Logitsism

Logitsism (inglise keeles logicism, saksa keeles Logizismus) on seisukoht matemaatikafilosoofias, mis lähtub eeldusest, et matemaatika on loogika laiendus ning kogu matemaatika on taandatav loogikale kui ainsale alusele, st matemaatika mõisted on taandatavad loogika mõistetele ja matemaatika järeldamisviisid on taandatavad loogika järeldamisviisidele. Selline taandamine annaks matemaatikale täiesti ranged alused ja tagaks ühtlasi matemaatika meetodite usaldatavuse. Logitsism oli formalismi ja intuitsionismi kõrval üks matemaatika aluste alaste uuringute põhisuundi 20. sajandi alguskümnenditel. Logitsistid ei pea matemaatikat ja loogikat erinevateks distsipliinideks, vaid ühe ja sama teaduse astmeteks. Matemaatikat on nende arvates võimalik täies mahus tuletada puhtast loogikast, ilma et oleks tarvis appi võtta täiendavaid põhimõisteid ega eeldusi. Logitsism sai tekkida tänu asjaolule, et loogika etendab matemaatikas suuremat osa kui mis tahes teises teaduses ning matemaatikat on ammust ajast peetud loogilise ranguse eeskujuks. Pealegi on matemaatika teooriad enamasti üles ehitatud aksiomaatikast puhtloogiliselt tuletatavate teoreemide kogumitena. Mõte, et matemaatikat saab taandada loogikale, oli juba Gottfried Wilhelm Leibnizil, kelle arvates mis tahes teadus põhineb lõppude lõpuks loogika (Leibnizi scientia universalis'e) ideedel ja printsiipidel. Logitsismile pani aluse Gottlob Frege. Ta sõnastas kaks eesmärki: määratleda matemaatikamõisted, sealhulgas need, mida peeti defineerimatuteks algmõisteteks, puhtloogilistes terminites; tõestada matemaatika teoreemid, kasutades loogika printsiipe ja järeldamisreegleid. Ka Richard Dedekind ja Giuseppe Peano püüdsid taandada matemaatika mõisteid, eriti arvumõistet, loogika mõistetele. Kui Bertrand Russell avastas Russelli paradoksi, mis näitas naiivse hulgateooria vastuolulisust ning rikkus Frege süsteemi, ja ilmnesid ka teised hulgateooria antinoomiad, loobus Frege oma logitsistlikust taandamisprojektist ning ka Dedekind hakkas logitsistliku programmi teostatavuses tõsiselt kahtlema. Russell ja Alfred North Whitehead püüdsid matemaatika (sealhulgas geomeetria, mida Frege loogikale taandada ei üritanud) loogilisel alusel üles ehitada oma raamatus "Principia mathematica", milles esitatud sümbolloogika süsteem kasutas muuhulgas tüüpide teooriat, mille abil pidi antinoomiatest lahti saadama. Tüüpide teoorias jaotati hulgad ja predikaadid astmetesse, nii et hulk (predikaat) kuulub alati kõrgemasse astmesse kui selle elemendid (objektid, millele predikaati rakendatakse). Sellega välditi Russelli paradoksi ja Burali-Forti paradoksi taolisi antinoomiaid. Et valetaja paradoksi taolistes paradoksides olid Russelli ning ka näiteks Henri Poincaré arvates süüdi mittepredikatiivsed definitsioonid, keelati ka need. Klassikalise matemaatikas kasutatakse mittepredikatiivseid definitsioone siiski sageli. Näiteks kasutatakse kindla reaalarvu, näiteks lõpmatu tõkestatud hulga kuhjumispunkti või Cauchy jada piirväärtuse kindlaksmääramiseks Dedekindi lõiget. Seetõttu oli Russell sunnitud ad hoc kasutusele võtma taandatavusaksioomi, mida paljud pidasid loogika raamidest väljuvaks aksioomiks. Sel põhjusel hülgas enamik logitsismi pooldajaid mittepredikatiivsete definitsioonide keelul põhineva osa tüüpide teooriast. Frank Plumpton Ramsey näitas, et see keeld ei olegi epistemoloogiliste antinoomiate vältimiseks vajalik. Ent Russelli ja Whiteheadi süsteemis on niigi aksioome, mille puhul on kahtlane, kas neid võib pidada puhta loogika aksioomideks. (Polegi selge, mis see puhas loogika üldse on.) Eriti puudutab see lõpmatuse aksioomi, mis nõuab lõpmatu hulga olemasolu. Teatud määral on kahtluse all ka valiku aksioom ning isegi sisalduvusaksioom ja ekstensionaalsuse aksioom. Põhjendused, mis logitsistid neile aksioomidele on andnud, on positivistlikku või pragmaatilist laadi ning tekitavad tõsiseid filosoofilisi probleeme. Peale selle tekkis paradoks seoses naturaalarvude definitsiooniga, mis kasutas klassi mõistet. Logitsism tundus tol ajal siiski paljudele väga mõistlikuna. 1920. aastatel asus Russelli mõjul logitsismi positsioonidele Viini ringi, mille esindajatest kaitses seda eriti Rudolf Carnap. Ka Willard Van Orman Quine oli logitsist. Tõsise hoobi logitsismi programmile andis Kurt Gödeli poolt 1931 avaldatud Gödeli mittetäielikkuse teoreem, millest tuleneb, et Russelli ja Whiteheadi süsteemist ei piisa kogu matemaatika põhjendamiseks, sest näiteks selle süsteemi mittevastuolulisust ei ole võimalik selle süsteemi enese vahenditega tõestada. Aastal 1936 avaldatud John Rosseri versioon sellest teoreemist ütleb järgmist: eeldusel, et "Principia mathematica" süsteem on mittevastuoluline, on võimalik konstrueerida aritmeetika propositsioon, mis ei ole "Principia mathematica" süsteemi vahenditega tõestatav, kuid on ometi tõene (seda võib näidata mitteformaalsete vahenditega). Seega on olemas tõene matemaatika propositsioon, mida Russelli ja Whiteheadi aksiomaatikast tuletada ei saa (eeldusel, et see aksiomaatika on mittevastuoluline). Ei aita ka aksioomide lisamine, sest Gödeli tõestuse idee on rakendatav ka laiendatud aksiomaatika puhul. Seega pole Russelli ja Whiteheadi süsteemi taolise süsteemi abil võimalik kogu matemaatikat loogikale taandada. Enamik filosoofe on pärast seda tulemust logitsismi hüljanud, kuid on olemas neologitsismi-nimeline suund, mis püüab logitsismi uuel kujul taaselustada. Hoolimata sellest, et logitsismi programm oli filosoofilisest seisukohast kahtlane, aitas see väga palju kaasa loogika ning matemaatika aluste arengule. Russelli ja Whiteheadi süsteem rajas matemaatika ulatusliku mõistetesüsteemi vähestele hulgateoreetilistele põhimõistetele ning rajas kogu kaasaegse matemaatika suhteliselt lihtsale aksioomide ja järeldusreeglite süsteemile. Seda süsteemi võib vaadelda ka hulgateooria aksiomaatikana. Aastal 1908 esitas Ernst Zermelo oma aksiomaatilise hulgateooria, mis oli esialgu Russelli ja Whiteheadi süsteemist nõrgem. Aastal 1922 aga lisasid Thoralf Skolem ja Abraham Fraenkel sellele asendamisaksioomi, mille tulemusena tekkis Russelli ja Whiteheadi süsteemist lihtsam ja tugevam Zermelo-Fraenkeli hulgateooria, mida hakati esimesele eelistama. Peale selle aitas logitsism oluliselt kaasa matemaatilise loogika arengule, paljude fundamentaalsete matemaatika- ja loogikamõistete loogilisele analüüsile ning antinoomiate probleemi selginemisele.