Laplace'i operaator

Laplace'i operaator on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents. Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul Δ = ∇ 2 = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 , {\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{i}^{2}},} kus ∇ {\displaystyle \nabla } on nabla-operaator ja ∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x_{i}} tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja x i {\displaystyle x_{i}} järgi. Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δf = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks. Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides x ja y' Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}} Polaarkoordinaatides kehtib Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.} Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine: Ristkoordinaatides: Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.} Silindrilistes koordinaatides: Δ f = 1 ρ ∂ ∂ ρ ( ρ ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 ∂ 2 f ∂ θ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.} Sfäärilistes koordinaatides: Δ f = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ ϕ 2 . {\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.} ( θ   {\displaystyle \theta \ } tähistab sfäärilist laiust ja ϕ {\displaystyle \phi } sfäärilist pikkust). Avaldise 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ f ∂ r ) {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)} võib asendada samaväärse avaldisega 1 r ∂ 2 ∂ r 2 ( r f ) {\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)} . N-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul x = r θ ∈ R N {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}} , kus r ∈ [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle r\in [0,+\infty )} , θ ∈ S N − 1 {\displaystyle \theta \in S^{N-1}} , on Lapalace'i operaatoril kuju Δ f = ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r + 1 r 2 Δ S N − 1 f {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f} kus Δ S N − 1 {\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}} on Laplace'i-Beltrami operaator N − 1 {\displaystyle N-1} dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator. Avaldise ∂ 2 f ∂ r 2 + N − 1 r ∂ f ∂ r {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}} võib asendada samaväärse avaldisega 1 r N − 1 ∂ ∂ r ( r N − 1 ∂ f ∂ r ) . {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.} Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on: Laplace'i võrrand: Δ f = 0 , {\displaystyle \Delta f=0\,,} kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks. Biharmooniline võrrand: Δ 2 f = 0 , {\displaystyle \Delta ^{2}f=0\,,} kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks. Poissoni võrrand: Δ f = − g , {\displaystyle \Delta f=-g\,,} kus g on teadaolev funktsioon. Lainevõrrand: Δ f = 1 c 2 ∂ 2 f ∂ t 2 , {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,,} kus c {\displaystyle c} on laine liikumise kiirus. Difusioonivõrrand: ∂ f ∂ t = k Δ f {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=k\Delta f} kus k on konstant. Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas: i ℏ ∂ ϕ ∂ t = − ℏ 2 2 m Δ ϕ + V ϕ , {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi +V\phi \,,} kus ϕ {\displaystyle \phi } on lainefunktsioon, ℏ {\displaystyle \hbar } on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja V {\displaystyle V} on potentsiaalne energia. Nabla-operaator Pierre-Simon Laplace Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002) Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)