Implikatsioon

Implikatsioon ehk materiaalne implikatsioon on tõeväärtuste algebras ehk loogikaalgebras binaarne tehe, mille tulem on väär parajasti siis, kui tehte esimene operand on tõene ja teine operand on väär. Implikatsiooni saab tähistada järgnevalt: 𝑝 ⊃ 𝑞 (Seda sümbolit kasutatakse ka alamhulga-ülemhulga seose tähistamiseks hulgateoorias); 𝑝 ⇒ 𝑞 C𝑝𝑞 (kasutades poola kuju) Ülal tähistatud implikatsioonitehete juures kutsutakse lausemuutujaid järgmiselt: p on implikatsiooni eeldus (ehk antetsedent ehk alus) ja q on implikatsiooni järeldus (ehk konsekvent ehk tagajärg). Klassikalises loogikas on lausearvutuse valem p → q {\displaystyle p\rightarrow q} samaväärne tehtega ¬ ( p ∧ ¬ q ) {\displaystyle \neg (p\land \neg q)} ning De Morgani seadust kasutades on see ekvivalentne tehtega ¬ p ∨ q {\displaystyle \neg p\lor q} . Loomulikus keeles vastab implikatsiooni tehtele kõige lähedamalt lausekonstruktsioon "kui ..., siis ...". Nt "Kui täna on esmaspäev, siis homme on teisipäev." Loogikutel on erinevad vaated materiaalse implikatsiooni olemusest ja erinevad lähenemised selle kirjeldamiseks. Klassikalises loogikas on tehe p→q loogiliselt ekvivalentne lausega: mitte p ja q eitus korraga. Seega on tehe p→q väär parajasti siis, kui p on tõene ja q on väär. Samal põhjusel on p→q tõene siis ja ainult siis, kui p on väär või q on tõene (või mõlemad korraga). Seega on → funktsioon, mis võtab argumendiks tõeväärtuste paari p, q ning viib selle vastavusse tõeväärtusega p→q, mille tõeväärtus sõltub vaid argumentide tõeväärtustest. Seega sellist interpretatsiooni kutsutakse tõefunktsionaalseks. Implikatsiooni p→q tõeväärtustabel on järgmine: Tasub mainida, et Boole'i algebras võib tõeväärtusi tõene ja väär kujutada ka numbrite 1 ja 0 abil, vastavalt. kommutatiivsus: ei assotsiatiivsus: ei distributiivsus: iseendaga jah. ( s → ( p → q ) ) → ( ( s → p ) → ( s → q ) ) {\displaystyle (s\rightarrow (p\rightarrow q))\rightarrow ((s\rightarrow p)\rightarrow (s\rightarrow q))} transitiivsus: jah. ( a → b ) → ( ( b → c ) → ( a → c ) ) {\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((b\rightarrow c)\rightarrow (a\rightarrow c))} refleksiivsus: jah. a → a {\displaystyle a\rightarrow a} tõesust säilitav: jah eelduste kommutatiivsus: jah. ( a → ( b → c ) ) ≡ ( b → ( a → c ) ) {\displaystyle (a\rightarrow (b\rightarrow c))\equiv (b\rightarrow (a\rightarrow c))} Klassikalise loogika materiaalse implikatsiooni definitsiooni kasutades on võimalik koostada valemeid, mis on loogiliselt tõesed, kuid millest on intuitiivselt keeruline aru saada. Neid kutsutakse implikatsiooniparadoksideks. Need on näiteks: p → ( q → p ) , ¬ p → ( p → q ) , ( p → q ) ∨ ( q → p ) {\displaystyle p\rightarrow (q\rightarrow p),\neg p\rightarrow (p\rightarrow q),(p\rightarrow q)\lor (q\rightarrow p)} Idee paradoksidega tegelemiseks pakkus välja vene filosoof Ivan Jefimovitš Orlov, ja sellist loogika ülesehitust kutsutakse relevantsusloogikaks (relevance logic). Relevantsusloogikaid on mitmeid ning nendes nõutakse, et tehtest p → q {\displaystyle p\rightarrow q} räägitaks ainult siis, kui on tagatud, et q tõestamise juures läheb vaja p-d. Enn Kasak (2014). Loogika alused. Greif. Teller, Paul (10. jaanuar 1989). "A Modern Formal Logic Primer: Sentence Logic Volume 1" (PDF). Prentice Hall. Lk 54. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 27.09.2013. Vaadatud 28.05.2013. "Eesti entsüklopeedia". Clarke, Matthew C. (märts 1996). "A Comparison of Techniques for Introducing Material Implication". Cornell University. Vaadatud 4.03.2012. Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003. Edgington, Dorothy (2001), "Conditionals", in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Blackwell. Quine, W.V. (1982), Methods of Logic, (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), 4th edition, Harvard University Press, Cambridge, MA. Stalnaker, Robert, "Indicative Conditionals", Philosophia, 5 (1975): 269–286.