Mõõtemääramatus

Mõõtemääramatus on mõõtetulemuse omadus, mis iseloomustab mõõtesuuruse juhuslikust iseloomust tingitud kahtlust mõõtetulemuse kehtivuses. Mõõtemääramatus väljendub füüsikalise suuruse mõõtetulemuse esitamisel hinnanguna selle mõõtetulemuse kvaliteedile. Mõõtemääramatus näitab mõõtesuurusele põhjendatult omistatavate väärtuste tõenäosusjaotust. Mõõtemääramatus ei ole mõõtmisviga ega mõõtehälve. Mõõteviga on mõõtetulemuse erinevus tegelikust suurusest. Kuna tegelik suurus pole teada, siis on ka mõõteviga ebatäpne ning seetõttu on tegemist ideaalmõistega. Mõõtehälve on mõõtetulemuse ja tugiväärtuse (nt etaloni suuruse) vahe. Erinevalt mõõtevea ja mõõtehälbe hindamisest lähtutakse mõõtemääramatuse hindamisel teadmisest, et mõõtetulemus on mõõtesuuruse väärtuse parim hinnang. Varem oli laialt levinud mõiste suuruse tõeline väärtus ja mõõteviga, millest lähtus mõõtetulemuse analüüs. Mõõtemääramatuse hindamine on metroloogias suhteliselt uus kontseptsioon. Mõõtetulemuse määramatuse hindamine on oluline nii teaduslikes uuringutes kui ka tehnika ohutuse tagamises. Mõõtemääramatuse hindamisel lähtutakse eelkõige sellest, et mõõtetulemus mõõtepiirides on mõõtesuuruse parim hinnang. Mõõtemääramatuse hindamisel peab arvesse võtma kõik mõõtetulemust iseloomustavad komponendid. Määramatuse komponente võidakse jaotada juhuslikeks ja süstemaatilisteks, kuid selline jaotus pole selgepiiriline. Juhuslik viga võib muutuda süstemaatiliseks, seega selguse mõttes on eelistatum jaotada määramatuse hindamise meetodeid, mitte komponente. Mõõtetulemust mõjutav komponent, mis on väljaselgitamata, annab oma panuse veasse. Seetõttu ka pärast tuntud süstemaatiliste hälvete kõrvaldamist esineb mõõtemääramatus. Mõõtemääramatuse allikateks on: mõõtesuuruse ebatäpne määratlemine, näiteks etalonvihi kalibreerimisel esitamata andmed etaloni materjali kohta; mõõtesuuruse määratluse puudulik arvesse võtmine, näiteks mõne parameetri eiramine; mitteesinduslik mõõteobjekt; mõõtmist läbiviiva isiku puudulikud teadmised keskkonna mõjust mõõdetavale parameetrile; vea tegemine mõõteriista näidu lugemisel; mõõteriista piiratud lahutusvõime või reageerimislävi; mõõtemudelisse arvestatud ebatäpsed väärtused, näiteks välistest allikatest pärinevate konstantide ebatäpsed väärtused; näiliselt samades tingimustes tehtud mõõtmiste mõõtetulemuste erinevus. Määramatuse allikaid on isegi rohkem ja nad võivad olla omakorda üksteisest sõltuvad. Varem eelistati mõõtetulemuse analüüsil vea analüüsimist. Viga δ x {\displaystyle \delta _{x}} on mõõtetulemuse xm erinevus tema tegelikust suurusest xt ,( δ x {\displaystyle \delta _{x}} = xm – xt). Seda suurust me tegelikult ei tea, seepärast tarvitatakse veahinnanguna piirviga, milleks nimetatakse vähimat suurust Δx, mille puhul võib kindel olla, et see on võrdne või suurem kui definitsiooni kohane viga δ x ⩽ Δ x {\displaystyle \delta _{x}\leqslant {\Delta {x}}} ). Piirviga ei saa mõõta ega välja arvutada, kuid teda saab vähem või rohkem põhjendatult hinnata. Piirviga ei tohi vaadata kui absoluutselt kindlat mõõtevea ülempiiri. Piirvea täpsust iseloomustab tõenäosus, mida nimetatakse usaldusnivooks α. Piirveaga esitatakse mõõtetulemus järgmiselt: x= xm± Δxα. Suurust Δxα nimetatakse absoluutpiirveaks, mille suhet omakorda mõõtetulemusse, Ex=Δxα/( xm )×100%, nimetatakse suhtpiirveaks. Mõõteriista puhul nimetatakse absoluutpiirviga ka näiduhälbeks või lihtsalt absoluutveaks. Mõõtemääramatuse hindamisel hinnatakse määramatuse komponente. Osasid komponente saab hinnata mõõdiste statistilisest jaotusest lähtudes, ning neid saame iseloomustada mõõtmise käigus leitud eksperimentaalse standardhälbega. Sellist lähenemismeetodit nimetatakse A-tüüpi hindamismeetodiks. B-tüüpi hindamismeetodiks nimetatakse komponente, mida saab ka iseloomustada eksperimentaalse standardhälbega, kuid mille tõenäosusjaotust teame kogemuslikult või kindlate allikate põhjal. Mõlemad meetodid põhinevad tõenäosusjaotusel ja mõlema abil saadud mõõtemääramatuse komponendid esitatakse kas dispersiooni või standardhälbe hinnanguna. Selline esitusviis rõhutab, et kõik mõjurid, mis annavad oma panuse mõõtetulemuse määramatusesse, on juhuslikud suurused. Standardmääramatuseks nimetatakse määramatust, mis antakse standardhälbe kujul. Standardmääramatuse arvutamiseks viiakse läbi mitmeid kordusmõõtmisi samades mõõtmistingimustes. Mõõdetava suuruse mõjurite muutumine on juhuslik ja seetõttu on kordusmõõtmiste tulemused üldjuhul erinevad. Mida suurem on kordusmõõtmiste arv, seda väiksem on määramatus. A-tüüpi hindamismeetodi abil saadud määramatuskomponenti iseloomustab jaotuskõvera laiuse ehk dispersiooni hinnang u2. Dispersioon hinnangu saab arvutada mõõteseeriast eksperimentaalse dispersiooni s2 kujul, mis avaldub valemist s 2 ( q k ) = 1 n − 1 ∑ k = 1 n ( q k − q ¯ ) 2 {\displaystyle s^{2}\left(q_{k}\right)={\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n}{{\left(q_{k}-{\overline {q}}\right)}^{2}}} , kus n on mõõdiste arv mõõteseerias, qk on n-elemendiline mõõteseeria ja q ¯ {\displaystyle {\overline {q}}} on mõõteseeria aritmeetiline keskmine. Standardmääramatuse võib lugeda võrdseks eksperimentaalse standardhälbega. Kuna standardhälbe hinnang u on võrdne ruutjuurega dispersioon hinnangust u2, siis eksperimentaalne standardhälve s on võrdne ruutjuurega eksperimentaalsest dispersiooni hinnangust s2. Siit tuleneb kordusmõõtmiste standardhälbe valem s ( q k ) = 1 n − 1 ∑ k = 1 n ( q k − q ¯ ) 2 {\displaystyle s\left(q_{k}\right)={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{k=1}^{n}{(q_{k}-{\overline {q}})^{2}}}}} ). Eelmine valem iseloomustab mõõteväärtuste hajusust aritmeetilise keskmise suhtes, mille parim hinnang avaldub valemiga u A = s ( q k ) n {\displaystyle u_{A}={\frac {s\left(q_{k}\right)}{\sqrt {n}}}} , kus uA tähistab A-tüüpi mõõtemääramatust. B-tüüpi hindamismeetodi puhul eeldatakse, et vastav suurus allub tõenäosusjaotusele. Selle dispersiooni arvkarakteristikule leitakse hinnang toetudes kättesaadavale infole suuruse võimalike väärtuste muutumise kohta. Vajalik informatsioon on näiteks üldteadmised materjali või mõõteriista omaduste kohta, kogemuslikud teadmised, mõõtevahendite kasutusjuhendid ning mõõtmisega seotud dokumentides esitatud andmed. B-tüüpi määramatuse leidmiseks arvutatakse välja mõõteriista absoluutpiirviga, mille arvutusvalem on enamasti kirjas mõõteriista kasutusjuhendis. Täiendavalt on vaja teha kindlaks, kuidas mõõdised konkreetse mõõteriista puhul jaotuvad. Vastav informatsioon on üldjuhul kättesaadav mõõteriista juhendis või põhineb kogemuslikel teadmistel varasematest mõõtmistest. Mõõteriistade puhul eeldatakse, et mõõtetulemused jaotuvad ühtlase jaotuse alusel. B-tüüpi määramatus avaldub ühtlase jaotuse korral valemiga u B = Δ x α 3 {\displaystyle u_{B}={\frac {{\Delta {\rm {x}}}_{\alpha }}{\sqrt {3}}}} on absoluutpiirviga ja 1 3 {\displaystyle {\frac {\rm {1}}{\sqrt {3}}}} väljendab ühtlase jaotuse standardhälvet. Liitmõõtemääramatust nimetatakse vahel ka C-tüüpi määramatuseks (C tuleneb ingliskeelsest sõnast combined – kombineeritud). Liitmõõtemääramatus uC saadakse A- ja B-tüüpi määramatuste liitmisel. Liitmääramatuse mõiste eesmärgiks on eristada mõõtetulemuse määramatust teistest mõõtefunktsioonis esinevate suuruste määramatusest. Liitmõõtemääramatus avaldub lihtsamal juhul valemiga u c = u A 2 + u B 2 {\displaystyle u_{c}={\sqrt {u_{A}^{2}+u_{B}^{2}}}} . Üldisem valem sõltumatute sisendsuuruste korral ∑ i = 1 N u i 2 ( y ) {\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{N}{u_{i}^{2}\left(y\right)}}}} , kus u i 2 ( y ) {\displaystyle u_{i}^{2}\left(y\right)} on i-nda mõõtetulemuse y dispersioon. Omavahel sõltuvate sisendsuuruste puhul tuleb arvestada nende suuruste vahelist korrelatsioonimäära, mida väljendab korrelatsioonikordaja. Kahe korreleeruva sisendsuuruse Xi ja Xk liitmääramatuse hinnang avaldub valemiga u C ( y ) = ∑ i = 1 N c i 2 c 2 ( x i ) + 2 ∑ i = 1 N − 1 ∑ k = i + 1 N c i c k u ( x i ) u ( x k ) r ( x i , x k ) {\displaystyle u_{C}\left(y\right)={\sqrt {\sum _{i=1}^{N}{c_{i}^{2}c^{2}\left(x_{i}\right)+2\sum _{i=1}^{N-1}{\sum _{k=i+1}^{N}{c_{i}c_{k}u\left(x_{i}\right)u\left(x_{k}\right)r(x_{i}{,x}_{k})}}}}}} , kus ci on i-nda mõõtesuuruse tundlikkustegur, u(xi ) ja u(xk ) vastavalt i-nda ja k-nda suuruse standardmääramatus ning r ( x i , x k ) {\displaystyle r(x_{i}{,x}_{k})} xi ja xk vaheline korrelatsioonitegur. Mõõtepraktikas on liitmääramatus määramatushinnangu esmane esitusviis. Määramatuse täiendavat mõõtu, mis annab mõõtesuuruse teatud usaldatavusega vahemikuna, nimetatakse laiendmääramatuseks U. See avaldub liitmääramatuse u C ( y ) {\displaystyle u_{C}\left(y\right)} ja katteteguri k korrutisena U = k × u C ( y ) {\displaystyle U=k\times u_{C}\left(y\right)} . Kattetegur iseloomustab väljundvahemiku usaldatavustaset. Tavaliselt kuulub k vahemikku 2–3. Kõige parem oleks valida k vastavalt kindlale usaldatavustasemele nagu 95% ja 99%. Katteteguri valikut lihtsustavad kogemuslikud teadmised mõõtetulemuse rakendustest. Laiendmääramatus on oluline ohutus- ja tervishoiunõuete tagamisel aga ka tööstus- ja teadusvajaduste rahuldamiseks. Tulemuste esitamine sõltub kasutussihist, kuid tasub lähtuda põhimõttest, et informatsiooni liigsus on parem kui selle puudulikkus. Määramatuse hinnangu esitamisel tuleks: kirjeldada selgelt määramatuse arvutusmeetodeid; esitada kõik määramatuse komponendid nimekirjana koos hindamismeetoditega; anda kasutatud konstantide väärtused ja parandid ning võimalusel viidata nende päritolule. Mõõtetulemus ise esitatakse kujul x = mõõtetulemus(mõõtemääramatus) mõõtühik. Näiteks terasplaadi paksus l = 10,02(0,35) mm. Metroloogia Mõõtmine Jaotusfunktsioonid R. Laaneots, O. Mathiesen, J. Riim. Metroloogia, Tallinn: TTÜ kirjastus 2012 R. Laaneots, O. Mathiesen. Mõõtmise alused, Tallinn: TTÜ kirjastus 2002 inglise keelest tõlkinud V. Vabson. Mõõtemääramatuse väljendamise juhend, Tartu: Riigi Metroloogiakeskus, 1996 H.Voolaid. Mõõtevigade hindamine füüsika praktikumis,Tartu:Tartu Riiklik Ülikool, 1983 Erko Jakobson (2002). "E-kursuse "Mõõtmised ja mõõtemääramatused (LOFY.01.004)" materjalid" (pdf). Tartu: Tartu Ülikool. Vaadatud 07.11.2015. Toomas Plank (2005). "Mõõtemääramatuste hindamine" (pdf). Abiks õpetajale. kirjastus Argo. Vaadatud 07.11.2015.