პასკალის სამკუთხედი

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 {\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\\\end{array}}} მათემატიკაში პასკალის სამკუთხედი ეწოდება ბინომური კოეფიციენტების სამკუთხა მასივს. გვხვდება ალბთობის თეორიაში, კომბინატორიკაში და ალგებრაში. აღმოსავლურ ქვეყნებში სამკუთხედის სახელი ფრანგი მეცნიერის, ბლეზ პასკალის სახელთანაა დაკავშირებული, იმის მიუხედავად რომ მის გამოჩენამდე ათობით საუკუნის წინაც არსებობდნენ მათემატიკოსები, რომლებიც ამ სამკუთხედს იკვლევდნენ. სამკუთხედის მწკრივები დანომრილია. იწყება მწკრივით n = 0 {\displaystyle n=0} . n {\displaystyle n} წკრივში არის n + 1 {\displaystyle n+1} რაოდენობის ელემენტი. სამკუთხედის ყველა ელემენტი ზედა მარცხენა და ზედა მარჯვენა ელემენტის ჯამს უდრის. ელემენტი სამკუთხედის მე- n {\displaystyle n} მწკრივში და მე- k {\displaystyle k} სვეტში ჩაიწერება როგორც ( n k ) {\displaystyle {\displaystyle {n \choose k}}} მაგალითად, 0 მწკივსა და 0 სვეტში მდებარე ელემენტი 1-ია, ასე რომ, ( 0 0 ) = 1 {\displaystyle {0 \choose 0}=1} ამ უკანასკნელის გამოთვლა ხდება ფორმულით: ( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}} სადაც n {\displaystyle n} ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვია და 0 ≤ k ≤ n {\displaystyle 0\leq k\leq n} . ეს ფორმულა პასკალის წესის სახელითაა ცნობილი. პასკალის სამკუთხედს მაღალ განზომილებებშიც აქვს განზოგადებები, მაგალითად, არსებობს სამკუთხედის სამგანზომილებიანი ვარიანტი, რომელიც პასკალის პირამიდის ან პასკალის ტეტრაედრის სახელითაა ცნობილი პასკალის სამკუთხედის ელემენტების დალაგების წესი პასკალამდეც გავრცელებული იყო, მაგრამ ის გახლდათ ინოვატორი ამ სამკუთხედის რიცხვების სხვადასხვა გამოყენებაში. მან თავისი აღმოჩენები გამოსცა ნაშრომში „Traité du triangle arithmétique“, რომელიც სამკუთხედისთვის მიძღვნილ პირველ ტრაქტატს წარმოადგენს. პასკალამდე ამ სამკუთხედის შესწავლა ინდოეთში დაიწყეს. როგორც ჩანს, მათემატიკოსმა პინგალამ ჯერ კიდევ ძვ.წ მეორე საუკუნეში იცოდა ( n k ) = ( n − 1 k − 1 ) + ( n − 1 k ) {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}} ფორმულის შესახებ. ინდოელმა მათემატიკოსმა მაჰავირამ ბინომური კოეფიციენტების დაჯამების სხვა ფორმულა გამოიგონა — ( n r ) = n ! r ! ( n − r ) ! {\displaystyle {\displaystyle {n \choose r}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}} . ეს ფორმულა უფრო ახლოა თანამედროვე ვარიანტთან, რომელიც ალბათობის თერიასა და კომბინატორიკაში გამოიყენება. სპარსმა მათემატიკოსმა ალ-კარაჯიმ დაწერა წიგნი, რომელიც პირველად აღწერს ამ სამკუთხედის მოცემის წესს, რაც შემდეგ სხვა სპარსმა მათემატიკოსმა, ომარ ხაიამმა გაიმეორა. ამის გამო ირანში ეს სამკუთხედი ხაიამის სამკუთხედის სახელითაა ცნობილი. იტალიაში ამ სამკუთხედს „ტარტალიას სამუკუთხედს“ უწოდებენ, ჩინეთში კი „იანგ ჰუის სამკუთხედს“. პასკალის სამკუთხედი გვეხმარება ჯამის n {\displaystyle n} -ური ხარისხის მოცემაში მაგალითად: 1 1 1 1 2 1 {\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\\end{array}}} ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 = 1 x 2 y 0 + 2 x 1 y 1 + 1 x 0 y 2 {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}=\mathbf {1} x^{2}y^{0}+\mathbf {2} x^{1}y^{1}+\mathbf {1} x^{0}y^{2}} მწკრივის ნომერია 2. მეორე მწკრივის სვეტებია (1, 2, 1) ფორმულაშიც კოეფიციენტებად გვევლინებიან 1, 2 და 1. ფორმულის განზოგადებული ვერსია: ( x + y ) n = ∑ k = 0 n a k x n − k y k = a 0 x n + a 1 x n − 1 y + a 2 x n − 2 y 2 + … + a n − 1 x y n − 1 + a n y n {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{n-k}y^{k}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+a_{2}x^{n-2}y^{2}+\ldots +a_{n-1}xy^{n-1}+a_{n}y^{n}} პასკალის სამკუთხედს გამოყენება კომბინატორიკაშიც აქვს. განვიხილოთ მაგალითი, როდესაც გვინდა შევარჩიოთ k {\displaystyle k} ელემენტიანი სიმრავლე n {\displaystyle n} ელემენტიანი სიმრავლიდან. C k n {\displaystyle \mathbf {C} _{k}^{n}} გამოითვლება ფორმულით: C ( n , k ) = C k n = n C k = ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! {\displaystyle \mathbf {C} (n,k)=\mathbf {C} _{k}^{n}={_{n}C_{k}}={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} ეს უკანასკნელი იგივეა რაც პასკალის სამკუთხედში მე- n {\displaystyle n} მწკრივში და მე- k {\displaystyle k} სვეტში მყოფი ელემენტის გამოსათვლელი ფორმულა. ↑ William L. Hosch. Pascal's triangle ინგლისური. Encyclopædia Britannica. ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ Antonio Saucedo Jr.. (June 2019) Pascal’s Triangle, Pascal’s Pyramid, and the Trinomial Triangle. California State University, San Bernardino. ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ Traité du triangle arithmetique : auec quelques autres petits traitez sur la mesme matière (Item no. 2 in volume CCB.13.24) ინგლისური, ფრანგული. Cambridge Digital Library. ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ Edwards. „Pascal’s arithmetical triangle: the story of a mathematical idea“. JHU Press, 2002. გვერდი 30–31. ↑ 2013 Edwards — „The arithmetical triangle“ ↑ From Alexandria, Through Baghdad: Surveys and Studies in the Ancient Greek and Medieval Islamic Mathematical Sciences in Honor of J.L. Berggren ინგლისური გვ. 54. Springer Science & Business Media (2013-10-30). ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ History and applications of Pascal's triangle ინგლისური. Australian Mathematical Sciences Institute. ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ Alfonso Farina; S. Giompapa; Antonio Graziano. (January 2011) Tartaglia-Pascal's triangle: A historical perspective with applications ინგლისური. ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ NICCOLò TARTAGLIA, GEROLAMO CARDANO & LODOVICO FERRARI ინგლისური. STORY OF MATHEMATICS (2020-02-22). ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ Carlos Velarde; Alberto Robledo. (April 2015) Pascal (Yang Hui) triangles and power laws in the logistic map ინგლისური. ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021. ↑ All About Yang Hui – A Nobel Chinese Mathematician ინგლისური. THE STORY OF MATHEMATICS (2020-03-20). ციტირების თარიღი: 2 მაისი, 2021.