אקוטוטיאנט

במתמטיקה, אקוטוטיאנט הוא מספר טבעי n שלא ניתן לבטא אותו כהפרש בין מספר טבעי m לבין כמות המספרים הקטנים מ-m שזרים ל-m. בניסוח פורמלי יותר: מספר טבעי כלשהו n {\displaystyle n} הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם למשוואה m − φ ( m ) = n {\displaystyle m-\varphi (m)=n} , כאשר φ {\displaystyle \varphi } מייצג את פונקציית אוילר, אין פתרון מעל המספרים הטבעיים. הקוטוטיאנט של m מוגדר כהפרש m − φ ( m ) {\displaystyle m-\varphi (m)} , כלומר, כמות המספרים הקטנים מ-m שאינם זרים לו. ולכן הגדרה נוספת היא: מספר טבעי כלשהו n {\displaystyle n} הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם הוא אינו קוטוטיאנט של אף מספר טבעי. תחילתה של סדרת המספרים האקוטוטיאנטים היא: 10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,... משוער כי כל המספרים האקוטוטיאנטים הם זוגיים. ההשערה מתבססת על השערת גולדבך: אם ניתן לייצג את המספר הזוגי n כסכום של שני ראשוניים שונים p ו-q, אזי p q − φ ( p q ) = p q − ( p − 1 ) ( q − 1 ) = p + q − 1 = n − 1 {\displaystyle pq-\varphi (pq)=pq-(p-1)(q-1)=p+q-1=n-1} כלומר, המספר האי זוגי n − 1 {\displaystyle n-1} הוא הקוטוטיאנט של p q {\displaystyle pq} , ולכן אינו אקוטונטיאנט. לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של שני מספרים ראשוניים נפרדים, כך שככל הנראה, אף מספר אי-זוגי שגדול מ-5 אינו אקוטוטיאנט. שאר המספרים האי-זוגיים אינם אקוטוטיאנטים כי: 1 = 2 − φ ( 2 ) , 3 = 9 − φ ( 9 ) {\displaystyle 1=2-\varphi (2),3=9-\varphi (9)} ו 5 = 25 − φ ( 25 ) {\displaystyle 5=25-\varphi (25)} . עבור מספרים זוגיים, ניתן להראות כי 2 p q − φ ( 2 p q ) = 2 p q − ( p − 1 ) ( q − 1 ) = p q + p + q − 1 = ( p + 1 ) ( q + 1 ) − 2 {\displaystyle 2pq-\varphi (2pq)=2pq-(p-1)(q-1)=pq+p+q-1=(p+1)(q+1)-2} לפיכך, כל המספרים הזוגיים n שעבורם מתקיים: ( p + 1 ) × ( q + 1 ) = n + 2 {\displaystyle (p+1)\times (q+1)=n+2} (כש n = p + q {\displaystyle n=p+q} מספרים ראשוניים כלשהם) הם קוטוטיאנטים. ארדש (1913-1996) ו-שרפינסקי (1882-1969) חקרו האם קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים. לבסוף הוכח על ידי Browkin and Schinzel (1995) כי אכן קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים, השניים הראו כי כל אחד מהאיברים בסדרה האינסופית 2 k ⋅ 509203 {\displaystyle 2^{k}\cdot 509203} הוא מספר אקוטוטיאנטי. מאז התגלו סדרות אינסופיות נוספות, מצורה דומה, שגם עבורן כל איבריהן הם מספרים אקוטוטיאנטים. Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). J. Browkin, A. Schinzel, On integers not of the form \(n-\varphi(n)\), Colloquium Mathematicum 68, 1995, עמ' 55–58 doi: 10.4064/cm-68-1-55-58. Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). A. Flammenkamp, F. Luca, Infinite families of noncototients, Colloquium Mathematicum 86, 2000, עמ' 37–41 doi: 10.4064/cm-86-1-37-41. Guy, Richard K. (2004). Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd ed., New York, NY: Springer-Verlag, 2004, Probl. Books Math.. (בenglish). הגדרת אקוטוטיאנטיות לפי MathWorld אקוטוטיאנט, באתר MathWorld (באנגלית) סדרה A005278 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרה A051953 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרה A063507 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרה A063748 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים סדרה A063740 באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים