Keskväärtus

Keskväärtus (ehk matemaatiline ootus või ooteväärtus) on mõõdetavate suuruste ja nende realiseerumise tõenäosuste korrutiste summa. Näiteks pikas katseseerias, kus ühte katset korratakse samadel tingimustel, tulemuste keskmine sarnaneb (seeria pikkuse suurenedes) üha rohkem tulemuste keskväärtusega. Keskväärtus (mingi arv) ei pruugi ise realiseeruda, näiteks täringuvisete silmade arvu keskväärtus on 3,5. Olgu X {\displaystyle X} juhuslik suurus tõenäosusruumist ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} , siis juhusliku suuruse X {\displaystyle X} keskväärtus E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)} (või E ⁡ X {\displaystyle \operatorname {E} X} ) on defineeritud Lebesgue'i integraalina: E ⁡ ( X ) = ∫ Ω X d ⁡ P {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\operatorname {d} P} . Definitsioonist tuleneb, et mitte kõigil juhuslikel suurustel ei pruugi keskväärtust leiduda (kui vastavat Lebesgue'i integraali ei eksisteeri, nt Cauchy jaotuse korral). Kui juhuslikul suurusel X {\displaystyle X} leidub tihedusfunktsioon f X ( x ) {\displaystyle f_{X}\,(x)} , siis saab tema keskväärtust arvutada järgnevalt: E ⁡ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f X ( x ) d ⁡ x {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{X}\,(x)\,\operatorname {d} x} . Kui juhuslik suurus X {\displaystyle X} on diskreetne juhuslik suurus (väärtuste hulk on loenduv) vastavalt väärtustega x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , ... ja tõenäosustega p 1 {\displaystyle p_{1}} , p 2 {\displaystyle p_{2}} , ... (kusjuures p i {\displaystyle p_{i}} tähistab väärtuse x i {\displaystyle x_{i}} realiseerumise tõenäosust ühel katsel ja nende tõenäosuste summa on 1), siis juhusliku suuruse X {\displaystyle X} keskväärtust saab arvutada loenduva summana: E ⁡ ( X ) = ∑ i p i x i {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}} . Kui suuruse X {\displaystyle X} väärtusi on lõplik arv n {\displaystyle n} (ehk neid väärtusi on n {\displaystyle n} tükki: x 1 {\displaystyle x_{1}} , x 2 {\displaystyle x_{2}} , ..., x n {\displaystyle x_{n}} ), siis E ⁡ ( X ) = ∑ i = 1 n x i p i {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}p_{i}} . Olgu X {\displaystyle X} ja Y {\displaystyle Y} keskväärtust omavad juhuslikud suurused. Kui X ⩽ Y {\displaystyle X\leqslant Y} kehtib alati (st P ⁡ ( X ⩽ Y ) = 1 {\displaystyle \operatorname {P} (X\leqslant Y)=1} ), siis ka E ⁡ ( X ) ⩽ E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (X)\leqslant \operatorname {E} (Y)} . E ⁡ ( α X + β Y ) = α E ⁡ ( X ) + β E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (\alpha X+\beta Y)=\alpha \operatorname {E} (X)+\beta \operatorname {E} (Y)} iga reaalarvulise α {\displaystyle \alpha } ja β {\displaystyle \beta } korral. Muu hulgas E ⁡ ( α ) = α {\displaystyle \operatorname {E} (\alpha )=\alpha } , E ⁡ ( α X ) = α E ⁡ ( X ) {\displaystyle \operatorname {E} (\alpha X)=\alpha \operatorname {E} (X)} . Kui X {\displaystyle X} ja Y {\displaystyle Y} on sõltumatud, siis E ⁡ ( X Y ) = E ⁡ ( X ) ⋅ E ⁡ ( Y ) {\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)} . Üldjuhul ei pruugi see kehtida. Olgu katseks üks täringuvise ning katse tulemuseks loeme saadud silmade arvu täringul (1, 2, 3, 4, 5 või 6 silma). Eeldame, et täring on "aus", st kõigi silmade arvu tulemiseks on võrdne võimalus. Siis ühe silma saamise tõenäosus ühel viskel on 1/6 ( p 1 = 1 / 6 {\displaystyle p_{1}=1/6} ), kahe silma saamise tõenäosus ühel viskel 1/6 jne. Täringuvisete silmade arvu keskväärtus on siis E ⁡ ( X ) = 1 ⋅ 1 / 6 + 2 ⋅ 1 / 6 + 3 ⋅ 1 / 6 + 4 ⋅ 1 / 6 + 5 ⋅ 1 / 6 + 6 ⋅ 1 / 6 = ∑ i = 1 6 x i p i = 3 , 5 {\displaystyle \operatorname {E} (X)=1\cdot 1/6+2\cdot 1/6+3\cdot 1/6+4\cdot 1/6+5\cdot 1/6+6\cdot 1/6=\sum _{i=1}^{6}x_{i}p_{i}=3,5} , kus X {\displaystyle X} tähistab silmade arvu, mis on juhuslik suurus, x i = i {\displaystyle x_{i}=i} ja p i = 1 / 6 {\displaystyle p_{i}=1/6} , nagu eelnevalt kirjeldatud. Selles näites saadud keskväärtus langeb kokku silmade arvu aritmeetilise keskmisega, sest kõigi silmade saamise tõenäosused on võrdsed. Kui meil oleks olnud tegemist ebaausa täringuga, kus ühe silma saamise tõenäosus on teistest suurem, näitkeks p 1 = 0 , 5 {\displaystyle p_{1}=0,5} ja p 2 = . . . = p 6 = 0 , 1 {\displaystyle p_{2}=...=p_{6}=0,1} , siis oleks keskväärtuseks tulnud 2,5. (See arv näitab, et pika katseseeria jooksul oleks visketulemuste keskmine olnud ligikaudu 2,5.) Olgu juhuslik suurus X {\displaystyle X} eksponentjaotusest parameetriga λ ≥ 0 {\displaystyle \lambda \geq 0} , st tema tihedusfunktsioon on f ( x ) = λ e − λ x {\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}} , kus x ≥ 0 {\displaystyle x\geq 0} . Kasutades ositi integreerimist, saame tema keskväärtuseks E ⁡ ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d ⁡ x = ∫ − ∞ 0 x f ( x ) d ⁡ x + ∫ 0 ∞ x f ( x ) d ⁡ x = 0 + ∫ 0 ∞ x ⋅ λ e − λ x d ⁡ x = {\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\operatorname {d} x=\int _{-\infty }^{0}xf(x)\operatorname {d} x+\int _{0}^{\infty }xf(x)\operatorname {d} x=0+\int _{0}^{\infty }x\cdot \lambda e^{-\lambda x}\operatorname {d} x=} = ( − x e − λ x ) | 0 ∞ − ∫ 0 ∞ ( − e − λ x ) d ⁡ x = 0 + ∫ 0 ∞ − 1 λ e − λ x d ⁡ ( − λ x ) = {\displaystyle =(-xe^{-\lambda x})\operatorname {\bigg |} _{0}^{\infty }-\int _{0}^{\infty }(-e^{-\lambda x})\operatorname {d} x=0+\int _{0}^{\infty }{-{1} \over {\lambda }}e^{-\lambda x}\operatorname {d} (-\lambda x)=} = − 1 λ e − λ x | 0 ∞ = 0 − ( − 1 λ ) = 1 λ {\displaystyle =-{{1} \over {\lambda }}e^{-\lambda x}\operatorname {\bigg |} _{0}^{\infty }=0-(-{{1} \over {\lambda }})={{1} \over {\lambda }}} . Pinnakese