Taylori valem

Taylori valem annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme. Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis: f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.} , mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju: f ( x ) ≈ ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n {\displaystyle f(x)\approx \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}} Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse f ( x ) {\displaystyle f(x)} vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui n ≥ 0 on täisarv ja f {\displaystyle f\,} on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv ξ ∈ ( a , x ) {\displaystyle \xi \in (a,x)} nii, et R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 . {\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.} Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}+R_{n}(x)} Erijuhul, a = 0, saame Maclaurini valemi: f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}+R_{n}(x)} Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni e x {\displaystyle e^{x}\,} lähendamine x = 0 juures: e x ≈ 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! . {\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.} sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯  iga  x -i korral. {\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}} cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯  iga  x -i korral. {\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}} tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯  igale x-ile vahemikus  | x | < π 2 {\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ igale x-ile vahemikus }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!} Kus Bs on Bernoulli numbrid. Taylori valem esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1 reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses diferentseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n. Maclaurini rida Laurent'i rida Analüütiline funktsioon