Lihtne juhuslik valik

Lihtne juhuslik valik on selline valikuprotseduur, kus kõik n {\displaystyle n} -mahulised valimid N {\displaystyle N} -mahulisest üldkogumist on võrdtõenäosed. Eristatakse kahte liiki lihtsat juhuslikku valikut: tagasipanekuta ja tagasipanekuga valik. Esimesel juhul valitud objekt eemaldatakse üldkogumist, teisel juhul mitte. Olgu üldkogum U = { 1 , 2 , … , N } {\displaystyle U=\{1,2,\dots ,N\}} .Kõigi n {\displaystyle n} mahuliste valimite arv, mida U {\displaystyle U} -st saab moodustada on M = C N n {\displaystyle M=C_{N}^{n}} . Olgu S = { s 1 , … , s M } {\displaystyle S=\{s_{1},\dots ,s_{M}\}} kõigi võimalike valimite hulk. Lihtsa juhusliku valiku korral on kaasamistõenäosus järgmine: π i = n N ∀ i {\displaystyle \pi _{i}={\frac {n}{N}}\quad \forall i} ning teist järku kaasamistõenäosus on π i j = n ( n − 1 ) N ( N − 1 ) ∀ i ≠ j {\displaystyle \pi _{ij}={\frac {n(n-1)}{N(N-1)}}\quad \forall i\neq j} Loetleda kõikvõimalikud valimid mahuga n {\displaystyle n} (selliseid võimalusi on C N n {\displaystyle C_{N}^{n}} ) ja siis valida üks valim võrdse tõenäosusega. i = 1 ⇒ {\displaystyle i=1\Rightarrow } valime tõenäosusega 1 / N {\displaystyle 1/N} ja eemaldame üldkogumist; i = 2 , . . . , n ⇒ {\displaystyle i=2,...,n\Rightarrow } valime tõenäosusega 1 N − ( i − 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{N-(i-1)}}} ja eemaldame iga kord üldkogumist. ∀ i = 1 , . . . , N {\displaystyle \forall i=1,...,N} seame vastavusse juhusliku arvu u i ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle u_{i}\sim U(0,1)} . i = 1 {\displaystyle i=1} : kui u 1 < n / N {\displaystyle u_{1}<n/N} , siis 1. element on valimis i = 2 , . . . , N {\displaystyle i=2,...,N} : kui u i < n − n i N − i + 1 {\displaystyle u_{i}<{\frac {n-n_{i}}{N-i+1}}} , siis i . {\displaystyle i.} s element on valimis. Siin n i {\displaystyle n_{i}} on elementide arv, mis on valitud üldkogumi esimese i − 1 {\displaystyle i-1} objekti seast. ∀ i = 1 , . . . , N {\displaystyle \forall i=1,...,N} seame vastavusse juhuslikud arvud u 1 , . . . , u N , u i ∼ U ( 0 , 1 ) {\displaystyle u_{1},...,u_{N},\quad u_{i}\sim U(0,1)} . Järjestame üldkogumi objektid ümber u i {\displaystyle u_{i}} järgi kasvavalt: u ( i 1 ) < u ( i 2 ) < . . . < u ( i N ) . {\displaystyle u_{(i_{1})}<u_{(i_{2})}<...<u_{(i_{N})}.} Võtame valimisse esimest n {\displaystyle n} objekti. Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub kogusumma t = ∑ U y i {\displaystyle t=\sum _{U}y_{i}} nihketa hinnang kujul t ^ = N y ¯ , {\displaystyle {\hat {t}}=N{\overline {y}},} kus y ¯ = ∑ s y i {\displaystyle {\overline {y}}=\sum _{s}y_{i}} on valimi keskmine. Kogusumma hinnangu dispersioon on D ( t ^ ) = N 2 ( 1 − f ) S y U 2 / n {\displaystyle D({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S_{yU}^{2}/n} ja dispersiooni hinnang on D ^ ( t ^ ) = N 2 ( 1 − f ) S y s 2 / n , {\displaystyle {\hat {D}}({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S_{ys}^{2}/n,} kusjuures f = n N {\displaystyle f={\frac {n}{N}}} on valikusuhe, S y U 2 = 1 N − 1 ∑ U ( y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle S_{yU}^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{U}(y_{i}-{\overline {Y}})^{2}} on tunnuse y {\displaystyle y} dispersioon üldkogumis ja S y s 2 = 1 n − 1 ∑ s ( y i − y ¯ ) 2 {\displaystyle S_{ys}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{s}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}} on tunnuse y {\displaystyle y} dispersioon valimis. Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub keskmine Y ¯ = Y N {\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {Y}{N}}} nihketa hinnang kujul Y ¯ ^ = 1 n ∑ s y i = y ¯ . {\displaystyle {\hat {\overline {Y}}}={\frac {1}{n}}\sum _{s}y_{i}={\overline {y}}.} Valimi keskmise dispersiooni ja dispersiooni hinnangu avaldised on järgmised: D y ¯ ^ = ( 1 − f ) S y U 2 / n , {\displaystyle D{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S_{yU}^{2}/n,} D ^ y ¯ ^ = ( 1 − f ) S y s 2 / n {\displaystyle {\hat {D}}{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S_{ys}^{2}/n} . Tagasipanekuga disainide korral objektid võivad sattuda valimisse korduvalt, seetõttu on valikuindikaator I i {\displaystyle I_{i}} juhuslik suurus, mille realisatsioonid võivad olla hulgast { 0 , 1 , 2 , . . } {\displaystyle \{0,1,2,..\}} . Praktikas on väga levinud kahte tüüpi tagasipanekuga disainid: multinoomiaal- ja hüpergeomeetriline disain. [konspekt] Valikutõenäosused p i {\displaystyle p_{i}} on fikseeritud iga i {\displaystyle i} jaoks, i ∈ U {\displaystyle i\in U} kogu valikuprotsessis, ∑ i = 1 N p i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}p_{i}=1} . Objekt valitakse vastavalt p i {\displaystyle p_{i}} -le, registreeritakse ja seejärel pannakse tagasi üldkogumisse. Protsessi korratakse n {\displaystyle n} korda (kuni valim on käes). Iga element saab olla valitud kuni m i {\displaystyle m_{i}} korda. Olgu m = ∑ i = 1 N m i {\displaystyle m=\sum _{i=1}^{N}m_{i}} . Tähistame I ∼ H G ( n ; m 1 , m 2 , . . . , m N ) {\displaystyle I\sim HG(n;m_{1},m_{2},...,m_{N})} , kus jaotuse tõenäosusfunktsioon on järgmine: p ( k ) = P ( I = k ) = ∏ i = 1 N C m i k i C m n {\displaystyle p(k)=P(I=k)={\frac {\prod _{i=1}^{N}C_{m_{i}}^{k_{i}}}{C_{m}^{n}}}} , kui | k | = n {\displaystyle |k|=n} . Lihtsa juhusliku valiku tagasipanekuga korral nihketa hinnang üldkogumi kogusummale t = ∑ U y i {\displaystyle t=\sum _{U}y_{i}} avaldub järgmiselt: t ^ = N y ¯ . {\displaystyle {\hat {t}}=N{\overline {y}}.} Hinnangu t ^ {\displaystyle {\hat {t}}} dispersioon on järgmine: V ( t ^ ) = ( N ( N − 1 ) ) / n S y 2 {\displaystyle V({\hat {t}})=(N(N-1))/nS_{y}^{2}} , ja dispersiooni hinnang: V ^ ( t ^ ) = N 2 / ( n ( n − 1 ) ) s y 2 {\displaystyle {\hat {V}}({\hat {t}})=N^{2}/(n(n-1))s_{y}^{2}} , kus y ¯ = 1 / n ∑ s y i {\displaystyle {\overline {y}}=1/n\sum _{s}y_{i}} on valimi keskmine, Y ¯ = 1 / N ∑ U y i {\displaystyle {\overline {Y}}=1/N\sum _{U}y_{i}} on üldkogumi keskmine, S y 2 = 1 / ( N − 1 ) ∑ U ( y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle S_{y}^{2}=1/(N-1)\sum _{U}(y_{i}-{\overline {Y}})^{2}} on tunnuse y {\displaystyle y} dispersioon üldkogumis ja s y 2 = 1 / ( n − 1 ) ∑ s ( y i − y ¯ ) 2 {\displaystyle s_{y}^{2}=1/(n-1)\sum _{s}(y_{i}-{\overline {y}})^{2}} on tunnuse y {\displaystyle y} dispersioon valimis. Hansen M.H., Hurwitz W.N., Madow W.G. (1953). Sample Survey Methods and Theory.{{raamatuviide}}: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link) Traat I., Inno J. Tõenäosuslik valikuuring. Natalja Lepik. Konspekt aines Valikuuuringu teooria I.