פולינומי צ'בישב

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתייחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון T 0 ( x ) , T 1 ( x ) , … {\displaystyle T_{0}(x),T_{1}(x),\ldots } , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני U 0 ( x ) , U 1 ( x ) , … {\displaystyle U_{0}(x),U_{1}(x),\ldots } , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן p ( x ) {\displaystyle p(x)} מקיים את האי-שוויון max − 1 ≤ x ≤ 1 | p ( x ) | ≥ 2 1 − n {\displaystyle \max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}} , והפולינומים 2 1 − n T n ( x ) {\displaystyle 2^{1-n}T_{n}(x)} הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון. ארבעת פולינומי צ'בישב מסוג ראשון הראשונים הם: T 0 ( x ) = 1 T 1 ( x ) = x T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\end{aligned}}} אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה T n ( cos ⁡ ( θ ) ) = cos ⁡ ( n θ ) {\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )} , שבגללה T n ( x + x − 1 ) = x n + x − n {\displaystyle T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}} לכל x {\displaystyle x} . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית: T 0 ( x ) = 1 T 1 ( x ) = x T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)\end{aligned}}} מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- n {\displaystyle n} -י היא n {\displaystyle n} . מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות T n ( x ) = { cos ⁡ ( n arccos ⁡ ( x ) ) : x ∈ [ − 1 , 1 ] cosh ⁡ ( n arccosh ( x ) ) : x ≥ 1 ( − 1 ) n cosh ⁡ ( n arccosh ( − x ) ) : x ≤ − 1 {\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x))&:x\in [-1,1]\\\cosh(n\,{\text{arccosh}}(x))&:x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,{\text{arccosh}}(-x))&:x\leq -1\end{cases}}} מן ההגדרה נובע כי T n ( T m ( x ) ) = T n m ( x ) T n ( 1 ) = 1 , T n ( − 1 ) = ( − 1 ) n , T 2 n + 1 ( 0 ) = 0 , T 2 n ( 0 ) = ( − 1 ) n {\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}(T_{m}(x))=T_{nm}(x)\\\\T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\end{matrix}}} באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה T n ( x ) = ( x + x 2 − 1 ) n + ( x − x 2 − 1 ) n 2 = ∑ k = 0 ⌊ 0.5 n ⌋ ( n 2 k ) ( x 2 − 1 ) k x n − 2 k {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k\,=\,0}^{\lfloor 0.5n\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}} ולקבל את הפונקציה היוצרת ∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n = 1 − t x 1 − 2 t x + t 2 {\displaystyle \sum _{n\,=\,0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}} מתקיים גם השוויון T n ( x ) = 1 + n 2 ( x − 1 ) ∏ k = 1 n − 1 ( 1 + x − 1 2 sin ( k π n ) 2 ) {\displaystyle T_{n}(x)=1+n^{2}(x-1)\prod _{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+{\frac {x-1}{2\sin \!{\bigl (}{\frac {k\pi }{n}}{\bigr )}^{2}}}\right)} . פולינומי צ'בישב { T n } n = 0 ∞ {\displaystyle \{T_{n}\}_{n=0}^{\infty }} מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת ⟨ f 1 , f 2 ⟩ = ∫ − 1 1 1 1 − x 2 f 1 ( x ) f 2 ( x ) d x {\displaystyle \langle f_{1},f_{2}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)dx} . כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סדרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית U n ( cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ = sin ⁡ ( ( n + 1 ) θ ) {\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}} בנוסף, קיימת הנוסחת הנסיגה הבאה: U 0 ( x ) = 1 U 1 ( x ) = 2 x U n + 1 ( x ) = 2 x U n ( x ) − U n − 1 ( x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}} אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש U 1 ( x ) = 2 x {\displaystyle U_{1}(x)=2x} ולאומת זאת, T 1 ( x ) = x {\displaystyle T_{1}(x)=x} . מכך שמעלת T n {\displaystyle T_{n}} היא n {\displaystyle n} נובע כי cos ⁡ ( θ ) {\displaystyle \cos(\theta )} פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה Q [ cos ⁡ ( n θ ) ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\cos(n\theta )]} , ובפרט הממד [ Q [ cos ⁡ ( θ ) ] : Q [ cos ⁡ ( n θ ) ] ] ≤ n {\displaystyle {\bigl [}\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]{\bigr ]}\leq n} . אם בוחרים θ = π 2 n {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2n}}} מתקבל T n ( cos ⁡ ( θ ) ) = 0 {\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=0} , ולעיתים קרובות T n {\displaystyle T_{n}} הוא הפולינום המינימלי של cos ⁡ ( π 2 n ) {\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right)} . מסנני צ'בישב Chebfun מדיה וקבצים בנושא פולינומי צ'בישב בוויקישיתוף