Lambi lained

Lambi lained on üks koorikutes levivatest lainetest. Koorikud on tahkised, mille üks mõõde (paksus) on kahest ülejäänust oluliselt väiksem (tasandilist koorikut nimetatakse plaadiks). Lambi lained on elastsuslained, mille korral osakeste siirded on laine levisuuna ja pinna normaali tasapinnas. Seda tüüpi akustiliste lainete klassikalise kirjelduse ja nende analüüsi avaldas 1917. aastal inglise matemaatik Horace Lamb. Antud lainete omadused osutusid üsna keerukateks. Lõpmatus keskkonnas võivad levida ainult kaks võnkevormi, mis levivad eri kiirustel, kuid reaalsetel plaatidel levivad kaks lõpmatut Lambi lainete võnkevormide hulka, mille levikiirused sõltuvad lainepikkuse ja plaadi paksuse suhtest. Alates 1990. aastatest on Lambi lainete mõistmine ja kasutamine tänu arvutite võimekuse kasvule palju edasi arenenud. Lambi teoreetilised formuleeringud on leidnud olulist praktilist rakendust ja seda eriti mittepurustava kontrolli valdkonnas. Termin Rayleigh-Lambi lained hõlmab ka Rayleigh’ lained, mis on akustilise pinnalaine tüüp. Nii Rayleigh' kui ka Lambi lainete levi sõltuvad nende levipinna (pindade) elastsetest omadustest. Üldiselt juhivad tahkistes elastsuslaineid nende levikeskkonna piirpinnad. Füüsikalises akustikas on juhitud lainete levimise kirjeldamisel laialdaselt kasutusel lähenemisviis, milles otsitakse lineaarsete elastsete lainete lainevõrrandile sinusoidseid lahendusi, mis rahuldaksid struktuuri geomeetriat esindavaid rajatingimusi. See on klassikaline omaväärtusülesande püstitus. Juhitavatest lainetest analüüsiti sel moel esimesena laineid plaatides. Analüüsi töötas välja ja avaldas 1917. aastal oma aja matemaatilise füüsika eestvedaja Horace Lamb. Lambi võrrandid tuletati algselt x ja y telgede suhtes lõpmatu ulatusega tahke plaadi jaoks, millel paksus d on z-telje suunas. Eeldades, et lainevõrrandi lahendid on sinusoidsed, avalduvad osakeste siirded x- ja z-telje suunas kujulː ξ = A x f x ( z ) e i ( ω t − k x ) ( 1 ) {\displaystyle \xi =A_{x}f_{x}(z)e^{i(\omega t-kx)}\quad \quad (1)} ζ = A z f z ( z ) e i ( ω t − k x ) ( 2 ) {\displaystyle \zeta =A_{z}f_{z}(z)e^{i(\omega t-kx)}\quad \quad (2)} Need võrrandid kirjeldavad siinuslaineid, mis levivad x telje suunas lainepikkusega 2π/k ja sagedusega ω/2π. Siire sõltub ainult muutujatest x, z, t ja seega ei toimu ole siiret y-telje suunal ega ka füüsikaliste suuruste muutumist y-telje suunas. Plaadi vabade pindade füüsikalisteks rajatingimuseks on pinge komponendi väärtus z suunas punktis z = +/–d / 2 võrdub nulliga. Rakendades neid kahte tingimust laine võrrandi ülalpool vormistatud lahenditele, võib leida paari karakteristlikke võrrandeid. Need on: tanh ⁡ ( β d / 2 ) tanh ⁡ ( α d / 2 ) = 4 α β k 2 ( k 2 + β 2 ) 2   ( 3 ) {\displaystyle {\frac {\tanh(\beta d/2)}{\tanh(\alpha d/2)}}={\frac {4\alpha \beta k^{2}}{(k^{2}+\beta ^{2})^{2}}}\ \quad \quad \quad \quad (3)} sümmeetriliste võnkevormide jaoks ja</br> tanh ⁡ ( β d / 2 ) tanh ⁡ ( α d / 2 ) = ( k 2 + β 2 ) 2 4 α β k 2   ( 4 ) {\displaystyle {\frac {\tanh(\beta d/2)}{\tanh(\alpha d/2)}}={\frac {(k^{2}+\beta ^{2})^{2}}{4\alpha \beta k^{2}}}\ \quad \quad \quad \quad (4)} asümmeetriliste võnkevormide jaoks, kus</br> α 2 = k 2 − ω 2 c l 2 and β 2 = k 2 − ω 2 c t 2 . {\displaystyle \alpha ^{2}=k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c_{l}^{2}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad \beta ^{2}=k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c_{t}^{2}}}.} Nendest võrranditest saab tuletada suhte nurksageduse ω ja lainearvu k vahel. Faasikiiruse cp = fλ = ω/k ja grupi kiiruse cg = dω/dk leidmiseks kasutatakse numbrilisi meetodeid, kuna D/λ või fd funktsioonidena kasutatakse pikilaine cl ja nihkelaine ct kiiruseid. Nende võrrandite lahenditest saab tuletada ka osakeste siirete trajektoore, mida võrrandid (1) ja (2) esitavad ainult üldisel kujul. Võrrandist (3) saab tuletada terve lainete hulka, mille korral osakeste siirded on plaadi kesktasandi suhtes sümmeetrilised (tasapind z = 0), võrrandist (4) aga tuletada lainete hulga, mille korral osakeste siirded on antisümmeetrilised kesktasandi suhtes. Joonisel 1 on mõlemaid lainete hulka illustreeritud. Lambi karakteristlikud võrrandid tuletati lainete jaoks, mis leviksid lõpmatu ulatusega plaadil, mille tahkisest materjal on homogeenne ja isotroopne. Lõpmatu plaadi korral piiravad materjali kaks paralleelset tasapinda, millest kaugemale laineenergia ei levi. Probleemi sõnastamisel eeldas Lamb osakeste siirdeid plaadi normaali suunalise komponendi (z-suund) ja laine levimise suunaga määratud komponendi (x-suund) suundades. Definitsiooni järgi ei esine Lambi lainete korral osakeste siirdeid y-suunal. Liikumine y-suunas leitakse plaatides horisontaalsete nihkelainete võnkevormidest. Antud nihkelainetel puuduvad siirded x- ja z-suunal ning täiendavad seega Lambi lainete võnkevormide. Antud lainetüübid (Lambi- ja nihkelained) on ainsad, mis võivad levida sirgete, lõpmatute lainefrontidega ülal defineeritud omadustega plaadil (lõpmatu, homogeenne, isotroopne). Lambi lainetel esinev kiiruste dispersioon. See tähendab, et nende levimiskiirus c sõltub sagedusest (või lainepikkusest), samuti materjali elastsusmoodulitest ja tihedusest. Antud nähtus on plaatidel levivate lainete käitumise uurimisel ja mõistmisel oluline. Füüsikaliselt on oluline suurus plaadi paksuse d ja lainepikkuse suhe λ {\displaystyle \lambda } . See suhe määrab plaadi efektiivse jäikuse ja seega ka laine levikiiruse. Rakendustes on praktiline kasutada sellest tuletatavat suurust, milleks on paksuse ja sageduse korrutis: Kiiruse ja sageduse (või lainepikkuse) vaheline suhe on tuletatav karakteristlikest võrranditest. Plaatide korral ei ole neid võrrandeid lihtne lahendada ja vastuseni jõudmine nõuab numbriliste meetodite rakendamist. Seetõttu oli võrrandite lahendamine keerukas kuni digitaalarvutite kasutuselevõtuni nelikümmend aastat pärast Lambi algupärast tööd. Viktorov Nõukogude Liidust oli esimene, kes avaldas enda arvutiga leitud "dispersiooni kõverad" artiklis. Talle järgnesid Firestone ja Worlton Ameerika Ühendriikides ning lõpuks ka paljud teised, kes tegid Lambi lainete teooria praktiliselt rakendatavaks. Plaatides mõõdetud lainekujusid saab tõlgendada dispersioonikõverate abiga. Dispersioonikõveraid – graafikuid, mis näitavad seoseid lainekiiruse, lainepikkuse ja sageduse vahel dispersiivsetes süsteemides – saab esitada eri kujudel. Kuju, mis esitab parima füüsikalise ülevaate näitab y-teljel ringsagedust ω {\displaystyle \omega } ja x-teljel lainearvu k . Viktorov kasutas kuju, kus y-teljel on näidatud lainete kiirus ja x-teljel plaadi paksuse/lainepikkuse suhe d / λ {\displaystyle d/\lambda } . Kõige praktilisem on kuju, mille kasutusele võtmist saab omistada nii J. Krautkrämerile ja H. Krautkrämerile kui ka Floyd Firestone'ile (kes pakkus antud lainete nimetuseks välja "Lambi lained"), on y-teljel lainete kiirus ja x-teljel sageduse paksuse korrutis fd. Lambi karakteristlikud võrrandid näitavad lõpmatu ulatusega paksusega d {\displaystyle d} plaatidel sinusoidsete võnkevormide hulga olemasolu. See on vastuolus piiramata keskkonna olukorraga, kus on ainult kaks võnkevormi, pikilained ja nihkelained. Nagu vabadel pindadel levivatel Rayleigh' lainetel, on Lambi lainete osakeste siirete x- ja z-komponendid elliptiliste trajektooridega, ja nende amplituud sõltub kaugusest plaadi pinnast. Ühes võnkevormide hulgas on liikumine sümmeetriline plaadi paksuse kesktelje suhtes. Teises võnkevormide hulgas on see antisümmeetriline. Akustiliste lainete levimisel reaalsetel plaatidel, põhjustab kiiruse dispersioon rikkalikult erinevaid eksperimentaalselt jälgitavaid lainekujusid. Vaadeldavas lainekujus määrab modulatsioone rühma kiirus cg, mitte ülalmainitud faasikiirus c või cp. Lainevormide välimus sõltub oluliselt vaadeldavast sagedusribast. Painde- ja laiendusvõnkevorme on suhteliselt lihtne ära eristada ja seda eristatavust saab kasutada mittepurustavas kontrollis. Erilist tähelepanu väärivad sümmeetrilised ja antisümmeetrilised nullindad võnkevormid. Nendel võnkevormidel on "tekkivad sagedused" väärtusega null. Seetõttu on need ainsad võnkevormid, mis võivad omada sagedusi kogu sagedusspektri ulatuses ehk nullist kuni lõpmata kõrgete sagedusteni. Madalatel sagedustel (st kui lainepikkus ületab plaadi paksust) nimetatakse neid võnkevorme sageli vastavalt “laiendusvõnkevormiks” ja “paindevõnkevormiks”. Need terminid kirjeldavad võnkevormidele vastava liikumise olemust ja elastset jäikust, mis määravad levikiiruseid. Elliptilisi trajektoore järgiv osakeste siire toimub sümmeetrilisel, laiendusvõnkevormil peamiselt plaadi tasapinnas ja antisümmeetrilisel painde võnkevormil risti plaadi tasapinnaga. Need omadused muutuvad kõrgematel sagedustel. Need kaks võnkemoodi on olulisimad, kuna (a) eksisteerivad kõigil sagedustel ja (b) enamikus praktilistes olukordades kannavad rohkem energiat edasi kui kõrgemat järku võnkevormid. Nullindad sümmeetrilised võnkevormid (tähistatakse S0) levib "plaadi kiirusel" madalsagedusvõnkevormis, kus seda õigesti nimetatakse "laiendusvõnkevormiks". Selle võnkevormi korral plaat pikeneb laine levimise suunas ja tõmbub kokku paksuse suunas. Sageduse suurenedes ja lainepikkuse muutudes võrreldavaks plaadi paksusega, hakkab plaadi kumerus oluliselt mõjutama selle efektiivset jäikust. Faasikiirus väheneb sujuvalt, samal ajal kui grupi kiirus väheneb kiiresti miinimumi poole. Veel kõrgematel sagedustel ühinevad nii faasikiirus, kui ka grupikiirus Rayleigh' lainekiiruse suunas – faasikiirus ülalt ja grupikiirus altpoolt. Laiendusvõnkevormi madalaima piirsageduse korral on pinna siirde z- ja x-telje suunalised komponendid kvadratuuris ning nende amplituudide suhe on avaldub seosega: kus ν {\displaystyle \nu } on Poissoni tegur. Nullindad antisümmeetrilised võnkevormid (tähistatakse A0) on väga dispersiivsed madalate sageduste korral, kui neid nimetatakse "paindevõnkevormideks". Väga madalate sageduste korral (väga õhukestes plaatides) on faasi- ja rühmakiirused mõlemad võrdelised sageduse ruutjuurega (rühma liikumiskiirus on faasikiirusest kaks korda suurem). See lihtne seos on tingitud õhukeste plaatide paindumise jäikuse/paksuse suhtest. Kõrgematel sagedustel, kus lainepikkus ei ole enam plaadi paksusest palju suurem ei pea need suhted enam paika. Faasikiirus suurenev üha vähem ning läheneb kõrgsageduste piiril Rayleigh' lainekiirusele. Grupi kiirus läbib maksimumi, veidi nihkelaines kiirusest varem, kui lainepikkus on ligikaudu võrdne plaadi paksusega. Seejärel hakkab ta kõrgete sageduste piiril ülalt lähenedes ühtima Rayleigh' laine kiirusega. Katsetes, mis võimaldavad ergastada ja tuvastada nii laiendus- kui paindevõnkevorme, on laiendusvõnkevorm sageli suurema kiirusega ja väiksema amplituudiga ning mõõdetakse enamasti enne paindevõnkevormi. Paindevõnkevorm on neist kahest kergemini ergastatav ja kannab enamasti suurema osa energiast. Kõrgematel sagedustel ilmuvad lisaks nullindat järku võnkevormidele ka kõrgemat järku võnkevormid. Iga kõrgemat järku võnkevorm esineb plaadi resonantssagedusel ja eksisteerib ainult selle sagedusest kõrgematel sagedustel. Näiteks 19 mm paksusega terasplaat, mis võngub sagedusel 200 kHz, omab nelja esimest Lambi laine võnkevormi ja sagedusel 300 kHz kuute esimest. Soodsate tingimuste korral saab katses selgelt eristada paari esimest kõrgemat järku võnkevormi. Vähem soodsate tingimuste korral nad kattuvad ja on eristamatud. Kõrgemat järku Lambi lainete võnkevorme iseloomustavad plaadi sees asuvad sõlmpinnad, mis on paralleelsed plaadi pindadega. Kõik need võnkemoodid eksisteerivad ainult teatud sagedusest kõrgematel sagedustel, mida võib nimetada "tekitavaks sageduseks". Samas puuduvad võnkemoodidel ülemised sageduspiirid. Tekkivaid sagedusi saab kujutada plaadi tasapinnaga risti levivate piki- või nihkelainete resonantssagedustena, st d = n λ 2 voi f = n c 2 d {\displaystyle d={\frac {n\lambda }{2}}\quad \quad {\text{voi}}\quad \quad f={\frac {nc}{2d}}} kus n on positiivne täisarv. Siin võib c olla kas pikilainekiirus või nihkelaine kiirus ning iga saadud resonantside hulga korral on vastavad Lambi lainete võnkevormid vaheldumisi sümmeetrilised ja antisümmeetrilised. Nende kahe võnkevormide tüübi koosmõjul tekib tekitatavate sageduste muster, mis esmapilgul tundub korrapäratu. Näiteks 19 mm paksune terasplaat, mille piki- ja nihkelaine kiirus on vastavalt 5890 m/s ja 3260 m/s tekivad antisümmeetriline võnkevormid A1 ja A2 sagedustel 86 kHz ja 310 kHz, samas tekivad sümmeetrilise võnkevormid S1, S2 ja S3 sagedustel 155 kHz, 172 kHz ja 343 kHz. Kõigil nendel võnkevormidel on tekitaval sagedusel lõpmatu faasikiirus ja grupikiirus võrdne nulliga. Sageduste ülemisel piiril lähenevad kõigi nende võnkevormide faasi- ja rühmakiirused nihkelainete levikiirusele. Nende lähenemiste tõttu on paksude plaatide korral suur tähtsus Rayleigh' lainete ja nihkelainete kiirustel (mis on üksteisele lähedased). Lihtsamalt öeldes levib insenertehniliselt kõige olulisemas materjalis (terasplaadis) enamus kaugele levivast kõrgsageduslikust laineenergiast kiirustel 3000-3300 m/s. Osakeste siire on Lambi lainete võnkevormide korral üldjuhul elliptiliste trajektooridega, sisaldades komponente nii risti kui ka paralleelselt plaadi tasapinnaga. Need komponendid on kvadratuuris, st nende faaside vahe on 90°. Komponentide pikkuste suhe sõltub sagedusest. Teatud sageduse ja paksuse korrutiste korral läbib ühe komponendi amplituud nulli ja siirded toimuvad plaadi tasapinnaga täielikult risti või paralleelselt. Plaadi pinnal olevate osakeste korral esineb selline olukord juhul, kui Lambi laine faasikiirus on võrdne √2 ct või ainult sümmeetriliste cl võnkevormide korral. Need suunaga seotud erisused on olulised, kui on vaja modelleerida akustilise energia kiirgumist plaatidelt nendega piirnevasse voolisesse. Osakeste siire toimub võnkevormi tekitaval sagedusel kas täielikult ristsuunas või täielikult paralleelselt plaadi tasapinnaga. Plaadi pikilainete resonantssagedustele vastavate võnkevormide tekitavate sageduste lähedal on osakeste liikumine peaaegu täielikult plaadi tasapinnaga risti ja nihkelainete resonantssageduste lähedal paralleelselt. J. Krautkrämer ja H. Krautkrämer on välja pakkunud, et Lambi lainet võib ette kujutada piki- ja nihkelaine süsteemina, mis levib sobivate nurkade korral risti ja piki plaati. Need lained peegelduvad ja muudavad oma võnkevorme ning ühenduvad, et tekitavad püsiva, sidusa lainemustri. Selle koherentse lainemustri moodustamiseks peab plaadi paksus olema tema aluseks olevate piki- ja nihkelainete levimisnurkade ja lainepikkuste jaoks õige; sellest on tingitud ka kiiruste dispersiooni seosed. Lambi analüüs eeldas sirget lainefronti. Samas on näidatud , et silindriliste plaadi lainete (st laineallikast kiirguvate lainete suhtes, mis levivad plaadiga risti) suhtes kehtivad samad karakteristlikud võrrandid. Erinevus seisneb selles, et sirge lainefrondi "kandja" on sinusoidne, siis telgsümmeetrilise laine "kandja" on Besseli funktsiooni kujuga. Besseli funktsioon arvestab singulaarsusega allikal ja läheneb suurtel kaugustel sinusoidile. Need silindrilised lained on omafunktsioonideks, millest saab leida plaadi reageeringu punkthäiritusele. Seega saab plaadi reageeringut punkthäiritusele esitada Lambi lainete kombinatsioonina, millele lisanduvad lähiväljas lõpmata väikesed liikmed. Kogutulemust saab ligikaudselt visualiseerida ringikujuliste lainepindade mustrina, nagu tiiki kukkunud kivi tekitatud lainetused, kuid need lained levides muudaks oma kuju oluliselt rohkem. Lambi lainete teooria on seotud siiretega ainult (r, z) suunas; põikisiirdeid siin ei arvestata. "Juhitud Lambi lainete" fraasi kohtab sageli mittepurustavas kontrollis. "Juhitud Lambi laineid" võib defineerida kui Lambi lainete sarnaseid laineid, mis levivad lõplike mõõtmetega reaalsetes katsekehades (plaatides). Lisades mõistele "Lambi laine" ette sõna "juhitud" tähistatakse seega tõsiasja, et Lambi lõpmatut plaati tegelikkuses ei eksisteeri. Rakendustes tegeletakse lõplike plaatide, torude (silindriline koorik), silindriliste anumatega või õhukesteks ribadeks lõigatud plaatidega jne. Lambi lainete teooria annab tihti väga hea ülevaate lainete levimisest sellistes struktuurides. See ei anna täiuslikku ülevaadet ja seetõttu on fraas "juhitud Lambi lained" asjakohasem kasutada kui "Lambi lained". Üks küsimus on, kuidas mõjutab Lambi-laadsete lainete kiirusi ja võnkevormide kuju kehade tegelik geomeetria. Näiteks Lambi-laadse laine kiirus õhukeses silindrilises kehas sõltub vähesel määral silindri raadiusest ja sellest, kas laine liigub silindri telje suunaliselt või silindri ümber. Teine küsimus on, millised täiesti erinevad akustilised levimisviisid ja võnkevormid võivad esineda keha reaalses geomeetrias. Näiteks torul on tema kogu liikumisega seotud paindevõnkevormid, mis erinevad oluliselt toru seina Lambi-laadsetest paindevõnkevormidest. Tavaliselt on ultraheliga kontrollimise eesmärk testitavas objektis üksikute defektide leidmine ja nende iseloomustamine. Sellised vead avastatakse siis, kui need peegeldavad või hajutavad neile mõjuvat lainet ja peegeldunud või hajutanud laine jõuab vastuvõtvasse andurisse piisava amplituudiga. Traditsiooniliselt on ultraheliga kontrollimist läbi viidud lainetega, mille lainepikkused on kontrollitava katsekeha mõõtmetest palju lühemad. Selles kõrgsagedusvõnkevormis kasutab ultraheliga kontrollija laineid, mis on ligilähedased lõpmatu ulatusega keskkonna piki- ja nihkelainete võnkemoodidega, mis siksakitavad üle plaadi paksuse ja sealt tagasi. Kuigi Lambi lainete esmased kasutajad töötasid rakenduste kallal mittepurustavas kontrollis ja juhtisid nende teooriale tähelepanu, sai laialdane kasutamine alguse alles 1990. aastatel, kui arvuti abil dispersioonikõverate arvutamine ja nende sidumine katseliselt mõõdetavate lainetega muutusid palju laiemalt kättesaadavaks. Levinum arvutusvõimekus koos laiema arusaamaga Lambi lainete olemusest võimaldasid välja töötada mittepurustava kontrolli tehnikaid, kasutades lainepikkusi mis on plaadi paksusega võrreldavaid või sellest suuremad. Nendel suurematel lainepikkustel sumbub laine vähem ja defekte saab tuvastada suurematel vahemaadel. Peamine väljakutse ja vajalik oskus Lambi lainete kasutamises ultraheliga kontrollimises on määratud võnkemoodide tekitamine kindlatel sagedustel, mis levivad hästi ja võimaldavad puhast tagasipeegeldunud "kaja". See nõuab ergastamise hoolikat kontrollitavust. See saavutatakse tehnoloogiatega, mille hulka kuulub kamm-muundurite, kiilude, vedelast keskkonnast pärinevate lainete ja elektromagnetiliste akustiliste muundurite kasutamine. Akustiline ultraheliga kontrollimine erineb ultraheliga kontrollimisest selle poolest, et seda kavandati kahjustuste ja materjali omaduste kontrollimiseks suurematel aladel, üksikute defektide leidmise ja iseloomustamise asemel. Lambi lained sobivad selliseks laiemate alade kontrolliks hästi, sest nad levivad üle kogu plaadi paksuse ja levivad kaugemale ühtlase liikumismustriga. Akustilise emissiooniga kontrollis kasutatakse palju madalamaid sagedusi kui traditsioonilises ultraheliga testimises ja tavaliselt eeldatakse, et tuvastatakse defekte mitmete meetrite kaugusel andurist. Suur osa tavaliselt akustilise emissiooniga kontrollitavatest konstruktsioonidest on valmistatud terasplekist, näiteks mahutid, surveanumad, torud. Lambi lainete teooria on seetõttu akustilise emissiooniga kontrollis peamine teooria signaali vormide ja levimiskiiruste selgitamiseks. Olulisi parandusi akustilise emissiooni allika asukoha täpsuses on võimalik saavutada Lambi lainete levimise heast mõistmisest ja oskuslikust kasutamisest. Plaadile mõjuv mehaaniline ergastus tekitab temas terve hulga Lambi laineid, mis kannavad energiat kogu sagedusalas. Nii on ka akustilise emissiooni lainete korral. Akustilise emissiooniga kontrollis on väljakutseks vastuvõetud lainekujudes tuvastada mitmeid Lambi laine komponente ja tõlgendada neid läbi allika liikumiste. See erineb ultraheliga kontrollist, kus peamiseks väljakutseks on luua üks, hästi juhitav ühe sagedusega Lambi laine võnkevorm. Samas esineb ka ultraheliga kontrollis võnkevormide teisendamine, kui tekitatud Lambi laine interakteerub katsekeha defektidega, nii et defekti saab iseloomustada mitmest võnkevormist koosnevate peegeldunud lainete signaalide tõlgendamise teel. Akustika Helilaine Lainevõrrand Lainejuhe Lamb, Horace (1881). "On the Vibrations of an Elastic Sphere". Proceedings of the London Mathematical Society (inglise). s1-13 (1): 189–212. DOI:10.1112/plms/s1-13.1.189. ISSN 1460-244X. Achenbach, J. D. “Wave Propagation in Elastic Solids”. Lamb, H. "On Waves in an Elastic Plate." Viktorov, I. A. “Rayleigh and Lamb Waves: Physical Theory and Applications”, Plenum Press, New York, 1967. This link shows a video of the particle motion. J. and H. Krautkrämer, “Ultrasonic Testing of Materials”, 4th edition, American Society for Testing and Materials, April 1990. Claes, S., "La forme des signaux d'émission acoustique et leur rôle dans les essais de localisation", Journées d'Etudes sur l'Emission Acoustique, Institut National des Sciences Appliquées, Lyon (France), March 17-18, p. 215-257, 1975. Rose, J.L.; "Ultrasonic Waves in Solid Media", Cambridge University Press, 1999. Lainevormide levimine NDT Resource Center Lambi laine. Mittepurustava testimise Entsüklopeedia Liu Zhenqingi artikkel, mis sisaldab täielikke Lambi laine võrrandeidː Lamb Wave Analysis of Acousto-Ultrasonic Signals in Plate.