სინუსი და კოსინუსი

მათემატიკაში სინუსი და კოსინუსი არის კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. სამკუთხედის მახვილი კუთხის სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება მართკუთხა სამკუთხედის კონტექსტში. მოცემული კუთხის სინუსი არის ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი — მიმდებარე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. კუთხე α {\displaystyle \alpha } -სთვის, სინუსი და კოსინუსი აღინიშნება როგორც sin ⁡ α {\displaystyle \sin \alpha } და cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha } . სინუსი და კოსინუსი ჩაიწერება ფუნქციური აღნიშვნის გამოყენებით, აბრევიატურებით sin და cos. თუ არგუმენტი საკმაოდ მარტივია, ფუნქცია შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც sin ⁡ α {\displaystyle \sin \alpha } და არა როგორც sin ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin(\alpha )} . სინუსისა და კოსინუსი არის კუთხის ფუნქციები და ჩვეულებრივ გამოისახება რადიანებსა და გრადუსებში, თუ სხვა რამ არ არის დაკონკრეტებული. α მახვილი კუთხის სინუსის განსასაზღვრად მართკუთხა სამკუთხედში მის მოპირდაპირე გვერდს (კათეტს) ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსის შემთხვევაში კი მიმდებარეს ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან. ერთი ერთეულის სიგრძის რადიუსის მქონე წრეწირში (ერთეულოვან წრეწირში), სინუსი განსაზღვრულია როგორც y კოორდინატი, კოსინუსი კი x კოორდინატი. რადიუსი მოძრაობას იწყებს საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო (დადებითი) მიმართულებით და მის თითოეულ პოზიციას შეესაბამება კუთხე (რადიანებში), რომელსაც რადიუსი დადებით x-ღერძთან ადგენს, პირობითად θ კუთხე. წერტილს, რომელიც წრეწირზე ძევს, შეესაბამება პირობითი კოორდინატები (a, b). თუკი წერტილიდან x ღერძისკენ დავუშვებთ სიმაღლეს, შეიქმნება მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ჰიპოტენუზა იქნება 1 (რადგან ერთეულოვანი წრეწირი გვაქვს). θ კუთხის სინუსი იქნება: sin ⁡ ( θ ) = მოპირდაპირე ჰიპოტენუზა = მოპირდაპირე 1 = მოპირდაპირე {\displaystyle \sin(\theta )={\frac {\text{მოპირდაპირე}}{\text{ჰიპოტენუზა}}}={\frac {\text{მოპირდაპირე}}{1}}={\text{მოპირდაპირე}}} , ანუ b, რადგან მოპირდაპირე კუთხის სიგრძე ემთხვევა წერტილის კოორდინატს y ღერძზე. ანალოგიურადაა კოსინუსის შემთხვევაშიც: cos ⁡ ( θ ) = მიმდებარე ჰიპოტენუზა = მიმდებარე = a {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {\text{მიმდებარე}}{\text{ჰიპოტენუზა}}}={\text{მიმდებარე}}=a} . y = sin ⁡ x {\displaystyle y=\sin x} ფუნქციის განსაზღვრის არეა D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=R} , მნიშვნელობათა სიმრავლე კი E ( y ) = [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle E(y)=[-1;1]} . სინუს ფუნქცია კენტია, რადგან ნებისმიერი x {\displaystyle x} -ისათვის sin ⁡ ( − x ) = − sin ⁡ x {\displaystyle \sin(-x)=-\sin x} , ვინაიდან P , x {\displaystyle P_{,}x} და P , ( − x ) {\displaystyle P_{,}(-x)} წერტილთა კოორდინატები მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან. y = sin ⁡ x {\displaystyle y=\sin x} პერიოდულია და მისი უმცირესი დადებითი პერიოდია 2 π {\displaystyle 2\pi } , ანუ ნებისმიერი R 0 ( x + 2 π ) = R 0 x {\displaystyle R_{0}(x+2\pi )=R_{0}x} y = sin ⁡ x {\displaystyle y=\sin x} ფუნქცია ზრდადია [ − π 2 , π 2 ] {\displaystyle [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}]} შუალედში და კლებადია [ π 2 , 3 π 2 ] {\displaystyle [{\frac {\pi }{2}},{\frac {3\pi }{2}}]} შუალედში, რადგან სინუსი პერიოდულია ცხადია , იგი ზრდადია ნებისმიერ [ π 2 + 2 π ⋅ k , π 2 + 2 π ⋅ k ] k ∈ Z {\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z} , ხოლო კლებადია [ π 2 + 2 π ⋅ k , 3 π 2 + 2 π ⋅ k ] k ∈ Z {\displaystyle [{\frac {\pi }{2}}+2\pi \cdot k,{\frac {3\pi }{2}}+2\pi \cdot k]k\in Z} შუალედში y = sin ⁡ x {\displaystyle y=\sin x} ფუნქცია სიმეტრიულია (0,0) წერტილის მიმართ, რადგან ნებისმიერი x {\displaystyle x} -ისათვის sin ⁡ ( − x ) = sin ⁡ ( x ) {\displaystyle \sin(-x)=\sin(x)} და მის გრაფიკს სინუსოიდა ეწოდება. y = cos ⁡ x {\displaystyle y=\cos x} ფუნქციის განსაზღვრის არეა D ( y ) = R {\displaystyle D(y)=R} , ხოლო მნიშვნელობათა სიმრავლე E ( y ) = [ − 1 ; 1 ] {\displaystyle E(y)=[-1;1]} y = cos ⁡ x {\displaystyle y=\cos x} ფუნქცია ლუწია, რადგან ნებისმიერ x {\displaystyle x} -ისათვის cos ⁡ ( − x ) = cos ⁡ x {\displaystyle \cos(-x)=\cos x} ,ვინაიდან აბცისთა ღერძის მიმართ P , x {\displaystyle P_{,}x} და P , ( − x ) {\displaystyle P_{,}(-x)} წერტილების აბცისები ტოლია y = cos ⁡ x {\displaystyle y=\cos x} ფუნქცია პერიოდულია და მისი უმცირესი დადებითი პერიოდია 2 π {\displaystyle 2\pi } , რაც ნიშნავს , R 0 ( x + 2 π ) = R 0 x {\displaystyle R_{0}(x+2\pi )=R_{0}x} y = cos ⁡ x {\displaystyle y=\cos x} ფუნქცია ზრდადია [ − π , 0 ] {\displaystyle [-\pi ,0]} შუალედში , ხოლო კლებადია [ 0 , π ] {\displaystyle [0,\pi ]} შუალედში. იქიდან გამომდინარე , რომ კოსინუსის უმცირესი დადებითი პედიოდია 2 π {\displaystyle 2\pi } , გამომდინარეობს , რომ იგი ზრდადია ნებისმიერ [ − π + 2 π ⋅ k , 2 π ⋅ k ] k ∈ Z {\displaystyle [-\pi +2\pi \cdot k,2\pi \cdot k]k\in Z} შუალედში , ხოლო კლებადია [ 2 π ⋅ k , π + 2 π ⋅ k ] k ∈ Z {\displaystyle [2\pi \cdot k,\pi +2\pi \cdot k]k\in Z} შუალედში კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ , რადგან ლუწი ფუნქციაა. ნებისმიერი x {\displaystyle x} -ისათვის cos ⁡ ( − x ) = − cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \cos(-x)=-\cos(x)} y = cos ⁡ x {\displaystyle y=\cos x} ფუნქციის გრაფიკს კოსინუსოიდა ეწოდება ეს ეხება ყველა α {\displaystyle \alpha } მნიშვნელობას. sin ⁡ ( α ) = cos ⁡ ( π 2 − α ) = cos ⁡ ( α − π 2 ) {\displaystyle \sin(\alpha )=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \left(\alpha -{\frac {\pi }{2}}\right)} cos ⁡ ( α ) = sin ⁡ ( π 2 − α ) = sin ⁡ ( α + π 2 ) {\displaystyle \cos(\alpha )=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \left(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\right)} sin ⁡ α = cos ⁡ ( 3 π 2 + α ) {\displaystyle \sin \alpha =\cos({\frac {3\pi }{2}}+\alpha )} sin ⁡ α = t g α 1 + c t g 2 α {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {tg\alpha }{\sqrt {1+ctg^{2}\alpha }}}} cos ⁡ α = 1 1 + t g 2 α {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}\alpha }}}} cos ⁡ α = c t g α 1 + c t g 2 α {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {ctg\alpha }{\sqrt {1+ctg^{2}\alpha }}}} ეს იგივეობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ერთეულოვან წრეწირში სინუსი Y კოორდინატია, კოსინუსი X და ჰიპოტენუზა — რადიუსი (1), ანუ სინუსისა და კოსინუსის კვადრატების ჯამი 1-ია cos 2 ⁡ ( θ ) + sin 2 ⁡ ( θ ) = 1 {\displaystyle \cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1} sin 2 ⁡ ( α ) = 1 − cos 2 ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )=1-\cos ^{2}(\alpha )} სადაც sin 2 (x) ნიშნავს sin(x)) 2 -ს. sin ⁡ ( 2 α ) = 2 sin ⁡ ( α ) cos ⁡ ( α ) {\displaystyle \sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha )} cos ⁡ ( 2 α ) = cos 2 ⁡ ( α ) − sin 2 ⁡ ( α ) = 2 cos 2 ⁡ ( α ) − 1 = 1 − 2 sin 2 ⁡ ( α ) {\displaystyle \cos(2\alpha )=\cos ^{2}(\alpha )-\sin ^{2}(\alpha )=2\cos ^{2}(\alpha )-1=1-2\sin ^{2}(\alpha )} sin ⁡ ( α + β ) = s i n α ⋅ cos ⁡ β + s i n β ⋅ cos ⁡ α {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=sin\alpha \cdot \cos \beta +sin\beta \cdot \cos \alpha } sin ⁡ ( α − β ) = sin ⁡ α ⋅ cos ⁡ β − cos ⁡ α ⋅ sin ⁡ β {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -\cos \alpha \cdot \sin \beta } cos ⁡ ( α + β ) = cos ⁡ α ⋅ cos ⁡ β − sin ⁡ α ⋅ sin ⁡ β {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta } cos ⁡ ( α − β ) = cos ⁡ α ⋅ cos ⁡ β + sin ⁡ α ⋅ sin ⁡ β {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta } sin ⁡ α 2 = ± 1 − cos ⁡ α 2 {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}} cos ⁡ α 2 = ± 1 + cos ⁡ α 2 {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}} sin ⁡ 3 α = 3 sin ⁡ α − 4 sin 3 ⁡ α {\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha } cos ⁡ 3 α = 4 cos 3 ⁡ α − 3 cos ⁡ α {\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha } sin 2 ⁡ α = 1 − cos ⁡ ( 2 α ) 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}} sin 3 ⁡ α = 3 sin ⁡ α − sin ⁡ ( 3 α ) 4 {\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin(3\alpha )}{4}}} cos 2 ⁡ α = 1 + cos ⁡ ( 2 α ) 2 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}} cos 3 ⁡ α = 3 cos ⁡ α + cos ⁡ ( 3 α ) 4 {\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos(3\alpha )}{4}}} sin 2 ⁡ α ⋅ cos 2 ⁡ α = sin 2 ⁡ ( 2 α ) 4 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cdot \cos ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}(2\alpha )}{4}}} სინუსების თეორემა გვიჩვენებს, რომ სამკუთხედისთვის a, b და c გვერდებით და A, B და C გვერდების მოპირდაპირე კუთხეებით: sin ⁡ A a = sin ⁡ B b = sin ⁡ C c . {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.} ეს ეკვივალენტურია ქვემოთ მოცემული პირველი სამი გამოსახულებისა: a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R , {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R,} სადაც R არის სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი . კოსინუსების თეორემიდან ვიცით, რომ სამკუთხედისთვის a, b და c გვერდებისა და A, B და C გვერდების მოპირდაპირე კუთხეების მქონე სამკუთხედისთვის: a 2 + b 2 − 2 a b cos ⁡ ( C ) = c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(C)=c^{2}} როცა C = π / 2 {\displaystyle C=\pi /2} (ანუ მართია), cos ⁡ ( C ) = 0 {\displaystyle \cos(C)=0} და ეს გადაიქცევა პითაგორას თეორემად: მართკუთხა სამკუთხედისთვის, a 2 + b 2 = c 2 , {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},} სადაც c არის ჰიპოტენუზა. ს.თოფურია , ბ.აბესიზე მათემატიკა I ნაწილი 1991 წლის გამოშვება. * ტრიგონომეტრია | მათემატიკა | ხანის აკადემია (khanacademy.org) J J O'Connor and E F Robertson (June 1996). "The trigonometric functions". Retrieved 2 March 2010. Adlaj, Semjon (2012). "An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse" (PDF). American Mathematical Society. p. 1097 Eli Maor (1998), Trigonometric Delights, Princeton: Princeton University Press, p. 35-36. ↑ {{{title}}}.  ↑ შეცდომა თარგის გამოძახებისას: cite web: პარამეტრები url და title აუცილებელად უნდა მიეთითოს..