Disjunktsioon

Disjunktsioon ehk loogiline liitmine on binaarne loogikatehe: lausete A ja B disjunktsioon A ∨ {\displaystyle \vee } B loetakse vääraks parajasti siis, kui laused A ja B on mõlemad väärad ning tõeseks kõigil muudel juhtudel. Loogiline liitmine ehk või-tehe on Boole'i algebras selline tehe, mille väärtus on üks siis, kui kas või üks argumentidest võrdub ühega. Või tehte tähistamiseks kasutatakse kas pluss (+) märki või loogilise liitmise eritähist – V-tähe kujulist märki ∨ {\displaystyle \vee } . Samuti nimetatakse disjunktsiooniks ehk loogiliseks liitmiseks vastavat binaarset loogilist operatsiooni. Disjunktsioonist räägitakse ka n-aarse loogilise tehte tähenduses: disjunktsioon X 1 ∨ X 2 ∨ … ∨ X n {\displaystyle X_{1}\lor X_{2}\lor \ldots \lor X_{n}} loetakse vääraks parajasti siis, kui kõik operandid X 1 , X 2 , … , X n {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}} on väärad. Loomulikus keeles vastab disjunktsioonile sõnastus "A või B", ehk täpsemalt, "kas A või B või mõlemad". Näiteks lauset "Mari sööb või Jüri joob" võime käsitleda (mittevälistava) disjunktsioonina, kuid tavapärasem on seda tõlgendada välistavas tähenduses: "kas A või B, kuid mitte mõlemad korraga". Viimasele tähendusele vastavat loogilist operatsiooni nimetatakse välistavaks võiks ehk välistavaks disjunktsiooniks. Disjunktsiooni ning eituse abil on võimalik esitada kõik ülejäänud loogikatehted. Operaatorit või väljendatakse tavaliselt infiks operaatoriga: matemaatikas ja loogikas kasutatakse sümbolit ∨, mis tuleb ladinakeelsest sõnast vel (eesti keeles: "kumbki", "või"). elektroonikas kasutatakse sümbolit +; enamikus programmeerimiskeeltes kasutatakse sümboleid |, ||, või or (inglise or tähendab sidesõna "või") . Jan Łukasiewiczi prefiksnotatsioonis ehk Poola kujus tähistab loogilist disjunktsiooni operaator A, mis tuleb poolakeelsest sõnast alternatywa (eesti keeles: "alternatiivne"). Kõik järgnevad tehted on disjunktsioonid: A ∨ B {\displaystyle A\lor B} ¬ A ∨ B {\displaystyle \neg A\lor B} A ∨ ¬ B ∨ ¬ C ∨ D ∨ ¬ E {\displaystyle A\lor \neg B\lor \neg C\lor D\lor \neg E} Hulgateoorias vastav operatsioon on hulgateoreetiline ühend. Loogiline disjunktsioon on operatsiooni kahe loogilise väärtusega, enamasti kahe lausearvutuse lausega, mille väärtus on väär siis ja ainult siis, kui mõlemad sisendid on väärad. Üldisemalt on disjunktsioon loogiline valem, millel võib olla üks või mitu literaali, mis on eraldatud vaid tehte 'või' abil. Tehte   A ∨ B {\displaystyle ~A\lor B} tõeväärtustabel: Disjunktsioonil on järgnevad omadused: kommutatiivsus: jah assotsiatiivsus: jah distributiivsus: mitmete loogikatehetega jah, näiteks tehtega ning, kuid mitte kõigi tehetega idempotentsus: jah monotoonsus: jah tõesust säilitav: jah Kui kõik sisendid on tõesed, on ka väljund tõene väärsust säilitav: jah Kui kõik sisendid on väärad, on ka väljund väär. Operaatorid, mis vastavad loogilisele disjunktsioonile, on olemas enamikus programmeerimiskeeltes. Disjunktsiooni kasutatakse tihti bitikaupa tehtavates operatsioonides. Näiteks: 0 või 0 = 0 0 või 1 = 1 1 või 0 = 1 1 või 1 = 1 1010 või 1100 = 1110 Operaatorit or võib kasutada selleks, et muuta bitiväljas (bit field) olevate bittide väärtust väärtuseks 1. Selleks tuleb bitivälja bittidele rakendada tehet or konstantväljaga, kus on sobivatel kohtadel bittide väärtus 1. Näiteks x = x | 0b00000001 määrab viimase biti väärtuseks 1 ning jätab ülejäänud bitid muutumata. Paljud keeled eristavad bitikaupa disjunktsiooni ja loogilise disjunktsiooni, andes nendeks kaks eraldi operaatorit. Pärast C-d välja tulnud keeled on bitikaupa tehtava operatsiooni tähistamiseks kasutatakse ühte püstkriipsu (|) ning loogilise disjunktsiooni jaoks kasutatakse kahte püstkriipsu (||). Paralleelprogrammeerimiskeeltes (concurrent/parallel language), väärtustatakse mõlemat disjunktsiooni poolt korraga ning kui ühe väärtus tuleb tõene, siis teise väärtustamise katkestatakse. Selline operaator on paralleelne või. Kuigi enamikus keeltes on loogilise disjunktsooni andmetüüp boolean ehk selle väärtus on kas tõene või väär, tagastab mõnes keeles, nagu Python ja JavaScript, loogilise disjunktsiooni operaator ühe operandidest: esimese operandi, kui disjunktsioon väärtustatakse tõeseks ning teise operandi vastasel juhul. Elemendi kuuluvus kahe hulga ühendisse on hulgateoorias defineeritud loogilise disjunktsiooni kaudu x ∈ A ∪ B parajasti siis, kui (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). Selle tõttu on hulgateoreetilisel ühendil loogilisel disjunktsiooniga palju samu omadusi, nagu assotsiatiivsus, kommutatiivsus, distributiivsus ja de Morgani seadused. Nagu ka teiste matemaatilises loogikas kasutatud notatsioonidega, on loogilise konjunktsiooni tähendus tihedalt seotud loomuliku keele sõnaga või, kuid siiski erineb loogilisest või'st. Näiteks, "Palun helista mulle või saada meil" tähendab enamasti "tee ühte või teist, aga mitte mõlemat". Samas lause "Tema hinded olid nii head, et ta on kas väga tark või ta lihtsalt õpib hästi palju" ei välista võimalust, et mõlemad tingimused kehtiksid samaaegselt. Teisisõnu, tavakasutuses võib sõna "või" tähendada nii välistavat disjunktsiooni kui ka tavalist disjunktsiooni, olenevalt kontekstist. George Boole, järgides lähedalt analoogiat tavamaatemaatikaga, seadis definitsiooni "x + y" vajalikuks eelduseks, et x ja y on üksteist välistavad. William Stanley Jevons ja põhimõtteliselt kõik temale järgnenud matemaatilised loogikud kasutasid "loogilise liitmise" definitsiooni nii, et selle eelduseks ei oleks vaja üksteise välistamist. Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, translated by Otto Bird from the French and German editions, Dordrecht, North Holland: D. Reidel, passim. Eric W. Weisstein. "Disjunction". From MathWorld—A Wolfram Web Resource