საკუთრივი მნიშვნელობა

წრფივ ალგებრაში, რაიმე A {\displaystyle A} კვადრატული მატრიცის საკუთრივი ვექტორი ეწოდება ისეთ არა-ნულოვან x {\displaystyle x} ვექტორს, რომლის A {\displaystyle A} მატრიცაზე გამრავლებით მიიღება x {\displaystyle x} -ის კოლინეარული ვექტორი, ანუ იგივე ვექტორი, ოღონდ გამრავლებული რაიმე სკალარზე λ {\displaystyle \lambda } : A x = λ x {\displaystyle Ax=\lambda x} აღნიშნულ სკალარს ეწოდება საკუთრივი მნიშვნელობა. უმრავლესობა ვექტორებისა იცვლის მიმართულებას, როცა მათ რაიმე მატრიცაზე ამრავლებენ. თუმცა, მოცემული მატრიცისთვის შესაძლებელია მოძებნილ იქნას ისეთი ვექტორები, რომელთა მიმართულება ამ მატრიცაზე გამრავლებით არ შეიცვლება და გაიზრდება/შემცირდება მხოლოდ მასშტაბი. მაგალითისთვის განვიხილოთ შემდეგი მატრიცა: A = [ 2 1 1 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}} . ამ მატრიცის გამრავლებით ვექტორზე x = [ 1 1 ] {\displaystyle x={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} მიიღება ვექტორი b = [ 3 3 ] {\displaystyle b={\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}}} , რომელიც მასშტაბით "სამჯერ მეტია" x {\displaystyle x} -ზე: A x = b = 3 x {\displaystyle Ax=b=3x} . მაშასადამე, x {\displaystyle x} წარმოადგენს A {\displaystyle A} მატრიცის საკუთრივ ვექტორს, ხოლო 3-იანი კი A {\displaystyle A} მატრიცის საკუთრივი მნიშვნელობაა. შევნიშნოთ, რომ თუ A {\displaystyle A} იგიური მატრიცაა, მაშინ ნებისმიერი ვექტორი მის საკუთრივს წარმოადგენს, რადგან A x = x {\displaystyle Ax=x} , ანუ λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} . დადებითად განსაზღვრული მატრიცის საკუთრივი მნიშვნელობები დადებითია. მატრიცის ახარისხებისას მისი საკუთრივი ვექტორები უცვლელი რჩება, ხოლო საკუთრივი მნიშვნელობები კი ახარისხდება. გვაქვს, რომ A x = λ x {\displaystyle Ax=\lambda x} A x − λ x = 0 {\displaystyle Ax-\lambda x=0} ( A − λ I ) x = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)x=0} საიდანაც, თუ ამონახსნი x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} , A − λ I {\displaystyle A-\lambda I} მატრიცა შეუქცევადია და მისი დეტერმინანტი d e t ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle det(A-\lambda I)=0} . ამ უკანასკნელ განტოლებას მახასიათებელი განტოლება ეწოდება და მას გააჩნია იმდენი ამონახსნი ( λ {\displaystyle \lambda } საკუთრივი მნიშვნელობა), რამდენიცაა A {\displaystyle A} მატრიცის რიგი. თითოეული λ {\displaystyle \lambda } -თვის შესაძლებელია ნაპოვნი იქნეს შესაბამისი საკუთრივი ვექტორი x {\displaystyle x} შემდეგი განტოლების ამოხსნით: ( A − λ I ) x = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)x=0} . ვიპოვოთ A = [ 2 1 1 2 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}} მატრიცის ყველა საკუთრივი მნიშვნელობა და ვექტორი. ჩავწეროთ მახასიათებელი განტოლება: d e t ( A − λ I ) = | 2 − λ 1 1 2 − λ | = 3 − 4 λ + λ 2 = 0 {\displaystyle det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}=0} . ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია λ 1 = 3 {\displaystyle \lambda _{1}=3} და λ 2 = 1 {\displaystyle \lambda _{2}=1} . მოძიებული საკუთრივი მნიშვნელობებისთვის ვიპოვოთ შესაბამისი x 1 {\displaystyle x_{1}} და x 2 {\displaystyle x_{2}} საკუთრივი ვექტორები: ( A − λ 1 I ) x 1 = [ − 1 1 1 − 1 ] [ x 1 1 x 1 2 ] = 0 {\displaystyle (A-\lambda _{1}I)x_{1}={\begin{bmatrix}-1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{1}\\x_{1}^{2}\end{bmatrix}}=0} საიდანაც ერთ-ერთი ამონახსნი იქნება x 1 = [ 1 1 ] {\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} . ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი k x 1 {\displaystyle kx_{1}} ვექტორიც, სადაც k {\displaystyle k} რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია. ანალოგიურად, ( A − λ 2 I ) x 2 = [ 1 1 1 1 ] [ x 2 1 x 2 2 ] = 0 {\displaystyle (A-\lambda _{2}I)x_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{2}^{1}\\x_{2}^{2}\end{bmatrix}}=0} x 2 = [ 1 − 1 ] {\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}} . ბუნებრივია, საკუთრივი ვექტორი იქნება ასევე ნებისმიერი ვექტორი k x 2 {\displaystyle kx_{2}} ვექტორიც, სადაც k {\displaystyle k} რაიმე არა-ნულოვანი სკალარია. საკუთრივი ფუნქცია ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 8, თბ., 1984. — გვ. 685.