מטריצת תמורה

בתורת המטריצות, מטריצת תמורה היא מטריצה ריבועית בינארית שמכילה בדיוק אחדה אחת בכל שורה ובכל עמודה ואפסים בכל המקומות האחרים. כל מטריצה P {\displaystyle P} כזאת מייצגת תמורה של m {\displaystyle m} איברים, וכאשר מכפילים אותה במטריצה אחרת A {\displaystyle A} , גורמת לערבוב השורות (בכפל מלפני, כלומר P A {\displaystyle PA} ) או העמודות (בכפל מאחרי, כלומר A P {\displaystyle AP} ) של המטריצה A {\displaystyle A} . כיוון שבמטריצת תמורה יש בדיוק אחדה אחת בכל שורה או עמודה, ניתן להיעזר בדימוי מתחום השחמט כדי להבין איך היא נראית; אוסף מטריצות התמורות נמצא בהתאמה חד-חד ערכית עם אוסף ההעמדות של m {\displaystyle m} צריחים על לוח בגודל m × m {\displaystyle m\times m} כך שאף אחד לא יאיים על השני, כאשר מיקומי הצריחים מתאימים למיקומי האחדות במטריצות התמורה. מקומבינטוריקה עולה שיש m ! {\displaystyle m!} מטריצות תמורה, כגודל החבורה הסימטרית S m {\displaystyle S_{m}} . בהינתן תמורה π {\displaystyle \pi } של m {\displaystyle m} איברים, π : { 1 , … , m } → { 1 , … , m } {\displaystyle \pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace } המיוצגת בסימון שתי שורות כ- ( 1 2 ⋯ m π ( 1 ) π ( 2 ) ⋯ π ( m ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}}} ישנן שתי דרכים טבעיות לקשר בין תמורה למטריצת תמורה; כאשר מתחילים ממטריצת הזהות מסדר m × m {\displaystyle m\times m} , כלומר I m {\displaystyle I_{m}} , אז ניתן לבצע תמורה על עמודות או שורות המטריצה, בהתאם ל- π {\displaystyle \pi } . מאמר זה ידון רק באחת מההצגות הללו, כאשר האחרת תוזכר רק אם יש הבדל ביניהן שיש להיות מודעים אליו. למטריצת התמורה מסדר m × m {\displaystyle m\times m} , כלומר P π = ( p i j ) {\displaystyle P_{\pi }=(p_{ij})} , המתקבלת מערבוב העמודות של מטריצת הזהות I m {\displaystyle I_{m}} , כלומר הפועלת כך שלכל i {\displaystyle i} , מתקיים p i j = 1 {\displaystyle p_{ij}=1} אם j = π ( i ) {\displaystyle j=\pi (i)} ו-0 אחרת, נתייחס כהצגת העמודות בערך זה. כיוון שהאיברים בשורה i {\displaystyle i} כולם 0 למעט ה-1 שמופיע בעמודה π ( i ) {\displaystyle \pi (i)} , ניתן לכתוב P π = [ e π ( 1 ) e π ( 2 ) ⋮ e π ( m ) ] {\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (m)}\end{bmatrix}}} כאשר e j {\displaystyle \mathbf {e} _{j}} , וקטור בסיס סטנדרטי, מסמן וקטור שורה באורך m {\displaystyle m} עם 1 במיקום ה- j {\displaystyle j} ו-0 בכל מיקום אחר. לדוגמה, מטריצת התמורה P π {\displaystyle P_{\pi }} המתאימה לתמורה: π = ( 1 2 3 4 5 1 4 2 5 3 ) , {\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},} , היא: P π = [ e π ( 1 ) e π ( 2 ) e π ( 3 ) e π ( 4 ) e π ( 5 ) ] = [ e 1 e 4 e 2 e 5 e 3 ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ] . {\displaystyle P_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\mathbf {e} _{\pi (3)}\\\mathbf {e} _{\pi (4)}\\\mathbf {e} _{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\\\mathbf {e} _{4}\\\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {e} _{5}\\\mathbf {e} _{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.} ניתן להבחין בכך שהעמודה ה- j {\displaystyle j} של מטריצת הזהות I 5 {\displaystyle I_{5}} מופיעה כעת כעמודה ה- π ( j ) {\displaystyle \pi (j)} של P π {\displaystyle P_{\pi }} . הכפלת P π {\displaystyle P_{\pi }} בווקטור עמודה g תערבב את השורות של הווקטור: P π g = [ e π ( 1 ) e π ( 2 ) ⋮ e π ( n ) ] [ g 1 g 2 ⋮ g n ] = [ g π ( 1 ) g π ( 2 ) ⋮ g π ( n ) ] . {\displaystyle P_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{\pi (1)}\\\mathbf {e} _{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} _{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{1}\\g_{2}\\\vdots \\g_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{\pi (1)}\\g_{\pi (2)}\\\vdots \\g_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.} שימוש חוזר בתוצאה הזאת מראה שאם M {\displaystyle M} היא מטריצה במידות מתאימות, המכפלה P π M {\displaystyle P_{\pi }M} היא פשוט תמורה של השורות של M {\displaystyle M} . המטריצה ההופכית של מטריצה תמורה שווה למטריצה המשוחלפת שלה, כלומר: P π − 1 = P π − 1 = P π T {\displaystyle P_{\pi }^{-1}=P_{\pi ^{-1}}=P_{\pi }^{\mathsf {T}}} . העקבה של מטריצת תמורה היא מספר נקודות השבת של התמורה. אם למטריצה יש נקודות שבת, אז היא ניתנת לכתיבה בצורה ציקלית כ- π = ( a 1 ) ( a 2 ) … ( a k ) σ {\displaystyle \pi =(a_{1})(a_{2})\dots (a_{k})\sigma } , כאשר σ {\displaystyle \sigma } היא תמורה ללא נקודות שבת, ו- e a 1 , e a 2 , … , e a k {\displaystyle e_{a_{1}},e_{a_{2}},\dots ,e_{a_{k}}} הם וקטורים עצמיים של מטריצת התמורה (אלו הם וקטורי השבת). כדי לחשב את הערכים העצמיים של מטריצת תמורה נתונה P σ {\displaystyle P_{\sigma }} , נכתוב את σ {\displaystyle \sigma } כמכפלה של תמורות ציקליות, כלומר σ = C 1 C 2 ⋯ C t {\displaystyle \sigma =C_{1}C_{2}\cdots C_{t}} . יהיו האורכים של המחזורים הללו l 1 , l 2 . . . l t {\displaystyle l_{1},l_{2}...l_{t}} בהתאמה, ויהי R i ( 1 ≤ i ≤ t ) {\displaystyle R_{i}(1\leq i\leq t)} אוסף הפתרונות המרוכבים של x l i = 1 {\displaystyle x^{l_{i}}=1} (כלומר שורשי היחידה מסדר l i {\displaystyle l_{i}} ). אז האיחוד של כל ה- R i {\displaystyle R_{i}} -ים הוא אוסף הערכים העצמיים של מטריצת התמורות המתאימה. הריבוב הגאומטרי של כל ערך עצמי שווה למספר ה- R i {\displaystyle R_{i}} -ים שמכילים אותו. מתורת החבורות ידוע שכל תמורה ניתנת להצגה כהרכבה של חילופים. לפיכך כל מטריצת תמורה P {\displaystyle P} ניתנת לפירוק כמכפלה של מטריצות אלמנטריות המחליפות שתי שורות, אשר לכל אחת יש דטרמיננטה 1-. לפיכך, מכפליות הדטרמיננטה מקבלים שהדטרמיננטה של כל מטריצת תמורה P {\displaystyle P} היא 1 או 1- בהתאם לזוגיות התמורה. תמורה (מתמטיקה) מדיה וקבצים בנושא מטריצת תמורה בוויקישיתוף מטריצת תמורה, באתר MathWorld (באנגלית)