Gammafunktsioon

Gammafunktsioon ehk Euleri gammafunktsioon ehk teist liiki Euleri integraal Γ {\displaystyle \Gamma } on üks erifunktsioon matemaatilises analüüsis ja kompleksmuutuja funktsioonide teoorias. Gammafunktsiooni võib positiivse reaalarvu x {\displaystyle x} jaoks defineerida integraalina Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}{\mathrm {e} }^{-t}dt} . See on transtsendentne analüütiline funktsioon ja rahuldab funktsionaalvõrrandit Γ ( x + 1 ) = x ⋅ Γ ( x ) , {\displaystyle \Gamma (x+1)=x\cdot \Gamma (x),} mida saab näidata ositi integreerimise abil. Et Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (1)=1} , siis järeldub sellest kõigi positiivsete täisarvude n {\displaystyle n} korral Γ ( n ) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ ( n − 1 ) = ( n − 1 ) ! , {\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!\,,} seega interpoleerib Γ {\displaystyle \Gamma } üht faktoriaali rööplüket. Gammafunktsiooni saab üheselt jätkata meromorfseks funktsiooniks Gaussi tasandile C {\displaystyle \mathbb {C} } . Seal ei ole tal nullkohti ega mittepositiivsetel täisarvudel lihtsaid poolusi, seega on 1 / Γ {\displaystyle 1/\Gamma } täisfunktsioon. Gammafunktsioon on aluseks gammajaotuseks nimetatavale tõenäosusjaotusele. Funktsiooni Γ ( x ) {\displaystyle \Gamma (x)} otsese definitsiooni kõigi argumentide x ∈ C ∖ { 0 , − 1 , − 2 , … } {\displaystyle x\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}} jaoks annab gammafunktsiooni korrutisesitus Gaußi järgi, Γ ( x ) = lim n → ∞ n ! n x x ( x + 1 ) ( x + 2 ) ⋯ ( x + n )   , {\displaystyle \Gamma (x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{x}}{x(x+1)(x+2)\cdots (x+n)}}\ ,} mille positiivsete reaalarvude jaoks andis juba Euler 1729. Sellest tuletatud on 1 / Γ {\displaystyle 1/\Gamma } esitus Weierstraßi korrutisena: 1 / Γ ( x ) = x ⋅ ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) e − x log ⁡ ( n + 1 n ) = x ⋅ e γ x ⋅ ∏ n = 1 ∞ ( 1 + x n ) e − x / n {\displaystyle 1/\Gamma (x)=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-x\log({\frac {n+1}{n}})}=x\cdot \mathrm {e} ^{\gamma \,x}\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)\mathrm {e} ^{-x/n}} Euleri-Mascheroni konstandiga γ = lim n → ∞ ( ( 1 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n ) − log ⁡ n ) {\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\bigl (}({\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb +{\tfrac {1}{n}})-\log n{\bigr )}} . Teist korrutist nimetatakse tavaliselt Weierstraßi esituseks, ent Karl Weierstraß kasutas ainult esimest. Sissejuhatuses toodud integraalesitus pärineb samuti Eulerilt (1729), ta kehtib üldisemalt positiivse reaalosaga kompleksarvude puhul: Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (x)=\int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-t}\,dt,}     kui    Re  x > 0. {\displaystyle {\text{Re }}x>0.} Euleri integraalesitusel on üks ilus variant juhtumil, kus x ∈ C {\displaystyle x\in \mathbb {C} } ning 0 < Re ⁡ ( x ) < 1 {\displaystyle 0<\operatorname {Re} (x)<1} : Γ ( x ) = e π ⋅ i ⋅ x / 2 ⋅ ∫ 0 ∞ t x − 1 e − i ⋅ t d t . {\displaystyle \Gamma (x)=\mathrm {e} ^{\pi \cdot \mathrm {i} \cdot x/2}\cdot \int \limits _{0}^{\infty }t^{x-1}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \cdot t}\,dt.} Sellest esitusest saab näiteks elegantselt tuletada Fresneli integraalvalemid. Ernst Eduard Kummer esitas 1847 logaritmilise gammafunktsiooni arenduse Fourier' reaks: log ⁡ Γ ( x ) = ( 1 2 − x ) ( γ + log ⁡ ( 2 π ) ) + 1 2 log ⁡ π sin ⁡ ( π x ) + 1 π ∑ k = 2 ∞ log ⁡ k k sin ⁡ ( 2 π k x ) {\displaystyle \log \Gamma (x)=\left({\tfrac {1}{2}}-x\right){\bigl (}\gamma +\log(2\pi ){\bigr )}+{\frac {1}{2}}\log {\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\log k}{k}}\sin(2\pi kx)}     für     0 < x < 1 , {\displaystyle 0<x<1,} seda nimetatakse ka Kummeri reaks. Juba 1846 leidis Carl Johan Malmstén sarnase rea: log ⁡ Γ ( 1 2 + x ) Γ ( 1 2 − x ) = − 2 x ( γ + log ⁡ ( 2 π ) ) + 2 π ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k log ⁡ k k sin ⁡ ( 2 π k x ) {\displaystyle \log {\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+x)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}-x)}}=-2x\,{\bigl (}\gamma +\log(2\pi ){\bigr )}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log k}{k}}\sin(2\pi kx)}     für     − 1 2 < x < 1 2   . {\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}<x<{\tfrac {1}{2}}\ .} Gammafunktsiooni varaseimaks definitsiooniks peetakse Daniel Bernoulli kirjas Christian Goldbachile 6. oktoobrist 1729 antud definitsiooni: ( A + x 2 ) x − 1 ( 2 1 + x ⋅ 3 2 + x ⋅ 4 3 + x ⋯ A A − 1 + x ) {\displaystyle {\Bigl (}A+{\frac {x}{2}}{\Bigr )}^{x-1}{\Bigl (}{\frac {2}{1+x}}\cdot {\frac {3}{2+x}}\cdot {\frac {4}{3+x}}\cdots {\frac {A}{A-1+x}}{\Bigr )}}     lõpmata suure A korral on tänapäeva tähistustes x ! {\displaystyle x!} ehk Γ ( x + 1 ) . {\displaystyle \Gamma (x+1).} Mõned päevad hiljem, 24./13. oktoobril 1729, kirjeldas Euler ka kirjas Goldbachile seda sarnast, pisut lihtsamat valemit, 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋯ n ( 1 + m ) ( 2 + m ) ⋯ ( n + m ) ( n + 1 ) m {\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(1+m)(2+m)\cdots (n+m)}}\,(n+1)^{m}}     läheneb n-i kasvades tänapäeva tähistustes m ! {\displaystyle m!} ehk Γ ( m + 1 ) {\displaystyle \Gamma (m+1)} tõelisele väärtusele, mille Gauß 1812 taasavastas üldisemal, kompleksarvude juhtumil (nimetatud kirjad avaldati alles 1843). 8. jaanuaril 1730 kirjeldas Euler kirjas Goldbachile järgmist integraali faktoriaali interpoleerimiseks, mille ta oli 28. novembril 1729 ette kandnud Venemaa Teaduste Akadeemiale: ∫ d x ( − l x ) n , {\displaystyle \int \!dx(-lx)^{n},}     tänapäeva tähistustes:     Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 1 ( − log ⁡ x ) n d x . {\displaystyle \Gamma (n+1)=\int \limits _{0}^{1}(-\log x)^{n}dx.} Seda definitsiooni eelistas Euler hiljem kasutada, ta läheb asendusega t = − log ⁡ x {\displaystyle t=-\log x} üle kujule Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ t n e − t d t {\displaystyle \textstyle \Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty }t^{n}\mathrm {e} ^{-t}dt} . Euler avastas selle integraali, uurides üht mehaanika probleemi, milles vaadeldakse osakese kiirendust. Adrien-Marie Legendre võttis 1809 funktsiooni sümbolina kasutusele kreeka suurtähe Γ {\displaystyle \Gamma } (gamma). Gauß kasutas 1812 funktsiooni sümbolina tähte Π {\displaystyle \Pi } (pii) nõnda, et Π ( x ) = Γ ( x + 1 ) {\displaystyle \Pi (x)=\Gamma (x+1)} ning seega ka Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!} mittenegatiivse täisarvulise n-i korral. See tähistus ei läinud käibele. Digammafunktion Meijeri G-funktsion Carl Friedrich Gaußi kiri Friedrich Wilhelm Besselile 21. novembrist 1811, trükitud raamatus: Arthur Auwers (toim). Briefwechsel zwischen Gauss und Bessel, Wilhelm Engelmann, Leipzig 1880, lk 151–155 (katkend: Gauß. Werke, kd 10.1, lk 362–365) Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones generales circa seriem infinitam 1+… Pars I (30. jaanuar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 26 (ladina keeles; ka: Gauß. Werke, kd 3, lk 145) [1] (PDF-Datei, 118 kB) Leonhard Euleri kiri Christian Goldbachile 13. oktoobrist 1729, trükitud raamatus: Paul Heinrich Fuss (toim). Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (kd 1), St.-Pétersbourg 1843, lk 3–7 (ladina keeles) O. Schlömilch. Einiges über die Eulerischen Integrale der zweiten Art. – Archiv der Mathematik und Physik 4, 1844, S. 171 Remmert: Die Gammafunktion. Ptk 2 raamatus Funktionentheorie 2, 2007, S. 39 Leonhard Euler: De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt (28. november 1729). Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5, 1738, lk 36–57 (ladina keeles) vt Remmert, ptk 2, Funktionentheorie 2, lk 51 E. E. Kummer. Beitrag zur Theorie der Function Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e − v v x − 1 d v {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }\!\mathrm {e} ^{-v}v^{x-1}dv} . – Journal für die reine und angewandte Mathematik 35, 1847, S. 4 C. J. Malmstén. De integralibus quibusdam definitis, seriebusque infinitis (1. mai 1846). – Journal für die reine und angewandte Mathematik 38, 1849, lk 25 (ladina keeles) [2] (JPG-fail, 136 kB) Daniel Bernoulli kiri Christian Goldbachile 6. oktoobrist 1729, trükitud raamatus Paul Heinrich Fuss (toim). Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (kd 2), St.-Pétersbourg 1843, S. 324–325 (prantsuse keeles) Peter Luschny. Interpolating the natural factorial n! or The birth of the real factorial function (1729–1826) (inglise keeles) [3] (PDF-fail, 211 kB) Leonhard Euleri kiri Christian Goldbachile 8. jaanuarist 1730, trükitud raamatus: Paul Heinrich Fuss (toim). Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (kd 1), St.-Pétersbourg 1843, lk 11–18 (ladina keeles) Leonhard Euler: De evolutione integralium per producta infinita (PDF-fail, 1,2 MB), ptk 9, osa 1, kd 1 raamatus: Euler. Institutionum calculi integralis, 1768, lk 225–250 (ladina keeles) Adrien-Marie Legendre. Recherches sur diverses sortes d'intégrales définies (13. november 1809). – Mémoires de la classe des sciences mathématiques et physiques de l'Institut de France 10, 1809, lk 477 (prantsuse keeles) Adrien-Marie Legendre. Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes (kd 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, lk 365 (prantsuse keeles) Niels Nielsen: Handbuch der Theorie der Gammafunktion, B. G. Teubner, Leipzig 1906 (Interneti arhiivis, samas, samas) E. T. Whittaker, G. N. Watson: The Gamma function, Kapitel 12 in A course of modern analysis, Cambridge University Press, 4. Ausgabe 1927; Neuauflage 1996, ISBN 0-521-58807-3, S. 235–264 (inglise keeles; Interneti arhiivis) Emil Artin: Einführung in die Theorie der Gammafunktion (DjVu-fail, 30-sekundiline viivitus, 933 kB), B. G. Teubner, Leipzig 1931; The Gamma function, Holt, Rinehart and Winston, New York 1964 (Michael Butleri tõlge inglise keelde) Friedrich Lösch, Fritz Schoblik: Die Fakultät (Gammafunktion) und verwandte Funktionen. Mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendungen. B. G. Teubner, Leipzig 1951 Philip J. Davis. Leonhard Euler's integral: A historical profile of the gamma function. The American Mathematical Monthly 66, 1959, lk 849–869 (inglise keeles; 1963 Chauvenet' auhind ausgezeichnet; bei MathDL) Konrad Königsberger: Die Gammafunktion, Kapitel 17 in Analysis 1. Springer, Berlin 1990; 6. trükk 2003, ISBN 3-540-40371-X, S. 351–360 Reinhold Remmert: Die Gammafunktion, ptk 2 raamatus: Funktionentheorie 2, Springer, Berlin 1991; koos Georg Schumacheriga: 3. trükk 2007, ISBN 978-3-540-40432-3, lk 31–73 Eberhard Freitag, Rolf Busam: Die Gammafunktion, ptk 4.1 raamatus: Funktionentheorie 1, Springer, Berlin 1993; 4. trükk 2006, ISBN 3-540-31764-3, lk 194–212