התפלגות ברנולי

בסטטיסטיקה ובתורת ההסתברות, התפלגות ברנולי, על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב ברנולי, היא התפלגות בדידה של משתנה מקרי המקבל ערך X = 1 {\displaystyle X=1} או ערך X = 0 {\displaystyle X=0} בהסתברות Pr ( X = 1 ) = p {\displaystyle \Pr(X=1)=p} ו- Pr ( X = 0 ) = 1 − p {\displaystyle \Pr(X=0)=1-p} . מקרה פרטי של התפלגות זו מתאים לתיאור מערכות בהן יש שני מצבים – הצלחה או כישלון. במקרה זה מקובל לסמן את ההסתברות להצלחה באות p, ואת ההסתברות המשלימה ב- q {\displaystyle q} (כלומר: q = 1 − p {\displaystyle q=1-p} ). למשל, בקובייה הוגנת ההסתברות לנפילה על 6 {\displaystyle 6} היא 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , ולפיכך ההסתברות המשלימה המתייחסת לכל שאר התוצאות (1,2,3,4,5) היא 5 6 {\displaystyle {\frac {5}{6}}} . אם תסומן התוצאה 6 {\displaystyle 6} כהצלחה וכל שאר התוצאות האחרות ככישלון, אז המשתנה המציין את המאורע המתאים הוא בעל התפלגות ברנולי עם פרמטר p = 1 6 {\displaystyle p={\frac {1}{6}}} . את העובדה שלמשתנה מקרי X {\displaystyle X} יש התפלגות ברנולי מסמנים X ∼   b ( p ) {\displaystyle X\sim \ {\text{b}}(p)} (לעיתים X ∼   Bernoulli ( p ) {\displaystyle X\sim \ {\text{Bernoulli}}(p)} ). והשונות שלו היא Var ⁡ ( X ) = p ⋅ ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)} . משתנה בעל התפלגות ברנולי מקיים את התכונה X n = X {\displaystyle X^{n}=X} לכל n {\displaystyle n} (שהרי הערכים 0 ו־1 מקיימים שוויון זה), ומכאן שכל המומנטים של משתנה כזה שווים ל־ p {\displaystyle p} . משתני ברנולי הם אבני הבניין של ההתפלגות הבינומית. סכום של n {\displaystyle n} משתני ברנולי בלתי תלויים בעלי הסתברות הצלחה p הוא בעל התפלגות בינומית כללית, B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} (ובפרט, ההתפלגות B ( 1 , p ) {\displaystyle B(1,p)} היא התפלגות ברנולי). אם X {\displaystyle X} הוא משתנה מקרי המתפלג ברנולי, אזי: Pr ( X = 1 ) = p = 1 − Pr ( X = 0 ) = 1 − q . {\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.} פונקציית הסתברות f {\displaystyle f} של התפלגות זו, עבור ערך אפשרי k היא: f ( k ; p ) = { p if  k = 1 , q = 1 − p if  k = 0. {\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}} צורה שקולה לביטוי זה היא: f ( k ; p ) = p k ( 1 − p ) 1 − k for  k ∈ { 0 , 1 } {\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}} או: f ( k ; p ) = p k + ( 1 − p ) ( 1 − k ) for  k ∈ { 0 , 1 } . {\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.} בצורה זו ניתן להבחין בדמיון הרב להתפלגות בינומית, אשר התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי עבור n = 1 {\displaystyle n=1} . גבנוניות ההתפלגות שואפת לאינסוף עבור ערכים גבוהים או נמוכים של p {\displaystyle p} . עבור ערכי 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} ההתפלגות יוצרת משפחה מעריכית ואומד הנראות המרבית של p {\displaystyle p} עבור מדגם מקרי הוא ממוצע הדגימה. התוחלת של משתנה מקרי X {\displaystyle X} המתפלג ברנולי היא: E [ X ] = p {\displaystyle \mathbb {E} [X]=p} זאת משום שעבור X {\displaystyle X} בו Pr ( X = 1 ) = p {\displaystyle \Pr(X=1)=p} יחד עם Pr ( X = 0 ) = 1 − p {\displaystyle \Pr(X=0)=1-p} מתקבל: E [ X ] = Pr ( X = 1 ) ⋅ 1 + Pr ( X = 0 ) ⋅ 0 := p ⋅ 1 + ( 1 − p ) ⋅ 0 = p . {\displaystyle \mathbb {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0:=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.} השונות של משתנה מקרי X {\displaystyle X} המתפלג ברנולי היא: Var ⁡ [ X ] = p q = p ( 1 − p ) {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)} ראשית, E [ X 2 ] = Pr ( X = 1 ) ⋅ 1 2 + Pr ( X = 0 ) ⋅ 0 2 = p ⋅ 1 2 + q ⋅ 0 2 = p {\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p} ומכאן: Var ⁡ [ X ] = E [ X 2 ] − E [ X ] 2 = p − p 2 = p ( 1 − p ) = p q {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq} כמובטח. התפלגות ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)