משפטי שנירלמן

בתורת המספרים האדיטיבית, משפטי שנירלמן הם משפטים מרכזיים העוסקים בצפיפות של קבוצות מספרים, החלקיות לקבוצת המספרים הטבעיים. למשפטים אלו יש השלכה לבעיית וארינג והרבה מאוד משפטים העוסקים בתורת המספרים האדיטיבית. יהו   A , B {\displaystyle \ A,B} קבוצות מספרים המוכלות בקבוצת המספרים הטבעיים, אזי: 1)   δ ( A + B ) ≥ δ ( A ) + δ ( B ) − δ ( A ) δ ( B ) {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)} . כאשר הסימון   δ {\displaystyle \ \delta } מייצג את צפיפות שנירלמן. 2)אם   | A ( n ) | + | B ( n ) | > n − 1 {\displaystyle \ \vert A(n)\vert +\vert B(n)\vert >n-1} אזי   n {\displaystyle \ n} מופיע בקבוצה   A + B {\displaystyle \ A+B} 3)אם   δ ( A ) + δ ( B ) ≥ 1 {\displaystyle \ \delta (A)+\delta (B)\geq 1} אזי   A + B = N {\displaystyle \ A+B=\mathbb {N} } (קבוצת המספרים הטבעיים). במשפט השני והשלישי אנחנו מניחים כי   0 ∈ A , B {\displaystyle \ 0\in A,B} . נבדוק שני מקרים: מקרה ראשון כאשר   A , B {\displaystyle \ A,B} מכילים לכל היותר איבר אחד, ומקרה שני כאשר לפחות אחד מהקבוצות   A , B {\displaystyle \ A,B} מכילות יותר מאיבר אחד. בהינתן שמתקיים המקרה הראשון האי-שוויון הוא טריוויאלי, שכן במקרה זה   δ ( A ) = δ ( B ) = 0 {\displaystyle \ \delta (A)=\delta (B)=0} ודי ברור ש   δ ( A + B ) ≥ 0 = δ ( A ) + δ ( B ) − δ ( A ) δ ( B ) {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq 0=\delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)} .עכשיו נותר להוכיח את המשפט למקרה השני. נניח בלי הגבלת הכלליות שמספר האיברים ב-   A {\displaystyle \ A} גדול מאחד, נסדר את איברי A לפי הסדר הרגיל של המספרים הטבעיים:   A = { a 1 , a 2 , … } {\displaystyle \ A=\left\{a_{1},a_{2},\dots \right\}} כאשר   a n < a n + 1 {\displaystyle \ a_{n}<a_{n+1}} לכל אינדקס n. יהיו   a k , a k + 1 {\displaystyle \ a_{k},a_{k+1}} מספרים השייכים ל-   A {\displaystyle \ A} , אז לפי סידור איברי הקבוצה:   a k < a k + 1 {\displaystyle \ a_{k}<a_{k+1}} . נגדיר   a k + 1 − a k − 1 = L k {\displaystyle \ a_{k+1}-a_{k}-1=L_{k}} . ברור שהמספרים   a k + 1 , a k + 2 , . . . , a k + L k = a k + 1 − 1 {\displaystyle \ a_{k}+1,a_{k}+2,...,a_{k}+L_{k}=a_{k+1}-1} לא שייכים לקבוצה   A {\displaystyle \ A} . כמו כן המספר   a k + r {\displaystyle \ a_{k}+r} יופיעו ב   A + B {\displaystyle \ A+B} אם ורק אם   r {\displaystyle \ r} שייך ל-   B {\displaystyle \ B} כאשר   r {\displaystyle \ r} הוא מספר קטן מ-   L k {\displaystyle \ L_{k}} וגדול מ-   1 {\displaystyle \ 1} ,לכן   r {\displaystyle \ r} שייך ל   B ( L k ) {\displaystyle \ B(L_{k})} . לכן הקבוצה   a k + B ( L k ) {\displaystyle \ a_{k}+B(L_{k})} (כלומר הקבוצה שכל איבריה שווים לסכום האיבר   a k {\displaystyle \ a_{k}} ועוד איבר כלשהו מ   B ( L k ) {\displaystyle \ B(L_{k})} ) מוכל ב   A + B {\displaystyle \ A+B} .לכן גם אחוד כל הקבוצות מהצורה   a k + B ( L k ) {\displaystyle \ a_{k}+B(L_{k})} כאשר   K {\displaystyle \ K} רץ מ   1 {\displaystyle \ 1} ל   n − 1 {\displaystyle \ n-1} מוכל ב   A + B {\displaystyle \ A+B} שזה הקבוצה   A ( n ) + ∑ k = 1 n − 1 B ( L k ) {\displaystyle \ A(n)+\sum _{k=1}^{n-1}B(L_{k})} .מכאן נובע ש-   | A ( n ) | + | ∑ k = 1 n − 1 B ( L k ) | ≤ | ( A + B ) ( n ) | {\displaystyle \ \vert A(n)\vert +\vert \sum _{k=1}^{n-1}B(L_{k})\vert \leq \vert (A+B)(n)\vert } לפי הגדרת הצפיפות   | B ( L k ) | ≥ δ ( B ) ∗ L k {\displaystyle \ \vert B(L_{k})\vert \geq \delta (B)*L_{k}} וגם   | A ( n ) | ≥ δ ( A ) ∗ n {\displaystyle \ \vert A(n)\vert \geq \delta (A)*n} , ומובן ש   ∑ k = 1 n − 1 L k = n − A ( n ) {\displaystyle \ \sum _{k=1}^{n-1}L_{k}=n-A(n)} (כי המקומות שבהם אין איבר מ   A {\displaystyle \ A} הוא סכום כל האיברים שנמצאים בין   a k + 1 {\displaystyle \ a_{k+1}} ל   a k {\displaystyle \ a_{k}} ) לכן   | ( A + B ) ( n ) | ≥ | A ( n ) | + ∑ k = 1 n − 1 | B ( L k ) | {\displaystyle \ \vert (A+B)(n)\vert \geq \vert A(n)\vert +\sum _{k=1}^{n-1}\vert B(L_{k})\vert }   ≥ | A ( n ) | + δ ( B ) ∑ k = 1 n − 1 L k = | A ( n ) | + δ ( B ) ( n − δ ( A ) ∗ n ) ≥ δ ( A ) ∗ n + δ ( B ) ∗ n − δ ( A ) δ ( B ) ∗ n {\displaystyle \ \geq \vert A(n)\vert +\delta (B)\sum _{k=1}^{n-1}L_{k}=\vert A(n)\vert +\delta (B)(n-\delta (A)*n)\geq \delta (A)*n+\delta (B)*n-\delta (A)\delta (B)*n} לכן לכל n   | ( A + B ) ( n ) | n ≥ δ ( A ) + δ ( B ) − δ ( A ) δ ( B ) {\displaystyle \ {\frac {\vert (A+B)(n)\vert }{n}}\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)} לכן בהכרח מתקיים   δ ( A + B ) ≥ δ ( A ) + δ ( B ) − δ ( A ) δ ( B ) {\displaystyle \ \delta (A+B)\geq \delta (A)+\delta (B)-\delta (A)\delta (B)} . מ.ש.ל נניח כי   n ∈ A {\displaystyle \ n\in A} .ידוע כי   0 ∈ B {\displaystyle \ 0\in B} ולכן   n = n + 0 ∈ A + B {\displaystyle \ n=n+0\in A+B} .כלומר המשפט מתקיים כאשר   n {\displaystyle \ n} נמצא ב   A {\displaystyle \ A} (באותו אופן המשפט נכון כאשר   n ∈ B {\displaystyle \ n\in B} ).לכן אם נוכיח את הטענה ל   n ∉ B , A {\displaystyle \ n\not \in B,A} נוכיח את המשפט. כאשר   n ∉ B , A {\displaystyle \ n\not \in B,A} מתקיים   A ( n ) = A ( n − 1 ) , B ( n ) = B ( n − 1 ) {\displaystyle \ A(n)=A(n-1),B(n)=B(n-1)} ונקבל   A ( n − 1 ) + B ( n − 1 ) > n − 1 {\displaystyle \ A(n-1)+B(n-1)>n-1} .נגדיר   | A ( n − 1 ) | = r , | B ( n − 1 ) | = s {\displaystyle \ \vert A(n-1)\vert =r,\vert B(n-1)\vert =s} כלומר   r + s > n − 1 {\displaystyle \ r+s>n-1} .לכן אם יש   r + s {\displaystyle \ r+s} מספרים כאשר כל המספרים הם בין   1 {\displaystyle \ 1} ל   n − 1 {\displaystyle \ n-1} אז יש לפחות מספר אחד שמופיע פעמיים. לכן בהכרח שניים מהמספרים   a 1 , a 2 , . . . , a r , n − b 1 , n − b 2 , . . . , n − b s {\displaystyle \ a_{1},a_{2},...,a_{r},n-b_{1},n-b_{2},...,n-b_{s}} מתלכדים.כלומר ישנו   i , j {\displaystyle \ i,j} כך ש   a i = n − b j {\displaystyle \ a_{i}=n-b_{j}} כלומר   A + B ∋ a i + b j = n {\displaystyle \ A+B\ni a_{i}+b_{j}=n} מ.ש.ל לפי הגדרת הצפיפות לכל   n {\displaystyle \ n} מתקיים   | A ( n ) | n ≥ δ ( A ) , | B ( n ) | n ≥ δ ( B ) {\displaystyle \ {\frac {\vert A(n)\vert }{n}}\geq \delta (A),{\frac {\vert B(n)\vert }{n}}\geq \delta (B)} . לכן   | A ( n ) | n + | B ( n ) | n ≥ δ ( A ) + δ ( B ) ≥ 1 {\displaystyle \ {\frac {\vert A(n)\vert }{n}}+{\frac {\vert B(n)\vert }{n}}\geq \delta (A)+\delta (B)\geq 1} כלומר   | A ( n ) | + | B ( n ) | ≥ n > n − 1 {\displaystyle \ \vert A(n)\vert +\vert B(n)\vert \geq n>n-1} לכן,לפי משפט 2, כל   n {\displaystyle \ n} נמצא ב   A + B {\displaystyle \ A+B} ולכן   A + B = N {\displaystyle \ A+B=N} מ.ש.ל צפיפות שנירלמן