Fibonacci jada

Fibonacci jada on arvude jada, mille kaks esimest liiget on vastavalt F1=0 ja F2=1 ning iga järgnev liige on kahe eelneva liikme summa. Jada esimesed liikmed on 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 ,   … . {\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ \ldots .} (esimesed 500 elementi on loetletud siin). Fibonacci jada {Fn} defineeritakse rekurrentse seosega F n = F n − 1 + F n − 2 , {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\,} mis lahendatakse algtingimustel F 0 = 0 , F 1 = 1. {\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1.\,} Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt mātrāmeru nime all Pingala sanskritikeelses käsikirjas Chandaḥśāstra ('Prosoodiakunst'; 450 eKr või 200 eKr). Aastal 1202 tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci[viide?]. Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv sellest alati ligikaudu kuldlõike suhtarvu pöördväärtus 1 / φ ≈ 0 , 618 {\displaystyle 1/\varphi \approx 0,618} korda väiksem ning järgnev arv on sellest φ ≈ 1 , 618 {\displaystyle \varphi \approx 1,618} korda suurem. Viimast väljendab asjaolu, et Fibonacci jada esitub kujul F n = φ n − ( − φ ) − n 5 = φ n − ( 1 − φ ) n 5 , {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}},} kus φ {\displaystyle \varphi } on kuldlõike suhtarv. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose F n = F n − 1 + F n − 2 {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} lahendamisel algtingimustel F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0} , F 1 = 1 {\displaystyle F_{1}=1} . Fibonacci jada pealiikme valemi tuletamine Unustame esialgu algtingimused ja otsime rekurrentse võrrandi F n + 2 = F n + 1 + F n ( 1 ) {\displaystyle F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\qquad (1)} lahendit kujul F n = x n . {\displaystyle F_{n}=x^{n}.\,} Asendades oletatava lahendi võrrandisse (1), saame pärast kõikide suuruste samale poole võrdusmärki viimist ja x n {\displaystyle x^{n}} -ga jagamist karakteristliku ruutvõrrandi x 2 − x − 1 = 0. {\displaystyle x^{2}-x-1=0.\,} Selle ruutvõrrandi lahendid on x 1 = 1 + 5 2 = φ , x 2 = 1 − 5 2 = 1 − φ , {\displaystyle x_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi ,\quad x_{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi ,\,} kus φ {\displaystyle \varphi } on kuldlõike suhtarv. Et seos (1) on lineaarne, siis on F n {\displaystyle F_{n}} üldlahend F n = A φ n + B ( 1 − φ ) n , ( 2 ) {\displaystyle F_{n}=A\varphi ^{n}+B(1-\varphi )^{n},\qquad (2)} kus kordajad A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} leitakse algtingimustest: F 0 = 0 , F 1 = 1. ( 3 ) {\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1.\qquad (3)} Asendades üldlahendi (2) algtingimustesse (3), saame lineaarvõrrandisüsteemi F 0 = A + B = 0 , F 1 = A φ + B ( 1 − φ ) = 1 , {\displaystyle F_{0}=A+B=0,\quad F_{1}=A\varphi +B(1-\varphi )=1,} mille lahendamine annab A ja B väärtused: A = − B = 1 2 φ − 1 = 1 5 . {\displaystyle A=-B={\frac {1}{2\varphi -1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}.\,} Asendades kordajad A ja B üldlahendisse (2), jõuamegi oodatud tulemuseni F n = φ n − ( 1 − φ ) n 5 . {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.\,} Fibonacci jada võib kohata ka looduses. Näiteks taimede ehituses: et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt. Näiteks kahe kohakuti lehe vahel on tihti Fibonacci arv[viide?] lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhul[viide?]. Vaata ka: Lucas' jada Lucas' jada liikmed defineeritakse samuti rekursiivselt kahe eelneva liikme summana, kuid selle esimesed liikmed erinevad Fibonacci jada omadest, mistõttu on Lucas' jada Fibonacci jadast erinev. Selle esimesed liikmed on: 2 , 1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18 , 29 ,   … . {\displaystyle 2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\ \ldots .} Faktoriaal  Fibonacci jada – pildid, videod ja helifailid Wikimedia Commonsis