ლის ალგებრა

მათემატიკაში ლის ალგებრა არის ალგებრული სტრუქტურა, რომელიც თამაშობს უმნიშვნელოვანეს როლს, როგორც ლის ჯგუფების თეორიაში ისე, გეომეტრიის, ალგებრის, ალგებრული ტოპოლოგიის და ფიზიკის სხვადასხვა დარგებში. ლის ალგებრები მათემატიკაში გაჩნდა დიდი ნორვეგიელი მათემატიკოსის სოფუს ლის შრომებში, ინფინიტეზიმურ გარდაქმნათა ჯგუფების სახელით. ტერმინი თანამედროვე სახით დამკვიდრდა ჰერმან ვეილის შრომების შემდეგ (1930 წელი). ლის რგოლი არის აბელის ჯგუფი g {\displaystyle \,{\mathfrak {g}}} აღჭურვილი ბინარული ოპერაციით [·, ·] [ ⋅ , ⋅ ] : g × g → g {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}} რომელსაც ლის ფრჩხილი ჰქვია და რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ იგივეობებს: [ x + y , z ] = [ x , z ] + [ y , z ] , [ z , x + y ] = [ z , x ] + [ z , y ] {\displaystyle [x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]} [ x , x ] = 0   {\displaystyle [x,x]=0\ } . [ x , [ y , z ] ] + [ y , [ z , x ] ] + [ z , [ x , y ] ] = 0 {\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\quad } აქ და შემდეგში x, y, zარიან g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ალგებრის ელემენტები. ბოლო ტოლობას ჰქვია ჟორდანის იგივეობა. პირველი ორი ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ადგილი აქვს ანტიკომუტატურობის თვისებასაც [ x , y ] = − [ y , x ] {\displaystyle [x,y]=-[y,x]\,} . ლის რგოლს ჰქვია ლის ალგებრა F ველზე თუ g {\displaystyle \,{\mathfrak {g}}} არის ვექტორული სივრცე F-ზე და დამატებით, ლის ფრჩხილი არის ორადწრფივი ასახვა F ველის მიმართ: [ a x , y ] = a [ x , y ] [ x , a y ] = a [ x , y ] {\displaystyle [ax,y]=a[x,y]\quad [x,ay]=a[x,y]} აქ a არის F ველის ელემენტი. ლის ალგებრა არის ლაიბნიცის ალგებრის კერძო შემთხვევა. ვთქვათ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} და h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} არიან ლის ალგებრები. ვიტყვით, რომ წრფივი ასახვა f : g → h {\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}} არის ლის ალგებრების ჰომომორფიზმი, თუ ტოლობა f ( [ x , y ] ) = [ f ( x ) , f ( y ) ] {\displaystyle f([x,y])=[f(x),f(y)]} სრულდება g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ლის ალგებრის ყოველი x და y ელემენტებისთვის. ვთქვათ g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} არის ლის ალგებრა, ხოლო h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} არის მისი ქვესივრცე. ვიტყვით, რომ h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} არის ლის ქვეალგებრა თუ h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} ჩაკეტილია ლის ფრჩხილის ოპერაციის მიმართ, ე.ი., თუ კი სრულდება უფრო ძლიერი [ g , h ] ⊆ h {\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}]\subseteq {\mathfrak {h}}} პირობა მაშინ იძახიან, რომ h {\displaystyle {\mathfrak {h}}} არის g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ლის ალგებრის იდეალი. ლის ალგებრას, რომელსაც არ აქვს არანულოვანი საკუთრივი იდეალი ჰქვია მარტივი. ყოველი ვექტორული სივრცე შეიძლება განხილულ იქნას როგორც ლის ალგებრა, თუკი ლის ფრჩხილს იგივურად ნულს ავიღებთ. ასეთ ლის ალგებრებს ჰქვიათ აბელური ლის ალგებრები. სამგანზომილებიანი ვექტორები ქმნიან ლის ალგებრას, სადაც ლის ფრჩხილი მოიცემა ვექტორთა ვექტორული გამრავლებით. ყოველი ასოციური ალგებრა A შეიძლება განხილულ იყოს როგორც ლის ალგებრა თუკი ლის ფრჩხილს განვმარტავთ ტოლობით [ a , b ] = a ∗ b − b ∗ a .   {\displaystyle [a,b]=a*b-b*a.\ } პირიქით, პუანკარე–ბირკჰოფ–ვიტის თეორემაზე დაყრდნობით მტკიცდება რომ ყოველი ლის ალგებრა არის ასოციური ალგებრის ლის ქვეალგებრა. კერძოდ, თუ A–ს როლში ავიღებთ ყველა n × n მატრიცებს, მივიღებთ ლის ალგებრას g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} , რომელიც ცნობილია ზოგადი წრფივი ლის ალგებრის სახელით. მატრიცები რომელთა კვალი ნულია ქმნიან ქვეალგებრას s l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n)} , რომელიც ცნობილია როგორც სპეციალური წრფივი ლის ალგებრა. ადო-ივასავას თეორემა ამბობს რომ ყოველი სასრულგანზომილებიანი ლის ალგებრა არის ზოგადი წრფივი ლის ალგებრის g l ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)} ქვეალგებრა, რომელიმე n-თვის. გეომეტრიაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს გლუვი მრავალსახეობის გლუვ ვექტორულ ველთა ლის ალგებრა. ეს არის საზოგადოდ უსასრულო გამზომილებიანი ლის ალგებრა, სადაც ლის ფრჩხილი განიმარტება ტოლობით   [ X , Y ] f := ( X Y − Y X ) f {\displaystyle \ [X,Y]f:=(XY-YX)f} . აქ   X , Y {\displaystyle \ X,Y} არიან გლუვი ვექტორული ველები, ხოლო   f {\displaystyle \ f} არის გლუვი ფუნქცია მოცემულ მრავალსახეობაზე. თუ   G {\displaystyle \ G} არის ლის ჯგუფი, მაშინ მარცხნიდან ინვარიანტული გლუვი ვექტორული ველები   G {\displaystyle \ G} ჯგუფზე ქმნიან გლუვ ვექტორულ ველთა ლის ალგებრის ლის ქვეალგებრას, რომელსაც ჰქვია   G {\displaystyle \ G} ლის ჯგუფის ლის ალგებრა და არის უმნიშვნელოვანესი ობიქტი ლის თეორიაში. ლის ჯუფი ლის თეორია უნივერსალური მომვლები ალგებრა ლის ალგებრის წარმოდგენა ნახევრადმარტივი ლის ალგებრები ლაიბნიცის ალგებრა N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie. Chapitre 1. Springer; 2006. ISBN 3540353356.