פונקציית קנטור

פונקציית קנטור הידועה גם כמדרגות השטן היא פונקציה רציפה לא יורדת שמטפסת מ-0 ל-1 אף על פי שהנגזרת שלה מתאפסת כמעט בכל מקום. בזכות תכונותיה הייחודיות פונקציית קנטור שימושית בהקשרים רבים, ובפרט כדוגמה נגדית לטענות רבות באנליזה ממשית. הפונקציה נקראת על שמו של גאורג קנטור שהיה הראשון שחקר אותה. ההגדרה הנפוצה ביותר של פונקציית קנטור היא באמצעות קבוצת קנטור. קבוצת קנטור היא הקבוצה המתקבלת מן התהליך הבא: לוקחים את קטע היחידה [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} ומסירים ממנו את השליש האמצעי ( 1 3 , 2 3 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}})} . כעת חוזרים על הפעולה עם שני החלקים שנשארו [ 0 , 1 3 ] {\displaystyle [0,{\tfrac {1}{3}}]} ו- [ 2 3 , 1 ] {\displaystyle [{\tfrac {2}{3}},1]} ומסירים מכל אחד מהם את השליש האמצעי. ממשיכים וחוזרים על הפעולה הזו עד אינסוף. קבוצת הנקודות בקטע היחידה שלא מוסרות ממנו באף אחד מן השלבים היא קבוצת קנטור המסומנת C {\displaystyle C} . תיאור נוסף ושימושי של קבוצת קנטור הוא כקבוצת כל המספרים בקטע שבהצגה שלהם בבסיס טרינארי (בסיס 3) לא מופיעה הספרה 1 (אם למספר יש שתי הצגות טרינאריות, כמו 0.1 3 = 0.0222... 10 {\displaystyle 0.1_{3}=0.0222..._{10}} , תמיד בוחרים בהצגה שלא מופיע בה 1, אם ישנה כזו). נגדיר את פונקציית קנטור f {\displaystyle f} לכל x בקבוצת קנטור באופן הבא: נציג את x בבסיס טרינארי. את כל מופע של הספרה 2 נחליף בספרה 1. נקרא את הביטוי שקיבלנו כמספר בבסיס בינארי (בסיס 2) והמספר שנקבל יהיה f ( x ) {\displaystyle f(x)} . בסימונים: אם x = ∑ n = 1 ∞ 2 a n 3 n {\displaystyle x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}} , אז f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n 2 n {\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{2^{n}}}} . נחשב למשל את f ( 1 4 ) {\displaystyle f({\tfrac {1}{4}})} . בבסיס טרינארי 1 4 = 0.02020202 … 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}=0.02020202\ldots _{3}} , ולכן f ( 1 4 ) = 0.01010101 … 2 = 1 3 {\displaystyle f({\tfrac {1}{4}})=0.01010101\ldots _{2}={\tfrac {1}{3}}} . כעת נרחיב את f {\displaystyle f} לנקודות שאינן בקבוצת קנטור. אם נקודה x אינה בקבוצת קנטור, אז היא הוסרה מקטע היחידה באחד מהשלבים של בניית הקבוצה. נניח למשל שהיא נמצאת בקטע הראשון שמוסר, ( 1 3 , 2 3 ) {\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}})} . נחשב את הערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע. 1 3 = 0.1 3 = 0.02222 … 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}=0.1_{3}=0.02222\ldots _{3}} ו- 2 3 = 0.2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}=0.2_{3}} . לכן: f ( 1 3 ) = 0.01111 … 2 = 0.1 2 = f ( 2 3 ) {\displaystyle f({\tfrac {1}{3}})=0.01111\ldots _{2}=0.1_{2}=f({\tfrac {2}{3}})} קיבלנו ש- f {\displaystyle f} מקבלת ערכים זהים בקצוות הקטע שהוסר. הדבר מתרחש בכל קטע שמוסר במהלך בניית קבוצת קנטור, כי לקצוות הקטע הצגה טרינארית זהה מלבד הספרה האחרונה שהיא 1 בראשית הקטע ו-2 בסופו. על כן לכל נקודה x שאינה בקבוצת קנטור נוכל להגדיר את f ( x ) {\displaystyle f(x)} כערך של פונקציית קנטור בקצוות הקטע שהוסר ומכיל את x. פורמלית נוכל להגדיר לכל x ∈ [ 0 , 1 ] ∖ C {\displaystyle x\in [0,1]\setminus C} את f ( x ) {\displaystyle f(x)} בתור f ( x ) = sup { f ( t ) : t ∈ C , t ≤ x } {\displaystyle f(x)=\sup\{f(t):t\in C,t\leq x\}} . נוכל לסכם זאת באופן הבא: לכל x בקטע f ( x ) {\displaystyle f(x)} יוגדר באופן הבא: מציגים את x בבסיס טרינארי. אם 1 מופיע בהצגה הטרינארית של x, מחליפים את כל הספרות אחרי ה-1 הראשון ב-0. מחליפים כל 2 ב-1 וקוראים את הביטוי כמספר בבסיס בינארי. המספר שקיבלנו הוא f ( x ) {\displaystyle f(x)} . קל לראות ש- f ( 0 ) = 0 {\displaystyle f(0)=0} ו- f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} . התמונה של קבוצת קנטור תחת f {\displaystyle f} היא הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} כולו, שכן כל מספר x בקטע ניתן להציג בצורה בינארית ולהחליף את כל המופעים של 1 ב-2 ולקבל (בהצגה טרינארית) איבר של קבוצת קנטור שתמונתו x. פונקציית קנטור עולה במובן החלש (לא יורדת). מספיק להראות שהטענה נכונה לאיברי קבוצת קנטור, כי נקודות שאינן בקבוצת קנטור מוכלות בקטע בו הפונקציה קבועה וקצוותיו בקבוצת קנטור. ואכן אם x < y {\displaystyle x<y} בקבוצת קנטור, אז הספרה הראשונה בהצגה טרינארית בה x ו-y לא מתלכדים מופיע 2 בהצגה של y ו-0 בהצגה של x, ולכן יופיע 1 בהצגה הבינארית של f ( y ) {\displaystyle f(y)} ו-0 בהצגה הבינארית של f ( x ) {\displaystyle f(x)} ומכאן ש- f ( x ) ≤ f ( y ) {\displaystyle f(x)\leq f(y)} . פונקציית קנטור רציפה. זה נובע מיידית מהעובדה שהיא עולה מ-0 ל-1 והיא על הקטע [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} (כי נקודת אי-רציפות של פונקציה מונוטונית היא תמיד מסוג קפיצה). ניתן גם להראות זאת ישירות. יהי 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } . נבחר n גדול מספיק כך ש- 2 − n < ϵ {\displaystyle 2^{-n}<\epsilon } . נגדיר δ = 3 − n {\displaystyle \delta =3^{-n}} . לכל x , y ∈ C {\displaystyle x,y\in C} אם | y − x | < δ {\displaystyle |y-x|<\delta } אז x ו-y מתלכדים ב-n הספרות הטרינאריות הראשונות ולכן f ( x ) {\displaystyle f(x)} ו- f ( y ) {\displaystyle f(y)} מתלכדים ב-n הספרות הבינאריות הראשונות, ועל כן: | f ( y ) − f ( x ) | < 2 − n < ϵ {\displaystyle |f(y)-f(x)|<2^{-n}<\epsilon } . מכאן שהפונקציה רציפה במידה שווה בקבוצת קנטור, ומכיוון שהיא קבועה בין נקודות קבוצת קנטור, אז היא רציפה במידה שווה בכל הקטע. קבוצת קנטור C {\displaystyle C} היא קבוצה ממידה אפס (במהלך הבנייה שלה הסרנו קטעים שאורכם הכולל הוא 1 ולכן ה"אורך" שלה הוא 0). מכיוון ש- f ( C ) = [ 0 , 1 ] {\displaystyle f(C)=[0,1]} אנו מקבלים דוגמה למקרה בו תמונה רציפה של קבוצה ממידה אפס היא קבוצה ממידה חיובית (קטע באורך 1). כל נקודה שאינה בקבוצת קנטור מוכלת בקטע פתוח שבו f {\displaystyle f} קבועה, ולכן הנגזרת של f {\displaystyle f} בנקודה היא אפס. מכיוון שקבוצת קנטור היא ממידה אפס, נקבל שהנגזרת של f {\displaystyle f} היא 0 כמעט בכל מקום. זאת על אף שמדובר בפונקציה עולה. מסקנה מיידית היא שפונקציית קנטור אינה מקיימת את נוסחת ניוטון לייבניץ, היא אינה שווה לאינטגרל (לבג) לא מסוים של הנגזרת שלה (אין זה משנה מה הנגזרת בקבוצת קנטור, מכיוון שאינטגרל אינו מושפע מקבוצות ממידה אפס): ∫ 0 1 f ′ d λ = 0 ≠ 1 = f ( 1 ) − f ( 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{1}f'd\lambda =0\neq 1=f(1)-f(0)} זאת מכיוון שפונקציית קנטור אמנם רציפה במידה שווה, אך אינה רציפה בהחלט בקטע. ידוע שפונקציה היא אינטגרל לא מסוים של הנגזרת שלה אם ורק אם היא רציפה בהחלט. כל אינטגרל לא מסוים הוא רציף בהחלט, ולכן פונקציית קנטור אינה אינטגרל לא מסוים של אף פונקציה. התפלגות קנטור מוגדרת כהתפלגות שפונקציית קנטור היא פונקציית ההצטברות שלה. לפי האמור לעיל, זו דוגמה להתפלגות רציפה שאין לה פונקציית צפיפות. מאי-שוויון המשולש נובע שהאורך של גרף של פונקציה לא יורדת החסומה בריבוע היחידה, חסום על ידי 2. קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה קרוב כרצוננו ל-2, אבל לא קל למצוא פונקציה כזו שאורך הגרף שלה הוא 2 בדיוק. פונקציית קנטור היא דוגמה לפונקציה כזו, שכן ניתן לקרב אותה על ידי סדרת פונקציות פוליגוניות שהולכות ומתקרבות למדרגות. פונקציית קנטור מחלקת את ריבוע היחידה לשני חלקים חופפים, ולכן ∫ 0 1 f ( x ) d x = 1 2 {\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)dx={\tfrac {1}{2}}} . נשתמש בפונקציית קנטור כדי לבנות קבוצה מדידה לבג שאינה קבוצת בורל. נגדיר פונקציה g ( x ) = 1 2 ( f ( x ) + x ) {\displaystyle g(x)={\tfrac {1}{2}}(f(x)+x)} . זוהי פונקציה רציפה (כסכום של פונקציות רציפות) שעולה חזק מ-0 ל-1 ( f ( x ) {\displaystyle f(x)} עולה חלש ו- x {\displaystyle x} עולה חזק, ולכן מחצית סכומן עולה חזק). מכאן שזוהי פונקציה חד-חד-ערכית ועל (והפיכה) מקטע היחידה לעצמו. מכיוון ש- g {\displaystyle g} רציפה ועולה לכל קטע I = ( a , b ) {\displaystyle I=(a,b)} מתקיים g ( I ) = ( g ( a ) , g ( b ) ) {\displaystyle g(I)=(g(a),g(b))} . בכל קטע I = ( a , b ) {\displaystyle I=(a,b)} שמוסר בעת בניית קבוצת קנטור הפונקציה f {\displaystyle f} קבועה ולכן האורך של g ( I ) {\displaystyle g(I)} הוא: g ( b ) − g ( a ) = 1 2 ( b − a ) {\displaystyle g(b)-g(a)={\tfrac {1}{2}}(b-a)} . סכום אורכי הקטעים שהוסרו ביצירת קבוצת קנטור הוא 1, ולכן סכום אורכיהם לאחר הפעלת g {\displaystyle g} הוא חצי (סיגמא-אדיטיביות של האורך). מכאן שהקבוצה המשלימה לתמונת איחוד הקטעים, הלא היא תמונת קבוצת קנטור, היא ממידה 1 − 1 2 = 1 2 {\displaystyle 1-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}} . מצאנו ש- g ( C ) {\displaystyle g(C)} היא קבוצה ממידה חיובית. לכן לפי משפט ויטלי קיימת קבוצה E ⊂ g ( C ) {\displaystyle E\subset g(C)} שאינה מדידה לבג (ובפרט אינה קבוצת בורל). נסמן P = g − 1 ( E ) {\displaystyle P=g^{-1}(E)} . כמובן P ⊆ C {\displaystyle P\subseteq C} ולכן P ממידה אפס כתת-קבוצה של קבוצה מדידה אפס, ובפרט היא מדידה לבג. נוכיח כי P אינה קבוצת בורל. g − 1 {\displaystyle g^{-1}} רציפה, ולכן מדידה בורל. מכאן שהמקור של קבוצת בורל לפי g − 1 {\displaystyle g^{-1}} היא קבוצת בורל. אבל המקור של P היא E שאינה קבוצת בורל, ולכן P אינה קבוצת בורל. במהלך ההוכחה קיבלנו ש- g {\displaystyle g} היא הומאומורפיזם בין C {\displaystyle C} לקבוצה ממידה חיובית g ( C ) {\displaystyle g(C)} . g ( C ) {\displaystyle g(C)} נקראת "קבוצת קנטור שמנה". פונקציית קנטור משמשת בהוכחת משפט פאנו הקובע שקיימת מסילה רציפה שממלאת את כל ריבוע היחידה (עקומת פאנו). פונקציית קנטור היא פונקציה רציפה מקבוצת קנטור על קטע היחידה. לכן הפונקציה f 2 : C 2 → [ 0 , 1 ] 2 {\displaystyle f_{2}:C^{2}\to [0,1]^{2}} המוגדרת לפי f 2 ( x , y ) = ( f ( x ) , f ( y ) ) {\displaystyle f_{2}(x,y)=(f(x),f(y))} היא פונקציה רציפה על ריבוע היחידה. נקח את הקבוצה { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} עם הטופולוגיה הדיסקרטית. הפונקציה ( a 1 , a 2 , … ) ↦ ∑ n = 1 ∞ 2 a n 3 n {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2a_{n}}{3^{n}}}} היא הומאומורפיזם בין מרחב המכפלה { 0 , 1 } N {\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }} ל- C {\displaystyle C} . מקיבוציות המכפלה נובע ש- { 0 , 1 } N {\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }} הומאומורפי ל- { 0 , 1 } N × { 0 , 1 } N {\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }\times \{0,1\}^{\mathbb {N} }} ולכן C {\displaystyle C} הומאומורפי ל- C 2 {\displaystyle C^{2}} . משמע קיימת פונקציה h : C → C 2 {\displaystyle h:C\to C^{2}} שהיא רציפה ועל. ההרכבה F = f 2 ∘ h {\displaystyle F=f_{2}\circ h} היא פונקציה רציפה מ- C {\displaystyle C} על ריבוע היחידה. נשלים את F לקטעים שאינם בקבוצת קנטור באופן ליניארי לפי הערכים שמתקבלים בקצוות שלהם. F שקיבלנו היא עקומת פאנו. בגלל שפונקציית קנטור היא פונקציה מונוטונית עולה מ-0 ל-1, ניתן להתייחס אליה כאל פונקציית התפלגות. ככזו, ניתן לבנות מידת הסתברות μ {\displaystyle \mu } המתאימה להתפלגות זו. μ {\displaystyle \mu } תהיה מוגדרת באופן הבא: לכל n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } מגדירים משתנה מקרי X n {\displaystyle X_{n}} המקבל את הערכים 0 או 2 בהסתברות שווה (0.5 לכל אחד), כך שכל ה- X n {\displaystyle X_{n}} בלתי תלויים זה בזה. מגדירים משתנה מקרי חדש X := ∑ n = 1 ∞ X n 3 n {\displaystyle X:=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {X_{n}}{3^{n}}}} . את המידה μ {\displaystyle \mu } מגדירים להיות מידת ההסתברות המתאימה למשתנה המקרי X {\displaystyle X} (כלומר, המידה μ ( B ) {\displaystyle \mu (B)} עבור קבוצה מדידה כלשהי B {\displaystyle B} תהיה שווה להסתברות ש- X {\displaystyle X} בקבוצה זו). אם מגדירים את פונקציית ההתפלגות f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } כך ש- f ( x ) := P ( X ≤ x ) {\displaystyle f(x):=P(X\leq x)} מקבלים ש- f {\displaystyle f} היא פונקציית קנטור. לפי ההגדרה של X {\displaystyle X} מתקבל שהוא יכול לקבל אך ורק ערכים מקבוצת קנטור, כלומר μ ( C ) = 1 {\displaystyle \mu (C)=1} כאשר C {\displaystyle C} היא קבוצת קנטור. מאחר ש- C {\displaystyle C} היא קבוצה ממידה אפס על-פי מידת לבג, מתקבל ש- μ {\displaystyle \mu } היא מידה סינגולרית (ובפרט מידה סינגולרית רציפה) ביחס למידת לבג. התהליך הסטוכסטי { X n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }} נקרא תהליך ברנולי עם p = 1 2 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} . פונקציית קנטור היא הדוגמה הסטנדרטית לפונקציה סינגולרית - פונקציה רציפה בעלת השתנות חסומה ולא קבועה שנגזרתה מתאפסת כמעט בכל מקום. פונקציית קנטור מראה שקטע היחידה הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור. זהו מקרה פרטי של משפט בסיסי בטופולוגיה הקובע שכל מרחב מטרי קומפקטי הוא תמונה רציפה של קבוצת קנטור. ההוכחה מבוססת על בניית פונקציית קנטור מוכללת. הבנייה מנצלת את העובדה שמרחב מטרי קומפקטי הוא חסום כליל. תחילה מכסים את המרחב בכדורים סגורים ברדיוס חצי, אחר כך מכסים כל כדור בכדורים סגורים ברדיוס רבע, ובאופן כללי בשלב ה-n מכסים את הכדורים ברדיוס 2 − n {\displaystyle 2^{-n}} באמצעות כדורים סגורים ברדיוס 2 − ( n + 1 ) {\displaystyle 2^{-(n+1)}} וכך ממשיכים עד אינסוף. כעת לכל כדור מתאימים סדרה סופית של ספרות 0 ו-2 כך שכל רישא שלה הותאמה לכדור המכיל אותו. לכל x ∈ C {\displaystyle x\in C} מגדירים את f ( x ) {\displaystyle f(x)} בתור האיבר הנמצא בכל הכדורים המתאימים לרישא של x {\displaystyle x} כסדרה של ספרות טרינאריות. מרחב מטרי קומפקטי הוא שלם ולכן (מכיוון שרדיוס הכדורים הולך וקטן) לפי הלמה של קנטור f ( x ) {\displaystyle f(x)} קיים ויחיד. הפונקציה על כי הכדורים מכסים את המרחב כולו והיא רציפה כי איברי קבוצת קנטור קרובים מספיק יתחילו באותו רצף ספרות ולכן יכללו יחד באותו כדור קטן. פונקציית קנטור מתקבלת מההוכחה במקרה בו המרחב המטרי הקומפקטי הוא קטע היחידה ובכל פעם מכסים כל כדור (שהוא קטע סגור) באמצעות שני כדורים. רציפות בהחלט מדיה וקבצים בנושא פונקציית קנטור בוויקישיתוף פונקציית קנטור, באתר MathWorld (באנגלית) פונקציה רציפה בהחלט היא פונקציה המקיימת שלכל 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } קיים 0 < δ {\displaystyle 0<\delta } כך שלכל אוסף סופי של קטעים זרים בזוגות בתחום ( x 1 , y 1 ) , … , ( x n , y n ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n})} המקיימים ∑ i = 1 n | y i − x i | < δ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|y_{i}-x_{i}|<\delta } מתקיים ∑ i = 1 n | f ( y i ) − f ( x i ) | < ϵ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|f(y_{i})-f(x_{i})|<\epsilon } .