Vektoralgebra

Matemaatikas ja lineaaralgebras viitab vektoralgebra algebralistele toimingutele vektorruumis. Kõige sagedamini viitab see operatsioonidele Eukleidese vektoritega. Vektor geomeetrias (geomeetriline vektor) on suunatud segment. Suunatud segmendi esimest punkti nimetatakse vektori alguseks ja teist - vektori lõpuks. Vektori a pikkus on selle segmendi pikkus. Vektorit, mille pikkus on võrdne ühega, nimetatakse üksikuks. Ortogonaalses koordinaatsüsteemis oleva vektori koordinaadid on selle projektsioonid koordinaatteljel. Selle teema kohta lisateavet vt Vektorruum. Oletame, et a ja b on vektorid, millel võib olla suvaline suund ja suurus. A ja b summa on a + b = ∑ i = 1 n ( a i + b i ) e i = ( a 1 + b 1 ) e 1 + ( a 2 + b 2 ) e 2 + ⋯ + ( a n + b n ) e n . {\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})\mathbf {e} _{i}=(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\mathbf {e} _{n}.} Vektorite summat saab graafiliselt näidata, asetades vektori b alguse vektori a pähe ja joonistades vektori a algusest kuni b lõpuni uue vektori. Noolega kujutatud uus vektor on vektor a + b, nagu allpool näidatud: Seda vektori liitmismeetodit nimetatakse mõnikord rööpküliku reegliks, kuna a ja b moodustavad rööpküliku küljed ning a + b on selle diagonaal. Kahe vektori erinevust saab geomeetriliselt määratleda järgmiselt: b-st lahutamiseks a-st peate paigutama vektorite a ja b algused ühte punkti ja seejärel joonistama nool vektori b esimehelt vektor a. See uus nool on vektor a - b, nagu allpool näidatud: Kahe vektori lahutamise saab teha ka nii, et võetakse teise vektori vastand ja liidetakse see esimesse vektorisse, see näeb välja selline, a - b = a + (−b).  Pikemalt artiklis Skalaariga korrutamine Vektorit saab korrutada või skaleerida reaalarvuga r. Traditsioonilise vektoralgebra kontekstis nimetatakse neid reaalarvusid sageli skalaarideks (sõnast skaala), et neid vektoritest eristada. Vektori korrutamist skalaariga nimetatakse skalaarkorrutiseks. Saadud vektor on võrdne r a = ∑ i = 1 n ( r a i ) e i = ( r a 1 ) e 1 + ( r a 2 ) e 2 + ⋯ + ( r a n ) e n . {\displaystyle r\mathbf {a} =\sum _{i=1}^{n}(ra_{i})\mathbf {e} _{i}=(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+\cdots +(ra_{n})\mathbf {e} _{n}.} On ilmne, et korrutamine skalaariga r skaalab vektorit suurusega r. Geomeetriliselt saab seda kujutada (vähemalt juhul, kui r on täisarv), asetades vektorist r koopiad üks kord reale, nii et ühe vektori lõpp on iga järgneva algus. Kui r on negatiivne arv, siis muudab vektor suunda: see pöörleb 180 °. Järgnevalt on toodud kaks näidet (r = -1 ja r = 2 puhul): Korrutamine skalaar on distributiivne operatsiooni koos vektorite lisamisega järgmises tähenduses: r(a + b) = ra + rb kõigi vektorite a ja b ning kõigi skalaaride r korral.  Pikemalt artiklis Skalaarkorrutis Kahe vektori a ja b skalaarkorrutist (mida mõnikord nimetatakse siseproduktiks, kuid kuna tulemus on skalaar, sageli skalaarkorrutis) tähistatakse kui a ∙ b ja see määratletakse järgmiselt: a ⋅ b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ cos ⁡ θ {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta } kus θ on vektorite a ja b vahelise nurga väärtus (koosinusfunktsiooni kohta leiate teavet trigonomeetrilistest funktsioonidest). Geomeetriliselt tõmmatakse vektorid a ja b vektorite alguses ühise punktiga, seejärel korrutatakse vektori a pikkus vektori b komponendiga, mis on suunatud a-ga samas suunas. Skalaarkorrutise võib määratleda ka iga vektori komponentide saaduste summana järgmiselt: a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}}  Pikemalt artiklis Vektorkorrutis Vektorkorrutis (mida nimetatakse ka väliseks korrutiseks) on mõttekas ainult kolme või seitsme mõõtme jaoks. Vektorkorrutis erineb skalaarkorrutisest peamiselt selle poolest, et kahe vektori vektorkorrutisi tulemus on vektor. Vektorkorrutis, mida tähistatakse kui a × b, on vektor, mis on risti mõlema vektoriga a ja b ning tähistatakse kui a × b = ‖ a ‖ ‖ b ‖ sin ⁡ ( θ ) n {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} } kus θ on nurk a ja b vahel ja n on ühikvektor, mis on risti nii a kui ka b, mis vastab parema käe reeglile. Parempoolse süsteemi määratlus on antud juhul oluline, kuna a ja b suhtes on risti kaks ühikvektorit, nimelt n ja (-n). Pikkus a × b on rööpküliku pind, millel on küljed a ja b. Vektorprodukti saab kirjutada järgmiselt a × b = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) e 1 + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) e 2 + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) e 3 . {\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}  Pikemalt artiklis Segakorrutis Segakorrutis ei ole vektorite uus toiming, vaid see on kombinatsioon kahest olemasolevast korrutamisoperatsioonist kolme vektoriga. Segakorrutist tähistatakse mõnikord kui (a b c) ja see määratletakse järgmiselt: ( a   b   c ) = a ⋅ ( b × c ) . {\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).} Sellel on kolm peamist kasutust. Esiteks on ülaltoodud toote tähendus võrdne rööptahuka ruumalaga, mille küljed on antud nende kolme vektori abil. Teiseks on segatoode võrdne nulliga ja ainult siis, kui kõik kolm vektorit on lineaarselt sõltumatud, mida saab olukorda arvesse võttes hõlpsasti tõestada, nii et kolm vektorit moodustavad nullmahu, kõik kolm asuvad samal tasapinnal. Kolmandaks on segatoode positiivne ainult siis, kui kolm vektorit a, b ja c moodustavad parempoolse vektorite kolmekordse osa. Komponente kasutades (vastavalt parempoolsele ortogonaalsele alusele), kui kolm vektorit on kujutatud ridadena (või veergudena, kuid samas järjekorras), on segatoode 3×3 maatriksite determinanti, mis sisaldab kolme vektorit ridades ( a   b   c ) = | ( a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ) | {\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\left|{\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{pmatrix}}\right|} Skalaarkorrutise on kõigi kolme elemendi jaoks lineaarne ja antisümmeetriline järgmises tähenduses: ( a   b   c ) = ( c   a   b ) = ( b   c   a ) = − ( a   c   b ) = − ( b   a   c ) = − ( c   b   a ) . {\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).} Geomeetriline algebra Kvaternion