ლევი-ჩივიტას სიმბოლო

ლევი-ჩივიტას სიმბოლო — მათემატიკური სიმბოლო, რომელიც გამოიყენება ტენზორულ აღრიცხვში, რომელსაც ეს სახელი ეწოდა იტალიელი მათემატიკოსისა და ფიზიკოსის ტულიო ლევი-ჩივიტას პატივსაცემად. სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო შემდეგნაირად განისაზღვრება: ε i j k = { + 1 if  ( i , j , k )  is  ( 1 , 2 , 3 ) , ( 3 , 1 , 2 )  or  ( 2 , 3 , 1 ) , − 1 if  ( i , j , k )  is  ( 1 , 3 , 2 ) , ( 3 , 2 , 1 )  or  ( 2 , 1 , 3 ) , 0 if  i = j  or  j = k  or  k = i {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,2,3),(3,1,2){\mbox{ or }}(2,3,1),\\-1&{\mbox{if }}(i,j,k){\mbox{ is }}(1,3,2),(3,2,1){\mbox{ or }}(2,1,3),\\0&{\mbox{if }}i=j{\mbox{ or }}j=k{\mbox{ or }}k=i\end{cases}}} ანუ ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} არის 1 თუ (i, j, k) წარმოადგენენ (1,2,3)-ის ლუწ გადანაცვლებას (ანუ ამ კომბინაციიდან (1,2,3)-ის მისაღებად ციფრების გადანაცვლებების ლუწი რაოდება არის საჭირო), და არის −1 თუ ამისთვის გადანაცვლებების კენტი რაოდენობაა საჭირო. სამგანზომილებიან სივრცეში ლევი-ჩივიტას სიმბოლო მოიცემა შემდეგი ფორმულით: ε i j k = ( j − i ) ( k − i ) ( k − j ) 2 = ( i − j ) ( j − k ) ( k − i ) 2 . {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(k-j\right)}{2}}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}.} ანალოგიურ ფორმულას ოთხგანზომილებიანი სივრცისთვის აქვს შემდეგი სახე: ε i j k l = ( j − i ) ( k − i ) ( l − i ) ( k − j ) ( l − j ) ( l − k ) 12 . {\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\frac {\left(j-i\right)\left(k-i\right)\left(l-i\right)\left(k-j\right)\left(l-j\right)\left(l-k\right)}{12}}.} წრფივ ალგებრაში 3×3 A მატრიცის დეტერმინანტი მოიცემა შემდეგი ფორმულით: det A = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε i j k a 1 i a 2 j a 3 k {\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}} ხოლო ორი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი ჩაიწერება შემდეგნაირად a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε i j k e i a j b k {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e_{i}} a_{j}b_{k}} ან უფრო მარტივად: a × b = c ,   c i = ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε i j k a j b k . {\displaystyle \mathbf {a\times b} =\mathbf {c} ,\ c_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}.} ლევი-ჩივიტას სიმბოლო დაკავშირებულია კრონეკერის სიმბოლოსთან. სამგანზომილებიან სივრცეში ეს კავშირი შემდეგი ფორმულებით მოიცემა: ε i j k ε l m n = det [ δ i l δ i m δ i n δ j l δ j m δ j n δ k l δ k m δ k n ] , {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}=\det {\begin{bmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{bmatrix}},} = δ i l ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) − δ i m ( δ j l δ k n − δ j n δ k l ) + δ i n ( δ j l δ k m − δ j m δ k l ) {\displaystyle =\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right)\,} ∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}} , და ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ε i j k ε i j n = 2 δ k n {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}} 1. ორ განზომილებაში, როდესაც i , j , m , n {\displaystyle i,j,m,n} იღებს მნიშვნელობებს { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} , გვაქვს ε i j ε m n = δ i m δ j n − δ i n δ j m ( 1 ) ε i j ε i n = δ j n ( 2 ) ε i j ε i j = 2 ( 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}=\delta _{i}^{m}\delta _{j}^{n}-\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{m}\quad &&(1)\\&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{j}^{n}&&(2)\\&\varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2&&(3)\end{aligned}}} 2. სამ განზომილებაში, როდესაც i , j , k , m , n {\displaystyle i,j,k,m,n} იღებს მნიშვნელობებს { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} , გვაქვს ε j m n ε i m n = 2 δ j i ( 4 ) ε i j k ε i j k = 6 ( 5 ) ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m ( 6 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{jmn}\varepsilon ^{imn}=2\delta _{j}^{i}&&(4)\\&\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{ijk}=6&&(5)\\&\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{imn}=\delta _{j}^{m}\delta _{k}^{n}-\delta _{j}^{n}\delta _{k}^{m}&&(6)\end{aligned}}} 3. n განზომილებაში, როდესაც i 1 , . . . , i n , j 1 , . . . , j n {\displaystyle i_{1},...,i_{n},j_{1},...,j_{n}} იღებს მნიშვნელობებს { 1 , . . . , n } , {\displaystyle \{1,...,n\},} : ε i 1 … i n ε j 1 … j n = n ! δ [ i 1 j 1 … δ i n ] j n ( 7 ) ε i 1 … i k   i k + 1 … i n ε i 1 … i k   j k + 1 … j n = k ! ( n − k ) !   δ [ i k + 1 j k + 1 … δ i n ] j n ( 8 ) ε i 1 … i n ε i 1 … i n = n ! ( 9 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(7)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}^{j_{n}}&&(8)\\&\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!&&(9)\end{aligned}}} 1. n × n {\displaystyle n\times n} მატრიცის A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} დეტერმინანტი გამოისახება შემდეგი ფორმულით det A = ε i 1 ⋯ i n a 1 i 1 ⋯ a n i n , {\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}},} სადაც იგულისხმება, რომ ყველა i l {\displaystyle i_{l}} სიმბოლოთი ხორციელდება აჯამვა. ექვივალენტურად, ეს განტოლება შეიძლება შემდეგნაირად ჩაიწეროს: det A = 1 n ! ε i 1 ⋯ i n ε j 1 ⋯ j n a i 1 j 1 ⋯ a i n j n , {\displaystyle \det A={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},} სადაც ყველა i l {\displaystyle i_{l}} და j l {\displaystyle j_{l}} ინდექსებით ხორციელდება აჯამვა 1 , … , n {\displaystyle 1,\ldots ,n} შუალედში. 2. თუ A = ( A 1 , A 2 , A 3 ) {\displaystyle A=(A^{1},A^{2},A^{3})} და B = ( B 1 , B 2 , B 3 ) {\displaystyle B=(B^{1},B^{2},B^{3})} არიან სამგანზომილებიანი ვექტორები, მაშინ მათი ვექტორული ნამრავლის i {\displaystyle i} -ური გეგმილი ტოლია ( A × B ) i = ε i j k A j B k . {\displaystyle (A\times B)^{i}=\varepsilon ^{ijk}A^{j}B^{k}.} ვექტორული ნამრავლი კრონეკერის სიმბოლო Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0.