Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrand

Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju f1(y)dy=f2(x)dx. Niisuguse võrrandi kumbki pool on ühest muutujast sõltuva avaldise korrutis selle muutuja diferentsiaaliga. Võrrandi teisendamist sellisele kujule nimetatakse muutujate eraldamiseks. Et lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit, on vaja eraldada muutujad ja pärast seda võtta võrrandi mõlemast poolest integraal. Lahendada võrrand d y d x = 6 x + 2 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=6x+2} Lahendus: Muutujate eraldamiseks korrutame võrrandi mõlemad pooled dx-iga d y d x   / ⋅ d x = 6 x + 2   / ⋅ d x ⇒ d y = ( 6 x + 2 ) d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\ /\cdot dx=6x+2\ /\cdot dx\Rightarrow dy=(6x+2)dx} , kus märk ⇒ {\displaystyle \Rightarrow {\frac {}{}}} tähendab "Siit järeldub". Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja y, paremat poolt aga muutuja x järgi. Ehk teisisõnu võtame võrrandi mõlemast poolest integraali. ∫ d y = ∫ ( 6 x + 2 ) d x {\displaystyle \int dy=\int (6x+2)dx} , ning saame y = 3 x 2 + 2 x + C {\displaystyle y=3x^{2}+2x+C{\frac {}{}}} Vastus: Võrrandi üldlahend on y = 3 x 2 + 2 x + C {\displaystyle y=3x^{2}+2x+C{\frac {}{}}} . Lahendada võrrand x   d y = y   d x {\displaystyle x\ dy=y\ dx{\frac {}{}}} tingimusel, et x=5 puhul y=10. Lahendus: Muutujate eraldamiseks jagame võrrandi mõlemad pooled korrutisega xy. x   d y   / : x y = y   d x   / : x y ⇒ d y y = d x x {\displaystyle x\ dy\ /:xy=y\ dx\ /:xy\Rightarrow {\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}} , kus ⇒ {\displaystyle \Rightarrow {\frac {}{}}} tähendab "Siit järeldub". Järgnevalt integreerime vasakut poolt muutuja y, paremat poolt muutuja x järgi ehk teisisõnu võtame võrrandi mõlemast poolest integraali. ∫ d y y = ∫ d x x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y}}=\int {\frac {dx}{x}}} , ning saame: ln ⁡ y = ln ⁡ x + ln ⁡ C {\displaystyle \ln y=\ln x+\ln C{\frac {}{}}} Konstandi lisamine paremale poolele kujul ln ⁡ C {\displaystyle \ln C{\frac {}{}}} kergendab potentseerimist. Pärast potentseerimist saame üldlahendi: y = C x {\displaystyle y=Cx{\frac {}{}}} Erilahendi leidmiseks määrame konstandi C, milleks asetame saadud üldlahendisse algtingimused x=5 ja y=10 ning saame: 10 = 5 C ⇒ C = 2 {\displaystyle 10=5C\Rightarrow C=2{\frac {}{}}} Vastus: Otsitav erilahend on y=2x Lahendada võrrand y'=2(y-3), kui x=0 puhul y=4. Lahendus: Kirjutame y' kujul d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} ning saame d y d x = 2 ( y − 3 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2(y-3)} . Nüüd eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi avaldisega d x y − 3 {\displaystyle {\frac {dx}{y-3}}} ning saame d y d x   / ⋅ d x y − 3 = 2 ( y − 3 )   / ⋅ d x y − 3 ⇒ d y y − 3 = 2 d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\ /\cdot {\frac {dx}{y-3}}=2(y-3)\ /\cdot {\frac {dx}{y-3}}\Rightarrow {\frac {dy}{y-3}}=2dx} märk ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } tähendab "siit järeldub. Järgnevalt integreerime võrrandi vasakut poolt muutuja y, paremat poolt muutuja x järgi: ∫ d y y − 3 = ∫ 2 d x {\displaystyle \int {\frac {dy}{y-3}}=\int 2dx} , saame ln ⁡ ( y − 3 ) = 2 x + ln ⁡ C {\displaystyle \ln(y-3)=2x+\ln C{\frac {}{}}} . Logaritmi definitsiooni põhjal 2 x = l n e 2 x {\displaystyle 2x=lne^{2x}{\frac {}{}}} , millest l n ( y − 3 ) = l n e 2 x + l n C {\displaystyle ln(y-3)=lne^{2x}+lnC{\frac {}{}}} . Leiame C väärtuse, arvestades algtingimusi: 4 = C e 0 + 3 ⇒ C = 1 {\displaystyle 4=Ce^{0}+3\Rightarrow C=1{\frac {}{}}} Vastus:otsitav erilahend on y = e 2 x + 3 {\displaystyle y=e^{2x}+3{\frac {}{}}} Leida punkti (3;-2) läbiva joone võrrand, kui joone puutuja tõus k = x 2 − 2 {\displaystyle k=x^{2}-2{\frac {}{}}} Lahendus: on teada, et puutuja tõus on joone võrrandi tuletis. Seda teadmist kasutades saame diferentsiaalvõrrandi y ′ = x 2 − 2 {\displaystyle y'=x^{2}-2{\frac {}{}}} ehk d y d x = x 2 − 2 {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=x^{2}-2} . Eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi dx- ga: d y d x   / ⋅ d x = x 2 − 2   / ⋅ d x ⇒ d y = [ x 2 − 2 ) d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\ /\cdot dx=x^{2}-2\ /\cdot dx\Rightarrow dy=[x^{2}-2)dx} , kus ⇒ {\displaystyle \Rightarrow {\frac {}{}}} tähendab "siit järeldub". Järgnevalt integreerime võrrandi mõlemaid pooli: ∫ d y = ∫ ( x 2 − 2 ) d x {\displaystyle \int dy=\int (x^{2}-2)dx} ning saame y = x 3 3 − 2 x + C {\displaystyle y={\frac {x^{3}}{3}}-2x+C} . Nüüd leiame C, pannes avaldisse joone punkti koordinaadid. − 2 = 27 3 − 2 ⋅ 3 + C ⇒ C = − 5 {\displaystyle -2={\frac {27}{3}}-2\cdot 3+C\Rightarrow C=-5} Vastus: Joone võrrand on y = x 3 3 − 2 x − 5 {\displaystyle y={\frac {x^{3}}{3}}-2x-5} Riigi sisemajanduse kogutoodang on antud momendil 100 miljardit krooni. Statistiliste andmete analüüsimisel selgus, et iga kümne aastaga suureneb riigi sisemajanduse kogutoodang 1,5 korda. Eeldades, et riigi majanduse kogutoodangu kasv jätkub samas tempos leida: Riigi sisemajanduse kogutoodang 30 aasta pärast; Mitme aastaga kahekordistub riigi sisemajanduse kogutoodang. Lahendus: Tähistame riigi sisemajanduse kogutoodangu käesoleval momendil tähega N ja tähega t aega, mis on möödunud momendist, mil riigi sisemajanduse kogutoodang oli 100 miljardit krooni. Sellisel juhul on riigi sisemajanduse kogutoodangu muutumise kiirus võrdne tuletisega d N d t {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}} . Kuna eeldasime, et see kiirus on võrdeline sisemajanduse kogutoodangu kasvuga riigis, saame diferentsiaalvõrrandi: d N d t = k N {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=kN} , kus k on võrdetegur. Eraldame muutujad korrutades võrrandi mõlemad pooled läbi avaldisega d t N {\displaystyle {\frac {dt}{N}}} siis saame d N d t   / ⋅ d t N = k N   / ⋅ d t N ⇒ d N N = k   d t {\displaystyle {\frac {dN}{dt}}\ /\cdot {\frac {dt}{N}}=kN\ /\cdot {\frac {dt}{N}}\Rightarrow {\frac {dN}{N}}=k\ dt} integreerime võrrandi mõlemad pooled: ∫ d N N = ∫ k   d t {\displaystyle \int {\frac {dN}{N}}=\int k\ dt} ning saame pärast integreerimist: ln ⁡ N = k t + l n C {\displaystyle \ln N=kt+lnC{\frac {}{}}} , millest N = C e k t {\displaystyle N=Ce^{kt}{\frac {}{}}} . Konstandi C leiame samast võrdusest, arvestades, et t=0 korral N= 100 (miljardit). 100 = C e 0 ⇒ C = 100 {\displaystyle 100=Ce^{0}\Rightarrow C=100{\frac {}{}}} Konstandi k leidmisel arvestame aga asjaolu, et t=10 (aastat) Riigi sisemajanduse kogutoodang N = 100 ⋅ 1 , 5 = 150 {\displaystyle N=100\cdot 1,5=150{\frac {}{}}} . Et C=100 saame: 150 = 100 e 10 k ⇒ e 10 k = 1 , 5 ⇒ 10 k = ln ⁡ 1 , 5 ⇒ k = l n 1 , 5 10 ≈ 0 , 0405 {\displaystyle 150=100e^{10k}\Rightarrow e^{10k}=1,5\Rightarrow 10k=\ln 1,5\Rightarrow k={\frac {ln1,5}{10}}\approx 0,0405} . Seega väljendab riigi sisemajanduse kogutoodangut valem N = 100 e 0 , 0405 t {\displaystyle N=100e^{0,0405t}{\frac {}{}}} . Selle valemi abil leiamegi vastused ülesande küsimustele: kui t=30 siis N = 100 e 0 , 0405 ⋅ 30 = 100 e 1 , 215 ≈ 337 {\displaystyle N=100e^{0,0405\cdot 30}=100e^{1,215}\approx 337} Riigi sisemajanduse kogutoodangu kahekordistumisel N = 2 ⋅ 100 = 200 {\displaystyle N=2\cdot 100=200{\frac {}{}}} . Sellisel juhul 200 = 100 e 0 , 0405 t ⇒ e 0 , 0405 t = 2 ⇒ 0 , 0405 t = ln ⁡ 2 ⇒ t = ln ⁡ 2 0 , 0405 ≈ 17 {\displaystyle 200=100e^{0,0405t}\Rightarrow e^{0,0405t}=2\Rightarrow 0,0405t=\ln 2\Rightarrow t={\frac {\ln 2}{0,0405}}\approx 17} Vastus: Riigi sisemajanduse kogutoodang 30 aasta pärast on 337 miljardit krooni; Riigi sisemajanduse kogutoodang kahekordistub 17. aastaga.