Archimedese aksioom

Archimedese aksioom ütleb: mis tahes kahe suuruse y > x > 0 {\displaystyle y>x>0} korral leidub naturaalarv n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , mille korral n x > y {\displaystyle nx>y} . Geomeetriliselt on Archimedese aksioom tõlgendatav nii: kui meil on sirgel kaks lõiku, siis saab neist suuremat ületada, korrates väiksemat piisav arv kordi. Järjestatud rühma või järjestatud korpust, milles kehtib Archimedese aksioom, nimetatakse vastavalt arhimeediliseks järjestatud rühmaks või arhimeediliseks järjestatud korpuseks. Reaalarvude korpuse R {\displaystyle \mathbb {R} } puhul võetakse Archimedese aksioomi mõnikord aksioomina. Järjestatud korpuse aksioomidest ja pidevuse aksioomist (järjestatud korpuse igal mittetühjal ülalt tõkestatud alamhulgal on ülemine raja) saab järeldada, et reaalarvud on arhimeediliselt järjestatud. Kuigi väide on nime saanud Archimedese järgi, sõnastas selle juba Eudoxos oma suurusõpetuses. Olgu x > 0. {\displaystyle x>0.} Väide: Mis tahes y > x {\displaystyle y>x} korral leidub naturaalarv n {\displaystyle n} , mille korral n x > y {\displaystyle nx>y} . Vastuväide: Leidub y > x {\displaystyle y>x} , mille korral n x ≤ y {\displaystyle nx\leq y} kõigi naturaalarvude n {\displaystyle n} korral. Vastuväitest järeldub, et y {\displaystyle y} on kõikide naturaalarvude n {\displaystyle n} korral n x {\displaystyle nx} ülemine tõke. Koos pidevuse aksioomiga järeldub sellest, et eksisteerib vähim ülemine tõke y 0 {\displaystyle y_{0}} . Kui aga n x ≤ y 0 {\displaystyle nx\leq y_{0}} kõikide naturaalarvude n {\displaystyle n} korral, siis ka ( n + 1 ) x ≤ y 0 {\displaystyle \left(n+1\right)x\leq y_{0}} ning siis ka n x ≤ y 0 − x {\displaystyle nx\leq y_{0}-x} kõikide naturaalarvude n {\displaystyle n} korral. Ent siis on n x {\displaystyle nx} ülemiseks tõkkeks ka y 0 − x {\displaystyle y_{0}-x} . Et y 0 − x < y 0 {\displaystyle y_{0}-x<y_{0}} , siis järelikult y 0 {\displaystyle y_{0}} ei ole vähim ülemine tõke, mis on vastuolus y 0 {\displaystyle y_{0}} definitsiooniga. Järelikult peab vastuväide olema väär ja väide on tõestatud. Iga arvu x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } korral leidub n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},n_{2}\in \mathbb {N} } nii, et n 1 > x {\displaystyle n_{1}>x} ja − n 2 < x {\displaystyle -n_{2}<x} . Sellest järeldub: iga x ∈ R {\displaystyle x\in \mathbb {R} } korral leidub üheselt määratud arv n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } , mille korral n ≤ x < n + 1. {\displaystyle n\leq x<n+1.} Seejuures tähistatakse arvu x täisosa n {\displaystyle n} tähisega ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor } või floor ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {floor} (x)} . Samuti eksisteerib üheselt määratud arv m ∈ Z {\displaystyle m\in \mathbb {Z} } , mille korral m − 1 < x ≤ m {\displaystyle m-1<x\leq m} ; seda tähistatakse ⌈ x ⌉ {\displaystyle \lceil x\rceil } või ceil ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {ceil} (x)} . Seetõttu kehtib ka: mis tahes ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} korral leidub n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , mille korral n > 1 / ε {\displaystyle n>1/\varepsilon } ja seetõttu ka 1 / n < ε {\displaystyle 1/n<\varepsilon } . Matemaatilises analüüsis on see seos kasulik näiteks jada koonduvuse või hajuvuse tõestamisel. Archimedese aksioomist järeldub ka, et kahe reaalarvu a , b ∈ R , a < b {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b} korral leidub alati ratsionaalarv q ∈ Q {\displaystyle q\in \mathbb {Q} } , mille korral a < q < b {\displaystyle a<q<b} , ning et maturaalarvude hulk korpuses R {\displaystyle \mathbb {R} } ei ole ülalt tõkestatud. Eukleides. [[Elemendid (Eukleides)|]], V, definitsioon 4: "Et neil on omavahel suhe, öeldakse suuruste kohta, mis mitmekordistatutena üksteist ületavad."