Kategooria (matemaatika)

Kategooria mõiste on matemaatikas üldistus samalaadsete matemaatiliste objektide vaheliste "morfismide" (hulkade kujutuste, topoloogiliste ruumide pidevate kujutuste, lineaarruumide lineaarkujutuste, rühmade homomorfismide jne) kompositsioonide algebralistest omadustest tingimustel, et on olemas samasusteisendused ning morfismide kogumid on kompositsiooni suhtes kinnised. Kategooria mõiste pärineb Samuel Eilenbergilt ja Saunders Mac Lane'ilt (1945). Formaalselt koosneb iga kategooria K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} kahest klassist: klassist O b K {\displaystyle Ob{\mathfrak {K}}} , mille elemente nimetame kategooria K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} objektideks klassist M o r K {\displaystyle Mor{\mathfrak {K}}} , mille elemente nimetame kategooria K {\displaystyle {\mathfrak {K}}} morfismideks, kusjuures morfismidel peavad olema järgmised omadused: igale kahe objekti A, B järjestatud paarile ⟨ A , B ⟩ {\displaystyle \langle A,B\rangle \;} on seatud vastavusse A-st B-sse viivate morfismide ehk noolte klass M o r ( A , B ) {\displaystyle Mor(A,B)\;} (seda tähistatakse mõnikord ka H K ( A , B ) {\displaystyle H_{\mathfrak {K}}(A,B)} , H o m ( A , B ) {\displaystyle Hom(A,B)\;} või H ( A , B ) {\displaystyle H(A,B)\;} ). Kui f ∈ M o r ( A , B ) {\displaystyle f\in Mor(A,B)} , siis objekti A nimetame morfismi f alguseks või määramispiirkonnaks ning objekti B tema lõpuks; mõnikord kirjutame f ∈ M o r ( A , B ) {\displaystyle f\in Mor(A,B)} asemel f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} , iga morfism f kuulub ainult ühte klassi M o r ( A , B ) {\displaystyle Mor(A,B)\;} , klassis M o r K {\displaystyle Mor{\mathfrak {K}}} on defineeritud osaline korrutamisreegel: morfismide f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} , g : C → D {\displaystyle g:C\rightarrow D} korrutis on defineeritud siis ja ainult siis, kui B = C, ning sel juhul kuulub ta klassi M o r ( A , D ) {\displaystyle Mor(A,D)\;} . Nimetame seda morfismide f ja g kompositsiooniks ning tähistame g ∘ f {\displaystyle g\circ f} või gf. morfismide kompositsioon on assotsiatiivne: kui f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} , g : B → C {\displaystyle g:B\rightarrow C} ja h : C → D {\displaystyle h:C\rightarrow D} , siis h ∘ ( g ∘ f ) = ( h ∘ g ) ∘ f {\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f} , igase klassi M o r ( A , A ) {\displaystyle Mor(A,A)\;} kuulub niisugune morfism idA, et mis tahes morfismide f : X → A {\displaystyle f:X\rightarrow A} ja g : A → Y {\displaystyle g:A\rightarrow Y} korral f = i d A ∘ f {\displaystyle f=id_{A}\circ f} ja g = g ∘ i d A {\displaystyle g=g\circ id_{A}} . Morfisme idA nimetame samasusmorfismideks ehk identsusmorfismideks ehk ühikmorfismideks. Nendest aksioomidest järeldub, et iga objekti korral on olemas samasusmorfism. Kui f ∈ Mor ⁡ ( A , B ) {\displaystyle f\in \operatorname {Mor} (A,B)} , siis kirjutame A = dom ⁡ ( f ) {\displaystyle A=\operatorname {dom} (f)} ja B = cod ⁡ ( f ) {\displaystyle B=\operatorname {cod} (f)} . Kui vaadeldud objektide klassid ja morfismide klassid on hulgad, siis nimetame kategooriat väikeseks. On palju tähtsaid kategooriaid, mis ei ole väikesed. Kui iga kahe objekti A , B {\displaystyle A,B} korral on klass Mor ⁡ ( A , B ) {\displaystyle \operatorname {Mor} (A,B)} hulk, siis nimetame kategooriat lokaalselt väikeseks. kategooriateooria Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane. Relations between homology and homotopy groups of spaces. – Annals of Mathematics 46 (1945), 480–509. Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats, John Wiley and Sons, Inc 1990. Täiendatud ja parandatud veebiväljaanne 2004