מעוות

מַעֲוות הוא השינוי הגאומטרי החל בגוף הנתון תחת מאמץ. מעוות יכול להיות אחיד (הומוגני) בכל חלקי הגוף או בלתי אחיד. הביטוי הכללי למעוות הוא טנזור מעוות סימטרי. לרוב מתייחסים למעוות היחסי שהוא ערך חסר יחידת מידה המגדיר את השינוי ביחס לערך הראשוני לפני הפעלת המאמץ. בתחום האלסטי של החומר, הקשר בין המאמץ לבין המעוות נתון על ידי חוק הוק ומתואר באופן גרפי על ידי קו ישר. התחום הפלסטי של חומר מתאפיין בהשתנות שאינה ליניארית, ובמעוות שיורי שנותר לאחר הסרת העומס. דיאגרמת מאמץ-מעוות נותנת ערך נסיוני למעוות היחסי כתלות במאמץ הפועל על דגם של החומר הנבדק. המעוות היחסי מסומן באמצעות האות היוונית אפסילון ( ε {\displaystyle \varepsilon } ). כאשר המוט מתארך במאמץ מתיחה, δ ℓ {\displaystyle \delta \ell } הוא בעל ערך חיובי וכך גם המעוות היחסי ε {\displaystyle \varepsilon } . כאשר המוט מתקצר במאמץ לחיצה, δ ℓ {\displaystyle \delta \ell } בעל ערך שלילי וגם המעוות היחסי ε {\displaystyle \varepsilon } בעל ערך שלילי. האורך הראשוני של המוט ℓ o {\displaystyle \ell _{o}} הוא ערך חיובי. המעוות היחסי כתוצאה ממאמץ הגורם לשינוי אורך של מוט נתון על ידי הביטוי: ε = δ ℓ ℓ o = ℓ − ℓ o ℓ o {\displaystyle \varepsilon ={\frac {\delta \ell }{\ell _{o}}}={\frac {\ell -\ell _{o}}{\ell _{o}}}} כאשר ε {\displaystyle \varepsilon } – המעוות היחסי ℓ o {\displaystyle \ell _{o}} – האורך הראשוני של המוט ℓ {\displaystyle \ell } – האורך הנוכחי של המוט δ ℓ {\displaystyle \delta \ell } – שינוי האורך של המוט הביטוי למעוות היחסי בנקודה כלשהי בגוף מתקבל מהשינוי היחסי במרחק בין שתי נקודות: ε = lim ℓ → 0 ⁡ δ ℓ ℓ {\displaystyle \varepsilon =\mathop {\lim _{\ell \to 0}} {\frac {{\delta }{\ell }}{\ell }}} כאשר: ε {\displaystyle \varepsilon } – המעוות היחסי δ ℓ {\displaystyle {{\delta }{\ell }}} – שינוי המרחק בין שתי נקודות קרובות ℓ {\displaystyle \ell } – המרחק הנוכחי בין שתי נקודות קרובות לאחר הפעלת המאמץ באופן כללי נגדיר את המעוות הליניארי בגוף על ידי שינוי המרחק בין שתי נקודות בגוף שנסמן אותן באופן אקראי על ידי A,B. ε x = lim B → A ⁡ | A B ′ | − | A B | | A B | {\displaystyle \varepsilon _{x}=\mathop {\lim _{B\to A}} {{|AB'|-|AB|} \over {|AB|}}} לשדה כלשהו של תזוזות u → {\displaystyle {\overrightarrow {u}}} המעוות הליניארי נתון על ידי הנגזרות החלקיות: ε x = ∂ u x ∂ x {\displaystyle \varepsilon _{x}={{\partial u_{x}} \over {\partial x}}}  ; ε y = ∂ u y ∂ y {\displaystyle \varepsilon _{y}={{\partial u_{y}} \over {\partial y}}}  ; ε z = ∂ u z ∂ z {\displaystyle \varepsilon _{z}={{\partial u_{z}} \over {\partial z}}} כאשר ε i {\displaystyle \varepsilon _{i}} – מעוות בכיוון ציר "i" ∂ u i ∂ i {\displaystyle {{\partial u_{i}} \over {\partial i}}} – הנגזרת החלקית של שדה התזוזות u → {\displaystyle {\overrightarrow {u}}} בנקודה כלשהי בכיוון ציר i מעוות הגזירה מוגדר כשינוי הזוויתי בנקודה כלשהי בגוף בין שני קווים העוברים דרך הנקודה. γ x y = ∂ u x ∂ y + ∂ u y ∂ x {\displaystyle \gamma _{xy}={{\partial u_{x}} \over {\partial y}}+{{\partial u_{y}} \over {\partial x}}}  ; γ y z = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y {\displaystyle \gamma _{yz}={{\partial u_{y}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{z}} \over {\partial y}}}  ; γ x z = ∂ u x ∂ z + ∂ u z ∂ x {\displaystyle \gamma _{xz}={{\partial u_{x}} \over {\partial z}}+{{\partial u_{z}} \over {\partial x}}} כאשר:   γ i j {\displaystyle \ \gamma _{ij}} – המעוות הזוויתי היחסי המעוות הליניארי ומעוות הגזירה מגדירים באופן מלא את המעוות שעובר הגוף. ניתן להגדיר גם מעוות ניפחי ϑ = lim V ( 0 ) → 0 V − V ( 0 ) V ( 0 ) {\displaystyle \vartheta =\lim _{V^{(0)}\to 0}{V-V^{(0)} \over {V^{(0)}}}} כאשר: ϑ {\displaystyle \vartheta } – מעוות נפחי יחסי V ( 0 ) {\displaystyle V^{(0)}\!} – הנפח ההתחלתי V {\displaystyle V} – הנפח הסופי לאחר הפעלת המאמץ במערכת קואורדינטות ישרת זווית (קרטזית) המעוות הנפחי היחסי הוא בקרוב: ϑ = ε x + ε y + ε z {\displaystyle \vartheta =\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}+\varepsilon _{z}} כאשר: ϑ {\displaystyle \vartheta } – מעוות נפחי יחסי ε x , ε y , ε z {\displaystyle \varepsilon _{x},\varepsilon _{y},\varepsilon _{z}} הם מעוותים יחסיים בכיוון הצירים x, y, z נבטא את המעוותים בצורה של טנזור: ε i j = 1 2 ( ∇ i u j + ∇ j u i ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left({\nabla _{i}u_{j}+\nabla _{j}u_{i}}\right)} בסימון של אינדקסים: ε = 1 2 ( ∇ → u → + ( ∇ → u → ) T ) {\displaystyle \varepsilon ={1 \over 2}({\vec {\nabla }}{\vec {u}}+({\vec {\nabla }}{\vec {u}})^{T})} במערכת קואורדינטות ישרת זווית: ε i j = [ ε x γ x y 2 γ x z 2 γ y x 2 ε y γ y z 2 γ z x 2 γ z y 2 ε z ] {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left[{\begin{matrix}{\varepsilon _{x}}&{\frac {\gamma _{xy}}{2}}&{\frac {\gamma _{xz}}{2}}\\{\frac {\gamma _{yx}}{2}}&{\varepsilon _{y}}&{\frac {\gamma _{yz}}{2}}\\{\frac {\gamma _{zx}}{2}}&{\frac {\gamma _{zy}}{2}}&{\varepsilon _{z}}\end{matrix}}\right]} המעוות הנפחי הוא: ϑ = ε i j g i j {\displaystyle \vartheta =\varepsilon _{ij}g^{ij}} gij ϑ = t r ( ε ) {\displaystyle \vartheta =tr(\varepsilon )} נכתוב טנזור מעוותים דו־ממדי: ε i j = [ ε x γ x y 2 γ x y 2 ε y ] {\displaystyle \varepsilon _{ij}=\left[{\begin{matrix}{\varepsilon _{x}}&{\frac {\gamma _{xy}}{2}}\\{\frac {\gamma _{xy}}{2}}&{\varepsilon _{y}}\\\end{matrix}}\right]} המעוותים הראשיים ε 1 , ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}} ε 1 = ε x + ε y 2 + ( ε x − ε y 2 ) 2 + ( γ x y 2 ) 2 {\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\gamma _{xy}}{2}}\right)^{2}}}} ε 2 = ε x + ε y 2 − ( ε x − ε y 2 ) 2 + ( γ x y 2 ) 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}={\frac {\varepsilon _{x}+\varepsilon _{y}}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {\varepsilon _{x}-\varepsilon _{y}}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\gamma _{xy}}{2}}\right)^{2}}}} Timoshenko S.P, Strength of Materials, 3rd edition, Krieger Publishing Company, 1976. Sybil P. Parker Editor in Chieh. McGraw-Hill Encyclopedia of Engineering, McGraw Hill Book Company 1983. S.P. Timoshenkoo & J.N. Goodier Theory of Elasticity, 3rd edition, International Student Edition, McGraw-Hill 1970. Shames I.H., Cozzarelli F.A., Elastic and inelastic stress analysis, Prentice-Hall, 1991. מדיה וקבצים בנושא מעוות בוויקישיתוף מעוות גזירה, אוניברסיטת ויסקונסין-גרין ביי מעוות באי פאנדה עיוותים (מכניקה), דף שער בספרייה הלאומית