Astmehulk

Astmehulk ehk potentshulk on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga S {\displaystyle S} kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk S {\displaystyle S} ise). Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk. Hulga S {\displaystyle S} astmehulka tähistatakse kujul 𝒫(S), P(S), P ( S ) {\displaystyle \mathbb {P} (S)} , ℘ ( S ) {\displaystyle \wp (S)} või 2S. Tähis 2S tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast S {\displaystyle S} mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} ); seda kasutatakse sellepärast, et hulga S {\displaystyle S} astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas. Kui S {\displaystyle S} on hulk { x , y , z } {\displaystyle \{x,y,z\}} , siis kõik S {\displaystyle S} -i alamhulgad on: { } {\displaystyle \{\}} (märgitud ka kui ∅ {\displaystyle \varnothing } või ∅ {\displaystyle \emptyset } , tühi hulk või nullhulk) { x } {\displaystyle \{x\}} { y } {\displaystyle \{y\}} { z } {\displaystyle \{z\}} { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} { x , z } {\displaystyle \{x,z\}} { y , z } {\displaystyle \{y,z\}} { x , y , z } {\displaystyle \{x,y,z\}} Seega on hulga S {\displaystyle S} astmehulk { { } , { x } , { y } , { z } , { x , y } , { x , z } , { y , z } , { x , y , z } } {\displaystyle \{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}} Kui S {\displaystyle S} on lõplik hulk võimsusega | S | = n {\displaystyle |S|=n} (hulga S {\displaystyle S} elementide arv on n {\displaystyle n} ), siis on hulga S {\displaystyle S} kõigi alamhulkade arv | P ( S ) | = 2 n {\displaystyle |\mathbb {P} (S)|=2^{n}} . Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise. Hulga S {\displaystyle S} astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast. Indikaatorfunktsioon hulga S {\displaystyle S} alamhulga A {\displaystyle A} puhul on funktsioon hulgast S {\displaystyle S} kahe elemendiga hulka { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} , mida tähistatakse kui I A : S → { 0 , 1 } {\displaystyle I_{A}:S\rightarrow \{0,1\}} . Selline funktsioon näitab seda, kas hulga S {\displaystyle S} element kuulub alamhulka A {\displaystyle A} või mitte. Kui hulga S {\displaystyle S} element x {\displaystyle x} kuulub alamhulka A {\displaystyle A} , siis I A ( x ) = 1 {\displaystyle I_{A}(x)=1} , ning muul juhul 0 {\displaystyle 0} . Iga hulga S {\displaystyle S} alamhulga A {\displaystyle A} puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon I A {\displaystyle I_{A}} . Kirjapilt X Y {\displaystyle X^{Y}} tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast Y {\displaystyle Y} hulka X {\displaystyle X} . Hulk { 0 , 1 } S {\displaystyle \{0,1\}^{S}} , mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast S {\displaystyle S} hulka { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} , koosneb kõigi hulga S {\displaystyle S} alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on { 0 , 1 } S {\displaystyle \{0,1\}^{S}} vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga P ( S ) {\displaystyle \mathbb {P} (S)} . Kuna iga element hulgast S {\displaystyle S} vastab kas arvule 0 {\displaystyle 0} või 1 {\displaystyle 1} mistahes funktsiooni puhul hulgast { 0 , 1 } S {\displaystyle \{0,1\}^{S}} , omab see funktsioonide hulk võimsust 2 n {\displaystyle 2^{n}} . Kuna arv 2 {\displaystyle 2} võib olla hulgateoorias defineeritud kui { 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}} (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse P ( S ) {\displaystyle \mathbb {P} (S)} ka kui 2 S {\displaystyle 2^{S}} . Seega on samuti tõene, et | 2 S | = 2 | S | {\displaystyle |2^{S}|=2^{|S|}} . Weisstein Devlin 1979, lk 50 Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003. Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403. Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97710-4 Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8. Weisstein, Eric W. "Power Set". mathworld.wolfram.com (inglise). Originaali arhiivikoopia seisuga 6. aprill 2023. Vaadatud 5. septembril 2020.