Determinant

Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse arvu. See on oluline matemaatiline konstruktsioon lineaarvõrrandisüsteemide uurimisel. Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt d e t ( A ) {\displaystyle \,det(A)} , d e t A {\displaystyle \,detA} või | A | {\displaystyle \,|A|} . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Üldjuhul saab n×n determinanti efektiivselt arvutada Leibnizi valemiga või Laplacei valemiga. 2×2 ja 3×3 maatriksite determinanti on lihtsam arvutada ja meelde jätta Sarruse reegli abil. Lühidalt ja pikema selgituseta on need ka siin toodud. Reegel on saanud nime prantsuse matemaatiku Pierre Frédéric Sarruse järgi ja kujutab endast kava, mille abil saab meelde jätta, kuidas arvutada 2- ja 3-järku determinante (sarnane lihtsustus aga ei kehti suuremate determinandi järkude puhul). | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = − a 13 a 22 a 31 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − . . .   . . . − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 + a 11 a 22 a 33 {\displaystyle {\begin{matrix}\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right|&=&-a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-...\\\ &&...-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{11}a_{22}a_{33}\end{matrix}}} Teist järku ruutmaatriksi A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} determinant on det ( A ) = | a b c d | = a d − b c {\displaystyle \det(A)={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc} . Kolmandat järku ruutmaatriksi A = ( a b c d e f g h i ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}} determinant on det ( A ) = | a b c d e f g h i | = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + d ⋅ h ⋅ c − g ⋅ e ⋅ c − d ⋅ b ⋅ i − h ⋅ f ⋅ a . {\displaystyle \det(A)={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+d\cdot h\cdot c-g\cdot e\cdot c-d\cdot b\cdot i-h\cdot f\cdot a.} Võetakse summa üle kõigi permutatsioonide σ hulgast {1, 2, ..., n}.. det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n A i , σ i .   {\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma _{i}}.\ } n-järku ruutmaatriksi A = ( a 11 a 21 ⋯ a n1 a 12 a 22 ⋯ a n2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a nn ) {\displaystyle A=\left({\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{\text{n1}}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{\text{n2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{\text{nn}}\end{array}}\right)} determinant on det ( A ) = | a 11 a 21 ⋯ a n1 a 12 a 22 ⋯ a n2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n ⋯ a nn | = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n A i , σ i {\displaystyle \det(A)=\left|{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{\text{n1}}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{\text{n2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1n}&a_{2n}&\cdots &a_{\text{nn}}\end{array}}\right|=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma _{i}}} Laplace'i valemi kohaselt võrdub determinandi väärtus tema mingi rea elementide ja vastavate elementide algebraliste täiendite korrutiste summaga. det ( A ) = a i 1 ⋅ A i 1 + a i 2 ⋅ A i 2 + … + a i n ⋅ A i n {\displaystyle \det(A)=a_{i1}\cdot A_{i1}+a_{i2}\cdot A_{i2}+\ldots +a_{in}\cdot A_{in}} kus a on maatriksi element ja A tema algebraline täiend. Kui algebraline täiend esitada miinori kaudu, siis saame Laplace'i valemi üldlevinud kuju: det ( A ) = ∑ j = 1 n ( − 1 ) i + j a i , j M i , j = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i + j a i , j M i , j . {\displaystyle \det(A)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}.} Determinandi mõiste tekkis enne maatriksi mõistet. Algul defineeriti determinanti lineaarvõrrandite süsteemi omadusena. Determinant määrab ehk determineerib, kas võrdse tundmatute ja võrrandite arvuga süsteemil on üksainus lahend (see on nii parajasti siis, kui tundmatute kordajaist moodustatud determinant ei võrdu nulliga). Nii defineeritud teist järku determinante vaatles 16. sajandi lõpus Cardano. Suuremaid determinante vaatles umbes 100 aastat hiljem Leibniz. Gabriel Cramer (1750) täiustas Leibnizi teooriat seoses võrrandisüsteemidega. 2-dimensioonilises ruumis on determinant 2 vektorile ehitatud rööpküliku pindala. Olgu antud punktid P 1 = ( a ; b ) {\displaystyle \,P_{1}=(a;b)} , P 2 = ( c ; d ) {\displaystyle \,P_{2}=(c;d)} ja meid huvitab nullpunktiga loodud kolmnurga pindala. Kõige lihtsam viis pindala leidmiseks on leida pool determinandi absoluutväärtusest, mis on ehitatud vektoritest 0 P 1 → {\displaystyle \,{\overset {\to }{0P_{1}}}} ja 0 P 2 → {\displaystyle \,{\overset {\to }{0P_{2}}}} , seega S Δ 0 P 1 P 2 = 1 2 | | P 1 P 2 | | = 1 2 | | a b c d | | = 1 2 | a d − b c | {\displaystyle \,S_{\Delta _{0P_{1}P_{2}}}={\frac {1}{2}}\left|\left|{\begin{array}{c}P_{1}\\P_{2}\end{array}}\right|\right|={\frac {1}{2}}\left|\left|{\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right|\right|={\frac {1}{2}}\left|ad-bc\right|} 3-dimensioonilises ruumis on determinant 3 vektorile ehitatud rööptahuka ruumala. Olgu antud 3 vektorit r 1 {\displaystyle \,r_{1}} , r 2 {\displaystyle \,r_{2}} ja r 3 {\displaystyle \,r_{3}} , ning me soovime leida nendega piiratud püramiidi ruumala. Kõige lihtsam viis ruumala leidmiseks on leida 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} determinandi absoluutväärtusest, mis on nendest vektoritest ehitatud. V püramiid r 1 r 2 r 3 = 1 6 | | r 1 r 2 r 3 | | = 1 6 | | r 1 x r 1 y r 1 z r 2 x r 2 y r 2 z r 3 x r 3 y r 3 z | | {\displaystyle V_{{\text{püramiid}}_{r_{1}r_{2}r_{3}}}={\frac {1}{6}}\left|\left|{\begin{array}{c}r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\end{array}}\right|\right|={\frac {1}{6}}\left|\left|{\begin{array}{ccc}r_{1_{x}}&r_{1_{y}}&r_{1_{z}}\\r_{2_{x}}&r_{2_{y}}&r_{2_{z}}\\r_{3_{x}}&r_{3_{y}}&r_{3_{z}}\end{array}}\right|\right|} Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det ( A ) = det ( A T ) {\displaystyle \det(A)=\det(A^{T})} . Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : koosneb nullidest on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga D = | 1 3 2 6 | = 1 ⋅ 6 − 2 ⋅ 3 = 0 {\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&3\\2&6\end{vmatrix}}=1\cdot 6-2\cdot 3=0} on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana) Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks. D = | 3 5 2 1 | = − 7 {\displaystyle D={\begin{vmatrix}3&5\\2&1\end{vmatrix}}=-7} D = | 5 3 1 2 | = 7 {\displaystyle D={\begin{vmatrix}5&3\\1&2\end{vmatrix}}=7} Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ühte rida või veergu. Samalaadselt kehtib vastupidine, kui mõni determinandi rida või veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2 determinandina. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud (esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. Maatriksi A {\displaystyle \,A} ja B {\displaystyle \,B} determinantide korrutis d e t ( A ) ∗ d e t ( B ) {\displaystyle \,det(A)*det(B)} on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast d e t ( A ) ∗ d e t ( B ) = d e t ( A B ) = d e t ( B A ) {\displaystyle \,det(A)*det(B)=det(AB)=det(BA)} . Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti. A = ( 0 1 2 3 4 5 6 7 8 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&2\\3&4&5\\6&7&8\end{pmatrix}}} M 11 = | 4 5 7 8 | = − 3 {\displaystyle M_{11}={\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}=-3} M 21 = | 1 2 7 8 | = − 6 {\displaystyle M_{21}={\begin{vmatrix}1&2\\7&8\end{vmatrix}}=-6} M 32 = | 0 2 3 5 | = − 6 {\displaystyle M_{32}={\begin{vmatrix}0&2\\3&5\end{vmatrix}}=-6} Elemendi aik algebraliseks täiendiks Aik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+k on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv. See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (−1)i+kMik Suvalisele 4-järku ruutmaatriksile saab arendi leida 8 viisil. Näiteks maatriks A = ( 3 3 8 0 8 9 7 1 0 2 3 6 6 8 7 5 ) {\displaystyle A=\left({\begin{array}{cccc}3&3&8&0\\8&9&7&1\\0&2&3&6\\6&8&7&5\end{array}}\right)} determinant d e t ( A ) = | 3 3 8 0 8 9 7 1 0 2 3 6 6 8 7 5 | = 49 {\displaystyle det(A)=\left|{\begin{array}{cccc}3&3&8&0\\8&9&7&1\\0&2&3&6\\6&8&7&5\end{array}}\right|=49} Arendid on sel juhul: arend 1 rea järgi 3 ( − 1 ) 1 + 1 | 9 7 1 2 3 6 8 7 5 | + 3 ( − 1 ) 1 + 2 | 8 7 1 0 3 6 6 7 5 | + 8 ( − 1 ) 1 + 3 | 8 9 1 0 2 6 6 8 5 | + 0 ( − 1 ) 1 + 4 | 8 9 7 0 2 3 6 8 7 | = 49 {\displaystyle 3(-1)^{1+1}\left|{\begin{array}{ccc}9&7&1\\2&3&6\\8&7&5\end{array}}\right|+3(-1)^{1+2}\left|{\begin{array}{ccc}8&7&1\\0&3&6\\6&7&5\end{array}}\right|+8(-1)^{1+3}\left|{\begin{array}{ccc}8&9&1\\0&2&6\\6&8&5\end{array}}\right|+0(-1)^{1+4}\left|{\begin{array}{ccc}8&9&7\\0&2&3\\6&8&7\end{array}}\right|=49} Kui lineaarvõrrandisüsteemi vektorid on lineaarselt sõltuvad, siis determinant on 0 ja eemaldada saab vähemalt 1 vektori, mis kirjeldab tundmatute vahelisi seoseid. Kui lineaarvõrrandisüsteemi determinant on 0, siis on kas 0 või lõpmatult palju lahendeid. Determinandi abil saab arvutada vektrorkorrutist: a → × b → = | i ^ j ^ k ^ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = | a 2 a 3 b 2 b 3 | i ^ − | a 1 a 3 b 1 b 3 | j ^ + | a 1 a 2 b 1 b 2 | k ^ {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\hat {i}}-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}{\hat {j}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\hat {k}}} . Lisaks sellele on vektorkorrutise a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} suund risti A {\displaystyle \,A} -ga ja see on määratud parema käe reegliga. Sarnaselt sellega a → × b → = − b → × a → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}} . Maatriksi astak on defineeritud kui suurim miinori järk, mille tulem on nullist erinev. Kui lineaarvõrrandisüsteemil A x = b . {\displaystyle \,Ax=b.} ei ole lahendeid, siis kui selle elemendid on lineaarselt sõltumatud (mida nad on, kui leidub pöördmaatriks), siis pöördmaatriksi abil saab leida pseudolahendi A − 1 A x = A − 1 b . {\displaystyle \,A^{-1}Ax=A^{-1}b.} , mis lihtsustub x = A − 1 b . {\displaystyle \,x=A^{-1}b.} . Lisaks Gaussi-Jordani eliminatsioonile saab pöördmaatriksi leida determinandi abil: A − 1 = 1 A ∗ A d j ( A ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{A}}*Adj(A)} , kus A d j ( A ) {\displaystyle Adj(A)} on maatriksi miinorite väärtuste ja algebralise täiendite (ilma elemendita) maatriks mida on transponeeritud (read ja veerud on vahetatud). Käsitsi on ebapraktiline leida kõrgemat järku determinante otse, ehk ilma eelnevalt lineaarteisendustega mõnda ritta või veergu nullide tegemist ja selle rea või veeru järgi arendamist. Praktikas teevad seda ka arvutiprogrammid, sest determinandi arvutamiseks vajalik töö maht on võrdne ruut faktoriaaliga (siiski vaid halvimal juhul tuleb see töö teha). Töö mahu piltlikustamiseks võib öelda, et saab konstrueerida nn halvima juhu 1000-järku determinandi, mida ükski arvuti inimeluaja jooksul ei suuda lahendada. Lineaarse võrrandisüsteemi (lühend LVS) : { a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋮ a m1 x 1 + a m2 x 2 + ⋯ + a mn x n = b m {\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}{\begin{array}{c}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\end{array}}\\\vdots \end{array}}\\a_{\text{m1}}x_{1}+a_{\text{m2}}x_{2}+\cdots +a_{\text{mn}}x_{n}=b_{m}\end{array}}\right.} lahendid saab leida Crameri valemitega, kui: tundmatute arv võrdub võrrandite arvuga, ehk tegemist on ruutmaatriksiga süsteemi peamaatriksi A determinant d e t ( A ) ≠ 0 {\displaystyle \,det(A)\neq 0} . Vastava tundmatu x i {\displaystyle \,x_{i}} leiab valemiga: x i = | A i | | A | ,  kus  i = 1 , 2 , . . . , n {\displaystyle x_{i}={\frac {\left|A_{i}\right|}{\left|A\right|}},{\text{ kus }}i=1,2,...,n} Kus maatriks A i {\displaystyle \,A_{i}} on saadud maatriksi A {\displaystyle \,A} i'nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga (ehk aritmeetilise vektoriga b). Maatriks Ruutmaatriks