Lamedus (juhtimissüsteemide teooria)

Lamedus on süsteemiteoorias juhtimissüsteemide omadus, mis üldistab lineaarsete süsteemide juhitavuse omadust. Niisugust juhtimissüsteemi, millel on lameduse omadus nimetatakse lamedaks juhtimissüsteemiks. Lameduse omadus garanteerib, et juhtimissüsteem on dünaamilise olekutagasiside ning olekuteisendusega teisendatav lineaarseks juhitavaks süsteemiks. Tõene on ka vastupidine lause, st kui juhtimissüsteem on dünaamilise olekutagasiside ning olekuteisendusega teisendatav lineaarseks juhitavaks süsteemiks, siis on ta lame. Igal lamedal süsteemil leidub nn. lame väljund, mille kaudu on võimalik esitada süsteemi kõik olekud ja sisendid ehk süsteemi muutujad. Lamedaid väljundeid nimetatakse ka lineariseerivateks väljunditeks kuna nende põhjal leitakse vajalikud teisendused, mis teisendavad süsteemi lineaarseks juhitavaks süsteemiks. Algselt defineeriti lamedus kasutades diferentsiaalalgebral põhinevat lähenemist. Sel lähenemisel vaadeldakse süsteemi kui diferentsiaalkorpust, mis on genereeritud süsteemi muutujate poolt. Niisugust süsteemi nimetatakse lamedaks kui leiduvad muutujad, mille vektorit nimetatakse lamedaks väljundiks, nii et antud süsteem on algebraline üle diferentsiaalkorpuse, mis on genereeritud lameda väljundi poolt. Kuna esialgne definitsioon on tugevalt seotud diferentsiaalalgebral põhineva lähenemisega, siis enamasti on lamedus defineeritud teistmoodi. Kolm peamist definitsiooni lähtuvad kas süsteemi trajektooridest, Lie-Bäcklundi ekvivalentsiseosest või süsteemi kirjeldavate võrrandite struktuurist. Kõik need definitsioonid on samaväärsed. Juhtimissüsteemi nimetatakse lamedaks, kui kõik tema trajektoorid on võimalik parameetriseerida funktsiooni y ( t ) = ( y 1 ( t ) , … , y m ( t ) ) {\displaystyle y(t)=(y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))} ja lõpliku arvu selle tuletiste kaudu. Arv m tähistab sealjuures süsteemi sisendite arvu. Vektorit y(t) nimetatakse süsteemi lamedaks väljundiks. Antud definitsioon on küllalt üldine, sest ei nõua süsteemi kujutamist olekuvõrrandite abil. Juhtimissüsteemi, millel on m sisendit, nimetatakse lamedaks kui ta on Lie-Bäcklundi ekvivalentsiseose järgi ekvivalentne triviaalse süsteemiga. Antud kontekstis mõistetakse triviaalse süsteemi all ilma dünaamikata süsteemi, mida kirjeldavad sõltumatud muutujad { y 1 ( t ) , … , y m ( t ) {\displaystyle y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t)} }, mille tuletised ei ole omavahel seotud läbi ühegi seose. Vektorit y ( t ) = ( y 1 ( t ) , … , y m ( t ) ) {\displaystyle y(t)=(y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))} nimetatakse süsteemi lamedaks väljundiks. Sealjuures on Lie-Bäcklundi ekvivalentsiseos defineeritud järgnevalt. Kaks süsteemi on ekvivalentsed kui ühe süsteemi kõik muutujad on võimalik esitada teise süsteemi muutujate ja lõpliku arvu tuletiste kaudu ning vastupidi. Tavaliselt defineeritakse lamedus siiski lähtuvalt süsteemi olekuvõrrandite struktuurist. Juhtimissüsteemi, mida kirjeldavad võrrandid x ˙ ( t ) = f ( x ( t ) , u ( t ) ) , {\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x(t),u(t))\,,} kus x ( t ) ∈ R n {\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}} on süsteemi olek, u ( t ) ∈ R m {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{m}} on süsteemi sisend ja rank ⁡ ∂ f ( x , u ) ∂ u = m {\displaystyle \operatorname {rank} {\frac {\partial f(x,u)}{\partial u}}=m} , nimetatakse lamedaks kui leidub väljund y ( t ) = ( y 1 ( t ) , … , y m ( t ) ) {\displaystyle y(t)=(y_{1}(t),\ldots ,y_{m}(t))} , mis rahuldab järgnevaid tingimusi: y ( t ) = Φ ( x ( t ) , u ( t ) , u ˙ ( t ) , … , u ( r ) ( t ) ) {\displaystyle y(t)=\Phi (x(t),u(t),{\dot {u}}(t),\ldots ,u^{(r)}(t))} x ( t ) = Ψ x ( y ( t ) , y ˙ ( t ) , … , y ( s ) ( t ) ) {\displaystyle x(t)=\Psi _{x}(y(t),{\dot {y}}(t),\ldots ,y^{(s)}(t))} ja u ( t ) = Ψ u ( y ( t ) , y ˙ ( t ) , … , y ( s + 1 ) ( t ) ) {\displaystyle u(t)=\Psi _{u}(y(t),{\dot {y}}(t),\ldots ,y^{(s+1)}(t))} y(t) ja tema tuletised on sõltumatud, st ei rahulda ühtegi diferentsiaalvõrrandit φ ( y ( t ) , y ˙ ( t ) , … , y ( k ) ( t ) ) = 0 {\displaystyle \varphi (y(t),{\dot {y}}(t),\ldots ,y^{(k)}(t))=0} . Väljundit y(t), mis rahuldab neid tingimusi nimetatakse lamedaks väljundiks. Lameduse omadus ei ole igal süsteemil. Reaalsuses on väga palju süsteeme, mis ei ole lamedad. Seetõttu on oluline osata kontrollida kas antud süsteem on lame või mitte. Igal lamedal süsteemil on lõpmatu arv lamedaid väljundeid. Kui üks lame väljund on teada, siis kombineerides sobivalt selle väljundi komponente on võimalik leida teistsugune lame väljund. Lineaarne juhtimissüsteem on lame siis ja ainult siis kui ta on juhitav. Iga juhtimissüsteem, mis on staatilise olekutagasiside ning olekuteisendusega teisendatav lineaarseks juhitavaks süsteemiks, on lame. Ühe sisendiga (m=1) süsteemi jaoks on viimatine tingimus ka tarvilik, st kui ta on lame, siis on ta ka staatilise olekutagasiside ning olekuteisendusega teisendatav lineaarseks juhitavaks süsteemiks. Nendel erijuhtudel on võimalik lihtsasti kontrollida kas süsteem on lame või mitte. Üldjuhul on lameduse omaduse kontrollimine keerukas. Selleks, et veenduda süsteemi lameduses tuleb enamasti leida vähemalt üks lame väljund. Praktikas on lamedal väljundil tihtipeale füüsikaline tähendus ja sellepärast otsitakse lamedaid väljundeid heuristiliselt. Lameduse omadus on kasulik nii juhtimissüsteemide analüüsis kui ka juhttoime arvutamisel. Eriti kasulik on lamedus juhtimissüsteemide trajektooride planeerimisel ning trajektoori järgimise probleemi lahendamisel. Seda sellepärast, et kogu süsteemi dünaamika, st. trajektoorid, on kirjeldatavad lameda väljundi kaudu. Lamedus on eriti kasulik omadus just mittelineaarsete süsteemide jaoks. Kuna iga lame mittelineaarne juhtimissüsteem on teisendatav lineaarseks juhitavaks süsteemiks, siis niisuguste süsteemide korral on võimalik rakendada meetodeid lineaarsete süsteemide teooriast. Need meetodid on üldjuhul tunduvalt lihtsamad kui spetsiaalselt mittelineaarsete süsteemide jaoks arendatud meetodid. Lameduse omadust on kasutatud paljude süsteemide juhtimisega seotud probleemide lahendamisel, näiteks, trajektoori planeerimisel, trajektoori järgimisel, optimaaljuhtimisel, häiringute mõju vähendamisel, süsteemis vigade avastamiseks jne. M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon (19995) "Flatness and defect of nonlinear systems: introductory theory and examples", International Journal of Control, 61(6):1327-1361, https://doi.org/10.1080/00207179508921959 M. Fliess, J. Lévine, P. Martin, P. Rouchon (1999) "A Lie-Bäcklund Approach to Equivalence and Flatness of Nonlinear Systems", IEEE Transactions on Automatic Control, 44(5):922-937, https://doi.org/10.1109/9.763209 J. Lévine (2009) Analysis and control of nonlinear systems: a flatness-based approach, Berlin:Springer H. Sira-Ramirez, S. Agrawal (2004) Differentially Flat Systems, New York: CRC Press E. Aranda-Bricaire, C. H. Moog, J.-B. Pomet (1995) "A linear algebraic framework for dynamic feedback linearization", IEEE Transactions on Automatic Control, 40(1):127-132, https://doi.org/10.1109/9.362886 Y. J. Kaminski, J. Lévine, F. Ollivier (2018) "Intrinsic and apparent singularities in differentially flat systems, and application to global motion planning", Systems and Control Letters, 113:117-124, https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2018.01.013 T. Faulwasser, V. Hagenmeyer, R. Findeisen (2011) "Optimal exact path-following for constrained differentially flat systems", Proceedings of the IFAC World Congress, p. 9875-9880, Milano, Itaalia, https://doi.org/10.3182/20110828-6-IT-1002.03132 B. Rolle, O. Sawodny (2019) "Flatness based optimal control for induction machine drives", IFAC-PapersOnLine, 52(15):591-596, https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2019.11.740 J. Deutscher, B. Lohmann (2003) "Flatness based asymptotic disturbance rejection for linear and nonlinear systems", Proceedings of the European Control Conference, p. 3183-3188, Cambridge, UK, https://doi.org/10.23919/ECC.2003.7086529 F. Fischer, J. Deutscher (2020) "Flatness-based algebraic fault diagnosis for distributed parameter systems" Automatica, 117:108987, https://doi.org/10.1016/j.automatica.2020.108987