Kirchhoffi seadused

Kirchhoffi seadused on kaks hargnevate elektriahelate kohta kehtivat reeglit, mis põhinevad vastavalt elektrilaengu ja energia jäävuse seadusel. Need võimaldavad arvutada elektrivoolu voolutugevuste ning pingete jaotust ahela harudes, kui ahela elementide elektrilised suurused on teada. Seadused on nimetatud Gustav Kirchhoffi järgi, kes avaldas need aastal 1845. Ta töötas need seadused välja 21-aastaselt, kui ta oli Königsbergi ülikooli tudeng. 1847 kaitses ta nende põhjal oma doktoritöö. Kirchhoff üldistas oma võrranditega Ohmi seadusi, mis sõnastati aastal 1827. Elektriahela hargnemispunkti ehk sõlme suunduvate harude voolutugevuste algebraline summa võrdub hargnemispunktist väljuvate harude voolutugevuste algebralise summaga. Esimese Kirchhoffi seaduse teistsuguse sõnastuse järgi võrdub suvalisse hargnemispunkti ehk sõlme koonduvate ahela harude voolutugevuste algebraline summa nulliga Σ I = 0 {\displaystyle \Sigma I=0} ), kus hargnemispunkti suunduvaid voolusid loetakse positiivseteks ja sealt väljuvaid negatiivseteks. Kirchhoffi esimene seadus on tõlgendatav ka laengu jäävuse seadusena, sest kogu laeng, mis elektriahelasse siseneb, peab sealt ka väljuma. Kirchoffi teist seadust tuntakse üldlevinult ka Kirchoffi pingeseadusena: kinnise elektriahela elektromotoorjõudude algebraline summa võrdub selle ahela kõigi harude pingelangude algebralise summaga. Teisiti sõnastades: elektriahela igas kinnises kontuuris võrdub kõikidel takistitel tekkivate pingelangude algebraline summa nulliga ehk Σ U = 0 {\displaystyle \Sigma U=0} . Viimane seos on mõistetav ka energia jäävuse seadusena, sest kinnist kontuuri järgides jõutakse alati tagasi punkti, kust alustati. Selles punktis on sama pinge, mis ennegi. Vastasel juhul poleks pingelangude summa võrdne nulliga ning kontuuri kas lisataks või eemaldataks elektromotoorjõudu, mis aga tähendaks, et kontuur poleks enam suletud - energia kontuuris poleks jääv. Kui ahel koosneb p {\displaystyle p} sõlmest, siis on see kirjeldatav p − 1 {\displaystyle p-1} vooluvõrrandiga. Kui ahelal on m {\displaystyle m} haru, millest m i {\displaystyle m_{i}} haru sisaldavad vooluallikaid, siis on selle kirjeldamiseks vaja m − m i − ( p − 1 ) {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)} pingevõrrandit. Kirchhoffi võrrandid, mis on kirjutatud ahela p − 1 {\displaystyle p-1} sõlme või m − ( p − 1 ) {\displaystyle m-(p-1)} kontuuri kohta, moodustavad täieliku võrrandisüsteemi, mis võimaldab leida kõik voolud ja pinged. Enne võrrandite kirjutamisele asumist tuleb valida voolude positiivsed suunad harudes ja tähistada need skeemil (kui mõni suund valitakse esialgu valesti, saadakse võrrandisüsteemi lahendamisel ikkagi õiged suunad). Kui kontuuris valitud voolu suunas voolu suund harus ühtib liikumise suunaga, loetakse pingelang selles harus positiivseks, vastasel juhul negatiivseks. Pingevõrrandite koostamisel tuleb iga uus kontuur valida nii, et selles oleks vähemalt üks haru, mis ei kuulu eelmistesse kontuuridesse. Skeemil on sõlmede arv: p = 3 {\displaystyle p=3} , järelikult on vajalik vooluvõrrandite arv p − 1 = 2 {\displaystyle p-1=2} . Harude arv (kinnistes kontuurides): m = 4 {\displaystyle m=4} . Vooluallikatega kontuuride arv: m i = 0 {\displaystyle m_{i}=0} . Seega vajalik pingevõrrandite arv m − m i − ( p − 1 ) = 2 {\displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2} . Kontuuride arv: m − ( p − 1 ) = 4 − ( 3 − 1 ) = 2 {\displaystyle m-(p-1)=4-(3-1)=2} . Seega Kircchhoffi esimese seaduse alusel saab koostada vooluvõrrandid: { I 1 − I 2 − I 6 = 0 I 2 − I 4 − I 3 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0\end{cases}}} kusjuures sõlme sisenev vool loetakse positiivseks ja väljuvad voolud negatiivseks. Kirchhoffi teise seaduse alusel saab koostada pingevõrrandid: { U 2 + U 4 − U 6 = 0 U 3 + U 5 − U 4 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}U_{2}+U_{4}-U_{6}=0\\U_{3}+U_{5}-U_{4}=0\end{cases}}} Saadud võrrandisüsteemid kirjeldavad täielikult vaadeldavat elektriahelat ning nende lahendamine annab kõik voolud sõlmedes ja pinged harudel. Olgu ülesandeks leida joonisel toodud ahela voolutugevused i 1 {\displaystyle i_{1}} , i 2 {\displaystyle i_{2}} ning i 3 {\displaystyle i_{3}} . Olgu R 1 = 2 Ω {\displaystyle R_{1}=2\,\Omega } , R 2 = 5 Ω {\displaystyle R_{2}=5\,\Omega } , R 3 = 20 Ω {\displaystyle R_{3}=20\,\Omega } ning pingeallika Vs pinge U s = 12 V {\displaystyle U_{s}=12\,{\text{V}}} . Kasutame ülesande lahendamiseks Kirchhoffi esimest seadust. Vool läbib ahelat kahte kontuuri pidi – läbi takistite R 1 {\displaystyle R_{1}} ja R 2 {\displaystyle R_{2}} ning läbi takistite R 1 {\displaystyle R_{1}} ja R 3 {\displaystyle R_{3}} . Sõlme A siseneb vool ühest rajast ning väljub kahest rajast, seega vastavalt esimesele seadusele saame kirjutada voolude algebralise summa järgmiselt: i 1 + ( − i 2 ) + ( − i 3 ) = 0 ⇒ i 1 = i 2 + i 3 {\displaystyle i_{1}+(-i_{2})+(-i_{3})=0\Rightarrow i_{1}=i_{2}+i_{3}} . Kirchhoffi teise seaduse kohaselt on kontuuri läbivate pingelangude summa võrdne nulliga. Et antud skeemis on pingeallikast lähtuvalt kaks kontuuri, saame kirjutada: U s + ( − U R 1 ) + ( − U R 2 ) = 0 {\displaystyle U_{s}+(-U_{R1})+(-U_{R2})=0} ning U s + ( − U R 1 ) + ( − U R 3 ) = 0 {\displaystyle U_{s}+(-U_{R1})+(-U_{R3})=0} . Koostame võrrandisüsteemi { U s = i 1 R 1 + i 2 R 2 U s = i 1 R 1 + i 3 R 3 i 3 = i 1 + i 2 {\displaystyle {\begin{cases}U_{s}=i_{1}R_{1}+i_{2}R_{2}\\U_{s}=i_{1}R_{1}+i_{3}R_{3}\\i_{3}=i_{1}+i_{2}\end{cases}}} ehk { 12 V = i 1 2 Ω + i 2 5 Ω 12 V = i 1 2 Ω + i 3 20 Ω i 3 = i 1 + i 2 {\displaystyle {\begin{cases}12\,{\text{V}}=i_{1}2\,\Omega +i_{2}5\,\Omega \\12\,{\text{V}}=i_{1}2\,\Omega +i_{3}20\,\Omega \\i_{3}=i_{1}+i_{2}\end{cases}}} . Seda võrrandisüsteemi lahendades saame { i 1 = 2 A i 2 = 8 5 A i 3 = 2 5 A {\displaystyle {\begin{cases}i_{1}=2\,{\text{A}}\\i_{2}={8 \over 5}\,{\text{A}}\\i_{3}={2 \over 5}\,{\text{A}}\end{cases}}} . Kontrollime vastavust Kirchhoffi esimesele seadusele: i 1 = i 2 + i 3 = 8 5 A + 2 5 A = 2 A = i 1 {\displaystyle i_{1}=i_{2}+i_{3}={8 \over 5}\,{\text{A}}+{2 \over 5}\,{\text{A}}=2\,{\text{A}}=i_{1}} . Olgu ülesandeks leida pingelangud joonisel toodud skeemi takistitel R 1 {\displaystyle R_{1}} ning R 2 {\displaystyle R_{2}} . Olgu R 1 = 10 Ω {\displaystyle R_{1}=10\,\Omega } , R 2 = 30 Ω {\displaystyle R_{2}=30\,\Omega } ning pingeallika Vs pinge U s = 12 V {\displaystyle U_{s}=12\,{\text{V}}} . Pingeallikaga on jadamisi ühendatud kaks takistit. Need elemendid kokku moodustavad Kirchhoffi teises seaduses käsitletava kontuuri. Seaduse rakendamiseks tuleb esmalt kokku leppida voolu suund kontuuris. Klassikalise käsitluse järgi liiguvad laengud pingeallika positiivselt klemmilt negatiivsele klemmile. Seega kulgeb kokkuleppeliselt vool joonisel päripäeva. On oluline märkida, et Kirchhoffi teine seadus annaks sama arvutustulemuse ka teistpidi ehk vastupäeva kulgeva voolu puhul. Oluline on kord kokku lepitud suunast arvutuste käigus kinni pidada. Edasi lepitakse kokku, et takistil tekib voolu liikumise suunas pingelang, ehk takisti ühel pool (pingeallika positiivsele klemmile lähemal) on pinge kõrgem kui teisel. Sama kokkulepe kehtib kõikidele kontuuris olevatele takistitele. Jällegi, seadus töötab ka vastupidise kokkuleppe korral. Nüüd on ülesande lahendamiseks kõik suurused teada ja kokkulepped joonisele 2 kantud. Lähtudes definitsioonist Σ U = 0 {\displaystyle \Sigma U=0} saame kirjutada U s + ( − U R 1 ) + ( − U R 2 ) = 0 {\displaystyle U_{s}+(-U_{R1})+(-U_{R2})=0} . Kirjutame eelmise seose lähtudes Oomi seadusest järgmiselt U s + ( − I R 1 ) + ( − I R 2 ) = 0 ⇒ I = U s R 1 + R 2 {\displaystyle U_{s}+(-IR_{1})+(-IR_{2})=0\Rightarrow I={U_{s} \over R_{1}+R_{2}}} . Selle võrrandi lahendamiseks on kõik suurused teada, seega I = 12 V 10 Ω + 30 Ω = 12 V 40 Ω = 0 , 3 A {\displaystyle I={12\,{\text{V}} \over 10\,\Omega +30\,\Omega }={12\,{\text{V}} \over 40\,\Omega }=0,3\,{\text{A}}} . Teades kontuuri läbivat voolu, saame arvutada pingelangud: U R 1 = U s − U R 2 = U s − I R 2 = 12 V − 0 , 3 A ⋅ 30 Ω = 3 V {\displaystyle U_{R1}=U_{s}-U_{R2}=U_{s}-IR_{2}=12\,{\text{V}}-0,3\,{\text{A}}\cdot 30\,\Omega =3\,{\text{V}}} ning U R 2 = U s − U R 1 = 12 V − 3 V = 9 V {\displaystyle U_{R2}=U_{s}-U_{R1}=12\,{\text{V}}-3\,{\text{V}}=9\,{\text{V}}} . Kontrollime vastavust Kirchhoffi teisele seadusele: U s − U R 1 − U R 2 = 12 V − 3 V − 9 V = 0 {\displaystyle U_{s}-U_{R1}-U_{R2}=12\,{\text{V}}-3\,{\text{V}}-9\,{\text{V}}=0} . Tehnikaleksikon, lk. 206