დისპერსია

ალბათობის თეორიასა და მათემატიკურ სტატისტიკაში დისპერსია წარმოადგენს მონაცემთა გაფანტულობის საზომს. შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია ეწოდება რიცხვს, რომელიც გამოხატავს, თუ რამდენადაა გაფანტული შემთხვევითი სიდიდის მნიშვნელობები მისი მათემატიკური ლოდინიდან. დისპერსია წარმოადგენს მეორე რიგის ცენტრალურ მომენტს. თუ X {\displaystyle \scriptstyle X} შემთხვევითი სიდიდეა, მაშინ მისი დისპერსია აღინიშნება, როგორც D ( X ) {\displaystyle \scriptstyle D(X)} და D ⁡ ( X ) = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\,.\end{aligned}}} სადაც μ = E [ X ] {\displaystyle \mu =E[X]} არის X {\displaystyle \scriptstyle X} შემთხვევითი სიდიდის ლოდინი. შემდგომი მარტივი გარდაქმნებით დისპერსია შესაძლებელია შემდეგ სახეზე იქნას მიყვანილი: D ⁡ ( X ) = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] = E ⁡ [ X 2 − 2 μ X + μ 2 ] = E ⁡ [ X 2 ] − 2 μ E ⁡ [ X ] + μ 2 = E ⁡ [ X 2 ] − 2 μ 2 + μ 2 = E ⁡ [ X 2 ] − μ 2 = E ⁡ [ X 2 ] − ( E ⁡ [ X ] ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {D} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}]\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu \,\operatorname {E} [X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} [X^{2}]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}} როგორც წესი, დისპერსია აღინიშნება, როგორც σ X 2 {\displaystyle \scriptstyle \sigma _{X}^{2}} ან, თუ ცხადია, რომელი შემთხვევითი სიდიდის დისპერსიაზეა ლაპარაკი, უბრალოდ σ 2 {\displaystyle \scriptstyle \sigma ^{2}} (სიგმა კვადრატი), სადაც σ {\displaystyle \scriptstyle \sigma } საშუალო სტანდარტული გადახრაა. დასავლურ ლიტერატურაში მიღებულია ტერმინი „ვარიაცია“ და შემდეგი ფორმალური ჩაწერა: Var ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} . დისპერსია ყოველთვის არაუარყოფითია: D [ X ] ⩾ 0 ; {\displaystyle D[X]\geqslant 0;} თუ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია სასრულია, მაშინ მისი მათემატიკური ლოდინიც სასრულია; თუ შემთხვევითი სიდიდე მუდმივია, მაშინ მისი დისპერსია ნულის ტოლია: D [ a ] = 0. {\displaystyle D[a]=0.} სამართლიანია შებრუნებულიც: თუ D [ X ] = 0 , {\displaystyle D[X]=0,} მაშინ X = E [ X ] {\displaystyle X=E[X]} თითქმის ყველგან; ორი შემთხვევით სიდიდის ჯამის დისპერსია შემდეგნაირად გამოითვლება: D [ X + Y ] = D [ X ] + D [ Y ] + 2 cov ( X , Y ) {\displaystyle \!D[X+Y]=D[X]+D[Y]+2\,{\text{cov}}(X,Y)} , სადაც cov ( X , Y ) {\displaystyle \!{\text{cov}}(X,Y)}  — ამ შემთხვევით სიდიდეთა კოვარიაციაა; ზოგადად, ნებისმიერი რაოდენობა შემთხვევითი სიდიდეების წრფივი კომბინაციისთვის სამართლიანია შემდეგი ტოლობა: D [ ∑ i = 1 n c i X i ] = ∑ i = 1 n c i 2 D [ X i ] + 2 ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n c i c j cov ( X i , X j ) {\displaystyle \!D\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}X_{i}\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}^{2}D[X_{i}]+2\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}c_{i}c_{j}\,{\text{cov}}(X_{i},X_{j})} , სადაც c i ∈ R {\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} } ; კერძოდ, D [ X 1 + . . . + X n ] = D [ X 1 ] + . . . + D [ X n ] {\displaystyle \displaystyle D[X_{1}+...+X_{n}]=D[X_{1}]+...+D[X_{n}]} , თუ შემთხვევითი სიდიდეები X 1 , . . . , X n {\displaystyle \displaystyle X_{1},...,X_{n}} დამოუკიდებლებია (ამ შემთხვევაში მათი კოვარიაცია ნულის ტოლია); D [ a X ] = a 2 D [ X ] ; {\displaystyle D\left[aX\right]=a^{2}D[X];} D [ − X ] = D [ X ] ; {\displaystyle D\left[-X\right]=D[X];} D [ X + b ] = D [ X ] . {\displaystyle D\left[X+b\right]=D[X].} ვთქვათ, მოცემულია [ 0 , 1 ] {\displaystyle \displaystyle [0,1]} სეგმენტზე თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი სიდიდე X {\displaystyle \displaystyle X} , ანუ განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი სახე: f X ( x ) = { 1 , x ∈ [ 0 , 1 ] 0 , x ∉ [ 0 , 1 ] . {\displaystyle f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x\in [0,1]\\0,&x\not \in [0,1].\end{matrix}}\right.} გამოვთვალოთ ამ შემთხვევითი სიდიდის დისპერსია. E [ X 2 ] = ∫ 0 1 x 2 d x = x 3 3 | 0 1 = 1 3 , {\displaystyle E\left[X^{2}\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x^{2}\,dx=\left.{\frac {x^{3}}{3}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{3}},} E [ X ] = ∫ 0 1 x d x = x 2 2 | 0 1 = 1 2 . {\displaystyle E\left[X\right]=\int \limits _{0}^{1}\!x\,dx=\left.{\frac {x^{2}}{2}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {1}{2}}.} საბოლოოდ: D [ X ] = E [ X 2 ] − ( E [ X ] ) 2 = 1 3 − ( 1 2 ) 2 = 1 12 . {\displaystyle D[X]=E\left[X^{2}\right]-(E[X])^{2}={\frac {1}{3}}-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{12}}.} შერჩევითი დისპერსია საშუალო სტანდარტული გადახრა მომენტი კოვარიაცია მათემატიკური ლოდინი ე. ნადარაია, რ. აბსავა, მ. ფაცაცია, ალბათობის თეორია – თსუ, 2005 Ширяев А.Н, Вероятность - Наука, Москва, 1989 ISBN 5-02-013955-6 მათემატიკა, მარტივად ამოხსნის ხელოვნება [მკვდარი ბმული]