Afiinne aritmeetika

Afiinne aritmeetika on meetod arvutusmatemaatikas, mis võimaldab viia läbi arvutusi ligikaudsete suurustega. See meetod sarnaneb intervalliaritmeetikaga, aga parandab viimase teatud puudujääke. Näiteks annab afiinne aritmeetika paremaid tulemusi arvutustes, kus sama muutuja esineb mitu korda. Afiinses aritmeetikas kirjutatakse arvud kujul x ^ = x 0 + x 1 ϵ 1 + x 2 ϵ 2 + … + x n ϵ n {\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+\ldots +x_{n}\epsilon _{n}} , kus ϵ 1 … ϵ n {\displaystyle \epsilon _{1}\ldots \epsilon _{n}} on tundmatud suurused lõigus [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} ning arvud x 0 … x n {\displaystyle x_{0}\ldots x_{n}} reaalarvulised kordajad. Afiinset kuju x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} saab vaadelda afiinse funktsioonina f ^ : U n → R {\displaystyle {\hat {f}}:U^{n}\rightarrow \mathbb {R} } , kus U = [ − 1 , 1 ] {\displaystyle U=[-1,1]} . Afiinse kuju ulatuseks nimetatakse suurust r a n g e ( x 0 + x 1 ϵ 1 + … + x n ϵ n ) = ∑ i = 1 n | x i | {\displaystyle range(x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+\ldots +x_{n}\epsilon _{n})=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|} . Ulatus on võrdne sellele afiinsele kujule vastava lõigu pikkusega. Afiinse kuju liiget x 0 {\displaystyle x_{0}} nimetatakse keskpunktiks. Afiinseid kujusid kokku liites või neid konstandiga korrutades on tulemuseks uus afiinne kuju. Näiteks liites kokku x ^ = x 0 + x 1 ϵ 1 + x 2 ϵ 2 + … + x n ϵ n {\displaystyle {\hat {x}}=x_{0}+x_{1}\epsilon _{1}+x_{2}\epsilon _{2}+\ldots +x_{n}\epsilon _{n}} ning y ^ = y 0 + y 1 ϵ 1 + y 2 ϵ 2 + … + y n ϵ n {\displaystyle {\hat {y}}=y_{0}+y_{1}\epsilon _{1}+y_{2}\epsilon _{2}+\ldots +y_{n}\epsilon _{n}} on tulemuseks uus afiinne kuju z ^ = x 0 + y 0 + ( x 1 + y 1 ) ϵ 1 + … + ( x n + y n ) ϵ n {\displaystyle {\hat {z}}=x_{0}+y_{0}+(x_{1}+y_{1})\epsilon _{1}+\ldots +(x_{n}+y_{n})\epsilon _{n}} . Afiinseid kujusid kokku korrutades või neile elementaarfunktsioone rakendades võib tulemuseks olla suurus, mida ei saa esitada afiinsel kujul. Sellisel juhul tuleb kasutusele võtta uus afiinne kuju, mis vastab ligikaudu tegelikule funktsiooni väärtusele. Üks võimalus ligikaudse funktsiooni leidmiseks on valida väärtuseks niisugune afiinne kuju, mille maksimaalne erinevus tegelikust väärtusest on minimaalne ehk kasutada Tšebõševi lähendust. Selliselt valitud väärtus on väikese veaga, aga seevastu vajalikust suurema ulatusega, mis osadel juhtudel ei ole soovitav. Vähima vahemiku lähenduses valitakse funktsiooni väärtuseks afiinne kuju, mille ulatus on minimaalne. Vähima vahemiku lähendus on paljudel juhtudel väiksema arvutusliku keerukusega kui sama funktsiooni Tšebõševi lähendus. Kuna pikemates arvutustes tekkivate liikmete arv on lineaarses seoses tehete arvuga, on kasulik arvutuste käigus tekkinud liikmed üheks liikmeks koondada. Sellisel juhul pole järgnevad arvutused küll sama täpsusega, mis ilma koondamiseta, aga seevastu kulub arvutustele vähem aega. Rump, Siegfried M., and Masahide Kashiwagi. "Implementation and improvements of affine arithmetic." Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE 6.3 (2015): 341-359. Stol, Jorge, and Luiz Henrique De Figueiredo. "Self-validated numerical methods and applications." Monograph for 21st Brazilian Mathematics Colloquium, IMPA, Rio de Janeiro. Citeseer. Vol. 5. No. 1. 1997.