Tasand

Tasand ehk tasapind on kahemõõtmeline eukleidiline ruum. See on punkti ja sirge kahemõõtmeline analoog. Tasand võib olla mõne kõrgemamõõtmelise ruumi alamruum või ka iseseisev matemaatiline objekt. Antud artikkel keskendub tasandile kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis. Kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis ℝ3 on tasandi võrrand viidav alati kujule a x + b y + c z + d = 0 . {\displaystyle ax+by+cz+d=0\,.} kus x, y, z on tasandi punkti koordinaadid ja a, b, c, d reaalarvulised kordajad. Tasand on samuti üheselt määratud iga järgneva kombinatsiooniga: kolme mittekollineaarse tasandil asuva punktiga; tasandil asuva sirge ja väljaspool seda sirget asuva punktiga, mis asub tasandil; kahe tasandil asuva sirgega; Tasandi võrrand on normaalvektori n → = ( a ; b ; c ) {\displaystyle \,{\vec {n}}=(a;b;c)} abil esitatav kujul n → ⋅ ( r → − r → 0 ) = 0 , {\displaystyle {\vec {n}}\cdot ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})=0\,,} kus r → = ( x ; y ; z ) {\displaystyle \,{\vec {r}}=(x;y;z)} on tasandil asetseva punkti kohavektor. See võrrand kehtib iga tasandi punkti jaoks. Seega, kui teame, et r → 0 = ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) {\displaystyle \,{\vec {r}}_{0}=(x_{0};y_{0};z_{0})} on mingi punkt tasandil, siis peab kehtima n → ⋅ r → 0 = − d , {\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {r}}_{0}=-d,\,} . Et vektorite skalaarkorrutis on null parajasti siis, kui vektorid on risti, siis ütleb viimane võrrand, et tasand on selline pind, mis läbib punkti r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} ja mille suvalist kaht punkti ühendav vektor on risti vektoriga n → {\displaystyle {\vec {n}}} . Olgu r → 1 = ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(x_{1};y_{1};z_{1})} , r → 2 = ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{2}=(x_{2};y_{2};z_{2})} ja r → 3 = ( x 3 ; y 3 ; z 3 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{3}=(x_{3};y_{3};z_{3})} mittekollineaarsete punktide kohavektorid. Tasandi võrrand on antud järgneva determinandiga: | x − x 1 y − y 1 z − z 1 x 2 − x 1 y 2 − y 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 | = 0 {\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|=0} mis Laplace'i arendust kasutades annab võrrandi kujul ( x − x 1 ) | y 2 − y 1 z 2 − z 1 y 3 − y 1 z 3 − z 1 | − ( y − y 1 ) | x 2 − x 1 z 2 − z 1 x 3 − x 1 z 3 − z 1 | + ( z − z 1 ) | x 2 − x 1 y 2 − y 1 x 3 − x 1 y 3 − y 1 | = 0 {\displaystyle \left(x-x_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|-\left(y-y_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{array}}\right|+\left(z-z_{1}\right)\left|{\begin{array}{cc}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{array}}\right|=0} Esimese 3x3 derminandi saab samaväärselt esitada segakorrutisena. See annab võrrandi ( r → − r → 1 ) × ( r → 1 − r → 2 ) ⋅ ( r → 2 − r → 3 ) = 0. {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1})\times ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2})\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{3})=0.} Et kolm punkti asuvad tasandil, siis peavad nad rahuldama tasandi võrrandit: { a x 1 + b y 1 + c z 1 + d = 0 a x 2 + b y 2 + c z 2 + d = 0 a x 3 + b y 3 + c z 3 + d = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{array}{c}ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0\\ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0\\ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0\end{array}}\right.} Defineerides {\displaystyle } saab kordajad a, b, c leida Crameri valemite abil: a = − d D | 1 y 1 z 1 1 y 2 z 2 1 y 3 z 3 | , b = − d D | x 1 1 z 1 x 2 1 z 2 x 3 1 z 3 | , c = − d D | x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 | , kus  D = | x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 | . {\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}},\quad b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}},\quad c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}},\quad {\mbox{kus }}\,D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.} d on siin vabalt valitav suurus. Võrrandite lõplikuks lahendamiseks võib parameetrile d anda suvalise (nullist erineva) väärtuse. Kui tasand ei läbi koordinaatide alguspunkti, siis D ≠ 0 kohavektorite mittekollineaarsuse tõttu. See meetod ei tööta, kui tasand läbib koordinaatide alguspunkti, sest siis pole võimalik valida punkte, mille kohavektorid oleksid mittekomplanaarsed, mistõttu D = 0. Tasandi normaalvektori saab esitada kahe tasandil asetseva mitteparalleelse vektori vektorkorrutisena: n → = ( r → 2 − r → 1 ) × ( r → 3 − r → 1 ) , {\displaystyle {\vec {n}}=({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})\times ({\vec {r}}_{3}-{\vec {r}}_{1})\,,} Tasandi üheseks määramiseks on tarvis veel punkti tasandil, milleks võib valid ühe punktidest r → 1 {\displaystyle {\vec {r}}_{1}} , r → 2 {\displaystyle {\vec {r}}_{2}} või r → 3 {\displaystyle {\vec {r}}_{3}} . Olgu antud suvaline punkt kohavektoriga r → 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) {\displaystyle {\vec {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})} ja tasand Π võrrandiga a x + b y + c z + d = 0 {\displaystyle \,ax+by+cz+d=0} , siis punkti r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} kaugus tasandist on ϱ ( r → 1 , A ) = | d + a x 1 + b y 1 + c z 1 | a 2 + b 2 + c 2 . {\displaystyle \varrho ({\vec {r}}_{1},A)={\frac {\left|d+a{\text{x}}_{1}+{\text{b}}y_{1}+{\text{c}}z_{1}\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}\,.} Normaalvektori abil ja mõne tasandil asuva punkti r → 0 {\displaystyle {\vec {r}}_{0}} abil saab kauguse esitada kujul ϱ ( r → 1 , A ) = | n ^ ⋅ ( r → 1 − r → 0 ) | , {\displaystyle \varrho ({\vec {r}}_{1},A)=\left|{\hat {n}}\cdot ({\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{0})\right|\,,} kus n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} on tasandi ühiknormaalvektor. Olgu antud kaks tasandit Π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 {\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0\,} ja Π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 {\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0\,} . Tasandite vaheline kahetahuline nurk α {\displaystyle \alpha } on nurk nende tasandite normaalvektorite vahel: cos ⁡ α = n ^ 1 ⋅ n ^ 2 = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 a 1 2 + b 1 2 + c 1 2 a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 . {\displaystyle \cos \alpha ={\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}}}.} kus n ^ 1 {\displaystyle {\hat {n}}_{1}} ja n ^ 2 {\displaystyle {\hat {n}}_{2}} on vastavate tasandite ühiknormaalvektorid. Olgu pind esitatud ilmutamata kujul võrrandiga F ( x , y , z ) = 0 {\displaystyle F(x,y,z)=0} , siis pinna puutujatasandi võrrand (pinnal asetsevas) punktis r → 0 = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {r}}_{0}=(a,b,c)} on ∂ F ( a , b , c ) ∂ x ( x − a ) + ∂ F ( a , b , c ) ∂ y ( y − b ) + ∂ F ( a , b , c ) ∂ z ( z − c ) = 0 , {\displaystyle \,{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial x}}(x-a)+{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial y}}(y-b)+{\frac {\partial F(a,b,c)}{\partial z}}(z-c)=0\,,} ehk gradiendi abil esitatuna ( r → − r → 0 ) ⋅ ∇ → F ( r → 0 ) = 0 . {\displaystyle ({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})\cdot {\vec {\nabla }}F({\vec {r}}_{0})=0\,.}  Pikemalt artiklis Hüpertasand n-mõõtmelise ruumi (n-1)-mõõtmelist tasast alamruumi nimetatakse hüpertasandiks. Hüpertasandi võrrand on a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n + d = 0 {\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}+d=0} , või lihtsalt ( ∑ i = 1 n a i x i ) + d = 0 {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}\right)+d=0} . Pind Komplekstasand Minimaalpind Pooltasand Ebatasand Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.