Graafide identifitseerimine

Graafide identifitseerimine tähendab graafide eristamist, äratundmist või tuvastamist neist tuletatud invariantide põhjal mitmesuguste koodide, vektorite, polünoomide, spektrite jt. näol. Seda nimetatakse ka kanoniseerimiseks . Graafi G {\displaystyle G} põhiline omadus on tema struktuur, organiseeritus, mis rajaneb elementidevahelistele suhetele. Struktuur ise on kujutatav graafina G {\displaystyle G} kusjuures isomorfsed graafid omavad ühesugust struktuuri. Struktuuri põhilisteks karakteristikuteks on tema sümmeetriaomadused, mis avalduvad sarnaste elementide (tippude ja tipupaaride) näol, mida rühmateooria aspektist nimetatakse graafi orbiitideks (või transitiivsuspiirkondadeks, ekvivalentsusklassideks). Graafi elementaarosised on tipupaarid (mitte tipud) ja selle elementaarsed sümmeetriaosised on tipupaariorbiidid Ω n {\displaystyle \Omega _{n}} . Tipupaare (st tipupaaride vahelisi suhteid) on püütud identifitseerida nende ümbruste ühisosa iseloomustavate invariantide abil struktuurimudeli S M {\displaystyle SM} näol . Efektiivsemaks on osutunud graafi seosmaatriksi astendamine (korrutamine iseendaga). Kui algses seosmaatriksis E 1 {\displaystyle E^{1}} on vaid kaks tipupaaride ekvivalentsusklassi: servad ja mitteservad, siis algse maatriksi korrutamisel iseendaga E 1 ⋅ E 1 = E 2 {\displaystyle E^{1}\cdot E^{1}=E^{2}} suureneb klasside arv p {\displaystyle p} , mis toimub teatud astmeni E n {\displaystyle E^{n}} , E n − 1 ⋅ E 1 = E n {\displaystyle E^{n-1}\cdot E^{1}=E^{n}} ja siis seiskub . Seega, iga astme n {\displaystyle n} korral suureneb tipupaare iseloomustavate astmeelementide e i j n {\displaystyle e_{ij}^{n}} erinevate väärtuste arv p {\displaystyle p} . Moodustada nende erinevate väärtuste jada S p n = e 1 n < e 2 n < {\displaystyle S_{p}^{n}=e_{1}^{n}<e_{2}^{n}<} … < e p n {\displaystyle <e_{p}^{n}} . Kui astme n + 1 {\displaystyle n+1} korral erinevate väärtuste arv p {\displaystyle p} enam ei suurene, siis peatada korrutamine ja moodustada väärtuste jada S p n {\displaystyle S_{p}^{n}} baasil igale reale i {\displaystyle i} vastav väärtuste sagedusvektor u i {\displaystyle u_{i}} . Järjestada (transponeerida) saadud maatriksastme E n {\displaystyle E^{n}} read i {\displaystyle i} ja veerud j {\displaystyle j} leksikograafiliselt vastavalt nende sagedusvektoritele u i {\displaystyle u_{i}} . Saame korrastatud maatriksastme E o r d n {\displaystyle E_{ord}^{n}} . Salvestada maatriksaste E n {\displaystyle E^{n}} ja selle korrastatud maatriksaste E o r d n {\displaystyle E_{ord}^{n}} . Nii struktuurimudel S M {\displaystyle SM} kui ka maatriksaste E o r d n {\displaystyle E_{ord}^{n}} on võrdväärsed, teineteist täiendavad graafide identifitseerimise atribuudid. Kuigi S M {\displaystyle SM} eristab ja esitab tippudevahelisi suhteid küllaltki täpselt, võivad need osutuda vahest mittetäielikeks invariantideks. E n {\displaystyle E^{n}} elemendid on küll täielikud invariandid, kuid ei erista omavahel graafi servi ega nende puudumist. 1. Kui graafi G {\displaystyle G} tipud v i , v j {\displaystyle v_{i},v_{j}} … {\displaystyle \ldots } kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) Ω k {\displaystyle \Omega _{k}} siis on alamgraafid G ∖ v i {\displaystyle G\setminus v_{i}} ≃ {\displaystyle \simeq } G ∖ v j {\displaystyle G\setminus v_{j}} ≃ {\displaystyle \simeq } … {\displaystyle \ldots } isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri. 2. Kui graafi G {\displaystyle G} servad e 1 , e 2 {\displaystyle e_{1},e_{2}} … {\displaystyle \ldots } kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) Ω n {\displaystyle \Omega _{n}} siis on alamgraafid G ∖ e 1 {\displaystyle G\setminus e_{1}} ≃ {\displaystyle \simeq } G ∖ e 2 {\displaystyle G\setminus e_{2}} ≃ {\displaystyle \simeq } … {\displaystyle \ldots } isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri. 3. Kui graafi G {\displaystyle G} mitteservad n e 1 , n e 2 {\displaystyle ne_{1},ne_{2}} … {\displaystyle \ldots } … {\displaystyle \ldots } kuuluvad samasse positsiooni (orbiiti) Ω n {\displaystyle \Omega _{n}} siis on ülemgraafid G ∪ e 1 {\displaystyle G\cup e_{1}} ≃ {\displaystyle \simeq } G ∪ e 2 {\displaystyle G\cup e_{2}} ≃ {\displaystyle \simeq } … {\displaystyle \ldots } isomorfsed, st omavad ühesugust struktuuri. 4. Tipupaari-orbiitide Ω n {\displaystyle \Omega _{n}} baasil saadud isomorfsed alamgraafid kujutavad endast graafi G {\displaystyle G} naaber-alamstruktuuri ja/või naaber-ülemstruktuuri, mida üldistatult lihtsalt naaberstruktuuriks G a d j {\displaystyle G^{adj}} nimetame. 5. Iga naaberstruktuur G a d j {\displaystyle G^{adj}} omab nö reversiivset orbiiti Ω r e v n {\displaystyle \Omega ^{r}ev_{n}} millele rakendatud servaoperatsioon taastab lähtestruktuuri G {\displaystyle G} . Seda struktuuridevahelist seost nimetame mofisdmiks. 6. Kõikide n tipuliste naaberstruktuuride jadade parv tühistruktuuri ja täisstruktuuri vahel moodustab n-tipuliste graafide süsteemi. Selle süsteemi graafe võime omakorda kujutada tippudena ja nendevahelisi naabrusi ehk morfisme servadena. Näiteks: neljatipuliste graafide süsteem kujutab endast 11 elemendilist võre millel on 14 serva; viietipuliste süsteem koosneb 34 struktuurist ja 72 morfismist nende vahel; kuuetipuliste süsteem koosneb 156 struktuurist ja 572 morfismist nende vahel, jne. Kõik see on seotud üleminekutõenäosuste ja ka Ulami hüpoteesiga serva-eralduste aspektist. 7. Graaf, mis koosneb orbiiti Ω n {\displaystyle \Omega _{n}} kuuluvatest servadest nimetatakse orbiitgraafiks G n {\displaystyle G_{n}} . 1. Orbiitgraaf G n {\displaystyle G_{n}} on tippudest, servadest ja "mitteservadest" sümmeetriline, st omab ühte tipu-, ühr serva- ja ühte "mitteserva" orbiiti. 2. Orbiitgraafid on graafi G {\displaystyle G} lõikumatud osised (alamgraafid). 3. Mõned orbiitgraafid G n {\displaystyle G_{n}} võivad olla isomorfsed oma lähtegraafiga G {\displaystyle G} (näiteks, kuubi üks orbiitgraafidest on kuup).. 4. Erinevate graafide orbiitgraafid G n {\displaystyle G_{n}} võivad olla isomorfsed või kattuda. 5. Orbiitgraaf omab oma orbiitgraafi mis kujutab endast teist järku orbiitgraafi, neid järkusi võib olla rohkemgi. 6. Kõrgemat järku orbiitgraafid võivad olla isomorfsed või kattuda oma alamat järku orbiitgraafiga või ka lähtegraafiga G {\displaystyle G} . Nende moodustumine on koonduv protsess. Orbiitgraahid avavad lähtegraafi varjatud külgi. Näiteks Folkmani graafi üks orbiitgraaf on Peterseni graaf. Orbiitgraafid avavad erinavate graafide ühesuguseid osiseid. Hüperkuup ja Möbius-Kantori graaf omavad ühesuguseid orbiitgraafe, jne. Orbiitgraafid on olulised vahendid graafi struktuuri ja sümmaatriaomaduste tuvastamisel. Graafi täielikku identifikaatorit või -invarianti, st identifikaatorit mis eristab graafi selle isomorfismi ja sümmeetriaomaduste täpsusega on otsitud aastakümneid, kuid need ei ole andnud soovitud tulemusi ning huvi nende vastu on raugenud. Lahendusi on püütud leida ka graafi kanoonilise esituse pinnal. Paraku ei sisalda niisugused esitused teavet graafi struktuuri ega selle sümmeetriaomaduste kohta. Graafe osutus võimalikuks identifitseerida ja esitada nende elementaarsete sümmeetriaomaduste tuvastamise teel saadud struktuurimudeli S M {\displaystyle SM} või graafi seosmaatriksi astendamise E o r d n {\displaystyle E_{ord}^{n}} näol, mis tuvastavad graafi struktuuri isomorfismi täpsusega. Graafide identifitseerimine on struktuurisemiootika üks põhiprobleeme. Maksimaalne arv p {\displaystyle p} ühesuguste väärtustega astmeelemendid e i j n {\displaystyle e_{ij}^{n}} moodustavad tipupaaride ekvivalentsusklassi, mida rühmateooria aspektist graafi orbbiidiks või transitiivsuspiirkonnaks nimetatakse. Sagedusvektorite u i {\displaystyle u_{i}} baasil korrastatud maatriksaste E o r d n {\displaystyle E_{ord}^{n}} tuvastab ka tipuorbiidid. Struktuurses aspektist nimetatakse orbiite positsiooniklassideks ehk positsioonideks. Rühmateoreetilisest aspektist on graafi struktuuri ja sümmeetriaomadusi teadaolevalt varem uurinud tipuorbiitide tasemel vaid B. Weisfeiler . Oluline on, et rühmateoreetilise ja maatriksastme lähenemiste teel saadud tulemused langevad kokku. Selline graafide identifitseerimise viis viib isomorfismiprobleemi ja Ulami hüpoteesi selgitamiseni ning on seotud graafide süsteemide moodustamisega. Graafi struktuur Graafi sümmeetria Graafi invariant Graafide süsteem Y. Gurevich. From Invariants to Canonization. – The Bull. of Euro. Assoc. for Comp. Sci., No. 63, 1997 J.-T. Tevet. Graafide varjatud külgi. (2010) ISBN 9789949213108, S.E.R.R., Tallinn J.-T. Tevet. Semiotic Modelling of the Structure. (2014) ISBN 9781503367456, Amazon Books J.-T. Tevet. Graafide identifitseerimine. (2017) ISBN 9789949816514, S.E.R.R., Tallinn B. Weisfeiler. On Construction and Identification of Graphs. Springer Lect. Notes Math., 558, 1976 Identification and systemization of the graphs (pdf)