ברכיסטוכרון

בְּרָכִיסטוֹכְרוֹן הוא עקומה העונה לבעיה הבאה: בהינתן נקודות a ו-b, כאשר a איננה מתחת ל-b, יש למצוא את צורתו של התיל שחרוז המחליק לארכו ללא חיכוך יגיע מ-a ל-b בזמן הקצר ביותר. תנועת החרוז מושפעת רק מכוח כבידה קבוע (ללא חיכוך). המילה "ברכיסטוכרון" היא הלחם שמקורו ביוונית (βράχιστος χρόνος, "בְּרָכיסטוֹס כְרונוֹס"), ומשמעותו "הזמן הקצר ביותר". אף כי המרחק הקצר ביותר בין a ל-b הוא הקו הישר המחבר ביניהן, תנועה בקו ישר אינה מנצלת ביעילות את האנרגיה הפוטנציאלית של החרוז לצורך הגברת המהירות שלו. כלומר במדרון שאיננו תלול לוקח זמן לחרוז לצבור תאוצה, ולכן דרך זו איננה המהירה ביותר. האינטואיציה הפיזיקלית מובילה לכן למסקנה שצורת התיל צריכה להיות קמורה כלפי מטה. פתרון הבעיה באמצעות חשבון וריאציות מראה שהצורה המבוקשת היא ציקלואידה. תרגום השאלה למונחים של חשבון וריאציות מצריך למצוא פונקציונל שמקבל את הפונקציה של המסלול, ולאחר מכן באמצעות משוואת אוילר-לגראנז' למצוא את המסלול המינימלי. תחילה נמצא את t {\displaystyle t} שהוא הפונקציונל שתלוי במסלול שנציג על ידי הפונקציה y ( x ) {\displaystyle y(x)} . לפי הגדרת המהירות: v = d s d t ⇒ d t = 1 d s d t d s = d s v {\displaystyle v={\frac {ds}{dt}}\Rightarrow dt={\frac {1}{\frac {ds}{dt}}}ds={\frac {ds}{v}}} נחשב את d s {\displaystyle ds} : d s = d x 2 + d y 2 = 1 + d y 2 d x 2 d x = 1 + y ˙ 2 d x {\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}dx={\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}dx} נחשב את המהירות בעזרת שימור אנרגיה. 0 = 1 2 m v 2 − m g y {\displaystyle 0={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgy} לכן: v = 2 g y {\displaystyle v={\sqrt {2gy}}} ולכן הפונקציונל t {\displaystyle t} הוא: Δ t = ∫ t 1 t 2 d t = ∫ x 1 x 2 1 + y ˙ 2 2 g y d x {\displaystyle \Delta t=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}dt=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\frac {\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}{\sqrt {2gy}}}dx} לאחר שמצאנו את הפונקציונל t {\displaystyle t} נבצע עליו את משוואת אוילר-לגראנג'. הלגראנז'יאן הפונקציונל t {\displaystyle t} הוא: f ( y , y ˙ , x ) = 1 + y ˙ 2 2 g y {\displaystyle f(y,{\dot {y}},x)={\frac {\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}{\sqrt {2gy}}}} נפתור עבור לגראנז'יאן זה את משוואת אוילר-לגראנג' ∂ f ∂ y − d d x [ ∂ f ∂ y ˙ ] = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {\partial f}{\partial {\dot {y}}}}\right]=0} בגלל ש- ∂ f ∂ x = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=0} ניתן להשתמש בזהות יותר פשוטה של משוואת אוילר-לגראנג' הנקראת זהות בלטראמי: f − y ˙ ∂ f ∂ y ˙ = c o n s t {\displaystyle f-{\dot {y}}{\frac {\partial f}{\partial {\dot {y}}}}=const} נציב את f ( y , y ˙ , x ) {\displaystyle f(y,{\dot {y}},x)} לזהות בלטראמי ונקבל: ( c {\displaystyle c} קבוע) 1 + y ˙ 2 2 g y − y ˙ ∂ ∂ y ˙ ( 1 + y ˙ 2 2 g y ) = c {\displaystyle {\frac {\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}{\sqrt {2gy}}}-{\dot {y}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}\left({\frac {\sqrt {1+{\dot {y}}^{2}}}{\sqrt {2gy}}}\right)=c} נפשט את המשוואה ונקבל: (כאשר A {\displaystyle A} קבוע וערכו הוא A = 1 4 g c 2 {\displaystyle A={\frac {1}{4gc^{2}}}} ) y ( 1 + y ˙ 2 ) = 2 A {\displaystyle y(1+{\dot {y}}^{2})=2A} d y d x = 2 A − y y {\displaystyle {dy \over dx}={\sqrt {\frac {2A-y}{y}}}} זוהי משוואה דיפרנציאלית רגילה. ניתן לפתור אותה דרך שימוש בהפרדת משתנים: x = ∫ d x = ∫ y 2 A − y d y {\displaystyle x=\int dx=\int {\sqrt {\frac {y}{2A-y}}}dy} נפתור אינטגרל זה על ידי שיטת ההצבה. נציב: y = A sin 2 ⁡ θ 2 {\displaystyle y=A\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}} בעזרת הצבה זאת פתרון האינטגרל הוא: x = A ( θ − sin ⁡ θ ) {\displaystyle x=A(\theta -\sin \theta )} וערך ה y {\displaystyle y} הוא: (לפי ההצבה) y = A ( 1 − cos ⁡ θ ) {\displaystyle y=A(1-\cos \theta )} משוואות אלה מייצגות עקומה שצורתה היא ציקלואידה. לבעיית הברכיסטוכרון קיימת הכללה מעניינת, הדורשת לדעת מהי המנהרה התת-קרקעית המחברת בין שתי ערים על כדור הארץ אשר רכבת המחליקה (ללא חיכוך) לאורכה תגיע מעיר המוצא לעיר היעד בזמן הקצר ביותר. בשונה מבעיית הברכיסוטכרון הקלאסית, כאן הן גודל שדה הכבידה והן כיוונו משתנה לאורך מסלול הרכבת. באופן מפתיע, גם בפתרון בעיה זו המסלול המתקבל שייך למשפחת העקומות הציקלואידיות - המסלול הוא עקומה הנקראת היפוציקלואיד, עקומה המתוארת על ידי נקודה קבועה על מעגל קטן אשר מתגלגל ללא החלקה לאורכו של מעגל גדול יותר, מן הצד הפנימי שלו. בעיית הברכיסטוכרון הקלאסית מתקבלת מבעיה מוכללת זאת בגבול שבו המרחק בין שתי הערים (שנחשבות לנקודתיות) קטן מאוד בהשוואה לרדיוס כדור הארץ. הנחת הבעיה היא שלכדור הארץ יש צפיפות אחידה, כך שתאוצת הכובד משתנה באופן ליניארי מאפס במרכזו ל- g {\displaystyle g} במרחק r = R {\displaystyle r=R} , כאשר R {\displaystyle R} הוא רדיוס כדור הארץ. תאוצת הכובד תלויה לפיכך במרחק באופן הבא: g ( r ) = g r R {\displaystyle g(r)=g{\frac {r}{R}}} והפוטנציאל המקושר לנפילה בתוך שדה הכבידה הפנימי של כדור הארץ מתקבל מאינטגרציה והוא: U ( r ) = g r 2 2 R {\displaystyle U(r)={\frac {gr^{2}}{2R}}} לפיכך מהירות הרכבת כתלות ב-r תהיה: m v 2 2 = E k = m ( U ( R ) − U ( r ) ) ⟹ v = g R R 2 − r 2 = ω R 2 − r 2 {\displaystyle {\frac {mv^{2}}{2}}=E_{k}=m(U(R)-U(r))\implies v={\sqrt {\frac {g}{R}}}{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}=\omega {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}} כאן ω = g R {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {g}{R}}}} . מעתה ואילך, נעבוד במערכת קואורדינטות פולריות שראשיתה במרכז כדור הארץ, ונבטא את זמן התנועה של הרכבת בתלות במשוואת המסלול בקואורדינטות פולריות, r ( φ ) {\displaystyle r(\varphi )} . עבור r נתון, נסמן את זווית המשיק למסלול באותה נקודה ביחס למשיק למעגל שרדיוסו r (ומרכזו במרכז כדור הארץ) ב- α {\displaystyle \alpha } . מתקיים: d φ d t = v φ r = v ⋅ c o s α r = v r 1 1 + t a n 2 α {\displaystyle {\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {v_{\varphi }}{r}}={\frac {v\cdot \mathbb {cos} \alpha }{r}}={\frac {v}{r}}{\frac {1}{\sqrt {1+\mathbb {tan} ^{2}\alpha }}}} ניעזר בקשר t a n α = 1 r d r d φ = 1 r r ′ {\displaystyle \mathbb {tan} \alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dr}{d\varphi }}={\frac {1}{r}}r'} , וכך נקבל: φ ˙ = d φ d t = ω R 2 − r 2 r 2 + r ′ 2 {\displaystyle {\dot {\varphi }}={\frac {d\varphi }{dt}}=\omega {\sqrt {\frac {R^{2}-r^{2}}{r^{2}+r'^{2}}}}} ולפיכך זמן התנועה הכולל של הרכבת בין שתי הערים הוא: T = ∫ d t = ∫ φ = 0 φ = φ 0 d φ φ ˙ = 1 ω ∫ 0 φ 0 r 2 + r ′ 2 R 2 − r 2 d φ {\displaystyle T=\int dt=\int _{\varphi =0}^{\varphi =\varphi _{0}}{\frac {d\varphi }{\dot {\varphi }}}={\frac {1}{\omega }}\int _{0}^{\varphi _{0}}{\sqrt {\frac {r^{2}+r'^{2}}{R^{2}-r^{2}}}}d\varphi } כאשר φ 0 {\displaystyle \varphi _{0}} הוא המרחק הזוויתי בין שתי הערים, השווה לזווית המרכזית המתאימה של המעגל הגדול המחבר בין הערים. גם כאן, בדומה לבעיית הברכיסטוכרון הקלאסית, פונקציונל הזמן אינו תלוי מפורשות ב- φ {\displaystyle \varphi } , ולכן ניתן להפעיל את זהות בלטרמי הנגזרת ממשוואות אוילר-לגראנז' עבור מקרה זה. פתרון המשוואה הדיפרנציאלית המתקבלת, שאינו מתואר כאן, מניב עקומה היפוציקלואידית. ניסיון לפתור את הבעיה נעשה כבר בשנת 1638 על ידי גלילאו גליליי, אך הוא שגה וטען כי הפתרון הוא קשת של מעגל. הבעיה הוצגה בשנית על ידי המתמטיקאי יוהאן ברנולי בגיליון יוני 1696 של כתב העת Acta Eruditorum, וכשנה לאחר מכן פורסמו פתרונות שונים של חמישה מתמטיקאים: יוהאן ברנולי עצמו, אחיו יאקוב ברנולי, אייזק ניוטון, גוטפריד לייבניץ והמרקיז דה לופיטל. ניוטון פתר את הבעיה בתוך לילה אחד בלבד, ושלח את פתרונו בעילום שם לברנולי. האגדה מספרת כי ברנולי העיר על הפתרון "מן העקבות מזהים את האריה". בפתרונו השתמש יוהאן ברנולי בניתוח בעיית הטאוטוכרון, שנפתרה על ידי כריסטיאן הויגנס בשנת 1659. אחיו יאקוב, שהיה איתו בתחרות מתמדת, ניסח את בעיית הברכיסטוכרון בגרסה שונה ומורכבת יותר, ופתרונו לבעיה זו הביא אותו לפתח שיטות אנליטיות חדשות. שיטות אלה לוטשו מאוחר יותר על ידי לאונרד אוילר והפכו למה שנקרא "חשבון וריאציות". ציקלואידה בעיית הטאוטוכרון מדיה וקבצים בנושא ברכיסטוכרון בוויקישיתוף ברכיסטוכרון, באתר MathWorld (באנגלית) ברכיסטוכרון, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Johann Bernoulli, "Problema novum ad cujus solutionem Mathematici invitantur.", Acta Eruditorum 18, June 1696, p. 269. Jeanne Pfeiffer, Jacob Bernoulli, teacher and rival of his brother Johann, Journal Électronique d'Histoire des Probabilités et de la Statistique, November 2006, pp. 14-15 William Dunham, Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics, Wiley, 1990, עמ' 199–202