Impulsimoment

Impulsimoment ehk pöördeimpulss ehk liikumishulga moment on mehaanikas dünaamiline suurus, mis on seotud pöördliikumisega. Impulsimomendi tähis on L {\displaystyle L} ja mõõtühik njuutonmeetersekund (n·m·s). Punktmassi impulsimoment koordinaatide alguspunkti suhtes on L = r × p = r × m v , {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} \,,} kus r on osakese kohavektor, v kiiruse vektor, m mass ja p = mv impulss. × tähistab vektorkorrutist. Impulsimoment fikseeritud punkti r0 suhtes on L = ( r − r 0 ) × p . {\displaystyle \mathbf {L} =(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})\times \mathbf {p} \,.} Näiteks nurkkiirusega ω piki ringjoont raadiusega r tiirleva punktmassi impulsimomendi moodul on L = m r 2 ω . {\displaystyle L=mr^{2}\omega .\,} Paljudest osakestest koosneva süsteemi koguimpulsimoment on osakeste impulsimomentide summa: L = ∑ i r i × m i v i , {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}\,,} kus ri on i-nda osakese kohavektor, vi selle kiirus ja mi selle mass. (Σi tähistab summat üle kõigi osakeste.) Osakeste süsteemi jaoks on tihti otstarbekas vaadleda impulsimomenti süsteemi massikeskme R = 1 M ∑ i m i r i {\displaystyle \mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}} suhtes, kus M = ∑ i m i . {\displaystyle M=\sum _{i}m_{i}.\,} tähistab süsteemi kogumassi. Nende suuruste abil saab süsteemi impulsimomendi jagada kahte ossa L = L 0 + R × M V , {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{0}+\mathbf {R} \times M\mathbf {V} \,,} kus V = dR/dt on massikeskme liikumise kiirus ja L 0 = ∑ i ( r i − R ) × m i ( v i − V ) , {\displaystyle \mathbf {L} _{0}=\sum _{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}(\mathbf {v} _{i}-\mathbf {V} )\,,} on impulsimoment taustsüsteemis, kus massikese on paigal, ent kirjeldab seega süsteemi "sisemist" impulsimomenti. Suurus R × M V kirjeldab aga massikeskme liikumisest tingitud impulsimomenti. Nurkkiirusega ω ümber oma sümmeetriatelje pöörleva jäiga keha impulsimoment on L = I ω . {\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,.} kus I on keha inertsimoment vaadeldava sümmeetriatelje suhtes. Kui osakesele mõjub jõud F, siis on impulsimomendi muutumise kiirus võrdne jõumomendiga M = r × F: d L d t = M . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {M} .} Osakeste süsteemi koguimpulsimoment on võrdne süsteemile mõjuvate väliste jõudude momentide summaga: d L d t = ∑ i M i . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}\mathbf {M} _{i}.} Seega isoleeritud süsteemis, väliste jõudude puudumisel, on osakeste süsteemi koguimpulsimoment jääv – viimane väide väljendab impulsimomendi jäävuse seadust. Tuginedes Noetheri teoreemile saab impulsimomendi jäävuse järeldada ruumi isotroopsusest, st asjaolust, et ruum on igas suunas ühesugune. Relatiivsusteoorias kirjeldab impulsimomenti impulsimomendi 2-vorm r ∧ p, kus r on osakese kohavektor aegruumis ja p on energia-impulsi 4-vektor ning ∧ tähistab väliskorrutist. Et impulsimoment on Noetheri teoreemi kaudu seotud ruumi isotroopsusega, siis pole see kõverates aegruumides üldjuhul jääv. Kvantmehaanikas saab impulsimoment võtta vaid diskreetseid väärtuseid, mis on taandatud Plancki konstandi ℏ {\displaystyle \hbar } poolarv kordsed. Samuti pole impulsimomendi suund kvantmehaanikas määratud – kvantsüsteemi jaoks saab korraga täpselt määratud olla vaid impulsimomendi projektsioon ühele fikseeritud teljele. Kvantmehaanikas kirjeldatakse vaadeldavaid suurusi olekuvektoritele mõjuvate operaatorite abil. Orbitaalset impulsimomenti kirjeldab impulsimomendi operaator L ^ = x ^ × p ^ , {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {x} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}\,,} mis on koordinaatesituses kujul L ^ = − i ℏ ( r × ∇ ) , {\displaystyle {\hat {\mathbf {L} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )\,,} kus ∇ {\displaystyle \nabla } on nabla-operaator. Orbitaalne impulsimomendi (projektsiooni) väärtused saavad olla vaid ℏ {\displaystyle \hbar } täisarv kordsed. Lisaks viimasele võib osake omada ka sisemist impulsimomenti ehk spinni, mille väärtused võivad olla ℏ {\displaystyle \hbar } poolarv kordsed. Spinni kirjeldatakse vastava spinni operaatorga S. Spinniga osakese koguimpulssi kirjeldab operaator J ^ = L ^ + S ^ . {\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}={\hat {\mathbf {L} }}+{\hat {\mathbf {S} }}\,.} Impulsimomendi operaatori komponentide vahel kehtivad kanoonilised kommutatsiooniseosed [ J ^ l , J ^ m ] = i ℏ ∑ n = 1 3 ε l m n J ^ n , {\displaystyle [{\hat {J}}_{l},{\hat {J}}_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}{\hat {J}}_{n}\,,} kus εlmn on (täielikult antisümmeetriline) Levi-Civita sümbol ja [ X , Y ] = X Y − Y X {\displaystyle [X,Y]=XY-YX} on kommutaator. Neid seoseid rahuldavad eraldi ka L ja S komponendid. Pöördliikumise energia Spinn ENE 3. köide, 1988