Tõenäosusteooria

Tõenäosusteooria on matemaatika osa, mis uurib juhuslike nähtuste üldisi seaduspärasusi sõltumatult nende nähtuste konkreetsest sisust ja annab meetodid nendele nähtustele mõjuvate juhuslike mõjude kvantitatiivseks hindamiseks. Teise definitsiooni järgi on tõenäosusteooria teadusharu, mis uurib juhuslikkust matemaatika vahendeid kasutades. Tõenäosusteoorias on igale sündmusele A omistatud toimumise tõenäosus P(A), mis on reaalarv vahemikust nullist üheni; need tõenäosused peavad vastama tõenäosusteooria aksioomidele. Sündmuse A või sündmuse B toimumist tähistatakse A ∪ B {\displaystyle A\cup B} . Seda tehet nimetatakse sündmuste summaks. Sündmuse A ja sündmuse B toimumist tähistatakse A ∩ B {\displaystyle A\cap B} , sageli ka lihtsalt AB. Seda tehet nimetatakse sündmuste korrutiseks. Sündmuse A toimumist ja sündmuse B mittetoimumist tähistatakse A ∖ B {\displaystyle A\setminus B} . Seda tehet nimetatakse sündmuste vaheks. Klassikaline tõenäosus: olgu kõigi sündmuste (toimumise) tõenäosused võrdsed, siis sündmuse A toimumise tõenäosus avaldub P ⁡ ( A ) = n A n {\displaystyle \operatorname {P} (A)={n_{A} \over n}} , kus n A {\displaystyle n_{A}} on nn soodsate sündmuste arv (sündmuste arv, mis sisaldavad sündmust A; näiteks täringuviskel, kui A = "veeretatakse vähemalt 5" on n A = 2 {\displaystyle n_{A}=2} ) ja n {\displaystyle n} on kõigi sündmuste arv (eelmise näite jätkuna oleks n = 6 {\displaystyle n=6} ). Geomeetriline tõenäosus (pindalade või pikkuste suhe): kui valime juhuslikult punkti lõigust [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , siis on tõenäosus, et punkt satub selle lõigu alamhulka A ⊂ [ a , b ] {\displaystyle A\subset [a,b]} avaldatav P ⁡ ( A ) = | | A | | | | [ a , b ] | | {\displaystyle \operatorname {P} (A)={||A|| \over ||[a,b]||}} , kus | | A | | {\displaystyle ||A||} tähistab hulga A pikkust ning | | [ a , b ] | | {\displaystyle ||[a,b]||} lõigu [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} pikkust. (Täpsemalt öeldes, A peab olema selle lõigu Boreli sigma-algebra, vaid siis saame tõenäosust arvutatada ülaltoodud valemiga.) Statistiline tõenäosus: kui meil pole küllaldaselt infot kõigi sündmuste kohta ja ei saa kasutada klassikalist või geomeetrilist tõenäosust, siis korratakse sõltumatuid katseid ja leitakse sündmuse A toimumise tõenäosus valemiga P ⁡ ( A ) = N A N {\displaystyle \operatorname {P} (A)={N_{A} \over N}} , kus N a {\displaystyle N_{a}} on sündmuse A toimumiste (ehk õnnestunud katsete) arv ning N kõigi katsete arv. Statistiline tõenäosus sõltub juhusest ning ei pruugi olla kuigi lähedal tegelikule tõenäosusele. Sageli osutub, et mida rohkem katseid sooritada, seda rohkem sarnaneb statistiline tõenäosus tegeliku tõenäosusega. Tõenäosuste korrutamise lause: kui A ja B on sõltumatud sündmused, siis P ⁡ ( A ∩ B ) = P ⁡ ( A ) ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {P} (A\cap B)=\operatorname {P} (A)\operatorname {} (B)} . Tõenäosuste liitmise lause: P ⁡ ( A ∪ B ) = P ⁡ ( A ) + P ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {P} (A\cup B)=\operatorname {P} (A)+\operatorname {P} (B)} . Tinglik tõenäosus: kui teame sündmuse B toimumist, siis sündmuse A toimumise tõenäosus avaldub P ⁡ ( A | B ) = P ⁡ ( A ∩ B ) P ⁡ ( B ) {\displaystyle \operatorname {P} (A\;|\;B)={\operatorname {P} (A\cap B) \over \operatorname {P} (B)}} . Tõenäosusteooria arengus on suurt rolli omanud õnnemängud. Esimene teadaolev tõenäosusi uuriv raamat on Gerolamo Cardano (1501-1576) "Liber de Ludo Aleae" ("Raamat õnnemängudest"), mis avaldati alles aastal 1663. Tõenäosusteooria kui matemaatilise distsipliini arengu alguseks võib aga pidada prantsuse aadliku ja õnnemänguri Chevalier de Méré poolt püstitatud ülesannete lahendamist Blaise Pascal'i ja Pierre de Fermat' poolt aastal 1654. Esimene ülesanne: Méré oli täringumängu mängides märganud, et nelja täringuviskega ühe "kuue" saamise tõenäosus on suurem kui 1/2, kui aga ta tegi panuseid sellele, et täringupaari viskamisel 24 korda tuleb vähemalt üks "kuute" paar, tundus talle, et võidu tõenäosus oli väiksem kui 1/2. Seetõttu tahtis ta teada, mitu viset on vaja selleks, et vähemalt ühe "kuuepaari" tulemuse tõenäosus oleks vähemalt 1/2. Pascal näitas, et selleks kulub 25 viset. Teine ülesanne: kuidas jagada ausalt raha, kui panused on tehtud mängudeseeria võitmise peale ning mingil põhjusel tuleb seeria katkestada. Näiteks, kui mündiviske mängus on kaks mängijat, mängu võidab see, kes viskab esimesena kolm "kulli" (või vastasena vastavalt kolm "kirja"); mingil põhjusel mäng katkestatakse olukorras, kus on sooritatud kolm viset, millest kahe tulemuseks oli "kull" ja ühe tulemuseks "kiri". Pascal ja Fermat leidsid korrektse vastuse, kusjuures kumbki lahendas selle küsimuse eri lähenemisviisil. Tõenäosusteooria arengusse on andnud oma panuse paljud kuulsad matemaatikud, näiteks Christiaan Huygens, Jakob Bernoulli, Abraham de Moivre, Pierre-Simon Laplace, Pafnuti Lvovitš Tšebõšov, Richard Edler von Mises, Andrei Markov jt. Tänapäevasele tõenäosusteooriale pani aluse Andrei Kolmogorov, kes 1933. aastal lõi tõenäosuse aksiomaatilise käsitluse. Statistika Keskväärtus Dispersioon Tõenäosus Ivar Tammeraid (2005). Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika. Tallinn: TTÜ kirjastus. Lk 6. ISBN 9985-59-366-9.