טור (מתמטיקה)

במתמטיקה מושג הטור מציין את סכומה של סדרה, שיכולה להיות סדרת מספרים, וגם סדרה של פונקציות. למשל, 1 + 2 + 3 {\displaystyle 1+2+3} הוא טור שסכומו 6. נהוג להבדיל בין שני סוגי טורים עיקריים: טור סופי וטור אינסופי. המתמטיקאי היווני הקדום ארכימדס (נפטר ב-212 לפני הספירה) חישב, לראשונה ככל הידוע, סכום של טור אינסופי. תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס. טורים סופיים אינם אלא דרך מקוצרת לרשום בה חיבור של איברים רבים. באופן כללי, הסימון המקוצר עבור הסכום a 1 + a 2 + a 3 + ⋯ + a n {\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}} הוא באמצעות האות היוונית סיגמא, בסימון זה: ∑ k = 1 n a k {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}} כאשר n {\displaystyle n} הוא מספר האיברים, ו- k {\displaystyle k} הוא אינדקס העובר על הערכים 1 , 2 , … , n {\displaystyle 1,2,\ldots ,n} . ישנם כמה סוגי טורים הראויים להתייחסות מיוחדת: טור חשבוני הוא סכומה של סדרה חשבונית. סכום זה שווה למכפלת חצי מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון: ∑ k = 1 n a k = n 2 ( a 1 + a n ) {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n})} (ראו בעניין זה "אנקדוטה על אודות קרל פרידריך גאוס"). טור טלסקופי הוא כינוי לכל טור בו מצטמצמים כל האיברים למעט האיבר הראשון והאחרון, עובדה המקלה על חישוב סכומם. נסתכל למשל בטור 1 1 ⋅ 2 + 1 2 ⋅ 3 + ⋯ + 1 n ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+\cdots +{\frac {1}{n(n+1)}}} שבו האיבר ה- k {\displaystyle k} הוא 1 k ( k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{k(k+1)}}} . מכיוון ש- 1 k − 1 k + 1 = k + 1 − k k ⋅ ( k + 1 ) = 1 k ⋅ ( k + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}={\frac {k+1-k}{k\cdot (k+1)}}={\frac {1}{k\cdot (k+1)}}} , סכום n {\displaystyle n} האיברים הראשונים הוא ( 1 1 − 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ⋯ + ( 1 n − 1 − 1 n ) + ( 1 n − 1 n + 1 ) {\displaystyle \left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}-{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)} שינוי סדר הפעולות מראה שהסכום הזה שווה 1 1 + ( − 1 2 + 1 2 ) + ⋯ + ( − 1 n + 1 n ) − 1 n + 1 = 1 − 1 n + 1 = n n + 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\right)-{\frac {1}{n+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}} (ראו גם "חישוב סכום של טור טלסקופי אינסופי") טור הנדסי (או טור מעריכי או גאומטרי) הוא סכום איבריה של סדרה הנדסית. למשל, הטור 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ + 2 n − 1 {\displaystyle 1+2+4+8+\cdots +2^{n-1}} הוא טור של איברי סדרה הנדסית המתחילה ב-1, והמנה שלה היא 2. סכום סופי של סדרה הנדסית כלשהי הוא: S n = a 1 ⋅ q n − 1 q − 1 {\displaystyle S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}} , כאשר q ≠ 1 {\displaystyle q\neq 1} מנת הסדרה, a 1 {\displaystyle a_{1}} האיבר הראשון בסדרה ומספר האיברים בה הוא n {\displaystyle n} . הוכחת הנוסחה: S n = a 1 + a 1 q + ⋯ + a 1 q n − 2 + a 1 q n − 1 q S n = a 1 q + a 1 q 2 + ⋯ + a 1 q n − 1 + a 1 q n q S n − S n = a 1 q n − a 1 ( q − 1 ) S n = a 1 ( q n − 1 ) S n = a 1 ⋅ q n − 1 q − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=a_{1}+a_{1}q+\cdots +a_{1}q^{n-2}+a_{1}q^{n-1}\\qS_{n}&=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}\\qS_{n}-S_{n}&=a_{1}q^{n}-a_{1}\\(q-1)S_{n}&=a_{1}(q^{n}-1)\\S_{n}&=a_{1}\cdot {\frac {q^{n}-1}{q-1}}\end{aligned}}} כאשר הסכום הוא אינסופי ו־ | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} הטור מתכנס ומאחר ש- lim n → ∞ q n = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }q^{n}=0} נקבל כי S ∞ = a 1 ⋅ lim n → ∞ q n − 1 q − 1 = a 1 1 − q {\displaystyle S_{\infty }=a_{1}\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}-1}{q-1}}={\frac {a_{1}}{1-q}}} (אם | q | ≥ 1 {\displaystyle |q|\geq 1} הטור מתבדר). ניתן לחלק זהויות של טורים סופיים לכאלה שנובעות ממניפולציות על אינדקסים וכאלה שמבוססות על אקסיומות המבנה האלגברי שאת איבריו סוכם הטור. כך למשל, הזהות של הזזת אינדקסים ∑ n = s t a n = ∑ n = s + p t + p a n − p {\displaystyle \sum _{n\,=\,s}^{t}a_{n}=\sum _{n\,=\,s+p}^{t+p}a_{n-p}} שומרת על סדר הסכימה ולכן לא תלויה באקסיומות של המבנה האלגברי מעליו היא נעשית. לעומת זאת, הזהות ∑ k = 1 n C ⋅ a n = C ⋅ ∑ k = 1 n a n {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}C\cdot a_{n}=C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{n}} מבוססת על חוק הפילוג. יותר מכך, הזהות האחרונה היא הכללה של חוק הפילוג, כיוון שזה מתקבל עבור n = 2 {\displaystyle n=2} . לשם הוכחת הזהויות משתמשים בדרך כלל באינדוקציה מתמטית. כך לדוגמה, הזהות ∑ k = 1 n C ⋅ a n = C ⋅ ∑ k = 1 n a n {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}C\cdot a_{n}=C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{n}} מתקיימת בכל שדה עבור n = 2 {\displaystyle n=2} לפי חוק הפילוג, ואם מניחים שהשוויון מתקיים עבור n {\displaystyle n} כלשהו אז על ידי שימוש בהנחת האינדוקציה ובחוק הפילוג נקבל ∑ k = 1 n + 1 C ⋅ a k = ( ∑ k = 1 n C ⋅ a k ) + C ⋅ a n + 1 = ( C ⋅ ∑ k = 1 n a k ) + C ⋅ a n + 1 = C ⋅ ( ( ∑ k = 1 n a k ) + a n + 1 ) = C ⋅ ∑ k = 1 n + 1 a k {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n+1}C\cdot a_{k}=\left(\sum _{k\,=\,1}^{n}C\cdot a_{k}\right)+C\cdot a_{n+1}=\left(C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}\right)+C\cdot a_{n+1}=C\cdot \left(\left(\sum _{k\,=\,1}^{n}a_{k}\right)+a_{n+1}\right)=C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n+1}a_{k}} מכאן נסיק שהשוויון נכון עבור כל n {\displaystyle n} טבעי (עבור n = 1 {\displaystyle n=1} השוויון טריוויאלי). הוכחות זהויות שמשנות את סדר סכימת האיברים הן לרוב יותר מורכבות. לשם ההוכחה של זהויות כאלה ניתן להשתמש בלמה לפיה במבנה אלגברי עם תכונות האסוציאטיביות והקומוטטיבית סכום של קבוצה סופית של איברים לא תלוי בסדר הסכימה. להלן ריכוז זהויות הנכונות מעל שדות (למשל שדה המספרים הממשיים) על פי האקסיומת מהן הן נובעות: ∑ k = 1 n C ⋅ a n = C ⋅ ∑ k = 1 n a n {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{n}C\cdot a_{n}=C\cdot \sum _{k\,=\,1}^{n}a_{n}} (הכללה של חוק הפילוג) ( ∑ i = 0 n a i ) ( ∑ j = 0 n b j ) = ∑ i = 0 n ∑ j = 0 n a i b j {\displaystyle \left(\sum _{i\,=\,0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j\,=\,0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i\,=\,0}^{n}\sum _{j\,=\,0}^{n}a_{i}b_{j}} ∑ i = s m ∑ j = t n a i c j = ( ∑ i = s m a i ) ( ∑ j = t n c j ) {\displaystyle \sum _{i\,=\,s}^{m}\sum _{j\,=\,t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i\,=\,s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j\,=\,t}^{n}c_{j}\right)} (וריאציה על חוק הפילוג) ∑ n = s t a n = ∑ n = s j a n + ∑ n = j + 1 t a n {\displaystyle \sum _{n\,=\,s}^{t}a_{n}=\sum _{n\,=\,s}^{j}a_{n}+\sum _{n\,=\,j+1}^{t}a_{n}} (פיצול טור) ∑ n = a b a n = ∑ n = 0 b a n − ∑ n = 0 a − 1 a n {\displaystyle \sum _{n\,=\,a}^{b}a_{n}=\sum _{n\,=\,0}^{b}a_{n}-\sum _{n\,=\,0}^{a-1}a_{n}} (וריאציה של הזהות הקודמת) בהתבסס על חוק החילוף, זהויות אלו מאפשרות את שינוי סדר הסכימה: ∑ n = s t a n ± ∑ n = s t b n = ∑ n = s t ( a n ± b n ) {\displaystyle \sum _{n\,=\,s}^{t}a_{n}\pm \sum _{n\,=\,s}^{t}b_{n}=\sum _{n\,=\,s}^{t}(a_{n}\pm b_{n})} ∑ i = k 0 k 1 ∑ j = l 0 l 1 a i , j = ∑ j = l 0 l 1 ∑ i = k 0 k 1 a i , j {\displaystyle \sum _{i\,=\,k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j\,=\,l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j\,=\,l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i\,=\,k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}} ∑ k ≤ j ≤ i ≤   n a i , j = ∑ i = k n ∑ j = k i a i , j = ∑ j = k n ∑ i = j n a i , j = ∑ j = 0 n − k ∑ i = k n − j a i + j , i {\displaystyle \sum _{k\,\leq \,j\,\leq \,i\,\leq \ n}\!\!\!a_{i,j}=\sum _{i\,=\,k}^{n}\sum _{j\,=\,k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j\,=\,k}^{n}\sum _{i\,=\,j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j\,=\,0}^{n-k}\sum _{i\,=\,k}^{n-j}a_{i+j,i}} ∑ n = 2 s 2 t + 1 a n = ∑ n = s t a 2 n + ∑ n = s t a 2 n + 1 {\displaystyle \sum _{n\,=\,2s}^{2t+1}a_{n}=\sum _{n\,=\,s}^{t}a_{2n}+\sum _{n\,=\,s}^{t}a_{2n+1}} (פיצול הטור לטור האיברים הזוגיים וטור האיברים האי-זוגיים) ∑ n = 2 s + 1 2 t a n = ∑ n = s + 1 t a 2 n + ∑ n = s + 1 t a 2 n − 1 {\displaystyle \sum _{n\,=\,2s+1}^{2t}a_{n}=\sum _{n\,=\,s+1}^{t}a_{2n}+\sum _{n\,=\,s+1}^{t}a_{2n-1}} (גרסה נוספת לפיצול של טור לפי הזוגיות של האיברים) קומוטטיביות יחד עם מניפולציות על אינדקסים: ∑ n = 0 t a n = ∑ n = 0 t a t − n {\displaystyle \sum _{n\,=\,0}^{t}a_{n}=\sum _{n\,=\,0}^{t}a_{t-n}} (היפוך סדר הסכימה) ∑ n = s t a n = ∑ n = 0 t − s a t − n {\displaystyle \sum _{n\,=\,s}^{t}a_{n}=\sum _{n\,=\,0}^{t-s}a_{t-n}} (היפוך סדר הסכימה עם הזזת אינדקסים) טורים אינסופיים הם הכללה של טורים סופיים, שמאפשרת סכימה של אינסוף איברים. באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על סכימה של טור אינסופי כסדרה של צעדים, כשבכל שלב מוספים לסכום מהשלב הקודם איבר נוסף. אם הסכום "הולך ומתקרב" למספר סופי אומרים שהטור מתכנס וסכומו הוא הערך אליו הוא מתקרב. אחרת, הטור מתבדר (לא נהוג לדבר על התכנסות לאינסוף בהקשר של טורים). לדוגמה, הטור ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k\,=\,1}^{\infty }a_{k}} סוכם את איברי הסדרה ( a k ) {\displaystyle (a_{k})} החל מהאיבר הראשון a 1 {\displaystyle a_{1}} . טור אינסופי מוגדר באמצעות סדרה של סכומים חלקיים ( S n ) {\displaystyle (S_{n})} , כאשר כל סכום חלקי הוא סכום n {\displaystyle n} האיברים הראשונים של הטור, כלומר S n = ∑ k = 1 n a k {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}} . אם סדרת הסכומים החלקיים { S n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{S_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} מתכנסת, אומרים שהטור מתכנס וסכומו מוגדר להיות גבול הסדרה. בניסוח אחר, טור ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}} מתכנס אם ורק אם קיים L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } כך ש- lim n → ∞ ∑ k = 1 n a k = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=L} , ובמקרה זה ∑ k = 1 ∞ a k = L {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=L} . ההגדרה של טור באמצעות סדרת סכומיו החלקיים מאפשרת להשתמש באריתמטיקה של גבולות לחישוב גבולות של טורים מתכנסים. לדוגמה, ניתן להכליל את חוק הפילוג אותו הוכחנו עבור טורים סופיים לטורים אינסופיים: אם ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}} מתכנס, אז ∑ k = 1 ∞ c ⋅ a k = lim n → ∞ ∑ k = 1 n c ⋅ a k = lim n → ∞ c ⋅ ∑ k = 1 n a k = c ⋅ lim n → ∞ ∑ k = 1 n a k = c ⋅ ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }c\cdot a_{k}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}c\cdot a_{k}=\lim _{n\to \infty }c\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}=c\cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=c\cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}} . לעומת זאת, לפי משפט רימן תכונת הקומוטטיביות לא מתקיימת עבור כל טור מתכנס, וכך גם תכונת האסוציאטיביות. בניגוד לטורים הנדסיים, חשבוניים וטלסקופים עבורם קיימת נוסחה מפורשת לסדרת הסכומים החלקיים, עבור רוב הטורים קשה להגיע לנוסחה כזו אם הדבר בכלל אפשרי (לדוגמה, טור שהאיבר הכללי שלו הוא הספרה ה-n-ית אחרי הנקודה של פאי). יחד עם זאת, ישנם מבחני התכנסות שבעזרתם אפשר לבדוק אם טור מסוים מתכנס. בדרך כלל מבחנים אלה לא מספקים תשובה מספרית לסכומו של הטור, אבל לאחר שמצאנו שטור מתכנס נוכל לקבל קירוב טוב שלו באמצעות טכניקות של אנליזה נומרית, המסכמות את האיברים הראשונים של הטור, עד שתוספת של איברים נוספים לסכום אינו משנה מהותית את הסכום הכולל. חישוב כזה נעשה בדרך כלל על ידי מחשב, אבל באופן עקרוני ניתן לעשות אותו גם באופן ידני. חישוב נומרי מבוסס על כך שאכן שאר האיברים של הטור אינם משנים את הסכום הכולל, כלומר שהטור מתכנס. אם הנחה זאת אינה נכונה, והטור מתבדר, הסכום שימצא באנליזה נומרית הוא חסר משמעות. "התנאי ההכרחי" מספק דרך פשוטה יחסית לשלילת התכנסות של טור. לפי תנאי זה טור מתכנס רק אם האיבר הכללי שלו שואף לאפס. כלומר, על מנת להראות שטור מתבדר מספיק להראות שהאיבר הכללי שלו מתכנס למספר שונה מאפס או מתבדר. תנאי זה אינו תנאי מספיק, ויש טורים מתבדרים שהאיבר הכללי שלהם שואף לאפס (לדוגמה, הטור ההרמוני). עבור טורים כאלה יש צורך להשתמש במבחנים מורכבים יותר. הוכחת התנאי ההכרחי מבוססת על אפיון התכנסות לפי קושי לטורים. לפי אפיון זה טור ∑ k = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס אם ורק אם לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים N {\displaystyle N} טבעי, כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} ו- l ≥ 1 {\displaystyle l\geq 1} מתקיים: | ∑ k = n + 1 n + l a k | < ε {\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+l}a_{k}\right|<\varepsilon } . נשים לב שעבור l = 1 {\displaystyle l=1} מתקיים ∑ k = n + 1 n + l a k = a n + 1 {\displaystyle \sum _{k=n+1}^{n+l}a_{k}=a_{n+1}} , ולכן אם ∑ k = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{n}} מתכנס אז כמעט לכל n טבעי | a n + 1 | < ε {\displaystyle \left|a_{n+1}\right|<\varepsilon } , ולכן | a n | {\displaystyle \left|a_{n}\right|} סדרה אפסה. לפי תנאי הכרחי להתכנסות טורים, טור שהאבר הכללי שלו אינו שואף לאפס, אינו יכול להתכנס. גם הטור ההרמוני, ∑ k = 1 ∞ 1 k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}} מתבדר (או מתכנס לאינסוף) על אף שהסדרה ההרמונית - 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} שואפת ל-0. דוגמה לכך שהתנאי ההכרחי אינו מספיק להתכנסות הטור. טור הנדסי אינסופי מתכנס כאשר היחס הקבוע בין איבריו הוא בין אחד למינוס אחד: | q | < 1 {\displaystyle |q|<1} . במקרה זה, סכומו הוא a 1 1 − q {\displaystyle {\frac {a_{1}}{1-q}}} . עבור יחס שגדול או שווה בערכו המוחלט ל-1 הטור מתבדר. כאשר בטור הנדסי היחס הקבוע בין אבריו שווה למינוס אחד, מתקבל טור "מתחלף", לדוגמה 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … {\displaystyle 1-1+1-1+1-1+\dots } הוא טור שכזה. בניגוד לדוגמאות שהוצגו לעיל, לא ניתן לומר על טור זה אפילו שהוא מתכנס לאינסוף, כי סכומו אינו מתקרב לאינסוף אלא מתחלף ללא הרף בין 0 ובין 1. טור חיובי הוא טור שהאיבר הכללי שלו חיובי לכל n {\displaystyle n} טבעי. קל להראות שסדרת הסכומים החלקיים ( S n ) {\displaystyle (S_{n})} של טור חיובי ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} עולה, ולכן היא מתכנסת אם ורק אם יש לה חסם מלעיל. כלומר, טור חיובי מתכנס אם"ם קיים חסם מלעיל לסדרת הסכומים החלקיים שלו. הטענה האחרונה היא בסיס למבחן ההשוואה הראשון ולמבחני ההשוואה לטורים חיוביים שבאים בעקבותיו, שכן אם ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} ו- ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} טורים חיוביים כך שלכל n {\displaystyle n} טבעי מתקיים 0 ≤ a n ≤ b n {\displaystyle 0\leq a_{n}\leq b_{n}} , אז ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} מתכנס אםם קיים M {\displaystyle M} ממשי כך שלכל n {\displaystyle n} טבעי מתקיים ∑ k = 1 n b k ≤ M {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}b_{k}\leq M} ומכאן לכל n {\displaystyle n} מתקיים 0 ≤ ∑ k = 1 n a k ≤ ∑ k = 1 n b k ≤ M {\displaystyle 0\leq \sum _{k=1}^{n}a_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}b_{k}\leq M} . כלומר ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} חסום מלעיל ולפי הטענה מתכנס. הטור ∑ a n {\displaystyle \sum {a_{n}}} מתכנס בהחלט אם טור הערכים המוחלטים ∑ | a n | {\displaystyle \sum {|a_{n}|}} מתכנס. לפי אפיון קושי לטורים, אם ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}}} מתכנס בהחלט אז לכל ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} קיים N {\displaystyle N} טבעי, כך שלכל n > N {\displaystyle n>N} ו- l ≥ 1 {\displaystyle l\geq 1} מתקיים: | ∑ k = n + 1 n + l | a k | | < ε {\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+l}\left|a_{k}\right|\right|<\varepsilon } , ולכן לפי אי שוויון המשולש | ∑ k = n + 1 n + l a k | ≤ ∑ k = n + 1 n + l | a k | = | ∑ k = n + 1 n + l | a k | | < ε {\displaystyle \left|\sum _{k=n+1}^{n+l}a_{k}\right|\leq \sum _{k=n+1}^{n+l}\left|a_{k}\right|=\left|\sum _{k=n+1}^{n+l}\left|a_{k}\right|\right|<\varepsilon } . מכאן, שוב לפי אפיון קושי ∑ k = 1 ∞ a k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{a_{k}}} מתכנס. כלומר, טור מתכנס בהחלט הוא בעצמו טור מתכנס. טור מתכנס שאינו מתכנס בהחלט, נקרא טור מתכנס בתנאי. לטור המתכנס בתנאי יש תכונה מעניינת: לכל מספר L {\displaystyle L} , אפשר לסדר מחדש את אברי הטור כך שהטור יתכנס וסכומו יהיה L {\displaystyle L} . תוצאה זו נקראת משפט רימן. לעומת זאת, בטור מתכנס בהחלט אפשר לשנות את סדר האיברים, ותמיד יתקבל אותו סכום. הכנסת סוגריים לטור אינסופי היא פעולה שמגדירה טור חדש, שאיברו הכללי הוא סכום של כמה מאיברי הטור המקורי לפי אותו הסדר. הטור המתקבל מהכנסת סוגריים בטור מתכנס, מתכנס אף הוא. עם זאת, הכנסת סוגריים יכולה להפוך טור מתבדר לטור מתכנס. כך למשל, הכנסת סוגריים על כל זוג איברים בטור המתבדר ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + . . . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}=1-1+1-1+...} , תיתן את הטור ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) 2 n + ( − 1 ) 2 n + 1 = ( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + . . . = 0 + 0 + . . . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{2n}+(-1)^{2n+1}=(1-1)+(1-1)+...=0+0+...} המתכנס ל-0. כאמור, גם אם טור שהתקבל מהכנסת סוגריים מתכנס, אין זה אומר שהטור המקורי מתכנס. עם זאת, אם מתקיים לפחות אחד מהתנאים הבאים, שני הטורים מתכנסים ומתבדרים יחד: הטור המקורי הוא אי-שלילי. האיבר הכללי בטור שואף ל-0 ומספר האיברים שבכל זוג סוגריים חסום. האיברים שבתוך כל סוגריים הם שווי-סימן (גם אם הסימן שונה מסוגריים לסוגריים). בנוסף, אם טור ∑ n = 1 ∞ b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}} מתקבל מטור מתכנס ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} על ידי הכנסת סוגריים, ו- T n {\displaystyle T_{n}} ו- S n {\displaystyle S_{n}} הן סדרות הסכומים החלקיים המתאימות לכל אחד מהטורים, אז T n {\displaystyle T_{n}} סדרה חלקית של S n {\displaystyle S_{n}} , ולכן שני הטורים מתכנסים לאותו הגבול, כלומר: ∑ n = 1 ∞ b n = ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} . משפט מרטן קובע כי במכפלת קושי של טורים מתקיימת התכנסות של טור המכפלות שמתקבל מהכנסת סוגריים, על-אף שמספר האיברים אינו בהכרח חסום וסימן האיברים שבסוגריים אינו בהכרח קבוע. מבחינה תאורטית אפשר לחשוב על המושג 'סכום של טור' שהגדרנו להלן, כעל פונקציונל מתת-המרחב של טורים מתכנסים במרחב הטורים   R N {\displaystyle \ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} לשדה המספרים הממשיים   R {\displaystyle \ \mathbb {R} } . בהינתן טור מתכנס, הפונקציונל הזה מחזיר את סכומו של הטור. מנקודת מבט זו, אפשר להכליל את מושג הסכום, כך שיכסה כל פונקציונל העונה על הדרישות שציינו. היתרון הוא שכעת נוכל 'להרוויח' טורים חדשים, שאינם מתכנסים במובן הרגיל, אבל פונקציונל הסיכום החדש שלנו יודע לטפל בהם בכל זאת. תחום זה של האנליזה נקרא summability (סכימות). על ידי ניתוח מדויק של פונקציונל הסכימות, ושיטות מאנליזת פורייה, ניתן להציג אותו בצורה אינטגרלית, ולבנות עבורו פונקציה הנקראת "גרעין", ההבדל בין מושגי ההתכנסות השונים, ניתן על ידי שינוי הגרעין המתאים. השאלה המעניינת בתחום זה היא בהינתן טור כללי, שידוע כי הוא מתכנס בשיטת סכימות כלשהי, האם הוא מתכנס גם באופן רגיל? מתברר כי ניתן לענות על שאלות אלה בעזרת תורת טאובר. תורת טאובר היא שם כללי למספר משפטי טאובר, שהם משפטים המאפשרים להוכיח התכנסות של טור על סמך התכנסותו בשיטת סכימות ספציפית, יחד עם הנחות נוספות. הטיפול הכללי ביותר בנושא ניתן במסגרת תורת Weiner-Pitt, המאפיינת לגמרי גרעינים. אומרים שהטור ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} מתכנס לערך S {\displaystyle S} במובן של אבל, אם הגבול של ∑ n = 1 ∞ a n x n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}} כאשר x {\displaystyle x} שואף ל-1 מלמטה, שווה ל- S {\displaystyle S} . כל טור מתכנס (במובן הרגיל) מתכנס לאותו ערך גם במובן של אבל; לעומת זאת, הטור ∑ ( − 1 ) n + 1 n {\displaystyle \sum (-1)^{n+1}n} אינו מתכנס במובן הרגיל, וסכומו במובן של אבל הוא רבע. שיטת סיכום אחרת מיוחסת לצ'זרו (Cesàro). נסמן ב- S n {\displaystyle S_{n}} את סדרת הסכומים החלקיים של טור נתון. הטור מתכנס במובן הרגיל אם הסדרה   s n {\displaystyle \ s_{n}} מתכנסת. אומרים שהטור "מתכנס במובן של צ'זרו" או שהוא "טור מטיפוס C-1", אם הסדרה S n ( 1 ) = s 1 + ⋯ + s n n {\displaystyle S_{n}^{(1)}={\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}} מתכנסת. למשל, הטור   ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 {\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}} אינו מתכנס במובן הרגיל, אבל סכומו במובן צ'זרו הוא חצי. אם טור אינו מתכנס במובן C-1 אבל הממוצעים של S n ( 1 ) {\displaystyle S_{n}^{(1)}} כן מתכנסים, אז הטור הוא מטיפוס C-2, וכן הלאה. ישנן עוד שיטות סיכום, כגון התכנסות למברט שהיא בעלת שימושים בתורת המספרים להוכחת משפט המספרים הראשוניים. כמו כן ישנה גם שיטת סכימות חשובה שנקראת סכימות בורל. אם הטור ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} מתכנס לערך S {\displaystyle S} במובן של אבל, וכן n a n {\displaystyle na_{n}} שואף לאפס, אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. אם הטור ∑ n a n {\displaystyle \sum _{n}a_{n}} מתכנס לערך S {\displaystyle S} במובן של צ'זרו, וכן n a n ≥ − C {\displaystyle na_{n}\geq -C} אז הטור מתכנס גם במובן רגיל. זהו משפט לנדאו. ישנו משפט של הארדי, החלש יותר ממשפט לנדאו, שקובע כי אם הטור מתכנס צ'זרו, ורק | n a n | ≤ C {\displaystyle |na_{n}|\leq C} , אז הטור מתכנס. ערך מורחב – טור פונקציות כשם שניתן להגדיר סדרה של מספרים, כך גם ניתן להגדיר סדרה של פונקציות, ולכן ניתן להגדיר גם טור של פונקציות. גם סדרות וטורים אלו יכולים להתכנס - במקרה זה לא למספר קבוע, אלא לפונקציה. עבור טורי פונקציות ישנם סוגים שונים של התכנסות, כמו התכנסות נקודתית, התכנסות בממוצע והתכנסות במידה שווה. טורי פונקציות משמשים בתחומים רבים של אנליזה מתמטית, למשל בהגדרתן של פונקציות מיוחדות, בקירובים נומריים לערך של פונקציה בנקודה מסוימת, בפתרון של משוואות דיפרנציאליות, ובפיתוח פשוט יותר של נגזרות ואינטגרלים. טורי פונקציות נפוצים הם טורי חזקות, טורי טיילור וטורי פורייה. את העקרונות של בניית טורים אלה, אפשר לנצל כדי לבנות תורה שתאפשר פריסה של פונקציה כללית באמצעות פונקציות עצמיות. ברוב המקרים חישוב סכום של טור אינסופי איננו עניין פשוט. ובכל זאת, קיימות מספר שיטות: נראה כאן כיצד ניתן לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 1 k {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}{\frac {1}{k}}} . זהו טור מתכנס, בניגוד לטור ההרמוני, ונחשב את סכומו באמצעות תכונות של טורי חזקות. ראשית נביט בטור ההנדסי ∑ k = 0 ∞ x k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}} שמתכנס עבור x ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle x\in (-1,1)} . ידוע כי סכום טור זה הוא 1 1 − x {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}} . נציב x = − y {\displaystyle x=-y} ונקבל: ∑ k = 0 ∞ ( − y ) k = 1 1 + y {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-y)^{k}={\frac {1}{1+y}}} . מכיוון שזהו טור חזקות בעל רדיוס התכנסות 1 ניתן לבצע אינטגרציה איבר איבר, ולכן נקבל: ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 y ( − 1 ) k t k d t = ∫ 0 y 1 1 + t d t {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{y}(-1)^{k}t^{k}dt=\int _{0}^{y}{\frac {1}{1+t}}dt} , כלומר ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k y k + 1 k + 1 = ln ⁡ ( 1 + y ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {y^{k+1}}{k+1}}=\ln(1+y)} . קיבלנו כעת טור חדש בעל רדיוס התכנסות זהה לזה של הטור המקורי - 1. אנו יודעים שטור זה מתכנס בנקודה y = 1 {\displaystyle y=1} (למשל, בעזרת מבחן לייבניץ), ולכן נציב y = 1 {\displaystyle y=1} ונקבל: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 1 k + 1 = ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}=\ln(2)} . והרי ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k 1 k + 1 = ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 1 k {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k+1}}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {1}{k}}} , ולכן הגענו לתוצאה המבוקשת: ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 1 k = ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left(-1\right)^{k-1}{\frac {1}{k}}=\ln(2)} . לעיתים, טור אינסופי מסוים הוא פשוט טור טיילור של פונקציה מסוימת בנקודה מסוימת. למשל, בדוגמה לעיל השתמשנו בטור טיילור של ln ⁡ ( 1 + x ) {\displaystyle \ln(1+x)} על מנת לחשב את סכום הטור ההרמוני המתחלף, השווה ל- ln ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \ln(2)} . טור פורייה הוא הצגה של פונקציה כטור אינסופי של סינוסים וקוסינוסים. באמצעות הצבה בתוך הטור או על ידי שימוש בזהות פרסבל אפשר לחשב באמצעותו טורים שונים, למשל ערכים שונים של פונקציית זטא של רימן. לדוגמה: טור פורייה של x {\displaystyle x} בקטע [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]} הוא f ( x ) = x = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ ( n x ) + b n sin ⁡ ( n x ) ) = {\displaystyle f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))=} = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n sin ⁡ ( n x ) , ∀ x ∈ ( − π , π ) {\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )} ומזהות פרסבל 1 2 ∑ n = 1 ∞ | ( − 1 ) n + 1 2 n | 2 = 1 2 π ∫ − π π x 2 d x = 2 π 2 6 {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\left|(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\right|^{2}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{x^{2}dx}=2{\frac {\pi ^{2}}{6}}} ולכן הערך של פונקציית זטא של רימן בנקודה s = 2 {\displaystyle s=2} (הנקרא גם טור אוילר, על שם המתמטיקאי שחישב אותו לראשונה) הוא ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 = π 2 6 {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} טור טלסקופי הוא טור מהצורה ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n − 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n-1})}} (או ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n+1})}} - a 1 {\displaystyle a_{1}} הראשון ו- a n + 1 {\displaystyle a_{n+1}} האחרון). קל לחשב את סכומו שכן ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n − 1 ) = lim n → ∞ ( a n − a 0 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n-1})}=\lim _{n\to \infty }{(a_{n}-a_{0})}} לעיתים, יש טורים שניתן להציגם בצורה זו, (הפעם: ∑ n = 1 ∞ ( a n − a n + 1 ) = lim n → ∞ ( a 1 − a n + 1 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{(a_{n}-a_{n+1})}=\lim _{n\to \infty }{(a_{1}-a_{n+1})}} ). למשל: ∑ n = 1 ∞ 1 n ( n + 1 ) = ∑ n = 1 ∞ ( 1 n − 1 n + 1 ) = lim n → ∞ ( 1 − 1 n + 1 ) = 1. {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\lim _{n\to \infty }{\left(1-{\frac {1}{n+1}}\right)}=1.} שיטה שימושית לחישוב הסכום של טורים מבוססת על חישוב שאריות בפונקציות מרוכבות. ממשפט השארית נובעת התוצאה הבאה (כאשר f היא פונקציה אנליטית): אם קיימים קבועים C ו- p > 1 {\displaystyle p>1} כך ש- | f ( z ) | < C | z | p {\displaystyle |f(z)|<{\frac {C}{|z|^{p}}}} כאשר | z | {\displaystyle |z|} גדול מספיק, והטור ∑ n = − ∞ ∞ f ( n ) {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)} מתכנס, אז סכומו שווה לסכום השאריות של − π f ( z ) cot ⁡ ( π z ) {\displaystyle -\pi f(z)\cot(\pi z)} בכל הקטבים של f {\displaystyle f} . גבול (מתמטיקה) מבחני התכנסות לטורים טור טיילור טור פורייה בעיית בזל מדיה וקבצים בנושא טור בוויקישיתוף שש דרכים לסכם טור (אנגלית) גדי אלכסנדרוביץ', טרטורי טורים, באתר "לא מדויק", 17 ביוני 2008 טור (מתמטיקה), באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית) טור, באתר MathWorld (באנגלית) סדרה, דף שער בספרייה הלאומית