Laplace teisendus

Laplace'i teisendus on funktsiooni integraalteisendus, mis teisendab ajadomeeni funktsiooni f ( t ) {\displaystyle f(t)} , kus muutuja t ∈ {\displaystyle t\in } [ 0 , ∞ ) {\displaystyle [0,\infty )} Laplace'i sagedusdomeeni funktsiooniks F ( s ) {\displaystyle F(s)} , kus s on kompleksarv s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } , σ {\displaystyle \sigma } on reaalosa ning ω {\displaystyle \omega } imaginaarosa. Kõnealune teisendus on nimetatud Laplace’i teisenduseks prantsuse matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Pierre-Simon Laplace’i (1749−1827) auks, kes kasutas seda teisendust esmakordselt oma tõenäosusteooria alases töös aastal 1782. Laplace'i teisendus on tööriist, mida kasutatakse palju inseneriteaduses. Dünaamilist juhtimissüsteemi, olgu see siis elektriline, mehaaniline, termiline, hüdrauliline jne, saab esitada diferentsiaalvõrrand<iga. Süsteemi diferentsiaalvõrrand tuletatakse süsteemi reguleerivate füüsikaliste seaduste järgi. Süsteemi kirjeldava diferentsiaalvõrrandi lahendamise hõlbustamiseks teisendatakse võrrand algebralisele kujule. See teisendus tehakse Laplace'i teisendustehnika abil. Laplace'i pöördteisenduse abil saab teisendada sagedusdomeeni funktsiooni tagasi ajadomeeni funktsiooniks. Laplace'i teisendust kasutatakse palju juhtimissüsteemides ja robootikas, samuti signaalitöötluses ja elektroonikas. Teisendust kujul F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t , {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,} mis seab funktsioonile f {\displaystyle f} vastavusse funktsiooni F {\displaystyle F} , nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f} Laplace’i teisenduseks. Kui eksisteerib lõplik piirväärtus lim τ → ∞ ∫ 0 τ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle \lim _{\tau \to \infty }\int _{0}^{\tau }e^{-st}f(t)\,dt} , siis integraal ∫ 0 ∞ e − s t f ( t ) d t {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt} koondub ja funktsioonil on olemas Laplace'i teisendus, vastasel juhul integraal hajub ja funktsioonil ei ole Laplace'i teisendust. Oluline on tähele panna, et Laplace'i teisendus on defineeritud ainult t ⩾ 0 , s ⩾ 0 {\displaystyle t\geqslant 0,s\geqslant 0} korral. Laplace'i teisendus eksisteerib ainult teatud funktsioonide klassil ja sellesse klassi kuuluvaid funktsioone nimetatakse originaalideks. Funktsiooni f {\displaystyle f} nimetatakse originaaliks, kui see rahuldab järgmisi tingimusi: 1. Funktsioon on tükiti pidev lõigus [ a , b {\displaystyle a,b} ], kui leidub lõplik jaotus osalõikudeks punktidega a = κ 1 < κ 2 < . . . < κ n = b {\displaystyle a=\kappa _{1}<\kappa _{2}<...<\kappa _{n}=b} , ( n ∈ N ) {\displaystyle (n\in \mathbb {N} )} nii, et igas vahemikus ( κ i , κ i + 1 {\displaystyle \kappa _{i},\kappa _{i+1}} ) on funktsioon f {\displaystyle f} pidev ja punktid κ i {\displaystyle \kappa _{i}} , i ∈ { 1 , . . . , n } {\displaystyle i\in \{1,...,n\}} , on funktsiooni f {\displaystyle f} katkevuspunktideks. Funktsioon f {\displaystyle f} on tükiti pidev poollõigus [ 0 , ∞ {\displaystyle 0,\infty } ), kui ta on iga N > 0 {\displaystyle N>0} korral tükiti pidev lõigus [ 0 , N {\displaystyle 0,N} ]. 2. Funktsioon f {\displaystyle f} on eksponentsiaalse kasvuga σ {\displaystyle \sigma } poollõigus [ 0 , ∞ {\displaystyle 0,\infty } ), kui leiduvad konstandid M > 0 {\displaystyle M>0} ja σ ⩾ 0 {\displaystyle \sigma \geqslant 0} nii, et iga t ⩾ 0 {\displaystyle t\geqslant 0} korral | f ( t ) | ⩽ M e σ t {\displaystyle |f(t)|\leqslant Me^{\sigma t}} . Allpool on välja toodud mõned Laplace'i teisenduse omadused. Olgu meil funktsioonid f ( t ) {\displaystyle f(t)} ja g ( t ) {\displaystyle g(t)} , millel leiduvad vastavad Laplace'i teisendused F ( s ) {\displaystyle F(s)} ja G ( s ) {\displaystyle G(s)} . Teisendustele rakenduvad järgmised omadused: 1. Lineaarsus. a f ( t ) + b g ( t ) ⟷ a F ( s ) + b G ( s ) {\displaystyle af(t)+bg(t)\longleftrightarrow aF(s)+bG(s)} ; 2. Diferentseerimine. f ( n ) ( t ) ⟷ s n F ( s ) − ∑ k = 1 n s n − k f ( k − 1 ) ( 0 ) {\displaystyle f^{(n)}(t)\longleftrightarrow s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0)} 3. Integreerimine. ∫ 0 t f ( x ) d x ⟷ 1 s F ( s ) {\displaystyle \int _{0}^{t}f(x)\,dx\longleftrightarrow {1 \over s}F(s)} 4. Korrutamine. f ( t ) g ( t ) ⟷ 1 2 π j F ( s ) ∗ G ( s ) {\displaystyle f(t)g(t)\longleftrightarrow {\frac {1}{2\pi j}}F(s)\ast G(s)} 5. Konvolutsioon. f ( t ) ∗ g ( t ) ⟷ F ( s ) G ( s ) {\displaystyle f(t)\ast g(t)\longleftrightarrow F(s)G(s)} Järgnev tabel näitab kõige levinumate funktsioonide Laplace'i teisendusi. Thibault, Kim. "Laplace Transform: A First Introduction". mathvault.ca. Vaadatud 17. aprill 2022. Jõgi, Aksel (2003). Integraalteisendused. Tallinn: TTÜ kirjastus. Lk lk 319−331. "Laplace Transform Table, Formula, Examples & Properties". Vaadatud 18. aprill 2022. "Inverse Laplace Transforms". Vaadatud 18. aprill 2022. Laanemaa, Anna Marita. "Laplace'i teisenduse kasutamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisel". Vaadatud 17. aprill 2022. Anderson, Tim. "Laplace Transforms". Vaadatud 29. mai 2022. "Laplace Transforms Properties". Vaadatud 18. aprill 2022. Weisstein, Eric W. "Laplace Transform". mathworld.wolfram.com. Vaadatud 18. aprill 2022.