Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering

Klassikalise elektromagnetismi kovariantne formuleering on klassikalise elektromagnetismi esitamine kovariantsel kujul erirelatiivsusteooria formalismi abil. Kovariantsest esitusest saab rääkida ka üldrelatiivsusteooria kontekstis. Lisaks asukoha, kiiruse ja impulsi neli-vektorite on elektromagnetvälja ja laetud osakeste kirjeldamiseks tarvis veel järgmisi matemaatilisi objekte: Elektromagnetvälja tensoris on magnetiline induktsioon ja elektrivälja tugevus ühendatud üheks antisümmeetriliseks tensoriks. SI-süsteemi ühikutes on selle kuju F α β = ( 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ) , {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)\,,} kus E {\displaystyle {\boldsymbol {E}}\,} on elektrivälja tugevus, B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}\,} on magnetiline induktsioon ja c {\displaystyle c\,} on valguse kiirus. Voolu neli-vektor on kontravariantne neli-vektor, mis ühendab elektrivoolu tiheduse ja laengutiheduse ühtseks neli-vektoriks. Esitatuna amprites ruutmeetri kohta on see kujul J α = ( c ρ , J ) {\displaystyle J^{\alpha }=\,(c\rho ,{\boldsymbol {J}})\,} kus ρ {\displaystyle \rho \,} on laengutihedus, J {\displaystyle {\boldsymbol {J}}\,} on voolutihedus, ja c {\displaystyle c\,} on valguse kiirus. Elektromagnetvälja neli-potentsiaal on elektrivälja skalaarsest potentsiaalist ϕ {\displaystyle \phi \,} ja magnetvälja vektorpotentsiaalist A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\,} moodustatud neli-vektor A α = ( ϕ / c , − A ) {\displaystyle A_{\alpha }=\left(\phi /c,-{\boldsymbol {A}}\right)\,} . Elektromagnetvälji avaldub 4-potentsiaali kaudu järgmiselt: F α β = ∂ α A β − ∂ β A α {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,} kus ∂ α = ∂ ∂ x α = ( 1 c ∂ ∂ t , ∇ ) . {\displaystyle \partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\boldsymbol {\nabla }}\right)\,.} Elektromagnetvälja energia-impulsi tensor on sümmeetriline kontravariantne tensor T α β = [ ϵ 0 2 ( E 2 + c 2 B 2 ) S x / c S y / c S z / c S x / c − σ x x − σ x y − σ x z S y / c − σ y x − σ y y − σ y z S z / c − σ z x − σ z y − σ z z ] , {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{bmatrix}}\,,} mis ühendab endasse Poyntingi vektori S = 1 μ 0 E × B , {\displaystyle {\boldsymbol {\rm {S}}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\boldsymbol {\rm {E}}}\times {\boldsymbol {\rm {B}}}\,,} elektromagnetvälja energiatiheduse ϵ 0 2 ( E 2 + c 2 B 2 ) , {\displaystyle {\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\,,} ja Maxwelli pingetensori komponentidega σ i j = ϵ 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − ϵ 0 2 ( E 2 + c 2 B 2 ) δ i j , {\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {\epsilon _{0}}{2}}\left(E^{2}+c^{2}B^{2}\right)\delta _{ij}\,,} kus ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}\,} on elektriline konstant, μ 0 {\displaystyle \mu _{0}\,} on magnetiline konstant ja η {\displaystyle \eta \,} on Minkowski meetrika. Ülal on kasutatud seost c 2 = 1 ϵ 0 μ 0 . {\displaystyle c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,.} Kovariantses formuleeringus on Maxwelli võrrandite kuju võrdlemisi kompaktne: ∂ F α β ∂ x α = μ 0 J β ja 0 = ϵ α β γ δ ∂ F α β ∂ x γ {\displaystyle {\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}=\mu _{0}J^{\beta }\qquad {\hbox{ja}}\qquad 0=\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\frac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}} , kus F α β {\displaystyle F^{\alpha \beta }\,} on elektromagnetvälja tensor, J α {\displaystyle J^{\alpha }\,} on neli-vool, ϵ α β γ δ {\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,} on Levi-Civita sümbol ja üle korduvate indeksite summeeritakse Einsteini summeerimiskokkuleppe järgi. Punktlaengu liikumisvõrrandite kovariantne kuju on d p α d τ = q F α β u β {\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta }} kus p α {\displaystyle p_{\alpha }\,} on punktosakese neli-impulss, q {\displaystyle q\,} on selle elektrilaeng, u β {\displaystyle u^{\beta }\,} on neli-kiirus ja τ {\displaystyle \tau \,} on osakese omaaeg. See võrrand on Newtoni II seaduse analoog relativistlikul juhul, kusjuures võrduse vasak pool on Lorentzi jõu kovariantne avaldis. Laengu jäävusele vastava pidevuse võrrandi kovariantne kuju on J α , α = d e f ∂ α J α = 0 . {\displaystyle {J^{\alpha }}_{,\alpha }\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\,\partial _{\alpha }J^{\alpha }\,=\,0\,.} Elektromagnetvälja tensor Liénardi–Wiecherti potentsiaal Kvantelektrodünaamika