კლინის თეორემა უძრავი წერტილის შესახებ

დალაგების და მესრების თეორიაში, კლინის უძრავი წერტილის თეორემა, რომელიც ატარებს ამერიკელი მათემატიკოსის სტივენ კოულ კლინის, სახელს, შემდეგნაირია: ვთქვათ ( L , ≤ ) {\displaystyle (L,\leq )} სრული ნაწილობრივი დალაგებაა (CPO), და f : L → L {\displaystyle f:L\rightarrow L} არის სკოტის აზრით უწყვეტი (და მაშასადამე მონოტონური) ფუნქცია. მაშინ f {\displaystyle f} -ს გააჩნია უმცირესი უძრავი წერტილი, რომელიც არის f {\displaystyle f} -ის შესაბამისი კლინის აღმავალი ჯაჭვის სუპრემუმი. f {\displaystyle f} -ის შესაბამისი კლინის აღმავალი ჯაჭვი არის ჯაჭვი ⊥ ⊑ f ( ⊥ ) ⊑ f ( f ( ⊥ ) ) ⊑ … ⊑ f n ( ⊥ ) ⊑ … {\displaystyle \bot \;\sqsubseteq \;f(\bot )\;\sqsubseteq \;f\left(f(\bot )\right)\;\sqsubseteq \;\dots \;\sqsubseteq \;f^{n}(\bot )\;\sqsubseteq \;\dots } შედგენილი f {\displaystyle f} -ის იტერაციებით L {\displaystyle L} -ის უმცირეს ელემენტზე ⊥ {\displaystyle \bot } . სიმოკლისათვის: lfp ( f ) = sup ( { f n ( ⊥ ) ∣ n ∈ N } ) {\displaystyle {\textrm {lfp}}(f)=\sup \left(\left\{f^{n}(\bot )\mid n\in \mathbb {N} \right\}\right)} სადაც lfp {\displaystyle {\textrm {lfp}}} აღნიშნავს უმცირეს უძრავ წერტილს. ამ შედეგს ხშირად ალფრედ ტარსკის მიაწერენ, მაგრამ ტარსკის უძრავი წერტილი თეორემა შეეხება მონოტონურ ფუნქციებს სრულ მესრებზე. ჯერ ვაჩვენოთ f {\displaystyle f} -ის შესბამისი კლინის ჯაჭვის არსებობა L {\displaystyle L} -ში. ამისათვის დავამტკიცოთ შემდეგი ლემა: ლემა 1:თუ L {\displaystyle L} არის CPO, და f : L → L {\displaystyle f:L\rightarrow L} სკოტის აზრით უწყვეტია, მაშინ f n ( ⊥ ) ⊑ f n + 1 ( ⊥ ) , n ∈ N 0 {\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq f^{n+1}(\bot ),n\in \mathbb {N} _{0}} დავამტკიცოთ ინდუქციით n {\displaystyle n} -ის მიმართ: დავუშვათ n = 0 {\displaystyle n=0} . მაშინ f 0 ( ⊥ ) = ⊥ ⊑ f 1 ( ⊥ ) {\displaystyle f^{0}(\bot )=\bot \sqsubseteq f^{1}(\bot )} , რადგან ⊥ {\displaystyle \bot } უმცირესი ელემენტია. დავუშვათ n > 0 {\displaystyle n>0} . საჩვენებელია რომ f n ( ⊥ ) ⊑ f n + 1 ( ⊥ ) {\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq f^{n+1}(\bot )} . ინდუქციის დაშვებით გვაქვს f i − 1 ( ⊥ ) ⊑ f i ( ⊥ ) , i ≤ n {\displaystyle f^{i-1}(\bot )\sqsubseteq f^{i}(\bot ),i\leq n} . რადგან f {\displaystyle f} მონოტონურია სამართლიანია f ( f n − 1 ( ⊥ ) ) ⊑ f ( f n ( ⊥ ) ) {\displaystyle f(f^{n-1}(\bot ))\sqsubseteq f(f^{n}(\bot ))} რისი ჩვენებაც გვინდოდა. ლემიდან უშუალოდ გამომდინარეობს კლინის ჯაჭვის არსებობა. ვთქვათ M {\displaystyle \mathbb {M} } არის ჯაჭვის ელემენტთა სიმრავლე: M = { ⊥ , f ( ⊥ ) , f ( f ( ⊥ ) ) , … } {\displaystyle \mathbb {M} =\{\bot ,f(\bot ),f(f(\bot )),\ldots \}} . ლემა 1-დან გამომდინარეობს რომ ჯაჭვი არის მიმართული ω {\displaystyle \omega } -ჯაჭვი. CPO-ს გამნარტებიდან გამომდინარეობს რომ ამ სიმრავლეს აქვს სუპრემუმი, ავღნიშნოთ ის m {\displaystyle m} -ით. საჩვენებელი დარჩა მხოლოდ ის, რომ m {\displaystyle m} უმცირესი უძრავი წერტილია. თავდაპირველად ვაჩვენოთ, რომ m {\displaystyle m} უძრავი წერტილია, სხვა სიტყვებით f ( m ) = m {\displaystyle f(m)=m} . რადგან f {\displaystyle f} არის სკოტის აზრით უწყვეტი , f ( sup ( M ) ) = sup ( f ( M ) ) {\displaystyle f(\sup(\mathbb {M} ))=\sup(f(\mathbb {M} ))} , რაც იგივეა რაც f ( m ) = sup ( f ( M ) ) {\displaystyle f(m)=\sup(f(\mathbb {M} ))} . რადგანაც f ( M ) = M ∖ { ⊥ } {\displaystyle f(\mathbb {M} )=\mathbb {M} \setminus \{\bot \}} და ასევე რადგან ⊥ {\displaystyle \bot } არ ღებულობს მონაწილეობას სუპრემუმის დადგენისას, გვაქვს sup ( f ( M ) ) = sup ( M ) {\displaystyle \sup(f(\mathbb {M} ))=\sup(\mathbb {M} )} . აქედან კი f ( m ) = m {\displaystyle f(m)=m} , რაც იმას ნიშნავს რომ m {\displaystyle m} არის f {\displaystyle f} -ის უძრავი წერტილი. იმის საჩვენებლად რომ m {\displaystyle m} სინამდვილეში უმცირესი უძრავი წერტილია საკმარისია ვაჩვენოთ რომ M {\displaystyle \mathbb {M} } სიმრავლის ყველა ლემენტი ნაკლებია ვიდრე f {\displaystyle f} -ის ნებისმიერი უძრავი წერტილი (რადგან სუპრემუმის (უმცირესი ზედა საზღვრის) განმარტებიდან, თუ ყველა ელემენტი სიმრავლიდან D ⊆ L {\displaystyle D\subseteq L} ნაკლებია ვიდრე L {\displaystyle L} სიმრავლის რაიმე დაფიქსირებული ელემენტი l {\displaystyle l} , მაშინ sup ( D ) {\displaystyle \sup(D)} ასევე ნალებია ვიდრე l {\displaystyle l} ). ვაჩვენოთ ეს ინდუქციის საშუალებით: დავუშვათ k {\displaystyle k} არის f {\displaystyle f} -ის რაიმე უძრავი წერტილი. დავამტკიცოთ ინდუქციით i {\displaystyle i} -ს მიმართ რომ ∀ i ∈ N : f i ( ⊥ ) ⊑ k {\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} \colon f^{i}(\bot )\sqsubseteq k} . ავიღოთ i = 0 {\displaystyle i=0} : f 0 ( ⊥ ) = ⊥ ⊑ k {\displaystyle f^{0}(\bot )=\bot \sqsubseteq k} ცხადია სრულდება, რადგან ⊥ {\displaystyle \bot } უმცირესი ელემენტია L {\displaystyle L} -ში. ინდუქციის დაშვებად ავიღოთ f i ( ⊥ ) ⊑ k {\displaystyle f^{i}(\bot )\sqsubseteq k} . ინდუქციის ბიჯი: ინდუქციის დაშვებიდან და f {\displaystyle f} -ის მონოტონურობიდან, შეგვიძლია მივიღოთ შემდეგი: f i ( ⊥ ) ⊑ k ⟹ f i + 1 ( ⊥ ) ⊑ f ( k ) {\displaystyle f^{i}(\bot )\sqsubseteq k\implies f^{i+1}(\bot )\sqsubseteq f(k)} . რადგანაც k {\displaystyle k} არის f {\displaystyle f} -ის უძრავი წერტილი, გვაქვს f ( k ) = k {\displaystyle f(k)=k} , საიდანაც ვღებულობთ f i + 1 ( ⊥ ) ⊑ k {\displaystyle f^{i+1}(\bot )\sqsubseteq k} . კნასტერ-ტარსკის თეორემა S.C. Kleene "Introduction to Metamathematics (Bibliotheca Mathematica)" 1952 ISBN-13: 978-0923891572