פרופגטור

במכניקת הקוונטים ובתורת שדות קוונטים, הפרופגטור הוא פונקציה המתארת את אמפליטודת הסיכוי של חלקיק שהיה בנקודה y = ( y 0 , y ) {\displaystyle y=(y^{0},\mathbf {y} )} במרחב-זמן לעבור לנקודה x = ( x 0 , x ) {\displaystyle x=(x^{0},\mathbf {x} )} . במערכת קלאסית, הסיכוי הזה יהיה 1 אם החלקיק התקדם מנקודה y {\displaystyle y} לנקודה x {\displaystyle x} ו-0 אם החלקיק לא התקדם לנקודה x {\displaystyle x} . במערכת קוונטית, הסיכוי מקבל ערכים רצפים בין 0 ל-1, והוא 1 רק אם נקודות y {\displaystyle y} ו- x {\displaystyle x} הן אותה נקודה בדיוק. בתורת שדות קוונטים, את המונח "חלקיק" מחליפים בהפעלת אופרטור השדה על מצב הואקום של המערכת. במרחב התנע הפרופגטור מתאר את אמפליטודת הסיכוי של חלקיק לטייל עם 4-תנע מסוים. בניגוד לתורות קלאסיות בהם חלקיקים יכולים להתקדם רק עם 4-תנע שמקיים p μ p μ = m 2 {\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}} , הפרופגטור של שדות קוונטיים לא חייב לקיים את המשוואה הזו. לפרופגטור יש מקבל ערכים סינגולריים עבור 4-תנע שמקיים את המשוואה הנ"ל, וחלקיקים שמקיימים אותה נקראים "על קליפת המסה" או "על הקליפה" (on the mass shell או on shell). חלקיקים שלא מקיימים את המשוואה נקראים "לא על קליפת המסה" (off the mass shell), והסיכוי לקיומם דועך ככל שהם מרוחקים יותר מקליפת המסה. מצבים אסימפטוטיים חופשיים של המערכת, המתארים חלקיקים שלא מבצעים אינטראקציה אחד עם השני נמצאים על קליפת המסה. הפרופגטור משמש בתורת השדות הקוונטיים כדי לתאר את התקדמותם של חלקיקים וחלקיקים וירטואליים בין צמתים שונים בדיאגרמות פיינמן. בצורה זו, אינטראקציות מורכבות בין חלקיקים מפורקות לאינטראקציות לוקליות פשוטות יחסית ופרופגטורים בין האינטראקציות הלוקליות. שיטה זו מאפשרת חישוב של מטריצות הפיזור. הפרופגטור עצמו מושפע מהאינטראקציות בין החלקיקים וחישובו דורש רנורמליזציה. במכניקת קוונטים לא יחסותית, הפרופגטור מוגדר כסיכוי של חלקיק להתקדם מנקודה y {\displaystyle y} בה הוא היה בזמן t y {\displaystyle t_{y}} לנקודה x {\displaystyle x} בזמן t x {\displaystyle t_{x}} . בדרך כלל, מדובר על הפרופגטור המפגר (retarded propagator) שמקבל ערך שונה מאפס רק אם הזמן t x {\displaystyle t_{x}} מאוחר יותר מ- t y {\displaystyle t_{y}} . בסימון דיראק ניתן לכתוב את הפרופגטור כ- G + ( x , t x ; y , t y ) = Θ ( t x − t y ) ⟨ x ( t x ) | y ( t y ) ⟩ {\displaystyle G^{+}(x,t_{x};y,t_{y})=\Theta (t_{x}-t_{y})\langle x(t_{x})\vert y(t_{y})\rangle } כאשר Θ {\displaystyle \Theta } פונקציית הביסייד, ו- | x ⟩ , | y ⟩ {\displaystyle \vert x\rangle ,\vert y\rangle } מצבים עצמיים של אופרטור המיקום בזמנים t x , t y {\displaystyle t_{x},t_{y}} בהתאמה. מאחר שהזמנים בהם המצבים העצמיים שונים, יש להשתמש באופרטור הקידום בזמן כדי לחשב את האמפליטודה כלומר G + ( x , t x ; y , t y ) = Θ ( t x − t y ) ⟨ x | U ^ ( t x , t y ) | y ⟩ = Θ ( t x − t y ) ⟨ x | e − i / ℏ ∫ t y t x H ^ d t | y ⟩ {\displaystyle G^{+}(x,t_{x};y,t_{y})=\Theta (t_{x}-t_{y})\langle x\vert {\hat {U}}(t_{x},t_{y})\vert y\rangle =\Theta (t_{x}-t_{y})\langle x\vert e^{-i/\hbar \int _{t_{y}}^{t_{x}}{\hat {H}}dt}\vert y\rangle } את הביטוי הזה ניתן לחשב ישירות באמצעות שיטת אינטגרלי מסלול עבור המילטוניאנים שונים. מאחר שבתורת הקוונטים הפשוטה, הסיכוי של החלקיק להיות קיים בכל נקודת זמן הוא 1, אם החלקיק נמצא בנקודה כלשהו בזמן t x {\displaystyle t_{x}} הוא היה חייב להיות קיים בזמן t y {\displaystyle t_{y}} . מעקרון הסופרפוזיציה נובע שניתן לכתוב את אמפליטודת הסיכוי של חלקיק להיות בנקודה x {\displaystyle x} בזמן t x {\displaystyle t_{x}} כאינטגרל על הסיכוי שהן היו בנקודה y {\displaystyle y} כפול אמפליטודת הסיכוי של לעבור מנקודה y {\displaystyle y} לנקודה x {\displaystyle x} . כלומר: ϕ ( x , t x ) = ∫ d y G + ( x , t x ; y , t y ) ϕ ( y , t y ) {\displaystyle \phi (x,t_{x})=\int dyG^{+}(x,t_{x};y,t_{y})\phi (y,t_{y})} באמצעות נוסחה זו, ניתן לראות שהפרופגטור הוא פונקציית גרין עבור אופרטור שרדינגר המוגדר כ- S ^ = H ^ − i ℏ ∂ t {\displaystyle {\hat {S}}={\hat {H}}-i\hbar \partial _{t}} . כלומר מתקיים S ^ x G + ( x , t x ; y , t y ) = − i ℏ δ ( x − y ) δ ( t x − t y ) {\displaystyle {\hat {S}}_{x}G^{+}(x,t_{x};y,t_{y})=-i\hbar \delta (x-y)\delta (t_{x}-t_{y})} כאשר האופרטור פועל רק על קוארדינטות ה-x. הפרופגטור של חלקיק חופשי: G + ( x , t ; y , 0 ) = m 2 π i ℏ t exp ⁡ ( − m 2 i ℏ t ( x − y ) 2 ) {\displaystyle G^{+}(x,t;y,0)={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar t}}}\exp {\left(-{\frac {m}{2i\hbar t}}(x-y)^{2}\right)}} מתנד הרמוני קוונטי: G + ( x , t ; y , 0 ) = m ω 2 π i ℏ sin ⁡ ( ω t ) exp ⁡ ( − m ω 2 i ℏ sin ⁡ ( ω t ) ( ( x 2 + y 2 ) cos ⁡ ( ω t ) − 2 x y ) ) {\displaystyle G^{+}(x,t;y,0)={\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin(\omega t)}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2i\hbar \sin(\omega t)}}\left((x^{2}+y^{2})\cos(\omega t)-2xy\right)\right)}} בתורת שדות קוונטים, את פונקציית הגל של החלקיק מחליף אופרטור השדה שפועל על מצב הואקום. בשימוש בסימון דיראק, במצב כזה, את הפרופגטור המפגר היה לכאורה אפשר להגדיר כ- G + ( x , y ) = Θ ( x 0 − y 0 ) ⟨ Ω | ϕ ( x ) ϕ † ( y ) | Ω ⟩ {\displaystyle G^{+}(x,y)=\Theta (x^{0}-y^{0})\langle \Omega \vert \phi (x)\phi ^{\dagger }(y)\vert \Omega \rangle } כאשר | Ω ⟩ {\displaystyle \vert \Omega \rangle } הוא הואקום ו- ϕ {\displaystyle \phi } הוא אופרטור השדה. עם זאת, קל לראות שהגדרה זו בעייתית במקרה של שני אירועים שמופרדים באופן מרחבי, כלומר אירועים המקיימים ( x μ − y μ ) ( x μ − y μ ) < 0 {\displaystyle (x^{\mu }-y^{\mu })(x_{\mu }-y_{\mu })<0} . עבור אירועים כאלה, קיימות מערכות יחוס בהם x 0 > y 0 {\displaystyle x_{0}>y_{0}} ומערכות אחרות בהן x 0 < y 0 {\displaystyle x_{0}<y_{0}} . הביטוי ⟨ Ω | ϕ ( x ) ϕ † ( y ) | Ω ⟩ {\displaystyle \langle \Omega \vert \phi (x)\phi ^{\dagger }(y)\vert \Omega \rangle } , לא מתאפס באופן זהותי גם עבור אירועים כאלה, ולכן ההגדרה הזו איננה אינווריאנטית לטרנספורמציות לורנץ. העובדה שהביטוי לא מתאפס מראה ששדה שנוצר בנקודה אחת יכול להתקדם מהר יותר ממהירות האור לנקודה אחרת. עם זאת, אין בכך סתירה לעקרון הלוקליות בתורת היחסות הפרטית מאחר שהתקדמות השדה לא מהווה התקדמות מידע. כדי לדעת האם מידע יכול להתקדם, יש לבדוק האם הקומוטטור של שני אופרטורי השדה יכול להיות שונה מ-0 עבור אירועים המופרדים מרחבית. בהתאם לכך, את הפרופגטור המפגר בתורת השדות הקוונטיים מגדירים כ- G + ( x , y ) = Θ ( x 0 − y 0 ) ⟨ Ω | [ ϕ ( x ) ϕ † ( y ) ] | Ω ⟩ = Θ ( x 0 − y 0 ) ( ⟨ Ω | ϕ ( x ) ϕ † ( y ) | Ω ⟩ − ⟨ Ω | ϕ † ( y ) ϕ ( x ) | Ω ⟩ ) {\displaystyle G^{+}(x,y)=\Theta (x^{0}-y^{0})\langle \Omega \left|\left[\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)\right]\right|\Omega \rangle =\Theta (x^{0}-y^{0})\left(\langle \Omega \left|\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)\right|\Omega \rangle -\langle \Omega \left|\phi ^{\dagger }(y)\phi (x)\right|\Omega \rangle \right)} בהגדרה זו, הפרופגטור הוא אינווריאנטי, והוא מתאפס עבור אירועים שמופרדים מרחבית. באופן דומה את הפרופגטור המתקדם מגדירים כ- G − ( x , y ) = Θ ( y 0 − x 0 ) ⟨ Ω | [ ϕ ( x ) ϕ † ( y ) ] | Ω ⟩ = Θ ( y 0 − x 0 ) ( ⟨ Ω | ϕ ( x ) ϕ † ( y ) | Ω ⟩ − ⟨ Ω | ϕ † ( y ) ϕ ( x ) | Ω ⟩ ) {\displaystyle G^{-}(x,y)=\Theta (y^{0}-x^{0})\langle \Omega \left|\left[\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)\right]\right|\Omega \rangle =\Theta (y^{0}-x^{0})\left(\langle \Omega \left|\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)\right|\Omega \rangle -\langle \Omega \left|\phi ^{\dagger }(y)\phi (x)\right|\Omega \rangle \right)} במהלך הפיתוח של תורת השדות התגלה שנוח להגדיר את פרופגטור פיינמן של השדה על ידי G F ( x , y ) = ⟨ Ω | T [ ϕ ( x ) ϕ † ( y ) ] | Ω ⟩ {\displaystyle G_{F}(x,y)=\langle \Omega \vert T[\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)]\vert \Omega \rangle } כאשר T {\displaystyle T} הוא סידור לפי הזמן המקיים T [ ϕ ( x ) ϕ † ( y ) ] = { ϕ ( x ) ϕ † ( y ) if  x 0 > y 0 ϕ † ( y ) ϕ ( x ) if  x 0 < y 0 } {\displaystyle T[\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)]=\left\{{\begin{matrix}\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)&{\text{if }}x^{0}>y^{0}\\\phi ^{\dagger }(y)\phi (x)&{\text{if }}x^{0}<y^{0}\end{matrix}}\right\}} . גם הפרופגטור הזה הוא אינוריאנטי לטרנספרומציות לורנץ, אך בניגוד לשני הקודמים הוא לא מתאפס זהותית עבור אירועים שמופרדים מרחבית. ההגדרה הזו מתכתבת עם העובדה שהאופרטור ϕ {\displaystyle \phi } הוא אופרטור יצירה של אנטי-חלקיקים והפרשנות לפיה אנטי-חלקיקים מתקדמים אחורה בזמן. פרופגטור פיינמן של השדה משמש בחישובים של פיזורים בתורת השדות, וחישובם נדרש כדי לחשב את האמפליטודות של דיאגרמות פיינמן. הפרופוגטור הוא פונקציית גרין של משוואת התנועה של השדה, כלומר מתקיים L ^ | ϕ ⟩ = − i δ ( 4 ) ( x − y ) {\displaystyle {\hat {L}}\vert \phi \rangle =-i\delta ^{(4)}(x-y)} . את החישוב של הפרופגטור אפשר לעשות דרך ההגדרה לעיל, ולהגיע לאינטגרלים במרחב התנע. בדרך כלל, הפרופגטור לא מחושב כשלעצמו, אלא הוא חלק מחישוב של דיאגרמת פיינמן. כדי להכניס את הפרופגטור לחישובים אלו, נוח לכתוב אותו כאינטגרל על 4-תנע. את זאת ניתן להשיג בקלות מהשימוש בעובדה שהאינטגרל הוא פונקציית גרין. לדוגמה עבור משוואת קליין-גורדון מתקבל: ( ∂ 2 + m 2 ) G ( x , y ) = − i δ ( x − y ) ⟹ ( − k 2 + m 2 ) G ~ ( k ) = − i ⟹ G ~ ( k ) = i k 2 − m 2 {\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})G(x,y)=-i\delta (x-y)\implies (-k^{2}+m^{2}){\tilde {G}}(k)=-i\implies {\tilde {G}}(k)={\frac {i}{k^{2}-m^{2}}}} לכן: G ( x , y ) = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 i e − i k ( x − y ) k 2 − m 2 = ∫ d 3 k → ( 2 π ) 3 e i k → ⋅ ( x → − y → ) ∫ d k 0 2 π i e − i k 0 ( x 0 − y 0 ) ( k 0 ) 2 − k → 2 − m 2 {\displaystyle G(x,y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}-m^{2}}}=\int {\frac {d^{3}{\vec {k}}}{(2\pi )^{3}}}e^{i{\vec {k}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})}\int {\frac {dk^{0}}{2\pi }}{\frac {ie^{-ik^{0}(x^{0}-y^{0})}}{{(k^{0})}^{2}-{\vec {k}}^{2}-m^{2}}}} הבעיה בביטוי הזה, היא שהאינטגרל האחרון בה מקבל ערכים סינגולריים בנקודות שנמצאות על קליפת המסה המקיימות ( k 0 ) 2 = k → 2 + m 2 = E k 2 {\displaystyle {(k^{0})}^{2}={\vec {k}}^{2}+m^{2}=E_{k}^{2}} . כדי לפתור את הבעיה הזו, ניתן להזיז את הנקודות הסינגולריות מהציר האמיתי ולהגיד שהערך הסינגולרי נמצא ב- ± E k ± i ϵ {\displaystyle \pm E_{k}\pm i\epsilon } כאשר ϵ → 0 {\displaystyle \epsilon \to 0} . ישנן ארבע דרכים להזיז את הנקודות הסינגולריות, ולאחר ההזזה ניתן לחשב את האינטגרל באמצעות משפט השאריות. כל אחת מהדרכים להזיז את הערכים הסינגולריים נותנת סוג אחר של פרופגטור (מפגר, מתקדם, פיינמן ו"אנטי-פיינמן"). פרופגטור פיינמן מתקבל מהזזה של הקטבים ל- ± ( E k − i ϵ ) {\displaystyle \pm (E_{k}-i\epsilon )} ולכן את פרופגטור פיינמן של שדה קליין גורדון ניתן לכתוב כ- G F ( x , y ) = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 i e − i k ( x − y ) k 2 − m 2 + i ϵ {\displaystyle G_{F}(x,y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}} הפרופגטור של חלקיק בעל ספין 0 המקיים את משוואת קליין גורדון הוא: G F ( x , y ) = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 i e − i k ( x − y ) k 2 − m 2 + i ϵ {\displaystyle G_{F}(x,y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}} הפרופגטור של פרמיון בעל ספין 1/2 המקיים את משוואת דיראק הוא: G F ( x , y ) = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 i ( k / + m ) e − i k ( x − y ) k 2 − m 2 + i ϵ {\displaystyle G_{F}(x,y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i(k\!\!\!/+m)e^{-ik(x-y)}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}} הפרופגטור של בוזון כיול וקטורי חסר מסה (דוגמת הפוטון) תלוי בבחירת הכיול, נוח לקבוע את הכיול בצורה כזו שהוא יפשט את הפרופגטור, קביעות נוחות הן: G F μ ν ( x , y ) = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 i e − i k ( x − y ) k 2 + i ϵ ( − g μ ν − ( 1 − ξ ) k μ k ν k 2 ) {\displaystyle G_{F}^{\mu \nu }(x,y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}+i\epsilon }}\left(-g^{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{k^{2}}}\right)} כאשר ξ {\displaystyle \xi } הוא קבוע. ξ = 0 {\displaystyle \xi =0} מתקבל עבור כיול לורנץ ( ∂ μ A μ = 0 {\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0} ) ו- ξ = 1 {\displaystyle \xi =1} הוא כיול פיינמן שנוח להשתמש בו בחישובים באלקטרודינמיקה קוונטית. עבור בוזון מסיבי הפרופגטור הוא: G F μ ν ( x , y ) = ∫ d 4 k ( 2 π ) 4 i e − i k ( x − y ) k 2 − m 2 + i ϵ ( − g μ ν − k μ k ν m 2 ) {\displaystyle G_{F}^{\mu \nu }(x,y)=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\left(-g^{\mu \nu }-{\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{m^{2}}}\right)} . התיאורים והחישובים לעיל נעשו במסגרת תיאוריות של שדות חסרי אינטראקציות, אולם במצב בו קיימות אינטראקציות בין השדות לעצמם, או בין שדות לשדות אחרים, האינטראקציות האלה משנות את הפרופגטור. אפשר להדגים את הרעיון במסגרת האלקטרודינמיקה הקוונטית - הסיכוי של אלקטרון להתקדם מנקודה Y לנקודה X כולל את האפשרות בה הוא מתקדם ישירות בין הנקודות, אולם גם אפשרויות מורכבות יותר. לדוגמה יש אפשרות בה הפוטון מתקדם מנקודה Y לנקודה Z, פולט בנקודה זו פוטון, הפוטון והאלקטרון מתקדמים בנפרד לנקודה W, ובה האלקטרון קולט את הפוטון, ומנקודה W האלקטרון מתקדם לנקודה X. בדוגמה זו האלקטרון פלט וקלט פוטון אחד, אולם האלקטרון יכול לקלוט ולפלוט אינספור פוטונים, ולכל אחד מהפוטונים יכול להיות כל ערך של 4-תנע. חישוב של כל התרומות של קליטת ופליטת פוטונים מוביל לכך שהאלקטרון בתיאוריה שכוללת את האינטראקציות צריך להתנהג כאילו יש תיקון למסת המנוחה שלו שתלוי באנרגיה שלו, אבל התיקון הזה הוא אינסופי. עם זאת, צפייה בתוצאות ניסויים מראה שמסת המנוחה של האלקטרון היא סופית ויכולה להימדד. כדי לפתור את בעיית ההתבדרות הזו משתמשים בהליך הרנורמליזציה שמטרתו לייצר מצב שבו לתיאוריה הנכתבת יש ניבויים פיזיקליים שיכולים להיבדק על אף שמבחינה מתמטית היא יכולה להכיל מצבים שכוללים הפרש של שני ביטויים מתבדרים. התוצאה של התיאוריה הזו היא שאנרגיית המנוחה של האלקטרון גדלה כאשר האנרגיה הכוללת של האלקטרון גדולה. תופעות דומות מתרחשות עבור שדות אחרים. Michael Peskin, Daniel Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, CRC press Stephen Blundell, Tom Lancaster, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, Oxford university press תורת השדות הקוונטית אינטגרלי מסלול דיאגרמות פיינמן מטריצת פיזור פונקציית גרין רנורמליזציה בשימוש במטריקת מינקובסקי עם הסימנים ( + , − , − , − ) {\displaystyle (+,-,-,-)} יש קונבנציות שונות עם פקטורים של i ℏ {\displaystyle i\hbar } במקומות שונים. עבור שדות פרמיונים את הקומטטור מחליף האנטי-קומטטור עבור שדה פרמיוני מגדירים T [ ϕ ( x ) ϕ † ( y ) ] = { ϕ ( x ) ϕ † ( y ) if  x 0 > y 0 − ϕ † ( y ) ϕ ( x ) if  x 0 < y 0 } {\displaystyle T[\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)]=\left\{{\begin{matrix}\phi (x)\phi ^{\dagger }(y)&{\text{if }}x^{0}>y^{0}\\-\phi ^{\dagger }(y)\phi (x)&{\text{if }}x^{0}<y^{0}\end{matrix}}\right\}} בוזון מסיבי לא מקיים סימטריית כיול. כדי לקבל בוזון כיול המתנהג כמו בוזון מסיבי יש לצמד את השדה לשדה סקלרי באמצעות דוגמת מנגנון היגס. הפרופגטור המוצג כאן הוא המתקבל במקרה בו לוקחים את המסה של בוזון גולדסטון במנגנון הזה לאינסוף, ובכך מנתקים אותו מהתיאוריה.