Liitfunktsioon

Liitfunktsiooniks ehk funktsioonide ehk kujutuste kompositsiooniks nimetatakse matemaatikas funktsiooni, mis saadakse kahe funktsiooni järjest rakendamisel. Olgu A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} ja C {\displaystyle C} mingid hulgad. Funktsioonide f : B → C {\displaystyle f:B\rightarrow C} ning g : A → B {\displaystyle g:A\rightarrow B} liitfunktsiooniks ehk kompositsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni h : A → C {\displaystyle h:A\rightarrow C} , et h ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle h(x)=f(g(x))} iga x ∈ A {\displaystyle x\in A} korral. Funktsiooni f {\displaystyle f} nimetatakse siin välimiseks, funktsiooni g {\displaystyle g} sisemiseks funktsiooniks. Funktsioonide f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} liitfunktsiooni tähistatakse sageli f ∘ g {\displaystyle f\circ g} . Mingite funktsioonide f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} liitfunktsiooni või nende liitfunktsiooni väärtuste leidmist nimetatakse ka funktsioonide f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} järjest rakendamiseks. Olgu mingi suurus x (mille muutumispiirkond olgu X) määrab üheselt ära suuruse u (mille väärtused kuulugu hulka U) ning suurus u määrab üheselt ära suuruse y (mis omandab väärtusi hulgast Y). Siis võime suurust y vaadelda funktsioonina suurusest u ning suurust u funktsioonina suurusest x. Et suurus y {\displaystyle y} on funktsioon suurusest u {\displaystyle u} , siis omab mõtet avaldis y ( u ) {\displaystyle y(u)} , mis tähistab suuruse y {\displaystyle y} väärtus suuruse u {\displaystyle u} mingi etteantud väärtuse korral. Samas u on funktsioon suurusest x, seega funktsiooni y argument oleks justkui funktsioon. Eelnev arutluskäik ei ole aga matemaatiliselt korrektne (vähemalt mitte selles mõttes, nagu mõiste "funktsioon" tavaliselt defineeritakse), sest "funktsioonide" all ei mõisteta matemaatikas ranges mõttes mitte mingeid funktsionaalselt seotud suurusi, vaid eeskirja ühe suuruse põhjal teise suuruse leidmiseks (vaata artiklit Funktsioon (matemaatika)). Eeltoodud arutluses tekitab segadust sõnastus "suurus u {\displaystyle u} on funktsioon suurusest x {\displaystyle x} ". Seda väljendit ei ole õige sõna-sõnalt tõlgendada - väide suurus u {\displaystyle u} on funktsioon hulgal X {\displaystyle X} ei ole õige. Tõepoolest, kui hulkadeks X {\displaystyle X} ja U {\displaystyle U} oleks kõigi reaalarvude hulk (füüsikalisi suurusi vaadeldakse ju tavaliselt reaalarvudena - näiteks võime suuruseks u {\displaystyle u} võtta mingi keha asukoha ja suuruseks x {\displaystyle x} kulunud aja), siis saaksime, et suurus u {\displaystyle u} on korraga reaalarv ja funktsioon reaalarvust (ehk teisisõnu, eeskiri, mis seab igale reaalarvule vastavusse mingi reaalarvu) - vastuolu, sest meil ei ole mingit alust samastada reaalarve reaalmuutuja funktsioonidega. Näiteks keha asukoht mingil ajahetkel ei ole ju eeskiri reaalarvule reaalarvu vastavusse seadmiseks, vaid lihtsalt reaalarv. Õige on väljendit "suurus u {\displaystyle u} on funktsioon suurusest x {\displaystyle x} " mõista nii: suuruse u {\displaystyle u} saab esitada funktsioonina suurusest x {\displaystyle x} , s. t. leidub mingi funktsioon f : X → U {\displaystyle f:X\rightarrow U} , nii et alati kehtib seos u = f ( x ) {\displaystyle u=f(x)} . Sellisel juhul leiduvad meie näites funktsioonid f : X → U {\displaystyle f:X\rightarrow U} ja g : U → Y {\displaystyle g:U\rightarrow Y} nii, et y = g ( u ) {\displaystyle y=g(u)} ja u = f ( x ) {\displaystyle u=f(x)} . Suuruse y {\displaystyle y} saab suuruse x {\displaystyle x} kaudu avaldada siis liitfunktsiooni f ∘ g {\displaystyle f\circ g} abil: y = ( f ∘ g ) ( x ) {\displaystyle y=(f\circ g)(x)} . Siin aga on funktsiooni f ∘ g {\displaystyle f\circ g} argumendiks on ikkagi reaalarv, mitte funktsioon g {\displaystyle g} . Algebras ja matemaatilises analüüsis on liitfunktsiooni jaoks veidi erinevad nimetused ja tähised. Sõna liitfunktsioon kasutatakse põhiliselt matemaatilises analüüsis (algebras kasutatakse sõna funktsioon asemel tavaliselt sõna kujutus), sõna kompositsioon kasutatakse nii algebras kui analüüsis. Algebras nimetatakse kujutuste kompositsiooni sageli ka lihtsalt nende kujutuste korrutiseks, kujutuste järjest rakendamist nende kujutuste korrutamiseks ning kujutuste f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} korrutist tähistatakse sageli lihtsalt nende järjestkirjutisena f g {\displaystyle fg} (samamoodi nagu nt. reaalarvuliste muutujate x {\displaystyle x} ja y {\displaystyle y} korrutist tähistatakse x y {\displaystyle xy} ). Niisugust tähistust võib põhjendada sellega, et kujutuste järjest rakendamist vaadeldakse algebras sageli tehtena mingil kujutuste hulgal; seda tehet tähistatakse tavaliselt korrutustehtena. Matemaatilises analüüsis seevastu mõeldakse funktsioonide f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} korrutise all niisugust funktsiooni h {\displaystyle h} , et h ( x ) = f ( x ) g ( x ) {\displaystyle h(x)=f(x)g(x)} iga x {\displaystyle x} jaoks funktsiooni h {\displaystyle h} määramispiirkonnast. Seepärast ei saa matemaatilises analüüsis sõna korrutis liitfunktsiooni kohta kasutada. Funktsiooni f ( x ) = 4 x − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {4x-x^{2}}}} , f : [ 0 , 4 ] → R {\displaystyle f:[0,4]\rightarrow \mathbb {R} } võime vaadelda liitfunktsioonina f = g ∘ h {\displaystyle f=g\circ h} , kus g ( x ) = x {\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}} , g : [ 0 , ∞ ) → R {\displaystyle g:[0,\infty )\rightarrow \mathbb {R} } ning h ( x ) = 4 x − x 2 {\displaystyle h(x)=4x-x^{2}} , h : [ 0 , 4 ] → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle h:[0,4]\rightarrow [0,\infty )} . Funktsiooni f ( x ) = e cos ⁡ 5 x {\displaystyle f(x)=e^{\cos 5x}} võime esitada kolme funktsiooni liitfunktsioonina: f = u ∘ ( v ∘ w ) {\displaystyle f=u\circ (v\circ w)} , kus u ( x ) = e x {\displaystyle u(x)=e^{x}} , v ( x ) = cos ⁡ x {\displaystyle v(x)=\cos x} ning w ( x ) = 5 x {\displaystyle w(x)=5x} . Õige on ka f = ( u ∘ v ) ∘ w {\displaystyle f=(u\circ v)\circ w} ; võime ka üldse sulud ära jätta ning kirjutada f = u ∘ v ∘ w {\displaystyle f=u\circ v\circ w} , sest funktsioonide järjest rakendamise assotsiatiivsuse tõttu võib avaldises u ∘ v ∘ w {\displaystyle u\circ v\circ w} sulge suvaliselt ümber paigutada. Funktsiooni f ( x ) = ln ⁡ sin ⁡ 3 x {\displaystyle f(x)=\ln \sin {\sqrt {3x}}} võib esitada samamoodi nelja funktsiooni liitfunktsioonina: f = t ∘ u ∘ v ∘ w {\displaystyle f=t\circ u\circ v\circ w} , kus t ( x ) = ln ⁡ x {\displaystyle t(x)=\ln x} , u ( x ) = sin ⁡ x {\displaystyle u(x)=\sin x} , v ( x ) = x {\displaystyle v(x)={\sqrt {x}}} ning w ( x ) = 3 x {\displaystyle w(x)=3x} . Kui mingil kujutusel f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} leidub pöördkujutus f − 1 : B → A {\displaystyle f^{-1}:B\rightarrow A} , siis ( f − 1 ∘ f ) ( a ) = a {\displaystyle (f^{-1}\circ f)(a)=a} iga a ∈ A {\displaystyle a\in A} jaoks ning ( f ∘ f − 1 ) ( b ) = b {\displaystyle (f\circ f^{-1})(b)=b} iga b ∈ B {\displaystyle b\in B} jaoks. Seega kujutus f − 1 ∘ f {\displaystyle f^{-1}\circ f} on samasusteisendus hulgal A {\displaystyle A} ning f ∘ f − 1 {\displaystyle f\circ f^{-1}} on samasusteisendus hulgal B {\displaystyle B} . Kui üks funktsioonidest f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} on konstantne, siis ka nende funktsioonide liitfunktsioon f ∘ g {\displaystyle f\circ g} on konstantne. Kui f {\displaystyle f} ja g {\displaystyle g} on reaalmuutuja funktsioonid ning funktsioonil f {\displaystyle f} on lõplik tuletis kohal x {\displaystyle x} ja funktsioonil g {\displaystyle g} on lõplik tuletis kohal f ( x ) {\displaystyle f(x)} , siis funktsioonil f ∘ g {\displaystyle f\circ g} on lõplik tuletis kohal x {\displaystyle x} ning ( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x)} . Sellest valemist saab järeldada ka valemid rohkema arvu funktsioonide liitfunktsioonide tuletise leidmiseks: näiteks kui leiduvad lõplikud f ′ ( g ( h ( x ) ) ) {\displaystyle f'(g(h(x)))} , g ′ ( h ( x ) ) {\displaystyle g'(h(x))} ja h ′ ( x ) {\displaystyle h'(x)} , siis ( f ∘ g ∘ h ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( h ( x ) ) ) g ′ ( h ( x ) ) h ′ ( x ) {\displaystyle (f\circ g\circ h)'(x)=f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)} jne. Samad liitfunktsiooni tuletise valemid kehtivad ka tuletise mõiste üldistuste jaoks, näiteks kompleksmuutuja funktsioonide liitfunktsiooni tuletise jaoks.