Kvaternioonid

Kvaternioonid on üks arvuvald, mis laiendab reaalarvude valda ja kompleksarvude valda. Kvaternioonid kuuluvad hüperkompleksarvude hulka. Seda kirjeldas ning uuris süstemaatiliselt alates 1843. aastast William Rowan Hamilton; sellepärast nimetatakse neid ka Hamiltoni kvaternioonideks või Hamiltoni arvudeks. Hamilton rakendas neid ka mehaanikas. Olinde Rodrigues avastas need 1840 Hamiltonist sõltumatult. Sellegipoolest tähistatakse kvaternioonide hulka Hamiltoni järgi sageli H või H {\displaystyle \mathbb {H} } . Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, mille puhul korrutamine sõltub tegurite järjekorrast, st ei ole kommutatiivne. See tähendab, on olemas kvaternioonid x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} , mille korral x y ≠ y x {\displaystyle xy\;\;\neq \;\;yx} . Mõned reaalarvude puhul kehtivad arvutamisreeglid seetõttu ei kehti, kuid assotsiatiivsus ja distributiivsus kehtivad ning kvaternioonid on pööratavad. Kvaternioonid olid esimene mittekommutatiivse kaldkorpuse näide. Kvaternioonid võimaldavad paljudel juhtudel arvutuslikult elegantselt kirjeldada kolmemõõtmelist eukleidilist ruumi ja teisi ruume, eriti pöörete kontekstis. Nad pakuvad huvi ka omaette ja aitavad näiteks tõestada Lagrange'i nelja ruudu teoreemi. Kvaternioonid tekivad reaalarvudest sel teel, et lisatakse (adjungeeritakse) kolm uut arvu, mille tähised on kompleksarvude imaginaarühiku eeskujul pannakse i {\displaystyle \mathrm {i} } , j {\displaystyle \mathrm {j} } und k {\displaystyle \mathrm {k} } . Nii saadakse neljamõõtmeline arvuvald (vektorruum), mille arvudel on reaalosa, mis koosneb ühest komponendist, ja imaginaarosa, mis koosneb kolmest komponendist ja mida nimetatakse ka vektorosaks. Iga kvaterniooni saab üheselt esitada kujul x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} } , kus x 0 {\displaystyle x_{0}} , x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , x 3 {\displaystyle x_{3}} on reaalarvud. Nii moodustavad elemendid 1 , i , j , k {\displaystyle 1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} } baasi, kvaternioonide standardbaasi üle R {\displaystyle \mathbb {R} } . Liitmine käib komponentidekaupa ja pärandub vektorruumist. Uusi arve i {\displaystyle \mathrm {i} } , j {\displaystyle \mathrm {j} } , k {\displaystyle \mathrm {k} } korrutamine käib Hamiltoni reeglite i 2 = j 2 = k 2 = i j k = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {j} ^{2}=\mathrm {k} ^{2}=\mathrm {i} \mathrm {j} \mathrm {k} =-1} järgi. Skalaariga korrutamine R × H → H {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {H} \to \mathbb {H} \,} , mis samuti pärandub vektorruumist ja mille puhul skalaari peetakse iga elemendiga vahetatavaks (ei eristata vasak- ja parempoolset korrutamist), koos liitmisega, parempoolse distributiivsusega ja Hamiltoni reeglitega võimaldavad korrutamise laiendada baasilt kõikidele kvaternioonidele. Et nõnda kuulub ka iga skalaar λ ∈ R {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} } kvaternioonide hulka kui λ + 0 i + 0 j + 0 k {\displaystyle \lambda +0\mathrm {i} +0\mathrm {j} +0\mathrm {k} } , siis võib reaalarvude ringi R {\displaystyle \mathbb {R} } käsitada kui kvaternioonide ringi H {\displaystyle \mathbb {H} } alamringi. Nõnda defineeritud korrutamine on assotsiatiivne, on vasakult ja paremalt distributiivne, nii et kvaternioonid moodustavad ringi. See ring ei ole kommutatiivne, st kvaternioonide x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} korrutised x y {\displaystyle xy} ja y x {\displaystyle yx} on üldjuhul erinevad. Multiplikatiivse rühma H × {\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }} tsenter, s.o selle rühma niisuguste elementide hulk, mis kommuteeruvad kõikide kvaternioonidega, on reaalarvude multiplikatiivne rühm R × {\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }} . Kvaternioonid moodustavad kaldkorpuse, sest igal kvaternioonil x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} on pöördelement (pöördarv) x − 1 {\displaystyle x^{-1}} , mille korral x x − 1 = x − 1 x = 1 {\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}  . Kommutatiivsuse puudumise tõttu välditakse murrujoonega tähistust, nagu näiteks y x {\displaystyle {\tfrac {y}{x}}} . Peale selle moodustavad kvaternioonid neljamõõtmelise jagamisega algebra üle reaalarvude korpuse R {\displaystyle \mathbb {R} } – ja see on isomorfismi täpsusega ainus niisugune. Järgnevas tekstis kasutatakse niisuguseid tähistusi: Kui x {\displaystyle x} on kvaternioon, siis selle reaalarvulisi komponente tähistatakse x 0 , x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}} bezeichnet, ja need seostatakse baasiga 1 , i , j , k {\displaystyle 1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} } järgmiselt: x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k . {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} .} Mõnikord on tarvis vektortähistusi. Siis võetakse komponendid ( x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})} kokku 3-mõõtmeliseks vektoriks x → {\displaystyle {\vec {x}}} , nii et kvaterniooni x {\displaystyle x} saab samastada 4-mõõtmelise vektoriga ( x 0 , x → ) = ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) {\displaystyle (x_{0},{\vec {x}})=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})} . Analoogsed kokkulepped kehtivad teiste tähtede, nagu y {\displaystyle y} jne kohta. Vanemas kirjanduses tähistatakse kvaternioone mõnikord fraktuurkirja suurtähtedega ning imaginaarühikuid kui ühikvektoreid fraktuurkirja väiketähtedega, näiteks nii: X = x 0 + e 1 x 1 + e 2 x 2 + e 3 x 3 = ∑ j = 0 3 e j x j {\displaystyle {\mathfrak {X}}=x_{0}+{\mathfrak {e}}_{1}x_{1}+{\mathfrak {e}}_{2}x_{2}+{\mathfrak {e}}_{3}x_{3}=\sum _{j=0}^{3}{\mathfrak {e}}_{j}x_{j}} , kus e 0 = 1 {\displaystyle {\mathfrak {e}}_{0}=1} . Kompleksarve tähistatakse tavaliselt tähega z {\displaystyle z} ja nende reaalarvulisi komponente tähtedega ξ {\displaystyle \xi } , η {\displaystyle \eta } . Kvaternioonide konstrueerimine on analoogne kompleksarvude konstrueerimisele, ainult et adjungeeritakse ühe arvu asemel kolm arvu, mida tähistatakse i {\displaystyle \mathrm {i} } , j {\displaystyle \mathrm {j} } ja k {\displaystyle \mathrm {k} } . Lineaarkombinatsioonid x 0 1 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle x_{0}\mathrm {1} +x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} } üle baasi { 1 , i , j , k } {\displaystyle \{\mathrm {1} ,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} \}} moodustavad reaalarvuliste komponentidega x i {\displaystyle x_{i}} 4-mõõtmelise kvaternioonide vektorruumi H {\displaystyle \mathbb {H} } . Vektorruumina on H {\displaystyle \mathbb {H} } isomorfne vektorruumiga R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Baaselement 1 {\displaystyle \mathrm {1} } , mille abil saadakse reaalarvude hulga injektsioon kvaternioonide hulka (ja mis ühtlasi on ühikelement (neutraalne element korrutamise suhtes), jäetakse lineaarkombinatsioonis enamasti märkimata. Liitmine ja lahutamine toimuvad komponentide kaupa. Vektorruumist võetakse üle skalaariga korrutamine, s.o vasak- ja parempoolne reaalarvuga korrutamine, mis on komponentide suhtes distributiivne. See skalaariga korrutamine on kogu hulgal H {\displaystyle \mathbb {H} } defineeritud Hamiltoni korrutamise ahend. Baaselementide omavaheline Hamiltoni korrutamine või pisut laiemalt Hamiltoni korrutamine hulgas Q 8 := { 1 , i , j , k , − 1 , − i , − j , − k } {\displaystyle \mathrm {Q} _{8}:=\{\mathrm {1} ,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} ,-\mathrm {1} ,-\mathrm {i} ,-\mathrm {j} ,-\mathrm {k} \}} toimub Hamiltoni reeglite järgi: Need reeglid koos ± 1 {\displaystyle \pm 1} vahetatavusega iga elemendiga annavad täieliku tabeli tehte jaoks, mis osutub assotsiatiivseks ja teeb hulgast Q 8 {\displaystyle \mathrm {Q} _{8}} rühma – kvaternioonide rühma. Kui eeldada reeglit ( 1 ) {\displaystyle (1)} (ja rühma aksioome), siis on reeglite ( 2 ) {\displaystyle (2)} ja ( 2 ¯ ) {\displaystyle ({\bar {2}})} kombinatsioon, milles väljendub kolme mittereaalarvulise kvaterniooniühiku tsüklilisus ja antitsüklilisus, asendatav üksikreegliga Selle üksikreegli ( 3 ) {\displaystyle (3)} saaks asendada ka ükskõik millisega viiest alternatiivsest üksikreeglist j k i = − 1 {\displaystyle \mathrm {j} \mathrm {k} \mathrm {i} =-1} , k i j = − 1 {\displaystyle \mathrm {k} \mathrm {i} \mathrm {j} =-1} , k j i = 1 {\displaystyle \mathrm {k} \mathrm {j} \mathrm {i} =1} , j i k = 1 {\displaystyle \mathrm {j} \mathrm {i} \mathrm {k} =1} ja i k j = 1 {\displaystyle \mathrm {i} \mathrm {k} \mathrm {j} =1} . Nende asendusreeglite, assotsiatiivsuse ning (vasak- ja parempoolse) distributiivsuse abil saab korrutamist jätkata kogu kvaternioonide vallale H {\displaystyle \mathbb {H} } . Arve i , j , k {\displaystyle \mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} } võib käsitleda antikommuteerivate muutujatena. Kahe niisuguse arvu korrutamisel saab kasutada Hamiltoni reegleid. Kahe kvaterniooni x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} }   und   y = y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k {\displaystyle y=y_{0}+y_{1}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +y_{3}\mathrm {k} } kahe tehte valemid on x + y = ( x 0 + y 0 ) + ( x 1 + y 1 ) i + ( x 2 + y 2 ) j + ( x 3 + y 3 ) k (liitmine) {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x+y&=(x_{0}+y_{0})+(x_{1}+y_{1})\mathrm {i} +(x_{2}+y_{2})\mathrm {j} +(x_{3}+y_{3})\mathrm {k} &\quad &{\text{(liitmine)}}\end{alignedat}}} ja x y = ( x 0 y 0 − x 1 y 1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 ) (korrutamine) + ( x 0 y 1 + x 1 y 0 + x 2 y 3 − x 3 y 2 ) i + ( x 0 y 2 − x 1 y 3 + x 2 y 0 + x 3 y 1 ) j + ( x 0 y 3 + x 1 y 2 − x 2 y 1 + x 3 y 0 ) k . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x\;y&=(x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3})&\quad &{\text{(korrutamine)}}\\&\quad +(x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{2}y_{3}}{\color {red}\;-\;x_{3}y_{2}})\mathrm {i} &&\\&\quad +(x_{0}y_{2}{\color {red}\;-\;x_{1}y_{3}}+x_{2}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{3}y_{1}})\mathrm {j} &&\\&\quad +(x_{0}y_{3}{\color {Green}\;+\;x_{1}y_{2}}{\color {red}\;-\;x_{2}y_{1}}+x_{3}y_{0})\mathrm {k} &&\end{alignedat}}.} Tuletus: x y = ( x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ) ( y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k ) = x 0 y 0 + x 1 y 1 i i + x 2 y 2 j j + x 3 y 3 k k + x 0 y 1 i + x 1 y 0 i + x 2 y 3 j k + x 3 y 2 k j + x 0 y 2 j + x 1 y 3 i k + x 2 y 0 j + x 3 y 1 k i + x 0 y 3 k + x 1 y 2 i j + x 2 y 1 j i + x 3 y 0 k = x 0 y 0 − x 1 y 1 − x 2 y 2 − x 3 y 3 + ( x 0 y 1 + x 1 y 0 + x 2 y 3 − x 3 y 2 ) i + ( x 0 y 2 − x 1 y 3 + x 2 y 0 + x 3 y 1 ) j + ( x 0 y 3 + x 1 y 2 − x 2 y 1 + x 3 y 0 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}x\;y&=(x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} )\;(y_{0}+y_{1}\mathrm {i} +y_{2}\mathrm {j} +y_{3}\mathrm {k} )\\&=x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}\mathrm {i} \mathrm {i} +x_{2}y_{2}\mathrm {j} \mathrm {j} +x_{3}y_{3}\mathrm {k} \mathrm {k} \\&\quad +x_{0}y_{1}\mathrm {i} +x_{1}y_{0}\mathrm {i} +x_{2}y_{3}{\color {green}\mathrm {j} \mathrm {k} }+x_{3}y_{2}{\color {red}\mathrm {k} \mathrm {j} }\\&\quad +x_{0}y_{2}\mathrm {j} +x_{1}y_{3}{\color {red}\mathrm {i} \mathrm {k} }+x_{2}y_{0}\mathrm {j} +x_{3}y_{1}{\color {green}\mathrm {k} \mathrm {i} }\\&\quad +x_{0}y_{3}\mathrm {k} +x_{1}y_{2}{\color {green}\mathrm {i} \mathrm {j} }+x_{2}y_{1}{\color {red}\mathrm {j} \mathrm {i} }+x_{3}y_{0}\mathrm {k} \\&=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}\\&\quad +(x_{0}y_{1}+x_{1}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{2}y_{3}}{\color {red}\;-\;x_{3}y_{2}})\mathrm {i} \\&\quad +(x_{0}y_{2}{\color {red}\;-\;x_{1}y_{3}}+x_{2}y_{0}{\color {green}\;+\;x_{3}y_{1}})\mathrm {j} \\&\quad +(x_{0}y_{3}{\color {green}\;+\;x_{1}y_{2}}{\color {red}\;-\;x_{2}y_{1}}+x_{3}y_{0})\mathrm {k} .\end{aligned}}} Sellega on ringile vajalikud kaks tehet defineeritud. Kerge on veenduda, et kõik ringi aksioomid on rahuldatud. Vastandelement on (nagu igas vektorruumis) korrutis skalaariga −1. Lahutamine on selle vastandelemendi liitmine. Kaldkorpusele vajalik jagamine tuleb kommutatiivsuse puudumise tõttu asendada pöördelemendiga korrutamisega. Kui H {\displaystyle \mathbb {H} } on mittekommutatiivne ring, siis saab korrutamise x ∘ y := y ⋅ x {\displaystyle x\circ y\;:=y\cdot x} abil moodustada teise, vasturingiks nimetatava ringi H op := ( R 4 , + , ∘ ) {\displaystyle \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }:=(\mathbb {R} ^{4},+,\circ )} . Siin järelduvad kõik ringi seadused, st assotsiatiivsus ja mõlemad distributiivsused, algsetest seadustest. Selles ringis kehtivad kõik põhitehete all toodud arvutusreeglid selle erandiga, et ainult avaldiste puhul, milles kordajad on ainult kujul x m y n {\displaystyle x_{m}y_{n}} , kus m ≠ n {\displaystyle m\neq n} ja m ≠ 0 ≠ n {\displaystyle m\neq 0\neq n} , on märk vastupidine. Peale selle kehtib lühivorm i ∘ j ∘ k = + 1 {\displaystyle \mathrm {i} \circ \mathrm {j} \circ \mathrm {k} =+1} . Carl Friedrich Gauß defineeriski kvaternioonide korrutamise aastal 1819 nii. Peale selle on kruvireegli ( i , j , k ) {\displaystyle (\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} )} orientatsioon ringis H op {\displaystyle \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }} peegelpildis. Samasusteisendus hulgal R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} on antiisomorfism ja konjugatsioon on isomorfism H := ( R 4 , + , ⋅ ) → H op := ( R 4 , + , ∘ ) {\displaystyle \mathbb {H} :=(\mathbb {R} ^{4},+,\cdot )\quad \to \quad \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }:=(\mathbb {R} ^{4},+,\circ )} . Mittekommutatiivsus on ekvivalentne ringide H {\displaystyle \mathbb {H} } ja H op {\displaystyle \mathbb {H} ^{\operatorname {op} }} erinevusega. Et mõlemad ringid rahuldavad ringi aksioome, peavad need olema Otto Hölderi mõttes ebatäielikud. Ratsionaalarvude, reaalarvude ja kompleksarvude aksiomaatika on selles mõttes täielikud. Kvaterniooni x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} } komponendi x 0 {\displaystyle x_{0}} erilise staatuse tõttu nimetatakse seda – nagu kompleksarvude puhulgi – reaalosaks või skalaarosaks Re x := x 0 {\displaystyle \operatorname {Re} \,x:=x_{0}}  , komponente x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} koos aga moodustavad imaginaarosaks ehk vektorosa Im x := x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle \operatorname {Im} \,x:=x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} } . Sageli samastatakse vektorosa ka vektoriga x → := ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R 3 {\displaystyle {\vec {x}}:=(x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}} . Kvaterniooni x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\mathrm {i} +x_{2}\mathrm {j} +x_{3}\mathrm {k} } kaaskvaternioon ehk konjugeeritud kvaternioon on defineeritud kui x ¯ := x 0 − x 1 i − x 2 j − x 3 k {\displaystyle {\bar {x}}:=x_{0}-x_{1}\mathrm {i} -x_{2}\mathrm {j} -x_{3}\mathrm {k} } . Saame seosed x = Re x + Im x {\displaystyle x=\operatorname {Re} \,x+\operatorname {Im} \,x} ja x ¯ = Re x − Im x {\displaystyle {\bar {x}}=\operatorname {Re} \,x-\operatorname {Im} \,x}  , millest tuleneb, et Re x = 1 2 ( x + x ¯ ) {\displaystyle \operatorname {Re} \,x={\frac {1}{2}}(x+{\bar {x}})} ja Im x = 1 2 ( x − x ¯ ) . {\displaystyle \operatorname {Im} \,x={\frac {1}{2}}(x-{\bar {x}}).} Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooniga võrdne, siis ta on reaalarv, st tema vektorosa on nill. Kui kvaternioon on oma kaaskvaterniooni vastandarv, siis ta on puhas kvaternioon, st tema skalaarosa on null. Konjugeerimise tähtsad omadused on veel: Kahe (ruumi R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} vektoritena käsitatava) kvaterniooni skalaarkorrutis ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → R {\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon \mathbb {H} \times \mathbb {H} \to \mathbb {R} } on defineeritud kui ⟨ x , y ⟩ := x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 {\displaystyle \langle x,y\rangle :=x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}}  . Kehtib ⟨ x , y ⟩ = Re ⁡ ( x ¯ y ) = Re ⁡ ( x y ¯ ) = 1 2 ( x y ¯ + y x ¯ ) {\displaystyle \langle x,y\rangle =\operatorname {Re} ({\bar {x}}y)=\operatorname {Re} (x{\bar {y}})={\frac {1}{2}}(x{\bar {y}}+y{\bar {x}})}  . Skalaarkorrutis on positiivselt määratud sümmeetriline bilineaarvorm, mille kaudu saab defineerida normi ja pikkuse ning määrata nurgad ja ortogonaalsuse. Skalaarkorrutise abil saab ka välja tuua kvaterniooni komponendid: x 0 = ⟨ 1 , x ⟩ , x 1 = ⟨ i , x ⟩ , x 2 = ⟨ j , x ⟩ , x 3 = ⟨ k , x ⟩ {\displaystyle x_{0}=\langle \mathrm {1} ,x\rangle ,\quad x_{1}=\langle \mathrm {i} ,x\rangle ,\quad x_{2}=\langle \mathrm {j} ,x\rangle ,\quad x_{3}=\langle \mathrm {k} ,x\rangle }  . Kahe kvaterniooni x , y {\displaystyle x,y} vektorkorrutis on nende vektorosade vektorkorrutis. See osutub pooleks nende kommutaatorist. Kui x =: ( x 0 , x → ) {\displaystyle x=:(x_{0},{\vec {x}})} ja y =: ( y 0 , y → ) {\displaystyle y=:(y_{0},{\vec {y}})} , siis x × y := x → × y → = 1 2 ( x y − y x ) = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 ) i + ( x 3 y 1 − x 1 y 3 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}x\times y&:={\vec {x}}\times {\vec {y}}\\&\;={\tfrac {1}{2}}(xy-yx)\\&\;=(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\mathrm {i} +(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})\mathrm {j} +(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\mathrm {k} \;.\end{aligned}}} Kaks kvaterniooni on sellepärast parajasti siis omavahel vahetatavad ehk kommuteeruvad, kui nende vektorosad kui reaalarvulised vektorid on lineaarselt sõltuvad. Kui samastada kvaternioonid skalaari ∈ R {\displaystyle \in \mathbb {R} } ja vektori ∈ R 3 {\displaystyle \in \mathbb {R} ^{3}} paaridega siis saab korrutise esitada (kolmemõõtmelise) (punktiga tähistatud) skalaarkorrutise ja vektorkorrutise abil: x y = ( x 0 , x → ) ( y 0 , y → ) = ( x 0 y 0 − x → ⋅ y → , x 0 y → + x → y 0 + x → × y → ) {\displaystyle xy=(x_{0},{\vec {x}})(y_{0},{\vec {y}})={\Big (}x_{0}y_{0}-{\vec {x}}\cdot {\vec {y}},\quad x_{0}{\vec {y}}+{\vec {x}}y_{0}+{\vec {x}}\times {\vec {y}}{\Big )}}  . Albrecht Beutelspacher. 'Lineare Algebra, 7. trükk, Vieweg+Teubner Verlag: Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-528-66508-1, lk 30. Boris Abramovich Rozenfel'. The history of non-euclidean geometry: Evolution of the concept of a geometric space, Springer 1988, ISBN 9780387964584, lk 385. Gaußil on märkus kvadruuplite korrutamisse ja konjugeerimise kohta: Mutation des Raumes. – Carl Friedrich Gauß. Werke. Achter Band, König. Gesell. Wissen.: Göttingen 1900, lk 357–361, mis on dateeritud 1819. aastast. Lahknevused Hamiltonist puudutavad ainult tähistusi. Vektori x → {\displaystyle {\vec {x}}} võib vajaduse korral esitada ka veeruvektorina. Brian L. Stevens, Frank L. Lewis, Eric N. Johnson. Aircraft control and simulation : dynamics, controls design, and autonomous systems, 3. trükk, John Wiley & Sons, Inc.: Hoboken, New Jersey 2016, ISBN 978-1-118-87098-3, lk 46. Reaalarvulised tegurid kommuteeruvad arvudega i , j , k {\displaystyle \mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} } ning seetõttu kõikide kvaternioonidega, st kehtib näiteks 2 i j = i 2 j = i j 2 = 2 k {\displaystyle 2\mathrm {i} \mathrm {j} =\mathrm {i} 2\mathrm {j} =\mathrm {i} \mathrm {j} 2=2\mathrm {k} } , aga 2 j i = j 2 i = j i 2 = − 2 k {\displaystyle 2\mathrm {j} \mathrm {i} =\mathrm {j} 2\mathrm {i} =\mathrm {j} \mathrm {i} 2=-2\mathrm {k} } . Kõik elementaaralgebrast tuntud arvutusreeglid kvaternioonide puhul ei kehti, näiteks kehtib ( i + j ) ( i − j ) = i i − i j + j i − j j = ( − 1 ) − k + ( − k ) − ( − 1 ) = − 2 k {\displaystyle (\mathrm {i} +\mathrm {j} )(\mathrm {i} -\mathrm {j} )=\mathrm {i} \mathrm {i} -\mathrm {i} \mathrm {j} +\mathrm {j} \mathrm {i} -\mathrm {j} \mathrm {j} =(-1)-\mathrm {k} +(-\mathrm {k} )-(-1)=-2\mathrm {k} } . Nii et binoomvalemid, nagu ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} ja ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} , ei ole siin kasutatavad. Need eeldavad, et a b = b a {\displaystyle ab=ba} . Otto Hölder. Bemerkung zur Quaternionentheorie. – Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: aus dem Jahre 1889, lk 34–38. de:s:Bemerkung zur Quaternionentheorie. Im Kompleksarvude puhul aga kehtib Im z = 1 2 i C ( z − z ¯ ) {\displaystyle \operatorname {Im} \,z={\frac {1}{2\mathrm {i} _{\mathbb {C} }}}(z-{\bar {z}})} sest imaginaarosaks loetakse imaginaarühiku math>\mathrm i_\Complex</math> kordaja, mis on reaalarv. Ja kehtib z = Re z + i C Im z . {\displaystyle z=\operatorname {Re} \,z+\mathrm {i} _{\mathbb {C} }\;\operatorname {Im} \,z.} Carl Friedrich Gauß. Mutation des Raumes. – Carl Friedrich Gauß. Werke. Achter Band, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften, Göttingen 1900, lk 357–361. Dateeritud 1819. aastasse. John Rowan Hamilton. On Quaternions; or on a new System of Imaginaries in Algebra, kiri, John T. Gravesile, 17. oktoober 1843. Otto Hölder. Bemerkung zur Quaternionentheorie. – Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen: aus dem Jahre 1889, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung: Göttingen 1889, lk 34–38. de:s:Bemerkung zur Quaternionentheorie. Max Koecher, Reinhold Remmert. Hamiltonsche Quaternionen. – H.-D. Ebbinghaus jt. Zahlen, Springer-Verlag, Berlin 1983, ISBN 3-540-12666-X. Jack B. Kuipers. Quaternions and Rotation Sequences, Princeton University Press 2002, ISBN 0-691-10298-8. Andrew J. Hanson. Visualizing Quaternions, Morgan Kaufmann Publishers 2006, ISBN 0-12-088400-3. John H. Conway, Derek A. Smith. On Quaternions and Octonions, A K Peters 2003, ISBN 1-56881-134-9.