Subfaktoriaal

Subfaktoriaal ehk de Montmorti arv ehk korratuste arv (tähis ! n {\displaystyle {!}n} ) on peamiselt kombinatoorikas kasutatav funktsioon, mis seab igale naturaalarvule n {\displaystyle n} vastavusse n {\displaystyle n} -elemendilise hulga korratuste ehk püsipunktita permutatsioonide hulga. !n näitab näiteks, mitmel viisil saab n inimest vahetada kingitusi nii, et igaüks annab ühe kingituse kellelegi teisele ja saab täpselt ühe kingituse kelleltki teiselt. Subfaktoriaal on tihedalt seotud faktoriaaliga n ! {\displaystyle n!} , mis annab n {\displaystyle n} -elemendilise hulga permutatsioonide koguarvu, ning on faktoriaali järgi ka nime saanud. Subfaktoriaal ei ületa kunagi faktoriaali: ! n ≤ n ! {\displaystyle !n\,\leq \,n!} . Subfaktoriaal on ligikaudu võrdne faktoriaali ja arvu e jagatisega. Naturaalarvu n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} subfaktoriaal defineeritakse faktoriaali kaudu valemiga ! n = n ! ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k ! = n ! ⋅ ( 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + ⋯ + ( − 1 ) n 1 n ! ) {\displaystyle {!}n=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=n!\cdot \left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)} . Subfaktoriaal ! n {\displaystyle {!}n} vastab n {\displaystyle n} -elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide (korratuste) arvule, faktoriaal n ! {\displaystyle n!} aga kõigi võimalike permutatsioonide arvule. Oletame, et meil on kuus eri värvi kuulikest ja iga kuulikese jaoks kast, mis on sellega ühte värvi. Tuleb leida, mitu võimalust on jagada kuulikesed kastidesse nii, et igas kastis on täpselt üks kuulike, aga ükski kuulike ei ole kastis, mis on sellega ühte värvi. Neid võimalusi on täpselt ! 6 = 6 ! ⋅ ( 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + 1 4 ! − 1 5 ! + 1 6 ! ) = 265 {\displaystyle {!}6=6!\cdot \left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{5!}}+{\frac {1}{6!}}\right)=265} . Kehtib valem ! n = Γ ( n + 1 , − 1 ) e {\displaystyle {!}n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}} , kus e {\displaystyle e} on arv e ja Γ {\displaystyle \Gamma } on mittetäielik gammafunktsioon. Väga hea lähendus on ! n ≈ n ! e {\displaystyle {!}n\approx {\frac {n!}{e}}} . Ümardamise abil saab n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} kohta anda isegi täpse valemi ! n = [ n ! e ] {\displaystyle {!}n=\left[{\frac {n!}{e}}\right]} , kus [ x ] {\displaystyle \left[x\right]} tähistab arvule x {\displaystyle x} lähimat täisarvu. Kui viimasesse valemisse lisada enne jagamist veel ühe liitmine, siis ei ole enam tarvis vahet teha, kas ümardatakse alla- või ülespoole. Selle asemel kasutatakse lihtsalt täisosa, nii et ! n {\displaystyle {!}n} : avaldub nii: ! n = ⌊ n ! + 1 e ⌋ {\displaystyle {!}n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor } , kus ⌊ x ⌋ {\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor } tähistab arvu x {\displaystyle x} täisosa. Subfaktoriaali saab arvutada ka rekurrentselt valemite ! n = n ⋅ ! ( n − 1 ) + ( − 1 ) n {\displaystyle {!}n=n\cdot {!}(n-1)+(-1)^{n}} ( n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ) ja ! n = ( n − 1 ) ⋅ ( ! ( n − 1 ) + ! ( n − 2 ) ) {\displaystyle {!}n=(n-1)\cdot ({!}(n-1)+{!}(n-2))} ( n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} ) järgi. Avaldis ! ( n − 1 ) + ! ( n − 2 ) {\displaystyle {!}(n-1)+{!}(n-2)} vastab n {\displaystyle n} -elemendilise hulga püsipunktita permutatsioonide arvule ühe fikseeritud elemendi korral (jada A0002555 saidil OEIS). Veel üks rekurrentne valem binoomkordajate kaudu on järgmine: ! n = n ! − ∑ k = 1 n ( n k ) ( ! ( n − k ) ) {\displaystyle !n=n!-\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}(!(n-k))} Selle saame järgmistel kaalutlustel. Permutatsioone on kokku n ! {\displaystyle n!} . k {\displaystyle k} püsipunkti saab valida ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} viisil. Püsipunktita permutatsioone ülejäänud n − k {\displaystyle n-k} elemendiga on ! ( n − k ) {\displaystyle !(n-k)} . Järgnev integraalesitus päratu integraali kaudu üldistab subfaktoriaali naturaalarvudelt kompleksarvudele, mille reaalosa on suurem kui math>-1</math>: ! z = ∫ 0 ∞ e − t ( t − 1 ) z d t {\displaystyle {!}z=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}(t-1)^{z}dt} . !n on sellise n-nda astme ruutmaatriksi permanent, mille peadiagonaalil on nullid ja mille ülejäänud elemendid on ühed. Umbraalarvutuses kehtivad formaalsed samasused Q n = ( P − 1 ) n {\displaystyle Q^{n}=(P-1)^{n}} ja P n = ( Q + 1 ) n {\displaystyle P^{n}=(Q+1)^{n}} , kus P k {\displaystyle P^{k}} tähistab k ! {\displaystyle k!} ja Q k {\displaystyle Q^{k}} tähistab ! k {\displaystyle !k} . !1 = 0 !2 = 1 !3 = 2 !4 = 9 !5 = 44 !6 = 265 !7 = 1 854 !8 = 14 833 !9 = 133 496 !10 = 1 334 961 !11 = 14 684 570 !12 = 176 214 841 !13 = 2 290 792 932 !14 = 32 071 101 049 !15 = 481 066 515 734 !16 = 7 697 064 251 745 !17 = 130 850 092 279 664 !18 = 2 355 301 661 033 953 !19 = 44 750 731 559 645 106 !20 = 895 014 631 192 902 121 !21 = 18 795 307 255 050 944 540 Ainus subfaktorioon, st ainus arv, mis võrdub oma kümnendesituse numbrite subfaktoriaalide summaga, on 148349 = ! 1 + ! 4 + ! 8 + ! 3 + ! 4 + ! 9 {\displaystyle 148349={!}1+{!}4+{!}8+{!}3+{!}4+{!}9} . Mängus "Neli nelja" mõne variandi puhul on kasulik teada, et !4 = 9. !n on kõige levinum tähis, kuid see on ebamugav, sest faktoriaali tähisega segiajamise vältimiseks tuleb kasutada sulgi. Muud tähised on M(n) (pärineb Pierre Rémond de Montmortilt), h(n, 0) (pärineb Donald Knuthilt), Mn ja n¡ . Korratuste arvuga tegelesid esimestena Leonhard Euler ja Nikolaus II Bernoulli. Mehdi Hassani. Derangements and Applications. – Journal of Integer Sequences, 2003, kd 6, artikkel 03.1.2. Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations, |New York: Dover 1979, lk 167. David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, 2. trükk. 1997, 1997, ISBN 0140261494, lk 104. Joseph S. Madachy. Madachy's Mathematical Recreations, New York: Dover 1979, lk 167. Eric W. Weisstein. Subfactorial, MathWorld. Jada A000166, OEIS