ინტეგრალი

ინტეგრალი — მათემატიკის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} რიცხვი, რომლისკენაც მიისწრაფვის S n = ∑ f ( x k ) δ x {\displaystyle S_{n}=\sum {f(x_{k})\delta _{x}}} ჯამები, როდესაც n მიისწრაფვის პლუს უსასრულებისკენ. ინტეგრალის ასეთი განსაზღვრება არ მოითხოვს წარმოებულის ცნებისა და მასზე დამოკიდებული პირველადის ცნების წინასწარ გაცნობას. XVII და XVIII საუკუნეების მათემატიკოსები არ სარგებლობდნენ ზღვრის ცნებით. მის ნაცვლად ისინი ლაპარაკობდნენ „უსასრულოდ დიდი რაოდენობის უსასრულოდ მცირე შესაკრებების ჯამის“ შესახებ. მაგალითად, მათი წარმოდგენით მრუდწირული ტრაპეციის (სურ. 1) ფართობი შედგება f(x) სიგრძის ვერტიკალური მონაკვეთებისაგან, რომელთაც მიაწერდნენ უსასრულოდ მცირე f(x)dx სიდიდის ტოლ ფართობს. ასეთ შემთხვევაში საძიებელი ფართობი ითვლება უსასრულოდ დიდი რაოდენობის უსასრულოდ მცირე ფართობების ჯამის ტოლად : S = ∑ a < x < b f ( x ) d x {\displaystyle S=\sum _{a<x<b}^{}f(x)d_{x}} ზოგჯერ ხაზგასმითაც კი იყო ნათქვამი, რომ ამ ჯამის ცალკეული შესაკრებები ნულებია, მაგრამ ნულები განსაკუთრებული სახისა, რომელთა უსასრული რიცხვჯერ შეკრება იძლევა სავსებით გარკვეულ დადებით ჯამს. ასეთ საფუძველზე ი. კეპლერმა თავის ნაშრომებში „ახალი ასტრონიმია“ (1609) და „ღვინის კასრების სტერეომეტრია“ (1615) სწორად გამოთვალა მთელი რიგი ფართობები და მოცულობები. ეს გამოკვლევებუ შემდგომში გააგრძელა ბონავენტურა კავალიერიმ (1598-1647). ბ. კავალიერის მიერ ჩამოყალიბებული პრინციპი დღეისათვისაც ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას. ავხსნათ კავალიერის პრინციპი. მაგალითად, საჭიროა მეორე სურათზე გამოსახული ფიგურის ფართობის გამოთვლა, სადაც ამ ფიგურის ზემოდან და ქვემოდან შემომსაზღვრელი მრუდების განტოლებებია y=f(x) და y=f(x)+c. თუ წარმოვიდგენთ, რომ ეს ფიგურა შედგება უსასრულოდ წვრილი, კავალიერის ტერმინოლოგიით "განუყოფელი" სვეტებისაგან, შევნიშნავთ, რომ ყოველი ამ სვეტის სიგრძეა c. ვერტიკალური მიმართულებით მათი გადაადგილებით შეგვიძლია b-a ფუძისა და c სიმაღლის მქონე სამკუთხედის შედგენა, ამიტომ საძიებელი ფართობი ტოლია მიღებული მართკუთხედის ფართობისა, ე.ი. S=S1=c(b-a) კავალიერის ზოგადი პრინციპი ბრტყელი ფიგურების ფართობებისათვის ასე ჩამოყალიბდება: ვთქვათ, პარალელურ წრფეთა რაიმე კანონის წრფეები Ф1 და Ф2 ფიგურებს კვეთს ტოლი სიგრძის მონაკვეთებზე (სურ. 3), მაშინ Ф1 და Ф2 ფიგურების ფართობები ტოლია. ანალოგიური პრინციპი მართებულია სტერეომეტრიასიც და მას იყენებენ მოცემულობის გამოთვლისას. აბსტრაქტული სახით ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx} ინტეგრალის განსაზღვრება ლაიბნიცმა ჩამოაყალიბა: მან ინტეგრალი განიხილა, როგორც ფუნქციის გრაფიკის წერტილების "ყველა ორდინატის ჯამი". ინტეგრალის თანამედროვე აღნიშვნა ეკუთვნის ლაიბინცს, რომელიც ჯამს აღნიშნავდა დიდი S ასოთი, სახელწოდება "ინტეგრალი" კი ლაიბინცის მოწაფეს ი. ბერნულის. ამრიგად ინტეგრალი თავდაპირველად წარმოიშვა წარმოებულისგან დამოუკიდებლად, ამიტომ გაწარმოების და ინტეგრების ოპერაციებს შორის კავშირის დადგება არის დიდი აღმოჩენა, რაც ზოგადი სახით დადგენილ იქნა ლაიბინცისა და ნიუტონის მიერ: თუ F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} (1) მაშინ ∫ a b f ( z ) d z + c {\displaystyle \int _{a}^{b}f(z)\,dz+c} (2) და პირიქით, (2)-დან გამომდინარეობს (1). ელემენტარულ ფუნქციათა ინტეგრების სისტემური გამოკვლევა დაასრულა ეილერმა თავის წიგნში "ინტეგრალური აღრიცხვა". მალე გაირკვა, რომ ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციის ინტეგრალი ელემენტარული ფუნქციებით არ გამოისახება. ეს საკითხი ირაციონალურ ფუნქციათა ზოგიერთი კლასისთვის საფუძვლიანად გამოიკვლია რულმა მათემატიკოსმა პ. ჩებიშევმა (1821-1894). თანამედროვე ფორმულირება განსაზღვრული ინტეგრალისა, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვრისა, ეკუთვნის ო. კოშის.