ტრიგონომეტრია

ტრიგონომეტრია (ძვ. ბერძნ. τρίγωνον — „სამკუთხედი“ და μετρέω — „ვზომავ“) — მათემატიკის დარგი, რომელშიც შეისწავლება ტრიგონომეტრიული ფუნქციები და მათი გამოყენებანი გეომეტრიაში. ტრიგონომეტრია იყოფა ბრტყელ, ანუ წრფივ და სფერულ ტრიგონომეტრიად. ვთქვათ a , b , c {\displaystyle a,b,c} სამკუთხედის გვერდებია, A , B , C {\displaystyle A,B,C} — მათი მოპირდაპირე კუთხეები ( A + B + C = π ) {\displaystyle (A+B+C=\pi )} ., h a , h b , h c {\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}} — სიმაღლეები, 2 P {\displaystyle 2P} — პერიმეტრი, S {\displaystyle S} — ფართობი, ხოლო 2 R {\displaystyle 2R} — დიამეტრი იმ წრეწირისა, რომელიც შემოხაზულია ამ სამკუთხედზე. სინუსების თეორემა: a sin ⁡ A = b sin ⁡ B = c sin ⁡ C = 2 R ; {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R;} კოსინუსების თეორემა: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos ⁡ A ; {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A;} ტანგესების თეორემა: a − b a + b = tg ⁡ ( A − B 2 ) tg ⁡ ( A + B 2 ) ; {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathop {\operatorname {tg} } \left({\tfrac {A-B}{2}}\right)}{\mathop {\operatorname {tg} } \left({\tfrac {A+B}{2}}\right)}};} სამკუთხედების ფართობი: S = a b 2 sin ⁡ C = a 2 2 sin ⁡ B sin ⁡ C sin ⁡ B + C = p 2 tg ⁡ A 2 tg ⁡ B 2 tg ⁡ C 2 ; {\displaystyle S={\frac {ab}{2}}{\sin C}={\frac {a^{2}}{2}}{\frac {{\sin B}{\sin C}}{\sin B+C}}=p^{2}\operatorname {tg} {\frac {A}{2}}\operatorname {tg} {\frac {B}{2}}\operatorname {tg} {\frac {C}{2}};} სამკუთხედის კუთხეები, თუ ცნობილია გვერდები, შეიძლება ვიპოვოთ კოსინუსების თეორემის საშუალებით ან ფორმულით: tg ⁡ A 2 = ( p − b ) ( p − c ) p ( p − a ) {\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}} ბრტყელმა ტრიგონომეტრიამ განვითარება დაიწყო სფერული ტრიგონომეტრიის შემდეგ, თუმცა ზოგიერთი თეორემა უკვე იყო ცნობილი ადრევეც. მაგალითად ევკლიდეს „საწყისების“ მეორე წიგნის მე-12 და მე-13 თეორემები არსებითად კოსნუსების თეორემას გამოხატავს. ბრტყელი ტრიგონომეტრია განავითარეს ალ-ბათანიმ, აბუ ლ-ვაფამ, ბჰასკარამ და ნასირ ალ-დინ ტუსიმ, რომელთათვისაც უკვე ცნობილი იყო სინუსების თეორემა. ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა ახლანდელი ცხრილების ნაცვლად ძველი მათემატიკოსები ადგენდნენ მოცემული სიგრძის რკალის მომჭიმავი ქორდების სიგრძეების ცხრილებს. ყველაზე ადრეული ასეთი ცხრილები ბერძენმა მათემატიკოსებმა შეადგინეს ჩვენ წელთაღრიცხვამდე III-II საუკუნეებში. ამ ცხრილებს ჩვენამდე არ მოუღწევია. ქორდის სიგრძეების ჩვენამდე მოღწეული ცხრილები შეადგინა ალექსანდრიელმა ასტრონომმა პტოლემეოსმა (II ს. ჩვ. წ. ა.). ისინი შეიცავდნენ წრეწირის ქორდების სიგრძეებს 30’-იანი ბიჯით. ამ ქორდების სიგრძეები ჩაწერილია სამნიშნა მესამოცედი წილადების სახით, ე.ი. a/60+b/602+a/603 სახით, სადაც a, b და c არის 0-დან 59-მდე მთელი რიცხვები. Sin, Cos, Tg, Ctg, Sec, Cosec ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, როგორც წრეწირში გავლებული მონაკვეთებს შორის სიგრძეების თანაფარდობანი გვხვდება V-X საუკუნეების ინდოელი და არაბი მათემატიკოსების შრომებში ინდოელმა მათემატიკოსმა არიაბხატამ (V საუკუნის დასასრული) იცოდა არა მარტო Sin2a+Cos2a=1, არამედ ნახევარი არგუმენტის სინუსის, კოსინუსის და ტანგესის ფორმულებიც კი, რომლებსაც იგი იყენებდა ამ ფორმულების შესადგენად. დასავლეთ ევროპაში ეს მიღწევები გააგრძელეს XV-XVI საუკუნის მეცნიერებმა. აქ რიგი შედეგებისა ეკუთვნის ფრანგ მათემატიკოსს ფ. ვიეტს (1540-1603). დიფერენციალური აღნიშვნის წარმოშობასტან დაკავშირებით გამოყვანილ იქნა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათაწარმოებულების ფორმულები. ისინი არსებითად უკვე ცნობილი იყო ი. ნიუტონისათვის. ეს ფორმულები გეომეტრიულად გამოიყვანა კოტესმა (1682-1716). არგუმენტის მინუს უსასრულობიდან პლიუს უსასრულობამდე ცვლილებებისას ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ყოფაქცევაზე საკმაოდ ნათელი წარმოდგენები გვხვდება ჯ. უოლისის (1616-1703) შრომებში. მაგრამ საზოგადოდ შეიძლება ითქვას, რომ ამ მიმართულებით მათემატიკოსები (ლ. ეილერამდე) არ იჩენდნენ განსაკუთრებულ თანმიმდევრობას და ცალკეულ ამოცანებთან დაკავშირებიშ სხვადასხვანაირად ზღუდავდნენ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა განსაზღვრის არეს. გარკვეული იყო აგრეთვე რა თმხედველობასი: რიცხვითი არგუმენტის ფუნქცია, თუ მონაკვეთების სიგრძეების კუთხის სიდიდეებთან ან რკალის სიგრძეებთან დამოკიდებულება. ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა თეორიამ თანამედროვე სახე მხოლოდ ლ. ეილერის შრომებში მიიღო, კერძოდ მის წიგნში : "უსასრულოდ მცირეთა ანალიზის შესავალი" (1748). ქართული საბჭოთა ენციკლოპედია, ტ. 10, თბ., 1986. — გვ. 48.