פונקציית בטא

פונקציית בטא היא פונקציה של שני מספרים מרוכבים המוגדרת על ידי האינטגרל: : B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t {\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!} כאשר החלקים הממשיים מקיימים: Re ( x ) , Re ( y ) > 0. {\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,} הפונקציה נחקרה לראשונה על ידי לאונרד אוילר ואדריאן-מארי לז'נדר ושמה ניתן לה על ידי ז'אק בינֶה. פונקציית בטא מגדירה את פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות בטא והיא משרעת הפיזור הראשונה שהתגלתה בתורת המיתרים, על ידי הפיזיקאי גבריאל ונציאנו. פונקציית בטא היא פונקציה סימטרית: B ( x , y ) = B ( y , x ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\!} היא קשורה באופן הדוק לפונקציית גמא: B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!} הגדרות אינטגרליות נוספות לפונקציה: B ( x , y ) = 2 ∫ 0 π / 2 ( sin ⁡ θ ) 2 x − 1 ( cos ⁡ θ ) 2 y − 1 d θ {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta \qquad \!} B ( x , y ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 ( 1 + t ) x + y d t {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt\qquad \!} זהויות נוספות: B ( x , y ) = x + y x y ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x y n ( x + y + n ) ) − 1 {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}\!} B ( x , y ) ⋅ B ( x + y , 1 − y ) = π x sin ⁡ ( π y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}}\!} בדומה להרחבת פונקציית העצרת לערכים מרוכבים בעזרת פונקציית גמא, ניתן להרחיב מקדמים בינומיים בעזרת פונקציית בטא: ( n k ) = 1 ( n + 1 ) B ( n − k + 1 , k + 1 ) {\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}} באופן דומה להכללת פונקציית גמא לפונקציית גמא הלא שלמה, ניתן להכליל את פונקציית בטא לפונקציה בטא הלא שלמה על ידי הנוסחה הבאה B ( x ; a , b ) = ∫ 0 x t a − 1 ( 1 − t ) b − 1 d t {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt} . עבור x = 1 {\displaystyle x=1} פונקציית בטא הלא שלמה שווה זהותית לפונקציית בטא. עבור a ו b שלמים פונקציית בטא הלא שלמה היא פולינום מדרגה a + b − 1 {\displaystyle a+b-1} עם מקדמים רציונליים. על ידי ההצבות t = sin 2 ⁡ θ {\displaystyle t=\sin ^{2}\theta } ו t = 1 1 + s {\displaystyle t={\frac {1}{1+s}}} אפשר להראות ש B ( x ; a , b ) = 2 ∫ 0 arcsin ⁡ x sin 2 a − 1 ⁡ θ cos 2 b − 1 ⁡ θ d θ = ∫ 1 − x x ∞ s a − 1 ( 1 + s ) a + b d s {\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=2\int _{0}^{\arcsin {\sqrt {x}}}\sin ^{2a-1\!}\theta \cos ^{2b-1\!}\theta \,\mathrm {d} \theta =\int _{\frac {1-x}{x}}^{\infty }{\frac {s^{a-1}}{(1+s)^{a+b}}}\,\mathrm {d} s} פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית מוגדרת באמצעות פונקציית בטא הלא שלמה ופונקציית בטא I x ( a , b ) = B ( x ; a , b ) B ( a , b ) {\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}} . פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית היא פונקציית ההסתברות המצטברת של התפלגות בטא. קיים קשר בין פונקציית בטא הלא שלמה הרגולרית ופונקציית התפלגות של משתנה מקרי בינומי. עבור משתנה מקרי בינומי X ∼ B i n ( n , p ) {\displaystyle X\sim \mathrm {Bin} (n,p)} , Pr ( X ≤ k ) = I 1 − p ( n − k , k + 1 ) = 1 − I p ( k + 1 , n − k ) {\displaystyle \Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k)} מדיה וקבצים בנושא פונקציית בטא בוויקישיתוף פונקציית בטא באתר Wolfram Mathworld פונקציית בטא, באתר MathWorld (באנגלית) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Courier Corporation, 1965-01-01, ISBN 978-0-486-61272-0. (באנגלית)