Tensor

Tensor on lineaaralgebras matemaatiline objekt, mis üldistab skalaari, vektori, maatriksi ja bilineaarse vormi mõistet. Paljusid füüsikalisi suurusi on loomulik vaadelda kahe vektorihulga vaheliste vastavustena. Näiteks pingetensor väljendab sisend- ja väljundvektorite vahelist seost. Tensori mõiste võtsid kasutusele Bernhard Riemann ja Elwin Bruno Christoffel ning seda arendasid edasi Tullio Levi-Civita ja Gregorio Ricci-Curbastro. Nende eesmärk oli formuleerida diferentsiaalmuutkonna diferentsiaalgeomeetrilised omadused Riemanni kõverustensori abil. Et tensorid väljendavad vektoritevahelist seost, on nad sõltumatud koordinaadistiku valikust. Tensorit on võimalik esitada selle järgi, mida ta teeb vektorruumi baasiga või taustsüsteemiga. Saadakse suurus, mis korrastatakse mitmemõõtmeliseks massiiviks. Tensori sõltumatus koordinaatidest avaldub siis kovariantse teisendusena, mis seob ühes koordinaadistikus arvutatud massiivi teises koordinaadistikus arvutatud massiiviga. Tensori järk on selle esitamiseks vajaliku massiivi mõõde. Skalaar on 0-järku tensor, sest tema suurus on ainus komponent, nii et teda saab esitada 0-mõõtmelise arvusüsteemina. Vektor on esimest järku tensor, sest teda saab koordinaatide abil esitada komponentide ühemõõtmelise massiivina. Maatriks on teist järku tensor, sest teda saab esitada kahemõõtmelise massiivina. Ja nii edasi: k-järku tensor on esitatav komponentide k-mõõtmelise massiivina. Tensori järk on tema komponendi spetsifitseerimiseks vajalike indeksite arv. Termin "tensor" ei ole päris ühemõtteline; matemaatikas ja füüsikas mõistetakse seda erinevalt. "Matemaatikaentsüklopeedia" järgi on "tensorarvutusel" kaks tähendust: see on "tensoreid ja tensorvälju uuriva matemaatikaharu traditsiooniline nimetus (...). Tensorarvutus jaguneb tensoralgebraks (mis on multilineaarse algebra põhiosa) ja tensoranalüüsiks, mis uurib diferentsiaaloperaatoreid tensorväljade algebral." Multilineaarses algebras ja diferentsiaalgeomeetrias mõistetakse tensori all eelkõige vektorruumide tensorkorrutist. Füüsikas mõeldakse tensori all sageli seda, mida matemaatik nimetaks tensorväljaks: see seab ruumi igale punktile vastavusse teatud matemaatilise tensori, nii et tensor on punkti pidev funktsioon. ( n , m ) {\displaystyle (n,m)} -tüüpi tensor üle d {\displaystyle d} -mõõtmelise vektorruumi V {\displaystyle V} on m {\displaystyle m} ruumi V {\displaystyle V} ja n {\displaystyle n} kaasruumi V ∗ {\displaystyle V^{*}} (st lineaarsete funktsionaalide (1-vormide ruumide ruumil V {\displaystyle V} ) tensorkorrutise element τ ∈ T n m ( V ) = V ⊗ … ⊗ V ⏟ ⊗ V ∗ ⊗ … ⊗ V ∗ ⏟ m n {\displaystyle {\begin{matrix}\tau \in T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \ldots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \ldots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}} Arvude summat n + m {\displaystyle n+m} nimetatakse tensori järguks või tensori valentsiks ("tensori valentsil" on ka teine tähendus). ( n , m ) {\displaystyle (n,m)} -tüüpi tensorit nimetatakse n {\displaystyle n} korda kovariantseks ja m {\displaystyle m} korda kontravariantseks. Täpselt nii, nagu ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} -tüüpi kovariantset tensorit võib esitada lineaarse funktsioonina, on ( n , 0 ) {\displaystyle (n,0)} -tüüpi tensorit τ {\displaystyle \tau } mugav kujutleda n {\displaystyle n} vektoriaalse argumendi v i ∈ V {\displaystyle v_{i}\in V} funktsioonina τ ( v 1 , v 2 , … , v n ) {\displaystyle \tau (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})} , mis on lineaarne iga argumendi v i {\displaystyle v_{i}} järgi (selliseid funktsioone nimetatakse multilineaarseteks funktsioonideks), st mis tahes konstandi c {\displaystyle c} korral korpusest F {\displaystyle F} (üle mille on vektorruum defineeritud) τ ( v 1 , … , c v A , … , v n ) = c τ ( v 1 , … , v A , … , v n ) {\displaystyle \tau (v_{1},\ldots ,cv_{A},\ldots ,v_{n})=c\tau (v_{1},\ldots ,v_{A},\ldots ,v_{n})} τ ( v 1 , … , v A + v A ′ , … , v n ) = τ ( v 1 , … , v A , … , v n ) + τ ( v 1 , … , v A ′ , … , v n ) . {\displaystyle \tau (v_{1},\ldots ,v_{A}+v_{A}',\ldots ,v_{n})=\tau (v_{1},\ldots ,v_{A},\ldots ,v_{n})+\tau (v_{1},\ldots ,v_{A}',\ldots ,v_{n}).} Samamoodi esitub mis tahes valentsiga ( n , m ) {\displaystyle (n,m)} tensor τ {\displaystyle \tau } n {\displaystyle n} vektori ja m {\displaystyle m} kovektori multilineaarse funktsionaalina τ ( v 1 , v 2 , … , v n , ω 1 , ω 2 , … , ω m ) {\displaystyle \tau (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n},\omega ^{1},\omega ^{2},\ldots ,\omega ^{m})} τ : V n × ( V ∗ ) m → F {\displaystyle \tau :V^{n}\times (V^{*})^{m}\to F} Valime ruumis V {\displaystyle V} baasi { e 1 , e 2 , … , e d } {\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{d}\}} , ja vastavalt { f 1 , f 2 , … , f d } {\displaystyle \{\mathbf {f} ^{1},\mathbf {f} ^{2},\ldots ,\mathbf {f} ^{d}\}} on duaalne baas kaasruumis V ∗ {\displaystyle V^{*}} (s.o ( e a ⋅ f b ) = δ a b {\displaystyle (\mathbf {e} _{a}\cdot \mathbf {f} ^{b})=\delta _{a}^{b}} , kus δ a b {\displaystyle \delta _{a}^{b}} on Kroneckeri sümbol). Siis tekib ruumide ( ⨂ i = 1 n V ) ⊗ ( ⨂ i = 1 m V ∗ ) {\displaystyle (\bigotimes _{i=1}^{n}V)\otimes (\bigotimes _{i=1}^{m}V^{*})} korrutises T n m ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{m}(V)} loomulikul viisil baas { e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ … ⊗ e i n ⊗ f j 1 ⊗ f j 2 ⊗ … ⊗ f j m } , 1 ⩽ i a , j b ⩽ d {\displaystyle \{\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{n}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{m}}\},\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant d} . Kui defineerida tensor multilineaarse funktsioonina, siis tema komponendid on määratud selle funktsiooni väärtustega baasil T n m ( V ) {\displaystyle \mathrm {T} _{n}^{m}(V)} : τ j 1 , j 2 , … , j n i 1 , i 2 , … , i m = τ ( e j 1 , e j 2 , … , e j n , f i 1 , f i 2 , … , f i m ) , 1 ⩽ i a , j b ⩽ d . {\displaystyle {\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}}=\tau (\mathbf {e} _{j_{1}},\mathbf {e} _{j_{2}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{n}},\mathbf {f} ^{i_{1}},\mathbf {f} ^{i_{2}},\ldots ,\mathbf {f} ^{i_{m}}),\quad 1\leqslant i_{a},j_{b}\leqslant d.} Pärast seda võib tensori esitada baastensorkorrutiste lineaarse kombinatsioonina: T = ∑ j 1 , j 2 , … , j n ∑ i 1 , i 2 , … , i m τ j 1 , j 2 , … , j n i 1 , i 2 , … , i m e i 1 ⊗ e i 2 ⊗ … ⊗ e i m ⊗ f j 1 ⊗ f j 2 ⊗ … ⊗ f j n . {\displaystyle T=\sum _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}}^{}\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}}^{}{\tau _{j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n}}}^{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{m}}\mathbf {e} _{i_{1}}\,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {e} _{i_{m}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{1}}\,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{2}}\,\otimes \,\ldots \,\otimes \,\mathbf {f} ^{j_{n}}.} Tensori komponentide alaindekseid nimetatakse kovariantseteks, ülaindekseid kontravariantseteks. Näiteks mingi kahekordselt kovariantse tensori h {\displaystyle h} lahutus on järgmine: h = ∑ j , k h j k f j ⊗ f k {\displaystyle h=\sum _{j,k}h_{jk}\mathbf {f} ^{j}\otimes \mathbf {f} ^{k}} Füüsikakirjanduses levinum klassikaline lähenemine tensori defineerimisele alustab tensori esitamisest komponentide kaudu. Tensorit defineeritakse geomeetrilise objektina, mida kirjeldatakse mitmemõõtmelise massiivina, st mitme indeksiga nummerdatud arvude komplektina, ehk teiste sõnadega tabelina (üldjuhul n {\displaystyle n} -mõõtmelisena, kus n {\displaystyle n} on tensori järk. Nii on vektor (esimest järku tensor) määratletud ühemõõtmelise massiivina (reana või õigemini tulbana), näiteks lineaarne operaator ja ruutvorm aga kahemõõtmelise massiivina ehk maatriksina. Skalaar (0-järku tensor) on määratud ühe arvuga (mida võib vaadelda 0-mõõtmelise massiivina), mis sisaldab ainult ühe elemendi. (Skalaare ja vektoreid on mugav vaadelda tensorite erijuhtudena, sest kõik definitsioonid ja teoreemid tensorite kohta käivad ka nende kohta ning skalaare ja vektoreid ei ole üldises arutluses tarvis eraldi mainida.) Defineeritakse tehted tensoritega, mida võib pidada maatriksitehete (näiteks maatriksite korrutamine ja maatriksi korrutamine vektoriga) ning vektoritehete (näiteks skalaarkorrutis) otseseks üldistuseks. Kui lähtuda tänapäevasest (aksiomaatilisest) definitsioonist, siis need tulenevad otseselt tensorite (multi)lineaarsusest selles definitsioonis. Tensoreid on palju liike, ja konkreetset tüüpi tensori kirjeldamiseks on tarvis spetsiaalset terminoloogiat. Kui tensorite esitamiseks komponentide kaupa kasutatakse indeksnotatsiooni, on tarvis teada, milliseid piirkondi indeksid hõlmavad. Asja algseks mõistmiseks on kasulik lähtuda arusaamast, et tensori T saab moodustada vektorite korrutamise teel (kuigi nõnda pole võimalik saada kõiki tensoreid, vaid tuleb veel kasutada lineaarkombinatsioone). Korrutatud vektorite arv annab tensori T järgu, kuna indeksnotatsioon nõuab massiivi, mille komponentide koguarv saadakse vektorite komponentide arvude korrutamisel. Teiste sõnadega, tensori järk ütleb, mitmemõõtmeline see massiiv on, kuna tema suurus sõltub geomeetrilisest rakendusest. Kõige tavalisemat tüüpi tensorid vastavad ruutmaatriksile, kuupmassiivile jne, kusjuures kõigil indeksitel on sama piirkond, kuid see ei kitsenda matemaatilisi võimalusi.  Pikemalt artiklis Kovariantne vektor  Pikemalt artiklis Kontravariantne vektor  Pikemalt artiklis Kovariantne teisendus Füüsikalistes rakendustes jagunevad massiiviindeksid vastavalt teisenduste omsadustele kontravariantseteks ülaindeksiteks ja kovariantseteks alaindeksiteks. Tensori valents on massiiviindeksite arv ja tüüp. Tensorid, mille summaarne järk on sama, kuid valents on erinev, ei ole üldjuhul identsed, sest nende geomeetrilised meetrilised tähendused on erinevad. Ent iga antud kovariantse indeksi saab teisendada kontravariantseks indeksiks ja ümberpöördult, rakendades meetrilist tensorit. Seda geomeetrilist operatsiooni nimetatakse üldiselt indeksite tõstmiseks või indeksite langetamiseks.  Pikemalt artiklis Einsteini kokkulepe Einsteini kokkulepe ehk Einsteini summeerimisreegel on tensorite kirjutamise viis, mis võimaldab läbi saada ilma summamärgita, jättes selle implitsiitseks. Lepitakse kokku, et iga korduva indeksi puhul toimub summeerimine: kui indeksit i kasutatakse tensoravaldise antud liikmes kaks korda, siis see tähendab, et väärtused tuleb indeksi i järgi summeerida. Sel moel võidakse summeerida mitu indeksipaari korraga, kuid üldiselt peab sel juhul kõigil indeksitel olema sama piirkond, nii et kõik tähistamata summeeringud on summad 1-st N-ini, kus N on mingi antud arv. Kuna tensoreid saab esitada komponentide mitmemõõtmeliste massiividena, käituvad nad koordinaatide teisenduste korral spetsiifilisel moel. Tensorite abstraktne teooria on lineaaralgebra haru, mida nüüd nimetatakse multilineaarseks algebraks. Teisendustega seotud omadus antakse tensoritele aksiomaatilise definitsiooniga. Tensorite loomus on see, et nad on bilineaarsed, trineaarsed, ..., n-lineaarsed, kus n on tensori järk; ühesõnaga multilineaarsed. Tavaliselt defineeritakse matemaatikas teatud vektorruumid; koordinaadistikud jäetakse fikseerimata, kuni vajaduse korral võetakse kasutusele baasid. Näiteks saab kontravariantseid vektoreid kirjeldada ka 1-vormidena ehk kovariantsete vektoritega duaalse ruumi elementidena. Olgu V1, ... , Vn vektorruumid üle ühise korpuse F. Siis saab moodustada nende tensorkorrutise V1 ⊗ ... ⊗ Vn. Tensor vektorruumil V defineeritakse siis vektorruumi V ⊗ ⋯ ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} elemendina, kus V* on ruumi V kaasruum. Paljudes kontekstides tähendabki sõna "tensor" seda. Kui tensorkorrutises esineb m korda V ja n korda V*, siis öeldakse, et tensor on (m, n)-tüüpi ning m-järku kovariantne ja n-järku kontravariantne ning tema kogujärk (tensori järk) on 'm + n. On erijuhte: 0-järku tensorid on parajasti skalaarid (korpuse F elemendid), esimest järku kovariantsed tensorid on ruumi V tensorid ning esimest järku kontravariantsed tensorid on ruumi V* elemendid, st lineaarsed funktsionaalid ehk 1-vormid (sellepärast nimetatakse ruumide V ja V* elemente vastavalt kontravariantseteks ja kovariantseteks vektoriteks). Kõikide (m, n)-tüüpi tensorite ruumi tähistatakse T n m ( V ) = V ⊗ ⋯ ⊗ V ⏟ ⊗ V ∗ ⊗ ⋯ ⊗ V ∗ ⏟ m n . {\displaystyle {\begin{matrix}T_{n}^{m}(V)&=&\underbrace {V\otimes \dots \otimes V} &\otimes &\underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} \\&&m&&n\end{matrix}}.} (1, 1)-tensorite ruum V ⊗ V ∗ {\displaystyle V\otimes V^{*}} on loomulikul moel isomorfsed lineaarteisenduste ruumiga V-st V-sse. Reaalse vektorruumi V sisekorrutis, mis on defineeritud kui V × V → R, vastab loomulikul viisil (0, 2)-tensorile V ∗ ⊗ V ∗ . {\displaystyle V^{*}\otimes V^{*}.} Mõnes rakenduses nimetatakse seda assotsieeritud meetrilisele tensorile. Kuna tensorsuuruse formaalne matemaatiline definitsioon algab abstraktse lõplikumõõtmelise vektorruumiga V {\displaystyle {\mathcal {V}}} , mis siis annab ühtsed "ehituskivid" iga tüüpi (iga valentsiga) tensoriteke, on tüüpilistes rakendustes V {\displaystyle {\mathcal {V}}} puutujaruum mõne muutkonna mõnes punkt. Ruumi V {\displaystyle {\mathcal {V}}} elemendid esitavad tavaliselt füüsikalisi suurusi, näiteks kiirusi või jõude. Selleks et esitada tensorit konkreetse arvumassiivina, peab olema valitud taustsüsteem, teiste sõnadega ruumi V {\displaystyle {\mathcal {V}}} kui vektorruumi baas e 1 , … , e n ∈ V . {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\in {\mathcal {V}}.} Ruumi V {\displaystyle {\mathcal {V}}} iga vektorit saab selle baasi suhtes "mõõta", st iga v ∈ U {\displaystyle \mathbf {v} \in {\mathcal {U}}} korral leiduvad parajasti üks skalaaride massiiv v i {\displaystyle v^{i}} , nii et (nüüdsest peale kasutame Einsteini kokkulepet ja jätame summamärgid ära) v = v i e i {\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}} Neid skalaare nimetatakse vektori v {\displaystyle \mathbf {v} } komponentideks antud taustsüsteemi suhtes. Olgu ε 1 , … , ε n ∈ V ∗ {\displaystyle \varepsilon ^{1},\ldots ,\varepsilon ^{n}\in {\mathcal {V}}^{*}} vastav duaalne baas, nii et ε i ( e j ) = δ i j , {\displaystyle \varepsilon ^{i}(\mathbf {e} _{j})=\delta ^{i}{}_{j},} kus paremal pool on Kroneckeri sümbolite massiiv. Iga kovektori (1-vormi) α ∈ V ∗ {\displaystyle \mathbf {\alpha } \in {\mathcal {V}}^{*}} korral leidub parajasti üks komponentide α i {\displaystyle \alpha _{i}} massiiv, mille korral α = α i ε i . {\displaystyle \mathbf {\alpha } =\alpha _{i}\,\varepsilon ^{i}.} Üldisemalt, igal tensoril T ∈ V m , n {\displaystyle \mathbf {T} \in {\mathcal {V}}^{m,n}} on ainus esitus komponentide kaudu. See tähendab, leidub parajasti üks skalaaride T j 1 … j n i 1 … i m {\displaystyle T_{j_{1}\ldots j_{n}}^{i_{1}\ldots i_{m}}} massiiv, mille korral T = T j 1 … j n i 1 … i m e i 1 ⊗ ⋯ ⊗ e i m ⊗ ε j 1 ⊗ ⋯ ⊗ ε j n . {\displaystyle \mathbf {T} =T_{j_{1}\ldots j_{n}}^{i_{1}\ldots i_{m}}\,\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{m}}\otimes \varepsilon ^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes \varepsilon ^{j_{n}}.} See üleminek komponentidele on sillaks tensorite abstraktse matemaatilise notatsiooni ning viisi vahel, kuidas neid tavaliselt kirjutatakse teoreetilises füüsikas ja tehnikas. Tensorite kirjutamine komponentide kaupa kajastab vaid osaliselt ideed, et tensor on "geomeetriline suurus": ilmneb ainult "kvantitatiivne aspekt", kuid mitte ruumi aspekt. Edasi vaatame, mis juhtub, kui minnakse üle teise taustsüsteemi e ^ 1 , … , e ^ n ∈ V . {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}\in {\mathcal {V}}.} Iga kahe taustsüsteemi jaoks leidub parajasti üks pööratav üleminekumaatriks A i j {\displaystyle A^{i}{}_{j}} , millel on omadus, et indeksi j {\displaystyle j} kõigi väärtuste korral kehtib taustsüsteemiteisenduse reegel e ^ j = A i j e i . {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=A^{i}{}_{j}\,\mathbf {e} _{i}.} Olgu v ∈ U {\displaystyle \mathbf {v} \in {\mathcal {U}}} vektor ja tähistagu v i {\displaystyle v^{i}} ja v ^ i {\displaystyle {\hat {v}}^{i}} vastavaid komponendimassiive nende kahe taustsüsteemi suhtes. Valemist v = v i e i = v ^ i e ^ i , {\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={\hat {v}}^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i},} ja taustsüsteemiteisendusest tuletub vektoriteisenduse reegel v ^ i = B i j v j , {\displaystyle {\hat {v}}^{i}=B^{i}{}_{j}\,v^{j},} kus B i j {\displaystyle B^{i}{}_{j}} on maatriksi A i j {\displaystyle A^{i}{}_{j}} pöördmaatriks, st A i k B k j = δ i j . {\displaystyle A^{i}{}_{k}B^{k}{}_{j}=\delta ^{i}{}_{j}.} Seega on vektori komponentide teisendusreegel kontravariantne taustsüsteemi teisendusreegliga. Sellepärast nimetataksegi vektori ülaindekseid kontravariantseteks. Et näidata kovektorite teisendusreeglit, saab kasutada duaalse baasi teisendusreeglit kujul v ^ e i = B i j ε j . {\displaystyle {\hat {v}}e^{i}=B^{i}{}_{j}\,\varepsilon ^{j}.} Siis v i = ε i ( v ) , {\displaystyle v^{i}=\varepsilon ^{i}(\mathbf {v} ),} kuna aga v ^ i = v ^ e i ( v ) . {\displaystyle {\hat {v}}^{i}={\hat {v}}e^{i}(\mathbf {v} ).} Kovektori komponentide teisendusreegel on kovariantne. See tähendab järgmist: olgu α ∈ V ∗ {\displaystyle \mathbf {\alpha } \in {\mathcal {V}}^{*}} antud kovektor, ja olgu α i {\displaystyle \alpha _{i}} ning α ^ i {\displaystyle {\hat {\alpha }}_{i}} vastavad komponendimassiivid. Siis α ^ j = A i j α i . {\displaystyle {\hat {\alpha }}_{j}=A^{i}{}_{j}\alpha _{i}.} Ülaltoodud suhet on kerge näidata, sest α i = α ( e i ) , {\displaystyle \alpha _{i}=\mathbf {\alpha } (\mathbf {e} _{i}),} ja α ^ j = α ( e ^ j ) ; {\displaystyle {\hat {\alpha }}_{j}=\mathbf {\alpha } ({\hat {\mathbf {e} }}_{j});} edasi saab kasutada taustsüsteemi teisendusreeglit. Ülaltoodu valguses võtab üldist ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} -tüüpi tensor kuju T ^ j 1 … j n i 1 … i m = A i 1 k 1 ⋯ A i n k n B l 1 j 1 ⋯ B l m j m T l 1 … l n k 1 … k m . {\displaystyle {\hat {T}}_{\,j_{1}\ldots j_{n}}^{i_{1}\ldots i_{m}}=A^{i_{1}}{}_{k_{1}}\cdots A^{i_{n}}{}_{k_{n}}B^{l_{1}}{}_{j_{1}}\cdots B^{l_{m}}{}_{j_{m}}T_{l_{1}\ldots l_{n}}^{k_{1}\ldots k_{m}}.} Kokkuvõttes, kahe tavalise tensoritele lähenemise ühitatavus tähendab, et komponentide kaudu lähenemine ja abstraktne tensorkorrutiste kaudu lähenemine väljendavad eri viisidel üht ja sedasama sisu. Tensorvälju saab väljendada ka osatuletiste kaudu: T ^ j 1 … j n i 1 … i m = ∂ x ¯ i 1 ∂ x k 1 ⋯ ∂ x ¯ i m ∂ x k m ∂ x l 1 ∂ x ¯ j 1 ⋯ ∂ x l n ∂ x ¯ j n T l 1 … l n k 1 … k n . {\displaystyle {\hat {T}}_{j_{1}\dots j_{n}}^{i_{1}\dots i_{m}}={\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{1}}}{\partial x^{k_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i_{m}}}{\partial x^{k_{m}}}}{\frac {\partial x^{l_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{l_{n}}}{\partial {\bar {x}}^{j_{n}}}}T_{l_{1}\dots l_{n}}^{k_{1}\dots k_{n}}.} Seda nimetatakse mõnikord tensorite teisendusseaduseks. Peetakse silmas, et üldise mittelineaarse koordinaatide teisenduse Jacobi maatriksite komponente saab kasutada samal moel nagu ülalmainitud maatriksite A ja B komponente, ja tulenev geomeetriline "seadus" on õige viis tensorväljade äratundmiseks. Selle seaduse saab tuletada samamoodi nagu enne: matemaatiliselt vastab ta puutujakihtkonnale, mitte puutujaruumile, ja asjaolu, et seda seadust rakendatakse pideva keskkonna mehaanikas, toetab ta märkust, et rakendused tulenevad puutujaruumist kui põhimudelist. Karin Reich on kirjutanud tensorite päritolu üksikasjaliku ajaloo. Selle uurimuse järgi on tensoranalüüs välja kasvanud Carl Friedrich Gaussi diferentsiaalgeomeetria alastest töödest ning formuleeringut on palju mõjutanud 19. sajandi keskel arendatud algebraliste vormide ja invariantide teooria. Sõna "tensor" võttis 1846 kasutusele William Rowan Hamilton, kuid ta ei kasutanud seda tänapäevases tähenduses, vaid mõistis selle all Cliffordi algebra normioperatsiooni. Tänapäevases tähenduses võttis sõna "tensor" kasutusele Woldemar Voigt 1898. Tensorarvutuse töötas 1890. aasta paiku absoluutse diferentsiaalarvutuse nime all välja Gregorio Ricci-Curbastro; ta avaldas selle esmakordselt 1892 . Paljudele matemaatikutele tegi selle kättesaadavaks Ricci ja Tullio Levi-Civita klassikaline õpik Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications ("Absoluutse diferentsiaalarvutuse meetodid ja nende rakendused"; 1900; hiljem tõlgiti see teistesse keeltesse). 20. sajandil hakati seda valdkonda nimetama tensoranalüüsiks. 1915. aasta paiku formuleeris Albert Einstein seda kasutades üldrelatiivsusteooria. Einstein õppis selle meetodi suurte raskustega geomeeter Marcel Grossmannilt. Levi-Civita algatas siis Einsteiniga kirjavahetuse, et parandada vigu, mis Einstein oli tensoranalüüsi rakendades teinud. Kirjavahetus leidis aset 1915–1917. Seda kirjavahetust iseloomustas vastastikune austus. Kord kirjutas Einstein: "Ma imetlen teie arvutusmeetodi elegantsust; oleks tore ratsutada läbi nende valdkondade tõelise matemaatika hobusel, kuna meietaolised peavad oma teekonna vaevaliselt jalgsi läbi tegema." Tensorid osutusid kasulikuks ka teistes valdkondades, näiteks pideva keskkonna mehaanikas. Mõned tuntud tensorite näited diferentsiaalgeomeetrias on ruutvormid, näiteks meetriline tensor ja kõverustensor. Hermann Grassmanni välisalgebra 19. sajandi keskpaigast on väga geomeetriline tensorite teooria, kuid alles mõne aja pärast avastati, et nii välisalgebra kui ka diferentsiaalvormide teooria kuuluvad loomulikul moel tensorarvutuse juurde. Élie Cartani tööd tegid diferentsiaalvormid ühtedeks põhilisteks matemaatikas rakendatavatest tensorväljadest. 1920. aastatel hakati taipama, et tensoritel on fundamentaalne roll algebralises topoloogias (näiteks Künnethi teoreemi puhul). Tensoreid kasutatakse ka paljudes üldalgebra harudes, sealhulgas homoloogilises algebras ja esituste teoorias. Multilineaarset algebrat saab üldistada korpustest võetud skalaaridelt üldisematele juhtudele, kuid saadav teooria on vähem geomeetriline ja arvutused keerukamad. Tensorid on 1960. aastatel üldistatud ka kategooriateooriasse, kasutades monoidaalse kategooria mõistet. Karin Reich. Die Entwicklung des Tensorkalküls, 1994. William Rowan Hamilton. On some Extensions of Quaternions Woldemar Voigt. Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung, Leipzig 1898 Bulletin des Sciences Mathématiques, kd XVI Abraham Pais, Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein [1][alaline kõdulink]