Ühisosata hulgad

Kaht hulka nimetatakse ühisosata hulkadeks ehk mittelõikuvateks hulkadeks ehk lõikumatuteks hulkadeks ehk disjunktseteks hulkadeks, kui neil pole ühtki ühist elementi. Näiteks {1, 2, 3} ja {4, 5, 6} on ühisosata hulgad. Rohkem kui kaht hulka nimetatakse paarikaupa ühisosata hulkadeks ehk paarikaupa mittelõikuvateks hulkadeks ehk paarikaupa lõikumatuteks hulkadeks ehk paarikaupa disjunktseteks hulkadeks, kui iga kaks eri hulka nende seast on ühisosata hulgad. Näiteks {1, 2, 3}, {4, 5, 6} ja (7, 8, 9) on paarikaupa ühisosata hulgad. Kaht hulka A ja B nimetatakse ühisosata hulkadeks, kui nende ühisosa on tühi hulk, st kui A ∩ B = ∅ . {\displaystyle A\cap B=\varnothing .\,} Kõikide paarisarvude hulk ja kõikide paaritute arvude hulk on ühisosata hulgad. Kuu peal käinud inimeste hulk ja USA presidentide hulk on ühisosata hulgad. Kõikide algarvude hulk ja kõikide paarisarvude hulk ei ole ühisosata hulgad, sest neil on ühine element 2. Tühi hulk ja mis tahes hulk on ühisosata hulgad. Hulgad A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} ja B = { 7 , 8 , 11 } {\displaystyle B=\{7,8,11\}} on ühisosata hulgad, sest neil puudub ühine element. Hulgad A = { 1 , 2 , 7 } {\displaystyle A=\{1,2,7\}} ja B = { 6 , 7 , 8 , 11 } {\displaystyle B=\{6,7,8,11\}} ei ole ühisosata hulgad, sest neil on ühine element 7. Kaks eri sirget tasandil on ühisosata hulgad parajasti siis, kui nad on omavahel paralleelsed. Sirge ning kõik sellega paralleelsed sirged moodustavad klassijaotuse tasandil. Reaalarvude hulk ja imaginaararvude hulk ei ole ühisosata hulgad, sest 0 kui kompleksarv on nii reaalarv kui ka imaginaararv. Hulgad { a } {\displaystyle \{a\}} ja B {\displaystyle B} on ühisosata hulgad parajasti siis, kui a ∉ B {\displaystyle a\notin B} . Olgu I indeksite hulk, ning olgu hulga iga I iga elemendi i korral Ai mingi hulk. Siis indekseeritud hulk {Ai: i ∈ I} on paarikaupa ühisosata, kui hulga I iga kahe elemendi i ja j korral, mille puhul i ≠ j, kehtib A i ∩ A j = ∅ . {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing .\,} Näiteks hulkade kogum { {1}, {2}, {3}, ... } on paarikaupa ühisosata. Kui {Ai} on paarikaupa ühisosata hulkade kogum, milles on vähemalt kaks hulka, siis selle lõige on tühi: ⋂ i ∈ I A i = ∅ . {\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing .\,} Tõepoolest, kui selle lõige ei oleks tühi, siis leiduks element, mis on kõigile hulkadele ühine. See element oleks ühine ka igale kahele hulgale nende seast, mistõttu see kogum ei oleks paarikaupa ühisosata. Ent ümberpöördu pole tõsi. Näiteks kogumi {{1, 2}}, {2, 3}, {{3, 1}} lõige on tühi hulk, kuid see kogum ei ole paarikaupa ühisosata. Veel enam, igal hulkade paaril selles leidub ühine element. Olgu I = N {\displaystyle I=\mathbb {N} } indeksite hulk ja iga i ∈ I {\displaystyle i\in I} korral A i = { i , − i } {\displaystyle A_{i}=\{i,-i\}} . Siis A i {\displaystyle A_{i}} on paarikaupa ühisosata. See on klassijaotus täisarvude hulgal. Olgu I = N {\displaystyle I=\mathbb {N} } indeksite hulk ja iga i ∈ I {\displaystyle i\in I} korral A i = { i , i + 1 } {\displaystyle A_{i}=\{i,i+1\}} . Siis hulgad A i {\displaystyle A_{i}} ei ole paarikaupa ühisosata. Kolm hulka A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} , B = { 4 , 5 } {\displaystyle B=\{4,5\}} ja C = { 5 , 6 , 7 } {\displaystyle C=\{5,6,7\}} ei ole paarikaupa ühisosata hulgad, sest B ∩ C {\displaystyle B\cap C} ei ole tühi hulk.  Pikemalt artiklis Lõikumatu ühend Hulkade indekseeritud hulga ühendit X nimetatakse lõikumatuks ühendiks ja tähistatakse nii: X = ⋃ i ∈ I ˙ X i {\displaystyle X={\dot {\bigcup _{i\in I}}}X_{i}} Lõpliku arvu hulkade lõikumatu ühendi võimsus võrdub nende hulkade võimsuste summaga.  Pikemalt artiklis Klassijaotus Hulga X klassijaotus on selle hulga mittetühjade alamhulkade kogum {Ai : i ∈ I}, mille korral {Ai} on paarikaupa ühisosata ja ⋃ i ∈ I A i = X . {\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X.\,} Peaaegu ühisosata hulgad Lõikumatu ühend