Archytas

Archytas (428 eKr Taras (Suur-Kreeka) – 347 eKr) oli pütagoorlasest filosoof ja matemaatik, täppisteadlane, astronoom, riigimees, strateeg, Platoni kaasaegne. Hestiaiose või Mnesagorase poeg Archytas kuulus pütagoorlaste koolkonda. Oli väejuht kolmes sõjas ning seitse korda oma kodulinna Tarase strateeg. Viis läbi sellist arengupoliitikat, et Taras kujunes Suur-Kreeka üheks suuremaks ja rikkamaks linnaks. Andis linnale uue hiilguse mälestusmärke, templeid ja hooneid ehitades. Aitas kaasa kaubandusele, kusjuures koostööd tehti Istria, Kreeka ja Aafrikaga. Hiljem püüdis ta rajada Suur-Kreeka linnade liitu autoktoonsete rahvaste vastu. Archytas sõbrunes Platoniga 361 e.m.a Sitsiilas. Oli oma mõjukusega osaline Dionysios II poolt Sürakuusas vangistatud kreeka filosoofide vabastamisel. Oli pütagoorlase Philolaose õpilane. Hiljem õpetas ta Knidose Eudoxosele matemaatikat. Archytasele on omistatud tekste, mis ilmselt pole ehtsad. Ta oli esimene pärast Pythagorast, kes liitis kanoonilised distsipliinid aritmeetika, geomeetria, astronoomia ja muusika ühte. Rooma poeedi Horatiuse järgi uppus Archytas laevaõnnetuses Aadria meres Apuulia rannikul. Horatius kirjeldab teda oma oodis (I, 28) kui "maris et terrae numeroque carentis harenae mensor". Kuigi Archytas elas pärast Sokratest, lähtub ta filosoofina Sokratese eelsest ajast, jätkates pütagoorlaste filosoofiaga, toetades oma filosoofilised, poliitilised ja moraaliideed matemaatikale. Näiteks kirjutas ta: "Kui leitakse matemaatiline mõttekäik, siis kontrollitagu poliitilisi rühmitusi ja suurendatagu üksmeelt; kui viimane on olemas, siis puudub ebaõiglus ja õiglus valitseb. Matemaatilise mõttekäiguga jätame oma käitumises kõrvale ühe ja teise vahelised erinevused. Nõnda võtavad vaesed tugevatelt ja rikkad annavad puudustkannatajatele, sest mõlemad usaldavad matemaatikat, et säilitada võrdne tegevus ..." "Et olla hästi informeeritud asjadest, mida ei tunta, tuleb kas õppida teistelt, või nad ise avastada. Seega teistelt õppida on võõras, kui need aga ise avastatakse, on see oma. Ilma otsimata avastamine on raske ja harv, otsimisega on see aga hõlbus ja lihtne; ent kes ei oska otsida, see ei suuda ka leida." Marcus Tullius Cicero fragmendid, mis jutustavad tema moraaliteemalistest vestlustest, näitavad meile eelkõige küpset filosoofi ja tõenäoliselt viitavad nad järgnevatele rahuaegadele. Ratsionaalse leiutajana võib Archytast pidada mehaanika rajajaks. Räägitakse, et ta olevat leiutanud kaks ebatavalist mehaanilist aparaati: mehaanilise linnu, mis on tuntud ka Archytase tuvina, ja lastekäristi. Archytase tuvist räägib ladina kirjanik Aulus Gellius. Saksa teadlane Schmidt proovis seda järele ehitada. Väliselt näib see õõnsa puust tuvina, mis on täidetav suruõhuga. Ventiili avamine ja sulgemine oli võimalik tänu vastukaalule. Kui tuvi puu otsa pandi ja ventiil avati, lendas ta oksalt oksale. Maandudes aga järgmisele, ventiil sulgus iseenesest või vastukaalu tõttu. Teine mänguasi, lastekäristi, on kasutusel veel tänapäevalgi. See koosnes väiksest hammasrattast, mis oli kinnitatud pulgakese külge. Hammasratta külge oli kinnitatud puutüki külge seotud sulg. Räägitakse, et Archytas leiutas enne Archimedest tali. Kuna Archytas oli pütagoorlane, jäi tema põhiliseks tegevusalaks ja distsipliiniks matemaatika, millele allusid kõik teised distsipliinid. Archytas tõestas esimesena, et on olemas irratsionaalsed suuruste suhted, mida pole võimalik kujutada ratsionaalarve sisaldavate murdarvudena. Oma muusikateooria raames tõestas ta ruutjuure irratsionaalsuse ( n + 1 ) : n {\displaystyle {\sqrt {(n+1):n}}} , näidates seejuures suurima ühise nimetaja kasutamisega ning valemi eukleidilise algoritmiga, et pole olemas kahte suhtes olevat arvu ( n + 1 ) : n {\displaystyle (n+1):n} , mida poleks võimalik esitada geomeetriliste vahenditega. See tõestab, et ta tundis olulist osa Eukleidese "Elementides" sisalduvast aritmeetikast. Archytase teoreem ja selle tõestus on üle võetud ja üldistatud Eukleidese muusikateoreetilises tekstis "Teilung des Kanons". Juba Hippokrates Chiosest püüdis lahendada kuubi duplikatsiooni probleemi. Tema seletas seda aga kui suhete probleemi. Pärast Antiochost Askalonist lahendas selle probleemi Archytas geomeetrilise konstruktsiooni abil, mida kutsutakse Archytase kõveraks. Archytase kõver on matemaatika ajaloos esimene koolduv kõverjoon, mis ei püsi ühelgi tasandil. Selle avastas Archytas kuubi duplikatsiooni probleemi lahendamise käigus. Tema võrrand on järgmine: eeldame, et meil on kaks segmenti a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} mis on suhtes u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v}  : a : u = u : v = v : b {\displaystyle a:u=u:v=v:b} .: { u = x 2 + y 2 + z 2 v = x 2 + y 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}u={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\v={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{matrix}}\right.} Kui need väärtused proportsionaalselt vahetada, saadakse järgmine suhe: { x 2 + y 2 + z 2 = a x 2 + y 2 x 2 + y 2 = a x x 2 + y 2 + z 2 = a 2 b 2 x 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\x^{2}+y^{2}=ax\\x^{2}+y^{2}+z^{2}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}x^{2}\end{matrix}}\right.} Need on pindalavõrrandid. Esimene on toor (Torus), teised on silinder ja koonus. Kui see Archytase kõver x y {\displaystyle xy} projitseerida tasandile, on nende võrrand polaarkoordinaatides ( ρ , θ ) {\displaystyle (\rho ,\theta )} järgmine:: ρ = b 2 a c o s 2 θ {\displaystyle \rho ={\frac {b^{2}}{acos^{2}\theta }}} Apuleius esitab oma Apoloogias Archytase käsitletud füüsikalise argumendi valguse peegeldumise olemusest. Archytas arvab, et meie silmad kiirgavad, mida arvas ka Platon, kes aga ei suutnud seda väidet millegagi seostada. Archytas püstitas esimese akustikateooria ning formuleeris tähelepanekud ja hüpoteesid helist. Need sisaldavad vigu, kuid on hindamatuks tööks, millele põhineb Platoni ja Aristotelese helideteooria. Helide põhjusena nägi ta kehade ja õhu liikumist ning helikõrguse põhjusena liikumise kiirust. Seetõttu formuleeris ta hüpoteesi, et ka liikuvad taevakehad tekitavad helisid, mis aga oma äärmise tugevuse tõttu on kuulmatud, kuna kõla ei tungi kõrva nagu kitsa kaelaga anuma puhul, millesse pole võimalik liiga palju sisse valada. Tema paikapidamatu akustiline teooria sai Aristoxenose ägeda kriitika osaliseks ning selle kriitika põhjal formuleeris Eukleides võnkumissageduse mõiste. Archytas lootis seada harmoonia (intervalliteooria) uutele matemaatilistele alustele. Ta püüdis aksiomaatilisel teel tõestada konsonantside oktavi (2:1), kvindi (3:2) ja kvardi (4:3) proportsioone, mis oli talle vajalik, kuna tema akustikas oli võimatu eksperimentaalne defineerimine kiirussuhete kui intervallide põhjuse abil. Tema aksioomid ja tõestused esitas Eukleides oma tekstis "Teilung des Kanons" algusest peale abivalemina eespool tsiteeritud Archytase teoreemi irratsionaalsusest ( n + 1 ) : n {\displaystyle (n+1):n} juurde, kujutades seda korrektse ja üllatava matemaatilise saavutusena. Muusikaliselt näitab see teoreem, et oktavi (2:1), kvinti (3:2), kvarti (4:3) ja teisi intervalle proportsioonidega ( n + 1 ) : n {\displaystyle (n+1):n} täpselt poolitada pole võimalik, kui lähtuda ühismõõdulistest suurustest. Seda asjaolu võeti arvesse ja anti edasi alates pütagoorlaste muusikateooriast kuni tänapäevani välja. Archytase intervalliteooria sisaldab aga teises kohas vea ja on seetõttu täielikult hüpoteetiline, mida juba Aristoxenos ägedalt kritiseeris. Uuemas pütagoorlikus muusikateoorias (Ptolemaios) jäeti see intervalliproportsioonidest tehtud järelduse tõttu kõrvale. Ptolemaios võttis üle kolm Archytase tetrakordi pillikeele pikkustega, millest järgnevaid intervalliproportsioone võis arvutada suhetega: Niisiis kasutas Archytas – vastupidi Philolaose ja Eukleidese pütagoorlikule põhiliinile – juba puhast suurt ja väikest tertsi suhetega 5:4 ja 6:5, mis muutusid oluliseks uue aja mitmehäälses muusikas. Archytase meelest on universum lõputu. Ta ütleb: "Kui on jõutud kinnistähtede taeva lõppu, kas sa saad siis käe või kepikese kaugemale välja sirutada? Oleks paradoksaalne, kui see poleks võimalik?" Archytas elas ajal, mil Taras oli kreeka maailma üks võimsamaid linnu (u 380–350 eKr). Archytas oli seitse aastat linna strateegiks. See oli erand, kuna seadus lubas olla valitud ainult kaks korda. Sellest võib järeldada, et Tarase elanikud austasid Archytast kõrgelt. Aristoxenos jutustab, et Archytas oli julge juht, keda polnud üheski lahingus löödud. Ta tõstis armee ja laevastiku löögijõudu, kasutas mehaanilisi avastusi algelise kahurväe juures. Tema juhtimisel võitsid taraslased messaabe ja lukaanlasi, vallutasid Mesagne ning muutsid Brindisi ja Egnazia taas kreeka kolooniateks. Taraslaste ülemvõim ulatus kaugele Peuketia ja Dauniani välja, levitades metropoli mõjutusi kunstis, religioonis ja majanduses. Archytas nimetati liidu italiootidega peajuhiks ning määras selle asukohaks Herakleia. Oma valitsemise ajal pühendus ta majanduse, kultuuri ja kunsti arendamisele. Edendades põllumajandust, veenis linnakodanikke oma maade saagikust suurendama. Ta meenutas neile tihti, et Apollon Phalantus märkab vaid viljakaid põlde ning kordas tihti: "Kui keegi teilt küsib, kuidas on Taras suureks saanud ja suureks jääb või kuidas tema rikkust suurendatakse, kas te saate siis rahuliku südametunnistusega ja südamerõõmuga vastata: "Hea põllumajandusega, parema põllumajandusega, parima põllumajandusega."?" Ta kuulutas välja seadusi rikkuste õiglasemaks jaotamiseks, ei lasknud aga kunagi silmist matemaatilist harmooniat. Archytas-Fragmente, ed. in: Hermann Diels: Die Fragmente der Vorsokratiker. Weidmann, Berlin 1966, 481-483 A. D. Abbaiatore: Scritture Musicali greche. CUP, Cambridge 2. Teoria armonica ed Acustica. 1989 Franz Beckmann: De Pythagoreorum reliquiis. Verlag Schade, Berlin 1844 Friedrich Blass: De Archytae Tarentini fragmentis mathematicis. Paris 1884 Jean-Paul Dumont (hrsg.): Les Présocratiques. Gallimard, Paris 1995, ISBN 2-07-011139-3 Attilio Frajese: Attraverso la storia della Matematica. Veschi, Rom 1962 Otto F. Gruppe: Über die Fragmente des Archytas und der älteren Pythagoreer. Eine Preisschrift. Saur, München 1991, ISBN 3-598-51015-2 (2 Microfiches, Repr. d. Ausg. Berlin 1840) Friedrich W. Mullach: Fragmenta philosophorum graecorum. 2. Pythagoreos, Sophistas, Cynicos et Chalcidii in priorem Timaei Platonici partem commentarios continens. Verlag Scientia, Aalen 1968 (Repr. d. Ausg. Paris 1867) Alessandro Olivieri: Su Archita tarantino. Memoria. Giannini, Neapel 1914 P. Stante: I problemi di terzo grado e Archita da Taranto. Dissertation, Universität Lecce 1987/88* Helmut Swoboda: Der künstliche Mensch. Heimeran, München 1967 Neumaier, Wilfried, Was ist ein Tonsystem?, Frankfurt am Main, Bern, New York, 1986, Kap. 6, Die "Teilung des Kanons" des Eukleides. Auf Archytas aus: Oden von Horaz