinite Sidon sequence", Journal of Number Theory, 68: 63–71, doi:10.1006/jnth.1997.2192. Erdős, P.; Rényi, A. (1960), "Additive properties of random sequences of positive integers" (PDF), Acta Arithmetica, 6: 83–110.