Eitus

Loogikas nimetatakse propositsiooni eituseks ehk negatsiooniks[viide?] selle propositsiooniga kontradiktoorset propositsiooni. Teineteisega kontradiktoorsed propositsioonid on teineteise eitused. Eituseks nimetatakse loogikas ka loogikatehet, mis seab propositsioonile vastavusse selle propositsiooni eituse, ja unaarset tehet, mis seab tõeväärtusele tõene vastavusse tõeväärtus väär ja tõeväärtusele väär tõeväärtuse tõene. Loogilise eituse väljendamiseks eesti keeles on olemas standardsed vahendid, mille kasutamise tulemust nimetame süntaktiliseks eituseks. Nimelt nimetame üht väitlauset teise eituseks, kui ta on saadud teisest nii, et teise lause öeldises on asendatud jaatav kõne eitava kõnega või eitav kõne jaatava kõnega, ja kui ta väljendab propositsiooni, mis on kontradiktoorne propositsiooniga, mida väljendab teine lause. Näiteks lause "Maa ei ole kerakujuline" on lause "Maa on kerakujuline" eitus ja lause "Maa on kerakujuline" on lause "Maa ei ole kerakujuline" eitus. See definitsioon eeldab, et propositsioon, mida kumbki väitlause väljendab, on üheselt määratud. Kui üks lause on teise eitus, siis ka teine lause on esimese eitus. Teineteisega kontradiktoorseid propositsioone saab väljendada ka lausete abil, mis ei ole teineteise eitused, näiteks "Margus on üle kahe meetri pikk" ja "Margus on kahe meetri pikkune või alla kahe meetri pikk". Jaatava ja eitava kõne äravahetamine väitlause öeldises ei pruugi anda eitust. Näiteks laused "Mõned inimesed on naised" ja "Mõned inimesed ei ole naised" ei ole teineteise eitused. Jaatava ja eitava kõne äravahetamine väitlauses väljaspool (pealause) öeldist ei pruugi ammugi anda eitust. Võtame näiteks "Jaana teab, et ta saab lapse sünni korral linnalt raha" ja "Jaana teab, et ta ei saa lapse sünni korral linnalt raha". Mõjuala järgi liigitatakse eitust lauseeituseks ja moodustajaeituseks. Eitust võib vaadelda unaarse tehtena (ka negatsioon või EI-tehe), mis muudab propositsiooni tõeväärtuse vastupidiseks, muutes tõese propositsiooni vääraks ja väära propositsiooni tõeseks. Loogikas on eitus unaarne (ühe operandiga) tehe, mis muudab oma operandi tõeväärtuse vastupidiseks. Operandiks on see propositsioon, mida eitatakse. Tehte tulemit nimetatakse operandi eituseks. Propositsiooni p eitust märgitakse mitmel viisil: p (see on p, mille kohal on kriips); ~p; ¬p; NOT p; EI p; !p –p p' Seda loetakse näiteks "Ei pea paika, et p", või "pole tõsi, et p". ~p on tõene siis, ja ainult siis, kui p on väär. Näiteks kui p väljendab propositsiooni "Täna on laupäev", siis selle eitus ~p väljendab propositsiooni "Täna ei ole laupäev". Klassikalises loogikas tähendab kahekordne eitus jaatust: propositsioonid p ja ~(~p) on ekvivalentsed. Intuitsionistlikus loogikas aga on ~~p nõrgem propositsioon kui p. Siiski on ka intuitsionistlikus loogikas ekvivalentsed ~~~p ja ~p. Eitus on defineeritav teiste loogikatehete kaudu. Näiteks saab eitust ~p defineerida implikatsioonina p → V, kus → on implikatsiooni märk ja V on loogiline konstant väär (absoluutselt väär propositsioon). Teiselt poolt, absoluutselt väära propositsiooni V saab defineerida konjunktsioonina p & ~p, kus p on mis tahes propositsioon ja & on konjunktsiooni märk. Idee on selles, et mis tahes vasturääkivus on väär. Need ideed töötavad küll nii klassikalises kui ka intuitsionistlikus loogikas, kuid nad ei tööta Brasiilia loogikas, kus vasturääkivus ei pruugi olla väär. Klassikalises loogikas kehtib veel niisugune samasus: implikatsiooni p → q saab defineerida kui disjunktsiooni ~p ∨ q, kus ∨ on disjunktsiooni märk. Algebralises mõttes vastab eitus täiendile teatavas Boole'i algebras (klassikalise loogika puhul) või teatavas Heytingi algebras (intuitsionistliku loogika puhul). See alajaotus tuleb alles kirjutada apofaasia vastuolulisus