Ruutvõrrand

Ruutvõrrand on algebraline võrrand üldkujuga a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , kus x {\displaystyle x} on tundmatu ning a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} on arvud, kusjuures a ≠ 0 {\displaystyle a\not =0} . Ruutvõrrandi lahendivalem on x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} . Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandil on reaalarvude hulgas alati kas kaks erinevat, kaks kokkulangevat või mitte ühtegi lahendit. Geomeetrilises tõlgenduses asuvad ruutvõrrandi lahendid kohtadel, kus ruutfunktsiooni y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} graafik lõikab x {\displaystyle x} -telge. Ruutvõrrand on võrrand kujul a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} , kus x {\displaystyle x} on tundmatu ehk otsitav ning a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} on antud arvud, kusjuures a ≠ 0 {\displaystyle a\not =0} . Võrrandi vasaku poole avaldises on a x 2 {\displaystyle ax^{2}} ruutliige ehk pealiige, b x {\displaystyle bx} lineaarliige ja c {\displaystyle c} vabaliige. Arvud a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} on ruutvõrrandi kordajad, sealhulgas a {\displaystyle a} on ruutliikme kordaja ja b {\displaystyle b} lineaarliikme kordaja. Näiteks 3 x 2 − 2 x + 1 = 0 {\displaystyle 3x^{2}-2x+1=0} on ruutvõrrand, kus a = 3 {\displaystyle a=3} , b = − 2 {\displaystyle b=-2} ja c = 1 {\displaystyle c=1} . Taandatud ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille ruutliikme kordaja on 1 {\displaystyle 1} . Taandatud ruutvõrrandi kuju on x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} . Iga ruutvõrrandi saab teisendada samaväärseks taandatud ruutvõrrandiks, jagades võrrandi pooled läbi ruutliikme kordajaga. Et ruutliikme kordaja erineb nullist, siis on see alati võimalik. Ruutvõrrandit, mille ruutliikme kordaja ei ole 1 {\displaystyle 1} , nimetatakse taandamata ruutvõrrandiks. Näiteks x 2 − 3 x − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-3x-2=0} on taandatud ruutvõrrand, seevastu − x 2 + x + 1 = 0 {\displaystyle -x^{2}+x+1=0} on taandamata ruutvõrrand, sest selles on ruutliikme kordaja − 1 {\displaystyle -1} . Täielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille kõik kordajad on nullist erinevad. Mittetäielik ruutvõrrand on ruutvõrrand, mille mõni kordaja on null. Mittetäielikus ruutvõrrandis võib null olla kas lineaarliikme kordaja, vabaliikme kordaja või mõlemad. Vastavalt sellele on mittetäielikul ruutvõrrandil kolm võimalikku kuju: a x 2 + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+c=0} , a x 2 + b x = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx=0} või a x 2 = 0 {\displaystyle ax^{2}=0} . Ruutvõrrandi lahend on tundmatu x {\displaystyle x} iga selline väärtus, millega tundmatut väärtustades võrrand kehtib. Näiteks ruutvõrrandi x 2 − x − 6 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-6=0} lahend on x = 3 {\displaystyle x=3} , sest 3 2 − 3 − 6 = 0 {\displaystyle 3^{2}-3-6=0} . Samuti on selle ruutvõrrandi lahend x = − 2 {\displaystyle x=-2} , sest ( − 2 ) 2 − ( − 2 ) − 6 = 0 {\displaystyle (-2)^{2}-(-2)-6=0} . Ruutvõrrand on teist järku algebraline võrrand, mis tähendab, et võrrandi vasak pool on polünoom, mille aste on 2 {\displaystyle 2} . Seda polünoomi nimetatakse ka ruutpolünoomiks ehk ruutkolmliikmeks. Üldkujulise ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahendid saab leida valemist x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} . See valem annab kaks lahendit x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} , millest ühe arvutamisel valitakse valemi lugejas märk + {\displaystyle +} , teise arvutamisel aga − {\displaystyle -} . Näiteks ruutvõrrandi 2 x 2 + 5 x − 3 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+5x-3=0} lahendid on x 1 , 2 = − 5 ± 5 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( − 3 ) 2 ⋅ 2 = − 5 ± 7 4 {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-5\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 2\cdot (-3)}}}{2\cdot 2}}={\frac {-5\pm 7}{4}}} , seega x 1 = − 5 + 7 4 = 1 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {-5+7}{4}}={\frac {1}{2}}} ja x 2 = − 5 − 7 4 = − 3 {\displaystyle x_{2}={\frac {-5-7}{4}}=-3} . Lahendivalemi tuletamiseks lähtume võrdusest a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} . Viime c {\displaystyle c} paremale poole: a x 2 + b x = − c {\displaystyle ax^{2}+bx=-c} . Korrutame pooli suurusega 4 a {\displaystyle 4a} : 4 a 2 x 2 + 4 a b x = − 4 a c {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx=-4ac} . Liidame mõlemale poolele b 2 {\displaystyle b^{2}} : 4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = b 2 − 4 a c {\displaystyle 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=b^{2}-4ac} . Vasaku poole saame nüüd kirjutada täisruuduna: ( 2 a x + b ) 2 = b 2 − 4 a c {\displaystyle (2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac} . Järelikult 2 a x + b = ± b 2 − 4 a c {\displaystyle 2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}} , millest avaldame otsitava x {\displaystyle x} : x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} . Taandatud ruutvõrrandi x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} lahendid saab leida valemist x 1 , 2 = − p 2 ± ( p 2 ) 2 − q {\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}} . Näiteks võrrandi x 2 + 2 x − 8 = 0 {\displaystyle x^{2}+2x-8=0} lahendid on x 1 , 2 = − 1 ± 1 2 − ( − 8 ) = − 1 ± 3 {\displaystyle x_{1,2}=-1\pm {\sqrt {1^{2}-(-8)}}=-1\pm 3} , millest x 1 = 2 {\displaystyle x_{1}=2} ja x 2 = − 4 {\displaystyle x_{2}=-4} . Taandatud ruutvõrrandi lahendivalem järeldub vahetult üldkujulise ruutvõrrandi lahendivalemist, kui seal panna a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} asemele vastavalt taandatud ruutvõrrandi kordajad 1 {\displaystyle 1} , p {\displaystyle p} ja q {\displaystyle q} ning viia nimetaja 2 {\displaystyle 2} juuremärgi alla. Ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahendivalemis ruutjuure märgi all olevat avaldist D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} nimetatakse selle ruutvõrrandi diskriminandiks. Reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi erinevate reaalarvuliste lahendite arv sõltub diskriminandi märgist. Kui D > 0 {\displaystyle D>0} , siis on võrrandil kaks erinevat reaalarvulist lahendit x 1 = − b + D 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}} ja x 1 = − b − D 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}} . Kui D = 0 {\displaystyle D=0} , siis on võrrandil kaks kokkulangevat reaalarvulist lahendit x 1 = x 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{1}=x_{2}=-{\frac {b}{2a}}} . Kui D < 0 {\displaystyle D<0} , siis võrrandil reaalarvulisi lahendeid ei ole. Diskriminandi märgi järgi saab kindlaks teha reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi reaalarvuliste lahendite arvu ilma võrrandit lahendamata. Näiteks võrrandil 2 x 2 − 6 x + 5 = 0 {\displaystyle 2x^{2}-6x+5=0} puuduvad reaalarvulised lahendid, sest D = ( − 6 ) 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 = − 4 < 0 {\displaystyle D=(-6)^{2}-4\cdot 2\cdot 5=-4<0} . Ruutvõrrandil leidub reaalarvulisi lahendeid kindlasti siis, kui a {\displaystyle a} ja c {\displaystyle c} on erineva märgiga, sest sel juhul on diskriminant kindlasti positiivne. Geomeetriliselt vastavad ruutvõrrandi lahenditele ruutfunktsiooni lõikepunktid x {\displaystyle x} -teljega. Kui ruutvõrrandi diskriminant on positiivne, siis lõikab ruutfunktsiooni y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} graafik x {\displaystyle x} -telge kahes erinevas punktis, nulliga võrduva diskriminandi puhul puutub graafik x {\displaystyle x} -telge ühes punktis ning negatiivse diskriminandi puhul graafikul lõikepunkte x {\displaystyle x} -teljega pole. Arv x ∗ {\displaystyle x_{*}} on ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahend parajasti siis, kui avaldis x − x ∗ {\displaystyle x-x_{*}} on avaldise a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} tegur. Siit järeldub, et kui x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} on ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahendid, siis esitub ruutkolmliige lineaartegurite korrutisena a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})} . Kui ruutvõrrand on taandatud, siis on sellel võrdusel kuju x 2 + p x + q = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {\displaystyle x^{2}+px+q=(x-x_{1})(x-x_{2})} . Need võrdused kehtivad ka juhul x 1 = x 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}} . Kui on teada ruutkolmliikme tegurdatud kuju, siis saab sellest otse välja lugeda ruutvõrrandi lahendid. Näiteks teades, et x 2 + 5 x + 4 = ( x + 4 ) ( x + 1 ) {\displaystyle x^{2}+5x+4=(x+4)(x+1)} , võime järeldada, et ruutvõrrandi x 2 + 5 x + 4 = 0 {\displaystyle x^{2}+5x+4=0} lahendid on x 1 = − 4 {\displaystyle x_{1}=-4} ja x 2 = − 1 {\displaystyle x_{2}=-1} . Üldkujulise ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahendid x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} rahuldavad võrdusi x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}} , x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} . Taandatud ruutvõrrandi x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} lahendid x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} rahuldavad võrdusi x 1 + x 2 = − p {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-p} , x 1 x 2 = q {\displaystyle x_{1}x_{2}=q} . Need valemid avastas 16. sajandil prantsuse matemaatik François Viète, kelle järgi nad on ka nime saanud. Kehtib ka vastupidine: kui x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} rahuldavad nimetatud võrdusi, siis on need arvud vastava ruutvõrrandi lahendid. Viète'i valemid järelduvad vahetult ruutpolünoomi esitusest lineaartegurite korrutisena, kui seal sulud lahti korrutada. Nimelt, kui x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} on ruutvõrrandi lahendid, siis a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = a x 2 − a ( x 1 + x 2 ) x + a x 1 x 2 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}} . Et kaks polünoomi on võrdsed parajasti siis, kui vastavate liikmete kordajad on võrdsed, siis saame esimeses ja viimases avaldises lineaarliikmeid ja vabaliikmeid võrreldes seosed b = − a ( x 1 + x 2 ) {\displaystyle b=-a(x_{1}+x_{2})} ja c = a x 1 x 2 {\displaystyle c=ax_{1}x_{2}} . Nendest tulenevad Viète'i valemid üldkujulise ruutvõrrandi jaoks. Viète'i valemid taandatud ruutvõrrandi jaoks saame erijuhul a = 1 {\displaystyle a=1} , b = p {\displaystyle b=p} , c = q {\displaystyle c=q} . Praktikas võimaldavad Viète'i valemid ruutvõrrandi lahendite õigsust kontrollida. Samuti aitavad nad mõnel juhul võrrandit peast lahendada. Näiteks ruutvõrrandi x 2 − 8 x + 12 = 0 {\displaystyle x^{2}-8x+12=0} lahendamisel on vaja leida arvud x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} , mille puhul x 1 + x 2 = 8 {\displaystyle x_{1}+x_{2}=8} ja x 1 x 2 = 12 {\displaystyle x_{1}x_{2}=12} . Need arvud on x 1 = 2 {\displaystyle x_{1}=2} ja x 2 = 6 {\displaystyle x_{2}=6} . Viète'i valemite abil saab lihtsasti leida ruutfunktsiooni y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c} graafiku haripunkti. Et graafik on sümmeetriline haripunkti läbiva vertikaalsirge suhtes, siis on haripunkti x {\displaystyle x} -koordinaat ruutvõrrandi lahendite aritmeetiline keskmine: x H = x 1 + x 2 2 = − b 2 a {\displaystyle x_{H}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}=-{\frac {b}{2a}}} . Haripunkti y {\displaystyle y} -koordinaadi saame seejärel arvutada ruutfunktsiooni väärtusena leitud argumendil: y H = a ( − b 2 a ) 2 + b ( − b 2 a ) + c = c − b 2 4 a {\displaystyle y_{H}=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}} . Viimaste valemite lõppkujud kehtivad olenemata sellest, mitu reaalarvulist lahendit ruutvõrrandil on. Haripunkti koordinaatide teadmine on mõnikord kasulik ruutfunktsiooni graafiku joonestamisel. Viète'i valemeid saab üldistada ükskõik millise astmega polünoomi juhule. Kui reaalarvuliste kordajatega ruutvõrrandi diskriminant D {\displaystyle D} on negatiivne, siis võrrandil puuduvad reaalarvulised lahendid, aga on olemas kompleksarvulised lahendid. Kui D < 0 {\displaystyle D<0} , siis ruutvõrrandi lahendivalemis on D = i − D {\displaystyle {\sqrt {D}}=i{\sqrt {-D}}} , kus i {\displaystyle i} on imaginaarühik, ning üldkujulise ruutvõrrandi lahendid avalduvad valemiga x 1 , 2 = − b ± i − D 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {-D}}}{2a}}} . Need lahendid on teineteise kaaskompleksid. Näiteks võrrandi 4 x 2 − 4 x + 5 = 0 {\displaystyle 4x^{2}-4x+5=0} puhul on D = ( − 4 ) 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ 5 = − 64 {\displaystyle D=(-4)^{2}-4\cdot 4\cdot 5=-64} . Võrrandi lahendid on seega x 1 , 2 = 4 ± i 64 2 ⋅ 4 = 1 2 ± i {\displaystyle x_{1,2}={\frac {4\pm i{\sqrt {64}}}{2\cdot 4}}={\frac {1}{2}}\pm i} . Lahendite järgi saab vasaku poole esitada lineaartegurite korrutisena, ülaltoodud näites 4 x 2 − 4 x + 5 = 4 ( x − 1 2 − i ) ( x − 1 2 + i ) = ( 2 x − 1 − 2 i ) ( 2 x − 1 + 2 i ) {\displaystyle 4x^{2}-4x+5=4{\Bigl (}x-{\frac {1}{2}}-i{\Bigr )}{\Bigl (}x-{\frac {1}{2}}+i{\Bigr )}=(2x-1-2i)(2x-1+2i)} . Kuigi iga ruutvõrrandit saab lahendada lahendivalemi abil, on teinekord otstarbekam kasutada mõnda muud meetodit, mis nõuab vähem arvutustööd. Mittetäieliku ruutvõrrandi lahendeid on võimalik leida võrrandi teisendamise teel. Võrrandi a x 2 + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+c=0} viime kujule a x 2 = − c {\displaystyle ax^{2}=-c} , millest x 2 = − c a {\displaystyle x^{2}=-{\frac {c}{a}}} . Järelikult võrrandi lahendid on x 1 = − c a {\displaystyle x_{1}={\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}} ja x 2 = − − c a {\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {-{\frac {c}{a}}}}} . Võrrandi a x 2 + b x = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx=0} viime kujule x ( a x + b ) = 0 {\displaystyle x(ax+b)=0} . Järelikult võrrandi lahendid on x 1 = 0 {\displaystyle x_{1}=0} ja x 2 = − b a {\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{a}}} . Võrrandi a x 2 = 0 {\displaystyle ax^{2}=0} lahendid on x 1 = x 2 = 0 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=0} . Mõnikord kehtib võrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} kordajate vahel seos, mille alusel saab võrrandi lahendid otse välja kirjutada. Levinuimad nendest seostest on järgmised. Võrrandi kordajate summa on null. Sellise võrrandi lahendiks on x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} , sest asetades selle võrrandisse, saame võrduse a + b + c = 0 {\displaystyle a+b+c=0} . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal x 2 = c a {\displaystyle x_{2}={\frac {c}{a}}} . Seega võrrandi x 2 + 4 x − 5 = 0 {\displaystyle x^{2}+4x-5=0} lahendid on x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} ja x 2 = − 5 {\displaystyle x_{2}=-5} , võrrandi 3 x 2 − 5 x + 2 = 0 {\displaystyle 3x^{2}-5x+2=0} lahendid aga x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} ja x 2 = 2 3 {\displaystyle x_{2}={\frac {2}{3}}} . Võrrandi lineaarliikme kordaja võrdub kahe ülejäänud kordaja summaga. Sellise võrrandi lahendiks on x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1} , sest asetades selle võrrandisse, saame a − b + c = 0 {\displaystyle a-b+c=0} ehk b = a + c {\displaystyle b=a+c} . Teine lahend on Viète'i valemite põhjal x 2 = − c a {\displaystyle x_{2}=-{\frac {c}{a}}} . Näiteks võrrandi 5 x 2 − 2 x − 7 = 0 {\displaystyle 5x^{2}-2x-7=0} lahendid on x 1 = − 1 {\displaystyle x_{1}=-1} ja x 2 = 7 5 {\displaystyle x_{2}={\frac {7}{5}}} . Viimaseid seoseid saab üldistada ka kõrgemat järku võrranditele. Vaatleme kõigepealt taandatud ruutvõrrandit x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} . Tegurdamismeetodi puhul püütakse lahutada võrrandi vasak pool lineaartegurite korrutiseks ja viia võrrand kujule ( x + m ) ( x + n ) = 0 {\displaystyle (x+m)(x+n)=0} . Et kahe arvu korrutis on null parajasti siis, kui vähemalt üks tegur on null, peab olema x + m = 0 {\displaystyle x+m=0} või x + n = 0 {\displaystyle x+n=0} . Seega üks lahend on x 1 = − m {\displaystyle x_{1}=-m} ja teine lahend x 2 = − n {\displaystyle x_{2}=-n} . Näiteks ruutvõrrandi x 2 + 2 x − 8 = 0 {\displaystyle x^{2}+2x-8=0} lahendamiseks lahutame vasaku poole teguriteks: ( x − 2 ) ( x + 4 ) = 0 {\displaystyle (x-2)(x+4)=0} . Siit saame võrrandi lahendid x 1 = 2 {\displaystyle x_{1}=2} ja x 2 = − 4 {\displaystyle x_{2}=-4} . Sobivat teguriteks lahutust aitab otsida asjaolu, et arvude m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} summa võrdub arvuga p {\displaystyle p} ja korrutis arvuga q {\displaystyle q} . Seda näeme sulge avades: ( x + m ) ( x + n ) = x 2 + ( m + n ) x + m n {\displaystyle (x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn} . Tegurdamismeetodit kasutatakse valdavalt olukorras, kus võrrandi kordajad p {\displaystyle p} ja q {\displaystyle q} on täisarvud. Kui täisarvuliste kordajatega taandatud ruutvõrrandil leidub lahendeid ratsionaalarvude seas, siis on need lahendid samuti täisarvud. Seega võime sobivate m {\displaystyle m} ja n {\displaystyle n} leidmiseks lahutada võrrandi vabaliikme q {\displaystyle q} kõikvõimalikel viisidel kahe täisarvu korrutiseks ja kontrollida, kas nende arvude summa on p {\displaystyle p} . Näiteks võrrandi x 2 + 2 x − 8 = 0 {\displaystyle x^{2}+2x-8=0} puhul vaatame läbi arvu − 8 {\displaystyle -8} teguriteks lahutused 1 ⋅ ( − 8 ) {\displaystyle 1\cdot (-8)} , 2 ⋅ ( − 4 ) {\displaystyle 2\cdot (-4)} jne, kuni leiame lahutuse ( − 2 ) ⋅ 4 {\displaystyle (-2)\cdot 4} , mille tegurite summa on 2 {\displaystyle 2} . Kui ükski variant vajalikku summat ei anna, siis võrrandil täisarvulisi ega üldse ratsionaalarvulisi lahendeid ei ole. Sel juhul on võrrandi lahendid irratsionaalarvud (või kompleksarvud). Üldkujulise ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} lahendamiseks püütakse võrrand esitada kujul ( k x + m ) ( l x + n ) = 0 {\displaystyle (kx+m)(lx+n)=0} . Siit k x + m = 0 {\displaystyle kx+m=0} või l x + n = 0 {\displaystyle lx+n=0} . Ruutvõrrandi lahendid on x 1 = − m k {\displaystyle x_{1}=-{\frac {m}{k}}} ja x 2 = − n l {\displaystyle x_{2}=-{\frac {n}{l}}} . Üldkujulise ruutvõrrandi saab teisendada tegurdamiseks sobivamaks taandatud ruutvõrrandiks kordaja üleviimise võttega. Lähtume võrrandist a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ja korrutame mõlemat poolt ruutliikme kordajaga a {\displaystyle a} : a 2 x 2 + a b x + a c = 0 {\displaystyle a^{2}x^{2}+abx+ac=0} . Toome sisse uue muutuja y = a x {\displaystyle y=ax} ning kirjutame võrrandi taandatud ruutvõrrandina y 2 + b y + a c = 0 {\displaystyle y^{2}+by+ac=0} . Saadud ruutvõrrand erineb esialgsest võrrandist ainult selle poolest, et ruutliikme kordaja a {\displaystyle a} on üle läinud vabaliikmesse. Selle võrrandi lahendamisel saame lahendid y 1 {\displaystyle y_{1}} ja y 2 {\displaystyle y_{2}} . Lähtevõrrandi lahendid on x 1 = y 1 a {\displaystyle x_{1}={\frac {y_{1}}{a}}} ja x 2 = y 2 a {\displaystyle x_{2}={\frac {y_{2}}{a}}} . Kui lähtevõrrandi kordajad a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} ja c {\displaystyle c} on täisarvud, siis on ka saadud taandatud ruutvõrrandi kordajad täisarvud. Seetõttu piisab täisarvuliste lahendite leidmiseks vaadelda arvu a c {\displaystyle ac} teguriteks lahutusi. Kui lähtevõrrandi kordajad on ratsionaalarvud, siis saame need teisendada täisarvudeks, korrutades võrrandi pooli kordajate nimetajate vähima ühiskordsega. Lahendame näiteks võrrandi 4 x 2 − 5 x − 6 = 0 {\displaystyle 4x^{2}-5x-6=0} . Kirjutame võrrandi uue tundmatu y = 4 x {\displaystyle y=4x} kaudu: y 2 − 5 y − 24 = 0 {\displaystyle y^{2}-5y-24=0} . Vaatleme vabaliikme − 24 {\displaystyle -24} teguriteks lahutusi ja proovime leida sellise lahutuse, kus tegurite summa on 5 {\displaystyle 5} . Näeme, et 1 ⋅ ( − 24 ) {\displaystyle 1\cdot (-24)} ei sobi, 2 ⋅ ( − 12 ) {\displaystyle 2\cdot (-12)} ei sobi, aga 3 ⋅ ( − 8 ) {\displaystyle 3\cdot (-8)} sobib. Järelikult y 2 − 5 y − 24 = ( y + 3 ) ( y − 8 ) {\displaystyle y^{2}-5y-24=(y+3)(y-8)} . Seega uue võrrandi lahendid on y 1 = − 3 {\displaystyle y_{1}=-3} ja y 2 = 8 {\displaystyle y_{2}=8} ning esialgse võrrandi lahendid x 1 = y 1 4 = − 3 4 {\displaystyle x_{1}={\frac {y_{1}}{4}}=-{\frac {3}{4}}} ja x 2 = y 2 4 = 2 {\displaystyle x_{2}={\frac {y_{2}}{4}}=2} . Tegurdamismeetod ei nõua ruutjuure arvutamist, kuid võimaldab efektiivselt lahendada ainult piiratud hulka võrrandeid. Täisruuduks täiendamise meetodi idee on haarata ruutvõrrandi ruutliige ja lineaarliige täisruuduks teiseneva avaldise koosseisu, kasutades ära summa ruudu valemit a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2 {\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}} . Sellega saadakse võrrand, mis sisaldab tundmatut ainult üks kord ning seda on võimalik otseste teisendustega avaldada. Taandatud ruutvõrrandi x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} lahendamiseks rakendame järgmisi samme. Viime vabaliikme paremale poole. Liidame võrrandi mõlemale poolele sellise arvu, et vasakule jääks avaldis kujul x 2 + 2 m x + m 2 {\displaystyle x^{2}+2mx+m^{2}} . Et peab kehtima 2 m = p {\displaystyle 2m=p} , siis liidetav arv on m 2 = ( p 2 ) 2 {\displaystyle m^{2}=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}} . Kirjutame vasaku poole kujul ( x + m ) 2 {\displaystyle (x+m)^{2}} . Leiame mõlemast poolest ruutjuure ja avaldame x {\displaystyle x} . Illustreerime seda lahendamiskäiku võrrandi x 2 + 6 x − 3 = 0 {\displaystyle x^{2}+6x-3=0} puhul. Kirjutame võrrandi kujul x 2 + 6 x = 3 {\displaystyle x^{2}+6x=3} . Vasak pool on täisruudu avaldise algus. Et lineaarliikme kordaja 6 {\displaystyle 6} peab olema 2 m {\displaystyle 2m} , siis m = 3 {\displaystyle m=3} . Järelikult m 2 = 9 {\displaystyle m^{2}=9} . Liidame selle mõlemale poolele: x 2 + 6 x + 9 = 12 {\displaystyle x^{2}+6x+9=12} . Vasaku poole saame esitada täisruuduna: ( x + 3 ) 2 = 12 {\displaystyle (x+3)^{2}=12} . Järelikult x + 3 = 12 = ± 2 3 {\displaystyle x+3={\sqrt {12}}=\pm 2{\sqrt {3}}} . Seega x = − 3 ± 2 3 {\displaystyle x=-3\pm 2{\sqrt {3}}} ehk x 1 = − 3 + 2 3 {\displaystyle x_{1}=-3+2{\sqrt {3}}} ja x 2 = − 3 − 2 3 {\displaystyle x_{2}=-3-2{\sqrt {3}}} . Täisruuduks täiendamise meetodil on ka teine variant, mille puhul viime kõigepealt vabaliikme paremale poolele ja võtame vasakul ühise teguri x {\displaystyle x} sulgude taha: ( x + p ) x = − q {\displaystyle (x+p)x=-q} . Nüüd avaldame vasakul teguri x + p {\displaystyle x+p} avaldiste x + p 2 {\displaystyle x+{\frac {p}{2}}} ja p 2 {\displaystyle {\frac {p}{2}}} summana, teguri x {\displaystyle x} aga nende vahena. Seejärel kasutame ruutude vahe valemit ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} . Nii tekib jällegi võrrand, kust x {\displaystyle x} on vahetult leitav. Näiteks võrrandi x 2 + 6 x − 3 = 0 {\displaystyle x^{2}+6x-3=0} viime kujule ( x + 6 ) x = 3 {\displaystyle (x+6)x=3} . Vasakul esitame x + 6 = ( x + 3 ) + 3 {\displaystyle x+6=(x+3)+3} ja x = ( x + 3 ) − 3 {\displaystyle x=(x+3)-3} . Järelikult ( ( x + 3 ) + 3 ) ( ( x + 3 ) − 3 ) = 3 {\displaystyle {\bigl (}(x+3)+3{\bigr )}{\bigl (}(x+3)-3{\bigr )}=3} . Ruutude vahe valemi põhjal saame ( x + 3 ) 2 − 3 2 = 3 {\displaystyle (x+3)^{2}-3^{2}=3} . Seega ( x + 3 ) 2 = 12 {\displaystyle (x+3)^{2}=12} , millest x + 3 = ± 2 3 {\displaystyle x+3=\pm 2{\sqrt {3}}} ning x 1 , 2 = − 3 ± 2 3 {\displaystyle x_{1,2}=-3\pm 2{\sqrt {3}}} . Üldkujulise ruutvõrrandi a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} saab ruutliikme kordajaga jagamise teel teisendada taandatud ruutvõrrandiks x 2 + b a x + c a = 0 {\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0} . Seejärel võime rakendada eelnevas esitatud võtteid. Teine võimalus on korrutada üldkujulise ruutvõrrandi pooli ruutliikme kordajaga a {\displaystyle a} ning ülaltooduga analoogiliste sammude abil tekitada vasakule poolele avaldis ( a x + m ) 2 = a 2 x 2 + 2 a m x + m 2 {\displaystyle (ax+m)^{2}=a^{2}x^{2}+2amx+m^{2}} . Täisruuduks täiendamise meetod võimaldab lahendada ükskõik millist ruutvõrrandit. Selle abil saab tuletada ka ruutvõrrandi lahendivalemit. Ruutvõrrandi lahendivalemi x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} kasutamine on universaalne meetod ruutvõrrandi lahendite leidmiseks ja seda saab rakendada seal, kus teised meetodid tulemust ei anna (näiteks ruutkolmliige pole täisarvudes tegurdatav) või nõuavad liiga palju tööd (näiteks võrrandi kordajad on murdarvud). Samuti kasutatakse lahendivalemit siis, kui ruutvõrrandi lahendamist on vaja programmeerida. Peale tavapärase valemi on olemas veel ka teine lahendivalem x 1 , 2 = 2 c − b ± b 2 − 4 a c {\displaystyle x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}} , mis järeldub esimesest Viète'i valemite abil: ruutvõrrandi lahendid x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} saab avaldada ka vastavalt kujul c a x 2 {\displaystyle {\frac {c}{ax_{2}}}} ja c a x 1 {\displaystyle {\frac {c}{ax_{1}}}} . Teise lahendivalemi eelis on see, et juhul a = 0 {\displaystyle a=0} , b ≠ 0 {\displaystyle b\not =0} , kui ruutvõrrand muutub lineaarvõrrandiks, saame üheks lahendiks selle lineaarvõrrandi lahendi, samas kui tavapärane valem annab sellisel juhul nulliga jagamise. Teise lahendivalemi puudus on see, et ta ei võimalda arvutada ühte lahendit ruutvõrrandite puhul, kus c = 0 {\displaystyle c=0} . Teist lahendivalemit kasutatakse mõnede arvutusmeetodite koosseisus, mis peavad arvestama, et lahendatava ruutvõrrandi ruutliikme kordaja võib olla võrrandi ülejäänud kordajatega võrreldes absoluutväärtuselt väga väike või lausa null. Üks selline on näiteks Mulleri meetod. Geomeetriline lahendamine tähendab ruutvõrrandi lahendite konstrueerimist sirkli ja joonlaua abil. Jagades vajadusel ruutvõrrandi läbi ruutliikme kordajaga, võime eeldada, et võrrandi ruutliikme kordaja on 1 {\displaystyle 1} . Geomeetriliste meetodite seas on keskne roll meetodil, millega saab leida antud arvu ruutjuurt, see tähendab, lahendada võrrandit x 2 = q {\displaystyle x^{2}=q} , kus q {\displaystyle q} on positiivne arv. Järgnev konstruktsioon on esitatud Eukleidese peateose Elemendid II raamatu 14. lauses. Tõmbame lõigu A B {\displaystyle AB} pikkusega q {\displaystyle q} . Pikendame seda üle punkti B {\displaystyle B} punktini C {\displaystyle C} nii, et lõigu B C {\displaystyle BC} pikkus oleks 1 {\displaystyle 1} . Konstrueerime poolringjoone, mille diameetriks on A C {\displaystyle AC} . Tõmbame lõigule A C {\displaystyle AC} punktist B {\displaystyle B} ristsirge. Olgu D {\displaystyle D} selle ristsirge lõikepunkt poolringjoonega. Siis lõigu B D {\displaystyle BD} pikkus on q {\displaystyle {\sqrt {q}}} . See järeldub kolmnurkade B D C {\displaystyle BDC} ja B A D {\displaystyle BAD} sarnasusest: kehtib seos B D : B C = B A : B D {\displaystyle BD:BC=BA:BD} , millest B D = q {\displaystyle BD={\sqrt {q}}} . Meetodites, mis ei kasuta koordinaatsüsteemi, eeldatakse tavaliselt, et võrrandi kordajad ja lahendid on teatavate lõikude pikkused. Seetõttu peab lahendatav võrrand olema esitatav kujul, kus kõik kordajad on positiivsed, samuti vähemalt üks lahend. Täielikke taandatud ruutvõrrandeid, mis neid tingimusi rahuldavad, on kolme tüüpi: x 2 + q = p x {\displaystyle x^{2}+q=px} , x 2 + p x = q {\displaystyle x^{2}+px=q} ja x 2 = p x + q {\displaystyle x^{2}=px+q} . Viète'i valemite põhjal on neist esimesel ruutvõrrandil kaks positiivset lahendit, teisel ja kolmandal aga üks positiivne ja üks negatiivne lahend. Seejuures on teise ruutvõrrandi lahendid kolmanda võrrandi lahendite vastandarvud. Võrrandi x 2 + q = p x {\displaystyle x^{2}+q=px} lahendamiseks tõmbame lõigu A B {\displaystyle AB} pikkusega p {\displaystyle p} . Konstrueerime ringjoone, mille diameeter on A B {\displaystyle AB} . Tõmbame punktist A {\displaystyle A} lõigule A B {\displaystyle AB} ristlõigu A C {\displaystyle AC} pikkusega q {\displaystyle {\sqrt {q}}} ja punktist C {\displaystyle C} kiire risti lõiguga A C {\displaystyle AC} . Olgu D {\displaystyle D} ja E {\displaystyle E} selle kiire lõikepunktid ringjoonega. Võrrandi lahendid on lõigu C D {\displaystyle CD} pikkus ja lõigu C E {\displaystyle CE} pikkus. Võrrandite x 2 + p x = q {\displaystyle x^{2}+px=q} ja x 2 = p x + q {\displaystyle x^{2}=px+q} lahendamiseks järgime sama protseduuri kuni punkti C {\displaystyle C} konstrueerimiseni. Seejärel tõmbame punktist C {\displaystyle C} kiire läbi ringjoone keskpunkti O {\displaystyle O} . Olgu D {\displaystyle D} ja E {\displaystyle E} vastavalt selle kiire esimene ja teine lõikepunkt ringjoonega. Võrrandi x 2 + p x = q {\displaystyle x^{2}+px=q} positiivne lahend on lõigu C D {\displaystyle CD} pikkus ja võrrandi x 2 = p x + q {\displaystyle x^{2}=px+q} positiivne lahend lõigu C E {\displaystyle CE} pikkus. Esimese konstruktsiooni puhul rahuldavad C D {\displaystyle CD} ja C E {\displaystyle CE} Viète'i valemeid C D ⋅ C E = C A 2 = q {\displaystyle CD\cdot CE=CA^{2}=q} ja C D + C E = A B = p {\displaystyle CD+CE=AB=p} . Teise konstruktsiooni puhul järeldub võrdusest C D ⋅ C E = C A 2 {\displaystyle CD\cdot CE=CA^{2}} kas C D ⋅ ( C D + p ) = q {\displaystyle CD\cdot (CD+p)=q} või C E ⋅ ( C E − p ) = q {\displaystyle CE\cdot (CE-p)=q} , mis on samaväärsed vastavate ruutvõrranditega. Koordinaatsüsteemi kasutamisel on võimalik lahendada ka negatiivsete kordajatega või negatiivsete lahenditega ruutvõrrandeid. Üks selline meetod on Carlyle'i ringjoon. Eeldame, et lahendatav võrrand on kujul x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} . Märgime koordinaattasandil kaks punkti koordinaatidega ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} ja ( − p , q ) {\displaystyle (-p,q)} . Tõmbame ringjoone, mille diameetri otspunktideks on need kaks punkti. Kui see ringjoon lõikab x {\displaystyle x} -telge, siis on ruutvõrrandi lahenditeks lõikepunktide abstsissid. Selle ringjoone võrrand on x 2 + p x + y 2 − ( q + 1 ) y + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+y^{2}-(q+1)y+q=0} . Et ringjoone lõikepunktides x {\displaystyle x} -teljega on y = 0 {\displaystyle y=0} , siis lõikepunktide x {\displaystyle x} -koordinaadid rahuldavad võrrandit x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} . Carlyle'i ringjoonel on ka omadus, et punktid ( x 1 , 0 ) {\displaystyle (x_{1},0)} , ( x 2 , 0 ) {\displaystyle (x_{2},0)} , ( − p , q ) {\displaystyle (-p,q)} ja ( 0 , q ) {\displaystyle (0,q)} asuvad korraga nii ringjoonel kui ka funktsiooni y = x 2 + p x + q {\displaystyle y=x^{2}+px+q} graafikul. Geomeetrilised meetodid olid ruutvõrrandi lahendamisel tavalised kuni keskajani, mil võimsamad ja üldisemad algebralised meetodid nad asendasid. Biruutvõrrand Ruutpolünoom Ruutvorm