Injektiivne funktsioon

Injektiivne funktsioon ehk injektiivne kujutus ehk injektsioon ehk üksühene kujutus on funktsioon f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} , mille korral sihthulga Y {\displaystyle Y} iga elemendi y {\displaystyle y} puhul on olemas ülimalt üks (võib-olla mitte ühtegi) lähtehulga X {\displaystyle X} element x {\displaystyle x} , millele funktsioon teda vastavusse seab ( f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} ), ehk teiste sõnadega, mille korral lähtehulga kahele eri elemendile ei seata kunagi vastavusse sihthulga üht ja sedasama elementi. Injektiivne funktsioon on injektiivse seose erijuht. Injektiivse funktsiooni sihthulgal ei saa olla väiksem võimsus kui lähtehulgal, sest muidu ei jätkuks sihthulgas kõigi lähtehulga elementide jaoks elemente. Injektiivse funktsiooni kujutis { f ( x ) | x ∈ X } {\displaystyle \{f(x)|x\in X\}} võib olla sihthulga Y {\displaystyle Y} pärisalamhulk. Teiste sõnadega, võib olla elemente y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} , mis ei ole kujutised f ( x ) {\displaystyle f(x)} , (nii on ka joonisel). Selle poolest erineb injektiivne funktsioon bijektiivsest funktsioonist, mille puhul peale injektiivsuse nõutakse veel, et sihthulga iga element on kujutis f ( x ) {\displaystyle f(x)} . Funktsiooni f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} injektiivsust tähistatakse mõnikord märgiga f : X ↪ Y {\displaystyle f:X\hookrightarrow Y} , mis on koostatud märkidest ⊂ {\displaystyle \subset } ja → {\displaystyle \to } . See meenutab hulga X {\displaystyle X} sisestamist ülemhulka Y {\displaystyle Y} funktsiooni f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} abil, mis kujutab hulga X {\displaystyle X} iga elemendi temaks endaks: f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x} . Olgu X {\displaystyle X} ja Y {\displaystyle Y} hulgad ning f : X → Y {\displaystyle f\colon \,X\to Y} funktsioon hulgast X {\displaystyle X} hulka Y {\displaystyle Y} . Järgmised definitsioonid on samaväärsed: Funktsiooni f {\displaystyle f} nimetatakse injektiivseks, kui iga y {\displaystyle y} -i korral hulgast Y {\displaystyle Y} eksisteerib ülimalt üks x {\displaystyle x} hulgast X {\displaystyle X} , nii et f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} . ("Ülimalt üks" tähendab 'mitte ühtegi või täpselt üks, kuid mitte rohkem.) Formaalselt: ∀ y ∈ Y   ( ∃ ! x ∈ X : f ( x ) = y ∨ ¬ ( ∃ x ∈ X : f ( x ) = y ) ) . {\displaystyle \forall y\in Y\ (\exists !x\in X\colon \,f(x)=y\vee \neg (\exists x\in X\colon \,f(x)=y)).} Funktsiooni f {\displaystyle f} nimetatakse injektiivseks, kui funktsiooni väärtuste (muutuja y {\displaystyle y} väärtuste) võrdusest järeldub funktsiooni argumendi x {\displaystyle x} väärtuste võrdus. Formaalselt: ∀ x 1 , x 2 ∈ X : ( f ( x 1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x 1 = x 2 ) {\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2})} Funktsiooni f {\displaystyle f} nimetatakse injektiivseks, kui argumendi x {\displaystyle x} erinevad väärtused kujutatakse alati erinevateks funktsiooni väärtusteks. Formaalselt: ∀ x 1 , x 2 ∈ X : ( x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) ) {\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X\colon \,(x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}))} Kui injektiivsuse tõestamiseks kasutatakse kolmandat tõestust, viib see sageli vastuväitelise tõestuseni. Otsene tõestus teise definitsiooni abil võib olla elegantsem ja lühem. Iga funktsioon { ∙ , ∙ } → { ∙ } {\displaystyle \{\bullet ,\bullet \}\to \{\bullet \}} kaheelemendilisest hulgast üheelemendilisse hulka on mitteinjektiivne. Mittematemaatiline näide. Funktsioon, mis seab igale Eesti isikukoodiga inimesele vastavusse tema isikukoodi, on injektiivne, kusjuures sihthulgaks võetakse kõigi isikukoodiks kõlblike arvude hulk. (Eeldame, et ühtki isikukoodi ei rakendata mitu korda.) Olgu N {\displaystyle \mathbb {N} } naturaalarvude hulk ja Z {\displaystyle \mathbb {Z} } täisarvude hulk. Funktsioon f 1 : N → N , x ↦ 2 x {\displaystyle f_{1}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto 2x} on injektiivne. Funktsioon f 2 : Z → Z , x ↦ 2 x {\displaystyle f_{2}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto 2x} on injektiivne. Funktsioon f 3 : N → N , x ↦ x 2 {\displaystyle f_{3}\colon \,\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} ,\,x\mapsto x^{2}} on injektiivne. Funktsioon f 4 : Z → Z , x ↦ x 2 {\displaystyle f_{4}\colon \,\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} ,\,x\mapsto x^{2}} ei ole injektiivne, sest näiteks f ( 1 ) = f ( − 1 ) {\displaystyle f(1)=f(-1)} . Funktsiooni f : A → B {\displaystyle f\colon \,A\to B} injektiivsus sõltub ainult graafikust { ( x , f ( x ) ) ∣ x ∈ A } {\displaystyle \{(x,f(x))\mid x\in A\}} (erinevalt sürjektiivsusest, mis sõltub ka sihthulgast B {\displaystyle B} , mille üle graafiku järgi ei saa otsustada). Funktsioon f : A → B {\displaystyle f\colon \,A\to B} on injektiivne parajasti siis, kui kõikide alamhulkade X , Y ⊆ A {\displaystyle X,Y\subseteq A} korral f ( X ∩ Y ) = f ( X ) ∩ f ( Y ) {\displaystyle f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)\!\,} . Funktsioon f : A → B {\displaystyle f\colon \,A\to B} on injektiivne parajasti siis, kui kõikide T ⊂ A {\displaystyle T\subset A} korral f − 1 ( f ( T ) ) = T {\displaystyle f^{-1}{\big (}f(T){\big )}=T} . Kui funktsioonid f : A → B {\displaystyle f\colon \,A\to B} ja g : B → C {\displaystyle g\colon \,B\to C} on injektiivsed, siis ka nende funktsioonide kompositsioon g ∘ f : A → C {\displaystyle g\circ f\colon \,A\to C} on injektiivne. Kui g ∘ f {\displaystyle g\circ f} on injektiivne, siis f {\displaystyle f} on injektiivne. Funktsioon f : A → B {\displaystyle f\colon \,A\to B} , mille lähtehulk A {\displaystyle A} on mittetühi, on injektiivne parajasti siis, kui funktsioonil f {\displaystyle f} on vasakpoolne pöördelement, st funktsioon g : B → A {\displaystyle g\colon \,B\to A} mille korral g ∘ f = id A {\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{A}} , kus id A {\displaystyle \operatorname {id} _{A}} on samasuskujutus hulgal A {\displaystyle A} . Hulkade kategoorias Set tähendab see tingimus, et injektsioonid on selle kategooria vasakult pööratavad morfismid ehk koretraktsioonid.