Graafide süsteem

Graafide süsteem on graafide hulk, mille elementide vahel on fikseeritud seosed. Graafe on süstematiseeritud erinevatest aspektidest. Tavaliselt on selleks mingi kindel struktuurne omadus, nagu planaarsus, regulaarsus, transitiivsus jne. Palju tööd on tehtud graafide loendamise alal nende tippude ja servade arvu järgi . Paraku ei ole need siiski veel süsteemid, sest neis ei ole fikseeritud vahetud seosed elementide (st graafide) vahel. Need seosed on leitud hilisemate uuringute käigus . Olgu |V|-tipuliste graafide süsteemi mitteisomorfsete graafide arv p, sh sidusate arv p* ja märgistatute arv p**. Süsteemi graafid jagunevad servade arvu järgi m nivooks. Seoste arv graafide süsteemis q ja orbiitide arv q*. Graafide süsteeme tippude arvu |V| järgi: Kolmetipulised: p = 4, p* = 2, p** = 8, m = 4, q = 3, q* = 6. Neljatipulised: p = 11, p* = 6, p** = 64, m = 7, q = 14, q* = 28. Viietipulised: p = 34, p* = 21, p** =1024, m = 11, q = 72, q* = 144. Kuuetipulised: p = 156, p* = 112, p** = 32768, m = 16, q = 572, q* = 1144. Seitsmetipulised: p = 1044, p* = 853, p** = 2097152, m = 22, q =? Nivoode arv m vastab täisgraafi servade arvule pluss üks, mis tähendab tühigraafi (st 0 servaga graafi) olemasolu. Graafide arv p, kui: |V| = 8 – 12 344, kui |V| = 9 – 276 668, kui |V| = 10 – 12 005 168, kui |V| = 11 – 1 018 997 864 jne. Need aga ei moodusta süsteeme, sest seosed ei ole veel tuvastatud. Graafide süsteemi moodustamine toimub graafide identifitseerimise baasil. Igal graafil G {\displaystyle G} on oma suurimad alamgraafid G s u b {\displaystyle G^{sub}} , mis saadakse serva e i , j {\displaystyle e_{i,j}} eemaldamisel G s u b = G ∖ e i , j {\displaystyle G^{sub}=G\setminus e_{i,j}} ja oma väikseimad ülemgraafid G s u p = G ∪ e i , j {\displaystyle G^{sup}=G\cup e_{i,j}} , mis saadakse serva lisamisel. Graafi alamgraafide arv võrdub servade arvuga ja ülemgraafide arv "mitteservade" arvuga. Saadud graafe nimetagem koos naabergraafideks G a d j {\displaystyle G^{adj}} . Nii on |V|-tipuliste graafide süsteemis iga nivoo seotud oma alumise ja ülemise naabernivooga. Graafi tippude hulk jaguneb orbiitideks (st teatud tüüpi ekvivalentsusklassideks, transitiivsuspiirkondadeks). Nende raames jaguneb tipupaaride hulk omaette orbiitideks . Iga tipupaari orbiidi raames saadud naabergraafid on isomorfsed ja moodustavad isomorfismiklassi. Graafide süsteemi iga nivoo koosneb aga mitteisomorfsetest graafidest, st erinevaid isomorfismiklasse esindavatest graafidest, ehk struktuuridest. Seega graafi igale tipupaari orbiidile (binaarorbiidile) vastab üks naaberstruktuur. Need vastavused kujutavad endast seoseid F {\displaystyle F} ehk morfisme F = G → G a d j {\displaystyle F=G\rightarrow G^{adj}} naabernivoodel asuvate struktuuride (st isomorfismiklasse esindavate graafide) vahel. Seoste (morfismide) F {\displaystyle F} fikseerimine graafide vahel muudab |V|-tipuliste graafide kogumi graafide süsteemiks G = ( G , F ) {\displaystyle {\mathfrak {G}}=(G,F)} . Graafide süsteem G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} on kujutatav hariliku graafina (täpsemini, võrena). Kui nivoode arv m süsteemis on paarisarv (näiteks |V|=6 ja |V|=7 puhul), siis on võre bilateraaalselt sümmeetriline seda poolitava telje suhtes, mis lahutab graafid G {\displaystyle G} nende täienditest G ¯ {\displaystyle {\overline {G}}} . Kui nivoode arv m süsteemis on paaritu arv (näiteks |V|=4, |V|=5, |V|=8 ja |V|=9 puhul), siis on poolitavaks teljeks nivoo millel asuvad nii graafid G {\displaystyle G} ja täiendid G ¯ {\displaystyle {\overline {G}}} kui ka isetäienduvad struktuurid. Morfism F {\displaystyle F} on pööratav, graafi igal naaberstruktuuril G a d j {\displaystyle G^{adj}} on "pöördorbiit", millele rakendatud "pöördmorfism" F o p {\displaystyle F^{op}} taastab lähtegraafi F o p = G a d j → G {\displaystyle F^{op}=G^{adj}\rightarrow G} . Süsteem G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} on otseselt seotud rekonstruktsiooniprobleemiga. Juhuslikkus süsteemis G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} avaldub naaberstruktuuride valiku, st elementaarsete struktuurimuutuste näol. Tõenäosus on seotud graafi struktuuri sisemise mitmekesisuse, st orbiitidega. Suhe P F n = ( m n c a r d ) {\displaystyle PF_{n}=\left({\frac {m_{n}}{card}}\right)} , kus n on binaarorbiidi indeks, m n {\displaystyle m_{n}} selle võimsus ja card vastavate tipupaaride arv struktuuris, määrab morfismi tõenäosuse struktuurilt G {\displaystyle G} selle naaberstruktuurile F n = G → G n a d j {\displaystyle F_{n}=G\rightarrow G_{n}^{adj}} . Morfismi tõenäosuse kõrval on süsteemis määratletav ka ülemineku tõenäosus P i , j {\displaystyle P_{i,j}} lähtestruktuurilt G i {\displaystyle G_{i}} mitte-naaberstruktuurile G j {\displaystyle G_{j}} . Süsteemi üleminekutõenäosused P i , j {\displaystyle P_{i,j}} moodustavad statsionaarse markovi ahela. Struktuuri olekutõenäosus P S {\displaystyle PS} süsteemis G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} iseloomustab selle olekut teiste struktuuride seas struktuurinivool. See avaldub kujul: P S = ∑ n = 1 N P S n s u p × P F n s u b {\displaystyle PS=\sum _{n=1}^{N}PS_{n}^{sup}\times PF_{n}^{sub}} , kus n on antud struktuuri (graafi) binaarorbiidi indeks, P S n s u p {\displaystyle PS_{n}^{sup}} on naaber ülemstruktuuri olekutõenäosus ja P F n s u b {\displaystyle PF_{n}^{sub}} selle morfismi tõenäosus. Struktuurinivool olevate struktuuride olekutõenäosuste summa võrdub ühega, P S m = ∑ P S i = 1 {\displaystyle PS_{m}=\sum PS_{i}=1} . Struktuuri ja selle täiendi olekutõenäosused on võrdsed, P S ( G ) = P S ( G ¯ ) {\displaystyle PS(G)=PS({\overline {G}})} . Olekutõenäosused P S {\displaystyle PS} on ratsionaalarvud, kus selle väikseimad ühisnimetajad on otseselt seotud süsteemi astakuga |V|. P S {\displaystyle PS} jaotus struktuurinivool on parempoolse asümmeetriaga ja läheneb logaritmilisele normaaljaotusele Morfismidel on süsteemis G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} oluline roll. Nii mõnigi algebraline struktuur iseloomustab selle süsteemi mõnda fragmenti või aspekti. Lihtsalt tõestatavad on järgmised propositsioonid. Süsteemi morfismide klass F moodustab kompositsiooni F&F mõttes aditiivse rühma A {\displaystyle A} . Süsteemi struktuuride klass GS koos morfismide klassiga F moodustab kategooria C {\displaystyle C} . Esineb reaalseid süsteeme mille toimimist on võimalik kujutada selle struktuuri järkjärgulise muutumise näol ajas. Kui süsteemi G {\displaystyle {\mathfrak {G}}} struktuure käsitleda reaalse süsteemi seisunditena S t {\displaystyle S_{t}} ajahetkel t {\displaystyle t} , siis kujutab suktsessioon S F = S t = 1 → S t = 2 → S t = 3 → {\displaystyle SF=S_{t=1}\rightarrow S_{t=2}\rightarrow S_{t=3}\rightarrow } , endast morfismide F {\displaystyle F} , kui sisendmõjutuste, poolt genereeritud dünaamilist või evolutsioonilist nähtust. Sellisel viisil on ülesehitatud elegantne kuid abstraktne ontogeneesimudel. Niisugust lähenemist on rakendatud loodusliku koosluse evolutsiooni ehk tsönogeneesi uurimisel, kus selle seisundid olid esitatud graafidena . Selliseid graafide süsteeme on praegu võimalik moodustada vaid algoritmilisel teel, täpsemini, semiootilise modelleerimise teel . Ei ole usutav, et keegi oleks üritanud seda teha kombinatoorika või algebra baasil, sest seal puudub vastav atribuutika. Ametlikult tuntakse vaid |V|-tipuliste graafide kogumeid, mitte süsteeme. Esimese, kuni kuuetipuliste graafide kogumi esitas Frank Harary 1969. aastal. 2004. aastal välja antud mahukas "Graafiatlases" on jõutud kuni seotsmetipuliste graafide diagrammide ja parameetrite kogumi esitamiseni. Küll aga on see teos tähelepanuväärne oma mahu (üle 10 000 graafi), graafide klassifitseerimise ja parameetrite aspektist . Graafide identifitseerimine Semiotic modelling of the graph systems (PDF) Harary, F., Palmer, E. M., 1973. Graph Enumeration. Academic Press. Tevet, J. T., 1990. Interpretation on some Graph Theoretical Problems. Estonian Academy of Sciences. Tevet, J. T. 2013. Nature of the Structure. S.E.R.R. ISBN 9789949334650 Harary, F., 1972. Graph Theory. Addison-Wesley, N.Y. ISBN 0201027879 Martin, J., Tevet, J. T. 1988. On the interrelations between structure, dynamics and evolution of ephilitic lichen synusiae. – Proc. Estonian Acad. Sci., 37 (1988) N 1, 56–66 Tevet, J. T. Semiotic Modelling of the Structure. ISBN 9781503367456. Proceedings of the Institute of Mathematics, Amazon Books, 2014. Tevet, J.-T. 2017. What is a graph and how to study it. ISBN 9879949817559. S.E.R.R. Read, R. C., Wilson, R. J. 2004. An Atlas of Graphs. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0198526504 Identification and systemization of the graphs (pdf)