გადალაგება

გადალაგება კომბინატორიკაში — სიმრავლის ელემენტების ისეთი გადანაცვლება, რომელშიც არც ერთი ელემენტი არ ემთხვევა თავისი პოზიციის ნომერს. n {\displaystyle n} -ელემენტიანი სიმრავლის გადალაგებების რაოდენობა ცნობილია, როგორც n {\displaystyle n} -ის ქვეფაქტორიალი, ან გადალაგების n {\displaystyle n} -ური წევრი და აღნიშნავენ, როგორც: !n, Dn ან dn. დამტკიცებადია, რომ ! n = n ! / e {\displaystyle !n=n!/e} დამრგვალებული უახლოეს მთელ რიცხვამდე, სადაც e {\displaystyle e} არის ეილერის რიცხვი. გადალაგებების ამოცანა პირველად განიხილა პიერ რეიმონდ დე მონტმორტმა 1708 წელს და ამოხსნა 1713 წელს, ამავე დროს ნიკოლას ბერნულიმაც. დავუშვათ, მასწავლებელმა ტესტირება ჩაუტარა 4 − A , B , C , D {\displaystyle 4-A,B,C,D} სტუდენტს და სურს, რომ მათ ერთმანეთის ტესტები შეაფასონ. ცხადია, რომ მას არ უნდა რომელიმე სტუდენტმა თავისი ნაშრომი მიიღოს. კითხვა შემდეგია: რამდენი გზა არსებობს ტესტების დარიგებისა ისეთი, რომ არც ერთმა სტუდენტმა თავისი ნაშრომი არ მიიღოს? 4 ! = 24 {\displaystyle 4!=24} შესაძლებელი გადანაცვლებიდან არსებობს მხოლოდ 9 გადალაგება (აღნიშნულია ლურჯად) და სხვა გადანაცვლებებში ერთი მაინც სტუდენტი არსებობს, რომელიც თავის ნაშრომს (ანუ აკრძალულს) იღებს მასწავლებლისგან. ამ ამოცანის უამრავი ინტერპრეტაცია არსებობს, მაგრამ ცხადია, რომ ყველა დაიყვანება გადალაგების n {\displaystyle n} -ური წევრის გამოთვლამდე. დავუშვათ, n {\displaystyle n} ადამიანს, გადანომრილი 1 {\displaystyle 1} -დან n {\displaystyle n} -ის ჩათვლით, სურს დაიხუროს ასევე n {\displaystyle n} ქუდი, გადანომრილი ასევე 1 {\displaystyle 1} -დან n {\displaystyle n} -ის ჩათვლით, ისე, რომ არც ერთი ადამიანი თავისი ნომრის ქუდს არ იხურავდეს. ვთქვათ, პირველი ადამიანი იხურავს i {\displaystyle i} -ურ ქუდს. i {\displaystyle i} -ური ქუდის ამორჩევის სულ ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} ვარიანტია, რადგან მხოლოდ პირველი ქუდის დახურვა არ შეუძლია მას. ამის შემდეგ, ამოცანა შეიძლება ორ ნაწილად გავყოთ i {\displaystyle i} -ური ადამიანის არჩევნის მიხედვით: თუ i {\displaystyle i} -ურმა ადამიანმა საპასუხოდაც პირველი ქუდი აიღო, მაშინ ორი ადამიანი და ორი ქუდი მოგვარდა, დაგვრჩა გადავალაგოთ ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)} ადამიანი და ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)} ქუდი, ანუ გვაქვს ( n − 2 ) {\displaystyle (n-2)} გადალაგება. თუ i {\displaystyle i} -ურმა ადამიანმა პირველი არ აიღო, მაშინ გვექნება n − 1 {\displaystyle n-1} გადალაგება. რადგან პირველი არ გვაქვს, მე- 2 {\displaystyle 2} ადამიანი ვერ აიღებს მე- 2 {\displaystyle 2} ქუდს, მე- 3 {\displaystyle 3} ადამიანი ვერ აიღებს მე- 3 {\displaystyle 3} -ს, i {\displaystyle i} -ური ვერ აიღებს პირველ ქუდს (რადგან ეს ვარიანტი უკვე განვიხილეთ) ( i + 1 ) {\displaystyle (i+1)} -ური ვერ აიღებს ( i + 1 ) {\displaystyle (i+1)} -ურ ქუდს და ა.შ. ანუ დაგვრჩა ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} ადამიანი, და თითოეულს ერთი აკრძალული ქუდი აქვს, შესაბამისად გვაქვს ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} გადალაგება. აქედან გამომდინარეობს შემდეგი რეკურენტული ფორმულა: ! n = ( n − 1 ) ( ! ( n − 1 ) + ! ( n − 2 ) ) . {\displaystyle !n=(n-1)({!(n-1)}+{!(n-2)}).\,} სადაც ! 0 = 1 {\displaystyle !0=1} და ! 1 = 0 {\displaystyle !1=0} . de Montmort, P. R. (1708). Essay d'analyse sur les jeux de hazard. Paris: Jacque Quillau. Seconde Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paris: Jacque Quillau. 1713. Hassani, M. "Derangements and Applications." J. Integer Seq. 6, No. 03.1.2, 1–8, 2003