Levi-Civita sümbol

Levi-Civita sümbol ehk Levi-Civita permutatsioonitensor ehk Levi-Civita tensor on matemaatiline sümbol, mis vastab n-mõõtmelisele tensorile ja millel on n naturaalarvulist indeksit. Sümbol on nime saanud itaallasest matemaatiku ja füüsiku Tullio Levi-Civita järgi. Levi-Civita sümboli märkimiseks kasutatakse kreeka väiketähte epsiloni, mida eri autorid kirjutavad kas ε või ϵ, vähem levinud variant on ladina väiketäht e. Levi-Civita sümbolit kasutatakse, et märkida indeksite permutatsiooni nii, et see oleks vastavuses tensoranalüüsiga: ε i 1 i 2 ⋯ i n , {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}},} kus iga indeks i1, i2, ... , in saab väärtused naturaalarvude hulgast 1, 2, ... , n, kusjuures erinevaid ε i 1 i 2 ⋯ i n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}} saab olla nn tükki. Indeks n näitab Levi-Civita sümboli mõõdet. Termin "n-mõõtmeline Levi-Civita sümbol" viitab asjaolule, et indeksite arv sümbolis vastab vaatluse all oleva vektorruumi dimensionaalsusele. Selleks ruumiks võib olla näiteks eukleidiline ruum või meetriline ruum. Levi-Civita sümboli väärtused on sõltumatud koordinaatide süsteemist või meetrikast. Tullio Levi-Civita avaldas koos Gregorio Ricci-Curbastroga 1900. aastal artikli "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", kus esmakordselt kirjeldati sümbolit, mis hiljem sai tuntuks Levi-Civita sümbolina. Oma hilisemas töös kutsus Levi-Civita sümbolit ε-süsteemiks. Levi-Civita sümbol peab olema antisümmeetriline ehk kui kaks suvalist indeksit, olenemata nende väärtusest, vahetavad kohad, muutub kogu Levi-Civita sümbol vastasmärgiliseks. ε ⋯ i p ⋯ i q ⋯ = ε ⋯ i q ⋯ i p ⋯ {\displaystyle \varepsilon _{\cdots i_{p}\cdots i_{q}\cdots }=\varepsilon _{\cdots i_{q}\cdots i_{p}\cdots }} Kui kaks või enam suvalist indeksit on võrdsed, on sümboli väärtus võrdne nulliga. Kui kõik indeksid on üksteisest erinevad, saab võrduse ε i 1 i 2 ⋯ i n = ( − 1 ) p ε 12 ⋯ n , {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}=(-1)^{p}\varepsilon _{12\cdots n},} kus p on inversioonide arv ja näitab, kui mitu korda on vaja indekseid ümber tõsta, et permutatsioonist (i1, i2, ... , in) saaks n-elemendiline permutatsioon (1, 2, ... , n), mida tuntakse ka loomuliku permutatsioonina. Ühemõõtmeline Levi-Civita sümbol on sümboli lihtsaim näide, kuna on üksainus indeks i, mis on alati endaga võrdne: ε i = 0  kuna  i = i . {\displaystyle \varepsilon _{i}=0{\text{ kuna }}i=i.} Kahemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt: ε i j = { + 1 kui  ( i , j )  on  ( 1 , 2 ) − 1 kui  ( i , j )  on  ( 2 , 1 ) 0 kui  i = j . {\displaystyle \varepsilon _{ij}={\begin{cases}+1&{\text{kui }}(i,j){\text{ on }}(1,2)\\-1&{\text{kui }}(i,j){\text{ on }}(2,1)\\\;\;\,0&{\text{kui }}i=j.\end{cases}}} Kõik võimalikud väärtused annavad 2×2 antisümmeetrilise maatriksi: ( ε 11 ε 12 ε 21 ε 22 ) = ( 0 1 − 1 0 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.} Kolmemõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud järgmiselt: ε i j k = { + 1 kui  ( i , j , k )  on  ( 1 , 2 , 3 ) , ( 3 , 1 , 2 )  või  ( 2 , 3 , 1 ) , − 1 kui  ( i , j , k )  on  ( 1 , 3 , 2 ) , ( 3 , 2 , 1 )  või  ( 2 , 1 , 3 ) , 0 kui  i = j  või  j = k  või  k = i . {\displaystyle \varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1&{\text{kui }}(i,j,k){\text{ on }}(1,2,3),(3,1,2){\text{ või }}(2,3,1),\\-1&{\text{kui }}(i,j,k){\text{ on }}(1,3,2),(3,2,1){\text{ või }}(2,1,3),\\\;\;\,0&{\text{kui }}i=j{\text{ või }}j=k{\text{ või }}k=i.\end{cases}}} Kui (i, j, k) moodustavad paarispermutatsiooni, siis on ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} väärtus +1; kui (i, j, k) moodustavad paaritu permutatsiooni, siis on ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} väärtus −1; kui kaks või enam indeksi väärtust korduvad, on tulemuseks 0. Sarnaselt kahemõõtmelise Levi-Civita sümboli väärtustega saab kolmemõõtmelise sümboli kõik väärtused esitada 3×3×3 maatriksina, kus i on sügavus, j on rida ja k on veerg. ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} või ükskõik milline selle skalaarkorrutis on ainus kolme alaindeksiga suurus, mis muudab märki, kui kahe indeksi kohad omavahel ära vahetada. Mõned näited: ε 1 3 2 = − ε 1 2 3 = − 1 {\displaystyle \varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}=-1} ε 3 1 2 = − ε 2 1 3 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 {\displaystyle \varepsilon _{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1} ε 2 3 1 = − ε 1 3 2 = − ( − ε 1 2 3 ) = 1 {\displaystyle \varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-(-\varepsilon _{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1} ε 2 3 2 = − ε 2 3 2 = 0 {\displaystyle \varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon _{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=0} Neljamõõtmeline Levi-Civita sümbol on defineeritud sarnaselt kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboliga: ε i j k l = { + 1 kui  ( i , j , k , l )  on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4) , − 1 kui  ( i , j , k , l )  on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4) , 0 kui kaks või enam indeksit on võrdsed. {\displaystyle \varepsilon _{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{kui }}(i,j,k,l){\text{ on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4)}},\\-1&{\text{kui }}(i,j,k,l){\text{ on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3, 4)}},\\\;\;\,0&{\text{kui kaks või enam indeksit on võrdsed.}}\end{cases}}} Neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli kõiki võimalike väärtusi saab esita nagu ka kahe- ja kolmemõõtmelisi: 4×4×4×4 maatriksina. Üldistus n-mõõtmele tuleb kolmemõõtmelise Levi-Civita sümboli definitsioonist. Kui võtta indeksiteks naturaalarvud a1, a2, a3, ... , an , saab neljamõõtmelise Levi-Civita sümboli järgmiselt: ε a 1 a 2 a 3 ⋯ a n = { + 1 kui  ( a 1 a 2 a 3 ⋯ a n )  on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n) , − 1 kui  ( a 1 a 2 a 3 ⋯ a n )  on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n) , 0 kui kaks või enam indeksit on võrdsed. {\displaystyle \varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{kui }}(a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}){\text{ on paarispermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n)}},\\-1&{\text{kui }}(a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}){\text{ on paaritupermutatsioon jadast (1, 2, 3,..., n)}},\\\;\;\,0&{\text{kui kaks või enam indeksit on võrdsed.}}\end{cases}}} Levi-Civita sümboli võib kirjutada ka järgmisel kujul: ε a 1 a 2 a 3 … a n = ∏ 1 ≤ i < j ≤ n sgn ⁡ ( a j − a i ) = sgn ⁡ ( a 2 − a 1 ) sgn ⁡ ( a 3 − a 1 ) … sgn ⁡ ( a n − a 1 ) sgn ⁡ ( a 3 − a 2 ) sgn ⁡ ( a 4 − a 2 ) … sgn ⁡ ( a n − a 2 ) … sgn ⁡ ( a n − a n − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{a_{1}a_{2}a_{3}\ldots a_{n}}&=\prod _{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a_{j}-a_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a_{2}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{1})\ldots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{1})\operatorname {sgn}(a_{3}-a_{2})\operatorname {sgn}(a_{4}-a_{2})\ldots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{2})\ldots \operatorname {sgn}(a_{n}-a_{n-1}).\end{aligned}}} Selles valemis tähistab ∏ {\displaystyle \prod } korrutamise sümbolit, mis tähendab, et avaldist tuleb korrutada üle muutujate i ja j. Sgn on signumfunktsioon, mille väärtused on kas (+1, 0, −1) vastavalt sellele, kas funktsiooni avaldis on suurem või väiksem kui null või nulliga võrdne. Valem kehtib kõikide n väärtuste korral, kuid on siiski vähelevinud, kuna indeksite ümbertõstmine Levi-Civita sümboli leidmiseks on lihtsam ja kiirem. Tensor, mille komponendid on ortonormaalses baasis esitatud Levi-Civita sümboli kaudu, on pseudotensor, sest ortogonaalse transformatsiooni käigus omandab jakobiaan negatiivse märgi. Kuigi Levi-Civita sümbol käitub pärisortogonaalteisendustel nagu tensor, on ta siiski kolmandat järku Descartesi pseudotensor. Seega Levi-Civita sümboli nimetamine Levi-Civita permutatsioonitensoriks on pigem formaalne. Vastavalt kontekstile, kus Levi-Civita sümbolit on tensorite komponentide muutmiseks vaja kasutada, tuleb sümbol kirjutada kas kovariantsena ( ε i j ⋯ k ) {\displaystyle (\varepsilon _{ij\cdots k})} või kontravariantsena ( ε i j ⋯ k ) {\displaystyle (\varepsilon ^{ij\cdots k})} . Indeksite asukoha muutusest ei sõltu Levi-Civita sümboli väärtus ja seega võib neid vaadelda kui kahte võrdset avaldist: ε i j ⋯ k = ε i j ⋯ k . {\displaystyle \varepsilon _{ij\cdots k}=\varepsilon ^{ij\cdots k}.} Selline käsitlusviis on võetud eelduseks järgnevate näidete jaoks. Tihti otsitakse Levi-Civita sümboli korrutist mingi tensori komponentidega. Sel juhul on vaja kõik võimalikud korrutised kokku liita, mille lihtsustamiseks on kasutusele võetud Einsteini kokkulepe. Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on kokkulepe, tähistamaks korduvate indeksite summeerimist üle nende indeksite. Korraga võib summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid tuleb meeles pidada, et kõikidel indeksitel oleks sama piirkond. See kehtib nii kovariantsete kui ka kontravariantsete komponentide jaoks. Summamärki Σ {\displaystyle \Sigma } ei ole enam vaja kirjutada. Võttes Levi-Civita sümboli indeksiteks i, j, k, l, m, n, saab kirjutada kahe Levi-Civita sümboli korrutise Kroeneckeri deltade determinandina: ε i j k ε l m n = | δ i l δ i m δ i n δ j l δ j m δ j n δ k l δ k m δ k n | = δ i l ( δ j m δ k n − δ j n δ k m ) − δ i m ( δ j l δ k n − δ j n δ k l ) + δ i n ( δ j l δ k m − δ j m δ k l ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{lmn}&={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{im}&\delta _{in}\\\delta _{jl}&\delta _{jm}&\delta _{jn}\\\delta _{kl}&\delta _{km}&\delta _{kn}\\\end{vmatrix}}\\&=\delta _{il}\left(\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}\right)-\delta _{im}\left(\delta _{jl}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{kl}\right)+\delta _{in}\left(\delta _{jl}\delta _{km}-\delta _{jm}\delta _{kl}\right).\end{aligned}}} Selle determinandi erijuht on: ∑ i = 1 3 ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m . {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}.} Vastavalt Einsteini summeerimisreeglile saab saadud avaldise kirjutada lihtsamal kujul ilma summeerimismärgita: ε i j k ε i m n = δ j m δ k n − δ j n δ k m . {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}.} Järgides seda põhimõtet, saab Levi-Civita sümbolite korrutist edasi arendada: ε i j k ε i j l = 2 δ k l , {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijl}=2\delta _{kl},} ε i j k ε i j k = 6. {\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=6.} Kui Levi-Civita sümbol on kahemõõtmeline, siis indeksid i, j, k ja l saavad väärtused 1 või 2. ε i j ε m n = δ i n δ j m {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{mn}=\delta _{i}^{n}\delta _{j}^{m}} ε i j ε i n = δ j n {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{in}=\delta _{j}^{n}} ε i j ε i j = 2 {\displaystyle \varepsilon _{ij}\varepsilon ^{ij}=2} N-mõõtmelise Levi-Civita sümboli korral saavad indeksid i1, ..., in, j1, ..., jn väärtused naturaalarvude hulgast (1, 2, ..., n). ε i 1 … i n ε j 1 … j n = n ! δ [ i 1 j 1 … δ i n ] j n = δ i 1 … i n j 1 … j n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{j_{1}\dots j_{n}}=n!\delta _{[i_{1}}{}^{j_{1}}\dots \delta _{i_{n}]}{}^{j_{n}}=\delta _{i_{1}\dots i_{n}}^{j_{1}\dots j_{n}}} ε i 1 … i k   i k + 1 … i n ε i 1 … i k   j k + 1 … j n = k ! ( n − k ) !   δ [ i k + 1 j k + 1 … δ i n ] j n = k !   δ i k + 1 … i n j k + 1 … j n {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{k}~i_{k+1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{k}~j_{k+1}\dots j_{n}}=k!(n-k)!~\delta _{[i_{k+1}}{}^{j_{k+1}}\dots \delta _{i_{n}]}{}^{j_{n}}=k!~\delta _{i_{k+1}\dots i_{n}}^{j_{k+1}\dots j_{n}}} ε i 1 … i n ε i 1 … i n = n ! {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\dots i_{n}}\varepsilon ^{i_{1}\dots i_{n}}=n!} Hüüumärk (!) tähistab faktoriaali ja δ β ⋯ α ⋯ {\displaystyle \delta _{\beta \cdots }^{\alpha \cdots }} on üldistatud Kroeneckeri delta. Iga n jaoks kehtib järgmine omadus: ∑ i , j , k , ⋯ = 1 n ε i j k … ε i j k … = n ! , {\displaystyle \sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon _{ijk\dots }=n!,} mis tuleneb sellest, et iga permutatsioon on kas paaris või paaritu, (+1)2 = (−1)2 = 1, iga n elemendilise arvurea permutatsioonide arv on n!. Üldistatult saab n-mõõtmeliste Levi-Civita sümbolite korrutise kirjutada kujul: ε i 1 i 2 … i n ε j 1 j 2 … j n = | δ i 1 j 1 δ i 1 j 2 … δ i 1 j n δ i 2 j 1 δ i 2 j 2 … δ i 2 j n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ δ i n j 1 δ i n j 2 … δ i n j n | . {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}j_{2}\dots j_{n}}={\begin{vmatrix}\delta _{i_{1}j_{1}}&\delta _{i_{1}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{1}j_{n}}\\\delta _{i_{2}j_{1}}&\delta _{i_{2}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{2}j_{n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\delta _{i_{n}j_{1}}&\delta _{i_{n}j_{2}}&\dots &\delta _{i_{n}j_{n}}\\\end{vmatrix}}.} Lineaaralgebras saab 3×3 ruutmaatriksi determinandi kirjutada Levi-Civita sümbolite abil. Tähistades maatriksi A-ga, ja maatriksi komponendid aij: det ( A ) = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε i j k a 1 i a 2 j a 3 k . {\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}.} Saadud tulemuse saab üldistada n×n maatriksi jaoks, pidades silmas Einsteini summeerimisreeglit: det ( A ) = ε i 1 ⋯ i n a 1 i 1 ⋯ a n i n . {\displaystyle \det(\mathbf {A} )=\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1i_{1}}\cdots a_{ni_{n}}.} Vastavalt vajadusele võib Einsteini summeerimisreeglist tuleneva valemi kirjutada indeksite i ja j abil: det ( A ) = 1 n ! ε i 1 ⋯ i n ε j 1 ⋯ j n a i 1 j 1 ⋯ a i n j n , {\displaystyle \det(\mathbf {A} )={\frac {1}{n!}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}a_{i_{1}j_{1}}\cdots a_{i_{n}j_{n}},} mille saab omakorda anda veelgi üldisemate juhtude jaoks: ε i 1 ⋯ i n a i 1 j 1 ⋯ a i n j n = det ( A ) ε j 1 ⋯ j n . {\displaystyle \varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{i_{1}\,j_{1}}\cdots a_{i_{n}\,j_{n}}=\det(\mathbf {A} )\varepsilon _{j_{1}\cdots j_{n}}.} Kui a = (a1, a2, a3) ja b = (b1, b2, b3) on vektorid, mis moodustavad paremakäelise koordinaatide süsteemi üle ortonormaalse baasi ja kuuluvad hulka R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , siis nende determinant on a × b = | e 1 e 2 e 3 a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | = ∑ i = 1 3 ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε i j k e i a j b k , {\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\mathbf {e_{3}} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}a^{j}b^{k},} mis tänu Levi-Civita sümbolile lihtsustub järgmiselt: ( a × b ) i = ∑ j = 1 3 ∑ k = 1 3 ε i j k a j b k . {\displaystyle (\mathbf {a\times b} )_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.} Jälgides Einsteini reeglit, võib summeerimissümbolid kirjutamata jätta. Seega on kahe vektori ristkorrutise i komponent ( a × b ) i = ε i j k a j b k . {\displaystyle (\mathbf {a\times b} )_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}.} Võttes i väärtuseks (1, 2, 3) saab leida kõik kolm ristkorrutise komponenti ilma, et peaks neid eraldi välja arvutama. ( a × b ) 1 = a 2 b 3 − a 3 b 2 {\displaystyle (\mathbf {a\times b} )_{1}=a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\,} ( a × b ) 2 = a 3 b 1 − a 1 b 3 {\displaystyle (\mathbf {a\times b} )_{2}=a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\,} ( a × b ) 3 = a 1 b 2 − a 2 b 1 {\displaystyle (\mathbf {a\times b} )_{3}=a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\,} Vektorite korrutamise reeglist on teada, et a × b = − b × a . {\displaystyle \mathbf {a\times b} =-\mathbf {b\times a} .} Võttes kolmandaks vektoriks c = (c1, c2, c3), siis vektorite a, b ja c segakorrutiseks tuleb a ⋅ ( b × c ) = ε i j k a i b j c k . {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.} Siit on kerge näha, et kui vahetada ükskõik millise kahe vektori järjestus, siis muudab segakorrutis märki, ehk vektorite segakorrutis on antisümmeetriline: a ⋅ ( b × c ) = − b ⋅ ( a × c ) . {\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b\times c} )=-\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a\times c} ).} Kui funktsionaal F = (F1, F2, F3), mille Descartesi koordinaadid on x = (x1, x2, x3), on vektorväli lahtisel hulgal R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , siis funktsiooni F rootori i komponent avaldub järgmiselt: ( ∇ × F ) i ( x ) = ε i j k ∂ ∂ x j F k ( x ) , {\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{i}(\mathbf {x} )=\varepsilon ^{ijk}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}F^{k}(\mathbf {x} ),} mis tuleneb eespool saadud ristkorrutise avaldisest, kui võtta kasutusele gradiendi operaator nabla. Andrus Salupalu. "Kovariantsus ja kontravariantsus ehk mis saab siis kui koordinaatideks pole Descartes'i ristkoordinaadid" (PDF). cens.ioc.ee. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 22.12.2015. Vaadatud 28.09.2013. Tullio Levi-Civita. "The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors)", London: Blackie & Son Limited, 1926. Valdis Laan. "Algebra I" (PDF). math.ut.ee. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 21.10.2013. Vaadatud 28.09.2013. Manabu Machida (2012). "Vector Calculations by the Levi-Civita Symbol" (PDF). www-personal.umich.edu (inglise). University of Michigan. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 20.10.2013. Vaadatud 28.09.2013. Ken Riley, Michael Hobson, Stephen Bence. "Mathematical methods for physics and engineering", Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3. "Levi-Civita permutation symbol". www.planetmath.org (inglise). 17.03.2003. Vaadatud 30.09.2013.