Osatuletistega diferentsiaalvõrrand

Osatuletistega diferentsiaalvõrrandiks (lühidalt ODV) nimetatakse võrrandit, mis sisaldab otsitavat funktsiooni u ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle u(x_{1},\ldots ,x_{n})} ja selle osatuletisi. Osatuletistega diferentsiaalvõrranditeks nimetatakse diferentsiaalvõrrandeid, kus otsitavaks on mitme muutuja funktsioon ja võrrand sisaldab osatuletisi. Teist järku ODV sisaldab otsitavat funktsiooni ja tema osatuletisi, kusjuures osatuletised ei ole kõrgemad kui teist järku. Üldkujul on tegemist n {\displaystyle n} -muutujaga teist järku ODV. Seega F ( x 1 , … , x n , u , ∂ u ∂ x k , ∂ 2 u ∂ x i , x k ) = 0 i , k = 1 , 2 , … , n {\displaystyle F\left(x_{1},\ldots ,x_{n},u,{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i},x_{k}}}\right)=0\quad i,k=1,2,\ldots ,n} Vaatleme kahe sõltumatu muutujaga x , y {\displaystyle x,y} teist järku ODV-si. Seega nende üldkuju on F ( x , y , u , ∂ u ∂ x , ∂ u ∂ y , ∂ 2 u ∂ x 2 , ∂ 2 u ∂ x ∂ y , ∂ 2 u ∂ y 2 ) = 0 {\displaystyle F\left(x,y,u,{\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}},{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)=0} , kasutades tähistust ∂ u ∂ x = u x {\displaystyle {\dfrac {\partial u}{\partial x}}=u_{x}} , ∂ 2 u ∂ x ∂ y = u x y {\displaystyle {\dfrac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}=u_{xy}} saab viimast kompaktsemalt esitada F ( x , y , u , u x , u y , u x x , u x y , u y y ) = 0 {\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y},u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0} Lineaarseks nimetatakse osatuletistega diferentsiaalvõrrandit, kui see on lineaarne lahendi u {\displaystyle u} ning selle osatuletiste suhtes. See tähendab, et osatuletised on esimeses astmes ja kordajad sõltuvad vaid sõltumatudest muutujatest x , y {\displaystyle x,y} . a 11 u x x + 2 a 12 u x y + a 22 u y y + b 1 u x + b 2 u y + c u = f , {\displaystyle a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+b_{1}u_{x}+b_{2}u_{y}+cu=f,} kus a i j , b i , c {\displaystyle a_{ij},b_{i},c} ja f {\displaystyle f} sõltuvad ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} -st. Kõrgemat järku tuletiste suhtes lineaarne võrrand on kujul a 11 u x x + 2 a 12 u x y + a 22 u y y + F ( x , y , u , u x , u y ) = 0 , {\displaystyle a_{11}u_{xx}+2a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+F(x,y,u,u_{x},u_{y})=0,} kus a i j {\displaystyle a_{ij}} sõltuvad ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} -st. Kvaasilineaarse võrrandi korral sõltuvad kordajad a i j {\displaystyle a_{ij}} peale x , y {\displaystyle x,y} -i ka u {\displaystyle u} -st ja tema esimest järku osatuletistest. Elliptiline: u x 1 x 1 + u x 2 x 2 + … + u x n x n = ϕ {\displaystyle u_{x_{1}x_{1}}+u_{x_{2}x_{2}}+\ldots +u_{x_{n}x_{n}}=\phi } Hüperboolne: u x 1 x 1 = ∑ i = 2 n u x i x i + ϕ {\displaystyle u_{x_{1}x_{1}}=\sum _{i=2}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi } Ultrahüperboolne: ∑ i = 1 m u x i x i = ∑ i = m + 1 n u x i x i + ϕ {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{x_{i}x_{i}}=\sum _{i=m+1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}+\phi } Paraboolne: ∑ i = 1 n − m ( ± u x i x i ) = ϕ , m > 0 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n-m}(\pm u_{x_{i}x_{i}})=\phi ,\,m>0} Ella Puman (2016). "Kõrgem matemaatika II, III osa - diferentsiaalvõrrandid". Vaadatud 17.08.2020. Matemaatilise füüsika võrrandid, Teet Örd, Ivar-Igor Saarniit, Küllike Rägo, Urve Kanrgro, Tartu Ülikool 2019 Matemaatilise füüsika võrrandid, Enno Paisi konspekt, koostanud Mirko Mustonen, Tallinn 2013