Eralduvusaksioomid

Et topoloogiline ruum on väga üldine mõiste, piirdutakse topoloogias ja topoloogiaga seotud matemaatikaharudes sageli teatud kitsendusi rahuldavate topoloogiliste ruumide vaatlemisega. Eralduvusaksioomid on ühed niisugused kitsendused. Eralduvusaksioomid on aksioomid selles mõttes, et kui neid lisada topoloogilise ruumi definitsioonis topoloogilise ruumi aksioomidele, saaksime uue, kitsama topoloogilise ruumi mõiste. Tänapäevase lähenemise kohaselt kasutatakse väljendit "topoloogiline ruum" kõikjal vaid ühes tähenduses (nii nagu ta on määratletud artiklis Topoloogiline ruum) ning kõneldakse eri liiki topoloogilistest ruumidest. Nimetus "eralduvusaksioom" on aga vanadest aegadest alles jäänud. Paljusid eralduvusaksioome tähistatakse T-tähega, mis tuleb saksakeelsest sõnast Trennung ('eraldamine'). Eralduvusaksioomides ettetulevate mõistete täpne tähendus on aja jooksul muutunud. Seepärast tuleb vanemat kirjandust lugedes tähele panna, kuidas antud autor on need mõisted määratlenud. Topoloogilist ruumi ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} nimetatakse T0-ruumiks, kui mistahes kaks punkti x 1 , x 2 ∈ X ,   x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X,\ x_{1}\neq x_{2}} on topoloogiliselt eristatavad, s. t. punktil x 1 {\displaystyle x_{1}} leidub ümbrus O 1 {\displaystyle O_{1}} nii, et x 2 ∉ O 1 {\displaystyle x_{2}\not \in O_{1}} , või leidub punktil x 2 {\displaystyle x_{2}} ümbrus O 2 {\displaystyle O_{2}} nii, et x 1 ∉ O 2 {\displaystyle x_{1}\not \in O_{2}} ; T1-ruumiks, kui mistahes kahe punkti x 1 , x 2 ∈ X ,   x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X,\ x_{1}\neq x_{2}} korral leiduvad punkti x 1 {\displaystyle x_{1}} ümbrus O 1 {\displaystyle O_{1}} ja punkti x 2 {\displaystyle x_{2}} ümbrus O 2 {\displaystyle O_{2}} nii, et x 2 ∉ O 1 {\displaystyle x_{2}\not \in O_{1}} ning x 1 ∉ O 2 {\displaystyle x_{1}\not \in O_{2}} ; T2-ruumiks ehk Hausdorffi ruumiks ehk eralduvaks ruumiks, kui mistahes kahe punkti x 1 , x 2 ∈ X ,   x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}\in X,\ x_{1}\neq x_{2}} korral leiduvad punkti x 1 {\displaystyle x_{1}} ümbrus O 1 {\displaystyle O_{1}} ja punkti x 2 {\displaystyle x_{2}} ümbrus O 2 {\displaystyle O_{2}} nii, et O 1 ∩ O 2 = ∅ {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}=\emptyset } ; regulaarseks, kui mistahes τ {\displaystyle \tau } -kinnise alamhulga U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} ning mistahes punkti x ∈ X ∖ U {\displaystyle x\in X\setminus U} korral leiduvad hulga U {\displaystyle U} ümbrus O 1 {\displaystyle O_{1}} ja punkti x {\displaystyle x} ümbrus O 2 {\displaystyle O_{2}} nii, et O 1 ∩ O 2 = ∅ {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}=\emptyset } ; normaalseks, kui mistahes kahe lõikumatu τ {\displaystyle \tau } -kinnise alamhulga U 1 , U 2 ⊂ X {\displaystyle U_{1},U_{2}\subset X} korral leiduvad hulga U 1 {\displaystyle U_{1}} ümbrus O 1 {\displaystyle O_{1}} ja hulga U 2 {\displaystyle U_{2}} ümbrus O 2 {\displaystyle O_{2}} nii, et O 1 ∩ O 2 = ∅ {\displaystyle O_{1}\cap O_{2}=\emptyset } ; täielikult regulaarseks, kui mistahes τ {\displaystyle \tau } -kinnise alamhulga U ⊂ X {\displaystyle U\subset X} ning mistahes punkti x ∈ X ∖ U {\displaystyle x\in X\setminus U} korral leidub pidev kujutus f : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f:X\to [0,1]} nii, et f ( U ) = { 0 } {\displaystyle f(U)=\{0\}} ja f ( x ) = 1 {\displaystyle f(x)=1} .