Regulaarne funktsioon

Ühe muutuja regulaarne funktsioon ehk holomorfne funktsioon on kompleksmuutuja funktsioon f : U → C {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} } . mille määramispiirkond on lahtine hulk U ning mis on diferentseeruv hulga U igas punktis. Kuigi see definitsioon on analoogiline diferentseeruva reaalmuutuja funktsiooni definitsiooniga, osutub kompleksmuutuja funktsiooniteoorias, et erinevalt reaalmuutuja funktsioonide diferentseeruvusest on tegu väga tugeva omadusega. Näiteks on regulaarne funktsioon alati lõpmatu arv kordi diferentseeruv funktsioon ning ta on igas punktis arendatav astmeritta (analüütiline funktsioon). Et regulaarsed funktsioonid langevad kokku analüütiliste kompleksmuutuja funktsioonidega, siis nimetatakse neid kompleksmuutuja funktsiooniteoorias sageli analüütilisteks funktsioonideks. Funktsiooni regulaarsus on defineeritav ka mitme muutuja funktsioonide korral. Olgu U ⊂ C {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } komplekstasandi lahtine alamhulk ning z 0 ∈ U {\displaystyle z_{0}\in U} punkt selles alamhulgas. Funktsiooni f : U → C {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} } nimetatakse kompleksselt diferentseeruvaks funktsiooniks punktis z 0 {\displaystyle z_{0}} , kui eksisteerib piirväärtus lim h → 0 h + z 0 ∈ U f ( z 0 + h ) − f ( z 0 ) h {\displaystyle \lim _{{h\rightarrow 0} \atop {h+z_{0}\in U}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}} . Sel juhul tähistatakse seda piirväärtust   f ′ ( z 0 ) {\displaystyle \ f'(z_{0})} . Funktsiooni f {\displaystyle f} nimetatakse regulaarseks punktis z 0 {\displaystyle z_{0}} , kui eksisteerib punkti z 0 {\displaystyle z_{0}} ümbrus, milles f {\displaystyle f} on kompleksselt diferentseeruv funktsioon. Kui f {\displaystyle f} on regulaarne kogu komplekstasandil C {\displaystyle \mathbb {C} } , siis nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f} täisfunktsiooniks. Mitte iga diferentseeruv funktsioon f : U → R 2 {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} , kus U ⊂ R 2 {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}} , ei osutu regulaarseks, kui käsitada teda funktsioonina komplekstasandil. Reaalarvude puhul nimetatakse funktsiooni diferentseeruvaks, kui eksisteerib niisugune R {\displaystyle \mathbb {R} } -lineaarne kujutus A {\displaystyle A} , et kehtib võrrand f ( x + h ) = f ( x ) + A ( h ) + r ( h ) {\displaystyle f(x+h)=f(x)+A(h)+r(h)} , kus r {\displaystyle r} on funktsioon, mille korral lim h → 0 r ( h ) | h | = 0 {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {r(h)}{|h|}}=0} . Regulaarsete funktsioonide korral peab A {\displaystyle A} olema C {\displaystyle \mathbb {C} } -lineaarne, mis tähendab tugevat kitsendust. Funktsioon f ( x + i y ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystyle f\left(x+iy\right)=u\left(x,y\right)+i\,v\left(x,y\right)} on kompleksselt diferentseeruv parajasti siis, kui u , v {\displaystyle u,v} on pidevalt osaliselt diferentseeruvad ning on rahuldatud Cauchy-Riemanni võrrandid ∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}} ja ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}} . Järgmised funktsioonid on regulaarsed kogu komplekstasandil C {\displaystyle \mathbb {C} } : iga polünomiaalfunktsioon z ↦ ∑ j = 0 n a j z j {\displaystyle \textstyle z\mapsto \sum _{j=0}^{n}a_{j}z^{j}} koefitsientidega a j ∈ C {\displaystyle a_{j}\in \mathbb {C} } eksponentsiaalfunktsioon exp {\displaystyle \exp } trigonomeetrilised funktsioonid sin {\displaystyle \sin } ja cos {\displaystyle \cos } hüperboolsed funktsioonid sinh {\displaystyle \sinh } ja cosh {\displaystyle \cosh } Järgmised funktsioonid ei ole mitte üheski punktis z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } kompleksmuutuja diferentseeruvad funktsioonid ega ole seega ka mitte kuskil regulaarsed: moodulifunktsioon z ↦ | z | {\displaystyle z\mapsto |z|} projektsioonid reaalosale z ↦ R e ( z ) {\displaystyle z\mapsto \mathrm {Re} (z)} ja imaginaarosale z ↦ I m ( z ) {\displaystyle z\mapsto \mathrm {Im} (z)} kaaskompleksarvu võtmine z ↦ z ¯ {\displaystyle z\mapsto {\overline {z}}} Kui f , g : U → C {\displaystyle f,g:U\rightarrow \mathbb {C} } on kompleksselt diferentseeruvad punktis z ∈ U {\displaystyle z\in U} , siis on seda ka f + g {\displaystyle f+g} ja f − g {\displaystyle f-g} . Kui g ( z ) ≠ 0 {\displaystyle g(z)\neq 0} , siis on ka f g {\displaystyle {\frac {f}{g}}} punktis z ∈ U {\displaystyle z\in U} kompleksselt diferentseeruv. Peale selle, kehtivad summa tuletise reegel, korrutise tuletise reegel, jagatise tuletise reegel ja liitfunktsiooni diferentseerimise reegel. Järgnevad regulaarsete funktsioonide omadused, millel puudub vaste reaalmuutuja funktsioonide korral. Järgnevas olgu U ⊂ C {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } piirkond ja f : U → C {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} } regulaarne. Kui U ⊂ C {\displaystyle U\subset \mathbb {C} } on ühelisidus ja γ {\displaystyle \gamma } on tsükkel alamhulgas U {\displaystyle U} , siis kehtib Cauchy integraalteoreem ∫ γ f ( z ) d z = 0 . {\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\mathrm {d} z=0\!\,.} Cauchy integraalvalem Jürimäe, E. (1983). Kompleksmuutuja funktsioonide teooria lühikursus. Tallinn: Valgus.