Biot'-Savarti seadus

Biot'-Savarti seadus (ka kujul Biot’-Savart’i-Laplace’i seadus) on elektromagnetismi seadus, mis kirjeldab statsionaarse (püsiva) elektrivoolu tekitatud magnetvälja. Biot'-Savarti seadusel on magnetostaatikas niisama oluline koht, nagu seda on Coulombi seadusel elektrostaatikas. Seadus toetub Ampère'i seadusele, mis määrab magnetväljas asuvale vooluga juhtmele mõjuva jõu, ja Gaussi magnetväljaseadusele . Seadus on nimetatud Jean-Baptiste Biot' ja Félix Savarti järgi, kes avastasid selle elektri- ja magnetnähtuste vahelise seose 1820. aastal, kui nad uurisid magnetvälju, mida tekitab elektrivool erineva kujuga juhtmetes. Pierre-Simon Laplace analüüsis Biot' ja Savarti katseandmeid ning andis seadusele üldistatud kuju. Laplace näitas ka, et selle seaduse abil saab arvutada liikuva elektrilaengu magnetvälja. Tänapäeval käsitletakse seda seadust enamasti järeldustena kahest Maxwelli magnetvälja võrrandist, et arvesse võtta ka välja ajalist muutumist. Voolujuhi all mõeldakse elektrijuhti, mida läbib elektrivool. Voolujuhiks võib olla suvalise kujuga (sirge, kõver) juhe, ka juhtmekeerd või juhtmesilmus. Biot'-Savarti seadus määrab voolu I {\displaystyle I} tekitatud magnetvälja (täpsemalt magnetiline induktsiooni ehk magnetvoo tiheduse) B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} kohas r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} , mis on arvutatav kui voolu elementaarlõikude tekitatud magnetväljade vektorsumma. Matemaatiliselt on Biot'-Savarti seadus on väljendatav joonintegraalina üle vooluraja C: B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\boldsymbol {r'}}}{|{\boldsymbol {r'}}|^{3}}}} kus × {\displaystyle \times } märgib vektorkorrutamist (vektorid on paksus kirjas) d ℓ {\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}} on voolu diferentsiaalne pikkusvektor, mille suund ühtib positiivse elektrilaengu liikumise suunaga; r ′ = r − ℓ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {\ell }}} on vektor elemendist d ℓ {\displaystyle d\ell } kuni punktini r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} , kus arvutatakse magnetvälja; μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} on magnetiline konstant. Selle võrrandi saab esitada ka kujul B ( r ) = μ 0 4 π ∫ C I d ℓ × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}(\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{C}{\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}}{|{\boldsymbol {r'}}|^{2}}}} kus r ^ ′ = r ′ | r ′ | {\displaystyle {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}={\frac {\boldsymbol {r'}}{|{\boldsymbol {r'}}|}}} on vektori r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} suunaline ühikvektor ja | r ′ | {\displaystyle |{\boldsymbol {r'}}|} on vektori r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r'}}} pikkus. Lõpmatult pika sirge voolujuhi iga punkti ümber kujuneb juhtme risttasandis magnetväli B = μ 0 I 2 π ρ ϕ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}\,I}{2\,\pi \,\rho }}\,{\boldsymbol {\hat {\phi }}}} kus ρ {\displaystyle \rho } on ristsunaline kaugus z {\displaystyle z} -teljest; ϕ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\phi }}}} on ühikvektor silinderkoordinaatide (ruumiliste polaarkoordinaatide) nurga ϕ {\displaystyle \phi } suunas. Seega paiknevad magnetinduktsiooni ühesugused väärtused voolujuhti kontsentriliselt ümbritsevatel silindrilistel pindadel ja magnetinduktsioon vektorkujul B = − μ 0 I 2 π × 1 r {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=-{\frac {\mu _{0}\,{\boldsymbol {I}}}{2\,\pi }}\times {\frac {1}{\boldsymbol {r}}}} Järelikult muutub magnetinduktsioon pöördvõrdeliselt kaugusega r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} voolujuhist. Ringikujulise voolusilmuse (-kontuuri) ümber tekkiva välja magnetinduktsiooni vektori pikkuse saab määrata kontuuri sümmeetriatelje (z-telje) risttasandil võrrandiga B ( z ) = μ 0 2 R 2 I ( R 2 + z 2 ) 3 / 2 {\displaystyle B\left(z\right)={\frac {\mu _{0}}{2}}\,{\frac {R^{2}I}{\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}}} kus R {\displaystyle R} on xy-tasandil asetseva kontuuri raadius; z {\displaystyle z} on välja määramise punkti P kaugus xy-tasandist. Kui punkti P kaugus voolukontuurist on palju suurem selle raadiusest, nõrgeneb väli z-teljel ligikaudu võrdeliselt kauguse kolmanda astmega. Kui on tegemist mitmekeerulise voolujuhiga (pooliga), siis saab magnetvälja arvutada superpositsiooni põhimõttel: B ( r ) = μ 0 4 π × ∑ i = 1 n I i × ∫ d r ′ × ( r − r ′ ) | ( r − r ′ | 3 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\times \sum _{i=1}^{n}{I_{i}}\times \int {\frac {d{\boldsymbol {r'}}\times ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}})}{|({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r'}}|^{3}}}} Eeltoodud valemid sobivad, kui voolujuht on väga peenike .(ristlõige läheneb nullile). Kui elektrijuht on teatud jämedusega, siis pideva voolujaotuse korral kombineeritakse voolutiheduse joonintegraal piki juhti pindintegraaliga ja inegreritakse üle kogu juhtme ruumala V: B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V   ( J d V ) × r ′ | r ′ | 3 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {({\boldsymbol {J}}\,dV)\times {\boldsymbol {r}}'}{|{\boldsymbol {r}}'|^{3}}}} või väljendatuna ühikvektori r ^ ′ {\displaystyle {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}} kaudu: B ( r ) = μ 0 4 π ∭ V   ( J d V ) × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{V}\ {\frac {({\boldsymbol {J}}\,dV)\times {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}} kus d V {\displaystyle dV} on ruumiosa ja J {\displaystyle {\boldsymbol {J}}} on voolutiheduse vektor selles ruumiosas (SI-süsteemis on ühikuks A/m2). Kui punktlaenguga q osake liigub konstantse kiirusega v, väljendavad elektrivälja ja magnetvälja Maxwelli võrrandid: E = q 4 π ϵ 0 1 − v 2 / c 2 ( 1 − v 2 sin 2 ⁡ θ / c 2 ) 3 / 2 r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle {\boldsymbol {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}} H = v × D {\displaystyle {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {D}}} või B = 1 c 2 v × E {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {E}}} kus r ^ ′ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}'} on ühikvektor, mis on osakese algsest asendist suunatud punkti, kus välja määratakse, ning θ on nurk v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} ja r ′ {\displaystyle {\boldsymbol {r}}'} vahel. Kui v2 ≪ c2, siis saab elektrivälja ja magnetvälja avaldada lihtsustud kujul: E = q 4 π ϵ 0   r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle {\boldsymbol {E}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}\ {\frac {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}} B = μ 0 q 4 π v × r ^ ′ | r ′ | 2 {\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}{\boldsymbol {v}}\times {\frac {\boldsymbol {{\hat {r}}'}}{|{\boldsymbol {r}}'|^{2}}}} Neid võrrandeid nimetatakse Biot'-Savarti seaduseks punktlaengu jaoks, mis tuleneb nende sarnasusest eelnevalt esitatud Biot'-Savarti võrranditega. Need võrrandid tuletas esimesena Oliver Heaviside 1888. aastal. Magnetostaatikas magnetinduktsioon B {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} , mis on leitud Biot'-Savarti seaduse abil, rahuldab alati Gaussi seadust magnetvälja kohta ja Ampère'i seadust. Mittemagnetostaatilises olukorras Biot'-Savarti seadus enam ei kehti, aga Gaussi seadus magnetvälja kohta ja Ampère'i seadus kehtivad. Kui magnetostaatika tingimused ei kehti, siis tuleks Biot'-Savarti seadus asendada Jefimenko võrranditega. Koos pidevusvõrrandiga (ingl continuity equation) on Jefimenko võrrandid ekvivalentsed Maxwelli võrranditega. Biot'-Savarti seadus leiab kasutust ka aerodünaamikas, et leida kiirust, mida põhjustavad õhupöörised. Aerodünaamika rakendustes on pööriselise välja ja voolu rollid vahetatud, võrreldes elektromagnetilise rakendusega. Maxwelli järgi on magnetvälja tugevus H otseselt võrdsustatud pööriselisusega. Elektromagnetism Ampère'i seadus Coulombi seadus Maxwelli võrrandid Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (kolmas ed.). New York: Wiley. Peatükk 5. ISBN 0-471-30932-X. {{cite book}}: eiran tundmatut parameetrit |nopp=, kasuta parameetrit (|no-pp=) (juhend) Saveljev, Igor (1978). Füüsika üldkursus II. Tallinn: Valgus. lk 90. {{cite book}}: eiran tundmatut parameetrit |nopp=, kasuta parameetrit (|no-pp=) (juhend) Grant, I.S., Phillips, W.R. (1991). Electromagnetism (teine ed.). Manchester: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-92712-9. {{cite book}}: eiran tundmatut parameetrit |nopp=, kasuta parameetrit (|no-pp=) (juhend)CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) Griffiths, David J. (1998). Introduction to Electrodynamics (kolmas ed.). New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. {{cite book}}: eiran tundmatut parameetrit |nopp=, kasuta parameetrit (|no-pp=) (juhend) "Arhiveeritud koopia". Originaali arhiivikoopia seisuga 19.06.2009. Vaadatud 19.01.2019. Jackson, John David (1999). Classical Electrodynamics (kolmas ed.). New York: Wiley. leheküljed 178-179. ISBN 0-471-30932-X. {{cite book}}: eiran tundmatut parameetrit |nopp=, kasuta parameetrit (|no-pp=) (juhend). de Melo e Souza, R.; Cougo-Pinto, M. V.; Farina, C. (2009). "Multipole radiation fields from the Jefimenko equation for the magnetic field and the Panofsky-Phillips equation for the electric field". American Journal of Physics. 77 (1): 67–72. DOI:10.1119/1.2990666. Originaali arhiivikoopia seisuga 12. märts 2022. Vaadatud 20. jaanuaril 2019. Maxwell, J. C. "On Physical Lines of Force" (PDF). Wikimedia commons. Vaadatud 19.01.2018. Biot–Savart–Laplace law