Tuletis (matemaatika)

Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel — täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile. Füüsikas on kohavektori tuletiseks aja järgi hetkkiirus, kiiruse tuletiseks omakorda kiirendus. Reaalarvulise argumendiga ning reaalarvuliste väärtustega funktsiooni korral on selle funktsiooni tuletiseks mingil kohal selle funktsiooni graafiku puutuja tõus sellel kohal. Matemaatilise analüüsi eeskujul on tuletise mõistet mitmel viisil üldistatud teistesse matemaatika valdkondadesse. Käesolev artikkel käsitleb põhiliselt reaal- või kompleksmuutuja funktsiooni tuletist matemaatilise analüüsi tähenduses; mõiste tuletis tähenduste kohta teistes matemaatika harudes vaata alajaotust Üldistusi. Olgu antud reaalarvuliste väärtustega funktsioon f {\displaystyle f} ning x {\displaystyle x} mõni reaalarv funktsiooni määramispiirkonnast. Kui leidub (lõplik või lõpmatu) piirväärtus lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} , siis seda nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f\,} tuletiseks kohal x {\displaystyle x\,} ning tähistatakse sümboliga f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,} . Tavaliselt määratletakse funktsiooni tuletis vaid tema määramispiirkonna sisepunktides, s. t. eeltoodud definitsiooni lisatakse veel eeldus, et x {\displaystyle x\,} on hulga D {\displaystyle D\,} sisepunkt. Kui funktsioonil f {\displaystyle f\,} on lõplik tuletis kohal x {\displaystyle x\,} , nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f\,} diferentseeruvaks kohal x {\displaystyle x\,} . Samamoodi defineeritakse tuletis ja diferentseeruvus ka kompleksmuutuja funktsiooni korral, s. t. juhul f : D → C {\displaystyle f:D\to \mathbb {C} } , kus D ⊂ C {\displaystyle D\subset \mathbb {C} } . Kui funktsioon f {\displaystyle f\,} on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna D {\displaystyle D\,} punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon f {\displaystyle f\,} on diferentseeruv. Kui funktsioon f {\displaystyle f\,} on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina f ′ : D → K {\displaystyle f':D\to \mathbb {K} } . Sellisel juhul saame uurida funktsiooni f ′ {\displaystyle f'\,} tuletiste olemasolu. Funktsiooni f ′ {\displaystyle f'\,} tuletist nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f\,} teist järku tuletiseks ning tähistatakse f ″ {\displaystyle f''\,} . Kui funktsioon f ′ {\displaystyle f'\,} on diferentseeruv ehk funktsioonil f {\displaystyle f\,} on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f\,} kaks korda diferentseeruvaks. Samamoodi, kui funktsioon f ″ {\displaystyle f''\,} on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni f {\displaystyle f\,} kolmandat järku tuletis f ‴ {\displaystyle f'''\,} jne. Üldiselt, funktsiooni f {\displaystyle f\,} n {\displaystyle n\,} -ndat järku tuletist kohal x {\displaystyle x\,} , kus n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , tähistatakse f ( n ) ( x ) {\displaystyle f^{(n)}(x)\,} . Eeltoodud määratluses kasutasime Joseph-Louis Lagrange'i tähistust: f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)\,} – funktsiooni f {\displaystyle f\,} tuletis kohal x {\displaystyle x\,} f ″ ( x ) {\displaystyle f''(x)\,} – teist järku tuletis f ‴ ( x ) {\displaystyle f'''(x)\,} – kolmandat järku tuletis f I V ( x ) {\displaystyle f^{IV}(x)\,} ehk f ( 4 ) ( x ) {\displaystyle f^{(4)}(x)\,} – neljandat järku tuletis f ( n ) ( x ) {\displaystyle f^{(n)}(x)\,} – n {\displaystyle n} -ndat järku tuletis ( n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ) Kui muutujate y {\displaystyle y\,} ja x {\displaystyle x\,} vahel on seos y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)\,} , siis nii funktsiooni f {\displaystyle f\,} tuletisfunktsiooni f ′ {\displaystyle f'\,} kui ka selle väärtust kohal x {\displaystyle x\,} tähistatakse Leibnizi tähistuses d y d x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}} . Leibnizi tähistust põhjendab seos d y d x = lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}} , kus Δ x {\displaystyle \Delta x\,} on suuruse x {\displaystyle x\,} muut ning Δ y = f ( x + Δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\,} on vastav suuruse y {\displaystyle y\,} muut — tuletise kui funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtuse tähistamiseks asendame selles suhtes kreeka tähe delta lihtsalt talle ladina tähestikus vastava tähega d {\displaystyle d\,} . Kõrgemat järku tuletise f ( n ) ( x ) {\displaystyle f^{(n)}(x)\,} jaoks kasutatakse tähistust d n y d x n {\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}} . Kui funktsiooni argument tähistab aega (sellisel juhul kasutatakse argumendi tähistamiseks tähe x {\displaystyle x\,} asemel enamasti tähte t {\displaystyle t\,} ), kasutatakse füüsikas sageli ka Newtoni tähistust: kui muutuja y {\displaystyle y\,} sõltuvust ajast t {\displaystyle t\,} kirjeldab seos y = f ( t ) {\displaystyle y=f(t)\,} , siis funktsiooni f {\displaystyle f\,} tuletisi tähistatakse y ˙ = f ′ ( t ) {\displaystyle {\dot {y}}=f'(t)} y ¨ = f ″ ( t ) {\displaystyle {\ddot {y}}=f''(t)} ja nii edasi. Kõrgemat järku tuletiste puhul on Newtoni tähistust raske kasutada, sest paljusid täppe on tüütu kirjutada ja kokku lugeda ning puudub üldine tähistus n {\displaystyle n} -ndat järku tuletise jaoks, kuid paljudes füüsikaülesannetes piisab esimest ja teist järku tuletisest. Olgu y = x 2 {\displaystyle y\!=x\!^{2}} , sellisel juhul Δ y = ( x + Δ x ) 2 − x 2 {\displaystyle \Delta y\!=(x\!+\Delta x\!)^{2}-x\!^{2}} ja d y d x = lim Δ x → 0 ( x + Δ x ) 2 − x 2 Δ x = lim Δ x → 0 x 2 + 2 x Δ x + ( Δ x ) 2 − x 2 Δ x = lim Δ x → 0 ( 2 x + Δ x ) Δ x Δ x = lim Δ x → 0 2 x + Δ x = 2 x {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(2x+\Delta x)\Delta x}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}2x+\Delta x=2x}  Pikemalt artiklis L'Hospitali reegel Kui lim x → a f ( x ) = lim x → a g ( x ) = 0 {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0} ja leidub lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} või lim x → a | f ( x ) | = lim x → a | g ( x ) | = ∞ {\displaystyle \lim _{x\to a}|f(x)|=\lim _{x\to a}|g(x)|=\infty } ja leidub lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}} siis kehtib võrdus lim x → a f ( x ) g ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) . {\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.} Näiteks lim x → 0 sin ⁡ x x = lim x → 0 ( sin ⁡ x ) ′ ( x ) ′ = lim x → 0 cos ⁡ x 1 = cos ⁡ 0 = 1. {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {(\sin x)'}{(x)'}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}=\cos 0=1.}  Pikemalt artiklis Taylori valem Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis: f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n . {\displaystyle f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.} Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni e x {\displaystyle e^{x}\,} lähendamine x = 0 juures: e x ≈ 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + x n n ! . {\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.} Taylori valemi vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse f ( x ) {\displaystyle f(x)} vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, Lagrange'i veahinnang, kõlab järgmiselt. Kui n ≥ 0 on täisarv ja f {\displaystyle f\,} on funktsioon, mis on n korda pidevalt diferentseeruv lõigul [a, x] ja n + 1 korda diferentseeruv vahemikus (a, x), siis leidub arv ξ ∈ ( a , x ) {\displaystyle \xi \in (a,x)} nii, et f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 . {\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.} Kui reaalmuutuja funktsiooni tuletis on positiivne mingis lõigus, siis funktsioon kasvab selles lõigus. Kui tuletis on negatiivne, siis funktsioon kahaneb antud lõigus. Funktsiooni tuletise nullkohad on funktsiooni lokaalseteks miinimum- ja maksimumkohtadeks. Teine tuletis määrab funktsiooni graafiku "kõveruse": kui teine tuletis mingil kohal on nullist erinev, siis funktsiooni graafik asub antud punkti ümbruses selles punktis tõmmatud puutujast paremal või vasakul ("kõverdub" päripäeva või vastupäeva) ning esimese ja teise tuletise abil saab arvutada graafiku kõverusraadiuse. Kui funktsiooni teine tuletis on mingis lõigus positiivne või negatiivne, siis funktsioon on antud lõigus vastavalt kumer või nõgus. Graafiku punkte, kus funktsiooni teine tuletis on 0, nimetatakse käänupunktideks. Tuletis (ja matemaatiline analüüs üldiselt) on tänapäeva füüsikas asendamatu abivahend loodusnähtuste kirjeldamisel. Üks olulisi tuletise rakendusi on näiteks füüsikaliste suuruste (ajalise) muutmise kiiruse kirjeldamine ning liikumisvõrrandite kirjapanemine. Näide: Kiirus ehk asukoha ajalise muutumise kiirus leitakse kohavektorist ajalise tuletise võtmise teel. Liikugu punkt mingis koordinaadisüsteemis sirgjooneliselt võrrandi x = t 2 + 3 {\displaystyle x=t^{2}+3} järgi. Kiiruse leidmiseks ajahetkel t {\displaystyle t} võetakse liikumisvõrrandist aja järgi tuletis: x ˙ = 2 t {\displaystyle {\dot {x}}=2t} . Kiiruse võrrandist omakorda tuletise võtmine annab kiiruse ajalise muutumise kiiruse ehk kiirenduse: v ˙ = 2 {\displaystyle {\dot {v}}=2} . Näeme, et antud punkt liigub ühtlase kiirendusega. Näide: Liikugu keha keskkonnas, mille poolt avaldatav hõõrdejõud on võrdeline keha kiirusega, st F = – k v, kus k on võrdetegur. Seega on keha liikumisvõrrand vastavalt Newtoni II seadusele m v ˙ = − k v , {\displaystyle m{\dot {v}}=-kv,} kus v ˙ = a {\displaystyle {\dot {v}}=a} on kiirendus ja m on keha mass. Saadud avaldis annab hariliku diferentsiaalvõrrandi, mille lahend ütleb, kuidas keha kiirus ajas muutub. Loogikafunktsiooni tuletis argumendi järgi määrab loogikatingimused, milliste puhul funktsiooni väärtus on tundlik selle argumendi muutuste suhtes (kas otse- või vastandfaasis). ∂ ( f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ) ∂ x i = f ( x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , 0 , x i + 1 , . . . , x n ) ⊕ f ( x 1 , x 2 , . . . , x i − 1 , 1 , x i + 1 , . . . , x n ) {\displaystyle {\frac {\partial (f(x_{1},x_{2},...,x_{n}))}{\partial x_{i}}}=f(x_{1},x_{2},...,x_{i-1},0,x_{i+1},...,x_{n})\oplus f(x_{1},x_{2},...,x_{i-1},1,x_{i+1},...,x_{n})} Näide: olgu f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ∑ ( 2 , 3 , 6 , 7 , 8 , 9 , 12 , 13 , 15 ) 1 {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=\sum (2,3,6,7,8,9,12,13,15)_{1}} ∂ ( f ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ) ∂ x 2 = x 1 ∨ x 2 x 4 ⊕ x 1 ¯ ∨ x 2 x 4 = x 1 ¯ x 2 ¯ ∨ x 1 ¯ x 4 ¯ ∨ x 1 ¯ x 2 x 4 {\displaystyle {\frac {\partial (f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}))}{\partial x_{2}}}=x_{1}\lor x_{2}x_{4}\oplus {\bar {x_{1}}}\lor x_{2}x_{4}={\bar {x_{1}}}{\bar {x_{2}}}\lor {\bar {x_{1}}}{\bar {x_{4}}}\lor {\bar {x_{1}}}x_{2}x_{4}} Osatuletis Integraal Diferentsiaalvõrrand