Graafi paljuaspektilisus

Graafe kasutas Leonhard Euler kõmulise Königsbergi sildade probleemi lahendamiseks 1736 aastal . Seda peetakse ka graafiteooria alustuseks. Neid on korduvalt erinevate nimede all taasavastatud teid, vooge ja tsükleid puudutavate praktiliste ülesannete lahendamise käigus. See on jätnud graafiteooriale tugeva jälje. Graafid on "mitmepalgelised" ehk paljuaspektilised objektid. Neid on käsitletud geomeetria, kombinatoorika, algebra, topoloogia, tõenäosuse jt aspektidest. Levinuim on kombinatoorikaline aspekt, mis paraku jätab graafide nii mõnegi muu külje märkamatuks. On olemas ka algebraline , algoritmiline , geomeetriline , ekstreemne , spektraalne , topoloogiline , juhuslike graafide teooria ning neid teooriad on tekkinud teisigi. Paraku on graafide struktuurne aspekt unarusse jäetud. Järgnevas on esitatud lühiülevaade graafide struktuurisemiootilise käsitlemise käigus ilmsiks tulnud atribuutidest . Struktuur on diskreetse süsteemi elementidevahelist organiseeritust iseloomustav atribuut. Struktuur ise on kujutatav graafina. Graafi struktuur on tuvastatav selle tippudevaheliste binaarsuhete süvaidentifitseerimise teel saadud struktuurimudeli S M {\displaystyle SM} või graafi seosmaatriksi korrutise (astme) E o r d n {\displaystyle E_{ord}^{n}} näol. Isomorfsetel graafidel on ühesugune struktuur ning selle esitis isomorfsete graafide täielik invariant. Sümmeetria kui nähtus (omadus) tähendab millegi kordumist ruumis või ajas. Niisugused kordumised graafi struktuuris avalduvad ühesuguste elementide, ekvivalentsusklasside, näol. Rühmateooria käsitluses kujutavad need automorfismide transitiivsuspiirkondi mida graafi orbiitideks Ω {\displaystyle \Omega } nimetatakse (väga ebakohane termin!). Graafi tippudevaheliste binaarsuhete orbiitide Ω b i r {\displaystyle \Omega _{bir}} baasil kooruvad välja ka tipuorbiidid Ω v e r t {\displaystyle \Omega _{vert}} . Täiesti sümmeetrilised on vaid täisgraafid ja nende täiendid tühigraafide näol, omades vaid üht tipu ja binaarsuhete orbiiti. Tippudest sümmeetrilisi ehk transitiivseid graafe millel on rohkem kui üks binaarorbiit on juba rohkem. Binaarorbiiti kuuluvad elemendid moodustavad orbiitgraafe. Mitmete tipu- ja binaarorbiitidega graafide ehk ositi sümmeetriliste esinemissagedus on kõige suurem. Graafe, mille iga binaarsuhe kujutab endast omaette orbiiti on nimetatud 0-sümmeetrilisteks. Nende esinemissagedus suureneb graafi tippude arvu suurenemisel. Seega avalduvad graafi sümmeetriaomadused tema orbiitide baasil. Sümmeetria väärtus on Shannoni infomahu valemi baasil 0 ja 1 vahel mõõdetav suurus, mida korrapärasuseks nimetatakse. . Graafi G i n i t {\displaystyle G^{init}} binaarorbiidist Ω b i r {\displaystyle \Omega _{bir}} serva e i j {\displaystyle e_{ij}} eemaldamisel saadud suurimad alamgraafid G ∖ e 1 {\displaystyle G\setminus e_{1}} ≃ {\displaystyle \simeq } G ∖ e 2 {\displaystyle G\setminus e_{2}} ≃ {\displaystyle \simeq } … {\displaystyle \ldots } on isomorfsed ning kujutavad endast graafi suurimat alam-naaberstruktuuri G S n a d j {\displaystyle GS_{n}^{adj}} . Graafi G i n i t {\displaystyle G^{init}} binaarorbiiti Ω b i r {\displaystyle \Omega _{bir}} serva e i j {\displaystyle e_{ij}} lisamisel saadud väikseimad ülemgraafid G ∪ e 1 {\displaystyle G\cup e_{1}} ≃ {\displaystyle \simeq } G ∪ e 2 {\displaystyle G\cup e_{2}} ≃ {\displaystyle \simeq } … {\displaystyle \ldots } on isomorfsed ja kujutavad endast graafi väikseimat ülem-naaberstruktuuri G S n a d j {\displaystyle GS_{n}^{adj}} . Graafi naaberstruktuuride arv võrdub binaarorbiitide Ω b i r {\displaystyle \Omega _{bir}} arvuga. Üleminekut lähtestruktuurilt G i n i t {\displaystyle G^{init}} naaberstruktuurile G S n a d j {\displaystyle GS_{n}^{adj}} nimetame morfismiks F n = G S → G S n a d j {\displaystyle F_{n}=GS\rightarrow GS_{n}^{adj}} . Morfism on reversiivne: lähtestruktuuri G S i n i t {\displaystyle GS^{init}} igas naaberstruktuuris G S n a d j {\displaystyle GS_{n}^{adj}} eksisteerib reversiivne orbiit Ω n r e v {\displaystyle \Omega _{n}^{rev}} millele rakendatud reversiivne morfism F n r e v = G S n a d j → G S {\displaystyle F_{n}^{rev}=GS_{n}^{adj}\rightarrow GS} rekonstrueerib (taastab) lähtestruktuuri G S i n i t {\displaystyle GS^{init}} . On käsitletud ja esitatud n-tipuliste graafide hulki jaotatult alamhulkadeks nende servade arvu järgi. Esimesena esitas 3- kuni 6-tipulisi kogumaid Frank Harary 1969 aastal. Tänaseks on Graafiatlases selliselt esitatud kõik kolme kuni seitsmetipuliste graafide hulgad . Näiteks, kuuetipuliste graafide hulk koosneb 156 graafist. Siin on õigem öelda, koosneb 156 mitteisomorfsest graafist ehk struktuurist. Graafide süsteemi moodustamiseks on vaja fikseerida morfismid naaberstruktuuride vahel F n = G S → G S n a d j {\displaystyle F_{n}=GS\rightarrow GS_{n}^{adj}} . Igal struktuuril on oma väikseimad ülemstruktuurid ja suurimad alamstruktuurid, st struktuuride (graafide) vahel eksisteerivad kindlad seosed. Struktuurimudelite baasil on need morfismid paika pandavad ning on genereeritud n-tipuliste struktuuride süsteeme koos vastavate struktuursete ja tõenäosuslike parameetritega . Graafide süsteeme tippude arvu n, struktuuride (mitteisomorfsete graafide) arvu p, nivoode arvu m, ja morfismide arvu q järgi: Kolmetipulised: p = 4, m = 4, q = 3. Neljatipulised: p = 11, m = 7, q = 14. Viietipulised: p = 34, m = 11, q = 72. Kuuetipulised: p = 156, m = 16, q = 572. Seitsmetipulised: p = 1044, m = 22, q =? Graafide süsteemide olemasolu kinnitab Ulami hüpoteesi kehtivust. Graafide identifitseerimine L. Euler (1736). Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Comment Academiae Sci. 1 Petropolitanae, 8, 128–140. N. Biggs (1974). Algebraic Graph Theory. Cambridge University Press. A. Gippons (1985). Algorithmic Graph Theory. Amazon Books. D. Eppstein (2007). Geometric Graph Theory. Computer Science 295. B. Bollobas (2004). Extremal Graph Theory. Amazon Books. Fun Chung. (1992) Spectral Graph Theory. A.M.S. J. L. Gross, T. W. Turker (1987) Topological Graph Theory. Wiley Interscience B. Bollobas (2001) Random Graphs. Cambridge University Press. J.-T. Tevet (2010) Graafide varjatud külgi. S.E.R.R. ISBN 9789949213108. R. C. Read, R. J. Wilson (2004). An Atlas of Graphs. Calendron Press, Oxford ISBN 0198256504 J.-T. Tevet. Semiotic Modelling of the Structure. ISBN 9781503367456. Proceedings of the Institute of Mathematics, Amazon Books, 2014. Graafide identifitseerimise ja süstematiseerimise alused (pdf) Systematic analysis of the graphs (pdf)