Kõverus

Kõverus (inglise keeles curvature) on geomeetria erinevates valdkondades mitme suuruse (skalaar, vektor, tensor) koondkuju, mis kirjeldab ühe või teise geomeetrilise "objekti" (näiteks joon, pind, Riemanni ruum jne) kõrvalekaldumist vastavatest "tasastest" objektidest (sirge, tasand, eukleidiline ruum jne). Tasandilise joone kõveruse all mõistetakse sihi muutust joone läbimisel. Sirge kõverus on kõikjal null, sest selle siht ei muutu. Raadiusega r {\displaystyle r} ringjoone (või selle kaare) kõverus on kõikjal null, sest selle siht muutub kõikjal ühepalju. Mida väiksem on ringjoone raadius, seda suurem on selle kõverus. Ringjoone kõverus on suurus 1 r = Δ φ Δ s {\displaystyle {\tfrac {1}{r}}={\tfrac {\Delta \varphi }{\Delta s}}} , kesknurga ja kaarepikkuse suhe. Kesknurk võrdub välisnurgaga ringjoone puutujate vahel kaare otstes. Et defineerida suvalise tasandilise joone kõverust mingis punktis, vaadeldakse joone osa pikkusega Δ s {\displaystyle \Delta s} , mis sisaldab seda punkti ja mille puutujad otspunktes lõikuvad nurga Δ φ {\displaystyle \Delta \varphi } all. Kõverus κ {\displaystyle \kappa } selles punktis defineeritakse kui κ := lim Δ s → 0 Δ φ Δ s = d φ d s , {\displaystyle \kappa :=\lim _{\Delta s\rightarrow 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta s}}={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} s}},} kui see tuletis eksisteerib. Kui kõverus mingis punktis ei võrdu nulliga, siis selle pöördväärtust nimetatakse kõverusraadiuseks; see on seda punkti läbiva kõverusringjoone, joont selles punktis kõige paremini lähendava ringjoone raadius. Selle ringjoone keskpunkti nimetatakse kõveruskeskpunktiks, ja selle saab konstrueerida, joonestades risti joone puutujaga joone kõverdumise suunas kõverusraadiuse pikkuse lõigu. Kui joon on antud funktsiooni f : R → R , y = f ( x ) {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,y=f(x)} graafikuna, siis f : R → R , y = f ( x ) {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,y=f(x)} d y d x = tan ⁡ φ {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\tan \varphi } , kus φ {\displaystyle \varphi } joone puutuja tõusunurk. Ahelreegli järgi d 2 y d x 2 = ( 1 + tan 2 ⁡ φ ) d φ d x = ( 1 + ( d y d x ) 2 ) d φ d x {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}=(1+\tan ^{2}\varphi ){\tfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}=\left(1+\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right){\tfrac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}} . Olgu kaarepikkus s {\displaystyle s} ; siis d s 2 = d x 2 + d y 2 , {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2},} seega d s d x = 1 + ( d y d x ) 2 {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} x}}={\sqrt {1+\left({\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}} . Nüüd saame avaldada kõveruse: κ = d φ d s = d φ d x d s d x = d 2 y d x 2 ( 1 + ( d y d x ) 2 ) 3 2 . {\displaystyle \kappa ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} s}}={\frac {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} x}}}={\frac {\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.} Kõverus on siin positiivne või negatiivne olenevalt sellest, kas joone puutuja tõusunurk on abstsissi kasvades kasvav või kahanev, teiste sõnadega sellest, kas funktsioon on kumer või nõgus. Olgu math>\vec{r}(s)\in \R^p</math> joone punkti kohavektor kaarepikkuse s {\displaystyle s} funktsioonina. Joone kõverus κ {\displaystyle {\kappa \,}} on siis defineeritud kui κ = | d 2 r → d s 2 | . {\displaystyle \kappa =\left|{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {r}}}{\mathrm {d} s^{2}}}\right|.} Kõverus on seega antud ühikpuutujavektori t → = d r → d s {\displaystyle {\vec {t}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} s}}} tuletise kaarepikkuse järgi pikkus (eukleidiline norm]) ning näitab, kui kiiresti puutuja siht joone läbimisel sõltuvalt kaarepikkusest muutub. Kõverus joone punktis ei sõltu valitud parametriseeringust kaarepikkuse järgi. Tasandiliste joonte puhul saab defineerida märgiga kõveruse joone normaalvektorkonna mingi orientatsiooni suhtes. Selline orientatsioon on antud pideva ühiknormaalvektorväljaga N → {\displaystyle {\vec {N}}} piki joont. See leidub alati, sest iga tasandiline joon on orienteeritav. Täiskõverus (Gaussi kõverus, Euleri kõverus) Afiinne kõverus Aegruumi kõverus