Signumfunktsioon

Signumfunktsioon ehk märgifunktsioon (ladina keelest signum 'märk'), mida sageli tähistatakse kui sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)} , on matemaatiline funktsioon, mis eraldab reaalarvu märgi. Funktsioon tagastab positiivsete arvude korral +1, negatiivsete arvude korral -1 ja nullväärtuse korral 0. Seda kasutatakse laialdaselt matemaatikas, arvuti- ja inseneriteaduses, näiteks algoritmide analüüsimisel, juhtimissüsteemides ja signaalitöötluses. Signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt: sgn ⁡ x = { 1 , kui x > 0 0 , kui x = 0 − 1 , kui x < 0 {\displaystyle \operatorname {sgn} x=\left\{{\begin{matrix}1,&{\text{kui}}&x>0\\0,&{\text{kui}}&x=0\\-1,&{\text{kui}}&x<0\end{matrix}}\right.} Funktsioon võtab sisendiks reaalarvu x {\displaystyle x} ja tagastab vastavalt sellele, kas x {\displaystyle x} on positiivne, negatiivne või null, vastava arvu + 1 {\displaystyle +1} , − 1 {\displaystyle -1} või 0 {\displaystyle 0} . Signumfunktsiooni saab matemaatiliselt väljendada järgmiselt: sgn ⁡ ( x ) = x | x | {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {x}{|x|}}} , kui x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} sgn ⁡ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0} Kompleksarvude puhul saab laiendada signumfunktsiooni nii reaal- kui ka imaginaarkomponendi märgi määramiseks. Kompleksarvu z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} , kus a {\displaystyle a} ja b {\displaystyle b} on reaalarvud, signumfunktsioon on defineeritud järgnevalt: sgn ⁡ ( z ) = z | z | {\displaystyle \operatorname {sgn}(z)={\frac {z}{|z|}}} , kui z ≠ 0 {\displaystyle z\neq 0} sgn ⁡ ( 0 ) = 0 {\displaystyle \operatorname {sgn}(0)=0} Signumfunktsioon on paaritu funktsioon, mis tähendab, et sgn ⁡ ( − x ) = − sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sgn}(-x)=-\operatorname {sgn}(x)} mis tahes reaalarvu x {\displaystyle x} korral. Reaalarvu x {\displaystyle x} absoluutväärtust saab arvutada signumfunktsiooni abil järgmiselt: | x | = x ∗ sgn ⁡ ( x ) {\displaystyle |x|=x*\operatorname {sgn}(x)} . Signumfunktsioon on mitte-pidev kohal x = 0 {\displaystyle x=0} , sest vasak ja parem piirväärtus ei lange kokku. Mujal on aga pidev. lim x → 0 x < 0 sgn ⁡ ( x ) = − 1 ≠ sgn ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x<0}\operatorname {sgn}(x)=-1\neq \operatorname {sgn}(0)} lim x → 0 x > 0 sgn ⁡ ( x ) = 1 ≠ sgn ⁡ ( 0 ) {\displaystyle \textstyle \lim _{x\to 0 \atop x>0}\operatorname {sgn}(x)=1\neq \operatorname {sgn}(0)} Kompleksarvu signumfunktsioon skaleerib arvu säilitades faasi. Teisisõnu, see seab vastavusse kompleksarvu z {\displaystyle z} , ühikringi punktiga komplekstasandil, säilitades algse kompleksarvu nurga. Digitaalses signaalitöötluses kasutatakse signumfunktsiooni signaali polaarsuse tuvastamiseks ja erinevate algoritmide rakendamiseks (kvantimine ja adaptiivfilter). Kastsignaali saab tekitada järgneva valemiga: s ( t ) = A ⋅ sgn ( sin ⁡ ( 2 π f t + ϕ ) ) {\displaystyle s(t)=A\cdot {\text{sgn}}(\sin(2\pi ft+\phi ))} kus A {\displaystyle A} on kastsignaali amplituud, f {\displaystyle f} on kastsignaali sagedus, t {\displaystyle t} on aeg ja ϕ {\displaystyle \phi } on kastsignaali faas. Signumfunktsiooni kasutatakse juhtimissüsteemides mittelineaarsete süsteemide käitumise modelleerimiseks (hüsterees, küllastus ja surnud tsoon). Arvutiteaduses kasutatakse signumfunktsiooni erinevates rakendustes näiteks veaparanduskoodis, krüptograafias ja andmete pakkimise algoritmides. Weisstein, Eric W. "Sign" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Vaadatud 15.06.2023. "signum function". PlanetMath. Vaadatud 15.06.2023. Leiger, Toivo. "Matemaatiline analüüs I" (PDF). Vaadatud 15.06.2023. Khobahi, Shahin; Naimipour, Naveed; Soltanalian, Mojtaba; C. Eldar, Yonina. "Deep signal recovery with one-bit quantization" (PDF). Vaadatud 15.06.2023. Kundu, Darshana; Nijhawan, Dr. Geeta. "Performance Analysis of gradient decent adaptive filters for noise cancellation in Signal Processing" (PDF). Vaadatud 15.06.2023. Atherton, Derek. "An Introduction to Nonlinearity in Control Systems" (PDF). Vaadatud 15.06.2023. Yasuda, Akiyoshi; Fujisaka, Hisato; Fukushima, Masaru; Kamio, Takeshi. "Delta Sigma Domain LDPC Decoder Based on Min-Sum Algorithm" (PDF). Vaadatud 15.06.2023. Schoenmakers, Berry; Tuyls, Pim. "Practical Two-Party Computation based on the Conditional Gate" (PDF). Vaadatud 15.06.2023.