Kaugus

Kauguse mõiste on kasutusel tavakeeles ning peamiselt loodusteadustes (füüsikas ja geograafias) ja matemaatikas. Kauguse all mõistetakse tavakeeles ja loodusteadustes peamiselt objektide ruumilise eraldatuse määra ehk vahemaad, mõnikord ka muud laadi eraldatuse määra. Loodusteadustes on kaugus mittenegatiivne skalaarne suurus, mida mõõdetakse pikkusühikutes. Matemaatika võimaldab (füüsikalise) kauguse mõistet üldistada abstraktsetele objektidele. Sellisteks objektideks võivad olla näiteks punktid tasandil. Punktidevahelise kauguse mõistet saab kasutada näiteks ka punktihulkadevahelise kauguse defineerimiseks. Samuti räägitakse näiteks maatriksitevahelisest kaugusest. Kõige üldisemal kujul on kaugus matemaatikas mittenegatiivne reaalarv, mis leitakse teatud komplekti tingimusi (meetrika aksioome) täitva kujutuse (meetrika) abil.  Pikemalt artiklis Meetriline ruum Matemaatikas saab rääkida kaugusest abstraktsete objektide vahel. Kaugus oma kõige üldisemal kujul on defineeritud meetrilistes ruumides. Meetriline ruum on hulk X, millel on defineeritud kujutus ρ : X × X → R , {\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} ,} mis seab hulga X igale elementide paarile vastavusse reaalarvu ρ ( x , y ) {\displaystyle \rho (x,y)} nii, et oleksid täidetud järgmised meetrika aksioomideks nimetatavad tingimused: ρ ( x , y ) = 0 ⇔ x = y {\displaystyle \rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y} (samasuse aksioom ehk identsuse aksioom) ρ ( x , y ) = ρ ( y , x ) {\displaystyle \rho (x,y)=\rho (y,x)\,} (sümmeetria aksioom) ρ ( x , y ) ≤ ρ ( x , z ) + ρ ( z , y ) {\displaystyle \rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)} (kolmnurga võrratus). Kujutust ρ {\displaystyle \rho } nimetatakse meetrikaks ja arvu ρ ( x , y ) {\displaystyle \rho (x,y)} nimetatakse x ja y kauguseks. Tihti nimetatakse kauguseks ka meetrikat ennast.  Pikemalt artiklis Eukleidiline ruum Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum on ruum, mida seostatakse enamasti füüsikalise ruumiga ning see kattub intuitiivselt ruumi mõistega selle igapäevatähenduses. Üldiselt saab rääkida suvalise mõõtmega eukleidilistest ruumidest, kusjuures n-mõõtmelises eukleidilises ruumis on kaugus defineeritud kui d ( x , y ) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n ( x i − y i ) 2 . {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.} , kus ‖ x ‖ = x ⋅ x = ∑ i = 1 n ( x i ) 2 {\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}} tähistab vektori pikkust ja x 1 , . . . , x n {\displaystyle x_{1},...,x_{n}} tähistavad vektori x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) , {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} koordinaate. Kaugus eukleidilises ruumis täidab meetrika aksioome ning seetõttu on kõik eukleidilised ruumid ka meetrilised ruumid. Kuna vektori pikkus täidab ühtlasi normi aksioome, on eukleidilised ruumid ka normeeritud ruumid. Geograafias mõõdetakse kaugust ehk vahemaad nii looduses (meetrites või kilomeetrites) kui ka kaardil mõõtkava abil. Selleks määratakse kaugus ühest punktist teise punktini sentimeetrites ja korrutatakse võrdlusmõõtkavaga. Näiteks kaardil võrdlusmõõtkavaga 1 cm – 100 m mõõdeti kauguseks 5,8 cm. Arvestame: 5,8 × 100 = 580 meetrit. Interaktiivsed kaardid võimaldavad kaugust mõõta otse. Ruum (füüsika)