Päratu integraal

Olgu funktsioon   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} määratud ja pidev piirkonnas [ a , ∞ ) , {\displaystyle [a,\infty ),} siis funktsiooni päratuks integraaliks piirkonnas [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} nimetatakse piirväärtust ∫ a ∞ f ( x ) d x = lim b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.} Kui piirväärtus on olemas, siis öeldakse, et päratu integraal koondub. Kui seda piirväärtust ei eksisteeri või kui ta on lõpmatu, siis öeldakse, et päratu integraal hajub. ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 = lim b → + ∞ ∫ 0 b d x 1 + x 2 = lim b → + ∞ arctan ⁡ x | 0 b = lim b → + ∞ ( arctan ⁡ b − arctan ⁡ 0 ) = π 2 − 0 = π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to +\infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to +\infty }\arctan x{\Big |}_{0}^{b}=\lim _{b\to +\infty }(\arctan b-\arctan 0)={\frac {\pi }{2}}-0={\frac {\pi }{2}}.} Seega antud päratu integraal koondub ja selle väärtus on π/2. Analoogselt defineeritakse päratu integraal piirkonnas ( − ∞ , b ] : {\displaystyle (-\infty ,b]:} ∫ − ∞ b f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a b f ( x ) d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{b}f(x)dx.} Vahemikus ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle (-\infty ,+\infty )} defineeritakse päratu integraal järgmiselt (kasutades aditiivsust): ∫ − ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ c f ( x ) d x + ∫ c ∞ f ( x ) d x = lim a → − ∞ ∫ a c f ( x ) d x + lim b → + ∞ ∫ c b f ( x ) d x , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\int _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int _{c}^{\infty }f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{c}f(x)dx+\lim _{b\to +\infty }\int _{c}^{b}f(x)dx,} kus   c {\displaystyle \ c} on suvaliselt valitud arv. Kui piirkonnas [ a , ∞ ) {\displaystyle [a,\infty )} on funktsiooni   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} graafik x-telje kohal ( f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} ), siis on päratu integraali geomeetriline tähendus analoogiline määratud integraali geomeetrilise tähendusega. Päratu integraal ∫ a ∞ f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx} on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg, vertikaalne sirge x=a ja funktsiooni   f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} graafik. ∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2 d x = ∫ − ∞ 0 d x 1 + x 2 + ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}} on võrdne sellise xy-tasandi piirkonna pindalaga, mida piiravad x-telg ja funktsiooni f ( x ) = 1 1 + x 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}} graafik. Eespool selgus, et ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 = π 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}={\frac {\pi }{2}}.} Seega ∫ − ∞ ∞ 1 1 + x 2 d x = ∫ − ∞ 0 d x 1 + x 2 + π 2 = lim a → − ∞ ∫ a 0 d x 1 + x 2 + π 2 = lim a → − ∞ arctan ⁡ x | a 0 + π 2 = 0 − ( − π 2 ) + π 2 = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{1+x^{2}}}dx=\int _{-\infty }^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {\pi }{2}}=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}{\frac {dx}{1+x^{2}}}+{\frac {\pi }{2}}=\lim _{a\to -\infty }\arctan x{\Big |}_{a}^{0}+{\frac {\pi }{2}}=0-(-{\frac {\pi }{2}})+{\frac {\pi }{2}}=\pi .} Määramata integraal