Kolmnurga võrratus

Kolmnurga võrratuseks nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne. Teiste sõnadega kolmnurga küljed x , y {\displaystyle x,y} ja z {\displaystyle z} on seoses z ≤ x + y . {\displaystyle z\leq x+y.} Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} ning nende pikkusi: ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ . {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.} Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid". Alustatakse kolmnurgaga Δ A B C {\displaystyle \Delta ABC} . Küljele B C {\displaystyle BC} moodustatakse võrdhaarne kolmnurk Δ B C D {\displaystyle \Delta BCD} nii, et külg B D {\displaystyle BD} on külje A B {\displaystyle AB} pikendus. Seejärel väidetakse, et nurk α < β {\displaystyle \alpha <\beta } , nii et külg A D > A C {\displaystyle AD>AC} . Kuid A D = A B + B D = A B + B C {\displaystyle AD=AB+BD=AB+BC} , nii et külgede summa on A B + B C > A C {\displaystyle AB+BC>AC} , mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust. Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede x , y {\displaystyle x,y} ja z {\displaystyle z} vahel järgmised seosed: x + y > z , {\displaystyle x+y>z,} y + z > x , {\displaystyle y+z>x,} x + z > y . {\displaystyle x+z>y.} Sellest valemist järeldub | x − y | < z , | y − z | < x , | x − z | < y . {\displaystyle |x-y|<z,|y-z|<x,|x-z|<y.} Eelnevatest valemitest tuleneb, et | x − y | < z < x + y . {\displaystyle |x-y|<z<x+y.} Seda saab panna kirja valemina max ( x ,   y ,   z ) < x + y + z − max ( x ,   y ,   z ) , {\displaystyle \max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z)<x+y+z-\max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z),} mis on sama mis 2 max ( x ,   y ,   z ) < x + y + z . {\displaystyle 2\max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z)<x+y+z.} Kui on antud kolm külge x , y {\displaystyle x,y} ja z {\displaystyle z} , kus z {\displaystyle z} on pikim külg, siis tulenevalt z {\displaystyle z} -külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul: z < x + y {\displaystyle z<x+y} z = x + y {\displaystyle z=x+y} (summavektor vektorite käsitluses) z ≈ x + y {\displaystyle z\approx x+y} , kus z {\displaystyle z} -külje pikkus on vähesel määral väiksem kui x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} summa. Olgu meil hulknurk A B C D {\displaystyle ABCD} ja selle sees kolmnurk Δ A M D {\displaystyle \Delta AMD} . Tõestame, et P ( A B C D ) > P ( A M D ) , {\displaystyle P(ABCD)>P(AMD),} kus P {\displaystyle P} on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa. Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele Δ A B M {\displaystyle \Delta ABM} ja Δ D C M . {\displaystyle \Delta DCM.} Saame A B + B M > A M {\displaystyle AB+BM>AM} ja M C + C D > M D . {\displaystyle MC+CD>MD.} Liidame võrratused: A B + ( B M + M C ) + C D > A M + M D {\displaystyle AB+(BM+MC)+CD>AM+MD} ehk A B + B C + C D > A M + M D . {\displaystyle AB+BC+CD>AM+MD.} Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse A D . {\displaystyle AD.} Saame A B + B C + C D + A D > A M + M D + A D {\displaystyle AB+BC+CD+AD>AM+MD+AD} ehk P ( A B C D ) > P ( A M D ) . {\displaystyle P(ABCD)>P(AMD).} Kui on antud normeeritud vektorruum V , {\displaystyle V,} siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus: ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ∀ x , y ∈ V {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V} Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} summavektoriks x + y {\displaystyle x+y} nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori x {\displaystyle x} alguspunktist vektori y {\displaystyle y} lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} pikkuste summa. Olgu X {\displaystyle X} mitte tühi meetriline ruum ning d {\displaystyle d} funktsioon X × X {\displaystyle X\times X} üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on: d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) , ∀ x , y , z ∈ X . {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),\forall x,y,z\in X.} Igale paarile x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} on vastavusse seatud reaalarv d ( x , y ) , {\displaystyle d(x,y),} mis on x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} vaheline kaugus: d ( x , y ) = | x − y | {\displaystyle d(x,y)=|x-y|} (absoluutväärtus või moodul arvude x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} vahest). Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist. ∀ x , y , z ∈   X {\displaystyle \forall x,y,z\in \ X} korral: (M1) d ( x , y ) ≥ 0 ; {\displaystyle d(x,y)\geq 0;} (M2) d ( x , y ) = | x − y | , {\displaystyle d(x,y)=|x-y|,} kui x = y ; {\displaystyle x=y;} (M3) d ( x , y ) = | x − y | = | − ( x − y ) | = | y − x | = d ( y , x ) ; {\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|-(x-y)|=|y-x|=d(y,x);} (M4) d ( x , y ) = | x − y | = | ( x − z ) + ( z − y ) | ≤ | x − z | + | z − y | = d ( x , z ) + d ( z , y ) . {\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\leq |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y).} Tuletame meetrilise ruumi X {\displaystyle X} eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust. ∀ x , y , z ∈   X {\displaystyle \forall x,y,z\in \ X} korral: d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) . {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).} Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude M3 ja M4 abil: d ( y , z ) ≤ d ( y , x ) + d ( x , z ) = d ( x , y ) + d ( x , z ) {\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)=d(x,y)+d(x,z)} ja sellest tuleneb − d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) − d ( y , z ) ≤ d ( x , y ) {\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)} ning saame | d ( x , y ) − d ( x , z ) | ≤ d ( y , z ) , {\displaystyle |d(x,y)-d(x,z)|\leq d(y,z),} mis on tagurpidi kolmnurga võrratus. Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤ ‖ x − y ‖ , {\displaystyle |\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|,} kus ‖ x − y ‖ = d ( x , y ) {\displaystyle \|x-y\|=d(x,y)} ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine: d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ‖ ( x − z ) + ( z − y ) ‖ ≤ ‖ x − z ‖ + ‖ z − y ‖ = d ( x , z ) + d ( z , y ) , {\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|=\|(x-z)+(z-y)\|\leq \|x-z\|+\|z-y\|=d(x,z)+d(z,y),} mis tähendabki seda, et d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) . {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).} Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et ‖ y − x ‖ = ‖ − 1 ( x − y ) ‖ = | − 1 | ‖ x − y ‖ = ‖ x − y ‖ {\displaystyle \|y-x\|=\|-1(x-y)\|=|-1|\|x-y\|=\|x-y\|} : ‖ x ‖ = ‖ ( x − y ) + y ‖ ≤ ‖ x − y ‖ + ‖ y ‖ ⇒ ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ≤ ‖ x − y ‖ , {\displaystyle \|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,} ‖ y ‖ = ‖ ( y − x ) + x ‖ ≤ ‖ y − x ‖ + ‖ x ‖ ⇒ ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ≥ − ‖ x − y ‖ , {\displaystyle \|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,} Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame − ‖ x − y ‖ ≤ ‖ x ‖ − ‖ y ‖ ≤ ‖ x − y ‖ ⇒ | ‖ x ‖ − ‖ y ‖ | ≤ ‖ x − y ‖ . {\displaystyle -\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.} Kolmnurk Meetriline ruum Vektorruum Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2. Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar (2014). "Matemaatika õhtuõpik" (PDF). OÜ Hea Lugu. Vaadatud 1. detsember 2018.{{netiviide}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) David E. Joyce. "Euclid's elements: Book I, Proposition 20". Dept. Math and Computer Science, Clark University. Vaadatud 21.12.2018. Euclides; Richard Fitzpatrick; Johan Ludvig Heiberg (2007). Euclid's elements of geometry : the Greek text of J.L. Heiberg (1883-1885) (inglise). [s.l.] : [s.n.] Lk 21. ISBN 9780615179841 0615179843. {{raamatuviide}}: kontrolli parameetri |isbn= väärtust: pikkust (juhend)CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) Minna Bro (mai 2018). "MTMM.00.114 Matemaatika olümpiaadid: Algebra, Peatükk 1. Arvuteooria". Lk 25-26. Vaadatud 12.12.2018. "American Mathematical Monthly". pp. 49-50, 1954. Raili Vilt. "Ettevalmistus matemaatikaolümpiaadiks II: Kolmnurga ja nelinurga võrratused" (PDF). TÜ teaduskool. Vaadatud 21.12.2018. Tõnu Laas, Risto Tammelo (11.11.2004). "Vektor- ja tensoranalüüs: Loengukonspekt koos üllesannete lahendustega" (PDF). Teoreetilise Füüsika Instituut, Tartu Ülikool. Vaadatud 21.12.2018. Qamrul Hasan Ansari (2010). Metric spaces : including fixed point theory and set-valued maps. New Delhi: Narosa. Eve Oja, Peeter Oja (1991). Funktsionaalanalüüs (PDF). Tartu: Tartu Ülikool. Lk 3. ISBN 9789949800308. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 20. märts 2009. Vaadatud 4. novembril 2018. Anonymous (1854). "Exercise I. to proposition XIX". The popular educator; fourth volume. Ludgate Hill, London: John Cassell. Lk 196.