Arv

Arv on üks matemaatika algmõisteid; see hõlmab loendamisel ehk lõplike hulkade võrdlemisel saadava naturaalarvu mõistet ning selle mitmesuguseid üldistusi, sealhulgas täisarv, ratsionaalarv ja kompleksarv. Arve kasutatakse peale loendamise ka mõõtmiseks. Matemaatikas võetakse neid tavaliselt abstraktsete objektidena. Matemaatikas ei defineerita arve, vaid näiteks naturaalarve ja täisarve. Eri tüüpe arve defineeritakse aksiomaatika abil või konstrueeritakse näiteks hulga mõiste abil või juba defineeritud tüüpi arvudest. : C {\displaystyle \mathbb {C} } – kompleksarvud, nt 1 + i 3 {\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}} R {\displaystyle \mathbb {R} } – reaalarvud, nt 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , e {\displaystyle e} , π {\displaystyle \pi } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } – ratsionaalarvud, nt 1,333..., –7/11 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } – täisarvud , nt −2, −1, 0, 1, 2 N {\displaystyle \mathbb {N} } – naturaalarvud, nt 0, 1, 2 või 1, 2, 3]] Tähtsamad arvuvallad paigutuvad alamhulkadena üksteise sisse, näiteks naturaalarvud on ka täisarvud, täisarvud on ka ratsionaalarvud jne.  Pikemalt artiklis Naturaalarv Kõige tuntumad arvud on naturaalarvud 0, 1, 2, ..., mida kasutatakse loendamiseks ja mis moodustavad hulga N {\displaystyle \mathbb {N} } (mõnikord jäetakse 0 naturaalarvude hulgast välja).  Pikemalt artiklis Täisarv Kui naturaalarvudele lisada negatiivsed arvud, saadakse täisarvud, mis moodustavad hulga Z {\displaystyle \mathbb {Z} } .  Pikemalt artiklis Ratsionaalarv Täisarvude jagatisi nimetatakse ratsionaalarvudeks. Need moodustavad hulga Q {\displaystyle \mathbb {Q} } .  Pikemalt artiklis Reaalarv Kui lisada mitteperioodilised lõpmatud kümnendmurrud, saadakse reaalarvud, mis moodustavad hulga R {\displaystyle \mathbb {R} } . Reaalarvud jagunevad ratsionaal- ja irratsionaalarvudeks.  Pikemalt artiklis Kompleksarv Kui lisada reaalarvudele kõikide reaalarvuliste koefitsientidega algebraliste võrrandite lahendid, saame kompleksarvud, mis moodustavad hulga C {\displaystyle \mathbb {C} } . Üldistades võib arve käsitleda kui abstraktseid objekte, mida seostatakse mingi konkreetse kvantiteediga. Üheks arvu mõiste üldistuseks on hüperkompleksarv, mis kuulub mõnda ühikelemendiga lõplikumõõtmelisse algebrasse üle reaalarvude korpuse R {\displaystyle \mathbb {R} } . Kardinaalarv mõõdab hulkade võimsust. Aritmeetilisi tehteid arvudega, nagu näiteks liitmist ja korrutamist, üldistab üldalgebra ehk abstraktne algebra, mis tegeleb algebraliste struktuuridega, näiteks rühmade, ringide ja korpustega. Arvu mõiste on arenenud koos matemaatikaga. Naturaalarvu mõiste tekkis vajadusest esemeid loendada. Kõik rahvad, kes on tundnud kirja, on vallanud naturaalarvu mõistet ning kasutanud mingit arvutamissüsteemi.[viide?] Ratsionaalarvude kasutamise kohta on andmeid perioodist enam kui 3000 aastat tagasi.[viide?] Negatiivsete arvude kasutamise kohta on teateid II sajandist ekr.[viide?] Hiina matemaatikute töödest. Euroopasse jõudsid negatiivsed arvud nähtavasti araablaste vahendusel Indiast. Neid hakati Euroopa matemaatikute hulgas laialdaselt kasutama alles pärast prantsuse matemaatiku R. Descartesi (1596–1650) tööde ilmumist. Üksikuid irrratsionaalarve tunti ja kasutati juba antiikajal. Seda mitmetest geomeetrilistest ülesannetest lähtudes. Reaalarvude matemaatiliselt korrektse käsitluse andsid 19. sajandi teisel poolel R. Dedekind (1831–1916), G. Cantor (1845–1918) ja K. Weierstrass (1815–1897). Esimesed teated imaginaararvu kasutamisest ulatuvad 16. sajandisse.[viide?] On teada, et 1545. aastal avaldas Itaalia matemaatik G. Cardano (1501–1576) töö, milles vaadeldi võrrandit x3-12x+16=0. Lahendamisel kasutas ta avaldist − 243 {\displaystyle {\sqrt {-243}}} ning leidis selle abil lahendid x 1 = x 2 = 2 {\displaystyle x_{1}=x_{2}=2} , x 3 = − 4 {\displaystyle x_{3}=-4} . Laialdaselt kasutas kompleksarve Peterburi Teaduste akadeemia akadeemik L. Euler (1707–1783), kes muuhulgas võttis kasutusele sümboli i imagnaarühiku tähisena. Alles 18. sajandi lõpus anti kompleksarvude geomeetriline tõlgendus.[viide?] 0 1 2 3 4 5 10 100 1000 gross 1/2 ruutjuur kahest kuldlõike suhtarv φ π e googol Arvude loend Arvusüsteem Arvu standardkuju Suurte arvude nimetused Ideaalarvud Kaasik, Ü. (2002). Matemaatikaleksikon. Tartu.