Bayesi teoreem

Tõenäosusteoorias ja statistikas kirjeldab Bayesi teoreem sündmuse toimumise tõenäosust eeldusel, et sündmus on kuidagi seotud eelnevalt toimunud sündmustega – Bayesi teoreem arvutab tingimusliku tõenäosuse. Bayesi teoreem on saanud nime matemaatiku reverend Thomas Bayesi (1701–1761) järgi, kes esimesena esitas võrrandi, mis lubas uutel andmetel uuendada uskumusi, essees "An Essay Toward Solving a Problem in the Doctrine of Chances" (1763). Bayesi teoreem on kirja pandud järgmiselt: P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ) , {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},} kus korrutusvalem: P ( A ∣ B ) = P ( A | B ) P ( B ) = P ( B | A ) P ( A ) {\displaystyle P(A\mid B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)} on murru lugejaks, A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} on sündmused ja P ( B ) ≠ 0 {\displaystyle P(B)\neq 0} . P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} on tingimuslik tõenäosus: sündmuse A {\displaystyle A} toimumise tõenäosus tingimusel, et B {\displaystyle B} on tõene. P ( B | A ) {\displaystyle P(B|A)} on tingimuslik tõenäosus: sündmuse B {\displaystyle B} toimumise tõenäosus tingimusel, et A {\displaystyle A} on tõene. P ( A ) {\displaystyle P(A)} ja P ( B ) {\displaystyle P(B)} on sündmuse A {\displaystyle A} ja sündmuse B {\displaystyle B} tõenäosus eraldi vaadelduna. Bayesi valemit nõudvates ülesannetes on tavaks, et kõigepealt püstitatakse hüpoteesid ning siis sooritatakse katsed, mille tulemus on teada. Sõltuvalt katsete tulemustest hinnatakse hüpoteeside esialgsed ennustatud tõenäosused uuesti. Bayesi valemi vorm 1: P ( A ∣ B ) = A ∩ B P ( B ) , k u s {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {A\cap B}{P(B)}},kus} P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} on sündmuse A {\displaystyle A} tõenäosus tingimusel, et B {\displaystyle B} on toimunud ning kus P ( B ) {\displaystyle P(B)} nimetatakse hüpoteesiks. Bayesi valemi vorm 2: P ( A ∣ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( A ) + P ( B ∣ ¬ A ) P ( ¬ A ) , {\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid \neg A)P(\neg A)}},} kus P ( A ) {\displaystyle P(A)} on sündmuse A {\displaystyle A} tõenäosus, P ( ¬ A ) {\displaystyle P(\neg A)} on sündmuse A {\displaystyle A} vastandtõenäosus, P ( B | A ) {\displaystyle P(B|A)} on tingimuslik tõenäosus: sündmuse B {\displaystyle B} toimumise tõenäosus tingimusel, et A {\displaystyle A} on tõene, P ( B | ¬ A ) {\displaystyle P(B|\neg A)} on tingimuslik tõenäosus: sündmuse B {\displaystyle B} toimumise tõenäosus tingimusel, et ¬ A {\displaystyle \neg A} on tõene, P ( A | B ) {\displaystyle P(A|B)} on tingimuslik tõenäosus: sündmuse A {\displaystyle A} toimumise tõenäosus tingimusel, et B {\displaystyle B} on tõene. Tänapäeval kasutatakse Bayesi teoreemi nii meditsiinis kui ka masinõppe tehnikates, näiteks rämpskirjade tuvastamiseks. Kui filtrile on seadistatud rämpskirjade tingimused, kasutab filter rämpsu leidmiseks kindlate sõnade esinemist e-kirjades. Bayesi järeldamine on esitatud teadusliku meetodi mudelina, milles toimub algsete uskumuste ajakohastamine hüpoteeside suhtelise usutavuse testimise teel. Bayesi teoreemist on olemas erinevaid tõlgendusi, näiteks Bayesi tõlgendus, milles tõenäosus mõõdab usu taset, kuid kuna uskumused on alati subjektiivsed, siis on ka Bayesi tõenäosusteooria tingimuslik. Teiseks on olemas sageduslik tõlgendus, milles tõenäosus mõõdab paljude samadel tingimustel tehtud katsete tulemusi. Thomas Bayes oli Inglise kirikuõpetaja, kes tundis huvi matemaatika vastu ja õppis Edinburghi ülikoolis loogikat ja teoloogiat. Thomas Bayesi tööd said tuntuks tänu Richard Price'ile, kes Bayesi märkmed läbi uuris ning täiendas ja avaldas need kaks aastat pärast tema surma. Ta täiendas Bayesi peamist tööd, mis kandis nime "An Essay Toward Solving a Problem in the Doctrine of Chances" ("Katse lahendada üht juhuseõpetuse probleemi") ja mis sisaldab ka Bayesi teoreemi. Tänu Richard Price'ile said tuntuks näiteks: Bayesi tõenäosusteooria Binoomjaotuse parameetrite hindamine Beetajaotuse integraali leidmine Bayesiaanlus on filosoofias seisukoht, mille kohaselt matemaatiline tõenäosusteooria käib väidete usutavuse kohta ehk määra kohta, millega ratsionaalsed toimijad usuvad väidete tõesusse. Kuid ei ole teada, kas Bayes ka ise seda pooldas. Stephanie Glen. Bayes’ Theorem Problems, Definition and Examples: http://www.statisticshowto.com/bayes-theorem-problems/ (19.03.2018) Jeffreys, Harold (1973). Scientific Inference (3rd ed.). Cambridge University Press. p. 31. ISBN 978-0-521-18078-8. (18.03.2018) Stuart, A.; Ord, K. (1994), Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory, Edward Arnold, §8.7. (18.03.2018) Tõenäosusteooria loeng, Tartu Ülikool. https://web.archive.org/web/20180320171023/http://www.staff.ttu.ee/~pallasl/toenaosus/t%F5en%E4osus%20loeng%2013.doc (19.03.2018) Ergo Jakobson. E-kursuse "Tõenäosusteooria ja statistika" materjalid. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35400/Toenaosusteooria_ja_statistika.pdf (19.03.2018) Andrew Ellinor, Christopher Williams, Adam Strandberg. Bayes’ Theorem and Conditional Probabilit: https://web.archive.org/web/20180320170803/https://brilliant.org/wiki/bayes-theorem/ (18.03.2018) Bayesian vs. Frequentist Interpretation. http://work.thaslwanter.at/Stats/html/statsBayes.html (18.03.2018) P. J. Bickel and E. L. Lehmann. Frequentist Interpretation of Probability. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F978-1-4614-1412-4_92.pdf (19.03.2018) Imbi Traat, Natalja Lepik. Bayesi statistika Markovi ahelatega. http://dspace.ut.ee/bitstream/handle/10062/35403/Bayesi_statistika.pdf, lk 8 (19.03.2018) Richard Price (1991). Price: Political Writings. Cambridge University Press. p. xxiii. ISBN 978-0-521-40969-8. Retrieved 16 June 2013. (18.03.2018) Bayesiaanus. https://et.wikipedia.org/wiki/Bayesiaanlus (29.04.2018)