Kera

Kera on matemaatikas teatav ruumi punktihulk, kerapinna ehk sfääri sisemus. Elementaarmatemaatikas ja tavakeeles mõeldakse kera all kera "tavalises kolmemõõtmelises ruumis" ehk kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis, kuid matemaatikas üldistatakse kera mõistet ka n {\displaystyle n} -mõõtmelisele eukleidilisele ruumile (kus n {\displaystyle n} on suvaline naturaalarv) ning veel üldisemalt kõigile meetrilistele ruumidele. Selles alajaotuses nimetatakse ruumiks kolmemõõtmelist eukleidilist ruumi, nagu sõna ruum igapäevakeeles ja elementaarmatemaatikas mõistetakse. Kera on ruumi antud punktist O teatud kaugusel r>0 või lähemal olevate punktide hulk. Punkti O nimetatakse kera keskpunktiks ja positiivset reaalarvu r kera raadiuseks. Kera on seega punktihulk, milles ühegi punkti X kaugus kera keskpunktist O ei ole suurem kui kera raadius r : { X ∈ E   :   | O X | ≤ r } , {\displaystyle \{X\in E\ :\ \left|OX\right|\leq r\},} kus E {\displaystyle E} on vaadeldava ruumi kõigi punktide hulk. Kera pinnaks nimetatakse kera keskpunktist O täpselt kaugusel r olevate punktide hulka. Kera pind on sfäär ehk kerapind. Kera läbimõõt on sirglõik, mis ühendab kaht kerapinna ehk sfääri punkti ja läbib kera keskpunkti. Kõik diameetrid on võrdse pikkusega. Kera võib defineerida ka sfääri kaudu: kera on sfäär koos punktidega, mille kaugus sfääri keskpunktist on väiksem kui sfääri raadius (kera raadius). Sel juhul langeb kera keskpunkt kokku sfääri keskpunktiga ja kera raadius sfääri raadiusega. Sfäär osutub niiviisi defineeritava kera pinnaks. Niiviisi defineeritud kera nimetatakse ka kinniseks keraks. Lahtine kera erineb kinnisest kerast selle poolest, et kera pinna punktid on vastavast hulgast välja arvatud: { X ∈ E   :   | O X | < r } . {\displaystyle \{X\in E\ :\ \left|OX\right|<r\}.} Kera tekib ringi pöörlemisel ümber oma diameetri, seega on kera pöördkeha. Et kera piirav pind sfäär on pöördpind, siis kera on pöördkeha. Sfääri keskpunkt, raadius ja diameeter on ühtlasi ka kera keskpunktiks, raadiuseks ning diameetriks. Kera iga tasapinnaline lõige on ring. Mida lähemal on lõiketasand kera keskpunktile, seda suurem on lõikeringi raadius. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis on lõikeringi raadiuseks kera raadius ja lõiget nimetatakse suurringiks. Kõiki teisi lõikeid nimetatakse väikeringideks. Kaht kerapinna punkti, mis ei ole ühe diameetri otspunktideks, läbib ainult üks suurringjoon. Kera lõikav tasand jaotab ta kaheks kera segmendiks ja kerapinna kaheks sfääri segmendiks. Kera segmendi põhjaks on kera lõige. Mõlema segmendi kõrguseks on segmendi põhjaga ristuv lõik põhja keskpunktist sfäärini. Sfääri osa kahe paralleelse lõiketasandi vahel nimetatakse kera vööks ja kera osa samade tasandite vahel kera kihiks. Lõiketasandite vaheline kaugus on kihi kõrgus. Tasandit, millel on kerapinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse kera puutujatasandiks selles punktis. Puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Kera pindala on: S = 4 π r 2 = π d 2 . {\displaystyle S=4\pi r^{2}\,=\pi d^{2}.\,} Viimane valem on tuletatav piirväärtuse mõiste abil. Selleks leitakse esiteks sama diameetri ümber pöörleva korrapärase kõõlmurdjoone poolt moodustatud pinna pindala ning vaadeldakse seejärel piirvärtus protsessis, kus murdjoone lülide arv lõpmatusele läheneb. Kera ruumala võrdub ühe kolmandikuga kera pindala ja raadiuse korrutisest: V = 1 3 × 4 π r 2 × r = 4 3 π r 3 . {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\times 4\pi r^{2}\times r={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.} n-mõõtmelises eukleidilises ruumis En nimetatakse lahtiseks keraks Br(p) punktist p (kera keskpunktist) väiksemal kaugusel kui r (kera raadius) olevate punktide hulka. Olgu X meetriline ruum, kus punktide x ja y vaheline kaugus on ρ(x,y). Olgu a meetrilise ruumi fikseeritud element (a∈X) ja r positiivne reaalarv (r>0). Hulka B ( a , r ) = { x ∈ X : ρ ( x , a ) < r } {\displaystyle B(a,r)=\left\{x\in X:\rho (x,a)<r\right\}} nimetatakse lahtiseks keraks ja hulka B ¯ ( a , r ) = { x ∈ X : ρ ( x , a ) ≤ r } {\displaystyle {\bar {B}}(a,r)=\left\{x\in X:\rho (x,a)\leq r\right\}} kinniseks keraks. Elementi a {\displaystyle a} nimetatakse kera keskpunktiks ja arvu r {\displaystyle r} kera raadiuseks. Sfäär