პტოლემეს თეორემა

ევკლიდეს გეომეტრიაში პტოლემეს თეორემა არის მიმართება ჩახაზული ოთხკუთხედის (ოთხკუთხედი, რომლის წვეროები ძევს საერთო წრეზე) ოთხ გვერდსა და ორ დიაგონალს შორის. თეორემა ბერძენი ასტრონომისა და მათემატიკოსის პტოლემეს სახელს ატარებს. თუ ჩახაზული ოთხკუთხედის წვეროები არის A, B, C და D თანმიმდევრობით (ნახაზი 1), მაშინ თეორემა ამბობს, რომ: A C ⋅ B D = A B ⋅ C D + B C ⋅ A D {\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD} ეს კავშირი შეიძლება სიტყვიერად გამოიხატოს შემდეგნაირად: თუ ოთხკუთხედი ჩახაზულია, მაშინ მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლი ტოლია მოპირდაპირე გვერდების წყვილების სიგრძეთა ნამრავლების ჯამის. დამატებით, პტოლემეს თეორემა პირიქითაც მუშაობს: ოთხკუთხედში, თუ მისი ორი წყვილი მოპირდაპირე გვერდების სიგრძის ნამრავლების ჯამი უდრის მისი დიაგონალების სიგრძის ნამრავლს, მაშინ ოთხკუთხედი შეიძლება ჩაიხაზოს წრეში, ანუ ის არის ჩახაზული ოთხკუთხედი . პტოლემეს თეორემის გაგრძელებაა წრეში ჩახაზული ტოლგვერდა სამკუთხედის შემთხვევა (ნახაზი 2). მანძილი წრეზე დასმული რომელიმე წერტილიდან სამკუთხედის ყველაზე შორეულ წვერომდე უდრის მანძილების ჯამს ამ წერტილიდან ორ უახლოეს წვერომდე: q s = p s + r s ⇒ q = p + r . {\displaystyle qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.} ნებისმიერი კვადრატი შეიძლება ჩაიხაზოს წრეში, რომლის ცენტრიც არის კვადრატის ცენტრი. თუ მისი გვერდების სიგრძე უდრის a {\displaystyle a} -ს (ნახაზი 3), მაშინ პითაგორას თეორემის მიხედვით დიაგონალის სიგრძე უდრის a 2 {\displaystyle a{\sqrt {2}}} . პტოლემეს მიმართება კი ჭეშმარიტია: a 2 ⋅ a 2 = a ⋅ a + a ⋅ a {\displaystyle a{\sqrt {2}}\cdot a{\sqrt {2}}=a\cdot a+a\cdot a} უფრო ზოგადად, თუ ოთხკუთხედი არის მართკუთხედი a და b გვერდებით და d დიაგონალით, მაშინ პტოლემეს თეორემა დასულია პითაგორას თეორემამდე. ამ შემთხვევაში წრის ცენტრი ემთხვევა დიაგონალების გადაკვეთის წერტილს. დიაგონალების ნამრავლი არის d 2 {\displaystyle d^{2}} , პტოლემეს მიმართების მარჯვენა მხარე არის ჯამი a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} . უფრო საინტერესო მაგალითია კავშირი გვერდის a სიგრძეს 5 ქორდასა და b სიგრძის 3 ქორდას შორის წესიერ ხუთკუთხედში (იხ. ნახაზი 3). კვადრატის შევსებით, მიმართება იძლევა ოქროს კვეთას : b ⋅ b = a ⋅ a + a ⋅ b b 2 − a b = a 2 b 2 a 2 − a b a 2 = a 2 a 2 ( b a ) 2 − b a + ( 1 2 ) 2 = 1 + ( 1 2 ) 2 ( b a − 1 2 ) 2 = 5 4 b a − 1 2 = ± 5 2 b a > 0 ⇒ φ = b a = 1 + 5 2 {\displaystyle {\begin{array}{rl}b\cdot b\,\;\;\qquad \quad \qquad =&\!\!\!\!a\!\cdot \!a+a\!\cdot \!b\\b^{2}\;\;-ab\quad \qquad =&\!\!a^{2}\\{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\;\;-{\frac {ab}{a^{2}}}\;\;\;\qquad =&\!\!\!{\frac {a^{2}}{a^{2}}}\\\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}-{\frac {b}{a}}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\\\left({\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\right)^{2}=&\!\!\quad {\frac {5}{4}}\\{\frac {b}{a}}-{\frac {1}{2}}\;\;\;=&\!\!\!\!\pm {\frac {\sqrt {5}}{2}}\\{\frac {b}{a}}>0\,\Rightarrow \,\varphi ={\frac {b}{a}}=&\!\!\!\!{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\end{array}}} პტოლემეს თეორემაში განტოლება არასოდეს არის ჭეშმარიტი არაციკლური ოთხკუთხედების მიმართ. პტოლემეს უტოლობა ამ ფაქტის გაგრძელებაა და ის თეორემის უფრო ზოგადი ფორმაა. თუ მოცემულია ABCD ოთხკუთხედი, მაშინ: A B ¯ ⋅ C D ¯ + B C ¯ ⋅ D A ¯ ≥ A C ¯ ⋅ B D ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}} სადაც ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ მაშინ, თუკი ოთხკუთხედი ჩახაზულია. ეს განსაკუთრებული შემთხვევა პტოლემეს თეორემის ტოლფასია. ↑ C. Ptolemy, Almagest, Book 1, Chapter 10. ↑ Proposition 8 in Book XIII of Euclid's Elements proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in "mean and extreme ratio".