אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית. אי-שוויון זה מהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי. אי-השוויון הוכח על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס (אנ') בשנת 1888, ובאופן לא תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר (אנ') בשנת 1889. ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן. המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי ( X , σ , μ ) {\displaystyle (X,\sigma ,\mu )} מרחב מידה. עבור קבוע r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} } , לכל f : X → C {\displaystyle f:X\to \mathbb {C} } נהוג לסמן: ‖ f ‖ r ≡ ( ∫ X | f | r d μ ) 1 / r {\displaystyle \|f\|_{r}\equiv \left(\int _{X}\left|f\right|^{r}d\mu \right)^{1/r}} יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם f ∈ L r ( μ ) {\displaystyle f\in L^{r}(\mu )} (כלומר ∫ f r < ∞ {\displaystyle \int f^{r}<\infty } ). אי-השוויון קובע שלכל p , q ∈ [ 1 , ∞ ] {\displaystyle p,q\in [1,\infty ]} המקיימים 1 / p + 1 / q = 1 {\displaystyle 1/p+1/q=1} , לכל זוג פונקציות מדידות f , g : X → C {\displaystyle f,g:X\to \mathbb {C} } , מתקיים כי: ‖ f g ‖ 1 ≤ ‖ f ‖ p ‖ g ‖ q {\displaystyle \|fg\|_{1}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}} אם מתקיים בנוסף כי p , q ∈ ( 1 , ∞ ) {\displaystyle p,q\in (1,\infty )} וכן גם f ∈ L p ( μ ) {\displaystyle f\in L^{p}(\mu )} , g ∈ L q ( μ ) {\displaystyle g\in L^{q}(\mu )} , אז אי השוויון הוא שוויון אם ורק אם | f | p , | g | q {\displaystyle \left|f\right|^{p},\left|g\right|^{q}} תלויות ליניארית במרחב L 1 ( μ ) {\displaystyle L^{1}(\mu )} , כלומר קיים c ≥ 0 {\displaystyle c\geq 0} כך שמתקיים | f | p = c ⋅ | g | q {\displaystyle \left|f\right|^{p}=c\cdot \left|g\right|^{q}} כמעט תמיד ביחס ל- μ {\displaystyle \mu } . ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים: ∑ i = 1 n a i α ⋅ b i β ≤ ( ∑ i = 1 n a i ) α ⋅ ( ∑ i = 1 n b i ) β {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\alpha }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)^{\beta }} עבור a i , b i , α , β ≥ 0 {\displaystyle a_{i},b_{i},\alpha ,\beta \geq 0} כאשר α + β = 1 {\displaystyle \alpha +\beta =1} . באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, לדוגמה: ∑ i = 1 n a i α ⋅ b i β ⋅ c i γ ≤ ( ∑ i = 1 n a i ) α ⋅ ( ∑ i = 1 n b i ) β ⋅ ( ∑ i = 1 n c i ) γ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\cdot c_{i}^{\gamma }\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\alpha }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}\right)^{\beta }\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\right)^{\gamma }} כאשר α + β + γ = 1 {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =1} וגם α , β , γ ≥ 0 {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma \geq 0} כאשר α = β = 1 2 {\displaystyle \alpha =\beta ={\frac {1}{2}}} מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: ( ∑ i = 1 n a i 2 ) 1 2 ⋅ ( ∑ i = 1 n b i 2 ) 1 2 ≥ ∑ i = 1 n ( a i 2 ) 1 2 ⋅ ( b i 2 ) 1 2 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\geq \sum _{i=1}^{n}\left(a_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\cdot \left(b_{i}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}} ולכן סה"כ ∑ i = 1 n a i 2 ⋅ ∑ i = 1 n b i 2 ≥ ( ∑ i = 1 n | a i b i | ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}\geq \left(\sum _{i=1}^{n}\left|a_{i}b_{i}\right|\right)^{2}} נשים לב שלכל x , y ≥ 0 {\displaystyle x,y\geq 0} מתקיימת הטענה הבאה: x α ⋅ y β ≤ α ⋅ x + β ⋅ y {\displaystyle x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\leq \alpha \cdot x+\beta \cdot y} . זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי log {\displaystyle \log } היא פונקציה קעורה ולכן: α ⋅ log ⁡ ( x ) + β ⋅ log ⁡ ( y ) ≤ log ⁡ ( α ⋅ x + β ⋅ y ) {\displaystyle \alpha \cdot \log(x)+\beta \cdot \log(y)\leq \log(\alpha \cdot x+\beta \cdot y)} . כעת נסמן S a = ∑ i = 1 n a i , S b = ∑ i = 1 n b i {\displaystyle S_{a}=\sum _{i=1}^{n}a_{i},S_{b}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}} ולפי הטענה הנ"ל מתקיים ∑ i = 1 n ( a i S a ) α ⋅ ( b i S b ) β ≤ ∑ i = 1 n ( α ⋅ a i S a ) + ∑ i = 1 n ( β ⋅ b i S b ) = α + β = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {a_{i}}{S_{a}}}\right)^{\alpha }\cdot \left({\frac {b_{i}}{S_{b}}}\right)^{\beta }\leq \sum _{i=1}^{n}\left(\alpha \cdot {\frac {a_{i}}{S_{a}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}\left(\beta \cdot {\frac {b_{i}}{S_{b}}}\right)=\alpha +\beta =1} נכפיל את שני האגפים ב S a α ⋅ S b β {\displaystyle S_{a}^{\alpha }\cdot S_{b}^{\beta }} ונקבל את אי השוויון הרצוי ∑ i = 1 n a i α ⋅ b i β ≤ S a α ⋅ S b β {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{\alpha }\cdot b_{i}^{\beta }\leq S_{a}^{\alpha }\cdot S_{b}^{\beta }} . הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן. אי-שוויון הלדר, באתר MathWorld (באנגלית)