ორადობის თეორია დისტრიბუციული მესრებისათვის

ორადობის თეორია დისტრიბუციული მესრებისათვის მდგომარეობს შემოსაზღვრული დისტრიბუციული მესრების სამ სხვადასხვა (მაგრამ მჭიდროდ დაკავშირებულ) წარმოდგენაში, პრისტლის სივრცეები-ს, სპექტრული სივრცეები-ს, და სტოუნის ბიტოპოლოგიური სივრცეები-ს მეშვეობით. ის აზოგადებს ფართოდ ცნობილ სტოუნის ორადობას სტოუნის სივრცეებსა და ბულის ალგებრებს შორის. ვთქვათ L {\displaystyle L} შემოსაზღვრული დისტრიბუციული მესერია, და X {\displaystyle X} აღნიშნავს L − {\displaystyle L-} ის მარტივი იდეალების სიმრავლეს. ყოველი ელემენტისათვის a ∈ L {\displaystyle a\in L} , შემოვიღოთ აღნიშვნა φ + ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } {\displaystyle \varphi _{+}(a)=\{x\in X:a\in x\}} . მაშინ სივრცე ( X , τ + ) {\displaystyle (X,\tau _{+})} რომლის ტოპოლოგია τ + {\displaystyle \tau _{+}} წარმოქმნილია { φ + ( a ) : a ∈ L } {\displaystyle \{\varphi _{+}(a):a\in L\}} ოჯახით, სპექტრული სივრცეა,. სპექტრულ სივრცეს ( X , τ + ) {\displaystyle (X,\tau _{+})} ეწოდება L {\displaystyle L} -ის მარტივი სპექტრი. ასახვა φ + {\displaystyle \varphi _{+}} არის იზომორფიზმი, L {\displaystyle L} -სა და ( X , τ + ) {\displaystyle (X,\tau _{+})} -ტოპოლოგიური სივრცის კომპაქტური ღია ქვესიმრავლეთა მესერს შორის. მეორესმხრივ ყოველი სპექტრული სივრცე ჰომეომორფულია თავისი კომპაქტური ღია ქვესიმრავლეთა მესერის მარტივი სპექტრის. მსგავსადვე, თუ ϕ − ( a ) = { x ∈ X : a ∉ x } {\displaystyle \phi _{-}(a)=\{x\in X:a\notin x\}} და τ − {\displaystyle \tau _{-}} აღნიშნავს ტოპოლოგიას რომელისც წარმოქმნილია { φ − ( a ) : a ∈ L } {\displaystyle \{\varphi _{-}(a):a\in L\}} ოჯახით, მაშინ ( X ,   τ − ) {\displaystyle (X,~\tau _{-})} ასევე სპექტრული სივრცეა. ამასთანავე, ( X , τ + , τ − ) {\displaystyle (X,\tau _{+},\tau _{-})} არის ბიტოპოლოგიური სტოუნის სივრცე. ბიტოპოლოგიური სტოუნის სივრცეს ( X , τ + , τ − ) {\displaystyle (X,\tau _{+},\tau _{-})} ეწოდება ბიტოპოლოგიურად ორადული L {\displaystyle L} -სათვის. ყოველი ბიტოპოლოგიური სტოუნის სივრცე ბი-ჰომეომორფულია შესაბამისი დისტრიბუციული მესერის ბიტოპოლოგიურად ორადული სივრცის. ახლა ვთქვათ ≤ {\displaystyle \leq } არის სიმრავლურთეორიული ჩართვის მიმართება L {\displaystyle L} -ის მარტივ ფილტრთა სიმრავლეზე და ვთქვათ τ = τ + ∨ τ − {\displaystyle \tau =\tau _{+}\vee \tau _{-}} . მაშინ ( X , τ , ≤ ) {\displaystyle (X,\tau ,\leq )} პრისტლის სივრცეა. ამასთან, φ + {\displaystyle \varphi _{+}} მესრების იზომორფიზმია L {\displaystyle L} -სა და ( X , τ ≤ ) {\displaystyle (X,\tau \leq )} -ის ყველა ღია-ჩაკეტილი ზედა კონუსების დისტრიბუციულ მესერს შორის. პრისტლის სივრცეს ( X , τ , ≤ ) {\displaystyle (X,\tau ,\leq )} ეწოდება L {\displaystyle L} -ის ორადული პრისტლის სივრცე. ყოველი პრისტლის სივრცე იზომორფულია შესაბამისი დისტრიბუციული მესრის ორადული პრისტლის სივრცის. Dist-ით ავღნიშნოთ ყველა შემოსაზღვრული დისტრიბუციული მესრებისა და შემოსაზღვრული დისტრიბუციული მესრების მორფიზმების კატეგორია. მაშინ დისტრიბუციული მესრების სამი აღნიშნული წარმოდგენა შეიძლება გავრცელებულ იქნას, Dist, Spec (სპექტრული სივრცეებისა და სპექტრული ასახვების), PStone (ბიტოპოლოგიური სტოუნის სივრცეებისა და ბი-უწყვეტი ასახვების), Pries (პრისტლის სივრცეებისა და პრისტლის მორფიზმების) კატეგორიების ექვივალენტობამდე: ამდენად არსებობს შემოსაზღვრული დისტრიბუციული მესერის წარმოდგენის სამი ექვივალენტური გზა. სამივეს აქვს საკუთარი მოტივაცია და უპირატესობები, მაგრამ საბოლოო ჯამში ისინი ემსახურება ერთი და იგივე მიზანს უკეთ გაგებულ იქნას შემოსაზღვრული დისტრიბუციული მესრები. ბირკჰოფის წარმოდგენის თეორემა სტოუნის წარმოდგენის თეორემა ბულის ალგებრებისათვის ესაკიას ორადობა Priestley, H. A. (1970). Representation of distributive lattices by means of ordered Stone spaces.Bull. London Math. Soc., (2) 186–190. Priestley, H. A. (1972). Ordered topological spaces and the representation of distributive lattices. Proc. London Math. Soc., 24(3) 507–530. Stone, M. (1938). Topological representation of distributive lattices and Brouwerian logics. Casopis Pest. Mat. Fys.}, 67 1–25. Cornish, W. H. (1975). On H. Priestley's dual of the category of bounded distributive lattices. Mat. Vesnik, 12(27) (4) 329–332. M. Hochster (1969). Prime ideal structure in commutative rings. Trans. Amer. Math. Soc., 142 43–60 Johnstone, P. T. (1982). Stone spaces. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-23893-5. Jung, A. and Moshier, M. A. (2006). On the bitopological nature of Stone duality. Technical Report CSR-06-13, School of Computer Science, University of Birmingham. Bezhanishvili, G., Bezhanishvili, N., Gabelaia, D., Kurz, A. (2010). Bitopological duality for distributive lattices and Heyting algebras. Mathematical Structures in Computer Science, 20. ↑ Stone (1937), Johnstone (1982) ↑ Stone (1937), Johnstone (1982) ↑ Bezhanishvili, G., Bezhanishvili, N., Gabelaia, D., Kurz, A. (2010) ↑ Priestley (1970) ↑ Bezhanishvili, G., Bezhanishvili, N., Gabelaia, D., Kurz, A. (2010)