Z-teisendus

Z-teisendus on diskreetse-ajalise signaali muutmine sagedusruumi komponentideks (sageduskomponentideks). Diskreetne-ajaline signaal võib olla reaalarvuline või kompleksarvuline. On olemas kaks Z-teisenduse tüüpi: kahepoolne ja ühepoolne Z-teisendus. Diskreetse-ajalise signaali x [ n ] {\displaystyle x[n]} kahepoolse Z-teisenduse X ( z ) {\displaystyle X(z)} valem on defineeritud selliselt: X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}} kus n {\displaystyle n} on täisarv ja z {\displaystyle z} on üldjuhul kompleksarv: z = A e j ϕ = A ⋅ ( cos ⁡ ϕ + j sin ⁡ ϕ ) {\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })} , kus A {\displaystyle A} on z {\displaystyle z} kompleksarvu absoluutväärtus, j {\displaystyle j} on imaginaarühik ning ϕ {\displaystyle \phi } on kompleksarvu argument radiaanides. Juhul, kui x [ n ] {\displaystyle x[n]} on defineeritud ainult n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} jaoks, ühepoolse Z-teisenduse valem on defineeritud selliselt: X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n {\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}} Seda definitsiooni saab signaalitöötluses kasutada diskreetse-ajalise põhjusliku (kausaalse) süsteemi ühiku siirdega filtri Z-teisenduse välja arvutamiseks. Üks näide ühepoolsest Z-teisendusest on tõenäosuse genereeriv funktsioon, kus komponent x [ n ] {\displaystyle x[n]} on tõenäosus, et diskreetne juhuslik muutuja omandab väärtust n {\displaystyle n} ning funktsioon X ( z ) {\displaystyle X(z)} on üldiselt kujutatud nagu X ( s ) {\displaystyle X(s)} (kus s = z − 1 {\displaystyle s=z^{-1}} ). Z-teisenduse omadustel on kasulikud interpretatsioonid tõenäosuseteooria kontekstis. Pöörd-Z-teisendus on x [ n ] = Z − 1 { X ( z ) } = 1 2 π j ∮ C X ( z ) z n − 1 d z {\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz} kus C on vastupäeva suletud rada mis ümbritseb algpunkti ning mis on täielikult konvergentsipiirkonnas. Juhul, kui konvergentsipiirkond on põhjuslik (kausaalne) (vaata Näide 2), see tähendab, et C rada peab ümbritsema kõik X ( z ) {\displaystyle X(z)} pooluseid. Kontuurintegraali erijuht ilmub, kui C on ühik ring. Sellist kontuuri saab kasutada, kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi, mis on alati garanteeritud kui X ( z ) {\displaystyle X(z)} on stabiilne, ehk siis, kui kõik pooluseid on ühikringi sees. Sellise kontuuriga pöörd-Z-teisendus taandub ühikringi läheduses Z-teisenduse perioodiliste väärtuste diskreetse-ajalise pöörd-Fourier' teisendusele: x [ n ] = 1 2 π ∫ − π + π X ( e j ω ) e j ω n d ω . {\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .} Z-teisendus n lõpliku vahemikuga ja ühtlaste vahedega z väärtuste lõpliku arvuga saab välja arvutada kasutades Bluestein FFT algoritmi. Diskreetne-ajaline Fourier' teisendus on z piiramisega ühikringile saadud Z-teisenduse erijuht. Konvergentsipiirkond on komplekstasandi punktide hulk, millele Z-teisenduse summeerimine koondub. R O C = { z : | ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n | < ∞ } {\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}} Olgu x[n] = (0.5)n. Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub x [ n ] = { ⋯ , 0.5 − 3 , 0.5 − 2 , 0.5 − 1 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } = { ⋯ , 2 3 , 2 2 , 2 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0.5^{-3},0.5^{-2},0.5^{-1},1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}=\left\{\cdots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.} Vaadates summa ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n → ∞ . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .} Järelikult, pole z väärtusi mis rahuldavad seda tingimust. Olgu x [ n ] = 0.5 n u [ n ]   {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]\ } (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub x [ n ] = { ⋯ , 0 , 0 , 0 , 1 , 0.5 , 0.5 2 , 0.5 3 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,0,0,0,1,0.5,0.5^{2},0.5^{3},\cdots \right\}.} Vaadates summa ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = 0 ∞ 0.5 n z − n = ∑ n = 0 ∞ ( 0.5 z ) n = 1 1 − 0.5 z − 1 . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }0.5^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.} Viimane võrdsus tuleneb lõpmatust geomeetrilisest rajast ja võrdsus kehtib ainult kui |0.5z−1| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| > 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| > 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on komplekstasand kus raadiuse ring 0.5 on nö "välja löödud". Olgu x [ n ] = − ( 0.5 ) n u [ − n − 1 ]   {\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}u[-n-1]\ } (kus u on Heaviside funktsioon). Laienedes x[n] intervaalis (−∞, ∞) see muutub x [ n ] = { ⋯ , − ( 0.5 ) − 3 , − ( 0.5 ) − 2 , − ( 0.5 ) − 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , ⋯ } . {\displaystyle x[n]=\left\{\cdots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\cdots \right\}.} Vaadates summa ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n = − ∑ n = − ∞ − 1 0.5 n z − n = − ∑ m = 1 ∞ ( z 0.5 ) m = − 0.5 − 1 z 1 − 0.5 − 1 z = − 1 0.5 z − 1 − 1 = 1 1 − 0.5 z − 1 . {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}0.5^{n}z^{-n}=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}=-{\frac {0.5^{-1}z}{1-0.5^{-1}z}}=-{\frac {1}{0.5z^{-1}-1}}={\frac {1}{1-0.5z^{-1}}}.} Jälle kasutades lõpmatu geomeetrilist rada, võrdusus kehtib ainult kui |0.5−1z| < 1 mis saab olla ümber kirjutatud kui |z| < 0.5. Seega konvergentsipiirkond on |z| < 0.5. Sel juhul konvergentsipiirkond on algpunktis keskendatud ring raadiusega 0.5. Sellist näidet eelnevast eristab ainult konvergentsipiirkond. See on selleks, et näidata, et ainult teisenduse tulemust ei ole piisav. Näited 2 ja 3 näitavad, et x[n] Z-teisendus X(z) on unikaalne siis ja ainult siis, kui määratletakse konvergentsipiirkonda. Poolus-null graafiku loomine kausaalse ja antikausaalse näidete jaoks näitab, et konvergentsipiirkond mõlemal juhul ei sisalda poolust, mis asub 0.5 peal. See laieneb mitme poolustega juhtumitele: konvergentsipiirkonda ei sisalda pooluseid mitte kunagi. Kausaalne süsteem näites 2 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = ∞ ning kausaalne süsteem näites 3 annab konvergentsipiirkonda, mis sisaldab |z| = 0. Mitme poolustega süsteemides on võimalik saada konvergentsipiirkonda, mis ei sisalda mitte |z| = ∞ ega |z| = 0. Konvergentsipiirkond loob ringkujulist ala. Näiteks, x [ n ] = 0.5 n u [ n ] − 0.75 n u [ − n − 1 ] {\displaystyle x[n]=0.5^{n}u[n]-0.75^{n}u[-n-1]} sisaldab pooluseid 0.5 ja 0.75 peal. Konvergentsipiirkond tuleb 0.5 < |z| < 0.75, mis ei sisalda mitte algpunkti ega lõpmatust. Sellist süsteemi nimetatakse segakausaalsuse süsteemiks, sest see sisaldab kausaalse piiri (0.5)nu[n] ja antikausaalse piiri −(0.75)nu[−n−1]. Süsteemi stabiilsus saab olla määratud teades ainult konvergentsipiirkonda. Kui konvergentsipiirkond sisaldab ühikringi (|z| = 1), siis süsteem on stabiilne. Üleval süsteemidel kausaalne süsteem (Näide 2) on stabiilne sest |z| > 0.5 sisaldab ühikringi. Olgu meil on süsteemi Z-teisendus ilma konvergentsipiirkonnata (ebamäärane x[n]). Me saame määrata unikaalset x[n] tingimusel, et soovime: Stabiilsust Kausaalsust Stabiilsuse jaoks konvergentsipiirkond peab sisaldama ühikringi. Kui meil on vaja kausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama lõpmatust ja süsteemi funktsioon tuleb parempoolseks jadaks. Kui meil on vaja antikausaalset süsteemi, siis konvergentsipiirkond peab sisaldama algpunkti ja süsteemi funktsioon tuleb vasakpoolseks jadaks. Kui meil on vaja nii stabiilsust kui ka kausaalsust, siis kõik süsteemi funktsiooni pooluseid peab olema ühikringi sees. Seejärel saab leida unikaalset x[n]. Parseval teoreem ∑ n = − ∞ ∞ x 1 [ n ] x 2 ∗ [ n ] = 1 j 2 π ∮ C X 1 ( v ) X 2 ∗ ( 1 v ∗ ) v − 1 d v {\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v} Laplace'i teisendus Bolzern, Paolo; Scattolini, Riccardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (itaalia). MC Graw Hill Education. ISBN 978-88-386-6882-1. A. R. Forouzan (2016). "Region of convergence of derivative of Z transform". Electronics Letters. 52 (8): 617–619. DOI:10.1049/el.2016.0189.