Kaiseri aken

Kaiseri aken, ka Kaiser-Besseli aken, on üheparameetriline aknafunktsioonide perekond, mille lõi James Kaiser töötades firmas Bell Laboratories. Kaiseri akna peamised kasutusalad leiduvad lõpliku impulsskostega filtrite disainimises ja spektrianalüüsis. Kaiseri aken on üks lahendus optimaalse akna leidmisele, kui soovida maksimeerida signaali energiat peamaksimumi läheduses võrreldes kõrvalmaksimumidega. Tegeliku optimaalse akna leidmine on arvutuslikult keeruline ning ebaoptimaalne, Kaiseri aken on optimaalse akna leidmisega võrreldes arvutuslikult lihtne lähendus optimaalsele aknale. Kaiseri aken on diskreetsel kujul matemaatiliselt defineeritud valemiga: w [ n ] = { I 0 [ β 1 − [ ( n − α ) / α ] 2 ] I 0 ( β ) , 0 ≤ n ≤ M 0 , m u i d u } {\displaystyle w[n]=\left\{{\begin{array}{ccl}{\frac {I_{0}\left[\beta {\sqrt {1-\left[\left(n-\alpha \right)/\alpha \right]^{2}}}\right]}{I_{0}(\beta )}},\quad &0\leq n\leq M\\0,\quad &muidu\end{array}}\right\}}   Kus: I0 on nullindat järku esimest tüüpi Besseli funktsioon α {\displaystyle \alpha } on M/2 M+1 on signaali pikkus β {\displaystyle \beta } on funktsiooni kuju määrav parameeter, juhul kui β = 0 {\displaystyle \beta =0} taandub Kaiseri aken ristkülikukujuliseks aknaks Kaiseri aken võib olla ka asendatud kujul, kus β = π α {\displaystyle \beta =\pi \alpha } Kaiseri akna pidev kuju ja selle Fourier pööre on matemaatiliselt defineeritud valemiga: w 0 ( x ) ≜ { 1 L I 0 [ β 1 − ( 2 x / L ) 2 ] I 0 [ β ] , | x | ≤ L / 2 0 , | x | > L / 2 } ⟺ F sin ⁡ ( ( π L f ) 2 − ( β ) 2 ) I 0 ( β ) ⋅ ( π L f ) 2 − ( β ) 2 , {\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \left\{{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{L}}{\frac {I_{0}\left[\beta {\sqrt {1-\left(2x/L\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\beta ]}},\quad &\left|x\right|\leq L/2\\0,\quad &\left|x\right|>L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\beta )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\beta )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\beta )^{2}}}}},}   Siin L tähistab akna kestvust. Signaali pikkuse ja parameetri β {\displaystyle \beta } kaudu on võimalik määrata suhet peamaksimumi laiuse ja kõrvalmaksimumide amplituutide vahel. Iga signaali puhul sobivate parameetrite katse-eksitus meetodil leidmise vältimiseks töötas Kaiser välja ka meetodi M ja β {\displaystyle \beta } väärtuste ennustamiseks. Kui soovitud filtri siirdeala laius on Δ ω {\displaystyle \Delta \omega } ning suurim lähendusviga Kaiseri akna ja optimaalse akna vahel on δ {\displaystyle \delta } , siis defineerides esmalt: A = − 20 log 10 ⁡ δ {\displaystyle A=-20\log _{10}\delta } , on otsitav beeta väärtus mingi A korral β = { 0.1102 ( A − 8.7 ) , A > 50 0.5842 ( A − 21 ) 0.4 + 0.07886 ( A − 21 ) , 21 ≤ A ≤ 50 0 , A < 21 } {\displaystyle \beta =\left\{{\begin{array}{ccl}0.1102(A-8.7),\quad &A>50\\0.5842(A-21)^{0.4}+0.07886(A-21),\quad &21\leq A\leq 50\\0,\quad &A<21\end{array}}\right\}}   Kaiser leidis lisaks, et soovitud A ja Δ ω {\displaystyle \Delta \omega } väärtuste leidmiseks peab signaali pikkus vastama tingimusele: M = A − 8 2.285 Δ ω {\displaystyle M={\frac {A-8}{2.285\Delta \omega }}}   Parktiliseks kasutuseks, nagu digitaalses signaalitöötluses, on võimalik Kaiseri funktsiooni lihtsustada kujule: w [ n ] = L ⋅ w 0 ( L M ( n − M / 2 ) ) = I 0 [ β 1 − ( 2 n M − 1 ) 2 ] I 0 [ β ] , 0 ≤ n ≤ M , {\displaystyle w[n]=L\cdot w_{0}\left({\tfrac {L}{M}}(n-M/2)\right)={\frac {I_{0}\left[\beta {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{M}}-1\right)^{2}}}\right]}{I_{0}[\beta ]}},\quad 0\leq n\leq M,} Kaiseri akna sagedusesituses asub esimene nullpunkt väljaspool peamaksimumi sagedusel 1 + β π 2 L {\displaystyle {\frac {\sqrt {1+{\frac {\beta }{\pi }}^{2}}}{L}}} , ning parameetri β {\displaystyle \beta } väärtuste muutudes on Kaiseri akna kuju parameetri äärmuslike väärtuste korral kas kastfunktsioon, kui β = 0 {\displaystyle \beta =0} või Gaussi funktsiooni lähendus, kui β {\displaystyle \beta } läheneb lõpmatusele, seda nii ajalises- kui ka sagedusruumis. Kaiseri aken on sobilik nii madalpääsfiltrite kui ka kõrgpääsfiltrite disainiks, seega on Kaiseri aknafunktsioonide kaudu konstrueeritav ka ribapääsfilter. Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W. (2009). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 541. ISBN 9780131988422. T. Verma, S. Bilbao and T. H. Y. Meng, "The digital prolate spheroidal window," 1996 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing Conference Proceedings, Atlanta, GA, USA, 1996, pp. 1351-1354 vol. 3, doi: 10.1109/ICASSP.1996.543677. Nuttall, Albert H. (veebruar 1981). "Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 29 (1): 89 (eq.38). DOI:10.1109/TASSP.1981.1163506. Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W., lk 542. Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "7.2". Discrete-time signal processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 474. ISBN 0-13-754920-2. a near-optimal window could be formed using the zeroth-order modified Bessel function of the first kind Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W., lk 545. Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W., lk 547.