Plokkmaatriks

Maatriksite teoorias (matemaatika harus) nimetatakse plokkmaatriksiks maatriksit, mille elementideks on omakorda maatriksid. Viimaseid nimetatakse plokkideks. Iga maatriksit saab käsitleda plokkmaatriksina, mis koosneb ühest plokist. Maatriksi A = ( 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3 4 4 3 3 4 4 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2&2\\1&1&2&2\\3&3&4&4\\3&3&4&4\end{pmatrix}}} saab jaotada neljaks 2×2 plokiks A 11 = ( 1 1 1 1 ) , A 12 = ( 2 2 2 2 ) , A 21 = ( 3 3 3 3 ) , A 22 = ( 4 4 4 4 ) . {\displaystyle A_{11}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}},A_{12}={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}},A_{21}={\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}},A_{22}={\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}}.} Maatriksi A saab nüüd plokkmaatriksina ümber kirjutada: A = ( A 11 A 12 A 21 A 22 ) . {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.} Olgu iga i = 1 , . . . , k {\displaystyle i=1,...,k} , j = 1 , . . . , l {\displaystyle j=1,...,l} jaoks antud mi × nj-maatriks A i j {\displaystyle A_{ij}} ( m i {\displaystyle m_{i}} ja n j {\displaystyle n_{j}} on naturaalarvud, mis sõltuvad vastavalt i {\displaystyle i} -st ja j {\displaystyle j} -st). Plokkmaatriksiks nimetatakse maatriksit A = ( A i j ) {\displaystyle A=(A_{ij})} ; maatrikseid A i j {\displaystyle A_{ij}} nimetatakse maatriksi A {\displaystyle A} plokkideks. Plokkmaatriksite korrutamist saab teostada plokkide kaudu. Olgu antud m × k-maatriks A {\displaystyle A} , mille ridades on q plokki ja veergudes p plokki A = ( A 11 A 12 ⋯ A 1 s A 21 A 22 ⋯ A 2 s ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A q 1 A q 2 ⋯ A q s ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1s}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2s}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{q1}&A_{q2}&\cdots &A_{qs}\end{pmatrix}}} , ning k × n-maatriks B {\displaystyle B} , mille read on jaotatud q ja veerud p plokiks B = ( B 11 B 12 ⋯ B 1 r B 21 B 22 ⋯ B 2 r ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ B s 1 B s 2 ⋯ B s r ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1r}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2r}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{s1}&B_{s2}&\cdots &B_{sr}\end{pmatrix}}} , siis maatrikskorrutise C = A B {\displaystyle C=AB\,} saab leida plokkhaaval, kusjuures C {\displaystyle C} on m × n-maatriks, mille ridades on q plokki ja veergudes p plokki. Maatriksi C {\displaystyle C} plokid on C α β = ∑ γ = 1 s A α γ B γ β . {\displaystyle C_{\alpha \beta }=\sum _{\gamma =1}^{s}A_{\alpha \gamma }B_{\gamma \beta }.} Plokk-diagonaalne maatriks ehk kast-diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, mille peadiagonaali elementideks on ruutmaatriksid (plokid) nii, et kõik ülejäänud elemendid on nullid. Plokk-diagonaalse maatriksi üldine kuju on A = ( A 1 0 ⋯ 0 0 A 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ A n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1}&0&\cdots &0\\0&A_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{n}\end{pmatrix}}} , kus iga A i {\displaystyle A_{i}} on ruutmaatriks; teisisõnu on see maatriksite A 1 {\displaystyle A_{1}} , ... , A n {\displaystyle A_{n}} otsesumma, mida võib tähistada, kui A 1 ⊕ A 2 ⊕ . . . ⊕ A n {\displaystyle A_{1}\oplus A_{2}\oplus ...\oplus A_{n}} või sarnaselt diagonaalsete maatriksitega diag ⁡ ( A 1 , A 2 , . . . , A n ) {\displaystyle \operatorname {diag} (A_{1},A_{2},...,A_{n})} . Iga ruutmaatriksit võib käsitleda kui ühest plokist koosnevat diagonaalset plokkmaatriksit. Plokk-diagonaalse maatriksi determinandi ja jälje jaoks kehtib det ⁡ A = det ⁡ A 1 ⋯ det ⁡ A n {\displaystyle \operatorname {det} A=\operatorname {det} A_{1}\cdots \operatorname {det} A_{n}} , tr ⁡ A = tr ⁡ A 1 + ⋯ + tr ⁡ A n {\displaystyle \operatorname {tr} A=\operatorname {tr} A_{1}+\cdots +\operatorname {tr} A_{n}} . Plokk-kolmnurkmaatriksid on kolmnurkmaatriksid, mille elementideks on plokid (ehk maatriksid). Analoogselt kolmnurkmaatriksitega saab rääkida ülemistest ja alumistest plokk-kolmnurkmaatriksitest.  Pikemalt artiklis otsesumma Iga maatriksi A {\displaystyle A} (m × n-järku) ja B {\displaystyle B} (p × q-järku), saab konstrueerida maatriksite A {\displaystyle A} ja B {\displaystyle B} otsesumma A ⊕ B = ( A 0 0 B ) = ( a 11 ⋯ a 1 n 0 ⋯ 0 ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ a m 1 ⋯ a m n 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 b 11 ⋯ b 1 q ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 0 ⋯ 0 b p 1 ⋯ b p q ) . {\displaystyle A\oplus B={\begin{pmatrix}A&0\\0&B\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}&0&\cdots &0\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}&0&\cdots &0\\0&\cdots &0&b_{11}&\cdots &b_{1q}\\\vdots &\cdots &\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{p1}&\cdots &b_{pq}\end{pmatrix}}.} Näiteks ( 1 3 2 2 3 1 ) ⊕ ( 1 6 0 1 ) = ( 1 3 2 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 1 ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\2&3&1\end{pmatrix}}\oplus {\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&2&0&0\\2&3&1&0&0\\0&0&0&1&6\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}}.} Paneme tähele, et maatriksite vektorruumide otsesumma on väljendatav maatriksite otsesummana.  Pikemalt artiklis tensorkorrutis Maatriksid. Plokkmaatriks Tartu Ülikooli õppematerjalis Vaadatud 07.01.2022. Ülo Kaasik. Matemaatikaleksikon. Valgus. 1982.