Ellips

Ellipsiks nimetatakse tasandile kuuluvate punktide hulka, mille puhul iga punkti kauguste summa kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on jääv suurus, mis võrdub ellipsi läbimõõduga ehk pikema telje pikkusega. Ellips on ovaalide hulka kuuluv kinnine kõverjoon. See on üks koonuselõikeid. Ellipsi võrrand ristkoordinaadistikus on A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,} . Ellipsi mõiste ja sõna ἔλλειψις (élleipsis 'puudujääk') võttis kasutusele Apollonios Pergest. Nimetus on seotud ekstsentrilisusega ε < 1 {\displaystyle \varepsilon <1} . Looduses esinevad ellipsid häiritusteta Kepleri orbiitidena (ümber Päikese tiirlevate planeetide orbiitidena. Ka aksonomeetrias läheb ellipseid sageli tarvis, sest ringjoon kujutub paralleelprojektsiooni korral üldjuhul ellipsiks. Ellipsit saab defineerida mitut moodi. Peale definitsiooni punktide kauguse kaudu saab ellipsit defineerida ka ringjoone aksonomeetrilise kujutisena või lõikejoonena vastava kaldega tasandi ning kaksikkoonuse vahel. Ellipsi saab defineerida tasandi kõikide niisuguste punktide P {\displaystyle P} hulgana, mille kauguste summa kahest etteantud punktist F 1 {\displaystyle F_{1}} ja F 2 {\displaystyle F_{2}} võrdub etteantud konstandiga. Punkte F 1 {\displaystyle F_{1}} ja F 2 {\displaystyle F_{2}} nimetatakse fookusteks. E = { P ∣ F 1 P ¯ + F 2 P ¯ = konstant } . {\displaystyle E=\left\{P\mid {\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}={\text{konstant}}\right\}.} See konstant peab olema suurem kui F 1 F 2 ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}F_{2}}}} . Kui fookused langevad kokku, siis E {\displaystyle E} on ringjoon. See juhtum jäetakse sageli vaikimisi välja, sest enamik ütlusi ellipsite kohta on ringjoone juhtumil triviaalsed. Mõlemat fookust läbivat telge nimetatakse peateljeks ning keskpunkt M {\displaystyle M} jagab selle kaheks pikemaks poolteljeks M S 1 ¯ {\displaystyle {\overline {MS_{1}}}} ja M S 2 ¯ {\displaystyle {\overline {MS_{2}}}} . Punkte S 1 {\displaystyle S_{1}} und S 2 {\displaystyle S_{2}} nimetatakse peaharipunktideks. Kummagi pikema pooltelje pikkust tähistatakse a {\displaystyle a} : a = M S 1 ¯ = M S 2 ¯ . {\displaystyle a={\overline {MS_{1}}}={\overline {MS_{2}}}.} Analoogselt räägitakse kõrvalharipunktidest S 3 {\displaystyle S_{3}} ja S 4 {\displaystyle S_{4}} ning kõrvalteljest, mis koosneb lühematest pooltelgedest M S 3 ¯ {\displaystyle {\overline {MS_{3}}}} ja M S 4 ¯ {\displaystyle {\overline {MS_{4}}}} . Lühemate pooltelgede pikkust tähistatakse b {\displaystyle b} : b = M S 3 ¯ = M S 4 ¯ . {\displaystyle b={\overline {MS_{3}}}={\overline {MS_{4}}}.} Pea- ja kõrvaltelg on omavahel risti ja lõikuvad punktis M {\displaystyle M} . Definitioonivõrrandist koos sümmeetriakaalutlustega tuleneb, et kõrvalharipunktide S 3 {\displaystyle S_{3}} ja S 4 {\displaystyle S_{4}} kaugus fookustest F 1 {\displaystyle F_{1}} ja F 2 {\displaystyle F_{2}} võrdub suurusega a {\displaystyle a} definitsioonist: F 1 S 3 ¯ = F 2 S 3 ¯ = F 1 S 4 ¯ = F 2 S 4 ¯ = a {\displaystyle {\overline {F_{1}S_{3}}}={\overline {F_{2}S_{3}}}={\overline {F_{1}S_{4}}}={\overline {F_{2}S_{4}}}=a} Sümmeetriakaalutluste tõttu kehtib F 1 S 1 ¯ = S 2 F 2 ¯ {\displaystyle {\overline {F_{1}S_{1}}}={\overline {S_{2}F_{2}}}} F 1 S 1 ¯ + F 2 S 1 ¯ = F 1 S 1 ¯ + F 2 F 1 ¯ + F 1 S 1 ¯ = S 2 F 2 ¯ + F 2 F 1 ¯ + F 1 S 1 ¯ = 2 a . {\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {F_{1}S_{1}}}+{\overline {F_{2}S_{1}}}&={\overline {F_{1}S_{1}}}+{\overline {F_{2}F_{1}}}+{\overline {F_{1}S_{1}}}\\&={\overline {S_{2}F_{2}}}+{\overline {F_{2}F_{1}}}+{\overline {F_{1}S_{1}}}\\&=2a.\\\end{aligned}}} See tähendab, et punktihulga saab esitada konkreetsel kujul: E = { P ∣ F 1 P ¯ + F 2 P ¯ = 2 a } {\displaystyle E=\left\{P\mid {\overline {F_{1}P}}+{\overline {F_{2}P}}=2a\right\}} . Fookust läbiva ja peateljega risti oleva kõõlu poolpikkust p {\displaystyle p} nimetatakse ellipsi poolparameetriks, mõnikord ka lihtsalt parameetriks p: p = b 2 a {\displaystyle p={\tfrac {b^{2}}{a}}}  Pikemalt artiklis Ekstsentrilisus Ellipsi kuju saab kirjeldada arvuga, mida nimetatakse ekstsentrilisuseks. See näitab ellipsi fookuste vahelist suhtelist kaugust. See on ühest väiksem mittenegatiivne arv, mida tähistatakse tavaliselt tähega ε {\displaystyle \varepsilon } . Ellipsil, mille pikema pooltelje pikkus on a {\displaystyle a} ja lühema pooltelje pikkus on b {\displaystyle b} , on ekstsentrilisus ε = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} . Fookuste kaugust keskpunktist nimetatakse lineaarseks ekstsentrilisuseks ja tähistatakse e {\displaystyle e} . Lineaarse ekstsentrilisuse saab Pythagorase teoreemi järgi arvutada täisnurksest kolmnurgast Δ M   F 1   S 3 {\displaystyle \Delta M~F_{1}~S_{3}} : e = a 2 − b 2 . {\displaystyle e={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.} Dimensioonita suurus ekstsentrilisus ε = e a = a 2 − b 2 a ∈ [ 0 , 1 ) {\displaystyle \varepsilon ={\frac {e}{a}}={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}\in [0,1)} . Sellest järeldub: b = a 1 − ε 2 {\displaystyle b=a{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}} ; p = a ⋅ ( 1 − ε 2 ) {\displaystyle p=a\cdot (1-\varepsilon ^{2})} . Kui a = b {\displaystyle a=b} , siis ε = 0 {\displaystyle \varepsilon =0} ja ellips on ringjoon. Kui b = e {\displaystyle b=e} , siis ε = 1 2 {\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\sqrt {2}}}} ja ellipsit nimetatakse võrdkülgseks ellipsiks ehk ilusaima kujuga ellipsiks. Kui a {\displaystyle a} on palju suurem kui b {\displaystyle b} , siis ε {\displaystyle \varepsilon } on ligi 1 ning ellips on seega lähedane paraboolile. Ellipsit võib vaadelda tasandi lõikena koonusega (koonuselõige), kusjuures lõikenurk tasandi ja koonuse telje vahel peab olema suurem kui pool kaksikkoonuse avanurgast. Defineerivat omadust ("summa kaugustest kahe fikseeritud punktini...") saab Dandelini kerade abiga tõestada. Ka silindri lõikamisel tasandiga tekib ellips, kui lõige pole silindri teljega risti ja lõige ei läbi silindri tasapinnalisi osi (silindri põhjasid). Ellips, mille keskpunkt on koordinaatide alguspunkt ja mille peatelg langeb kokku x-teljega, nimetatakse ellipsit 1. peaasendis. Niisuguse ellipsi punktide koordinaatide kohta kehtib võrrand x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} . Teine ellipsi definitsioon kasutab afiinset kujutust. Ellipsit defineeritakse ühikringjoone afiinse kujutusena. Afiinsel kujutusel reaaltasandil on kuju x → → f → 0 + A x → {\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}} , kus A {\displaystyle A} on regulaarne maatriks (determinant ei ole 0) ja f → 0 {\displaystyle {\vec {f}}_{0}} suvaline vektor. Kui f → 1 , f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} on maatriksi A {\displaystyle A} veeruvektorid, siis kujutatakse ühikringjoon ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) , 0 ≤   t ≤ 2 π , {\displaystyle (\cos t,\sin t),0\leq \ t\leq 2\pi ,} ellipsile. x → = p → ( t ) = f → 0 + f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ t {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t} . f → 0 {\displaystyle {\vec {f}}_{0}} on keskpunkt ja f → 1 , f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} on ellipsi kaks konjugeeritud diameetrit. f → 1 , f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}} ei asetse üldjuhul omavahel risti. See tähendab, f → 0 ± f → 1 {\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{1}} ja f → 0 ± f → 2 {\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm {\vec {f}}_{2}} ei ole üldjuhul ellipsi haripunktid. See ellipsi definitsioon annab suvalise ellipsi lihtsa parameetrilise esituse. Et haripunktis on puutuja vastava diameetriga risti ja puutuja suund ellipsi punktis on p → ′ ( t ) = − f → 1 sin ⁡ t + f → 2 cos ⁡ t {\displaystyle {\vec {p}}'(t)=-{\vec {f}}_{1}\sin t+{\vec {f}}_{2}\cos t} , saadakse haripunkti parameeter t 0 {\displaystyle t_{0}} võrrandist p → ′ ( t ) ⋅ ( p → ( t ) − f → 0 ) = ( − f → 1 sin ⁡ t + f → 2 cos ⁡ t ) ⋅ ( f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ t ) = 0 {\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot ({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0})=(-{\vec {f}}_{1}\sin t+{\vec {f}}_{2}\cos t)\cdot ({\vec {f}}_{1}\cos t+{\vec {f}}_{2}\sin t)=0} ja seega võrrandist cot ⁡ ( 2 t 0 ) = f → 1 2 − f → 2 2 2 f → 1 ⋅ f → 2 {\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}} . (Kasutati valemeid cos 2 ⁡ t − sin 2 ⁡ t = cos ⁡ 2 t ,   2 sin ⁡ t cos ⁡ t = sin ⁡ 2 t {\displaystyle \cos ^{2}t-\sin ^{2}t=\cos 2t,\ 2\sin t\cos t=\sin 2t} .) Kui f → 1 ⋅ f → 2 = 0 {\displaystyle {\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}=0} , siis t 0 = 0 {\displaystyle t_{0}=0} ja parameetriline esitus on juba haripunktikujul. Ellipsi neli haripunkti on p → ( t 0 ) , p → ( t 0 ± π 2 ) , p → ( t 0 + π ) . {\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),{\vec {p}}(t_{0}+\pi ).} Ellipsi parameetrilise esituse haripunktikuju on x → = p → ( t ) = f → 0 + ( p → ( t 0 ) − f → 0 ) cos ⁡ ( t − t 0 ) + ( p → ( t 0 + π 2 ) − f → 0 ) sin ⁡ ( t − t 0 ) . {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+({\vec {p}}(t_{0})-{\vec {f}}_{0})\cos(t-t_{0})+({\vec {p}}(t_{0}+{\tfrac {\pi }{2}})-{\vec {f}}_{0})\sin(t-t_{0}).} Näited: f → 0 = ( 0 0 ) ,   f → 1 = ( a 0 ) ,   f → 2 = ( 0 b ) {\displaystyle {\vec {f}}_{0}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}},\ {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\b\end{pmatrix}}} annab ellipsi tavalise parameetrilise esituse võrrandiga x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 : x → = p → ( t ) = ( a cos ⁡ t b sin ⁡ t ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1:\quad {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\begin{pmatrix}a\cos t\\b\sin t\end{pmatrix}}} . Koonuselõigete kontekstis nimetatakse koonuse keskteljega risti oleva tasandi lõiget, ringjoont, ellipsi erijuhtumiks: kattuvate fookustega ellipsiks. Sellise ellipsi ekstsentrilisus on 0 ja fookuse mõiste kattub ringjoone keskpunkti mõistega. Kui ellipsi ekstsentrilisus läheneb ühele, venib ellips aina pikemaks, säilitades siiski kinnise lapiku joone kuju. Kui koonust lõikava tasapinna nurk saab paralleelseks koonuse moodustajaga, saab kõverjoone ekstsentrilisus väärtuseks 1 ja lapik kinnine joon katkeb, muutudes u-tähe kujuliseks parabooliks, mille haarad kokku ei puutu. Ellipsograaf Ovaal Elliptilised koordinaadid I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (asutaja), Günter Grosche (ümbertöötaja), Eberhard Zeidler (toim). Taschenbuch der Mathematik, Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, lk 24. Vaata: C. Leopold, lk 55. [1] [2] (ingliskeelne lehekülg mathworld.wolfram)