Sirge

Sirge ehk sirgjoon on ilma läbimõõduta, mõlemas suunas lõpmata pikk, kõverusteta joon ehk ühemõõtmeline ruum, mis võib sisalduda mitmemõõtmelises ruumis. Sirge üldvõrrand tasandil on (Descartesi koordinaadistikus) ristkoordinaadistikus lineaarvõrrand A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} , kus A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} ja C {\displaystyle C} on konstandid, kusjuures A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} ei võrdu samaaegselt nulliga. Sirge võrrand tasandil: 4 x − 1 y − 1 = 0  ehk  y = 4 x − 1 {\displaystyle 4x-1y-1=0{\text{ ehk }}y=4x-1} Kasutatakse üldvõrrandi A x + B y + C = 0 {\displaystyle Ax+By+C=0} parameetrilist kuju L = { x = x 0 + t a y = y 0 + t b , kus  t ∈ R {\displaystyle L=\left\{{\begin{array}{c}x=x_{0}+ta\\y=y_{0}+tb\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} } R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} , kus sirge on määratud 2 vektori kaudu α = ( 2 4 )  ja  β = ( 3 3 ) {\displaystyle \alpha =\left({\begin{array}{c}2\\4\end{array}}\right){\text{ ja }}\beta =\left({\begin{array}{c}3\\3\end{array}}\right)}  : L = a + t ( β − α → ) ,  kus  t ∈ R = ( 2 + t 4 − t ) ,  kus  t ∈ R {\displaystyle L={a+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}2+t\\4-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }} või L = b + t ( β − α → ) ,  kus  t ∈ R = ( 3 + t 3 − t ) ,  kus  t ∈ R {\displaystyle L={b+t({\overrightarrow {\beta -\alpha }}),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }={\left({\begin{array}{c}3+t\\3-t\end{array}}\right),{\text{ kus }}t\in \mathbb {R} }} Lisaks eelnimetatule on võimalik parameetrilist kuju tähistada, kui parameetrilisi võrrandeid L = { x 1 = a 1 + t s 1 x 2 = a 2 + t s 2 , kus  t ∈ R = { x 1 = 3 + t x 2 = 3 − t , kus  t ∈ R {\displaystyle L=\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=a_{1}+ts_{1}\\x_{2}=a_{2}+ts_{2}\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} =\left\{{\begin{array}{c}x_{1}=3+t\\x_{2}=3-t\end{array}}\right.{\text{, kus }}t\in \mathbb {R} } ja (Descartesi kujul) ehk kanoonilisel kujul x 1 − a 1 s 1 = x 2 − a 2 s 2 → x 1 − 2 1 = x 2 − 4 − 1 → x 1 = − x 2 + 6 {\displaystyle {\frac {x_{1}-a_{1}}{s_{1}}}={\frac {x_{2}-a_{2}}{s_{2}}}\to {\frac {x_{1}-2}{1}}={\frac {x_{2}-4}{-1}}\to x_{1}=-x_{2}+6} Võrrandiga y = 4 x − 1 {\displaystyle y=4x-1} määratud sirge. Parameetrilise võrranditega x 1 = 3 + t {\displaystyle x_{1}=3+t} , . x 2 = 3 − t {\displaystyle .x_{2}=3-t} määratud sirge. Sirged tasandil. Olgu antud sirged u {\displaystyle u} ja v {\displaystyle v} , ning nendele vastavad sihivektorid s → 1 {\displaystyle {\vec {s}}_{1}} ja s → 2 {\displaystyle {\vec {s}}_{2}} . Sirged on risti parajasti siis, kui nende sihivektorite tadamskalaarkorrutis on 0 {\displaystyle 0} : s → 1 ⋅ s → 2 = 0 {\displaystyle {\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}=0} Sirged on paralleelsed parajasti siis, kui nende sihivektorite skalaarkorrutise moodul on 1 {\displaystyle 1} : | s → 1 ⋅ s → 2 | = 1 {\displaystyle |{\vec {s}}_{1}\cdot {\vec {s}}_{2}|=1} Eukleidese geomeetrias läbib kahte eri punkti parajasti üks sirge. Tõusu (k) ja algordinaadiga (a) määratud sirge võrrand tasandil: y = k x + a {\displaystyle y=kx+a} . Kahe punktiga määratud sirge võrrand tasandil: y − y 1 y 2 − y 1 = x − x 1 x 2 − x 1 {\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}} . Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand tasandil: y − y 1 s y = x − x 1 s x {\displaystyle {\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}} . Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand tasandil: y − y 1 = k ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1})} . Kahe tasandi Π 1 : n 1 ⋅ r = h 1 {\displaystyle \Pi _{1}:\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {r} =h_{1}} ja Π 2 : n 2 ⋅ r = h 2 {\displaystyle \Pi _{2}:\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {r} =h_{2}} lõike sirge, kus n i {\displaystyle \mathbf {n} _{i}} on normaal vektor, on antud r = ( c 1 n 1 + c 2 n 2 ) + λ ( n 1 × n 2 ) {\displaystyle \mathbf {r} =(c_{1}\mathbf {n} _{1}+c_{2}\mathbf {n} _{2})+\lambda (\mathbf {n} _{1}\times \mathbf {n} _{2})} kus c 1 = h 1 − h 2 ( n 1 ⋅ n 2 ) 1 − ( n 1 ⋅ n 2 ) 2 {\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}} c 2 = h 2 − h 1 ( n 1 ⋅ n 2 ) 1 − ( n 1 ⋅ n 2 ) 2 . {\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})}{1-(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2})^{2}}}.} Olgu antud sirge u {\displaystyle u} ja punkt D ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle D(x_{1};y_{1};z_{1})} . Olgu sirge u {\displaystyle u} sihivektoriks s → = ( s x ; s y ; s z ) {\displaystyle {\overrightarrow {s}}=(s_{x};s_{y};s_{z})} , siis leiame punkti X = ( x ; y ; z ) {\displaystyle X=(x;y;z)} sirgel, mis asub sirgel u {\displaystyle u} ja mille kaugus on vähim punkti D ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle D(x_{1};y_{1};z_{1})} . Selleks lahendame võrrandid : x − x 1 s x = y − y 1 s y = z − z 1 s z {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{s_{x}}}={\frac {y-y_{1}}{s_{y}}}={\frac {z-z_{1}}{s_{z}}}} Siis leiame vektori D X → {\displaystyle {\overrightarrow {DX}}} ja selle pikkuse r = | | D X → | | {\displaystyle r=\left|\left|{\overrightarrow {DX}}\right|\right|} , mis on punkti kaugus sirgest: r = ( x − x 1 ) 2 + ( y − y 1 ) 2 + ( z − z 1 ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {\left(x-x_{1}\right){}^{2}+\left(y-y_{1}\right){}^{2}+\left(z-z_{1}\right){}^{2}}}} Olgu antud sirged u {\displaystyle u} ja v {\displaystyle v} . Sellest leiame vastavad sihivektorid s 1 → {\displaystyle {\overrightarrow {s_{1}}}} ning s 2 → {\displaystyle {\overrightarrow {s_{2}}}} ja suvalised punktid mõlemal sirgel vastavalt A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} . ϱ = | | s 1 → × AB → | | | | s 1 → | | {\displaystyle \varrho ={\frac {\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\right|\right|}}} ϱ ( u , v ) = | ( s 1 → × s 2 → ) ⋅ AB → | | | s 1 → × s 2 → | | {\displaystyle \varrho (u,v)={\frac {\left|({\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}})\cdot {\overrightarrow {\text{AB}}}\right|}{\left|\left|{\overrightarrow {s_{1}}}\times {\overrightarrow {s_{2}}}\right|\right|}}} y − y 1 = ( f ′ ( x ) ) ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}={\frac {}{}}(f'(x))(x-x_{1})} y − y 1 = ( − 1 f ′ ( x ) ) ( x − x 1 ) {\displaystyle y-y_{1}=\left({\frac {-1}{f'(x)}}\right)(x-x_{1})} Tuletis Punkt Sirgete lõikumine Kiir Lõik "Geometry > Line Geometry > Lines > Definition". 2010. Vaadatud 27.12.2010. "Geometry > Line Geometry > Lines > Parametric form". 2010. Vaadatud 27.12.2010. "Linear Algebra: Parametric Representations of Lines". 2010. Originaali arhiivikoopia seisuga 14.09.2011. Vaadatud 27.12.2010.