חבורת הייזנברג

בתורת החבורות, חבורת הייזנברג היא חבורה מעל חוג חילופי, הבנויה מהמטריצות המשולשיות העליונות בגודל 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} , עם אחדות באלכסון, יחד עם פעולת כפל מטריצות. החבורה נקראת על שמו של הפיזיקאי הגרמני ורנר הייזנברג. לחבורה קשרים חשובים למכניקה קוונטית, ובעזרתה ניתן לנסח את משפט סטון-פון נוימן בשפה של תורת ההצגות. מעל שדות סופיים, מהווה חבורת הייזנברג חבורת-p בעלת תכונות מעניינות, ועוזרת בבחקר תכונות של חבורות-p. יהי R {\displaystyle R} חוג חילופי. חבורת הייזנברג (מממד 3) מעל החוג R {\displaystyle R} היא החבורה שאיבריה הם המטריצות: ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}} , כאשר a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} . הפעולה בחבורה היא כפל מטריצות, ואיבר היחידה שלה הוא מטריצת היחידה. המבנה הנתון אכן מהווה חבורה, שכן הוא סגור לכפל: ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) ( 1 a ′ c ′ 0 1 b ′ 0 0 1 ) = ( 1 a + a ′ c + c ′ + a b ′ 0 1 b + b ′ 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&a'&c'\\0&1&b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&a+a'&c+c'+ab'\\0&1&b+b'\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,} ולכל איבר יש איבר הפיך (ללא הדרישה שהאיברים a , b , c ∈ R {\displaystyle a,b,c\in R} יהיו הפיכים בעצמם): ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) − 1 = ( 1 − a a b − c 0 1 − b 0 0 1 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-a&ab-c\\0&1&-b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,} . חבורת הייזנברג מסדר 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1} היא: H 2 n + 1 ( R ) = { ( 1 a 1 a 2 ⋯ ⋯ a n + 1 0 1 0 ⋯ 0 a n + 2 ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 a 2 n ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 1 a 2 n + 1 0 ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 )   |   a 1 , … , a 2 n + 1 ∈ R } {\displaystyle H_{2n+1}(R)={\Bigg \{}{\begin{pmatrix}1&a_{1}&a_{2}&\cdots &\cdots &a_{n+1}\\0&1&0&\cdots &0&a_{n+2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0&a_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1&a_{2n+1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\ {\Bigg |}\ a_{1},\dots ,a_{2n+1}\in R{\Bigg \}}} . כאשר החוג R {\displaystyle R} הוא שדה המספרים הממשיים R {\displaystyle \mathbb {R} } , מתקבלת חבורת הייזנברג הממשית, או חבורת הייזנברג הרציפה. במקרה זה, מתקבלת חבורת לי נילפוטנטית מסדר 3. לפי משפט סטון-פון נוימן, לחבורה זו יש הצגה יחידה עליה המרכז פועל כמו קרקטר. כאשר החוג R {\displaystyle R} הוא חוג המספרים השלמים Z {\displaystyle \mathbb {Z} } , מתקבלת חבורת הייזנברג הדיסקרטית. זוהי חבורה נילפוטנטית חופשית ממחלקה 2, ונוצרת על ידי: x = ( 1 1 0 0 1 0 0 0 1 ) ,     y = ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1 ) {\displaystyle x={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}},\ \ y={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} לחבורה הייצוג הבא: < x , y , z | z = [ x , y ] ,   [ x , z ] = e ,   [ y , z ] = e > {\displaystyle <x,y,z|z_{}^{}=[x,y],\ [x,z]=e,\ [y,z]=e>} , כאשר x , y {\displaystyle x,y} הם כדלעיל ו- z = x y x − 1 y − 1 = ( 1 0 1 0 1 0 0 0 1 ) {\displaystyle z=xyx^{-1}y^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}} . במקרה זה, האיבר z {\displaystyle z} יוצר את המרכז של החברה, וכל איבר שלה ניתן לכתוב מהצורה ( 1 a c 0 1 b 0 0 1 ) = y b z c x a {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}}=y^{b}z^{c}x^{a}\,} . בתור חבורה נילפוטנטית נוצרת סופית, לחבורת הייזנברג הדיסקרטית גידול פולינומי וממד גלפנד-קירילוב שלה הוא 4. מתברר כי ביחס לכל קבוצת יוצרים סופית, טור הילברט של חבורת הייזנברג הוא פונקציה רציונלית (היינו, מנה של שני פולינומים במקדמים שלמים). תופעה זו, המכונה 'פאן-רציונליות', הוכחה על ידי דוצ'ין ושפירו. חבורת הייזנברג מעל השדה הסופי Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} היא מסדר p 3 {\displaystyle p^{3}} ומאקספוננט p {\displaystyle p} . ניתן לתאר אותה על ידי היחסים הבאים: z = [ x , y ] ,   x p = y p = z p = 1 ,   [ x , z ] = e ,   [ y , z ] = e {\displaystyle z=[x,y],\ x^{p}=y^{p}=z^{p}=1,\ [x,z]=e,\ [y,z]=e} חבורות אלו הן חבורות מאוד מיוחדות(אנ') - חבורת-p בה המרכז C {\displaystyle C} איזומורפי ל- Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}} וחבורת המנה G / C {\displaystyle G/C} היא אבלית וכל איבר לא טריוויאלי בה הוא מסדר p {\displaystyle p} . במקרה של p = 2 {\displaystyle p=2} , מתקבלת החבורה הדיהדרלית D 4 {\displaystyle D_{4}} . לחבורת הייזנברג הממשית ניתן להתאים את אלגברת לי המכילה את המטריצות הבאות: ( 0 a b 0 0 c 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\\\end{pmatrix}}} , עם הבסיס הבא: X = ( 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ; Y = ( 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ) ; Z = ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Y={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}} איברי הבסיס מקיימים את היחסים הבאים, המזכירים את יחסי החילוף הקנוניים במכניקה קוונטית: [ X , Y ] = Z ; [ X , Z ] = 0 ; [ Y , Z ] = 0 {\displaystyle [X,Y]=Z;\quad [X,Z]=0;\quad [Y,Z]=0} ההתאמה בין אלגברת לי לחבורת הייזנברג, בעזרת פונקציית האקספוננט, היא הפיכה. חבורת הייזנברג, באתר MathWorld (באנגלית) Moon Duchin, Michael Shapiro, The Heisenberg group is pan-rational, Advances in Mathematics 346, 2019-04-13, עמ' 219–263 doi: 10.1016/j.aim.2019.01.046