Kahendsüsteem

Kahendsüsteem ehk binaarsüsteem on positsiooniline arvusüsteem, mille alus on 2. Kahendloogikas öeldakse numbrimärgi 1 kohta "tõene" ja numbrimärgi 0 kohta "väär". Kahendsüsteemi põhiliseks kasutusalaks on arvutid. Kuigi enamasti lähtuvad arvutite ja muude elektroonikaseadmete mikrokiibid kahendloogikast, ei ole see ainuvõimalik arvusüsteem arvutisiseseks andmete vahetamiseks või säilitamiseks. Kahendsüsteemis esitatakse arve samal põhimõttel nagu kümnendsüsteemis või mis tahes muus positsioonilises arvusüsteemis. Erinevus kümnendsüsteemist seisneb selles, et kümnendsüsteemi alus on 10 ja vastavalt on ka numbrimärke kümme (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Kahendsüsteemis on kohakaaludeks kümne astmete asemel kahe täisarvastmed. Kahendsüsteemis toimub arvude loendamine järgmiselt: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001 jne. Mitmekohalist arvu tuleb lugeda nii, nagu iga koht oleks eraldi number, näiteks: 10 tuleb lugeda "üks, null", mitte "kümme". Et kasutada saab ainult kahte sümbolit (0 ja 1), siis juba kümnendsüsteemse arvu 2 esitamiseks tuleb kasutada mõlemat: 10. Väikseima kohakaaluga (20=1) koht muutub iga kahe arvu järel, järgmine iga nelja arvu järel, edasi iga kaheksa arvu järel jne. Iga järgnev järgukaal on eelnevast kaks korda suurem, millest tulenebki see, et järgukaaludeks on kahe täisarvastmed. Kahendsüsteem on ainus, lihtsaim positsiooniline arvusüsteem kõigist võimalikest. Selleks tuleb numbrimärgid korrutada vastava järgukaaluga: 10 2 = 1*21 + 0*20 = 2 10 1111100111 2 = 1*29 + 1*28 + 1*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20 = 999 10 Selleks tuleb arvu kahega täisarvuliselt jagada ning saadav arv moodustub jääkidest. Arv kahendsüsteemis saadakse jääkide lugemisel alt üles. 18 10 = 10010 2 18 / 2 = 9, jääk 0, see bitt on LSB 9 / 2 = 4, jääk 1 4 / 2 = 2, jääk 0 2 / 2 = 1, jääk 0 1 / 2 = 0, jääk 1, see bitt on MSB Murdosa korrutatakse kahega. Kui tekkis täisosa, see lahutatakse ja saadakse bitt väärtusega 1; kui täisosa ei tekkinud, saadakse bitt väärtusega 0. Näiteks murru 0,410 teisendus. 0,4 * 2 = 0,8 täisosa ei tekkinud, tulemusse bitt 0 0,8 * 2 = 1,6 lahutame täisosa, tulemusse bitt 1 0,6 * 2 = 1,2 lahutame täisosa, tulemusse bitt 1 0,2 * 2 = 0,4 täisosa ei tekkinud, tulemusse bitt 0 0,4 * 2 = 0,8 täisosa ei tekkinud, tulemusse bitt 0 0,8 * 2 = 1,6 lahutame täisosa, tulemusse bitt 1 0,6 * 2 = 1,2 lahutame täisosa, tulemusse bitt 1 0,2 * 2 = 0,4 täisosa ei tekkinud, tulemusse bitt 0 jne 18,410= 10010,01100110... 2 Ka kahendsüsteemis saab reaalarve esitada nagu kümnendsüsteemis, kusjuures pärast koma on järgukaaludeks kahe negatiivsed astmed: 2-1, 2-2, 2-3 jne. Kümnendsüsteemi arv 0,5 on kahendsüsteemis seega 0,1. Kahendarv jagatakse 4-kaupa bittideks alates noorimast (LSB). 1) Kui neli bitti esitavad kümnendarvu väärtusi 0...9, siis teisendusi ei vajata. 2) Kui neli bitti esitavad kümnendarvu väärtusi 10...15, siis liidetakse bitttidele kahendaarv 01102=610 ja tehakse ülekanne järgmisesse rühma. n-bitine kahendarv teisendatakse Gray koodi biti kaupa järgnevalt: G[n]=B[n], järgmised bitid teisendatakse vastavalt valemile G[i]=B[i] XOR B[i+1], kus i saab väärtused n–1, ..., 0 Selleks on kaks võimalust: Inverteerida arv bitikaupa (inglise complement) ja liita siis 1. |-7710|=7710=10011012 0110010 1 ------- 0110011 Lõpuks lisatakse ette märgi bitt -7710=101100112 Arvu absoluutväärtus lahutatakse nullist. 0000000 1001101 ------- 0110011 Viimasena lisatakse ette märgi bitt -7710=101100112 Kahendarvude liitmine ja korrutamine toimub järgmiselt. 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 Analoogiliselt toimub ka lahutamine ja jagamine. Lahutamisel teisendatakse arv kõigepealt negatiivseks ja siis liidetakse. Suuremate arvude liitmise ja korrutamise näide (korrutamist võib alustada nii noorematest kui vanematest bittidest): 1101 1101 1101 + 110 * 110 * 110 ----- ----- ----- 10011 1101 1101 1101 1101 ------- ------- 1001110 1001110 Nihketehted võimaldavad korrutamisi ja jagamisi kiirendada. Nihe vasakule suurendab arvu kaks korda, nihe paremale vähendab kaks korda. Aritmeetiline nihe Paremale nihutamisel lähevad nooremad bitid kaduma, tühjaks jäänud vanemad bitid täidetakse nullidega. Vasakule saab aritmeetilist nihet teha ainult siis, kui vanematel bitikohtadel on nullid muidu tekiks ületäitumine. Negatiivse arvu nihutamisel peab märgibitt jääma paigale. Loogiline nihe Välja nihkuvad bitid lastakse kaduma minna nii parema kui vasaku nihke korral ja teist poolt täidetakse nullidega. Ringnihe Ühelt poolt välja nihkuvad bitid kirjutatakse teisel poole tühjadeks jäänud kohtadele. Kahendarv Polüneeslased kasutasid kahendsüsteemi Leibnizist varem