Butterworthi filter

Butterworthi filter on signaalitöötluses kasutatav lineaarne sagedusfilter, mille sageduskoste (amplituudi-sageduse karakteristik) pääsuribas (ingl passband) on tasane ning tõkkeribas (ingl stopband) sujuvalt langev.. Sellist filtrit mainis esimesena 1930. aastal Briti insener ja füüsik Stephen Butterworth oma uurimuses „On the Theory of Filter Amplifiers“. Vaadeldes filtri sageduskostet amplituudi-faasi sageduskarakteristikul ehk Bode diagrammil, läheneb koste tõkkeribas lineaarselt miinus lõpmatusele, olenevalt filtri järgust n: tõus on –6n dB oktaavi kohta (või –20n dB dekaadi kohta). Butterworthi filtritel on monotoonselt muutuv ülekandefunktsioon sageduse ω {\displaystyle \omega } suhtes, erinevalt mitut teist tüüpi filtrist, kus pääsuribas ja/või tõkkeribas esineb vähemal või suuremal määral lainelisust. Võrreldes Tšebõšovi või elliptilise filtriga on Butterworthi filtri sageduskarakteristiku langus siirdealas väiksem, mille tõttu on sageli vajaliku filtreerimisvõime saamiseks kasutada kõrgemat järku filtrit. Butterworthi kolmandat järku madalpääsfiltri ülekandefunktsioon on avaldatav kujul: U o ( s ) U i ( s ) = R 4 s 3 ( L 1 C 2 L 3 ) + s 2 ( L 1 C 2 R 4 ) + s ( L 1 + L 3 ) + R 4 {\displaystyle {\frac {U_{o}(s)}{U_{i}(s)}}={\frac {R_{4}}{s^{3}(L_{1}C_{2}L_{3})+s^{2}(L_{1}C_{2}R_{4})+s(L_{1}+L_{3})+R_{4}}}} , kus U o {\displaystyle U_{o}} ja U i {\displaystyle U_{i}} on vastavalt filtri väljundpinge ja sisendpinge amplituud. Joonisel on kolmandat järku Butterworthi madalpääsfiltri skeem. Eeldades, et C 2 = 4 3 {\displaystyle C_{2}={\frac {4}{3}}} F (faradit), R 4 = 1 Ω {\displaystyle R_{4}=1\,\Omega } , L 1 = 3 2 {\displaystyle L_{1}={\frac {3}{2}}} H (henrit) ja L 3 = 1 2 {\displaystyle L_{3}={\frac {1}{2}}} H, ning induktiivpoolide L n {\displaystyle L_{n}} impedants on L s {\displaystyle Ls} ja kondensaatorite C n {\displaystyle C_{n}} impedants 1 C s {\displaystyle {\frac {1}{Cs}}} , kus s = δ + j ω {\displaystyle s=\delta +j\omega } on elektriahela komplekssagedus. Selle elektriahela ülekandefunktsioon on H ( s ) = U o ( s ) U i ( s ) = 1 1 + 2 s + 2 s 2 + s 3 {\displaystyle H(s)={\frac {U_{o}(s)}{U_{i}(s)}}={\frac {1}{1+2s+2s^{2}+s^{3}}}} . Sageduskoste amplituud G ( ω ) {\displaystyle G(\omega )} avaldub kujul G ( ω ) = | H ( j ω ) | = 1 1 + ω 6 {\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {1+\omega ^{6}}}}} , mis on tuletatud valemist G 2 ( ω ) = | H ( j ω ) | 2 = H ( j ω ) ⋅ H ∗ ( j ω ) = 1 1 + ω 6 {\displaystyle G^{2}(\omega )=|H(j\omega )|^{2}=H(j\omega )\cdot H^{*}(j\omega )={\frac {1}{1+\omega ^{6}}}} , kus ω {\displaystyle \omega } on süsteemi sagedus. Süsteemi faasinihe sageduse ω {\displaystyle \omega } korral avaldub kujul ϕ ( ω ) = arg ( H ( j ω ) ) {\displaystyle \phi (\omega )={\text{arg}}(H(j\omega ))} . Analoogselt on võimalik luua ka teisi Butterworthi filtreid: vahetades üksteisega kondensaatorid ja induktiivpoolid Butterworthi madalpääsfiltris, on tulemuseks Butterworthi kõrgpääsfilter; ühendades iga induktiivpooliga jadamisi kondensaatorid ning iga kondensaatoriga paralleelselt induktiivpooli, on tulemuseks Butterworthi ribapääsfilter (ingl band-pass) ; ühendades iga induktiivpooliga paralleelselt kondensaatorid ning iga kondensaatoriga jadamisi induktiivpooli, on tulemuseks Butterworthi ribatõkkefilter (ingl band-stop). Lineaarsete analoogfiltrite realiseerimiseks on olemas erinevaid filtri topoloogiaid. Butterworthi filtri korral on kõige sagedamini kasutusel kas Caueri (passiivkomponentidel põhinev) või Sallen-Key (aktiiv-passiivkomponentidel põhinev) topoloogia. Kindla ülekandefunktsiooniga Butterworthi filter on esitatav esimest järku Caueri võrrandiga. Elektriahela k {\displaystyle k} -s element on leitav valemitega: C k = 2 sin [ ( 2 k − 1 ) 2 n π ] {\displaystyle C_{k}=2{\text{sin}}[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi ]} , kus k {\displaystyle k} on paaritu arv ja n {\displaystyle n} on filtri järk; L k = 2 sin [ ( 2 k − 1 ) 2 n π ] {\displaystyle L_{k}=2{\text{sin}}[{\frac {(2k-1)}{2n}}\pi ]} , kus k {\displaystyle k} on paarisarv ja n {\displaystyle n} on filtri järk. Filter võib analoogselt alata ka jadamisi ühendatud induktiivpooliga, sel juhul on L k {\displaystyle L_{k}} väärtuste arvutamisel k {\displaystyle k} -väärtused paaritud arvud ning C k {\displaystyle C_{k}} k {\displaystyle k} -väärtused paarisarvud. Butterworthi filtri digitaalkuju saamiseks on vajalik analoogfiltri pidev signaal ajas diskreetida. Selleks kasutatakse lineaarsete filtrite puhul näiteks bilineaarset teisendust (ingl bilinear transform). Näiteks teist järku Butterworthi madalpääsfiltri digitaalne realisatsioon, kasutades bilineaarset teisendust, näeks välja selline: Butterworthi analoogfiltri ülekandefunktsiooni võib esitada kujul H ( s ) = 1 s 2 + 2 s + 1 {\displaystyle H(s)={\frac {1}{s^{2}+{\sqrt {2}}s+1}}} . Kasutades bilineaarse teisenduse valemit s = c 1 − z − 1 1 + z − 1 {\displaystyle s=c{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}} , kus c = cot ( ω c T 2 ) = cos ( ω c T 2 ) sin ( ω c T 2 ) {\displaystyle c={\text{cot}}(\omega _{c}{\frac {T}{2}})={\frac {{\text{cos}}(\omega _{c}{\frac {T}{2}})}{{\text{sin}}(\omega _{c}{\frac {T}{2}})}}} , leidmaks digitaalset lõikesagedust (ingl cut-off frequency) kohal ω c {\displaystyle \omega _{c}} radiaani sekundis. Eeldades, et ω c T = π 2 {\displaystyle \omega _{c}T={\frac {\pi }{2}}} (lõikesagedus veerandi diskreetimissageduse juures), saame c = cos ( π 4 ) sin ( π 4 ) = 1 {\displaystyle c={\frac {{\text{cos}}({\frac {\pi }{4}})}{{\text{sin}}({\frac {\pi }{4}})}}=1} . Järelikult on digitaalfiltri ülekandefunktsioon esitatav kujul H ( z ) = H a ( 1 − z − 1 1 + z − 1 ) = 1 ( 1 − z − 1 1 + z − 1 ) 2 + 2 ( 1 − z − 1 1 + z − 1 ) + 1 = {\displaystyle H(z)=H_{a}({\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}})={\frac {1}{({\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}})^{2}+{\sqrt {2}}({\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}})+1}}=} = ( 1 + z − 1 ) 2 ( 1 − 2 z − 1 + z − 2 ) + ( 2 − 2 z − 2 ) + ( 1 + 2 z − 1 + z − 2 ) = {\displaystyle ={\frac {(1+z^{-1})^{2}}{(1-2z^{-1}+z^{-2})+({\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}z^{-2})+(1+2z^{-1}+z^{-2})}}=} = ( 1 + z − 1 ) 2 ( 2 + 2 ) + ( 2 − 2 ) z − 2 = {\displaystyle ={\frac {(1+z^{-1})^{2}}{(2+{\sqrt {2}})+(2-{\sqrt {2}})z^{-2}}}=} = 1 2 + 2 ⋅ ( 1 + z − 1 ) 2 1 + 2 − 2 2 + 2 z − 2 {\displaystyle ={\frac {1}{2+{\sqrt {2}}}}\cdot {\frac {(1+z^{-1})^{2}}{1+{\frac {2-{\sqrt {2}}}{2+{\sqrt {2}}}}z^{-2}}}} , kus H a {\displaystyle H_{a}} on analoogfiltri ülekande funktsioon. Butterworthi filtri omadused: monotoonne (tasane, võngeteta) sageduskoste nii pääsuribas kui tõkkeribas; ühtlane langus lõikesageduse juurest alates, kusjuures langus on seda järsem, mida suurem on filtri järk; mittelineaarne faasikoste; sisendsignaali äkilisel muutusel arvestatav ülevõnge (ingl overshoot) ja kiiresti sumbuv võnkumine, reaktsiooniaeg halveneb filtri järgu suurenedes. Butterworthi filter on teiste filtritega võrreldes tasase sageduskostega, kuid ülekandetegur langeb tõkkeribas aeglasemalt kui teistel filtritel. Sagedusfilter Signaalitöötlus [1], Design of Butterworth Band-Pass Filter, Siti Farah BINTI Hussin, Zunainah Hamid, ResearchGate.com, Jaanuar 2016, Vaadatud 18. aprill 2021 Stephen Butterworth (oktoober 1930). "On the Theory of Filter Amplifiers" (PDF). Vaadatud 18. aprillil 2021. Matthaei, George L.; Young, Leo and Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, McGraw-Hill, 1964 LCCN 64-7937. Wilhelm Cauer (15. märts 1932). "Caueri topoloogia". "Transmission Network". Originaali arhiivikoopia seisuga 18. aprill 2021. Vaadatud 18. aprillil 2021. Julius O. Smith III. "Bilinear transformation". dsprelated.com. Vaadatud 18. aprillil 2021. Julius O. Smith III. "Butterworth Lowpass Design". dsprelated.com. Vaadatud 18. aprillil 2021.