משפט גרונוולד-ואנג

בתורת המספרים האלגברית, משפט גרונוולד-ואנג קובע שפרט ליוצאי דופן ידועים, איבר של שדה מספרים K {\displaystyle K} הוא חזקת- n {\displaystyle n} של מספר אחר, אם ורק אם הוא חזקת- n {\displaystyle n} כמעט בכל השלמה K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} . למשל, מספר רציונלי הוא ריבוע אם ורק אם הוא ריבוע כמעט בכל שדה מספרים p-אדי. למשפט יש גם גרסאות המאפשרות לבנות הרחבות ציקליות של K {\displaystyle K} באמצעות מידע על השדות המקומיים המתאימים לו. המשפט פורסם לראשונה על ידי המתמטיקאי הגרמני וילהלם גרונוולד בשנת 1933 ותוקן על ידי המתמטיקאי הסיני ואנג בשנת 1948. גרונוולד, שהיה סטודנט של הלמוט הסה, פרסם ב-1933 את הטענה שאיבר בשדה מספרים הוא חזקת-n אם ורק אם הוא חזקה כזו כמעט בכל השלמה של השדה. ב-1948 מצא ואנג דוגמה נגדית: 16 הוא חזקה שמינית בכל שדה מספרים p {\displaystyle p} -אדי עבור p {\displaystyle p} אי-זוגי, אבל אינו כזה בשדה המספרים ה-2-אדי (וגם לא בשדה המספרים הרציונליים). בתזת הדוקטורט שלו, שנכתבה (ב-1950) תחת הנחייתו של אמיל ארטין, מצא ואנג גרסה נכונה למשפט, שבה מטפלים בגורמים ה-2-אדיים באופן מיוחד. המספר 16 אינו יכול להיות חזקה שמינית ב- Q 2 {\displaystyle \mathbb {Q} _{2}} , משום שהערך ה-2-אדי שלו, 4, אינו מתחלק ב-8. מעל כל שדה F {\displaystyle \mathbb {F} } , 16 הוא חזקה שמינית אם ורק אם לפולינום x 8 − 16 = ( x 2 − 2 ) ( x 2 + 2 ) ( x 2 − 2 x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) {\displaystyle x^{8}-16=(x^{2}-2)(x^{2}+2)(x^{2}-2x+2)(x^{2}+2x+2)} קיים שורש בשדה, כלומר, אם ורק אם בשדה יש שורש לאחד המספרים 2 , − 2 , − 1 {\displaystyle 2,-2,-1} . לפי התכונות הבסיסיות של שאריות ריבועיות, אחד המספרים האלה מוכרח להיות ריבוע מודולו p {\displaystyle p} , וזאת לכל ראשוני p {\displaystyle p} . לפי הלמה של הנזל, מקיום הפתרון מודולו p {\displaystyle p} , כאשר p {\displaystyle p} אי-זוגי, נובע שיש פתרון גם ב- Z p ⊆ Q p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\subseteq \mathbb {Q} _{p}} . נסמן ζ s {\displaystyle \zeta _{s}} את שורש היחידה הפרימיטיבי מסדר 2 s {\displaystyle 2^{s}} . לכל s ≥ 2 {\displaystyle s\geq 2} , השדה הציקלוטומי מסדר 2 s {\displaystyle 2^{s}} הוא השדה Q [ ζ s ] = Q [ − 1 , ζ s + ζ s − 1 ] {\displaystyle \mathbb {Q} [\zeta _{s}]=\mathbb {Q} [{\sqrt {-1}},\zeta _{s}+\zeta _{s}^{-1}]} . נאמר ששדה הוא s {\displaystyle s} -מיוחד, אם הוא כולל את ζ s + ζ s − 1 {\displaystyle \zeta _{s}+\zeta _{s}^{-1}} , אבל אינו כולל אף אחד מהמספרים − 1 , ζ s + 1 + ζ s + 1 − 1 , − 1 ( ζ s + 1 + ζ s + 1 − 1 ) {\displaystyle {\sqrt {-1}},\zeta _{s+1}+\zeta _{s+1}^{-1},{\sqrt {-1}}(\zeta _{s+1}+\zeta _{s+1}^{-1})} . יהי K {\displaystyle K} שדה מספרים, עם קבוצה סופית של ראשוניים S {\displaystyle S} , ויהי n {\displaystyle n} מספר שלם. משפט גרונוולד-ואנג קובע שכל מספר שהוא חזקה n {\displaystyle n} -ית בכל השלמה K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} עבור p ∉ S {\displaystyle {\mathfrak {p}}\notin S} , פרט למקרה המיוחד שבו מתקיימים התנאים המצטברים הבאים: קיים s {\displaystyle s} עבורו 2 s + 1 | n {\displaystyle 2^{s+1}|n} , K {\displaystyle K} הוא s {\displaystyle s} -מיוחד, ו- S {\displaystyle S} כולל את כל "הראשוניים המיוחדים", שהם הראשוניים p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} שעבורם K p {\displaystyle K_{\mathfrak {p}}} הוא s {\displaystyle s} -מיוחד (ראשוניים אלה הם בהכרח 2-אדיים, ולכן מספרם סופי). אפילו במקרה המיוחד, העיקרון הלוקאלי-גלובלי נכשל רק באופן סופי: חבורת המנה של חזקות- n {\displaystyle n} -מקומיות מודולו חזקות- n {\displaystyle n} היא מסדר 2. לדוגמה, נתבונן שנית בדוגמה הנגדית של ואנג. שדה המספרים הרציונליים הוא 2-מיוחד, מכיוון שהוא מכיל את ζ 2 + ζ 2 − 1 = 0 {\displaystyle \zeta _{2}+\zeta _{2}^{-1}=0} , אבל לא אף אחד מהמספרים − 1 , ζ 3 + ζ 3 − 1 = 2 , − 1 ( ζ 3 + ζ 3 − 1 ) = − 2 {\displaystyle {\sqrt {-1}},\zeta _{3}+\zeta _{3}^{-1}={\sqrt {2}},{\sqrt {-1}}(\zeta _{3}+\zeta _{3}^{-1})={\sqrt {-2}}} . הראשוני המיוחד היחיד הוא 2. לכן, מעל הרציונליים, המקרה המיוחד מתרחש רק אם n {\displaystyle n} מתחלק ב-8 ו- S {\displaystyle S} כולל את הראשוני 2. משום כך ייתכנו מספרים שהם חזקת-8 בכל השלמה אי-זוגית, ואינם כאלה מעל השדה עצמו. אפשר לתקן את הטענה גם כך: כל מספר שהוא חזקה n {\displaystyle n} -ית *בכל* השלמה (לרבות ה-2-אדית), הוא חזקת- n {\displaystyle n} רציונלית. מן הדוגמה הנגדית של ואנג נובע שלא קיימת הרחבה ציקלית K {\displaystyle K} מממד 8 של הרציונליים, שבה 2 הוא "אינרטי לחלוטין" (כלומר K 2 / Q 2 {\displaystyle K_{2}/\mathbb {Q} _{2}} מממד 8).