Osatuletis

Osatuletiseks nimetatakse matemaatilises analüüsis sellist funktsiooni tuletist, mille arvutamisel mingi muutuja x {\displaystyle x} järgi punktis P 0 {\displaystyle P_{0}} loetakse teised muutujad konstantseks. Osatuletis on üks matemaatilise analüüsi kõige olulisemaid mõisteid ning seda kasutatakse gradiendi, mitme muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali, rootori, divergentsi ja paljude teiste matemaatiliste mõistete defineerimisel. Seetõttu leiab osatuletis olulist kasutust näiteks rakendusmatemaatikas ja füüsikas. Olgu antud mitme muutuja funktsioon u = f ( x , y , z , . . . ) , ( x , y , z , . . . ) ∈ D {\displaystyle u=f(x,\,y,\,z,\,...),\qquad (x,y,z,...)\in \mathbb {D} } ja olgu punkt P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 , . . . ) {\displaystyle P_{0}=(x_{0},\,y_{0},\,z_{0},\,...)} piirkonna D {\displaystyle D} sisepunkt. Fikseerime muutujad y , z , . . .   {\displaystyle y,\,z,\,...\ } , võttes y = y 0 , z = z 0 , . . .   {\displaystyle y=y_{0},\,z=z_{0},\,...\ } , siis saame ühe muutuja funktsiooni g ( x ) = f ( x , y 0 , z 0 , . . . )   . {\displaystyle g(x)=f(x,\,y_{0},\,z_{0},\,...)\ .} Kui funktsioonil g ( x ) {\displaystyle g(x)} on punktis x 0 {\displaystyle x_{0}} olemas tuletis g ′ ( x 0 ) {\displaystyle g'(x_{0})} , siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f {\displaystyle f} osatuletiseks muutuja x {\displaystyle x} järgi punktis P 0 {\displaystyle P_{0}} ja tähistatakse sümbolitega f x ( P 0 ) = f x ( x 0 , y 0 , . . . ) = ∂ f ( P 0 ) ∂ x = ∂ ∂ x f ( P 0 ) . {\displaystyle f_{x}(P_{0})=f_{x}(x_{0},\,y_{0},\,...)={\partial f(P_{0}) \over \partial x}={\partial \over \partial x}f(P_{0})\,.} Funktsiooni f {\displaystyle f} osatuletis muutuja x {\displaystyle x} järgi suvalises punktis P = ( x , y , . . . ) {\displaystyle P=(x,\,y,\,...)} on seega piirväärtus (funktsioon) f x ( P ) = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x , y , z . . . ) − f ( x , y , z . . . ) Δ x . {\displaystyle f_{x}(P)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x,\,y,\,z\,...)-f(x,\,y,\,z\,...)}{\Delta x}}\,.} Analoogiliselt defineeritakse funktsiooni f {\displaystyle f} osatuletised muutujate y , z , . . . {\displaystyle y,\,z,\,...\,} järgi punktis P 0 {\displaystyle P_{0}} , s.o. osatuletised f y ( P 0 ) , f z ( P 0 ) , . . . . {\displaystyle f_{y}(P_{0}),\,f_{z}(P_{0}),\,...\qquad .} Funktsiooni osatuletisi arvutatakse samade reeglite järgi, millega arvutatakse ühe muutuja funktsiooni tuletisi. Nii nagu analüütilises käsitluseski, on osatuletiste geomeetrilisel tõlgendusel palju sarnast tavaliste tuletistega. Näiteks kahe muutuja funktsioonid defineerivad kolmemõõtmelises ruumis sageli mingi pinna. See pind koosneb lõpmatust hulgast punktidest ning igas punktis on pinnal lõpmatu arv puutujaid. Osatuletise operaatori rakendamine mingis punktis tähendab sisuliselt ühe sellise puutuja tõusu leidmist. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\;.} Antud funktsioon defineerib kolmemõõtmelises eukleidilises ruumis paraboloidi. Et leida funktsiooni f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,} xz-tasapinnaga paralleelse puutuja tõus punktis P 0 = ( 1 , 1 , 3 ) {\displaystyle P_{0}=(1,1,3)} , tuleb leida selle funktsiooni osatuletis, lugedes muutuja y konstantseks ( y = 1 ) {\displaystyle (y=1)} . Funktsiooni osatuletis muutuja x järgi on ∂ z ∂ x = 2 x + y . {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y\,.} Seega tasandil y = 1 {\displaystyle y=1} on funktsiooni f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,} tõus punktis P 0 = ( 1 , 1 , 3 ) ∂ z ∂ x = 3 . {\displaystyle P_{0}=(1,1,3)\qquad {\frac {\partial z}{\partial x}}=3\,.} Diferentseerimisoperaator Tuletis suuna järgi Jakobiaan Kahe muutuja funktsioon E.Reimers, Matemaatilise analüüsi praktikum I, 1988