Ülekandefunktsioon

Ülekandefunktsioon (inglise keeles transfer function) on avaldis, mis seob lineaarse süsteemi (nt signaalitöötlusseadme) väljundsuuruse tema sisendsuurusega. Ülekandefunktsiooni võib esitada sõltuvalt ajast või sagedusest. Autuomaatjuhtimissüsteemide ja nende lülide matemaatilisel kirjeldamisel esitatakse ülekandefunktsioon harilikult väljundsignaali Laplace'i teisenduse ja sisendsignaali Laplace'i teisenduse suhtena (nullilistel algtingimustel). Kui on teada süsteemi sisendsignaal ja ülekandefunktsioon, siis on määratav ka väljundsignaal. Ülekandefunktsioone kasutatakse signaalitöötluses, automaatjuhtimissüsteemides ja kommunikatsiooniteoorias. Ülekandefunktsiooni all mõeldakse tavaliselt lineaarseid ajas muutumatuid süsteeme. Praktikas pole enamus süsteeme lineaarsete sisend- ja väljundkarakteristikuga, kuid nominaalsete tööparameetrite puhul saab neid lihtsustada lineaarseteks ajas muutumatuteks süsteemideks. Allpool olevad kirjeldused on antud komplekskujul muutujaga s = σ + j ⋅ ω {\displaystyle s=\sigma +j\cdot \omega } . Üldjuhul on piisav defineerida muutuja σ = 0 {\displaystyle \sigma =0} (seega s = j ⋅ ω {\displaystyle s=j\cdot \omega } ), mis lihtsustab kompleksarvuliste muutujatega Laplace'i teisenduse reaalarvuliste muutujatega ω {\displaystyle \omega } Fourier' teisenduseks. Rakendustes, kus sellist lihtsustamist kasutatakse, uuritakse ainult püsiseisundit, mitte põgusaid sisse- ja väljalülitamise käitumist ning stabiilsus probleeme. Selliseid rakendusi esineb signaalitöötluses ja kommunikatsiooniteoorias. Seega pideva sisendsignaali x ( t ) {\displaystyle x(t)} ja väljundi y ( t ) {\displaystyle y(t)} ülekandefunktsioon H ( s ) {\displaystyle H(s)} on sisendi Laplace'i teisenduse X ( s ) = L { x ( t ) } {\displaystyle X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}} lineaarne kujutamine väljundi Laplace'i teisenduseks Y ( s ) = L { y ( t ) } {\displaystyle Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}} : Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) {\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)} või H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = L { y ( t ) } L { x ( t ) } {\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}}{{\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}}}} . Diskreetsete süsteemide korral kasutatakse Z-teisendust sisendsignaaali x ( t ) {\displaystyle x(t)} ja väljundsignaali y ( t ) {\displaystyle y(t)} suhtel ning siis on ülekandefunktsioon tuttaval kujul H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) {\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}} . Vaatleme konstantsete koefitsientidega lineaarset diferentsiaalvõrrandit L [ u ] = d n u d t n + a 1 d n − 1 u d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d u d t + a n u = r ( t ) {\displaystyle L[u]={\frac {d^{n}u}{dt^{n}}}+a_{1}{\frac {d^{n-1}u}{dt^{n-1}}}+\dotsb +a_{n-1}{\frac {du}{dt}}+a_{n}u=r(t)} kus u {\displaystyle u} ja r {\displaystyle r} on sobivalt sujuvad funktsioonid ajas t {\displaystyle t} ja L {\displaystyle L} on vastavas funktsiooniruumis määratletud operaator, mis on kujutus funktsiooni u {\displaystyle u} ja funktsiooni r {\displaystyle r} vahel. Sellist võrrandit saab kasutada, et väljundfunktsiooni u {\displaystyle u} jõuga piirata funktsiooni r {\displaystyle r} . Ülekandefunktsiooni saab kasutada operaatori F [ r ] = u {\displaystyle F[r]=u} määratlemiseks, mis toimib L {\displaystyle L} -i parempöördena, ehk L [ F [ r ] ] = r {\displaystyle L[F[r]]=r} Homogeense konstantse koefitsiendiga diferentsiaalvõrrandi L [ u ] = 0 {\displaystyle L[u]=0} lahendused leiab asendusega u = e λ t {\displaystyle u=e^{\lambda t}} . See asendus annab karakteristliku võrrandi p L ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 λ + a n . {\displaystyle p_{L}(\lambda )=\lambda ^{n}+a_{1}\lambda ^{n-1}+\dotsb +a_{n-1}\lambda +a_{n}.\,} Mittehomogeense juhu saab hõlpsasti lahendada, kui sisendfunktsioon r {\displaystyle r} on kujul r ( t ) = e s t {\displaystyle r(t)=e^{st}} . Sel juhul asendades u = H ( s ) e s t {\displaystyle u=H(s)e^{st}} saame L [ H ( s ) e s t ] = e s t {\displaystyle L[H(s)e^{st}]=e^{st}} , kui defineerida H ( s ) = 1 p L ( s ) , kus p L ( s ) ≠ 0. {\displaystyle H(s)={\frac {1}{p_{L}(s)}}{\text{,}}\qquad {\text{kus}}\quad p_{L}(s)\neq 0.} Ülekandefunktsiooni selline definitsioon nõuab kompleks- ja reaalarvuliste väärtuste vahel hoolikat eristamist, kus traditsiooniliselt koheldakse | H ( s ) | {\displaystyle |H(s)|} kui võimendusena ja − a t a n ( H ( s ) ) {\displaystyle -atan(H(s))} kui faasinihkena. Kasutatakse ka teisi ülekandefunktsiooni määratlusi, nagu näiteks 1 / p L ( i k ) . {\displaystyle 1/p_{L}(ik).} Üldist sinusoidaalset sisendit ω 0 / ( 2 π ) {\displaystyle \omega _{0}/(2\pi )} sagedussüsteemi saab esitada kujul exp ⁡ ( j ω 0 t ) {\displaystyle \exp(j\omega _{0}t)} . Süsteemi impulsskoste sinusoidaalne sisend, mis algab ajahetkest t = 0 {\displaystyle t=0} , koosneb püsiseisundi ja siirdeprotsessi impulsskostete summast. Püsiseisundi impulsskoste on süsteemi väljund lõpmatu ajahulga jooksul ja siirdeprotsessi impulsskoste on vahe süsteemi impulsskoste ja püsiseisundi impulsskoste vahel (see vastab ülaltoodud diferentsiaalvõrrandi homogeensele lahendile.) Lineaarse ajas muutumatu süsteemi puhul saab seda esitada korrutisena H ( s ) = ∏ i = 1 N 1 s − s P i {\displaystyle H(s)=\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{s-s_{P_{i}}}}} kus sPi on karakteristliku võrrandi N juured ja on seega ülekandefunktsiooni poolused. Vaatleme ühe poolusega ülekandefunktsiooni näidet H ( s ) = 1 s − s P {\displaystyle H(s)={\frac {1}{s-s_{P}}}} kus s P = σ P + j ω P {\displaystyle s_{P}=\sigma _{P}+j\omega _{P}} . Ühikulise amplituudiga sinusoidi Laplace'i teisendus on 1 s − j ω i {\displaystyle {\frac {1}{s-j\omega _{i}}}} . Laplace'i teisenduse väljund on H ( s ) ( s − j ω 0 ) {\displaystyle {\frac {H(s)}{(s-j\omega _{0})}}} ja ajaline väljund on pöördvõrdeline selle funktsiooni Laplace'i teisendusega: g ( t ) = e j ω 0 t − e ( σ P + j ω P ) t − σ P + j ( ω 0 − ω P ) . {\displaystyle g(t)={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}-e^{(\sigma _{P}+j\,\omega _{P})t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}.} Lugejas olev teine muutuja on siirdeprotsessi impulsskoste ja lõpmatu ajahulga jooksul hajub see lõpmatult, kui σ P {\displaystyle \sigma _{P}} on positiivne. Selleks, et süsteem oleks stabiilne, ei tohi sellel ülekandefunktsioonil olla ühtegi poolust, mille reaalosad oleksid positiivsed. Kui ülekandefunktsioon on rangelt stabiilne, on kõigi pooluste reaalosad negatiivsed ja siirdeprotsess läheneb lõpmatult nullile. Püsiseisundi väljund on g ( ∞ ) = e j ω 0 t − σ P + j ( ω 0 − ω P ) . {\displaystyle g(\infty )={\frac {e^{j\,\omega _{0}\,t}}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}.} Sageduskoste (ka "võimendus") G {\displaystyle G} on määratletud kui väljundamplituudi ja püsiseisundi sisendi amplituudi suhte absoluutväärtus G ( ω i ) = | 1 − σ P + j ( ω 0 − ω P ) | = 1 σ P 2 + ( ω P − ω 0 ) 2 , {\displaystyle G(\omega _{i})=\left|{\frac {1}{-\sigma _{P}+j(\omega _{0}-\omega _{P})}}\right|={\frac {1}{\sqrt {\sigma _{P}^{2}+(\omega _{P}-\omega _{0})^{2}}}},} mis on lihtsalt ülekandefunktsiooni H ( s ) {\displaystyle H(s)} absoluutväärtus, mida hinnatakse väärtusel j ω i {\displaystyle j\omega _{i}} . Selle tulemuse kehtivust saab näidata suvalise ülekandefunktsiooni pooluste arvuga. Olgu x ( t ) {\displaystyle x(t)} sisend üldisesse lineaarse ajas muutumatusse süsteemi ja väljundiks y ( t ) {\displaystyle y(t)} ning kahepoolne Laplace'i teisendus väärtustest x ( t ) {\displaystyle x(t)} ja y ( t ) {\displaystyle y(t)} . Siis saame defineerida X ( s ) = L { x ( t ) }   = d e f   ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − s t d t , Y ( s ) = L { y ( t ) }   = d e f   ∫ − ∞ ∞ y ( t ) e − s t d t . {\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}\,dt,\\Y(s)&={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-st}\,dt.\end{aligned}}} Siis on väljund sisendiga seotud ülekandefunktsiooniga H ( s ) {\displaystyle H(s)} järgnevalt Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) {\displaystyle Y(s)=H(s)X(s)} ja ülekandefunktsioon ise on seega H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) . {\displaystyle H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}.} Harmoonilise Kompleksarvulise signaali, millel on sinusoidaalne komponent, mille amplituud | X | {\displaystyle |X|} , nurksagedus ω {\displaystyle \omega } ja faas on arg ⁡ ( X ) {\displaystyle \arg(X)} , kus arg on argument, saab esitada kujul x ( t ) = X e j ω t = | X | e j ( ω t + arg ⁡ ( X ) ) {\displaystyle x(t)=Xe^{j\omega t}=|X|e^{j(\omega t+\arg(X))}} kus X = | X | e j arg ⁡ ( X ) {\displaystyle X=|X|e^{j\arg(X)}} sisestamisel lineaarsesse ajas muutumatusse süsteemi, saame väljundil vastava komponendi y ( t ) = Y e j ω t = | Y | e j ( ω t + arg ⁡ ( Y ) ) , Y = | Y | e j arg ⁡ ( Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=Ye^{j\omega t}=|Y|e^{j(\omega t+\arg(Y))},\\Y&=|Y|e^{j\arg(Y)}.\end{aligned}}} Pange tähele, et lineaarses ajas muutumatus süsteemis pole sisendsagedus ω {\displaystyle \omega } muutunud, süsteemis on muutnud ainult sinusoidi amplituud ja faasinurk. Sageduskarakteristik H ( j ω ) {\displaystyle H(j\omega )} kirjeldab seda muutust iga sageduse ω {\displaystyle \omega } puhul võimenduse G ( ω ) = | Y | | X | = | H ( j ω ) | {\displaystyle G(\omega )={\frac {|Y|}{|X|}}=|H(j\omega )|} ja faasinihe ϕ ( ω ) = arg ⁡ ( Y ) − arg ⁡ ( X ) = arg ⁡ ( H ( j ω ) ) {\displaystyle \phi (\omega )=\arg(Y)-\arg(X)=\arg(H(j\omega ))} abil. Grupihilistus (st ülekandefunktsiooniga sinusoidi ümbrisesse viidud sagedustest sõltuv viivituste summa) leitakse faasinihke tuletise arvutamisel nurksagedusest ω {\displaystyle \omega } : τ g ( ω ) = − d ϕ ( ω ) d ω . {\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}.} Ülekandefunktsiooni saab näidata ka Fourier' teisenduse abil, mis on ainuke Kahepoolne Laplace'i teisenduse erijuht, kui s = j ω {\displaystyle s=j\omega } . Mõned levinumad ülekandefunktsioonid ja nende eripärad on: Butterworthi filter – maksimaalselt tasane ribapääs ja ribatõke antud järgus. Tšebõševi filter – maksimaalselt tasane ribapääs, teravam lõige kui samas järgus Butterworthi filtril. Besseli filter – parim impulsskoste antud järgus, kuna sellel pole grupihilistus lainetust. Elliptiline filter – antud järgu kõige teravam lõige (kitsam üleminek ribapääsu ja ribatõkke vahel). Optimaalne L-filter Gaussi filter – minimaalne grupinihe; ei lasku mööda astmefunktsioonist. Liivakella filter Kõrgendatud koosinusfilter Sagedusfilter Must kast Bode diagramm Konvolutsioon Sageduskoste Impulsskoste Laplace'i teisendus Operatsioonvõimendi ENE 10. köide, 1998 Ülekandefunktsioon. Elektroenergeetikasõnastik. Tallinn, TTÜ Kirjastus, 2005, lk 628 Birkhoff, Garrett; Rota, Gian-Carlo (1978). Ordinary differential equations. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05224-1.[lisa lehekülg]