Kahe muutuja funktsioon

Funktsioon ƒ on kahe muutuja funktsioon, kui eksisteerivad hulgad X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} ja Z {\displaystyle Z} nii, et f : X × Y → Z  ehk  f ( x , y ) = z x ∈ X y ∈ Y z ∈ Z {\displaystyle \,f\colon X\times Y\rightarrow Z\quad {\mbox{ ehk }}\quad f(x,y)=z\quad x\in X\quad y\in Y\quad z\in Z} kus X {\displaystyle X} × Y {\displaystyle Y} on X {\displaystyle X} ja Y {\displaystyle Y} otsekorrutis. Näiteks, kui Z {\displaystyle \mathbb {Z} } on täisarvude hulk ja N + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} on naturaalarvude hulk (v.a. null), siis Q {\displaystyle \mathbb {Q} } on ratsionaalarvude hulk nii, et Q = { m n : m ∈ Z , n ∈ N + } {\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,\quad n\in \mathbb {N^{+}} \}} ehk igale ratsionaalarvule vastab jagatis m / n {\displaystyle m/n} . Iga arvupaar m ja n on kahe muutuja funktsioon hulga Q {\displaystyle \mathbb {Q} } suhtes. Hulgal D {\displaystyle D} on määratud kahe reaalmuutuja funktsioon z = ƒ(x,y), kui igale arvupaarile (x; y) ehk punktile P(x; y) hulgast D {\displaystyle D} on mingi eeskirja   f {\displaystyle \ f} abil seatud vastavusse täpselt üks reaalarv   z {\displaystyle \ z} ning seda märgitakse nii: z = f ( x , y ) , ( x , y ) ∈ D ehk  z = f ( P ) , P ∈ D {\displaystyle z=f(x,y),\quad (x,y)\in D\quad {\mbox{ehk }}\quad z=f(P),\quad P\in D} kus x, y on sõltumatud muutujad ehk argumendid; z on funktsiooni ƒ väärtus ehk sõltuv muutuja; D {\displaystyle D} on funktsiooni ƒ määramispiirkond. Funktsiooni ƒ muutumispiirkond on Z = { z | z = f ( x , y ) ; ( x , y ) ∈ D } . {\displaystyle Z=\{z|z=f(x,y);\quad (x,y)\in D\}.} Kahe muutuja funktsiooni määramispiirkonda kujutab teatud punktide hulk tasandil. Lihtsamatel juhtudel koosneb kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond joontega piiratud tasapinna osadest; piirkonda piiravat joont nimetatakse piirkonna rajajooneks. Piirkonna punkte, mis ei asetse rajajoonel, nimetatakse piirkonna sisepunktideks. Ainult seesmistest punktidest koosnevat piirkonda nimetatakse lahtiseks piirkonnaks. Kui aga piirkonda kuuluvad ka kõik rajapunktid, siis nimetatakse piirkonda kinniseks. Piirkonda nimetatakse tõkestatuks, kui leidub selline konstant C, et piirkonna mistahes punkti P kaugus koordinaatide alguspunktist on väiksem kui C. Kahe muutuja funktsiooni f ( x , y ) = 1 − x 2 − y 2 {\displaystyle f(x,y)={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}} määramispiirkond on 1 − x 2 − y 2 {\displaystyle 1-x^{2}-y^{2}} ≥ 0 ehk x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} ≤ 1 . Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega ühikulise raadiusega ringi punktide hulk xy-tasandil, kusjuures ringi keskpunkt on (0;0) ehk koordinaattelgede alguspunktis, ehk iga punkt P = ( x ; y ) {\displaystyle P=(x;y)} nii, et x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} ≤ 1 . Funktsiooni   f ( x , y ) = ln ⁡ ( x + y ) {\displaystyle \ f(x,y)=\ln(x+y)} määramispiirkond on x + y {\displaystyle x+y} > 0 ehk y {\displaystyle y} > − x {\displaystyle -x} . Funktsiooni määramispiirkonda kujutab seega punktide hulk xy-tasandil, mis jäävad sirgest y = − x {\displaystyle y=-x} üles. Kahe muutuja funktsiooni z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} osamuut x {\displaystyle x} järgi:   Δ x z = f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) . {\displaystyle \ \Delta _{x}z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y).} Kahe muutuja funktsiooni z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} osamuut y {\displaystyle y} järgi:   Δ y z = f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) . {\displaystyle \ \Delta _{y}z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y).} Kahe muutuja funktsiooni z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} täismuut:   Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) . {\displaystyle \ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y).} Üldjuhul   Δ z ≠ Δ x z + Δ y z . {\displaystyle \ \Delta z\neq \Delta _{x}z+\Delta _{y}z.} Funktsiooni z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} osatuletiseks x {\displaystyle x} järgi nimetatakse vastava osamuudu   Δ x z {\displaystyle \ \Delta _{x}z} ja muudu   Δ x {\displaystyle \ \Delta x} suhte piirväärtust   Δ x {\displaystyle \ \Delta x} lähenemisel nullile: z x = ∂ z ∂ x = lim Δ x → 0 Δ x z Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x . {\displaystyle z_{x}={\frac {\partial z}{\partial x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta _{x}z}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}}.} Funktsiooni z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} osatuletis y {\displaystyle y} järgi on seega z y = ∂ z ∂ y = lim Δ y → 0 Δ y z Δ y = lim Δ y → 0 f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) Δ y . {\displaystyle z_{y}={\frac {\partial z}{\partial y}}=\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {\Delta _{y}z}{\Delta y}}=\lim _{\Delta y\to 0}{\frac {f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}}.} II järku osatuletis x {\displaystyle x} järgi: z x x = ∂ ∂ x ( ∂ z ∂ x ) = ∂ 2 z ∂ x 2 . {\displaystyle z_{xx}={\frac {\partial }{\partial x}}{\Big (}{\frac {\partial z}{\partial x}}{\Big )}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}.} II järku osatuletis y {\displaystyle y} järgi: z y y = ∂ ∂ y ( ∂ z ∂ y ) = ∂ 2 z ∂ y 2 . {\displaystyle z_{yy}={\frac {\partial }{\partial y}}{\Big (}{\frac {\partial z}{\partial y}}{\Big )}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}.} II järku segatuletised x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} järgi: z x y = ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ z x ∂ y ja z y x = ∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ z y ∂ x . {\displaystyle z_{xy}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial z_{x}}{\partial y}}\quad {\mbox{ja}}\quad z_{yx}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial z_{y}}{\partial x}}.} Koonuse ruumala V sõltub selle kõrgusest h ja raadiusest r : V ( r , h ) = π r 2 h 3 . {\displaystyle V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}.} Funktsiooni V osatuletis r järgi on ∂ V ∂ r = 2 π r h 3 , {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},} mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle raadius muutub ja kõrgus jääb muutumatuks. Osatuletis h järgi on ∂ V ∂ h = π r 2 3 , {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},} mis näitab koonuse ruumala muutumise kiirust kui selle kõrgus muutub ja raadius jääb muutumatuks. Kui funktsioon z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} ja tema osatuletised z x , z y , z x y j a z y x {\displaystyle z_{x},\quad z_{y},\quad z_{xy}\quad ja\quad z_{yx}} on punktis P (x; y) ning selle mingis ümbruses määratud ja pidevad, siis selles punktis ∂ 2 z ∂ x ∂ y = ∂ 2 z ∂ y ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y\partial x}}} Kahe muutuja funktsioonil z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} on punktis P 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})} lokaalne maksimum, kui   f ( x 0 , y 0 ) > f ( x , y ) {\displaystyle \ f(x_{0},y_{0})>f(x,y)} kõigi punktile P 0 {\displaystyle P_{0}} küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} korral. Kahe muutuja funktsioonil z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} on punktis P 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})} lokaalne miinimum, kui   f ( x 0 , y 0 ) < f ( x , y ) {\displaystyle \ f(x_{0},y_{0})<f(x,y)} kõigi punktile P 0 {\displaystyle P_{0}} küllalt lähedaste ja temast erinevate punktide ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} korral. Funktsioonil z = f ( x , y ) = ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 − 1 {\displaystyle z=f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-1} on miinimum punktis P 0 ( 1 ; 2 ) , {\displaystyle P_{0}(1;2),} kuna   f ( 1 ; 2 ) = − 1 {\displaystyle \ f(1;2)=-1} ning ( x − 1 ) 2 > 0 {\displaystyle (x-1)^{2}>0} , kui x≠1 ja ( y − 2 ) 2 > 0 {\displaystyle (y-2)^{2}>0} , kui y≠2 ja seetõttu ( x ; y ) {\displaystyle (x;y)} ≠ ( 1 ; 2 ) {\displaystyle (1;2)} , siis f ( x , y ) = ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 − 1 > − 1 = f ( 1 ; 2 ) {\displaystyle f(x,y)=(x-1)^{2}+(y-2)^{2}-1>-1=f(1;2)} . A := ∂ 2 z ∂ x 2 , B := ∂ 2 z ∂ y 2 , C := ∂ 2 z ∂ x ∂ y {\displaystyle A:={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},\quad B:={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},\quad C:={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}} on funktsiooni z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} teist järku tuletised punktis P 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})} . Olgu mingis punktis P 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})} funktsiooni f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} osatuletised kuni kolmanda järguni (k. a.) pidevad ja olgu punkt P 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})} funktsiooni f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} statsionaarne punkt, s.t. ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ x = 0 , ∂ f ( x 0 , y 0 ) ∂ y = 0. {\displaystyle {\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=0.} Siis punktis P 0 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0})}  : on funktsioonil f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} lokaalne maksimum, kui A B − C 2 > 0 {\displaystyle AB-C^{2}>0} ja A < 0 {\displaystyle A<0} ; on funktsioonil f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} lokaalne miinimum, kui A B − C 2 > 0 {\displaystyle AB-C^{2}>0} ja A > 0 {\displaystyle A>0} ; ei ole funktsioonil f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} ei maksimumi ega miinimumi, kui A B − C 2 < 0 {\displaystyle AB-C^{2}<0} ; küsimus jääb lahtiseks kui A B − C 2 = 0 {\displaystyle AB-C^{2}=0} . Funktsiooni z = x 2 − x y + y 2 + 3 x − 2 y {\displaystyle z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y} lokaalsete ekstreemumite leidmine. Esimest järku osatuletised on ∂ z ∂ x = 2 x − y + 3 , ∂ z ∂ y = − x + 2 y − 2. {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x-y+3,\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=-x+2y-2.} Võrrandisüsteemi { 2 x − y + 3 = 0 − x + 2 y − 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}2x-y+3=0\\-x+2y-2=0\end{cases}}} lahendid on x = − 4 3 ; y = 1 3 . {\displaystyle x=-{\frac {4}{3}};\quad y={\frac {1}{3}}.} Seega on funktsiooni z = x 2 − x y + y 2 + 3 x − 2 y {\displaystyle z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y} statsionaarseks punktiks P 0 ( − 4 3 ; 1 3 ) . {\displaystyle P_{0}{\Big (}-{\frac {4}{3}};{\frac {1}{3}}{\Big )}.} Teist järku tuletised selles punktis on A = ∂ 2 z ∂ x 2 = 2 , B = ∂ 2 z ∂ y 2 = 2 , C = ∂ 2 z ∂ x ∂ y = − 1. {\displaystyle A={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}=2,\quad B={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}=2,\quad C={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}=-1.} A B − C 2 = 2 ⋅ 2 − ( − 1 ) 2 = 4 − 1 = 3 {\displaystyle AB-C^{2}=2\cdot 2-(-1)^{2}=4-1=3} Kuna A B − C 2 > 0 {\displaystyle AB-C^{2}>0} ja A > 0 {\displaystyle A>0} siis on punkt P 0 ( − 4 3 ; 1 3 ) {\displaystyle P_{0}{\Big (}-{\frac {4}{3}};{\frac {1}{3}}{\Big )}} funktsiooni z = x 2 − x y + y 2 + 3 x − 2 y {\displaystyle z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y} miinimumpunkt. Funktsiooni z = x 2 − x y + y 2 + 3 x − 2 y {\displaystyle z=x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y} lokaalseks miinimumiks on z m i n = − 4 3 . {\displaystyle z_{min}=-{\frac {4}{3}}.} Mitme muutuja funktsioon Osatuletise võtmise operaator Kompleksmuutuja funktsioon