Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs ehk analüüs on matemaatika haru, mis uurib funktsioone ja nende üldistusi piirväärtuse meetodil. Kitsamas mõttes mõeldakse matemaatilise analüüsi all diferentsiaalarvutust ja integraalarvutust ühe ja mitme reaalmuutuja funktsioonidega, mille rajasid Isaac Newton ja Leibniz, kuigi mõned selle mõisted kujunesid palju varem. Piirväärtuste meetod võeti kasutusele 19. sajandil. 20. sajandil on kujunenud ka alternatiivne mittestandardne matemaatiline analüüs. Õppeainena hõlmab see ka ridade teooria. Laiemas mõttes hõlmab matemaatiline analüüs paljusid uuteks matemaatika harudeks kujunenud valdkondi, nagu reaalmuutuja funktsioonide teooria, kompleksmuutuja funktsioonide teooria, tõenäosusteooria, harilike diferentsiaalvõrrandite teooria, matemaatiline statistika, osatuletistega diferentsiaalvõrrandite teooria, matemaatilise füüsika võrrandid, arvutusmatemaatika, variatsioonarvutus, funktsionaalanalüüs. Kokku moodustavad need suurema osa matemaatikast. Matemaatiline analüüs kitsamas mõttes ehk klassikaline matemaatiline analüüs ühendab diferentsiaalarvutuse ja integraalarvutuse ning nendega lähedalt seotud matemaatika valdkonnad (piirväärtuste teooria, ridade teooria). Selle põhimõisted on funktsiooni piirväärtus, diferentsiaal, tuletis, ja integraal, peamised tulemused on Newtoni-Leibnizi valem, mis seob määratud integraali ja algfunktsiooni, ja Taylori rida, lõpmatult diferentseeruva funktsiooni reaksarendus punkti ümbruses. Klassikalisel matemaatilisel analüüsil põhineb analüüs laiemas mõttes, mida peetakse üheks kolmest matemaatika põhisuunast algebra ja geomeetria kõrval. Kitsas mõttes kasutatakse väljendit "matemaatiline analüüs" põhiliselt õppeprogrammides ja -materjalides. Analüüsi aluseid õpitakse tavaliselt juba keskkoolis, enam-vähem täies mahus õpitakse matemaatilist analüüsi kõrgkoolis paljude erialade esimestel kursustel. Analüüs on klassikalisest matemaatilisest analüüsist välja kasvanud osa tänapäeva matemaatikast. See hõlmab peale klassikalisse ossa kuuluvate diferentsiaalarvutuse ja integraalarvutuse ka näiteks reaalmuutuja funktsioonide teooria, kompleksmuutuja funktsioonide teooria, diferentsiaalvõrrandite teooria, integraalvõrrandite teooria, variatsioonarvutuse, harmoonilise analüüsi, funktsionaalanalüüsi, dünaamiliste süsteemide teooria, ergoodilise teooria ja globaalse analüüsi. Mittestandardne analüüs on matemaatilise loogika ja mudeliteooria sidusdistsipliin, mis rakendab mudelteooria meetodeid eelkõige klassikalise matemaatilise analüüsi alternatiivseks formaliseerimiseks. Analüüsi loetakse algebra ja geomeetria kõrval üheks matemaatika põhisuunaks. Analüüsile on iseloomulik funktsioonide uurimine. Kui elementaarmatemaatika õppeprogrammides ja -materjalides ühendatakse analüüsi teemad sageli elementaaralgebraga, siis tänapäeva analüüs kasutab suurel määral tänapäeva geomeetria, eelkõige diferentsiaalgeomeetria ja diferentsiaaltopoloogia meetodeid.  Pikemalt artiklis Lõpmata väikeste analüüs Matemaatilise analüüsi eelkäijad olid antiikaja ammutamise meetod ja jagamatute meetod. Neid meetodeid ühendab analüüsiga lõpmata väikesteks elementideks lahutamise idee, kusjuures nende loomust ei kujutatud täpselt ette. Algebraline lähenemine (infinitesimaalarvutus) hakkas ilmuma John Wallise, James Gregory ja Isaac Barrow' töödes. Täies ulatuses töötas uue arvutuse kui süsteemi välja Isaac Newton, kes aga jättis oma avastused pikaks ajaks avaldamata. Diferentsiaalarvutuse sünni ametlikuks ajaks võib pidada 1684. aasta maid, mil Gottfried Wilhelm Leibniz avaldas ajakirjas Acta eruditorum (kd V, lk 220–226) artikli "Uus maksimumide ja miinimumide meetod...", mis esitas lühidal ja raskesti arusaadaval kujul diferentsiaalrvutuse printsiibid. 17. sajandi lõpus tekkis Leibnizi ümber matemaatikute ring. "Lõpmata väikeste analüüsist" hakkasid juba 18. sajandil ja 19. sajandi esimesel poolel hakkasid hargnema näiteks harilike diferentsiaalvõrrandite teooria (Leonhard Euler, Johann Bernoulli, Jean le Rond D'Alembert), analüütiliste funktsioonide teooria (Joseph-Louis Lagrange, Augustin Louis Cauchy, hiljem Bernhard Riemann). Tänapäevase analüüsi kujunemise alguseks peetakse siiski 19. sajandi keskpaiga töid, millega formaliseeriti klassikalise matemaatilise analüüsi võtmemõisteid (reaalarv, funktsioon, piirväärtus, integraal), eelkõige Cauchy ja Bernard Bolzano töid, ning Karl Weierstraßi, Richard Dedekindi ja Georg Cantori 1870. ja 1880. aastate töid, mis viisid need formaliseeringud lõpule. Seoses sellega tekkisid reaalmuutuja funktsioonide teooria ning analüütiliste funktsioonide uurimise meetodite arenedes kompleksmuutuja funktsioonide teooria. Naiivne hulgateooria, mille Cantor 19. sajandi lõpus välja töötas, andis tõuke meetrilise ruumi ja topoloogilise ruumi mõiste kujunemisele, mis muutis oluliselt kogu analüüsi instrumentaariumi, suurendades uuritavate objektide abstraktsioonastet ja nihutades fookuse reaalarvudelt mittearvumõistetele. 20. sajandi alguses loodi peamiselt Prantsuse matemaatikakoolkonna (Marie Ennemond Camille Jordan, Émile Borel, Nicolas Lebègue, René-Louis Baire) jõududega mõõduteooria, tänu millele üldistati integraali mõistet ning ehitati üles reaalmuutuja funktsioonide teooria. 20. sajandi alguses hakkas kujunema ka tänapäeva analüüsi iseseisev haru funktsionaalanalüüs, mis uurib topoloogilisi vektorruume ja nende kujutusi. Diferentsiaalarvutus Diferentsiaal Integraalarvutus Integraal Ridade teooria Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002). А. Д. Александров, А. Н. Колмогоров, М. А. Лавреньтев. Математика, её содержание, методы и значение, М.: Издательство Академии наук СССР, 1956, kd 1, lk 55. Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пред. вузов, 1999, lk 7.