Normaalvõnkumine

Normaalvõnkumine ehk normaalmood on võnkuva süsteemi võnkevorm, mille puhul kõik süsteemi osad võnguvad lihtharmooniliselt ehk samal sagedusel. Seega liigub iga süsteemi osa ajas sinusoidselt sama võnkesageduse ja algfaasiga. Normaalvõnkumistele omaseid sagedusi nimetatakse ka süsteemi omavõnkesagedusteks. Igal füüsilisel kehal, näiteks ehitisiel või ka molekulil on oma normaalvõnkevormid, mis sõltuvad nende struktuurist, omadustest ja piiravatest rajatingimustest. Ühed lihtsaimad süsteemid, mille normaalvõnkumisi kirjeldada on seotud lihtharmoonilised ostsillaatorid. Näide seotud lihtharmoonilistest ostsillaatoritest on näiteks kahe võrdse massiga m keha horisontaalne sumbuvuseta võnkumine, kui kehad on ühendatud omavahel vedruga ja mõlemad kehad on ühendatud teiselt poolt vedruga liikumatu seina külge. Kõigi kolme vedru deformatsioonid alluvad Hooke'i seadusele ja kõigil on sama jäikus k. Kirjeldatud sümmeetrilist olukorda illustreerib allolev joonis: Märgime vasakpoolse massi m1 horisontaalset siiret x1(t) ja parempoolse massi m2 horisontaalset siiret vastavalt x2(t). Seejuures eeldame, et massid on võrdse suurusega m1= m2= m. Tähistades kiirendust ehk siirde x(t) teist tuletist aja järgi vastavalt x ¨ {\displaystyle \scriptstyle {\ddot {x}}} saame liikumisvõrrandid kirjutada kujul: m x ¨ 1 = − k x 1 + k ( x 2 − x 1 ) = − 2 k x 1 + k x 2 m x ¨ 2 = − k x 2 + k ( x 1 − x 2 ) = − 2 k x 2 + k x 1 {\displaystyle {\begin{aligned}m{\ddot {x}}_{1}&=-kx_{1}+k(x_{2}-x_{1})=-2kx_{1}+kx_{2}\\m{\ddot {x}}_{2}&=-kx_{2}+k(x_{1}-x_{2})=-2kx_{2}+kx_{1}\end{aligned}}} Kuna normaalvõnkumise korral peab mõlema massi võnkumine olema lihtharmooniline võib mõlema liikumise lahendi kirja panna kujul: x 1 ( t ) = A 1 e i ω t x 2 ( t ) = A 2 e i ω t {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}(t)&=A_{1}e^{i\omega t}\\x_{2}(t)&=A_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}} Asendades need liikumisvõrranditesse, saame: − ω 2 m A 1 e i ω t = − 2 k A 1 e i ω t + k A 2 e i ω t − ω 2 m A 2 e i ω t = k A 1 e i ω t − 2 k A 2 e i ω t {\displaystyle {\begin{aligned}-\omega ^{2}mA_{1}e^{i\omega t}&=-2kA_{1}e^{i\omega t}+kA_{2}e^{i\omega t}\\-\omega ^{2}mA_{2}e^{i\omega t}&=kA_{1}e^{i\omega t}-2kA_{2}e^{i\omega t}\end{aligned}}} jagades võrrandid e i ω t {\displaystyle e^{i\omega t}} , saame: ( ω 2 m − 2 k ) A 1 + k A 2 = 0 k A 1 + ( ω 2 m − 2 k ) A 2 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}(\omega ^{2}m-2k)A_{1}+kA_{2}&=0\\kA_{1}+(\omega ^{2}m-2k)A_{2}&=0\end{aligned}}} antud võrrandisüsteem on esitatav maatrikskujul: [ ω 2 m − 2 k k k ω 2 m − 2 k ] ( A 1 A 2 ) = 0 {\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0} Kui võrrandisüsteemil leiduvad ühesed lahendid peab maatriksil determinant võrduma nulliga, seega: ( ω 2 m − 2 k ) 2 − k 2 = 0 {\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0} Lahendades selle ruutvõrrandi ω {\displaystyle \omega } suhtes, saame kaks positiivset lahendit: ω 1 = k m ω 2 = 3 k m {\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}} Asendades ω1 võrrandisüsteemi ja lahendades (A1, A2) suhtes saame vastuseks (1, 1). Asendades ω2 võrrandisüsteemi, saame (1, −1). Neid vektoreid nimetatakse omavektoriteks ja vastavaid sagedusi omaväärtusteks. Esimene normaalvõnkevorm on seega: η → 1 = ( x 1 1 ( t ) x 2 1 ( t ) ) = c 1 ( 1 1 ) cos ⁡ ( ω 1 t + φ 1 ) , {\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})},} mis vastab liikumisele, kus mõlemad massid liiguvad samasuunaliselt. Seda süsteemi normaalvõnkumist nimetatakse antisümmeetriliseks. Teine normaalvõnkevorm on: η → 2 = ( x 1 2 ( t ) x 2 2 ( t ) ) = c 2 ( 1 − 1 ) cos ⁡ ( ω 2 t + φ 2 ) , {\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})},} mis vastab masside vastassuunalisele liikumisele. Samas püsib masside keskel olev vedru punkt liikumatuna. Seda normaalvõnkumist nimetatakse sümmeetriliseks. Seotud ostsillaatorite liikumise üldlahendi saab moodustada normaalvõnkumiste summana, kus konstandid c1, c2, φ1, and φ2 määravad konkreetse ülesande algtingimused. Seda lihtsat näidet saab üldistada kasutades analüütilise mehaanika ehk mehaanika Lagrange'i või Hamiltoni formuleeringuid. Resonants Harmooniline võnkumine Lihtharmooniline võnkumine