עקבה (אלגברה)

עִקְבָה היא פונקציונל בעל שימושים רבים באלגברה. מקורה באלגברה ליניארית, ומשם היא עשתה את דרכה לתורה של חבורות מטריצות, לתורת גלואה, ולחקר האלגברות מממד סופי באופן כללי. העִקְבָה (trace) של מטריצה ריבועית היא סכום האיברים באלכסון הראשי של המטריצה. אם רכיבי המטריצה שייכים לשדה F {\displaystyle \mathbb {F} } , אז העקבה היא פונקציה tr : M n ( F ) → F {\displaystyle {\text{tr}}:M_{n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F} } , המוגדרת לפי: tr ( A ) = a 11 + ⋯ + a n n = ∑ i = 1 n a i i {\displaystyle {\text{tr}}(A)=a_{11}+\cdots +a_{nn}=\sum _{i\,=\,1}^{n}a_{ii}} העקבה היא העתקה ליניארית, כלומר, מתקיימים התנאים הבאים: tr ( A + B ) = tr ( A ) + tr ( B ) {\displaystyle {\text{tr}}(A+B)={\text{tr}}(A)+{\text{tr}}(B)} tr ( α A ) = α tr ( A ) {\displaystyle {\text{tr}}(\alpha A)=\alpha {\text{tr}}(A)} עבור כל מטריצות ריבועיות A , B {\displaystyle A,B} , ועבור כל סקלר α {\displaystyle \alpha } . העקבה של המטריצה המשוחלפת שווה לזו של המטריצה המקורית: tr ( A ) = tr ( A ⊤ ) {\displaystyle {\text{tr}}(A)={\text{tr}}(A^{\top })} . העקבה מאפשרת להגדיר תבנית ביליניארית M n ( F ) × M n ( F ) → F {\displaystyle M_{n}(\mathbb {F} )\times M_{n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F} } לפי הנוסחה ( A , B ) ↦ tr ( A B ) {\displaystyle (A,B)\mapsto {\text{tr}}(AB)} , וזוהי תבנית סימטרית: tr ( A B ) = tr ( B A ) {\displaystyle {\text{tr}}(AB)={\text{tr}}(BA)} . קיומה של תבנית כזו הופך את אלגברת המטריצות לאלגברת פרובניוס. מתכונת הסימטריות נובע שאם P {\displaystyle P} מטריצה הפיכה, אז tr ( P A P − 1 ) = tr ( A ) {\displaystyle {\text{tr}}(PAP^{-1})={\text{tr}}(A)} לכל מטריצה A {\displaystyle A} . במילים אחרות, לשתי מטריצות דומות יש אותה עקבה. למעשה, העקבה של מטריצה בגודל n × n {\displaystyle n\times n} מופיעה כמינוס המקדם של λ n − 1 {\displaystyle \lambda ^{n-1}} בפולינום האופייני f a ( λ ) = det ( λ I − A ) {\displaystyle f_{a}(\lambda )=\det(\lambda I-A)} , ולכן עובדה זו היא מקרה פרטי של העובדה שלמטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני. מן הסימטריות נובע גם שלכל n {\displaystyle n} מטריצות a 1 , … , a n {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} ולכל i {\displaystyle i} מתקיים tr ( a 1 ⋯ a n ) = tr ( a i + 1 ⋯ a n a 1 ⋯ a i ) {\displaystyle {\text{tr}}(a_{1}\cdots a_{n})={\text{tr}}(a_{i+1}\cdots a_{n}a_{1}\cdots a_{i})} . עם זאת, בדרך כלל tr ( A B C ) ≠ tr ( A C B ) {\displaystyle {\text{tr}}(ABC)\neq {\text{tr}}(ACB)} . תוצאה נוספת של הסימטריות היא שלכל המטריצות מהצורה A B − B A {\displaystyle AB-BA} , כלומר, קומוטטורים חיבוריים, יש עקבה אפס. מצד שני, אפשר להוכיח שכל מטריצה בעלת עקבה אפס היא קומוטטור, כך שהגרעין של העתקת העקבה כולל את כל הקומוטטורים. אוסף זה של מטריצות מהווה אלגברת לי פשוטה (ביחס לפעולת הקומוטטור) - הדוגמה הקלה ביותר לאלגברות ממשפחה זו. את העקבה של מטריצה מרוכבת אפשר להציג גם כערך ממוצע: ∫ U ( n ) U A U ∗ d μ ( U ) = 1 n tr ( A ) I n {\displaystyle \int _{U(n)}UAU^{*}d\mu (U)={\frac {1}{n}}{\text{tr}}(A)I_{n}} , כאשר n {\displaystyle n} הוא ממד המטריצה, U ( n ) {\displaystyle U(n)} היא חבורת המטריצות האוניטריות, שהיא חבורה קומפקטית, והאינטגרל הוא ביחס למידת האר על החבורה (המנורמלת כך שמידת החבורה היא 1). אם K / F {\displaystyle K/\mathbb {F} } היא הרחבת גלואה סופית, העתקת העקבה tr : K → F {\displaystyle {\text{tr}}:K\to \mathbb {F} } מוגדרת לפי הנוסחה tr ( a ) = ∑ σ σ ( a ) {\displaystyle {\text{tr}}(a)=\sum _{\sigma }\sigma (a)} , כאשר הסכום הוא על כל האוטומורפיזמים של ההרחבה. זוהי העתקה ליניארית, שהיא תמיד על. אם ההרחבה ציקלית, כלומר, הרחבת גלואה עם חבורת גלואה ציקלית הנוצרת על ידי אוטומורפיזם σ {\displaystyle \sigma } , אז אפשר לתת לגרעין של העקבה את האפיון השימושי הבא: tr ( a ) = 0 {\displaystyle {\text{tr}}(a)=0} אם ורק אם קיים b ∈ K {\displaystyle b\in K} עבורו a = σ ( b ) − b {\displaystyle a=\sigma (b)-b} . בניסוח מתוחכם יותר, פירושו של אפיון זה הוא שחבורת הקוהומולוגיה הראשונה של Gal ( K / F ) {\displaystyle {\text{Gal}}(K/\mathbb {F} )} עם מקדמים בחבורה החיבורית של K {\displaystyle K} , היא טריוויאלית. גם כאשר המקדמים נלקחים מן החבורה הכפלית של K {\displaystyle K} חבורת הקוהומולוגיה מתאפסת – זהו משפט 90 של הילברט. לכל אלגברה A {\displaystyle A} בעלת ממד סופי n {\displaystyle n} מעל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } , יש שיכון לתוך האלגברה של מטריצות בגודל n {\displaystyle n} מעל השדה – זוהי ההצגה הרגולרית. שיכון זה מאפשר להגדיר באלגברה כמה אינווריאנטים של מטריצות, כגון העקבה והדטרמיננטה, וגם הפולינום האופייני. (הפולינום המינימלי מוגדר כבר לאברים ב- A {\displaystyle A} ). בפרט, קיימת העתקת עקבה ליניארית מן האלגברה אל שדה הבסיס. בתורת האלגברות הפשוטות מממד סופי ידועה גם ה'עקבה המצומצמת', המבוססת על שיכון של אלגברה מממד n 2 {\displaystyle n^{2}} באלגברת מטריצות בגודל n {\displaystyle n} , במקום העקבה הרגילה המחושבת לפי השיכון הרגולרי במטריצות בגודל n 2 {\displaystyle n^{2}} . עקבה, באתר MathWorld (באנגלית)