ბოლცანო-კოშის თეორემა

ბოლცანო-კოშის თეორემა — თეორემა უწყვეტი ფუნქციის შუალედური მნიშვნელობების შესახებ მათემატიკურ ანალიზსა და ტოპოლოგიაში. ის ამბობს, რომ თუ უწყვეტი ფუნქცია იღებს რაღაც ორ მნიშვნელობას, მაშინ ის ასევე იღებს მათ შორის ნებისმიერ სხვა მნიშვნელობას. დავუშვათ მოცემულია უწყვეტი ფუნქცია შუალედზე f ∈ C ( [ a , b ] ) {\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}} . ასევე დავუშვათ, რომ f ( a ) ≠ f ( b ) {\displaystyle f(a)\neq f(b)} , და ზოგადობის შეუზღუდავად ვივარაუდოთ, რომ f ( a ) = A < B = f ( b ) {\displaystyle f(a)=A<B=f(b)} . მაშინ ნებისმიერი C ∈ [ A , B ] {\displaystyle C\in [A,B]} არსებობს ისეთი c ∈ [ a , b ] {\displaystyle c\in [a,b]} , რომ f ( c ) = C {\displaystyle f(c)=C} . განვიხილოთ ფუნქცია g ( x ) = f ( x ) − C {\displaystyle \,g(x)=f(x)-C} . ის უწყვეტია სეგმენტზე [ a , b ] {\displaystyle \,[a,b]} და g ( a ) < 0 {\displaystyle \,g(a)<0} , g ( b ) > 0 {\displaystyle \,g(b)>0} . ვაჩვენოთ, რომ არსებობს ისეთ წერტილი c ∈ [ a , b ] {\displaystyle \,c\in [a,b]} , რომ g ( c ) = 0 {\displaystyle \,g(c)=0} . გავყოთ სეგმენტი [ a , b ] {\displaystyle \,[a,b]} წერტილით x 0 {\displaystyle \,x_{0}} ორ ტოლი სიგრძის ნაწილად, მაშინ ან g ( x 0 ) = 0 {\displaystyle \,g(x_{0})=0} და საჭირო წერტილი c = x 0 {\displaystyle \,c=x_{0}} მიღებულია, ანდა g ( x 0 ) ≠ 0 {\displaystyle g(x_{0})\neq 0} და მაშინ მიღებული შუალედებისგან ერთ-ერთის ბოლოებში ფუნქცია g ( x ) {\displaystyle \,g(x)} იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშნელობებს (მარცხენა ბოლოში ნულზე ნაკლები, მარჯვენაში - მეტი). აღვნიშნოთ მიღებული სეგმენტი [ a 1 , b 1 ] {\displaystyle \,[a_{1},b_{1}]} , ისევ გავყოთ ის ორ ტოლ ნაწილად და ა.შ. მაშინ ბიჯთა სასრული ოდენობის მერე ჩვენ მივალთ საძებნ წერტილამდე c {\displaystyle \,c} , ან მივიღებთ ერთმანეთში ჩალაგებულ სეგმენტთა სიმრავლეს [ a n , b n ] {\displaystyle \,[a_{n},b_{n}]} , რომლების სიგრძე მიისწრაფის ნულისკენ და g ( a n ) < 0 < g ( b n ) {\displaystyle \,g(a_{n})<0<g(b_{n})} . დავუშვათ c {\displaystyle \,c} - ყველა სეგმენტის საერთო წერტილია [ a n , b n ] {\displaystyle \,[a_{n},b_{n}]} , n = 1 , 2 , . . . {\displaystyle \,n=1,2,...} მაშინ c = lim a n = lim b n , {\displaystyle c=\lim a_{n}=\lim b_{n},} და ფუნქციის უწყვეტობის გამო g ( x ) : {\displaystyle \,g(x):} g ( c ) = lim g ( a n ) = lim g ( b n ) . {\displaystyle g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).} რადგან lim g ( a n ) ≤ 0 ≤ lim g ( b n ) {\displaystyle \lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n})} , მივიღებთ, რომ g ( c ) = 0. {\displaystyle \,g(c)=0.} (თეორემა უწყვეტი ფუნქციის ნულის შესახებ.) თუ ფუნქცია შუალედის ბოლოებში იღებს საწინააღმდეგო ნიშნის მნიშვნელობებს, მაშინ არსებობს წერტილი, სადაც მისი მნიშვნელობა ხდება ნულის ტოლი. უფრო ზუსტად, დავუშვათ f ∈ C ( [ a , b ] ) , {\displaystyle f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )},} და f ( a ) f ( b ) < 0 {\displaystyle f(a)f(b)<0} . მაშინ ∃ c ∈ ( a , b ) {\displaystyle \exists c\in (a,b)} ისეთი, რომ f ( c ) = 0 {\displaystyle f(c)=0} . კერძოდ, ნებისმიერი კენტი რიგის მრავალწევრს გააჩნია სულ მცირე ერთი ნული; ზოგჯერ (სახელმძღვანელოებში) მოსაზრებას ნულის შესახებ უწოდებენ ბოლცანო-კოშის პირველ თეორემას, ხოლო ზოგადს - მეორე თეორემას, შესაბამისად. სინამდვილეში კი, ისინი ერთი და იგივეა. ბოლცანო-კოშის თეორემა უშვებს განზოგადებას უფრო ზოგად ტოპოლოგიურ სივრცეებზე. ყოველი უწყვეტი ფუნქცია f : X → R {\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} } , განსაზღვრული წრფივად ბმულ ტოპოლოგიურ სივრცეზე, რომელიც იღებს რაღაც ორ მნიშვნელობას, ასევე იღებს ნებისმიერ მათ შორის მდებარე მნიშვნელობას. უფრო ზუსტად, დავუშვათ მოცემულია ბმული ტოპოლოგიური სივრცე ( X , T ) , {\displaystyle (X,{\mathcal {T}}),} და ფუნქცია f ∈ C ( X ) {\displaystyle f\in C(X)} . დავუშვათ x 1 , x 2 ∈ X , f ( x 1 ) = y 1 , f ( x 2 ) = y 2 , {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},} და y 1 < y 2 . {\displaystyle y_{1}<y_{2}.} მაშინ: ∀ y ∈ [ y 1 , y 2 ] ∃ x ∈ X f ( x ) = y . {\displaystyle \forall y\in [y_{1},y_{2}]\;\exists x\in X\;f(x)=y.} კერძოდ, უწყვეტი წრფივად ბმული სიმრავლის განსახიერება წრფივად ბმულია. ბოლცანო-კოშის თეორემა ჩამოაყალიბეს ერთმანეთისაგან დამოუკიდებლად ბოლცანოს 1817 წელს და კოშის მიერ 1821 წელს.