მექანიკა

მექანიკა (ბერძ. μηχανική [mēkhanikḗ] — მეცნიერება მანქანების შესახებ, მანქანების აგების ხელოვნება) — მეცნიერება მატერიალურ სხეულთა მექანიკური მოძრაობისა და მათ ურთიერთქმედებათა შესახებ. მექანიკა მეცნიერების ერთ-ერთი უძველესი დარგია. ჩვენამდე მოაღწია ტრაქტატმა, რომელიც ძვ. წ. IV საუკუნეში ძველ საბერძნეთში შექმნა არისტოტელემ. ამ ტრაქტატში პირველადაა შემოტანილი მექანიკის ცნება. იმ დროს ცნობილი ყოფილა ერთსა და იმავე წრფის გასწვრივ მოქმედ ძალთა შეკრებისა და გაწონასწორების კანონები, უმარტივესი მანქანების თვისებები და ბერკეტის წონასწორობის პირობები. ძვ. წ. III საუკუნეში სტატისტიკური მეცნიერების საფუძვლები დაამუშავა არქიმედემ. მის შრომებში მოცემულია ბერკეტის კანონების მკაცრი დასაბუთება, პარალელური ძალების შეკრების წესი, ჰიდროსტატიკის საწყისები და სხვა. მექანისკის განვითარებისათვის გადამწყვეტი მნიშვნელობა ჰქონდა ნ. კოპერნიკისა და ი. კეპლერის აღმოჩენებს. მექანიკამ მეცნიერული სახე მიიღო გალილეო გალილეის შრომებში. გალილეიმ დაასაბუთა მრავალი საუკუნის მანძილზე გამეფებული არისტოტელეს ზოგიერთი დებულების უსაფუძლობა და მექანიკაში შემოიტანა აჩქარების ცნება, აღმოაჩნია ინერციის პრინციპი და სხვა. მექანიკამ დასრულებული სახე მიიღო ისააკ ნიუტონის შრომებში. 1687 წელს ნიუტონმა მექანიკის აღწერას საფუძლად დაუდო სამი კანონი, რომლებიც დღეს ნიუტონის კანონების სახელითაა ცნობილი. ამიტომ მასში ჩვეულებრივ გულისხმობენ ნიუტონის მექანიკას. მექანიკური მოძრაობა უმარტივესი სახის მოძრაობაა. ამ მოძრაობაში იგულისხმება სხეულის ან მისი შემადგენელი ნაწილების ურთიერთგადაადგილება სივრცეში დროის განმავლობაში. მექანიკური მოძრაობაა ციური სხეულების მოძრაობა, სითხეებისა და აირების დინება და სხვა. ნიუტონის მექანიკა აღწერს ნებისმიერი მაკროსხეულის მოძრაობას, რომლის v {\displaystyle v} სიჩქარე გაცილებით ნაკლებია სინათლის სიჩქარეზე სიცარიელეში ( v ≪ c {\displaystyle v\ll c} ). დიდი სიჩქარეებით მოძრაობის შემთხვევაში უნდა გამოვიყენოთ რელატივისტური მექანიკა, ატომის მასშტაბის სხეულების მოძრაობის ასაწერად კი — კვანტური მექანიკა. მექანიკა იყოფა კინემატიკად, დინამიკად და სტატიკად. კინემატიკა სწავლობს მოძრაობის გეომეტრიულ თვისებებს. კინემატიკის ძირითადი ცნებებია: სიჩქარე, აჩქარება, ტრაექტორია და სხვა. დინამიკა არის მოძღვრება ძალების გავლენით სხეულთა მოძრაობის შესახებ, ხოლო სტატიკა სწავლობს სხეულთა უძრაობის პირობებს ძალების მოქმედების შემთხვევაში. დინამიკაშ განიხილავენ ორი ტიპის ამოცანას: ერთი, როცა ცნობილია ძალა და საჭიროა დავადგინოთ მოძრაობა, რომელსაც ეს ძალა იწვევს; მეორე, როცა მოცემული მოძრაობიდან საჭიროა აღვადგინოთ ამ მოძრაობის გამომწვევი ძალა. მექანიკა უშუალოდ დაკავშირებულია ტექნიკასთან. ნიუტონის პირველი კანონის თანახმად თუ მატერიალურ წერტილზე არავითარი ძალა არ მოქმედებს (იზოლირებულია), მაშინ მისი იმპულსი p = m v {\displaystyle p=mv} (სადაც m {\displaystyle m} მატერიალური წერტილის მასაა) არ იცვლება არც სიდიდით და არც მიმართულებით; იზოლირებული მატერიალური წერტილი მოძრაობს თანაბრად და წრფივად. მეორე კანონი აკავშირებს მატერიალური წერტილის იმპულსის დროში ცვლილებას მასზედ მოქმედ ძალასთან: d p d t = m d 2 r d t 2 = F {\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}=F} , (1) სადაც რ არის მოძრავი წერტილის რადიუს-ვექტორი, F {\displaystyle F} — მასზე მოქმედი ძალა. ძალის ცნება, როგორც აღებულ წერტილზე სხვა სხეულების მოქმედების ხასიათისა და ზომს გამომხატველი, შემოიღო ნიუტონმა. როცა F = 0 {\displaystyle F=0} , მაშინ (1) ფორმულიდან მივიღებთ p = c o n s t {\displaystyle p=const} , ე. ი. პირველ კანონს. ნიუტონის მესამე კანონის თანახმად, ყოველი ორი მატერიალური წერტილი ურთიერთქმედებს სიდიდით ერთმანეთის ტოლი, მაგრამ საწინააღმდეგოდ მიმართული ძალებით, ე. ი. F 12 = − F 21 {\displaystyle F_{12}=-F_{21}} , სადაც F 12 {\displaystyle F_{12}} არის ძალა, რომლითაც პირველი ნაწილაკი მოქმედებს მეორეზე, ხოლო F 21 {\displaystyle F_{21}} — ძალა, რომლითაც მეორე ნაწილაკი მოქმედებს პირველზე. თუ პირველი და მეორე კანონი საკმარისია ერთი მატერიალური წერტილის მოძრაობის დასახასიათებლად, მესამე კანონი საშუალებას გვაძლევს ერთი ნაწილაკის მექანიკიდან გადავიდეთ ნაწილაკთა სისტემის მექანიკაზე. მექანიკაში შემოღებულია სხვადასხვა ცნება, როგორიცაა: კინეტიკური ენერგია T = m v 2 2 {\displaystyle T={\frac {mv^{2}}{2}}} და პოტენციური ენერგია U = U ( x , y , z ; t ) {\displaystyle U=U(x,y,z;t)} , რომელიც ახასიათებს ნაწილაკთა შორის ურთიერთქმედებას და ძალასთან დაკავშირებულია F = − ∇ U {\displaystyle F=-\nabla U} ფორმულით, აგრეთვე იმპულსის მომენტისა k = [ r p ] {\displaystyle k=[rp]} და ძალის მომენტის M = [ r F ] {\displaystyle M=[rF]} ცნებები. მექანიკაში მთავარ როლს ასრულებს შენახვის კანონები. კერძოდ, ინახება იზოლირებული სისტემის სრული ენერგია E = T + U {\displaystyle E=T+U} , იმპულსი p {\displaystyle p} და იმპულსის მომენტი k {\displaystyle k} . მექანიკა შეიძლება აიწეროს მრავალი ეკვივალენტური მეთოდით, მაგალითად დ'ალამბერის პრინციპით, სხვადასხვა ვარიაციული პრინციპით, ჰამილტონის კანონიკური განტოლებებით, ჰამილტონ-იაკობის განტოლებით და სხვა. ნიუტონის მოძრაობის განტოლების ზოგიერთი ეს სახესხვაობა განსაკუთრებით მოსახერხებელია ნაწილაკთა სისტემის შესასწავლად, როცა სისტემის მოძრაობაზე დადებულია გარკვეული შეზღუდვები — ბმები, რომლებიც უმთავრესად მოცემულია ხოლმე გარკვეული ფუნქციური დამოკიდებულებით კოორდინატებსა და სიჩქარეებს შორის. ამ შემთხვევაში საჭიროა ნიუტონის განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ბმის განტოლებებთან ერთად, რაც დიდ მათემატიკურ სიძნელეებთანაა დაკავშირებული. ბმების შემთხვევაში ნაწილაკთა სისტემის თავისუფლების ხარისხთა რიცხვი მცირდება, ამიტომ საჭიროა ახალი დამოუკიდებელი კოორდინატების შემოტანა. q 1 , q 2 , . . . q n {\displaystyle q_{1},q_{2},...q_{n}} დამოუკიდებელ პარამეტრებს, რომელთა რიცხვი n {\displaystyle n} ემთხვევა მექანიკური სისტემის თავისუფლების ხარისხთა რიცხვს და, რომლებიც ცალსახად განსაზღვრავენ სისტემის მდებარეობას სივრცეში, უწოდებენ განზოგადებულ კოორდინატებს, q 1 , q 2 , . . . q n {\displaystyle q_{1},q_{2},...q_{n}} კი — სათანადოდ განზოგადებულ სიჩქარეებს. შემოვიღოთ ლაგრანჟის ფუნქცია L ( q , q ′ , t ) = T − U {\displaystyle L(q,q',t)=T-U} , რომელიც დამოკიდებულია განზოგადებულ კოორდინატებზე, შესაბამის სიჩქარეებსა და დროზე. განვსაზღვროთ ე. წ. ქმედების ფუნქციაც S = f L d t {\displaystyle S=fLdt} და განვიხილოთ სისტემის მოძრაობა A {\displaystyle A} წერტილიდან B {\displaystyle B} -ში. ეს მოძრაობა შეიძლება შესრულდეს უამრავი შესაძლო ტრაექტორიით, რომელიც შეგვიძლია გავავლოთ A {\displaystyle A} და B {\displaystyle B} წერტილებს შორის. ისმება კითხვა: რომელია მათგან ჭეშმარიტი? ჰამილტონის უმცირესი ქმედების პრინციპი გვეუბნება, რომ სისტემა t 2 − t 1 {\displaystyle t_{2}-t_{1}} დროში A {\displaystyle A} დან B {\displaystyle B} წერტილში გადავა იმ ტრაექტორიით, რომლის გასწვრივაც ქმედების ფუნქციის იზოქრონული ვარიაცია ნულის ტოლია, ე. ი. δ ∫ t 1 t 2 L ( q 1 , q 2 , . . . q n ; q 1 ′ , q 2 ′ , . . . q n ′ ; t ) d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{1},q_{2},...q_{n};q'_{1},q'_{2},...q'_{n};t)dt=0} , (2) ფორმულა (2)-დან ვარიაციული აღრიცხვის მეთოდების გამოყენებით მივიღებთ ლაგრანჟის მოძრაობის მეორე რიგის დიფერენციულ განტოლებებს: d d t ∂ L ∂ q 1 ′ − ∂ L ∂ q 1 = 0 ; ( i = 1 , 2 , . . . . n ) {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial q'_{1}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{1}}}=0;(i=1,2,....n)} . (3) ეს განტოლებები როცა საქმე გვაქვს ერთ მატერიალურ წერტილთან, რომლის ლაგრანჟის ფუნქცია დეკარტის კოორდინატებში ტოლია: L = m 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) − U ( x , y , z ; t ) {\displaystyle L={\frac {m}{2}}(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})-U(x,y,z;t)} , დაემთხვევა ნიუტონის მოძრაობის განტოლებებს. ზოგად შემთხვევაში ნაწილაკთა სისტემისათვის L = 1 2 ∑ i = 1 n ∑ k = 1 n a i k ( q 1 , q 2 , . . . , q n ) q 1 ′ , q x ′ − U ( q 1 , q 2 , . . . , q n ; t ) {\displaystyle L={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}a_{ik}(q_{1},q_{2},...,q_{n})q'_{1},q'_{x}-U(q_{1},q_{2},...,q_{n};t)} , (4), სადაც a_1n განზოგადებული კოორდინატების გარკვეული ფუნქციაა. ჰამილტონის უმცირესი ქმედების პრინციპი მექანიკის სრული აღწერის საშუალებას გვაძლევს და იგი ადვილად ზოგადდება ფიზიკისა და სხვა დარგებისათვისაც; ამისთვის საკმარისია ლაგრანჟის ფუნქციის სათანადოდ შერჩევა. ჰამილტონის პრინციპიდან ადვილად მიიღება ჰამილტონის კანონიკური განტოლებებიც: q 1 ′ = ∂ H ∂ p 1 ; p 1 ′ = ∂ H ∂ q 1 ; ( i = 1 , 2 , . . . , n ) {\displaystyle q'_{1}={\frac {\partial H}{\partial p_{1}}};p'_{1}={\frac {\partial H}{\partial q_{1}}};(i=1,2,...,n)} , (5) რომლებიც წარმოადგენენ პირველი რიგის 2 n {\displaystyle 2n} განტოლებათა სისტემას და რომლებიც აგრეთვე საფუძვლად შეგვიძლია დავუდოთ მექანიკის აღწერას. ფორმულა (5)-ში H ( q 1 , q 2 , . . . , q n ; p 1 , p 2 , . . . . , p n ; t ) {\displaystyle H(q_{1},q_{2},...,q_{n};p_{1},p_{2},....,p_{n};t)} არის სისტემის ჰამილტონის ფუნქცია, p 1 {\displaystyle p_{1}} კი — q 1 {\displaystyle q_{1}} -ს კანონიკურად შეუღლებული იმპულსები. დეკარტის კოორდინატებში ჰამილტონის ფუნქცია H = 1 2 m ( p x 2 + p y 2 + p z 2 ) + U ( x , y , z ; t ) {\displaystyle H={\frac {1}{2_{m}}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})+U(x,y,z;t)} , (6) არსებობს მექანიკის აღწერის ერთი გზაც, რომელიც განსაკუთრებით მნიშვნელოვანი აღმოჩნდა კლასიკურიდან კვანტურ მექანიკაზე გადასვლის დროს. ამ მეთოდში მოძრაობის განტოლებას წარმოადგენს ჰამილტონ-იაკობის კერძოწარმოებულებიანი დიფერენციული განტოლება: ∂ S ∂ t + H ( q 1 , q 2 , . . . , q n ; ∂ S ∂ q 1 , . . . , ∂ S ∂ q n ; t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+H(q_{1},q_{2},...,q_{n};{\frac {\partial S}{\partial q_{1}}},...,{\frac {\partial S}{\partial q_{n}}};t)=0} , (7), რომელსაც ერთი ნაწილაკისათვის დეკარტის კოორდინატებში ექნება შემდეგი სახე: ∂ S ∂ t + 1 2 m ( ∇ S ) 2 + U ( x , y , z ; t ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+{\frac {1}{2m}}(\nabla S)^{2}+U(x,y,z;t)=0} . (8) მექანიკის კანონებს დიდი მნიშვნელობა აქვს ბუნებისმეტყველებისა და ტექნიკისათვის. ამ კანონებს იყენებენ სამშენებლო ნაგებობების, მანქანების, მექანიზმების, სატრანსპორტო საშუალებების, კოსმოსური საფრენი აპარატებისა და სხვათა გასაანგარიშებლად. ჭილაშვილი გ., ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 6, თბ., 1983. — გვ. 626-627.