გრადიენტი

ვექტორულ აღრიცხვაში რაიმე სკალარული ველის გრადიენტი არის ვექტორული ველი, რომელიც მიმართულია სკალარული ველის მაქსიმალური ზრდის მიმართულების გასწვრივ, ხოლო მისი სიდიდე მაქსიმალური ცვლილების სიდიდის ტოლია. განვიხილოთ რაიმე ოთახი, რომელშიდაც ტემპერატურა განისაზღვრება სკალარული ფუნქციით T {\displaystyle T} , ისე რომ ნებისმიერ ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} წერტილში ტემპერატურა არის T ( x , y , z ) {\displaystyle T(x,y,z)} . ოთახის ნებისმიერ წერტილში ტემპერატურის გრადიენტი გვიჩვენებს მიმართულებას, რომლის გასწვრივაც ტემპერატურის ცვლილების ტემპი მაქსიმალურია, ხოლო მისი მნიშვნელობა განსაზღვრავს რამდენად სწრაფად იცვლება ტემპერატურა ამ მიმართულებით. განვიხილოთ რაიმე ზედაპირი, რომლის სიმაღლე ზღვის დონიდან რაიმე ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} წერტილში არის H ( x , y ) {\displaystyle H(x,y)} . რაიმე წერტილში H {\displaystyle H} ფუნქციის გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც მიმართულია ამ წერტილში ყველაზე ციცაბო დახრის გასწვრივ. რაიმე f ( x 1 , x 2 , x 3 , … , x n ) {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ,x_{n})} სკალარული ფუნქციის გრადიენტი აღინიშნება როგორც ∇ f {\displaystyle \nabla f} ან ∇ → f {\displaystyle {\vec {\nabla }}f} , სადაც ∇ {\displaystyle \nabla } (ლაპლასიანი) აღნიშნავს ვექტორული დიფერენცირების ოპერატორს. გრადიენტის აღსანიშნავად ასევე გამოიყენება აღნიშვნა grad ⁡ ( f ) {\displaystyle \operatorname {grad} (f)} . f ფუნქციის გრადიენტი განისაზღვრება როგორც ვექტორული ველი, რომლის კომპონენტები არის ∇ f = ( ∂ f ∂ x 1 , … , ∂ f ∂ x n ) . {\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).} გრადიენტის გამოსახულება დამოკიდებულია გამოყენებულ კოორდინატთა სისტემაზე. დეკარტის კოორდინატთა სისტემაში ზემოთ მოყვანილი გამოსახულება იღებს შემდეგ სახეს ∇ f ( x , y , z ) = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) {\displaystyle \nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)} რომელიც სტანდარტული ერთეულოვანი ვექტორების i ^ , j ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }}} და k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}} გამოყენებით ასე ჩაიწერება: ∂ f ∂ x i ^ + ∂ f ∂ y j ^ + ∂ f ∂ z k ^ {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\mathbf {\hat {i}} }+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {\mathbf {j} }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {\mathbf {k} }}} მაგალითად, დეკარტის კოორდინატებში შემდეგი ფუნქციის f ( x , y , z ) =   2 x + 3 y 2 − sin ⁡ ( z ) {\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)} გრადიენტი არის ∇ f = ( ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z ) = ( 2 , 6 y , − cos ⁡ ( z ) ) . {\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left(2,6y,-\cos(z)\right).} ცილინდრულ კოორდინატთა სისტემში გრდიენეტი მოიცება შემდეგი გამოსახულებით ∇ f ( ρ , ϕ , z ) = ∂ f ∂ ρ e ρ + 1 ρ ∂ f ∂ ϕ e ϕ + ∂ f ∂ z e z {\displaystyle \nabla f(\rho ,\phi ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}} სადაც ϕ {\displaystyle \phi } არის აზიმუტის კუთხე, z {\displaystyle z} არის აქსიალური კოორდინატი, ხოლო eρ, eφ და ez არიან ღერძების გასწვრივ მიმართული ერთეულოვანი ვექტორები. სფერულ კოორდინატებში გრადიენტი მოიცემა შემდეგი გამოსახულებით: ∇ f ( r , θ , ϕ ) = ∂ f ∂ r e r + 1 r ∂ f ∂ θ e θ + 1 r sin ⁡ θ ∂ f ∂ ϕ e ϕ {\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }} სადაც ϕ {\displaystyle \phi } არის აზიმოტს კუთხე და θ {\displaystyle \theta } ზენიტის კუთხე. %***********************************************************************% % გამოყენება: [g, FunEval] = Grad (fun, x0) % x0: წერტილი, რომელშიც განისაზღვრება გრადიენტი. % g: ვექტორი, რომელიც შეიცავს გრადიენტის მნიშვნელობას x0 წერტილში. function [g, Eval] = Grad (fun, x0) % % ცვლადების განსაზღვრა % Size = size(x0); Eval = 0; Number_of_elements = Size(2); for i= 1:Number_of_elements x0_pi = x0; x0_mi = x0; if x0(i)== 0 h = 1e-9; % delta else h = x0(i)/1e3; % delta end x0_pi(i) = x0(i) + h; x0_mi(i) = x0(i) - h; % წარმოებულის გამოთვლა % წარმოებულის მიახლოება g(i,1) = (fun(x0_pi) - fun(x0_mi))/(2*h); Eval = Eval +1; end end დივერგენცია როტორი ვექტორული აღრიცხვა Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York: Dover Publications, pp. 157–160, ISBN 0-486-41147-8, OCLC 43864234. Schey, H.M. (1992), Div, Grad, Curl, and All That (2nd რედ.), W.W. Norton, ISBN 0-393-96251-2, OCLC 25048561.