Lihtne teist järku diferentsiaalvõrrand

Lihtsaks teist järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju y''=f(x) (loetakse "igrek teine tuletis võrdub funktsioon iksist"). Et diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks on vaja võtta võrrandi mõlemast poolest integraal peab tuletised kuidagi avaldama diferentsiaalide kaudu. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaal on dy=y'dx, mis kujutab endast argumendi x funktsiooni, seepärast võime leida ka dy diferentsiaali, mida nimetatakse teist järku diferentsiaaliks. sel puhul kirjutatakse d(dy) ehk lühidalt d2y ja loetakse "de kaks igrek". Avaldame funktsiooni teist järku diferentsiaali funktsiooni tuletise kaudu. Selleks diferentseerime x järgi võrdust dy=y'dx, kusjuures dx loeme konstandiks, kuna dx ei sõltu x-ist: d2=d(y'dx)=d(y')dx, kuid vastavalt diferentsiaali mõistele saame d(y')=(y')'dx=ydx. Seepärast d 2 y = y ″ d x ⋅ d x = y ″ d x 2 {\displaystyle d^{2}y=y''dx\cdot dx=y''dx^{2}{\frac {}{}}} , kus d x 2 {\displaystyle dx^{2}{\frac {}{}}} tähendab diferentsiaali dx ruutu (loetakse "de iks ruut"). jagades saadud valemit astmega d x 2 {\displaystyle dx^{2}{\frac {}{}}} , leiame y ″ = d 2 y d x 2 {\displaystyle y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}} . Tähendab siis, funktsiooni y=f(x) teist järku tuletis avaldub selle funktsiooni teist järku diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali ruudu jagatisena. Seega saame võrrandi y=f(x) esitada kujul: d 2 y d x 2 = f ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f(x)} . Kui selles võrrandis asendada d y d x = p {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p} , siis teisendub võrrand muutuja p suhtes esimest järku diferentsiaalvõrrandiks. Lahendada võrrand d 2 y d x 2 = 4 x + 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=4x+3} Lahendus: Tähistame d y d x = p {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p} , siis d 2 y d x 2 = d p d x {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {dp}{dx}}} . Antud võrrandi võime kirjutada järgmiselt: d p d x = 4 x + 3   / ⋅ d x ⇒ d p = ( 4 x + 3 ) d x {\displaystyle {\frac {dp}{dx}}=4x+3\ /\cdot dx\Rightarrow dp=(4x+3)dx} . Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja p, paremat poolt muutuja x järgi ehk võtame võrrandi mõlemast poolest integraali. ∫ d p = ∫ ( 4 x + 3 ) d x ⇒ p = 2 x 2 + 3 x + C 1 {\displaystyle \int dp=\int (4x+3)dx\Rightarrow p=2x^{2}+3x+C_{1}} , kuid kuna p = d y d x {\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}} siis võime kirjutada d y d x = 2 x 2 + 3 x + C 1 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x^{2}+3x+C_{1}} . Saime eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi. Järgnevalt eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemat poolt läbi dx-iga. d y d x   / ⋅ d x = 2 x 2 + 3 x + C 1   / ⋅ d x ⇒ d y = ( 2 x 2 + 3 x + C 1 ) d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\ /\cdot dx=2x^{2}+3x+C_{1}\ /\cdot dx\Rightarrow dy=(2x^{2}+3x+C_{1})dx} . Integreerides veelkord saame: y = ∫ ( 2 x 2 + 3 x + C 1 ) d x = 2 3 x 3 + 3 2 x 2 + C 1 x + C 2 {\displaystyle y=\int (2x^{2}+3x+C_{1})dx={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}+C_{1}x+C_{2}} . See on antud võrrandi üldlahend. Et leida erilahendit peame teadma vähemalt kahte punkti mida see funktsiooni graafik läbib. Vastus: Võrrandi üldlahend on y = 2 3 x 3 + 3 2 x 2 + C 1 x + C 2 {\displaystyle y={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}+C_{1}x+C_{2}} Lahendada eelnev diferentsiaalvõrrand d 2 y d x 2 = 4 x + 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=4x+3} eeldades, et funktsiooni graafik läbib punkte (0;6) ja (1; 1/6). Lahendus: Kõigepealt on vaja leida võrrandi üldlahend. Üldlahendi leidmist siinkohal kordama ei hakka kuna see on esitatud eelmises näites. Lahendamiseks asendame vastavad x ja y väärtused üldlahendisse, saame C1 ja C2 määramiseks järgmise võrrandisüsteemi: { 6 = 2 3 ⋅ 0 + 3 2 ⋅ 0 + C 1 + C 2 1 6 = 2 3 ⋅ 1 + 3 2 ⋅ 1 + C 1 ⋅ 1 + C 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}6={\frac {2}{3}}\cdot 0+{\frac {3}{2}}\cdot 0+C_{1}+C_{2}\\{\frac {1}{6}}={\frac {2}{3}}\cdot 1+{\frac {3}{2}}\cdot 1+C_{1}\cdot 1+C_{2}\end{matrix}}\right.} . Lahendades antud lineaarvõrrandisüsteemi saame lahenditeks C 1 = − 8 {\displaystyle C_{1}=-8{\frac {}{}}} ja C 2 = 6 {\displaystyle C_{2}=6{\frac {}{}}} . Antud tingimustele vastav erilahend on seega y = 2 3 x 3 + 3 2 x 2 − 8 x + 6 {\displaystyle y={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-8x+6} Kontroll: Lahendi õigsuse kontrollimiseks leiame selle funktsiooni teise tuletise: d y d x = ( 2 3 x 3 + 3 2 x 2 − 8 x + 6 ) ′ = 2 x 2 + 3 x − 8 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=({\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-8x+6)'=2x^{2}+3x-8} , järgnevalt võtame tuletise teistkordselt. d 2 d x 2 = ( 2 x 2 + 3 x − 8 ) ′ = 4 x + 3 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}=(2x^{2}+3x-8)'=4x+3} , kuna saime lähtevõrrandi võime arvata, et ülesanne on õigesti lahendatud. Vastus: y = 2 3 x 3 + 3 2 x 2 − 8 x + 6 {\displaystyle y={\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {3}{2}}x^{2}-8x+6}