Platonism (matemaatika)

Platonism ehk matemaatiline platonism on filosoofias seisukoht, mille järgi on sõltumatult inimestest, keelest, mõtlemisest ja inimtegevusest olemas abstraktsed matemaatilised objektid. Tähtsaim argument platonismi kasuks pärineb Gottlob Frege raamatust "Aritmeetika alused". Matemaatika sisaldab tõeseid väiteid ja matemaatikas on mõeldud osutada abstraktsetele matemaatilistele objektidele ja üle nende kvantifitseerida. Aga lause ei saa olla tõene, kui selles sisalduvatel väljenditel ei õnnestu osutada või kvantifitseerida. Järelikult on osutatavad või kvantifitseeritavad abstraktsed matemaatilised objektid olemas. Platonismile on vastu väidetud eriti seda, et abstraktsed matemaatilised objektid on epistemoloogiliselt ligipääsmatud ja metafüüsiliselt problemaatilised. Platonism on seisukoht, mille järgi on sõltumatult inimestest, keelest, mõtlemisest ja inimtegevusest olemas abstraktsed matemaatilised objektid. Platonist ei püüa neid taandada füüsilistele entiteetidele ja subjektiivsetele vaimsetele entiteetidele. Michael Dummett, Penelope Maddy ja Charles Parsons lisavad sellele määratlusele, et väited matemaatiliste objektide kohta on määratult tõesed või väärad sõltumatult meie teadmisest. Michael Dummetti järgi võrdleb platonism matemaatiliste tõdede haaramist füüsiliste esemete tajuga, matemaatilist reaalsust füüsikalise universumiga. Kurt Gödel lisab, et matemaatiliste objektide "taju" võib olla väga ebatäielik. Matemaatiliste objektide sõltumatuse all peetakse silmas ligikaudu seda, et kui arukaid toimijaid ei oleks või nende keel, mõtlemine ja tegevus oleks teistsugused, siis matemaatilised objektid oleksid ikka olemas. Matemaatiline platonism erineb platonismist kui Platoni õpetusest, kuigi seda nimetatakse niimoodi sarnasuse tõttu Platoni ideedeõpetusele. Platonismi sisse arvatakse mõnikord, eriti varasemas kirjanduses, ka tees, et me haarame abstraktseid objekte vahetult. Kuid paljud filosoofid, näiteks Williard Van Orman Quine, kellele avaldab muljet hädavajalikkusargument, pooldavad ainult metafüüsilist platonismi. Enamik platoniste on väitnud ka, et matemaatilised tõed on paratamatud, kuid näiteks Quine, keda üldiselt peetakse platonistiks, seda teesi ei pooldanud. Kui platonism on tõene, tekitab see suurt raskust füsikalismile, mille järgi kõik reaalne on füüsiline. (Kui füsikalismi võtta teesina, et kõik kaasub füüsilisega, ning kui matemaatilised tõed on paratamatud, siis vastuolu ei ole, sest süsteemi S5 järgi on kõigis võimalikes maailmades samad paratamatud tõed. Kui aga füsikalismi mõista nii, et kõik entiteedid koosnevad fundamentaalsetest füüsilistest entiteetidest, siis on platonism ja füsikalism omavahel vastuolus.) Kui platonism on tõene, tekitab see suurt raskust ka paljudele naturalistliku epistemoloogia versioonidele: pole selge, kuidas meil on teadmine põhjusliku mõjuta objektidest. Matemaatika on oma suure edu tõttu nii oma sisemises arengus kui ka rakendustes nii autoriteetne, et vähesed filosoofid tahavad selle põhiväidetega vaielda Kui filosoofiline analüüs näitab, et matemaatikal on kummalised ja üllatavad järeldused, siis matemaatika väidete eitamine ei tundu hea lahendusena; pigem satuvad kahtluse alla filosoofilised kaalutlused, mis nende järeldusteni viisid. Kui kummalised ja üllatavad järeldused tuleneksid näiteks teoloogia väidetest, lükkaksid paljud filosoofid need väited kõhklematult tagasi. Tänapäeva filosoofias mõistetakse nominalismi all tavaliselt seisukohta, et abstraktseid objekte ei ole. Selle eitus (antinominalism) on platonismist nõrgem positsioon, sest see ei nõua matemaatiliste objektide sõltumatust. Paljud füsikalistid aktsepteeriksid selliseid mittefüüsilisi objekte, mis on füüsilistest objektidest sõltuvad või neile taandatavad, võib-olla näiteks ettevõtteid, seadusi ja luuletusi. Ja kui me mittefüüsilisi objekte ise teeme või moodustame, siis teadmine nende kohta pole mõistatuslik, sest eeldatavasti me tunnetame neid tegemise või moodustamise käigus. Mõned matemaatikafilosoofid, näiteks intuitsionistid, on küll antinominalistid, kuid mitte platonistid. Tõeväärtusrealism on seisukoht, mille järgi igal korrektsel matemaatilisel väitel on ainus ja objektiivne tõeväärtus, mis ei sõltu sellest, kas me seda teame ja kas see meie praegustest matemaatikateooriatest järeldub. Selle vaate järgi enamik matemaatikaväidetest, mida peetakse tõesteks, ongi tõesed. Erinevalt platonismist ja antinominalismist (objektirealismi vormid) on see küll metafüüsiline, kuid mitte ontoloogiline vaade, sest see ei ütle, et tõeväärtused järelduvad matemaatiliste objektide ontoloogiast. Tõsi küll, platonism toetab tõeväärtusrealismi, seletades, kust tõeväärtused tulevad. Aga tõeväärtusrealism ei järeldu platonismist, sest osutamise ja kvantifikatsiooni määramatuse tõttu ei pruugi matemaatikaväidetel ainsat ja objektiivset tõeväärtust olla. Tõeväärtusrealismist omakorda ei järeldu matemaatiliste objektide olemasolu, seega ei antinominalism ega platonism. Tõeväärtusrealismi pooldavad ka paljud nominalistid, vähemalt aritmeetika ja muude fundamentaalsete matemaatikaharude puhul. Nad tõlgendavad matemaatikute laused ümber niisugusteks lauseteks, mis ei viita matemaatilistele objektidele. Mõned filosoofid leiavad, et platonismi asemel tuleks vaielda tõeväärtusrealismi üle, sest see on selgem ning selline vaidlus oleks nii filosoofia kui ka matemaatika jaoks olulisem. Matemaatikafilosoofia Øystein Linnebo. Platonism in the Philosophy of Mathematics, Stanfordi filosoofiaentsüklopeedia, 2013. Hartry Field 1989: 1. Stewart Shapiro 1997: 37. Michael Resnik 1980: 162 Dummett. Frege: Philosophy of Mathematics, 1991, lk 301. Maddy 1990: 21. Parsons 1983: 273. Dummett. Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press 1978, lk 202. Frege: Philosophy of Mathematics 1991: 301. Gödel 1995: 323. Näiteks Rees 1967. David Lewis. Parts of Classes, Oxford: Blackwell 1991, lk 57–59. Burgess, Rosen 1997: 13–25. Näiteks Hellman 1989. Dummett 1978: 228–232; Michael Dummett, Metafüüsika loogiline alus. D. A. Rees. Platonism and the platonic tradition. – Paul Edwards (toim). The Encyclopedia of Philosophy, kd 5, New York: Macmillan 1967, lk 333–341. Michael Dummett. The philosophical basis of intuitionistic logic. – Truth and Other Enigmas, Cambridge, MA: Harvard University Press 1978, lk 215–247. Michael Resnik. Frege and the Philosophy of Mathematics, Ithaca, NY: Cornell University Press 1980. Charles Parsons. Mathematical Intuition. – Proceedings of the Aristotelian Society, 1983, 80, lk 145–168. Hartry Field. Realism, Mathematics, and Modality, Oxford: Blackwell: 1989. Geoffrey Hellman, Mathematics without Numbers, Oxford: Clarendon 1989. Penelope Maddy. Realism in Mathematics, Oxford: Clarendon 1990. Michael Dummett. Frege: Philosophy of Mathematics, Cambridge, MA: Harvard University Press 1991. Kurt Gödel. Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications. – S. Feferman jt (toim). Kurt Gödel. Collected Words, kd III, Oxford: Oxford University Press 1995, lk 304–323. Stewart Shapiro. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology 1997, Oxford: Oxford University Press 1997. John P. Burgess, Gideon Rosen. A Subject with No Object, Oxford: Oxford University Press. Øystein Linnebo. Platonism in the Philosophy of Mathematics, Stanfordi filosoofiaentsüklopeedia, 2013.