Üldisuskvantor

Üldisuskvantor (sümbol ∀ {\displaystyle \forall } ) on predikaatloogikas sümbol, mille abil väljendatakse, et miski on tõsi kõige kohta (või kõige asjasse puutuva kohta). Olgu meil tarvis öelda, et 2·0 = 0 + 0 ja 2·1 = 1 + 1 ja 2·2 = 2 + 2 jne. See meenutab konjunktsiooni, sest kordub sõna "ja". Aga "ja nii edasi" ei ole väljendatav konjunktsiooni abil. Öeldut võib ümber sõnastada nii: Mis tahes (või: iga) naturaalarvu n korral 2·n = n + n. Fraas "mis tahes ... korral" on siin üldisuskvantori rollis. See ümbersõnastus on õigupoolest täpsem kui algne, sest väljend "ja nii edasi" ei ütle, et jutt on just kõigist naturaalarvudest. See lause väljendab tõest propositsiooni, sest muutuja n võib valemis "2·n = n + n" asendada mis tahes naturaalarvuga, ning iga kord saame tõese võrduse. Seevastu lause "Mis tahes naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n" väljendab väära propositsiooni, sest kui asendada n näiteks 1-ga, saame väära väite "2·1 > 2 + 1". See ei loe, et "2·n > 2 + n" on enamiku naturaalarvude n puhul tõene: ühestainsast vastunäitest piisab, et tõestada üldisuskvantori abil väljendatud propositsiooni väärust. Küll aga on tõene "Mis tahes kordarvust naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n", sest ühtki vastunäidetest ei anna kordarv. See näitab, et tähtis on universum, millest muutuja n väärtused tuleb võtta. Etteantud universumi korral saab võimalike väärtuste piiramiseks kasutada materiaalset implikatsiooni: näiteks lause "Mis tahes kordarvust naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n" on loogiliselt ekvivalentne lausega "Mis tahes naturaalarvu n korral kui n on kordarv, siis 2·n > 2 + n". Väljend "kui ... siis" väljendab siin materiaalset implikatsiooni. Predikaatloogikas on kasutusel sümbol ∀ {\displaystyle \forall } . Kui P(n) on predikaat "2·n > 2 + n" ja N on naturaalarvude hulk, siis ∀ n ∈ N P ( n ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)} väljendab (väära) väidet Mis tahes naturaalarvu n korral 2·n > 2 + n. Analoogselt, kui Q(n) on predikaat "n on kordarv", siis ∀ n ∈ N ( Q ( n ) → P ( n ) ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;{\bigl (}Q(n)\rightarrow P(n){\bigr )}} väljendab (tõest) väidet: Mis tahes naturaalarvu n korral kui n on kordarv, siis 2 ·n > 2 + n. Mõnikord kasutatakse tähistust, milles ∀ n ∈ N P ( n ) {\displaystyle \forall n\!\in \!\mathbb {N} \;P(n)} asemel kirjutatakse ( n ∈ N ) P ( n ) {\displaystyle (n{\in }\mathbb {N} )\,P(n)} , seega piirdutakse sulgudega. Üldisuskvantori abil saadakse väide; seda saab ka eitada. Eitust märgitakse sümboliga ¬   {\displaystyle \lnot \ } . Olgu näiteks P(x) lausefunktsioon "x on abielus" ning olgu universumiks kõigi elavate inimeste hulk X. Vaatleme väidet "Mis tahes elava inimese x korral x on abielus": ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)} Et tegemist on väära väitega, siis tõene väide oleks "Ei pea paika, et mis tahes elava inimese x korral x on abielus": ¬   ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)} . Kui väide ei ole tõene universumi iga elemendi korral, siis peab olema vähemalt üks element, mille korral see väide on väär. Seega on väite ∀ x ∈ X P ( x ) {\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)} eitus loogiliselt ekvivalentne väitega "Eksisteerib niisugune elav inimene x, et x ei ole abielus: ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)} Üldiselt saabki lausefunktsiooni ja üldisuskvantori abil väljendatud väidet väljendada selle lausefunktsiooni eituse ning olemasolukvantori abil: ¬   ∀ x ∈ X P ( x ) ≡   ∃ x ∈ X ¬ P ( x ) {\displaystyle \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)} Kvantor Olemasolukvantor Matemaatikas on niisugune universumi eksplitsiitne märkimine tavaline; loogikas seda tavaliselt ei tehta.