ეილერის ფუნქცია

რიცხვთა თეორიაში ეილერის ფორმულა ითვლის მთელი დადებითი რიცხვების რაოდენობას რომელებიც არ n–ს და თანამრტივია n–თან. ეილერის ფუნქციას ავღნიშნავთ φ(n)–ით ანუ φ(n) არის ყველა ისეთი k რიცხვის რაოდენობა სადაც 1≤k≤n და უსგ(k,n)=1. მაგალითად თუ n=9 მაშინ φ(n)=6; რადგან 9–სთან თანამარტივია 1,2,4,5,7,8. როცა n=1, φ(n)=1. რადგან უსგ(1,1)=1, მაგრამ ესაა ერთადერთი შემთხვევა როცა n თანამარტივია საკუთარ თავთან; ეილერის ფორმულა მარტივი p რიცხვის შემთხვევაში თეორემა: თუ p მარტივია და k ≥ 1, მაშინ [1] φ ( p k ) = p k − 1 ( p − 1 ) = p k ( 1 − 1 p ) . {\displaystyle {\displaystyle \varphi (p^{k})=p^{k-1}(p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}} დამტკიცება: მართლაც ნაშთთა სრული სისტემა p k {\displaystyle {\displaystyle p^{k}}} მოდულით შედგება 1,2,3...... p k {\displaystyle {\displaystyle p^{k}}} რიცხვებისგან მათგან p k {\displaystyle {\displaystyle p^{k}}} –სთან თანამარტივია ისინი რომლებიც p–ზე არ იყოფა. ცხადია მოცემულ ნაშთთა სისტემაში p-ზე იყოფა p , 2 p , . . . p 2 , . . . p k {\displaystyle {\displaystyle p,2p,...p^{2},...p^{k}}} რომელთა საერთო რაოდენობა ტოლია p k − 1 {\displaystyle {\displaystyle p^{k-1}}} მაშასადამე p k {\displaystyle {\displaystyle p^{k}}} –სთან თანამარტივ რიცხვთა რაოდენობა მოცემული სისტემიდან უდრის p k − p k − 1 = p k − 1 ( p − 1 ) . {\displaystyle {\displaystyle p^{k}-p^{k-1}=p^{k-1}(p-1)}.} მულტიპლიკაციურობა ეილერის ფუნქცია არის მულტიპლიკაციური რაც ნიშნავს რომ ნებისმიერი m და n რიცხვებისთვის რომლებიც თანამარტივი არიან ანუ უსგ(m,n)=1, სამართლიანია შემდეგი ტოლობა φ(mn) = φ(m)φ(n). მაგ: φ(36) = φ(9)φ(4)=6·2=12. ეილერის ფუნქციის ფორმულა ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის ფორმულის მულტიპლიკაციურობა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი რიცხვისთვის ეილერის მნშვნელობა.მართლაც ნებისმიერი რიცხვი წარმოსდგება მარტივ რიცხვთა ნამრავლის სახით n = p 1 k 1 ⋯ p r k r , {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle n={p_{1}}^{k_{1}}\cdots {p_{r}}^{k_{r}},}}} აქედან გამომდინარე φ ( n ) = φ ( p 1 k 1 ) φ ( p 2 k 2 ) ⋯ φ ( p r k r ) = p 1 k 1 ( 1 − 1 p 1 ) p 2 k 2 ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ p r k r ( 1 − 1 p r ) = p 1 k 1 p 2 k 2 ⋯ p r k r ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) = n ( 1 − 1 p 1 ) ( 1 − 1 p 2 ) ⋯ ( 1 − 1 p r ) . {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (n)&=\varphi \left(p_{1}^{k_{1}}\right)\varphi \left(p_{2}^{k_{2}}\right)\cdots \varphi \left(p_{r}^{k_{r}}\right)\\&=p_{1}^{k_{1}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)p_{2}^{k_{2}}\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\\&=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right).\end{aligned}}}}} მაგ: φ ( 36 ) = φ ( 2 2 3 2 ) = 36 ( 1 − 1 2 ) ( 1 − 1 3 ) = 36 ⋅ 1 2 ⋅ 2 3 = 12. {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \varphi (36)=\varphi \left(2^{2}3^{2}\right)=36\left(1-{\tfrac {1}{2}}\right)\left(1-{\tfrac {1}{3}}\right)=36\cdot {\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {2}{3}}=12.}}} ეილერის თეორემა რიცხვთა თეორიაში მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს ეილერის შემდეგი თეორემა თუ უსგ(a,m)=1 მაშინ a φ ( m ) ≡ 1 ( m o d m ) ; {\displaystyle {\displaystyle a^{\varphi (m)}\equiv 1(modm)};} წყარო "რიცხვთა თეორია " მათემატიკის მეორე კურსი ^ Long (1972, p. 85) ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 72) ^ Long (1972, p. 162) ^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 80) ^ See Euler's theorem.