Logaritm

Arv x on arvu b logaritm alusel a, kui b = a x {\displaystyle b=a^{x}} ehk arv x on astendaja (eksponent), millega arvu a astendades on tulemuseks arv b ehk log a ⁡ b = x ⟺ b = a x   . {\displaystyle \log _{a}{b}=x\,\iff \,b=a^{x}\ .} Kui a ja b on positiivsed reaalarvud, siis on logab reaalarv. Aluse a väärtus peab olema kas 0 < a < 1 {\displaystyle 0<a<1} või a > 1 {\displaystyle a>1} ; tavaliselt kasutatakse alustena arve 10, e või 2. Logaritmi alusel e nimetatakse naturaallogaritmiks. Logaritmid on defineeritud reaalarvudele ja kompleksarvudele. Naturaallogaritmi pöördfunktsioon on eksponentfunktsioon ehk eksponentsiaalfunktsioon. log a ⁡ 1 = 0   ,  sest  a 0 = 1   . {\displaystyle \log _{a}{1}=0\ ,\quad {\text{ sest }}\quad a^{0}=1\ .} log a ⁡ a = 1   ,  sest  a 1 = a   . {\displaystyle \log _{a}{a}=1\ ,\quad {\text{ sest }}\quad a^{1}=a\ .} loga0 ei ole määratud kuna pole olemas sellist arvu x , mille puhul a x = 0 {\displaystyle a^{x}=0} . Logaritmfunktsiooni f ( x ) = l o g a x {\displaystyle f(x)=log_{a}{x}} graafikul on vertikaalne asümptoot x = 0 {\displaystyle x=0} . Logaritmi tähtsamaid omadusi on log a ⁡ b c = log a ⁡ b + log a ⁡ c   ,  sest  a m × a n = a m + n   , {\displaystyle \log _{a}{bc}=\log _{a}{b}+\log _{a}{c}\ ,\quad {\text{ sest }}\quad a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}\ ,} kui b = a m {\displaystyle b=a^{m}} ja c = a n {\displaystyle c=a^{n}} . Samuti log a ⁡ b c = log a ⁡ b − log a ⁡ c   ,  sest  a m a n = a m − n   , {\displaystyle \log _{a}{\frac {b}{c}}=\log _{a}{b}-\log _{a}{c}\ ,\quad {\text{ sest }}\quad {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}\ ,} kui b = a m {\displaystyle b=a^{m}} ja c = a n {\displaystyle c=a^{n}} . Tähtis omadus on ka astendamise taandumine korrutamiseks. Logaritmi definitsiooni kohaselt on logaritm arvust b alusel a arv, millega arvu a astendades on tulemuseks arv b: b = a log a ⁡ b   . {\displaystyle b=a^{\log _{a}{b}}\ .} Astendades võrrandi mõlemad pooled arvuga n : b n = ( a log a ⁡ b ) n = a n log a ⁡ b   , {\displaystyle b^{n}=\left(a^{\log _{a}{b}}\right)^{n}=a^{n\log _{a}{b}}\ ,} ja võttes logaritmid, on tulemuseks log a ⁡ ( b n ) = n log a ⁡ b   . {\displaystyle \log _{a}\left(b^{n}\right)=n\log _{a}{b}\ .} Kalkulaatoriga töötamisel on kasulik teada, et peale olemasolevate alustega logaritmfunktsioonide (tavaliselt ln x {\displaystyle x} ja log x {\displaystyle x} ) saab leida logaritmi ka muudel alustel, kasutades omadust log a ⁡ b = log c ⁡ b log c ⁡ a . {\displaystyle \log _{a}{b}={\frac {\log _{c}{b}}{\log _{c}{a}}}.} Näiteks log 2 ⁡ 5 = log 10 ⁡ 5 log 10 ⁡ 2 . {\displaystyle \log _{2}{5}={\frac {\log _{10}5}{\log _{10}2}}.} See tuleneb sellest, et logaritmi definitsiooni kohaselt b = a x ⟺ x = log a ⁡ b , {\displaystyle b=a^{x}\,\iff \,x=\log _{a}{b}\,,} kuid x saab leida ka kasutades alust c : log c ⁡ b = log c ⁡ a x = x log c ⁡ a ⟺ log c ⁡ b log c ⁡ a = x {\displaystyle \log _{c}{b}=\log _{c}{a^{x}}=x\log _{c}{a}\iff {\frac {\log _{c}{b}}{\log _{c}{a}}}=x} kus a ≠ 1, sest logc 1 = 0. Iga arv astmes 0 on 1. Mõned logaritmi praktilised rakendused. Keemias on hüdrooniumiooni H3O+ (H+ iooni esinemine vees) keemilise aktiivsuse logaritm alusel 10 vastandväärtus tuntud kui pH. H3O+ ioonide aktiivsus neutraalses vees on 10−7 mooli liitris temperatuuril 25 °C, ehk pH 7. Bell on mõõtühik, mis on suhte logaritm alusel 10, näiteks võimsuste ja elektripingete tasemete suhted. Seda kasutatakse telekommunikatsioonis, elektroonikas ja akustikas. Bell on nimetatud Alexander Graham Belli järgi. Detsibelli (0,1 belli) kasutatakse sagedamini. Maavärina võimsuse Richteri skaala mõõdab maavärina intensiivsust logaritmilisel skaalal. Spektromeetrias ja optikas mõõdetakse optilist tihedust ühikuga, mis on seotud logaritmiga. Astronoomias on näiv tähesuurus taevakeha näivat heledust logaritmiliselt väljendav arv, kuna silm reageerib heledusele ligikaudu logaritmiliselt. Psühhofüüsikas väljendab Weberi-Fechneri seadus logaritmilist seost stiimuli ja taju vahel (Stevensi seadus on siiski täpsem). Informaatikas esinevad logaritmid seostena algoritmilises keerukuses. Näiteks N elemendi järjestamine kasutades võrdlust, võib aega võtta proportsionaalselt N × log10 N. Sarnaselt kasutatakse logaritme alusel 2, et väljendada andmemahtu või mälu, mis on vaja selleks, et esitada arvu kahendsüsteemis – k biti abil saab väljendada 2k erinevat väärtust, seega iga naturaalarvu N saab väljendada kuni (log2 N) + 1 bitiga. Informatsiooniteoorias kasutatakse logaritme info hulga mõõtmiseks. Kui sõnumi vastuvõtjal on oodata mistahes sõnumit N võimalikust sama tõenäosusega sõnumist, siis iga sõnumiga saadud info hulk on log2 N bitti. Muusikalisi intervalle mõõdetakse logaritmiliselt pooltoonidena. Kahe noodi vaheline intervall pooltoonides on logaritm alusel 21/12 sageduse suhtest. (Vaata ka MIDI.) Naturaallogaritm Logaritmiline diferentseerimine Logaritmiline skaala [[1]], [[2]] Professor Roger Bowley selgitab logaritme YouTube`i kanalis Numberphile.