Limiit (muusika)

Limiit ehk harmoonia limiit on muusikas Harry Partchi poolt kasutusele võetud mõiste, et kirjeldada helisüsteemi aluseks oleva häälestuse keerukust. Partch leidis, "mida suurem on limiit, seda harmooniliselt keerukamana ja potentsiaalselt dissonantsematena on võimalik häälestussüsteemi intervalle tajuda". Harry Partch, Ivor Darreg, Ralph David Hill ja teised mikrotonaalset muusikat loonud heliloojad on leidnud, et muusika arengu käigus on võetud teadlikult kasutusele järjest kõrgemaid osahelisid, mis on dissonantsi emantsipatsiooni tõestuseks. Euroopa keskaja muusika põhines konsonantseteks peetavatel oktavil ja puhtal kvindil, jäädes nii kolme esimese osaheli piiridesse. Renessansiajal muutusid järjest olulisemaks tertsid, mis tähendas konsonantsete osahelide piiride nihutamist viienda osahelini. 20. sajandi alguses muutus afroameerika muusika mõjul järjest konsonantsemaks septakord kui tertsidest ehitatud konstruktsioon. See omakorda tõi kaasa konsonantsena aktsepteeritud osahelide piiri nihkumise viiendast osahelist kõrgemale. Näiteks dominatseptakordi võiks võrdtemepereeritud häälestuses redutseerida intervallisuhetele 4:5:6:7 ja suurt septakordi suhetele 8:10:12:15. Puhta häälestuse puhul on helisageduste suhteid võimalik väljendada täisarvudega. Paarituarvulise limiidi (odd-limit) mõistet kasutab Partch üheaegselt kõlavate helide intervallide ning algarvulise limiidi (prime-limit) mõistet heliridade analüüsimisel. Paarituarvuline limiit ja algarvuline limiit n ei pruugi sisaldada samu intervalle, isegi kui n on paarituarvuline algarv. Positiivse paaritu arvu n paarituarvuline limiit-n (n-odd-limit) hõlmab kõiki ratsionaalarve nii, et suurim paaritu arv, mis jagub kas lugeja või nimetajaga, ei ole suurem kui n. Oma raamatus "Genesis of a Music" arvestab Harry Partch puhta häälestuse puhul arvudega, mille lugejad ja nimetajad on redutseeritud modulo oktav. Kuna oktavid vastavad arvu 2 kordsetele, võib iga intervalli keerukust mõõta selle suhte suurima paaritu tegurina. Partchi esitatud teoreetiline eeldus sarnaneb Hermann von Helmholtzi, William Setharese ja Paul Erlichi intervallide sensoorse dissonantsi (mida Partch nimetab "One-Footed Bride") kontseptsiooniga. Positiivne ratsionaalarv q kuulub algarvulisse limiiti p (prime limit, p harmonic) parajasti siis, kui algarvu p tegurid (kas positiivsete või negatiivsete täisarvuliste eksponentidega) on väiksemad või võrdsed kui p. Iga algarvu p puhul moodustab limiit-p poolt määratud ratsionaalarvude hulk lõplikult moodustatud Abeli rühma. Selle rühma astak võrdub π (p), st p-st väiksemate või sellega võrdsete algarvude arvuga. Seega näiteks limiit-7 Abeli rühma astak on 4, kuna selle moodustavad 2, 3, 5 ja 7. Teine viis limiit-p väljendamiseks on see, et see koosneb p-siledate arvude (smooth number) suhetest, kus p-sile arv on täisarv, mille algtegurid ei ole suuremad kui p. Algarvulise limiidi limiit-p näideteks on: limiit-2, millesse kuuluvad ainult priim (1/1) ja oktav (2/1) limiit-3, millesse kuuluvad lisaks eelmistele ka puhas kvint (3/2) ja puhas kvart (4/3) limiit-5, millesse kuuluvad lisaks eelmistele ka puhas suur terts (5/4), puhas väike terts (6/5) ja puhas väike sekst (8/5) limiit-7, millesse kuuluvad lisaks eelmistele ka harmooniline septim ehk limiit-7 kitsas väike septim (7/4) limiit-11, millesse kuulub lisaks eelmistele ka limiit-11 trotoon ehk "alpisarve-Fa" (11/8, the undecimal tritone or "Alphorn-Fa" limiit-13 limiit-17 limiit-19 limiit-23 limiit-29 limiit-31 limiit-41 limiit-47 limiit-61 Intervalli paarituarvuline ja algarvuline limiit: Identiteediks (identity) nimetab Partch iga paaritut arvu, kaasa arvatud paarituarvuline limiit. Näiteks limiit-3 häälestuse identiteedid on 1, 3 ja 5. Iga paaritu arv esindab uut helikõrgust osahelireas, määrates nii ka häälestuse identiteedi: C C G C E G B C D E F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... Samas näiteks arv 9, kuna tegu ei ole algarvuga, ei saa olla muusika samaseks arvuks vaid seetõttu, et ta on paaritu arv. Partch määratleb tonaalsuse puhul samasusena korrelatiive ("identity" as "one of the correlatives) O-tonaalsus (Otonality) ja U-tonaalsus (U-tonality) või mažoor ja minoor. Vastavalt on Partch tuletanud ka mõisted "ülemine identiteet" (Over-Identity ehk odentity) ja "alumine identiteet" (Under-Identity ehk udentity). "Alumine identiteet on U-toaalsuse identiteet (An udentity is an identity of an utonality)". Bart Hopkin, Musical Instrument Design: Practical Information for Instrument Design (Tucson, Ariz.: See Sharp Press. 1996), p. 160. ISBN 1-884365-08-6. Harry Partch, Genesis of a Music: An Account of a Creative Work, Its Roots, and Its Fulfillments, second edition, enlarged (New York: Da Capo Press, 1974), p. 73. ISBN 0-306-71597-X; ISBN 0-306-80106-X (pbk reprint, 1979). Paul Erlich, "The Forms of Tonality: A Preview". Some Music Theory from Paul Erlich (2001), pp. 1–3. Vaadatud 29.05.2010. Partch, Harry (1979). Genesis Of A Music: An Account Of A Creative Work, Its Roots, And Its Fulfillments, p.93. ISBN 0-306-80106-X. Partch (1979), p.71. Dunn, David, ed. (2000). Harry Partch: An Anthology of Critical Perspectives, p.28. ISBN 9789057550652. Udentity. Tonalsoft. Vaadatud 23.10.2013.