ალბათური განაწილების ფუნქცია

ალბათობის თეორიაში ალბათური განაწილების ფუნქცია (იგივე განაწილების ფუნქცია ან კუმულატიური განაწილების ფუნქცია) წარმოადგენს ფუნქციას, რომლის მნიშვნელობაც ყოველ x წერტილში არის ალბათობა იმისა, რომ ამ განაწილების ფუნქციის შესაბამისი შემთხვევითი სიდიდე მიიღებს x-ზე ნაკლებ მნიშვნელობას. ვთქვათ, მოცემულია ალბათური სივრცე ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} მასზე განსაზღვრული შემთხვევით სიდიდით X {\displaystyle \displaystyle X} და განაწილებით P X {\displaystyle \mathbb {P} _{X}} . X {\displaystyle \displaystyle X} შემთხვევითი სიდიდის განაწილების ფუნქცია ვუწოდოთ ფუნქციას F X : R → [ 0 , 1 ] {\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]} , რომელიც განისაზღვრება შემდეგნაირად: F X ( x ) = P ( X ⩽ x ) ≡ P X ( ( − ∞ , x ] ) {\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} _{X}\left((-\infty ,x]\right)} . ანუ, განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში x {\displaystyle x} წარმოადგენს ალბათობას ხდომილებისა { ω : X ( ω ) ⩽ x } {\displaystyle \{\omega :X(\omega )\leqslant x\}} . აღსანიშნავია, რომ ზოგჯერ განაწილების ფუნქციას განსაზღვრავენ შემდეგნაირად: F X ( x ) = P ( X < x ) ≡ P X ( ( − ∞ , x ) ) {\displaystyle F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} _{X}\left((-\infty ,x)\right)} . თვისობრივი განსხვავება ამ ორ განმარტებას შორის არ არის; მეორენაირად განმარტებული განაწილების ფუნქცია მარცხნიდან უწყვეტია (ნაცვლად მარჯვნიდან უწყვეტისა). განაწილების ფუნქციას ოთხი ძირითადი თვისება გააჩნია: F X {\displaystyle \displaystyle F_{X}} უწყვეტია მარჯვნიდან: lim ε → 0 + F X ( x + ε ) = F X ( x ) {\displaystyle \lim \limits _{\varepsilon \to 0+}F_{X}(x+\varepsilon )=F_{X}(x)} F X {\displaystyle \displaystyle F_{X}} არაკლებადია მთელ ღერძზე. lim x → − ∞ F X ( x ) = 0 {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0} . lim x → + ∞ F X ( x ) = 1 {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1} . შემთხვევითი სიდიდის განაწილება P X {\displaystyle \mathbb {P} _{X}} ცალსახად განსაზღვრავს განაწილების ფუნქციას. სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ ფუნქცია F ( x ) {\displaystyle F(x)} აკმაყოფილებს ზემოთ მოყვანილ ოთხ თვისებას, მაშინ არსებობს ალბათური სივრცე და მასზე განსაზღვრული ისეთი შემთხვევითი სიდიდე, რომ F ( x ) {\displaystyle F(x)} მის განაწილების ფუნქციას წარმოადგენს. მარჯვნიდან უწყვეტობის თვისების ძალით განაწილების ფუნქციას ყოველთვის გააჩნია მარჯვენა ზღვარი F X ( x + ) {\displaystyle F_{X}(x+)} და ის ემთხვევა F X ( x ) {\displaystyle F_{X}(x)} -ს ყოველი x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } . არაკლებადობის თვისება კი უზრუნველყოფს F X ( x − ) {\displaystyle F_{X}(x-)} ზღვრის არსებობას, თუმცა არაა აუცილებელი, რომ ეს უკანასკნელი ემთხვეოდეს ფუნქციის მნიშვნელობას x {\displaystyle x} წერტილში. აქედან გამომდინარე, ნებისმიერი x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } წერტილისთვის F X {\displaystyle F_{X}} ან უწყვეტია, ან გააჩნია პირველი გვარის წყვეტა. ალბათობის თვისებებიდან გამომდინარე, ∀ x ∈ R , ∀ a , b ∈ R {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R} } , თუ a < b {\displaystyle \displaystyle a<b} , სამართლიანია შემდეგი ტოლობები: P ( X > x ) = 1 − F X ( x ) {\displaystyle \mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)} ; P ( X < x ) = F X ( x − ) {\displaystyle \mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)} ; P ( X ⩾ x ) = 1 − F X ( x − ) {\displaystyle \mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)} ; P ( X = x ) = F X ( x ) − F X ( x − ) {\displaystyle \mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)} ; P ( a < X ⩽ b ) = F X ( b ) − F X ( a ) {\displaystyle \mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)} ; P ( a ⩽ X ⩽ b ) = F X ( b ) − F X ( a − ) {\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)} ; P ( a < X < b ) = F X ( b − ) − F X ( a ) {\displaystyle \mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)} ; P ( a ⩽ X < b ) = F X ( b − ) − F X ( a − ) {\displaystyle \mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)} . ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005 Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6