וקטורים קוואריאנטיים וקונטרוואריאנטיים

וקטורים קוואריאנטיים וקונטראווריאנטיים (באנגלית:Covariance and contravariance of vectors) הם אובייקטים בסיסיים באנליזה טנזורית. הווקטור הקוואריאנטי והווקטור הקונטראווריאנטי הם טנזורים מסדר ראשון, ולמעשה מגלמים שתי דרכים לתיאור אובייקט גאומטרי במרחב (טנזור או וקטור). אובייקט גאומטרי זהו גודל שאינו תלוי במערכת קואורדינטות. ניתן להציג את הווקטור כוקטור קוואריאנטי ווקטור קונטרוואריאנטי בכל מרחב (במרחב אוקלידי או מרחב לא אוקלידי). עם זאת כאשר נתון מרחב לא אוקלידי, וקטורי בסיס לא אורתוגונליים, הצגת הווקטור באופן המקובל איננה נוחה. לפיכך הצגת הווקטור באמצעות רכיביו הקונטרוואריאנטיים והקוואריאנטיים מאפשר קיום תכונות הקיימות בבסיס אורתונורמאלי, למשל מציאת אורך של וקטור תיעשה באמצעות מכפלה סקלרית שאנו רגילים לעשות (כלומר כופלים רכיב קונטרוואריאנטי ברכיב קוואריאנטי המתאים לו ומחברים). קיימות שתי דרכים שונות להצגת אותו הווקטור: v → = v i e → i = v i e → i {\displaystyle {\vec {v}}=v^{i}{\vec {e}}_{i}=v_{i}{\vec {e}}^{i}} . נראה את ההצגה הוויזואלית עבור שתי הדרכים בהן ניתן לתאר את הווקטור. כדי לראות מהיכן מגיעים הרכיבים הקונטרוואריאנטיים והקוואריאנטיים נניח כי המרחב לא אוקלידי, עם זאת נציין כי זה נכון גם למרחב אוקלידי. לשם פשטות נציג דוגמה דו-ממדית, בה מערכת הקואורדינטות עקומה אך קבועה (כלומר הזווית קבועה בין כל זוג ווקטורי יחידה ( e → 1 , e → 2 ) {\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2})} כך שמתקיים e → 1 ⋅ e → 1 = 1 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}=1} , e → 2 ⋅ e → 2 = 1 {\displaystyle {\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}=1} , e → 1 ⋅ e → 2 ≠ 0 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\neq 0} , כמתואר באיור 1) לאחר בחירת וקטורי בסיס { e → i {\displaystyle {{\vec {e}}_{i}}} } ניתן לתאר באמצעותם את הווקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} לפי כלל המקבילית (זוהי הצורה הסטנדרטית לתיאור וקטור, כלומר כמה וקטורי בסיס צריך לחבר כדי להגיע לווקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} ). בצורה זו נקבל את רכיבי הווקטור המתאימים להצגה זו. לרכיבים בהצגה זו נקרא רכיבי הווקטור הקונטרוואריאנטיים ונסמן אותם באמצעות אינדקס עליון ( V 1 , V 2 , . . . , V N ) {\displaystyle (V^{1},V^{2},...,V^{N})} . במקרה הפרטי של הדוגמה הדו-ממדית ( V 1 , V 2 ) {\displaystyle (V^{1},V^{2})} זוהי ההטלה המקבילה למערכת הצירים(ראו איור 1). ישנה דרך נוספת לתאר את הווקטור באמצעות וקטורי הבסיס, וזאת באמצעות לקיחת מכפלה סקלרית של הווקטור v → {\displaystyle {\vec {v}}} עם וקטורי הבסיס ובכך נקבל את הרכיבים הקווארינטים שמתארים את הווקטור, נסמן רכיבים אלו עם אינדקס תחתון ( V 1 , V 2 , . . . , V N ) {\displaystyle (V_{1},V_{2},...,V_{N})} . לפיכך במקרה הפרטי של הדוגמה הדו-ממדית ( V 1 , V 2 ) {\displaystyle (V_{1},V_{2})} זוהי ההטלה הניצבת עבור מערכת הצירים הנתונה (ראו איור 1). נשים לב כי מקרה פרטי עבור ההצגה הקונטרוואריאנטית והקוואריאנטית היא במערכת צירים קרטזית, במקרה זה לא יהיה אף הבדל בין הרכיבים הקונטרוואריאנטיים והרכיבים הקוואריאנטיים. לפיכך במערכת קרטזית, שהיא מערכת אוקלידית חסרת עקמומיות, אין צורך להבדיל בין האינדקס העליון לאינדקס התחתון. כעת אחרי הגדרת הרכיבים הקונטרוואריאנטיים שהם מתאימים לבסיס הנתון ( e → 1 , e → 2 ) {\displaystyle ({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2})} , נרשום את ההצגה הקונטרוואריאנטית של הווקטור (זוהי ההצגה הרגילה עבור וקטור בבסיס המתאים לו). לפי הסכם הסכימה של איינשטיין V → = V i e → i {\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {e}}_{i}} . או בדוגמה הדו-ממדית נוכל להציג את הווקטור באופן הבא: V → = V i e → i = V 1 e → 1 + V 2 e → 2 {\displaystyle {\vec {V}}=V^{i}{\vec {e}}_{i}=V^{1}{\vec {e}}_{1}+V^{2}{\vec {e}}_{2}} . כעת אחרי שהגדרנו מהם הרכיבים הקונטרוואריאנטיים אשר מתאימים לבסיס הנתון e → i {\displaystyle {{\vec {e}}_{i}}} והצגנו את הווקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} . נתמקדת בריכיבים הקוואריאנטיים של הווקטור. את הרכיבים הקוואריאנטיים עבור הווקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} ניתן לקבל באמצעות מכפלה סקלרית בין הווקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} בין כל וקטור יחידה במערכת הצירים הנתונה. כלומר נרשום V i = V → ⋅ e → i {\displaystyle V_{i}={\vec {V}}\cdot {\vec {e}}_{i}} . עבור הדוגמה הדו-ממדית נקבל את הרכיבים: V 1 = V → ⋅ e → 1 {\displaystyle V_{1}={\vec {V}}\cdot {\vec {e}}_{1}} ו- V 2 = V → ⋅ e → 2 {\displaystyle V_{2}={\vec {V}}\cdot {\vec {e}}_{2}} . כעת נרצה להגדיר עבור הרכיבים הקוואריאנטיים בסיס. הבסיס החדשה יהיה ניצב לבסיס e → i {\displaystyle {{\vec {e}}_{i}}} , ונסמן את וקטורי הבסיס בצורה הבאה: e → i {\displaystyle {{\vec {e}}^{i}}} . כלומר בהצגה הגרפית הדו-ממדית הבסיס הווקטורי הדואלי יהיה e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}^{1}} ו- e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}^{2}} . באופן הגדרתי הקשר בין שני הבסיסים { e → i {\displaystyle {\vec {e}}_{i}} } ו-{ e → j {\displaystyle {\vec {e}}^{j}} } הוא שמתקיים e → i ⋅ e → j = δ i j {\displaystyle {\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}^{j}=\delta _{i}^{j}} לפיכך בדוגמה הדו-ממדית נוכל לומר כי e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}^{1}} מאונך ל- e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}_{2}} , וגם מתקיים כי e → 2 {\displaystyle {\vec {e}}^{2}} מאונך ל- e → 1 {\displaystyle {\vec {e}}_{1}} (ראו איור 2 עבור הצגת שני הבסיסים והרכיבים שמתאימים לכל בסיס). כדי להבין כיצד מקבלים את הווקטורים הקונטרוואריאנטיים והווקטורים הקוואריאנטיים, יש להגדיר טרנספורמציה כללית בין שתי מערכות קואורדינטות. כלומר אם במערכת קואורדינטות הראשונה יש לנו קבוצת מספרים המתארת את הווקטור, נרצה לעבור לקבוצת מספרים אחרת שתתאר את אותו הווקטור. ההגדרה הכללית של נקודה במרחב היא קבוצת מספרים הנקראים קואורדינטות. לדוגמה, הקואורדינטות במערכת הקרטזית התלת-ממדית יהיו ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} . קיימות מערכות N {\displaystyle N} -ממדיות בהן יש קבוצה של N {\displaystyle N} מספרים ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},...,x^{N})} ורשימה זו מתארת כל נקודה במרחב ה N {\displaystyle N} -ממדי. ניתן לומר כי מספר האיברים ברשימה תלוי בבחירת מערכת הקואורדינטות. כדי לקבל את הווקטורים הקוואריאנטיים והווקטורים הקונטרוואריאנטיים יש לבצע טרנספורמציית קואורדינטות בין מערכת יחוס אחת לשנייה. ראשית הגדרת טרנספורמציה כללית של קואורדינטות תתבצע באופן הבא: נניח כי U {\displaystyle U} ו- U ′ {\displaystyle U'} הם מרחב וקטורי N {\displaystyle N} -ממדי, יהיו בו ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},...,x^{N})} ו- ( x 1 ′ , x 2 ′ , . . . , x N ′ ) {\displaystyle (x^{1'},x^{2'},...,x^{N'})} קואורדינטות של נקודה בשתי מערכות יחוס שונות. כמו כן נתונה הפונקציה f ′ : U ⟶ U ′ {\displaystyle f':U\longrightarrow U'} שהיא חד-חד-ערכית, על ורציפה בנגזרותיה. לפיכך קיימים N {\displaystyle N} קשרים בלתי תלויים בין הקואורידנטות של שתי המערכות, כלומר ניתן לרשום x i ′ = x i ′ ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) {\displaystyle x^{i'}=x^{i'}(x^{1},x^{2},...,x^{N})} כאשר i {\displaystyle i} רץ מ 1 {\displaystyle 1} עד N {\displaystyle N} . כמו כן מתקיימת הטרנספורמציה ההפוכה בשל החד-ערכיות, רציפות ונגזרות רציפות. כל וקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} בכל נקודה במרחב, ניתן לייצג כעת באמצעות שני בסיסים של אותה מערכת הקאורידנטיות ( x 1 ′ , x 2 ′ , . . . , x N ′ ) {\displaystyle (x^{1'},x^{2'},...,x^{N'})} , סימון בסיסים אלו על ידי e → i ′ {\displaystyle {\vec {e}}_{i'}} ו- e → i ′ {\displaystyle {\vec {e}}^{i'}} .ולרכיבי הווקטור הקונטראווארינטי והווקטור הקוואריאנטי בבסיסים אלו נסמן V i ′ {\displaystyle {V^{i'}}} ו- V i ′ {\displaystyle {V_{i'}}} בהתאמה : V → = V i ′ e → i ′ = V i ′ e → i ′ {\displaystyle {\vec {V}}=V^{i'}{\vec {e}}_{i'}=V_{i'}{\vec {e}}^{i'}} . נסביר את הקשר בין טרנספורמציית קואורדינטות ממערכת אחת למערכת שנייה. למעשה ניתן יהיה לראות שעבור אותה מערכת קואורדינטות שאליה נעבור ניתן יהיה לבצע טרנספורמציה בשתי אופנים. בכך נקבל במערכת השנייה את הרכיבים הקונטרוואריאנטיים וגם נוכל לקבל את הרכיבים הקוואריאנטיים, חשוב לזכור ששתי המערכות יוצגו עם אותם הקואורדינטות החדשות רק שאלו יהיו שתי הצגות שונות. במערכת קואורדינטות ראשונה ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},...,x^{N})} רכיבי וקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} יהיו V 1 , V 2 , . . . , V N {\displaystyle V^{1},V^{2},...,V^{N}} , ותהיינה מערכת קואירידניטות שנייה ( x 1 ′ , , x 2 ′ , . . . , x N ′ ) {\displaystyle (x^{1'},,x^{2'},...,x^{N'})} כך שרכיבי הווקטור יסומנו כ- V 1 ′ , V 2 ′ , . . . , V N ′ {\displaystyle V^{1'},V^{2'},...,V^{N'}} . לפי הסכם הסכימה של איינשטיין נרשום את הטרנספורמציה V i ′ = ∂ x i ′ ∂ x i V i {\displaystyle V^{i'}={\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}}V^{i}} , הוגדל V i ′ {\displaystyle V^{i'}} מייצג את רכיבי הווקטור הקונטרוואריאנטים. יהיו אותם שתי מערכות הקואורדינטות ( x 1 , x 2 , . . . , x N ) {\displaystyle (x^{1},x^{2},...,x^{N})} ו ( x 1 ′ , x 2 ′ , . . . , x N ′ ) {\displaystyle (x^{1'},x^{2'},...,x^{N'})} (הערה - יש לשים לב כי תיאור הווקטור אחרי הטרנספורמציה נעשה באותה מערכת הקואורדינטות) עם זאת נרשום את רכיבי הווקטור במערכת הקואורדינטות הראשונה כ- V 1 , V 2 , . . . , V N {\displaystyle V_{1},V_{2},...,V_{N}} ובמערכת קואורדינטות השנייה כ- V 1 ′ , V 2 ′ , . . . , V N ′ {\displaystyle V_{1'},V_{2'},...,V_{N'}} (יש לשים לב כי במקרה זה האינדקס המתאר את הקואורדינטה של הווקטור בשתי מערכות הקואורדינטות השונות הוא תחתון ולכן לפי ההסכם מדובר ברכיב הקוואריאנטי של הווקטור עבור בסיס מתאים) . לפי הסכם הסכימה של איינשטיין נרשום את הטרנספורמציה עבור רכיבי הווקטור ממערכת הקואורדינטות הראשונה לשנייה V i ′ = ∂ x i ∂ x i ′ V i {\displaystyle V_{i'}={\frac {\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}}V_{i}} , ונקרא לגודל V i ′ {\displaystyle V_{i'}} רכיבי וקטור קוואריאנטי. אם הטרנספורמציה הייתה ממרחב אולקידי למרחב כלשהו ניתן יהיה להשתמש בנוסחאות הבאות. לכן אחרי שבוצעה הטרנספורמציה למערכת קואורדינטות השנייה, קיימים שני בסיסים למערכת הקואורדינטות החדשה. כלומר כדי לקבל את הבסיס הקוואריאנטי אשר מתאים לרכיבי הווקטור הקונטרוואריאנטיי נבצע את טרנספורמציית הבסיס הבאה: e → i ′ = ∂ r → ∂ x i ′ = ∂ x i ∂ x i ′ e → i {\displaystyle {\vec {e}}_{i'}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial x^{i'}}}={\frac {\partial x^{i}}{\partial x^{i'}}}{\vec {e}}_{i}} . כדי לקבל את הבסיס הקונטרוואריאנטי שמתאים לרכיבי הווקטור הקוואריאנטיים נבצע את טרנספורמציית הבסיס הבאה: e → i ′ = ∇ → x i ′ = ∂ x i ′ ∂ x i e → i {\displaystyle {\vec {e}}^{i'}={\vec {\nabla }}x^{i'}={\frac {\partial x^{i'}}{\partial x^{i}}}{\vec {e}}^{i}} . כל וקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} בכל נקודה במרחב ניתן לייצג את הווקטור הזה באמצעות שני בסיסים של מערכת הקואורדינטות x ′ {\displaystyle x'} : הבסיס e → i ′ {\displaystyle {\vec {e}}^{i'}} והבסיס e → i ′ {\displaystyle {\vec {e}}_{i'}} , נסמן בהתאמה את הרכיבים בבסיסים אלו הרכיבים הקוואריאנטים V i ′ {\displaystyle V_{i'}} והרכיבים הקונטרוואריאנטיים V i ′ {\displaystyle V^{i'}} . בכך מקבלים את ההצגה של הווקטור V → {\displaystyle {\vec {V}}} בשני בסיסים שונים באותה מערכת הקוארדינטות V → = V i ′ e → i ′ = V i ′ e → i ′ {\displaystyle {\vec {V}}=V^{i'}{\vec {e}}_{i'}=V_{i'}{\vec {e}}^{i'}} 4-וקטור הורדה והעלאה של אינדקסים מטריקה רימנית מטריקה טנזור גאומטריה דיפרנציאלית טנזור השדה האלקטרומגנטי Schutz, B. F., & Schutz, D. B. F. (1980). Geometrical methods of mathematical physics. Cambridge university press. 1 ווקטורים וטנזורים מאת קלי (אנגלית) טנזור קוואריאנטי מאת אריק וויסטיין. (אנגלית) טנזור קונטרוואריאנטי מאת אריק וויסטיין. (אנגלית) Alok Kumar, Covariant and Contravariant Vectors 296.Coordinates, www.mysearch.org.uk Kelly, Solid Mechanics Part III, עמ' 140 Cyril, Introduction to Tensors, einsteinrelativelyeasy.com (באנגלית בריטית) Charbel Tannous, [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02973068/document Tensor calculus and anisotropic elasticity for the impatient], עמ' 3 Microsoft Word, Naming Contravariant and Covariant Vector Components Anna Vainchtein, Change of basis, reciprocal basis vectors, covariat and contravariant components of a vector and metric tensor, lecture notes MURRAY R. SPIEGEL, VECTOR ANALYSIS, New York: McGraw Hill, 1956 Taha Sochi, Introduction to Tensor Calculus, עמ' 18 K.F.Riley, M.P.Hobson, S.J.Bence, Mathenatical methods for physics and engineering, New York: Cambridge University Press, 2006, עמ' 955-962