Lõplik hulk

Matemaatikas nimetatakse lõplikuks hulgaks hulka, mille puhul mõnd naturaalarvu (kaasa arvatud null) saab nimetada tema elementide arvuks. Nii näiteks on hulk S = { 4 , 6 , 2 , 8 } {\displaystyle S\,=\,\{4,6,2,8\}} lõplik hulk, mille elementide arv on 4. Tühihulgal definitsiooni järgi elemendid puuduvad, st 0 {\displaystyle 0} on selle elementide arv, sellepärast loetakse seda lõplikuks hulgaks. Lõpliku hulga S {\displaystyle S} võimsust | S | {\displaystyle |S|} samastatakse mõne naturaalarvuga. Näiteks kirjutatakse siis | S | = 4 {\displaystyle |S|=4} , et väljendada, et hulgal S {\displaystyle S} on 4 elementi. Hulka, mis ei ole lõplik, nimetatakse lõpmatuks hulgaks. Lõpliku hulga võib samaväärselt defineerida kui hulga, mis pole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga (vt #Dedekindi definitsioon). Hulka M {\displaystyle M} nimetatakse lõplikuks, kui leidub naturaalarv n {\displaystyle n} (mis võib olla null,) nii, et leidub bijektsioon f : M → N n := { m ∈ N 0 ∣ m < n } = { 0 , 1 , 2 , 3 , … , n − 1 } {\displaystyle f\colon M\rightarrow N_{n}\quad :=\{m\in \mathbb {N} _{0}\,\mid \,m<n\}\;=\;\{0,1,2,3,\dotsc ,n-1\}} hulgast M {\displaystyle M} kõikide arvust n {\displaystyle n} väiksemate naturaalarvude hulgale N n {\displaystyle N_{n}} . Selle definitsiooni järgi on tühihulk ∅ := { } {\displaystyle \emptyset :=\{\}} lõplik, sest triviaalsel moel leidub bijektsioon hulgast ∅ {\displaystyle \emptyset } tühihulgale N 0 {\displaystyle N_{0}} (kõikide arvust 0 {\displaystyle 0} väiksemate naturaalarvude hulgale). Nii näiteks on hulk S = { 4 , 6 , 2 , 8 } {\displaystyle S\,=\,\{4,6,2,8\}} lõplik, sest eksisteerib bijektsioon sellelt hulgalt hulgale N 4 = { 0 , 1 , 2 , 3 } {\displaystyle N_{4}\,=\,\{0,1,2,3\}} (vaata joonist). Seevastu ei leidu bijektsiooni kõikide naturaalarvude hulgast N 0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , … } {\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,3,\dotsc \}} lõplikule hulgale, nii et hulk N 0 {\displaystyle \mathbb {N} _{0}} on lõpmatu. Alternatiivse definitsiooni järgi nimetatakse hulka S lõplikuks, kui ta on tühihulk või kui leidub bijektsioon f : S → { 1 , … , n } {\displaystyle f\colon S\rightarrow \{1,\ldots ,n\}} mõne naturaalarvu n korral. Arvu n nimetatakse hulga S võimsuseks. Lõpliku hulga A {\displaystyle A} iga alamhulk on lõplik. Kui A {\displaystyle A} on lõplik hulk ja B {\displaystyle B} on suvaline hulk, siis on nii ühisosa A ∩ B {\displaystyle A\cap B} kui ka vahe A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} lõplikud hulgad, sest mõlemad on hulga A {\displaystyle A} alamhulgad. Kui A , B {\displaystyle A,B} on lõplikud hulgad, siis on ka nende ühend Vereinigungsmenge A ∪ B {\displaystyle A\cup B} lõplik. Selle võimsus     | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|} . Kui A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} on lõplikud ja ühisosata hulgad, ( A ∩ B = ∅ , {\displaystyle A\cap B=\emptyset ,} ), siis     | A ∪ B | = | A | + | B | = | A ∪ ˙ B | {\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|=|A\,{\dot {\cup }}\,B|} . Lõpliku arvu lõplike hulkade ühend on lõplik hulk. Selle võimsus on antud inklusiooni ja eksklusiooni printsiibiga. Kui hulk A {\displaystyle A} on lõpmatu ja hulk B {\displaystyle B} on lõplik, siis nende vahe A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} on lõpmatu. Lõpliku hulga A {\displaystyle A} astmehulk P ( A ) := { U ∣ U ⊆ A } {\displaystyle {\mathcal {P}}(A):=\{U\mid U\subseteq A\}} on suurema võimsusega kui see hulk ise, kuid lõplik; kehtib | P ( A ) | = 2 | A | {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}} . Lõplike hulkade otsekorrutis A × B {\displaystyle A\times B} on lõplik. Selle võimsus on suurem kui kummalgi teguril, kui kumbki tegur ei ole tühihulk ja mõlema teguri võimsus on suurem kui 1 {\displaystyle 1} . Lõplike hulkade A , B {\displaystyle A,B} otsekorrutise võimsus | A × B | = | A | ⋅ | B | {\displaystyle |A\times B|=|A|\cdot |B|} . Lõpliku arvu lõplike hulkade otsekorrutis on lõplik hulk. Teine lõpliku hulga definitsioon pärineb Richard Dedekindilt. See on niisugune: Hulka S {\displaystyle S} nimetatakse lõplikuks, kui see ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga, vastasel juhtumil lõpmatuks. Tänapäeval räägitakse Dedekindi lõplikkusest ja Dedekindi lõpmatusest. . Et matemaatilise induktsiooni teel näidata, et iga lõplik hulk on ka Dedekindi-lõplik, piisab, kui näidata järgmist: Tühi hulk ei ole võrdvõimas ühegi oma pärisalamhulgaga. Kui hulk S {\displaystyle S} ei ole ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas, siis ei ole ka hulk S ∪ { a } {\displaystyle S\cup \{a\}} ühegi oma pärisalamhulgaga võrdvõimas. (Punkt 1 on selge, sest tühihulgal ei ole pärisalamhulki. Punkti 2 juures tuleb näidata, et bijektsioonist f ′ {\displaystyle f'} hulgast S ′ := S ∪ { a } {\displaystyle S':=S\cup \{a\}} hulga S ′ {\displaystyle S'} pärisalamhulgale U ′ {\displaystyle U'} võib konstrueerida bijektsiooni f {\displaystyle f} hulgast S {\displaystyle S} selle pärisalamhulgale U {\displaystyle U} .) Ümberpöördult, iga Dedekindi-lõplik hulk A {\displaystyle A} on ka lõplik, sest kui A {\displaystyle A} oleks lõpmatu, siis peaks valikuaksioomi põhjal leiduma paarikaupa erinevate elementide a n ∈ A {\displaystyle a_{n}\in A} jada F := ( a 0 , a 1 , a 2 , … ) = ( a n ) n ∈ N 0 . {\displaystyle F:=(a_{0},a_{1},a_{2},\dotsc )=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}.} Kujutus on hästi defineeritud, sest kui a ∈ F {\displaystyle a\in F} , siis leidub üheselt määratud n ∈ N 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}} nii, et a n = a {\displaystyle a_{n}=a} . See näitab, et A {\displaystyle A} on võrdvõimas oma pärisalamhulgaga A ∖ { a 0 } {\displaystyle A\setminus \{a_{0}\}} ja seetõttu ei ole ta Dedekindi-lõplik – mis on eeldusega vastuolus. Paul R. Halmos. Naive Mengenlehre (= Moderne Mathematik in elementarer Darstellung, kd 6),. 5. trükk, Vandenhoeck & Ruprecht: Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8. Oliver Deiser. Einführung in die Mengenlehre. Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo, =3., parandatud trükk, Springer 2010, ISBN 978-3-642-01444-4. Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.