Harmooniline võnkumine

Harmoonilises võnkumises või harmoonilises liikumises on klassikalise mehaanika järgi iga süsteem, millele siirdel tasakaalu asendist mõjub taastav jõud F mis on võrdeline antud siirdega x (ja võrdvastupidise suunaga): F → = − k x → , {\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},} kus k on positiivne konstant. Süsteeme, kus siire tasakaaluasendist ja samaaegne kiirendus on võrdelised ja võrdvastupidise suunaga ( x ¨ ∝ − x {\displaystyle {\ddot {x}}\propto -x} ) nimetatakse harmooniliseks ostsillaatoriks (ingl k harmonic oscillator) , mõnede autorite poolt ka lineaarseks ostsillaatoriks.  Pikemalt artiklis Lihtharmooniline võnkumine Kui siirdega võrdeline taastav jõud F on ainuke süsteemile mõjuv jõud, nimetatakse harmoonilist võnkumist lihtharmooniliseks võnkumiseks. Lihtharmoonilise võnkumise näiteks on massi võnkumine vedru otsas, kui sumbuvust ei arvestata ja taastav jõud allub Hooke'i seadusele. Antud juhul kirjeldab võnkuva massi liikumist harilik diferentsiaalvõrrand: m x ¨ + k x = 0 , {\displaystyle m{\ddot {x}}+kx=0,} kus m {\displaystyle m} on võnkuva keha mass, x {\displaystyle x} on siire tasakaaluasendist ja k {\displaystyle k} on vedru jäikus. Antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks on sinusoidne funktsioon kujul x ( t ) = A cos ⁡ ( ω t − φ ) , {\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t-\varphi \right),} kus ω = k m {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}} on võnkumise ringsagedus ja A {\displaystyle A} on võnkumise amplituud (maksimaalne siire tasakaaluasendist) ja φ {\displaystyle \varphi } võnkumise algfaas. Lihtharmoonilise mudeli alusel modelleeritud süsteem, kus mõjub ainult siirdega võrdeline taastav jõud, võngub ilma sumbuvuseta. Tihti on tarvilik modelleerida võnkumisi, mis ilma väliste jõududa mõjuta sumbuvad. Seejuures võivad summutavad jõud olla erinevad. Peamiselt käsitletakse võnkumisi takistavaid jõude, mis on: kiirusest sõltumatu suurusega (näiteks juhul, kui keha võngub horisontaaselt vedru otsas tasapinnal on takistavaks jõuks kiirusest sõltumatu hõõre); võrdelised kiirusega ( F ∝ v {\displaystyle F\propto v} ); võrdelised kiiruse kõrgema astmega ( F ∝ v n , n > 1 {\displaystyle F\propto v^{n},\,n>1} ). Kõige laialdasemalt esineb sumbuvuse näidetes liikumise kiirusest v {\displaystyle v} sõltuvaid summutavaid jõude, F v i s = − R m v {\displaystyle F_{vis}=-R_{m}v} . Viimase jõu alaindeks tuleneb ühest sellist sumbuvust tekitavast protsessist ehk viskoossustakistusest ja R m {\displaystyle R_{m}} on võrdetegur (ühik kg/s) mida nimetatakse ka mehaaniliseks takistuseks. Seega lisades lihtharmoonilisele võnkumisele lisaks sumbuvust tekitava jõu F v i s {\displaystyle F_{vis}} saab diferentsiaalvõrrand kuju: m x ¨ + R m x ˙ + k x = 0 , {\displaystyle m{\ddot {x}}+R_{m}{\dot {x}}+kx=0,} jagades viimase läbi massiga m {\displaystyle m} ja tähistades ω 0 = k m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}} , saab võrrand kuju: x ¨ + R m m x ˙ + ω 0 2 x = 0 , {\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {R_{m}}{m}}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,} suurust ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} nimetatakse sumbuvuseta võnkumiste ringsageduseks ja suuruse R m / m {\displaystyle R_{m}/m} asemel kasutatakse mõnikord 2 ζ ω 0 {\displaystyle 2\zeta \omega _{0}} , kus suurust ζ {\displaystyle \zeta } nimetatakse sumbuvusastmeks (sumbeaste, sumbedekrement). Sumbuvusaste ja mehaaniline takistus on omavahel seotud valemiga ζ = R m / 2 m k {\displaystyle \zeta =R_{m}/2{\sqrt {mk}}} . Eeldades, et diferentsiaalvõrrandi lahend on kujul x ( t ) = C e η t {\displaystyle x(t)=Ce^{\eta t}} saame asendades lahendi diferentiaalvõrrandisse ( η 2 + R m m η + ω 0 2 ) C e η t = 0 , {\displaystyle {\Bigl (}\eta ^{2}+{\frac {R_{m}}{m}}\eta +\omega _{0}^{2}{\Bigr )}Ce^{\eta t}=0,} kuna C e η t {\displaystyle Ce^{\eta t}} ei võrdu igal ajahetkel nulliga, peab sulgudes olev avaldis võrduma nulliga. Tundmatu η {\displaystyle \eta } leidmiseks peab lahendama ruutvõrrandi, mille lahendiks on η = − R m / m ± ( R m / m ) 2 − 4 ω 0 2 2 = − 1 τ ± ( 1 τ ) 2 − ω 0 2 {\displaystyle \eta ={\frac {-R_{m}/m\pm {\sqrt {(R_{m}/m)^{2}-4\omega _{0}^{2}}}}{2}}=-{\frac {1}{\tau }}\pm {\sqrt {{\Bigl (}{\frac {1}{\tau }}{\Bigr )}^{2}-\omega _{0}^{2}}}} Viimases võrduses on kasutatud suurust τ = 2 m / R m {\displaystyle \tau =2m/R_{m}} . Lahendi saab, seega kirjutada kujul x ( t ) = C e − t / τ cos ⁡ ( ω d t + ϕ ) , {\displaystyle x(t)=Ce^{-t/\tau }\cos(\omega _{d}t+\phi ),} millest on näha, et kasutusele võetud suurus τ {\displaystyle \tau } on eksponentsiaalne sumbuvusaeg. Suurus ω d {\displaystyle \omega _{d}} on sumbuvusega võnkumise ringsagedus, mida saab leida valemiga ω d = ω 0 2 − ( 1 τ ) 2 . {\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-{\Bigl (}{\frac {1}{\tau }}{\Bigr )}^{2}}}.} Tihti kasutatakse sumbuvate võnkumiste kirjeldamiseks ka dimensioonitut suurust Q {\displaystyle Q} , mida nimetatakse hüveteguriks. Hüvetegur on eelnevate suurustega seotud vastavalt Q 2 = k m / R m 2 = ω 0 2 τ 2 / 4 {\displaystyle Q^{2}=km/R_{m}^{2}=\omega _{0}^{2}\tau ^{2}/4} Sumbuvatel harmoonilistel võnkumistel eristatakse kolme režiimi: Juhul, kui R m / m ≪ 2 ω 0 {\displaystyle R_{m}/m\ll 2\omega _{0}} on tulemuseks ajas sumbuva amplituudiga võnkumine ja seda olukorda kutsutakse alasummutatud harmooniliseks võnkumiseks; Juhul, kui R m / m ≫ 2 ω 0 {\displaystyle R_{m}/m\gg 2\omega _{0}} ei toimu süsteemi võnkumist ja toimub amplituudi vähenemine eksponentsiaalse sumbuvusajaga τ = R m / k {\displaystyle \tau =R_{m}/k} , viimast nimetatakse ülesummutatud harmooniliseks võnkumiseks; Juhul, kui R m / m = 2 ω 0 {\displaystyle R_{m}/m=2\omega _{0}} ei toimu süsteemi võnkumist ja algne häiritus sumbub vähima võimaliku ajaga τ = ω 0 − 1 {\displaystyle \tau =\omega _{0}^{-1}} , antud režiimi nimetatakse seejuures kriitiliselt summutatud harmooniliseks võnkumiseks. Juhul, kui lisaks sumbuvusele mõjub süsteemile ka sundiv väline ajas muutuv jõud F ( t ) {\displaystyle F(t)} kirjeldab vastavat harmoonilist võnkumist diferentsiaalvõrrand kujul m x ¨ + R m x ˙ + k x = F ( t ) {\displaystyle m{\ddot {x}}+R_{m}{\dot {x}}+kx=F(t)} , jällegi jagatakse tihti võrrand läbi massiga m {\displaystyle m} ja tähistades ω 0 = k m {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}} , saab võrrand kuju x ¨ + R m m x ˙ + ω 0 2 x = F ( t ) m , {\displaystyle {\ddot {x}}+{\frac {R_{m}}{m}}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}},} Harmooniliste ostsillaatoritega samaväärselt käituvaid süsteeme leidub lisaks mehaanikale ka teistes füüsika valdkondades. Samaväärsus tähendab süsteeme kirjeldava difierentsiaalvõrrandi samaväärsus. Allolevas tabelis on toodud nelja harmooniliselt võnkuva süsteemi samaväärsed suurused. Lihtharmooniline võnkumine Võnkumine Anharmooniline võnkumine I. Saveljev (1978). Füüsika 1. Tallinn: Valgus. Lk 175.