Ühe muutujaga ruutvõrratus

Ühe muutujaga ruutvõrratuseks nimetatakse võrratust üldkujuga a x 2 + b x + c > 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c>0} või ( a x 2 + b x + c < 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c<0} või a x 2 + b x + c ≥ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0} või a x 2 + b x + c ≤ 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0} ), milles a, b ja c on antud arvud ( a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} ) ja x on tundmatu. Olgu meil antud ruutvõrratus kujul a x 2 + b x + c < 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c<0} . Ruutvõrratuse lahendamist alustame esmalt ruutfunktsiooni y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} nullkohtade leidmisest. Selleks lahendame ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} . Järgnevalt kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning skitseerime ruutfunktsiooni graafiku. Ruutfunktsiooni graafiku skitseerimisel peame pidama meeles: kui a>0 (ruutliikme kordaja on positiivne), siis ruutfunktsiooni graafikuks olev parabool avaneb üles kui a<0 (ruutliikme kordaja on negatiivne), siis ruutfunktsiooni graafikuks olev parabool avaneb alla Lahendame ruutvõrratuse x 2 − 9 x + 14 ≤ 0 {\displaystyle x^{2}-9x+14\leq 0} . lahendame ruutvõrrandi x 2 − 9 x + 14 = 0 {\displaystyle x^{2}-9x+14=0} ja saame lahenditeks x 1 = 2 {\displaystyle x_{1}=2} ja x 2 = 7 {\displaystyle x_{2}=7} ; Kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning joonestame läbi leitud punktide ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Kuna ruutliikme kordaja on positiivne, avaneb parabool üles. leiame jooniselt, milliste väärtuste korral on y ≤ 0 {\displaystyle y\leq 0} . Saame vastuseks: x ∈ [ 2 ; 7 ] {\displaystyle x\in [2;7]} . Seda võib märkida üles ka kujul 2 ≥ x ≤ 7 {\displaystyle 2\geq x\leq 7} Lahendame ruutvõrratuse − 16 x 2 + 24 x − 9 ≥ 0 {\displaystyle -16x^{2}+24x-9\geq 0} . Mugavuse huvides korrutame võrratuse läbi -1, et saada ruutliikme kordaja positiivseks. Siinkohal peame meeles, et negatiivse arvuga korrutades muutub võrratuse märk vastupidiseks: − 16 x 2 + 24 x − 9 > 0 | ⋅ ( − 1 ) ⇔ 16 x 2 − 24 x + 9 < 0 {\displaystyle -16x^{2}+24x-9>0|\cdot (-1)\Leftrightarrow 16x^{2}-24x+9<0} Järgnevalt leiame ruutfunktsiooni y = 16 x 2 − 24 x + 9 {\displaystyle y=16x^{2}-24x+9} nullkohad, lahendades ruutvõrrandi 16 x 2 − 24 x + 9 = 0 {\displaystyle 16x^{2}-24x+9=0} Lahenditeks saame x 1 = x 2 = 0 , 75 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=0,75} Kanname reaalarvude teljele leitud nullkohad ning joonestame läbi leitud punktide ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Piirkondade leidmiseks vaatame algteksti. Kuna ruutliikme kordaja on negatiivne, avaneb parabool alla. Võrratuste lahenditeks on kõik mittenegatiivsed reaalarvud. Ainukeseks lahendiks tuleb seetõttu x = 0 , 75 {\displaystyle x=0,75} Lahendame võrratuse kujul (x+1)(3-2x)>0. Selleks leiame esimese sammuna väärtused, millal korrutis (x+1)(3-2x)=0. Korrutis on null siis, kui üks tema liikmetest on võrdne nulliga. Järelikult ( x + 1 ) = 0 ⇒ x = − 1 {\displaystyle (x+1)=0\Rightarrow x=-1} ja ( 3 − 2 x ) = 0 ⇒ x = 3 2 {\displaystyle (3-2x)=0\Rightarrow x={\frac {3}{2}}} . Kanname saadud punktid reaalarvude teljele ja joonestame välja ruutfunktsiooni graafikuks oleva parabooli. Parabool avaneb alla, sest avades sulud (x+1)(3-2x) saame ruutliikme kordajaks negatiivse arvu. Graafikult võime lugeda, et võrratuse lahenditeks on vahemik − 1 < x < 3 2 {\displaystyle -1<x<{\frac {3}{2}}} Lepmann, L.; Lepmann,T., Velsker, K. (2000). Matemaatika 10. klassile. Tallinn, Koolibri. ISBN 9985-0-0978-9.{{cite book}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) Sirje Trahv "Ruutvõrrand ja võrratus" http://rakgym.edu.ee/opetajad/sirjetrahv/ruutv/ruutvrratuse_lahendamise_etapid.html# Lepmann, L., Velsker, K.(2000) Matemaatika 8. klassile. Tallinn, Koolibri. Merle Sukk "Ruutvõrratus" http://www.vmg.vil.ee/oppematerjalid/matemaatika/Merle_Sukk/10_klass/