Laplace'i pöördteisendus

Laplace'i pöördteisendus on integraalteisendus, mis teisendab kompleksmuutuja funktsiooni F ( s ) {\displaystyle F(s)} , kus kompleksarv s = σ + j ω {\displaystyle s=\sigma +j\omega } (kompleks sagedusdomeen ehk s-domeen), tagasi reaalmuutuja funktsiooniks f ( t ) {\displaystyle f(t)} , kus t ∈ [ 0 ; ∞ ] {\displaystyle t\in [0;\infty ]} (ajadomeen). Kuna Laplace teisendus on üheselt määratav teisendus, siis on võimalik näidata, et selle pöördteisendus on samuti üheselt määratav: f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } ⟺ L { f ( t ) } = F ( s ) {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}\Longleftrightarrow {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)} Laplace'i pöördteisenduse leidmiseks on mitmeid võimalusi, kus igaühel on omad eelised, aga kõige laialdasema rakendusega on Bromwichi integral (Mellini inverteeritud integral või Fourier-Mellini integral), mis tuletatakse Fourier' teisenduse juba teadaoleva pöördseose vaatlemisel: L − 1 { F ( s ) } = f ( t ) = 1 2 π i ∫ σ − i ω σ + i ω e s t F ( s ) d s , {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\sigma -i\omega }^{\sigma +i\omega }e^{st}F(s)\,ds,} kus L − 1 {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}} tähistab Laplace'i pöördteisendust ja integreerimine toimub vertikaalsel joonel R ( s ) = σ {\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)=\sigma } komplekstasandil selliselt, et σ {\displaystyle \sigma } väärtus oleks suurem (ehk vasakul) kõikidest F ( s ) {\displaystyle F(s)} pooluste reaalarvulisest osadest. Praktikas on Laplace'i pöördteisenduse tegemine tüüpiliselt mugavam, kui esmane F ( s ) {\displaystyle F(s)} funktsioon teha osadeks vastavalt tabelitest leitavatele esitusvormidele ning pöördteisendus kirjutada lihtsalt ümber tabeli vastete järgi (lookup table). Olgu meil funktsioonid G ( s ) {\displaystyle G(s)} ja P ( s ) {\displaystyle P(s)} , millel leiduvad vastavad Laplace'i pöördteisendused g ( t ) {\displaystyle g(t)} ja p ( t ) {\displaystyle p(t)} . Teisenduse 1. Aditiivsus (summa või vahe) L − 1 { G ( s ) ± P ( s ) } = L − 1 { G ( s ) } ± L − 1 { P ( s ) } {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\pm P(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}\pm {\mathcal {L}}^{-1}\{P(s)\}} Laplace'i pöördteisendus kahe funktsiooni summast on võrdne nende üksikute funktsioonide Laplace'i pöördteisenduste summaga. 2. Homogeensus (konstandiga korrutamine) L − 1 { a ⋅ G ( s ) } = a ⋅ L − 1 { G ( s ) } , {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{a\cdot G(s)\}=a\cdot {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},} kus a {\displaystyle a} on konstant. 3. Esimene teoreem sageduse nihutamise kohta L − 1 { G ( s − a ) } = e a t G ( t ) {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s-a)\}=e^{at}G(t)} 4. Teine teoreem sageduse nihutamise kohta L − 1 { e − s T G ( s ) } = G ( t − T ) ⋅ u ( t − T ) , {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-sT}G(s)\}=G(t-T)\cdot u(t-T),} kus u ( t ) {\displaystyle u(t)} on ühikastme funktsioon. Kui Laplace' pöördteisenduses esineb e − s T {\displaystyle e^{-sT}} komponent, siis on see võimalik teisenduse lõpus asendada astmefunktsiooniga. Nimelt tehes Laplace' pöördteisenduse selliselt, et ignoreerides e − s T {\displaystyle e^{-sT}} komponenti ja lõpptulemuses t {\displaystyle t} asendada ( t − T ) {\displaystyle (t-T)} ning juurde lisada korrutiseks ühiksastme funktsioon, saamegi korrektse Laplace' pöördteisenduse kogu funktsiooni kohta. Laplace teisendus "Inverse Laplace Transform - an overview | ScienceDirect Topics". www.sciencedirect.com. Vaadatud 26. märtsil 2023. Laplace' pöördteisenduse kalkulaator Laplace' pöördteisenduse vastete tabel Inverse Laplace transform - Wikipedia