מישור (גאומטריה)

בגאומטריה, מישור הוא מושג יסודי, המשקף את העצם הדו-ממדי הבסיסי. ניתן לדמיין מישור כפיסת נייר אינסופית לכל הכיוונים. חלק גדול מן הגאומטריה, הטריגונומטריה ותורת הגרפים הוא דו-ממדי, כלומר, עוסק במישור. המישור הוא מושג יסודי בגאומטריה האוקלידית וגם בגאומטריות אחרות. בהמשך מדובר במישור במסגרת הגאומטריה האוקלידית. בהינתן מישור, ניתן להשליך עליו מערכת צירים קרטזית כדי להיות מסוגלים לציין כל נקודה במישור בעזרת שני ערכים – הקוארדינטות של הנקודה. ניתן לעשות דבר דומה עם מערכת צירים קוטבית, שבה כל נקודה מזוהה על ידי שני ערכים – זווית ומרחק מהמרכז. המישור שבו עוסקת הגאומטריה נקרא המישור האוקלידי והוא מקרה פרטי של מרחב מכפלה פנימית ממשי, ונהוג לסמנו R 2 = { ( x , y ) ∣ x , y ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}=\left\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb {R} \right\}} . המכפלה הפנימית היא המכפלה הסקלרית: ⟨ x 1 , x 2 ⟩ = ⟨ ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) ⟩ := ( x 1 , y 1 ) ∙ ( x 2 , y 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 {\displaystyle \langle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\rangle =\langle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\rangle :=(x_{1},y_{1})\bullet (x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}} . המישור האוקלידי הוא גם מרחב טופולוגי ובפרט מרחב מטרי עם המטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית d ( u , v ) = ⟨ u − v , u − v ⟩ = {\displaystyle d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\sqrt {\langle \mathbf {u} -\mathbf {v} ,\mathbf {u} -\mathbf {v} \rangle }}=} . מקרה שימושי של טיפול במישורים הוא כאשר המישור נמצא במרחב האוקלידי התלת-ממדי R 3 = { ( x , y , z ) ∣ x , y , z ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,z)\mid x,y,z\in \mathbb {R} \}} המצויד במכפלה סקלרית ומכפלה וקטורית. במערכת צירים תלת־ממדית x-y-z, אפשר להגדיר מישור כמקום הגאומטרי של כל פתרונות המשוואה   a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle \ ax+by+cz+d=0} , כאשר   a {\displaystyle \ a} ,   b {\displaystyle \ b} ,   c {\displaystyle \ c} ו-   d {\displaystyle \ d} הם מספרים ממשיים ולא כל המקדמים שווים לאפס. אפשר לכתוב גם   n ⋅ x + d = 0 {\displaystyle \ \mathbf {n} \cdot \mathbf {x} +d=0} , כאשר   n {\displaystyle \ \mathbf {n} } הוא הווקטור n = ( a , b , c ) {\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)} (שלמעשה מהווה הנורמל של המישור) ו-   x {\displaystyle \ \mathbf {x} } הוא הווקטור   ( x , y , z ) {\displaystyle \ (x,y,z)} . אם x 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle \mathbf {x} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})} היא נקודה על המישור ניתן להציגו על ידי המשוואה n ⋅ ( x − x 0 ) = 0 {\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} _{0})=0} או בכתיב מפורש לפי קואורדינטות: S = { ( x , y , z ) ∈ R 3 ∣ a ⋅ ( x − x 0 ) + b ⋅ ( y − y 0 ) + c ⋅ ( z − z 0 ) = 0 } {\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0\right\}} . במילים אחרות, המישור S {\displaystyle S} הוא קבוצת כל פתרונות המשוואה a ⋅ ( x − x 0 ) + b ⋅ ( y − y 0 ) + c ⋅ ( z − z 0 ) = 0 {\displaystyle a\cdot (x-x_{0})+b\cdot (y-y_{0})+c\cdot (z-z_{0})=0} . המישור S {\displaystyle S} הוא תת-מרחב וקטורי אם ורק אם הוא עובר דרך הראשית (כלומר: 0 = ( 0 , 0 , 0 ) {\displaystyle {\boldsymbol {0}}=(0,0,0)} הוא פתרון של מערכת המשוואות המגדירה את המישור). אפשר לתאר מישור גם באופן פרמטרי (הגדרה כזאת טובה לכל מרחב n ממדי) כקבוצת כל הנקודות מהמשוואה   x = u + t v + s w {\displaystyle \ \mathbf {x} =\mathbf {u} +t\mathbf {v} +s\mathbf {w} } כש-   t {\displaystyle \ t} ו-   s {\displaystyle \ s} הם סקלרים היכולים לקבל את כל ערכי הממשיים,   u {\displaystyle \ \mathbf {u} } הוא וקטור הקובע נקודה על המישור, ו-   v {\displaystyle \ \mathbf {v} } ו-   w {\displaystyle \ \mathbf {w} } הם וקטורים הפורשים את המישור (בתנאי שאין סקלר   r {\displaystyle \ r} המקיים   r w = v {\displaystyle \ r\mathbf {w} =\mathbf {v} } , כי אחרת המשוואה תתאר ישר ולא מישור). הצגות אלה מאפשרות לחשב בקלות תכונות של המישורים המתוארים, בדומה למצב בישרים. לדוגמה, המרחק של נקודה   ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle \ (x_{0},y_{0},z_{0})} מן המישור   a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle \ ax+by+cz+d=0} הוא   a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \ {\frac {ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}} . דרך נוספת להצגת מישור במרחב   n {\displaystyle \ n} ממדי היא כצירוף של n-2 משוואות ליניאריות. בכל מרחב אוקלידי: דרך שלוש נקודות שאינן על ישר אחד – עובר מישור אחד ויחיד; דרך ישר ונקודה שאינה עליו – עובר מישור אחד ויחיד; דרך שני ישרים הנחתכים בנקודה או המקבילים זה לזה – עובר מישור אחד ויחיד; נוסף לזה, במרחב האוקלידי התלת-ממדי: עבור כל ישר, וכל נקודה מחוץ לישר – יש מישור אחד ויחיד העובר דרך הנקודה ומאונך לישר. במרחב תלת־ממדי, ישר שאינו מקביל למישור נתון חותך את המישור הזה בנקודה אחת. שני מישורים יכולים להיות מקבילים זה לזה או לחתוך זה את זה בישר. הזווית בין שני המישורים נקראת זווית דו-מישור. מדיה וקבצים בנושא מישור בוויקישיתוף מישור, באתר MathWorld (באנגלית) כאן ולהלן, הכוונה בקביעה "מישור x עובר דרך הישר y" היא ש"כל נקודה השייכת לישר y, שייכת גם למישור x" כלומר "הישר y מוכל במישור x".