Joon

Joon ehk kõver (inglise keeles line, curve) on matemaatikas kas tasandiline joon, Jordani joon või ühemõõtmeline kontiinum. Matemaatikas on kasutusel mitu joone mõistet. Elementaargeomeetrias pole joonel selget definitsiooni. Eukleidese järgi on joon laiuseta pikkus. Mõnikord defineeritakse joon kui kujundi piir. Vaadeldakse teatud tüüpi jooni, näiteks sirge, lõik, murdjoon ja ringjoon. Elementaargeomeetrias on põhjalikult uuritud koonuselõikeid, mõningaid kõrgemat järku algebralisi jooni ning mõningaid transtsendentseid jooni, kasutades igal juhtumil spetsiaalseid võtteid.  Pikemalt artiklis Tee (topoloogia) Enamasti defineeritakse joon kui pidev kujutus lõigust topoloogilisse ruumi: γ : [ a , b ] → X . {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X.} Seejuures võivad jooned olla erinevad isegi juhul, kui nende kujutised langevad kokku. Niisuguseid jooni nimetatakse parametriseeritud joonteks või, kui [ a , b ] = [ 0 , 1 ] {\displaystyle [a,b]=[0,1]} , teedeks (mõnikord samastatakse tee parametriseeritud joonega).  Pikemalt artiklis Parametriseerimata joon Mõnikord defineeritakse joon "reparametrisatsiooni täpsusega". Defineeritakse ekvivalentsiseos, mille puhul parametriseeritud jooned γ 1 : [ a 1 , b 1 ] → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon [a_{1},b_{1}]\to X} и γ 2 : [ a 2 , b 2 ] → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon [a_{2},b_{2}]\to X} on ekvivalentsed, kui leidub niisugune pidev monotoonne funktsioon h {\displaystyle h} lõigult [ a 1 , b 1 ] {\displaystyle [a_{1},b_{1}]} lõigule [ a 2 , b 2 ] {\displaystyle [a_{2},b_{2}]} , et γ 1 ≡ γ 2 ∘ h . {\displaystyle \gamma _{1}\equiv \gamma _{2}\circ h.} Selle seosega määratud ekvivalentsiklasse nimetatakse parametriseerimata joonteks ehk lihtsalt joonteks. See definitsioon vastab paljuski meie intuitiivsele ettekujutusele joonest kui millestki, mis on joonistatud pliiatsit paberilt tõstmata, kuid sellele vastavad paljud kujundid, mida me intuitiivselt jooneks ei pea. Näiteks on võimalik konstrueerida niisugune lõigu pidev kujutus tasandile, et selle kujutis täidab ruudu (Peano joon). Veel enam, Mazurkiewiczi teoreemi järgi on iga kompaktne, sidus ja lokaalselt sidus topoloogiline ruum lõigu pidev kujutis. Nii et mitte ainult ruut, vaid ka n-mõõtmeline kuup (hüperkuup) ja isegi Hilberti kuup on lõigu pidevad kujutised. Et saada intuitsioonile paremini vastavat mõistet, esitatakse kujutusele lisanõudeid.  Pikemalt artiklis Jordani joon Jordani jooneks ehk lihtsaks jooneks nimetatakse ringjoone või lõigu pideva injektiivse kujutuse (sisestuse) kujutist ruumis. Ringjoone puhul nimetatakse kujutist kinniseks Jordani jooneks, lõigu puhul Jordani kaareks. Jordani teoreem ütleb, et iga kinnine Jordani joon tasandil jagab tasandi "sisemiseks" ja "väliseks" osaks. On võimalik konstrueerida tasandiline Jordani joon, mille Lebesgue'i mõõt on positiivne. Selle Peano joonega analoogse näite (Osgoodi joone) konstrueeris William Fogg Osgood. Matemaatilises analüüsis kasutatakse sageli sileda joone ehk diferentseeruva joone mõistet. Defineerime kõigepealt tasandilise joone, st joone ruumis R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ). Olgu x ( t ) {\displaystyle x(t)} ja y ( t ) {\displaystyle y(t)} niisugused pidevalt diferentseeruvad funktsioonid lõigul [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , et ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 {\displaystyle (x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}} ei võrdu muutuja t ühegi väärtuse korral nulliga. Siis kujutus γ : [ a , b ] → R 2 , t ↦ ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2},t\mapsto (x(t),y(t))} annab sileda joone; parametriseerimata joont nimetatakse siledaks, kui teda saab niimoodi parametriseerida. Sileda joone pikkuse saab arvutada valemi L ( γ ) = ∫ a b ( x ′ ( t ) ) 2 + ( y ′ ( t ) ) 2 d t {\displaystyle {\text{L}}(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt} järgi. Selle definitsiooni saab üldistada teistele ruumidele ning teistele siledusklassidele.  Pikemalt artiklis Joonte diferentsiaalgeomeetria Kui X {\displaystyle X} on sile muutkond (diferentseeruv muutkond), siis sileda joone muutkonnal X {\displaystyle X} saab defineerida kui sileda kujutuse (diferentseeruva kujutuse) γ : [ a , b ] → X {\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to X} , mille diferentsiaal ei ole kuskil null. Kui muutkonna X {\displaystyle X} siledusklass on k {\displaystyle k} , siis C k {\displaystyle C_{k}} -joon defineeritakse kui joon, mille korral γ {\displaystyle \gamma } on k {\displaystyle k} korda pidevalt diferentseeruv kujutus. Kui X {\displaystyle X} on analüütiline muutkond (näiteks eukleidiline ruum) ja γ {\displaystyle \gamma } on analüütiline kujutus, siis joont nimetatakse analüütiliseks jooneks. Siledaid jooni γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\to X} ja γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\to X} nimetatakse ekvivalentseteks, kui leidub niisugune difeomorfism p : I → J {\displaystyle p\colon I\to J} (parameetrivahetus), et γ 1 = γ 2 ∘ p {\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\circ p} . Ekvivalentsiklasse selle seose järgi nimetatakse parametriseerimata siledateks joonteks.  Pikemalt artiklis Algebraline joon Algebralisi jooni uuritakse algebralises geomeetrias. Tasandiline algebraline joon on koordinaatidega x, y punktide hulk, mille annab võrrandi f(x, y) = 0 lahendite hulk, kus f on kahe muutuja polünoom kordajatega korpusest F. Algebralises geomeetrias ei võeta tavaliselt arvesse, mitte ainult punkte, mille koordinaadid kuuluvad korpusesse F, vaid ka punkte koordinaatidega korpuse F algebralisest sulundist. Kui C on niisugune tasandiline algebraline joon, et seda määrava polünoomi kordajad kuuluvad korpusesse F, siis teda nimetatakse jooneks üle korpuse F. Algebralised jooned saab defineerida ka kõrgema mõõtmega ruumides. Need defineeritakse polünoomvõrrandisüsteemide lahendite hulkadena. Iga tasandilist joont saab täiendada jooneni projektiivsel tasandil. Kui tasandiline joon on määratud polünoomiga f(x, y), mille täielik aste on d, siis polünoom z d ⋅ f ( x / z , y / z ) {\displaystyle z^{d}\cdot f(x/z,y/z)} , lihtsustub pärast sulgude avamist homogeenseks polünoomiks f(x, y, z) astmega d. Niisugused väärtused x, y, z, et f(x, y, z) = 0, on tasandilise joone homogeensed koordinaadid, kusjuures lähtejoone punktid on need punktid, mille puhul z ei võrdu nulliga. Näiteks Fermat' joon xn + yn = zn võtab afiinsel kujul kuju xn + yn = 1. Ülemineku afiinselt joonelt projektiivsele saab üldistada ka kõrgematele mõõtmetele. Kõverjoon Kõverus Ülo Kaasik. "Matemaatikaleksikon". Tartu: 2003, lk 89 W. F. Osgood. A Jordan curve of positive area. – Trans. Am. Math. Soc., 1903, kd 4, lk 107–112.