משפט הקירוב של ויירשטראס

משפט הקירוב של ויירשטראס הוא תוצאה יסודית בתורת הקירובים ובאנליזה פונקציונלית, הקובעת שכל פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום ניתנת לקירוב במידה-שווה על ידי פולינומים. במילים אחרות, המשפט קובע שתת-מרחב הפולינומים מהווה קבוצה צפופה במרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור וחסום. משפט סטון-ויירשטראס מהווה הכללה חשובה של משפט זה. משפט הקירוב: לכל פונקציה רציפה מהצורה f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } עבור קטע ממשי [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} סגור וחסום, קיימת סדרת פולינומים על [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} המתכנסת אליה במידה-שווה. פרספקטיבה אחרת בה ניתן לגשת למשפט זה, היא התייחסות למרחב הפולינומים כתת-מרחב של מרחב הפונקציות הרציפות. באופן כללי, בהינתן קטע ממשי סגור וחסום [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} כלשהו, מסמנים ב- C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} את מרחב הפונקציות הרציפות   f : [ a , b ] → R {\displaystyle \ f:[a,b]\to \mathbb {R} } , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת L {\displaystyle L} -אינסוף": ‖ f ‖ ∞ = sup x ∈ [ a , b ] | f ( x ) | {\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|} . לא קשה לראות שסדרת פונקציות מתכנסת תחת נורמת L {\displaystyle L} -אינסוף אם ורק אם היא מתכנסת במדה שווה. לפיכך הנוסח הבא שקול לחלוטין למשפט הקירוב בנוסח שהזכרנו: נוסח שקול: מרחב הפולינומים על קטע ממשי [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} צפוף במרחב C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} תחת נורמת L {\displaystyle L} -אינסוף. מסקנה: המרחב C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} הוא ספרבילי, כלומר יש בו קבוצה צפופה שהיא בת-מניה. הוכחה: קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים הוא בן-מניה, וכן גם קל לראות שמרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב הפולינומים במקדמים ממשיים. צפיפות היא תכונה טרנזיטיבית, ולכן מרחב הפולינומים במקדמים רציונליים צפוף במרחב C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} . קיימות הוכחות שונות למשפט זה. כאן לא נביא את הוכחתו המקורית של ויירשטראס, אלא הוכחה נפוצה של המתמטיקאי הרוסי סרגיי ברנשטיין שבה עושים שימוש בפולינומי ברנשטיין. פולינומים אלו הם תת-קבוצה של אוסף הפולינומים, ובמסגרת הוכחה זו נראה שאפילו תת-קבוצה מסוימת זו צפופה במרחב C ( [ a , b ] ) {\displaystyle C([a,b])} . פולינומי בסיס של ברנשטיין הם פולינומים מהצורה p k ( x , n ) = ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k {\displaystyle p_{k}(x,n)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}} . קל לראות מהבינום של ניוטון שמתקיים השוויון: ∑ k = 0 n p k ( x , n ) = ∑ k = 0 n ( n k ) x k ( 1 − x ) n − k = ( x + ( 1 − x ) ) n = 1 {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p_{k}(x,n)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=(x+(1-x))^{n}=1} זהות עקרונית נוספת המתקיימת לפולינומים אלה, היא שלכל 0 < δ {\displaystyle 0<\delta } מתקיים אי השוויון: ∑ | k n − x | ≥ δ p k ( x , n ) ≤ 1 n δ 2 {\displaystyle \sum _{|{k \over n}-x|\geq \delta }p_{k}(x,n)\leq {1 \over n\delta ^{2}}} . ניגש להוכחת המשפט. נראה שבהינתן פונקציה רציפה f : [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} } , לכל 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } קיים פולינום g {\displaystyle g} מתאים כך שמתקיים sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( x ) − g ( x ) | < ϵ {\displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|<\epsilon } . אם כך, בהינתן פונקציה f {\displaystyle f} כנ"ל נגדיר לכל n טבעי את הפולינום B n ( f ( x ) ) = ∑ k = 0 n f ( k n ) p k ( x , n ) {\displaystyle B_{n}(f(x))=\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p_{k}(x,n)} . נראה שלכל 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } , לכל n מספיק גדול מתקיים כי sup x ∈ [ 0 , 1 ] | f ( x ) − B n ( x ) | < ϵ {\displaystyle \sup _{x\in [0,1]}|f(x)-B_{n}(x)|<\epsilon } . יהי 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } . נזכור שהפונקציה f {\displaystyle f} רציפה בקטע סגור וחסום ולכן היא חסומה בו על ידי M ∈ R {\displaystyle M\in \mathbb {R} } כלשהו. מאותה עובדה נובע גם כי היא רציפה במידה שווה בקטע, לכן לכל 0 < ϵ {\displaystyle 0<\epsilon } , בפרט עבור ϵ 2 {\displaystyle {\epsilon \over 2}} הנתון, קיים 0 < δ {\displaystyle 0<\delta } מתאים כך שלכל x , y ∈ [ a , b ] {\displaystyle x,y\in [a,b]} אם | x − y | < δ {\displaystyle |x-y|<\delta } אז | f ( x ) − f ( y ) | < ϵ 2 {\displaystyle |f(x)-f(y)|<{\epsilon \over 2}} . נחשב: | B n ( f ( x ) ) − f ( x ) | = | ∑ k = 0 n f ( k n ) p k ( x , n ) − f ( x ) | = {\displaystyle |B_{n}(f(x))-f(x)|=|\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p_{k}(x,n)-f(x)|=} = | ∑ k = 0 n f ( k n ) p k ( x , n ) − f ( x ) ⋅ ∑ k = 0 n p k ( x , n ) | = {\displaystyle =|\sum _{k=0}^{n}f\left({\frac {k}{n}}\right)p_{k}(x,n)-f(x)\cdot \sum _{k=0}^{n}p_{k}(x,n)|=} = | ∑ k = 0 n [ f ( k n ) − f ( x ) ] ⋅ p k ( x , n ) | ≤ ∑ k = 0 n | f ( k n ) − f ( x ) | p k ( x , n ) = {\displaystyle =|\sum _{k=0}^{n}\left[f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right]\cdot p_{k}(x,n)|\leq \sum _{k=0}^{n}\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p_{k}(x,n)=} = ∑ | k n − x | < δ | f ( k n ) − f ( x ) | p k ( x , n ) + ∑ | k n − x | ≥ δ | f ( k n ) − f ( x ) | p k ( x , n ) < {\displaystyle =\sum _{|{k \over n}-x|<\delta }\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p_{k}(x,n)+\sum _{|{k \over n}-x|\geq \delta }\left|f\left({\frac {k}{n}}\right)-f(x)\right|p_{k}(x,n)<} < ∑ | k n − x | < δ ϵ 2 ⋅ p k ( x , n ) + 2 M ⋅ 1 n δ 2 ≤ {\displaystyle <\sum _{|{k \over n}-x|<\delta }{\epsilon \over 2}\cdot p_{k}(x,n)+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}\leq } ≤ ϵ 2 ⋅ ∑ k = 0 n p k ( x , n ) + 2 M ⋅ 1 n δ 2 = ϵ 2 + 2 M ⋅ 1 n δ 2 {\displaystyle \leq {\epsilon \over 2}\cdot \sum _{k=0}^{n}p_{k}(x,n)+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}={\epsilon \over 2}+2M\cdot {1 \over n\delta ^{2}}} נשים לב שהחסם שקיבלנו אינו תלוי במשתנה x, ולכן מדובר בחסם במידה-שווה על [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , שמתקיים לכל n טבעי. אם כך ברור שעבור N מספיק גדול מתקיים: | B N ( f ( x ) ) − f ( x ) | < ϵ 2 + 2 M ⋅ 1 N δ 2 < ϵ {\displaystyle |B_{N}(f(x))-f(x)|<{\epsilon \over 2}+2M\cdot {1 \over N\delta ^{2}}<\epsilon } משפט הקירוב של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית) זוהי למעשה פונקציית ההתפלגות של משתנה מקרי מפולג בינומית B ( n , p ) {\displaystyle {\textrm {B}}\left(n,p\right)} . שוויון זה הוא יישום של אי-שוויון צ'בישב להתפלגות בינומית. כל קטע ממשי סגור וחסום הוא הומאומורפי לקטע [0,1].