წარმოებული

წარმოებული — მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნება. ერთი ნამდვილი ცვლადის f {\displaystyle f} ფუნქციის შემთხვევაში გვიჩვენებს რაიმე x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილის მიდამოში არგუმენტის x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} ცვლილებასთან შედარებით როგორია ფუნქციის მნიშვნელობის შესაბამისი ცვლილება f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle f(x)-f(x_{0})} . სხვა სიტყვებით, გვიჩვენებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მოცემული x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილის მიდამოში. განსაზღვრება: ერთი ნამდვილი ცვლადის f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,\;b]\to R} ფუნქციის წარმოებული x 0 ∈ ] a , b [ {\displaystyle x_{0}\in ]a,\;b[} წერტილში აღინიშნება სიმბოლოთი f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} და f ′ ( x 0 ) = lim x → x 0 f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 , {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}},} თუ უკანასკნელი ზღვარი სასრულია. როდისაც x 0 = a {\displaystyle x_{0}=a} ან x 0 = b {\displaystyle x_{0}=b} , მაშინ უკანასკნელ ტოლობაში განვიხილავთ შესაბამისად მარჯვენა და მარცხენა ზღვრებს, ხოლო რიცხვებს f ′ ( a ) {\displaystyle f'(a)} და f ′ ( b ) {\displaystyle f'(b)} ვუწოდებთ შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა წარმოებულებს. თუ x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში არგუმენტისა და ფუნქციის ნაზრდებისათვის შემოვიღებთ შესაბამისად აღნიშვნებს Δ x = x − x 0 დ ა Δ f ( x 0 ) = f ( x ) − f ( x 0 ) {\displaystyle \Delta x=x-x_{0}\;\;{\text{დ ა}}\;\;\Delta f(x_{0})=f(x)-f(x_{0})} , მაშინ წინა ტოლობა შეიძლება შემდეგი ექვივალენტური ფორმითაც ჩაიწეროს ( 1 ) f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ან f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ f ( x 0 ) Δ x . {\displaystyle (1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}\;\;{\text{ან}}\;\;f'(x_{0})=\lim \limits _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x_{0})}{\Delta x}}.} წარმოებულის განსაზღვრებიდან ცხადია, რომ ფუნქცია ε ( x ) = f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 − f ′ ( x 0 ) {\displaystyle \varepsilon (x)={\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}-f'(x_{0})} აკმაყოფილებს ტოლობას lim x → x 0 ε ( x ) = 0 {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}\varepsilon (x)=0} . ამიტომ უტოლობიდან | f ( x ) − f ( x 0 ) | ≤ | f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) | + | ε ( x ) ( x − x 0 ) | {\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|\leq |f'(x_{0})(x-x_{0})|+|\varepsilon (x)(x-x_{0})|} , გამომდინარეობს f {\displaystyle f} ფუნქციის უწყვეტობა x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში. ამდენად f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} წარმოებულის არსებობიდან გამომდინარეობს f {\displaystyle f} ფუნქციის უწყვეტობა x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში. შეიძლება ფუნქცია იყოს უწყვეტი რაიმე წერტილში მაგრამ არ იყოს წარმოებადი ამ წერტილში. მაგალითად უწყვეტ ფუნქციას f ( x ) = | x | {\displaystyle f(x)=|x|} არ გააჩნია წარმოებული f ′ ( 0 ) {\displaystyle f'(0)} . მეტიც, 1872 წელს ვაიერშტრასმა ააგო პირველი მაგალითი უწყვეტი ფუნქციისა (ვაიერშტრასის ფუნქცია), რომელსაც არცერთ წერტილში არ გააჩნია წარმოებული. თუ ფუნქციას f : [ a , b ] → R {\displaystyle f:[a,\;b]\to R} ყოველ x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,\,b]} წერტილში გააჩნია წარმოებული, მაშინ ფუნქციას, რომელიც ყოველ x 0 ∈ [ a , b ] {\displaystyle x_{0}\in [a,\,b]} რიცხვს შეუსაბამებს რიცხვს f ′ ( x 0 ) {\displaystyle f'(x_{0})} აღვნიშნავთ სიმბოლოთი f ′ {\displaystyle f'} და ვუწოდებთ f {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებულს. ცნობილია, რომ ყოველ წერტილში წარმოებადი f {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებულ f ′ {\displaystyle f'} ფუნქციას მხოლოდ მეორე გვარის წყვეტები შეიძლება ჰქონდეს. თუ f ′ {\displaystyle f'} ფუნქცია წარმოებადია, მაშინ მისი გაწარმოებით მივიღებთ ფუნქციას f ″ {\displaystyle f''} , რომელსაც ეწოდება f {\displaystyle f} ფუნქციის მეორე რიგის წარმოებული. ანალოგიურად f ″ {\displaystyle f''} ფუნქციის წარმოებადობის შემთხვევაში მივიღებთ f ‴ {\displaystyle f'''} -მესამე რიგის წარმოებულს. საზოგადოდ n − {\displaystyle n-} ური რიგის წარმოებულს აღნიშნავენ სიმბოლოთი f ( n ) {\displaystyle f^{(n)}} და f ( n ) ( x 0 ) = ( f ( n − 1 ) ( x 0 ) ) ′ = lim x → x 0 f ( n − 1 ) ( x ) − f ( n − 1 ) ( x 0 ) x − x 0 ( n ∈ N ) , {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(x_{0})=(f^{(n-1)}(x_{0}))'=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_{0})}{x-x_{0}}}\;\;\;\;(n\in N),} სადაც f ( 0 ) := f {\displaystyle f^{(0)}:=f} . ხშირად, ლაგრანჟის მიერ შემოღებული f ′ , f ″ , ⋯ , f ( n ) {\displaystyle f',f'',\cdots ,f^{(n)}} , აღნიშვნების ნაცვლად გამოიყენება ლაიბნიცის აღნიშვნები d f d x , d 2 f d x 2 , ⋯ , d n f d x n {\displaystyle {\frac {df}{dx}},{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}},\cdots ,{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}} შესაბამისად, ხოლო დაბალი რიგის წარმოებულებისათვის ნიუტონის მიერ შემოღებული აღნიშვნები f ˙ , f ¨ . {\displaystyle {\dot {f}},{\ddot {f}}.} ლაიბნიცის მიხედვით, წარმოებულის მნიშვნელობისათვის x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში გამოიყენება აღნიშვნები d n f d x n | x = x 0 ან d n f d x n ( x 0 ) {\textstyle {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}{\bigg \vert }_{x=x_{0}}\;\;{\text{ან}}\;\;\;\;{\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}(x_{0})} . თუ ფუნქციას გააჩნია თავის განსაზღვრის არეზე უწყვეტი წარმოებული, მას უწოდებენ ხოლმე გლუვს. ავაგოთ ფუნქციის გრაფიკის მხები წერტილში. ამისთვის ჯერ გავიხსენოთ მხების ლაიბნიცისეული განსაზღვრება, რომ მოცემული წირის A {\displaystyle A} წერტილში გავლებული მხები არის წრფე, რომელიც გადის A {\displaystyle A} და მასთან უსასრულოდ მიახლოვებულ B {\displaystyle B} წერტილებზე. მოყვანილი განსაზღვრება პირდაპირ გვკარნახობს როგორ უნდა ავაგოთ მოცემული წირის მოცემულ A {\displaystyle A} წერტილზე გამავალი მხები (ნახ.1). უწყვეტი f {\displaystyle f} ფუნქციის გრაფიკის A ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle A(x_{0},\;f(x_{0}))} წერტილში მხების ასაგებად, x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილის მცირე მიდამოში განვიხილოთ ნებისმიერი x 1 := x 0 + Δ x ( Δ x ≠ 0 ) {\displaystyle x_{1}:=x_{0}+\Delta x\;(\Delta x\not =0)} წერტილი და f {\displaystyle f} ფუნქციის გრაფიკზე ავიღოთ შესაბამისი B ( x 0 + Δ x , f ( x 0 + Δ x ) ) {\displaystyle B(x_{0}+\Delta x,\;f(x_{0}+\Delta x))} წერტლი. ადვილი შესამოწმებელია, რომ A {\displaystyle A} და B {\displaystyle B} წერტილების შემაერთებელი წრფის (გრაფიკის ქორდის) განტოლება იქნება ( 2 ) ℓ ქორდ ( x ) = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle (2)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell _{\text{ქორდ}}(x)={\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}(x-x_{0})+f(x_{0})} . ახლა თუ x 1 {\displaystyle x_{1}} წერტილით მივუახლოვედებით x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილს, შესაბამისად B {\displaystyle B} წერტილიც მიუახლოვდება A {\displaystyle A} წერტილს და ℓ ქორდ {\displaystyle \ell _{\text{ქორდ}}} ქორდა გადაიქცევა მხებად თუ კი ასეთი არსებობს. ანუ ℓ მხებ {\displaystyle \ell _{\text{მხებ}}} მხების განტოლების მისაღებად საჭიროა (2) ტოლობაში გადავიდეთ ზღვარზე x 1 → x 0 ( Δ x → 0 ) {\displaystyle x_{1}\to x_{0}\;(\Delta x\to 0)} , და თუ ეს ზღვარი არსებობს, (1) ტოლობის გათვალისწინებით მივიღებთ ℓ მხებ ( x ) = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ell _{\text{მხებ}}(x)=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})} . უკანასკნელი ტოლობის თანახმად ფუნქციის წარმოებული წერტილში ყოფილა ამ წერტილში გავლებული მხების განტოლების k {\displaystyle k} კუთხური კოეფიციენტის ტოლი, რომელიც როგორც ცნობილია განისაზღვრება ტოლობიდან k = tan ⁡ α {\displaystyle k=\tan \alpha } , სადაც α {\displaystyle \alpha } არის კუთხე მხებსა და O X {\displaystyle OX} ღერძის დადებით მიმართულებას შორის (ნახ. 2), და ამიტომ სამართლიანია ტოლობა f ′ ( x 0 ) = tan ⁡ α {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(x_{0})=\tan \alpha } . წამოებულის განსაზღვრების თანახმად თუ f ′ ( x 0 ) > 0 {\displaystyle f'(x_{0})>0} მაშინ f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 > 0 {\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}>0} როდესაც x {\displaystyle x} საკმარისად ახლოსაა x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილთან, რაც ნიშნავს f {\displaystyle f} ფუნქციის მკაცრად ზრდადობას x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში. ანალოგიურად თუ f ′ ( x 0 ) < 0 {\displaystyle f'(x_{0})<0} მაშინ ფუნქცია f {\displaystyle f} მკაცრად კლებადია x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში. თუ f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0} , მაშინ f {\displaystyle f} ფუნქცია x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში შეიძლება იყოს როგორც ზრდადი ისე კლებადი (როდესაც წარმოებული არ იცვლის ნიშანს x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში, ასეთებია ვთქვათ x 0 = 0 {\displaystyle x_{0}=0} წერტილში მკაცრად ზრდადი x 3 {\displaystyle x^{3}} და მკაცრად კლებადი − x 3 {\displaystyle -x^{3}} ფუნქციები) ან სულაც შეიძლება გააჩნდეს ექსტრემუმი. კერძოდ f {\displaystyle f} ფუნქციას გააჩნია ლოკალური მაქსიმუმი (მინიმუმი) თუ f ′ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0} და x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში წარმოებული ნიშანს იცვლის დადებითიდან უარყოფითზე (უარყოფითიდან დადებითზე). აგრეთვე ადვილი საჩვენებელია, რომ თუ f ″ ( x 0 ) < 0 ( f ″ ( x 0 ) > 0 ) {\displaystyle f''(x_{0})<0\;\;(f''(x_{0})>0)} მაშინ f {\displaystyle f} ფუნქცია ამოზნექილია (ჩაზნექილია) x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილის გარკვეულ მცირე მიდამოში. თუ f ″ ( x 0 ) = 0 {\displaystyle f''(x_{0})=0} და x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილში f ″ {\displaystyle f''} იცვლის ნიშანს, მაშინ x 0 {\displaystyle x_{0}} წერტილს ეწოდება f {\displaystyle f} ფუნქციის გადაღუნვის წერტილი. ელემენტარული და მათი შებრუნებული ფუნქციების წარმოებულები მოიცემა შემდეგი ცხრილით: 1. c ′ = 0 {\displaystyle c'=0} (მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულია); {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} 5. ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x , ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\;\;\;(\sin x)'=\cos x} ; 2. ( x α ) ′ = α x α − 1 ( α ∈ R ) {\displaystyle (x^{\alpha })'=\alpha x^{\alpha -1}\;(\alpha \in R)} , კერძოდ x ′ = 1 {\displaystyle x'=1} ; {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} 6. ( tan ⁡ x ) ′ = 1 cos 2 ⁡ x ( x ≠ π 2 + π k ) , {\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\;\;(x\not ={\frac {\pi }{2}}+\pi k),\;\;\;} ( cot ⁡ x ) ′ = − 1 sin 2 ⁡ x ( x ≠ π k ) {\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}\;\;(x\not =\pi k)} ; 3. ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a ( a > 0 ) {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a\;\;(a>0)} , კერძოდ ( e x ) ′ = e x {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}} ; {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} 7. ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 , ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 x ∈ ( − 1 , 1 ) {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\;\;\;(\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\;\;x\in (-1,\;1)} ; 4. ( log a ⁡ x ) ′ = 1 x ln ⁡ a ( a > 1 ) {\displaystyle (\log _{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}\;\;(a>1)} , კერძოდ ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}} ; {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} 8. ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 , ( arccot ⁡ x ) ′ = − 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}},\;\;\;(\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}} . თუ f {\displaystyle f} და g {\displaystyle g} წარმოებადი ფუნქციებია და α ∈ R {\displaystyle \alpha \in R} , მაშინ გაწარმოების შემდეგი წესებია სამართლიანი: ( α f ) ′ = α f ′ , ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ , ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ , ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 ( g ≠ 0 ) , {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(\alpha f)'=\alpha f',\;\;\;\;(f+g)'=f'+g',\;\;\;\;(fg)'=f'g+fg',\;\;\;\;{\Bigl (}{\frac {f}{g}}{\Bigr )}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}\;\;(g\not =0),} ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) = d f ( y ) d y | y = g ( x ) d g ( x ) d x , ( f − 1 ) ′ ( x ) = 1 f ′ ( f − 1 ( x ) ) . {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)={\frac {df(y)}{dy}}{\bigg \vert }_{y=g(x)}{\frac {dg(x)}{dx}},\;\;\;\;\;\;(f^{-1})'(x)={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}.} ვთქვათ D ⊂ R n {\displaystyle D\subset R^{n}} და ყოველ x = ( x 1 , ⋯ , x n ) ∈ D {\displaystyle x=(x_{1},\cdots ,x_{n})\in D} ვექტორს გარკვეული წესით შეესაბამება ერთადერთი y ∈ R {\displaystyle y\in R} , ანუ მოცემული გვაქვს n {\displaystyle n} ცვლადის f : D → R {\displaystyle f:D\to R} ფუნქცია. ჩავთვალოთ რომ x i ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle x_{i}\;(1\leq i\leq n)} ცვლადის გარდა ყველა სხვა ცვლადს მიენიჭა ფიქსირებული მნიშვნელობა, ანუ x 1 = a 1 , ⋯ , x i − 1 = a i − 1 , x i + 1 = a i + 1 , ⋯ , x n = a n {\displaystyle x_{1}=a_{1},\cdots ,x_{i-1}=a_{i-1},x_{i+1}=a_{i+1},\cdots ,x_{n}=a_{n}} , მაშინ g ( x i ) := f ( a 1 , ⋯ , a i − 1 , x i , a i , ⋯ , a n ) {\displaystyle g(x_{i}):=f(a_{1},\cdots ,a_{i-1},x_{i},a_{i},\cdots ,a_{n})} იქნება ერთი x i {\displaystyle x_{i}} ცვლადის ფუნქცია. თუ g {\displaystyle g} ფუნქციას გააჩნია წარმოებული x i = a i {\displaystyle x_{i}=a_{i}} წერტილში, მაშინ რიცხვს g ′ ( a i ) {\displaystyle g'(a_{i})} ვუწოდებთ f {\displaystyle f} ფუნქციის კეძო წარმოებულს x i {\displaystyle x_{i}} ცვლადით a := ( a 1 , ⋯ , a i − 1 , a i , a i , ⋯ , a n ) {\displaystyle a:=(a_{1},\cdots ,a_{i-1},a_{i},a_{i},\cdots ,a_{n})} წერტილში და აღვნიშნავთ სიმბოლოთი ∂ f ∂ x i ( a 1 , ⋯ , a n ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})} , ანუ ∂ f ∂ x i ( a 1 , ⋯ , a n ) = lim h → 0 f ( a 1 , ⋯ , a i − 1 , a i + h , a i + 1 ⋯ a n ) − f ( a 1 , ⋯ , a n ) h {\displaystyle \;\;\;\;\;{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\cdots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\cdots a_{n})-f(a_{1},\cdots ,a_{n})}{h}}} . თუ ყოველ ( a 1 , ⋯ , a n ) ∈ D {\displaystyle (a_{1},\cdots ,a_{n})\in D} წერტილს შეესაბამება რიცხვი ∂ f ∂ x i ( a 1 , ⋯ , a n ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})} , მივიღებთ n {\displaystyle n} ცვლადის ფუნქციას, რომელსაც ეწოდება f {\displaystyle f} ფუნქციის კეძო წარმოებული x i {\displaystyle x_{i}} ცვლადით და აღინიშნება სიმბოლოთი ∂ f ( x 1 , ⋯ , x n ) ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f(x_{1},\cdots ,x_{n})}{\partial x_{i}}}} , ∂ f ∂ x i ( x 1 , ⋯ , x n ) {\displaystyle \;\;\;\;{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\cdots ,x_{n})} , ან თუ ეს არ იწვევს გაუგებრობას ∂ f ∂ x i {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}} . განვიხილოთ ვექტორი v := ( v 1 , ⋯ , v n ) {\displaystyle v:=(v_{1},\cdots ,v_{n})} . ადვილი დასანახია, რომ თუ h → 0 {\displaystyle h\to 0} ( h ∈ R ) {\displaystyle (h\in R)} , მაშინ ვექტორი x := a + v h {\displaystyle x:=a+vh} , უახლოვდება a := ( a 1 , ⋯ , a n ) {\displaystyle a:=(a_{1},\cdots ,a_{n})} ვექტორს v {\displaystyle v} ვექტორის მიმართულებით, რადგან x − a = v h {\displaystyle x-a=vh} და v {\displaystyle v} ვექტორები კოლინეარულია (ეს განსაკუთრებით თვალნათელია თუ n=2 (იხ. ნახ. 3)) . ნათქვამიდან ცხადია რატომ ეწოდება რიცხვს D v f ( a ) := lim h → 0 f ( a + v h ) − f ( a ) h {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{v}f(a):=\lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(a+vh)-f(a)}{h}}} , f {\displaystyle f} ფუნქციის წარმოებული a {\displaystyle a} წერტილში v {\displaystyle v} მიმართულებით. ადვილი დასამტკიცებელია მიმართული წარმოებულის გამოსათვლელი ფორმულა D v f ( x ) = ( ▽ f ⋅ v ) = ∑ i = 1 n ∂ f ( x ) ∂ x i v i {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;D_{v}f(x)=(\triangledown f\cdot v)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{i}}}v_{i}} , სადაც ( ⋅ ) {\displaystyle (\quad \cdot \quad )} არის სკალარული ნამრავლი და ▽ f = ( ∂ f ( x ) ∂ x 1 , ⋯ , ∂ f ( x ) ∂ x n ) {\displaystyle \triangledown f={\Bigl (}{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{1}}},\cdots ,{\frac {\partial f(x)}{\partial x_{n}}}{\Bigr )}} ანუ f {\displaystyle f} ფუნქციის გრადიენტია. ვთქვათ C {\displaystyle C} არის კომპლექსურ რიცხვთა სიმრავლე, D ⊂ C {\displaystyle D\subset C} არის არე, z 0 ∈ D {\displaystyle z_{0}\in D} და განსაზღვრული გვაქვს კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია f : D → C . {\displaystyle f:D\to C.} მაშინ ( 3 ) f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 . {\displaystyle (3)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f'(z_{0})=\lim \limits _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.} მნიშვნელოვანია იმის გათვალისწინება, რომ კომპლექსური ცვლადის ფუნქციის ზღვრის განსაზღვრების თანახმად (3) ტოლობაში მონაწილე ზღვარი არსებობს მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ ზღვრის მნიშვნელობა დამოუკიდებელია z {\displaystyle z} -ის z 0 {\displaystyle z_{0}} რიცხვისკენ მისწრაფების გზისაგან. უკანასკნელი პირობა საკმარისად მძიმე შეზღუდვაა და განაპირობებს იმას, რომ კომპლექსური ცვლადის f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)} ფუნქციას სადაც z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , გააჩნია წარმოებული z 0 = x 0 + i y 0 {\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}} წერტილში მაშინ და მხოლოდ მაშინ თუ u {\displaystyle u} და v {\displaystyle v} ფუნქციები დიფერენცირებადია ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} წერტილში და ამ წერტილში სრულდება ე.წ. კოში-რიმანის პირობები (ხშირად დალამბერ-ეილერის პირობებადაც მოიხსენიებენ) ∂ u ( x 0 , y 0 ) ∂ x = ∂ v ( x 0 , y 0 ) ∂ y , ∂ u ( x 0 , y 0 ) ∂ y = − ∂ v ( x 0 , y 0 ) ∂ x {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial x}}={\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial y}},\;\;\;{\frac {\partial u(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x_{0},y_{0})}{\partial x}}} . თუ კომპლექსური ცვლადის ფუნქცია წარმოებადია D {\displaystyle D} არეში, ამბობენ რომ ის ანალიზური ფუნქციაა ამ არეში. აღმოჩნდა რომ თუ ფუნქცია ანალიზურია, მაშინ მას გააჩნია ნებისმიერი რიგის წარმოებულები, კერძოდ სამართლიანია შემდეგი თეორემა კოშის თეორემა (1842 წ.) თუ f {\displaystyle f} ფუნქცია ანალიზურია D {\displaystyle D} არეში და უწყვეტია D ¯ {\displaystyle {\overline {D}}} ( D {\displaystyle D} -ს ჩაკეტვა) სიმრავლეზე, მაშინ მას აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებული ამ არეში და სამართლიანია ინტეგრალური წარმოდგენა f ( n ) ( z ) = n ! 2 π i ∫ γ D f ( ξ ) ( ξ − z ) n + 1 d ξ ( z ∈ D ) , {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi i}}\int \limits _{\gamma _{D}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi \;\;\;(z\in D),} სადაც γ D {\displaystyle \gamma _{D}} არის D {\displaystyle D} არის საზღვარი. ↑ W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis. 1953; 3rd ed., 1976, 342 pp. ↑ ვ. ჭელიძე, ე. წითლანაძე, მათემატიკური ანალიზის კურსი ტ.II, თსუ, თბილისი (1975). ↑ R. Remmert, Theory of complex functions. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York (1998) ↑ М. Лаврентьев, Б. Шабат, Методы теории функции комплексного переменного. Наука, Москва (1965)