თვლის ორობითი სისტემა

თვლის ორობითი სისტემა — თვლის სისტემა, რომელიც აგებულია პოზიციურ პრინციპზე 2-ის ფუძით. ამ სისტემაში იყენებენ მხოლოდ ორ ნიშანს - ციფრებს 0 და 1; აქაც, ისევე როგორც ყოველ პოზიციურ სისტემაში, ციფრის მნიშვნელობა დამატებით დამოკიდებულია მის მიერ დაკავებულ ადგილზე. რიცხვი 2 ითვლება მეორე თანრიგის ერთეულად და ჩაიწერება ასე: 10 (იკითხება: „ერთი, ნული“). შემდეგი თანრიგის ყოველი ერთული ორჯერ მეტია წინაზე, ე. ი. ეს ერთეულები ადგენენ რიცხვთა მიმდევრობას: 2, 4, 8, 16, ..., 2n, ... იმისათვის, რომ ათობით სისტემაში ჩაწერილი რიცხვი ჩაიწეროს ორობით სისტემაში, მას მიმდევრობით ყოფენ 2-ზე და მიღებულ ნაშთებს (0 და 1) ჩაწერენ რიგით ბოლოდან პირველისაკენ. მაგ., 27=13·2+1; 13=6·2+1; 6=3·2+0; 3=1·2+1; 1=0·2+1; ამრიგად 27-ის ორობითი ჩაწერა იქნება 11011. ამ სისტემაში განსაკუთრებით მარტივად სრულდება ყველა არითმეტიკული მოქმედება: მაგ., გამრავლების ტაბულა დაიყვანება ერთ ტოლობამდე 1·1=1, მაგრამ რიცხვების ჩაწერა მოითხოვს ციფრების დიდ რაოდენობას. მაგ., რიცხვი 7000 იქნება 13-ნიშნა, მაგრამ იმის გამო, რომ ეს სისტემა იყენებს მხოლოდ ორ ციფრს, იგი ხშირ შემთხვევაში სასარგებლოა თეორიული საკითხების განხილვისას და ეგმ-ზე გამოთვლებისას. თვლა ორობით რიცხვებში ემყარება იმავე პრინციპს, რასაც ნებისმიერი სხვა თვლის სისტემა გვთავაზობს. თვლა იწყება ციფრიდან 0 და ყოველი შემდეგი რიცხვი მიიღება ინკრემენტაციის (საფეხურებრივი ზრდის) გზით. კერძოდ, თუ ორობითი რიცხვის ყველა პოზიციაზე 1-ანებია, მაშინ ეს უკანასკნელები 0-ებად იქცევიან და მარცხნიდან ემატება 1-ის ტოლი ახალი პოზიცია, წინააღმდეგ შემთხვევაში მარჯვენა განაპირა პოზიციიდან მოყოლებული ყველა 0 თანმიმდევრობით იქცევა 1-ად: თუ კარგად დავაკვირდებით, ნებისმიერი ათობითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგინდეს ამ რიცხვის შემადგენელი ციფრების 10-ის ხარისხებზე ნამრავლთა ჯამის მეშვეობით, მაგალითად, რიცხვი 4516 დაიშლება შემდეგნაირად: 4516 = 4·103 + 5·102 + 1·101 + 6·100 ანუ, 10-ის ხარისხი ემთხვევა რიცხვში ციფრის პოზიციის ნომერს 'მინუს' 1. ანალოგიური პრინციპი მოქმედებს ორობითი რიცხვების გარდაქმნისას ათობითში, მხოლოდ ამ შემთხვევაში ფუძე 2-ის ტოლია. მაგალითად, ორობითი რიცხვი 1101012 წარმოდგინდება თვლის ათობით სისტემაში შემდეგნაირად (ინდექსი 2 მიუთითებს რიცხვის ორობით სახეს): 1101012 = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 5310 ათობითი რიცხვის გარდასაქმნელად ორობითში, საჭიროა ეს რიცხვი მთელად გავყოთ 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლო პოზიციაზე, შემდეგ განაყოფი გავყოთ მთელად 2-ზე და მიღებულ ნაშთს განვიხილავთ მისაღები ორობითი რიცხვის ბოლოსწინა პოზიციაზე, და ა.შ. მანამ, სანამ განაყოფს არ მივიღებთ 1–ზე ნაკლებს: 53 : 2 = 26 ნაშთი: 1 26 : 2 = 13 ნაშთი: 0 13 : 2 = 6 ნაშთი: 1 6 : 2 = 3 ნაშთი: 0 3 : 2 = 1 ნაშთი: 1 1 : 2 = 0,5 ნაშთი: 1 მივიღეთ ნაშთების შემდეგი მიმდევრობა : 1 0 1 0 1 1. თუ ამ მიმდევრობას განვალაგებთ მისაღები ორობითი რიცხვის პოზიციებზე ბოლოდან, მივიღებთ: 1101012 შეკრება ეს ოპერაცია უმარტივესია ორობით არითმეტიკაში. იგი ეყრდნობა 4 ძირითად ტოლობას: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით შევკრიბოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 011012 და 101112: 1 1 1 1 1 (<- ვიმახსოვრებთ) 0 1 1 0 1 + 1 0 1 1 1 ------------------ 1 0 0 1 0 0 (<- შედეგი) გამოკლება ძირითადი ტოლობებია: 0 − 0 = 0 0 − 1 = 1 (ვიმახსოვრებთ (-1)-ს) 1 − 0 = 1 1 − 1 = 0 მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გამოვაკლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 11011102 და 101112: -1 -1 -1 -1 (<- ვიმახსოვრებთ) 1 1 0 1 1 1 0 - 1 0 1 1 1 ----------------------- 1 0 1 0 1 1 1 გამრავლება ძირითადი ტოლობებია: 0 • 0 = 0 0 • 1 = 0 1 • 0 = 0 1 • 1 = 1 მათი გათვალისწინებით შეგვიძლია ქვეშმიწერით გავამრავლოთ (ათობითი რიცხვების მსგავსად) ნებისმიერი ორობითი რიცხვები, მაგალითად, 10112 და 10102: 1 0 1 1 × 1 0 1 0 --------------- 0 0 0 0 + 1 0 1 1 + 0 0 0 0 + 1 0 1 1 ------------------ 1 1 0 1 1 1 0 გაყოფა გაყოფა ორობით რიცხვებში ანალოგიურია გაყოფისა ათობით რიცხვებში. მაგალითად, გავყოთ 110112 (=2710) 1012 (=510) -ზე: 1 1 0 1 1 : 1 0 1 = 1 0 1 − 1 0 1 -------- 0 1 1 − 0 0 0 ------- 1 1 1 − 1 0 1 ------- 1 0 როგორც ვხედავთ, გაყოფის პროცესი წარიმართა შემდეგნაირად: გასაყოფის პირველ სამ ციფრში 101 მოთავსდა ერთხელ, ნაშთი - 1. შემდეგ ჩამოვიტანეთ 1 გასაყოფიდან, მიღებულ რიცხვში 101 მოთავსდა 0-ჯერ, ნაშთი 11. კვლავ ჩამოვიტანეთ 1 და ამჯერად მასში 101 მოთავსდა ერთხელ. რამდენადაც გასაყოფიდან ჩამოსატანი ციფრები ამოიწურა, გაყოფას ვწყვეტთ. შედეგი შემდეგი სახისაა: განაყოფში მივიღეთ 101, ხოლო ნაშთში - 10. მართლაც, თუ ზემოხსენებულ ყველა ორობით რიცხვს გადავიყვანთ ათობითში, დავრწმუნდებით, რომ 2710 : 510 = 510 ნაშთი: 210 Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007) Microcontroller programming: the microchip PIC. Boca Raton, FL: CRC Press, გვ. 37. ISBN 0-8493-7189-9.  Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014) Teaching the I Ching. Oxford University Press. ISBN 0-19-976681-9.  ვიკისაწყობში არის გვერდი თემაზე: თვლის ორობითი სისტემა Binary System at cut-the-knot Conversion of Fractions at cut-the-knot Binary Digits at Math Is Fun How to Convert from Decimal to Binary at wikiHow Learning exercise for children at CircuitDesign.info Binary Counter with Kids დაარქივებული 2010-01-17 საიტზე Wayback Machine. "Magic" Card Trick დაარქივებული 2010-01-23 საიტზე Wayback Machine. Quick reference on Howto read binary Binary converter to HEX/DEC/OCT with direct access to bits დაარქივებული 2011-02-21 საიტზე Wayback Machine. Sir Francis Bacon's BiLiteral Cypher system დაარქივებული 2016-09-23 საიტზე Wayback Machine. , predates binary number system.