Korpus (matemaatika)

Olgu K mingi hulk, mis sisaldab vähemalt kaks elementi. Olgu K-s määratud ka kaks arvutustehet, mida tähistatakse kas või pluss- ja korrutusmärgiga (+ ja ·). See tähendab, et "+" seab igale kahele K elemendile x ja y vastavusse ühe kindla K elemendi, mida nimetatakse x ja y summaks ning tähistatakse x+y-ga; samuti seab "·" neile kahele elemendile vastavusse ühe K elemendi, mida nimetatakse x ja y korrutiseks ning tähistatakse x·y-ga (või lihtsamalt xy-ga). Selline hulk K oma kahe arvutustehtega on korpus ehk kommutatiivne korpus, kui sellel on kõik järgmised omadused: x+(y+z) = (x+y)+z   alati   (+-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus) K-st leidub selline element 0, et alati kehtib   0+x = x Igal elemendil x on K-s oma "vastandelement" −x nii, et   −x+x = 0 x+y = y+x   alati   (+-i kommutatiivsus ehk vahetuvus) x·(y+z) = x·y+x·z   alati   (I distributiivsus ehk jaotuvus) x·(y·z) = (x·y)·z   alati   (·-i assotsiatiivsus ehk ühenduvus) K-st leidub teinegi eriline element 1 nii, et alati kehtib   1·x = x Igal elemendil x peale 0-i on K-s oma "pöördelement" x´ nii, et   x´·x = 1 x·y = y·x   alati   (·-i kommutatiivsus ehk vahetuvus) Ehkki nimetused (liitmine, korrutamine, summa, korrutis) tekitavad kujutluse, et korpuses mängitakse arvudega, ei ole asi vältimatult nii: elementideks võivad olla muudki objektid peale arvude. Nulliga (0) tähistatud element ei pruugi olla arv null, vaid see on lihtsalt nullelement, st liitmise neutraalne element. Samuti ei ole ühega (1) tähistatud mitte arv üks, vaid ühikelement, korrutamise neutraalne element. Tõsi küll, just need üheksa omadust on reaalarvudel. Niisiis moodustavad reaalarvud korpuse (reaalarvude korpuse). See, et kõik korpused ei koosne arvudest, nähtub järgmisest näitest. Siin on elementideks ainult kaks sõna, paaris ja paaritu. Elementide hulk K on niisiis väga väike: {paaris, paaritu}. Kas sõnadega saab sooritada tehteid? Saab küll, kui lepitakse kokku näiteks järgmised tulemid: paaris+paaris = paaris,   paaris·paaris = paaris paaritu+paaritu = paaris,   paaritu·paaritu = paaritu paaris+paaritu = paaritu,   paaris·paaritu = paaris paaritu+paaris = paaritu,   paaritu·paaris = paaris Kõik võimalikud arvutused saavad sooritatud, ja tulemused ei tundu sugugi olevat rumalad! Pandagu eriti tähele, et paaris+x = x, olgu x kumb tahes, ja  paaritu·x = x, olgu x kumb tahes. Seega vastab paaris 2. punkti "nullelemendile" 0 ja paaritu 7. punkti "ühikelemendile" 1. Hulgas K = {paaris, paaritu} = {0, 1} on võimalik tõestada ka kõikide teiste punktide kehtivust. Järelikult on tegemist korpusega. See korpus kuulub lõplike korpuste ehk Galois' korpuste sekka. Pange muide tähele, et selles korpuses 1+1 = 0; seal pole olemas mingit "kahte"! Korpused on korpuseteooria põhiline uurimisobjekt. Korpuste tuntud näited on ratsionaalarvude korpus, reaalarvude korpus, kompleksarvude korpus ja jäägiklassiringid mod p, kus p on algarv. Korpus on algebraline struktuur hulgal F {\displaystyle F} , mis moodustab liitmise + {\displaystyle +} suhtes hulgal F {\displaystyle F} kommutatiivse rühma neutraalse elemendiga 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} ning mille 0 {\displaystyle {\boldsymbol {0}}} -ist erinevad elemendid hulgast F ∖ { 0 } ) {\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\})} moodustavad korrutamise suhtes kommutatiivse rühma, kusjuures korrutamine on liitmise suhtes distributiivne. Täpsemalt, hulka F {\displaystyle F} koos sellel defineeritud algebraliste tehete liitmise + {\displaystyle +} ja korrutamisega ∗ {\displaystyle *} ( + : F × F → F , ∗ : F × F → F {\displaystyle +\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F} , st ∀ a , b ∈ F ( a + b ) ∈ F , a ∗ b ∈ F {\displaystyle \forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F} ) nimetatakse korpuseks ⟨ F , + , ∗ ⟩ {\displaystyle \left\langle F,+,*\right\rangle } , kui on täidetud järgmised aksioomid: Liitmise kommutatiivsus: ∀ a , b ∈ F a + b = b + a {\displaystyle \forall a,b\in F\quad a+b=b+a} . Liitmise assotsiatiivsus: ∀ a , b , c ∈ F ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)} . Nullelemendi olemasolu: ∃ 0 ∈ F : ∀ a ∈ F a + 0 = 0 + a = a {\displaystyle \exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}={\boldsymbol {0}}+a=a} . Vastandelemendi olemasolu: ∀ a ∈ F ∃ ( − a ) ∈ F : a + ( − a ) = 0 {\displaystyle \forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}} . Korrutamise kommutatiivsus: ∀ a , b ∈ F a ∗ b = b ∗ a {\displaystyle \forall a,b\in F\quad a*b=b*a} . Korrutamise assotsiatiivsus: ∀ a , b , c ∈ F ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)} . Ühikelemendi olemasolu: ∃ e ∈ F ∖ { 0 } : ∀ a ∈ F a ∗ e = a {\displaystyle \exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a} . Pöördelemendi olemasolu nullelemendist erinevatel elementidel: ( ∀ a ∈ F : a ≠ 0 ) ∃ a − 1 ∈ F : a ∗ a − 1 = e {\displaystyle (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e} . Korrutamise distributiivsus liitmise suhtes: ∀ a , b , c ∈ F ( a + b ) ∗ c = ( a ∗ c ) + ( b ∗ c ) {\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)} . Aksioomid 1–4 vastavad kommutatiivse rühma definitsioonile hulga F {\displaystyle F} elementide liitmise + {\displaystyle +} suhtes, aksioomid 5–8 vastavad kommutatiivse rühma definitsioonile hulga F ∖ { 0 } {\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}} elementide korrutamise ∗ {\displaystyle *} suhtes ja аksioom 9 seob liitmise ja korrutamise distributiivsusseadusega. Aksioomid 1–7 ja 9 on ühikelemendiga assotsiatiivse kommutatiivse ringi definitsioon. Kui korrutamise kommutatiivsuse aksioom välja jätta, saame kaldkorpuse definitsiooni. Seoses teiste (ajalooliselt hiljem vaatluse alla võetud) struktuuridega saab korpust defineerida kui assotsiatiivset kommutatiivset ringi, mis on kaldkorpus. Struktuuride hierarhia on järgmine: Ühikelemendiga assotsiatiivsed kommutatiivsed ringid ⊃ Integriteetkonnad ⊃ Faktoriaalringid ⊃ Peaideaaliringid ⊃ Eukleidilised ringid ⊃ Korpused. Korpuse alamkorpus on korpuse alamhulk, mis on põhikorpuse tehete ahendite suhtes korpus. Põhikorpus on oma alamkorpuse laiend. Korpuste homomorfism on niisugune kujutus f {\displaystyle f} ühest korpusest teise, et f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)} , f ( a b ) = f ( a ) ⋅ f ( b ) {\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)} ja f ( 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=1} . Ükski pööratav element ei saa kujutuda nullelemendiks, sest f ( a ) ⋅ f ( a − 1 ) = f ( a ⋅ a − 1 ) = 1 {\displaystyle f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1} , järelikult iga homomorfismi tuum koosneb nullelemendist, seega korpuste homomorfism on sisestus. Korpuse karakteristik on sama mis ringi karakteristik, nimelt vähim niisugune positiivne täisarv n {\displaystyle n} , et ühikelemendi n {\displaystyle n} -kordne summa iseendaga on nullelement: 1 + ⋯ + 1 ⏟ n = n 1 = 0. {\displaystyle \underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.} Kui niisugust arvu ei ole, siis korpuse karakteristikuks loetakse 0. Galois' korpused on korpused, millel on lõplik arv elemente. Need on nime saanud Évariste Galois' järgi, kes neid esimesena uuris. Korpuse mõiste raames töötas implitsiitselt Évariste Galois 1830. aastal (sellest sai alguse Galois' teooria). Kasutades korpuse algebralise laiendi ideed, leidis ta selle piisava ja tarviliku tingimuse, et ühe muutuja võrrand oleks radikaalides lahenduv. Hiljem näidati Galois' teooria abil, et võimatu on lahendada selliseid klassikalisi ülesandeid nagu ringi kvadratuur, nurga trisektsioon ja kuubi duplikatsioon. Korpuse mõiste eksplitsiitne kasutuselevõtmine omistatakse Richard Dedekindile, kes nimetas seda algul ratsionaalseks väljaks (korpuseks hakati seda nimetama 1871. aastal). Et korpuse mõiste on üldalgebra mõistete seas tavalistele arvudele kõige lähem, kasutatakse lineaaralgebras korpust kui struktuuri, mis universaliseerib skalaari mõister, ja lineaaralgebra põhistruktuur vektorruum defineeritakse konstruktsioonina üle mis tahes korpuse. Korpuseteooria on suuresti ka algebralise geomeetria ja algebralise arvuteooria aluseks.