Cauchy jada

Fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks nimetatakse (arvude, üldisemalt meetrilise ruumi punktide) jada vn, mille elemendid indeksi n kasvades üksteisele lõputult lähenevad, st iga etteantud positiivse kauguse korral leidub jada element, millest alates kõik jada elemendid on üksteisest etteantud kaugusest väiksemal kaugusel. Cauchy jadad on nime saanud prantsuse matemaatiku Augustin-Louis Cauchy järgi. Neil on matemaatilises analüüsis põhjapanev tähtsus. Arvude fundamentaaljadad on defineeritud mingi arvuhulga suhtes (kui jutt on reaalarvudest, siis peetakse vaikimisi silmas reaalarvude hulka, aga seda hulka võidakse ka eksplitsiitselt kitsendada). Selles hulgas ei pruugi kõikidel fundamentaaljadadel piirväärtust olla, näiteks kõikidel ratsionaalarvude fundamentaaljadadel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas. Kui ratsionaalarvude fundamentaaljadal ei ole piirväärtust ratsionaalarvude seas, siis reaalarvude hulga suhtes on tal piirväärtus, mis on irratsionaalarv. Iga arvuhulk on meetriline ruum. Meetrilise ruumi punktide kõik fundamentaaljadad koonduvad selles ruumis parajasti siis, kui see ruum on täielik. Reaalarvud moodustavad täieliku meetrilise ruumi, ratsionaalarvud mitte. Mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, lisades uute elementidena nende fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid, mis selles ruumis ei koondu. (Fundamentaaljadad on ekvivalentsed, kui nad tulevad üksteisele kui tahes lähedale). Ratsionaalarvude ruumi täielikustamisel saame reaalarvude ruumi. Reaalarvude jada ( a i ) i ∈ N {\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbb {N} }} nimetatakse fundamentaaljadaks ehk Cauchy jadaks, kui mis tahes ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} korral leidub indeks N {\displaystyle N} , millest alates kõik jada elemendid on üksteisest väiksemal kaugusel kui ε {\displaystyle \varepsilon } : ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ m , n ≥ N : | a m − a n | < ε , {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon ,} kus | ⋅ | {\displaystyle |\cdot |} on arvu absoluutväärtus. Jada a i = 1 i {\displaystyle a_{i}={\tfrac {1}{i}}} on fundamentaaljada. Tõepoolest, mis tahes etteantud ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} korral saab valida niisuguse naturaalarvu N {\displaystyle N} , et kehtib N > 1 ε {\displaystyle N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}} . Kui nüüd valida suvalised naturaalarvud n ≥ m > N {\displaystyle n\geq m>N} , siis kehtib | a m − a n | = | 1 m − 1 n | = | n − m m n | < n m n = 1 m < 1 N < ε {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|<{\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon } . Jada a i = i {\displaystyle a_{i}=i} ei ole fundamentaaljada. Olgu valitud ε = 1 2 {\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}} ja olgu N {\displaystyle N} suvaline naturaalarv. Siis saab valida n = N + 1 {\displaystyle n=N+1} ja m = n + 1 {\displaystyle m=n+1} ning alati kehtib | a m − a n | = | m − n | = 1 ≥ ε {\displaystyle |a_{m}-a_{n}|=|m-n|=1\geq \varepsilon } . Teoreem. Iga koonduv reaalarvude jada on fundamentaaljada. Tõestus. Olgu ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} suvaline koonduv jada piirväärtusega a {\displaystyle a} . Olgu ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} . Siis leidub N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } nii, et kõikide n , m ∈ N {\displaystyle n,m\in \mathbb {N} } korral, nii et n , m ≥ N {\displaystyle n,m\geq N} , kehtib | a − a n | < ϵ 2 | a − a m | < ϵ 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}|a-a_{n}|&<{\tfrac {\epsilon }{2}}\\|a-a_{m}|&<{\tfrac {\epsilon }{2}}\end{aligned}}.} Olgu n , m ≥ N {\displaystyle n,m\geq N} nüüd suvalised. Kolmnurga võrratusest järeldub, et | a n − a m | = | ( a n − a ) + ( a − a m ) | ≤ | a n − a | ⏟ <   ϵ 2 + | a − a m | ⏟ <   ϵ 2 < ϵ . {\displaystyle {\begin{aligned}|a_{n}-a_{m}|&=|(a_{n}-a)+(a-a_{m})|&\leq \underbrace {|a_{n}-a|} _{<\ {\tfrac {\epsilon }{2}}}+\underbrace {|a-a_{m}|} _{<\ {\tfrac {\epsilon }{2}}}<\epsilon \end{aligned}}.} . Teoreem. Iga reaalarvude fundamentaaljada on tõkestatud. Tõestus. Olgu ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} fundamentaaljada. Niisiis leidub iga ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} korral niisugune N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } , et kõikide n , m ≥ N {\displaystyle n,m\geq N} korral | a n − a m | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<\epsilon } . Olgu ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} . Niisiis leidub niisugune N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } , et kõikide n , m ≥ N {\displaystyle n,m\geq N} korral | a n − a m | < 1 {\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<1} . Olgu m = N {\displaystyle m=N} , siis kõikide n ≥ N {\displaystyle n\geq N} korral | a n − a N | < 1. {\displaystyle |a_{n}-a_{N}|<1.} Seega asetsevad kõik jada elemendid a n {\displaystyle a_{n}} , mille korral n ≥ N {\displaystyle n\geq N} , vahemikus ( a N − 1 , a N + 1 ) {\displaystyle (a_{N}-1,a_{N}+1)} . Seega on kõik jada elemendid alates indeksist N {\displaystyle N} ülalt tõkestatud arvuga a N + 1 {\displaystyle a_{N}+1} ja alt tõkestatud arvuga a N − 1 {\displaystyle a_{N}-1} : ( a n ) n ∈ N = ( a 1 , a 2 , … , a N − 1 , a N , a N + 1 , a N + 2 , a N + 3 , … ⏟ Need jada elemendid on  ≤ a N + 1  ja  ≥ a N − 1 ) . {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1},\,{\color {OliveGreen}\underbrace {a_{N},\,a_{N+1},\,a_{N+2},\,a_{N+3},\,\ldots } _{{\text{Need jada elemendid on }}\leq a_{N}+1{\text{ ja }}\geq a_{N}-1}}).} Enne elementi a N {\displaystyle a_{N}} asetseb ainult lõplik hulk jada elemente a 1 , a 2 , … , a N − 1 {\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}} . Need on seetõttu tõkestatud. Seetõttu on nad ülalt tõkestatud arvuga S = max { a 1 , a 2 , … , a N − 1 } {\displaystyle S=\max\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}\}} ja alt tõkestatud arvuga s = min { a 1 , a 2 , … , a N − 1 } {\displaystyle s=\min\{a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}\}} . Saame: ( a n ) n ∈ N = ( a 1 , a 2 , … , a N − 1 ⏟ Need jada elemendid  ≤ S  ja  ≥ s , a N , a N + 1 , a N + 2 , a N + 3 , … ⏟ Need jada elemendid on  ≤ a N + 1  ja  ≥ a N − 1 ) . {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=({\color {Blue}\underbrace {a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{N-1}} _{{\text{Need jada elemendid }}\leq S{\text{ ja }}\geq s}},{\color {OliveGreen}\underbrace {a_{N},\,a_{N+1},\,a_{N+2},\,a_{N+3},\,\ldots } _{{\text{Need jada elemendid on }}\leq a_{N}+1{\text{ ja }}\geq a_{N}-1}}).} Kogu jada on niisiis ülalt tõkestatud arvuga max { S , a N + 1 } {\displaystyle \max\{S,a_{N}+1\}} ja alt tõkestatud arvuga min { s , a N − 1 } {\displaystyle \min\{s,a_{N}-1\}} . Lemma. Iga reaalarvuline fundamentaaljada ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} , millel on arvuks a {\displaystyle a} koonduv osajada ( a n k ) k ∈ N {\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }} , koondub selle koonduva osajada piirväärtuseks a {\displaystyle a} . Selgitus. Olgu ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} fundamentaaljada ja ( a n k ) k ∈ N {\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }} selle fundamentaaljada koonduv osajada piirväärtusega a {\displaystyle a} . Fundamentaaljada ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} definitsiooni järgi jõuavad ja jäävad selle jada elemendid üksteisele kui tahes lähedale. Koonduva osajada elemendid jõuavad ja jäävad koonduva jada definitsiooni järgi kui tahes lähedale arvule a {\displaystyle a} . Olgu ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} . Nüüd tuleb leida niisugune N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } , et kõikide n ≥ N {\displaystyle n\geq N} korral | a n − a | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Alustame võrratusest | a n − a | < ϵ {\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon } . Kui jada element a n {\displaystyle a_{n}} asetseb osajadas ( a n k ) k ∈ N {\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }} , ei ole sellega probleemi, sest piisavalt suurte indeksite puhul võrratus kehtib. Vaatleme jada elementi a n {\displaystyle a_{n}} , mis ei ole kõnealuse osajada element. Fundamentaaljada definitsioonist järeldub, et lõpuks peab jada liikme a n {\displaystyle a_{n}} mis tahes ümbruses olema osajada elemente. Need aga on piirväärtusele kui tahes lähedal. Kolmnurga võrratusest järeldub, et | a n − a | = | a n − a n k + a n k − a | ≤ | a n − a n k | + | a n k − a | . {\displaystyle {\begin{aligned}|a_{n}-a|&=\left|a_{n}-a_{n_{k}}+a_{n_{k}}-a\right|\\&\leq \left|a_{n}-a_{n_{k}}\right|+\left|a_{n_{k}}-a\right|\end{aligned}}.} Mõlemad absoluutväärtused saab teha kui tahes väikeseks. Kui mõlemad on väiksemad kui ϵ 2 {\displaystyle {\tfrac {\epsilon }{2}}} , siis on | a n − a | {\displaystyle |a_{n}-a|} kindlasti väiksem kui ϵ {\displaystyle \epsilon } . Alustame avaldisest | a n k − a | {\displaystyle \left|a_{n_{k}}-a\right|} . Siin leiame indeksi N 1 {\displaystyle N_{1}} , mille korral kõikide k ≥ N 1 {\displaystyle k\geq N_{1}} korral | a n k − a | < ϵ 2 {\displaystyle \left|a_{n_{k}}-a\right|<{\tfrac {\epsilon }{2}}} . Arv N 1 {\displaystyle N_{1}} leidub, sest osajada ( a n k ) k ∈ N {\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }} koondub arvuks a {\displaystyle a} . Vaatame nüüd teist avaldist: leidub niisugune N 2 {\displaystyle N_{2}} , et kõikide n , m ≥ N 2 {\displaystyle n,m\geq N_{2}} korral | a n − a m | < ϵ 2 {\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<{\tfrac {\epsilon }{2}}} . Meil on a m {\displaystyle a_{m}} asemel a n k {\displaystyle a_{n_{k}}} . Niisiis tuleb tagada, et n k ≥ N 2 {\displaystyle n_{k}\geq N_{2}} . Üldiselt on n k ≥ k {\displaystyle n_{k}\geq k} , sest ( n k ) k ∈ N {\displaystyle (n_{k})_{k\in \mathbb {N} }} on naturaalarvude kasvav jada. Seega võime valida k ≥ N 2 {\displaystyle k\geq N_{2}} , sest siis n k ≥ k ≥ N 2 {\displaystyle n_{k}\geq k\geq N_{2}} . Et aga ka k {\displaystyle k} peaks olema suurem kui N 1 {\displaystyle N_{1}} , siis valime ükskõik millise k ≥ max { N 2 , N 1 } {\displaystyle k\geq \max\{N_{2},N_{1}\}} . Muutuja n {\displaystyle n} esines seni ainult avaldises | a n − a m | {\displaystyle |a_{n}-a_{m}|} . Seal me nõudsime, et kehtiks n , m ≥ N 2 {\displaystyle n,m\geq N_{2}} . Sellepärast me nõuame indeksilt n {\displaystyle n} ainult seda, et see oleks suurem kui N 2 {\displaystyle N_{2}} . Sellepärast valime koonduvuse tõestuses N = N 2 {\displaystyle N=N_{2}} . Tõestus. Olgu ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} Cauchy jada ja ( a n k ) k ∈ N {\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }} selle Cauchy jada koonduv osajada piirväärtusega a {\displaystyle a} . Olgu ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} suvaline. Cauchy jada definitsioonist järeldub, et leidub niisugune N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } , et kõikide n , m ≥ N {\displaystyle n,m\geq N} korral | a n − a m | < ϵ 2 {\displaystyle |a_{n}-a_{m}|<{\tfrac {\epsilon }{2}}} . On ratsionaalarvude jadasid, mille liikmed küll kuhjuvad kirjeldatud viisil, kuid millel ei ole piirväärtust ratsionaalarvude hulgas. Üks näide on ratsionaalrvude jada järgmise eeskirjaga (Heroni iteratsioonivalem) a 1 := 1 , a i + 1 := a i 2 + 1 a i {\displaystyle a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}} . See jada on fundamentaaljada, aga selle piirväärtus on irratsionaalarv 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , nii et see ratsionaalarvude hulga piires ei koondu. Asjaolu, et paljude ratsionaalarvuliste fundamentaaljadade piirväärtused ei kuulu ratsionaalarvude hulka Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , viis ideeni, et reaalarve saab konstrueerida ratsionaalarvude hulga täielikustamise teel. Üldisemalt defineeritakse fundamentaaljada mõiste meetrilistes ruumides ( X , d ) {\displaystyle (X,d)} , st hulkades X {\displaystyle X} , millel on antud meetrika d {\displaystyle d} . Hulga X {\displaystyle X} elementide jada ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} nimetatakse siis fundamentaaljadaks, kui ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ m , n ≥ N : d ( x m , x n ) < ε . {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon .} See tähendab, iga reaalarvu ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} korral leidub indeks N {\displaystyle N} , nii et kõikide naturaalarvude m , n ≥ N {\displaystyle m,n\geq N} korral on vastavate jadaliikmete kaugus d ( x m , x n ) < ε {\displaystyle d(x_{m},x_{n})<\varepsilon } . Samaväärne geomeetriline formuleering on järgmine: iga ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} korral leiduvad punkt a {\displaystyle a} ja indeks N {\displaystyle N} , nii et kõik jada elemendid alates elemendist x N {\displaystyle x_{N}} asetsevad lahtises keras B ε ( a ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(a)} raadiusega ε {\displaystyle \varepsilon } punkti a {\displaystyle a} ümber. See versioon erineb koonduvuse definitsioonist ainult selle poolest, et siin tohib keskpunkt a {\displaystyle a} sõltuda raadiusest ε {\displaystyle \varepsilon } , kuna aga koonduvuse korral peab piirväärtus a {\displaystyle a} olema raadiusest ε {\displaystyle \varepsilon } sõltumatu. Iga koonduv jada meetrilises ruumis on ka fundamentaaljada. Tõepoolest, kui jada ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} koondub ja selle piirväärtus on x ∈ X {\displaystyle x\in X} , siis leidub iga ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} korral indeks N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } , nii et kõikide n ≥ N {\displaystyle n\geq N} korral d ( x , x n ) < ε 2 {\displaystyle d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}} . Koos kolmnurga võrratusega, mis meetrilistes ruumides kehtib, järeldub sellest kõikide m , n ≥ N {\displaystyle m,n\geq N} korral, et d ( x m , x n ) ≤ d ( x m , x ) + d ( x , x n ) < ε 2 + ε 2 = ε , {\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}+{\tfrac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,} ja järelikult on see jada fundamentaaljada. Ümberpöördu ei pruugi siiski tõsi olla, mistõttu on võetud kasutusele täieliku ruumi (täieliku meetrilise ruumi) mõiste. Täielikus ruumis on definitsiooni kohaselt igal fundamentaaljadal piirväärtus ning koonduva jada mõiste langeb fundamentaaljada mõistega kokku. Ent iga mittetäieliku meetrilise ruumi saab täielikustada, moodustades fundamentaaljadade ekvivalentsusklassid. Seejuures loetakse kaks hulga X {\displaystyle X} elementide fundamentaaljada ( x i ) i ∈ N {\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }} ja ( y i ) i ∈ N {\displaystyle (y_{i})_{i\in \mathbb {N} }} ekvivalentseteks, kui ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ m , n ≥ N : d ( x m , y n ) < ε {\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},y_{n})<\varepsilon } ehk lim m , n ∈ N d ( x m , y n ) = 0 {\displaystyle \lim _{m,n\in \mathbb {N} }d(x_{m},y_{n})=0} . Kui ühe jada piirväärtus kuulub hulka X {\displaystyle X} , siis kuulub sinna ka teise jada piirväärtus ja need piirväärtused on võrdsed. Olgu M meetriline ruum kaugusega ρ {\displaystyle \rho } . Jada v n ∈ M {\displaystyle \mathbf {v} _{n}\in M} nimetatakse fundamentaaljadaks, kui iga positiivse reaalarvu ε > 0 korral leidub selline naturaalarv N, et iga naturaalarvu n, m > N korral kehtib ρ ( v n , v m ) ≤ ϵ {\displaystyle \rho (\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{m})\leq \epsilon } . Seda asjaolu märgitakse lühemalt kujul ρ ( v n , v m ) → n , m 0. {\displaystyle \rho (\mathbf {v} _{n},\mathbf {v} _{m}){\underset {n,m}{\to }}0.} Kui jada v n {\displaystyle \mathbf {v} _{n}} on fundamentaaljada, siis öeldakse, et ta koondub fundamentaalselt. Erinevalt koonduvusest, mis sõltub sellest, millises ruumis jada vaadeldakse, on jada fundamentaalsus tema sisemine omadus. Cauchy kriteerium Cauchy võrk Vastutõestuse jaoks tuleb definitsioon ümber pöörata: ∃ ε > 0   ∀ N ∈ N   ∃ m , n ≥ N : | a m − a n | ≥ ε {\displaystyle \exists \varepsilon >0~\forall N\in \mathbb {N} ~\exists m,n\geq N\colon \left|a_{m}-a_{n}\right|\geq \varepsilon } . Dirk Werner. Funktionalanalysis, 2005, lk 2.