Braan

Braan ehk p-braan (sõnast "membraan") on stringiteoorias (M-teoorias) ja sellega seotud teooriates (näiteks supergravitatsiooniteoorias) hüpoteetiline füüsikaline objekt, mille mõõde p on väiksem kui selle ruumi mõõde, kus ta paikneb. Nimetuse võttis kasutusele Michael Duff koos kaasautoritega 1988. aastal avaldatud publikatsioonis Braanid on punktosakese üldistus. Nende liikumisvõrrandid vastavad kvantmehaanikale. Braanidel on mass, samuti võib neil olla muid omadusi, nagu näiteks laeng. Punktosake on 0-braan, string on 1-braan, membraan on 2-braan, instanton on (−1)-braan. Braanid paigutatakse d-mõõtmelisse ruumi. Supersümmeetrilise stringiteooria järgi d=10 (9 ruumimõõdet ja ajamõõde). Kaluza-Kleini kompaktifikatsioon redutseerib peale d ka p-d, nii et efektiivne teooria tegeleb braanidega, mille mõõde on väiksem. Braanide üks erijuht on D-braanid ehk Dp-braanid (D Dirichlet' järgi). Braane vaadeldi täpsemalt, kui 1990ndatel ühtsustati viis stringiteooriat (I tüüpi stringiteooria), IIA tüüpi stringiteooria, IIB tüüpi stringiteooria ning heterootilised stringiteooriad E8 ja SO(32) ning supergravitatsiooniteooria M-teooriaks, käsitades stringiteooriaid ja supergravitatsiooni M-teooria piirjuhtudena väikese vastastikmõjukonstandi korral. Gary Horowitz ja Andrew Strominger tegid kindlaks, et ka suurema mõõtmega objektil saab olla sündmuste horisont nagu mustal augul. Joseph Polchinski II tüüpi superstrngiteooriaid, mis on laiendatud lahtiste stringidega. Kui anda lahtistele stringidele p+1-mõõtmelises ruumis Neumanni ääretingimused (tuletis on otspunktides null) ning 9–p ülejäänud mõõtmes Dirichlet' ääretingimused (väljatugevus on otspunktides null), siis liiguvad otspunktid p-mõõtmelistel objektidel D-braanidel. Kõige lihtsamal juhtumil tuletatakse p-braani liikumisvõrrandid mõjust S p = − T p ∫ d p + 1 ξ − det ( g a b ) {\displaystyle S_{p}=-T_{p}\int d^{p+1}\xi {\sqrt {-\det(g_{ab})}}} , kus g a b = ∂ X μ ∂ ξ a ∂ X ν ∂ ξ b g μ ν ( X ( ξ ) ) {\displaystyle g_{ab}={\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \xi ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \xi ^{b}}}g_{\mu \nu }(X(\xi ))} on indutseeritud meetrika ja koordinaadid X μ {\displaystyle X^{\mu }} on kohakoordinaadid d-mõõtmelises ruumis. See on ruumala, mille p-mõõtmeline objekt oma ajalises arengus võtab, nn maailmaruumala. Euleri-Lagrange'i võrrandid otsivad maailmaruumala miinimumi. Kui p=0 ja meetrika on konstantselt g μ ν = η μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }} , siis võttes T 0 = m {\displaystyle T_{0}=m} , saame S 0 = − m ∫ d τ − d X μ d τ d X ν d τ η μ ν = − m ∫ d τ − X ˙ 2   . {\displaystyle S_{0}=-m\int d\tau {\sqrt {-{\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX^{\nu }}{d\tau }}\eta _{\mu \nu }}}=-m\int d\tau {\sqrt {-{\dot {X}}^{2}}}\ .} Kui mõõde d=4 (kolm ruumimõõdet ja üks ajamõõde), on see relatiivsusteooriast tuntud punktosakese mõju. See on punktosakese moodustatud maailmajoone pikkus. Punktosake liigub trajektooril, mille puhul maailmajoone pikkus on minimaalne. Punktosake on seega 0-braan.  Pikemalt artiklis Stringiteooria Kui p=1 ja meetrika on konstantselt g μ ν = η μ ν {\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }} , saame Nambu-Goto-mõju S N G = − T ∫ d 2 σ − det ( ∂ X μ ∂ σ α ∂ X ν ∂ σ β η μ ν ) = − T ∫ d A   , {\displaystyle S_{NG}=-T\int d^{2}\sigma {\sqrt {-\det \left({\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{\alpha }}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{\beta }}}\eta _{\mu \nu }\right)}}=-T\int dA\ ,} st bosonstringi maailmapindala. Stringi dünaamika minimeerib selle mõju. String on 1-braan. Üldine p-braani mõju on S p = − T p ∫ d p + 1 ξ e − Φ − det ( G a b + B a b + 2 π α ′ F a b )   , {\displaystyle S_{p}=-T_{p}\int d^{p+1}\xi e^{-\Phi }{\sqrt {-\det(G_{ab}+B_{ab}+2\pi \alpha 'F_{ab})}}\ ,} kusjuures p-braan on seotus dilatoniga Φ {\displaystyle \Phi } , indutseeritud meetrikaga G {\displaystyle G} , antisümmeetrilise tensoriga B {\displaystyle B} ja väljatensoriga F {\displaystyle F} .  Pikemalt artiklis Braanikosmoloogia Kuigi paljud arutlused braanide kohta eeldavad, et me ei taju lisamõõtmeid, sest neil on väike mastaap ja neid saab tunnetada ainult osakestefüüsika raames, on ka lähenemisi, mille järgi kogu meie universum on braan suurema mõõtmega ruumis. Gunnar Nordströmi ja Theodor Kaluza algseid kaalutlused saab sõnastada nii, et meie 3+1-mõõtmeline aegruum on 3-braan 5-mõõtmelises ruumis. M. J. Duff, T. Inami, C. N. Pope, E. Sezgin, K. S. Stelle. Semiclassical quantization of the supermembrane, Nucl. Phys. B297 (1988), lk 515. G. T. Horowitz, A. Strominger. Black strings and p-branes. – Nuclear Physics B, 1991, kd 360, nr 1, lk 197–209. Joseph Polchinski. Dirichlet Branes and Ramond-Ramond Charges. Physical Review Letters, 1995, kd 75, nr 2, lk 4724–4727. Joseph Polchinski. String Theory, vol. I, Cambridge University Press 1998, ISBN=1-139-45740-3, lk 270.