Lühiajaline Fourier' teisendus

Lühiajaline Fourier' teisendus (edaspidi LFT) (inglise keeles Short-time Fourier transform, lühendatult STFT) on Fourier' tüüpi teisendus, mis on mõeldud ajas muutuva signaali sageduskomponentide tükkhaaval leidmiseks. Võrreldes tavalise Fourier' teisendusega, mis teisendab kogu signaali korraga, võtab LFT signaalist lühemad, ühtlase pikkusega tükid ning rakendab Fourier' teisendust igalt tükile eraldi. See annab tulemuseks iga tüki kohta eraldi Fourier' spektri. Kuna LFT teisendab signaali tükkide kaupa, on LFTga mugav analüüsida ajas muutuvaid signaale. Seetõttu kasutatakse LFTd sageli näiteks helisignaalide mõõtmiseks, analüüsimiseks ja töötluseks. Näiteks saab kasutada LFTd heli spektri graafiliseks kuvamiseks kas spektrogramm või waterfall graph'i tüüpi graafikutel, millega on lihtne ja mugav visuaalselt vaadelda ja analüüsida heliklipi või helisignaali sageduslikku sisu. Samuti saab kasutada LFTd mudelite simuleerimisel ja mõõtmisel. Näiteks kui võtta mõni pill, mängida sellel mingi noot, seda signaali mõõta või salvestada, rakendada sellele LFT teisendus ning seejärel kuvada tulemused waterfall graph'i tüüpi graafikul, saame näha instrumendi signaali sumbumisomadusi selle noodi juures, kuna näeme, kuidas muutub signaali sageduslik sisu, üle mõõdetud ajaperioodi. Sama meetodit saab kasutada ka erinevate objektide ja kehade resonantssageduse ja harmoonikute leidmiseks. Samuti saab kasutada LFTd ka signaali põhisageduse ning harmooniliste komponentide leidmiseks. Rakendades LFTd, kasutame aknafunktsiooni, et võtta tükk signaalist ja seda analüüsida. Pärast analüüsi liigutame akent mööda signaali ajas edasi ning analüüsime järgmist signaalist võetud tükki. Protseduur kordub, kuni jõuame kas diskreetse signaali lõpuni või kui ajas muutuv signaal lõppeb. Tüüpiline LFT matemaatiline esitus on järgmine: X m ( ω ) = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) w ( n − m R ) e − j ω n = D T F T ω ( x ⋅ S H I F T m R ( w ) ) {\displaystyle X_{m}(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)w(n-mR)e^{-j\omega n}=DTFT_{\omega }(x\cdot SHIFTmR(w))} , kus x ( n ) {\displaystyle x(n)} tähistab sisendsignaali ajahetkel n {\displaystyle n} w ( n ) {\displaystyle w(n)} tähistab aknafunktsiooni (näiteks Hammingu aknafunktsioon pikkusega M {\displaystyle M} ) X m ( ω ) {\displaystyle X_{m}(\omega )} on diskreetne Fourier' teisendus akna sees olevatest andmetest ajalise keskpunktiga m R {\displaystyle mR} R {\displaystyle R} on hüppe suurus sämplites ehk kahe diskreetse Fourier' teisenduse vahe ehk samm, millega liigutame töödeldava signaali akent mööda signaali ajas. Kui aknal w ( n ) {\displaystyle w(n)} on konstantse ülekattega liitmise (constant OverLap-Add ehk COLA) omadus hüppe suuruse R {\displaystyle R} juures, siis järjestikused diskreetsed Fourier' pöörded summeeruvad valemiga: ∑ m = − ∞ ∞ X m ( ω ) Δ ≜ ∑ m = − ∞ ∞ ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) w ( n − m R ) e − j ω n {\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }X_{m}(\omega )\Delta \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)w(n-mR)e^{-j\omega n}} = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n ∑ m = − ∞ ∞ w ( n − m R ) ⏟ 1 ⇔ w ∈ C O L A ( R ) {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}\underbrace {\sum _{m=-\infty }^{\infty }w(n-mR)} _{1\Leftrightarrow w\in COLA(R)}} = ∑ n = − ∞ ∞ x ( n ) e − j ω n {\displaystyle =\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\omega n}} ≜ D T F T ω ( x ) = X ( ω ) {\displaystyle \triangleq DTFT_{\omega }(x)=X(\omega )} Võime öelda, et aknad, mis täidavad nõuet ∑ m w ( n − m R ) = 1 {\displaystyle \sum {_{m}}w(n-mR)=1} või miingi muu konstant kõikide n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathrm {Z} } puhul, omavad konstantse ülekattega liitmise omadust. Kui kõik üle ajaperioodi arvutatud LFT tükid korrektselt summeerida, on LFT tulemus sama kui kogu signaalile rakendatud diskreetse Fourier' teisenduse tulemus. Libisev DFT (ingl. k. sliding DFT) on LFT alamliik, kus samm on alati ühe sämpli suurune ehk iga mõõtmistulemuse lisandumisel tehakse eraldi diskreetne Fourier' teisendus. See teisendus on väga täpne aga väga töömahukas ning on mõistlik kasutata üldiselt ainult juhtudel, kus on vaja väga täpset analüüsi väga lühikesest signaalist. Kuna LFT on mitu järjestikust Fourier' teisendust, saab ka LFTst, nagu ka tavaliselt diskreetsest Fourier' teisendusest või Fourier' kiirteisendusest, võtta LFTst pöördteisenduse, mis viib sagedusruumi viidud signaali tagasi ajaruumi ehk rekonstrueerib algse signaali. Diskreetse Fourier' teisenduse resolutsioon avaldub valemiga: f R E S = f s N {\displaystyle fRES={f_{s} \over N}} , kus f R E S {\displaystyle fRES} tähistab resolutsiooni ühikus Hz-i sagedusjaotuse kohta ehk kahe sageduskomponendi vahe, f s {\displaystyle f_{s}} diskreetimissagedust Hz-ides ja N {\displaystyle N} sämplite koguarvu. LFT puhul on akna suurus ehk arvutatavate punktide kogus fikseeritud mis tähendab, et ka LFT resolutsioon on fikseeritud [6]. Mida suurem aken, seda suurem resolutsioon sagedusruumis ning seda rohkem erinevaid sageduskomponente suudame eristada. Samas suurema akna puhul kaotame lahutusvõimet ajaruumis ning ka iga LFT akna Fourier' teisenduse arvutuse aeg on pikem. Väiksema akna puhul suureneb eraldusvõime ajaruumis ning iga akna teisendus on kiirem, kuid eraldusvõime sagedusruumis on madalam ehk suudame eristada vähem erinevaid sageduskomponente. LFT visualiseerimiseks kasutatakse enamasti kas spektrogrammi või waterfall-tüüpi graafikut. Joonisel 1 on näha digitaalset helipulti kujutamas sagedusgraafikut ühele oma väljundkanalile reaalajas sagedusruumis. X-teljel on kuvatud sagedused ning Y-teljel vastava sageduse hetkeline amplituud. Et graafikut oleks lihtsam jälgida, on tulbad ka värvidega eraldatud vastavalt amplituudile. Joonisel 2 on kujutatud Androidi vabavaraga Advanced Spectrum Analyzer reaalajas elutoa mürataseme mõõtmine. Akna tüübiks Hanning, FFT suurus 2048 sämplit. Joonisel 3 on kujutatud Androidi vabavaraga Spetroid mõõdetuna muusikapala läbi sülearvuti kõlarite. Ülemisel graafikul on näha hetkeline sagedusinfo, kus X-teljel on kujutatud sagedused ja Y-teljel neile vastav helirõhk. Alumisel spektrogramm graafikul on näha sagedusinfo üle aja liikudes. Akna tüübiks Blackman-Harris. Fourier' teisendus Fourier' spektroskoopia Fourier' kiirteisendus Sagedusruum Spektrogramm Ali N. Akansu, Richard A. Haddad (2001). Multiresolution Signal Decomposition (Second Edition). Lk Peatükk 5. Julius O. Smith III. "THE SHORT-TIME FOURIER TRANSFORM". dsprelated.com. Vaadatud 16.04.2022. Jones, Douglas L. "Short Time Fourier Transform". cnx.org, Digital Signal Processing: A User's Guide. Vaadatud 16.04.2022. Smith, Julius O. (2011). Spectral Audio Signal Processing. Online book: W3K Publishing. Jacobsen, E., Lyons, R. (10. märts 2003). "The Sliding DFT". IEEE. Vaadatud 16.04.2022.{{netiviide}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) "Frequency Resolution". sciencedirect.com. 2002. Vaadatud 16.04.2022. Davis, Harry. "What are limitation of short time Fourier transform?". quick-adviser.com. Vaadatud 16.04.2022.