Lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarvõrrandisüsteem on lineaaralgebras lineaarvõrrandite komplekt, näiteks 3x1 + 2x2 − x3 = 1 2x1 − 2x2 + 4x3 = −2 −x1 + ½x2 − x3 = 0. Selle võrrandisüsteemi lahendamine seisneb muutujate x1, x2 ja x3 väärtuste selliste komplektide leidmises, mis rahuldavad kõiki kolme võrrandit korraga. Lineaarseks nimetatakse võrrandisüsteemi siis, kui tundmatud x_1, x_2...x_n on esimeses astmes. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine on üks vanemaid probleeme matemaatikas. Sellel on palju rakendusi. Lineaarvõrrandite süsteemide efektiivsed meetodid on Gaussi meetod ja Cholesky lahutus. Üldjuhul võib n muutujaga m lineaarvõrrandi süsteemi esitada kujul a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2     :     : am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm, kus x1, ... ,xn on tundmatud ja arvud (üldisemalt skalaarid) aij on süsteemi koefitsiendid. Koefitsiendid esitame maatriksina: A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}.} Võrrandisüsteemi võib esitada ka kujul Ax = b, kus A on ülaltoodud m×n-maatriks, x on n liikmega veeruvektor ja b on m liikmega veeruvektor. Gaussi meetod on rakendatav kõikide sellise kujuga süsteemide puhul, ka siis, kui koefitsiendid kuuluvad suvalisse korpusesse. Kui korpus, millesse koefitsiendid kuuluvad, on lõpmatu (näiteks reaalarvude korpus või kompleksarvude korpus), siis iga antud lineaarvõrrandite süsteemi korral on võimalikud kolm juhtu: süsteemil puuduvad lahendid süsteemil on üksainus lahend süsteemil on lõpmatu palju lahendeid. Süsteemi kujuga Ax = 0 nimetatakse homogeenseks lineaarvõrrandisüsteemiks. Homogeense süsteemi kõikide lahendite hulk on alati vektorruumi F n lineaarne alamruum, kus F on koefitsientide korpus. Eriti ülalnimetatud rakenduste jaoks on erijuhtude puhuks välja töötatud Gaussi meetodist efektiivsemaid meetodeid. Paljudel neist on keerukus O(n²). Mainime tuntumaid: Kui ülesandel on kuju Ax = b, kus A on sümmeetriline Toeplitzi maatriks, siis saab kasutada Levinson rekursiooni või mõnda selle tuletistest. Üks Levinsoni-laadne tuletis on Schuri rekursioon, mida kasutatakse sageli digitaalses signaalitöötluses. Kui ülesandel on kuju Ax = b, kus A on singulaarne maatriks või peaaegu singulaarne maatriks, siis lahutatakse maatriks A kolme maatriksi korrutiseks, kasutades singulaarväärtuslahutust. Liitmisvõtte idee seisneb ühe muutuja elimineeris võrrandite liitmise kaudu, mille tagajärjel saame ühe muutujaga võrrandi. Sealt on juba lihtne vastav muutuja väärtus avaldada. Teise muutuja väärtuse saame kätte, asendades leitud muutuja väärtus ühte esialgsetest võrranditest. Lahendame näiteks võrrandisüsteemi { 4 x − 2 y = 2 , 8 7 x + 4 y = − 2 , 6 {\displaystyle {\begin{cases}4x-2y=2,8\\7x+4y=-2,6\end{cases}}} Proovime elimineeride muutujat y. Selleks korrutame kõigepealt esimese võrrandi poolt 2-ga ja seejärel liidame võrrandid. { 4 x − 2 y = 2 , 8 ∣ ⋅ 2 7 x + 4 y = − 2 , 6 {\displaystyle {\begin{cases}4x-2y=2,8\mid \cdot 2\\7x+4y=-2,6\end{cases}}} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } { 8 x − 4 y = 5 , 6 7 x + 4 y = − 2 , 6 _ {\displaystyle {\begin{cases}8x-4y=5,6\\{\underline {7x+4y=-2,6}}\end{cases}}} + Muutuja y väärtused koonduvad ja saame 15 x = 3 {\displaystyle 15x=3} , kus x = 0 , 2 {\displaystyle x=0,2} Nüüd asendame leitud x väärtuste ükskõik kumba (mõistagi lihtsamasse) võrrandisse ning leiame y väärtuse: 4 ⋅ 0 , 2 − 2 y = 2 , 8 ⇔ − 2 y = 2 , 8 − 0 , 8 ⇔ 2 y = − 2 ⇔ y = − 1. {\displaystyle 4\cdot 0,2-2y=2,8\Leftrightarrow -2y=2,8-0,8\Leftrightarrow 2y=-2\Leftrightarrow y=-1.} Vastuseks saame lahendipaari { x = 0 , 2 y = − 1 {\displaystyle {\begin{cases}x=0,2\\y=-1\end{cases}}} Asendusvõtte idee seisneb ühest võrrandist muutuja avaldamises ja selle asendamises teise võrrandisse. Näiteks lahendame asendusvõttega võrrandisüsteemi { x + y = 6 x − y = 1 {\displaystyle {\begin{cases}x+y=6\\x-y=1\end{cases}}} Kõigepealt avaldame teisest võrrandist x=y+1 ning asendame saadud avaldise esimesse võrrandisse: y+1+y=6 ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } 2y=5. Leiame, et y=2,5. Vastava x väärtuse saame võrrandist x+2,5=6 . Seega saime lahendiks, et { x = 3 , 5 y = 2 , 5 {\displaystyle {\begin{cases}x=3,5\\y=2,5\end{cases}}} . Lineaarvõrrandite süsteemide lahendaja veebis (inglise keeles)