Fresneli valemid

Fresneli valemid on matemaatilised seosed, mis kirjeldavad kahe isotroopse dielektriku lahutuspinnale langeva elektromagnetlaine amplituudi muutust peegeldumisel ja murdumisel. Elektromagnetlainet saab vaadelda kahes omavahel risti polariseeritud osas (s- ja p-polariseeritud kiir), mis dielektriku pinnal erinevalt murduvad või peegelduvad. Milline osa valgusest peegeldub ja milline murdub, sõltub keskkondade murdumisnäitajatest, langemisnurgast ja valguse polarisatsioonist. Fresneli valemid saab tuletada, kasutades Snelli murdumisseadust, langemisnurga α {\displaystyle \alpha } ja peegeldumisnurga γ {\displaystyle \gamma } võrdsust, elektri- ja magnetvälja vahelist seost elektromagnetlaines ϵ ϵ 0 μ μ 0 E = B {\displaystyle {\sqrt {\epsilon \epsilon _{0}\mu \mu _{0}}}E=B} ning tingimust, et elektrivälja E {\displaystyle E} ja magnetvälja tugevuse H {\displaystyle H} tangentsiaalkomponendid ning elektrinihke välja D {\displaystyle D} ja magnetilise induktsiooni B {\displaystyle B} normaalkomponendid on dielektriliste keskkondade lahutuspinnal pidevad. Peegeldumise ja murdumise uurimiseks vaadeldakse valgust kahes lineaarselt polariseeritud osas – langemistasandiga paralleelselt (p-polariseeritud) ning langemistasandiga risti polariseeritud (s-polariseeritud) kiirtena (vastavalt E ∣ ∣ {\displaystyle E^{\mid \mid }} ja E ⊥ {\displaystyle E^{\perp }} ). Polariseeritus on määratud elektrivälja võnkumise suunaga langemistasandi suhtes. Langemistasand on määratud kahe sirgega – langeva kiire ja selle kiire projektsiooniga keskkondade lahutuspinnale. S-polariseeritud valguse puhul võngub elektriväli risti langemistasandiga, p-polariseeritud valguse puhul aga paralleelselt. Peegelduva valguse elektrivälja amplituudväärtus on: s-polariseeritud valguse puhul: E 1 ⊥ = − s i n ( α − γ ) s i n ( α + γ ) E ⊥ {\displaystyle E_{1}^{\perp }=-{\frac {sin(\alpha -\gamma )}{sin(\alpha +\gamma )}}E^{\perp }} p-polariseeritud valguse puhul: E 1 ∣ ∣ = − t a n ( α − γ ) t a n ( α + γ ) E ∣ ∣ {\displaystyle E_{1}^{\mid \mid }=-{\frac {tan(\alpha -\gamma )}{tan(\alpha +\gamma )}}E^{\mid \mid }} Murduva valguse elektrivälja amplituudväärtus on: s-polariseeritud valguse puhul: E 2 ⊥ = 2 c o s α ⋅ s i n γ s i n ( α + γ ) E ⊥ {\displaystyle E_{2}^{\perp }={\frac {2cos\alpha \cdot sin\gamma }{sin(\alpha +\gamma )}}E^{\perp }} p-polariseeritud valguse puhul: E 2 ∣ ∣ = 2 c o s α ⋅ s i n γ s i n ( α + γ ) ⋅ c o s ( α − γ ) E ∣ ∣ {\displaystyle E_{2}^{\mid \mid }={\frac {2cos\alpha \cdot sin\gamma }{sin(\alpha +\gamma )\cdot cos(\alpha -\gamma )}}E^{\mid \mid }} Peegeldavat pinda iseloomustatakse suhtelise energeetilise peegeldumiskoefitsiendiga R {\displaystyle R} ning murdvat keskkonda läbilaskvuskoefitsiendiga T {\displaystyle T} . Energia jäävuse seaduse kohaselt on R + T = 1 {\displaystyle R+T=1} . R = I 1 I = ( E 1 E ) 2 {\displaystyle R={\frac {I_{1}}{I}}=\left({\frac {E_{1}}{E}}\right)^{2}} T = I 2 I = n 2 n 1 ( E 2 E ) 2 ⋅ c o s γ c o s α {\displaystyle T={\frac {I_{2}}{I}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\left({\frac {E_{2}}{E}}\right)^{2}\cdot {\frac {cos\gamma }{cos\alpha }}} Kui langemisnurk α = 0 {\displaystyle \alpha =0} siis valemid lihtsustuvad ning elektrivälja tugevused avalduvad: E 1 ∣ ∣ = E 1 ⊥ = n 1 − n 2 n 1 + n 2 E ∣ ∣ , ⊥ {\displaystyle E_{1}^{\mid \mid }=E_{1}^{\perp }={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}E^{\mid \mid ,\perp }} E 2 ∣ ∣ = E 2 ⊥ = 2 n 1 n 1 + n 2 E ∣ ∣ , ⊥ {\displaystyle E_{2}^{\mid \mid }=E_{2}^{\perp }={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}E^{\mid \mid ,\perp }} elektrivälja amplituudi peegeldumis- ja neeldumiskoefitsiendid avalduvad: r = E 1 E = n 1 − n 2 n 1 + n 2 {\displaystyle r={\frac {E_{1}}{E}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}} t = E 2 E = 2 n 1 n 1 + n 2 {\displaystyle t={\frac {E_{2}}{E}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}} ja energeetilised koefitsiendid avalduvad: R = ( n 1 − n 2 n 1 + n 2 ) 2 {\displaystyle R=\left({\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\right)^{2}} T = 4 n 1 n 2 ( n 1 + n 2 ) 2 {\displaystyle T={\frac {4n_{1}n_{2}}{(n_{1}+n_{2})^{2}}}} Kui α > γ {\displaystyle \alpha >\gamma } ehk valgus murdub optiliselt hõredamast keskkonnast optiliselt tihedamasse keskkonda, siis langemisnurga suurenedes peegeldumisel E 1 ∣ ∣ {\displaystyle E_{1}^{\mid \mid }} amplituud väheneb, E 1 ⊥ {\displaystyle E_{1}^{\perp }} aga kasvab. Kui α + γ = π 2 {\displaystyle \alpha +\gamma ={\frac {\pi }{2}}} siis Fresneli valemite põhjal läheneb nimetaja lõpmatusele ning E 1 ∣ ∣ → 0 {\displaystyle E_{1}^{\mid \mid }\rightarrow 0} . Sellist langemisnurka α B {\displaystyle \alpha _{B}} nimetatakse Brewsteri nurgaks (nurk, mille all valguse langedes materjalile läheb materjalist läbi nii s- kui ka p-polariseeritud valgus, kuid peegeldub vaid s-polariseeritud valgus). Kui valgus langeb Brewsteri nurgast väiksema nurga all, on langev ja peegelduv p-polariseeritud valguskiir vastasfaasis. Kui valgus langeb Brewsteri nurgast suurema nurga all, on langev ja peegelduv p-polariseeritud valguskiir samas faasis. S-polariseeritud langev ja peegelduv kiir on alati vastasfaasis. Langev ja murduv kiir on alati samas faasis. Kui α < γ {\displaystyle \alpha <\gamma } ehk valgus murdub optiliselt tihedamast keskkonnast optiliselt hõredamasse keskkonda, siis eksisteerib langemisnurk α p {\displaystyle \alpha _{p}} , mille korral murdumisnurk saab võrdseks γ = π 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {\pi }{2}}} . Sellist nurka nimetatakse täieliku sisepeegeldumise piirnurgaks. Kui α > α p {\displaystyle \alpha >\alpha _{p}} , siis kogu valgus peegeldub.