Meetriline ruum

Matemaatikas nimetatakse meetriliseks ruumiks hulka, milles elementide vahel on antud kaugus. Kujutust, mis elementidele kauguse annab, nimetatakse meetrikaks. Kauguse mõiste järgib selle intuitiivset käsitust (lähtub kauguse mõistest füüsikalises ruumis) ning täidab järgmisi tingimusi: Punktide kaugus on null parajasti siis, kui tegemist on samade punktidega. Punkt A on punktist B alati samal kaugusel, kui punkt B punktist A. Punkti A kaugus otse punktini B pole kunagi pikem, kui A kaugus punktini B läbi mingi punkti C. Neid tingimusi nimetatakse meetrika aksioomideks. Matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid on jada koonduvus. Arvjadade, aga ka näiteks tasandi või ruumi punktidest moodustatud jadade koonduvuse mõiste tugineb asjaolule, et arvsirgel, tasandil või ruumis on olemas punktide vaheline kaugus. Idee defineerida elementidevaheline kaugus suvaliste hulkade jaoks viib meetrilise ruumi mõisteni. Hulka X {\displaystyle X} nimetatakse meetriliseks ruumiks, kui igale selle elementide paarile x , y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} on vastavusse seatud reaalarv ρ ( x , y ) {\displaystyle \rho (x,y)} , mida nimetatakse x ja y vaheliseks kauguseks, nii, et on täidetud tingimused: ρ ( x , y ) = 0 ⇔ x = y {\displaystyle \rho (x,y)=0\Leftrightarrow x=y} (samasuse aksioom ehk identsuse aksioom) ρ ( x , y ) = ρ ( y , x ) {\displaystyle \rho (x,y)=\rho (y,x)\,} (sümmeetria aksioom) ρ ( x , y ) ≤ ρ ( x , z ) + ρ ( z , y ) {\displaystyle \rho (x,y)\leq \rho (x,z)+\rho (z,y)} (kolmnurga aksioom ehk kolmnurga võrratus). Neid tingimusi nimetatakse meetrika aksioomideks ning kujutust ρ nimetatakse meetrikaks. Aksioomidest järeldub, et kaugus ei saa olla negatiivne: 0 = ρ ( x , x ) / 2 ≤ ( ρ ( x , y ) + ρ ( y , x ) ) / 2 = ρ ( y , x ) {\displaystyle 0=\rho (x,x)/2\leq (\rho (x,y)+\rho (y,x))/2=\rho (y,x)} Kauguse mittenegatiivsus lisatakse mõnikord lisatingimusena meetrilise ruumi aksiomaatikasse. Rõhutamaks, et ρ {\displaystyle \rho } on hulgal X {\displaystyle X} defineeritud meetrika, tähistatakse vastavat meetrilist ruumi järjestatud paarina ( X , ρ ) {\displaystyle (X,\rho )} . Viimane tähistus on korrektsem, kuid üldjuhul nimetatakse meetriliseks ruumiks siiski vaid vastavat hulka X {\displaystyle X} eeldades, et selline tähistus on kontekstist arusaadav. Meetrilised ruumid ⊃ Normeeritud ruumid ⊃ Banachi ruumid ⊃ Hilberti ruumid ⊃ Eukleidilised ruumid Normeeritud ruumiks nimetatakse vektorruumi V, mille igale elemendile v on vastavusse seatud reaalarv - norm ||v||. Iga normeeritud ruum on ühtlasi meetriline ruum, meetrikaga ρ(v,w) = ||v - w||, kuid vastupidine üldjuhul ei kehti. Saab näidata, et meetriline ruum on normeeritud ruum parajasti siis, kui see ühildub vektorruumi tehetega. See tähendab, et lisaks meetrika aksioomidele on suvaliste vektorite u, v, w ∈ V ja skalaari a jaoks täidetud veel tingimused ρ ( u + w , v + w ) = ρ ( u , v ) {\displaystyle \rho (\mathbf {u} +\mathbf {w} ,\mathbf {v} +\mathbf {w} )=\rho (\mathbf {u} ,\,\mathbf {v} )} (nihkeinvariantsus), ρ ( a u , a v ) = | a | ρ ( u , v ) {\displaystyle \rho (a\mathbf {u} ,a\mathbf {v} )=|a|\rho (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\,} (homogeensus). Sellise meetrika kaudu saab defineerida normi, kui ‖ u ‖ = ρ ( u , 0 ) . {\displaystyle \|\mathbf {u} \|=\rho (\mathbf {u} ,0).} eukleidiline ruum topoloogiline ruum — meetrilise ruumi üldistus