Alamhulk

Matemaatikas nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks ehk osahulgaks ehk alamsüsteemiks, kui kõik hulga A elemendid on ühtlasi hulga B elemendid. Seda asjaolu tähistatakse A ⊂ B või A ⊆ B. Alamhulgaks olemist nimetatakse sisalduvuseks ja asjaolu A ⊂ B kohta öeldakse ka, et hulk A sisaldub hulgas B. Hulkadevahelist binaarset seost ⊂ nimetatakse seetõttu sisalduvusseoseks. Võib ka öelda, et B on A ülemhulk, mis on samaväärne sellega, et A on B alamhulk. Hulk B on hulga A ülemhulk parajasti siis, kui hulk A on hulga B alamhulk. Viimase asjaolu tõttu kanduvad ülemhulgale üle kõik alamhulkade omadused, kuid seda ümberpööratud kujul. Definitsioonist järelduvad järgmised omadused: Refleksiivsus: iga hulk on iseenda alamhulk, A ⊂ A {\displaystyle A\subset A} Antisümmeetrilisus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga A alamhulk, siis need hulgad on võrdsed, A ⊂ B   ∧   B ⊂ A   ⇒   B = A {\displaystyle A\subset B\ \wedge \ B\subset A\ \Rightarrow \ B=A} Transitiivsus: kui A on hulga B alamhulk ja B on hulga C alamhulk, siis on A ka hulga C alahulk. A ⊂ B   ∧   B ⊂ C   ⇒   A ⊂ C {\displaystyle A\subset B\ \wedge \ B\subset C\ \Rightarrow \ A\subset C} Tühi hulk ø on iga hulga alamhulk. ∅ ⊂ A {\displaystyle \varnothing \subset A} Omadused (1)–(3) ütlevad, et ⊂ on osaline järjestus kõikide hulkade klassil, ning omadus (4) ütleb, et ø on selle järjestuse vähim element. Kui hulk A on hulga B alamhulk, mis ei ühti hulgaga B, siis nimetatakse seda hulga B pärisalamhulgaks. Viimase asjaolu rõhutamiseks kasutatakse mõnikord tähistust A ⊊ B {\displaystyle A\subsetneq B} . Kui soovitakse rõhutada omaduse (1) kehtivust, kasutatakse tähistust A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B} , kusjuures mõned autorid võivad sel juhul kirjapildiga ⊂ tähistada just pärisalamhulgaks olemist. Viimane tähistusviis on siiski pigem erand kui reegel. Kasutusel on ka "ümber pööratud" tähistus B ⊃ A {\displaystyle B\supset A} . Sel juhul öeldakse, et A on B ülemhulk. Hulk {1, 2} on hulga {1, 2, 3} pärisalamhulk. Hulk {1, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} pärisalamhulk. Hulk {1, 2, 3, 4} on hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk, kuid mitte pärisalamhulk. Hulk {1, 2, 4, 5} ei ole hulga {1, 2, 3, 4} alamhulk. Naturaalarvude hulk on täisarvude hulga pärisalamhulk. Naturaalarvude hulk on ratsionaalarvude hulga pärisalamhulk. Ratsionaalarvude hulk on reaalarvude hulga pärisalamhulk. Täisarvude hulk ei ole naturaalarvude hulga alamhulk. Hulk {x : x on 2000-st suurem algarv} on hulga {x : x on 1000-st suurem paaritu arv} pärisalamhulk. Ruutude hulk on rombide hulga pärisalamhulk ja ristkülikute hulga pärisalamhulk. Rombide hulk ei ole ristkülikute hulga alamhulk. Mis tahes hulk on iseenda alamhulk, kuid mitte iseenda pärisalamhulk. Tühi hulk ∅ {\displaystyle \varnothing } on mis tahes hulga alamhulk. (See on tühi tõde.) Tühi hulk on alati pärisalamhulk, välja arvatud iseenda puhul. Hulga B alamhulga A {\displaystyle A} saab defineerida tema karakteristliku funktsiooni χ A   : B → { 0 , 1 } {\displaystyle \chi _{A}\ :B\rightarrow \{0,1\}} kaudu: ∀ b ∈ B , χ A ( b ) = 1 ⇔ b ∈ A {\displaystyle \forall b\in B,\chi _{A}(b)=1\Leftrightarrow b\in A} . χA(b) võrdub 1, kui b on hulga A element, vastasel korral võrdub 0. Potentshulk ehk kõigi alamhulkade hulk Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) P. Oja, Hulgateooria (2006), lk 6