Maatriks

Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve (tavaliselt reaalarve või kompleksarve) või mingeid muid etteantud hulka kuuluvaid matemaatilisi objekte, näiteks polünoome, funktsioone, diferentsiaale, vektoreid. Objekte, mida tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks. Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada: nad moodustavad korpuse või üldisemalt ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Tehted maatriksitega defineeritakse maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu. Et osutada sellele, kust maatriksi elemendid võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse maatriksiks üle reaalarvude korpuse). Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel. Maatrikseid uurib maatriksite teooria. Maatriksi üldistus on hüpermaatriks, millel võib olla rohkem mõõtmeid kui 2. Maatriks on matemaatiline objekt, mida esitatakse ristkülikukujuline (ridadeks ja veergudeks jaotatava) tabelina, mis koosneb numbritest, sümbolitest või avaldistest, mis tähistavad arve või muid matemaatilisi objekte. Näiteks A = ( 1 2 3 1 2 7 4 9 2 6 0 5 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{pmatrix}}} on maatriks. Objekte, mida maatriksi kui tabeli sissekanded tähistavad, nimetatakse maatriksi elementideks ehk maatriksi komponentideks. Maatriksi mõõtmed määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Positiivsete täisarvude järjestatud paari m × n nimetatakse 'maatriksi järguks ehk mõõtmeteks ehk dimensiooniks ehk suuruseks ning arve m ning n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4 × 3 maatriksit. (Mõnikord vaadeldakse ka lõpmatuid maatrikseid, millel on lõpmata palju ridasid ja veerge, ja tühje maatrikseid, mille ridade arv või veergude arv või mõlemad on 0.) Maatriksit, mille ridade arv võrdub veergude arvuga, nimetatakse ruutmaatriksiks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. Maatriksit, mille üks mõõtmetest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt reavektoriteks ja veeruvektoriteks. Näiteks A = ( 1 2 3 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}} on 1 × 3 reavektor. Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j. Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente tavaliselt väikeste ladina või kreeka tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava alaindeksiga (näiteks a11 või a1,1, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit A = ( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n … … … … a m 1 a m 1 … a m n ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{m1}&a_{m1}&\ldots &a_{mn}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}} esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: A = ( a i j ) , [ a i j ] , või ( a i j ) 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n {\displaystyle \mathbf {A} =\left(a_{ij}\right),\quad \left[a_{ij}\right],\quad {\text{või}}\quad \left(a_{ij}\right)_{1\leq i\leq m,\;1\leq j\leq n}} või ka A = ( a i , j ) 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle \mathbf {A} =(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}} , kui n = m {\displaystyle n=m} . Kasutusel on ka tähistus, mille puhul maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga kui maatriksit ennast, näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij. Maatriksite eristamiseks teistest objektidest kasutatakse ka näiteks rasvast kirja (A) või kahekordset allakriipsutamist ( A _ _ {\displaystyle {\underline {\underline {A}}}} ). Maatriksi A elementi i-ndas reas ja j-ndas veerus nimetatakse mõnikord maatriksi i,j-elemendiks või (i, j) elemendiks ning tähistatake tavaliselt ai,j või aij, mõnikord A[i,j] või Ai,j. Näiteks järgneva maatriksi A (1, 3) element (a13, a1,3, A[1,3], A1,3) on 5: A = [ 4 − 7 5 0 − 2 0 11 8 19 1 − 3 12 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}} . Mõnikord antakse maatriksi elemendid valemiga: ai,j = f(i, j). Näiteks järgneva maatriksi A elemendid on antud valemiga aij = i − j. A = [ 0 − 1 − 2 − 3 1 0 − 1 − 2 2 1 0 − 1 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}} Sel juhul antakse maatriks ise mõnikord selle valemiga nurksulgudes või topeltsulgudes, näiteks siinsel juhtumil A = [i−j] või A = ((i−j)). Kui maatriksi mõõtmed on m × n, siis valem f(i, j) kehtib, kui i = 1, ..., m ja j = 1, ..., n. Seda võib eraldi mainida või anda m × n alakirjas, meie juhtumil A = [i − j] (i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) või A = [i − j]3×4. Maatriksi ridu ja veerge tähistatakse mõnikord tärni abil, näiteks ai,∗ on maatriksi A i-s rida ja a∗,j on maatriksi A j-s veerg. Maatrikseid, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiteks üle ringi R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatriksiteks üle reaalarvude korpuse või üle reaalarvude.  Pikemalt artiklis Maatriksite liitmine  Pikemalt artiklis Skalaariga korrutamine  Pikemalt artiklis Transponeeritud maatriks Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine. Skalaariga korrutamise omadused ja liitmise omadused (assotsiatiivsus ja kommutatiivsus) ringis kanduvad üle maatriksite liitmisele: näiteks A + B = B + A. Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.  Pikemalt artiklis Maatriksite korrutamine Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on ( A B ) i j = ( A ) i 1 ( B ) 1 j + ( A ) i 2 ( B ) 2 j + … + ( A ) i n ( B ) n j = ∑ k = 1 n ( A ) i k ( B ) k j {\displaystyle (AB)_{ij}=(A)_{i1}(B)_{1j}+(A)_{i2}(B)_{2j}+\ldots +(A)_{in}(B)_{nj}=\sum _{k=1}^{n}(A)_{ik}(B)_{kj}} iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral. Näiteks ( 1 0 2 − 1 3 1 ) . ( 3 1 2 1 1 0 ) = ( 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 − 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 ) = ( 5 1 4 2 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1&1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0\\-1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1&-1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\4&2\\\end{pmatrix}}.} ja sarnaselt ( 3 1 2 1 1 0 ) . ( 1 0 2 − 1 3 1 ) = ( 2 3 7 1 3 5 1 0 2 ) {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}3&1\\2&1\\1&0\end{array}}\right).\left({\begin{array}{ccc}1&0&2\\-1&3&1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}2&3&7\\1&3&5\\1&0&2\end{array}}\right)} Maatriksite korrutamine on: assotsiatiivne: (AB)C = A(BC) distributiivne: (A + B)C = AC + BC ja C(A + B) = CA + CB Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul AB ≠ BA. st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.  Pikemalt artiklis Pöördmaatriks Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust A B = B A = I , {\displaystyle AB=BA=I,} kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga A − 1 {\displaystyle A^{-1}} . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises. Maatriksid tekivad loomulikul moel lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel ja lineaarteisenduste vaatlemisel.  Pikemalt artiklis Lineaarvõrrandisüsteem Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi kujul: { a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n = b m {\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}} . See süsteem koosneb m {\displaystyle m} lineaarvõrrandist n {\displaystyle n} tundmatuga. Selle võib esitada järgmise maatriksvõrrandina: A x = b {\displaystyle Ax=b} , kus A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ; x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) ; b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}};\quad x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}};\quad b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}} + Maatriks A {\displaystyle A}  on lineaarvõrrandisüsteemi koefitsientide maatriks, veeruvektor x {\displaystyle x}  on tundmatute vektor ja veeruvektor b {\displaystyle b}  on mingi etteantud vektor. Selleks et süsteemil oleks (vähemalt üks) lahend, on tarvilik ja piisav, et vektor b {\displaystyle b} oleks maatriksi A {\displaystyle A} lineaarkombinatsioon, ja siis vektor x {\displaystyle x}  on koefitsientide vektor vektori b {\displaystyle b} lahutuseks maatriksi A {\displaystyle A} veergude järgi. Maatriksite keeles saab lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvuse tingimuse formuleerida Kroneckeri-Capelli teoreemina: maatriksi A {\displaystyle A} astak võrdub maatriksi A {\displaystyle A} veergudest ja veerust moodustatud b {\displaystyle b} moodustatud maatriksi [ A | b ] {\displaystyle [A|b]} astakuna. Tähtis erijuht. Kui võrrandite arv langeb kokku tundmatute arvuga ( m = n {\displaystyle m=n} ehk A {\displaystyle A} on ruutmaatriks), siis ühese lahenduvuse tingimus on ekvivalentne maatriksi A {\displaystyle A} pööratavusega. (Märkus. Süsteemi lahenduvusest ei järeldu veel, et maatriks ei ole kõdunud. Näide: 0 x = 0 {\displaystyle 0x=0} .) Kui maatriks A {\displaystyle A} on pöötatav, siis süsteemi lahend on x = A − 1 b {\displaystyle x=A^{-1}b} . Sellest tuleneb Crameri meetod.  Pikemalt artiklis Lineaarkujutus Vaatleme lineaarkujutust A : R n → R m {\displaystyle {\mathcal {A}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} n {\displaystyle n} -mõõtmelisest vektorruumist R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} m {\displaystyle m} -mõõtmelisse vektorruumi R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} , millel on järgmine kuju: { y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 n x n ⋯ y m = a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a m n x n {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}y_{1}&=&a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\\y_{2}&=&a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}\\&\cdots &\\y_{m}&=&a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\ldots +a_{mn}x_{n}\\\end{array}}\right.} . Maatrikskujul on see y = A x {\displaystyle y=Ax} , kus maatriks A {\displaystyle A} on lineaarkujutuse koefitsientide maatriks. Kui vaadelda lineaarkujutuse A {\displaystyle {\mathcal {A}}} mõju vektoritele kujul e j = ( 0 , … , 0 , 1 j , 0 , … , 0 ) T , j = 1 , n ¯ {\displaystyle e_{j}=(0,\dots ,0,1_{j},0,\dots ,0)^{T},\quad j={\overline {1,n}}} , mis moodustavad vektorruumi R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} baasi, siis A e j {\displaystyle {\mathcal {A}}\mathbf {e} _{j}} on maatriksi A {\displaystyle A} j {\displaystyle j} -s veerg. Niisiis kirjeldab maatriks A {\displaystyle A} lineaarkujutust A {\displaystyle {\mathcal {A}}} täielikult, ja sellepärast nimetatakse seda selle lineaarkujutuse maatriksiks. Regulaarne maatriks Ühikmaatriks Nullmaatriks Skalaarmaatriks Diagonaalne maatriks Jordani kast Kolmnurkmaatriks Transponeeritud maatriks Sümmeetriline maatriks Kaldsümmeetriline maatriks Ortogonaalne maatriks Kaasmaatriks Hermiitiline maatriks Antihermiitiline maatriks Unitaarne maatriks Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982) Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid Otsingumootor wolframalpha, mis lahendab mathematica programmeerimiskoodi, sh maatrikseid Xiao, Gang Matrix calculator Online matrix calculator