טבעת מביוס

טבעת מֶבְּיוּס (או רצועת מביוס, או חגורת מביוס, או לולאת מביוס) היא צורה דו-ממדית שיש לה צד אחד בלבד. מבחינה מתמטית, זהו משטח עם שפה, שאינו ניתן לכיוון. מלבד התפקיד החשוב של דוגמה זו בטופולוגיה של משטחים, טבעת מביוס נחשבת לקוריוז מתמטי עבור חובבים. הטבעת קרויה על שמו של המתמטיקאי והאסטרונום הגרמני אוגוסט פרדיננד מביוס (August Ferdinand Möbius). ניתן לבנות טבעת מביוס באופן הבא: לוקחים סרט ארוך, מסובבים את אחד הקצוות מחצית הסיבוב, ואז מדביקים אותו לקצה השני. בניגוד לטבעת רגילה, שהשפה שלה כוללת שני מעגלים נפרדים, השפה של טבעת מביוס כוללת רק מעגל אחד: אם מעבירים אצבע לאורך השפה, משלימים את התנועה לאחר ביקור בכל נקודות השפה. אם נחתוך טבעת מביוס לאורכה, באמצע, נקבל טבעת עם ליפוף כפול, שיש לה שני צדדים, כמו לטבעת רגילה. אם נחתוך את הרצועה החדשה הזו, נקבל אומנם שתי רצועות רגילות, אך הן תהיינה משולבות זו בתוך זו, מקופלות בצורת "8". אם, לעומת זאת, נחתוך טבעת מביוס לאורכה, ולא באמצעה, תתקבלנה שתי טבעות, האחת טבעת מביוס, והשנייה היא טבעת שאורכה כפול מטבעת המביוס בעלת ליפוף כפול. כלומר, אם מסמנים קו בשליש הרוחב (ולא באמצע) של טבעת מביוס וגוזרים לאורכו. המספריים נעים פעמיים מסביב לרצועה, אבל מבצעים רק חיתוך רצוף אחד. התוצאה הסופית של חיתוך זה היא שתי טבעות המשולבות זו בזו. האחת היא טבעת דו-צדדית והאחרת היא טבעת מביוס. את רצועת מביוס ניתן ליצור מהריבוע הבא, על ידי זיהוי השפה הימנית עם השפה השמאלית, והדבקתן זו עם זו כך שכיווני החצים יתלכדו. למשל: הנקודה (0,0) מזדהה עם הנקודה (1,1). ניתן לראות שהדבקה כזאת תגרום לפיתול של הרצועה סביב עצמה. דרך נוספת לבנות את טבעת מביוס היא לנפח את המישור R 2 {\displaystyle \,\mathbb {R} ^{2}} בראשית הצירים. טבעת מביוס שקולה הומוטופית למעגל, ולכן החבורה היסודית שלה היא החבורה הציקלית האינסופית. קטע החוצה את הריבוע שבאיור, במאוזן, לשני מלבנים שגובהם 0.5, הופך למעגל העתקת המנה המדביקה את הקצוות. מעגל זה הוא נסג עיוותי של הטבעת (ההטלה של כל נקודה (u,v) על הטבעת לנקודה (u,0.5) שעל המעגל, היא הסגה), אך השפה עצמה איננה נסג של הטבעת (כמוסבר בהמשך). משפט מוכר בטופולוגיה אלגברית, מבטיח לנו שהעתקת ההסגה במקרה של נסג עיוותי משרה שקילות הומוטופית, במקרה זה בין הטבעת למעגל האמצעי. כאמור, לטבעת אין נסג לשפה שלה, שאף לה חבורה יסודית ציקלית אינסופית. ניתן להוכיח שההעתקה i ∗ {\displaystyle i_{*}} המושרית מהעתקת ההכלה i : ∂ M → M {\displaystyle i:\partial M\to M} מעבירה את היוצר של השפה לפעמיים היוצר של הטבעת. מסקנה ראשונית מטענה זו היא שהשפה איננה נסג של הטבעת - אחרת i ∗ ( z ) = 2 z {\displaystyle i_{*}(z)=2z} הייתה הפיכה משמאל, מה שלא נכון. לטענה זו גם שימוש רב בתרגילים, בהם מחשבים חבורה יסודית של הדבקות שונות עם טבעת מביוס, בעזרת משפט ואן קמפן. הצייר מאוריץ קורנליס אֶשֶר השתמש בצורה זו באחד מציוריו המפורסמים, שבו נראות נמלים הולכות במסלול סגור לאורכה של טבעת מביוס. "הלכדות ברצועת מביוס" מוסברת כסיבה לתקלה במחשב HAL 9000 בסרט הנודע 2001: אודיסיאה בחלל. באלבומם הראשון, ההרכב "Hiatus kiayote" פרסם שיר ששמו "Mobius streak", בו הוא מתייחס לטבעת זו. בסריגה בשני שיפודים ובסריגה בצינורה (Crochet) יוצרים "צעיף מוביוס" המבוסס על הטבעת. בסרט הנוקמים: סוף המשחק טוני סטארק מייצר מכונת זמן בעולם הקוונטי שצורתה מבוססת על טבעת מביוס. בסדרה 39 רמזים, בסוף הספר התשיעי, טבעת מביוס משמשת כפתרון לחידה "כל הצדדים צד אחד הם". בקבוק קליין טופולוגיה קשר לוויין פלקסגון לולאה מוזרה מאוריץ קורנליוס אשר מדיה וקבצים בנושא טבעת מביוס בוויקישיתוף תמונות של יריעות מתמטיות ובהן רצועת מביוס טבעת מביוס, באתר MathWorld (באנגלית) טבעת מביוס, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית) Barbara Summers, Crochet Moebius Scarf, Microknit Creations, ‏8.9.2010 (באנגלית) Moira Chas, Crochet Topology, AMS AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY (באנגלית) Elizabeth Zimmermann, THE KNITTED MOEBIUS, KNITTING AROUND, 1997, Pittsville USA: Schoolhouse, 1989, עמ' 52-60, ISBN 0-942018-03-6. (באנגלית)