משוואת ריינולדס

משוואת ריינולדס היא משוואה דיפרנציאלית חלקית המתארת את פילוג הלחץ בשכבות דקות של זורם צמיג במכניקת הזורמים. המשוואה פותחה לראשונה על ידי אוסבורן ריינולדס ב-1886. ניתן להשתמש במשוואת ריינולדס כמעט לכל סוג של מסוב בו שני החלקים המוצקים מופרדים על ידי נוזל או גז. עבור המקרה במתואר בתמונה משמאל משוואת ריינולדס היא: ∂ ∂ x ( ρ h 3 12 μ ∂ p ∂ x ) + ∂ ∂ y ( ρ h 3 12 μ ∂ p ∂ y ) = ∂ ∂ x ( ρ h ( U a + U b ) 2 ) + ρ ( w a − w b ) − ρ U b ∂ h ∂ x + h ∂ ρ ∂ t {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\rho \left(w_{a}-w_{b}\right)-\rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}+h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}} כאשר: x , y , z {\displaystyle x,y,z} - הן קואורדינטות קרטזיות. p {\displaystyle p} - לחץ כפונקציה של x {\displaystyle x} . h {\displaystyle h} - פרופיל המשטח העליון כפונקציה של x {\displaystyle x} . ρ {\displaystyle \rho } - צפיפות הנוזל. μ {\displaystyle \mu } - צמיגות הנוזל. U a {\displaystyle U_{a}} - מהירות בכיוון x {\displaystyle x} של המשטח התחתון. U b {\displaystyle U_{b}} - מהירות בכיוון x {\displaystyle x} של המשטח העליון. w a {\displaystyle w_{a}} - מהירות בכיוון ציר y {\displaystyle y} של המשטח התחתון. w b {\displaystyle w_{b}} - מהירות בכיוון ציר y {\displaystyle y} של המשטח העליון. הזורם הוא ניוטוני, כוחות הגזירה פרופורציונליים למהירות. אינרציה וכוחות גוף זניחים. שינויים בלחץ לאורך ציר z {\displaystyle z} זניחים כלומר p = p ( x , y ) {\displaystyle p=p(x,y)} הזרימה היא למינארית. (עבור זרימה טורבולנטית יש להשתמש במשוואת ריינולדס שונה) אפקטים עקב עקמומיות המשטח העליון זניחים. כלומר עובי הזורם קטן בהרבה מעובי ואורך המיסב. ∂ ∂ x ( ρ h 3 12 μ ∂ p ∂ x ) + ∂ ∂ y ( ρ h 3 12 μ ∂ p ∂ y ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}\right)} - זרימת הזורם עקב גרדיאנט לחץ. ∂ ∂ x ( ρ h ( U a + U b ) 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)} -זרימת הזורם עקב גזירה (זרימת קוואט). ρ U b ∂ h ∂ x {\displaystyle \rho U_{b}{\frac {\partial h}{\partial x}}} - לחיצה כתוצאה מהגאומטריה של המשטח העליון. ρ ( w a − w b ) {\displaystyle \rho \left(w_{a}-w_{b}\right)} - לחיצה עקב תנועה של שני המשטחים אחד כלפי השני. h ∂ ρ ∂ t {\displaystyle h{\frac {\partial \rho }{\partial t}}} - התפשטות מקומית של הנוזל. ∂ ∂ x ( ρ h ( U a + U b ) 2 ) = h ( U a + U b ) ∂ ∂ x ( ρ 2 ) + ρ h ∂ ∂ x ( ( U a + U b ) 2 ) + ( U a + U b ) ρ ∂ ∂ x ( h 2 ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=h\left(U_{a}+U_{b}\right){\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho }{2}}\right)+\rho h{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)+\left(U_{a}+U_{b}\right)\rho {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {h}{2}}\right)} עבור משטחים קשיחים האיבר ∂ ∂ x ( ( U a + U b ) 2 ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\left(U_{a}+U_{b}\right)}{2}}\right)=0} שינוי הגאומטריה הוא האיבר החשוב ביותר והוא הגורם ליצירת לחץ במיסב. על מנת לקבל לחץ חיובי על המשטח להיות  ∂ h ∂ x < 0 {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}<0} האיבר של שינוי הצפיפות לאורך ציר x {\displaystyle x} זניח בדרך כלל ביחס לאיבר של שינוי הגאומטריה. ∂ h ∂ x >> ∂ ρ ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial x}}>>{\frac {\partial \rho }{\partial x}}} פתרון משוואה זו אינו משימה קלה, אך בגאומטריות פשוטות משוואה זו ניתנת לפתרון אנליטי. בדוגמה הבאה ישנן שתי פלטות, התחתונה נעה בכיוון ציר x {\displaystyle x} במהירות קבועה והעליונה סטטית אך בשיפוע. מצב מתמיד. ∂ ∂ t = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}=0} זורם בלתי דחיס וצמיגות קבועה ρ = c o n s t , μ = c o n s t {\displaystyle \rho =const,\mu =const} . מימד הגובה קטן בהרבה ממימד העומק והרוחב. h << L {\displaystyle h<<L} בעיה דו־ממדית, כלומר מימד העומק גדול מאוד ביחס לממדים האחרים ואין כל שינוי במימד זה. עבור הנחות אלו משוואת ריינולדס מצטמצמת לצורה הבאה: ∂ ∂ x ( ρ h 3 12 μ ∂ p ∂ x ) = 1 2 ρ U ∂ h ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\rho h^{3}}{12\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)={\frac {1}{2}}\rho U{\frac {\partial h}{\partial x}}} פרופיל המשטח העליון הוא: h ( x ) = h 2 − h 1 L x + h 1 {\displaystyle h(x)={\frac {h_{2}-h_{1}}{L}}x+h_{1}} בידיעת פרופיל המשטח העליון ניתן למצוא את פילוג הלחץ בצורה אנליטית. הפתרון הוא: P ( x ) = − 6 μ U h ( x ) 2 x − k 1 2 ∗ h ( x ) 2 ∗ h 2 − h 1 L + k 2 {\displaystyle P(x)=-{\frac {6\mu U}{h(x)^{2}}}x-{\frac {k_{1}}{2*h(x)^{2}*{\frac {h_{2}-h_{1}}{L}}}}+k_{2}} כאשר k 1 , k 2 {\displaystyle k_{1},k_{2}} הם קבועי האינטגרציה. הרצאותיו של פרופסור משנה אמיר גת, טכניון. Michael Khonsari, E. Richard Booser. Applied tribology, bearing design and lubrication. 2nd ed.