Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus

Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus on matemaatilise analüüsi ja täpsemalt diferentsiaal- ja integraalarvutuse alaliik, mis tegeleb erinevate viiside uurimisega, kuidas defineerida diferentsiaaloperaatori D ja integraaloperaatori J reaalarvulisi või kompleksarvulisi astmeid ning analüüsi arendamisega, mis üldistaks klassikalist matemaatilist analüüsi. D f ( x ) = d d x f ( x ) , {\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,} J f ( x ) = ∫ 0 x f ( s ) d s , {\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,} Käesolevas kontekstis kasutatakse terminit aste viitamaks korduvale lineaaroperaatori D rakendamisele funktsioonile f. Täpsemalt nii: D n ( f ) = ( D ∘ D ∘ D ∘ ⋯ ⏟ n ) ( f ) = D ( D ( D ⋯ ⏟ n ( f ) {\displaystyle D^{n}(f)=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots } _{n})(f)=\underbrace {D(D(D\cdots } _{n}(f)} . Näiteks võib küsida, mis on mõistlik tõlgendus D = D 1 2 {\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}} jaoks, kuivõrd peaks tegu olema ruutjuure analoogiga diferentsiaaloperaatori jaoks. Sellise operaatori näol on tegu lineaaroperaatoriga, mida tuleb rakendada kaks korda, et saavutada efekt, mis on tavalisel diferentseerimisel. Üldisemalt võib vaadelda küsimust, kuidas defineerida D a {\displaystyle D^{a}} mistahes reaalarvu a korral nii, et kui a on täisarvulise väärtusega n ∈ ℤ, langeb definitsioon kokku klassikalise n-järku diferentseerimisega. Selliste üldistuste sissetoomise ja arendamise üks motivatsioon on asjaolu, et operaatori D astmete hulk on { D a {\displaystyle D^{a}} | a ∈ ℝ} puhul pidev poolrühm, millest klassikaline diskreetne n-ide poolrühm { D n {\displaystyle D^{n}} | n ∈ ℤ} korral on esimese alamhulk. Kuna pidevate poolrühmade kohta on välja arendatud korralik teooria, saab seda kasutada ka antud kontekstis. Murrulised diferentsiaalvõrrandid, mida on ka ebatavalisteks diferentsiaalvõrranditeks nimetatud, on diferentsiaalvõrrandite üldistus murrulise matemaatilise analüüsi rakendamise kaudu. Rakendusmatemaatikas ja matemaatilises analüüsis on murruline tuletis suvalist järku tuletis, kusjuures järk võib olla reaal- või kompleksarvuline. Selline kontseptsioon nägi ilmavalgust kirjas, mille kirjutas Gottfried Wilhelm Leibniz Guillaume de l'Hôpitalile 1695. aastal. Murruline diferentsiaal- ja integraalarvutus toodi esmakordselt välja ühes Niels Henrik Abeli varases artiklis, kus kõik vajaminevad komponendid on olemas: idee murrulist järku diferentseerimisest ja integreerimisest; nendevahelisest suhtest, mis on teineteise pöördtehe; mõistmine, et murrulist järku diferentseerimine ja integreerimine on sisuliselt samade klassikaliste operatsioonide üldistus; ning isegi üldistatud tähistusviis suvalise reaalarvulist järku operaatori jaoks. Sõltumatult rajas kõnealuse valdkonna aluseid ka Joseph Liouville'i 1832. aasta artikkel. Autodidakt Oliver Heaviside tõi esmakordselt välja murruliste diferentsiaaloperaatorite praktilise kasutusvõimaluse elektri ülekandeliinide analüüsimiseks umbes 1890. aastal. Murrulise analüüsi teooria ja rakendused laienesid 19. ja 20. sajandil märkimisväärselt ning mitmed autorid on andnud murruliste tuletiste ja integraalide definitsioone. a-ndat järku tuletis funktsioonist f(x) punktis x on lokaalne omadus vaid juhul, kui a on täisarv; see ei ole nii mitte-täisarvuliste astmetega tuletiste puhul. Teisisõnu, mitte-täisarvuline murruline tuletis f(x) punktis x=a sõltub kõigist f väärtustest, isegi neist, mis on punktist a kaugel. Seega võib eeldada, et murrulise tuletise võtmise operatsioon hõlmab endast mingisuguste ääretingimuste seadmist, mis sisaldab informatsiooni funktsiooni kohta kaugemal. a-ndat järku murruline tuletis on sageli defineeritud Fourier või Mellini integraalteisenduse kaudu. Loomulik on küsida, kas leidub lineaaroperaator H, nn pooltuletis nii, et H 2 f ( x ) = D f ( x ) = d d x f ( x ) = f ′ ( x ) . {\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=f'(x)\,.} Osutub, et on olemas selline operaator, ning iga a > 0 jaoks on olemas operaator P nii, et ( P a f ) ( x ) = f ′ ( x ) , {\displaystyle \left(P^{a}f\right)(x)=f'(x),} või teisiti öeldes, d n y d x n {\displaystyle {\dfrac {d^{n}y}{dx^{n}}}} definitsiooni saab üldistada kõigile n reaalarvulistele väärtustele. Olgu f(x) defineeritud x > 0 korral. Koostame määratud integraali nullist x-ni. Nimetame selle ( J f ) ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t . {\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.} Protsessi korrates saame ( J 2 f ) ( x ) = ∫ 0 x ( J f ) ( t ) d t = ∫ 0 x ( ∫ 0 t f ( s ) d s ) d t , {\displaystyle \left(J^{2}f\right)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)\,dt\,,} ning seda võib üldistada edasi. Cauchy valem kordseks integreerimiseks, täpsemalt ( J n f ) ( x ) = 1 ( n − 1 ) ! ∫ 0 x ( x − t ) n − 1 f ( t ) d t , {\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,} viib otse üldistuse juurde reaalarvuliste n jaoks. Gammafunktsiooni kasutamine, et minna mööda faktoriaali funktsiooni diskreetsest iseloomust, annab meile loomuliku kandidaadi murrulise integraaloperaatori rakenduseks. ( J α f ) ( x ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( x − t ) α − 1 f ( t ) d t . {\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.} See on hästi defineeritud operaator. Siit on otseselt nähtuv, et operaator J rahuldab ( J α ) ( J β f ) ( x ) = ( J β ) ( J α f ) ( x ) = ( J α + β f ) ( x ) = 1 Γ ( α + β ) ∫ 0 x ( x − t ) α + β − 1 f ( t ) d t . {\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.} Seda suhet nimetatakse murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite poolrühma omaduseks. Kahjuks on samaväärne protseduur diferentsiaaloperaatori D jaoks märkimisväärselt keerulisem, kuid on võimalik näidata, et D ei ole üldiselt kommutatiivne ega aditiivne. Olgu f(x) tegur kujul f ( x ) = x k . {\displaystyle f(x)=x^{k}\,.} Esimest järku tuletis on f ′ ( x ) = d d x f ( x ) = k x k − 1 . {\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.} Seda korrates saame üldisema tulemuse d a d x a x k = k ! ( k − a ) ! x k − a , {\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,} Mis peale faktoriaalide asendamist gammafunktsiooniga viib avaldiseni d a d x a x k = Γ ( k + 1 ) Γ ( k − a + 1 ) x k − a , k ≥ 0 {\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\qquad k\geq 0} k=1 ja a = 1 2 {\displaystyle a={\dfrac {1}{2}}} jaoks saame pooltuletise funktsioonist x kui d 1 2 d x 1 2 x = Γ ( 1 + 1 ) Γ ( 1 − 1 2 + 1 ) x 1 − 1 2 = Γ ( 2 ) Γ ( 3 2 ) x 1 2 = 1 π 2 x 1 2 . {\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.} Näitamaks, et see on tõepoolest pooltuletis (kus H 2 f ( x ) = D f ( x ) {\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)} ), kordame protseduuri ja saame: d 1 2 d x 1 2 2 x 1 2 π = 2 π Γ ( 1 + 1 2 ) Γ ( 1 2 − 1 2 + 1 ) x 1 2 − 1 2 = 2 π Γ ( 3 2 ) Γ ( 1 ) x 0 = 2 π 2 x 0 π = 1 , {\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,} (sest Γ ( 3 2 ) = π 2 {\textstyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}} ja Γ(1)=1) mis on tõepoolest oodatud tulemus, kui ( d 1 2 d x 1 2 d 1 2 d x 1 2 ) x = d d x x = 1 . {\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\frac {d}{dx}}x=1\,.} Negatiivse täisarvulise astme k korral ei ole gammafunktsioon defineeritud ning tuleb kasutada järgnevat seost: d a d x a x − k = ( − 1 ) a Γ ( k + a ) Γ ( k ) x − ( k + a )  kui  k ≥ 0 {\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ kui }}k\geq 0} Ülaltoodud diferentsiaaloperaatori üldistus ei pea olema piiratud reaalarvuliste astmetega. Näiteks (1 + i) järku tuletis võetuna (1 − i) järku tuletisest annab tulemuseks teist järku tuletise. Muutujale a negatiivsete väärtuste andmine annab tulemuseks integraalid. Üldise funktsiooni f(x) ja 0 < α < 1 jaoks, on täielik murruline tuletis D α f ( x ) = 1 Γ ( 1 − α ) d d x ∫ 0 x f ( t ) ( x − t ) α d t {\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt} Suvalise α jaoks, kuna gammafunktsioon ei ole defineeritud argumentide jaoks, mille reaalosa on negatiivne täisarv ning mille imaginaarosa on null, on vajalik rakendada murrulist tuletist peale täisarvulise tuletise rakendamist. Näiteks D 3 2 f ( x ) = D 1 2 D 1 f ( x ) = D 1 2 d d x f ( x ) {\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x)} Võime jõuda murruliste diferentsiaal- ja integraaloperaatorite küsimuseni ka Laplace'i teisenduse kaudu. Teades, et L { J f } ( s ) = L { ∫ 0 t f ( τ ) d τ } ( s ) = 1 s ( L { f } ) ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)} ja L { J 2 f } = 1 s ( L { J f } ) ( s ) = 1 s 2 ( L { f } ) ( s ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)} jne, seega väidame J α f = L − 1 { s − α ( L { f } ) ( s ) } {\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}} . Näiteks J α ( t k ) = L − 1 { Γ ( k + 1 ) s α + k + 1 } = Γ ( k + 1 ) Γ ( α + k + 1 ) t α + k {\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}} nagu oligi oodata. Tõepoolest, kasutades konvolutsioonireeglit L { f ∗ g } = ( L { f } ) ( L { g } ) {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}} ning selguse mõttes kirjutame p ( x ) = x α − 1 {\displaystyle p(x)=x^{\alpha -1}} ja saame ( J α f ) ( t ) = 1 Γ ( α ) L − 1 { ( L { p } ) ( L { f } ) } = 1 Γ ( α ) ( p ∗ f ) = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t p ( t − τ ) f ( τ ) d τ = 1 Γ ( α ) ∫ 0 t ( t − τ ) α − 1 f ( τ ) d τ {\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}} mis on sama, mille saime eelnevalt Cauchy abil. Laplace'i teisendused "töötavad" suhteliselt väheste funktsioonidega, aga nad on sageli kasulikud murruliste diferentsiaalvõrrandite lahendamisel. Murrulise analüüsi klassikaline vorm algab Riemanni-Liouville'i integraaliga, mida sisuliselt kirjeldati ka ülal. Riemanni-Liouville'i integraal esineb kahes vormis – ülemine ja alumine. Vaadeldes vahemikku [a,b], on need integraalid defineeritud nii a D t − α f ( t ) = a I t α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ a t ( t − τ ) α − 1 f ( τ ) d τ {\displaystyle _{a}D_{t}^{-\alpha }f(t)={}_{a}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau } t D b − α f ( t ) = t I b α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ t b ( τ − t ) α − 1 f ( τ ) d τ {\displaystyle _{t}D_{b}^{-\alpha }f(t)={}_{t}I_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau } Kus ülemine kehtib t>a korral ja alumine kehtib t<b korral. Vastupidi algab Grünwaldi-Letnikovi tuletis hoopis tuletisest, mitte integraalist. Hadamardi murrulist integraali tutvustas Jacques Hadamard ning see on antud järgnevalt a D t − α f ( t ) = 1 Γ ( α ) ∫ a t ( log ⁡ t τ ) α − 1 f ( τ ) d τ τ , t > a . {\displaystyle _{a}\mathbf {D} _{t}^{-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.} Kasutades üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni, pakkusid Atangana ja Baleanu välja uue formuleeringu mittelokaalse ja mittesingulaarse tuumaga murrulise tuletise jaoks. Integraal on defineeritud nii a A B D t − α f ( t ) = a A B I t α f ( t ) = 1 − α A B ( α ) f ( t ) + α A B ( α ) Γ ( α ) ∫ a t ( t − τ ) α − 1 f ( τ ) d τ , {\displaystyle _{a}^{AB}D_{t}^{-\alpha }f(t)=_{a}^{AB}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1-\alpha }{AB(\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{AB(\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau ,} kus AB(α) on funktsiooni normaliseerimine nii, et AB(0)=AB(1)=1. Erinevalt klassikalistest Newtoni tuletistest defineeritakse murruline tuletis murrulise integraali kaudu. Vastav tuletis arvutatakse, kasutades Langrange'i reeglit diferentsiaaloperaatorite kohta. Arvutades n-dat järku tuletist integraalist järguga (n − α), saadakse α-ndat järku tuletis. On oluline märkida, et n on vähim täisarv, mis on suurem kui α (st, n=⌈α⌉). Sarnaselt Riemanni-Liouville'i integraalile on ka tuletisel ülemine ja alumine variant. a D t α f ( t ) = d n d t n a D t − ( n − α ) f ( t ) = d n d t n a I t n − α f ( t ) {\displaystyle _{a}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}D_{t}^{-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}I_{t}^{n-\alpha }f(t)} t D b α f ( t ) = d n d t n t D b − ( n − α ) f ( t ) = d n d t n t I b n − α f ( t ) {\displaystyle _{t}D_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}D_{b}^{-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}I_{b}^{n-\alpha }f(t)} Veel üks võimalus murrulise tuletise arvutamiseks on Caputo murruline tuletis. Seda tutvustas Michele Caputo oma 1967. aasta artiklis. Erinevalt Riemanni-Liouville'i tuletisest ei ole Caputo definitsiooni abil diferentsiaalvõrrandeid lahendades tarvis defineerida murrulist järku algtingimusi. Caputo definitsiooni illustratsioon, kus taas n=⌈α⌉, on järgnev: C D t α f ( t ) = 1 Γ ( n − α ) ∫ 0 t f ( n ) ( τ ) d τ ( t − τ ) α + 1 − n . {\displaystyle {}^{C}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )\,d\tau }{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}.} Caputo murrulise tuletise definitsioon: D ν f ( t ) = 1 Γ ( n − ν ) ∫ 0 t ( t − u ) ( n − ν − 1 ) f ( n ) ( u ) d u ( n − 1 ) < ν < n {\displaystyle {}D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)du\qquad (n-1)<\nu <n} millel on eelis, et ta on null kui f(t) on konstant ja tema Laplace'i teisendus on väljendatud funktsiooni ja tema tuletise algväärtuste keskväärtustena. 2015. aasta artiklis esitasid M. Caputo ja M. Fabrizio murrulise tuletise definitsiooni, millel on mittesingulaarne tuum, funktsiooni f ( t ) {\displaystyle f(t)} C 1 {\displaystyle C^{1}} jaoks: a C F D t α f ( t ) = 1 1 − α ∫ a t f ′ ( τ ) exp ⁡ ( − α t − τ 1 − α ) d τ , {\displaystyle _{a}^{CF}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\exp \left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)d\tau ,} kus a < 0. {\displaystyle a<0.} Sarnaselt integraalile on ka murruline tuletis, mille puhul kasutatakse üldistatud Mittagi-Leffleri funktsiooni tuumana. Autorid tutvustasid kahte versiooni, üks on Atangana-Baleanu tuletis Caputo mõttes (ABC), mis on antud funktsiooni lokaalse tuletise ja Mittagi-Leffleri funktsiooni konvolutsioon. Teine on Atangana-Baleanu tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes (ABR), mis on sellise funktsiooni konvolutsiooni tuletis, mida ei saa diferentseerida üldistatud Mittag-Leffleri funktsiooni abil. Atangana-Baleanu murruline tuletis Caputo mõttes on defineeritud järgnevalt: a A B C D t α f ( t ) = A B ( α ) 1 − α ∫ a t f ′ ( τ ) E α ( − α ( t − τ ) α 1 − α ) d τ . {\displaystyle {}_{a}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.} Atangana-Baleanu murruline tuletis Riemanni-Liouville'i mõttes on defineeritud nii: a A B R D t α f ( t ) = A B ( α ) 1 − α d d t ∫ a t f ( τ ) E α ( − α ( t − τ ) α 1 − α ) d τ . {\displaystyle {}_{a}^{ABR}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.} F { ∂ α u ∂ | x | α } ( k ) = − | k | α F { u } ( k ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k)} kus F tähistab Fourier integraalteisendust. Klassikaliste murruliste tuletiste hulka kuuluvad: Grünwaldi-Letnikovi tuletis Sonini-Letnikovi tuletis Liouville'i tuletis Caputo tuletis Hadamardi tuletis Marchaud' tuletis Rieszi tuletis Milleri-Rossi tuletis Weyli tuletis Erdélyi-Koberi tuletis Uute murruliste tuletiste hulka kuuluvad: Coimbra tuletis Katugampola tuletis Hilferi tuletis Davidsoni tuletis Cheni tuletis Caputo-Fabrizio tuletis Atangana–Baleanu derivative Erdélyi-Koberi operaator on Arthur Erdélyi poolt 1940. aastal ja Hermann Koberi poolt samuti 1940. aastal tutvustatud integraaloperaator ning see on antud järgnevalt: x − ν − α + 1 Γ ( α ) ∫ 0 x ( t − x ) α − 1 t − α − ν f ( t ) d t , {\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,} mis üldistab Riemanni-Liouville'i integraaloperaatorit ja Weyli integraali. Funktsionaalanalüüsi kontekstis uuritakse ka üldisemaid funktsiooni f(D) kujusid, kui astmefunktsioon, sellega tegeletakse spektraalteoorias. Pseudo-diferentsiaaloperaatorite teooria lubab samuti käsitleda D astmeid. Seal esilekerkivad operaatorid on singulaarsed integraaloperaatorid ning klassikalise teooria kõrgematele järkudele üldistamine kannab Rieszi potentsiaalide nime. Seega on mitu kaasaegset teooriat, mille raames on võimalik rääkida murrulisest matemaatilisest analüüsist. Nagu kirjeldasid Wheatcraft ja Meerschaert (2008), on tarvis kasutada murrulist massi jäävuse võrrandit, et modelleerida vedeliku voolamist, kui kontrollruumala ei ole piisavalt suur võrreldes materjali heterogeensusega või kui voog kontrollruumala sees on mittelineaarne. Viidatud artiklis on massi jäävuse murruline võrrand toodud järgmiselt: − ρ ( ∇ α ⋅ u → ) = Γ ( α + 1 ) Δ x 1 − α ρ ( β s + ϕ β w ) ∂ p ∂ t {\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}} 2013–2014 kirjeldasid Atangana et al. mõningaid põhjavee voolamise probleeme kasutades murrulist järku tuletise kontseptsiooni. Nendes töödes üldistatakse klassikalist Darcy seadust, käsitledes veevoolu kui funktsiooni piesomeetrilise samba kõrguse murrulisest tuletisest. Seda üldistust ja massi jäävuse seadust kasutati, et tuletada uus võrrand põhjavee voolamise kirjeldamiseks. Kõnealune võrrand on leidnud kasutust, et modelleerida saastunud aine voolamist poorses keskkonnas. Atangana ja Kilicman laiendasid murrulise advektsiooni hajumise võrrandit. Nende töös üldistati hüdrodünaamilise dispersiooni võrrandit, kasutades varieeruvat järku tuletist. Modifitseeritud võrrand lahendati numbriliselt Crank-Nicolsoni meetodil. Numbriliste simulatsioonide stabiilsus ja koonduvus näitasid, et modifitseeritud võrrand on usaldusväärsem saaste liikumise ennustamiseks, kui varasemad variandid. Anomaalseid difusiooniprotsesse keerulistes keskkondades saab edukalt modelleerida murrulist järku difusioonivõrrandite abil. Murrulise difusiooni kirjeldava võrrandi võib kirja panna näiteks nii ∂ α u ∂ t α = − K ( − Δ ) β u . {\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.} Murrulise tuletise laiendus on varieeruvat järku diferentsiaalvõrrand, α ja β viiakse kujule α(x,t) ja β(x,t). Selle rakendusi anomaalse difusiooni modelleerimisel võib leida viidetest. Murrulisi tuletisi kasutatakse, et modelleerida viskoelastset sumbuvust teatud tüüpi materjalides, nt polümeerides. PID kontrollerite üldistamine murruliste järkude kaudu suurendab nende vabadusastet. Uus võrrand, mis seob kontrollmuutuja u(t) mõõdetud veahinnnagu e(t) külge, saab kirjutada u ( t ) = K p e ( t ) + K i D t − α e ( t ) + K d D t β e ( t ) {\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)} kus α ja β on positiivsed murrulised järgud ja K p {\displaystyle K_{p}} , K i {\displaystyle K_{i}} , ning K d {\displaystyle K_{d}} , kõik mittenegatiivsed, tähistavad koefitsiente vastavalt proportsionaalse, integraaliga, ja tuletisega liikmete jaoks (vahel tähistatud P, I, ja D). Helilainete levik keerulistes keskkondades, nt bioloogilises koes, viitab sageli laine levikule mõjuvale segajale, mis allub sageduse ja võimsuse suhtele. Sellist nähtust võib kirjeldada, kasutades põhjuslikku lainevõrrandit, mis hõlmab ka murrulist järku tuletist aja järgi: ∇ 2 u − 1 c 0 2 ∂ 2 u ∂ t 2 + τ σ α ∂ α ∂ t α ∇ 2 u − τ ϵ β c 0 2 ∂ β + 2 u ∂ t β + 2 = 0 . {\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.} Vt ka Holm & Näsholm (2011) ja sealsed viited. Sellised mudelid on seotud laialt levinud hüpoteesiga, et korduvad relaksatsiooniprotsessid mõjutavad lainete sumbuvust keerulistes keskkondades. Seda seost on täpsemalt kirjeldanud Näsholm & Holm (2011) ja ülevaateartiklis, ja niisamuti akustilise sumbuvuse artiklis. Vt Holm & Näsholm (2013), kus võrreldakse murrulisi lainevõrrandeid astmefunktsioone kasutava mudeliga. Holmi raamat astmefunktsioonidega kirjeldatavast sumbuvusest käsitleb samuti kõnealust teemat detailselt. Pandey ja Holm andsid murrulistele diferentsiaalvõrranditele füüsikalise tähenduse, kui tuletasid need füüsikalistest printsiipidest ning tõlgendasid murrulisi järke akustilise keskkonna parameetrite kaudu. Pandey ja Holm tuletasid seismoloogias tuntud Lomnitzi seaduse ja reoloogias tuntud Nuttingi seaduse, kasutades murrulist matemaatilist analüüsi. Nuttingi seadust kasutati modelleerimaks lainete levikut meresetetes, kasutades murrulisi tuletisi. Murruline Schrödingeri võrrand, mis on murrulise kvantmehaanika põhivõrrand, omab järgnevat kuju: i ℏ ∂ ψ ( r , t ) ∂ t = D α ( − ℏ 2 Δ ) α 2 ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) . {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.} kus võrrandi lahendiks on lainefunktsioon kujul ψ(r, t) – kvantmehaaniline tõenäosusamplituud, et osakesel on teatud olekuvektori väärtus r mistahes ajahetkel t, kus ħ on Plancki nurkkonstant. Potentsiaalse energia V(r, t) avaldise täpne kuju sõltub vaadeldavast süsteemist. Δ = ∂ 2 ∂ r 2 {\displaystyle \Delta ={\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}} on Laplace'i operaator, ja D α {\displaystyle D_{\alpha }} on skaalategur, mille füüsikaline dimensioon on [ D α ] = J 1 − α ⋅ m α ⋅ s − α = k g 1 − α ⋅ m 2 − α ⋅ s α − 2 {\displaystyle [D_{\alpha }]=J^{1-\alpha }\cdot m^{\alpha }\cdot s^{-}\alpha =kg^{1-\alpha }\cdot m^{2-\alpha }\cdot s^{\alpha -2}} , (kus α=2, D 2 = 1 2 m {\displaystyle D^{2}={\dfrac {1}{2m}}} osakese jaoks massiga m), ja operaator ( − ℏ 2 Δ α / 2 ) {\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta ^{\alpha /2})} on 3-mõõtmeline murruline Rieszi tuletis, mis on defineeritud kui ( − ℏ 2 Δ ) α 2 ψ ( r , t ) = 1 ( 2 π ℏ ) 3 ∫ d 3 p e i ℏ p ⋅ r | p | α φ ( p , t ) . {\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.} Indeks α on murrulises Schrödingeri võrrandis Lévy indeksi nime all, 1 < α ≤ 2. Murrulise Schrödingeri võrrandi üldistus on varieeruvat järku murruline Schrödingeri võrrand, mida on samuti kasutatud kvantnähtuste uurimisel: i ℏ ∂ ψ α ( r ) ( r , t ) ∂ t α ( r ) = ( − ℏ 2 Δ ) β ( t ) 2 ψ ( r , t ) + V ( r , t ) ψ ( r , t ) , {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),} kus Δ = ∂ 2 ∂ r 2 {\displaystyle \Delta ={\dfrac {\partial ^{2}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}} on Laplace'i operaator ja operaator ( − ℏ 2 Δ ) β ( t ) / 2 {\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\beta (t)/2}} on varieeruva järguga murruline Rieszi tuletis. Daniel Zwillinger. Handbook of Differential Equations. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-2096-3. Katugampola, Udita N. "A New Approach To Generalized Fractional Derivatives" (PDF). Bulletin of Mathematical Analysis and Applications. 6 (4): 1–15. arXiv:1106.0965. Bibcode:2011arXiv1106.0965K.[alaline kõdulink] Niels Henrik Abel (1823). "Oplösning af et par opgaver ved hjelp af bestemte integraler (Solution de quelques problèmes à l'aide d'intégrales définies, Solution of a couple of problems by means of definite integrals)" (PDF). Magazin for Naturvidenskaberne. Kristiania (Oslo): 55–68. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 1. august 2021. Vaadatud 11. novembril 2020. Igor Podlubny, Richard L. Magin, and Irina Trymorush (2017). "Niels Henrik Abel and the birth of fractional calculus". Fractional Calculus and Applied Analysis. 20 (5): 1068–1075. arXiv:1802.05441. DOI:10.1515/fca-2017-0057. S2CID 119664694.{{cite journal}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) Ajaloolise ülevaate saamiseks vt väitekirja (prantsuse keeles): Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994) Ajaloolise tagasivaate saamiseks antud teemal kuni 20. sajandini, vt: Bertram Ross (1977). "The development of fractional calculus 1695-1900". Historia Mathematica. 4: 75–89. DOI:10.1016/0315-0860(77)90039-8. Valério, Duarte; Machado, José; Kiryakova, Virginia. "Some pioneers of the applications of fractional calculus". Fractional Calculus and Applied Analysis. 17 (2). DOI:10.2478/s13540-014-0185-1. hdl:10400.22/5491. ISSN 1314-2224. S2CID 121482200. "Fractional Calculus". www.mathpages.com. Kilbas, Srivastava & Trujillo 2006, lk [[[:Mall:Google books]] 75 (Property 2.4)] Bologna, Mauro, Short Introduction to Fractional Calculus (PDF), Universidad de Tarapaca, Arica, Chile {{citation}}: |archive-url= nõuab parameetrit |archive-date= (juhend) Hermann, Richard (2014). Fractional Calculus: An Introduction for Physicists (2nd ed.). New Jersey: World Scientific Publishing. Lk 46. Bibcode:2014fcip.book.....H. DOI:10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6. Hadamard, J. (1892). "Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor" (PDF). Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 4 (8): 101–186. Mall:Cite arxiv Herrmann, Richard, toim (2014). Fractional Calculus. Fractional Calculus: An Introduction for Physicists (2nd ed.). New Jersey: World Scientific Publishing Co. Lk 54Mall:Verify source. Bibcode:2014fcip.book.....H. DOI:10.1142/8934. ISBN 978-981-4551-07-6. Caputo, Michele (1967). "Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent. II". Geophysical Journal International. 13 (5): 529–539. Bibcode:1967GeoJ...13..529C. DOI:10.1111/j.1365-246x.1967.tb02303.x.. Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro. "A new Definition of Fractional Derivative without Singular Kernel". Progress in Fractional Differentiation and Applications. 1 (2): 73–85. Atangana, Abdon; Koca, Ilknur (2016). "Chaos in a simple nonlinear system with Atangana–Baleanu derivatives with fractional order". Chaos, Solitons & Fractals. 89: 447–454. Bibcode:2016CSF....89..447A. DOI:10.1016/j.chaos.2016.02.012. Chen, YangQuan; Li, Changpin; Ding, Hengfei. "High-Order Algorithms for Riesz Derivative and Their Applications". Abstract and Applied Analysis (inglise). 2014: 1–17. DOI:10.1155/2014/653797. Bayın, Selçuk Ş. "Definition of the Riesz derivative and its application to space fractional quantum mechanics". Journal of Mathematical Physics. 57 (12): 123501. arXiv:1612.03046. Bibcode:2016JMP....57l3501B. DOI:10.1063/1.4968819. S2CID 119099201. de Oliveira, Edmundo Capelas; Tenreiro Machado, José António. "A Review of Definitions for Fractional Derivatives and Integral". Mathematical Problems in Engineering (inglise). 2014: 1–6. DOI:10.1155/2014/238459. Aslan, İsmail. "An analytic approach to a class of fractional differential-difference equations of rational type via symbolic computation". Mathematical Methods in the Applied Sciences (inglise). 38 (1): 27–36. DOI:10.1002/mma.3047. hdl:11147/5562. Ma, Li; Li, Changpin. "On hadamard fractional calculus". Fractals. 25 (3): 1750033. DOI:10.1142/S0218348X17500335. ISSN 0218-348X. Miller, Kenneth S. (1975). "The weyl fractional calculus". Ross, Bertram (toim). Fractional Calculus and Its Applications. Fractional Calculus and Its Applications: Proceedings of the International Conference Held at the University of New Haven, June 1974. Lecture Notes in Mathematics (inglise). Kd 457. Springer. Lk 80–89. DOI:10.1007/bfb0067098. ISBN 978-3-540-69975-0. Ferrari, Fausto. "Weyl and Marchaud Derivatives: A Forgotten History". Mathematics (inglise). 6 (1): 6. DOI:10.3390/math6010006. Anderson, Douglas R.; Ulness, Darin J. "Properties of the Katugampola fractional derivative with potential application in quantum mechanics". Journal of Mathematical Physics. 56 (6): 063502. DOI:10.1063/1.4922018. ISSN 0022-2488. Algahtani, Obaid Jefain Julaighim. "Comparing the Atangana–Baleanu and Caputo–Fabrizio derivative with fractional order: Allen Cahn model". Chaos, Solitons & Fractals. Nonlinear Dynamics and Complexity (inglise). 89: 552–559. DOI:10.1016/j.chaos.2016.03.026. ISSN 0960-0779. Caputo, Michele; Fabrizio, Mauro (1. jaanuar 2016). "Applications of New Time and Spatial Fractional Derivatives with Exponential Kernels". Progress in Fractional Differentiation and Applications. 2 (1): 1–11. DOI:10.18576/pfda/020101. ISSN 2356-9336. Atangana, Abdon; Baleanu, Dumitru (2016). "New fractional derivatives with nonlocal and non-singular kernel: Theory and application to heat transfer model". Thermal Science (inglise). 20 (2): 763–769. DOI:10.2298/TSCI160111018A. ISSN 0354-9836. Erdélyi, Arthur (1950–51). "On some functional transformations". Rendiconti del Seminario Matematico dell'Università e del Politecnico di Torino. 10: 217–234. MR 0047818. Kober, Hermann (1940). "On fractional integrals and derivatives". The Quarterly Journal of Mathematics. os-11 (1): 193–211. Bibcode:1940QJMat..11..193K. DOI:10.1093/qmath/os-11.1.193. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M. "Fractional conservation of mass" (PDF). Advances in Water Resources (inglise). 31 (10): 1377–1381. Bibcode:2008AdWR...31.1377W. DOI:10.1016/j.advwatres.2008.07.004. ISSN 0309-1708. Atangana, Abdon; Bildik, Necdet (2013). "The Use of Fractional Order Derivative to Predict the Groundwater Flow". Mathematical Problems in Engineering. 2013: 1–9. DOI:10.1155/2013/543026. Atangana, Abdon; Vermeulen, P. D. (2014). "Analytical Solutions of a Space-Time Fractional Derivative of Groundwater Flow Equation". Abstract and Applied Analysis. 2014: 1–11. DOI:10.1155/2014/381753. Benson, D.; Wheatcraft, S.; Meerschaert, M. (2000). "Application of a fractional advection-dispersion equation". Water Resources Research. 36 (6): 1403–1412. Bibcode:2000WRR....36.1403B. CiteSeerX 10.1.1.1.4838. DOI:10.1029/2000wr900031. Benson, D.; Wheatcraft, S.; Meerschaert, M. (2000). "The fractional-order governing equation of Lévy motion". Water Resources Research. 36 (6): 1413–1423. Bibcode:2000WRR....36.1413B. DOI:10.1029/2000wr900032. S2CID 16579630. Wheatcraft, Stephen W.; Meerschaert, Mark M.; Schumer, Rina; Benson, David A. "Fractional Dispersion, Lévy Motion, and the MADE Tracer Tests". Transport in Porous Media (inglise). 42 (1–2): 211–240. CiteSeerX 10.1.1.58.2062. DOI:10.1023/A:1006733002131. ISSN 1573-1634. S2CID 189899853. Atangana, Abdon; Kilicman, Adem (2014). "On the Generalized Mass Transport Equation to the Concept of Variable Fractional Derivative". Mathematical Problems in Engineering. 2014: 9. DOI:10.1155/2014/542809. Metzler, R.; Klafter, J. (2000). "The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach". Phys. Rep. 339 (1): 1–77. Bibcode:2000PhR...339....1M. DOI:10.1016/s0370-1573(00)00070-3. Mainardi, F.; Luchko, Y.; Pagnini, G. (2001). "The fundamental solution of the space-time fractional diffusion equation". Fractional Calculus and Applied Analysis. 4 (2): 153–192. arXiv:cond-mat/0702419. Bibcode:2007cond.mat..2419M. Gorenflo, Rudolf; Mainardi, Francesco. "Fractional Diffusion Processes: Probability Distributions and Continuous Time Random Walk". Rangarajan, G.; Ding, M. (toim-d). Processes with Long-Range Correlations. Processes with Long-Range Correlations. Lecture Notes in Physics. Kd 621. Lk 148–166. arXiv:0709.3990. Bibcode:2003LNP...621..148G. DOI:10.1007/3-540-44832-2_8. ISBN 978-3-540-40129-2. S2CID 14946568. Colbrook, Matthew J.; Ma, Xiangcheng; Hopkins, Philip F.; Squire, Jonathan (2017). "Scaling laws of passive-scalar diffusion in the interstellar medium". Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 467 (2): 2421–2429. arXiv:1610.06590. Bibcode:2017MNRAS.467.2421C. DOI:10.1093/mnras/stx261. S2CID 20203131. Mainardi, Francesco. Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity (inglise). Imperial College Press. DOI:10.1142/p614. ISBN 9781848163294. S2CID 118719247. Tenreiro Machado, J. A.; Silva, Manuel F.; Barbosa, Ramiro S.; Jesus, Isabel S.; Reis, Cecília M.; Marcos, Maria G.; Galhano, Alexandra F. (2010). "Some Applications of Fractional Calculus in Engineering". Mathematical Problems in Engineering (inglise). 2010: 1–34. DOI:10.1155/2010/639801. Holm, S.; Näsholm, S. P. (2011). "A causal and fractional all-frequency wave equation for lossy media". Journal of the Acoustical Society of America. 130 (4): 2195–2201. Bibcode:2011ASAJ..130.2195H. DOI:10.1121/1.3631626. PMID 21973374. S2CID 7804006. Näsholm, S. P.; Holm, S. (2011). "Linking multiple relaxation, power-law attenuation, and fractional wave equations". Journal of the Acoustical Society of America. 130 (5): 3038–3045. Bibcode:2011ASAJ..130.3038N. DOI:10.1121/1.3641457. PMID 22087931. S2CID 10376751. Näsholm, S. P.; Holm, S. (2012). "On a Fractional Zener Elastic Wave Equation". Fract. Calc. Appl. Anal. 16. arXiv:1212.4024. Bibcode:2012arXiv1212.4024N. DOI:10.2478/s13540-013-0003-1. S2CID 120348311. Holm, S.; Näsholm, S. P. (2013). "Comparison of fractional wave equations for power law attenuation in ultrasound and elastography". Ultrasound in Medicine & Biology. 40 (4): 695–703. arXiv:1306.6507. Bibcode:2013arXiv1306.6507H. CiteSeerX 10.1.1.765.120. DOI:10.1016/j.ultrasmedbio.2013.09.033. PMID 24433745. S2CID 11983716. Holm, S. (2019). Waves with Power-Law Attenuation. Springer and Acoustical Society of America Press. ISBN 9783030149260. Pandey, Vikash; Holm, Sverre. "Connecting the grain-shearing mechanism of wave propagation in marine sediments to fractional order wave equations". The Journal of the Acoustical Society of America. 140 (6): 4225–4236. arXiv:1612.05557. DOI:10.1121/1.4971289. ISSN 0001-4966. PMID 28039990. S2CID 29552742. Pandey, Vikash; Holm, Sverre (23. september 2016). "Linking the fractional derivative and the Lomnitz creep law to non-Newtonian time-varying viscosity". Physical Review E. 94 (3): 032606. DOI:10.1103/PhysRevE.94.032606. PMID 27739858. Laskin, N. (2002). "Fractional Schrodinger equation". Phys. Rev. E. 66 (5): 056108. arXiv:quant-ph/0206098. Bibcode:2002PhRvE..66e6108L. CiteSeerX 10.1.1.252.6732. DOI:10.1103/PhysRevE.66.056108. PMID 12513557. S2CID 7520956. Laskin, Nick (2018). Fractional Quantum Mechanics. CiteSeerX 10.1.1.247.5449. DOI:10.1142/10541. ISBN 978-981-322-379-0. Bhrawy, A.H.; Zaky, M.A. (2017). "An improved collocation method for multi-dimensional space–time variable-order fractional Schrödinger equations". Applied Numerical Mathematics. 111: 197–218. DOI:10.1016/j.apnum.2016.09.009. Kilbas, Anatolii Aleksandrovich; Srivastava, Hari Mohan; Trujillo, Juan J. (2006). Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam, Netherlands: Elsevier. ISBN 978-0-444-51832-3. Ross, B. (1975). "A brief history and exposition of the fundamental theory of fractional calculus". Fractional Calculus and Its Applications. Fractional Calculus and Its Applications. Lecture Notes in Mathematics. Lecture Notes in Mathematics. Kd 457. Lk 1–36. DOI:10.1007/BFb0067096. ISBN 978-3-540-07161-7. Debnath, L. (2004). "A brief historical introduction to fractional calculus". International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 35 (4): 487–501. DOI:10.1080/00207390410001686571. S2CID 122198977. Tenreiro Machado, J.; Kiryakova, V.; Mainardi, F. (2011). "Recent history of fractional calculus". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 16: 1140–1153. Bibcode:2011CNSNS..16.1140M. DOI:10.1016/j.cnsns.2010.05.027. hdl:10400.22/4149. Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.; Trujillo, J.J. (2013). "Science metrics on fractional calculus development since 1966". Fractional Calculus and Applied Analysis. 16: 479–500. DOI:10.2478/s13540-013-0030-y. hdl:10400.22/3773. S2CID 122487513. Tenreiro Machado, J.A.; Galhano, A.M.S.F.; Trujillo, J.J. (2014). "On development of fractional calculus during the last fifty years". Scientometrics. 98: 577–582. DOI:10.1007/s11192-013-1032-6. hdl:10400.22/3769. S2CID 16501850. Oldham, Keith B.; Spanier, Jerome (1974). The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order. Mathematics in Science and Engineering. Kd V. Academic Press. ISBN 978-0-12-525550-9. Miller, Kenneth S.; Ross, Bertram, toim-d (1993). An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-58884-9. Samko, S.; Kilbas, A.A.; Marichev, O. (1993). Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications. Taylor & Francis Books. ISBN 978-2-88124-864-1. Carpinteri, A.; Mainardi, F., toim-d (1998). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Springer-Verlag Telos. ISBN 978-3-211-82913-4. Igor Podlubny (27. oktoober 1998). Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of Their Applications. Elsevier. ISBN 978-0-08-053198-4. West, Bruce J.; Bologna, Mauro; Grigolini, Paolo (2003). Physics of Fractal Operators. Physics Today. Kd 56. Springer Verlag. Lk 65. Bibcode:2003PhT....56l..65W. DOI:10.1063/1.1650234. ISBN 978-0-387-95554-4. Mainardi, F. (2010). Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. Imperial College Press. {{cite book}}: |archive-url= nõuab parameetrit |archive-date= (juhend) Tarasov, V.E. (2010). Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. Nonlinear Physical Science. Springer. ISBN 9783642140037. Zhou, Y. (2010). Basic Theory of Fractional Differential Equations. Singapore: World Scientific. DOI:10.1142/9069. ISBN 978-981-4579-89-6. Uchaikin, V.V. (2012). Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers: Background and Theory. Nonlinear Physical Science. Higher Education Press. Bibcode:2013fdpe.book.....U. DOI:10.1007/978-3-642-33911-0. ISBN 9783642339103. Daftardar-gejji, Varsha (2013). Fractional Calculus: Theory and Applications. Narosa Publishing House. ISBN 978-8184873337. Srivastava, Hari M (2014). Special Functions in Fractional Calculus and Related Fractional Differintegral Equations. Singapore: World Scientific. DOI:10.1142/8936. ISBN 978-981-4551-10-6. Li, C P; Zeng, F H (2015). Numerical Methods for Fractional Calcuus. USA: CRC Press. Umarov, S. (2015). Introduction to Fractional and Pseudo-Differential Equations with Singular Symbols. Developments in Mathematics. Kd 41. Switzerland: Springer. DOI:10.1007/978-3-319-20771-1. ISBN 978-3-319-20770-4. Herrmann, R. (2018). Fractional Calculus - An Introduction for Physicists (3rd ed.). Singapore: World Scientific. DOI:10.1142/11107. ISBN 978-981-3274-57-0. Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." From MathWorld — A Wolfram Web Resource. MathWorld – Fractional calculus MathWorld – Fractional derivative Fractional Calculus at MathPages Eriala-ajakiri: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998–2014) and Fractional Calculus and Applied Analysis (from 2015) Eriala-ajakiri: Fractional Differential Equations (FDE) Eriala-ajakiri: Communications in Fractional Calculus Eriala-ajakiri: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA) www.nasatech.com Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc. GigaHedron – Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc. s.dugowson.free.fr History, Definitions, and Applications for the Engineer (PDF), by Adam Loverro, University of Notre Dame Fractional Calculus Modelling Introductory Notes on Fractional Calculus Power Law & Fractional Dynamics The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable Závada, Petr (1998). "Operator of Fractional Derivative in the Complex Plane". Communications in Mathematical Physics. 192 (2): 261–285. arXiv:funct-an/9608002. Bibcode:1998CMaPh.192..261Z. DOI:10.1007/s002200050299. S2CID 1201395. Závada, Petr (2002). "Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators". Journal of Applied Mathematics. 2 (4): 163–197. arXiv:hep-th/0003126. DOI:10.1155/S1110757X02110102. S2CID 6647936.